Text
                    УДК 539.3, 539.4
ББК 22.251
МЗЗ
Матвиенко Ю. Г. Модели и критерии механики разрушения. —
М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. - 328 с. - ISBN 5-9221-0669-4.
В монографии изложены современные представления о моделях и критери-
критериях физики и механики повреждений и разрушения твердых тел при наличии
трещин в условиях воздействия различных видов нагружения, а также прин-
принципы анализа и обоснования безопасности и живучести технических систем
в сильно поврежденных состояниях.
В рамках механики усталостного и контактного разрушения, динамической,
экспериментальной и вычислительной механики разрушения, механики трещин
при ползучести и воздействии коррозионных сред рассмотрены особенности
моделей и критериев физики и механики трещин в твердых телах. Исполь-
Использование основных теоретических положений и критериев механики трещин
проиллюстрировано практическими примерами.
Для студентов старших курсов, магистров и аспирантов технических уни-
университетов, а также научных и инженерно-технических работников, инте-
интересующихся проблемами прочности и разрушения, безопасности, живучести
и ресурса технических систем.
Рекомендовано к печати Ученым советом Института машиноведения
им. А. А. Благонравова РАН и Научным советом РАН по проблеме
«Надежность, ресурс и безопасность технических систем»
Рецензенты
чл.-корр. РАН Махутов Н.А. (ИМАШ РАН), профессор Морозов Е.М.
(МИФИ)
Научное издание
МАТВИЕНКО Юрий Григорьевич
МОДЕЛИ И КРИТЕРИИ МЕХАНИКИ РАЗРУШЕНИЯ
Редактор Н.Б. Бартошевич-Жагель
Оригинал-макет: Е.А. Королева
Оформление переплета: А.Ю. Алехина
Подписано в печать 24.01.06. Формат 60x90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 20,5. Уч.-изд. л. 24,6. Тираж 1000 экз. Заказ №
Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90	ISBN 5-9221-0669-4
E-mail: fizmat@maik.ru, fmlsale@maik.ru;
http://www.fml.ru
Отпечатано с готовых диапозитивов
в ППП «Типография «Наука»
121099, г. Москва, Шубинский пер., 6
785922 106696
© ФИЗМАТЛИТ, 2006
ISBN 5-9221-0669-4	© Ю. Г. Матвиенко, 2006


СОДЕРЖАНИЕ Глава 1. Физика и механика микроразрушений 7 §1.1. Виды связей и тепловое движение частиц в твердых телах 7 § 1.2. Теоретическая прочность твердого тела 9 § 1.3. Пластическая деформация и теоретическая прочность кристаллов на сдвиг 12 § 1.4. Структура и дефекты кристаллической решетки 14 § 1.5. Дислокационные механизмы и критерий образования микротрещин 26 § 1.6. Микромеханизмы разрушения твердых тел 30 § 1.7. Распространение микроструктурно и физически коротких усталостных трещин 35 Глава 2. Механика трещин в упругих телах 41 § 2.1. Напряженное состояние в окрестности вершины трещины 41 § 2.2. Коэффициент интенсивности напряжений. Приближенные методы расчета 48 § 2.3. Критерий разрушения механики трещин. Силовой и энер- энергетический критерии разрушения 51 § 2.4. Поток упругой энергии в вершину трещины 56 § 2.5. Поправка Ирвина. Зона пластической деформации 59 Глава 3. Механика трещин в упругопластических телах. . . 63 § 3.1. Критерий критического раскрытия в вершине трещины . . 63 § 3.2. Энергетический контурный J-интеграл 66 § 3.3. Коэффициент интенсивности деформаций в пластической области 89 § 3.4. Двухпараметрические критерии разрушения. Диаграмма трещиностойкости тела с трещиной и надрезом 91 § 3.5. Взаимосвязь критериев нелинейной механики разрушения 105 § 3.6. Устойчивый и неустойчивый рост 109 Глава 4. Специальные задачи механики трещин 112 § 4.1. Механика усталостного разрушения 112 § 4.2. Динамическая механика разрушения 129 § 4.3. Механика контактного разрушения и изнашивания 142 § 4.4. Рост трещин при ползучести 161
4 Содержание § 4.5. Механика коррозионного разрушения 165 § 4.6. Вычислительная механика разрушения 174 § 4.7. Экспериментальная механика разрушения 182 Глава 5. Эволюционные модели повреждений и разруше- разрушения твердых тел 222 § 5.1. Эволюционный подход в задачах механики трещин 222 § 5.2. Двухпараметрический 7*-критерий разрушения тела с трещиной 233 § 5.3. Анализ условий зарождения трещин малоцикловой уста- усталости у концентратора напряжений 239 § 5.4. Кинетика водорода в зонах концентрации напряжений при зарождении и росте трещин 245 Глава 6. Безопасность и живучесть технических систем .. 252 § 6.1. Механика катастроф 252 § 6.2. Безопасность, живучесть и ресурс поврежденных техни- технических систем 266 § 6.3. Безопасные трещиноподобные дефекты в линейной части магистрального трубопровода 281 Приложение 1. Применение векторного подхода для определе- определения больших пластических деформаций методом делитель- делительных сеток 295 Приложение 2. Методика фотолитографического нанесения делительных сеток на поверхность образца 300 Приложение 3. Погрешности определения J-интеграла мето- методом делительных сеток 305 Список литературы 310
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА Современная механика разрушения твердых тел достигла значи- значительных успехов как в понимании механизмов разрушения, теории построения моделей и критериев, так и в практике их применения для оценки прочности. Свидетельством тому являются многотомные спра- справочники и монографии, многие из которых отражены в библиографии этой книги. Что же заставило автора взяться за написание настоящей книги и рассмотреть проблемы физики и механики трещин в твердых телах? Прежде всего следует отметить не только отсутствие спада, но и стремительное развитие механики трещин в твердых телах, несмот- несмотря на кажущиеся окончательно сформулированными и изложенными в изданных в нашей стране справочниках и монографиях основы механики трещин и рекомендации по их применению в расчетах на прочность. Появляются новые модели и критерии разрушения. Кроме того, известные монографии не всегда доступны для понимания в силу перегруженности математическими выкладками и с этой точки зрения требуют серьезных знаний в сопряженных направлениях физики и ме- механики деформируемого твердого тела, а потому не всегда востребо- востребованы широким кругом читателей. При подготовке рукописи автор ста- ставил перед собой задачу, избегая излишних математических выкладок, представить современные отечественные и зарубежные достижения, а также собственные оригинальные модели и критерии разрушения твердых тел, сосредоточив основное внимание на рассмотрении самого явления, моделей и критериев разрушения, а также проиллюстрировать практическое применения механики трещин для анализа и обоснования безопасности и живучести сильно поврежденных технических систем. Содержание книги условно можно разделить на четыре части. В первой части (гл. 1) даны представления о физике и механике микроразрушений твердых тел, позволяющие проанализировать микро- микромеханизмы разрушения, создать модели и сформулировать критерии за- зарождения и распространения микротрещин, а также физически и мик- микроструктурно коротких усталостных трещин. Вторая часть (гл. 2, 3) посвящена изложению основ механики хрупкого и упругопластическо- го разрушения, построению моделей и критериев механики разруше- разрушения упругопластических тел. В третьей части книги (гл. 4) примене- применение подходов механики разрушения продемонстрировано на примере
Предисловие автора анализа закономерностей распространения трещин в твердых телах с учетом специфики экстремальных физико-механических воздейст- воздействий и коррозионно-активных сред. На основе моделей развития трещин развиты экспериментальные методы определения трещиностой- кости материалов, а также методология вычислительного экспери- эксперимента. В заключительной части (гл. 5, 6) для решения проблем модели- моделирования повреждений и разрушения твердых тел, а также безопасности и живучести технических систем в сильно поврежденных состояниях привлечены современные теоретические положения, принципы и мето- методологические подходы прочности, физики и механики трещин. Представляется, что последовательность и комплексность изложе- изложения основных положений, моделей и критериев механики трещин в настоящей книге, примеры их практического использования бу- будут способствовать проявлению интереса к дальнейшему развитию механики трещин в твердых телах и повышению уровня эрудиции заинтересованного читателя. Хочется также надеяться, что настоя- настоящая книга станет настольной не только для студентов, аспирантов, научных и инженерно-технических работников, начинающих изучать настоящий предмет, но и для маститых ученых и педагогов. Если вы захотите связаться с автором, пожалуйста, пишите по адресу: matvienko7@yahoo.conn. Автор выражает искреннюю признательность своим студентам и ас- аспирантам за помощь в подготовке графического материала. Исследования, подготовка рукописи и издание монографии осуществ- осуществлены при финансовой поддержке РФФИ (проект № 05-08- 17900-а) и 000 НТЦ "Диатекс". Москва, май 2005 г. Ю.Г. Матвиенко
Глава 1 ФИЗИКА И МЕХАНИКА МИКРОРАЗРУШЕНИЙ § 1.1. Виды связей и тепловое движение частиц в твердых телах Виды связей частиц в твердых телах. Существование и проч- прочность твердого тела обусловлены наличием сил взаимодействия между структурными частицами при сближении их на достаточно малые расстояния. Такими частицами могут быть атомы, ионы или моле- молекулы. Прочность твердого тела обеспечивается силами притяжения между частицами. Для возникновения из взаимодействующих частиц устойчивой структуры твердого тела необходимо, чтобы между ними возникали не только силы притяжения, но и силы отталкивания, препятствующие беспредельному сближению частиц и их полному слиянию. В условиях равновесия частиц вклад в полную энергию их взаимодействия сил притяжения намного превышает вклад сил оттал- отталкивания, которые резко спадают пропорционально экспоненциальному закону. Поэтому при отсутствии внешних напряжений полная энергия приблизительно равна энергии притяжения и называется энергией связи. Не останавливаясь на природе сил взаимодействия, отметим сле- следующие виды связей частиц в твердых телах, различающиеся по величине энергии связи: первичные связи (ионная, ковалентная, ме- металлическая), вторичные связи (связь Ван-дер-Ваальса) и водород- водородная связь [29, 46]. Наиболее универсальной является связь Ван-дер- Ваальса. Она возникает во всех без исключения случаях. Вместе с тем это наиболее слабая связь с энергией порядка 104 Дж/моль, характерная для малоустойчивых и легко летучих структур с низки- низкими точками плавления. Ионная связь является типичной химической связью, широко распространенной среди неорганических соединений. К таким соединениям относятся интерметаллические соединения, на- например карбиды и нитриды, а также окислы металлов, сульфиды и другие полярные соединения. Энергия ионной связи составляет ~ 106 Дж/моль, что характерно для соединений с высокой точкой плавления. В некоторых металлах и во многих интерметаллических соединениях встречается ковалентная связь с энергией ~ 106 Дж/моль. Металлическая связь, возникающая в результате обобществления ва- валентных электронов, характерна для типичных металлов и многих интерметаллических соединений. Энергия этой связи сопоставима с энергией ковалентной связи. Водородная связь является относительно
Гл. 1. Физика и механика микроразрушений слабой связью и возникает в результате образования постоянных ди- диполей, обладающих тенденцией к присоединению других электронов в результате ионного притяжения. В реальных твердых телах, как прави- правило, имеет место сочетание двух и более видов связи, одна из которых является определяющей для структуры и свойств твердого тела. При этом энергия связи является важной характеристикой, оказывающей значительное влияние на деформационное поведение и упругие кон- константы кристаллических твердых тел. Тепловое движение атомов. Атомы в кристаллических телах совершают колебательные движения около положений равновесия. Амплитуда этих колебаний зависит от температуры тела, увеличи- увеличиваясь с ее ростом. Таким поведением атомов определяются временная и температурная зависимости процессов деформирования и разруше- разрушения твердых тел. Рассмотрим тепловое движение атомов, привлекая основные положения и формулировки статистической механики [46]. В устойчивом состоянии частицы не обладают постоянной энергией, имеет место флуктуация этих энергий на фоне некоторой усредненной энергии частиц. Вероятность того, что частица обладает энергией Щ большей или равной U, определяется следующим соотношением: A.1.1) где к = 1,38 • 10~23Дж/К — постоянная Больцмана, Т — температура. В модели атома, представляющей собой простой гармонический осциллятор, его средняя энергия, т. е. сумма кинетической и потен- потенциальной энергий, равна кТ. Поэтому возбуждение колебаний атомов с частотой v в кристаллическом теле возникает при некоторой темпе- температуре Т в соответствии с неравенством kT^hu, A.1.2) где h = 6,62 • 10~27 эрг • с — постоянная Планка. При этом, полагая частоту колебаний решетки кристалла приближенно равной частоте колебаний отдельного атома, можно записать A.1.3) где Е — модуль упругости, ciq — межатомное расстояние, М — молярная масса, Na = 6,022 • 1023 моль — постоянная Авогадро. Тепловое движение атомов в узлах кристаллической решетки спо- способствует постепенному изменению состояния. Примером тому служит испарение атомов с поверхности твердого тела в вакуум. Кинетическая энергия такого атома должна стать равной энергии связи Щ, чтобы преодолеть взаимодействие с соседними атомами. Вероятность этого
§ 1.2. Теоретическая прочность твердого тела события, т. е. того, что кинетическая энергия атома не меньше требуе- требуемой, может быть оценена с помощью выражения A.1.1). При этом по- полагаем, что частота смены энергетических состояний кристаллической решетки будет иметь порядок частоты колебаний решетки, представ- представленной соотношением A.1.3). Таким образом, с учетом формулы A.1.1) выражение для скорости испарения атомов с поверхности, содержащей N атомов, имеет следующий вид: ^ = Nve-u°lkT. at A.1.4) Приведенные модели теплового движения атомов могут быть рас- распространены и на случаи, когда термическая активация играет основ- основную роль. По аналогии с формулой A.1.4) скорость активируемого процесса R запишем в виде R = Nauae-Uo/kT, A.1.5) где Na — число активационных центров, va и Щ — преобладающая частота и энергия активации соответственно. § 1.2. Теоретическая прочность твердого тела Независимо от вида сил, возникающих при сближении частиц, общий характер их остается одинаковым (рис. 1.1): на относительно и Рис. 1.1. Изменение силы взаимодействия между атомами больших расстояниях появляются силы притяжения, быстро увеличи- увеличивающиеся с уменьшением расстояния гмежду частицами (кривая 2); на малых расстояниях возникают силы отталкивания, которые с умень- уменьшением г увеличиваются значительно быстрее, чем силы притяжения (кривая 3). При этом сила взаимодействия частиц (кривая 1) равна
10 Гл. 1. Физика и механика микроразрушений алгебраической сумме силы притяжения и силы отталкивания. На рас- расстоянии г = ао силы отталкивания уравновешивают силы притяжения и результирующая сила взаимодействия обращается в нуль, а энер- энергия взаимодействия достигает минимального значения Щ. Поэтому состояние частиц, сближенных на расстояние ао, является состоянием устойчивого равновесия, вследствие чего частицы, предоставленные самим себе, должны выстраиваться в строгом порядке на расстоянии ао друг от друга, образуя тело с правильной внутренней структурой — кристалл. Частицы кристалла не могут свободно покидать свои поло- положения равновесия, так как при удалении от этих положений энергия частиц увеличивается и появляются силы, стремящиеся вернуть их в положения равновесия. Единственной доступной формой движения для них является беспорядочное колебание около положений равновесия. Приложенная к совершенному металлическому кристаллу внешняя растягивающая сила вызывает деформацию удлинения, т. е. увеличение межатомных расстояний. В результате механическое равновесие между атомами нарушается и равнодействующая сила становится отличной от нуля. Изменение силы взаимодействия между двумя изолированными атомами при удалении их друг от друга выражается изменением рав- равнодействующей. Чтобы оторвать атомы друг от друга, нужно преодо- преодолеть максимум силы сцепления, который характеризует теоретическую прочность сгтеОр. Сила межатомной связи при отдалении атомов друг от друга на расстояние х изменяется по кривой, которую можно к 112 f X Рис. 1.2. Аппроксимация силы межатомной связи (равнодействующая 1) аппроксимировать простым синусоидальным законом, характеризую- характеризующимся величиной полупериода А/2 (рис. 1.2): A.2.1) Продифференцировав уравнение A.2.1), получим наклон кривой: da 2тг<х теор dx А cos /2тгаЛ ) A.2.2)
§ 1.2. Теоретическая прочность твердого тела 11 Для случая незначительного смещения атомов, т. е. в начале кривой, cos Bтпс/А) « 1, тогда наклон кривой в этой области (при х —> 0) становится равным аж Л В связи с тем что эта область также хорошо описывается законом Гука, наклон кривой может определяться как Я=—?— A.2.4) (х/а) где ао — равновесное расстояние между атомами, х/ао ~ относитель- относительная деформация. После дифференцирования уравнения A.2.4) по х получаем ?-?. 0*5) ах ао Решая совместно уравнения A.2.3) и A.2.5), приходим к полезному соотношению 1 = 21^1. A.2.6) Если рассматривать энергоемкость процесса разрушения, то работа, затрачиваемая на преодоление сил сцепления атомов, равна заштрихо- заштрихованной на рис. 1.2 площади Л/2 /2тгаЛ 7 Л —г- )dx = aTeop-. \ А ) 7Г А= aTeoPsin ( —г— Ida; = атеОр з- A-2.7) При хрупком разрушении в кристалле образуются новые поверхнос- поверхности, поверхностная энергия которых может быть измерена посредством определения энергии, необходимой для их образования при удалении атомов друг от друга в области поверхности разрыва. При этом созда- создаются незанятые межатомные связи в направлении нормали к поверхно- поверхности. Также предполагается, что ни на что другое энергия в этом случае не расходуется. Энергия незанятых межатомных связей поверхностных атомов в данном случае может рассматриваться как поверхностная энергия. Таким образом, приравнивая работу разрушения, отнесенную к единице площади A.2.7), к поверхностной энергии 2j и учитывая соотношение A.2.6), получим теоретическую прочность совершенного кристалла: A.2.8) Более точный учет усилий и смещений для вычисления 7 Да~ ет следующее приближенное соотношение для оценки теоретической
12 Гл. 1. Физика и механика микроразрушений прочности совершенного твердого тела [28]: A.2.9) В табл. 1.1 приведены примеры соотношения между расчетной величиной теоретической прочности для некоторых твердых тел и их Таблица 1.1. Сравнение теоретической и реальной прочности твердых тел Материал Усы А12 О3 Усы железа Высокоуглеродистая рояльная проволока Борные волокна Стекло NaCl Реальная прочность, МПа 1,54 х 104 1,3 х 104 2,5 х 103 2,4 х 103 1,1 х 102 1,0 х 102 Стеор/Среал 3,3 2,3 5,6 14,5 66 40 реальной прочностью. Оценка теоретической прочности выполнена по формуле A.2.9) на основании гипотезы об отсутствии дефектов в этих телах, предполагающей преодоление сил связи атомов при отрыве одновременно по всему сечению тела. В реальном теле силы связи преодолеваются не одновременно в силу наличия местных дефектов. Разрушение происходит в результате возникновения трещин в зонах дефектов и их распространения по сечению тела с его разделением на части. Предположение о роли дефектов в разрушении твердых тел имеет экспериментальное и теоретическое подтверждение. Таким образом, реальная прочность твердых тел во многом обусловлена на- наличием в них дефектов, например дефектов строения кристаллической решетки. § 1.3. Пластическая деформация и теоретическая прочность кристаллов на сдвиг Другим подтвреждением существования дефектов кристаллической решетки служит различие теоретической прочности кристалла на сдвиг и его реальной прочности. Основным механизмом пластического течения кристаллов является сдвигообразование [28, 63, 85]. Для того чтобы произвести синхрон- синхронный сдвиг верхней части совершенного кристаллического тела, не имеющего дефектов, относительно нижней его половины, необходимо приложить к этому телу сдвиговые напряжения, равные теоретичес- теоретическим: ттеор. Предположим, что расстояние между атомами в направлении скольжения равно bo, а в направлении, перпендикулярном плоскости
§ 1.3. Пластическая деформация и теоретическая прочность кристаллов 13 s « О А В v С х Перемещения Рис. 1.3. Сдвиговые напряжения как функция перемещения атомов скольжения, — а^ (рис. 1.3). Тогда под действием сдвига атом 2 пере- переходит из положения х = А через состояние х = В в положение х = С. При этом остальные атомы синхронно перемещаются на одинаковые расстояния. Допустим, что атомы нижнего ряда Iх, 2х, ... связаны друг с другом и находятся в состоянии покоя. Для атома 2 в положении х = = А и х = В напряжение т, необходимое для сдвига, нулевое. В поло- положении х = В атом 2 находится в состоянии неустойчивого равновесия. Для перехода атома из положения х = А в положение х = В необходи- необходимо приложить сдвиговое напряжение. Напряжение сдвига в направле- направлении оси х будет функцией периода смещения атома Ь^. Это напряжение можно записать в виде простой синусоидальной функции: Г = теор sm A.3.1) где ттеОр — максимальное значение сдвигового напряжения, т. е. ам- амплитуда сдвиговых напряжений, при которых происходит переход ато- атома в следующее положение равновесия. При уменьшении расстояния сдвига х равенство A.3.1) приближается к следующей зависимости: г = теор V A.3.2) В области малых перемещений сдвиговые напряжения можно пред- представить исходя из закона Гука: ao где G — модуль сдвига. Из соотношений A.3.2) и A.3.3) при получаем теоретические сдвиговые напряжения G A.3.3) A.3.4)
14 Гл. 1. Физика и механика микроразрушений Таблица 1.2. Сравнение теоретической и реальной прочности твердых тел на сдвиг Материал Медь Серебро Никель Магний Цинк Теоретическая прочность, МПа 6,4 х 103 4,5 х 103 11,0 х 103 3,0 х 103 4,8 х 103 Ттеор/ Треал 6,4 х 103 7,5 х 103 1,9 х 103 3,6 х 103 5,1 х 103 Сравнение теоретической прочности кристаллов на сдвиг и реаль- реальной прочности (табл. 1.2) показывает, что реальная прочность кри- кристаллов на 3-4 порядка меньше теоретически вычисленной прочности совершенных кристаллов. Это свидетельствует о том, что сдвиг в крис- кристаллах происходит не посредством жесткого смещения атомных плос- плоскостей друг относительно друга, а осуществляется таким механизмом, при котором в каждый момент имеет место смещение относительно малого количества атомов. Данный факт привел к развитию дислока- дислокационной теории пластического течения кристаллов. Дислокация как дефект строения кристаллической решетки приводит, так же как и то- точечные дефекты, к снижению прочности реальных кристаллических тел. § 1.4. Структура и дефекты кристаллической решетки Внутренне строение реальных кристаллов существенно отличается от строения идеальных кристаллов наличием различного вида дефек- дефектов. Дефекты кристаллической решетки играют очень важную роль в формировании и протекании процессов деформации и разрушения твердых тел. Дефекты в кристаллах подразделяют на точечные, одно-, двух- и трехмерные [29, 46, 63, 81, 130, 137, 143]. Кристаллическая решетка. Для описания совершенной внутрен- внутренней структуры кристаллов используют понятие кристаллической ре- решетки, образованной атомами, в которой определенная конфигурация периодически повторяется в пространстве. Различают трансляционные решетки Бравэ и решетки с базисом. С геометрической точки зрения правильное периодически повторяю- повторяющееся размещение частиц в кристалле можно описать с помощью операции параллельного перемещения, или трансляции. Например, на рис. 1.4, а изображена решетка, полученная трансляцией частицы вдоль трех осей. Положение любой частицы в такой решетке опреде- определяется вектором b A-4.1)
§ 1.4. Структура и дефекты кристаллической решетки 15 Рис. 1.4. Трансляционная решетка (а) и элементарная ячейка кристалла (б) :?¦) г Cl *г-^ T4i w m Ш Рис. 1.5. Некоторые элементарные ячейки кристаллического тела: а — гране- центрированная кубическая решетка, б — объемноцентрированная кубическая решетка, в — решетка NaCl, г — гексагональная плотноупакованная решетка
16 Гл. 1. Физика и механика микроразрушений где а, Ь, с называются векторами трансляции, а их численные величи- величины — периодами трансляции. Решетка, построенная посредством па- параллельного переноса (трансляции) какого-либо узла по трем направ- направлениям, называется трансляционной решеткой или решеткой Бравэ. Наименьший параллелепипед, построенный на трех векторах, называ- называют элементарной ячейкой кристалла (рис. 1.4,6). Все элементарные ячейки решетки имеют одинаковые форму и объем. Во всех вершинах ячеек располагаются одинаковые атомы или группы атомов. Поэтому все вершины ячеек эквивалентны. Их называют узлами решетки. Элементарные ячейки, содержащие частицы только в вершинах, называют простыми или примитивными. В ряде случаев элементарные ячейки содержат частицы не только в вершинах, но и в других точках. Такие ячейки называют сложными. Наиболее распространенными яв- являются: базоцентрированные, объемноцентрированные и гранецентри- рованные (рис. 1.5). Не всякую решетку можно получить трансляцией лишь одного узла. Существуют решетки общего типа с базисом. В качестве примера на рис. 1.6 рассмотрена двухмерная решетка с базисом общего типа. Подрешетка 1 Подрешетка 2 / с Ь 0' "а 0 -а Рис. 1.6. Двухмерная решетка с базисом Такие решетки можно представить в виде двух вставленных одна в другую решеток Бравэ, 1 и 2, каждая из которых определяется трансляционными векторами а и Ъ. Смещение решеток друг относи- относительно друга описывается дополнительным вектором А, называемым базисным. Аналогично решеткам Бравэ, решетку с базисом можно построить с помощью трансляций, только при этом надо транслировать не один узел, а несколько узлов, т. е. базис, задаваемый совокупностью базисных векторов.
§ 1.4. Структура и дефекты кристаллической решетки П Точечные дефекты. Распределение энергии между атомами твер- твердого тела весьма неравномерно. При любой температуре в кристалле имеются атомы, энергия которых во много раз больше или меньше среднего значения, соответствующего закону равномерного распреде- распределения энергии по степеням свободы. Атомы с достаточно большой энергией могут преодолеть потенциальный барьер, созданный сосед- соседними атомами, и перейти в новое окружение (новую ячейку). Такие атомы приобретают способность как бы "испаряться" из узлов решетки и "конденсироваться" во внутренних ее полостях — в междоузлиях I < 1 1 1 2 i 1 • / i 1 i 1 | j 3 i < < 2 4 3 1 i 1 а б Рис. 1.7. Дефекты по Френкелю (а) и по Шоттки (б) (рис. 1.7, а). Это приводит к возникновению вакантного узла (вакан- (вакансии) и атома в междоузлии (дислоцированного атома). Такие дефекты решетки называют дефектами по Френкелю. Как атомы в междоузлии, так и вакансии не остаются локализованными в одном месте и диф- диффундируют в решетке. Кроме внутреннего испарения, возможно частичное или полное испарение атомов с поверхности кристалла, сопровождаемое образова- образованием вакансии в поверхностном слое кристалла (рис. 1.7,6). При заме- замещении вакансии внутренним атомом она втягивается внутрь кристалла и диффундирует по его объему. Этим вакансиям уже нельзя поставить в соответствие дислоцированные атомы, так как их образование не со- сопровождается одновременным внедрением атомов в междоузлия. Такие вакансии называют дефектами по Шоттки. Процесс образования дефектов по Френкелю и по Шоттки име- имеет термофлуктационный характер. Энергия образования дефектов по Френкелю приблизительно равна сумме энергий образования вакансии и внедрения. Примеси являются одним из наиболее важных и распространен- распространенных дефектов структуры реальных кристаллов. Современные способы очистки металлов не позволяют получать абсолютно чистые мате- материалы, содержание примесей в наиболее чистых из них составляет ^10~9%. Примеси могут находиться в кристалле в растворенном состоянии или в виде включений. Процесс растворения заключается во 2 Матвиенко Ю.Г.
18 Гл. 1. Физика и механика микроразрушений внедрении примесных атомов в промежутки между атомами кристалла или замещении части атомов в узлах решетки. В первом случае твер- твердый раствор называют раствором внедрения, во втором — раствором замещения. Дефекты типа вакансий и внедренных атомов называются точечны- точечными. Точечные дефекты типа вакансий остаются в металлах в результате резкого охлаждения (закалки). Вакансии могут образовываться также в процессе пластической деформации. Кроме того, вакансии и атомы внедрения могут образовываться и в результате нейтронного облучения кристаллов. Одномерные дефекты. К одномерным дефектам строения кристал- кристаллической решетки относятся дислокации [28, 46, 130]. Типичным пред- представителем одномерного (линейного) дефекта является краевая дисло- дислокация. Краевая дислокация образуется краем лишней полуплоскости атомов, называемой экстраплоскостью (_1_ на рис. 1.8) и возникающей ь ш 1 J 4—— У 0 4— In, 4- НИ, 4 ' X Рис. 1.8. Краевая дислокация в кристаллической решетке по тем или иным причинам. Если плоскость введена в верхнюю часть решетки, линейная дислокация считается положительной, если же дополнительная плоскость введена в нижнюю часть решетки, дислокация считается отрицательной. Длина краевой дислокации, изображенной на рис. 1.8 перпендикулярно плоскости, может в тысячи раз превышать параметры решетки. Эту линию на- называют линией или осью дислокации. Дислокация характеризуется вектором Бюргерса Ь, указывающим направление скольжения атомных плоскостей, в результате которого возникает такой дефект. Определить этот вектор можно с помощью контура Бюргерса. В совершенной решетке кристалла (нижний контур на рис. 1.8) такой контур оказывается замкнутым прямоугольником, в случае краевой
§ 1.4. Структура и дефекты кристаллической решетки 19 дислокации (верхний контур на рис. 1.8) он имеет разрыв, величи- величина и направление которого определяют вектор Бюргерса дислока- дислокации. Вектор Бюргерса краевой дислокации параллелен направлению скольжения и соответствует вектору скольжения, который равен меж- межатомному расстоянию в направлении скольжения. Линия дислокации перпендикулярна вектору Бюргерса. Краевая дислокация обозначается символом, в котором вертикальная риска указывает, с какой стороны плоскости скольжения (горизонтальная риска) находится экстраплос- экстраплоскость. Например, символ "^"показывает, что экстраплоскость находит- находится сверху (см. рис. 1.8). Вокруг линии дислокации возникает область упругого искажения решетки. Приведем без вывода выражения для напряжений, вызы- вызываемых краевой дислокацией. Расположим экстраплоскость дислока- дислокации параллельно оси у и предположим, что плоскость xz совпадает с плоскостью сдвига, а вектор Бюргерса — с осью х (рис. 1.8). Тогда компоненты напряжений в произвольной точке (х, у) можно записать в следующем виде [28]: rj ayy = Gb у (Зх2 + у2 Gb A.4.2) Gb rxl, = х(х2-у2) (p) Tyz = Txz = 0. Поле напряжений в окрестности краевой дислокации соответствует двухосному в условиях плоской деформации. Напряжения медленно уменьшаются с расстоянием. Другой разновидностью дислокаций является винтовая дислока- дислокация (рис. 1.9). Она возникает при сдвиге друг относительно друга Рис. 1.9. Винтовая дислокация
20 Гл. 1. Физика и механика микроразрушений частей кристалла по обе стороны неполного разреза, сделанного в со- совершенном кристалле, на одно межатомное расстояние в направлении, параллельном краю разреза. В отличие от краевой, в винтовой дис- дислокации отсутствует экстраплоскость, а вектор Бюргерса коллинеарен линии дислокации. Исследуем поле напряжений в случае винтовой дис- дислокации. Пусть направления сдвига и дислокации совпадают с осью z, а плоскость скольжения — с координатной плоскостью xz. По осям х, у перемещение и = v = 0, а по оси z — перемещение равно w и будет функцией координат точки (х,у). Записывая перемещение w в поляр- полярных координатах через вектор Бюргерса и координаты рассматрива- рассматриваемой точки, а также используя уравнения теории упругости, можно показать, что компоненты напряжений, за исключением tqz, равны ну- нулю. Следовательно, поле напряжений у винтовой дислокации не имеет сжимающих и растягивающих компонент, но содержит касательную компоненту вдоль оси винта: ^ , A.4.3) где г = \/ х2 + у2. Упругое поле напряжений вокруг винтовой дислока- дислокации медленно спадает по мере удаления от нее пропорционально 1/г. Для плоской задачи теории упругости напряжения в декартовой систе- системе координат имеют вид Gb у 'ZX (-V о I 9 ' Tyz 2n х2 + у2' Заметим, что множитель Gb фигурирует в формулах для всех видов дислокаций. Поэтому можно говорить о зависимости напряжений от модуля сдвига материала и величины вектора Бюргерса. Дислокации в кристаллах редко бывают чисто краевыми или чисто винтовыми. Криволинейные дислокации имеют, как правило, смешан- смешанный характер. Дислокационная линия не может оборваться внутри кри- кристалла, а выходит на свободную поверхность под действием внешних сдвиговых напряжений, образуя на ней ступеньку, или замыкается на себе, образуя петлю. Различают скользящие и сидячие дислокации. Дислокации относят- относятся к скользящим, если векторы Бюргерса, соответствующие этим дис- дислокациям, лежат в плоскости скольжения (рис. 1.10, 1.11). Скольжение дислокаций происходит под действием напряжений сдвига. В результа- результате экстраплоскость постепенно изменяет свое положение в кристалле и, достигая свободной поверхности кристалла, образует ступеньку сколь- скольжения одноатомной высоты, как это показано на рис. 1.10,6, 1.11,6. Если вектор Бюргерса перпендикулярен плоскости, в которой лежит дислокация, то скольжение дислокации в этой плоскости невозможно, и такая дислокация называется сидячей. Примером может служить
§ 1.4. Структура и дефекты кристаллической решетки 21 Рис. 1.10. Скольжение краевой дислокации в кристалле л ^^¦^^¦/> ^'--.-•Т>- а б ' Рис. 1.11. Скольжение винтовой дислокации в кристалле Рис. 1.12. Сечение сидячей дислокационной петли (плоскость петли перпендикулярна плоскости рисунка, направление вектора Бюргерса показано стрелками) дислокационная петля, образованная в результате слияния вакансий в плоскости скольжения (рис. 1.12). При этом вектор Бюргерса пер- перпендикулярен плоскости петли. Другим видом движения дислокаций в кристаллах является пере- переползание, т.е. перемещение дислокации в направлении, перпендику-
22 Гл. 1. Физика и механика микроразрушений Рис. 1.13. Движение краевых дислокаций в пересекающихся плоскостях сколь- скольжения (а) и образование ступеньки в результате пересечения дислокаций (б) лярном вектору Бюргерса. Такая ситуация возникает, например, при пересечении плоскости дислокационной петли с другой плоскостью скольжения. При этом часть дислокационной петли оказывается на линии пересечения, а вектор Бюргерса петли параллелен плоскости скольжения, что означает возможность скольжения дислокационной петли в плоскости, не совпадающей с плоскостью петли. Кроме того, переползание дислокационной петли возможно посредством удлинения ее полуплоскости в результате диффузионных процессов, имеющих место при повышенных температурах. Если дислокации движутся в пересекающихся плоскостях сколь- скольжения, то, встречаясь, они пересекаются, образуя ступеньку. Рас- Рассмотрим пересечение двух краевых дислокаций (рис. 1.13). Пусть дислокация XY с вектором Бюргерса bi движется в плоскости сколь- скольжения Pxy и приближается к дислокации AD с вектором Бюргер- Бюргерса Ь, лежащим в плоскости скольжения Pad- Затем дислокация XY пересекает дислокацию AD, образуя ступеньку РР', длина которой равна вектору Бюргерса bi. В случае пересечения крае- краевой дислокацией винтовой дислокации, ступенька обра- образуется на краевой дислокации (рис. 1.14). Возможно также пересечение двух винтовых дислокаций с образованием линейного дефекта-диполя, состоящего из двух краевых дислокаций [46]. Оценим в первом прибли- приближении напряжение, которое необходимо приложить к про- проСлед краевой дислокации Рис. 1.14. Образование ступеньки в ре- результате пересечения винтовой и краевой дислокаций стой кубической решетке для перемещения дислокации на
§ 1.4. Структура и дефекты кристаллической решетки 23 одно межатомное расстояние в плоскости скольжения, на основе фор- формулы Пайерлса-Набарро т = —-е-2™/6, A.4.5) \-v где w — размер области кристалла, искаженной в результате смещения ряда атомов из нормального положения (ширина дислокации). Эта область характеризуется потенциальной энергией атомов, отличной от энергии атомов других областей кристалла, и обычно составляет для металлов 5-6 межатомных расстояний. Для металлических материалов с коэффициентом Пуассона v = 0,35 напряжение начала перемеще- перемещения дислокации г = 2 • 10~4G, что существенно ниже теоретической прочности совершенного кристалла на сдвиг ттеОр = G/2tt (cm. A.3.4)). Движение дислокаций при- о водит к возникновению пла- ^ стической деформации. Пласти- Пластическая деформация сдвига j, возникающая в результате пе- перемещения скользящей дислока- дислокации в плоскости ее скольже- скольжения на расстояние х (рис. 1.15), определяется по следующей фор- формуле: xt Ъ AА6) b х- ¦4- ?---- ^X где I, h,t — длина, высота и тол- Рис- 115- Определение пластической щина кристалла соответственно. деформации сдвига Полагая, что в кристалле имеется п дислокаций единичной длины, про- проходящих в среднем расстояние Л в направлении t, запишем выражение для полной деформации: 7 = fn. A.4.7) Введя плотность дислокаций как длину дислокационных линий в единице объема материала или рассчитав ее как число дислока- дислокационных линий, пересекающих произвольно выбранную единичную поверхность р = n/lh, окончательно получаем полную пластическую деформацию сдвига A.4.8) Реальные кристаллы всегда содержат дислокации. Минимальная плотность их составляет 102 — 103 см~2. Термообработанный материал содержит 107-108 см~2 дислокаций, а сильно пластически деформиро- деформированный — до 10п-1012 см~2. Появление дислокаций в кристалличе- кристаллических телах объясняется следующими причинами.
24 Гл. 1. Физика и механика микроразрушений • В процессе роста кристалла, т. е. при переходе материала из жидкого состояния в кристаллическое, часть избыточных вакансий за- запирается внутри кристалла, образуя плоские дискообразные выделения толщиной в один атом. В результате захлопывания диска, достигшего критического размера, образуются краевые дислокации. • При соединении двух кристаллографических атомных плоскостей в процессе затвердевания металла образуются дислокационные мало- малоугловые границы. • При резком охлаждении расплавленного металла часть атомов занимает нестабильное положение, при дальнейшем росте кристалла могут образовываться дислокации. • Энергетически облегчается присутствие дислокаций при наличии в кристалле примесных атомов. • Дислокации генерируются внутри кристалла в процессе самого сдвигообразования под действием внешней силы, приложенной к крис- кристаллу. Проиллюстрируем генерирование дислокаций в кристалле на при- примере механизма Франка-Рида [15, 46, 85]. Рассмотрим ступенчатую дислокацию ADD'В, изображенную на рис. 1.16, а. Прикладываемые к кристаллу касательные напряжения г приводят к изгибу участка DD' дислокации в плоскости скольжения, превращая его в полуокружность при увеличении напряжений (рис. 1.16,6). При этом два других участ- участка дислокации, AD и D'B, остаются неподвижными. Критические касательные напряжения, необходимые для превращения участка DD' в полуокружность, легко рассчитываются из условий равновесия силы натяжения участка дислокации и силы от внешнего напряжения т, действующей на полуокружность диаметра L: r-f. (I.4.9) Форма полуокружности участка дислокации соответствует состоя- состоянию неустойчивого равновесия, поэтому для дальнейшего расширения образованной дислокационной петли и выхода на поверхность кристал- кристалла (рис. 1.16, в) с образованием ступеньки не требуется повышения на- напряжений. Образованные сегменты DC и D'C перемещаются по плос- плоскости скольжения навстречу друг другу и соприкасаются (рис. 1.16, г). При соприкосновении позади источника они аннигилируют, образуя сегменты СС и DD' (рис. 1.16, д). При этом сегмент СС продол- продолжает перемещаться по плоскости скольжения левой части кристалла, выходя на поверхность и образуя одноатомную ступеньку (рис. 1.16, е), а сегмент DD' принимает первоначальную форму. Процесс зарождения новой дислокационной петли возобновляется, и размножение дислока- дислокаций повторяется. Процесс перемещения участка дислокации в плоскости скольжения можно сравнить с выдуванием мыльного пузыря из трубки.
§ 1.4. Структура и дефекты кристаллической решетки 25 Рис. 1.16. Размножение дислокаций по механизму Франка-Рида
26 Гл. 1. Физика и механика микроразрушений Двухмерные дефекты. Реальные кристаллы имеют мозаичную структуру. Они составлены из блоков, имеющих правильное строение и расположенных лишь приблизительно параллельно друг другу. Раз- Размеры блоков колеблются от 10~6 до 10~8 м, величина углов между ними — от нескольких секунд до десятков минут. Поэтому кри- кристаллическая решетка в местах соприкосновения блоков искажена по сравнению с решеткой идеального кристалла. Еще большее искажение наблюдается у границ зерен поликристалла, так как ориентация зерен друг относительно друга может различаться на десятки градусов. Эти виды дефектов относятся к двухмерным (поверхностным) дефектам. Трехмерные дефекты. Трехмерными дефектами кристаллического строения твердых тел являются включения, поры, остроконечные по- полости типа трещин и др. § 1.5. Дислокационные механизмы и критерий образования микротрещин Известен ряд механизмов образования дислокационных микротре- микротрещин [15, 28, 63]. В основном эти механизмы предусматривают блоки- блокирование продвижения дислокации некоторым препятствием, например границей зерна или включением. Если дислокации в какой-то плоскос- плоскости скольжения останавливаются перед достаточно мощным препят- препятствием, то образуется скопление дислокаций, вызывающее высокую концентрацию напряжений у препятствия. Это приводит к зарождению дислокационной микротрещины. Рассмотрим некоторые из возможных дислокационных механизмов образования трещин. Модель Зинера-Стро-Петча. Зарождение трещин по этому ме- механизму происходит в результате заблокирования краевых дислокаций у препятствий, подобных границам кристаллических зерен, и созда- создания высокой концентрации растягивающих напряжений в головных участках заблокированных полос скольжения. Анализ величины рас- растягивающих напряжений у конца полосы скольжения показал, что максимальные растягивающие напряжения направлены под углом 110° к плоскости скольжения (рис. 1.17, а). Модель Коттрелла. В этой модели рассматривается пересече- пересечение двух плоскостей скольжения в ОЦК-металлах, в которых актив- активно генерируются дислокации, скапливающиеся на линии пересечения плоскостей (рис. 1.17,6). Встречаясь, два скопления краевых дислока- дислокаций в пересекающихся плоскостях тормозятся. Головные дислокации скоплений сливаются, образуя новую дислокацию с вектором Бюр- герса, перпендикулярным биссектрисе угла между скоплениями. Эта дислокация становится сидячей, образуя барьер для движения других дислокаций в скоплениях. Присоединение к этой новой дислокации
§ 1.5. Дислокационные механизмы и критерий образования микротрещин 27 4 а V о Рис. 1.17. Дислокационные модели Зинера-Стро-Петча (а) и Коттрелла (б) других дислокаций из обоих скоплений образует микротрещину, воз- возникающую в результате высокой концентрации напряжений. В ГЦК- металлах подобные дислокационные реакции нестабильны. Модель Баллафа-Гилмана. Модель описывает безбарьерные механизмы образования трещин. Микротрещина образуется внутри плоскости скольжения (рис. 1.18) в результате скопления дислока- дислокаций у препятствия типа границ зерен. Модель Орована-Стро. Эта безбарьерная модель основана на рассмотрении образования тре- трещины в плоскости скольжения, она связана с образованием ря- дов дислокаций в результате по- лигонизации, т. е. в результа- результате образования дислокационных стенок из краевых дислокаций, выстроенных в вертикальные ря- ряды и приводящих к делению кри- Рис. 1.18. Дислокационная модель раз- разрушения Баллафа-Гилмана сталла на субзерна. Рассмотренные выше модели имеют общие черты, связанные с локализацией деформации сдвига и дискретностью деформации. Об- Общим для них является также вывод уравнения, отражающего условия достижения локального напряжения, необходимого для образования микротрещины.
28 Гл. 1. Физика и механика микроразрушений Критерий зарождения и роста дислокационных трещин. Кон- Концентрацию локальных растягивающих напряжений aid B голове ряда краевых дислокаций, вызванную действием сдвиговых напряжений т, можно определить на основе уравнения [28] аи = V i(г" п)' A-5л) где 2d — длина полосы скольжения или расстояние между полосами скольжения (также эта величина может соответствовать диаметру кристаллического зерна), х — расстояние полосы до головы скопле- скопления дислокаций, п — напряжение сопротивления движению дисло- дислокаций (напряжение трения). Если локальное напряжение достигает теоретической прочности кристаллического тела атеор, определяемой согласно уравнению A.2.8), то возникают условия для образования дислокационной микротрещины. Следовательно, критерий зарождения микротрещины имеет следующий вид: A.5.2) Число положительных или отрицательных дислокаций в плоском скоплении у препятствия можно выразить приближенной формулой, полагая Е«2G: 7, ч d(T-n) П ~ ЪЕ ' (L5-3) Принимая дополнительное условие х « ао, из совместного решения уравнений A.5.2) и A.5.3) получаем условие, необходимое для образо- образования микротрещины по дислокационному механизму: (т-Тг)пЪ = 2<у. A.5.4) Анализ приведенных условий образования дислокационной микро- микротрещины позволяет заключить следующее. Локальные растягивающие напряжения в голове ряда дислокаций образуются в основном за счет касательных напряжений г и никак не связаны с растягивающим напряжением, т. е. только сдвиговые напряжения являются критери- критериальными для зарождения микротрещины. Этот вывод находит экспери- экспериментальное подтверждение. Рассмотрим основные принципы расчета напряжений, необходимых для распространения клиновидных трещин по рассмотренным выше дислокационным механизмам. Клиновидные трещины (рис. 1.17) мож- можно представить как одну большую однородную дислокацию с вектором Бюргерса rib. Модель образования такой клиновидной трещины в усло- условиях плоской деформации при простом растяжении напряжением а приведена на рис. 1.19.
§ 1.5. Дислокационные механизмы и критерий образования микротрещин 29 Энергия трещины в кристалле ради- радиуса R определяется соотношением ви- вида [28] n2b2G , BR\ W = -—- г In — + 4тгA - v) \ I + 47/ 2G — nbanl sin 9, A.5.5) где п — число дислокаций, необхо- необходимых для образования трещины; о~п и rs — компоненты нормальных и каса- касательных напряжений в плоскости тре- трещины соответственно; в — угол между плоскостью скольжения и трещиной. В формуле A.5.5) первое слагаемое со- отвутствует упругой энергии краевой дислокации, основанной на формоизме- формоизменении клина; второе — поверхностной энергии трещины; третье — энергии упругой деформации кристаллического тела с трещиной; четвертое — работе внешних сил по увеличению объема трещи- трещины при ее раскрытии. Анализируя условия равновесной трещины, Рис. 1.19. Модель зарожде- зарождения дислокационной микротре- микротрещины можно получить следующий критерий роста трещины: пЬ + ап sin в = 47- A.5.7) Отметим, что на распространение дислокационной трещины влияют не только касательные напряжения, но и нормальная к плоскости трещины компонента напряжений. Общее уравнение A.5.7) для модели Стро (а также для модели Коттрелла) можно записать в виде anb « 27. A.5.8) Используя приближенную формулу A.5.3) и полагая напряжения трения незначительными, для условий чистого растяжения а = 2т получаем уравнение для оценки напряжений а: а = A.5.9)
30 Гл. 1. Физика и механика микроразрушений § 1.6. Микромеханизмы разрушения твердых тел Существующие или возникающие на ранних этапах деформиро- деформирования твердых тел дефекты (см. § 1.5) приводят к инициированию и развитию процессов разрушения. В зависимости от структурно- структурного и напряженно-деформированного состояний твердого тела, а так- также в зависимости от внешней среды реализуются те или иные м t t > \ qJ Ч>; ЧУ \ \ V \ * Г" t t t * \ I \ Рис. 1.20. Микромеханизмы разрушения металлов: а — вязкое разрушение, б — транскристаллитный скол, в — межзеренный скол микромеханизмы разрушения. Различают три наиболее общих мик- микромеханизма разрушения металлов (рис. 1.20): вязкое разрушение, транскристаллитный и межзеренный скол [81, 137, 151]. Кроме того, существуют специфические микромеханизмы разрушения, связанные с усталостью, ползучестью и динамическим нагружением, которые будут рассмотрены в последующих главах. Анализируя микромеханизмы разрушения твердых тел, сле- следует отметить условность границ между ними. Как правило, наблюдается одновременное действие нескольких микромеханиз- микромеханизмов разрушения и, как следствие, смешанный тип разрушения. Вязкое разрушение. Данный микромеханизм разрушения металлов обусловлен образованием микропор возле включений или частиц вто- второй фазы, их ростом, локализацией микропластической деформации
§ 1.6. Микромеханизмы разрушения твердых тел 31 t t t t t t Ml Ml а б t t t III и I v'l I III в г It t t t 7 ¦ I I I Ml Рис. 1.21. Схема микромеханизма вязкого разрушения: а — включения в вязкой матрице металла, б — образование микропор у включений, в — рост микропор, г — локализация микропластической деформации, д — образование шейки в перемычках, е — слияние микропор и разрушение в перемычках между порами и образованием шейки (значительного сужения в результате больших пластических деформаций), слиянием микропор и разрывом перемычек (рис. 1.21). При этом на поверхности разрушения наблюдаются ямочные образования, что является след- следствием микропластической деформации и разрыва перемычек между микропорами [81].
32 Гл. 1. Физика и механика микроразрушений Известные модели образования микропор на границе между вклю- включениями и вязкой матрицей металла основаны как на континуальной механике твердого тела (размер включения больше 1 мкм), так и на теории дислокаций [151]. Среди континуальных моделей образования микропор наиболее популярными являются модель А. Аргона [46] и ее модификации. Модель и критерий образования микропоры заключают- заключаются в следующем: микропора образуется тогда, когда когезионные на- напряжения (напряжения сцепления между частицами включения и мат- матрицы) достигают критического напряжения ас, представленного в виде (Ус = creq + am. A.6.1) 1 /9 Здесь aeq = ^= \(а\ - сг2J + (<т\ - сг3J + (сг2 - сг3J] — эквива- эквивалентные напряжения по Мизесу; ат = (а\ + 02 + 0"з) /3 — средние напряжения; сг 1,02,03 — главные номинальные (внешние) напряжения. Дислокационные модели образования микропор у включений ока- оказываются эффективными при наличии субмикронных частиц (размер частиц меньше 1 мкм). В соответствии с этими моделями [179] по- полагают, что дислокации на границе между включением и матрицей создают напряжения J^ A.6.2) где а=0,14-i-0,3 — константа, G — модуль сдвига, е\ — главная номинальная деформация, Ъ — вектор Бюргерса, Rq — радиус части- частицы. В этом случае критические напряжения, при которых образуется микропора, определяются как 0"c = 0"d + O"l- A.6.3) Образовавшиеся микропоры в результате дальнейшего пластическо- пластического деформирования увеличиваются и затем соединяются в результате образования шейки в перемычках и последующего их разрыва. Большинство математических моделей роста микропор основано на рассмотрении единичной сферической микропоры в теле неограничен- неограниченных размеров, подверженном нагружению номинальными напряжени- напряжениями 0"ь0*2,0"з ПРИ скоростях нагружения ё\,б2,?з (рис. 1.22). В про- процессе деформирования сферическая микропора Щ трансформируется в эллипсоидную с размерами R\, R2, R3, и рост микропор для жест- копластического и линейно упрочняющегося твердого тела может быть аппроксимирован следующим полуэмпирическим уравнением [250]: 4-) =0,283 f exp (li^HL \d?eq, A.6.4) tioj J V Gt ) 0 где R = {R\ + i?2 + Дз) /З, от — предел текучести, eeq — эквивалент- эквивалентная пластическая деформация (по Мизесу).
§ 1.6. Микромеханизмы разрушения твердых тел 33 Для двухмерных эллип- эллиптических микропор (?3 = 0) с полуосями ао, bo и расстоя- расстоянием между ними 2d в ка- качестве критерия разрушения перемычки между микропо- микропорами можно принять усло- условие достижения локальными напряжениями (действующи- (действующими в перемычке) критическо- критического значения ас: ас— =сгь A.6.5) а + ао где ао — малая полуось эллиптической микропоры (по- (поперек направления дейст- действия номинальных напряже- напряжений а\). Рассмотренные модели образования, роста и слияния микропор мо- могут быть успешно использованы для анализа микромеханизмов вязкого разрушения твердого тела перед вершиной макротрещины (рис. 1.23). Рис. 1.22. Схема нагружения твердого тела со сферической микропорой >Q © « Рис. 1.23. Схема микромеханизма роста вязкой трещины: а — включения у вершины трещины, б — рост микропор перед вершиной трещины, в — слияние микропор с вершиной трещины 3 Матвиенко Ю.Г.
34 Гл. 1. Физика и механика микроразрушений При достижении напряжениями у включений (перед вершиной трещи- трещины на некотором расстоянии от нее) критических значений образуются микропоры. В результате дальнейшего роста микропор и локализа- локализации пластической деформации происходит пластическое притупление вершины трещины, слияние микропор с вершиной трещины и, таким образом, рост вязкой трещины. Транскристаллитный скол. Транскристаллитный скол характе- характеризуется разрушением твердого тела (распространением трещины) по определенным кристаллографическим плоскостям. В металлах с объемно-центрированной кубической решеткой транскристаллитный скол имеет место в плоскости {100}. В поликристаллических телах процесс транскристаллитного скола реализуется не в одной кристаллографической плоскости, а посредством распространения и последующего объединения множества микротрещин скола, возни- возникающих в определенном семействе кристаллографических плоскостей зерен. В результате на поверхности разрушения появляются ступеньки скола, слияние которых сопровождается образованием специфического "речного" рельефа [81]. Как правило, транскристаллитный скол имеет хрупкий характер, хотя не исключены и процессы пластического деформирования. Особенности транскристаллитного скола во многом определяются структурой поликристалла, следствием этого является значительное количество предложенных моделей данного микромеханизма разрушения [151]. Так, в ферритных сталях процесс разрушения у вершины макротрещины в зоне повышенных напряжений (концентрации напряжений) сопровождается микропластическим деформированием ферритной матрицы, растрескиванием хрупких частиц второй фазы (включений или карбидов) и распространением образовавшейся микротрещины в ферритной матрице, что вызывает разрушение транскристаллитным сколом. Исходя из критерия Гриффитса (см. § 2.3) локальные критические напряжения перед вершиной трещины, приводящие к образованию микротрещины в сферической хрупкой частице радиуса Rq, можно записать в виде где 7 — удельная поверхностная энергия тела. В металлах со струк- структурой, отличной от ферритной, инициирование транскристаллитного скола возможно в карбидах, расположенных в границах зерен. Межзеренный скол. Межзеренный скол состоит в зарождении и распространении микротрещин вдоль границ зерен. Реализация этого микромеханизма разрушения обусловлена тем, что энергия разруше- разрушения, необходимая для распространения трещины вдоль границ зерен, ниже соответствующей энергии транскристаллитного скола. Механиз-
§ 1.7. Распространение коротких усталостных трещин 35 мы межзеренного скола достаточно разнообразны и связаны со следу- следующими явлениями (см. гл. 4): • образованием хрупкой фазы по границам зерен, • водородным и жидкометаллическим охрупчиванием, • коррозионным растрескиванием, • межзеренной коррозией. § 1.7. Распространение микроструктурно и физически коротких усталостных трещин 1.7.1. Модель инициирования и развития коротких трещин. Рассмотрим модельные представления о распространении микрострук- микроструктурно и физически коротких трещин в условиях циклического нагруже- ния [60, 63, 83, 219, 226]. В рамках модели Хобсона-Брауна скорость распространения микроструктурно короткой трещины в зерне металла может быть представлена уравнением ^=AAea(d-l), A.7.1) основанном на обобщении результатов экспериментальных исследова- исследований гладких цилиндрических образцов из среднеуглеродистой стали в условиях циклического растяжения-сжатия. В уравнении A.7.1) I — длина трещины, А и а — постоянные материала, Аг — размах приложенных деформаций. Скорость роста микроструктурно короткой трещины становится равной нулю при достижении трещиной длины / микроструктурного барьера. Микроструктурный параметр d характе- характеризует расстояние между микроструктурными барьерами, в качестве которых могут выступать границы зерен, и представляет собой микро- микроструктурный порог усталости. Следовательно, микроструктурный порог усталости на стадии распространения микроструктурно короткой тре- трещины (стадия I) зависит только от микроструктуры материала. Поскольку поверхность образцов и элементов конструкций содер- содержит различные острые микроконцентраторы напряжений (границы зе- зерен, включения, поверхностные микроцарапины и др.), предполагается, что от них, независимо от размаха приложенных деформаций (напря- (напряжений), инициируется и распространяется с первого цикла нагружения микроструктурно короткая трещина. Однако в зависимости от прило- приложенных напряжений эта трещина или останавливается у барьера, или его преодолевает. За стадией роста микроструктурно короткой трещины следует ста- стадия развития физически короткой трещины (стадия II), плоскость кото- которой ориентирована перпендикулярно главному напряжению, а скорость роста определяется уравнением вида ^ A.7.2)
36 Гл. 1. Физика и механика микроразрушений где В и /3 — постоянные материала, а параметр Dth характеризует порог усталости для стадии роста физически короткой трещины. Таким образом, для коротких усталостных трещин существуют два порога усталости, определяемые равенством нулю скоростей роста трещин в уравнениях A.7.1) и A.7.2). Первое пороговое условие зависит только от микроструктуры материала, а второе — как от длины трещины, так и от размаха деформаций. Скорость роста физически короткой трещины, приведенная в A.7.2), должна быть ограничена по дефор- деформациям, соответствующим пределу выносливости. Следовательно, ми- минимальная деформация, равная пределу выносливости материала 6r, и дает максимальный размер Ir нераспространяющейся трещины при dl/dN = 0. Поэтому если деформация выше предела выносливости, то микроструктурно короткая трещина, преодолев барьеры, достигает стадии роста физически короткой трещины. В этом случае барьеры уже не могут остановить процесс распространения трещины до полного разрушения образца. По мере увеличения размеров физически короткой трещины стано- становятся справедливыми подходы и модели линейной механики разруше- разрушения. Стадия распространения физически коротких трещин переходит в заключительную стадию — стадию развития длинных трещин. Мно- Многообразие существующих моделей и расчетных уравнений скорости роста трещины на этой стадии позволяет прогнозировать кинетику трещины (см. §4.1). Моменты перехода распространения трещин от одной стадии к другой определяются равенством скоростей в соответствующих уравнениях. Следует отметить, что в зависимости от приложенных деформаций та или иная стадия распространения усталостной трещины может и не наступить. Например, при деформациях ниже предела выносливости трещина будет остановлена микроструктурными барьерами. В то же время при очень больших деформациях окончательное разрушение образца с короткой трещиной может произойти, не достигнув, например, стадии роста длинных трещин. Дальнейший анализ закономерностей развития микроструктурно и физически коротких трещин выявил, что размер Ir нераспростра- нераспространяющейся трещины в среднеуглеродистой стали в зависимости от вида нагружения более чем в 4 раза превышает размер микроструктурно- микроструктурного порога усталости (ферритного зерна) d [219]. Поэтому в модели постулировано существование двух типов микроструктурных барье- барьеров (слабых и сильных), наличие которых может быть обусловлено текстурой металлов, связанной с кристаллографической ориентацией, размерами и формой зерен, размерами и особенностями распределения вторичных фаз и включений. Так, для исследованной среднеуглероди- среднеуглеродистой стали в качестве слабых барьеров могут быть приняты границы ферритных зерен, а в качестве сильных — границы перлитных зерен. Максимальное расстояние, на которое распространяется трещина до
§ 1.7. Распространение коротких усталостных трещин 37 dlldN Стадия I Стадия II О d0 lth dl ltr d2 D I Рис. 1.24. Модель распространения микроструктурно (стадия I) и физически (стадия II) коротких трещин полной остановки у главного (сильного) микроструктурного барьера при размахе деформаций, равном пределу выносливости, является главным пороговым микроструктурным барьером для стадии I роста коротких трещин (рис. 1.24). Чтобы достичь главного микроструктур- микроструктурного барьера, трещина будет распространяться, скачкообразно прео- преодолевая слабые барьеры. При этом скорость роста трещины должна определяться уравнением A.7.1). Следовательно, можно принять, что микроструктурный параметр d в уравнении A.7.1) является дискрет- дискретным параметром, отражающим расстояние между слабыми и сильными микроструктурными барьерами. В то же время максимальное значе- значение d определяется главным микроструктурным барьером. Рост микроструктурно короткой трещины инициируется в наиболь- наибольшем зерне. Именно в нем будет наблюдаться наибольшая скорость роста трещины в соответствии с уравнением A.7.1). Таким образом, для ш-го скачка трещины микроструктурный параметр d = dm можно представить в следующем виде: dm = 2 (m — 1) da, dm < D, A.7.3) где D — расстояние между главными микроструктурными барьерами. Предполагается, что т-и скачок трещины через слабые микрострук- микроструктурные барьеры происходит при достижении трещиной размера 0,95dm
38 Гл. 1. Физика и механика микроразрушений и сопровождается изменением микроструктурного параметра с величи- величины dm до dm+\. Момент перехода стадии роста микроструктурно короткой трещины (стадия I) в стадию физически короткой трещины (стадия II) определя- определяется равенством скоростей роста трещин, представленных уравнения- уравнениями A.7.1) и A.7.2): ААеа (dm - kr) = BAeHtr - Dth, A.7.4) и соответствует размеру трещины ltr. Количество т скачков трещины до достижения ею размера ltr зависит как от расстояния между сла- слабыми микроструктурными барьерами, так и от размаха приложенных деформаций. В модели предполагается, что трещина преодолевает ба- барьеры обеими вершинами одновременно и распространяется в нечетном числе зерен. 1.7.2. Влияние вида нагружения на кинетику коротких тре- трещин. Уравнения A.7.1), A.7.2) роста микроструктурно и физически коротких трещин при одноосном растяжении-сжатии позволяют про- прогнозировать скорость роста коротких трещин для случая сложного напряженного состояния. Преобразование уравнений может быть ос- основано на переходе от сложного напряженно-деформированного со- состояния к эквивалентному одноосному состоянию с использованием соответствующих критериев [60]. Например, при совместном нагруже- нагружении растяжением-кручением уравнения A.7.1), A.7.2) роста коротких усталостных трещин могут быть переписаны в терминах компонентов размаха сдвиговых деформаций для заданного соотношения размахов сдвиговой и осевой деформаций, Л = А7/Аг, в следующем виде: -f- = AeqA<ya (d - I), A.7.5) dN ^ = BegA^l - Dth. A.7.6) Предполагается, что пороговый параметр Dth — постоянная материа- материала, а новые коэффициенты Aeq и Beq зависят как от параметров уравнений A.7.1), A.7.2), описывающих рост коротких трещин при одноосном нагружении, от отношения сдвиговой и осевой деформаций при комбинированном нагружении, так и от использованного критерия эквивалентных деформаций. В рамках критерия максимального касательного напряжения Треска
§ 1.7. Распространение коротких усталостных трещин 39 а в рамках критерия Рэнкина — Beq — В I — (l+u) 2Л A.7.9) Здесь v — упругопластический коэффициент Пуассона. Результаты прогнозирования скорости роста микроструктурно ко- коротких трещин, полученные с использованием критерия эквивалентных и 0,1 0,01 0,001 0,0001 10 100 1000 10000 /, мкм Рис. 1.25. Кривые роста микроструктурно и физически коротких трещин при циклическом кручении образцов из среднеуглеродистой стали состояний Треска, и физически коротких трещин — на основе модифи- модифицированного уравнения A.7.6) [60], коррелируют с экспериментальны- экспериментальными результатами, приведенными в [281] (рис. 1.25). Влияние микроструктуры на размер Ir нераспространяющейся усталостной трещины (или расстояние между главными микрострук- микроструктурными барьерами) представлено в табл. 1.3. Размер нераспростра- нераспространяющейся трещины был получен из уравнения A.7.6) при условии Таблица 1.3. Нераспространяющиеся физически короткие трещины в сред- среднеуглеродистой стали Тип нагружения Растяжение-сжатие (Л = A^/As = 0) Растяжение-кручение (Л = 1,5) Кручение (Л =ос) Ir, MKM 213 247 526 A^R 0 0,0046 0,0069 AsR 0,0041 0,0031 0
40 Гл. 1. Физика и механика микроразрушений равенства нулю скорость роста трещины при размахе деформации, со- соответствующем пределу выносливости Ajr^Asr). Изменение размера нераспространяющейся трещины при различных условиях нагружения обусловлено изменением направления роста трещины между микро- микроструктурными барьерами. 1.7.3. Расчет долговечности. Предложенная модель и уравнения роста коротких усталостных трещин для стадий I и II позволяют прогнозировать долговечность твердых тел на ранних стадиях повреж- повреждения [60, 219]. Полагая, что поверхность твердого тела содержит исходные микротрещины размера, например, 1 мкм, долговечность Nj на стадии I получаем интегрированием уравнения A.7.5) в пределах от /0 = 1 мкм ДО kr- При расчете по формуле A.7.3) учитывается ко- количество скачков трещины, обусловленных преодолением микрострук- микроструктурных барьеров. Интегрирование уравнения A.7.6), описывающего распространение физически короткой трещины в пределах от ltr до критической длины трещины 1С, позволяет оценить долговечность Njj на второй стадии роста короткой трещины. Размер ltr трещины, соот- соответствующий переходу распространения трещины от стадии I к ста- стадии II, определяется с помощью уравнения A.7.4). Общая долговеч- долговечность определяется суммированием долговечностей, соответствующих рассматриваемым стадиям распространения трещины: Nc = Nj + Njj. Приведем некоторые результаты расчетов по предложенной модели распространения коротких усталостных трещин для цилиндрических образцов из среднеуглеродистой стали. Оценка долговечности в усло- условиях циклического кручения при А7 = 0.62% дает расчетную величину ДГС = Nj + Njj = 860 циклов нагружения, а экспериментально наблю- наблюдаемая долговечность Nc = 690 циклов. Удовлетворительное соответст- соответствие расчетных долговечностей подтверждает корректность моделей и уравнений скорости роста коротких трещин. Кроме того, анализ расчетных значений долговечности при комбинированном нагружении позволил сделать вывод об уменьшении относительной долговечнос- ти —— при увеличении размаха деформации. Nii Таким образом, фундаментальные исследования кинетики микро- микроструктурно и физически коротких трещин позволяют анализировать циклическую трещиностойкость и долговечность твердых тел на ран- ранних стадиях повреждений и, несомненно, способствуют созданию кон- конструкционных материалов с повышенной живучестью. Такое "кон- "конструирование" достигается как посредством формирования различной структуры металла в поверхностных и внутренних его объемах, так и направленной анизотропией с учетом вида нагружения. Так, напри- например, из анализа уравнения роста микроструктурно коротких трещин (уравнение вида A.7.1)), распростаняющихся, как правило, с поверх- поверхности, следует целесообразность формирования мелкозернистой струк- структуры материала в поверхностном слое, что снижает скорость их роста, а следовательно, повышает долговечность.
Глава 2 МЕХАНИКА ТРЕЩИН В УПРУГИХ ТЕЛАХ Процесс разрушения можно разделить на несколько стадий по сте- степени его локальности. В основном это микроразрушение, появляющее- появляющееся на первых стадиях деформирования материалов, и макроразрушение, характеризуемое развитием сформировавшихся трещин. Естественно, для изучения этих различающихся процессов разрушения необходимо привлекать разные методы и модели физики и механики деформируе- деформируемого твердого тела с целью адекватного их описания. В предыдущей главе были изложены представления о физике и ме- механике микроразрушения, а также приведены некоторые микромеха- микромеханизмы разрушения, модели образования дислокационных микротрещин и сформулированы критерии их зарождения и распространения. От- Отметим важность изучения взаимного влияния микро- и макростадий разрушения для более глубокого понимания процессов повреждения материалов. Не акцентируя внимания на этой проблеме, перейдем к рассмотрению основных положений, моделей и критериев механики макротрещин, в которых без ущерба для исследуемого явления мак- макроразрушения не учитываются микромеханизмы разрушения. В этой главе рассмотрим основы линейной механики разрушения, в рамках которой к настоящему времени окончательно сформированы теорети- теоретический базис, а также рекомендации по практическому использованию в расчетах на прочность при наличии трещин [12, 24, 63, 81, 87, 104, 107, 115, 139, 151, 265 и др., приведенные в списке литературы]. § 2.1. Напряженное состояние в окрестности вершины трещины 2.1.1. Напряжения в линейно упругом теле с трещиной. Вы- Выражения для напряжений в упругом изотропном теле под действием внешних усилий могут быть получены из решения плоской задачи теории упругости о растяжении бесконечной плоскости со сквозной трещиной. Приведем общий вид выражений для поля напряжений в линейно упругом теле с трещиной: <7ij = ( —^= I fij (в) -{-регулярные члены, B.1.1) \л/2тгг/
42 Гл. 2. Механика трещин в упругих телах Рис. 2.1. Компоненты напряжений у вершины трещины где Oij — тензор напряжений, К — коэффициент интенсивности на- напряжений, г и в — координаты точки в полярной системе координат (рис. 2.1), fij — безразмерная функция угла 0 (i,j = x, у). Из формулы B.1.1) следует, что первое слагаемое стремится к бес- бесконечности при г —> О (рис. 2.2). Регулярные члены характеризуют напряжения вдали от вершины тре- трещины и, следовательно, опреде- определяются соответствующими гранич- граничными условиями. Эти напряжения всегда принимают конечные значе- значения и зависят от приложенных к телу внешних напряжений а. Существует три типа нагру- жения или смещения точек по- поверхностей трещины относительно друг друга под действием внеш- внешней нагрузки (рис. 2.3). К перво- первому типу (I) относится образование трещин нормального отрыва, т. е. смещение точек поверхности трещи- трещины под действием нагрузки в на- 0 г Рис. 2.2. Распределение упругих напряжений перед вершиной тре- трещины при fij = const правлении, перпендикулярном плоскости трещины; трещина имеет тенденцию к раскрытию. Трещине поперечного типа (тип II) соответст- соответствует трещина, точки поверхности которой смещаются поперек фронта трещины (передней кромки трещины). И, наконец, трещина продоль- продольного сдвига (тип III) характеризуется смещением точек поверхности
§ 2.1. Напряженное состояние в окрестности вершины трещины 43 У Тип1 (отрыв) Тип 2 (поперечный сдвиг) ТипЗ (продольный сдвиг) Рис. 2.3. Типы смещения точек поверхностей трещины трещины вдоль фронта трещины. Таким образом, тело с трещиной может находиться под действием одного из типов нагружения или их комбинации. Трещины всех трех типов имеют общую особенность напряже- напряжений 1/а/г в вершинах, в то время как коэффициент интенсивности напряжений К и функция /^ зависят от типа трещины. Наличие такой зависимости отображается индексами I, II или III. Таким образом, ком- компоненты напряжений в окрестности вершины трещины в изотропном линейно упругом теле могут быть записаны в виде асимптотических формул I хA) (л\ /г) 1 с\\ lim a)- ' = т (HI) lim a}- J = B.1.3) B.1.4) для трещин типа I, II и III соответственно. Пример 2.1. Оценим относительный размер зоны сингулярности напряжений у вершины сквозной трещины в пластине неограниченных размеров в условиях растяжения номинальными напряжениями а, при- приложенными перпендикулярно плоскости трещины на удаленном рассто- расстоянии от нее. Полагаем, что нормальные напряжения перед вершиной
44 Гл. 2. Механика трещин в упругих телах трещины на линии ее продолжения @ = 0 и fyy = 1) могут быть аппроксимированы зависимостью, содержащей сингулярную и регуляр- регулярную (а) составляющие напряжений: УУ л/2тгг С учетом формулы коэффициента интенсивности напряжений для рассматриваемого тела: Kj = ал/id, выражение для напряжений ауу принимает вид / ,— i Для того чтобы сингулярная составляющая преобладала над регу- регулярной, необходимо выполнение условия г <С I. Оценим размер зоны сингулярности rs как области, в которой первое слагаемое в выраже- выражении для ауу по крайней мере в 5 раз больше второго (регулярного) слагаемого, т. е. Отсюда получаем, что размер зоны сингулярности rs равен //50. Например, если размер трещины / = 10 мм, то размер rs составляет лишь 0,2 мм. 2.1.2. Принцип линейной суперпозиции. В случае комбиниро- комбинированных типов трещин для определения компонентов напряжений ис- используют принцип линейной суперпозиции ^ = 47)+4Я)+-Г- B.1.5) При этом следует иметь в виду, что нормальные напряжения суммиру- суммируются лишь с нормальными напряжениями, а касательные — с касатель- касательными. Принцип суперпозиции может быть распространен на анализ коэффициентов интенсивности напряжений для тел в условиях ком- комбинированного нагружения. Аналогично свойству аддитивности напря- напряжений коэффициент интенсивности напряжений может быть записан в виде суммы отдельно установленных решений для коэффициентов К: НО В качестве примера рассмотрим тело с краевой трещиной, на- нагруженное осевым растяжением и изгибающим моментом. Оба ви- вида нагружения создают условия смещения поверхностей трещины, соответствующие типу I. Следовательно, решение для коэффициента
§ 2.1. Напряженное состояние в окрестности вершины трещины 45 интенсивности напряжений может быть представлено в соответствии с линейным принципом суперпозиции следующим образом: Пример 2.2. Проиллюстрируем использование принципа супер- суперпозиции на примере определения коэффициента интенсивности напря- напряжений тела неограниченных размеров с полукруглой поверхностной трещиной глубины / под действием давления р, приложенного к ее поверхностям (рис. 2.4, а). Сформулируем решение задачи в виде су- суперпозиции двух известных случаев: • тело неограниченных размеров с поверхностной трещиной под действием напряжений р, приложенных вдали от трещины (рис. 2.4,6); • тело неограниченных размеров с поверхностной трещиной под действием напряжений р, приложенных вдали от трещины, и ежи- Рис. 2.4. Определение коэффициента интенсивности напряжений с помощью принципа линейной суперпозиции мающих напряжений — р, приложенных к поверхностям трещины (рис. 2.4, в). В этом случае искомый коэффициент интенсивности напряжений может быть представлен в следующем виде: Система нагрузок для тела (в) фактически дает тело без трещины, а следовательно, Таким образом, окончательно получаем р j =0. Для тела (б) имеем: К\ * = 1,12— р\[тй. к{а) = 1Д2 — рл/тгг —0 = 1,12- 7Г
46 Гл. 2. Механика трещин в упругих телах 2.1.3. Асимптотические формулы. Выпишем в декартовых ко- координатах асимптотические формулы для компонентов напряжений у вершины трещины I типа: I = Г~~ C°S 9 ( cos — 1 ± sin — sin —с 2 1 2 2 crz = 0.0 3 cos — sm — cos — 6/; О (плоское напряженное состояние), z/ (<тж + cry) (плоская деформация), rxz = ryz = 0. B.1.6) Воспользовавшись законом Гука: диу дих диу B.1.7) а также асимптотическими формулами B.1.6), после интегрирования формул B.1.7) получаем компоненты перемещений. При плоской де- деформации ez =0, az = v{ax + ау) и компоненты перемещений у вер- вершины трещины принимают следующий вид: ит = 2G 2G fc-l+2sin2 Г- fe+l-2cos2r B.1.8) где G — модуль сдвига, к = 3 — Аи для плоской деформации и к = = C — z/) / A + v) для плоского напряженного состояния. Обратим внимание на то, что на линии продолжения трещины (у = в = 0) касательные напряжения равны нулю, а нормальные напряжения Kl B.1.9) л/2тгг являются главными. Для трещин других типов асимптотические формулы для компо- компонентов напряжений в окрестности вершины трещины имеют несколько иной вид: Кц . и ( и 6 ах = —-== sm - 2 + cos - cos - i л/2тгг ^ V II О 0 3 л Кп . в О -7= sm 9 C0S 9 C°S 9 ^' у2тгг ill Кп в ( .0.3 —= cos - 1 - sm -sm- л/2тгг ^ V II
§ 2.1. Напряженное состояние в окрестности вершины трещины 47 для трещины типа II и для трещины типа III. Из асимптотических формул следует, что напряженное состояние в окрестности вершины трещины полностью определяется одним па- параметром — коэффициентом интенсивности напряжений, т. е. компо- компоненты напряжений увеличиваются пропорционально коэффициенту К. Если коэффициент интенсивности напряжений известен, то можно рассчитать все компоненты напряжений, деформаций и перемещений в окрестности вершины трещины как функции расстояния г и угла в. Таким образом, коэффициент интенсивности напряжений является од- одним из наиболее важных параметров механики разрушения, исполь- используемых для анализа напряженно-деформированного состояния упругих тел с трещинами. Пример 2.3. Поле напряжений в окрестности вершины трещи- трещины, наряду с характеристиками сопротивления материала разрушению, определяет траекторию трещины в теле при достижении им критиче- критического состояния. Проиллюстрируем это положение на примере опреде- определения направления начального роста трещины в упругом изотропном теле. Примем следующие вполне очевидные гипотезы: • трещина распространяется из вершины в направлении радиуса ее скругления; • направление роста трещины перпендикулярно направлению дейст- действия наибольших растягивающих напряжений. Из приведенных гипотез следует, что в качестве рассматривае- рассматриваемых напряжений необходимо принять напряжение а$ и что критерий, определяющий угол началь- начального распространения трещи- трещины #о относительно исходного ее направления, имеет вид = 0. dO Рассмотрим симметричное нагружение тела с исход- исходной прямолинейной трещиной (рис. 2.5). В этом случае для плоской задачи имеем: Kj ^ 7^ 0, Кц = 0. Асимптотиче- Асимптотические формулы для растягива- растягивающих напряжений записываем Рис. 2.5. Тело с исходной прямолинейной трещиной
48 Гл. 2. Механика трещин в упругих телах в виде ев = Таким образом, получаем следующее условие: W = из которого следуют два решения: во = ±тг и во = 0. Первое решение физически некорректно. Следовательно, при симметричном нагруже- нии прямолинейная трещина сохраняет направление распространения. § 2.2. Коэффициент интенсивности напряжений. Приближенные методы расчета Для того чтобы в задачах механики трещин можно было использо- использовать коэффициент интенсивности напряжений, этот параметр следует вычислить. Точное решение в случае растяжения неограниченной плос- плоскости со сквозной трещиной длины 21 дает следующую формулу для коэффициента Kj\ Ki = <j\fid. B.2.1) В общем случае коэффициент интенсивности напряжений зависит не только от приложенных к телу напряжений а и длины трещины, но также является функцией геометрии тела и схемы его нагружения: B.2.2) где Y A/В) — поправка (if-татировка) на геометрию и схему нагру- нагружения, В — характерный размер поперечного сечения тела. Продемон- Продемонстрируем влияние схемы нагружения на коэффициент интенсивности напряжений на примере тела, представляющего собой сплошной ци- цилиндр диаметра D с кольцевой трещиной глубины / [136]: • растяжение напряжениями а D 1 3d 0,3 0,73d3 • кручение моментом М 2 D 3 5d 35d2 2Ы3\ 3 [D где d = D — 21. Изменение геометрии тела приводит к изменению фор- формулы коэффициента интенсивности напряжений. Например, для растя-
§ 2.2. Коэффициент интенсивности напряжений 49 гиваемой пластины ширины 2В с двумя краевыми трещинами длины / г-, 1,12-0,61А + 0,13А3 Kj = <7V7r/ 1 , где Л = I/В. Следует отметить, что формулы коэффициентов интенсив- интенсивности напряжений для тел различной геометрии и схем нагружения содержатся в обширной справочной литературе (см., например, [121]). Определение коэффициента интенсивности напряжений для тел сложной геометрии может быть основано как на аналитических ме- методах теории упругости, так и на численных и экспериментальных методах, дающих информацию о перемещениях, деформациях и напря- напряжениях в окрестности вершины трещины. Эта информация является исходной для определения коэффициента К с помощью асимптотиче- асимптотических формул. Кроме того, для расчета коэффициента интенсивности напряжений могут быть привлечены приближенные аналитические ме- методы. Рассмотрим некоторые из них. 2.2.1. Расчет на основе коэффициента концентрации напря- напряжений. При наличии в вершине разреза-трещины малого радиуса кривизны р напряжения для трещины типа I имеют следующий вид: в ( . в . ЗЛ р 3. 2 I 2 2 ) 2r 2 B.2.3) Здесь начало полярных координат расположено так, что г > р/2. На линии продолжения трещины непосредственно в вершине при 0 = 0 и г = р/2 имеет место одноосное растяжение конечным напряжением: С\ ТУ' о~у = —=, сгх = тху = 0. B.2.4) /тгр С другой стороны, напряжение ау = Kta в рамках теории кон- концентрации напряжений. При стремлении р к нулю разрез переходит в трещину и из формулы B.2.4) следует, что Ki = lim - о-у^/тгр = lim - Kta л/тгр. B.2.5) Зная коэффициент концентрации напряжений Kt для тела данной геометрии и схемы нагружения, получаем коэффициенты интенсивно- интенсивности напряжений. Например, при растяжении бесконечной плоскости со сквозным эллиптическим вырезом коэффициент концентрации напря- напряжений Kt равен ( 1 + 2^/1/р J, где / — большая полуось эллипса. Тогда 4 Матвиенко Ю.Г.
50 Гл. 2. Механика трещин в упругих телах из формулы B.2.5) получаем решение для коэффициента интенсивнос- интенсивности напряжений: = lim - 1 + 2 w - } а Л/тгр = сгл/тг/, о2 у ]] р J v 21 совпадающее с точным решением B.2.1). 2.2.2. Метод сечений. Рассмотрим плоское тело со сквозной трещиной. Под действием внешних нагрузок, действующих на те- тело в его плоскости, в окрестности вершины трещины возникает градиент напряжений. В теле проведем воображаемое сечение че- через вершину трещины. Условие равновесия внешних и внутрен- внутренних сил, действующих в сечении, сводится к следующему: усилие, не передающееся через линию трещины, компенсируется допол- дополнительным усилием от концен- концентрации напряжений у вершины трещины. Проиллюстрируем использо- использование метода сечений на при- примере растяжения бесконечной плоскости со сквозной трещи- трещиной длины 21 (рис. 2.6). Внеш- Внешние напряжения а приложены в направлении, перпендикуляр- перпендикулярном линии трещины. Усилие, не передающееся через линию тре- трещины и равное 2al, компен- компенсируется дополнительным уси- а лием 2 f Gydr от концентрации о напряжений у вершин трещины в зонах размера а. Размер зоны повышенных напряжений у вершины трещины находим из условия ау (г = а) = а и формулы B.1.9): Рис. 2.6. Метод сечений для определе- определения коэффициента интенсивности нап- напряжений а = 2тга2' Условие равновесия принимает следующий вид: а J 2а\ - 2 а,Лт = 0. B.2.6) Подставив в уравнение B.2.6) выражение для ау по формуле B.1.9) и проинтегрировав в указанных пределах, получаем формулу для коэф- коэффициента интенсивности напряжений: Ki = a\fid, которая совпадает с точным решением.
§ 2.3. Критерий разрушения механики трещин 51 § 2.3. Критерий разрушения механики трещин. Силовой и энергетический критерии разрушения Методы теории упругости и пластичности позволяют решать па- параметрические задачи о напряженно-деформированном состоянии тел с трещинами-разрезами. В получаемые решения размер разреза входит в виде параметра. При этом отсутствует функциональная связь внеш- внешних напряжений (усилий) с размером разреза. Для установления такой связи к решению параметрической задачи необходимо добавить допол- дополнительное условие — критерий разрушения. Критерий разрушения поз- позволяет установить внешние напряжения, при которых разрез переходит в трещину, т.е. начинает распространяться. При этом состояние тела называется критическим или предельным. Таким образом, критерий разрушения устанавливает условие достижения телом критического состояния, связывая функциональной зависимостью критические (раз- (разрушающие) напряжения с размерами трещины. Формулировка критериев разрушения может быть основана как на локальных подходах, связанных с анализом критического состояния локальных областей у вершины трещины, так и на глобальных подхо- подходах, предусматривающих анализ критического состояния тела в целом. 2.3.1. Энергетический критерий разрушения Гриффитса. Прин- Принципиальной особенностью подхода Гриффитса [180, 181] является иг- игнорирование особенностей процессов разрушения в малой окрестности (зоне предразрушения) у вершины трещины и сосредоточение внима- внимания на изменении энергии тела при распространении трещины. Рассмотрим неограниченную плоскость единичной толщины с тре- трещиной длины 21, растягиваемую равномерно приложенным на беско- бесконечности постоянным напряжением а. Напряжение действует перпен- перпендикулярно плоскости трещины. Критерий разрушения формулируется следующим образом: трещина начинает распространяться тогда, когда приращение поверхностной энергии тела, обусловленное увеличени- увеличением длины (поверхности) трещины, компенсируется соответствующим выделением потенциальной энергии упругой деформации. Энергетиче- Энергетический баланс для предельного равновесия упругого тела с трещиной имеет следующий вид: где П — потенциальная энергия упругой деформации тела с трещиной, Г — поверхностная энергия тела, связанная с поверхностью трещины. Здесь предполагается, что другие виды энергии отсутствуют. Выра- Выражение для потенциальной энергии деформации тела получается из решения Инглиса о растяжении плоскости с эллиптическим вырезом.
52 Гл. 2. Механика трещин в упругих телах Критерий разрушения Гриффитса основан на энергетической фор- формулировке задачи: Я = Я0-^ , B.3.2) где Щ — потенциальная энергия деформации тела без трещины. По- Поверхностная энергия, обусловленная образованием двух поверхностей трещины, равна Г = 4Ъ1 , B.3.3) где 7s — удельная поверхностная энергия. Энергетический баланс B.3.1) с учетом выражений B.3.2), B.3.3) для /7 и Г позволяет установить функциональную зависимость кри- критических напряжений от длины трещины для плоского напряженного состояния: ? Формула B.3.4) носит название формулы Гриффитса. В случае плоской деформации формула Гриффитса может быть путем замены модуля упругости Е на Е/{\ — и2) переписана в виде B-3-5) Критические напряжения, при которых происходит самопроизволь- самопроизвольный рост трещины за счет накопленной телом потенциальной энергии упругой деформации, зависят как от размера трещины, так и от физи- физических и механических свойств твердого тела. Таким образом, в задачи механики разрушения вводятся представления о поверхностной энер- энергии твердого тела. Формулы B.3.4) и B.3.5) строго обоснованы только для идеально хрупких тел. Концепция квазихрупкого разрушения Ирвина-Орована [188, 141] позволила расширить границы применимости теории Гриф- Гриффитса благодаря предположению о поглощении энергии в процессе рас- распространения трещины не только вновь образованными поверхностями трещины, но и локальной пластической зоной у вершины трещины. Так появились представления об эффективной поверхностной энергии 7 — = 7s + 7р- При этом критические напряжения при плоской деформации определяются следующей формулой: 7ГA ~ B.з.6) где 7р ~~ энергия, затраченная на пластическое деформирование об- образующихся поверхностей трещины. Для конструкционных металлов
§ 2.3. Критерий разрушения механики трещин 53 значение 7р существенно превосходит значение поверхностной энер- энергии 7s- Пример 2.4. Рассмотрим пластину неограниченных размеров со сквозной макротрещиной длины 21 \ и радиусом скругления ее вер- вершины р. Номинальные напряжения приложены к пластине вдали от трещины перпендикулярно ее плоскости. Перед вершиной макротре- макротрещины возникает дискообразная микротрещина диаметра 2/2 (рис. 2.7). 21, Рис. 2.7. Схема расположения дискообразной микротрещины перед вершиной макротрещины в пластине неограниченных размеров Оценим критический размер микротрещины, при котором происходит разрушение пластины в соответствии с критерием Гриффитса. Кри- Критические номинальные напряжения ас для пластины неограниченных размеров со сквозной трещиной определяются в соответствии с форму- формулой B.3.4): Тогда локальные напряжения <т1оса1, действующие перед вершиной макротрещины с конечным радиусом р скругления ее вершины, можно оценить с учетом концентрации напряжений следующим образом: Критические напряжения для мысленно выделяемого тела с дискооб- дискообразной трещиной (рис. 2.7) согласно критерию Гриффитса имеют вид / ^local 2 A -
54 Гл. 2. Механика трещин в упругих телах Таким образом, критическое состояние рассматриваемого тела дости- достигается при соблюдении условия из которого для острых макротрещин (p<C/i) получаем критический размер микротрещины о 7Г Zp Например, для материала с коэффициентом Пуассона v = 0,3 кри- критический размер микротрещины 1% = 0,68р. Отметим, что в наших рассуждениях негласно были сделаны неко- некоторые предположения. Во-первых, предполагалось, что локальные на- напряжения <т1оса1 перед вершиной макротрещины однородны. В дейст- действительности эти напряжения достаточно интенсивно уменьшаются при удалении от вершины макротрещины. Во-вторых, предполагалось от- отсутствие влияния свободной поверхности вершины макротрещины на критическое состояние микротрещины. 2.3.2. Силовой критерий разрушения Ирвина. Коэффициент интенсивности напряжений ^полностью контролирует напряженно- деформированное состояние в малой окрестности вершины трещины. Поскольку при распространении трещины процесс разрушения также сосредоточен в этой малой окрестности у ее вершины, то коэффи- коэффициент К при особенности напряжений в асимптотических формулах (см., например, формулы B.1.6) для трещины типа I) должен контро- контролировать и условия начала распространения трещины. Из асимптоти- асимптотических формул следует, что увеличение коэффициента интенсивности напряжений приводит к росту напряжений у вершины трещины. При некотором критическом значении коэффициента интенсивности напря- напряжений Кс распределение напряжений в малой окрестности вершины трещины достигает критического значения, и трещина начинает рас- распространяться. Итак, силовой критерий разрушения Ирвина формули- формулируется следующим образом [188]: трещина начинает распространяться тогда, когда коэффициент интенсивности напряжений достигает кри- критической величины: К = Кс. B.3.7) Критический коэффициент интенсивности напряжений Кс является механической характеристикой твердого тела, часто называемой тре- щиностойкостью. Критерий разрушения B.3.7) позволяет исследовать предельное состояние тела с трещиной и установить функциональную связь кри- критических напряжений ас с длиной / трещины. Например, для неогра-
§ 2.3. Критерий разрушения механики трещин 55 ниченнои растягиваемой плоско- плоскости критерий B.3.7) принимает вид: асл/id = Кс, и, следовательно, ас = Кс/л/тг1 (рис. 2.8) . 2.3.3. Критерии разрушения при смешанном нагружении. При смешанном нагружении (совмест- (совместном действии, например, растяги- растягивающих и сдвиговых нагрузок, кру- крутящих моментов) тела с трещиной в ее вершине в общем случае воз- возникает сложное напряженно-дефор- напряженно-деформированное состояние, полностью определяемое коэффициентами ин- интенсивности напряжений Kj, Кц и КШ- Тогда критериальное уравне- уравнение в силовой трактовке будет содержать в виде параметров коэффици- коэффициенты интенсивности напряжений, соответствующие различным типам трещин (I, II и III), а также их критические значения К1с,КПс и КШс и некоторые постоянные твердого тела Cf. 0 h Рис. 2.8. Схема зависимости крити- критических напряжений от длины тре- трещины F(KI,KII,KIII,Ci)=0 (г =1,2,3, B.3.8) Уравнение B.3.8) в пространстве коэффициентов интенсивности напряжений Ki,Kn и Кщ дает некоторую предельную поверхность. Разрушение возникает при достижении этой поверхности точкой, отоб- отображающей текущее состояние тела. Большинство критериев разрушения тел с трещинами при смешан- смешанном нагружении сводится к критерию обобщенного нормального отры- отрыва, так называемому сг#-критерию. Согласно этому критерию трещина будет распространяться в направлении радиуса-вектора г при крити- критическом значении угла в = 0с (рис. 2.5), для которого окружные напря- напряжения oq дают максимальные значения коэффициента интенсивности напряжений Kjq. При этом критические напряжения ас определяются из условия KI(ac,l,Oc)=KIc. B.3.9) Аналогичным образом формулируются деформационные и энергети- энергетические критерии обобщенного нормального отрыва. Например, в соот- соответствии с энергетическим критерием Г.П. Черепанова [139] трещина распространяется в направлении вектора потока энергии в ее вершину при достижении им значения удвоенной плотности энергии разруше- разрушения. В этом случае критический угол определяется уравнением tgOc = — 2п B.3.10)
56 Гл. 2. Механика трещин в упругих телах а критические напряжения: Kj + 6К2ТК2П + КАП = Kjc, B.3.11) Несмотря на многочисленные теоретические и экспериментальные исследования разрушения тел при смешанном нагружении, универ- универсальный критерий разрушения еще не сформулирован. Поэтому при аналитическом описании экспериментальных результатов вместо тео- теоретических критериальных уравнений часто используют эмпирические уравнения. Например, при совместном нагружении растягивающими и сдвиговыми нагрузками (Ki ф О, Кц ф О, Кщ = 0) критерий разрушения можно представить следующим образом: -1. B.3,2) где а и Ь — некоторые постоянные. При предельном переходе к тре- трещине заданного типа (типа I или типа II) соотношение B.3.12) дает соответствующий критерий разрушения: при Kj = 0,Кц ф 0 получаем Кп = КПс. Полагая справедливой связь К1с = сКПс критериальных характе- характеристик разрушения, можно записать критериальное уравнение, содер- содержащее одну критериальную характеристику Kic, как это имеет место в критериальном уравнении обобщенного нормального отрыва. § 2.4. Поток упругой энергии в вершину трещины Интенсивность упругой энергии, освобождающейся при увеличении поверхности трещины на величину dS, или поток упругой энергии в вершину трещины, была введена Ирвиным в виде Из предыдущих рассуждений в рамках концепции Гриффитса сле- следует, что при распространении трещины интенсивность освобождаю- освобождающейся энергии переходит в поверхностную энергию вновь образован- образованных поверхностей трещины, т. е. Gc = 27. B.4.2) 2.4.1. Эквивалентность силового критерия разрушения Ирвина энергетическому критерию Гриффитса. Силовой критерий Ирви- Ирвина, как и энергетический критерий Гриффитса, позволяет определить критические напряжения, вызывающие разрушение тела с трещиной. Для обоих критериев эти напряжения обратно пропорциональны лД.
§ 2.4. Поток упругой энергии в вершину трещины 57 Таким образом, можно предположить эквивалентность этих критериев разрушения. Рассчитаем поток упругой энергии в вершину трещины следую- следующим образом. Мысленно выполним разрез в напряженном теле по линии продолжения трещины. На поверхностях разреза действуют сильно меняющиеся напряжения, возникающие в сплошном твердом теле в окрестности вершины трещины. При распространении разреза на единицу длины поверхности мысленного разреза удаляются друг от друга. При этом совершается работа сил aydx на перемещениях иу, которая равна потоку энергии G: 1 G = -l \ay2uydx. B.4.3) Воспользуемся асимптотическими формулами B.1.6) и B.1.8) для напряжений и перемещений в окрестности вершины трещины типа I при 0 = 0 для о~у и в = тг для иу\ После подстановки формул B.4.4) в выражение B.4.3) и математиче- математических преобразований получаем следующие соотношения: A-й2) К2 , G = (плоская деформация); G = —- (плоское напряженное состояние). h Таким образом, рассмотренный подход и полученные соотноше- соотношения B.4.5) позволяют установить эквивалентность силового критерия разрушения Ирвина энергетическому критерию разрушения: Gic = -=j- (плоская деформация); Gc = —f (плоское напряженное состояние). h Величина Kjc называется вязкостью разрушения (трещиностой- костью) и определяет способность твердого тела сопротивляться раз- развитию трещин при механических и иных воздействиях. В общем случае (при смешанном нагружении твердого тела) поток упругой энергии в вершину трещины в условиях плоской деформации выражается формулой G = l-=^ Kj + X-^f- Kb + i±^ Kjn = GI + GU + Gin. B.4.7)
58 Гл. 2. Механика трещин в упругих телах 2.4.2. Формула податливости Ирвина. Рассмотрим упругое тело с трещиной, нагруженное внешней силой Р = const. Пусть длина тре- трещины / под действием этой силы получает некоторое малое приращение dl. При этом сила Р совершает работу dA = PdA на вызванных приращением длины трещины перемещениях dA точек приложения нагрузки. В данном случае поток упругой энергии в вершину трещины вы- вычисляется по формуле Gdl = dA- dW, B.4.8) где W — энергия упругой деформации, являющаяся функцией рассмат- рассматриваемого состояния и зависящая, следовательно, от длины трещины / и приложенной нагрузки. Из соотношения B.4.8) следует, что в случае линейно упругого тела при / = const имеем: W = - РА. Введем в рассмотрение линейную зависимость вида Д = А(/)Р, B.4.9) где А (/) — податливость тела с трещиной длины /. С учетом зави- зависимости B.4.9) и выражения для величины dA перепишем соотноше- соотношение B.4.8) следующим образом: 2 dl dl dl dl Формула B.4.10) носит название формулы податливости Ирвина и позволяет рассчитать поток упругой энергии в вершину трещины (и, следовательно, коэффициент интенсивности напряжений по форму- формуле B.4.5)) по аналитически, численно или экспериментально опреде- определенной функции податливости для рассматриваемой геометрии и схемы нагружения тела с трещиной. Пример 2.5. Определим величину потока упругой энергии в вершину трещины образца, представляющего собой двухконсольную Г==- 1 h t/ -' 1 Рис. 2.9. Образец в виде двухконсольной балки
§ 2.5. Поправка Ирвина. Зона пластической деформации 59 балку (ДКБ-образца) (рис. 2.9). Из теории изгиба балок при / ^> h следует, что для плоского напряженного состояния 2Р13 т th3 Д = ЗЕГ 2/3 Записывая упругую податливость образца в виде Л = ——:, из фор- дЫ мулы податливости Ирвина B.4.10) для образца толщины t получаем Р2 d\ _Р2 I2 _ \2РЧ2 С учетом формулы B.4.5) коэффициент интенсивности напряжений для ДКБ-образца принимает вид ~~ t h3/2' § 2.5. Поправка Ирвина. Зона пластической деформации Решение задач теории упругости в виде асимптотических формул дает неограниченный рост компонент напряжений в малой окрестности вершины трещины. Однако в природе не существует материалов, кото- которые бы выдерживали неограниченно большие напряжения. Поэтому вблизи вершины трещины в реальных телах проявляются нелинейные эффекты, и материал переходит в пластическое состояние. Пластиче- Пластическое течение должно привести к "срезанию" особенности распределе- распределения упругих напряжений вблизи вершины трещины. 2.5.1. Поправка Ирвина на пластическую деформацию. В пер- первом приближении можно положить, что на расстоянии г = г* от вершины трещины на линии ее продолжения (9 = 0) напряжение ау (формула B.1.9)) ограничено пределом текучести ат (рис. 2.10). Тогда ш г /А /ж X* ^^¦| —. Рис. 2.10. Распределение напряжений и оценка размеров пластической зоны у вершины трещины
60 Гл. 2. Механика трещин в упругих телах решение уравнения Kj/у^тгг* = ат дает искомый размер зоны пла- пластической деформации у вершины трещины: Щ- Фактически размер зоны пластической деформации должен превы- превышать г* = 51, т.е. исходная кривая упругих напряжений должна быть сдвинута вправо на некоторое расстояние Л и ограничена напряжением ат в зоне пластической деформации. Это следует из условия равнове- равновесия, которое выражается следующей зависимостью: К Kl -.dr- aTr* = атХ. B.5.2) /2тгг о Из решения уравнения B.5.2) получаем, что Л = г*, т.е. длина зоны пластической деформации у вершины трещины оказывается рав- равной 2г*. Ирвин предложил учитывать наличие зоны пластической дефор- деформации у вершины трещины в формуле для коэффициента интенсив- интенсивности напряжений путем замены фактической длины трещины / на эффективную: /* = / + г*, где г* для плоского напряженного состояния дается формулой B.5.1). В случае плоской деформации размер зоны пластической деформации Л^)!- B.5.3) т) Формула для эффективного коэффициента интенсивности напряже- напряжений с учетом поправки Ирвина принимает следующий вид: Keff = aVri*Y (Г/В). B.5.4) Таким образом, поправка Ирвина позволяет расширить рамки при- применимости подходов линейной механики разрушения. 2.5.2. Форма зоны пластической деформации. Рассчитаем раз- размер зоны пластической деформации у вершины трещины для про- произвольной точки в т^ 0. При этом можно воспользоваться условием текучести в форме Треска или Мизеса. Согласно условию Треска текучесть наступает, когда максимальное касательное напряжение ттах превышает предел текучести при сдвиге сг^/2. Условие текучести Ми- Мизеса в главных напряжениях задается соотношением —= у (а\ - сг2J + (а\ - сг3J + (сг2 - сг3J = ат, B.5.5) где а\, <Т2, <тз — главные напряжения, которые записываем в виде
§ 2.5. Поправка Ирвина. Зона пластической деформации 61 Для плоского напряженного состояния <тз = 0, для плоской деформа- деформации <7з = v {о~\ + о~2). Подставляя компоненты напряжений B.1.6) для трещины типа I в формулы B.5.6), получаем главные напряжения: о~з = 1 ± Sin ( - (плоское напряженное состояние), (плоская деформация). B.5.7) На линии продолжения трещины главные напряжения имеют равные значения и действуют в направлении осей х и у, напряжение ау явля- является главным. Для плоского напряженного состояния <тз = 0 и ттах = = (Ji/2. Следовательно, размер зоны пластической деформации B.5.1) определяет зону пластичности как по условию текучести Треска, так и по условию Мизеса. С учетом формул B.5.7) критерий текучести Мизеса B.5.5) приводит к оценке размера зоны пластической дефор- деформации как функции угла в: для плоского напряженного состояния и гп (( 4тг V о~т -sin 3 . -sir B.5.8) B.5.9) для плоской деформации. Уравнения B.5.8) и B.5.9) приближенно определяют границу между упругим и пластическим поведением твер- твердого тела у вершины трещины, т. е. размер зоны пластической дефор- деформации (рис. 2.11). Плоское напряженное ' состояние Плоская деформация Рис. 2.11. Конфигурации пластических зон у вершины трещины типа I в со- соответствии с критерием текучести Мизеса (а) и изменение пластической зоны по толщине {б)
62 Гл. 2. Механика трещин в упругих телах Если используется условие текучести Треска, то форма зоны пла- пластической деформации получается несколько иной. С помощью кругов Мора находим, что максимальное касательное напряжение в случае плоского напряженного состояния ттах = <ti/2. В случае же плоской деформации ттах = (сг\ — &з) /2 или ттах = (сг\ — &2) /2, в зависимос- зависимости от того, что больше. С помощью уравнений B.5.7) получаем зону пластичности Треска в следующем виде: 2тг \ ст ) Г"" 2 ' * ' "*"а " B-5.10) для плоского напряженного состояния и B.5.11) для плоской деформации (большая из величин). Отметим, что зоны пластической деформации Треска имеют нес- несколько большие размеры и иную форму по сравнению с зонами пла- пластичности Мизеса.
Глава 3 МЕХАНИКА ТРЕЩИН В УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ ТЕЛАХ Изменение условий деформирования твердого тела в зоне вершины трещины от упругого к упругопластическому и увеличение размеров зоны пластической деформации (превышающей на 20 % линейный раз- размер трещины) приводят к замене критериальных подходов линейной механики хрупкого разрушения критериями механики упругопласти- ческого разрушения (нелинейной механики разрушения). При этом критериальные подходы нелинейной механики разрушения отражают закономерности поглощения энергии в зоне пластических деформаций или особенность поля пластических (либо упругопластических) де- деформаций у вершины трещины. Рассмотрим наиболее востребованные критерии нелинейной механики разрушения. § 3.1. Критерий критического раскрытия в вершине трещины Рассмотрим модель трещины с тонкой пластической зоной перед ее вершиной на линии продолжения трещины. Такая зона характерна для плоского напряженного состояния тела с трещиной. В рамках модели Дагдейла-Леонова-Панасюка [45, 170] предполагается, что размер тонкой пластической зоны имеет тот же порядок, что и размер упругих смещений. Это позволяет мысленно сделать разрез перед вершиной трещины на длину пластической зоны d (рис. 3.1). Для сохранения условий равновесия тела на полученных поверхностях мысленного разреза (границе упругопластической зоны) необходимо приложить на- напряжения а о, которые для простоты могут отождествляться с пределом текучести ат или временным сопротивлением твердого тела. Таким образом, полученная задача может рассматриваться не как упругопла- стическая, а как чисто упругая. Сформулируем основные положения модели Дагдейла-Леонова- Панасюка: • если расстояние 2иу (х) = 2v (х) между противоположными по- поверхностями дополнительного разреза не превышает некоторой вели- величины 5, то к этим поверхностям приложено напряжение ао\ • если же выполняется условие 2v (x) > 5, то между поверхностями трещины силовое взаимодействие отсутствует;
64 Гл. 3. Механика трещин в упругопластических телах d I <+ «— 0 У I r-« / У 't a Л,». X Рис. 3.1. Модель трещины с тонкой пластической зоной • длина тонкой зоны пластической деформации d определяется из условия плавности смыкания поверхностей дополнительного разреза в его вершине: vf (х) _ = 0; • критерии разрушения записывается в виде 2v (х = 1,а = ас) = 5С, C.1.1) т. е. скачок перемещении в вершине трещины при внешних напряже- напряжениях а = ас достигает предельного (критического) значения, и трещи- трещина получает возможность распространяться. Полагают, что критическое раскрытие 5С в вершине трещины яв- является постоянной материала, характеризующей локальную пластич- пластичность в вершине трещины в момент ее перехода к распространению, и определяется экспериментально на образцах с исходной усталостной трещиной. Критерий разрушения C.1.1) позволяет установить разрушающее напряжение ас при данном размере трещины /, если известны величи- величина 5С и решение для нормальной к поверхности трещины компоненты вектора смещений. Проиллюстрируем использование модели Дагдейла-Леонова- Панасюка и критерия C.1.1) для вычисления критического напряже- напряжения ас в задаче Гриффитса. Запишем граничные условия на оси х для растягиваемой неограниченной плоскости с трещиной: тху(х,0)=0, (Ту (х, 0) = 0, C.1.2) / < \x а. В бесконечно удаленных точках ау (х, ос) = а.
§ 3.1. Критерий критического раскрытия в вершине трещины 65 Согласно принципу линейной суперпозиции поставленная задача может быть представлена в виде задачи об однородном напряженном состоянии тела при ах = тху = 0, ау (х, у) = а и вспомогательной за- задачи с граничными условиями на поверхности разреза: тху(х,0)=0, , ч (о-, \х\ <г, C.1.3) q (х) = < [<т — ао, I <\х ^ а, где q = —о~у (х, 0) — давление на поверхность разреза в полученной вспомогательной задаче. Для вычисления критических напряжений достаточно рассмотреть вспомогательную задачу, воспользовавшись известным решением теории упругости для плоского напряженного состояния. Оказывается, что сформулированное условие плавного смыкания поверхностей дополнительного разреза в математическом отношении эквивалентно условиям непрерывности или ограниченности напряже- напряжений перед вершиной разреза. Условие ограниченности напряжений позволяет определить длину зоны пластической деформации: 1 ^ C.1.4) d + l 2a о' при этом смещение поверхностей трещины при х = ±/ записывается как tyE 2ao Следовательно, условие предельного состояния равновесия (крите- (критерий разрушения C.1.1)) дает формулу для определения критического напряжения: 2 ( жЕ6Л ,Q , ал о~с = — ао arccos ехр — ——- . C.1.5) тг у 8aol J Анализ полученного решения показывает, что при больших длинах трещин (или малых значениях ас/ао) C.1.6) переходит в следующую формулу: C.1.7) которая совпадает с формулой Гриффитса B.3.4) при ao5c = Gc = 2ls. C.1.8) Заметное расхождение между результатами расчета критических напряжений по модели Дагдейла-Леонова-Панасюка и концепции 5 Матвиенко Ю.Г.
66 Гл. 3. Механика трещин в упругопластических телах Гриффитса начинается со значения напряжения ас « 0,6<то. При стрем- стремлении длины трещины к нулю в рамках модели Дагдейла-Леонова- Панасюка (в отличие от концепции Гриффитса) получаем ограниченное по величине критическое напряжение, что соответствует ограниченной прочности реальных твердых тел. § 3.2. Энергетический контурный J-интеграл Контурный J-интеграл был предложен независимо Черепано- Черепановым [141] и Райсом [247] в качестве параметра разрушения для нелинейно упругого тела с трещиной при плоской деформации. В рамках деформационной теории пластичности, т. е. при отсут- отсутствии разгрузки материала, концепция J-интеграла оказывается справедливой для упругопластического поведения твердого тела. Характерной особенностью контурного интеграла является его независимость от контура интегрирования, охватывающего вершину трещины. Кроме того, для линейно или нелинейно упругого тела J-интеграл эквивалентен интенсивности освобождающейся энергии в квазистатических условиях. 3.2.1. Контурная инвариантность J-интеграла. Продемонстри- Продемонстрируем независимость J-интеграла J= Uwdy-Ti^ds) C.2.1) от контура интегрирования. В формуле C.2.1) Г — произвольный Sij замкнутый контур, охватывающий вершину трещины; w = | о^ dsij — о плотность энергии деформации; <jij, Ец — компоненты напряжений и деформаций соответственно; Т^ = (JijUj, rij — компонента единичного вектора внешней нормали к элементу контура ds; щ — компонента вектора перемещений. Рассмотрим замкнутый контур Г*, не содержащий внутри се- себя особенностей упругого поля напряжений. Тогда выражение для J-интеграла принимает вид '•=! J* = г* Преобразуем интеграл по контуру в интеграл по области А*, охва- охватываемой контуром Г*: Г = А* dw д ( дщ OX OXn \ J OX dxdy. C.2.2)
§ 3.2. Энергетический контурный J-интеграл 67 Оценим первое слагаемое в полученном выражении: dw dw dsij dsij дх де^ дх %J дх В рамках теории малых деформаций dw 1 Г д (дщ\ д (диЛ~\ д (диЛ поскольку o~ij = Oji. Условие равновесия -^- = 0 приводит к вы- выражению д (дщ\ д ( диС oxj \ ox J oxj у о которое идентично второму слагаемому в выражении C.2.2). Получаем равенство нулю подынтегрального выражения C.2.2). Таким образом, J = 0 для любого замкнутого контура. Рассмотрим теперь два произвольных контура, Fi и Г2, охватываю- охватывающие вершину трещины и соединенные контурами Гз и Г4 вдоль берегов трещины (рис. 3.2). Для образованного замкнутого контура J = J2 + J2 + J3 + J4 = 0. На берегах трещины, свободных от нагрузок, Т^ = dy = 0. Следова- Следовательно, J% = J4 = 0 и с учетом знака интегрирования при изменении Г2 Рис. 3.2. Произвольные контуры интегрирования, охватывающие вершину трещины направления интегрирования J\ = J2. Таким образом, все контуры, охватывающие вершину трещины, дают одинаковые значения J, т. е. контурный J-интеграл не зависит от контура интегрирования, прове- проведенного в нелинейно упругом напряженном теле.
68 Гл. 3. Механика трещин в упругопластических телах 3.2.2. J-интеграл как интенсивность освобождающейся упру- упругой энергии. Рассмотрим двухмерное тело с трещиной, ограниченное контуром Гх. Запишем выражение для потенциальной энергии тела: = f п А> Г' где А' — площадь тела. Изменение потенциальной энергии тела при варьировании длины трещины dU Г dw , А Г _ dui , Полагая систему координат связанной с вершиной виртуально распро- распространяющейся трещины, получаем дх/dl = — 1 и d д дх д д д dl dl dl дх dl дх Теперь изменение потенциальной энергии перепишем в виде dU Г (dw dw\1A [mfdui дщ\ 1 /о о ,ч lu = \\-m-^)dA- \ Т* Ы ~ -eZ) ds- C-2-4) Аналогично C.2.3) запишем ( dl d?ij dl aij дх, \ dl С учетом соотношений C.2.4), C.2.5) и принципа виртуальных работ д (ЗиЛ [ дщ {)dA \Td получаем б?П Г дщ Г dw dl J г дх ] дх V А' Преобразуем интеграл по области в интеграл по его границе согласно теореме Гаусса-Грина: Таким образом, контурный интеграл эквивалентен интенсивности освобождающейся энергии для упругого твердого тела. При наличии развитых пластических деформаций J-интеграл в соответствии с фор- формулой C.2.6) трактуется не как поток упругой энергии, а как разность
§ 3.2. Энергетический контурный J-интеграл 69 энергий двух твердых тел с незначительно различающимися размерами трещин, отнесенную к разности длин этих трещин. 3.2.3. HRR-сингулярность у вершины трещины. Хатчин- Хатчинсон [187], Райе и Розенгрен [249] показали, что J-интеграл служит коэффициентом при сингулярных членах в выражениях для компонент напряжений и деформаций в окрестности вершины трещины: 1 ( J \ п + 1 ~ / а ч (Jij = а0 — <Tij{v, п), \aaoeolnrj C 2 7) Sij = аг0 —- eij{V, n), J \aaelrj Jy для твердых тел, диаграмма деформирования которых аппроксимиро- аппроксимирована степенной зависимостью где го = ао/Е, напряжение ао обычно принимается равным пределу текучести ат, oi — безразмерная константа, п — показатель деформа- деформационного упрочнения. В формуле C.2.7) 1п — функция показателя п и вида напряженного состояния, Ъц и ^ — безразмерные функции угла в и показателя п. Соотношения C.2.7) часто называют HRR- сингулярностью. HRR-сингулярность не учитывает эффектов больших пластиче- пластических деформаций и пластического притупления вершины трещины, следствием чего является неограниченность напряжений у вершины трещины при г —> 0. Расчет поля напряжений у вершины трещины методом конечных элементов в рамках теории больших деформаций и конечных геометрических изменений вершины трещины в результате пластического притупления выявляет пик напряжений при хао/ J « 1 (рис. 3.3). Это расстояние соответствует удвоенному раскрытию 25 в вершине трещины [225]. Тем не менее вне указанной зоны больших деформаций, но в непосредственной близости от нее J-интеграл харак- характеризует поле напряжений, и, следовательно, его критическое значение может быть принято в качестве критериальной характеристики, кон- контролирующей начало разрушения. 3.2.4. Взаимосвязь J-интеграла и раскрытия в вершине тре- трещины. Компоненты перемещений у вершины трещины в рамках HRR- решения можно записать в виде аао ( EJ \ n+i _ — {—-] гщ@,п), C.2.9)
70 Гл. 3. Механика трещин в упругопластических телах УУ 4,5 4 3,5 3 2,5 2 л =10 \ Анализ больших деформаций "\ HRR-сингулярность \ \ н — / Влияние притупления трещины на поле напряжений J Рис. 3.3. Результаты МКЭ-анализа у вершины трещины на основе теории больших деформаций Рис. 3.4. Определение раскрытия в вершине трещины на основе HRR-решения где щ — безразмерная функция угла в и показателя деформационного упрочнения п. Представим раскрытие в вершине трещины как отре- отрезок прямой, соединяющий точки пересечения линий, проведенных из вершины трещины, с берегами трещины (рис. 3.4). При этом линии образуют между собой угол 90°. Такая интерпретация раскрытия в вершине трещины продемонстри- продемонстрирована в работе [151]. Выражение для раскрытия в вершине трещины принимает следую- следующий вид (при г = г* и в = тг): 5-=иу(г*уж)=г*-их{г\ж). C.2.10) Подстановка соотношения C.2.10) в C.2.9) приводит к оценке г = —-^ J п [их (тг, п) + иу (тг, п)] п+ J ( V Е C.2.11)
§ 3.2. Энергетический контурный J-интеграл 71 Полагая 5 = 2иу (г*,тг), получаем взаимосвязь раскрытия в вершине трещины и J-интеграла: 6 = ^-, C.2.12) где dn — безразмерная константа, имеющая вид dn = 2иу (тг, n) \ ^ [ux (тг, n) + uy (тг, n)\ \ n Е C.2.13) Величина dn существенно зависит от показателя деформационного упрочнения (рис. 3.5). В случае плоского напряженного состояния n 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 -1 Плоскостное напряженное состояние w ^^ i i i i ao/E: ^^^ 0^002 |0,001 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 Плоская деформация ao/E: 0 ОД 0,2 0,3 0,4 0,5 1/я а 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 1/л Рис. 3.5. Влияние показателя деформационного упрочнения на связь между J и раскрытием в вершине трещины S dn = 1 для неупрочняющегося материала (п —кх), что согласуется с мо- моделью узкой пластической зоны у вершины трещины. 3.2.5. Критерий разрушения. Свойство инвариантности и возмож- возможность оценить сингулярное поле напряжений и деформаций позволяют сформулировать критерий разрушения: J = C.2.14) т. е. трещина начинает распространяться, когда J-интеграл достигает предельного значения Jjc. В случае хрупкого разрушения, как было показано выше, J-интеграл равен интенсивности освобождающейся энергии и, следовательно, J/c = Gjc. С учетом последнего соотношения оказывается справедливой связь C.2.15)
72 Гл. 3. Механика трещин в упругопластических телах В случае развитого пластического течения у вершины трещины соот- соотношение C.2.15) перестает быть справедливым. Однако именно в этом случае рассматриваемый критерий становится наиболее эффективным. Определение критериальной характеристики Jjc твердого тела может быть основано на экспериментальном анализе напряженно- деформированного состояния у вершины трещины (например, с по- помощью метода делительных сеток, малобазных тензодатчиков, метода муара и использования деформационной теории пластичности) с по- последующим интегрированием по выбранному контуру в соответствии с формулой C.2.1). При этом используется свойство инвариантности контурного интеграла. Другой метод экспериментального определе- определения Jjc предполагает использование диаграммы деформирования об- образца с трещиной. Отметим, что значительные преимущества концепции энергети- энергетического J-интеграла по сравнению с концепцией коэффициента ин- интенсивности напряжений обусловлены менее жесткими требованиями к размерам образца для достоверного определения Jjc. При этом в случае маломасштабного течения у вершины трещины допускается расчет вязкости разрушения Kjc по формуле C.2.15). 3.2.6. Приближенные методы расчета J-интеграла. Использова- Использование критерия C.2.14) предполагает наличие расчетных формул для J, в которые в качестве параметров должны входить приложенное в телу напряжение, размер трещины, геометрия тела и особенности схемы нагружения. Для расчета J-интеграла привлекают как численные, так и приближенные аналитические методы, используя здесь рассмотрен- рассмотренные свойства контурного J-интеграла, например свойство инвариант- инвариантности. Рассмотрим некоторые приближенные аналитические методы расчета J [63, 70, 211, 222]. Анализ концентрации напряжений. Вырез длины 21 образо- образован параллельными плоскостями, гладко сопряженными поверх- поверхностью вершины выреза (рис. 3.6). Вершина выреза представляет собой ч ч ч N 1 ч / ! вжХ i/ ] 0 i чЧЧЧЧЧЧЧЧ^К^4 1 I А / 1 ч ч Рис. 3.6. Геометрия выреза
§ 3.2. Энергетический контурный J-интеграл 73 полуокружность радиуса р. Для оценки концентрации напряжений и деформаций применим контурный J-интеграл. После сведения пути интегрирования к контуру вершины выреза, свободному от напряже- напряжений, выражение C.2.1) для J-интеграла принимает простой вид тг/2 J= I* w($)pcos$d$, C.2.16) -тг/2 где в — угловая координата на контуре вершины выреза в полярной системе координат с полюсом в центре окружности выреза. Использо- Использование в выражении C.2.16) плотности энергии деформации на контуре вершины выреза в виде позволяет представить J-интеграл следующим образом: J=|^maxP. C.2.17) Вычислим максимальную плотность энергии деформации на поверхнос- поверхности вершины выреза при 9 = 0 для твердого тела, упрочняющегося по закону C.2.8): \ rrdr- П а° г(п+1)/п П2Ш ads-^^ ^утд^ C218) где ?max — максимальная деформация на поверхности вершины выреза. Принимая во внимание формулы C.2.8) и C.2.18), перепишем уравне- уравнение C.2.17) в виде П+1 / \ П+1 7Г П / ~ Х 2 (п+ 1) V ^о У 2 (п+ 1) C.2.19) Коэффициент концентрации напряжений Ка может быть записан через теоретический коэффициент концентрации напряжений Kt для принятого закона упрочнения C.2.8) в виде K(J = K2t/{nJrX\ C.2.20) Перепишем выражение C.2.19) с учетом формулы C.2.20): Это уравнение позволяет определить J-интеграл для твердого тела с вырезом. В пределе при р —> 0 вырез трансформируется в трещину
74 Гл. 3. Механика трещин в упругопластических телах и уравнение C.2.21) дает выражение J-интеграла для тела с трещиной: J = lim ? -^— рааоеоК* (—) , C.2.22) р^о 2 (п+ 1) \сгоу Таким образом, приближенное значение J-интеграла может быть рассчитано с учетом теоретического коэффициента концентрации на- напряжений для тела с вырезом-трещиной. Например, для неограни- неограниченной плоскости с эллиптическим вырезом в условиях одноосного растяжения имеем (-) . C.2.23) Метод сечений в упругопластической механике разрушения. Ана- Аналогично механике разрушения упругих тел метод сечений (см. § 2.2) позволяет получить приближенные решения в задачах нелинейной механики трещин. Запишем уравнение равновесия в виде aydx = al. C.2.24) Размер зоны HRR-сингулярности напряжений у вершины трещины R (рис. 3.7) определяется условием равенства сингулярных напряже- напряжений сгу на линии продолжения трещины (г = х) номинальным напряже- напряжениям а. Это условие и формула C.2.7) для компоненты напряжений ау t t t Рис. 3.7. Распределение напряжений перед вершиной трещины
§ 3.2. Энергетический контурный J-интеграл 75 приводят к оценке характеристического размера R при г = R и в = = 0: J / o-y{v, n)ao \ R = — -^ '— . C.2.25) аа0г01п \ a J Теперь, подставляя напряжения ау C.2.7) и величину R в уравнения равновесия C.2.24), получаем п (а\п+{ J = Ап ао-Qeol — , C.2.26) п+1 \aoj где Ап = In/\ay@,ri)](n+l\ Нетрудно заметить схожесть приближенных аналитических формул для J-интеграла, полученных двумя различными методами. Отметим, что характеристический размер зоны HRR-сингулярности напряжений у вершины трещины может быть представлен с учетом соотношений C.2.25) и C.2.26) в следующем виде: C.2.27) Rl п + 1 При этом размер зоны сингулярности существенно зависит от раз- размера трещины и слабо от показателя деформационного упрочнения. В случае упругого тела соотношение C.2.27) дает известное решение линейно упругой механики разрушения: R = 1/2. Приближенная формула C.2.26) может быть также переписана в терминах коэффициента интенсивности напряжений. Для неограни- неограниченной плоскости с трещиной при растяжении коэффициент интен- интенсивности напряжений равен К = ал/id, и формула C.2.26) принимает следующий вид: _ АпаеопК ^т-(п+1)Ы)(п-1)/2' 3.2.7. Параметры жесткости напряженного состояния у вер- вершины трещины. Эффект жесткости напряженного состояния (трех- осности напряжений) у вершины трещины вызывает значительный интерес в связи с объяснением зависимости вязкости разрушения от геометрии образцов и элементов конструкций. Вообще говоря, вязкость разрушения Jjc и J-R кривые материала могут быть функциями геометрии образца, его размеров, толщины и схем нагружения, которые определяют параметр жесткости напряженного состояния у вершины трещины. Для исследования эффекта жесткости напряженного состо- состояния на вязкость разрушения используют образцы разной геометрии и схем нагружения, среди которых можно назвать следующие: образец с краевой трещиной при изгибе (SENB), образец с краевой трещиной при растяжении (SENT ), образец с краевой трещиной при внецентрен- ном растяжении (компактный образец (СТ)), образец с центральной
76 Гл. 3. Механика трещин в упругопластических телах PIPE SENT Параметр жесткости [T,Q,M] Рис. 3.8. Влияние жесткости напряженного состояния (Т, Q) на вязкость разрушения в зависимости от геометрии и схемы нагружения образцов трещиной при осевом растяжении (ССТ), образец с двумя краевыми трещинами при осевом растяжении (DECT), образец в виде трубы (pipe) (рис. 3.8) [161, 167, 185, 190, 191]. Для прогнозирования вязкости разрушения элемента конструкции с трещиной по результатам определения вязкости разрушения при испытаниях стандартных образцов необходимо привлекать подходы механики разрушения, основанные на учете особенностей жесткости напряженного состояния у вершины трещины и отражающие различия в вязкости разрушения образца и элемента конструкции. Большинство таких подходов основано на введении параметра жесткости напряжен- напряженного состояния в несингулярную составляющую напряжений у верши- вершины трещины. Среди методов количественной оценки параметров жест- жесткости напряженного состояния у вершины трещины следует отметить J-T-подход [155], J-Q-теорию [237, 238] и J-Аз-метод [161]. Упругие Т-напряжения. В общем случае асимптотическое поле упругих напряжений у вершины трещины вне малой зоны пластичес- пластической деформации (маломасштабное или локализованное пластическое деформирование) может быть представлено в виде суперпозиции син- сингулярной (см. § 2.1) и несингулярной составляющих упругих напряже- напряжений [277]: К fW+TSS C.2.29) Несингулярная составляющая Т представляет собой растягивающее (или сжимающее) напряжение. В случае тел конечных размеров и раз- различных схем нагружения для оценки Т-напряжений вводится безраз-
§ 3.2. Энергетический контурный J-интеграл 11 мерный "параметр двухосности" /3 [198, 205, 255, 261]: C.2.30) Параметр /3 является константой для данной геометрии тела и схемы нагружения. Таким образом, в условиях плоской деформации и мало- маломасштабного течения у вершины трещины использование параметра двухосности /3, характеризующего геометрию тела (размер образца, конфигурацию трещины и т.п.) и схему нагружения (растяжение или изгиб), позволяет получить полное поле упругих напряжений у верши- вершины трещины согласно формуле C.2.29). Для коротких трещин, а также в случае преобладания растягивающей компоненты внешних напряже- напряжений (низкая степень жесткости напряженного состояния) параметр /3 является отрицательной величиной. Параметр двухосности /3 табулирован или представляется в виде графиков для тел некоторых геометрий [182, 235-237] (рис. 3.9-3.16, табл. 3.1-3.4). В соответствии с формулой C.2.30) Т-напряжение, как функция внешней нагрузки, описываемой коэффициентом интенсивности напря- напряжений К, может быть представлено зависимостью Т (ЗК C.2.31) где его — предел текучести. При этом параметр Т/ао позволяет анали- анализировать влияние геометрии тела и схемы нагружения на напряженное состояние у вершины трещины и его трещиностойкость. Тем не менее рассмотренный подход на основе Т-напряжения не применим в случае развитого пластического течения материала у вер- вершины трещины, поскольку основан на упругом решении C.2.29). Pv t t t \ \ \ Рис. 3.9. Квадратная пластина с центральной сквозной трещиной в условиях двухосного нагружения
78 Гл. 3. Механика трещин в упругопластических телах 1 1 1 W н W н г Н W i 6 ? i ^ 1 * i гт Рис. 3.10. Некоторые геометрии и схемы нагружения образцов: а — образец с краевой трещиной при растяжении, б — образец с краевой трещиной при изгибе, в — образец с краевой трещиной при внецентренном растяжении (компактный образец), г — двухконсольный образец, д — двухконсольный образец с переменной высотой, е — образец с центральной сквозной трещиной
§ 3.2. Энергетический контурный J-интеграл 79 Р 0,2 0,1 0 -0,1 -0,2 -0,3 -0,4 ОД 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 IIW Рис. 3.11. Зависимость параметра двухосности C от длины трещины для образца с краевой трещиной в условиях растяжения при Н = 2W (см. рис. 3.10, а) Р 0,2 0,1 -од -0,2 j 5 HIW Рис. 3.12. Зависимость параметра двухосности C от длины образца с краевой трещиной в условиях растяжения при / = 0, 5W (см. рис. 3.10, а)
80 Гл. 3. Механика трещин в упругопластических телах 0,3 0,2 0,1 -0,1 -0,2 -0,3 -0,4 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 IIW Рис. 3.13. Зависимость параметра двухосности C от длины трещины для образца с краевой трещиной в условиях изгиба при Н = AW (см. рис. 3.10,6) -0,9 -1,0 -1,1 /?=-[!+0,085B//JF)] 0 ОД 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 21IW Рис. 3.14. Зависимость параметра двухосности C от длины трещины для образ- образца с центральной сквозной трещиной в условиях растяжения (см. рис. 3.10, е)
§ 3.2. Энергетический контурный J-интеграл 81 Р -1,02 -1,04 -1,06 -1,08 -1,10 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 HIW Рис. 3.15. Зависимость параметра двухосности C от длины образца с централь- центральной сквозной трещиной в условиях растяжения при 21 = 0,5VF (см. рис. 3.10, е) н 2,0 1,5 1,0 0,5 0 -0,5 1 0 1 ^ __^1 = 30 _^=^\^ —7~^^—-^^ 1 = 0 1 ! 1 1 1 ' 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 21IW Рис. 3.16. Зависимость параметра двухосности C от длины трещины для квадратного образца с центральной сквозной трещиной в условиях двухосного растяжения (см. рис. 3.9) б Матвиенко Ю.Г.
82 Гл. 3. Механика трещин в упругопластических телах Таблица 3.1. Параметр двухосности C для образца с краевой трещиной в условиях растяжения (SENT) при различной его относительной длине H/W (W — ширина образца) (рис. 3.10, а) Длина трещины, 1/W 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 Относительная длина, H/W 1 -0,353 -0,163 0,047 0,222 0,331 0,406 2 -0,450 -0,370 -0,271 -0,145 0,013 0,224 5 -0,515 -0,412 -0,283 -0,137 0,063 0,379 Таблица 3.2. Параметр двухосности C для компактного образца (СТ) (рис. 3.10, в): а — внецентренное растяжение, б — поперечный сдвиг Длина трещины, 1/W 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 Параметр двухосности, C а 0,094 0,372 0,528 0,572 0,585 0,599 б 0,239 0,413 0,538 0,597 0,600 0,610 Таблица 3.3. Параметр двухосности C для двухконсольного образца (рис. 3.10, г) при различной ширине Длина трещины, 1/W 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 Ширина образца, W 0,625Н 0,087 0,201 0,274 0,330 0,394 0,506 0,75Н 0,179 0,323 0,420 0,472 0,499 0,556 Н 0,351 0,599 0,798 0,894 0,866 0,776 2,5Н 1,236 1,890 2,452 2,942 3,380 3,614 ЪН 2,433 3,366 4,117 4,783 5,365 5,940 ЮН 3,990 4,749 5,706 6,364 7,184 7,645
§ 3.2. Энергетический контурный J-интеграл 83 Таблица 3.4. Параметр двухосности C для образца, изображенного на рис. 3.10, д при различных ширине и угле Длина трещины, 1/W 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 Угол,?] tan*)^ хап-^З Ширина образца, W 5Н 2,085 2,704 3,141 3,460 3,601 3,198 ЮН 3,069 3,698 4,084 4,350 4,519 4,349 5Н 1,977 2,515 2,876 3,069 2,920 2,224 ЮН 2,826 3,313 3,614 3,797 3,748 3,064 5Н 1,897 2,378 2,663 2,708 2,353 1,649 ЮН 2,661 3,094 3,319 3,384 3,065 2,203 J-Q-теория. Для анализа полного поля напряжений у вершины трещины в условиях плоской деформации и развитого пластического течения O'Dowd and Shih [237, 238] ввели в рассмотрение Q-параметр и обосновали соотношения для полей напряжений (Jij, деформаций ец и перемещений щ в пластической зоне у вершины трещины в следую- следующем виде: а а = J/ao' = ±ы J/a0' C.2.32) Область у вершины трещины, внутри которой справедливы соотноше- соотношения C.2.32), называется J-Q-зоной. Эта зона существенно больше зо- зоны, в которой напряженно-деформированное состояние контролируется лишь одним параметром J. Согласно J-Q-теории параметр Q можно интерпретировать следую- следующим образом. Поле напряжений в пластической зоне размера 1 < < г/ (J/cfq) < 5 у вершины трещины может быть представлено в виде - ^ _ C.2.33) где а1^ — стандартное (эталонное) поле напряжений с высокой сте- степенью трехосности, в качестве которого может быть принято поле на- напряжений в условиях плоской деформации и маломасштабного течения у вершины трещины (SSY) или HRR-поле напряжений. В этом случае
84 Гл. 3. Механика трещин в упругопластических телах параметр Q используется в качестве параметра жесткости напряженно- напряженного состояния у вершины трещины и определяется следующим образом: S SY Q=a°°- авв при в = 0 и r/(j/ao)=2. C.2.34) Здесь (tqo — напряжение у вершины трещины в рассматриваемом теле, &ooY ~ напряжение, полученное из анализа напряженного состояния в предположении маломасштабности течения у вершины трещины. Таким образом, параметр Q является параметром, масштабирующим различие в полях напряжений у вершины трещины. Однако, в отли- отличие от Т-напряжений, параметр Q определяется также пластическими свойствами материала (показателем деформационного упрочнения). Параметр Q, аналогично Т-напряжению, характеризует жесткость напряженного состояния у вершины трещины и зависит от геометрии и схемы нагружения тела. Отрицательные (положительные) Q означа- означают, что гидростатическое напряжение у вершины трещины уменьша- уменьшается (увеличивается) на величину Qao по сравнению со стандартным полем напряжений, описываемым одним параметром нагружения J. Табулированные значения Q для тел некоторых геометрий, а также схем нагружения и показателей деформационного упрочнения приве- приведены в работах [182, 235-237]. Расчет Q-параметра. Расчет Q-параметра в соответствии с фор- формулой C.2.34) может быть основан на использовании метода конечных элементов или другом численном методе, позволяющем определить асу поля напряжении oqq и <Jqq в пластической зоне у вершины трещи- трещины. Кроме того, аналитическая связь Т-напряжения с Q-параметром в условиях маломасштабного течения у вершины трещины была рас- распространена на случай развитых пластических деформаций у вершины трещины [149, 235]: Q = T/a0, T/a0<0, Q = О,5Т/ао, Т/а0 >0. У - ) Следует отметить, что приближенные соотношения C.2.35) при опре- определенных значениях T/ctq не зависят от показателя деформационного упрочнения п материала (рис. 3.17), подчиняющегося зависимости г/го = а(а/ао)п. C.2.36) Здесь а — константа, ?о = ао/Е, Е — модуль Юнга. Подставляя формулу C.2.31) в соотношение C.2.35), получаем простое аналитическое соотношение для оценки Q-параметра: !Щ, 2>o<0, %J C.2.37) Q = 0,5 ' T/(jQ > 0, 1
§ 3.2. Энергетический контурный J-интеграл 85 Q 1,0 - 0,5 -1,0 -0,5 Уравнения C.2.35) ^« = 5 П = 00 J_ 0,5 1,0 Щ о -1,0 -1,5 -2,0 Рис. 3.17. Влияние показателя деформационного упрочнения п на зависи- зависимость Q — T/ctq. Сплошная линия соответствует уравнениям C.2.35) значительно упрощающее расчет Q-параметра, поскольку для парамет- параметров /3 и К имеется обширная справочная литература. Получим на основе формулы C.2.37) полезные аналитические фор- формулы приближенного расчета Q-параметра для некоторых схем нагру- жения. Коэффициент интенсивности напряжений для тела ширины W и толщины t может быть представлен в виде функции длины трещи- трещины /, приложенного напряжения а (или нагрузки Р) и безразмерной функции (К-тарировки) Y(l/W): — однородное растяжение внецентренное растяжение Р — изгиб К = К = aVirlY1 (l/W); YCT (l/W); (l/W), К = ty/W 3SP 2tW2 C.2.38) C.2.39) C.2.40) где S — длина образца.
86 Гл. 3. Механика трещин в упругопластических телах Поскольку параметр двухосности /3 в формулах C.2.37) является безразмерным параметром, зависящим от геометрии тела, схемы нагру- жения и длины трещины 1/W, и включает в себя поправочную функ- функцию Y(l/W), то с учетом формул для коэффициента интенсивности напряжений C.2.38)-C.2.40) параметр Q становится прямопропорцио- нален приложенной нагрузке: — однородное растяжение Q = /3—, Т/а0<0, Q = 0,5/3—, Т/сг0 >0; — внецентренное растяжение f C.2.42) Q = 0,5/3 Т/а0>0; t/W/ — изгиб о Модифицированная J-Q-теория. Из предыдущего анализа следу- следует, что Q-параметр является функцией нагрузки и не может оставаться постоянным при устойчивом росте трещины, а следовательно, не мо- может быть использован в качестве параметра жесткости напряженного состояния в пластической зоне у вершины устойчиво распространяю- распространяющейся трещины. Устранить недостатки J-Q-теории позволило ведение в рассмотрение модифицированного Q-параметра [283] QHRR. C.2.44) Здесь Qhrr = Qssy + «о (n), C.2.45) где Qssy соответствует Q-параметру при использовании в качестве <т^ стандартного (эталонного) поля напряжений в условиях маломасштаб- маломасштабного течения у вершины трещины (&ij)SSY, a Qhrr соответствует Q-параметру при использовании в качестве <т^ HRR-поля напря- напряжений, т.е. (^ij)HRR. При этом величина clq (n) является функцией показателя деформационного упрочнения.
§ 3.2. Энергетический контурный J-интеграл 87 Подставляя соотношение C.2.44) в формулу вида C.2.32), получаем J-Q*-поле напряжений в пластической зоне у вершины трещины: J 1 r/Lj для г > J/ao и |0| < тг/2, C.2.46) где L — характерная длина, в качестве которой может быть принят один из геометрических размеров тела, длина трещины или, например, 1 мм. Результаты оценок параметра жесткости Q* показывают [283] его независимость от приложенной нагрузки (или величины J) в усло- условиях развитого пластического течения у вершины трещины в облас- области J/ao < г < 5 J/ao. Из уравнений C.2.44), C.2.45) легко получить связь Q* с Qssy в виде 3 ^ [Qssy + «о (п)]. C.2.47) Поскольку в условиях развитого пластического течения J-интеграл является величиной, пропорциональной нагрузке Pn+1, и асимптоти- асимптотические напряжения у вершины трещины пропорциональны J1/(^+1)> параметр Q* в модифицированном поле напряжений C.2.46) не за- зависит от приложенной нагрузки (или J) и характеризует геометрию тела, схему нагружения и пластические свойства материала. Это заключение подтверждено результатами расчетов [283] (рис. 3.18). Q,Q* о,о г -0,2 -0,4 -0,6 -0,8 -1,0 SENB l/W= 0,1 л=10 0,00 0,04 0,08 0,12 0,16 //(/?70) Рис. 3.18. Зависимость параметров жесткости напряженного состояния Q и Q* от приложенного J-интеграла для образца с краевой трещиной в условиях изгиба при 1/W = 0,1; га = 10 и s0 = 0,002
Гл. 3. Механика трещин в упругопластических телах Зона упругой разгрузки и непропорционального пластического нагружения /-контролируемая зона Рис. 3.19. Схема J и J — Q* контролируемых зон у вершины трещины Таблица 3.5. Вязкость разрушения и параметры жесткости напряженного состояния у вершины трещины в стандартном образце с краевой трещиной в условиях изгиба (сталь HY80) [283] Номер образца 94А 94В 94D 94Е 94G 94Н 94J 94 К 94К 94J FYB507 95Н 95G 95Х 1/W 0,29 0,26 0,19 0,39 0,55 0,55 0,13 0,14 0,14 0,13 0,61 0,83 0,78 0,70 l/(W-l) (мм) 14,5/35,5 13,0/37,0 9,5/40,5 19,5/30,5 27,5/22,5 27,5/22,5 6,5/43,5 7,0/43,0 7,0/43,0 6,5/43,5 30,5/19,5 41,5/8,5 39,0/11,0 35,0/15,0 Jic, кДж/м2 211,8 225,6 217,2 216,0 195,2 169,2 219,3 215,1 183,0 196,5 189,5 162,9 145,6 172,6 (Al =1 мм) 95,8 99,1 104,0 77,9 72,1 71,1 109,4 117,4 100,0 108,7 55,0 73,7 52,7 56,1 Qssy -0,36 -0,43 -0,60 -0,24 -0,10 -0,05 -0,75 -0,71 -0,70 -0,71 -0,05 -0,09 -0,02 -0,06 g* -0,418 -0,468 -0,596 -0,328 -0,226 -0,190 -0,707 -0,678 -0,681 -0,684 -0,188 -0,222 -0,170 -0,198 Таким образом, зона напряжений у вершины устойчиво распрост- распространяющейся трещины, контролируемая J-Q*-полем, схематично пред- представлена на рис. 3.19. Эта зона превышает зону напряжений, кон- контролируемую лишь одним параметром J. Кроме того, J-Q^-теория представляется весьма эффективным средством анализа жесткости
§ 3.3. Коэффициент интенсивности деформаций в пластической области 89 = -700*+165,48 300 250 200 150 100 50 0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 Рис. 3.20. Зависимость экспериментальных данных по трещиностойкости об- образцов с краевой трещиной в условиях изгиба из стали HY80 от пара- параметра жесткости Q*: а — вязкость разрушения J\c, б — модуль разрыва TR(Al= 1 мм) [283] напряженного состояния у вершины трещины (т. е. геометрии тела, схемы нагружения, размеров трещины и т.п.) на характеристики тре- трещиностойкости материала (рис. 3.20, табл. 3.5). 150 120 90 60 30 0 0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0 § 3.3. Коэффициент интенсивности деформаций в пластической области Анализ напряженно-деформированного состояния в вершине тре- трещины с позиций концентрации напряжений и деформаций [36, 71] позволил на основе коэффициента интенсивности деформаций разра- разработать приближенный аналитический метод исследования интенсивно- стей напряжений o~i и деформаций ei в пластической области у вер- вершины трещины, а также сформулировать деформационный критерий разрушения. Приведем основные положения, приводящие к выражению для определения коэффициента интенсивности деформаций в упруго- пластической области. Для отражения сложного напряженного состояния в зоне концен- концентрации напряжений теоретический коэффициент концентрации напря- напряжений Kt связывают с коэффициентами концентрации интенсивностей напряжений Kai и деформаций K?i посредством модифицированной формулы Нейбера = F. C.3.1) В общем случае безразмерная функция .Рне равна 1, как это принято в формуле Нейбера, а зависит от упрочнения материала в пластической
90 Гл. 3. Механика трещин в упругопластических телах области, уровня интенсивности номинальных напряжений (в ослаблен- ослабленном трещиной сечении) аПгИ коэффициента концентрации Kt\ F = (^nj)-°.50-")[i-(an<-i/*0], C.3.2) где ~оп{ = апг/ат, &т — предел текучести, N — показатель деформа- деформационного упрочнения 0 при степенной аппроксимации пластического участка диаграммы деформирования в виде cfi/cft = (si/st) > ет = = ат/Е, Е — модуль упругости. Учитывая, что коэффициенты KGi и K?i выражаются через мест- местные и номинальные интенсивности напряжений и деформаций, можно получить следующие полезные соотношения для анализа концентра- концентрации интенсивности напряжений и деформаций в пластической области у вершины трещины: Каг = К*. C.3.3) Для случая плоского напряженного состояния запишем коэффи- коэффициент концентрации интенсивности напряжений в упругой области перед вершиной трещины (на линии ее продолжения) на некотором расстоянии г от нее в следующем виде: К C.3.4) В формуле C.3.4) введено обозначение К = К/стт- Решая совместно уравнения C.3.1)—C.3.4), устанавливаем связь коэффициента интен- интенсивности деформаций в пластической области с коэффициентом ин- интенсивности напряжений К: C.3.5) где р = [2 — 0, 5 A — N) A — ani)] / A + N). Отсюда получаем интен- интенсивность деформаций ei = K?ieni в пластической области перед вер- вершиной трещины: ~К при ani < о~т, C.3.6) при ani ^ ат, W/znrj где ?i = Si/sT. 1) Здесь показатель деформационного упрочнения обратно пропорционален показателю деформационного упрочнения, принятому в аппроксимации диа- диаграммы деформирования материала C.2.8), т.е. N = \/п.
§ 3.4. Двухпараметрические критерии разрушения 91 Распределение деформаций в пластической зоне перед вершиной трещины (по аналогии с коэффициентом интенсивности напряже- напряжений К) удобнее оценивать, вводя в рассмотрение коэффициент ин- интенсивности деформаций Ке, т.е. коэффициент при особенности поля р деформаций 1/ при ani < ат, Ке= [ — при \(TtJ \<7Т J В этом случае критерий разрушения формулируется следующим образом: трещина начинает распространяться при достижении коэффи- коэффициентом интенсивности деформаций своего критического значения Кес, т.е. в случае Ке = Кес. Для определения критического коэффици- коэффициента интенсивности деформаций Кес используют механические ха- характеристики материала, величину экспериментально установленных номинальных разрушающих напряжений образца с трещиной, а также формулы для расчета коэффициента интенсивности напряжений [80]. § 3.4. Двухпараметрические критерии разрушения. Диаграмма трещиностойкости тела с трещиной и надрезом Уменьшение размера / трещины приводит к изменению напряженно- деформированного состояния и увеличению размеров пластической зоны у ее вершины, а следовательно, к трансформации условий дефор- деформирования (состояния материала) от упругих к упругопластическим. В пределе при /—>0 весьма возможно вязкое состояние материала, и тогда предельное состояние тела наступает при достижении номи- номинальным напряжением предельного значения а^, соответствующего пластическому течению. В этих условиях возможны следующие ва- варианты корректной формулировки критерия разрушения [53]. 1. Сохранение формы записи критериального соотношения вида К = К\с и параметра нагруженности тела — коэффициента К, вычис- вычисляемого по формулам линейно-упругой механики разрушения, за счет усложнения модели твердого тела при анализе предельного состояния, т.е. модификация лишь критериальной характеристики К\с- 2. Переход к формулировке принципиально иных критериальных соотношений механики трещин, основанных на параметрах, отличных от коэффициента интенсивности напряжений, т. е. усложнение как левой, так и правой частей критериального соотношения.
92 Гл. 3. Механика трещин в упругопластических телах В последнем случае изменение условий деформирования твердого тела в окрестности вершины трещины от упругих к упругопластиче- ским и увеличение размеров пластической зоны приводят к замене критериальных соотношений линейной механики хрупкого разрушения классическими критериями нелинейной механики трещин, рассмотрен- рассмотренными в предыдущих параграфах. Тем не менее критерии классической линейной или нелинейной механики разрушения (Гриффитса, Ирвина, Черепанова-Райса и др.), основанные на решении задачи о критиче- критическом состоянии статически нагруженного неограниченного тела с полу- полубесконечной трещиной, по-существу, являются однопараметрическими. Однопараметрические критерии разрушения дают неограниченный рост критических (разрушающих) напряжений (ас —кх) в области коротких трещин длины 1С —> 0. Например, критерий разрушения Ирвина К\ = = К\с, основанный на коэффициенте интенсивности напряжений К\, при кратковременном статическом нагружении дает следующую оценку критических напряжений lim ac ~ lim i5l -^ос (рис. 3.21). Такой о I кТ, о W I Рис. 3.21. Графическая интерпретация однопараметрического (а) и двухпа- раметрического (б) критериев разрушения. Левая часть графика дает гра- графическое представление критерия разрушения, правая — получаемые на их основе диаграммы разрушения результат является парадоксальным и явно противоречит концепции конечной прочности твердых тел. Избежать этого противоречия позволяет усложнение модели твер- твердого тела при наличии трещины конечных (малых по сравнению с характерными размерами тела, т.е. 1С —> 0) размеров, приводящее к формулировке двухпараметрических (комплексных) критериев раз- разрушения, объединяющих в одном уравнении две базовые критериа- критериальные характеристики: критериальную характеристику критического состояния в вершине трещины — статическую вязкость разрушения тела К\с — и критериальную характеристику тела без трещины, например предел текучести или предел прочности а в- Кроме того, несомненным достоинством первого варианта формулировки крите- критериальных соотношений нелинейной механики разрушения является обширная справочная информация по коэффициентам К в упругой области для тел и трещин различной геометрии, а также банки данных по характеристикам вязкости разрушения К\с металлов и их сварных соединений.
§ 3.4. Двухпараметрические критерии разрушения 93 Для реализации этого варианта независимо от размеров трещины весьма эффективным является двухкритериальный подход механики трещин, впервые предложенный Е.М. Морозовым [86, 89, 107] и ос- основанный на двух критериях — критерии хрупкого (линейная ме- механика разрушения) и пластического (предельный анализ по теории пластичности) разрушения с интерполяцией между ними в области упругопластического разрушения. В обобщенном виде такой двухпа- раметрический критерий разрушения может быть записан следующим образом: К = 1С , C.4.1) где /с можно назвать обобщенной характеристикой трещиностойкости материала, устанавливаемой в рамках той или иной модели твердого тела и модельных представлений о деформировании и разрушении материала в зоне предразрушения у вершины трещины либо экспери- экспериментальным путем. Кроме того, характеристика трещиностойкости /с может быть определена посредством эксперимента [24, 57, 80, 89]. При нагружении образец с трещиной данной длины доводится до полного разрушения, при этом измеряются только две величины — предельная (критическая) сила, выдерживаемая образцом, и начальная длина I трещины по излому образца. О Никаких дополнительных измерений и приспособлений не требуется. Эти величины (нагрузка и длина трещины) подставляют в формулу для коэффициента интенсивности напряжений К (которая, естественно, должна быть известна для дан- данного образца и схемы нагружения) и получают предельный коэффи- коэффициент интенсивности напряжений. При этом, аналогично определению предела прочности материала по максимальной нагрузке, выдержива- выдерживаемой гладким образцом, не обращают внимания на сопутствующую пластическую деформацию образца на момент достижения критической нагрузки. Этот предельный коэффициент интенсивности напряжений и есть /с. Поскольку /с определяется на образцах с трещиной, то длину трещины можно и нужно делать разной. При определении 1С на серии однотипных образцов, но с трещинами разной длины, получаем 1С в ви- виде функции длины трещины (поскольку ясно, что предельная нагрузка будет разной при трещинах разной длины). Кроме того, поскольку каждой длине трещины соответствует своя предельная нагрузка, то, соответственно, каждой длине трещины соответствует и свое раз- разрушающее брутто-напряжение. Поэтому трещиностойкость 1С можно представить не только в виде функции длины трещины AС = 1С (/)), но и в виде функции разрушающего параметра нагрузки рс AС = *) Возможно использование и критической длины трещины, также опре- определяемой по излому (большей, чем начальная, на величину докритического подрастания трещины).
94 Гл. 3. Механика трещин в упругопластических телах = 1с(Рс)) или разрушающего напряжения AС = /с (<тс)), т.е. получить экспериментальную диаграмму трещиностойкости *). 3.4.1. Модели твердого тела и критериальные характеристики трещиностойкости. Для упругого твердого тела в рамках модели Ир- Ирвина трещиностойкость /с = К\с = const, т.е. не зависит от размеров трещины (разрушающих напряжений). По мере усложнения модели твердого тела будет усложняться и выражение для трещиностойкости. Справедливости ради заметим, что из энергетического подхода Гриффитса также следует двухпараметрический критерий разрушения, если, согласно Гиббсу, в модели твердого тела учесть разницу между энергией г] поверхностных напряжений и поверхностной энергией 7 [53, 59, 75]. Запишем энергетический баланс тела неограниченных размеров со сквозной трещиной под действием растягивающих на- напряжений а, приложенных вдали от трещины перпендикулярно ее плоскости: 4г]1 = const. C.4.2) Е ) Здесь / — текущая длина трещины; Е — модуль упругости; г] — удельная энергия поверхностных напряжений. В первом слагаемом учтена разница между удельной энергией г] поверхностных напряже- напряжений и удельной поверхностной энергией 7 твердого тела. Эта разница следует из того, что затраченная на разрушение работа rjdS пере- переходит в поверхностную энергию вновь образованной поверхности dS и частично расходуется на изменение энергии связи между атомами, а следовательно, на изменение поверхностной энергии S dj, связанной с увеличением межатомных расстояний [84]: C.4.3) Полагая величину dS/S соответствующей деформации de, устанавли- устанавливаем связь между величинами г] и 7- г] = 7 + dj/de. C.4.4) При обычных температурах dj/de имеет отрицательное значение, что соответствует наличию сжимающих напряжений в поверхностном слое. Определим величину dj/de, считая, что элементарный акт раз- разрушения совершенного кристалла происходит в результате разрыва связи взаимодействия "напряжение взаимодействия а — межатомное расстояние" между двумя атомами в двухатомной молекуле. Полагаем, что удельная поверхностная энергия зависит от положения атомов друг относительно друга [15, 84]. Запишем уменьшение поверхностной *) Забегая вперед, укажем, что если испытывается не образец, а элемент конструкции, то в качестве параметра нагружения может выступать давление, момент или просто число, пропорционально которому одновременно изменяют- изменяются приложенные к элементу усилия.
§ 3.4. Двухпараметрические критерии разрушения 95 энергии dj при расхождении атомов на расстояние dr от равновесного состояния (г = го) как dj = adr. Здесь го — постоянная кристалли- кристаллической решетки. Придавая величине dr/ro смысл деформации de, по- получаем: dj/de = aro. Кроме того, примем во внимание приближенную оценку 7 ~ ^теор^о [15], где сгтеОр — теоретическая прочность кристалла на отрыв. Исключая из двух последних соотношений величину го, получаем dj/de = 7 (сг/сгтеор) • C.4.5) Если отвлечься от идеализированной модели элементарного акта разрушения совершенного кристалла в виде разрыва связи двух атомов и учесть, что в акте разрушения в некотором структурном элементе конечного размера участвует большая группа атомов, то величина атеор приобретает континуальный смысл и может рассматриваться, напри- например, как предел прочности твердого тела а в- При этом кривая меж- межатомного взаимодействия может трактоваться как диаграмма деформи- деформирования поликристаллического тела. Таким образом, основываясь на модельных представлениях о кристаллическом твердом теле, характере взаимодействия атомов и учитывая связь C.4.5) и отрицательный знак dj/de, соотношение C.4.4) для континуального твердого тела представляем в следующем виде: v = 1(l-a/aB). C.4.6) Обратимся вновь к энергетическому балансу C.4.2) и запишем критериальное условие для критического состояния тела с трещиной с учетом разницы между удельной энергией т\ поверхностных напряже- напряжений и удельной поверхностной энергией 7 твердого тела в виде C.4.6): =0. C.4.7) Обозначив коэффициент интенсивности напряжений при разрушении тела как К = ас^/тп~с и учитывая, что 27 = KjC/E, получаем двухпа- раметрический критерий разрушения в виде 1 , C.4.8) т. е. в рамках модели твердого тела, основанной на приведенных представлениях о величинах г] и 7> Для обобщенной характеристики трещиностойкости получаем следующее выражение: 1 = КЮ A - — V ¦ C.4.9) В рамках модели Дагдейла-Леонова-Панасюка для неупрочняю- щегося твердого тела с узкой пластической зоной у вершины трещины
96 Гл. 3. Механика трещин в упругопластических телах следует соотношение, основанное на методе R6 [158]: 1 Ic = Klc—\s\nsec(^-)} \ C.4.10) (JL [ \2(TLj\ Для идеально упругопластического тела с трещиной энергетиче- энергетический критерий разрушения и модель деформирования материала у вер- вершины трещины, предполагающая пропорциональность пластического раскрытия в вершине трещины пластической деформации г у ее вер- вершины, дает следующее соотношение для 1С [86-89]: /с = КХС сг, C.4.11) о в Из краткого анализа выражений для 1С следует, что для всех известных моделей двухкритериального подхода обобщенная харак- характеристика трещиностойкости может быть представлена в виде функ- функции 1С = К\сф \—\ гДе в ^(^с/^ь) ^ 1 (а следовательно, 1С < К\с) могут входить параметры диаграммы деформирования твердого тела. Напряжение а^ полагают равным ав или пределу текучести, а К\с определяют на основе линейной механики разрушения. Следовательно, выражение для обобщенной трещиностойкости 1С с учетом крите- критерия C.4.1) позволяет рассчитать и построить диаграмму трещино- трещиностойкости К/К\с — cfc/<jl (диаграмму предельного состояния твердого тела) для всего диапазона возможных размеров трещин (критических напряжений), включая нулевые трещины и охватывая хрупкое разру- разрушение: К = 1С = К\с, пластическое разрушение: ас = аь, а также и упругопластическое разрушение: К = 1С < К\с. Расчетные точки на диаграмме трещиностойкости отображают состояние разрушения твер- твердого тела, а точки под диаграммой — область допредельных состояний. Для упругого твердого тела в рамках подхода Ирвина диаграмма трещиностойкости вырождается в прямую линию, не зависящую от разрушающих напряжений (длины трещины). Отметим, что в англоязычной литературе диаграмма трещиностой- трещиностойкости известна как failure assessment diagram (FAD) и аппроксими- аппроксимируется уравнением вида Кг = / (Lr), где Кг = К/К\с, Lr = Рс/Рт, Рс — критическая нагрузка, Рт — нагрузка в предельном состоянии по теории пластичности (рис. 3.22). На основе таких представлений о диа- диаграмме трещиностойкости в рамках Европейской Комиссии разработа- разработана и верифицирована унифицированная методика SINTAP (Structural Integrity Assessment Procedures for European Industry) для анализа предельного состояния элементов конструкций с трещиноподобными дефектами (включая анализ по критерию "течь перед разрушением") [148, 152, 229, 265, 276, 280]. Методика SINTAP имеет несколько
§ 3.4. Двухпараметрические критерии разрушения 97 Разрушение Рис. 3.22. Диаграммы трещиностойкости материала: а — инициирование раз- разрушения (низшие уровни SINTAP), б — неустойчивый рост трещины (высший уровень SINTAP), пунктирными линиями обозначены контуры нагружения уровней оценки опасности дефектов. Выбор уровня во многом опреде- определяется доступностью исходной информации о механических свойствах материала (К\с и Lr), позволяющих построить диаграмму трещино- трещиностойкости материала, и целями проводимого анализа. Например, для низшего уровня оценки опасности дефекта при построении диаграм- диаграммы трещиностойкости материала используют консервативное значение вязкости разрушения Kjc, полученное из корреляционной зависимости IE 103(l-Z/2) C.4.12) Здесь вязкость разрушения Kjc дана в МПал/м, а ударная вяз- вязкость KV на верхнем шельфе измеряется в джоулях. Уравнения функ- функции / (Lr) имеют вид -1/2 О < 1, C.4.13) для диаграммы деформирования с площадкой текучести и f(Lr)=(l+l-L2r -1/2 |0, 3 + 0,7ехр (-0, о < Lr для диаграммы := 1 + C.4.14) текучести деформирования без площадки При повышении уровня анализа степень консервативности опасности дефекта снижается. Для нормальных условий эксплуатации технической системы достаточно использовать более низкие уровни, которые позволяют оценить инициирование разрушения (рис. 3.22, а). В случае анализа возможных аварий 7 Матвиенко Ю.Г.
98 Гл. 3. Механика трещин в упругопластических телах и катастроф необходимо использовать наивысший уровень оценки опасности дефектов, позволяющий анализировать устойчивый и неустойчивый рост трещины (рис. 3.22, б). Наивысший уровень является наиболее сложным, требующим данных о диаграмме деформирования материала и численного упругопластического анализа, в то же время этот уровень является наименее консервативным. Таким образом, в рамках двухкритериального подхода возможны разнообразные представления расчетной обобщенной характеристики трещиностойкости в критерии предельного состояния тела, основанные на различных моделях твердого тела и модельных представлениях о деформировании и разрушении материала в зоне предразрушения. Принципиальными являются возможность формализованного ее пред- представления и предельный переход к критериям хрупкого (линейная ме- механика разрушения) и пластического (предельный анализ) разрушения. 3.4.2 Диаграммы трещиностойкости тел с трещинами и над- надрезами. Для анализа критического состояния тел с надрезами или трещинами можно использовать как локальный, так и глобальный кри- критерии механики разрушения, учитывающие распределение напряжений перед вершиной концентратора напряжений. Весьма привлекательным представляется создание комплексной модели и критерия разрушения, позволяющих объединить достоинства достаточно простых глобальных критериев разрушения и усложненных локальных критериев разруше- разрушения, основанных на рассмотрении процессов повреждения и разруше- разрушения материала в локальной зоне предразрушения у вершины трещины. Преимущество подобных критериев разрушения может быть успешно проиллюстрировано на примере анализа влияния надрезов и трещин на параметры механики разрушения и трещиностойкость материалов [57, 171, 215, 228, 244]. В основе таких критериев лежит сравнение локаль- локального напряжения перед вершиной надреза (трещины) с прочностью материала, в качестве которой могут быть приняты предел прочности или предел текучести. В этом случае локальное напряжение оценивают некоторой величиной условных упругих напряжений перед вершиной трещины или их осредненной величиной в зоне предразрушения. В настоящем пункте модель зоны предразрушения, основаная на модели когезионных сил сцепления у вершины трещины, и локальный критерий разрушения распространены на случай коротких надрезов и трещин при различных типах приложенных нагрузок. Для анализа критического состояния тел с трещинами в широком диапазоне изме- изменения их размеров целесообразно использовать диаграммы трещино- трещиностойкости, т.е. зависимость нормализованного критического коэффици- коэффициента интенсивности напряжений от нормализованного разрушающего напряжения. Построение диаграмм трещиностойкости может быть основано на различных двухпараметрических критериях разрушения (см. п. 3.4.1, а также [53, 86, 89, 108].
§ 3.4. Двухпараметрические критерии разрушения 99 Модель и критерий разрушения. Рассмотрим плоскость неограни- неограниченных размеров, содержащую сквозную трещину (или надрез) дли- длины 21. Под действием приложенных нагрузок трещина имеет возмож- возможность распространяться в исходной плоскости. Начало координат по- поместим в центре трещины (рис. 3.23). В качестве модели зоны предраз- рушения примем модель Дагдейла-Леонова-Панасюка-Баренблатта, предполагающую виртуальное увеличение длины трещины от дей- действительной ее вершины х = I на величину зоны предразрушения d. Постулируется, что в зоне предразрушения действуют когезионные напряжения crcoh конечной величины, для простоты полагаемые по- постоянными. Эти напряжения можно интерпретировать как некоторые критические локальные напряжения, отражающие свойства материала и определяемые, например, в соответствии с критерием текучести Мизеса для тела с произвольной, в том числе и короткой, трещиной [57, 215]: а 7Г + аТ \ \_( а \2 (l+j/2-j/) (ст/сттJ -1 4 C.4.15) в условиях плоской деформации и / .4 / гг \ 2 C.4.16) ^V aTJ в условиях плоского напряженного состояния, где ат — предел теку- текучести. Запишем критерий разрушения Новожилова [99], усредняющий нормальные напряжения в зоне предразрушения, в виде d y(r)dr = acoh. C.4.17) о Здесь нормальные упругие напряжения ау (г) на расстоянии г = х — I от вершины усредняются на отрезке, равном длине d зоны предразру- предразрушения. Диаграмма трещино стойко emu тела с трещиной. Исследуем влияние типа приложенных нагрузок на предельное состояние тела неограниченных размеров со сквозной трещиной, в том числе малых размеров. Рассмотрим однородные растягивающие напряжения, приложенные вдали от трещины (рис. 3.23, а). Напряжения перед вершиной трещи- трещины сгу (х) на линии ее продолжения могут быть представлены на основе известного упругого решения Вестергарда (см., например, [151]): (ТТ Л) C.4.18)
100 Гл. 3. Механика трещин в упругопластических телах I I 2/ I t мм Рис. 3.23. Тело со сквозной трещиной, нагруженное однородными растягива- растягивающими усилиями, приложенными вдали от трещины (а) и к поверхностям трещины (б) где а — приложенные к телу однородные растягивающие напряжения. Перепишем критерий разрушения C.4.17) в терминах критического коэффициента интенсивности напряжений, учитывая решение C.4.18) и взяв коэффициент интенсивности напряжений в виде К\ = ал/id: КХ =<7, - (cr/crcohJ C.4.19) В случае малой зоны предразрушения у вершины трещины по сравнению с длиной трещины (d/l —> 0) напряжения <7coh существен- существенно превышают критические приложенные напряжения, т. е. a/(Jcoh ~^ —> 0. Становится справедливой концепция квазихрупкого разрушения, и критический коэффициент интенсивности напряжений (правая часть уравнения C.4.19)) стремится к предельной критической величине, т.е. вязкости разрушения К\с'- !** C.4.20) C.4.21) п, а критерий разрушения принимает следующий вид: В общем случае, не ограничиваясь малостью зоны предразрушения у вершины трещины по сравнению с ее длиной, получаем критерий разрушения тела с трещиной произвольного размера, подставляя урав- уравнение C.4.20) в C.4.19): Кх=КХс\\\-[ C.4.22) При этом напряжения <7coh в зоне предразрушения определяются фор- формулами C.4.15), C.4.16).
§ 3.4. Двухпараметрические критерии разрушения 101 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 olaT ——— Плоская деформация - - - Плоское напряженное состояние 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 olaT Рис. 3.24. Диаграммы трещиностойкости тела с трещиной под действием однородной растягивающей нагрузки, приложенной вдали от трещины (а) и к поверхностям трещины (б) Критерий разрушения C.4.22) позволяет построить диаграмму тре- трещиностойкости тела с трещиной в виде зависимости нормализован- нормализованного коэффициента интенсивности напряжений^ /К\с от нормали- нормализованного приложенного напряжения а/ат (рис. 3.24, а). Диаграмма трещиностойкости тела с трещиной произвольного размера зависит как от вязкости разрушения К\с, так и от критических приложен- приложенных напряжений а. Из рис. 3.24, а видно, что кривая трещиностойко- трещиностойкости увеличивается с уменьшением критических напряжений, стремясь к предельной величине, т. е. вязкости разрушения. При этом становится справедливым критерий разрушения C.4.21). Теперь рассмотрим однородные растягивающие напряжения, при- приложенные к поверхностям трещины (рис. 3.23,6). В этом случае распределение напряжений на линии продолжения трещины перед ее вершиной имеет известный вид (ТТ () ° C-4.23) и критерий разрушения C.4.17) можно переписать следующим образом: — CTcoh TTd[l+2(a/acoh)} C.4.24) Полагая справедливой формулу C.4.20) для вязкости разрушения К\с, критериальное соотношение C.4.24) можно переписать в виде C.4.25)
102 Гл. 3. Механика трещин в упругопластических телах позволяющем построить диаграмму трещиностойкости тела с тре- трещиной. В отличие от диаграммы трещиностойкости тела с трещиной, на- нагруженного растягивающими усилиями, приложенными вдали от тре- трещины, критериальное уравнение C.4.25) дает снижение кривой трещи- трещиностойкости с уменьшением приложенных напряжений (рис. 3.24,6). Кроме того, диаграмма трещиностойкости тела, нагруженного по бере- берегам трещины, располагается выше диаграммы трещиностойкости тела с трещиной под действием нагрузки, приложенной вдали от трещины. Таким образом, условия нагружения оказывают значительное вли- влияние на диаграммы трещиностойкости тела с трещиной произвольных размеров. Диаграмма трещиностойкости тела с надрезом. Критерий раз- разрушения C.4.17), основанный на осреднении напряжений перед вер- вершиной трещины, может быть успешно адаптирован и применен к телу с надрезом [57, 228]. Введем в рассмотрение следующие предполо- предположения. Распределение нормальных напряжений у вершины надреза аналогично распределению напряжений у вершины трещины в теле, нагруженном равномерно распределенными растягивающими напряже- напряжениями вдали от трещины, но сдвинуто от ее вершины по оси абсцисс на величину р/2, т.е. г ^ р/2 [165]. Тогда распределение напряжений перед вершиной надреза на линии его продолжения имеет вид Здесьр — радиус вершины надреза, а коэффициент интенсивности напряжений в вершине надреза обозначен как K\notch. Кроме того, распределение напряжений C.4.26) предполагает, что расстояние перед вершиной надреза г много меньше длины / трещины и больше радиуса вершины надреза [165]. Осреднение локальных напряжений C.4.26) перед вершиной над- надреза на отрезке зоны предразрушения d позволяет записать критерий разрушения C.4.17) в виде / 1 Г ^lnotch Л . Р \ л /о л о-7\ - — 1 + — )dr = crcoh. C.4.27) d J л/2тгг V 2rJ р/2 С учетом соотношения C.4.27) критерий разрушения переписываем как ^ + у- C.4.28)
§ 3.4. Двухпараметрические критерии разрушения 103 Максимальные нормальные напряжения ата^ на поверхности вершины надреза получаем из соотношения C.4.26): \ notch J у max C.4.29) Принимая во внимание связь напряжений ата^ с теоретическим коэф- коэффициентом Kt концентрации напряжений: ^77 max = <rKt, C.4.30) J у max и подставляя выражения C.4.29) и C.4.30) в критерий разруше- разрушения C.4.28), получаем критический коэффициент интенсивности на- напряжений в вершине надреза: К - notch — C.4.31) В случае трещины (Kt -^ оо) критический коэффициент интенсив- интенсивности напряжений в ее вершине определяется выражением C.4.20). При этом справедлив критерий разрушения C.4.21). Подставляя соот- соотношения C.4.20) и C.4.21) в C.4.31), получаем критерий разрушения в вершине надреза в предположении квазихрупкого разрушения: К\ notch = К\с 1 а ) К\\ -1/2 C.4.32) Здесь, как и в критерии разрушения тела с трещиной, напряже- напряжения crC0h определяются формулами C.4.15) и C.4.16) в широком диапазоне изменения длины надреза. Нормализованный коэффициент 1,/Ь 1,50 1,25 1,00 1 7S - Трещина i i i i \ \ \ \ \ = 1 Ч GjJa = ч ч 'ч. "•-«.„^ , 1 , 1 , Плоская деформация 1,25 1,1. Рис. 3.25. Влияние концентрации напряжений на нормализованный коэффи- коэффициент интенсивности напряжений Kinotch/K\c тела с надрезом под действием однородной растягивающей нагрузки, приложенной вдали от трещины (плоская деформация)
104 Гл. 3. Механика трещин в упругопластических телах интенсивности напряжений (формула C.4.32)) является убывающей функцией теоретического коэффициента концентрации напряжений (рис. 3.25), в пределе стремящейся к вязкости разрушения К\/К\с = 1 тела с трещиной. Обобщая критерий разрушения C.4.32) на случай тела с надрезом произвольной длины посредством замены в нем критериального соот- соотношения C.4.21) соотношением C.4.22), получаем Klnotch=Klc\ll-[ — ) |l-( —) щ -1/2 C.4.33) Критерий разрушения C.4.33) позволяет построить диаграммы тре- щиностойкости тел с надрезами (рис. 3.26). Кривая трещиностойкости 2,8 2,4 2,0 1,6 1,2 0,8 0,4 - - Трещина - I , I \ Плоская \ деформация \ 4 ^V ~~ Ay 1 I 1 I 1 I* 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 oloT Рис. 3.26. Диаграммы трещиностойкости тела с надрезом под действием од- однородной растягивающей нагрузки, приложенной вдали от трещины (плоская деформация) тела с надрезом прогрессивно возрастает по мере уменьшения тео- теоретического коэффициента концентрации напряжений Kt. При этом кривые трещиностойкости асимптотически стремятся к вертикальной оси cr/crCoh = \/Kt. Такой результат находится в соответствии с ре- результатами, приведенными в работе [226]. Полученные результаты свидетельствуют, что в общем случае диа- диаграммы трещиностойкости в значительной степени зависят от типа приложенной нагрузки, а также теоретического коэффициента кон- концентрации напряжений. При этом критический коэффициент интен- интенсивности напряжений в вершине надреза является уменьшающейся функцией теоретического коэффициента концентрации напряжений, стремящейся к вязкости разрушения тела с трещиной в условиях квазихрупкого разрушения.
§ 3.5. Взаимосвязь критериев нелинейной механики разрушения 105 § 3.5. Взаимосвязь критериев нелинейной механики разрушения В случае малой области пластических деформаций у вершины трещины (сравнительно с характерным линейным размером трещины) традиционно принимают, что все физические и механические особен- особенности деформирования и разрушения в окрестности, примыкающей к вершине трещины, количественно оцениваются коэффициентом ин- интенсивности напряжений К, поскольку эта малая область окружена упругим полем с коэффициентом К при особенности этого поля. Решая задачу для этой области, граничные условия приходится ставить на ее внешней границе, где они окажутся сформулированными через коэф- коэффициент К. Отсюда следует, что связь между различными параметра- параметрами, которые характеризуют геометрию и напряженно-деформированное состояние в вершине трещины и могут быть положены в основу формулировок критериев разрушения, малоинтересна, поскольку в ко- конечном счете все они окажутся выраженными через коэффициент интенсивности напряжений. Следовательно, в этих условиях (линей- (линейной механики разрушения) для полной характеристики напряженно- деформированного состояния достаточно коэффициента интенсивности напряжений, и этой же величины достаточно и для формулировки критерия разрушения в виде известного условия C.5.1) Увеличение размеров пластической зоны у вершины трещины при- приводит к замене линейной механики разрушения на нелинейную механи- механику разрушения, что отражается и в формулировках критериев разруше- разрушения. В нелинейной механике разрушения существует несколько видов критериев предельного состояния тела с трещиной, и связь между ни- ними не очевидна. Тем не менее можно предположить, что формулировки критериев роста трещины в нелинейной механике также окажутся взаимосвязанными [59, 69], поскольку все они исходят из наличия пластических областей у вершины трещины и так или иначе отра- отражают способность твердого тела необратимо расходовать энергию на работу пластической деформации либо же само наличие пластических деформаций. Так, например, критерий, основанный на коэффициенте интенсивности деформаций Ке, порождается аналогией с критерием Ирвина (в обоих случаях при достижении телом предельного состояния коэффициент при особенности выступает в качестве критериальной величины), и для интенсивностей деформаций в пластической области (на расстоянии г от вершины трещины) имеет место следующая запись (см. §3.3): ( }
106 Гл. 3. Механика трещин в упругопластических телах С другой стороны, поле напряжений и деформаций в окрестности вершины трещины (ЯТЗД-сингулярность) для тел, упрочняющихся по закону а = a*eN, может быть представлено в виде N C.5.3) где /дг — константа, зависящая от напряженного состояния и пока- показателя упрочнения N; Ъ^шц — известные табулированные функции угла 0 при вершине трещины и показателя N; а* = ат/ (а?т) , ol — константа материала, гт = Сопоставив интенсивности деформаций в пластической области у вершины трещины, выраженные через коэффициент интенсивности деформаций и J-интеграл, и положив для целей сравнения константу а = 1, получим следующую связь: Отметим, что связь Кеи 7вида C.5.4) непосредственно получает- получается при равенстве интенсивности номинальных напряжений cii вели- величине ат, поскольку только в этом случае расстояние г от вершины трещины в выражениях для интенсивностей деформаций, представлен- представленных через параметры Ке и J, имеет одинаковую степень 1/A +N). Установим связь между критическим коэффициентом интенсивно- интенсивности деформаций Кеси обобщенной трещиностойкостью 1С. Коэффици- Коэффициент интенсивности деформаций в пластической области определяется выражениями C.3.7), а коэффициент интенсивности напряжений, вхо- входящий в эти выражения, в случае предельного состояния тела с тре- трещиной рассчитывают по обычным формулам линейной механики разру- разрушения, но с подстановкой замеренных критических (соответствующих началу роста трещины) усилий или напряжений. По определению [86-89, 107] этот условный коэффициент интенсивности напряжений и есть обобщенная трещиностойкость 1С. Следовательно, из фор- формул C.3.7) получаем связь между обобщенной трещиностойкостью и критическим коэффициентом интенсивности деформаций в виде при ani < ат, В этой формуле под напряжениями ani следует понимать их критиче- критические значения.
§ 3.5. Взаимосвязь критериев нелинейной механики разрушения 107 Распределение напряжений и деформаций в зоне у вершины тре- трещины можно установить из приближенных формул Нейбера. Коэффи- Коэффициент концентрации деформаций в точке, удаленной от ее вершины на расстояние г, в момент старта трещины равен К? = ^ , C.5.6) а коэффициент концентрации напряжений Ка = ^ , C.5.7) О~пс где о~уУ и гУу — локальные напряжения и деформации в окрестности (на расстоянии г) вершины трещины, апс и гпс — номинальные на- напряжения и деформации в ослабленном трещиной сечении (без учета эффекта концентрации). Теоретический коэффициент концентрации напряжений Kt связан с коэффициентами К? и Ка соотношением Нейбера: К?Ка = Kl C.5.8) Полагая аппроксимацию диаграммы деформирования деформацион- но-упрочняющегося материала справедливой как для локальных, так и номинальных напряжений и деформаций, а также учитывая соотно- соотношения C.5.6)-C.5.8), получаем зависимость между коэффициентами концентрации напряжений Каи Kt в пластической области: 2N Ка = K^+N . C.5.9) Теоретический коэффициент концентрации напряжений перед вер- вершиной трещины на линии ее продолжения формально можно выразить через условный критический коэффициент интенсивности напряжений в виде Kt = -%==•—. C.5.10) Тогда распределение осевых напряжений о~ууу вершины трещины в момент начала ее роста получаем (с заменой Ксна /с) в виде 2N \ — N Т 1 + N Оуу = K(jGnc = aniN ^г* C.5.11) B?rrI+iV Таким образом, распределение напряжений в пластической области перед вершиной трещины может быть выражено как через обобщенную трещиностойкость /с, так и через контурный Jc-интеграл. При этом сингулярность напряжений в обоих случаях оказывается идентичной и N имеет вид \/rx+N. Приравнивая осевые напряжения ауу, вычисленные по формулам C.5.3) и C.5.11), устанавливаем связь между обобщенной
108 Гл. 3. Механика трещин в упругопластических телах трещиностойкостью и 7с-интегралом в момент начала роста трещины: EJC = 4H2C. C.5.12) Здесь введено обозначение Следовательно, энергетическая критериальная характеристика разру- разрушения Jc и силовая характеристика 1С взаимосвязаны. При переходе от вязкого разрушения с развитой пластической зоной к хрупкому разрушению величины N и Ф стремятся к единице, а упругопласти- ческая вязкость разрушения Jc переходит в предельную интенсивность освобождающейся энергии Gc. Становится справедливой концепция линейной механики разрушения и равенство C.5.12) принимает вид известного соотношения Ирвина (при плоском напряженном состоя- состоянии): EGC = K2C. Кроме того, в § 3.2 была продемонстрирована связь между энер- энергетическим J-интегралом и раскрытием 5 в вершине трещины в виде соотношения C.2.12). Таким образом, рассмотренные критериальные характеристики нелинейной механики разрушения оказываются взаимосвязаны посредством перекрестных связей следующего вида: Jc = 5cf (N, аТ, Е) EJC = 7С2Ф (N, <тт, <тпс), X 1+дг C.5.14) F" , aT, eT) Ic = Kj^ f (N, aT, anc), Вообще говоря, это не удивительно, поскольку все они исходят из усло- условий местного пластического течения через единую диаграмму дефор- деформирования материала и отражают в текущем (допредельном) состоянии не разрушение, а способность материала пластически деформироваться в локальных объемах у вершины трещины в условиях больших гради- градиентов и, собственно, сами эти градиенты. Сопротивление разрушению эти характеристики начинают отражать, а точнее фиксировать, только в момент начала роста трещины (в момент включения механизма разрушения). При переходе от вязкого разрушения к хрупкому перекрестные связи C.5.14) переходят в известные соотношения линейной механики трещин, становится справедливым критерий Ирвина: C.5.15)
§ 3.6. Устойчивый и неустойчивый рост 109 Следовательно, критериальные формулировки разрушения в энерге- энергетической, силовой и деформационной трактовках оказываются эквива- эквивалентными как в линейной, так и нелинейной механике трещин. Следует отметить, однако, различную чувствительность критери- критериальных характеристик к возможному изменению параметров задачи, в частности повреждающих факторов. Поэтому система критериальных соотношений нелинейной механики трещин с установленными пере- перекрестными связями призвана более детально учитывать особенности механического поведения твердых тел с трещинами. § 3.6. Устойчивый и неустойчивый рост Разрушение твердого тела с трещиной характеризуется устойчивым или неустойчивым распространением трещины. Распространение тре- трещины называют устойчивым, если при медленном увеличении нагрузки трещина медленно распространяется. Малому приращению нагрузки соответствует малое приращение длины трещины. Для устойчивой трещины соблюдается условие dP/dl > 0, т. е. в предельном состоянии равновесия нагрузка является возрастающей функцией длины трещи- трещины. При неустойчивом распространении трещины нарушаются условия равновесия в некотором объеме материала, окружающем вершину тре- трещины. В предельном состоянии равновесия для неустойчивой трещины соблюдается условие dP/dl < 0. Твердые тела в пластичном состоянии характеризуются устойчивым ростом трещины, выражающимся в увеличении параметров механи- механики разрушения, например коэффициента интенсивности напряжений, раскрытия в вершине трещины и J-интеграла, с ростом трещины. На рис. 3.27 изображена кривая сопротивления росту трещины — 7д-кривая, т.е. зависимость J-интеграла от прироста А/ трещины. Прирост трещины, А / Рис. 3.27. Кривая сопротивления росту трещины
ПО Гл. 3. Механика трещин в упругопластических телах Кривая сопротивления росту трещины состоит из двух участков: ли- линии физического (наблюдаемого) роста трещины после ее страгивания и линии притупления трещины (кажущегося роста трещины). Наличие линии притупления трещины обусловлено пластическим раскрытием вершины трещины (притуплением), что приводит к возникновению эффекта эквивалентного увеличения длины трещины. Линия притуп- притупления трещины в общем случае описывается уравнением прямой: J = = М (ат + ств) А/, где коэффициент М зависит от геометрии тела, вида напряженного состояния и степени деформационного упрочнения материала [12, 24, 81, 151-154, 265]. Кривая сопротивления росту трещины является весьма инфор- информативной, отображающей различные стадии процесса разрушения. Например, величина J/c отображается реперной точкой на этой кривой и соответствует началу устойчивого роста трещины. Сопротивление устойчивому росту трещины характеризуется накло- наклоном <7д-кривой, который при данном приросте трещины количественно оценивается модулем разрыва т EdJ ТД = ^-, C.6.1) где индекс R обозначает величину J-интеграла на кривой сопротив- сопротивления росту трещины. В первом приближении полагают, что модуль разрыва Tr является постоянной материала при заданной температуре и скорости нагружения. Переход трещины от устойчивого роста к неустойчивому во многом зависит от податливости системы. Неустойчивое состояние трещи- трещины при мягком нагружении (фиксированная нагрузка) наступает при меньшем приросте трещины, чем в условиях жесткого нагружения (фиксированное перемещение). Трещинодвижущую силу в теле с тре- трещиной (аналогично свойству материала C.6.1)) представляют в виде приложенного модуля разрыва: _ Е fdJ\ -Lapp-  \-ТГ\ ' W.b.Z) ао \ ш j Дт Суммарное перемещение вдоль линии действия приложенной нагруз- нагрузки Р определяется как Ат = А + СтР, C.6.3) где А — локальное перемещение точек тела, вызванное приложенной нагрузкой, Ст — податливость системы, влияющая на суммарное перемещение. Величина (dJ/dl)AT имеет следующий вид: C6-4)
§ 3.6. Устойчивый и неустойчивый рост 111 J,JR к Неустойчивость / р Размер трещины, А / Рис. 3.28. Определение точки перехода трещины к неустойчивому росту При мягком нагружении Ст =ос, и, следовательно, из формулы C.6.4) получаем '<ы\ _ а при жестком нагружении имеем: Сш = 0 и Ат = А. Условие устойчивого распространения трещины может быть запи- записано в виде следующего критерия: J = Jr, T app TR. Неустойчивое распространение трещины имеет место при J = Jr, TaVV > TR C.6.5) C-6-6) и представлено на рис. 3.28. Практическое применение концепции 7д-кривых проиллюстриро- проиллюстрировано на примере анализа неустойчивого роста сквозной трещины в растягиваемой пластине из стали 1Х18Н9Т с учетом податливости нагружающей системы [67]. Расчет показал большую склонность тре- трещины при ее большем приросте к неустойчивому распространению при увеличении ширины Ъ пластины. Уменьшение относительной длины трещины 1/Ъ при Ъ = const приводит к увеличению разрушающих на- напряжений и устойчивого прироста трещины. Таким образом, на харак- характер распространения трещины существенное влияние могут оказывать как податливость нагружающей системы, так и элемент конструкции. Отметим также, что методика анализа неустойчивого роста тре- трещины с использованием 7д-кривых регламентирована стандартом SINTAP [265].
Глава 4 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ ТРЕЩИН § 4.1. Механика усталостного разрушения В механике усталостного разрушения (механике трещин) парамет- параметрами разрушения, характеризующими напряженно-деформированное состояние у вершины трещины упругого тела и контролирующими за- закономерности её роста, служат коэффициент интенсивности напряже- напряжений К и коэффициент асимметрии цикла нагружения R = Кт[п/Кта^. Параметр механики разрушения К учитывает величину и способ приложения нагрузки, форму и размеры образца и трещины. Таким образом, для анализа закономерностей усталостного разрушения на стадии роста трещины вполне достаточно использовать зависимость её скорости dl/dN от размаха АК = A — R)Kma^ (или максимального значения Ктах) коэффициента интенсивности напряжений: ^ = V = f(Kmax, Kmin/Kmax, С, m), D.1.1) где I — длина распространяющейся усталостной трещины, N — коли- количество циклов нагружения, Сит — некоторые константы. Графическое представление зависимости скорости роста усталост- усталостной трещины от параметра разрушения называется кинетической диаграммой усталостного разрушения (КДУР). Параметрами кривой скорости роста усталостной трещины, по которым её можно вос- воспроизвести, являются характеристики циклической трещиностойкости, количественно выражающие сопротивление материала росту трещины в разных диапазонах его скоростей. Кинетическая диаграмма, полу- полученная в результате основных испытаний образцов с трещиной, яв- является базовой [79]. Типичная базовая КДУР (рис. 4.1), построенная в логарифмической шкале по обеим осям, ограничивается пороговым (Kth или AKth) коэффициентом интенсивности напряжений, ниже которого трещина не растет, и критическим (Kfc) коэффициентом интенсивности напряжений цикла, при достижении которого наступает долом образца. На практике определяют условное значение порогового коэффициента интенсивности напряжений, соответствующее базисной скорости роста усталостной трещины Vth, равной 10~10 м/цикл. Услов- Условно КДУР можно представить в виде участков: среднего участка 2, аппроксимируемого прямой, и крайних криволинейных участков низ- низких (обычно меньше 10~8 м/цикл — (участок 1) и высоких (обычно больше 10~6 м/цикл) — (участок 3) скоростей роста усталостной трещины.
§ 4.1. Механика усталостного разрушения 113 V, м/цикл Рис. 4.1. Кинетическая диаграмма усталостного разрушения Скорость роста усталостных трещин зависит от многих факто- факторов. Среди этих факторов можно отметить следующие: механические (амплитуда напряжений, асимметрия цикла нагружения, частота), ме- металлургические (микроструктура, наличие включений, характер леги- легирования), физико-химические (температура, среда, облучение) и гео- геометрические размеры тела [25, 81, 125, 126, 142, 151]. Тем не менее кинетические диаграммы усталостного разрушения имеют большое практическое значение. Исходя из них устанавливают характеристики циклической трещиностойкости, на их основании выбирают материал конструкций и оптимизируют технологию изготовления материалов; оценивают условия эксплуатации, безопасный ресурс и живучесть поврежденных трещинами конструкций; анализируют причины разру- разрушения конструкций. 4.1.1. Уравнения роста трещины. Приведем некоторые формулы для скорости роста трещины, которые, как правило, имеют эмпири- эмпирическую основу [81, 151]. Аналитическую зависимость D.1.1) можно представить в виде различных вариантов элементарных и специальных функций, которые будут хорошо описывать диаграмму усталостного разрушения в диапазоне Kth ^ i^/max ^ Kfc- Средний участок КДУР может быть аппроксимирован уравнением V = К* АК АК* D.1.2) 8 Матвиенко Ю.Г.
114 Гл. 4. Специальные задачи механики трещин где К* (АК*), т — параметры аппроксимации, V* = 10~7 м/цикл. Формулу D.1.2) обычно представляют в виде V = СК™^ = С'АКт, D.1.3) где характеристики К*,АК* определяются через коэффициенты С, С по формулам Р.Г. Форман предложил следующую формулу для аппроксимации участков 2 и 3 диаграммы усталостного разрушения: D14) dN (l-R)Kfc-AK' которую можно представить в виде dl dN Kfc - Kma D.1.5) Из последней формулы следует, что скорость роста трещины неограни- неограниченно возрастает при приближении коэффициента ifmax к его критиче- критическому значению Kfc. Здесь необходимо сделать следующее замечание: константы Сит зависят не только от материала, но и от используе- используемого соотношения для скорости трещины. Для учета влияния характеристик циклической трещиностойко- сти Kth и Kfc на закономерности распространения усталостной трещи- трещины на всех трех участках диаграммы усталостного разрушения можно использовать формулы более общего вида: — формулу Приддла dl „, „. „.,.„ , D 16) — формулу Мак-Эвили f- = C{AK-AKthf (l+ AK ). D.1.7) dN \ Kfc - A max / Сравнительно простую и удобную в использовании для описания диаграммы структуру имеет формула, рекомендованная С.Я. Яремой и СИ. Микитишиным: и(^У. ,4Л.8) dN \K K
§ 4.1. Механика усталостного разрушения 115 Вообще говоря, для полного описания диаграммы усталостного разрушения можно предложить достаточно большое количество мате- математических моделей [81]. Однако такие модели не будут носить уни- универсального характера и потребуют экспериментального определения дополнительных констант материала для заданных условий испытания. Приведенные соотношения для скорости трещины строго обоснова- обоснованы для упругого тела при постоянной амплитуде нагружения. 4.1.2. Расчет долговечности. Расчет циклической долговечности конструкций при наличии распространяющихся усталостных трещин, т. е. количество циклов N до разрушения, рассчитывают посредством интегрирования уравнения роста трещины по длине трещины: дг = Г — D 1 9) J ах, Km]n/Kmaxt С, m) ' V ' ' ' где lo и 1С — начальная и критическая длины трещины соответственно. В частности, для среднеамплитудного участка интегрирование уравне- уравнения D.1.3) дает следующее выражение для долговечности: N = [ (га - 2) С'Мт/2А(тт L^m-2)/2 lim~2^2 при га т^ 2, i^ D.1.11) при т = 2. Здесь М — поправочная функция на геометрию тела и форму трещины в обобщенном соотношении для размаха коэффициента ин- интенсивности напряжений вида АК = Аал/Ml, Аа — размах прило- приложенного напряжения за один цикл. Укажем последовательность расчета усталостной долговечности элементов конструкций с трещинами при постоянной амплитуде напря- напряжений и приведем соответствующие примеры [107, 136]. При оценке долговечности и кривой распространения усталостной трещины l(N) целесообразна следующая последовательность расчета: • методами дефектоскопического контроля установить ориентацию и размеры трещиноподобного дефекта 1О, выбрать расчетную схему, для которой подобрать из справочной литературы или получить расчетом приемлемую формулу коэффициента интенсивности напряжений; • установить эксплуатационные режимы нагружения (<ттах, Ао~ = = сгтах — Стт, о~т[п/amax), по которым для принятой расчетной схемы рассчитать параметры цикла нагружения ifmax, АК = ifmax — -^mim it = -Kmin/-^max5
116 Гл. 4. Специальные задачи механики трещин • для данного конструкционного материала, асимметрии цикла и частоты нагружения экспериментально определить (или воспользо- воспользоваться справочной литературой) параметры кинетической диаграммы усталостного разрушения AKth (Kth), ^Kfc {Kfc), С, т и уравнение роста усталостной трещины; • на основе критерия Ирвина для принятой расчетной схемы и экс- эксплуатационного режима нагружения по пороговому коэффициенту ин- интенсивности напряжений AKth (Kth) и циклической трещиностойкос- ти Kfc (статической трещиностойкости Kjc (Kc), если значение Kfc неизвестно) установить размеры нераспространяющейся lth и критичес- критической 1С трещин соответственно; • подставляя установленное выражение для коэффициента интен- интенсивности напряжений при заданном эксплуатационном режиме нагру- нагружения в уравнение скорости роста трещины и интегрируя его, опреде- определить зависимость размера распространяющейся усталостной трещины / от числа циклов нагружения N; • рассчитать циклическую долговечность по формуле D.1.9). Пример 4.1. Оценим диапазон амплитуд цикла напряжений, вы- выдерживаемых телом с дискообразной (круговой в плане) трещиной до её страгивания, а также до полного разрушения при количестве циклов нагружения N = 104. Тело нагружено растягивающими напря- напряжениями, приложенными вдали от трещины и перпендикулярными плоскости трещины, с постоянным размахом Аи = const и R = 0. Материал — высокопрочная сталь, для которой Kjc = 60 МПа л/м, AKth = 5 МПа л/м и параметры уравнения роста усталостной трещи- трещины D.1.3) т = 4, С = 10~12МН~4м7. Начальный радиус трещины 1О = 2 мм. Для заданных геометрии тела с трещиной и схеме нагружения формула размаха коэффициента интенсивности напряжений имеет сле- следующий вид: 2 АК AО) = -Аа лДГо. 7Г Подставляя эту формулу в критерий Ирвина АК (lo) < AKth, опреде- определяем диапазон амплитуд цикла напряжений, выдерживаемых телом до страгивания трещины: Аналогично запишем условие полного разрушения тела: о - Асгл/тг1 = К1с, 7Г из которого получаем критический радиус трещины
§ 4.1. Механика усталостного разрушения 117 Подставляя формулу размаха коэффициента интенсивности напряже- напряжений в уравнение среднеамплитудного участка диаграммы усталостного разрушения D.1.3): dN и интегрируя это уравнение в заданных пределах: ГЧ1= ( Л Аа) CN, получаем уравнение для определения амплитуд цикла напряжении до полного разрушения тела при заданном числе циклов нагружения N = = 104: 1 1 'о 'с из которого с учетом определенного критического размера трещины 1С рассчитываем величину Аа = 406 МПа. Пример 4.2. Рассмотрим возможные мероприятия, способст- способствующие увеличению циклической долговечности полосы с краевой трещиной при циклическом растяжении. Полоса изготовлена из стали А514 с пределом текучести о~т = 700 МПа и вязкостью разрушения Kjc = 5300 Н/мм3/2. Начальная длина трещины со- составляет 1О = 7,6 мм, а параметры цикла нагружения ата^ = 320 МПа, 0"min=175 МПа и Асг = ата^ — ат[п = 145 МПа. Параметры уравнения роста усталостной трещины D.1.3) С = 1,09 • 10~п мм • цикл х х (мм3т/2/Нт) и т = 2,95. Размах коэффициента интенсивности напряжений для заданной геометрии тела и схемы нагружения имеет следующий вид: АК= 1,12Асгл/тгг. Воспользовавшись критерием Ирвина ifmax = Kic, рассчитываем кри- критическую длину трещины: 1С = ( /с Г ) = 70 мм. 1 12/у Затем из формулы D.1.10) с учетом представления размаха коэффици- коэффициента интенсивности напряжений в обобщенном виде: АК = Аау/М1 (М = 1,122тг = 3,94), получаем полную долговечность полосы: N = = 0,82 • 105 циклов нагружения при распространении трещины от 1О = = 7,6 мм до 1С = 70 мм. Для увеличения долговечности рассматриваемого элемента конст- конструкции можно осуществить следующие мероприятия (см. форму- формулу D.1.10)):
118 Гл. 4. Специальные задачи механики трещин • увеличить критическую длину трещины 1С, применив материал с более высоким значением статической трещиностойкости Kjc, или уменьшить скорость роста трещины посредством изменения парамет- параметров С, т циклической трещиностойкости; • изменить эксплуатационные режимы нагружения, понизив размах напряжений Асг, тем самым уменьшив размах АК и соответственно скорость роста усталостной трещины; • уменьшить длину исходной трещины 1О, улучшив технологию изготовления элемента конструкции или методы дефектоскопического контроля. Например, уменьшение длины начальной трещины до 1О = 4,7 мм в данном случае дает увеличение долговечности на 0,207 • 105 циклов, что приводит к увеличению полной долговечности до N = 1,027 • 105 циклов нагружения. 4.1.3. Микромеханизмы усталостного роста трещины. Деление кинетической диаграммы усталостного разрушения на участки обос- обосновано не только чисто математически, но и физически. Отдельным участкам, как правило, соответствуют характерные микромеханизмы разрушения, отражающиеся в микрорельефе поверхности разрушения. Для изучения и описания микростроения поверхностей разрушения используют методы электронного фрактографического анализа, бази- базирующегося на применении просвечивающих и растровых электронных микроскопов [11, 40, 81, 137]. В припороговой области роста трещины (участок 1) на поверхности разрушения наблюдаются фасетки цик- циклического скола. Трещина распространяется по специфическим кри- кристаллографическим плоскостям. Скорость роста трещины и пороговый коэффициент интенсивности напряжения Kth чувствительны к мик- микроструктуре металла; отмечается значительное влияние асимметрии и частоты цикла нагружения, а также окружающей среды. Среднеамплитудный участок диаграммы (участок 2) характеризу- характеризуется бороздчатым рельефом, образующимся на поверхностях разруше- разрушения в результате распространения усталостной трещины, и практиче- практически не зависит от микроструктуры и асимметрии цикла нагружения. Вместе с тем низкая частота нагружения и коррозионно-активная среда продолжают оставаться отрицательными факторами. Наиболее общей моделью, объясняющей механизм формирования бороздчатого микро- микрорельефа, является модель, основанная на пластическом притуплении вершины усталостной трещины в процессе её роста (рис. 4.2). Согласно этой модели во время цикла растяжения трещина раскрывается, пла- пластически притупляясь в вершине. Пластическая деформация в вершине трещины инициирует её распространение в направлении максимальных сдвиговых напряжений (под углом 45° к плоскости трещины). В цикле сжатия направление пластического течения изменяется, приводя к разветвлению вершины трещины. В последующих циклах нагружения
§ 4.1. Механика усталостного разрушения 119 Рис. 4.2. Модель формирования усталостных бороздок (модель Лерда-Смита): а — исходное состояние; б, в — раскрытие трещины в полуцикле растяжения; г, д — закрытие трещины в полуцикле сжатия и её разветвление; е — повторное раскрытие трещины. Стрелками показаны максимальные сдвиговые напряжения процесс повторяется, создавая усталостные бороздки на поверхностях разрушения. Модельные представления о соответствии шага формирующейся на поверхности разрушения бороздки одному циклу нагружения поз- позволяют оценить скорость роста усталостной трещины. Например, на сплавах алюминия, титана, кобальта, низкоуглеродистых сталях уста- установлены корреляционные зависимости макроскопически определенной скорости роста трещины и шага бороздок S от размаха коэффициен- коэффициента АК, что позволило записать степенную зависимость шага усталост- усталостных бороздок от величины АК: S = В(АК)Р, D.1.12) где Вир — константы. Заметим, однако, что существует лишь узкий диапазон макроскопически определенных скоростей роста трещины,
120 Гл. 4. Специальные задачи механики трещин V, м/цикл; S, м 10™5- ю™7 10-ю 10 20 30 АК, МПа • ^м Рис. 4.3. Область соответствия шага бороздок макроскопической скорости усталостной трещины в техническом железе (заштрихованная полоса) [81] в котором совпадение данных микро- и макроанализа удовлетвори- удовлетворительно. Максимальный диапазон соответствия охватывает скорости от значений 4- 10~8 до 4- 10~3 м/цикл, а минимальный — от 1,3- 10~7 до 3,3 • 10~7 м/цикл. Как ранее отмечалось, важным параметром циклической трещино- стойкости на среднеамплитудном участке служит величина Кта^ = = К*, соответствующая скорости V* = 10~7 м/цикл. Следовательно, в соответствии с вышеприведёнными результатами количественного фрактографического анализа К* приобретает физический смысл и яв- является коэффициентом интенсивности напряжений, при достижении которого рост усталостной трещины происходит преимущественно по- посредством образования одной бороздки за цикл нагружения (рис. 4.3). Кроме того, значение V* сопоставимо со скоростью роста трещины при R ~ 0 и соответствует середине диаграммы усталостного разрушения, Т. е. ifmax = ^KthKfc. С увеличением коэффициента интенсивности напряжений и при- приближением его значений к значениям циклической вязкости разруше- разрушения Kfc на диаграмме dl/dN — АК появляется область ускоренного развития трещины (участок 3), характеризуемая взаимодействием ме- механизмов усталостного и статического разрушения. В результате на по- поверхности разрушения образуются как усталостные бороздки, фасетки скола, так и вязкие ямки, являющиеся результатом коалесценции мик- ропор, а скорость роста усталостной трещины определяется суперпози- суперпозицией соответствующих микромеханизмов разрушения. При этом отно- относительный вклад усталостного механизма уменьшается с ростом Кта^, а доминирующим становится коалесценция микропор и скол. На участке 3 диаграммы усталостного разрушения преобладающее отрицательное воздействие оказывают микроструктура, увеличение толщины и асимметрии цикла нагружения. Это обусловлено домини- доминирующей ролью статических механизмов разрушения, следствием чего
§ 4.1. Механика усталостного разрушения 121 является образование сравнительно больших зон пластической дефор- деформации у вершины трещины, вовлекающих в процесс деформирования и разрушения микроструктурные элементы металлов. Влияние частоты разрушения и внешней среды практически отсутствует. 4.1.4. Эффект закрытия трещины. Явление закрытия усталост- усталостной трещины обусловлено тем, что поверхности трещины в окрестности её вершины продолжают соприкасаться на протяжении некоторой доли цикла растяжения, а отсутствие полного контакта (открытие трещины) происходит лишь при некоторой растягивающей нагрузке Рор [81, 151]. В цикле сжатия поверхности трещины снова смыкаются (закрытие трещины) при некоторой нагрузке Рс/, близкой значению Рор. В. Элбер предположил, что доля цикла нагружения ниже коэффициента ин- интенсивности напряжений Кор, соответствующая моменту открытия Время Рис. 4.4. Схема определения размаха эффективного коэффициента интенсив- интенсивности напряжений АКец трещины, не вносит вклада в распространение усталостной трещины (рис. 4.4). Таким образом, было постулировано, что распространение трещины обусловлено действием эффективного размаха коэффициента интенсив- интенсивности напряжений АКф соответствующего моменту полной потери контактов поверхностей трещины: AKPjf = щах - Кор. D.1.13) Тогда формула Пэриса для скорости роста трещины принимает следующий вид: Идентифицировано несколько механизмов закрытия усталостной трещины (рис. 4.5), связанных со следующими факторами: • наличием на поверхностях трещины пластически деформирован- деформированного материала с остаточными напряжениями; • окислением поверхностей трещины в коррозионной среде, приво- приводящим к расклинивающему эффекту продуктами коррозии;
122 Гл. 4. Специальные задачи механики трещин г д Рис. 4.5. Схематическое изображение механизмов закрытия трещины, обу- обусловленных следующими факторами: а — вязкостью среды, б — фазовыми превращениями, в — пластически деформированным материалом на берегах трещины, г — окислением берегов трещины и образованием оксидов, д — шероховатостью поверхностей разрушения • шероховатостью поверхностей разрушения (трещины), появляю- появляющейся в результате распространения трещины через зёрна по опре- определенным кристаллографическим плоскостям (фасеточный характер излома) и приводящей к появлению сдвиговой компоненты усилий и деформированию берегов трещины по типу II; • увеличением объёма материала в зоне предразрушения вследствие локальных фазовых превращений, обусловленных механическими нап- напряжениями; • вязкостью среды, препятствующей перемещению берегов тре- трещины. Первые три механизма закрытия усталостной трещины являются универсальными. Из анализа приведённых механизмов становится оче- очевидно, что на закрытие трещины оказывают влияние такие факторы, как параметры цикла нагружения, окружающая среда, напряженно- деформированное состояние у вершины трещины, химический состав материала и его микроструктура. Закрытие трещины оказывает значительное влияние на кинетику усталостной трещины в припороговой области (участок 1 диаграм- диаграммы усталостного разрушения) при коэффициентах асимметрии цикла нагружения R ^ 0,7. По мере роста размаха АК влияние закрытия трещины уменьшается и исчезает в пределах участка 2 диаграммы усталостного разрушения. Перепишем уравнение D.1.14) в виде ^ D.1.15) Здесь коэффициент открытия трещины U < 1 и определяется как
§ 4.1. Механика усталостного разрушения 123 при Кт[п < Кор. В случае Кт[п > Кор U = 1, и эффект закрытия тре- трещины отсутствует. Имеет место также следующая эмпирическая связь: С/ = 0,5 + 0,4Д, -0,1 < Д<0,7. D.1.17) Модифицированное уравнение Пэриса D.1.15), основанное на явлении закрытия трещины, с учетом коэффициента открытия трещины D.1.16) позволяет прогнозировать влияние коэффициента асимметрии цикла R на кинетику усталостных трещин, долговеч- долговечность и пороговый коэффициент интенсивности напряжений: по- dl dN 100 Г 10 1 од 0,01 0,001 ОД 10 АК/К ¦ор Рис. 4.6. Диаграмма усталостного разрушения среднеуглеродистой стали с учетом эффекта закрытия трещины (формулы D.1.15) и D.1.16)) [151] роговый коэффициент AKth уменьшается с ростом R (рис. 4.6). Кроме того, полагая АКец = АКще^ и АК = AKth, можно показать, что th(eff) D.1.18) 4.1.5. Переменная амплитуда и рост трещины. Как правило, циклически нагружаемые конструкции подвержены действию нагрузок непостоянной амплитуды, и рост трещины происходит в условиях пе- перегрузок или случайных нагрузок. Например, после однократной пере- перегрузки (рис. 4.7) распространение трещины замедляется (рис. 4.8). Для объяснения этого явления и прогнозирования долговечности обратимся к модели формирования циклической зоны пластической деформации у вершины трещины [12, 151]. В полуцикле растяжения до напряжений ата^ у вершины трещины образуется пластическая зона размера гр = — 1 (К, , напряжения /?тг V от в которой равны пределу текучести (рис. 4.9, а), где /3 = 2 для плоского напряжённого состояния и C = 6 для плоской деформации. В полуцик- полуцикле сжатия напряжения уменьшаются до значений <7min = amax — Aa, а предел текучести принимает значение 2ат, поскольку напряжения
124 Гл. 4. Специальные задачи механики трещин ъ/а Перегрузка л Время Рис. 4.7. Схема однократной перегрузки ПО" i 2 -4 5 2 -5 "^ Перегрузка ^^frCHJ^ / СО 1 1 1 1 кпь - О 12 3 4 5 Прирост трещины от момента перегрузки, мм Рис. 4.8. Торможение усталостной трещины в стали после однократной перегрузки ttu ttk /' Рис. 4.9. Распределение напряжений и пластические зоны у вершины усталост- усталостной трещины
§ 4.1. Механика усталостного разрушения 125 (рис. 4.9, б). Таким образом, размер циклической пластической зоны у вершины трещины при отнулевом цикле нагружения в 4 раза меньше 1 1Г размера монотонной зоны rv и равен rvc= — ртг Модель торможения трещины при перегрузке может быть основана на сопоставлении размеров пластической зоны у вершины трещины при постоянной (номинальной) амплитуде нагрузки и перегрузке (модель О.Е. Wheeler). Размер пластической зоны при перегрузке равен D.1.19) /Зтг V о~т ) где Kq — коэффициент интенсивности напряжений при перегрузке. Предполагается, что эффект замедленного распространения трещины сохраняется до тех пор, пока пластическая зона 1 (К \2 ртг у о~т ) возникающая от действия номинального коэффициента Ктах, не достигнет границы зоны гро (рис. 4.10). Коэффициент торможения А/ Текущая пластическая зона Пластическая зона при перегрузке Рис. 4.10. Модель пластических зон у вершины усталостной трещины при ее торможении: а — сразу после перегрузки; б — после прироста трещины на величину А/; в — распространение трещины через пластическую зону, образованную после перегрузки
126 Гл. 4. Специальные задачи механики трещин трещины при её приросте на величину А/ можно представить как Ц7, D.1.21) где 7 ~~ эмпирический показатель степени. При этом скорость роста усталостной трещины dl/dN при номинальном режиме нагружения уменьшается до значения ш) =**ш- D122) dN )R dN Таким образом, торможение трещины в результате однократной перегрузки можно определить количеством циклов нагружения: t N J RCm)' DЛ>23) где 1О — размер начальной трещины в момент перегрузки, /* = — 'о ~г ТрО — ТрП. Рассмотренная модель торможения усталостной трещины при од- однократной перегрузке может быть распространена также на случай циклического нагружения с переменной амплитудой, если проанали- проанализировать коэффициент торможения трещины для каждого цикла на- нагружения с соответствующей переменной амплитудой [12]. 4.1.6. Рост трещины при упругопластическом нагружении. В условиях развитого пластического течения коэффициент интенсивно- интенсивности напряжений теряет свой смысл, и для описания закономерностей роста усталостной трещины необходимо привлекать концепции нели- нелинейной механики разрушения, например концепцию энергетического J- интеграла [127, 151]. В этом случае выражение для скорости трещины может быть представлено в виде степенной зависимости: ^ CAJ. D.1.24) При этом диаграмма усталостного разрушения, построенная в лога- логарифмических координатах, вырождается в прямую линию независимо от значения AJ (рис. 4.11). Параметр нагружения AJ записываем, принимая во внимание опре- определение J-интеграла, как контурного интеграла в упругопластической области (см. гл. 3): г л AJ = Ф (Asij) dy - АТг -Ц? ds. D.1.25)
§ 4.1. Механика усталостного разрушения 127 нг нг X •>- 10" 10" 10" ГаСС, Г=25мм [ [• СТ, Г=50мм д сс, w^: о СТ, Г=50мм ° СТ, W=( 10 102 103 А/или ю4 Рис. 4.11. Кинетическая диаграмма усталостного разрушения стали А533В: А — упругопластическое нагружение, Б — упругое нагружение {СС — об- образец с центральной трещиной, СТ — компактный образец, W — ширина образца) [127] Величина мации: j) имеет вид, аналогичный плотности энергии дефор- 4? D.1.26) о и представляет собой работу напряжений на единицу объема, со- совершённую в полуцикле растяжения. На этом участке напряжения и деформации имеют начальные значения о~- и e\j и увеличиваются до значений а\-} и е\-} (рис. 4.12) . Параметр AJ можно рассчитать из диаграммы циклического де- деформирования образца с трещиной, не прибегая к интегрированию по контуру. Для образца толщины t с длиной ослабленного сечения Ь, циклически нагруженного от значений нагрузки Рт[п до Ртах ПРИ соответствующих смещениях точек приложения нагрузок Vm[n и Fmax (рис. 4.13), формула для AJ имеет следующий вид: AV Ушах (P-Pmin)dV, D.1.27) Vmi
128 Гл. 4. Специальные задачи механики трещин / 4°) / / у Рис. 4.12. Схема цикла нагружения у вершины усталостной трещины Перемещение Перемещение Рис. 4.13. Схема экспериментального определения величины AJ где безразмерная константа г] зависит от типа образца и сохраняет своё значение как и в случае статического нагружения. Для учёта эффекта закрытия трещины в формуле D.1.27) необходимо произвести замену: ^Pmin -> Pel И Vm[n -> Vd. В условиях маломасштабного течения, когда размер циклической зоны пластической деформации значительно меньше характерных раз- размеров образца, становится справедливым соотношение AJ = АК2/Е', где Е1 = Е для плоского напряжённого состояния, Е1 = Е/ A — z/2) — для плоской деформации. В рамках механики малоциклового разрушения эффективным также оказывается использование таких деформационных параметров нелинейной механики разрушения, как раскрытие в вершине тре- трещины и коэффициент интенсивности деформаций, характеризующих кинетику усталостных трещин [36, 71]. Кинетические диаграммы уста- усталостного разрушения, построенные с использованием деформацион- деформационных параметров, имеют общую со среднеамплитудным участком прямую независимо от размеров пластической зоны у вершины тре- трещины.
§ 4.2. Динамическая механика разрушения 129 § 4.2. Динамическая механика разрушения Выделение динамической механики разрушения в самостоятельное научное направление механики трещин обусловлено прежде всего сле- следующими факторами: наличием инерционных эффектов, зависимостью механических свойств от скорости нагружения и отражением волн напряжений от трещины и границ тела. Указанные факторы оказыва- оказывают значительное влияние на напряжённо-деформированное состояние у вершин трещины, а следовательно, и на её кинетику. Страгивание трещины может быть вызвано как квазистатической, так и динамиче- динамической нагрузкой. После стадии динамического роста может произойти остановка трещины. Сформулируем основные задачи динамической механики разру- разрушения: • установление зависимости параметров механики разрушения от времени и скорости распространения трещины; • формулировка критериев страгивания, распространения, ветвле- ветвления и остановки трещины; • анализ кинетики трещины и её траектории. В рамках рассматриваемых задач динамической механики разру- разрушения проанализируем напряженно-деформированное состояние у вер- вершин стационарной и распространяющейся трещин, кинетику и траекто- траектории трещин в зависимости от скорости нагружения и распространения трещины, а также модели и критерии динамики трещин [81, 106, 136, 151]. 4.2.1. Стационарные трещины. Увеличение скорости деформи- деформирования материала в окрестности вершины стационарной трещины под действием импульсных нагрузок, а также в окрестности вершины динамически распространяющейся трещины приводит к росту предела текучести, следствием чего является уменьшение размера пластической зоны у вершины трещины. Поэтому, полагая поведение материала идеально упругим вне малой зоны пластических деформаций, исполь- используем концепцию коэффициента интенсивности напряжений и асимпто- асимптотические формулы для характеристики напряженно-деформированного состояния у вершины трещины. Кроме того, учтём зависимость коэф- коэффициента интенсивности напряжений Ki (г) от времени г в результате инерционных эффектов. Для расчета Kj (r) в телах конечных размеров с трещинами привлекают как аналитические, так и численные мето- методы. В этом случае асимптотические формулы для поля напряжений в окрестности вершины стационарной трещины при импульсном нагру- жении можно записать в виде *'(тЬA) D.2.1) для трещины нормального отрыва (тип I). Асимптотические формулы для трещин типа II и III имеют аналогичный вид. Отметим, что 9 Матвиенко Ю.Г.
130 Гл. 4. Специальные задачи механики трещин к„ поле направлений имеет сингулярный характер, а функции углового распределения цу (в) идентичны функциям при квазистатическом на- гружении (см. п. 2.1.3). Критерий страгивания стационарной трещины при импульсном на- гружении формулируется следующим образом: трещина становится неустойчивой при достижении мак- максимальным коэффициентом интен- интенсивности напряжений в её вершине критического значения KID (a), т.е. когда Kj (r) = Кш (&), D.2.2) где Kid (сг) — характеристика дина- динамической трещиностойкости ма- материала, зависящая от скорости нагружения da/dr = &. При высо- высоких скоростях нагружения трещи- ностойкость Kid (&) не является однозначной функцией а для всех материалов (пунктирные линии на рис. 4.14). В то же время в области скоростей деформирования, соответствующих ударным испытаниям на копре, обнаружена кор- корреляция Kid (&) со скоростью нагружения (заштрихованная полоса на рис. 4.14). 4.2.2. Распространяющиеся трещины. Для трещины, динами- динамически распространяющейся со скоростью v, асимптотические форму- формулы для сингулярного поля напряжений в полярной системе коор- координат (г, 9), движущейся вместе с вершиной трещины (рис. 4.15), da/dr 4.14. Схема зависимости динамиче- динамической трещиностойкости от скорос- скорости нагружения Рис. 4.15. Напряженное состояние у вершины динамически распространяю- распространяющейся трещины в полярной и декартовой системах координат
§ 4.2. Динамическая механика разрушения 131 принимают следующий вид: /2тгг для трещин типа I и II, ,v), D.2.3) ryz = _ Лщ (т) /27ГГ для трещин типа III. Здесь v — мгновенное значение скорости распространения верши- вершины трещины независимо от характера её измерения; Kj (г), Кц (г), Кш (г) — динамические коэффициенты интенсивности напряжений, определяемые на основе предельных соотношений К/ (г) = lim <ТуУ\в=о л/2тгг, Кп (г) = lim тху\в=0 л/2тгг, D.2.5) Кш (г) = lim т^^о >/27гг. В отличие от стационарной трещины, угловые функции /^ @, v) для динамически распространяющейся трещины зависят от скорости v её вершины. При v —> 0 асимптотические формулы D.2.3) и D.2.4) пере- переходят в известные соотношения для компонент напряжений у вершины стационарной трещины. Критерий, контролирующий неустойчивое распространение трещи- трещины, может быть представлен уравнением К!(т) = KID(v), D.2.6) где Kj (r) — мгновенное значение коэффициента интенсивности напря- напряжений в вершине распространяющейся трещины, Kjjj (г?) — динами- динамическая трещиностойкость материала, являющаяся функцией скорости распространения трещины. Динамический коэффициент интенсивности напряжений можно записать через его статический аналог Ki @): KI(r) = k(v)KI@), D.2.7) где к (v) — функция скорости вершины трещины, удовлетворяющая следующим условиям:
132 Гл. 4. Специальные задачи механики трещин k (v) = 1 при v = О и уменьшается до нуля при росте скорости v до значений скорости волн Релея сд. Приближенное выражение для k(v) имеет вид [151]: D.2.8) где h является функцией скоростей упругих волн в твёрдом теле: А Л* У Г, Л* cR) D.2.9) /л r> \ V^ / \ 1/2 о / Л + 2а \ /AM / одесь с\ = I — 1 и С2 = ( — 1 — скорости продольных (расши- (расширения) и поперечных (сдвига) волн соответственно; Л и /i — константы Ламэ, р — плотность твердого тела. Динамическая трещиностойкость (вязкость разрушения) Kid отно- относительно нечувствительна к скорости распространения трещины при низких значениях v, но асимптотически увеличивается по мере при- приближения к предельным скоростям трещины в твердом теле г?/. Экс- Экспериментально установленная тенденция изменения Kid со скоростью трещины может быть представлена соотношением KID = ^гп, D.2.10) 1 - где п — экспериментально определяемая константа, Kja — критиче- критический коэффициент интенсивности напряжений на стадии остановки трещины. Из приведенной формулы следует, что в пределе при v = = 0 Kjd = Kia- Величина Kia меньше статической трещиностойкос- ти Kic и является константой материала. Обратимся к энергетическому соотношению динамической механи- механики разрушения, основанному на понятии интенсивности освобождения энергии (потока упругой энергии в вершину распространяющейся тре- трещины): - к ( (зет где 5)= \-v2/c) (j= 1,2), REU52)=45{52- (l+5fJ - функция Рэлея. Здесь следует иметь в виду, что коэффициенты интенсивно- интенсивности напряжений Ki (г), К и (г) и Кщ (г) являются функционалами скорости трещины. Кроме того, обобщенный анализ результатов ис- исследования Броберга, Нильсона, Акиты и Икеды позволяет сделать следующий вывод: динамическая интенсивность освобождения энергии зависит от скорости трещины и меньше её статического эквивалента.
§ 4.2. Динамическая механика разрушения 133 Однако влияние скорости распространения трещины мало при v < < О,3с\. Если положить 2j = G = Gc, то уравнение D.2.11) становится критериальным и позволяет установить зависимость скорости распро- распространения трещины от времени. Пример 4.3. Определим закон движения полубесконечной трещи- трещины продольного сдвига в поле равномерного сдвигающего напряжения. Коэффициент интенсивности напряжений задан формулой где р(/я) — нагрузка сдвига, соответствующая трещине типа III. Подставляя приведённое значение Кщ (т) в критерий разрушения вида D.2.11) и учитывая, что Ki (т) = Кц (т) = 0, получаем искомый закон движения трещины: 27 = 1^ ^ С2Г ТГ/i \ 1 - ^ С2 Очевидно, что при г -^ос скорость распространения трещины асимптотически стремится к скорости волн сдвига, так как левая часть полученного соотношения должна быть ограничена при г —кх. В пределе при v —> О энергетическое соотношение D.2.11) перехо- переходит известное статическое соотношение. Из анализа энергетического соотношения D.2.11) в вершине распространяющейся трещины сле- следует, что скорость трещин нормального отрыва и поперечного сдвига в твёрдом теле не может превышать скорости волн Рэлея, поскольку должно соблюдаться условие G = 2j > 0. Аналогичное условие имеет место и для трещины продольного сдвига: скорость распространения трещины не может превышать скорости волн сдвига с^. Двухпарамепгрический критерий разрушения. Рассмотрим модель и критерий разрушения твердого тела, характеризующие момент пе- перехода трещины от стабильного (устойчивого) роста к нестабильному (неустойчивому) росту при квазистатическом нагружении и с даль- дальнейшим нестабильным развитием трещины в закритическом состоя- состоянии. Анализ известных экспериментальных данных [106] позволяет представить кинетику трещины при квазистатическом нагружении сле- следующим образом (рис. 4.16, а). При некотором напряжении трещина длины /о начинает стабильно распространяться. Скорость трещины v медленно увеличивается и контролируется внешними напряжениями. После стабильного подроста трещины на величину Als механизм разрушения изменяется. Скорость трещины скачкообразно возрастает в тысячи раз, достигается критическое состояние тела с трещиной. Затем при неизменном критическом напряжении ас трещина переходит в состояние нестабильного (неконтролируемого) роста и скорость её развития v увеличивается уже не столь интенсивно.
134 Гл. 4. Специальные задачи механики трещин Рис. 4.16. Распространение трещины при квазистатическом нагружении (схема) Безусловно, механизмы и параметры разрушения в области транс- трансстабильного состояния трещины Alts (области перехода от стабильного к нестабильному росту трещины) существенны для понимания физи- физических и механических аспектов разрушения при развитии трещины. Вместе с тем информация об указанной области часто противоречива, а момент скачкообразного возрастания скорости трещины до значения начальной скорости нестабильного роста трещины vq не установлен. По-видимому, это связано с весьма малым размером области транс- трансстабильного состояния Alts, c неопределенностью импульса и коорди- координат вершины трещины, а также с неопределенностью энергетического состояния трещины и времени её пребывания в данном состоянии в области скачкообразного развития. Такое представление о развитии трещины в области трансстабильного состояния напоминает известные явления квантовой механики, математическая трактовка которых дана в виде соотношений неопределенностей. В связи с изложенным для анализа трансстабильного состояния трещины целесообразны привлечение микромеханики и "квантовой" механики разрушения, а также постановка уникальных экспериментов. Здесь же, оставаясь в рамках механики сплошной среды, ограничимся рассмотрением кинетики трещины на основе рассматриваемой модели и будем полагать [55, 61], что трещина при критическом напряжении попадает в область трансстабильного состояния (нулевого размера) со скоростью vs, а выходит из неё с начальной скоростью нестабильного развития г>о (рис. 4.16,6). Следует также отметить, что стадия ста- стабильного роста трещины может вообще отсутствовать. Таким образом, в рамках предлагаемой модели в момент начала нестабильного роста трещины её начальная скорость равна vo. Запишем энергетический баланс для двумерной задачи Гриффитса при нестабильном (лавинообразном) развитии прямолинейной сквозной
§ 4.2. Динамическая механика разрушения 135 трещины: /kpfv2a ) • • Здесь р — плотность твердого тела; I — текущая длина трещины; Е — модуль упругости; т\ — удельная энергия поверхностных напряжений; к — некоторая константа. Кинетическая энергия частиц среды (первое слагаемое в энергетическом балансе), перемещающихся при распро- распространении трещины, дана в трактовке Мотта. Во втором слагаемом учтена разница между удельной энергией поверхностных напряжений т\ и удельной поверхностной энергией 7 твердого тела (см. § 3.4). Кроме того, следует отметить, что с увеличе- увеличением скорости деформирования твердого тела разница между поверх- поверхностным напряжением и поверхностной энергией увеличивается [61], учет этого факта становится весьма важным в задачах динамической механики разрушения. Обратимся вновь к энергетическому балансу D.2.12) и запишем критериальное условие для критического состояния тела с трещиной при нестабильном разрушении с учетом формулы C.4.6) в виде «(...) = ^^+47A-.^)-^=0, D.2.13) полагая в рамках предложенной модели в качестве граничного условия v = vo при / = 1с. Обозначив мгновенное значение коэффициента ин- интенсивности напряжений в вершине неустойчивой трещины как Kj = = ac^irlc и учитывая, что 27 = K\cjE, получаем двухпараметриче- ский критерий неустойчивого динамического разрушения: D.2.14) который при г>о —> 0 сводится к двухпараметрическому критерию ста- статической механики разрушения C.4.8). В уравнении C.2.14) сш = = BтгЕ/ (кр)) ' — максимальная скорость трещины в твердом теле. В отличие от известных моделей и критериев роста трещины, предполагающих отсутствие устойчивого роста трещины и переход к неустойчивому росту трещины при скорости г>о ~ 0 (точка А на рис. 4.16), в данной модели принято, что неустойчивое состояние тре- трещины достигается при некоторой начальной скорости г>о после стадии устойчивого роста трещины (точка В на рис. 4.16). Критериальная характеристика неустойчивого состояния в вершине трещины в момент начала динамического распространения трещины (правая часть критерия C.2.14)) зависит как от постоянных твердого тела Кic, сгв и сш, так и от начальной скорости неустойчивого роста трещины г>о и критического напряжения ас, а следовательно, и от
136 Гл. 4. Специальные задачи механики трещин 0,5 0 0,2 0,4 0,6 0,8 Рис. 4.17. Графическая иллюстрация двухпараметрического критерия динами- динамической механики разрушения конечных размеров трещины, включая 1С —> 0 (Рс1ав "^ 0- Гра- Графическая интерпретация критерия C.2.14) представлена на рис. 4.17 семейством кривых для разных относительных критических напря- напряжений сгс/ав: влияние скорости неустойчивого роста трещины vq незначительно до значений 0,3 -!-О,4г>о/ст, в то же время наблюдается влияние относительного критического напряжения. Кроме того, двух- параметрический критерий динамического разрушения C.2.14) позво- позволяет теоретически обосновать диаграммы трещиностойкости, отражаю- отражающие критическое состояние тел с трещинами в широком диапазоне длин трещин (включая 1С —> 0), а также рассчитать диаграммы разру- разрушения ас — 1С. Введем в рассмотрение критериальную характеристику динамиче- динамического роста трещины (динамическую вязкость разрушения) Kjjj из критерия C.2.14) в виде К1С KID = yl - (vo/cmJ D.2.15) Отметим, что при увеличении скорости неустойчивого роста трещи- трещины ^о динамическая вязкость разрушения Кщ увеличивается, а при ^о —> 0 величина KID переходит в статическую вязкость разруше- разрушения К 1С- Такое поведение динамической вязкости разрушения хорошо коррелирует с экспериментальными данными (рис. 4.18), но несколько отлично от теоретической оценки D.2.10). Таким образом, в рамках предложенной модели неустойчивого рас- распространения трещины двухпараметрический критерий динамической
§ 4.2. Динамическая механика разрушения 137 200 150 50 0 400 800 1200 Скорость трещины, м/сек Рис. 4.18. Зависимость динамической вязкости разрушения Kid от скорости распространения трещины в стали 4340 (Кю = 71 МПа-^/м, сш = 1100 м/сек): сплошная линия — расчет по формуле C.2.15), точки — экспериментальные данные, приведенные в [151] механики разрушения может быть представлен следующим образом: Kj = Кшф-ас/ав, D.2.16) где динамическая вязкость разрушения твердого тела Kjjj определя- определяется по формуле C.2.15). При этом поправочные функции критическо- критического напряжения д/1 — ас/ав и скорости неустойчивого роста трещи- Г 2l~1/2 ны 1 — (vo/cm) определяются вышеприведенными модельными представлениями о деформировании и разрушении материала в зоне у вершины трещины и, вообще говоря, могут быть усложнены по мере усложнения модели твердого тела. Для определения скорости v нестабильного развития трещины опре- определим константу в исходном уравнении D.2.12) с учетом соотноше- соотношений C.4.6), D.2.13) и граничных условий: const = U0 = ткт 212г D.2.17) Тогда энергетический баланс D.2.12) можно переписать в виде kpl2 2a2 v2a c 2Е2 Е 7clc kPlcvoac Е Е 2Е2 ' D.2.18) из которого получаем скорость нестабильного развития трещины 1 /9 v = {с2т A - lc/lf + v2 (Ic/l) B - lc/l)} • D.2.19) Очевидно, что текущая скорость трещины v располагается в диа- диапазоне между начальной скоростью нестабильного роста трещины vq
138 Гл. 4. Специальные задачи механики трещин и максимальной ст и зависит от относительной длины трещины 1/1с, асимптотически стремясь к стпри значительном увеличении распро- распространяющейся трещины 1/1с. Расчет скорости v нестабильного роста трещины выполнен для вы- высокопрочной стали ВНС-9. В качестве максимальной скорости трещины принята скорость волн Рэлея ст = сд, которая для стали составляет ~ 3000 м/с. Для оценки начальной скорости vq нестабильного роста трещины было использовано эмпирически установленное постоянство отношения средней скорости нестабильного развития трещины (v) к критическому напряжению ас [106]. Критические напряжения для заданных размеров трещины вычислялись на основе двухпараметриче- ского критерия механики разрушения. Из результатов, представленных на рис. 4.19, следует, что ско- скорость нестабильного развития трещины и характер её изменения по мере продвижения в значитель- значительной мере определяются её началь- ^^ ной скоростью vo, которая является °'8Г/ -> ^^ функцией критических напряжений. Учитывая однозначную связь крити- ' I" ' ческих напряжений с критическим и02 0,4 0,2 (l_v =v 2-v =v ) размером трещины в рамках двухпа- 0 01' ° 02 раметрического критерия механики разрушения, можно заключить, что 13 5 7 9 II1С существенное влияние на кинетику трещины при нестабильном разру- 4.19. Зависимость скорости рос- шении оказывает длина критической та трещины при нестабильном ее трещины 1С. Причем для коротких распространении от относитель- трещин (высокие критические напря- ной длины трещины жения и, как следствие, высокая на- начальная скорость г>о нестабильного роста трещины ) характер изменения скорости трещины v менее ин- интенсивен, чем для длинных трещин (низкие значения vo), и в большей степени определяется вторым слагаемым в формуле A3.2.19). В случае длинных трещин наблюдается существенное увеличение их скорости на начальном этапе нестабильного развития, что обусловлено большим влиянием на значение v первого слагаемого в формуле C.2.19). Энергетический J-интеграл. Для записи энергетического соотно- соотношения в вершине распространяющейся трещины может быть также привлечена концепция энергетического контурного J-интеграла (см. гл. 3). Для квазистатического нагружения J-интеграл по определению эквивалентен интенсивности освобождения упругой нелинейной энер- энергии. В отличие от статического интеграла, в динамический интеграл включены динамические и временные эффекты, связанные с поведени- поведением твёрдого тела. Рассмотрим малый контур Г —> 0, окружающий вершину распро- распространяющейся трещины в двухмерном теле (рис. 4.20). Интенсивность
§ 4.2. Динамическая механика разрушения 139 освобождения энергии равна пото- потоку энергии в вершину трещины, отнесённому к скорости трещины: J = - D.2.20) v где F — поток энергии в область, охваченную контуром Г. Энергетиче- Энергетический баланс для тела с распростра- распространяющейся трещиной даёт следующее полезное соотношение: F = Urn [(w г Т) v5Xj tin LLO , D.2.21) 4.20. Схема потока энергии в вер- вершину распространяющейся тре- трещины, охваченную малым конту- контуром Г где Uj — компонента единичного вектора внешней нормали к элементу контура ds, T — плотность кинетической энергии, w = плотность энергии деформации. Запишем скорость перемещений как дх дт D.2.22) Для условий стационарного состояния второе слагаемое в D.2.22) полагаем равным нулю. Окончательно получаем для J-интеграла фор- формулу, учитывающую инерционные эффекты: J = lim W ¦T)dy-aijnj^ds D.2.23) В случае учёта временных эффектов плотность энергии представима в г виде w = | cfijeij dr, где iij — скорость деформации. то Выражение для динамического J-интеграла в виде D.2.23) спра- справедливо не только в случае упругого поведения твёрдого тела, но и в случае пластического, вязкопластического и вязкоупругого по- поведения, поскольку оно установлено из общих представлений об энергетическом балансе. Вместе с тем этот интеграл не является контурно-независимым для произвольно выбранного контура инте- интегрирования Г. Это обусловлено тем, что отраженные от трещины и границ тела волны напряжений в фиксированные моменты време- времени будут пересекать один произвольно выбранный контур, изменяя напряженно-деформированное состояние на нём, но не пересекут дру- другой произвольный контур интегрирования. Таким образом, контурная инвариантность динамического J-интеграла имеет место лишь для контуров Г —> 0.
140 Гл. 4. Специальные задачи механики трещин 4.2.3. Ветвление трещины. При достижении трещиной доста- достаточно высоких скоростей распространения наблюдается её ветвление. Существует несколько моделей, объясняющих это явление. Впервые ветвление трещин было теоретически исследовано Е. Иоффе с по- позиций критерия максимальных окружных напряжений gqq. Угловое распределение компонент напряжений у вершины распространяющейся трещины D.2.3) и D.2.4) зависит от её скорости. Так, например, для трещины нормального отрыва при скорости v = = 0,61с2 максимум напряжений gqq смещается из плоскости трещи- трещины. При дальнейшем увеличении скорости v сингулярные компонен- компоненты напряжений достигают максимума при в ~ 60° (рис. 4.21). Такое Рис. 4.21. Распределение относительных окружных напряжений у вершины распространяющейся трещины смещение максимумов ctqq создаёт предпосылки для потери прямоли- прямолинейно распространяющейся трещиной устойчивости, что приводит к её ветвлению. Другие модели ветвления трещин основаны на привлечении под- подходов физики и микромеханики процессов повреждения объёмов ма- материала в окрестности вершины трещины и сводятся к следующему. Перед вершиной трещины в зоне предразрушения образуются микро- микродефекты в виде пор, микротрещин и скопления дислокаций. По мере роста скорости распространения трещины возрастает как количество микродефектов, так и их размеры. Причём микродефекты образуются не только в плоскости трещины, но и вне её. Процессы взаимодействия магистральной трещины с микродефектами в зоне предразрушения приводят к тому, что энергетически более выгодным становится раз- развитие микротрещин в зоне предразрушения и превращение их в само- самостоятельные макротрещины, т.е. ветвление магистральной трещины.
§ 4.2. Динамическая механика разрушения 141 4.2.4. Остановка трещины. Если коэффициент интенсивности на- напряжений Kj (т) в вершине распространяющейся трещины становится меньше динамической вязкости разрушения Kid в течение конечного интервала времени, то трещина останавливается. Явление остановки трещины может быть обусловлено как уменьшением трещинодвижу- щей силы G, так и повышением сопротивления материала росту тре- трещины. Последнее можно проиллюстрировать на следующих примерах. Трещина, распространяясь в хрупкой зоне сварного шва, останавлива- останавливается в основном материале с большой вязкостью. Другим примером является остановка трещины в материале при наличии температур- температурного градиента: трещина распространяется из области охлаждённого (а следовательно, охрупченного ) материала в область с более высокой температурой (а следовательно, с большей вязкостью ). Из записи динамического коэффициента интенсивности напряже- напряжений в виде D.2.7) следует, что в момент остановки Ki (r) становится эквивалентен квазистатическому коэффициенту интенсивности напря- напряжений, поскольку скорость трещины v = 0. Это означает, что крити- критический коэффициент интенсивности напряжений на стадии остановки трещины может быть вычислен в квазистатическом приближении по нагрузке и длине трещины в момент остановки, т. е. Kt = К1А, D.2.24) где Kia — постоянная материала, зависящая только от температуры. Такие рассуждения строго справедливы только для неограниченных тел или коротких скачков (по сравнению с размерами тела) трещины в процессе её распространения, когда отсутствует влияние отражённых волн на напряжённо-деформированное состояние в вершине трещины, т. е. отражённые волны напряжений не успевают вернутся в вершину трещины. Пример 4.4. Дадим оценку величины прироста А/ краевой трещи- трещины, динамически распространяющейся в пластине, при котором первая отражённая от границы тела волна напряжений достигает вершины трещины (рис. 4.22). В этом случае упругая волна проходит путь, равный BЬо — А/). Приравнивая времена распространения трещины и волн напряжений, а также полагая среднюю скорость распространения трещин v = 0,2с\, имеем _^/_ _ 2Ъ0 - А/ 0,2ci " С! Таким образом, в данном примере квазистатическая оценка дина- динамических коэффициентов интенсивности напряжений корректна при приросте трещины А/ ^ Ьо/3. В случае значительного влияния упругих волн напряжений на состояние в вершине трещины остановка трещины имеет место при критическом коэффициенте Kia < Kia- Таким образом, величина Kia
142 Гл. 4. Специальные задачи механики трещин \\ \\ Распространение волны напряжений Рис. 4.22. Схематическое изображение отраженной от границы тела волны напряжений при динамическом росте трещины даёт нижнюю границу Kia и, в отличие от Kia, является функцией геометрии и длины распространяющейся трещины. Теоретический анализ влияния волновых процессов на скачко- скачкообразное распространение трещины и напряженно-деформированное состояние до сих пор представляет собой весьма сложную задачу. Поэтому для определения динамического коэффициента интенсивности напряжений необходимо привлекать экспериментальные и численные методы. В то же время квазистатический подход к явлению остановки трещины нашел достаточно широкое практическое применение. § 4.3. Механика контактного разрушения и изнашивания Механика контактного разрушения изучает процессы разрушения поверхности твердых тел в результате зарождения и распространения поверхностных трещин в условиях контактного взаимодействия. Мо- Модели и критерии контактной механики разрушения [13, 23, 27, 37, 90, 102] успешно применяются при решении проблем изнашивания, фреттинг-усталости и др. Для описания явления поверхностного разрушения твердых тел необходимо привлечение подходов физики, материаловедения и ме- механики деформируемого твердого тела. Оставаясь в рамках контину- континуальной механики, сконцентрируем внимание на анализе напряженно- деформированного состояния, зарождения и распространения поверх- поверхностных трещин в твердых телах при их контактном взаимодействии. Затем перейдем к анализу кинетики разрушения поверхностных слоев при изнашивании.
§ 4.3. Механика контактного разрушения и изнашивания 143 Следует отметить, что напряженно-деформированное состояние и кинетика повреждений в значительной степени определяются нагруз- нагрузкой и геометрией внедряемых тел (инденторов), которые условно делят на острые и пологие. 4.3.1. Классическая задача Герца. На примере задачи Герца проанализируем напряженно-деформированное состояние упругого по- полупространства с модулем упругости Е и коэффициентом Пуассона z/, возникающее при контакте со сферическим индентором радиуса R Рис. 4.23. Герцевский контакт под действием статической силы Р (рис. 4.23). Решение задачи Герца дает следующие результаты: радиус контактной площадки a=\l v 4Е ' , D.3.1) максимальное давление в зоне контакта *-§?-§*• <4з2) распределение давления на контактной площадке - (а/гJ. D.3.3) Приведем также графическое изображение траектории главных напряжений и их значения, отнесенные к среднему давлению qo, в упругом полупространстве при коэффициенте Пуассона v = 0,33
144 Гл. 4. Специальные задачи механики трещин 1 а 0,166 -1,250 U I A -0,250 Рис. 4.24. Главные напряжения в упругом полупространстве: а — траектории напряжений (вид сверху); б — траектории напряжений в сечении по плоскости симметрии; в — напряжения на поверхности полупространства; г, д, е — линии равных напряжений а\, <72, сгз в плоскости осевого сечения (медианной плоскости) соответственно (рис. 4.24). Здесь размер контактной площадки обозначен АА, а траек- траектории напряжений отражают их направления. На поверхности контакт- контактной площадки главными являются сжимающие напряжения, которые имеют примерно одинаковые значения, т. е. в этой области фактически реализуются условия всестороннего сжатия (рис. 4.24, в). Вне зоны контакта радиальные напряжения а\ являются растягивающими, до- достигают максимального значения на границе контакта и уменьшаются при удалении от неё (г ^ а): Ц^Ц^J D.3.4) При этом окружное напряжение а^ = cfq является сжимающим, а на- напряжение <7з равно нулю. Следовательно, вне контактной площадки реализуются условия чистого сдвига.
§ 4.3. Механика контактного разрушения и изнашивания 145 Анализ изменения главных напряжений внутри упругого полупро- полупространства (рис. 4.24 г-е) позволяет сделать следующее заключение: главное напряжение о~\ имеет максимальное растягивающее значение непосредственно в области границы контактной зоны и превышает величину напряжений <Т2 и <тз, окружное напряжение <Т2 принимает положительное значение лишь на глубине 1,7а от поверхности контак- контакта, напряжение о~з является сжимающим. 4.3.2. Зарождение и кинетика трещин. Зарождение микротрещин при внедрении индентора происходит в результате сдвиговых процес- процессов. Как было показано в гл. 1, сдвиговая деформация в кристалли- кристаллических твердых телах является следствием действия дислокационных механизмов. Поэтому в задачах механики контактного разрушения для анализа зарождения микротрещин могут быть успешно привлечены дислокационные модели и критерии образования микротрещин. Дейст- Действительно, с помощью фрактографических исследований было уста- установлено, что механизмы зарождения медианных трещин обусловлены высокой концентрацией напряжений в голове дислокационных скопле- скоплений, возникающих при пересечении плоскостей скольжения краевых дислокаций (см. модель Коттрелла в § 1.5), или проскальзыванием границ зерен. На примере внедрения пирамиды Виккерса рассмотрим кинетику зарождения и развития трещин в поликристаллическом теле [37, 90]. При малых нагрузках в углах отпечатка пирамиды образуются поверх- поверхностные радиальные трещины (рис. 4.25, а). Дальнейшее увеличение БТ Рис. 4.25. Схема образования трещин при внедрении пирамиды Виккерса (РТ, МТ, БТ - радиальные, медианные и боковые трещины соответственно): а — малые нагрузки, б — большие нагрузки 10 Матвиенко Ю.Г.
146 Гл. 4. Специальные задачи механики трещин нагрузки вызывает образование дисковых медианных трещин в плос- плоскостях радиальных трещин (плоскостях осевого сечения пп и рр), слияние радиальных и медианных трещин, приводящее в конечном итоге к образованию полудисковых медианных трещин (рис. 4.25,6). В условиях герцевского (упругого) контакта распространение су- существующих поверхностных микротрещин начинается вне контактной площадки, но в непосредственной близости от неё (см. рис. 4.24, в-е) при достижении растягивающими напряжениями а\ критических на- напряжений. Схематически образование и развитие трещины, иниции- инициированное поверхностными микротрещинами, при увеличении внешней нагрузки Р и, следовательно, росте растягивающих напряжений ау = = а\ представлено на рис. 4.26, на котором существующие поверхност- \ Рис. 4.26. Стадии процесса разрушения в задаче Герца: а — образование контактной площадки радиуса а, б — образование кольцевой трещины радиу- радиуса у от поверхностной микротрещины, в — образование пространственной конической трещины
§ 4.3. Механика контактного разрушения и изнашивания 147 ные микротрещины изображены в виде системы коротких вертикаль- вертикальных штрихов. Первая стадия процесса разрушения заканчивается обра- образованием поверхностной кольцевой трещины (рис. 4.26,6), следующей траектории окружных напряжений о~2 (рис. 4.24, а). При дальнейшем увеличении нагрузки кольцевая трещина устойчиво распространяется вглубь тела и при достижении критической глубины / ^ 0,1а переходит в стадию неустойчивого роста, приводящего к образованию простран- пространственной конической трещины глубины а (вторая стадия) (рис. 4.26, в). Таким образом, условно процесс разрушения можно разделить на две стадии: образование короткой, нормальной к поверхности трещины A/а < 3 • 10~2) в однородном симметричном поле напряжений и длин- длинной трещины A/а > 3 • 10~2) в неоднородном поле напряжений. В рамках концепции коэффициента интенсивности напряжений и критерия Ирвина критические нагрузки Рс, при которых образуются трещины, записываются в следующем виде [37]: короткая трещина 3A,12J A -2vf{\ -I/2) длинная трещина D.3.6) где к = — A — и2) + A — v\) — ; Е\, щ и Е, v — упругие посто- постоянные индентора и упругого полупространства соответственно; 7 ~~ удельная поверхностная энергия полупространства. Функция фа опре- определяется углом а и решением Губера для напряжений при герцевском контакте. Приведенные соотношения D.3.5) и D.3.6) позволяют рас- рассчитать зависимость относительного размера 1/а трещины, расположенной на расстоянии у/а от центра контакта, от критической силы Рс, т. е. диаграмму герцевского разруше- разрушения. В случае разрушения стекла (R = 4,75 мм; к = 0,6; 7 — = 5,5 Дж/м2) эта диаграмма иллюстрируется семейством кривых (рис. 4.27). Штриховыми линиями на рис. 4.27 обозначены размеры трещин в микрометрах. Для коротких трещин A/а < 3 • 10~2) приведенная зависимость имеет вид прямых с отрицательным наклоном dP/d(l/a), что подтверждает неустойчивое состояние этих трещин (см. § 3.5). В процессе роста короткая трещина изменяет направление и распространяется под углом а < 90°, переходя из области растяжения А в область сжатия В (рис. 4.28) и превращаясь в длинную трещину. При этом критическая нагрузка определяется уравнением D.3.6) и наклон диаграммы герцевского
148 Гл. 4. Специальные задачи механики трещин На 10 ю-1 Ю-2 1000 мкм 100 у/а 1,1 1,3 1,6 2,0 1,2 1,4 1,8 1 10 102 103 104 P,H Рис. 4.27. Диаграмма герцевского разрушения стекла у/а 4 Рис. 4.28. Траектория трещины при герцевском нагружении (у/а = 1,4) разрушения dP/d(l/a) меняется на положительный (l/а > 3 • 10~2), т. е. трещина переходит в устойчивое состояние. 4.3.3. Определение трещиностойкости индентированием. Мо- Модели и критерии зарождения и распространения трещин в твердых телах при контактном нагружении открывают широкие перспективы применения техники индентирования для определения характеристик трещиностойкости конструкционных материалов [13, 37, 90]. Подтвер- Подтверждением этого является метод определения трещиностойкости Kjc при
§ 4.3. Механика контактного разрушения и изнашивания 149 вдавливании пирамиды Виккерса: '2, 3 sin 0/2) \ Рс ) К1с = С 4,5а D.3.7) Здесь С — коэффициент стеснения в зависимости Н = Со~т меж- между твердостью Н и пределом текучести о~т, <? ~ 68°, а критиче- критическая нагрузка Рс, длина медианной трещины 1Ш и размер контакт- контактной площадки а определяются из эксперимента. Тарировочная кривая 20 г- 16 12 j 0 2 4 6 8 10 (Р/а3/2) lg D,5 a/lj, МПа • м1/2 Рис. 4.29. Тарировочная кривая статической трещиностойкости для пирамиды Виккерса (точками обозначены результаты эксперимента) трещиностойкости Kjc для стандартной пирамиды Виккерса приведена на рис. 4.29 и может быть использована для практических приложений. 4.3.4. Кинетика разрушения поверхностных слоев при изнаши- изнашивании. Современные основы и достижения трибологии обусловлены исследованиями, базирующимися, как правило, на континуальной тео- теории твердых тел [102]. Для дальнейшего развития трибологии и бо- более глубокого понимания процессов изнашивания конструкционных материалов необходимо привлечение подходов, основанных на микро- и мезотрибологии [193]. При этом существенное значение должны приобретать исследования, выполненные с позиций физики и химии поверхности, а также микромеханики деформирования и разрушения поверхностных слоев на атомарном, молекулярном, микро- и мезоуров- нях в условиях трения и износа. Влияние микроструктуры на кинетику изнашивания. В исследо- исследовании износа на микроуровне необходим учет поверхностных физиче- физических и механических слоев твердого тела, микроструктуры, электро- электрохимических процессов, деградации поверхностных слоев, в том числе наводороживания. Исследования изнашивания конструкционных материалов при ре- реализации различных видов изнашивания, в том числе кавитационно-
150 Гл. 4. Специальные задачи механики трещин эрозионного, фреттинг-усталости, а также гидроэрозионного изнаши- изнашивания и др., показали существенный вклад микроструктуры и при- примесных элементов, концентрирующихся в границах зерен. Так, напри- например, при гидроэрозионном изнашивании высокочистой поликристалли- поликристаллической окиси алюминия уменьшение размера зерна сопровождалось уменьшением скорости изнашивания при относительно низком коэффи- коэффициенте трения @,15-0,20) [183]. Размер зерна варьировался в пределах 0,49-1,44 мм. При моделировании микро и макропроцессов изнашивания весьма эффективными оказываются модели микро и макромеханики разруше- разрушения, предполагающие рассмотрение кинетики трещин под действием сил трения. Эти модели основаны, как правило, на эмпирическом наблюдении и анализе кинетики микротрещин в поверхностных слоях при изнашивании, а скорость изнашивания отождествляется со скоро- скоростью развития трещин [166, 184, 246]. Особенности формирования, деформирования и разрушения трибологического слоя. Анализ кинетики трения и изнашива- изнашивания позволяет сделать вывод о формировании в поверхности А 1 2 3 4 5 6 7 ¦«ml Г f i 2а 4m, ^-—~ / U* / / / / 1 Рис. 4.30. Трибологический слой изнашиваемой поверхности, состоящий из субслоев трения специфического трибологического слоя, состоящего из субслоев глубины 5Z (рис. 4.30) [102, 194]. Каждый субслой трибологического слоя в процессе периодического нагружения контактным давлением пластически деформируется и по- получает приращение сдвиговой деформации А7, рассчитать которую позволяет модель приведенная в работе [194]. Приращение деформа- деформации, накапливаемой в субслоях в процессе трения, определяется многи- многими внешними и внутренними факторами, например упругими и пласти- пластическими свойствами материала, приложенным контактным давлением, коэффициентом трения, средой и т. п. Поэтому свойства трибологиче- трибологического слоя существенно отличаются от свойств общей массы материа- материала, что, несомненно, сказывается на скорости изнашивания. При этом
§ 4.3. Механика контактного разрушения и изнашивания 151 в трибологическом слое имеют место следующие эффекты: изменение твердости, эффекты деформационного упрочнения (разупрочнения), из- изменение коэффициента трения в результате перемешивания смазочного материала с частицами износа, анизотропия материала, изменение свойств материала по глубине трибологического слоя. Согласно [102], многослойная поверхность трения (трибологический слой) включает в себя адсорбированный и граничный субслои, смазочный материал, оксиды, текстурированный и исходный материалы. Кроме того, важная роль с точки зрения деформирования и поверхностного разрушения принадлежит сильно изменяющейся температуре в зоне фрикционного контакта. С учетом механики, физики и химии процессов микроизна- микроизнашивания, а также процессов деградации (например, наводороживания) материала скорость изнашивания может быть представлена в виде функционала W = Ф{и (<п, еи Т,...), fm (<тт, о-в, п, Е, и, С, m, d, /т,...), a,Rp, ...)}• D.3.8) Здесь fa, /m, fs — функции параметров нагружения, материала и со- состояния поверхности соответственно. Существует два возможных подхода для описания изнашивания с учетом формирования трибологического слоя в поверхности трения. Первый подход основан на полном МКЭ-анализе с привлечением слож- сложных определяющих уравнений, включающих вышеотмеченные эффек- эффекты, наблюдаемые в трибологическом слое. Несмотря на то что такие уравнения начинают появляться в литературе, существует проблема адекватных характеристик субслоев, используемых в полном числен- численном анализе. Кроме того, для подобных весьма сложных вычислений требуется высокоскоростная компьютерная техника и соответствующее программное обеспечение. Альтернативный подход может быть основан на феноменологическом подходе, использующем упрощенные модели и методы анализа, дающие обозримые и не противоречащие экспери- эксперименту результаты. В рамках небольшой главы невозможно проанализировать все воз- возможные виды реализации процессов изнашивания материалов, описы- описываемых таким сложным функционалом D.3.8). Поэтому продемонстри- продемонстрируем применение механики разрушения на некоторых процессах изна- изнашивания материалов, используя при этом простейшие представления о трибологическом слое. Кавитационно-эрозионное изнашивание. Рассмотрим микроме- микромеханизмы и кинетику микроповреждений и разрушений в условиях кавитационно-эрозионного изнашивания стали марки S15C. Экспери- Экспериментальные исследования выявили следующие закономерности про- процесса и механизмы кавитационно-эрозионного изнашивания. Процесс
152 Гл. 4. Специальные задачи механики трещин 3 4 Время, час О 1 2 Рис. 4.31. Скорость кавитационно-эрозионного изнашивания стали S15C 3000 2500 2000 1500 юоо 500 g 3000 9 2500 | 2000 & 1500 ° юоо 500 „I о 20 5 10 15 20 0 5 10 15 Диаметр частиц, мкм Диаметр частиц, мкм Рис. 4.32. Связь между эрозионным объемом и диаметром эрозионных частиц в стали S15C: а — начальная стадия; б — инкубационная стадия; в — стадия ускоренного изнашивания; г — стадия, характеризуемая максимальной скоростью изнашивания может быть разделен на четыре последовательные стадии (рис. 4.31) [184]: а) начальная стадия, характеризуемая высокими скоростями изна- изнашивания материала; б) инкубационная стадия с низкой скоростью изнашивания; в) стадия ускоренного изнашивания; г) стадия, характеризуемая максимальной скоростью изнашивания. Скорость изнашивания представлена в виде отношения объема изношенного материала ко времени взаимодействия тел, приведшему к разрушению (потере) этого объема. В результате анализа результатов исследования этого вида изна- изнашивания [184] обнаружена корреляционная связь между эрозионным
§ 4.3. Механика контактного разрушения и изнашивания 153 объемом (объемными потерями материала) и размерами эрозионных частиц (рис. 4.32). При этом эрозионный объем определяется как произведение объема эрозионных частиц и их количества. Предполагается, что эрозионные частицы имеют сферическую фор- форму, и, следовательно, их объем уменьшается с уменьшением диаметра частиц. На начальной стадии кривая изменения эрозионного объема имеет ярко выраженный единственный пик, соответствующий части- частицам диаметра 3-5 мкм. На этой стадии изнашивание обусловлено, главным образом, ударным разрушением с образованием эрозионных частиц. На эрозионной кривой инкубационной стадии изнашивания наблюдается также единственный, но меньшей интенсивности, пик, свидетельствующий об упрочнении поверхностного слоя. На следую- следующей стадии изнашивания (ускоренной стадии) появляются два пика. Причем наличие второго пика объясняется удалением больших эрози- эрозионных частиц, образующихся в результате медленного роста микро- микротрещин в сильно деформированном трибологическом слое. Свидетель- Свидетельством такого механизма изнашивания на ускоренной стадии являются усталостные бороздки на поверхностях больших эрозионных частиц. Следовательно, превалирующим и контролирующим механизмом изна- изнашивания на указанной стадии является усталостный механизм. На ста- стадии максимально наблюдаемой скорости изнашивания частицы, соот- соответствующие второму пику на эрозионной кривой, достигают диаметра 14 мкм, что также указывает на усталостный характер их образования в результате медленного развития микротрещин. В то же время на последних двух стадиях отмечается образование эрозионных частиц диаметра 5 мкм, что может являться результатом действия механизма ударного разрушения. Обнаруженная стадийность процесса кавитационно-эрозионного из- изнашивания, обусловленная развитием микротрещин с образованием эрозионных частиц разных размеров в результате действия усталостно- усталостного и ударного воздействий, косвенным образом подтверждает наличие трибологического слоя в поверхностном объеме зоны трения. Акцентируем внимание на стадии изнашивания с максимальной скоростью изнашивания, поскольку скорость на этой стадии в шесть раз превышает скорость изнашивания на начальной и инкубационных стадиях. Интерпретацию скорости изнашивания дадим с позиций ме- механики разрушения, а механизм изнашивания рассмотрим с позиций образования эрозионных частиц. На рис. 4.33 представлена кинетика изнашивания поверхности материала за счет распространения микро- микротрещин, приводящих к образованию и удалению эрозионных частиц, полученная с помощью сканирующей электронной микроскопии. Трещины (отмечены стрелками на рис. 4.33) зарождаются в ниж- нижней части выступов, причем размер нижней трещины (рис. 4.33, а) составляет 6 мкм, а размер наклонной трещины, расположенной пра- правее, составляет 0,5 мкм. Через 3 минуты процесса кавитационно- эрозионного изнашивания первая трещина не увеличивается в разме- размерах (рис. 4.33,6), а наклонная трещина распространяется и через 6
154 Гл. 4. Специальные задачи механики трещин 2 часа i часа .j минуты J.J V А 30 мкм Рис. 4.33. Трещины, наблюдаемые в поверхностном слое стали S15C при кавитационно-эрозионном изнашивании через указанное время воздействия минут (рис. 4.33, в) после начала наблюдения достигает 6 мкм. Через следующие 3 минуты (рис. 4.33, г) происходит процесс удаления мате- материала с поверхности за счет образования частицы материала.
§ 4.3. Механика контактного разрушения и изнашивания 155 30 г 20 1 ю 100 ПО 120 130 140 150 Время, час Рис. 4.34. Кинетика кавитационно-эрозионной трещины и 10" 1 10 100 Длина трещины, мжм Рис. 4.35. Зависимость скорости роста трещины от ее длины На рис. 4.34 представлено изменение длины трещины с течением времени. С увеличением длины трещины скорость её распространения увеличивается (рис. 4.35). По аналогии с уравнением для скорости роста усталостной макротрещины и в предположении постоянства раз- размаха приложенных напряжений Дети пропорциональности количества циклов нагружения времени воздействия скорость роста кавитационно- эрозионной трещины может быть представлена в виде следующего уравнения: D.3.9) da ~аЧ где С и т — константы материала для данных условий нагруже- нагружения, а — размер трещины. Приведенные результаты свидетельствуют о том, что удаление (из- (износ) материала с поверхности обусловлено усталостными процессами повреждения и разрушения материала. Кинетика микроповреждений и разрушения при фреттинг- усталости. Аналитические подходы к моделированию изнашивания в условиях фреттинг-усталости, главным образом, фокусируются на анализе напряжений, деформаций, перемещений, долговечности, а также на использовании концепций механики разрушения
156 Гл. 4. Специальные задачи механики трещин I 5 ъшж Рис. 4.36. Поверхностное повреждение, демонстрирующее образование микро- микроконцентраторов напряжений, развивающихся в микротрещине Рис. 4.37. Увеличенная картина участка, выделенного квадратом на рис. 4.36, иллюстрирующая образование микротрещины @.5 мкм) в зоне концентрации напряжений и синергетическом взаимодействии нагружающих и коррозионно- активных факторов [175, 176, 186, 271]. Анализ экспериментального исследования процессов микроповре- микроповреждения поверхности Т1-6А1-4У-сплава с использованием системы на- гружения, развитой в Massachusetts Institute of Technology (MIT), в ко- которой гладкий образец нагружался циклическим растяжением в усло- условиях бокового контакта со сферическими поверхностями тел, прове- проведен на основе данных сканирующей электронной микроскопии [164]. В условиях развития пластических деформаций в поверхностных слоях
§ 4.3. Механика контактного разрушения и изнашивания 157 10 мкм Рис. 4.38. Микротрещины фреттинг-усталости, содержащие продукты износа Рис. 4.39. Увеличенное изображение участка, содержащего трещину и выде- выделенного квадратом на рис. 4.38 микроповреждения (микроконцентраторы напряжений) могут разви- развиваться в зонах скольжения, приводя к зарождению, развитию трещин и образованию частиц износа. Кинетика повреждения поверхностного слоя с образованием в нем микроконцентраторов напряжений и микро- микротрещин, что является возможным механизмом изнашивания в данных условиях нагружения, зафиксирована с помощью сканирующей элек- электронной микроскопии (рис. 4.36, 4.37). При последующем нагружении трещины распространяются, заполняясь частицами изношенного мате- материала (рис. 4.38, 4.39). Приведенные результаты наблюдений, осуществлённых с помощью сканирующей электронной микроскопии, свидетельствуют о следую- следующей кинетике повреждения и изнашивания поверхностного слоя твер- твердого тела. В поверхности почти одновременно возникает множествен-
158 Гл. 4. Специальные задачи механики трещин ное повреждение материала в виде микроконцентраторов напряжений и микротрещин. Такое многоочаговое повреждение способствует экра- экранированию микротрещин. Кроме того, на ранней стадии повреждения на развитие микротрещин значительное влияние оказывают кристалло- кристаллографические свойства приповерхностных зерен материала. В результате действия отмеченных механизмов значительное количество фреттинг- усталостных трещин блокируется и не распространяется. Лишь одна или две трещины продолжают распространяться, приводя к разруше- разрушению поверхности. Моделирование питтингового механизма изнашивания. Одним из наиболее общих механизмов повреждения и изнашивания поверхно- поверхности зубьев зубчатых передач является поверхностный питтинг. Поверх- Поверхность зоны контакта зубьев подвергается большим контактным напря- напряжениям, а также динамическому нагружению в результате действия высоких скоростей вращения зубьев. Как правило, питтинг иниции- инициируется от поверхностных или подповерхностных микроконцентраторов напряжений (царапины, включения, границы зерен и т. п.) в области максимальных контактных напряжений. Развитые в последние годы модели микромеханики деформирования и разрушения, а также теория роста микроструктурных усталостных трещин [43, 60, 63, 219, 232, 270] (см. также § 1.7) оказываются весьма эффективными при моделировании питтингового механизма из- изнашивания [178]. Процесс усталостного повреждения поверхностного слоя, приводящий к образованию питтинга, можно разделить на две стадии: стадию зарождения микроструктурно короткой трещины от исходного микроконцентратора напряжений и стадию распространения этой микротрещины до достижения ею критического размера, что приводит к разрушению субслоя трибологического слоя с образованием питтинга. В поликристаллических материалах стадия зарождения мик- микроструктурно коротких трещин пренебрежимо мала. Образовавшиеся микротрещины распространяются, а затем либо останавливаются у микроструктурных барьеров, либо преодолевают их и достигают кри- критических размеров. Будем полагать, что трибологический слой состоит из субслоев, имеющих толщину, равную диаметру зерна материала D. Контактирующую сложным образом пару зубьев представим в виде эквивалентной модели двух контактирующих цилиндров (рис. 4.40). Применим контактную теорию Герца. В этом случае распределение контактного давления в зоне контакта двух цилиндров представляется известной аналитической формулой / / D.3.10) в которой Р — нормальная сила, действующая на единицу длины площадки контакта, Ь — половина ширины зоны контакта: D.3.11)
§ 4.3. Механика контактного разрушения и изнашивания 159 Рис. 4.40. Модель контактирующей пары зубьев Здесь R, Е* — соответственно эквивалентный радиус и приведенный модуль Юнга, определяемые как ?* = т^ oElEt /, ^ > D.3.12) R = D.3.13) Нормальная сила Р является функцией максимального контактного давления р0 = р(х = 0): Ро = 2Р Tib D.3.14) Тангенциальное давление q(x), возникающее в результате скольжения поверхностей зубьев, рассчитывают по известной формуле q (x) = jip (x) , D.3.15) где /i — коэффициент трения. Полагая, что внешние условия нагружения корректно описываются уравнениями D.3.10)—D.3.15), можно достоверно проанализировать напряженно-деформированное состояние контактирующих зубьев по- посредством МКЭ-анализа. Рассмотрим скачкообразное распространение микроструктурно ко- короткой усталостной трещины в зернах трибологического слоя, приво- приводящее к образованию питтинга, в рамках следующей модели [232, 270]. Предполагается, что скорость роста микроструктурной трещины
160 Гл. 4. Специальные задачи механики трещин определяется пластическим раскрытием в вершине трещины 5pi\ где Со и то — экспериментально определяемые константы материа- материала. Следуя этой модели, для удобства проведения численных расче- расчетов 5Р1 представляют в терминах коэффициента интенсивности напря- напряжений К: 5pl= D.3.17) Здесь G — модуль сдвига, к = 1 или к = 1 — v в зависимости от вида рассматриваемых дислокаций (винтовые или краевые), v — коэффици- коэффициент Пуассона. Параметр п описывает положение вершины микротре- Трещина Рис. 4.41. Модельные представления о распространении микротрещины в зерне щины относительно границы зерна (рис. 4.41). Количество циклов на- гружения, необходимое для распространения микротрещины через зер- зерна микроструктуры, определяется интегрированием уравнения D.3.16): da D.3.18) где j = 1, 2, 3,..., z, z = a/D — количество зерен, пересекаемых вершиной микротрещины при её распространении. Пределы интегриро- интегрирования определяются для каждого зерна в соответствии с критической величиной параметра п. При достижении параметром п критического значения пс полосы скольжения распространяются в следующее зерно. Критический параметр пс определяется формулой [232]: = cos D.3.19)
§ 4.4. Рост трещин при ползучести 161 Здесь о~т — предел текучести, Kth — пороговый коэффициент интен- интенсивности напряжений. Уравнение D.3.19) решаем с помощью итераци- итерационного метода Ньютона, полагая исходной величиной пс = 1. Общее число циклов нагружения, необходимых для распространения исходной микротрещины ао до критической, приводящей к образованию питтин- питтинга, равно N = ^TNj. D.3.20) Коэффициент интенсивности напряжений в формуле D.3.17) как функция длины трещины, а также критическая длина трещины могут быть определены численным методом [178]. Реализация рассмотренной модели применительно к изнашива- изнашиванию зубьев из стали 42СгМо4 за счет питтинга проиллюстрирована в работе [178]. При этом численная оценка количества циклов на- нагружения, необходимого для образования питтинга, составила N = = 3,451 • 106, а экспериментальный результат дает значение N в пре- пределах B,629^3,765)- 106. § 4.4. Рост трещин при ползучести При повышенных температурах в конструкционных материалах на- наблюдается увеличивающаяся со временем пластическая деформация в условиях достаточно низких (постоянных) напряжений, т. е. явление ползучести. Напомним, что диаграмму зависимости деформации г Разрушение Рис. 4.42. Типичная кривая ползучести от времени г при постоянном напряжении а, называемую кривой ползучести, можно представить в виде кривой, состоящей из трех участков (рис. 4.42). После приложения нагрузки появляется мгновенная деформация ео. Дальнейшее деформирование сопровождается постепенным убыванием скорости ползучести г = de/dr до минимального значения (стадия I). 11 Матвиенко Ю.Г.
162 Гл. 4. Специальные задачи механики трещин Стадия установившейся ползучести (стадия II) характеризуется посто- постоянным значением скорости ползучести. На третьем участке (стадия III) скорость ползучести начинает возрастать и тело разрушается. В случае тела с распространяющейся трещиной в окрестности её вершины наблюдаются зоны ползучести, деформирование материала в которых соответствует всем трем стадиям кривой ползучести (рис. 4.43). Упругость Рис. 4.43. Зоны ползучести в окрестности вершины распространяющейся трещины Причем зона ползучести, расположенная непосредственно у вершины трещины, соответствует заключительной стадии кривой ползучести, на которой реализуются механизмы разрушения материала [151]. В 1976 г. Ландес и Бигли предложили С*-интеграл для анализа кинетики трещин ползучести. Поводом для введения С*-интеграла послужили исследование J-интеграла в качестве параметра трещиностойкости в механике упругопластического разрушения и аналогия Хоффа. Согласно последней в нелинейно упругом и вязком телах имеют место идентичные напряженные состояния при действии одинаковых нагрузок, если законы де- деформирования этих тел характеризуются одинаковыми функциями напряжений, т.е. если ?^=/(сг^) и ?^=/(сг^-) соответственно. Эта аналогия может быть успешно применена к стадии устано- установившейся ползучести, а следовательно, и к соответствующей зоне ползучести у вершины трещины, поскольку в этом случае скорость ползучести является функцией только приложенных напряжений. Таким образом, С*-интеграл можно представить в виде контурного J-интеграла, заменяя в нем деформации г^ на скорости деформа- деформации iij, а перемещения щ — на скорости перемещения щу ^* [ ( - 1 9щ . \ ,. . л ч С = [way — ац-=— rinds . D.4.1) J ох Здесь w = f (Jij diij — плотность скорости энергии деформации. о Согласно аналогии Хоффа, С*-интеграл не зависит от выбора кон- контура интегрирования Г, поскольку J-интеграл является инвариантным
§ 4.4. Рост трещин при ползучести 163 относительно контура, охватывающего вершину трещины. Кроме того, если стадия установившейся ползучести аппроксимируется степенным законом вида iij = A°ij, D-4.2) то С*-интеграл характеризует сингулярность напряжений и скоростей деформации в зоне установившейся ползучести у вершины трещины в полярной системе координат: С* :{П,6), D.4.3) j = A С* А~1~т 1 + П D.4.4) Здесь А и п — константы материала; 1п, а^ и е^ — параметры, идентичные соответствующим параметрам в HRR-сингулярности (см. формулы C.2.7)). Из вышесказанного следует, что С*-интеграл должен полностью контролировать процессы деформирования и разрушения у вершины трещины ползучести, а следовательно, и закономерности её распро- распространения. Экспериментальные исследования [251] подтвердили хоро- хорошую корреляцию скорости роста трещин ползучести с С*-интегралом dlldt, м/с ю-5 Cr-Мо сталь 10 10" 10" 10" 10" -6 10 10 1 10 102 103 С\ Вт/м2 Рис. 4.44. Скорость роста трещины ползучести в хроммолибденовой стали при трех температурных режимах при доминирующей роли стадии установившейся ползучести в меха- механизме деформирования (рис. 4.44).
164 Гл. 4. Специальные задачи механики трещин При этом скорость роста трещины / может быть представлена формулой ^=Ц(С*Г, D.4.5) где ? и т — константы материала. Для многих материалов в моделях роста трещины за счет механизма порообразования по границам зерен оказывается справедливой связь т « п/ A + п). Экспериментальное определение С*-интеграла основано на его ана- аналогии с J-интегралом. Поскольку J-интеграл может быть выражен через энергию, поглощенную телом, то можно записать С*-интеграл как А Здесь Р — приложенная нагрузка, А — скорость перемещения точек приложения нагрузки, t — толщина, Ъ — ширина сечения, / — дли- длина трещины, г] — безразмерная константа, зависящая от геометрии образца. В соответствии с законом ползучести D.4.2) скорость переме- перемещения А пропорциональна Рп, тогда формула D.4.6) принимает вид, удобный для практического использования: С* = (-^- ^ —L РА. D.4.7) \l+njt(b-l) v ; Применение С*-интеграла строго обосновано для установившей- установившейся ползучести, т.е. длительной ползучести. Для начальной стадии ползучести (в условиях кратковременной маломасштабной ползучести) и интерполяции между начальной стадией ползучести и установившей- установившейся (длительной) ползучестью был предложен ряд параметров, анало- аналогичных С*-интегралу [151]. Приведем без вывода интерполяционную формулу для Сг-параметра, предложенную в работе [253]: D.4.8) в предположении, что общее смещение точек приложения нагрузки А можно представить в виде суммы мгновенной упругой компоненты Ае и компоненты Аг, обусловленной ползучестью и зависящей от време- времени. В формуле D.4.8) значение С*-интеграла вычисляется по форму- формуле D.4.6), а параметр (CT)SSC для маломасштабной ползучести можно записать как rvn/Ml рд Г-Г> D-4-9)
§ 4.5. Механика коррозионного разрушения 165 где Y {1/Ъ) — поправочная функция на геометрию тела с трещиной и схему нагружения {К —тарировка), а У {1/Ъ) — её первая производ- производная. Для маломасштабной ползучести и переходной области отноше- отношение С*/Ст меньше единицы, а в предельном случае (для длительной ползучести) С*/Ст = 1, поскольку А/Аг = 1. § 4.5. Механика коррозионного разрушения Процесс коррозионно-механического разрушения твердых тел условно можно разделить на три стадии: стадию образования коррозионного трещиноподобного дефекта, переходящую в стадию устойчивого (докритического) роста трещины, завершающуюся стадией неустойчивого распространения трещины. Механика коррозионного разрушения как направление механики разрушения изучает коррозионно-механическое разрушение твердых тел в результате распространения трещин при одновременном действии механических нагрузок и коррозионных сред. Рассмотрим механизмы, критерии и модели распространения трещин на основе подходов механики коррозионного разрушения [81, 117, 123]. 4.5.1. Механизмы коррозионно-механического разрушения. Механизмы коррозионно-механического разрушения при распростра- распространении трещины обусловлены следующими основными факторами: • адсорбционным снижением прочности (эффект Ребиндера), • водородным охрупчиванием, • локальным анодным растворением. Адсорбционное снижение сопротивления развитию трещины в твердом теле объясняется уменьшением плотности поверхностной энергии напряженного тела под действием адсорбции поверхностно- активных веществ на поверхности трещины. При этом плотность поверхностной энергии 7s и её снижение оказывают значительное влияние на процесс пластического деформирования твердого тела, а следовательно, на работу, затраченную на пластическое деформи- деформирование поверхностей трещины jp. В этом случае согласно критерию Гриффитса (см. § 2.3) снижение эффективной поверхностной энергии 7 = 7s + 7р приводит к падению критических напряжений и, следова- следовательно, к преждевременному образованию микротрещин и иницииро- инициированию разрушения на ранних стадиях деформирования. Внутренние объемы твердого тела не успевают реализовать потенциальный (исход- (исходный) запас пластичности. Механизм адсорбционного снижения прочности наблюдается лишь для определенных пар "твердое тело — поверхностно-активное ве- вещество" и в наибольшей степени проявляется при жидкометалличе- ском охрупчивании легкоплавкими металлами. Отличительной особен- особенностью этого механизма является быстродействие и определяющая
166 Гл. 4. Специальные задачи механики трещин роль в явлении коррозионного растрескивания под напряжением, со- сопровождающегося высокими скоростями роста трещины, когда реали- реализация других механизмов затруднена. Водородное охрупчивание (снижение сопротивления росту трещи- трещины под действием водорода) твердых тел объясняется реализацией одного или нескольких механизмов влияния водорода на процесс раз- разрушения, обусловленных следующими факторами [81]: • давлением молекулярного водорода в несплошностях металла; • ослаблением водородом межатомных связей в кристаллической решетке металла; • взаимодействием атомов водорода с дислокациями; • химическим взаимодействием водорода с компонентами сплавов и выделением водородсодержащих хрупких фаз (например, гидридов, см. [195, 210, 217]); • поверхностное воздействие водорода на металл. Известны два основных механизма поступления водорода в концевую зону вершины трещины (зону предразрушения) из водо- водородсодержащих сред: диффузионный и дислокационный. Для диф- диффузионного механизма характерны высокая степень трехосности напряженного состояния и градиент напряжений перед вершиной трещины, что имеет место в случае высокопрочных низкопластичных сплавов. Дислокационный механизм связан с захватом и переносом водорода движущимися дислокациями и реализуется главным образом при докритическом росте трещины в пластичных сплавах, а также при циклическом нагружении. Распространение коррозионной трещины по механизму локального анодного растворения наблюдается в условиях локального электро- электрохимического растворения металла в вершине трещины. Необходимыми условиями реализации этого механизма являются механические напря- напряжения, а также структурная гетерогенность металла, способствующая более интенсивному растворению металла непосредственно в вершине трещины (по сравнению с её берегами). При этом развитие трещины может рассматриваться как результат работы гальванического эле- элемента, в котором анодом является вершина трещины, а катодом — её берега. В качестве модельных представлений о распространении трещины рассматривают также механоэлектрохимический механизм, предполагающий чередование электрохимической и механической ста- стадий развития трещины. Электрохимическая стадия характеризуется локальной коррозией в вершине трещины с образованием питтингов, а результатом механической стадии является разрыв перемычки между питтингами. Рассмотрим основные виды коррозионно-механического разрушения твердых тел в связи с реализацией вышерассмотренных механизмов распространения трещин [81, 117, 137].
§ 4.5. Механика коррозионного разрушения 167 4.5.2. Коррозионное растрескивание под напряжением. Коррозионным растрескиванием называется разрушения твердых тел в результате распространения трещины в условиях одновременного воздействия статических растягивающих напряжений и коррозионно- активных сред. Основными механизмами коррозионного растрес- растрескивания являются локальное анодное растворение и водородное охрупчивание. В результате действия отмеченных механизмов коррозионная трещина изменяет свою траекторию, наблюдается ветвление трещины, её деформационное и коррозионное притупление. Характерной особенностью коррозионного растрескивания являет- является то, что при уменьшении начального коэффициента интенсивности напряжений Кю время до разрушения увеличивается, а ниже неко- некоторого коэффициента интенсивности напряжений Kiscc, называемо- называемого пороговым коэффициентом интенсивности напряжений, трещина нераспространяется (рис. 4.45). Пороговый коэффициент интенсивно- интенсивности напряжений Kjscc является характеристикой системы "металл- среда", а также в значительной степени зависит от структуры металла. Для высокопрочных низкопластичных металлов характерны низкие значения Kjscc, при снижении прочности и повышении пластично- пластичности величина Kjscc стремится к статической трещиностойкости Kjc 80 к4 с/ 1000 1400 <70 2, МПа Рис. 4.45. Схема зависимости вре- времени т до начала коррозионного растрескивания от начального ко- коэффициента интенсивности на- напряжений Kjq Рис. 4.46. Зависимость трещино- трещиностойкости стали AISI 4340 от пре- предела текучести при испытаниях в морской воде (точками обозначены результаты эксперимента): 1 — Kic, 2 - KIscc (рис. 4.46), что свидетельствует о снижении чувствительности металла к воздействию коррозионно-активных сред. Для анализа кинетики трещины при коррозионном растрескивании используют кинетические диаграммы коррозионного растрескивания, т.е. зависимость скорости роста трещины от коэффициента интенсив-
168 Гл. 4. Специальные задачи механики трещин v, м/с 2 • КГ5'" 10 10 20 25 30 35 40 45 К19 МПа • мш Рис. 4.47. Кинетические диаграммы коррозионного растрескивания стали 50Х (отпуск при 200 °С) в изобутиловом спирте (а) и дисциллированной воде (б) ности напряжений Kj. К характерным особенностям кинетических диаграмм растрескивания (для ряда систем "металл-среда") следует отнести их неоднозначность в широком диапазоне изменения коэф- коэффициентов интенсивности напряжений [117]. Неоднозначность кине- кинетических диаграмм заключается в следующем: с увеличением на- начального коэффициента Kjq устойчивый рост трещины (стабилизи- (стабилизированный или пологий участок кинетической диаграммы) происходит при более высоких скоростях (рис. 4.47). Таким образом, кинетиче- кинетическая диаграмма растрескивания в значительной степени определяется начальными условиями нагружения, т. е. приложенным коэффициен- коэффициентом интенсивности напряжений Kjq. Фрактографические исследования объясняют неоднозначность кинетических диаграмм ветвлением тре- трещины, интенсивность которого во многом зависит от начальных усло- условий нагружения. Кроме того, возможна зависимость электрохимическо- электрохимического состояния в вершине трещины (водородного показателя среды рН и электродного потенциала системы "металл-среда"), а следователь- следовательно, механизмов и кинетики трещины, от начального коэффициента интенсивности напряжений Kjq. Отметим также, что интерпретация и математическое описание неоднозначности кинетических диаграмм растрескивания могут быть даны в рамках эволюционного подхода (см. §5.1). 4.5.3. Коррозионно-циклическая трещиностойкость. Корро- зионно-активные среды могут оказывать значительное влияние на кинетику усталостной трещины, изменяя скорость её роста, вид диаграммы усталостного разрушения и характеристики циклической трещиностойкости, в первую очередь пороговый коэффициент
§ 4.5. Механика коррозионного разрушения 169 интенсивности напряжений Kth- Причем влияние коррозионной среды зависит как от свойств системы "металл-среда", так и от условий циклического нагружения [81, 117, 123, 137, 142]. К условиям циклического нагружения относятся приложенный коэффициент интенсивности напряжений, асимметрия и частота нагружения, температура и т. п. Воздействие коррозионно-активных сред на напряженное тело опре- определяется физико-химическими и механическими факторами, среди ко- которых можно выделить следующие: изменение сопротивления металла в вершине трещины циклическому деформированию и разрушению, закрытие трещины, а также морфологию (криволинейность траектории, ветвление, коррозионное и деформационное притупление вершины тре- трещины) вершины трещины. Вклад того или иного фактора во многом зависит от структуры и технологических особенностей изготовления металла, а также условий нагружения. Эффект закрытия трещины и её морфология при анализе кинетики коррозионно-усталостных трещин могут быть учтены посредством введения в рассмотрение эффектив- эффективного коэффициента интенсивности напряжений (см. §4.1). Изменение сопротивления разрушению конструкционных сплавов под воздействи- воздействием коррозионной среды во многом связано с механизмом коррозионно- усталостного разрушения, который в свою очередь зависит от проч- прочности сплава и напряженно-деформированного состояния в вершине трещины, контролируемого коэффициентом интенсивности напряже- напряжений. Так, для высокопрочных низкопластичных сталей характерно увеличение скорости роста усталостной трещины в среднеамплитуд- ной области диаграммы усталостного разрушения за счет водородного охрупчивания металла в зоне предразрушения у вершины трещины. Водород образуется в результате электрохимического взаимодействия металла со средой. Механизм проникновения водорода в зону предраз- предразрушения в значительной степени контролируется прочностью металла. В высокопрочных сталях преобладает диффузионный механизм про- проникновения атомов водорода в зону предразрушения за счет высокой степени трехосности и градиента напряжений. Повышение пластич- пластичности стали приводит к "размыванию" градиента напряжений, боль- большей интенсивности пластической деформации, увеличению раскрытия в вершине трещины и, как следствие, к ослаблению диффузии водо- водорода. Происходит трансформация диффузионного механизма проник- проникновения водорода в зону предразрушения в дислокационный, т. е. за счет переноса водорода движущимися дислокациями, генерируемыми процессом циклического нагружения. Дальнейшее понижение прочно- прочности и повышение пластичности приводят к преобладанию механизма локального анодного растворения металла в вершине усталостной тре- трещины. В высокопрочных сталях в припороговой области рост коррозионно- усталостной трещины по механизму водородного охрупчивания контро- контролируется сопротивлением отрыву. При этом наличие водорода в зоне предразрушения приводит к снижению сопротивления отрыву и, как
170 Гл. 4. Специальные задачи механики трещин следствие, уменьшению порогового коэффициента интенсивности на- напряжений. В то же время в случае низкопрочных сталей контролирую- контролирующим фактором припорогового роста трещины выступает сопротивление сдвигу. В наводороженной зоне предразрушения повышается сопро- сопротивление сдвигу, что вызывает увеличение порогового коэффициента интенсивности напряжений. Коррозионно-активные среды существенно влияют на вид кинети- кинетической диаграммы усталостного разрушения. Различают три основных вида диаграмм коррозионно-усталостного разрушения (рис. 4.48). Для / / / / I I / / / / /1 V f a !> A / 1 > f / 6 > \ у // I / J / A /A • ( 1 I KIscc ¦ > \%K igK igK Рис. 4.48. Основные типы диаграмм коррозионно-усталостного разрушения (в отсутствие коррозионной среды диаграммы обозначены штриховыми ли- линиями) сплавов, несклонных к коррозионному растрескиванию, диаграмма сдвигается в сторону более высоких скоростей усталостной трещины при понижении частоты нагружения (рис. 4.48, а). Для высокопрочных сплавов, предрасположенных к коррозионному растрескиванию, при достижении максимальным коэффициентом интенсивности напряже- напряжений i^max значения Kiscc скорость роста коррозионной трещины резко возрастает и выходит на пологий участок диаграммы (рис. 4.48,6). Если влияние коррозионной среды проявляется и при ifmax < Kjscc, диаграмма усталостного разрушения высокопрочных сплавов трансфор- трансформируется в диаграмму, изображенную на рис. 4.48, в. В процессе распространения коррозионно-усталостной тре- трещины непрерывно изменяются электрохимические параметры (водородный показатель среды рНв и электродный потенциал металла (рв) в вершине трещины, однозначно соответствую- соответствующие скорости роста трещины [81]. Причем каждому участку кинетической диаграммы коррозионно-усталостного разрушения соответствует вполне определенная закономерность изменения электрохимических параметров в вершине трещины (рис. 4.49). Это послужило основанием для создания модели роста коррозионно- усталостной трещины (рис. 4.50), в соответствии с которой
§ 4.5. Механика коррозионного разрушения 171 -450 -400 -350 ув, 10 III -1 0 4 РНВ Рис. 4.49. Изменение электрохимических параметров в вершине коррозионно- усталостной трещины в стали 40X13: а — кинетическая диаграмма уста- усталостного разрушения на воздухе A) и в водной среде B) с рНв = 8; б — электрохимические параметры среды рНв (I) и срв B) в вершине трещины Рис. 4.50. Схематическое представление основных факторов, определяющих закономерности роста коррозионно-усталостной трещины скорость трещины в металле при его контакте с водной корро- коррозионной средой может быть представлена следующей функцией: dl/dN = V = f (Cit D.5.1) где Ci — константа, характеризующая циклическую трещиностой- кость металла. Поэтому необходимым условием получения инвари- инвариантных диаграмм коррозионно-усталостного разрушения металла яв-
172 Гл. 4. Специальные задачи механики трещин V, м/цикл 10 Рис. 4.51. Инвариантная (], рНв = 6,7 = const) и неинвариантные B-4, pi/n = 6,7 = const) кинетические диаграммы коррозионно-усталостного разру- разрушения стали 20СФ в 3-процентном растворе NaCl при различных начальных коэффициентах интенсивности напряжений (/ = 0,33 Гц, R = 0) [81] ляется постоянство электрохимических параметров в вершине распро- распространяющейся трещины. Инвариантные и неинвариантные диаграм- диаграммы коррозионно-усталостного разрушения представлены на рис. 4.51. 4.5.4. Модели прогнозирования кинетики коррозионно- усталостных трещин. Для расчетной оценки кинетики коррозионно- усталостных трещин предлагаются модели, основанные на супер- суперпозиции составляющей скорости роста трещины под действием циклических напряжений в инертной среде и составляющей скорости, обусловленной коррозионным растрескиванием [81, 137]. При этом в моделях учитываются конкретные механизмы разрушения для рассматриваемых систем "металл-среда". Наиболее простая модель прогнозирования скорости роста уста- усталостной трещины основана на принципе линейной суперпозиции. Со- Согласно этой модели увеличение скорости роста усталостной трещины при наличии коррозионной среды обусловлено проявлением склонности металла к коррозионному растрескиванию. Общее уравнение скорости роста усталостной трещины может быть представлено в виде суперпо- суперпозиции скорости роста усталостной трещины в инертной среде I ——) \ A1у / j (зависящей от частоты цикла нагружения /, размаха АК и макси- максимального коэффициента интенсивности напряжений Ктах) и скорости ( dl\ роста трещины в условиях коррозионного растрескивания —— V dJM ) sec (т. е. при одновременном воздействии статической нагрузки и корро- коррозионной среды):
§ 4.5. Механика коррозионного разрушения 173 Конкретизация общего уравнения D.5.2) дана В. Герберичем: -^- = С (АК)т + —— Х—-—, f F(K)dK. D.5.3) dN J (ivmax — ^min) J Здесь функцию F (К) определяют исходя из энергии активации процесса роста трещины. Несмотря на достаточную простоту и физи- физическую ясность, модель имеет существенные недостатки: с её помощью нельзя объяснить ускорение усталостной трещины при ifmax < Kiscc, кроме того, она неприменима для сталей низкой и средней прочности, несклонных к коррозионному растрескиванию в водных средах. Описать синергизм процесса ускоренного распространения уста- усталостной трещины в коррозионных средах позволяет модель, предло- предложенная Д. Родесом и основанная на учете взаимного влияния меха- механических и электрохимических процессов подрастания трещины. При этом общее уравнение суперпозиции D.5.2) принимает следующий вид: 1// ?-= С (АК^ + \ ACKfrdr, D.5.4) где Keff — эффективный коэффициент интенсивности напряжений, учитывающий морфологию вершины трещины, Awn — константы. Влияние циклической нагрузки на скорость коррозионного растрески- растрескивания учитывается коэффициентом (. Заслуживает внимание модель [20], основанная на гипотезе водо- водородного охрупчивания зоны предразрушения в результате процессов коррозионно-механического повреждения металла в вершине трещи- трещины и реализации эффекта коррозионно-циклического растрескивания. В этом случае скорость роста усталостной трещины определяется ско- / dl \ ростью ( —— 1 и скоростью чисто коррозионного подрастания трещины \ CLlS / j ( dl \ за счет коррозионных потерь металла в вершине трещины I — 1 : dl ( dl\ TT ( dl\ D+Ы D-5-5) где Hcf — коэффициент, учитывающий водородное охрупчивание ме- металла в зоне предразрушения. Модель оказалась весьма эффективной для прогнозирования скорости роста усталостной трещины в тепло- теплоустойчивых сталях при наличии высокотемпературных водных сред. Несмотря на полезность расчетных моделей прогнозирования ско- скорости роста усталостной трещины в коррозионных средах, они не учитывают в должной мере наблюдаемых различий в морфологии вершины усталостной трещины и трещины коррозионного растрес- растрескивания (трещины коррозионного растрескивания более притуплены
174 Гл. 4. Специальные задачи механики трещин и разветвлены), а следовательно, неадекватно отражают напряженно- деформированное состояние в вершине коррозионно-усталостной тре- трещины. Кроме того, имеет место различие в электрохимических па- параметрах коррозионной среды в вершине коррозионно-усталостной трещины и трещины коррозионного растрескивания, а также в меха- механизмах поступления водорода в зону предразрушения. В заключение отметим, что для разработки экспериментальных и расчетных методов исследования кинетики трещин в коррозионных средах необходим тщательный анализ возможных механизмов коррозионно-усталостного разрушения конструкционных сплавов, склонности их к коррозионному растрескиванию, напряженно- деформированного состояния элементов конструкций, а также структурный анализ самих сплавов. § 4.6. Вычислительная механика разрушения В предыдущих параграфах настоящей главы были рассмотрены предельные состояния твердых тел с трещинами и закономерности кинетики трещин при реализации различных механизмов разрушения. Вместе с тем для решения задач механики разрушения с целью про- прогнозирования предельного состояния и долговечности тела с трещиной необходим анализ параметров механики разрушения, отражающих те- текущее локальное напряженно-деформированное состояние у вершины трещины. Расчеты параметров механики разрушения (коэффициента интенсивности напряжений, энергетического J-интеграла, раскрытия в вершине трещины и др.) основываются на аналитических и числен- численных методах линейной и упругопластической механики разрушения. Среди методов вычислительной механики разрушения отметим метод функций комплексного переменного, метод сингулярных интеграль- интегральных уравнений для двухмерных и пространственных задач теории трещин, метод граничных интегральных уравнений, метод конечных разностей, метод конечных элементов (МКЭ), метод весовых функ- функций и др. С особенностями и анализом возможностей отмеченных методов вычислительной механики разрушения можно ознакомиться в следующих книгах (см., например, [17, 81, 92, 106, 118, 151]). Здесь же рассмотрим основы метода конечных элементов и метода весовых функций как наиболее универсальных методов вычисления параметров механики разрушения. 4.6.1. Метод конечных элементов. Сущность МКЭ заключается в разбиении исследуемой области тела на большое число элементов конечных размеров, связанных между собой посредством узловых точек (узлов). Упругие перемещения {и} в любой точке элемента определяются через компоненты перемещений его узлов {q}: D.6.1)
§4.6. Вычислительная механика разрушения 175 где [N] — матрица функций формы. Связь между компонентами перемещений в узловых точках и компонентами деформаций внутри элемента {г} устанавливается в виде {e} = [B]{q}, D.6.2) где [В] — матричный дифференциальный оператор. Напряжения {а} определяются через матрицу упругости [D] как {а} = [D] ({г} - {етерм}) , D.6.3) где {гщерм} — вектор термических или иных начальных деформаций. С учетом локальных уравнений равновесия для отдельных элементов и существующих между ними связей осуществляется переход от мат- матриц и векторов для отдельных элементов к глобальным (относящимся ко всей конечно-элементной модели в целом) нагрузке {F}, перемеще- перемещению {Q} и матрице жесткости [К]: [K]{Q} = {F}. D.6.4) Здесь матрица жесткости [К] = J [В] [D] [В] dV, где индекс "Т" озна- v чает операцию транспортирования матрицы, а интегрирование ведется по объему элемента. Решение задачи сводится к решению системы ал- алгебраических уравнений равновесия элементов и определению компо- компонент перемещений, а затем по формулам D.6.2) и D.6.3) — компонент деформаций и напряжений. В случае теории течения уравнения D.6.3) записывают в приращениях: {Aa} = [D(e,a)]{Ae}, D.6.5) а напряжения, деформации и матрицу жесткости вычисляют на каждом шаге счета. Специфика решения задач механики разрушения МКЭ заключается в необходимости сгущения сетки конечных элементов у вершины трещины, поскольку деформации и напряжения в этой области име- имеют особенность (см. асимптотические формулы B.1.2)—B.1.4)). Кроме того, для уменьшения времени счета при решении систем линейных уравнений и уменьшения количества исходных данных целесообразно введение в сетку конечных элементов у вершины трещины специаль- специальных элементов, моделирующих сингулярность напряжений. Расчет коэффициента интенсивности напряжений. Методы расчета коэффициента интенсивности напряжений для трещин нормального отрыва можно разделить на прямые (асимптотические) и энергетические. Прямые методы основаны на использовании асимп- асимптотических формул для напряжений B.1.6) и перемещений B.1.8) в малой окрестности вершины упругого тела. При этом для опреде- определения коэффициента интенсивности напряжений в асимптотические формулы подставляют полученные МКЭ значения напряжений ац (г, в)
176 Гл. 4. Специальные задачи механики трещин или перемещении щ(г,в), возникающих в окрестности вершины трещины в точке с координатами (г, в) нагруженного тела. Для повышения точности расчета коэффициент интенсивности напряжений вычисляют для нескольких точек с различными координатами г при фиксированном направлении в = const. Искомое значение коэффициента интенсивности напряжений определяют в результате линейной экстраполяции (г —> 0) полученной зависимости, т.е. , ^ л/2^ = lim ij @) = lim Щ (г, в) 2G Щв) D.6.6) D.6.7) где fij @) и щ @) — тригонометрические функции угла в. В энергетических методах используется связь между производной потенциальной энергии П тела по длине трещины / и коэффициентом интенсивности напряжений: дП D.6.8) где Е' = Е для плоского напряженного состояния, Е1 = Е/ A — z/2) — для плоской деформации. Для отдельного элемента потенциальную энергию можно представить в виде D.6.9) или, с учетом уравнении равновесия: U=~{q} JmepM 1 D.6.10) Е, 'терм где {/} — вектор приведенной узловой нагрузки, = g \ {?терм}Т [D] {етерм} dV. V Приведенные выражения D.6.8)-D.6.10) позволяют с помощью МКЭ вычислить коэффициент Kj двумя методами: методом смещения узла в вершине трещины и методом податливости [92]. Кроме того, для вычисления коэффициента интенсивности напряже- напряжений можно применить энергетический контурный J-интеграл, который в случае упругого тела эквивалентен интенсивности освобождающейся К2 энергии, т.е. —\ = J (см. § 3.2). Параметры нелинейной механики разрушения. Рассмотрим мето- методы вычисления энергетического контурного J-интеграла и раскрытия 5 в вершине трещины для упругопластической задачи.
§4.6. Вычислительная механика разрушения 177 Для определения J-интеграла обычно используют методы, основан- основанные на интегрировании по контуру (см. формулу C.2.1)) и моделиро- моделировании асимптотики параметров напряженно-деформированного состоя- состояния у вершины трещины согласно .Н72Д-сингулярности (см. § 3.2). При расчете J по контуру интегрирования учитывают, что энергия деформации w зависит от истории нагружения. Поэтому в процессе вычисления приращения напряжений накапливается то слагаемое в ин- интеграле C.2.1), которое содержит энергию w, т.е. Jw — wnx dF = г Здесь индексами "г" и "г + 1" обозначены состояния тела, соот- соответствующие началу и концу приращения напряжений. По дости- достижении критерия сходимости итерационного процесса накопленное значение Jw и достигнутые значения перемещений и напряжений ис- используют для подсчета J-интеграла по формуле C.2.1). Для моделирования асимптотики в упругопластическом теле ис- используют вырожденные квадратичные элементы, размещенные вокруг вершины трещины (рис. 4.52). При этом сингулярность деформации чч Вершина трещины Рис. 4.52. Фрагмент сетки конечных элементов в вершине трещины, модели- моделирующей асимптотику напряжений и деформаций в упругопластическом теле перед вершиной трещины на линии её продолжения моделируется в виде eij = Cor'1/2 + Cxr~x + С2, D.6.12) где Со, С\, Съ — некоторые константы. Применительно к пространственным трещинам нормального отрыва процедура расчета J-интеграла может быть основана как на непо- непосредственном его вычислении по поверхности, охватывающей вершину трещины, так и на методе виртуального роста трещины [17]. 12 Матвиенко Ю.Г.
178 Гл. 4. Специальные задачи механики трещин Для пространственной трещины произвольного типа эффективным оказывается расчет энергетического J-интеграла методом эквивалент- эквивалентного объемного интегрирования. Алгоритм этого метода, предложен- предложенный Г.П. Никишковым [17], позволяет отказаться от понятия вир- виртуального роста трещины, что дает дополнительные вычислительные преимущества. Для осуществления вычислительной процедуры ме- методом эквивалентного объемного интегрирования представим энер- энергетический J-интеграл для пространственной статической трещины в виде [139] wnk - dxk щ ) dA, fc=l, D.6.13) В данном случае J-интеграл интерпретируется как интеграл по по- поверхности малой трубки, коаксиальной линии фронта трещины, радиу- радиуса е и протяженности А по фронту трещины (рис. 4.53). Рассмотрим Фронт трещины Рис. 4.53. Сегмент фронта трещины и локальная система координат . 5-фуНКЦИЯ Рис. 5.54. Объем в виде диска около сегмента фронта трещины и s-функция
§4.6. Вычислительная механика разрушения 179 сегмент фронта трещины, окруженный объемом в виде диска Vc отвер- отверстием вокруг фронта трещины V? (рис. 4.54). Диск имеет следующие поверхности: А — внешняя цилиндрическая поверхность; А\, А2 — боковые поверхности; Ас — поверхность трещины; А? — поверхность малой трубки. В объеме (V — V?) вводится непрерывная безразмерная функция s = s(x\,X2,xs), отличная от нуля на поверхности А? и рав- равная нулю на поверхности А. Тогда выражение D.6.13) для компонент J-интеграла можно переписать в виде Jk = --\ (wnk -Gij -сГ^пА sdA. D.6.14) / J \ ®xk J A Здесь / = f sdxs — площадь s-функции на поверхности малой трубки, о а интеграл берется по площади (А + А\ + А2 + Ас + А?) — (А\ + А2) — — Ас. Поскольку интеграл по поверхности А равен нулю из-за равенст- равенства нулю 5-функции, то представления J в виде D.6.13) и D.6.14) тождественны, а появление знака минус перед интегралом в форму- формуле D.6.14) обусловлено изменением направления внешней нормали к поверхности А?. Преобразуем выражение D.6.14), учитывая переход от поверхност- поверхностного интегрирования к интегрированию по объему: V V If/ дщ ( wnk - т ( wnk (Tij ^ Н— ( wnk -ацтг^гц )sdA, D.6.15) / J V дхк J J Ac откуда следуют общие формулы для вычисления компонент J-интеграла Jk = Jk (s) + Jk (w) + Jk {Ax + A2) + Jk (Ac) + Jk (Fi) + Jk (Ti) D.6.16) методом эквивалентного объемного интегрирования на фронте произ- произвольной трещины. Здесь учтено, что если в объеме тела действуют объемные силы Fi, а на поверхности трещины приложены распреде- распределенные нагрузки Ti, то 1 12* J f J дхк V-Vs Ac D.6.17)
180 Гл. 4. Специальные задачи механики трещин Рис. 4.55. Схема вычисления раскрытия в вершине трещины Вычисление раскрытия в вершине трещины основано на представ- представлении профиля трещины в виде схемы и экстраполяции расчетных перемещений прямолинейного участка берегов трещины на некоторых расстояниях от её вершины (рис. 4.55): 5 = IA — D.6.18) 4.6.2. Метод весовых функций. Метод весовых функций позво- позволяет определить коэффициент интенсивности напряжений тела с тре- трещиной в случае произвольной системы нагрузок, если для рассмат- рассматриваемого тела известно выражение для коэффициента интенсивности напряжений при какой-либо другой приложенной системе нагрузок. Рассмотрим две произвольные системы нагрузок, приложенные к изотропному упругому телу с трещиной, находящемуся в условиях плоской деформации или плоского напряженного состояния. Предпо- Предположим, что в обоих случаях нагружение симметрично относительно плоскости трещины и реализуются условия нормального отрыва. Пусть решение для коэффициента интенсивности напряжений К\ ' в случае действия системы нагрузок A) известно. Тогда решение для коэффи- коэффициента Kj ' в случае системы нагрузок B) имеет вид Е' 2К) D.6.19) где Ti — компоненты усилий, Fi — объемные силы, Г и S — периметр и площадь тела соответственно. Поскольку системы нагрузок A) и B) являются произвольными, то коэффициент Kj ' от К\ ' и щ . Поэтому функция не может зависеть h di D.6.20)
§ 4.6. Вычислительная механика разрушения 181 должна быть независящей от системы нагрузок A). Функция h на- называется весовой функцией. Весовые функции являются тензорами первого порядка и не зависят от геометрии тела. Задавая весовую функцию для рассматриваемой геометрии тела, по формуле D.6.19) можно вычислить Kj этого тела для любой системы нагрузок. Метод весовых функций успешно применяется не только для двух- двухмерных изотропных упругих тел с трещинами нормального отрыва (тип I), но и распространен на решение пространственных задач, комбинированное нагружение, анизотропные упругие тела, а также на произвольное число трещин [151]. Например, для комбинированного нагружения необходимо знать весовые функции для каждого типа трещин, т.е. hi.hu и hui- Поскольку коэффициент интенсивности на- напряжений может изменяться вдоль фронта пространственной трещины, то и весовые функции также изменяются вдоль фронта трещины: ha = ha (xi, rj), D.6.21) где а = I, II, III обозначает тип трещины, а параметр г] — положение фронта трещины. В общем виде для пространственной трещины метод весовых функций может быть сформулирован с помощью следующей записи: Xi, T))dS ,(xi,r])dV. D.6.22) Пример 4.5. Получим выражение для коэффициента интенсив- интенсивности напряжений Kj в случае произвольно распределенной нагруз- нагрузки р(х), приложенной к поверхностям сквозной трещины длины 21 в неограниченной плоскости (рис. 4.56). Воспользуемся известным \ иу{х) 1 У, ^0*-' а х=-1 Рис. 4.56. Сквозная трещина длины 21 в теле неограниченных размеров: а — система координат, б — схема нагружения решением задачи для заданной геометрии тела (неограниченной плос- плоскости) в условиях растяжения напряжениями а, приложенными вдали от трещины перпендикулярно её плоскости: Kj = ал/id.
182 Гл. 4. Специальные задачи механики трещин В этом случае смещение поверхностей трещины можно записать со- согласно решению Вестергаарда: иу = С учетом производной ^ = ±— —^=^ и выражения для коэф- о {21) Ь у/р — х2 фициента интенсивности напряжений по формуле D.6.20) получаем весовую функцию для рассматриваемой геометрии тела с трещиной: Для заданной системы нагрузок (рис. 4.56, б) согласно формуле D.6.19) записываем коэффициент Kj для двух вершин трещины: Заметим, что последнее выражение получено из предыдущего посредством изменения направления интегрирования и замены х = —х. § 4.7. Экспериментальная механика разрушения Экспериментальная механика разрушения как раздел механики раз- разрушения изучает процессы инициирования и распространения трещин в твердых телах под действием механических нагрузок, физических полей и агрессивных сред. В качестве экспериментальной базы этого раздела механики разрушения используются методы анализа напряженно-деформированного состояния в окрестности вершины трещины, методы измерения размеров и скорости распространяющейся трещины, фрактографические методы исследования поверхности разрушения для установления механизмов и кинетики разрушения, физическое моделирование внешних эксплуатационных воздействий на твердые тела. В рамках экспериментальной механики разрушения можно выделить фундаментальные и прикладные направления исследований. Основными задачами фундаментальных исследований являются изучение механизмов и кинетики разрушения твердого тела, обоснование и развитие теоретических положений, моделей и критериев механики разрушения. К прикладным исследованиям относятся экспериментальные исследования характеристик сопротив- сопротивления инициированию и распространению трещин (трещиностойкости)
§ 4.7. Экспериментальная механика разрушения 183 в конструкционных материалах в условиях, моделирующих реальное физико-механическое воздействие на конструкцию. Экспериментальный анализ напряженно-деформированного состоя- состояния в окрестности вершины трещины при упругом и упругопластиче- ском нагружениях твердых тел основан на методах экспериментальной механики материалов, среди которых можно назвать методы хрупких тензочувствительных покрытий, муаровых полос и делительных сеток, оптически чувствительных покрытий, голографической интерферомет- интерферометрии, электротензометрии, поляризационно-оптический и др. [111, 144]. Принципы измерения длины и скорости распространяющейся тре- трещины основаны на взаимодействии распространяющейся трещины с веществами или физическими полями, создаваемыми независимо от процесса разрушения или возникающими в результате внешнего нагружения тела. К физическим полям можно отнести следующие: световое, упругое, электрическое, магнитное, проникающих излучений, электромагнитное. Перечислим некоторые методы измерения длины и скорости роста трещины в соответствии с особенностями взаи- взаимодействия трещины с упомянутыми физическими полями или ве- веществами [49, 81]: оптические и визуальные; упругой податливости и акустической эмиссии; электросопротивления и разности электри- электрических потенциалов; феррографии и магнитный порошковый; рентге- рентгеновский и электронно-микроскопический; токовихревой; проникающих жидкостей; разрывных сигнальных датчиков, фотоупругих и хрупких покрытий, фрактографии; пневматический. Поверхности разрушения (изломы) твердых тел содержат в себе обширную информацию о механизмах, кинетике и причинах разруше- разрушения твердых тел. Изучение изломов основано на методах световой, электронной и рентгеноструктурной фрактографии [11, 22, 40, 81, 128, 129]. Макростроение изломов твердых тел анализируют с помощью световых микроскопов. Для изучения микростроения изломов исполь- используют просвечивающие и растровые электронные микроскопы. В просве- просвечивающей электронной микроскопии анализ поверхности излома про- проводят посредством просвечивания реплик — специальных отпечатков (в виде тонких пленок) поверхности излома. В растровой электронной микроскопии проводится прямое наблюдение поверхности разрушения в потоке электронов. Рентгеноструктурная фрактография предусматри- предусматривает изучение подповерхностных слоев разрушения и оценивает вели- величину и глубину пластической деформации, сопровождающей процесс разрушения, уровень микронапряжений и т.д. Методы экспериментального определения характеристик трещино- стойкости могут быть основаны на следующих подходах механики разрушения: — использовании решений задач о предельном равновесии тела с трещиной, включая результаты анализа напряженно- деформированного состояния в окрестности вершины трещины;
184 Гл. 4. Специальные задачи механики трещин — анализе энергетических затрат на образование единицы свобод- свободной поверхности тела в результате распространения трещины; — установлении корреляционных зависимостей между характери- характеристиками трещиностойкости и физико-механическими свойствами мате- материала, определяемыми на образцах без трещин. 4.7.1. Экспериментальное определение некоторых характерис- характеристик трещиностойкости. В настоящее время разработаны рекоменда- рекомендации по методам механических испытаний конструкционных материалов с целью оценки их трещиностойкости при различных условиях нагру- жения и видах разрушений [24, 79-81, 154, 172]. В них включены методы определения характеристик трещиностойкости металлов, свар- сварных соединений, биметаллов и тонколистовых материалов при стати- статическом, циклическом и динамическом нагружениях, а также в усло- условиях ползучести, релаксации и на стадии остановки трещины; при распространении трещин продольного сдвига и двухосном растяжении, при докритическом росте трещины и др. Характеристики трещиностойкости дополняют другие характери- характеристики механического поведения материала, отражающие его сопротив- сопротивление разрушению, и могут быть использованы для: • сравнения различных вариантов химического состава, технологи- технологических процессов изготовления, а также для обработки и контроля качества материалов; • сопоставления материалов при обосновании их выбора для машин и конструкций; • расчетов на прочность, безопасность и живучесть несущих эле- элементов конструкций с учетом их дефектности, геометрических форм и условий эксплуатации; • анализа причин аварий и разрушений конструкций. В качестве иллюстрации методов экспериментальной механики раз- разрушения рассмотрим определение характеристик трещиностойкости при кратковременном статическом и циклическом нагружении. Характеристики трещиностойкости {вязкости разрушения) при кратковременном статическом нагружении. Среди характеристик статической трещиностойкости следует отметить следующие: крити- критический коэффициент интенсивности напряжений (вязкость разруше- разрушения) Kic, критическое раскрытие в вершине трещины 5С, критический J-интеграл, предел трещиностойкости /с, критический коэффициент интенсивности деформаций и др. Характеристики трещиностойкости определяют на образцах с пред- предварительно созданной усталостной трещиной посредством их разруше- разрушения. Рекомендуется использовать следующие типы образцов: тип 1 — плоский прямоугольный с центральной трещиной для испытаний на осевое растяжение (рис. 4.57); тип 2 — цилиндрический с кольцевой трещиной для испытаний на осевое растяжение (рис. 4.58);
§ 4.7. Экспериментальная механика разрушения 185 21 А-/. Ьг12 J\ 72 = 26 = 2,256 \ U 7 А Рис. 4.57. Плоские образцы для испытаний на осевое растяжение и трехточеч- трехточечный изгиб 2аГ=C0...90)° Рис. 4.58. Цилиндрический образец для испытаний на осевое растяжение
186 Гл. 4. Специальные задачи механики трещин Рис. 4.59. Прямоугольный образец для испытаний на внецентренное растяжение тип 3 — прямоугольный компактный образец с краевой трещиной для испытаний на внецентренное растяжение (рис. 4.59); тип 4 — плоский прямоугольный образец с краевой трещиной для испытаний на трехточечный изгиб (рис. 4.57). Выбор формы и размеров образцов во многом определяется осо- особенностями схемы нагружения анализируемых элементов конструкций, видом полуфабриката, прочностью и пластичностью материала, мощно- мощностью имеющейся испытательной машины. При этом принципиальные методические различия в определении трещиностойкости разных ти- типов образцов отсутствуют. Различие заключается лишь в формулах, используемых для обработки результатов эксперимента, и анализе корректности полученных характеристик. Испытания образцов проводят на универсальных испытательных машинах повышенной жесткости с механическим, гидравлическим или электрогидравлическим приводом. Испытательная машина должна быть оборудована приборами, позволяющими записывать диаграммы "сила — раскрытие трещины" (Р(А)) или "сила — перемещение по оси действия силы" (P(f)) при нагружении образцов до разрушения. Ско- Скорость нагружения образцов устанавливают по скорости перемещения подвижного захвата в пределах от 0,02 до 0,2 мм/с. По диаграммам деформирования образцов с трещиной Р(Д) опре- определяют нагрузки Pq и Рс, необходимые для вычисления К1с и Кс. Возможная нелинейность диаграмм деформирования может быть обу- обусловлена как наличием пластических деформаций, так и ростом трещи-
§ 4.7. Экспериментальная механика разрушения 187 Рис. 4.60. Основные типы диаграмм деформирования ны. Существуют следующие характерные диаграммы деформирования Р(Д) (рис. 4.60). Диаграмма типа I. Разрушение образца происходит в точке С. На- Нагрузка Pq равна максимальной нагрузке Рс. Соответствующая ей точка расположена внутри угла, образованного линией начального упругого участка и линией, тангенс которой на 5% меньше E-процентная се- секущая). Такой тип диаграммы характерен для хрупкого разрушения и является признаком корректного определения Kjc. Диаграмма типа II. Диаграмма характеризуется наличием локаль- локального максимума нагрузки (скачка нагрузки), обусловленного скачком трещины. Нагрузку скачка принимают равной Pq. При этом полагают, что скачок трещины происходит при К = Kjc. Диаграмма типа III. Диаграмма характеризуется наличием мак- максимума нагрузки, соответствующей разрушению образца, лежащей правее 5-процентной секущей. Нагрузка Pq определяется по точке пересечения диаграммы с 5-процентной секущей. Диаграмма типа IV. Диаграмма представляет собой кривую с мак- максимальной нагрузкой в точке С. Разрушение образца происходит в точ- точке диаграммы, расположенной правее точки С. Нелинейность диаграм- диаграммы может быть обусловлена наличием пластических деформаций, а не ростом трещины. Нагрузка Pq определяется по точке пересечения диаграммы с 5-процентной секущей. Если возможно, целесообразно зафиксировать момент старта трещины и нагрузку старта трещины Pq принять равной Pq. После разрушения образца на изломе измеряют длину трещины. В плоских образцах типов 1, 3 и 4 длину трещины / вычисляют как среднее арифметическое значений длин в трех сечениях, отстоящих от боковой поверхности образца на 0,25; 0,5 и 0,75 толщины об- образца. В зоне максимального сужения плоских образцов на изломе определяют толщину tc. В цилиндрическом образце (тип 2) на изломе
188 Гл. 4. Специальные задачи механики трещин измеряют эксцентриситет s (расстояние между центрами поперечного сечения и статического долома образца), а также диаметры контура усталостной трещины в двух взаимно перпендикулярных направлениях и вычисляют их среднее значение d. По полученному значению Pq и измеренной длине трещины вы- вычисляют величину Kq с использованием формул для коэффициентов интенсивности напряжений: $. D.7.1) где Yxil/Ъ) = 13,74 |"l - 3,38 (l/b) + 5,572 (l/bJ] при 0,456 < I < 0,556 для образца типа 1; |У;), D.7.2) где У2' = 6,53 |"l - 1,8167 (d/D) +0,9167 (d/DJ] и У2" = 3,1 Bs/d) при 0,6D ^d^ 0,7D, 2s < O,OSd для образца типа 2; где У3 = 13,74 |"l - 3,38 (l/b) + 5,572 (l/bJ] при 0,456 < / < 0,556 для образца типа 3; где У4 = 3,494 |"l - 3,396 (//6) + 5,839 (l/bJ] при 0,456 < / < 0,556 для образца типа 4. Полученную величину Kq принимают равной вязкости разрушения материала Kic, если удовлетворена одна из трёх групп критериев корректности (достоверности) определения Kjc\ I группа PC^1,1PQ, t^tp, ^C<1,5%, D.7.5) где tp = C(Kq/<jo2J — расчетная толщина образца, (рс =х х х 100% — максимальное относительное остаточное утонение образца в зоне разрушения. Для низкоуглеродистых и низколегированных ста- сталей, алюминиевых и титановых сплавов /3 = 2,5; для чугунов /3 = 0,6; для аустенитных сталей /3 = 5. II группа D.7.6)
§ 4.7. Экспериментальная механика разрушения 189 где А/ = —-jQ- х 100% — относительное приращение длины трещины при статическом нагружении до нагрузки Pq. Ill группа Pc^IIPq и Ac^1,2Aq. D.7.7) Если ни одна группа критериев не выполняется, то для определе- определения К1с следует испытать образцы большей толщины или большего диаметра. В случае невыполнения критериев корректности определяют крити- критический коэффициент интенсивности напряжений Кс для исследуемой толщины образца. Величину Кс определяют по формуле для Kq с заменой Pq на Рс. При этом необходимо соблюдение ограничения на величину номинальных напряжений в ослабленном трещиной сечении: <тсо ^О,8<7о,2, и учет пластической поправки Ирвина для расширения диапазона применимости подходов линейной механики разрушения. Пример 4.6. Оценим толщину образца, требуемую для достовер- достоверного определения вязкости разрушения Kjc конструкционной стали с пределом текучести ат = 350 МПа. Ориентировочное значение Kjc для сталей данного класса составляет 200 МПа^/м. Воспользовавшись критерием достоверности, учитывающим ограничение на толщину об- образца, получаем *>w o*fKiA о./ЗООМПал/мЛ QQ t > tp = 2,5 =2,5 ocrn ЛДГТУ « 82 см. p \aT J \ 350 МПа J Естественно, испытание образцов подобных толщин практически ма- маловероятно. Поэтому в данном случае для оценки трещиностойкости стали необходимо привлекать методы упругопластической механики разрушения, например концепции энергетического J-интеграла, рас- раскрытия в вершине трещины и др. Экспериментальная информация в виде диаграмм деформирования Р(А) и P(f) оказывается также необходимой для определения крити- критического J-интеграла. В случае диаграмм деформирования типов I, II и III критический J-интеграл вычисляют по формуле '¦ = фту DJ-8) Здесь коэффициент г] = 2,44 при внецентренном растяжении компакт- компактного образца (тип 3) и г] = 2 при изгибе плоского прямоугольного образца (тип 4). Работу Ас пластической деформации и разрушения определяют по площади экспериментальной диаграммы деформирова- деформирования образца до точки Рс (рис. 4.61). В случае диаграммы деформирования типа IV нелинейность ко- которой обусловлена наличием значительных пластических деформаций, для вычисления Jc согласно ГОСТ 25.506-85 привлекают концепцию
190 Гл. 4. Специальные задачи механики трещин 0 fp>*p Рис. 4.61. Схема определения Jc по диаграмме деформирования образца с трещиной J Jic О А/ Рис. 4.62. Схема определения Jc с помощью ^-кривой 7д-кривой. Для этого проводят испытания нескольких образцов, фик- фиксируя прирост трещины А/. Далее для каждого образца по площа- площади диаграммы деформирования до точки, соответствующей приросту трещины А/, определяют работу Ас, по формуле D.7.8) вычисляют J- интеграл и строят зависимость J(Al). Значение Jc находят экстрапо- экстраполяцией полученной зависимости на линию пластического притупления вершины трещины, задаваемой уравнением вида J = (<7о,2 + &в) ^1 (рис. 4.62). Стандартами ASTM [154] и ESIS [172] также рекомендуется определять J/c посредством экстраполяции. Отметим общность методологии этих стандартов и некоторые их отличия. Аналогично ГОСТ 25.506-85, в этих стандартах также предусмотрено построение линий пластического притупления с использованием уравне- уравнений J = (сго,2 + а в) А1 (ASTM-стандарт) и J = 3,75 (ат ав ) А/ (ESIS-стандарт). Очевидно, что линия пластического притупления
§ 4.7. Экспериментальная механика разрушения 191 J, кДж/м2 2500 г 1000 1500 1000 500 0 12 3 4 А/, мм Рис. 4.63. Определение Jic стали DIN 22NiMoCr37 по стандарту ASTM на компактных образцах ширины 25, 50, 100 и 200 мм [202] по ESIS-стандарту более крутая. Далее экспериментальные точки J, характеризующие вязкое подрастание трещины и попадающие между двумя линиями, проведенными параллельно линии пластического притупления, аппроксимируют степенной зависимостью. Например, по стандарту ASTM (рис. 4.63) эти линии (обозначены пунктиром) отсе- отсекают по оси абсцисс отрезки 0,15 мм и 1,5 мм. В качестве степенной зависимости (тонкая сплошная кривая линия), аппроксимирующей ста- стадию вязкого подрастания трещины, используется двухпараметрическая степенная зависимость вида J = с\ (Д/)С2, где с\ и с^ — константы. Несмотря на различия в уравнениях пластического притупления, установлении области вязкого подрастания трещины и в виде степенной аппроксимации, а также в размерах образцов, оба стандарта определяют критическое значение J-интеграла как точку пересечения линии, устанавливаемой по степенной зависимости и соответствующей стадии вязкого подрастания трещины, с линией (сплошная прямая линия на рис. 4.63), параллельной линии пластического притупления вершины трещины и отсекающей на оси абсцисс отрезок длины 0,2 мм. Тем не менее результаты определения JIc ASTM- и ESIS-стандартами значительно различаются. Анализ экспериментальных данных (более 300 значений J), полученных на компактных образцах из стали DIN 22NiMoCr37, позволил сделать вывод о том, что почти двукратное превышение Jjc no ASTM стандарту значения Jjc по ESIS-стандарту обусловлено, главным образом, используемым уравнением линии пластического притупления вершины трещины [202]. При испытаниях образцов возможно проявление эффекта туннели- рования, т.е. искривления фронта трещины. Этот эффект отчетливо проявляется на изломе образца. В этом случае вычисление J-интеграла необходимо проводить с учетом реальной длины искривленного фрон-
192 Гл. 4. Специальные задачи механики трещин та L и площади AS статического прироста трещины по формуле [24] Аналогично критериям достоверности Kjc существует условие досто- достоверности Jjc: полученную величину Jc принимают равной J/c, если она удовлетворяет неравенству tP>P ~ • D.7.10) ^0,2 + аВ Причем коэффициент /3 = 200 при ао,2/&в < 0,6 и /3 = —375 — + 425 при gqz/gb ^ 0,6. ав Критическое раскрытие 5С в вершине трещины как характеристику локальной пластичности материала в момент страгивания трещины определяют непосредственно с помощью соответствующих приспособ- приспособлений или рассчитывают на основе модельных представлений по экс- экспериментальной информации о смещениях определенных точек образ- образца [24]. Кинетическая диаграмма усталостного разрушения. Различают следующие виды испытаний для определения скорости роста уста- усталостных трещин и характеристик циклической трещиностойкости. Ос- Основные испытания, служащие для получения исходных справочных данных о циклической трещиностойкости материала, проводят в диа- диапазоне скоростей, охватывающем не менее пяти порядков их значений и все характерные участки диаграммы роста трещины. Специальные испытания проводят в широком или ограниченном диапазоне скоростей для определения влияния на скорость роста усталостной трещины отдельных факторов (асимметрии, формы и частоты циклов, термооб- термообработки, температуры и т.д.). Испытания при изменяющемся цикле коэффициента интенсивности напряжений проводят с соблюдением постоянства цикла нагрузки, что приводит к увеличению коэффициен- коэффициента интенсивности напряжений в условиях распространении трещины. Испытания при постоянном цикле коэффициента интенсивности на- напряжений проводят для определения влияния отдельных факторов на скорость роста трещины. Постоянство коэффициента интенсивности напряжений достигается соответствующим изменением нагрузки или выбором формы образца и способа нагружения. Для установления закономерностей роста усталостных трещин и построения кинетической диаграммы усталостного разрушения ис- испытывают образцы с исходной сквозной трещиной при реализации нормального отрыва. Для получения базовой диаграммы могут быть использованы образцы типа I, III и IV (рис. 4.57, 4.59). Упругое со- состояние образца регламентируется его напряжениями в ослабленном трещиной сечении, которые не должны превышать 80 % от предела текучести материала. Кроме того, длина трещины /, расстояние от вершины трещины до края образца и толщина образца t должны быть
§ 4.7. Экспериментальная механика разрушения 193 на порядок (или более) больше пластических зон у фронта трещины. Эти условия можно приближенно выразить неравенством I, t>l,5(Kmax/a0,2J D.7.11) при любых длинах трещины в пределах рабочего интервала и соответ- соответствующем им if max- При выборе ширины образца Ъ необходимо также учитывать необходимость осуществления достаточно большого числа измерений длин трещины в процессе её усталостного роста: Ь > k + ^ Д/г + g", D.7.12) г=1 где /о ~~ начальная длина трещины, g — наименьшее допустимое рас- расстояние от её вершины до края образца, / — планируемое (желательно не менее 25) число измерений, Ali — прирост длины трещины между двумя последовательными измерениями. Исследование роста усталостных трещин проводят на машинах для испытаний на усталость. Необходимое максимальное усилие испыта- испытательной машины консервативно можно оценить как усилие, необходи- необходимое для разрушения (хрупкие материалы) или наступления текучести (пластичные материалы) образца с исходной трещиной. Испытательная машина должна быть оснащена аппаратурой для измерения значений нагрузки в цикле, числа циклов нагружения и длины трещины. На практике применяют следующие методы измерения длин трещин: ви- визуальный, упругой податливости, датчиков последовательного разрыва, разности электрических потенциалов, методы фотосъемки, акустиче- акустической эмиссии, вихревых токов, фрактографии, а также ультразвуковой и магнитный методы. Испытания планируют таким образом, чтобы интервалы изменения наибольшего значения коэффициента интенсивности напряжений цик- цикла нагружения образцов хотя бы частично перекрывались. Измеряемый прирост длины усталостной трещины должен на порядок и более пре- превышать характерный размер структуры материала. При высоких ско- скоростях роста трещины её прирост должен быть достаточно большим, чтобы соответствующий ему интервал AN чисел циклов нагружения был не меньше 10. Таким образом, исходной экспериментальной информацией для определения скоростей роста усталостной трещины являются данные о наибольшем значении Ртах или размах АР нагрузки цикла, значения длин трещин li и соответствующие числа циклов нагружения Ni (г — номер измерения), расположенные в порядке возрастания. Скорость роста трещины измеряют по данным двух последователь- последовательных измерений: Уг = мг++[~Лг' D7ЛЗ) 13 Матвиенко Ю.Г.
194 Гл. 4. Специальные задачи механики трещин приводя её в соответствие со средним значением длины (li+\ + h)/2. При этом экспериментальные данные не сглаживаются, а кинетические диаграммы отличаются большим количеством точек и их рассеиванием. Для каждой скорости трещины по соответствующим ей значениям нагрузки и длины трещины рассчитывают наибольшее значение или размах коэффициента интенсивности напряжений с помощью фор- формул для данного типа образца. Совокупность точек с координатами Vi, (^max)i или Vi, АК{, нанесенная в системе координат с логариф- логарифмической шкалой по обеим осям (см. рис. 4.1), представляет собой кинетическую диаграмму усталостного разрушения. По точкам диа- диаграммы посередине полосы рассеяния проводят кривую скорости роста усталостной трещины. Средний участок кинетической диаграммы усталостного разруше- разрушения аппроксимируют уравнением вида D.1.2) или D.1.3) и определяют характеристики циклической трещиностойкости. Точки, полученные в начале испытаний образцов, могут в некотором промежутке систе- систематически отклоняться от кривой скорости роста трещины, образуя V, м/цикл 10" 10 15 20 30 40 АК, МПа • Vm Рис. 4.64. Кинетическая диаграмма усталостного разрушения с "хвостами" (точки, полученные на трех различных образцах, обозначены различными символами) так называемые "хвосты" (рис. 4.64), из-за невыполнения требований к исходным трещинам. Такие отклонения при определении характерис- характеристик циклической трещиностойкости не учитываются.
§ 4.7. Экспериментальная механика разрушения 195 4.7.2. Прямые методы исследования трещиностойкости. В экс- экспериментальной нелинейной механике разрушения определение ха- характеристик трещиностойкости основано, как правило, на косвенных методах, использующих расчётные формулы и экспериментальную диа- диаграмму "нагрузка-смещение точек приложения нагрузки". Однако для тонколистовых пластичных металлов, а также элементов конструк- конструкций при экстремальных нагрузках в условиях больших пластичес- пластических деформаций и сложного нагружения, когда косвенные измерения диаграммы затруднены или невозможны и отсутствуют расчётные фор- формулы, отмеченные методы не всегда теоретически обоснованы и реа- реализуемы. Кроме того, в силу различия технологических особенностей и схем нагружения лабораторного образца и рассчитываемой в после- последующем детали не всегда наблюдается совпадение трещиностойкости образца и детали. Поэтому актуальность разработки прямых методов исследования трещиностойкости тонколистовых металлов и элементов конструкций на основе анализа напряженно-деформированного состо- состояния у вершины трещины при развитом пластическом течении не вызывает сомнения. Экспериментальное определение J-интеграла по контуру инте- интегрирования. В середине 80-х годов Г.П. Черепанов, С. Атлури и др. [7] пришли к выводу, что инвариантность энергетического J-интеграла относительно контура интегрирования сохраняется лишь для малых замкнутых контуров, охватывающих вершину трещины. Причём, контур интегрирования должен находиться в зоне преобладания HRR-сингулярности напряжений и деформаций у вершины трещины (которая установлена в рамках теории малых упругопластических деформаций при условии монотонного нагружения), не превышающей двухкратного раскрытия в вершине трещины. Справедливости ради заметим, что подобные результаты были получены [65, 66, 80] ещё в начале 80-х годов при экспериментальном исследовании контурной инвариантности J-интеграла в развитой пластической зоне у вершины сквозной трещины в тонкой пластине. При этом для экспериментального анализа напряженно-деформированного состояния у вершины трещины при развитом пластическом течении материала был использован метод делительных сеток. Итак, рассмотрим метод и результаты прямого эксперименталь- экспериментального определения J-интеграла по контуру, охватывающему вершину трещины. Запишем в развёрнутом виде известное выражение для J-интеграла в случае плавного и медленного нагружения тела с тре- трещиной, пренебрегая кинетической энергией и массовыми силами: J = (р < W cos в — (ах cos в + rXY sin в) -^-= + + (txy cos в + (TY sin в) ^ \ dS, D.7.14) 13*
196 Гл. 4. Специальные задачи механики трещин где W(emn) = | <Jij deij — удельная работа деформации; в — угол о между нормалью к контуру dS и осью X; ах, aY и rXY — компоненты осевых напряжений; и и v — компоненты смещения по осям X и Y соответственно; С — контур интегрирования, охватывающий вершину трещины. У вершины трещины реализуется сложное напряженное со- состояние, поэтому для нахождения компонентов напряжений и удельной работы деформации воспользуемся гипотезой "единой кривой" дефор- деформационной теории пластичности. В качестве меры упрочнения возьмём величину достигнутой интенсивности деформации сдвига Г. Тогда кривая в координатах "интенсивность касательных напряжений Т — интенсивность деформации сдвига Г", задаваемая соотношением Т = §{Г)Г, D.7.15) будет одной и той же для различных напряжённых состояний [35]. Так как вид кривой D.7.15) не зависит от напряжённого состояния, то мо- модуль пластичности g(F) можно определить, например, из эксперимента на простое растяжение гладких образцов. В этом случае интенсивность касательных напряжений Т = (l/V6)y/(<rx - aYy + (<TY - azY + (aY - axf + 6(r2XY + r2YZ + r2xz) равна сг/л/З, а интенсивность деформации сдвига Г = ^Щ ^(ех -eYJ + (eY - szf + (?z -exy + 3/2(^XY + ^YZ + lxz) равна Модуль пластичности в зависимости от величины Г определяем по диаграмме деформирования материала а(е) как D.7.16) Для установления связи между компонентами напряжений и дефор- деформаций в случае плоского напряженного состояния используем упро- упрощённые уравнения деформационной теории пластичности [35], полу- полученные с учётом условия несжимаемости материала: °y,x = 4§</>У|Х + 2g(r)sxy, rXY = g{r)lxY. D.7.17) Осевые деформации в системе координат XY, связанной с вершиной трещины (рис. 4.65), определяем по координатам узловых точек 1 и 2 деформированной ячейки в локальной системе координат ху: ех = ^х\ + у\/г0 - 1, еу = ^х\ + yl/r0 - 1. D.7.18) Интенсивность деформации сдвига в ячейке при плоском напряженном состоянии равна \\х/2 D.7.19)
§ 4.7. Экспериментальная механика разрушения 197 Рис. 4.65. Криволинейные контуры интегрирования для расчета J-интеграла Здесь главные деформации е рассчитываются по формулам, приведен- приведенным в Приложении 1. Деформация сдвига равна ~-х ¦4) D.7.20) Удельную работу деформации в элементарной ячейке устанавливают по формуле W = \т<1Г = \g(r)rdr. D.7.21) Выражения для перемещений и и v узловых точек ячеек следуют из зависимостей точечно-линейного аффинного преобразования (см. Приложение 1): U = Хх — Х01 = (С22 - v = У\ ~ 2/01 = C2i^oi + (С22 Тогда производные ди/дХ и dv/dX определяем через Cia по коор- координатам узловых точек деформированных ячеек в локальной системе координат: du/dX = cn-\=xl/r0-\, dv/dX = с21 = yx/r0. D.7.22) Таким образом, метод делительных сеток позволяет установить все компоненты напряженно-деформированного состояния в области у вершины трещины, необходимые для расчёта J-интеграла посредст- посредством интегрирования по контуру, окружающему вершину трещины, в широком интервале пластических деформаций. В качестве контура интегрирования с возьмём контур, изображенный на рис. 4.65. Выбор контура, отличного от прямоугольного, обусловлен существенными геометрическими изменениями делительной сетки в области у вершины трещины при развитом пластическом течении в процессе устойчивого роста трещины. Эти изменения проявляются в значительном повороте и смещении элементарных ячеек. В качестве элемента контура инте- интегрирования dS принят отрезок ломаной линии, проходящей через рас- рассматриваемую ячейку делительной сетки, причём для ломаной линии
198 Гл. 4. Специальные задачи механики трещин участков АВ и CD он равен г = |?/2/ cos 6>|, а участка ВС: г = \х{/sin9\. Угол 0 установим для элемента контура R на участке интегрирова- интегрирования АВ по формуле О = тг — arctg на участке CD: на участке ВС: 0 = arctg(|z1/2/1|). Предложенный подвижный контур интегрирования имеет преиму- преимущества перед прямоугольным: возможность автоматического определе- определения действительных значений угла 9 и элемента контура интегриро- интегрирования для каждой элементарной ячейки по координатам её узловых точек. Проиллюстрируем использование метода делительных сеток для определения J-интеграла Черепанова-Райса в тонкой пластине с разрезом, растягиваемой осевым усилием перпендикулярно плоскости трещины. Испытывали плоские образцы размера 300 х 70 мм с цен- центральным разрезом длины /, изготовленные из алюминиевого сплава АМцМ толщиной 1,3 и 2,9 мм и нержавеющей стали 1Х18Н9Т (<то,2 = = 340, ов = 620 МПа, 5 = 40%) толщиной 1,5 мм. В вершине исход- исходного разреза ширины 0,2 мм была нанесена методом фотолитографии делительная сетка с базой, равной 0,5 мм и 1 мм (см. Приложе- Приложение 2). В момент старта трещины, который устанавливали визуально, образец разгружали и производили необходимые замеры координат узловых точек деформированных ячеек на инструментальном микро- микроскопе БМИ-1. "Единую" кривую D.7.15) исследованных материалов определяли перестроением экспериментальной диаграммы а(г) дефор- деформирования гладкого образца при одноосном растяжении в соответствии с ГОСТ 11701-66 по приведенным выше формулам. Для удобства использования зависимости "g(r)-F" в расчётах дискретные значения модуля пластичности (порядка 30 точек) в зависимости от величины Г аппроксимировали методом наименьших квадратов полиномиальной регрессией. Степень полиномиальной регрессии варьировали от 2 до 8. Затем проводили анализ значимости каждого коэффициента регрессии заданной степени, среднего квадратичного отклонения, суммы квадра- квадратов невязок и F-отношения. Анализируя данные, полученные для поли- полиномиальных регрессий разных порядков, выбирали регрессию Рп (Г), которая дает минимальные среднее квадратичное отклонение и сумму квадратов невязок и максимальное F-отношение и, следовательно, дает
§ 4.7. Экспериментальная механика разрушения 199 лучшее приближение дискретных значений модуля пластичности, и использовали её в дальнейших расчётах. Таким образом, исходной информацией для расчёта J-интеграла по контуру, охватывающему вершину трещины, служили координаты уз- узловых точек элементарных ячеек деформированной делительной сетки у вершины трещины и свойства материала в виде зависимости "модуль пластичности — интенсивность деформации сдвига", полученной из стандартных испытаний гладких образцов на одноосное растяжение. Момент старта трещины в стали 1Х18Н9Т и сплаве АМцМ характе- характеризовался распространением пластически деформированной зоны перед вершиной трещины на все живое сечение образца. Поэтому вершину трещины обходили по контурам, проходящим в пластической области. Для расчёта J-интеграла была составлена компьютерная программа. Так, для определения J по контуру ABCD (см. рис. 4.65) необ- необходимо измерить координаты сорока одной узловой точки 20 дефор- деформированных ячеек, которые пересекает указанный контур. При этом каждая из 20 рассматриваемых ячеек будет характеризоваться своими конкретными значениями деформаций, напряжений и т. п. Программа предусматривала расчет J-интеграла как по равномерно расширяющим- расширяющимся контурам интегрирования, так и по контурам, изменяющимся только в направлении оси X (или Y). На рис. 4.66, 4.67 приведены результаты J, МПа • мм 560 г 480 400 320 240 160 о ° о* О А ' А А А . О А А АА О А X, Y, мм Рис. 4.66. Зависимость J-интеграла от расстояния контура интегрированиядо вершины трещины в момент ее страгивания в пластине из стали 1Х18Н9Т расчёта J-интеграла по криволинейным контурам с равным в направле- направлении оси удалением от вершины трещины как в направлении оси X, так и в направлении оси Y (О, А, П — завершение контура соответственно в ячейках 1, 2, 3 на разрезе у вершины трещины) или по контурам, изменяющимся только в направлении одной из осей: X или Y. Тёмны- Тёмными точками на рис. 4.66, 4.67 обозначено расширение контура только
200 Гл. 4. Специальные задачи механики трещин J, МПа • мм /, МПа • мм 60 50 40 30 20 in - о A О 1 D ъ o о A ? ? ? ? I • К ? ? • о ? A A A О a i i 5 6 X, Y9 мм J, МПа • мм 160 140 120 100 80 60 40 О A OA n 60 50 40 30 20 10 - ti & - R° о _ i o< A О П ] о >^ A ? Ao n OA A П 1 e •a ^ о n • A©* A О A I • ^ 6 5 6 X, Y, мм 0 1 13 4 5 6 X, Y, мм Рис. 4.67. Зависимость J-интеграла от расстояния контура интегрирования до вершины трещины в момент ее страгивания в пластине из алюминиево- алюминиевого сплава АМцМ: а — /о — 45 мм, t = 1,3 мм; б — /о — 30 мм, t = 1,3 мм; в — /о — 30 мм, t = 2,9 мм в направлении оси X (Y = 3,25 мм), полузатемненными — только в направлении оси Y (X = 5,75 мм ). При завершении контура в ячейке 3 (см. рис. 4.65), непосредственно примыкающей к вершине разреза, отмечаются существенно занижен- заниженные значения J-интеграла по сравнению с полученными по другим контурам. Обнаружено возрастание расчётных значений J при использовании контуров интегрирования в малой окрестности у вершины трещины.
§ 4.7. Экспериментальная механика разрушения 201 При удалении контура интегрирования от этой малой окрестности наблюдалась стабилизация величин J с разбросом в случае изменения размера контура по осям X и Y и тенденция к убыванию при удалении контура от вершины трещины. Отклонение от инвариантности и раз- разброс значений J могут быть вызваны отклонением от условий простого нагружения в окрестности вершины трещины (инвариантность кривых "g(r)-F" может зависеть от степени пластического деформирования), зависимостью перемещений вне локальной зоны от изменения гео- геометрии образца, связанного с выходом пластически деформированной зоны на границу образца, а также погрешностью измерения коорди- координат узловых точек деформированных ячеек. Отмеченную зависимость значений J от контура интегрирования в малой окрестности вершины трещины можно объяснить тем, что в момент старта трещины непо- непосредственно у вершины существует область больших пластических деформаций. Назовем её зоной локализованной пластической дефор- деформации. В процесс локализации пластической деформации в малой кон- концевой области непосредственно у вершины трещины входят: появление пустот у включений и частиц второй фазы, их рост и коалесценция. При этом нарушаются требование о сплошности деформируемого тела и линеаризация соотношений механики сплошной среды, положенные в основу вывода интеграла Черепанова-Райса. Размер локализованной зоны В! будет складываться, очевидно, из ширины зоны h, вовлека- вовлекаемой в локализованное деформирование у вершины трещины и ха- характеризуемой повышенной утяжкой металла, и критического раскры- раскрытия 5 в вершине трещины. Величину h оценим, используя допущение о несжимаемости материала и полагая (для простоты) сечение зоны, Рис. 4.68. Схематическое представление зоны локализованной пластической деформации, прилегающей к излому образца
202 Гл. 4. Специальные задачи механики трещин прилегающей к излому, в виде трапеции (рис. 4.68). Тогда t* h = t-t* 6С, Rf = t-t* 5c, D.7.23) где t* — ширина излома, t — толщина образца. Учитывая вариацию величин J вне зоны локализованной пластической деформации, за действительное значение J-интеграла рекомендуется принимать среднее значение таких величин, опреде- определяемых по контурам, проходящим вне локализованной зоны в непо- непосредственной близости к ней. Результаты, полученные по контурам, заканчивающимся в непосредственной близости у вершины трещины (ячейка 3 на рис. 4.65), не будем принимать во внимание, полагая, что эти контуры интегрирования пересекают зону локализованной пластической деформации (ЗЛПД) у вершины трещины. Приведённые в табл. 4.7.1 расчётные значения В! совпадают с расстоянием контура Таблица 4.7.1. Материал Сплав АМцМ Сталь 1Х18Н9Т Результаты ?, мм 1,3 1,3 2,9 1,5 1, мм 30 45 25 35 расчетов и измерении ?, мм 0,28 0,28 0,7 0,53 а с, мм 0,9 0,9 1,9 0,9 Я', мм 2,3 2,3 4,8 2,8 Jc, по контуру 70 70 170 480 кн/м по диаграмме 90 90 200 500 до вершины трещины, при котором наступает стабилизация значений J-интеграла вблизи границы ЗЛПД. Усреднённые значения Jc-интеграла, полученные при интегриро- интегрировании по различным контурам за пределами локализованной зоны, но в непосредственной близости к ней, согласуются с данными, полученными по диаграмме "нагрузка-смещение" (Р(А)). Необходимо отметить значительное влияние толщины материала на контурный Jc-интеграл. Проверено также влияние базы ячейки делительной сетки на величину Jc. Увеличение размера ячейки до го = 1 мм и шага интегрирования не повлияло на полученные результаты (на рис. 4.67 точки о). Это позволяет использовать в экспериментах достаточно большой размер ячейки делительной сетки для определения J-интеграла, тем самым уменьшая погрешность. Вопросы оценки погрешности определения J-интеграла методом делительных сеток и её оптимизации посредством изменения базы элементарной ячейки, точности измерительного прибора и толщины линии делительной сетки рассмотрены в Приложении 3. Таким образом, можно сделать вывод о приближённой инвариант- инвариантности контурного J-интеграла в малой окрестности пластически де- деформированной области у вершины трещины вне зоны локализованной
§ 4.7. Экспериментальная механика разрушения 203 пластической деформации и о влиянии контура интегрирования на величину J при удалении контура от этой зоны. Для перенесения результатов испытаний образцов в состоянии общего пластического те- течения на элементы конструкций целесообразно в качестве J-интеграла брать средние их значения, рассчитанные по контурам, проходящим вдоль границы локализованной зоны. В пластичных тонколистовых металлах, как правило, после старта трещины наблюдается её устойчивый рост, предшествующий лавино- лавинообразному разрушению. Причём устойчивый рост трещины характери- характеризуется повышением сопротивления материала разрушению, проявляю- проявляющимся в необходимости увеличивать нагрузку, с тем чтобы обеспечить дальнейшее распространение трещины. Разрушающая нагрузка может в несколько раз превышать нагрузку, соответствующую возникновению устойчивого роста трещины. Поэтому анализ опасности разрушения на основе критериев начала роста трещины может быть консервативным и недооценивать способность материала сопротивляться устойчивому росту трещины. Для характеритики сопротивления материала устой- устойчивому росту трещины используют ,7д-кривые. Это оправдано до тех пор, пока увеличение длины трещины контролируется величиной J, несмотря на то что распространение трещины сопровождается разгруз- разгрузкой материала в пластической области у вершины трещины. Рассмотренная выше методика определения J-интеграла методом делительных сеток в момент старта трещины была использована и для определения J в процессе устойчивого роста трещины в пластине из стали 1Х18Н9Т с центральным разрезом. При этом после каждого заданного прироста трещины образец разгружался и осуществлялись необходимые замеры координат узловых точек деформированной сетки на инструментальном микроскопе. Интеграл Черепанова-Райса рассчитывался по контурам, прохо- проходящим в пластической зоне. При суммарном приросте трешины на величину А/, кратную базе ячейки делительной сетки го, контур интегрирования удлиняли на Д//2 по оси X. Результаты расчёта J-интеграла по подвижным контурам (рис. 4.69) свидетельствуют о возрастании расчётных значений J в локализован- локализованной зоне у вершины трещины, характеризуемой значительной утяж- утяжкой металла, об их стабилизации вне этой зоны и о тенденции к убыванию значений J при значительном удалении контура от этой зоны, т. е. поведение J в зависимости от контура интегрирования при росте трещины аналогично наблюдаемому в момент старта тре- трещины. На рис. 4.69 длина начального разреза /о — 35 мм, прирост трещины Д//2 = 3,25 мм; а, б — равномерное расширение контура при его завершении в ячейках 1 и 2 соответственно (см. рис. 4.65); в, г — расширение контура только в направлении X (Y = 3,5 мм); д, е — только в направлении Y (X = 5,5 мм) .
204 Гл. 4. Специальные задачи механики трещин J, МПа • мм 1120 г 960 800 640 480 о о А А *• о А - а, б • А — в, г «А - д,е ОА 4 5 X, Y, мм Рис. 4.69. Зависимость J-интеграла от расстояния контура интегрирования до вершины трещины после ее прироста в стали 1Х18Н9Т Однако может возникнуть вполне закономерный вопрос: в какой степени упругая разгрузка образцов перед обмером сетки и воз- возможное появление связанных с ней вторичных зон пластической де- деформации отразились на характере поведения расчётных значений J-интеграла с изменением размеров контура интегрирования? Для ответа на этот вопрос было проведено контрольное испытание с мно- многократным фотографированием деформированной сетки в окрестности вершины трещины в процессе растяжения образца. Координаты уз- узловых точек ячеек деформированной сетки считывали с фотоплёнки на стереокомпараторе типа "Стекометр Е". Полученные результаты свидетельствовали о несущественном влиянии упругой разгрузки на величину J-интеграла и характер поведения J-интеграла в зависимос- зависимости от контура интегрирования. Следовательно, учитывая некоторую вариацию величин J вне ло- локализованной зоны, за истинное значение J-интеграла рекомендуется принимать среднее значение таких величин, определяемых по конту- контурам, проходящим вне локализованной зоны, но в непосредственной близости от неё. Усреднённые значения J-интеграла, полученные при интегрирова- интегрировании по различным контурам за пределами зоны локализованной пла- пластической деформации, при заданном приросте трещины использовали для построения J^-KpHBoft сопротивления росту трещины (рис. 4.70). Для полного построения J^-KpHBoft необходимо также провести линию кажущегося роста трещины, связанную с пластическим притуплением её вершины. Уравнение этой линии имеет следующий вид: J = 2Ма0А1, D.7.24) причем величину <то считают равной пределу текучести ат или опреде- определяют как (ат + ств) /2. Коэффициент М в значительной мере зависит
§ 4.7. Экспериментальная механика разрушения 205 J, МПа • мм 1280 160 0 2 4 6 8 10 12 А/, мм Рис. 4.70. jR-кривые для стали 1Х18Н9Т G0 = 35 мм) от геометрии образца, степени деформационного упрочнения и вида напряжённого состояния. Приняв его = ат, коэффициент М на участке до момента страгивания трещины определяют по зависимости JE) как M = J/(<to,25). D.7.25) Для точки пересечения линии кажущегося роста трещины с линией сопротивления её росту в стали 1Х18Н9Т (М = 1,5) получили зна- значение упругопластической вязкости разрушения, приближенно равное величине Jc, определённой в момент старта трещины как расчётом по контурам, так и путём обработки диаграммы Р(Д)( см. табл. 4.7.1). Таким образом, предложенная методика определения J-интеграла методом делительных сеток позволила конкретизировать контуры ин- интегрирования и может быть успешно использована как для определе- определения Jc, так и для построения 7д-кривых сопротивления росту трещины в тонколистовых маталлах. Рассмотренный метод также может быть применен на натурных конструкциях. Определение коэффициента интенсивности деформаций мето- методом делительных сеток. Как было показано в предыдущих пара- параграфах, для экспериментальной оценки трещиностойкости материалов и деталей используются различные критерии механики разрушения. Выбор критерия разрушения во многом определяется наличием в лабо- лаборатории разработанной методики, экспериментальной оснастки и зача- зачастую носит субъективный характер. Кроме того, использование того или иного критерия разрушения может быть регламентировано как механическими свойствами материала детали, так и характером её де-
206 Гл. 4. Специальные задачи механики трещин формирования и разрушения в эксплуатации. Поэтому разработка экс- экспериментальных методик определения различных параметров нелиней- нелинейной механики разрушения позволит расширить круг решаемых задач. Рассмотрим критерий разрушения нелинейной механики разрушения, основанный на коэффициенте интенсивности деформаций (см. § 3.3). В случае разрушения тела при номинальных напряжениях в ослаблен- ослабленном трещиной сечении коэффициент интенсивности деформаций Ке определяют по формулам C.3.7). Коэффициент интенсивности напря- напряжений К, входящий в эти формулы, вычисляют по формулам линейной механики разрушения, но с подстановкой замеренных усилий. Поэтому для определения коэффициента К необходимо располагать формулой для коэффициента интенсивности напряжений образца (детали). Од- Однако для натурных деталей сложной геометрии в условиях сложного нагружения, как правило, формулы для коэффициента интенсивности напряжений отсутствуют, а их получение сопряжено с использовани- использованием сложных и трудоёмких численных и экспериментальных методов. Рассмотрим простой метод экспериментального определения коэффи- коэффициента интенсивности деформаций для детали с трещиной [58]. Следуя работе [71], нетрудно показать, что выражение для интен- интенсивности деформаций Ei в пластической зоне перед вершиной трещины (на линии её продолжения) на расстоянии г от неё при плоском напряженном состоянии имеет следующий вид: Ке ?Т D.7.26) где N — показатель деформационного упрочнения материала в аппрок- аппроксимации диаграммы деформирования вида а/ат = ol (е/ет) , ol ^ 1 — константа, р = [2 - 0,5 A - N) A -ani)} /A + N)~\ &ш = °п%1от- Таким образом, зная распределение интенсивностей деформаций перед вершиной трещины, номинальные напряжения ani и механические свойства материала, представляется возможным определять Ке для детали с трещиной. Для анализа распределения интенсивностей де- деформаций у вершины трещины можно использовать ряд эксперимен- экспериментальных методов, в частности метод делительных сеток, муара и др. В случае развитых пластических деформаций у вершины трещины целесообразно использовать метод делительных сеток. Проиллюстрируем методику определения коэффициентов интенсив- интенсивности деформаций с помощью метода делительных сеток, нанесён- нанесённых на предварительно подготовленную поверхность плоского образца с центральным сквозным надрезом в области его вершины. Делитель- Делительная сетка имела элементарную квадратную ячейку размера 0,5 мм. Распределение интенсивностей деформаций перед вершиной трещины на линии её продолжения определялось по деформациям элементарных ячеек.
§ 4.7. Экспериментальная механика разрушения 207 lne, 3 ЫBжг) -4 L- Рис. 4.71. Распределение интенсивностей деформаций перед вершиной тре- трещины на линии ее продолжения в стали 09Х16Н15МЗБ: 1 — 1о = 8 мм, t = 0,8 мм; 2 — /о = 8 мм, t = 0,4 мм; 3 — /о = 15 мм, t = 0,4 мм На рис 4.71 в логарифмических координатах приведены результаты определения интенсивностей деформаций перед вершиной трещины в исследованной стали. Экспериментальные точки группируются око- около прямых линий на зависимости ln^-ln Bтгг), что свидетельствует о возможности использования метода сеток и формул D.7.26) для определения Ке. Однако можно выделить две группы точек, которые отклоняются от общей прямолинейной зависимости: точки в малой окрестности непосредственно у вершины трещины и точки на зна- значительном расстоянии от вершины трещины. Первая группа точек соответствует малой концевой зоне больших пластических дефор- деформаций, характеризуемой повышенной утяжкой металла, появлением микротрещин и пустот. Наличие такой концевой зоны с большими пластическими деформациями не входило в постановку задачи при определении выражения для коэффициента интенсивности деформа- деформаций [71], поэтому в дальнейшем точки вышеотмеченной концевой зоны не будем принимать в рассмотрение. Экспериментальные точки, соответствующие значительным расстояниям г от вершины трещи- трещины, могут быть использованы в обработке результатов при условии введения в соотношение D.7.26) для Е{ поправочной функции / {г/1) для уточнения определения коэффициента интенсивности деформаций, поскольку f (г/1) при г/1 > 0,2 — 0,5 становится больше единицы [71]. Прологарифмируем выражение D.7.26): и исключим из полученной зависимости слагаемое, связанное с рас- расстоянием от вершины трещины г и показателем р, с целью получения более удобной аналитической формулы для Ке. Для этого экстрапо- экстраполируем полученные экспериментальные зависимости (см. рис. 4.71)
208 Гл. 4. Специальные задачи механики трещин Таблица 4.7.2. Коэффициент интенсивности деформаций Ке нержавеющей стали 09Х16Н15МЗБ (аТ = 210 МПа, гт = Ю, а = 0,6, N = 0,24) t, мм 0,8 0,4 0,4 /о, мм 8 8 8 Ке, ммр/2 245 175 175 с учетом сделанных замечаний на значение In Bтгг) = 0 и устанавлива- устанавливаем значение коэффициента интенсивности деформаций в пластической зоне у вершины трещины (табл. 4.7.2): D.7.27) Полученные значения Кев пределах 5% совпадают с результатами расчета Ке по формуле C.3.7). Отметим, что методика определения коэффициента интенсивности деформаций проиллюстрирована на примере растяжения плоского об- образца со сквозной трещиной в момент её страгивания в условиях плоского напряженного состояния. Если деталь массивная и имеет поверхностную трещину, то для определения коэффициента интен- интенсивности деформаций (а также J-интеграла) можно воспользоваться методикой, аналогичной предложенной в работе [31] для определения коэффициента интенсивности напряжений. При этом в случае плоской деформации необходимо использовать и соответствующие формулы для 8^. Кроме того, зависимости D.7.26) могут быть положены в основу методики определения разрушающих номинальных напряжений ani в детали при сложном нагружении посредством вычисления показателя степени р при известном критическом коэффициенте интенсивности деформаций. Критические температуры хрупкости. В зависимости от темпера- температуры испытаний твердого тела возможна реализация следующих типов разрушений: вязкий (пластический), квазихрупкий и хрупкий. Переход от одного типа разрушений к другому характеризуется критическими температурами хрупкости. Для определения критических температур хрупкости используются следующие критерии. Первая критическая температура хрупкости Тк\ характеризует переход от вязких разруше- разрушений к квазихрупким, проявляется снижением волокнистой (вязкой) со- составляющей Fb в изломе образца в температурной зависимости T{Fb) и соответствует Fb = 50%. Как правило, первую критическую темпе- температуру хрупкости определяют при испытании образцов с трещиной на ударный изгиб. Вторую критическую температуру хрупкости Тк2, т.е. температуру перехода от квазихрупких разрушений к хрупким, уста- устанавливают по точке пересечения температурных зависимостей предела
§ 4.7. Экспериментальная механика разрушения 209 текучести и разрушающих напряжений тела с трещиной. При этом в области хрупких разрушений поверхность излома образца имеет ярко выраженный кристаллический вид. Таким образом, можно выделить следующие характерные темпера- температурные интервалы состояний твердого тела: вязкие Т > Т^\, квазихруп- квазихрупкие Т&2 ^ Т ^ Tfci и хрупкие Т < Т^. Следует отметить влияние ме- механических свойств материала, толщины тела, длины трещины, вида напряженного состояния, накопленных повреждений и т.п. на критиче- критические температуры хрупкости. Для гарантированного предотвращения преждевременных хрупких разрушений целесообразно эксплуатировать конструкции при температурах Т > Т^\. 4.7.3. Метод сепарабельных функций в экспериментальной механике разрушения. Как было отмечено выше, методы эксперимен- экспериментального определения упругопластической вязкости разрушения J\c могут быть основаны на испытании одного образца с трещиной. В этом случае необходима запись диаграммы "нагрузка Р — смещение точек приложения нагрузки v", а также регистрация прироста трещины в процессе испытаний. При этом значение J-интеграла представляют в виде суммы упругой Je/ и пластической Jpi компонент, т. е. J = = Jei + Jpi [248, 268]. Упругая компонента вычисляется по известной формуле в предположении отсутствия пластических деформаций: Je/ = = G = К2/Е'. Здесь К — коэффициент интенсивности напряжений, Ег — эффективный модуль упругости. Пластическая компонента Jv\ рассчитывается по площади под диаграммой "нагрузка Р — пластиче- пластическая составляющая смещения точек приложения нагрузки vpi": JPi = VPi^-r D.7.28) где rjpi — поправочный коэффициент на геометрию, схему нагружения образца и длину трещины (аналог if-тарировки в формуле для коэф- коэффициента интенсивности напряжений), В — толщина образца, bi — ширина нетто-сечения (разность ширины образца и длины трещины). Работа пластической деформации Av\ определяется площадью под диа- диаграммой нагружения образца: Vpl Api = \ Pdvpi. D.7.29) Метод расчета поправочной функции r\v\ может быть основан на представлении J-интеграла в виде J*=-27?^n ' DJ-30) где I — полудлина трещины. 14 Матвиенко Ю.Г.
210 Гл. 4. Специальные задачи механики трещин С учетом D.7.28) и D.7.30) нетрудно представить величину r\vi в виде bt / dA, 2Apl I dl D.7.31) Получение коэффициента r\v\ аналитическим, численным и экспе- экспериментальным методами для различных геометрий, схем нагружения образцов и материалов рассмотрено в работах [160, 199, 243, 257, 259]. Однако различные методы оценки r\vi дают часто противоречивые ре- результаты. Так, например, авторы работы [278] показали, что коэффици- коэффициент rjpi остается постоянной величиной независимо от длины трещины в образце с центральной сквозной трещиной длины 21 при одноосном растяжении (ССТ-образце), что противоречит результатам работы [190, 199, 267], утверждающим наличие функциональной зависимости r]pi как от длины трещины, так и от показателя деформационного упроч- упрочнения материала, особенно в области коротких трещин. Основные положения метода сепарабельных функций. Рассмот- Рассмотрим возможность использования метода сепарабельных функций (СФ) для вычисления коэффициента r\vi. Концепция разделения нагрузки в пластической области с помощью сепарабельных функций была предложена в работе [243]. В рамках данной концепции вводится сепарабельный параметр Бц как отношение нагрузок P(l,vpi) для диаграмм "нагрузка Р — пластическое смещение vpi" двух идентичных образцов, различающихся размерами стационарных (не распространя- распространяющихся) трещин li и lj при фиксированном смещении vpi\ Q _ P(k,vPi) D.7.32) Если сепарабельный параметр SV/ является постоянной величиной для рассматриваемых трещин li и lj во всем диапазоне изменения пласти- пластического смещения vpi, то нагрузка для данного материала, геометрии и схемы нагружения образца может быть представлена в виде произ- произведения двух сепарабельных функций: Р = GH. D.7.33) Здесь G — функция геометрии образца, Н — деформационная функция материала. Комбинация формул D.7.33), D.7.29) и D.7.31) позволяет определить коэффициент г\р\. Различные виды сепарабельных функций, а также получаемые на их основе коэффициенты rjpi были рассмотрены для некоторых геометрий образца [257, 259, 278]. Вполне возможно, что причина вышеотмеченных противоречий в поведении коэффициента n]v\ [278] обусловлена именно выбором вида сепарабельной функции, поскольку различные виды сепарабельных функций для нагрузки Р могут приво- приводить к различным аналитическим решениям для r\v\.
§ 4.7. Экспериментальная механика разрушения 211 Экспериментальное определение J-интеграла может быть также основано на использовании диаграммы "нагрузка — пластическое рас- раскрытие в вершине трещины (CMOD) 5pi": дСМСЮ D.7.34) где А^ ^ — площадь под диаграммой нагрузка — пластическое раскрытие в вершине трещины 5pi". В общем случае поправочный ко- коэффициент rf^iMOD отличается от коэффициента т\р\ [199]. Кроме того, было показано [197, 199, 256], что использование диаграммы "нагруз- л v} ка — раскрытие в вершине трещины" | р> "у и формулы D.7.34) имеет ряд пре- преимуществ, поскольку дает более ста- стабильные и точные результаты (осо- (особенно в области коротких трещин), а также упрощает эксперименталь- экспериментальную процедуру. Проиллюстрируем эффективность концепции сепарабельных функций для оценки rjpr и r/^MOjD -коэф- -коэффициентов на примере образца ши- ширины 2W с центральной сквозной трещиной длины 21 в условиях одно- одноосного растяжения (рис. 4.72). Определение сепарабельных функ- функций для вычисления коэффициен- коэффициента rjpi. Запишем для ССТ-образца в соответствии с ЕРШ-решением [201] определяющие соотношения 1 L ь 97 2W ж I Рис. 4.72. Образец с центральной сквозной трещиной при растяже- растяжении (ССТ-образец) для пластической составляющей J-интеграла (Jpi), пластической со- составляющей раскрытия 5pi в вершине трещины, пластической состав- составляющей смещения точек приложения нагрузки vpi\ Jpi = аг0а01 ( 1 - — ) h{ (l/W, n) W Р\ Ро Spi = vc = (l/W,n) (l/W, n) P p\n vpi = aeol [h (l/W, n) + h30 (l/W, n, L)] P\n D.7.35) D.7.36) D.7.37) D.7.38) 14*
212 Гл. 4. Специальные задачи механики трещин Здесь h\ (l/W, n), /i2 (l/W, п) и h$ (l/W, n) — табулированные функции относительной длины трещины l/W и показателя деформационного упрочнения п, Pq — предельная пластическая нагрузка, L — базовая длина образца. Предполагается, что диаграмма деформирования мате- материала описывается следующим законом: X D.7.39) где его — предел текучести, го = ао/Е, Е — модуль Юнга, а — константа и п — показатель деформационного упрочнения. Функ- Функция Лзо (l/W, n, L) имеет вид а нагрузка Pq в условиях плоской деформации определяется соотноше- соотношением P0 = ^B(W-l)a0. D.7.41) л/3 Согласно выражению D.7.38), нагрузку Р с учетом D.7.40) и D.7.41) запишем следующим образом: Соотношение D.7.42) может быть представлено в обобщенном виде как произведение двух сепарабельных функций D.7.33): Здесь принято следующее обозначение: bi = 2b = 2 (W — I). Геомет- Геометрическую функцию в формуле D.7.43) согласно D.7.42) записываем в виде 1 Г\-в (^т ' W' L ~ 9\W где Bg, m и к — константы для данной геометрии образца. Из соотношений D.7.42) и D.7.43) также следует, что деформационную функцию Н можно представить как ГД6 Ап = 1Ф-
§ 4.7. Экспериментальная механика разрушения 213 Подставляя уравнения D.7.43)-D.7.45) в соотношение D.7.29) и дифференцируя Av\ по длине трещины /, из формулы D.7.31) по- получаем коэффициент г]р1'. A){) DJ-46) Для расчета r\v\ из полученной формулы необходимо определить показатели степени т и к в геометрической функции D.7.44). В этом случае, используя сепарабельную форму вида D.7.43), функции D.7.44) и D.7.45), а также полагая I = W — b и L = 4W, аналитический вид сепарабельного параметра SV/ при vv\ = const можно записать следую- следующим образом: -. D.7.47) W'LJ \k J W LJ \l3 I WJ V WJ WJ V WJ vpi=const Здесь деформационная функция D.7.45) представлена в виде произ- произведения двух функций, а именно: Я (^уЧ = Ап (tJt) G77) В предположении постоянства сепарабельного параметра Sij при фик- фиксированных значениях bi и bj соотношение D.7.47) принимает упро- упрощенный вид D.7.48) где константа Л обозначена как Сепарабельный параметр S^ определяют по диаграммам "нагруз- "нагрузка — пластическое смещение точек приложения нагрузки", полученным экспериментально или численно. В качестве иллюстрации используем данные [278], полученные методом конечных элементов (МКЭ) для ССТ-образца из стали HY130 с показателем деформационного упроч- упрочнения п = 10 и 1/W от 0,4 до 0,8 (рис. 4.73). В качестве базового j-ro образца принят образец с относительной длиной трещины lj/W = = 0,5 (рис. 4.74). Сепарабельный параметр Sij в зависимости от b/W аппроксимирован в работе [278] следующей зависимостью (рис. 4.75): \ 0,9669 :i = 1,9578 (^) . D.7.50) Используя представление Sij в виде D.7.48) и D.7.50), определяем т = = 0,984 и к = 0,1303 для ССТ-образца из стали HY130.
214 Гл. 4. Специальные задачи механики трещин Нагрузка Р, кН 90000 70000 50000 30000 10000 IIW= 0,8 0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 Пластическое смещение, дюйм Рис. 4.73. Диаграммы растяжения P-vpi ССТ-образцов в условиях плоской деформации при п = 10 [278] 1,4 ^ 1,2 I 0,8 I °'6 U 0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 Пластическое смещение, дюйм Рис. 4.74. Зависимость сепарабельного параметра Sij от пластического смеще- смещения vpi для ССТ-образца @,4 < 1/W < 0,8) в условиях плоской деформации при га = 10 [278] j IIДГШГп П «зшш о ^*to д ЙЯззазх) о Шш«* ж 1 ? О А О Ж ? О А О Ж 1 ? О А О ж п О А О Ж 1 ? О А О Ж ? О А О Ж 1 IIW= 0,4 IIW =0,5 11W = 0,6 UW= 0,7 IIW= 0,8 10f 0,1 0,1 1 bIW Рис. 4.75. Зависимость сепарабельного параметра S%j от размера ослабленного трещиной сечения b/W для ССТ-образца @,4 < 1/W < 0,8) в условиях плос- плоской деформации при п = 10 [278]
§ 4.7. Экспериментальная механика разрушения 215 В отличие от сепарабельной формы использованной в работе [278] и приводящей к оценке 1 Ъ1=т-- независимо от длины трещины, вид предложенной сепарабельной фор- формы D.7.43) был получен из аналитического соотношения D.7.42). В результате коэффициент щ\ (формула D.7.46)) является функцией как длины трещины, так и показателя деформационного упрочнения материала. Аналитическое выражение для r\vi также можно получить в рам- рамках пластического EPRI-решения, комбинируя соотношения D.7.28), D.7.29), D.7.35) и D.7.38): л/3 n+ 1 Ь ~2 V h3(l/W,n) + , n, L) ~ 777 ¦ D-7.52) Зависимость коэффициента r]pi от относительной длины трещины 1/W, определенная на основе пластического EPRI-решения [201] при L = AW (формула D.7.52)) и сепарабельного метода для различных сепарабельных функций, приведена на рис. 4.76. Как метод сепарабель- ных функций, основанный на предложенных сепарабельных формах, 1Д 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 - ¦- EPRI решение (формула D.7.52)) -- Метод сепарабельных функций [278] —А— Метод сепарабельных функций (настоящее исследование) -у- МКЭ решение [196] -¦- МКЭ решение [236] 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 Размер трещины, IIW Рис. 4.76. Зависимость коэффициента щ\ от длины трещины для ССТ-образца (п = Ю, плоская деформация)
216 Гл. 4. Специальные задачи механики трещин так и EPRI-подход прогнозируют зависимость коэффициента r\vi от длины трещины, особенно в области коротких трещин (l/W ^ 0,25). При увеличении размеров трещины коэффициент r\v\ стремится к зна- значению т и приближается к единице, т. е. для длинных трещин влияние размера трещины на щ\ становится незначительным. Последнее за- заключение следует из соотношения D.7.46) и согласуется с известным решением rjpi для ССТ-образца (b <C W) из идеально пластического материала. На рис. 4.76 также представлены МКЭ-результаты оцен- оценки г]р1 [196, 236], которые согласуются с полученными значениями r\vi в области трещин l/W ^ 0,25. Некоторое несоответствие результатов в области трещин l/W < 0,25 может быть обусловлено численными значениями сепарабельного параметра SV/, который был получен в ра- работе [278] в диапазоне длин трещин l/W = 0,4.. .0,8 и распространен в настоящем анализе на область длин трещин l/W < 0,25. Вычисление коэффициента ^MOD. Метод сепарабельных функ- функций применен также к вычислению коэффициента ^MOD, связы- связывающего пластическую компоненту Jv\ с площадью под диаграммой "нагрузка Р — пластическое раскрытие в вершине трещины 5pi". Так, для ССТ-образца из формулы D.7.36) следует Р = ^ ТГ (?) 1/П ¦ D-7-53) [ae0h2(l/W,n)}1/n V 1 ) Подставляя формулу D.7.41) в формулу D.7.53), получаем полезное соотношение Р = ± -J* B{W~l)u (?) 1/П • D-7.54) которое приводится к сепарабельной форме D.7.33): В этом случае деформационная функция Н может быть представлена как D.7.56) V l J а геометрическая функция в виде D.7.57) Здесь Ап — константа материала, a Bfg — константа для рассматривае- рассматриваемой геометрии образца. С использованием сепарабельной формы D.7.55), функций D.7.56) и D.7.57) альтернативная форма сепарабельного параметра Sij
§ 4.7. Экспериментальная механика разрушения 217 принимает вид G \w) H \T w) v w 5pZ=const w D.7.58) Уравнение D.7.58) может быть записано в более компактном виде -\/п ij = Л W где константа Л определяется как w W w D.7.59) D.7.60) В этом случае, аналогично коэффициенту r/pi (формула D.7.46)), коэффициент ry^MOD в формуле D.7.34) вычисляется как 1 l/W - 1 D.7.61) Кроме того, согласно EPRI-решению коэффициент rjpl быть представлен в виде [216] л/3п+ 1 hi(l/W,ri) ~^2 ^Th2(l/Wtn) CMOD может D.7.62) Сопоставление результатов расчета ^MOD с помощью метода се- парабельных функций (формула D.7.61)) и EPRI-решения (форму- (формула D.7.62)) дано на рис. 4.77. Кроме того, на рис. 4.77 приведены 1,8 1,7 1,6 1,5 1,4 1,3 1,2 1Д 1,0 0,9 0,8 Метод сепарабельных функций (настоящее исследование) EPRI решение (формула D.7.62)) МКЭ решение [196] j_ од 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Размер трещины, / IW Рис. 4.77. Зависимость коэффициента r]piMOD от длины трещины для ССТ-образца (п = 10, плоская деформация)
218 Гл. 4. Специальные задачи механики трещин МКЭ-результаты оценки rjpi . Следует отметить, что сравнение расчетных формул D.7.46) и D.7.61) для коэффициентов r\vi и ?^MOD дает соотношение / 1 \ D.7.63) которое при 1/W —> 1 приводит к rjpi = r\v\ « 1. Определение длины устойчиво распространяющейся трещины. Метод сепарабельных функций также может быть использован для из- измерения длины распространяющейся трещины. В этом случае вводится сепарабельный параметр Spb как отношение нагрузок при фиксирован- фиксированных смещениях vv\ диаграмм P(vv\) двух образцов, один из которых с распространяющейся трещиной длины 1р, а другой — с надрезом постоянной длины 1ь [258, 273]: U . Pb(k,vpi) °-(&) vpi=const 7 ri I Lb ' vpi=consi D.7.64) Здесь геометрическая функция G A/W) представлена в виде D.7.65) Уменьшение сепарабельного параметра Spb с увеличением пласти- пластического смещения vv\ должно быть обусловлено падением нагрузки для образцов с трещиной в результате её распространения [273, 274]. В то же время в образце с надрезом (базовый образец) должно быть гаран- гарантировано постоянство нагрузки в анализируемом диапазоне изменения пластического смещения. Таким образом, формула D.7.64) устанавливает связь между дли- длиной распространяющейся трещины 1р и уменьшением сепарабельного параметра Spb в виде D.7.66) где Spb\v г определяется формулой D.7.64) как отношение нагрузок. Следовательно, длину распространяющейся трещины 1р можно оценить для каждой точки диаграммы P(vpi) при известном показателе степе- степени т. Для определения показателя степени т предложено использовать следующие реперные точки [273, 274]. Две реперные точки определя- определяются длинами исходной и конечной трещин, измеряемыми на поверхно- поверхности излома разрушенного образца после его испытания, и соответству- соответствуют двум 5р5-параметрам. Причем значение Spb на начальном участке кривой Spb(vpi) соответствует исходной длине трещины, а последняя
§ 4.7. Экспериментальная механика разрушения 219 точка кривой Spb(vpi) соответствует конечной длине трещины. Третья точка вводится в рассмотрение из граничных условий формулы D.7.64), т. е. при 1р = 1ъ Р (I \ш Ьрь = — = — =1. D.7.Ь7) Pb ^pZ=Const V&/ Приведенная методика была апробирована при испытании сталей и полимеров [273, 274], а также циркониевого сплава [220]. В по- последнем случае испытывали искривленные компактные (СТ) образцы размера 20,4 х 17 х 4,2 мм, вырезанные из трубы с внешним диамет- диаметром 111 мм. Диаграммы "нагрузка Р- пластическое смещение vpf СТ-образцов с трещиной A/W = 0,5; 0,55) и надрезом (базовый об- образец с относительной длиной надреза 1/W = 0,6) представлены на 8000 7000 Щ 6000 й 5000 1,4000 2000 1000 1/W= 0,5 I/W= 0,55 IIW— 0,6 (базовый образец) IIW= 0,5 UW= 0,55 IIW— 0,6 (базовый образец) 12 3 4 Пластическое смещение, v p мм < "f нцИИ¦¦¦¦¦¦ ¦ ¦ =Ш%1=«=-= f ¦ ¦ ¦ ¦ = ¦=>=== ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ! = ? ¦ I ¦ I ¦ I ¦ I 0 12 3 4 Пластическое смещение, v », мм Рис. 4.78. Диаграммы растяжения компактных образцов из сплава Zr-2.5Nb с трещиной и надрезом: а — "нагрузка Р - пластическое смещение vpi"; б — модифицированные диаграммы растяжения рис. 4.78, а и были получены из исходных диаграмм растяжения P-v с учетом соотношения vv\ = v — СР, где v — общее смещение, С = = veilPel — податливость образца, определенная по упругому участ- участку исходных диаграмм растяжения компактных образцов. Базовый образец имел надрез радиуса R = 0,5 мм в его вершине. Вопреки предполагаемому постоянству нагрузки после достижения ею макси- максимального значения наблюдается спад нагрузки. Подобное снижение нагрузки может быть обусловлено локализацией пластических дефор- деформаций и шейкообразованием в ослабленном надрезом сечении в силу малости ослабленного сечения. В то же время, как было отмечено вы- выше, базовая диаграмма растяжения должна гарантировать отсутствие снижения нагрузки в анализируемом диапазоне изменения vpi. Поэтому базовая диаграмма была представлена в виде модифицированной (тео- (теоретической) диаграммы с неуменьшающейся нагрузкой, как показано на рис. 4.78, б. Сепарабельный параметр Spb для диаграмм P(vpi) СТ-образцов с трещиной и надрезом (рис. 4.78, б) был рассчитан как отношение
220 Гл. 4. Специальные задачи механики трещин 3,0 2,5 4 1,5 1,0 0,5 UW= 0,5 UW= 0,55 0 1 vpP мм Рис. 4.79. Зависимость сепарабельного параметра Spb компактных образцов из сплава Zr-2.5Nb от пластического смещения vpi, ос- основанная на модифицированной диаграмме растяжения базового об- образца с относительной длиной трещины h/W = 0,6 и радиусом вершины надреза R = 0,5 мм 1 ч l/W= 0,55 ^ т= -2,92491 ¦ UW= 0,5 . т = -2,47054 т Sb=0,55 \ \ V 1 Рис. 4.80. Определение показателя степени т для исследованных компакт- компактных образцов из сплава Zr-2.5Nb по наклону прямой logSpb — \oglp/lb с использованием 3 калибровочных точек /,, IIW= 0,5 ' 0 1 2 3 V-'- <|'1М Рис. 4.81. Зависимость длины распространяющейся трещины в компактных образцах из сплава Zr-2.5Nb от пластического смещения при исполь- использовании базового образца с относительной длиной трещины h/W = 0,6 и радиусом вершины надреза R = 0,5 мм
§ 4.7. Экспериментальная механика разрушения 221 JR, кДж/м2 1000 800 метод РЭП метод СФ 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 Прирост трещины Д/, мм Рис. 4.82. jR-кривые компактного образца с относительной длиной трещины 1/W = 0,5 из сплава Zr-2.5Nb нагрузок по формуле D.7.64) (рис. 4.79). Показатель степени т для каждого образца с трещиной рассчитывался в соответствии с формулой D.7.66) по наклону прямой \og Spb — \oglp/lb, построенной по трем ка- калибровочным точкам (рис. 4.80). Далее на основе формулы D.7.66) рас- рассчитывалась длина распространяющейся трещины для каждой точки диаграммы Spb(vpi) (рис. 4.81). На рис. 4.81 также показаны исходные и конечные длины трещин, измеренные на поверхности разрушенных образцов. Полученные длины 1р распространяющейся трещины исполь- использованы для построения 7д-кривой по ASTM-стандарту (см. п. 4.7.1). 7д-кривые, построенные методом сепарабельных функций и методом разности электрических потенциалов (РЭП), находятся в хорошем соответствии (рис. 4.82). Рассмотренная концепция сепарабельных функций представляется весьма эффективной и перспективной для определения коэффициен- коэффициентов г]р1 и r}^iMOD при экспериментальном определении упругопластиче- ской вязкости разрушения J\c, длины распространяющейся трещины и 7д-кривых на образцах различных геометрий и схем нагружения, в том числе на нестандартных образцах и натурных деталях с трещи- трещинами в широком диапазоне изменения размеров трещин.
Глава 5 ЭВОЛЮЦИОННЫЕ МОДЕЛИ ПОВРЕЖДЕНИЙ И РАЗРУШЕНИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ § 5.1. Эволюционный подход в задачах механики трещин Концепция повреждаемости материала была предложена Л.М. Качановым [35] и Ю.Н. Работновым [113, 114] для описания кинетики повреждений в условиях ползучести. Удивительная гибкость предложенной концепции позволила использовать ее в различных вариантах при анализе разнообразных процессов накопления повре- повреждений [150, 156, 231]. Следует заметить, что параметр сплошности Ф (или параметр поврежденности ио = 1 — Ф) в рассматриваемой концепции не имеет однозначного физического толкования. Для одних процессов деформирования и разрушения изменение Ф означает появление трещин и пор или их развитие, для других — изменение механических или физических свойств материала, для третьих — и то и другое. Но все эти процессы разрушения (и интерпретации Ф) объединяет тот факт, что сплошность Ф отражает состояние материала при описании эволюции процессов его деформирования и разрушения. Описание эволюционных явлений в различных областях знания дает междисциплинарная область науки — синергетика [135], изу- изучающая макроскопическое поведение систем, которые претерпевают качественные изменения. Полагают, что системы состоят из многих подсистем самой различной природы. Именно взаимодействие подси- подсистем и их самоорганизация при изменении внешних условий (управля- (управляющих параметров ?) приводят к качественным изменениям поведения систем в макроскопических масштабах. Синергетические системы мо- могут претерпевать как непрерывные, так и дискретные переходы (каче- (качественные изменения). Примером дискретного перехода в механике мо- может служить хорошо известное явление потери устойчивости упругих систем: на определенном этапе деформирования изменение нагрузки (управляющего параметра) вызывает резкие качественные изменения макроскопического поведения системы. Здесь уместно упомянуть свое- своеобразную интерпретацию подходов синергетики к проблеме прочности материалов при наличии трещин [32]. Для нас же в связи с изучением процессов разрушения основной интерес будет представлять общность математического аппарата и принципов синергетики.
§ 5.1. Эволюционный подход в задачах механики трещин 223 5.1.1. Общие положения. В подходах синергетики главная роль принадлежит динамике (эволюции) систем во времени т, которой можно управлять путем изменения внешних факторов (управляющих параметров), действующих на системы. Для описания синергетических систем используют переменные состояния q\,q2, • • -qn, которые отра- отражают большое число подсистем и объединены в вектор состояния (q\,q2,...,qn) = q. Основное уравнение состояния синергетических систем имеет общий вид [135] Ч = Фт(?,Ч,У,х,т), E.1.1) где х — пространственные координаты, V-оператор (d/dx, д/dy, d/dz). Предположим, что Фг не зависит явно от времени, т. е. рассматри- рассматриваемая система автономна. Тогда, пренебрегая зависимостью от про- пространственных координат, уравнение E.1.1) можно переписать в виде нелинейного эволюционного уравнения: Ч = Фг(?,Ч(т)). E.1.2) Для практических приложений рассматриваемых подходов важен адекватный выбор параметров q состояния системы и управляющих параметров ? на основе изучения и анализа поведения системы под действием внешних факторов. Применим методологию эволюционных систем к процессам дефор- деформирования и разрушения материала. Под автономностью будем пони- понимать отсутствие старения материала и других аналогичных явлений с течением времени в процессе деформирования. Под повреждения- повреждениями тела (материала) будем понимать разрыхление, образование пор и микротрещин, их рост, а также другие изменения механических и физических свойств материала в процессе воздействия внешних факторов. Для рассматриваемой системы "тело-повреждения" накоп- накопление повреждений (состояние системы) будем характеризовать скаля- скаляром 0 ^ Ф ^ 1, являющимся единственной переменной состояния q = ? и интерпретируемым как сплошность. К управляющим параметрам ? следует отнести параметры, характеризующие условия нагружения те- тела: тензоры деформаций и напряжений, температуру, состав внешней среды и другие переменные, существенные для рассматриваемого про- процесса накопления повреждений. Учет всех управляющих параметров в эволюционном уравнении E.1.2) представляет собой весьма сложную задачу. В то же время важно, чтобы управляющие параметры процессов деформирования и разрушения могли быть найдены из достаточно простых экспериментов. Примем следующий постулат применительно к процессам разрушения: в основе процессов деформирования и разру- разрушения материалов (функционирования системы "тело-повреждения")
224 Гл. 5. Эволюционные модели повреждений и разрушения твердых тел лежат общие функциональные закономерности E.1.2) накопления по- повреждений, которые в простейшем случае могут быть записаны в сле- следующем виде: <№/dr = -А(?/Ф)ш, E.1.3) где А > О, га>0 — постоянные материала (системы материал-среда) для рассматриваемого процесса разрушения. Описание эволюционного поведения системы "тело-повреждения" в виде степенной зависимос- зависимости следует рассматривать диалектически: как первое и простейшее приближение реально существующей и достаточно сложной кинети- кинетики повреждения тела. Эволюционное уравнение может уточняться и усложняться по мере познания и уяснения физической сущности исследуемых процессов разрушения. В любом случае эволюционное уравнение должно отражать историю нагружения (накопления повре- повреждений) тела. Если записать скорость изменения Ф по параметру, отличному от времени, например количеству циклов нагружения, то будет иметь место следующая связь: d4f/dr = (d№/dN)/(dN/dr). При dN/dr = = const сохраним форму записи уравнения E.1.3) для d4f/dN, полагая, что константа А включает в себя и величину dN/dr. В исходном состоянии тела при отсутствии повреждений т = О и Ф = 1. В процессе накопления повреждений в теле сплошность (параметр состояния) Ф убывает с увеличением времени т, достигая критического уровня повреждений Фс в момент времени тс: Ф^+ш =l-A(l+m) С dr. E.1.4) о При неизменном во времени управляющем параметре ? получаем вы- выражение для критического времени тс: тс = [1 - Ф*+т] / [А( 1 + т)^т]. E.1.5) Тогда уравнение E.1.3) с учетом выражения для тс можно представить в виде d(yl+m)/dr = -A - Фе+ш)/тс. E.1.6) Отсюда следует принцип линейного суммирования повреждений в ин- интегральной форме (при соблюдении граничных условий для Ф): dr/rc=\. E.1.7) о Отметим, что принцип линейного суммирования повреждений E.1.7) в параметрах времени может быть представлен в параметрах количе- количества циклов нагружения, деформации и т. п. при реализации различных видов деформирования и разрушения.
#5./. Эволюционный подход в задачах механики трещин 225 Исследуем влияние управляющего параметра ? в процессах де- деформирования и разрушения материала на критическое время. Будем считать, что критический уровень повреждений может быть достигнут за некоторое нормированное время (или единицу времени) т* < тс, т.е. параметр состояния примет критическое значение Фс при критическом управляющем параметре ?с: т = 1-АA+т)??т*. E.1.8) Приравнивая правые части выражений E.1.4) и E.1.8), приходим к эволюционному соотношению E.1.9) E.1.10) которое с учетом ? = const принимает окончательный вид Полученное эволюционное соотношение позволяет оценивать кри- критическое время тс до достижения телом предельного состояния при за- заданном управляющем параметре ? для исследуемого процесса деформи- деформирования или разрушения. Отметим монотонный рост критического вре- времени тс с увеличением критического управляющего параметра ?с (при tjt* m=0,5 Рис. 5.1. Влияние управляющего параметра на критическое время при разных показателях степени m ? = const) или с уменьшением действующего параметра ? (при ?с = = const) (рис. 5.1). Причем тс/т* возрастает более интенсивно при большем показателе степени т. 15 Матвиенко Ю.Г.
226 Гл. 5. Эволюционные модели повреждений и разрушения твердых тел Рассмотрим установленные эволюционные соотношения примени- применительно к процессам деформирования и разрушения. 5.1.2. Усталостное изнашивание. Усталостные повреждения при контактном взаимодействии твердых тел возникают в результате по- повторного деформирования поверхностных слоев, характерного для нор- нормального режима работы подвижных сопряжений, и сводятся к обра- образованию трещин и разрыхлению [37]. Одним из видов проявления кон- контактной усталости деталей машин является изнашивание при внешнем трении (см. § 4.3). Повреждения, по-видимому, начинают возникать на ранних этапах процесса трения и связаны с возникновением суб- и микродефектов и их ростом. Рассмотрим процесс усталостного изнашивания с использованием эволюционных представлений. К управляющим параметрам можно от- отнести тензор деформаций, шероховатость поверхности, коэффициент трения и др., а также параметры, характеризующие возникающую в процессе трения ориентированность упрочнения поверхностного слоя материала. Однако в результате исследования структурных изменений поверхностей трения с помощью рентгеновского анализа установлено [131], что важная роль в процессе усталостного изнашивания при- принадлежит остаточной деформации в поверхностном слое материала. Поэтому примем в качестве основного управляющего параметра ?, определяющего степень усталостного повреждения, остаточную интен- интенсивность деформации гр в поверхностном слое при внешнем трении за время нагружения г*, соответствующее одному циклу нагружения [57]. Тогда эволюционное уравнение E.1.9) примет следующий вид: I z^dr = г™т\ E.1.11) о где гс — критическая интенсивность деформации материала при внеш- внешнем трении. Полагая деформацию гр не зависящей от количества циклов нагру- нагружения N = т/т*, приходим к уравнению spNlJm = sc, E.1.12) которое по своей структуре совпадает с экспериментально установлен- установленным уравнением фрикционной усталости для стали 45 [131]: spN^4 = = 0,06. Здесь: Nc = тс/т* — критическое число циклов нагружения, соответствующее разрушению поверхностного слоя. Вообще говоря, предположение относительно независимости величины ер от количе- количества циклов нагружения строго справедливо лишь для циклически ста- стабилизирующихся материалов. Для циклически упрочняющихся и разу- прочняющихся материалов интенсивность деформаций г изменяется с увеличением количества циклов нагружения (учет этого изменения может быть сделан в соответствии с работой [36]).
§ 5.1. Эволюционный подход в задачах механики трещин 227 Нетрудно показать, что из соотношения E.1.7) следует принцип линейного суммирования повреждений в интегральной форме при уста- усталостном изнашивании в случае внешнего трения: Nc \dN/Nc=\. E.1.13) о Полученные закономерности кинетики повреждений и усталостного изнашивания подтверждают общность аналитических зависимостей, описывающих разрушение материалов как при обычной усталости, так и при трении. Это обосновывает правомерность и целесообразность ис- использования обычных уравнений усталости для оценки долговечности и ресурса подвижных сопряжений деталей машин при трении. Кроме того, при выборе и сопоставительном анализе материалов, предназна- предназначенных для деталей машин в условиях трения, можно использовать обширные справочные данные по характеристикам усталости мате- материалов. 5.1.3. Зарождение и рост усталостной трещины. Процесс накоп- накопления повреждений перед вершиной трещины (или конструкционного концентратора напряжений) при циклическом нагружении состоит из двух стадий: инкубационной стадии накопления повреждений до мо- момента страгивания (зарождения) трещины усталости и стадии накоп- накопления повреждений в процессе распространения трещины. В области справедливости линейной механики разрушения коэффициент интен- интенсивности напряжений (КИН) полностью контролирует процесс страги- страгивания и распространения усталостной трещины (УТ) [69, 242]. В этом случае в качестве основного управляющего параметра ? целесообразно принять i^max — максимальное значение (или размах) номинального КИН. Тогда ^с переходит в предельный КИН, соответствующий 7V* циклам нагружения, т.е. в статическую вязкость разрушения Кс. Осу- Осуществляя переход в эволюционном уравнении E.1.10) от времени к циклам нагружения N, получаем соотношение для оценки долговеч- долговечности до момента страгивания трещины при циклическом нагружении тела с исходной трещиной: NC = N*(KC/Kmax)m. E.1.14) Перейдем к анализу распространения трещины в условиях цик- циклического нагружения. Учтем функциональную связь Ф с длиной / распространяющейся трещины и представим уравнение E.1.3) в виде (c№/dl)(dl/dN) = -А(Ктах/Ф)т. E.1.15) Будем считать, что момент достижения сплошностью Ф критического значения Фс в вершине усталостной трещины соответствует ее скачку на величину Ali = h — h-\- Разделяя переменные в уравнении E.1.15) 15*
228 Гл. 5. Эволюционные модели повреждений и разрушения твердых тел и учитывая граничные условия, приходим к уравнению U Ф*+т = \-А{\+т) \ K^jVdl (V = dl/dN). E.1.16) U-x Поскольку под скоростью роста усталостной трещиныУ понимают некоторую осредненную во времени величину, сглаживающую дис- дискретность ее роста, то разумно принять V и Ктах не зависящими от / в пределах интегрирования от Z^-i до U. Учитывая связь КИН с длиной трещины, Ктах = а(тг1)^2, и интегрируя слагаемое в правой части выражения E.1.16), получаем следующее полезное соотношение: m)K%axAli/V. E.1.17) Заметим, что критическое значение Фс может быть достигнуто и за 7V* циклов при критическом управляющем параметре ?с. Приравнивая правые части уравнений E.1.17) и E.1.8) и переходя от т* к 7V*, получаем уравнение для скорости роста усталостной трещины: V = V*(Kmaj?c)m (V* = Ak/N*). E.1.18) Вводя обозначение C = V*/g?, E.1.19) получим известное эмпирическое уравнение Пэриса: V = В представленной записи соотношений E.1.18) и E.1.19) парамет- параметры ?с и V* пока не определены. Однако, как легко заметить, они взаи- взаимозависимы в том смысле, что для заданной диаграммы усталостного разрушения (С = const) различным задаваемым значениям ?с будут соответствовать вполне определенные значения V*, и наоборот. Остановимся на некоторых возможных подходах к выбору парамет- параметров ^с и V*. На основе анализа многочисленных экспериментальных данных было предложено уравнение роста трещины в виде [146] V = 10-7(Kmax/iT)m, м/цикл. E.1.20) Согласно этому уравнению в качестве ^с принято значение макси- максимального КИН цикла нагружения при скорости роста трещины V = = 10~7 м/цикл. Н.А. Гринберг [25] связывает параметр V* с дискрет- дискретным скачком трещины на величину Л среднего зерна субструктуры, формирующейся в вершине усталостной трещины. При этом пара- параметру ^с отвечает КИН, выраженный через модуль упругости, век- вектор Бюргерса, параметр пластической зоны и Л. Согласно концепции автомодельного роста усталостной трещины [32], величина V* соот- соответствует пороговой микроскопической скорости роста трещины (шагу бороздок) при ? = K\q. Принимая в качестве ^с вязкость разрушения Кс, из уравнения E.1.18) (как частный случай при m = 4, Kmax =0 и V* = /3/2) получаем степенное уравнение Г.П.Черепанова [139].
#5./. Эволюционный подход в задачах механики трещин 229 KmJKc 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0 10" кг4 кг2 dlldN, м/цикл Рис. 5.2. Диаграмма усталостного разрушения стали 300: 1 — расчет по урав- уравнению E.1.18) при ?с = Кс, У* = 4.38 • 1СГ6 м/цикл, т = 2,51; 2 — расчет по уравнению Г.П. Черепанова. Точками обозначены результаты эксперимента Параметр C "имеет размерность длины и характеризует прирост длины трещины при циклическом нагружении". Расчет по уравнению E.1.18) при ?с = Кс согласуется с результатами эксперимента (рис. 5.2), приве- приведенными в работе [139]. При этом из соотношения E.1.18) следует кри- критерий линейной механики разрушения при однократном статическом нагружении тела с трещиной: ifmax = Кс. По-видимому, предложен- предложенный подход будет полезен и при анализе скорости роста усталостной трещины на основе фрактографических исследований, поскольку в уравнение E.1.18) входит параметр, характеризующий дискретность роста трещины. 5.1.4. Коррозионное растрескивание. Основными направления- направлениями изучения закономерностей разрушения материалов и конструкций в условиях совместного действия нагрузки (статической или цикли- циклической) и коррозионной среды являются коррозионное растрескивание и коррозионная усталость. Современным представлениям о коррозион- коррозионном растрескивании и коррозионной усталости посвящены моногра- монографии [5, 117, 123] и др., а также § 4.5 настоящей книги. Рассмотрим возможность аналитического описания процесса корро- коррозионного растрескивания (КР) с использованием эволюционного урав- уравнения E.1.10). Оставаясь в рамках линейной механики разрушения, примем в качестве параметра ? начальный КИН Кю, при котором начинается процесс КР материала. При этом эволюционное соотно- соотношение E.1.10) можно переписать в виде К^тс = (K1*0)mr* = const. E.1.21) Здесь тс — время до начала КР при заданном коэффициенте Кщ, т* — некоторое эталонное (фиксированное) время до начала разру- разрушения при K*q, m — постоянная для данной системы материал- среда. Формула E.1.21) хорошо описывает широко известную эмпири- эмпирическую закономерность: при уменьшении коэффициента интенсивности
230 Гл. 5. Эволюционные модели повреждений и разрушения твердых тел 4scc lscc Рис. 5.3. Зависимость времени до начала коррозионного растрескивания от коэффициента Кю (схема) напряжений время до разрушения увеличивается [117, 142] (рис. 5.3), и позволяет прогнозировать долговечность тс при заданном уровне K\q. Кроме того, из анализа соотношения E.1.21) следует вопрос о сущест- существовании в условиях КР физического порогового коэффициента K\scc и о возможности его эмпирического определения. По-видимому, из эксперимента можно установить лишь условное значение K\scc при заданной базе испытаний rscc (например, согласно ГОСТ 9.903-81 rscc = 40 сут.). Заметим, что аналогичный вопрос (о существовании физического порогового КИН Kth) имеет место и в механике уста- усталостного разрушения. Для анализа закономерностей коррозионно-механического разру- разрушения материалов и деталей наряду с K\scc целесообразно знать и кинетические диаграммы КР в виде зависимостей скорости рос- роста трещины dl/dt от КИН К\. Аналогично рассмотренному анали- анализу распространения трещины в условиях циклического нагружения, учитывая соотношение E.1.21), нетрудно показать, что кинетическую диаграмму растрескивания (КДР) можно описать следующим выраже- выражением: dl/dT = V0(Kl/Kl0)m. E.1.22) Здесь введено обозначение Vo = Ali/rc, Ali — длина скачка коррозион- коррозионной трещины. Формула E.1.22) удовлетворительно описывает экспери- экспериментальные результаты исследования докритического роста трещины в стали при воздействии дисциллированной воды (рис. 5.4) и позво- позволяет объяснить наблюдаемую неоднозначность КДР. При повышении начального КИН К\о увеличивается Vo за счет уменьшения време- времени до начала КР, поскольку К^тс = const. Возможно, одновременно увеличивается и длина скачка трещины Ali. И как следствие выход кривой роста трещины на пологий участок КДР достигается при более высоких скоростях dl/dr. В ряде случаев на КДР появляется стабилизированный участок, скорость dl/dr на котором не изменяется с ростом К\. В рамках данной модели такую тенденцию можно объяснить следующим образом: на стабилизированном участке происходит уменьшение длины Ali скачка трещины, нивелирующее рост коэффициента К\ за счет увеличения
#5./. Эволюционный подход в задачах механики трещин 231 dlldx, м/с 10" 15 20 25 30 35 40 45 К19ЪЛП& • мш Рис. 5.4. Кинетическая диаграмма усталостного разрушения стали 50Х (отпуск при 20 °С) в дистиллированной воде (точки — экспериментальные результа- результаты [117]) длины коррозионной трещины. Такая интерпретация находится в со- соответствии с фрактографическими исследованиями [117], в которых обнаружено увеличение количества вторичных трещин в зоне предраз- рушения по мере роста К\в пределах стабилизированного участка. Уве- Увеличение же количества вторичных трещин способствует более частым скачкам трещины. Перейдем к рассмотрению поведения материала в условиях совмест- совместного действия внешних напряжений и коррозионно-активных сред. При указанных условиях развитие трещины по механизму КР или коррози- коррозионной усталости отсутствует. Однако наблюдается снижение прочности материала в результате накопления коррозионных повреждений. 5.1.5. Коррозионные повреждения и сдвиг критической тем- температуры хрупкости. В настоящее время не существует единой об- общепринятой теории коррозионно-механической прочности материалов. В связи с этим снижение прочности в коррозионных средах объ- объясняют на основе одного из следующих наиболее распространенных механизмов: адсорбционного снижения поверхностной энергии под воздействием коррозионно-активных сред, водородного охрупчивания материала за счет поступления водорода из коррозионных сред, элек- электрохимического растворения материала. При этом, как правило, металл при коррозионно-механическом разрушении находится в охрупченном состоянии. Одной из основных комплексных механических характеристик, отражающих склонность металла к переходу в хрупкое состояние, считается критическая температура хрупкости Т&о. Эта механическая характеристика существенно зависит от технологических и конструк- конструкционных особенностей изделий, а также от эксплуатационных усло- условий. Не является исключением и коррозионная среда. Например, по данным работы [71] атмосферная коррозия малоуглеродистых сталей в течение месяца повышает критические температуры хрупкости на 1-2 °С; в условиях растягивающих напряжений накопление корро- коррозионных повреждений удваивает это повышение. Под коррозионны-
232 Гл. 5. Эволюционные модели повреждений и разрушения твердых тел ми повреждениями будем понимать результаты действия одного (или нескольких) из механизмов снижения прочности материалов в коррози- коррозионных средах, например: наводороживание локальных объемов метал- металла, образование продуктов коррозии, приводящее к микро- и макроне- однородностям поверхности металлических конструкций, образование и увеличение размеров трещин за счет локального электрохимического растворения металла. Косвенными подтверждениями проявления влия- влияния коррозионных повреждений на критическую температуру хруп- хрупкости могут служить следующие факты: электролитическое наводо- наводороживание стали [117], макро- и микронеоднородности поверхности [138], развитие трещины [71] приводят к сдвигу критических темпера- температур хрупкости в сторону положительных температур. Таким образом, преждевременные хрупкие разрушения деталей машин и элементов конструкций в условиях коррозионных повреждений могут быть обу- обусловлены сдвигом температуры хрупкости в область положительных значений. К параметрам, управляющим процессом накопления коррозион- коррозионных повреждений в металле, следует отнести Тко, степень микро- и макронеоднородностей, тензор напряжений, время, состав среды, концентрацию активных компонентов среды, температуру и др. Пола- Полагая параметры нагружения и коррозионной среды неизменными, при- примем в качестве основного управляющего параметра ?, определяющего степень коррозионных повреждений, сдвиг критической температуры хрупкости АТко материала (детали) за единицу времени [52]. При этом критический уровень коррозионных повреждений соответствует предельному сдвигу критической температуры хрупкости АТС, АТс = Тэ-Тко, E.1.23) где Тэ — температура эксплуатации конструкции. Значение АТко может быть достигнуто за некоторое нормированное время т* в более жестких коррозионных условиях. Таким образом, эволюционное соотношение E.1.9) для описания сдвига критической температуры хрупкости вследствие коррозионных повреждений будет иметь следующий вид: (ATko)mdr = ATcmr*. E.1.24) о Полагая сдвиг критической температуры хрупкости АТко независи- независимым от времени эксплуатации конструкции т, приходим к уравнению А7ко(тс/т*I'т = АТс. E.1.25) Соотношение E.1.25) следует рассматривать как критерий перехо- перехода металла конструкции в хрупкое состояние вследствие коррозион- коррозионных повреждений. При достижении сдвигом критической температуры
§ 5.2. Двухпараметрический J* -критерий разрушения 233 хрупкости своего предельного значения АТС возможно преждевремен- преждевременное хрупкое разрушение конструкции. Полученное выражение E.1.25) позволяет определить предельное время тс или температуру эксплуатации Тэ (см. E.1.23)) конструкции по экспериментально установленным величинам Т^о , ATko, шит*, а также установить необходимый запас по критической температуре хрупкости, обеспечивающий проектный безопасный ресурс конструк- конструкции при исключении хрупких разрушений. При этом условия работы конструкции при температурах Тэ^Тк=Тк0 + АТк0(т/т*)[/т E.1.26) позволяют в значительной мере снизить вероятность хрупких раз- разрушений конструкций в условиях накопления коррозионных повреж- повреждений. Заметим, что рассмотренный метод оценки сдвига ДХ&О на основе эволюционного подхода может быть использован и для других видов повреждений. Например, можно показать, что в случае радиационных повреждений из уравнения E.1.25) при замене г на интегральный по- поток нейтронов Ф получаем сдвиг критической температуры хрупкости, описываемый известным уравнением Коттрелла: AT = &A0~18ФI/3. В данном случае показатель т равен 3, к — характеристика материала. При циклических повреждениях, определяемых в относительных дол- говечностях Nc, увеличение сдвига температуры хрупкости происходит по линейной зависимости [71]АТдг =/сдгЛГс, т.е. согласно принятой модели т = 1. § 5.2. Двухпараметрический J^-критерий разрушения тела с трещиной Условия разрушения тела с трещиной, размеры которой превосходят протяжённость пластической зоны у её вершины, определяются извест- известными однопараметрическими критериями разрушения. Эти критерии основаны на физически различных параметрах механики разрушения: коэффициенте интенсивности напряжений, раскрытии в вершине тре- трещины, J-интеграле и др. В случае тела с трещиной, меньшей протя- протяженности пластической зоны, предлагаются как двухпараметрические [14, 72, 86, 104, 265], так и иные критерии разрушения. Двухпарамет- Двухпараметрические критерии разрушения применимы для оценки трещиностойко- сти материалов как при больших пластических деформациях и малых трещинах, так и при малых пластических деформациях и больших трещинах. В настоящем параграфе рассмотрим двухпараметрический критерий разрушения тела с трещиной [50], полученный с исполь- использованием связи между J-интегралом и деформацией на поверхности трещины-выреза и принципа линейного суммирования повреждений.
234 Гл. 5. Эволюционные модели повреждений и разрушения твердых тел Рис. 5.5. Тело с вырезом, нагруженное внешними усилиями Pi Рассмотрим тело с вырезом, нагружённое внешними усилиями. Вырез длины / с радиусом округления р в вершине имеет плоские поверхности, параллельные оси х (рис. 5.5). Для оценки концентрации деформаций на поверхности выреза воспользуемся концепцией энер- энергетического контурного J-интеграла. Сведём путь интегрирования по контуру Г, охватывающему вершину выреза, к дуге Tt, являющейся за- закруглённой частью выреза. Тогда выражение для J -интеграла с учётом соотношения C.2.16) и выражения для удельной работы деформации в случае деформирования тела из деформационно-упрочняющегося по зависимости лг a = a*eN E.2.1) пластичного материала примет следующий вид: (Г* A+N 2rl-N E.2.2) Здесь г — максимальная деформация на контуре выреза, а* — кон- константа материала и N — показатель деформационного упрочнения. Обратимся к принципу линейного суммирования повреждений, ко- который для кратковременного статистического нагружения в параметрах деформации (исходя из положения § 5.1) имеет вид de = 1 E.2.3) Будем полагать, что критическое состояние тела достигается в два этапа. Первый этап — образование трещины при номинальных де- деформациях гс на месте вершины возникающей трещины (без учёта
§ 5.2. Двухпараметрический J* -критерий разрушения 235 влияния трещины). Второй этап — страгивание трещины, обусловлен- обусловленное достижением деформацией г на поверхности вершины трещины предельного значения. Тогда принцип линейного суммирования повре- повреждений E.2.3.) можно переписать в следующем виде: Y = 1 или ?«+?^?? = 1. E.2.4) Здесь Sf и ес — предельные номинальная и локальная деформации соответственно. Обратимся вновь к выражению для J-интеграла E.2.2). Тогда, учи- учитывая принцип линейного суммирования повреждений E.2.4), и трак- трактуя трещину как тонкий вырез, для критического состояния тела с трещиной имеем J = Jc A - ec/ef + ec/ec)x+N . E.2.5) Воспользовавшись зависимостью между деформациями и напряжени- напряжениями E.2.1) для деформационно упрочняющегося материала, получаем выражение для энергетического контурного интеграла: . E.2.6) Примем в качестве сг/временное сопротивление разрыву (предел прочности) а в, в качестве предельного локального напряжения Sc — истинное сопротивление разрыву S& , а в качестве номинальных напря- напряжений ас — главное напряжение а\. Тогда критерий разрушения тела с трещиной принимает окончательный вид 1+ЛГ rc=Jc[\-X(ac/aB)l/N\ , E.2.7) где Л = 1 — (сгв/Sk) • Здесь критическое значение J-интеграла, при совместном учёте других критериальных величин, обозначено симво- символом J*. Сопоставим результаты расчёта по формуле E.2.7) зависимости предельного J-интеграла от относительного разрушающего напряже- напряжения ас/ав с результатами эксперимента на нержавеющей стали марки 12Х18Н9Т толщиной 1,5 мм (рис. 5.6). Светлыми точками обозначены экспериментальные данные, сплошной линией — результаты расчё- расчёта. Механические свойства стали следующие: ат = 340 МПа, ав = = 620МПа, Sk = 1600 МПа, N = 0,2, Jc = 475 кН/м. Эксперимен- Экспериментальные данные получены при растяжении плоских образцов шири- шириной 2Ь = 70 мм с относительной длиной сквозной центральной тре- трещины 1/W в пределах от 0,3 до 0,8 [66]. Из приведённых результа- результатов следует справедливость критерия E.2.7) для исследованной стали в области относительных длин трещин 1/W < 0,6 (сгс/ав ^ 0,2).
236 Гл. 5. Эволюционные модели повреждений и разрушения твердых тел J/Jc 0,75 0,5 0,25 0 0,25 0,5 0,75 ас1ав Рис. 5.6. Предельное значение J-интеграла для стали 12Х18Н9Т Увеличение длины трещины A/W > 0,6) для образца ограниченных размеров приводит к появлению влияния границы образца на зону предразрушения у вершины трещины. Следствием этого является сни- снижение величины J/Jc (пунктирная линия на рис. 5.6). Таким образом, использование критерия разрушения в виде E.2.7) ограничено в случае длинных трещин, когда начинают сказываться ко- конечные размеры тела. Однако исследуемые длины трещин в конструк- конструкционных элементах невелики. Поэтому двухпараметрический крите- критерий E.2.7) может быть использован как в расчётах на прочность при наличии трещин, так и для ранжировки материалов. Исследуем влияние показателя N деформационного упрочнения материала на его трещиностойкость. Для линейно-упругого тела с тре- трещиной (N = 1, o~B = Sk) из критерия E.2.7) имеем однопараметри- ческий силовой критерий разрушения Ирвина: К = Кс. Здесь учтена известная связь между J-интегралом и коэффициентом интенсивности напряжений К для упругого материала. Для широко применяемых кон- конструкционных материалов с показателем деформационного упрочнения 0 ^ N ^ 0,3 и Sk/o~B ^ 2 критериальное соотношение E.2.7) имеет более простую двухпараметрическую форму E.2.8) так как вклад слагаемого (ac/Sk) в правую часть критерия E.2.7) пренебрежимо мал и Л —> 1. Вышеотмеченными свойствами облада- обладают конструкционные стали 25Х2МПФ, 15Х2МФА, 16ГХМА, 22К и др. [36]. Для этих сталей на рис. 5.7 приведены расчётные зависимос- зависимости J/Jc от относительного разрушающего напряжения при различных показателях N деформационного упрочнения материала. Энергетический J-интеграл единообразно связывает длину тре- трещины с приложенными к телу напряжениями ас. Поэтому можно указать область разрушающих напряжений о~с/о~в (а следователь- следовательно, и длин трещин 1/W), при которых справедлив однопараметри-
§ 5.2. Двухпараметрический J* -критерий разрушения 237 0,8 0,6 0,4 0,2 - 7_ 2- 3- \\\ N = 0,05 \\| i? = 0,125 \\ N =0,25 \\1 1 i i 1 1 0 0,2 0,4 0,6 0,8 aclae Рис. 5.7. Влияние показателя деформационного упрочнения N и разрушающего напряжения на предельное значение J-интеграла ческий критерий разрушения J = J* = Jc независимо от показате- показателя упрочнения в заданном диапазоне N. Для таких относительно длинных трещин упругопластическая вязкость разрушения Jc ха- характеризует сингулярное поле деформаций и напряжений у верши- вершины трещины и полностью контролирует процесс разрушения. В то же время в области малых трещин (или больших ас/ав) с уве- увеличением показателя деформационного упрочнения значение J/Jc существенно уменьшается. Следовательно, на предельное значение J-интеграла значительное влияние оказывают как показатель N де- деформационного упрочнения материала, так и длина трещины. Поэтому оценку трещиностонкости материалов необходимо проводить по непре- непрерывной совокупности предельных значений J-интеграла для всего диапазона длин трещин. Этого можно достичь проведением сериальных испытаний образцов с различными длинами трещин, включая нулевую. Для экспресс-оценки трещиностойкости материалов на основе J-интеграла укажем более простой способ. Он заключается в проведении статического испытания одного образца с исходной трещиной до момента её страгивания. При этом по известным методам определяют предельное значение J-интеграла и устанавливают разрушающее напряжение ас. Рекомендуются плоские образцы с краевой или центральной трещиной в условиях растяжения. Исходная трещина не должна быть очень длинной, чтобы исключить влияние границы образца на значение J-интеграла. По результатам испытаний образца без трещины, доведенного до разрушения, определяют показатель деформационного упрочнения N, предел прочности ав и истинное сопротивление разрыву S&. Далее с использованием значений полученного предельного J-интеграла, ас, ав, Sk и N по формуле E.2.7) определяют значение Jc и строят (по формуле E.2.7) зависимость J от относительного разрушающего напряжения ас/ав. Для проверки истинности предельных значений J-интеграла, рассчитанных по формуле E.2.7), целесообразно предусмотреть
238 Гл. 5. Эволюционные модели повреждений и разрушения твердых тел дополнительное испытание образца с малой (например, l/W~ 0,1) длиной трещины. Предельные значения J-интеграла для всего диапазона разрушающих напряжений сгс/о~в (длин трещин) служат для ранжировки материалов при наличии трещин. С целью использования полученных результатов в расчётах деталей на прочность следует взять толщину образца равной толщине детали. Сосредоточим своё внимание на исследовании напряжённо- деформированного состояния у вершины трещины в рамках двухпараметрического ^-критерия разрушения. Как было показано выше, в области больших о~с/о~в (малые трещины) J < Jc (точ- (точки 2, 3 на рис. 5.6), т.е. к однопараметрическому ^-критерию подключается критерий максимальных нормальных напряжений, и тогда оказывается, что справедлив двухпараметрический критерий разрушения в форме E.2.7). Зададимся вопросом: как при этом изменяется поле напряжений и деформаций у вершины трещины? Для ответа на этот вопрос распространим HRR-молелъ (см. п. 3.2.3) на критическое (предельное) состояние тела с короткой тре- трещиной. При этом приходим к выводу, что под величиной J в форму- формулах C.2.7) следует понимать правую часть критериального соотноше- соотношения E.2.7), т.е. J*. Следовательно, характер распределения напряже- напряжений и деформаций у вершины короткой трещины в момент начала её роста (в рамках J*-критерия) зависит не только от Jc и других механи- механических свойств материала, но и от самих разрушающих напряжений ас. Размер зоны R, в которой справедливо сингулярное поле напря- напряжений и деформаций, определяется формулами C.2.25), из которых видно, что при уменьшении длины трещины размер сингулярной зоны также уменьшается. Используя C.2.25) в качестве граничного условия, запишем выражение для деформации еу на линии трещины перед её вершиной на основе HRR-модели О (формулы C.2.7)) и 7*-крите- рия E.2.7): €y=i\^l^J ьу[у,1У)^-л^с/аВ) j, *^л, E.2.9) x > R, где гс — номинальная разрушающая деформация. Приведём результаты расчёта гу в пластине из нержавеющей стали 12Х18Н9Т (при 0 = 0) согласно формулам E.2.9). Механиче- Механические свойства стали следующие: Jc = 480 МПа- мм, N = 0,2, а* = = 770 МПа, ат = 340 МПа, ав = 620 МПа, Sk = 1600 МПа. Расчёт производили для образцов с разными длинами трещин, для которых параметры состояния отмечены точками 1, 2 и 3 на предельной кривой О Здесь в указанных формулах C.2.7) и C.2.25) показатель деформацион- деформационного упрочнения п следует заменить на 1/N.
§ 5.3. Анализ условий зарождения трещин малоцикловой усталости 239 ОД 0,05 R3 R2 8 16 Rt24 r, мм Рис. 5.8. Распределение деформаций перед вершиной трещины 0-Ri — области высоких градиентов деформаций для трещин разной длины U (на рис. 5.6) (рис. 5.6). Из рис. 5.8 видно, что с увеличением разрушающих номи- номинальных напряжений ас (с уменьшением длины трещины /) протяжен- протяженность сингулярной зоны деформации уменьшается с одновременным ростом номинальных деформаций гс , т. е. происходит "размазывание" градиента деформаций. Следовательно, у длинных трещин сингулярное поле напряжений и деформаций даёт более ощутимый вклад в об- общую картину напряженно-деформированного состояния у вершины. При переходе к коротким трещинам предельные номинальные харак- характеристики нагруженности тела всё более нивелируют сингулярность поля напряжений и деформаций у вершины трещины. Отмеченное возрастание роли разрушающих номинальных деформаций в формиро- формировании напряженно-деформированного состояния у вершины трещины при уменьшении её размеров подтверждается результатами исследова- исследования [72] влияния регулярных членов компонент тензора напряжений на протяжённость пластической зоны. § 5.3. Анализ условий зарождения трещин малоцикловой усталости у концентратора напряжений Для обоснования выбора материалов и прогнозирования ресурса деталей машин и элементов конструкций в условиях циклического нагружения необходим количественный анализ как стадии зарождения усталостной трещины, так и стадии её роста. И если методы оценки долговечности на стадии роста трещины достаточно разработаны на основе механики разрушения [12, 79, 81] (использующей уравнения типа Пэриса, а в качестве параметров нагружения — коэффициент интенсивности напряжений (КИН), J-интеграл и т.п.), то для описа- описания закономерностей и периода зарождения трещины у концентратора напряжений не существует методологически единого подхода [137]. Методы определения долговечности на стадии зарождения трещины могут быть основаны на анализе микромеханизмов образования мик- микротрещин у структурных составляющих материала [207], местных
240 Гл. 5. Эволюционные модели повреждений и разрушения твердых тел деформаций и напряжений в вершине концентратора напряжений [36, 81, 189, 263] или на характеристическом расстоянии от него [105], на использовании в качестве параметра нагружения КИН [ПО, 137], J-интеграла [169, 260, 275, 282] или раскрытия в вершине концен- концентратора [104], на моделировании истории деформирования материала в зоне концентрации [149] и др. В настоящем параграфе для опре- определения периода зарождения усталостной трещины у концентратора напряжений использованы эволюционный подход к анализу процессов деформирования и разрушения и концепция энергетического контурно- контурного J-интеграла [54]. С использованием постулата о том, что в основе процессов де- деформирования и разрушения материалов лежат общие функциональ- функциональные закономерности накопления повреждений, в §5.1 было получе- получено эволюционное соотношение E.1.10), которое позволяет оценивать критическое время тс до достижения телом предельного состояния при заданном управляющем параметре ? для исследуемого процесса деформирования или разрушения (г* — время до достижения телом предельного состояния при критическом управляющем параметре ?с). Отмеченный подход позволил аналитически описать в рамках двухпа- раметрического критерия разрушения закономерности контактной уста- усталости, усталостного роста трещины, коррозионного растрескивания, сдвига критической температуры хрупкости и предельного состояния тела с короткой трещиной. Рассмотрим закономерности малоциклового разрушения с позиций вышеотмеченного подхода. Учтём, что при малоцикловом жестком нагружении прочность кор- коррелирует с характеристиками пластичности материала при однократ- однократном разрушении, а в условиях мягкого нагружения основное влияние на процесс разрушения оказывают статические прочностные свойс- свойства [36]. Тогда в качестве основного управляющего параметра при малоцикловом жёстком нагружении примем пластическую деформа- деформацию гр в цикле нагружения, а в качестве критического управляю- управляющего параметра — разрушающую деформацию гс = 1пA — (р)~{ при однократном разрушении (ср — коэффициент поперечного сужения). Переходя в эволюционном соотношении E.1.10) от времени г к циклам нагружения и учитывая, что деформация гс достигается за 7V* = l/4 цикла при статическом нагружении, получаем известную формулу Мэнсона-Коффина: ' /пу^. E.3.1) Для расчёта показателя степени п? в формуле E.3.1) предлагаются различные зависимости [127, 132], основанные на связи п? с показате- показателем степени деформационного упрочнения 0 < N < 1 в аппроксимации обобщённой диаграммы циклического деформирования а = a*eN, E.3.2)
§ 5.3. Анализ условий зарождения трещин малоцикловой усталости 241 где а* — константа материала. Если принять п? = 1,5 A + N) (согласно работе [132]), то показатель степени \/п? в уравнении Мэнсона- Коффина будет изменяться в пределах от 0,33 до 0,67, что соответ- соответствует результатам работы [36]. Возможен и другой вариант [133] расчёта п? на основе связи уравнений роста усталостной трещи- трещины и уравнения Мэнсона-Коффина. В этом случае n?=ra(l+7V), где т — показатель степени в уравнении скорости роста трещины: V rsj J™ax . Отметим, что для циклически упрочняющихся и разупроч- няющихся материалов показатель упрочнения N зависит от количества циклов нагружения. Это может быть учтено расчётным путём [36]. Теперь рассмотрим закономерности малоциклового разрушения в условиях мягкого нагружения. В качестве управляющего параметра примем номинальное напряжение апв цикле нагружения, а в качестве критического управляющего параметра — предел прочности ав- Тогда эволюционное соотношение E.1.10) приводит к уравнению кривой усталости при мягком наружении: °пК/п° =Nl/n*<TB, E.3.3) где TV* — число циклов нагружения до разрушения на уровне предела прочности ав- Для материалов с соотношением предела усталости <r_i к пределу прочности ав, равным 0,4, значение \/па может быть принято равным 0,08 [36]. Рассмотрим некоторые возможные модели зарождения усталостной трещины у концентраторов напряжений. Предположим, что зарожде- зарождение трещины происходит в результате пластического деформирования и последующего разрушения гипотетического микрообразца, распо- расположенного у вершины концентратора напряжений, и что материал, окружающий этот микрообразец, деформируется упруго. В этом случае оправдано считать накопление односторонних пластических дефор- деформаций стесненным, т. е. пластическое деформирование микрообразца происходит в условиях жёсткого нагружения. При этом выражение для долговечности до зарождения трещины с учётом формулы E.3.1) и соотношения п? = m(l + N) принимает следующий вид: Ni = 0,25 (ec/ep)m{l+N), E.3.4) где: ес и ер — максимальные главные предельные и текущие деформа- деформации (или интенсивности деформаций) у вершины концентратора напря- напряжений. Здесь и далее индексы г и / будут относиться соответственно к условиям зарождения трещины и полного разрушения образца (детали) с концентратором напряжений. В условиях упругого деформирования тела распределение деформа- деформаций (напряжений) в зоне относительно острого и глубокого концен- концентратора напряжений выражается, как и для тела с трещиной, путем 16 Матвиенко Ю.Г.
242 Гл. 5. Эволюционные модели повреждений и разрушения твердых тел введения поправочной функции fij(p,r,6) [177]: ец=КBжг)-Ч2-Ыр,г,е). E.3.5) Здесь К — КИН, р — радиус вершины концентратора напряжений, г — расстояние от вершины концентратора напряжений и в — угловая координата рассматриваемой точки. В случае пластического деформи- деформирования материала запишем аналогичные выражения для деформаций (напряжений) у вершины концентратора, основываясь на HRR-молели для тела с трещиной [187, 249]: Теперь перепишем уравнение E.3.4) малоцикловой усталости тела с концентратором напряжений при жёстком нагружении материала в зоне концентрации с использованием соотношений E.3.6): iVi=0,25(Jc/Jmax)m. E.3.7) Здесь Jmax — максимальное значение J-интеграла в цикле нагружения, Jc — значение J-интеграла при номинальных значениях напряже- напряжения а в- Таким образом, нетрудно заметить, что процессы зарожде- зарождения усталостной трещины и её роста оказываются взаимосвязанными и контролируются показателем степени m соответствующих уравне- уравнений. К выводу о связи характеристик циклической трещиностойкости материалов на стадиях зарождения и роста трещины пришли также авторы работы [81]. Если же принять, что условия пластического деформирования ма- материала (гипотетического образца) в зоне концентрации соответствуют мягкому режиму нагружения, то для материалов с о~-\/о~в ~ 0,4 из со- соотношений E.3.3) и E.3.6) следует уравнение малоцикловой усталости в следующем виде: Nz = N:(Jc/Jmaxf'5N^+N\ E.3.8) где N* — число циклов до зарождения трещины при действующем значении Jmax = Jc. Формулы E.3.7) и E.3.8) отражают условия малоцикловой прочности при деформировании материала у вершины концентратора напряжений в условиях жёсткого и мягкого режимов нагружения соответственно. Однако характер деформирования материала в зоне концентрации при малоцикловой усталости соответствует режиму, промежуточному между жёстким и мягким режимами нагружения [36]. В этом случае представляется возможным записать уравнение малоцикловой усталости в более общем виде, принимая в качестве управляющего параметра энергетический контурный
§ 5.3. Анализ условий зарождения трещин малоцикловой усталости 243 J-интеграл: Ni = N*(JC/Jm^)k. E.3.9) Вообще говоря, в качестве управляющего параметра может быть принят и какой-либо иной параметр механики разрушения, например КИН, раскрытие в вершине концентратора напряжений и т. п. Для расчетного определения J-интеграла в случае упругопластиче- ского деформирования тела с концентратором напряжений воспользу- воспользуемся приближёнными формулами вида C.2.23) и C.2.26) или форму- формулами, приведенными в работе [70]. Обратимся к результатам экспериментального исследования малоцикловой усталости образцов с кольцевыми надрезами при испытании на растяжение-сжатие, полученным в виде о~п — iV^) [272]. Материал образцов — сталь S25C с пределом текучести о~т = 160 МПа, пределом прочности о~в = 415 МПа и N = 0,25. Радиусы вершины надрезов р и соответствующие им теоретические коэффициенты концентрации напряжений Kt приведены в табл. 5.1. Таблца 5.1. Экспериментально-расчётные параметры малоцикловой усталос- усталости образцов с концентраторами напряжений № 1 2 1 0, мм ,6 24 Kt 2,05 3,55 МПа • мм 240,5 161,5 N* , цикл 80 6 Щ , цикл 316 112 к 1,05 1,05 Исходные экспериментальные данные, обработанные с использова- использованием формул вида C.2.23) и C.2.26), представлены в виде аппроксима- аппроксимации E.3.9) (линии 1 и 2 на рис. 5.9). Заметим, что соотношение E.3.9) достаточно хорошо описывает экспериментальные результаты. Причем показатель степени к в формуле E.3.9) оказывается не зависящим ю2- 10 4 10 102 103 N,- Рис. 5.9. Зависимость периода зарождения усталостной трещины у выреза от Jc/Лпах; 1 и 2 — расчет по формуле E.3.9); 3 и 4 — расчет по фор- формулам E.3.7) и E.3.8) соответственно. Линия 1 — Kt = 2,05, линия 2 — Kt = 3,55 16*
244 Гл. 5. Эволюционные модели повреждений и разрушения 'ых тел 102 10 102 103 104 N, Рис. 5.10. Долговечность образцов с вырезами на стадии полного разрушения (обозначения на рис. 5.9) от теоретического коэффициента концентрации напряжений Kt. Это позволяет нам сделать предположение о том, что значение к сохра- сохраняется и для тела с трещиной. Количество циклов N*ro зарождения трещины у концентратора напряжений зависит от радиуса вершины надреза и уменьшается по мере уменьшения р (см. табл. 5.1). Отме- Отметим, что кривые, рассчитанные из условий жёсткого E.3.7) и мяг- мягкого E.3.8) режимов нагружения являются огибающими для кривых, соответствующих реальным условиям нагружения. Для стали с дан- данным значением о~в показатель степени в уравнении E.3.7) согласно работе [133] принят равным 1,55. Причём по мере уменьшения радиуса вершины концентратора напряжений кривая малоцикловой усталости E.3.9) приближается к кривой, соответствующей жёсткому режиму нагружения. Зависимость E.3.9) хорошо описывает экспериментальные резуль- результаты не только на стадии зарождения трещины, но и на стадии полного разрушения (рис. 5.10). При этом показатель степени к не изменяет своего значения, что ещё раз подтверждает положение о контролиро- контролировании показателем к как стадии зарождения трещины, так и стадии её роста (кроме того, скорость роста усталостной трещины можно представить в виде V = Ali/Ni). Параметр 7V* оказывается большим по сравнению с N*. Причем N*/NJ для Kt =2,05 больше, чем для Kt = 3,55, т. е. вклад в долговечность на стадии роста усталостной трещины возрастает по мере увеличения остроты надреза. Предложенный подход, использующий эволюционные представле- представления о процессе зарождения усталостной трещины и концепцию энерге- энергетического интеграла, дает возможность выработать методологически единую схему оценки долговечности деталей с конструкционными концентраторами напряжений как на стадии зарождения трещины, так и на стадии её дальнейшего роста в зоне концентрации напряжений.
§ 5.4. Кинетика водорода в зонах концентрации напряжений 245 § 5.4. Кинетика водорода в зонах концентрации напряжений при зарождении и росте трещин Водородное охрупчивание металла занимает одно из центральных мест при изучении коррозионно-механического разрушения деталей ма- машин и элементов конструкций. Поступление водорода в металл может быть следствием как контакта коррозионно-активных сред с поверх- поверхностью металла в процессе его эксплуатации, так и различных тех- технологических операций (например, нанесения гальванических покры- покрытий на изделия). Результатом наводороживания является ухудшение эксплуатационных характеристик металла, приводящее к преждевре- преждевременным хрупким разрушениям. Так, по данным КБ "Химавтоматика" и ЦНИИМАШ, при испытании двигательной установки наблюдались случаи разрушения и образования трещин в сильно нагруженных элементах ЖРД (ТНА, сопле, камере сгорания и трубопроводах). При этом наиболее опасными зонами в конструкции энергетической установки являлись зоны концентрации напряжений конструкционного и технологического характера, к которым возможен доступ жидкого или газообразного водорода. Циклический характер нагружения эле- элементов установки существенно усугубляет ситуацию. Оценить жи- живучесть и области безопасных состояний повреждённых технических систем в условиях водородного охрупчивания металла без анализа микромеханизма разрушения позволяет модель сдвига критической температуры хрупкости в область положительных температур [52]. Другие модели роста трещин в металлах при действии водорода осно- основываются, например, на особенностях процесса переноса и накопления водорода в зоне предразрушения у вершины трещины [81] или на по- постулировании связи критической концентрации водорода с критическим коэффициентом интенсивности напряжений [48]. Связи акта локального разрушения с концентрацией водорода в зоне предразрушения посвящен ряд работ как теоретического [81], так и экспериментального [116, 120, 174, 279] плана. Причём эксперимен- экспериментальная оценка критической концентрации водорода в зоне предразру- предразрушения становится всё более достоверной по мере совершенствования методов (например, физических) регистрации содержания водорода в локальных областях металла. Для расчётной оценки живучести и допустимых состояний кон- конструкций с трещиноподобными дефектами в условиях водородного охрупчивания необходимо располагать критериальными соотношения- соотношениями, отражающими кинетику перераспределения водорода в зонах кон- концентрации напряжений с изменением уровня нагружения конструкции. Приведем результаты исследований влияния электролитического водо- водорода на статическую и циклическую трешиностойкость стали 07X16Н6 с мартенситной структурой (доля остаточного аустенита не превышала
246 Гл. 5. Эволюционные модели повреждений и разрушения твердых тел 10%) [116]. Концентрация водорода определялась методом вторичной ионной масс-спектрометрии (ВИМС). Наводороживание образцов с исходной усталостной трещиной осу- осуществлялось в растворе 0,1 н. H2SO4 с добавкой SeO2 при плот- плотности тока 1А/дм2 в течение 5 часов. Перед помещением образца в электролит всю его поверхность (за исключением поверхности кон- концентратора напряжений) покрывали химически стойким лаком. Ис- Испытания на статическую и циклическую трещиностойкость проводи- проводили через 10-15 мин после наводороживания на установке HUS-1025 при комнатной температуре. Статическую трещиностойкость опреде- определяли на прямоугольных F0 х 60 мм) компактных образцах с краевой трещиной при внецентренном растяжении согласно ГОСТ 25.506-85. Кинетические диаграммы усталостного разрушения (КДУР) строили по результатам испытаний образцов прямоугольного сечения высотой 50 мм и толщиной 5 мм с краевой трещиной в условиях консоль- консольного изгиба; коэффициент ассиметрии цикла нагружения R = —0,3, частота нагружения / = 20 Гц. Длину растущей усталостной трещины регистрировали с помощью оптического микроскопа с ценой деления 50 мкм. Влияние водорода на скорость роста трещины оценивали для каждого отдельно взятого значения АК при заданной нагрузке и длине трещины, сформированной в ненаводорожеином образце, т. е. каждая точка на КДУР для наводороженного состояния стали — результат испытаний отдельного образца. В фиксированные моменты времени (при заданной нагрузке или длине усталостной трещины) образец разгружался и из него вырезали темплеты размера 10 х 10 мм, включающие область вершины трещины. Выбор размера темплетов был обусловлен размерами аналитической камеры масс-спектрометра. Далее методом ВИМС было исследовано Рис. 5.11. Схема анализа распределения водорода. Точками указаны участки анализа распределение водорода в зоне у вершины трещины и по её берегам (рис. 5.11). Об отсутствии изменений в количестве водорода в зоне вершины трещины в темплетах свидетельствуют результаты предварительных
§ 5.4. Кинетика водорода в зонах концентрации напряжений 247 1,4 1,2 и 1,0 о о 5 0,8 о О* 0,6 0,4 0,2 0 12 3 В глубь образца, мм Рис. 5.12. Распределение водорода по толщине образца на расстоянии 30 мкм от вершины трещины при Кша^ = 20 МПа^/м опытов, где количество водорода определялось методом вакуумнагрева при температуре 850 К. Сравнивалось содержание водорода после циклических испытаний в нагруженном образце и в вырезанной части его объёма перед надрезом с трещиной и в направлении вероятного её распространения. В нагруженных и вырезанных образцах, испы- испытанных при АК> 15 МПа^/м (участок стабильного роста трещины), после вылёживания при комнатной температуре в течение 1-3 часов концентрация водорода при точности её определения 15-20% была одинаковой. Согласно литературным данным [16, 240], рост усталостной трещи- трещины сопровождается микропластической деформацией и формированием водородных коллекторов и ловушек, что ведёт к резкому снижению диффузионной подвижности водорода в области вершины трещины. О захвате водорода на необратимых структурных элементах на стали у вершины трещины и о потере его подвижности свидетельствует также идентичность водородных профилей в темплетах после их вылёжива- вылёживания в вакууме вплоть до 4 часов. Построена кривая распределения водорода по толщине образца при послойном удалении металла (рис. 5.12). Характерно, что положение максимума концентрации водорода остаётся неизменным для образцов с различными длинами трещин. После нахождения зоны максимального глубинного содержания во- водорода в отдельно взятых темплетах, вырезанных из образцов, которые испытывались в аналогичных условиях, на этой глубине определялось содержание водорода на различных расстояниях от вершины трещины. Локальность анализа E мкм) обеспечивалась с помощью молибденовой диафрагмы, установленной на образце. Молибден предварительно был обезгажен в вакууме. Чувствительность анализа на водород составляла
248 Гл. 5. Эволюционные модели повреждений и разрушения 'ых тел 10 2ст3/100г. Воспроизводимость результатов определения интенсив- ностей спектральных линий была полная. Масс-спектральные резуль- результаты калибровали с помощью эталонов, применяющихся в установ- установках для вакуум-нагрева фирмы LECO, с линейными размерами зёрен в металле больше 30 мкм. Это исключало аппаратурную ошибку при регистрации локальных концентраций водорода, связанную с сегрега- циями водорода на границе зёрен в эталоне, поскольку размер ионного пучка при анализе был меньше зерна, внутри которого распределение водорода, как правило, равномерно. Прежде чем перейти к анализу результатов исследования трещино- стойкости стали при электролитическом наводороживании, рассмотрим вопрос о влиянии условий наводороживания на характер распределе- распределения водорода в образце с трещиной. Для этого компактные образцы с исходной усталостной трещиной наводороживали в том же элек- электролите, что и основную партию образцов, при различных значениях катодного тока в течение двух часов в условиях приложения постоян- постоянной статической нагрузки, соответствующей двум значениям КИН К\о (табл. 5.2). Таблица 5.2. Влияние условий наводороживания на распределение водо- водорода перед вершиной трещины в стали 07X16Н6 Кю, МПа • у/м 30 50 Плотность тока, А/ дм 6 10 6 10 Стр /См 2,9 3,0 3,8 3,8 Все концентрационные распределения водорода определяли так же, как и для образцов после циклических испытаний. Затем для разных режимов катодного наводороживания сопоставляли значения отноше- отношения максимальной локальной концентрации водорода Стр в зоне у вершины трещины к объёмной концентрации водорода См в образце. Установлено, что вариация плотностей катодного тока в указанных пределах не сказывается на отношении Стр/См, а определяется ис- исходным уровнем K\q. Обратимся к результатам исследования трещиностойкости наводо- роженной стали 07Х16Н6 (табл. 5.3). Таблица 5.3. Результаты исследований статической и циклической тре- трещиностойкости наводороженной стали 07X16Н6 Образец Исходный Наводороженный Кс, МПа- 85 75 С 2, 4, м М 53 62 / П цикл д,у/Ш)Ш ю-12 ю-12 т 2,74 2,95 у* , мкм / цикл 3,84 3,36
§ 5.4. Кинетика водорода в зонах концентрации напряжений 10™6 249 10" 10" • • • .•V." л*.— 20 40 60 80 АК, МПа • мш Рис. 5.13. Кинетические диаграммы усталостного разрушения стали 07Х16Н6: 1 — исходное, 2 — наводороженное состояния 0,8 и о 0,6 1 0,4 0,2 0 12 3 4 5 6 Расстояние от края, мм Рис. 5.14. Распределение водорода в сечении, перпендикулярном берегу тре- трещины, на расстоянии 3 мм от вершины Статическая трещиностойкость Кс стали уменьшается, КДУР исходного и электролитически наводороженного образцов различны (рис. 5.13). В припороговой области нагружения (V < 10~8м/цикл) усталостная трещина в наводороженном образце развивается с той же скоротью, что и в ненаводороженном при более низких (на 30-40%) значениях АК. На среднеамплитудном участке КДУР повышение скорости роста трещины в наводороженном образце более существенно. Однако циклическая вязкость разрушения исходной и наводорожеиной стали практически одинакова. Концентрационные кривые распределения водорода в сечениях, пер- перпендикулярных берегам трещины (рис. 5.14), и перед её вершиной на линии продолжения (рис. 5.15) имеют локальные области с повышен- повышенной концентрацией. Снижение концентрации водорода (см. рис. 5.14), может быть объяснено уменьшением количества водородных ловушек, главным образом дислокаций, при релаксации напряжений у края трещины и разогревом микрообъемов стали в зоне пластической де- деформации. С ростом АК увеличивается общее содержание водорода у
250 Гл. 5. Эволюционные модели повреждений и разрушения твердых тел 2,0 г 1,0 ^ 0,5 1,0 160 320 420 640 Расстояние от вершины трещины, мкм Рис. 5.15. Распределение водорода перед вершиной трещины: 1 — Кша^ = = 20 МПа^/м, 2 - Ктах = 68 МПау'м вершины трещины (рис. 5.15), вместе с этим отмечается уменьшение локальной максимальной концентрации водорода. Зона максимальной концентрации по мере роста трещины удаляется от её вершины. Ха- Характерно также снижение градиента концентрации водорода. Дадим интерпретацию такого изменения характера распределения водорода в зоне вершины трещины при усталостном ее росте, осно- основываясь на эволюционном подходе к описанию процессов разрушения (см. §5.1) . Накопление циклических повреждений, обусловленное уров- уровнем АК, приводит к росту усталостной трещины и перераспреде- перераспределению напряжений у её вершины. В результате этого происходит перераспределение водорода в зоне у вершины трещины. Кинетика перераспределения водорода и градиент его концентрации, по- видимому, связаны как с цикличностью нагружения (размахом АК), так и с максимальным значением КИН Ктах. Отразим роль параметра Ктах в кинетике усталостной трещины исходя из эволюционного соотношения E.1.10), полагая в качестве управляющего параметра ? = if max и заменяя г E.4.1) СТРКтах = const. Из соотношения E.4.1) следует, что с увеличением ifmax концен- концентрация водорода в наводороженном образце в локальной зоне у вер- вершины трещины должна уменьшаться. Этот вывод согласуется с экспе- экспериментальными результатами, представленными на рис. 5.15. Отметим, что физический критерий акта локального разрушения вида E.4.1) был получен в [48] в рамках постулата теории водородного охрупчивания для условий коррозионного растрескивания. Акт локального разрушения металла в вершине трещины реализу- реализуется в виде дискретного продвижения вершины трещины (скачка тре- трещины) на величину Д/^. После скачка для дальнейшего продвижения трещины необходимо некоторое время (AN циклов нагружения) для
§ 5.4. Кинетика водорода в зонах концентрации напряжений 251 накопления цикличеких повреждений и перераспределения водорода в зоне у вершины трещины до достижения условия E.4.1). Оценим параметр V* = Ali/AN, связанный с дискретностью роста трещины, на основе эволюционного подхода (см. §5.1). Уравнение скорости роста усталостной трещины на среднеамплитудном участке КДУР запишем в виде V = V* (Kmax/Kc)m = C{\-R)m K™ax, E.4.2) где С, т — константы материала и условий нагружения. Значения V* рассчитываем из соотношения V* = C(\-R)mK™. E.4.3) Параметр V* несколько уменьшается при электролитическом на- водороживании стали (табл. 5.3). Такое изменение связано скорее с уменьшением скачка трещины А/^при электролитическом наводоро- живании, чем с увеличением AN. Отметим также, что при наличии зародышевой трещины сталь с внутренним (электролитическим) во- водородом можно рассматривать как систему, испытывающую влияние внешней водородной среды [120]. В этом случае одним из механизмов водородного охрупчивания может быть вызванная водородом локализа- локализация деформации [16, 81, 208]. Вполне понятно, что более сильная лока- локализация деформации, обусловленная взаимодействием с движущимися дислокациями и активизацией их источников, будет наблюдаться при наличии в стали больших градиентов концентрации водорода [208]. Отметим также, что обнаруженный характер перераспределения водорода перед вершиной распространяющейся усталостной трещины сохраняется и в зонах концентрации напряжений при зарождении и последующем развитии трещин малоцикловой усталости. При этом кинетика перераспределения водорода контролируется уровнем нагру- женности образца (детали) в соответствии с критериальным усло- условием E.4.1). Так, например, для плоского образца из стали ЭП937 (шириной 30 мм с центральным отверстием диаметром 6,2 мм и тол- толщиной 2,5 мм), наводороженного термодиффузионным методом и ис- испытанного при отнулевом цикле нагружения <ттах(лг?;тто) — 90МПа, локальная концентрация водорода при увеличении длины усталостной трещины в зоне концентратора напряжений уменьшается. В заключение отметим, что измеренные значения водородосодер- водородосодержания в высокопрочных сталях у вершины трещины при усталостном её зарождении и росте с учётом физического критерия E.4.1) могут служить исходной информацией для расчётной оценки долговечности деталей и элементов конструкций с трещиноподными дефектами при поступлении водорода в сталь из коррозионно-активных сред или в результате технологических операций.
Глава 6 БЕЗОПАСНОСТЬ И ЖИВУЧЕСТЬ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ В последние годы актуальными становятся исследования по меха- механике катастроф в связи с возросшей необходимостью анализа обеспе- обеспечения безопасности технических систем и продления их ресурса [7, 18, 19, 56, 59, 73-76]. Методология комплексного подхода к решению проблем прочности, живучести, безопасности и ресурса технических систем включает в себя следующие основные положения [7]: • анализ состояния конструкционных материалов несущих элемен- элементов с учетом исходной технологической наследственности и возникаю- возникающих эксплуатационных повреждений; • определение характера, параметров, дислокации и разме- размеров макро- и микродефектов в несущих элементах; • расчетный и экспериментальный анализ напряженно-деформи- напряженно-деформированного состояния несущих элементов; • исследование механизмов естественного и ускоренного старения материала; • анализ предельного состояния несущих элементов конструкции; • оценка живучести материалов и элементов конструкций на разных стадиях повреждений; • расчетно-экспериментальное определение прочности, живучести, безопасности и остаточного ресурса. Изложим основные принципы анализа предельного состояния, прочности, безопасности и живучести технических систем с позиций механики катастроф. § 6.1. Механика катастроф Длительное время фундаментальные и прикладные разработки ори- ориентировались на достижение важнейших характеристик прогресса (по- (повышение эффективности, увеличение единичных мощностей, повыше- повышение скоростей, освоение новых материалов и технологий) без учёта риска возникновения аварий и катастроф. Это привело к тому, что многие из промышленно развитых стран оказались неподготовленными к тяжёлым социальным, экономическим и экологическим последствиям нарастающих по числу и тяжести аварий и катастроф. При этом сложные технические системы (СТС), представляющие несомненную опасность для людей и окружающей среды, в большинстве случаев
§ 6.1. Механика катастроф 253 Классификация аварий и катастроф Номенклатура наиболее опасных процессов, технологий, машин и СТС Банк основных поражающих факторов Система критериев и параметров прочности,безопасности, живучести и риска Формирование средств защиты Физическое и математическое моделирование аварий и катастроф Нормирование параметров безопасности Методы и средства оперативной диагностики аварийных ситуаций и безопасности СТС Рис. 6.1. Принципы анализа и обеспечения инженерной безопасности технических систем создавались с использованием традиционных правил проектирования и простейших инженерных методов расчётов и испытаний. Это потре- потребовало в последнее десятилетие формирования новых принципов и кон- концепций обеспечения безопасности СТС (рис. 6.1), а также формирова- формирования нового направления научных исследований — механики катастроф. В будущем, по-видимому, это научное направление будет включать в себя изучение не только механики катастрофических разрушений СТС, но также и причин, вызывающих катастрофы и аварии (например, отказы систем управления ракетами и спутниками, несрабатывание механизмов выпуска шасси самолетов, отказы механизмов тормозов и др.). 6.1.1. Основные положения механики катастроф. Актуальность выделения в рамках сложившихся традиционных дисциплин еще од- одной самостоятельной дисциплины обусловлена прежде всего тем, что именно крупномасштабные механические повреждения и разрушения несущих высоконагруженных элементов конструкций, как правило, и приводят к максимально возможному ущербу. Сам суммарный ущерб
254 Гл. 6. Безопасность и живучесть технических систем от реализации той или иной аварийной ситуации в значительной мере зависит от степени разрушения или механического поврежде- повреждения различных элементов конструкций, оборудования, систем защиты и т. д. Так, по данным Национального бюро стандартов США сум- суммарные затраты в экономике США, связанные с возмещением ущерба от непреднамеренных разрушений конструкций, а также с меропри- мероприятиями, направленными на предотвращение разрушений, составляют десятки и сотни млрд долларов в год. Примерами аварийных ситуаций, в которых механические разру- разрушения приводят к катастрофическим последствиям, могут служить следующие известные из практики события. Для технологической системы со сжиженным газом внезапное раз- разрушение с образованием магистральной трещины приводит к резкому падению давления, быстрому вскипанию жидкости, возникновению воздушной ударной волны и мгновенному воспламенению образующе- образующегося парового облака, которое сопровождается формированием огнен- огненного шара. Другим примером катастрофических разрушений является эскала- ционное разрушение трубопроводов. Оно сопровождается появлением и развитием гигантской трещины, движущейся вдоль образующей тру- трубы со скоростью нескольких сотен метров в секунду и достигающей длины десятков километров. Таким образом, тысячи тонн перекачиваемого продукта (часто экологически опасного) оказываются выброшенными в окружающую среду. И, наконец, еще один пример, заслуживающий особого внимания: это аварийная ситуация на ядерном реакторе. Если предположить, что произошла утечка теплоносителя, то становится реальной опасность перегрева активной зоны в корпусе реактора. Перегрев можно предот- предотвратить, если ввести в действие систему аварийного охлаждения, которая наполнит корпус реактора холодной водой. Но при этом на 200-миллиметровой стенке возникнет перепад температур примерно в 300 °С и на внутренней поверхности возникнут растягивающие на- напряжения, близкие к пределу текучести. Следовательно, появятся все условия для магистрального распространения трещины. Такой сцена- сценарий, хотя и не имел места ни разу в истории ядерной энергетики, тем не менее требует тщательного изучения, так как в случае его реализа- реализации возможные последствия для персонала, населения и окружающей среды могут быть крайне тяжелыми. Именно крупномасштабные разрушения несущих элементов кон- конструкций в результате аварий и катастроф могут привести к макси- максимально возможному ущербу. Эти разрушения непосредственно свя- связаны как с проявлением огромной роли человеческого фактора, так и с существенной ролью внутренних (материаловедческих) и внешних (механического воздействия) факторов. Кроме того, возникновение
§ 6.1. Механика катастроф 255 и течение аварий и катастроф, как правило, сопровождается распро- распространением существующих технологических дефектов и образовани- образованием трещин в зонах повышенной концентрации напряжений. Поэтому решение проблемы обеспечения безопасности СТС включает в се- себя решение задач анализа и обеспечения безопасности и живучести несущих элементов конструкций в сильно поврежденных состояниях по критериям механики трещин. Причины значительного проявления материаловедческих и механических воздействий при возникновении аварийных состояний СТС заключаются в следующем: — недостаточное внедрение современных методов расчета и контро- контроля, современной технологии, а также использование устаревших норм и стандартов, — недостаточные разработка и использование современных науч- научных подходов к проблеме безопасности; — отсутствие принципиально новых бездефектных высокопрочных конструкционных материалов и материалов с высокой живучестью. Таким образом, создание научных основ анализа и обеспечения безопасности и живучести СТС (как механических систем) в рамках механики катастроф представляется весьма перспективным. Как и всякое направление научных исследований, механика ката- катастроф характеризуется прежде всего своим объектом, или предметом, исследования, а также методами, на основе которых проводится анализ изучаемых явлений и процессов в рамках сформулированного нап- направления. Предметом механики катастроф являются собственно аварии, свя- связанные с механическими повреждениями и разрушениями, последствия которых имеют принципиальное, с точки зрения безопасности, зна- значение (т.е. те аварии, которые характеризуются большим ущербом). Механика катастроф позволяет анализировать следующие аварийные ситуации: разрушения, падения, обрушения, столкновения, взрывы, по- пожары, непрерывные и залповые выбросы радиационно опасных и отрав- отравляющих веществ. Механика катастроф базируется на традиционных и новых развиваемых методах сопротивления материалов, теории упру- упругости, теории пластичности, теории ползучести, теории усталости, строительной механики, теории пластик и оболочек, теорий прочности, конструкционного материаловедения, физики прочности, динамики ма- машин, вычислительной механики сплошных и дискретных систем, меха- механики жидкостей и газов, теории надежности, линейной и нелинейной механики разрушения, трибологии. Методы механики катастроф — это совокупность моделей, теоре- теоретических положений и принципов науки о прочности, в том числе с учетом трещин, больших пластических деформаций, экстремальных нагрузок, динамических эффектов, повреждений от физических полей и коррозионных сред. Кроме того, первоначальные и последующие стадии повреждений и разрушений могут вызывать вторичные прояв- проявления аварийных ситуаций, такие как выбросы радиоактивных и ток-
256 Гл. 6. Безопасность и живучесть технических систем сичных веществ, взрывы, пожары и т.п. Эти проявления существенно усложняют анализ механики дальнейших стадий катастрофических разрушений. Поэтому механика катастроф опирается на теоретические выводы и экспериментальные результаты ряда смежных с прочностью областей, таких как теория горения и взрыва, механика жидкостей и газов и т.д. Таким образом, связанные проблемы механики разруше- разрушения занимают важное место в механике катастроф. Основными научными направлениями механики катастроф являются: исследование процессов накопления повреждений, реакций элементов конструкций на внешние и внутренние (в том числе аварийные) воздействия, развитие теорий предельного состоя- состояния и собственно самого процесса закритического поведения элементов конструкций, который и приводит к тем или иным последствиям, а также создание теорий критических, переходных, закритических и допустимых состояний поврежденных СТС. Схематично структура взаимосвязей различных направлений исследований в рамках механики катастроф представлена на рис. 6.2. Реакция элементов на внешние воздействия Реакция элементов на аварийные воздействия Процессы и механизмы накопления повреждений Ш 81 si и Я Масштабы возможных повреждений и разрушений Характер повреждений и разрушений Степень повреждения уцелевшего материала Рис. 6.2. Механика катастроф Механику катастроф как фундаментальную научную дисциплину следует рассматривать в качестве научной основы, используемой для анализа источников возникновения и сценариев развития аварийных и катастрофических ситуаций в сложных технических системах с по- повышенной потенциальной опасностью. В связи с этим возникает необ- необходимость в проведении большого объема исследований, связанных с изучением условий образования предельных состояний объектов по критериям прочности, ресурса и надежности на разных стадиях воз- возникновения и развития аварий и катастроф. Расчетный анализ сце- сценариев аварий и катастроф должен проводиться поэтапно с учетом непрерывного развития традиционных инженерных подходов: • на прочность, жесткость и устойчивость (с применением методов сопротивления материалов); • на прочность и циклический ресурс, долговечность (с применени- применением методов теории много- и малоцикловой усталости);
§ 6.1. Механика катастроф 257 • на прочность и временной ресурс, долговечность (с применением методов теории ползучести и длительной прочности); • на динамическую прочность и ресурс (с применением методов ди- динамики деформирования и разрушения); • на трещиностойкость (с применением методов линейной и нели- нелинейной механики разрушения). При этом в рамках механики катастроф используются • аналитические методы указанных выше теорий и дисциплин, • численные методы (методы конечных элементов, конечных раз- разностей, вариационные методы), • экспериментальные методы (механические испытания образцов, моделей и натурных конструкций), • комбинированные методы (сочетание аналитических, численных и экспериментальных). Активно разрабатываемая во многих странах концепция максималь- максимальной гипотетической аварии позволяет сформулировать следующие пер- первоочередные задачи в изучении технических систем в рамках механики катастроф: — установление системы внешних нагрузок, действующих на элементы системы, исходя из реальных условий ее эксплуатации как при нормальных, так и при аварийных условиях; — изучение напряженно-деформируемого состояния высоконагруженных несущих элементов системы с учетом внешних и внутренних динамических нагрузок; — оценка прочности, поврежденности и масштабов возможных разрушений элементов конструкций технических систем; — оценка последствий таких повреждений и разрушений; — выработка мер и рекомендаций по исключению или снижению возможного ущерба от катастрофических и опасных повреждений. Что касается последнего пункта, то требование исключения ката- катастрофических повреждений, вообще говоря, является общепринятым и представляет собой следствие одного из фундаментальных требо- требований к обеспечению безопасности сложных технических систем — требования исключения крупных аварий, ставящего целью оградить че- человечество и окружающую среду от техногенных воздействий с трудно предсказуемыми последствиями. В этом плане чрезвычайно актуальным представляется разработка трех основополагающих принципов, последовательное внедрение ко- которых в практику позволит предотвратить крупномасштабные разру- разрушения. Это принципы обеспечения качества, допущения наихудшего случая, непрерывной диагностики и оперативного анализа. Принцип обеспечения качества говорит о необходимости дости- достижения высокой степени надежности элементов технической системы за счет выбора материалов, технологии обработки, гарантии качества производства, эксплуатации и т. д. 17 Матвиенко Ю.Г.
258 Гл. 6. Безопасность и живучесть технических систем Принцип допущения наихудшего случая указывает на необходи- необходимость изучения возможных аварийных ситуаций, включая и рассмот- рассмотрение гипотетических аварий, причем в соответствии с этим принци- принципом необходимо ориентироваться на самые неблагоприятные стечения обстоятельств. Принцип непрерывной диагностики и оперативного анализа вклю- включает задачи, связанные с ранним обнаружением отклонений в состоя- состоянии элементов технической системы и принятием решений о возмож- возможности дальнейшей эксплуатации. 6.1.2. Повреждения и предельные состояния технических си- систем. Механика катастроф занимается не столько изучением раз- различного рода воздействий, сколько созданием аппарата перехода от определенных воздействий к расчетным действующим нагрузкам. Этот переход может осуществляться на базе создания соответствующих расчетных моделей (функциональных или имитационных), а также при проведении полномасштабных или модельных экспериментов. Данные об условиях эксплуатационного нагружения являются исходными при назначении основных расчетных параметров, входящих в базовые урав- уравнения механики катастроф, и последующего моделирования иницииро- инициирования и развития аварий и катастроф. В общем случае при эксплуатации на технические системы действу- действуют три основных типа нагрузок: механические Рт (от давления, массы, сил инерции и т.д.); тепловые Рт (от неравномерного распределения температур и (или) неоднородности теплофизических свойств материа- материалов); электромагнитные Рет (от воздействия электромагнитных полей). Суммарные эксплуатационные нагрузки создают соответствующие на- напряжения а и деформации е. С учетом параметров эксплуатационного нагружения (числа циклов нагружения N, времени т, температуры Т, эксплуатационных усилий Р, напряжений а и деформаций е) строят временные зависимости Р, Т, а, е. Из анализа всех г-режимов устанав- устанавливаются наиболее неблагоприятные сочетания Р, Т: Ртах — ^тах для повышенных и высоких температур, Pmax — Tm[n для низких и криоген- криогенных температур. Число таких сочетаний определяется с учетом числа и геометрических форм рассчитываемых деталей или элементов и числа опасных зон и сечений в них. Именно эти неблагоприятные сочетания характеристик нагружения принимаются определяющими для после- последующих расчетно-экспериментальных оценок прочности, безопасности и живучести технических систем. Кроме того, по истории нагружения устанавливают дополнительные расчетные параметры: « A D « D АР • размахи усилии АР и амплитуды усилии Ра = ——; • размахи температур AT; • размахи усилий АРВ вибрационного (двух- или многочастотного) нагружения. При этом определению подлежат напряжения а (деформации е), температуры Т, размеры, форма и места возникновения дефектов (тре-
§ 6.1. Механика катастроф 259 щин) /, изменяющиеся во времени т. Эти параметры оказываются зависящими от условий эксплуатационного нагружения (давления, механических и электромагнитных усилий, скорости, ускорения), геометрических форм и размеров конструктивных элементов, свойств конструкционных материалов. Так как возникновение и разви- развитие практически всех аварийных ситуаций начинается с повреждений несущих элементов (разрушение, деформирование, разуплотнение, потеря устойчивости), то в процессе диагностирования подлежат обязательному определению максимальные (сгтах> етах, Ттах) и амплитудные (аа, еа, Та) значения базовых параметров. По ним могут устанавливаться коэффициенты асимметрии соответствующих циклов. Суммарные аварийные нагрузки создают соответствующие напря- напряжения и деформации а, е, которые в конечном счете и определяют накопление эксплуатационных повреждений а по времени г и числу циклов нагружения N: a=[{Pm, Peru, Pt}, {r,N}T}. F.1.1) Если общее число рассматриваемых режимов равно к, то суммарное повреждение на основе гипотезы линейного суммирования поврежде- повреждений устанавливают с использованием формулы к } < 1. F.1.2) Отмеченные зависимости являются исходными для анализа прочности, ресурса, надежности и инженерной безопасности технических систем. Величины Р, Т и т, как правило, задаются режимами эксплуатации и могут регистрироваться контрольно-измерительными системами ма- машин и установок. Параметры а и е общего и местного напряженно- деформированного состояния могут быть получены расчетом по вели- величинам Р, Т и г или специально измерены с помощью средств натурной тензометрии и термометрии. Как ранее отмечалось, реакцией несущих элементов конструкций и деталей машин на суммарные нагрузки, воздействия физических полей и коррозионных сред является возникновение не только полей напряжений и деформаций, но и полей повреждений. Причем в зонах концентрации напряжений местные напряжения и деформации имеют повышенные значения, а сами процессы повреждения материала проте- протекают более интенсивно, приводя к разрушению. При этом в зависимо- зависимости от условий нагружения и среды реализуются различные механизмы накопления повреждений и разрушения. Среди этих механизмов наибо- наиболее опасными являются те, которые приводят к катастрофическому (ла- (лавинообразному) разрушению, например в условиях коррозионного рас- растрескивания, динамического и длительного статического нагружения, неустойчивого распространения трещины при статическом кратковре- кратковременном нагружении, контактного взаимодействия. Выявление и анализ 17*
260 Гл. 6. Безопасность и живучесть технических систем физических особенностей механизмов появления и накопления повре- повреждений в материале играет весьма важную роль при формировании физических критериев достижения телом предельного состояния (см. гл. 5). Таким образом, знание напряженно-деформированного состояния, основных повреждающих факторов, кинетики повреждений и опреде- определяющих уравнений механики деформируемого твердого тела позволяет перейти к выработке иерархии предельных состояний элементов тех- технических систем в поврежденных состояниях. При этом предельные состояния элементов характеризуются критериями (определяющими несущую способность) деформативности и жесткости, однократного кратковременного, динамического и длительного статического разру- разрушения, линейной и нелинейной механики разрушения. С позиций механики катастроф обычно рассматривают следующие типы предельных состояний: • разрушение (вязкое и хрупкое); • пластическое деформирование по всему сечению элемента; • потеря устойчивости; • возникновение недопустимых формоизменений; • появление макротрещин при циклическом нагружении; • разгерметизация (не связанная с макроразрушениями). С точки зрения безопасности первый вид предельного состояния (разрушение) имеет принципиальное значение, так как приводит к максимально возможному ущербу. В качестве расчетных для первого вида предельного состояния (разрушения) могут быть рассмотрены следующие случаи: полное разрушение, достижение трещиной задан- заданного размера, возникновение нестабильного состояния трещины при однократном статическом или динамическом нагружениях, достижение трещиной заданной скорости развития при циклическом или длитель- длительном статическом нагружениях, стадия остановки движущейся трещины при однократном статическом или динамическом нагружениях. Наступ- Наступление предельных состояний достигается развитием исходных техно- технологических или эксплуатационных дефектов в результате воздействия эксплуатационных (в том числе аварийных) режимов нагружения. Комплекс критериев, определяющих предельное состояние элемен- элементов технической системы, можно представить в виде функциональной зависимости Фдг,т,т {{о~, е} , N, Т, т} = Фс, левая часть которой ха- характеризуется совокупностью параметров (силовых, деформационных и др.) состояния технической системы, отражающих реакцию техни- технической системы на внешние (в том числе аварийные) воздействия, а правая — комплекс аналогичных, но критериальных характеристик материалов (элемента конструкции). Значение Фдг,т,т в критериальных соотношениях устанавливают расчетом, а критериальные характери- характеристики материала Фс определяют из эксперимента на образцах, моделях или натурных элементах конструкций.
§ 6.1. Механика катастроф 261 Для установления области допускаемых параметров состояния тех- технической системы критериальные характеристики уменьшают в неко- некоторое число раз, т. е. вводят в расчетные уравнения коэффициенты безопасности (запаса). Коэффициенты запаса по критериальным харак- характеристикам назначают, как правило, исходя из возможного предельного состояния технической системы, традиций и практики ее (или ее про- прототипов) эксплуатации. Для некоторых случаев предельных состояний коэффициенты запаса могут быть получены и расчетным путем на основе научно обоснованных концепций. Фундаментальным вопросом механики деформирования и разруше- разрушения является вопрос об уравнениях состояния, характеризующих связь между текущими значениями напряжений а и деформацией е. Эта связь в общем случае оказывается достаточно сложной и зависит от типа конструкционного материала, условий нагружения (температура, скорость деформирования, время выдержки, физико-механические воз- воздействия окружающей среды), характера напряженного состояния, воз- возможных структурных изменений в материале в процессе деформирова- деформирования и степени развития микро- и макроповреждений. К числу наиболее важных факторов, влияющих на механическое поведение и предельное состояние материалов в конструкции, относят: температуру, скорость деформирования, время выдержки, цикличность, вид напряженного состояния, абсолютные размеры сечений, рабочие среды, а также прочие физические воздействия. Эти факторы влияют на форму кри- кривых деформирования и разрушения, а также на основные параметры уравнений состояния. Для хладноломких материалов в области низких или криогенных температур наступление предельного состояния может оцениваться по температурному интервалу между эксплуатационной температурой Т^ и критической температурой хрупкости Т^: ATki = Ti-Tki, F.1.3) причем критическая температура хрупкости увеличивается с ростом накопленных в процессе эксплуатации повреждений металла. При проведении комплексных расчетов на прочность и ресурс в де- детерминированной постановке используют всю исходную информацию об осредненных характеристиках эксплуатационной нагруженности, о средних или гарантированных критериальных характеристиках со- сопротивления конструкционных материалов деформированию и разру- разрушению, об осредненных характеристиках исходной дефектности, опре- определяемой по нормам дефектоскопического контроля. Если на стадии проектирования или эксплуатации в расчеты вводят статистические характеристики (функции распределения и их параметры) нагружен- нагруженности, механических свойств материалов и дефектности несущих эле- элементов, то представляется возможным определить вероятностные ха- характеристики надежности машин и конструкций [9, 18, 19, 39, 122]. В связи с необходимостью проведения большого объема иссле- исследований, связанных с изучением условий образования предельных
262 Гл. 6. Безопасность и живучесть технических систем состояний объектов по критериям прочности, ресурса и надежности на разных стадиях возникновения и развития аварий и катастроф, наиболее эффективным научным подходом для предсказания и изу- изучения нелинейного по своей сути поведения таких объектов являет- является математическое моделирование, или вычислительный эксперимент. Для успешного проведения вычислительного эксперимента требуется разработка специальных баз и банков данных, включающих в себя физико-механические свойства деформируемых и окружающих сред, характеристики сопротивления конструкционных материалов дефор- деформированию и разрушению, а также параметры уравнений состояния и уравнений их эволюции, в том числе для моделей континуальной ме- механики повреждений, описания типовых деталей и узлов исследуемых объектов с возможными случаями нагружения и др. Для количественных оценок безопасности и живучести сложных технических систем существенное значение имеют вероятностные ме- методы расчета конструкций. В настоящее время разработаны и ши- широко применяются на практике различные модели и методы оцен- оценки работоспособности элементов конструкций в условиях реализации случайных нагрузок, заданного статистического закона распределения свойств материала и т. д. В основу построения таких моделей обычно закладывают эмпирические знания о характере возможных воздей- воздействий, особенностях распределения свойств материала и геометрии элементов. Эти модели и соответствующие расчетные методы позво- позволяют перейти к определению, нормированию и обоснованию допус- допустимых параметров риска, уровней нагруженности и дефектности элементов технической системы. Необходимо отметить, что ценность результатов, полученных на основе вероятностных оценок работо- работоспособности элементов конструкций, снижается по мере снижения статистической обусловленности эмпирических допущений, лежащих в основе расчетных методик. Поэтому при оценке маловероятных со- событий возникают объективные сложности, связанные с достоверностью и обоснованием результатов вероятностного анализа. 6.1.3. Базовые соотношения механики катастроф. Решение проблемы безопасности тесно связано с комплексными исследования- исследованиями, привлечением аналитических, численных и экспериментальных ме- методов анализа напряженно-деформированных и предельных состояний, а также унификации и стандартизации механических испытаний с це- целью экспериментального определения критериальных механических характеристик, входящих в базовые соотношения механики катастроф, которые в общем случае можно записать в виде [7, 76] {S, RT,N, PR, Ra} = F {/э (Рэ, Т, N, т, Ф) х хи(ав,ат,авт,о-\,Е,\,Нв,п,-ф,К1с) ft&KuF)}, F.1.4) где S — характеристики безопасности; RTyN ~ характеристики ресур- ресурса; Pr — характеристики надежности; Ra — характеристики прочности
§ 6.1. Механика катастроф 263 (сопротивления разрушению); /э — функционал эксплуатационной нагруженности; Рэ — параметры эксплуатационной нагруженности в нормальных и аварийных ситуациях; Т — температура в данный момент времени; N — число циклов нагружения; г — время эксплуа- эксплуатации; Ф — параметры полей физических воздействий (радиация, ра- рабочая среда, магнитные поля); fa — функционал физико-механических свойств конструкционных материалов; ав — предел прочности; ат — предел текучести; авт — предел длительной прочности; <r_i — предел выносливости; Е — модуль упругости; Л — коэффициент теплопровод- теплопроводности; Нв — твердость (микротвердость); п — показатель упрочнения в пластической области; ф — предельная пластичность материала; Kjc — характеристика трещиностойкости; // — функционал конструк- конструктивных форм несущего элемента конструкции; / — размер дефекта; Kt — теоретический коэффициент концентрации напряжений; F — характеристика поперечного сечения в рассматриваемой зоне. Таким образом, анализ безопасности предполагает многоуровневую систему оценки целостности технических систем и, следовательно, определяется постановкой задачи, условиями нагружения и степенью опасности потенциально опасного объекта. Для аварийных ситуаций расчет прочности, безопасности и живу- живучести технических систем проводят на основе базовых соотношений механики катастроф с использованием максимальных нагрузок для анализируемого момента в протекании аварийной ситуации. Характе- Характеристики свойств материала, входящие в соотношение F.1.4), принима- принимаются для данного момента времени т, данной температуры Т и скоро- скорости деформирования. Кроме того, в расчет вводятся заниженные (по сравнению с нормальными условиями эксплуатации) коэффициенты запаса. Например, в соответствии с соотношением F.1.4) при традицион- традиционных нормативных расчетах прочности несущих элементов основным условием прочности оказывается следующее условие: {ДЛ = F{f (Рэ) U (<тв,<тт,<твг)Л (F)} , F.1.5) которое можно представить в более традиционном виде где а^ — номинальное напряжение от максимальных нагрузок Р^ах в нормальных условиях эксплуатации; [а]п — номинальное допустимое напряжение; {пт, пвт, пв} = {1,5-1-3} — коэффициенты запаса по характерис- характеристикам прочности (пределу текучести ат, пределу длительной прочнос- прочности или ползучести сгВт, пределу прочности ав)- Для расчета прочности технических систем при возникновении и развитии аварийных ситуа- ситуаций могут быть использованы соотношения F.1.5), F.1.6) с заменой
264 Гл. 6. Безопасность и живучесть технических систем максимальных нагрузок Р^ах на нагрузки P^a^r, максимальные для данного момента времени г аварийной ситуации. При этом механи- механические характеристики ав, аТ, аВт для анализируемой аварийной ситуации выбираются также в данный момент времени т, при данной температуре Т и скорости деформирования, а коэффициенты запаса (по сравнению с аналогичными в нормальных условиях эксплуатации) принимаются меньшими и равными: {пт,пВт,пв} = {1,1 -1-2,5}. Для длительно нагружаемых несущих элементов в дополнение к расчетам прочности проводятся расчеты ресурса (временного и цик- циклического): {Rr,N, Ra} = F{f(P3, T, N, т, Ф),^ [ав, ат,аВт, Е, А, п, ф,) х xfiiKt.F)}. F.1.7) При наличии трещиноподобных дефектов расчет на сопротивление хрупкому разрушению можно представить, аналогично условиям проч- прочности F.1.5) и F.1.6.), в виде следующего базового соотношения: {PR,Ra} = F{f3 (РЭ,Т,Ф) U (KIc)ft (/)} , F.1.8) или к Kf = / (р,?ах) Tmin, i) < [К!] = ±±, F.1.9) где [Ki] — допустимое значение коэффициента интенсивности напря- напряжений с учетом минимальной температуры эксплуатации Tmin; пк — запас по критическому коэффициенту интенсивности напряжений Kjc, определяемому при температуре Тт-Ш. Для нормальных условий экс- эксплуатации величины пк назначаются в интервале пт < пк ^ пв или рассчитываются в рамках принятой модели. Учитывая влияние температуры на состояние материала (хрупкое или вязкое) и зависимость Kjc от Тт-Ш для конструкционных матери- материалов, расчет по уравнению F.1.9) необходимо дополнить расчетом по критическим температурам хрупкости: ^min = f(l,FJ[T\=Tk + [ATfc], F.1.10) где [Т] — допустимая минимальная температура эксплуатации; Т& — критическая температура хрупкости, соответствующая резкому сни- снижению Kjc; [Т&] — запас по критическим температурам хрупкости. Для несущих элементов из конструкционных сталей величины запа- запасов [ATfc] назначаются в интервале 20 ^- 30 °С. Согласно соотношению F.1.4) в качестве характеристик живучести поврежденных дефектами технических систем могут выступать ресурс, надежность и прочность: = F{f(P3, T, N, г, Ф)/а (ав, о-т,о-вт, <т-\,Е, Л, Нв, п, ф, KIc) x xfi&KuF)}. F.1.11)
§ 6.1. Механика катастроф 265 Ресурс технической системы Rt,n на стадии развития трещин устанавливается согласно критериям трещиностойкости по соотноше- соотношению F.1.9) на основе диаграмм разрушения, связывающих скорости роста трещин / по времени г при длительном статическом нагружении или по числу циклов ЛГпри циклическом нагружении F.1.12) При этом ресурс определяют посредством интегрирования уравне- уравнения диаграммы разрушения по текущему размеру трещины 1с {Rt,N}= Ur,N<[T,i\n = (—,—), F.1.13) J [ пТ nN J где 1С —критический размер дефекта, устанавливаемый по F.1.9)- F.1.10); /о ~~ исходный (начальный) дефект на данной стадии эксп- эксплуатации; [г, N] — допускаемое время или допускаемое число циклов эксплуатационного нагружения; пт, пдг — запасы по ресурсу. Дополнительно расчеты живучести можно также сводить к расче- расчетам допускаемых размеров дефектов [/] по критериям трещиностой- трещиностойкости , ^ = /№с^-Ф,О < И = f, F-1-И) где /^ах — максимальный размер дефекта при эксплуатации; 1С — критический размер дефекта; щ — запас по размеру дефекта. Запас щ устанавливается в пределах пв ^ щ ^ п^. Для наиболее ответствен- ответственных и потенциально опасных конструкций должны быть удовлетворены требования по всем запасам — пк, [АТ^] и щ. Для аварийных ситуаций расчеты живучести с точки зрения пре- предельных и безопасных (допустимых) состояний проводят по крите- критериям трещиностойкости в соответствии с F.1.8)-A.1.14) (рис. 6.3). При этом для данного момента развития аварийной ситуации следует использовать соответствующие экстремальные уровни нагрузок, мини- минимальные и максимальные уровни температур, максимальные размеры дефектов и минимальные характеристики механических свойств. Так как при аварийных ситуациях, как правило, максимальные местные и часто номинальные экстремальные напряжения превосходят предел текучести, то уравнения линейной механики разрушения становятся не применимыми. В связи с этим для анализа живучести технических систем в условиях возникновения и развития аварийных ситуаций должны использоваться уравнения нелинейной механики разрушения с полным набором расчетных параметров F.1.11). Базовые характери- характеристики линейной механики разрушения заменяются на характеристики нелинейной механики разрушения, например раскрытие в вершине
266 Гл. 6. Безопасность и живучесть технических систем Предельные состояния {KIc>Jc>dc)<P{KbJ,d} Безопасные состояния Температура, время, циклы Рис. 6.3. Схема предельных и безопасных состояний при экспертизе аварий и катастроф на поврежденных трещиноподобными дефектами высокорисковых объектах трещины, J-интеграл, коэффициент интенсивности деформаций в пла- пластической области, предел трещиностойкости и др. Таким образом, с учетом базовых соотношений F.1.4)—F.1.14) безопасность с позиции механики катастроф должна рассматриваться как комбинированная способность несущих элементов противостоять всем неблагоприятным и наиболее вероятным факторам экстремально высоких внешних и внутренних воздействий при пониженных харак- характеристиках деформирования и разрушения материала. При этом в со- соответствии с уравнением F.1.4) имеет место следующее соотношение: {S} e f (Rt,n,Pr,R*) e f (nT,nB,nBT,nN,nT,nK,ni). F.1.15) Безопасность S в нормальных условиях и при возникновении ава- аварийных ситуаций можно считать обеспеченной, если удовлетворяется комплекс требований к запасам прочности, трещиностойкости и ресур- ресурса для наиболее опасных моментов возникновения и развития аварий. § 6.2. Безопасность, живучесть и ресурс поврежденных технических систем Проблема безопасности и живучести технических систем стала объектом пристального внимания специалистов практически во всех областях науки и техники. Она осложняется тем, что проектный ресурс основных фондов в России значительно выработался. В ближайшее время проблема приобретет особую актуальность в связи с массовым выходом в запредельный проектный ресурс большого парка потенци- потенциально опасных объектов. Это в первую очередь касается объектов теп-
§ 6.2. Безопасность поврежденных технических систем 267 ловой и ядерной энергетики, химической промышленности, нефтегазо- нефтегазопроводов, наземного, надводного и воздушного транспорта, объектов промышленного и гражданского строительства. Проблемы такого же характера имеют место и в оборонном комплексе: ракетно-космической технике, авиации, надводном и подводном флоте с ядерными силовыми установками. 6.2.1. Общие замечания. Современные достижения науки и техно- технологии, несомненно, позволяют значительно повысить ресурс, назначен- назначенный на стадии проектирования по традиционным правилам и на основе простейших методик расчета и испытаний. При этом в комплексе должны быть решены следующие основные проблемы: — численный анализ исходного, использованного и остаточного ре- ресурсов как отдельных объектов, так и систем объектов; — обоснование проектного, фактического и остаточного ресурсов; — оценка состояния конструкционных материалов несущих элемен- элементов с учетом исходной технологической наследственности и возникаю- возникающих эксплуатационных повреждений; — определение характера, параметров, дислокации и разме- размеров макро- и микродефектов в несущих элементах; — расчетный и экспериментальный анализ деформированных состо- состояний несущих элементов; — исследование механизмов естественного и ускоренного старения; — оценка живучести материалов и элементов конструкций на раз- разных стадиях повреждений; — комплексная диагностика ресурса; — предварительное и уточненное расчетно-экспериментальное опре- определение остаточного ресурса. Решение указанные выше проблем может иметь как ведомственно- объектовый, так и унифицированный характер. При этом принципиа- принципиально важно, чтобы остаточный ресурс определялся с более высокой научно-методической точностью, чем проектный и исходный. Для вновь проектируемых машин и конструкций расчеты прочности проводят применительно ко всему спектру эксплуатационных режи- режимов нагружения, включая предпусковые и периодические испытания, пуски-остановы, регулирование рабочих параметров и срабатывание систем аварийной защиты. Для надлежащего обоснования прочности, ресурса и трещиностой- кости требуется комплекс расчетов напряженно-деформированного со- состояния несущих элементов, включающий определение номинальных и максимальных напряжений, амплитуд этих напряжений, максималь- максимальных и минимальных температур эксплуатации, количества циклов и времени эксплуатации. Для сложных многоэлементных узлов эти рас- расчеты дополняют испытаниями моделей из оптически активных (фото- (фотоупругость) и низкомодульных материалов, а также из соответствую- соответствующих конструкционных материалов. Испытания проводят при имитации
268 Гл. 6. Безопасность и живучесть технических систем эксплуатационных режимов нагружения, а номинальные и локальные напряжения, деформации, температуры измеряют с помощью тензоре- зисторов, оптически активных и хрупких тензочувствительных покры- покрытий, методов муара, голографии, термовидения. Использование экспериментальных средств, включающих элементы технической диагностики, датчики повреждений и индикаторы нагру- женности, позволяет воссоздать нагруженность элементов конструкций и кинетику повреждений материала в процессе эксплуатации. Основу использованных методов должны составлять механические, физиче- физические и химические явления, сопровождающие процесс накопления повреждений. Фиксируя накапливаемые необратимые повреждения в чувствительных элементах (например, тензорезисторах) датчиков по- повреждений, можно обосновать модель суммирования повреждений и судить о степени повреждения элемента конструкции. При воздей- воздействии на материал конструкции сложного комплекса повреждающих факторов целесообразна разработка комплексной системы эксплуата- эксплуатационного контроля материала. Для подтверждения критериальных характеристик прочности, ре- ресурса и трещиностойкости проводят комплекс аттестационных испыта- испытаний на стандартных или специальных лабораторных образцах. В тех случаях, когда создаются новые и уникальные конструкции, проводят испытания моделей с доведением их до предельного состояния — развития недопустимой деформации, вязкого или хрупкого разрушения, образования и развития трещин. При этом широко используют методы и средства дефектоскопии — ультразвуковой, рентгеновской, оптиче- оптической, акустической и акустоэмиссионной, электромагнитной, термови- зионной, голографической. Исходя из результатов указанных испытаний решают две важные практические задачи: — обоснование принятых расчетных схем, расчетных случаев, пре- предельных состояний и запасов прочности; — переход на новые, обычно пониженные, запасы прочности. В последнем случае предельно низкие запасы прочности обосно- обосновывают полномасштабными испытаниями в условиях, приближенных к штатным, — на основании конструкторско-технологических реше- решений и по представительному спектру эксплуатационных воздействий. Однако и при проведении таких испытаний запасы по местным напря- напряжениям и деформациям рекомендуется иметь не ниже 1,15-1,25, а по ресурсу — не ниже 3-5. На стадии эксплуатации машин и конструкций с учетом изменения состояния несущих элементов (механических свойств и дефектности) и накопления эксплуатационных повреждений необходимо проводить испытания образцов-свидетелей, отдельных узлов или целых изде- изделий, определяют остаточную прочность, ресурс и трещиностойкость. Продлить ресурс безопасной эксплуатации можно с использованием
§ 6.2. Безопасность поврежденных технических систем 269 всех запасов — по номинальным напряжениям, местным напряжениям и деформациям, трещиностойкости, времени и числу циклов. Под ресурсом технической системы понимают ее наработку от нача- начала эксплуатации до наступления предельного состояния. Понятие пре- предельного состояния допускает различные толкования в зависимости от выбранного критерия его оценки. При отсутствии макродефектов (типа трещин) предельное состояние определяется критическими величинами местных напряжений или деформаций с учетом зон концентрации напряжений и выделения характерных точек и величин напряжений по схеме циклов приведенных напряжений для блока эксплуатационного нагружения. Введение в расчет на основании критериев статической, длительной и циклической прочности коэффициентов запаса по мест- местным напряжениям и деформациям согласно уравнению F.1.15) позво- позволяет установить допустимое с точки зрения безопасности суммарное повреждение (уравнения типа F.1.1) и F.1.2)) для к режимов нагру- нагружения по времени, числу циклов и температуре: к и оценить ресурс безопасной эксплуатации, в т.ч. и при аварийных режимах. Следует отметить, что значительное влияние на накоп- накопление повреждений, а следовательно и на ресурс, оказывают как конструкционные факторы, в том числе концентраторы напряжений, так и технологические, определяемые механическими свойствами ма- материала aB,o-T,^k,Sk,m. Поэтому в связи с физико-механическими повреждениями материала в процессе эксплуатационного и аварийного нагружения, а также возможным зарождением и распространением трещин возникают задачи уточнения напряженно-деформированного состояния несущих элементов СТС. Как правило, аварии и катастрофы сопровождаются возникновени- возникновением и развитием трещин в зонах повышенной концентрации. В этом случае становится очевидным целесообразность и перспективность исследований в области трещиностойкости материалов, конструкций и машин. Таким образом, как на стадии эксплуатации, так и при проектировании принципиально новых высокорисковых конструкций и машин проблемы прочности, живучести, безопасности и ресурса, со- создание принципиально новых конструкционных материалов с понижен- пониженной дефектностью и высокой живучестью тесно связаны с постановкой и решением задач исследования кинетики трещин (трещиностойкости) (рис. 6.4). В связи с вышесказанным при прогнозировании и обосновании тре- трещиностойкости конструкционных материалов, машин и конструкций основными целями и задачами являются: • проведение фундаментальных исследований по механике трещин (трещиностойкости), лежащей в основе критериев прочности, живуче- живучести, безопасности и ресурса;
270 Гл. 6. Безопасность и живучесть технических систем Рис. 6.4. Кинетика трещин (трещиностойкость) в проблемах прочности, безопасности и живучести технических систем • разработка комплексных критериев, методов анализа и нормиро- нормирования прочности, живучести и безопасности машин и конструкций на основе характеристик сопротивления конструкционных материа- материалов развитию трещин. Для решения поставленных задач привлекаются современные тео- теоретические положения, принципы и методологические подходы меха- механики и физики трещин, теории прочности, усталости и надежности по следующим приоритетным направлениям [59]: • разработка феноменологических многостадийных моделей, свя- связанных локальных и нелокальных критериев развития трещин в усло- условиях экстремальных физико-механических воздействий и коррозион- коррозионных сред; • построение комплексных моделей катастрофических разрушений и критериев критических, переходных, запредельных и допустимых состояний конструкций и машин при наличии трещиноподобных де- дефектов;
§ 6.2. Безопасность поврежденных технических систем 271 • разработка эффективных аналитических и численных методов ре- решения нелинейных задач механики трещин, развитие методов ста- статистического моделирования распространения микро- и макротрещин применительно к проблемам безопасности, живучести и ресурса по- поврежденных машин и конструкций; • экспериментальное исследование кинетики трещин (трещиностой- кости материалов, машин и конструкций) в условиях сложного напря- напряженного состояния при реализации различных механизмов разруше- разрушения; • исследование механизмов и построение феноменологической тео- теории распространения микроструктурно и физически коротких трещин в условиях многоосного циклического нагружения, что позволяет пе- перейти к управлению процессом разрушения; • обоснование требований к трещиностойкости материалов по кри- критериям безопасности, живучести и ресурса машин и конструкций, со- создание принципиально новых конструкционных материалов с высокой живучестью; • разработка принципиально новых экспериментальных методов и средств механики катастрофических разрушений, способов локализа- локализации разрушений и торможения развития трещин с целью обеспечения живучести и ресурса безопасной эксплуатации конструкций в сильно поврежденных состояниях. В связи с определением понятия ресурса большое значение при- приобретает трактовка предельного состояния в зависимости от вы- выбранного критерия. Стареющие технические системы, например ста- стареющие самолеты [97], проектировались по принципу безопасного ресурса, в соответствии с которым в конструкциях практически не допускалось возникновения трещин за период проектного (назначен- (назначенного) ресурса. Поэтому продление ресурса поврежденных трещинами конструкций за пределы проектного может быть обеспечено за счет их живучести при распространении трещины до безопасных разме- размеров (рис. 6.5). Возможность продления ресурса в условиях накопления Проектный (назначенный) ресурс Обнаруживаемые трещины --«-. Остаточный ресурс Безопасные трещины / -""""^Область живучести О Ресурс Рис. 6.5. Ресурс поврежденных технических систем в связи с развитием трещин
272 Гл. 6. Безопасность и живучесть технических систем повреждений и развития трещин может быть обусловлена тем, что в настоящее время созданы предпосылки для практического использо- использования теоретических основ и инженерных методов механики трещин, а также средств технической диагностики, позволяющих достаточно точно определять трещиноподобные дефекты в поврежденных техниче- технических системах. Естественно, при этом должен быть проведен тщатель- тщательный анализ живучести конструкции с учетом физико-механических повреждений материала конструкции при сохранении требований ее безопасной эксплуатации, а также разработаны рекомендации по ре- регламентированному дефектоскопическому контролю. При определении остаточного ресурса потенциально опасных технических систем в качестве базовой концепции может быть предложен подход, основанный на принципе безопасной эксплуатации по техническому состоянию. Согласно методическим указаниям РД 08-120-96 [78] оценка технического состояния системы осуществ- осуществляется по параметрам технического состояния, обеспечивающим его надежную и безопасную эксплуатацию в соответствии с нормативно- технической и конструкторской документацией. Структурная схема оценки остаточного ресурса потенциально опасных технических систем приведена на рис. 6.6. 6.2.2. Особенности вероятностного и детерминированного под- подходов. При использовании критериальных подходов механики трещин (в качестве критериев предельного состояния конструкции) прогно- прогнозирование ресурса может базироваться на детерминированных или/и вероятностных расчетах. Для проведения вероятностных расчетов мо- может быть использована теория надежности [9, 19, 39], основанная на статистических данных о механических свойствах материалов, нагруз- нагрузках, воздействиях и дефектоскопическом контроле. В отличие от про- прогнозирования ресурса на стадии проектирования, когда анализируется ресурс генеральной совокупности проектируемых технических систем, на стадии эксплуатации предполагается прогнозирование индивидуаль- индивидуального остаточного ресурса с привлечением данных дефектоскопического контроля. Остаточный ресурс может существенно превышать проект- проектный ресурс, что обусловлено различием принятых критериев предель- предельного состояния технической системы на стадиях проектирования и экс- эксплуатации, поскольку при анализе остаточного ресурса принимается во внимание рост трещин до предельных размеров. При детерминированных подходах используют фиксированные дан- данные о сопротивлении развитию трещин в материалах, нагруженности технических систем и наличии в них дефектов. Прогнозирование ресурса осуществляют с использованием коэффициентов безопасно- безопасности (запаса по трещиностойкости) и живучести. Остаточный ресурс определяется невыходом существующих или гипотетических трещин (не превышением ими безопасных размеров) из области безопасных состояний поврежденной системы [7, 56, 59]. Коэффициенты безопас-
§ 6.2. Безопасность поврежденных технических систем 273 Структурная схема определения остаточного ресурса потенциально опасных объектов Объект, выработавший назначенный ресурс _? Оперативная (функциональная) диагностика т Анализ технической документации Экспертное обследование Анализ механизмов повреждения. Выявление определяющих параметров технического состояния Эксплуатационной, монтажной, ремонтной; по расчетам на прочность; по паркам объектов и отказам Визуальный осмотр; промеры; дефектоскопия; механические испытания; металлография Принятие решения Дальнейшая эксплуатация Уточнение НДС. Установление предельных состояний и критериев Уточнение характеристик материалов Расчетные: МКЭ, МКР, теория оболочек, механика разрушения и др. Экспериментальные: тензометрирование, термовидение, акустическая эмиссия, голография, фотоупругость, моделирование и др. Выбор критериев Статическая прочность, хрупкое разрушение, водородное и коррозионное растрескивание, длительная прочность, малоцикловая усталость, многоцикловая усталость, течь перед разрушением Оценка остаточного ресурса Принятие решения Ремонт Снижение рабочих параметров IL Дальнейшая эксплуатация Демонтаж Рис. 6.6. Схема оценки остаточного ресурса потенциально-опасных техничес- технических систем 18 Матвиенко Ю.Г.
274 Гл. 6. Безопасность и живучесть технических систем ности и живучести могут быть обоснованы детерминированно исходя из степени опасности критической диаграммы разрушения рассчитыва- рассчитываемой конструкции и скорости развития усталостных трещин. Отметим также, что упомянутые коэффициенты могут быть рассчитаны и исхо- исходя из их статистической природы, как отношение трещиностойкости (скорости роста трещины) материала к расчетным параметрам нагру- женности (скорости роста трещины) конструкции с учетом выявляемых размеров трещин. В принципе для прогнозирования остаточного ресурса и анализа возможности продления проектного ресурса при наличии трещин целе- целесообразно привлечение как детерминированного, так и вероятностного подходов с целью корректного обоснования надежности полученных результатов прогнозирования. Однако при анализе остаточного ресурса потенциально опасных поврежденных технических систем, например объектов атомной энергетики, статистические данные о возможных сценариях аварий и катастроф не всегда доступны в силу уникальности систем и редкости аварийных ситуаций. Таким образом, детерминиро- детерминированные подходы представляются более перспективными (по крайней мере в ближайшем будущем) для анализа возможности продления ресурса уникальных технических систем, поврежденных трещинами, за пределы проектного ресурса. При этом необходимо предусмотреть активное использование диагностического комплекса, включая анализ состояния металла конструкции, ее нагруженности и дефектов, для своевременного обнаружения и предотвращения возможных аварий и катастроф. Существенное значение в этой процедуре имеют разра- разработка критериев и унифицированных методов анализа критического состояния, безопасности и живучести поврежденных систем на основе подходов механики трещин. 6.2.3. Детерминированный анализ поврежденных трещинами конструкций. Для анализа возможности продления ресурса при со- сохранении требований к безопасности необходимо обоснование области безопасных состояний поврежденных трещинами конструкций на осно- основании критериев механики трещин и живучести. В рамках детермини- детерминированного подхода это достигается введением в критерий предельного (критического) состояния коэффициента безопасности (запаса по тре- трещиностойкости) ni{Ki,j,5} [56, 59, 74, 221], уменьшающего критериаль- критериальную характеристику (трещиностойкость) механики разрушения. Тем самым уменьшается размер критической трещины 1С до безопасного размера [I] при фиксированном расчетном напряжении (нагрузке) ар °р < М = —• F-2.2) Здесь [а] — допустимое напряжение, ав — предел прочности, па — коэффициент запаса по пределу прочности. Тогда допустимое (или расчетное) напряжение оказывается связанным с безопасным размером
§ 6.2. Безопасность поврежденных технических систем 275 трещины уравнением вида [{Kl9J,6}] = fe[*U*r,...l < <*^'J^'^'>. F.2.3) \па J m{KT,J,5} В формуле F.2.3) [{Ki,J, 5}] и {KicLpKl,JcLpj,$cLpb) — допустимые и критические параметры механики разрушения; ^-поправочная функ- функция в двухпараметрическом критерии разрушения (см. § 3.4). Коэф- Коэффициент безопасности m^x^jj} показывает, во сколько раз надо уве- увеличить параметр механики разрушения {Ki, J, 5} за счет увеличения размера трещины при заданном расчетном (допустимом) напряжении, чтобы он достиг своего критического значения{К/с(^Х/^c^J' ^c^s}- Естественно, что при m^Ki,j,5} — 1 из уравнения F.2.3) получаем кри- критический размер трещины 1С, соответствующий заданному расчетному уровню напряжений, а при некотором коэффициенте m^x^jj} > 1 — безопасный размер трещины [/] < 1С. Такая расчетная схема реализована при анализе сопротивления хрупкому разрушению оборудования и трубопроводов атомных энер- энергетических установок на стадии проектирования [101]. Сопротивление хрупкому разрушению считают обеспеченным, если для выбранного расчетного дефекта в виде трещины в рассматриваемом режиме экс- эксплуатации справедливо условие К! < [Щ = К1с/тк, F.2.4) где Kj, [Kj], Kjc — расчетный, допустимый и критический КИН соот- соответственно. При этом коэффициент безопасности тк по критическому КИН выбирают в зависимости от расчетного режима эксплуатации: тпк = 2 — для нормальных условий эксплуатации, тпк = 1 — для аварийной ситуации. Однако представляется более целесообразным использовать обоснованный расчет коэффициентов безопасности, учи- учитывающий степень опасности обнаруживаемого дефекта и изменения механических свойств материала конструкции в процессе ее эксплуа- эксплуатации. Коэффициент безопасности можно определить исходя из следую- следующих подходов [56, 59, 107]: (*) потребовать, чтобы при наличии трещины безопасных разме- размеров разрушающее напряжение было не меньше предела текучести ат, что соответствует нехрупкому разрушению конструкции; (**) использовать критическую диаграмму разрушения рассчитыва- рассчитываемой конструкции, принимая во внимание зависимость разрушающих напряжений от длины трещины. Полученные значения коэффициентов безопасности дают обосно- обоснованные ориентиры, позволяющие выбрать коэффициент ra{Xj,j,5}> слу- служащий для установления безопасного размера трещины по расчетно- расчетному уравнению F.2.3). Из двух значений коэффициента в качестве 18*
276 Гл. 6. Безопасность и живучесть технических систем расчетного естественно принять больший. Расчетные формулы для коэффициентов безопасности имеют следующий вид: критический коэффициент интенсивности напряжений гпк* = 1 /3/2 критический коэффициент интенсивности деформаций Л/п тк* = [7 ( 1-0 5 V/n F'2'6) критическое раскрытие в вершине трещины т$* = [lncos7rcrT/BcrJB)]/[lncos7r/Bno-)], т5** = [1псо87г/Bп^/2)]/[1псо8тг/Bпа)]; критический J-интеграл предел трещиностойкости 1С (l+«)/2 /г , / -|A+«)/2 /[l (/I/п\ - (<тт/<твI/п\ F.2.9) Здесь для удобства показатель деформационного упрочнения обозна- обозначен буквой п (в отличие от обозначения, принятого в гл. 3) в степенной аппроксимации диаграммы деформирования вида а = о~т(?/гт)п, ?т = = ат/Е, Е — модуль упругости. Параметр C, характеризующий сте- степень опасности критической диаграммы разрушения, равен отношению площади под критической диаграммой разрушения (над уровнем допу- допустимого напряжения) к площади треугольника 0,5(<тб — [<т])/с. Вполне естественно, что коэффициенты безопасности будут иметь разные численные значения при использовании разных критериальных под- подходов механики трещин. Например, для нержавеющей стали 1Х18Н9Т с механическими свойствами о~т = 340 МПа, о~в = 620 МПа, п = 0,2 и коэффициентом запаса по пределу прочности па = 2,6 коэффициенты безопасности тпр*, рассчитанные по формулам F.2.5)-F.2.9), прини- принимают следующие значения: гпк* = 1,4; гак* =5,9; т$* =2,2; mj* = = 8,4; mi* = 1,5.
§ 6.2. Безопасность поврежденных технических систем 277 Пример 6.1. Примем в качестве параметра механики разрушения энергетический J-интеграл и будем полагать, что упругопластическая вязкость разрушения Jc = const в пределах рассматриваемых длин тре- трещин, т.е. (pj = 1. Тогда расчетное уравнение F.2.3) можно переписать в следующем виде: [J] = А. mj Рассмотрим растянутую пластину ширины Ь со сквозной цен- центральной трещиной длины 21. Для нее приближенное выражение J-интеграла установлено с помощью метода сечений в предположении справедливости ЯТЗД-сингулярности (формула C.5.3) с заменой ТУна п) на линии продолжения трещины: Т Т Полагая mj = 1, из расчетного уравнения находим критическую длину трещины 1С: Установим связь между критической 1С и допустимой [/] длинами трещины с помощью расчетного уравнения 1+п [1}=2 гГ Приведем результаты расчета пластины из нержавеющей стали 1Х18Н9Т ширины Ь = 70 мм, толщины 1,5 мм со следующими механическими свойствами: о~в = 620 МПа, о~т = 340 МПа, п = 0,2, сг* = 770 МПа, Jc = 480 МПа • мм, 1п = 3,37, а = 1,17. Примем запас по пределу прочности па = 2. Из уравнения для 1С с учетом формулы F.2.2) получаем критическую длину трещины 1С = = 8,4 мм. По формуле F.2.8) определяем коэффициенты безопасности mj* = 2 и mj** = 8. В качестве расчетного коэффициента безопас- безопасности принимаем mj = 8 и рассчитываем безопасную длину трещины [/] = 3 мм. При этом фактический запас прочности при наличии трещи- трещины, по = о~с ([/]) / [а], оказывается равным 1,4. Это означает снижение запаса прочности па для бездефектной пластины на 30%. Увеличение коэффициента безопасности mj приводит к существенному уменьше- уменьшению допустимой длины трещины при заданном расчетном напряжении.
278 Гл. 6. Безопасность и живучесть технических систем Таким образом, введение в рассмотрение коэффициентов безопас- безопасности решает прямую задачу безопасности, направленную на обосно- обоснование безопасных состояний поврежденных технических систем при нормальных условиях эксплуатации. Вместе с тем этот же подход позволяет решать задачу о живучести технических систем. Эта за- задача связана с выходом трещины из области безопасных состояний в область предельных (критических) состояний при возникновении ава- аварийных ситуаций. Рассмотренный унифицированный подход позволяет определять критические размеры таких трещин в условиях реализации различных сценариев развития аварийных ситуаций. Следовательно, рассмотренный детерминированный подход позволяет установить свя- связанную по допускаемым напряжениям и размерам трещин область безопасных состояний технических систем как при нормальных, так и при аварийных режимах. Пример 6.2. Рассмотрим возможность перехода трещины из области безопасных состояний в область катастрофического разрушения при возникновении аварийной ситуации на примере анализа безопасности корпуса водо-водяного энергетического реактора ВВЭР-1000 [1]. С использованием концепции предела трещиностойкости 1С были получены следующие результаты для нормальных условий гидроиспытаний: коэффициент безопасности т/с = 3,2, критическая и допустимая глубина соответственно: 1С = = 85 мм и [/] = 9 мм. Теперь рассмотрим ситуацию возможного катастрофического разрушения корпуса реактора, связанного с гипотетической аварией — внезапным увеличением внутреннего давления при гидроиспытании. Для расчета критической диаграммы 1,0 I- §0,4 0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 Относительная глубина трещины, lit Рис. 6.7. Диаграммы безопасных состояний A), страгивания трещины B) и критического состояния C) корпуса реактора с осевой поднаплавочной трещиной. Заштрихованная область — область безопасных состояний для нормального режима гидроиспытаний корпуса реактора ВВЭР-1000
§ 6.2. Безопасность поврежденных технических систем 279 разрушения, диаграммы инициирования трещины и диаграммы безопасных состояний использованы, независимо от состояния корпуса, уравнения вида F.2.3). Выход трещины безопасных размеров [/] из области безопасных состояний (для нормального режима) представлен стрелками на рис. 6.7 при аварийном повышении давления в условиях гидроиспытания. Повышение давления приводит к увеличению коэффициента интенсивности напряжений до значений, соответствующих критерию страгивания трещины. Предполагается, что дальнейшее увеличение коэффициента интенсивности напряжений обусловлено устойчивым ростом трещины без изменения давления. Критическое состояние (катастрофическое развитие трещины) достигается после прироста трещины на величину А/ = 25 мм, т.е. при критической глубине 1С = 34 мм. Этот простой пример демонстрирует существенное различие в критических размерах трещины при нормальном и аварийном режимах гидроиспытаний корпуса реактора. Методология детерминированных расчетов с использованием тре- щиностойкости распространена и на анализ живучести поврежденной конструкции в условиях роста трещины при циклическом нагружении. Введение в уравнение роста усталостной трещины dN \ {KIcipKl, Jcipj, 5cip5} коэффициента безопасности m{Xj,j,5} в соответствии с уравнени- уравнением F.2.3) позволяет установить область живучести (безопасных ско- скоростей роста усталостной трещины) где dl/dN — скорость роста усталостной трещины, V* — ее критиче- критическое значение, т — показатель степени в уравнении роста трещины. Отношению критической скорости к безопасной, можно придать смысл коэффициента живучести (запаса по скорости развития усталостной трещины). Здесь введено обозначение [dl/dN] = — М- Заметим, что формулу F.2.12) можно представить в следующем виде: F.2.13) где A7V* — количество циклов нагружения, необходимое для прироста трещины на величину А/* в области критических скоростей V*; AN —
280 Гл. 6. Безопасность и живучесть технических систем V* Параметр механики разрушения Рис. 6.8. Кинетическая диаграмма усталостного разрушения. Затемненная область — область живучести поврежденной конструкции при соблюдении требований безопасности количество циклов нагружения, необходимое для прироста трещины на величину Ali в области безопасных скоростей [V]. Тогда для раз- разных областей кинетической диаграммы усталостного разрушения при равном приросте трещины Al* = All из формулы F.2.13) получаем, что ту = AN/AN*, т.е. коэффициент живучести определяет запас по количеству циклов нагружения в условиях развития усталостной трещины при соблюдении требований безопасности. В случае расчета коэффициента безопасности ni{Ki,j,5} по КРИ~ тической диаграмме разрушения он становится функцией коэффи- коэффициента запаса по пределу прочности, вида критической диаграммы разрушения и конкретного параметра механики разрушения {Kj, J, 5}. На основании сказанного нетрудно заметить связь между безопасно- безопасностью (коэффициентами безопасности m^x^j^}) и живучестью (коэф- (коэффициентами живучести ту), а следовательно, и остаточным ресурсом поврежденных трещинами конструкций, поскольку прогнозирование их остаточного ресурса сводится к анализу долговечности в области живучести конструкций посредством интегрирования соответствую- соответствующих уравнений скорости роста трещины. Таким образом, проблема безопасности, живучести и ресурса поврежденных технических систем является связанной (триединой) проблемой. В связи со сказанным выше следует также отметить, что коррект- корректный расчет (выбор) коэффициентов безопасности представляет собой определенный резерв для продления проектного ресурса по принципу живучести поврежденных конструкций.
§ 6.3. Безопасные трещиноподобные дефекты 281 § 6.3. Безопасные трещиноподобные дефекты в линейной части магистрального трубопровода В настоящее время созданы предпосылки для практического ис- использования теоретических основ и инженерных методов механики трещин, а также средств технической диагностики, позволяющих достаточно достоверно определять трещиноподобные дефекты в по- поврежденных системах. При этом должен быть проведен тщательный анализ допустимости таких дефектов с учетом физико-механических повреждений материала конструкции при сохранении требований ее безопасной эксплуатации, а также разработаны рекомендации по ре- регламентированному дефектоскопическому контролю. При использовании критериальных подходов механики трещин прогнозирование безопасных (допустимых) размеров дефектов может быть основано на детерминированных или/и вероятностных расчетах. Для проведения вероятностных расчетов может быть использована теория надежности [9], основанная на статистических данных о ме- механических свойствах материалов, нагрузках, воздействиях и данных дефектоскопического контроля. Перечислим основные этапы определения безопасных размеров тре- щиноподобных дефектов в линейной части магистральных трубопрово- трубопроводов. 1. Анализ особенностей разрушения магистральных трубопрово- трубопроводов в условиях эксплуатации. 2. Формирование физико-механической модели, учитывающей на- накопление повреждений в процесе эксплуатации. 3. Выбор и обоснование критерия предельного состояния повре- поврежденного трещиной трубопровода в условиях воздействия циклических и коррозионных повреждений. 4. Информационный поиск и подготовка банка данных основных ме- механических свойств (критическая температура хрупкости Т&о, вязкость разрушения Kjc, предел прочности и текучести, показатель деформа- деформационного упрочнения) трубной стали 17Г1С-У в широком диапазоне температур. 5. Анализ статистических данных о распределении геометрических размеров (глубины и длины) выявленных в эксплуатации трещинопо- добных дефектов, а также схематизация расчетного дефекта. 6. Обоснование расчетной схемы и анализ расчетных случаев. Ана- Анализ и выбор формул расчета коэффициента интенсивности напряжений для внутренних и внешних трещиноподобных дефектов. 7. Создание модели для обоснования коэффициентов безопасности с целью установления допустимых (безопасных) размеров трещинопо- трещиноподобных дефектов. 8. Прогнозирование размеров безопасных внутренних и внешних поверхностных трещиноподобных дефектов на период эксплуатации.
282 Гл. 6. Безопасность и живучесть технических систем 6.3.1. Особенности разрушений магистральных трубопро- трубопроводов. Магистральные газопроводы с рабочим давлением 5,5-10 МПа и диаметром 1020-1420 мм являются единственными металлическими конструкциями, в которых неоднократно наблюдались хрупкие разру- разрушения значительной протяженности, иногда достигающей нескольких километров [3]. Разрушения магистральных трубопроводов по характеру изменения интенсивности отказов можно разделить на два типа: — разрушения при предпусковых испытаниях и в начальный пе- период эксплуатации, связанные с наличием исходных технологических трещиноподобных дефектов, а также дефектов, появляющихся при транспортировке труб и в процессе строительно-монтажных работ; — разрушения в условиях эксплуатации в результате зарождения и роста трещин, коррозионных и других физико-механических повре- повреждений металла, нарушений режимов эксплуатации. Наблюдавшиеся разрушения трубопроводов не были связаны с недо- недостаточным запасом прочности, т. е. не были вызваны превышением действующих кольцевых напряжений над расчетными. Большинство разрушений было обусловлено недостаточным сопротивлением стали труб зарождению и распространению трещин, потерей продольной устойчивости при температурных воздействиях, поперечным изломом труб при просадке грунта, коррозионными повреждениями, откло- отклонением действительных условий нагружения от расчетных [3]. При изучении обстоятельств разрушения магистральных трубопроводов бы- было установлено, что во многих случаях в очаге разрывов находи- находились различные по длине риски и царапины максимальной глубиной до 1-1,5 мм. Очаги разрывов располагались в районе верхней или нижней образующей трубы (в окрестностях вертикальной плоскости симметрии), и не было отмечено случаев расположения очага в окрест- окрестностях горизонтальной плоскости симметрии труб. При этом хрупкое разрушение трубопроводов обусловлено не только свойствами металла, но и условиями нагружения, температурой эксплуатации, воздействием коррозионно-активных сред. Резюмируя вышеизложенное и учитывая, что эксплуатация трубо- трубопроводов в силу их большой протяженности осуществляется в резко различающихся природно-климатических условиях, можно отметить следующие особенности работы металла в магистральных трубопро- трубопроводах. 1. Особенности атмосферных явлений (количество осадков, нали- наличие различных коррозионно-активных примесей в атмосфере и т.п.), а также широкий диапазон типов и характеристик грунтов, в которые укладывают трубопровод, могут приводить к различным (по характеру и интенсивности) коррозионно-механическим процессам с различными механизмами их реализации. 2. Металл трубопроводов работает в различных климатических зо- зонах и широком диапазоне температур (от 60 °С до —40 °С).
§ 6.3. Безопасные трещиноподобные дефекты 283 3. В металле трубы в процессе эксплуатации накапливаются физико-механические повреждения, связанные со старением металла, коррозионными процессами, циклическим нагружением и т. п. 4. Газопроводы аккумулируют большое количество упругой энергии сжатого газа, вследствие чего в них могут возникать протяженные вяз- вязкие и хрупкие разрушения, развивающиеся в условиях высоких дина- динамических нагрузок. При высокой энергоемкости процесса разрушения и высокой скорости нагружения возможно изменение характеристик металла. 5. В трубопроводах практически неизбежно наличие трещиноподоб- ных дефектов (задиров и царапин, ориентированных вдоль образующей трубы) как технологического, транспортного, строительного, так и экс- эксплуатационного происхождения. Причем вышеотмеченные особенности работы металла трубопроводов оказывают существенное влияние на зарождение и развитие трещиноподобных дефектов. Проблеме медленного докритического развития трещиноподобных дефектов, возникающих в результате воздействия механических (ста- (статических и циклических) нагрузок, следует уделить особое внимание. Становится очевидным, что создание модели разрушения маги- магистрального трубопровода при наличии в нем трещиноподобных де- дефектов, статических нагрузок, коррозионных процессов, циклических повреждений металла и динамических эффектов представляет собой весьма сложную проблему. Кроме того, практически невозможно раз- разработать унифицированную модель, реализующую все многообразие механизмов и процессов разрушения металла, в силу особенностей работы металла в магистральных трубопроводах. Необходимо выделить механическую характеристику или характеристики, учитывающие не особенности разнообразных процессов накопления повреждений и ме- механизмов разрушения, а их последствия. Такой характеристикой мо- может служить зависимость вязкости разрушения (трещиностойкости) от приведенной температуры металла. При этом приведенная температура определяется как критической температурой хрупкости, так и тем- температурой эксплуатации магистрального трубопровода. Использование подобной модели и схемы определения допустимых размеров трещино- трещиноподобных дефектов регламентировано Нормами [101] для оборудования и трубопроводов атомных энергетических установок. Рассмотрим особенности работы металла трубопровода в рамках следующей модели. 6.3.2. Физико-механическая модель, учитывающая особенно- особенности работы металла магистрального трубопровода. Коррозионно- механическое разрушение — одна из наиболее часто встречающихся и опасных разновидностей разрушения (см. § 4.5). Предполагается, что металл при коррозионно-механическом разрушении находится в охруп- ченном состоянии.
284 Гл. 6. Безопасность и живучесть технических систем Одной их основных комплексных механических характеристик, отражающих склонность металла к переходу в хрупкое состояние, считается критическая температура хрупкости (КТХ) Т&о. Эта харак- характеристика существенно зависит от технологических и конструкцион- конструкционных особенностей технических систем, а также от эксплуатационных условий. Не является исключением и коррозионная среда. Напри- Например [71], атмосферная коррозия малоуглеродистых сталей в течение месяца повышает КТХ на 1-2 °С; при действии растягивающих на- напряжений накопление коррозионных повреждений удваивает это по- повышение. Коррозионными повреждениями будем считать результаты действия одного или нескольких из механизмов снижения прочности металла в коррозионных средах, а именно: наводороживание локаль- локальных объемов металла, образование продуктов коррозии, приводящее к микро- и макронеоднородностям поверхности металлических кон- конструкций, возникновение трещин при локальном электрохимическом растворении металла. Косвенным подтверждением проявления влия- влияния коррозионных повреждений на КТХ могут служить следующие эмпирические данные о сдвиге КТХ в область положительных зна- значений в результате электролитического наводороживания стали [117], наличия макро- и микронеоднородностей поверхностей [138], развития трещины [71]. Таким образом, хрупкие преждевременные разрушения в условиях коррозионных повреждений во многом могут быть обуслов- обусловлены указанным сдвигом КТХ. В рамках эволюционного подхода сдвиг критической температуры хрупкости AT может быть представлен в следующем виде (см. § 5.1): АТ = АТк0(т/т*)]/т, F.3.1) где АТко — сдвиг КТХ в результате коррозионных повреждений за некоторое нормированное время (единицу времени) г*, г — время эксплуатации конструкции, т — показатель степени в эволюционном соотношении. Повреждения металла трубопровода, вызванные циклическими на- нагрузками, старением и т.п., учтем в температурном запасе ДТь соот- соответствующем сдвигу КТХ. Увеличение упругой энергии газа в газопроводе приводит к су- существенному охрупчиванию металла труб [3]. Запас упругой энергии в газопроводе пропорционален давлению и квадрату диаметра трубы. При этом значения характеристик, контролирующих процесс разруше- разрушения, должны возрастать пропорционально рабочим параметрам газо- газопроводов. Именно этим обусловлены требования к вязкости металла труб для газопроводов. Например, для газопроводов диаметра 1420 мм с рабочим давлением 5,5-7,5 МПа доля вязкой составляющей в изломе ударных образцов должна составлять 80% при минимальной температуре эксплуатации [3]. Учет этого требования эквивалентен сдвигу КТХ в область положительных значений на величину АТе.
§ 6.3. Безопасные трещиноподобные дефекты 285 Таким образом, приведенная температура металла трубопровода в эксплуатации становится расчетной характеристикой: Тпр = Тэ-Тк, F.3.2) где Tk — критическая температура хрупкости, определенная с учетом сдвигов температуры Т^о в результате физико-механическим поврежде- повреждений: Tfc = Tko + ATko (r/r*I/m + ДТе + ATfc. F.3.3) Для заданного времени эксплуатации рассчитывают приведенную тем- температуру металла трубопровода, по которой определяют вязкость раз- разрушения К1с. Полученное значение вязкости разрушения используют в выбранном критерии механики разрушения для расчета критического и безопасного размера поверхностной трещины. 6.3.3. Механические свойства стали 17Г1С-У. Исследования механических свойств стали 17Г1С-У в диапазоне температур от —196 °С до +20 °С были проведены в лаборатории механических испытаний ЦНИИЧермета. Для исследования были использованы заготовки размера 330 х 500 х 17 мм, отобранные из 3 газопроводных труб диаметром 1220 мм. Предел текучести и предел прочности стали определяли при растяжении цилиндрических образцов. Для определения критической температуры хрупкости использовали образцы с острым надрезом (типа II) при ударном нагружении, построение температурной зависимости вязкости разрушения Кс осуществляли по результатам испытаний компактных образцов тол- толщины 10 мм в соответствии с ГОСТ 25.506-85. Последние два типа образцов изготавливали без предварительной рихтовки заготовок. Все виды образцов — поперечные, т. е. направление их разрушения было ориентировано вдоль продольной оси трубы. Механические свойства и химический состав стали соответствовали техническим требованиям на ее поставку. Из результатов испытаний следует, что предел текучести ат и предел прочности ав стали с понижением температуры возрастают (рис. 6.9). Показатель деформационного упрочнения материала п для исследованной стали незначительно отличается от значения 0,2 в диа- диапазоне температур эксплуатации газопроводов. Критическую температуру хрупкости определяли по 50-процентной доле вязкой составляющей в изломе образцов при ударном нагружении. Из приведенной зависимости вязкой составляющей от температуры испытаний (рис. 6.10) видно, что критическая температура хрупкости стали 17Г1С-У в исходном состоянии Т^о = —32 °С. Сопротивление началу разрушения при наличии трещины оценива- оценивали по критическому коэффициенту интенсивности напряжений (вяз- (вязкости разрушения) Кс. Значительное снижение вязкости разрушения наблюдается при температуре испытаний ниже —120 °С (рис. 6.11).
286 Гл. 6. Безопасность и живучесть технических систем 800 600 400 200 0 J_ J_ -220 -180-140 -100 -60 -20 20 Температура испытаний, °С Рис. 6.9. Зависимость предела текучести и предела прочности стали 17Г1С-У от температуры испытаний 100 w 80 ев 2 § 60 40 т 20 о -140-100 -60 -20 20 Температура испытаний, °С Рис. 6.10. Доля вязкой составляющей в изломе ударных образцов с острым надрезом Для использования вязкости разрушения в предложенной расчетной схеме необходимо знать зависимость вязкости разрушения от приве- приведенной температуры Тпр. Эту зависимость (рис. 6.12) устанавливаем посредством перестроения зависимости вязкости разрушения от темпе- температуры испытаний Ти (рис. 6.11) по формуле т — F.3.4) Например, температуре испытаний Ти = —196 °С соответствует приве- приведенная температура Тпр = -196 °С - (-32 °С) = -164 °С. Расчетная приведенная температура для металла газопровода при температуре эксплуатации Тэ определяется по формуле F.3.2). При этом критическая температура хрупкости Т&, определенная с учетом
§ 6.3. Безопасные трещиноподобные дефекты 287 120 г 100 80 60 40 20 0 -200 -160 -120 -80 -40 0 40 Температура испытаний, °С Рис. 6.11. Зависимость вязкости разрушения Кс от температуры испытаний § т -200 -160 -120 ™80 ™40 0 40 Приведенная температура, °С Рис. 6.12. Зависимость вязкости разрушения от приведенной температуры сдвигов температур вследствие физико-химических повреждений ме- металла трубопровода, рассчитывается как LZV 100 80 60 40 20 Л - я/ / "~ О 1 i i i ^^ о I i Тк = Тко ¦ АТе + АТк + ATt. F.3.5) Процесс накопления коррозионных повреждений имеет монотон- монотонный, стремящийся к насыщению характер. Такой характер накоп- накопления физико-механических повреждений, связанных с изменением свойств материала, дает значение показателя степени m в соотноше- соотношении для сдвига критической температуры хрупкости [формуле F.3.5)] больше единицы. Аналогичным примером может служить сдвиг крити- критической температуры хрупкости вследствие влияния нейтронного об- облучения, где показатель степени тп = 3 [101]. Поэтому, в рамках
288 Гл. 6. Безопасность и живучесть технических систем рассматриваемой модели полагаем т = 2. Учитывая также, что атмо- атмосферная коррозия малоуглеродистых сталей в течение месяца повы- повышает критическую температуру хрупкости на 1-2 °С, а при действии растягивающих напряжений накопление коррозионных повреждений удваивает это повышение, принимаем АТ^О = 4 °С при т* = 1 месяц. Сдвиг критической температуры хрупкости металла газопровода, отражающий наличие упругой энергии сжатого газа АТе, определя- определяется по зависимости доли вязкой составляющей в изломе образца от температуры испытаний (рис. 6.10) как разность температуры, соот- соответствующей 80-процентной доле вязкой составляющей, и исходной критической температуры хрупкости Т&о. Этот сдвиг составляет 27 °С. Температурный запас на сдвиг критической температуры хрупкости в область положительных значений вследствие старения металла, цик- циклических повреждений, изменения вязкости разрушения при переходе от толщины испытанного образца к расчетной натурной толщине стен- стенки трубы и т. п. принимаем равным ATk = 30 °С. Кроме того, необходимо предусмотреть сдвиг критической темпера- температуры хрупкости ATt при переходе от толщины испытанных ударных образцов (t = 10 мм) к толщине стенки трубопровода t= 18 мм. По данным работы [71], для малоуглеродистых и низколегированных ста- сталей при растяжении этот сдвиг составляет ~ 20 °С. Таким образом, рассмотренная процедура позволяет определить приведенную температуру металла газопровода при температуре экс- эксплуатации Тэ в течение всего периода его эксплуатации. По получен- полученным значениям приведенной температуры, используя зависимость вяз- вязкости разрушения от приведенной температуры (рис. 6.12), устанавли- устанавливают вязкость разрушения металла газопровода, которую и используют в расчете критической и безопасной глубины поверхностного осевого трещиноподобного дефекта. Через 30 лет эксплуатации газопровода, в силу формулы F.3.5), критическая температура хрупкости Т& = = -32 + 4C60)^2 + 27 + 30 + 20 = 121 °С, а приведенная температу- температура металла F.3.2) Тпр = —30— 121 = —151 °С при температуре экс- эксплуатации газопровода —30 °С. При этом вязкость разрушения Кс составляет 52 Мпау^ по сравнению с исходной вязкостью разруше- разрушения 108 Мпау^ при данной температуре эксплуатации. Совершенно очевидно снижение сопротивления развитию трещин через длительный период эксплуатации газопровода. 6.3.4. Схематизация трещиноподобного дефекта и расчетная схема. Предполагается, что поверхностная трещина ориентирована вдоль оси трубы (наиболее опасная ориентация) и раскрывается под действием окружных напряжений. Трещина является полуэллиптиче- полуэллиптической, расположенной на внутренней или внешней поверхности газо- газопровода диаметра 1420 мм с толщиной стенки 18 мм. Анализ от- отношения глубины трещины а к ее полудлине с для наибольшего G0 %) количества выявленных трещиноподобных дефектов в стенке
§ 6.3. Безопасные трещиноподобные дефекты 289 трубопровода дает значение ~ 0,04. Предполагаем, что с изменением глубины трещины это отношение сохраняется. Примем следующую схему расчета безопасной глубины трещины [1, 52, 59, 74] с учетом специфики нагруженности газопровода: при статическом нагружении в заданном режиме находим критическую глубину ас, затем, используя коэффициент безопасности (запаса по трещиностойкости) тр, найдем безопасную (допустимую) глубину тре- трещины [а] < ас. При этом, основываясь на концепции двухкритериаль- ных подходов, используем в расчетах двухпараметрический критерий разрушения, который представим в виде [50] 1 +п К = (Kc/mF) [l - (ар/авI/п] ~ ¦ F.3.6) Здесь п — показатель деформационного упрочнения в степенной ап- аппроксимации диаграммы деформирования металла вида а = &т(?/?т)п, бт = сгт/Е, Е — модуль упругости; ар = 270 МПа — эксплуатаци- эксплуатационное (расчетное) окружное напряжение при номинальном давлении в трубопроводе 70 атмосфер. Соотношение типа F.3.6) с учетом зависимости вязкости разрушения от приведенной температуры, от- отражающей накопление физико-механических повреждений в процес- процессе эксплуатации, было использовано для анализа прочности корпуса реактора ВВЭР-1000 с поднаплавочной полуэллиптической трещи- трещиной [1] и магистральных нефтепроводов [52]. Для использования расчетного уравнения F.3.6) необходимо, кро- кроме основных механических свойств, располагать формулами для ко- коэффициента интенсивности напряжений К для случая внутренней и внешней поверхностной трещины в трубе, а также формулой для коэффициента безопасности. 6.3.5. Коэффициент интенсивности напряжений для трубы с поверхностной трещиной. Приведем и проанализируем некоторые расчетные формулы КИН для наиболее глубокой точки поверхностной трещины с учетом особенностей геометрии трещины и трубопроводной системы. В нормах расчета на прочность [101] КИН допускается определять по формуле KI = r).apMp('ira)l/2/Q F.3.7) для цилиндрических, сферических, конических, эллиптических и плос- плоских элементов, нагружаемых внутренним давлением при отсутствии составляющих изгибных напряжений. В формуле F.3.7) г] — коэф- коэффициент, учитывающий влияние концентрации напряжений, который в нашем расчетном случае равен единице. Другие коэффициенты имеют вид: Мр = 1 +0,12A -а/с) и Q = \\ + 4,6 (а/2сI>651' \ Фор- Формула F.3.7) справедлива при a/t ^ 0,25 и а/с ^ 2/3. Её недостат- недостатком является отсутствие поправки на кривизну поверхности трубы, 19 Матвиенко Ю.Г.
290 Гл. 6. Безопасность и живучесть технических систем значительное ограничение на относительную глубину поверхностной трещины a/t, а также отсутствие поправочной функции, отражающей наличие трещины на внутренней или наружной поверхности. Другой наиболее используемой и апробированной формулой КИН для цилиндрических сосудов давления с поверхностной трещиной на внутренней поверхности является формула [233] Ki = KIplate0,97fc = 0,97fcFa у/жа/Q, F.3.8) где Kjpiate — коэффициент интенсивности напряжений для пластины с центральной поверхностной трещиной, /с — поправка на кривизну поверхности трубы, /с = UPl* + 1 " 0,5 VS7* -L F.3.9) Rq и R — внешний и внутренний радиусы соответственно, Q = 1 + 1,464(а/сI'65, а функция F определяется как F=[MX+ M2 (a/tJ + М3 (a/tL] • /^ g, Mi = l,13-0,09a/c; M2 = -0,54 + 0,89/ @,2 + а/с); М3 = 0,5 - 1/ @,65 + а/с) + 14A - а/сJ4; f<p = (а/сJ cos2 if + sin2 у? g- = 14- Го, 1 Ч- 0,35(a/tJj A - sin Lpf. Для наиболее глубокой точки поверхностной трещины ^ = 90°. Формула F.3.8) справедлива при 0, 2 < а/с < 1; 0 < a/t < 0, 8; t/R ^0,25. В работе [157] формула F.3.8) была модифицирована для осевой поверхностной трещины на наружной поверхности заменой функции /с на in ~\~ R -l+0,5VaA ^ F.3.10) /с = Тем не менее формулу типа F.3.10) нецелесообразно использовать для протяженных трещин, принятых в расчетной схеме ( а/с ~ 0,04), в силу существенных ограничений, накладываемых на отношение а/с. Таким образом, наиболее широко распространенные формулы неприменимы для расчетного анализа протяженных поверхностных трещиноподобных дефектов.
§ 6.3. Безопасные трещиноподобные дефекты 291 Проанализируем вышеприведенные формулы для КИН. Так, форму- формула F.3.7) при а/с = 0,04 переходит в следующую: Ki = 1,11сгр(тгаI/2, F.3.11) т. е. практически совпадает с формулой для пластины с центральной поверхностной трещиной [112], К/ = l,lapGva)l/2/Q = 1,096<тр(тгаI/2 при Q = 1 + 1,46(а/сI'65, F.3.12) и отличается лишь на 1 % от формулы для полубесконечной пластины с краевой трещиной, Кг= 1,12<7р(тгаI/2. F.3.13) Кроме того, из F.3.8) нетрудно видеть, что формула КИН для трубы получена из формулы для пластины с центральной поверхностной тре- трещиной посредством ее умножения на поправку, учитывающую кривиз- кривизну поверхности. Следовательно, не умаляя общности, для схематизиро- схематизированных протяженных поверхностных дефектов в трубе под давлением (при а/с —> 0) КИН можно рассчитать посредством умножения форму- формулы F.3.12) для пластины с поверхностной трещиной на поправочную функцию /с, отражающую наличие кривизны поверхности трубы, т. е. Kj = 1,1сгр(тгаI/2-/с, F.3.14) где функцию /с для внутренней поверхностной трещины рассчитыва- рассчитывают по формуле F.3.9), а для трещины на наружной поверхности — по формуле F.3.10). 6.3.6. Расчет коэффициента безопасности (запаса по трещи- ностойкости). В рамках детерминированного подхода обоснование области безопасных состояний поврежденных трещинами трубопрово- трубопроводов по критериям механики трещин достигается введением в крите- критерий предельного (критического) состояния коэффициента безопасности (запаса по трещиностойкости) тр [1, 56, 101], уменьшающего крите- критериальную характеристику (трещиностойкость) механики разрушения. Тем самым уменьшается размер критической трещины ас до безопасно- безопасного размера [а] при фиксированном расчетном напряжении (нагрузке) ар ар < [а] = ат/па. F.3.15) Здесь [а] — допустимое напряжение, ат — предел текучести (или пре- предел прочности), Пег — коэффициент запаса по пределу текучести (или пределу прочности). Тогда допустимое (или расчетное) напряжение оказывается связанным с безопасным размером трещины уравнением вида F([a],[l],R,t) < [F] =Fc/mF. F.3.16) 19*
292 Гл. 6. Безопасность и живучесть технических систем В рамках рассматриваемой модели в качестве F принят коэффициент интенсивности напряжений (КИН). В формуле F.3.16) [F], Fc — допу- допустимый и критический параметры механики разрушения, т. е. правая часть критериального уравнения F.3.6). При тр = 1 из уравнения F.3.16) [уравнения F.3.6)] получаем критический размер трещины ас, соответствующий допустимому (расчетному) уровню напряжений, а при некотором коэффициенте тпр > 1 — безопасный размер тре- трещины [а] < ас . Учтем, что расчет на прочность бездефектного трубопровода про- проводят по пределу текучести металла [52]. Тогда окончательно расчет- расчетная формула для коэффициента безопасности в случае использования принятого двухпараметрического критерия разрушения вида F.3.6), а также с учетом коэффициента запаса по пределу текучести F.3.15), примет следующий вид: г , , >, A+п)/2 /г , / и A+п)/2 1 Г // м1/П V " / 1 / / \\ П V " mF = па |1 - [(ТтКпеО-в)] ' | / [ (ат/^в) ' J F.3.17) Приведем значения коэффициентов безопасности, рассчитанные по формуле F.3.18), для трубопровода при двух различных значениях температуры эксплуатации (табл. 6.1). При этом полагаем, что коэф- коэффициент запаса по пределу текучести nG =1,5. В случае опасности сульфидного растрескивания металла с внутренней стороны трубопро- трубопровода значение па согласно работе [6] увеличим до 2. 6.3.7. Анализ критических и безопасных размеров поверхност- поверхностных трещин. Глубину схематизированного критического трещинопо- добного осевого поверхностного полуэллиптического дефекта в стенке газопровода с соотношением полуосей а/с = 0,04 рассчитываем по уравнению F.3.6) при тпр = 1 с учетом формулы F.3.14) для КИН. Особенности напряженно-деформированного состояния в окрестности трещины на внутренней и внешней поверхностях учитываем с помощью поправочных коэффициентов /с [формулы F.3.9) и F.3.10)]. Расчетное окружное напряжение в стенке трубопровода составляет 270 МПа при номинальном давлении в трубопроводе в 70 атмосфер. Вязкость разрушения Кс металла газопровода находим по приведенной темпера- температуре Тпр, определяемой в разные периоды эксплуатации по формулам F.3.2) и F.3.5) (рис. 6.12). Значения предела прочности для расчетных температур эксплуатации определялись исходя из рис. 6.9. В качестве температур эксплуатации трубопровода приняты Тэ = —30 °С и 0 °С. На рис. 6.13, 6.14 приведены расчетные значения относительной критической глубины трещины ac/t в разные периоды эксплуатации газопровода. Критическая глубина трещины уменьшается со временем, что обусловлено накоплением в металле физико-механических повре- повреждений. В начальный период эксплуатации уравнение F.3.6) дает ac/t>\, что означает переход поверхностной трещины в сквозную. Критическая длина сквозной трещины не рассчитывалась.
§ 6.3. Безопасные трещиноподобные дефекты 293 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0, 0,4 0,3 0,2 0,1 Критическая Безопасная ¦ при растрескивании 0 10 15 20 25 30 Время эксплуатации, лет Рис. 6.13. Зависимость критической и безопасной глубины поверхностной тре- трещины от времени эксплуатации магистрального газопровода при темпера- температуре -30 °С Критическая 0,4 0,2 Безопасная при растрескивании 0 10 20 30 40 Время эксплуатации, лет Рис. 6.14. Зависимость критической и безопасной глубины поверхностной тре- трещины от времени эксплуатации магистрального газопровода при темпера- температуре 0 °С Анализ результатов расчета значений критической глубины по- поверхностных трещин, расположенных на внутренней и наружной поверхностях газопровода, дает их совпадение в пределах 5%. С уче- учетом того, что наружная трещина, тем не менее, несколько опаснее, дальнейшие расчеты проведены именно для наружной трещины. При этом полученные результаты могут быть распространены и на внутрен- внутренние трещины. Критический размер трещины уменьшается при снижении темпера- температуры эксплуатации (рис. 6.13, 6.14). Следовательно, снижение темпе- температуры эксплуатации приводит к повышению опасности трещиноподоб- ных поверхностных дефектов для дефектов одних и тех же размеров.
294 Гл. 6. Безопасность и живучесть технических систем Процедура определения безопасных размеров трещин [a]/t анало- аналогична процедуре расчета критических размеров. Разница заключается в том, что уравнение F.3.6) решается с учетом коэффициентов без- безопасности тр, значения которых для расчетных температур эксплуа- эксплуатации приведены в табл. 6.1. Тенденция поведения трещины, имеющей безопасные размеры, с те- течением времени, а также с изменением температуры эксплуатации сохраняется и для трещин критических размеров (рис. 6.13, 6.14). Однако, в отличие от критических поверхностных трещин, безопасные поверхностные трещины существуют на протяжении всего периода эксплуатации трубопровода. Таблица 6.1. Расчетные значения коэффициентов безопасности для тру- трубопровода с трещиной Тэ, °С -30 -30 0 0 1,5 2 1,5 2 ат, МПа 370 370 370 370 ав, МПа 590 590 570 570 VflF 1,6 2,1 1,6 2,2 Сульфидное растрескивание на внутренней поверхности газопрово- газопровода приводит к понижению значений безопасных размеров поверхност- поверхностных трещин. Таким образом, безопасный (максимально допустимый) размер по- поверхностного осевого трещиноподобного дефекта как на внутренней, так и на наружной поверхности газопровода на конец его эксплуатации составляет [a]/t = 0,21. В случае опасности сульфидного растрески- растрескивания металла на внутренней поверхности газопровода безопасный размер должен быть уменьшен до [a]/t = 0,12.
Приложение 1 Применение векторного подхода для определения больших пласти