/
Author: Кобаяси А.
Tags: механика деформируемых тел упругость деформация общетехнические дисциплины механика
ISBN: 5-03-001543-4
Year: 1990
Text
HANDBOOK
ON
experimental mechanics
Society for Experimental Mechanics, Inc.
Edited by
Albert S. Kobayashi
Department of Mechanical Engineering
University of Washington
Seattle, Washington
PRENTICE-HALL, INC.
Englewocd Cliffs, New Jersey 07632
Экспериментальная
механика
книга1
Под редакцией А. Кобаяси
В 2-х книгах
Перевод с английского
под редакцией д-ра техн. наук Б. Н. Ушакова
Москва «Мир» 1990
ББК 30.121
Э41
УДК 539.3
Авторы: Атлури С, Кобаяси А., Дэлли Д., Райли У.,
Макконнелл К., Бюргер X., Парке В., Пост Д., Рэнсон В.,
Саттон М., Питерз У., Калтхоф И., Стетсон К.
Переводчики: Непершин Р. И., Соколова А. М., Коло-
совский П. Н., Щепинов В. П., Ушаков Б. Н.
Экспериментальная механика: В 2-х книгах: Книга 1.
Э41 Пер. с англ./Под ред. А. Кобаяси. —М.: Мир, 1990. —616 с,
Коллективная монография, написанная специалистами из США, представляет
собой фундаментальное руководство по экспериментальным методам исследования
напряженно-деформированного состояния конструкций. Рассмотрены новые
перспективные области применения экспериментальной механики для решения задач
механики разрушения, определения напряжений и деформаций в конструкциях
из композитных материалов, остаточных напряжений, эффективные
экспериментально-расчетные методы с привлечением ЭВМ.
В кн. 1 рассмотрены общие вопросы механического поведения материалов,
описаны тензодатчики, средства тензометрии и датчики силы, давления и
параметров движения, изложены методы фотоупругости, геометрического муара и др.
Для инженеров и исследователей-прочнистов в авиационной и
ракетно-космической технике, энергомашиностроении, электронной и транспортной технике
и др., а также для преподавателей, аспирантов и студентов.
ИЛ.
ISBN 5-03-001543-4
э
2004030000—224
ББК 30.121
041(01)—90
115—90
Редакция литературы по новой технике
и космическим исследованиям
ISBN 5-03-001543-4 (русск.)
ISBN 5-03-001542-6
ISBN 0-13-377706-5 (англ.)
гив переводчиков, 1990
Экспериментальная
механика
Издательство-Мир»
Предисловие редактора перевода
Экспериментальная механика — это область механики,
занимающаяся разработкой методов экспериментального
определения напряжений, деформаций, перемещений и усилий и
исследованием с применением этих методов
напряженно-деформированного состояния, нагруженное™ и прочности деформируемых
элементов машин и конструкций от действия механических,
тепловых и других нагрузок. Исследования проводятся на
натурных конструкциях и на их моделях, выполненных в некотором
масштабе по отношению к натуре. Методы экспериментальной
механики основаны на использовании различных
(электрических, тепловых, геометрических и др.) эффектов,
сопровождающих деформацию тела.
Экспериментальные исследования играют важную роль при
проектировании и отработке прочности конструкций. При этом
экспериментальные и расчетные методы используются
совместно, дополняя друг друга. Так, экспериментальные измерения на
натурных конструкциях позволяют определить действующие на
конструкцию нагрузки и получить данные о реальном
распределении напряжений и деформаций в условиях эксплуатации.
Экспериментальные методы позволяют определить напряжения
и деформации в элементах конструкций весьма сложной
формы, расчет которых затруднен даже с использованием
современных вычислительных методов и средств. Экспериментальные
исследования используются при разработке математических
расчетных моделей конструкций, а также для оценки точности
и уточнения результатов численных расчетов с применением
ЭВМ. Экспериментальные методы и средства широко
используются также при изучении механических свойств материалов на
образцах, а также при испытаниях конструкций на прочность,
для анализа процесса разрушения материалов и конструкций.
Предлагаемая вниманию читателей книга представляет собой
фундаментальное руководство, посвященное изложению
последних достижений в разработке наиболее эффективных и
полезных для практического использования экспериментальных
методов. Она написана ведущими зарубежными специалистами в
различных областях экспериментальной механики.
6
Предисловие редактора перевода
Наряду с традиционными экспериментальными методами,
такими, как тензометрия, поляризационно-оптический, хрупких
покрытий, в книге рассмотрены новые методы, получившие
развитие в последние годы: методы муаровых полос и голографи-
ческой интерферометрии, теневых фигур — каустик,
термография и др. Освещены новые перспективные области применения
экспериментальной механики для решения задач механики
разрушения, для исследования напряженно-деформированного
состояния конструкций из композиционных материалов, для
дефектоскопии и неразрушающих испытаний, рассмотрены
эффективные экспериментально-расчетные методы, сочетающие
возможности современных экспериментальных методов и
численных методов расчета с применением ЭВМ.
Методы экспериментальной механики успешно развиваются
в нашей стране (в трудах Н. И. Пригоровского, X. К. Абена,
A. Я. Александрова, М. X. Ахметзянова, Г. Л. Хесина, М. Ф. Бок-
штейн, С. Е. Бугаенко, И. И. Бугакова, Г. С. Варданяна,
М. Л.Дайчика, И. X. Костина, О. А. Левина, Л. М. Лобанова,
Б. А. Морозова, В. П. Нетребко, А. К- Прейсса, П. И. Полухина,
B. И. Савченко, Б. И. Тараторина, Г. X. Хуршудова и др.).
Список некоторых основных трудов отечественных ученых в
области экспериментальной механики приведен в конце
предисловия. Ссылки на ряд оригинальных публикаций добавлены в
соответствующих разделах книги.
Настоящая книга представляет значительный интерес для
советских специалистов, поскольку она отражает последние
достижения зарубежных исследователей и направления развития
экспериментальной механики в передовых зарубежных странах.
Среди интересных и важных особенностей следует отметить
широкое использование для автоматизации измерений и
обработки результатов экспериментальных исследований
достижений вычислительной и микропроцессорной техники,
использование цифровой обработки оптических изображений, применение
лазерной и волоконной оптики и др.
Перевод книги выполнили д-р техн. наук Р. И. Непершин
(гл. 1, 16, 18, 21), д-р техн. наук Б. Н. Ушаков (гл. 9, 11, 14, 17,
19, 20), канд. техн. наук В. П. Щепинов (гл. 7, 8, 10),
инженеры П. Н. Колосовский (гл. 5, 6, 12, 15) и А. М. Соколова
(гл. 2—4, 13).
Книга предназначена для широкого круга читателей. Она
представляет несомненный интерес для специалистов,
занимающихся проектированием и отработкой прочности различных
конструкций авиационной и ракетно-космической техники, атомного
и теплового энергомашиностроения, электронной и
транспортной техники и др. Она будет полезна также инженерам, пре-
Предисловие редактора перевода
7
подавателям и студентам высших учебных заведений при
изучении методов экспериментальной механики.
Б. Ушаков
Литература
1. Пригоровский Н. И. Методы и средства определения полей
деформаций и напряжений. — М.: Машиностроение, 1983.
2. Экспериментальные методы исследования деформаций и на-
пряжений./Под ред. Б. С. Касаткина. — Киев: Наукова
думка, 1981.
3. Морозов Б. А. Моделирование и прочность металлургических
машин. — М.: Машиностроение, 1963.
4. Сухарев И. П. Экспериментальные методы исследования
деформаций и прочности. — М.: Машиностроение, 1987.
5. Пригоровский II. И., Прейсс А. К. Исследование
напряжений и жесткости деталей машин на тензометрических
моделях.—М.: АН СССР, 1958.
6. Пригоровский Н. И., Панских В. К. Метод хрупких тензо-
чувствительных покрытий. — М.: Наука, 1978.
7. Прейсс А. К. Определение напряжений в объеме детали по
данным измерений на поверхности. — М.: Наука, 1979.
8. Дайчик М. Л., Пригоровский Н. И., Хуршудов Г. X. Методы
и средства натурной тензометрии. — М.: Машиностроение,
1989.
9. Абен X. К- Интегральная фотоупругость. — Таллинн:
Валгус, 1975.
10. Александров А. Я., Ахметзянов М. X. Поляризационно-опти-
ческие методы механики деформируемого тела. — М.: Наука,
1973.
11. Метод фотоупругости. В 3-х томах./Под ред. Г. Л. Хесина.—
М.: Стройиздат, 1975.
12. Нетребко В. П. Фотоупругость анизотропных тел. — М.:
МГУ, 1988.
13. Ушаков Б. Н., Фролов И. П. Напряжения в композитных
конструкциях. — М.: Машиностроение, 1979.
14. Сухарев И. П., Ушаков Б. Н. Исследование деформаций и
напряжений методом муаровых полос. — М.:
Машиностроение, 1969.
15. Шнейдерович Р. М., Левин О. А. Измерение полей
пластических деформаций методом муара. — М.: Машиностроение,
1972.
16. Сегал В. М., Макушок Е. М., Резников В. И. Исследование
пластического формоизменения металлов методом муара. —
М.: Металлургия, 1974.
8
Предисловие редактора перевода
17. Полухин П. И., Воронцов В. К. и др. Деформации и
напряжения при обработке металлов давлением. — М.:
Металлургия, 1974.
18. Островский Ю. И., Щепинов В. П., Яковлев В. В. Гологра-
фические интерференционные методы измерения
деформаций.—М.: Наука, 1988.
19. Серьезнов А. Н. Измерения при испытании авиационных
конструкций на прочность. — М.: Машиностроение, 1976.
20. Бугаенко С. Е. Моделирование напряжений методом замо^
раживания деформаций. — М.: Энергоатомиздат, 1987.
Посвящается М. Хетеньи
Предисловие
Руководство по экспериментальным методам исследования
напряжений0, опубликованное в 1950 г. под эгидой Общества
экспериментального анализа напряжений (Society for
Experimental Stress Analysis — SESA),b течение более чем 30 лет
было наиболее полным и авторитетным изданием в нашей
области науки. Эта книга включает 18 глав и три приложения,
написанные 31 автором под высококвалифицированным
руководством М. Хетеньи. Книга получила международное признание
и внесла значительный вклад в формирование и развитие
Общества экспериментальной механики (Society for Experimental
Mechanics—SEM)2).
После 1950 г. появились новые экспериментальные методы,
такие, как голография, лазерная спекл-интерферометрия,
геометрический муар, муаровая интерферометрия, оптическая
гетеродинная техника, методы анализа колебаний, которые
значительно расширили область применения экспериментальной
механики. Появление новых материалов и новых разделов науки
(таких, как композитные материалы и механика разрушения)
привело к новому развитию традиционных экспериментальных
методов и созданию новых разделов экспериментальной
механики, таких, как ортотропная фотоупругость и
экспериментальная механика разрушения. Развитие методов
экспериментальной механики вместе с широким использованием
вычислительных машин для автоматизации измерений и обработки
экспериментальных данных, а также комплексное
использование экспериментальных методов и численных методов расчета
значительно расширили возможности и сферу применения
экспериментальной механики по сравнению с 1950 г.
Процесс переработки руководства был начат Г. Бринсоном
во время его президентства в SEM в 1978—1979 годах.
Поскольку М. Хетеньи в то время не смог осуществить переработку
книги, было решено подготовить новое руководство под новой
Handbook on Experimental Stress Analysis, ed. M. Hetenyi, John Wiley,.
N. Y., 1950.
2) Это общество было образовано в 1981 г. на основе SESA. — Прим. ред.
Глава 1
Механическое поведение материалов
С. Атлури1\ А. Кобаяси2)
В настоящей главе приведены сведения из механики
твердого деформируемого геля, более подробно изложенной в ряде
руководств [1—3]. Краткое изложение включает следующие
разделы: 1) элементарные теории механического поведения
материалов (упругость, динамическая упругость, вязкоупругость,
пластичность, вязкопластичность и ползучесть); 2) некоторые
аналитические результаты решения начально-краевых задач
теории упругости; 3) численные методы (конечных разностей,
конечных элементов, граничных элементов и обобщенных
взвешенных невязок); 4) механические свойства материалов; 5)
направления дальнейших иследований.
Используется только система декартовых координат с
базисными векторами e,-(t= 1,2,3). Координаты материальной
частицы до и после деформации обозначаются через xt и yi
соответственно. Градиент деформации ?ц определяется производной
dyi/dxj^yitj. (1.1)
Используя компоненты перемещения Ui = yi—Хи получим
Ри = 6и + Щ.ц (1-2)
где 6*/ — символ Кронекера. Тензор деформаций Грина—Ла-
гранжа гц определяется выражением
e,j = V2 [FhiFhf - 8и] see i/a [uit j + uJt t + uky tuht j]. (1.3)
Если перемещения и их градиенты малы, то уравнение (1.3)
можно записать приближенно в виде
Можно также ввести много других определений
деформации [4, 5].
!> Satya N. Atluri, Georgia Institute of Technology, Atlanta, Georgia
2> Albert S. Kobayashi, University of Washington, Seattle, Washington.
10
Предисловие
редакцией. После рассмотрения предложений руководителей
и членов SEM специальный комитет во главе с Д. Лайгоном
избрал меня в качестве нового редактора. Несмотря на
огромную ответственность в подготовке такого издания, наша задача
была в значительной степени облегчена наличием предыдущего
замечательного руководства М. Хетеньи, а также
многочисленными предложениями, собранными Г. Бринсоном.
Новая книга, имеющая несколько иное название,
посвящается доктору М Хетеньи. Книга содержит 21 главу, написанную
25 авторами, и включает все новые методы и приложения
экспериментальной механики. Основное внимание уделено
изложению физических принципов экспериментальных методов и
«методики проведения эксперимента.
Выражаю благодарность авторам отдельных .глав,
затратившим много труда для выпуска книги в свет, а также Д. Лайго-
ну за помощь при редактировании книги.
Л. Кобаяси
12
Глава 1
Выделим в деформированном теле элементарную площадку
da с направляющими косинусами т единичной внешней нормали
к этой площадке. Если на эту площадку действует
элементарная сила dfi, то тензор «истинных напряжений», или
«напряжений Коши», определяется соотношением
dfi = {da)ns%3i. (1.5)
Таким образом, хц представляет собой напряжение,
действующее на единицу площади в деформированном теле. Тензор
«номинальных напряжений» (или транспонированный тензор
напряжений Пиолы — Кирхгофа первого рода) Uf и «тензор
напряжений Пиолы — Кирхгофа второго рода» S*/ определяются
соотношениями
dfi = (dA)Njtn (1.6)
= {dA)NjSjkyi,k, (1.7)
где (dA)Nj — отображение в недеформированном теле
ориентированной площадки (da)nf9 выделенной в деформированном
теле. Заметим, что как t\u так и S// представляют собой
напряжения, действующие на единицу площади в недеформированном
теле, причем t\i — несимметричный тензор [4, 5]. Следует также
отметить, что можно ввести много других определений тензоров
напряжений [4, 5].
Из геометрической теории деформаций [6] следует
соотношение
(da) nj = (/) (dA) Nk (dzkfdys), (1.8)
где
j = A>ldV = pJp. (1.9)
В последнем соотношении dv — элементарный объем,
выделенный в деформированном теле, dV — отображение этого объема
в недеформированное тело, р0 и р — плотности недеформиро-
ванного и деформированного тел соответственно. Из
уравнений (1.5) — (1.9) следует
tu = J {dxt/dyk) %kj, Su= J (дхг/дут) rmn (дх0уп). (1.10)
Другой используемый в приложениях тензор напряжений — так
называемый тензор Кирхгофа сц9 определяемый соотношением
Ou^Jtu- (1-И)
При малых перемещениях и их градиентах /«1, dXildyk^bik
и т. д. В этом случае различия между всеми тензорами
напряжений, как правило, исчезают. Поэтому в теории малых
деформаций можно рассматривать один тензор напряжений сц.
Механическое поведение материалов
13
1.1. Элементарные теории механического поведения материалов
Математическое описание поведения твердых
деформируемых тел — одна из наиболее сложных задач механики. Как
правило, поведение реального материала трудно описать
математически. Рассмотренные ниже теории следует рассматривать
просто как идеализацию реального поведения материала при
определенных условиях нагружения и параметрах окружающей
среды1).
Упругость
При этой идеализации поведения материала основное
предположение состоит в том, что напряжение является однозначной
функцией деформации и не зависит от истории
деформирования. Для такого материала можно также определить потенциал
напряжений W, зависящий от деформации в виде функции
плотности энергии деформации. Обычно W определяют для
единицы объема недеформированного тела [4]. В общем случае
конечных деформаций различные тензоры напряжений
связываются с производными W относительно различных
деформаций, называемых сопряженными. Можно показать [4], что
tu = dWldFiu Si?=dW/dEU. (1.12)
Отметим, что при конечных деформациях тензор напряжений
Коши не имеет простого сопряженного тензора деформаций.
Если W не зависит от координат материальной частицы (в неде-
формированном теле), то такой материал называется
однородным. Материал называется изотропным, если W зависит только
от основных инвариантов тензора е//, которые можно записать
в виде
/4 = 3 + 2ekhJ J2 = 3 + 4еш + 2 (ekkemm — skmekm),
/3 = det 16mn + 2&mn | = 1 + 2ekk + 2 {skkEmm — Ekmekm) +
+ 4/3 emersteirEjsEkt. (1.13)
где величины ець равны +1, если индексы (ijk) принимают
значения (12 3) при круговой перестановке, —1 при обратной
круговой перестановке и 0, если два индекса имеют одинаковое
значение. Иногда также применяют инварианты /ь /2, /з,
определяемые выражениями
/1 = (/1-3)1 + /3 = (/3-/2 + /1-1). (1-14)
!> Уравнения состояния разных деформируемых тел и сред рассмотрены
также в работах [77—83]. — Прим. ред.
14
Глава 1
Можно показать, что для изотропного материала тензор
напряжений Кирхгофа равен производной W по некоторой
логарифмической деформации [4]. Кроме того, при разложении
градиента деформации Fa на чистые удлинение и вращение [4, 6]
можно получить некоторые другие полезные тензоры
напряжений, например тензоры Био — Лурье, Яумана и т.д. [4].
Поведение изотропного нелинейно-упругого материала при
конечных деформациях можно описать функцией W в виде
W= 5 ^„(Л-зпа-зп/з-!)'. С000 = 0. (1.15)
г, s, *=0
При конечных деформациях относительное изменение объема
dv/dVt обусловленное деформацией, равно инварианту /3.
Поэтому для несжимаемых материалов /з = 1. Для несжимаемых
материалов напряжение определяется через деформацию только
с точностью до скалярной функции, называемой
гидростатическим давлением. Для таких материалов можно определить
«модифицированную» энергию деформации (скажем IF), причем
условие несжимаемости /з=1 вводится в виде ограничения с
помощью множителя Лагранжа р: .
Ж = \¥(га) + р(13-1). (1.16)
Отсюда
tu = dWldFH+pdIJdFH, Sa^dWIdEa + pdljdei,. (1.17)
Для изотропных несжимаемых упругих материалов
Wl{bu) = W(Iit '2). (1.18)
Из уравнений (1.17) и (1.18), например, следует
Su = 2 (dW/dlJ 8U + 4 [6„ (1 + гтт) - 8im8jnemn] (dWW2) +
+ Р [Su (1 + 2етете) — 28im8jn8mn + 2eimnejr,smrensl (1.19)
Широко известна форма потенциала (1.18), предложенная
Муни [7]:
W(Iit h) = Ci(Ii-3) + C2(I2-3). (1.20)
До сих пор мы рассматривали изотропные материалы. В общем
случае для однородного тела можно написать
W == ^ifiij н~ v2^ijmn^ifimn 4" 3^ijmnrs^ij^mn^rs "4" • • • • (1 -21)
Для удобства используем сопряженные тензоры напряжений Sij
и деформаций гц. Так как оба тензора симметричны,
справедливы соотношения
^ Ejii Fijmn = Ejinm = Еijnm — Етпи,
Eijmnrs ~ Ejimnrs = ^ijnmrs = ^ijmncr ~ • • • ~ ^rsijmn ~ • • • ■ (1.22)
Механическое поведение материалов
15
Таким образом,
Sij==zEij-{-E ijmnSmn + Е ijmnrsemn&rs + • • • • (1 -23)
Рассмотрим случай малых деформаций, когда е*/« (1/2) [т,,+
+ u/,i]. В этом случае различия в определениях различных
тензоров напряжений исчезают и можно говорить об одном
тензоре напряжений оц. Таким образом, уравнение (1.23) можно
записать в виде
°ц — Еtj + Ецтпгтп -f- Eijmnrs&mn&rs + ... . (1.24)
Если для рассматриваемых значений деформаций справедлива
линейная аппроксимация уравнения (1.24), то такой материал
называют линейно-упругим. Для этого материала
°и = Еи + Eijmnemn. (1.25)
Напряжения Ец при отсутствии деформаций (е// = 0) обычно
обусловлены изменениями температуры по сравнению с
начальным состоянием материала. Простейшее предположение,
принимаемое в задачах термоупругости, имеет вид Ец = —Р*/АГ, где
АГ = Г—Г0 — приращение температуры по сравнению с
начальным значением Го.
В случае анизотропного линейно-упругого тела вследствие
симметрии тензора напряжений и деформаций вуравнения (1.23)
входят 21 независимая упругая постоянная Ецы и шесть
констант fy/. Из уравнений (1.13) — (1.15) видно, что в случае
изотропного линейно-упругого материала число независимых
упругих постоянных Eijki уменьшается до двух, а число
независимых констант {$,-/— до одной. Таким образом, для изотропного
упругого материала получаем
ей = tehifiu + 2№и - Рд nt л (1 -26а)
где % и \i — параметры Ляме, которые связаны с модулем
упругости Е и коэффициентом Пуассона v соотношениями:
X = Ev/[(1 + v) (1 — 2v)], ii = Е/[2 (1 + v)J.
Модуль объемного сжатия К определяется выражением К=
= (ЗХ+2(х)/3. Решая уравнения (1.26а) относительно
деформаций, получаем
ги= -(v/E) отш8а + [(1+у)/Е]ои + а№8а, (1.266)
где константы р и а связаны соотношением
P = tfa/(l-2v) (1.26в)
и а — коэффициент теплового расширения.
16
Глава 1
1—v2
1-v2
Если перемещения удовлетворяют условиям иа=иа{х$) (а,
Р=1, 2) и «з = 0, то тело находится в состоянии плоской
деформации; при этом 8з£=0 (/=1,2,3). При плоской деформации
(°и - т^Г °™) + а (1 + v) АГ' (1-27а)
е22 = "^g— (^22 - сти) + а (1 + v) АГ, (1.276)
ei2 = [(l+v)/£]aiat a^v^ + ^-c^Ar. (1.27в), (1.27г)
Если напряжения удовлетворяют условиям a3fe = 0 (fc=l, 2, 3),,
то тело находится в плоском напряженном состоянии. В этом
случае
еи = (НЕ) (au~va22) + ссДГ, (1.28а)
822= (1/Я) (a^-va^ + aAT7, (1.286)
e12 = [(l + v)/£]a12, 833=-(v/£)(a11 + a22) + aAT. (1.28в), (1.28г)
Заметим, что в уравнениях (1.27в) и (1.28в) величина 812 —
компонента тензора деформаций. Иногда на практике
используют компоненту технической деформации 712 = 2812. Отметим
также, что в случае линейно-упругого материала плотность
энергии деформации W определяется выражением
1 1
W=Y^ifiu = -у (aii8ii + a22822 + азз8зз + 2e12a12 + 2813a13 +
+ 2823a23) = — (a11811+aaa82a+as3833+Yi2ofi2+V23or23+Vi3^is)- C1-29)
Из соотношений (1.266) следует, что для изотропного линейно-
упругого материала
ekk = [(1 - 2v)/E] omm + ЗаД Г = omm/{3K) + ЗаД Г. (1.30)
Для несжимаемого материала модуль объемного сжатия К—
(или v->l/2); из (1.30) видно, что е^-^ЗаДГ и не зависит от
среднего напряжения. Заметим также, что при v-»-l/2 из
уравнения (1.26в) следует р—^оо. Для такого материала среднее
напряжение не определяется только деформацией. В этом
случае уравнение (1.26а) заменяется на
(У и = — Р&и + 2[ле-,- (1.31а)
с ограничением
8ftft = 3aA7\ (1.316)
где р — гидростатическое давление и е'ц — девиатор
деформаций. Отметим, что для несжимаемого линейно-упругого мате-
Механическое поведение материалов 17"
риала плотность энергии деформации характеризуется
соотношением
W= [ieiieii-Р (skk-3akT), (1.32>
где p играет роль множителя Лагранжа, обеспечивающего
выполнимость уравнения (1.316).
Вязкоупругость
Линейно-упругий материал — это такой материал, который
«помнит» только свое недеформированное состояние.
Деформированное состояние тела из вязкоупругого материала — функция-
всей истории пагружения, а его напряженное состояние —
функция всей истории деформирования- Для линейного
вязкоупругого материала по самому его определению указанные выше
«наследственные» соотношения выражаются линейными
интегральными операторами, которые для малых деформаций имеют
вид
t
ец(*) = *н1ф+)Ет1«)+\ Eijkl(t-r)-^Ldx, (1.33а)
о
t
= Eim{0+)*hi(t)+ \ Ehl(t-x)^-dr. (1.33б>
о
В этих выражениях принимается, что при /<0 имеют место
равенства оы = гы=0 и что Sif{t) и Eifki(t) —кусочно-непрерывные
функции. Величину Eijki(t) называют тензором релаксации.
Обратные зависимости (для деформаций) имеют вид
t
Щ (t) = ahl (0+) Ctm {t) + J Cim (t - t) igL dr, (1.34)
0
где Сны (0 — тензор податливостей при ползучести.
Для изотропных линейно-вязкоупругих материалов
Etm (*) = [х (t) [8ih8ii + 6„6, fc] + Я (t) 6, Ai. (1.35)
где |i (t) — модуль сдвиговой релаксации и B(t) = [ЗА, (t) +
+ 2\i(t)]/3 — модуль объемной релаксации. Часто принимают,,
что B(t) не зависит от времени, считая, таким образом, что
в материале происходит чисто упругое изменение объема.
Определение коэффициента Пуассона для вязкоупругого тела
является несколько неясным. Пусть, например, в испытании на
одноосное растяжение известны напряжение он, продольная
деформация 8ц и поперечная деформация 822. Для ползучести
2—1480
18
Глава 1
при постоянном напряжении коэффициент поперечного сжатия
yc{t) равен —822(0/8н (О- Для релаксации при постоянной
деформации vh(0=—822(0/811- Модуль объемного сжатия можно
записать в виде
В (t) = 2(i (0 [1 + vR (t)]/[l - 2vR (t)].
Часто удобно принять vr постоянным, откуда следует, что B(t)
совпадает с \i(t) с точностью до постоянного множителя. В
таком случае говорят, что материал имеет постоянный
коэффициент Пуассона.
Для уравнений (1.33) и (1.34) преобразование Лапласа
имеет вид
Vij{p) = pEim(P)4i(p), fyj(p) = pCim(p)ohl(p), (1.36а), (1.366)
где черта над буквой обозначает преобразование Лапласа и р —
переменная Лапласа. Из уравнений (1.36а) и (1.366) следует
P2EimChlmn = 8im8nj. (1.37)
Обычно бывает удобно представить модули релаксации \i (t) и
В (t) в виде рядов
м м
^(*) = ^о + 2 Н™ехр(—amt)f B(t)=B0+ 2 Ятоехр( —pmf).
т=1 7п=1
Пластичность
Большинство конструкционных металлов обнаруживает
упругое поведение только при очень малых значениях
деформации, при превышении которых происходит пластическое
течение материалов. В процессе пластического течения
мгновенные «касательные» модули материала уменьшаются по
сравнению со значениями, которые они имели в предыдущем упругом
состоянии. Такие материалы обычно называют упругопластиче-
скими. При их испытаниях наблюдаются такие явления, как
эффект Баушингера (часто образец, первоначально
нагруженный растяжением, при последующем сжатии течет при
существенно меньшем значении напряжения), циклическое
упрочнение1* и др. Для учета некоторых или всех этих наблюдаемых
явлений применяют упругопластические определяющие
уравнения различного уровня сложности. Здесь приведен довольно
краткий обзор литературы, посвященный этой теме.
*> когда образец подвергается циклическому деформированию от —6 до
+е, напряжение при одном и том же значении деформации растяжения е до
начала разгрузки монотонно возрастает с увеличением числа циклов и
постепенно стремится к предельному значению
20
Глава 1
лриращения деформации на упругую и пластическую части
(с1гц = с1гец+(1гРц).
Упругое (без увеличения пластической деформации) и
пластическое (с увеличением пластической деформации) состояния
.материала определяются следующим образом [9]:
упругое состояние:
/<0 или / = 0 и {df/dau)dau^0; (1.43)
пластическое состояние:
Ни (0//3a„)da„>O. (1.44)
Закон течения для упрочняющихся материалов, вытекающий из
рассмотрения работы напряжений при циклическом процессе
«нагружения и устойчивости процесса (часто называемый
постулатом Друкера [12]), определяется выражением
de^ = dX{df/dou). (1.45)
Скалярный множитель dX определяют по так называемому
условию совместности df = 0 при пластическом нагружении.
Используя инвариант /2 при изотропном упрочнении, для которого
функция текучести f определяется по уравнению (1.38), из
указанного условия совместности получаем
где Н'—тангенс угла наклона касательной к кривой
зависимости напряжения от пластической деформации при одноосном
растяжении (или, более точно, тангенс угла наклона
касательной к кривой зависимости истинного напряжения от
логарифмической деформации при чистом растяжении). С другой
стороны, для закона линейного кинематического упрочнения Прагера,
определяемого уравнениями (1.40) и (1.41), условие
совместности приводит к соотношению
de?j = [3/(2ca2)] [{о'тп ~~а'тп) damn] (a^ — ay). (1.47)
Для пластически несжимаемого материала законы
напряжение— деформация можно написать в виде
d<ymm = @k + 2li)dzmmf Ат^ = 2|1(Лу-сге&). (1.48а), (1.486)
Выбирая параметр а таким образом, чтобы имели место
равенства а=1 при dspij=7^0 и ос=0 при ds2\-j=0, получаем
ДгЬ-гр (deb-4ab-^=|^a) (1.49)
Механическое поведение материалов
19
В большинстве теорий пластичности металлов
предполагается, что пластические деформации по своей природе
полностью обусловлены формоизменением и что изменение объема
материала происходит чисто упруго. Принимается, что предел
упругости материала определяется условием текучести, которое
является функцией напряжений или деформаций (чаще всего
принимают зависимость от напряжений). Так как по
предположению пластическая деформация не зависит от
гидростатического давления, обычно принимают, что условие текучести
зависит от девиатора напряжений о'ц = вц—(l/3)ommfii/. Обычна
используют условия текучести Мизеса
/(^) = /а —Л2=0, J2 = ~o'ijo'ij (1.38)
и Треска
/ (Oil) = [(*! - *2)2 - ^\ кот. - сг3)2 -
_ 4Д2] ц01 _ аз)2_ 4Й2] = о. (1.39)
В уравнениях (1.38) и (1.39) k может быть функцией
пластической деформации. В этих уравнениях в ^течение всего процесса
деформирования напряжения текучести при растяжении и
сжатии считаются равными между собой, что соответствует
изотропному упрочнению. При этом поверхность текучести
расширяется в пространстве напряжений, а ее центр остается
неподвижным. Величина k связана с экспериментальными данными
следующим образом: 1) по условию (1.38) & = о/УЗ, где о —
напряжение текучести при одноосном растяжении, которое может
быть функцией пластической деформации для упрочняющихся
материалов, или &=т/У2, где т — напряжение текучести при
чистом сдвиге; 2) по условию (1.39) k = o/2 или k=x.
Экспериментальные данные, по-видимому, лучше согласуются с
условием Мизеса [8, 9].
Для учета эффекта Баушингера поверхность текучести
можно представить в виде
/ (ац — «и) = 0= Ч2 {o'ij — a'ij) {о\5 — а'ц) — V3a2 = 0, (1.40)
где а'ц представляет координаты центра поверхности текучести
в пространстве девиатора напряжений. Эволюционные
уравнения для ац> предложенные Прагером [10] и Циглером [11],
соответственно имеют вид
da\5 = cdzvih dau = d\i(Gu — a.u). (1.41), (1.42)
В приведенных выше формулах штрихом обозначена девиатор-
ная часть тензора второго ранга и использовано разложение
2*
22
Глава 1
зависимостей для кинематического упрочнения. В случае
плоской деформации rf83«=0 при п— 1,2,3. С учетом этого условия
в уравнении (1.53) имеем
**а|3 = [2|i6ae6pv + ^ai^ov— 2^i (2я/^ j-a aapaev] de0v, (1.55>
^a33 = Arf8ee —2fx —^ - or^aev &8v (а> P. О, v=l, 2). (1.56)
(2# +6^) а2
Отметим, что в случае плоской деформации напряжение озз»
получаемое интегрированием из уравнения (1.56), входит в
условие текучести. В случае плоского напряженного состояния
зависимости между напряжениями и деформациями
получаются более сложными.
При плоском напряженном состоянии приращение полной
деформации представим в виде суммы упругой и пластической
частей (tf8ap = ^8eap+depaP) и, используя соотношения (1.266)
для упругости и (1.46) для пластичности, получим
deaP = Ж&р + degp = ( daa(3 — -щ-^- daee6a3) + de£p = (1.57)
Уравнение (1.58) можно решить относительно daaP, получая
зависимость приращения напряжений от приращения деформаций.
При этом можно получить для уравнения (1.58) обратную
матрицу размерности 3x3, приводящую к решению [15]
fqr^ ва12 ^a812*
cto22 - (- o[xa22 + 2vP) &41 + [(a;,)2 + 2P] йе22 -
где
P = (2tf'/9#fa2 + aj2/(l + v), <? = Л + 2 (1 - v2) P% (1.59)
Я = а[1 + 2vo'11of22 + o'222. (1.60
Механическое поведение материалов
21
для изотропного упрочнения и
da\5 = 2fx {de'v — [3/(2са2)] (o'mn—a'mn) damn (a\5—а^) a] (1.50)
для линейного кинематического упрочнения по Прагеру.
Умножая обе части уравнения (1.49) на тензор с'// и пользуясь
тождеством о'mndGmn=G'mndti'mn (по определению), получим
do\5o\5 = 2(ut {cfeb-aii—Г3а/(2Я')1 о^» da'nn) (1.51а)
или
^йа^ = [2^Я7(Я' + 3^)]^(т-; при а=1. (1.516)
Подставляя (1.516) в (1.49), получаем
da-j- = 2\х[de^- — 2ji ——^—~а\ртп dEmn^. (1.52)
Затем из уравнений (1.48а) и (1.52) получаем упругопластиче-
ское определяющее уравнение в дифференциальной форме для
изотропного упрочнения материала:
dau = [2ii8im8fn + 18и8тп — 2[х (2Я^е^-2 *Ь<т]^етп, (1.53)
где использовано тождество c'mnde'mn=e'mndBmn. Аналогично,
умножая обе части уравнения (1.50) на тензор а'//—ац и
выполняя такие же преобразования, как в уравнениях (1.51) —
(1.53), получаем упругопластическое определяющее уравнение
в дифференциальной форме для кинематического упрочнения:
rdau = [2|iSfm6in + Щ]6тп —
— 2\i 3^ Vb'—ах) (о'тп — a'mn)\ demn. (1.54)
Отметим, что все приведенные выше формулы относятся только
к случаю малых деформаций и малого формоизменения тела.
Рассмотрение теории пластичности при больших (конечных)
деформациях1* выходит за рамки настоящей работы. При этом
важное значение имеют зависимости между напряжениями
и деформациями при конечных деформациях [5, 13, 14].
Теперь кратко рассмотрим зависимости между
напряжениями и деформациями для упругопластического тела с
изотропным упрочнением при плоской деформации и плоским
напряженном состоянии, предоставляя читателю вывод аналогичных
1> Если текущие значения касательных модулей для зависимости
напряжение— деформация имеют тот же порядок, что и текущее напряжение, то
и в теории пластичности с малыми деформациями вместо материальной
скорости изменения напряжений йоц в уравнении (1.54) следует пользоваться
фактической скоростью изменения напряжений.
Механическое поведение материалов
23
Как указано выше, рассмотренная классическая теория
пластичности имеет ряд ограничений. В настоящее время
проводятся интенсивные исследования с целью построения более
совершенных моделей для циклической пластичности и других
условий пластического деформирования. К наиболее значительным
направлениям современных исследований в этой области
относятся модели пластичности с несколькими предельными
поверхностями, эндохронные теории, теории внутренних переменных
(см., например, работы [16—18])
Вязкопластичность и ползучесть
Вязкопластическое гело подобно вязкой жидкости, но в
отличие от нее оно может передавать касательные напряжения
и в состоянии покоя; однако когда напряжения достигают
критических значений, определяемых условием текучести,
начинается пластическое течение материала. Рассмотрим, например,
нагружение чистым сдвигом при единственном отличном от нуля
напряжении 012. Ограничиваясь случаем малых деформаций,
примем скорость деформации сдвига 812 равной de^/dt.
До тех пор пока напряжение Си не достигнет значения
напряжения текучести материала ky 812=0. В простейшей модели
вязкопластического материала принимают, что если |oi2|>&,
то 812 пропорционально разности |oi2| —k и имеет знак,
совпадающий со знаком di2. Таким образом, введя для
рассматриваемой одномерной задачи функцию F1:
pi=\oi2\/k-l, (1.61)
вязкопластическое поведение материала можно описать
уравнением
2г)812 = /с(Л>а12, (1.62)
где г) — коэффициент вязкости, а характеристическая функция
<Fl> определяется условиями
<jpi> = 0, если 1^<0, {Fi) = F\ если F*>0. (1.63)
Приведенное выше соотношение для чистого сдвига предложено
Бингемом [19]. Обобщение этого соотношения на случай
трехмерного напряженного состояния с использованием равенства
/=0212, справедливого при чистом сдвиге, было дано Гогенем-
зером и Прагером [20]:
2г{е% = 2k (F) (dF/dou), (1.64а)
где
F = jlf2/k-1 = {Gvo'ijtty/yk- 1 (1.646)
24
Глава 1
и характеристическая функция <F> определяется так же, как
функция <Fl>.
При малых деформациях упруго-вязкопластического тела
скорость полной деформации можно представить в виде суммы
упругой и вязкопластической частей
ец-й + вЕ (1.65)
и записать соотношение между скоростями напряжений и
деформаций в виде
*u = Etm(*n-*S)* (1-66)
где ЕцЫ — мгновенные упругие модули. Заметим, что в
уравнении (1.64а) вязкопластические деформации являются чиста
девиаторными, так как dF/dGij = Gfij/2— девиатор напряжений.
Поэтому для изотропного тела уравнение (1.66) заменяется
двумя соотношениями:
<W = (3^ + 2^)8mm, а^ = 211(г\~^). (1.67а), (1.676)
С другой стороны, хорошо известно, что при одноосном
растяжении металлов при повышенных температурах с постоянным
напряжением, значение которого даже не превышает обычнога
предела упругости, деформация образца изменяется с течением
времени. Чаще всего на основе обширных экспериментальных
данных [21] для деформации ползучести в испытаниях на
одноосное растяжение при постоянном напряжении принимают
следующую зависимость:
zc = Aontm, (1.68)
где о — напряжение одноосного растяжения и t — время. Отсюда
скорость деформации ползучести можно записать в виде
8с = /(а, t) = mAontn-i (1.69a)
или
. 1-1/m
Ec = g(o, гс) = тА-°п/т*с . (1.696)
Уравнение (1.69а) часто называют законом временного
упрочнения, а (1.696)—законом деформационного упрочнения.
Интегрирование уравнений (1.69а) и (1.696) при изменении
напряжения в зависимости от времени не обязательно дает
одинаковые результаты по той причине, что уравнения (1.68), (1.69а)
и (1.696) справедливы только при постоянном напряжении.
При переменных напряжениях закон деформационного
упрочнения обычно приводит к лучшему соответствию расчета с
экспериментом.
26
Глава 1
Интересный обобщенный закон течения, учитывающий вязко-
пластичность, пластичность и ползучесть материала, предложен
в работе [22]. В случае многоосного нагружения ее автор
предложил следующую зависимость для скорости неупругой
деформации:
гЪ = А(^(1))(дд/даи), (1.77)
где А — параметр текучести, индекс а обозначает скорость
неупругой деформации и f — функция нагружения, которая
определяется по аналогии с теорией пластичности:
f(au, к) = у(аа)-к = 0, (1.78)
q — вязкопластический потенциал, зависящий от
напряжений:
q=q{ou) (i.79>
и <t|)(f)> — характеристическая функция, определяемая
следующим образом:
{О, если /<С0;
*</>,если/>0. (1'80>
Если q=f, то получаем так называемый ассоциированный
закон течения; если q=£fy получаем неассоциированный закон
течения. Пежина [22] предложил весьма общую форму для я[):
Ф(Л = Л (1.81а)
где
/ = (s/2ai^i;)1/2 - a = aeg - a. (1.816)
Легко проверить, что при о=0 и q = f определяемая по
уравнению (1.77) скорость eaij переходит в скорость деформации
ползучести ecijy определяемую уравнением (1.74).
Задавая величине а конкретное значение и принимая q = fy
из уравнения (1.77) с использованием (1.816) получаем
г^ = 3/2А {oeq — o)noyoeq при />0 (или aeg>a). (1.82)
Скорость эквивалентной неупругой деформации можно записать
в виде
eSz = (VMMiY'2 = А iPeq ~ о)п (1 -83а)
или
aeQ-a=(e?eM)1/n. (1.836)
Следовательно, для стационарного решения по представленной
модели неупругого поведения материала (при гаед—►О) следует,.
Механическое поведение материалов
25
При исследовании стационарной стадии ползучести,
продолжающейся в течение длительного времени, принимают, что
скорость деформации ползучести при одноосном нагружении
обычно выражается формулой
ес = /К Т), (1.70)
где Т — температура. Предполагая влияние а и Г разделимым,
зависимость (1.70) обычно записывают в виде
ес = Л(а)х/2(Л (1.71а)
= Лапх/а(Г)=Я<Л (1.716)
где В — функция температуры.
Деформации ползучести на стационарной стадии
обусловлены главным образом пластическими деформациями материала
и обычно происходят без изменения объема. Поэтому в случае
многоосного пагружения гсц является девиаторным тензором.
Уравнение (1.71) можно обобщить на случай многоосного на-
гружения следующим образом:
еесд = Яст?д, (1.72)
где индекс eq обозначает эквивалентную величину,
определяемую по аналогии с теорией пластичности по формулам
оед^(%о1^у/\ 4= (2/3е*Я/)1/2, (1.73)
так что справедливо равенство Geqbceq=o'цгсц. Поэтому из (1.72)
следует
гЬ = зиВ(аеяГ^а^ (1.74)
Для тела, обладающего свойствами упругости и ползучести, как
и выше, можно написать
• • •
ьи = &Ь + *Ъ (!-75)
и также получить соотношение между скоростями напряжений
и деформаций
о и = Ei jkl — 8у). (1.76)
В этом выражении предполагается, что уровень приложенного
напряжения таков, что предел упругости материала не
превышается. Если приложенные нагрузки возрастают до значений,
при которых превышается предел текучести материала, то
необходимо учитывать пластические и вязкопластические
деформации.
Механическое поведение материалов
27
что Geq—Hi, т.е. получаем классическое решение теории
пластичности без учета вязкости. Это обстоятельство
использовалось в работе [23] при получении решений по классической
теории пластичности, не учитывающей зависимость поведения
материала от скорости деформаций, с использованием
обобщенной модели (1.77). Другой путь получения невязкого
пластического решения по модели Пежины состоит в том, чтобы го-
ложить А—>оо. Такой подход был численно реализован в
работе [24].
Кроме того, как видно из уравнения (1.836), oeq или
соответствующий размер поверхности текучести определяется
изотропным упрочнением, которое характеризуется зависимостью о от
вязкопластической работы, и зависимостью от скорости
деформации, характеризующейся членом (б%)1/п. Таким образом,
задачи пластического течения с учетом зависимости поведения
материала от скорости деформации также можно исследовать
с помощью модели Пежины [22].
Следовательно, при надлежащих модификациях общее
соотношение, выражаемое уравнением (1.77), можно использовать
для моделирования ползучести и пластичности как с учетом
зависимости поведения материала от скорости деформации, так
и без него. Применяя линейную комбинацию скоростей
деформаций, рассчитанных для указанных моделей поведения
материала, можно моделировать сложное поведение, включающее
ползучесть, пластичность и вязкопластичность. Однако такая
модель является в некоторой степени формальной и не
приводит ни к каким физическим представлениям проблемы
взаимного влияния ползучести, пластичности и вязкопластичности.
Моделированию таких взаимодействий посвящено большое число
проводимых в настоящее время исследований.
1.2. Начальные и краевые задачи теории упругости
Основные уравнения
При конечных деформациях и нелинейности механического
поведения материала уравнения, описывающие движение
твердого тела, могут оказаться довольно сложными. Если
определяющее уравнение модели материала имеет дифференциальную
форму, как в теориях пластичности, вязкопластичности и т.д.,
то часто оказывается удобным выразить уравнения,
характеризующие поля напряжений, деформаций и перемещений также
в дифференциальной форме. С другой стороны, если
напряжение— однозначная функция деформации, как в случае
нелинейной упругости, то уравнение поля можно записать в конечной
форме. В общем случае, когда применяют численные процедуры
28
Глава 1
решения начальных и краевых задач для тел произвольной
формы, обычно бывает удобно записать уравнение поля в
дифференциальной форме для произвольных деформаций и общих
определяющих уравнений. При этом возможно большое число
эквивалентных, но различных по форме уравнений, так как
можно использовать 1) различные тензоры напряжений и
деформаций, 2) различные выражения для скоростей напряжений
и деформаций и 3) различные системы координат, например»
для начальной недеформируемой формы тела (полные лагран-
жевы координаты), для деформированного тела в текущий
момент времени (текущие лагранжевы координаты) или для
любой другой промежуточной формы тела. Подробное
обсуждение этого вопроса можно найти в работах [4, 5]. Каждая
форма основных уравнений может иметь преимущества при
решении конкретных задач.
Обсуждение указанных выше различных форм основных
уравнений поля не входит в задачу данной книги. Напишем
уравнения, описывающие поля напряжений, деформаций и
перемещений при конечных деформациях нелинейно-упругого
твердого тела. Для этого обозначим через х-ь декартовы
координаты материальной частицы в недеформированном теле.
Пусть Uk(xi)—произвольное перемещение материальной точки
при переходе от недеформированной к деформированной
конфигурации тела. Обозначим через S// тензор напряжений Пиолы —
Кирхгофа второго рода при конечных деформациях тела. Пусть
напряжения St; относятся к единице площади в
недеформированном теле. Обозначим через гц тензор деформаций Грина —
Лагранжа, сопряженный с тензором напряжений Sij [4].
Введем обозначения: ро — плотность недеформированного тела; bi —
объемные силы на единицу массы; ti — поверхностные силы,
отнесенные к единице площади недеформированного тела и
заданные на поверхности St недеформированного тела; йг-—
перемещения, заданные на поверхности Su. Тогда основные
уравнения имеют вид [4]:
уравнение количества движения
[Sik (fyfe + ии h)]ti + p0bj = p0uj,
(1.84)
уравнение моментов количества движения
соотношение между деформациями и перемещениями
(1.85)
(1.86)
определяющие уравнения
Su = dW/deUl
(1.87)
Механическое поведение материалов
29
граничные условия для сил
ntSth (6Jh + ии k) в tj на Su (1.88)
граничные условия для перемещений
щ = щ на Su. (1.89)
В приведенных выражениях индекс k обозначает производную
по координате d/dxk, и— вторую производную по времени
d2u/dt2, m — компоненты единичной нормали на St и W —
плотность энергии деформации, отнесенную к единице объема в
недеформированном теле.
В случае малых деформаций и малых изменений
конфигурации тела различия между разными определениями тензоров
напряжений и деформаций исчезают. И если ограничиться
рассмотрением только линейно-упругого тела, то приведенные выше
уравнения упрощаются и принимают следующий вид:
• •
Ju^VAvuj + Uj.ih (1.90), (1.91), (1.92)
°и:=ЕшРы* niau==ij Ha su
щ = щ на Su (1.93), (1.94), (1.95)
с начальными условиями
M*ft» 0) = ut{xh), Ui(xk, 0) = ut\xh) при f = 0. (1.96)
Некоторые аналитические результаты
Здесь мы приводим некоторые классические аналитические
решения линейной начально-краевой задачи, характеризуемой
уравнениями (1.90) — (1.96) для частных случаев, которые
представляют практический интерес и часто используются при
обработке экспериментальных данных1).
Решения для сосредоточенных нагрузок. Рассмотрим
трехмерное линейно-упругое однородное и изотропное
неограниченное тело, на которое действует сосредоточенная нагрузка в
направлении координатной оси / (или вдоль единичного
вектора £/) в точке с координатами Тогда решение для переме-
]) Решения ряда других задач можно найти в работах [84, 85]. — Прим*
ред.
30
Глава 1
щения в направлении оси i в точке тела с координатами хту
обозначаемое через Uij(xm), определяется выражением [25]
Щ1 (*m. lm) = 16я,д_у) Т [(3 - 4v) 6„ +
] , (1.97а)
где
r2 = (*m-u(*m-u- (1-976)
Аналогично компонента усилия ti, действующего на
ориентированную площадку в точке хт с единичной нормалью nk, которая
задается единичной силой, приложенной в направлении оси j
в точке gm, определяется выражением
hi (Хт, 1т) = 8л ^"iv) ^ {^—^~ lnJ (Xi ~ Ь) - ni (Xj - Ш +
+ щ [- + (1 _2v) в|j} . (1.98)
Отметим, что приведенное выше решение в точке хт в случае
действия единичной силы, приложенной в точке \т в
направлении оси /, характеризуется математически как сингулярная
объемная сила:
Fs{xm)^b{xm-lm)eh (1.99)
При плоской деформации в неограниченной области
аналогично получаем соответствующее двумерное решение для
перемещения иа(х$) при приложении сосредоточенной нагрузки
в направлении оси \х в точке £э:
^л*э) = 6(*е-бэк, (1.100)
U« = ^ 8^(l-v) {(3 ~ 4V) б^ 1П Г -
_ (^а-ы(%-ы| + congt? (1 лш)
где г2 — (х$ — £[з)(#|з — 5,з)« Соответствующее усилие, действующее
на ориентированной площадке с единичной нормалью па в точке
д;р, определяется выражением
(%) = 4зх (1!_v) г2 {(1 - 2v) Им («о - la) — П* (*|. ~ У +
+ (Хо-Ъо) Па] [(1 - 2v) ба, + 2^-Ь»Н^-Ь) ]| (1 102)
Решение для плоского напряженного состояния получаем путем
замены v на v=v/(l+v).
Механическое поведение материалов
31
Представляет интерес гакже задача о действии нормальной
сосредоточенной силы, приложенной в начале системы
координат на горизонтальной плоскости полуограниченного тела,
решение которой получено Буссинэ [26]:
р3 = цхт)е3, агг = 1^5-[-^-+ (1д|У ] . (1.103), (1.104>
1 —2v / хч r \ Зх§
/ х3 и \
=r-W' (1Л05)' (1Л06>
где r2 = (xi2-\-x22) и 7?2 = г2+*з2. Решение соответствующей
задачи для сосредоточенной касательной силы, приложенной к
полупространству, получено Керутти и приведено в книге Ля-
ва [27].
Решения около отверстий, пор и включений. Рассмотрим
плоскую задачу для неограниченного линейно-упругого
изотропного тела с отверстием радиуса а. Пусть это тело
нагружено одноосным растяжением, например, вдоль оси х\ с
напряжением 0ц00 в сечении, удаленном от отверстия. Выберем
систему декартовых координат с началом в центре отверстия*
и обозначим через г, 6 соответствующие полярные координаты,,
причем угол 6 отсчитывается от оси х\. Напряженное состояние
около такого отверстия определяется по формулам Мусхелиш-
вили [28]:
^-4-(1-JJ)+^L(1-4^ + 3^)cos26' (1Л07>
аее = (о£/2) (1 + а2/г2) - (а~/2) (1 + За4/г4) cos 26, (1.108)
0rQ== _ (a~/2)(l + 2a2/r2-3a4/r4)sin26. (1.109>
Решения для двухосного напряженного состояния можно
получить суперпозицией. Решения для отверстий в анизотропных
телах и для отверстий, форма которых отличается от круговой
(например, для эллиптических отверстий), приведены в книге
Савина [29].
Все рассмотренные выше решения относятся к однородному
телу. В теориях неоднородных тел (композиты и т. д.) основной
является задача о включениях. Применительно к плоской
задаче изотропной упругости рассмотрим жесткое включение
радиуса а и примем идеальную связь (другие условия на
поверхности раздела рассмотрены Мусхелишвили [28]) между упругой
областью и жестким включением. Решение для напряжений
около включения, обусловленных приложенным на
бесконечности одноосным растяжением ац°°, получено Мусхелишвили [28]
в виде
.32
Глава 1
зба*
)cos29] ,
aee = (a^/2) [1 -f va2/r2 - (1 — 36a4/r4) cos 29],
ar9 = —(an/2) (1 + pa2/r2 + ЪЪаЧг*),
2(H-n) n
P
v =
(1.11
(1.11
(1.11
(1.11
я+зр,
тде Я и \i — параметры Ляме. Важную трехмерную задачу д/
эллипсоидального включения решил Эшелби [30].
Трещины. Рассмотрим плоскую задачу для линейно-упруг*
го тела с прямолинейной трещиной, направленной по оси а
Обозначим через г, 0 полярные координаты с началом в конч]
ке трещины. Пусть тело подвергается произвольному нагруж<
нию на бесконечности в плоскости {х\, х2}. Решения для напр]
жений и перемещений имеют следующий вид [31]:
сггг
СГ\2
1 -пмп&-™
/1=1 i
- 2 ^Лтг
п=1 ^
(п-2)/2
2 + С- 1Г + |} с» (| - l)e - (| - l) оо. (| - э)в'
2_C_iy._^co.(i_1)e+(i_1)eo.(i-3>
-.r + t}-.(|-i)e+(f-.)-(f-3>
2 ~ (-1)" + -г $
(И-(И ""(И'
1^5}я,(5-,)в-(|-,)со.(§-з>_
2 + (
(1.11
При г—>-0 члены с номером /г=1 приводят к сингулярностя
поля напряжений. Коэффициенты Аи и Ащ определяют ти
этих сингулярностей. Обычно используют так называемые к<
эффициенты интенсивности напряжений Ki и Ки, которые cвязj
ны с коэффициентами Аи и Ащ соотношениями Ап = К{]/2
и Лш=—/Cnl/2jt. Соответствующие перемещения при плоскс
реформации равны
и=1
(3 - 4r) cos - \ cos (§ - г)в + {§ + (-1)"} cos |в
(3 - 4») sin |в + ^ sin (| - г)е - {§ + (-1)"} sin |в ,
34
Глава 1
К$Вц(С) и(я+1)
VTn 2
{ + 2Р4г?
р2
.n/2-l
cos
1-1)6,-
{r?/2 cos
Ll/?(»+1){-pl'-l
^LfcW^cos^-lJe,},
cos y gt - л (в) r£/2 cos -у вя} -f-
,n/2 п п 7 /— ч п/2 • и л 1
У sin-^-Gi — h(n)r2' sin—02j„
.n/2
f^rS/2sin^e2},
где га— целое число, изменяющееся в пределах i^n^a, п =
= /г 4-1, и
к=■ [(3 — + v)] для плоского напряженного состояния,
& = 3 — 4v для плоской деформации,
rjeieJ = x + i$jy; х, у — координаты, отсчитываемые от кончика
растущей трещины,
Bi(v) = (l + K)/D(v), Bt(v) = W2/D(v), /?и = 4р1ря(1 + р2)а,
Ki°, Ki* — динамические коэффициенты интенсивности
напряжений. Дальнейшую информацию о решениях для напряжений при
динамическом распространении трещины типа III можно найти
в работе [33].
В заключение настоящего раздела рассмотрим некоторые
трехмерные задачи для трещин в линейно-упругом изотропном
теле. Рассмотрим произвольную трещину (поверхность разрыва)
в плоскости лг3=0. Пусть граница трещины задана в
параметрическом виде в зависимости от параметра s (например,
расстояния вдоль фронта трещины). Рассмотрим ортогональную
систему координат: ось х3 перпендикулярна к плоскости трещины,
/ — касательная в точке фронта трещины и п — нормаль к
границе трещины, лежащая в ее плоскости (направления п и t
лежат в плоскости лг3 = 0). Тогда асимптотическое решение для
поля напряжений в окрестности границы трещины имеет
вид [32]:
p;=i-(iv*d)*e р;=1-(»/о2.
ca = [(ft+i)/(ft-i)](ix/p), с; = ц/р
Л(/г) = [2р1ра/(1+р*)] при четном л,
h (п) = (1 + $1)/2 при нечетном п,
(1.117)
Механическое поведение материалов
33
(3 - 4r) sin|e - | sin (| - 2)0 + {| + (-1)"} sin |e
(3 - 4v) coscos (| - 2)в + {| + (-1)"} cos ^0
(1.115)
Перемещения для случая плоского напряженного состояния
получаем заменой v в уравнении (1.115) на v/(l+v). Решения
для трещин в анизотропном теле для плоской задачи и других
условий приведены в [32] х>.
Теперь рассмотрим плоскую задачу о распространении
трещины с постоянной скоростью v вдоль оси х в упругом
изотропном теле, нагруженном на бесконечности. Общее решение для
напряжений и перемещений около кончика растущей трещины
приведено в [33]:
ад (С) п(п+1)
С*"~Т2й 2 Х
{(l + 2pf-p«)'-!/2-icos (-2.-1)6,-
-2«(n)rS/2-1c.os(i-l)e2} +
, к*пв11{с) M!LHL|(1 + 2p?_pDr»/2-i sin (|__1)Gi_
-2«(«)rl/2-1sin(^--l)e2} ,
yls 2
ВД(С) п(д+1)
X
{ - (1 + ps) г?72"1 cos (A - 1) et + 2h {n) rl»~1 cos (i -1) ea} 4-
+ K*^SC) -^±1>-{ _(i + p.) r«/2-i sin (JL _ 4 ) 0J +
+ 2hCn)rnz'2-lsin (i-l)e,} ,
^=»-^x (1.116)
{-гр^2-1 sm (i-1) e1+i^i a(»)r^2-1 sin (i -1)e2}+
!> Решения задач для тел с трещинами содержатся также в работах [86,
87]. — Прим. ред.
3—1480
36
Глава 1
и имеет произвольную, как правило, сложную форму; 2)
материал является неоднородным и анизотропным; 3) граничные
условия являются сложными, когда, например, в каждой точке
границы заданы некоторые компоненты перемещения
(например, щ) и дополнительные поверхностные силы (например, t2
и U)- Для решения таких характерных для инженерных
приложений практических задач рекомендуется применение
численных методов, ориентированных на использование больших ЭВМ.
Ниже кратко рассматриваются метод конечных разностей,
метод конечных элементов и метод граничных элементов.
Ограничение объема и тематики данной главы позволяет, однако,
рассмотреть только линейные задачи; численные методы для
нелинейных задач можно найти в работах [35—37].
Метод конечных разностей
Рассмотрим, например, квазистатическую задачу упругости
(без учета сил инерции) для однородного изотропного линейно-
упругого тела. В этом случае уравнения (1.90) — (1.96) могут
быть представлены в виде хорошо известных уравнений
Навье [27]
цДЗи, + (Я+ ц) 0,, +Ft = 0, (1.120а)
где
0 = w7\i (1.1206)
с граничными условиями
щ = иг на Su (1.121)
и
№uk,Aj + v(uitj + uj,i)]nj = ~ti наЛ- (1.122)
Для трехмерной краевой задачи (1.120) — (1.122) независимыми
переменными являются компоненты перемещения (*'=1, 2, 3),
где V2= (д2/дх\2) + (д2/дх22) + (д2/дхг2). При плоском
напряженном состоянии уравнения Навье имеют вид
\ дх\ ~ дх\ } *
г\ дх\ "т" дх\ 1*
Механическое поведение материалов
35
К\ /о в , 59 \
-iw^(7sint+sin-f-) + °<г>«
о» = [^i/(2r)»/2] 2v cos (0/2) - [Ки1(2г)Щ 2v sin (6/2) + 0 (r),
Ki /г e 56 \ яп / . e . 56 \
°33 = t(2^(5cost-cos^)-tl2^(sint^sm — ) '
(1.118)
оъ= [Л"ш/(2г)«/2] cos (0/2)+ 0 (r),
#1 / . 6 . 56 \ , /0 6 , 56 \
n3~ 4(2r)V2 \*n 2 2 / r4(2r)Va
ct„* = [-W(2r)»/*] sin (в/2) + 0 (r).
В работе [341 получено общее решение для бесконечного
тела с эллиптической трещиной, по поверхностям которой
действуют произвольные усилия (как нормальные, так и
касательные). Это решение слишком сложно и поэтому не приводится
здесь. Напишем только формулу для коэффициента интенсив-
кости напряжений при действии постоянного нормального
давления [34]:
Кг = lVn/E (Р)] VaJ<h Ро К2 sin2 0 + а\ cos2 6)1/4. (1.119а)
Эта формула получена для эллипса, расположенного в
плоскости х3 = 0 и определяемого уравнением (х\\а\)2-\-(х2/а2)2 = 1;
Р2=1— (a2/ai)2; £(Р)—эллиптический интеграл второго рода
и 0 — эллиптический угол. При линейном распределении
давления на поверхности трещины о3з = Ро {х\/а2) и формула для
коэффициента интенсивности напряжений имеет вид
Кг= Ро Ум2 sin ер2 / 2 q а2 2 \ 1/4
где F(p) —эллиптический интеграл первого рода.
1.3. Численные методы
Основные уравнения вместе с граничными и начальными
условиями для начально-краевой задачи линейно-упругого тела
были представлены соотношениями (1.90) — (1.96). В
предыдущем разделе приведены точные аналитические решения для
некоторых идеализированных задач, в которых принят ряд
допущений: 1) рассматривается неограниченная область, 2)
материал принимается однородным и изотропным, 3) используются
довольно простые граничные условия. Однако на практике
обычно встречаются задачи, в которых 1) область ограничена
3*
Механическое поведение материалов
37
Заменяя в уравнениях (1.123) и (1.124) v на v/(l+v), получаем
аналогичные уравнения Навье для плоской деформации.
Рассмотрим, например, численное решение уравнений (1.123)
и (1.124) с граничными условиями (1.121) и (1.122). В методе
конечных разностей входящие в уравнения (1.123) и (1.124)
производные заменяются соответствующими приближенными
конечно-разностными отношениями. Пусть Q — плоская область
произвольной формы. В области Q вводим квадратную сетку
точек с шагом h. Отметим, что если Q не является регулярной
областью (например, квадратом, прямоугольником или
прямоугольным треугольником), то в общем случае граница
области Q не будет пересекаться с квадратной сеткой в ее узловых
.точках. Рассмотрим узловую точку сетки (/, &), лежащую
внутри области Q. Конечно-разностные аппроксимации
соответствующих производных в точке (/, k) имеют вид
(V2ua)Jth^(d^uJdxl + d^uJdxl)jtk (а=1, 2)
= (Ш2) {(ua)j+u h + (иа)y_le k + (ua)jt k+i + (ua)j, —
-4К)Ы + 0(й2), (1.125a)
\3hijdxbhk = (Ш2) {(щ),+ик+ (щ)ы.к-
-2(Ui)jfk} + 0(h% (1.1256)
д*щ1дх, дх2 = {(щ)^9 h+l + Ы.-ь fc+i +
+ Mj+i.jw} + 0(*2) [(1.125b)
и т. д. После подстановки уравнений вида (1.125а)—(1.125в)
в уравнения (1.123) и (1.124), получаем систему уравнений
относительно неизвестных значений щ и и2 в узловых точках
сетки.
Дальнейшие подробности метода конечных разностей
приведены в работе [38]. Общепризнанными недостатками этого
метода являются: 1) трудность учета нерегулярных границ;
2) трудность учета сложных граничных условий, таких,
например, как зависимость граничных условий для сил от
перемещений [скажем, по уравнению (1.122)]; 3) трудности решения
задач с неоднородными областями, так как в этом случае
дифференциальное уравнение должно быть записано в каждой
неоднородной подобласти и на границах раздела приходится
вводить непрерывное или скачкообразное изменение переменных;
4) трудности решения задач для составных элементов в
конструкциях, таких, как подкрепленные пластины и
оболочки.
Попытки преодоления указанных выше трудностей привели
к появлению методов конечных элементов, которые в широком
38
Глава 1
смысле аналогичны методам конечных разностей, но в то же
время обладают некоторыми принципиально новыми
особенностями, которые позволяют решать задачи для тел со сложной
геометрической формой, при сложных граничных условиях,
с учетом неоднородности тела и т.д. Эти методы кратко
излагаются ниже.
Метод конечных элементов
Здесь мы рассмотрим общую систему уравнений (1.90) —
(1.96), не приводя их к уравнениям Навье (1.120), которые в
качестве независимых переменных содержат только
перемещения щ. Для простоты ограничимся только такими задачами,
в которых силами инерции можно пренебречь.
Рассматриваемую область Q тела произвольной формы
с границей д£1 разделим на конечные элементы Qm (m=l,2,
М) с границами dQm. В общем случае dQm=pm+SUm+Stmt где
рт — граница с соседними элементами, a Stm (или SUm) —часть
границы dQm, попадающая на внешнюю границу St (или SM).
Отметим, что для большинства элементов, находящихся внутри
тела, dQm=pm. Предположим, что о*/, гц и щ — независимо
принимаемые основные функции решения в каждом конечном
элементе. Таким образом, в каждой области Qm величины a*j,
и Ui должны удовлетворять соответствующим уравнениям
(1.90)—(1.95). Кроме того, на границе рт между элементами
основные решения для соседних элементов должны
удовлетворять условиям:
совместности перемещения
и1[ = щ на рто, (1.126)
взаимности сил1*
(Ои^)+ + (оип^ = 0 на Рш. (1.127)
Отметим, что знаки + и — относятся произвольно к какой-либо
стороне рт. Отметим также, что, несмотря на условие az/+=
— —не все компоненты тензора напряжений оц должны
быть непрерывны на рт.
Далее принимаем, что уравнение (1.126) всегда выполняется
(т. е. основные функции для перемещения непрерывны на рт).
Случай, когда уравнение (1.126) не удовлетворяется, здесь не
рассматривается; нестандартные методы конечных элементов
(например, гибридные методы), в которых уравнение (1.126)
заранее не удовлетворяется, описаны в работах [39, 40].
]) Равенство по модулю и противоположность знаков. — Прим. перев.
Механическое поведение материалов
39
Ниже основные функции оц и ец считаются произвольными,
но симметричными (0,7 = 0/7, e*/ = e/i), а перемещения wf-
удовлетворяют уравнению (1.126). Теперь рассмотрим пробные (или
весовые) функции тц и \ц}, которые также произвольны и
симметричны, и пробные функции vti удовлетворяющие условию
0/+ = 1>Г на рт. Тогда для уравнений (1.90) —(1.95) и (1.127)
можно написать следующие уравнения взвешенных невязок:
= J { — л + йй+ J ritOijUids, (1.128)
"m (1.129), (1.130)
J {ou — Eijk&ki)v.udQ = 0,
\ {nioij^Tj)vjds=0, J (^-й<)^|гуЛ = 0, (1.131), (1.132)
о
um
S + y* * = 0- (1-133)
3*m
Уравнения (1.128) — (1.133) справедливы для каждого
элемента. Представим их в глобальном виде для области с учетом
условий сопряжения элементов щ+=иг и Vi+=vr на рт.
Прежде чем сделать это, отметим одну особенность: рт фактически
является общей границей двух соседних элементов. Таким
образом, при суммировании уравнения (1.133) по всем элементам
получаем член
Б J (<Wi)& (1.134)
m Pm
(дальнейшие пояснения можно найти в работах [39, 40]).
При получении глобального уравнения замечаем, что некоторые
члены повторяются. С учетом этого замечания сложим
уравнения (1.128) — (1.133) и просуммируем их по всем элементам
следующим образом:
0= —2 {(1.128) + (1.129) + (1.130) —(1.131)—(1.132)—(1.133)} =
40
Глава 1
= 2[ \ {Eim4Wij—(GuVij + *ifiu) + (aijv{i,n
т Qm
— Pobivi) d& — 5 tfl>i ds — ^ (w£ — ut) TijXjt ds —
о о
Теперь функции [ц^, и можно формально отождествить
с вариациями деформаций, напряжений и перемещений:
И-.у — 6e«it *и = Ъвф iVi = 6ui. (1.136)
Таким образэм, уравнение (1.135) можно записать в виде
771 Qm
— J tiUids— J —K^tyayidsJ. (1.137)
Соотношение (1.137) является основой для наиболее общего
смешанного метода конечных элементов линейной упругости,
в котором все функции о//, гц и щ аппроксимируются
независимо с единственными принимаемыми заранее ограничениями
<5ц = вц> e//=8/j и Ui+=ur на pm. Соотношение (1.137) является
вариационным уравнением. При переходе к конечномерной
аппроксимации и вариации функционала (1.137) относительно
неопределенных параметров функций ац% гц и щ получаем
конечно-элементные алгебраические уравнения [39, 40].
Рассмотрим теперь то, что обычно понимают под методом
конечных элементов в механике твердого деформируемого тела.
При этом в качестве независимой переменной принимают
только ui\ en получают из щ с помощью выражения (1.92), а сц
получают из ец(ик) по формуле (1.93). Далее, в обычном
методе конечных элементов на щ заранее накладывается
ограничение щ+=иг на рт, а также граничные условия на Su
[уравнение (1.95)]. Поэтому нужно удовлетворить только
соотношениям (1.90), (1.94) и (1.127), применяя метод взвешенных
невязок. Соотношениям (1.90), (1.94) и (1.127) соответствуют
уравнения взвешенных невязок (1.128), (1.131) и (1.133).
Следует иметь в виду, что в этих уравнениях оц=оц(ик) (т.е.
доопределяется по принятым Uk). Складывая уравнения (1.128),
(1.131) и (1.133), получаем основное вариационное уравнение
обычного метода конечных элементов для совместных
перемещений в следующем виде:
Механическое поведение материалов
41
0= Б { \ lau(uk)Vu,j) — pobiVi]dv— J tiVtds}
(1.138)
(1.139)
m Q„
4m
В каждом элементе можно ввести аппроксимацию перемещений
{u} = {Ul}=:{A} {q}, (1.140)
3XN NXl
где {q} — TV-мерный вектор узловых перемещений для каждого
элемента. Деформации можно записать в виде
^12
= [В] {q}
и представить Eijki в виде матрицы D размерности 6x6 для
общего трехмерного случая (или размерности 3X3 для плоской
деформации или плоского напряженного состояния). Тогда
уравнение (1.139) принимает вид
0 = 6 {2 J (4[q][B]T[D1[B]^}-Po[b][A]{q})^~
- \ Й[А]{д}&}
m Q_
=б{24^] [k]{q}-[QHq}}
m
= 6{4-[q*I [K]{q*}-[Q]{q*},
4m
(1.141)
(1.142)
(1.143)
где {q*}—глобальный вектор узловых перемещений, [К] —
глобальная матрица жесткостей и [Q] — глобальный вектор
узловых сил. Для допускаемых произвольных вариаций
(удовлетворяющих условию 6д* = 0 на Su) получаем систему
уравнений
[K11]{qI> = {Q1}-[Kl2]{q5},
(1.144)
где {qi*}—вектор неизвестных перемещений, {Qi}—вектор
известных сопряженных сил, {q2*}—вектор перемещений,
заданных на 5„, и [Кп], [К12]—матрицы жесткостей,
соответствующие векторам {qi*} и {q2*}.
Анализируя уравнения (1.138) — (1.144), можно отметить
следующие достоинства метода конечных элементов: 1) для
42
Глава 1
рассматриваемой задачи линейной упругости как основные
функции uki так и пробные функции vk должны быть
непрерывными вместе с первыми производными, 2) сложные граничные
условия (например, для усилий) учитываются в виде
взвешенных невязок по уравнению (1.138) и не вызывают никаких
затруднений (даже если они удовлетворяются только в среднем),
3) сложная геометрическая форма и (или) неоднородность
свойств материала не создают никаких особых трудностей.
Очевидно также, что уравнения системы (1.144),
соответствующие каждому узлу, представляют по существу баланс между
суммарными ошибками взвешенных невязок в уравнениях
равновесия для элементов, которым принадлежит узел,
суммарными ошибками взвешенных невязок для условий взаимности сил
на границах между элементами, которые пересекаются в
данном узле, и ошибкой взвешенной невязки граничного условия
для сил на Stm для некоторых элементов, которым принадлежит
данный узел. Таким образом, очевидно, что при конечном числе
элементов ни уравнения равновесия, ни условия взаимности
сил, ни граничное условие для сил не удовлетворяются точно.
Заметим, что система алгебраических уравнений (1.144)
обладает важными с точки зрения реализации решения на ЭВМ
свойствами: 1) для каждого элемента матрица Кп
симметричная и положительно определенная, 2) матрица Ки ленточная
и редко заполненная. Ленточность матрицы обусловлена тем,
что в системе каждый узел связан только с узлами тех
элементов, для которых этот узел является общим. Такой локальный
характер основных и пробных функций, соответствующих
каждому узлу, — одна из принципиально новых особенностей метода
конечных элементов.
Можно с уверенностью сказать, что метод конечных
элементов стал одним из наиболее эффективных средств решения
задач в различных областях техники. Он находит применение
при решении общих задач нелинейной механики твердого
деформируемого тела при больших деформациях и неупругом
поведении материала, для расчета течения жидкостей, теплопередачи
и других задач теории поля. Однако, как и всякое другое
средство, метод конечных элементов следует применять с известной
осторожностью; к сожалению, некритическое использование
этого метода для расчета задач на современных ЭВМ с их
огромными возможностями переработки числовой информации
приводит к широко распространенному мнению, что все задачи
разрешимы, если ЭВМ имеется в вашем распоряжении
достаточно длительное время. В общем случае это неверно; перед тем
как начать вычисления, часто оказывается необходимым
глубоко понять механику, лежащую в основе рассматриваемой задачи.
Механическое поведение материалов
43
Метод граничных элементов
Выше было показано, что в обычном методе конечных
элементов 1) внутренняя область разбивается на конечное число
элементов, 2) дифференциальное уравнение равновесия,
условие взаимности сил на границах между элементами и
граничные условия для сил не выполняются точно, 3) для линейно-
упругого тела основные функции uk и пробные функции vk
должны быть только непрерывны и однократно
дифференцируемы.
Предположим, чго основные и пробные функции можно
выбрать таким образом, чтобы дифференциальное уравнение
равновесия выполнялось точно. При этом ошибка для
внутренней области точно равна пулю. Тогда остается только
приближенно удовлетворить граничным условиям в смысле некоторой
средневзвешенной невязки. Следовательно, в некоторых задачах,
в принципе необходимо разбить на элементы только границу
области. Подобные методы получили название методов
граничных элементов. Для линейно-упругих задач интенсивное
развитие получили два таких метода: 1) метод интегральных
уравнений [41, 42] и 2) метод краевых функций [43].
Здесь мы кратко изложим основные идеи методов граничных
элементов в линейной упругости, основанных на применении
интегральных уравнений. Рассмотрим глобальную основную
функцию Uk (заданную для всей области Q) и глобальную
пробную функцию vk. Предположим, что условие совместности (1.92)
и соотношения между напряжениями и деформациями (1.93)
выполняются, т. е.
ои (uk) = Emlu{ki Z), ии Ю = Eijklv{ki ly (1.145), (1.146)
В силу симметрии Ецм [см. уравнения (1.22)] тензоры о»/,
определяемые по уравнениям (1.145) и (1.146), симметричны.
Таким образом, остается удовлетворить только уравнениям
(1.87), (1.90) и (1.95). Отметим, что так как никакие
внутренние элементы не рассматриваются, то в данном случае не
нужно принимать во внимание условия (1.126) и (1.127) на
границах между элементами. Уравнения взвешенных невязок для
(1.90), (1.94) и (1.95) имеют вид
\ [Gij(uk),i + Pobj]vj dQ = 0,
^ (ti — njoij(uh)]vids = 0,
st
J (ui—ui)ti(vk)dQ = 0. (1.147a), (1.1476), (1.147в)
44
Глава 1
Применяя к уравнению (1.147а) теорему о дивергенции и
складывая уравнения (1.147а) — (1.147в), получим уравнение,
аналогичное (1.139):
\ [Gu(uk) v{ui) — Qj>p,Td&— 5 Uvt ds —
- [ (Щ — Щ) rijGji (vk) ds — J ои (uk) ирг ds = 0. (1.148)
4 Su
Так как материал линейно-упругий, имеем
*и Ы Щ. j) = Eijhlu{kt l)V(u п я okl (vt) uikt 0. (1.149)
Подставляя (1.149) в (1.148), и применяя теорему о дивергенции
к объемному интегралу, легко получаем
\ [<*и Kb Щ + РФРА dQ + J tpi ds+\^ tt (uk) vt ds-
— J h Ы utds—^ tt (vh) ut ds = 0, (1.150a)
St Sa
или, более кратко,
I l°U (vh),j Щ + p0biVi] dQ+^ tt {uk) vt ds —
— J *iK)M* = 0, (1.1506)
где по определению dQ=St + Su. В уравнении (1.1506)
подразумевается, что значения ti(uk) и щ (где т — искомое решение)
могут быть заданы на соответствующих частях границы д£1.
Основным шагом при записи интегрального уравнения
(1.1506) является выбор в качестве пробной функции vk
сингулярного решения для сосредоточенной нагрузки, действующей
в неограниченном пространстве, в соответствии с
уравнениями (1.97) — (1.99) для трехмерного случая. Пусть
сосредоточенная нагрузка действует в точке хт = Ь)т по направлению ей
Тогда очевидно, что Vk удовлетворяет уравнению
[%K)L; + 8K-U8^ = 0 (Z = l, 2, 3), (1.151)
где 8(хт—gm)—функция Дирака, бг7 — символ Кронекера и в\
обозначает направление сосредоточенной нагрузки. Из
уравнения (1.151) с использованием свойства функции Дирака
получаем
\ [^№«iWffi= -MEm)- (1Л52)
Механическое поведение материалов
45
Отметим, что перемещение в точке хт в направлении i,
вызванное действием единичной силы в точке gm в направлении /,
определяется функцией vu(xm, |m) по уравнению (1.97), тогда как
усилие, действующее на ориентированной площадке с
направляющими косинусами нормали rik в точке хт по направлению/
и вызванное приложением единичной силы в точке \т в
направлении U определяется функцией tn(xm, %т) по уравнению (1.98).
Следовательно, из уравнений (1.150) и (1.152) получаем
Щ (lm) = J РоЬ< (Хт) Vn {Хт, gm) dv+ J tt (ttft, Xm) Un (xm, gm) US —
Q dQ
— J hi (xmi lm) Щ (xm) ds. (1.153)
dQ
В этом уравнении |m — внутренняя точка, хт — переменная
интегрирования по Q или по oQ. Отметим, что функции vit и tn
являются решениями Кельвина, которые имеют особенность
при \пй—+хт. Когда точка \т в пределе стремится к точке на
границе тела, в уравнении (1.153) следует брать главные
значения интегралов по Коши; в результате получаем [41, 42] так
называемое граничное интегральное уравнение1)
4" Ul йт) = \ Pobi (хт) vil (хт, lm) dv + \ li (хт) Vn tm) dv —
Q dQ
— J $п)Щ{*т)й8, (1.154)
dQ
где индекс b обозначает граничную переменную.
В так называемом методе граничных элементов приведенное
выше граничное интегральное уравнение удовлетворяется
приближенно в виде взвешенных невязок. Прежде всего
отметим, что, хотя в уравнение (1.154) входит объемный интеграл,
он не зависит от искомого решения щ. Поэтому, хотя для
вычисления этого объемного интеграла может потребоваться
дискретизация внутренней области, при этом не возникает никаких
внутренних элементов, как в методе конечных элементов.
Функции щ^щ) и ti(xbm) можно интерполировать по каждому
граничному элементу. Отметим, что некоторые узловые
значения ti{xbm) и Ui(xbm) заданы соответственно на St и Su. Можно
показать [41, 42], что для рассматриваемой линейно-упругой
задачи метод граничных элементов приводит к матричному
уравнению вида
[A]{q*} = [B]{Q*}, (1.155>
!> Здесь граница предполагается гладкой.
46 Глава 1 j
где {q*} — глобальный вектор перемещений граничных узлов
(некоторые элементы которого заданы); {Q*} — глобальный
вектор сил, приложенных в граничных узлах (некоторые
элементы которого заданы); [А] и [В]—в общем случае
несимметричные и полностью заполненные матрицы.
Методы граничных элементов наиболее эффективны для
решения задач для линейно-упругих изотропных материалов
с большим отношением объема к поверхности. Для
анизотропных неоднородных тел сингулярное решение (для
сосредоточенной нагрузки, приложенной в точке неограниченного
пространства), в общем случае отсутствует. Метод граничных элементов
имеет естественные преимущества для задач с неограниченной
областью. Отметим, что с точки зрения вычислений решение
уравнения (1.155) дает данные только на границе, которые
затем должны быть использованы в уравнениях типа (1.153) при
вычислении необходимых данных в каждой внутренней точке.
Общепризнано, что методы конечных элементов и граничных
элементов следует рассматривать как две конкурирующие
методологии численного анализа, но для полного использования
присущих каждому из них преимуществ их следует
комбинировать друг с другом. Существуют различные направления
рационального сочетания этих методов [42, 44].
1.4. Механические свойства материалов
Начально-краевые задачи, рассмотренные в разд. 1.1,
решались с использованием определяющего уравнения (1.26) для
изотропного линейно-упругого материала. Так как большинство
инженерных сооружений обычно проектируют на нагружение
только в упругой области и изготавливают из изотропных
однородных материалов, то имеется обширная литература по
упругим константам материалов, входящим в уравнение (1.26).
С другой стороны, расчет элементов конструкций,
изготавливаемых из композитных материалов, требует применения
анизотропной теории упругости, основанной на обобщенном законе
Гука (1.25). Решение задач о формоизменении металлов и
вязком разрушении основано на неупругом и пластическом
поведении материалов, в частности при больших деформациях.
Меньше данных имеется о характеристиках релаксации и ползучести
материалов и функциях текучести, рассмотренных в конце
разд. 1.1. Эти и некоторые другие механические свойства
материалов обсуждаются ниже, однако перечень различных марок
конструкционных материалов не приводится. Информацию о
механических свойствах материалов можно найти, например, в
справочниках [45—47].
Механическое поведение материалов
47
Упругость
Ч
Наиболее распространенное испытание материалов с целью
определения упругих постоянных, входящих в
уравнение (1.26), — одноосное растяжение круглого образца. На
рис. 1.1 показан типичный результат испытания образца из
малоуглеродистой стали в виде диаграммы, характеризующей
зависимость напряжения Кирхгофа о от малой деформации е.
Напряжение и деформацию обычно приближенно определяют
по формулам о=Р/А0у e=\L/L0, где Р, Л0, AL, L0 —
приложенная нагрузка, начальная площадь поперечного сечения,
удлинение и начальная длина образца на базе измерения
соответственно. При достаточно малом уровне напряжения кривые
нагружения и разгрузки (рис. 1.1) совпадают. Эта часть кривой нагру-
Пластичесная
деформация (необратима)
Упругая деформация
(обратима)
Рис. 1.1. Диаграмма напряжение — деформация для малоуглеродистой стали.
жения и разгрузки соответствует упругому поведению
материала, а ее прямолинейная часть — линейно-упругому поведению.
Наклон прямолинейного участка является модулем упругости
материала Е.
Отношение поперечной деформации, которую можно
определить по уменьшению диаметра образца, к продольной
деформации е при линейно-упругом нагружении является
коэффициентом Пуассона v. Другие упругие постоянные, такие, как
параметры Ляме К и \х и модуль объемного сжатия /С, можно
вычислить по известным значениям £ и v. Следовательно,
любые две из указанных выше пяти упругих постоянных
определяют оставшиеся три постоянные. Поэтому совместно с испыта-
43
Глава 1
нием на простое растяжение для определения всех упругих
постоянных изотропного однородного материала можно
использовать и другие виды испытаний (например, испытание на
кручение, в котором определяется модуль сдвига р,, являющийся
одним из параметров Ляме).
Пластичность
Максимальное напряжение, при превышении которого
кривые нагружения и разгрузки не совпадают, называется
пределом упругости материала. При разгрузке из точки,
расположенной на диаграмме выше предела упругости (например, из
точки В на рис. 1.1), кривая разгрузки обычно идет параллельно
Рис. 1.2. График изотропного деформационного упрочнения при простом
растяжении.
кривой упругого нагружения, и в результате при полной
разгрузке образца получается необратимая, или пластическая,
деформация ер. Кривая повторного нагружения после
образования пластической деформации совпадает с кривой разгрузки, но
пластическое деформирование начинается теперь в точке В.
Различие в напряжениях текучести для исходного и пластически
деформированного материала обусловлено его деформационным
упрочнением. График изотропного деформационного
упрочнения, описываемого уравнениями (1.38) и (1.39), в случае
простого растяжения образца схематически показан на рис. 1.2.
Эффекты Баушингера и кинематического упрочнения,
учитываемые в уравнении (1.40), применительно к испытанию на
простое растяжение проиллюстрированы рис. 1.3.
6
Механическое поведение материалов 4Ф
б
е
Рис. 1.3. График кинематического деформационного упрочнения при простое
растяжении.
Если материал находится в сложном
напряженно-деформированном состоянии, то предел упругости обычно определяется
некоторыми функциями напряжений или деформаций
[например, такими, как условия текучести (1.38) — (1.40)]. Условия
текучести, основанные на пластической несжимаемости
материала при чисто упругом изменении объема, приведены в
разд. 1.1. Условие текучести Мизеса (1.38) — (1.40)
геометрически можно представить в пространстве напряжений
поверхностью кругового цилиндра (рис. 1.4). Другое широко
применяемое условие текучести Треска, или условие максимального
касательного напряжения, изображается шестигранной призмой,
вписанной в круговой цилиндр Мизеса (рис. 1.4). Условие
текучести Треска удовлетворяется одним из шести приведенных
ниже уравнений, записанных через главные напряжения:
g1 — g2 = ±g0, о2 — о3= ±gb, g3 — g2 = ±g0. (1.156)
Экспериментальные данные по проверке условий текучести
Мизеса и Треска, а также других условий текучести приведены
в книгах [9, 48, 49]. В этих книгах также приведены
результаты немногочисленных экспериментов по проверке соотношений
между напряжениями и деформациями (1.45) — (1.47). Хотя ни
одно из указанных условий текучести или соотношений между
напряжениями и деформациями не согласуется точно с
экспериментальными данными во всех случаях, однако небольшие
отклонения экспериментальных данных не приводят к большим
погрешностям при оценке механического поведения элементов
4—1480
50
Глава 1,
Рис. 1.4. Поверхности текучести
конструкций, особенно при расчетах с использованием
численных методов конечных элементов и конечных разностей.
Ползучесть
Механические свойства всех твердых тел в различной степени
зависят от температуры и скорости деформации. При низких
температурах влияние этих факторов незаметно, но при
температурах, превышающих температуру стеклования полимеров,
или близких к температуре плавления металлов, влияние
указанных факторов становится существенным. Выше температуры
стеклования многие аморфные полимеры текут подобно
ньютоновской жидкости; такие материалы называются линейно-вяз-
коупругими. Зависимость напряжения от деформации для них
можно представить в виде интегральных соотношений типа
свертки:
X
oi}(t) = Gijhl(t)bkl(0)+ J Gijkl{t-%)-^P-dx, (1.157)
о
где интегрируемая функция Gijki{t), представленная на рис. 1.5,
называется функцией релаксации. Зависимость деформации от
напряжения также можно представить в виде
Механическое поведение материалов
51
— оо
где интегрируемая функция 1цы(1), график которой приведен
на рис. 1.6, называется функцией ползучести. Функции
релаксации и ползучести часто моделируют с помощью различных
комбинаций линейно-упругих и вязких элементов, что дает
наглядное представление о механическом поведении
материала [50, 51].
Функции релаксации и ползучести зависят от температуры,
как показано на рис. 1.7. Для широкого класса полимеров
влияние температуры можно моделировать простым смещением
кривой по оси времени, гик что все функции релаксации
совпадают между собой при изменении масштаба времени. Такие
материалы называют герморсоло!ически простыми. К ним
применим принцип темперагурпо-временной аналогии, на
котором основана процедура расчета конструкций из линейно-вяз-
коупругих материалов при переменном температурном поле.
Для описания нелинейного
вязкоупругого поведения
материала или нелинейной
ползучести применяются также
эмпирические соотношения
(1.69) —(1.71). Для кривых
кратковременной ползучести G(t)
при одноосном растяжении
титанового сплава с
содержанием 6% А1 и 4% V при 650°С,
показанных на рис. 1.8,
эмпирические коэффициенты
уравнений (1.69а) и (1.696) имеют t
следующие значения [52]:Л = Рис. 1.5. Функция релаксации (t —
= 299-Ю-8, т=1,66, /2 = 0,605. время).
При трехступенчатом нагруже-
нии этого материала (рис. 1.9) уравнение (1.696) теории
деформационного упрочнения лучше согласуется с
экспериментальными данными, чем уравнение (1.69а) теории временного старения.
Очевидно, что по этому частному примеру нельзя сделать общее
заключение о нелинейной и часто зависящей от условий задачи
ползучести конструкционных материалов.
1.5. Заключение
Очевидно, что в представленном кратком обзоре невозможно
даже перечислить все важные направления современных иссле-
4*
52
Глава 1
J(t)
t
Рис. 1.6. Функция ползучести (/ — время).
Igt
Рис. 1.7. Зависимость функции релаксации от температуры Т.
дований в области теории упругости, пластичности, вязкоупру-
гости, вязкопластичности, а также в области разработки
численных методов. Более подробную информацию читатель
может найти в многочисленных книгах и обзорных статьях, на
многие из которых в последующих главах даются ссылки по
каждой из указанных дисциплин.
Механическое поведение материалов
53
2,8
2,4
2,0
^ 1,2
: Полоса разброса экспериментальных данных/ у
•Расчетная кривая
/у? XII МПа
Рис. 1.8. Зависимость деформации ползучести от времени при одноосном
растяжении образцов из титанового сплава с содержанием 6% А1 и 4% V
(температура 650 °С).
Теория деформационного
— упрочнения
— Теория временного старения
Экспериментальная кривая
J I I L.
0 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400
Рис. 1.9. Зависимость накопленной деформации ползучести от времени t при
ступенчатом нагружении образца из титанового сплава при 7=650 °С.
Глава 2
Тензодатчики
Д. Дэлли, У. Райли1)
Анализ напряженного состояния элементов натурных
конструкций, как правило, реализуется на основе измерения
деформаций на поверхностях объектов исследования. Среди
экспериментальных методов измерения деформаций (механический,
акустический, электрический, оптический, методы муара, сеток
и др.) подавляющее большинство исследователей отдает
предпочтение измерениям с применением электрических тензометров
сопротивления—гензодагчиков или тензорезисторов
Тензорезистор наилучшим образом удовлетворяет критерию
стоимость — эффективность, обладая оптимальным сочетанием
характеристик, традиционно применяемых для оценки тензомет-
рической системы. Такими характеристиками являются: 1) гра-
дуировочная константа датчика, которая должна обладать
температурной и временной стабильностью; 2) погрешность
измерения деформаций, которая не должна превышать 1 мкм/м в
диапазоне деформаций ±5% (+50 000 мкм/м); 3) длина и ширина
датчика, которые должны быть достаточно малы для
адекватного измерения деформации в точке; 4) инерционность датчика,
которая должна быть достаточно мала для регистрации
высокочастотных динамических процессов; 5) линейность отклика
датчика в пределах всего диапазона измерений; 6)
экономичность датчика и сопряженных с ним устройств; 7)
минимальные требования к квалификации обслуживающего персонала,
необходимой для установки и проведения измерений.
В настоящее время тензорезисторы применяются в более
чем 80% исследований напряженного состояния, проводимых
в промышленности США [1]. Кроме того, тензорезисторы
широко распространены в качестве чувствительных элементов
датчиков, разработанных для измерения сил, моментов и давления.
Тензорезистор основан на принципах, сформулированных
лордом Кельвином [2] на основе серии экспериментов, прове-
!> James W. Dally. University of Maryland, College Park, Maryland.
William F. Riley. Iowa State University, Ames, Iowa.
54
Тензодатчики
55
денных в 1856 г. Автором этих экспериментов было
установлено, что 1) у проводников, подвергнутых нагрузке и (или)
деформации, изменяется электрическое сопротивление; 2)
проводники, изготовленные из различных материалов, обнаруживают
различную чувствительность к деформациям; 3) изменение
сопротивления проводников, вызванное деформацией, мало,
однако может быть точно измерено с помощью моста Уитстона.
Первые тензорезисторы в США были разработаны в 1930-е
годы, причем датчики были изготовлены независимо Симмон-
сом [3] и Рюджем. Эти лабораторные датчики в конце концов
привели к созданию тепзодатчика типа SR-4, который
выпускался в виде проволочной решетки на бумажной основе в течение
почти двух десятилетий.
Металлические фольговые тензодатчики были впервые
разработаны Сандерсом и Роу в Англии в 1952 г. Технология
фотолитографии, включающая фотографическое изготовление
эталонного изображения сетки датчика с последующим
травлением, применяемая для изготовления фольговых тензорезисто-
ров, обеспечила возможность миниатюризации и разнообразие
конфигурации сетки, экономичность и повышение качества
изготовления датчиков. После внедрения в США в конце 1950-х
годов фольговый датчик быстро вытеснил проволочный тензо-
датчик SR-4 во всех областях, за исключением
немногочисленных специальных практических приложений.
Полупроводниковые тензодатчики были получены в
качестве побочного результата исследований фирмы Bell Telephone
Laboratories в области полупроводниковых материалов и
соединений, которые впоследствии привели к созданию
транзистора. Исследования полупроводниковых свойств кремния и
германия [4] и первые разработки лабораторных датчиков [5]
создали основу для промышленного изготовления
полупроводниковых тензодатчиков, которые получили распространение
в 1960-е годы1).
Сплавы, используемые для изготовления фольговых тензоре-
зисторов, характеризуются предельной деформацией около
+5%. Для практических приложений, связанных с измерением
больших деформаций, при которых возможны удлинения около
100%, были разработаны жидкометаллические тензодатчики,
которые состоят из резиновой трубки, наполненной ртутью или
галлиево-индиево-оловянным сплавом. Трубке придают
конфигурацию решетки и прикрепляют ее к образцу. При действии
деформаций объем внутренней полости трубки остается постоян-
!> Проволочные, фольговые и полупроводниковые тензодатчики,
применяемые в отечественной практике, и литературу по их изготовлению и
применению см. в [19, 20]. — Прим. ред.
Тензодатчики
57
скольку достаточно мал (меньше 0,1 е) в сравнении с двумя
средними членами (^1,60). При больших деформациях
методика анализа уравнения (2.4) должна быть изменена, поскольку
проводник претерпевает пластические деформации.
Отметим, что объем V проводника выражается зависимостью
V=AL, подстановка которой в уравнение (2.1) дает следующее
соотношение:
/? = pLW. (2.5)
Дифференцирование и деление па R позволяют получить
dR/R = dp/p + IdLIL — dV/V. (2.6)
При пластическом деформировании dp-Я) и dV=0, поэтому
уравнение (2.6) сводится к виду
dR/R — 2dL/L. (2.7)
Если деформации являются пластическими, однако достаточно
малыми по величине, тензочувствительность сплава,
получаемая подстановкой выражения (2.7) в уравнение (2.3),
составляет Sa = 2. Если пластические деформации достаточно велики, то
вместо дифференциала dR надо использовать приращение
сопротивления А/?, поскольку должен учитываться член второго
порядка малости. Изменение сопротивления определяется путем
интегрирования уравнения (2.7):
С dR _ о С dL
Но Lo
- Ч1+-зг)-Ч1 + -&)'-
Следовательно,
Ai?/i?0 = 2AL/L0 + (AL/L0)2. I (2.8)
Если Sa = (l\R/R0)/(l\L/L0), то, исходя из уравнения (2.8), легко
получить
SA = 2 + e, (2.9)
где 8 = AL/L0 — деформация.
Если пластические деформации достаточно велики,
тензочувствительность сплава Sa не постоянна, а линейно зависит от
деформации е. Хотя уравнение (2.9) широко применяется на
практике, допущения dp/p—Я) и dV/V=0 для фольгового
датчика нуждаются в дополнительной проверке
Перечень сплавов, широко используемых в производстве
тензодатчиков, представлен в табл. 2.1, где содержатся также
характерные величины тензочувствительности сплавов S в диа-
56
Глава 2
ным, поскольку коэффициент Пуассона резины близок к 0,50.
Однако сопротивление жидкометаллического тензодатчика при
растягивающих деформациях увеличивается, поскольку длина
трубки увеличивается, а диаметр при постоянном объеме
уменьшается. Жидкометаллические тензодатчики из-за относительно
большого диаметра трубки обладают очень малым
электрическим сопротивлением и, кроме того, отличаются нелинейным
откликом па возрастающие деформации.
В настоящей главе в основном рассмотрены три типа тен-
зорезисторов (фольговые, полупроводниковые и
жидкометаллические), причем наибольшее внимание уделено фольговому
датчику, получившему преимущественное применение в последние
20 лет.
2.1. Тензочувствительность
Лорд Кельвин первым обратил внимание на то
обстоятельство, что изменение деформации проводника сопровождается
изменением его электрического сопротивления AR [2].
Взаимосвязь между AR и деформацией е может быть получена на
основе рассмотрения однородного проводника длиной L, с
площадью поперечного сечения А и удельным сопротивлением р.
Сопротивление такого проводника описывается выражением
R = pL/A. (2.1)
Дифференцирование уравнения (2.1) и деление полученного
результата на R дает
dR/R = dp/p + dL/L —d А/А. (2.2)
Однако если деформирование проводника осуществляется
упруго, то
dA/A = — 2v dL/L + v2 (dL/L)2. (2.2a)
Чувствительность металла, используемого для изготовления
проводника, к деформациям SA (тензочувствительность)
определяется уравнением
SA = {dR/R)/(dL/L). (2.3)
Подстановка выражений (2.2) и (2.2а) в уравнение (2.3) дает
SA = (dp/p)/(dL/L) +1 + 2v - v2 (dL/L). (2.4)
Последние три члена уравнения (2.4) обусловлены изменением
геометрических размеров проводника (dL и dA). Первый член
вызван изменением удельного сопротивления в зависимости от
величины деформации. Последний член уравнения (2.4) при
упругом деформировании металлов обычно не учитывается, по-
Тензодатчики
59
широком диапазоне температур. Во-вторых, никельхромовая
основа сплава карма обеспечивает тензодатчикам более высокие
усталостные характеристики. В-третьих, сплав проявляет
высокую временную стабильность и поэтому предпочтителен при
измерении статических деформаций на протяжении длительных
периодов времени — от нескольких месяцев до нескольких лет.
Главный недостаток сплава карма — трудность пайки выводных
проводников к контактным площадкам датчика.
Сплав изоэластик обладает высокой тензочувствительностью
(S^ = 3,6) и наиболее высокими усталостными характеристиками
среди сплавов, применяемых для изготовления датчиков.
Поскольку сплав исключительно чувствителен к температуре, он не
может быть темперагурпо компенсирован, и, таким образом,
сфера его применения ограничена динамическими или
статическими измерениями, при которых нестабильность, вызванная
температурой, не имеет существенного значения.
Сплавы нихром I/, платиновольфрам и армюр Д применяют
в узкоспециальных приложениях, связанных с высокими
температурами, при которых приобретает существенное значение
устойчивость к окислительным процессам.
2.2. Приклеиваемые тензорезисторы
В качестве чувствительного элемента первых конструкций
электрических тензометров сопротивления (неприклеиваемых
тензодатчиков) использовалась проволочная нить,
установленная на несущей рамке. Рамка соединялась с образцом с
помощью ножевых фиксаторов и крепежных приспособлений,
соответствующих конкретному приложению. Эти датчики
деформаций выдерживали многократное использование, однако были
большими и громоздкими, имели ограниченные динамические
характеристики и вызывали трудности при монтаже. Основным
преимуществом «нового» датчика, разработанного Симмонсом
и Рюджем, явилась возможность приклеивания к образцу.
Приклеиваемые тензодатчики в их современной форме
состоят из элемента, чувствительного к деформации, тонкой
пленки, которая является изолятором и несущей основой для
чувствительного элемента, и контактных площадок для подсоедине-
иия выводных проводов.
Элемент, чувствительный к деформации (рис. 2.2),
представляет собой решетку, которая отштампована или вытравлена
способом фотолитографии из очень тонкого листа
металлической фольги. Конфигурация решетки тензодатчика выбирается
таким образом, чтобы обеспечить необходимое электрическое
сопротивление («100 Ом) чувствительного элемента при доста-
60
Глава 2
точно малых размерах датчика — длине /0 и ширине w0. Размер
решетки варьируется фирмой-изготовителем в соответствии
с практическими приложениями. Выпускаются датчики, длина
которых изменяется в диапазоне от 0,2 до 150 мм. Размер
чувствительного элемента определяется экспериментатором так,
чтобы обеспечить минимальную погрешность, связанную с
неоднородностью поля деформаций. Материал чувствительного
элемента выбирается в соответствии с условиями эксперимента,
включающими температуру, продолжительность измерений,
динамический или циклический характер изменения нагрузки.
Выпускаются
многоэлементные датчики (в виде цепочек),
включающие до 10 элементов.
Такие датчики обычно
используются в областях
геометрической неоднородности таких,
например, как галтель, где
существует высокий градиент
деформации, причем координаты
точки максимальной
деформации заранее неизвестны.
Для измерений при
известных направлениях главных
деформаций применяются
двухэлементные
прямоугольные розетки двухслойной или
плоской конфигурации. Для
двумерных измерений более
общего характера, при
которых не известны как величины*
так и направления главных
деформаций, выпускаются
трехэлементные розетки с дельта-
ориентацией (60°) или
прямоугольной ориентацией (45°).
тана- Кроме того, выпускаются
датчики специального назначения,
такие, как мембранные датчики давления, датчики
напряжений и датчики деформаций сдвига. Важно отметить, что
производство тензодатчиков представляет собой сложившуюся
индустрию, производственные процессы которой характеризуются
гибкостью и надежно контролируются. В результате имеется
широкий выбор как стандартных, так и специальных
конфигураций решетки, что расширяет диапазон применения датчиков.
Изображения некоторых конфигураций решетки приведены
на рис. 2.3.
4
AL/L,%
Рис. 2.1. Зависимость относительного
изменения сопротивления от
относительной деформации для констан-
Тензодатчики
61
Фольга, чувствительная к деформациям, чрезвычайно тонка
(около 0,0025 мм) и легко повреждается. По этой причине до
начала фотографического процесса и травления фольгу наносят
на тонкую пленку, которая служит несущей основой в процессе
производства и контроля перед упаковкой, а также для
манипулирования чувствительным элементом перед монтажом. После
монтажа несущая основа функционирует как изолятор.
В качестве несущей основы датчиков применялись
различные материалы, в том числе акриловые, полиимидные, эпоксид-
но-полиимидные, эпоксидные, эпоксидно-фенольные, фенольные,
эпоксидно-стеклянные, фсполыю-стеклянные, а также бумага.
В качестве основы проволочных датчиков в 1940-х годах
использовалась бумага, однако затем в большинстве случаев она
была заменена топкими полимерными пленками. В большинстве
датчиков общего назначения в качестве материала несущей ос-
Рис. 2.2. Тензорезисторы. Воспроизводится с разрешения BLH Electronics.
новы применяется полиимидная пленка, отличающаяся
гибкостью, прочностью и совместимостью с большинством связующих.
В датчиках, используемых в качестве преобразователей,
применяется очень тонкая пленка из эпоксидной смолы.
Линейно-упругое поведение этого материала удовлетворяет жестким
требованиям линейности и отсутствия гистерезиса, обычно
предъявляемым к преобразователям. Полимеры, армированные
стекловолокном, применяются в датчиках, предназначенных для
работы в условиях больших циклических деформаций.
Упрочнение, создаваемое материалом основы и покрытием
(герметизированные датчики), увеличивает ресурс датчика.
В датчиках, работающих при повышенных температурах,
используются основы из эпоксидных и фенольных смол, арми-
58
Глава 2
Таблица 2.1. Тензочувствительность Sa и состав сплавов,
используемых для изготовления тензодатчиков
Материал
Состав
sa
Константан
Карма
Изоэластик
Нихром V
Платиновольфрам
Армюр Д
45 Ni, 55 Си
74 Ni, 20 Сг, 3 А1, 3 Fe
36 Ni, 8 Cr, 0,5 Mo, 55,5 Fe
80 Ni, 20 Cr
92 Pt, 8 W
70 Fe, 20 Cr, 10 Al
2,1
2,0
3,6
2,1
4,0
2,0
пазоне упругих деформаций. Значения чувствительности для
конкретного состава материала зависят от содержания в сплаве
примесей, режима холодной обработки, примененной при
изготовлении тонкой фольги, и диапазона деформаций, в котором
определялась величина SA. Следует отметить, что для
перечисленных сплавов SA изменяется от 2,0 до 4,0. Этот факт
обусловлен существенным влиянием члена, связанного с изменением
удельного сопротивления (dp/p) / (dL/L) на величину тензочувст-
вительности Sa, поскольку член l-f2v, который
приблизительно равен 1,6, не полностью определяет значение 5Л.
Действительно, в полупроводниковых датчиках член, связанный с
удельным сопротивлением (dp/p) / (dL/L), является преобладающим,
тогда как вклад члена l-f-2v обычно не учитывается.
В большинстве тензодатчиков используется константан
благодаря постоянству тензочувствительности в весьма широком
диапазоне деформаций и отсутствию существенных изменений
при переходе от упругого деформирования к пластическому.
Константан обладает, кроме того, высокими удельным
сопротивлением (р = 0,49 мкОм-м) и температурной стабильностью.
Как свидетельствует диаграмма изменения AR/R в зависимости
от AL/L (рис. 2.1), величина SA константана практически
постоянна в диапазоне деформаций от 0 до 8%. В отожженном
состоянии константан может быть использован при измерении
деформаций до 20%; однако в этом случае у константана
обнаруживается изменение начального сопротивления, свидетельствующее
о систематическом изменении сопротивления при каждом цикле
нагружения. Другое преимущество константана — возможность
создания температурно-компенсированных тензодатчиков путем
согласования коэффициента температурного расширения
датчика с аналогичным параметром технического материала (в
диапазоне от 0 до 100-Ю"6 Х"1).
Сплав карма также широко применяется, причем по
сравнению с константаном он обладает тремя преимуществами. Во-
первых, он может быть температурно компенсирован в более
Тензодатчики
63
рованных стекловолокном. Стекловолокно увеличивает рабочий
диапазон температур материала основы, исключая вязкоупругое
деформирование полимерной пленки. В практических
приложениях, связанных с воздействием очень высоких температур,
решетка датчика крепится и изолируется керамическим клеем без
полимерной основы.
В условиях натурных измерений при воздействии
агрессивных сред применяют герметизированные тензодатчики (рис. 2.4),
Для
стали
Пол£йи.»а моста 2*
а. _
Для
железобетона
130/600
ИИВЯВИ9ЙЙ
для 88/350
асфальта
Рис. 2.4. Герметизированные тензодатчики. Воспроизводится с разрешения
Hottinger Baldwin Measurements.
которые защищены от влияния внешней среды и условий
эксплуатации. В процессе изготовления датчики устанавливают на
фольгу из нержавеющей стали или латуни, а затем покрывают
фольгой или пленкой из резины либо поликарбоната.
Другой тип датчика деформаций реальных объектов в
условиях высоких температур — привариваемые датчики (рис. 2.5).
Рис. 2.3. Образцы фольговых тензорезисторов. а> б, в — одноэлементные
датчики, г, д — двухэлементные розетки, е — двухэлементная двухслойная
розетка; ж, з — трехэлементные розетки; и — трехэлементная трехслойная розетка;
к — датчик момента; л — тензодатчик для мембранных датчиков давления; м —
датчик напряжений; н — одноэлементные датчики для исследования бетонных
конструкций. Воспроизводится с разрешения Measurements Group, Inc.
64
Глава 2
г
6
Рис. 2.5. Привариваемый тензодатчик. а — внешний вид, б — схема констру]
ции; 1 — деформируемая нить из сплава NiCr, 2 — деформируемая трубка i
нержавеющей стали 321 SS, 3 — спрессованный порошок MgO, 4 — устан<
вочный фланец.
Чувствительный элемент таких датчиков выполнен в виде toi
кой нихромовой проволоки, которая помещается в трубку и
нержавеющей стали. При этом проволока запрессовываете
порошком окиси магния, что обеспечивает механическую связ
и высокотемпературную изоляцию. Трубка припаивается твер
дым припоем к фольге из нержавеющей стали, которая в cboi
очередь приваривается точечной сваркой к исследуемой кок
струкции.
Тензодатчики с гибкой основой обычно устанавливаются н
образце с использованием монтажной ленты [6]. Эта методик;
66
Глава 2
ризации для обеспечения тонкого, однородного слоя клея к
датчику должно быть приложено давление от 70до210кПа. Чтобы
гарантировать полную полимеризацию, эпоксидные клеи обычно
полимеризуются при повышенных температурах в течение
нескольких часов. Для приготовления эпоксидного клея,
применяемого в конкретных практических задачах тензометрии,
выпускаются дозированные наборы компонентов. Рабочий диапазон
температур эпоксидных клеев определяется их составом.
По-видимому, наилучшим является эпоксидно-фенольный клей с
рабочим диапазоном температур от —269 до 260 °С. Допустимое
относительное удлинение также зависит от состава клея и
изменяется обычно в пределах 3—10%.
Полиимид представляет собой однокомпонентный полимер,
который может применяться в чрезвычайно широком диапазоне
температур от —269 до 399 °С. Полиимид отверждается под
давлением 275 кПа при температуре 260 °С. Этот клей
эффективен при измерении деформаций в условиях повышенных
температур, вплоть до 315 °С. Полиимид обеспечивает при
комнатной температуре измерение деформаций, превышающих 2%.
Керамические связующие, используемые для монтажа тен-
зодатчиков, обычно состоят из смеси фосфата алюминия и
кремния. Применение связующего, как правило, осуществляется
в два этапа. На первом этапе наносится и высушивается
тонкая пленка, являющаяся изолятором. На датчик со съемной
несущей подложкой затем наносится второе покрытие. Керамика
отверждается без повышения давления при температуре около
315 °С. Рабочий диапазон температур простирается от —269
до 650 °С, причем при температуре 555 °С сопротивление утечки
составляет не менее 106 Ом.
После отверждения клея (исключение — керамика) тензодат-
чик должен быть покрыт герметиком, таким, как, парафин,
каучук или полиуретан. Покрытие защищает решетку, несущую
основу и клей от разрушительного действия влаги и
увеличивает ресурс тензодатчика.
Решетка тензодатчика содержит контакты, которые
упрощают подключение сигнальных проводов. Большие контакты
облегчают подключение и снижают чувствительность части датчика,
выходящей за пределы области измерения. Выпускаемые в
настоящее время датчики характеризуются большим
разнообразием конфигураций контактов и сигнальных проводов. В
случаях когда контакты обладают малым размером (миниатюрные
датчики), сигнальные провода должны подключаться к датчику
изготовителем до установки.
Тензодатчики
67
2.3. Тарировка тензодатчиков
Тензочувствительность однородного проводника длиной L,
поперечным сечением А и сопротивлением R определяется
уравнением (2.3). Когда проводнику придается форма решетки
с целью уменьшения его длины, тензочувствительность
изменяется, причем датчик чувствителен как к продольной, так и к
поперечной деформации. Сигнал установленного на поверхности
детали датчика, подвергнутого продольной деформации еа,
поперечной деформации и деформации сдвига ^аи может быть
выражен в виде
dR/R = Saea + Stet + Ssyat, (2.10)
где Sa — продольная тензочувствительность датчика; St—
поперечная тензочувствительность датчика; Ss —
чувствительность датчика к деформации сдвига. В общем случае
чувствительность датчика к деформации сдвига мала и ею можно
пренебречь. Следовательно, сигнал тензодатчика
представляется в виде
dR/R = Sa(sa + Ktet), (2.11)
где Kt = St/Sa — коэффициент поперечной тензочувствительности
датчика.
Изготовители тензодатчиков указывают для каждого
датчика коэффициент поперечной чувствительности Kt и тарировоч-
ную постоянную, называемую тензочувствительностью датчика
Sg. Тензочувствительность датчика Sg определяется путем
оценки характеристик произвольно выбранной партии датчиков,
изготовленных в соответствии с принятой технологией. Изменение
сопротивления dR датчика связано с тензочувствительностью
Sg и продольной деформацией га тарировочного образца
соотношением
dR/R = Sgea. (2.12)
Поле напряжений в тарировочном образце, используемом для
определения величины Sgf одномерно; следовательно, поле
деформаций, воздействующее на датчик, двумерно и
удовлетворяет уравнению
e*=-v0ea, (2.13)
где vo=0,285 — коэффициент Пуассона материала тарировочного
образца. Подстановка выражения (2.13) в уравнение (2.11)
дает
dR/R = Saea(l~v0Kt). (2.14)
5*
68
Глава 2
Сравнение уравнений (2.12) и (2.14) приводит к
соотношению
Sg = Sa(l-v0Kt). (2.15)
Согласно уравнению (2.15) тензочувствительность датчика Sg
связывает изменение сопротивления dR с продольной
деформацией 8а, испытываемой датчиком, только при Kt = 0, или при
измерениях в одномерном поле напряжений на материале с
коэффициентом Пуассона v=0,285. Во всех других случаях
измерения проводятся с некоторой погрешностью из-за
неточности определения Sg. Погрешность может быть определена на
основе рассмотрения сигнала датчика в двумерном поле общего
вида с компонентами деформации га и е*. Подстановка
выражения (2.15) в уравнение (2.11) позволяет получить следующую
зависимость:
dRIR = Sgsa (1 + Ktet/sa)/(l - VoKt). (2.16)
Решение уравнения (2.16) дает истинную продольную деформацию
Sg l + Kt(et/ea) ' V-u>
Из уравнения (2.12) получается кажущаяся деформация еа:
e'a = (dR/R)/Sg. (2.18)
Подстановка выражения (2.18) в уравнение (2.17) дает
га = га (l-v0Kt)/[l + Kt (et/ea)]. (2.19)
Относительная погрешность Щ (%), связанная с пренебрежением
поперечной тензочувствительностью датчика, выражается в виде
-е£.(Ю0). (2.20)
Подстановка (2.19) в (2.20) дает
9 = &г (Фа + v0)/(l - v0Kt). (2.21)
Результаты расчетов по уравнению (2.21), представленные на
рис. 2.6, свидетельствуют о зависимости погрешности от
коэффициента поперечной тензочувствительности Kt и коэффициента
двумерности деформаций st/sa. Поскольку при больших
значениях этих параметров возможны значительные погрешности, в
результаты измерений следует вводить поправки, учитывающие
поперечную тензочувствительность датчика.
Корректировка результатов, связанная с влиянием
поперечной тензочувствительности при неизвестном поле деформаций,
требует экспериментального определения деформаций в двух
взаимно перпендикулярных направлениях. Если г/ и г/ —
Тензодатчики
65
упрощает манипулирование датчиком и обеспечивает точные
установку и ориентирование датчика на образце в процессе
крепления. Крепление датчиков на образце осуществляется
клеем, обладающим прочностью, линейной упругостью и
стабильностью в течение длительного периода времени. Этим
требованиям удовлетворяют многие клеи. Вместе с тем многие
клеи общего назначения могут не обладать достаточной
стабильностью, гарантирующей точное измерение деформаций.
Изготовители тензодатчиков поставляют несколько различных
клеев, которые специально предназначены для конкретных
условий измерения. Комбинация датчика, его несущей основы
и клея создает преобразователь для измерения деформаций.
Целостность данной системы, требующая самого серьезного
внимания, обеспечивается применением апробированных клеев,
а также соответствующих процедур нанесения и сушки.
В качестве клеев наиболее широко используются метил-2-
цианоакрилат, эпоксидная смола, полиимид и некоторые виды
керамики.
Клеи на основе цианоакрилата не требуют ни нагревания, ни
отвердителя для инициирования полимеризации1*. При
разбрызгивании такого клея в виде тонкой пленки между тензодатчи-
ком и образцом и воздействии на него незначительного
давления для начала полимеризации оказывается достаточным
присутствие на поверхностях небольших следов влаги и (или)
окислов. Для ускорения полимеризации на одну из поверхностей
может быть нанесен катализатор. Благодаря чрезвычайно
быстрой полимеризации клей на базе цианоакрилата является
идеальным компонентом для тензодатчиков общего назначения.
Минутного нажатия большим пальцем и двухминутной паузы
перед удалением ленты оказывается достаточным для
последующей полимеризации во время подключения сигнальных
проводов. Циапоакрнлаг может использоваться в диапазоне
температур от —32 до 65 °С. Он обеспечивает правильное измерение
деформации не выше 6%. Поскольку прочность клея снижается
с течением времени и в результате поглощения влаги,
необходимо защищать датчик от влаги при его длительной
эксплуатации.
Эпоксидный клей состоит из смолы и отвердителя, который
вступает в реакцию со смолой, обеспечивая полимеризацию.
В некоторых случаях для снижения вязкости смолы в нее
добавляется растворитель. Разбавленные смолы (или эпоксидно-
фенольные смолы) более предпочтительны, так как образуют
очень тонкие высокопрочные, однородные пленки со слабо
выраженными ползучестью и гистерезисом. В процессе полиме-
!> В отечественной практике — это клей «циакрин». — Прим. ред.
5—1480
Тензодатчики
69
кажущиеся деформации в продольном и поперечном
направлениях соответственно, то из уравнения (2.19) следует
г'а= 1-\0кг ^a + Ktst), г\ = i_loKt (*t + KtZa), (2.22)
где га и et — истинные деформации. Решения [уравнения (2.17)
относительно истинных деформаций имеют вид
Коэффициент поперечной чувствительности Kf
Рис. 2.6. Зависимость относительной погрешности & от коэффициента
поперечной тензочувствительности при различных величинах отношения
поперечной деформации к продольной et/ea.
Уравнения с поправкой на величину поперечной деформации
применительно к двух- и трехэлементным розеткам приводятся
в работе [7].
2.4. Характеристики фольговых тензодатчиков
Фольговые тензодатчики представляют собой хмалогабарит-
ные точные резисторы, смонтированные на гибкой несущей
основе, прикрепляемой к исследуемой конструкции. Сопротивление
датчика измеряется с погрешностью в пределах ±0,4%, тогда
как допустимая погрешность тензочувствительности Sg,
основанной на градуировочных данных партии датчиков, составляет
±1,5%. В соответствии с этими данными фольговый тензодатчик
Тензодатчики
71
Для правильно установленных датчиков отклонения от
линейности должны составлять около 0,1% максимальной
деформации при использовании основы из полиимида и 0,05% для
основы из эпоксидной смолы. Наибольшую трудность
представляет оценка гистерезиса и смещения нуля в нулевом цикле
нагружения В большинстве практических приложений
смещение нуля составляет около 1 % максимальной деформации.
Рекомендуется (если это возможно) предварительное циклическое
нагружение при уровне 125% максимальной нагрузки в
эксперименте, что позволяет снизить гистерезис и смещения нуля после
начальных четырех—пяти циклов нагружения до уровня, не
превышающего 0,2% максимальной деформации.
Температура
Воздействие на конструкцию тензодатчика колебаний
температуры во многих практических задачах является наряду
с воздействием нагрузки важным фактором, изменяющим со-
Темперагл ура, ° с
Рис. 2.8. Зависимость тензочувствительности сплавов константан и карма от
температуры.
противление тензорезистора. При измерении температуры
окружающей среды возникают четыре эффекта, способных изменить
функциональные характеристики датчика: 1) изменение
тензочувствительности металлического сплава SA\ 2) удлинение
или сокращение решетки датчика (AL/L = aAT)\ 3) удлинение
или сокращение образца (AL/L = pAT); 4) изменение
сопротивления датчика (AR/R = ^AT).
Тензочувствительность SA двух наиболее широко
используемых сплавов (константан и карма) —линейная функция
температуры (рис. 2.8). Как свидетельствуют приведенные
графики, величины ASa/AT составляют 0,00735 и —0,00975% на 1 °С
для сплавов константан и карма соответственно. В связи с тем
70
Глава 2
позволяет производить достаточно точные измерения
деформаций. Вместе с тем на результаты измерений влияют процедура
установки, уровень измеряемых деформаций и условия
окружающей среды при проведении испытаний. Как правило,
погрешность получаемых результатов существенно превышает
теоретическую погрешность, соответствующую паспортным
данным датчика.
Циклическое деформирование
Оценка функционирования тензоизмерительной системы (под
«системой» подразумеваются датчик, клей и средства
измерения) включает рассмотрение линейности, гистерезиса и измене-
Рис. 2.7. Характеристика циклического деформирования тензодатчика,
включающая нелинейность, гистерезис и смещение нуля (масштаб условный).
ния начального сопротивления (дрейф нуля). На рис. 2.7
изображена зависимость выходного сигнала датчика,
представленного в единицах измеряемой деформации, от циклически
изменяющейся деформации. Как правило, на практике
наблюдаются небольшие отклонения от линейности, причем кривая
разгрузки располагается ниже кривой нагружения, образуя
петлю гистерезиса. Кроме того, выходной сигнал датчика после
разгрузки свидетельствует о наличии малой отрицательной
деформации, называемой смещением нуля. Величина отклонения
от линейности, гистерезис и смещение нуля зависят от уровня
деформации, качества приклейки датчика, режима холодной
обработки фольги и материала основы.
Смещение нуля
72
Глава 2
что изменения SA достаточно малы (менее 1% для ДГ=100°С),
эти изменения при обычном анализе напряжений не
учитываются. Однако при исследовании температурных напряжений,
когда систематически наблюдаются перепады температуры
~102°С, изменения SA надо учитывать. При этом наиболее
существенны эффекты 2, 3 и 4, вызывающие изменение
сопротивления датчика с температурой (Д7?/7?)дт, согласно уравнению
(AR/R)AT = (Р - a) Sg AT + у AT, (2.24)
где а — коэффициент теплового расширения материала
датчика; р — коэффициент теплового расширения материала образца;
Sg — тензочувствительность датчика; «у — температурный
коэффициент сопротивления материала датчика.
Различие в тепловом расширении материалов датчика и
образца приводит к механическим деформациям решетки
датчика 8Т=(Р—а)ДГ, вызванным воздействием на образец не
силовых факторов, а температуры. Датчик реагирует на деформацию
ет точно так же, как и на деформацию образца е,
обусловленную нагрузкой, что порождает компоненту выходного сигнала,
соответствующую температуре.
При равенстве коэффициентов теплового расширения
материалов датчика и образца кажущаяся деформация определяется
вторым членом уравнения (2.24), тогда как первый член равен
нулю. Температурная компенсация датчика достигается лишь
при условии, что оба члена в уравнении (2.24) либо равны
нулю, либо взаимно уничтожаются.
Величины а и «у весьма чувствительны к составу сплава и
режиму его холодной обработки в процессе прокатки фольги.
Общепринятым этапом производственного цикла изготовления
тензодатчиков является выборочное измерение температурных
характеристик нескольких датчиков из каждого рулона фольги,
используемой при изготовлении решеток. Существование
вариаций в величинах а и у от плавки к плавке и от рулона к рулону
позволяет подбирать датчики, изготовленные на базе сплавов
константан и карма, применительно к различным
конструкционным материалам. Такие датчики называют датчиками из
выборочных плавок или температурно-компенсированными
датчиками.
К сожалению, датчики из выборочных плавок не являются
полностью компенсированными в широком диапазоне
температур из-за нелинейных членов, которых нет в уравнении (2.24).
Типичные датчики из выборочных плавок обнаруживают
присутствие кажущейся деформации, изменяющейся с
температурой так, как показано на рис. 2.9. Кажущаяся деформация,
вызванная изменением температуры в несколько градусов в
окрестности уровня 24°С, достаточно мала {менее 0,5 мкм/(мХ
Тензодатчики
73
Х°С)]. Однако при существенных изменениях температуры
кажущаяся деформация становится значительной, что требует
соответствующей коррекции. С этой целью осуществляют
измерения температуры вблизи датчика и используют зависимость
кажущейся деформации от температуры, аналогичную графику
на рис. 2.9.
Максимальная деформация
Максимальная деформация, измеряемая фольговым
датчиком, определяется базой датчика, материалом фольги,
материалом несущей подложки и связующим. Сплавы константан и карма
-50
+ 300
+ Z00
+ 500
^ +400
!
§ +100
I 0
|-100
« -200
^ -400
^ -500
Температура ,°С
50 100
150
200
250
1
1
1
1
\
1
V
/
/
/
/
74°г
щ
ума
/
/
*
L т
У
Канет
.
антан
г
/
/
(
Рис. 2.9. Зависимость кажущейся деформации от температуры для сплавов
константан и карма.
на несущей основе из полиимида, используемые в тензодатчиках
общего назначения, могут применяться для измерения
деформации в пределах ±5 и ±1,5% соответственно. Эти пределы
деформирования соответствуют диапазону упругого
деформирования металлических и керамических элементов конструкций, в
которых деформации текучести или разрушения обычно не
превышают 1%. Указанные пределы, однако, легко могут быть
превышены при исследовании пластических деформаций,
существенно превышающих предел текучести конструкционного
материала. В таких случаях обычно используются датчики больших
деформаций, которые содержат решетку из дважды отпущенной
константановой фольги с основой из полиимида, способной к
значительному удлинению. Для крепления датчиков к конструк-
74
Глава 2
ции используют эпоксидные смолы, модифицированные урета-
ном. Соблюдение необходимых мер предосторожности при
подготовке поверхности конструкции, зачистке обратной стороны
датчика, составлении пластифицированного высокоэластичного
клея и фиксации подводящих проводов (не вносящей
существенной концентрации напряжений) позволяет достичь деформации
около 20% до возникновения трещин в паяных контактах или на
концах решетки датчика. При больших деформациях необходим
учет поведения тензочувствительности датчика, о чем
свидетельствует уравнение (2.9). Тензочувствительность датчика
становится функцией деформации (Sg = 2 + е), и для учета этой
нелинейности необходима коррекция получаемых результатов.
При очень больших деформациях, когда нельзя применять
фольговые датчики, рекомендуется использовать жидкометалли-
ческие датчики деформаций, состоящие из наполненной галлие-
во-индиево-оловянным сплавом резиновой капиллярной трубки,
концы которой перекрыты подводящими проводами. Подобный
датчик крепится к детали с помощью эластичного резинового
клея. При растяжении детали длина трубки увеличивается,
диаметр уменьшается, а объем внутренней полости остается
постоянным. Изменение сопротивления AR/Ro возрастает вместе с
деформацией в соответствии с уравнением (2.8), в результате
чего чувствительность датчика описывается уравнением (2.9).
Исходное сопротивление датчика очень мало (меньше 10м),
поэтому следует использовать мост Уитстона с
соответствующим источником питания и подбором сопротивлений.
Рассеяние мощности
Хорошо известно, что изменения температуры способны
сильно влиять на выходной сигнал тензодатчиков, в особенности
если они температурно не компенсированы. Температура
датчика зависит от температуры окружающей среды и мощности,
рассеиваемой датчиком при подсоединении его к измерительной
схеме. Рассеиваемая мощность Р выделяется в форме тепла,
вследствие чего температура датчика превышает температуру
окружающей среды. Определение точной величины разности
температур представляет существенную трудность, поскольку на
тепловой баланс датчика влияют различные факторы: 1)
размеры датчика w0 и L0; 2) конфигурация датчика, размеры токопро-
водящих элементов и расстояние между ними; 3) несущая
основа — тип полимера и толщина; 4) клей — тип полимера и
толщина; 5) материал детали, коэффициент
температуропроводности; 6) объем образца в области крепления датчика; 7) тип и
толщина защитного покрытия датчика; 8) скорость воздушного
потока, обдувающего конструкцию датчика.
Тензодатчики
75
Таблица 2.2. Допустимые рассеиваемые удельные мощности
Образец
Удельная мощность PD,
Вт/мм2
Массивный алюминиевый или медный
прокат
Массивный стальной прокат
Тонкий стальной прокат
Стеклопластик, стекло, керамика
Ненаполненные пластмассы
0,008—0,016
0,003—0,008
0,0015—0,003
0,0003—0,0008
0,00003—0,00008
Для описания характеристик тепловыделения конструкции
тензодатчика часто используется удельная мощность PD=P/A,
где Р—мощность, рассеиваемая датчиком, и А — площадь
решетки датчика. Допустимая удельная мощность существенно
зависит от исследуемой детали, которая служит тепловым
резервуаром (радиатором). Рекомендуемые значения PD для
различных материалов и условий перечислены в табл. 2.2.
На рис. 2.10 приведены допустимые уровни напряжения
питания моста для заданных размеров и рассеиваемой удельной
мощности датчиков с сопротивлением 120 Ом. Типичные
конфигурации решетки датчиков обозначены на рисунке вдоль
абсциссы для иллюстрации влияния размеров датчика на
допустимую величину напряжения питания моста. Следует отметить,
что малогабаритные датчики, установленные на маломощных
радиаторах, требуют меньшего напряжения питания моста по
сравнению с используемым в большинстве серийных
тензодатчиков (3—5 В). В таких случаях следует использовать высоко-
омные датчики, датчики с большей площадью решетки или
последовательно соединенный резистор для снижения напряжения
на датчиках как в активном, так и в компенсационном плечах
моста.
Усталость
Во многих случаях тензодатчики устанавливаются на
элементах конструкции, подверженных циклическому нагружению,
причем ресурс конструкции, в течение которого используется
тензодатчик, составляет несколько миллионов циклов. Для
данного класса практических задач представляют интерес три
параметра — смещение нуля, изменение чувствительности
датчика и повреждение датчика в связи с усталостью.
По мере того как тензодатчик подвергается повторяющемуся
циклическому деформированию, его решетка уплотняется и ее
сопротивление изменяется, что вызывает смещение нуля,
зависящее от величины деформации, числа циклов, материала
Тензодатчики 77
(сплав) решетки, режима холодной обработки сплава и вида
основы датчика. Типичные примеры зависимости смещения
нуля от числа циклов деформирования приведены на рис. 2.11
для четырех различных типов датчиков. Наихудшим для
рассматриваемых задач является константановый датчик с
открытой поверхностью (ЕА), у которого начинается заметное
смещение нуля после 103 циклов. Капсулирование решетки при
помощи эпоксидно-фенольной смолы, армированной
стекловолокном (тип WA), увеличивает ресурс таким образом, что
смещение нуля становится ощутимым после 105 циклов с
амплитудой 2100 мкм/м.
Дальнейшее улучшение параметров может быть обеспечено
применением решеток из сплавов карма и изоэластик, которые
полностью герметизированы эпоксидно-фенольной смолой
основы, усиленной стекловолокном, и снабжены соединительными
проводами, установленными на заводе-изготовителе. Изменения
чувствительности датчика при циклическом деформировании
чрезвычайно малы и, как правило, могут не приниматься во
внимание до тех пор, пока смещение нуля не превысит
~ 102 мкм/м.
Весьма существенный фактор, требующий учета при
использовании тензодатчиков в условиях циклического нагружения,—
увеличение тензочувствительности, обусловленное
распространением трещины в решетке датчика. Трещина, как правило,
развивается в решетке вблизи соединения сигнального
провода с контактной площадкой. Наличие трещины вызывает
небольшое увеличение сопротивления датчика, которое
воспринимается как кажущаяся деформация. Таким образом,
кажущаяся тензочувствительность датчика возрастает в результате
возникновения и лоследующего развития усталостной трещины.
Время
Существуют такие области применения тензодатчиков,
когда требуется непрерывная регистрация деформаций на
протяжении месяцев или даже лет без разгрузки образца и повторной
проверки уровня нуля. Наиболее серьезные трудности
применения тензодатчиков в подобных задачах связаны с большим
временем регистрации. На измерениях сказывается весь комплекс
факторов, способных влиять на функционирование
тензодатчиков; причем вклад каждого отдельного фактора в суммарную
Рис. 2.10. Допустимый уровень напряжения питания моста в зависимости от
площади решетки (произведение длины датчика на ширину) для различных
величин рассеиваемой удельной мощности. Воспроизводится с разрешения
Measurements Group Inc.
78
Глава 2
погрешность становится существенным вследствие
продолжительного времени измерений.
Дрейф нуля тензорезистора обусловлен влиянием на основу
и связующее влаги или изменений влажности, релаксацией
внутренних напряжений в слое связующего, основе и
материале тензодатчика, нестабильностью параметров резисторов в
Уровень дефс мации 2250 | WK-05-250BG-350
1
1
11
1 !
Т
Tii
600
500
400
300
200
100
О
104 105
Число циклов Л/
Рис. 2.11. Зависимость смещения нуля от числа циклов деформирования для
четырех типов тензодатчиков. Уровень деформации дан в единицах
микродеформации. Воспроизводится с разрешения Measurements Group Inc
пассивных плечах моста Уитстона, временным дрейфом
источника питания.
На рис. 2.12 представлены результаты серии испытаний
стабильности тензодатчиков, выполненных в работе [8].
Типовой тензодатчик общего назначения, включающий в свой состав
решетку из константана и несущую основу из полиимида, обна-
Тензодатчики
79
руживает смещение \нуля порядка 270 мкм/м в течение 30 сут.
В связи с тем что конструкция тензодатчика обеспечивала
надежную влагозащищенНость, значительный вклад в суммарный
дрейф был обусловлен релаксацией напряжений в полиимидной
основе на протяжении времени наблюдений. Датчик из констан-
тана с несущей основой из фенольной смолы, усиленной
стекловолокном, обнаруживал смещение нуля около 100 мкм/м
в течение 50 сут. Присутствие стекловолокна в значительной
мере устраняет дрейф, вызванный релаксацией напряжений в
материале несущей основы. Причина наблюдавшегося в экспе-
I
500
400
^ 300
i
Г 200
100
i i i f ii111
[ i i ii 11|
j i i i i 11
10
50
Время,с\/т
100
500 1000
Рис. 2.12. Временной дрейф нескольких типов тензодатчиков при температуре
75 °С [8]. Кривая 1—решетка из константана на основе полиимида; 2 —
решетка из константана, герметизированная на основе из фенольного стекла;
3 — решетка из сплава карма, герметизированная на основе из эпоксидно-
фенольной смолы со стекловолокном.
риментах дрейфа — нестабильность решетки из константана.
Наиболее удачные результаты были получены при
использовании решетки из сплава карма с герметизированной основой из
эпоксидно-фенольной смолы, усиленной стекловолокном. В
течение 900-сут периода наблюдений дрейф нуля составил всего
лишь 30 мкм/м.
Приведенные результаты свидетельствуют о возможности
длительных измерений с помощью тензорезисторов при
использовании решеток из сплава карма в сочетании с несущими
основами из эпоксидно-фенольной смолы, усиленной
стекловолокном, и хорошо отвержденного эпоксидного клея. Для ослабления
влияния влаги конструкция тензодатчика должна быть влаго-
80
Глава 2
защищенной. Для сохранения стабильности моста в течение
длительного времени в мостовой схеме требуется применение
герметизированных резисторов.
Градиенты деформации
Деформации, регистрируемые тензорезисторами,
представляют собой производные компонент перемещения и, и, w:
&хх = &и/8х, гуу = бгУбг/, ezz = dw/8z. (2.25)
Теоретически деформации определяются в заданной точке
Р(х, у, г)\ однако фактически они представляют собой
результаты усреднения истинной деформации в пределах площадки,
занятой датчиком. Усреднение приводит к формированию
выходного сигнала dR/R.
Тензорезисторы градуируют на эталонной балке, в
продольном направлении которой (например, X) градиент деформации
линеен, а в поперечном направлении (например, Y) равен нулю.
В процессе градуировки эффект усреднения учитывается
отнесением соотношения dR/R = Sgx к центральной точке датчика.
Однако при исследовании полей, характеризующихся
нелинейными градиентами деформаций, возникают погрешности,
которые могут быть существенными.
Для анализа погрешности рассмотрим поле деформаций,
характеризующееся нелинейным градиентом в направлении X
и отсутствием градиента в направлении У. Таким образом,
&хх ~ &i*£2 -\-к2х -\- к3. (2.26)
Из уравнения (2.26) получается средняя деформация,
измеренная датчиком длиной L0:
lo
е** !ср = То- S (^ + k2x + k3)dx = J^+J^+fc,. (2.27)
0 о
Деформация в центре датчика (с координатой х = L0/2) является
истинной. Таким образом,
ехх \x=Lo/2 = hLl/4+k2L0/2 + k3. (2.28)
Следовательно, абсолютная погрешность Щ составляет
Щ= — ^/12. (2.29)
Согласно уравнению (2.29), измеряемая деформация меньше
истинной. Погрешность зависит от градиента деформации
(который определяется коэффициентом к\) и квадрата длины
датчика L0.
Тензодатчики
81
В работе [1] рассмотрены погрешности, вызванные
градиентами деформаций, на примере одноосного нагружения
бесконечной пластины с отверстием радиусом Ro при номинальных
напряжениях со. Максимальная деформация на контуре
отверстия равна
е Ukc= -gr [4 + -| (v - 3) cos 20-JL (1 + v) (2 - A) cos 40].
(2.30)
Для оценки относительной погрешности в условиях
конкретного эксперимента были рассмотрены пластина с отверстием
диаметром 13 мм и теизодатчик с квадратной решеткой и
активной длиной 1,6 мм, установленный на поверхности пластины
вблизи отверстия. В данном примере основное геометрическое
соотношение Lo//?o = 0,25 приводит к погрешности измерений
около —24%. Погрешность может быть снижена в соответствии
с уравнением (2.30) путем уменьшения активной длины и
ширины датчика, однако использование серийных тензодатчиков при
диаметре отверстия не более 13 мм не позволяет снизить
погрешность до 5% и менее. Логично предположить, что аналогичные
погрешности также имеют место при измерениях деформаций в
зонах локальных максимумов вблизи концентраторов других
типов. Важно отметить, что измерение тензодатчиком дает
заниженную деформацию.
Эффект подкрепления
При использовании тензодатчиков для исследования
металлических конструкций влияние датчика (клей, несущая основа,
решетка, покрытие) на жесткость конструкции пренебрежимо
мало при условии, что толщина конструкции в месте крепления
тензодатчика существенно превышает его толщину. При
установке на низкомодульных материалах, таких, как бумага или
пластмассы, или на любых объектах с малой толщиной тензо-
датчик оказывает на конструкцию подкрепляющее воздействие
в своей ближайшей окрестности. Эффективный модуль
упругости конструкции тензодатчика изменяется в зависимости от его
типа и используемого клея в диапазоне 7—20 ГПа.
Эффекты подкрепления [9—12] обычно делятся на две
основные категории: 1) локальные, при которых возмущающее
воздействие тензодатчика проявляется лишь в области,
непосредственно прилегающей к нему; 2) общие, при которых
возмущающему воздействию подвергаются деформации всей
конструкции в целом. Локальное подкрепление имеет место при
установке тензодатчика на краю тонкой пластины. Деформации
материала, расположенного под датчиком, ненамного отличают-
6—1480
82
Глава 2
ся от деформаций материала в удаленных областях. Однако
при измерении возникает погрешность из-за передачи
деформаций по длине датчика, вызванная деформациями сдвига в
области контакта материала и датчика. Результаты количественной
оценки погрешности из-за передачи деформаций приведены на
рис. 2.13. Эти результаты свидетельствуют о том, что локальное
подкрепление металлических конструкций большого сечения
незначительно, но погрешность становится весьма существенной
для низкомодульных полимерных материалов при L0<13 мм.
Для учета локального подкрепления, вызванного конкретным
тензодатчиком, может потребоваться повторная градуировка на
основе процедуры, имитирующей эффект локального
подкрепления. При этом определяется эффективная
тензочувствительность датчика Sge, учитывающая деформацию сдвига в клеевом
соединении при исследовании низкомодульных материалов.
Когда эффект подкрепления имеет глобальный характер и
тензодатчик оказывает влияние на объект в пределах всего
поперечного сечения, проблема усложняется. Глобальное
подкрепление имеет место при малых размерах элемента конструкции.
Погрешность, вызванную глобальным подкреплением,
характеризуют ее зависимости от длины датчика и модуля упругости
исследуемого элемента конструкции при допущении о полной
передаче деформаций тензодатчику (рис. 2.14). Приведенные
Длина датчика, мм
Рис. 2.13. Погрешность, обусловленная локальным подкреплением
конструкции тензодатчиком [10]. Погрешность — отрицательная величина. Е\ — модуль
упругости материала образца Эффективный модуль упругости датчика равен
.8,0 ГПа. Толщина конструкции датчика составляет 0 043 мм
Тензодатчики
83
Глубина элемента конструкции^м
0,2 0,5 1,0 2,0 5,0 10 20
i , , | , , л,' i, i ,l j i , , , , i , , i, , , ,1,,, ,1, i, i ,1 м , , , , i,
Рис. 2.14. Погрешность, обусловленная общим подкреплением конструкции
тензодатчиком [1]. Характеристики погрешности, материала и датчика те же,
что и указанные в подписи к рис. 2.13.
результаты дают завышенную оценку погрешности для
образцов большей ширины, так как тензодатчики обычной ширины не
подкрепляют всего сечения. Графики дают заниженную оценку
погрешности для глубины d>2,5 мм, так как длина датчика
L0 невелика по сравнению с глубиной образца и полная
передача деформаций решетке датчика не реализуется.
2.5. Работа тензорезисторов при низких
и умеренных температурах
Методы измерения деформаций при умеренных температурах
Тензорезисторы могут применяться при повышенных
температурах как при статическом, так и при динамическом
исследовании напряжений; во время измерений требуется соблюдать
меры предосторожности, зависящие в первую очередь от
температуры и времени наблюдений. При повышенных температурах
6*
64
Глава 2
сопротивление R тензодатчика следует рассматривать не только
как функцию деформации е, но и как функцию температуры Т
и времени /:
AR/R = SgAs + ST AT + St At, (2.31)
где Sg—чувствительность датчика к деформации; ST —
чувствительность датчика к температуре; St — временная
чувствительность датчика. Как показано при рассмотрении
характеристик фольговых тензодатчиков, временная и температурная
чувствительности датчиков могут быть сведены к минимуму при
нормальных рабочих температурах (24 °С) путем
соответствующего выбора материалов решетки и основы тензодатчика. По
мере увеличения рабочей температуры точное измерение
деформации становится все более затруднительным, поскольку
чувствительности ST и St возрастают.
Влияние температуры на функционирование сплавов
константан и карма в диапазоне от —73 до 260 °С представлено* на
рис. 2.8 и 2.9. При больших изменениях температуры
чувствительность датчика линейно изменяется с температурой. При
известной температуре тензодатчика корректировка параметра
Sg относительно невелика и легко выполнима. Член STAT
характеризует кажущуюся деформацию (рис. 2.9), вычитание
которой из измеренной деформации приводит к точному
результату. Для определения кажущейся деформации по рис. 2.9
необходимо измерить температуру самого датчика или
прилегающих к нему областей. Как свидетельствуют данные, приведенные
;на рис. 2.9, сплав карма в большей степени приспособлен для
измерений при больших изменениях температуры, чем
константан. Тензодатчики, изготовленные с использованием сплава
карма, могут использоваться в диапазоне температур от —18
до 260 °С при кажущейся деформации, вызванной изменением
температуры, в пределах ±100 мкм/м.
Стабильность тензодатчика также подвержена влиянию
температуры, причем дрейф тензодатчика становится все более
серьезной проблемой по мере роста температуры и
продолжительности измерений. На стабильность влияют релаксация
напряжений в клеевом соединении и материале основы, а также
структурные изменения (фазового состава при отжиге) в сплаве
тензодатчика. Верхний предел рабочих температур серийно
выпускаемых тензодатчиков из сплава карма определяется
материалом основы. Подложки из эпоксидно-фенольных смол,
усиленных стекловолокном, обладают рабочим диапазоном на
288 °С, однако тензодатчики, изготовленные из сплава карма,
обнаруживают в сочетании с подложками этого типа временной
дрейф нуля. Если время воздействия нагрузки и проведения
наблюдений достаточно велико, для учета дрейфа должна быть
Тензодатчики
85
выполнена коррекция. Диапазон дрейфа определяется как
уровнем деформаций, так и температурой. Для исследования полей
деформации в условиях высоких температур необходимо
наличие семейства градуировочных зависимостей деформации от
времени, охватывающих весь диапазон исследуемых
деформаций и температур. Коррекция дрейфа нуля может, таким
образом, быть выполнена на основе соответствующей кривой
данного семейства.
Проблема стабильности и кажущейся деформации
тензодатчика в связи с изменениями температуры существенно
упрощается при малом времени измерений. При регистрации
непродолжительных (не дольше 1 с) процессов деформирования
влиянием температуры можно пренебречь. Таким образом, тензометрия
быстрых процессов деформирования может быть легко
реализована при высоких температурах с хорошей точностью.
Для измерений тензорезисторами при температурах выше
288°С нужны специальные датчики, а также специальные
методы монтажа тензодатчика и преобразования его сигнала. При
таких измерениях в качестве основы и связующего уже не могут
использоваться полимерные материалы. Специфика измерения
деформаций в условиях высоких температур (выше 288°С)
рассмотрена в гл. 12.
Методы измерения деформаций
в условиях криогенных температур
В результаты измерения деформаций при криогенных
температурах вводятся поправки, аналогичные описанным в
предыдущем разделе. Зависимость чувствительности датчика от
температуры является линейной (0,0086 %/°С для константана и
—0,020%/°С для сплава карма). При известной температуре
может быть вычислена поправка, обеспечивающая получение
точных результатов. Кроме того, необходима дополнительная
коррекция кажущейся деформации, вызванной изменением
температуры, поскольку малые изменения температуры в процессе
измерений приводят к большим изменениям кажущейся
деформации (рис. 2.9).
Как показывают приведенные на рис. 2.9 кривые, сплав
карма в данной области обладает преимуществом перед константа-
ном, однако оба сплава обнаруживают большую температурную
чувствительность в области криогенных температур. На рис.
2.15 представлены зависимости кажущейся деформации от
температуры для различных тензодатчиков, изготовленных из
сплава карма. Как следует из приведенных данных, возможна
минимизация влияния колебаний температур криогенного
диапазона путем использования тензодатчиков с компенсацией,
86
Глава 2
рассогласованных по отношению к материалу исследуемого
элемента конструкции. В частности, тензодатчик SK-13
компенсирован по отношению к материалу с а=26-10~6 °С-1, однако
проявляет лучшие функциональные характеристики при
исследовании стали С1020 с а=12-10-6 °С-1, чем тензодатчик WK-06,
предназначенный для использования вместе с этим материалом.
Аналогичным образом должна быть выполнена коррекция,
обеспечивающая учет изменений модуля упругости материала
образца при изменении температуры. Как показано на рис. 2.16,
воздействие криогенных температур приводит к увеличению
модуля упругости от 5 до 20%. В зависимостях между напряже-
Темперотура, "С
-250 -200 -150 -100 -50 0
Рис. 2.15. Зависимости кажущейся деформации от температуры для
некоторых тензодатчиков из сплава карма выборочной плавки, установленных на
различных материалах [18].
ниями и деформациями, необходимых для анализа и обработки
данных, надо использовать максимальные значения модуля
упругости.
Для достижения криогенных температур в экспериментах
применяются сжиженные газы: азот, водород или гелий.
Поскольку все эти вещества в жидком состоянии являются
диэлектриками, не требуется электрическая изоляция от жидкости
решетки датчика или соединительных проводов. Однако
использование изолированных проводов и нанесение на открытые
участки решетки и контактов кремнийорганической консистентной
смазки желательно для создания температурного барьера и
предотвращения кипения жидкости в непосредственной близости
от датчика.
88
Глава 2
осям кристалла или в зависимости от типа проводимости и
содержания примесей. Для создания положительной проводимости
(тензодатчики с положительной чувствительностью)
используется бор, а отрицательной (тензодатчики с отрицательной
чувствительностью) — мышьяк.
В соответствии с введенным выше определением
тензочувствительность проводника описывается следующим образом:
5A = (dp/p)/e + (l + 2v). (2.4)
В случае сплавов, применяемых для изготовления
тензодатчиков общего назначения, член l + 2v приблизительно равен 1,6;
таким образом, член (dp/p)/e изменяется в пределах от 0,4 до
2,0. Применительно к полупроводникам член (dp/p)/e может
Рис. 2.17. Зависимости тензочувствительности сплава (1) и температурного
коэффициента тензочувствительности кремния с положительной
проводимостью (2) от концентрации примеси.
изменяться в диапазоне от —125 до +175 путем изменения типа
проводимости и концентрации примесей. Столь высокая
тензочувствительность в сочетании с чрезвычайно высоким удельным
сопротивлением обусловила применение полупроводниковых
тензодатчиков для измерения чрезвычайно малых деформаций
в качестве чувствительных элементов миниатюрных датчиков,
а также в датчиках с высоким уровнем выходного сигнала.
Воздействие температуры на полупроводниковые тензодатчики
Тензочувствительность SA низколегированных
(концентрация примеси не более Ю19 атом/см3) полупроводниковых
материалов зависит как от температуры, так и от деформации. На
рис. 2.17 приведена зависимость тензочувствительности SA
Тензодатчики
89
от содержания примеси для кремния с положительной
проводимостью. При увеличении концентрации примеси с 1016 до
1020 атом/см3 тензочувствительность SA снижается с 155 до 50.
Два важных фактора, связанные с воздействием температуры,
компенсируют указанную потерю тензочувствительности.
1. Влияние температуры на тензочувствительность
существенно снижается (так как температурный коэффициент
тензочувствительности приближается к нулю) при достижении
концентрацией примеси значении J О90 атом/см3.
7"'г7 п mypa°Z
-25 О Г 50 75 100 125 150 175
Рис. 2.18. Зависимость изменения сопротивления от температуры (по
отношению к 27 °С) для некоторых кремниевых полупроводников с положительной
проводимостью при различной концентрации (атом/см3) легирующей
примеси. Воспроизводится с разрешения Kulite Semiconductor Products, Inc.
2. Температурный коэффициент сопротивления снижается с
0,009 0С_1 для концентрации примеси 1016 атом/см3 до 0,00036 ""О1
для концентрации примеси 1019 атом/см3.
На рис. 2.18 показано влияние концентрации легирующей
примеси на зависимость изменения сопротивления от
температуры для кремния с положительной проводимостью. Можно
сделать вывод, что влияние температуры минимально при
концентрации примеси ~ 1019 атом/см3. Такая концентрация создает
тензочувствительность SA = 105. Температурная компенсация
одноэлементного полупроводникового тензодатчика с
положительной проводимостью невозможна; вот почему выходной сиг-
90
Глава 2
нал датчика при изменении температуры в течение
эксперимента содержит кажущуюся деформацию. Один из возможных
методов температурной компенсации состоит в применении
пары тензодатчиков (один из материала с положительной
проводимостью, другой — с отрицательной), имеющих идентичные
температурные коэффициенты сопротивления. Два датчика
включаются в соседние плечи моста Уитстона, благодаря чему
компоненты выходного сигнала, обусловленные влиянием
температуры, взаимно компенсируются. Вместе с тем компоненты,
обусловленные деформацией, суммируются вследствие
противоположности знаков чувствительности обоих датчиков.
Серийно выпускаемые двухэлементные тензодатчики
компенсированы по кажущимся деформациям в пределах ±5 мкм/м °С
при температурах от 10 до 65 °С. Такие датчики обладают тензо-
чувствительностью в диапазоне от 220 до 265. Температурная
компенсация может быть также реализована путем
изготовления датчика из материала с отрицательной проводимостью и
положительным температурным коэффициентом сопротивления.
Положительный знак температурного коэффициента
сопротивления выбирают (устанавливая соответствующую концентрацию
легирующих примесей) для компенсации отрицательных
вариаций сопротивления, возникающих из-за различия коэффициентов
теплового расширения материалов датчика и образца. Серийные
одноэлементные тензодатчики с отрицательной проводимостью
выпускаются для материалов с коэффициентами теплового
расширения 8, 12, 18 и 24-10-воС-1.
Линейность и максимальная деформация полупроводниковых
тензодатчиков
Пьезоэлектрические материалы с низкой концентрацией
легирующей примеси обнаруживают существенную нелинейность
(рис. 2.19). Увеличение концентрации примеси с 1019 до
1020 атом/см3 заметно улучшает линейность, в особенности
датчиков с положительной проводимостью, находящихся под
воздействием растягивающих напряжений, и датчиков с
отрицательной проводимостью, находящихся под воздействием
сжимающих напряжений. Линейность двухэлементных тензодатчиков
(один элемент с положительной проводимостью, другой — с
отрицательной), как правило, удовлетворительна, поскольку
нелинейные компоненты в схеме моста Уитстона взаимно
компенсируются.
По механическим характеристикам кремний напоминает
стекло, вот почему в процессе монтажа необходимо соблюдать
предельную осторожность. На плоских поверхностях установка,
как правило, не вызывает существенных трудностей, и установ-
Тензодатчики
91
8
7
н
| -од
-0,6
0,4
|19
18
-0,004 -0,003
-0,002
-0,001
1 0
0,001
0,002 0,003 0,004
Деформация е
Рис. 2.19. Зависимость изменения сопротивления от деформации для
полупроводниковых датчиков с положительной проводимостью при различной
концентрации легирующей примеси. Воспроизводится с разрешения Kulite
Semiconductor Products, Inc.
ленные датчики могут подвергаться деформациям до примерно
3000 мкм/м, после чего начинается хрупкое разрушение датчика.
При установке полупроводниковых тензодатчиков на
искривленных поверхностях возникающие при монтаже деформации
уменьшают диапазон измеряемых деформаций при силовом
воздействии на конструкцию.
Другие характеристики полупроводниковых тензодатчиков
Удельная мощность P/L0, рассеиваемая на единицу длины
полупроводниковых тензодатчиков, изменяется в пределах от
4 до 8 Вт/м. Если материал образца, на котором установлен
тензодатчик, обладает плохими тепловыми характеристиками,
следует использовать более низкую величину. Для образцов с
хорошим теплорассеянием удовлетворительные результаты дает
более высокое отношение. Данные по рассеиваемой удельной
мощности для различных образцов приведены в табл. 2.2.
Усталостные свойства полупроводниковых тензодатчиков
характеризуются I07 циклами воздействия циклической
деформации ±500 мкм/м. Этот показатель существенно уступает
соответствующему параметру металлических фольговых
тензодатчиков, однако полупроводниковые датчики обладают большой
тензочувствительностью и могут использоваться для измерения
малых деформаций.
Тензодатчики
87
2.6. Полупроводниковые тензодатчики
Разработка полупроводниковых тензодатчиков явилась
побочным результатом исследований, проведенных в начале 1950-х
годов компанией Bell Telephone Laboratories с целью
разработки транзистора. Пьезорезистивные свойства полупроводниковых
материалов кремния и германия были обнаружены в 1959 г. [4].
Дальнейшее развитие полупроводниковых преобразователей
[5] в 1957 г. привело в 1960 г. к серийному производству пьезо-
резистивных тензодатчиков.
Те/ <nepamypa, ° С
40
Рис. 2.16. Зависимость модуля упругости (°/о величины при комнатной
температуре) от температуры для различных материалов [18].
Основной элемент полупроводникового тензодатчика —
сверхтонкая прямоугольная пленка монокристалла кремния,
прикрепленная для удобства обращения к подложке. Поскольку
сопротивление кремния приблизительно в 103 раз превосходит
сопротивление константана, используемого в фольговых
датчиках, в полупроводниковых тензодатчиках не применяется
конфигурация решетки для создания начального сопротивления в
диапазоне 102—103 Ом.
В напряженном состоянии кристалл кремния проявляет
пьезорезистивный эффект, описываемый следующей
зависимостью:
Ри = йир + ПимЧи (2.32)
где pij — тензор сопротивлений; — пьезорезистивный тензор;
хм — тензор напряжений. Детальный анализ результатов,
полученных на основе зависимости (2.32), содержится в работе [5].
Как свидетельствуют эти результаты, чувствительность
тензодатчика к напряжениям может изменяться в зависимости от
ориентации тензочувствительного элемента по отношению к
92
Глава 2
2.7. Волоконно-оптические датчики
С конца 1970-х годов проводились интенсивные
исследования в области создания тензодатчиков на основе волоконной
оптики для широкого спектра практических приложений,
включающего измерения акустического давления, магнитных полей,
перемещений, ускорений и деформаций. Основными
преимуществами волоконно-оптических датчиков являются
невосприимчивость к электрическому шуму и воздействию окружающей среды,
высокая чувствительность и стабильность в течение долгого
времени. В волоконно-оптических датчиках используется один из
двух основных принципов: 1) модуляция амплитуды
(интенсивности); 2) модуляция фазы светового потока,
распространяющегося через оптическое устройство, содержащее чувствительные
волоконно-оптические элементы.
Для деформирования локальных участков оптического
волокна, входящего в чувствительный элемент, или отклонения
одного торца оптического волокна относительно другого
используется набор различных механических приспособлений.
Подробный обзор состояния технологии волоконно-оптических
датчиков опубликован в работе [13].
Исследования в области волоконно-оптических датчиков
представляются довольно ограниченными ь сравнении с
широкими исследованиями и разработками в области тензорезисто-
ров, выполненными в течение последних 50 лет. Однако многие
подходы, реализованные в волоконно-оптических датчиках
различного назначения, могут быть успешно перенесены на датчики
деформаций. Примером такого рода является акустический
датчик, предложенный в работе [14], основанный на потерях,
возникающих в материале из-за микроизгибных деформаций.
Датчик дает средство регистрации перемещений, вызванных
деформациями, действующими на протяжении базы датчика.
В этом датчике (рис. 2.20) используется пара зажимов с
синусоидальным профилем поверхности для создания микроизгибов
волокна.
Если сжимаемые пластины прикреплены к поверхности
образца, создавая базу датчика длиной L перпендикулярно оси
волокна, интенсивность регистрируемого светового потока может
быть связана с деформацией.
В соответствии с другим подходом, предложенным в работе
[15], используется пара волокон, торцы которых в исходном
положении совпадают. Если одно из волокон закреплено, а
другое перемещается под действием деформаций, наблюдается
снижение интенсивности светового потока, поскольку
перемещение подвижного волокна приводит к нарушению его юстировки
по отношению к неподвижному волокну.
94
Глава 2
ляет собой две сферические волны, которые интерферируют
между собой, образуя полосы Юнга. При деформации тензочув-
ствительной решетки и окружности-эталона происходит
перемещение интерференционных полос. Число полос, прошедших
некоторую фиксированную точку (положение фотодетектора),
пропорционально величине деформации. Формирование полос
Юнга подвержено влиянию перемещений элементов оптической
схемы, включающей как волоконную оптику, так и
традиционные оптические компоненты, поэтому для предотвращения
«смазывания» полос необходимо использовать виброизолированный
оптический стол.
Эталонный
дат чин
Оптический
соединитель
Расщепитель
Упучка
Зер-
нало
Плоскость
источников света
(см.рис. 2.22)
Рис. 2.21. Интерферометрическая система измерения, основанная на
волоконно-оптических датчиках деформаций [17].
Комплексные амплитуды световых волн, излучаемых тензо-
чувствительным и эталонным волокнами, представляются в виде
Г. = Лв1(ф«"в/2) , Гг =Bei{*r+W\ (2.33)
где 6/2 — относительная фаза, связанная с каждым волокном,
а ф8 и фг — фазы, обусловленные формой волнового фронта;
ф8 = (2яД) V(х0 - bl2f + yt + z\,
Фг - (2яА) V(x0 + b/2)2+yl + zl,
(2.34)
где х0, у0 и z0 задаются относительно плоскости источников
когерентного излучения (рис. 2.22), Ъ — расстояние между двумя
волокнами. Комплексная амплитуда волнового фронта в плоскости
формирования изображения выглядит так:
r-rs+rr,
(2.35)
Тензодатчики
95
Рис. 2.22. Система координат в плоскости источников когерентного
излучения. 1 — торец оптического волокна, соединенного с датчиком деформаций;
2— торец оптического волокна, соединенного с эталонным датчиком; 3—
плоскость источников света (см. рис. 2.21).
а интенсивность описывается выражением
/=Г.Г*, (2.36)
где Г* — комплексно-сопряженный волновой фронт. Уравнения
(2.33), (2.35) и (2.36) позволяют получить зависимость
1 = А2 + В2 + 2АВ cos (фв — фг + 6). (2.37)
Учитывая уравнение (2.34), получаем
Ф.-Фг = ^(/*-^-+^г-/1 + *+^г). (2-38)
где
R2 = xl + y$ + zl (2.39)
Критерий формирования полос Юнга представляется в виде
xQb/R2 ± Ь2/4Д2 < 1. (2.40)
Он выполняется при больших z0 и малых Ь. Разложение в ряд
членов уравнения (2.38) дает
*-*--¥-{[*+*(-#+&)+■••]-
Тензодатчики
93*
В приведенных примерах требуются фиксирующие
механические приспособления, поэтому волокно не может крепиться к.
поверхности образца подобно электрическим тензодатчикам.
Представляется вероятным, что для других устройств на основе-
измерения светового потока, связанного с деформацией,
потребуются аналогичные фиксирующие приспособления.
Подход с использованием модуляции фазы светового потока,.,
создаваемой оптическим волокном под влиянием деформаций^.
Волокно
Рис. 2.20. Волоконно-оптический датчик, регистрирующий потери, возникающие-
вследствие микроизгибов волокна [14].
допускает крепление датчика к поверхности материала [16, 17].
В установке, изображенной на рис. 2.21 [17], одномодовые*
оптические волокна образуют решетку, которая является
датчиком-эталоном. Оптические волокна, образующие тензочувст-
вительную решетку и окружность-эталон, прикрепляются к
поверхности образца. Световой поток, излучаемый He-Ne-лазером*
мощностью 25 мВт, вводится посредством оптических соедини»
телей в оптические волокна. Выходные торцы волокон
укреплены вблизи друг друга, образуя плоскость источников
когерентного излучения. Свет, излучаемый обоими волокнами, представ-
'96
Глава 2
Так как -> 0 и i? z0, то
<ps — фг « — (2я/Я) {x0b/z0). (2.416)
Интенсивность свеаа в плоскости "изображения имеет вид
/ = 42 + Б2 + 2Л5 cos [ - (2яД) (*06/z0) +6]. (2.42)
Изменения интенсивности в некоторой точке даются членом,
содержащим функцию косинуса, в которой обусловленный
деформацией сдвиг фазы б определяется изменением разности
оптических путей в тензочувствительном и эталонном волокнах.
Этот сдвиг фазы представляется уравнением
6=(2яМ)(Дг —Д5), (2.43)
где A = ndL + Ldn\ п — коэффициент преломления волокна;
ьйп — изменение коэффициента преломления, обусловленное де-
•формацией; L — длина оптического пути в волокне,
подверженном деформированию; dL — изменение L, обусловленное
деформацией. Член Аг в уравнении (2.43) получен путем интегрирова-
шия по окружности радиусом R соотношения между
деформациями и оптическими величинами. Таким образом,
Аг = R J [(С&е + С2ггг) + ц0гее] dQ, (2.44)
о
тде С\ и С2 — деформационно-оптические коэффициенты После
интегрирования используются преобразования, позволяющие
шривести выражение (2.44) к виду
Дг = jiR (С, + С2 + Ло) (1 - v) eL, (2.45)
'.где г°хх — деформация в центре эталонного датчика. Изменение
•оптического пути для датчика As получено аналогично, но с тем
•отличием, что процесс интегрирования разделен на два этапа.
Первый этап отображает реакцию трех прямолинейных
сегментов длиной L, второй этап — реакцию двух сегментов в форме
•полуокружностей радиусом а Результаты на каждом из этапов
имеют вид
Ael = 3L(Ct —vC2 + i]0)e£x,
b82=na{Ci+Cz+r\0)(i--v)e0xx. )
♦Подстановка (2.45) и (2.46) в (2.43) дает сдвиг фазы, вызванный
.деформацией:
б - (2п/к) [п (С, + С2 + т]0) (1 _ v) (Д - я) - 3L (С, - vC2 + т]0)] е° х.
(2.47)
98
Глава 2
ров, многоканальных систем сбора данных и систем
компьютерной обработки данных тензометрических измерений в реальном
масштабе времени. Указанные достижения снизили как
продолжительность, так и стоимость измерений, а также повысили их
точность в экспериментах, сопряженных с использованием
большого количества тензодатчиков для регистрации полной
картины напряженного состояния сложных конструкций.
Достижения в области разработки усилителей с высоким
коэффициентом усиления исключили применение
полупроводниковых тензодатчиков в задачах общего характера. Стоимость
полупроводниковых тензодатчиков оправдывается лишь при
измерениях очень малых деформаций с большой точностью.
Пьезорезистивная технология по-прежнему сохраняет свое
значение в связи с разработкой преобразователей для измерения
нагрузки и давления. В преобразователях этого типа часто
применяется кремний в качестве механического элемента, при-'
чем подключение в схему моста Уитстона реализуется
непосредственно на пластине кремния благодаря применению
технологии изготовления интегральных схем. Это дает высокий уровень
выходного сигнала в сочетании с превосходной линейностью и
отсутствием заметного гистерезиса.
Новые успехи достигнуты в области измерения деформаций.
Они обусловлены совместным применением нескольких новых
технологий (волоконной оптики, лазерных диодов, р-/-я-диодов)
в связи с созданием волоконно-оптических датчиков.
Предварительные лабораторные разработки дают основание рассчитывать
на создание нового метода измерения деформаций, который
расширит возможности эксперимента.
Тензодатчики
97
Если оба датчика имеют радиус кривизны /? = а, (2.47)
принимает вид
6 = - (6я£А) (Ct - vC2 + т|0) г°хх.
Анализ уравнения (2.42) показывает, что интенсивность света
в заданной точке плоскости изображения минимальна при
cos [(2п/Х) (—x{)b/z0 -f- аг°хх)] = -— 1, или
(2n/X)(~x0b/z0 + ae°xx) = (2k+l)n, Л = 0, 1, 2, ... . (2.48)
Деформация е** в месте установки датчика составляет
е£«= (1/а) [(Я/2) (2/с + 1) + *0Ь/*0Ь, (2.49)
где а=—3L(Ci—vC2-r-t)0)—чувствительность датчика,
определяемая в процессе градуировки, как в случае тензорезисторов.
На практике к модели прикладывается небольшая начальная
нагрузка, так что параметр k принимает целое значение, а
интенсивность светового потока / минимальна. Далее увеличивают
нагрузку и регистрируют число интерференционных полос Ak,
прошедших через фотодетектор. Приращение деформации может
быть выражено в виде
гхх = КАк, (2.50)
где /С=Я/а — постоянная градуировки
2.8. Заключение и перспективы
Начиная с середины 1950-х годов, отмеченных введением в
практику исследований датчиков на основе фольговой решетки,
тензорезисторы из металлических сплавов не были сколько-
нибудь значительно усовершенствованы. Продолжающиеся
исследования и разработки вместе с практикой измерений
привели к более полной оценке области применения тензодатчиков
и точности измерений. В результате разработок, проводимых
изготовителями тензодатчиков, был создан широкий набор
производимой продукции, характеризуемой жестко
контролируемыми параметрами, что гарантирует высокое качество датчиков, их
надежное и стабильное функционирование. В настоящее время
тензорезистор, приближающийся к 50-й годовщине его
изобретения, стал продуктом сложившейся технологии, развитие
которой осуществляется постепенно и поддерживается усилиями
множества изготовителей и потребителей.
Прогресс наблюдается и в сфере приборного оснащения,
поскольку совершенствование полупроводниковой технологии
привело к созданию стабильных усилителей с высоким
коэффициентом усиления, источников питания с более высокой степенью
регулирования параметров, прецизионных цифровых вольтмет-
7—1480
Глава 3
Средства тензометрии
К. Макконнелл, У. Райли1)
Дл i измерении деформаций на поверхностях деталей машин
и элементов коиегрукций разработаны самые разнообразные
устройства. Наиболее универсальным среди них оказался тен-
зорезистор, что объясняется широкими возможностями
изменения его конфигурации в соответствии с различными
требованиями метрологии. Кроме того, тензорезистор используется в
качестве чувствительного элемента в конструкции многих
преобразователей силы, давления и ускорения. Динамические
характеристики этих преобразователей подробно обсуждаются в
гл. 4. В настоящей главе рассмотрены основные характеристики
электронных устройств, таких, как усилители, фильтры,
преобразователи, источники питания и переключатели, используемые
в схемах потенциометров и мостов Уитстона, питание которых
обеспечивается источниками тока и источниками напряжения.
Описаны процедуры калибровки и вопросы, связанные с
соединительными проводами, переключателями, передачей данных и
электрическим шумом. Предложены уравнения для расчета
напряжений и деформаций в заданной точке на основе
экспериментальных данных2>.
3.1. Устройства формирования сигналов
Изменение сопротивления, возникающее при
деформировании тензодатчика, чрезвычайно мало. По этой причине
чрезвычайно малы разбалансировка моста Уитстона и
соответствующее изменение напряжения, которое должно быть выделено,
усилено и зарегистрировано. Некоторые электронные устройства
(усилители, фильтры, аналого-цифровые преобразователи и др.),
l> Kenneth G. McConnell, William F. Riley. Iowa State University, Ames,
Iowa.
2> Вопросы проектирования тензометрических систем, а также описание
тензометрической аппаратуры, применяемой в отечественной практике, см.
в работах [12, 131. — Прим. ред.
7*
Средства тензометрии
101
где Zi — входное сопротивление системы, ZQ — выходное сопро-
твление системы, Z\— внутреннее сопротивление датчика,
/2 — входное сопротивление устройства регистрации
напряжения.
В усилителях напряжения величина Zi должна быть много
больше величин Zx и Z0. Поэтому соотношение (3.2) приводится
к виду
(3.3)
E0 = Gfi2G3 Zq+2Z2 Е„
i ie член Z2/(Z0 + Z2) описывает снижение напряжения
вследствие потребления тока регистрирующим устройством. При
высоком входном сопротивлении такого устройства по отношению
i выходному сопротивлению усилителя, общее усиление
системы ус11ли!с./к п равно произведению коэффициентов усиления
отдельных усилителей:
R^Gfifi^. (3.4)
Частотная характеристика усилителя в любой измерительной
системе нуждается в тщательном анализе. Как показано на
рис. 3.2, эта характеристика является плоской в интервале меж-
Рис. 3.2. Частотная характеристика системы усилитель — регистрирующее
устройство.
ду нижней и верхней граничными частотами // и /м. В
усилителях постоянного тока коэффициент усиления постоянен вплоть
до нулевой частоты. В усилителях переменного тока
коэффициент усиления падает до нуля по мере приближения к нулю
частоты входного сигнала. Начиная с верхней граничной
частоты, дальнейшее увеличение частоты входного сигнала приводит
к снижению коэффициента усиления до нуля. Таким образом,
как низко-, так и высокочастотные сигналы могут существенно
искажаться усилителем и по фазе, и по амплитуде.
Один из методов определения частотной характеристики
усилителя заключается в анализе его реакции на ступенчатое
102
Глава 3
входное напряжение (рис. 3.3). Эта реакция часто хорошо
аппроксимируется экспоненциальной функцией
Я0 = С(1(3.5)
где т — постоянная времени усилителя
Операционные усилители
Операционный усилитель представляет собой полную схему
усилителя с высоким (как правило, G>105) коэффициентом
усиления, которая комбинируется с разнообразными внешними
пассивными резистивными и емкостными элементами. Высокое
усиление в сочетании с высоким входным (Zr> 10 МОм) и пиз-
5
Рис. 3.3. Отклик усилителя на ступенчатое входное воздействие.
ким выходным (Zo<100 Ом) сопротивлениями делает
операционный усилитель идеальным элементом схем формирования
сигналов по напряжению. Традиционно используемое схематическое
обозначение операционного усилителя показано на рис. 3.4.
Два входных контакта называют инвертирующим (—) и неин-
вертирующим ( + ) входами усилителя. Выходное напряжение
Е0 усилителя описывается выражением
E0 = G(Ei2-EH), (3.6)
из которого следует, что, поскольку выходное напряжение
определяется разностью входных напряжений, операционный
усилитель является дифференциальным усилителем. Операционный
усилитель находит различные применения. Их типичные
примеры— повторители напряжения, а также инвертирующие,
суммирующие, интегрирующие и дифференцирующие усилители
100
Глава 3
используемые в современных измерительных системах в связи с
решением указанных вопросов, обсуждаются в начале
настоящей главы.
Усилители
Усилитель повышает уровень слабого сигнала датчика до
уровня, требуемого для устройства регистрации напряжения.
Усилитель описывается следующими характеристиками.
1. Коэффициент усиления G, представляющий собой
отношение выходного напряжения Е0 к входному £г- в линейном
диапазоне усилителя. Имеем
E0 = GEt. (3.1)
Все усилители имеют ограниченный диапазон, в котором
обеспечивается линейность.
Рис. 3.1. Система усилителей с высоким общим коэффициентом усиления.
2. Входное сопротивление Z*, определяющее величину тока,
потребляемого усилителем от источника входного напряжения.
В связи с тем что усилитель с низким входным сопротивлением
потребляет значительный ток от датчика, предпочтительно
высокое входное сопротивление.
3. Выходное сопротивление Z0, определяющее падение
напряжения на усилителе при заданном выходном токе.
Предпочтительно низкое выходное сопротивление.
4. Передаточная функция Я (со) (называемая также
частотной характеристикой), характеризующая изменение
коэффициента усиления в зависимости от частоты входного сигнала.
5. Постоянная времени т, характеризующая реакцию
усилителя на ступенчатый входной сигнал.
Взаимосвязь между сопротивлениями и коэффициентами
усиления системы усилителей с высоким общим коэффициентом
усиления, представленной на рис. 3.1, может быть выражена
в виде
Средства тензометрии
103
Повторители напряжения. В схеме повторителя напряжения
(рис. 3.5) используется операционный усилитель для
обеспечения высокого входного сопротивления с целью уменьшения
потребления датчиком тока (мощности) и обеспечения низкого
выходного сопротивления, чтобы минимизировать нагружение
датчика устройством регистрации. Повторитель напряжения
служит промежуточным звеном между датчиком и устройством
регистрации. Коэффициент усиления повторителя напряжения
имеет вид
б.
Е„
G
~1.
(3.7)
Ei 1+G
Эффективное входное сопротивление описывается зависимостью
П(., = А', Л,/ (Я, - /<:„) - (1 |- С) л „ (3.8)
/ /У /7
£ Неиивергпи- 0
^ рующийвход |
Общая шина
Рис. 3.4. Схема операционного усили- Рис. 3.5. Схема повторителя напр.я-
теля. жения.
где Rf — входное сопротивление усилителя. Эффективное
выходное сопротивление имеет вид
i?co = i?G/(l+G), (3.9)
где R0 — выходное сопротивление усилителя
Инвертирующие усилители. Схема инвертирующего
усилителя, построенного на операционном усилителе с резисторами на
входе (Ri) и в цепи обратной связи (Rf), показана на рис.
3.6, а. Коэффициент усиления Gc данной системы описывается
выражением
Г — Е° — 7?/ 1
(3.10)
Rt \ + №)(l+RilRi+RflRa) *
Уравнение (3.10) при большой величине коэффициента усиления
G приводится к виду
Gc Rt/Ru (3.11)
Средства тензометрии
105
Суммирующие усилители. Схема суммирующего усилителя
показана на рис. 3.7. Для данной схемы выполняется
соотношение
Eil/R1+Ei2/R2+Ei3/R3
е° "~» 1/tf / + (i/G) [1/7*!+ 1/л2 ++ + IIh i ] в
которое приводится к виду
i 1
(3.16)
(3.17)
Рис. 3.7. Схема суммирующего усилителя.
если коэффициент усиления G операционного усилителя
достаточно велик по сравнению с суммой величин, обратных
сопротивлениям резисторов. При одновременном использовании
инвертирующего и неинвертирующего входов операционногд
.усилителя данная схема может быть применена для сложениями
вычитания напряжений. j
Интегрирующие усилители. В цепи обратной связи
интегрирующего усилителя используется емкость вместо резистора
(рис. 3.8). Взаимосвязь входного и выходного напряжений для
данной системы описывается выражением
t
J Et dt, (3.18)
о
RiCf
если коэффициент усиления G операционного усилителя
достаточно велик, чтобы входное напряжение в точке А было малым
по сравнению с £v Как следует из уравнения (3.18), выходное
напряжение представляет собой интеграл входного напряжения,
умноженный на коэффициент —l//?iC/, где RiCf — постоянная
времени интегрирования.
104
Глава 3
поскольку член (l+Rf/Ri + Rf/Ra)/G мал в сравнении с
единицей.
Неинвертирующие усилители. Схема неинвертирующего
усилителя приведена на рис. 3.6,6. Коэффициент усиления Gc
данной системы описывается выражением
Gc = If = Ч+Ш^Ж+Щ • (3'12)
которое при достаточно большом G принимает вид
Gc~l + /y/?t. (3.13)
1 г t
Рис. 3.6. Некоторые простые приборные усилители на основе операционного
усилителя, о — инвертирующий; б — неинвертирующий; в — дифференциальный.
Дифференциальные усилители. Схема дифференциального
усилителя дана на рис. 3.6, в. Для данной схемы
откуда при i?//i?1 = i?3/i?2 следует
Eo
Rf
(3.14)
106
Глава 3
Дифференцирующие усилители. Схему дифференцирующего
усилителя получают в результате взаимной перестановки
резистора и емкости в схеме, приведенной на рис. 3.8. Выходное
напряжение дифференцирующего усилителя описывается
выражением
E^-RfitdEJdt, (3.19)
где RfCi — постоянная времени дифференцирования. При
использовании данной схемы следует соблюдать предельную
осторожность, поскольку в дополнение к полезному сигналу
генерируется интенсивный высокочастотный шум.
Рассмотренные схемы свидетельствуют о том, что
операционный усилитель — весьма полезный элемент измерительных си
стем.
Фильтры
Часто сигналы датчиков бывают искажены воздействием
шумов различного физического происхождения. При
значительной разнице диапазонов частот шумов и информационного
сигнала датчика для удаления
или существенного снижения
уровня нежелательных
компонент сигнала могут быть
использованы фильтры. Среди
фильтров, используемых в
схемах формирования сигнала,
следует также указать
высокочастотный и низкочастотный
7?С-фильтры, а также RC-
фильтр второго порядка. Эти
фильтры могут быть
построены на базе как пассивных, так
и активных (включая
операционные усилители) элементов
схемы. На рис. 3.9 изображены
схемы каждого из перечисленных фильтров. Схема
высококачественного фильтра включает в свой состав повторитель на базе
операционного усилителя для развязки пассивных элементов
фильтра как от источника сигнала (датчика), так и от устройств
регистрации. Уравнения, приведенные в последующих разделах,
основаны на допущении, что источник сигнала имеет нулевое
внутреннее сопротивление, а устройство регистрации —
практически бесконечное сопротивление, не являясь, таким образом»
токовой нагрузкой для фильтра.
Рис. 3.8. Схема интегрирующего
усилителя.
Средства тензометрии
107
Использование в схеме операционного усилителя позволяет
удовлетворить обоим указанным требованиям, обеспечив
практически идеальное функционирование фильтра.
Высокочастотные RC-фильтры. Этот простой, но
эффективный фильтр первого порядка используется для снижения уровня
низкочастотных и пропускания высокочастотных составляющих
сигнала. Принципиальная схема простого высокочастотного RC*
фильтра изображена на рис. 3.9, а. Передаточная функция
фильтра может быть получена при подаче на вход
синусоидального напряжения. Выходное напряжение более низкое и
сдвинуто по фазе в результате прохождения сигнала через фильтр.
Указанные искажения амплитуды и фазы зависят от частоты
С R
6
Рис. 3.9. ^С-фильтры, используемые для формирования сигнала, а —
высокочастотный; б — низкочастотный; в — низкочастотный второго порядка.
входного сигнала. Результирующая передаточная функция для
фильтров этого типа имеет вид
Eg _ jRCa> RCu exp [/ (л/2-р)] ,q 9П
Ег - 1 + /ясс0 - у i + (RC(0)2 ' (d^U)
где
tgp = #Cco, (3.21)
/=У— 1, о) — частота входного сигнала (рад/с). Уравнение (3.20)
свидетельствует о том, что сигналы нулевой частоты не
участвуют в формировании выходного сигнала, и, следовательно,
фильтр эффективно подавляет постоянные сигналы. На часто-
108
Глава 3
тах, несколько превышающих частоту среза fc=l/(2nRC),
отношение выходного и входного напряжений приближается к
единице (рис. 3.10, а). При критической частоте (7?Ссо = 1)
выходной сигнал затухает на 3 дБ (Eo/Ei = 0J07) и приобретает
сдвиг фазы jt/4 радиан (45°) по отношению к входному сигналу.
Одна из основных функций данного фильтра — развязка
высокочастотного сигнала датчика по постоянной составляющей.
Низкочастотные RC-фильтры. Схема простого
низкочастотного 7?С-фильтра изображена на рис. 3.9, б. Передаточная
функция для фильтров этого типа имеет вид
Е0 _1 ехр(—/р) п ооч
Средства тензометрии
109
где сдвиг фазы выходного сигнала по отношению к входному
описывается уравнением (3.21). Амплитудно-частотная
характеристика изображена на рис. 3.10, б. Как можно видеть из
графика, при увеличении частоты выше критической
fc = l/2nRC (Гц) (3.23)
амплитуда сигнала начинает резко снижаться. Спад 3 дБ
наблюдается на критической частоте fc. Спад 2% происходит при
i?Cco = 0,2.
Фильтры второго порядка. Схема простого фильтра второго
порядка изображена на рис. 3.9,6. Фильтр такого типа составлен
из двух резисторов (R{ и 7?2), дпух емкостей (Ci и С2) и одного
операционного усилителя. Передаточная функция фильтра
имеет вид
Ер = 1 __ ехр(—/Р) /о 2л\
Et l-r* + /2itf yii_r2)2+(2r^)2 ■ '
где г =///c — безразмерная частота,
/с = 1/ (2jx V^^^P-fid"~ частота разрыва,
d = (Л4 + R2) С2/2 У J^C^C^ — коэффициент затухания,
tgp=2rd/(l-r2). (3.25)
Оптимальный режим функционирования данного фильтра
реализуется при изменении коэффициента затухания в
диапазоне от 0,64 до 0,707, внутри которого сдвиг фазы практически
линейно зависит от частоты, а затухание минимально вплоть до
частоты среза. При конструировании фильтра для конкретных
практических приложений может быть использована следующая
процедура. Пусть R2=ARX и С2 = ВСи так что R2C2=ABRiC\ и
/с= \l(2nR\C{^AB). Тогда уравнение затухания позволяет
получить следующее соотношение:
(АВ)* + (2В - 4d2) (АВ) + В* = 0. (3.26)
Как только выбраны величина демпфирования d и отношение
емкостей В, АВ определяется из уравнения (3.26). Если
известна величина АВ и выбрана требуемая частота среза, легко
могут быть определены остальные параметры фильтра.
Принципиальное преимущество фильтра второго порядка
состоит в том, чго затухание зависит от 1/со2 (12 дБ/октава).
Затухание фильтра первого порядка является функцией 1/со
(6 дБ/октава). Различие в эффективности наглядно
иллюстрируется следующим примером: отношение частот,
обеспечивающее 99%-ное затухание, составляет 100 для фильтра первого
дорядка и 10 для фильтра второго порядка.
110
Глава 3
Аналого-цифровые преобразователи
Одна из часто встречающихся практических задач —
преобразование в цифровой код усиленного сигнала датчика с целью
реализации последующих операций, таких, как хранение,
передача, обработка и отображение данных. Двумя наиболее
распространенными типами аналого-цифровых преобразователей
(АЦП) являются преобразователи с последовательной
аппроксимацией для высокоскоростных измерений и преобразователи
с двойным интегрированием для низкоскоростных измерений.
Преобразователи с последовательной аппроксимацией.
В процессе функционирования данной аналого-цифровой
преобразователь сравнивает входное аналоговое напряжение с
эталонным напряжением, которое формируется программируемым
цифро-аналоговым преобразователем (ЦАП). Эталонное
напряжение Ей соответствующее двоичному разряду с номером *,
характеризуется уравнением
Ег = (21-Ч2Х)ЕТ, (3.27)
где Ет — эталонное напряжение АЦП; N — порядковый номер
старшего двоичного разряда. Процесс преобразования
начинается с установки в единицу старшего двоичного значащего
разряда (i=N) в цифро-аналоговом преобразователе, генерирующем
эталонное напряжение. Если входное напряжение превышает
эталонное, данный двоичный разряд остается в единичном
состоянии, и процедура возобновляется для очередного,
следующего по старшинству, значащего двоичного разряда. Если
входное напряжение оказывается ниже эталонного, анализируемый
двоичный разряд устанавливается в нулевое состояние, после
чего процедура возобновляется применительно к следующему по
старшинству разряду двоичного кода. Процесс продолжается
путем перебора всех двоичных разрядов вплоть до младшего
(£=1). Результат преобразования записывается в выходном
цифровом регистре, после чего преобразователь посылает
системе сбора и обработки данных сигнал «конец преобразования»,
сообщающий о том, что сформированный код доступен для
обработки. Для 10-разрядного АЦП данный процесс повторяется
десятикратно, причем результирующее напряжение
устанавливается с точностью до 2~10 (1/1024). В наиболее благоприятных
условиях абсолютная величина погрешности определяется
значением младшего значащего двоичного разряда. Проблема
изменения уровня сигнала в процессе измерения решается с
помощью стробирующих запоминающих схем.
Преобразователи с двойным интегрированием.
Функционирование аналого-цифрового преобразователя данного типа основа-
112
Глава 3
преимущество заключается в применимости усилителей
переменного тока для решения проблем, связанных с температурным
дрейфом. Интерференция двух сигналов, реализующая
амплитудную модуляцию, иллюстрируется рис. 3.11.
Выходной амплитудно-модулированный сигнал непригоден
для отображения и анализа, если сигнал датчика не отделен
от сигнала на несущей частоте. Процесс разделения сигналов
носит название «демодуляция». Амплитудно-модулированный
сигнал обрабатывается двухполупериодным фазочувствительным
выпрямителем, как показано на рис. 3.12. Выходной сигнал
выпрямителя состоит из последовательности синусоидальных
полуволн, огибающая которой повторяет форму сигнала
датчике
о
4t
www
VW
т
W
w-
л А/Га л Л
Алл/
\ Л л лЛ
Л л ,
У У
VVWV\
Г
Рис. 3.11. Сигналы источника переменного напряжения (У), датчика (2) и
выходной (3).
ка. Спектр последовательности полуволн включает компоненты
с частотой сигнала датчика, а также с частотами, кратными (с
коэффициентами 2 и 4) несущей частоте. Несущая и боковые
частоты могут быть легко отфильтрованы для выделения
сигнала датчика при условии, что несущая частота превосходит
максимальную частоту датчика не менее чем на порядок.
Источник постоянного напряжения
Для многих устройств требуются источники постоянного
напряжения. Уровень напряжения питания, получаемого
непосредственно после фильтрации напряжения сети, часто заметно
изменяется во времени, так как другие потребители
воздействуют на сетевое напряжение. Для обеспечения постоянства
напряжения питания электронных приборов необходимы
дополнительные меры. Простая схема, обеспечивающая однополярное
постоянное напряжение, изображена на рис. 3.13. В данной
Средства тензометрии
111
но на принципе интегрирования известного (эталонного) и
неизвестного (измеряемого) напряжений. Первоначально
неизвестное напряжение Е{ интегрируется в течение фиксированного
интервала времени заряжающимся конденсатором. Затем
эталонное напряжение Ег подается на интегратор, вынуждая
заряженный конденсатор разряжаться до нуля. Время tr,
необходимое для разряда конденсатора, измеряется счетчиком.
Неизвестное напряжение вычисляется по формуле
^1 = (ВД)*М (3.28)
где Ег и ti — известные постоянные преобразователя, a tr
получено в результате измерения. Интегрирующий преобразователь
наиболее предпочтителен в большинстве низкоскоростных
измерений, что обусловлено высокой точностью (17 двоичных
разрядов обеспечивают точность 1/131072), правильным
усреднением сигнала в процессе преобразования (шум частотой
60 Гц устраняется при периоде интегрирования 1/60 с),
автоматическим заполнением нулями и низкой стоимостью.
Амплитудная модуляция
Амплитудная модуляция происходит во всех случаях, когда
питание тензометрического моста осуществляется источником
переменного напряжения. Несущей частотой является частота
переменного напряжения сос, частотой модуляции (частотой
датчика) — измеряемая частота со*. Результирующее выходное
напряжение моста представляется выражением
Е0 = Еъ sin (сос/) sin (со^) = Еъ [cos (сос — щ) t — cos (сос + щ) t]/2,
(3.29)
где Еъ — амплитуда напряжения моста, пропорциональная
напряжению питания и величине разбаланса моста. Как
свидетельствует уравнение (3.29), выходной сигнал состоит из двух
одинаковых по амплитуде синусоид с различными частотами
(сос—о>4 и coc+cof). Одна из частот меньше несущей частоты, а
другая больше ее на частоту сигнала датчика. Две указанные
частоты называют боковыми частотами. В практических
приложениях несущая частота должна по меньшей мере на порядок
превосходить максимальную ожидаемую частоту сигнала
датчика. Одно из основных преимуществ систем с несущей частотой
заключается в преобразовании низкочастотного сигнала датчика
в пару высокочастотных сигналов, которые пропускаются через
высокочастотный фильтр для устранения низкочастотного шума
(например, шума с сетевой частотой, который часто
присутствует при передаче сигнала на значительные расстояния). Второе
Средства тензометрии
113
Сигнал на
несущей частоте
Амплитудный
модулятор
Сигнал датчика
А мп лит уд но - модули -
ровинный сигнал
_
Выпрямитель
Цвухполупериодный фазо-
чувствительный
демодулированный сигнал
Рис. 3.12. Амплитудная модуляция и демодуляция.
Выходной сигнал
б
Рис. 3.13. Источник постоянного напряжения для питания датчиков с
транзистором большой мощности (TR) и нагрузочным сопротивлением RL. а —
схема устройства; б — эквивалентная схема.
8—1480
Средства тензометрии
115
Источник постоянного тока
Простая схема источника постоянного тока изображена на
рис. 3.14, а. В данной схеме опорное напряжение Vq приложена
к неинвертирующему входу операционного усилителя. Выходное
напряжение Е0 увеличивается до тех пор, пока напряжение в
точке А равно Vq. При этом постоянный ток / протекает через*
резистор R\ независимо от изменений тока в резисторе ft?
(если эти изменения происходят в пределах диапазона
регулирования операционного усилителя). В аналогичной схеме,
показанной на рис. 3.14, б, используется мощный транзистор TR для
обеспечения большого тока /. Необходимо отметить, что
стабильность данной схемы источника тока зависит от
температурной стабильности опорного напряжения, опорного резистора R\
и операционного усилителя.
Энергоснабжение тензометрической аппаратуры
осуществляется как источниками постоянного напряжения, так и
источниками постоянного тока.
3.2. Тензометрическая регистрирующая аппаратура
Для регистрации изменения сопротивления тензодатчиков
используются разнообразные приборы Выбор конкретного типа
прибора обычно зависит от характера проводимых измерений
(статические или динамические) и от количества используемых
датчиков и каналов измерения. Наиболее просты и дешевы
кратковременные статические измерения. Длительные
статические измерения могут быть сопряжены с существенными
трудностями из-за дрейфа тензодатчиков и регистрирующей
аппаратуры, в особенности если невозможны разгрузка конструкции в-
процессе измерений и установка точки отсчета шкалы
регистрирующего устройства. При регистрации переменных
деформаций, как правило, возникают проблемы, связанные с
устранением шумов и реализацией соответствующей частотной
характеристики тензометрической аппаратуры.
Изменения сопротивления тензодатчика чрезвычайно малы и
составляют для 120-Ом датчика около 0,00024 Ом на
деформацию 1 мкм/м. Таким образом, деформация 1000 мкм/м изменяет
сопротивление 120-Ом датчика на 0,240 Ом. Для преобразования
столь малых изменений сопротивления в выходные сигналы
напряжения, которые могут регистрироваться, в измерительных
приборах широко используются потенциометрические и
мостовые схемы. В обоих типах схем используются как источники
постоянного напряжения, так и источники постоянного тока.
8*
114
Глава 3
схеме используются температурно-независимый стабилитрон,
операционный усилитель с входным током смещения, который
температурно стабилизирован, потенциометр обратной связи,
составленный из резисторов R{ и R2> и транзистор для усиления
мощности. Нагрузочный резистор R2 является эквивалентом
прибора, для которого предназначено постоянное напряжение
питания. Выходное напряжение Е0 для данной схемы
описывается соотношением
Я0 = (1 + Да/ДО v0 = v*. (3.30
где V0 — опорное напряжение, а — положение подвижного
контакта потенциометра. Как следует из уравнения (3.30),
длительная стабильность напряжения питания зависит от
температурной стабильности источника опорного напряжения и опера-
а б
Рис. 3.14. Источники постоянного тока для датчиков, а — простая схема;
б — схема с транзистором большой мощности.
ционного усилителя. Величина R2/Ri при использовании
потенциометра чрезвычайно стабильна, поскольку температурный
коэффициент сопротивления одинаков для обеих частей
потенциометра (Ri и R2). Температурные коэффициенты двух
различных резисторов (даже отобранных из одной партии) могут
оказаться не только различными, но и противоположными по
знаку, что вызывает большую температурную чувствительность
схемы. Отметим, что ни температурный дрейф операционного
усилителя, ни характеристики транзистора не играют в данной
схеме решающей роли, поскольку операционный усилитель
способен обеспечивать требуемое управляющее воздействие с
помощью сигнала обратной связи. Операционный усилитель
управляет схемой так, что напряжение на сопротивлении нагрузки
остается постоянным.
116
Глава 3
Потенциометрические схемы
Схемы с источником постоянного напряжения. Потенциомет-
рическая схема с источником постоянного напряжения состоит
из трех различных частей (рис. 3.15). Ими являются источник
постоянного напряжения (/), потенциометр (2) и выходная
депь (5). Потенциометр состоит из балластного резистора Rb
и сопротивления тензодатчика /?т. Идеальное выходное
напряжение Ет разомкнутой схемы обеспечивается при практически
бесконечном сопротивлении нагрузки Rm- Таким образом,
Ет = RTEtl (RT + Rb) = Bi/{l+r)9 (3.31)
l I
Рис. 3.15. Потенциометрическая схема с источником постоянного напряжения.
где г равно Rb/RT. Изменение выходного напряжения Ет из-за
изменений сопротивлений ARb и ART может дбыть найдено из
уравнения (3.31) в виде
АЕТ = [г/ (1 + г)2] (ART/RT - ARb/Rb) (1 —г\) Еи (3.32)
г) = 1 -1/ {1 + [1/ (1 + г)) (ART/RT - г ARb/Rb)}. (3.33)
Величина ц содержит нелинейные члены, определяющие
выходной сигнал схемы. Если балластный резистор Rb также является
тензодатчиком, то, как следует из уравнения (3.32), при
монтаже обоих тензодатчиков на одном и том же материале и при
одинаковых температурных воздействиях в устройстве
достигается температурная компенсация. Однако нелинейный член в
уравнении (3.33) достигает наибольшего значения при г=1.
Мощность Рт, рассеиваемая тензодатчиком, ограничивает
максимальное напряжение, прикладываемое к схеме. Она
связана е напряжением питания Ei зависимостью
рт = IET = E\IRT (1 + г)2.
118
Глава 3
сутствующей в выходном сигнале ЕТу и выделения малых
вариаций напряжения, создаваемых деформациями. Частотная
характеристика данной .RC-схемы совпадает с характеристикой
высокочастотного фильтра с постоянной времени, задаваемой
произведением RMC. Очевидно, что данная схема пригодна лишь
для измерения динамических деформаций, спектральные
компоненты которых превышают нижнюю частоту среза fc =
= 1/(2я/?мС).
Схема с источником постоянного тока. Потенциометриче-
ская схема с источником постоянного тока изображена на
рис. 3.16. Схема состоит из источника постоянного тока / (/),эле-
i г"
0
L.
1
Рис. 3.16. Потенциометрическая схема с источником постоянного тока.
ментов потенциометра Rb и RT (2) и выходной цепи (<?).
В данном случае балластный резистор Rb не нужен, поскольку
схема питается от источника постоянного тока, и Rb = 0 не
влияет на ее функциональные характеристики.
Напряжение Ет, создаваемое датчиком, определяется
простым выражением
ET — IRTi (3.38)
когда сопротивление нагрузки RM велико. Соответствующее
изменение напряжения имеет вид
АЕТ = IRT ART/RT = Ет ART/RT. (3.39)
Отметим, что изменение напряжения АЕТ — линейная функция
изменения сопротивления датчика Д7?г независимо от величины
этого изменения. Такая линейность расширяет область
практических приложений. Чувствительность потенциометрической
Средства тензометрии
119
схемы с питанием от источника постоянного тока описывается
выражением
Scc = &ЕТ/ (ART/RT) = IRT = yT^RT. (3.40)
Как показывает сравнение данной зависимости с уравнением
(3.34), эффективность схемы с питанием от источника
постоянного тока увеличена пропорционально коэффициенту (1+г)/г,
который равен 2 при г=1 и 1,111 при г = 9.
Сопротивление нагрузки RM способно снижать
чувствительность измерительной схемы с питанием от источника
постоянного тока к изменениям сопротивления. Применительно к
данному случаю изменение выходного напряжения является
следующей функцией изменения сопротивления:
Ь£0 = 1Ы1*{\-г\1), (3.41)
^де коэффициент потерь т]4 описывается выражением
„ = (Дт/Дм) [2+Rt/Rm+Wt/Rt) (1 + Rt/Rm)] п /оч
11 (i+ИтШм) [1 + №г/Дм) (1 +ДДт/Дт)] e к '
Таким образом, коэффициент потерь r]i зависит как от величины
Rt/Rm, так и от ARt/Rt- Погрешность не превышает 1%, когда
/?м>210 RT при ART/RT=0tl и #м>300 RT при ARt/Rt=1.
Таким образом, если RM>300RT, коэффициент потерь в
большинстве практических приложений не превышает 1%.
В рассмотренной схеме используются емкостные связи,
которые имеют то же назначение, что и в потенциометрической
схеме с питанием от источника постоянного напряжения.
Мост Уитстона
Схемы с источником постоянного напряжения. Мост
Уитстона с питанием от источника постоянного напряжения состоит из
трех частей (рис. 3.17). Это источник напряжения Ег, четыре
резистора (Ru R2t R3 и i?4), образующие мост, и
регистрирующая схема, включающая резистор нагрузки RM. В приведенных
ниже уравнениях полагается Rm=°°, так что ток, протекающий
через мост, не ответвляется в нагрузку. Особенности, связанные
с конечной величиной сопротивления нагрузки, обсуждаются в
конце настоящего раздела.
Выходное напряжение Е0 моста Уитстона (разность
напряжений Ев и ED) определяется соотношением
Е0 = (ДА -Л,/*.) EJ (Д4 +R2) (Д3+ Д4). (3.43)
Из уравнения (3.43) следует, что £о = 0, если выполняется
условие
ад-Д^. (3.44)
120
Глава 3
При соблюдении равенства (3.44) мост называется
сбалансированным. Это означает, что малое напряжение разбаланса,
вызванное изменением сопротивления, измеряется относительно
нулевого или почти нулевого уровня. Этот малый сигнал легко
может быть усилен до высокого уровня для последующей
регистрации.
Выходное напряжение АЕ0 возникает при изменении
сопротивления резисторов Ri, R2, R3 и R4 на величины ARU AR2>
AR$ и AR*. Такие изменения сопротивления тензодатчиков
возникают вследствие деформации или изменения температуры.
В соответствии с уравнением (3.43) изменение выходного
напряжения АЕ0, вызванное указанными малыми изменениями
сопротивлений, составляет
^o=iriV-(-^--^-+^--^)(l-r1)^ (3.45)
где член г), характеризующий погрешность, описывается
соотношением
,-i/{l + (l+r)/[^-+^+r(^+^)]}. ,3.46)
Это соотношение приводится к виду
Л = 2 4Ш^+2) (3-47)
для простого случая равенства всех четырех сопротивлений
(т. е. г= 1,0). Как легко видеть из уравнений (3.46) и (3.47),
член, соответствующий погрешности, обращается в нуль, когда
ARi и AR4 равны по величине и противоположны по знаку при
Д/?2 = Д/?з=0, а также когда AR2 и AR3 равны по величине и
противоположны по знаку при ARi = AR* = 0. Этот результат
имеет важное значение, так как нелинейное функционирование
моста не существенно, когда используются одновременно два
активных датчика в плечах моста Ri и R* или R2 и R3. Если
мост состоит из четырех активных датчиков с одинаковым
сопротивлением, то нелинейность моста отсутствует. При одном
активном датчике нелинейность приводит к погрешности 1%,
если ARJRi меньше 0,02 (величина, обычно соответствующая
деформации 10 000 мкм/м).
Чувствительность Scv одиночного тензодаачика в схеме моста
Уитстона с питанием от источника постоянного напряжения
описывается выражением
Средства тензометрии
121
где Рё — мощность, рассеиваемая тензодатчиком; Rg—
сопротивление тензодатчика. В связи с тем что эффективность схемы
г/(1 + г) ограничена величиной около 90% (г = 9) вследствие
того, что напряжение питания не может превысить
определенного значения, характеристики рассеяния мощности
тензодатчика лимитируют максимально достижимую чувствительность
схемы. Целесообразно использовать тензодатчики, способные
рассеивать более высокую мощность. Однако и материал
исследуемой детали со своими характеристиками теплопроводности
также ограничивает рассеиваемую датчиком мощность в
условиях конкретного эксперимента.
На рис. 3.18 показаны
четыре обычно используемых
варианта включения
тензодатчиков в схеме моста Уитстона.
Достоинства и ограничения
каждого варианта
рассматриваются ниже с помощью
уравнений (3.45) и (3.46),
описывающих чувствительность по
выходному напряжению и
нелинейность функционирования
моста.
Вариант 1. Одиночный
активный тензодатчик
установлен в позиции Ri (рис. 3.18,а).
Данная схема используется
как для статических, так и для
динамических измерений, когда температурная компенсация не
имеет существенного значения. Резисторы R2, R3 и R4 обычно
подбираются таким образом, чтобы обеспечить начальную
балансировку моста и максимальную чувствительность схемы.
В данном варианте функционирование моста характеризуется
наибольшей нелинейностью, в связи с чем для обеспечения
погрешности в пределах 1 % величина ARg/Rg не должна
превышать 0,02. Чувствительность системы на базе моста
Уитстона с тензодатчиком характеризуется изменением
напряжения АЕ0 на единицу деформации, которое также
равно произведению чувствительности тензодатчика Sg на
чувствительность моста Scv, соответствующую уравнению (3.48).
Таким образом,
Рис 3.17. Схема моста Уитстона с
источником постоянного напряжения.
ля0
ARg/Rg АЕ0
8 8 ARgfRi^T+7SeV PgR8' (3-49)
Как следует из уравнения (3.49), на чувствительность системы
влияют четыре фактора. Первый из них — эффективность схемы
г/(1 + г), которая ограничивается вследствие допустимого уровня
Средства тензометрии
117
Чувствительность схемы выражается через параметры г, RT и
Рт в виде
Scv = АЕТ/ (ART/RT) = г Yp~RtI (1 + г). (3.34)
При наличии большого балластного сопротивления
рассмотренная схема функционирует аналогично схеме с питанием от
источника тока. Кроме того, если г достаточно велико, нелинейный
член для заданного отношения ARt/Rt минимален. Величина
г ограничивается источниками напряжения, которые могут
применяться в рассматриваемой схеме. Поскольку при г>9 нет
существенного повышения чувствительности, такие значения
используются редко.
Для значений г=9,0 и \Rb = 0 погрешность может быть
приближенно представлена в виде
ti = 0,l(A/?r/i?r)-(0,lA/?r/i?t)2+ (3.35)
откуда следует, что погрешность г величиной 1% (г]=0,01)
соответствует Д/?т//?г=0,1. Такое изменение отношения
сопротивлений для тензодатчика с тензочувствительностью 2,0
соответствует деформации 50 000 мкм/м. Изменение отношения
сопротивлений на 0,1 очень велико для большинства практических
приложений, в которых используются фольговые тензодатчики,
однако оно вполне допустимо для полупроводниковых датчиков,
коэффициент тензочувствительности которых превышает 100.
Нагрузочный резистор RM может снижать выходное
напряжение Е0 в результате роста потребляемого резистором тока.
Снижение выходного напряжения представимо в виде
ДЯ0 = ДЯГ(1-Ч1), (3.36)
где коэффициент потерь % характеризуется соотношением
%~Z Rm ;1 + г(1+дг/дм) • V'ai)
Как следует из равенства (3.37), погрешность, вносимая
нагрузкой, не превышает 1%, если RM>400 RT при г=1 и если /?м>
>200 RT при г=9. Такое отношение сопротивлений легко
достигается в большинстве реальных ситуаций. Кроме того, следует
отметить, что правильная градуировка устраняет это влияние
нагрузки, поскольку указанный эффект вносит соответствующий
вклад в формирование тарировочного сигнала и, таким
образом, автоматически учитывается. Важно подчеркнуть, что малое
сопротивление RM приводит к нежелательному снижению и без
того малого сигнала, требуя дополнительного усиления для
обеспечения надежной регистрации.
Емкостный элемент, изображенный на рис. 3.15, применяется
для устранения постоянной высоковольтной составляющей, при-
122
Глава 3
напряжения следующим практическим диапазоном: [50% (г=
= 1), 80% (г=4) и 90% {г=9)]. Второй фактор —
чувствительность тензодатчика Sg, которая для металлических датчиков-
обычно находится между 2 и 4. Третий фактор — рассеиваемая1
датчиком мощность Pg, зависящая от материала, на котором
устанавливается датчик, и размеров тензодатчика. Четвертый
фактор — сопротивление датчика Rg, которое для металлических
датчиков лежит в диапазоне 120—1000 Ом. Наиболее
распространены 120-, 350- и 500-Ом датчики, причем конкретный выбор-
диктуется коммерческими соображениями.
Рис. 3.18. Варианты включения тензодатчиков в схему моста Уитстона. АД —
активный датчик, КД — компенсационный датчик.
Вариант 2. Схема моста Уитстона с двумя активными
плечами Ri и R2 показана на рис. 3.18, б (R3 и RA — постоянные
сопротивления). Есть два способа использования данной схемы.
Первый из них обеспечивает температурную компенсацию
для одного активного датчика в положении Ru когда
компенсационный датчик в положении R2 имеет ту же температуру, что
и активный. Из уравнения (3.45) следует, что член с ARi ком-
Средства тензометрии
123
пенсируется членом с AR2f если при изменении температуры
AR\ = AR2. Для этого необходима установка на одном и том же
материале идентичных датчиков, испытывающих одинаковые
изменения температуры. Нелинейность, описываемая уравнением
(3.46), в данном варианте такая же, как для одного активного
датчика в варианте 1. Единственное преимущество перед
вариантом 1—снижение температурной чувствительности схемы.
Второй способ применения рассматриваемой тензометриче-
ской схемы позволяет получить повышенную чувствительность
при сохранении температурной компенсации и подавлении или
ослаблении нелинейности. Предположим, что датчики 1 и 2
установлены соответственно в верхней и нижней частях одного
и того же поперечного сечения балки. В этом случае оба датчика
находятся в совершенно одинаковых тепловых условиях (если
они экранированы от прямого воздействия солнечных лучей и
других источников тепла, которые могли бы привести с течением
времени к существенным перепадам температуры), так что
температурные изменения сопротивлений по существу
исключаются. Деформации двух датчиков при нагружении балки
должны иметь противоположные знаки (и одинаковую величину
при симметричном сечении балки). Результирующее выходное
напряжение в соответствии с уравнением (3.45) удваивается при
условии, что деформации равны по величине и противоположны
по знаку, причем член, описывающий нелинейность, как следует
из уравнения (3.46), обращается в нуль при AR\/Ri=—AR2/R2.
Таким образом, использование пары датчиков в этом случае
позволяет увеличить чувствительность, снизить нелинейность и
исключить температурную зависимость при условии, что
монтаж обоих датчиков гарантирует одинаковое изменение
температуры. Основной недостаток рассмотренной схемы состоит в
том, что г=1, из-за чего эффективность схемы составляет всего
50%.
Вариант 3. Два активных датчика установлены в плечах R\
и R4 схемы, изображенной на рис. 3.18, в. Как следует из
уравнения (3.45), плечо R* может использоваться подобно плечу
R2 в варианте 2 как для обеспечения температурной
компенсации, так и повышения чувствительности, поскольку и AR2/R2 и
ARJR4 имеют тот же знак, что и ARi/Ri. Принципиальное
преимущество варианта 3 перед вариантом 2 состоит в возможности
увеличения эффективности схемы г/(1 + г) с 50% для г=1 до
80%—90% при значениях г от 4 до 9, поскольку для начальной
балансировки моста не требуется равенства г=1. Кроме того,
если отношения AR/R имеют одинаковую величину и
противоположные знаки, то при любом значении г нелинейность равна
нулю. Для варианта конфигурации, в котором плечо R\
является активным, а плечо R4 — термокомпенсирующим, нелинейный
Средства тензометрии
12S
представляет собой эффективное сопротивление моста. Как
следует из уравнения (3.52), если все плечи моста имеют
одинаковое сопротивление Rg, то RB = Rg- Таким образом, при RM>
> 100 Rg для моста с одинаковыми плечами погрешность не
превышает 1%. Это условие легко реализуется при использовании
большинства серийных измерительных приборов, поскольку Rm
обычно превышает 1000 Rg. Следует отметить, что
рассмотренное влияние нагрузки может быть учтено соответствующей
методикой градуировки.
Схемы с источником постоянного тока. Для питания в схеме
моста Уитстона может быть использован источник тока (рис.
3.19). Ток источника делится в точке С моста на две
составляющие 1\ и 12:
/ = /i + /2. (3.53>
Соответствующее выходное напряжение Е0 определяется
равенством
EQ = /ti?t - /2Д4 = / (ВД - R2Rk)l (RL+R2 + B3+ Д4), (3.54)
из которого следует то же условие равновесия, что и (3.44).
Изменение выходного напряжения АЕ0, вызванное изменением
напряжения в плечах моста, имеет вид
IRjRs j a#i ад2 ,
дгт IR1R3 ( a#i ад2
° 2i? + 2 ал \ i?! i?2
\ ддз ад4 i ai?iai?3 ад2А7?4 \ /q
ад ад-/' ^-№>
где 2JR = i?1 + i?2 + i?3 + i?4, ЕДД^Д^ + ДЛз + ДДз + Д^.
В этом уравнении присутствуют два вида нелинейных членов.
Первый представлен суммой членов AR, а второй —
произведениями AR друг на друга внутри скобок. Результат влияния этих
членов проще всего иллюстрируется примером. Пусть R{ —
активный датчик, а остальные сопротивления постоянные, так
что Ri=R\=Rg, R2 = Rs = rRg и Д/?2 = Д/?з=Д#4=0. Отметим, что
нелинейные члены в скобках при Д/?3=Д/?4=0 равны нулю. При
этих условиях уравнение для определения выходного
напряжения принимает вид
где нелинейный член т] характеризуется соотношением
ц = (ARg/Rg)/ [2 (1 + г) + Aityiy, (3.58)
которое свидетельствует о том, что погрешность для этой схемы
составляет лишь около половины ее значения для мостовой
124
Глава 3
член имеет такой же вид, как в схеме с одним активным
датчиком. Чувствительность схемы приближается к чувствительности
моста с четырьмя плечами, описанного ниже.
Вариант 4. В данном случае (рис. 3.18, г) используются
четыре активных тензодатчика, так что г должно быть равно 1.
В данной схеме достигается полная температурная компенсация
при условии, что одинаковые датчики установлены на
поверхностях одного и того же материала и испытывают идентичные
температурные воздействия. Кроме того, как видно из
уравнения (3.45), АЕ0 данной схемы вчетверо превышает АЕ0 схемы с
одним активным датчиком, превышает Д£0 варианта 2 схемы
при г=1, а также слегка превосходит АЕ0 варианта
3 схемы при г=9, если датчики установлены так, что
AR,= AR3= - Д#2 = -ДД4. (3.50)
Основные преимущества моста с четырьмя плечами —
температурная компенсация,
линейность (если все приращения
AR одинаковы по величине) и
возможность конструирования
измерительных схем, лишен-
6 иых нежелательной чувстви-
Е тельности к изгибающему или
° осевому нагружению.
<? Тщательный анализ
чувствительности рассмотренных
вариантов схем показывает, что
чувствительность может
изменяться от 0,5 Sg^PgRg для
варианта 2 до 2,0 Sg^PgRg для
варианта 4 при значениях
Sg^PgRg для варианта 1 (г=
= 9). В общем случае
использование дифференциальных
усилителей с высоким коэффициентом усиления для повышения
чувствительности измерительных схем более экономично, чем
использование нескольких тензодатчиков.
Влияние нагрузочного резистора RM на величину идеального
выходного напряжения Е0 может быть определено путем
анализа сопротивления нагрузки, последовательно подключенной к
мосту. Результат выражается в виде
Eoi = RMEJ (RM + RB) = EJ (1 + RB/RM), (3.51)
где Eoi — фактическое выходное напряжение, а величина
RB = R xRJ (Ri+Д,)+R*RJ (#3 + #4) (3.52)
Рис. 3.19. Схема моста Уитстона
источником постоянного тока.
Средства тензометрии
127
Показание регистрирующего устройства dR связано с
деформацией в каждом плече моста следующим соотношением:
<*« = GrElJ+rj№- fa -Ч + Ч-е.) = Sbeb, (3.61)
где G — коэффициент усиления усилителя и регистрирующего
устройства; г — отношение сопротивлений R2/R1 или Rs/Ra',
Ei — напряжение питания моста; г\ — нелинейный член [см.
уравнение (3.46)]; Sg — чувствительность тензодатчика; ег —
деформация в i-м плече моста; Slt — общая чувствительность
системы; гв — эффективная деформация, измеренная прибором.
Эффективная деформация ел выражается следующим образом:
8В = 84 —е2 +е3 — 84 = iVe, (3.62)
где N=1 для одного активного датчика (АД), N = 2 для двух
АД и N=4 для четырех АД, когда деформации во всех плечах
одинаковы. Как следует из уравнения (3.61), чувствительность
системы SR определяется по формуле ^кал = 5я8Кал, так что
эффективная деформация может быть представлена соотношением
£в = (Екал/^кал) dR. (3.63)
Существуют два основных метода определения чувствительности
измерительной системы — механический и электрический.
При механической градуировке тензодатчик
(чувствительность которого совпадает с чувствительностью датчика,
используемого в измерениях) устанавливается на градуировочную
консольную балку и подключается в плечо R\ моста Уитстона.
Снимают показания регистрирующего устройства для известной
деформации установленного на балке датчика.
В случае консольной градуировочной балки средняя
деформация в месте установки датчика вычисляется по формуле
£кал = 3/ш6/2/3, (3.64>
где h — толщина балки; а — расстояние от точки приложения
нагрузки до середины датчика; / — длина балки; б — прогиб-
балки в точке приложения нагрузки. Выходной сигнал
измерительного прибора регистрируется до и после приложения
градуировочной нагрузки, и полученные данные используются для»
определения dKajl (рис. 3.20). Нагружение повторяют при
нескольких величинах нагрузки с целью определения
воспроизводимости показаний и линейности измерительной системы. Метод
механической калибровки пригоден для проверки точности
измерительной системы, однако для постоянного пользования он?
слишком дорог и неудобен.
При электрической градуировке используют эталонное
сопротивление Rc> которым шунтируют одно из плеч моста Уит-
128
Глава 3
стона (рис. 3.20). При замкнутом градуировочном ключе S
эффективное сопротивление плеча R2 характеризуется
соотношением
R2e=R2RJ(R2 + Rc). (3.65)
Поэтому наблюдаемое изменение сопротивления и
соответствующая градуировочная деформация связаны зависимостью
-щ-—~ТГ2 — ~~ r2+rc — — *V*ajle \?-™)
Используя различные эталонные резисторы, можно быстро
имитировать стандартные деформации (для 5^ = 2,0) величиной 100,
200, 500, 1000 мкм/м.
Связанный с деформированием датчика эффективный
выходной сигнал моста, показанного на рис. 3.20, определяется
соотношением
^= & (3.67)
#! Rg+2RL g{
Соотношение (3.67) свидетельствует, что сопротивление
подводящих проводов RL снижает чувствительность моста. В этом
случае при градуировке лучше всего подключить эталонное
сопротивление непосредственно к тензодатчику (а не к резистору
i?2, как показано на рис. 3.20), чтобы полностью учесть влияние
сопротивления соединительных проводов. Для реализации
описанной процедуры электрической градуировки имеется
стандартный набор резисторов. После градуировки тензодатчика
дальнейшая ежедневная градуировка может осуществляться
путем шунтирования резистора R2i поскольку сопротивление
соединительных проводов не изменяется.
3.4. Особенности тензоизмерений
Тензометрические схемы разрабатываются для измерения
весьма малых изменений сопротивления, происходящих в
датчиках. Любое воздействие, способное изменить сопротивление
различных компонентов моста, имеет существенное значение,
поскольку оно воздействует на величину выходного
напряжения. Основными компонентами измерительной схемы являются
датчики деформаций, соединительные провода, места
соединений (как паяных, так и клеммовых), а в некоторых случаях
переключатели и скользящие контакты. Хотя соединения
пайкой, контакты и клеммы способны вносить существенные
погрешности, соответствующие проблемы могут быть решены
путем исключения холодных паяных соединений и использования
плотных механических соединений. Следует отметить, что во
Средства тензометрии
129
избежание термоэлектрических эффектов соединения должны
иметь одинаковую температуру. В настоящем разделе
рассмотрены более сложные проблемы, связанные с соединительными
проводами, переключателями, скользящими контактами,
телеметрией и электрическим шумом.
Соединительные провода
Одиночный датчик. Одиночный датчик со значительным
сопротивлением соединительных проводов показан на рис. 3.20.
Предполагается, что каждый из соединительных проводов
имеет одно и то же сопротивление Rl. С соединительными
проводами могут быть связаны две проблемы — снижение уровня
сигнала и температурная чувствительность.
Снижение уровня сигнала. Снижение уровня сигнала
происходит потому, что изменение сопротивления ARg делится не
на сопротивление тензодатчика Rg, а на сопротивление плеча
моста Rg + 2RL. Поэтому уровень сигнала определяется
зависимостью
-f^i^^d-^' <3-68>
где коэффициент потерь г\ определяется соотношением
г] = (2RLIRg)/ (1 + 2RL/Rg). (3.69)
Это соотношение показывает, что если снижение уровня
сигнала должно быть меньше 1%, отношение Rb/Rg не должно
превосходить 0,005. Для датчика с сопротивлением 120 Ом RL
должно быть меньше 0,6 Ом, что соответствует медной
проволоке № 18 длиной 30 м. Очевидно, следует избегать применения
длинных соединительных проводов малого диаметра или
обеспечивать тщательную градуировку в соответствии с
вышеописанной методикой.
Температура. Температурная компенсация может быть
утрачена при использовании длинных соединительных проводов в
сочетании с одиночным датчиком и соединением типа
показанного на рис. 3.20, где датчик 1 имеет длинные соединительные
провода, а датчик 4 — короткие. Предположим, что
температура датчиков и проводов изменилась на ДГ в процессе
измерения деформаций датчиком 1. Выходное напряжение моста
может быть выражено в форме
(1 + г)2
9-1480
126
Глава 3
схемы с питанием от источника напряжения [см. уравнение
(3.46)]. Таким образом, питание от источника тока расширяет
рабочий диапазон моста Уитстона.
Чувствительность моста Уитстона с питанием от источника
тока выражается соотношением
Scc = ДЯ0/ {ARgIRg) = IRgr/2 (1 + г), (3 59)
которое приводится к виду
Scc = rVP]Rg/(l+r) (3.60)
в случае симметричного моста, где Ig = I/2. Такой мост имеет ту
же чувствительность, что и мостовая схема с питанием от
источника напряжения [см. уравнение (3.48)].
Регистрирующее
устройство
Рис. 3.20. Схема системы для измерения деформаций.
3.3. Градуировка тензометрической аппаратуры
Система для измерения деформаций (рис. 3.20) обычно
включает один или более тензодатчиков, резисторы,
дополняющие схему до мостовой, балансные резисторы моста, один или
более источников питания, усилитель и регистрирующее
устройство. Каждый из перечисленных элементов вносит свой вклад
в результирующую чувствительность, поэтому градуировка
(калибровка) всей системы предпочтительнее, чем дорогостоящая
градуировка каждого ее компонента в отдельности.
130
Глава 3
где R\=Rg + 2Rb — сопротивление плеча Ru a Ri = Rg—
сопротивление компенсационного датчика с пренебрежимо малым
сопротивлением соединительных проводов.
В данное выражение входят следующие члены: 1)
изменение сопротивления активного датчика, вызванное измеряемой
деформацией; 2) изменение сопротивления активного датчика1
вызванное изменением температуры ДГ; 3) изменение
сопротивления соединительных проводов в плече Ru вызванное
изменением температуры; 4) изменение сопротивления
компенсационного датчика, вызванное изменением температуры.
Очевидно, что температурная компенсация не достигается, поскольку
сумма второго и четвертого членов рассматриваемого
выражения не обращается в нуль, а третий член (характеризующий
соединительные провода) также отличен от нуля. Таким обра-
Рис. 3.21. Трехпроводное включение тензодатчика в мостовую схему. АД —
активный датчик, КД — компенсационный датчик.
зом, схема может вносить существенные ошибки, связанные с
изменениями температуры.
Трехпроводное включение тензодатчика в мостовую схему,
Такое включение (рис. 3.21) часто применяется для ослабления
вредных эффектов, создаваемых длинными соединительными
проводами. В данном случае активный и компенсационный
датчики подключены к соединительным проводам одинаковой
длины, так что оба плеча моста (первое и четвертое) включают
сопротивление соединительных проводов RL (оно полагается
одинаковым в обоих плечах). Оба плеча содержат по одному
длинному соединительному проводу и одному очень короткому,
Третий провод фактически перемещает точку А обычного моста
в точку А' и не рассматривается в качестве соединительного
провода.
132
Глава 3
стоянно подключен к мосту. При использовании данной схемы
переключающий контакт сопротивления Rs подключен
последовательно с датчиком. Так как изменение сопротивления
тензодатчика чрезвычайно мало, сопротивление переключателя после
заданного числа срабатываний должно сохраняться постоянным
в пределах нескольких сотен микроом. Этим достигается
требуемая погрешность измерения (240 мкОм соответствует в 120-Ом
датчике с чувствительностью Sg=2,0 одной микродеформации)
и обеспечивается постоянство затухания сигнала. В
большинстве переключающих устройств используются позолоченные или
посеребренные контакты, а также два или более контактов на
каждый ключ. Качество переключателя оценивается путем
повторных измерений, поскольку контакты переключателя могут
Регистрирующее
устройство
Рис. 3.22. Схема включения в мост Уитстона большого числа датчиков с
помощью однополюсного переключателя.
быть серьезным источником погрешностей. Переключатели
должны подвергаться периодической очистке для удаления
грязи и окислов с контактирующих поверхностей. Кажущаяся
деформация, обусловленная сопротивлением переключателя при
однополюсном переключении, определяется по формуле
zs = (ARs/Rg)/Sg. (3.73)
Трехполюсные переключатели. Трехполюсное переключение
реализуется более дорогостоящей схемой, в которой все
цепи моста подключаются к регистрирующему прибору и
источнику питания (рис. 3.23). Обычно одна сторона источника
питания С подключается к каждому датчику через общий провод,
так что для каждого моста необходимо подключить
источник питания в точке А и два сигнальных провода в точках В
Средства тензометрии
133
Датчик 3
Регистрирующее
устройство
Рис. 3.23. Схема подключения нескольких полных измерительных мостов к
источнику питания и регистрирующему устройству с помощью трехполюсно-
го переключателя.
и Z). Очевидно, что сопротивление переключателя не играет в
данной схеме существенной роли, поскольку он включен
последовательно с регистрирующей системой, обладающей высоким
входным сопротивлением. Дополнительное преимущество
данной схемы состоит в возможности первоначальной балансировки
моста, что позволяет соотнести считываемые результаты с
уровнем, соответствующим сбалансированному состоянию. Основной
недостаток схемы — дополнительные затраты на резисторы,
образующие индивидуальные мосты датчиков. Однако эти затраты
являются однократными, поскольку набор на три четверти
укомплектованных мостов может быть использован в
последующих испытаниях.
134
Глава 3
Обе системы переключения подвержены температурному
дрейфу, поскольку питание подается на тензодатчик только на
период его подключения к мосту. Однополюсная система
сопряжена с большими недостатками, поскольку нагреву
подвергается только датчик, тогда как остальные компоненты нагреты
постоянно. В трехполюсной схеме все компоненты должны
нагреваться одновременно и вероятность более равномерного
нагрева выше. Это сокращает время регистрации измеряемой
величины. В обоих случаях следует тщательно контролировать
температурный дрейф и регистрировать данные только после
стабилизации показаний датчика.
Передача данных
На практике часто встречается задача измерения
деформаций вращающихся элементов конструкции, которая
сопряжена с передачей данных от моста Уитстона, размещенного на
вращающейся детали, к стационарной системе регистрации.
Передача сигналов в подобных случаях реализуется с помощью
скользящих контактов (токосъемников) или средств телеметрии.
Скользящие контакты. Скользящие контакты используются
для подключения моста Уитстона, размещенного на
вращающейся детали, к источнику питания Et и регистрирующему устрой-
Рис. 3.24. Схема подключения вращающейся детали к измерительной системе
посредством скользящих контактов
Средства тензометрии
135
ству Е0 (рис. 3.24). Токосъемник со скользящими контактами
содержит наборы изолированных колец, установленных на
вращающемся валу, и изолированных щеток, установленных на
неподвижном внешнем основании. Для обеспечения
выравнивания и концентричности щеток и колец с целью минимизации
дребезга контактов используются подшипники. Чтобы снизить
уровень помех, для каждого соединения используются два или
более контактных колец. Несмотря на относительную
независимость схемы от контактного сопротивления щеток, для
снижения шума требуется предохранение поверхности щеток от
загрязнений и существенного износа. Обычно кольца
изготавливают из медно-никелевого сплава монель, а щетки — из
серебряно-графитового материала. Давление щеток должно
поддерживаться в диапазоне 0,34—0,68 МПа. В настоящее время
созданы комплекты скользящих контактов, рассчитанных на
работу при скоростях, превышающих 6000 об/мин. Один из
недостатков скользящих контактов — необходимость их установки
на конце вращающегося вала.
Телеметрия. Этот тип измерений имеет несколько
преимуществ перед использованием скользящих контактов.
Измерительное устройство размещается в любом месте вращающихся
вала или элемента конструкции, а регистрирующее устройство
может располагаться на большем расстоянии, если
используются соответствующие радиочастоты. Простая схема включает
мост Уитстона, источник питания (некоторые фирмы применяют
энергоснабжение движущихся частей с использованием катушек
индуктивности) и радиопередатчик, расположенный на
подвижных деталях. Радиоприемник и регистрирующее устройство
размещаются поблизости (от нескольких метров до нескольких
сотен метров), что допускает применение маломощных
радиопередатчиков. Для подготовки данных многоканальных
измерений через единственный канал передатчик — приемник
используется процедура мультиплексирования. Двумя основными
методами обработки данных многоканальных измерений для
передачи и соответствующего приема являются
мультиплексирование с разделением по частоте и мультиплексирование с
разделением во времени.
Мультиплексирование с разделением по частоте данных из
трех каналов иллюстрируется рис. 3.25. Каждый канал снабжен
ГУН (генератор, управляемый напряжением) с индивидуальной
центральной частотой (400, 560 и 730 Гц в схеме на рис. 3.25).
Аналоговые сигналы, соответствующие деформациям,
воздействуя на ГУН, вызывают изменение частоты (формируют
частотно-модулированный сигнал) в диапазоне ±7,5% от
центральной частоты.
Средства тензометрии
131
< нижешь уровня сигнала. Коэффициент уменьшения сигна-
iii и i омы с грсхироводным включением тензодатчика в мост
mm < uio if го же значение как для одного, так и для двух
11К1Иип!1\ датчиков и определяется соотношением
« Оигм I шлепие уравнений (3.69) и (3.71) показывает, что при
исгюлмовапши грехпроводного включения сигнал уменьшается
при шзите и по и пюе.
I. ши |» и урн. Гемпер.иурпая компенсация при использовании
1 pi itp«»noнтч п пкикнкчши резко улучшается. В этом случае
\ | il iiiii ii цп (Л 'О) прпнммпгг иид
h ми- р мури i i KoMiu4uvni.il i в датчиках достигается, если
\А'. л i <<\ ^A, л \/кл, i с. если изменения температуры обоих
1ЧИК0И одмняконы. Температурная компенсация в соедини-
м iin114 провод i\ достигается при ARlati/Ri = ARl^t4/R4. Это
уелоимо тегко ш шолпяегся. Однако в экспериментах со
скрути иными провод ши, освещенными солнечным светом, обнару-
i tin гни п минеи шли температурный дрейф из-за того, что
ii.irptn шуч провоюв часто оказывается различным. Для пра-
ин/ii.iioi о проие ичшя измерений в подобных условиях требуется
<< >лк> [.lib исключигельную осторожность.
7 it iui ///
1и iici if* iнп 11111vi 1ыи|)яжсппо-деформированного состояния
кош iji i ii in n •( ni mft мтимн нередко требуется одновременное
и» но г Miiniiiit mi.ччитального числа тензодатчиков. Показания
i iu in i*i iчикн многократно регистрируются в процессе экс-
iii римем! 1 .к Поскольку затраты на создание индивидуальных
men м считывания показаний практически неприемлемы, в ре-
илыплх измерительных системах предусматривают специальные
переключающие устройства (коммутаторы), обеспечивающие
считывание показаний в установленной последовательности.
W гензометрических системах, объединяющих многочисленные
А1тчики, применяются две различные схемы переключателей.
Однополюсные переключатели. Однополюсное
переключение— наиболее дешевая реализация коммутатора путем
поочередного подключения одного контакта каждого датчика в
позицию Ri моста (рис. 3.22). Другой контакт каждого датчика по-
4 = (RLm8)/(l+RL/Rg).
(3.71)
/
If,
(I I')
(3.72)
Средства тензометрии
137
Отдельные частотные диапазоны не перекрываются.
Частотно-модулированные сигналы смешиваются, образуя составной
сигнал, который передается передатчиком в эфир на
соответствующей частоте (в данном примере 2200 МГц). После приема
сигнал проходит избирательные фильтры, каждый из которых
пропускает часть сигнала, соответствующую конкретному
частотному диапазону. Перед регистрацией сигнал демодулируется
и фильтруется. Последние достижения твердотельной
электроники сделали рассматриваемые измерительные системы
исключительно удобными, компактными, обладающими малым
энергопотреблением и высоконадежными. Для обеспечения связи на
значительные расстояния необходимо разрешение
администрации. На территории США для этой цели отводится два
частотных диапазона —от 1435 до 1535 МГц и от 2200 до 2300 МГц.
Мультиплексирование с разделением во времени
осуществляется в одном канале передачи, однако каждый датчик
занимает канал только в течение короткого промежутка времени в
циклически повторяющейся последовательности опроса
датчиков. Для двух каналов передачи данных частота опроса должна
не менее чем на порядок превосходить максимальную частоту
деформирования (пять отсчетов на период высшей гармоники).
Для n-канальной системы требуемая частота опроса должна в
Юп раз превосходить высшую частоту деформирования,
поскольку каждый канал опрашивается только 1/п часть каждого
цикла опроса.
Электрический шум
Электрический шум, наводимый на мосту и линиях передачи
сигнала магнитными полями от линии энергоснабжения
(рис. 3.26), может представлять серьезную проблему. Величина
напряжения, наведенного в линиях передачи сигнала током,
протекающим в линии энергоснабжения, пропорциональна
площади витка, образованного линиями, и обратно
пропорциональна расстояниям (d\ и d2) между линиями. Для уменьшения
шума необходимо принимать следующие меры предосторожности..
1. Для уменьшения площади витка надо применять только*
скрученные проводники. Длина проводников должна быть
сокращена до минимума. Проводники с избыточной длиной не
должны образовывать витков во избежание появления
индуктивности.
2. Следует использовать только экранированные кабели.
Экран должен быть подключен к отрицательному полюсу
источника питания. В этом случае не возникают токи, протекающие
от «земли», и экран сохраняет потенциал, близкий к нулю. Ис-
785 Гц
Канал 3
11-Гц
данные
Ианал 2
Нанал 1
6-Гц
данные
ПН,
центр,
частота
730 Гц
675Гц^
602 Гц
ГУН,
центр,
частота
560 Гц
>
518 Гц^
430 Гц
ГУН,
центр.
частота
400 Гц
370 Гц
V—s-
Составной
сигнал (220Q МГцУ
Смеситель
-V
Составной
сигнал (2200 МГц)
Передатчиц
Приемник
Избираю,
фильтр
(675-785 Гц)
Избират.
фильтр
(370-430 Гц)
Демодулятор,
центр,
частота 730 Гц
Избират.
фильтр
(518-602 Гц)
Демодулятор,
центр,
частота 560 Гц
Демодулятор,
центр, часто
та 400 Гц
Нанал ре -
гистрир.
устройст-
ваЪ
Нанал ре-
. гистрир-
ус трои cm -
ва 2
Нанал ре-
- гистрир
устройства
Рис. 3.25. Схема системы передачи
данных посредством мультиплексирования
с разделением по частоте.
Средства тензометрии
139
до 10. Этим обеспечивается общий коэффициент усиления в
диапазоне от 500 до 5000. Желательно выбирать Rs/R намного
большим, чем i?7/i?6, для того чтобы свести к минимуму шумы
двух усилителей и повысить эффективность подавления
синфазного шума третьим операционным усилителем. Выходной
усилитель подключается к регистрирующему устройству с
сопротивлением в несколько сотен омов длинными скрученными
экранированными проводами. Сигналы, вызванные магнитными
наводками, в длинных соединительных проводах обычно имеют
малую мощность. Поэтому они не создают на малом
сопротивлении Rm значительное напряжение, сравнимое с сигналом вы-
7
Рис. 3.27. Усилительная схема с подавлением шума для моста тензодатчиков.
J — короткие соединительные провода для передачи слабых сигналов; 2 —
длинные экранированные соединительные провода для передачи мощных
сигналов.
сокого уровня, формируемым усилителем 3. Шум в кабеле
(создаваемый обычными схемами с длинными соединительными
линиями при низких уровнях сигнала) существенно снижается
дифференциальным усилителем, составленным из трех
операционных усилителей, а также низкоомной нагрузкой.
3.5. Обработка результатов измерений
Тензодатчики обычно используются для определения
напряжений в точках, расположенных на свободной поверхности
{oZz = Xzx=rzy = 0) нагруженной детали. Для преобразования
измеренных деформаций в напряжения, возникающие в
площадках, перпендикулярных к свободной поверхности, необходи-
138
Глава 3
точник питания не должен соединяться с «землей» устройства
(третий провод в сетевом кабеле) во избежание возникновения
витков заземления в источнике питания.
3. Надо применять только дифференциальные усилители с
эффективным подавлением помех общего вида. В скрученных
соединительных проводах наводимый шум практически одинаков
в обоих проводах, что ведет к существенному ослаблению
синфазного шума.
Решение проблемы длинных линий и шума
Один из способов устранения шума, обусловленного
длинными соединительными линиями, — размещение
дифференциального усилителя вблизи моста тензодатчиков (рис. 3.27).
Линия энергоснабжения
В
Рис. 3.26. Схема, иллюстрирующая создание электрического шума.
Шум, наводимый на входе усилителя при коротких сигнальных
проводах, имеет минимальный уровень. Для обоих усилителей
'() и 2) дифференциальный сигнал обладает коэффициентом
усиления Rs/R, в то время как шум одинаков и имеет
коэффициент усиления, равный единице. Это означает, что отношение
сигнал/шум улучшается до устранения помехи общего вида в
усилителе 3. Общий коэффициент усиления по напряжению
данного составного усилителя характеризуется соотношением
<? = (1 + 2/уД)(Я7/Яв), (3.74)
где отношение сопротивлений R5/R обычно находится в
диапазоне от 250 до 500, а отношение R7/R6 — в диапазоне от 2
140
Глава 3
мо знать упругие постоянные материала Е и v, а также
деформации в трех направлениях на свободной поверхности.
Предполагается, что любые необходимые поправки на поперечную
чувствительность тензодатчиков внесены до использования
приводимых ниже уравнений.
В условиях плоского напряженного состояния величины охх,
ОуУ и %ху отличны от нуля, причем направления главных
напряжений неизвестны. Следовательно, существуют три неизвестных
параметра, определение которых позволяет полностью описать
Рис. 3.28. Три тензодатчика, ориентированные под произвольными углами
относительно оси х.
напряженное состояние в заданной точке. Эти неизвестные
параметры— главные напряжения gi и о2 и угол Pi наклона
главного напряжения.
Необходимые данные о деформированном состоянии
получают с помощью розетки из трех тензодатчиков, установленных
на свободной поверхности детали1*. Рассмотрим три
тензодатчика, установленные вдоль осей А, В и С (рис. 3.28). Уравнения
преобразования деформаций при повороте осей координат
имеют вид
*> Определение напряжений с использованием розеток тензодатчиков см.
в работах [12, 14]. — Прим. ред.
142
Глава 3
В дельта-розетке датчики А, В и С установлены под углами
соответственно 0, 60 и 120° к оси х. Главные деформации гх
и е2 и угол р описываются выражениями
0 __eA + SB+ec
/3 /
-,/7с SA + gB + вС \2 \ / SB-SC \2
у vA з ) ^\~уГ)
(3.81)
2 8а_(8а+8в + 8с)/3 •
Главные напряжения определяются по формулам
^-^L 3(i-v) »т+7 К Iе* з j +1"уг/ >
(3.82)
a2-^[ 3(1_v) 18а § ) +l"7T/J-
3.6. Заключение
В настоящей главе рассмотрены широко используемые в тен-
зометрических приборах электрические схемы формирования
сигналов. Обсуждены характеристики типовых элементов
электронных схем, таких, как усилители, фильтры,
аналого-цифровые преобразователи и источники питания, в составе потенцио-
метрических схем и схем с мостами Уитстона для повышения
точности измерения деформаций. Показано, что нелинейные
эффекты могут быть сокращены до уровня, не превышающего
1% при деформациях меньше 50 000 мкм/м, измеряемых тензо-
датчиком с чувствительностью 2,0, который входит в потенцио-
метрическую схему. При использовании схемы на базе моста
Уитстона нелинейные эффекты максимальны, если в схеме
применен только один активный датчик. В таком случае при
использовании тензодатчика с чувствительностью 2,0
погрешность 1% возникает при деформации 10 000 мкм/м. Тензомет-
рическая система градуируется путем шунтирования одного из.
активных датчиков эталонным сопротивлением. При этом
полностью учитывается снижение уровня сигнала длинными
соединительными проводами. Показано, что трехпроводная схема с
одним датчиком минимизирует эффект влияния длинных
соединительных линий, однако не полностью устраняет температурные
эффекты, как это часто утверждается. При определении
главных деформаций и напряжений тензодатчики объединяются в
розетки. Приведены уравнения, обычно используемые для
преобразования деформаций, измеренных тензорезисторами, в
главные деформации и напряжения.
Средства тензометрии
141
*а = *хх cos2PA + гуу sin2 РА + уху sin рА cos РА,
еБ = ехж cos2 $в+гуу sin2 рБ + уху sin РБ cos рБ, (3.75)
ес = е«л cos2pc + гуу sin2 рс+ sin Рс cos рс.
При заданных углах Рл, Рв и Рс и известных по результатам
измерений деформаций ел, ев и ее компоненты тензора
деформаций в декартовой системе координат (гхх, гуу и ^ху)
находятся путем решения системы уравнений (3.75). Главные
деформации 8i и ег, а также их направления вычисляются по формулам
е1 = (1/2)(ежя + е^) + (1/2) У(*хх-*уу)2 + У2ху ,
е2 = (1/2)(е,, + е2/,)~(1/2) У(ехх-гуу)* + у*,, (3.76)
2р = arcl£ [уху/ (гхх - е^)],
где р — угол наклона деформации ei к оси х. На практике чаще
всего используются трехэлементная прямоугольная розетка и
дельта-розетка. Трехэлементная прямоугольная розетка
образуется датчиками, расположенными под углами Рл=0, Рв = 45°
и Рс=90°. При этих значениях углов из уравнений (3.75)
получаем
ел = еЛЛ, гв = (гхх+гуу+уху)/2, гс=гуу. (3.77)
Для деформации сдвига уху из уравнений (3.77) получаем
Т*у = 2ев —еА — ес. (3.78)
Главные деформации еА и е2 и угол р выражаются через еА, гв
и ес с помощью уравнений (3.76) —(3.78):
е1=(1/2)(еА + ес)+(1/2) "К(бА~ес)2+(2еБ~еА-ес)2,
е2 = (1/2) (еА + гс) - (1/2) ]^(гА-гсГ+ (2еБ-еА~ес)2, (3.79)
Р = (1/2) arctg [(2еБ - еА - гс)1 (еА - ес)].
Уравнениям (3.79) удовлетворяют два значения угла р. Одно
значение дает угол Pi между ei и осью х, а другое — угол Рг
между е2 и осью х. Область изменения угла $х может быть
получена из следующих условий: 0°<Pi<90° при 2ев>(ел + ес);
—90°<Pi<0° при 2ев<(ев + ес); pi = 0° при гА>гс и ел = ег,
р1 = ±90° при ел<ес и ел = е2- Соответствующие главные
напряжения выражаются через измеренные деформации
(3 80)
°> = E[Jl^-ir^V(sA-ec)z+{2eb-ea -вс)*].
Глава 4
Датчики силы, давления
и параметров движения
/С. Макконнелл, У. Райли1)
Для измерения силы, давления и параметров движения
разработано много методов. Элементы, общие для этих методов,
рассмотрены в последующих разделах. В значительном
числе экспериментов измеряются как линейные, так и
угловые перемещения. Перемещения любого типа могут быть
измерены относительно фиксированной (абсолютной) или
подвижной системы отсчета. Во многих технических задачах
абсолютное перемещение тождественно перемещению
относительно земной поверхности, несмотря на то что сама Земля движется
вокру Солнца. В других задачах движение Земли является
существенным фактором и не может быть исключено из
рассмотрения.
Тремя основными параметрами прямолинейного и
вращательного движений являются (рис. 4.1) перемещение (s и р),
скорость (v и со) и ускорение (а и а). Связи между
перемещением, скоростью и ускорением могут быть представлены
следующим образом:
Использование этих несложных соотношений предполагает
возможность измерения любой из содержащихся в них величин,
тогда как остальные параметры непосредственно определяются
интегрированием или дифференцированием регистрируемого
сигнала. В связи с техМ что процесс интегрирования обладает
свойством сглаживания, его использование предпочтительнее
дифференцирования, которое приводит к увеличению
погрешностей. Два наиболее часто измеряемых параметров движения —
ускорение и перемещение. Измерение ускорений обычно осуще-
*> Kennet С. McConnell, William F. Riley. Iowa State University, Ames,
Iowa.
v = ds/dt, со = d$/dt,
a = dv/dt. = <Ps/dt2, a = du/dt = d2$/dt2.
(4.1)
(4.2)
144
Глава 4
ствляется при исследовании вибраций и ударных воздействий,
тогда как перемещения чаще всего регистрируются в
технологических и контрольных операциях.
4.1. Основные элементы измерительной системы
Основные элементы системы для динамических измерений
указаны на рис. 4.2. К ним относятся:
1 Измеряемая величина (входное воздействие).
2 Преобразователь (датчик). Датчик преобразует
изменения измеряемой механической или температурно-зависимой
величины в электрический сигнал, который может быть усилен и
преобразован перед регистрацией наиболее простыми
средствами.
Фиксированная прямая C-J
Рис. 4.1. Определение прямолинейной и угловой координат,
а—прямолинейное движение точки; б — вращательное движение отрезка прямой.
3. Источник питания. Источник питания обеспечивает
энергоснабжение преобразователя и может создавать как
постоянное, так и переменное напряжение в зависимости от типа
преобразователя. Кроме того, источник питания используется для
энергоснабжения других элементов системы регистрации.
Важный аспект любых измерений — мощность (энергия),
потребляемая от исследуемой физической системы. В связи с этим
необходимо использовать либо высокоомные электрические
схемы, либо схемы с внешним энергоснабжением.
4. Формирователь сигнала. Составная часть измерительной
системы, обеспечивающая формирование сигнала, обычно
включает электрические схемы, в функции которых входят
преобразование, компенсация, усиление, фильтрация (в частотной
области) или другие манипуляции с выходным сигналом
преобразователя для перевода его в нужную форму. Распространенными
элементами преобразователей являются: а) усилители для
усиления сигнала и согласования сопротивлений преобразователя
и других элементов системы регистрации; б) фильтры для уда-
Датчики силы, давления и параметров движения
145
ления нежелательных или усиления полезных спектральных
компонент сигнала; в) интеграторы для интегрирования
сигнала во времени; г) линеаризаторы для преобразования
нелинейной характеристики преобразователя, чтобы обеспечить
линейную связь входного и выходного сигналов (потребность в ли-
неаризаторах резко ослабла в связи с применением методов,
цифровой обработки, обеспечивающих коррекцию нелинейности
датчика более эффективными средствами, чем в аналоговых
электрических схемах).
5. Регистраторы. Регистраторы представляют собой
устройства, которые отображают перемещения в виде, удобном для
наблюдения, интерпретации и хранения. При статических
измерениях используются цифровые вольтметры, при
динамических— электронно-лучевые осциллографы. Новейшим классом
регистрирующих устройств являются системы цифровой
осциллограф — процессор для обработки данных.
Источник
питания
Входная
величина
\преоброзователь
Формирователь сигнала
а) усилитель
б) фильтр
в) интегратор
г) ли неори затор
Рис. 4.2. Элементы измерительной системы.
Регистратор
Процессор
Выходная
величина
Генератор
команд
А_
Устройство
управления
6. Процессор для обработки данных. Такие процессоры
преобразуют выходной сигнал в цифровую форму для
последующего анализа информации и (или) управления процессом.
7. Контроллер (устройство управления). Контроллер следит
за механическими или тепловыми параметрами и регулирует их
в соответствии с управляющим сигналом, формируемым
генератором команд. Как правило, реализуется прямое управление,
включающее цепи обратной связи. Преимущества цифровых
систем позволяют реализовать разомкнутую схему адаптивного
управления, в которой обеспечивается саморегулирование
системы в соответствии с параметрами функционирования,
полученными в процессе многократных измерений.
В последующих разделах рассмотрены различные аспекты
приборного оснащения систем для динамических измерений,
включая анализ механических и электрических характеристик
аппаратуры.
10—1480
Датчики силы, давления и параметров движения
147
(дБ), а величина RCco дается в логарифмическом масштабе.
Фаза р, первоначально равная 0, увеличивается до зх/4 (45°У
при #Ссо = 1,0 и достигает я/2 (90°) при /?Ссо> 10
Децибел как единица измерения определяется величиной*
101g(P/Pr), где Р соответствует измеряемой, а Рг — эталонной
величинам, аналогичным мощности. Мощность тока
пропорциональна квадрату электрического напряжения. Таким образом,,
при фиксированном сопротивлении выполняется соотношение
дБ = 20 lg (EJEt) = 10 lg [1 + (ДСю)*]. (4.6>
Как следует из рис. 4.3,6, амплитуда выходного напряжение
снижается на 3 дБ (выходной сигнал составляет 0,707
амплитуды входного сигнала), когда /?С<о=1,0, а фаза р равна 45°.
По мере увеличения частоты со выходной сигнал на графике
Боде линейно уменьшается с крутизной 6 дБ/октава (20
дБ/декада). При RCay>3 схема начинает функционировать по
отношению к синусоидальным сигналам как интегратор, поскольку
ЯСсо
a е
Рис. 4.4. а — схема дифференцирующей /?С-цепи; б — передаточная функция.
интегрирование синусоиды эквивалентно делению на /оз.
Точность интегрирования характеризуется следующим образом:
/?Соз = 3,0 соответствует погрешности в амплитуде 5% и в фазе
18,2°, RCco = 5 — 2% и 11,5°; /?Ссо = 7,0—1% и 8,0°. Таким
образом, на практике данная схема функционирует как
интегратор для значений /?Ссо>5, при которых она подавляет
нежелательные высокочастотные сигналы и пропускает полезные
низкочастотные сигналы (для которых /?Ссо<1). В любом
случае применение рассмотренной схемы в связи с формированием
сигналов с заданными параметрами весьма эффективно.
RC-дифференциаторы
Схема RC-дифференциатора изображена на рис. 4.4, а. В
проводимом далее анализе предполагается, что источник сигнала
обладает нулевым сопротивлением, а регистрирующее устрой-
10*
148
Глава 4
<ство — бесконечным. С учетом данных допущений
дифференциальное уравнение, описывающее функционирование схемы, име-
«ет вид
ПСЁ0 + Е0 = ДСЕЬ. (4.7)
Соответствующая передаточная функция Н (со), устанавливающая
связь между синусоидальными выходными и входными сигналами
л о напряжению, имеет вид
Фаза р определяется уравнением (4.5). График Боде для
уравнения (4.8) представлен на рис. 4.4,6. Амплитуда возрастает
& крутизной 6 дБ/октава (20 дБ/декада) для значений /?Ссо<
<1,0. В этой области выходной сигнал пропорционален /со. Та-
Рис. 4.5. Схема низкочастотного фильтра второго порядка с тремя
операционными усилителями.
ким образом, схема эффективно дифференцирует входной
сигнал. Поскольку любой постоянный сигнал при прохождении
через данную схему полностью подавляется или блокируется,
схему часто называют блокирующей. Как можно видеть из
уравнения (4.8), фаза составляет п/2 при /?Ссо<1,0, т. е.
выходной сигнал сдвинут по фазе относительно входного на 90°. По
мере увеличения частоты со фаза снижается до я/4 (45°) при
#Ссо=1,0 и в конце концов приближается к нулю при /?Ссо>5.
Таким образом, при 7?Ссо>5 выходной сигнал практически
равен по амплитуде входному сигналу и совпадает с ним по фазе.
Погрешности в амплитуде и фазе при /?Ссо=1,0 составляют
30% и 45°, при ЯСсо = 4,0 — 2% и 11,3°, при /?Ссо = 7,0—1% и
8,1°. Аналогичные результаты получаются для
дифференцирующей схемы при ЯСс0<О,2.
146
Глава 4
4.2. Электронные схемы в аппаратуре
для динамических измерений
Существуют три схемы, широко применяемые при
динамических измерениях и способные оказать существенное влияние на
результаты измерений. В настоящем разделе рассмотрены
особенности этих схем, использованных в дальнейшем во многих
примерах данной главы.
RC-интеграторы
Схема /?С-интегратора изображена на рис. 4.3, а. При
дальнейшем анализе предполагается, что источник входного
напряжения обладает нулевым внутренним сопротивлением, тогда как
выходное напряжение измеряется устройством с бесконечным
■
Рис. 4.3. а —схема интегрирующей /?С-цепи; б — передаточная функция.
входным сопротивлением. С учетом этих допущений
функционирование схемы может быть описано зависимостью
RCE0 + E0 = Et, (4.3)
где Еь — входное напряжение, R — сопротивление схемы, С —
емкость схемы, Е0 — выходное напряжение, Ё0 — производная
выходного напряжения по времени. При синусоидальном
входном воздействии вида E^Eie^ выходной сигнал описывается
зависимостью Ео=А0е^. Подстановка величин Е{ и Е0 в
уравнение (4.3) позволяет получить передаточную функцию Я (со)
вида
где / = У — 1 , а фаза |3 удовлетворяет соотношению
tgP=i?tto. (4.5)
Так, передаточная функция часто представляется графиком
Воде (рис. 4.3,6), причем амплитуда измеряется в децибелах
Датчики силы, давления и параметров движения
149
Фильтры второго порядка
Две распространенные схемы фильтров второго порядка
(12 дБ/октава или 40 дБ/декада) могут быть легко собраны
на базе недорогих операционных усилителей.
Схема с тремя операционными усилителями. В данной схеме
положительный ( + ) входной контакт подключен к земле, а
компоненты схемы подключены к отрицательному (—) входному
контакту (рис. 4.5). Соответствующая передаточная функция
Я (со) имеет вид
д((1л = Ер _ -Я _ -Ке-Я _ ш
П W Et — 1-(со/о)п)2+у2^(со/соЛ) ^(i_r2)2+(2rd)2 •
Равенство (4.9) представляет 1)ешеиие стандартного уравнения
второго порядка. Переменные определяются через параметры
схемы следующим образом:
соД = (R6/R5) (1/т2) (1/т3) (собственная частота),
т2 = Л4с72 (постоянная времени
операционного усилителя 2),
t3 = i?3C1 (постоянная времени
операционного усилителя 1), (4.10)
K = R3/R2 (коэффициент усиления
системы),
d= {(оп/2) {R3/Ri) X (демпфирование системы),
X (R5/R6) т2
г = co/con (безразмерная относительная
частота).
Конструирование фильтра и выбор компонентов схемы, как
правило, начинают с рассмотрения собственной частоты.
Параметры т2 и тз обычно устанавливают равными. Далее подбирают
отношение сопротивлений, обеспечивающее требуемую частоту.
Усиление системы регулируется сопротивлением R2, тогда как
демпфирование d — сопротивлением Ri.
Типичный график Боде передаточной функции, описываемой
уравнением (4.9), приведен на рис. 4.6. Согласно графику,
низкочастотные сигналы (г<1) не затухают, тогда как
высокочастотные сигналы (г">1) затухают по мере увеличения
частоты на 12 дБ/октава (40 дБ/декада). При г=1,0 затухание
сигнала составляет 3 дБ (0,707К), а фазовый сдвиг равен 90°.
Оптимальный диапазон демпфирования располагается
между 0,6 и 0,707. В данном диапазоне искажения амплитуды
достаточно малы, а фазовый сдвиг практически линейно зависит от
Датчики силы, давления и параметров движения
151
Номиналы двух резисторов Rx и R2 и двух конденсаторов d и
Сч обеспечивают требуемые собственную частоту и
коэффициент демпфирования. Как следует из уравнений (4.11), степень
свободы при выборе параметров схемы на базе одного
операционного усилителя меньше, чем в более сложной схеме на базе
трех операционных усилителей.
4.3. Измерение перемещения и скорости
в фиксированной системе координат
Перемещения и скорость в условиях производства обычно
измеряются стносительно фиксированной системы координат.
V
Рис. 4.8. Схема фильтра второго порядка на базе одного операционного
усилителя.
Датчики перемещения
В данном разделе рассмотрены пять основных типов из
обширного набора выпускаемых датчиков перемещений.
Потенциометры переменного сопротивления. Потенциометри-
ческие устройства были разработаны для измерения линейных
и угловых координат. Разрешающая способность устройств,
изготовленных намоткой, определяется толщиной проводника.
Потенциометры, изготовленные на основе резистивных пленок, не
подвержены данному ограничению. Чувствительность
потенциометра определяется мощностью, которая рассеивается
резистором без перегрева.
Электрическая схема потенциометрического датчика
перемещений изображена на рис. 4.9. Величина Rp на схеме —
сопротивление потенциометра, RM — сопротивление
регистрирующего прибора, Ei — напряжение источника питания, С —
выходная емкость. В сочетании с потенциометрическими
устройствами, изготовленными намоткой, для сглаживания флуктуации
150
Глава 4
Рис. 4.7. Зависимость амплитудных и фазовых искажений от частоты при
различных степенях демпфирования.
частоты (рис. 4.7). Линейная зависимость сдвига фазы от
частоты при фильтрации периодических сигналов сложной формы
обеспечивает адекватную временную задержку каждой
спектральной компоненты, обеспечивающую сохранение формы
выходного сигнала.
Фильтр второго порядка на базе одного операционного
усилителя. Схема данного фильтра изображена на рис. 4.8.
Передаточная функция схемы описывается уравнением (4.9) при
/(=1,0. Переменные, входящие в уравнение, и параметры схемы
удовлетворяют следующим зависимостям:
<*4 = 1/ [(^Л) (Я2С2)] (собственная частота),
(4.11)
d = (con/2) (i?A + R2) С2 (коэффициент^демпфирования).
152
Глава 4
Рис. 4.9. Электрическая схема потенциометрического датчика перемещении.
1,0
1 0,8
1
I °-4
I
А./Л,-0.1
/
/
\
\
0,2
0,4
Я/Яр
0,6
0.8
1,0
Рис. 4.10. Зависимость коэффициента нелинейности г\ от отношения R/Rp
для различных значений Rm/Rp
напряжения, связанных с движением скользящего контакта, во
многих случаях применяют конденсаторы. Существенным
источником погрешности измерений может быть сопротивление
нагрузки Rm. Анализ схемы, изображенной на рис. 4.9, позволяет,
пренебрегая параметром С, получить выходное напряжение
в виде
(RM/Rp)+{R/RP)-(R№p)* RP и К ^
где R= (x/l)Rp — сопротивление, пропорциональное
координате х скользящего контакта на катушке потенциометра длиной /.
Нелинейность зависимости выходного напряжения Е0 от
сопротивления R (а также координаты х) может быть представлена
с помощью коэффициента нелинейности ц таким образом, что
уравнение (4.12) преобразуется к виду
Я0 = (1-Л)(Д/Д„)Я|. (4.13)
154
Глава 4
©
Движущийся
объект
1>
-V-i
^ Разрыв прово-
" л о к и или
открывание
ключа
LJLXJLXaJ
0 1 2 3 4 /7
Положение
1,0
I
'I
II
^ i
0,8 -
0,6
0,4
,2"
jl
i
0 1 2 3 4 v п
Положение
б
Рис. 4.12. а — многорезисторная система измерения перемещений; б
—выходное напряжение системы Е0.
(4.15)
E0 = R0Etl{R0 + Re),
где 1/Де= 1/Д2+ 1/#3+ ... + 1/Rn.
Движущийся объект разрывает проводнигГили [открывает ключя
меняя эффективное сопротивление системы параллельных
сопротивлений, что приводит к ступенчатому снижению^ выходного
напряжения (рис. 4.12, б).
Индуктивные преобразователи перемещений. Параметры
прямолинейного и вращательного движений могут
регистрироваться с помощью линейных дифференциальных
трансформаторов, которые состоят из проволоки, намотанной на
цилиндрическую оболочку из диэлектрика, внутри которой располагается
подвижный магнитный сердечник (рис. 4.13). Для питания
центральной обмотки используется переменное напряжение. Сердеч-
Датчики силы, давления и параметров движения
155
пик служит магнитопроводом для центральной первичной и двух
соседних вторичных обмоток. Взаимная индуктивность обмоток
обеспечивает нулевое выходное напряжение при нахождении
■сердечника в центре симметрии магнитопровода. Перемещение
сердечника относительно его центрального положения приводит
рк формированию линейно изменяющегося выходного
напряжения в диапазоне линейных перемещений преобразователя
||(рис. 4.14). Направление движения может быть
зарегистрировано с помощью фазовой демодуляции выходного напряжения
по отношению к напряжению обмотки возбуждения.
Частота напряжения, приложенного к обмотке возбуждения,
может изменяться в диапазоне от 50 Гц до более чем 25 кГц.
Наибольшую чувствительность удается реализовать в частотном
Вторичная
обмотка 1
Регистри -
руемое
перемещение
Изолирующая
основа
Переменное на
пряжение сфик
сированными па
раметрами
Вторичная
обмотка 2
Сердечник
Первичная
обмотка
Вторичная
'. обмотка
■ Вторичная
. обмотка ■
Напряжение рассогласования
Рис. 4.13. а — конструкция линейного дифференциального трансформатора
(вид в разрезе); б — принципиальная схема трансформатора
диапазоне 1—5 кГц. Часть возбуждающего напряжения должна
по меньшей мере в 10 раз превосходить максимальную частоту
исследуемого сигнала, поскольку для правильной оценки одного
периода сигнала необходимы около 10 периодов несущей
частоты. Диапазон измеряемых перемещений серийных линейных
дифференциальных трансформаторов может составлять от
±2 мм в области малых перемещений до ±0,5 м в области
больших перемещений.
Линейный дифференциальный трансформатор — это
пассивный датчик, поскольку к устройству должен быть подключен
внешний источник питания. Датчик не потребляет энергии от
исследуемого объекта при отсутствии трения между
сердечником и катушкой. Тщательная юстировка сердечника
обеспечивает идеальное функционирование преобразователя
156
Глава 4
Фотоэлектрические датчики. Прозрачный объект, источник
света и плоский фотоэлектрический элемент могут быть
использованы для создания системы бесконтактного измерения
перемещений. Фотоэлектрический элемент функционирует
эквивалентно источнику тока, подключенному параллельно
конденсатору (рис. 4.15,а). Выходное напряжение Е0 зависит от
сопротивления нагрузки Rm\ соотношение между Е0 и
освещенностью фотоэлемента обычно нелинейно. Импульсная реакция
и линейность могут быть улучшены с помощью усилителя тока
Выходное |
напряжение
А
1
У^ 1
^У 1
У^ \
^у 1
Выходное напряжение в про -
в
Положение сердечника
тивофазе
Сердечник 6поло- Сердечник 6сред- Сердечник в
положении А нем положении жении В
Рис. 4.14. Фазированное выходное напряжение в зависимости от положения
сердечника линейного дифференциального трансформатора.
(рис. 4.15,6). В связи с тем что к конденсатору С не
прикладывается значительного напряжения (E=E0/G) благодаря
большой величине коэффициента усиления G усилителя без
обратной связи, достигается нейтрализация емкостной
компоненты внутреннего сопротивления фотоэлемента. Надлежащий
подбор сопротивления обратной связи R позволяет реализовать
оптимальные линейность и диапазон выходного напряжения.
Общие источники погрешностей в измерительных системах
этого типа — изменение интенсивности источника освещения, отра-
Датчики силы, давления и параметров движения
153
Зависимости коэффициента ц от отношения R/RP (координаты
скользящего контакта х) для различных величин параметра
R/Rm приведены на рис. 4.10. Легко видеть, что погрешность
достигает максимума при 7?/i?p = 0,5 для любых значений
Rm/Rp- Аналитическое описание погрешности может быть
получено из уравнения (4.12) в виде
* = 1/[1+4(Дм/Яр)]. (4.14)
Максимальная погрешность, обусловленная нелинейностью, не
превышает 2,44% при /?м//?р= 10,0 и 0,25% при RM/RP=№.
Проблема нелинейности может быть решена путем
включения между потенциометром и регистрирующим устройством
повторителя (рис. 4.11). Повторитель преобразует высокоомный
Питание
операционного усилителя
б
Рис. 4.11. а — схема измерения перемещений с датчиком потенциометрическо-
го типа и повторителем, включенным между датчиком и регистрирующим
устройством; б — эквивалентная схема.
потенциометр в низкоомный источник напряжения
(сопротивлением 50 Ом), функционирующий совместно с длинными
соединительными проводами и низкоомным регистрирующим
устройством. Длинные соединительные провода обычно
подвержены влиянию сетевых наводок (50 Гц). Применение
регистрирующих приборов, обладающих низким сопротивлением (/?м),
бифилярных и экранированных соединительных проводов
обеспечивает снижение погрешности этого типа.
Многорезисторные устройства. Перемещение или
координаты положения могут быть измерены на основе использования
системы сопротивлений, включенных параллельно (рис.4.12,а).
Выходное напряжение Е0 связано с входным напряжением Ei
и сопротивлением системы зависимостью
Датчики силы, давления и параметров движения
157
жение света от других объектов, непараллельность светового*
пучка.
Датчики на основе микропереключателей. Простое
устройство для регистрации положения и подсчета количества
объектов изображено на рис. 4.16, а. Устройство состоит из источника
напряжения Eit последовательно включенного сопротивления
Rs для защиты источника питания от короткого замыкания в
Освеще
ние
Освещение
Рис. 4.15, а — система измерения перемещений на основе фотоэлектрического
датчика; б — система измерения перемещений на основе фотоэлектрического
датчика и операционного усилителя в качестве источника тока.
> но
1 Связь
Ключ z^>—»
>//3
I
I
!
Первое
замыка^
ние
'At
Зона дребезга
контактов
Ключ
Замкнут
Рис. 4.16. а —простое устройство на микропереключателях для решения
задач подсчета объектов; б— типичная форма выходного напряжения ключа
с механическими контактами.
цепи нагрузки, микропереключателя с двумя состояниями —
НО (нормально открыт) и НЗ (нормально закрыт)—и
измерительного прибора с выходным сопротивлением Rm. Дребезг
контактов, представленный на рис. 4.16,6, является общей
проблемой в системах с замыканием механических ключей. Результат
дребезга контактов в задачах подсчета количества объектов —
ошибка счета. Проблема дребезга контактов может быть пол-
Датчики силы, давления и параметров движения
рость изменения магнитного поля, окружающего проводник.
Для регистрации средних угловых скоростей посредством
измерения частоты напряжения счетчиком частоты обычно
используются генераторы переменного напряжения, формирующие четное
число периодов напряжения на каждый оборот ротора.
Преобразователь линейной скорости, конструкция которого
изображена на рис. 4.18, а, обладает эквивалентной электриче-
Обмотки
Трубка из
нержавеющей
стали
Входное воздеи-0^^
ствие по скорое
ти
Основа катушки
Сердечник из
сплава алнико
Нарезные
концы
Выходной сигнал*
(постоянный
ток)
б
Рис. 4.18. Преобразователь линейной скорости (а) и его эквивалентная?
электрическая схема (б).
ской схемой, приведенной на рис. 4.18,6. При синусоидально*
изменяющейся измеряемой скорости выходное напряжение
представляется в виде
E0 = RMSvVte№/ [(RM + RT) + j'Lr<o], (4Л7>
где LT — индуктивность обмоток, Rt — сопротивление обмоток,
Rm — сопротивление регистрирующего прибора, Sv —
чувствительность прибора по напряжению, Vi — измеряемая скорость,,
со — частота синусоидально изменяющейся скорости.
Как следует из вышеприведенного анализа, член в
квадратных скобках способен вызвать падение выходного сигнала &
158
Глава 4
'Ыостью решена путем применения ТТЛ — логической схемы,
включающей два логических элемента И — НЕ, соединение
которых показано на рис. 4.17. Выходное состояние обоих
логических элементов изменяется в соответствии с таблицей
истинности, приведенной на рисунке. При замыкании контакта, даже
-если продолжительность замыкания весьма мала (<0,1 мкс),
логическое состояние схемы изменяется и остается неизменным
независимо от числа касаний ключом одного из контактов при
отсутствии касания противоположного контакта. Выходное
состояние логической схемы изменится только после замыкания,
пусть даже кратковременного, противоположного контакта. При
Таблица истин-
Рис. 4.17. Схема для устранения дребезга контактов механического ключа,
построенная на паре логических элементов И — НЕ. L — нижний логический
уровень для 5-В ТТЛ не превышает 0,8 В; Н — верхний логический уровень
для 5-В ТТЛ не менее 2,4 В.
использовании данной схемы полностью исключается дребезг
выходного сигнала и обеспечивается получение достоверной
информации о положении и количестве объектов
Датчики скорости
Почти все датчики линейной и угловой скорости с
непосредственной регистрацией используют принцип электромагнитной
индукции при движении проводника в магнитном поле или при
изменении магнитного поля, окружающего проводник. В любом
из указанных случаев генерируемое напряжение Ет
соответствует уравнению
Ет = В1и, (4.16)
>где В — плотность магнитного потока, ориентированного
перпендикулярно вектору скорости; / — длина проводника; v — ско-
160
Глава 4
области высоких частот, аналогичное явлению, наблюдаемому
в /?С-цепи на частотах, превышающих частоту среза. Отметим
также, что RM должно по крайней мере в 100 раз превосходить
RT для ослабления влияния нагрузки. Чувствительность таких
устройств по напряжению обычно находится в диапазоне 0,04—
0,40 мВ/(м/с). Таким образом, нет необходимости в усилении
сигнала по напряжению, что является определенным
преимуществом. Основной недостаток данных устройств —
чувствительность к магнитным полям. В связи с этим не рекомендуется их
применение вблизи линии электропередачи, по которой
протекают значительные токи.
4.4. Приборы для сейсмических исследований:
механические характеристики
Во многих ситуациях, связанных с измерениями
перемещения, скорости и ускорения, использование фиксированной
системы координат не представляется возможным. В приборах для
сейсмических исследований такие измерения реализуются путем
измерения движения объекта относительно сейсмической массы.
Преобразователи силы и давления могут иметь аналогичные
механические характеристики при использовании
преобразователя в ускоренно движущейся конструкции. Таким образом,
общая теория механических характеристик разрабатывается и
детализируется применительно к конкретным типам
измерительных приборов.
Общие положения теоретической механики
Для описания механических характеристик приборов,
измеряющих силу, давление и параметры движения, может быть
использована механическая модель с одной степенью свободы и
вязким демпфированием (рис. 4.19,а). Рассматривая силы,
действующие на сейсмическую массу (рис. 4.19,6), и используя
уравнение движения согласно второму закону Ньютона, можно
получить следующее уравнение движения сейсмической массы:
шу + С (J,'-*) + k(y-z) = F(t), (4.18)
где m — масса сейсмического тела; k — упругая постоянная
пружины; С — константа вязкого демпфирования; х, х, х —
перемещение, скорость, ускорение базы; у, у, у — перемещение,
скорость, ускорение сейсмической массы; F(t)—изменяющаяся во
времени внешняя сила или давление, приложенные к
преобразованию.
162
Глава 4
имеет вид
z = ti°l — _ (4 24)
Л_та>а+;Сю Л: К (1 — г2)2 + (2rd)a ' vе/
где г = со/со^ = — безразмерная относительная частота,
с2 = Ссо/2 ]/"/сиг — безразмерный коэффициент демпфирования и
tg р = Ссо/ (к — ттгш2) - 2rd/ (1 - г2). (4.25)
Здесь р — фаза относительного выходного движения 2 по
отношению к входному возбуждающему воздействию R(t).
Сейсмические преобразователи перемещения
Сейсмические преобразователи перемещения предназначены
для измерения перемещения базы относительно сейсмической
массы. Для рассмотрения функционирования преобразователя
зададим синусоидальное движение базы с амплитудой Х0, так
что
z{t)=X0el**. (4.26)
При этом возбуждающее воздействие R (t) принимает вид
Д(*) = тю2Х0е^', (4.27)
поскольку в подобных' приборах"* F(t) равно нулю.
Соответствующее решение уравнения (4.24) выглядит следующим образом:
(4.28)
Уравнение (4.28) описывает передаточную функцию прибора.
На рис. 4.20 представлены отношение г/Х0 и фаза в
зависимости от величины г для различных значений коэффициента
демпфирования. Независимо от степени демпфирования при г>4
приведенная величина сигнала стремится к единице, а фаза —
к 180°. При коэффициентах демпфирования, превышающих
0,707, пики на графике отсутствуют. Представленные данные
основаны на предположении о предельно низком значении
собственной частоты, что обеспечивает в большинстве реальных
ситуаций максимально возможную величину г. При г>1
уравнение (4.28) свидетельствует о выполнении равенства z=—х.
Это означает, что база вибрирует по отношению к неподвижной
сейсмической массе. Таким образом, для обеспечения в приборе
значительных относительных перемещений необходимо
использовать мягкие пружины и большое внутреннее пространство.
Широко применяемые чувствительные элементы в данных
приборах— линейные дифференциальные трансформаторы и
тензодатчики на гибких упругих мембранах.
Датчики силы, давления и параметров движения
161
Сила, обеспечивающая прижатие базы преобразователя к
конструкции, но не измеряемая преобразователем
непосредственно, описывается уравнением
Fb = F {t) — my — mbx. (4.19)
Относительное движение базы и сейсмической массы,
измеряемое чувствительным элементом, представимо в виде
z = y — x,z = y — x, z= у — х. (4.20)
Уравнение (4.18) выражается через параметры относительного
движения:
Fit)
А
mz + Cz + kz = F (t) — mx = R (Z),
Fit)
y(t)
Сейсмическая
масса /77
(4.21)
Ylt)
Сейсмическая
масса /77
x(t)
{(Y-x)
база /л.
4 (у-*)
C(y-x)
y>x и у>X
a 6
Рис. 4.19. Модель сейсмического измерительного прибора с одной степенью
свободы, а — схема сейсмического преобразователя; б — силы, действующие
на сейсмическую массу в отсутствие механических связей.
где внешнее силовое воздействие
R(t) = F(t) — mx
(4.22)
зависит как от движения базы, так и от любых внешних сил
(включая давление, так как F(t) =Ap(t)). Как свидетельствует
уравнение (4.21), относительное движение датчика зависит от
внешнего силового воздействия R(t), демпфирования
устройства С и частоты силового воздействия относительно собственной
частоты преобразователя (соп2 = &/т)- Установившийся отклик,
соответствующий уравнению (4.21) при синусоидальном
возбуждении
R(t) = R0ei<»t, (4.23)
11—1480
Датчики силы давления и параметров движения
163
Сейсмические преобразователи скорости
Сейсмические преобразователи скорости получают из
преобразователей перемещения путем применения для измерения
относительной скорости базы и сейсмической массы магниточув-
ствительного элемента, сигнал которого зависит от скорости.
Передаточная функция сейсмического преобразователя скорости
может быть получена из уравнения (4.28) путем
дифференцирования по времени:
О 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 .3,0 3,5 4,0 4,5
Относительная частота г-cj/con = f'/fn
а
Ркс. 4.20. Передаточная функция преобразователя перемещения, а —
амплитуда; б — фаза.
z-= rWp еяы-0) /4 29)
у (1 —r2)2+(2r<2)2 V '
что сводится к i = —х и р = л при г>1. Полученный результат
свидетельствует о совпадении передаточных функций
преобразователей перемещения (рис. 4.20) и скорости. Основные
недостатки приборов данного типа — габариты, вес и
чувствительность к магнитным помехам. Основные достоинства — высокая
чувствительность датчика и независимое формирование
выходного сигнала.
11*
164
Глава 4
Сейсмические преобразователи ускорения
Сейсмические преобразователи ускорения получают,
используя датчики перемещения с высокой собственной частотой (т. е.
жесткие пружины). Как следует из уравнения (4.28), для частот,
существенно меньших собственной частоты преобразователя,
относительное перемещение пропорционально ускорению базы
(а0=—со2^). Таким образом,
Л-т©а + уС<о ©2 у(i_r2)2_j_(2rd)2
(4.30)
где фаза р получена из уравнения (4.25). Передаточная
функция (амплитуда и фаза), описываемая уравнением (4.30), изоб-
- Максимальные
значения при
/•=1,0
flf = 0,01 A/fa) «50
1,0 1,5 2,0 2,5
Отноиление частот r= co/con - f/fn
Q
Рис. 4.21. Передаточная функция преобразователей ускорения, силы и
давления, а — амплитуда, б — фаза.
ражена на рис. 4.21. Можно видеть, что независимо от степени
демпфирования выходной сигнал близок к единице, а фаза
приближается к нулю при близкой к нулю величине г. Для d = 0
погрешность амплитуды составляет 5% при г=0,2. Пик
характеристики наблюдается в окрестности точки г=1у0 при малых
степенях демпфирования от 0 до 0,707. При коэффициенте
демпфирования, превышающем 0,707, пики на амплитудно-частотной
характеристике отсутствуют. Практически используемый частот-
Датчики силы, давления и параметров движения
165
ный диапазон для приборов этого типа ограничен уровнем 20%
собственной частоты. При г-^0 уравнение (4.30) приводится
к виду
z = —-а0/(дп = — majk. (4.31)
Таким образом, основной механизм чувствительности создается
силой инерции та0, которой противодействует сила упругости
пружины kz. Кроме того, очевидно, что требование высоких
собственных частот противоречит требованию большой
чувствительности, поскольку относительное перемещение обратно
пропорционально квадрату собственной частоты. К счастью,
акселерометр с пьезоэлектрическим чувствительным элементом
способен обеспечить одновременное удовлетворение этих
требований.
Динамические преобразователи силы и давления
Динамические преобразователи силы и давления требуют
использования жестких элементов и получения высоких
собственных частот. Таким образом, они реагируют на ускорение
базы и могут рассматриваться как сейсмические измерительные
приборы. Передаточная функция преобразователей этого типа
описывается уравнением (4.24). Поэтому амплитудно- и фазо-
частотные характеристики устройств такие же, как на рис. 4.21.
Некоторые специфические характеристики преобразователей
силы и давления рассматриваются в настоящем разделе.
Существенное влияние на получаемые с помощью данных
преобразователей результаты способна оказать методика их
монтажа. Рассмотрим ситуацию, показанную на рис. 4.22, где
для крепления чувствительной сейсмической массы к
конструкции использована присоединенная масса шс (болт и прокладка),
измеряемая сила обозначена R(t) (или представлена
произведением площади на давление Ap(t)), а сила, регистрируемая
сейсмической массой, есть F(t). Использование в этой ситуации
уравнения движения согласно второму закону Ньютона
применительно к присоединенной массе позволяет получить
F (t) = R (t) — тсу (преобразователь силы),
(4.32)
F (t) =Ар (t) — mcy (преобразователь давления).
Подстановка выражения (4.32) в уравнение (4.21) дает
соотношение
(т + тс) z + Cz+ kz = R (t) — (т + тс) х) (4.33)
откуда очевидно, что эффективная масса увеличилась и стала
равной т(1+тс/т). Это означает, что собственная частота
Датчики силы, давления и параметров движения
167
Периодические сигналы
Периодические сигналы содержат набор спектральных
компонент. Требования правильного воспроизведения
периодического сигнала могут быть сформулированы на основе рассмотрения
сигнала, изображенного на рис. 4.23. Представление сигнала в
виде ряда Фурье выражается равенством
х = at sin со0£+ а2 sin 2co0f + ... -\-aq sin qa)0t, (4.36)
где соо = 2я/Г0 — частота основной гармоники, Т0 — период
основной гармоники сигнала. Амплитуда и фаза каждой из
частотных компонент модифицируются под воздействием
передаточной функции преобразователя, что приводит к
формированию выходного сигнала вида
z = Ъх sin (a0t — Pi) + b2 sin(2(d0£ — P2) + ... + bq sin (gco0r — pQ). (4.37)
Уравнения (4.36) и (4.37) совпадают, если коэффициенты bq
пропорциональны коэффициентам aqy а фаза является линейной
Время
Рис. 4.23. Входной сигнал периодического ускорения.
функцией частоты или равна нулю. Зависимости искажений
амплитуды и фазы от частоты, вычисленные при различных
степенях демпфирования в соответствии с уравнением (4.30),
показаны на рис. 4.7. Очевидно, что в случае незначительного
демпфирования при частотах, не превышающих 20%
собственной частоты, амплитуда изменяется менее чем на 5%. При этом
имеет место небольшой сдвиг фазы (или же сдвига фазы не
происходит совсем). Рабочий диапазон данных
преобразователей может быть расширен до 85% собственной частоты, если
допустимая погрешность по амплитуде составляет ±5% при
коэффициенте демпфирования 0,59. Фаза является практически
линейной функцией частоты при коэффициенте демпфирования
d в диапазоне 0,59—0,707. В пределах данного диапазона
демпфирования максимальная погрешность фазы составляет около
168
Глава 4
6°. При линейной зависимости фазы аргумент члена разложения
с порядковым номером q принимает вид
Как свидетельствует данное уравнение, линейный фазовый сдвиг
приводит к формированию выходного сигнала, обладающего
задержкой по отношению к входному сигналу на а с. Форма
сигнала не изменяется. Большинство сейсмических приборов
конструируется так, чтобы они имели высокую собственную
частоту и низкое демпфирование, поскольку демпфирование, как
правило, сопряжено с присоединением к преобразователю
значительной массы, что ведет к значительной температурной
зависимости.
4.5. Схемы пьезоэлектрических датчиков
Пьезоэлектрические чувствительные элементы обычно
используются в акселерометрах, датчиках силы и
преобразователях давления благодаря характерным для них высокой
жесткости, малому демпфированию, хорошей чувствительности, малым
габаритам и незначительному весу. Эти датчики являются
генераторами заряда и требуют применения устройств
формирования сигнала с высокоомным входом, таких, как повторители
напряжения, усилители заряда и встроенные усилители.
Функциональные характеристики этих устройств рассмотрены в
настоящем разделе.
Повторители напряжения
Схема повторителя напряжения с коэффициентом усиления
1, состоящая из пьезоэлектрического датчика, кабеля и
повторителя напряжения, изображена на рис. 4.24, а. Датчик
генерирует заряд q, который пропорционален измеряемой величине а
(ускорение, сила или давление). Таким образом,
где sq — чувствительность преобразователя по заряду (pC/g
и т. д.).
Существуют пять компонентов схемы, требующие
соответствующего анализа. Этими компонентами являются емкость
преобразователя Си емкость кабеля Сс, нормирующая емкость Cs
на входе усилителя, защитная емкость Сь, которая используется
в некоторых схемах для защиты усилителя от высокого
напряжения, и сопротивление R (объединяющее входное
сопротивление усилителя и сопротивление, параллельное усилителю).
qco0t — $q = qa0 (t — a).
(4.38)
q = Sqa,
(4.39)
166
Глава 4
областью»- mtJ уменьшилась в отношении +1
тактаснок-^ \ у К Квадратному КОрНЮ из 1 4-
+ mc/m, а чувствительность
преобразователя к движению
струицией
Присоединенная
масса тс
1
\ базы увеличилась во столько
Чувствитель- же раз. Чувствительность пре-
наяповерх- X \ у образователя к движению ба-
нссть
преобразователя
силы
Сейсмическая
масса т
зы может быть устранена
путем электронного вычитания
Рис. 4.22. Схема преобразователя си- сигнала, пропорционального пе-
лы с присоединенной массой. ремещению базы. Для
автоматической компенсации
чувствительности к движению базы было сконструировано несколько
преобразователей давления, включающих в свои схемы
встроенные акселерометры. Использование преобразователя давления
дает требуемый результат, поскольку присоединенная
масса тс для заданной жидкости почти постоянна, в то время
как в преобразователе силы она переменна (зависит от
исследуемой задачи).
Проблема чувствительности к движению базы имеет
наибольшую остроту при использовании преобразователя силы
вблизи резонансной частоты конструкции или непосредственно
на этой частоте Рассмотрим конструкцию (s), описываемую на
первой моде колебаний моделью с одной степенью свободы,
уравнение движения которой имеет вид
msx + Csx + ksx = R(t) = R^1, (4.34)
где ms — масса конструкции; Cs — демпфирование; ks —
жесткость. Результирующая сила, воспринимаемая
преобразователем, при равенстве частоты возбуждения собственной частоте
конструкции ((o2ns = ks/ms) имеет вид
V (t) = R0 [1 — jm (1 + mc/m)/{2dsms)l (4.35)
где ds — коэффициент демпфирования конструкции Cs/2]/ksms.
Член в квадратных скобках может существенно превышать
единицу, если присоединенная масса тс велика в сравнении с
сейсмической массой т, а демпфирование конструкции мало. Для
измеряемой величины R0 находится в пределах 2%, если
демпфирование конструкции составляет 5%, а присоединенная
масса велика в сравнении с сейсмической массой; присоединенная
масса тс не должна превышать 2% массы конструкции тс.
Когда демпфирование снижается до 1%, присоединенная масса
снижается до 0,4% массы конструкции. Поэтому во избежание
серьезных погрешностей следует соблюдать исключительную
осторожность при проведении подобных динамических
измерений.
Датчики силы, давления и параметров движения
169
С учетом параметров этих компонентов можно получить
эквивалентную схему, изображенную на рис. 4.24,6.
Три параллельных конденсатора объединены в один с
емкостью
C = Ct + Cc + C,. (4.40)
Функционирование дайной схемы описывает дифференциальное
уравнение
E+F/(RCec]) = Sqa/C, (4.41)
где эквивалентная емкость Ceq определяется равенством
1/Ceq = l/C + 1/Cb. (4.42)
Величина Сь обычно составляет ~105 пФ, тогда как С
находится в диапазоне от 300 до 104 пФ. Таким образом, эквива-
Преобра - На - Входуси-.
зобатель бель лителя
б
Рис. 4.24. а — измерительная схема с пьезоэлектрическим датчиком и
повторителем напряжения; б — эквивалентная схема
лентная емкость Ceq обычно незначительно отличается от
емкости комбинации конденсаторов С. Структура уравнения (4.41)
полностью совпадает со структурой уравнения (4.7), вследствие
чего отклик на синусоидальный входной сигнал имеет вид
jg«L- 1ВС™" 1± (4 43ч
а0 l+y\RCeqCD С 1 У '
Датчики силы, давления и параметров движения
171
тель, снабженный как резистивной Rf, так и емкостной Cf
обратной связью, является усилителем заряда, преобразующим
заряд q в выходное напряжение £V Второй усилитель
используется для нормирования чувствительности по выходному
напряжению путем изменения коэффициента усиления с помощью
входного сопротивления Rx. На эквивалентной схеме устройства
(рис. 4.26) емкости преобразователя, кабеля и входных
контактов усилителя объединены в одну эквивалентную емкость С,
СГЗ-
Рис. 4.26. Эквивалентная схема
удовлетворяющую уравнению (4.40). Дифференциальное
уравнение, описывающее работу данной схемы, имеет вид
Е + E/RfCeq = G2SqalC^ (4.45)
причем эквивалентная емкость равна
C^C/Gi+Ct = Cf(l + С/ОД, (4.46)
где G] — коэффициент усиления первого операционного
усилителя при разомкнутой цепи обратной связи; G2 = l/b —
коэффициент усиления второго операционного усилителя.
Как свидетельствует уравнение (4.46), входная емкость С
оказывает незначительное влияние на измерительную систему,
потому что член C/CfG\ мал по сравнению с единицей (Gi>
>104). Параметры усилителя заряда нередко характеризуются
максимально допустимой входной емкостью С, ограничивающей
погрешность измерений заданной величиной (как правило, 2%)
для каждого конденсатора обратной связи Cf. При ограничении
величины входной емкости дифференциальное уравнение
принимает вид
Е-\-Е rfi = SrfilbCv
(4.47)
172
Глава 4
аналогичный уравнению (4.41), описывающему повторитель
напряжения. Таким образом, усилитель заряда и повторитель
напряжения обладают одинаковыми рабочими
характеристиками.
Чувствительность по напряжению схемы с усилителем
заряда описывается зависимостью
Sv = Sq/bCf = S*/Cf, (4.48)
в соответствии с которой чувствительность преобразователя
определяется двумя параметрами (Ь и Cf). Стандартная
чувствительность по заряду S*q = Sq/b может быть получена путем
регулировки положения движка потенциометра. Диапазон
устройства устанавливается путем изменения емкости
конденсатора обратной связи Cf для получения удобного для работы
набора чувствительностей 1—2—5—10 (В/ед. а). Постоянная
времени схемы T=RfCf регулируется емкостью и
сопротивлением в цепи обратной связи усилителя заряда, а не в его
входной цепи. Это условие соблюдается до тех пор, пока входная
емкость меньше своего максимального значения,
соответствующего заданной емкости обратной связи. Таким образом
обеспечиваются независимость характеристик системы от параметров
внешних цепей и возможность их регулировки путем изменения
параметров усилителя заряда.
Усилитель заряда обладает четырьмя преимуществами: 1)
постоянная времени регулируется элементами цепи обратной связи
усилителя заряда, а не элементами его входной цепи; 2)
характеристики системы не зависят от входной цепи при условии, что
входная емкость находится в заданных границах; 3)
чувствительность по заряду может легко нормироваться путем
установки позиции скользящего контакта Ь, приводящей к
соответствующему изменению коэффициента усиления второго усилителя;
4) чувствительность прибора по напряжению регулируется
изменением емкости обратной связи в последовательности 1—2—
5—10.
Встроенные усилители
Полупроводниковая электроника позволила создать
интегральный усилитель с единичным усилением, встроенный в
корпус преобразователя и основанный на структурах металл —
оксид — полупроводник. Типичная схема, в которой усилитель
расположен между чувствительным элементом и источником
питания с последующей выходной цепью, изображена на
рис. 4.27.
Емкость кабеля Сс локализована на стороне низкоомного
выхода устройства, поэтому ее величина не влияет на точность
170
Глава 4
где чувствительность преобразователя по напряжению
описывается зависимостью
Sv = Sq/C. (4.44)
Чувствительность данной схемы по напряжению определяется
величиной С, зависящей от емкостей кабеля, преобразователя
и входных контактов усилителя. Как правило, замена кабеля
приводит к изменению чувствительности системы. Реакция
схемы в области низких частот для значений jRCeqco<100 показана
на рис. 4.4. Очевидно, что значительные искажения амплитуды
и фазы в области низких частот могут быть при jRCeqco<3.
Поскольку типичные значения сопротивления R находятся в
диапазоне от 100 до 1000 МОм, получение хорошего отклика схемы
в области низких частот реализуется при Ceq>1000 пФ. Вместе
Положение Ь
подвижного контак- R
та
Преобра- \На-
зователь бель
■ Усилитель
заряда
Нормирующий
усилитель
Рис. 4.25. Измерительная схема, включающая пьезоэлектрический датчик и
усилитель заряда.
с тем возможны ситуации, в которых загрязнения и влажность
(в том числе отпечатки пальцев) на разъемах кабелей
способны вызвать значительное снижение сопротивления R. Вероятное
последствие подобных ситуаций — значительные погрешности
измерений в области низких частот, вот почему при
использовании приборов с высокоомным входным сопротивлением, таких,
как пьезоэлектрические датчики, необходим тщательный
контроль загрязнений и влажности.
Усилители заряда
Для описания функционирования пьезоэлектрического
датчика и усилителя заряда могут быть использованы два
операционных усилителя, изображенные на рис. 4.25. Первый усили-
Датчики силы, давления и параметров движения
173
измерений. Емкость преобразователя С и входное
сопротивление усилителя R определяют постоянную времени Т
преобразователя, которая благодаря технологии изготовления остается
неизменной в течение срока службы прибора и не подвергается
воздействию окружающей среды, за исключением температуры.
Источник питания обеспечивает номинальное напряжение
(обычно +11 В) транзистору S при отсутствии входного
сигнала преобразователя, для чего использован диодный регулятор
тока, управляющий напряжением питания Ei. Защитный
конденсатор С\ обеспечивает развязку регистрирующего прибора
по постоянному току.
Для последующего анализа удобно использовать
эквивалентную схему устройства (рис. 4.28). Схема описывается двумя
_Преобразо_
ватель
Ряс. 4.27. Схема измерительного прибора на основе пьезоэлектрического
преобразователя с встроенным усилителем.
дифференциальными уравнениями, одно из которых составлено
относительно напряжения преобразователя Ей а другое —
относительно выходного напряжения, воспринимаемого
регистрирующим устройством:
Ei + Ei/RC = Sqa/C, (4.49
Е + E/RiCi = Е2 = Ё±и (4.50)
Эти уравнения позволяют получить передаточную функцию вида
Я (со)
СЕ0 _ /Д^сэ
(4.51)
где нетрудно выделить две постоянные времени анализируемой
схемы: Ti = RiCi и T = RC. Внутренняя постоянная времени Т
задается в процессе изготовления и должна быть достаточно
велика — обычно от 0,5 до 2000 с. Сопротивление R
ограничивается требованиями к усилителю по току, тогда как емкость
174
Глава 4
С — чувствительностью по напряжению (Sv = Sq/C). Внешняя
постоянная времени Тх задается защитным конденсатором
Си устанавливаемым изготовителем источника питания, и
входным сопротивлением прибора Ri (обычно находящимся в
пределах от 0,1 до 1 МОм), которое устанавливается пользователем
прибора. На практике следует избегать чрезмерного
занижения Ти
На рис. 4.29 изображены амплитуда и фазовый сдвиг,
соответствующие рассматриваемой передаточной функции при
различной величине отношения Т/Т{. Отметим, что точка перегиба
определяется соотношением постоянных времени. При 7"i>i00r
схема функционирует в области низких частот подобно схеме
с одной постоянной времени Т. Аналогичная картина
наблюдается при Г>1007\. При этом данные регистрируются в
зависимости от переменной а>7\, а не оГ, поскольку роли Т\ и Т в
уравнении (4.51) совпадают. Параметр о Г при погрешностях
по амплитуде 2 и 5% определяется отношением Т/Т\ в соответ-
Рис. 4.28. Эквивалентная схема для схемы на рис. 4.27.
ствии с табл. 4.1. Отметим, что при T/Ti = l00 данный параметр
принимает те же значения, что и параметр схемы с одной
постоянной времени
Достоинствами устройств данного типа являются: 1) задание
чувствительности по напряжению изготовителем; 2) слабое
влияние емкости кабеля на параметры схемы; 3) возможность
функционирования в сочетании с большинством
регистрирующих приборов; 4) возможность использования недорогих
источников питания.
4.6. Измерения характеристик переходных процессов
Переходному процессу соответствует входной сигнал,
содержащий резкие изменения на протяжении короткого периода
времени, за пределами которого сигнал достаточно долго
остается постоянным. В переходных процессах механическая и
электрическая части измерительной системы ведут себя по-разному.
Датчики силы, давления и параметров движения
175
Механическая переходная характеристика
Рассмотрим преобразователь силы или давления, который
жестко закреплен, вследствие чего дифференциальное
уравнение движения имеет вид
mz + Cz + kz = F(t). (4.52)
Рассмотрим также силу, сначала линейно изменяющуюся во
времени, а затем постоянную (рис. 4.30,а). Соответствующая
механическая переходная характеристика в отсутствие
демпфирования описывается уравнениями
zlz0 = t/t0 — smant/o)nt0 при £<£0» (4.53)
Таблица 4.1. Значения параметра соГ при погрешности 2 и 5%
Т/Тг
2%
5%
1
10
1С0
7,00
4,95
4,93
4,96
3,06
3,04
176
Глава 4
О 1
б
Рис. 4.30. а — линейное входное воздействие с переходом на постоянный
уровень; б— переходная характеристика динамометра
где con — собственная частота преобразователя, t0 —
продолжительность линейного изменения силы, z0=Fo/k — статическое
отклонение, и
zIzq = 1 — D cos (con£ — Р)/со^0 при t>t0. (4.54)
Второй член в уравнении (4.53) свидетельствует об осцилляциях
характеристики относительно линейно изменяющейся функции
с амплитудой l/(onto (при соп^о>2я) (рис. 4.30,6).
Максимальная погрешность, которая может наблюдаться на отрезке
линейного изменения силы (при соп^о>2я), равна амплитуде
осцилляции. При постоянной силе амплитуда осцилляции [уравнение
(4.54)] описывается отношением D/con^o, которое изменяется от
нуля до максимального значения 2/соп^о- Возможность
регистрации преобразователем линейно изменяющихся переходных
процессов с заданной погрешностью оценивается на основе
следующих уравнений:
о)п > 1/(погрешность) t0 на участке линейного изменения
функции, (4.55)
178
Глава 4
^ -1,5 I I I I I ± I
О 0,25 0,50 0,75 1,0 1,25 1,50
Безразмерное время t/t^
а
Входное воздействие
^ -1,51 I 1 I | | |
О 0,25 0,50 0,75 1,0 1,25 1,50
Безразмерное время t/t^
6
Рис. 4.32. Механическая переходная характеристика преобразователя при
входных воздействиях в форме полуволны синусоиды (а) и треугольной
формы (б).
основе логарифмического декремента затухания. Как следует
из рис. 4.31, погрешность, достигающая 100%, связана со
ступенчатым входным воздействием. Столь большие погрешности,
естественно, неприемлемы при большинстве измерений.
Общепринятый параметр переходной характеристики — время
нарастания сигнала от 10 до 90% статического, или установившегося,
значения (рис. 4.31). Время нарастания для прибора со слабым
демпфированием может быть оценено с помощью приближенной
Датчики силы, давления и параметров движения
177
соп>2/(погрешность) t0 на участке постоянства функции. (4.56)
При со^о<^я/2 переходная характеристика для линейно
изменяющегося воздействия, соответствующая уравнению (4.53),
приближается к переходной характеристике квадратичной
функции, тогда как на участке постоянного воздействия,
соответствующем уравнению (4.54), переходная характеристика
приближается к (1—cosconO- В этой ситуации преобразователь
полностью теряет способность к отслеживанию входного
воздействия, а его реакция, часто называемая «звоном»,
преобразователя, соответствует ступенчатому входному воздействию.
Появление в выходном сигнале осцилляции с собственной частотой
преобразователя — свидетельство ошибочности проводимых
измерений, поскольку «звон» вызывается слишком быстрым
изменением входного воздействия, чтобы преобразователь правильно
реагировал на него.
Рис. 4.31. переходная характеристика преобразователя со слабым
демпфированием при единичном ступенчатом входном воздействии.
Реакция демпфированного преобразователя на ступенчатое
входное воздействие F0 в момент времени £ = 0 (поскольку оно
физически не реализуемо, такой режим функционирования
преобразователя обеспечивается при (оп^о<я/5) описывается
выражением
± = 1 z^zz: e~d(*nt cos (pnt- p), (4.57)
/'о У1 - d*
где tg[l = d/yi—d2 (фаза), corf=yi—d2 con (демпфированная
частота).
Типичная демпфированная переходная характеристика при
ступенчатом входном воздействии изображена на рис. 4.31 вместе
с верхней и нижней огибающими кривой затухания.
Демпфирование устройства может быть оценено по этим огибающим на
12—1180
180
Глава 4
а = а0Ь {t) - а0Ь (t — , (4.58)
где 6(0 — дельта-функция Дирака (рис. 4.33,6), которая
равна нулю при любых значениях аргумента г, кроме нуля, в
котором обращается в бесконечность, причем площадь под ней
равна единице. Интегрирование дифференциального уравнения,
описывающего функционирование схемы [уравнение (4.41)],
дает решение вида
E = {Sqa0/C)[e-t/RC~u(t — ti)e-«-tiVRC]1 (4.59)
где u(t—U)—единичная ступенчатая функция. На
низкочастотной переходной характеристике, описываемой уравнением (4.59)
[рис. (4.33,в)], видны две компоненты: экспоненциальное
затухание 1—e~t,RC, являющееся источником нарастающей со
временем погрешности, и отрицательный выброс в конце импульса.
Отрицательный выброс свидетельствует о несоответствии
постоянной времени RC измерительной системы решаемой задаче.
Максимальная погрешность, появляющаяся в конце импульса,
оценивается путем разложения в ряд экспоненциально
затухающей функции. В результате получаем
^макс = tJRC или Т =RC = t i/тьишс. (4.60)
При ti/RC<0,lO погрешность в соответствии с уравнением
(4.60) не превышает 10%. Аналогичные уравнения могут быть
получены также для треугольного и прямоугольного импульсов.
Значения, приведенные в табл. 4.2, были вычислены на основе
этих уравнений и определяют постоянные времени, необходимые
для проведения измерений с заданной погрешностью. Наиболее
жесткие требования к постоянной времени связаны с импульсом
прямоугольной формы. Такой импульс генерируется
электронными устройствами и может быть использован для проверки
качества измерительной системы.
Преобразователь с встроенным усилителем создает
специфические проблемы, связанные с наличием двух постоянных
времени. Переходная характеристика данной системы при
ступенчатом входном воздействии представима в виде
Е = Sva0 (Те-Ш - Т,е~^)1{Т- (4.61)
где Sv — чувствительность преобразователя по напряжению,
а0 — амплитуда ступенчатого входного воздействия. Такая
переходная характеристика существенно зависит от отношения
постоянных времени. Две постоянные времени могут быть
объединены в одну эквивалентную постоянную -времени для оценки
в соответствии с табл. 4.2 погрешностей измерения параметров
переходного процесса. Эквивалентная постоянная времени
определяется формулой
Датчики силы, давления и параметров движения
179
переходной характеристики 1 — coscon^, согласно которой время
нарастания составляет приблизительно 0,1623 периода
собственных колебаний.
Механические переходные характеристики
недемпфированного преобразователя при полуволновом синусоидальном и
треугольном воздействиях изображены на рис. 4.32. Видно, что для
измерения параметров процесса с помощью механического
устройства преобразователь должен совершить за время действия
внешней силы не менее пяти периодов колебаний.
alt)
alt)
Vo
Идеальная
характеристика
S9a0e-ti/HC
Отрицатель -
ный выброс
в
^ > t
Рис. 4.33. Электрическая переходная характеристика RC-цепи с
пьезоэлектрическим датчиком при прямоугольном входном импульсе, а — прямоугольный
входной импульс; б — производная входного импульса по времени; в —
выходное напряжение.
Электрическая переходная характеристика
Источником погрешности при измерениях переходных
процессов может также быть низкочастотная кривая затухания
гьезоэлектрического датчика. Входной импульс прямоугольной
формы (рис. 4.33, а) физически не может быть реализован с
помощью механических устройств, однако он является удобной
абстракцией, используемой для оценки правильности
функционирования измерительной системы. Производная импульса
прямоугольной формы по времени представима в виде
12*
182
Глава 4
колебаний преобразователя на собственной частоте. Учет
перечисленных факторов имеет существенное значение при выборе
приборов для проведения необходимых измерений.
4.7. Калибровка
Чувствительности преобразователя по заряду и по
напряжению представляют собой важные параметры, сообщаемые
изготовителем в паспорте прибора. Пользователь время от времени
должен выполнять повторную калибровку прибора для
подтверждения постоянства первоначальной калибровки. В то
время как Национальное бюро стандартов и изготовитель часто
используют абсолютную калибровку, пользователи обычно
применяют сравнительные методы, связанные с постоянным вход-
Рис. 4.34. Типичная передаточная функция Я (со) пьезоэлектрического
преобразователя.
ным воздействием, а также с воздействием в форме синусоиды
или более сложной функции. Кроме того, пользователь часто
сталкивается с необходимостью регулярной проверки
калибровки системы в целом в условиях натурных измерений, когда нет
иного способа проверки, кроме проверки самого факта
функционирования.
Калибровка преобразователя
Акселерометр с постоянным входным воздействием. Простой
способ проверки нормального режима функционирования
акселерометра заключается в повороте оси чувствительности
преобразователя в гравитационном поле Земли, в результате чего он
испытывает изменение ускорения с —g на +g. Основные недо-
Датчики силы, давления и параметров движения
181
Таблица 4.2. Значения постоянной времени (в единицах ti с), необходимые
для проведения измерений с заданной погрешностью
Форма импульса
Погрешность, %
Погрешность
Прямоугольная
форма
Л
Погрешность
Треугольная
и-—
Погрешность
Полуволна L*^"*
синусоиды £
50
25
Л: 16
Б: 31
20
10
6
12
Те = ТТ^Т + Т,). (4.62)
При 7уГ1>100 переходная характеристика эффективно
контролируется постоянной времени Гь Типичная передаточная
функция механического преобразователя с пьезоэлектрическим
датчиком изображена на рис. 4.34. Как следует из приведенного
графика, рабочий диапазон частот, в котором нет существенных
искажений амплитуды, простирается от coi до сог. При частотах,
меньших соь имеются затухание амплитуды и фазовые
искажения, вносимые постоянной времени и затуханием RC-цепп и
обычно проявляющиеся при исследованиях переходных
процессов в виде отрицательных выбросов. На частотах,
превышающих (о2, имеют место рост амплитуды и фазовые искажения,
обусловленные механическим резонансом преобразователя при
синусоидальном входном воздействии и механическим «звоном»
преобразователя при исследовании переходных процессов, когда
время нарастания входного воздействия меньше пяти периодов
Датчики силы, давления и параметров движения
183
статки данного способа — ограниченный диапазон, проверка
частотного отклика вблизи нуля и зависимость от локального
уровня гравитации. Проблема ограниченности диапазона может
быть решена путем помещения преобразователя в центрифугу,
где он может подвергаться воздействиям ускорений от 0 до
60 000 g.
Акселерометр с синусоидальным входным воздействием.
Синусоидальное движение с различными частотами и
амплитудами реализуется с помощью возбудителя вибраций. Простое
синусоидальное движение используется как для сравнительной,
так и для абсолютной калибровки движения.
В сравнительном методе два акселерометра обычно
устанавливаются обратной стороной относительно друг друга на
движущейся головке возбудителя вибраций, благодаря чему
испытывают идентичные входные воздействия. Один из
акселерометров является стандартным и используется в качестве эталона
(его калибровка осуществляется Национальным бюро
стандартов), тогда как другой акселерометр подлежит калибровке.
Стандартный акселерометр обычно поставляется с усилителем
заряда, обладающим стандартной чувствительностью 10,0 мВ/g
в широком диапазоне частот. Линейный градуировочный график
аттестуемого акселерометра получают на основе зависимости
его выходного напряжения от выходного напряжения
стандартного акселерометра в некотором диапазоне амплитуд входного
воздействия при заданной частоте. Зависимость
чувствительности от частоты обычно получают с помощью постоянного
входного воздействия и -измерения выходного сигнала на различных
частотах. Этот тип калибровки часто используют в сочетании с
оборудованием автоматической вибродиагностики. Метод
сравнительной калибровки обеспечивает погрешность в пределах
±2%. В натурных измерениях используют портативные
калибраторы акселерометров.
В методе абсолютной калибровки необходимы точные
измерения частоты со и амплитуды х, поскольку максимальное
ускорение Ямакс описывается уравнением
^макс = © Ямакс •
(4.63)
В качестве примера подобных измерений можно привести
следующие данные: амплитуда 0,025 мм на частоте 100 Гц дает
ускорение 1,02 g. Для повышения разрешающей способности
при измерении перемещений на частотах, меньших 100 Гц,
обычно используется сканирующий микроскоп и измеряется полный
размах колебаний. На частотах, превышающих 100 Гц, для
повышения точности измерения перемещений используются
датчики положения или интерференционные методы. С помощью
Датчики силы, давления и параметров движения
185
где Sf — чувствительность преобразователя силы по
напряжению, Sa — чувствительность акселерометра по напряжению.
Чувствительность акселерометра по напряжению, полученная из
уравнений (4.64) и (4.65), выражается формулой
Sa^&nigEa/E,. (4.66)
mc
1
F(t)
Калибровочная масса
Сейсмическая масса
tut
Как свидетельствует уравнение (4.66), чувствительность
акселерометра Sa прямо пропорциональна сигналу электрического
напряжения, связанного с ускорением, и обратно
пропорциональна отношению напряжений преобразователя силы Ef/Emg.
Чувствительность линейного преобразователя силы при данной
схеме калибровки из
рассмотрения исключается. Однако на
калибровку оказывает влияние
локальная величина ускорения
свободного падения, поскольку
посредством напряжения Emg
изменяется вес тела.
Продолжительность
импульсного воздействия
определяется материалом
амортизатора, тогда как амплитуда
импульса регулируется
изменением высоты падения
контрольной массы. Калибровка
выполняется с использованием
различных сочетаний материала
амортизатора и высоты
падения, перекрывающих
требуемые диапазоны частот и
амплитуд. Данный метод
калибровки применим в условиях
натурных измерений и
позволяет установить
калибровочные величины с погрешностью
>±1%.
Постоянное силовое воздействие. Статическая калибровка
силы может выполняться калиброванными нагружающими
устройствами, калиброванными стандартами веса или сравнением
с калиброванными динамометрами, аттестованными
Национальным бюро стандартов. Пьезоэлектрические датчики непригодны
для измерения статических нагрузок, поэтому для
предотвращения экспоненциального затухания сигнала в процессе
калибровки нагрузки должны прикладываться и сниматься достаточно
быстро.
Акселерометр
Рис. 4.36. Калибровка
преобразователя силы с помощью возбудителя
вибраций.
184
Глава 4
интерференционных методов достигнута погрешность ±0,5% в
диапазоне 100—2000 Гц.
Акселерометр с входным воздействием сложной формы.
Процедура калибровки, условно изображенная на рис. 4.35,
известна под названием гравиметрического метода и основана на
использовании второго закона Ньютона, который может быть
представлен в виде
F = ma = mga/g. (4.64)
Измерительная система состоит из преобразователя силы с
амортизатором, установленным на жестком основании,
контрольной массы в форме стального цилиндра, на котором
смонтирован контрольный акселерометр, пластиковой трубы в
качестве направляющей стального цилиндра, предусилителей и ос-
Осциллограф
Акселерометр
Стальной
цилиндр
Амортизатор
Преобразова
тель силы
Рис. 4.35. Блок-схема системы гравиметрической калибровки
циллографа (предпочтительно цифрового). Данный метод
включает два отдельных этапа, на которых измеряются три
электрических напряжения.
На первом этапе контрольная масса располагается на
амортизаторе преобразователя силы, а регистрация напряжения Emg
осуществляется при быстром удалении контрольной массы. Это
напряжение является мерой веса контрольной массы.
На втором этапе контрольная масса падает с заданной
высоты на амортизатор преобразователя силы при одновременной
регистрации электрических напряжений, соответствующих силе
Ef и ускорению Еа. Результирующие силы, ускорения и
напряжения связаны следующими зависимостями:
Fmg = mg = EmgISf, F = Ef/Sh a/g = EJSa, (4.65)
Датчики силы, давления и параметров движения
187
оценки линейности) и частот (для оценки эффектов резонанса)
вибраций.
Чувствительность по силе получают, используя уравнение,
включающее наклон графика S и чувствительность по
напряжению Sa эталонного акселерометра:
St = SSu. (4.70)
Использование данного метода калибровки обеспечивает
точность измерений в пределах н"2%.
Импульсное силовое воздействие. Для определения
динамических переходных характеристик конструкций в экспериментах
широко применяются ударные молотки. Преобразователь силы,
измеряющий силу удара, устанавливается на ударной головке
молотка. Продолжительность удара зависит от материала
амортизатора, проложенного между молотком и конструкцией,
а также от динамических переходных характеристик
исследуемой конструкции.
Акселерометр
Маятник
Преобразователь
Ударная голобка силы
Fit)
Корпус
'молотка
h I
—-WWv-
Сейсмическая
масса
База
преобразователя
Рис. 4.38. Калибровка ударного молотка с помощью маятника.
Калибровка преобразователя силы, используемого на
практике, выполняется с помощью маятника (рис. 4.38).
Дифференциальное уравнение движения преобразователя силы имеет вид
mhZ + Cz+kfz = F{t)-тьхь, (4.71)
где тн — сейсмическая масса головки молотка и
преобразователя; шъ — масса корпуса молотка и базы преобразователя;
kf — упругая постоянная пружины преобразователя; z—
относительное перемещение преобразователя. Если частота ударного
воздействия существенно ниже собственной частоты
преобразователя, а относительное перемещение z достаточно мало по
сравнению с перемещением базы и ударной головки, то сила
воздействия пружины kfZ является преобладающей, и функцио-
186
Глава 4
Синусоидальное силовое воздействие. Для калибровки
датчика силы в условиях динамического (синусоидального)
нагружения могут быть использованы возбудитель вибраций в
сочетании с эталонным акселерометром (для измерения движения
базы) и набор известных масс. Схема метода представлена на
рис. 4.36. К преобразователю приложена внешняя сила инерции
F(t)=—mcij. Для калибровки преобразователя используется
дифференциальное уравнение движения (4.33) при R(t)=0.
В таких условиях снижается собственная частота
преобразователя вследствие добавления калибровочной массы и следует
принимать меры предосторожности, чтобы избежать
погрешностей из-за резонанса преобразователя. Как следует из уравнения
(4.33), действующая сила в процессе калибровки обусловлена
силой инерции сейсмической массы тх и силой инерции калиб-
Рис. 4.37. Зависимость отношения напряжений Е//Еа от калибровочного веса
Wc при калибровке преобразователя силы синусоидальным воздействием.
ровочной массы тсх. Соответствующие выходные напряжения
преобразователей силы и ускорения описываются уравнениями
E, = Sf{m + me)x\ Ea = Sax/g. (4.67), (4.68)
Отношение напряжений, полученных из (4.67) и (4.68),
составляет
EflEa = {Sf/Sa) (т + mc)g = (S,ISa) (W + Wc), (4.69)
где W — вес сейсмической массы, Wc — вес калибровочной
массы. Согласно уравнению (4.69), отношение чувствительностей
S=Sf/Sa получается из прямолинейной зависимости отношения
напряжений Ef/Ea от калибровочного веса Wc (рис. 4.37).
Наклон прямой является отношением чувствительностей S=Sf/Sa.
Отрезок, отсекаемый прямой на оси абсцисс, позволяет оценить
вес сейсмической массы W. Для точного измерения наклона
прямой надо использовать широкий диапазон амплитуд (для
188
Глава 4
нирование преобразователя приблизительно представимо
выражением
• • • • • •
F (t) = mbxb + mhxh = (mb + mh) xb, или
z = [mb/(mh + mb)] F {t)/kf.
Выходное напряжение Ej получают по формуле
Ef = Szz = [mbl(mb + mh)] (Sz/kf) F (t) = SfF (t), (4.72)
где Sz — чувствительность преобразователя по напряжению к
относительному перемещению г. Параметры Sz и kf отражают
свойства датчика, которые сохраняются постоянными, тогда как
отношение масс зависит от изменений как тъ (масса молотка),
так и trih (масса ударной головки). Эти массы легко
варьировать, обеспечивая таким образом изменение чувствительности
преобразователя Sf.
Сила воздействия ударного молотка на маятник
представляется выражением
F {t) = тра = mpga/g = Wpa/g, (4-73)
где тр — масса маятника и акселерометра; Wp — вес маятника
и акселерометра; а — ускорение маятника в процессе удара.
Соответствующее выходное напряжение Еа определяется
равенством Ea = Sa{a/g), так что отношение напряжений
приводится к виду
Ef/Ea = SfWp/Sa = SWP. (4.74)
Равенство (4.74) совпадает по структуре с уравнением
(4.69), поэтому для определения наклона прямой также
используется построение зависимости отношения напряжений
от веса маятника. Чувствительность датчика силы по
напряжению определяется на основе уравнения (4.70). С помощью
данного метода достигается точность измерений в пределах ±2%.
Калибровка системы
В измерительной системе, состоящей из большого
количества компонентов, калибровка каждого элемента по
отдельности — дорогостоящая и трудоемкая процедура. Более точна и
эффективна калибровка всей системы в целом с учетом вклада
каждого элемента. В идеале преобразователь возбуждается
известным входным воздействием, с которым сравнивается
выходная информация регистрирующего устройства. Подобную
процедуру практически нельзя использовать при установке
преобразователя на натурной конструкции. Вот почему были
разработаны методы замены сигнала по напряжению, позволяю-
190
Глава 4
Рис. 4.39. Калибровка измерительной системы методом последовательного
включения источника напряжения.
ние усилителя RG, поскольку сопротивление преобразователя
Rt>Ra- Нормальное соотношение между выходом и входом
системы, показанной на рис. 4.39, при синусоидальном входном
воздействии в отсутствие калибровочного напряжения
описывается формулой
[Е = [jRaC<o/{l + jRaC(o)] GSqa0/C, (4.77)
где G— коэффициент усиления усилителя, Sq — чувствительности
преобразователя по заряду. При подаче калибровочного
напряжения ££ал в отсутствие преобразователя, подключенного к схеме,
выходное напряжение принимает вид
££'ал = [/i?aCco/(l + ]RaC<o)] GCTE*aJC. (4.78)
Сопоставление уравнений (4.77) и (4.78) дает
ELn = Sqa^JCTl (4.79)
что при RaC(u^>l преобразуется следующим образом:]
#кал = GCTE£BSJC = SaaK8iSI, (4.80)
где Sa—эффективная чувствительность системы по напряжению*
Преимущество данного метода калибровки заключается в
участии всех компонентов системы в процессе калибровки.
Таким образом, ступенчатое входное напряжение определяет не
только чувствительность системы, «о и ее эффективные
постоянные времени. Выходное напряжение, обусловленное
ступенчатым входным напряжением, определяется зависимостью
E = GCTEse-«Rc/C = SaaKUIe-*W. (4.81)
Типичная переходная характеристика системы при
ступенчатом входном воздействии изображена на рис. 4.40. Время
нарастания, перерегулировка, экспоненциальное затухание и
Датчики, силы давления и параметров движения
189
щие оценить качество системы в целом, включая
чувствительность по напряжению, время нарастания, выброс на фронте
импульса, отрицательный выброс в конце импульса и
постоянные времени.
Системы с усилителем заряда. Усилители заряда, как
правило, поставляются с калибровочным конденсатором (см.
рис. 4.26). Калибровочное напряжение может быть подано
через этот конденсатор для имитации заряда. Требуемое
калибровочное напряжение E*tHul описывается уравнением
где #кал — имитируемый калибровочный заряд; акал—
калибровочная входная величшм (ускорение свободного падения g и
т. п.); Скал — емкость калибровочного конденсатора,
соединенного последовательно с источником напряжения (рис. 4.26).
При RfCf($^>l соответствующее выходное напряжение ЕкаЛу
прилагаемое к дополнительным компонентам измерительной
системы, равно
■^кал = SvaKan = SqaKan/bC^ = SKanE^an/bCf, (4.76)
где Sq — чувствительность преобразователя по заряду. Для
задания диапазона прибора используется конденсатор
обратной связи Cf. Для установки стандартной чувствительности по
напряжению используется потенциометр (координата
положения подвижного .контакта Ь). Воздействия в форме квадрата и
ступени, генерируемые прецизионным калибратором с ручным
управлением, — общеупотребимые формы калибровочных
сигналов. Подобные приборы генерируют напряжение в
диапазоне от 0 до 10,0 В при разрешении 0,02% предела измерений.
Поскольку данный метод калибровки не обеспечивает
проверку преобразователя, он калибруется отдельно, на основе
одного из описанных выше методов.
Усилитель с высокоомным входом. Для использования с
данным прибором выпускается специальный адаптер,
обеспечивающий калибровку системы методом последовательного
включения источника напряжения (рис. 4.39). Калибровочное
напряжение £*кал прилагается к последовательно включенному
в схему резистору RSj который достаточно мал (от 10 до
100 Ом) в сравнении с входным сопротивлением усилителя Ra
(100 МОм и более). Конденсатор Ст объединяет все емкости
адаптера со стороны контактов для подключения
преобразователя, тогда как конденсатор СА объединяет все емкости
адаптера со стороны контактов для подключения усилителя.
Общая электрическая емкость системы составляет С=СТ+СА.
Эффективным сопротивлением системы является соцротивле-
Датчики силы, давления и параметров движения
191
собственная частота регистрирующего устройства
определяются на основе анализа выходного сигнала. Каждая из
перечисленных величин может накладывать определенные ограничения
иа использование системы в конкретных практических
приложениях. К сожалению, тест не позволяет определить
собственную частоту преобразователя.
Влияние внешних условий
Калибровка преобразователя или всей системы в целом
может быть нарушена в результате влияния следующих внешних
факторов.
L Температура. В связи с тем что и чувствительность по
заряду, и электрическая емкость пьезоэлектрического датчика
зависят от температуры, ее изменения способны вызвать суще-
Рис. 4.40. Типичная переходная характеристика измерительной системы при
ступенчатом входном воздействии.
ственные изменения чувствительности. Кроме того, некоторые
преобразователи генерируют выходной сигнал под влиянием
тепловых переходных процессов. Этим могут создаваться
серьезные проблемы при низких уровнях сигнала. В
высокотемпературных практических приложениях могут оказаться
необходимыми тепловые радиаторы и воздушное принудительное
охлаждение. Для решения вопросов, связанных с температурой,
целесообразны консультации с изготовителем.
2. Монтаою. Механический монтаж многих преобразователей
выполняется с помощью миниатюрной шпильки. На высоких
частотах гибкость этой системы крепления может быть
причиной резонанса преобразователя относительно монтажной
поверхности. Проблема решается путем применения парафина
или парафиносодержащей смазки между соприкасающимися
монтажными поверхностями. Высоковязкая смазка создает
192
Глава 4
надежную связь преобразователя и поверхности при
высокочастотных вибрациях.
2 Грязь или влажность. При использовании
пьезоэлектрических схем обычно предполагается, что преобразователь
обладает очень большим сопротивлением по сравнению с
номинальным входным сопротивлением усилителя, составляющим
около 100 МОм. Присутствие отпечатков пальцев, смазки,
грязи и(или) следов влаги на поверхностях разъемов
электрических кабелей способно вызвать существенное снижение
указанного сопротивления и изменить таким образом постоянную
времени .RC-цепи и соответствующую низкочастотную переходную
характеристику схемы. Поверхности разъемов кабелей должны
быть чистыми и сухими в течение всего цикла измерений. Для
кратковременной защиты от влаги в разъемах преобразователя
и кабеля следует использовать силиконовую смазку. При
полном погружении в жидкость или высокой влажности
целесообразно применение не содержащего кислотных примесей
вулканизованного при комнатной температуре компаунда на основе
силиконового каучука, а также использование
герметизированных тефлоновых кабелей.
А. Шум в кабельных соединениях. Шумы в системах с вы-
сокоомиым входным сопротивлением усилителей и в кабелях
могут быть вызваны наличием петель в заземлении, трибо-
электричсскими эффектами и электромагнитными полями.
а) Петли в заземлении. Петли в заземлении оказывают
влияние, когда земля измерительной системы и земля
исследуемой поверхности обладают различными электрическими
потенциалами, вызывающими протекание тока в экране кабеля.
Подобная петля в заземлении может быть разорвана путем
электрической изоляции преобразователя от исследуемой
поверхности. Изолирующая прокладка снижает собственную
частоту монтируемого преобразователя, однако должна
применяться с соблюдением необходимых предосторожностей.
б) Трибоэлектрические эффекты. Трибоэлектрические
эффекты возникают при повреждении кабеля преобразователя и
генерации заряда в результате трения между проводником и
.материалом изоляции в процессе :вибраций кабеля. Данную
проблему обычно решают использованием графита в
производстве кабелей, а также ограничением перемещений кабеля в
эксперименте. Состояние кабеля должно проверяться в
процессе установки путем встряхивания и анализа выходного
сигнала. Любой кабель, создающий заметный сигнал, должен быть
заменен.
в) Электромагнитные поля. Электромагнитные поля
способны оказаться источниками шумов при близком расположении
кабеля преобразователя к линиям энергоснабжения или к ра-
Датчики силы, давления и параметров движения
193
ботающей электрической машине, генерирующей сильные
переменные магнитные поля. Для решения данной проблемы
следует использовать кабели с двойным экраном .и специальные
дифференциальные усилители.
5. Деформации основания. Деформация поверхности
объекта, на которой смонтирован преобразователь, способна вызвать
нежелательные сигналы. Новые конструктивные решения,
обеспечивающие защиту пьезоэлектрического преобразователя,
в значительной степени решают данную проблему.
6. Проникающее излучение. Проникающее излучение
способно изменить функциональные характеристики материалов,
обладающих пьезоэлектрической чувствительностью. Во
избежание нежелательных изменений свойств преобразователя в
конкретных практических приложениях рекомендуется
консультация потребителя с изготовителем.
7. Коррозионно-активные среды. Большинство современных
преобразователей изготавливается в корпусах из нержавеющей
стали, титана или бериллия и обладает высокой устойчивостью
к воздействию коррозионно-активных сред.
8. Ошибки оператора. Неправильная подготовка персонала,
устанавливающего и эксплуатирующего системы измерения,
может быть причиной наиболее значительных ошибок.
4.8. Заключение
В настоящей главе рассмотрены основные элементы систем,
используемых при динамических измерениях силы, давления,
перемещения, скорости и ускорения, характеристики фильтров
первого и второго порядков, а также дифференцирующей RC-
цепи. Проведен анализ измерений перемещения относительно
фиксированной системы координат на основе таких
распространенных схем, как многорезисторная и потенциометрическая,
а также на основе датчиков, содержащих переменную
индуктивность, фоточувствительные элементы и
микропереключатели. Описаны магнитные датчики для измерения скорости.
Получены механические характеристики сейсмических приборов
для измерения перемещения, скорости, ускорения, силы и
давления. Показано, что все преобразователи силы и давления по
внутренней структуре совпадают с акселерометрами. Данное
обстоятельство должно учитываться при измерениях силы и
давления. Детально исследованы характеристики
пьезоэлектрических схем, поскольку пьезоэлектрические датчики широко
используются во многих приборах для динамических
измерений. Подробно описаны три распространенные схемы
формирования сигналов, включая повторитель напряжения, усилитель
заряда и встроенный усилитель. Показано, что все три схемы
13—1480
194
Глава 4
формирования сигналов обладают аналогичными частотными
характеристиками. Рассмотрены механические и электрические
переходные характеристики пьезоэлектрических
преобразователей при периодических и непериодических входных сигналах.
Показано, что механические ограничения обусловлены
собственной частотой преобразователя, тогда как электрические
ограничения обусловлены постоянной времени низкочастотной
/?С-цепи. Изложены процедуры калибровки систем измерения
параметров движения и силы. Рассмотрены аспекты
измерений при синусоидальном и несинусоидальном входных
воздействиях. В заключение исследованы вопросы оценки качества
системы в целом и проблемы, связанные с температурой,
монтажом преобразователя, загрязнениями, влажностью, шумами в
кабельных соединениях, деформациями основания,
проникающей радиацией, коррозионно-активными средами и ошибками
оператора.
Глава 5
Фотоупругость
X. Бюргера
Явление фотоупругости лежит в основе
экспериментального метода, позволяющего исследовать поля напряжений и
деформаций. Этот метод связан с влиянием напряжений и
деформаций на оптические свойства материала. При
прохождении света через оптически активные прозрачные -материалы
возникают картины интерференционных полос, q помощью
которых определяют напряжения.
В результате использования современной вычислительной
техники и численных методов расчета несколько сузилась
традиционная область применения метода фотоупругости, однако
в то же время ЭВМ позволили расширить применение
фотоупругости в новых перспективных направлениях. Достижения
в области лазерной техники, волоконной оптики и методов
цифровой обработки изображений, численных методов анализа
и обработки экспериментальных данных продолжают
расширять диапазон задач, для которых фотоупругость — наиболее
эффективное средство исследования. В результате роль
фотоупругости в теоретической и прикладной механике не только
не уменьшается, но, наоборот, возрастает.
В настоящей главе кратко излагается метод
фотоупругости. Более подробные сведения о различных новых
практических приложениях фотоупругости можно найти в
периодической литературе.
5.1. Теория фотоупругости
Поляризация света
Эффект фотоупругости можно описать с помощью
электромагнитной теории света [1—5]. Согласно этой теории свет
распространяется как поперечные электромагнитные волны.
*> Christian P. Burger, Iowa State University, Ames, Iowa; currently at
Texas A and M University, College Station, Texas.
13*
195
196
Глава 5
Векторы напряженности электрического и магнитного полей
перпендикулярны друг другу и направлению распространения
света (рис. 5.1). Соответственно распространение света
характеризуется как движение волны, при котором мгновенное
значение длины Е электрического вектора, наблюдаемое в
фиксированной точке вдоль направления распространения,
составляет
Е = a sin (2л;A) ct = a sin 2nft = a sin co£, (5.1)
где / — время, с — скорость распространения света (3-108м/с
в вакууме), Л — длина волны, а — амплитуда, / — частота све-
Магнитное поле
Рис. 5.1. Мгновенное распределение полей линейно-поляризованного света.
та, со = 2л/: — круговая частота света. Направление луча света
и его электрическое поле характеризуются тремя векторами:
направления распространения, а также электрического и
магнитного полей. Большинство источников света состоит из
множества произвольно ориентированных атомных или
молекулярных излучателей. Электрическое поле света, испускаемого
такими источниками в разных направлениях, не имеет
определенной ориентации — неполяризованный (естественный) свет.
Если световой пучок состоит из лучей, электрические поля
которых ориентированы в одном и том же направлении,
пучок называется линейно-поляризованным, или плоскополяризо-
ванным. Напряженность электрического поля в любой точке
такого пучка меняется по величине и знаку, однако ее
направление остается постоянным и характеризует поляризацию све-
Фотоупругость
197
та. Если вектор поля вертикальный, свет называют
вертикально поляризованным, а плоскость поляризации является
вертикальной плоскостью (рис. 5.2).
Любой линейно-поляризованный луч можно разложить на
компоненты, поляризованные вдоль любой пары произвольно
направленных взаимно ортогональных осей, по обычному
правилу разложения вектора (рис. 5.3).
Линейная поляризация представляет собой частный случай
эллиптической поляризации, при которой конец
электрического вектора описывает эллипс при движении световой волны.
Для полной характеристики эллиптической поляризации
необходимо задать три величины: степень эллиптичности, направ-
Минейная
^ вертикальная
поляризация
>^ Линейная
\^ *~ горизонтальная
поляризация
деполяризован
^ *~ ный свет ' ~тт—f t t t t
i ф k
1 1 1
111*
T т ?
i 1 1
i 1 r
Параллельные оси
поляризации
111
1 f 1
7 ? ?
I I 1
и
Скрещенные оси
поляризации
Рис. 5.2. Представления линейно-поляризованного света.
ление главной оси эллипса и направление вращения вектора
(по или против часовой стрелки).
Частный случай эллиптической поляризации — круговая
поляризация. В этом случае электрический вектор при
распространении света вращается, а его длина не меняется, и
необходимо определить лишь направление вращения. Три вида
поляризации иллюстрирует рис. 5.4. Так, плоскополяризованный
свет возникает в том случае, когда все компоненты светового
вектора лежат в одной плоскости, называемой плоскостью
поляризации. Свет, поляризованный по кругу, получается, когда
конец светового вектора описывает круговую винтовую линию
при распространении света вдоль оси z. При движении эллип-
тически-поляризованного света конец светового вектора
описывает эллиптическую винтовую линию.
198
Глава 5
Известно несколько способов получения поляризованного
света от источника естественного (хаотически
поляризованного) света: 1) поляризация при отражении; 2) поляризация
при рассеянии; 3) поляризация с помощью поляроидной
пленки; 4) поляризация посредством двойного лучепреломления.
Поляризация при отражении
Когда свет падает на поверхность раздела двух
диэлектрических сред с различными коэффициентами преломления
(например, воздуха и стекла) под некоторым углом, то
происходит частичная поляризация как отраженных, так и
преломленных лучей. Для объяснения этого явления рассмотрим
законы отражения и преломления.
Рис. 5.3. Разложение линейно-поляризованного света на составляющие
При падении света под углом к поверхности направление
прошедшего пучка не совпадает с направлением падающего
пучка, так как происходит преломление. Углы между
падающим, отраженным и преломленным пучками и нормалью к
поверхности в точке падения называются углами падения,
отражения и преломления. Они обозначены соответственно через
i, R и г на рис. 5.5, причем i=R.
Отношение синуса угла падения к синусу угла
преломления — постоянная величина, зависящая от свойств среды и
длины волны света. Эту константу называют относительным
показателем преломления для света, проходящего из среды 1
в среду 2 (рис. 5.5), и обозначают через /112:
sin i/sin г = тг12. (5.2)
Рис. 5.4. Движение конца светового вектора при плоской (а), круговой (б)
и эллиптической (в) поляризациях. 1 — конец светового вектора описывает
синусоиду в плоскости поляризации по мере распространения световой волны.
200
Глава 5
Это известный закон преломления Снеллиуса. Если свет
падает .из вакуума, то это отношение дает абсолютный показатель
преломления среды 2, обозначаемый просто п2.
Преломление объясняется на основе волновой теории света
в предположении, что скорость света зависит от свойств среды,
через которую он проходит, и максимальна для вакуума. Если
Vi и v2 — скорости света в двух средах, то относительный
показатель преломления ni2 = V]/v2. Если с — скорость света в
вакууме (примерно 3-108 м/с), то абсолютные показатели
преломления записываются в виде n\ = c/vi и п2 = с/у2, поэтому
Hi 2 = /12/^1.
Рис. 5.5. Отражение и преломление на плоской поверхности при n2>Mi.
Показатель преломления воздуха при нормальных
температуре и давлении равен 1,000278. Поэтому для большинства
практических целей абсолютный показатель преломления
твердого материала и его относительный показатель преломления
при освещении из воздуха считаются одинаковыми.
Когда свет проходит из одной изотропной среды в другую,
число проходящих волн в любой заданный интервал времени
должно быть одним и тем же .в жаждой точке обеих сред, т. е.
частота не изменяется. Поэтому длина волны должна
меняться в зависимости от свойств среды. Так как частота f=v/K, то
для двух сред получаем
\/К2 = vJv% = п12. (5.3)
Если Ко — длина волны света в вакууме, абсолютные
показатели преломления определяются как ni=A,cAi и «2=W^2.
Фотоупругость
201
Рис. 5.6. Преломление луча при
прохождении через плоскопараллельную
пластинку.
Когда свет проходит через
пластинку с плоскими
параллельными поверхностями,
углы падения и преломления у
верхней и нижней
поверхностей определяются, как
показано на рис. 5.6. Так как
поверхности параллельны, г\ =
= i2, ii = r2i т. е. выходящие
лучи параллельны падающим
лучам, но имеют боковое
смещение.
Если пучок естественного
света падает из воздуха на
поверхность стекла под углом £,
равным приблизительно 57°, то
отраженный пучок становится полностью плоскополяризован-
ным, причем плоскость колебаний перпендикулярна плоскости
падения и параллельна отражающей поверхности (рис. 5.5).
Преломленный луч также частично плоскополяризован, но
колебания происходят в плоскости падения. Точная величина
угла падения, обеспечивающая наибольшую степень
поляризации, зависит от показателя преломления материала и
называется углом поляризации.
Как показал Френель, если падающий луч
плоскополяризован в плоскости падения (т. е. плоскость колебаний света
расположена в плоскости чертежа), относительные амплитуды
а, ft и с падающего, отраженного и преломленного лучей
связаны следующими соотношениями:
Ь tg(i—г) с _ 2 cos i sin г ,r /v
a tg(£+r) ' a sin (i + r) cos (i — r)' * " '
Если падающая волна поляризована перпендикулярно плоскости
падения (т. е. колебания перпендикулярны плоскости чертежа),
отношения амплитуд имеют следующий вид:
Ъ —sin (г—г) Гс 2 cos i sin г
' ' ~а
(5.5)
a sin(i-f-r) » а sin (i+r) "
Поскольку интенсивность света равна квадрату амплитуды,
/ = (амплитуда)2. (5,6)
Величина (ft/a)2 характеризует относительную интенсивность
отраженного и падающего света и называется коэффициентом
отражения поверхности.
Можно предположить, что неполяризованный свет состоит
из двух компонент одинаковой величины, плоскополяризован-
202
Глава 5
ных во взаимно перпендикулярных плоскостях. Следовательно,
интенсивность Ir естественного света, отраженного от
поверхности, характеризуется формулой (/о — интенсивность
падающего света)
Ir _ sing (i —г) , tg2(i — г) ?.
/0 2sin2(i + r) ' 2tg2(i + r) • W* '
Интенсивность преломленной волны 1Г определяется отношением
Ir 2cos2 i sin2 г . 2cos2 i sin2 г R\
To""" sin2 (i + r) ' sin2(*+r)cos2(i—г) * ^ °'
Когда угол падения мал (освещение почти по нормали к
поверхности), уравнения (5.4) и (5.5) упрощаются, и из (5.2), (5.7) и
(5.8) получаем
Ir ( п — 1 \2 lr i 2 \2
Ir _( п-1 \2 Ir _( 2 \2
(5.9)
Для стеклянной пластины в воздухе можно принять, что
показатель преломления при переходе света из воздуха в стекло
Z0
30 40 50 60 70
Угол падения, град
90
Рис. 5.7. Отражательная способность в зависимости от угла падения.
равен я=1,5, а из стекла в воздух—1/я = 0,67. Тогда из
уравнения (5.9) следует, что от каждой поверхности отражается
4% падающего света.
Когда £+r = 90°, sinr = cosi, и по закону Снеллиуса
tgi = n. (5.10)
Второй член в правой части уравнения (5.7) обращается в нуль,
а отраженный свет становится полностью плоскополяризован-
ным с колебаниями, параллельными поверхности пластины.
Фотоупругость
203
Если падающий свет плоскополяризован в плоскости падения,
то он совсем не отражается. Найденный из этого условия угол
падения называется углом полной поляризации (или углом
Брюстера) и составляет около 57° для случая падения света из
воздуха на стекло. Уравнение (5.10) выражает закон Брюстера,
который устанавливает, что тангенс угла полной поляризации
равен показателю преломления (при прохождении света извоз-
духа в среду).
На рис. 5.7 построены графики изменения коэффициента
отражения в зависимости от угла падения для света,
поляризованного в плоскости падения, и света, поляризованного
перпендикулярно плоскости падения. Если угол падения равен
углу Брюстера, тангенс которого равен п\/п2, отраженный пучок
полностью поляризуется перпендикулярно плоскости падения.
О свете, поляризованном перпендикулярно плоскости падения,
Рис. 5.8. Соотношение отраженных и прошедших лучей при угле Брюстера.
говорят, что он имеет «S-поляризацию», а о свете,
поляризованном параллельно плоскости падения, говорят, что он имеет
«Р-поляризацию». Понятия S- и Р-поляризации, которые
имеют смысл только для света, падающего на поверхность, часто
используются при анализе диэлектрических покрытий. Плоско-
поляризованный пучок при правильной поляризации проходит
через окно Брюстера без потерь на отражение. На рис. 5.8
показана схема соотношения отраженных и прошедших лучей при
падении света на пластину под углом полной поляризации.
Поверхности металлических зеркал имеют высокий
коэффициент отражения (рис. 5.9). При наклонном падении Р-пучок
характеризуется меньшим коэффициентом отражения, чем
S-пучок. При отражении от металла также происходит
изменение 'фазы, которое зависит как от угла падения, так и от
направления поляризации, так что плоскополяризованный свет
Фотоупругость
205
при угле полной поляризации. Таким образом, когда угол
падения превышает угол полной поляризации, происходит
изменение фазы на л, чего не наблюдается при меньших углах
падения. При внутреннем отражении происходит обратное явление.
Поляризация при рассеянии
При рассеянии также происходит поляризация света. Свет,
рассеиваемый малыми заряженными частицами, чувствителен
к длине волны и углу поляризации. В совершенно прозрачной
атмосфере глаз видел бы только луч света, если линия
наблюдения проходит вдоль луча и направлена в сторону источника
света. В космосе действительно небо кажется черным. Однако
вследствие присутствия на малых высотах небольших частиц
(или даже сравнительно
больших частиц, таких, как капли
воды в тучах) свет
рассеивается, вызывая освещение
предметов, расположенных не
непосредственно на пути лучей
от солнца (например, в тени
здания). В безоблачный день
приблизительно около 1/5
общего освещения на
горизонтальной поверхности
обеспечивается рассеянным светом от
неба. Малые частицы
рассеивают короткие волны сильнее,
чем длинные; поэтому в свете,
достигающем глаза,
преобладают более короткие волны,
создающие ощущение голубо- Рис. 5.10. Динамическая модель рас-
го цвета, вследствие чего небо сеяния света,
имеет голубой цвет.
Механизм такого рассеяния света можно
проиллюстрировать по аналогии с упругими колебаниями. Рассмотрим,
например, малую частицу в точке О (рис. 5.10) и волну плоскополя-
ризованных упругих колебаний, распространяющихся по
нормали к плоскости чертежа и совершающихся вдоль АВ. Если
частица может свободно перемещаться, она также будет
совершать колебания вдоль линии АОВ. Вообще между колебаниями
частицы и колебаниями падающей волны будет существовать
разность фаз, приводящая к перемещению частицы
относительно упругой среды. Это будет создавать вторичную волну,
исходящую из О, колебания в которой параллельны АВ. В любой
момент поверхность этой вторичной волны будет представлять
204
Глава 5
превращается при наклонном отражении в эллиптически-поля-
ризованный.
При рассмотрении преломленного пучка света второй член
в правой части уравнения (5.8) оказывается больше первого.
Это означает, что часть преломленного света плоскополяризо-
вана, причем колебания совпадают с плоскостью падения (за
исключением предельного случая нормального падения света).
Максимальная степень поляризации достигается, когда угол
падения равен углу поляризации (поляризация, однако, не
полная). Степень поляризации можно повысить, применяя стопу
плоскопараллельных стеклянных пластинок, расположенных
так, что свет падает на них под углом полной поляризации.
Угол падения
Рис. 5.9. Коэффициенты отражения S- и Р-поляризованного света для
поверхностей раздела воздух — металл.
Степень поляризации света постепенно растет по мере
прохождения через последовательные пластинки, а после седьмой или
восьмой пластинки достигает высокого значения.
Важно отметить, что волны с амплитудами
противоположного знака различаются по фазе на я. Когда отражение
происходит в менее плотной среде так, что i>r, отношение Ь[а
в уравнении (5.5) отрицательно. Для S-поляризованного пучка
происходит изменение фазы, равное я. Это важно помнить при
конструировании отражательных полярископов. С другой
стороны, если происходит внутреннее отражение в среде с большей
плотностью, так что Кг, b/а положительно, и изменения фазы
не происходит.
Если падающая волна является Р-поляризованной, то
отношение b/а в уравнении (5.4) положительно при внешнем
отражении для малых значений i, но убывает до нуля и меняет знак
206
Глава 5
собой сферу с центром в О. Если среда может передавать
только поперечные колебания, не будет существовать волн,
распространяющихся в направлениях ОС и OD. Во всех других
направлениях будут распространяться волны, амплитуды которых
возрастают от нуля в С и D до максимума в точках
горизонтальной плоскости, проходящей через О. Все лучи этой
вторичной волны будут поляризованными, причем колебания их в
любой точке происходят в вертикальной плоскости, т. е. в
плоскости, содержащей АВ.
Этот эффект можно продемонстрировать при прохождении
пучка света через стеклянную трубку, содержащую облако
взвешенных мелких частиц. Если плоскость колебаний
падающего света вертикальна, он не виден при наблюдении по
вертикали сверху или снизу трубки, имеет максимальную
интенсивность в любом горизонтальном направлении наблюдения и
кажется при этом голубым.
Поляризация с помощью поляроидной пленки
Большинство известных линейных поляризаторов (поляро-
идных пленок Я-типа) действует подобным образом. Эти
пленки представляют собой молекулярные поляризаторы, в основе
работы которых лежит эффект дихроизма, или селективного
поглощения. Дихроичный материал является двоякопреломляю-
щим; у него одна из двух ортогональных поляризованных
компонент (обыкновенный и необыкновенный лучи) сильно
поглощается, в то время как другая не поглощается. Слово
дихроичный в буквальном смысле означает двухцветный и отражает
тот факт, что при просвечивании некоторых кристаллических
материалов белым линейно-поляризованным светом появляется
характерная двухцветная окраска. Первые поляроидные пленки
изготавливали из мелких дихроичных кристаллов,
ориентированных особым способом и вклеенных между пластмассовыми
пленками. Современные поляроидные пленки Я-типа
изготавливаются из поливинилового спирта, макромолекулы которого
ориентируют путем вытягивания, тем самым получая двойное
лучепреломление. Окрашивающие молекулы иода селективно
присоединяются к макромолекулам. Селективное поглощение
одной поляризованной компоненты света происходит благодаря
надлежащей ориентации химических связей в местах
присоединения. Таким образом, присоединенный иод образует тонкие
волокна, которые эффективно поглощают свет, поляризованный
параллельно им, но пропускают ортогонально поляризованный
свет. Пропускающая способность пленки и степень затухания
поляризованных компонент определяются количеством
присоединенного иода. Так как основное свойство дихроичных мате-
208
Глава 5
i i i i — i
400 500 600 700 800
Длина Волны, нм
Рис. 5.11. а — сеточный поляризатор; б — параллельный и скрещенный дих-
роичные поляризаторы; в — спектры пропускания параллельных и скрещенных
поляроидов HN38S; г — кривые оптической плотности поляроидов
Поляризация посредством двойного лучепреломления
Многие кристаллические материалы оптически
анизотропны и имеют разные значения показателя преломления при
просвечивании в разных направлениях. Кварцевое стекло, будучи
изотропным материалом, имеет одно значение показателя
преломления для любой длины волны. С другой стороны,
показатель преломления кристалла кварца зависит от типа
поляризации проходящей световой волны и направления просвечивания.
Любой материал, который можно характеризовать двумя
различными значениями показателя преломления, называется
двоякопреломляющим.
Входящий в двоякопреломляющий кристалл
монохроматический луч делится на два луча, имеющие ортогональные на-
Фотоупругость
207
риалов — селективное поглощение, их нельзя использовать при
лазерном излучении большой мощности. Коэффициент
пропускания Т однослойной поляроидной пленки в пучке
линейно-поляризованного падающего света определяется по формуле
Т = к1 cos2 6 + ft2 sin2 G, (5.11)
где. 6 — угол между плоскостью поляризации падающего пучка
(более точно, плоскостью вектора электрического поля
падающего луча) и плоскостью преимущественного пропускания
поляроидной пленки; k\, &2 — коэффициенты пропускания
поляроидной пленки, зависящие от длины волны; в идеальном случае
k{ = l и &2 = 0, хотя в действительности k\ всегда несколько
меньше единицы, a k2— некоторая малая, но отличная от нуля
величина.
Если падающий пучок света не поляризован, а угол 6 — угол
между плоскостями преимущественного пропускания
(плоскостями поляризации) двух поляроидных пленок, находящихся в
тесном контакте, коэффициент пропускания такой пары пленок
представляется в виде
Гпара = Sin2 в + (1/2) (ft« + ft22) COS2 6.
Если обозначить через Я90 коэффициент пропускания при 6 =
= 90°, ТО H90 = Tnapa(90O)=klk2 И Я0=Гпара(0°) = (1/2)(й12 + ^22).
Представленная выше формула тогда упрощается:
Гпара = #90 Sin2 6 + #0 COS2 6 = Я90+(Я0-Я9о) COS2 6. (5.12)
Величина Я90 называется коэффициентом пропускания
скрещенных поляроидов или коэффициентом затухания, а Я0 —
коэффициентом пропускания параллельных поляроидов. Обе эти
величины зависят от длины волны света (рис. 5.11,6).
Спектры пропускания типичной поляроидной пленки даны
на рис. 5.11, е. Из-за широких диапазонов коэффициентов
пропускания Я0 и Я90 чаще используют графики оптических
плотностей вместо графиков коэффициентов пропускания.
Оптические плотности скрещенных и параллельных поляроидов
определяются следующим образом:
D90 = lg(l/#90), D0 = lg(l/#0). (5.13)
На рис. 5.11, г построены характерные графики оптических
плотностей для тех же самых пленочных материалов, что и на
рис. 5.11, в.
Основное преимущество пленочных поляроидов —
большой угол падения света относительно нормали, при котором
пленка является эффективным поляризатором. Часто этот угол
близок к 90°, т. е. свет как бы «скользит» по поверхности.
Фотоупругость
правления поляризации и обычно несколько различающиеся
направления распространения через кристалл. Эти лучи
распространяются с различными скоростями. В зависимости от
того, является кристалл одноосным или двухосным, в нем
имеются одна или две главные оптические оси, вдоль которых
ортогонально поляризованные лучи распространяются в одном
направлении и с одинаковыми скоростями. Подобным же образом*
пучок неполяризованного монохроматического света
разлагается в среде на два ортогонально поляризованных пучка. Если
среда имеет форму плоскопараллельной пластины, эти пучки*
накладываются на выходе из нее и вновь образуют неполяризо-
ванный пучок в зоне их пересечения. На рис. 5.12 направления
Неполяризованный пучок
, света на входе
Двулучепрелом- Луч
ляющий материал \
/ Обыкновен-
/ ный луч
у Необыкновен-
\ ный луч
Плоскополяризован-
ный обыкновенный
пучок V<r5^
\
\
Плоскополяризо -
ванный необыкно-
j—-^^^ У венный ну -
/
Плоскополяризованный
лучок А на выходе
Плоскополяризованный
пучок В на выходе
Неполяризованный пучок света на
выходе (где А и В пересекаются)
Рис. 5.12. Преломление света в двулучепреломляющем кристалле.
линейной поляризации пучков А и В ортогональны. Степень
разделения лучей преувеличена, чтобы пояснить различие
между поведением отдельного луча и пучка.
Два новых луча в двулучепреломляющей среде легко
различить по разной поляризации и разной скорости
распространения. Один из лучей необыкновенный в том смысле, что он не
подчиняется, при определенных условиях, как закону
преломления Снеллиуса, так и закону отражения. Этот луч не
обязательно заключен в плоскости падения. Кроме того, его
скорость— непрерывная функция угла падения. Таким образом,
показатель преломления для необыкновенного луча е также
является непрерывной функцией угла падения. Показатель пре-
14—1480
Фотоупругость
211
ление о не зависит. Оба выходящих луча плоско поляризованы»
причем колебания электрического вектора в необыкновенном
луче совершаются в плоскости, проходящей через оптическую
ось и луч света (называемой главным сечением), а в случае
обыкновенного луча — в плоскости, перпендикулярной ей. Если
падающий луч поляризован параллельно плоскости этого
сечения, то обыкновенный луч гасится, а необыкновенный имеет
максимальную яркость. Когда плоскость колебаний
перпендикулярна главному сечению, все происходит наоборот.
Когда луч света падает на грань кристалла наклонно,
обычно оба луча — обыкновенный и необыкновенный —
преломляются, но в разной степени. Эти лучи проходят через кристалл с
с одной и той же скоростью и в одном и том же направлении,
только если распространяются в нем вдоль оптической оси.
В кальците эта ось совпадает с главной кристаллографической
осью. Кристаллы такого типа, имеющие только одну
оптическую ось, называются одноосными кристаллами. Многие
кристаллы имеют две оптические оси и называются двухосными.
Рис. 5.14. а — прохождение света через главное сечение кристалла кальцита;
б — вращение выходящего необыкновенного луча при повороте кристалла.
На рис. 5.15 показано типичное (наклонное) падение непо-
ляризованного пучка на грань кристалла кальцита. Неполяри-
зованный пучок расщепляется на составлящие one. Они
разделяются на входной грани кристалла и выходят из кристалла,
в разных точках. Выходящие лучи ортогонально поляризованы.
Постоянный показатель преломления обыкновенного луча п0 и
показатель преломления необыкновенного луча пе,
соответствующий направлению, для которого имеет максимальное или
минимальное значение в зависимости от типа двоякопрелом-
ляющего кристалла, называются главными показателями
преломления. Аналогичным образом пучок
линейно-поляризованного излучения расщепляется на две составляющие, которые
ортогонально поляризованы внутри среды в соответствии с
главным сечением кристалла. Если пучок света проходит через
плоскопараллельную пластину, то на выходе ее эти
составляющие имеют относительный сдвиг по фазе и векторно СКладыва-
tf
14*
210
Глава 5
ломления для другого луча о, называемого обыкновенным, не
зависит от направления. Луч о преломляется в соответствии с
законом Снеллиуса. Показатели преломления для лучей е и о
равны только в направлении оптической оси.
На рис. 5.13 показаны кривые зависимостей показателей
преломления кристалла кварца от длины волны света (так
называемые дисперсионные кривые). Поведение обыкновенного
луча отражает единственная кривая, а необыкновенного —
семейство кривых, различающихся для разных направлений.
Показатель преломления для необыкновенного луча может иметь
любое значение между п0 и пе (самый медленный
необыкновенный луч) в зависимости от направления распространения
относительно оптической оси кристалла.
«I yftl f I I I I | |
200 300 400 500 600 700 800 900 1000
Длина волны ,нм
Рис. 5.13. Зависимости показателей преломления кристалла кварца (при 18 °С)
ют длины волны света.
За исключением особого состояния поляризации или если
поверхность кристалла не перпендикулярна оптической оси,
луч, падающий нормально к поверхности двулучепреломляюще-
го материала, будет разделяться на две составляющие, как
показано на рис. 5.14. Обыкновенный луч о проходит через
кристалл без отклонений и подчиняется законам преломления.
Необыкновенный луч е изменяет направление распространения в
кристалле и, таким образом, претерпевает боковое смещение на
выходе. Он не подчиняется закону Снеллиуса. Если кристалл
вращается вокруг луча о, как вокруг оси, луч е описывает
окружность вокруг о; это показывает, что направление
распространения луча е зависит от ориентации кристалла, а направ-
Фотоупругость
213
Таблица 5.1. Показатели преломления некоторых материалов при
длине волны 589 нм
Материал
пё~~по
Кальцит
Кристалл кварца
Слюда
Сапфир (А1203)
1,658
1,544
1,598
1,768
1,486
1,553
1,593
1,760
—0,172
0,009
—0,005
—0,008
Таблица 5.2. Разность показателей преломления пе—п0 в зависимости
•от длины волны света
Длина
волны, км
Кальцит
Кристалл
кварца
Слюда
Сапфир
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
€,8
0,9
1,0
—0,326
—0,206
—0,184
—0,176
—0,172
—0,169
—0,167
—0,165
—0,164
0,0130
0,0103
0,0091
0,0093
0,0091
0,0090
0,0089
0,0088
0,0088
—0,0047
—0,0048
—0,0048
—0,0117
—0,0091
• —0,0085
—0,0082
—0,0081
—0,0080
—0,0079
—0,0079
пропускания и возможность оптической полировки его
поверхностей, позволяют использовать его для изготовления
четвертьволновых и полуволновых пластинок и других оптических
элементов, работа которых основана на поляризации света.
В табл. 5.1 и 5.2 представлены показатели преломления для
нескольких широко используемых двоякопреломляющих
материалов. Поляризационные призмы предназначены для
разделения лучей света с двумя ортогональными поляризациями. Они
пропускают луч с одной поляризацией без отклонения, а с
другой— отклоняют. Одна из первых поляризационных призм —
призма Николя — сейчас применяется редко. Чаще
используются призмы Глана — Томсона и Глана — Фуко, в которых
разделение двух поляризованных лучей происходит на поверхности
склейки двух частей призмы, наклоненной под углом,
превышающим критический угол для одного из лучей. При
критическом угле падения преломленный луч распространяется вдоль
поверхности раздела двух материалов, т. е. угол преломления
равен 90°. При больших углах падения также не будет
прошедшего (преломленного) луча, а происходит полное внутреннее
отражение света внутри первого материала. Это свойство ис-
212
Глава 5
ются, образуя, как правило, эллиптически-поляризованный
пучок.
Кристаллы кальцита (называемого также исландским
шпатом) находят широкое применение благодаря их
характеристикам двойного лучепреломления. При пропускании света с
длиной волны 550 нм кальцит имеет показатель преломления
обыкновенного луча 1,66, который не зависит от направления
распространения. Однако для необыкновенных лучей е показатель
преломления изменяется от 1,66 до 1,49 для света,
распространяющегося соответственно параллельно и перпендикулярно
оптической оси. При распространении через кристалл кальцита
свет разлагается на составляющие, поляризованные
параллельно оптической оси (луч е) и ортогонально оптической оси
(луч о). Возможны три случая:
1. Лучи параллельны оптической оси. Они проходят через
среду, как в стекле: лучи о и е имеют одинаковые показатели
преломления.
Рис. 5.15. Расщепление неполяризо- оптической оси. Луч о идет
луч е отклоняется от луча о вследствие изменения показателя
преломления в зависимости от направления. Отклонение
происходит от оптической оси и обычно от плоскости падения.
Оптические характеристики любого кристалла
определяются его типом симметрии. Хлористый натрий и другие кубические
кристаллы оптически изотропны. Такие кристаллы, как
кальцит, кварц, сапфир и фтористый магний, имеют одну
оптическую ось и их называют одноосными. Кристаллы других типов
имеют две оптические оси и их называют двухосными. Для них
характерны три показателя преломления. Слюда, часто
используемая для четвертьволновых или полуволновых пластинок,
имеет две оптические оси. Кальцит нашел широкое применение
вследствие большого различия двух его показателей
преломления и высокого коэффициента пропускания. Это упрощает
получение двух различных поляризаций. Показатели
преломления кристалла кварца меньше различаются, что делает его
менее пригодным для изготовления поляризационных призм;
однако другие характеристики кварца, такие, как коэффициент
2. Лучи перпендикулярны
оптической оси. Луч е идет
быстрее, чем луч о, так как у
него показатель преломления
меньше, но в том же
направлении.
3. Лучи идут под
некоторым углом между 0° и 90° к
«анного пучка в кальците.
без отклонения и
преломляется согласно закону Снеллиуса;
214
Глава 5
пользовано в призме Глана — Тейлора, схема которой показана
на рис. 5.16. Луч о испытывает полное внутреннее отражение
на поверхности раздела и выходит через боковую поверхность
призмы или поглощается. Луч е проходит через поверхность
раздела с некоторыми потерями на отражение и выходит из
кристалла несколько смещенным параллельно входящему
пучку. Отметим, что если исходный пучок падает на кристалл
под соответствующим углом, то прошедший пучок имеет
высокую степень поляризации.
С помощью этих призм можно получить коэффициенты
затухания от 10~5 до 10~6. Пучок, который выходит из боковой
поверхности поляризатора, представлен главным образом
лучом о, но его сопровождает ортогонально поляризованный
пучок, отраженный от поверхности раздела. Этот паразитный
пучок не вполне параллелен лучу о, поэтому их можно
пространственно разделить.
е-луч Мы увидели, что лучи„
а-Луч Vt вдоль которых
распространяли ются противоположно
полярник зованные волны света, расхо-
^ дятся внутри кристалла. Одна-
\ ко существуют два исключе-
зр- -7 ния, когда направление просве-
\ /у чивания перпендикулярно
Т уу главной оси в одноосном кри-
> \ \ f-^__iJ^£+-1 | 1 [ х - /г^сталле или двум главным осям
/7 в двухосном кристалле. В кри-
/г сталлах с низким двойным лу~
/г чепреломлением и в болынин-
/- I стве моделей из фотоупругих
Рис. 5.16. Призма Глана —Тейлора. материалов расхождение
лучей чрезвычайно мало. Им
обычно пренебрегают, но о нем не следует забывать, так как
в некоторых особых случаях (таких, как области с высокими
уровнями напряжений, исследуемые методом фотоупругости)
расхождение не является малым и им можно воспользоваться
для измерения уровней напряжений.
Приведенное выше описание двойного лучепреломления
применимо для неактивных кристаллов. Оптическая ось была
определена как направление, в котором лучи о и е имеют
равные показатели преломления, т. е. равные скорости волн. В
активных одноосных кристаллах, таких, как кварц, отсутствует
направление, в котором показатели преломления одинаковы,
и направление оптической оси должно быть определено иначе»
чем направление, в котором обыкновенный (о) и
необыкновенный (е) показатели преломления наиболее близки друг к другу.
Фотоупругость
215
В неактивных одноосных кристаллах о- и е-лучи поляризованы
в ортогональных направлениях, т. е. их векторы электрического
поля перпендикулярны. В активных кристаллах, таких, как
кварц, направления поляризации лучей о и е ортогональны в
более общем математическом смысле, так как оба луча в
общем случае являются эллиптически-поляризованными. В
направлениях, перпендикулярных оптической оси, важных в связи
с использованием линейных замедлителей, эллипс вырождается
в прямую линию; оба луча о и е становятся
линейно-поляризованными и ведут себя так же, как в неактивных одноосных
кристаллах. В направлениях, почти перпендикулярных
оптической оси, поляризация близка к линейной (эллиптическая с
высоким эксцентриситетом). По мере отклонения направления
падающего луча от нормали к оптической оси эллипс
поляризации становится все менее эксцентричным. В направлении
оптической оси о- и е-лучи имеют круговую поляризацию в
противоположных направлениях и распространяются с различными
скоростями.
Если пластина из кварца вырезана так, что оптическая ось
расположена нормально к ее поверхности и луч
линейно-поляризованного света падает параллельно оптической оси, то
разность скоростей лучей о и в с круговой поляризацией является
причиной того, что результирующая плоскость поляризации
вращается вокруг оптической оси, когда луч проходит через
пластину. Угол поворота прямо пропорционален глубине
проникновения луча и в конечном счете толщине пластины.
Наложение лучей с направлениями поляризации, вращающимися в
разные стороны, всегда дает линейную поляризацию, и
промежуточного состояния эллиптической поляризации не
существует. В этом различие оптической активности или кругового
запаздывания и чаще встречающегося линейного запаздывания.
Для кристаллического кварца и натриевого источника желтого
света (А,=589,3 нм) разность показателей преломления для
лучей с противоположными круговыми поляризациями,
распространяющихся вдоль оптической оси, составляет только 10~4.
Соответственно плоскость результирующей поляризации
вращается со скоростью около 21,7° на 1 мм пройденного пути. К
сожалению, поляризация лучей one быстро меняется от
круговой к эллиптической, когда угол падения отклоняется от
направления оптической оси. Для луча натриевого света,
падающего под углом всего 5° относительно оси, отношение осей
эллипса поляризации составляет 2,37. Для эллипса, который лишь
приблизительно является круговым, требуются намного
меньшие углы. По этой причине приборы, зависящие от кругового
запаздывания, такие, как псевдодеполяризатор Корню,
эффективны только при достаточно высоко коллимированном свете,
Фотоупругость
217
поляризации совпадают с направлениями главных полуосей ОВ
н ОС эллипса. Длина одной из полуосей (ОБ), очевидно, всегда
равна радиусу кругового сечения, что свидетельствует о том, что
скорость обыкновенного луча не зависит от направления
распространения. Скорость необыкновенного луча может меняться
между 1/ОА и \[ОВ в зависимости от направления
распространения. Коэффициент преломления для необыкновенного луча,
характеризуемый отрезком ОЛ, называется главным
показателем преломления для этого луча и обозначается через пе. Для
любого произвольного направления колебаний показатель
преломления обозначается через п'е. Показатель преломления п0
для обыкновенного луча определяется радиусом кругового
сечения.
Одноосные кристаллы подразделяются на положительные
или отрицательные в зависимости от того, меньше или больше
скорость ve необыкновенного луча скорости обыкновенного
луча, т. е. больше или меньше пе, чем п0. Для положительного
одноосного кристалла эллипсоид вытянут вдоль оси вращения,
как показано на рис. 5.17, в то время как для отрицательного
кристалла он сплющен вдоль оси вращения.
В случае двухосного кристалла все главные полуоси
эллипсоида имеют разные длины. Обозначим главные показатели
преломления через пх, пу и п2 и предположим, что nx<ny<Znz\
поэтому на рис. 5.17,6 ОС<ОВ<ОА. Тогда должны
существовать два центральных сечения эллипсоида, нормальные к
плоскости xzy для которых полуоси OD и OD' равны О В. Эти
сечения имеют форму окружностей и одинаково наклонены к оси
OA. Свет, проходящий в направлении нормалей к этим
сечениям, ведет себя так, как если бы кристалл был изотропным. Эти
направления (т. е. ON и ON') являются оптическими осями
кристалла. Длины обеих главных осей центрального сечения,
однако, изменяются в зависимости от направления просвечивания,
поэтому в двухосном кристалле обыкновенного луча не
существует.
Фазовые пластины — четвертьволновые и полуволновые
Используя свойства двойного лучепреломления, можно
изменять поляризацию света.
Поскольку разность фаз ортогонально поляризованных
волн, выходящих из кристалла, зависит от длины хода лучей
внутри кристалла, то очевидно, что, изменяя толщину
кристалла, можно получить любую желаемую разность фаз. Двояко-
преломляющие оптические элементы такого типа называются
фазовыми пластинами — полуволновыми и четвертьволновыми.
Если свет прошел в некоторой среде расстояние rf, то в ва-
216
Глава 5
который распространяется очень близко к направлению,
параллельному оптической оси.
Кварц существует в двух различных кристаллических
модификациях. Соответствующие структуры являются зеркальными
отображениями друг друга. Плоскость результирующей
линейной поляризации вращается в кристаллах этих двух
модификаций в противоположных направлениях (по и против часовой
стрелки).
Эффекты, возникающие при разных углах падения пучка
света на кристалл, можно представить с помощью эллипсоида
показателей преломления, или эллипсоида Френеля (рис. 5.17).
Прямая линия, проведенная из центральной точки О в любом
z
6
Рис. 5.17. Эллипсоид показателей преломления для положительного
одноосного (а) и двухосного (б) кристаллов.
направлении, характеризует величину, обратную скорости, т. е.
показатель преломления для луча, колебания в котором
происходят в направлении этой линии. Конечные точки всех таких
линий лежат на поверхности эллипсоида.
На рис. 5.17, а изображен положительный одноосный
кристалл. Главная ось OA соответствует оптической оси кристалла.
Сечение, проведенное через О перпендикулярно ОЛ,
представляет собой круг; поэтому, когда луч проходит через кристалл в
направлении OA, составляющие лучи имеют равные скорости.
Для любых других направлений просвечивания нормальное
сечение, проходящее через О, является эллипсом. Направления
218
Глава 5
кууме он прошел бы за такой же промежуток времени путь nd~
Произведение nd называется длиной оптического пути.
Абсолютное запаздывание R0 для луча, проходящего
материал толщиной d с показателем преломления я, тогда
определяется соотношением:
Если два луча света о и в, испускаемые монохроматическим
источником, проходят через фазовую пластину, они будут иметь
одинаковые частоты, но различные скорости v0 и ve,
Соответствующие оптические пути для пластины толщиной d будут
равны nQd и tied, а относительное запаздывание лучей (разность
хода) определяется по формуле
На этой формуле основан расчет оптических фазовых
пластинок. Простейшая фазовая пластинка вырезается из одноосного
кристалла так, что плоскость среза содержит оптическую ось
кристалла. Разность скоростей обыкновенного и
необыкновенного пучков в пластине, которая возникает в результате
падения неполяризованного пучка света на нее, поэтому будет
максимальной. При прохождении пучков о и е через пластину
между ними накапливается разность фаз, пропорциональная
расстоянию, пройденному пучками внутри пластины. После
выхода из пластины пучки о и е взаимодействуют, образуя второй
неполяризованный пучок.
Если входящий пучок был плоско поляризован под углом
45° к оптической оси, то он расщепляется на две равные
составляющие с ортогональными поляризациями, параллельной и
перпендикулярной оси. Векторная сумма этих двух
составляющих равна исходному пучку, однако после прохождения через
пластинку один луч имеет сдвиг по фазе по отношению к
другому.
Если толщина пластины такова, что разность фаз
(запаздывание медленного луча по сравнению с быстрым на выходе)
равна 1/4 длины волны света, или л;/2 радиан, то пластина
называется четвертьволновой пластиной первого порядка. Если
разность фаз на выходе равна 1/2 длины волны (я радиан), то
пластину называют полуволновой пластиной первого порядка.
Если разность фаз на выходе кратна 1/4 или 1/2 длины волны
света, то фазовую пластину называют фазовой пластиной
соответствующего порядка. Подчеркнем, что названия относятся к
разности фаз, а не к физической толщине пластины. Для
изготовления фазовых пластин часто используют слюду и кварц,
и действительная толщина даже четвертьволновой пластины
первого порядка равна большому числу длин волн. Обычная
R0 = (nd— d) = (n — l)d.
(5.14)
(5.15)
Фотоупругость
219
форма фазовой пластины — плоский тонкий диск, уложенный
для прочности между двумя стеклянными дисками. Слюда
бывает двухосной, а кварц проявляет оптическую активность
(поворот плоскости линейной поляризации в зависимости от
пройденного в среде расстояния), но эти эффекты не оказывают
значительного влияния на конечные результаты.
Фазовые пластины можно также изготавливать из
некристаллических материалов (таких, как стекло, целлофан или
полимеры), проявляющих искусственную анизотропию как
результат остаточных напряжений, созданных при изготовлении.
Показатели преломления обоих лучей (о и е) зависят от
длины волны света, поэтому толщина пластины, необходимая
для получения требуемой разности фаз, также зависит от
длины волны. Если надо получить определенную разность фаз, то
ее можно достичь при нормальном падении только для света
одной длины волны. Слюда — исключительный материал в том
отношении, что ее главные показатели преломления мало
изменяются в диапазоне частот видимого спектра. Таким образом,
фазовая пластина, изготовленная для света с длиной волны
1550 нм при условии нормального падения, будет создавать
приблизительно одинаковую разность фаз при других длинах
волн видимого спектра.
Показатели преломления о- и е-лучей в кристалле кварца
при длине волны света 546 нм равны соответственно 1,5553 и
1,5462. Луч о запаздывает на 0,006 Я при прохождении
расстояния X. Чтобы получить запаздывание на (1/4) Я, необходимо
иметь кварцевую пластинку толщиной всего 15 мкм. Так как
практически невозможно изготовить такую тонкую пластинку,
используют один из двух способов изготовления кварцевых
четвертьволновых пластин: 1) выбирают толщину пластины
такой, чтобы она была равна (п+1/4)%, где п — целое число;
2) используют комбинацию двух пластин, где вторая пластина
предназначена для компенсации всего запаздывания первой, за
исключением (1/4)А,. Для пластинок диаметром 25,4 мм
порядок п (или иногда л+1) обычно близок к 30. Одиночная
пластинка может быть фазовой пластиной высокого порядка, а
комбинация из двух таких пластин — пластиной нулевого
(первого) порядка. Комбинированные пластины нулевого порядка
эквивалентны отдельным пластинам нулевого порядка и
обладают тем преимуществом, что запаздывание в них не
чувствительно к температуре и длине волны. В табл. 5.3 сравниваются
пластины различною качества. Отметим, что изменение
наклона пластины изменяет запаздывание, поэтому пластины можно
настраивать на требуемую разность хода посредством
изменения наклона.
Фазовые пластины для менее ответственных применений так-
220
Глава 5
Таблица 5.3. Сравнение характеристик кварцевых четвертьволновых пласти»
различного качества для света с длиной волны 632,8 нм
Хар актеристика
Хорошая
пластина
нулевого
порядка
Хорошая
пластина
высокого
порядка
Стандартная
пластина
высокого
порядка
Чувствительность к температуре
(изменение относительного
запаздывания на 1°С):
Угловая чувствительность
(изменение фазы в градусах) к отклонению
быстрой оси:
' отклонение 10 мрад
отклонение 100 мрад
Ширина полосы пропускания (нм)
при относительном запаздывании
89—91°
0,009
0,0075
0,75
14
0,4
0,1
10,1
0,265
1,1
0,22
21,8
0,124
же изготавливают из слюды. Отслоенные от слюды пластинки?
нулевого порядка имеют толщину около 0,35 мм, и к ним с двух
сторон присоединяются клеем с таким же показателем
преломления стеклянные пластинки. Даже слюда самого высокого
качества содержит примеси и области, где оптические оси
несколько рассогласованы. Поэтому для ответственных случаев следует
брать пластинки из кристаллов кварца.
Ахроматические замедлители с большими апертурами
состоят из трех или более слоев двоякопреломляющих полимеров,
вклеенных между стеклами, которые предварительно
отполированы до 1/10 длины волны и покрыты просветляющим
покрытием. Такие замедлители обычно изготавливают с
центральными длинами волн 420, 540, 620 и 850 нм для четвертьволновых
пластин и 400, 540 и 800 нм для полуволновых пластин. Для них
характерна ахроматичность в пределах 0,01К в диапазоне
0,85—1,2 относительно центральной длины волны. На рис. 5.18
представлены графики зависимостей запаздывания и
направлений быстрой оси от длины волны света для четвертьволновых
и полуволновых пластин этого типа
Ахроматические замедлители с большой апертурой имеют
большее поле обзора, чем кристаллические призмы, но дают
намного меньшие возможности управления мощностью.
Призмы намного более ахроматичны, чем полимерные пластины, но
требуют точной установки из-за малой величины допустимого
изменения угла падения света.
Для пучков света большого диаметра, применяемых,
например, в полярископах с диффузором большого поля, необходи-
Фотоупругость
221
Рис. 5.18. Кривые запаздывания для ахроматических фазовых пластин?
с большой апертурой из типичного двулучепреломляющего полимера.
Сплошная кривая — запаздывание, штриховая — направление быстрой оси; а —
полуволновая пластина, б — четвертьволновая пластина.
мы пленочные замедлители. Такие замедлители фирмы Polaroid
изготавливаются из поливинилового спирта, слоями
наносимого на подложку из целлулоида. Они расщепляют свет на две
плоскополяризованные составляющие и обеспечивают
экономичный способ получения требуемой разности фаз. Пленочные
замедлители дают разность хода 140, 200, 280 и 520 нм с
отклонением в пределах ±20 нм. Регулируя угол относительного
поворота наложенных друг на друга двух или трех таких
фазовых пластин, можно достичь любой требуемой величины
относительного запаздывания. В пределах плоскости замедлителя
оптическая ось может быть «быстрой» или «медленной» в
зависимости от того, положительна или отрицательна характери-
222
Глава 5
стика одноосного кристалла. Вращение вокруг оптической оси
увеличивает эффективную толщину пластины, но не влияет на
разность скоростей лучей о и е, тем самым увеличивая
накопленную разность хода. Вращение вокруг другой оси
увеличивает эффективную толщину пластины, но одновременно снижает
разность скоростей лучей о и е. Последний эффект преобладает
для малых поворотов, уменьшая накопленное запаздывание.
Посредством точного наклона можно настроить
узкополосный замедлитель (или сочетание замедлителей) в пределах
ограниченного диапазона запаздывания при фиксированных
длинах волн или в пределах ограниченного диапазона длин
волн при фиксированном запаздывании.
Влияние фазовой пластины на пучок поляризованного
света зависит от трех факторов начального состояния
поляризации света, ориентации фазовой пластины относительно
Направления просвечивания и суммарной разности хода. Главной плос-
Рис. 5.19. а — вращение вектора поляризации с помощью полуволнового
замедлителя; б — влияние полуволновой пластины на плоскополяризованный
лазерный пучок света.
костью фазовой пластины в форме диска является плоскость,
проходящая как через ось симметрии пластины, так и через
оптическую ось кристалла. В последующих примерах
применения фазовых пластин предполагается, что монохроматический
пучок света состоит из параллельных лучей и падает на
пластину по нормали.
Наиболее распространены фазовые пластины,
предназначенные для преобразования линейно-поляризованного света
одной длины волны в свет с круговой поляризацией или для
поворота плоскости поляризации. Такими пластинами часто
служат диски, у которых оптическая ось кристалла параллельна
входной и выходной граням. Всякий луч, падающий по норма-
Фотоупругость
22$
ли к пластине, можно рассматривать как состоящий из двух
лучей — поляризованных параллельно (луч е) и
перпендикулярно (луч о) оптической оси. Относительная интенсивность
этих лучей зависит от поляризации падающего света.
Рассматриваемые пластины предназначены для использования
разности фаз между лучами с целью создания нового состояния
поляризации или сохранения поляризации только для одной
длины волны. Эти эффекты иллюстрируют рис. 5.19 и 5.20.
Если замедлитель — полуволновая пластина (первого или
более высокого порядка) и угол между вектором
электрического поля падающего плоскополяризованного пучка и главной
плоскостью замедлителя равен 0 (<90°), вектор
электрического поля в выходящем пучке (также плоскополяризованном) бу-.
Рис. 5.20. а — четвертьволновый замедлитель; б — влияние четвертьволновой
пластины на плоскополяризованный пучок света
дет образовывать отрицательный острый угол —9 с главной
плоскостью замедлителя. Таким образом, действие
полуволновой пластины заключается в повороте плоскости поляризации
на угол 2'9. При плавном изменении угла 0 плавно изменяется
и наклон плоскости поляризации выходящего пучка.
Вследствие этого полуволновые пластины используются как ротаторы
лазерного пучка. Они позволяют поворачивать плоскость
поляризации лазерного пучка, которая определяется окнами лазера,
установленными под углом Брюстера, без поворота самого
лазера. Тот же результат можно получить при последовательном
расположении пары идентично ориентированных
четвертьволновых пластин. Полуволновая пластина будет преобразовывать
свет левой круговой поляризации в свет правой круговой
поляризации или наоборот при изменении направления
распространения света на обратное. Тем же способом будет
преобразовывал? лучок на Входе
или на Выходе
Поляризация на Входе
а
6
224
Глава 5
ваться свет левой эллиптической поляризации в свет правой
эллиптической поляризации или наоборот при эффективном
отображении главной оси эллипса в главную плоскость
замедлителя.
Если замедлитель — четвертьволновая пластина и угол Э
(между вектором электрического поля падающего
линейно-поляризованного пучка и главной плоскостью замедлителя)
равен + 45°, то выходящий пучок будет иметь круговую
поляризацию. Если 0 принимает значение —45°, то изменяется знак
круговой поляризации на выходе. При изменении направления
просвечивания четвертьволновая пластина будет
преобразовывать свет с круговой поляризацией в плоскополяризованный
свет.
Неполяризованный
свет
Ллоскополяри-
зованный свет
Отражающая
поверхность
Правая
круговая
поляризация
Отсутствие
света
Левая
круговая
поляризация
Плоскополяри •
заданный свет
Отраженный
ЗРис. 5.21. Плоскополяризующий слой+четвертьволновый
замедлитель=круговой поляризатор.
Особенно важен случай, когда 6= ±45° и направление
распространения пучка света с круговой поляризацией меняется на
обратное посредством отражения от зеркальной или другой
поверхности при нормальном падении. В этом случае
направление круговой поляризации меняется на противоположное при
отражении от зеркала перед последующим преобразованием в
линейную поляризацию. В результате вектор линейной
поляризации отраженного пучка при выходе из второго замедлителя
ортогонален линейной поляризации падающего пучка (рис. 5.21).
Если бы поляризация падающего пучка определялась
поляризатором, то поляризатор гасил бы отраженный пучок. Система
поляризатор — четвертьволновая пластина с углом в, равным
+ 45 или —45°, через которую проходит пучок света в указан-
Фотоупругость
225
ном порядке, непроницаема для зеркально отраженного
излучения. Такая система называется изолятором.
Изоляторы используются для предотвращения обратной
связи в лазерах, связанной с образованием нежелательных мод
излучения. Важно, чтобы обе поверхности поляризующих
элементов были многослойными, гасили отраженный луч, имели
покрытие с низким коэффициентом отражения в узком
диапазоне длин волн лазерного излучения или были наклонены так,
чтобы лазерный пучок не падал на них по нормали. Сторона
замедлителя, обращенная к лазеру, должна быть обработана
аналогичным образом. Что касается метода фотоупругости, то
схема, представленная на рис. 5.21, используется в
отражательном полярископе с темным полем при круговой поляризации.
Длина волны\нм
Рис. 5.22. Спектральные характеристики поляроидной пленки HNCP22 для
круговой поляризации.
Пели угол 0 несколько отличается от ±45°,
четвертьволновая пластина преобразует линейно-поляризованный свет в свет
с эллиптической поляризацией (левой или правой).
Преобразование меняется на обратное при изменении направления
распространения света.
Фирма Polaroid наготавливает круговые поляризаторы, со-
стоящие из линейных пленочных поляроидов в сочетании с
четвертьволновыми пленочными пластинами, быстрая и медленная
оси которых расположены иод углом 45° к оси поляризатора.
Когда пучок неполяризоваиыого света проходит через линейную
часть пленки, он становится поляризованным под углом 45° к
оси замедлителя, который составляет вторую часть пленки. Пос-
15—1480
226
Глава 5
ле прохождения через замедлитель пучок света преобразуется
из плоскополяризованного в поляризованный по кругу. Пучок
с надлежащим значением длины волны будет иметь круговую
поляризацию. На рис. 5.22 показаны графики изменения
коэффициента пропускания одиночного слоя поляроидноп пленки,
поляризующей по кругу. Прохождение пучка через два слоя
пленки соответствует схеме, показанной на рис. 5.21. Такой
поляроид является строго круговым поляризатором только в
точке минимума показанного на рис. 5.22 графика.
Одноволновые пластины обычно бывают полезны в качестве
спектральных фильтров и элементов настройки в
перестраиваемых лазерах на красителях. Одноволновые пластины не влияют
на поляризацию пучка с длиной волны Л. Свет с другими
длинами волн не испытывает запаздывания на целую длину волны;
таким образом, поляризатор, одноволновая пластина и
анализатор (второй поляризатор) составляют спектральный фильтр.
Многопроходный режим
Нулевая
разность хода
Максимальная
разность хода:
Рис. 5.23. Компенсатор Бабине —
Солейля. dx и d2—толщины
соответственно подвижной и
неподвижной пластин.
работы лазеров и наличие
поляризующих поверхностей в
лазерных резонаторах
позволяют использовать фазовые
пластины в качестве
настроечных элементов лазеров. На
практике комбинации пластин
наклоняются или
поворачиваются в пучке. Конструкция
настроечных элементов
зависит от параметров лазера, в
частности от амплитуды и
формы кривой усиления.
С помощью комбинации
клиновидных фазовых пластин
можно создавать устройства для плавной регулировки разности
фаз. Наиболее полезное устройство такого типа —
компенсатор Бабине — Солейля, схема которого показана на рис. 5.23.
Рассмотрим две пластины одинаковой толщины, вырезанные из
кристалла кварца таким образом, что их оптические оси
параллельны поверхностям. Если пластины уложены одна на другую
так, что кристаллические оптические оси перпендикулярны друг-
другу, при переходе из одной пластины в другую
обыкновенный и необыкновенный лучи меняются ролями. Вследствие
такого расположения при одинаковой толщине пластин разность
фаз, которая могла накопиться в первой пластине, полностью
компенсируется при прохождении света через вторую пластину.
Заменяя одну из пластин с постоянной толщиной пластиной с
изменяемой толщиной (т. е. парой клиньев, которые перемеща-
Фотоупругость
227
ются относительно друг друга), можно получить любую
необходимую разность хода, что соответствует схеме компенсатора
Бабине — Солейля.
Один клин оптически контактирует с нижней пластиной,
а другой, отделенный от первого небольшим воздушным
зазором, перемещается с помощью микрометрического винта.
Разность хода, накопленная в выходящем пучке, пропорциональна
разности толщин пластины с постоянной толщиной и пластины
с переменной толщиной. Неизвестную разность хода можно
измерить, используя компенсатор. С его помощью можно точно
определить плоскости поляризации, разность фаз и отношение
интенсивностей плоскополяризованных компонент, из которых
состоит любой эллиптически-поляризованный пучок света.
Компенсаторы также позволяют чрезвычайно точно измерять
величину двойного лучепреломления, возникающего под действием
напряжений или деформаций.
Закон фотоупругости
Некоторые прозрачные аморфные материалы, особенно
полимерные, в обычных условиях оптически изотропны, однако
становятся двоякопреломляющими (оптически анизотропными)
под действием нагрузки. Подобно кристаллам, они приобретают
способность разлагать падающий свет на ортогональные
компоненты, распространяющиеся с разными скоростями. Этот
эффект возникает под действием нагрузки, но исчезает после ее
снятия мгновенно или через некоторый промежуток времени в
зависимости от свойств материала и условий нагружения. Это
физическое явление временного, или искусственного, двойного
лучепреломления, которое впервые в 1816 г. наблюдал Брюс-
тер, лежит в основе фогоуиругости.
В общем случае объемное напряженное состояние в любой
точке нагруженного тела характеризуется тремя главными
напряжениями и тремя главными направлениями. В теле,
проявляющем свойство временного двойного лучепреломления,
направления главных напряжений совпадают с временными
главными кристаллографическими осями, а площадки с главными
напряжениями соответствуют главным сечениям
эквивалентного кристалла, представляемого элементом материала в данной
точке. Поэтому существует непосредственная связь между
эллипсоидом напряжений и эллипсоидом показателей
преломления. Оптические свойства материала в любой точке можно,
таким образом, характеризовать эллипсоидом показателей
преломления, главные оси которого совпадают с направлениями
главных напряжений.
15*
228
Глава 5
Соотношения между напряжениями и показателями
преломления для материалов, обладающих временным двойным
лучепреломлением, были выведены Максвеллом в 1852 г. в
следующем виде:
щ — п = + С2 (а2 + а3), п2 — п = Сга2 + С2 (<т3 + аа),
п^ — п^С^ + С^а^ а2), (5.16)
где п — показатель преломления ненагруженного материала в
его оптически изотропном состоянии; п\, п2, пъ — главные
показатели преломления для световых волн с колебаниями в
плоскостях, параллельных главным напряжениям; оь 02, 03 —
главные напряжения; Сь С2 — оптико-механические постоянные
материала, определяющие зависимость между двойным
лучепреломлением и напряжениями. Вычитая второе уравнение (5.16)
из первого с целью исключения п, получаем следующую
зависимость между двойным лучепреломлением и напряжениями для
материала в общем случае трехосного напряженного состояния:
ni — п2 = (Ci — С2) (g1 — а2) = С (о! — а2), (5.17а)
где С = Сг — С2 — относительный оптико-механический
коэффициент, определяющий зависимость между двойным
лучепреломлением и напряжениями. Аналогично получаем
щ — п3= С (а1 — а3), 7?2— тг3 = С(о2 — о3). (5.176), (5.17в
Если модель — пластина и напряжение, нормальное к ее
поверхности (т. е. в направлении распространения света) равно
нулю или имеет постоянное значение, а главные напряжения в
плоскости не изменяются по толщине пластины, то
нагруженная пластина ведет себя как фазовая пластина с временным
двойным лучепреломлением.
Свет будет распространяться через пластину в виде двух
отдельных компонент, поляризованных в главных плоскостях,
и эти два ортогональных луча получат под действием нагрузки
относительную разность хода
6 = ^(0! —а2), (5.18а)
где h — толщина пластины, или, точнее, расстояние, пройденное
светом в нагруженной пластине.
Обычно удобнее выражать относительное запаздывание в
виде угловой разности фаз. Относительная угловая разность
фаз определяется следующим образом:
R = (2яЛД) С (аг - а2), (5.186)
где /?=(2лД)6 — угловая разность фаз между двумя
компонентами светового вектора после прохождения через нагружен-
230
Глава 5
хода в различных точках пластины с изменяющимся полем
напряжений определяются по уравнениям (5.18), где oi и 02 —
главные напряжения в рассматриваемой точке.
На рис. 5.25 представлена схема полярископа с круговой
поляризацией света. Ее отличие от схемы, изображенной на
рис. 5.24, состоит в том, что в ней имеются две
четвертьволновые пластины, размещенные между поляризатором и
анализатором. Быстрая и медленная оси этих четвертьволновых
пластин могут быть скрещены или параллельны, но располагаются
под углом 45° относительно оси поляризатора, чтобы
преобразовать свет с плоской поляризацией в свет с круговой
поляризацией и обратно перед тем, как он войдет в анализатор. Нагру-
Ось
поляризации
Источник
света
Рис. 5.24. Нагруженная фотоупругая модель в плоском полярископе.
женная модель, помещенная между четвертьволновыми
пластинами, будет вносить дополнительную относительную разность
хода. При этом пучок света с круговой поляризацией
преобразуется в пучок с эллиптической поляризацией. На практике
используются пять схем относительного расположения элементов
полярископа, перечисленные в табл. 5.4.
При анализе оптических явлений, происходящих при
прохождении света через полярископ, предполагают, что электрический
вектор Е света, падающего на модель, состоит из двух
компонент. Так, в общем случае свет, входящий в нагруженную
модель, раскладывается на две ортогонально поляризованные
компоненты Е* и Еу (рис. 5.26), представляемые в виде
Ех = kxcos (со£ + ДЛ), Еу = ку cos((ot + Ау), (5.20)
Фотоупругость
229
иую пластину; К — длина волны монохроматического света,
проходящего через пластину.
Уравнение (5.186) выражает зависимость между двойным
лучепреломлением и напряжениями, лежащую в основе
фотоупругости. Из этой зависимости следует, что относительная
разность фаз R прямо пропорциональна разности главных
напряжений ai—02 в плоскости пластины и ее толщине, а также
обратно пропорциональна длине волны света. Закон,
связывающий двойное лучепреломление с напряжениями, чаще
используется в виде
(5.19)
где N=R/2n = 8/K— относительное запаздывание, выраженное
в длинах волн используемого света (N называют порядком
полос, и эта величина зависит от длины волны света); f0=
=Л/С — оптическая постоянная материала, характеризуемая
разностью главных напряжений, необходимой для изменения
порядка полос на единицу в модели единичной толщины. С
помощью соотношения (5.19) можно определить разность главных
напряжений в каждой точке модели путем тарировки, если
известны оптическая постоянная материала модели и порядок
полос N.
Прямая пропорциональность оптических и механических
величин в уравнении (5.186), а также отсутствие зависимости от
времени не согласуются полностью с действительным
поведением многих материалов. Эффектами второго порядка, такими,
как зависимость от времени коэффициента С, и тем фактом, что
обыкновенный и необыкновенный лучи не проходят через
материал точно по одному и тому же пути, обычно пренебрегают.
Однако при высоких уровнях и больших градиентах
напряжении mi эффекты мог^г привести к существенным
погрешностям.
Полярископы
Полярископ — это прибор, который используется для
измерения относительных разностей хода при просвечивании
нагруженных моделей поляризованным светом [5—8]. Простейшая
схема полярископа включает модель, помещенную между
двумя поляроидами со скрещенными осями, называемыми
поляризатором и анализатором (рис. 5.24). Это схема плоского
полярископа с темным полем.
Поведение света при просвечивании нагруженной модели
такое же, как при прохождении через фазовую пластину, когда
из плоскополяризованного света на входе получается эллипти-
чески-поляризованный свет на выходе. Относительные разности
Фотоупругость
231
где ЕХу Еу — компоненты волн, колеблющихся в направлениях х
и у; со — круговая частота; t — время; Д*, Ау— фазы компонент
Ех и Еу\ kXy ky — амплитуды ортогонально поляризованных
компонент. Если эти два ортогонально поляризованных луча
находятся в фазе, падающий свет плоско поляризован. Если они не
в фазе, то падающий свет эллиптически поляризован. В
частном случае, когда разность фаз равна четверти волны (я/2
радиан) и амплитуды двух компонент одинаковы, свет имеет
круговую поляризацию.
Ос б
поляризации
{гточник
света
Рис. Нагруженная фотоупругая модель в полярископе с круговой поля-
рнэдцпй при темном поле (скрещенные поляризатор и анализатор и
скрещенные четвертьволновые пластины, £=45°).
С учетом этого замечания электрический вектор падающего
свега Е определяется соотношением Е=Ехх+Еуу, где х, у —
единичные векторы в направлениях х и у.
Чтобы упростить уравнения, перейдем к несколько иным
обозначениям. Гик как частота о) известна и остается
неизменной при прохождении света через полярископ, ею можно
пренебречь и получить следующие соотношения для компонент:
Ex = kxej\ Ey = kye*y. (5.21)
Длина электрического вектора составляет Е = ')/Е2Х+Е2У. При
прохождении через модель две компоненты получают разности
Фотоупругость
233
угол Р с осью х (рис. 5.26, в):Е$ = Excos$ +Еу sin р. Вынося
за скобки ejQv-> получаем
Яр = (1/2) [eiQ (Ял + 1) +
+ (е>* — 1) (Ех cos 2а + Еу sin 2а)) cos р + (Еу + 1) —
_ _ 1) cos 2а — Ех sin 2а)) sin Р], (5.25)
где Q — относительная разность фаз во второй
четвертьволновой пластине; R — относительная разность фаз (вызванная на-
гружением) в нагруженной модели; а — угол между осью х и
направлением первого главного напряжения в модели; р— угол
между осью х и плоскостью поляризации анализатора.
Направление х совпадает с быстрой осью анализирующей
четвертьволновой пластины.
Уравнение (5.25) применимо для света, выходящего из
любого полярископа. Теперь рассмотрим, как оно упрощается в
некоторых частных случаях.
а б в
Рис. 5.26. Векторы напряженности электрического поля на различных этапах
прохождения света через обычный полярископ: а — при входе в нагруженную
модель с направлениями главных напряжений под углом а к осям х и у;
б — оси второй фазовой пластины параллельны х и у; в — ось анализатора
расположена под углом [} ь направлению х.
Случай 1. Линейный анализатор. В этом случае р=0 (ось
анализатора совпадает с направлением отсчета). Тогда
Я3 = (i/2) еМ, ejQ* [Ех (eiR +1) + (e*R - 1) (Ех cos 2а + Еу sin 2а)].
(5.26)
Возможны два типа просвечивания нагруженной модели
светом, имеющим линейную и круговую поляризацию.
Соответствующие зависимоеги рассматриваются ниже.
Случай 1а. Линейный анализатор и линейное освещение.
Свет, падающий на нагруженную модель, линейно поляризован.
Тогда, если 0 — угол между плоскостями поляризации
падающего света (осью поляризации) и анализатора (ось отсчета), то
£*=Z;cos0 и ЕУ = Е sin0. Поскольку интенсивность луча света
232
Глава 5
Таблица 5.4. Схемы относительного расположения элементов полярископова)
Схема (см. рис. 5.24 и 5.25)
Поляризатор
и анализатор
Четвертьволновые пластины
Поле
полярископа^
Полярископ с плоской
поляризацией
Полярископ с круговой
поляризацией
X
II
X
X
II
II
Отсутствуют
»
X
II
X
II
Темное
Светлое
Темное
Светлое
»
Темное
' X—скрещенные оси: ii — параллельные оси.
^ Когда модель ненагружена или ее нет в полярископе, поле, наблюдаемое за
анализатором, темное или светлое, как указано в таблице.
фаз А\ и А2; относительная разность фаз равна R = Ai—Дг-
На выходе из модели электрический вектор света определяется
компонентами вдоль главных осей:
Е[ = Еге>Ь, Ея = Е2е**, (5.22)
или компонентами вдоль осей х и у:
Е'х = Е[ cos а — Е'2 sin а, Е'у = Е'2 cos а + Е[ sin а.
Подставляя выражения для Е[ и Е'2, вынося за скобки е/Д2 и
вводя относительную разность фаз i? = A1-— Д2, получаем
Е'х = (1/2) е** [Ех (е& +1) + (е**-1)(ЕХ cos 2а + Еу sin 2а)],
(5.23)
Еу = (1/2) е** [Ey(e3R + 1) - (ei* — 1)(ЕУ cos 2а - Ех sin 2а)].
Это общие выражения для компонент электрического вектора
света, выходящего из нагруженной модели.
Добавление фазовой пластины после модели, оптические оси
которой направлены по осям ху (как показано на рис. 5.26,6)
и которая создает абсолютные разности хода Qx и Qy вдоль
каждой из ее осей, дополнительно изменяет состояние света.
Если быстрая ось фазовой пластины ориентирована по оси х,
то свет, выходящий из этой пластины, имеет компоненты
Ех = (1/2) ejQ*e&> [Ех (е& +1) + (elR — l)(Ex cos 2a + Ey sin 2a)],
(5.24)
Ey = (1/2) ejQye^ [Ey (e>R +1) — (ei* — 1) (Ey cos 2a — Ex sin 2a)].
Добавление линейного поляризатора (называемого анализатором)
дает выходящий луч с плоскостью поляризации, образующей
234
Глава 5
равна произведению светового вектора на сопряженный вектор,
интенсивность света, выходящего из полярископа в любой точке
поля, определяется выражением
1 = Е^Е% (5.27)
Подставляя £р из (5.26) и упрощая полученное уравнение,
наводим
1 = Е% cos2 (i?/2) + (Ех cos 2а + Еу sin 2а)2 sin2 (Л/2). (5.28)
Отметим, что, когда Q = 0 (т. е. когда нет дополнительного
относительного запаздывания после модели), уравнение (5.28)
остается неизменным. Следовательно, оно является общим
уравнением для выходящего света, если нагруженная модель
помещена между двумя линейными поляризаторами с оптическими
осями, скрещенными под углом 6, т. е. как если бы
четвертьволновых пластин не было в полярископе. Это показывает, что,
если две скрещенные четвертьволновые пластины в полном
полярископе повернуть так, что их оси параллельны оси
анализатора, они оптически исключаются из полярископа. На выходе
полярископа получают такую поляризацию, как если бы
четвертьволновые пластины отсутствовали.
Линейный полярископ может быть настроен так, чтобы оси
поляризатора и анализатора были скрещены. В результате
получается базовый плоский или линейный полярископ с темным
полем. Для скрещенных поляризаторов в=90°, так что Ех = 0
и Еу = Е. Из уравнения (5.28) следует
I = Е2 sin2 2а sin2 (Д/2). (5.29)
При просвечивании нагруженной модели в таком полярископе
получается картина полос, показанная на рис. 5.27. Фон модели
темный. При отсутствии нагрузки модель также темная, так как
нет относительного запаздывания R, связанного с нагрузкой
Согласно уравнению (5.29), интенсивность света на выходе
полярископа при темном поле является функцией направления
главных напряжений а и возникающей под действием
нагрузки относительной разности хода R в модели. Возможны два
условия, при которых /=0:
1) a = nN/2 рад, N = 0, ±1, ±2, (5.30)
Для всех этих значений а оси поляризации полярископа
совпадают с двумя направлениями главных напряжений в плоскости
модели. Геометрические места точек с одинаковыми
направлениями главных напряжений поэтому будут представлять собой
темные полосы, называемые изоклинами. Угол направления
236
Глава 5
напряжений на контуре. Поэтому порядок полосы на контуре
пропорционален абсолютной величине напряжения:
-^контур ~ I^kohtypI* (5.33)
При просвечивании в плоском полярископе две системы полос,
изоклины и изохромы, наблюдаются одновременно. Они
налагаются друг на друга. Этот факт демонстрируется
фотографиями картин полос на рис. 5.27 для диска, сжатого
диаметральной нагрузкой, при трех положениях осей поляризации. На
первой фотографии угол наклона оси поляризации а=0 и ось
совпадает с направлением нагружения диска. На следующих
двух фотографиях ось поляризации полярископа повернута на
20° соответственно против и по часовой стрелке. Поскольку
тангенциальные нормальные напряжения на контуре являются
главными, изоклина должна пересекать контур в точках, где
его наклон равен а.
Отметим, что между изоклинами и изохромами имеется
следующее различие. При вращении осей полярископа
относительно модели система изоклин движется, тогда как система изо-
хром остается неизменной.
Иаоклины исключаются при использовании полярископа с
круговой поляризацией, схема которого показана на рис. 5.25
(см, раздел «Случай 2»).
Случай 16. Линейный анализатор с освещением,
поляризованным по кругу. Свет, падающий па модель, имеет круговую
поляризацию. Этот случай известен иод названием
полукругового полярископа.
В этом случае Ey = jEx. Из уравнений (5.26) и (5.27) следует
/ = Е% (1 + sin R sin 2a). (5.34)
Это уравнение иногда используется на промежуточной стадии
измерений в автоматизированных полярископах.
Случай 2. Круговой анализатор. Между моделью и
анализатором установлена четвертьволновая пластина. В этом случае
Р = 45°, так что из уравнения (5.25) следует
Ez = У± ei^Qy [{eJR + i)(Ey + jEx) + (ei* -1) (jEx - Ey) X
X (cos 2a — / sin 2a)]. (5.35)
При использовании этого условия в сочетании с освещением,
поляризованным по кругу, получается полярископ с круговой
поляризацией. Как показано в табл. 5.4, можно реализовать две
системы: со скрещенными и с параллельными поляризаторами.
Случай 2а. Оси поляризатора и анализатора скрещены. Это
Фотоупругость
235
главных напряжений вдоль таких темных полос называется
параметром изоклины.
2) R/2 = nN рад, или R = 2nN рад, iV = Ot ±1, ±2, (5.31)
|iV|—целое число длин волн, или полных циклов изменения
относительной разности хода, возникшего в модели под
действием нагрузки. Геометрические места точек с равными
значениями N также являются темными линиями и называются
изохроматическими полосами, или просто изохромами или
полосами. Из уравнения (5.19) следует
N=h(o1-oJ/fa. (5.19а>
у.
"и
Рис. 5.27. Диск с «замороженными» напряжениями от диаметрального
сжатия в полярископе с темным полем, а — угол между осью поляризации и
направлением приложения нагрузки.
Поэтому изохромы — это линии одинаковых разностей главных
напряжений, а также линии максимальных касательных
напряжений В ПЛОСКОСТИ Tmax, ПОСКОЛЬКУ
V,x = (V2) (а, - <r2) = (V2) Nfjh. (5.32)
Па свободном контуре главные напряжения, нормальные к
контору О] или аг, раины нулю. Тогда из уравнения (5.19а) следует,
что порядок полосы N на контуре пропорционален
нормальному напряжению, действующему вдоль контура
Так как в уравнении (5.29) член, содержащий
относительную разность хода R, возведен в квадрат, изохромы на контуре
не несут никакой информации о знаке (растяжение или сжатие)
Фотоупругость
237
схема кругового полярископа с темным полем при Еу = —]ЕХ.
Из уравнения (5.35) следует
Яр = ^ e^e5Qv {е& -1) (- 2Еу) (cos 2а - / sin 2а).
Подставляя это выражение в формулу (5.27), находим
/ = tfp£S, (5.27)
/ = El (1 — cos Д) = 2£* sin2 (RI2) = # sin2 (i?/2), (5.36)
где /С — постоянная величина для любого выбранного
полярископа. Это уравнение подобно (5.29), за исключением того, что
член, содержащий а (параметр изоклины), в нем отсутствует.
Для получения темной полосы остается только одно условие:
/ = 0 при R/2 = nN рад, или R = 2nN, где N=0f 1, 2,... есть
порядок изохромы (полосы целого порядка).
Рис. 5.28. Изохромы от диаметрально сжатого диска в полярископе с темным
и светлым полями.
Так как интенсивность света не зависит от угла а между
осью поляризации и направлением действия нагрузки, картины
пзохром (показанные на рис. 5.28) при повороте системы
поляризатор— анализатор относительно модели остаются
неизменными. Это хорошая проверка правильности настройки
полярископа.
Точки изображения нагруженной модели, где относительная
разность хода равна целому числу длин волн {N=1, 2...),
будут темными, и с помощью уравнения (5.19) или (5.32) можно
определить максимальные касательные напряжения в плоскости
модели.
Интенсивность освещения / в поле равна нулю при
отсутствии модели и в точках, где R = 0. Поэтому фон, на котором
238
Глава 5
наблюдается модель, темный и ненагруженная модель также
темная. При этих условиях иногда трудно определить контуры
модели.
Случай 26. Поляризатор и анализатор с параллельными
осями. Такое сочетание дает круговой полярископ со светлым
полем при Ey = jEx. Из уравнений (5.35) и (5.27) следует
Г = Еу>(1 + cos Л) = 2Е* cos2 (Л/2) = К cos2 (Л/2), (5.37)
где К — постоянная величина. Условия для гашения света
таковы: /=0 при Л/2 =(2ЛМ-1)л;/2, или Л=(2Лг+1)я, где N=0,
1, 2,... . В этом случае порядок изохромы равен М= —— =
= ~^~>~^~ - (полосы полуцелого порядка).
При повороте оси анализатора на 90° из ее положения в
полярископе для круговой поляризации с темным полем (случай
2а) изохромы смещаются на половину порядка полосы и
совпадают с линиями максимальной интенсивности полярископа с
темным полем.
Когда в поле нет модели пли там, где Л = 0, имеем / = /тах =
= 2Е2У. Модель видна на светлом фоне максимальной
интенсивности. Так как всегда имеется некоторое отражение или тень
вдоль краев модели, контур модели четко очерчен.
Если две схемы — со светлым и темным нолями —
используются последовательно, эффективная разрешающая способность
метода равна N/2.
Погрешность полярископа
В правильно настроенном полярископе возможны три
характерных источника погрешностей: 1) четвертьволновые
пластины, не согласованные с частотой источника света; 2)
усреднение по толщине нагруженной модели в полярископе с
диффузным освещением; 3) неравномерность интенсивности света по
полю полярископа, вызванная изменениями коэффициента
пропускания отдельных элементов.
Из уравнений (5.18) и (5.19) следует, что относительное
запаздывание, т. е. порядок полосы, обратно пропорционально
длине волны излучения, используемого для освещения
нагруженной модели в полярископе. Это означает, что, если
четвертьволновые пластины не согласованы с источником света, они не
обеспечат поле с круговой поляризацией. Если
четвертьволновые пластины подобраны так, что относительное запаздывание
проходящего через них света составляет R= (п/2-\-е) вместо
Фотоупругость
239
л/2, интенсивность света, выходящего из полярископа при
темном поле (скрещенные поляризаторы), определяется формулой
/' = /0 (1 - sin2 2а sin2 е) sin2 (Д/2) (5.38)
при тех же обозначениях, что и в уравнениях (5.25) и (5.29).
Затухание все же будет происходить, когда sin2/?/2 = 0, а
полная интенсивность поля изохром будет снижена из-за члена,
стоящего в скобках. Снижения интенсивности не будет, только
когда sin22a = 0, т. е. когда направления главных напряжений
совпадают с осями четвертьволновых пластин (а = 0). Это
происходит только вдоль изоклины 45°. Для всех других углов
изоклины интенсивность снижается, причем наибольший эффект
достигается при а = 45° (когда направления главных
напряжений совпадают с осями поляризатора и анализатора).
Погрешность из-за несоответствия длины волны источника
света размерам четвертьволновых пластин можно снизить
посредством комбинации двух одинаковых фазовых пластин при
расположении их осей под соответствующими углами
относительно друг друга и относительно плоскости поляризации
падающего плоскополяризованного света. Если две такие
системы четвертьволновых пластин, или «ахроматических
замедлителей», используются в полярископе, их всегда можно
отрегулировать так, чтобы использовать один полярископ с различными
источниками монохроматического света [1, 6, 9, 10].
Если R — требуемое относительное угловое запаздывание,
равное 2пКо/% радиан или ЗбОАюА градусов; Хо — длина волны,
соответствующая размеру одной фазовой пластины; Я — длина
волны источника, на которую настраивается система пластин;
г|) — угол между быстрыми осями двух пластин в системе; i —
угол между плоскостью поляризации (плоскость колебаний
входящего плоскополяризованного света) и быстрой осью первой
пластины в системе, то cos 2i|) = ctg2i? и sin2i' = ctg/? при л/4^
В табл. 5.5 даны значения этих переменных в случае, когда
четвертьволновые пластины состоят из двух фазовых пластин,
выпускаемых фирмой Polaroid с Яо=140 нм.
Конструкция полярископа
Типичный полярископ состоит из источника света и
поворотных поляризующих и двоякопреломляющих пластин,
расположенных в определенной последовательности (см. рис. 5.25).
Элементом системы, не показанным на этом рисунке, является
фото- или видеокамера для регистрации изоклин и изохром.
Система содержит источник света, который состоит из нескольких
ламп, установленных позади рассеивающего экрана, так что из
240
Глава 5
Таблица 5.5. Установочные углы для четвертьволновых пластин, состоящих
из двух фазовых пластин фирмы Polaroid с относительным запаздыванием
140 нм (Я0= 140 нм)
Источник
света (линия)
Длина волны
источника
К, нм
R, град
(одиночная
пластина для
длины
волны
источника)
"Ф, град
i, град
R, град
(составная
пластина)
Натриевый
(желтая)
Ртутный
(желтая)
(зеленая)
(голубая)
589,3
577,0
546,1
435,0
85,5
87,3
92,3
115,9
44,8
44,9
45,0
38,0
2,2
1,3
— 1,1
—14,5
90
90
90
90
диффузора выходит свет с относительно равномерным полем.
На рис. 5.29, а показана схема такого полярископа с
диффузором.
Зависимость между напряжениями и порядками полос (изо-
хром) строго справедлива лишь для случая просвечивания
модели одним лучом монохроматического света перпендикулярно
ее поверхности. При диффузном источнике света в точке,
расположенной в фокальной плоскости камеры, регистрируется
двойное лучепреломление, приходящее не от одного луча из
соответствующей точки нагруженной модели, а скорее суммарный
эффект от всех лучей, расположенных в пределах конуса,
ограниченного апертурой объектива камеры (рис. 5.29,6).
Суммарный эффект зависит от следующих факторов: 1) расстояние от
объектива камеры до модели; 2) апертура объектива камеры;
3) толщина модели; 4) степень фокусировки камеры на модель
и на определенную плоскость в пределах модели. Влияние этих
факторов иллюстрирует рис. 5.30.
Эффекты усреднения можно снизить следующими
способами: 1) увеличение расстояния между объективом камеры и
моделью (при одинаковом увеличении это требует объектива с
большим фокусным расстоянием); 2) уменьшение апертуры
объектива камеры, что также увеличивает глубину резкости;
3) уменьшение толщины модели; 4) фокусировка камеры на
среднюю плоскость модели, а не на переднюю или заднюю
поверхность. Усреднение, получаемое в полярископе с
диффузором, можно снизить путем добавления в оптическую систему
линз большого диаметра (рис. 5.29,в), достаточного для того,
чтобы охватить желаемую зону наблюдения на модели. Линзу
следует располагать как можно ближе к модели, чтобы
изображение сформировывалось в основном лучами, которые в
пределах модели параллельны.
А
Рис. 5.29. Схемы полярископов с диффузором, а — стандартная установка с
диффузором; б — погрешности от сбора информации в пределах конуса, а не
от одной точки; в — установка с диффузором с собирающей, или полевой,
линзой для уменьшения погрешности в случае б. L — источник света; D —
пластина диффузора; Р — поляризатор; 1/4 — четвертьволновая пластина;
А — анализатор; U— собирающая линза.
Наиболее удобные источники света — дуговые лампы
высокого давления. Вследствие их малого размера пучок света от них
приходится расширять так, чтобы поле освещения на модели
было достаточно большим. С помощью конденсорных или кол-
лимирующих линз создается падающий на поляризатор
параллельный пучок света требуемого диаметра. Такая схема соответ-
15-1480
242
Глава 5
ствует линзовому полярископу с параллельным пучком света,
показанному на рис. 5.31, а.
Теоретически все лучи в таком полярископе параллельны и
проходят через плоскую модель по нормали к ее поверхности.
На практике нельзя получить совершенно параллельный пучок,
а если бы это можно было сделать, то нельзя было бы получить
требуемое изображение. Наш источник света должен иметь
конечные размеры, чтобы он давал лучи под всеми углами
наклона, необходимыми для создания светового конуса, из которого
объектив камеры формирует изображения. Чтобы освещение
любой точки пленки могло соответствовать относительному
запаздыванию лучей, проходящих практически через одну точку
модели, и чтобы световой конус можно было аппроксимировать
теоретическим нормальным пучком параллельных лучей, необ-
/. енип А
II I. нна о
а 6 б г
Рис. 5.30. Источник погрешности в результате усреднения информации в
пределах светового конуса а — влияние расстояния; б— влияние диафрагмы;
в — влияние фокусировки; г — влияние толщины и плоскости фокусировки.
На каждом рисунке показаны погрешности и средства их уменьшения.
ходимо выполнение следующих условий: 1) каждая точка
пленки освещается очень узким конусом лучей; 2) оси каждого из
этих конусов нормальны к параллельным поверхностям
модели; 3) каждый конус охватывает минимальную область на
модели, т. е. его вершина располагается в средней плоскости
модели.
Типичная дуговая лампа высокого давления дает свет
неравномерной интенсивности Поэтому после коллимирующей
линзы возникает неравномерное световое поле. На рис. 5.31,6
показано, как снижается этот эффект с помощью конденсорной
линзы и точечной диафрагмы в главном фокусе линзы Ьс
и вблизи него. Размер диафрагмы выбирается таким, чтобы
уменьшить эффективную конусность лучей света, проходящих
через модель, а положение диафрагмы регулируется так, чтобы
выбрать часть изображения дуги, которая имеет сравнительно
Фотоупругость
24а
Рис. 5.31. Схемы полярископов с параллельным пучком света, а —
стандартная установка; б — повышение точности с помощью конденсорной линзы и
точечной диафрагмы, установленных перед коллимирующей линзой; в —
повышение точности с помощью диафрагмы объектива фотокамеры; г —
повышение точности путем уменьшения апертуры объектива камеры. Li — колли-
мирующая линза; Ьс — конденсорная линза; L2 — собирающая линза; К/4 —
четвертьволновая пластина; Р — поляризатор; А — анализатор; М — модель.
16*
244
Глава 5
равномерную интенсивность. Диафрагма, которая фактически
становится источником света системы на рис. 5.32, а, снижает
общее количество света, идущего от дуговой лампы.
Другой способ уменьшения размеров конуса — размещение
диафрагмы в главном фокусе полевой линзы непосредственно
перед объективом камеры (рис. 5.31,в). Целесообразно
устанавливать ирисовую диафрагму, чтобы при фокусировке можно
было использовать большую апертуру, иметь полное освещение
и при необходимости быстро и просто уменьшить величину
апертуры.
Рис. 5.31, г иллюстрирует эффект уменьшения вдвое
диаметра апертуры объектива камеры. При полной апертуре три
четверти светового потока, достигающего плоскости изображения,
приходит от внешнего кольца круглого сечения конуса, и
поэтому на изображение воздействуют главным образом напряжения
в точках, окружающих ось конуса. Эта часть светового потока
будет в основном обеспечивать освещенность изображения. При
уменьшении диаметра апертуры вдвое, три четверти светового
потока устраняются, но сохраняется четверть, которая отражает
влияние напряжений в небольшом центральном конусе, т. е.
мы приближаемся к картине напряжений в каждой точке
модели. В точках с высокими градиентами напряжений влияние
размеров конуса светового пучка становится весьма
существенным. Увеличение размера конуса не только влияет на
измеряемую разность хода в точке, но и снижает четкость
регистрируемых полос, так что они не различаются по отдельности.
Отметим, что все линзы располагаются вне поляризующего
участка полярископа. В этом случае отклонения в показателях
преломления, дефекты и остаточные напряжения в стекле не
влияют на точность регистрации двойного лучепреломления в
нагруженной модели.
Для большинства обычных исследований методом
фотоупругости вполне достаточно полярископа с диффузором. Для
более тонких работ, особенно когда требуется высокий уровень
разрешения или когда предполагается умножение полос или
повышение их четкости, необходим полярископ с
параллельным пучком света.
Для непосредственного наблюдения картины полос в модели
более подходит полярископ с диффузором, чем линзовый
полярископ. В таком полярископе картину полос можно
непосредственно наблюдать в анализаторе. В линзовом полярископе
изображение картины полос необходимо проектировать на экран
из матового стекла или экран видеомонитора. Важным
преимуществом полярископа с диффузором является то, что
поверхности модели и оптических элементов не обязательно должны
быть хорошо отшлифованными и идеально плоскими.
Фотоупругость
245
Таблица 5.6. Длины волн излучения различных источников света
Лазеры
Длина волны, нм
Спектральные и
дуговые источники
Длина вол'
ны, нм
Аргоновый
Nd:YAG
Гелий-неоновый
Криптоновый
Рубиновый
488
514,5
(1/2)1064 = 532
632,8
647,1
694,3
Ртутный:
голубое
зеленое
желтое
Натриевый:
желтое
453,8
546,1
577,0
589,3
Источники света
В фотоупругости используются некогерентные источники
света. Пятнистость, связанная с когерентными источниками,
такими, как лазер, обычно ухудшает качество
интерференционной картины. При использовании лазеров в фотоупругости
часто приходится специально нарушать когерентность
излучаемого ими света. Однако лазерный свет обладает высокой
монохроматичностью и обычно поляризован. Поэтому
лазеры—перспективные источники света, которые находят все более
широкое применение в фотоупругости. При использовании в
сочетании с пространственными фильтром и расширителем пучка они
обеспечивают высококачественное освещение для
полярископов.
Наиболее широкое применение в качестве источников света
нашли спектральные и дуговые лампы. Натриевые разрядные
лампы дают интенсивный желтый свет одной длины волны.
Источники света с электрической дугой в парах ртути дают
спектр, имеющий несколько ярких спектральных линий, которые
можно выделить с помощью узкополосных фильтров. В табл. 5.6
даны частотные характеристики наиболее часто используемых
источников света.
Уравнения (5.18) и (5.19) показывают, что разность фаз, или
относительная разность хода R, обратно пропорциональна
длине волны света, используемого для освещения модели. Порядок
полосы и оптическая постоянная материала поэтому зависят от
длины волны, и из уравнения (5.19) следует N=6/X и fc=%/C.
Для двух различных источников света с длинами волн Х\ и %2
регистрируемые порядки полос и оптические постоянные
материала, связывающие напряжения с порядками полос,
характеризуются следующими соотношениями:
^2 = (№^l> /a2 = (V*2)/ai. (5.39)
246
Глава 5
Умножение полос
В областях низких порядков полос или низких градиентов
полос обычная картина изохром может быть недостаточной для
точного определения напряжений. Это происходит не только
вследствие малой частоты полос, но и вследствие того, что
полосы в таких областях имеют большую ширину; в пределах
таких полос трудно определить максимальное затемнение или
максимальную яркость. Метод, известный под названием умно-
жение полос, позволяет увеличить порядок полос в каждой
точке и получить интерференционную картину, содержащую в
несколько раз больше полос по сравнению с обычной
картиной [11].
Умножение полос получают благодаря тому, что лучи света
многократно проходят через модель, отражаясь от двух
полупрозрачных зеркал, расположенных с ее разных сторон, при
просвечивании модели в полярископе с параллельным пучком
света. Одно из зеркал несколько наклонено к оси (рис. 5.32, а).
На практике пользуются небольшими углами наклона (около
0,005 рад). Наклонное полупрозрачное зеркало отклоняет свет,
проходящий через модель, так что лучи, прошедшие через
модель различное число раз, выходят из нее в различных
направлениях Все лучи, которые прошли через модель одинаковое
число раз, выходят в одном и том же направлении и образуют
параллельные пучки света. На рис. 5.32, б показано, как
прошедший через модель пучок света преобразуется второй линзой
и дает ряд дискретных изображений источника в ее фокальной
плоскости, где их можно выделить с помощью диафрагмы. Лучи
1, 3, 5 и 7, которые прошли через модель соответственно 1, 3,
5 и 7 раз, выходят из нее под углами 0,2ф, 4ф и 6ф (угол
наклона ф на рис. 5.32, а сильно преувеличен). Длина зоны, в
пределах которой фотоупругий эффект усредняется, зависит от угла
наклона ф, номера луча и расстояния, разделяющего зеркала.
На практике можно достичь умножения полос с коэффициентом
от 5 до 7 без существенных погрешностей, связанных с
усреднением, которое присуще данному методу.
Формулу для определения интенсивности m-го луча, где т =
1, 2, 3,..., можно получить, преобразуя уравнение (5.36) так,
чтобы учесть потерю интенсивности и влияние дополнительной
толщины, когда свет проходит через модель т раз. Из
уравнения (5.36) следует /=/(sin2(A/2), где A = R/m — относительное
запаздывание при однократном прохождении света через
модель. Тогда интенсивность каждого луча можно записать в виде
Ti = К (1 — г)2 sin2 (Д/2) = КТ2 sin2 (А/2).
Здесь г и Т — коэффициенты отражения и пропускания двух
идентичных полупрозрачных зеркал. Луч 3 дважды отражается
248
Глава 5
Таблица 5.7. Оптимальные характеристики зеркал для умножения
полос
Коэффициент
умножения т
г
Т
Коэффициент
снижения
интенсивности
т2/п-1
1
3
5
7
9
0
0,500
0,667
0,750
0,800
1
0,500
0,333
0,250
0,200
1
0,0625
0,0219
0,0111
0,0067
Т+г=1. Коэффициенты отражения зеркал, которые
обеспечивают минимальные потери интенсивности, составляют г=
= (m—1)/(т+1). Так как г является функцией т (число
прохождений света через модель), невозможно оптимизировать
зеркала для всех лучей одновременно. Оптимальные значения
коэффициентов отражения и пропускания для каждого
значения т приведены в табл. 5.7.
Первый инвариант полярископа
Предположим, что элементы полярископа с круговой
поляризацией имеют произвольную ориентацию относительно друг
друга, а выражение для выходящего из анализатора света такое
же, как в уравнении (5.25).
При повороте анализатора на —90° уравнение (5.25)
принимает следующий вид:
Щ = (1/2) e^ejQv [е& (Ех {е& +1) + {dR — 1)(ЕХ cos 2а +
+ Еу sin 2а)) sin р - (Еу (е^ +1) - -1) X
X (Еу cos 2а — Ех sin 2а)) cos Р].
Введем обозначения
А = (1/2) еЮ [Ех (eiR +1) + {e$R -1) (ЕЛ cos 2а + Еу sin 2а)],
В = (1/2) [Еу (е& + 1) - (е& —i)(Ey cos 2а - Ех sin 2а)].
Тогда можно написать
Еь = e^ejQy {A cos р + Б sin Р), (5.25)
£р = ei**eiQv (A sin р — Б cos Р). (5.41)
Сумма двух соответствующих интенсивностей для анализатора
при начальном угле и при начальном угле минус 90° составляет
10 = 1 + Г = ВД + ВД* = АА* + ВВ*.
Фотоупругость
247
9
Полу проз- Модель
Полупрозрачное рачное
зеркало зеркало
а
б
Рис. 5.32. Умножение полос, а — схема умножения полос; б — устройство
полярископа для умножения полос
и дважды проходит через зеркала; следовательно, Гиг берутся
в квадрате. При этом свет прошел через модель три раза, и,
чтобы учесть этот факт, аргумент синуса умножается на три.
Поэтому
/3 = KT*r2 sin2 (ЗА/2), Im = КТ*гт^ sin2 (тД/2). (5.40)
Таким образом, умножение полос с помощью полупрозрачных
зеркал по методу Поста сопровождается значительными
потерями интенсивности света. Интенсивность умноженной картины
полос по сравнению с обычной картиной полос уменьшается
пропорционально значению Т2гт~\ которое всегда меньше
единицы. Потери интенсивности отдельного луча можно свести к
минимуму посредством соответствующего подбора
коэффициентов г и Г. Предполагая зеркала идеальными, можно написать
250
Глава 5
а соотношение 1 — ЕаЕ%
преобразуется так:
I = E2x[l + sm (Я-2Р)].
(5.43)
При настройке полярископа на круговую поляризацию с
темным полем р0=45°. Если полоса не проходит через
рассматриваемую точку при этом положении анализатора, дробный
порядок полосы можно определить посредством вращения
анализатора на дополнительный угол ^ = р—45° до тех пор, пока в
данную точку не переместится одна из соседних полос. При этом
происходит гашение света и R—2р=(2я—1/2)я, или R—2^ =
= 2пп, где п — целое число.
Выраженная через порядок полосы относительная разность
фаз составляет R = N(2n)> и затухание происходит, когда
Если в исследуемую точку перемещается соседняя полоса
более низкого порядка, член f прибавляется, а если в эту точку
перемещается соседняя полоса более высокого порядка, то
вычитается.
Фотографирование
После экспонирования и проявления фотографический
негатив имеет оптическую плотность, которая является функцией
экспозиции (произведения интенсивности света на время).
Оптическая плотность является мерой прозрачности негатива.
На рис. 5.33 показан график зависимости оптической
плотности негатива от экспозиции. Линейный участок
логарифмической кривой описывается уравнением [12]
где D0 — минимальная оптическая плотность или «вуаль»; Dx—:
максимальная оптическая плотность; D = lg(////e); U —
интенсивность света, падающего на проявленный негатив; 1е —
интенсивность света, выходящего из проявленного негатива; £ =
= //; / — интенсивность света, падающего на пленку во время
экспонирования; t — время экспонирования; «у — наклон
линейного участка логарифмической кривой изменения плотности.
Высококонтрастные пленки имеют большой наклон «у, как
показано штрихпунктирной линией. Небольшое увеличение
экспозиции сверх Ео дает плотность насыщения негатива D\.
Негатив регистрирует изображения как «черные» (Di) или
«светлые» (Do). Напечатанные на фотобумаге позитивные
изображения будут белыми и черными соответственно для зон D{ и D&
на негативе. Такие характеристики наиболее подходят для
регистрации фотоупругих картин полос.
N = n±yln рад, или N=n± 7/I8O, град.
(5.44)
D^D0 + y{lgE-\gE0) при Е0^Е^Е
(5.45)
Фотоупругость
249
Таким образом, /0 не зависит от угла р между быстрой осью
анализаторной четвертьволновой пластины и анализирующим
поляризатором. После подстановки получим Io = ExE*x+EyE*y.
Для плоского полярископа ЕХ=Е cos 6, ЕУ=Е sin 6 и /ор=
=£'2(cos26 + sin26) =Е2, т. е. /ор не зависит от начального
угла 9 между осями поляризатора и анализатора. Подобным
же образом получаем выражения для круговой поляризации
Ey=jEx и I0c=:2E2Xi которые также не содержат 6.
Для любой схемы полярископа 10 равно максимальной
интенсивности (интенсивности наиболее яркой точки),
достижимой в поле данного полярископа. Величина /0 также равна
сумме интенсивности света для любых двух ортогональных
установок анализатора. Эго постоянная величина, известная как
первый инвариант полярископа. Величина /0, характеризуемая
соотношением
Л> = h° + ^(З+эо)0 = const, (5.42)
используется для проверки автоматических полярископов.
Компенсация по методу Тарди
При исследованиях напряжений в пластинах
изохроматические полосы часто распределяются настолько плотно по всей
пластине, что разности напряжений в любой точке можно
определить с достаточной точностью путем графической
интерполяции. Когда полос немного, приходится проводить измерения
дробных порядков полос, используя метод компенсации Тарди
[5, 7]. Это метод измерений по точкам, который проще всего
понять, если рассмотреть эффект, получаемый при установке
нагруженной модели в полярископе с круговой поляризацией так,
чтобы локальные направления главных напряжений совпадали
с осью поляризатора. Анализатор устанавливается
произвольно. Измерения следует начинать с точной настройки
полярископа при плоской поляризации. Полярископ устанавливается так,
чтобы изоклина попадала непосредственно на исследуемую
точку. Затем вводят систему четвертьволновых пластин под
углом 45° к поляризатору. В результате такой установки
полярископа достигаются следующие условия: 1) направление
главного напряжения составляет угол 45° с быстрой осью, т. е. а=
= л/4; 2) круговая поляризация, т. е. Еу = —jEx\ 3)
четвертьволновый анализатор, т. е. EJ'Q=j. Тогда уравнение (5.25)
принимает вид
Еъ = (1/2) e^*e5QvEx [(е& + /V* — 1 + /1) cos Р +
+ (е& — je>R — 1 — /1) sin Р]
Фотоупругость
251
Негатив с низкой контрастностью имеет непрерывную
область серых тонов, охватывающую более широкий интервал
экспозиций. Такие пленки обычно имеют мелкозернистую
структуру, которая обеспечивает лучшее пространственное
разрешение. Им отдают предпочтение в системах, анализирующих
видеоизображения, при определении низких градиентов полос путем
регистрации промежуточных уровней оптической плотности,
соответствующих дробным порядкам полос при их малом
количестве.
Начальная величина Е$ создает на негативе широкую
полосу, хотя по теории вместо нее должна быть линия. Этого
можно избежать, предварительно проэкспонировав негатив до
Е0 перед его установкой в камеру полярископа. Небольшое до-
Логарифм экспозиции
Рис. 5.33. Характеристические кривые фотопленок с различными уровнями
контрастности.
полнительное экспонирование тогда приведет к повышению
оптической плотноеги D вдоль участка характеристики пленки,
наклоненного под углом Предварительное экспонирование
полезно для регистрации динамических явлений, где время
экспонирования мало, а интенсивность источника нельзя
регулировать. Тогда вся энергия кратковременного импульса света
используется для повышения оптической плотности
получающегося в результате фотоснимка.
Переход от модели к натуре
Уравнения равновесия и совместности показывают, что
распределение напряжений в упругой области не зависит от
величин нагрузок и масштаба модели. В двумерных задачах оно
также не зависит от упругих постоянных, если объемные силы
отсутствуют или равномерно распределены. Поэтому для иссле-
252
Глава 5
дования таких задач материал, масштаб модели и величины
нагрузок можно выбирать произвольно [5].
Если модель и натура геометрически подобны и
распределение нагрузок в них одинаково, то результаты, полученные для
модели, можно связать с натурой (при некоторых
исключениях), следуя законам подобия. В пластине, которая находится
в условиях плоского напряженного состояния, распределение
напряжений постоянно по толщине; поэтому масштаб толщины
не обязательно должен быть таким же, как масштаб размеров
в плоскости пластины.
В некоторых плоских задачах распределение напряжений
зависит от коэффициента Пуассона материала, когда объемные
силы в пределах пластины изменяются. Пример задачи такого
типа — распределение центробежных сил во вращающемся
диске. Распределение напряжений также зависит от коэффициента
Пуассона в многосвязных телах (телах с отверстиями), в
задачах с температурными напряжениями и когда
равнодействующая сил, приложенных к контуру отверстия, не равна нулю.
Для таких случаев распределение напряжений в модели будет
несколько отличаться от распределений в натуре, если
материалы модели и натуры имеют разные коэффициенты
Пуассона. В трехмерных задачах распределение напряжений зависит
от коэффициента Пуассона.
Законы подобия могут также нарушаться вблизи точек
приложения нагрузок, где напряженное состояние является строго
двумерным и где зона контакта может значительно изменяться
под действием нагрузки. Однако из принципа Сен-Венана
следует, что влияние этих факторов на распределение напряжений
будет пренебрежимо малым на некотором расстоянии от таких
точек.
Различие коэффициентов Пуассона обычных твердых
пластмасс, из которых изготавливают модели, и материалов натуры
в исследованиях при комнатной температуре часто бывает
малым, и им можно пренебречь. Даже если коэффициент
Пуассона материала модели близок к 0,5, ошибка, вызванная его
влиянием, вероятно, будет сравнительно малой.
В плоских и объемных задачах напряжения в натуре
связаны с напряжениями в модели следующим соотношением:
oH = oM(FJFM)(LJL^ (5в46)
где Vm=vh (по предположению), v — коэффициент Пуассона;
F — сила; L — характерный размер, о — напряжение; м, н —
индексы, относящиеся к модели и натуре.
Для точного подобия модель и натура должны быть
геометрически подобны после деформации под действием
соответствующих нагрузок. Если они геометрически подобны до нагру-
Фотоупругость
25$
жения, это означает, что соответствующие деформации в
модели и натуре должны быть равны, т. е. ем = ен. Поэтому, если
Vm = Vh, то
£м j о~м Ец Fм / LH \2 Eg
ен сн £"м FH \ LM I Ем '
откуда
= FH {LJLn)2 (EJEH). (5.47)
Таким образом, масштаб сил зависит от масштаба модели и
отношения модулей упругости материалов модели и натуры.
Для истинного подобия нагрузки, приложенные к модели,
должны удовлетворять уравнению (5.47). Однако, если абсолютные
величины деформаций малы, влиянием различия относительных
деформаций можно пренебречь.
Подобным же образом при нагрузке давлением р получаем
ан = омРн/Рм и ря = риЕы/Е1{. Для задач плоского напряженного
состояния, где отношение толщины модели и натуры йм1йнФ
ФЬМ/'ЬН, уравнение (5.46) заменяется на
*н = orM (FJFM) (LJLE) (dJdK).
Напряжения во вращающихся деталях при vH = vM
°н = °м (LJLM)2 (рн/рм) (сонЛом)2,
где р—плотность и со—угловая скорость. Гравитационные
напряжения в плотинах и подобных им сооружениях
ан = ам (рн/рм) (LH/LM).
Аналогичные соотношения для других видов нагружения
можно вывести на основании простых рассуждений.
Применение компенсаторов
Если непосредственно перед моделью или после нее ввести
в полярископ дополнительный двоякопреломляющий материал,
то два поля запаздывания (компенсатора и модели) будуттен-
зорно складываться [5, 7, 8]. Если двойное лучепреломление
компенсатора регулируется как в компенсаторе Бабине —
Солейля с двумя клиньями (рис. 5.34, а), его можно подобрать
таким, что получится целый порядок полосы в исследуемой
точке. Процедура компенсации заключается в установке
оптических осей компенсатора параллельно их направлению в
рассматриваемой точке модели, чтобы две оптические разности
хода (компенсатора и модели) вычитались. Затем следует
регулировать компенсатор до тех пор, пока через данную точку
не пройдет полоса нулевого порядка. Если знаки двойного
лучепреломления в модели и компенсаторе одинаковы, то положе-
Фотоупругость
255
Сперва следует протарировать полярископ на нагруженном
образце из того же материала, что и модель, при известном
направлении о\. Для этого пригоден образец, подвергнутый
одноосному растяжению или изгибу. Затем ось поляризации
анализатора устанавливают параллельно направлению o"i в модели
и вращают анализатор по часовой стрелке. Замечают,
увеличивается или уменьшается порядок полосы в исследуемой
точке Когда в поле зрения находится несколько полос, это можно
сделать, замечая, перемещается к точке больший или меньший
порядок полосы. Однако в некоторых случаях (например,
растянутого образца) существует равномерное поле напряжений вис-
следуемой зоне, и характер изменения порядка полосы следует
определять, наблюдая последовательность цветов при
освещении белым светом. Например, если приложенная нагрузка дает
оранжевый цвет первого порядка при установке полярископа
на круговую поляризацию с темным нолем, то при вращении
анализатора по часовой стрелке последовательность цветов
должна отвечать или понижению порядка полосы (оранжевый,,
желтый, белый,...) или его возрастанию (оранжевый, красный,,
темно-красный,...) (табл. 5.8). Если вращение по часовой
стрелке приводит к уменьшению порядка полосы в тарировоч-
ном образце, то в любой точке фотоупругой модели
направление о\ будет определяться тем же критерием.
Для определения направления oi в любой точке
фотоупругой модели сначала вращают скрещенные поляризатор и
анализатор в полярископе с плоской поляризацией, чтобы
совместить изоклину и рассматриваемую точку. Это совмещение будет
достигаться при двух углах 8 или 6 + 90°, а ось пропускания
анализатора будет параллельна о\ или ог- Затем настраивают
полярископ на круговую поляризацию с темным полем, вводя
четвертьволновые пластины и вращая анализатор по часовой
стрелке. Тогда, если порядок полосы в исследуемой точке
уменьшается (к точке перемещается полоса более низкого
порядка), ось пропускания анализатора параллельна о\. Если
порядок полосы возрастает (к точке перемещается полоса
более высокого порядка), ось анализатора параллельна ог-
Таким образом, можно быстро определить относительные
направления Oi И 02.
Если знак двойного лучепреломления, возникшего под
действием напряжений, для материала модели известен, то
относительные направления, а также знак главных напряжений
можно найти, пользуясь компенсатором Бабине — Солейля или та-
рировочным растягиваемым образцом.
254
Глава 5
s f
[
\Л
Г
s
1
1
о
р _л Модель Компенсатор Л_ а
4 4
а
L • JL А
—► +
- -«—
Модель Компенсатор Суммарный
оптический эффект Л/=0
6
Рис. 5.34. Работа компенсатора, а — свет, проходящий через модель и
компенсатор Бабине — Солейля; б — наложение запаздываний, возникающих в
модели и компенсаторе.
еие компенсатора будет определять относительное
запаздывание в данной точке модели (рис. 5.34,6).
Относительные направления главных напряжений.
Направления главных напряжений в точке можно определить путем
вращения скрещенных поляризатора и анализатора в плоском
полярископе до тех пор, пока через рассматриваемую точку не
пройдет изоклина. Совмещение изоклины и точки будет
достигаться при двух углах 6 и 6 + 90°, однако неясно, какое из этих
направлений относится к оь а какое — к о2- Это можно
установить, наблюдая перемещение полосы, вызванное данным
вращением анализатора при компенсации по схеме Тарди.
Фотоупругость
257
Знак напряжений на контуре
Описанная выше процедура может быть также
использована для определения знака напряжений на контуре, т. е.
выяснения, являются ли эти напряжения растягивающими или
сжимающими. Принимая тот же критерий, что и раньше, ось
пропускания анализатора в полярископе для круговой
поляризации при темном поле устанавливают по касательной к контуру
в точке, где нужно провести измерения. Если вращение по
часовой стрелке приводит к понижению порядка полосы, то
действующее вдоль контура напряжение at равно наибольшему
главному напряжению оь так как на свободном контуре
напряжение On, нормальное к контуру, равно нулю. По определению
d алгебраически больше, чем 02, и о/ должно быть
растягивающим. Наоборот, если порядок полосы возрастает в точке на
контуре, то о/ = 02, оп—с\ = 6, и, следовательно, ot должно быть
сжимающим.
Знак напряжения на контуре можно также определить с
помощью простого компенсатора, установленного параллельно
или перпендикулярно контуру. Если использовать такой точный
прибор, как компенсатор Бабине — Солейля, то можно
определить и знак, и величину напряжения на контуре. Во многих
случаях, зная характер нагружения на контуре модели можно
указать зоны, где знак напряжений точно известен. Напряжения
должны изменяться непрерывно вдоль контура и могут
изменить знак только в точке, где порядок изохромы равен нулю.
Однако иногда трудно точно определить знак напряжений
только по одной картине полос. В таких случаях простым
методом определения знака является так называемая «проба
ногтем». В точке, где необходимо определить знак, по нормали к
краю модели прикладывают локальное сжимающее усилие,
используя для этого ноготь пальца или какой-либо предмет с
острой кромкой. Знак определяют, наблюдая перемещение
изохром в зоне приложения локальной нагрузки. Если через at
обозначить напряжение вдоль края, а через ап— сжимающее
напряжение, приложенное к нему по нормали, то при
растягивающем напряжении at имеем at—Оп>с\. Таким образом,
порядок полосы будет возрастать, а на краю будут проявляться
изохромы более высокого порядка. С другой стороны, если
напряжение ot сжимающее, то ot—оп<С\. Теперь порядок полосы на
краю будет уменьшаться, и к нему будут 'перемещаться
изохромы более низкого порядка.
Когда местные изменения порядков полос слишком малы,
чтобы проявлялся указанный выше эффект, характер
изменения порядка полосы можно установить, наблюдая
последовательность цветов при освещении белым светом.
17—1480
Таблица 5.8. Характеристики цветных интерференционных полос, получаемых от источника белого света
в полярископе с темным полем
Относительное
запаздывание, нм
Погашенный цвет
Порядок гашения
Наблюдаемый цвет3)
50 \
200 J
400
450
500
590
650
700
800
900
1000
1180
1300
1400
1550
1770
1800
2100
2360
2500
Запаздывание менее длины
волны видимого света
Фиолетовый
Голубой
Зеленый
Желтый
Оранжевый
Красный
Длинноволновый красный
фиолетовый (i=2)
Голубой (i=2)
Зеленый (/=2)
Желтый (t=2), фиолетовый
(*-3)
Оранжевый (г = 2), голубой (i=
= 3)
Красный (/=2), голубой (t'=3)
Длинноволновый красный
(£=2), зеленый (i=3),
фиолетовый (i=4)
Желтый (/=3),
длинноволновый голубой (t=4),
длинноволновый фиолетовый (t=5)
Цвета первого порядка (i=l)
Второй порядок (i=2)
Третий порядок (i=3)
Четвертый порядок (/—4)
Черный
Серый
Белый
Желтый
Оранжевый
Красный
Переходный оттенок
Голубой
Зеленый
Желтый
Оранжевый
Красный
Переходный оттенок
Зеленый
Желтый
Розово-красный
Переходный оттенок
Бледно-зеленый
Розовый
Переходный
Бледно-зеленый
а) Последовательность наблюдаемых цветов при увеличении разности хода следующая: желтый-нсрасный->зеленый. Можно различать
258
Глава 5
Использование белого света
Если в полярископе используется источник белого света, то
с увеличением напряжений в первую очередь будет гаситься
излучение с наиболее короткими длинами волн (фиолетовое или
голубое). На интерференционной картине будут наблюдаться
дополнительные (желто-оранжевые) цвета спектра.
Дальнейшее увеличение напряжений будет приводить к большим
разностям фаз, обусловленным двойным лучепреломлением, и один
за другим будут гаситься цвета с большими длинами волн [5,8].
Последовательные гашения и наблюдаемые дополнительные
цвета представлены в табл. 5.8.
При относительной разности хода Rt равной примерно
800 нм, второе гашение для фиолетового света совпадает с
первым гашением длинноволновой части красного спектра. С
увеличением относительной разности хода перекрытие между
гашениями разных цветов происходит более часто и
интенсивности наблюдаемых цветов начинают падать. При /?>3200 нм
никаких цветов (т. е. никаких полос) наблюдаться не будет.
Таким образом, при высоких порядках полос модель,
наблюдаемая в белом свеге, будет казаться ненагруженной. При
получении узкополосного монохроматического освещения путем
фильтрации белого света полосы будут появляться. Поэтому в
высококачественных полярископах применяются спектральные
лампы с узкополосными фильтрами. Широкополосные
монохроматические источники нельзя использовать для разрешения
полос высокого порядка (Л^^> 11 для зеленого света). Черный цвет
наблюдается, только когда R = 0. Таким образом, белый свет
полезен для обнаружения зон с нулевыми порядками полос.
При увеличении разности хода последовательно появляются
желтый, красный и зеленый цвета. Этим часто пользуются для
определения того, возрастают или убывают порядки полос в
любом выбранном направлении.
Фотоупругие материалы
Свойства фотоупругих материалов выбирают в соответствии
с характером требуемых результатов и методикой их
обработки. Для получения интерференционной картины,, которая
является наиболее типичным источником информации при
исследованиях методом фотоупругости, необходим материал с как
можно более высокой оптической чувствительностью. Кроме того,
чтобы форма модели, деформированной под действием
нагрузок, не отличалась значительно от формы натуры, модуль
упругости материала модели должен быть достаточно высоким.
Сочетание этих двух требований для разных фотоупругих мате-
Фотоупругость
259
риалов характеризуется величиной Q, называемой показателем
качества и равной отношению модуля упругости к оптической
постоянной материала: Q = E/fa. Показатель качества должен
фыть максимально высоким и оставаться постоянным
независимо от величины нагрузки и времени выдержки под нагрузкой.
Что касается механических характеристик, то обычными
требованиями являются высокая прочность, линейная зависимость
между напряжениями и деформациями и отсутствие
ползучести. Для фотопластических исследований фотоупругий
материал должен обладать такими характеристиками ползучести и
текучести, которые моделировали бы поведение натурного
материала.
В большинстве модельных материалов имеются начальные
напряжения, возникающие в результате механической
обработки. В некоторых случаях эти напряжения можно устранить
путем отжига. ЧюОы огжечь модель, ее нагревают выше
температуры рашягчечшя м;мернала н охлаждают с очень малой ско-
рпеп.ю, «побы п и>ежаи> «замораживания» температурных
напряжений. При изготовлении отливок из фотоупругого
материала cm состав и режим процесса должны быть такими, что-
<>ы шоежлгь развития начальных напряжений во время геле-
офч юваиия и отверждения.
В пластмассах часто возникает так называемый краевой
эффект времени. Чаще всего это происходит вследствие
испарения или поглощения воды, что приводит к изменению объема,
п в результате возникают растягивающие или сжимающие
напряжения в узких зонах, прилегающих к контуру модели.
Начальные оптические эффекты накладываются на оптические
эффекты, вызванные приложенной нагрузкой, и искажают
истинную картину полос, особенно около края. При всех обычных
исследолиниях методом фотоуиругосги стремятся к тому, чтобы
ш м,триале модели не было начальных (остаточных)
напряжении п краевого эффекта времени. Однако развитие таких
напряжении иногда используют для моделирования остаточных
сжимающих напряжений от различных диффузионных
процессов, предназначенных для повышения твердости, прочности и
усталостной долговечности. Типичные характеристики
некоторых мочельных материалов при комнатной температуре даны
и табл. 5.9. Так как возможны значительные отклонения
характеристик для разных заготовок из одного и того же материала,
их значения для конкретных моделей, используемых в
исследованиях, следует определять на контрольных образцах,
вырезанных из той же заготовки, что и изучаемая модель.
В настоящее время наиболее широко применяются
фотоупругие материалы из эпоксидных смол, так как они пригодны
для изготовления моделей с целью исследования напряжений
17*
Фотоупругость
261
методом фотоупругости как в плоских, так и в трехмерных
задачах, а также для изготовления фотоупругих покрытий. Такие
м сериалы недороги, имеют хорошие оптические и
механические характеристики, проявляют малый краевой эффект, при
комнатной температуре обладают незначительной ползучестью.
Эпоксидные смолы отличаются хорошими литьевыми
характеристиками и хорошо склеиваются друг с другом, что позволяет
изготавливать сложные модели. Отвержденный материал
получается в результате химической реакции между смолой и отвер-
дителем, которые смешиваются при соответствующей
температуре. Смолы могут быть как в жидком, так и в твердом
состоянии, однако используемый тип мало влияет на окончательный
продукт. Характеристики материала сильно зависят от
количества п свойств о тверди тел и. Оптимальные характеристики
получаются при использовании и качестве отвердителя фталевого
ИнгидрмД». Оиюсшелыило достоинства применяемых в США
лткепдпых смол и огнс^рдиic/km"i подробно исследованы [13,14].
I Iojiiumij">nii и (илцрм )чепь высокой оптической чувстви-
ic/ihiiim и.ю и сомеi«шип достаточно высоким модулем упруго-
(1и, чю обеспечивает ему очень высокий показатель качества.
Этот материал практически свободен от краевого эффекта и
проявляет небольшую ползучесть при комнатной температуре.
От механической обработки в нем обычно возникают
небольшие начальные напряжения, которые можно устранить только
путем очень тщательной термической обработки. Листовой
поликарбонат, отожженный в промышленных условиях, широко
используется для изготовления плоских моделей, однако он
достаточно дорог.
Колумбннскпя смола CR-39 представляет собой аллилдигли-
колеиую смолу. Они ожидает высокой прозрачностью, бесцвет-
н,1 и пмсп хорошую оптическую чувствительность. Ее продает
фирма lloniolile Corporation под маркой Н911 в виде плоских
lui.iciiiii постоянной толщины с тщательно отполированными
поверхностями; она широко применяется для решения многих
плоских задач. Материал CR-39 имеет незначительный краевой
.ффекг времени, однако несколько подвержен ползучести. При
измерениях через некоторый промежуток времени после
нагружения порядки изохром линейно зависят от нагрузки в
значительном диапазоне ее изменения. Недостаток пластин из CR-39
спя ми с iем, что, поскольку их изготавливают под давлением,
они проявляют заметные остаточные оптические эффекты
изменяющиеся по толщине. Это не является помехой при
измерениях в плоских моделях, когда пластина установлена
перпендикулярно падающему свету. Однако модели из CR-39 нельзя
применять для исследований при наклонном просвечивании.
Материал довольно хрупкий, поэтому следует принимать осо-
Таблица 5.9. Характеристики оптически чувствительных материалов моделей
Материал
Химическое или
промышленное название
Оптическая
постоянная по
напряжениям f0,
кН/м (зеленый
свет, Л=546 нм)
Характеристики при комнатной температуре
модуль Юнга
Е, МПа
предел
пропорциональности,
Од, МПа
коэффициент
Пуассона v
показатель
качества Q = Elfa
Стекло
Плексиглас
(оргстекло)
Целлулоид
Го мол ит-100
Гомолит-911
(CR-39)
Эпоксидный
Поликарбонат
Полиуретан
Желатина
Полиметилметакри-
лат: люсит, перс-
пекс
Нитрат целлюлозы
Полиэфир
Аллилдигликолькар-
бонат
Аралдит, эпон,
бакелит
Макролон, PSM-1
Хайзол
—300
+400
— 130
30—300
24
16
11
7
0,2
0,09
70 000
2800
2200
3900
1700
3300
2600
3
0,3
60
35
48
21
55
3,5
0,14
0,25
0,38
0,33
0,35
0,4
0,37
0,28
0,46
0,5
5600
0,570
1700—200
4000
2800
8000
9000
500
80
262
Глава 5
бые меры предосторожности, чтобы избежать выкрашивания
краев заготовок во время механической обработки при
изготовлении моделей. Выкрашивание чаще всего происходит при
сверлении. Листы CR-39 легко обрабатываются методом фасонного
фрезерования при больших скоростях.
Гомолит-100 представляет собой полиэфирную смолу,
которая изготавливается в виде листов высокого оптического
качества. Он обладает очень малой ползучестью, и, так как
поглощение влаги происходит очень медленно, краевой эффект
развивается чрезвычайно медленно.
Стекло было первым материалом, примененным для
исследования напряжений методами фотоупругости. Оно как
фотоупругий материал обладает многими достоинствами. Его можно
получать в виде больших пластин или толстых блоков, оно
однородно, прозрачно и свободно от напряжений. Стекло имеет
высокий модуль Юнга и большой диапазон нагружения в
линейной области. В отличие от пластмасс его
оптико-механические характеристики не подвергаются каким-либо заметным
изменениям в зависимости от времени, колебаний
температуры или атмосферных условий Его можно полностью отжечь, но
необходимая для этого температура высока, а процесс отжига
идет медленно. Недостатки стекла в том, что ему трудно
придать требуемую форму, вследствие его хрупкости возможны
сколы в точках приложения нагрузки, а оптическая
постоянная мала. Однако его показатель качества высок.
Возродилась популярность стекла в качестве фотоупругого
материала для некоторых специальных задач. Например, его
применяют в долговечных оптических датчиках для
использования в горнодобывающих и гражданских строительных
сооружениях. Появление цифровых анализаторов серых тонов для
исследований при низких уровнях двойного лучепреломления,
возникшего под действием нагрузки, позволяет исследователям
использовать полезные характеристики стекла, несмотря на его
низкую оптическую постоянную.
Оптико-механические характеристики стекла различного
состава меняются в широких пределах. Кокер и Файлон [15]
провели обширные исследования стекла и обнаружили, что
оптический коэффициент напряжений меняется от
приблизительно 45 брюстеров для стекла, не содержащего окись свинца, до
—2 брюстеров для стекла, содержащего 80% окиси свинца. Это
означает, что для стекла с наивысшей оптической
чувствительностью оптическая постоянная равна 140 кН/(м-полоса).
Полиметилметакрилат поступает на рынок под фирменными
названиями плексиглас, люсит (Lucite) и перспекс (Perspex).
Его можно приобрести по умеренной цене в виде плоских
листов, круглых стержней и трубок; все они имеют очень хорошо
261
Глава 5
оптическую чувствительность. Целлулоид подвержен
ползучести. Его характеристика текучести, которая представлена
диаграммой напряжений в зависимости от деформаций, похожа на
характеристики алюминия или углеродистой стали в
зависимости от марки целлулоида, скорости нагружения и, до некоторой
степени, температуры и влажности. Характеристика текучести
возродила интерес к целлулоиду как к фотоупругому
материалу, пригодному для исследования упругопластического
напряженно-деформированного состояния.
Полиэфирные смолы представляют собой материалы,
которые можно разрезать на толстые куски. Все полиэфирные
смолы при комнатной температуре отличаются вязкоупругим
поведением. Их характеристики текучести можно регулировать
так, чтобы они соответствовали таковым некоторых
конструкционных материалов; это достигается путем смешивания
материалов с различными смоляными основами. Поэтому
полиэфирные смолы применили в исследованиях процессов, связанных
с большими деформациями, методами фотоупругости.
Тарировка материалов моделей
Так как оптическая постоянная материалов моделей
изменяется со временем, а также от партии к партии, необходимо
тарировать каждый лист или отливку во время испытаний
[7, 8]. Тарировку проводят на простых образцах с известным
напряженным состоянием в характерных точках. Нагрузку
сперва увеличивают, а затем постепенно снижают.
Эквивалентное напряжение, соответствующее нагрузке, наносят на график
в зависимости от порядка полосы в данной точке. Для
определения порядка полосы с требуемой точностью пользуются
методом компенсации по Тарди. Затем проводят наиболее
близкую к экспериментальным точкам прямую, наклон которой
представляет оптическую чувствительность по напряжениям в
единицах МПа/полоса, N/(м-полоса). В такой форме fa
приводят к единице толщины. В большинстве лабораторий для
тарировки пользуются одним из трех образцов.
1. Круглый диск при диаметральном сжатии. Такой образец
компактен, его легко изготовить на токарном станке и
нагружать. В центральной точке диска /0=8Р/ (я/Ж), где Р —
нагрузка; D — диаметр диска; N — наблюдаемое значение полосы
в центре диска. Отношение диаметра к толщине следует
выбирать таким, чтобы диск не терял устойчивость под действием
нагрузки.
2. Образец, работающий на растяжение. Такой образец
находится в условиях простого напряженного состояния, но его
Фотоу при гость
263
отполированные поверхности и самые разнообразные размеры.
Материал прозрачен, бесцветен и свободен от начальных
напряжений. В нем практически отсутствуют ползучесть и краевой
эффект, но он обладает очень высокой ценой полосы по
напряжениям. По этой причине им иногда пользуются в качестве
детали составной модели или для изготовления нагрузочных
приспособлений, если необходимо, чтобы на поляризованный свет,
проходящий через детали, не влияли напряжения в них.
Низкой стоимостью и другими полезными
характеристиками полиметилметакрилата можно воспользоваться для
цифровой обработки дробных порядков полос. Этот материал найдет
более широкое применение по мере развития новой техники.
Полиуретановый каучук — резиноподобный пластик с
низким модулем упругости и высокой оптической
чувствительностью. Это прозрачный, янтарного цвета материал, который
практически не имеет краевого эффекта времени. При
комнатной температуре после приложения нагрузки в течение
нескольких секунд оптическая и механическая ползучести в нем
пренебрежимо малы и соотношения между напряжениями и
деформациями остаются линейными в широком диапазоне [16].
Полиуретановый каучук — часто применяемый материал для
исследования задач, связанных с динамическими
напряжениями. Скорость распространения волн напряжений в уретановой
смоле равна всего лишь 1/30 скорости распространения волн
напряжений в обычных твердых пластиках. Поэтому
существенно упрощается задача регистрации неустановившихся картин
полос. Уретановая смола также пригодна для исследования
задач, связанных с действием собственного веса. Так как в
существующих разновидностях материала охватывается большой
диапазон модулей упругости, в пределах которого коэффициент
ПуНссоип ocraeivi приблизительно постоянным, материал
можно применить для изготовления композиционных моделей,
свободных от усложняющих влияний различий в коэффициентах
Пуассона.
Оптическая чувствительность желатины намного выше, чем
у всех других оптически чувствительных материалов. Она
настолько высока, что изохромы возникают под действием
напряжений от собственного веса материала. Поэтому желатина
пригодна для исследования напряжений в задачах, где влияние
собственного веса имеет важное значение, например при
определении распределения напряжений вокруг туннелей. Желатину
применяли для исследования задач механики грунтов и
напряжений в таких конструкциях, как плотины.
Целлулоид — один из первых исследованных фотоупругих
материалов, но впоследствии был заменен современными
материалами, имеющими большую однородность и более высокую
Фотоупр угость
£65
трудно нагрузить на растяжение, не внося при этом некоторый
изгиб. Повсюду в однородном сечении образца fa=PI{wN)t
где w — ширина модели.
3. Балка при чистом изгибе. Это также очень простая
модель, но балку трудно нагрузить на чистый изгиб, не внося при
этом осевых напряжений. Отношение высоты к длине должно
быть выбрано таким, чтобы избежать внеплоскостного
выпучивания при более высоких нагрузках. Для любой выбранной
точки на балке f0=My/ (IN), где М — постоянный изгибающий
момент; / — момент инерции сечения балки относительно
нейтральной оси; у — расстояние от рассматриваемой точки до
нейтральной оси; N — порядок полосы в данной точке. Если N
измеряют на разных расстояниях у от нейтральной оси,
тарировку можно выполнить только при одном уровне нагружения,
5.2. Двумерные задачи фотоупругости
При использовании двумерной фотоупругости применяют
выполненные в определенном масштабе плоские модели,
изготовленные из пластин оптически чувствительного прозрачного
материала. Модель помещают в полярископ так, чтобы ее
плоскость была перпендикулярна оптической оси полярископа, и
нагружают силами, действующими в плоскости модели. Затем
регистрируют интерференционные картины и используют для
измерений изоклины и изохромы. Если напряжения,
перпендикулярные пластине (направление z), равны нулю (Ог=0), по
картине интерференционных полос можно определить следующие
величины: 1) разность главных напряжений; 2) направления
главных напряжений. Разность главных напряжений в
плоскости пластины в каждой точке определяют с помощью
зависимости между напряжениями п двойным лучепреломлением
[уравнение (5.19)], наблюдая изохроматические полосы в
полярископе с круговой поляризацией.
Если главные напряжения в плоскости пластины имеют
разные знаки (ai>0>a2), изохромы непосредственно дают
величины максимального касательного напряжения в каждой
точке модели:
Тшах = (а1-аа)/2 = (1/2)(ЛГ/а/Л).
Если же знаки двух главных напряжений в плоскости
пластины одинаковы, то максимальное касательное напряжение
расположено вне плоскости пластины, и уравнение (5.19) дает
только квазимаксимальное касательное напряжение в каждой
точке (максимальное касательное напряжение в плоскости
пластины).
Фотоупругость
267
Изотропная точка, расположенная на . свободном контуре
модели, также должна быть особой точкой. Так как
напряжение в перпендикулярном к контуру направлении равно нулю, оно
также должно быть равно нулю во всех направлениях.
Подобные точки обычно указывают на изменение знака напряжений
на контуре.
Различают два вида изотропных точек. При вращении
скрещенных поляроидов изоклины поворачиваются вокруг
изотропных точек. В одних случаях эти линии поворачиваются в том
же направлении, что и поляроиды, тогда как в других случаях
они поворачиваются в противоположном направлении. Об этих
точках говорят как о положительных и отрицательных
изотропных точках соответственно (они показаны на рис. 5.35,а и б).
Рис. 5.3t5. а — распределение изоклин вокруг положительной изотропной
точки; б— то же для отрицательной изотропной точки; в — чередование знаков
последовательных изотропных точек.
Особые точки па свободном от нагрузки контуре пластины
могут быть только отрицательными. Свободный угол пластины
всегда является отрицательной сингулярной точкой.
Когда изоклины последовательно проходят через несколько
изотропных точек, эти точки попеременно должны быть
положительными и отрицательными, так как порядок
последовательности изоклин .в одной точке изменяется на обратный в сосед-
266
Глава 5
На свободных контурах, или краях пластины, главное
напряжение, перпендикулярное контуру, равно нулю, и порядок
изохроматической полосы пропорционален величине
нормального напряжения, направленного вдоль контура. Если О2 = 0,
Gi = Nfa/h9 если Oi=0, 02 = —Nf0/h. Знак напряжения,
направленного вдоль контура, определяют одним из способов, описанных
в предыдущем разделе.
Направления главных напряжений в плоскости пластины в
любой точке модели определяют по параметру изоклины в этой
точке. Модели просвечивают в плоском полярископе и
поворачивают систему поляризатор — анализатор так, чтобы
изоклина проходила через рассматриваемую точку.
Изоклина представляет собой линию, вдоль которой
направления главных напряжений постоянны и совпадают с
оптическими осями поляризатора и анализатора в скрещенном
плоском полярископе. Принято регистрировать положительный
острый угол между осью поляризации анализатора и выбранной
в модели осью отсчета. Чтобы определить, какое из двух
ортогональных направлений относится к о\ или 02, можно
воспользоваться методами компенсации.
Значения параметров изоклин являются правильными
только в том случае, если направления главных напряжений по
толщине модели не поворачиваются. Хотя при нормальном
просвечивании картина изохром нечувствительна к остаточным
напряжениям, перпендикулярным плоскости модели (охф0)> такие
напряжения часто влияют на параметры изоклин, особенно если
они сопровождаются изменениями напряженного состояния по
толщине пластины. Остаточные напряжения часто приводят к
вращению направлений главных напряжений по толщине
пластины. Это вращение может привести к тому, что изоклины
будут видны нечетко.
Особые точки
Когда 01 = 02, материал находится в условиях плоского
гидростатического напряженного состояния. Все направления
в пластине являются главными, и соответствующие точки
называются изотропными, поскольку материал ведет себя так, как
если бы он был оптически изотропным в плоскости модели
в этих точках [5, 6, 8, 17]. В изотропных точках oi—02 = О
и Л/ = 0. Если напряжения в каждом направлении равны нулю
(ai = (j2 = (jz=0), то изотропную точку называют особой
(сингулярной) точкой. Изотропные точки легко обнаружить, так как
при вращении плоского полярископа все изоклины будут
проходить через изотропную точку.
268
Глава 5
ней точке (рис. 5.35, в). Если изоклина, проходящая через
изотропную точку на свободном контуре, также проходит через
другую изотропную точку, последняя должна быть
положительной.
Изоклины всех параметров также проходят через точку
приложения сосредоточенной нагрузки на контуре пластины.
Такие точки не являются изотропными в смысле ранее
принятого определения, так как разность главных напряжений не
равна нулю.
Следующие правила помогут при построении изоклин.
1. Изоклины нигде не пересекаются, кроме изотропных то-
*' чек.
2. Изоклины пересекают свободный контур или контур, на
который действует нормальная сила, только в точке, где
наклон касательной к контуру совпадает с параметром
изоклины, причем направление отсчета одинаково для
каждой из них. Отсюда следует, что прямой контур,
свободный от касательных напряжений, представляет собой
изоклину.
3. Одна изоклина всегда совпадает с осью симметрии.
В симметричной пластине при симметричной нагрузке
картина изоклин также симметрична. Однако параметру
изоклины 0 с одной стороны плоскости симметрии
соответствует параметр 90° — 0 с другой ее стороны.
4 В точке на свободном от касательных напряжений
контуре, где напряжение, параллельное контуру, имеет
максимальное или минимальное значение, изоклина пересекает
контур под прямым углом.
Траектории напряжений
Изоклины можно использовать для получения траекторий
напряжений, которые покрывают поле пластины [5, 6, 8, 17].
Траектории напряжений, линии главных напряжений, или
изостаты, представляют собой такие линии, направления
которых в любой точке совпадают с направлением одного из
главных напряжений в этой точке. Так как два главных напряжения
в плоской системе напряжений взаимно перпендикулярны,
система траекторий напряжений будет состоять из двух взаимно
ортогональных семейств кривых. Одно из этих семейств
указывает на направления главных напряжений о\ (алгебраически
больших), а другое — на направления напряжений аг. Около
положительной изотропной точки система траекторий состоит
из двух семейств кривых параболического вида, которые
частично огораживают изотропную точку, образуя так
называемую блокирующую систему. В окрестности отрицательной изо-
270
Глава 5
1. В точках на свободном от нагрузок контуре и в точках
контура, на которые действуют только нормальные силы,
главные напряжения направлены по нормали и по касательной
к контуру. Поэтому траектории напряжений одного семейства
будут совпадать с направлением контура, в то время как
траектории напряжений другого семейства будут пересекать его под
прямым углом.
2. Расстояние между свободным от нагрузок контуром и
прилегающей траекторией напряжений меняется обратно
пропорционально нормальному напряжению, действующему вдоль
контура, т.е. (Ji~l/As2 (рис. 5.36,в).
3. Поскольку ось симметрии свободна от касательных
напряжений, она совпадает с траекторией главного напряжения. Эта
ось совпадает также с изоклиной.
4. В двухсвязных или многосвязных пластинах (подобных
кольцам) либо в пластинах, где нагрузки или температурные
напряжения действуют не только на краю, но и во внутренних
точках пластины, траектории главных напряжений могут
образовывать замкнутые петли, но не спирали.
5. Знак разности oi—02 остается постоянным вдоль каждой
траектории главных напряжений. Когда можно переместиться
от любой точки пластины к другой ее точке вдоль траекторий
напряжений, которые не проходят через изотропную точку, знак
Oi—02 остается постоянным по всей пластине. Когда траектория
напряжений проходит через изотропную точку, происходят
изменения знака oi—02. Однако две части таких траекторий
напряжений, расположенные с противоположных сторон от
изотропной точки (например, АО и ВО на рис. 5.36,а), могут
оказаться в действительности двумя различными траекториями,
принадлежащими к противоположным семействам.
6. Главные напряжения на одной траектории? напряжений
достигают максимального или минимального значения в точке,
где ортогональная траектория напряжений является прямой
или имеет точку перегиба. Это можно показать, если написать
уравнения равновесия для малого элемента с размерами ds\
и ds2, ограниченного двумя траекториями напряжений и
находящегося в условиях двумерного напряженного состояния
(рис. 5.36, г) [5]. Если pi и рг — радиусы кривизны траекторий
напряжений ci и сг соответственно, то в соответствии с
уравнениями равновесия Ляме — Максвелла получаем
до1 , ai—a2_Q бст2 | 04—q2 _q
dsl P-2 ' &2 Pi
В первом уравнении необходимое условие для достижения
максимального или минимального значения о\ (dai/dsi = 0)
удовлетворяется, когда р2=°°, т.е. когда s2 — прямая линия или
Фотоупругость
271
имеет точку перегиба. Тогда, поскольку d<p/dsi = 1/pi и d(p/ds2=
= 1/р2, 1/р2 = ^ф/^52=0. Это означает, что направление 52
совпадает с направлением изоклины, проходящей через данную
точку. Поэтому изоклина перпендикулярна линии S\.
Так как контур, свободный от касательного напряжения,
представляет собой траекторию напряжений, из
вышесказанного следует, что нормальное напряжение, действующее по
касательной к контуру, максималыю или минимально в точках, где
изоклина пересекает контур под прямым углом. Подобным же
образом если плоскость симметрии содержит как изоклину,
так и траекторию главного напряжения, то напряжение,
действующее по нормали к этой плоскости, всюду имеет
максимальное или минимальное значение.
На свободном
ктспуре
Рис. 5.37. Определение главных напряжений на свободном контуре.
Разделение главных напряжений [5, 7, 16]
На свободном контуре одно из главных напряжений равно
нулю. Второе главное напряжение однозначно определяется по
порядку изохромы. Его знак (растяжение или сжатие)
устанавливают одним из методов компенсации. В свободном внешнем
углу отсутствие внешних сил должно сопровождаться
отсутствием внутренних сил, или напряжений. Таким образом, oi =
= 02 = 0, и порядок изохроматической полосы всегда равен нулю.
Это также остается справедливым и для динамических
напряжений. Рис. 5.37 иллюстрирует определение главных
напряжений на свободном контуре.
Во внутренних точках плоское напряженное состояние
полностью определяется тремя величинами: оь о2 и их
направлением 0. Однако метод фотоупругости обеспечивает получение
только двух величин: а—С2 и 0. Значит, одних только картин
Фотоупругость
269
Рис. 5.36. Характерные картины траекторий напряжений, а — блокирующая
система в положительной изотропной точке; б — неблокирующая система в
отрицательной изотропной точке; в — траектория напряжений в
непосредственном близости от свободною контура; г — элемент, ограниченный
траекториями напряжений.
тронной точки система траекторий состоит из семейства кривых
гиперболического типа, разделенных асимптотами; эта система
называется неблокирующей системой. Каждая асимптота
разделяет два семейства одного и того же типа. Эти две системы
показаны на рис. 5.36.
Можно установить следующие полезные свойства
траекторий напряжений.
272
Глава 5
изохром и графиков изоклин недостаточно для определения
напряженного состояния во внутренних точках. Для
определения главных напряжений по отдельности необходима
дополнительная информация. Для разделения oi и 02 было
разработано несколько расчетных и экспериментальных методов, которые
рассматриваются ниже.
,ч ±
Рис. 5.38. Напряжения, создающие запаздывание при нормальном (а) и
наклонном (б) падениях пучка света.
Метод наклонного просвечивания [5, 7, 18]. В часто
применяемом методе наклонного просвечивания используется
дополнительное измерение порядка полосы, при котором лучи света
проходят через модель наклонно к ее поверхности. Таким
образом, получают дополнительное соотношение между
напряжениями и измеренным порядком полос, что вместе с известными
значениями oi—02 и 0 позволяет вычислить раздельно главные
напряжения Oi и 02.
Относительная разность хода, или порядок
интерференционных полос, для пучка света, падающего нормально к
поверхности нагруженной модели, определяется согласно
уравнению (5.19): N = h(G\—G2)lfo. С учетом уравнений (5.17) и (5.18)
порядки полос, соответствующие каждому главному напряже-
Фотоипругость
273-
нию отдельно, можно представить в виде N]=Gih/fa и N2 = 02h/fa,
причем N=N\—N2. При известных направлениях главных
напряжений поворачивают модель около оси oi на угол фь
Напряжения, оерпендикуляреые направлению 1распрастра'нен1ия света,
показаны на рис. 5.38, эффективная толщина модели равна
ft/cos ф. Тогда при повороте на угол ф! порядок полосы при
наклонном просвечивании TVoi составит
дг ai — а2 cos2 Фг ft ^1 — ^2 cos2 Ф1
01 ~ /а СОвф! COS
Комбинируя результаты, полученные при нормальном и
наклонном просвечивании, получаем
дг _ cos фг (N01 — N cos д>г) м _ N0lcos(p1 — N
1 sin2 срх - sin2 фх
откуда можно вычислить напряжения ot и а2 по отдельности.
Этот метод полезен для разделения напряжений вдоль оси
симметрии, где один поворот модели относительно оси
обеспечивает достаточно данных для разделения напряжений вдоль всей
линии. Если направления главных напряжений по некоторым
причинам неизвестны, модель можно поворачивать
относительно произвольных осей Оу и Ох. Тогда получают три картины
полос, данные по нормальному просвечиванию и двум
наклонным просвечиваниям.
Так как для нормального просвечивания
N=(h/f0)[(ox- оуУ + Ыу]*<2,
получаем три уравнения с тремя неизвестными ох, оу и тху.
ЕСЛИ (рх = Ц)у==Ц), то
_/с . Г Nlx+NVV CQS2 Ф-^2 (1 + COS* Ф) -(1/2
°x~~h Ctg ф L l-cos*q> J '
_ /с . Г Nlv+ Nlx CQS2 Ф - ^2 (1 + COS* ф) 11/2
°У- T"Ctg(P L l-COS*<p J '
Вместе с первым инвариантом напряжений
Л = а1+а2 = огл+а|,
напряженное состояние можно определить, если найдены ot — а2У
^i+o2, ох и о у или ох, оу и %ху, где
Тху= (1/2) [(Nfa/h)*-(ox--Gyy*]V*.
Методы, основанные на использовании дифференциальных
уравнений равновесия [5, 7, 8]. Используются два метода,
основанные на графическом интегрировании дифференциальных
уравнений равновесия и поэтому независимых от упругих
постоянных фотоупругого материала модели.
18—1480
.274
Глава £
Как и все методы графического интегрирования, они имеют
тот недостаток, что в процессе интегрирования накапливаются
ошибки. Поэтому следует обеспечивать высокую степень
точности исходных экспериментальных данных (точное
определение порядков изохром и параметров изоклин).
В методе разностей касательных напряжений используются
уравнения равновесия в декартовых координатах (объемные
силы равны нулю):
dojdx + дхух1ду = 0, дод1ду + дтху/дх = О,
еде ох, а у и тху— нормальные и касательные напряжения в
произвольной точке модели. Решения зтих уравнений
о* = (°*)о ~ [ dx, Оу = (0у)о - J -^L dy
аппроксимируются выражениями в конечных разностях:
Члены (ох)о и (оу)о представляют известные напряжения в
исходных точках для процесса интегрирования. Обычно эти точки
выбирают на свободных контурах, где напряжения можно
определить непосредственно по измеренным порядкам изохром.
В произвольной внутренней точке модели, где Gi—угол между
осью х и направлением оь которое определяется параметром
изоклины, касательное напряжение можно представить в виде
тху = (1/2) (oi — о2) sin 2Qi = Nfa (sin 2Q.r)/2h.
Важно точно установить знак тху. Представленное выражение
дает знак касательного напряжения в соответствии с принятым
в теории упругости правилом, согласно которому хху
положительно, когда оно действует в положительном направлении у
■на плоскости с внешней нормалью в направлении возрастания х.
Член кхху определяется по графику распределения
касательных напряжений вдоль двух вспомогательных линий
(параллельных исследуемому сечению и симметрично расположенных
относительно него), как показано на рис. 5.39. Отметим, что
заштрихованная площадь между графиками хху представляет
величину ЕДт^Дх. Таким образом, площадь, измеренную между
началом координат и точкой на расстоянии х от начала
координат вдоль исследуемого сечения, можно использовать для
вычисления разности (ох)о и (ох)% (путем деления на расстояние Ау
между двумя вспомогательными линиями). Если в данной
точке известно Ох, значение оу можно вычислить с помощью
выражения
Фотоупругость
275
7ш Вдоль АВ
Рис. 5.39. Сетка, применяемая при использовании метода разностей
касательных напряжений.
ои = ох — (а4 — а2) cos 29
и из инвариантов напряжений и закона, связывающего двойное
лучепреломление с напряжениями, получить
<*1 = (1/2) (ох + <уу) + (1/2) (а, - а2) = (1/2) (ах + ау) + NfJ2h,
а2 = (1/2) (ах + ау) - (1/2) (а4- а2) = (1/2) (ах + оу) - NfJ2h.
В методе Файлоиа [17] используются уравнения Лямё —
Максвелла для малых криволинейных прямоугольников,
ограниченных четырьмя изостагами (траекториями главных
напряжений) (рис. 5.36,г):
d°i _ 0*1 — °*2 д°2 _ °1 — °*2
Р2
Pi
18*
Глава 5
где S\ и s2 — криволинейные ортогональные координаты вдоль
изостат oi и 02, pi и р2 — радиусы кривизны изостат.
Интегрирование вдоль одной из изостат дает
<*i = (<*i)o- J dsv a2 = (a2)0 - J -^=^2- ds2.
Интегрирования вдоль изостаты осуществляются, начиная с
точки с известным напряжением (обычно на свободном контуре)
и оценки значения интеграла по графику (oi—Ог)/р2 в
зависимости от Si или по графику (oi—Ог)/рг в зависимости от s2.
Изменение главного напряжения между началом координат
и исследуемой точкой вдоль изостаты представляется площадью
под кривой.
Когда изостаты точно известны, уравнения равновесия в
таком виде проще использовать, чем при их записи в
прямоугольной системе координат. Поэтому данный метод наиболее
удобен при исследовании осесимметричной задачи. В этом случае
изостаты представляют собой концентрические окружности и
радиальные линии, и для интегрирования достаточно одних
только изохром. При интегрировании вдоль радиальной линии
радиус кривизны, необходимый для интегрирования, равен
расстоянию от оси симметрии до рассматриваемой точки.
Соответствующий график для оценки интеграла представляется
зависимостью (oi—ог)/г от г.
В более общем случае интегрирования вдоль изостаты в
произвольном поле напряжений по наблюдениям изоклин методом
фотоупругости трудно получить достаточно точные данные
о радиусе кривизны.
Методы, основанные на уравнениях совместимости [7, 8, 19].
Из теории упругости следует, что при отсутствии объемных сил
сумма главных напряжений удовлетворяет уравнению Лапласа:
д2 д2
Если известны граничные значения 01 + 02, то можно решить это
уравнение, т.е. однозначно определить значения этой функции
во всех внутренних точках. Так как получаемые методом
фотоупругости изохромы обеспечивают точное определение как
разностей главных напряжений о\—02 во всех внутренних точках
двумерной модели, так и (во многих случаях) полную
информацию о напряжениях на контуре, знание сумм главных
напряжений Gi + 02 повсюду во внутренней области модели дает
эффективное средство определения отдельных главных напряжений.
Строгое решение уравнения Лапласа можно получить
только для областей со сравнительно простым контуром. Однако
Фотоупругость
277
приближенные решения удается найти численными и
экспериментальными методами. Кроме того, поскольку уравнение
Лапласа лежит в основе многих технических задач, включая
задачи электростатики, установившегося распределения температур
и формы равномерно растягиваемых пленок или мембран,
поведение этих различных физических систем выражается в
одинаковой математической форме, что позволяет применить
методы аналогий.
Наиболее важное ограничение данного метода —
необходимость знать распределение напряжений на границе. Для
решения уравнения Лапласа применяют в основном три метода:
аналитический, численный и аналогии.
Аналитическое решение уравнения Лапласа методом
разделения переменных [19] дает последовательности гармонических
функций, из которых можно образовать линейные комбинации,
чтобы получить представление Н в виде ряда для первого
инварианта напряжений /. Решения для Н в нескольких системах
координат приведены в работе [7].
Если данная область модели ограничена координатными
линиями регулярной системы координат, последовательность
функций при определении их на контурах области сводится
к рядам Фурье. Неизвестны коэффициенты Фурье, и их можно
получить путем интегрирования по заданным значениям на
контуре.
Если выбранная область модели не соответствует
определенной системе координат, фурье-анализ нельзя применять. Вместо
него для нахождения коэффициентов применяют метод
наименьших квадратов. Сначала выбирают конечное число
гармонических функций, входящих в решение в виде ряда. Затем
коэффициенты выбирают таким образом, чтобы среднеквадратичная
разность между заданными значениями на контуре и оценкой
на основе ряда вдоль контура минимизировалась. Если
выбраны N гармонических функций Fu F2, ..., FN и соответствующие
неизвестные коэффициенты обозначены как Сь С2, ..., CN, то
решение для первого инварианта напряжений имеет вид
Если для представления распределения первого инварианта
напряжений вдоль контура общей длиной L выбрано I(s), то Н
должно быть выбрано так, чтобы
N
#=2 CnFn.
(5.48)
L
N
(5.49)
278
Глава 5
В работе [19] показано, что
N L L
2 Cn$ FnFkds= \l{s)Fkds, к=% 2, ...,N.
n=i о о
Это уравнение дает систему из N уравнений относительно ЛГ
неизвестных коэффициентов. Решение этой системы уравнений
дает коэффициенты, которые обеспечивают наилучший подбор
граничных значений, возможный при начальном выборе N
гармонических функций. Путем увеличения числа функций в
представлении Н в виде ряда можно сделать это приближение таким
же точным, как при определении I(s) методом фотоупругости.
Для решения уравнения Лапласа можно очень эффективно
использовать численные методы. Так, весьма популярен метод,
решения с применением процедуры итерации, с помощью
которой оцениваемые значения гармонических функций в узлах
разностной сетки последовательно улучшаются; при этом
используется тот факт, что значение функции в любой точке
зависит от значений функции в соседних точках [7, 8]. Основное-
соотношение между значениями функции в различных точках
можно выразить уравнением влияния для четырех точек в виде
Ф0 = с,а\ + С2Ф2 + С3Ф3 + С4Ф4,
где соседние точки в самом общем случае расположены так, как
показано на рис. 5.40, а постоянные Си С2, С3 и С4 имеют
следующие значения:
р bed р acd
i = (bd + ac){a+c) ' 2= (bd+ac)(b + d) '
p abd p abc
3~~ (bd + ac)(c + a) 1 4 ~~ (bd + ac) {d+b) *
В областях, где может быть использована квадратная сетка
точек, вычисления упрощаются, так как С1 = С2 = Сз = С4= 1/4.
Известные граничные значения присваиваются всем тем
точкам, где сетка пересекает границу. Во внутренних точках
можно принять нулевые начальные значения. Затем значения для
каждой внутренней точки улучшаются путем прохождения
сетки в определенной последовательности, используя уравнение
влияния. При каждом последующем обходе узлов сетки
значения определяемой функции улучшаются. Процесс продолжается
до тех пор, пока получаемые поправки не станут меньше
некоторой заданной величины.
Недостаток метода в том, что необходимо иметь полные
данные о напряжениях на границе. Кроме того, метод нельзя
применять для оценки распределения напряжений вдоль
выбранных сечений без проведения полной оценки для всей модели.
Фоту пру гость
279
зко)
©-—-
2(0,6)
0(0,0)
Для уменьшения числа узловых точек сетки, в которых
необходимо проводить оценку, можно воспользоваться условиями
симметрии.
Метод обладает двумя достоинствами: 1) для разделения
напряжений достаточно данных, получаемых с помощью изохром;
2) погрешности, допущенные в процессе итерации, не влияют на
конечные результаты. Эти погрешности лишь увеличивают
число итераций, необходимых для достижения требуемого уровня
сходимости.
В методах электрических аналогий [7, 20] используется тот
факт, что электрические поля в изотропной проводящей среде
удовлетворяют уравнению Лапласа точно так же, как упругое
поле для суммы главных напряжений. Для моделирования
обычно используют равномерно проводящую жидкость, а также
электропроводящую бумагу.
Электрическую модель с той
же геометрией, как у
фотоупругой модели, изготавливают
из равномерно проводящей
среды. Очень хороший
материал для изготовления
электрических моделей —
электропроводящая бумага Teledeltos,
которая состоит из тонкого
равномерного слоя графитовых
частиц на тонкой бумажной
основе.
Так как на свободном
контуре Oi или 02 равно нулю,
сумма главных напряжений
пропорциональна порядку изохромы. Когда электрическое
напряжение, пропорциональное значению N, определенному на контуре
фотоупругой модели, приложено к контуру электрической модели,
величина электрического напряжения в любой внутренней точке
проводящего листа пропорциональна сумме главных
напряжений в соответствующей точке в фотоупругой модели.
Электрическое напряжение, приложенное к контуру электрической модели,
может быть положительным или отрицательным, поэтому надо
быть внимательным при установлении знака порядка полосы N.
При известных величинах oi—02, полученных по измерениям на
фотоупругой модели, и величинах o1+o2, полученных на
электрической модели, можно вычислить напряжения ai и о2 по
отдельности.
4(o,-d)
Рис. 5.40. Точки сетки для решения
уравнения Лапласа методом
конечных разностей.
Методы, основанные на законе Гука. Согласно закону Гука,
при плоском напряженном состоянии деформация в фотоупру-'
230
Глава 5
той модели в направлении распространения света (т.е. по
толщине модели) записывается в виде
е2 = ДЛ/Л = —v (ai + о2)/Е,
где АЛ— изменение толщины, v — коэффициент Пуассона
материала.
Таким образом, любая методика, с помощью которой
можно достаточно точно измерить изменение толщины АЛ, может
быть использована для определения суммы главных
напряжений. Имея значения oi—02, полученные методом фотоупругости
в соответствующих точках, можно найти два главных
напряжения. Среди приборов, которые для этого используются, можно
отметить точные поперечные тензометры и различные
интерферометры.
Суперпозиция двух напряженных состояний [5]. Так как
напряжение — тензорная величина, порядки полос изохром при
наложении двух напряженных состояний не складываются
алгебраически. Напряжения следует складывать как тензоры, т.е.
учитывать как главные направления, так и величины
напряжений двух напряженных состояний. Порядки полос можно
складывать или вычитать, только когда две системы напряжений
имеют одинаковые главные направления, как на оси симметрии
и свободном контуре.
Суперпозиция двух напряженных состояний происходит
всякий раз, когда в модели присутствует (остаточное или
начальное) двойное лучепреломление. Фотоупругую реакцию модели
на экспериментальные нагрузки можно оценить путем
тензорного вычитания начального двойного лучепреломления из
суммарного двойного лучепреломления после нагружения. Для любой
выбранной системы координат х, у разность главных
напряжений можно записать в виде
а4 - а2 = У(ох - од2 + 4тху, 1%2ц = 2тху/(ох — оу),
где ф — направление о4 относительно оси х. При наложении двух
напряженных состояний с компонентами oxlJ а;/1, тху1 и ох2, оу2>
тху2 значения ах — оу и тху составляют
®у = (О xt — Vyl) + (^2 — <W = (°х —°b)l + (<*х — Оу)2ч
^ху — Xxyi + T3Ci/2 *
Поскольку вызванный нагрузкой оптический эффект
пропорционален максимальному касательному напряжению в плоскости,
гидростатической компонентой поля напряжений (1/2) (oi—02)
можно пренебречь, а центры кругов Мора двух напряженных
состояний совпадают (рис. 5.41,а). Здесь OA представляет
эффективную, регистрируемую с помощью фотоупругости компо-
Фотоупругость
281
Рис. 5.41. а — представление эффективных компонент, вызывающих двойное
лучепреломление в результате наложения двух напряженных состояний,
с помощью круга Мора; б — два совмещающихся напряженных состояния с
их истинными направлениями; в — два совмещающихся напряженных
состояния с удвоенными относительными углами, как требуется для построения
круга Мора.
ненту первого напряженного состояния, ОВ — компоненту
второго напряженного состояния, ОС — компоненту результирующего
напряженного состояния:
ОС = [(ОС*)* + (СС*)2]*'*,
где
ОО = (1/2) 1(ох - ау)% + (а* —а,),],
282
Глава 5
СО = тху1 + тху2 и <С0О = 2Фд
характеризует главное направление результирующего напря-
женного состояния.
Результирующее двойное лучепреломление (результирующее
напряженное состояние) тогда можно определить следующим
образом. Разность главных напряжений (или максимальное
касательное напряжение) для каждого напряженного состояния
можно представить вектором, направление которого
параллельно алгебраически большему главному напряжению, а длина
пропорциональна разности главных напряжений. Угол между
этими двумя векторами удваивается, а векторы складываются.
Длина результирующего вектора пропорциональна разности
главных напряжений, т. е. двойному лучепреломлению
результирующего напряженного состояния. Направление большего по
абсолютной величине результирующего главного напряжения
определяют путем деления пополам угла между
результирующим вектором и компонентой вектора, характеризующей
начальное напряженное состояние.
Эта процедура дает только результирующую величину
касательного напряжения или двойного лучепреломления. Если
необходимо полностью определить результирующее напряженное
состояние, гидростатические части компонент напряженных
состояний следует добавить к результирующим как скалярные
величины.
Теперь рассмотрим модель с начальным двойным
лучепреломлением Oi, которое добавляется к двойному
лучепреломлению а, возникающему от приложения нагрузки, так что в
результате получается двойное лучепреломление gr. Векторы о/, о
и gr соответствуют фактическим напряжениям. Истинные
направления этих напряжений показаны на рис. 5.41,6, на рис. 5.41, в
углы между ними удвоены; показаны истинное направление gr
и удвоенные углы начальной компоненты gi относительно
главных направлений двух состояний, найденных с помощью
соответствующих параметров изоклин. Такое построение
характеризует двойное лучепреломление, возникшее от приложенных
нагрузок. Чтобы изобразить суммарный эффект а, на рис. 5.41,6
используется истинное значение угла.
5.3. Трехмерная фотоупругость
Трехмерная фотоупругость, благодаря методу
«замораживания» напряжений, вероятно, является самым мощным средством
экспериментального исследования напряжений [5, 7, 14].
Явление «замораживания» напряжений было описано Файлоном
в 1931 г. [15], а основы современных методов были заложены
Фотоупругость
283
в работах Опеля, Куске, Хетеньи и Фрохта1). Использование
метода «замораживания» в решении практических задач в
последние годы несколько снизилось в связи с развитием
эффективных численных методов расчета на ЭВМ. Однако
разработанные недавно материалы и автоматизированные методы
обработки результатов вновь расширили возможности трехмерной
фотоупругости с применением «замораживаемых» моделей,
которая остается достаточно оперативным и эффективным
методом решения пространственных задач. В качестве материалов
таких моделей используются термореактивные полимеры, в
которых происходит резкое изменение механических и оптических
свойств выше температуры стеклования Тс при переходе от
стеклообразного состояния к резиноподобному. Такое поведение
полимера можно объяснить с помощью теории многофазного
строения, согласно которой полимер рассматривают как
состоящий из двух фаз — упругой и пластической (или вязкой)
—аналогично губке (упругая фаза), пропитанной парафином (вязкая
фаза). При повышении температуры парафин плавится, и губка
под действием нагрузки упруго деформируется. При
охлаждении такого композиционного материала в нагруженном
состоянии парафин затвердевает и фиксирует деформации губки.
При комнатной температуре из материала можно вырезать
тонкие пластинки (срезы), не устраняя зафиксированных в нем
деформаций. Деформации упругой фазы определяются законом
Гука, а модуль упругости практически не зависит от
температуры. Предполагается, что пластическая фаза состоит из
множества компонентов с различной вязкостью и зависимостью
вязкости от температуры. Упругие деформации первичной или
упругой фазы сохраняются в модели неизменными за счет
затвердевания вторичной, или пластической, фазы. Такое взаимодействие
происходит на молекулярном уровне, поэтому деформации и
сопровождающее их двойное лучепреломление сохраняются в
любом малом объеме материала, вырезанном из модели. В
процессе разрезки модели и изготовления срезов с каждой стороны
среза могут оказаться разгруженными лишь по одному
молекулярному слою, однако этот слой настолько тонок по сравнению
с толщиной среза, что эффект разгрузки трудно обнаружить.
Упругое поведение материала в резиноподобном
(высокоэластическом) состоянии характеризуется низким модулем
упругости (14—34 МПа). Коэффициент Пуассона изменяется от 0,33
до 0,37 в стеклообразном состоянии при комнатной температуре
!> В отечественную практику метод «замораживания» введен Н. И. При-
горовским и А. К. Преиссом [123] и развит в работах лабораторий
Ленинградского государственного университета, Института машиноведения АН СССР,
Московского инженерно-строительного института и др. — Прим. ред.
284
Глава 5
и приближается к 0,5 в резиноподобном состоянии выше
температуры стеклования. Оптическая постоянная материала (мера
оптической реакции материала на приложенную механическую
нагрузку) также резко изменяется при нагревании материала
выше определенной температуры ТКу которая близка, но не
обязательно идентична температуре стеклования. Изменения в
механических и оптических свойствах происходяг в пределах
диапазона температур (TGEi-+TGE2, TGKi-+TGK2) (рис. 5.42),
в котором материал проявляет явно выраженную механическую
и оптическую ползучесть. Именно поэтому возможно построить
реологическую модель материала, в которой пружина связана
с рядом моделей Максвелла. Вязкость ц поршневых элементов
моделей Максвелла зависит от температуры и падает до нуля
при достижении переходных температур TGE2 или TGK2. Таким
образом, пружина представляет мгновенную реакцию
материала при температурах выше температуры стеклования (рис. 5.43).
Метод трехмерной фотоупругости достаточно прост. Модель,
изготовленную из оптически чувствительных полимеров,
нагревают несколько выше температуры «замораживания», т. е. выше
TGE2 или TGK2- Эта температура зависит от химического состава
и процесса полимеризации материала. Модель в течение
некоторого времени выдерживают при температуре
«замораживания», чтобы обеспечить ее равномерный прогрев. Затем модель
нагружают и медленно охлаждают до комнатной температуры
под нагрузкой, после чего нагрузку снимают. Оптическая
анизотропия материала, связанная с механическими напряжениями,
остается зафиксированной в модели. Оптическая анизотропия
не нарушается, даже когда модель разрезают на тонкие
пластины, которые исследуют при просвечивании в полярископе,
применяя в основном те же методы, что и разработанные для
двухмерной фотоупругости. Для определения напряжений в
точках на поверхности модели достаточно данных поляризационно-
оптпческих измерений и уравнений фотоупругости. Если
требуются напряжения во внутренних точках, следует применять
математическую процедуру разделения напряжений (например,
численное интегрирование уравнений равновесия).
Материалы
В первых экспериментах по «замораживанию» напряжений
в качестве материалов моделей применяли фенольные смолы,
при использовании которых возникают серьезные трудности,
в особенности связанные с образованием краевого эффекта.
Конденсационная полимеризация фенольных смол включает
в себя образование молекул воды. Испарение воды с
поверхности приводит к сжатию поверхностного слоя. Объемные измене-
.286
Глава 5
ния в поверхностном слое сопровождаются образованием
нежелательного, зависящего от времени двойного лучепреломления,
которое затрудняет определение порядков полос, возникающих
под действием нагрузки.
Эпоксидные смолы были введены в качестве фотоупругих
материалов Левеном [13]. Использование эпоксидных смол
в качестве материалов моделей ускорило развитие исследований
с применением трехмерной фотоупругости, поскольку эти
материалы лучше всего отвечают требованиям, предъявляемым
к фотоупругим материалам. Их можно отливать в виде блоков
■«больших размеров без воздушных пузырей, остаточных
напряжений и оптических неоднородностей, или свилей. Эпоксидные
материалы обладают высокой оптической чувствительностью
и большим модулем упругости, хорошо обрабатываются на стан-
жах и характеризуются линейными зависимостями между
дефис. 5.43. Реологическая модель фотоупругого материала.
•формациями и напряжениями и между напряжениями и
порядками полос. Из этих материалов можно отливать модели
сложной формы, они имеют короткий период полимеризации, низкую
-температуру «замораживания», фактически в них не происходит
'релаксации «замороженных» картин полос. Они обладают
весьма малым краевым эффектом, связанным с поглощением влаги
•на поверхнрсти.
Эпоксидные смолы являются продуктами конденсации эпи-
хлоргидрица и полигидрофенола. Их можно полимеризовать
несколькими отвердителями, но только два типа отвердителей —
• ангидриды кислот и амины — действительно применяются для
полимеризации фотоупругих материалов. Амины более реакци-
юнноспособны. Реакция полимеризации с их участием более эк-
гзотермична и может происходить при комнатной температуре.
Полимеризация с применением ангидридов требует
повышенных температур.
При полимеризации эпоксидных смол аминовыми отвердите-
.лями на начальной стадии полимеризации образуются длинные
Фотоупругость
2SS
Фотоупругость
28Г
линейные молекулярные цепи. Затем между этими цепями
образуются поперечные связи, которые на второй стадии
отверждения образуют трехмерные (сетчатые) структуры. Если между
молекулярными цепями образовались поперечные связи после-
того, как они подверглись деформированию, деформации
оказываются зафиксированными в материале. Деформации
сопровождаются остаточным двойным лучепреломлением, которое не*
устраняется при нагреве материала выше температуры
стеклования. Это явление, хотя иногда и может быть полезным [9],.
мешает использовать аминовые отвердители для полимеризации*
эпоксидных материалов при отливке сложных моделей
большого размера. Усадка материала во время полимеризации и ее-
ограничение жесткой формой являются причиной того, что
остаточное двойное лучепреломление фиксируется в материале.
При использовании ангидридов кислот на первой же стадии
полимеризации образуются трехмерные молекулярные
структуры с поперечными связями. По-видимому, это препятствует
образованию постоянной остаточной оптической анизотропии-
в отверждаемом материале, даже если эпоксидный материал*
отливают с жесткими включениями внутри.
В качестве отвердителей наиболее широко применяются,
фталевый, гексагидрофталевый и малеиновый ангидриды или
их смеси. Механические характеристики (например, модуль
упругости) и оптические характеристики (оптическая постоянная-
материала) зависят от типов эпоксидной смолы и отвердителя.
Материалы смеси в разной степени проявляют вязкоупругость-
при комнатной температуре, но ведут себя совершенно упруго
выше температуры «замораживания». Нашедшие широкое
применение составы материалов и технология отливки блоков и
моделей предложены Лсвеном [13], который испытал много
составов с различными соотношениями компонентов и исследовал их
характеристики.
Эти материалы обладают такими общими недостатками, как.
большая продолжительность процесса полимеризации (часто-
несколько недель), сложность механической обработки и
возникновение в отливке поверхностного оптического эффекта,
который без предварительной механической обработки
поверхности отливки искажает картину полос от действия нагрузки.
Недавно был разработан новый фотоупругий материал, который*
можно отливать в форму без поверхностных оптических
эффектов. Этот материал разработан на основе выпускаемой
промышленностью эпоксидной смолы (Ероп 828, Shell Chemical),
а отвердителем служит смесь фталевого ангидрида (50% веса!
смолы) и отвердителя СА-1 (1% общего веса фталевого
ангидрида и смолы), который является смесью ароматических
аминов. Смесь полимсрнзуется на протяжении одной ночи, превра-
288
Глава 5
щаясь в твердый материал, который превосходно обрабатывав
ся и обладает пренебрежимо малым поверхностным эффектов
Ниже описывается способ его изготовления.
Отвердитель СА-1 добавляют к эпоксидной смоле при коы
натной температуре и перемешивают, пока не будет получен
смесь с равномерной окраской. Если отвердитель СА-1 в твер
дом состоянии, его можно расплавить путем нагрева до 66 °С
Смесь эпоксидной смолы с отвердителем СА-1 нагревают д
104 °С и затем добавляют твердый фталевый ангидрид. Это оз
лаждает смесь, которую снова необходимо нагреть до 104 °С
одновременно перемешивая, чтобы растворить фталевый анги^
рид. После его растворения смесь перемешивают в течение 10-
15 мин при температуре 104 °С и затем охлаждают до 96 °С
помещая в печь, предварительно нагретую до этой температурь
По истечении 2—3 ч смесь начинает густеть. Время от времен:
из смеси берут небольшие порции материала, охлаждают д
комнатной температуры и вытягивают из них длинные нить
Если нить мгновенно сокращается после разрыва, то материа.
достаточно выдержан и готов для нового перемешивания, а за
тем полимеризации. Следующее перемешивание материала не
^обходимо, чтобы диспергировать свили (центры полимериза
ции), которые часто образуются в процессе полимериза
ции [14]; свили пе возникают вновь до образования геля.
Затем смесь полимеризуюг в форме при температуре 96°(
в течение двух часов, после чего повышают температуру с
скоростью 5°С/ч в течение четырех часов до 116°С, а за
тем охлаждают со скоростью 5°С/ч до 90 °С. Дальнейше
охлаждение ниже этой температуры может происходить естест
венным путем. На этом завершается предварительная полимс
ризация материала, который на этом этапе имеет темную кориц
нево-зеленую окраску. В нем может обнаруживаться двойно
лучепреломление, по только исключительно вследствие «заме
роженных» температурных напряжений, от которых впоследсп
вии можно освободиться в процессе замораживания напряже
ний или во время заключительного цикла полимеризации. Осе
бенностью этого материала является низкая хрупкость. Поэтом
его можно легко обрабатывать, используя стандартный рабочи
инструмент, обычные станки и зажимные приспособления.
Модуль упругости этого материала после предварительно
полимеризации равен примерно 0,5—12,6 МПа при температур
замораживания напряжений. Если желательно иметь более вь
сокое значение модуля упругости, то модель можно дополна
тельно полимеризовать в нагрузочном устройстве. Процесс дс
полнительной полимеризации состоит из нагрева модели д
124 °С со скоростью 10°С/ч, выдержки при этой температур
^в течение 4—6 ч и последующего нагрева до критической Teiv
298
Глава 5
а=135°. Теперь определяем положение главной оси в
рассматриваемой точке модели, соответствующее направлению, в
котором полосы исчезают. Поворачиваем направление наблюдения
на угол 45° относительно этой главной оси и отмечаем
расстояние полосы первого порядка от края. После этого поворачиваем
направление наблюдения на 135° (или —45°) и отмечаем
расстояние первой полосы от края. Если наименьшему расстоянию
соответствует направление 45°, которое было выбрано в
качестве примера, найденная ось является максимальной
квазиглавной осью 1*. Однако, если наименьшему расстоянию первой
полосы от края соответствует а=135° (или —45°), найденная
ось является минимальной квазиглавной осью 2*.
Полярископы рассеянного света
Схема типичного полярископа рассеянного света показана
на рис. 5.49. Используется лазер непрерывного излучения
мощностью не менее 10 мВт. Излучение большинства лазеров не-
Лризма
Наблюдение
(---■о- R
Линза \
Лазер
ЧетВертьболновая пластина
Компенсатор
Модель
Ванна с жидкостью
Рис. 5.49. Схема полярископа рассеянного света.
прерывного типа поляризовано; в противном случае пучок света
необходимо поляризовать на выходе. Плоскость поляризации
должна быть горизонтальной, иначе при отражении пучка
призмой будут значительные потери. Лазер устанавливают
горизонтально, чтобы свести к минимуму загрязнение лазерных окон
с внутренней стороны трубки.
Чтобы получить на выходе модели пучок света малых
размеров, можно успешно использовать длиннофокусные
объективы. При этом нет необходимости в нескольких объективах, чтобы
получить параллельный свет, и упрощается юстировка. В неко-
Фотоупругость
291
Свет
yy-62Z)+*Tyz
zz ^xxf+^T\x
Pill
Свпп
.•14. Р.'нрелк l модели на субсрезы.
субсреаа, необходимо изготавливать субсрезы малой толщины.
Толщина субсреза определяет эффект усреднения и оказывает
такое же влияние на точность определения напряжений как
и длина решетки проволочного тензодатчика. Минимальная
т/пцшм, по-видимому, равна 2,5 мм. С тонкими субсрезами
гру им) р.1<>омгь н полярископе, и их изготовление достаточно
грудоемко
При использовании меюда наклонного просвечивания срез
ил зоны с высокими напряжениями можно изготовить очень
тонким (1,25 мм или меньше), чтобы свести к минимуму
погрешности, связанные с градиентами напряжений. Эти погрешности
можно еще более снизить путем измерения порядков полос
и плоскости, касательной к свободной поверхности модели.
!9*
290
Глава 5
Таблица 5.10. Характеристики эпоксидных материалов при критической
температуре
Материал
fa, Ю3 Н/м
E, 107 Н/м
Q, 102 поло-
са/м
т, °c
Аралдит СТ200
(30 в. ч. фталевого
ангидрида)
Аралдит 6020 [13]
(50 в. ч. фталевого
ангидрида)
Бакелит ERL 2774 [13]
(50 в. ч. фталевого
ангидрида)
Стандартный [13]
(42 в. ч. фталевого
ангидрида, 220 в. ч.
HEX)
PLM-4B (фирма Photo-
lastic)
EPON828 [14]
0,23
0,415
0,444
0,479
0,393
0,357
1,3
3,59
3,67
4,54
1,72
2,04
566
866
828
945
447
571
140
162
160
170
120
140
Наиболее подходящий метод изготовления срезов —
разрезка модели алмазным шлифовальным кругом, вращающимся
с большой скоростью. Шлифовальный круг следует охлаждать
большим количеством жидкости, чтобы исключить перегрев
модели, в результате которого могли бы произойти искажение
или отжиг «замороженной» картины полос. После изготовления
срезы шлифуют вручную шлифовальной бумагой с
зернистостью 220. Срезы не обязательно должны иметь постоянную
толщину, так как определение напряжений в точках на
свободном контуре производится методом многократного измерения
по точкам. Изготовление срезов постоянной толщины
экономически выгодно только тогда, когда необходимо производить
разделение напряжений в определенных поперечных сечениях
детали.
Обработка результатов измерений в срезах подробно
рассмотрена в работах [5, 7, 14, 16]. Методика изготовления
срезов и проведения измерений иллюстрируется рис. 5.44.
В настоящее время для измерения порядков полос в срезах
применяют два метода: 1) изготовление субсрезов, как на
рис. 5.44; 2) метод наклонного просвечивания [7, 21].
Несмотря на то что для вычисления напряжений при
применении метода субсрезов используются более простые уравнения,
метод наклонного просвечивания часто оказывается более
практичным. Чтобы свести к минимуму погрешности этого метода,
вызванные допущением постоянства напряжений по толщине
292
Глава 5
5.4. Методы рассеянного света
Как было показано выше, когда пучок света проходит через
прозрачную изотропную среду, свет рассеивается в каждой
точке на своем пути. Это рассеяние может быть вызвано
небольшими внедренными частицами или молекулами самой среды. Если
просвечивающий пучок света плоско поляризован, интенсивность
рассеянного света изменяется в зависимости от направления
наблюдения (рис. 5.45). Если рассеяние вызвано
высокодисперсными частицами или молекулами среды, то рассеянный свет
является более или менее полностью плоскополяризованным.
х
Распространение
света
Наблюдение Наблюдение
Рис. 5.45. Интенсивность рассеянного плоскополяризованного пучка.
Однако, как правило, происходит некоторая деполяризация,
и рассеянный свет включает в себя значительное количество
обычного света. Интенсивность обычного света, рассеянного от
любой точки, одинакова во всех направлениях в пределах
плоскости, перпендикулярной к оси распространения первичного
пучка, в то время как интенсивность поляризованного света
в любом направлении пропорциональна квадрату амплитуды
первичных колебаний в перпендикулярном направлении. На
интенсивность рассеянного света, наблюдаемую или измеряемую
в точках вне среды, влияет поглощение, пропорциональное
длине светового пути в пределах среды, которая обычно изменяется
в соответствии с направлением наблюдения.
Фотоупругость
293
Фотоупругую модель можно рассматривать как содержащую
бесконечное число источников рассеянного света, равномерно
распределенных в материале. Падающий свет будет
рассеиваться в каждой точке и будет создавать вторичный источник
плоскополяризованного света, который распространяется в
радиальном направлении от источника. Поляризация, создаваемая этим
внутренним рассеянием, может быть использована вместо
поляризатора или анализатора в полярископе. Это эквивалентно
размещению поляризатора (или анализатора) внутри модели.
Поскольку такой поляризатор или анализатор можно оптически
расположить в произвольной плоскости фотоупругой модели,
информацию о напряжениях можно получить без
«замораживания» и разрезки модели. Поэтому методы рассеянного света
обеспечивают неразрушающее средство получения оптических
срезов в объемных моделях [5, 7, 8, 22—25].
Ось г
Рис. 5.40. Кн.кшгл.шиыо напряжения
Из рис. 5.45 видно, что свет, рассеянный средой, линейно
поляризопш в направлениях, перпендикулярных направлению
распространения просвечивающего пучка света. Компоненты
проходящего света (оптический вектор) рассеиваются в
плоскости ху, но не в плоскости xz.
Гели бы наблюдатель смотрел на «рассеянный» оптический
пек гор, интенсивность света, пропорциональная амплитуде ко-
лнбииий оптического вектора в квадрате, была бы равна нулю,
при наблюдении вдоль оси х и была бы максимальной при
наблюдении вдоль оси //.
При применении метода рассеянного света в фотоупругости
важное значение имеет понятие квазиглавных напряжений. Так,4
для любой оси (например, Т на рис. 5.46), проходящей через
нагруженную точку, существует пара квазиглавных напряжений
(максимальное и минимальное нормальные напряжения oi*
294
Глава 5
и аг*), перпендикулярных ей. Квазиглавные напряжения не
обязательно равны главным напряжениям, так как они
определены относительно оси Г, а не относительно нагруженной точки
вообще. Если ось отсчета Т является главной осью, то
квазиглавные напряжения oi* и с2* являются главными
напряжениями.
Свет с кру-
"гобой
поляризацией
вектор Е плоскополяризован-
ного пучка
Главная ось
четвертьволновой пластины
Главная ось четвертьвол-
ной пластины
1 [квази главная
ось модели)
Нагруженная двулуче
преломляющая модель
1 (квазиглавная
ось модели)
Рис. 5.47. Нагруженная модель, просвечиваемая рассеянным светом.
Теория, достаточная для описания наблюдаемого эффекта
рассеянного света, заключается в следующем [22]. Рассмотрим
монохроматический плоскополяризованный пучок света,
входящий в нагруженную двулучепреломляющую модель, как
показано на рис. 5.47. Математически оптический вектор плоскополя-
ризованного пучка можно представить в виде Е=A cos (2nv\t/K),
Фотоупругость
295
где А — амплитуда поляризованного света, vx — скорость света
в соответствующей среде, X — длина волны света, t — время.
При распространении света оптический вектор пересекает
четвертьволновую пластину под углом 45° к главной оптической
оси, и свет становится светом с круговой поляризацией.
Математически свет можно представить двумя ортогональными
компонентами в любом направлении (например, в направлениях
квазиглавных осей модели), причем одна компонента смещена
на четверть волны относительно другой:
Е1 = (А/У2) cos со*,
El = (A/V2) cos (со* + я/2) = - (A/V2) sin со*,
где (o = 2nv\/K— угловая частота света; £\*, Е2* — компоненты
оптического вектора, входящего в модель, вдоль квазиглавных
осей. Когда оптический вектор с компонентами Е{* и Е2*
распространяется в нагруженной двоякопреломляющей модели,
одна компонента оптически запаздывает относительно другой
вследствие напряженного состояния в модели; таким образом*
El = [А/ У2) cos со*, Е\ = — (А/ У 2) sin (со* + бф),
где бф — относительная разность фаз между компонентами.
Результирующую амплитуду R рассеянного света, выходящего
из модели, можно оценить посредством алгебраического
сложения проекций Е\* и Е2* вдоль линии, перпендикулярной линии
визирования:
П = F*sin а — #2 соя а = (А/\А2) [cos со* sin а -f- sin(co*-f^)cosa]r
пли
11 (Л/\ L*) l(sin n.-\- sin 6(|)Cosa) cos со* + (cos бф cos a) since*].
И люПой заданной точке наблюдения а и бф постоянны, поэтому
коэффициенты, стоящие перед cos со* и sin со*, также постоянны.
Результирующую разность хода можно тогда записать в виде
R=zCt cos у cos со* + Ct sin у sin]co*,
или
/?== Ci cos (со*—-у), где
<\ (Л!\ ")|sm | cos (*т2бф+со82бф)+2 8тасо8 0С8т6ф]1/2г
или
Сх = (Л/]/2) (1 +sin 2a sin бф)1/2,
у — arcsin [cos бер cos а/(1 + sin 2а sin бф)].
296
Глава 5
Интенсивность / результирующего рассеянного света в точке
пропорциональна С\. Таким образом,
/ = |х (АЧ2) (1 + sin 2а sin 6q>)e (5.50)
где р— постоянный коэффициент пропорциональности.
Уравнение (5.50) —основное уравнение метода рассеянного света. Если
а положить равным 45° (т. е. если рассеянный свет наблюдать
под углом 45° к максимальной квазиглавной оси 1*), то
уравнение (5.50) сводится к
/45 = jx (АЩ) (1 + sin 8Ф). (5.50а)
Теперь, если бф увеличивается или свет распространяется в
нагруженной модели, то интенсивность, выражаемая равенством
(5.50), изменяется циклически от /45 = р(Л2/2) до рЛ2, р(Л2/2),0
при изменении бф от 8ф = 0 до л/2, я, (3/2)я и т.д. Если вместо
а = 45° принять угол наблюдения а=135°, то лз5 = р(Л2/2) (1—
sin бф). В этом случае, если бф возрастает или свет проходит
через нагруженную модель, интенсивность изменяется
циклически от 7i35 = p(i42/2) до 0, р(Л2/2), рЛ2 при изменении бф от
бф = 0 до я/2, я, (3/2)я и т.д. Следует отметить, что нулевая
интенсивность получается при а=45°, когда бф=2/гц+(3/2)я
при /гц=0, 1, 2, где пц определяется как «целый» порядок
полосы. Если а=135°, нулевая интенсивность получается, когда
бф= (2пц + 1/2)я при яц = 0, 1, 2, где пи определяется как
«полуцелый» порядок полосы. Закон, связывающий бф с
напряжениями, записывается в виде
ol-o% = {dnJdt)f0, (5.51)
где ci*—02* — разность квазиглавных напряжений относительно
оси Ту которая характеризует направление просвечивания
модели пучком света; fG — оптическая постоянная материала,
зависящая от длины волны источника света.
Квазиглавное направление можно определить, изменяя угол
наблюдения до тех пор, пока не будет достигнуто а = 0 или я/2;
при этих значениях угла интенсивность, определяемая
формулой (5.50), становится равной р(Л2/2). Такая настройка легко
проверяется, поскольку перемещение из этого положения в
одном направлении выявляет целые порядки полос, а в
противоположном направлении — полуцелые порядки полос.
Коэффициент driuldt в уравнении (5.51) равен изменению
порядка полосы на расстоянии, которое прошел свет в
соответствующем координатном направлении. Величину этой
производной получают путем построения графика изменения порядков
полос в зависимости от расстояния и определения наклона этого
графика в рассматриваемой точке. Наибольший интерес
предоставляют напряжения на поверхности модели. Величину /а вы-
Фотоупругость
297
числяют по результатам измерения порядка полосы в
нагруженной модели, для которой известно теоретическое решение. Для
этой цели подходит образец в виде растягиваемого стержня; он
сравнительно прост, и получаемые методом рассеянного света
интерференционные полосы располагаются равномерно.
Очень важно знать, какая из квазиглавных осей
соответствует максимальному квазиглавному напряжению. Получение
такой информации осложняется тем, что фотоупругие материалы
имеют разную оптическую активность. В одних материалах
«быстрая» ось располагается вдоль направления максимального
квазиглавного напряжения, тогда как в других материалах она
расположена вдоль направления минимального квазиглавного
напряжения. Важно также знать, какая из оптических осей
Рт Г».4Н. I прпропочпыи образец для полярископа рассеянного света
/ угол ипОлюдеиии а-45е (целые или полуцелые порядки полос); 2 — а=
DO ||1иич1сипиосгь егч-ча постоянна (нет полос)]; 3 — а=135° (полуцелые
или целые порядки полос).
четвертьволновой пластины является быстрой. Рассмотрим
схему тарировки, позволяющую определить положение
максимального квазиглавного напряжения.
Воп.мем растягиваемый образец (рис. 5.48). Отметим рас-
CToHiintj от края до первой полосы, когда а=45°, а затем от
край до первой полосы, когда а=135°. Для определения этих
расстоянии моIут понадобиться две фотографии. Одна
фотография делается, когда нерпам полоса ближе всего к краю, а
другая— когда она дальше всего от края. Такой порядок
расположения первой полосы от края указывает на то, какая из осей
соответствует максимальному напряжению. Например,
предположим, что при а = 45° первая полоса ближе к краю, чем при
298
Глава 5
а=135°. Теперь определяем положение главной оси в
рассматриваемой точке модели, соответствующее направлению, в
котором полосы исчезают. Поворачиваем направление наблюдения
на угол 45° относительно этой главной оси и отмечаем
расстояние полосы первого порядка от края. После этого поворачиваем
направление наблюдения на 135° (или —45°) и отмечаем
расстояние первой полосы от края. Если наименьшему расстоянию
соответствует направление 45°, которое было выбрано в
качестве примера, найденная ось является максимальной
квазиглавной осью 1*. Однако, если наименьшему расстоянию первой
полосы от края соответствует а=135° (или —45°), найденная
ось является минимальной квазиглавной осью 2*.
Полярископы рассеянного света
Схема типичного полярископа рассеянного света показана
на рис. 5.49. Используется лазер непрерывного излучения
мощностью не менее 10 мВт. Излучение большинства лазеров не-
Иаблюдение
Призма
Л-о
—1 Линза V.
Лазер
Четвертьволновая пластина
Компенсатор
Модель
Ванна с жидкостью
Рис. 5.49. Схема полярископа рассеянного света.
прерывного типа поляризовано; в противном случае пучок света
необходимо поляризовать на выходе. Плоскость поляризации
должна быть горизонтальной, иначе при отражении пучка
призмой будут значительные потери. Лазер устанавливают
горизонтально, чтобы свести к минимуму загрязнение лазерных окон
с внутренней стороны трубки.
Чтобы получить на выходе модели пучок света малых
размеров, можно успешно использовать длиннофокусные
объективы. При этом нет необходимости в нескольких объективах, чтобы
получить параллельный свет, и упрощается юстировка. В неко-
Фотоупругость
299
торых исследованиях для получения плоского пучка света
можно использовать систему цилиндрических линз и анализировать
картины полос. Возможность наблюдения модели в плоскости,
перпендикулярной направлению светового пучка,
обеспечивается путем погружения модели в ванну с жидкостью, имеющей
такой же показатель преломления, как у материала модели.
Некоторые материалы рассеивают свет настолько слабо, что
наблюдать картину полос не удается. Очень хорошие
результаты дает добавка в материал при отливке модели порошка сили-
кагеля с размерами частиц порядка 1 мкм (обычно около 5—
10 мл на 450 г смеси). При этом в полярископе наблюдаются
чрезвычайно яркие интерференционные полосы рассеянного
света. Однако слишком большое количество силикагеля в
материале приводит к чрезмерному рассеянию, и картины полос
оказываются «размытыми».
Новые разработки1)
Новые достижения в области неразрушающих методов
трехмерной фотоупругости делают их весьма перспективными при
решении различных трехмерных задач. Одно из таких
достижений— метод изодин, предложенный Пиндерой [23, 24]. Очень
интересны разработки Лагарда [24, 25], в которых
используются когерентные свойства лазерного излучения для получения
оптических срезов в объемных моделях при исследованиях
методом рассеянного света по всему полю и по точкам в задачах
механики разрушения и динамических задачах.
5.5. Фотоупругие покрытия2*
Метод фотоупругих покрытий расширяет область применения
фоту пру гости в проходящем свете на измерение деформаций
поверхности непрозрачных тел [7, 26, 27]. На исследуемую
поверхность детали наклеивают тонкий лист фотоупругого
материала. Слой клея, разделяющий деталь и покрытие, должен
быть отражающим, чего можно добиться путем добавления
в клей отражающих частиц. При нагружении детали покрытие
деформируется вместе с ее поверхностью. Возникающее в резуль-
ы те ^формации двойное лучепреломление наблюдают с по-
■> Установка рассеянного света УРС-А, разработанная в Институте
машиноведения АН СССР, позволяет проводить исследования напряжений как по
картинам полос в сечениях модели, так и по результатам измерений во
внутренних точках [112, \2Ц. — Прим. ред.
2> Метод фотоупругих покрытий, применяемая аппаратура, методика
проведения измерений и различные приложения изложены в книге [113]. — Прим,
ред.
300
Глава 5
Рис. 5.50. Отражательные полярископы для наблюдения фотоупругих
покрытий, а — стандартная установка; б — адаптер для наклонного просвечивания;
1 — источник света, 2 — четвертьволновая пластина, 3 — анализатор, 4 —
наблюдатель, 5 — поляризатор,
мощью отражательного полярископа (рис. 5.50,а). Свет
дважды пересекает покрытие вдоль несколько отличающихся
направлений. По картине полос определяют поле деформаций на
больших зонах деталей и устанавливают зоны, где необходимо
провести более подробные исследования. Метод является нераз-
рушающим и применим для натурных измерений.
Напряжения и деформации в покрытии
Если покрытие достаточно тонкое, деформации поверхности
детали передаются покрытию с минимальными искажениями.
На поверхности детали и в покрытии напряженное состояние
является плоским, так что третье главное напряжение сгг=Ог =
Фотоупругость
301
= 0 как в покрытии, так и в детали. Деформации на
поверхности детали и в покрытии одинаковые:
ff) = e? у), у) = е*(х, у).
Здесь индексами «п» и «д» обозначены деформации покрытия
и детали.
Через ei и ег обозначим главные деформации в покрытии
и детали, а через р — угол между направлениями деформации
и выбранной оси координат. Напряжения в детали связаны
с упругими деформациями законом Гука:
°i = 1=^2- (£t + V£2)* о* = Y=k* (e2 + veA);
поэтому
<Tt ~ Oa = E (8A — 82)/(l + V).
В каждой точке покрытия регистрируется относительная разность
хода б двух лучей света, поляризованных вдоль et и е2:
b = Nl=2tK (8l — е2).
Здесь б —относительная разность хода; А, —длина волны света;
N — порядок полосы. Тогда
е4 - еа = NXIltK = Nf. (5 52)
Здесь f=K/2tK — «цена полосы», или оптическая постоянная
покрытия по деформациям; t — толщина покрытия (так как свет
дважды проходит через покрытие, эффективная длина пути
равна 2t)\ К — оптико-механическая постоянная материала
покрытия [дается изготовителем и определяется законом Брюстера:
(ni—n2) =/C(ei—е2)].
Разность главных напряжений в конструкции определяется
по формуле
сг4 - ая = (в1 - е2) E/(l + v) = NfE/(l + v).
При нормальном просвечивании покрытия измеряют разность
главных деформаций ei—82, по которой вычисляется разность
главных напряжений oi—02. Во многих практических случаях
(края и углы деталей, одноосные поля деформаций, стержневые
элементы) одно из главных напряжений равно или близко
к пулю, поэтому определяется единственное главное
напряжение: о — N/7:70 \ v). В случае двухосного поля напряжений для
определении главных напряжений оч и си по отдельности
необходимы два измерения. Обычно эти измерения производят при
наклонном просвечивании либо при наклонном и нормальном
просвечиваниях.
Типичное приспособление для наклонного просвечивания
показано на рис. 5.50,6. В нем зеркало имеет фиксированный
302
Глава 5
угол наклона 6, что упрощает обработку результатов. При
нормальном просвечивании
NnX = бнорм = 2tK (et - е2). (5.53)
При наклонном просвечивании и повороте на угол 6
относительно направления е4
N0ll = бнакл = 2tK (Аг, - £е2). (5.54)
Коэффициенты А и В зависят от угла 0 и коэффициента
Пуассона vn материала покрытия:
у11 cos2 0 cos20—у11
— (l_vn)cos0 ' ~~ (i_vn)cos0'
При повороте на угол 0 относительно направления 82
N02 = 2tK {Ае2 — Вг^. (5.55)
Направления главных деформаций определяют с помощью
изоклин. Решая совместно уравнения (5.53) и (5.54),
определяют величины главных деформаций. С другой стороны, по
результатам двух измерений при наклонном просвечивании
величины ei и 82 определяют с помощью уравнений (5.54) и (5.55).
Выбор покрытия
Оптическая постоянная покрытия f в уравнении (5.52)
представляет собой разность главных деформаций (или
максимальную деформацию сдвига), необходимую для образования одной
полосы. Чем меньше этот параметр, тем больше
чувствительность покрытия. Из (5.52) следует
, £1 — 62 тмакс _ Ожидаемый уровень деформации
^ N N Максимальное требуемое число полос '
Если ожидаемый уровень деформации соответствует ет
(деформации начала текучести материала образца), максимальное
число полос, которое можно наблюдать, равно ет//, или
eT/Ck/2tK). Для исследования деформаций в упругой
области N обычно выбирают не большим 4.
В основном следует использовать покрытия малой
толщины t. Для искривленных поверхностей толщина покрытия
обычно должна составлять менее 20% радиуса кривизны. Кроме
того, при изгибе тонких пластин (рис. 5.51) средняя
деформация в покрытии выше, чем деформация поверхности образца.
Если материал натуры имеет низкий модуль упругости,
покрытие будет подкреплять деталь. Нейтральная плоскость
сдвигается в направлении покрытия, и кривизна, создаваемая
изгибающим моментом, оказывается меньше, чем в натуре. Кроме того,,
Фотоупругость
303
фотоупругий эффект усредняется по толщине покрытия.
Необходимые поправочные коэффициенты для определения
действительных величин деформаций можно определить с помощью
графиков, представленных па рис. 5.52.
5.6. Использование компьютеров в фотоупругости
За последние годы было разработано несколько конструкций
автоматических полярископов. Среди них можно отметить
системы, описанные в работах [28- 30]. Однако непосредственное
использование цифровых вычислительных машин при
обработке данных фотоупругости было осуществлено Бюргером и
Волошиным в 1982 г. [31—33]. Их метод основан па использовании
способности выпускаемых промышленностью систем анализа
оптических изображений быстро обрабатывать информацию об
Измеряемая
Рис. 5.51. Влияние двоякопреломляющего покрытия на изгиб тонкой
пластины. N. А. — нейтральная ось.
интенсивности света по всему полю, переводить ее в цифровой
код и передавать в цифровое запоминающее устройство. Потом
эту информацию можно ввести в компьютер и обработать ее,
чтобы повысить степень разрешения и получить поля
напряжений.
Используемый в этой системе метод называется
фотоупругостью полуцелых порядков полос (ФПП), так как система
успешно работает при относительных разностях хода, меньших
целого числа половины длины волны. Ее схема показана на
рис. 5.53. Эту систему лучше всего рассмотреть на примере
традиционной поляризационной установки, состоящей из источника
излучения, поляризатора вместе с четвертьволновой пластиной,
четвертьволновой пластины вместе с анализатором и
устройством регистрации изображения. Вместо фотокамеры или
фотодиодов можно использовать эффективную, оснащенную
компьютером систему анализа оптических изображений, которая
содержит:
1) устройство сканирования, в котором использована
передающая телевизионная трубка для просмотра выбранной зоны
изображения. Картина делится 480 линиями, а каждая линия
304
Глава 5
Рис. 5.52. Поправочные коэффициенты Св (для изгиба) и CPS (для плоского
напряженного состояния) при использовании фотоупругих покрытий [26].
Модуль упругости материала Es (ГПа): 1) вольфрам — 407; 2) сталь — 207;
3) чугун —110; 4) алюминий —69; 5) магний —45; 6) бетон —31; 7)
армированный пластик—21; 8) дерево—12,5; 9) Modeltech-FR.l0—7,9; 10) Мо-
deltech-FR.20—4,1; 11) ПВХ —2,9.
разделена на 640 частей. Яркость изображения (величина Z)
преобразуется в видеосигнал. В результате такого деления
получается картина из 307 200 точек или элементов картины.
Значения X изменяются от 0 до 639, а У — от 0 до 479. Значение Z
меняется от 0 до 255, т. е. вся шкала серого диапазона от
белого цвета до черного делится на 256 различных оттенков. Эта
обеспечивает разрешение 8 бит;
2) цифровой преобразователь, который преобразует
видеосигнал в цифровую форму за 21 с и помещает его в регистр
Фотоупругость
305
Данные из регистра Z поступают в компьютер через контроллер
интерфейса;
3) цифровой преобразователь работает в реальном
масштабе времени и может преобразовать сигнал в цифровую форму
за 1/30 с. Это слишком быстро для прямой передачи в
компьютер, поэтому специальная шина цифрового преобразователя
данных передает данные в память для обновления информации,
откуда она позже может быть получена компьютером;
Источник
излучения
1. Поляризатор i ^ч2
2. Четвертьволновые
пластины
ЪЛиализатор
Печатающее
устройство
Клавишный
пульт
Интерфейс
ГБЕЕ
Компьютер
LSI -11
Графопост
роитель HP
Сдвоенный
гибкий
диск
2 ^3
Сканирующее
устройство
Контроллер
интер фей -
са
Сдвоенный
жесткий
диск RK05
Z -регистр
Монитор
дисплея
Рис. 5.53. Схема системы ФПП. 4 — преобразователь данных с произвольной
выборкой 640X480X8 бит; 5 — преобразователь данных в реальном масштабе
времени 640X480X8 бит; 6 — регенерация памяти 640X480X8 бит, 256
двоичных уровней серого цвета.
4) дисплей, на котором изображается информация и
который действует как графический и числовой терминал для
обработки информации, совершенствования программы и
отображения информации в графическом виде.
Из уравнения (5.36) для полярископа круговой поляризации
с темным полем интенсивность проходящего света определяется
соотношением
I = Ksm*(R/2), (5.36)
где К — постоянная, R — разность фаз между компонентами
светового луча вследствие разности главных напряжений (о\—
20—1480
306
Глава 5
о2), причем /=0, когда /?/2 = шх при /г=0, 1, 2, 3. Для этих
значений N=R/2n = n=0, 1, 2, k, т. е. темные полосы имеют
целые порядки N.
В полярископе круговой поляризации со светлым полем
I = K cos2 (Л/2). (5.37)
Гашение света происходит, когда / = 0, т.е. когда R/2=l+2n/2n
при п = 0, 1, 2, k. Тогда W=t/?/2n=l/2 + /z,= lf2f 3/2, 5/2,
(2я+1)/2. Эти темные полосы имеют полуцелые порядки.
Распределение интенсивности света, соответствующее
уравнению (5.36), показано на рис. 5.54.
А
Рис. 5.54. График интенсивности излучения для полярископа круговой
поляризации с темным полем. А — рабочий диапазон для фотоупругости
полуцелых порядков.
При использовании системы фотоупругости полуцелых
порядков полос в процессе анализа изображения различаются 256
серых тонов в любом интервале от 0 до я/2, от зт/2 до л и т.д.
Однако распознать интервал изменения порядка невозможно,
т. е. нельзя установить, какой из полуцелых порядков
регистрируется. Поэтому экспериментальные параметры должны быть
выбраны так, чтобы 0>Д>я/2, Q>N>\j2. Преобразование
графика интенсивности в цифровую форму производится по
оси / так, что деления одинакового серого тона соответствуют
нечетным приращениям напряжения.
Чтобы сохранять соотношение N=(g\—02)A/fe<l/2,
параметры Л, fa и oi—02 должны быть подобраны соответствующим
образом. При этом необходимо выполнение одного из
следующих условий или всех их: 1) малая величина oi—02, т.е. низкие
касательные напряжения в моделях (обычно это означает, что
нагрузки в модели низкие); 2) большая величина f0, т.е. низкое
двойное лучепреломление, вызываемое нагрузкой в материале
Фотоупругость
307
модели; 3) малое т.е. тонкая модель. Первое и последнее
условия желательны во всех исследованиях методом
фотоупругости. Низкие нагрузки означают малые деформации, снижение
нелинейности и лучшее моделирование деформаций натуры.
Тонкие модели лучше аппроксимируют плоское напряженное
состояние и упрощают выполнение требования, чтобы поле о\—
02 не изменялось по толщине модели или среза. Больших
величин fG (т. е. применения материалов с низкой чувствительностью
к нагрузке) обычно избегают. При использовании материалов
с низкой оптической чувствительностью высокие порядки полос
•в моделях можно получить только при больших нагрузках и
очень толстых моделях. Стремления уменьшить величину fa не
позволило использовать многие материалы, обладающие
другими весьма полезными характеристиками. Для ФПП часто
бывают пригодны материалы с большой величиной fCi так как
в этой методике не нужны слишком высокие порядки полос.
Теперь рассмотрим равенство (5.36), включив в него
интенсивность /0 из уравнения (5.42) для частного сочетания модели
и полярископа:
J = /0sin2(i?/2) или i?/2 = arcsin 1/777^.
Тогда уравнение (5.18) принимает вид
(аг - а2) = 8/Ch = {2X/nCh) arcsin УЩ>- (5 -56)
Для описанной здесь цифровой оптической системы нет
аналогов по способности измерять 1/10 с очень высоким разрешением.
Реакция Z видеокамеры на свет определяется линейной частью
логарифмического графика при Z=K I1, где Z—
преобразованный в цифровую форму выходной сигнал для каждого элемента
в поле изображения; / — яркость этого элемента изображения;
•у — наклон линейной части логарифмической кривой; К' —
коэффициент пропорциональности. Если выходной сигнал от
наиболее яркой точки /макс в поле наблюдения равен ZMaKC, то
2макс = ^'/тмакс. Таким образом, яркость в любой точке данного
поля можно протарировать относительно наиболее яркой
точки в этом поле. Применительно к фотоупругому эффекту
получаем
sin2 (Nn) = (Z/ZMaKC)1/v sin2 (JWrc).
Для использования методики ФПП необходимо, чтобы Агмаьс^
^1/2, так что для наивысшего допустимого выходного сигнала
sin2 (iVMaKCл) = 1, или N=(i/n) arc sin (Z/ZMaKC)1/2v
Точные величины N в любой точке можно получить с помощью
компенсации по методу Тарди, настраивая полярископ так, что"-
20*
308
Глава 5
бы изоклина проходила через рассматриваемую точку, и затем
вращая анализатор от положения, соответствующего темному
полю, до тех пор, пока в этой точке не будет наблюдаться
минимальная интенсивность (величина Z). Если повторять эту
процедуру для ряда различных точек в поле, можно построить
тарировочный график. В двойных логарифмических
координатах проводят прямую линию, наилучшим образом
согласующуюся с экспериментальными точками, так что
N = (1/л) arc sin (Z/£ZMaKC)1/2v,
где В близко к единице (В =1 ±0,05) и у — наклон линии.
Из уравнений для произвольного положения анализатора,
используемых при компенсации по методу Тарди, получаем
следующую зависимость для интенсивности света, выходящего из
полярископа круговой поляризации, настроенного на темный
фон при анализаторе, повернутом на произвольный угол (}:
/р = К (1 — cos 2Р cos Д — sin 2|32 cos 2а sin А),
где р— угол поворота анализатора из скрещенного положения,
или положения темного поля; а — угол изоклины; Д —
относительное запаздывание. Если оси полярископа в исходном
положении были установлены параллельно направлениям главных
напряжений в исследуемой точке (т.е. ориентированы по
изоклинам), то угол изоклины а равен нулю, а
/р = К (1 — cos 2Р cos Д — sin 2р sin Д).
Если анализатор повернуть из этого положения на ±90°, то
^р±90° = К(1+ cos 2Р cos Д + sin 2ср sin Д).
Сложение дает /р+/р±9оо=2К=2/0. Тогда
/0 = (1/2)(/р + /р±90о), (5.57)
где /0 — интенсивность просвечивающего пучка света, поэтому
J = /0sin2(iVjx).
Отметим, что /о или К можно определить непосредственно из
уравнения для /р без первоначальной ориентации полярископа
с помощью изоклин. Таким образом, сумма интенсивностей при
двух взаимно перпендикулярных установках анализатора
постоянна и равна 2/о. Эта величина не зависит от того, нагружена
модель или нет. Она равна исходной интенсивности
просвечивающего пучка света для каждой точки в поле модели и
включает все изменения плотности поля независимо от того, внесены
ли они моделью, источником света или оптическими
элементами. С _ж л
Фотоупругость
309
Если существует долговременный дрейф в тарировке
камеры, т. е. изменение К' или у, то проверка с помощью
компенсации по методу Тарди выявит его. Поэтому такая проверка до
и после каждого испытания является стандартным приемом.
Рассмотренная методика была применена для решения
широкого круга задач, включая задачи механики разрушения при
квазистатических [34, 35] и нестационарных температурных
напряжениях [36], определения напряжений в плоских и
трехмерных задачах [37] и в композитных материалах [38, 39].
5.7. Динамическая фотоупругость1)
Применение фотоупругости к решению динамических задач
рассмотрено в работах [5, 16, 40]. Дэлли установил, что закон,
связывающий двойное лучепреломление с напряжениями,
справедлив и для случая динамических нагрузок [41]. Таким
образом, разность главных напряжений oi—02 можно определить по
обычной формуле oi—O2 = Af/0*/ft, где N— порядок полосы; h —
толщина модели; /с* — динамическая оптическая постоянная
материала, которая обычно на 10—30% выше статического
значения. Разделение главных напряжений для получения их
величин по отдельности в случае динамики осуществить обычно
намного сложнее, чем для статической задачи, так как
большинство известных методов разделения напряжений основано
на уравнениях равновесия напряжений или уравнении Лапласа,
которые не справедливы для динамических задач. В некоторых
случаях разделение oi и 02 оказывается возможным при
использовании только картины изохром [41].
Свободные границы
Рассмотрим любой тип волны или комбинацию волн,
распространяющихся вдоль свободной границы модели, направленной
по оси х. В этом примере Oi = o*, 02 = 0^ = 0 и т^=0. Оптический
закон, связывающий двойное лучепреломление с напряжениями,
принимает вид oi = Nfa*/h.
Жесткие границы
В случае распространения продольной волны вдоль жесткой
границы, расположенной по оси х, такая граница стесняет поле
перемещений, поэтому
дих/дх = dujdy — dujdy — диу/дх = 0.
4> Метод динамической фотоупругости, отечественная аппаратура и
различные примеры изложены в работе [114]. — Прим. ред.
310
Глава 5
Отсюда следует, что оси координат Оху — главные оси, так что
_J_Nft_ _ -у Nf*
°i - i_v h ' 1-у h *
Распространение осесимметричной радиальной волны
Оеесимметричная волна расширения возникает тогда, когда
нагрузка характеризуется центром расширения в некоторой
внутренней точке модели [40]. Волна распространяется наружу
в радиальном направлении от центра, и поле перемещений
в любой момент времени можно представить в виде ur=f(r)
и ие = 0. Вследствие ограниченности поля перемещений поле
деформаций задается в виде
1 + у /S f N ,
еее= g г) — dr,
г
Напряжения получают по закону Гука для двухосного
напряженного состояния:
сгг = Е (егг + ve08)/(l — v2),
aee = ^(eee + verr)/(l-v2).
Распространение волны сдвига
Так как волна сдвига распространяется без изменения
объема, первый инвариант напряжений 1{ и первый инвариант
деформаций J\ равны нулю, поэтому oi = —02=Af/v72ft. В общем
случае, когда две или более волны напряжений
накладываются друг на друга во внутренних зонах модели, без
дополнительных экспериментов нельзя разделить напряжения. Можно
определить одну компоненту динамического поля деформаций с
помощью метода муаровых полос и использовать ее для
разделения напряжений в сочетании с порядками полос, полученными
по картине изохром [42]. В работе [43] рассмотрена
оригинальная оптическая система, в которой для получения oi—02 и о\ +
+ 02 осуществляется одновременная регистрация картин изохром
и изопах, что позволяет легко разделить напряжения.
Динамическая тарировка
Динамическая тарировка фотоупругого материала обычно
осуществляется при ударе по концу длинного стержня
квадратного сечения пулей, выпущенной из пневматического ружья [44].
Фотоупругость
311
Датчики деформаций (двух-/7
элементные розетки)
устанавливают в центре стержня на
верхней и нижней
поверхностях, а пучок поляризованного
света пропускают
перпендикулярно вертикальным
поверхностям стержня в том же
сечении. Для получения
зависимости N(t) интенсивность
света, выходящего из
полярископа, регистрируют с помощью
фотодиода, а тензодатчики
дают зависимости ea(t) И st(t). Рис. 5.55. Подобие волн в модели и
Сигналы регистрируются на натуре,
экране осциллографа
одновременно. Тензодатчики устанавливают также и в другом сечении
стержня, чтобы можно было измерить скорость
распространения волны в стержне. По полученным данным определяют
оптические и механические характеристики материала, используя
соотношения
v = — et (ti)/ea (tt) и Св = slt^
где v — коэффициент Пуассона, t% — время распространения волны
в стержне между двумя тензодатчиками, Св —скорость
распространения волны. При плотности материала р
Е = С%р, ft = h(l + v)sa(t)fN(t),
f*G = Ef*/(l+v).
Законы моделирования при динамических исследованиях
Помимо обычного требования геометрического подобия при
динамических исследованиях формы импульсов должны быть
подобны в модели и натуре и иметь тот же масштаб, что и
линейные размеры. В задачах удара при этом требуется, чтобы
также правильно воспроизводился масштаб ударяющего тела
и чтобы плотности и модули упругости ударяющего и
ударяемого тел находились в таком же соотношении, как в натуре:
VsJihi = Рвм/рм» EsJEn = Esm/Em.
Здесь индекс s относится к ударяющему телу, а индексы н и
м — к натуре и модели. Для равных сил инерции в стержнях
из уравнения движения следует
{док/дхн)/дот/дхш) == рнан/(рм«м) = 1,
312 Глава 5
^FHdtl^FMdt==^-\ oHdxl^-^oMdx.
В этом уравнении ^ adx можно заменить на ох или оЬ;
учитывая также, что m = pL3 и 4 = L2, получаем
vH/vM = сыршон/ (снрнам).
Если считать, что эти требования для аналогичных условий
обычно выполняются, то распределения напряжений в модели
и натуре будут соответствовать друг другу в различные
моменты в процессе соударения, когда волны напряжений уже прошли
соответствующие расстояния. Это происходит, когда tJtH =
= LMcH/(LHcM), где / — время, прошедшее с начала соударения,
с — скорость распространения импульса. В случаях стержней
и в других задачах при vM = vH имеем си/см = У(EJEM) (рм/рн).
Приведенное выше уравнение принимает вид
tjtn = (LJLU) (EJEMy/* (рм/рн)1'2.
Динамическая фотоупругость оказалась эффективной при
решении многих задач в области геофизики [45], разрушения [46],
ультразвуковой дефектоскопии [47] и во многих других случаях.
Методы регистрации
Вероятно, наиболее сложная проблема в динамической
фотоупругости — регистрация картин изохроматических полос,
характеризующих нестационарное напряженное состояние.
Регистрация затруднена, поскольку полосы движутся с очень большими
скоростями, достигающими 2500 м/с при распространении
продольных волн в плоских моделях, изготовленных из материала
гомалит-100. Из большого числа систем, применяемых для
высокоскоростной фотографии, в динамической фотоупругости нашли
применение две.
Для многовспышечной камеры Кранца — Шардина
характерная длительность экспозиции изменяется от 400 до 500 не [48].
В модификации этой системы вместо импульсных ламп в
качестве источника используется лазер, генерирующий
последовательные импульсы длительностью от 12 до 20 не. Такие системы
вполне подходят для исследования распространения волн [49„
50] и процессов разрушения [51].
в то время как для подобия импульсов (рис. 5.55) требуется,
чтобы
dFJdxH = dFJdxM, FJxH = FJxM.
Соотношение между скоростями двух соударяющихся тел имеет
вид
mnvH
Фотоупругость
313
Лазерные системы позволяют получать очень короткие (12—
30 не) импульсы света высокой интенсивности, что дает
возможность регистрировать картины полос фотоупругости при
динамических процессах с очень высоким разрешением.
Недостаток таких систем в том, что импульсы от одного лазера не
повторяются достаточно быстро, чтобы регистрировать более одного
кадра за время переходного процесса. Для получения
временной зависимости необходимо повторять процесс с тщательно
контролируемыми сдвигами по времени и при воспроизводимых
нагрузках.
5.8. Фототермоупругость
На фотоупругих моделях можно определять как
стационарные, так и нестационарные температурные напряжения, измеряя
двойное лучепреломление в модели, связанное с
самоуравновешенными температурными напряжениями, которые в свою
очередь вызываются изменением температур в моделях [52] 1\
Когда температура тела равномерно изменяется, тело
свободно расширяется и в нем возникают однородные
температурные деформации. Если коэффициент теплового расширения
материала постоянен при температурах от Т\ до Г2, то
температурные деформации определяются как et = a(T2—Т{) =а(АТ).
Если тело не может свободно расширяться, в нем возникают
температурные напряжения. Эти напряжения пропорциональны
коэффициенту теплового расширения а, модулю упругости Е
и изменению температуры АГ. При одноосном ограничении
расширения, как в случае длинного стержня, закрепленного на
концах, осевые температурные напряжения составляют Gt—Ea(AТ).
Если ограничение теплового расширения двухосное, как в
случае пластины, закрепленной вдоль контура, а=а£(ДГ)/(1—v),
где v — коэффициент Пуассона материала. К счастью,
стеснение тепловой деформации не всегда абсолютно жесткое, и
температурные напряжения снижаются на величину,
характеризуемую коэффициентом стеснения К, так что Gt = KEa(AT) при
Я<1.
Нестационарные температурные напряжения возникают,
когда температура в некоторой зоне или на одной из поверхностей
детали изменяется. Такие температурные напряжения
изменяются во времени до тех пор, пока не будет достигнуто тепловое
равновесие в соответствии с новыми условиями [52, 53]. Как
величина, так и распределение температурных напряжений за-
о В отечественной практике широко применяется метод механического
моделирования температурных напряжений, развитый в работах Н. И. Пригоров-
ского, Г, С. Варданяна и др. [112]. — Прим. ред.
314
Глава 5
висят от того, насколько «внезапно» изменяется температура на
поверхности. В некоторых случаях (например, взрыв около
поверхности или воздействие импульсного лазерного пучка
высокой энергии на небольшую площадь поверхности) тепловое
воздействие настолько резкое, что в материале возникают упругие
волны из-за того, что температурные напряжения
«сопровождаются» инерционными эффектами материала.
Это настоящий тепловой удар, при котором образуются
волны напряжений, аналогичные ударным волнам; для его
возникновения требуются значительные изменения температуры за
промежутки времени, короткие по сравнению с временем
механической реакции конструкции. Отношение времени нагрева
к характерному периоду собственных колебаний определяет
амплитуду динамического перенапряжения. Таким образом,
поскольку для большинства конструкций периоды собственных
колебаний имеют порядок 10~4—10~6 с, инерционные эффекты
будут иметь существенное значение, только если время нагрева
будет составлять от 10~6 с до, возможно, 10~2 с.
Когда тепловой поток распространяется около места
нарушения сплошности материала, такого, как отверстие или
включение, происходит местное повышение температуры, которое
вызывает быстрое изменение концентрации напряжений или
коэффициентов интенсивности напряжений [54]. Коэффициенты
интенсивности термоупругих напряжений в трещинах достигают
максимума во время нестационарных тепловых процессов. Эти
коэффициенты интенсивности напряжений значительно выше,
чем при стационарных процессах [55].
Соотношения подобия
Существует несколько факторов, которые влияют на
измерения температурных напряжений, но не влияют на
изотермические испытания. Помимо упомянутых выше параметров
материала и теплопереноса необходимы масштабные
коэффициенты для размеров, температуры и скорости нагрева. Хованесян
и Ковальский [56] получили соответствующие соотношения
подобия, которые включают в себя масштабные коэффициенты
температур, размеров и времени. Если обозначить параметры
модели индексом «м», а параметры натуры индексом «н», то-
для плоского деформированного состояния отношение
напряжений натуры и модели выражается в виде
gH Ев ап 1—vM ДГн
Ом Ем ам 1—vH А!ГМ "
Здесь Е — модуль упругости, а— коэффициент теплового
расширения, v — коэффициент Пуассона и АГ — разность температур-
Фотоупругость
315
Подобно этому, коэффициент времени т, который связывает
время, необходимое для получения определенного профиля
температур в реальной конструкции, с соответствующим временем
для модели, выражается соотношением
т== *н _ Ki Сн рн / 1п \2= Ем /Jh\2
*м &н £м Рм \ 1м I Рн V / '
где С — удельная теплоемкость, р — плотность, k —
теплопроводность, IJIM — масштаб модели, $ = k/pC — коэффициент
температуропроводности. Коэффициент р для некоторых
материалов имеет следующие приближенные значения (см2/ч): 500 —
сталь, 19 — бетон, 6 — эпоксидный материал. Таким образом,
для модели из пластмассы, выполненной в натуральную
величину, и натуры из стали т будет иметь значения в пределах между
0,01 и 0,012, т. е. время протекания теплового процесса в модели
.может быть в 100 раз больше значения для металлической
натуры тех же размеров. Такое замедление процессов в модели,
очевидно, облегчает исследования температурного удара и
других быстро протекающих процессов, но требует больших затрат.
Так как процесс медлен, то любая нерегулярность в темпера-
турно-временной истории, останется в модели на некоторое
время (возможно, 30 мин или более), поэтому точный контроль за
температурами на поверхности должен вестись постоянно. Это
осложняет проведение эксперимента. В исследованиях
температурных напряжений в бетоне модель обычно намного меньше
натуры. Для моделей в масштабе 1 : 100 т^ЗООО. В больших
конструкциях выделение тепла в процессе гидратации бетона
охватывает период 20—30 сут, поэтому возникающая задача
температурных напряжений может быть исследована на
модели из эпоксидного материала в течение 10—15 мин.
Материалы для изготовления моделей
Так как коэффициент температуропроводности р = £/рСр
является определяющим параметром для теплового потока в
твердом теле при неустановившихся режимах, теплопроводность k,
удельная теплоемкость Ср и плотность р вместе с
коэффициентом теплового расширения а, модулем Юнга Е, коэффициентом
Пуассона v и оптической постоянной fa важны при определении
масштаба времени возникновения напряженного состояния в
модели с температурными напряжениями [53, 57].
Обычно в фогоупругости для сравнения различных
материалов моделей используется показатель качества Для фото-
термоупругости показатель качества выражается как Qt =
=£сс//о. При оценке материалов моделей на пригодность в
исследовании температурных напряжений при неустановившихся
316
Глава 5
-40 -30 -20 -10
50 60
20 30 40
Температура/С
Рис. 5.56. Характеристики трех материалов, представленные в виде графиков
зависимостей от температуры. 1 — EPON 828; 2 — PSM-1; 3— аралдит-502.
а — модуль продольной упругости Е (109 Н/м2).
режимах в сочетании с показателем качества следует
использовать важный параметр теплопередачи —
температуропроводность.
В работе [57] представлены характеристики трех
материалов: эпоксидной смолы, отверждаемой при комнатной
температуре (аралдит-502 с отвердителем 951), эпоксидной смолы
горячего отверждения EPON828 с фталевым ангидридом в
качестве отвердителя и полиэфирной смолы PSM-1,
изготавливаемой фирмой Photolastic (рис. 5.56).
318
Глава 5
-40 -30 -Z0
0 10 20 30 40 50 60
Температура,°С
80 90
Рис. 5.56. в — оптическая постоянная fa (кН/м).
-совых частей полиэфирных смол Laminae 4116 (жесткая) и 4134
(мягкая)]. Эти материалы деформировали при температуре
между 40 и 51 °С. В табл. 5.11 и 5.12 представлены перечень
различных методов фотопластичности и их приложения [59, 61].
5.10. Двойное лучепреломление в потоке жидкости
Метод двоякопреломляющего потока жидкости служит для
визуального исследования сложных задач течения
жидкости [84] 1\ Большинство визуальных методов дает только каче-
]) Обзор отечественных работ в этой области, а также применение двояко-
преломляющей жидкости см. в [114]. — Прим. ред.
Фотоупругость
л 1—i 1 1—i r—
0
A
— ~д Д A Г
о j£ ^-o—5 о о
о/
°J
J I I I I I I
-40 -30 -20 -10 0 10 Z0 30 40 50 60 70 80
Температура/С
Рис. 5.56. б — коэффициент Пуассона v.
5.9. Фотопластичность [58, 59]
Оптическое двойное лучепреломление в неупругом
диапазоне впервые наблюдал в стекле в начале XX века Файлон?
[15]. Однако только в начале 1950-х годов появилось
несколько дополнительных публикаций по этому вопросу1*. Фрайд.
наблюдал оптические эффекты в различных материалах при
нагружении их за пределами упругости. Исследования
проводились на полистироле, люсите, плексигласе, найлоне, ацетил-
целлюлозе, хлористом серебре и целлулоиде. Он обнаружил,,
что наиболее подходящий материал — целлулоид, и
использовал его для определения коэффициентов концентрации
напряжений и распределения деформаций в условиях ползучести.
Бюргер и др. [60] применяли полиэфирные смолы в
качестве фотомеханических материалов и показали, что их можно-
использовать для решения трехмерных задач
фотопластичности, связанных с определением напряжений в катаных
заготовках после их разгрузки. Изменяя состав материала и
температуру испытаний, исследователи регулировали
характеристики пластичности так, чтобы они достаточно хорошо
соответствовали свойствам горячего металла. Они применяли
«жесткий» и «мягкий» материалы [с соотношением 60/40 и 70/30 ве-
!> См. работы [125—127]. — Прим. ред.
Фотоупругость
319
г
78,8
а
о
-59,1
v—а а-
■Л-д-
a Z
-19,7
□ 3
-40 -30 -Z0 -10 0 10 20 30 40 50 60 70 80
Температура ,Х
Ряс. 5.56. г —отношение Ea/fa (м-^С-1)
ственную информацию о движении жидкости. Метод двоякопре-
ломляющего потока был применен для количественных
исследований задач двумерного ламинарного течения. В методе
используется двойное лучепреломление, которое проявляют в
потоке некоторые жидкости и коллоидные системы. Картины полос
интерференции количественно связаны со скоростью
деформации текущей жидкости. Этот метод обладает определенным
преимуществом перед другими экспериментальными методами
измерений гидродинамических характеристик потоков,
поскольку он не требует помещения зондирующих или измерительных
приборов в жидкость; поэтому не вносится местных
возмущений.
В теориях двойного лучепреломления потоков жидкости
рассматриваются два вида явлений: 1) вытягивание и ориентация
длинных полимероподобных цепей; 2) деформирование или
ориентирование взвешенных макромолекул или коллоидных
частиц [85, 86]. Соответственно этим видам делятся на группы
и теории. Первая группа теорий была применена к
исследованиям двоякопреломляющих потоков растворов высокополиме-
ров. В этих теориях выводится закон, связывающий двойное
лучепреломление с напряжениями (как в методе фотоупругости),
т.е. соотношения между ориентацией оптических осей и
главными направлениями поля напряжений в растворе полимера
и между относительной разностью фаз и разностью главных
Фотоупругость
321
Таблица 5.12. Приложения фотопластичности [61]
Решаемые задачи
Литература
Концентрация напряжений:
стержни с вырезами
стержни с отверстиями
вал с выточкой при кручении
Деформирование металлов:
сжатие цилиндра
прессование
горячая прокатка
высадка колец
штамповка
чистый изгиб
сжатие клина
Другие задачи:
хрупкое разрушение полиэфира
анализ модели разрушения Дагдейла для
поликарбоната
71, 73, 58
63—66, 73—75
72
70, 76
77
60, 78
60, 79
80
67
80
81
82, 83
напряжений в плоскости, перпендикулярной пучку
поляризованного света. Вторую группу теорий можно подразделить на
теорию деформации, устанавливающую связь двойного
лучепреломления с деформацией оптически изотропных частиц, и
теорию ориентации, согласно которой двойное
лучепреломление потока возникает в результате ориентации геометрически
и оптически анизотропных частиц. В обеих разновидностях
теорий второй группы двойное лучепреломление связано с
деформацией сдвига. Соотношения, линейные при малых скоростях
сдвига, становятся нелинейными при больших скоростях [86].
Оптический принцип двойного лучепреломления в потоке
подобен явлению, наблюдаемому в одноосных и двухосных
кристаллах. Луч света, проходящий через такие среды,
разделяется на две составляющие, которые пространственно совпадают,
но распространяются с различными скоростями в среде
вследствие оптической анизотропии, возникшей при течении.
Интенсивность света U в плоскости регистрации полярископа со скре-
щеннмми осями поляризатора и анализатора определяется
соотношением
V /0я!п-(я f/(/l2~ni jsin^cp,
где /о — ияч 1.1ЫЫЯ интенсивность падающего света, а —
коэффициент поглощения на пути света, ср — угол между осью
поляризации поляризатора и оптической осью двоякопреломляю-
щей среды.
21—1480
Таблица $.Н. Методы фотопластичности [61]
Литература
Материал моделей
Комментарии
62
63
64—66
67
68
67
69
70
71
72
Целлулоид
Поликарбонат
Полиэфир
Целлулоид и аралдит
Полиэфир
Поликарбонат
Эпоксидный материал
Плоские модели: нагружение
Изохромы и изоклины связаны с разностями и направлениями
главных напряжений. Исследуются задачи концентрации
напряжений; применяется метод разности касательных
напряжений.
Для определения границы упругопластических зон используется
дисперсия двойного лучепреломления.
Двойное лучепреломление, связанное с деформацией.
Оценка точности при испытании балки при чистом изгибе.
Двойное лучепреломление связывается с деформациями.
Фотореологический метод; рассматриваются зависящие от
времени скорости деформации ползучести и скорости мгновенных
упругопластических деформаций.
Плоские модели: разгрузка
Двойное лучепреломление связывается с деформациями;
анализируется концентрация напряжений вокруг круговых отверсхИЙ
в пластине.
Объемные модели : разгрузка
Для определения пластических деформаций используется
зафиксированное в модели двойное лучепреломление; из модели
получают срезы; исследуют процессы горячей обработки
металлов (например, прокатку, высадку, прессование).
Используется двойное лучепреломление после разгрузки для
определения пластических деформаций.
Используется ползучесть и характеристики замораживания
эпоксидного материала при температурах нагрева, которые
значительно ниже критической температуры.
Объемные модели: под нагрузкой
Пропринат целлюлозы
Для моделирования упругопластического поведения металла
используются вязко упругие характеристики; для измерения
двойного лучепреломления применяется метод рассеянного света.
322
Глава 5
Два условия, вызывающие гашение света, приводят к
изоклинам и изохромам. Это единственная оптическая
информация, которую можно получить из двойного лучепреломления
потока. Чтобы воспользоваться этими данными для решения
задач течения жидкости, надо установить их связь со
свойствами применяемой жидкости и характеристиками потока, как
отмечалось в начале раздела.
В работе [84] дан обзор достижений в исследованиях
двумерного двоякопреломляюшего течения жидкости. При
исследованиях двумерного течения берется интегральная величина
двойного лучепреломления вдоль пути света. Граничные
эффекты вблизи стенок канала, перпендикулярных пучку световых
лучей, не учитываются. Чтобы связать распределение локальной
скорости деформации и скорость течения с двойным
лучепреломлением потока, необходим трехмерный метод. Определенные
возможности для решения трехмерных задач двойного
лучепреломления в потоке жидкости дает использование метода
рассеянного света [87]. Усовершенствование лазеров позволяет
получить источники света с очень высокой интенсивностью и
делает метод рассеянного света пригодным для измерения
двойного лучепреломления.
Когда луч света проходит через среду, он рассеивается
каждой частицей, на которую падает, поэтому рассеянный свет
можно наблюдать в любом направлении. Если среда оптически
анизотропная (например, текущая двоякопреломляющая жидкость),
электрический вектор световой волны можно разложить на две
составляющие, параллельные главным оптическим осям в
плоскости, нормальной к направлению распространения луча. Эти
составляющие проходят через среду с различными скоростями,
причем их разность хода пропорциональна разности двух
главных показателей преломления в плоскости, нормальной к лучу.
Если пучок света монохроматический и имеет круговую
поляризацию, две волны усиливаются или ослабляются в зависимости
от разности их фаз, возникшей вдоль линии распространения.
Интенсивность рассеянного света меняется при изменении
направления наблюдения проходящего пучка, а также в
зависимости от положения точки наблюдения вдоль этого пучка.
Интенсивность будет максимальной или минимальной, когда
наблюдение производится вдоль линии, расположенной под
углом 45° к квазиглавным осям (главные оси в плоскости
наблюдения) в плоскости этих осей. Таким образом, при
исследованиях методом рассеянного света получают два типа данных:
1) о разности главных показателей преломления в плоскости,
перпендикулярной направлению распространения света; 2) об
ориентации квазиглавных осей относительно системы координат.
Рабочее уравнение имеет вид dn/ds=f(ni'—п2'), где dn/ds —
Фотоупругость
323
градиент порядка полос п относительно расстояния s вдоль
мучка света, ri\ —п2' — разность главных показателей
преломления в плоскости, нормальной к лучу света. Для двумерных
двоякопреломляющих потоков можно предположить, что п\—п2'
является функцией максимальной скорости сдвига £Макс в
плоскости, нормальной к лучу света:
dn/ds = f{Emai{c). (5.58)
Таким образом, скорость сдвига можно определить по
экспериментальным значениям dnfds. В работе [87] показано, что
уравнение (5.58) для трехмерных потоков несправедливо.
Максимальная скорость сдвига в плоскости, параллельной лучу света,
также вносит вклад в двойное лучепреломление, поэтому
dn/ds = g{Eu Е2), (5.59)
где Е\ и Е2 — максимальные скорости сдвига в плоскостях,
соответственно перпендикулярных и параллельных лучу света.
В работе [87] было выведено оптико-механическое
уравнение для ламинарного потока коллоидной суспензии желтого
красителя в ньютоновской области. Когда пучок световых лучей
расположен в плоскости симметрии, где Еху или Ехг равно нулю,
градиенты порядков полос можно выразить в виде
С±\Еху\ при Exz=0,
C2IEXZ\ при Еху = 0,
(5.60)
С±\Ехг\ при Еху = 0,
С2\Еху\ при Exz = 0.
Эти соотношения несправедливы, когда свет не пересекает поток
ь плоскости симметрии. На основе экспериментальных данных
в работе [87] предложены следующие оптико-механические
соотношения для потока:
(dnlds)xy = УС\Е1УЛ-С\Е1Х,
{dnlds)xz=VC{E%z + C\Ely,
где постоянные С{ и С2 тс же, что в уравнениях (5.60).
Формулы (5.61)—оспошшс соотношения для метода рассеянного
света. Метод был применен для исследования потоков через прямые
каналы прямоугольного, круглого и полукруглого сечений
Как только определены скорости сдвига с помощью метода
рассеянного света для двоякопреломляющего потока, поле ско-
/ dn \
\ ds /ху
/ dn \
\ ds )ху~~
( dn \
\ ds Jxz
/ dn \
\ ds ] xz
21*
324
Глава 5
ростей можно получить путем интегрирования
дифференциальных уравнений в частных производных вида
V2u — 2д*и/дх2 = 2 (дЕху1ду + dEJdz),
где и — компонента вектора скорости в направлении х.
Скорости деформаций и скорости потока, полученные
экспериментально, хорошо соответствуют теоретическим результатам для
четырех исследованных случаев потока жидкости.
В случае двоякопреломления в плоском потоке изоклина
зависит от скорости сдвига. Вследствие этого, изоклина,
указывающая на ориентацию оптических осей двойного
лучепреломления, не совпадает с осями квазиглавных напряжений,
как и в фотоупругости. При использовании метода рассеянного
света для трехмерных потоков изоклины зависели от скорости
сдвига как по нормали к лучу света, так и параллельно ему.
Таким образом, непосредственная интерпретация изоклин
оказалась невозможной.
Двоякопреломляющие жидкости
Используемые для исследований течения
двоякопреломляющие жидкости можно разделить на две группы. Первая группа
включает в себя различные полимерные растворы. К этой
группе принадлежат полимерные растворы полистирола, полиизобу-
тилена и этилцеллюлозы. Было показано, что их поведение
согласуется с теорией вытягивания и ориентации молекул
с длинными цепями. Эти жидкости были объектами
исследования потоков вязкоупругой жидкости посредством измерения
двойного лучепреломления. К второй группе принадлежат
двоякопреломляющие жидкости, содержащие макромолекулы или
коллоидные суспензии. Предполагалось, что некоторые из них
описываются теорией двойного лучепреломления при
деформации изотропных частиц. Как установлено на основе
экспериментальных данных, большинство других жидкостей
соответствует теории ориентации анизотропных твердых частиц. Растворы
пятиокиси ванадия и бентонита, кунжутное масло, вирус
табачной мозаики, этиловый эфир коричной кислоты и коллоидная
суспензия желтого красителя относятся к этой группе.
Большинство этих жидкостей обладает нежелательными
характеристиками: чрезмерно высокой вязкостью, низкой оптической
чувствительностью, неустойчивостью к контакту с большинством
конструкционных материалов и сложностью приготовления.
Жидкость без таких характеристик — водный раствор
коллоидной взвеси желтого красителя N. G. S., выпускаемого фирмой
Keystone Aniline and Chemical Co.
Фотоупругость
325
Распространенность желтого красителя связана с его
высокой оптической чувствительностью по сравнению с другими
двоякопреломляющими жидкостями. Оптическая
чувствительность и вязкость возрастают с увеличением концентрации
красителя, а также зависят от температуры. В оптически
чувствительных жидкостях концентрации желтого красителя
составляют от 1,2 до 2,0 вес. %. При комнатной температуре можно
растворить менее 1 вес.% порошка желтого красителя.
Основной метод приготовления рабочей жидкости — добавление в
кипящую дистиллированную воду приблизительно 1 вес.%
порошка. Затем смесь кипятят до получения взвеси красителя
требуемой концентрации. Подробное описание приготовления
суспензии желтого красителя дано в работе [86]. Характеристики
растворимости желтого красителя рассмотрены в работе [88].
В обзоре [89] приводятся характеристики растворов желтого
красителя.
Суспензия желтого красителя, как правило, обладает
неньютоновскими реологическими характеристиками. Для указанных
выше концентраций красителя в диапазоне температур между
22,4 и 29,8 °С жидкость является квазиньютоновской при очень
низкой скорости сдвига 3,10 с-1, а также при скорости сдвига
выше 500 с-1. В промежутке между этими скоростями сдвига
характеристики неньютоновские. Для количественной оценки
желательно работать в неньютоновской области низких
скоростей сдвига и, следовательно, при низких числах Рейнольдса.
5.11. Ортотропная фотоупругость
Применение фотоупругости в проходящем свете к двоякопре-
ломляющим ортотроппым материалам моделей известно под
названием ортотрошюй фотоупругости. Материалами моделей
служат композиционные (обычно армированные
стекловолокном) материалы, которые получаются прозрачными в
результате тщательного подбора показателей преломления волокна
и матрицы [90, 91]. Хотя материал в микромасштабе
гетерогенный, в макромасштабе его можно рассматривать как
непрерывный с вполне определенными фотоупругими
характеристиками [92].
Несколько теорий ортотропной фотоупругости рассмотрено
в работе [93], а в 1982 г. был предложен закон, связывающий
двойное лучепреломление с деформацией [94] !>. Для разделения
напряжений можно использовать метод наклонного просвечива-
!> Основы анизотропной фотоупругости композиционных материалов рас
смотрены также в книге [118]. — Прим. ред.
326
Глава 5
ния [95], а чтобы избежать влияния непостоянства оптических
характеристик в различных направлениях в ортотропном
материале модели, при тарировке применяется метод наименьших
квадратов [96]. Применение методов цифровой обработки
изображений в исследованиях ортотропной фотоупругости [97]
позволяет надеяться на преодоление трудностей, связанных
с низкими уровнями двойного лучепреломления, которые
характерны для этих материалов.
5.12. Основные новые достижения и приложения
методов фотоупругости
Замечательная особенность метода фотоупругости —
возможность проведения точного анализа распределения касательных
напряжений во внутренних зонах моделей Однако для
трехмерных моделей можно получить только пять независимых
соотношений. Этого недостаточно для определения шести неизвестных
компонент тензора напряжений.
Парке и Сэнфорд [98] показали, что если проведена точная
оценка поведения материала, то для быстрого и полного
анализа напряжений можно использовать методы голографической
фотоупругости. Сэнфорд изложил метод голографической
фотоупругости в статье [99J. В этой работе описаны
экспериментальная аппаратура и типичные случаи применения1).
Абен предложил метод интегральной фотоупругости [100,
101]. Этот метод проще других методов трехмерной
фотоупругости, однако теория осложняется необходимостью учитывать
законы, которые определяют распространение света в
анизотропной неоднородной среде. Метод удобен для исследования
напряжений в прозрачных телах, обладающих симметрией.
Лагард предложил несколько родственных методов, в
которых используется когерентность лазерного источника света
в двух- и трехмерных задачах для неразрушающей оценки
напряженного состояния [102]. К ним относятся эллипсометрия,
методы измерения по точкам и оптических срезов в
трехмерных моделях. Эти методы заслуживают серьезного внимания,
поскольку они основаны на самых последних достижениях
фотомеханики.
Новой областью, в которую фотоупругость вносит важный
вклад, является экспериментальная механика разрушения [103].
Здесь особенно заметен вклад Смита [104, 105]. Заслуживают
внимания работы Дэлли [106], Сэнфорда [107], Волошина
и Бюргера [108, 55], Кобаяси и Баркера [109].
*> Метод голографической фотоупругости и его применение в
отечественной практике описаны также в работе [114]. — Прим. ред.
Фотоупр#гость
327
Многие материалы обладают подходящими свойствами для
моделирования, однако непрозрачны в видимом диапазоне.
В то же время они прозрачны и обладают свойством двойного
лучепреломления в ближней инфракрасной и ультрафиолетовой
областях спектра. Существуют хорошие перспективы
использования методов фотоупругости в этих областях.
Все возможные приложения фотоупругости и двойного
лучепреломления для решения важных практических задач
механики практически нельзя охватить. Однако следует отметить два
приложения, которые несколько выходят за пределы области,
связанной с определением напряжений. Так, фотоупругость
находит применение в биомеханике [ПО], а также в сооружении
монументальных зданий [111J.
Глава 6
Геометрический муар
В. Паркер
Гук определял удлинение проволоки под действием
нагрузки, измеряя изменения длины между двумя нанесенными на
проволоку линиями. Это весьма простой и непосредственный
способ. Следуя Гуку, другие экспериментаторы наносили на
образцы сетки, состоящие из множества линий с взаимно
перпендикулярными направлениями. Метод сеток описан в ряде
публикаций [3]. Довольно давно было обнаружено, что для
определения величин перемещений можно использовать
интерференцию между двумя семействами линий [12, 32]. Такая
интерференция получила название муара по аналогии с эффектом,
наблюдаемым на шелковой ткани, которая носит то же
название.
В данной главе муар определяется как оптическая картина
чередующихся темных и светлых полос, возникающая при
наложении периодических систем линий (сеток). Здесь
рассматривается геометрическая интерференция, возникающая при
наложении сеток, а в гл. 7 — муаровые картины, возникающие в
результате оптической интерференции.
Для получения муаровых картин применяются сетки прямых
параллельных линий с постоянным шагом, а также сетки,
образованные системами точек или концентрическими окружностями
и радиальными линиями. Муаровые картины появляются при
наложении отраженных изображений сеток, при наложении
сеток и их теней, при двукратном фотографировании и при
непосредственном наложении сеток. В большинстве случаев по
крайней мере одна из накладываемых сеток должна быть
прозрачной.
Картины муаровых полос используются для измерения
величин, характеризующих изменение геометрии тела, таких, как
перемещения, углы поворота, кривизны и деформации.
Муаровые картины увеличивают небольшие деформации линий сеток
и позволяют измерять эти деформации2).
Vincent /. Parks. The Catholic University of America, Washington. D. C.
2) Результаты разработок метода муаровых полос, выполненных в нашей
стране, отражены в работах [36—40]. — Прим. ред.
328
в
... : - г _ . . J
Рис. 6.1. Картина муаровых полос для трех сочетаний деформаций и
поворотов: поворот на 6,5° (а); деформация 16% (б)', деформация 16% и
поворот на 4° (в).
лонную сетку с параллельными либо скрещенными линиями.
При деформации образца под действием нагрузки будут
изменяться расстояние между линиями и угол наклона линий
сетки. Путем измерения шага сетки и угла наклона муаровых
полос определяется как изменение шага, так и поворот линий
Геометрический муар
329
6.1. Определение перемещений в плоскости
В этом разделе рассматривается наиболее широко
распространенное применение муара для определения перемещений
и деформаций в плоскости исследуемого образца [8—24].
Другие применения муара представлены в следующем разделе.
Перемещения в плоскости обычно измеряются с помощью сеток,
образованных параллельными линиями с постоянным шагом.
Одно семейство линий (первая сетка) наносят на плоскую
поверхность исследуемого образца, а другое семейство,
называемое эталонной сеткой, — на первую сетку.
При нагружении или деформации образца образуется
интерференционная картина (рис. 6.1). Если линии сетки образца
первоначально располагаются между линиями эталонной сетки,
то все поле выглядит темным. Под нагрузкой любая зона
образца, которая не перемещается, будет оставаться темной. Если
зона смещается на половину расстояния между линиями сетки,
линии сетки образца и эталонной сетки будут перекрываться,
оставляя светлые пространства между каждой парой
перекрывающихся линий, и эта зона образца будет казаться светлее,
чем она была до нагружения. Если зона смещается на
расстояние, равное шагу линий сетки g, она будет такой же темной,
как при отсутствии смещения.
Причина чередования светлых и темных зон на муаровой
картине — изменение перемещения сеток с шагом g. Как
показано на рис. 6.1, темные и светлые муаровые полосы
чередуются в соответствии с изменением перемещения линий
сетки образца. Если предположить, что линии сетки образца
первоначально расположены в промежутках между линиями
эталонной сетки, то темные муаровые полосы на рис. 6.1
соответствуют перемещениям сетки образца величиной 0, ±g, ±2g,
±3£, ... .
Муаровые полосы дают компоненту перемещения,
перпендикулярную линиям эталонной сетки. Компонента перемещения,
параллельная им, не изменяет относительные положения линий
сеток и поэтому не влияет на характер картины муаровых
полос. Чтобы получить полное перемещение точек в плоскости,
необходима вторая сетка с линиями, перпендикулярными
линиям первой сетки. При наложении эталонной сетки с линиями,
первоначально параллельными линиям второй сетки, образуется
новая картина муаровых полос, которая дает компоненты
перемещения, перпендикулярного первому. Две системы полос дают
полные перемещения точек в плоскости образца. Если образец
несимметричен, одну систему линий нельзя использовать
поочередно в двух направлениях, и тогда применяют ортогональную
(скрещенную) сетку образца. На образец накладывают эта-
332
Глава 6
20 линия/мм. Развивающаяся технология производства
интегральных схем и элементов вычислительной техники позволяет
получать более точные, мелкие и дешевые сетки.
У большинства изготавливаемых промышленностью сеток
ширина темных линий составляет примерно 50% шага сетки.
Применение двух сеток с 50%-ной шириной темных линий дает
максимальную контрастность муаровых полос Если темные
линии сетки более широкие (например 60% шага), то
фотографический негатив такой сетки (ширина линии 40% шага)
позволяет получить хорошую контрастность муаровых полос Для
получения копий сеток применима фотография, причем в случае
необходимости можно изменять ширину линий сетки
посредством изменения времени экспонирования и проявления.
Можно изготовить сетку, освещая фотопластинку двумя
лазерными пучками от одного и того же источника. Угол между
пучками определяет шаг линий сетки. Оптические сетки с
высокой частотой изготавливают на стеклянных пластинках
гравировкой с помощью делительной машины, и с них получают
пластмассовые копии. Независимо от того, каким образом
изготовлена сетка, ее можно многократно копировать
фотоспособом, уменьшая или увеличивая. Поэтому большинство
муаровых сеток представляют собой фотографии на пленке или
стеклянной пластинке. Эти методы обсуждаются более подробно
в гл. 7.
Сетки можно нанести на металлический образец с помощью
фотолитографии, используя фоточувствительные слои, такие, как
фоторезисты или дихромированная желатина. Изображение
сетки можно получить на металлическом образце непосредственно
контактной печатью либо проецированием с помощью
объектива. Изображение сетки можно зачернить для использования или
вытравить кислотой, чтобы получить сетку на самом металле.
Если не требуется применение металлических образцов,
часто используют модели из прозрачных пластмасс Сетки
наносят на детали из пластмассы способом фотолитографии без
травления или путем приклеивания фотопленки с изображением
сетки (для этой цели была разработана фотопленка с
отделяющейся эмульсией). Промышленностью изготавливаются
пластмассовые листы с нанесенной фотоэмульсией. При исследовании
объемных моделей сетки наносят на внутренние плоскости
частей пластмассовых моделей до склейки. Таким образом,
имеется много различных методов нанесения сеток на образцы и
модели в зависимости от условий применения.
Геометрический муар
333
Получение и регистрация муаровых картин
Имеются два способа наложения эталонной сетки на сетку
образца. Первый способ состоит в непосредственном наложении
эталонной сетки на поверхность образца с сеткой (сетка на
сетке). Добавление масла между двумя сетками повышает
контрастность картины муаровых полос Если поверхность образца
не совсем плоская (под действием нагрузки поверхность
образца обычно искривляется), лучшие результаты дает применение
эталонной сетки на гибкой пленке. Однако точность измерений
при этом несколько уменьшается. Для закрепления эталонной
сетки на вертикальной поверхности образца необходимо
использовать специальные приспособления. Сетки на пленке часто
можно удерживать на месте с помощью тонкого слоя масла,
используемого для повышения контрастности муаровой картины.
Помимо удержания в тесном контакте с сеткой образца,
эталонная сетка должна оставаться абсолютно неподвижной в
процессе перемещения образца под действием нагрузки. Однако, как
показано ниже, это требование не всегда существенно при
исследовании деформаций.
Наложение эталонной сетки на сетку образца можно также
осуществить оптическим способом. Простой способ оптического
наложения состоит в двукратном фотографировании на один
и тот же негатив сетки образца до и после нагружения. В этом
случае изображение сетки образца до приложения нагрузки
служит в качестве эталонной сетки. После проявления на
дважды экспонированной пленке появляется картина муаровых
полос, дающая компоненты перемещения сетки образца в
плоскости. Этот способ имеет тот недостаток, что картина муара не
образуется на участках, примыкающих к контуру, где одно
изображение смещается в процессе нагружения относительно
другого из-за перемещения точек контура образца. Одним из
вариантов метода, при котором муаровая картина образуется
внутри всего образца, является размещение эталонной сетки
в камере непосредственно перед фокальной плоскостью
объектива (перед матовым стеклом). При этом камеру предварительно
настраивают таким образом, чтобы эталонную сетку совместить
с изображением сетки образца и получить до нагружения
равномерное темное поле по всей наблюдаемой зоне образца.
Затем образец нагружают и наблюдают или фотографируют
муаровые полосы. Используют и другие варианты,
заключающиеся в фотографировании оптически сформированной картины
муаровых полос на матовом стекле одной камеры с помощью
второй камеры, в фотографировании непосредственно
деформированной сетки образца и последующего подбора эталонной
сетки при анализе перемещений, а также в двойном фотогра-
Геометрический муар
331
сетки образца. Эти результаты используются для определения
деформаций.
Деформации можно также определить с помощью уравнений
связи между перемещениями и деформациями. Четыре
производные порядков муаровых полос в двух координатных
направлениях при двух направлениях линий эталонной сетки дают
четыре производные перемещений п прямоугольных координатах.
Соотношения между перемещениями и деформациями являются
строго геометрическими, и в них не используются физические
характеристики материала образца.
Для повышения точности измерений с помощью картин
муаровых полос применяют различные методы. Например,
используют эталонные сетки с шагом, кратным шагу сетки образца
или несколько отличающимся от пего. Кратный или
отличающийся шаг позволяет увеличить число муаровых полос. Оба
метода используются с целью повышения чувствительности
измерения перемещений. Для повышения эффективности анализа
применяют относительные смещения сеток. В следующих
разделах эти методические приемы рассматриваются более
подробно.
Нанесение сеток на образцы
Сетки наносят на образцы царапаньем, травлением,
гравировкой, печатанием с помощью клише, фотоспособом или
приклейкой. Шаг сетки образца изменяется от 10 мкм до 1 мм
(соответствующие частоты сетки от 1000 до 1 линия/мм). Грубые
сетки с частотой от 1 до 5 линия/мм можно получить на
полиграфических предприятиях в виде листов размером 25X50 мм.
В полиграфической промышленности для изготовления
полутоновых рисунков используются сетки как ортогональных, так
и прямых параллельных линий одного направления с различной
частотой. Оргогональные сетки часто представляют собой
системы ортогональных рядов точек (на полутоновых фотографиях
в газетах и журналах). Более мелкие сетки с частотой 5—
10 линия/мм получают методом фотолитографии или
фотогравирования. В последние годы используются сетки с частотой
40 линия/мм и более. Фирмы, изготавливающие научные
приборы, производят дифракционные решетки с частотой,
превышающей 40 линия/мм. Для использования в методе муаровых полос
находят применение также мелкие сита, вытравливаемые из
металлического листа.
Для исследования напряжений промышленностью
изготавливаются сетки с частотой от 20 до 40 линия/мм с
параллельными или скрещенными линиями на стекле размером до
20X25 см, а также металлические точечные сетки с частотой
\ Геометрщеский муар 335
сетки сзади существенно повышает контрастность картины
муаровых полос.
Иногда картины муаровых полос регистрируют с помощью
телевизионной камеры или других сканирующих приборов [15].
Картина хранится в памяти для ее визуального
воспроизведения в дальнейшем или для автоматической обработки. В
случае применения сеток с крупным шагом линий возможно
непосредственное сканирование деформированной сетки. В этом
случае эталонную сетку при автоматизированном анализе иногда
представляют ее математическим эквивалентом.
Интенсивность полос: сравнение метода наложения сеток
с методом двойного экспонирования
Как отмечалось выше, картину муара можно получить
путем непосредственного наложения двух сеток или двукратного
экспонирования двух изображений сетки на один негатив.
Картины муаровых полос в обоих случаях интерпретируются
одинаково, однако имеют различные распределения интенсивности.
Проще проанализировать распределение интенсивности при
непосредственном наложении сеток. Темные линии
перекрывают светлые как при параллельном наложении, так и при
пересечении. Как видно из рис. 6.1 и 6.2, возникают два уровня
интенсивности. Зона, где темные линии одной сетки перекрывают
промежутки между темными линиями другой сетки,
наблюдается в виде темных муаровых полос. Любая зона, где система
светлых линий сетки не закрыта, наблюдается в виде светлой
муаровой полосы. Там, где две системы линий пересекаются,
темные линии видны в виде зигзагообразных полос. Светлые
полосы представляют собой ряды светлых ромбов. Интенсив*
еость света вдоль темных муаровых полос равна нулю или
близка к нулю; средняя интенсивность света вдоль светлых
полос, расположенных между темными, примерно равна
половине интенсивности падающего света. При наблюдении с
достаточно большого расстояния, когда отдельные линии сеток
неразличимы, муаровая картина наблюдается в виде чередующихся
черных и светлых полос. Контрастность полос достаточно
высокая.
Распределение интенсивности света при двойном
экспонировании проанализировать несколько сложнее. В процессе первой
экспозиции образуются темные линии на пленке. При второй
экспозиции вторая система линий пересекает под некоторым
углом темные линии, полученные при первой экспозиции.
Возникают три уровня интенсивности: 1) зоны, не подвергавшиеся
воздействию света (нулевая интенсивность); 2) зоны с
удвоенной экспозицией; 3) зоны с однократной экспозицией
(половинной интенсивности).
334
Глава 6
4 =
Рис. 6.2. Образование муаровых полос при наложении двух сеток прямых
параллельных линий под углом.
фировании образца на разных этапах нагружения. Приемы
оптического наложения изображений сеток не дают такого
высокого контраста муаровых полос, какой получается при
непосредственном контакте сеток (этот вопрос будет рассмотрен
ниже), и обычно требуют применения более
высококачественных объективов, так как чаще всего фотографируются сетки,
а не картины муаровых полос.
Что касается освещения сетки, то следует отметить, что
существует несомненное преимущество в использовании
прозрачных образцов, позволяющих освещать сетку сзади. Освещение
336
Глава 5
Когда с негатива, полученного двукратным
экспонированием, получают позитивное изображение картины муаровых
полос, светлые полосы образуются светлыми ромбами (полная
интенсивность), расположенными между темными ромбами
(нулевая интенсивность). Однако темные полосы теперь
образуются в виде зигзагообразных полос половинной
интенсивности. Если ширина линий сетки равна ширине интервала между
линиями и фотография точно воспроизводит оба изображения,
то при наблюдении позитивного изображения с достаточно
большого расстояния, когда отдельные линии сеток различить
нельзя, светлые и темные линии имеют половинную среднюю
интенсивность и кажутся нечеткими.
Однако на практике такой случай редко встречается.
Изменения ширины линий и интенсивности света создают контраст
изображения. В результате при наблюдении с некоторого
расстояния видны светлые и темные муаровые полосы. Однако их
контрастность все же меньше, чем при непосредственном
наложении сеток. Контрастность картины муаровых полос,
полученных посредством двойного экспонирования, можно повысить
с помощью оптической фильтрации изображения,
рассмотренной в гл. 7.
Анализ картины муаровых полос
Описание процесса формирования полос, данное в начале
этого раздела, непосредственно приводит к количественному
соотношению между порядками муаровых полос и
перемещениями. Каждая последующая муаровая полоса соответствует
увеличению или уменьшению перемещения в образце на величину
одного шага сетки по сравнению с предыдущей, поэтому
основное уравнение, связывающее перемещение с порядком полосы,
имеет вид
в = *ЛГ, (6.1)
где N — порядок полосы, g — шаг эталонной сетки, б —
компонента перемещения, перпендикулярная линиям эталонной сетки.
На первом этапе анализа по картине муаровых полос
определяют порядок полос N. Иногда это можно сделать, наблюдая
за образованием полос и подсчитывая число полос, как
показано на рис. 6.1. Иногда можно следить за образованием полос
в характерных точках в процессе нагружения, подсчитывая
полосы от ненагруженного состояния до полной нагрузки. При
анализе более сложных картин часто необходимо использовать
условия непрерывности и однозначности и учитывать
направление перемещений.
Геометрический муар
337
Перемещение и его компоненты в пределах тела
непрерывны и однозначны. Между любыми двумя точками с различными
перемещениями могут иметь место промежуточные значения
перемещений. Если бы перемещения не были непрерывными, то
в теле возникали бы зазоры (разрывы). Непрерывность хорошо
иллюстрируется картой линий уровня искривленной
поверхности. Как очевидно из физических соображений, между двумя
точками с различными высотами поверхности должны иметь
место промежуточные уровни. Полосы муара подобны линиям
уровня искривленной поверхности, которые или оканчиваются
на границе карты, или образуют замкнутые кривые.
Требование однозначности картины муаровых полос
аналогично требованию, чтобы искривленная поверхность не имела
вертикальных обрывов в пределах поля наблюдения. Кроме
того, поскольку картина муара характеризует физическое
явление, на ней не может существовать ни бесконечно больших, ни
бесконечно малых значений перемещения.
Свойства непрерывности и однозначности поля перемещений
помогают при определении порядков полос. Выбор положения
полосы нулевого порядка производится условно, так как на ее
положение влияют смещения тела как целого (жесткие
смещения). Следующим полосам будут соответствовать приращения
перемещения, равные шагу линий сетки. Так, если для
некоторой полосы принято нулевое перемещение, то последующим
полосам будут соответствовать перемещения, равные g, 2g>
Sg и т. д.
Начиная от первой полосы, проставляют порядки муаровых
полос по всей картине. Это просто сделать, если каждый
порядок полосы появляется в картине только один раз. При
определении порядков полос и величин перемещений используются
условия симметрии образца и нагружения детали.
Помимо непрерывности и однозначности порядки полос
характеризуются знаком. Этот вопрос можно решить, принимая
произвольно в качестве положительного одно из направлений
перемещения, перпендикулярного линиям эталонной сетки, а
затем, используя дополнительные признаки, оценить, возрастают
или уменьшаются перемещения в этом направлении. Например,
если при горизонтальном направлении линий эталонной сетки
направление «вверх» принято за положительное, а
вертикальная нагрузка сжимающая, то обычно в верхней части картины
располагаются полосы более низкого порядка. Иногда
сначала проставляют порядки муаровых полос, а затем с учетом
внешних признаков устанавливают положительное
направление.
Хотя положительное направление и, следовательно, знак
полосы назначаются произвольно, отношение изменения поряд-
22—1480
338
Глава 6
ка полос к расстоянию между ними (т.е. градиент порядков
полос) имеет определенный знак. Если знак нельзя установить
по внешним признакам, его легко определить, сдвигая
эталонную сетку относительно сетки образца. При этом действует
следующее правило: если эталонную сетку сдвигать
перпендикулярно ее линиям, то градиент порядков полос положителен,
когда полосы перемещаются в направлении сдвига, и
отрицателен, когда они перемещаются против направления сдвига.
Если перемещение полос происходит перпендикулярно сдвигу,
то градиент равен нулю. Вообще знак градиента порядков
полос нельзя определить по характеру окончательной муаровой
картины; его следует определять или по внешним признакам
(таким, как характер действующей нагрузки), или при помощи
сдвига эталонной сетки.
После того как установлены порядки муаровых полос,
компоненты перемещений определяют непосредственно по
уравнению (6.1). Если получены два набора компонент перемещений,
то экспериментальный анализ перемещений на этом
заканчивается. Два набора компонент перемещений полностью
описывают перемещения точек поверхности. Величины линейных
деформаций, деформаций сдвига и углы поворотов можно
определить из геометрического анализа поля перемещений, не
обращаясь к картинам муаровых полос. Однако, поскольку для
определения деформаций пе надо знать абсолютные величины
перемещений, обычно используются замеры полос
непосредственно по их картине. В геометрическом методе используются
результаты измерений шага и угла наклона муаровых полос
в тех точках, где определяют деформации. В другом методе для
определения деформаций измеряют углы наклонов графиков
изменения порядков муаровых полос в различных
направлениях. Рассмотрим оба этих метода определения деформаций
подробнее.
Геометрический метод. Если известны аналитические
выражения для семейств двух сеток, которые создают картину
муаровых полос, то с их помощью можно получить в
параметрической форме уравнение системы муаровых полос [18]. Однако
при использовании метода муаровых полос для определения
перемещений аналитически можно описать только одну эталон*
ную сетку. Деформированная сетка образца и картина
муаровых полос имеют сложные конфигурации, связанные с
перемещениями и деформациями образца. Однако если при анализе
ограничиваться небольшими зонами однородных деформаций
или некоторыми простыми полями перемещений, для которых
имеются аналитические выражения, то с помощью
аналитического метода определения параметров результирующих кривых
340
Глава 6
дения для других муаровых полос, можно сделать вывод, что
картина муаровых полос в общем виде характеризуется
выражением
l-_m = N, (6.4)
где N — целое число, которое является номером (порядком)
муаровых полос. Как /, так и т были введены выше как целые
числа; отметим, что на муаровой полосе, соответствующей
порядку N, располагаются точки пересечения линий с любыми
значениями / и т (целыми или нецелыми), разности которых
дают целые значения N. По существу уравнение (6.4)
непрерывно в области полос и описывает муаровые полосы целиком, а не
только точки пересечения темных и светлых линий сеток. В
действительности порядок полос N можно также интерпретировать
как нецелое число, чтобы получить непрерывное семейство
полос, среди которых полосы целого порядка являются только
отдельными элементами. Уравнение (6.4) —основное уравнение
муаровых полос, выражающее порядок полос любой картины
муаровых полос через порядки линий налагаемых друг на
друга сеток.
При значительном увеличении угла 0 между линиями сеток
(например, больше ±30°) показанные на рис. 6.2 полосы
исчезают. При увеличении угла 8 сверх ±150°С появляется новая
система муаровых полос, являющихся зеркальными
изображениями полос, показанных на рис. 6.2. Новые полосы
описываются выражением l-\-m=Nf. Хотя эти полосы обычно не видны, их
можно сделать видимыми, используя современные оптические
методы, включая дифракционные.
Муаровые полосы также исчезают, если шаг одной из сеток
отличается более чем на 30% от шага другой. Как и в случае
относительного поворота сеток, новая картина полос
образуется, когда шаг одной сетки достигает удвоенного значения шага
другой. При дальнейшем увеличении разницы шагов сеток
новая картина полос образуется при каждом новом целом
кратном числе разности шагов. Это явление называется умножением
полос, и его применение описано в данном разделе ниже.
Рассмотренные выше диапазоны изменения углов взаимного
поворота и разности шагов сеток служат ориентиром для-
формирования на практике нормальной картины муаровых полос.
Картину муаровых полос удается наблюдать при деформациях
до ±30% и углах поворота до ±30° или для сочетания более
низких значений этих двух величин.
Подставляя выражения (6.2) и (6.3) в уравнение (6.4),
получаем уравнение для муаровых полос, образованных двумя
сетками прямых линий с шагами g и g\ расположенными под
углом 6 к друг другу, в виде
Геометрический муар
339
можно дать описание картины муаровых полос в этой
небольшой зоне или простом поле.
На рис. 6.2 показано семейство прямых параллельных
чередующихся темных и светлых линий одинаковой ширины,
наложенное на аналогичное второе семейство темных и светлых
линий одинаковой, но несколько большей, чем в первом случае,,
ширины. Этот рисунок иллюстрирует небольшую зону
однородной деформации, о которой говорилось выше. Направление
линий первого семейства отличается от направления линий
второго семейства. Если воспользоваться системой прямоугольных
координат, ось которой перпендикулярна линиям первого
семейства, и принять первое семейство линий в качестве эталонной
сетки, то ее уравнение можно записать в виде
где g— расстояние между линиями (шаг сетки), а / —
порядковый номер каждой линии. Линия сетки, проходящая через
начало координат, имеет нулевой номер, а линии, расположенные
от начала координат в положительном направлении х, имеют
номера 1, 2, 3, а в отрицательном направлении х —
номера —1, —2, —3, ....
Второе семейство линий (рассматриваемое как сетка
образца) можно описать уравнением
где g' — шаг сетки образца, а 0 — угол между линиями двух
сеток. Прямоугольная система координат выбрана так, что ее
начало расположено на светлой линии сетки образца. Тогда
параметр m будет относиться к светлым линиям с нулевым
номером в начале координат, причем т=1, 2, 3, ... для линий,
расположенных справа, и m = — 1, —2, —3, ... для линий,
расположенных слева от линии с нулевым номером.
Начало координат выбрано в точке на интерференционной
полосе так, чтобы в начале координат номера линий сеток
удовлетворяли условию / = га = 0. Вдоль интерференционной полосы
темная линия одной сетки перекрывает светлую линию второй
сетки. Отметим, что на муаровой полосе, проходящей через
начало координат, расположены также точки пересечения линий
с параметрами / = т=1, 1=т=2 и / = т = 3. Для этих точек
между номерами линий / и т выполняется соотношение /=т.
Рассмотрим теперь муаровую интерференционную полосу
непосредственно над началом координат. Здесь пересекаются линии
с номерами /=0 и m =—1. Эта полоса проходит через точки
пересечения линий с номерами 1=1 и т=0, 1=2 и т=1, 1 = 3
и т —2, где также происходит интерференция: вдоль полосы
сохраняется соотношение / — т=1. Проводя подобные рассуж-
x = lg,
(6.2)
х = mg'/cos В + У tg Э,
(6.3)
22*
Геометрический муар
341
*/g —(x — ytgQ) cos 0/g' = N (6.5)
или в виде
Ax + By + C = 0,
x(g' — g cos Q) + ygsmQ — Ng'g = 0.
С помощью аналитической геометрии можно вычислить
расстояние между муаровыми полосами. Так, на рис. 6.2
наикратчайшее расстояние от начала координат до полосы порядка
N=1 определяется следующим образом:
а А* + В* — £2sin2e+(£'— £COS9)2 " V '
Это выражение определяет шаг муаровых полос на участке, где
шаг сетки образца и угол взаимного поворота сеток имеют
значения gr и 0 соответственно. Уравнение (6.6) справедливо
независимо от того, какие номера присвоены линиям двух сеток,
лишь бы они были непрерывны, и поэтому применимо к любой
картине муаровых полос, образованной при наложении двух
систем прямых параллельных линий. С помощью аналитической
геометрии определяется также угол наклона муаровых полос
относительно линий эталонной сетки:
tgq>= — g sin е/(£'--£ cos9). (6.7)
Шаг и угол поворота линий сетки образца полностью
определяются расстоянием между муаровыми полосами d, углом
наклона муаровых полос ф и шагом эталонной сетки g:
g' = d/[l + (dig)* + 2 (dig) cos Ф], (6.8)
0 = arctg {sin <p/[{d/g) + cos ф]}. (6.9)
Уравнения (6.8) и (6.9) могут быть выведены без использования
аналитической геометрии [4]. Для определения g' и 8 можно
воспользоваться номограммами [2, 16].
Если отрезок прямой линии g, который первоначально был
перпендикулярен линиям сетки образца, поворачивается
относительно этих линий в процессе нагружения, его окончательная
длина будет несколько больше g'. Этой разницей обычно
пренебрегают в геометрическом методе и используют g' в качестве
окончательной длины этого отрезка. Деформацию определяют
непосредственно как
е =(£'-£)/£. (6.10)
Это выражение является точным для направлений главных
деформаций.
Геометрический муар
343
on зле чего производные определяются равенствами
дх ° дх ' дх
дих dNx диу
ду ~g ду 9 ду
где Nх и Ny — порядки муаровых полос на муаровых картинах,
полученных с помощью сеток, линии которых первоначально
перпендикулярны направлениям х и у соответственно. Из
равенств (6.14) следует, что для анализа деформаций нет
необходимости знать абсолютные значения порядков полос, если
относительные порядки, присвоенные при нумерации полос, имеют
правильное направление изменения.
Производные перемещений в равенствах (6.14) можно
определить просто путем измерения расстояний между муаровыми
полосами в направлениях х и у и деления полученных
расстояний на g. Более точно производные получают с помощью методики,
иллюстрируемой рис. 6.3, в соответствии с которой 1)
регистрируют порядки полос вдоль выбранных сечений, параллельных
осям х и у, 2) строят графики изменения порядков полос вдоль
этих сечений, 3) находят углы наклона в каждой точке
графиков, где необходимо определить деформации. Сетка линий
в направлениях х и у, нанесенная на высокочастотную сетку
образца с необходимыми для анализа интервалами, очень
помогает этой процедуре (например, сетка линий на расстоянии 1 см
друг от друга на муаровой сетке с частотой 900 линия/см). При
построении графиков вдоль выбранных сечений можно брать
узловые точки, расположенные через 1 см, измеряя в них
дробные порядки полос, а также точки пересечения
рассматриваемого сечения с каждой муаровой полосой целого порядка,
измеряя положения их середин.
При необходимости получения более высокой точности
экспериментальные данные, получаемые по картине муаровых полос,
можно численно откорректировать посредством подбора
уравнений кривой вдоль сечения [24] или подбора уравнений по
поверхности [9]. Если такие методы численной аппроксимации
автоматизировать, то их удобно использовать при последующем
анализе деформаций и напряжений, как это описано ниже.
После определения производных порядков муаровых полос
находят производные перемещений в соответствии с
уравнениями (6.14), умножая их на g. Подставляя затем значения
производных перемещений в уравнения (6.11) или (6.12), получают
деформации.
Отметим, что для каждого образца необходимо иметь две
картины муаровых полос, дающих поля перемещений их и иу.
Для каждого поля необходимо определить производные в обоих
дх
dNv
(6.14)
342
Глава 6
Вычислительный метод. В теории упругости связь между
деформациями и перемещениями часто представляют в виде
ъхх = дих/дх, вуу = диу/ду9 (6.11)
гху = dujdy+ диу/дх,
®Ху = (!/2) (dujdy — диу1дх),
где их, иу — перемещения в направлениях х и у, е**, —
линейные деформации в направлениях х и у, — деформация
сдвига, (йХу — величина среднего поворота осей х и у. Чтобы
применять приведенные выше уравнения в тех случаях, когда
под действием нагрузки происходят повороты образца как
целого, часто бывает необходимо переориентировать прямоугольные
координаты. Можно также предположить, что нагрузка
достаточно мала, чтобы пренебречь такими поворотами. При
исследованиях методом муаровых полос подобные приемы редко
бывают удобны, и поэтому чаще используется более общая форма
зависимостей между деформациями и перемещениями:
е„ = /I +2-^+ faY+ ).*Г
е„-> 1 + 2^ + (^)2+(-^)2-1, (6.12)
= arcsin
дих . диу . дих дих , диу диу
ду дх дх ду дх ду
ху (1 + е*х)(1 + е»у)
Уравнения (6.11) являются приближенной формой уравнений
(6.12). Все обозначения имеют в основном тот же смысл, что и
выше. Этот вариант применяется как при больших
деформациях, так и при больших углах поворота, и нужны более точные
определения. Деформация гхх (или гуу) определяется как
изменение длины единичного отрезка линии, первоначально
имевшего направление х (или у), без ограничения по величине.
Деформация сдвига еху определяется как уменьшение первоначально
прямого угла в радианах между положительными
направлениями х и у. Координата z и соответствующая компонента
перемещения uz не входят в приведенные выше уравнения* так как
метод муаровых полос в основном применяется для определения
перемещений в плоскости. Возможны различные упрощенные
варианты уравнений (6.12) [19].
Чтобы получить производные их и иу, уравнение (6.1)
заменяется на
ux = gNx, uy = gNw, (6.13)
Геометрический муар
345
направлениях. Поэтому в каждой точке, где нужно получить все
компоненты тензора двумерной деформации, необходимо иметь
четыре производные. Пусть найдены деформации в
прямоугольной системе координат; при условии, что они малы, даже если
использовалось уравнение (6.12) для учета поворотов, можно
вычислить главные деформации по формуле
si,2 = (V2) [sxx + Zyy ± V^xx — ^Y + eiy]. (6.15)
Если материал упругий, напряжения находятся с помощью
закона Гука.
Вычислительный метод включает в себя определение
производных по картинам муаровых полос. Это обычно делается
так, как показано на рис. 6.3. Другой возможный способ
определения производных — получение с помощью исходных картин
муара второго порядка, или «муар-муара».
Во всех рассмотренных выше муаровых картинах муаровые
полосы представляют собой геометрические места точек с
одинаковой разностью номеров линий налагаемых сеток [в
соответствии с уравнением (6.4)]. Аналогично производная
порядка полос (в конечно-разностном виде) равна отношению
разности порядков двух полос к соответствующему расстоянию
между полосами. Если картину муаровых полос наложить на ее
копию, полученную путем фотографирования со смещением на
некоторое расстояние, то муаровые полосы двух отпечатков
будут интерферировать (точно так же, как интерферируют
линии двух сеток), образуя при этом картину муара второго
порядка. Как и в случае наложения линий сеток, новая картина
вторичных муаровых полос будет представлять разность
порядков исходных полос в каждой точке поля. Если смещение
начальных картин происходит в одном направлении (без
поворота), в каждой точке на муаровой полосе второго порядка будут
совмещены изображения двух точек исходных муаровых
картин, удаленных друг от друга в исходном поле на величину
смещения. Порядки полос вторичного муара будут
пропорциональны отношению разности порядков полос исходных картин к
величине смещения.
Определять порядки вторичных муаровых полос сложнее,
чем порядки обычных полос. Так как исходные муаровые
полосы видимы, порядок вторичной полосы можно установить,
отмечая любые две исходные полосы, которые интерферируют на
рассматриваемой полосе второго порядка, и подсчитывая, на
сколько полос отличаются их порядки в исходной картине. Знак
полосы второго порядка можно выяснить по градиенту полос
в исходной картине. Во всяком случае, если предположить, что
порядки обычных муаровых полос пронумерованы и что одно
изображение смещается в положительном направлении коорди-
346
Глава 6
нат, а другое смещается на ту же величину в отрицательном
направлении, то справедливо следующее правило определения
порядков вторичных муаровых полос. Порядок вторичной
полосы и его знак определяются как разность между порядком
полосы исходной картины на изображении, сдвинутом в
отрицательном направлении, и порядком полосы исходной картины на
изображении, сдвинутом в положительном направлении.
Производные перемещений определяют по порядкам
вторичных полос с помощью следующих уравнений:
где Nxx, Nxy, Nyx и N.yy — ПОрЯДКИ ВТОрИЧНЫХ ПОЛОС, a SXx, Sxy*
syx и syy — соответствующие смещения. Первый индекс
относится к направлению, перпендикулярному линиям сетки, а
второй — к направлению смещения. Полный анализ деформаций
можно провести так же, как в случае обычных картин
муаровых полос, используя при необходимости уравнения (6.11) или
(6.12) и (6.15).
Для получения вторичных муаровых полос обычные
муаровые картины должны иметь достаточно большую частоту полос.
В некоторых случаях широкие обычные полосы затрудняют
наблюдение картин вторичных муаровых полос. Можно получить
муаровые полосы, дающие производные перемещений, без
использования первичных муаровых полос. Это делают,
накладывая два одинаковых изображения деформированных сеток со
смещением в направлении деформирования. Картина муаровых
полос получается такая же, как муаровая картина второго
порядка, но без промежуточных первичных полос. Чтобы избежать
появления дробных порядков полос, смещение должно
производиться на целое число шагов. Отношение s/g тогда
определяется числом смещенных линий сетки, а отношение порядка
муаровой полосы к величине s/g дает производную перемещения.
Этот метод механического дифференцирования подробно
рассмотрен в работе [20]. Иногда тот же эффект может быть
достигнут посредством смещения образца, фотопленки или даже
объектива и фотографирования деформированной сетки
методом двойного экспонирования
Повышение чувствительности. Когда перемещение мало (или
когда используется грубая сетка), а производные необходимо*
определить на небольших расстояниях, для повышения чувстви-1
тельности измерений можно воспользоваться двумя описанными
ниже методами.
дих
дх
дих
=g
(6.16)
Рис. 6.3. Иллюстрация методики определения четырех производных порядков муаровых полос в декартовой сие
ме координат по двум картинам муаровых полос.
Геометрический муар
347
Умножение полос. Как показано в работе [22], если
налагаются две сетки, частота одной из которых в целое число
раз (п) больше другой, то число муаровых полос будет в п раз
больше, чем на картине, получаемой при той же самой нагрузке
или при тех же самых перемещениях, когда частота обеих сеток
равна частоте более грубой сетки. При этом чувствительность
повышается в п раз. Предположим, что сетка образца с
номинальной частотой 10 линия/мм накладывается на эталонную
сетку приблизительно с такой же частотой, и при этом на
картине возникают четыре муаровые полосы. Если ту же самую
сетку образца наложить на эталонную сетку с частотой 50
линия/мм, то образуется 20 полос. Поэтому картину полос,
создаваемую сеткой образца и эталонной сеткой с частотой, в целое
число раз большей частоты первой сетки, можно анализировать
с помощью уравнений (6.13) и (6.14) при шаге эталонной
сетки g.
При использовании специальных сеток, у которых отношение
ширин непрозрачных и прозрачных линий соответствует
рекомендациям работы [22], достигается повышение контрастности
муаровых полос. Кроме того, муаровые полосы становятся более
четкими (темные полосы более узкие) по сравнению с
обычными неумноженными полосами, что позволяет повысить точность
при определении положения середины каждой полосы. Если для
умножения полос применяются сетки с произвольной шириной
линий, контрастность полос снижается. Было достигнуто
пятикратное умножение числа полос [22].
Один из вариантов метода умножения полос — точное
смещение эталонной сетки относительно деформированной сетки
образца на целые части шага [11]. Смещение эталонной сетки
на половину шага создает новую систему полос, которые
попадают между полосами в исходной картине, тем самым удваивая
число полос для анализа. А если осуществить смещения на
одну треть и две трети шага, получаются две дополнительные
картины, которые в сочетании с начальной картиной дают
трехкратное умножение полос. Этот вариант умножения полос имеет
ограничения. Основное ограничение связано с точностью
смещения эталонной сетки. Даже если смещение выполняется
абсолютно точно, точность шага линий сетки в конечном счете будет
ограничивать возможности метода. Смещение градуируется
путем присоединения к сетке образца одной или нескольких
полосок недеформированной сетки. Эти полоски должны быть
несколько повернуты относительно эталонной сетки, с тем чтобы
,получить муаровую полосу на каждом из концов полосок.
Градуировка достигается путем разметки положений двух полос и
деления разделяющего их пространства на равное число
промежутков, соответствующих выбранному числу этапов смещения.
348
Глава 6
Требуемое смещение получают, сдвигая эталонную сетку до тех
пор, пока полоса на полоске сетки не сместится в
соответствующую отметку деления.
Другим вариантом умножения полос является использование
денситометра для градуировки изменений интенсивности света
между двумя полосами в зоне с постоянным градиентом
перемещений [5]. Затем интенсивность можно связать с долями шага
изменения перемещения между полосами. Измерение
интенсивности действительной картины муаровых полос позволяет
определить перемещение тела в точках между полосами, выраженное
в долях шага.
Использование начальной разницы шагов сеток [21]. Если
сетка образца имеет начальный шаг, отличающийся на 1—2%
от шага эталонной сетки, то до нагружения образца образуется
начальная картина муаровых полос, частота которой составляет
1 или 2% частоты эталонной сетки.
Если шаг сетки образца больше шага эталонной сетки и
нагрузка еще больше увеличивает шаг сетки образца, число полос
будет увеличиваться по сравнению с числом полос на начальной
картине. Так, если начальная разница шагов сеток вызывает
образование 10 полос, а нагружение — две полосы, то вместо
двух полос, которые дали бы сетки с одинаковым шагом,
получают 12 полос. Даже если нагрузка уменьшает шаг сетки
образца, останется еще восемь полос (десять минус две).
Как правило, используются по крайней мере две эталонные
сетки с несколько большим и с несколько меньшим шагом, чем
у сетки образца. При соответствующем выборе эталонной сетки
всегда можно увеличить число полос на муаровой картине.
При анализе картин полос, образующихся при наложении
сеток с начальной разницей шагов, выражения для производных:
перемещений необходимо привести к следующему виду:
дх ё \ дх дх Г дх * дх ' (ft i7\
дих i dNx\ дии ^ I dNy dN0\ 1°Л/>
ду * \ ду Г ду ё \ ду ду Г
где g — шаг эталонной сетки, dN0/dx и dN0/dy — производные
порядков на начальной картине до приложения нагрузки.
Остальные четыре производные определяют по картине
муаровых полос после приложения нагрузки. Подробно метод
использования начальной разницы шагов сеток рассмотрен в [21].
Исследование деформаций резиновой модели
На рис. 6.4 показана модель из полиуретанового каучука!
толщиной 19 мм и шириной 152 мм, на которой отпечатана
скрещенная сетка с частотой 12 линия/мм. Линии сетки распо*
350
Глава 6
Рис. 6.5. Картина с увеличенным числом муаровых полос, дающая
вертикальные перемещения на образце из нержавеющей стали с вытравленной на
поверхности скрещенной сеткой (частота 20 линия/мм).
Анализ деформаций металлической пластины
На рис. 6.5 показана пластина из нержавеющей стали
шириной 177 мм и толщиной 13 мм и с центральным отверстием
38 мм. Скрещенная сетка частотой 20 линия/мм и система
взаимно перпендикулярных линий с шагом 6 мм были
вытравлены кислотой на поверхности пластины с помощью
фотолитографии. Использовались как негативные, так и позитивные
пленки. Было найдено, что вытравленные линии (в отличие от
вытравленных точек) обеспечивают более высокую
контрастность изображения. Эталонная сетка представляла собой сетку
параллельных линий частотой 40 линия/мм, расположенных
в горизонтальном направлении. Эталонная сетка с частотой
40 линия/мм и шагом g=0,025 мм обеспечивала двукратное
умножение муаровых полос.
Пластину нагружали растягивающими напряжениями около
70 МПа и выдерживали под нагрузкой при температуре 600 °С
в течение 40 сут. Скрещенную сетку фотографировали
непосредственно в печи в натуральную величину и анализировали
фотографии при наложении на них эталонной сетки. В центральное
Геометрический муар
351
отверстие вкладывался диск из нержавеющей стали с
вытравленной на нем точно такой же сеткой. Этот диск остается нена-
тружеееым, и по нему определялись температурные
деформации, вызванные нагревом. Температурные деформации
находились по картине муаровых полос, образованной при изменении
шага сетки.
Картина муаровых полос, дающая поле перемещений иу на
рис. 6.5, получена не при высокой температуре, а представляет
собой картину остаточных деформаций после ползучести при
разгрузке и охлаждении образца. Однонаправленная эталонная
сетка горизонтальных линий с частотой 40 линия/мм
непосредственно налагалась на пластину при комнатной температуре, и
фотографировалась полученная в результате картина муаровых
полос. Так как образец растягивали, то при выборе направления
оси у вверх порядки полос возрастают снизу вверх. Полосы на
горизонтальной оси отверстия имеют шаг менее 2,5 мм, чта
свидетельствует о наличии остаточных деформаций более 1%.
Анализ деформаций во внутренних сечениях
объемной «замороженной» модели [14]
Методика «замораживания» напряжений и деформаций
в объемных моделях рассмотрена в гл. 5. На рис. 6.6 показаны
картины муаровых полос, полученные для двух взаимно
перпендикулярных срезов, изготовленных из объемной замороженной
модели, нагруженной внутренним давлением. На срезах с
замороженными деформациями отпечатывались сетки с частотой
40 линия/мм. На две симметричные половины среза наносились
сетки с взаимно перпендикулярными направлениями линий, и,,
таким образом, на одном срезе получались картины муаровых,
полос, дающие два перемещения. Картины муаровых полос
формировались после помещения двух срезов с отпечатанными на
них сетками в печь и нагревания до тех пор, пока
«замороженные» деформации не были сняты в результате отжига. После
удаления из печи и наложения эталонной сетки получались
картины полос, дающие перемещения обратного знака по
сравнению с перемещениями от действия давления. Однако полосы*
нумеровались в соответствии с действительными величинами*
перемещений, которые возникают при нагружении.
Эти Kdpniiibi содержат всю необходимую информацию для»
определения грех компонент ^формации в показанных
плоскостях с помощью ур.ишепий (6.14), (6.15) и (6.11) или (6.12) при
известных размерах модели и шаге сетки. Вдоль линии
пересечения плоскостей могут быть определены все компоненты
трехмерного тензор» деформации. Результаты этого исследования
более подробно изложены в работе [14].
Геометрический муар
349
Рис. 6.4. Дифференциальная картина муаровых полос для компонент
перемещений на образце из полиуретанового каучука (g=0,081 мм).
ложены под углом 30° в направлении против часовой стрелки
от вертикального и горизонтального направлений. Линия,
расположенная по касательной к вырезу и отверстию, разделена на
отрезки длиной 6 мм. Модель была растянута в вертикальном
направлении примерно на 3%.
Эталонная сетка с одним семейством линий частотой 12
линия/мм обеспечивала получение начальной муаровой картины
с частотой 5 полоса/см и градиент дЫ0/дх=12, который, как
следует из уравнения (6.17), необходимо вычесть из градиента
полос, показанных на рисунке. Обратим внимание на участок
слева от полукруглого выреза, где находится свободно
расположенная полоска скрещенной сетки с частотой 12 линия/мм,,
линии которой совпадают с линиями ненагруженной сетки
образца и которая предназначена для определения начальной
разности шагов сеток.
Рис. 6.6. Картины муаровых полос, дающие ортогональные компоненты
перемещения для поперечного (вверху) и меридионального (внизу) срезов,
изготовленных из объемной «замороженной» модели [14]
Геометрический муар
353
Анализ больших деформаций в меридиональной
плоскости сферы
Анализ больших деформаций на внутренней части
центрального сечения сферы проводился посредством нанесения сетки
с частотой 20 линия/мм на плоскую поверхность прозрачной
полусферы из полиуретана, которая затем склеивалась с другой
полусферой. В результате была получена сфера с сеткой в
меридиональной плоскости [13]. Сферу помещали в ванну с
плоскими параллельными стеклянными стенками, заполненную
жидкостью с примерно таким же показателем преломления, как
у полиуретана, и нагружали сжимающими усилиями вдоль
вертикальной оси. Сетку фотографировали в натуральную величину
при горизонтальном расположении ее линий. Использовалась
симметрия геометрии и приложения нагрузки, и сферу
поворачивали на 90°, чтобы расположить линии сетки вертикально,
после чего сферу снова нагружали и фотографировали сетку.
С полученных двух негативов были сделаны контактные
позитивные отпечатки на пленке. Затем каждую пару одинаковых
изображений сместили (негатив относительно позитива) в
вертикальном и горизонтальном направлениях и получили
показанные на рис. 6.7 четыре картины муаровых полос.
Эти картины содержат всю информацию, необходимую для
вычисления деформаций в меридиональной плоскости сферы,
используя уравнения (6.12). Поскольку нагрузка и геометрия
осесимметричны, линейные деформации, перпендикулярные
меридиональной плоскости, являются главными деформациями, и
их можно получить, анализируя компоненты перемещений,
перпендикулярные оси симметрии, т. е. поле перемещений их. Эта
третья деформация характеризуется соотношением eZz = tix/xy
где х — расстояние их и гг от оси симметрии. Максимальное
значение гуу =—0,40 возникает на оси сферы. Горизонтальная
деформация в той же самой точке е^ = 0,16. Более подробные
сведения о результатах этого исследования можно найти в
работе [13].
Анализ динамических деформаций
На рис 0.8 показаны муаровые картины левой и правой
половин прозрачного нолпурегапового диска диаметром 125 мм,
по которому ударяет гр\ * массой 30 г, падающий с высоты98см
[23]. Фотграфня была сделана через 1,8 мс после удара с по-
1 мощью мпкровениткн на пленке размером 100X125 мм. Это
k одна из фогогр и|>пн, полученных в работе [23].
23-1480
Рис. 6.7. Муаровые полосы, соответствующие четырем производным перемещений в меридиональной плоскости сфе
ры при значительном сжатии [13].
356
Глава 6
жения сетки (до и после нагружения пластины) на один и тот
же негатив получают картину муаровых полос.
Как и в случае картины муара, дающей перемещения в
плоскости, порядки муаровых полос здесь равны разности между
номерами пересекающих линий двух сеток в соответствии с
соотношением (6.4). На рис. 6.9 показаны линии сетки с
номерами / и т, расположенные на расстоянии e=gN друг от друга
и создающие муаровую полосу N-то порядка. Если расстояние d
достаточно велико, чтобы были малы прогибы пластины по
сравнению с и угол а наблюдения пластины объективом
фотокамеры, и если углы поворота поверхности пластины малы,
то угол можно аппроксимировать отношением e/2d. Угол пово-
Ркс. 6.9. Схема установки для получения картин муаровых полос с
использованием отраженной сетки, дающих углы наклона поверхности пластин.
/ — деформированная пластина, 2 — отклоненный пучок света, 3—исходный
пучок света, 4 — эталонная сетка.
рота поверхности пластины в плоскости, перпендикулярной
линиям сетки, будет определяться соотношением
Для повышения точности уравнения (6.18) Лигтенберг [26]
предложил наносить сетку на криволинейный экран. Обычно
используют плоскую сетку и выбирают такие значения d, а и 8,
которые дают минимальные погрешности. Чтобы обеспечить
такую регулировку угла и избежать наблюдения пластины через
сетку, можно расположить под углом 45° к оси камеры
полупрозрачное зеркало, а плоскую сетку переместить в боковое
положение (рис. 6.10,а). Как отмечалось выше, применение
метода двойного экспонирования снижает контрастность полос.
Получаемые этим методом картины полос можно улучшить
d.
Q = gN/2d.
(6.18)
Геометрический муар
355
Рис. 6.8. Динамические картины муаровых полос, дающие вертикальные и
горизонтальные перемещения диска вскоре после удара в верхней точке
(§=0,025 мм) [23].
6.2. Определение перемещений, перпендикулярных плоскости
Анализ углов наклона
а кривизны искривленных поверхностей
с помощью отражательного муара
В разд. 6.1 отмечалось, что деформации в плоскости детали
могу г быть определены по муаровой картине, полученной с
помощью одной сетки образца., фотографируемой до и после на-
груження на один негатив. Отражательный муар для
определение деформаций, перпендикулярных плоскости, обычно
получают с помощью одной (в данном случае эталонной) сетки,
которая устанавливается так, что интерферирует или со своим
Отражением, или со своей тенью.
Лштснберг [26] предложил муаровый метод анализа углов
iioimpoi.i и кривизны поверхности пластин с использованием от-
р I M'niioii сечки. Упрощенный вариант этого метода представлен
tut риг п.О Эгялопмия (чмк.1 параллельных линий с постоянным
пином и р.имграмп, по Kptiiinefi мере в два раза большими
размеров iuuicIHIII.I, расположена па расстоянии d от
полированной пласишы Сначала фоюграфнруют отраженное
изображение сетки. При п.иружеиип пластины ее поверхность
искривляемся и отраженное изо-ражение линий сетки деформируется.
В результате двукратною экранирования отраженного изобра-
23*
Геометрический муар
357
посредством оптической фильтрации, рассматриваемой в гл. 7.
С помощью установки, схема которой показана на рис. 6.10,6,
можно получить картину муаровых полос посредством одной
экспозиции.
Анализ кривизны пластины посредством отражательного
муара аналогичен определению деформации в плоскости с
помощью муара с использованием сеток, наносимых на деталь.
Для получения полного поля деформаций, как и в случае
определения деформаций в плоскости, необходимо иметь две
картины муаровых полос. Отличие от муара, дающего перемещения
в плоскости детали, заключается в том, что поскольку сетка не
наносится на образец, необходимо повернуть образец или сетку
Рис. (>.1(). (Чсмм двух установок дли анализа углов наклона и кривизны
ионсрмкичн отражающих iijuiciiiii Р— пластина; М — зеркало; НМ — полу-
про »р<1Чпо( юркало, RG — «эталонная сегка
на 90° и снова дважды сфотографировать сетку, чтобы получить
вторую картину муаровых полос.
Два угла поворота в каждой точке поверхности пластины
в направлениях осей декартовых координат, получаемые по
уравнению (6.18), можно обозначить через 6* и ду. Если
пластина первоначально была плоской и не наклоненной к
поверхности экрана, эти величины углов представляют также углы
наклона нагруженной пластины в направлениях осей координат.
Если же пластина плоская, но имеет начальный наклон, эти
величины равны углам ее наклона относительно начальной
плоскости. Так как большинство исследований проводят на
плоских пластинах, с учетом сделанных замечаний под 6* и ду
а
6
358
Глава 6
будут подразумеваться углы наклона пластины в процессе
деформирования.
Кривизна — это производная угла наклона. Две компоненты
кривизны поверхности в декартовых координатах равны dQJdx
и dQy/dy. Производная угла наклона поверхности в направлении,
перпендикулярном направлению угла наклона, называется
кручением. Соответствующие величины есть dQx/dy и дву/дх.
Максимальный угол наклона (или градиент) в точке
поверхности равен векторной сумме углов наклона в направлениях
осей декартовых координат, а максимальное перемещение в
точке равно векторной сумме компонент перемещений. В
направлении, параллельном максимальному наклону, кручение равно
нулю.
Рис. 6.11. Картина отраженных муаровых полос, дающих углы наклона в
горизонтальном направлении для круглой пластины, опертой по к©нтуру и
нагруженной равномерным давлением [4]. Три различные частоты муаровых
полос получены посредством изменения расстояния d между пластиной и
экраном с сеткой, показанного на рис. 6.10.
На рис. 6.11 показаны картины муаровых полос, полученные
с помощью отраженной сетки, для круглой пластины,
защемленной по наружному краю и нагруженной равномерным
давлением. Использовалась оптическая установка со схемой,
аналогичной показанной на рис. 6.10, а. При изменении
расстояния d менялась частота полос муаровой картины (рис. 6.11).
Для всех трех картин нагрузка была одинаковой и наклон 6*
равен нулю вдоль вертикальной оси и возрастает со знаком
плюс влево и со знаком минус вправо.
На рис. 6.12 показаны картины муаровых полос 9Х и Qyi
полученные с использованием отраженной сетки для свободно
опертой прямоугольной пластины под действием динамической
нагрузки в ее верхнем правом углу. Оптическая схема
установки подобна показанной на рис. 6.10, а. Оба этих примера взяты
из работы [4].
360
Глава 6
Рис. 6.13. Схемы установок для исследования перемещений,
перпендикулярных плоскости или поверхности, с параллельным пучком света (а) и с
точечным источником света (б).
этих случаев исследовались методом муара с использованием
теней сетки.
Углы наклона и кривизны, исследуемые методом муаровых
полос с использованием отраженной сетки, являются только
вторым и третьим этапами в описании топологии поверхности.
Так, поверхность, лежащая над плоскостью х—у>
характеризуется координатой z(x, у). Углы наклона поверхности
определяются производными z (т. е. Qx=dz/dx и Qy = dz/dy).
Компоненты кривизны поверхности определяются производными углов
наклона (т. е. dQx/dx и дву/ду и т. д.). Таким образом, картину
муаровых полос, дающую углы наклона и полученную с
использованием отраженной сетки, можно проинтегрировать, чтобы
получить координаты z над базовой плоскостью искривленной или
криволинейной поверхности. Однако такую же информацию
можно получить непосредственно с помощью картины муаровых
полос, полученной с использованием теней сетки.
Для получения теневых муаровых картин поверхность
детали должна быть не полированная, а матовая. Часто ее покры-
Геометрический муар
359
3^ 4*tt €/w
Рис. 6.12. Динамические картины отраженного муара, дающие углы наклона
поверхности в горизонтальном направлении для прямоугольной пластины,
опертой вдоль нижнего края при действии ударной нагрузки в верхнем
правом углу, в различные моменты времени после удара [4].
В работе [25] рассмотрено несколько методов муаровых
полос для измерения углов наклона и кривизны отражающих
поверхностей. Методы включают регулировку положения одной
или двух сеток вдоль оптической оси системы.
Анализ формы поверхности или перемещений,
перпендикулярных поверхности,
с помощью теневого муара
При нагружении деталей кроме перемещений в плоскости,
которые были рассмотрены в разд. 6.1, происходят и
перемещения, перпендикулярные поверхности. При плоском напряженном
состоянии перемещения, перпендикулярные плоскости, можно
использовать, чтобы определить по точкам сумму деформаций
£хх и гуу в плоскости. В случае мембран и пластин,
находящихся под действием поперечных нагрузок, перемещения,
перпендикулярные плоскости, также представляют значительный
интерес Топология трехмерных поверхностей, мембран и пленок
(как жидких, так и твердых) независимо от того, получены они
под действием нагрузки или без нее, полезна при отыскании не-
регулярностей, вмятин и дефектов под поверхностью. Многие из
Геометрический муар
361
I нот белой матовой краской. Сетка располагается
непосредственно перед матовой поверхностью. На рис. 6.13 показаны
типичные расположения изучаемой поверхности и сетки при
различных положениях камеры и источника света. При коллимиро-
ванном источнике света камеру следует располагать так, чтобы
ее ось была перпендикулярна плоскости сетки (рис. 6.13, а).
При точечном источнике камера и источник должны находиться
па равных расстояниях от сетки (рис. 6.13,6). Обоснование
таких схем дано ниже при выводе уравнений муаровых полос.
Рассмотрим схему на рис. 6.13, а. Линии сетки,
регистрируемые камерой, интерферируют с их тенями на поверхности.
Возвращаясь к уравнению (6.4), отметим, что расстояние е между
линиями сетки с номерами / и т, создающей тень, зависит от
угла а наклона коллимированного источника света и от раст
стояния z от поверхности до сетки:
tga = e/z. (6.19)
Порядок муаровой полосы N, который равен разности номеров
/ и m линий, задается уравнением e = Ng. Расстояние z от сетки
до поверхности тогда определяется соотношением
z = gN/tga, (6.20)
которое точно выполняется на оптической оси камеры. Однако,
как и в случае муара с использованием отраженной сетки, это
приближенное решение вполне применимо и для малых углов
наблюдения. Угол наблюдения поверхности объективом камеры
должен быть мал по сравнению с углом а наклона
коллимированного пучка света. Аналогично случаю муара, получаемого
с использованием отраженной сетки, чем больше фокусное
расстояние объектива камеры, тем лучше аппроксимация.
Показанная на рис. 6.13,6 схема с точечным источником
света налагает на источник света такие же ограничения, как и на
камеру. Угол освещения поверхности точечным источником
должен быть мал по сравнению с углами а и р наблюдения и
освещения относительно нормали к плоскости сетки. Такая
аппроксимация получается наилучшей, когда сетка и поверхность
расположены на половине расстояния между камерой и источником
света (рис. 6.13,6). Формула в этом случае принимает вид
z = gN/(tga + tg$). (6.21)
На рис. 6.14 показана картина муаровых полос, полученная
с использованием сетки и ее тени на поверхности толстой
каучуковой трубы с четырьмя отверстиями после того, как труба
была вывернута наизнанку. Сетка с частотой 2 линия/мм
размещалась непосредственно перед вывернутой наизнанку трубой,-
362
Глава 6
а свет был направлен под углом 45° к нормали (рис. 6.13,а).
Линии сетки и их тени едва видны на фотографии.
На рис. 6.15 показаны теневые картины муаровых полос,
полученные для армированной каучуковой полосы переменной
толщины в процессе усталостных испытаний на изгиб.
Использовались сетка с частотой 2 линия/мм и освещение под углом
37,5° к нормали. Корпус машины создавал помехи для
непосредственного наблюдения, поэтому фотографировать картину
муаровых полос приходилось через зеркало. Однако это
существенного влияния на результаты не оказывает. Картины фотографи-
Рис. 6.14. Картина полос теневого муара, полученная с помощью сетки с
частотой 2 линия/мм, для вывернутой наизнанку толстой каучуковой трубы с
четырьмя отверстиями.
ровали при частоте около 2 Гц, но чтобы найти суммарное
перемещение, машину останавливали в двух экспериментальных
положениях, регистрировали картины полос и анализировали их
гак, как показано на рисунке.
Вариантом теневого метода муаровых полос является
проекционный муар. Сетку располагают рядом с источником света и,
используя объектив, проектируют ее тень на исследуемую
поверхность. Эталонную сетку располагают перед объективом
камеры. В работе [33] описаны как теневые, так и
проекционные варианты муара, а также множество примеров их
применения для решения статических и динамических задач. Как
показано в работах [29, 30], при использовании теневого муара
полосы остаются неподвижными, когда сетка перемещается в ее
364
Глава 6
плоскости перпендикулярно линиям сетки. Оказывается, что при
таком перемещении во время фотографирования повышается
контрастность полос.
6.3. Заключение
Геометрический муар включает несколько оптических
методов, в которых используется интерференция различных сеток
(в частности, сеток прямых параллельных линий,
расположенных на одинаковых расстояниях друг от друга), чтобы
определить перемещения и повороты в плоскости или
перпендикулярно плоскости детали. Помимо самостоятельной ценности,
перемещения обеспечивают информацию для анализа деформаций
в плоскости и кривизны поверхности детали.
Описанные здесь геометрические методы в некотором
отношении сходны с интерферометрическим муаром, которому
посвящена гл. 7. Интерферометрический муар повышает
чувствительность измерений более чем на порядок. Современный
анализ методами муаровых полос, проиллюстрированный на
примерах в данной и следующей главах, следует усовершенствовать и
расширять его применение с помощью автоматизированных
систем цифровой обработки картин муаровых полос.
Список обозначений
d — расстояние между муаровыми полосами
(шаг полос);
d—расстояние от плоскости сетки до
отражающей поверхности пластины;
е — расстояние между линиями сетки двух
изображений, которые пересекаются на
фотографии, образуя муаровую полосу
(отражательный муар);
g, g' — шаги эталонной сетки и сетки образца;
t, т—номера линий эталонной сетки и сетки
образца;
N — порядок муаровой полосы;
N' — порядок муаровой полосы при
дополнительной деформации или повороте сеток;
No — порядок начальных муаровых полос;
Nx, Ny—порядки муаровых полос при наложении
линий, первоначально перпендикулярных
осям х и у;
Nxx, Nyy, Nxy, NyX — порядки муаровых полос второго
порядка;
-Sjcx, Syy, sxy, syx — смещения изображений сетки образца;
Геометрический муар
365
их9 иу — перемещения в направлениях х и у
(см. б);
х, у — прямоугольные координаты;
z — расстояние от сетки до поверхности
объекта (теневой муар);
а — угол наблюдения в отражательном
муаре;
а, р — углы освещения и наблюдения в теневом
муаре;
б — компонента перемещения,
перпендикулярная линиям сетки;
е — линейная деформация (изменение длины
на единицу длины);
ei, 82 — главные деформации;
гХу —деформация сдвига;
6 — угол между линиями эталонной сетки и
сетки образца в плоскости;
©*, ву — углы поворота нормалей к поверхности
в плоскостях х—z и у—«г;
ф — угол наклона муаровых полос
относительно линий эталонной сетки;
issXy — средний поворот координат х и у.
368
Глава 7
электрического поля). Постоянный коэффициент а называете
амплитудой световой волны. Напряженность поля вдоль оси
изменяется периодически, причем расстояние X между соседн]
ми максимумами напряженности называется длиной волн!
Длина z не бесконечна, как в случае непрерывного излучени:
однако она велика по сравнению с X: в случае лазерного света
может составлять миллион длин волн и более. Для классич<
ских источников света (не лазерных) в пучке света присутств]
ет одновременно много волн различной длины.
Световая волна распространяется в пространстве с высоко
постоянной скоростью с. В некоторой фиксированной точь
вдоль направления распространения волны происходит перш
дическое изменение напряженности поля. Полный цикл измен<
ния напряженности поля длится К/с с; следовательно, часто!
этого изменения v составляет с/к цикл/с. В процессе прохожде
ния световой волны через какую-нибудь фиксированную точк
г = г0, напряженность поля изменяется во времени следующи
образом:
Выражение 2nvt называется фазой возмущения. Для параллел!
ного пучка света фаза постоянна в любой плоскости, перпенд*
кулярной пучку; другими словами, напряженность поля одна
та же для всех точек в поперечном сечении пучка.
Определим волновой фронт как любую непрерывную поверх
ность, вдоль которой напряженность поля постоянна, т. е. вдол
которой
где k — некоторое число. В параллельном пучке (также назь
ваемом коллимированным пучком) волновые фронты всегд
есть плоскости поперечного сечения пучка (рис. 7.1,а). Они двр
жутся вдоль пучка со скоростью света.
В коническом пучке (рис. 7.1,6) волновые фронты являютс,
сферами, и их радиусы кривизны возрастают с увеличением рас
стояния от центра; форма таких волновых фронтов изменяете
непрерывно, когда они распространяются в пространстве, н
все волновые фронты имеют фиксированную форму, когда он
проходят некоторую фиксированную точку z0 на своем пути.
Волновые фронты могут приобретать нерегулярную форм
(рис. 7.1, в), например, при отражении от зеркала с дефектам*
Форма подобных волновых фронтов также непрерывно изменя
ется в процессе распространения света, и они могут даже стат
выпукло-вогнутыми. Это явление — следствие закона распре
странения света в направлении волновой нормали, т. е. в на
правлении, перпендикулярном волновому фронту. Оно всегд
А = a cos 2п (с/К) t = a cos 2nvt.
(7-
vt — к,
(7-
Интерференционный муар
369
имеет место для света, распространяющегося в однородной
среде. Как отмечалось выше, каждый волновой фронт в световом
пучке имеет одну и ту же форму, когда проходит через
фиксированную точку z0. Волновые фронты гладкой, но нерегулярной
формы называются искривленными волновыми фронтами.
Некоторые дополнительные факты и особенности
Световые пучки распространяются с огромной скоростью
(около 3-Ю8 м/с в свободном пространстве). Видимый спектр
образуется областью длин волн от 400 нм (1 нм=10~9 м) для
голубого света до 700 нм для красного света. Широко
распространенный гелий-неоновый лазер излучает видимый свет с
длиной волны 632,8 нм, а аргоновый лазер может перестраиваться
на несколько различных цветов с наиболее интенсивным
излучением на длине волны 514, 5 нм (зеленое) и 488,0 нм
(сине-зеленое) .
24—1480
Глава 7
Интерференционный муар
Д. Пост1)
Интерференционный муар включает в себя понятия и
методы геометрического муара и оптической интерферометрии.
В своей фундаментальной монографии Гилд [1] показал, что
различные муаровые эффекты могут трактоваться как
разновидности оптической интерференции. Все муаровые методы
имеют общую основу. Однако муар, образованный сетками низкой
частоты (в виде чередующихся темных и светлых линий),
может быть также объяснен на основе задержки света или
механической интерференции, которая рассматривалась в гл. 6.
Высокочувствительный метод интерференционного муара
применяется для измерения полей перемещений в плоскости.
гЕго отличает уникальное сочетание высокой чувствительности,,
максимального контраста, широкого диапазона измерений и
пространственного разрешения. Этот метод довольно легко
освоить и использовать на практике. В 1965 г. Дэлли и Райли
[2] писали: «Если станет доступным нанесение
высококачественных линий с частотой от 10 000 до 30 000 линия/дюйм,
муаровый метод сможет найти широкое применение при
экспериментальном анализе напряжений». Этот уровень уже достигнут..
Для получения картин муаровых полос, приведенных в этой
главе, были использованы эталонные сетки с частотой 1200,.
4000 и 2400 линия/мм.
Интерференционный муар обеспечивает получение линий
уровня (контурных карт) полей перемещений их и иу
в плоскости детали. Традиционно поля перемещений чаще
используются для определения малых деформаций с помощью
соотношений
dUy_
дх
(7.1), (7.2)
!> D. Post. Virginia Polytechnic Institute' and State Univer&ity Blaeksburg^
Virginia,
Интерференционный муар
367
Некоторые вопросы определения деформаций освещены в этой
главе. Однако экспериментальное определение полей
перемещений — весьма важная самостоятельная проблема.
Интерференционный муар дает экспериментальное
дополнение мощным вычислительным методам механики твердых
деформируемых тел, позволяющим определять поля
перемещений1). Результаты экспериментальных измерений обеспечивают
достоверные данные для обработки и проверки точности
результатов, получаемых с помощью вычислительных программ, а
также данные для эффективных гибридных экспериментально-
расчетных методов.
Глава начинается с изложения некоторых основных
положений оптики, которые имеют отношение и к другим главам книги,
посвященным фотомеханике. Наиболее подробно
рассматривается интерференционный муар для измерения перемещений
е плоскости. Обсуждаются также вопросы, связанные с
измерением перемещений, перпендикулярных плоскости, и обработка
данных интерференционного муара.
Методы интерференционного муара, обсуждаемые здесь,
появились в последние годы, но они являются частью процесса
развития родственных методов. Их основу составляют
геометрический муар и классическая оптика с учетом многочисленных
творческих достижений предшествующих исследователей.
Обширная библиография по интерференционному муару
содержится в статье [3]. Подробное изложение теоретических основ мож-
ео найти в книгах [4, 5]. В работах [6—20] описаны
разработки и технические приложения, наиболее близкие к изучаемым
здесь методам, и, наконец, работы [21—54] включают
результаты последних исследований, опубликованные в процессе
развития методов, обсуждаемых в данной главе.
7.1. Сведения из оптики
Для объяснения всех особенностей интерференционного
муара достаточно волновой теории света. Параллельный пучок
света, распространяющийся в направлении оси г, описывается
(в фиксированный момент времени) периодическим изменением
©озмущения, характеризуемым уравнением
A = acos(2nz/h). (7.3)
Буквой Л обозначена напряженность возмущения, которая
обычно рассматривается как напряженность электромагнитного
поля в точке пространства (в частности., как напряженность
1> В методах конечных элементов и граничных «интегральных уравнений
^перемещения определяются в узлах соответствующих сеток. — Прим. перев.
Геометрический муар
363
10h
I
20
25
Перемещение
Положение
минимума
2.5
5,0
1
!
t
12,5
150
Положение минимума
■Ш№ММ
Пложение шкшщма
Рисч 6.15. Картины теневых муаровых полос, дающие максимальные и
минимальные перемещения поверхности армированной каучуковой пластины при
циклическом нагружении , t< /:
это
Глава 7
Видимый спектр занимает только малую часть
электромагнитного спектра, в котором длины волн простираются по
крайней мере от 10~14 до 103 м, перекрывая 17 порядков величины.
Все обсуждаемые здесь явления — интерференция, дифракция
и др. — применимы для спектра электромагнитных колебаний.
Когда световая волна проходит через фиксированную точку
в пространстве, частота колебаний электромагнитного поля
в ней v = c/l составляет около 6-Ю14 Гц для видимого света.
Не существует аппаратуры, которая могла бы зарегистрировать
индивидуальные циклы в этой частотной области. Однако
приемники, аналогичные глазу, фотографической пленке и
фотоэлементам, реагируют на энергию света.
Когда световая волна или световой пучок попадает на
фотоприемник, энергия, поглощаемая приемником., пропорциональна
произведению интенсивности света на время экспозиции. При
распространении света в пространстве в нем существует
некоторое распределение интенсивности. Энергия, связанная со
светом, есть потенциальная энергия. Этот потенциал,
реализуется, только когда свет попадает в приемник и его энергия
поглощается приемником.
В электромагнитной теории показано, что интенсивность
света с напряженностью возмущения А = а cos 2 nvt равна
квадрату амплитуды, т. е.
Таким образом, интенсивность света есть усредненная во
времени величина, не зависящая от частоты п фазы светового пучка.
Скорость с' света, распространяющегося в прозрачном
материале, меньше его скорости в свободном пространстве.
Существует соотношение с' = с/я, где п — постоянная для каждого
материала величина, называемая показателем преломления. Для
газов п немного больше единицы; для жидкостей его величина
находится между 1,3 и 1,5; для твердых тел п изменяется в
интервале от 1,5 до 1,7.
Иногда нас будет интересовать поляризация света. Она
относится к электромагнитному возмущению, описываемому
уравнением (7.4), которое показывает, что А есть функция но не
зависит от х и у. Такое описание есть упрощение реальной
ситуации, хотя эта модель неполяризованного света является
вполне удовлетворительной. Для плоскополяризованного света
напряженность поля является однонаправленной, скажем в
направлении у, и возмущение записывается в виде
(7.6)
<7.4б)
(7.4а)
,372
Глава 7
a cos 2nvt,
(7.4в)
то фаза световой волны 2 должна быть больше, чем у волны 1,
на 2л5Д, когда она пересекает г0, а напряженность ее
возмущения в точке zq составит
Так как разность фаз в z0 одна и та же для всего времени
прохождения световых волн, результирующая амплитуда света есть
A=Al+A2=Kcos2n(vt + y)1 где К= {2a2[l + cos (2nS/l)]}1'2 и
величина ф является произвольной. Согласно уравнению (7.6),
результирующая интенсивность взаимодействующих волновых
фронтов есть К2 или
Это фундаментальное соотношение, характеризующее
распределение интенсивности при двухпучковой интерференции, отвечает
любому случаю деления на два пучка с равными интенсивностя-
ми и их последующего наложения. Оно показывает, что
интенсивность взаимодействующих пучков не зависит от времени.
Она изменяется периодически от максимума до нуля и до
следующего максимума и т. д., как функция разности 5 длин
путей, пройденных двумя пучками
В схеме на рис. 7.2 параметр S может иметь произвольную
величину. Если S состоит из целого числа длин волн, т. е.
5Д = 0, 1, 2, 3, то интенсивность в произвольной точке z0
максимальна, т. е. имеет место усиливающая интерференция. Если
S = 'k/2 плюс целое число длин волн, т. е. 5Д=1/2, 3/2, 5/2,
то интенсивность принимает минимальное значение и имеет
место ослабляющая интерференция. Так как фронты Wt и W2
параллельны и распространяются с одинаковыми скоростями,
а точка г0 произвольная, интенсивность (т. е. условия
усиливающей и ослабляющей интерференции) одна и та же в каждой
точке пространства, где пучки / и 2 существуют. Случай
непараллельных волновых фронтов рассматривается ниже.
Представленный пример называется чистой двухпучковой
интерференцией, поскольку интерферирующие пучки имеют равные
напряженности и ослабляющая интерференция является полной,
Т. е. /min = 0.
Интерференция может происходить, если два пучка имеют
одинаковую поляризацию. Если пучки не поляризованы или
.имеют неодинаковую поляризацию, то напряженность каждого
пучка может быть разделена на векторные компоненты Axi и
Ау\, Ах2 и Ау2. Компоненты АхХ и Ахо интерферируют в соответ-
А2 = a cos 2п (vt + S/X).
(7.4г)
/ = 2a2 [1 + cos (2nS/K)] = 4a2 cos2 (nS/k).
(7.7)
Интерференционный муар
371*
7.2. Интерференция света
Наложение двух когерентных пучков света называется двух-
пучковой интерференцией. Для наших целей когерентные пучки'
света представляют собой длинные последовательности волн,,
у которых длина волны К одинакова. Используются
многочисленные оптические системы для получения двухпучковой
интерференции, включая системы для муаровой интерферометрии.
Их общая схема показана на рис. 7.2. Параллельный пучок
когерентного света с волновым фронтом W0 входит в оптический
преобразователь (часто называемый интерферометром), в
котором он делится на два отдельных пучка 1 и 2, с волновыми
^фронтами Wi и W2. Волновые фронты Wi и W2 занимают то же*
Интерферометр
Рис. 7.2. Схема интерферометра. Входящий пучок делится на два
когерентных пучка I и 2, которые распространяются внутри интерферометра вдоль
путей различной длины, различающихся на выходе на величину S.
самое положение в их новых соответствующих пучках, что и W&
раньше. Они образовались из одного волнового фронта и
демонстрируют эволюцию во времени его частей. Поэтому фаза W*
всегда совпадает с фазой W2. В преобразователе пучок /
проходит путь на величину S длиннее, чем пучок 2. Когда фронт W*
достигает некоторой точки zo, он сравнивается с фронтом W2p
который прошел дальше на расстояние S. В любой момент
времени распространения двух пучков света они проходят
положение z0 с относительной фазой (т. е. с разностью фаз) S/h
циклов или 2nS/K радиан.
«Чистая» двухпучковая интерференция
Обращаясь к рис. 7.2, предположим, что взаимодействующие
•пучки 1 и 2 имеют одинаковые интенсивности Л и 12, каждая из
которых равна половине начальной интенсивности 10 входного
пучка. Если предположить, что в точке г0 амплитуда световой
волны 1\ изменяется со временем как
24*
Интерференционный муар
373
ствии с уравнением (7.8), давая 1Х (Ау] и Ау2 дают 1У).
Результирующая интенсивность есть их скалярная сумма I=Ix-\-Iy.
«Не чистая» двухпучковая интерференция
Предположим, что взаимодействующие пучки 1и2 (рис.7.2)
имеют неравные интенсивности Л и /2 и неравные фазы 2nvt
и 2n(vt+S/X).
Результирующая интенсивность характеризуется [23]
уравнением
/ = li + /2 ± 2 1Л77"2 cos (2nS/k). (7.8)
Это общее уравнение для интерференции, или суперпозиции
любых двух когерентных волн Результирующие интенсивности
построены на рис. 7.3 как функции разности хода N = S/X.
Рис. 7.3. Зависимости результирующей интенсивности от разности хода S/K
для двухпучковой интерференции. Кривые соответствуют разным отношениям
интенсивностей входных пучков: Л//2=1 (кривая /), 4 (2), 16 (3) и 100 (4).
374
Глава 7
Интерференцию пучков с неодинаковыми напряженностями
называют «не чистой», так как ослабляющая интерференция не
является полной, т. е. /min¥=0.
Картины полос и интерференционные слои
Интерферометр, представленный на рис. 7.4, аналогичен
изображенному на рис. 7.2, но здесь коллимированные пучки 1 и 2
выходят с относительным углом 29. Как всегда (в свободном
пространстве и изотропной среде), их волновые фронты W\ и
W2 перпендикулярны пучкам и также пересекаются под
углом 20.
Волновые фронты Wx и W2 получены делением волнового
фронта W0. Следовательно, W{ и W2 имеют одинаковые фазы.
Там, где их разность хода S равна нулю или целому числу
длин волн, интерференция является усиливающей; в средних
положениях между соседними максимумами усиливающей
интерференции имеет место ослабляющая интерференция.
Интерферометр
Рис. 7.4. Интерферометр, формирующий два выходных пучка с
относительным угловым расхождением 26.
Анализ проводится в соответствии с рис. 7.5, на котором
изображены два пучка света в фиксированный момент времени и
показаны волновые фронты W\ и W2 и соседние волновые
фронты. Расстояние между волновыми фронтами в каждом пучке
равно К. Гармонические кривые с ординатами, обозначенными
А, и Л2, представляют напряженности двух световых волн в
пространстве в фиксированный момент времени. Фазы,
обозначенные ф1 и ф2, одинаковы, так как представляют волновые
фронты с общим источником. Далее, когда фронт W± достигает
точки a, W2 уже расположен на расстоянии пяти длин волн
дальше а; аналогичная ситуация имеет место в точке Ь, где
длины путей двух световых волн опять различаются на пять
длин волн. Это условие выполняется для каждой точки на
линии а—с и уравнение (7.7) [или уравнение (7.8)] применимо
для всех этих точек, где S/% = 5. Таким образом, усиливающая
интерференция имеет место во всех точках линии а—с.
о
376
Глава 7
Волновые фронты на рис. 7.5. не являются линиями, как
показано, а на самом деле представляют собой плоскости,
перпендикулярные плоскости рисунка. Оптическая интерференция
происходит в пространстве, где пересекаются два пучка.
Усиливающая и ослабляющая интерференция представляются
набором параллельных плоскостей, перпендикулярных плоскости,
рисунка, и содержат линии с усиливающей и ослабляющей
интерференцией.
Плоскости усиливающей интерференции лежат в тонких
слоях пространства, где результирующая интенсивность
относительно высока. Плоскости ослабляющей интерференции лежат
в промежуточных тонких слоях пространства, где
результирующая интенсивность относительно низка. Можно представить эти
тонкие слои пространства, окружающие плоскости усиливающей
интерференции, как слои усиливающей интерференции, в
которых интенсивность света не равна нулю. В пространстве между
этими слоями интенсивность света равна нулю. Согласно
предложенной нами модели, в трехмерном пространстве существуют
параллельные равноотстоящие слои с ненулевой интенсивностью
света. Это так называемые интерференционные слои.
Тонкие слои могут быть обнаружены при пересечении в
пространстве двух пучков когерентного света независимо от угла
их пересечения. Другие пучки света могут проходить через эти
слои, не испытывая их влияния, так же как пучки света могут
распространяться в пространстве и выходить из зоны
пересечения, не ослабляясь.
Фотопластинка, помещенная в эту область пространства,
поглощает энергию из слоев с ненулевой световой интенсивностью
и регистрирует их. В тех местах, где интенсивность света равна
нулю, она не получает энергии. Таким образом, на
фотопластинке регистрируются темные и светлые области (рис. 7.6). Эти
области называются полосами, а система полос — картиной
интерференционных полос.
Пусть фотопластинка расположена в сечении В—В на
рис. 7.5. Базовое соотношение определяет расстояние G между
соседними полосами на пластинке или между соседними слоями
интерференции в пространстве. Из заштрихованного
треугольника на рис. 7.5, у которого G — гипотенуза, а короткая
сторона равна Я/2, находим
Частоту полос, или градиент полос на пластинке (т. е. число
полос на 1 мм), обозначим через F, причем
sin0 = (V2)/G.
(7.9)
(7.10)
Интерференционный муар
375
Согласно таким аргументам, вдоль линии d—е разность S
длин оптических путей, пройденных двумя световыми волнами,
составляет 4,5 длины волны, или S/X = 4,5. Вдоль линии q—г
выполняется 5Д = 4,0. Это объясняет образование усиливающей
и ослабляющей интерференции в заданный момент времени, но
почему эффект не зависит от времени?
Рис. 7 5. Зоны усиливающей и ослабляющей интерференции в пространстве,
где пересекаются дза когерентных пучка.
В последующий момент оба волновых фронта продвигаются,
но их скорости равны и пройденные расстояния одинаковы.
Следовательно, разность фаз в точке а остается равной пяти
периодами и во всех других точках остается неизменной. Условие
стационарности усиливающей и ослабляющей интерференции,
таким образом, сформулировано. Линии интерференции
параллельны биссектрисе угла между падающими пучками (рис. 7.5).
378
Глава 7
Таблица 7.1. Двухлучевая интерференция когерентных пучков неравных
интенсивностей
Случай
Двухлучевой вход
/1 аН
~7~ или ~
1ч. аЦ
Выход — результат когерентного
сложения
Лпах
'rnin
Контраст, %
[уравнение (7.13)]
а
б
в
г
д
е
ж
1
2
4
9
16
25
100
оо
34
9
4
2,8
2,2
1,5
100
97
89
75
64
56
33
Рис. 7.6. иллюстрирует случай «чистой» двухпучковой
интерференции. Если два интерферирующих пучка имеют неравные
интенсивности, то результирующая интенсивность в каждой
точке (плоскости В—В) будет определяться соотношением (7.8) и
рис. 7.3, а темные полосы будут иметь серый тон, а не черный.
В табл. 7.1 представлены параметры, относящиеся к видности
полос для различных соотношений интенсивностей падающих
пучков. Картина полос описывается отношением интенсивностей
/max//min для «не чистой» интерференции, а также контрастом
полос, причем
Контраст (%)= 7max-/mln (7л3^
•*тах
Ясно, что для получения хорошей видности полос не
требуется «чистой» двухпучковой интерференции. Если соотношение
.между интенсивностями двух интерферирующих пучков равно
4:1, то контраст полос достаточно высок (89%). Два пучка
с соотношением интенсивностей 100 : 1 дают различимую
интерференционную картину с контрастом 33%. Это, между прочим,
объясняет образование посторонних интерференционных картин,
или «шумовых картин», при использовании когерентного
лазерного света. Небольшое количество постороннего света, который
отражается от локальных зон (например, держателей
оптических элементов), взаимодействует с основным пучком, образуя
интерференционные полосы низкого контраста.
Волновые фронты неправильной формы
Снова обратимся к рис. 7.4. Пусть волновой фронт W{
выходит в виде неплоской поверхности, но отклонения от
плоскостности носят гладкий непрерывный характер. Такой слабо ис-
Интерференционный муар
377
Градиент полос определяется соотношением
F = 2 sin в/Я.
(7.11)
Подобно уравнению (7.7) или (7.8), соотношение (7.11)
выполняется для произвольного случая оптической интерференции и
будет неоднократно использоваться в дальнейшем. Это
соотношение применимо для любой величины 0 в диапазоне от 0 до
90°, а также для произвольной разности хода S за тем
исключением, что 5 должно быть мало по сравнению с длиной
когерентности источника света.
Рис. 7.6. Интерференционные полосы, записанные на фотопластинке, установ
ленной в плоскости В/В на рис. 7.5.
Если фотопластинку поместить в сечение В—В, на ней будет
зарегистрирована картина, аналогичная показанной на рис. 7.6.
Это позитивное изображение, на котором черные полосы
соответствуют ослабляющей интерференции. Светлые области (или
светлые полосы) представляют зоны усиливающей
интерференции, где
SA = iV = 0, 1, 2, 3, ... , (7.12)
так же как в случае рис. 7.2. Здесь N называется порядком
интерференционной полосы, или, проще, порядком полосы.
Уравнение (7.12) показывает, что картина полос дает карту линий
уровня разности хода S между волновыми фронтами W\ и W2,
где расстояние между линиями уровня соответствует длине
волны К. Величина S измеряется в направлении распространения
одного из световых пучков.
Интерференционный муар
379
кривленный фронт показан на рис. 7.7, а. Волновой фронт W2
в этом примере остается плоским. Если на пути пучков света
установить фотопластинку, она зарегистрирует
интерференционную картину. Результатом интерференции двух волновых
фронтов будет картина искривленных полос (рис. 7.7,6), которая
является картой линий уровня разности хода Sxy между двумя
волновыми фронтами.
Очевидно, что для этого случая также применимы уравнения
(7.12) и (7.9). Для искаженного волнового фронта угол 9
непрерывно изменяется в зависимости от координат х и у. В ре-
а б
Рис. 7.7. Если один или оба волновых фронта двух интерферирующих волн
слегка искривлены, то интерференционные полосы представляют собой
гладкие кривые.
зультате разность хода между фронтами 5 и расстояние G
между соседними полосами также изменяются определенным
образом в зависимости от координат х и у. Вдоль любой
светлой полосы величина Sxy/K остается постоянной и равна порядку
полосы N, причем N — целое число, которое постоянно во всех
точках любой темной полосы, а также во всех точках вдоль
любой непрерывной линии с некоторой промежуточной
интенсивностью. Таким образом, N принимает все значения: целые,
полуцелые, промежуточные или дробные. Так как фронт Wi
характеризуется гладкими искажениями, то и порядки полос
380
Глава 7
должны изменяться без скачков, непрерывным образом. Полосы
должны иметь гладкие контуры, и изменение порядка между
соседними полосами должно быть равно 1 или 0.
В муаровой интерферометрии оба пучка обычно имеют
волновые фронты неправильной формы. Однако интерпретация та
же самая: картина полос, зарегистрированная на
фотопластинке, дает карту линий уровня разности хода Sxy между
волновыми фронтами с равной фазой в двух выходящих пучках.
Следует отметить, что двухпучковая интерференция с
когерентным светом является нелокализованной. Это означает* что
уравнения (7.7) и (7.8) выполняются в каждой точке
пространства, где существуют два пучка. Контраст интерференционных
полос, зарегистрированных на фотопластинке, одинаков для
любого положения в пространстве.
Модель интерференционных слоев применима в трехмерном
пространстве, где сосуществует любая пара когерентных
световых пучков, включая пучки с искаженными волновыми
фронтами. Слои являются плоскими, параллельными и
равноотстоящими только в частном случае интерференции пучков с плоскими
волновыми фронтами. В общем случае искаженных волновых
фронтов слои также имеют неправильную форму. Как следствие
изменений волнового фронта, изображенного на рис. 7.1, в,
каждый интерференционный слой непрерывен, но имеет
неправильную форму с искажениями, систематически отличающимися от
соседних слоев. Фотопластинка, которая пересекает слои в
одном положении, может зарегистрировать картину полос, как
на рис. 7.7, но в другом положении картина полос будет уже
несколько другой.
7.3. Фотографирование интерференционных картин
При фотографировании возникает затруднение, связанное
с неоднозначностью полос. Картина изменяется в зависимости
от голожения, в котором она наблюдается. Так где же в
пространстве следует регистрировать картину полос?
Полосы не локализованы и имеют одинаковый контраст
повсюду. Следовательно, нет необходимости искать некоторое
специальное положение, где бы полосы были наилучшими. Для
большинства интерферометрических методов, применяемых
в метрологии, включая муаровую интерферометрию, картину
полос следует регистрировать в плоскости, где два
интерферирующих пучка впервые встречаются. На рис. 7.4 два пучка
проходят различные пути внутри интерферометра и объединяются
на выходе, где и должна фотографироваться картина.
Фотопластинка может быть расположена вне интерферометра на
рис. 7.4 для регистрации образующейся картины. На практике,
Интерференционный муар
Ж
однако, это часто бывает невозможно или неудобно. Картина
полос может также наблюдаться глазом или с помощью любой
подходящей оптической системы.
Конструкция фотокамеры изображена на рис. 7.8. Камера
воспроизводит в плоскости изображения (фоточувствительного
слоя) фазовые соотношения света, соответствующие объектной
плоскости. Пусть А—А есть плоскость на выходе
интерферометра (см. рис. 7.4). Камера, сфокусированная на эту плоскость»
зарегистрирует ту же интерференционную картину, что и фото-
б
Рис. 7.8. Фотокамера, воспроизводящая разность хода волновых фронтов S
в плоскости фотопленки. Величина S одна и та же для соответствующих
точек объекта и изображения независимо от увеличения Для наблюдения и
фокусировки света используется одиночная линза (а) или объектив,
состоящий из двух разделенных элементов (б)
пластинка, установленная в плоскости А—А. Это верно, так как
соответствующие искажения волновых фронтов при их
прохождении от объектной плоскости до плоскости изображения
одинаковы для обоих волновых фронтов. Разность искажений
между Wi и W't идентична разности между W2 и W'2.
Следовательно, разность хода 5 волновых фронтов
одинакова в соответствующих точках плоскостей объекта и
изображения. Так как это и есть та самая разность, которая определяет
положения усиливающей и ослабляющей интерференции, то
картины полос, зарегистрированные в объектной плоскости и
плоскости изображения, одинаковы.
182
Глава 7
Изменение масштаба изображения (рис. 7.8,6), а именно
уменьшение его размеров, не влияет на результат. Расстояние S
остается одинаковым для соответствующих точек объекта и
изображения, и, следовательно, порядок интерференционной
полосы N один и тот же в соответствующих точках.
7.4. Дифракционные решетки и дифракция
Муаровая интерферометрия связана с дифракцией света так
же, как и с интерференцией, поэтому для понимания
дальнейшего материала необходимо иметь представление об
особенностях дифракции света на решетках. Дифракционные решетки
представлены на рис. 7.9, где а показывает, что решетка — это
поверхность с равноотстоящими полосками или рисками. В
случае пропускающих решеток падающий свет и дифрагированный
«свет находятся на противоположных сторонах дифрагирующей
д еж
*Рис. 7.9. Дифракционные решетки, состоящие из регулярно расположенных
полосок или канавок.
Даны поперечные сечения прозрачных (б—г) и отражательных (д—ж) решеток. Случаи
">б и д представляют амплитудные решетки, характеризующиеся периодической системой
темных и светлых полосок, в и е — симметричные фазовые решетки, г и ж —
пилообразные фазовые решетки (с острыми кромками канавок). Случай а иллюстрирует решетку
с одним семейством параллельных линий, случай з — решетку с пересекающимися
системами линий, которые могут быть как амплитудного, так и фазового типа.
поверхности, а для отражательных решеток они находятся
-с одной стороны, и подложка решетки может быть
непрозрачной. Амплитудные решетки состоят из чередующихся
непрозрачных и прозрачных полосок, а также из отражающих и
неотражающих полосок. Поверхность фазовых решеток имеет риф-
.ление (или волнистость с симметричным или несимметричным
профилем штрихов). Период, или шаг, решетки есть расстояние
между соответствующими элементами соседних полосок или
штрихов. Скрещенная решетка имеет две системы полосок или
кштрихов, ориентированных в двух ортогональных направлениях.
Интерференционный мyap ■
383
Частота решетки $Г есть число темных или светлых полосок
на единицу длины и обычно выражается* в количестве линий
или периодов на 1 мм. Частота и шаг связаны соотношением
f = Ш. (7.14>
Нас будут интересовать сравнительно высокочастотные
решетки. Решетка делит каждый падающий волновой фронт на
множество волновых фронтов меньшей интенсивности и вынуждает
эти волновые фронты распространяться в определенных
фиксированных направлениях. Это показано на рис. 7.10, а, где пучки
света представчены отдельными лучами. Вертикальная
штриховая линия представляет амплитудную либо фазовую решетку.
Если параллельный пучок света падает на нее под углом а,
решетка делит его на семейство пучков, которые
распространяются под определенными углами: р_ь р0. Рь £Ь» •••• Эти пучки
называются дифракционными порядками и нумеруются
последовательно, начиная с нулевого порядка, который является
продолжением падающего пучка. Дифракционные порядки под
углами, отсчитываемыми в направлении против часовой стрелки
по отношению к нулевому порядку, считаются положительными-
для дифрагированных пучков, которые распространяются в
направлении, имеющем положительную компоненту z.
Отражательные решетки дифрагируют свет точно таким же*
образом, как и прозрачная решетка, при замене падающего
пучка его зеркальным отражением, изображенным точечной
линией на рис. 7.10, а. При отражении нулевой порядок дифракции
является зеркальным отражением падающего пучка.
На рис. 7.10,6 представлен график изменения интенсивности
дифрагированного света в зависимости от угла дифракции р.
Свет дифрагирует, расщепляясь на пучки с большой
интенсивностью в фиксированных направлениях и с очень малой
интенсивностью в других направлениях. Для высококачественных
решеток угловая расходимость Д$ дифракционных порядков*
очень мала, и для практических целей ею можно пренебречь.
Рис. 7.10, а иллюстрирует дифракцию в двух измерениях,
причем плоскость падения (т. е. плоскость, содержащая падающий
луч и нормаль решетки) перпендикулярна линиям решетки.
Этот специальный случай нарушается, если решетка
поворачивается на угол яр вокруг оси г, и требуется анализировать
трехмерную дифракцию. Общий случай изображен на рис. 7.10, в,
где А и Dm — единичные векторы, определяющие направления*
падающего и дифрагированных пучков соответственно [54, 55].
Для полноты здесь показаны как отраженное семейство
дифрагированных пучков (в полупространстве +г), так и семейство*
для пропускающей решетки (в полупространстве —z).
Проекции единичных векторов А и D™r которые параллель*-
Интерференционный муар
385
ны плоскости х—у, обозначены через а* и р*т (не показаны)
и определяются как векторы падающего и выходящего лучей
соответственно. Компоненты по осям х и у векторов А и Dm
(т. е. х- и ^-компоненты векторов падающего и выходящего
света) есть а*Ху а*у и р*т*, Р*,т/ соответственно [54]. Эти
компоненты полностью определяют направления падающего и
дифрагированного света, показанные на рис. 7.10,0.
Уравнения трехмерных решеток определяют направления
дифрагированных пучков. Соотношения между этими
векторными компонентами очень просты и устанавливаются в
соответствии с геометрическим построением на рис. 7.10, в:
$*mX = ax + mlf, р^ = а*. (7.15а), (7.16а)
Частота У решетки — также векторная величина, как будет
показано в разд. 7.18.
Могут быть получены эквивалентные скалярные
соотношения, если разложить угол дифракции рт на две компоненты:
Рт* и рту, где $тх определяется как угол между единичным
вектором Dm и плоскостью у—г, а $ту — угол между Dm и
плоскостью х—г. Тогда
sin pmjc = sin a cos я|) + mXf, (7.156)
sin pm&. = sin a sin if. (7.166)
Когда угол поворота i|) в плоскости решетки (по отношению к
плоскости падения) равен нулю или очень мал, уравнение
решетки может быть записано в виде
sinPm3C = sina + mA.f, Pmy = 0, (7.15в), (7.16в)
который является обычным уравнением двумерной решетки.
Угол дифракции $тх не может превышать 90°. Как видно из
уравнений (7.15а — в), число дифракционных порядков в
диапазоне ±90° очень велико, когда &~ мало (т. е. для грубой
решетки), и наоборот, максимальная величина т невелика, когда ST
велико. Угол между соседними дифракционными порядками
мал для редкой решетки и велик для частой.
Рис. 7.10. а — решетка делит падающий пучок света на несколько
дифрагированных пучков, которые распространяются в определенных направлениях,
показанных стрелками, б — дифрагированный свет распространяется в очень
узких угловых зонах соответствующих направлений; форма огибающей
пиков интенсивностсй зависит от формы канавок (для фазовых решеток) или
ширины полосок (дли амплитудных решеток), в — общий случай трехмерной
дифракции, где А и Dm — единичные векторы направлений освещения и
дифрагированных лучей (пучков) соответственно, г — особый случай двумерной
дифракции, где нулевой и —1-й порядки дифракции имеют симметричные
направления.
25—1480
386
Глава 7
Особый интерес вызывает случай, представленный на
рис. 7.10, г. Здесь нулевой порядок дифракции и соседний
—1-й порядок расположены симметрично по отношению к
нормали решетки. Если угол падения равен ее, то р0 = сс и p_i =
= —а. Уравнение (7.15) принимает вид
sina = Af/2. (7.17)
Оно определяет угол падения а, при котором достигается
специальное условие симметрии.
6
Рис. 7.11. Виртуальные решетки, образованные двумя когерентными
пучками (а), а также одним пучком и реальной решеткой (б).
Эквивалентность и виртуальные решетки
Уравнение (7.11) определяет градиент, или частоту, полос F,
образующихся при пересечении двух когерентных пучков под
углом 29. Уравнение (7.17) связывает угол распространения а
для нулевого и —1-го порядков дифракции и частоту
решетки Эти уравнения одинаковы. Если положить 6 = а, получаем
F=sr.
Существует подобие (эквивалентность) между картинами
полос и решетками. Эту связь иллюстрирует рис 7.11. В объеме
пространства, где сосуществуют два когерентных пучка,
образуется стационарная система слоев усиливающей и
ослабляющей интерференции. С другой стороны, реальная решетка с тем
388
Глава 7
виртуальную опорную решетку. Частота этой решетки /
определяется соотношением
/ = 2 sin а/Л. (7.18)
Это фактически уравнение (7.12), записанное с помощью
символов / и а, представляющих частоту виртуальной эталонной
решетки и угол падения образующих ее лучей.
Объектная и опорная (эталонная) решетки при наложении
дают муаровую картину, которая наблюдается и
фотографируется камерой. Представленное краткое описание повторяет
основные положения геометрического муара и служит для того,
Рис. 7.12. Схема основных элементов муаровой интерферометрической
системы.
чтобы выделить общие признаки методов. Ниже будет дано
более подробное изложение интерференционного муара. Однако
и это краткое описание весьма полезно, поскольку из него
вытекает идентичность основных уравнений геометрического и
интерференционного муара [54].
Заметим, что исходная частота объектной решетки вдвое
меньше, чем опорной. Условия измерений на рис. 7.12
аналогичны условиям образования геометрического муара с
коэффициентом умножения полос 2 (гл. 6). На рис. 7.12 линии виртуальной
Интерференционный муар
387
же шагом образует два когерентных пучка, которые
сосуществуют в пространстве и дают те же слои интерференции в
области пересечения.
Вспомним, как экспонировалась фотопластинка при
регистрации интерференционной картины на рис. 7.5.
Экспонированная и затем проявленная фотопластинка фиксирует картину
параллельных эквидистантных полос, которые описываются
уравнением (7.11), и фактически является дифракционной
решеткой. Если теперь эту дифракционную решетку осветить под
соответствующим углом а = 9, то будут получены пучки
нулевого и —1-го порядков, которые совпадают с пучками,
сформировавшими эту решетку. В этом и заключается эквивалентность.
Трехмерную область равноотстоящих слоев интерференции,
показанную на рис. 7.11, а и б, будем называть виртуальной
решеткой. Независимо от способа получения этот свет обладает
теми же свойствами, что и свет, дифрагированный реальной
решеткой. Основной смысл заключается в том, что виртуальная
решетка может быть образована либо с помощью реальной
решетки, либо путем пересечения двух когерентных пучков.
Эквивалентность — это полезная идея. Линии дифракционной
решетки и равноотстоящие интерференционные полосы могут
быть взаимозаменяемыми объектами.
7.5. Интерференционный муар
На рис. 7.12 представлена схема метода муаровой
интерферометрии, который мы будем изучать. На образец (объект)
•шшоюится окрещенная дифракционная решетка. Это хорошо
отражающая, симметричная фазовая решетка типа показанной
mil рис. 7.9 с: высокой частотой линий &~=f/2, например 1200 ли-
пии/мм ()к) значение использовалось при получении всех,
кроме двух, му 1ровых картин, представленных в этой главе).
Решетка объекта непосредственно наносится на образец или
крепится к нему. При нагружении образца решетка перемещается
и деформируется вместе с поверхностью образца.
Два пучка когерентного света освещают объектную решетку
под углами +а и —а к поверхности, т. е. воспроизводятся
условия, рассмотренные в разд. 7.2. Эти пучки образуют слои
усиливающий н ослабляющей интерференции (т. е. виртуальную
решетку) и зоне их пересечения, и виртуальная решетка
пересекает плоскую поверхность образца, на которой образуется
система параллельных светлых и темных полос весьма высокой
частоты. Эти полосы соответствуют эталонной решетке в методе
геометрического муара. Соответствующая система полос, а
также слои интерференции, из которых они получаются, образуют
25*
Интерференционный муар
389
Рис. 7.13. Карпша интерференционного муара Nx, дающая поле перемещений
их для клеевого соединения. Склеиваемые детали изготовлены из алюминия,
клей — модифицированная эпоксидная смола. Картина б — увеличенное
изображение зоны в окрестности сечения СС на картине а (/=2400 линия/мм).
опорной решетки перпендикулярны оси х. Ее наложение на
объектную решетку дает поле перемещений их. На практике с
помощью другой пары когерентных освещающих пучков может
быть сформирована опорная решетка с линиями,
перпендикулярными оси у, которая при наложении на соответствующую
систему линий скрещенной решетки образца дает поле
перемещений иу.
Характерные картины полос интерференционного муара
показаны на рис. 7.13 и 7.14. Они дают перемещения точек поверх-
390
Глава 7
ности образца в виде полос равных перемещений.
Количественно перемещения в каждой точке картины муаровых полос
определяются по формулам
ux = Nx/f, uy = Nylf, (7.19)
где их, иу — перемещения в направлениях х и у соответственно;
Nx, Ny — порядки муаровых полос при линиях опорной решетки,
перпендикулярных направлениям х и у соответственно; / —
частота опорной решетки. Следует отметить, что эти уравнения
одинаковы для геометрического муара и интерференционного
муара.
Рис. 7.14. Картины Nx и Ny (или полей перемещений их и иу) для клеевого
соединения двух квазиизотропных графито-эпоксидных элементов,
нагруженных изгибающими моментами (/=2400 линия/мм).
Рис. 7.13 и 7.14 иллюстрируют высокое качество картин
полос интерференционного муара. Частота f опорной решетки
составляла в обоих случаях 2400 линия/мм, что соответствовало
чувствительности (1//) около 0,417 мкм на порядок полосы.
Если необходимо, в отдельных случаях путем интерполяции
определяются дробные порядки Nx и А^, составляющие 1/5 или
1/10 порядка полосы, что повышает точность определения
перемещений. Кроме высокой точности и разрешающей
способности, картины характеризуются высокими контрастом и
четкостью полос в областях больших градиентов полос, а также
широким диапазоном измерений или способностью
регистрировать очень большие абсолютные порядки полос.
Интерференционный муар
391
Все эти положительные свойства обеспечиваются
двухпучковой интерференцией с использованием когерентного света.
Муаровая интерферометрия — это метод двухпучковой
интерференции, основы которого более строго обсуждаются в следующем
разделе.
Более строгое изложение
Основные элементы муаровой интерферометрической
системы показаны еще раз на рис. 7.15. Фазовая объектная решетка
с частотой &~s освещается двумя пучками когерентного света,
которые падают на поверхность симметрично под углами ±а.
Одна из схем для получения этих двух пучков А и В показана
на рис. 7.15, а, где пучки представлены соответствующими
лучами. Пучки А и В разделяются с помощью делителя пучка и
направляются зеркалами на поверхность объекта. Для того чтобы
избежать влияния фазовых изменений при отражениях, свет
должен быть поляризованным с плоскостью поляризации,
перпендикулярной или параллельной плоскости рисунка. Объектная
решетка дифрагирует падающий свет, так что лучи А" и В"
выходят из каждой точки объекта и попадают в камеру.
Пучки А" и В" интерферируют и образуют картину полос в
плоскости фотопленки.
На рис. 7.15, а приведена схема интерферометра. Он
работает аналогично интерферометру, изображенному на рис. 7.4,
причем делитель пучка — это вход в интерферометр, а объектная
решетка — это выход из него. Свойства, рассмотренные
в разд. 7.2 для двухпучковой интерференции, целиком
применимы для муаровой интерферометрии. Для получения
освещающих пучков А и В могут быть использованы различные
оптические схемы [2а], но в каждом случае они получаются
делением щ отцего иучк.1, проходят различные пути и встречаются
пиша на Олимпе. Два когерентных пучка выходят из объектной
peineгкн с искаженными волновыми фронтами,
распространяющимися в пространстве, где и происходит оптическая
интерференция.
Рис. 7.15,6 иллюстрирует дополнительные детали. В верхней
и нижней частях рисунка в виде векторных диаграмм лучей
шоСфпж'Чш птборы дифрагированных пучков, соответствующие
iu/uiioiiiiim пучкам Л и /i. Эти направления дифракции
определяйте ур.ишемиями (7.15) и (7.1С).
Пели . //'.' и линии ooi.eKiiioii и опорной решеток точно
параллельны, снег or пучка Л, дифрагированный в первый
порядок объемной penieiKOii, выходит под углом (} = 0 с волновым
фронтом А. Свег ог пучка /J, дифрагированный в —1-й
порядок, также выходит под углом р = 0 и представлен плоским
Интерференционный муар
393
волновым фронтом В'. Два когерентных пучка сосуществуют
в пространстве, но их угол пересечения равен нулю. Их
обычная интерференция дает поле с однородной интенсивностью,
или, как следует из основного соотношения для интерференции
[уравнение (7.11)], картину с нулевой частотой: 0 полос на
1 мм. Это так называемое нулевое поле.
Теперь предположим, что объект нагружается силами,
которые удлиняют его однородно в направлении х, так что
однородная линейная деформация гхх постоянна. Тогда частота
объектной решетки уменьшается: £Г= (f/2)/(1 + ехх). Свет от первого
дифракционного порядка А выходит теперь перпендикулярно
к решетке. Действительно, он распространяется под углом рь
определяемым уравнением решетки (7.15в), дифракция
двумерна и Pxi = Pi. Подставляя соответствующие значения т=1 и
sin(—a)=kf/2 из уравнения (7.18) в уравнение (7.15в),
находим
fo=-bfBxx/2. (7.20а)
Аналогично свет из —1-го дифракционного порядка пучка В
распространяется в направлении
Р-1 = */еяя/2. (7.206)
Эти два когерентных пучка распространяются с углом
расхождения 2^ в направлении к фотокамере. Условия рис. 7.4
воспроизводятся, и возникает интерференционная картина
равноотстоящих параллельных (оси у) полос, таких, как на рис. 7.5
н 7.6. Градиент полос Fxx (т. е. dNx/dx) пропорционален углу
угау 2pi (этот угол очень мал). Подставляя sinB^iPi в
уравнение (7.11), июлучаом величину градиента «полос
Pxx = f*xx- (7.21)
I радиемi полос (число полос на 1 мм) пропорционален частоте
опорной решетки н реформации.
Результирующий градиент полос может быть получен и
другим путем. Уравнение (7.19) может быть записано через
приращения:
Aux = ANx/f. (7.19а)
Здесь оуквои А обозначены разности величин их и Nx> соответ-
с i ц\ юшпе двум близлежащим точкам поля. В случае малой
однородном деформации гхх = Аих/Ах\ подставляя Аих=Ахгхх
в уравнение (/. 10а), получим
frxx AAx/\x=Fxx. (7.22)
Мы нашли, что *>то1 выгод даег гот же результат для градиента
полос ANX/Axt обозначаемого Fxx, что и уравнение (7.21). Таким
образом, подтверждается правильность уравнения (7.19).
394
Глава 7
Численные оценки $1 и Fxx поучительны. Для света гелий-
неонового лазера (К=632,8 нм), виртуальной опорной решетки
с частотой 2400 линия/мм и нормальных деформаций 0,1%
(0,001 м/м) находим Pi = —0,00076 рад=—0,043° и Fxx = 2y4
полоса/мм. Угол р очень мал, а частота полос Fxx составляет 0,1%
частоты опорной решетки f.
Пусть объект подвергается неоднородным деформациям. Это
искажает объектную решетку, вследствие чего ее локальная
частота и ориентация изменяются от точки к точке на образце.
Они изменяются как непрерывные функции, так что
направления света, дифрагированного в каждой точке в +1-й и
—1-й дифракционные порядки, также изменяются непрерывно
и образуют гладкие искривленные, но непрерывные волновые
фронты, обозначенные Л" и В" на рис. 7.15. Фотокамера
собирает эти два пучка света. Фронты А" и В" изображаются
в плоскости фотоэмульсии с одинаковой относительной фазой
(или относительной разностью хода волновых фронтов),
которую они имели на выходе из объектной решетки.
Два пучка образуют интерференционную картину в камере,
которая является картой линий уровня разности хода %NX
между этими возмущенными волновыми фронтами. Результирующая
разность хода волновых фронтов и их возмущения есть
функции перемещений в плоскости, испытываемых объектной
решеткой, а порядки интерференционных полос представляют
перемещения в соответствии с уравнением (7.19).
7.6. Нанесение сеток на образцы
В этом разделе рассматривается метод нанесения объектных
решеток для получения картин полос, впервые описанный в
работе [45]. Другие методы будут упоминаться ниже.
Из рис. 7.15 следует, что наиболее важное качество
решетки — ее симметричная дифракционная эффективность. Для
пучков А п В равной интенсивности дифрагированные пучки А" и
В" будут также иметь одинаковую интенсивность.
Результирующий контраст полос будет оптимальным. Второе необходимое
качество — высокая дифракционная эффективность для
увеличения интенсивностей А" и В". Конечно, любая умеренная
дифракционная эффективность будет достаточна, если источник
света мощный либо время экспонирования велико. Кроме того,
решетка, нанесенная на образец, должна быть очень тонкой,
чтобы обеспечить высокую точность передачи перемещений от
поверхности образца на поверхность решетки.
Объектные решетки изготавливают путем несложной двух-
этапной процедуры. Сначала с помощью фотографического
процесса изготавливается шаблон дифракционной решетки требуе-
Интерференционный муар
395
мой частоты. Поверхность этого шаблона имеет регулярную
рифленую либо волнистую поверхность, которая затем
переносится на поверхность объекта с помощью копирования. Детали
этого процесса иллюстрируются на рис. 7.16—7.18.
Изготовление шаблона решетки
Шаблон изготавливается с помощью метода, показанного
на рис. 7.16. Высокоразрешающая фотопластинка
экспонируется двумя перекрывающимися пучками коллимированного,
когерентного света. Они образуют стационарную
интерференционную картину в пространстве, описываемую уравнением (7.11),
т. е. создают виртуальную решетку. В эту область пространства
помещается фотопластинка, и эмульсия экспонируется в зонах
усиливающей интерференции, оставаясь неэкспонированной
в зонах ослабляющей интерференции. После проявления фото-
Стенло Эмульсия Серебро Усадка Золотое или алю-
желатииы миниевое покрытие
а б 6 г
Рис. 7.16. Методика изготовления эталонов объектных решеток фазового
тина оптическим способом на высокоразрешающей фотопластинке, а —
экспонирование фотопластинки; б — проявление; в — сушка; г — нанесение
зеркального мокры i пи
графическая эмульсия состоит из чистой желатины в
неэкспонированных jonax и желатины, включающей кристаллы серебра,
в жепонпроваиных зонах. После промывания желатина дает
усадку, но этой усадке частично препятствуют кристаллы
серебра, что приводит к образованию волнистой поверхности, пока-
зВиной на рис. 7.16,0. Волнистость превращает поверхность
фотопластинки в фазовую дифракционную решетку с частотой Fs.
Последний кии в изготовлении шаблона — это нанесение сверх-
miikoio отражающего покрытия из алюминия или золота,
покрики о .иномипием, нугем осаждения паров (вакуумного
напыления). Такие шаблоны могу г быть изготовлены заранее целой
партией и храниться до будущего использования.
Этот метод называется голографическим, а его результат —
голографической решеткой, так как двухпучковое освещение
и высокоразрешающис фоточувствительные пластинки обычно
392
Глава 7
Рис. 7.15. а — схема муарового интерферометра, б — дифракция на
объектной решетке формирует выходные пучки с плоскими волновыми фронтами А'
и В' для начального ненагруженного состояния объекта; искаженные
волновые фронты А" и В" — результат неоднородных деформаций объекта..
Глава 7
используются в голографии. Интерференционная картина,
зарегистрированная на пластинке, имеет гармоническое
распределение интенсивности [уравнение (7.7)], обеспечивающее
симметричный профиль рифления.
Схема экспонирования фотопластинки приведена на рис. 7.17.
Простой способ установки требуемого угла 26 состоит во
внесении в положение Р эталонной отражательной дифракционной
решетки с частотой, равной половине необходимой частоты
объектной решетки. Тогда два пучка света отражаются назад от
решетки в их + 1-й и —1-й дифракционные порядки. Они
собираются линзой в два ярких пятна на экране. Грубая юстировка
Рис. 7.17. Оптическая схема для экспонирования на фотопластинке (см.
рис. 7.16) виртуальной решетки с частотой &"s. М — зеркало; BS—делитель
пучка; SF — пространственный фильтр; РМ — параболическое зеркало; L —
объектив; S — экран.
достигается изменением угла 26 до совмещения этих пятен.
Если затем убрать линзу, на экране появляется муаровая
картина, показывающая разность между частотой виртуальной
решетки и удвоенной частотой эталонной решетки. Для точной
юстировки угол изменяют до полного сведения муаровой
картины к нулевому полю, после чего угол и частота виртуальной
решетки установлены с точностью до 10_3%.
Для многих приложений муаровой интерферометрии
требуются сетчатые объектные решетки, которые имеют волнистость
в ортогональных направлениях х и у. Их несложно изготовить.
Сначала фотопластинка экспонируется, как показано на
рис. 7.16, а, а затем поворачивается на 90° и экспонируется
снова для регистрации виртуальной решетки в ортогональном
Интерференционный муар
397
направлении. Последующие процедуры остаются такими же,
как и для решетки с линиями в одном направлении.
Использование высокоразрешающих фотопластинок для
изготовления шаблонов объектных решеток описано здесь потому,
что процесс легко реализуем в лабораториях фотомеханики.
Рельеф поверхности или глубина бороздок ограничены, и
результирующая дифракционная эффективность заметно меньше
достигаемой другими методами. Однако дифракционная
эффективность не является основной характеристикой, так как для
- Форш
Металлическая
пленка
Поверхность
образца
Жидкий
клей
Поверхность
образца
Форма
Металлическая
пленка
Металлическая
пленка
Поверхность
образца
Форма
Застывший
клей
в
1*110. 7.18. Этапы изготовления объектной решетки путем выдавливания и пи
копирования; отражающая металлическая пленка переносится на поверхность
образца.
всех муаровых интерференционных картин, приведенных в этой
глине, объектные решетки были изготовлены по шаблонам, по-
л\чпшым с помощью фотопластинок. Применение фоторезистов
вместо фот шульсий рекомендуется для получения
контролируемой глубины бороздок и максимальной дифракционной
эффективное Iп |Г)()|. Дальнейшие возможности открываются с
применением Iранировкп ионным пучком для создания прочного
шаблона. Фоторезисты п гравировка были использованы в
работе [57] для изготовлении специальных решеток
398
Глава 7
Копирование решеток
На рис. 7.18 показано, как решетка переносится на
поверхность объекта. Небольшое количество жидкого клея
наливается на поверхность объекта и путем вдавливания матрицей
превращается в тонкую пленку. Наиболее удобны эпоксидные клеи.
После полимеризации фотопластинка удаляется, причем
требуемое усилие невелико, и остается отражательная
дифракционная решетка, связанная с поверхностью объекта. Наиболее
слабое сцепление в этой системе имеет место между желатиной
фотопластинки и напыленным алюминием или золотом, что и
используется для переноса отражающей пленки на объект.
Таким образом, на объекте образуется отражательная
высокочастотная фазовая дифракционная решетка. Ее толщина
составляет примерно 0,025 мм.
Используются и другие способы нанесения фазовых
объектных решеток для получения муара. В работах [17, 19] был
использован трехстадийный процесс. Относительно грубая
амплитудная решетка способом контактной фотопечати
переносится на пластинку с фоторезистным покрытием для
преобразования в фазовую решетку, называемую эталонной. Первая
копия получается переносом поверхности фазовой решетки на
силиконовую резину, как на рис. 7.18. Затем первая копия
используется для получения фазовой решетки в эпоксидном слое
на поверхности объекта. В работах [18, 37, 38] использовались
высокочастотные голографические фазовые решетки для
получения первой копии на силиконовом каучуке. Силиконовый
каучук, образуемый из двух жидких — не пастообразных —
компонентов, обладает необходимым качеством для промежуточной
стадии, которое заключается в том, что это антиадгезионный
материал, пригодный для копирования. Он обеспечивает легкое
отделение от эталона, а также от конечной объектной решетки,
однако хорошо соединяется со специально подготовленными
поверхностями. В работе [24] силиконовый каучук использовался
для изготовления высокочастотных объектных решеток с
низкой отражательной способностью в соответствии с методом,
показанным на рис. 7.18.
Авторы работ [12, 13] изготовляли высокочастотные
объектные решетки, покрывая объект фоторезистом и экспонируя его
виртуальной решеткой, образованной двумя когерентными
пучками.
7.7. Теоретический предел чувствительности
Из физических соображений, а также из уравнения (7.18)
следует, что верхняя теоретическая граница для частоты
опорной решетки достигается (рис. 7.15) при приближении а к 90°.
Интерференционный муар
399
Теоретический предел равен f=2/Х, и соответствующий
теоретический верхний предел чувствительности составляет
перемещение величиной Я/2 на порядок полосы. Был проведен
эксперимент, в котором на объект, изображенный на рис. 7.19, а, была
нанесена решетка с частотой 2000 линия/мм [28]. Оптическая
схема изображена на рис. 7.20, где угол а составляет 77,4° при
X = 488 нм. Эта схема формировала опорную решетку с
частотой 4000 линия/мм. Для данной длины волны теоретический
предел составляет 4098 линия/мм, т. е. эксперимент проводился
на уровне 97,6% теоретического предела чувствительности.
Рис. 7.19. Демонстрация возможностей муаровой интерферометрии на уровне
97,6% теоретического предела чувствительности (/=4000 линия/мм).
Полосы хорошо разрешались в пределах области 51X76 мм
о>ьектной решетки. Увеличенные изображения очень плотной
системы интерференционных полос около отверстия показаны
па рис. 7.19,6 и в. Картины иллюстрируют отличное разрешение
интерференционных полос и подтверждают, что муаровая
интерферометрия эффективна даже вблизи ее теоретического
предела.
ГА Оптические системы
Многочисленные оптические системы могут быть
приспособлены для формирования виртуальных опорных решеток. Любые
средства, которые есмд.иот когерентные пучки, эквивалентные
А и В (рис. 7.15) и освещающие объектную решетку,
удовлетворяют этой цели. Одна из простейших схем приведена на рис. 7.20
[24]. Здесь половина освещающего пучка падает
непосредственно на поверхность объекта, в то время как другая половина, от-
400
Глава 7
ражаясь от плоского зеркала, освещает объект с симметричного
направления. Дана схема всей оптической системы, включая
линзу, которая используется как деколлимирующая линза и
линза объектива (она собирает весь свет, который
распространяется главным образом по нормали к поверхности объекта,
а также фокусирует поверхность объекта на плоскость
фотопленки в камере). Для формирования коллимированного пучка
применяется параболическое зеркало, однако в качестве
альтернативы возможна и коллимирующая линза. Большинство кар-
Образец
с решетной
Рис. 7.20. Оптическая схема установки для муаровой интерферометрии.
тин, показанных здесь, были получены с помощью этой
оптической схемы или ее четырехпучковой модификации, показанной
на рис. 7.21.
В идеале, коллиматор и плоское зеркало должны быть
достаточно высокого оптического качества, чтобы формировать
плоские волновые фронты с точностью до долей длины волны.
Однако можно использовать оптику и более низкого качества,
если исходная картина полос вычитается из картины полос под
нагрузкой, что обсуждается в разд. 7.16 и в работе [24].
402
Глава 7
шеток. Угол а может регулироваться поворотом или
перемещением параболического зеркала. Параллельность линий сеток
можно установить поворотом объекта в его плоскости или
вращением плоского зеркала вокруг оси, перпендикулярной
объекту. Белая картонка убирается, и наблюдаются муаровые
интерференционные полосы на экране камеры (при необходимости
используется увеличение). Выполняют тонкую установку а и
параллельности линий решеток для получения нулевого поля
или наиболее близкого приближения к нему, которого можно
достичь.
Четырехпучковая оптическая схема
В общем случае необходимо получить оба поля перемещений
их и иу. Для получения обоих полей могут быть
сконструированы различные оптические схемы (например, четырехпучковая
схема, показанная на рис. 7.21). В основную оптическую схему,
представленную на рис. 7.20, добавлены два юстируемых
зеркала А и В. Пусть свет от участков С и D' коллимированного
лазерного пучка перекрыт непрозрачным экраном. Свет от
участка А' падает на зеркало А\ каждый луч, отраженный
вверх, лежит в плоскости, параллельной плоскости у — z. Лучи
падают на объект под углом +а относительно оси z. В то же
время свет от участка В' освещающего пучка падает на
зеркало В и отражается вниз под углом —а. Эти два пучка,
отраженные от зеркал А и В, образуют виртуальную опорную
решетку со слоями интерференции и линиями, перпендикулярными
оси у. Эта опорная решетка взаимодействует с соответствующей
системой линий объектной решетки, образуя поле перемещений
иу, наблюдаемое с помощью камеры.
Далее, пусть участки А' и В' освещающего пучка перекрыты
и пусть свет от участков С и D' достигает схемы. После
отражения части света от зеркала С два пучка падают на объект
под углами +а и —а в плоскости х—г, как на рис. 7.20. Они
налагаются, образуя виртуальную опорную решетку с линиями,
перпендикулярными оси ху и в камере наблюдаются полосы,
дающие поле перемещений их. Таким образом, поля их и иу
могут наблюдаться независимо путем перекрывания
соответствующих частей освещающего пучка. Как обычно, объектив
камеры и ее задняя плоскость юстируются для фокусировки
изображения поверхности объекта на плоскости пленки.
Пример соответствующих полей перемещений их и иу
показан на рис. 7.14. Объектом служила балочка с приклеенной
накладкой, подвергнутая чистому изгибу. Балочка и накладка
изготовлены из графито-эпоксидного композиционного материала
и склеены относительно толстым слоем эпоксидной смолы. Рас-
Интерференционный муар
403
пределение перемещений в плоскости хорошо разрешается
вблизи критической зоны соединения. Эти эксперименты были
выполнены для подтверждения соответствующего аналитического
решения путем сравнения результатов эксперимента и
численного расчета. Подтверждение особенно важно для задач,
подобных этой, где теория предсказывает сингулярность в зоне
геометрической неоднородности.
Рис. 7.22. Картины полос Nx и Ny, иллюстрирующие поле перемещений
вокруг усталостной трещины в образце из алюминиевого сплава 7075-Т6 (f=
=2400 линия/мм).
На рис. 7.22 приведен другой пример полей перемещений их
и Uy. Объектом была растягиваемая алюминиевая полоса
с краевой трещиной. После нанесения объектной решетки она
была подвергнута циклическому нагружению для
инициирования и поддержания роста трещины, исходящей из вершины
подреза. Картины иллюстрируют поля остаточных перемещений,
т. е. перемещений, связанных с пластической деформацией и
смыканием берегов трещины.
Определение жестких поворотов
Использование четырехнучковой схемы дает особые
преимущества. На практике иногда трудно контролировать жесткие
повороты объекта в плоскости при приложении внешних
нагрузок. При определении деформаций по полям перемещений такие
26*
404
Глава 7
случайные повороты практически не влияют на линейные
деформации, но они сильно снижают точность определения
сдвиговых деформаций. Однако в работе [7] показано, что
сдвиговые деформации не зависят от случайных поворотов, если
повороты полей их и иу идентичны. В четырехпучковой схеме
виртуальные опорные решетки фиксированы по отношению друг
к другу. Жесткий поворот объекта обусловливает градиенты
полос дих/ду и duy/дх одинаковой величины, но с
противоположными знаками, и при расчете сдвиговых деформаций с помощью
уравнения (7.2) эти посторонние градиенты взаимно
погашаются.
Вспомогательная объектная решетка
Жесткие повороты могут контролироваться и другими
способами; один из них применим для двухпучковой оптической
схемы. В случае двухпучковой схемы объект (с нанесенной
скрещенной объектной решеткой) и нагружающее устройство
должны поворачиваться на 90° для выделения полей перемещений их
и иу. Проблема заключается в обеспечении средств для
установки прецизионного поворота, чтобы исключить излишний
либо недостаточный поворот объекта.
Правильный путь заключается в присоединении
дополнительной детали (свидетеля) к объекту, которая является таким
его продолжением, что остается недеформированной и
ненапряженной, в то время как объект нагружен. Объектная решетка
копируется одновременно на объекте и свидетеле. Часть
решетки, нанесенная на свидетель, называется вспомогательной
объектной решеткой. Она испытывает такие же жесткие
перемещения, как и сам объект, и может быть использована для целей
регулировки.
На практике объект должен нагружаться и его ориентация
регулироваться так, чтобы для вспомогательной объектной
решетки полосы отсутствовали. Это может быть выполнено путем
точной установки угловой ориентации объектной решетки либо
юстировкой виртуальной опорной решетки. После регистрации
картины полос объект поворачивается на 90° и тонкие
регулировки выполняются снова до исчезновения полос для
вспомогательной объектной решетки.
Удобно использовать круглый диск в качестве свидетеля,
присоединив его к свободной границе объекта вдоль небольшой
дуги. Это гарантирует пренебрежимо малое подкрепление
объекта, и пренебрежимо малые деформации передаются на
свидетель. Квадратный свидетель, присоединенный вдоль отрезка,
меньшего стороны квадрата, также допустимо использовать.
Свидетель может быть изготовлен как часть самого объекта
Интерференционный муар
405
или может быть приклеен к объекту. Если объектная решетка
изготавливается одновременно на объекте и свидетеле, то их
взаимное выравнивание достигается автоматически, и угол
между штрихами решеток в направлениях хну идентичен для
объекта и свидетеля. Равенство углов — выполняемое
требование в отличие от невыполнимого условия получения углов,
точно равных 90°.
7.9. Анализ картин полос
На рис. 7.23 пронумерованы порядки полос Nx.
Представлены два образца из композиционных материалов, относящиеся
к серии экспериментов при пятиточечном и трехточечном изгибе
[51]. Рис. 7.23, а соответствует образцу, изготовленному из
композита с одним направлением волокон, уложенных в продольном
(или горизонтальном) направлении. Особый интерес в
наблюдаемой картине полос вызывает ее неоднородность (наличие
повторяющихся зон очень узких горизонтальных и
зигзагообразных полос). Имеются аномалии — скачкообразные
изменения характера полос в местах больших горизонтальных
сдвиговых деформаций гху. Как показал анализ, эти места находятся
в слоях с большим содержанием смолы между соседними
слоями волокон.
Образец на рис. 7.23, б — это квазиизотропный композит
с повторяющейся последовательностью направлений укладки
волокон: 45, 0, —45 и 90°. Заметная волнистость полос и
периодическое изменение градиентов полос в картине соответствуют
4-слойной последовательности в 48-слойном образце. На
рисунке показан также соответствующий график изменения
сдвиговых деформаций. Такая картина отражает два аномальных
явления: 1) отсутствие сдвиговых деформаций на свободных
краях образца в областях с нормальными напряжениями вблизи
верхней и нижней поверхностей образца, 2) периодические
изменения сдвиговых деформаций, связанные с периодическими
изменениями сдвиговой податливости отдельных слоев в зонах
высоких сдвиговых напряжений в центральной части между
опорами [51].
Определение порядков полос
Когда муар применяется для изучения деформаций,
положение полосы нулевого порядка может быть установлено
произвольно, как указывалось в гл. 6, вследствие того, что жесткие
смещения не влияют на величину деформаций. Поэтому можно
оперировать с относительными перемещениями, и знание
абсолютных порядков полос не требуется. На рис. 7.23 в качестве
Интерференционный муар
401
Рис. 7.21. Оптическая схема четырехпучковой установки для получения
картины с помощью пучков С и D' и картины Ny с помощью пучков А'иВ'.
Для статического анализа требования к мощности лазера
главным образом зтвпсят от дифракционной эффективности
объектной решетки, увеличения изображения и
чувствительности пленки, пепольlycMoii при фотографировании картин полос.
С успехом применялись лазеры мощностью 0,5—200 мВт.
Юстировка оптической системы
Угол а может быть установлен точно с помощью довольно
простой методики. Для ненагруженного образца, наблюдая
пластину с диафрагмой в плоскости А, юстируют плоское
зеркало. В плоскости А будут наблюдаться два ярких пятна,
которые следует совместить в одно юстировкой плоского зеркала;
в результате зеркало устанавливается перпендикулярно
объекту. Прикладывают белую картонку к пластине В с диафрагмой
и наблюдают два ярких пятна па картоне. Они образованы
двумя пучками, которые формируют интерференционную картину.
Эти пятна должны быть совмещены установкой угла падения а
и параллельности линий объектной и виртуальной опорной ре-
26—1480
4СС
Глава 7
6,55 мм
О 5 О 10 18 -В -10 -IS -3G -18
408
Глава 7
Рис. 7.24. Картины муаровых полос Nx для клеевого соединения (f=
== 2400 линия/мм). Омегообразные элементы — это гибкие мостики для
обеспечения непрерывной связи между склеиваемыми деталями при подсчете
полос.
образом, в области положительного градиента полос
происходит движение полос в направлении, противоположном
жесткому смещению образца. При отрицательном градиенте полос
полосы движутся в направлении смещения.
Интерференционный муар
407
начала отсчета порядков полос выбрано место приложения
центральной сосредоточенной нагрузки, и полосе, проходящей
через эту точку, присвоен нулевой порядок. В качестве нулевой
выбрана светлая полоса, однако можно было бы обозначать
целыми порядками и центры темных полос. Фактически любой
уровень освещенности, промежуточный между максимальным и
минимальным, может быть принят за нулевой порядок, и тогда
соответствующие точки муаровой картины могут быть
обозначены целыми порядками. Хотя этот подход используется
редко, он может быть полезен в ситуациях, когда необходимо
поместить начало отсчета перемещений в фиксированной точке
образца.
Порядки полос определяются характером изменения формы
гладких поверхностей [20]. Соседние полосы различаются на
плюс или минус один порядок полосы, за исключением зон
локальных максимумов или минимумов, где соседние полосы
могут иметь одинаковые порядки. Локальный максимум или
минимум обычно характеризуется линиями уровня в виде
замкнутых или седлообразных контуров, как на рис. 7.23, а в
точках А и В соответственно. Полосы с разными порядками не
пересекаются. При правильной нумерации порядок полосы в
любой точке должен быть единственным, независимо от пути
подсчета полос при движении к данной точке.
Обычно знак градиента порядка полос известен заранее из
анализа физического поведения объекта. Например, на нижнем
краю балки на рис. 7.23, б напряжения и деформации
соответствуют растяжению (т. е. положительны). Градиент Аих/Ах
должен быть положительным. Перемещения и порядки полос
должны увеличиваться в этом месте с ростом х.
В случаях когда знак градиента заранее не известен, его
можно определить экспериментальным путем. Сначала
необходимо зафиксировать положительные направления координаты х
и перемещения их. Затем, наблюдая за картиной полос,
вызывают малое перемещение объекта (нагруженного или
деформированного). Если смещение совпадает с положительным
направлением оси xt то все порядки полос увеличатся и в
результате полосы будут перемещаться в направлении низших
порядков полос. Например, если балка на рис. 7.23, б движется
направо при легком нажатии карандашом в точке S, то полосы
вдоль нижнего края картины будут двигаться налево. Таким
Рис. 7.23. Картины муаровых полос Nx для участков графито-эпоксидной ба-
лочки, выделенной штриховым контуром (/=2400 линия/мм): а — композит с
одним направлением волокон; б — квазиизотропный композит; в — график
сдвиговых деформаций вдоль линии В—В.
Интерференционный муар
409
7.10. Соединительные полоски
При измерениях на двух отдельных элементах конструкции
могут возникать осложнения. Рис. 7.24 иллюстрирует такой
случай. Объектом является клеевое соединение тех же материалов
и с теми же размерами, что и на рис. 7.13.
Склеенные алюминиевые детали здесь были дополнительно
соединены двумя гибкими полосками. На рис. 7.24 показаны
поля перемещений их для одного и того же объекта, причем
рис. 7.24, а соответствует нагрузке, составляющей 25%
разрушающей, а рис. 7.24,6 — почти 70% разрушающей. В узкой
зоне клеевого соединения полосы хорошо определяются в
случае рис. 7.24, а, причем не возникает затруднения при
идентификации порядков полос по обе стороны от соединения. В случае
рис. 7.24,6 градиент перемещений их в клеевом слое был
значительно больше, что определялось возросшей нагрузкой, а
полосы здесь различить невозможно.
Однако в этом случае имеется возможность определить
перемещения вдоль клеевого слоя путем установления порядков
полос на границах раздела деталь — клей для обеих
склеиваемых деталей, что достигается с помощью полосок (мостиков),
присоединенных к алюминиевым деталям вдоль мест,
обозначенных на рис. 7.24, а штриховыми линиями. Мостики
обеспечивают единственный вариант подсчета порядков полос при
переходе от одной части соединения к другой. На рис. 7.24, б полосы
на мостике воспроизведены с плохим разрешением, однако они
были отчетливо видны на негативе и подсчитывались с
использованием увеличения. Для случая рис. 7.24, б в центре клеевого
соединения скачок порядка полос равен 57, а к краям он
увеличивается до 63. Подробное изложение этих результатов
представлено в работе [50].
Мостики изготавливались из мягкой эпоксидной смолы с
модулем упругости 210 МПа. Благодаря низкому модулю и
нежесткой геометрии мостики не оказывают сколько-нибудь
значительного влияния на поведение образца под нагрузкой. Для
этого образца был бы достаточен один мостик, однако второй
мостик повышает надежность подсчета порядков полос.
Нежесткие, специально изготовленные соединительные
полоски — эффективное вспомогательное средство точного
определения перемещений в задачах контакта двух тел, когда может
происходить скольжение тел, приводящее к разрывам
перемещений и порядков полос па поверхности контакта. В работе
[53] рассмотрен пример определения относительных
перемещений в замковом соединении модели турбинной лопатки и диска.
410
Глава 7
7.11. Выявление неоднородностей
Если образец подвергается растяжению, то наблюдается
однородная система муаровых полос — близко расположенных
прямых линий — при условии, что материал однородный.
Аномалии, или неоднородности, проявляются в небольших
искривлениях прямых полос.
Муаровая интерферометрия обладает уникальной
возможностью для анализа неоднородностей. После того как к образцу
приложена растягивающая нагрузка, частота виртуальной
опорной решетки может быть отрегулирована так, что однородная
часть картины полос будет скомпенсирована. Оставшаяся
картина визуализирует нерегулярность в виде отчетливых
изменений перемещений по образцу [40]. Для того чтобы
формализовать методику, положим
Fxx = Fххо + F*jci> Fyy = Fyyo + Fyyn (7.23)
где индексы 0 и 1 обозначают однородную и неоднородную
части градиента полос соответственно. После компенсации
однородной части с помощью юстировки виртуальной опорной
решетки аномальная часть поля деформаций может быть
представлена следующим образом:
Пример растяжения графито-эпоксидного образца приведен на
рис. 7.25, а. На нем представлено поле поперечных перемещений
в поверхностном слое после компенсации градиента Fxxo.
Градиент Fxxo составлял 5,8 полоса/мм, и полосы были настолько
густые, что детали не различались. Однако аномальная часть
Fxxi отчетливо видна на рис. 7.25, а. Наблюдается так
называемый краевой эффект, который проявляется в градиентах полос
у краев образца. В соответствии с уравнением (7.24)
аномальные поперечные деформации ехх\ составляли у краев около
2400 мкм/мм (2,4-Ю-3).
Рис. 7.25, б иллюстрирует аномальную часть поля
остаточных перемещений для пластически деформированного медного
образца при растяжении. В этом эксперименте объектная
решетка изготавливалась на образце в его исходном состоянии,
затем образец нагружался до начала пластической
деформации, а потом разгружался. Разгруженный образец
устанавливался в оптическую схему, показанную на рис. 7.21, которая
была отъюстирована для компенсации однородного градиента
полос Fyyo', оставшаяся картина фотографировалась (рис. 7.25).
Она визуализирует неоднородную часть поля перемещений и
412
Глава 7
7.12. Другие варианты оптических систем
Схема на рис. 7.15 является основной для муаровой
интерферометрии. Несмотря на то что схема на рис. 7.20 вполне
приемлема, существуют другие способы получения виртуальной
опорной решетки, которые могут быть включены в основную
схему на рис. 7.15. Примеры приведены на рис. 7.26—7.28.
Виртуальная решетка может быть получена с помощью
реальной решетки той же частоты (рис. 7.26). Нулевой и первый
порядки дифракции соответствуют входным пучкам Л и В на
рис. 7.15. В зоне своего пересечения эти лучи образуют вир-
Рис. 7.26. Виртуальная опорная решетка, производимая дифракцией от
реальной опорной решетки и налагающаяся на решетку образца.
туальную опорную решетку. Объект и объектная решетка
располагаются в этой зоне, как показано на рис. 7.26. Свет,
дифрагированный от объектной решетки, проходит обратно через
реальную опорную решетку в ее нулевом порядке, достигая
камеры. Схема наиболее близка к геометрическому муару, где
объектная решетка и реальная опорная решетка почти
совмещаются.
Угол падения а определяется из уравнения (7.18), и, как
следствие, нулевой и первый дифракционные порядки
расходятся в симметричных направлениях. Если частота решетки
удовлетворяет соотношению
/
Решетка
образца, f/Z
Интерференционный муар
411
Рис. 7.25. Неоднородная часть картины полос после вычитания однородной
части (/=2400 линия/мм).
а — картина Nx растягиваемого графито-эпоксидного образца, иллюстрирующая краевые
эффекты; 6 — картина Ny деформируемой пластинки из меди после снятия
растягивающей нагрузки, которая иллюстрирует сильно неоднородные деформации; однородная
пластическая деформация составила 0,85%, а неоднородная деформация в отмеченной
круговой зоне была 0,53%, так что локальный максимум остаточной деформации составил
1.38%.
градиент Fyy\. Очевидно наличие значительных неоднородностей
в постоянном поле деформаций, кружком выделена зона с
пиковым значением аномальных деформаций eyyi = 0,0053 м/м
(5,3-Ю-3).
Методика может быть распространена на определение
сдвиговых деформаций. Аномалии в однородных полях сдвиговых
деформаций могут быть зарегистрированы путем компенсации
однородной части Fxy0 (либо Fyxo) с помощью поворота
образца либо виртуальной решетки.
Этот метод представляет исключение из общего правила
метрологии, согласно которому чувствительность уменьшается
при увеличении диапазона измерений. Здесь высокая
чувствительность муаровой интерферометрии сохраняется, хотя
действительные перемещения и градиенты могут быть очень
большими.
414
Глава 7
му и образуют муаровую интерферометрическую картину,
фиксируемую фотокамерой.
Частота f виртуальной решетки зависит от а, которое в свою
очередь, связано с углом клина 0:
sin 6 = sin а/и = Xf/2n. (7.26)
Здесь п — показатель преломления материала призмы. Для
частоты решетки порядка 1200 линия/мм, красного света
Не—Ne-лазера и п, близкого к 1,5, находим, что а = 22,3° и
6=15°.
Пучок А ярче, чем В, так
как он не ослабляется
неполным отражением. Если
отражательная способность
составляет 60%, то интенсивность А
примерно в три раза выше,
чем у В. Полная ослабляющая
интерференция в этом случае
невозможна, однако
сохраняется хороший контраст
полос. Согласно уравнениям (7.8)
и (7.13), контраст составляет
94%.
Клиновидная призма
значительно лучше адаптируется к
температурным условиям и
использовалась для измерений
Рис. 7.28. Формирование виртуаль- теплового расширения [34]. Ее
ной опорной решетки с помощью ре- поверхность значительно проч-
гулируемых полупрозрачных зеркал. нее, чем хрупкая поверхность
реальной решетки, ее можно
быстро вымыть и она выдерживает более жесткие
температурные режимы, чем серийные решетки. В отличие от 0, п зависит
от температуры, и требуется тарировка.
Разновидность клиновидной призмы — воздушный клин,
образованный полупрозрачными зеркалами на отдельных плоских
подложках. Они устанавливаются в устройстве, которое
позволяет производить тонкую юстировку угла клина с воздушным
зазором. Такая система обеспечивает регулируемую частоту f.
Она наиболее подходит для сравнительно малых частот (/=
= 200—1200 линия/мм).
Один из вариантов воздушного клина показан на рис. 7.28.
Он с успехом использовался при небольшом поле наблюдения
в работах по механике разрушения [27, 36, 42, 48]. Особые
достоинства этой схемы состоят в том, что объектив камеры
может помещаться вплотную к объекту, не загораживая падающий
Интерференционный муар
413
2 ЗЛ,</<2А,
(7.25)
угол дифракции будет настолько большим, что будут выходить
только два порядка дифракции — нулевой и первый [23]. Для
красного света гелий-неонового лазера этот диапазон
изменения f составляет 1054—3160. Данная схема использовалась
в двух приложениях [26, 30] с одним и тем же /=1200
линия/мм. В первой задаче особое преимущество близости
объектной и опорной решеток заключалось в минимизации тепловых
воздушных потоков в зазоре между решетками. Во второй
задаче оно состояло в прецизионности частоты опорной решетки.
В указанных работах подробно рассматриваются детали,
относящиеся к использованию реальных опорных решеток.
Рис. 7.27. Формирование виртуальной опорной решетки с помощью
полупрозрачного клина.
Рис. 7.27 иллюстрирует другой способ получения
виртуальной опорной решетки в муаровой интерферометрической
системе. Клиновидная призма с углом 6 покрыта полупрозрачными
слоями с 60%-ным отражением. (Для минимизации поглощения
использовано многослойное диэлектрическое покрытие.) Часть
падающего луча проходит обе поверхности и распространяется
в направлении А. Другая часть, отражаясь по разу от
внутренних поверхностей призмы, распространяется в направлении В.
То же самое происходит для каждого луча освещающего пучка,
что дает два пересекающихся пучка. Как и на рис. 7.15, два
пучка отражаются от объектной решетки, проходят через приз-
В
К камере
Образец
Интерференционный муар
415
свет, что позволяет получать большое оптическое увеличение
при небольших расстояниях объектив — пленка.
Рис. 7.17 поможет описать еще одну оптическую схему.
Предположим, что объект и объектная решетка расположены
в Р, где пучки А и В также формируют виртуальную опорную
решетку. Положим также, что объектив камеры и сама камера
располагаются между падающими пучками в положениях L nS.
Эта схема удобна для относительно больших полей наблюдения.
7.13. Ахроматические системы
Вернемся опять к рис. 7.15. Виртуальная опорная решетка
с частотой / формируется для угла 2а между пучками А и В,
определяемого из уравнения (7.18), которое преобразуется
к виду
Компенсирующая
VI
Рис. 7.29. Компенсирующая решетка, позволяющая использовать
некогерентный свет.
//2 = sinaA. (7.18а)
Виртуальную опорную решетку легко получить в
монохроматическом свете с фиксированной длиной волны X. Она также
может быть образована с помощью полихроматического света,
если создать такую схему, где а изменяется вместе с Я, так что
отношение sin а/К остается постоянным. Такое условие
выполняется в первом порядке дифракции вспомогательной решетки
с частотой //2, как показано в верхней части рис. 7.29. Для этой
410
Глава 7
вспомогательной решетки угол падения равен нулю, частота
&~ = f/2, дифракционный порядок га=1, угол дифракции р = <х,
уравнение (7.15в) дает точно соотношение (7.18а) для каждой
длины волны. Такая вспомогательная решетка, которая
отклоняет свет точно на требуемую величину, называется
компенсатором [21].
Эта подсистема может быть источником освещения в схеме
муаровой интерферометрии, как показано на том же рисунке.
Таким образом, вблизи объекта каждая длина волны
полихроматического света образует виртуальную решетку с одной
частотой f. Геометрический анализ показывает, что эти
виртуальные опорные решетки точно совпадают с минимумами
интерференции, одинаково расположенными при всех длинах волн.
Фотокамера фиксирует идентичные муаровые картины для
каждой длины волны и регистрирует скалярную сумму отдельных
распределений интенсивности. Результирующая картина точно
такая же, как и в случае монохроматического света.
Однако ширина источника света остается критическим
параметром. В принципе использование виртуальной опорной
решетки требует точечного либо линейного светового источника.
Лазерный диод оказывается подходящим источником. Размеры и
механические характеристики этого устройства делают его
особенно полезным в портативном оборудовании. Хотя он не дает
очень широкого спектра, его ширина достаточна, чтобы
удовлетворить требованиям компенсации. Требования к ширине
светового источника снижаются при работе с реальной опорной
решеткой (рис. 7.26), наложенной на объектную решетку.
Примеры компактных ахроматических схем приведены на
рис. 7.30. В обеих схемах падающий пучок направляется
зеркалом (наклоненным под углом 45°) на компенсирующую
решетку. Эта решетка с частотой f/2 делит падающий пучок на
0-й, 1-й и —1-й порядки дифракции. Свет нулевого порядка
не используется, а пучки -f-1-го и —1-го порядков отражаются
вертикальными зеркалами и складываются вблизи объекта,
образуя виртуальную опорную решетку с частотой f. Она
взаимодействует с объектной решеткой (частота f/2), формируя
муаровую картину, которая переносится в схеме двумя пучками,
распространяющимися практически по нормали к объекту. Они
направляются наклоненным под углом 45° зеркалом на линзу
камеры и в камеру.
Компенсирующая решетка обеспечивает дифракцию в +1-м
и —1_м порядках в соответствии с уравнением (7.18а). Частота
виртуальной опорной решетки одинакова для каждой длины
волны.
Четырехпучковая система, базирующаяся на схеме
рис. 7.30, а, может быть построена с использованием сетчатой
418
Глава 7
компенсирующей решетки и двух добавочных вертикальных
зеркал. Эти зеркала должны быть полупрозрачными для
пропускания входного и выходных пучков. Альтернативное решение
состоит в пропускании пучков в промежутке между
вертикальными зеркалами, что может быть осуществлено вращением
наклоненного под углом 45° зеркала вокруг вертикальной оси.
Другой вариант представлен на рис. 7.30,6. Хотя
использование решеток вместо вертикальных зеркал значительно
дороже, оно дает особые преимущества. В этом случае может быть
применен полихроматический источник света конечной ширины
(протяженный некогерентный источник) [58]. Для этого
муарового интерферометра снимаются строгие требования к
когерентности.
7.14. Исключение вибраций
Интерферометрия измеряет очень малые перемещения,
поэтому ей присуща особая чувствительность к вибрациям.
Однако особенно чувствительны только некоторые элементы схемы.
На схеме рис. 7.20 особенно нежелательна вибрация плоского
зеркала в направлении х, если амплитуда его колебаний
сравнима с шагом опорной решетки 1//. С другой стороны, величина
смещения объектива и камеры, которая вызывает заметное
смазывание картины, зависит о г минимального шага полос на
изображении. Это смещение обычно на два-три порядка больше
величины 1/f, так что чувствительность к вибрациям камеры
ниже. Аналогично ниже чувствительность измерительной
системы к смещениям входного лазерного пучка и смещениям
элементов, создающих этот пучок.
Для схемы на рис. 7.20 можно снизить влияние вибраций
в большой степени, прикрепив плоское зеркало непосредственно
к объекту. Таким образом относительные смещения объекта и
плоского зеркала будут существенно уменьшены. В этих
условиях относительные смещения объектной и виртуальной
опорной решеток также значительно уменьшаются, и стабильность
муаровой картины улучшается. При испытании хрупких
образцов используется вариант с креплением зеркала к захватам
нагружающей машины, что также позволяет в значительной мере
ослабить влияние вибраций.
Ахроматическая система, показанная на рис. 7.30,
приспосабливается для крепления на объекте. Жесткая конструкция и
прочное основание обеспечивают значительное снижение
вибраций.
Компексир ующая
решетка, f/l
Рис. 7.30. Оптические схемы портативного ахроматического муарового интерферометра с компенсатором, позволяющим
использовать некогерентный свет.
а — двухпучковая схема; б — четырехпучковая схема. Обе схемы позволяют использовать свет с временной иекогерентностью, а схема б,
кроме того, — пространственно некогерентный свет.
Интерференционный муар
419
7.15. Чувствительность к перемещениям из плоскости
Муаровая интерферометрия, как указывалось выше,
практически нечувствительна к смещениям из плоскости объекта и
объектной решетки. Как следует из рис. 7.15 или 7.20, она
совершенно не чувствительна к смещениям объекта в
направлении z и поворотам объекта вокруг оси х. Муаровая картина
реагирует на повороты объекта вокруг линий, параллельных оси у
[17]. Это происходит потому, что эффективная частота
объектной решетки есть частота, спроецированная на плоскость х—у.
При повороте вокруг оси у на угол W коэффициент изменения
эффективной частоты составляет 1—1/cos На картине
появляется посторонний однородный градиент Fxxe, причем индекс е
обозначает помеху или ошибку. Для малых углов поворота "Ф*
-/ТО. (2.27)
Ошибка всегда отрицательна, что соответствует деформации
сжатия. При / = 2400 линия/мм и 4х = 0,01 м/м посторонний
градиент составляет 0,12 полоса/мм. Можно ли им пренебречь или
нет — зависит от характера решаемой задачи и, в частности, от
величины градиента полос, вызванного перемещениями в
плоскости. В случае 4я = 0,001 м/м посторонний градиент составляет
всего 0,0012 полоса/мм.
На практике повороты порядка Чг= 0,001 м/м могут быть
•обнаружены ш при необходимости скорректированы. Обратимся
к рис. 7.20 и вспомним процедуру регулировки. При Wф0 (т. е.
когда объектная решетка и плоское зеркало не взаимно
перпендикулярны) в плоскости А (фокальной плоскости коллимирую-
щего зеркала либо коллимирующей линзы) появляются два
светлых пятна. Расстояние между ними равно 2W(FL), где
FL — фокусное расстояние коллиматора. Например, для FL =
= 1 м и 4я = 0,001 м/м расхождение пятен достигает легко
различимой величины 2 мм. Положение объекта может быть
отъюстировано так, чтобы уменьшить даже такой малый поворот.
Другой путь также удобен для практики. Вместо
регулирования поворота объекта для исключения постороннего градиента
полос можно подстраивать виртуальную опорную решетку. Этот
способ требует использования вспомогательной решетки
образца (разд. 7.8). Посторонние полосы, появляющиеся вследствие
поворотов из плоскости, могут быть убраны из
вспомогательной объектной решетки регулировкой плоского зеркала на
рис. 7.20 либо смещением (боковым), либо поворотом
параболического зеркала для изменения угла а.
Если плоское зеркало на рис. 7.20 закреплено на объекте
для исключения влияния вибраций, то возможности
регулировки значительно ограничиваются. Зеркало остается перпендику-
27*
420
Глава 7
лярным к объектной решетке, даже когда объект испытывает
жесткие смещения, и первый способ коррекции, изложенный
выше, уже не может быть применен. Вместо этого следует
применять метод с использованием недерформируемой
вспомогательной объектной решетки. Жесткие смещения могут быть
затем скомпенсированы регулировкой оптической системы
(сдвигом либо поворотом параболического зеркала), чтобы убрать
полосы на вспомогательной объектной решетке. Наиболее
серьезное затруднение возникает при повороте из плоскости
вокруг оси у, так как плоское зеркало поворачивается вместе
с объектом, что значительно искажает виртуальную опорную
решетку. При /=2400 линия/мм и Я=632,8 нм поворот зеркала на
угол 4я = 0,001 м/м вызывает посторонний градиент полос
величиной 2 полоса/мм. Поэтому требуется коррекция полос.
Схемы с реальными опорными решетками
Реальная опорная решетка (рис. 7.26) может быть
прикреплена к объекту с целью устранения вибраций. Она будет
испытывать те же самые жесткие повороты из плоскости, что и
объектная решетка. Эффективная частота — это проекция
частоты на плоскость х—у\ она испытывает то же изменение, что и
объектная решетка. Поэтому посторонние полосы не возникают.
Недостаток схемы на рис. 7.26 состоит в невозможности
регулировки частоты виртуальной решетки. Система на рис. 7.30, а
также нечувствительна к поворотам из плоскости, но обладает
тем преимуществом, что можно регулировать виртуальную
опорную решетку путем поворота вертикальных зеркал; в схеме
на рис. 7.30,6 виртуальная опорная решетка может
регулироваться путем поворотов в плоскости решеток частоты
Следует сделать вывод, что при использовании в оптической
схеме реальной опорной решетки, закрепленной на объекте,
чувствительность к смещениям объекта из плоскости
отсутствует.
7.16. Фотографирование начальной картины полос
Обычно объектная решетка не состоит из идеально прямых
и равноотстоящих линий. Да и оптические элементы,
используемые для формирования опорной решетки, также не столь
совершенны, чтобы сформировать идеальную опорную решетку.
В результате несколько полос, как правило, будут появляться
в поле наблюдения еще до нагружения образца. Такие полосы
должны вычитаться из картины, полученной после нагружения,
для того чтобы определить перемещения, вызванные нагрузкой.
Для этого следует вычесть порядки полос в соответственных
Интерференционный муар
421
точках картин для нагруженного и ненагруженного состояний.
Другой способ — осуществить вычитание одновременно по
всему полю наблюдения с помощью геометрического муара.
Однако существует по крайней мере два случая, в которых
вычитание не требуется.
1. Если начальная картина редкая, а картина от полной
нагрузки содержит большое число полос, го в вычитании нет
необходимости для достижения требуемой точности.
2. Если поле наблюдения мало, особенно если используется
увеличение при фотографировании картины полос, то начальная
картина в поле наблюдения содержит лишь часть полосы целого
порядка, и в большинстве случаев ею можно пренебречь.
Если вычитание необходимо, то фотографические
прозрачные копии (негативы) муаровых интерференционных картин
для нагруженного и начального состояний могут быть
наложены при регистрации. Кроме того, они могут быть
сфотографированы двукратным экспонированием на один кадр. В обоих
случаях две картины налагаются, образуя картину геометрического
муара!), которая характеризует только поле перемещений,
вызванных нагрузкой. Однако муаровые полосы второго порядка
не обладают хорошей видностью, так как начальная картина
обычно бывает довольно редкой. А для получения четкой
муаровой картины необходимо накладывать друг на друга плотные
системы линий. Это достигается с помощью несущих картин.
Несущие картины и оптическая фильтрация
Число полос муаровой картины до нагружения, или
начальной картины, можно увеличить путем регулировки аппаратуры.
Например, если образец повернуть в его плоскости
относительно элементов оптической системы либо плоское зеркало на
рис. 7.20 повернуть вокруг оси, параллельной оси z, то
образуется несущая картина поворота. Если переместить или
повернуть, изменяя угол а, параболическое зеркало, то добавляется
несущая картина расширения, которая характеризуется
равноотстоящими муаровыми полосами, параллельными линиям
решетки. Если используется оптическая фильтрация, удобно
создавать несущую картину довольно высокой частоты (10
линия/мм и выше). Однако во многих случаях и низкая
начальная частота (например, 2 полоса/мм) дает удовлетворительные
результаты.
На рис. 7.31 показано увеличенное изображение дважды
экспонированного негатива двух муаровых интерференционных
1) В гл. 6 такая картина названа «муар-муаром» или муаром второго
порядка.
422
Глава 7
картин, полученных до и после нагружения. Несущая картина
поворота с частотой около 12 полоса/мм одинакова на обеих
картинах. В результате деформирования образца муаровые
картины при полной нагрузке и ее отсутствии отличаются друг
от друга, и поэтому полосы этих картин пересекаются. Они
формируют картину геометрического муара, которая отражает
разность порядков полос двух наложенных одна на другую
муаровых интерференционных картин. Эта муаровая картина
второго порядка является контурной картой вызванных нагрузкой
перемещений, не зависящей от любых искажений,
присутствовавших на начальной картине до нагружения образца.
Рис. 7.31. Увеличенное изображение дважды экспонированного негатива двух
муаровых интерференционных картин для ненагруженного и нагруженного
объектов. К обеим картинам были добавлены одинаковые несущие картины
с частотой 12 полоса/мм.
Муаровые полосы на рис. 7.31 имеют относительно низкий
контраст, который можно существенно повысить с помощью
простой процедуры оптической фильтрации. Каждая муаровая
полоса на рис. 7.31—это область однородного тона (область,
где полосы усиливающей интерференции при нагрузке
перекрывают промежутки между полосами усиливающей
интерференции в начальной картине), а также область темных и свет-
Интерференционный муар
лых полосок (где полосы усиливающей интерференции в обеих
картинах налагаются друг на друга при регистрации). В
процессе фильтрации области полос высокой частоты
дифрагируют свет, а области однородного тона полос второго порядка не
дифрагируют.
Схема оптической фильтрации показана на рис. 7.32, где на
пути света помещен дважды экспонированный негатив (или два
наложенных один на другой негатива). Свет, проходящий
через области полос отдельных наложенных муаровых картин,
отклоняется в виде лучей нескольких дифракционных порядков,
а свет, прошедший через серые однородные зоны суммарной
картины, не испытывает отклонения. Линза собирает
прошедшие пучки разных дифракционных порядков в отдельные точки
в ее фокальной плоскости, пронумерованные на рис. 7.32 в
соответствии с номерами дифракционных порядков. Свет от однород-
Плосность
диафрагмы
Негатив
Рис. 7.32. Схема оптической фильтрации для усиления контраста полос на
дважды экспонированном негативе рис. 7.31.
ных зон собирается, конечно, в точке 0. Так как в камеру
попадает свет только одного (ненулевого) дифракционного порядка,
изображение на экране камеры будет ярким во всех точках,
соответствующих зонам полос, и темным во всех других точках,
Таким образом, с помощью оптической фильтрации, используя
свет любого дифракционного порядка, получается копия
негатива с усиленным контрастом полос.
Результат показан на рис. 7.33, где зона, ограниченная
окружностью, соответствует зоне, показанной на рис. 7.31.
Повышение контраста очевидно. Картины характеризуют поля
перемещений их и иу для верхней половины растягиваемого
композитного образца с укладкой волокон под углом 15° к оси [21,
46]. Условия нагружения — осевое перемещение захватов,
поворот которых был почти полностью исключен. Начальное поле
исключено, и видны только полосы от нагрузки.
Ориентация волокон под углом 15° делает образец
асимметричным При деформации его форма становится волнообразной,
Интерференционный муар
425
nv «70 60 60 45 nv
6 6
Рис. 7.34. Демонстрация способа механического дифференцирования.
а — картина муаровых полос Ny; б — муаровая картина второго порядка полученная
наложением двух прозрачных картин вида а при сдвиге Ау; в — муаровая картина
второго поридк I при сдвиге Ах. Муаровые полосы на картинах бив аппроксимируют про-
тподпые 0Ny/rJi/ и 0Nyl0x соответственно.
Ответ на заданный вопрос таков, что уравнение (7.19)
корректно во всех случаях. Причем всегда следует использовать в
расчетах частоту, которая дает нулевое поле, а не частоту
несущей картины. Вероятно, по этой причине подтверждается
интуитивно ясный ответ: ожидается одна и та же картина полос
от нагрузки независимо от использования несущих картин
растяжения или вращения.
7.17. Определения линейных и сдвиговых деформаций
механическим дифференцированием
Деформации гхх, &уу и гху определяются производными
перемещений. Способ механического дифференцирования,
рассмотренный в гл. 6, позволяет получить контурную карту поля
производных перемещений.
424
Глава 7
причем в центральной части образца появляется зона
однородных сдвиговых деформаций.
Для эффективной оптической фильтрации частота несущей
картины должна превышать наибольший градиент полос в поле
наблюдения. Так как в муаровой интерферометрии
используется чистая двухпучковая интерференция, то очень высокая
частота несущих картин разрешается в плоскости фотопленки с
высоким контрастом. Основное ограничение — это
разрешающая способность фотоэмульсии, которая у большинства пленок,
применяемых для этих целей, достаточно высока.
Рис. 7.33. Результат оптической фильтрации (круговая зона соответствует
рис. 7.31). Начальные полосы, соответствующие ненагруженному объекту,
исключены, и картины показывают только перемещения от нагрузки
Образец представляет собой графито-полиимидный композит с волокнами,
уложенными под углом 15° относительно оси. Частота решетки /=1200
линия/мм.
Какую же частоту следует использовать при расчете
перемещений? В уравнении (7.19) ux = Nx/f предполагается, что f —
частота опорной решетки (более точно, f — частота опорной
решетки, которая при наложении на недеформированную
объектную решетку дает нулевое поле). Однако если добавляется
несущая картина растяжения, то частота виртуальной решетки
становится равной f-\-c (либо f—с), где с — несущая частота.
При использовании несущей картины поворота виртуальная
решетка поворачивается, но ее частота остается равной /.
426
Глава 7
Если две одинаковые прозрачные копии картин муаровых
полос при регистрации можно наложить друг на друга, то они
практически повторяют оригинал. Однако если верхнюю копию
сместить относительно нижней, то полосы двух картин
пересекаются и в результате образуется картина полос геометрического
муара второго порядка. Этот эффект иллюстрирует рис. 7.34,
где картина интерференционного муара Ny сдвигается на малые
величины Ау и Ах. Полосы геометрического муара являются
линиями уровня ANy/Ay и ANy/Ax (т. е. линиями уровня
конечно-разностной аппроксимации градиентов полос Fyy и Fyx
[уравнение (7.22)]. Получение таких муаровых картин второго
порядка называется механическим дифференцированием.
Число получаемых таким
образом муаровых полос
второго порядка возрастает с
увеличением величины смещений
Ал: и Ау. Смещения должны
быть достаточно большими,
чтобы образовалось несколько
полос, и в то же время они дол-
кны оставаться достаточно
малыми, чтобы конечные разности
действительно соответствовали
величинам производных. Кроме
того, для улучшения контраста
муаровых полос второго
порядка целесообразно использовать
одинаковые несущие картины
при получении каждой из
наложенных и смещенных
первичных картин полос.
В практической работе
можно воспользоваться методом
двух экспозиций, применяя
подвижный держатель
фотопленки. Устройство такого дер-
методе механического дифференциро- жателя показано на рис. 7.35.
вания- Он устанавливается в задней
стенке фотокамеры для
установки, схема которой изображена на рис. 7.21. Держатель
фотопленки закреплен на основании, перемещаемом в направлениях
х и у с помощью микрометрических винтов. Порядок проведения
эксперимента следующий. На оптическом столе закрепляется
нагружающее устройство с исследуемым объектом. Схема
юстируется в направлениях х и у до получения нулевых полей.
Объект поворачивается для того, чтобы создать несущую кар-
Рис. 7.35. Задняя стенка
фотокамеры, в которой держатель фотопленки
установлен на основании,
регулируемом микрометрическими винтами. Это
приспособление используется для
сдвига пленки в двухэкспозиционном
Интерференционный муар
427
тину от поворота. Производится экспозиция поля их
(включающая начальную картину полос), держатель пленки сдвигается
на величину Дл; и выполняется вторая экспозиция на ту же
пленку. Повторяется двухэкспозиционная процедура, но уже на
другую пленку для поля их при сдвиге Ау. Повторяется та
же процедура для поля иу при сдвигах Дл: и Ау.
Оптическая фильтрация этих четырех дважды экспонированных
негативов дает карты линий уровня производных AN J Ах,
ANX/Ayt ANy/Ax и ANy/Ay.
Рис. 7.36. Образец в виде балки при поперечном изгибе (а) и картины
муаровых полос Nx (б) и Ny (в) для правой части образца при небольшой
нагрузке Р (/=2400 линия/мм).
Эта методика использовалась при испытании балки на двух
опорах, нагруженной сосредоточенной силой в центре (рис.
7.36). Показанные поля перемещений (поля Nx и Ny) получены
при очень малой нагрузке Р. При большей нагрузке полосы
становятся настолько густыми, что их невозможно воспроизвести.
Однако для механического дифференцирования
прикладывалась в семь раз большая нагрузка. На рис. 7.37 показаны
картины ANjAx и ANy/Ay после оптической фильтрации.
Величины механических смещений Дл: и Ау составляли 0,25 мм, т. е.
428
Глава 7
2% толщины балки. Картины, представляющие производные
перемещений в поперечных направлениях, показаны на рис. 7.38,
где величины Ах и Ау также составляли 0,25 мм.
Для определения деформаций соотношения между
перемещениями и малыми деформациями записываются в конечно-
разностном виде:
Aux = ANJf, Auy = ANy/f, (7.196)
откуда
_ Аих _ 1 ANX 1 ANy
Zxx— Дж — f дж i гуу-= j ьу >
_ 1 / ANX . ANy \
Ь*У— f [ by • Ax J9
Если положить A# = Az/ = A, то можно выделить
множитель
1//А, (7.28)
называемый коэффициентом чувствительности и определяемый
величиной деформации на порядок полосы. В рассмотренном
примере / = 2400 линия/мм и А = 0,25мм, так что коэффициент
чувствительности равен 0,00167 м/м на порядок полосы.
Картины на рис. 7.37 можно интерпретировать как контурные карты
линий уровня линейных деформаций ехх и еуу, где величины
деформаций определяются умножением порядка полос на
коэффициент чувствительности.
Для определения сдвиговых деформаций гху необходимо
сложить порядки полос на картинах рис. 7.38. Это может быть
сделано по всему полю с помощью метода суммирующего
муара, описанного в гл. 6. На рис. 7.39 показаны средние линии
муаровых полос для двух картин производных на рис. 7.38. Для
обеих величин представлены их относительные порядки полос.
Каждая изолиния в случае суммирующего муара — это
местоположение точек с постоянной суммой порядков полос двух
картин. Линии суммы порядков полос легко получить,
соединяя непрерывными гладкими кривыми диагонали
четырехугольников на рис. 7.39, а. Результат такого построения показан на
рис. 7.39, б, где жирными линиями изображены линии уровня
серии производных. Фактически это карта линий уровня
сдвиговых деформаций еху, если показанные на ней порядки полос
умножить на тот же коэффициент чувствительности [46J. При
построении линий сумм вручную муаровые картины частных
производных перемещений должны содержать не слишком
много полос. В таком виде метод представляется вполне
подходящим для практического применения.
Полученные картины деформаций дают приближенную ин-
(7.1а)
(7.2а)
постоянный
43
Глава 7
Уху
i , _ f !
Рис. 7.39. а — средние линии муаровых полос для картин производных,
показанных на рис. 7.38. б — изолинии суммы производных dNx/dy+dNy/dx.
жение начальной точки отсчета порядков полос и
проконтролировать порядки полос в разных точках вторичной муаровой
картины. Очень просто проверить положение полос нулевого
порядка на картинах производных перемещений. Они проходят
Интерференционный муар
429
4 АНх/Дх
Рис. 7.37. Картины муаровых полос,
аппроксимирующие линии уровня
dNx/дх и dNy/ду, полученные
механическим дифференцированием для
балки, показанной на рис. 7.36 (Дл:=
=Ау=0,25 мм).
Рис. 7.38. Картины производных
dNx/dy и dNy/dx (Дл:=Д*/=0,25 мм).
формацию в том же смысле, как и в случае применения тензо-
резисторов или метода конечных элементов, поскольку в
каждой отдельной точке получаются приближенные значения
деформаций. Величина производной, полученной механическим
дифференцированием, усреднена на длине отрезка, равного
смещению. Однако смещение обычно гораздо меньше, чем
база тензорезистора и размер элементов в конечно-элементном
анализе.
Весьма ценную информацию содержат картины их и иу.
В любой точке этих картин может быть измерена скорость
изменения порядков полос в направлениях х и у для определения
соответствующих производных. Это позволяет определить поло-
j
через точки, где муаровые полосы перемещений (см. рис. 7.36)
параллельны осям х и у (например, дих/дх=0 в зоне, где
полосы на рис. 7.36, б параллельны оси х).
Из-за введения несущей картины поворота порядки полос в
полях перекрестных производных не всегда являются целыми в
центрах светлых полос. Это объясняется тем, что
дифференцируемые величины включают две составляющие— нагрузочные
перемещения и фиктивные перемещения несущей картины.
На несущей картине градиент полос и производная
перемещения постоянны. Поэтому картина производной перемещения
определяет сумму искомой производной перемещений от нагрузки
и некоторой константы. Эта константа может быть целым
числом, однако чаще всего она представляет собой сумму
некоторой целой величины и дробной части. Целая часть константы
не проявляется на картине, однако дробная часть изменяет
уровень интенсивности окраски полос целого порядка. При
уточненном анализе положение полосы с целым порядком
(например, полосы нулевого порядка) точно определяется в
отдельной точке поля перемещений, и полученная таким образом
поправка на изменение уровня интенсивности вводится в виде
константы для всего поля. Если используется четырехпучковая
оптическая схема, то необходимость в коррекции при расчете
сдвиговых деформаций отпадает. Как отмечалось в разд. 7.9,
полосы от жесткого поворота тела (т. е. несущая картина
полос) не влияют на величины сдвиговых деформаций, если
повороты одинаковы для обоих полей их и иу.
7.18. Векторный подход
Понятие вектора является искусственным, но очень
полезным. В этом разделе будут использоваться векторы муаровых
полос для описания линий решетки и дифрагирующих лучей
света, идущих от объектной решетки. Эти понятия самым
тесным образом связаны друг с другом, а также с деформациями
объекта. Количественные соотношения между
деформированным состоянием объекта, рассеянным им светом и муаровыми
интерференционными полосами будут написаны с
использованием векторов.
Почему полезен такой подход? Векторы не дают
наилучшего средства для вычисления деформаций по картине полос.
Вместо этого они помогают исследователю уточнить детали
оптического явления, а также получить сведения для более
эффективного использования той или иной оптической методики и
расширения границ ее применимости. Разд. 7.19 посвящен
такому расширению сферы применения интерференционного
муара, причем векторное представление было использовано при
\ Интерференционный муар 43
432
Глава 7
Nx=6
Рис. 7.40. Вектор Fx муаровых
полос, характеризующий направление
и пространственный градиент
порядков полос Nx вблизи точки О. Его
компоненты Fxx и Fxy представляют
градиенты составляющих растяжения
и поворота от перемещений их в
точке О.
разработке и объяснении
рассмотренной там методики [44].
В разд. 7.20 излагается другая
методика, основанная на
использовании разных
направлений дифракции света, причем
для ее обоснования также
применен векторный подход [31].
Векторы муаровых полос
При наблюдении
интерференционной картины на
поверхности объекта
пространственная частота полос (т. е.
градиент полос), окружающих
любую точку, может быть
определена вектором F [4, 6, 14, 16].
При этом локальная частота
полос (число полос на 1 мм)
определяет длину вектора,
перпендикулярного полосам.
Направление возрастания
порядков полос характеризует
положительное направление
вектора, а 0 — его начальная точка.
Векторные характеристики
поля муаровых полос вблизи
точки 0 показаны на рис. 7.40.
Вектор полос Fx направлен в
сторону возрастания порядков
полос Nx. Его величина
пропорциональна градиенту полос
Fx или обратной величине
локального шага полос поля Nx.
Полосы, параллельные линиям опорной решетки, всегда
являются полосами растяжения. Они возникают вследствие
разности частот опорной и объектной решеток. Их градиент
описывается компонентой вектора Fx, обозначенной Fxx. Локальный
шаг полос в направлении х равен l/Fxx.
Полосы, перпендикулярные линиям опорной решетки,
являются полосами поворота, т. е. они вызваны относительным
поворотом линий опорной и объектной решеток. Строго говоря,
полосы поворота параллельны биссектрисе угла между линиями
опорной и объектной решеток, однако практически они
совпадают с направлением у при тех малых деформациях, кото-
Интерференционный муар
433
рые обычно встречаются при использовании
высокочувствительной муаровой интерферометрии. Поэтому полосы поворота
описываются у-компонентой FXt обозначенной Fxy. Локальный шаг
полос в направлении у равен l/Fxy.
Часто оказывается удобным интерпретировать картины
полос с помощью этих компонент вектора полос. Тогда
деформации определяются соотношениями
при условии, что на начальных картинах полосы отсутствуют
либо их порядки пренебрежимо малы по сравнению с
порядками на картине от действия нагрузки. В противном случае
векторы полос должны определяться разностями векторов полей,
соответствующих нагруженному и ненагруженному состояниям
образца. Для определения деформаций из картин полос
следует выделить градиенты полос в направлениях х и у.
Векторы решетки и векторы полос
Сходство между решетками и интерференционными
полосами распространяется на их векторные свойства. Локальная
пространственная частота (измеряемая в единицах линия/мм)
любой решетки — это такая же векторная величина, как и
пространственная частота картины полос. Вектор решетки ЗГ
характеризует решетку в локальной зоне, окружающей точку 0.
Вектор ЗГ начинается в точке 0 и расположен в плоскости решетки
(в плоскости х—у) перпендикулярно ее линиям, а его
положительное направление совпадает с направлением возрастания
номеров линий решетки (см. гл. 6 и работу [6J). Величина
вектора равна частоте решетки &*. Вектор объектной решетки
&~s изменяется от точки к точке в соответствии с деформацией
образца.
Пространственная частота опорной решетки в окрестности
точки 0 является вектором, обозначаемым символом f. Он
начинается в точке 0, расположен перпендикулярно линиям
опорной решетки (или полосам, образующим виртуальную
решетку), и его величина равна пространственной частоте В случае
опорной решетки вектор постоянен, т. е. имеет постоянные
направление и величину.
Для геометрического муара в работе [16] была получена
простая зависимость между векторами решеток и муаровых
полос. Она применима и для интерференционного муара,
поскольку исходные уравнения в обоих случаях одни и те же [54].
(7.29)
(7.30)
28—1480
434
Глава 7
Для интерференционного муара векторная зависимость имеет
вид
FA. = f-2rs, (7.31)
где решетки образуют картину полос Nx. Аналогичное
соотношение справедливо и для Fy. Соответственно вектор полос,
который определяет градиент полос в произвольной точке 0 на
муаровой картине равен разности вектора опорной решетки и
удвоенного вектора объектной решетки. Множитель 2 введен
потому, что начальная частота объектной решетки для
обеспечения нулевого поля равна f/2. Порядок вычитания векторов
выбирается так, чтобы деформациям растяжения
соответствовало увеличение шага объектной решетки [уравнение (7.22)].
Рис. 7.41. Векторная диаграмма, на которой вектор полос F* представлен в
виде разности вектора опорной решетки и удвоенного вектора объектной
решетки. Предполагается, что координатные оси х и у поворачиваются вместе
с объектной решеткой в точке 0.
Соотношение (7.31) иллюстрирует векторная диаграмма на
рис. 7.41, на которой поворот -ф объектной решетки и ее
растяжение е сильно увеличены. Градиент полос в окрестности точки
О представлен вектором F^, причем полосы направлены
перпендикулярно вектору. Очевидно, что параметры /, «ф и е полностью
определяют локальные градиенты полос муаровой картины.
Локальные деформации в соответствии с уравнениями (7.29)
и (7.30) тесно связаны с х- и у-компонентами векторов полос.
На рис. 7.41 х- и у-компоненты Fx определяют величины Fxx и
Fxy, а аналогичная диаграмма для картины полос Ny дает
остальные компоненты.
Выходные векторы
Векторы выходящих из решетки лучей света полезны при
описании механизма формирования картины муаровых полос.
На рис 7.42 в увеличенном масштабе показаны направления лу-
Интерференционный муар
435
чей А к В, выходящих из решетки, растягиваемой в
направлении х. Они образованы в результате дифракции объектной
решеткой из освещающих лучей А' и В' соответственно. До того
как образец был растянут, лучи А и В были направлены вдоль
оси z\ пучки света, которые они представляли, не имели
углового расхождения, и их интерференция формировала нулевое
поле. После растяжения частота объектной решетки
уменьшилась и углы дифракции (по отношению к нулевым порядкам
дифракции) уменьшились. Углы Ра, Рв и р приобрели конечные
значения. Линза собирает пучки, представленные лучами А и
Ву в плоскости пленки.
Рис. 7.42. Дифрагированные лучи А и В при растяжении объектной решетки
в направлении х. Углы $А и рв сильно увеличены.
Направление отраженного луча А на рис. 7.42 зависит от
ориентации решетки вблизи точки О. При растяжении
объектной решетки угол дифракции $А лежит в горизонтальной
плоскости х—z (рис. 7.42). При малом повороте -ф в плоскости
решетки Ра лежит в вертикальной плоскости; при малом
повороте объектной решетки из плоскости вокруг оси у угол Ра лежит
в горизонтальной плоскости, а при повороте вокруг оси х угол
Ра лежит в вертикальной плоскости. Изложенное выше верно и
для выходящего луча В.
28*
436
Глава 7
Особый интерес к этим углам объясняется тем, что они
определяют характер картины полос в окрестности точки О (или
О'). Градиент полос в точке О' на рис. 7.42 (для М=1) зависит
от относительного углового расхождения р лучей А и В,
которое, согласно уравнению (7.11), может быть записано в
обозначениях рис. 7.42 следующим образом:
Fx = .(2/A)sin(p/2), (7.11а)
где Р = Рв—Ра- Направление полос в точке О' зависит от
направлений лучей Л и В; в частности, полосы располагаются
перпендикулярно плоскости АОВ.
Направления лучей А и В можно представить векторами,
разность которых полностью определяет угол р и градиент по-
лось Fx. Пусть вектор р*А— проекция на плоскость х—у
единичного вектора в направлении луча Л, а вектор р*в—
соответствующая проекция единичного вектора для луча В. Векторы
Р*а и р*в называются выходными векторами (разд. 7.4) для
лучей Л и В соответственно [54].
Как векторы р*А и р% связаны с деформацией объектной
решетки? Ответ совсем прост. Вектор р*А характеризуется
следующей векторной суммой:
Ра = И&х + Р2*<, + PJ* + Рч>* + Р^Ц, (7.32)
где члены в правой части представляют составляющие вектора
полос (для луча Л), вызванные растяжением гхх (или линейной
деформацией), сдвиговой деформацией гху9 жестким поворотом в
плоскости ярд и поворотами *¥х и *¥у из плоскости объектной
решетки соответственно. Аналогичное выражение применимо
для луча В. В табл. 7.2 представлены направление и величина
каждой из этих составляющих выходного вектора. Таким
образом, Р*а и р*в могут быть легко определены для произвольного
деформированного состояния объектной решетки. Так как эти
выходные векторы являются проекциями единичных векторов в
направлениях лучей Л и В, то они указывают направления
лучей Л и В. Соответственно определяется воздействие
деформаций объекта на лучи, формирующие муаровую картину.
Вектор р* определяется как разность выходных векторов:
Р* = Р5-Ра. (7.33)
Вклад в вектор р* каждой составляющей деформации объекта
также указан в табл. 7.2. Векторная сумма р* всех ненулевых
компонент представлена на рис. 7.43.
Используя рис. 7.42 и определение выходного вектора, можно
показать [54], что
|P*|/2 = sin(P/2). (7.34)
438
Глава 7
Следовательно, уравнение (7.11а) записывается в векторной
форме
F* = P*A. (7.35)
На рис. 7.43 показано также взаимное расположение вектора Fx
и соответствующей локальной картины полос. Компоненты х и
у вектора полос (рис. 7.43) получены делением длин
соответствующих выходных векторов, приведенных в табл. 7.2, на К и
характеризуются соотношениями
Fxx = fexx, (7.21а), (7.29а)
Fxy = f(^R-exy/2). (7.36)
Так как полный поворот решетки г|) = г|)н—гху12, то
Fxy = ft. (7.37)
а 6
Рис. 7.43. а — векторная диаграмма, иллюстрирующая вектор который
является разностью векторов выходящих лучей Л и В. б— соответствующие
вектор и направление полос.
Подобный анализ может быть проведен для выходных векторов
картины полос Ny. В этом случае компоненты $*еуу, $*еУХ и
Р%л, соответствующие положительным деформациям и
повороту, совпадают с положительными направлениями осей у, х и х
соответственно.
Изложенный анализ справедлив только для малых
деформаций и поворотов. Количественные оценки позволяют сделать
вывод, что этих зависимостей достаточно для практического
использования. Так, если угол р (рис. 7.42) становится больше Г,
то получается картина полос (для А,=633 нм и М=1) с
градиентом 28 полоса/мм, что значительно превышает потребности
практической работы, а соответствующая линейная деформация
(при г|)=0 и /=2400 линия/мм) составляет всего 8^ = 0,012, или
1,2%. Общий случай изложен в работе [54J.
Интерференционный муар
439
7.19. ±45°-ные решетки
Аппарат выходных векторов был использован для анализа
оптической схемы, изображенной на рис. 7.44 [44]. На объект
нанесена скрещенная решетка со штрихами (линиями),
направленными под углом 45° к осям х <и у. Решетка освещается
коллимированными пучками когерентного света в
направлениях /СО, LO и МО. Свет из точки L дифрагирует в +1-й
порядок дифракции объектной решетки К' (т. е. решетки со
штрихами, перпендикулярными у') и выходит в направлении OQ.
Свет от точки М дифрагирует в —1-й порядок объектной
решетки Х\ выходя в том же
направлении. Эти два выходящих
пучка образуют картину полос,
наблюдаемую с помощью
камеры.
При использовании такой
схемы получается
замечательный результат. Когда объект
деформируется, наблюдаемая
картина дает поле
перемещений их\ такая же картина
обычно наблюдается при
ориентации линий объектной и опорной
решеток перпендикулярно оси
х. Аналогично, картина поля
перемещений иу образуется при
освещении ±45°-ных
объектных решеток когерентным
светом из положений К и L.
Чувствительность (1// мм на
порядок полосы) зависит от
частоты виртуальной решетки
(формируемой пучками К и L
либо L и М), согласно
уравнениям (7.18) и (7.19), так же,
как в случае решеток с линиями, параллельными осям X и У.
Частота объектных решеток, параллельных осям X' и У, равна
//"[/2 вместо f/2. Применение данной схемы позволяет
использовать трехпучковые оптические установки вместо четырех-
пучковых, подобных показанной на рис. 7.21.
7.20. Определение их
Муаровая интерферометрия обсуждалась выше как
средство определения перемещений в плоскости их и иу. При
анализе выходных векторов было установлено, что два выходных
Рис. 7.44. Объектные решетки,
ориентированные под углом 45° к
осям х и у, образуют картины полос
Nx и Ny.
440
Глава 7
пучка несут информацию также о перемещениях uz,
перпендикулярных плоскости. Возникает вопрос, каким образом можно
выделить из получаемой информации перемещения и2?
Картина муаровых полос, дающая перемещения из
плоскости, определяет по всему полю локальные градиенты
перемещений duz/dx и duz/dy. Эти градиенты являются углами наклона
Ч^д; и Wy поверхности соответственно. Согласно табл. 7.2,
Ч?х и Wy пропорциональны х- и у-компонентам векторной
суммы р** выходных векторов,
P** = P1 + PS. (7.38)
Отсюда следует, что картина полос, на которой градиенты
полос всюду пропорциональны р**, образуется линиями уровня
перемещения из плоскости uz.
Вспомогательное
с поверхностью
образца)
Рис. 7.45. Оптическая схема для получения картин полос, которые вызваны
перемещениями uZt перпендикулярными плоскости.
Что необходимо сделать, чтобы при взаимодействии пучков
Л и В их выходные векторы складывались? Прямое сравнение
волновых фронтов пучков А и В дает их разность, которая
связана только с перемещениями в плоскости. Поэтому для
получения суммы этих фронтов, которая дает картину перемещения
uZy необходима непрямая схема.
Для этой цели может быть использована оптическая схема,
приведенная на рис. 7.45. По сравнению со схемой, показанной
на рис. 7.20, здесь добавлено полупрозрачное зеркало [31].
Оно образует третий пучок О в направлении оси г. Вводится
несущая картина растяжения или поворота для того, чтобы
обеспечить угловое расхождение выходящих пучков А и В. При
ненагруженном состоянии объекта пучки А, О и В проходят в
плоскости диафрагмы камеры через точки, обозначенные Л, О и
В. Пусть диафрагма смещена, так что точка В перекрывается,
а пучки АиО проходят. Тогда эти два пучка, выходящие в
Таблица 7.2. Выходные векторы для картины полос Nx
Деформированное
состояние
объектной решетки
Выходной вектор
Разность выходных векторов
Сумма выходных векторов
луч А
луч В
обозначение,
направление
длина
обозначение,
направление
длина
обозначение,
направление
длина
обозначение,
направление
длина
Линейная
деформация ЕХХ
Сдвиговая
деформация ЕХу
Линейная
деформация Еуу
Жесткий поворот
В ПЛОСКОСТИ 1|Эд
Жесткий поворот
ИЗ ПЛОСКОСТИ Ух
Жесткий поворот
из ПЛОСКОСТИ Wy
Жесткие
смещения их, иу, uz
$*еххА
$*гхул\
$*ЧГуА
Exxfk
2
&xyfh
2
0
2
0
$*еххв
PVrflf
$*ЧГуВ
2
2
0
2WX
2Wy
$*ехх
Р*е»й
р*а
exxl'k
Exyfk
2
0
0
0
0
$**ехх
^'*еху
$**еуу
P*v*
р**к
0
0
0
0
0
Интерференционный муар
441
разных направлениях, формируют несущую картину, которая
фотографируется камерой. Пусть теперь диафрагма смещена
так, что проходят только пучки О и В, .и несущая картина
фотографируется на ту же пленку, т. е. практически
выполняется вторая экспозиция.
Каков же результат? В предположении идеальной оптики
и идеальной юстировки схемы две налагающиеся несущие
картины, записанные при двойной экспозиции, имеют одинаковые
частоты и одно и то же направление. При их наложении
начальные муаровые полосы отсутствуют. Однако эти несущие
картины имеют противоположные знаки. Угол между лучами
О и Л противоположен углу между лучами О и В, и
соответствующие выходные векторы лучей Л и В имеют
противоположные направления. Их сумма равна нулю, а нулевое поле
этой муаровой картины второго порядка соответствует нулевой
полосе суммарной муаровой картины (гл. 6).
Когда эта же двухэкспозиционная процедура выполняется
для объекта в нагруженном состоянии, пучки Л и В имеют
искаженные волновые фронты, которые несут информацию о
перемещениях как в плоскости, так и из плоскости. Однако
муаровая картина второго порядка, получаемая в этом случае,
соответствует суммирующему муару и дает перемещения из
плоскости uz. Для повышения контраста может быть
применена оптическая фильтрация. Таким образом, перемещение из
плоскости выделяется.
На практике, конечно, используются неидеальные
оптические элементы .и схемы. Тогда фотографирование может быть
проведено отдельно для ненагруженного и нагруженного
состояний и соответствующие негативы наложены для получения
поля перемещений иг под нагрузкой. При использовании такой
методики пучок О должен быть немного смещен из среднего
положения между Л и В для получения начальных муаровых
полос до нагружения образца, чтобы улучшить контраст
результирующей муаровой картины, получаемой под нагрузкой.
Мы будем обозначать полосы картины под нагрузкой
символом N+. Перемещения из плоскости вычисляются с помощью
соотношения
иг = XN+/[2 (1 + cos а)], (7.39)
где а — угол падения на рис. 7.45. Для частоты виртуальной
опорной решетки / = 2400 л,иния/мм и длины световой волны
Я= 632,8 нм угол падения равен а = 49,4° [уравнение (7.18)].
Чувствительность при измерении перемещений из плоскости
составляет 0,192 мкм на порядок полосы или 0,303 К на
порядок полосы. Это почти на 67% больше, чем чувствительность
V2, характерная для большинства интерферометрических мето-
442
Глава 7
дов измерения нормальных перемещений, включая голографи-
ческую интерферометрию. С уменьшением а чувствительность
приближается к ее пределу, равному А,/4 на порядок полосы.
Другая модификация этого метода состоит в том, что свет
трех пучков — Л, О и В на рис. 7.45 — регистрируется
одновременно [31]. Три несущие картины, содержащие
информацию о волновых фронтах, могут быть разделены с помощью
оптической фильтрации для получения муаровых картин,
перемещения в плоскости Ux{uy) и нормального перемещения uz-
Метод пригоден для одновременной регистрации
нестационарных деформаций ,в плоскости и из плоскости.
7.21. Разновидности муаровой интерферометрии
Оптические системы для прозрачных образцов
Оптические схемы, описанные выше, относились к
отражательным системам, пригодным для изучения непрозрачных
объектов. Однако каждую из них можно видоизменить для
исследования прозрачных объектов. Обращаясь к рис. 7.15,6, легко
отметить необходимые для этого .изменения: 1) объект
прозрачный; 2) прозрачная объектная решетка того же фазового
типа, как и раньше, но без отражающего покрытия из
алюминия либо золота; 3) выходящие пучки и камера занимают
зеркальные положения относительно изображенных на
рисунке; 4) пучки с волновыми фронтами Аг и В' (либо А" иВ")
проходят через объект и попадают в камеру с левой стороны
от него.
Такая схема действует так же, как отражающая система,
включая дифракцию света при просвечивании объектной
решетки в +1-й и —1-й порядки, образование искаженных
волновых фронтов и регистрацию их интерференции в камере.
Просвечивающие схемы легко собираются и используются
благодаря тому, что оптические элементы размещаются не столь
близко друг к другу, как в отражательных схемах. Хотя эти
схемы предпочтительны в некоторых специальных
исследованиях, однако их применение ограничено прозрачными и (чаще
всего) плоскими образцами.
Умножение муаровых полос
Чувствительность муаровых измерений зависит от частоты
линий опорной решетки. На одной из стадий развития стали
доступны высокочастотные опорные решетки, однако при этом
объектные решетки имели низкие частоты. Они использовались
вместе, а отношение частот опорной и объектной решеток
называлось коэффициентом умножения полос [9—И].
Интерференционный муар
443
В описанных здесь оптических схемах коэффициент
умножения равен 2. Вернемся к рис. 7.15,6 снова. Пусть теперь
начальная частота объектной решетки равна половине той, что
показана на рисунке, т. е. &~=f/4. Освещающий пучок А и
нулевой дифракционный порядок имеют те же направления,
что и показанные на рисунке. Однако в левой верхней части
рисунка появится в два раза меньше дифракционных порядков,
так как частота объектной решетки уменьшена вдвое. От
пучка А попадает в камеру свет +2-го дифракционного порядка,
а от пучка В, соответственно, —2-го порядка. При
взаимодействии они дадут такой же результат, какой получался с
помощью схемы, показанной на рисунке. Это происходит потому,
что искажение, внесенное в волновой фронт деформированной
объектной решеткой, пропорционально результирующей
частоте решетки и порядку дифракции.
Та же схема применяется для любого другого
коэффициента умножения. Умножение муаровых полос с коэффициентом
60 описано в работе [9]; в нашей лаборатории использовались
еще большие коэффициенты умножения. Для этого требуются
высококачественные объектные решетки, так как отношение
сигнал/шум с ростом порядка дифракции уменьшается.
Наименьший оптический шум имеет место при использовании
-f-1-го или —1-го дифракционных порядков, вследствие чего
эти порядки были выбраны в качестве основных при развитии
описанных выше методов интерференционного муара. В
ранних работах умножение муаровых полос применялось только
с использованием просвечивающих оптических систем, однако
в настоящее время очевидна его применимость и в
отражательных системах.
Копирование деформированных объектных решеток
Была предложена методика изготовления копий
деформированных объектных решеток на нагруженных конструкциях и
проведения дальнейшего анализа «а копиях в лабораторных
условиях [17]. В лаборатории копия устанавливалась в
оптическое устройство для регистрации муаровых картин. По
сравнению с другими описанными здесь методиками, которые
обеспечивают получение муаровых картин в реальном времени
непосредственно на испытываемом объекте, метод копии в ряде
случаев имеет несомненные преимущества. Этот метод
применялся с низкочастотными объектными решетками при больших
коэффициентах умножения полос с использованием
просвечивающих систем. Метод может быть применен с
высокочастотными объектными решетками и просвечивающими или
отражательными оптическими системами.
444
Глава 7
Двукратное использование виртуальной решетки
Интересный метод, близкий к описанным выше,
применяется с одной и той же виртуальной опорной решеткой, которая
сначала используется для печатания объектной решетки на
фоточувствительном покрытии, нанесенном на поверхность
объекта, а затем в качестве опорной [12, 13]. Если
поверхность объекта частично матовая, то свет, несущий
интерференционную картину, можно наблюдать с любого удобного
направления. Однако спекл-шум от матовой поверхности
снижает четкость полос. Метод позволяет проводить измерения
как на искривленных, так и на плоских поверхностях.
7.22. Обработка данных
Во многих опубликованных работах применялась
компьютерная обработка картин муаровых полос. В большинстве
систем используется небольшое число полос в поле наблюдения и
применяются сложные процедуры интерполяции полос,
криволинейного сглаживания и дифференцирования для достижения
максимальной точности результатов.
Для муаровой интерферометрии характерно получение
большого количества полос и большого объема данных. Для
упрощения подсчета полос вводятся несущие картины (с полосами
низкой либо высокой частоты), которые исключают
экстремумы и таким образом делают счет полос монотонным. Это
упрощает компьютерный анализ. Графики перемещений могут
быть построены непосредственно по положению полос целых
порядков. Производные порядков полос и деформации
определяются непосредственно по расстояниям между соседними
муаровыми полосами, т. е. просто по величинам l/Fxx на
рис. 7.40, когда полосы очень густые. Сглаживание
выполняется на последней стадии процесса обработки данных, так чтобы
получить минимальные случайные погрешности. При
использовании большого массива полос в поле наблюдения
обработка данных относительно проста и надежна.
Хотя получение полного поля деформаций представляет
значительный интерес, однако часто инженера интересуют лишь
данные в отдельных зонах. Во многих случаях поэтому были бы
достаточны полуавтоматические системы, работающие в
интерактивном режиме для определения координат полос в
выделенных зонах.
7.23. Перспективы
Муаровая интерферометрия — это количественный опти-
.ческий метод определения полей перемещений для
непрозрачных тел. Поля деформаций получаются путем дополнительной
Интерференционный муар
445
обработки полей перемещений. Этому методу
экспериментальной механики присущ ряд положительных качеств, среди
которых высокие чувствительность, контраст полос и
разрешающая способность, большой диапазон измерений, локализация
картины полос на поверхности объекта, возможность
измерений в реальном масштабе времени. С применением решеток с
частотой 2400 линия/мм достигается чувствительность,
соответствующая 0,417 мкм на полосу, т. е. меньше длины световой
волны. При ручной интерполяции возможно разрешение 1/5
порядка полосы или 0,08 мкм.
В качестве объектных решеток используются фазовые
решетки со скрещенными штрихами, получаемые с помощью
процесса копирования. Они имеют толщину около 0,025 мкм.
Процесс копирования позволяет изготовлять отражательные
решетки практически зеркального качества. Они формируют
гладкие волновые фронты, что обусловливает низкий уровень
спекл-шума и высокий контраст полос.
Получаемые под нагрузкой картины с большим
количеством муаровых полос позволяют сравнительно просто и
надежно определять деформации. Используется графическое
дифференцирование либо компьютерная обработка данных. Хорошие
результаты дает механическое дифференцирование по всему
полю перемещений; оно применяется для определения как
линейных, так и сдвиговых деформаций при механическом
смещении всего 0,25 мм.
В перспективе хорошо видно расширение границ
применения этого метода. Оно включает: точные измерения и контроль
в машиностроении; измерения при исследовании задач
механики деформируемого тела, включая контактные задачи;
наблюдения и измерения при изучении новых явлений при
деформировании материалов, конструкций и их элементов. С
использованием интерференционного муара будут развиваться
комплексные экспериментально-вычислительные методы.
Будут развиваться экспериментальные методики. Возможно
появление ахроматических оптических систем с
малогабаритными, но мощными твердотельными источниками света. Будут
разработаны портативные измерительные системы, пригодные
для применения в лабораторных и натурных условиях.
Снизится стоимость экспериментального оборудования. Автор
предполагает, что развитие муаровой интерферометрии будет
настолько значительным, что его результаты в настоящее время
даже трудно предвидеть.
Интерференционный муар
447
Р — угол дифракции относительно нормали к
решетке;
P?n*, Pmx*, Рту* — выходной вектор для пучка
дифракционного порядка m и его х- и у-компоненты;
Р* — разность выходных векторов для лучей А
и В;
А — изменение, приращение;
гхх, вУу — линейные деформации в декартовых
координатах;
гХу — сдвиговая деформация в декартовых
координатах;
8 — угол пучка; угол между двумя пучками;
0 — угол клиновидной призмы;
X — длина световой волны;
Ф — фазовый угол световой волны;
ij) — угол поворота в плоскости объектной
решетки;
г|)я — жесткая часть поворота г|г,
^х, — углы поворота из плоскости вокруг осей х
и у соответственно;
v — круговая частота световых волн.
446
Глава 7
Список обозначений
А — амплитуда световой волны;
А — единичный вектор, определяющий
направление освещающего пучка;
с — частота несущей картины;
с —• скорость света в вакууме;
Dm — единичный вектор, определяющий
направление дифрагированного пучка порядка
га;
fj — частота опорной решетки и ее вектор;
F,F — градиент полос и его вектор;
Fx,Fy — градиенты полос картин Nx и Ny
соответственно;
FXXf Fxyj Fyy, Fyx — компоненты градиента полос dNx/dx, dNxj
/ду, dNy/dy, dNy/дх соответственно;
@~,@~s,@~— частота решетки, частота объектной
решетки и вектор решетки;
G — расстояние между соседними полосами;
— шаг решетки, .или расстояние между
соседними линиями либо бороздками;
I — интенсивность света;
т — дифракционный порядок;
п — показатель преломления;
N — порядок полосы;
Nx, Ny — порядки муаровых полос, когда линии
опорной решетки перпендикулярны осям
х и у соответственно;
Af+ — порядок полосы на картине нормальных
перемещений;
S — расстояние между волновыми фронтами с
одинаковыми фазами;
t — время;
tlx, uy, uz — компоненты перемещения в декартовой
системе координат;
W — волновой фронт;
х, у, z — декартовы координаты;
х'у у' — координаты вдоль осей, расположенных
под углом ±45° к осям х и у\
X, У, Х\ У — объектная решетка с линиями,
перпендикулярными осям х, у, х' и у'
соответственно;
а — угол падения относительно нормали к
решетке;
а*, а**, ау* — вектор освещения и его х- и у-компонен-
ты;
Глава 8
Топографическая и лазерная
спекл-интерферометрия
У. Рэнсон, М. Саттон, У. Питерз1)
В настоящей главе подробно изложены основные принципы
голографии и спекл-метрологии, необходимые для
использования в экспериментальной механике. Из всех возможностей
голографии и лазерных спеклов наиболее важна для
экспериментальной механики, по-видимому, интерферометрия. Оба интер-
ферометрических метода позволяют распространить
интерференционные измерения на диффузно отражающие объекты.
С момента открытия голографической интерферометрии, а
затем спекл-метрологии в литературе описаны многочисленные
применения этих методов к деформируемым телам, однако
ограниченный объем главы пе даст возможности рассмотреть
все многочисленные применения методов в экспериментальной
механике. Поэтому обсуждаются только основы теории,
дополненные несколькими экспериментальными примерами,
иллюстрирующими приложения теории для анализа образования
различных картин интерференционных полос. Там, где это
возможно, образование полос при измерениях деформации
поверхности рассмотрено независимо от ортогонального базиса.
Поэтому сделана попытка записать уравнения в общей форме.
Набор конкретных измеряемых компонент перемещений как в
случае голографии, так и в случае спекл-метрологии будет
зависеть от вида конкретной экспериментальной схемы. Поэтому
представленные простые примеры иллюстрируют лишь
различные теоретические случаи. Более сложные примеры,
характеризующие современные приложения методов, заинтересованный
читатель может найти в специальной литературе по
экспериментальной механике.
После изобретения лазера нашла применение оригинальная
работа Габора [1], а Лейт и Упатниекс [2] предложили ис*
пользовать внеосевой опорный пучок света; в результате этих
достижений голографическая интерферометрия получила зна-
!> W. F. Ranson, М. A. Sutton, W. Н. Peters. University of South Carolina,
Columbia, South Carolina.
Голографическая и лазерная спекл-интерферометрия
449
чигельное развитие и нашла много различных применений1*.
Благодаря широкому использованию гелий-неонового лазера
более успешно развивались приложения голографической
интерферометрии к задачам статики, чем к динамическим
задачам. Большинство исследований было посвящено измерению
компонент перемещений поверхности деформируемых тел.
Хейнс и Хилдебранд [3] первыми разработали метод
определения деформаций поверхности твердых тел, который получил
дальнейшее развитие в работах [4—7]. Первый важный вклад
в сдвиговую интерферометрию сделали Брундал [8] и Сайто
и др. [9].
Первые голограммы с помощью импульсного рубинового
лазера были получены Бруксом и др. [10, 11], Джакобсоном
и Макланом [12]. Распространение волн напряжений впервые
исследовано в работах [13, 14]. С помощью динамической
голографической интерферометрии наиболее успешно
исследованы задачи о продольном ударе по тонкому стержню и
поперечном ударе по плоской пластине. Пауэл и Стетсон [15]
(предложили голографический метод усреднения во времени для
измерения резонансных форм и частот поперечных колебаний,
который оказался чрезвычайно полезным; по-видимому, одним
из основных его практических приложений стало
турбостроение, где важно знать формы колебаний лопаток, чтобы
исключить опасные резонансные режимы при рабочих скоростях
турбин.
Явление, подобное спеклам, наблюдали еще до появления
лазера, однако в .инженерную практику спекл-интерферомет-
рия вошла главным образом благодаря лазеру2). Сейчас этот
метод используется в экспериментальной механике как
эффективное средство измерения деформаций поверхности. Основные
принципы спекл-интерферометрии разработал Линдертц в
1970 г. [16], который показал, что точность метода близка к
точности голографической интерферометрии. В разработку
метода внесли вклад и другие исследователи [17, 18]. В этом
методе объект освещается двумя оптически интерферирующими
пучками. Для получения информации о перемещениях
поверхности сравниваются картины спеклов, сфотографированные до
и после деформации. Арчболд и Энное [19], а затем Даффи
[20] предложили метод спекл-фотографии, который
заключается в освещении объекта одним расходящимся пучком
лазерного излучения и записи двухэкспозиционных фотографий
картин спеклов.
В голографии используется также метод записи голограмм во
встречных пучках, предложенный Ю. Н. Денисюком [43]. — Прим. ред.
2) Спекл — по английски пятно Спеклы наблюдаются при освощении
шероховатой поверхности лазерным излучением. — Прим. ред.
29—1480
450
Глава 8
Подробные обзоры спекл-методов для измерения
перемещений в плоскости содержатся в работах [21, 22]. Стетсон [21]
подразделил такие методы на спекл-фотографию и спекл-ин-
терферометрию. К спекл-фотографии он отнес методы, в
которых объект освещается расходящимся пучком лазера и
фотографируется до и после своего перемещения. В методах спекл-
интерферометрии, по определению Стетсона, используются
оптические схемы, соответствующие интерферометрам разного
типа. В этих схемах объект освещается двумя пучками,
которые интерферируют. В спекл-интерферометрии состояния
объекта также должны наблюдаться и фиксироваться до и после
его перемещения.
Впервые компьютеры применялись в лазерной
спекл-фотографии для нахождения центров полос при определении их
пространственной частоты. Как показали Чамблес и Бродвей
[23], для улучшения картин полос в спекл-фотографии
эффективны цифровые фильтры. Применение фильтров к таким за-
шумленным данным, как картины спеклов, дешево и удобно.
Ключом для построения ограничивающего фильтра (так
называемое инвариантное преобразование с линейным сдвигом)
является преобразование Фурье. Когда спекл-фотография считы-
вается телекамерой, подключенной к компьютеру, данные
получаются дискретными. Для такого дискретного набора данных
интегралы заменяются конечными суммами и быстрое
преобразование Фурье используется как линейный фильтр. Поэтому
при оптическом анализе напряжений с помощью компьютера
подходящим инструментом является дискретное
преобразование Фурье.
В последние годы стали применять непосредственную
обработку спекл-информации для оптического анализа напряжений.
Этот метод, известный как цифровая обработка изображений
и анализ перемещений, обсуждается в работе Чу и др. [24].
Идеи метода аналогичны спекл-фотографии, когда для
определения перемещений объекта анализируются малые участки
изображения. При дискретной записи полей спеклов
коррелируют малые фрагменты изображения для исходного и
деформированного состояний тела. Этот тип корреляции
изображения называют поэлементным восстановлением изображений.
В оптическом анализе напряжений применяется эффект ди-
сторсии изображения, который возникает при деформировании
тела. Таким образом, при цифровой обработке изображений
необходимо учитывать влияние локальных смещений и
поворотов тела как целого и деформаций. Аналоги
спекл-фотографии позволяют измерять только локальные перемещения тела
как целого. Таким образом, методы корреляции изображений,
вероятно, дополнят метрологические характеристики спекл-
452
Глава 8
Заметим, что амплитуда света Е всегда является
действительной частью комплексной функции. Индексами О и R будем
обозначать объектный и опорный пучки соответственно.
Очевидно, что только действительная часть комплексной
амплитуды света имеет физический смысл.
В голографической интерферометрии 'производятся две
экспозиции тела1). Первая экспозиция выполняется для тела в
некотором исходном состоянии, а вторая — для тела,
деформированного из исходного состояния. Для первой экспозиции
суммарная амплитуда света в плоскости голограммы
представляет собой суперпозицию двух волновых фронтов — отражен-
Фотопленка
Неде
формированное тело^
4t Лазер
Опорный
пучок
Объектный
пучок
Зеркала
Деформированное
/пело
Рис. 8.1. Внеосевая голографическая схема для двухэкспозиционной
голографии.
ного объектного пучка и опорной волны, что соответствует
уравнению
Ei = Е01 + Ею (8.3)
Подобным же образом для второй экспозиции суммарная
амплитуда света в плоскости голограммы имеет вид
Eu = EOII+ER. (8.4)
Кроме метода двойной экспозиции для получения интерферограмм
применяют еще метод реального времени и усреднения во времени, в которых
производится только одна экспозиция. — Прим. перев.
Голографическая и лазерная спекл-интерферометрия
451
фотографии измерениями компонент деформаций. Однако один
из методов не может быть заменен другим, так как
выполненные на сегодняшний день исследования показали, что спекл-
фотография дает большую точность, чем корреляция
изображений. Следовательно, в тех задачах, где требуются
прецизионные измерения, будут использоваться средства голографии и
спекл-фотографии.
Наиболее важные приложения голографии и лазерной
спекл-метрологии в экспериментальной механике рассмотрены
в работах [24, 25] 1>. Последние работы подтверждают
перспективность рассматриваемых методов для экспериментальной
механики. Нет сомнений, что быстрое развитие компьютерной
техники расширит практику применения оптического анализа
напряжений. Наиболее перспективным представляется
совершенствование методов обработки и анализа
интерференционных картин и прямой записи картин спеклов.
8.1. Основы теории образования интерференционных картин
Получение дважды экспонированных голограмм
Рассмотрим процесс формирования изображения по схеме,
показанной на рис. 8.1. В этом методе получения дважды
экспонированных голограмм используется внеосевой опорный
пучок, который впервые был введен Лейтом и Упатниексом [2].
Другие методы получения дважды экспонированных голограмм
предложены в работах [3, 4], однако будет рассматриваться
только схема с внеосевым опорным пучком. Пусть свет,
отраженный телом на плоскость голограммы, описывается
выражением
E0 = Re{B(x, у) exp [iB(z, у)]}, (8.1)
где В(х,у) называется модулем амплитуды, а 0 (#,
у)—фазой, и обе величины являются в общем случае функциями
координат точек в плоскости голограммы. Опорный пучок
может быть представлен как плоская волна с модулем
амплитуды А, постоянным относительно координат (х, у). Этот пучок
образует в плоскости голограммы фазовый член (2л/К) л;sing,
который обусловлен падением плоской волны на голограмму
под углом g. Как показали Лейт и Упатниекс [2], опорный
пучок может быть представлен соотношением
ER = Re{A exp[{i2n/K)x sing]}. (8.2)
!> Изложение основ голографической интерферометрии и различные
приложения рассмотрены также в работах [44—54]. — Прим. ред.
29*
Голографическая и лазерная спекл-интерферометрия 453
Индексы I и II обозначают первую и вторую экспозиции
соответственно. В обеих экспозициях опорная волна имеет вид
(8.2). В процессе регистрации внеосевой опорный пучок один
и тот же для обеих экспозиций. Однако если амплитуда света
Е01 задается выражением (8.1), то Е0ц удобно выразить
следующим образом:
Е0п = Ъе[В{х,у) exp [i(G + AG)]], (8.5)
где Д0 — изменение фазы, вызванное деформацией тела.
Изменение фазы определяется геометрическими компонентами
деформации и конфигурацией оптических элементов.
Аналитическое выражение для Д0 будет получено в разделе «Изменение
фазы при деформации тела».
Суммарная интенсивность света в плоскости фотоэмульсии
для обеих экспозиций определяется зависимостью
Лротопл = Ei-E\ + Eu-E*i, (8.6)
где Ej* и /Гц* обозначают комплексно сопряженные
амплитуды света. Подстановка уравнений (8.4) и (8.5) в (8.6)
приводит к выражению
/фотопл = 2(Я2 + Л2)+ЛЯ exp [i(Y-G)] +
+ А exp [ — i (y — Q)] + AB exp [i(y — 6- AG)], (8.7)
где f= (2n/k)x sin |. Уравнение (8.7) описывает интенсивность
света в процессе регистрации дважды экспонированной
голограммы. Информация о перемещениях объекта содержится в
изменении фазы AG, которое может быть выделено в процессе
восстановления.
Восстановление изображения
с дважды экспонированной голограммы
Схема восстановления изображения приведена на рис. 8.2,
а амплитуда прошедшего через голограмму света
характеризуется соотношением [2]
•^прошед = IФотопл" ER. (8.8)
При восстановлении свет не обязательно должен быть тем же
опорным пучком, который использовался в процессе
регистрации. Следовательно, голог,рамма может быть восстановлена^
любым достаточно когерентным светом. Это обстоятельство-
является важным при регистрации динамических процессов с
помощью импульсного рубинового лазера, время излучения
которого порядка 50 не, и для восстановления изображения дол-
454
Глава 8
жен использоваться непрерывный лазер. Уравнение (8.7)
содержит три члена:
Етнтш = А*В exp (iQ)A*B exp [i<e + AG)J,
Ядейств=Л2В ехр [i(2y — Q)]+A*B ехр [1{2у-В — Щ]9 (8.9)
^недиФр = 2Л(В2 + Л2) ехр (iy).
Поскольку интерес представляет изменение фазы, вызванное
перемещениями объекта, недифрагированный член не содержит
полезной информации. Член Емним описывает мнимое
изображение, член Вдейств — действительное изображение, причем оба
содержат информацию об изменении фазы Д6. При
соответствующем выборе угла восстановления действительное и мнимое
ОС ф-
Опорный
пучок
мнимое
l из обра же -
ние
t 1
ц
Фотопленка
Неди
фразированная волка
^Действа- \
( тельное изо*
\ брожение J
44 ^
Рис. 8.2. Восстановление внеосевой голограммы. / — волна, формирующая
мнимое изображение; 2 — волна, формирующая действительное изображение.
изображения разделяются. Каждое из них содержит
необходимую информацию, однако чаще рассматривается мнимое
изображение. Если мнимое изображение наблюдается или
фотографируется, то интенсивность света можно выразить
соотношением
/мним = -Емним* -Емним?
(8.10)
из которого следует
/мним = 2А4#2 (1 + cos А6). (8.11)
Под интерференционнной полосой будем понимать
геометрическое место точек, где интенсивность мнимого изображения рав-
Топографическая и лазерная спекл-интерферометрия
455
на нулю. Следовательно, вдоль полосы будет выполняться
условие l + cosA6 = 0. Как видно из уравнения (8.11), изменения
фазы можно интерпретировать как меру смещения объекта
вдоль линий минимальной амплитуды света. Геометрия
изменения фазы рассматривается в следующем разделе.
Изменение фазы при деформации тела
Если тело деформируется между экспозициями голограммы,
то фазовые множители комплексных амплитуд света различны
для двух экспозиций. Изменение фазы А6 является результатом
смещения точек поверхности тела, которое может быть
выражено через деформации поверхности. Величина Д6, входящая
в уравнение (8.11), выражается через изменение длины
оптического пути света. Как видно из схемы на рис. 8.3, длина
оптического пути света для тела в исходном состоянии,
обозначенная Lb равна
L^IPSI + IPOI, (8Л1)
где S — источник света; Р — точка на поверхности тела; О —
точка в плоскости голограммы1). Расстояние |PS| между
точками Р и S равно длине вектора, соединяющего эти точки.
Поэтому расстояние |PS| выражается через скалярное
произведение вектора PS, соединяющего точки. Используя
определение скалярного произведения, из уравнения (8.12) находим
Lt = (PS.PS)V2 + (PO.PO)1/2. (8.13)
Точка Р на поверхности тела при его деформировании
перемещается в точку Р'. Для тела в деформированном состоянии
длина оптического пути света, обозначенная L2, составляет
£2=|P'S| + |P'0|. (8.14)
Длину вектора можно выразить через скалярное произведение
вектора на самого себя. Тогда L2 запишется в виде
L2 = (P'S - P,S)V2 -f (Р,0 • P,0)V2. (8.15)
Воспользуемся уравнениями (8.13) и (8.15) для определения,
изменения длины оптического пути Д, составляющего
A = L4-L2. (8.16)
Изменение фазы света А6 связано с А множителем 2яД:
AG = (2^A)(L1-L2). (8.17)
*> Точка наблюдения О не обязательно должна быть в плоскости голо- -
граммы. — Прим. перев.
456
Глава 8
Это уравнение, хотя и является наиболее общим, все же
неудобно для вычислений. Пусть для тела до и после
деформации выполняются следующие соотношения, соответствующие
схеме на рис. 8.3:
PS = P'S + PP', РО = Р'0 + РР'. (8.18)
В голографической интерферометрии перемещения точек
между экспозициями малы. Поэтому можно предположить, что
| РР'|2<С| РР'|. Малость деформаций может быть
использована для получения приближенного выражения для изменения
фазы Д8:
Д0 = (2яД) (ps + ро) • РР'. (8.19)
Члены ps и ро в уравнении (8.19) —единичные векторы в
направлениях PS и РО. Поэтому в дальнейшем их компоненты
в ортогональном базисе будут задаваться направляющими
косинусами.
Рис. 8.3. Схема образования полос Рис. 8.4. Ортогональная система ко-
при деформировании тела. 1 — не- ординат,
деформированное тело; 2 —
деформированное тело.
Поскольку наблюдаемая величина представляет собой
интенсивность мнимого или действительного изображения,
уравнение (8.19) может быть написано в виде
/мним = С {1 + cos [(2л/Х) (ps + po).PP']}, (8.20)
где С=2Л4В2. Для задач с малыми деформациями
информация, содержащаяся в голограмме, будет соответствовать
изменениям фазы, обусловленным вектором перемещения РР'.
Полученные результаты имеют общий характер, а некоторые
частные случаи будут рассмотрены ниже. Аналогично могут
Голографическая и лазерная спекл-интерферометрия
457
быть исследованы большие деформации, поскольку исходное
состояние не обязательно должно быть недеформированным.
Единственное требование состоит в том, чтобы изменение
формы тела между экспозициями было малым
Для того чтобы рассмотреть некоторые применения
уравнений голографической интерферометрии, удобно ввести
локальную систему отсчета. Предположим, что начало системы
координат расположено в точке Р, как показано на рис. 8.4.
Пусть вектор перемещения характеризуется следующим
выражением в компонентах: РР/ = г/гег-, где ег- — единичные векторы
в направлениях координатных осей. Пусть направлению
вектора ps соответствует набор направляющих косинусов а
направлению вектора ро — набор направляющих косинусов ти
Выражение для интенсивности мнимого изображения тогда
принимает следующий вид [35]:
/мним = С {1 + cos [(2яД) (1гщ + mtut)]}. (8.21>
Таким образом, информация, получаемая из мнимого или
действительного изображения, связана с тремя компонентами
вектора перемещения РР'. В работах Срлида [6] и Энноса
[4] показано, что если полосы нулевого порядка могут быть
найдены на изображении поверхности, то для однозначного
определения компонент щ достаточно трех голограмм 1К Для
задач этого типа характерно наличие фиксированной точки или
фиксированной границы. В том случае, когда полосы нулевого
порядка наблюдать нельзя, следует использовать одноголо-
граммный метод, предложенный Александровым и Бонч-Бруе-
вичем [5].
Изменение фазы при деформировании тела характеризуется
скалярным произведением вектора перемещения и единичных
векторов направлений освещения и наблюдения. Величина
скалярного произведения не зависит от системы координат,
поэтому измерение компонент вектора перемещения РР'
в зависимости от геометрии тела может производиться с
применением разных экспериментальных схем.
Образование интерференционных полос
в однолучевой спекл-фотографии
Картины лазерных спеклов являются результатом
интерференции при освещении когерентным светом оптически
шероховатой поверхности. Спеклы подразделяются на объективные и
субъективные. Последние образуются при наблюдении осве-
!> При использовании схемы Денисюка [43] для определения трех
компонент вектора перемещения достаточно одной голограммы. — Прим. перев^
Голографическая и лазерная спекл-интерферометрия
459
РР' = Upex + vpey + wpe2. (8.24)
Затем вектор перемещения в плоскости фотопленки
записывается в следующем виде:
[РР']фотопл = М [ирех + vpey], (8.25)
где М — увеличение объектива; обычно М<1 и uPf=MuPf vPf =
=Mvp. Координаты точек в плоскости фотопленки при второй
экспозиции будут следующими: х' = х+щ и y'=y + Vf.
Выражение для полной интенсивности имеет вид
/полн = Я2(я> у) + БЦх + и^ y + vt). (8.26)
Интерференционные полосы получаются путем оптического
преобразования Фурье функции амплитудного пропускания
обработанного фотографического негатива. Эта процедура может
быть выполнена несколькими путями в зависимости от
способа анализа данных. Функция амплитудного пропускания
g(x, у) предполагается линейной в рассматриваемом диапазоне
и может быть выражена зависимостью
g(x, у) = а + ЫпоЛн, (8.27)
где а и Ъ — константы. Амплитуда света в плоскости фурье-
преобразования, которая пропорциональна фурье-образу
§(х> У) у умноженному на квадратичный фазовый множитель,
записывается в виде
G (olf oh) = exp [id (со* + ю|)/(2Я)] F [g (*, y)]9 (8.28)
где F[g(x, у)] — фурье-образ g{x, у). В плоскости
преобразования векторная переменная пространственных частот
определяется следующим образом:
о = <о&ехв + (о2еу89 со4 = KX8/d, со2 = KY8/d. (8.29)
Координаты в плоскости преобразования обозначены (Xs,
Ys), а константа К=2п/Х. Уравнение (8.28) принимает
окончательный вид
G (со,, со2) = exp [id (со? + (*l)!(2K)] И (со,, со2) + bF (/ПОЛн)]. (8.30)
Дельта-функция характеризует (идеализированный) точечный
фокус освещающего пучка. Она дает вклад в амплитуду
только в центре (cdi = g)2 = 0); на практике это малая область
вокруг точки фокуса. Вне этой области интенсивность света в
плоскости фурье-преобразования имеет вид
/ (Wl, о)2) = 262| Ар {ы)*Ар (©)|2 [1 + cos (wuf)]. (8.31)
Члены, связанные с интерференционными эффектами в
уравнении (8.31), должны рассматриваться при анализе данных. По-
458
Глава 8
щенной поверхности с помощью объектива или глаза.
Размеры спеклов определяются, таким образом, величиной
апертуры объектива. Однолучевая субъективная лазерная спекл-фо-
тография была успешно применена для измерения деформаций
поверхности твердых тел. Диапазон измерений значительно
больше, чем у голографической интерферометрии, и во многих
случаях экспериментальные схемы значительно проще-
Основная оптическая схема для однолучевого лазерного
спекл-метода приведена на рис. 8.5. Поверхность объекта
освещается пучком света лазера S, Р — точка поверхности
освещенного тела. Процедура аналогична голографической
HHPS
РО
Объектив
Фотопленка
Рис. 8.5. Схема экспериментальной установки для однолучевой
спекл-фотографии.
терферометрии, где с помощью двух экспозиций на одну
фотопластинку регистрируют как недеформированное, так и
деформированное изображение поверхности тела.
Интенсивность света для первой экспозиции вычисляется с
помощью уравнений предыдущего раздела:
/, = Я2(*, у). (8.22)
Если тело деформируется между экспозициями, то точки
изображения в плоскости негатива сдвинутся в новое положение
с координатами х' и у'. Амплитуда света в деформированном
состоянии может быть выражена следующим образом:
/ц = If')- (8-23)
Вектор перемещения РР' точки Р поверхности тела
выражается через компоненты ир, vp и wp:
4С0
Глава 8
лосы образуются, когда /(соь 002)^=0 или при условии [1 +
+ cos(co-u/)] =0. Полосы наблюдаются методом поточечной
фильтрации (рис. 8.6). Для малой области освещения негатива
в окрестности точки Р перемещение можно считать постоянным
и полосы образуются при условии
(о.ир/ = (2л — 1)я, 11 = 1, 2, 3, (8.32)
Для большинства задач наблюдается только первая полоса;
поэтому
Xsupf + Ysvpf = U/2. (8.33)
к* г
Рис. 8.6. Анализ данных при поточечной фильтрации в однолучевой спекл-
фотографии (/ — расстояние между полосами, пропорциональное перемещению
точки). 1 — направление перемещения в плоскости.
Схему определения компонент перемещения в уравнении
(8.33) иллюстрирует рис. 8.7. Она включает измерение
расстояний Xs и Ys между центром поля и точками пересечения
первой полосы с осями xs и ys соответственно.
Образование полос в сдвиговой спекл-интерферометрии
В этом разделе рассмотрены основы теории сдвиговой
спекл-интерферометрии. Схема экспериментальной установки
для сдвиговой спекл-интерферометрии показана на рис. 8.8.
Здесь точка р отображается в точки с координатами (х,у) и
(х+Ах, у+Ау) в плоскости фотопленки, а соседняя точка рх
также отображается в точку (х, у) в плоскости фотопленки.
Для получения интерференционных полос используется двух-
экспозиционная методика: сначала производится
фотографирование тела в некотором исходном состоянии, а после де-
462
Глава 8
где A(x, у)—модуль амплитуды, в(х, у)—фаза. Обе
величины являются в общем случае функциями координат точки в
плоскости фотопленки. Полная интенсивность для первой
экспозиции характеризуется соотношением
h = А% + А%t + 2ApApl cos (9Р - 9Р1). (8.35)
Если тело деформируется и точки р и р\ смещаются в точки
р' и р'и то изображение точки р в плоскости фотопленки
будет сдвинуто в новое положение с координатами х' и if.
Амплитуды света в деформированном состоянии могут быть
записаны следующим образом (рис. 8.9):
Е'р=Ар(х\ y')exp[iQp(x\ г/') + Д9р],
E'pi = Apl (*', у') exp [iQpi (*', у') + Д0Р1],
где Д0Р и Д0р1 учитывают изменение фазы в каждом поле из-за
смещения объекта по отношению к освещающему полю. Поэтому
полная интенсивность для обеих экспозиций определяется
соотношением
InonH = A* + A2pl+2ApApicos[ep(x, y) — Bpi(x, y)] + A2p + A2pl +
+ 2ApApl cos [^(x\ y') + kQh (8.37)
y') = QP(x\ y')-QPi(x', у'), де=дер-дер1.
Интерференционные полосы получаются путем оптического
фурье-преобразования функции амплитудного пропускания
негатива, которое может быть выполнено несколькими
способами, в зависимости от принятой методики обработки данных.
Функция амплитудного пропускания g(x, у) линейна в
рассматриваемой области и выражается следующим образом:
g(x, у) = а + ЫиоЛя, (8.38)
где а и Ь — константы. Подставляя выражение для /Полн из
(8.37) в (8.38), получаем следующее выражение для
амплитудного пропускания:
g(x, y) = a + b{A2 + A2pi + 2ApApi cos[|9|(*, у)] +
+ Ap(x+uf, y + vf) + Ap(x+uf, y + vf) +
+ [2Ap(x + uf, y + Vf)Ap(x + uf, y + vf)x
X cos[y(x + uf, y + vf) + AQ]}. (8.39)
Процедура, рассмотренная в разделе «Образование
интерференционных полос в спекл-метрологии», используется для того,
чтобы получить выражение для амплитуды света С?(о)Ь со2) в
плоскости фурье-преобразования (рис. 8.10), которая
пропорциональна фурье-образу функции g{xyy), умноженному на
квадратичный фазовый множитель:
G(©lf ©,) = exp[WK + ©J)/(2Jni^fe(^ »)]• (8.40)
\
Голографическая и лазерная спекл-интерферометрия
461
Рис. 8.7. Схема определения компонент перемещений в плоскости с помощью
однолучевой спекл-фотографии.
Ркс. 8.8. Схема экспериментальной установки для сдвиговой спекл-интерферо-
метрии.
формирования тела ту же фотопластинку подвергают второй
экспозиции.
Для тела в исходном состоянии амплитуды света в
плоскости фотопленки для обеих точек р и pi записываются
следующим образом:
Ер = Ар(х, у) ехр [iQp(x, у)], Epi = Api(x, у) ехр [iQpi(x, у%
(8.34)
Голографическая и лазерная спекл-интерферометрия 463
Здесь F[g(x,y)\—фурье-образ функции g(x,y), d —
расстояние между фотопластинкой и экраном. В плоскости
преобразования векторная переменная пространственных частот
определяется формулами
^ = ^1^8 + 0)2^, (о± = КХ8/<1, (o2 = KY8/d.
Координаты точки в плоскости преобразования обозначаются
(xs, ys) и /С=2лД, где X — длина волны света. Подстановка
g(x,y) из (8.39) в (8.40) дает
G (wlf со2) = exp [id (со* + ®1)/(2К)] аб (<olf со2) + bF (/„onH). (8.41)
где б(соь со2)—дельта-функция, определяемая соотношением
б (со1? со2) = exp [ — i (o)Ax + со2у) dx dy].
Дельта-функция характеризует (идеализированный)
точечный фокус освещающего пучка. Она дает вклад в амплитуду
G(coi,o)2) только в центре (coi = co2 = 0); на практике это малая
юкрестность данной точки. Вне этой окрестности интенсивность
| G (coi, С02) 12 в плоскости преобразования составляет
\G(ni,<o2)\=P\F(ImnH)\*. (8.42)
Используя тождество
cos (ф + Д6) = cos я|) cos Д0 — sin \]з sin Д9,
в выражении для /Полн [уравнение (8.42)] фурье-образ /Полн можно
написать в виде
F (^полн) = Ар И * Ар (со) * [1 + exp [i (со. uf)]] +
+ Api (со) * Api (со) + Ар2 (со) Ар2 (со) exp [i (со.uf)] +
+ 2Ар (со) * Ар1 (со) * С (со) + 2АР (со) * Ар (со) *
* С (со) exp \i (со. uf)] cos Д0 — 2АР (со) *
* Ар1 (со) * 5 (со) exp [i (со - uf)] sin Д0. (8.43)
F(-) обозначает двумерное фурье-преобразование по
отношению к переменной щ\ Лр, AvX и Ар2 — фурье-образы функций
ар, ар\ и аР2 соответственно; * обозначает интеграл свертки
согласно соотношению
Ар (со) * Ар1 (со) * С (со) =F[AP (х, у) Ар1 (х, у) cos ^ (х, у)].
8.2. Применение голографической интерферометрии
Измерение деформаций поверхности
Основная экспериментальная схема для двухэкспозицион-
ной голографической интерферометрии показана на рис. 8.11.
Эта схема с внеосевым опорным пучком представляет собой
464
Глава 8
стабильную интерферометрическую систему, оптические^
элементы которой изолированы от внешних воздействий. Лазер
может быть как непрерывным, так и импульсным в
зависимости от решаемой задачи. Подготовка поверхности моделей не
представляет трудностей при использовании голографии,
и практически любая диффузно отражающая поверхность
подходит для измерений, что является очевидным преимуществом
по сравнению с классической интерферометрией. Кроме того,
в голографии для модели может быть использован тот же
материал, что и для натурного изделия. Процесс восстановления
изображения обычно состоит в освещении голограммы
исходным опорным пучком и наблюдении мнимого или
действительного изображения. Мнимое изображение рассматривается
сквозь голограмму. Действительное изображение рассматрива-
пользуется для интерпретации картин полос в голографической
интерферометрии при измерении деформации поверхности.
Несмотря на то, что в экспериментах используется внеосевой
опорный пучок, различные компоненты перемещений могут быть
получены при изменении направлений единичных векторов
освещения и наблюдения. Например, рассмотрим определение
перемещений на поверхности консольной балки при действии
поперечной нагрузки на конце. В оптической схеме,
показанной на рис. 8.12, используется следующий набор
направляющих косинусов: /i = 0, 12 =—1, /з = 0, mi = 0, m2 = cos0, m3 =
= sin0. Следовательно, с помощью уравнения (8.21) можно
определить компоненты перемещения в направлениях осей у
Р
Рис. 8.9. Вектор перемещения для
соседних точек р и р'.
ется на белом экране при
просвечивании фотопластинки
опорным пучком1). Если вместо
белого экрана поместить
фотопленку, то действительное
изображение может быть
зарегистрировано без помощи
дополнительных оптических
элементов. Некоторые затруднения
при восстановлении
изображения могут иметь место из-за
того, что интерференционные
полосы не локализованы в той
же плоскости, что и модель.
Уравнение (8.20) —
основное соотношение, которое ис-
1} При восстановлении действительного изображения используется волна,
сопряженная с опорной. — Прим. перев.
N Голографическая и лазерная спекл-интерферометрия 465
Па рал-1
z лельиыи
пучок
edema
Рис. 8.10. Оптическое фурье-прсобразование при наблюдении полос в
сдвиговой спекл-интерферометрии.
Источник,
света
Голограмма.
Рис. 8.11. Схема для двухэкспозиционной голографической интерферометрии*.
и z. Картина полос, таким образом, дает перемещения в
плоскости балки. На рис. 8.13 и 8.14 для сравнения представлены
экспериментальная и теоретическая картины полос для
рассматриваемого примера. Если схему освещения и наблюдения
изменить, как показано на рис. 8.15, то полосы в соответствий
с уравнением (8.21) будут мерой поперечного прогиба балки.
Для этой схемы направляющие косинусы имеют следующие
значения: U = 1, /2 = 0, /3=0, га-= cos £, m2 = 0, m3 = sing. Ha
рис. 8.16 представлена фотография мнимого изображения
балки, на которой интерференционные полосы являются линиями
одинакового прогиба.
В двухэкспозиционной динамической голографии
используются те же основные компоненты оптической схемы, однако
30—1480
466
Глава 8
задача осложняется тем, что необходима когерентность луча
лазера в пределах короткого импульса. Трудности
использования рубинового лазера в голографии и необходимые требования
обсуждаются в работе [26J. Но несмотря на трудности при
использовании импульсной голографии, с ее помощью
получены решения многих важных задач о распространении волн
напряжений. Важное требование при изучении
распространения волн — наличие одночастотного лазера. Выполненные
исследования показывают, что импульсный лазер — удобный
источник света с контролируемым излучением при длительности
импульса 50 не, которая достаточно мала, чтобы
фотографически регистрировать движение волн во многих материалах.
У
Y
Рис. 8.12. Оптическая схема для измерения перемещений в плоскости
консольной балки.
На рис. 8.17 приведено мнимое изображение алюминиевой
пластинки при ударе в центре. Видны высококачественные
интерференционные полосы, полученные с помощью импульсной
голографии. На рис. 8.18 зарегистрирована картина полос при
центральном ударе по плоской пластинке из комхчозиционного
материала. Удар по краю алюминиевой пластинки
иллюстрируется на рис. 8.19.
Неразрутающий контроль
Чувствительность интерференционных полос к малым
деформациям поверхности используется для неразрушающих
испытаний твердых тел. Например, обнаружение трещин или
подповерхностных полостей в композитах, порванных волокон
в шинах — это лишь некоторые из многих приложений
голографии для неразрушающего контроля (НК). Хотя полосы
могут обрабатываться количественно для определения компо-
Рис. 8.16. Голографическое восстановленное мнимое изображение консоль
балки.
Голографическая и лазерная спекл-интерферометрия
467
Рис. 8.13. Голографическое восстановленное мнимое изображение консольной
балки.
Рис. 8.14. Теоретические полосы для случая, представленного на рис. 8.13.
нент деформации поверхности, в НК часто ограничиваются
качественным анализом. Если полосы получены для тела, не
испытывающего резкого изменения формы, то искажения
картины полос могут использоваться для обнаружения структурных
неоднородностей.
Обнаружение дефектов в композитах — одно из основных
приложений голографического НК. Рассмотрим несколько
примеров, иллюстрирующих возможности голографии при
качественном анализе деформаций. Для измерения деформаций
30*
P„t 8,8. M8.M0, »,о«р.же„8е ко»...™.» —.и 8^, 30 икс .
поперечного удара в центре.
470
Глава 8
кругового цилиндра использована внеосевая голографическая
схема, показанная на рис. 8.20. Изображен лишь один вариант
оптической схемы, характеризуемой единичными векторами
ps и ро. В общем случае зарегистрированные на голограмме
полосы связаны со всеми компонентами перемещения точек
поверхности. Однако многие задачи могут быть упрощены, и при
соответствующем выборе геометрии схемы количество
измеряемых величин уменьшается. Направляющие косинусы для
цилиндра имеют следующие значения: /i = 0, /2 = 0, /3 = 1, т\ =
= sin8, m2 = 0, m3 = cos6. В этом частном случае предполага-
Рис. 8.19. Мнимое изображение алю- Рис. 8.20. Схема измерения симмет-
миниевой пластинки через 16 мкс ричной деформации кругового ци-
после удара по краю. линдра.
ется, что поверхность цилиндра освещается коллимированным
пучком света, параллельным координатному направлению х$.
Механическое нагружение однородного цилиндра (обычно
внутренним давлением) вызывает деформации, симметричные
относительно продольной оси цилиндра. Такие геометрия и
условия нагружения будут, следовательно, вызывать картину
полос в виде системы линий, параллельных продольной оси
цилиндра, за исключением краевых зон. Таким образом,
ожидаемая картина полос для цилиндра без неоднородностей
будет представлять собой систему параллельных прямых линий.
472
Глава 8
Рис. 8.22. Мнимое изображение
тонкостенного композитного цилиндра с
расслоением вдоль продольного
сечения цилиндра.
что и дефект. На рис. 8.22
показан цилиндр с более сложной
картиной полос. По ней можно
обнаружить расслоение по всей
длине цилиндра. Такую
картину, может быть, трудно
проанализировать количественно, в
то время как качественная
оценка дефекта достаточно
проста.
Голография с усреднением во
времени
Движение объекта во время
экспозиции может создавать
картины интерференционных
полос, похожие на полосы в
методе двойной экспозиции. При
интерпретации таких интерфе-
рограмм используется метод
так называемой голографии
с усреднением во времени.
Постановка этой задачи
основывается на предыдущих
результатах, и основная
экспериментальная схема соответствует
рис. 8.1. В течение
экспонирования фотопластинки
объектная волна может быть
представлена выражением
Е0 = А0 exp [I (х, у) + <р0 sin со*], (8.44)
где в фазу добавлен член (posinco/, который описывает
движение тела во время экспозиции1*. Так как объектная волна
складывается с опорной, то интенсивность в течение экспозиции
составит
/полн = ~- $ E,-E%dt% (8.45)
о
!) Такой фазовый член описывает гармоническое колебание тела. — Прим.
перев.
Голографическая и лазерная спекл-интерферометрия 473
где U — время экспонирования. Интенсивность
восстановленного мнимого изображения может быть получена подстановкой
выражения (8.45) в (8.10). Окончательное уравнение для
этого изображения имеет вид
/мним = ^4н^[(2^) (ps + po).PP'], (8.46)
где /о — функция Бесселя и ф= (2я/Я) (ps-fpo)PP'—
изменение фазы, вызванное движением объекта. Порядки полос
определяются, когда /мним = 0, что соответствует нулям /0 и
постоянной амплитуде колебаний точки на поверхности тела.
Уравнение (8.46)—основное уравнение, описывающее
образование полос в голографии с усреднением во времени.
Однако такая форма уравнения непрактична. Аргумент ф,
выраженный через проекции в ортогональной системе координат,
дает форму записи в проекциях, наиболее удобную для
голографии с усреднением во времени. Если PS, РО и РР' лежат
s одной плоскости, как показано на рис. 8.3, и 01=02, полосы
образуются в том случае, когда
d = 00ф0Я/(4я cos 0). (8.47)
Голографический эксперимент с внеосевым опорным пучком и
усреднением во времени был использован для анализа
образования полос в случае вибрации турбинных лопаток.
Турбинная лопатка закреплялась в держателе, и в ней с помощью
^небольшого громкоговорителя возбуждались колебания. На
:.каждой резонансной частоте стоячая волна колебаний давала
чкартину полос. На рис. 8.23 и 8.24 показаны
высококачественные картины полос.
8.3. Применения спекл-метрологии
(Спекл-фотография
Оригинальные разработки в спекл-интерферометрии в
начале 1980-х годов позволили установить основные принципы
применения этого метода к различным задачам. В
обстоятельном обзоре Паркса [25] рассмотрены наиболее важные
разработки по спекл-фотографии. Среди них выделены исследования
[16, 17, 20, 27—34]. Отмечается, что исследовательская
деятельность, соединенная с применением компьютеров для
обработки данных, обеспечит значительное развитие этого метода
в области экспериментальной механики в ближайшие годы.
Возможности метода продемонстрируем на простом
примере. Если воспользоваться схемой, приведенной на рис. 8.12,
дая регистрации двухэкспозиционного спекл-изображения,
можно легко измерить прогиб балки. Отличие этого метода от
Голографическая и лазерная спекл-интерферометрия
471
Рис. 8.21. Мнимое изображение тонкостенного композитного цилиндра с
малым круговым расслоением в центральной части
Качественный контроль полос требует знания только геометрии
тела и длины волны излучения лазера, и измерения не зависят
от свойств материала.
Рассмотрим тонкостенный композитный цилиндр с
закрытыми торцами, нагруженный внутренним давлением 206 кПа,
и качественную интерпретацию картины полос. На рис. 8.21
показана голографическая интерферограмма этого цилиндра,
по которой в центральной части цилиндра нетрудно
обнаружить место внутреннего расслоения. Так как цель
эксперимента — обнаружение дефектов, то влияние неоднородностей
выявляется в виде аномалии на картине полос. Приведенная
картина полос характеризует симметричную деформацию
цилиндра в зонах, удаленных от дефекта. Маленькая кольцевая
картина полос в центре имеет приблизительно те же размеры,
474
Глава 8
голографической интерферометрии состоит в расположении
направлений наблюдения и освещения. Направления наблюдения
и освещения поменялись местами, а запись производится с
помощью линзы и камеры. Измеряются компоненты
перемещения в направлении оси х (обозначаются буквой и).
Отметим, что, хотя эксперимент подобен голографическому,
измеряемая компонента есть поперечный прогиб. Типичная
картина полос, наблюдаемая при поточечной фильтрации,
показана на рис. 8.251). Эта процедура повторяется для такого числа
Рис. 8.23. Мнимое изображение Рис. 8.24. То же, что и на рис. 8.23,.
усредненной во времени голограммы но при другой форме колебаний,
колебаний турбинной лопатки.
точек вдоль оси балки, которое необходимо. На рис. 8.26
данные измерений сравниваются с теоретическими величинами
поперечного прогиба балки.
Чувствительность и диапазон измерений спекл-фотографии
обсуждаются в работах [24, 25]. Чувствительность измерения*
перемещений методом спекл-фотографии определяется
минимальной величиной перемещения, которая может быть измере-
!> Интерференционные полосы на этом рисунке часто называются полосами^
Юнга. — Прим. перев.
Голографическая и лазерная спекл-интерферометрия
47;
Рис. 8.25. Лазерная спекл-фотография.
на с помощью используемого объектива [36]{). Парке [25]
представил пример, из которого следует, что чувствительность
измерений составляет 36 мкм. В своем эксперименте Парке
использовал свет с длиной волны 5000А и половинный угол 4°,
соответствующий углу наблюдения объектива камеры. Кроме
того, в эксперименте обеспечивалась погрешность измерений
1/10 интерференционной полосы. Диапазон измерений
определяется верхней границей величины измеряемых перемещений.
Если предполагается, что перемещение вызвано деформациями
исследуемого тела, то на вопрос о диапазоне измеряемых
перемещений ответить трудно. Уравнение (8.33) справедливо при
условии, что поле перемещений в освещаемой области
постоянно. Для задач экспериментальной механики это не является
общим случаем, так как на перемещения обычно
накладываются деформации. Влияние деформаций на контраст полос
1} Здесь имеется в виду порог чувствительности. Еще есть понятие
чувствительности измерений в пределах диапазона, которая определяется
наименьшей величиной изменений фиксируемой величины, которая может быть
зарегистрирована с помощью рассматриваемого метода. — Прим. перев.
476
Глава 8
безразмерное расстояние Z/l
Рис. 8.26. Изменение прогиба консольной балки по результатам измерений с
помощью лазерной спекл-фотографии (кружки) и теоретического решения
(сплошная линия).
изучал Чианг [36], который обнаружил, что деформации
приводят к декорреляции спекл-картин. В настоящее время
верхний предел измеряемых перемещений до сих пор является
предметом обсуждения, а на практике при измерении больших
деформаций регистрируют последовательность дважды
экспонированных спекл-фотографий, на каждой из которых
фиксируются малые приращения перемещений.
Сдвиговая спекл-интерферометрия
Экспериментальная установка для простой задачи,
использованной в качестве примера измерений с помощью сдвиговой
спекл-интерферометрии, показана на рис. 8.27. Перед
объективом камеры расположен оптический клин. Для этого
примера Up = vp = 0, хЮрФЪ и Ap=Api.
Информация о производных связана с минимумом функции
/(соьсог) [уравнение (8.42)], который достигается, когда после
подстановки выражения (8.43) l-beosAG и sin Д0 обращаются
в нуль одновременно. Поэтому полосы определяются
соотношением Д6=(2/г—1)л;. Изменение фазы записывается в виде
Де=.(2яД) (ps + po).(P2P; —РР'), (8.48)
где векторы ps=[/s, mSt ns\T и po = [Z0, m0l щ]т характеризуют
направления освещения и наблюдения в точке Р соответственно-
Голографическая и лазерная спекл-интерферометрия 477
У
Источник
света
Рис. 8.27. Схема определения наклонов консольной балки, нагруженной на
конце, с помощью сдвиговой спекл-интерферометрии.
Уравнение (8.48) можно написать в следующей форме:
A6=^[(Zs + Z0)(^A, + f Д, + £Д2) +
+ {n. + «*(£b* + %Ay + £Az)]. (8.49)
Порядок полосы определяется выражением
b(N-±) = (ls+l0)(%A*+% Ay + %AZ) +
+ {ms + no)(^AX + ^Ay + ^AZ) +
+ (nt+n0)(-^Ax + ^Ay + ^.Az). (8.50)
Голографическая и лазерная спекл-интерферометрия 479*
мерительная система может в ближайшем будущем устареть.
Использование этой техники приведет к значительным
изменениям в экспериментальной механике. Увеличение мощности
вычислительных средств даст возможность решать большие
задачи, но основные принципы решения не изменятся. Так,
сохранятся уравнения голографической интерферометрии и
лазерной спекл-фотографии, которые описывают образование
интерференционных полос для деформируемых тел. Приложения
этих методов могут измениться с проникновением компьютеров:
в данную область. Для прямой обработки дискретных
оптических данных потребуется камера, подключенная к основному
компьютеру. Указанные два направления, по-видимому, и
дальше будут основными элементами компьютерной технологии,
причем обработка изображений может рассматриваться как
основное направление независимо от совершенствования этой
технологии.
Образование полос в голографии и спекл-интерферометрии
сопровождается шумом, причина которого — когерентное
освещение. При обработке картин полос обычно приходится
определять минимумы интенсивности в присутствии оптического
шума. Поэтому приложения, обсуждаемые в следующем
разделе, связаны с обработкой полос при наличии шумового фона.
Конкретные механические приложения не рассматриваются.
Непосредственная регистрация спекл-изображений с
помощью камеры, объединенной с базовым компьютером,
представляет собой другую основную проблему [41, 42]. Такая
обработка данных в принципе аналогична спекл-фотографии в
белом свете и представляет собой еще одну область
применения компьютеров. Каждый из методов может быть
существенно видоизменен в зависимости от характера решаемой задачи.
Обработка изображений картин в спекл-фотографии
Пример одной из строк изображения, записанного в
основном компьютере при обработке спекл-фотографии, приведен
на рис. 8.29. Как видно из графика изменения интенсивности,,
записанного для одной из строк, картина полос имеет шумовой
фон, обусловленный когерентным освещением негатива.
Улучшить анализ данных можно применением высокоэффективных
цифровых фильтров. Термин «линейный фильтр» или «линейно-
сдвиговое инвариантное преобразование» впервые применили
Чамблесс и Бродвей [23]. Эти исследователи предложили
использовать быстрое преобразование Фурье в алгоритме
цифрового фильтра для фоновой информации. По существу этим
методом выполняется дискретное преобразование, и цифровой
фильтр используется как сглаживающая операция, отсекающая?
478
Глава 8
Данные о порядках полос в сдвиговой спекл-интерферометрии
получаются с помощью оптического преобразования Фурье
двухэкспозиционного негатива, как показано на рис. 8.10.
В рассматриваемом эксперименте 1о = т0=по=1, /s = sinp, ms =
= 0, ns = cosp. Для сдвига Дл; = 2,3-10~~3 м в отрицательном
направлении оси х при условии, что отличная от нуля
компонента перемещения wp единственная, получаем следующее
соотношение, связывающее порядок полосы N с производной dwfdx:
N = (1 + cos р) (dw/dx) (ЫХ) +1/2, (8.51)
Ю г
N
2 -
I 1 1 1 ! ! |
0 1 2 3 4 5 6
Расстояние, дюйм (Z5fi мм)
?Рис. 8.28. Изменение порядка полосы N по длине балки по данным теории
(черные кружки) и эксперимента (светлые кружки).
где Я = 6328 А — длина волны лазерного излучения.
Теоретические и экспериментальные величины N по длине консольной
^балки при прогибе свободного конца на 128 мкм представлены
на рис. 8.28. Применение сдвиговой спекл-интерферометрии
для решения некоторых задач механики изложено в работах
[37—39].
8.4. Цифровая обработка изображений в спекл-метрологии
Компьютерная видеотехника — один из наиболее быстро
развивающихся в настоящее время методов обработки
результатов измерений, в связи с чем любая применяемая сегодня из-
Голографическая и лазерная спекл-интерферометрия
481
(сплошные линии) с различными уровнями цифровых
фильтров. Как видно на рис. 8.30, дискретное преобразование,
включающее 256 гармоник, является точным приближением
исходных данных. Если для получения обратного преобразования
используются первые 160 гармоник, то наблюдается
сглаженная кривая (рис. 8.31). Этот процесс продолжается до тех пор,
пока не будет получен оптимальный фильтр. Вычисления
показали, что фильтр, в котором сохраняются только первые 15
гармоник, является почти оптимальным для этого типа
исходных данных (рис. 8.32). Последующие исследования
подтвердили, что применение этого фильтра обеспечивает точные
результаты при обработке данных спекл-фотографии.
Для иллюстрации
цифровой фильтрации спекл-картин
использовались данные
примера, рассмотренного в разделе
«Применения
спекл-фотографии». При вычислении шага
полос с помощью сглаженного
обратного преобразования был
применен цифровой фильтр,
сохраняющий только первые
15 гармоник. В качестве
исходных данных использовались
результаты усреднения пяти
строк изображения картины
полос. Шаг полос, полученный
из сглаженных данных, был
затем сопоставлен с
результатами сканирования, проведенного
вручную. На рис. 8.33
проведено сравнение ручного
сканирования, компьютерного
сканирования и теории для консольной балки. Можно видеть, что
цифровой фильтр дает такие же по точности результаты, как и
полученные опытным наблюдателем при ручном сканировании.
Одномерное быстрое преобразование Фурье,
использованное как линейный фильтр для обработки спекл-картин,
подходит для рассмотренного типа информации. Однако
когерентный шум присутствует во всех приложениях голографии,
сдвиговой спекл-интерферометрии и спекл-интерферометрии,
дающих картину полос по всему полю. Двумерное быстрое
преобразование Фурье, использованное аналогичным способом,
может быть оптимальным для фильтрации данных по всему
полю наблюдения. До сих пор для большинства компьютеров
ограничивающим фактором была длительность вычислений.
Рис. 8.30. График интенсивности
картины полос при использовании
256 гармоник.
31—1480
480
Глава 8
Рис. 8.29. а — Фотография спекл-интерферограммы; б — числовая развертка
данных по горизонтали.
гармоники высших порядков. Обратное преобразование
отфильтрованных данных дает сглаженные исходные данные с
исключенным когерентным оптическим шумом.
На рис. 8.30—8.32 для одной строки представлены
дискретные данные (точки) и результаты обратного преобразования
482
Глава 8
Благодаря достижениям
вычислительной техники
рассмотренный способ
автоматизированного анализа
данных, получаемых с помощью
оптических изображений,
становится все более
эффективным.
Цифровое представление
картин полос [24]
ч *
¥ t
Рис 8.31. График интенсивности
картины полос при использовании
первых 160 гармоник.
Спекл-фотография в
белом свете, разработанная
главным образом Чиангом
[36], — прямая аналогия
цифрового представления
спекл-картин. Частотный
спектр дискретного
изображения уже, чем частотный
спектр лазерного спекл-изо-
бражения. Прямую запись
спекл-изображения в белом
свете в памяти компьютера
с помощью сканирующей
камеры, соединенной с
компьютером, называют цифровой
спекл-картиной. Методика
обработки данных такой
цифровой картины, хотя и
аналогична спекл-интерфе-
рометрии, но все же
достаточно отличается от нее, в
связи с чем она
рассматривается более подробно, и на
этом завершается обзор
приложений вычислительной
техники к анализу
экспериментальных данных.
По цифровым спекл-изображениям поверхности тела до и
после деформации требуется рассчитать локальные
перемещения объекта. Таким образом, задача является геометрической
и первоначально не связана с природой внешних сил,
вызывающих деформацию.
Предположим, что уровни яркости цифрового
спекл-изображения поверхности тела могут быть представлены функцией
Рис. 8.32. График интенсивности
картины полос при использовании
первых 15 гармоник.
Голографическая и лазерная спекл-интерферометрия
483
f(xyy) в координатах х, у, связанных с недеформированным
телом (рис. 8.34). Предположим, что тело деформируется по
отношению к исходной конфигурации, что может быть описано
функцией /*(**, у*) в координатах х*, у*, связанных с
деформированным телом. Если в выражение для функции
деформированного изображения подставить функции перемещений, то
/*(**! У*) будет иметь вид
/* (Ж*, у*) = /* (х + Uf y+v),
где х*=х + и, y* = y-{-v. (8.52)
Безразмерное расстояние Z/L
Рис. 8.33. Изменение прогиба вдоль длины консольной балки по данным
теории (сплошная линия), ручного сканирования (кружки) и цифрового
сканирования (квадраты).
Поверхность цифрового спекл-изображения предполагается
параллельной рассеивающей поверхности. Так как
деформированное изображение не является результатом лишь жесткого
перемещения тела в направлениях х и у, необходимо
учитывать и локальные перемещения тела, вызванные изменением
его формы (деформации). Рис. 8.34 иллюстрирует локальные
перемещения и деформацию фрагмента изображения.
Цифровое «изображение по своей природе дискретно, так
что полутона определяются только на дискретных интервалах
значений координат х, у. Скачки функций на недеформирован-
ном изображении, однако могут переместиться и оказаться
между скачками на деформированном изображении.
Следовательно, требуется подгонка поверхности для полутонов
деформированного изображения.
31*
484
Глава 8
Предположим, что фрагмент изображения является
окрестностью рассматриваемой точки Р0. Допустим также, что
фрагмент изображения настолько мал, что линейный элемент в
исходном состоянии деформируется в линейный элемент
деформированного состояния без искривления, как показано на
рис. 8.35. Малый прямоугольный фрагмент изображения с
центром Р0 перемещается и деформируется в параллелограмм
с центром Ро*.
f(x,y)
Деформированное
изображение 1 (х*у*)
Рис. 8.34. Схематическое представление деформированного и
недеформированного спекл-изображений.
Пусть локальные координаты х, у связаны с центром Ро
недеформированного фрагмента изображения. Обозначим
компоненты перемещения точки Ро в Ро* при деформировании
через Wo и v0. Две стороны прямоугольника в недеформированном
изображении пересекают положительные направления осей jc,
у в точках Ра и Рь соответственно. Трансформация трех
контрольных точек Ро, Ра и Рь при деформации
иллюстрирует рис. 8.36. Центральная точка Ро(0, 0) перемещается в
точку Р*(ы0, v0), в то время как средние точки сторон
Ра{ха, у а) и Рь(хь, уъ) перемещаются в Ра*(ха*, уа*) и
Рь* (хь*, уь*) соответственно.
Голографическая и лазерная спекл-интерферометрия
485
Для расчета координат произвольной точки данного
фрагмента изображения после деформации следует определить
функцию пространственного преобразования, основанную на
интерполяции контрольной сетки. Три контрольные точки Ро,
Ра и Рь, которые образуют три вершины прямоугольника в
недеформированном изображении, задаются для формирования
контрольной сетки. Скачки приходятся точно на узлы сетки.
Недеформированная контрольная сетка переходит в
контрольную сетку соответствующего параллелограмма на
деформированном изображении. Вершины прямоугольной сетки
переходят непосредственно в соответствующие вершины параллело-
Рис. 8.35. Локальное смещение и искажение фрагмента изображения. / —
поверхность сканирования; 2 — недеформированный фрагмент изображения;
3 — деформированный фрагмент изображения.
грамма. Точки внутри исходного прямоугольника переходят в
соответствующие точки деформированного параллелограмма.
Аналогично для линейного элемента РоРь получаем
xl = (ди/ду) уь + и0, у% = (1 + dwldy) уъ + v0. (8.53)
Сравнивая уравнения для контрольных точек Ра (ха, 0) и Ръ (0, уъ)
и учитывая, что С0 = и0 и d0—v0l находим
Ci = l + duldxt di = ди/дх, С2 = ди/ду, d2 = 1 + ди/ду. 7 (8.54)
Подстановка выражения (8.52) в уравнения (8.53) дает
ту)
х* = (1 + ди/дх) х + (ди/ду) у + щ
у* = {ди/дх) х + (1 + dv/ду) у + и0
'о-
о»
(8.55)
486
Глава 8
У*У
/
/
/
<>
р«
-
Рис. 8.36. Деформация фрагмента изображения в исходной сетке. / —
поверхность сканирования; 2 — недеформированный фрагмент изображения;
3 — деформированный фрагмент изображения; 4 — положение узла сетки;
5 — исходная сетка.
Уравнения (8.55) описывают пространственное преобразование
прямоугольной контрольной сетки недеформированного
изображения в косоугольную сетку на деформированном
изображении. Как отмечалось выше, точки скачков интенсивности
на недеформированном изображении переходят в точки с
дробными значениями координат на деформированном
изображении, как правило, располагаясь между четырьмя скачками
деформированного изображения. Для определения границ
полутонов деформированного изображения необходима
интерполяция.
В случае интерполяции первого порядка необходима
билинейная функция, поскольку проведение плоскости через четыре
точки является переопределенной задачей. Билинейная
интерполяция дает наиболее приемлемые результаты при
незначительном усложнении программирования и росте времени счета. Пусть
Голографическая и лазерная спекл-интерферометрия 487
g(x> У) — функция, заданная в углах единичного квадрата.
Значения g(x,y) в произвольной точке внутри квадрата
могут быть получены проведением гиперболического параболоида
через известные четыре точки. Этот параболоид определяется
линейным уравнением [24J
g y) = ax + by + сху + d, (8.56)
где
а = £(1, 0)-g(0, 0), Ь = £(0, l)-g(0, 0),
c = g(U 1) + S(0, 0)-g(0, 0), d = g(0, 0).
Схема билинейной интерполяции показана на рис. 8.37.
Кусочно-билинейная функция, заданная уравнением (8.56),
интерполирует четыре примыкающих скачка и образует
поверхности, которые в окрестности границ стыкуются по
амплитуде, но не стыкуются по углу наклона. Поэтому
кусочно-билинейная интерполяция будет образовывать непрерывную
поверхность, производные которой имеют разрывы вблизи границ.
Неудобства, вызванные скачками наклонов билинейной
функции, включая увеличение, могут быть преодолены с помощью
бикубических сплайнов.
Кросс-корреляционная функция для двух наборов
случайных данных описывает общую взаимосвязь одного набора
данных с другим. Рассмотрим пару цифровых спекл-изображений
до и после деформирования исследуемого тела. Функции
f(x, у) и /*(д:*, #*) характеризуют полутоновые недеформиро-
ванное и деформированное изображения соответственно.
Подстановка перемещений в выражение для деформированного
цифрового изображения дает
/*(**, y*)=f*(x + u, y + v), (8.57)
где x*=x+u(xt у), y*=y+v(x, у). Чтобы локальные
компоненты перемещения и и v в плоскости изображения подлежали
измерению, f(x, у) и /*(х*, у*) должны быть коррелированы.
Кросс-корреляционная (по методу наименьших квадратов)
функция определяется зависимостью
С (щ v) = Jj [/ {х, y)-f*{x+u,y + v)]2 dx dy, (8.58)
м
где М — область сканирования рассматриваемого изображения.
Если функция С (и, v) оценивается для всех возможных
величин и и vt то она будет иметь минимум, когда f*(x+u, y+v)
преобразуется в f(xt у). Уравнение (8.58) напрямую
неприменимо, так как и и v — функции координат х и у, связанных с
недеформированным телом, т. е. неизвестные величины,
которые необходимо определить.
488
Глава 8
Рассмотрим некоторую окрестность точки Р на недеформи-
рованном изображении (рис. 8.35). После деформирования
Р перемещается в точку Р* и ее окрестность также
искажается из-за градиентов деформации. Предположим, что эти
градиенты постоянны в пределах фрагмента изображения; тогда
уравнение (8.58), которое описывает деформацию фрагмента
изображения, может быть применено для определения
функций и и v, характеризуемых соотношениями
и = ихх + иуу+и0, v = vxx+vyy + v0e (8.59)
где щ и v0 — компоненты перемещения точки Р0, которая
выбирается в качестве центра локальных координат х, у (рис. 8.37).
Подстановка выражений (8.59) в (8.58) дает
С (u0, и0, их, иу, иу) =
= j} lf(x* y) — f(x+uo + uxx + vyy, y + v0 + vxx + Vyy)]2dxdyy
6M
(8.60)
0(0,0) где M — сканируемая область
фрагмента изображения,
окружающая рассматриваемую
точку. Отметим, что
корреляционная функция С зависит от
компонент перемещения щ и v0
и градиентов деформаций,
которые по предположению
постоянны в пределах фрагмента
изображения (рис. 8.38).
Точеные значения и0, v0 и
градиентов деформаций,
соответствующие деформации объекта,
будут давать минимальные
значения корреляционной функции
С. С помощью этой
корреляционной процедуры определяются
перемещения и их градиенты
в точке; повторяя эту
процедуру в различных точках, можно
получить подробную информацию о деформациях в различных
конкретных задачах.
Проиллюстрируем метод корреляции изображений на
примере однородного растяжения образца (рис. 8.39). На рис. 8.39
также показаны системы координат для недеформированного
и деформированного состояний фрагмента изображения в
окрестности рассматриваемой точки в пределах области сканиро-
Рис. 8.37. Билинейная интерполяция.
Рис. 8.38. Билинейный фрагмент изображения.
Рис. 8.39. Деформированное и недеформированное состояния растягиваемого
образца. 1 — область сканирования; 2 — фиксированный конец; 3 — недефор-
мирОванный фрагмент изображения; 4 — деформированный фрагмент,
изображения.
490
Глава 8
вания. В результате растяжения образца его длина
увеличилась на AL. Локальные перемещения, а также градиенты
деформаций в любой точке определялись с помощью корреляции.
Компоненты деформаций могут считаться постоянными в
рассматриваемой области, причем отличными от нуля
компонентами являются ди/дх и dv/dy. Результаты испытания
образца с постоянными деформациями показаны на рис. 8.40.
Коррелированные величины dv/dy удовлетворительно согласуются
с теоретическими значениями (погрешность менее 10%),
различаясь для большинства точек на величины от 0,01 до 0,03.
0,05
0,04
£ 0,03
1
0,01-
А/
_L
0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05
Действительная величина
Рис. 8.40. Сопоставление измеренных деформаций с их теоретическими
значениями при однородном растяжении образца [сетки 720 (квадраты) и
736 (треугольники) узел/дюйм].
Коррелированные градиенты деформаций ди/дх и dv/dy
очень чувствительны к малым изменениям минимума кросс-
корреляционной функции. Повышение точности вычисления
деформаций может быть достигнуто с применением
интерполяции более высокого порядка, такой, как бикубические
сплайны, вместо линейной интерполяции.
8.5. Заключение
После появления лазера в начале 1960-х годов
интерферометрия когерентных волн внесла значительный вклад в
развитие экспериментальной механики. Как показали последние
Голографическая и лазерная спекл-интерферометрия 491
20 лет, исследования в области экспериментальной механики
имеют хорошие перспективы. Будущее, определенно, будет
связано с применением компьютеров. Например, ограничения
голографии и спекл-метрологии связаны с необходимостью
большого машинного времени для анализа данных. Получение
интерференционных полос — более легкая задача по
сравнению с преобразованием заключенной в них информации в
деформации и напряжения.
В прошлом для цифровой обработки изображений
требовались мощные компьютеры. Однако в настоящее время эта
задача решается с помощью настольных компьютеров при
уменьшенных затратах. Применение цветной графики при обработке
оптических изображений позволяет представлять результаты
в виде цветных картин, которые должны стать эффективным
средством анализа экспериментальной информации.
Теневой оптический метод каустик
493
8.1. Физические основы метода
Напряжения изменяют свойства тела. Растягивающие
напряжения уменьшают толщину пластины вследствие эффекта
Пуассона, а также снижают показатель преломления
материала, поскольку материал становится оптически менее плотным.
Сжимающие напряжения создают обратный эффект.
Отмеченные изменения оптических свойств используются в теневом
оптическом методе каустик, позволяя наблюдать распределение
напряжений в деформируемом теле.
Схема образования теневых оптических картин
Принцип образования теневых оптических изображений
иллюстрирует рис. 9.1. Рассмотрим пластину, сжимаемую в
срединной плоскости линейно увеличивающимися напряжениями.
1 2 3 4
Рис. 9.1. Схема образования теневых зон на изображении. / — падающий
пучок света; 2 — образец; 3—плоскость изображения; 4 — наблюдение.
В соответствии с таким изменением напряжений толщина
пластины и показатель преломления материала линейно
увеличиваются в этом сечении пластины. Оба эффекта оказывают
одинаковое влияние на отклонение лучей света. Эти эффекты
объединяются и могут быть заменены простой моделью в виде
призмы с постоянным показателем преломления, но с той же
величиной отклонения лучей света. Пластина освещается
слева параллельным пучком света. Через свободные от
напряжений части пластины свет проходит не отклоняясь, однако в ее
средней части лучи отклоняются, что схематически показано
Глава 9
Теневой оптический метод каустик
И. Калтхоф1*
Теневой оптический метод каустик — сравнительно новый
метод исследования напряжений и деформаций. Его предложил
Маног в 1964 г. [1, 2]. Этот -метод чувствителен к градиентам
напряжений и поэтому пригоден для анализа задач
концентрации напряжений. Маног первоначально применил его для
исследования коэффициентов интенсивности напряжений вблизи
кончика трещины. Затем метод развили Теокарис [3—5]2), Ро-
закис [6, 7] и Калтхоф и др. [8—И] для различных условий
нагружения и поведения материала в статических и
динамических задачах. Теневые оптические картины испытываемых под
нагрузкой образцов в основном характеризуются очень
простыми геометрическими фигурами, которые могут быть легко
обработаны. Вследствие простоты теневых картин метод может
быть также успешно применен для исследования сложных
нестационарных задач. Несмотря на сложность изучаемых задач,
четкость регистрируемых картин позволяет получать надежные
экспериментальные результаты. Калтхоф и др. применили
метод каустик для исследования различных задач,
представляющих практический интерес в области динамики разрушения (в
частности, задач распространения и остановки трещин и
поведения трещин при различных ударных нагрузках).
Настоящая глава содержит изложение физических основ
теневого оптического метода каустик и математическое
описание процесса формирования изображения теневых картин.
Представлены уравнения, характеризующие каустики для
различных задач концентрации напряжений и деформаций.
Рассмотрены экспериментальные методики образования и
регистрации теневых картин в статических и динамических
условиях, причем особое внимание уделено организации
лабораторных экспериментов. Применение метода для исследования
практических задач иллюстрируется рядом примеров.
J> J org Kalthoff. Fraunhofer-Institut fur Werkstoffmechanick, Freiburg, FRG.
2> Теокарис внес значительный вклад в развитие метода каустик; обзор
его работ см. в книге [37]. — Прим. ред.
494
Глава 9
в виде участка с постоянным углом наклона поверхности.
Следовательно, распределение интенсивности света в
произвольной плоскости (плоскости изображения, или плоскости
регистрации) за образцом (справа от него) уже не равномерное.
На некоторые зоны лучи света не падают, и они являются
темными, тогда как на другие зоны падает больше света, и
яркость этих зон повышается. Распределение интенсивности
света можно наблюдать на экране. По возникающей картине
Отражение Просвечивание
Падающий Действи- Обра- Мнимое Падаю- Мнимое Обра- Действи-
пучок тельное изо- зец изобра- щий пу- изобра- зец тельное изо-
света у брожение жение чок света жение брожение
Рис. 9.2. Схемы образования теневых фигур для различных направлений
наблюдения.
можно дать количественное описание распределения
напряжений в пластине.
Теневые оптические картины могут наблюдаться
различными способами: в устройствах проходящего или отраженного
света (в виде действительных или мнимых изображений).
Различные схемы наблюдения и регистрации распределения
интенсивности света иллюстрирует рис. 9.2. Рассмотрены два
Теневой оптический метод каустик
495
характерных примера, показывающие упрощенно две типичные
задачи концентрации растягивающих и сжимающих
напряжений. Пластина подвергается в своей срединной плоскости
действию линейно изменяющихся сжимающих (рис. 9.2, а) или
растягивающих (рис. 9.2, б) напряжений. Образец также
освещается слева параллельным пучком света. Схемы устройств
для наблюдения в проходящем свете показаны в правой части
рисунка, а для наблюдения в отраженном свете — в левой.
Схемы 2,6 и 4, б представляют собой ранее рассмотренный
простой случай просвечивания образца с формированием
действительного изображения, наблюдаемого справа от образца
(см. для сравнения рис. 9.1). Направление наблюдения
противоположно направлению освещения. При действии сжимающих
напряжений лучи света отклоняются к осевой линии, создавая,
таким образом, область повышенной освещенности,
окруженную темной зоной (случай 2,6). При действии растягивающих
напряжений возникает обратная ситуация, т. е. центральная
темная зона окружена областью повышенной освещенности
(случай 4,6).
Лучи света, отраженные от передней поверхности пластины
(обращенной к источнику света), также образуют
действительное теневое изображение, но с левой стороны от образца
(случаи 2, а и 3, а на рис. 9.2). Направление наблюдения
теперь совпадает с направлением освещения. В отражательной
схеме при действии сжимающих напряжений образуется
центральная темная зона (случай 1,а), тогда как при действии
растягивающих напряжений центральная зона светлая
(случай 3,а). Характерные особенности распределения
интенсивности света, таким образом, заменяются на обратные (т. е.
темные зоны заменяются на светлые), если способ наблюдения
изменяется (просвечивание заменяется на отражение).
Наряду с действительными изображениями теневых фигур,
которые можно наблюдать на экране, наблюдаются и мнимые
изображения со стороны образца, противоположной той, где
наблюдаются действительные изображения, т. е. с левой
стороны образца при просвечивании (случаи 2,а и 4,а на рис.9.2)
и с его правой стороны при отражении (случаи 1,6 и 3,6).
Направления лучей при построении мнимого изображения
получаются обращением направлений отраженных лучей при
построении действительного изображения. Для простоты
предполагается, что отклонения лучей света при просвечивании такие же,
как при отражении, что в действительности, конечно, не так.
Как нетрудно видеть, характерные особенности распределения
интенсивности света (чередование темных и светлых зон)
обращаются, если рассматриваются мнимые изображения вместо
действительных.
496
Глава 9
Для предварительной интерпретации теневых оптических
изображений применяются следующие приближенные правила.
1. При просвечивании сжатых (растянутых) моделей зоны
концентрации напряжений действуют аналогично выпуклые
(вогнутым) линзам, создавая, таким образом, центральные
зоны повышенной (пониженной) освещенности на действительных
изображениях теневых картин.
2. При отражении от сжатых (растянутых) моделей зоны
концентрации напряжений действуют подобно выпуклым
(вогнутым) зеркалам, создавая центральные зоны пониженной
(повышенной) освещенности на действительных (изображениях
теневых картин.
3. Если рассматриваются мнимые изображения теневых
картин, распределение интенсивности света становится
обратным.
Следовательно, в зависимости от направления наблюдения
можно получить различные изображения теневых картин для
одного и того же распределения напряжений или аналогичные
(иногда даже одинаковые) теневые изображения для
различного распределения напряжений. Поэтому для количественной
оценки требуется точное знание направления наблюдения. Для
математического описания изображений теневых оптических
картин можно ввести следующее определение: расстояние
между плоскостью регистрации и образцом z0 принимается
отрицательным (положительным), если плоскость регистрации
относительно направления наблюдения расположена перед
образцом (позади него) (см. рис. 9.2).
Образование каустик в зонах концентрации напряжений
Рассмотренные выше модели зон концентрации напряжений
намеренно упрощены. Таким образом, установленные
закономерности распределения интенсивности света являются
приближенными при интерпретации теневых оптических изображений.
Распределения напряжений в реальных концентраторах
напряжений более сложные. В частности, возрастание интенсивности
напряжений вблизи их источника (например, кончика
трещины) происходит быстрее, чем по линейному закону. На рис. 9.3
показана схема распространения света при просвечивании
растягиваемого образца с трещиной (нагружение типа I). Чем
ближе к кончику трещины проходят просвечивающие образен
лучи света, тем больше они отклоняются. Следовательно*
с уменьшением расстояния от центральной точки (кончика
трещины) в плоскости объекта точки изображения также
сначала приближаются к центральной точке в плоскости
изображения. Затем картина изменяется. Для лучей света, проходя-
Теневой оптический метод каустик
497
щих через образец, при приближении к кончику трещины
точки изображения удаляются от центральной точки. Поэтому на
теневом оптическом изображении образуется резкая граница
между затемненной зоной и окружающей ее зоной повышенной
освещенности. Эта пограничная линия между двумя зонами
называется каустикой (каустика по-гречески фокальная
линия).
Лучи света, непосредственно ограничивающие каустику в-
плоскости изображения, имеют особое значение ,и называются
начальными лучами. Геометрическое место точек, в которых
начальные лучи пересекают плоскость объекта (образца), на-
Падающий
свет
Концентра-
:_ция света
Теневая зона.
Концентрация света
Рис. 9.3. Схема распространения лучей света для задачи концентрации
напряжений.
зывается начальной кривой. Лучи света, пересекающие
плоскость объекта в точках, которые расположены ближе (или
дальше) к кончику трещины по отношению к начальной
кривой, отклоняются более резко (или плавно), чем начальные
лучи. Следовательно, в обоих случаях точки изображения
лежат снаружи каустики.
Каустика в плоскости изображения — непосредственное
изображение начальной линии. В математическом смысле,
согласно теории изображений, такой процесс отражения
начальной кривой в каустику в общем случае необратим и не
представляет взаимно однозначного соответствия.
На рис. 9.4 показаны примеры экспериментально
полученных теневых оптических картин и каустик для задач
концентрации напряжений в следующих объектах: пластина с V-образ-
32—1480
Теневой оптический метод каустик
499
ным вырезом (угол при вершине 60°), подвергнутая сжатию и
растяжению (а); полуплоскость, нагруженная сжимающей
силой на краю (б); пластина с трещиной при растягивающей
нагрузке (тип I) (в). Теневые оптические картины
фотографировались при различных направлениях наблюдения, показанных
на рисунке; образцы изготовлялись из разных материалов: по-
лиметилметакрилата (ПММА), аралдита В и стали.
В этих примерах подтверждается правило обращения
теневых оптических картин. Например, мнимая теневая картина
для выреза при сжатии идентична действительной картине для
выреза при растяжении (рис. 9.4, а). То же самое справедливо
для действительной картины вблизи выреза при сжатии и
мнимой картины вблизи выреза при растяжении. При
просвечивании на действительной теневой картине для выреза при
растяжении видна четкая центральная затемненная зона, тогда
как на действительной картине для выреза при сжатии и при
действии сосредоточенной силы на полуплоскость видны
центральные зоны повышенной освещенности (правые фотографии
на рис. 9.4,а и б). Обратные распределения освещенности
наблюдаются на мнимых картинах (левые фотографии на
рис. 9.4, а и б). Форма действительной каустики вблизи
кончика трещины, наблюдаемая при просвечивании, такая же,
как на мнимом изображении каустики, наблюдаемой при
отражении (рис. 9.4,в).
9.2. Количественное описание теневых оптических изображений
Основные уравнения
Проецирование плоскости объекта Е (образца) на
плоскость изображения теневой картины (плоскость регистрации)
Е/ при освещении пучком параллельных лучей света показано
на рис. 9.5. Изображена схема просвечивания образца и
наблюдения действительного изображения теневой картины (-г0<0).
Рассмотрен образец с вырезом при растяжении. Однако
представленное количественное описание является достаточно
общим для любого типа концентрации напряжений или схемы
наблюдения. В плоскости объекта приняты системы
декартовых (х, у) и полярных (г, ф) координат, а в плоскости
изображения— системы координат х\ у/ и г', ф'. Растягивающие
напряжения считаем положительными.
Рассмотрим луч света, пересекающий плоскость объекта Е
в точке Р на расстоянии г от начала координат. В
разгруженном образце этот луч не отклонялся бы в плоскости объекта и
прошел в плоскости изображения Е' через точку P'nd на рас-
32*
498
Глава 9
Рис. 9.4. Примеры теневых картин.
Теневой оптический метод каустик
501
определяется только деформацией передней освещенной
поверхности образца (рис. 9.6). Таким образом, случай отражения
получается из более общего случая просвечивания, если
формально положить п=—1 (что соответствует изменению
направления лучей света и Дя = 0) и принять эффективную толщину
d3 = d/2 (поскольку рассматривается деформация только одной
поверхности).
Изменения показателя преломления An от действия главных
напряжений gi, Go, о3 описываются законом Максвелла — Нейма-
Падающий луч света
■ :
.и
/7-1
При
просвечивании
) При от-
\ ражении
Рис. 9.6. Характеристики образца для случаев просвечивания и отражения
лучей света.
на. Для общего случая двоякопреломляющего прозрачного
материала
Ащ = Aoi + B (сг2 + а3), Ап2 = Ао2 + В (а4 + а3), (9.4)
где А и В — константы материала. Для оптически изотропных
недвоякопреломляющих материалов А = В и Ani = An2 = An.
При отражении А = В = 0. Изменения Айэ под действием
напряжений характеризуются законом Гука:
AdQ = [(1/Е) а3 - (v/£) (а4 + а2)] dQ, (9.5)
где 0з = О в случае плоского напряженного состояния, Ad3 = 0
при плоской деформации, Е — модуль упругости,, v — коэффи-
500
Глава 9
стоянии r„d= г от начала координат. В нагруженном образце
луч света отклоняется. Следовательно, в плоскости
изображения Е' луч света сместится на вектор w и попадет в точку
Р' (г')> так что
r' = r + w. (9.1)
Направление и величина вектора перемещения w зависят от
изменения длины оптического пути As луча света в плоскости
объекта. В соответствии с теорией изображений (см., например,
{12]) ад определяется зависимостью
w = — z0 grad As (г, ср). (9.2)
Изменение длины оптического пути As происходит из-за
изменения толщины пластины и показателя преломления материа-
Рис. 9.5. Схема отклонения лучей света.
ла. Для пластины с плоскими параллельными поверхностями
получаем
As = (п — 1) Ad9 + d9An, (9.3)
где s — длина оптического пути; йъ — эффективная толщина
пластины; п — показатель преломления и d3 = d для прозрачных
образцов; п=—1 и d3 = d/2 для непрозрачных образцов при
отражении; d — действительная толщина образца.
При просвечивании на изменение длины оптического пути
лучей света влияют деформации поверхности с двух сторон
образца и изменение показателя преломления по всей толщине
образца. При отражении изменение длины оптического пути
502
Глава 9
Таблица 9.1. Постоянные для уравнения каустик
Материал
Упругие постоянные
Общие оптические постоянные
Е,
МН/м2
v
п
л, ю-10
мг/Н
В, ПН0
м2/Н
Просвечивание
1) оптически
анизотропный
аралдит-В
CR-39
стекло
гомалит-100
2) оптически
изотропный
полиметилмет-
акрилат
3660а)
2580
73 900
4820*)
3240
0,392а)
0,443
0,231
0,310»)
0,350
1,592
1,504
1,517
1,561
1,491
—0,056
—0,160
—0,0032
—0,444
—0,530
—0,620
-0,520
—0,025
—0,672
—0,570
Отражение
Все материалы
Е
V
— 1
0
0
Динамическое нагружение.
циент Пуассона. С помощью выражений (9.4) и (9.5)
уравнение (9.3) преобразуем к виду
Д$4 — dQ (ао± + Ьсг2), Д*2 = dd (ао2 + йа4), (9.6)
где а=А—(п—l)v/E и b = B—(п—l)v/E для плоского
напряженного состояния; a=A+vB и b = B+vB для плоской
деформации. Уравнения (9.6) могут быть записаны в более удобном
виде через сумму и разность главных напряжений:
As1/2 = cdd [(о4 + <т2) ± Я (а4 — а2)], (9.7)
где с= (A + B)J2—[(n—l)v/E] и %= (А—В)/[А + В—2(п—l)v/E]
для плоского напряженного состояния; с= (A + B)/2+vB и Я=
= (А—B)/(A + B + 2vB) для плоской деформации.
Постоянная с описывает изменение длины оптического пути
в конкретном материале при определенном напряженном
состоянии. Поэтому постоянная с является количественной мерой
получаемого теневого оптического эффекта и называется
теневой оптической постоянной. Влияние на изменение длины
оптического пути анизотропии материала (АфВ) характеризуется
коэффициентом А,. Численные значения постоянных A, J5, п и
определенных с их помощью теневых оптических постоянных с
и коэффициента анизотропии К для разных материалов
приведены в табл. 9.1.
Теневой оптический метод каустик
503
Теневые оптические постоянные
плоское напряженное состояние
плоская деформация
с Ю-10
м2/Н
А,
с Ю-10
м2/Н
—0,970
—1,200
—0,027
—0,920
—1,080
—0,288
—0,148
—0,519
—0,121
0
—0,580
—0,560
—0,017
—0,767
—0,750
—0,482
—0,317
—0,849
—0,149
0
d
d
d
d
d
2v/E
0
d/2
Уравнения (9.1), (9.2) и (9.7) описывают проецирование
(плоскости объекта на плоскость изображения теневой
оптической картины при произвольном распределении напряжений
"01,2 (/*> ф)- Конкретное уравнение проецирования для частной
задачи концентрации напряжений получается подстановкой в
общее уравнение (9.7) конкретных формул, характеризующих
распределение напряжений в рассматриваемой задаче.
Уравнения проецирования и каустик для частных задач
Будут рассмотрены и сопоставлены три задачи
концентрации напряжений (рис. 9.7): задача о действии сосредоточенной
сжимающей силы Р на край полуплоскости (а); пластина с
круглым отверстием, растянутая в двух направлениях
усилиями р и q (б); растянутая пластина с трещиной при нагружении
типа I и коэффициентом интенсивности напряжений Ki (в)
[13] (определение коэффициента интенсивности напряжений
дано в гл. 1 и 19).
Поля линейно-упругих напряжений в зонах концентрации
для трех перечисленных задач характеризуются следующими
уравнениями:
а)
ог = (2Р/п) sin ф/r, <хф = 0, тг(р = 0;
Теневой оптический метод каустик
505
в) при —л<ф<л:
х' = г cos ф + {К J|Л2я) z0cd9r~3/2 cos (Зф/2),
*/' = г sin ф + (К J Yin) z0cddr~3t2 sin (Зф/2).
Полное семейство отклоненных лучей образует за
плоскостью объекта теневую зону. Поверхность теневой зоны
является огибающей лучей света и называется поверхностью
каустики. Пересечение этой поверхности с плоскостью изображения
образует каустику. Каустика определяется многозначным
сингулярным решением уравнений (9.1) и (9.2) (т. е. точки
проецирования лучей вдоль каустики не обратимы). Таким образом,
необходимым и достаточным условием образования каустики
является равенство нулю якобиана уравнений (9.1) и (9.2):
(дх'/дг) (ду'/dq) - (dz'/dq) (ду'/дг) = 0. (9.10)
Координаты г, ф точек Р, которые удовлетворяют уравнению
(9.10), образуют начальную кривую в плоскости объекта, а
проекция этой начальной кривой на плоскость изображения есть
каустика.
Следовательно, применив условие (9.10) к уравнениям
проецирования (9.4), получим следующие уравнения начальных
кривых:
а) г = [(4/я)|*0| \c\ddP]V* = r0 при -л<ф<0,
б) г = [12 | 2г0 | \c\dQR*(p-q)]W==r0 при -я<Ф<яж (9.11)
в) г = [(3/2) (KjY2n) | z01 I с I <У2/5= r0 при — я<q><эх.
Для всех рассмотренных примеров начальные кривые
представляют собой окружности постоянного радиуса г0 с центрами в
точке концентрации напряжений. С помощью уравнений
проецирования (9.9) получаем наконец уравнения каустик как
изображений начальных кривых [уравнения (9.11)] в следующем
виде:
а) при —л:<Ф<0
х' = r0 [cos ф + sgn (z0c) (1/2) sin 2ф],
у' = rQ [sin ф — sgn (z0c) (1/2) cos 2ф];
б) при —Я<ф< + я
х' = r0 [cos ф + sgn (z0c) (1/3) cos Зф],
у' = r0 [sin ф + sgn (z0c) (1/3) sin Зф];
в) при —л;<ф< + я
х' = г0 (cosф-fsgn(z0c)|-cos -^-) ,
у' = r0 ( sin ф + sgn (zdc) j sin .) .
504
Глава 9
б) (см. гл. 1):
ar=^±i(l-^)_^(l-4^ + 3^)cos29,
р+д /, , R2 \ , p-q I л , о Д4
-ф— 2
p — q
"rep ——2
в) (см. гл. 1):
(1 + -?)+^(1 + 3^)ссв2ф,
(l + 2-j-3^)sin2cp;
(9.8)
тгф = {KJi У 2т) [sin (ф/2) + sin (Зф/2)].
Рис. 9.7. Типичные задачи концентрации напряжений.
При таких распределениях напряжений с использованием
уравнения (9.7) (для простоты рассмотрим лишь случай изотропии,
т. е. Я = 0) уравнения проецирования (9.1) и (9.2) принимают
следующий вид:
а) при —я<Ф<0
х9 = г cos ф + (2Р/п) z0cdQr-2 sin 2ш,
= г sin ф — (2Р/п) z0cd3r~2 Cos 2ф;
б) при — я<Сф<я
= г cos ф + AzGcd3R2 (р — q) г"3 cos Зф,
у' = г sin ф + 4z0cd3R2 (р — <?) г"3 sin Зф; (9.9)
506
Глава 9
Математически каустики характеризуются уравнениями
обобщенных эпициклоид. Форма каустик показана на рис. 9.8
для положительных и отрицательных величин расстояния z&
между образцом и плоскостью изображения.
Иллюстрацию картины полного распределения отклоненных
лучей света в плоскости изображения получаем очень проста
б Р
i0>
* + * j i
p>q
t t t t t
; i i * *
Просвечивание, z0<0
Отражение f z0 > 0
Л
- i
J V *
7 ►
Просвечивание, z0 > 0
Отражение > z0 < О
Рис. 9.8. Форма каустик для рассмотренных задач концентрации напряжений.
при рассмотрении проецирования лучей света от плоскости
объекта вдоль линий ф = const. Изображения этих линий,
полученные с помощью уравнений (9.9) для трех рассмотренных
примеров, показаны на рис. 9.9. Каустики видны как огибающие
семейства линий изображения (см. для сравнения рис. 9.8).
Для количественной характеристики каустик вводится
параметр длины, определяемый расстоянием между характерными
Рис. 9.9. Распределение света на теневых картинах для рассмотренных задач
концентрации напряжений: а — сжимающая сосредоточенная сила на краю
полуплоскости; б — пластина с круглым отверстием при двухосном
растяжении; в — трещина в пластине при нагружении типа I.
508
Глава 9
точками каустик; им может быть, например, максимальный
диаметр каустики D на рис. 9.8. Этот диаметр связан с
радиусами начальных кривых следующими соотношениями:
С помощью уравнений (9.11) и (9.13) получаем формулы,
связывающие размер теневой оптической картины с параметром
нагружения:
Таким образом, с помощью уравнений (9.14) и
экспериментально измеренных диаметров каустик D можно определить
параметр нагружения, т. е. величину сжимающей сосредоточенной
силы в случае а, разность главных номинальных напряжений
р—q в случае б и коэффициент интенсивности напряжений К\
в случае в.
Можно также использовать и другие характерные размеры
каустик, отличные от показанных на рис. 9.8, а также
рассматривать каустики, полученные в плоскостях регистрации
противоположного знака. Однако, чтобы получить практичные и
достаточно точные формулы для количественной оценки,
желательно выбрать каустику, имеющую наибольший измеряемый
размер между характерными точками. Кроме того, характерные
точки должны лежать на самой каустике. Следует избегать
использования характерных точек, расположенных не на каустике
(например, на контуре образца). В процессе образования
теневой картины такие точки нечетко воспроизводятся и не могут
быть установлены с достаточной точностью. Некоторые точки,
расположенные на каустике, при детальном рассмотрении все
же оказываются неподходящими для измерений, такие,
например, как точки излома каустик на рис. 9.8. Диаграммы распре-
деления лучей света (рис. 9.9) показывают, что положение
таких точек экспериментально устанавливается с невысокой
точностью из-за их фокусирующего характера. Поэтому на основе
предварительного анализа в качестве примерного размера был
выбран диаметр каустики D, показанный на рис. 9.8.
На образцах из прозрачных оптически анизотропных
материалов (ХфО) каустика раздваивается. На рис. 9.10 каустики
вблизи вершины трещины в образце из оптически
анизотропного материала аралдита В сравниваются с соответствующей
единственной каустикой в образце из оптически изотропного
материала. Поскольку коэффициент анизотропии X зависит от
напряженного состояния больше для плоской деформации,
£ = 2,6г0(а), Д = 2,67г0(б), D = 3,17r0(e).
(9.13)
Р =
4(2,6)3*0сй
DH6),
(9.14)
Теневой оптический метод каустик
509
чем для плоского напряженного состояния (см. табл. 9.1)),
расщепление двойной каустики больше для плоской деформации,
чем для плоского напряженного состояния.
Как внешняя, так и внутренняя каустика могут быть
использованы для определения коэффициента интенсивности
напряжений (КИН). Формула для определения КИН имеет
следующий вид:
2 У2п
5/2
(9.15)
где D0,i — диаметр наружной (внутренней) каустики вблизи
кончика трещины; f0,i — численный коэффициент при
определении КИН с помощью наружной (внутренней) каустики.
Величины коэффициентов f0,u приближающиеся к 3,17 в случае
единственной каустики, даны на рис. 9.11 в зависимости от коэффи-
Рис. 9.10. Одна каустика для оптически изотропного материала (а) и
двойная каустика для оптически анизотропного материала (аралдит В) (б).
циента анизотропии К. В двух других рассмотренных примерах
(см. рис. 9.7) формулы для анизотропных материалов могут
быть выведены аналогичным путем.
9.3. Каустики вблизи вершин трещин
Большинство приложений теневого оптического метода
каустик до сих пор относилось к области механики разрушения.
Поэтому теория каустик вблизи кончиков трещин была развита
в наибольшей степени. В этом разделе приведены также
некоторые результаты, представляющие более общий интерес и
относящиеся к другим типам каустик.
Каустики вблизи трещин при нагружениях типов I, II и III
Возможны три типа нагружения трещин (рис. 9.12): нагру-
жение растяжением (тип I) (а), сдвиг в плоскости (тип II) (б)
и антиплоский сдвиг (тип III) (в). Любое произвольное нагру-
510
Глава 9
Рис. 9.11. Коэффициенты f0 и ft при использовании наружной (о) и
внутренней (0 каустик на образце из оптически анизотропного материала.
жение может быть представлено в виде суперпозиции этих трех
основных типов нагружения.
Поскольку рассматриваются нагрузки как в плоскости, так
и вне плоскости, необходимо использовать полные поля
напряжений и перемещений в трех направлениях [13, 14] (см. гл. 1
и 19). Эти поля характеризуются следующими соотношениями:
а) тип i:
* 4(5cos|-coS^.), ^-^(Scosf + cosf),
<Уг =
■i^sin-|- + sin-^), ot=>v(or+o9), т„ = тфг = 0,
—¥/i-[~*(«-*'+*'-f)].
б) ТИП ii
КП 1
j/"2Jtr
Теневой оптический метод каустик
511
Рис. 9.12. Основные типы нагружения трещин.
v^JT-V-^;\.cos\ (-l+2v + sin2-f-)], w = 0; (9.16)
' в) тип III:
Kill • Ф r\
ч*г=—^7=-sin^-, ax = ay = az = xxy = 0,
где G = £/[2(l + v)]—модуль сдвига материала; w, v, w —
перемещения в направлениях x, у, z\ Ki, Ku, Km— коэффициенты
интенсивности напряжений типов I, II и III соответственно.
Напряжение Oz и перемещения и и v в уравнениях для нагружений
типов I и II даны для случая плоской деформации. Однако их
можно легко преобразовать для случая плоского напряженного
состояния, полагая а2=0 и заменив v на v/(l+v) в уравнениях
для и И V.
Поскольку уравнения полей напряжений при нагружениях
типов I и II по форме подобны, процедура определения каустик
при нагружений типа II аналогична описанной в предыдущем
разделе для случая трещин при нагружений типа I. Однако для
нагружения типа III напряжения и перемещения в плоскости
равны нулю и изменения длины оптического пути, согласно
уравнению (9.7), также должны быть равны нулю. Физически на-
гружение вне плоскости не изменяет толщину пластины или
(в случае просвечивания) показатель преломления материала.
«512
Глава 9
Таким образом, теневой оптический эффект, соответствующий
описанным выше эффектам, не имеет места. Однако для
образования теневой картины может быть использовано
перемещение, перпендикулярное к плоскости пластины w(x, у)9 но
только при отражении. Изменение длины оптического пути в этом
случае определяется по формуле
As= — 2w(x, у). (9.17)
Теневой оптический эффект от перемещения w из плоскости не
имеет места при просвечивании, так как поверхности пластины
ж>тя и искривляются, но остаются параллельными.
Следовательно, лучи света, пересекающие пластину, не отклоняются,
а лишь слегка смещаются.
Поэтому уравнения проецирования для трех типов
нагружения трещин имеют следующий вид:
а) тип I:
х* = г cos ф + (К1/}^2я) z0cd9r~^2 cos (Зф/2),
= г sin ф + {Кг/УЩ Zocd*r-z/2 sin (Зф/2);
б) тип II:
хг = г COS ф —
(Kii/V2я) z0cd3r-*/2 sin (Зф/2),
у*> = г sin ф + (Ки/У2п) 20cd3r"3/2 cos (Зф/2);
в) тип III:
х9 = г cos ф + 2 {К1г1/У2п) (z0/G) г'"2 sin (<р/2);
у* = г sin ф — 2 (Яni/V2я) (z0/G) r^cos (ф/2).
Для простоты здесь рассматривается лишь изотропный случай.
«С применением уравнения (9.10) получаем следующие уравнения
начальных кривых:
а) тип I:
г = [(3/2) (*х/|/2Й) | z01 | с | d9]2/5 = г0; (9.19)
б) тип II:
г = [(3/2) {KjV*i) | z01 I с I d^5 _ r0;
в) тип III:
r = L(^III/Vr2^)(Uo|/Q]2/3 = ^o.
Как и в рассмотренных выше примерах, начальные кривые
представляют собой окружности постоянного радиуса г0 с центром
а начале координат. С помощью уравнений проецирования (9.18)
514
Глава 9
Рис. 9.14. Схемы образования теневых оптических картин трещин при нагру-
жениях типов II (а) и III (б) в случае отражения.
изображение распределения лучей света для теневых картин
трещин при нагружениях типов II и III показано на рис. 9.14.
Распределение света в случае трещины при нагружении типа I
показано на рис. 9.9.
Нетрудно убедиться, что характерный размер D каустик на
рис. 9.13 связан с радиусом начальных кривых соотношениями:
£> = 3,17г0(тип I), £> = 3,02г0(тип II), £> = 4,5г0(тип III). (9.21)
Следовательно, с учетом формул (9.19) и (9.21) получаем
следующие зависимости для трех типов нагружения:
2 |/2я
3 (3,17)5/а z0cd3
Д5/2
2 \^2п П5/2
'3(3,02)s/»«ecdt *
(9.22)
Y2nG
Теневой оптический метод каустик
5L3
Tunl
7z//7 Я
Тип HI
P,RI,TA RVI.RE N.VIJA N.RI.RA
P,RI,TA P,VI,RE N.VlJA N,RI,RA
P,RI,RA N,VI,RA
N,RI,TA N,VI,RE РДТА P,RItRA N.RIJA N,VI,RE РДТА P,R1VRA N,RI,RA P,V1,RA
Рис. 9.13. Форма каустик Еблизи кончика трещины при нагружениях типов I,
II и III. Р — положительная нагрузка; N — отрицательная нагрузка; RI —
действительное изображение; VI — мнимое изображение; ТА — схема
просвечивания; RA (или RE) —схема отражения.
получаем следующие уравнения каустик как изображений началь-
ых кривых [уравнение (9.19)]:
на тип I:
б) тип II:
в) тип III:
х' = r0 (cos ф + sgn (z0c) 2/3 COS 3/2ф),
у' = r0 (sin ф + sgn (z0c) 2/3 sin 3/2ф);
х' — r0 (cos ф — sgn (z0c) 2/3 sin 3/2ф),
у' = г0 (sin ф + sgn (z0c) 2/3 cos 3/2ф);
х' = r0 [cos ф -f sgn (z0c) 2 sin (ф/2)],
У' = ro [sin ф—-sgn (z0c) 2cos (<p/2)].
(9.20)
Форма каустик для трех типов нагружения трещин и
различных возможных видов наблюдения показана на рис. 9.13. В
противоположность каустикам при нагружений типа I, форма
каустик при нагружениях типов II и III асимметрична. Графическое
33—1480
Теневой оптический метод каустик
515
Результаты для трещин при смешении типов нагружения I
и II получаем суперпозицией уравнений, описывающих поля
напряжений, и, следовательно, уравнений проецирования лучей
света для случаев I и II. Форма каустик для различных
значений отношения коэффициентов интенсивности напряжений |х=
= Ки1К\ показана на рис. 9.15, а. В зависимости от величины
отношения KuIKi возможны все промежуточные формы
каустик от типа I до типа II.
а
Tunl Смешанный тип lull ТипИ
Рис. 9.15. Форма каустик для трещин при смешанных типах нагружения (а)
и определение величин Dmax и Dmin (б).
С помощью двух размеров каустик Z)max и Dmm, показанных
на рис. 9.15,6, можно определить коэффициенты интенсивности
напряжений Ki и Ки [15, 16]. На рис. 9.16 с помощью
уравнений (9.20) для каустик смешанного типа построена зависимость
измеренной величины (Dmax—Dmm)/Dmas от отношения ji =
= /Cu//Ci- С помощью графика на рис. 9.17 определяется
величина коэффициента g, описывающего связь Dmax = gfo между
диаметром каустики Dmax и радиусом начальной кривой г0. Таким
образом, абсолютную величину Ki можно вычислить с
использованием измеренной величины Dmax по формуле
и /Cn = |i/Ci.
516
Глава 9
Рис. 9.16. Изменение размеров каустики в зависимости от отношения \х при
смешанном типе нагружения.
4,0
3,0
2,0
1.0
1,0 2,0 3,0 4,0
5,0
Рис. 9.17. Изменение коэффициента g в зависимости от величины отношения
[I коэффициентов интенсивности напряжений при смешанном нагружении.
Теневой оптический метод каустик
517
Динамические каустики
Рассматриваются два типа динамических задач механики
разрушения: стационарные трещины при динамическом
нагружений и движущиеся трещины при стационарной внешней
нагрузке.
При динамическом нагружений распределение напряжений
вблизи кончика стационарной трещины такое же, как при
статическом нагружений тела с трещиной [17]. Однако величина
КИН зависит от времени. Следовательно, поскольку
зависимости от расстояния г и угла ф в динамическом и статическом
случаях одинаковы, представленные в предыдущем разделе
результаты применимы и к случаю динамически нагруженных
трещин, если величины КИН Ки Ки и Km заменить на Ki(t),
/Си(0 uKm(t).
Трещина
a(t)
Рис. 9.18. Системы координат в кончике движущейся трещины:
стационарная (а) и движущаяся (б).
Для трещины распределение напряжений вблизи кончика
отличается от распределения вблизи стационарной трещины
из-за инерционных эффектов ;[18, 19].
В системе координат (х, у) или (г, ф) с началом координат
в кончике движущейся трещины (рис. 9.18)
х = a (t) + х = a (t) + г cos ф, y = y = r sin ф (9.24)
{а — длина трещины) распределение напряжений вблизи
трещины, движущейся с мгновенной скоростью v = da/dt
характеризуется соотношениями:
Кг l+gj
34—1480
518
Глава 9
y l/^tei«i-(l + aI)eX
X [ - (1 + а*) p (ф, aj + ^j- p (ф, a2)] f
где
- [cos ф+(сов2 Ф+а? sin2 <p)i/i]i/i
P (Ф» aj) = ; 2- : i . a-u/1 (9-26>
(cos29+a| вщЗф)1/2
[—созф+^озЗф+а^втЗф)1/2]1/2
9 ~~ (cos^+a2; sin2?)1/2 s
се,- = (1 - v2/c2)W (/ = 1, 2) (9.27)
при
ci = "J/^£/p^|/"(l — v)/[(l + v) (1 —-2v)] (скорость продольной волны),
(9.28)
c2 = УЕ/р][/1/[2 (1 + v)] (скорость поперечной волны).
При таком распределении напряжений уравнения
проецирования относительно движущейся системы координат имеют вид
? =7cosф+ (ЯХ/У2Н) Zvcdj-WF-W, (a4, ф)я
у' =7 sin ф + (К,/УЩ z0cd97-V*F-*G2 (ale ф)я
где F = [4a4a2- (1 + а*)2]/[(а2 -a22) (1 + a2)], (9.30)
Gi (сьц ф) = ( —1/1^2) (g"2 + cos ф)-*/2 x
X (Г1/2 ~ Г1 c°s Ф - 2r3/2 cos2 ф)г:
G2 (alf ф) = (1/1/2) (gvi + cos ф)-"2 X
X (c^g"1 sin ф — a^g'3'2 sin 2ф)ж
£ = 1 + (а2~1)зпг2ф. (9.32)
Путем численных расчетов нетрудно_показать [9], что
влияние o&i на функции G\(au ф) и G2(au ф) весьма мало для всех
встречающихся на практике скоростей трещин (т. е. v<.093c\).
В частности, погрешность от неучета зависимости ai от G\ и G2
мала и определяется коэффициентом F. Таким образом, при
практических расчетах достаточную точность удается получить
с использованием зависимостей
G{ (сч, ф) » cos 3/2ф, G2 (a4, ф) » sin 3/2ф. (9.33)
520
Глава 9
Формы динамических каустик сопоставлены с формами
статических каустик. Для всех скоростей роста трещин формы
динамических и статических каустик практически одинаковы,
однако размер динамических каустик несколько возрастает с
увеличением скорости, что учитывается поправочным
коэффициентом F.
Для каустик в оптически анизотропных материалах
ситуация несколько усложняется, поскольку в уравнениях
появляется дополнительный член, отражающий анизотропию, и
образуются двойные каустики. Однако можно показать, что размер
наружной каустики увеличивается с увеличением скорости тре-
Рис. 9.20. Форма каустик для движущихся трещин в оптически изотропном
материале (cR — скорость волны Рэлея).
щины таким же образом, как и в случае единственной каустики
для оптически изотропного материала [9]. Увеличение размера
внутренней каустики с увеличением скорости трещины
несколько больше, чем для единственной каустики. Таким образом,
поправочный коэффициент F(v) для изотропного материала,
определяемый по формуле (9.30), дает хорошую аппроксимацию
для случая двойной каустики, если его применять к наружной
каустике.
Влияние на каустики эффектов высокого порядка
До сих пор рассматривалось только распределение
напряжений в окрестности кончика трещины. Строго говоря, такое поле
напряжений имеет место лишь при г->-0, т. е. область примене-
Теневой оптический метод каустик
519
При таких упрощениях уравнение начальной кривой
получается аналогичным статическому случаю [см. уравнение (9.11в)
в разд. 9.2]:
г = [(3/2) {Кг/УШ) \zi)\\c\ d,F-<\Vb . F0.
Следовательно, получаем формулу
К — 2 7>У2
3(3,17)5/220^э *
(9.34)
(9.35)
Таким образом, формула для определения величины КИН в
случае движущейся трещины имеет такой же вид, как для
стационарной трещины [см. уравнение (9.14в)], за исключением
Рис. 9.19. Зависимость поправочного коэффициента F от скорости трещины
v (v— коэффициент Пуассона).
поправочного коэффициента F(v), который учитывает влияние
скорости на распределение динамических напряжений в
зависимости от г и ф вблизи движущейся трещины. Изменение
коэффициента F в зависимости от скорости трещины v изображено
на рис. 9.19. Величина F меньше 1 (при малых скоростях
трещины он близок к 1).
На рис. 9.20 показаны формы каустик вблизи кончика
трещины при различных скоростях трещины, но при одинаковой
величине КИН. Скорость трещины отнесена к скорости волны
Рэлея
cR « (0,862 + l,14v)/[l/2"(1 + v)3/2] УЩ.
34*
Теневой оптический метод каустик
521
ния рассмотренных уравнений ограничена непосредственной
окрестностью кончика трещины. В промежуточной и удаленной
от кончика трещины зонах в уравнения, характеризующие
распределение напряжений, необходимо включить члены рядов
более высокого порядка. Поскольку каустика представляет
собой проекцию начальной кривой с радиусом г0 вокруг кончика
трещины, эти члены высокого порядка могут оказывать
влияние на форму каустики. В большинстве практических задач не
рассматриваются длинные трещины в образцах большого
размера. Однако для коротких трещин и для трещин,
приближающихся к краю образца, влияние членов высокого порядка
приходится учитывать. Полное решение, характеризующее поле
напряжений вокруг кончика трещины, представляется в виде
ряда, первый член которого дает распределение напряжений
вблизи самого кончика. При растяжении тела с трещиной (на-
гружение типа I) первые шесть членов ряда имеют следующий
вид [20]:
cr = ^L. ^ J5 cos— ф — cos-| ф} + «2 cos2 Ф +
Г 1 5 1
+ г1/2а3 |3 cos у ф -f cos у ф| + га4 {cos ф + 3 cos Зф} +
{3 7 1
cos у ф + 3 cos у ф j + г2а6 { + 2 cos 4ф},;
аф= J-J3cosy ф + cosy ф|+а28И12ф +
{1 5 l
5cosy ф — cosy ф| + га4 {3 cos ф3 cos Зф} + (9.36)
{3 7 1
7 cos у ф — 3 cos у ф| + г2а6 {2 cos 2ф — 2 cos 4ф} f>
Ki 1 f . 1 . . 3 i 1 . 0 .
Тгф=="71д7 т{8ш1"(Р + 8ШТ(Р/~а2 2-31п2ф +
{1 5 1
sin у ф — sin у ф) + rak {sin Ф — 3 sin Зф} +
{3 7 1
5 sin у ф-— 5 sin у Ф| + r2a6 {sin ф — 2 sin 4ф}.
Как правило, наиболее важным членом, расширяющим
область применения решения первого порядка, является член
второго порядка. Этот член характеризуется постоянным
напряжением в направлении х (о* = #2), которое добавляется к
сингулярному распределению напряжений ближнего поля. Однако
теневой оптический эффект чувствителен только к градиентам
напряжений. Постоянные напряжения не создают изменений
длины оптического пути [см. уравнения (9.1), (9.2) и (9.7)]. Та-
522
Глава 9
ким образом, член второго порядка не оказывает какого-либо
влияния на формирование каустики1). При решении
практических задач оптический метод каустик может иметь значитель*
ные преимущества перед другими оптическими методами
(такими, как фотоупругость, муар или голографическая интерферо*
Образец с одной краевой трещиной
>с5ец. 6 вид? двойной юнсяяыкэ* Santai
az>0
Рис. 9.21. Влияние члена второго порядка в уравнениях, характеризующих
поле напряжений вблизи кончика трещины на картины полос фотоупругости
(а) и теневых фигур-каустик (б).
метрия), с помощью которых непосредственно измеряются
напряжения или деформации. Рис. 9.21 иллюстрирует влияние
члена второго порядка на оптические теневые и фогоупругие
картины, характеризующие распределение напряжений вблизи
кончика трещины. Для образцов с одной краевой трещиной
1> Это утверждение справедливо лишь для единичных каустик, получаемых
на изотропных материалах. Однако некоторое влияние членов второго порядка
может иметь место вследствие наличия члена, характеризующего анизотропию
(КФО) в уравнении (9.7), когда образуются двойные каустики.
524
Глава 9
высокого порядка неизвестны, количественная оценка влияния
членов высокого порядка на форму каустик затруднена. В
практических приложениях целесообразно сравнивать форму
экспериментально получаемых каустик с теоретической формой
каустики для ближнего поля Заметные изменения формы каустик
свидетельствуют о влиянии членов более высокого порядка.
Однако следует поступать осторожно при оценке величин
коэффициентов интенсивйости напряжений с помощью таких каустик.
Каустики при упруго-пластических деформациях
Для трещин в пластичных материалах (таких, как
конструкционные стали) линейная теория упругости несправедлива. Поле
напряжений вблизи кончика трещины описывается здесь
соотношениями теории пластичности. Величина напряжений
ограничивается пределом текучести, и, следовательно, деформации
вблизи кончика трещины становятся неограниченными. Таким
образом, вместо задачи об упругой концентрации напряжений
возникает задача о концентрации пластических деформаций.
Однако, как и в случае упругой концентрации напряжений,
каустики характеризуют пластическую концентрацию
деформаций [6, 7].
Применительно к стальным образцам, изучаемым по схеме
отражения, справедлив следующий подход. При деформации
поверхности образца изменение длины оптического пути в
соответствии с уравнением (9.3) составляет
As = — Ad, (9.37)
где d — общая толщина образца. Уменьшение толщины
образца вследствие пластической деформации е равно
Ad = ezzd. (9.38)
Упругой деформацией ге можно пренебречь по сравнению с
пластической деформацией ер, так как ее<Сер. Ввиду
несжимаемости материала при пластической деформации (постоянства
объема) имеем
ezz= —(еГг + еФФ)- (9.39)
Следовательно, уравнения проецирования (9.1) и (9.2)
принимают вид
г' = г — z0d grad (егг + ефф). (9.40)
Деформации в непосредственной окрестности кончика
трещины были вычислены в работах [21—23]. Для идеального
упруго-пластичного материала [т. е. для неупрочняющегося
материала с п->оо (рис. 9.23)] деформации не ограничены в вееро-
Теневой оптический метод каустик
525
образной зоне (с углом —79,7°<ф<+79,7°) перед кончиком
трещины (рис. 9.24). Снаружи этой зоны деформации
ограничены и имеют конечные значения. Количественно деформации
характеризуются следующими выражениями:
егг = 0 )
/ УЪ > ~ 79,7° < Ф < 79,7°,
8фф- 2,57о0г 2 C0S(p J (9.41)
err ограничено j — 180° < ф< —79,7°,
J+79,7° ■
8ФФ ограничено
'<Ф< + 180°,
где / — величина так называемого /-интеграла, а оо — предел
текучести материала на растяжение. С использованием уравне-
Рис. 9.23. Диаграммы упруго-пластического деформирования.
ний (9.41) уравнения проецирования (9.40) принимают
следующий вид:
х' = r COS ф-
у =r sm ф-
Jz0d ^/3
2,57о0 (2_)
Jz0d /3
2,57о0(2)
Г L COS ф
Г л ЫП ф
-79,7°<Ф<79,7°. (9.42)
Ограниченные деформации снаружи веерообразной зоны
(—79,7°<ф<+79,7°) не влияют на каустику. С помощью соот-
Теневой оптический метод каустик
52а
знак коэффициента а2 отрицателен, что делает полосы-изохро-
мы наклоненными вперед, тогда как для образцов в виде
двойной консольной балки знак а2 положителен, так что изохромы
наклонены назад. Эти изменения в картинах изохром могут
создать серьезные трудности при обработке картин полос
вблизи кончика трещины. Однако теневые оптические картины
одинаково независимы от знака коэффициента второго порядка.
Рис. 9.22. Влияние на форму каустик членов высокого порядка, содержащих
г1'2 (а), г (б), г3'2 (в) и г2 (г), в уравнениях, характеризующих поле
напряжений вблизи кончика трещины,
Члены порядка выше второго оказывают влияние на
формирование каустик. На рис. 9.22 показаны изменения формы
каустик из-за наличия членов до четвертого порядка.
Сравниваются формы каустик для произвольных величин отдельных
коэффициентов и их разных знаков (т. е. для положительных и
отрицательных коэффициентов) с формой каустик ближнего
поля. Поскольку на практике коэффициенты при членах более
Теневой оптический метод каустик
527
Это уравнение позволяет определить величину /-интеграла с
помощью упруго-пластических каустик, образованных с
использованием начальной кривой, расположенной вблизи кончика
трещины при упруго-пластическом поле напряжений.
Для упрочняющегося материала [1<я<со (рис. 9.23)]
поле деформаций становится более сложным, и форму каустик
уже нельзя вычислить аналитически. Однако картину
распределения лучей света вокруг конца трещины в плоскости
регистрации можно получить с помощью численных расчетов.
Полученные таким образом результаты показаны на рис. 9.26 [7]
для я = 25, 9, 3 и 1. Каустика видна как пограничная кривая*
между зонами нулевой (тень) и высокой интенсивности света.
Рис. 9.25. Форма каустики и начальной кривой вблизи кончика трещины при
упруго-пластических деформациях (п—>-оо) [6].
Можно видеть, что каустика при я=25 близка к
аналитически вычисленной каустике для неупрочняющегося материала
(я-^оо). Кроме того, для предельного случая п=1 (упругий
материал) полученная каустика такая же, как каустика
вблизи кончика трещины в упругом материале. Формы каустик при
п=3 и п=9 занимают промежуточные положения между
этими предельными случаями.
На рис. 9.27 показана фотография теневой картины при
упруго-пластической деформации образца из инструментальной
Трещина
х
526
Глава 9
ношения (9.10) получаем следующее уравнение начальной
кривой:
г = []/3 / \z0 | d/(2,57a0)]1/3 « r0. (9.43)
Эта кривая представляет собой окружность постоянного
радиуса г0 с центром в кончике трещины (однако она определена
лишь в пределах сегмента —79,7°<ф< + 79,7°). Проецирование
начальной кривой (9.43) на плоскость регистрации с помощью
уравнений (9.42) дает уравнения каустики:
Рис. 9.24. Поле упруго-пластических деформаций и напряжений вблизи
кончика трещины [21—23].
х' = Г о ( COS ф + sgn (z0) -j COS 2ф) ]
I >—79,7° <ф< 79,7°. (9.44)
у' = г о ( sin ф + sgn (z0) sin 2ф) J
Форма каустики в плоскости регистрации Zo>0 показана на
рис. 9.25. Аналогично упругому случаю характерным размером
каустики является максимальный диаметр D в направлении у,
который связан с радиусом начальной кривой:
Я = 2,38г0. (9.45)
С использованием уравнений (9.43) и (9.45) находим
J = o0D3/(13r5z0d). (9,46)
523 _________ Глава 9
Рис. 9.26. Теневые зоны для трещины в упруго-пластическом материале при я,
равном 1 (а), 3 (б), 9 (в) и 25 (г) [7].
стали, согласно которой можно заключить о низкой степени
упрочнения материала. Несмотря на образование линий
скольжения, которые нарушают условия отражения лучей света от
полированной поверхности образца, теневая картина имеет
высокое качество. Наблюдаемая форма каустики хорошо
согласуется с теоретически предсказанной кривой и свидетельствует о
применимости теневого оптического метода каустик для
исследования задач концентрации пластических деформаций.
Теневой оптический метод каустик
529
Рис. 9.27. Фотография теневой картины при упруго-пластической
деформации [6].
9.4. Методика эксперимента
Оборудование для экспериментальных исследований с
использованием теневых оптических картин достаточно простое.
Нет необходимости в специальных усложненных установках.
Необходимы лишь подходящий источник света для освещения
образца и устройство для регистрации теневых картин.
Освещение образцов и регистрация теневых картин
При описании физических основ теневого оптического
метода рассматривался параллельный пучок света. Однако теневые
оптические картины могут быть также получены с
использованием расходящихся или сходящихся лучей света. Параллельный
пучок света использовался лишь для простоты теоретических
530
Глава 9
выкладок. На практике же параллельные пучки света
используются редко. Схемы оптических устройств для получения
теневых картин с расходящимися, параллельными и
сходящимися пучками света показаны на рис. 9.28, где представлен случай
просвечивания, однако аналогичные схемы применимы и в
случае отражения. Независимо от того, какая схема используется,
пучок света должен удовлетворять одному очень строгому тре-
2 4
\
hi
)
\
б
3
и-*о—1
3
Рис. 9.28. Теневые оптические установки с расходящимся (а),
параллельным (б) и сходящимся (в) пучками света. 1 — источник света; 2 — образец;
3 — линзы; 4 — плоскость изображения; 5 — камера,.
бованию: лучи света в пучке должны быть строго
параллельными, расходящимися или сходящимися. Чтобы удовлетворить
этому требованию, необходимо иметь точечный источник света,
т. е. малую апертуру и большое расстояние от объекта. Если
эти условия выполняются недостаточно строго, теневая
оптическая картина будет нечеткой и размытой. Граница между
затемненной и освещенной зонами (каустика) тогда не будет резкой
линией. Поэтому количественная обработка теневых картин
будет затруднена или даже невозможна.
Теневой оптический метод каустик
531
Действительные изображения каустики могут быть
зарегистрированы непосредственно на фотопленке, помещенной в
плоскости регистрации. Такая непосредственная регистрация
теневых картин возможна в схеме как просвечивания, так и
отражения. Во втором случае пучок света должен быть слегка
наклонен относительно нормали к поверхности образца, чтобы
отраженный пучок отделялся от падающего на поверхность.
Однако такая непосредственная регистрация теневых картин
1>едко применяется на практике. Теневые картины обычно ре-
тистрируют с помощью фотокамеры (например, с помощью
обычной 35-мм камеры). Когда используются теневые
оптические установки с расходящимися или параллельными лучами,
необходимы дополнительные линзы, чтобы сфокусировать свет
в объектив камеры. В случае сходящихся лучей света камера
располагается непосредственно в точке их схождения.
Регистрирующие устройства для расходящегося, параллельного и
сходящегося пучков света вместе с соответствующими системами
освещения показаны на рис. 9.28. Для регистрации теневых
оптических картин в определенной плоскости фотокамера
фокусируется на эту плоскость. Нет необходимости применять
специальный экран, расположенный в плоскости регистрации.
Регистрация теневых картин с помощью фотокамеры выгодна в
случаях как действительных, так и мнимых изображений.
Во втором случае необходимо только сфокусировать камеру на
плоскость мнимого изображения (плоскости мнимых
изображений на рис. 9.28 не показаны).
Масштабный коэффициент для непараллельных пучков света
Когда используются оптические схемы с расходящимися и
сходящимися лучами света, уравнения проецирования и
уравнения каустик уже не имеют столь простой формы, как для
параллельных пучков, и должны быть модифицированы. Рис. 9.29
иллюстрирует процесс проецирования лучей для
непараллельного пучка света. Как и на рис. 9.5, рассмотрим схему
наблюдения действительного изображения теневой картины. Неот-
клоненный луч, пересекающий плоскость объекта в точке Р(г),
не попадает на плотность изображения в точке Р'п& с r'nd = r,
как и в случае с параллельным пучком (рис. 9.5), однако он
попадает в плоскости изображения в точку P'nd с r'nd = mr
(рис. 9.29), где
m
для расходящегося пучка и
m
z2/(z2-z0)
(9.47)
Теневой оптический метод каустик
533
цом и плоскостью изображения. Это не так в случае устройств,
со сходящимися пучками, если используются большие
расстояния |г0|, поскольку масштабный коэффициент m уменьшается
с ростом |20|. При фиксированном расстоянии |z0|+z2 межДУ
образцом и фотокамерой каустика наибольшего размера
получается в плоскости регистрации на расстоянии z0l
определяемом соотношениями:
Если' используются мнимые изображения теневых картин, а не
действительные, уравнения (9.47) — (9.49) применимы в том же
виде. Однако поскольку для мнимых изображений z0>0,
масштабные коэффициенты пг имеют другие значения: пг<.\
для расходящихся пучков и т>1 для сходящихся пучков.
Следует соблюдать осторожность при использовании схем с
расходящимися пучками, так как размер каустики уменьшается с
ростом расстояния z0, когда используются большие значения zq.
Оборудование
На практике в основном используются устройства со
сходящимися пучками света, поскольку в этом случае необходима
всего одна линза, и поле наблюдения получается наибольшим.
Вместо линз в некоторых установках для регистрации теневых
оптических картин используются вогнутые зеркала. На рис. 9.30
показана схема оптической установки с вогнутым зеркалом для
сравнения со схемой, содержащей линзу. Преимущество
вогнутого зеркала перед линзой заключается в том, что зеркало
имеет большую апертуру и большее фокусное расстояние. Таким
образом достигается более широкое поле наблюдения. Кроме
того, может быть создано большое расстояние между
источником света и образцом. Вследствие этого улучшается качество-
освещения, и может изменяться в широком диапазоне
расстояние z0 между образцом и плоскостью регистрации (см. также
предыдущий раздел).
Во всех установках с зеркалами так же, как и в
отражательных схемах при использовании непрозрачных образцов,
пучок света несколько отклоняется от оптической оси.
Следовательно, приходится учитывать влияние астигматизма при
отклонении лучей света. Погрешности при обработке результатов-
будут минимальными, если приняты следующие меры.
Необходимо использовать оптические устройства, в которых
направление характерного размера каустики перпендикулярно одному"
б)
в)
V4(z0-»z2);
75(z0 — z2).
(9.50>
35—1480
534
Глава 9
«з фокальных направлений. Это фокальное направление и
соответствующее фокусное расстояние следует использовать при
•обработке результатов.
Чтобы экспериментально определить абсолютный размер
каустики на картине, зарегистрированной с помощью фотокаме-
1ры, целесообразно фотографировать вместе с каустикой
некоторый эталон длины, расположенный в плоскости
действительного или мнимого изображения. Диаметр каустики D тогда
легко определяется сравнением с эталоном. Эталон можно
также установить на образец. Поскольку фотографируется
изображение теневой картины, эталон воспроизводится не резко, одна-
, 2
Рис. 9.30. Схемы установок для регистрации теневых картин с
использовавшем линзы (а) и вогнутого зеркала (б). 1 — источник света; 2 —
фотокамера; 3— образец; 4—линза; 5 — вогнутое зеркало; 6 — плоскость
действительного изображения; 7 — плоскость мнимого изображения.
ко симметрия получаемых картин для эталона позволяет тем
не менее произвести достаточно точную обработку. Для
установок с масштабным коэффициентом тф\ размер каустики,
найденный сравнением с эталоном, следует скорректировать,
поскольку каустика образуется в плоскости регистрации, а
эталон расположен в плоскости объекта. Следовательно,
действительный размер каустики получается умножением на
соответствующий масштабный коэффициент т.
Применение метода каустик для анализа динамических
процессов требует регистрации изменяющихся во времени теневых
картин с помощью высокоскоростных камер. На рис. 9.31
показаны оптические схемы экспериментальных установок с ис-
Теневой оптический метод каустик
535*
пользованием высокоскоростной 24-вспышечной камеры
Кранца— Шардина для регистрации теневых картин при
просвечивании или отражении. В основном система Кранца — Шардина
состоит из фотографического устройства, включающего 24
отдельные камеры с оптическими осями, направленными на
объект. Свет для освещения объекта создается 24
лампами-вспышками, которые объединены в единый комплекс. Свет,
создаваемый отдельной вспышкой, фокусируется на объектив отдельной
камеры с помощью линзы или зеркала, которое используется*
Фотопленка
Фотопленка
а в
Рис. 9.31. Схема высокоскоростной 24-вспышечной камеры Кранца —
Шардина при просвечивании (а) и отражении (б).
в схеме на рис. 9.31. Вспышки включаются электронным
устройством через определенные промежутки времени (минимум
через 1 мкс). Для простоты только два из 24 пучков света
показаны на рис. 9.31. Общий вид экспериментальной установки
приведен на рис. 9.32.
Материалы моделей и изготовление образцов
Оптическое качество образцов для исследований с помощью
теневых картин должно удовлетворять достаточно высоким
требованиям. В частности, необходимо следить за тем, чтобы
35*
532
Глава 9
для сходящегося пучка. Здесь zx и z2—расстояния от источника
света до образца и от камеры до плоскости изображения
соответственно (рис. 9.28), причем zx и z2 всегда положительны.
Поскольку для действительных изображений 2о<0, т>1 в случае
расходящихся пучков и т<1 для сходящихся пучков.
Следовательно, основное уравнение (9.1) оптического проецирования
для непараллельных пучков света необходимо модифицировать
следующим образом:
r' = mr + w. (9.48)
С использованием этого модифицированного уравнения
проецирования соотношения между размером каустики и соответствую-
Рис. 9.29. отклонение лучей света при освещении непараллельным пучком.
Е — плоскость объекта; Е' — плоскость изображения теневой картины; / —
луч света.
щим параметром нагрузки для трех задач, рассмотренных в
разд. 9.2 (рис. 9.7), принимают вид
а)
б)
в)
1
p — q:
1 4(2,6)3z0cd9
1
z)3;
m3 12(2,66)4z0cd3i?2
1 2 |/2ji
(9.49)
m3/2 3 (3,17)6/2 z0cdd
£5/2.
Нетрудно видеть, что в случае устройств с расходящимися и
параллельными пучками (m^l) характерный размер D
непрерывно возрастает с увеличением расстояния |z0| между образ-
•536
Глава 9
образцы для просвечивания были изготовлены из материалов
без отклонений плотности и толщины. С другой стороны,
образцы, используемые в отражательных устройствах, должны иметь
оптически плоскую поверхность со стороны освещения. Если не
все эти условия выполнены, могут возникнуть искажения
теневых картин, приводящие к ошибкам в результатах измерений.
Рис. 9.32. Общий вид высокоскоростной 24-вспышечной камеры Кранца —
Шардина.
Для изготовления моделей применяются прозрачные
материалы (табл. 9.1). Среди них полиметилметакрилат (ПММА)
имеет высокую теневую константу с, практически оптически
изотропен (?с^0) и поэтому дает единственную каустику. Однако
этот материал проявляет заметную вязкоупругость, так что
при действии изменяющихся во времени нагрузок необходимо
учитывать релаксацию напряжений. Например, теневые карта-
538
Глава 9
напряжениями и деформациями. Это требование практически
реализуется выбором достаточно большого расстояния |zo|
между образцом и плоскостью регистрации, так что
г0>гпл, (9.51)
где г„л— размер пластически деформированной зоны.
Величины теневой оптической константы с и коэффициента
анизотропии % различны для плоского напряженного состояния
и плоской деформации (табл. 9.1). Поэтому в уравнения (9.14),
(9.15), (9.22), (9.23) и (9.35) при обработке каустик
необходимо подставлять те величины, которые соответствуют
напряженному состоянию, преобладающему вдоль начальной кривой.
Обычно это плоское напряженное состояние.
Однако при очень высоких градиентах напряжений даже в
пластинах плоское напряженное состояние не может
реализоваться в локальной зоне вокруг точек концентрации
напряжений из-за резкого изменения степени стеснения деформации.
Следовательно, вместо плоского напряженного состояния
возникает смешанное напряженное состояние. В таких случаях
расстояние |г0| между образцом и плоскостью регистрации
должно быть достаточно большим, чтобы начальная кривая
располагалась снаружи зоны смешанного напряженного состояния:
г0>гпн, (9.52)
где гПн — наименьший радиус зоны вокруг точки концентрации
напряжений, снаружи которой имеет место плоское
напряженное состояние.
В случае оптически анизотропных материалов корректность
выбора расстояния |г0| между образцом и плоскостью
регистрации можно легко проверить экспериментально. Если
наблюдаемая степень раздвоения каустики (Z)H—DB)/DB согласуется
с теоретической для условий плоского напряженного состояния,
начальная кривая лежит снаружи зоны смешанного
напряженного состояния (в зоне плоского напряженного состояния).
Однако, если наблюдаемое раздвоение оказывается больше,
начальная кривая лежит в зоне смешанного напряженного
состояния, и при обработке каустики будет допущена погрешность.
9.5. Приложения
В этом разделе рассмотрены некоторые типовые
практические приложения теневого оптического метода каустик для
исследования динамических задач. Все приведенные здесь теневые
картины сфотографированы 24-вспышечной высокоскоростной
камерой Кранца — Шардина. Теневые картины регистрирова-
Теневой оптический метод каустик
537
ны, полученные на образцах из ПММА, исчезают не мгновенно
1юсле снятия нагрузки. В зависимости от времени, в течение
которого действовала нагрузка, теневая картина исчезает в
течение разных промежутков времени, достигающих нескольких
минут. Материалы гомалит 100 и CR-39 также имеют высокую
•теневую чувствительность и сравнительно небольшую
анизотропию (т. е. двойные каустики видны лишь в оптических
установках с высокой разрешающей способностью). Подобно ПММА,
материал CR-39 обладает заметной вязкоупругостью.
Гомалит 100 проявляет значительно меньшую вязкоупругость.
Хороший объект для исследований с использованием теневых
картин— эпоксидный материал аралдит В. Он обладает высокой
теневой оптической чувствительностью при незначительной
©язкоупругости. Это материал с высокой оптической
анизотропией, и на образцах из него четко видны двойные каустики (см.
следующий раздел).
В отражательных установках теневая оптическая
чувствительность регулируется деформацией поверхности и
создаваемой нагрузкой и зависит, таким образом, от упругих
характеристик материала (модуля упругости Е и коэффициента
Пуассона v). Деформация задней поверхности образца и изменения
его плотности (приводящие к изменениям показателя
преломления прозрачных материалов) не влияют на теневую картину,
образованную при отражении. Поэтому отражательные
установки в основном менее чувствительны, чем просвечивающие,
в которых играют роль все рассмотренные выше эффекты.
Передняя поверхность образца должна быть оптически плоской и
отражающей, по крайней мере, в локальной зоне, где
образуется каустика. Для стальных образцов наилучшие результаты
получаются при последовательной обработке передней
поверхности образца шлифованием, притиркой и полированием.
Влияние локальной пластичности и напряженного состояния
Напряжения или деформации в зонах концентрации
напряжений могут быть очень большими, теоретически часто
неограниченными. В результате в реальных материалах образуются
зоны пластических деформаций. Поэтому при исследовании
линейных задач упругости необходимо быть уверенным, что
эффекты пластичности не оказывают серьезного влияния на
образование каустик.
На практике это обычно достигается использованием таких
теневых оптических схем, в которых начальная кривая имеет
большие размеры и расположена снаружи пластически
деформированной зоны. Каустика тогда формируется участками
образца, где справедливы соотношения линейной упругости между
Теневой оптический метод каустик
539
лись либо при просвечивании образцов, изготовленных из
материала аралдит В, либо по схеме отражения на образцах из
высокопрочной стали X2NiCoMol8-9-51>.
Динамическое нагружение образцов на изгиб
Был исследован процесс динамического нагружения
образца при ударе падающим клином с ножевидным краем.
Испытывали образец размером 412x72x10 мм из материала
аралдит В. Расстояние между опорами 260 мм. Клин массой 5,3 кг
падает на образец со скоростью 1 м/с. Радиус ножевидного края
Рис. 9.33. Экспериментальная установка для изучения образца в виде балки
при ударе падающим тяжелым клином с ножевидным краем. 1 — прозрачный
образец; 2 — острый клин; 3 — пучок света; 4 — камера, сфокусированная на
плоскость мнимого изображения; 5 — плоскость мнимого изображения.
(р0=1 мм) мал по сравнению с размерами образца, и, таким
образом, нагрузка прикладывается практически в точке.
Фотографировали мнимое изображение каустик, образованных
вокруг точки удара по схеме просвечивания при г0>0. Схема
экспериментальной установки показана на рис. 9.33.
Серия фотографий теневых картин приведена на рис. 9.34.
Указанные на каждой фотографии промежутки времени изме-
!> Производится фирмой Krupp Stahl AG и имеет марку Kxupp HFX 6358.
Номинальный состав: 18% Ni, 9% Со, 4,8% Мо и <0,03% С. Термообработка
при температуре 480 °С в течение 4 ч на воздухе. Эта сталь аналогична
американской стали 300 с 18% Ni.
Теневой оптический метод каустик
541
рены с момента первого касания клина с образцом.
Количественные данные о величине ударной нагрузки Pc{t), которые
■были определены с помощью уравнения (9.14а) по
фотографиям каустик, представлены на рис. 9.35. Кроме величин нагрузки
Рс, полученных с помощью каустик, на рисунке дан график
изменения нагрузки Ря(0> записанный с помощью тензодатчика,
наклеенного на клин вблизи ножевидного края. Результаты,
полученные с помощью этих двух разных способов измерений,
хорошо соответствуют друг другу. Видно, что ударная нагрузка на
'б " 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8
tt мс
Рис. 9.35. График зависимости от времени нагрузки на образец при ударе
падающим острым клином (Рс — по данным измерения размеров каустик;
Рн — по данным тензоизмерений; образец из аралдита В)
образец не является постоянно возрастающей функцией
времени. Она имеет колебательный характер при общей тенденции
увеличения. Это связано с собственными колебаниями образца,
вызванными ударом.
Трещины при ударной нагрузке
Ударные испытания изгибаемых образцов с предварительно
созданными в них трещинами, нагружаемых с помощью
испытательных машин маятникового типа или с падающим грузом,
О
Рис. 9.34. Серия фотографий теневых картин при ударе острым клином по краю балки (фотографировалось мнимое
изображение при просвечивании образца из аралдита В),
542
Глава 9
широко применяются при изучении динамических характеристик
материала. Рассмотрим некоторые результаты исследования
процесса деформирования образца в кончике трещины при
ударном нагружении (см. также [24—26]). Испытывали
образцы с трещинами при нагружении падающим грузом. Схема
экспериментальной установки показана на рис. 9.36. Образцы
из высокопрочной стали X2NiCoMo 18-9-5 имели размеры
330X60X10 мм. Расстояние между опорами составляло 240 мм.
В образце была образована трещина длиной 20 мм, слегка
закругленная в вершине, чтобы повысить несущую способность
Рис. 9.36. Схема экспериментальной установки для исследования поведения
трещины при ударном нагружении. 1 — стальной образец; 2— отражающая
поверхность; 3— опора; 4 — боек; 5 — источник света; 6 — падающий пу*
чок света; 7 — отраженный пучок; 8 — плоскость мнимого изображения,
образца и, таким образом, увеличить время наблюдения до
разрушения. Динамическая нагрузка создавалась грузом массой
90 кг, падающим со скоростью 0,5 м/с.
На рис. 9.37 показана серия из 12 теневых картин;
фотографировалось мнимое изображение при отражении (го>0).
Показана лишь центральная часть образца. Результаты,
полученные с помощью теневых картин и уравнения (9.14в),
представлены на рис. 9.38. Построен график зависимости от времени
динамического коэффициента интенсивности напряжений /GAHH.
Теневой оптический метод каустик
543
Кроме того, представлены величины статических КИН KiCT9
найденные путем измерения нагрузки Рн с помощью датчика,
установленного на бойке, и с использованием обычной
формулы для КИН для образца с трещиной при эквивалентном
квазистатическом нагружении [27]:
кст PHS 3 {a/W)1/2 {1,99 —(a/W) (1-a/W) [2,15-3,93 (a/W)+ 2,7 (a*/W*)])
1 dWsl* 2(l + 2a/W)(l—a/W)*/*
(9.53)
160 шс fS4 mkc 208 шс 232 мне 26$ икс 280 шс
Рис. 9.37. Серия фотографий теневых оптических картин для трещины при
ударном нагружении (фотографировалось мнимое изображение по схеме
отражения для образца из высокопрочной стали).
где Рн — нагрузка, зарегистрированная на бойке; d — толщина
образца; S — расстояние между опорами; W — высота образца;
а — длина трещины.
Интервалы времени на рис. 9.38 даны в абсолютных
единицах, а также в относительных по сравнению с периодом
собственных колебаний образца т. Величина т определялась по
следующей приближенной формуле [28]:
T = lfi8(SWdCE)v*/c0t
(9.54)
544
Глава 9
2
М = 30кг g j V0 = 0,5 м/с
t =3r
800 мне
1T
zr
3r
4r
Рис. 9.38. Зависимости от времени коэффициентов интенсивности напряжений
Ki для трещины в образце из высокопрочной стали при ударном нагружений
падающим грузом.
где S — расстояние между опорами; W — высота образца; d —
толщина образца; С — податливость образца; Е — модуль
упругости; со — скорость звука (5000 м/с для стали).
Можно видеть, что характер изменения величины KiCT
сильно колебательный, тогда как динамический КИН К\*ин
изменяется более стабильно. В диапазоне изменения времени t<3x
это различие особенно значительно. Оно становится меньше с
увеличением интервала времени, однако даже для моментов
времени, превышающих Зт, влияние динамических эффектов не
исчезает и разница между KiCT и KimH заметна.
Эти результаты показывают, что влияние динамических
эффектов на КИН для трещин в принципе должно учитываться
Теневой оптический метод каустик
545
при измерении динамической прочности материалов в ударных
испытаниях. В частности, это влияние может быть очень
большим для образцов, разрушающихся хрупко на ранней стадии на-
-гружения. Только при больших временах до начала развития
трещины, имеющих место в образцах из вязких материалов,
процедура анализа динамических испытаний, основанная на
квазистатическом подходе, будет давать достаточно реальные
данные о прочности материала.
Рис. 9.39. Экспериментальная установка для исследования поведения
движущихся трещин. 1 — прозрачный образец; 2— трещина; 3 — пучок света; 4 —
плоскость действительного изображения.
Движущиеся трещины
Рассмотрим результаты исследования зависимости
величины КИН К\ от скорости движения трещины. Схема
экспериментальной установки показана на рис. 9.39. В образце с одним
боковым надрезом при растягивающей нагрузке движение
трещины начинается от предварительно созданного надреза. При
увеличении длины трещины и уменьшении сплошной перемычки?
интенсивность напряжений вблизи кончика трещины
увеличивается, и движение трещины поэтому ускоряется.
Эксперименты выполнены на образце из аралдита В.
546
Глава 9
На рис. 9.40 показаны действительные изображения теневых
картин при просвечивании (г0<0). Воспроизведены лишь 3 из
.24 картин для ранней фазы движения трещины. На каждой
картине указана мгновенная скорость трещины. Данные,
полуденные в результате обработки фотографий с использованием
уравнения (9.15), представлены на рис. 9.41 в виде
зависимости динамического коэффициента интенсивности напряжений
/идин от скорости трещины v. Для малых и промежуточных
скоростей трещин (у<250 м/с) величина КИН несколько
увеличивается с ростом скорости трещины, однако при более высоких
180 д"£
300 uti с
.1
I I
'Рис. 9.40. Фотографии теневых картин для движущейся трещины
(фотографировалось действительное изображение при просвечивании образца из арал-
дита В).
•скоростях трещины (и>250 м/с) увеличение К\ с ростом v
становится более резким и К\А™ неограниченно возрастает.
Максимально возможная скорость трещины поэтому ограничена. Для
материала аралдит В предельная скорость трещины составляет
гоколо 400 м/с (теоретически максимальной скоростью трещины
является скорость распространения волн Рэлея cr [18]; для
аралдита В с/? = 970 м/с).
^Остановка трещин
Подобно вязкости разрушения Kic, соответствующей началу
„движения трещины (критическая величина КИН для
разрушения материала), вязкость остановки трещины Kia— это крити-
548
Глава 9
•щины становится более податливым Следовательно,
интенсивность напряжений вблизи кончика трещины постепенно
уменьшается с увеличением длины трещины, которая
останавливается по достижении длины аа. Был исследован процесс
изменения КИН при распространении и остановке трещины в
образцах ДКБ из аралдита В размером 321x127x10 мм.
На рис. 9.43 воспроизведена серия из шести фотографий
теневых оптических картин, зарегистрированных с
действительного изображения при просвечивании (го<0). На каждой
фотографии указано мгновенное положение кончика трещины.
.Можно видеть, что с увеличением длины трещины диаметр
каустики уменьшается, что указывает на снижение КИН. Резуль-
Рис. 9.42. Экспериментальная установка для исследования поведения
останавливающихся трещин. 1 — образец ДКБ из аралдита В; 2 — освещающий
пучок; 3 — плоскость изображения.
таты, полученные с помощью фотографий с использованием
формулы (9.15), представлены на рис. 9.44. На рисунке
приведены результаты для трещин, начавших движение при разных
величинах коэффициента интенсивности напряжений Kiq.
Приведены значения динамического КИН К\тк (точки) в
зависимости от длины трещины а, а также графики зависимости от а
соответствующего статического КИН KiCT. Значения
статического КИН определяли измерением критического перемещения 26
с использованием обычной формулы для стационарной
трещины [27]:
KCT_jQKH*^9z 1 + 0,64 (Я/а) ,Q
^J "~ 4 а2 +1,92 (#/а) +1,22 (#/а)2 + 0,39 (#/а)3 ' ^9°°}
Теневой оптический метод каустик
549
где Е — модуль упругости, 2Н — высота образца, а — длина
трещины. Кроме коэффициентов интенсивности напряжений в
нижней части рис. 9.44 показаны графики изменения скорости
распространения трещин. С помощью этих данных могуг быть
определены следующие характеристики остановки трещин.
На начальной стадии движения трещины динамический КИН
Kimu меньше соответствующей статической величины KiCT.
В конце движения трещины динамический коэффициент KimH
больше соответствующей статической величины KiCT. Только
172,9 мм 188,6 мм Ш,В мм
Рис. 9.43. Серия фотографий теневых картин для распространяющейся и
затем останавливающейся трещины (действительные изображения при
просвечивании образца из аралдита В).
после остановки динамический коэффициент KimH
приближается к статическому коэффициенту К\аст. Разница между
графиками динамических и статических КИН меньше для трещин,
начавших движение при более низких значениях Kiq и, таким
образом, движущихся с более низкими скоростями. Динамические
эффекты, очевидно, уменьшаются со снижением скорости, как и
следовало ожидать.
Поведение динамических коэффициентов интенсивности
напряжений после остановки трещины для двух экспериментов
показано на рис. 9.45. Приведены графики зависимости от
времени t динамических КИН /GAHH. Видно, что К\АИП колеблется
550
Глава 9
около статической величины КИН при остановке трещины
К\аст. Только спустя достаточно большой промежуток времени
после остановки трещины динамический КИН приближается к
статической величине.
Эти результаты показывают, что в момент остановки
трещины динамическое напряженное состояние преобладает, хотя
скорость трещины в этот момент равна нулю. Такое поведение
трещины находится в соответствии с концепцией
преобразования кинетической энергии [34]. При распространении трещины
создаются упругие волны, в результате чего кинетическая
энергия поглощается образцом. На ближних границах образца эти
Теневой оптический метод каустик
547
ческая величина КИН в момент остановки трещины. Величина
К\а характеризует склонность материала к остановке
движущейся трещины. Вязкость остановки трещины измеряется с
помощью специальных лабораторных экспериментов. Чтобы
получить информацию о напряженном состоянии вблизи кончика
останавливающейся трещины, было проведено исследование
процесса распространения и последующей остановки трещины
(см. также [29—32]). Сделано предположение, что
напряженное состояние в момент остановки должно быть статическим^
поскольку скорость трещины в момент остановки равна нулю»
[33].
ю* 0,8-
150 200
V, м/с
Рис. 9.41. Зависимость динамического коэффициента интенсивности
напряжений /(1дин от скорости движения трещины.
Остановка движущейся трещины достигается в образце с
уменьшающимся коэффициентом интенсивности напряжений*
[например, в образце в виде двойной консольной балки (ДКБ),.
нагружаемом с помощью клина (рис. 9.42)]. Трещина начинает
двигаться от предварительно созданного выреза длиной а0 при*
критическом перемещении 26. Вершина выреза скруглена,
чтобы накопить достаточную упругую энергию в образце до начала*
движения трещины с целью ее ускорения до высокой скорости.
В процессе движения трещины перемещение 26 остается
постоянным вследствие значительной жесткости системы нагружения^
с помощью клина. Однако образец при увеличении длины тре-
Теневой оптический метод каустик
551
упругие волны отражаются и могут затем снова
взаимодействовать с кончиком трещины и влиять на величину коэффицнеи-
ia интенсивности напряжений. Этот процесс иллюстрирует
рис. 9.46, на котором показана теневая картина быстро
движущейся трещины (со скоростью 1000 м/с) в образце из
высокопрочной стали. Эта картина фотографировалась в отраженном
свете при г0>0. Кроме теневой картины у кончика трещины на
эгом рисунке видно образование упругих волн при движении
грещины, отражение этих волн на границах образца и
последующее взаимодействие отраженных волн с кончиком трещины.
Результаты наблюдений суммированы на рис. 9.47. Они
показывают, что динамические эффекты влияют па процесс
остановки трещины. Поэтому в принципе такие эффекты
необходимо учитывать при измерении вязкости остановки трещины Кии
Статический анализ может дать конкретные результаты, если
скорость движения трещины до остановки достаточно мала
Поле напряжений в образце при ударе снаряда
Рассмотрим результаты исследования напряжений в
образце, динамически нагруженном ударом снаряда (см. также
[35]) с помощью нагружающего устройства, показанного на
552
Глава 9
рис. 9.48. Снаряд ударяет по образцу, длина которого вдвое
больше длины снаряда. Как снаряд, так и образец
изготовлены из одного и того же материала — аралдита В. В процессе
удара образуется волна сжатия, которая движется в образце,
создавая поле сжимающих напряжений. На свободном конце
образца волна сжатия отражается, образуя волну растяжения.
Аналогичный процесс происходит и в снаряде. Волна сжатия
образуется в снаряде, движется назад и отражается от егосво-
Рис. 9.46. Фотография теневой оптической картины для быстро движущейся
трещины в образце из высокопрочной стали (фотографировалось мнимое
изображение при отражении).
бодиого конца. Две волны растяжения, пройдя одинаковые
расстояния, встречаются в средней части образца и создают здесь
зону растягивающих напряжений, которая затем
распространяется на весь образец. При последующем отражении волн вновь
возникают сжимающие напряжения и процесс повторяется.
История напряженного состояния образца видна на теневой
оптической картине с использованием ряда малых отверстий,
554
Глава 9
Рис. 9.48. Экспериментальная установка для исследования напряжений
плоском образце при ударе снаряда. / — пушка; 2— снаряд; 3 — прозрачны
образец; 4 — падающий свет; 5 — плоскость действительного изображения.
!-. \ I 1 * t 1 t t t
t t t ! t I I I I I
а- б
Рис. 9.49. Теневые картины около круглых отверстий при сжатии (а) и ра
тяжении (б).
растягивающие, что соответствует изменению ориентации :
вых картин (кадры 13—14). Для последующих интервалов
мени наблюдается поле растягивающих напряжений (к;
Теневой оптический метод каустик
553
Рис. 9.47. Диаграмма остановки трещины, t — время после остановки трещи
ны; К — коэффициент интенсивности напряжений; а0—длина трещины.
высверленных в образце. Вокруг отверстий происходит
концентрация напряжений, что регистрируется с помощью теневых
картин в проходящем свете при z0<0. В соответствии с
результатами разд. 9.2 (рис. 9.8) поле растягивающих напряжений
образует теневую картину с линией пересечения каустик в
направлении приложенных напряжений, тогда как в случае поля
сжимающих напряжений линия пересечения
ориентирована перпендикулярно направлению напряжений (рис. 9.49).
Кроме того, размер каустики является мерой величины
напряжения.
На рис. 9.50 воспроизведена серия из 24 теневых оптических
картин для ряда отверстий диаметром 1 мм, расположенных
вдоль образца (ряд А на рис. 9.48); на каждой картине
указано время регистрации. Нулевой момент времени соответствует
моменту перехода от сжатия к растяжению. Первые кадры
соответствуют распространению в образце волны сжатия
(кадры 1—5), создающей поле сжимающей нагрузки (кадры 6—12).
Затем сжимающие напряжения уменьшаются и переходят в
36—1480
6
Рис. 9.51. Серия фотографий теневых оптических картин для образца с рядом отверстий при ударе снарядом
(регистрировались действительные изображения при просвечивании образца из аралдита Б) (а) и изменение сигнала
тензодатчика (б).
Теневой оптический метод каустик
557
15—22); затем напряжения опять становятся сжимающими
(кадры 23—24).
На рис. 9.51 показаны результаты для ряда из трех
отверстий, расположенных на половине длины образца и на
расстояниях 1/4, 1/2 и 3/4 его ширины поперек него (рис. 9.48, ряд Б).
Кроме теневых картин для определения напряжений
использовались также тензодатчики, расположенные между
отверстиями. На рис. 9.51 теневые оптические картины сравниваются с
изменением сигнала тензодатчиков. Видно, что теневые
картины изменяют свою ориентацию аналогично изменению сигнала
тензодатчиков. В частности, между кадрами 13 и 15 теневые
картины сжатия изменяются на теневые картины растяжения,
что согласуется с результатами измерений с помощью тензо-
датчика. Последняя теневая картина указывает на наличие
сжимающих напряжений. Представленные результаты
свидетельствуют о применимости теневых картин вблизи отверстий
для сравнительно простого анализа распределения напряжений
в образце.
Образец с двумя трещинами
при действии импульсной растягивающей нагрузки
Рассмотрим теперь результаты исследования изменения
коэффициента интенсивности напряжений для образца с двумя
параллельными близко расположенными трещинами, который
нагружается динамическим симметричным относительно оси
импульсом растягивающей нагрузки (см. также [35, 36]).
Образец размером 400X100X10 мм изготовлен из аралдита В и
содержит на одном краю две трещины длиной a<>=25 мм на
расстоянии d = 20 мм друг от друга. Нагружающее приспособление
состоит из двух частей, одна из которых фиксирует один конец
образца, а другая мгновенно нагружается ударяющей массой
с помощью специального устройства (5 = 0 при /<Аь но бФО
при t>t0). Таким образом создается импульс растягивающих
напряжений, который затем распространяется в образце.
Трещину, нагружаемую сначала, обозначим буквой А, а трещину,
нагружаемую позже, — буквой Б. Схема экспериментальной
установки показана на рис. 9.52.
На рис. 9.53 показана серия из шести действительных
изображений теневых оптических картин, сфотографированных при
просвечивании (г0<0). На каждой картине указано время
регистрации. Момент времени, в который импульс растягивающих
напряжений достигает середины расстояния между трещинами
А и Б, принят равным нулю. Для более ранних моментов
времени диаметр каустики около трещины А больше (т. е. больше
величина КИН), поскольку импульс напряжений сначала па-
ft
m
%
v
•-ft-
-ft:
;**
if*
m
№
к'
г
t
SI
s
g
Рис. 9.50. Серия фотографий теневых картин для образца с рядом отверстий, ударяемого снарядом (фотографиро]
действительные изображения при просвечивании образца из аралдита В).
558
Глава 9
дает на трещину А. Форма каустики у трещины А
свидетельствует о нагружений типа I, тогда как каустика у трещины Б
характерна для смеси нагружений типов I и II, поскольку
импульс напряжений искажается после взаимодействия с
трещиной А. В последующие моменты времени ситуация изменяется.
Обе каустики имеют одинаковый размер, а потом каустика
около трещины Б становится больше уменьшающейся каустики
около трещины А. Вследствие взаимодействия полей напряже-
Рис. 9.52. Экспериментальная установка для исследования взаимодействия
двух трещин в образце, нагруженном симметричным импульсом
растягивающей нагрузки. / — образец с двумя трещинами; 2— жесткий зажим; 3—
быстро ускоряющаяся масса; 4 — падающий пучок света; 5 — плоскость
действительного изображения.
ний вблизи кончиков двух трещин теперь около трещины А
видно нагружение смешанного типа. Графики зависимости от
времени коэффициентов интенсивности напряжений К\ для
аналогичного расположения трещин (длина трещин а0=15 мм,
расстояние между ними d = 20 мм) представлены на рис. 9.54.
Графики коэффициентов интенсивности напряжений KiA{t) и
K\B(t) для двух трещин колеблются относительно друг друга.
Только в начальные моменты КИН для трещины А больше
КИН для трещины Б. Позднее КИН для трещины Б может
быть больше, чем КИН для трещины А (например, в интерва-
2
3" = 0 при t£tQ,
3
Теневой оптический метод каустик
559
лах 95 мкс<^<125 мкс, 215 мкс<^<285 мкс и т. д.). При
больших значениях времени КИН для двух трещин принимают
близкие значения. Таким образом, несмотря на то что импульс
напряжений сначала падает на трещину А, КИН для
трещины Б может быть в определенные моменты времени больше,
чем для трещины А. Для любого момента времени КИН KiA и
К\Б в образце с двумя трещинами меньше КИН Ki° для
эквивалентного образца с одной трещиной. Только для очень ран-
Рис. 9.53. Серия фотографий теневых картин для образца с двумя
трещинами (фотографировались действительные изображения при просвечивании
образца из аралдита В).
них моментов времени, т. е. до начала взаимодействия между
двумя трещинами А и Б, К\А близок к Ki°, как и следовало
ожидать.
9.6. Заключение
В настоящей главе были описаны основные положения
теневого метода каустик. Рассмотрены физические принципы
метода, математическое описание процесса формирования теневых
изображений, дан вывод уравнений каустик. Обсуждена
практическая реализация метода в лаборатории, а также
проиллюстрировано применение метода к решению ряда
практических задач.
560
Глава 9
Как было показано, метод каустик основан на отклонении
лучей света из-за градиентов напряжений. Поэтому этот метод
очень хорошо подходит для исследования любых задач с
большими градиентами напряжений и деформаций (т. е. задач
концентрации напряжений около отверстий, вырезов, трещин, зон
контакта). Показаны теневые картины для типовых примеров.
Обработка получаемых теневых картин достаточно проста и
нетрудоемка. В общем измеряется только один характерный раз-
01 I i i l_
0 100 Z00 300 400
ttmkc
Рис. 9.54. Зависимость от времени коэффициентов интенсивности напряжений
для образца с двумя трещинами при динамической нагрузке.
мер каустики, по которому определяется параметр
нагружения.
Большинство экспериментальных методов определения
напряжений основаны на эффектах, которые прямо
пропорциональны напряжениям или деформациям. Специфические
достоинства и недостатки теневого метода каустик, определяемые
особенностями используемых в этом методе зависимостей от
напряжений, становятся очевидными при сравнении теневых
картин и картин фотоупругости, полученных для одного и того же
поля напряжений вблизи кончика трещины (рис. 9.55). Теневое
562
Глава 9
ческих картин теневой метод каустик дает удовлетворительнь
результаты даже при исследовании сложных задач. Метод х
рошо подходит для изучения сложных явлений (таких, как д
намические процессы). Большинство применений метода кау
тик до сих пор было связано с динамикой разрушения. Быстрь
изменения коэффициентов интенсивности напряжений вбли:
кончика трещин могут быть измерены легко и достаточно то1
но. Метод каустик позволяет исследовать не только наибол<
важный для практики случай трещин при растягивающей н
грузке, но также и случаи нагружения сдвигом и смешаннь
типы нагружения. Обсуждена применимость выведенных фо
мул для исследования задач динамики разрушения. Кроме ан
лиза коэффициентов интенсивности напряжений в линейно-у
ругом поле напряжений метод каустик был развит для анали:
концентрации деформаций и напряжений при упруго-пластич
ских деформациях вокруг трещин в материалах, проявляющ!
вязкое разрушение. Представлены формулы для определен!
различных параметров механики разрушения, таких, как коэс
фициенты интенсивности напряжений Ki, Ки и Кш в упруго
области или /-интеграл в случае упруго-пластических дефо
маций.
Применение метода каустик продемонстрировано рядом пр
меров решения задач динамики разрушения. Однако этот м
тод вполне подходит для исследования многих других зад,
концентрации напряжений.
Обозначения
а — длина трещины;
a, b — упруго-пластические постоянные;
Л, В — постоянные материала в законе Максвелла — Hei
манна;
а — коэффициент, зависящий от скорости;
^2,з,4,... — коэффициенты высших порядков в разложена
в ряд напряжений вблизи кончика трещины;
с— теневая оптическая постоянная;
с0 — скорость звука;
С\ — скорость продольной волны;
с2 — скорость поперечной волны;
С — податливость образца;
d — толщина образца или расстояние между двумя тр
щинам'И в образце;
d3 — эффективная толщина образца;
D — характерный размер (диаметр) каустики;
DQ,i — наружный (внутренний) диаметр каустики;
#max(min) — максимальный (минимальный) размер каустиь
смешанного типа;
Е— модуль упругости;
Теневой оптический метод каустик
563
е — деформация;
/—коэффициент при вычислении каустики;
fo(i) — коэффициент при вычислении наружной
(внутренней) каустики;
g— коэффициент при определении К\ по каустике
смешанного типа;
G — функция или постоянная Лямэ (модуль сдвига)
G=£/[2(l + v)];
Н — высота образца;
/ — /-интеграл;
К—коэффициент интенсивности напряжений;
п — показатель преломления или показатель
упрочнения материала;
v — коэффициент Пуассона;
О — начало координат;
Р — нагрузка на краю, Н/м;
р, q — напряжения вдоль осей х и у в двухосном поле
напряжений;
R — радиус круглого отверстия;
г, ф — полярные координаты в плоскости объекта
(образца);
-полярные координаты в плоскости изображения;
-полярные координаты в кончике движущейся
трещины;
г0 — радиус начальной кривой;
р — плотность материала или радиус в вершине выреза
или радиус в вершине клина;
S — расстояние между опорами;
s —оптическая длина пути света;
о —нормальное напряжение;
Go — предел текучести на растяжение;
t — время;
К — коэффициент анизотропии;
т — касательное напряжение;
[х — отношение Ku/Ki коэффициентов интенсивности
напряжений при нагружении типов I и II;
vyw — перемещения в направлениях х, у, z\
W — ширина образца;
xt у — декартовы координаты в плоскости объекта
(образца);
с7, у'—декартовы координаты в плоскости изображения;
х, у —декартовы координаты в кончике движущейся
трещины;
z —направление оптической оси;
z0 — расстояние между плоскостью объекта (образца.)
и плоскостью изображения
глава 10
Оптическое гетеродинирование
К Стетсон1)
В большинстве интерферометрических методов оптической
Метрологии информация получается в виде картин темных и
светлых интерференционных полос, которые можно
фотографировать или наблюдать визуально. Такие картины полос вполне
пригодны для качественного анализа, однако при
использовании их для количественных измерений часто возникают
трудности. Величина перемещения точно определяется для середины
полосы, положение которой на изображении может быть
установлено лишь с погрешностью порядка 0,1 расстояния между
полосами. К тому же часто оказывается возможным получить
данные только в точках, расположенных на полосах, а
перемещения в других местах приходится находить путем
интерполяции.
Последние достижения в компьютерной технологии создают
дополнительные проблемы при использовании данных в виде
картин интерференционных полос. Оптическая метрология
часто используется для проверки результатов численного
моделирования с помощью ЭВМ изучаемого объекта. Для
эффективного количественного сопоставления теоретических и
экспериментальных результатов с помощью компьютера расчетные и
экспериментальные величины должны быть введены в
компьютер в цифровом виде. Преобразование измеренных оптических
величин в механические перемещения или деформации часто
требует трудоемких расчетов, которые также с наибольшей
эффективностью можно выполнить с помощью компьютера. В
связи с этим желательно преобразовывать информацию,
содержащуюся в картинах, в цифровую форму.
По-видимому, наиболее подходящий способ для выполнения
этих операций — так называемая гетеродинная (или, более
точно, одночастотная) интерферометрия. Этот способ легко понять
при рассмотрении классического интерферометра, например
*> Karl A. Stetson. United Technologies Research Center, East Hartford
Connecticut
Оптическое гетеродинирование
565
построенного по схеме Маха — Цандера. Предположим, что bl
один из пучков помещено устройство, которое непрерывно
изменяет фазу света, проходящего через него. Полосы на выходе
будут непрерывно двигаться по полю зрения, а освещенность в
некоторой точке будет синусоидально изменяться. Временная
фаза этих колебаний может быть измерена фотодетектором и
фазометром и будет прямо пропорциональна порядку полосы.
Порядок полосы в свою очередь пропорционален изменению
оптической разности хода, измеряемой интерферометром.
Гетеродинный интерферометр имеет ряд преимуществ.
Движение полос исключает необходимость нахождения центра
полосы, и, следовательно, фотодетектор может произвести измерение
в любом месте поля на выходе. Современные электронные
фазометры могут измерять фазу хороших сигналов с
погрешностью менее 0,1°, что соответствует определению положения
центра полосы с погрешностью 1/3600. Кроме того, в настоящее
время имеются приборы, снабженные соединительными
интерфейсами для работы под управлением компьютера и передачи
данных, которые в значительной степени облегчают
электронную обработку интерферометрических данных.
В этой главе обсуждается оптическое гетеродинирование с
точки зрения его использования в когерентно-оптической
метрологии. Сначала описаны оборудование и основные методики.
Затем следует обзор приложений, включающих голографию и
спекл-фотограмметрию. Глава завершается обсуждением
сопутствующих гетеродинных систем.
10.1. Общее техническое описание
Системы, образующие гетеродин
На практике для получения гетеродинной фазовой
модуляции в пучке света в основном используются три системы. Для
низкочастотной модуляции может быть использована простая
система из вращающейся полуволновой пластинки, за которой
•следует четвертьволновая пластинка. Теория этого устройства
хорошо описана в работе [1], и здесь достаточно отметить, что
оно преобразует линейно-поляризованный луч света в два кол-
линеарных, ортогонально поляризованных луча, разность
оптических частот которых в четыре раза больше частоты вращения
полуволновой пластинки. Они могут быть разделены с помощью
поляризационного делителя и использованы в интерферометре.
Полуволновая пластинка должна быть строго
плоскопараллельной, чтобы не изменялось направление распространения луча.
Этому требованию удовлетворяют пластинки из тонкой слюды,
-используемые без подложки. Полуволновая пластинка должна
Теневой оптический метод каустик
561
пятно является непосредственной мерой интенсивности
напряжений вблизи кончика трещины. Картина полос фотоупругости
более сложна, чем теневая картина из-за большого количества
изохромных полос. Таким
образом, оценка концентрации
напряжений по картине
изохром является более сложной
задачей. В частности, в непо*
средственной близости от
кончика трещины четкость полос
снижается, что затрудняет
обработку картины полос и
снижает точность получаемых
результатов. Кроме того,
данные о напряжениях
непосредственно вблизи кончика
трещины могут быть получены
только экстраполяцией
данных, измеренных на некотором
удалении от кончика. Теневая
картина лишена такого
недостатка. Простота и четкость
теневой картины объясняются
тем, что распределения
напряжений при их малых
изменениях на картине не видны.
Однако это вызывает и
некоторые ограничения метода.
Распределения напряжений на
некотором удалении от
концентратора напряжений
(например, около кончика трещины
на рис. 9.55) не влияют на
теневые эффекты из-за малой
величины градиентов
напряжений и поэтому их нельзя
фотоупругости, однако, дает точную информацию/в частности,
в зоне, удаленной от кончика трещины. Теневой метод каустик
и метод фотоупругости не следует рассматривать поэтому как
конкурирующие экспериментальные методы, которые могут
использоваться одинаково эффективно для получения одних и тех
же данных. В зависимости от изучаемой характеристики и типа
решаемой задачи надо выбирать тот или другой метод. Оба
метода имеют свою наиболее эффективную область применения и
дополняют друг друга.
Вследствие простоты принципа и легкости обработки опти-
Рис. 9.55. Сравнение теневой
картины (а) и картины изохром (б)
вблизи кончика трещины.
исследовать. Картина полос
566
Глава 10
вращаться без вибрации с постоянной скоростью, чтобы
обеспечить немодулированную частоту гетеродина. Для этого
наилучшим образом подходит синхронный двигатель с полым валом.
Четвертьволновая пластинка должна быть отъюстирована по
отношению к поляризации делителя луча для того, чтобы
исключить смешение лучей со сдвинутыми частотами.
Несколько сот герц — это, вероятно, предел частот, которые
можно получить с помощью одной вращающейся полуволновой
пластинки. Более высокие частоты облегчают выделение из
гетеродинного сигнала интерферометра низкочастотного шума,
вызванного механическими вибрациями. Они могут быть
получены механическим вращением радиальной решетки. С помощью
решетки небольших размеров, вращающейся с приемлемой
скоростью, даже мегагерцевые разности частот могут быть
получены между плюс- и минус-первыми порядками. Однако
поддержание скорости, центровка и однородность решетки имеют
гораздо большее значение в этой системе, чем в системе с
вращающейся полуволновой пластинкой.
Вероятно, наиболее распространенные устройства для гете-
родинирования — акустооптические модуляторы. В них
используется акустическая волна, распространяющаяся в материале,
подобном кварцу, для дифракции света. Ширина акустического
пучка вместе с эффектом Брэгга могут ограничить дифракцию
до нулевого порядка и единственного первого порядка с
высокой эффективностью. Главная проблема, связанная с этими
приборами, заключается в том, что они создают чрезвычайно
высокие выходные частоты (40—100 МГц). Для снижения
выходных частот используют две такие модуляционные установки
(по одной в каждом пучке интерферометра).
Все эти системы лучше работают со светом лазера, чем со
светом теплового источника. Во-первых, их апертура обычно
мала и модуляция зависит от угла, поэтому лазеры
обеспечивают наиболее эффективное прохождение через системы
достаточного количества энергии. Во-вторых, как волновые
пластинки, так и решетки обладают дисперсией, так что важна
спектральная чистота излучения. Таким образом, не удивительно, что
гетеродинная интерферометрия используется в основном в
когерентно-оптических методах.
Фазометры
Существует ряд приборов для электронного измерения
разности фаз, однако следует помнить, что сама фаза часто
используется только для определения перемещений и деформаций,
которым она пропорциональна. Электронные приборы с
встроенными микропроцессорами позволяют проводить такие матема-
Оптическое гетеродинирование
567
#ические операции, как компенсация, нормализация,
масштабирование и усреднение, которые могут быть использованы для
дреобразования измеряемой фазы непосредственно в
требуемую выходную величину. Эти преимущества вместе с
возможностью компьютерного управления — важные условия
функционирования любой системы, с помощью которой обрабатывается
kбольшое количество данных. Компьютерное управление
требуется также для сканеров, перемещающих детекторы по
выходному полю, а также для любого другого устройства,
многократно выполняющего одну и ту же операцию.
Некоторые дополнительные меры должны быть приняты при
•изменениях фаз, превышающих 360°. Показания простого
фазометра будут сбрасываться при каждом таком переходе,
вследствие чего на выходе появятся разрывы. Способ решения такой
проблемы будет зависеть от того, какой конкретно фазометр
используется. В общем либо выделяются и подсчитываются
переходы, либо используется управление выходным сигналом
с тем, чтобы скомпенсировать различие двух сигналов.
Мерцающий шум
Гетеродинная интерферометрия имеет некоторые присущие
ей преимущества по сравнению со сканированием изображений,
например с помощью телекамеры, так как на нее
непосредственно не влияют ни изменения яркости изображения, ни конт-
.раст полос. Существует, однако, косвенное влияние,
обусловленное спеклами, формируемыми диффузно-когерентными
полями в голографии и спекл-метрологии. Результатом
интерференции двух случайных диффузных полей будет поле со случайной
картиной спеклов, подобной той, какая получается от каждого
из полей. Когда фаза одного из полей непрерывно изменяется,
как в гетеродинной интерферометрии, все спеклы мерцают на
частоте гетеродина. Фазы этих мерцаний случайны, и если
детектор регистрирует поле, включающее достаточно спеклов, эти
некоррелированные сигналы будут в сумме давать нуль. Для
повышения пространственного разрешения механических
измерений может потребоваться маленький детектор, и в этом
случае сигнал мерцаний может стать заметным.
Когда два когерентных диффузных поля точно коррелиро-
ваны, их индивидуальные картины спеклов точно совпадают,
и они могут интерферировать с единым контрастом. Такое
случается редко, и обычно поля можно разделить на
коррелированную часть, которая дает макроскопические полосы, и
некоррелированную часть, которая приводит к мерцанию спеклов.
Мерцания формируют случайный фоновый сигнал, который
искажает фазу, обусловленную макроскопическими полосами, и приво-
568
Глава 10
дит к ошибкам в измерениях. Это явление тщательно
проанализировано для голографической интерферометрии [2], и
полученные результаты применены к спекл-интерферометрии [3].
На практике эффект мерцаний может устанавливать пределы
метрологии с помощью гетеродинной интерферометрии.
10.2. Применение в голографии
Запись картины полос
Применение гетеродинной методики к голографической
интерферометрии широко обсуждалось Дандликером в работе
[2J. В этом разделе представлен краткий обзор материала из
работы [2] с дополнительными комментариями.
Гетеродинные методики могут применяться только для
интерферометров, работающих непосредственно, т. е. в реальном
времени. Традиционные голограммы, полученные методами двух
экспозиций и усреднения во времени, восстанавливают
изображения, содержащие постоянную интерференционную картину
как неотъемлемую часть восстановленного поля. Для
реализации гетеродинной методики необходимо иметь раздельный
доступ к интерферирующим полям. Для двухэкспозиционных
голограмм это может быть сделано путем записи двух экспозиций
с помощью отдельных опорных пучков. Когда эти пучки
используются для восстановления изображения, голограмма
восстанавливает от каждого из них независимое поле изображения,
чья фаза непосредственно связана с восстанавливающим
пучком. Если относительная фаза двух восстанавливающих пучков
непрерывно сдвигается гетеродинным генератором, то полосы
на восстановленном изображении будут двигаться по полю.
Если два опорных пучка воспроизведены точно, два
изображения перекрываются с абсолютной точностью, а возникающие
полосы будут зависеть только от деформаций объекта,
происшедших между экспозициями.
Надо следить за расположением исходных опорных пучков,
так как голограмма способна восстановить истинное и
сопряженное изображения для каждой из двух экспозиций (всего
четыре изображения). Следовательно, от двух
восстанавливающих пучков получается восемь изображений, и следует обратить
внимание на то, как они перекрываются. На рис. 10.1, а слева
показана голограмма, записанная опорным пучком,
расположенным ниже объекта (ОВ) и слева от него, а справа она
восстанавливает два изображения. Истинное изображение IM
находится выше восстанавливающего пучка и справа от него,
а сопряженное изображение WI лежит ниже слева (заметим,
что сопряженное изображение WI перевернуто и обращено по
Оптическое гетеродинирование
56$
отношению к истинному изображению IM). На рис. 10.1,6
опорный пучок лежит ниже и справа объекта и полученная
голограмма восстанавливает IM вверху слева, a WI — внизу справа.
Оба луча присутствуют при записи на рис. 10.1, в, г и А В
правой части рис. 10.1, в голограмма воспроизводит четыре
изображения от левого восстанавливающего пучка: два IM (выше
слева и справа) и два WI (ниже слева и справа). Ситуация на
рис. 10.1, г та же самая, но используется правый
восстанавливающий пучок. На рис. 10.1, д в присутствии обоих восстанавли-
Запись Восстановление
ОВ IM
а м ' •
ов
6
IM IM
WI WI
IM IM
WI WI
IM ® IM
WI (g) WI
Рис. 10.1. Схемы записи и восстановления изображений для голографии с
двумя опорными пучками.
вающих пучков возникают восемь изображений, причем
изображения в центре сверху и снизу налагаются с образованием
интерференционных полос. Эти пары изображений выделеньг.
окружностями на рис. 10.1, д
Первоначальные опорные пучки должны быть расположены
таким образом, чтобы предохранить центральные пары
изображений от перекрытия во время восстановления; в противном
случае могут возникать ошибки. Этого можно достичь, располагав
опорные пучки по возможности ближе друг к другу и отделяя
их от объекта, как показано на рис. 10.2. Однако в результате
IM
wi
ов
37—1480
Оптическое гетеродинирование
ложены близко друг к другу. Выбор между неточностью возврат
та и возрастанием мерцающего шума должен делаться с учетов
конкретного применения.
Если полосы, образованные деформацией объекта, не
локализованы на его поверхности, их контраст будет уменьшаться,,
когда детекторы сканируют сфокусированное изображение. Это*
увеличивает мерцающий шум и снижает точность измерений.
Если полосы локализованы в плоскости, лежащей вблизи
поверхности объекта, может оказаться удобным расположить де-
.текторы в месте локализации полос и сканировать
несфокусированное изображение. При этом площадь, контролируемая
детектором, увеличивается, но более важным может оказаться
увеличение сигнала. В ряде случаев полосы могут быть
локализованы вдоль линии, не лежащей в поле зрения. Это происходит,
когда перемещения объекта происходят поперек направления
наблюдения в дополнение к поворотам, деформациям или
смещениям. В этом случае может оказаться целесообразным
слегка изменить ориентацию одного из восстанавливающих пучков*
по отношению к другому, чтобы свести два изображения по*
возможности ближе, и для таких манипуляций желательно,
чтобы опорные пучки были коллимированы.
Обычные голограммы с усреднением во времени,
полученные для вибрирующего объекта, трудно приспособить к
подобной схеме считывания из-за непрерывного движения объекта.
Однако эту трудность можно преодолеть при записи
стробоскопической голограммы, дающей мгновенное изображение поля
объекта в пределах цикла колебания. Блуждающие вибрацик
(т. е. вибрации, которые циркулируют по поверхности объекта)
могут остаться невыявленными при восстановлении
усредненной во времени голограммы. Однако благодаря повышенной
чувствительности гетеродинного считывания они становятся
заметными. Это может оказаться преимуществом или помехой
в зависимости от применения.
Следящие картины полосе
Следящий голографический интерферометр, или голографи-
ческий интерферометр в реальном времени, идеально
приспособлен к гетеродинному считыванию. Гетеродинный генератор
может быть введен между объектным и опорными пучками в
регистрирующей установке. Голограмма записывается без
частотного сдвига, а восстанавливается при частотном сдвиге В этой
схеме, по-видимому, особенно важна фотообработка голограм-
!> В отечественной литературе такие картины обычно называют картиной
полос в реальном времени. — Прим. перев.
37*
570
Глава 10
такого расположения две пары неинтерферирующих
изображений приближаются к интерферирующим. Подобное перекрытие
изображений уменьшает контраст интерференционных полос и
создает мерцающий шум. Величина возникающей погрешности
«была оценена в работе [2] в зависимости от параметров
изображения.
Если значительная часть объекта между экспозициями не
перемещается, возникает другая проблема. Взаимное влияние
:нелинейностей голографической пленки между двумя записями
может привести к образованию ложных полос, что также
вызывает погрешности. Обсуждение этих эффектов можно найти в
литературе [4].
Когда для восстановления двукратно экспонированной
голограммы используются два световых пучка, полосы будут
возникать от любых изменений угла или кривизны опорных
пучков Даже если они слишком малы для того, чтобы вызвать ви-
Запись Восстановление
ов • IM (ш)т
• • 0 0
wi (wj) WI
Vuc. 10.2, Перекрытие изображений для голограммы с близко
расположенными опорными пучками.
димые полосы, при гетеродинном методе считывания они легко
фиксируются, что добавляет ложную информацию к
регистрируемым данным. Если голограмма была удалена для
фотографической обработки, то ее необходимо возвратить точно в
исходное положение относительно восстанавливающих пучков.
Даже искажения фотографического слоя могут стать
заметными, в особенности когда используется желатиновая эмульсия.
Обработка голограмм на месте экспозиции, возможно, дает
наиболее простое решение проблемы. Голограммы, записанные на
термопластик, особенно пригодны для этой цели, так как имеют
высокую дифракционную эффективность, а процесс обработки
сухой и быстрый. При использовании традиционных
фотоматериалов они должны отбеливаться с тем, чтобы получилась
четкая фазовая голограмма с низким уровнем шума,
пропускающая достаточный световой поток к фотодетектору. В работе [5]
/5ыло показано, что влияние неточности возврата голограммы в
исходное положение уменьшается, если опорные пучки распо-
.572
Глава 10
мы на месте экспозиции, поскольку только одно поле
искажается при деформации эмульсии. В двухэкспозиционной методике
деформации эмульсии воздействуют на оба голографически
восстановленных изображения одинаково. Вследствие диффузного
рассеяния света объектом на фотодетектор падает слабый
световой поток, и в этом случае очень желательно сочетание
высокоэффективной отбеленной голограммы с мощным лазером.
Когда дважды экспонированная голограмма
восстанавливается двумя опорными пучками, их желательно проводить через
один и тот же общий объем воздуха, чтобы минимизировать
^влияние воздушной турбулентности. В следящем голографиче-
ском интерферометре это труднее осуществить и может
потребоваться пропускание луча через воздух, заключенный в
оболочку, что предохранит от искажений выходной фазовый
•сигнал.
Одно из преимуществ следящего интерферометра
заключается в том, что с его помощью можно измерять деформации
объекта, изменяющиеся во времени. Это особенно
привлекательно, если работают несколько детекторных каналов либо
параллельно, либо с помощью последовательного мультиплексора.
С помощью такой схемы можно одновременно оценивать
распределение деформаций в пространстве и их изменения во
времени.
Следящий голографический интерферометр возможно также
•приспособить к получению в простой форме данных о
колебаниях, используя низкочастотный гетеродинный сигнал [6].
Сигнал с детектора сопоставляется с сигналом гетеродинного
генератора, работающего на частоте существенно ниже частоты
вибраций, и подсчитывается среднее количество положительно
(или отрицательно) направленных переходов через нуль на
цикл вибрации в течение определенного периода времени. С
увеличением периода времени среднее стремится к амплитуде
вибрации, выраженной в числе интерференционных полос.
Метод может быть реализован при подаче выходного
сигнала детектора на вход счетчика и сигнала вибраций на вход
внешних часов. Минимальная амплитуда, которую можно
обнаружить, должна вызывать локальный максимум или минимум
на вершине синусоидальной волны гетеродинного сигнала. Это
есть гетеродинная частота в герцах, деленная на частоту
вибраций в радианах в секунду. С помощью этого метода нетрудно
разрешить одну тысячную длины волны или меньше. Отметим,
что для этой схемы важна лишь амплитуда вибраций, но не их
•фаза. Однако шум будет появляться как дополнительный фон,
если он достаточен для того, чтобы вызвать локальные
максимумы и минимумы, и не может быть устранен полосовой
фильтрацией.
Оптическое гетеродинирование
573
10.3. Спекл-фотограмметрия
Когда диффузно отражающий объект освещается лазерным
светом, который потом проходит через оптическую систему, поле
изображения будет покрыто случайными спеклами. Если объект
хорошо сфокусирован, то в первом приближении оказывается,
что спеклы изображения движутся так, как если бы они были
присоединены к поверхности объекта. По этой причине
лазерные спеклы могут служить в качестве меток для точек
поверхности объекта, и измерение перемещения спекла может
использоваться для измерения перемещения объекта.
Применение спеклограмм (т. е. фотографий определенных
картин) в оптической метрологии хорошо известно [7]. В
одной из наиболее распространенных методик двухэкспозицион-
ные спеклограммы просвечиваются узким считывающим лучом
лазера. Интерференционные полосы, образующиеся при
дифракции считывающего пучка (при просвечивании записанной спекл-
картины), могут быть использованы для измерения
перемещений объекта1). Эти полосы получаются при интерференции двух
полей, рассеянных двумя компонентами дважды
экспонированной спеклограммы.
Для того чтобы применить оптическое гетеродинирование
в этой методике, необходимо разделить два интерферирующих
поля, так же как в случае дважды экспонированных голограмм.
Наиболее практический путь такого разделения заключается в
записи двух экспозиций спеклограмм на отдельные
фотографические пластинки. Две пластинки затем помещаются в два
пучка интерферометра; картины в результирующем световом поле
■.(гало) налагаются и образуют полосы. Если пластинки
совместно перемещаются, так чтобы освещался новый участок, любые
изменения картины полос соответствуют разности перемещений
наложенных изображений. Подобная система функционирует
как фотокомпаратор, поэтому логично назвать эту методику
измерений спекл-фотограмметрией. Разумеется, очень легко
применить оптическое гетеродинирование, сдвигая по частоте два
рассмотренных луча. Тогда фотодетекторы на выходном поле
преобразуют движущие полосы в синусоидальный сигнал,
пригодный для измерения фазы.
Так как две экспозиции записаны на разных
фотопластинках, трудно определить абсолютное перемещение объекта.
Однако одно из наиболее важных применений гетеродинной спекл-
фотограмметрии — измерение деформаций, для которого
абсолютные перемещения не важны. Если поверхность объекта
деформировалась между экспонированием двух спеклограмм, вто-
*> Эти полосы часто называются полосами Юнга. — Прим. перев.
Оптическое гетеродинирование
575
быть составлен, как показано, из двух одинаковых пластин с
отражающей поверхностью между ними. Таким образом, он
оказывает одинаковое влияние как на проходящий, так и на
отраженный лучи. Желательно, чтобы вся оптика в выходной части
интерферометра имела максимальную плоскостность
поверхностей для того, чтобы избежать появления начальных полос в
интерференционном поле.
Характеристики такой системы ограничиваются главным
образом мерцающим шумом, описанным выше, для гетеродинной
голографической интерферометрии. Причина в том, что
световые поля (гало) сами по себе содержат спеклы, размер
которых обратно пропорционален диаметру каждого считывающего
луча, и поэтому определенное их количество собирается
детектором в пределах гало. Анализ проблемы [3] показал, что это
вызывает среднеквадратичное отклонение величин деформаций,
которое пропорционально квадрату отношения размера спекла
йа спеклограмме к базовой длине. Коэффициент
пропорциональности связан с контрастом полос и величиной части гало,
используемой в эксперименте.
Тщательная юстировка интерферометра повышает контраст
полос и увеличивает точность. Наиболее трудная задача —
расположение всех лучей в одной плоскости, особенно с помощью
шести подвижных зеркал и двух регулируемых делителей. При
юстировке подобных систем весьма желательно располагать
интерферометр на плоской поверхности основания, по которой
перемещается контрольное зеркало для отражения назад луча
после каждого зеркала. Следует также учитывать возможную
клиновидность делителя пучка, вследствие которой проходящий
луч отклоняется.
В связи с чувствительностью, обеспечиваемой гетеродинным
считыванием в спекл-фотограмметрии, важно рассмотреть
проблемы, связанные со сферической перспективой большинства
линз. При сферической перспективе создается изображение
объекта, размер которого увеличивается при перемещении к
линзе, и такое движение порождает ложную деформацию. Для
решения этой проблемы могут быть созданы телецентрические
линзовые системы, причем их размер должен быть больше
размера изучаемого объекта.
Применение спекл-фотограмметрии для измерения
деформации сплавов на основе никеля при высокой температуре
описано в работе [9]. Интерферометрический фотокомпаратор может
также применяться к фотографиям в белом свете произвольно
текстурированных объектов (так называемая спекл-фотография
в белом свете). В принципе даже электронно-микроскопические
снимки и аэрофотоснимки могут анализироваться с помощью
этой системы.
574
Глава 10
рая спекл-картина будет смещена по отношению к первой. Это
будет выявлено фотокомпаратором как прямое смещение одной
спекл-картины относительно другой. Одномерная
деформация будет равна относительному смещению изображений,
деленному на расстояние между точками измерений. Двумерная
деформация представляет собой тензор, который может быть
связан с поворотом в плоскости. Для определения компонент
тензора деформации необходимо относительное перемещение
изображений в двух направлениях сканирования относительно
фотопластинки.
Вращатель
плоскости
поляризации на 90"
Вращающаяся
пластинка
Л/Z
Линза
Пластинка
Л/4
Перемещаемый
столик
Фотопластинка I
Рис. 103. Интерферометрический компаратор для гетеродинного считывания?
спеклограмм. PBS — поляризационный делитель пучка; BS — симметрично
компенсирующий делитель пучка.
На рис. 10.3 показан типичный интерферометр,
предназначенный для этой цели и имеющий ряд особенностей,
повышающих точность измерений. Шесть зеркал расположены
симметрично, что позволяет выравнивать длины путей обоих лучей и
в то же время располагать держатели обеих спеклограмм в
одной плоскости и на равном расстоянии от выходного делителя
пучка. Три входных зеркала и делитель пучка могут быть
смонтированы на одном устройстве, так же как и три выходных
зеркала и делитель. Желательно смонтировать входной
делитель пучка и зеркало М2 на горизонтально перемещающемся
столике, с тем чтобы эту пару элементов можно было
перемещать по направлению к зеркалу М\ или М3) выравнивая длины
оптических путей. Выходной делитель пучка и зеркало М5
могут располагаться на подобном устройстве, позволяющем
двигать их к зеркалу М4 или М6. Выходной делитель пучка можег
Оптическое гетеродинирование
577
Объект
удобным средством зондирования малых близлежащих
областей на изображении и передавали свет на детекторы.
На рис. 10.6 представлены результаты измерений, полученные
с использованием этой системы. Деформации измерялись вдоль
участка поверхности длиной 40 мм с помощью двух
последовательных фотографий А и Б, между которыми объект был
перемещен на 15 мм с тем, чтобы можно было исследовать новую
область. В каждом случае после возвращения фотопластинки
винт затягивали так, чтобы
получить деформацию
величиной 5-Ю-4 в месте установки
тензодатчика 2. Величины
деформаций,
определенные спекл-интерферометром
(сплошная линия) хорошо
согласуются с показаниями тен-
зодатчиков в местах их
установки. Благодаря измерению
деформаций во многих точках
оптический метод дал
распределение действительных
деформаций на боковой
поверхности внутренней части рамы.
Практически ограничения
этой методики связаны с
эффектами мерцания. Для
разрешения тонких деталей
деформирования желательно
использовать малые близко
расположенные апертуры.
Однако малые апертуры позволяют
наблюдать лишь ограниченное
число образованных линзами
спеклов, каждый из которых
мерцает со случайной фазой.
Маска устраняет лишь не-
Рис. 10.4. Установка для
гетеродинной спекл-интерферометрии. М\—
М4 — зеркала; L — линза;
FO—волоконно-оптический ввод; D — пара
детекторов.
которую часть этой хаотичности. Остаток исключается
регистрацией достаточного числа спеклов. Это число будет
увеличиваться с увеличением апертуры линзы, но соответственно
уменьшается расстояние, на которое объект может переместиться без
декорреляции. Полезно закрепить объект на столике,
перемещаемом в двух взаимно перпендикулярных направлениях,
чтобы скомпенсировать перемещения, вызванные нагрузкой.
Следовательно, апертуры детекторов нельзя уменьшать слишком
сильно, чтобы не внести в результаты измерений случайных
погрешностей Влияние погрешностей проявляется на рис. 10.6
578
Глава 10
в виде нерегулярностей графиков деформаций, построенных по
данным оптических измерений.
Низкие уровни интенсивности света также ограничивают
использование этой методики. Значительная часть света
теряется при диффузном рассеянии на объекте, а фотографический
негатив еще более уменьшает количество света, доходящего до
детекторов. Если используются детекторы с малой апертурой,
лишь небольшая часть света поля изображения достигает
детекторов, и серьезной проблемой становится шум детекторов.
Именно по этой причине область объекта длиной 40 мм на
рис. 10.6 была разбита на два участка.
25 мм
О
-64лш-
Н
Li-
5 мм
5 мм
8л/л/
г
12,5ш/
Рис. 10.5. Увеличенное изображение образца, испытываемого по схеме
рис. 10.4. а — вид сверху; б — вид спереди. Тензодатчики расположены в
точках 1 и 2.
Гетеродинный оптический датчик деформаций
В некоторых случаях удобно использовать возможности
сканирования гетеродинной спекл-интерферометрии для того,
чтобы получить более удобное средство измерения деформаций
в одной точке объекта. Такая необходимость возникает, когда,
например, температура объекта выше выдерживаемой тензо-
датчиками при нагружений в испытательной машине. В
оригинальной оптической методике, разработанной Шарпом (гл. 13),
наблюдаются угловые отклонения светового пучка при
отражении от малых углублений на поверхности образца. Для другой
системы, разработанной тем же автором на основе сходных
принципов, не требуется поверхностных углублений и можно
использовать оптическое гетеродинирование [11].
Прибор, названный гетеродинным датчиком деформаций,
показан на рис. 10.7. Два входных луча фокусируются на поверх-
576
Глава 10
10.4. Следящие системы измерения деформаций
Гетеродинная спекл-интерферометрия
Ряд следящих систем измерения деформаций может быть
дополнен схемами оптического гетеродинирования, и две из них
обсуждаются здесь. Первая из схем — наиболее ранняя форма
спекл-интерферометрии, введенная Линдерцем [10] (гл. 8). Два
пучка света от лазера освещают поверхность объекта под
равными, но противоположными по знаку углами относительно
нормали к поверхности. Линза, ось которой совмещена с центром
освещенной области, формирует изображение поверхности
объекта, которое записывается на фотопластинке. Пластинка
возвращается на место, которое она занимала при экспонировании,
и используется как нерегулярная муаровая маска поля
изображения. Когда объект движется навстречу одному пучку и
удаляется от другого в равной степени (т. е. движется в боковом
направлении), относительная фаза двух отраженных полей
изменяется циклически. Результирующая спекл-картина на поле
изображения будет циклически коррелировать и декоррелиро-
вать с записанной. Это приведет к синусоидальным
колебаниям света, проходящего через маску. Деформации поверхности
объекта могут образовывать видимые полосы в свете,
проходящем через маску; эти полосы могут быть использованы для
измерения деформаций.
Описанная выше система является следящим
интерферометром и пригодна для гетеродинного считывания. После того как
осуществлены запись и возврат пластинки, вводится
относительный частотный сдвиг между двумя освещающими пучками. Это
вызывает циклическую корреляцию на гетеродинной частоте,
которая может быть обнаружена по синусоидальным
колебаниям интенсивности света в любом месте поля изображения. Если
имеется деформация, фаза этих колебаний будет переменной
по изображению, и разность фаз между двумя точками может
быть измерена парой фотодетекторов и фазометром. Таким
образом измеряется разность перемещений между двумя точками
объекта, где расположены детекторы, а при делении этой
разности на расстояние между детекторами определяется
деформация.
На рис. 10.4 показана установка, использованная для
проверки изложенной методики. В качестве объекта использовался
алюминиевый камертон с винтом, стягивающим концы вместе
(рис. 10.5). Для независимого измерения деформаций на
поверхности стержня устанавливались два тензодатчика. Пара
оптических волокон с диаметром сердечника 0,6 мм,
показанных на рис. 10.4 позади фотографической пластинки, являлись
.580
Глава 10
жительном или отрицательном направлении в зависимости оъ
направления сканирования полос. После умножения на
соответствующие коэффициенты разность фаз дает величину
деформации. Эта система обеспечивает эффективное использование
света, так как все лазерное излучение фокусируется в двух точках
объекта. Влияние мерцаний обусловлено не спеклами,
связанными с каждой из освещенных точек, а с полосами,
образованными парой точек. Освещающие лучи можно перемещать по
поверхности исследуемого объекта. Малый угол, в котором
система собирает лучи (8°), и большое рабочее расстояние
Входные
лучи
1 f t I if
6 5 4 3 Z 1
Рис. 10.7. Схема оптического гетеродинного датчика деформаций.
/—призма; 2 — положительная линза; 3 — отрицательная линза; 4 — поляризатор;
5 — фотопластинка; 6 — детекторы.
(500 мм) делают систему пригодной для работы в условиях
высокой температуры. Проверка системы показала, что она
позволяет измерять деформации вплоть до 10~2 с точностью
порядка 1%. Система обнаружения вибраций, описанная в
разделе «Следящие картины полос», легко приспособляется к этому
датчику деформаций. К двум выходам необходимо подключить
суммирующий или разностный счетчик в зависимости от того,
в фазе или в противофазе соответственно находятся
синусоидальные сигналы детекторов.
10.5. Заключение и перспективы
Оптическое гетеродинирование — практическая методика
преобразования данных в виде картин полос в электронную
форму, которая значительно превосходит по точности
количественный анализ полос. С помощью точно изготовленных систем
обычно достигается разрешение порядка 0,001 полосы. В случае ко-
Оптическое гетеродинирование
579
&ости объекта в виде двух маленьких пятен диаметром около
0,1 мм на расстоянии 1—2 мм друг от друга. Свет, рассеянный
'под равными и противоположными по знаку углами
относительно нормали к поверхности, собирается двумя линзовыми
системами после отклонения его к нормали с помощью,
например, пары призм. Линзовые системы предварительно юстируют
таким образом, чтобы поверхность объекта и записывающая
1 2
i 1 1 1 1 i i i »
о 5 10 15 20 25 30 35 40
Расстояние, мм
Рис. 10.6. График зависимости деформации от расстояния на поверхности
образца при консольном изгибе. Два квадратика — показания тензодатчиков,
кружки — данные измерений с помощью гетеродинной спекл-интерферометрии.
пластинка располагались в сопряженных фокальных
плоскостях. Для удаления света, ортогонально поляризованного
поверхностью, используются поляризаторы. Два поля
регистрируются на одной фотопластинке, которая возвращается
обратно для того, чтобы служить в качестве псевдомуаровой маски.
Каждое записанное поле имеет случайно модулированную
картину полос типа показанной на рис. 10.8. Когда вводится
частотный сдвиг между двумя освещающими пучками, полосы
движутся по отношению к записанным и проходящий свет
синусоидально модулируется. Два прошедших поля детектируются,
и измеряется разность фаз двух сигналов. Если поверхность
объекта деформируется, разность фаз будет изменяться в поло-
Оптическое гетеродинирование
581s
герентных, но диффузных оптических полей возможности этой
методики обычно ограничиваются случайными мерцаниями
некоррелированных спеклов. Проблема облегчается при
увеличении апертуры детектора, что снижает геометрическое
разрешение измерений. Предложены различные системы измерения
перемещений, вибраций и деформаций, удобные для
механических измерений.
Рис. 10.8. Типичная картина, записанная в задней фокальной плоскости
гетеродинного оптического датчика деформаций.
Что касается потенциальных возможностей этой методики,,
то можно предвидеть ряд направлений развития. Сначала,
вероятно, будет налажено промышленное производство
гетеродинных систем, разработанных специально для применения в
голографии и спекл-метрологии. Такие системы в настоящее время
собираются из отдельных блоков. Детекторы и методика
обработки сигналов могут быть приспособлены к этому применению.
Системы, пригодные для использования, должны быть
составлены из блоков, совместимость которых может быть проверена
пользователем, не являющимся специалистом по электронике.
В гетеродинной голографической или спекл-интерферометрия
применяются в основном стандартные оптические системы,
которые нуждаются лишь в небольшом видоизменении.
Гетеродинная методика, по-видимому, способна значительна
повысить эффективность исследований, проводимых с помощью*
голографии и спекл-метрологии.
Литература
583*
i 14. S. N. Atluri, On Constitutive Relations at Finite Strain: Hypoelasticity and Elasto-
* . plasticity with Isotropic or Kinematic Hardening, Comput. Methods Appl. Mech. Eng.,
43 (1984), 137-171.
15. Y. Yamada, N. Yoshimura, and T. Sakurai, Plastic Stress-Strain Matrix and Its-
Application to the Solution of Elastic-Plastic Problems by the Finite Element Method,
Int. J. Mech. Sci., 10 (1968), 343-354.
16. К. C. Valanis, Fundamental Consequences of a New Intrinsic Tune Measure: Plasticity^
as a Limit of the Endochronic Theory, Arch. Mech.i 32, no. 2 (1980), 171-191.
17. Z. Mroz, An Attempt to Describe the Behavior of Metals under Cyclic Loads Using a?
More General Workhardening Model, Acta Mech., 7 (1969), 199-212.
18. O. Watanabe and S. N. Atluri, Constitutive Modeling of Cyclic Plasticity and Creep-
Using an Internal Time Concept, Int. J. Plasticity, 2, no. 2 (1986), 107-134 i
19. E. C.Bingham, Fluidity and Plasticity, McGraw-Hill, New York, 1922. * 1
20. K. Hohenemser and W. Prager. Uber die Ansatze der Mechanik isotroper Kontinua, Z..
Angew. Math. Mech.t 12, (1932), 216-226.
21. I. Finnie and W. R. Heller, Creep of Engineering Materials, McGraw-Hill, New York,'
1959.
22. P. Perzyna, The Constitutive Equations for Rate Sensitive Plastic Materials, Q. J. Appl.
Math. Mech., XX, no. 4 (1963), 321-332. " .
23. О. C. Zienkiewicz and I.C. Cormeau, Visco-plasticity, Plasticity, and Creep in Elastic *
Solids—A Unified Numerical Solution Approach, Int. J. Num. Mtethods Eng., 8 (1974),,
821-845. \
24. J. H. Argyris and M. Kleiber, Incremental Formulation in Nonlinear Mechanics and-
Large Strain Elasto-plasticity—Natural Approach—Part I, Comput. Methods Appl,
Mech. Eng.,-11 (1977), 215-247.
25. W. Thomson (Lord Kelvin), On the Equations of Equilibrium of an Elastic Solid,.
Cambridge Dublin Math. J., 3 (1848), 87-89.
26. J. Boussinesq, Equilibre D'elasticite d'un solide isotrope sans pesanteur, supportant
differents poids, C. R. Acad. Sci. Paris, 86 (1878), 1260-1263.
27. A. E. H. Love, A Treatise on Mathematical Theory of Elasticity, Dover, New York,.
1963.
28. N. I. Mushkelishvili, Some Basic Problems of the Mathematical Theory of Elasticity,,
Noordhoff, Groningen, The Netherlands, 1953.
29. G. N. Savin, Stress Concentration around Holes, Pergamon Press, Elmsford, N.Y.
1961.
30. J. D. Eshelby, The Determination of the Elastic Field of an Ellipsoidal-Inclusion and:
Related Problems, Proc. R. Soc. London, A241 (1957), 376-396.
31. A. S. Kobayashi, Linear Elastic Fracture Mechanics, in Computational Methods in the'
Mechanics of Fracture (S. N. Atluri, Ed.), North-Holland, Amsterdam, 1984 (in press).
32. G. C. Sih and H. Liebowitz, Mathematical Theories of Brittle Fracture, in Fracture,-
Vol. II (H. Liebowitz, Ed.), Academic Press, New York 1968. •
33. T. Nishioka and S. N. Atluri, Path-Independent Integrals, Energy Release Rates, and*
' General Solutions of Near-Tip Fields in Mixed Mode Dynamic Fracture Mechanics,,
Eng. Fract. Mech., 18, no. 1 (1983), 1-22. - .
34. K. Vijayakumar and S. N. Atluri, An Embedded Elliptical Flaw in an Infinite SolicP
Subjected to Arbitrary Crack Face Tractions, ASME J. Appl. Mech., 48 (1981), 88-96.
.584
Литература
35. S. N. Atluri and H. Murakawa, in On Hybrid Finite Element Models in Nonlinear Solid
Mechanics (P. G. Bergan, et al., Eds.), Tapir Press, Trondheim, Norway, 1978,
pp. 3-40.
36. K. W. Reed and S. N. Atluri, Analyses of Large Quasistatic Deformations of Inelastic
Bodies by a New Hybrid-Stress Finite Element Algorithm, Comput. Methods Appl.
Mech. Eng., 39 (1983), 245-295.
37. К. J. Bathe, Finite Element Procedures in Engineering Analysis, Prentice-Hall,
Englewood Cliffs, N.J., 1975.
38. L. Collatz, Numerical Treatment of Differential Equations (translated by P. G.
Williams), Springer-Verlag, Berlin, 1960.
39. S. N. Atluri, On Hybrid Finite Element Methods in Solid Mechanics, in Advances in
Computer Methods for Partial Differential Equations (S.Vishnevetsky, Ed.), AICA,
Rutgers University, 1975, 346-356.
40. S. N. Atluri, R. H. Gallagher, and О. C. Zienkiewicz (Eds.), Hybrid and Mixed Finite
Element Methods, Wiley, New York, 1983.
41. T. A. Cruse, Mathematical Foundations of the Boundary Integral Equation Method in
Solid Mechanics, AFOSR TR 77-1002, U.S. Air Force, 1977.
42. S. N. Atluri and J. J. Grannell, Finite Elements, Boundary Elements, and Combined
FEM, В EM, Tech. Rep., Center for the Advancement of Computational Mechanics,
* Georgia Institute of Technology, 1978.
43. P. M. Quinlan, J. J. Grannell, S. N. Atluri, and J.E. Fitzgerald, The Edge Function
Method for Three-Dimensional Stress Analysis, including Embedded Elliptical Cracks
v' and Surface Flaws, in Boundary Element Methods in Engineering (C. A. Brebbia, Ed.),
Springer-Verlag, New York, 1982, 457-471.
44. S. N. Atluri and T. Nishioka, Hybrid Methods of Analysis, in Unification of Finite
Element Methods H. Kardestuncer, Ed.), North-Holland, Amsterdam, 1984.
45. Metals Handbook, American Society for Metals; use latest edition.
46. Index to Standards, American Society for Testing and Materials; use latest edition.
47. Data Book, Metal Progress; use latest edition.
48. W. Prager and P. G. Hodges, Theory of Perfectly Plastic Solids, Wiley, New York,
1951.
49. W. Johnson and P. B. Mellor, Plasticity for Engineers, D. Van Nostrand, Princeton,
N.J., 1962.
50. D. R. Bland, The Theory of Linear Viscoelasticity, Pergamon Press, Elmsford, N.Y.,
1960.
51. R. M. Christensen, Theory of Viscoelasticity, An Introduction, Academic Press, New
York, 1971.
52. A. D. Russell and A. S. Kobayashi, Short-Time Creep Response of 6% Al-4% V
Titanium Alloy Subjected to Variable Uniaxial Tensile Loading, Proc. Jt. Int. Conf.
Creep, Institute of Mechanical Engineers, London, 1963, 4-33-4-37.
Литература общего характера. Ниже перечислены книги, на которые нет
.ссылок в тексте, но которые, тем не менее, содержат полезную информацию
по рассмотренным в данной главе вопросам.
53. А. P. Boresi and P. P. Lynn, Elasticity in Engineering Mechanics, Prentice-Hall,
Englewood Cliffs, N.J., 1964.
Литература
К гл. 1
1. Н. Kardestuncer, F. Brezzi, S. N. Atluri, D. Nome, and W. Pilkey (Eds.), Handbook of
Finite Elements, McGraw-Hill, New York, 1984 (in press).
2. C. Truesdell (Ed.), Encyclopedia of Physics, Vol. VIa/2, Mechanics of Solids II,
Springer-Verlag, New York, 1972.
3. S. Flugge (Ed.), Encyclopedia of Physics, Vol. III/3, The Nonlinear Field Theories of
Mechanics (by C. Truesdell and W. Noll), Springer-Verlag, New York, 1965.
4. S. N. Atluri, Alternate Stress and Conjugate Strain Measures, and Mixed Variational
Formulations involving Rigid Rotations, for Computational Analyses of Finitely
Deformed Solids, with Application to Plates and Shells—I. Theory, Comput. Struct. 18,
no. 1 (1984), 93-116.
"5. S.N. Atluri, On Some New General and Complementary Energy Theorems for the Rate
Problems in Finite Strain, Classical Elastoplasticity, J. Struct. Mech., 8, no. 1 (1980),
61-92.
6. A. C. Eringen, Nonlinear Theory of Continuous Med/o, McGraw-Hill, New York, 1962.
7. M. Mooney, A Theory of Large Elastic Deformation, /. Appl. Phys., 11, (1940),
582-592.
8. G. I. Taylor and H. Quinney, The Plastic Deformation of Metals, Philos. Trans. R. Soc.
London, A 230 (1931), 323-362.
9. R. Hill, The Mathematical Theory of Plasticity, Oxford, New York, 1950.
10. W. Prager, A New Method of Analyzing Stresses and Strains in Work-Hardening Plastic
, Solids, /. Appl. Mech., 23, ( 1956), 493-496.
11. H. Ziegler, A Modification of Prager's Hardening Rule, Q. Appl. Math., 77-(1959),
55-65.
12. D. C. Drucker, A More Fundamental Approach to Plastic Stress-Strain Relations, Proc.
1st U.S. Nat. Cong. Appl. Mech., 1951, 487-491.
13. S. Nemat-Nasser, Continuum Bases for Consistent Numerical Formulations of Finite
Strains in Elastic and Inelastic Structures, in Finite Element Analysis of Transient
Nonlinear Structural Behavior (T. Belytschko et al., Eds.) AMD Vol. 14, ASME, New
York, 1975, 85-98.
Литература
585
I 54. Y. С. Fung, Foundations of Solid Mechanics, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J.,
1965.
55. Y. C. Fung, A First Course in Continuum Mechanics, Prentice-Hall, Englewood Cliffs,
N.J., 1969.
56. A. E. Green and W. Zerna, Theoretical Elasticity, Oxford University Press, New York,
1954.
57. A. E. Green and J. E. Adkins, Large Elastic Deformations and Nonlinear Continuum
Mechanics, Oxford University Press, New York, 1960.
58. M. A. Biot, Mechanics of Incremental Deformations, Wiley, New York, 1965.
59. A. C. Eringen, Nonlinear Theory of Continuous Media, McGraw-Hill, New York, 1962.
60. L. E. Malvern, Introduction to the Mechanics of a Continuous Medium, Prentice-Hall,
Englewood Cliffs, N.J., 1969.
61. W. Prager, Introduction to Mechanics of Continua, Ginn and Company, Lexington,
Mass., 1961.
62. K. Washizu, Variational Methods in Elasticity & Plasticity, 3rd ed., Pergamon Press,
Elmsford, N.Y., 1982.
63. E. W. Billington and A. Tate, The Physics of Deformation and Flow, McGraw-Hill,
New York, 1981.
64. W. Prager, An Introduction to Plasticity, Addison-Wesley, Reading, Mass., 1959.
65. A. Mendelson, Plasticity: Theory and Application, Macmillan, NeAv York, 1968.
66. L. M. Kachanov, Fundamentals of the Theory of Plasticity, Mir Publishers, Moscow,
, 1974.
67. T. Y. Thomas, Plastic Flow and Fracture in Solids, Academic Press, New York, 1961.
68. A. K. Noor and W. D. Pilkey (Eds.), State-of-the-Art Surveys on Finite Element
Technology,- American Society of Mechanical Engineers, New York, 1983.
69. L. I. Sedov; Introduction to the Mechanics of a Continuous Medium, Addison-Wesley,
Reading, Mass., 1965.
70. R. D. Cook, Concepts and Applications of Finite Element Analysis, Wiley, New York,
1981.
71. О. C. Zienkiewicz, The Finite Element Method in Engineering Science, 3rd ed.,
McGraw-Hill, New York, 1977.
72. R. H. Gallagher, Finite Element Analysis: Fundamentals, Prentice-Hall, Englewood
Cliffs, N.J., 1975.
73. К. J. Bathe, Finite Element Procedures in Engineering Analysis, Prentice-Hall,.
Englewood Cliffs, N.J., 1982.
74. S. S. Rao, The Finite Element Method in Engineering, Pergamon Press, Elmsford,
N.Y., 1982.
75. В. M. Irons and S. Ahmad, Techniques of Finite Elements, (Ellis Horwood Series),
Wiley, New York, 1981.
76; P. K. Banerjee, The Boundary Element Method in Engineering Science, McGraw-Hill,
New York, 1981.
38—1480
586
Литература
К гл. 2
1. С. С. Perry, The Resistance Strain Gage Revisited, W. Murray Lecture, 5th Int. Cong.
Exp. Mech., Montreal, Quebec, Canada, June 10-15, 1984.
2. W. Thomson (Lord Kelvin), On the Electrodynamic Qualities .of Metals, Proc. R. Soc.
London, 146 (1856), 649-751.
3. E. E. Simmons, Jr., Material Testing Apparatus, U.S. patent 2,292,549, Feb. 23, 1940.
4. C. S. Smith, Piezoresistive Effect in Germanium and Silicon, Phys. Rev., 94 (1954),
42-49.
5. W. P. Mason and R. N. Thurston, Piezoresistive Materials in Measuring Displacement,
Force, and Torque, /. Acoust. Soc. Am., 29, no. 10 (1957), 1096-1101.
6. J. W. Dally and W. F. Riley, Experimental Stress Analysis, 2nd ed., McGraw-Hill, New
York, 1978, pp. 162-164.
7. Measurements Group, Inc., Errors Due to Transverse Sensitivity in Strain Gages, Tech.
Note 509, 1982, pp. 1-8.
8. H. S. Freynik and G. R. Dittbenner, Strain Gage Stability Measurements for a Year at
75°C in Air, Univ. Calif. Rod. Lab. Rep. 76039, 1975.
9. P. Stehlin, Strain Distribution in and around Strain Gauges, /. Strain Anal., 7, no. 3
(1972), 228-235.
10. M. F. Beatty and S. W. Chewning, Numerical Analysis of the Reinforcement Effect of a
Strain Gage Applied to a Soft Material, Int. J. Eng. Sci., 17 (1979), 907-915.
11. L. F. McCalvey, Strain Measurements on Low Modulus Materials, presented at the Br.
Soc. Strain Conf., Univ. Surrey, United Kingdom, Sept. 1982.
12. R. N. White, Model Study of the Failure of a Steel Bin Structure, presented at the
ASCE/SESA Exchange Session on Physical Modeling of Shell and Space Structures,
ASCE Annu. Conv., New Orleans, La., Oct. 1982.
13. T. J. Giallorenzi, J. A. Bucaro, A. Dandridge, G. H. Sigel, Jr., J. H. Cole, S. C.
Rashleigh, and R. G. Priest, Optical Fiber Sensor Technology, IEEE J. Quantum
Electron., 18, no. 4 (1982), 626-665.
14. J. A. Bucaro and J. H. Cole, Acousto-optics Sensor Development, Proc. EASCON*
1979, IEEE Pub. 79CH1476, pp. 572-580.
15. W. B. Spellman, Jr. and R. L. Gravel, Moving Fiber Optic Phone, Opt. Lett., 5 (1980),
20-21.
16. C. D. Butler and G. B. Hocker, Fiber Optic Strain Gage, Appl. Opt., 17, no. 18 (1978).
17. J. S. Sirkis and С. E. Taylor, Fiber Optic Strain Sensors, presented at the 21st Annu.
Meeting Soc. Eng. Sci., Oct. 1984, VPI and SU, Blacksburg, Va.
18. J. C. Telinde, Strain Gages in Cryogenic Environment, Exp. Mech., 10, no. 9 (1970),
394-400.
Кгл.З
1. J. J. Brophy, Basic Electronics for Scientists, 3rd ed , McGraw-Hill, New York, 1977.
2. Bruel and Kjaer Instruments, Application of В and К Equipment to Strain Measurements,
available from Bruel and Kjaer Instruments, Inc., Marlborough, Mass. Oct. 1975.
Литература
587
\% J W. Dally and W. F. Riley, Experimental Stress Analysis, 2nd ed., McGraw-Hill, New
Yoik, 1978, pp. 153-336.
1 I. W. Dally, W. F. Riley, and K. G. McConnell, Instrumentation for Engineering
M isurements, Wiley, New York, 1984.
i, J. D. Le.nk, Manual for Operational Amplifier Users, Reston, Reston, Va., 1976.
6. Edward B. Magrab and Donald S. Blomquist, The Measurement of Time-Varying
Phenomena, Wiley-Interscience, New York, 1971.
7. Measurements Group, Inc.; Noise Control in Strain Gage Measurements, Tech Note
501, 1980, pp. 1-5.
8. Measurements Group, Inc., Optimizing Strain Gage Excitation Levels, Tech. Note 502,
1.979, pp. 1-5.
9. Measurements Group,. Inc., Temperature-Induced Apparent Strain and Gage Factor
Variation in Strain Gages, Tech. Note 504, 1976, pp. 1-9.
10. Measurements Group, Inc., Errors Due to Wheatstone Bridge Nonlinearity, Tech. Note
139, 1974, pp. 1-4.
11. С. C. Perry and H. R. Lissner, The Strain Gage Primer, 2nd ed., McGraw-Hill, New
York, 1962, pp. 200-217.
Кгл. 4
1. Jens Trampe Broch, Mechanical Vibration and Shock Measurements, available from
Bruel and Kjaer Instruments, Inc., Marlborough, Mass., Oct. 1980.
2. Bruel and Kjaer Instruments, Piezoelectric Accelerometer and Vibration Preamplifier
Handbook, available from Bruel and Kjaer Instruments, Inc., Marlborough, Mass., Mar.
.1978.
3. Bruel and Kjaer Instruments, Technical Review, a quarterly publication available from
Bruel and Kjaer Instruments, Inc., Marlborough, Mass.
(a) Vibration Testing of Components, no. 2, 1958.
(b) Measurement and Description of Shock, no. 3, 1966.
(c) Vibration Testing, no. 3, 1967.
(d) Vibration Measurement by Laser Interferometer, no. 1, 1971.
(e) A Portable Calibrator for Accelerometers, no. 1, 1971.
(f) High Frequency Response of Force Transducers, no. 3, 1972.
(g) On the Measurement of Frequency Response Functions, no. 4, 1975.
4. N. D. Change, General Guide to ICP Instrumentation, available from PBC Piezotronics,
Inc., P.O. Box 33, Buffalo, N.Y.
5. F. L. Crosswy and H. T. Kalb, Dynamic Force Measurement Techniques—I. Dynamic
Compensation, Instrum. Control Syst., Feb. 1970, pp. 81-83.
<6. F. L. Crosswy and H. T. Kalb, Dynamic Force Measurement Techniques—//.
Experimental Verification, Instrum. Control Syst., Feb. 1970, pp. 117-121.
7. J. W. Dally, W. F. Riley, and K. G. McConnell, Instrumentation for Engineering
Measurements, Wiley, New York, 1984.
S. E. Jones, S. Edelman, and K. S. Sizemore, Calibration of Vibration Pickups at Large
Amplitudes, J. Acoust. Soc. Am., 33, no. 11 (1961), 1462-1466.
9. E. Jones, S. Edelman, E. R. Smith, and E. T. Pierce, Modulated Photoelectric
Measurement of Vibration, J. Acoust. Soc. Am., 34, no. 4 (1966), 455-458.
588
Литература
10. W. P. Kistler, Precision Calibration of Accelerometers for Shock and Vibration, Test
Eng., May 1966, p. 16.
11. R. W. Lally, Gravimetric Calibration of Accelerometers, available from PCB
Piezotronics, Inc., P.O. Box 33, Buffalo, N.Y.
12. E. B. Magrab and D. S. Blomquist, The Measurement of Time-Varying Phenomena,
Wiley-Interscience, New York, 1971.
13. K. G. McConnell and Y. S. Park, Electronic Compensation of a Force Transducer for
Measuring Fluid Forces Acting on an Accelerating Cylinder, Exp. Mech. 21, no. 4
(1981), 169-172.
14. D. Pennington, In-place Calibration of Piezoelectric Crystal Accelerometer Amplifier
Systems, ISA National Flight Test Instrument Symposium, San Diego, Calif., May
1960. See also Endevco Corp. Tech. Paper nos. 211 and 216.
15. D. Pennington, Piezoelectric Accelerometer Manual. Endevco Corporation, Pasadena.
Calif., 1965.
16. K. G. McConnell and S.-E. Han, Effect of Mass on Force Transducer Sensitivity,
Experimental Technique, 10, no. 7 (1986), 23-27.
Кгл. 5
1. W. G. Driscoll and W. Vaughan, Handbook of Optics (Optical Society of America),
McGraw-Hill, New York, 1978.
2. Optics and Filters, Vol. Ill, ORIEL Corporation, Stratford, Conn., 1984.
3. Optics Guide, Melles Griot, Irvine, Calif., 1981.
4. The Optical Industry and Systems Purchasing Directory, Book 2, Optical Publishing
Company, Pittsfield, Mass., 1983.
5. A. Kuske and G. Robertson, Photoelastic Stress Analysis, Wiley, New York, 1974.
6. H. T. Jessop and F. C. Harris, Photoelasticity: Principles and Methods, Dover, New
York, 1949.
7. J. W. Dally and W. F. Riley, Experimental Stress Analysis, McGraw-Hill, New York,
1978.
8. A. S. Holister, Experimental Stress Analysis, Cambridge University Press, New York,
1967.
9. L. H. Adams and R. M. Wasler, Superimposed Birefractory Plates, /. Res. Nat. Bur.
Stand., 69c (1965), 103-114.
10. W. H. J. Childs, Composite Quarter- and Half-Wave Plates, /. Sci. Instrum., (1956),
298-301.
11. D. Post, Photoelastic Fringe Multiplication for Ten Fold Increase in Sensitivity, Exp.
Mech., 10 (1970), 305-312.
12. J. H. Flanagan, Photoelastic Photography, Proc. SESA, XV (1958), 1-10.
Литература
589
13. М. М. Leven, Ероху Resins tor Photoelastic Use, Proc. Int. Symp. Photoelasticity (M.
M. Frocht, Ed.) Pergamon Press, New York, 1962, 145-165.
14. J. Cernosek, Three Dimensional Photoelasticity by Stress Freezing, Exp. Mech., 20
(1980), 417-426.
15. E. G. Coker and L. N. G. Filon, A Treatise on Photoelasticity, Cambridge University
Press, New York, 1957.
16. A. J. Durelli and W. F. Riley, Introduction to Photomechanics, Prentice-Hall,
Englewood Cliffs, N.J., 1965.
17. A. J. Durelli, E. A. Phillips, and С. H. Tsao, Introduction to the Theoretical and
Experimental Analysis of Stress and Strain, McGraw-Hill, New York, 1958.
18. D. C. Dmcker, The Method of Oblique Incidence in Photoelasticity, Proc. SESA, VIII,
no. 1 (1950), 51-66.
19. J. W. Dally and E. R. Erisman, An Analytic Separation Method for Photoelasticity,
Exp. Mech., 6 (1966), 493-499.
20. W. F. Stokey and W. F. Hughes, Tests of the Conducting Paper Analogy for
Determining Isopachic Lines, Proc. SESA, XII, (1955), 77-82.
21. S. K. Chaturvedi, A Rational Theory of Oblique Incidence and Its Extension to Stress
Separation in Birefringent Composites, Exp. Mech., 23 (1983), 36-41.
22. W. F. Swinson, J. L. Turner, and W. F. Ranson, Designing with Scattered Light
Photoelasticity, Exp. Mech., 20 (1980), 397-402.
23. J. T. Pindera and S. B. Mazurkiewicz, Studies of Contact Problems Using Photoelastic
Isodynes, Exp. Mech., 21 (1981), 448-455.
24. A. Lagarde (Ed.), Optical Methods in Mechanics of Solids, Proc. IUTAM Symp.,
Poitier, France, 1979, Sijthoff en Noordhoff, Alphen aan den Rijn, The Netherlands,
1981.
25. A. Lagarde, Modern Nondestructive Methods of Coherent Light Photoelasticity with
Applications in Two and Three Dimensional Problems in Statics, Contact Stresses,
Fracture Mechanics and Dynamic Impulse, IUTAM, 1985.
26. F. Zandeman, S. Rednuer, and J. W. Dally, Photoelastic Coatings, SESA Monograph
No. 3, Iowa State University Press, Ames, Iowa, 1977.
27. Measurements Group Inc., Education Division, Student Manual on the Photoelastic
Coating Technique, Bulletin 315, 1984.
28. P. Nurse and I. M. Allison, Automatic Acquisition of Photoelastic Data, JBCSA Conf,
1972.
29. S. Redner, New Automatic Polariscope System, Exp. Mech., 14, no. 12 (1974),
486-491.
30. R. K. Mueller and L. Saachel, Complete Automatic Analysis of Photoelastic Fringes,
presented at the 1978 SESA Spring Meeting, Wichita, Kans., 1978.
31. CP. Burger and A. S. Voloshin, A New Instrument for Whole Field Stress Analysis,
ISA Trans., 22, no. 2, (1982), 85-95.
32. C. P. Burger and A. S. Voloshin, Half Fringe Photoelasticity: A New Lease on Life for
an Old Method, Proc. J. Int. Conf. Exp. Mech., SESA/JSME, Honolulu, Hawaii, May
23-28, 1982, 972-977.
33. A. S. Voloshin and C. P. Burger, Half Fringe Photoelasticity: A New Approach to the
Whole Field Stress Analysis, Exp. Mech., 23, no. 3 (1983), 304-313.
34. A. S. Voloshin and C. P. Burger, Evaluation of Stress Intensity Factors for Near
690
Литература
Surface Cracks through a Synthesis of Photoelasticity and Image Analysis Procedures,
Eng. Appl. Opt. Meas., Soc. Exp. Stress Anal., 1982, pp. 54-58.
35. C. P. Burger and A. S. Voloshin, Stress Intensity Factors in Glass and Polycarbonate
by Half Fringe Photoelasticity, 9th Can. Cong. Appl. Mech. (CANCAM 83),
Saskatoon, Saskatchewan, Canada, June 1983, pp. 915-916.
36. P. Zhang and C. P. Burger, Determination of Stress Intensity Factors Due to Thermal
Stresses Using HFP, Proc. International Conf. Exp. Mech., Beijing, China, 1985.
37. C. P. Burger, Т. K. Baek, and A. S. Voloshin, Half Fringe Photoelasticity Determines
K-factors for Double Cracks by Stress Freezing, Developments in Theoretical &
Applied Mechanics, Vol. XII, Proc. SECTAM XII, 1984. .
38. A. S. Voloshin and C. P. Burger, Half Fringe Photoelasticity for Orthotropic Materials,
Fibre. Sci. TechnoL, 21 (1984), 341-351.
39. D. Mallik, C. P. Burger, A. S. Voloshin, and E. Matsumoto, Stress Analysis of
Adhesive Joints in Composite Structures through HFP, Compos. Struct., 4 (1985),
97-109.
40. J. W. Dally, An Introduction to Dynamic Photoelasticity, Exp. Mech., 20 (1980),
409-416.
41. J. W. Dally, Data Analysis in Dynamic Photoelasticity, Exp. Mech., 7 (1967),
332-338.
42. W. F. Riley and A. J. Durelli, Application of Moire Methods to the Determination of
Transient Stress and Strain Distributions, J. Appl. Mech., 26 (1962), 23-29.
43. D. C. Holloway, W. F. Ranson, and С. E. Taylor, A Neoteric Interferometer for Use
in Holographic Photoelasticity, Exp. Mech., 3 (1972), 461-465.
44. A. B. J. Clark and R. J. Sanford, A Comparison of Static and Dynamic Properties of
Photoelastic Materials, Exp. Mech., 3 (1963), 148-151.
45. C. P. Burger and W. F. Riley, Effects of Impedance Mismatch on the Strength of
Waves in Layered Solids, Exp. Mech., 14, no. 4 (1974), 129-137.
46. H. P. Rossmanith, A Hybrid Technique for Improved К Determination from
Photoelastic Data, Exp. Mech.; 23 (1983), 152-157.
47. C. P. Burger, A. J. Testa, and A. Singh, Dynamic Photoelasticity as an Aid in
Developing New Ultrasonic-Test Methods, Exp. Mech., 22, no. 4 (1982), 147-154.
48. W. F. Riley and J. W. Dally, Recording Dynamic Fringe Patterns with a
Cranz-Schardin Camera, Exp. Mech., 9 (1969), 27N-33N.
49. W. F. Riley and J. W. Dally, A Photoelastic Analysis of Stress Wave Propagation in a
Layered Model, Geophysics, 31 (1966), 881-899.
50. C. P. Burger, I. Miskioglu, R. G. Hughes, and J. Waskey, Improved Ultrasonic
Evaluation of Surface Defects through Photoelastic Visualization of Elastic Waves, in
Technology Advances in Engineering and Their Impact on Detection, Diagnosis and
Prognosis Methods (G. A. Whittaker, T. R. Shives, and G. J. Philips, Eds.),
Cambridge University Press, New York, 1983, pp. 39-44.
51. J. W. Dally, Dynamic Photoelastic Studies of Dynamic Fracture, Exp. Mech., 19
(1979), 349-361.
52. CP. Burger, Thermal Modeling, Exp.Mech., 15 (1975), 430-442.
53. CP. Burger, Photothermoelastic Study of Stress Concentrations in a Plate with Internal
. Heating, Exp. Mech., 12 (1972), 483-488.
54. С. P. Burger and I Miskioglu, Transient Thermal Stresses at Elliptical Holes near
Edge, J. Therm. Stresses, 7 (1984), 19-33.
Литература
591
55. P. Zhang and С. P. Burger, Stress Intensity Factors for Edge Cracks under Transient
Thermal Stresses by Photoelasticity, Proc. 1985 SEM Spring Conf. Exp. Mech., Las
Vegas, Nev., 1985, pp. 907-915.
56. J. D. Hovanesian and H. C. Kowalski, Similarity in Thermoelasticity, Exp. Mech., 7
(1967), 82-84.
57. I. Miskioglu, J. Gryzagbridis, and C. P. Burger, Material Properties in Thermal Stress
Analysis, Exp. Mech., 21 (1981), 295-301.
58. J. Javornicky, Photoplasticity, Elsevier Scientific Publishing Company, New York,
1974.
59. C. P. Burger, Non-Linear Photomechanics, Exp. Mech., 20 (1980), 381-389. v^'
60. C. P. Burger, A. K. Oyinlola, and Т. E. Scott, Full Field Strain Distribution in Hot
Rolled Billets by Simulation, Trans. ASME, Met. Eng. Q., 1976, pp. 26-29.
61. J. L. F. Freire, Studies on the Yield Behavior of Photoplastic Material, Ph.D.
dissertation, Iowa State University, Ames, Iowa, 1979.
62. M. M. Frocht and Y. F. Cheng, An Experimental Study of the Laws of Double
Refraction in the Plastic State in Cellulose Nitrate-Foundations for Three-Dimensional
Photoplasticity, Proc. Int. Symp. Photoelasticity (M. M. Frocht, Ed.), Pcrgamon Press,
Elmsford, N.Y., 1963.
63. E. Monch and R. Loreck, A Study of the Accuracy and Limits of Application of Plane
Photoplastic Experiments, Proc. Int. Symp. Photoelasticity (M. M. Frocht, Ed.) Perga-
mon Press, Elmsford, N.Y., 1963.
64. K. Ito, New Model Material for Photoelasticity and Photoplasticity, Exp. Mech., 2
(1962), 373-376.
65. W. A. Brill, Basic Studies in Photoplasticity, Ph.D. dissertation, Stanford University,
Stanford, Calif., 1966.
66. J. K. Whitfield and C..-W. Smith, Characterization Studies of a Potential Photoelasto-
plastic Material, Exp. Mech.,J2 (1972), 67-r74.
67. L. W. Zachary and W. F. Riley, Optical Response and Yield Behavior of a Polyester
Model Material, Exp. Mech., 17 (1977), 321-326.
68. Y. Ohashi, Experimental Stress Analysis by Photorheologic Method, Exp. Mech., 13
(1973), 287-293.
69. C. P. Burger, J. N. El-Hout, and H. A. Gomide, Three-Dimensional Strain Field for a
Hot Rolled Billet by Photoplastic Simulation, Proc. 3rd Int. Conf. on Mech. Behav. of
Mater., K. J. Miller and R. F. Smith, Eds., University of Cambridge, Cambridge,
England, (1979)^557-567.
70. J. W. Dally and A. Mule, Polycarbonate as a Model Material for Three-Dimensional
Photoplasticity, Trans..ASME, J. Appl. Mech., E95, (1973), 600-605.
71. A. R. Hunter, Photoelastoplastic Analysis of Notched-bar Configuration Subjected to
Bending, Exp. Mech., 10 (1970), 281-287.
72. R. L. Johnson, Measurement of Elastic-Plastic Stresses by Scattered-Light
Photomechanics, Exp. Mech., 16 (1976), 201-208.
73. M. M. Frocht and R. A. Thomson, Experiments in Mechanical and Optical
Coincidence in Photoplasticity, Exp. Mech., 1 (1961), 43-47.
74. J. Javornicky, Evaluation of Stresses and Strains in Two-Dimensional Photoplasticity,
J. Strain Anal, 3 (1968) 33-38.
75. D. H. Morris and W. F. Riley, A Photomechanics Material for Elasto-plastic Stress
Analysis, Exp. Mech., 12 (1972), 448-453.
692
Литература
76. J. L. F. Freire, H. A. Gomide, and W. F. Riley, Photoplastic Study of Axially
Compressed Cylinders, Proc. COBEM79, Vth Congresso Brasileiro de Engenharia Mechan-
ica, Brasil, Dec. 1979.
77. C. P. Burger and L. N. Koenig, Photoplastic Modeling of Strains in the Hot Forming of
Aluminum, SESA Pap. No. WR-19-1975, presented at SESA Spring Meeting, 1975.
78. C. P. Burger and H. A. Gomide, Three-Dimensional Strain in Rolled Slabs by
Photoplastic Simulation, Exp. Mech., 22 (1982), 441-447.
79. H. A. Gomide and C. P. Burger, Three-Dimensional Strain Distribution in Upset Rings
by Photoplastic Simulation, Exp. Mech., 21 (1981), 361-370.
80. M. Nisida, M. Hondo, and T. Hasumuma, Studies of Plastic Deformation by the
Photoplastic Method, Proc. 6th Jpn. Natl. Cong. Appl. Mech., 6 (1956), 137-140.
81. K. Ito, Photoelasto-plastic studies on Brittle Fracture of High-Polymer Solids, Exp.
Mech., 1 (1961), 159-168.
82. H. F. Brinson, An Interpretation of Inelastic Birefringence, Exp. Mech., 11 (1971),
467-471.
83. P. S. Theocaris and E. E. Gdoutos, The Size of Plastic Zones in Cracked Plates Made
of Polycarbonate, Exp. Mech., 15 (1975), 169-176.
84. H. Pih, Birefringent-Fluid-Flow Method in Engineering, Exp. Mech., 20 (1980),
437-444.
85. S. P. Sutera and H. Wayland, Quantitative Analysis of Two-Dimensional Flow by
Means of Streaming Birefringence, J. Appl. Phys., 32 (1961), 721.
86. A. E. Hirsh, The Flow of a Non-Newtonian Fluid in a Diverging Duct, Experimental,
Ph.D. dissertation, University of Tennessee, Knoxville, Tenn., 1964.
87. W. J. McAfee and H. Pih, Scattered-Light Flow-Optic Relations Adoptable to Three-
Dimensional Flow Birefringence, Exp. Mech., 14 (1974), 385-391.
88. W. M. Swanson and R. L. Green, Colloidal Suspension Properties of Milling Yellow
Dye, /. Colloid Interface Sci., 29 (1969), 161.
89. F. N. Peebles, J. W. Prados, and E. H. Honeycutt, Birefringent and Rheological
Properties of Milling Yellow Suspensions, /. Polym, Sci.: Part C, 5 (1964), 37.
90. R. Prabhakaran, Fabrication of Birefringent Anisotropic Model Materials, Exp. Mech.,
20 (1980), 320-321..
91. I. M. Daniel, G. M. Koller, and T. Niiro, Development and Characterization of Or-
thotropic-Birefringent Materials, Exp. Mech. 24, (1984), 134-143.
92. J. W. Dally and R. Prabhakaran, Photo-orthotropic-Elasticity,'£jcp. Mech., 11 (1971),
346-356.
93. B. D. Agarwal and S. K. Chaturvedi, Improved Birefringent Composites and
Assessment of Photoelastic Theories, Fibre Sci. Technol., 11 (1978), 399-412.
94. B. D. Agarwal and S. K. Chaturvedi, Exact and Approximate Strain-Optic Laws for
Photoelastic Composites, Polym. Compos., 3 (1982), 146-151.
95. S. K. Chaturvedi, A Rational Theory of Oblique Incidence and Its Extension to Stress
Separation in Birefringent Composites, Exp. Mech., 24 (1984), 17-21.
96. R. Prabhakaran and R. G. Chermahini, Application of Least Squares Method to Elastic
and Photoelastic Calibration of Orthotopic Composites, Exp. Mech., 24 (1984),
17-21.
Литература
593
97. D. Mallik, С. P. Burger, A. S. Voloshin, and E. Matsumoto, Stress Analysis of Adhe-r
sive Joints in Composites Structures through Half Fringe Photoelasticity, Compos.
Struct., 4 (1985), 97-109.
98. J. S. Parks and R. J. Sanford, On the Role of Material and Optical Properties in
Complete Photoelastic Analysis, Exp. Mech., 16 (1976), 441-447.
99. R. J. Sanford, Photoelastic Holography—A Modern Tool for Stress Analysis. Exp.
Mech., 20 (1980), 427-436.
100. H. Aben, Integrated Photoelasticity, McGraw-Hill, New York, 1979.
101. H. Aben, Integrated Photoelasticity and Its Applications for Stress Determination in
Single Crystals, in Optical Methods in Mechanics of Solids, (A. Lagarde, Ed.) Sijthoff
en Noordhoff, Alphen aan den Rijn, The Netherlands, 1981, pp. 41-54.
102. A. Lagarde, On Some Aspects in the Development of Photoelastic Measurements, in
Optical Methods in Mechanics of Solids (A. Lagarde, Ed.), Sijthoff en Noordhoff,
Alphen aan den Rijn, The Netherlands, 1981, pp. 1-40.
103. A. S. Kobayashi (Ed.), Experimental Techniques in Fracture Mechanics, 1 and2, Iowa
State University Press, Ames, Iowa, 1973 and 1975.
104. C. W. Smith and O. Olaosebikan, Use of Mixed Mode Stress Intensity Algorithms for
Photoelastic Data, Exp. Mech., 24 (1984), 300-307.
105. C. W. Smith, W. H. Peters, and G. C. Kirby, Crack-Tip Measurements in Photoelastic
Models, Exp. Mech., 22 (1982), 448-453.
106. J. W. Dally, Dynamic Photoelastic Studies of Fracture, Exp. Mech., 19 (1979),
349-367.
107. R. J. Sanford and J. W. Dally, A General Method for Determining Mixed Mode Stress
Intensity Factors from Isochromatic Fringe Patterns, Eng. Fract. Mech., 11 (1979),
621-633.
108. A. S. Voloshin and C. P. Burger, Evaluation of Stress Intensity Factors for Near
Surface Cracks through a Synthesis of Photoelasticity and Image Analysis Procedures,
Eng. Appl. Opt. Meas., Soc. for Exp. Stress Anal., 1982, pp. 54-58.
109. M. Ramula, A. S. Kobayashi, B. S. J. Kang, and D. B. Barker, Further Studies in
Dynamic Crack Branching, Exp. Mech., 23 (1983), 431-437.
110. M. Arcan and M. A. Brull, A Fundamental Characteristic of the Human Body and
Foot—The Foot Ground Pattern, J Biomech., 9 (1976), 453-457.
111. R. Mark, Modeling Architectural Structure: Experimental Mechanics in Histiography
and Criticism, 1982 Murray Lecture for Soc. of Exp. Mechanics, Exp. Mech., 22
(1982), 361-371.
Кгл.6
Книги, статьи и обзоры
1. J. W. Dally and W. F. Riley, Experimental Stress Analysis, 2nd ed., McGraw-Hill. New
York, 1978, Chap. 12.
2. A. J. Durelli and V.7. Parks, Moire Analysis of Sthim Prcnlicc 11.ill fcyjfkwgod ("lifts,
N.J., 1970.
3. V. J. Parks, Strain Measurement Usirir Giuls. Opt I 7 no 1 (1<Ж '), <>U и V)
.4. A. S. Kobayashi (I'd.), Manual щf Intuit ппк Stiff* \nalv\is ltd rtl . I'lenlur Hull
Englewood ClilTs, N.J., 198?, С hap. 6 (by I V Q\\itm%)
594
Литература
5. С. A. Sciammarella, The Moire Method—A Review, Exp. Mech. 22, no. 11 (1982),
418-433, and Discussion 23, no. 12 (1983), 446-449.
6. P. S. Theocaris, Moire Fringes in Strain Analysis, Pergamon Press, Elmsford, N.Y.,
1969.
7. P. S. Theocaris, Moire Fringes, a Powerful Measuring Device, Appl. Mech. Rev., 15,
333-339 (1962); up-dated mAppl. Mechanics Surveys, Abramson, H. N., Liebowitz, H.,
Crowley, J. M., Juhasz, S. (Eds.), Spartan Books, Washington, D.C., 613-626, 1966.
анализ перемещений в плоскости
8. P. М. Boone, A. G. Vinckier, R. M. Denys, W. M. Sys, andE. N. Deleu, Application
of Specimen-Grid Moire Techniques in Large Scale Steel Testing, Opt. Eng. 21, no. 4
(1982), 615-625.
9. W. Bossaert, R. Dechaene, and A. Vinckier, Computation of Finite Strains from Moire
Displacement Patterns, J. Strain Anal., 3, no. 1 (1968), 65-75.
10. J. M. Burch and C. Forno, High Resolution Moire Photography, Opt. Eng., 21 no. 4
(1982), 602-614.
11. F. P. Chiang, V. J. Parks, and A. J. Durelli, Moire Fringe Interpolation and
Multiplication by Fringe Shifting, Exp. Mech., 8, no. 12 (1968), 554-560.
12. M. Dantu, Recherches diverses d'extensometrie et de determination des contraintes,
Conf. faite au GAMAC, Feb. 22, 1954, Utilization des reseaux pour l'etude des
deformations, Laboratoire Central des Ponts et Chaussees, Paris, Publ. 57-6, 1957
(seminal papers).
13. A. J. Durelli and T. L. Chen, Displacement and Finite-Strain Fields in a Sphere
Subjected to Large Deformation, Int. J. Non-Linear Mech., 8 (1973), 17-30.
14. A. J. Durelli, V. J. Parks, and C. J. del Rio, Experimental Determination of Stresses and
Displacements in Thick-Wall Cylinders of Complicated Shape, Exp. Mech. 8, no. 7
(1968), 319-326.
15. Y. Morimoto and T. Hayashi, Deformation Measurement dunng Powder Compaction by
a Scanning-Moire Method, Exp. Mech., 24, no. 2 (1984) 112-116.
16. S. Morse, A. J. Durelli, and C. A. Sciammarella, Geometry of Moire Fringes in Strain
Analysis, Trans ASCE, 126-1 (1961).
17. D. W. Oplingef, Application of Moire Methods to Evaluation of Structural Performance
of Composite Materials, Opt. Eng., 21, no. 4 (1982) 626-632.
18. G. Oster, M. Wasserman, and C. Zwerling, Theoretical Interpretation of Moire Patterns,
/. Opt. Soc. Am. 54, no. 2 (1964) 169-175. See also 55, no. 10 (1965) 1329-1330.
19. V. J. Parks and A. J. Durelli, Various Forms of the Strain-Displacement Relations
Applied to Experimental Stress Analysis, Exp. Mech., 4, no. 2 (1964) 37-47.
20. V. J. Parks and A. J. Durelli, Moire Patterns of Partial Derivatives of Displacement
Components, J. Appl. Mech., E33, no. 4 (1966) 901-906
21. D. Post, Moire Grid-Analyzer Method for Stress Analysis, Exp. Mech., 5, no. 11 (1965)
366-377 and Discussion 6, no. 5 (1966) 287-288.
22. D. Post, Sharpening and Multiplication of Moire Fringes, Exp. Mech., 7, no. 4 (1967)
154-159.
23. W. F. Riley and A. J. Durelli, Application of Moire Methods to the Determination of
Transient Stress and Strain Distributions, /. Appl. Mech., 29, no. 1 (1962).
24. r. E. Rowlands, T. Liber, I. M. Daniel, and P. G. Rose, Higher-Order Numerical
Differentiation of ExperimentalTnformation, Exp. Mech., 13, no. 3 (1973) 105-113.
Литература
595
Отражательный метод
25. Г. Y. Као and F. P. Chiang, Family of Grating Techniques of Slope and Curvature
Measurements for Static and Dynamic Flexure of Plates, Opt. Eng., 21, no. 4 (1982)
721-742,
26. F. K. Ligtenberg, The Moire Method: A New Experimental Method for the
Determination of Moments in Small Slab Models, Proc. SESA, 12, no. 2 (1954) 83-98.
27. В. Ranganayakamma and F. P. Chiang, Mismatches Applied to Ligtenberg"s Reflective.
Moire Methods, /. Strain Anal, 8, no. 1 (1973) 24-29.
28. R. Ritter, Reflection Moire Methods for Plate Bending Studies, Opt. Eng., 21, no. 4
(1982) 663-671.
Теневой муар
29. D. R. Andrews, Shadow Moire Contouring of Impact Craters, Opt. Eng., 21, no. 4
(1982) 650-654.
30. M. Halioua, R. S. Krishnamurthy, H. Liu, and F. P. Chiang, Projection Moire with
Moving Gratings for Automated 3-D Topography, Appl. Opt., 22, no. 6 (1983)
850-855.
31. K. G. Harding and J. S. Harris, Projection Moire Interferometer for Vibration Analysis,
Appl. Opt., 22, no. 6 (1983) 856-861.
32. M. Marcel Mulot, Application du moire a l'etude des deformations du mica, Rev.
d'Opt., 4 (1925) 252-259 (seminal paper).
33. L. Pirodda, Shadow and Projection Moire Techniques for Absolute or Relative Mapping
of Surface Shapes, Opt. Eng., 21, no. 4 (1982) 640-649.
34. H. Takasaki, Moire Topology, Appl. Opt., 9, no. 6 (1970) 1457-1472 and 12, no. 4
(1973) 845-850.
35. P. S. Theocaris, Moire Fringes of Isopachics, J. Sci. Instrum., 41, no. 3 (1964)
133-138.
Кгл. 7
1. J. Guild, The Interference System of Crossed Diffraction Gratings, Clarendon Press,
Oxford, 1956.
2. J. W. Dally and W. F. Riley, Experimental Stress Analysis, 1st ed. McGraw-Hill, New
York, 1965, p. 360.
3. C. A. Sciammarella, The Moire Method, a Review, Exp. Mech. 22, no. 11 (1982),
418-433.
4. A. J. Durelli and V. J. Parks, Moire Analysis of Strain, Prentice-Hall, Englewood Cliffs,
N. J., 1970.
5. P. S. Theocaris Moire Fringes in Strain Analysis, Pergamon Press, Elmsford, N. Y.,
1969.
6. C. A. Sciammarella and A. J. Durelli, Moire Fringes as a Means of Analyzing Strains.
Proc. ASCE, J. Eng. Mech. Div.t 89 (EMI), (1961), 51-74.
596
Литература
7. D. Post, The Moire Grid-Analyzer Method for Strain Analysis, Exp. Mech., 5, no. 11
(1965), 368-377.
8. A. J. Durelli and V. J. Parks, Moire Fringes as Parametric Curves, Exp. Mech. 7, no. 3
(1967), 97.
9. D. Post, Moire Fringe Multiplication with a Non-symmetrical Doubly-Blazed Reference
Grating, Appl. Opt., 10, no. 4 (1971), 901-907.
10. D. Post and T. F. MacLaughlin, Strain Analysis by Moire Fringe Multiplication, Exp.
Mech., 11, no. 9 (1971), 408-413.
11. I. M. Daniel, R. E. Rowlands, and D. Post, Strain Analysis of Composites by Moire
Methods, Exp. Mech., 13, no. 6 (1973), 246-252.
12. N. Wadsworth, M. Marchant, and B. Billing, Real-Time Observation of In-Plane
Displacements of Opaque Surfaces, Opt. Laser Technol., 5, no. 3 (June 1973), 119-123.
13. M. Marchant and S. M. Bishop, An Interference Technique for the Measurement of In-
plane Displacements of Opaque Surfaces, J. Strain Anal., 9, no. 1 (1974), 36-43.
14. K. A. Stetson, Homogeneous Deformations: Determination by Fringe Vectors in
Hologram Interferometry, Appl. Opt., 14, no. 9 (1975), 2256-2259.
15. J. B. Abbis, M.J. Marchant, and A. C. Marchant, Recent Applications of Coherent
Optics in Aerospace Research, Opt. and Eng., 15, no. 3 (1976), 202-210.
16. G. L. Rogers, A Geometrical Approach to Moire Pattern Calculations, Opt. Acta, 24,
no. 1 (1977), 1-13.
17. J. McKelvie and C. A. Walker, A Practical Multiplied Moire-Fringe Technique, Exp.
. Mech., 18, no. 8 (1978), 316-320.
18. J. McKelvie, D. Pritty, and C. A. Walker, An Automatic Fringe Analysis Interferometer
for Rapid Moire Stress Analysis, 4th Eur. Electro-Opt. Conf., SP1E Proc. Vol. 164,
Oct. 1978, pp. 175-188.
19. R. E. Rowlands and J. H. Vallem, On Replication for Moire-Fringe Multiplication, Exp.
Mech., 20, no. 5 (1980), 167.
20. A. J. Durelli and A. Shukla, Identification of Isochromatic Fringes, Exp. Mech., 23,
(March 1983), 111-119.
21. D. Post, Moire Interferometry in White Light, Appl. Opt., 18, no. 24 (Dec. 15, 1979),
4163-4167.
22. A. McDonach, J. McKelvie, and С. /\. Walker, Stress Analysis of Fibrous Composites
Using Moire Interferometry, Opt. and Lasers Eng., 1 (1980), 85-105.
23. D. Post, Optical Interference for Deformation Measurements—Classical, Holographic
and Moire Interferometry, in Mechanics of Nondestructive Testing (W. W. Stinchcomb,
Ed.), Plenum Press, New York, 1980, pp. 1-53.
24. D. Post and W. A. Baracat, High-Sensitivity Moire Interferometry—A Simplified
Approach, Exp. Mech., 21, no. 3 (1981), 100-104.
25. M. Basehore and D. Post, Moire Method for In-Plane and Out-of-Plane Displacement
Measurements, Exp. Mech., 21, no. 9 (1981), 321-328
26. D. F. Bowles, D. Post, C. T. Herakovich, and D R. Tenney, Moire Interferometry for
Thermal Expansion of Composites, Exp. Mech., 21, no. 12 (1981), 441-447.
27. C. W. Smith, D. Post, and G. Nicoletto, Prediction of Sub-critical Crack Growth Data
from Model Experiments, Developments in Theoretical and Applied Mechanics, Vol.
XI, University of Alabama in Huntsville, Huntsville, Ala., Apr. 1982, pp. 167-179.
28. E. M. Weissman and D. Post, Moire interferometry near the Theoretical Limit, Appl.
Opt., 21, no. 9 (May 1, 1982), 1621-1623.
Литература
597
29. D. Post. Developments in Moire Interferometry, Opt. Eng.. 21. no. 3 (May 1982).
4:>8-467.
30. R. B. Watson and D. Post. Precision Standard by Moire Interferometry for Strain Gage
Calibration, Exp. Mech,. 22. no. 7 11982). 256-261.
31. M. L. Raschore and D.-Post, Displacement Fields (U. W) Obtained Simultaneously by
Moire Interferometry. Appl. Opt.. 21. no. 14 (July 15. 1982), 2558-2562.'
32. D. Po;:t High Sensitivity Displacement Measurements by Moire Interferometry, Proc.
7th Int. Conf. Lxp. Stress Anal.. Haifa. Israel. Aug. 1982, pp. 397-408.
33. E. M. Weissman and D. Post, Full-Field Displacement Rosette by Moire Interferometry,
Exp. Mech., 22. no. 9 (1982), 324-328.
34. M. W. Hyer, С. T. Herakovich, and D. Post, Thermal Deformations of Graphite Epoxy,
in 1982 Advances in Aerospace Structures and Materials, ASME, New York, 1982, pp.
107-114.
35. R. Czarnek, D. Post, and С. T. Herakovich, Edge Effects in Composites by Moire
Interferometry, Exp. Tech., Jan. 1983, pp. 18-21.
36. C. W. Smith, D. Post, G. Hiatt, and G. Nicoletto, Displacement Measurements around
Cracks in Three-Dimensional Problems by a Hybrid Experimental Technique, Exp.
Mech., 23, no. 1 (March 1983). 15-20.
37. C. A Walker, J. McKelvie, and A. McDonach, Experimental Study of Inelastic Strain
Patterns in a Model of a Tube-Plate Ligament Using an Interfcrometric Moire Technique,
Exp. Mech., 23, no. 1 (Mar. 1983), 21-29.
38. A. McDonach, J. McKelvie, P. MacKenzie, and C. A. Walker, Improved Moire
Interferometry and Applications in Fracture Mechanics, Residual Stress and Damaged
Composites, Exp. Tech., 23, no. 2, (June 1983), 20-24.
39. D. Post, Moire Interferometry at VPI & SU, Exp. Mech., 23, no. 2 (June 1983),
203-210.
40. D. Post, Moire Interferometry for Damage Analysis of Composites, Exp. Tech., 7, no. 7
(1983), 17-20.
41. M. P. Nemeth, С. T. Herakovich, and D. Post, On the Off-Axis Tensile Test for
Unidirectional Composites, Compos. Technol. Rev., 5, no. 2 (Summer 1983), 61-68.
42. C. W. Smith, D. Post, and G. Nicoletto, Experimental Stress-Intensity Factors in Three-
Dimensional Cracked-Body Problems, Exp. Mech., 23, no. 4 (Dec. 1983), 378-381.
43. E. M. Weissman, D. Post, and A. Asundi, Whole-Field Strain Determination by Moire
Shearing Interferometry, J. Strain Anal., 19, no. 2 (1984), 77-80.
44. R. Czarnek and D. Post, Moire Interferometry with ±45-Deg Gratings, Exp. Mech., 24,
no. 1 (Mar. 1984), 68-74.
45. M. L. Baschore and D. Post, High-Frequcncy, High-Reflectance Transferable Moire
Gratings, Exp. Tech., 8, no. 5, 29-31 (1984).
46. D. Post, R. Czarnek, and D. Joh, Shear Strain Contours from Moire Interferometry Exp
Mech. 25, no. 3, (Sept. 1985), 282-287.
47. D. Post, Moire Interferometry for Deformation and Strain Studies, Opt. Eng. 24, no. 4,
663-667 (July-Aug. 1985).
48. C. W. Smith, D. Post, and J. S. Epstein, Algorithms and Restrictions in the Application
of Optical Methods to Stress Intensity Factor Determination, J. Theor. Appl. Fract.
Mech., 2, no. 1 (Sept. 1984), 81-89.
49. D. Post, R. Czarnek, and C. W. Smith, Patterns of U and V Displacement Fields around
Cracks in Aluminum by Moire Interferometry, in Applications of Fracture Mechanics to
598
Литература
Materials and Structure (G. C. Sih, E. Sommer, and W. Dahl, Eds.), Martinus Nijhoff,
Hingham, Mass., 1984, 699-708.
50. D. Post, R. Czarnek, J. D. Wood, D. Joh, and S. Lubowinski, Deformations and Strains
in Adhesive Joints by Moire Interferometry, NASA Contractor Report No. 172474,
1984.
51. D. Post, R. Czarnek, D. Joh, and J. D. Wood, Deformation Measurements of Composite
Multi-Span Beam Shear Specimens by Moire Interferometry, NASA Contractor Report
No. 3844, 1984.
52. J. D. Wood, Detection of Delamination Onset in a Composite Laminate Using Moire
Interferometry, Compos. Technol. Rev., 7, no. 4 (winter 1985), 121-128.
53. C. Ruiz, D. Post, and R. Czarnek, Moire Interferometric Study of Dovetail Joints, /.
Appl. Mech., 52, no. 1 (Mar. 1985), 109-114.
54. A. Livnat and D. Post, The Grating Equations for Moire Interferometry and Their
Identity to Equations of Geometrical Moire, Exp. Mech. 25, no. 4 (Dec. 1985), 360-366.
55. G. H. Spencer and M. V. R. K. Murty, General Ray-Tracing Procedure, J. Opt. Soc.
Am., 52, no. 6 (1962), 672-678.
56. M. C. Hutley, Diffraction Gratings, Academic Press, New York, 1982.
57. S. Matsui, K. Moriwaki, H. Aritome, S. Namba, S. Shin, and S. Suga, X-Ray
Diffraction Grating for Synchrotron Radiation Spectroscopy: A New Fabrication Method, Appl..
Opt., 21, no. 15 (August 1, 1982), 2787-2793.
58. E. N. Leith, G. Swanson, and S. Leon, Construction of Diffractive Optical Elements in
Non-coherent Light, SPIE, 503 (1984), 2-8.
Кгл.8
1. D. Gabor, Nature, 161 (1948), 777; Proc. R. Soc. London, A197 (1949), 454.
2. E. Leith and J. Upatnieks, J. Opt. Soc. Am., 52 (1962), 1123.
3. K. A. Haines and B. P. Hildebrand, Surface-Deformation Measurement Using the
Wavefront Reconstruction Technique, Appl. Opt. 5. no. 4 (1966), 595-602.
4. A. E. Ennos, Measurement of In-Plane Surface Strain by Hologram Interferometry,
J. Sci. Instrum. (J. Phys. £), Ser. 2, 1.
5. E. B. Aleksandrov and A. M. Bonch-Bruevich, Investigation of Surface Strains by the
Hologram Technique, Sov. Phys. Tech. Phys., 12, no. 2.
6. J. E. Solid, Holographic Interferometry Applied to Measurement of Small Static
Displacements of Diffusely Reflecting Surfaces, Appl. Opt., 8 (1969), 1587-1595.
7. G. W. Stroke, G. M. Brown, and R. M. Grant, Theory of Holographic Interferometry,
J. Acoust. Soc. Am., 4, no. 5 (1969), 1166-1179.
8. Olof Bryngdahl, Shearing Interferometry by Wavefront Reconstruction, J, Opt. Soc,
Am., 58 (July 1968).
9. H. Saito, I. Yamaguchi, and K. Hachimine, An Application of Holographic
Interferometry to Stress Analysis of Elastic Bending Plate, Inst. Phys. Chem. Res., Pap. No. 1802,
Oct. 1970.
10. R. E. Brooks, L. O. Heflinger, and R. F. Wuerker, Pulsed Laser Holograms, /.
Quantum Electron., 2 (1966), 275-279.
Литература
599
И. R. Е. Brooks, L. О. Heflinger, R. F. Wuerker, and A. R. Briones, Holography
Photography of High-Speed Phenomena with Conventional and Q-Switched Ruby Lasers, Appl.
Phys. Lett., 7 (1965), 92-94.
12. A. D. Jacobson and F. J. McClung, Holograms with Pulsed Laser Illumination, Appl.
Opt., 4 (1965), 1509-1510.
13. W. G. Gottenburg, Some Applications of Holographic Interferometry, Exp. Mech., 8
(1969), 281-285.
14. D. A. Evensen and R. Aprahamian, Applications of Holography to Vibrations, Transient
Response, and Wave Propagation, TRW Systems Group Rep. AM 70-11, May 1970.
15. R. L. Powell and K. A. Stetson, Interferometric Vibration Analysis by Wavefront Re-
consruction, J. Opt. Soc. Am:, 5, no. 12 (1965), 1593-1598.
16. J. A. Leendertz, Interferometric Displacement Measurement on Scattering Surfaces
Utilizing Speckle Effect, /. Phys. E: Sci. Instrum., 3 (1970), 214-218.
17. E. Archbold, J. M. Burch, and A. E. Ennos, Recording of In-Plane Surface
Displacement by Double Exposure Speckle Photography, Opt. Acta, 17 (1970), 883-898.
18. J. N. Butters and J. A. Leendertz, A Double-Exposure Technique for Speckle Pattern
Interferometry, /. Phys. E: Sci. Instrum., 4 (1971), 277-279.
19. E. Archbold and A. E. Ennos, Displacement Measurement from Double-Exposure Laser
Photographs, Opt. Acta, 19 (1972), 253-271.
20. D. E. Duffy, Measurement of Surface Displacement Normal to the Line of Sight, Exp.
Mech., 14 (Sept. 1974), 378-384.
21. K. A. Stetson, A Review of Speckle Photography and Interferometry, Opt. Eng., 14, no.
5 (1975), 482-489.
22. Y. Y. Hung, Displacement and Strain Measurement, Chapter 4 in Speckel Metrology
(R. K. Erf, Ed.), Academic Press, New York, 1978.
23. D. A. Chambless and J. A. Broadway, Digital Filtering of Speckle-Photography Data,
Exp. Mech., 19, no. 8 (1979), 286-289.
24. Т. C. Chu, W. F. Ranson, M. A. Sutton, and W. H. Peters, Applications of Digital
Image Correlation Techniques to Experimental Mechanics, Exp. Mech., 25, no. 3
(1985), 232-244.
25. V. J. Parks, The Range of Speckle Metrology, Exp. Mech., 20 (June 1980), 181-191.
26. D. H. Holoway, Application of Holographic Interferometry to Stress Wave and Crack
Propagation Problems, Opt. Eng., 21, no. 3 (1982).
27. K. A. Stetson, A Rigorous Treatment of the Fringes of Hologram Interferometry, Optic,
4 (1969), 385-400.
28. K. A. Stetson, New Design for Laser-Speckle Interferometry, Opt. Laser Technol., 2
(1970), 179-181.
29. K. A. Stetson, Analysis of Double-Exposure Speckle Photography with Two-Beam
Illumination, J. Opt. Soc. Am., 64, no. 6 (1974), 857-861.
30. F. D. Adams and G. E. Maddux, Synthesis of Holography and Speckle Photography to
Measure 3-D Displacements, Appl. Opt., 13, no. 2 (1974), 219.
31. F. P. Chiang and R. P. Khetan, Strain Analysis by One-Beam Laser. Speckle
Interferometry—2: Multiaperture Method, Appl. Opt. 18. no. 13 (July 1979).
32. F. P. Chiang and G. Jaisingh, On the Influence of Strain in One Beam Laser Speckle
Interferometry, presented to the Soc. Exp. Stress Anal., San Francisco, May 22, 1979.
600
Литература.
33. G. Cloud, Practical Speckle Interferometry for Measuring In-Plane Deformation, Appl.
Opt., 14, no. 4 (1975), 878-884.
34. D. B. Barker and M. E. Fourney, Displacement Measurements in the Interior of 3-D
Bodies Using Scattered-Light Speckle Patterns, Exp. Mech., 16, no. 6 (1976), 209-214;
35. Шуман В., Дюба M. Анализ деформаций непрозрачных объектов методом голо-
графической интерферометрии. Пер. с англ. — Л.: Машиностроение, 1983.
36. F. P. Chiang (Ed.), Coherent Optical Technique and Experimental Mechanics, Opt.
Eng., 21, no. 3 (1982).
37. Y. Y. Hung, C. P. Hu, and С. E. Taylor, Speckle-Shearing Interferometric Camera—A
Tool for Measurement of Derivatives of Surface-Displacement, Proc. SP1E, 41 (1973),
169-175.
38. Y. Y. Hung, C. P. Hu, and С. E. Taylor, Speckle Moire Interferometry: A Tool for
Complete Measurement of In-Plane Surface Displacement, Developments in Theoretical
and Applied Mechanics, 7 (SECTAM VI1), Catholic University of America,
Washington, D.C., 1974.
39. Y. Y. Hung and С. E. Taylor, Measurement of Slopes of Structural Deflections by
Speckle-Shearing Interferometry, Exp. Mech,, 14, no. 7 (1974), 281-285.
40. Y. Y. Hung, A Speckle-Shearing Interferometer: A Tool for Measuring Derivatives of
Surface Displacements, Opt. Commun., 11, no. 2 (1974), 132-135.
41. W. H. Peters and W. F. Ranson, Digital Imaging Techniques in Experimental Stress
Analysis, Opt. Eng., 21, no. 3 (1982), 427-432.
42. M. A. Sutton, W. J. Wolters, W. H. Peters, W. F. Ranson, and S. R. McNeil,
Determination of Displacements Using an Improved Digital Correlation Method, Image Vision
Comput.. 1, no. 3 (1983), 133-139.
Кгл. 9
1. P. Manogg, Anwendung der Schattenoptik zur Untersuchung des Zerreissvorgangs von
Platten, Dissertation, Freiburg, Germany, 1964.
2. P. Manogg, Schattenoptische Messung der spezifischen Bruchenergie wahrend des
Bruchvorgangs bei Plexiglas, Proc. Int. Conf. Phys. Non-Crystalline Solids, Delft, The
Netherlands, 1964, pp. 481-490.
3. P. S. Theocaris and N. Joakimides, Some Properties of Generalized Epicycloids Applied
to Fracture Mechanics, J. Appl. Mech., 22 (1971), 876-890.
4. P. S. Theocaris, The Reflected Caustic Method for the Evaluation of Mode III Stress
Intensity Factor, Intern. J. Mech. Sci., 23 (1981), 105-117.
5. P. S. Theocaris, Stress Concentrations at Concentrated Loads, Exp. Mech., 13 (1973),.
511-528.
<6. A. J. Rosakis and L. B. Freund, Optical Measurement of the Plastic Strain Concentration
at a Tip in a Ductile Steel Plate, J. Eng. Mater. Technol., 104 (1982), 115-125.
7. A. J. Rosakis, С. C. Ma, and L. B. Freund, Analysis of the Optical Shadow Spot
Method for a Tensile Crack in a Power-Law Hardening Material, J. Appl. Mech., 50
(1983). 777-782.
<602
Литература
26. J. F. Kalthoff, S. Winkler, W. Bohme, and W. Klemm, Determination of the Dynamic
Fracture Toughness K\d in Impact Tests by Means of Response Curves, Proc. 5th Int.
Conf. Fract., Cannes, Mar. 29-Apr. 3, 1980, in Advances in Fracture Research, Perga-
mon Press, Elmsford, N.Y., 1981, pp. 363-373.
27. ASTM E 399, Standard Test Method for Plane-Strain Fracture Toughness of Metallic
Materials, Annual Book of ASTM Standards, Part 10, American Society for Testing and
Materials, Philadelphia, 1983.
28. D. R. Ireland, Critical Review of Instrumented Precracked Charpy Testing, Proc. Int.
Conf Dyn. Fract. Toughness, London, July 5-7, 1976, pp. 47-62.
29. J. F. Kalthoff, S. Winkler, and J. Beinert, Dynamic Stress Intensity Factors for
Arresting Cracks in DCB Specimens, Int. J. Fract., 12 (1976), 317-319.
30. J. F. Kalthoff, J Beinert, and S. Winkler, Measurements of Dynamic Stress Intensity
Factors for Fast Running and Arresting Cracks in Double-Cantilever-Beam Specimens,
in Fast Fracture and Crack Arrest, ASTM STP 627, (G. T. Hahn and M. F. Kanninen,
Eds.), American Society for Testing and Materials, Philadelphia, 1977, pp. 161-176.
31. J. F. Kalthoff, J. Beinert, S. Winkler, and W. Klemm, Experimental Analysis of
Dynamic Effects in Different Crack Arrest Test Specimens, Crack Arrest Methodology and
Applications, ASTM STP 711 (G. T. Hahn and M. F. Kanninen, Eds.), American
Society for Testing and Materials, Philadelphia, 1980, pp. 109-127.
32. J F Kalthoff, Bruchdynamik Laufender und arretierender Risse, Int. Seminar uber
Bruchmechanik, Schadensanalyse fur die Praxis, Bruchsicherheit, Ed. H. P. Ross-
manith, Wien, 12./13. Juni 1980, К 1-22; published in Grundlagen der Bruchmechanik
(H. P. Rossmanith, Ed.), Springer-Verlag, New York, 1982, pp. 191-219.
33. P. B. Crosley and E. J. Ripling, Characteristics of a Run-Arrest Segment of Crack
Extension, in Fast Fracture and Crack Arrest, ASTM STP 627 (G. T. Hahn and M. F.
Kanninen, Eds.), American Society for Testing and Materials, Philadelphia, 1977, pp.
203-227.
34. G. T. Hahn, et al., Critical Experiments, Measurements and Analyses to Establish a
Crack Arrest Methodology for Nuclear Pressure Vessel Steels, Reports BMI—1937,
1959, 1985 prepared for U.S. Nuclear Regulatory Commission. Battelle Columbus
Laboratories, Ohio, 1975-1978.
35. J. F. Kalthoff and S. Winkler, Fracture Behavior under Impact, First and Second Annual
Report prepared for US ARO European Research Office, London, IWM Reports W
10/82 and W 10/82, Fraunhofer-Institut fur Werkstoffmechanik, Freiburg, 1983.
36. J. F. Kalthoff, On Some Current Problems in Experimental Fracture Dynamics, in
Workshop on Dynamic Fracture (W. G. Knauss, Ed.), California Institute of Technology,
Pasadena, Calif., Feb. 17-18, 1983,.pp. 11-35.
Литература
601
8. J. F. Kalthoff, J. Beinert, and S. Winkler, Analysis of Fast Running and Arresting
Cracks by the Shadow-Optical Method of Caustics, IUTAM Symp. Opt. Methods Mech.
Solids (A. Lagarde, Ed.), University of Poitiers, France, Sept. 10-14, 1979, Sijthoff-
Noordhoff, Alphen aan den Rijn. The Netherlands, 1980, pp. 497-508.
9. J. Beinert and J. F. Kalthoff, Experimental Determination of Dynamic Stress Intensity
Factors by Shadow Patterns, in Mechanics of Fracture, Vol. 7, Experimental Fracture
Mechanics (G. C. Sih, Ed.), Martmus Nijhoff Publishers, Hingham, Mass., 1981, pp.
280-330.
10. J. F. Kalthoff, Stress Intensity Factor Determination by Caustics, Proc. Int. Conf. on
Experimental Stress Analysis, organized by Japan Society of Mechanical Engineers (JSME)
and American Society for Experimental Stress Analysis (SFSA), Honolulu-Maui,,
■ Hawaii, May 23-29, 1982, pp. 1119-1126.
11. J. F. Kalthoff, W. Bohme, and S. Winkler, Analysis of Impact Fracture Phenomena by
Means of the Shadow Optical Method of Caustics, Proc. 7th Int. Conf. Exp. Stress
Anal, organized by SESA. Haifa, Israel, Aug. 23-27. 1982. pp. 148 160
12. M. Born and E. Wolf, Principles of Optics, Pergamon Press. New York, 1970.
13. D. Broek, Elementary Engineering Fracture Mechanics. Martinus Nijhoff Publishers,
Hingham, Mass, 1982.
14. P. C. Paris and G. C. Sih, Stress Analysis of Cracks, Fracture Toughness Testing and
Its Applications, ASTM STP 381, American Society for Testing and Materials,
Philadelphia, 1965, pp. 30-83.
15. P. S. Theocaris, Complex Stress Intensity Factors of Bifurcation Cracks, J. Mech. Phvs.
Solids, 20 (1972), 265-279.
16. U. Seidelmann, Anwendung des schattenoptischen Kaustikenverfahrens zur Bcstimmung
bruchmechanischer Kennwerte bei iiberlagerter Normal- und Scherbeanspruchung,.
Bericht 2/76 des Fraunhofer-Instituts fur Festkorpermechanik, Freiburg, 1976.
17. G. C. Sih, Handbook of Stress Intensity Factors, Institute of Fracture and Solid
Mechanics, Lehigh University, Bethlehem, Pa., 1973.
18. L. B. Freund, Crack Propagation in an Elastic Solid Subjected to General Loading—I.
Constant Rate of Extension, J. Mech. Phys. Solids, 20 (1972), 129-140.
19. J. F. Kalthoff, Zur Ausbreitung und Arretierung schnell laufender Risse, Fortschritt-
Berichte der VDI-Zeitschriften, Reike 18, no. 4, VDI-Verlag, Diisseldorf, 1978, pp.
1-95.
20. M. L. Williams, On the Stress Distribution at the Base of a Stationary Crack, /. Appl..
Mech., 24 (1957). 109-114.
21. J. W. Hutchinson. Singular Behavior at the End of a Tensile Crack in a Hardening
Material, J. Mech. Phys. Solids, 16 (1968), 13-31.
22. J. R. Rice and G. F. Rosengreen, Plane Strain Deformation Near a Crack Tip in a
Power-Law Hardening Material, J. Mech. Phys. Solids, 16 (1968), 1-12.
23. J. W. Hutchinson, Plastic Stress and Strain Fields at a Crack Tip, /. Mech. Phvs. Solids,.
16 (1908), 337-347.
24. J. F. Kalthoff, S. Winkler, and J. Beinert, The Influence of Dynamic Effects in Impact
Testing, Int. J. Fract., 13 (1977), 528-531.
25. J. F. Kalthoff, W. Bohme, S. Winkler, and W. Klemm, Measurements of Dynamic
Stress Intensity Factors in Impacted Bend Specimens, CSNI-Specialist Meeting on In-
strumented Precracked Charpy Testing, Electric Power Research Institute, Palo Alto*
Calif., Dec. 1-3, 1980, pp. 1-17.
39-1480
Литература
603
к гл. 10
1. G. Е. Sommargren, Up/Down Frequency Shifter for Optical Heterodyning, J. Opt. Soc.
Am., 65 (1975) 960-961.
2. R. Dandliker, Heterodyne Holographic Interferometry, in Progress in Optics Vol. XVII
(E. Wolf Ed.) North-Holland, Amsterdam, 1972, Chap. 1.
3. K. A. Stetson, Effect of Scintillation Noise in Heterodyne Speckle Photogrammetry,
Appl. Opt., 23 (1984), 920-923.
4. J. Katz and E. Marom, Effects of Nonlinear Recording in Holographic Interferometry,
J. Opt. Soc. Am., 69 (1979), 696-705.
5. R. Dandliker, R. Thalmann, and J. F. Willemin, Fringe Interpolation by Two-Beam
Holographic Interferometry: Reducing Sensitivity to Hologram Misalignment, Opt. Com-
тип., 42 (1982), 301-306.
6. К. A. Stetson, Method of Vibration Measurements in Heterodyne Interferometry, Upt.
Lett., 7(1982), 233-234.
7. R. K. Erf (Ed.), Speckle Metrology, Academic Press, New York, 1978.
8. G. B. Smith and K. A. Stetson, Heterodyne Readout of Specklegram Halo Interference
Fringes, Appl. Opt., 19 (1980), 3031-3033.
9. K. A. Stetson, The Use of Heterodyne Speckle Photogrammetry to Measure
High-Temperature Strain Distributions, in Holographic Data Non-destructive Testing (D. Vu-
kicevic, Ed.), Proc. SPIE 370, 1983, pp. 46-55.
10. J. A. Leendertz, Interferometric Displacement Measurement of Scattering Surfaces
Utilizing Speckle Effect, /. Sci. Instrum. (J. Phys. E) 3 (1970), 214-218.
11. K. A. Stetson, A Heterodyne Optical Strain Sensor, Proc. 29th Int. Instrum. Symp.,
Instrum. Soc. Am., May 1983, pp. 65-69.
Русскоязычная и дополнительная литература
К гл. 1
9. Хилл Р. Математическая теория пластичности. — М.: ГИТТЛ, 1956.
27. Ляв А. Математическая теория упругости. — М. — Л.: ОНТИ, 193 •
28. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической норм*
упругости. — М.: Наука, 1966.
29. Савин Г. Н. Распределение напряжений около отверстии. Киеи: Нцуко
ва думка, 1968.
32. Си Г., Либовиц Г. Математическая теория хрупкою рл {рушении.— В кн.:
Разрушение. Т. 2./Под ред. Г. Либовицл.-— М.: Мир, 19/5.
38. Коллатц Л. Численные методы решения дифференциальных уравнений. —
М.: ИЛ, 1953.
48. Прагер В., Ходж Ф. Г. Теория идеально пластических тел. — М.: ИЛ*
1956.
49. Джонсон У., Меллор П. Теория пластичности для инженеров. — М.:
Машиностроение, 1979.
50. Бленд Д. Теория линейной вязко-упругости.—М.: Мир, 1965.
51. Кристенсен Р. Введение в теорию вязкоупругости. — М.: Мир, 1974
39*
Литература
605
К гл. 5
112. Пригоровский Н. И. Методы и средства определения полей деформаций
и напряжений. — М.: Машиностроение, 1983.
113. Александров А. Я., Ахметзянов М. X. Поляризационно-оптические
методы механики деформируемого тела. — М.: Наука, 1973.
114. Метод фотоупругости. В 3-х томах./Под ред. Г. Л. Хесина. — М.: Строй-
издат, 1975.
115. Абен X. К- Интегральная фотоупругость. — Таллинн: Валгус, 1975.
116. Ушаков Б. Н., Фролов И. П. Напряжения в композитных
конструкциях.— М.: Машиностроение, 1979.
117. Бугаенко С. Е. Моделирование напряжений методом замораживания
деформаций.— М.: Энергоатомиздат, 1987.
118. Нетребко В. П. Фотоупругость анизотропных тел. — М.: МГУ, 1988.
419. Тараторин Б. И. Моделирование напряжений в конструкциях ядерных
реакторов.—М.: Атомиздат, 1973.
120. Материалы VIII Всесоюзной конференции по методу фотоупругости.
В 4-х томах. — Таллинн: АН ЭССР, 1979.
121. Труды VII Всесоюзной конференции по поляризационно-оптическому
методу исследования напряжений. В 4-х томах. — Таллинн: АН ЭССР, 1971.
122. Пригоровский Н. И. Метод пространственной фотоупругости для исследо-
дования распределения напряжений. — В кн.: Исследования в области
машиностроения. — М.: АН СССР, 1944.
123. Пригоровский Н. И., Прейсс А. К- Исследования напряженного состояния
в пучке параллельных лучей поляризованного света. — Изв. АН СССР,
ОТН, № 9, 1949.
124. Салин А. Н. Установка УРС-А и проведение измерений. — В кн.:
Экспериментальные исследования и расчет напряжений в конструкциях.—
М.: Наука, 1975.
125. Осокина Д. Н. Пластичные и упругие низко-модульные оптически
активные материалы для исследования напряжений в земной коре методом
моделирования. — М.: АН СССР, 1963.
126. Губкин С. И., Добровольский С. И., Бойко Б. Б. Фотопластичность. —
М.: АН ГССР, 1952.
127. Воронцов В. К., Полухин П. И. Фотопластичность. — М.: Металлургия,
1969.
К гл. 6
2. Дюрелли А., Парке В. Анализ деформаций с использованием муара —
М.: Мир, 1974.
6. Теокарис П. Муаровые полосы при исследовании деформаций. — М.: Мир,
1972.
36. Сухарев И. П., Ушаков Б. Н. Исследование деформаций и напряжений
методом муаровых полос. — М.: Машиностроение, 1969.
37. Шнейдерович Р. М., Левин О. А. Измерение полей пластических
деформаций методом муара. — М.: Машиностроение, 1972.
38. Полухин П. И., Воронцов В. К-, Кудрин А. В., Чиченов Н. А. Деформации
и напряжения при обработке металлов давлением. — М.: Металлургия,
1974.
39. Сегал В. М., Макушок Е. М., Резников В. И. Исследование пластического
формоизменения материалов методом муара. — М.: Металлургия, 1974.
40. Денисов П. И. Поточный контроль прокатываемых полос методом
муара. — М.: Металлургия, 1982.
606
Литература
К гл. 7
4. Дюрелли А., Парке В Анализ деформаций с использованием муара.—
М.: Мир, 1981.
5. Теокарис П. Муаровые полосы при исследовании деформаций. — М.: Мир,.
1972.
К гл. 8
3. Хайнес, Гильдебранд. Измерение поверхностных деформаций голографи-
ческим методом. — Зарубежная радиоэлектроника, 1967, № 5, с. 100.
5. Александров Е. Б., Бонч-Бруевич А. М. Исследование поверхностных
деформаций тел с помощью голограммной техники. — Журн. технич.
физики, 1967, т. 37, с. 360.
43. Денисюк Ю. Н. Об отображении оптических свойств объекта в волновом
поле рассеянного им излучения. — ДАН СССР, 1962, т. 144, с. 1275.
44. Сороко Л. М. Основы голографии и когерентной оптики. — М.: Наук^
1971.
45. Кольер Р., Беркхарт К., Лин Л. Оптическая голография. — М.: Мир, 1973.
46. Голография. Методы и аппаратур а ./Под ред. В. М. Гинзбург, Б. М.
Степанова.— М.: Советское радио, 1974.
47. Оптическая голография. Практические приложения./Под ред. В. М.
Гинзбург, Б. М. Степанова.—М.: Советское радио, 1978.
48. Островский Ю. И., Бутусов М. М., Островская Г. В. Голографическая*
интерферометрия. — М.: Наука, 1977.
49. Вест Ч. Голографическая интерферометрия. — М.: Мир, 1982.
50. Козачок А. Г. Голографические методы исследования в
экспериментальной механике. — М.: Машиностроение, 1984
51. Клименко И. С. Голография сфокусированных изображений и
спекл-интерферометрия.— М.: Наука, 1985.
52. Джоунс Р., Уайкс К. Голографическая и спекл-интерферометрия. Пер„
с англ. — М.: Мир, 1986.
53. Островский Ю. И., Щепинов В. П., Яковлев В. В. Голографические
интерференционные методы измерения деформаций. — М.: Наука, 1988.
54. Кудрин А. Б., Бахтин В. Г. Прикладная голография. Исследование
процессов деформации металлов. — М.: Металлургия, 1988.
К гл. 9
12. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. — М.: Наука, 1970.
13. Броек Д. Основы механики разрушения.—М.: Высшая школа, 1980.
14. Парис П., Си Д. Анализ напряженного состояния около трещин. — В кн.:
Прикладные вопросы вязкости разрушения. — М.: Мир, 1968.
37. Theocaris P. S. Elastic stress intensity factors evaluated by caustics, «Ехре-
rimental evaluation of stress concentration and intensity factors», Hague*
Boston and London, 1981, p. 189—252.
Предметный указатель
Активность оптическая 215, 219
Анализатор 229
— круговой 236
— линейный 233
Аналогия температурно-временная 51
Баушингера эффект 18, 48
Боде график 146
Брюстера закон 203
— угол 203
Вход инвертирующий 102
— неинвертирующий 102
Вязкопластичность 23
Вязкость остановки трещины 546
Вязкоупругость 17
Голограмма дважды экспонированная
451
— интенсивность изображения 456
— стробоскопическая 571
Голография динамическая 465
— импульсная 466
— с усреднением во времени 472
Давление гидростатическое 14
Датчик деформаций гетеродинный
578
— перемещения 151
индуктивный 154
на микропереключателях 157
фотоэлектрический 156
— скорости 158
Девиатор напряжений 19
Демодуляция 112
Деформация, градиент 11
— неупругая, скорость 26
— определения 11
— пластическая 48
— температурная 313
— тензор 11
Деформирование циклическое 70
Децибел 147
Дифференциаторы 147
Дихроизм 206
ДКБ 547
Друкера постулаты 20
Жидкости двоякопреломляющнс 324
Замедлитель ахроматический 220, 239
Запаздывание абсолютное 218
— относительное 218
Изолятор оптический 225
Интеграторы 146
Интерполяция билинейная 487
Интерференция
геометрическая 328
двухпучковая 371
— не чистая 373
— распределение интенсивности 372
— чистая 372
ослабляющая 372
полосы 376
— градиент 377
— контраст 378
— порядок 377
— частота 376
слои 376
усиливающая 372
условие стационарности 375
Интерферометр 371
— гетеродинный 565
— голографический следящий 571
—- муаровый 392
Интерферометрия гетеродинная 564
вибрация блуждающая 571
регистрация полос 568
— голографическая, измерение
деформаций 463
контроль неразрушающий 466
метод одноголограммный 457
обработка изображений цифра
вая 450
€04
Литература
57. Грин А., Адкинс Дж. Большие упругие деформации и нелинейная
механика сплошной среды. — М.: Мир, 1965.
61. Прагер В. Введение в механику сплошных сред. — М.: ИЛ, 1963.
62. Васидзу К- Вариационные методы в теории упругости и пластичности. —
М.: Мир, 1987.
64. Прагер В. Проблемы теории пластичности. — М.: Физматгиз, 1958.
66. Качанов Л. М. Основы теории пластичности. — М.: Наука, 1969.
67. Томас Т. Пластическое течение и разрушение твердых тел. — М.. Мир,
1964.
69. Седов Л. И. Введение в механику сплошной среды. — М.: Физматгиз,
1962.
71. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике.—М.: Мир, 1975.
72. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. — М.: Мир, 1984.
76. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Метод граничных элементов в прикладных
науках. — М.: Мир, 1984.
77. Работнов Ю. Н. Ползучесть элементов конструкций.—М.: Наука,
1986.
78. Работнов Ю. Н. Элементы наследственной механики твердых тел. — М.:
Наука, 1977.
79. Работнов Ю. Н. Механика деформируемого твердого тела. — М.: Наука,
1979.
*80. Ильюшин А А., Победря Б. Е. Основы математической теории термовяз-
коупругости. — М.: Наука, 1970.
81. Москвитин В. В. Сопротивление вязко-упругих материалов.—М.:
Наука, 1972.
82. Москвитин В. В. Циклическое нагружение элементов конструкций —
М.: Наука, 1981.
83. Малинин Н. Н. Ползучесть в обработке металлов. — М.: Машиностроение,
1986.
84. Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Теория упругости. — М.: Наука, 1975.
85. Прочность. Устойчивость. Колебания. Справочник в 3-х томах./Под ред.
И. А. Биргера, Я. Г. Пановко. — М.: Машиностроение, 1968.
86. Черепанов Г. П. Механика хрупкого разрушения. — М.: Наука, 1974.
87. Партон В. 3., Морозов Е. М. Механика упругопластического
разрушения.— М.: Наука, 1974.
ак гл. 2
19. Пригоровский Н. И. Методы и средства определения полей деформаций
и напряжений.—М.: Машиностроение, 1983.
20. Дайчик М. Л., Пригоровский Н. И., Хуршудов Г. X. Методы и средства
натурной тензометрии. — М.: Машиностроение, 1989.
iK гл. 3
11 Перри Лисснер Г. Основы тензометрирования. — М.: ИЛ, 1957.
12. Дайчик М. Л., Пригоровский Н. И., Хуршудов Г. X. Методы и средства
натурной тензометрии. — М.: Машиностроение, 1989.
13. Серьезнов А. Н. Измерения при испытаниях авиационных конструкций на
прочность. — М.: Машиностроение, 1976.
Л4. Пригоровский Н. И. Методы и средства определения полей деформаций
и напряжений. — М.: Машиностроение, 1983.
608
Предметный указатель
преобразование оптическое 459
— — соотношение основное 464
схема 463
двухэкспозиционная 465
фильтр ограничивающий 450
Источники питания 112
Каустик метод
изображение, интерпретация 496
— наблюдение 494
— образование 493
/-интеграл 527
коэффициент анизотропии 502, 508
кривая начальная 497
лучи начальные 497
Максвелла —Неймана закон 501
материалы моделей 535
оборудование 533
ограничения 561
процессы динамические 534
распределение света 508
сравнение с фотоупругостью 561
схемы оптические 530
трещина движущаяся 545
— остановка 546
уравнения проецирования 504
для трех типов нагружения
трещин 512
Каустика 497
двойная 520
деформация упруго-пластическая
524
динамическая 517
образование 496
— условие 505
уравнения 505
форма 506
характеристика количественная 506
эффекты высокого порядка 520
КИН 542
Компаратор интерферометрический
574
Компенсатор Бабине — Солейля 226
Контакты, дребезг 157
— скользящие 134
Коэффициент отражения поверхности
201
— Пуассона 47
Кривая дисперсионная 210
Кристалл двухосный 211
— одноосный 211
положительный 217
— оси оптические 217
Луч необыкновенный 209
показатель преломления 217
— обыкновенный 210
Лучепреломление двойное временное
227
Ляме параметры 15
Масса сейсмическая 160
Материал
двоякопреломляющий 208
— показатель преломления 213
линейно-вязкоупругий 50
линейно-упругий 15
— плотность энергии деформации
16
несжимаемый пластически 20
неупругий, Пежины модель 27
однородный 13
термореологически простой 51
упругопластический 18
фотоупругий 258
— желатина 263
— каучук полиуретановый 263
— модель, отжиг 259
реологическая 286
— показатель качества 259
— поликарбонат 261
— полиметилметакрилат 262
— постоянная оптическая,
зависимость от температуры 284
— смола аллилдигликолевая 261
полиэфирная 262
эпоксидная 259
— стекло 262
— тарировка 264
— характеристики 260
— целлулоид 263
— эффект времени краевой 259
Метод граничных элементов 43
— интегральных уравнений 43
— конечных разностей 36
элементов 38
— краевых функций 43
— численный для нелинейных задач
36
Модуль объемного сжатия 15, 18
— релаксации объемной 17
сдвиговой 17
— сдвига 48
— упругости 47
Модулятор акустооптический 566
Модуляция амплитудная 111
— фазовая гетеродинная 565
Муар 328
— геометрический
анализ 336
второго порядка 345
деформации динамические 353
— «замороженной» модели 351
610
Предметный указатель
— теневая оптическая 502
Потенциал вязкопластический 26
— напряжений 13
Преломления закон 200
Преобразователи аналого-цифровые
ПО
— «звон» 177
— калибровка 182
— перемещения сейсмические 162
— силы динамические 165
— скорости сейсмические 163
— ускорения сейсмические 164
— цифро-аналоговые ПО
Призма поляризационная 213
Провода соединительные 129
Путь оптический 218
Растяжение одноосное 47
Решетка дифракционная амплитудная
382
период 382
фазовая 382
частота 383
Свет, интенсивность 370
— источники 245
— модель рассеяния 205
— неполяризованный 196
— поляризация 195
— преломление 198
— фаза возмущения 368
Сигналы периодические 167
Сила объемная сингулярная 30
— сосредоточенная касательная 31
нормальная 31
Система измерительная, калибровка
188
влияние внешних условий
191
переходная характеристика 191
Сопротивление входное 100
— выходное 100
Состояние напряженное объемное 227
около отверстия 31
плоское 16
— пластическое 20
— плоской деформации 16
— упругое 20
Спекл 457
— лазерный 573
Спекл-интерферометрия сдвиговая
460, 476
фурье-преобразование
оптическое 465
Спекл-метод однолучевой 458
Спекл-фотография 449, 473
в белом свете 575
контраст полос 475
метод корреляции изображений 48$
обработка изображений 479
однолучевая, определение
перемещений 461
представление цифровое 482
расчет перемещений 482
условие образования полос 460
фильтр линейный 479
фильтрация поточечная 460
— цифровая 481
Схема блокирующая 148
— логическая ТТЛ 158
— потенциометрическая 116
коэффициент потерь 119
чувствительность 117
Текучесть, условие Мизеса 19, 49
Треска 19, 49
— функция 20
Телеметрия 135
Тело деформируемое, уравнение
состояния 13
Температуропроводность 315
Тензодатчики
акустические 92
влияние температуры 71
в мостовой схеме 130
компенсационные 122
чувствительность 120
герметизированные 63
градиенты деформаций 80
дельта-розетка 141
дрейф нуля 78
жидкометаллические 55
компенсация температурная 90, IHL
131
максимальная деформация 73
многоэлементные 60
основа несущая 61
— — гибкая 64
клеи 65
подкрепление 81
полупроводниковые 55
— воздействие температуры 88
— максимальная деформация 90
— пьезорезистивный эффект 87
при температурах криогенных 85
умеренных 83
привариваемые 63
рассеяние мощности 74
розетки двухэлементные 601
— трехэлементные 60, 140
сплавы 57
усталость 75
Предметный указатель
611
фольговые 55
Тензор
деформаций, инварианты 13
напряжений Био — Лурье 14
— Кирхгофа 12, 14
— номинальных 12
— определения 12
— Пиолы —Кирхгофа 12
податливостей 17
пьезорезистивный 87
релаксации 17
сопротивлений 87
Тензорезистор, характеристики 54
Тензочувствительность 67
Течение, ассоциированный закон 26
Трещина 32
Угол отражения 198
— падения 198
— преломления 198
Уитстона мост 119
чувствительность 126
Упрочнение временное, закон 24
— деформационное 24, 48
— изотропное, определяющее
уравнение 21
— кинематическое 48
— — линейное, Прагера закон 20
Упругость 13, 47
— предел 48
Уравнение взвешенных невязок 39, 43
— интегральное граничног 45
— Лапласа 277
— Ляме — Максвелла 270
— Навье 36
Усилители 100
встроенные 172
дифференцирующие 106
заряда 170
интегрирующие 105
операционные 102
—инвертирующие 103
— неинвертирующие 104
суммирующие 105
Фазометр 566
Фильтры 106
— второго порядка 109, 149
— высокочастотные 107
— низкочастотные 108
Фотоупругость
волна расширения 310
— сдвига 310
голографическая 326
«замораживание» напряжений 282,
289
срезы оптические 290, 293
изоклины 234, 266, 268
изостаты 268
изохромы 235
интегральная 326
исследования динамические 311
компенсаторы 253
компенсация по методу Тарди 249
лазеры 245
материалы моделей 315
показатель качества 315
напряжения главные, разделение
271
метод наклонного
просвечивания 272
разностей касательных
напряжений 274
электрической аналогии
279
на основе закона Гука 279
уравнений
совместимости 276
суперпозиция
напряженных состояний 280
напряжения на контуре, знак 257
проба ногтем 257
— траектории 268
система блокирующая 268
неблокирующая 269
описание теоретическое 195
основные соотношения 227
особые точки 266
изотропные 266
положительные 267
переход модель — натура 251
полоса интерференционная, порядок
229, 272
на свободном контуре 235
полуцелых порядков 303
рабочий диапазон 306
постоянная оптическая 229
динамическая 309
рассеянного света метод 322
соотношения основные 323
тарировка динамическая 310
трехмерная, изодины 299
умножение полос 246
фотографирование 250
— высокоскоростное 312
Фронт волновой 368
Функция кросс-корреляционная 487
— передаточная 100
— ползучести 51
— релаксации 50
Характеристика переходная
динамометра 176
Предметный указатель
609
— металлической пластины 350
— определение 338
метод вычислительный 342
геометрический 338
— резиновой модели 348
дифференцирование механическое
346
метод сеток 328
однозначность 337
отражательный 355
полосы вторичные, порядок 346
— градиент 338
— знак 338
— интенсивность 335
— угол наклона 341
— умножение 340, 347
— шаг 341
проекционный 362
регистрация 333
сетка, нанесение 331
— эталонная 329
теневой 359
уравнение основное 340
— интерференционный
вектор выходной 434
деталь-свидетель 404
дифференцирование механическое
426
картина несущая 421
— шумовая 378
поворот жесткий 403
полосы, вектор 434
— градиент 407
— поворота 432
— порядок 405
— растяжения 432
— умножение 442
решетка, вектор 433
— виртуальная 387
— компенсатор 416
— копирование 398
— объектная 387
вспомогательная 404
— эталонная (опорная) 388
— шаблон 395
сетка четырехпучковая 402
суммирующий 428
фильтрация оптическая 422
чувствительность 428
эквивалентность решеток и картин
полос 386
Мультиплексирование 135
Нагружение пластическое 20
— трещин, типы 509
Напряжение истинное, тензор 12
— квазиглавное 293
максимальное 297
— Коши, тензор 12
— температурное 313
Передача данных 134
Переключатели 131
Перенапряжение динамическое 314
Пластина одноволновая 226
— полуволновая 218
— фазовая 217
главная плоскость 222
с двойным лучепреломлением
временным 228
— четвертьволновая 218
Пластичность 18, 48
Пленка поляроидная 206
пропускание, коэффициент 207
спектры 207
Поверхность, кривизна 358
— угол наклона 558
Повторители напряжения 103, 168
Подобия соотношения 314
Показатель преломления абсолютный
200
— — воздуха 200
главный 211
относительный 198
эллипсоид 216
Покрытие фотоупругое 302
Ползучесть 23, 50
— скорость деформации 24
Поляризатор 229
Поляризация
круговая 197
плоская 197
полная, угол 203
посредством двойного
лучепреломления 208
— поляроидной пленки 206
при отражении 198
— рассеянии 205
способы 198
угол 201
эллиптическая 197
Р 203
5 203
Полярископ 229
автоматический 303
инвариант 248
конструкция 239
отражательный 300
погрешность 238
рассеянного света 298
с диффузором 240
— темным полем 229
Порядок дифракционный 383
Постоянная времени 100
Оглавление
Предисловие редактора перевода 5
Предисловие . . . 9
Глава 1. Механическое поведение материалов И
1.1. Элементарные теории механического поведения материалов . . 13
1.2. Начальные и краевые задачи теории упругости 27
1.3. Численные методы 35
1.4. Механические свойства материалов 46
1.5. Заключение 51
Глава 2. Тензодатчики 54
2.1. Тензочувствительность 56
2.2. Приклеиваемые тензорезисторы 59
2.3. Тарировка тензодатчиков 67
2.4. Характеристики фольговых тензодатчиков 69
2.5. Работа тензорезисторов при низких и умеренных температурах 83
2.6. Полупроводниковые тензодатчики 87
2.7. Волоконно-оптические датчики ..... ... 92
2.8. Заключение и перспективы 97
Глава 3. Средства тензометрии 99
3.1. Устройства формирования сигналов 99
3.2. Тензометрическая регистрирующая аппаратура 115
3.3. Градуировка тензометрической аппаратуры . .126
3.4. Особенности тензоизмерений ......... 128
3.5. Обработка результатов измерений 139
3.6. Заключение 142
Глава 4. Датчики силы, давления и параметров движения 143
4.1. Основные элементы измерительной системы 144
4.2. Электронные схемы в аппаратуре для динамических измерений 146
4.3. Измерение перемещения и скорости в фиксированной системе
координат 151
4.4. Приборы для сейсмических исследований: механические
характеристики 160
4.5. Схемы пьезоэлектрических датчиков 168
4.6. Измерения характеристик переходных процессов 174
4.7. Калибровка 182
4.8. Заключение 193
Глава 5. Фотоупругость 195
5.1. Теория фотоупругости 195
5.2. Двумерные задачи фотоупругости 265
5.3. Трехмерная фотоупругость 282
612
Предметный указатель
механическая 175
преобразователя
демпфированного 177
недемпфированного 179
с встроенным усилителем
180
пьезоэлектрическим
датчиком 181
электрическая 179
— частотная 101
Шум мерцающий 567
— электрический 137
способ устранения 138
Энергия деформации
модифицированная 14
Юнга полосы 94
«614 Оглавление
5.4. Методы рассеянного света 292
5.5. Фотоупругие покрытия 299
5.6. Использование компьютеров в фотоупругости 303
5.7. Динамическая фотоупругость 309
5.8. Фототермоупругость 313
5.9. Фотопластичность [58, 59] 317
5.10. Двойное лучепреломление в потоке жидкости 318
5.11. Ортотропная фотоупругость 325
5.12. Основные новые достижения и приложения методов
фотоупругости 326
Глава 6. Геометрический муар 328
6.1. Определение перемещений в плоскости 329
6.2. Определение перемещений, перпендикулярных плоскости . . 355
6.3. Заключение 364
Список обозначений 364
Глава 7. Интерференционный муар 366
7.1. Сведения из оптики 367
7.2. Интерференция света 371
7.3. Фотографирование интерференционных картин 380
7.4. Дифракционные решетки и дифракция . . ... 382
7.5. Интерференционный муар . . 387
7.6. Нанесение сеток на образцы 394
7.7. Теоретический предел чувствительности ... 398
7.8. Оптические системы .... ....... 399
7.9. Анализ картин полос . . . . .... 405
7.10. Соединительные полоски . . 409
7.11. Выявление неоднородностей ....... . 410
7.12. Другие варианты оптических систем ... ... 412
7.13. Ахроматические системы 415
7.14. Исключение вибраций 418
7.15. Чувствительность к перемещениям из плоскости . ... 419
7.16. Фотографирование начальной картины полос 420
7.17. Определения линейных и сдвиговых деформаций механическим
дифференцированием 425
7.18. Векторный подход 431
7.19 ±45°-ные решетки 439
7.20. Определение uz 439
7.21. Разновидности муаровой интерферометрии 442
7.22. Обработка данных 444
7.23. Перспективы 444
Список обозначений 446
Глава 8. Голографическая и лазерная
спекл-интерферометрия 448
8.1. Основы теории образования интерференционных картин . . 451
8.2. Применение голографической интерферометрии 463
8.3. Применения спекл-метрологии 473
8.4. Цифровая обработка изображений в спекл-метрологии . . . 478
*8.5. Заключение 490
Оглавление G15*
Глава 9. Теневой оптический метод каустик . 492
9.1. Физические основы метода 193
9.2. Количественное описание теневых оптических изображений . 499
9.3. Каустики вблизи вершин трещин 509
9.4. Методика эксперимента 529
9.5. Приложения 538
9.6. Заключение 559
Обозначения 562
Глава 10. Оптическое гетеродинирование 56Ф
10.1. Общее техническое описание 565
10.2. Применение в голографии .... 568
10.3. Спекл-фотограмметрия 573
10.4. Следящие системы измерения деформаций 576
10.5. Заключение и перспективы 580
Литература 582
Русскоязычная и дополнительная литература 603
Предметный указатель 607
УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ!
Ваши замечания о содержании книги, ее оформлении,
качестве перевода и другие просим присылать по адресу:
129820, Москва, И-110, ГСП, 1-й Рижский пер., д. 2,
изд-во «Мир»
Научное издание
Сатия Атлури, Альберт Кобаяси, Джеймс Дэлли и др.
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ МЕХАНИКА
Под редакцией А. Кобаяси
В 2-х книгах
Книга 1
Зав. редакцией В. И. Пропой
Научный редактор А. Г. Шемятенков
Младший научный редактор Л В. Тарасова
Художник А. В. Захаров
Художественные редакторы Н. М. Иванов, А. В. Страхова
Технический редактор Е. В. Алехина
Корректор Е. В. Морозова
ИБ № 7257
Сдано в набор 7.12.89. Подписано к печати 27.06.90.
Формат 60X90Vie. Бумага типографская № 1. Печать высокая.
Гарнитура Литературная. Объем 19,25 бум. л.
Усл. печ. л. 38,5. Усл. кр.-отт. 38,5.
Уч.-изд. л. 36,97. Изд. № 7/6738. Тираж 6920 экз.
Зак. 1480. Цена 3 р. 50 к.
Издательство «Мир»
В/О «Совэкспорткнига» Государственного комитета СССР
по печати.
129820, ГСП, Москва, 1-й Рижский пер., 2.
Московская типография № 11 Государственного
комитета СССР по печати.
113105, Москва, Нагатинская ул., д. 1.