МАТЕМАТИКА
в школе
издательство «педагогика»
1969
МАТЕМАТИНА в школе
Научно-методический журнал Министерства просвещения СССР
издательство
______________________________V1969 «педагогика»
СОДЕРЖАНИЕ
Больше внимания образованию взрослых
2
К 100-ЛЕТИЮ СО ДНЯ РОЖДЕНИЯ В. И. ЛЕНИНА
Школа Памяти В. И. Ленина
НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ
Системы линейных неравенств
К вопросу о периодических функциях
МЕТОДИЧЕСКИЙ ОТДЕЛ
Некоторые проблемы обучения математиков школе
Новое содержание математического образования в вечерней школе
В помощь начинающему учителю
Планы работы по математике на II полугодие 1969/70 учебного года
Контрольные работы по математике на II полугодие 1969/70 учебного года для
V—X классов
Из опыта проведения факультативных занятий
Факультативные занятия — важная форма воспитательной работы
Дополнительные вопросы арифметики на факультативных занятиях в VIII классе
О подготовке студентов к проведению факультативных занятий в школе
Задачи
Занимательная страница
К 300-летию со дня рождения Л. Ф. Магницкого
Первый учитель математики российского юношества Л. Ф. Магницкий
Леоитин Магницкий и его «Арифметика»
ПЕДАГОГИ-МАТЕМАТИКИ
Жизнь в школе и для школы
Виктор Иосифович Левин
Математический календарь на 1969/70 учебный год
КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ
Что будет выпущено издательством «Просвещение» в 1970 г.
Издательство «Знание» для учителей
Сергей Павлович Бобров
ЗА РУБЕЖОМ
Международный коллоквиум, посвященный модернизации преподавания мате-
матики
ХРОНИКА
I Международный конгресс по преподаванию математики
В лагере МАИ
Тематический указатель статей, помещенных в журнале за 1969 г.
4 А. Д. Семушин
8	А. С. Солодовников
'9	А. Д. Кудряшов,
А. С. Мещеряков
22	А. И. Маркушевич
28	М. С. Гельфанд и др.
34
49
58	Е.	С.	Петрова
59	К.	А.	Нечипоренко
62	И.	Б.	Юдина
64
74	И.	А.	Элинсон
75	И.	К.	Андронов
78	Б.	В.	Гнеденко,
И. Б. Погребысский
83	М.	М.	Чернецов
85	Б.	В.	Гнеденко,
А. Я. Маргулис
86 А. И. Бородин
87	Л. А.	Сидорова
88	Г. А.	Анашкин
89	К. П.	Сикорский
90 Б. П. Бычков
92	Г. Г. Маслова
92	Ф. А. Бартенев
93
Больше внимания образованию взрослых
В системе народного просвещения СССР
важное место занимает общее образование
работающей молодежи и взрослых.
Вечерние школы являются основным звеном
общеобразовательной подготовки молодежи
без отрыва от производства. Только за по-
следнее десятилетие здесь завершили восьми-
летнее образование свыше 4 млн. и среднее —
более 5 млн. молодых тружеников. Ныне
в вечерних и заочных школах учится свыше
4 млн. человек. Почти каждый четвертый вы-
пускник средней школы — вечерник или
заочник.
Можно без преувеличения утверждать: ве-
черняя и заочная школа стала одним из основ-
ных путей осуществления всеобщего средне-
го образования молодежи в нашей стране.
Понятны поэтому и те высокие требования,
которые предъявляются к ней жизнью.
Но было бы неправильным закрывать глаза
на недостатки в работе вечерних школ. Мно-
гие молодые люди не заканчивают курс об-
учения; знания значительной части учеников
по ряду предметов, особенно по математике,
посредственны; режим занятий в ряде школ
не соответствует новым условиям пятиднев-
ной рабочей недели; слаба связь с пред-
приятиями.
Органы народного образования слабо кон-
тролируют эти школы. Учителя не получают
в достаточном объеме методической помощи.
Министерство просвещения СССР и Пре-
зидиум Академии педагогических наук пору-
чили Институту вечерних (сменных) и заоч-
ных школ провести широкое обследование
состояния общего образования работающей
молодежи. Полученные данные были обсуж-
дены с участием работников системы вечер-
него и заочного образования всех союзных
республик в Ленинграде Коллегией Мини-
стерства просвещения СССР и Президиумом
АПН СССР.
Приняты важные постановления Президиу-
мом ВЦСПС, Бюро ЦК ВЛКСМ и Коллегией
Министерства просвещения СССР «О работе
профсоюзных, комсомольских организаций и
органов народного образования по повыше-
нию общеобразовательного уровня молодежи,
занятой в народном хозяйстве» и коллегиями
Министерства просвещения СССР и Государ-
ственного Комитета по профессионально-тех-
ническому образованию «О путях повышения
общего образования учащихся профессио-
нально-технических училищ».
На современном этапе научно-технической .
революции вечерние школы призваны давать
такие знания основ наук, которые бы позво-
лили молодым труженикам быстро овладеть
новыми профессиями, передовой техникой
и технологией, поступать в высшие учебные
заведения.
Решить эту важнейшую задачу призвано
прежде всего новое содержание образования,
на которое переходит ныне вся советская
школа.
Министерство просвещения СССР призна-
ло целесообразным иметь для вечерней шко-
лы особый вариант программ, которые подго-
товлены Институтом вечерних (сменных)
и заочных школ АПН СССР и Главным уп-
равлением школ.
Что отличает программы вечерней школы
от программ массовой?
В них дано иное распределение учебного
материала по годам обучения, соответствую-
щее срокам работы вечерней школы. По не-
которым предметам сокращен материал.
В программах V—VIII классов он «овзрос-
лен» с учетом психологии и жизненного опы-
та учащихся. Во всех классах больше, чем
в массовой школе, отводится времени на
вводное и последовательное повторение и в
девятых классах — на вводно-корректи-
рующее.
Следует особо подчеркнуть, что объем тео-
ретических знаний оставлен гот же, что
и в массовой школе.
Ликвидирован имевший место недостаток
времени на изучение предметов естественно-
математического цикла. На математику, на-
пример, в V—VIII классах отведено теперь
828 часов, тогда как ранее отводилось
684 часа.
Утверждены новые программы по математи-
ке, содержание которых приведено в соот-
2
г.етствие с. современными требованиями
науки.
Несколько иным станет распределение
учебных предметов по классам; оно в основ-
ном соответствует массовой школе. Новое
распределение предметов будет способство-
вать установлению максимальной преемствен-
ности между массовой и вечерними школами.
Ныне действующий в вечерних школах
учебный план, по мнению многих специали-
стов, неоправданно перегружал учащихся
обязательными классными занятиями, практи-
чески не оставляя времени на консультации.
Между тем подготовка поступающих в шко-
лу, как правило, слабая, а без восполнения
пробелов в знаниях невозможно успешно про-
ходить новый материал.
Новый учебный план вместо 1940 часов
отводит на обязательные классные занятия
1620, или 15 часов в неделю. Теперь учащиеся
будут обязаны посещать уроки три дня в не-
делю, а четвертый день отводится на факуль-
тативные занятия, консультации и зачеты.
Такая структура учебного плана и режим
занятий позволяют лучше учесть изменив-
шуюся занятость учащихся на производстве
в условиях пятидневной рабочей недели. Но
вместе с тем повышаются требования к уча-
щимся, к их самостоятельности в занятиях,
для чего, в частности, вводятся зачеты.
Практикой доказано, что без самостоятель-
ной работы учащихся по математике вечер-
няя школа никогда не обеспечит глубоких
и прочных знаний предмета.
Главной фигурой в школе был и остается
учитель. Многое предстоит сделать для по-
полнения методических знаний и повышения
его педагогического мастерства. Нельзя за-
бывать, что часть учителей работает в вечер-
них’ школах по совместительству и, бывает,
переносит в них методы и приемы работы
в детской школе. Необходимо активизировать
все формы повышения квалификации учите-
лей: методические объединения школ передо-
вого опыта, курсы и семинары при ИУУ и др.
Ныне, когда начинается переход на новые
учебные планы и программы, эта работа при-
обретает особую важность.
ИЗ ПОСТАНОВЛЕНИЯ ЦК КПСС И СОВЕТА МИНИСТРОВ СССР
«О ПРИСУЖДЕНИИ ГОСУДАРСТВЕННЫХ ПРЕМИЙ СССР
1969 ГОДА В ОБЛАСТИ НАУКИ И ТЕХНИКИ»
Центральный Комитет КПСС и Совет Министров Союза ССР, рас-
смотрев представление Комитета по Ленинским и Государственным
премиям СССР в области науки и техники при Совете Министров
СССР, постановили присудить Государственные премии СССР 1969 года:
В ОБЛАСТИ НАУКИ
Ладыженской Ольге Александровне, доктору физико-математиче-
ских наук, заведующей лабораторией Ленинградского отделения Ма-
тематического института имени В. А. Стеклова Академии наук СССР,
Уральцевой Нине Николаевне, доктору физико-математических наук,
профессору Ленинградского государственного университета имени
А. А. Жданова,— за цикл работ по краевым задачам для линейных и
квазилинейных параболических уравнений, опубликованных в 1962—
1967 годах.
I*
А. Д. СЕМУШИН
(Москва)
R 100-летию
co дня рождения В, И. Ленина
Школа Памяти В. И. Ленина
Создание школы в Горках Ленинских не-
разрывно связано с кипучей деятельностью
В. И. Ленина и его неутомимых помощников
Н. К. Крупской и М. И. Ульяновой.
В первые же дни революции бывшее барское
имение в подмосковных Горках было нацио-
нализировано Советским правительством и на
его базе создан совхоз. Здесь на берегу реки
Пахры в двухэтажном домике с белыми ко-
лоннами, расположенном в старом парке, жил
Владимир Ильич Ленин. В Горках Ленин-
ских, как их теперь называет народ, Ленин
подолгу жил с 1918 по 1924 г.
Всем нам дороги и памятны рассказы
о встречах вождя с детьми окрестных селений.
В Горках В. И. Ленин делает первые шаги
по организации детского коллектива совхоза
и прилегающих к нему деревень Белеутово,
Съяново, Горки. Ям
Летом 1920 г. по инициативе Ленина близ
дома, в котором он жил, в живописной мест-
ности на берегу реки Пахры открывается дет-
ская школьная площадка, а с наступлением
осени совхоз выделил для детей двухэтажный
флигелек. Население называло его детским
домом. Флигелек этот существует и поныне,
а летнюю площадку можно увидеть только
в макете, воссозданном учащимися в школь-
ном музее.
В этих двух воспитательных учреждениях
нашли приют и прошли хорошую жизненную
школу многие обездоленные в то далекое вре-
мя дети. В детский дом не раз приходили
В. И. Ленин, Н. К. Крупская и М. И. Улья-
нова, беседовали с детьми, помогали им по-
нять новую жизнь. Вместе с детьми
В. И. Ленин встречал и один из новогодних
праздников. Первые воспитатели этого дет-
ского коллектива Александра Николаевна
Колосова и Илья Петрович Новиков расска-
зывают о большой помощи, которую оказы-
вал В. И. Ленин в их работе.
Это были трудные годы Советской власти,
но Ленин и тогда уже мечтал об организации
в совхозе настоящей полноценной школы.
В своих воспоминаниях И. П. Новиков пишет:
«Надежда Константиновна не раз в своих
беседах вспоминала, что Владимир Ильич вы-
сказывал мысль о необходимости открыть
школу в Горках для детей окружающих се-
лений».
Мечты В И. Ленина осуществились только
после его смерти. В декабре 1925 г. порог того
же флигеля переступили первые с большим
трудом отобранные для систематического обу-
чения 23 школьника. И. П. Новиков в своих
воспоминаниях так описывает первый набор
учащихся в школу:
«Предполагалось принять около 20 ти уче-
ников. На вступительных экзаменах было
предложено написать сочинение на тему
«Наша семья» и решить задачу на четыре
действия с легким ходом решения. Сочинение
у всех занимало не более шести строчек и со-
стояло из перечисления членов семьи, как кого
звали. Безграмотность невероятная, даже
в заглавии делали пропуски букв. В решении
задач ни у одного не было правильного отве-
та, таблицу умножения ребята не знали. При-
шлось провести испытания еще два раза, уве-
личивая все время радиус оповещения. По-
следний раз был оповещен весь Подольский
район (тогда Ленинского района еще не бы-
ло). Результат испытаний был тот же самый.
Первый набор учащихся в 23 человека мы
сделали не по грамотности, а по беглости чте-
ния, по общему развитию и сообразительно-
сти, что выяснялось в беседе о прочитанном».
В школу были отобраны ученики в возрасте
от 16 до 18 лет.
4
Снимок сделан в 1935 г.
Школа завоевала признание у населения.
Растет число учащихся, в школе становится
непомерно тесно. В одно из посещений шко-
лы в 1934 г. Н. К. Крупская сказала детям,
что скоро для них построят новую школу.
1 сентября 1936 г. учащиеся начали учебу
уже в новом большом и светлом трехэтаж-
ном школьном здании. На фронтоне здания
впервые было написано: «Школа Памяти
В. И. Ленина». На митинге, посвященном от-
крытию школы, присутствовала Н. К. Круп-
ская. Первое школьное здание долгое время
служило интернатом для детей, теперь его
предполагают передать под школьный музей.
Школа Памяти В. И. Ленина — это назва-
ние кажется единственно верным из всех воз-
можных других. Школа стала памятником
вождю, живым памятником.
От одного поколения учителей школы
к другому передаются и будут передаваться
заветы Ленина о воспитании и обучении под-
растающего поколения. Внимание к детям,
воспитание у них высоких гражданских и мо-
ральных качеств, поиск путей повышения ка-
чества знаний учащихся составляют традицию
школы, идущую от школьной площадки.
Успехи школы в деле воспитания и обучения
признавала Н. К. Крупская.
Направляя подростка Павла Колосова
в школу, Н. К. Крупская переслала директо-
ру школы Екатерине Ивановне Смирновой
письмо:
«Многоуважаемая Екатерина Ивановна, на-
правляю к Вам в школу парнишку Павла
Колосова. Я его знаю по переписке. Сначала
он жил в Вятке, там учился, сын рабочего.
Мне кажется, что из парня может вырасти хо-
роший советский гражданин. Прилагаю его
последнее письмо ко мне, которое даст Вам
представление и о парне, и об его стремле-
ниях, и об его подготовке. Ему 14 лет, кончил
он пять классов. Я говорила о нем с Романом
Дмитриевичем, он мне сказал, что парня мож-
но устроить в школу. Я его выписала из Соль-
вычегодска.
Большая у меня просьба позаботиться
о парнишке. Школа у Вас, кажись, хорошая
и забота, насколько знаю, о детях есть.
С товарищеским приветом
Н. Крупская.
20/IX—37 г.»
Фотокопия этого письма как священная
реликвия находится в учительской. Пример
заботы к мальчику из далекого Сольвычегод-
ска со стороны Н. К- Крупской уже сам по
себе имеет большое воспитательное значение.
В соединении же с традициями школы забо-
та о детях становится непреложным законом
жизни школы.
Ленинская атмосфера, в которой живет
школа, передается и от одного поколения уча-
щихся к другому. Высокое чувство ответствен-
ности появляется у учащихся только от одно-
го пребывания на заповедной территории
ленинского музея. Школа представляет собой
продолжение музея. На многочисленных стен-
дах школы рассказывается о жизни Ленина,
учащиеся знакомятся с редкими ленинскими
фотографиями. На других стендах рассказы-
вается об успехах школы. Организующим
1*
5
началом жизни школы служит призыв-транс-
парант «Здесь Ленин жил, мы этим дорожим».
Изменился внешний облик школы. Сейчас
школа имеет 37 строений. Недавно выстроен
новый современный трехэтажный учебный кор-
пус. В специально построенном здании раз-
местился интернат на 300 мест. В отдельном
здании размещаются мастерские по труду,
автомобильный и тракторный парк. При шко-
ле имеется стадион, теплицы, подсобное хо-
зяйство. Для обслуживающего персонала по-
строены жилые корпуса.
Большой вклад в дело строительства школы
внесли преподаватели математики. Один из
организаторов школы, воспоминания которого
приводятся в статье,— Илья Петрович Нови-
ков был преподавателем математики. Один
из первых директоров школы Екатерина Ива-
новна Смирнова преподавала математику
в этой школе до ухода на пенсию, да и сейчас
при необходимости замещает преподавателей
сегодняшнего состава школы. Славу школы
в первые послевоенные годы поддерживали
учителя-математики Екатерина Ивановна
Смирнова, Екатерина Михайловна Сидорова,
Нина Александровна Никитина, супруги Бор-
доновы Георгий Федосеевич и Ирина Дмит-
риевна. Со времени создания Академии педа-
гогических наук школа Памяти В. И. Ленина
стала ее экспериментальной базой. Учителя
математики школы принимают живое и актив-
ное участие во многих экспериментальных ис-
следованиях Института общего и политехни-
ческого образования АПН СССР.
Длительный и серьезный эксперимент про-
водил Г. Ф. Бордонов, работавший под руко-
водством доктора физико-математических
наук профессора Василия Леонидовича Гон-
чарова. Энтузиазм и убежденность, с которы-
ми эта работа проводилась учителем и ученым,
в значительной мере способствовали общему
подъему преподавания алгебры в школе
Памяти В. И. Ленина. Эксперимент показал
правильность основных идей, положенных
проф. В. Л. Гончаровым в основу созданного
им учебника «Начальная алгебра» (Изд.
АПН РСФСР, 1951).
Живой интерес у учащихся вызвала опыт-
ная проверка учебника по геометрии
А. И. Фетисова (Геометрия, М., Изд. АПН
РСФСР, 1963). У учащихся не встречалось
затруднений при изучении свойств параллель-
ной проекции, при изучении приемов построе-
ния изображений пространственных тел, при
решении позиционных и метрических задач на
построение. Не вызывали затруднений и дру-
гие начинания учебника, в том числе и приме-
нение формулы Симпсона Для вычисления
объемов пространственных гел.
Два последних года изучение Нёбметрии
в девятых классах велось на аксиоматической
основе. При этом в осНОйу Йзуйейий начал
стереометрии было положено аксйбмйтически
вводимое понятие — отражение От НДоскости.
Изучение этого материала Ие только не вы-
звало затруднений у учашпхбя, но сформи-
ровало более глубокие интересы к математи-
ке как науке. Изучение геометрии велось по
экспериментальным материалам, составлен-
ным Н. М. Рогановским.
Эксперимент по геометрии проводился в
основном в классах, в которых преподавате-
лем работает Владимир Михайлович Лебедев,
смело идущий на поиски новбго в обучении
математике. Секретарь парторганизации шко-
лы, он и других учителей ориентирует на та-
кой стиль работы.
В настоящее время в IV—V классах прове-
ряется новая программа и новые учебники по
математике. Учитель-предметник Любовь Пав-
ловна Кухарь ведет эту работу второй год:
в 1968/69 учебном году она вела занятия
с учащимися трех четвертых классов, а в те-
кущем учебном году с тем же составом уча-
щихся — в пятых классах. Учитель-предметник
Александра Степановна Щукина начала ра-
боту с тремя четвертыми классами. Экспери-
мент прошлого года показал доступность но-
вых программ и новых учебников.
Школа Памяти В. И. Ленина настойчиво
ищет пути индивидуализации обучения, пути
учета склонностей и интересов учащихся.
С этой целью в школе создавались классы
с повышенной естественнонаучной подготов-
кой. Основное внимание в этих классах уде-
лялось более глубокому изучению физики.
Математические программы в этих классах
строились так, чтобы по возможности свое-
временно обеспечить изучение учащимися тех
разделов, которые нужны были бы для успеш-
ного освоения курса физики. В основном это
удавалось делать с изучением элементов ма-
тематического анализа. Изучение отдельных
вопросов теории вероятностен приходилось
проводить уже на уроках физики.
В текущем учебном году снова набраны
классы с учащимися, проявляющими повы-
шенный интерес к предметам естественнонауч-
ного цикла. Углубленное изучение математи-
ки, физики и химии с этим составом учащихся
предполагается провести за счет серьезной
постановки факультативных занятий. Предпо-
лагается также, что с этим составом учащих-
ся представится возможным более глубоко
изучать и основную программу по математике.
6
Для учителей школа давно стала творче-
ской лабораторией. Интересны и методиче-
ские находки учителей математики. Расска-
жем об одном методическом приеме, который
используется для активизации мыслительной
деятельности учащихся. Условно его называ-
ют решением задач на черновике. Этот прием
удобен при обучении решению различных тек-
стовых задач. Учащимся зачитывается задача,
основное ее содержание схематически записы-
вается учителем на доске. После этого все уча-
щиеся на листке бумаги (черновике) без пись-
менных объяснений составляют по условию за-
дачи уравнение и решают его. Решение задачи
разрешается выполнять даже карандашом.
Ученики, решившие задачу, подходят к учи-
телю со своим решением и дневником. В слу-
чае, если решение задачи выполнено правиль-
но, ученик оставляет дневник на столе учите-
ля в стопке дневников учащихся, решивших
первую задачу. После того как большинство
учащихся класса закончит решение задачи,
учитель проводит краткий разбор решения
на доске; часто для этого привлекаются и са-
ми учащиеся.
Потом предлагается для решения вторая
задача. Ученики снова поочередно показыва-
ют свои решения. Если ученик решил и пер-
вую и вторую задачи, он вынимает свой днев-
ник из первой стопки и перекладывает его во
вторую стопку дневников, владельцы которых
решили две задачи. Если ученик решил вто-
рую задачу, но не решил первой задачи, он
кладет свой -дневник в первую стопку —
в стопку дневников учащихся, решивших толь-
ко одну задачу. После решения третьей зада-
чи появляется стопка дневников учащихся,
решивших три задачи, растет и число уча-
щихся, решивших две задачи, одну задачу.
В зависимости от трудности задачи иногда
учащимся предлагается и четыре задачи на
одном и том же уроке. В конце урока в за-
висимости от числа решенных задач ученикам
выставляется оценка «5», «4» или «3».
Описанную методику обучения решению за-
дач начала применять Вера Васильевна Ряб-
кова. При такой методике разумно разделяет-
ся обучение решению задачи и обучение опи-
санию решения. Сначала учащиеся обучаются
приемам решения задачи, а потом уж с боль-
шим пониманием дела учатся описанию ре-
шений. Удачный опыт Веры Васильевны на-
чинают применять и другие учителя школы.
Школа со дня основания прошла большой
путь. С гордостью за успехи школы слушаешь
на уроках математики в IV классе спокойные
и уверенные ответы десятилетних девочек и
мальчиков, свободно оперирующих понятиями
множества, высказывания, переменной, умело
применяющих эти понятия при решении ариф-
метических, алгебраических и геометрических
задач. Веришь, что для молодежи любые свер-
шения по плечу, и невольно вспоминаешь пер-
вый состав учащихся этой школы.
Учителя математики школы Памяти
В. И. Ленина критически относятся к резуль-
татам своей работы. Они, как и их коллеги
в те далекие времена, неудовлетворены ре-
зультатами своей работы и стремятся улуч-
шить процесс обучения, анализируя свои не-
достатки, ищут пути их преодоления. Творче-
ское отношение к делу, непримиримость
к недостаткам — одна из важных гарантий
достижения дальнейших успехов школы.
НАУЧНО-
ПОПУЛЯРНЫЙ
ОТДЕЛ
А с. солодовников
(Москва) Системы линейных неравенств
Неравенства первой степени, или, как при-
нято говорить, линейные неравенства,— это
неравенства вида
ах + by + с О
(для простоты мы написали неравенство с
двумя неизвестными х и у).
Теория систем линейных неравенств—не-
большой, но увлекательный раздел математи-
ки. Интерес к нему обусловлен в значитель-
ной мере красотой геометрического содержа-
ния, ибо в переводе на геометрический язык
задание системы линейных неравенств с дву-
мя или тремя неизвестными означает задание
выпуклой многоугольной области на плоско-
сти или, соответственно, выпуклого много-
гранного тела в пространстве. Тем самым, на-
пример, учение о выпуклых многогранниках —
древняя, как мир, часть геометрии — превра-
щается в одну из глав теории систем линей-
ных неравенств.
Роль теории линейных неравенств особенно
возросла с середины 40-х годов этого столетия,
когда возникла новая область прикладной ма-
тематики — линейное программирование — с
важными приложениями к экономике и тех-
нике. В конечном счете линейное программи-
рование— это всего лишь один из разделов
(хотя и очень важный) теории систем линей-
ных неравенств.
Настоящая статья ставит своей целью озна-
комить читателя с некоторыми аспектами тео-
рии систем линейных неравенств. В ней дает-
ся геометрическое истолкование системы в
случае двух или трех неизвестных, рассматри-
вается метод решения системы с любым чис-
лом неизвестных, основанный на последова-
тельном уменьшении числа неизвестных (не-
что вроде последовательного исключения не-
известных при решении системы линейных
уравнений), исследуются вопросы совместно-
сти и несовместности системы линейных нера-
венств. Непосредственное применение в шко-
ле излагаемый материал может иметь в фа-
культативном курсе, посвященном элементар-
ным аспектам линейной алгебры и линейного
программирования.
I. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ИСТОЛКОВАНИЕ СИСТЕМЫ
ЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ С ДВУМЯ ИЛИ ТРЕМЯ
НЕИЗВЕСТНЫМИ
§ 1. Геометрический смысл уравнения и неравенства
первой степени с двумя или тремя неизвестными
Рассмотрим уравнение первой степени с
двумя неизвестными х и у.
ах + Ьу + с = 0.	(1)
Истолковывая х и у как координаты точки
на плоскости, естественно поставить вопрос:
какое множество на плоскости образуют точ-
ки, координаты которых удовлетворяют урав-
нению (1)? Или, выражаясь короче, какое
множество точек определяет уравнение (1)?
Ответ хорошо известен: множество точек,
определяемых уравнением (1), есть прямая
линия на плоскости. Действительно, если
Ъ =/= 0, то уравнение (1) приводится к виду
у = kx + р,
а это уравнение, как известно, определяет
прямую. Если же Ь = 0, то уравнение приво-
дится к виду
х = h;
в этом случае оно определяет прямую, па-
раллельную оси ординат.
Аналогичный вопрос возникает и в отноше-
нии неравенства
ах + by + с 0.	(2)
А именно, какое множество точек на плоско-
сти определяет неравенство (2)?
И здесь ответ очень прост. Если b #= 0, то
данное неравенство приводится к одному из
видов
у kx + р или у kx 4- р.
Нетрудно понять, что первому из этих нера-
8
Рис. 1
Прежде чем доказывать теорему, сформу-
лируем два вспомогательных предложения.
1. Пусть точка М есть середина отрезка
A4[Af2 в пространстве. Если точка Мг имеет
координаты Xi, yt, г1г а точка М2— координа-
ты х2, у2, z2, то координаты точки М будут
Xi + х2 у, + у2 г, + д2
2	2	2
венств удовлетворяют все точки, лежащие
«выше» прямой у = kx + р или же на этой
прямой, а второму — все точки, лежащие «ни-
же» указанной прямой или на этой прямой
(рис. 1). Если же Ь = 0, то неравенство при-
водится к одному из видов
х h или х й;
первому из них удовлетворяют все точки, ле-
жащие «правее» прямей х = h или на этой
прямой, второму — все точки, лежащие «ле-
вее» указанной прямой или на самой прямой
(рис. 2).
Итак, уравнение (1) определяет на коорди-
натной плоскости прямую линию, а неравен-
ство (2)—одну из двух полуплоскостей, на
которые эта прямая разбивает всю плоскость
(саму прямую мы считаем принадлежащей
любой из двух определяемых ею полуплоско-
стей).
Мы хотим теперь решить аналогичные во-
просы в отношении уравнения
ах + by + cz + d = 0	(3)
и неравенства
ах + by + cz + d 0;	(4)
разумеется, при этом х, у, z истолковываются
как координаты точки в пространстве. Резуль-
тат сформулируем заранее в виде следующей
теоремы.
Теорема. Уравнение (3) определяет в
пространстве некоторую плоскость, а нера-
венство (4) — одно из двух полупространств,
на которые эта плоскость разбивает все про-
странство (сама плоскость считается принад-
лежащей любому из двух определяемых ею
полупространств).
Другими словами, координаты середины от-
резка равны полусуммам соответствующих
координат концов отрезка.
Вот доказательство этого предложения. Обозначим
координаты точки М через х,, уа, да. Спроектировав
точки Л4,, М2 и Л4 на координатную плоскость хОу,
получим точки A\, JV2 и N (рис. 3). Их координаты
будут соответственно
х„У1,0; х2, уг, 0 и ха,уа,0.
Затем спроектируем точки JVj, JV2 и W на ось Ох —
получим три точки Pi, Р2 и Р. Координата первой
из них на самой оси Ох равна xt, второй — х2,
третьей — х,. Поскольку точка М делит отрезок Л1,Л12
пополам, то и точка N делит отрезок пополам;
значит, Р — середина отрезка PtP2. Но в таком слу-
чае ха = —1 —. Аналогично докажем, что
У1 + у2	Д1 + z2
У» ‘	2	>	—	2
2. Пусть /[ и /2— две пересекающиеся пря-
мые на плоскости и М— точка, не лежащая
ни на одной из этих прямых. Тогда можно
найти такую точку Мг на /| и такую точку
М2 на /2, что М будет серединой отрезка
MtM2.
Это несложная задача из школьного курса
геометрий. Способ построения точек Mi и Л42
виден из рисунка 4.
Перейдем к доказательству теоремы. Из
трех чисел а, Ъ, с хотя бы одно отлично от
нуля; переименовав, если нужно, оси коорди-
нат, всегда можно считать, что с =/= 0. Тогда
9
уравнение (3) приводится к виду
г = kx + ly + р.	(5)
Условимся в дальнейшем говорить, что «точ-
ка М удовлетворяет уравнению (5)», если ко-
ординаты этой точки—числа х, у, z — удо-
влетворяют уравнению (5).
Выясним, какие точки координатной плос-
кости xOz удовлетворяют уравнению (5). Для
этого следует в уравнении (5) положить
у = 0. Получим
z = kx 4- р.	(6)
Итак, множество всех точек плоскости
хОг, удовлетворяющих уравнению (5), есть
прямая /1, определяемая в этой плоскости
уравнением (6) (рис. 5).
Аналогично найдем, что множество всех то-
чек плоскости уОг, удовлетворяющих уравне-
нию (5), есть прямая /2, определяемая в этой
плоскости уравнением
Z = 1у + р.	(7)
Обе прямые Ц и /2 проходят через точку Р с
координатами 0, 0, р.
Обозначим через л плоскость, содержащую
прямые lt и /2. Докажем, что все точки этой
плоскости удовлетворяют уравнению (5).
Пусть М — произвольная точка плоскости л.
Если М лежит на прямой /, или /2, то дока-
зывать нечего. Поэтому будем считать, что М
не принадлежит ни /ь ни /2. Выберем точку
Mj на /] и точку Мг на /2 так, чтобы М слу-
жила серединой отрезка ЛДМг; в силу ука-
занного ранее вспомогательного предложения
это всегда можно сделать. Точка Mt имеет
координаты х, 0, kx+p, а точка М2 — коорди-
наты 0, у, 1у + р. Следовательно, М будет
иметь координаты
х + 0	0+у kx+p + ly + p
2 	2 ’	2
т. е. —, kx + 1у 4- р. Легко проверить,
что эти координаты удовлетворяют уравне-
нию (5):
kx + ly ,	, х i i У , „
---+ P = k-^- + I + р.
Итак, все точки плоскости л удовлетворяют
уравнению (5). Завершить доказательство тео-
ремы теперь совсем просто. Рассмотрим три
точки: точку (х0, Уо, 2о), лежащую в плоско-
сти л, точку (х0, уо, z0+e), лежащую «над»
плоскостью л (е j>0), точку (Хо, уо, 2о— е), ле-
жащую «под» плоскостью л (рис. 6). Так как
первая точка принадлежит плоскости л, то
Zq = kxo 4- lyo 4- Р
и, следовательно,
Zo+e>-fexo+/z/o+p, Zo—e.<.kx0+ly0+p.
Таким образом, для всех точек (х, у, г),
лежащих в плоскости л, справедливо равен-
ство
z = kx 4- ly + р,
для всех точек, лежащих над плоскостью л,—
неравенство
г > kx 4- ly 4- р
10
и для всех точек, лежащих под плоскостью
л,— неравенство z < kx + ly + р.
Теорема доказана.
§ 2. Геометрический смысл системы линейных
неравенств с двумя или тремя неизвестными
Пусть дана система неравенств
а^х Ьгу 4-
tZo х -4- b *у 4- z?2 0,	(1)
атх + Ьту+
с двумя неизвестными х и у.
Первое неравенство системы определяет на
координатной плоскости хОу некоторую полу-
плоскость Пь второе — полуплоскость П2
и т. д. Если какая-либо пара чисел х, у удо-
влетворяет всем неравенствам (1), то соответ-
ствующая точка (х, у) принадлежит всем по-
луплоскостям Пь П2, Пт одновременно.
Другими словами, точка (х, у} принадлежит
пересечению (общей части) указанных полу-
плоскостей. Но пересечение конечного числа
полуплоскостей есть некоторая многоугольная
область К. На рисунке 7 показана одна из
возможных областей такого рода. Вдоль кон-
тура области изображены штрихи, идущие
внутрь области. Они одновременно указы-
вают, с какой стороны от данной прямой ле-
жит соответствующая полуплоскость; то же
самое указано и с помощью стрелок.
К есть многоугольная область (заметим, что
в случае, когда область К ограничена, ее на-
зывают просто многоугольником решений си-
стемы (1)). Разумеется, возможен и такой
случай, когда нет ни одной точки, принадле-
жащей одновременно всем рассматриваемым
полуплоскостям, т. е. когда область «пуста»;
это означает, что система (1) несовместна.
Такой случай изображен на рисунке 9.
Область решений К
обладает одним весьма	.
важным свойством:	\ Т X
она является выпук- V Т4
лой. Напомним, что со-	\	/
гласно общему опреде-	\ /
лению множество то-	\/
чек (на плоскости или
в пространстве) назы-	/ \
вается выпуклым, если /	\
вместе с любыми дву-
мя своими точками А
и В оно содержит и	Рис- 9
весь отрезок АВ. Рису-
нок 10 иллюстрирует различие между выпук-
лым и невыпуклым множествами. Выпуклость
области К вытекает из того факта, что любая
полуплоскость есть выпуклое множество, а
также из следующей леммы.
Лемма. Пересечение любого числа выпук-
лых множеств есть выпуклое множество.
Доказательство. Пусть К\ и К2 — два
выпуклых множества и К — их пересечение.
Область К называется областью решений
системы (1). Сразу же отметим, что область
решений не всегда бывает ограничена; в ре-
зультате пересечения нескольких полупло-
скостей может возникнуть и неограниченная
область, как, например, область, показанная
на рисунке 8. Имея в виду то обстоятельство,
что граница области К состоит из кусков пря-
мых (или из целых прямых), мы говорим, что
11
Рис. 11
зок АВ принадлежит
Рассмотрим любые
две точки А и В,
принадлежащие К
(рис. 11). Так как
обе точки А и В при-
надлежат множест-
ву Ki и это множе-
ство выпукло, то от-
резок АВ принадле-
жит К\. Аналогич-
ным образом отре-
Кг- Итак, отрезок АВ
принадлежит одновременно обоим множест-
вам К\ и Аг, а следовательно, и их пересече-
нию К. Этим доказано, что К — выпуклое
множество. Аналогичное рассуждение показы-
вает, что пересечение любого числа (не обя-
зательно t двух) выпуклых множеств есть вы-
пуклое множество.
Итак, геометрическое место точек, коорди-
наты которых удовлетворяют всем неравен-
ствам (1), или область решений системы (1),
есть выпуклая многоугольная область К на
плоскости. Она получается в результате пере-
сечения всех полуплоскостей, отвечающих не-
равенствам данной системы.
Обратимся к случаю трех неизвестных. Те-
перь нам дана система
ахх 4- Ьху + cxz + cfj>0,
а2х + Ъуу + с2 z +	0 »
| bmy + cmz +
Каждое из написанных неравенств опреде-
ляет, как мы знаем из § 1, некоторое полу-
пространство. Поэтому область, определяемая
данной системой, будет представлять из себя
пересечение (общую часть) т полупро-
* странств. Но пересечение конечного числа по-
лупространств есть некоторая многогранная
область К. На рисунке 12 приведен пример
Рис. 12
такой области при т = 4. В этом примере об-
ласть К есть обычный тетраэдр (точнее, К
состоит из всех точек, лежащих внутри и на
границе тетраэдра). Вообще, нетрудно понять,
что в результате пересечения конечного чис-
ла полупространств может получиться, напри-
мер, любой выпуклый многогранник. Конечно,
возможен и такой случай, когда область К
неограничена (простирается в бесконечность);
пример такой области дан на рисунке 13. На-
конец, может оказаться, что вообще не суще-
ствует точек, удовлетворяющих всем рассмат-
риваемым неравенствам (система (2) несов-
местна); тогда область К пуста. Такой слу-
чай изображен на рисунке 14.
По аналогии со случаем двух неизвестных
мы называем область К областью решении
системы (2). Еще раз подчеркнем то обстоя-
тельство, что область К, будучи пересечением
некоторого числа полупространств, обязатель-
но выпукла.
Итак, система линейных неравенств с тремя
неизвестными определяет в пространстве вы-
пуклую многогранную область К. Последняя
получается в результате пересечения всех по-
лупространств, отвечающих неравенствам
данной системы.
Если область К ограничена, ее называют
просто многогранником решений данной си-
стемы.
II. ИССЛЕДОВАНИЕ И РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ
НЕРАВЕНСТВ С ЛЮБЫМ ЧИСЛОМ НЕИЗВЕСТНЫХ
§ 3. Сопутствующая система линейных неравенств
Мы переходим теперь к изучению систем
линейных неравенств с любым числом неиз-
вестных. Несколько отступая от способа запи-
си, принятого в школьном курсе алгебры, мы
обозначаем неизвестные одной и той же бук-
вой х, но с различными номерами: хх— пер-
12
вое неизвестное, х2— второе неизвестное
и т. д. В этих обозначениях линейное нера-
венство с п неизвестными хь х2, —. хп запи-
шется так:
Р,>хп
Хп
01X1 4- о2х2 4- ... + о.пхп 4- а 0.	(1)
Допустим теперь, что дана система линей-
ных неравенств с п неизвестными хьх2,.... хп —
в дальнейшем для удобства ссылок будем
называть ее «система (S)». Напомним неко-
торые известные определения. Решением си-
стемы называется такой набор значений неиз-
вестных
(Г)
х, = аь х2 = а2, ..., хп = ап,
Рр>Хп
	СУ СУ I СУ ал : л е с	с ч ч • Ч
для которого выполняется каждое из нера-
венств данной системы.
Система, имеющая хотя бы одно решение,
называется совместной; система, не имеющая
решений, называется несовместной.
Две системы линейных неравенств с неиз-
вестными Xi, х2, ..., хп называются равносиль-
ными, если каждое решение первой системы
является решением второй и, обратно, любое
решение второй системы — решением первой
(или, выражаясь короче, если обе системы
имеют одно и то же множество решений).
При рассмотрении системы (S) возникает
ряд вопросов: будет ли система совместной;
если да, то как найти все ее решения; как
устроены несовместные системы неравенств?
На эти вопросы будет дан ответ ниже, в § 4
и 5. При этом оказывается очень полезным
связать с каждой системой линейных нера-
венств новую систему, в которой число неиз-
вестных на единицу меньше, чем в исходной
системе, — эту новую систему мы называем
соп утствующей.
Перейдем к ее описанию.
Рассмотрим любое из неравенств системы
(S). Оно имеет вид (1). Если ап = 0, то оста-
вим это неравенство без изменения. Если
ап < 0, то перенесем член апхп в правую
часть и разделим обе части неравенства на
положительное число — ап; получим неравен-
ство вида
b1Xl 4-... + &„_j	+ b > хп.
В случае ап > 0 перенесем в правую часть
неравенства все слагаемые, кроме апхп, и
разделим обе части на ап\ получим неравен-
ство
хп cixi +	+ Си-1 Хп-1 + с-
Итак, умножив каждое из неравенств ис-
ходной системы (S) на подходящее положи-
тельное число, получим равносильную ей си-
стему вида
Я,>0
Я2>0
Rr>Q
где Рх,... , Рр, ..., Qq, /?i, ... , Rr суть вы-
ражения вида tZjXj -|- ... 4- tzn_j хп_! 4- а (не
содержащие xn)’.
Систему (Т) можно записать короче:
Ра хп Qp>
Ят>0,
где а — любое из чисел 1, 2,... ,р,
₽ — любое из чисел 1, 2,..., q,
7 — любое из чисел 1,2..г.
Рассмотрим наряду с системой (7) систему
Ра><^
₽т>0,
где а — любое из чисел 1, 2, ...,р,	(S')
Р — любое из чисел 1, 2, ...,q,
•у — любое из чисел 1, 2,..., г
сп—1 неизвестными хь ..., xn_i1 2. Условимся
называть эту систему сопутствующей (по от-
ношению к исходной системе (S) или равно-
сильной ей системе (?')).
1 Разумеется, если в системе (S) нет ни одного не-
равенства, в котором ап < 0, то в системе (7) не бу-
дет первого блока. Аналогично, если отсутствуют нера-
венства с а» > 0, то в системе (Т) не будет второго
блока. Наконец, если в (S) нет неравенства с ап — О,
то в (7) отсутствует третий блок.
2 Если окажется, что в системе (7) первый или вто-
рой блок отсутствует, то (S') будет состоять только из
неравенств 0. Если в (7) отсутствует третий
блок, то в (S') будут только неравенства Ра > Qp-
13
Между решениями систем (S) и (S') су-
ществует тесная связь. Выражением этой свя-
зи служит следующая теорема.
Теорема. Если от любого решения систе-
мы (S) отбросить значение последнего неиз-
вестного хп, то получим некоторое решение
сопутствующей системы (S').
Обратно, для любого решения сопутствую-
щей системы (S') можно найти такое значе-
ние неизвестного хп, присоединив которое, по-
лучим решение исходной системы (S).
Первое утверждение теоремы очевидно
(если какой-нибудь набор значений неизвест-
ных удовлетворяет системе (S), то он удовле-
творяет и системе (Т); но тогда для этого же
набора выполняются и все неравенства систе-
мы (S')). Докажем второе.
Пусть
Л1 = х°,..., хп_! = х°_, -
какое-нибудь решение системы (S'). Подста-
вив указанные значения неизвестных в выра-
жения Plt ..., Рр, ... ,Qq, ..., Рг, полу-
чим некоторые числа ..., Pv, Qь..., Qq ,
Pi,..., Р°г. Для них должны выполняться нера-
венства
а — любое	из	чисел	1,	2..р\
— любое	из	чисел	1,	2,..., q)
(у — любое	из	чисел	1,	2,..., г).
Первая группа написанных неравенств — выше
пунктирной линии — показывает, что каждое
из чисел Qi, ..., не больше, чем любое из
чисел Р°,..., Р'р . Но в таком случае обяза-
тельно найдется число х„, которое заклю-
чено между всеми числами Q(i,-..,Qq и все-
ми числами Рь ..., Рр:
Pa>XQn>Ql,
где а — любое из чисел 1, 2, ..., р, а р — любое
из чисел 1, 2, ..., q (см. рис. 15). Но эти нера-
венства вместе с неравенствами, записанными
ниже пунктирной линии, означают, что набор
значений неизвестных
%- __	V —	у — уО
— Лр — ’	» ЛП — Лп
является решением системы (Т), а следова-
тельно, и (S). Теорема доказана.
Рис. 15
——»----.-------------М ......---------->.
Q°z Q° Q° pf рг°
Следующие два добавления к теореме бу-
дут играть в дальнейшем важную роль.
1. Система (S) линейных неравенств со-
вместна тогда и только тогда, когда совмест-
на сопутствующая ей система (S'). Это пря-
мое следствие доказанной выше теоремы.
2. Все решения исходной системы (S)
могут быть получены следующим спо-
собом: нужно к каждому решению х°,...
... • xn-i сопутствующей системы (S')
присоединить любое из чисел х°п, заклю-
ченных между всеми числами Qi,..., Qq
и всеми числами Р\,..., Рр. Это предложе-
ние фактически было доказано в ходе дока-
зательства теоремы.
В заключение несколько слов о геометри-
ческом смысле доказанной выше теоремы.
Допустим, что (S) — система неравенств
с тремя неизвестными х, у, г. Сопутству-
ющая система (S') есть система с двумя не-
известными х, у. Обозначим через Ks °б-
ласть решений системы (S) (это некоторое
множество точек в пространстве) и через
К s’ — область решений системы (S') (множе-
ство точек на плоскости). Доказанная тео-
рема в переводе на геометрический язык
означает следующее.
Область Ks1 есть проекция обла-
сти Ks на координатную плоскость хОу.
§ 4. Решение произвольной системы линейных
неравенств путем последовательного уменьшения числа
неизвестных
Итак, для произвольной системы (S) ли-
нейных неравенств с неизвестными хь х2,.... хп
мы построили новую, сопутствующую систему
(S'), в которой неизвестными являются хь
х2, .... x„-i. Но для системы (S') можно в
свою очередь, построить сопутствующую си-
стему (S") (с неизвестными xIf .... хп_2), для
последней — сопутствующую систему (S'")
и т. д. Продолжая этот процесс, мы после ря-
да шагов придем к системе (St"-1’), состоя-
щей из линейных неравенств с одним неиз-
вестным xt. Из предложения 1, установленно-
го в конце § 3, вытекает, что система (S) со-
вместна в том и только в том случае, когда
совместна система (S^n~^). Но решить вопрос
о совместности или несовместности системы с
одним неизвестным не представляет никакого
труда. Таким образом, мы получаем возмож-
ность при помощи весьма легких вычислений
узнать, совместна система (S) или нет.
Допустим, что система совместна. Тогда
возникает задача — решить систему или. гоьи-
14
ря более подробно, перечислить все ее реше-
ния (все наборы значений неизвестных, для
которых выполняются неравенства данной си-
стемы). Эта задача отнюдь не является про-
стой, и излагать ее решение в полном объеме
мы не будем (тем более что все известные
методы решения связаны с большими вычис-
лениями). Мы станем на более легкий путь и
условимся считать, хотя читателю это снача-
ла покажется странным, что система (S) ре-
шена, если построены системы (S'), (S"), ....
(St”-1)). Чем объясняется такая точка зрения,
будет сейчас сказано, но сперва введем одно
определение.
Определение. Набор значений первых k
неизвестных	. ., х°.
называется допустимым, если его можно
дополнить до решения исходной системы
(S), т. е. если существуют такие числа
4+р -.4 что наб°Р х\, 4+1,..., х°п
является решением системы (S).
Как только построены системы (S'), (S")
и т. д., мы получаем возможность:
1)	найти все допустимые значения неиз-
вестного хг (из системы (S(n-1)));
2)	для любого конкретного допустимого
значения х° найти все совместные с ним зна-
чения неизвестного л2, т. е. такие значения,
которые вместе с х° образуют допустимый
набор (они находятся путем подстановки х°
в систему (5(л-2));
3)	для любого конкретного допустимого
набора х°, х° найти все совместные с ним
значения неизвестного х3 (они находятся пу-
тем подстановки х° и х° в систему (5(л~3>);
и так далее.
Именно в этом смысле и следует понимать
наше утверждение, что система (S) решена,
если построены системы (S'), (•$"), ..., (S’”-1)).
Пример. Решить в указанном смысле
систему
7х4-2у — 2г —4>0,
— х — у — г4-4>0,
— 2л + 3у 4- г — 1>0,
5х у 4- г 2	0.
Разрешив каждое неравенство системы от-
носительно г, запишем систему в виде
ух + у- 2> г,
— х — у + 4 > г,
г 2х — Зу + 1,
г — 5х + у — 2.
Сопутствующая система имеет вид
(	7
| ~2~ х 4~ У — 2 2х — Зу 4- 1,
{ ~х + у — 2 > — 5л -J- у — 2,
— X — у + 4> 2х — Зу 4- 1,
— х~ у 4~ 4 > — 5л 4- у — 2,
или, после приведения подобных членов,
-|- л 4- 4у — 3 > 0,
17	\ п
~2-х^0,
— Зх + 2у 4-3>0,
4х - 2у 4- 6 > 0.
Разрешив каждое неравенство относительно
у, запишем эту систему в виде
Система, сопутствующая этой, имеет вид
2л4-3>--|-^ + 4'’
2х 4- 3>-|- х-----------~,
х^-0;
она равносильна одному неравенству
(3)
Итак, исходная система совместна. Соглас-
но принятой нами точке зрения, системы (3),
(2), (1) дают решение поставленной задачи.
Именно неравенство (3) показывает, что су-
ществует решение (х, у, г) исходной системы
с любым неотрицательным х Если выбрано
конкретное значение х, то из системы (2)
можно найти возможные значения для у.
Если выбраны конкретные значения х и у, то
из системы (1) найдутся возможные значе-
ния г. Положим, например, х = 1, тогда из
системы (2) получим следующие неравенства,
ограничивающие у:
Возьмем, например, у = 4. Полагая в си-
стеме (1) х = 1, у = 4, получим неравенства,
ограничивающие г:
15
или просто
— 1 z — 3.
где а — любое из чисел 1, 2.р, а р— любое
из чисел 1, 2, ..., q, и из неравенств
Ят>0,	(5)
где у — любое из чисел 1, 2, .... г. Но нера-
венство (4) может быть получено путем сло-
жения двух неравенств:
Ра> хп и
Полагая, например, г — —2, получим одно
из решений исходной системы: х = 1, у = 4,
г = — 2.
§ 5. Комбинация неравенств
Пусть даны два линейных неравенства:
аххх + а2х2 + ... 4- апхп 4- а >- О,
b\Xi 4- b2x2 4- • • - 4- Ьпхп 4- b 0.
Умножим обе части первого неравенства на
какое-нибудь положительное число а, обе ча-
сти второго — на положителньое число р, а за-
тем полученные неравенства сложим (почлен-
но). В результате придем к неравенству
(аах 4- Xi 4- («а2 4- ₽^2) х2 +
4- • • • 4~ (аап 4* Р^п) хп 4“аа 4- Р^ 0-
которое называется комбинацией (точнее, ли-
нейной комбинацией) неравенств (1). Напри-
мер, если даны неравенства
2л-Зу + 5>0,	(2)
— Зл4-4у-7>0,
то одна из возможных комбинаций будет
3(2х - Зу 4- 5) 4- 2(— Зх 4- 4у — 7)> 0,
или, после приведения подобных членов,
— У 4- 1 ^-0-	(3)
Мы определили комбинацию двух нера-
венств, но совершенно аналогично можно
строить комбинации трех, четырех и вообще
любого числа неравенств. Более того, можно
даже распространить понятие комбинации на
тот случай, когда дано лишь одно неравен-
ство: «комбинация одного неравенства» — это
любое неравенство, полученное из данного
умножением обеих частей на одно и то же
положительное число.
Вернемся теперь к понятию сопутствующей
системы, введенному в § 3, и докажем сле-
дующую лемму, нужную для дальнейшего.
Лемма. Каждое неравенство сопутствую-
щей системы является комбинацией одного
или двух неравенств исходной системы.
Доказательство совсем просто. В обо-
значениях §3 сопутствующая система (S')
состоит из неравенств
^a>QP.	(4)
каждое из которых, в свою очередь, полу-
чается из некоторого неравенства исходной
системы (S) умножением обеих его частей на
г подходящее положительное число. Следова-
тельно, неравенство (4) есть комбинация двух
неравенств исходной системы (S). Что же ка-
сается неравенства (5), то оно само есть одно
из неравенств системы (S).
§ 6. Несовместные системы линейных неравенств
Нас будет интересовать в этом параграфе
следующий вопрос: как устроена любая несо-
вместная система линейных неравенств')
Рассмотрим сначала одно неравенство:
аххх 4- а2х2 4- ... 4* апхп 4- а > 0.
Для того чтобы оно не имело решений, оче-
видно, необходимо и достаточно, чтобы все
коэффициенты аъ а2, ..., ап были равны нулю,
а свободный член а был числом отрицатель-
ным. Условимся называть неравенство
0 • х 1 4~ 0 • х., 4~ ... 4~ 0 • хп 4- а	0,
где а — отрицательное число, противоречи-
вым. Итак, система, состоящая из одного не-
равенства, несовместна в том и только в том
случае, когда это неравенство противоречивое.
Обратимся далее к системе
| TZjXj 4- а2х2 4- • • • 4- апхп 4- а >0.
| bxxY 4- Ь2х2 4- ... 4- Ьпхп 4- Л > 0,
состоящей из двух линейных неравенств.
Предположим, что она несовместна. Возмож-
ны два случая:
1) хотя бы одно из данных неравенств про-
тиворечивое,
2) ни одно из данных неравенств не являет-
ся противоречивым. Рассмотрим этот случай
более подробно.
Прежде всего заметим, что среди чисел ah
а2, .... а„ обязательно имеются отличные от
нуля. Действительно, если бы было
= а2 = ... = ап = 0, то первое неравенство
системы имело бы вид 0-*| + 0-х2 + ... +
+ 0-Хп + а 0. Число а не может быть отри-
цательным— в противном случае первое нера-
венство системы противоречиво. Значит, а не-
отрицательно. Но в таком случае первое нера-
венство не накладывает никаких ограничений
на выбор значений неизвестных, и из несо-
вместности системы следует, что второе нера-
Ifi
венство противоречивое. Между тем такой
случай мы исключили.
Покажем далее, что
_ Ьа __	_ Ьп	<2\
а, ‘ ‘' а„ '	' '
Если бы какое-нибудь из этих равенств
не имело места, например было бы
то система (1) обязательно была бы совмест-
ной: одно из ее решений мы могли бы полу-
чить, положив х3 = х4= ... = хп ~0 и най-
дя xh х2 из системы
J 4~ С12Х2 4" d — 1,
I bxxx + b2x2 4-6 = 1
^что всегда возможно, если — =/= — Y Та-
\	G1	/
ким образом, из несовместности системы
следуют равенства (2).
Обозначим отношение — через k, тогда
61 = kax, b2 = ka.2, ...,bn — kan. Что касается
чисел b и ka, то они не обязаны быть рав-
ными; положим b — ka 4- /.
Итак, систему (1) можно записать в виде
Д>0,
kF + 1^.0,
(3)
где через F мы обозначили (для краткости)
выражение, стоящее в левой части первого из
неравенств (1). Система (3) несовместна
вслед за (1). Покажем, что отсюда следует
k < 0, I < 0.
Подходящим выбором значений неизвест-
ных выражение F можно сделать любым не-
отрицательным числом. При этом второе не-
равенство системы (т. е. kF 4- I 0) выпол-
няться не должно; другими словами, выраже-
ние kF + I должно быть отрицательным при
любом неотрицательном F. Отсюда вытекает,
что числа k и I — отрицательные.
Заметим, что запись (3) охватывает и тот
случай, когда второе неравенство системы
(1)—противоречивое. В этом случае k — 0,
/<0.
Подведем итог нашим рассуждениям.
Если неравенство F 0 не является проти-
воречивым, то любое несовместное с ним не-
равенство имеет вид kF + I 0, где k 0,
а I — отрицательное число.
Один из способов строить несовместные си-
стемы линейных неравенств — это добавление
к произвольной системе противоречивого не-
равенства. Но есть и более общий способ. Он
состоит в том, что берется произвольная си-
стема линейных неравенств, из одного или не-
скольких неравенств этой системы составляет-
ся комбинация и затем к данной системе до-
бавляется какое-нибудь неравенство, несовме-
стное с этой комбинацией. В качестве приме-
ра рассмотрим систему
I 2х — Зу 4- 5 О,
(-Зл4-4у-7>0	(4)
из § 5. Одна из возможных комбинаций есть
~У + 1 > 0	(5)
(см. (2) и (3) в § 5). Неравенством, несовме-
стным с (5), будет, например,
—2(—1/4- 1)-3>0,
или, после упрощения,
2у— 5^0.	(6)
Присоединяя это неравенство к системе (4),
получим систему
2х — Зу 4- 5 0,
— Зл4-4у —7>0,
2у-5>0,
которая обязательно будет несовместной.
Действительно, любой набор значений неиз-
вестных, удовлетворяющий системе (4), удо-
влетворяет и комбинированному неравенству
(5), а следовательно, не удовлетворяет нера-
венству (6).
Естественно возникает вопрос: можно ли
указанным выше способом построить любую
несовместную систему линейных неравенств?
Оказывается, что ответ на этот вопрос — ут-
вердительный. А именно, справедливо следую-
щее предложение, которое мы будем называть
дальше теоремой о несовместных системах.
Теорема о несовместных систе-
мах. Если система линейных неравенств не-
совместна, то из одного или нескольких нера-
венств системы можно составить комбинацию,
несовместную с одним из остальных нера-
венств системы.
Впрочем, то же самое можно высказать и
несколько проще.
Если система линейных неравенств несо-
вместна, то из этих неравенств можно ском-
бинировать противоречивое неравенство.
Безразлично, какое из этих двух предложе-
ний мы станем доказывать, потому что из
одного легко следует другое. В самом деле,
рассмотрим какую-либо систему линейных
неравенств. Можно считать, что ни одно из
этих неравенств не является противоречи-
вым — в противном случае вообще нечего до-
казывать. Допустим, что, например, из пер-
вых трех неравенств системы можно скомби-
нировать неравенство, несовместное с четвер-
тым. В силу доказанного ранее это означает
следующее: если четвертое неравенство систе-
мы записать в виде F 0. то из первых трех
неравенств можно составить комбинацию ви-
17
да kF + I 0, где k sZ 0, I < 0. Если k = (),
то отсюда вытекает, что некоторая комбина-
ция первых трех неравенств системы есть
противоречивое неравенство. Если же k < 0,
то неравенство (—k)F + 1 - (kF + /) ^ 0, яв-
ляющееся комбинацией первых четырех нера-
венств системы, опять-таки противоречиво.
И обратно, если, например, из первых четырех
неравенств системы можно скомбинировать
противоречивое неравенство, то этот факт до-
пускает следующее истолкование: четвертое
неравенство несовместно с некоторой комби-
нацией первых трех.
Мы будем доказывать теорему в ее второй
формулировке: если система несовместна, то
из ее неравенств можно скомбинировать про-
тиворечивое неравенство.
Прежде всего заметим следующее: доста-
точно доказать теорему для систем с одним
неизвестным. В самом деле, пусть (S) — несо-
вместная система линейных неравенств с п не-
известными. Построим для нее сопутствую-
щую систему (S'), для последней — сопут-
ствующую систему (S") и т. д. Получим це-
почку систем
(S), (S'), (S"), ..., (S("-1)),
где (S<n-1)) есть система с одним неизвест-
ным Хь Воспользуемся теперь следующим
предложением, установленным в конце § 3:
система линейных неравенств совместна тогда
и только тогда, когда совместна сопутствую-
щая ей система. Из этого предложения выте-
кает, что вслед за (S) будет несовместна и
система (S<n-1)). Если допустить, что доказы-
ваемая нами теорема справедлива для систем
с одним неизвестным, то отсюда будет следо-
вать, что некоторая комбинация неравенств
системы (S(n-1>) есть противоречивое неравен-
ство. Но из леммы, доказанной в конце пре-
дыдущего параграфа, вытекает, что каждое
неравенство системы (S<n-1>) представляет со-
бой комбинацию неравенств исходной систе-
мы (S). Следовательно, некоторая комбина-
ция неравенств системы (S) есть противоре-
чивое неравенство.
Итак, осталось проверить справедливость
теоремы для систем линейных неравенств с
одним неизвестным.
Пусть дана система
ахх + Ьх !>0,
V + 6m>°-
Можно считать, что все коэффициенты аь
а2, —, ат отличны от нуля. Действительно,
если это не так, например, если ах = 0, то
первое неравенство имеет вид 0 • х + Ьх 0;
если число Ьх неотрицательно, то это неравен-
ство можно отбросить, если же Ьх отрицатель-
но, то первое неравенство нашей системы
противоречиво и доказывать нечего.
Итак, будем считать, что ни одно из чисел
ах, а2, .... ат не равно нулю. Легко видеть,
что среди этих чисел обязательно должны
быть как положительные, так и отрицатель-
ные: в самом деле, если бы указанные числа
имели один и тот же знак, например были бы
положительны, то система (7) приводилась
бы к виду
и, следовательно, была бы совместной.
Предположим, для определенности, что
первые k из чисел ах, а2, ат— положи-
тельны, а остальные т — k — отрицательны,
тогда система (7) равносильна системе
Выберем среди чисел —, ...,—~
наибольшее: пусть, например, таким являет-
ся—Тогда в системе (8) первые k не-
равенств могут быть заменены одним лишь
первым неравенством. Аналогично среди чи-
сел -----ьь+'_ t .	— — выберем наимень-
ak-ri
шее, тогда остальные т — k неравенств си-
стемы (8) могут быть заменены одним лишь
последним неравенством! Таким образом, си-
стема (8) равносильна системе из двух нера-
венств
18
и ее несовместность означает, что
(9)
Из (9) вытекает
(10)
(следует учесть, что Qi > 0 и ат < 0). Если
теперь первое из неравенств (7) умножить на
положительное число —ат, а последнее — на
положительное число п1 и затем произвести
сложение, то получится неравенство
0-х + (Ьта1 — Ь,ат)^0,
которое в силу (10) является противоречивым.
Итак, для систем с одним неизвестным тео-
рема справедлива. В силу сделанного ранее
замечания отсюда вытекает справедливость
теоремы для произвольных систем.
Теорема о несовместных системах — лишь одно из
проявлений аналогии, которая существует между свой-
ствами систем линейных неравенств и свойствами сис-
тем линейных уравнений. Попробуем заменить в фор-
мулировке теоремы слово «неравенство» словом «урав-
нение». Получится следующее предложение:
Если система линейных уравнений несовместна, то из
этих уравнений можно скомбинировать противоречивое
уравнение.
Оказывается, это предложение тоже справедливо.
В несколько иной формулировке оно носит название
теоремы Кронекера — Капелли и доказывается в курсе
линейной алгебры. Впрочем, для правильного понима-
ния сказанного выше необходимо внести уточнение в
понятие комбинации уравнений. Комбинация уравнений
строится тем же путем, что и комбинация неравенств,
с той лишь разницей, что разрешается умножать дан-
ные уравнения на какие угодно, а не только положи-
тельные числа. Противоречивым, как и в случае нера-
венств, называется уравнение, не имеющее решений.
Нетрудно показать, что противоречивое уравнение обя-
зательно должно иметь вид
0-xi 4- 0-х2 + ... + 0-х„ + а = 0,
где а — число, отличное от нуля (после деления обеих
частей на а получаем «уравнение» 1=0). Доказатель-
ство сформулированного выше предложения о несовме-
стных системах уравнений можно провести в принципе
тем же путем, что и в случае неравенств.
А. Д. КУДРЯШОВ,
А. С. МЕЩЕРЯКОВ
(г. шахты) К вопросу о периодических функциях
Пусть дана функция у = f (х), определен-
ная в действительной области D.
Функция у = f (х) называется периодиче-
ской, если существует такое число k 0,
называемое периодом этой функции, что при
всех х g D,
f (х 4- k) = f (х).
Предполагается, что область определения
D периодической функции содержит в себе
все точки вида хй 4- tk, где л0 — любая точ-
ка области D, / = 0, 4-1, 4-2,.... В силу это-
го область определения периодической функ-
ции не ограничена как сверху, так и снизу.
Очевидно, что если k — период функции
у = f (х), то всякое число tk(t = + 1, +2,...)
также является периодом этой функции. Если
в множестве всех периодов некоторой перио-
дической функции имеется наименьший по-
ложительный период, то его обычно называют
главным периодом. Главный период суще-
ствует далеко не у всякой периодической
функции. Так, например, функции
f (х) = с (с — постоянная)
и
( 1, если х — рациональное,
f{x) = (
I 0, если х — иррациональное
(функция Дирихле), являясь периодическими.
не имеют главных периодов. Периодом пер-
вой функции является, очевидно, любое дей-
ствительное число, отличное от нуля, перио-
дом второй — любое не равное нулю рацио-
нальное число. Нетрудно убедиться, что если
k0 — главный период функции у — f (х), то
числа вида kot(t=^z\, 4-2,...) и только эти
числа составляют множество всех периодов
данной функции.
В настоящей заметке рассматривается при-
мер двух периодических функций, опреде-
ленных на множестве всех действительных
чисел, отношение главных (а следовательно,
и любых) периодов которых есть число
иррационное, но сумма которых есть функ-
ция периодическая.
Пусть otj, а,, а3 — три положительных дей-
ствительных числа, таких, что не существует
никакого соотношения вида
CLa. ] —ссс3 === 9	(1)
с целыми коэффициентами а, Ь, с, из кото-
рых по крайней мере один отличен от нуля.
Обозначим через М множество чисел вида
аах 4- Ьа2 4- са3,	(2)
где а, Ь, с — произвольные целые числа.
Нетрудно убедиться, что всякое действитель-
ное число х С М, единственным образом пред-
ставляется в виде (2), т. е. если
19
JC1 — Я1в] + ^1^2 4~ ^la3
И	Х2 = Я2а1 ~Ь ^2а2 ~Ь ^2а31
ah bt, ct (i = 1, 2) — целые числа и хг == х2,
ТО — CLry^ Ьу — Ьг)^ Cj — £2.
В самом деле, при хг = х2 имеем
(«! — а2) aj + (&! — b2) а2 + (<?! — с2) а3 = О,
откуда
CL 1 — CLrfy Ь^ — b0, Ci — С2.
Отметим некоторые свойства чисел множе-
ства 7И.
1.	Сумма и разность двух любых чисел
множества М также принадлежат множе-
ству М.
2.	Число нуль является элементом множе-
ства М, так как
О = 0 • а, + 0  а2 + 0 • а3.
3.	Если Pj £ М, а р,€-/И, то Pi + РгбТИ.
В само^и деле, пусть Pj + ₽2 = 7 б М, тогда
Р2 = + 7 Ч- Pi £ М, как сумма (разность) двух
чисел, принадлежащих множеству М.
4.	Заметим, что сумма (разность) двух чи-
сел, каждое из которых не принадлежит
множеству М, может оказаться принадле-
жащей М.
Рассмотрим функцию
f b + с + Ь2 — с2, если х € М,
= ( 0	, если хёМ. (3)
Если х С -Л7, то в силу единственности
представления его в виде (2), однозначно
определено и число b -f- с 4- Ь2 — с2. Поэтому
равенством (3) задана функция, однозначно
определенная на множестве всех действи-
тельных чисел.
Покажем, что число aj является главным
периодом этой функции.
Легко убедиться, во-первых, что aj — пе-
риод функции (х). В самом деле, если
х € М, то в силу свойства 3. х 4- a, £ М и, сле-
довательно,
/1(х)=0, /1(х + а1) = 0,
т. е.	/1 (х + аО = fi (х).
Если же х € 7И, то х = aa-i 4- Ьа2 4- сс.3,
тогда
х 4- “i = (а 4-1) ai 4- Ьа2 4- <?а3,
fi (х) = b 4- с 4- Ь2 — с2,
fl(x + a.i) = b+c + b2~ С2,
и значит, /1(х4-“1) = f \(х). Таким образом,
при любом действительном х
/1 (х +	= f i(x).
Легко видеть, что при любом целом от-
личном от нуля числе и иал также является
периодом функции /, (х).
Покажем далее, что если k — период функ-
ции (3), то k Е 74. Предположим противное,
а именно, что период k£M. По определению
периода имеем, что при всех х
fi(x + k) = fi(x).
Положим здесь х — а2, тогда должно быть
/1 (“г + ^) = /1 (аг)-
Но а2 4- k Е М, поэтому fi (а, 4- k) = 0, в то
время как fx (а2) = 14-1=2=/= 0, и получено
противоречие.
Таким образом, каждый период k функции
fi(x) принадлежит М, т. е. имеет вид
k = ua-i -}- т2 4- ®а3,
где и, v, w — целые числа, не равные одно-
временно нулю.
Пусть k = «at 4-	+ ®аз ~ произвольный
период функции fy (х).
Тогда при любом х имеем
/,(%+ aa, 4-©а2 4-и«а3) =/1 (X).	(4)
В частности, при х = 0 получаем
fi (ua-i 4- ©а2 4- wa3) = f j (0).
Но .Л(0)=0, fi{ua-i 4- va. 4- Wa3) =
= v 4- w 4- ©2 — w2,
откуда и 4- ® 4" ®2 —	~ 0» или
(г1 4-®)(l + — ®) = 0.
1)	Допустим, что 14-©—w = 0. Тогда
k = ua-i 4- ©a2 4- (1 4-®)a3
и равенство (4) принимает вид
fl (х 4- йоц 4- ©a, 4- (1 4- ©) a3) = /, (x).
Полагая x = — a3, находим
/1(«a14-©a24-©a3) = /1(—a3). Ho
fi (uax 4- ©a2 4- ©ct3) = © 4- © 4- ©2 — ©2 = 2©
и	fi ( аз) =	1	1 =	2.
Следовательно, © = — 1, w = 0 и £ = zza, — a2.
Равенство (4) запишется в виде
/1 (х 4- ««I — a2) =/1W-
Положив здесь х = а2, получим
fi («ai) = /1 (“2)-
Но f i(nai) = 0, а /1 («2) = 1 4-1 = 2, и мы
пришли к противоречию.
Следовательно, 1 4- © — w =/= 0.
2)	Но тогда © 4- ® = 0 и период k имеет
вид	k = nct| 4- ®а2 —
Отсюда при любом х
fi (х 4- «aj 4- ®«2 - w3) = fi (х).
Положим х = a3. Получим
fi (ua-i 4- ©a2 — (© — 1) a3) = fx (a3),
+va.2 — ('v— 1)«3) =
= © — (© — 1) 4- ®2 — (® — 1 )2 = 2©,
/1(a3) = l-l=0,
20
т. е. г> = 0 и период k имеет вид А = ка1э
где и — целое отличное от нуля число. Но
числа «ан как было отмечено выше, дей-
ствительно являются периодами функции
fi(x). Нами, таким образом, доказано, что
числа вида ttalt где и — любое целое число,
не равное нулю, и только эти числа явля-
ются периодами функции fi (х). Отсюда ясно,
что а, действительно является главным пе-
риодом.
Введем в рассмотрение функцию
I а — b + а2 — Ь2, если х Е М,
/ч(х) |q	5 если х£М.
Аналогично тому, как это было сделано
для функции /] (х), нетрудно убедиться, что
главным периодом функции /2(х) является
число а3.
Пусть теперь f (х) = j\(x) 4- f2(x). Функ-
ция f (х), очевидно, имеет вид
I а 4- с 4- а2 — с2, если х Е Af,
/(•*) —|q	, если
Точно так же, как в случае функции /,(х),
убеждаемся, что главным периодом функции
f (х) является число а2.
Из (1) следует, что —— число иррацио-
нальное, и тем не менее сумма функций
f! (х) и /2(х), главными периодами которых
являются числа аг и а3, — функция периоди-
ческая.
Рассмотренный пример и показывает, что
сумма двух периодических функций может
быть периодической и тогда, когда отноше-
ние их периодов число иррациональное.
Из условия (1), в частности, вытекает,
что период и2 суммы /1(х)4- /2(х) не явля-
ется линейной комбинацией с рациональными
коэффициентами периодов функций /, (х)
и f2(x).
В заключение отметим, что аналогичные
примеры можно построить для разности, про-
изведения и частного двух периодических
функций.
Редакция математики издательства «Просвещение» просит поместить на страни-
цах журнола список опечаток к недавно изданной книге В. Н. М о л о д ш его «Очер-
ки по философским вопросам математики».
Опечатки
Страница	Строка	Напечатано	Следует читать
38	22 сверху	множества	множество
67	10 снизу	(где А2 + Вг — 0)	(где А2 4- В2 ф 0)
129	14 сверху	₽, (cos <р 4-	Р, (cos <р, 4-
129	14 сверху	- г (COS ф, 4-	— г (cos ф 4-
129	15 снизу	(an 4-	(ап—
129	15 снизу	4-(с'„	+	+ (с'пап-'Ь'-
131	6 снизу	Но	Не
154	2 сверху	формировались	формулировались
174	16 сверху	4- ап (х — хп)п 4-	4- ап (х — х„)п 4-
178	6 сверху	(* хп	(* хт	1 1 С Хп riru ( хт
		J In х dx и J Inx dx	J In х dx k J In x dx U	0
208	10 сверху	точка	точки
255	11 снизу	а +- с	a 4- c
		“ b 4- d ’	~~b±d
255	5 снизу	сс| a * Сл| I	6	5 8*7“
257	1 снизу	- - - ^Вп—1	•  • 4- Sn_, Bn 4-
300	17 сверху	X. У	xy
21
МЕТОДИЧЕСКИЙ
ОТДЕЛ
Некоторые проблемы обучения
А. И. МАРКУШЕВИЧ
(Москва) математике в школе1
1. Основная проблема, которой подчинены
все остальные,— это проблема содержания
обучения: чему, какой именно математике
нужно учить в наше время в общеобразова-
тельной школе? Проблема эта сравнительно
легко может быть решена для школ, имею-
щих явно выраженный математический уклон
и готовящих своих выпускников к дальнейшим
углубленным занятиям математикой. В конеч-
ном счете, в этом случае речь идет о том,
чтобы школьный учитель и профессор универ-
ситета договорились, как они будут делить
между собой время и труд для решения общей
задачи — подготовки математика-профессио-
нала. В самом отборе материала для изуче-
ния в такой школе, расположении его в опре-
деленную систему и в методах его преподне-
сения учащимся решающее значение имеют
требования профессии.
Гораздо больший общественьый_интерес и
вместе с тем гораздо большие трудности вы-
зывает проблема построения школьного кур-
са математики, рассматриваемого как элемент
общей культуры каждого современного чело-
века, независимо от его общественного поло-
жения и профессии. Добавим еще, что эта
проблема является центральной в том смысле,
что ее рациональное решение создает наибо-
лее благоприятные условия для выявления и
развития математических интересов и спо-
собностей самых широких кругов молодежи
и, следовательно, для их профессиональной
ориентации в области математики и ее при-
ложений.
1 Сокращенное изложение доклада, прочитанного на
пленарном заседании I Международного конгресса по
преподаванию математики (Лион, август, 1969 г.).
22
Решение этой центральной проблемы тре-
бует не только обстоятельного анализа и
оценки современного состояния математики и
перспектив ее развития, выяснения ее места
среди других наук и ее роли в различных об-
ластях человеческой деятельности, но и ис-
следования значения приобщения молодого
человека к ее идеям и методам для развития
личности — ума, воли, характера, способно-
стей к упорядоченном}^ и целеустремленному
труду-
Конечно, подобные вопросы ставились и го-
раздо раньше, скажем, во второй половине
XIX в., когда шел ожесточенный спор между
сторонниками классического и реального об-
разования. Однако в современном мире мате-
матика занимает относительно гораздо боль-
ше места, чем когда бы то ни было, и это
как раз тот случай, когда количество перехо-
дит в качество. Можно назвать три аспекта,
имеющих существенное значение для рассмат-
риваемой проблемы:
а)	небывалый расцвет математических идей
и методов, выражающихся как в развитии об-
щих классических теорий, таких, как матема-
тическая логика, алгебра, топология, функцио-
нальный анализ, теория вероятностей и др.,
так и в появлении новых дисциплин, связан-
ных с новыми областями применения матема-
тики (теория информации, теория графов,
теория игр, линейное программирование, ди-
намическое программирование и т. д.);
б)	все большее распространение электрон-
но-вычислительных машин, позволяющих в
кратчайший срок реализовать теоретические
решения сколь угодно сложных вопросов, до-
водя их до числовых результатов, благодаря
чему успехи математической теории становят-
ся ощутимыми для самых широких кругов
населения;
в)	выявление обобщающих принципов и
концепций и систематизация огромных накоп-
лений математической науки, что позволяет
без большой затраты сил ориентироваться во
всем этом богатстве идей и фактов.
Все только что сказанное поясняет, почему
ученые-математики, а также педагоги и пси-
хологи во все возрастающем количестве и
с надеждой на успех работают над тем, что-
бы сообща прокладывать новые пути — я не
скажу «царские», ибо это понятие в наше вре-
мя уже несколько устарело, но детские пути
к сокровищам математической мысли.
2.	На вопросы о том, из каких именно ма-
териалов должен строиться курс математики
в общеобразовательной школе, какое место
эти материалы должны в нем занимать, до
какой степени глубины и общности раскры-
ваться и, наконец, в свете каких руководящих
идей выступать перед учащимися — на все эти
вопросы нельзя дать однозначные ответы.
Прежде всего на характер этих ответов будут
оказывать влияние цели, выдвигаемые в дан-
ной стране перед общим образованием, а так-
же конкретные формы, в которых это образо-
вание осуществляется. Не пытаясь перечис-
лить здесь все факторы, имеющие значение
для формулировок возможных ответов, отме-
чу еще влияние той или иной философской
оценки самой математической науки. Согла-
ситесь, что есть существенное различие, на-
пример, между убеждением в том, что мате-
матика не имеет никакого отношения к реаль-
ной действительности (Г ей тин г) и понима-
нием математики как науки о наиболее об-
щих — количественных, в философском смыс-
ле этого термина,— отношениях реального
мира (Эн гельс).
В этих условиях весьма впечатляющим яв-
ляется тот факт, что ученые и педагоги раз-
личных стран в главном и основном приходят
к сходным заключениям.
Прежде всего это более или менее реши-
тельный отказ от того, чтобы школьная ма-
тематика замыкалась в тесных пределах
так называемой элементарной математики.
Последнюю, как известно, характеризуют та-
кие темы, как арифметические приемы реше-
ния алгебраических задач (без явного исполь-
зования уравнений), геометрические построе-
ния с помощью ограниченных средств (цир-
куль и односторонняя линейка, без отметок
на ней, один циркуль, одна линейка и т. п.),
геометрия треугольника (и тетраэдра), при-
ведение выражений к виду, удобному для
логарифмирования, показательные, логариф-
мические и тригонометрические уравнения,
исследование функций и построение графиков
без помощи производных, вычисление пло-
щадей и объемов без помощи интегралов
и т. п.
Таким образом, в большинстве случаев речь
идет о решении представляющих определен-
ный интерес задач при обязательном условии
не пользоваться при этом решении теми или
иными наиболее естественными и, как прави-
ло, наиболее эффективными средствами. По-
этому традиционную элементарную математи-
ку можно в значительной мере охарактеризо-
вать как математику запретов, математику
разного рода табу, давно потерявших свое
реальное значение, хотя историческое их про-
исхождение каждый раз легко проследить.
Справедливости ради нужно отметить, что
разработка некоторых из этих тем сыграла
немалую роль в развитии науки, обогатив ма-
тематику ценными идеями. В виде примера
достаточно сослаться хотя бы на историю
построений с помощью циркуля и линейки.
Однако в наше время нет никаких оснований
складывать курс математики, предназначае-
мый для всей учащейся молодежи, из мате-
риалов такого характера.
Такова первая общая часть программы по-
давляющего большинства деятелей науки и
просвещения, занятых перестройкой школь-
ного преподавания математики. Она имеет,
так сказать, негативный характер, так как го-
ворит о том, что следует потеснить в школь-
ном курсе или совсем исключить из него. Ко-
нечно, предложения такого рода не являются
новыми. В существенных чертах они были
высказаны в начале этого столетия
Ф. Клейном и его соратниками. Однако
вплоть до недавнего времени позиции тради-
ционной элементарной математики во мно-
гих школах оставались еще достаточно проч-
ными. Это можно сказать, например, в значи-
тельной степени о преподавании математики
в советской школе. Но, по-видимому, сходное
положение можно констатировать и в школах
других стран.
Во всяком случае, J. Dieudonne в преди-
словии к своей «Algebre lineaire et geometric
elementaire» (цитирую по изданию 1964 г.) не
перестает возмущаться, что во французских
лицеях еще занимают значительное место
1) построения «с помощью линейки и цирку-
ля»; 2) свойства традиционных «фигур», та-
ких, как треугольник, различные четырехуголь-
ники, круги и системы кругов, конические се-
чения; 3) вереница «тригонометрических фор-
мул» и их калейдоскопических преобразова-
ний, доставляющая превосходные «решения»
23
«проблем», относящихся к треугольникам,
и притом, если угодно, с помощью «логариф-
мических вычислений».
К Ф. Клейну восходит также и позитивная
часть программы перестройки, говорящая
о том, что должно быть включено в школьный
курс математики. Но если эта программа
у самого Клейна ограничивается только име-
нами Де к а р т а, Л е й б н и ц а и Ньютона,
целиком относящимися к XVII столетию (эле-
менты аналитической геометрии и математи-
ческого анализа), то теперь список великих
математиков трехвековой давности пополняет-
ся Паскалем и Яковом Бернулли (эле-
менты теории вероятностей), а также, что
весьма существенно, включает и имена из
прошлого столетия — Грасман и Гамиль-
тон (векторы) и Г. Кантор (множества).
От XX в. берется только освещение, с боль-
шей или меньшей зависимостью от духа и бук-
вы трактата Бур б аки. Впрочем, новая про-
грамма математики для советской школы, по
предложению президента Академии наук
СССР М. В. Келдыша, включает еще и
ознакомление с принципами действия счетно-
электронных машин — этих типичных порож-
дений середины XX в.
3.	Недостаточность общих положений, о ко-
торых речь шла выше, для конкретного ре-
шения вопроса о содержании и структуре
школьного курса становится ясной, когда речь
заходит о построении школьного курса гео-
метрии. Эту проблему можно считать одной
из наиболее острых и трудных для решения.
В ней, как в фокусе, сходятся трудности взаи-
моотношений между данными житейского или
естественнонаучного опыта и абстрактными
положениями, между интуицией и логикой,
между классической и современной наукой.
Известная легенда рассказывает о том,
что Евклид отрицал возможность «царского
пути» в геометрии, который вводил бы в ма-
тематику быстрее и проще, чем его «Начала».
Клерю и Лежандр в XVIII в. сделали
весьма успешную попытку в своих учебниках
облегчить для детей прохождение этого, освя-
щенного традицией пути. Но только Ф. Клей-
ну в его «Эрлангенской программе» удалось
проложить принципиально иной путь в гео-
метрии, открывающий новые широкие гори-
зонты и приводящий к коренному пересмотру
ценностей в фактическом содержании геомет-
рии. В качестве центральных геометрических
объектов на этом пути выступают отнюдь не
те или иные фигуры, выделяющиеся особо
простой структурой, как это было у Евклида,
а геометрические преобразования.
24
Д. Гильберт в «Основаниях геометрии»
завершил замысел Евклида и вместе с тем
своей системой аксиом убедил учителей мате-
матики, что построение курса на такой аксио-
матической основе непосильно и в конечном
счете не нужно школе.
Аксиоматика Евклида — Гильберта, осно-
ванная на понятиях длины, угла и
треугольника, «превосходно прячет», как вы-
ражается Г. Шоке (G. Choquet), «векторную
структуру пространства». По сути дела, эта
векторная структура может быть усмотрена
из арифметической интерпретации геометрии,
указанной самим же Гильбертом. Но в явном
виде она была раскрыта впервые, кажется,
Г. Вейлем (Н. Weyl). Именно в обнаруже-
нии векторной структуры евклидова простран-
ства, в понятиях векторного пространства и
скалярного произведения видит «царский
путь» в геометрии G. Choquet в своей книге
«L’enseignement de la geometrie» (Paris,
Hermann, 1964). Однако он не считает воз-
можным, чтобы эти понятия сваливались с не-
ба, без подготовки (etre «parachutees» sans
preparation), и поэтому дает сначала аксиомы
инцидентности и порядка, затем аксиомы аф-
финной структуры и, наконец, аксиомы метри-
ческой структуры, позволяющие ввести поня-
тие скалярного произведения.
По пути, проложенному Шоке (его первые
предложения относятся к 1959 г.), со страст-
ной убежденностью и темпераментом устрем-
ляется талантливый бельгийский математик —
педагог Г. Пани (G. Рару). Он считает идею
векторного пространства центральной для все-
го школьного курса математики и предлагает
уже в III классе школы второй ступени (по
французскому счету)2 давать общее определе-
ние размерности линейного пространства.
Ж. Дьедонне, на которого постоянно ссылает-
ся Папи, с одной стороны, более радикален,
с другой — более умерен.
Его радикальность проявляется в том, что
в своей, цитированной выше книге («Algebre
lineaire etc») он, отдавая должное остроумию
и изобретательности Шоке, считает его систе-
му аксиом компромиссом между лесами
(I’echafaudage), нагроможденными Евклидом
и Гильбертом, и «обнаженной» аксиоматикой
линейной алгебры и потому объявляет ее со-
вершенно бесполезной и даже вредной
(«inutile et meme nuisible»). Он замечает, что
такие дисциплины, как «чистая геометрия»,
«аналитическая геометрия», «тригонометрия»,
«проективная геометрия» и 1. д., не что иное,
2 Это четвертый год обучения после начальной школы.
как разные маски на лице одной и той же
науки — линейной алгебры, и именно ее-то он
и хочет видеть центральной и завершающей
весь школьный курс дисциплиной. В связи
с этим его аксиоматика евклидового простран-
ства 2 или 3 измерений есть просто аксиома-
тика линейного векторного пространства, на-
деленного скалярным произведением (всего
13 аксиом, включая аксиому, определяющую
размерность пространства).
Умеренность Дьедонне проявляется прежде
всего в том, что он проводит демаркационную
черту между школьным и университетским
курсом на уровне трехмерного пространства.
Кроме того, он относит свои предложения
только к последним двум или трем годам
лицея. Что касается курса, осуществляемого
в средних классах (начиная с шестого, по
французскому счету) 3, то здесь он считает
возможным ознакомление учащихся с понятия-
ми и фактами геометрии на уровне «физиче-
ской геометрии» и прохождения небольших де-
дуктивно построенных отрезков теории без по-
пытки сводить все многообразие фактов и
идей к немногим началам. Такого рода заня-
тия должны, в конечном счете, подготовить
учащегося к изучению линейной алгебры. Эти
соображения представляются мне весьма убе-
дительными. Мы могли бы совсем не возра-
жать знаменитому автору, если бы он адресо-
вал свой курс линейной алгебры только буду-
щим математикам. Но он со всей силой под-
черкивает, что это не так и что обучение в
школе второй ступени не предназначается ни
для подготовки будущих математиков, ни
даже будущих учителей математики. Вся беда
в том, что автор вынужден признать в самом
начале предисловия к своей книге (не содер-
жащей, кстати, ни одного чертежа), что лишь
один на тысячу французских бакалавров мо-
жет одолеть ее самостоятельно. Поэтому от
решения проблемы завершения школьного
курса на этом пути мы еще очень далеки.
4.	Задача международного конгресса по во-
просам образования, подобного нашему,
заключается не столько в том, чтобы утверж-
дать единое и пригодное для всех стран реше-
ние большой проблемы, но прежде всего в том,
чтобы терпеливо и со всей возможной объек-
тивностью убедиться, что право на существо-
вание имеют различные к ней подходы и раз-
личные ее решения. В наше время в области
просвещения происходит нечто подобное тому,
что происходило в математике прошлого ве-
ка, когда все постепенно поняли, что нельзя
8 Т. е. первого года обучения после начальной школы.
пытаться опровергать всякую геометрическую
систему, отличную от евклидовой, и что наука
обогащается, если понятие «геометрия» в един-
ственном числе заменить «геометриями» во
множественном. Однако в отличие от строго
фиксированных геометрий, таких, как геомет-
рия Евклида, Лобачевского — Бойяи или Ри-
мана, которые разрушаются, если изменить
характер лежащих в их основе аксиом, пред-
посылки и постулаты, лежащие в основе про-
свещения определенной страны или группы
стран, могут изменяться и эволюционировать,
обусловливая тем самым прогресс школьной
системы. И одно из эффективных средств для
такой эволюции — это международный обмен
опытом. Вот, почему такой обмен имеет важ-
ное не только теоретическое, но и практиче-
ское значение и вот почему необходимо, об-
суждая даже такой специальный вопрос, как
проблемы преподавания математики, дать се-
бе отчет о тех общих условиях, в которых этот
вопрос решается в той или иной стране.
В Советском Союзе проекты нового учебно-
го плана и программ по всем предметам
школьного курса разрабатывались начиная
с декабря 1964 г. в обширной комиссии по
содержанию образования, куда входило около
500 ученых, деятелей культуры и учителей.
Особое внимание было обращено на то, что-
бы установить разумное соответствие между
школьным преподаванием и современным про-
грессом научных и технических знаний и куль-
туры. Такая постановка задачи делала всю
работу комиссии весьма сложной и ответ-
ственной. Из огромного богатства научных
идей и фактов следовало отобрать то, что
действительно необходимо каждому будущему
участнику общественного развития, независи-
мо от его профессии, и вместе с тем доста-
точно для того, чтобы выпускник школы мог
в кратчайший срок овладеть одной из массо-
вых профессий или продолжать образование
в одном из высших учебных заведений.
Чтобы не создавать дополнительных труд-
ностей на пути введения всеобщего среднего
образования, комиссия решила сохранить ны-
не существующую 10-летнюю продолжитель-
ность обучения в средней школе (от 7 до
17-летнего возраста).
Для сравнения со школами Запада, напри-
мер с французской 12-летней школой, где
обучение начинается с 6 летнего возраста,
необходимо учитывать, что у нас занятия в
школе происходят в течение 6 дней в неделю,
а не 5 дней. Поэтому за 10 лет обучения наш
школьник учится примерно столько же дней,
как и французский школьник за 12 лет, хотя
и выходит из школы на год моложе.
25
Опираясь на результаты многолетних ис-
следований психологов и педагогов, комиссия
предложила сократить срок обучения в на-
чальной школе с 4 до 3 лет, вводя соответ-
ствующую перегруппировку программных ма-
териалов и сохраняя существующий конечный
уровень начального обучения. Такое сокра-
щение открыло путь в IV класс (10-летние
дети) учителю с высшим педагогическим об-
разованием, в частности с высшим математи-
ческим образованием.
При общем неизменном сроке обучения
в 10 лет курсы, изучавшиеся после начальной
школы на протяжении 6 лет (с V класса поХ),
теперь будут располагаться на протяжении
7 лет (с IV класса по X).
В результате некоторые учебные материалы
сдвигаются из старших классов в младшие,
причем в отдельных случаях сдвиг этот до-
стигает полутора лет. Например, до сих пор
отрицательные числа появлялись впервые во
втором семестре VI класса, в будущем они бу-
дут изучаться в первом семестре V класса.
Разумеется, подобные сдвиги не происходят
чисто механически, а сопровождаются целесо-
образными изменениями в системе и характе-
ре изложения.
Следуя идеалу всестороннего образования,
комиссия не сочла возможным вводить обособ-
ленные отделения в старших классах школы,
скажем, отделения гуманитарного или естест-
венно-математического профиля, но разрабо-
тала в качестве обязательных для всех школь-
ников единые по своему содержанию и объему
программы по всем предметам гуманитарного
и естественнонаучного циклов.
Вместе с тем для выявления и развития ин-
дивидуальных интересов и способностей уча-
щихся во всех классах начиная с VII
(с 14 лет) предлагаются дополнительные фа-
культативные занятия (занятия по выбору).
Эти занятия вместе с имеющими у нас много-
летнюю традицию различными формами вне-
классных и внешкольных занятий позволяют
проводить в известных пределах дифферен-
циацию обучения. Однако существенно под-
черкнуть здесь, по крайней мере, три обстоя-
тельства, отличающие этот путь дифференциа-
ции от путей, принятых в школах Запада.
Во-первых, школьники, избирающие раз-
личные факультативные курсы, различные
кружки и т. п., учатся в одном и том же
классе, соединяющем на обязательных для
всех занятиях юных математиков и физиков,
химиков и биологов, литераторов и историков,
техников и художников.
Во-вторых, факультативные занятия даже
в двух старших классах, где на них отводится
26
до 6 часов в неделю, составляют не более
20% по отношению к объему общих для всех
занятий.
В-третьих, требования, предъявляемые на
вступительных экзаменах в высшие учебные
заведения, опираются только на знания и
навыки, вынесенные из занятий по общеобя-
зательным программам средней школы. Есте-
ственно, впрочем, что те, кто, например, в те-
чение нескольких лет, следуя своим склонно-
стям, факультативно изучал математику,
будут иметь фактические преимущества при
поступлении, скажем, на физико-математиче-
ский факультет университета.
По мере изготовления новых учебников и
учебных пособий, а также специальных руко-
водств для учителей эти программы постепен-
но реализуются в школах. Полностью переход
на новые программы должен закончиться
в 1975 г.
5.	Я хочу остановиться здесь лишь на неко-
торых отдельных моментах, тесно связанных
с теми особенностями современной советской
школы, о которых только что шла речь.
Прежде всего следует отметить значитель-
ное время, которое наша школа уделяет заня-
тиям по математике. Эти занятия прохо-
дят на протяжении десяти лет ежедневно по
одному уроку (исключение составят лишь
два старших класса, где один день в неделю
будет свободным от обязательных занятий
математикой). Что касается отбора учебного
материала, то составители программ отдавали
предпочтение вопросам наиболее широкого
общеобразовательного характера, изучение ко-
торых содействует формированию научного
мировоззрения и помогает оценить значение
математики во всей системе наук и в практи-
ческой деятельности человека. Поэтому, на-
пример, в программах старших классов цент-
ральное положение занимают элементы мате-
матического анализа и векторы. К сожалению,
для первоначальных понятий теории вероят-
ностей в обязательном курсе не нашлось ме-
ста и они отнесены к факультативным заня-
тиям. Необходимую базу для них составляют
элементы комбинаторики, изучаете в начале
IX класса.
Хочу обратить ваше внимание на сравни-
тельно раннее введение элементов математи-
ческого анализа — начиная с IX класса (уча-
щиеся от -15 до 16 лет), оказавшееся возмож-
ным благодаря некоторой передвижке учеб-
ных материалов сверху вниз, о которой уже
шла речь выше.	t
В наших новых программах не фигурируют
в явном виде темы, относящиеся к обобщаю-
щим понятиям теории множеств, математике-
ской логики и алгебры. Это не означает, что
мы не придаем им значения, а лишь то, что
не считаем целесообразным включать их
в экзаменационные требования. В новых учеб-
никах они вводятся и используются постепен-
но, правда, в довольно ограниченном объеме.
Ограничения распространяются и па соответ-
ствующую символику. Мы полагаем, что со-
временный символический язык математики,
при всем его несомненном значении для спе-
циалистов, нельзя считать обязательным для
каждого образованного человека. Опыт пока-
зывает, что теми, кто избирает математику
в качестве профессии, этот язык усваивается
в свое время легко и быстро. Поэтому нет не-
обходимости начинать его изучение с раннего
возраста, когда склонности и интересы ребен-
ка еще не определились.
В виде примеров использования обобщаю-
щих теоретико-множественных и логических
понятий укажем, что в новом учебнике мате-
матики для IV класса (для 10-летних де-
тей) дается понятие о множестве, его элемен-
тах, подмножествах, пустом множестве, отно-
шениях принадлежности и включения, опера-
циях объединения и пересечения множеств
вместе с соответствующими символами Здесь
же разъясняются понятия открытого и замк-
нутого высказывания. Начиная с VI класса
в курсах алгебры и геометрии применяются
обозначения следования ( => ) и равносиль-
ности высказываний ( <=£ ); используется так-
же обозначение для отрицания высказыва-
ния (Л). В том же VI классе курс геометрии
знакомит детей со списком предложений, при-
нимаемых в дальнейшем без доказательства,
и ролью аксиом, определений и теорем в ло-
гическом построении математики.
Составители новых программ бережно от-
носились к обширному полувековому опыту
преподавания математики в советской школе,
позволявшему добиваться положительных ре-
зультатов в широких масштабах. Следуя
оправдавшей себя традиции, мы продолжаем
настаивать на твердости усвоения важнейших
навыков, безошибочности выполнения ариф-
метических и алгебраических выкладок, раз-
витии пространственных представлений. До-
стижение указанных целей предполагает си-
стематическую и длительную тренировку уча-
щихся в решении надлежащим образом подо-
бранных упражнений и задач.
Программа учитывает многообразные связи
математики с физикой, химией, физической
географией, черчением, трудовым обучением.
Мы считаем целесообразным, чтобы некото-
рые математические понятия предварялись на
уроках физики (например, вектор или произ-
водная, появляющаяся сначала как скорость
произвольного прямолинейного движения)
и чтобы физические задачи разбирались на
уроках математики (например, задача о гар-
монических колебаниях). Значительное место
в программе отводится развитию культуры и
техники вычислений, доводимых до знаком-
ства с принципами использования счетно-
электронных машин. В конце курса X класса
рассмотрение систем линейных уравнений и
неравенств позволяет продемонстрировать на
примерах приемы решения некоторых эконо-
мических задач, относящиеся к линейному
программированию.
6.	В заключение — несколько слов об одной
стороне математического образования, на ко-
торую сами математики обычно не обращают
достаточного внимания. Дело в том, что за
последние годы многие деятели культуры,
упрекая молодежь в недостатке интереса
к высшим духовным ценностям — к искусству,
к поэзии, пытаются возложить вину за это на
точные науки и на современную технику, ко-
торые, мол, заключают в себе тенденцию уби-
вать человеческое в человеке.
Мне пришлось в свое время затратить не-
мало усилий для полемики с подобными
взглядами, которые я считаю глубоко неспра-
ведливыми, в особенности по отношению
к математике и естественным наукам.
Мои оппоненты выдвигали в качестве одно-
го из аргументов пример учащихся одной на-
шей школы, готовившей программистов-вы-
числителей. Эти славные ребята вывесили над
входом в свою школу прекрасный лозунг:
«Хотим быть не только математиками, но и
людьми». Конечно, этот лозунг достоин всяче-
ского уважения и поддержки и, вероятно, раз-
деляется всеми здесь присутствующими. Но
почему, спрашивается, аналогичных лозунгов
не требуют от учащихся художественных
школ? Почему бы, например, учащимся музы-
кальной школы не заявить о своем желании
быть не только музыкантами, но и людьми?
Разве само по себе изучение искусства или
преимущественные занятия искусством служат
надежной гарантией развития лучших сторон
человеческой личности и разве не художест-
венные школы породили среди молодежи яв-
ление богемы со всеми ее привлекательными
(для меня лично — только на сцене) и с ее
темными сторонами? Нет, во всех этих суж-
дениях и рпасениях, усматривающих в разви-
тии точных наук и техники угрозу для гума-
нистических идеалов, я вижу пережитки ве-
ковых предрассудков, идущих, пожалуй, от
эпохи Возрождения. Но можно ли заключить
отсюда, что мы, математики, отвечаем только
27
за ум и не несем никакой ответственности за
чувства, воображение, общественные идеалы
и нравственность молодежи, которую мы вос-
питываем? Нет, не следует! Я убежден в том,
что правильно поставленное изучение естест-
венных наук и математики способно оказывать
несравненно большее положительное влияние
на молодого человека, на формирование его
личности, чем это имеет место в большин-
стве случаев.
Математики способны воспитывать своими
средствами человеческое в человеке.
И "речь идет не только и не столько о вос-
питании важных качеств ума, характера, уме-
ния упорядоченно работать и критически оце-
нивать результаты своей деятельности. Изуче-
ние математики и естествознания может вос-
питывать также и чувства в человеке и готов-
ность служения людям. Каждая подлинная
наука является величайшим созданием челове-
ческого гения, в которое вложили свой заме-
чательный вклад народы мира. И мы только
тогда исполним свой долг перед молодым по-
колением, когда сумеем внушить детям на
наших уроках, что наука — это бесконечный
поиск ради лучшего будущего человечества,
требующий огромной настойчивости, героиче-
ского труда и энергии, и донесем до них то
безграничное мужество, любовь к людям и
жертвенность, которые скрываются за скупы-
ми строчками научных законов, формул
и теорем.
М. С. ГЕЛЬФАНД,
г. д. глейзер, с. м. саакян Новое содержание математического
А. С. ФОМЧЕНКО
(Ленинград) образования в вечерней школе
В настоящее время осуществляется переход
средней общеобразовательной школы на но-
вое содержание образования по всем предме-
там, включая математику. Совершенствование
школьных программ вызвано бурным техни-
ческим прогрессом и повышенными требова-
ниями производства к математической подго-
товке рабочих, а также серьезным отставанием
содержания действующих школьных программ
от современного состояния математической
науки.
Для массовой средней школы создана прог-
рамма, соответствующая возросшим требова-
ниям к среднему образованию *. В соответ-
ствии с новыми требованиями пересмотрено
содержание образования и в вечерней школе
и составлена новая программа по математике.
Определяющая характеристика программы
вечерней школы состоит в том, что соответ-
ствующая ее реализация обеспечивает один
и тот же объем знаний и такой же уровень
математического развития выпускникам вось-
мых классов вечерней школы и восьмых клас-
сов массовой школы, а также выпускникам
одиннадцатых классов вечерней школы и деся-
тых классов массовой школы.
Чем же вызвана необходимость создания
специальной программы для вечерней школы?
1 См. «Математика в школе», 1968, № 2,
Необходимость в отдельной программе для
вечерних школ выз>вана особым контингентом
обучающихся в них, режимом работы школ,
различными формами обучения (вечерние
и заочные, школы с продолжительностью учеб-
ного года 36 недель и 28 недель, школы и клас-
сы мастеров), различной продолжительностью
обучения в школах (в массовой восьмилетней
школе 5 лет — с IV по VIII класс, в вечерней
4 года — с V по VIII; в старших классах
массовой школы два года — IX—X классы,
в вечерней три года — IX—XI классы).
Программа по математике для вечерней
школы создавалась комиссией НИИ вечерних
(сменных) и заочных средних школ АПН
СССР, обсуждалась параллельно с програм-
мой массовой школы и была окончательно
доработана после утверждения Министерством
просвещения СССР программы массовой шко-
лы. Большое участие в ее создании принял
вице-президент АПН СССР профессор
А. И. Маркушевич. В обсуждении програм-
мы приняли участие многие учителя вечерних
школ Москвы, Ленинграда и других городов
и областей, а также сотрудники сектора об-
учения математике НИИ общего и политех-
нического образования, члены отделения ди-
дактики и частных методик АПН СССР и в
особенности член-корреспондент АПН СССР
профессор В. Г. Болтянский, инспектора-
28
методисты Министерства просвещения СССР
Н. А. Ермолаева и В. П. Простосер-
до в. Программа была одобрена математиче-
ской секцией комиссии АН СССР и АПН
СССР по определению содержания среднего
образования под председательством академи-
ка А. Н. Колмогорова и утверждена Кол-
легией Министерства просвещения СССР.
Программа предусматривает изучение сле-
дующих предметов по классам
В V классе — арифметика и начала алгеб-
ры; в VI, VII, VIII классах — алгебра; во вто-
ром полугодии в VI классе и VII, VIII клас-
сах— геометрия.
В IX, X, XI классах параллельно изучаются
два предмета — алгебра и начала анализа,
геометрия
Главная особенность новой программы за-
ключается в том, что она приближает школь-
ный курс математики к современному состоя-
нию математической науки. Курс арифметики
в значительной степени алгебранзирован и на
сыщен элементами геометрии; курс геометрии
пронизан идеями геометрических преобразо-
ваний; большое место уделено изучению век-
торов и координат на плоскости и в простран-
стве. Особо важным является введение в
школьную программу элементов дифферен-
циального и интегрального исчислений.
В IX—X классах изучается производная,
которая применяется к исследованию элемен-
тарных функций и решению практических за-
дач; в XI классе вводится понятие интеграла,
которое используется в геометрии для нахож-
дения объемов тел и в курсе физики.
Отметим некоторые отличия программы ве-
черней школы от программы массовой школы
1.	В вечерней школе фактически отсутству-
ют начальные и четвертые классы. Поэтому
основное содержание программы восьмилетней
массовой школы сконцентрировано в V—
VIII классах. Отсюда и специфичность содер-
жания, структуры, распределения учебного
материала по годам обучения и учебного вре-
мени между математическими предметами
в V—VIII классах вечерней школы.
2.	Программы IX—XI классов включают
ряд вопросов и тем, содержащихся в новой
программе восьмилетней школы (прогрессии,
дробные показатели степени, показательная
функция и логарифмы, неравенства, векторы,
метрические соотношения в косоугольных тре-
угольниках). Это вызвано, в основном, необ-
ходимостью длительное время новую програм-
му старших классов вечерней школы продол-
жать базировать на действующих в настоящее
время программах дневной и вечерней восьми-
летней школы, так как переход девятых клас-
сов вечерней школы на новые программы
начнется раньше, чем завершится переход
восьмилетней школы на новые программы.
И даже после завершения перехода дневной
и вечерней восьмилетних школ на новые
программы в старшие классы вечерней шко-
лы еще много лет будут поступать лица, за-
вершившие восьмилетпее образование по ста-
рым программам. Данная программа преду-
сматривает изучение этих вопросов в орга-
нической связи с прохождением нового
материала, рассредоточив их по всему курсу
IX—XI классов.
3.	Программа IX—XI классов вечерней
(сменной) школы отличается от программы
IX—X классов дневной! школы в структурном
отношении — распределением тем по годам
обучения. Это вызвано трехлетним сроком
обучения в вечерней школе вместо двухлетне-
го в дневной и различными учебными плана-
ми обоих типов школ.
4.	В связи с тем что в вечернюю школу
поступают лица после длительного перерыва
в обучении, имеющие пробелы в знаниях
и учившиеся по различным программам, дан-
ная программа предусматривает небольшое
повторение учебного материала в начале
каждого класса. Особенно это важно в
IX классе.
5.	В старших классах вечерней школы вве-
дена зачетная система проверки знаний уча-
щихся. Поэтому программа указывает по
каждой теме примерное число часов не только
на прохождение учебного материала, но и на
консультации и прием зачетов.
6.	Программа содержит специальную объяс-
нительную записку, в которой указаны цели
и задачи обучения математике трудящихся,
а также приведены некоторые методические
рекомендации к прохождению отдельных тем.
7.	Программа содержит примерное распре-
деление учебного времени по годам обучения,
математическим предметам и темам отдельно
для вечерних школ с продолжительностью
учебного года 36 недель и 28 недель, а также
для школ (классов) мастеров с продолжитель-
ностью учебного года 36 недель.
Программа по математике предоставляет
учителю широкие возможности для выбора
различных методических путей и приемов
в изложении учебного материала, в распреде-
лении учебного времени в пределах одного
и того же класса. Применение различных эф-
фективных методов преподавания и использо-
вание разнообразных методических приемов
стимулируют активность учащихся, повышают
их интерес к изучению математики, содейст-
вуют сознательному усвоению учебного мате-
29
риала и прочному овладению математически-
ми знаниями, умениями и навыками.
В процессе преподавания математики надо
учитывать жизненный опыт и производствен-
ную деятельность учащихся, прививать им
навыки самостоятельной работы, воспитывать
настойчивость в достижении поставленных за-
дач и чувство ответственности за выполняемую
работу, развивать их творческие способности.
С точки зрения связи математики с произ-
водственной деятельностью учащихся важно
устранить еще имеющийся разрыв между
школьными методами решения различных ма-
тематических задач и методами, применяемы-
ми на практике. Для этого необходимо систе-
матически применять приближенные методы,
в частности, широко вводить в практику рабо-
ты различные графические методы, часто
встречающиеся в производственной деятельно-
сти учащихся.
В процессе обучения математике важно
устанавливать систематические связи с учеб-
ным материалом смежных дисциплин — физи-
ки, химии, черчения и др. В курсе математики
следует использовать уже имеющиеся у уча-
щихся сведения из этих предметов; в то же
время на уроках математики надо знакомить
и с такими фактами, которые при изучении
смежных дисциплин получат дальнейшее при-
менение и развитие.
Настоящая программа является основой для
создания учебников, учебных и методических
пособий для вечерней школы.
Приведем текст утвержденной программы.
ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ V—XI КЛАССОВ
ВЕЧЕРНЕЙ (СМЕННОЙ) СРЕДНЕЙ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬ-
НОЙ ШКОЛЫ (ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТЬ УЧЕБНОГО
ГОДА —36 НЕДЕЛЬ)
АРИФМЕТИКА И НАЧАЛА АЛГЕБРЫ
V класс
(7 час. в неделю, всего 252 часа)
1.	Натуральные числа — 50 час.
Чтение и запись многозначных чисел. Изображение
чисел точками на луче. Сравнение чисел. Неравенства
Законы арифметических действий коммутативность,
ассоциативность и дистрибутивность. Сложение, вычи-
тание, умножение и деление многозначных чисел.
Числовые выражения. Преобразование числовых вы-
ражений на основе законов арифметических действий.
Выражения, содержащие переменные. Понятие об урав-
нении первой степени с одним неизвестным. Примене-
ние уравнений к решению задач.
2.	Десятичные дроби — 85 час.
Измерение величин. Десятичная система мер. Деся
тичная дробь. Изображение десятичных дробей точками
аа числовой прямой. Сравнение десятичных дробей.
Сложение, вычитание, умножение и деление десятич-
ных дробей. Законы действий. Округление чисел. Сред-
нее арифметическое.
3.	Обыкновенные дроби — 65 час.
Делимость чисел. Делители числа. Простые числа.
Признаки делимости чисел. Разложение чисел на про-
стые множители. Наибольший общий делитель. Взаим-
но простые числа. Наименьшее общее кратное.
Понятие обыкновенной дроби Изображение дробей
точками на луче. Сокращение дробей. Приведение дро-
бей к общему знаменателю. Сравнение дробей. Сложе-
ние, вычитание умножение и деление обыкновенных
дробей. Законы действий. Решение примеров и задач на
дроби.
4.	Действия над обыкновенными и десятичными дробя-
ми — 52 часа
Четыре арифметических действия над обыкновенны-
ми и десятичными дробями. Десятичные приближения
обыкновенной дроби.
Понятие процента. Решение задач на проценты. Вы-
числения по формулам. Формула s = vt. Формулы длины
окружности, площади прямоугольника, треугольника и
круга, объема прямоугольного параллелепипеда. Фор-
мулы площади квадрата и объема куба.
АЛГЕБРА
VI класс
(6 час. в неделю в первом полугодии и 4 часа — во вто-
ром, всего 178 час.)
1. Действия над обыкновенными и десятичными дро-
бями. Проценты (повторение) — 24 часа
Совместные действия над обыкновенными и десятич-
ными дробями.
Проценты. Решение задач на проценты.
2. П риближенные вычисления. Логарифмическая ли-
нейка — 16 час.
Понятие о точных и приближенных значениях вели-
чин. Абсолютная и относительная погрешности. Округ-
ление результатов действий над числами.
Основная шкала логарифмической линейки. Умноже-
ние и деление чисел при помоши логарифмической ли-
нейки.
3 Алгебраические выражения — 12 час.
Алгебраическое выражение; числовое значение выра-
жения. Буквенная запись законов арифметических дей
ствий. Решение простейших задач с буквенными дан-
ными. Буквенная запись формул для вычисления пери-
метров и площадей, поверхностей и объемов различных
геометрических фигур. Вычисления по готовым форму-
лам.
4. Рациональные числа — 24 часа
Положительные и отрицательные числа. Число нуль.
Изображение чисел точками на прямой (числовая пря-
мая). Модуль числа. Сравнение чисел.
Сложение. Противоположные числа. Вычитание. Рас-
стояние между двумя точками числовой прямой. Алгеб-
раическая сумма. Умножение. Возведение в степень. Де-
ление. Совместные действия над рациональными числа-
ми Законы действий.
Преобразование простейших выражений: раскрытие
скобок, вынесение общего множителя за скобки, приве-
дение подобных членов
30
5	Прямая и обратная пропорциональность — 18 час.
Отношение величин и чисел. Пропорция. Основное
свойство пропорции. Нахождение неизвестного члена
пропорции.
Понятие функции. Прямая и обратная пропорциональ-
ность.
Координатная плоскость. Абсцисса и ордината точки
на плоскости. Построение точки по ее координатам и
k
обратная задача. Графики функций у = kx; у=—.
6.	Уравнения первой степени с одним неизвестным. Ли-
нейная функция — 30 час.
Тождество и уравнение. Понятие о равносильности
уравнений, основные свойства уравнений. Решение
уравнений с числовыми коэффициентами. Решение задач
при помоши уравнений.
Линейная функция и ее график.
7.	Целые алгебраические выражения — 54 часа
Степени с целым показателем (положительным, ну-
левым и отрицательным). Формула nm-a" = am+".
Одночлены и их приведение к стандартному виду:
kxlymzn.
Запись больших и малых чисел в виде й-10".
Преобразование любого целого выражения в много-
член.
Стандартный вид многочлена от одного переменного.
Формулы сокращенного умножения:
(д±Ь)2; (a + b)(a — Ь);
(а ± Ь)3; (а ± b) (a2 =F ab + 62).
Примеры разложения многочленов на множители.
VII класс
(3 часа в неделю в первом полугодии и 2 часа — во
втором, всего 89 час.)
1.	Повторение — 6 час.
Тождественные преобразования целых алгебраических
выражений.
2.	Рациональные выражения — 30 час.
Преобразование любого рационального выражения в
отношение двух многочленов. Сокращение алгебраиче-
ских дробей при помощи разложения числителя и зна-
менателя на множители.
Примеры уравнений с неизвестными в знаменателе.
3.	Системы линейных уравнений —15 час.
Системы уравнений. Решение систем линейных урав-
нений.
Множество решений системы двух уравнений первой
степени с двумя неизвестными и его геометрическое
изображение.
4.	Неравенства — 18 час.
Свойства неравенств. Действия с неравенствами.
Неравенства первой степени с одним и двумя неиз-
вестными, их геометрический смысл. Множество реше-
ний неравенств, понятие о равносильности неравенств.
Неравенство | а + b |	| а | + | Ь | .
5.	Корни. Организация вычислений и вычислительная
техника— 18 час.
Квадратный корень и его арифметическое значение.
Понятие о вычислении квадратного корня с заданной
точностью. Нахождение квадратного корня по таблицам
и при помощи логарифмической линейки. Понятие кор-
ня с натуральным показателем.
Таблицы квадратов, кубов, квадратных и кубических
корней.
Г рафики функций у = х2; у = хг. Функция, обрат-
ная данной. Графики функций у = Vх\ у = у^х.
Линейная интерполяция.
Организация вычислений. Расписка формул для руч-
ных вычислений. Понятие о программировании для ма-
шинных вычислений.
6.	Повторение — 2 часа
VIII класс
(3 часа в неделю, всего 108 час.)
1.	Повторение — 4 часа
2.	Квадратные уравнения — 30 час.
Квадратные уравнения. Общая формула корней.
Теорема Виета и обратная теорема. Разложение квад-
ратного трехчлена на множители.
Функция у — ах2 + Ьх + с и ее график.
Примеры уравнений и систем уравнений, приводимых
к квадратным уравнениям.
3.	Арифметическая и геометрическая прогрессии —
10 час.
Рекуррентные определения последовательностей. Фор-
мулы общего члена и суммы п членов арифметической
и геометрической прогрессий.
4.	Дробные показатели степени. Показательная функ-
ция и логарифмы — 50 час.
Обобщение понятия степени. Показательная функция.
Формулы: ах-а« — ах+у; (ax)v = axv;
(ab)x = axbx.
График показательной функции.
Десятичные логарифмы, формулы:
1g (*. у) = 1g х + 1g у; 1g -у- = 1g х — 1g у:
lg х" = n\g х: ах — 10х.
Таблицы логарифмов. Примеры вычислений с табли-
цами.
Приведение выражений, содержащих только знаки
операций умножения, деления, возвышения В степень и
извлечения корня, к стандартному виду ^“у^.
Примеры решения иррациональных уравнений.
5.	Повторение — 14 час.
ГЕОМЕТРИЯ
VI класс
(2 часа в неделю во втором полугодии, всего 38 час.)
1. Основные понятия геометрии. Взаимное расположение
прямых на плоскости — 16 час.
Предмет геометрии. Геометрическое тело, поверх-
ность, линия, точка. Прямая линия. Плоскость.
Луч. Отрезок. Сравнение отрезков. Измерение и по-
строение отрезков при помощи масштабной линейки.
Ломаная линия и ее длина.
Окружность и круг. Центр, радиус, хорда, диаметр,
дуга, сектор, сегмент.
Угол. Сравнение углов. Центральный угол. Соответ-
ствие между центральными углами, дугами и хордами.
Градусное измерение дуг и углов. Измерение и построе-
31
ние углов при помощи транспортира. Биссектриса угла.
Виды углов. Смежные углы. Вертикальные углы. По-
строение прямого угла при помощи чертежного тре-
угольника и линейки.
Параллельные прямые. Два перпендикуляра к одной
прямой параллельны. Построение параллельных прямых
при помощи чертежного треугольника и линейки.
Признаки параллельности двух прямых. Аксиома па-
раллельности. Свойства углов, образующихся. при пере-
сечении двух параллельных прямых третьей прямой.
Свойства углов с соответственно параллельными или
перпендикулярными сторонами.
2. Треугольник. Осевая симметрия — 22 часа
Треугольник и его элементы. Виды треугольников.
Биссектрисы, медианы и высоты треугольника Сумма
внутренних углов треугольника. Свойство внешнего уг-
ла треугольника. Равенство углов (сторон), лежащих
против равных сторон (углов) в треуюльнике.
Понятие об аксиомах геометрии. Теорема, условие и
заключение. Обратная и противоположная теоремы.
Сравнение длин катета и гипотенузы прямоугольного
треугольника. Расстояние от точки до прямой. Каса-
тельная к окружности. Теоремы о касательной к ок-
ружности. Измерение вписанных углов и углов, образо-
ванных касательной и хордой.
Осевая симметрия точек и фигур. Построение точки
(прямой), симметричной с данной точкой (прямой) от-
носительно данной оси Осевая симметрия данной фи-
гуры. Свойства биссектрисы равнобедренного треуголь-
ника. Правильный треугольник. Свойства катета пря-
моугольного треугольника, лежащего против угла в 30°.
Свойства диаметра, перпендикулярного к хорде. Равен-
ство дуг, заключенных между параллельными хордами.
VII класс
(2 часа в неделю в первом полугодии и 3 часа — во
втором, всего 91 час)
1. Повторение — 4 часа
2 Равенство треуго 1ьников. Г еометрические построе-
ния — 20 час.
Равенство треугольников. Построение треугольников
по основным элементам и признаки равенства треуголь-
ников Признаки равенства прямоугольных треугольни-
ков.
Задачи иа построение. Проведение перпендикуляра к
данной прямой через данную точку. Деление отрезка
на две равные части. Построение угла, равного данно-
му. Построение параллельных прямых. Деление угла
на две равные части Проведение касательной к окруж-
ности через данную точку.
3. Четырехугольники и параллельный перенос — 36 час.
Многоугольники. Выпуклый многоугольник Четырех-
угольник.
Полоса, параллелограмм, ромб, прямоугольник.
Свойства и признаки параллелограмма. Виды паралле-
лограммов и их свойства. Построение параллелограм-
мов.
Векторы. Сложение и вычитание векторов. Парал-
лельный перенос. Построение фигур, перенесенных по
заданному направлению на заданное расстояние.
Трапеция. Равнобедренная трапеция. Построение тра-
пеции Средняя линия треугольника. Средняя линия
трапеции. Свойства медиан треугольника.
Измерение площадей. Площадь квадрата, прямо-
угольника, параллелограмма, треугольника и трапеции.
Площадь произвольного многоугольника.
Центральная симметрия точек и фигур. Построение
точки (прямой), симметричной с данной точкой (пря-
мой) относительно другой данной точки (центра).
Центральная симметрия данной фигуры. Центральная и
осевая, симметрия параллелограммов.
4. Подобие — 28 час.
Подобие произвольных фигур. Коэффициент подобия.
Признаки подобия треугольников
Умножение вектора на число. Гомотетия. Построение
многоугольников, гомотетичных данным.
Отношение площадей и объемов подобных фигур.
5. Повторение — 3 часа
VIII класс
(2 часа в неделю, всего 72 часа)
1.	Повторение — 4 часа
2.	Метрические соотношения в треугольнике. Тригоно-
метрические функции углов от 0° до 180° — 28 час.
Метрические соотношения в прямоугольном треуголь-
нике. Теорема Пифагора
Расстояние между двумя точками, заданными своими
координатами. Уравнение окружности
Определение тригонометрических функций (синус,
косинус, тангенс), их изменение при изменении угла в
пределах от 0° до 180°. Значения тригонометрических
функций для углов 0°, 30°, 45° 60°, 90°.
Тождества:
.	»	slna
sin1 2 3 а + cos- а = 1. tg а = 'ТГа
sin (90° -— а) = cos а; cos (90° — а) =~ sin а;
sin (180° — а) = sin а; cos (180° — а) — — cos а.
Таблицы тригонометрических функций. Решение пря-
моугольных треугольников.
Теорема косинусов. Формулы площади треугольника.
Теорема синусов. Решение косоугольных треугольников.
3.	Многоугольники и окружность. Вращение — 20 час.
Сумма внутренних и сумма внешних углов выпуклого
многоугольника. Вписанные и описанные треугольники.
Свойства углов вписанного четырехугольника и сторон
описанного четырехугольника.
Правильные многоугольники. Вписанные и описанные
правильные многоугольники. Построение правильных
многоугольников. Определение стороны правильного
многоугольника по радиусу описанной окружности и
центральному углу. Площадь правильного многоуголь-
ника. Поворот. Вращение.
Решение задач (по готовым формулам) на вычисле-
ние длины окружности и ее дуги, площади круга, сек-
тора и сегмента
Заключительный обзор Движения, сохраняющие и
меняющие ориентацию. Правая и левая системы коор-
динат. Аналитическая запись параллельного переноса,
осевой симметрии и гомотетии в подходящей системе
координат.
4.	Поверхности и объемы тел — 8 час.
Начальные сведения по стереометрии (взаимное рас-
положение прямых и плоскостей в пространстве).
Решение задач (по готовым формулам) на вычисле-
ние поверхностей и объемов геометрических тел. Пра-
вильная призма, прямой круговой цилиндр, правильная
пирамида, прямой круговой конус, шар и др. (Задачи
подбираются с учетом производственного опыта уча-
щихся.)
5.	Повторение— 12 час.
32
АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА (IX—XI классы]
IX класс
(3 часа в неделю, всего 108 час.)
1.	Повторение— 16 час. (12 + 4)2
Действия над рациональными выражениями. Линей-
ная и квадратная функции и их графики. Уравнения и
системы уравнений первой и второй степени. Примеры
решения иррациональных уравнений.
2.	Принцип математической индукции. Последователь-
ности— 14 час. (10 + 4)
Принцип математической индукции. Применение
принципа индукции к выводу различных формул.
Рекуррентные определения последовательностей. Фор-
мулы общего члена и суммы п членов арифметической
и геометрической прогрессий.
3.	Элементы комбинаторики — 12 час. (9 + 3)
Перестановки Сочетания.
Треугольник Паскаля.
Бином Ньютона.
4.	Неравенства—12 час. (8 + 4)
Неравенства и их свойства. Действия с неравенст-
вами.
Функциональные неравенства. Равносильность. Реше-
ние неравенств первой и второй степени.
5.	Предел последовательности—16 час. (12 + 4)
Определение предела. Теоремы о пределах суммы,
произведения и частного (без доказательств).
Сумма бесконечно убывающей геометрической про-
грессии. Периодические десятичные дроби.
Иррациональные числа как непериодические десятич-
ные дроби. Доказательство иррациональности У2. Су-
ществование предела ограниченной монотонной после-
довательности (без доказательства). Число л. Действи-
тельные числа.
6.	Производная и ее применения — 36 час. (28 + 8)
Предел функции. Производная.
Производная суммы, произведения, частного, хп при
целом п.
Возрастание и убывание функций, максимумы и ми-
нимумы.
Исследование квадратного трехчлена.
Применение производной в геометрии (касательная)
и физике (скорость, ускорение).
7.	Повторение — 2 часа
X класс
(3 часа в неделю в первом полугодии и 2 часа — во
втором, всего 89 час.)
1.	Повторение — 5 час. (3+ 2)
2.	Тригонометрические функции и их производные (на-
чало темы) —40 час. (30 + 10)
Обобщение понятия об угле. Радианное измерение
углов и дуг. Предел отношения хорды к дуге.
Тригонометрические функции числового аргумента и
соотношения между ними. Нахождение значений три-
2 Здесь и в дальнейшем в скобках приведено при-
мерное распределение времени на уроке (первое слага-
емое) и на консультации и зачеты (второе слагаемое).
По усмотрению учителя часы, отведенные для консуль-
таций и приема зачетов, могут быть использованы на
проведение уроков.
тонометрических функций данного аргумента и нахож-
дение аргумента по данным значениям тригонометриче-
ских функций.
Графики тригонометрических функций; четность и не-
четность. Формулы приведения. Периодичность триго-
нометрических функций.
Тригонометрические функции суммы и разности,
двойного и половинного аргументов.
Производные тригонометрических функций.
3.	Дробные показатели степени. Показательная и лога-
рифмическая функции и их производные — 44 часа
(32 + 12)
. Обобщение понятия степени. Степенная функция. По-
казательная функция. Формулы:
ах• а» = ах+»; (ах)« = ах»;
(аЬ)х = ахЬх.
График показательной функции.
Логарифм числа. Понятие обратной функции. Лога-
рифмическая функция с произвольным основанием
и ее график. Формулы:
с10В“Х = х-, loga (ху) logax + logay;
х
logfl —---logflX — logay; logaxa = fl logQx;
Десятичные логарифмы. Таблицы логарифмов. Приме-
ры вычисления с таблицами. Логарифмическая шкала
и логарифмическая линейка.
Производная показательной функции. Уравнение по-
казательного роста.
Производная обратной функции.
Производная логарифмической функции.
XI класс
(2 часа в неделю, всего 72 часа)
1.	Повторение — 4 часа (2 + 2)
2.	Интеграл—12 час. (10 + 2)
Первообразная функция. Определенный интеграл и
его применение к вычислению площадей. Формула Нью-
тона — Лейбница.
3.	Тригонометрические функции и их производные (окон-
чание темы) —24 часа (18 + 6)
Преобразование суммы и разности тригонометриче-
ских функций в произведение;  обратное преобразова-
ние.
Гармонические колебания, уравнение у" = —k2y.
Сложение гармонических колебаний с обшим перио-
дом.
Понятие об обратных тригонометрических функциях.
Примеры решения тригонометрических уравнений.
4	Системы уравнений и неравенств. Счетно-электронные
машины—14 час. (12 + 2)
Множество решений уравнений и неравенств, систем
уравнений и неравенств. Геометрическая интерпретация.
Задачи с практическим содержанием, приводящиеся
к решению систем уравнений и неравенств. Понятие
о линейном программировании. Понятие об арифмети-
ческом устройстве электронных вычислительных машин
(ЭВМ). Беседа о современной вычислительной технике.
5. Повторение—18 час. (10 + 8)
2 Математика в школе. № в
33
ГЕОМЕТРИЯ (IX—XI классы)
IX класс
(1 час в неделю, всего 36 час.)
1. Повторение — 8 час. (6 + 2)
Признаки равенства треугольников. Определение,
признаки и свойства параллелограммов. Подобие тре-
угольников и многоугольников.
Вписанные и описанные многоугольники. Площади
плоских фигур.
2. Векторы на плоскости. Триг неметрические функции
углов от 0° до 180° — 28 час. (21 + 7)
Триюнометрические функции острого угла. Решение
прямоугольных треугольников (повторение).
Векторы, сложение и вычитание векторов. Умноже-
ние вектора на число. Разложение вектора по двум на-
правлениям.
Определение тригонометрических функций, их из-
менение с изменением угла в пределах от 0° до 180°.
Значения тригонометрических функций для углов 0°,
30°, 45°, 60°, 90°, 180°. Тождества:
sin a	COS а
sin2 а + cos’ а -1; tg а = —; ctga-^;
sin (90’ — а) = cos а; cos (90° — а) — sin а;
sin (180° — а) = sin а; COS (180° — а) = — COS а.
Скалярное произведение двух векторов и его свойства.
Теорема косинусов. Формулы площади треугольника.
Теорема синусов. Решение косоугольных треугольников.
X класс
(2 часа в неделю, всего 72 часа)
1. Прямые и плоскости, координаты и векторы в прост-
ранстве — 60 час. (50 + 10)
Понятие о логической структуре геометрии (опреде-
ления, аксиомы, теоремы).
Параллельность прямых и плоскостей в пространстве.
Связка параллельных прямых. Направление. Векторы в
пространстве; параллельный перенос. Сложение векто-
ров, умножение вектора на число.
Разложение вектора по трем направлениям.
Параллельное проектирование (иа плоскость). При-
менение к построению изображений пространственных
фигур.
Перпендикулярность прямых и плоскостей. Ортого-
нальное проектирование на плоскость и на прямую.
Углы между прямыми и плоскостями. Площадь про-
екции. Теорема о трех перпендикулярах.
Координаты вектора и точки в прямоугольной систе-
ме координат. Скалярное произведение, его выражение
через координаты, свойства скалярного произведения.
Уравнение плоскости. Расстояние между двумя точками
в пространстве. Уравнение сферы.
2. Многогранники и их свойства—12 час. (10 + 2)
Многогранные углы. Плоские и двугранные углы
многогранного угла.
Призма и параллелепипед. Пирамида. Усеченная пи-
рамида. Куб и правильный тетраэдр.
XI класс
(1 час в неделю в первом полугодии и 2 часа — во
втором, всего 55 .час.)
1.	Повторение — 3 часа (2+1)
2.	Поверхности и объемы многогранников и тел вра-
щения — 34 часа (28 + 6)
Площади боковой и полной поверхностей призмы и
пирамиды.
Поверхности вращения и тела вращения.
Площади поверхностей круглых тел (цилиндр, конус,
сферический сегмент, сфера)..
Понятие объема. Объем параллелепипеда, призмы,
цилиндра, пирамиды, конуса, шарового сегмента и шара.
Задачи на поверхности и объемы.
3.	Повторение—18 час. (9 + 9)
В помощь начинающему учителю
Планы работы по математике на
II полугодие
От редакции. Публикуемые планы
работы по математике составлены в- полном
соответствии с программами, утвержденными
Министерством просвещения СССР для
V—VIII классов восьмилетней школы и
IX—X классов средней школы на 1969/70 учеб-
ный год.
При установлении учебного времени на от-
1969/70 учебного года
дельные темы авторы исходили из этих прог-
рамм, считая при этом в I полугодии 16 учеб-
ных недель и во II —19. В соответствии с этим
дана и нумерация уроков. В учебное время,
указанное в планах, включено время как на
изучение теоретического материала, так и на
решение упражнений и задач.
Предлагаемые планы надо рассматривать
34
как рекомендацию, как один из возможных
вариантов. В конкретных условиях работы
в школе учитель творчески подойдет к этим
планам и внесет в них по согласованию с ру-
ководством школы необходимые с его точки
зрения изменения.
Заметим в связи с этим, что в объяснитель-
ных записках к программам как для V—VIII,
так и для IX—X классов подчеркивается, что
«программы предоставляют учителю широкие
возможности для выбора различных методи-
ческих путей и приемов в изложении конкрет-
ного материала, в распределении учебного
времени в рамках одного класса».
В планах указаны в большинстве случаев
только часовые письменные контрольные рабо-
ты. Однако в процессе изучения нового мате-
риала большую пользу приносят письменные
работы на 10—20 минут, проверяемые, как
правило, на том же уроке, на котором они
проводятся. Содержанием таких работ могут
быть упражнения на вычисление, тождествен-
ные преобразования, решение уравнений, по-
строение графиков и т. п. Например, а) в
V классе: примеры на сложение и вычитание
десятичных дробей; на умножение десятичных
дробей и вычисление процентов числа; на де-
ление десятичных дробей и нахождение числа
по его процентам и т. п., б) в VI классе: не-
большие упражнения, проверяющие знание
основных понятий, связанных с введением
положительных и отрицательных чисел, число-
вой прямой, абсолютной величины числа;
действия над рациональными числами и ре-
шение простейших уравнений; сложение и вы-
читание многочленов; умножение многочленов;
формулы сокращенного умножения; в) в
VII классе: решение уравнений; разложение
многочленов на множители; преобразование
выражений, содержащих алгебраические дро-
би, и т. д.
При изучении некоторых тем программы ре-
комендуется использовать учебные диафильмы
и кинофильмы. Рекомендации по методике ра-
боты с ними в V—VIII классах изложены
в статье Т. Л. Сытиной в № 5 за 1969 г.
В планы методической работы в школе кол-
лективам учителей математики можно реко-
мендовать включить вопросы, связанные с
введением новых программ. Учителям мате-
матики средней школы полезно познакомиться
с учебниками математики для начальных
классов и соответствующими пособиями для
учителей, посетить уроки математики в этих
классах.
В IV классе с 1970/71 учебного года вводит-
ся предметное преподавание. Поэтому уже те-
перь учителям математики следует познако-
миться с программой для IV класса, с опуб-
ликованными в нашем журнале материалами,
относящимися к преподаванию математики в
I—IV классах (1967, № 1, 2, 3; 1968, № 1, 2,
3, 4; 1969, № 1, 2, 3, 4), с новым учебником
для IV класса и пробными учебниками по ма-
тематике для IV—V классов.
В планы работы школьных методических
объединений наряду с вопросами частной ме-
тодики преподавания математики по дей-
ствующей программе рекомендуется вклю-
чить изучение содержания новой программы
по математике, а также актуальные вопросы
общей методики, например: 1) воспитание в
процессе обучения, 2) обеспечение математи-
ческого развития учащихся, 3) подготовка
учащихся к самостоятельным поискам знаний,
4) межпредметные связи в преподавании ма-
тематики, 5) организация обмена опытом,
6) внеклассная работа и т. п.
Постоянным вниманием коллектива учите-
лей математики должны пользоваться и фа-
культативные курсы в VII—X классах.
В составлении планов принимали участие
учителя московских школ и методисты
МГИУУ: Г. А. Бахурин, С. М. Гуль,
Е. Г. Крейдлин, П. Б. Р о й т м а н, А. Н. Ч у-
довский и К. П. Сикорский.
ч
2*
V класс АРИФМЕТИКА (6 часов в неделю}
№ Уро- ков	Содержание учебного материала	Повторение
1	2	3
	III четверть (60 часов)	
97—	Различные задачи и	Законы арифмети-
103	упражнения на все дей-	ческих действий. За-
	ствия над обыкновен-	висимость	между
	ными дробями	компонентами дей- ствий
104	Контрольная работа № 12	
	Десятичные дроби	
105—	Десятичные	дроби,	Обыкновенная
108	запись и чтение деся-	дробь. Основное свой-
	тичных дробей. Запись	ство дроби и приме-
	1	1	2 дробей -2~, -g-, -g-,	нение его к преобра- зованию дроби. Срав-
		нение обыкновенных
	3	1	3 -5-,	~ в виде де' сятичных. Запись име-	дробей
	нованных чисел (в мет- рической системе мер)	
	при помощи десятичных	
	дробей. Сравнение де- сятичных дробей по ве-	
	личине	
109—	Округление целых чи- сел и десятичных дро-	
НО	бей. Записи 87 564 ~ 87,6 тыс.; 127 486 тыс.~ 127,5	
	млн. и т. д.	
111	Контрольная работа № 13	
112—	Сложение и вычита-	Сложение и вычи-
117	ние десятичных дробей	тание обыкновенных
	письменно, устно и на счетах. Нахождение пе-	дробей
	риметров	некоторых геометрических фигур	
	(квадрата, прямоуголь- ника, треугольника) по	
	готовым данным и по	
	данным,	полученным путем непосредственно- го измерения. Прибли-	
	женное значение суммы. Практическая работа	
118—	Умножение десятич-	Нахождение дроби
123	иых дробей. Применение	числа. Умножение
	законов умножения к	обыкновенных дро-
	вычислениям. Понятие о	бей. Изменение про-
	проценте, нахождение процента числа	изведения в зависи- мости от увеличения множителей в не- сколько раз
124	Контрольная работа № 14	
		
125—	Нахождение площади	Меры площади и
130	квадрата, прямоуголь- ника, поверхности и объема куба и прямо- угольного параллелепи- педа по готовым данным.	объема
	полученным путем не- посредственного пзме-	
1	1	1	з
	рения. Приближенное	
131—	значение произведения. Практическая работа	
	Задачи и примеры па	
136	сложение, вычитание и	
	умножение десятичных дробей.	Составление	
	сметы	
137	Контрольная работа М» 15	
138—	Деление десятичной	Нахождение числа
143	дроби на целое число.	по его дроби. Деле-
	Изменение частного при	ние обыкновенных
	изменении делимого и	дробей
	делителя. Деление на де- сятичную дробь. Нахож- дение Числа по его про- центу. Приближенное	
	частное	«
144	Контрольная работа № 16	
145—	Задачи и упражнения	Выражение одних
151	на четыре действия над	компонентов действий
	десятичными дробями. Среднее арифметическое (средняя скорость дви-	через другие
	жения, средняя выра- ботка, средняя темпе-	
	ратура и т. п.). Зада- чи с геометрическим содеожанием. Практи-	
152	ческая работа	
	Контрольная - работа А» 17	
		
153—	Решение задач и	
156	упражнений на все дей- ствия над десятичными	
	дробями IV четверть (54 часа)	
157—	Решение задач 1 и	Изменение резуль-
163	упражнений на все дей-	татов действий в за-
	ствия над десятичными	висимости от измене-
	дробями включая про-	ния компонентов дей-
	стекшие задачи на про-	ствий.	Делимость
	цент ы	суммы.	Признаки
164	Контрольная работа	делимости на 2 и 5,
	№ 18	4 и 25, 9 и 3
	СОВМЕСТНЫЕ ДЕЙ- СТВИЯ НАД ОБЫК-	
	НОВЕННЫМИ И ’ ДЕСЯТИЧНЫМИ	
	ДРОБЯМИ. ОТНОШЕ-	
	НИЕ ВЕЛИЧИН	
165—	Обращение обыкно-	Разложение чисел
166	венных дробей в деся-	на простые множи-
	тичные (точно и при- ближенно). Периодиче-	тели
167—	ские дроби Совместные действ я	Наибольший общий
171	над обыкновенными и	делитель и наимень-
	десятичными дробями—	шее общее кратное
	задачи и упражнения	Взаимно	простые
172	Контрольная работа № 19	числа
1 При решении некоторых задач рекомендуется
применение уравнений; см в № 5 за 1969 г. статью
С. А. Пономарева и П. В. С. тратилатова.
36
VI класс
АЛГЕБРА4 (4 часа в неделю)
Уро-
ков
2
3
173—
179
180
181—
187
188
189—
190
191—
195
196—
203
204
205—
210
Отношение величин и
чисел2 * * * * * 8. Числовой мас-
штаб и его применение
к построению диаграмм
и составлению планов.
Практическая работа по
определению по плану и
карте расстояния между
двумя пунктами земной
поверхности. Построе-
ние прямоугольных и
секторных диаграмм
Контрольная работа
№ 20
Задачи и упражнения
на все действия над
обыкновенными и деся-
тичными дробями
Контрольная работа
№ 21
ИЗМЕРЕНИЯ НА
МЕСТНОСТИ *
Подготовительные ра-
боты к измерениям на
местности. Показ учеб-
ного кинофильма «Изме-
рения на местности»
Обозначение точек и
проведение прямых на
местности, измерение
расстояний мерным шну-
ром (лентой, рулеткой),
полевым циркулем, ша-
гами; глазомерная оцен-
ка расстояний; построе-
ние прямоугольного
участка и вычисление
его площади
Решение задач и упра-
жнений главным обра-
зом из повторительного
отдела школьного за-
дачника (например: 936,
939, 941—947, 959, 964,
968—969, 971, 972,
975—978, 980 981, 997,
998, 1001, 1003, 1006,
1007)
Контрольная работа
№ 22
Повторение теорети-
ческих вопросов и ре-
шение задач по выбору
учителя
Понятие дроби. Ос-
новное свойство дро-
би. Изображение це-
лых и дробных чи-
сел на числовом луче
Законы действий и
применение их к дей-
ствиям над целыми
и дробными числами
Измерение углов
транспортиром
Выражение одних
компонентов действий
через другие
2 Учитывая большую напряженность в выполнении
плана по арифметике в VI классе, можно рекомендо-
вать включить в план V класса решение задач на вы-
числение процентного отношения (как это делают
некоторые учителя). При такой системе работы в V
классе время на изучение отношения можно увели-
чить за счет уменьшения времени иа сложение и вы-
читание десятичных дробей и на совместные действия
над обыкновенными и десятичными дробями.
8 Работы на местности проводятся в течение учеб-
ного года в удобное для этого время. Работы эти
возможно проводить совместно с учителями геогра-
фии.
1
1—3
4—5
6—9
10
11—13
14—16
17
18—20
21—23
24
25—28
Содержание учебного материала
2
III четверть (40 часов)
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
Употребление букв для обозначения чисел.
Составление формул для решения задач, в
частности: на проценты, на вычисление сред-
него арифметического, на деление числа на
части в заданном отношении, на нахождение
неизвестного члена пропорции, на вычисле-
ние площади некоторых геометрических
фигур, на вычисление объема некоторых
геометрических тел и т. п.
Алгебраические выражения. Буквенная за-
пись законов действий и их свойств и зави-
симости между компонентами действий
Порядок действий. Числовые значения
алгебраического выражения. Составление
таблиц числовых значений некоторых алгеб-
раических выражении. Общие формулы чет-
ного числа, нечетного, дающего при делении
на 3 в остатке 1, 2; последовательных нату-
ральных чисел; двузначного числа и т. п.
Допустимые значения букв
Контрольная работа № 1
РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА.
УРАВНЕНИЯ
Вводная беседа (расширение понятия чис-
ла): натуральные числа, нуль, дробные числа.
Недостаточность запаса этих чисел для вы-
ражения некоторых величин и результатов
действий. Введение отрицательных чисел.
Числовая ось. Противоположные числа.
Абсолютная величина числа. Сравнение чисел,
знаки неравенств (больше, меньше). Смысл
записей а~^- Ь; а< х <Ь; а~^.х -<5
Сложение и вычитание положительных и
отрицательных чисел. Алгебраическая сумма.
Распространение законов сложения и свойств
сложения и вычитания иа положительные и
отрицательные числа
Контрольная работа Ns 2
Умножение и деление положительных и
отрицательных чисел. Определение произве-
дения рациональных чисел. Вывод правила
знаков при делении. Возведение в натураль-
ную степень
Распространение законов умножения и
свойств умножения и деления на рациональ-
ные числа. Упражнения на все действия над
рациональными числами
Контрольная работа № 3
Уравнение. Корень уравнения. Решение
уравнений. Решение задач на составление
* В плане по алгебре для VI класса не выделено
повторение в особую графу. В процессе изучения
алгебры учитель очень часто обращается к арифме-
тике, рассматривает записи решения некоторых задач
в общем виде, правил сложения и умножения много-
значных чисел, правил действий над обыкновенными
дробями и т. п., т. е. повторяет с учащимися значи-
тельную часть арифметического материала.
37
2
ГЕОМЕТРИЯ (2 часа неделю)
29
30—31
32—33
34—37
38
39—40
41—42
43—45
46
47—52
53
54—57
58—60
61—65
66—67
68—69
70—76
уравнений. Нахождение в некоторых случаях
приближенных корней. Числовые значения
алгебраического выражения (точные и в не-
которых случаях приближенные)
Контрольная работа № 4
Графики температуры и пути в равномер-
ном движении
ДЕЙСТВИЯ НАД ЦЕЛЫМИ
АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ ВЫРАЖЕНИЯМИ
Одночлен и многочлен. Коэффициент. По-
нятие о тождестве и тождественном преоб-
разовании. Подобные члены. Приведение по-
добных членов. Решение уравнений
Сложение и вычитание одночленов и мно-
гочленов. Сопоставление правил сложения
многочленов вида ах" 4- Ьхп~1 4- ... 4- kx+l,
гцеа,Ь,..., k, I — целые однозначные ие-.
отрицательные числа, с правилами сложения
многозначных чисел. Раскрытие скобок. Ре-
шение уравнений и задач на составление
уравнений (в частности, с приближенными
данными). Нахождение числового значения
алгебраического выражения
Контрольная работа № 5
Умножение и деление одночленов. Геомет-
рическая иллюстрация произведений: ab, ЗаЬ
и т. п.
IV четверть (36 часов)
Возведение в степень одночленов Примеры
умножения и деления степеней с числовыми
основаниями:
2-3,0-3»; 5гл-,-5*п+'; 18-4,г: (9-4**); 6-4*п+г:
: (0,5-4*"~ ’); и т. п.
Умножение многочлена на одночлен и де-
ление многочлена на одночлен. Геометри-
ческая иллюстрация произведений; (а44>)<
(2а 4- 0,55).с и т. п. Решение уравнений
Контрольная работа № 6
Умножение многочленов. Геометрическая
иллюстрация произведения (а 4- Ь 4- с)-(/п4-п).
Умножение . расположенных многочленов, в
частности: (х 4- с)2; (о2 — с — I)2: (х— I)4
и т. п. Сопоставление правил умножения
многочленов вида ахп 4- Ьхп~-1 4- ... 4- kx+l,
где а, Ь...k, I — целые однозначные неотри-
цательные числа, с правилами умножения
многозначных чисел. Примеры на сложение,
вычитание и умножение многочленов
Контрольная работа № 7
Формулы умножения (а + 5)2— квадрат
двучлена. Геометрическая иллюстрация фор-
мулы (а 4- 5)2. Применение формул для уст-
ных вычислений
Формула произведения разности двух чисел
на их сумму. Применение для устных вы-
числений
Комбинированные упражнения на формулы
умножения. Примеры заключения в скобки
при умножении многочленов с применением
формул. Решение уравнений
Контрольная работа № 8
Формулы умножения (а + Ь)‘ — куб дву-
члена
Повторение: комбинированные упражнения
на преобразование одночленов и многочленов.
Решение уравнений и задач на составление
уравнений с точными и приближенными дан-
ными
№ Уро- ков	Содержание учебного материала	Повторение
1	2	3
33—
36
37
38—
40
41 —
42
43—
44
45
46
III четверть (20 часов)
Теорема о свойстве
внешнего угла треуголь-
ника, следствия. Приз-
наки равенства прямо-
угольных треугольни-
ков. Решение задач на
равенство треугольни-
ков, в том числе по го-
товому чертежу
Контрольная работа
№ 7
Свойство перпендику-
ляра, проведенного к
отрезку через его сере-
дину. Деление отрезка
пополам (с доказатель-
ством). Построение пер-
пендикуляра к дайной
прямой через данную
точку (с доказательст-
вом). Соотношения меж-
ду сторонами и углами
треугольника (прямые и
обратные теоремы).
Контрольная работа № 8
(на 15—20 минут): зада-
ча на построение
Проекция отрезка на
прямую. Свойство пер-
пендикуляра и наклон-
ных, проведенных из
одной и той же точки.
Определение расстояния
от точки до прямой.
Сравнительная длина
наклонных, проведенных
к данной прямой из од-
ной и той же точки, и
их проекций на эту пря-
мую (обратные теоремы
можно рассмотреть без
доказательства)
Геометрические места
точек, равноудаленных
а) от данной точки, б)
от двух данных точек,
в) от сторон угла. Ре-
шение задач на эти гео-
метрические места
Контрольная работа
№ 9
ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ
Определение парал-
лельных прямых. Два
перпендикуляра к одной
прямой (теорема суще-
ствования параллельных
прямых). Применение
этой теоремы для про-
верки параллельности
некоторых прямых в
классной обстановке
Смежные и верти-
кальные углы и их
свойства. Построение
угла, смежного с
данным, вертикаль-
ного с данным. Ме-
диана треугольника
и ее построение
Понятие о теореме
и аксиоме. Прямые и
обратные теоремы
Построение точки,
угла, симметричных
относительно дайной
прямой. Построение
биссектрисы угла
Определение ок-
ружности, радиуса,
диаметра
Признаки равенства
прямоугольных тре-
угольников
38
1
2
3
VII класс
АЛГЕБРА [3 часа в неделю]
47—50
51—52
53-56
57
58-60
61—64
65
66-67
68—70
У
Углы между двумя
прямыми и секущей. Три
основных признака па-
раллельности прямых.
Построение параллель-
ных прямых с помощью
линейки и чертежного
треугольника. Аксиома
параллельности. Задачи
на доказательство парал-
лельности прямых. Кон-
трольная работа № 10
(на 15—20 минут): задача
на доказательство
Свойство углов, обра-
зованных двумя парал-
лельными прямыми и
секущей (соответствен-
ных, внутренних накрест-
лежащих и внутренних
односторонних)
IV четверть (18 часов)
Сумма внутренних
углов треугольника.
Теорема: «Внешний угол
треугольника равен
сумме двух внутренних
углов, не смежных с
ним». Свойство прямо-
угольного треугольника
с углом в 30°. Решение
задач
Контрольная работа
№ 11
Построение углов, сто-
роны которых парал-
лельны или перпендику-
лярны сторонам дан-
ного. Теоремы об углах:
а) с соответственно па-
раллельными сторонами,
б) с соответственно пер-
пендикулярными сторо-
нами
Решение различных
задач
Контрольная работа
№ 12
Проведение парал-
лельных прямых на
местности. Съемка плана
земельного участка,
имеющего форму много-
угольника. Определение
расстояния между двумя
точками, одна из кото-
рых недоступна
Общий обзор прой-
денного: равенство тре-
угольников, параллель-
ность прямых, сумма
углов треугольника
Признаки равен-
ства треугольников
Построение высот,
биссектрис, медиан
треугольника
Свойство углов при
двух прямых, парал-
лельных между со-
бой, и третьей, их
пересекающей
№ Уро- ков	Содержание учебного материала	Повторение
1	2	3
65—68	III четверть (30 часов) АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ » Сложение и вычитание	Возведение в сте-
69 70—71	алгебраических дробей с одночленными и много- членными знаменателями Контрольная работа Ns 8 Возведение дроби в	пень одночленов Деление обыкно-
72	степень с натуральным показателем Введение понятия а~п,	венных и десятичных дробей Обратные числа
73—76	где а ф 0, п — натураль- ное число. Запись приб- лиженных чисел с по- мощью числа 10 с поло- жительным и отрица- тельным целым показа- телем Все действия над ал-	Решение уравне-
77 78—80	гебраическими дробями Контрольная работа Ns 9 Решение уравнений с	ний. Арифметические примеры, при реше- нии которых приме- няются алгебраиче- ские преобразования Решение задач на
81—82 83—86	числовыми коэффициен- тами, содержащих неиз- вестное в знаменателе Уравнения первой сте- пени с одним неизвест- ным с буквенными коэф- фициентами Решение задач на со-	составление уравне- ний Действия над алгеб-
87 88—91	ставление уравнений с числовыми данными и уравнений с буквенными коэффициентами Контрольная работа № 10 КООРДИНАТЫ И ПРО- СТЕЙШИЕ ГРАФИКИ’ Прямоугольная систе-	раическими дробями Решение задач на
	ма координат. Абсцисса и ордината точки на плоскости. Построение точки по ее координатам; обратная задача. Прямо пропорциональная зави- симость. Ее график	составление уравне- ний
5 План составлен из предположения, что умножение
и деление изучались в I полугодии одновременно с
сокращением дробей.
6 При изучении системы координат, графиков и си-
стем уравнений используются соответствующие диа-
фильмы (см. в № 5 за 1969 г. статью Т. Л. Сытиной
«Применение диафильмов на уроках математики»)
39
ГЕОМЕТРИЯ (3 часа в неделю)
1	2	3
92—94	Таблица для вычисле-	Изменение произве-
	ния длины окружности и площади круга по диамгтру; решение об- ратных задач. Г рафик с = nd	дения при умножении одного из множите- лей на 10л, где п — целое число
95—98 99	Линейная зависимость и ее график. Исследова- ние линейной зависи- мости по ее графику. Обратно пропорциональ- ная зависимость и ее график. Показ фильма «Прямоугольная система координат» Контрольная работа № 11 СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТ- НЫМИ	Действия иад ал- гебраическими дро- бями
100—	Уравнение первой сте-	Уравнение, его ре-
101	пени с двумя неизвест- ными. Его решение и его геометрическое пред- ставление. Графики двух уравнений первой сте- пени с двумя неизвест- ными	шения (корни). Поня- тие о равносильности уравнений к
102—	Система уравнений	Основные свойства
105 106	первой степени с дв> мя неизвестными. Равно- сильные системы. Решение систем урав- нений первой степени с двумя неизвестными (способом подстановки и способом алгебраичес- кого сложения) Контрольная работа № 12	уравнений. Решение задач на составление уравнений
107—	Геометрическое ис-	Разложение много-
108 109— 112 113	толкование	решения системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными Решение задач на сос- тавление систем двух уравнений первой сте- пени с двумя неизвест- ными Контрольная работа № 13	членов на множители. Решение арифмети- ческих примеров
114—	Решение задач на со-	Действия над ал-
116 117— 118 119— 122	ставление	уравнений первой степени и систе- мы двух уравнений пер- вой степени с двумя неизвестными Контрольная работа № 14 Общий обзор изучен- ного в VII классе курса алгебры и повторение отдельных вопросов по выбору учителя	гебраическими дро- бями
33—34
35—36
37—39
40
41
42—43
44—46
№ Уро- ков	Содержание учебного материала	Повторение прой- денного
1	2	3
III четверть (30 часов)
ПОВЕРХНОСТЬ
И ОБЪЕМ ПРЯМОЙ
ПРИЗМЫ
Прямая призма. Вер-
шины, ребра, грани
призмы и их взаимное
расположение. Перпен-
дикуляр к плоскости.
Признак перпендику-
лярности прямой к
плоскости. Расстояние
от точки до плоскости
Параллельность пря-
мых и плоскостей. Дву-
гранный угол. Перпен-
дикулярные плоскости
Развертка поверх-
ности прямой призмы
(треугольной и четырех-
угольной). Вычисление
площади поверхности
прямой призмы
Практическая работа.
Вычисление площади
поверхностей геометри-
ческих моделей и про-
стейших деталей, с ко-
торыми учащиеся встре-
чаются в школьной
мастерской, по данным,
полученным непосред-
ственным измерением
Контрольная работа
№ 5
Измерение объема.
Объем куба и прямо-
угольного параллелепи-
педа. Изменение объема
прямоугольного парал-
лелепипеда при измене-
нии его ребер
Объем прямой призмы
(треугольной и четырех-
угольной)
Площадь паралле-
лограмма, треуголь-
ника, трапеции. Тео-
рема Пифагора
Измерение площа-
ди поверхности куба
и прямоугольного па-
раллелепипеда
Общие правила вы-
числения (1—8). См.
«Четырехзначные ма-
тематические таб-
лицы» Брадиса, стр.
3—4
Кубические меры
Решение задач на
вычисление площади
треугольника и четы-
рехугольника. Пост-
роение прямоуголь-
ника, параллелограм-
ма, ромба
47 Практическая работа.
Вычисление объемов на
основе непосредствен-
ных измерений
48—49	Решение задач на вы-
числение объемов и по-
верхностей прямых
призм
50 Контрольная работа
№ О
Окружность, дуга,
центр, радиус, хорда,
диаметр. Симметрич-
ность окружности,
круга
40
1
2
3
2
3
51—52
53-54
55—56
57
58—59
60—62
63—64
65—69
70
71—73
74—77
ОКРУЖНОСТЬ
Построение окруж-
ности по трем данным
точкам и условие воз-
можности построения.
Окружность, описанная
около треугольника.
Контрольная работа № 7
(на 20—25 мин.)
Теоремы о зависи-
мостях между величи-
ной хорд и дуг в круге.
Свойства диаметра, пер-
пендикулярного к хорде.
Обратные теоремы
Свойство дуг, заклю-
ченных между парал-
лельными хордами. Опи-
сание окружности около
прямоугольника, равно-
бедренной трапеции
Контрольная работа
ЛГ» 8
Взаимное положение
прямой и окружности.
Касательная к окруж-
ности; прямая и обрат-
ная теоремы о касатель-
ной к окружности
Свойство касательных,
проведенных к окруж-
ности из одной внеш-
ней точки, построение
этих касательных. Цент-
роискатель и его при-
менение. Центр окруж-
ности, касающейся всех
сторон треугольника
IV четверть (26 часов)
Взаимное положение
двух окружностей
Вписанные углы и их
измерение. Углы, состав-
ленные касательной и
хордой
Контрольная работа
К» 9'
Нахождение отноше-
ния длины окружности
к ее диаметру (практи-
ческая работа). Длина
окружности. Длина дуги
Площадь круга и сек-
тора. Решение задач с
помощью таблиц для
вычисления длины ок-
ружности и площади
круга по диаметру; об-
ратные задачи
78—79
Построение перпен-
дикуляра к отрезку
через его середину;
свойство этого пер-
пендикуляра
Центральный угол.
Соответствие между
центральными углами
и дугами. Градусное
измерение углов и
дуг
Свойство диагона-
лей прямоугольника.
Симметричность рав-
нобедренной трапе-
ции
Свойство перпенди-
куляра и наклонных,
проведенных из дан-
ной точки к данной
прямой. Расстояние
от точки до прямой
Свойство биссек-
трисы угла
Сумма углов тре-
угольника. Свойство
внешнего угла тре-
угольника
Задачи на построе-
ние треугольников.
Решение задач на
четырехугольники: на
построение и на до-
казательство
80
81—83
84
•85—86
87—88
№
УРО-
КОВ
1
49—54
55
Цилиндр, развертка
его поверхности; пло-
щадь поверхности,
объем цилиндра. Прак-
тическая 'работа—вы-
числение площади по-
верхности и объема ци-
линдра
Контрольная работа
№ 10
Повторение (главным
образом на задачах): де-
ление отрезка на про-
извольное число равных
частей, свойства парал-
лелограммов разного
вида, формулы площади,
теорема Пифагора, из-
мерение вписанных уг-
лов
Контрольная работа
№ 11
Классная подготовка
к работам на местности
по вычислению площа-
дей земельных участков.
Показ соответствующих
кадров фильма «Изме-
рения на местности».
Измерение площади
участка, имеющего фор-
му многоугольника 7
Повторение некоторых
вопросов по выбору учи-
теля
Задачи из главы
VIII «Повторение»
школьного задачника
VIII класс
АЛГЕБРА [2 часа в неделю)
Содержание учебного
материала
Повторение
2
3
III четверть (20 часов)
Решение систем урав-
нений, содержащих одно
уравнение второй сте-
пени и одно уравнение
первой степени, и реше-
ние задач на составление
уравнений (например, из
школьного
1689, 1701, 1709,
1717 — 1723,	’
1734)
Контрольная работа
№ 7: решение систем
уравнений и графическое
решение квадратных
уравнений
Г рафик функции
у — х2 и графическое
решение неполных н
полных приведенных
квадратных уравне-
ний
задачника:
1710,
1731, 1732,
’ См. примечание 3 к плану V класса.
41
1
2
3
56—57
58—61
62
63—65
66—68
69—70
71
ФУНКЦИИ
И ГРАФИКИ*
Переменные величины.
Функциональная зависи-
мость, аргумент и функ-
ция. Способы задания
функции. Исследование
свойств функции по
произвольному графику
(см. черт, иа стр. 49)
Линейная фУнКЧия-
Геометрический смысл
коэффициентов. Теорема:
график линейной функ-
ции есть прямая. Упраж-
нения иа исследование
свойств линейной функ-
ции и других, заданных
графиком
Контрольная работа
№ 8: исследование ли-
нейной функции; функ-
ции, заданной графиком;
арифметический пример
или нахождение число-
вого значения алгебраи-
ческого выражения
Функция у — аха, ее
свойства и график. Функ-
ции у — ах* + т; у — а
(х + п)а;у - а(х4-п)*4-
4- т, их графики и ис-
следование этих функ-
ций по их графику
Функция у “ ах* +
4- Ьх + с и приведение
ее к виду у ~ а (х 4-
+ л)а + т путем выде-
ления полного квадрата,
построение ее графика
и по нему исследование
функции *
IV четверть (19 часов)
Продолжение исследо-
вания функций
Контрольная работа
А® 9: исследование квад-
ратной функции; пример
на действия над алгеб-
раическими дробями
Решение арифмети-
ческих примеров
Нахождение число-
вых значений алгеб-
раических выраже-
ний. Решение задач
на составление урав-
нений
Примеры иа все
действия над алгеб-
раическими дробями,
например: 1138, 1143,
1150
Решение уравне-
ний, например: 1166,
1167, 1179, 1615
Решение задач на
составление уравне-
ний
• При изучении этой темы надо пользоваться Ал-
геброй» А. Н. Барсукова, изд. 1968 или 1969 г.
9 Абсцисса хл вершины параболы у — ха 4- рх 4- q и
р Ъ
у = ах* 4- Ьх 4- с равна соответственно — и —
(см. § 123, 124 учебника), тогда ордината вершины у0
равна численному значению квадратного трехчлена при
Р	t>
х =• —~2~ или — Построение графика квадратного
Ь
трехчлена можно начинать с нахождения х0 — —
и вычисления у0 — ах^ 4- Ьх0 4- с. Тем самым будет
найдена ось параболы и наименьшее или наибольшее
значение квадратного трехчлена.
1 1 1	2	3
72—73 74—75 76 77—80 81—82 83—87	График	функции у — х*. Понятие о ку- бическом корне. Возве- дение чисел в куб и из- влечение кубического корня при помощи счетной линейки и по таблице. График функ- з _ ции у — уГX Упражнения в по- строении графиков не- которых функций; при- ближенное и графиче- ское решение уравнений и систем уравнений Контрольная работа № 10 на эти упраж- нения ПОВТОРЕНИЕ Решение задач на составление уравнений, например: 1699—1704, 1711, 1712, 1716, 1762, 1763, 1933, 1934, 1936 Контрольная работа № 11, по содержанию близкая к экзаменаци- онным работам прош- лых лет Теорема Виета. Раз- ложение квадратного трехчлена на множи- тели. Построение гра- фика и исследование квадратного трехчлена. Арифметический ко- рень и действия с кор- нями ГЕОМЕТРИЯ (3 часа в	Решение задач на составление уравне- ний, например: 1222, 1223, 1691, 1694, 1707, 1714 Решение арифме- тических примеров неделю]
№ уро- ков	Содержание учебного материала	Повторение
1	2	3
33—34 35—37	III четверть (30 часов) Отношение площадей подобных треугольни- ков и многоугольников Построение подобных фигур с заданным ко- эффициентом подобия, например: 1) параллело- грамма, подобного дан- ному, если коэффициент подобия k — 1,5; 2) тра- пеции, подобной дан- ной, если коэффициент подобия k = 0,4, и т. п.	Площади прямо- угольника, параллело- грамма, треугольни- ка, трапеции, много- угольника
42
1	2	3
38	Задачи на построение треугольников, напри- мер: 1) построить тре- угольник по а:Ь = 3:5, -< С и hc; 2) a:b, С и та; 3) равнобедрен- ный треугольник по от- ношению	основания к высоте и биссектрисе угла при основании и т. п. Контрольная работа	
39—40	№ 6 Знакомство с мен-	Трапеция, равно-
	зульной съемкой: прак-	бедренная трапеция
	тическая работа с на-	и ее свойства
41—43	стольными приборами — моделями для измере- ния местности. Съемка плана земельного уча- стка ТРИГОНОМЕТРИЧЕ- СКИЕ ФУНКЦИИ ОСТРОГО УГЛА Определение и нецо-	Метрические со-
	средственное вычисле-	отношения в прямо-
	ние тригонометрических	угольном треуголь-
	функций острого угла	нике
44—45	как отношений сторон прямоугольного треу- гольника 10. Построение, острого угла по задан- ному значению одной из его тригонометриче- ских функций Значение тригономет-	Теорема Пифагора.
	рических функций уг-	Метрические соотно-
	лов 30°, 45° и 60°. Три-	шения в круге
	тонометрические функ- ции дополнительных углов. Изменение три- гонометрических функ- ций при изменении угла от 0° до 90°	
46-47	Четырехзначные таб-	
48—50	лицы тригонометриче- ских функций Соотношения между	Общие правила
	сторонами и углами	вычисления. См. «Че-
	в прямоугольном тре-	тырехзначные таб-
	угольнике. Решение	лицы» Брадиса, стр.
	прямоугольных тре-	3—4
	угольников. (Значения тригонометри ч е с к и х функций можно нахо- дить по четырехзнач- ным таблицам, осталь- ные вычисления надо производить на линей- ке)	
51
52—56
57
58—60
61—62
63-65
66
67—68
69—71
72
73—75
2
3
*“ Имеющиеся в школьном учебнике геометрии
определения секанса и косеканса можно исключить
как не требуемые программой и не находящие приме-
нения в курсе VIII класса.
Контрольная работа
№ 7
Решение различных
задач по геометрии
с применением тригоно-
метрических функций
острого угла. Выраже-
ние площади треуголь-
ника через две его сто-
роны и угол между
ними
Контрольная работа
№ 8
Угол прямой с пло-
скостью. Определение
недоступных высот
и недоступных рас-
стояний и решение дру-
гих практических за-
дач с применением три-
гонометрии
ВПИСАННЫЕ
И ОПИСАННЫЕ
МНОГОУГОЛЬНИКИ
Сумма внутренних
к внешних углов вы-
пуклого многоугольника
IV четверть (26 часов)
Вписанные и описан-
ные треугольники. Свой-
ство вписанных и опи-
санных четырехуголь-
ников (прямые и обрат-
ные теоремы; обратную
теорему об описанном
четырехугольнике сле-
дует дать хотя бы без
доказательства)
Контрольная работа
№ 9
Правильные много-
угольники. Выражение
сторон правильных мно-
гоугольников через ра-
диус описанной окруж-
ности
Выражение площади
правильного много-
угольника: а) через его
периметр и апофему,
б) через радиус опи-
санного круга и цен-
тральный угол, в) через
сторону и центральный
угол
Контрольная работа
№ 10
Решение задач на вы-
числение объемов и по-
верхностей различных
геометрических тел по
готовым формулам и го-
товым данным, а также
по данным, полученным
Свойство диаметра,
перпендикулярного
к хорде. Касатель-
ная к окружности
Углы с соответ-
ственно параллель-
ными сторонами;
с соответственно пер-
пендикулярными сто-
ронами
Сумма внутренних
углов треугольника
Вписанные углы.
Свойство касатель-
ных, проведенных
к окружности из
внешней точки
Свойства хорд, пе-
ресекающихся внутри
круга
Свойства секущей
и касательной, про-
веденных к кругу
из точки, взятой вне
его
Признаки подобия
треугольников. Подо-
бие прямоугольных
треугольников
43
1	2
3
1	2	3
76 77—78	непосредственным изме- рением, с применением счетной линейки и таб- лиц Контрольная работа № 11 Повторение прово- дится в соответствии с содержанием экзаме- национных билетов	
85—86
IX класс
АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
(4 часа в неделю)
№ Уро- ков	Содержание учебного материала	Повторение
1	2	3
65-69	III четверть (40 часов) Все действия над ра-	Линейные неравен-
70 71—73	дикалами. Решение ир- рациональных уравне- ний Контрольная работа № 7: все действия над радикалами; решение иррациональных урав- нений Определение степени	ства и системы ли- нейных неравенств Свойства степени
74—76	положительного числа с дробным показате- лем. Свойства этой сте- пени Упражнения на все	с целым показателем Формулы сокращен-
77—78 79—81	действия над степенями с рациональными пока- зателями. Числовые при- меры Функции у — хг при Г	и г - -у Упражнения на дей-	ного умножения вто- рой и третьей сте- пени Разложение много-
82 83—84	ствия над радикалами и степенями с рацио- нальными показателями Контрольная работа № 8: действия иад ра- дикалами и степенями с рациональными пока- зателями ТРИГОНОМЕТРИЧЕ- СКИЕ ФУНКЦИИ ЛЮБОГО АРГУМЕНТА Понятие о векторе;	членов на множи- тели • Сложение и вычи-
	сложение и вычитание векторов; проекция век- тора на ось; коорди- наты вектора на пло- скости	тание положитель- ных и отрицатель- ных чисел
87
88—91
92
93—94
95
96—
100
101
102—
104
Обобщение понятий
угла и дуги. Радианное
измерение углов и дуг.
Таблица «Радианная
мера» (Б р а д и с «Четы-
рехзначные математиче-
ские таблицы»)
Повторение: опреде-
ление тригонометриче-
ских функций острого
угла как отношений
сторон прямоугольного
треугольника; тригоно-
метрические функции
углов 30°, 45°, 60°
Определение триго-
нометрических функ-
ций и их изменение
с изменением аргумен-
та от 0 до 2п (от 0° до
360°)
Построение угла по
заданному значению
его тригонометрической
функции
Четность тригономет-
рических функций. Пе-
риодичность тригоно-
метрических функций
Контрольная работа
№ 9: построение угла
по заданному значению
его тригонометрической
функции; упрощение
выражений, содержа-
щих тригонометриче-
ские функции углов 0°.
30°, 45°, 60°, 90°
Алгебраические соот-
ношения между триго-
нометрическими функ-
циями одного аргумента.
Нахождение значений
тригоиометри ч е с к и х
функций по одной из
них. Тождественные
преобразования триго-
нометрических выраже-
ний
Контрольная работа
№ 10: нахождение зна-
чений тригонометриче-
ских функций данного
аргумента по значению
одной из иих; тожде-
ственные преобразова-
ния тригонометриче-
ских выражений
Формулы приведения
(начало). Нахождение
по таблицам значе-
ний тригонометриче-
ских функций любого
угла
Теорема Пифагора.
Формула корней квад-
ратного уравнения
44
1	2
105—
108
109
ПО-
113
114—
121
122
123—
124
125—
126
127— !
128
129—
131
132
133—
134
IV четверть (36 часов)
Формулы приведения
(продолжение). Нахож-
дение по таблицам зна-
чений тригонометрнче-
скихфункций от аргу-
мента в радианах
Контрольная работа
№ И: упражнения на
формулы приведения
Свойства функций
у = sin х, у — cos х,
у — tg х, у = ctg х
и их графики
Общее выражение тех
значений аргумента,
1 которым соответствует
данное значение триго-
нометрической функции.
Обозначения arcsinx,
arccosx, arctgx, arcctgx.
Решение тригонометри
ческих уравнений
Контрольная работа
№ 12: решение триго-
нометрических уравне-
ний; доказательство
тригонометрических то-
ждеств
ПРОГРЕССИИ
Определение арифме-
тической прогрессии.
Формула общего члена.
Характеристи ч е с к о е
свойство арифметиче-
ской прогрессии
Выражение суммы п
членов арифметической
прогрессии а) через
ап и п, б) через
d и п
Определение геомет-
рической прогрессии.
Формула общего члена.
Характерист и ч е с к о е
свойство геометриче-
ской прогрессии
Выражение суммы п
членов геометрической
прогрессии через at, q
и п
Контрольная работа
№ 13: две задачи 1) на
арифметическую про-
грессию, 2) на геомет-
рическую
Бесконечно убываю-
щая (по абсолютной ве-
личине) геометрическая
прогрессия, ее сумма.
Обращение десятичных
периодических дробей
в обыкновенные
Теоремы о преде-
лах, в том числе
lim qn — 0
л —> ОО
при \q\< 1.
тнчпая форма
рациональных
Деся-
записи
чисел
Периодичность
тригонометрических
функций
Функция у—дх+5.
Решение систем двух
уравнений первой
степени с двумя не-
известными
Решение систем
двух уравнений вто-
рой степени с двумя
неизвестными
1	2	3
	ПОВТОРЕНИЕ	
135— 137 138 139 140	Повторение основных вопросов программы IX класса по выбору учителя Контрольная работа Ns 14: повторение неко- торых основных вонро сов программы Общий обзор прой- денного	
	ГЕОМЕТРИЯ (2 часа	в неделю]
№ Уро- ков	Содержание учебного материала	Повторение
1	2	3
	III четверть (20 часов)	
	ПЕРПЕНДИКУ-	
	ДЯРНОСТЬ	
	В ПРОСТРАНСТВЕ	
33—34 35—36 37	Определение перпен- дикуляра к плоскости11. Признак перпендикуляр- ности прямой к плоско- сти. Построение плоско- сти, перпендикулярной к прямой. Построение прямой, проходящей через данную точку, перпендикулярной к пло- скости Ортогональная проек- ция точки и прямой на плоскость. Определение угла прямой с плоско- стью. Сравнительная длина перпендикуляра и наклонных, проведен- ных из одной точки Контрольная работа № 5	Угол между скре- щивающимися пря* мыми Сравнительная дли на перпендикуляра и наклонных, прове- денных из одной точки к прямой
" Рекомендуется такое определение: «Прямой, пер-
пендикулярной к плоскости, называется прямая, пер-
пендикулярная к любой прямой, принадлежащей
данной плоскости». Соответственно формулируются
признак перпендикулярности прямой к плоскости:
«Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся
прямым, принадлежащим плоскости, то она перпен-
дикулярна данной плоскости» — и теорема о трех
перпендикулярах: «Если прямая, принадлежащая пло-
скости, перпендикулярна проекции наклонной на эту
плоскость, то она перпендикулярна и самой наклон-
ной»
45
1	2	3
38—39	Теорема о трех пер-	Геометр и ч е с к и е
40 41—42	пендикулярах. Геомет- рическое место точек, равноудаленных: а) от вершин треугольника, б) от сторон треуголь- ника Контрольная работа № 6 Зависимость между	места точек на пло- скости Параллельность и
43—44 45	параллельностью и пер- пендикулярностью пря- мых и плоскостей. По- строение общего пер- пендикуляра к двум скрещивающимся пря- мым. Обзор определений расстояния между дву- мя точками, двумя пря- мыми, точкой и плоско- стью, двумя плоскостями ДВУГРАННЫЙ И МНОГОГРАННЫЙ УГЛЫ Двугранный угол. Определение линейного угла. Соотношения меж- ду линейными и дву- гранными углами. Свой- ства плоскости линей- ного угла. Определение и признак перпендику- лярности плоскостей Теорема о прямой,	перпендикулярность прямых на плоскости Перпендикуляр-
46 47—48	перпендикулярной к од- ной из двух взаимно перпендикулярных пло- скостей и имеющей об- щую точку с другой. Следствие. Свойство биссекторной плоскости Контрольная работа № 7 Многогранный угол	ность прямой и пло- скости Сумма внутренних,
49	и его построение. Тео- рема о свойстве пло- ских углов трехгранного угла. Теорема о свой- стве плоских углов вы- пуклого многогранного угла РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ ,а Решение прямоуголь- ных треугольников с ис- пользованием тригоно- метрических функций острого угла (повторе- ние)	внешних углов вы- пуклого многоуголь- ника. Задача № 28 из § 1 задачника по стереометрии Рыб- кина
,а Решение треугольников производится с помощью
таблиц тригонометрических функций и логарифмиче-
ской линейки, при этом повторяются общие правила
вычисления (Б р а д и с «Четырехзначные математиче-
ские таблицы»).
1	3	3
50—52	Теорема синусов. Ре- шение треугольников по стороне и двум уг- лам. Формула площади треугольника	Вписанные углы и их измерение. По- строение треуголь- ника по стороне и двум прилежащим углам
	IV четверть (18 часов)	
53—54 55—56 57—59 60	Решение треуголь- ников по двум сторо- нам и углу, лежащему против одной из них Теорема косинусов ,а. Использование ее для вывода формулы Герона Решение треугольни- ков по двум сторонам и углу между ними и по трем сторонам. Решение геометрических задач с применением формул прямоугольного тре- угольника и теорем си- нусов и косинусов Контрольная работа № 8 ПОВТОР	Построение тре- угольника по стороне и углу, лежащему против одной из них ЕНИЕ
61—65 66—67 68—70	Повторение основных вопросов курса гео- метрии (на плоскости и в пространстве) пу- тем решения задач, в том числе задач с при- менением тригонометрии. Выражение через стороны и углы радиусов окружностей, описанной около треугольника и вписанной в треугольник. (Рекомендуется рассмотреть эти задачи в общем случае и в частных слу- чаях для треугольников: а) прямоугольного, б) равнобедренного, в) равностороннего.) Контрольная работа № 9 Повторение отдельных вопросов по выбору учителя X класс АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ (4 часа в неделю)	
№ Уро- ков	Содержание учебного материала	Повторение
1	2	3
	/// четверть (40 часов)	
65	Обзор понятия степени положительного числа с показателями: нату- ральным, целым, рацио- нальным, действитель- ным	
*• Так как в курсе геометрии не рассматриваются
теоремы о квадрате стороны треугольника, то дока-
зательство теоремы косинусов Можно рекомендовать
следующее: 1) Угол С — острый, тогда с‘— h2b +
4- (Ь — a cos С)3, заменяя ftj-asinC, получим нуж-
ный результат. 2) Угол С — тупой, тогда с3 = ftj; +
4- [6 4- a cos (180° — С)]а и hb — a sin (180° — С). При-
меняя формулы приведения, придем к прежнему вы-
воду.
46
1
2
3	1
2
3
66—67
68—69
70—73
74
75—78
79—81
82
83-89
Определение лога-
рифма (так называемое
логарифмическое тож-
дество): а'°еаь = Ь, где
а > 0, а ф 1, b > 0.
Уравнения относитель-
но x:logax=b; Iogxa=b;
logab = х. Упражнения
на использование основ-
ного логарифмического
тождества
90
91—92
93—99
Обратные функции.
Взаимное расположение
их графиков. Примеры:
з _
у х* и у = У х
(— оо < X < + оо);
1
у=ха и у=х 2 (х>0)
Логариф мическая
функция как функция,
обратная показательной.
Ее свойства и график
Контрольная работа
Ns 9
Логарифм произведе-
ния и частного, сте-
пени и корня. Логариф-
мирование и потенци-
рование алгебраических
и тригонометрических
выражений
Логарифмические
уравнения и неравен-
ства
Контрольная работа
№ 10
Понятие о целой и
дробной части числа.
Десятичные логарифмы
и их свойства. Таб-
лицы мантисс деся-
тичных логарифмов.
Значения функции 10х
(десятичные антилога
рифмы). Таблицы де-
сятичных логарифмов
тригонометри ч е с к и х
функций. Действия над
логарифмами. Нахожде-
ние числового значения
алгебраических и триго-
нометрических выраже-
ний с помощью таблиц
логарифмов. Обоснова-
ние действий на лога-
рифмической линейке
Определения sin х
и arcsinx, tg х и
arctg х
Контрольная работа
Ns 11
Переход от одного
основания логарифмов
к другому
Показательные и ло-
гарифмические уравне-
ния и неравенства
Определения cos х
и arccos х, ctg х и
arcctgx
. 100—
101
102—
104
Линейные и квад-
ратные неравенства
и приводимые к ним,
включая неравенства,
неизвестные в кото-
рых находятся под
знаком абсолютной
величины
Г рафики тригоно-
метрических функ-
ций
105
Тождественные
преобразования три-
гонометрических вы-
ражений
106—
т	108
Тригонометриче-
ские уравнения и не-
равенства
Преобразования
сумм и разностей
тригонометрических
выражений в произ-
ведения или дроби
(формулы приведе-
ния к логарифмиче-
скому виду). Общие
правила вычисления
(Б р а д и с «Четырех-	109—
значные математиче- ИЗ
ские таблицы»)
Контрольная работа
Ns 12
Примеры графическо-
го решения показатель-
ных и логарифмических
уравнений
IV четверть
(36 часов)
КОМПЛЕКСНЫЕ
ЧИСЛА
Краткий обзор разви-
тия понятия числа (чис-
ла натуральные, целые,
рациональные, действи-
тельные). Взаимно одно-
значное соответствие
действительных чисел
и точек на числовой
прямой
Расширение множе-
ства действительных
чисел. Комплексные
числа — определение,
условие равенства комп-
лексных чисел, чисто
мнимые числа, сопря-
женные комплексные
числа. Геометрическая
интерпретация комп-
лексных чисел. Модуль
комплексного числа.
Взаимно однозначное
соответствие комплекс-
ных чисел и точек на
«комплексной» плоско-
сти
Сложение и вычита-
ние комплексных чисел;
умножение и деление;
возведение в степень
с натуральным показа-
телем
Тригонометриче-
ские уравнения и не-
равенства. Преобра-
зования произведения
тригонометрических
функций в сумму.
Понижение степени
sin2x, sin’x, cos2x,
cos’x
47
114—
116
117
118—
120
Применение комплекс-
ных чисел к решению
квадратного уравнения
с действительными коэф-
фициентами. Решение
двучленных уравнений
третьей и четвертой
степени. Изображение
их корней на «комплекс-
ной» плоскости
Контрольная работа
№ 13
Принцип математиче-
ской индукции и ме-
тод математической ин-
дукции
ПОВТОРЕНИЕ
39
40—41
42—43
121—
124
125—
127
128—
130
131—
133
134—
135
136—
140
Уравнения с параметрами: линейные и при-
водимые к линейным; квадратные и приво-
димые к квадратным; системы уравнений
с двумя неизвестными: линейные и второй
степени
Преобразования выражений, содержащих
степени с рациональными показателями
Последовательности конечная и бесконеч-
ная, предел последовательности. Прогрессии
арифметическая и геометрическая (конечная
и бесконечная)
Уравнения и неравенства: показательные,
логарифмические, тригонометрические
Контрольная работа № 14 (содержание этой
работы может быть близким к экзаменацион-
ным работам прошлых лет)
Общий обзор понятия функции (способы
задания, область определения и область изме-
нения, возрастание и убывание, наименьшие
и наибольшие значения, четность и нечет-
ность функций, периодичность, обратные
функции).' Краткий обзор свойств изученных
функций и их графиков
ГЕОМЕТРИЯ (2 часа в неделю)
44—45
№
Уро-
ков
Содержание
учебного материала
Повторение
Контрольная работа
№ 5
Определение сферы,
шара. Сечение шара
плоскостью
Теоремы (прямая и
обратная) о плоскости,
касательной к шару
Лемма о площади по-
верхности тел враще-
ния. Площадь поверх-
ности шарового сегмен-
та и шарового пояса;
площадь сферы
46—48	Лемма об объеме тел,
получаемых вращением
треугольника. Объем
шарового сектора, шара
и шарового сегмента
49—50	Контрольная работа
№ 6
51—52	Задачи на тела вра-
щения
Г еометрическое
место точек в про-
странстве, равноуда-
ленных от двух то-
чек, от трех точек
Геометрическое
место точек, равно-
удаленных от двух
параллельных плоско-
стей, от граней дву-
гранного угла, Ьт
граней трехгранного
угла
Свойства а) пло-
скости, пересекаю-
щей параллельные
плоскости, б) парал-
лельных отрезков,
заключенных между
параллельными пло-
скостями
Выражение радиу-
сов кругов, описан-
ного около треуголь-
ника и вписанного
в треугольник, через
его стороны и углы
Свойства паралле-
лограмма, прямо-
угольника, ромба,
равнобедренной тра-
пеции
IV четверть
(18 часов)
III четверть (20 часов)
КРУГЛЫЕ ТЕЛА
Определение цилин-
дрической поверхности,
конической поверхно-
сти, поверхности вра-
щения. Развертки по-
верхностей прямого
кругового цилиндра и
прямого кругового ко-
нуса и усеченного кону-
са. Вычисление площади
поверхностей прямого
кругового цилиндра,
прямого кругового кону-
са н усеченного конуса.
Объем цилиндра, конуса
и усеченного конуса
Углы с соответ-
ственно параллель-
ными сторонами.
Угол между скрещи-
вающимися прямыми.
Признак перпендику-
лярности прямой к
плоскости, теорема
о трех перпендику-
лярах
53—56	Задачи на комбина-	Свойство сечений
	ции многогранников и	в пирамиде, парал-
	круглых тел	лельных основанию
57—58
ПОВТОРЕНИЕ И РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
Теоремы синусов, косинусов; правильные
многоугольники; окружности, описанные
около треугольника, четырехугольника ок-
ружности, вписанные в треугольник, четы-
рехугольник
48
1
2
59-62
63—64
65—70
Различные геометрические задачи (в боль-
шей своей части с применением тригономет-
рии), в том числе задачи на сечение
многогранников плоскостью, комбинации мно-
гогранников и круглых тел и т. п.
Контрольная работа № 7
Повторение некоторых вопросов по выбору
учителя в соответствии с содержанием экза-
менационных билетов
Примечание. Вывод формул объема конуса,
усеченного конуса и шара в согласии с объяснитель-
ной запиской к программе по математике, утвер-
жденной Министерством просвещения СССР, может
быть осуществлен при помощи формулы Симпсона.
Подробное изложение такого метода вычисления объ-
емов учитель найдет в-учебпом пособии для IX—XI
классов вечерней (сменной) школы К. С. Барыбина
«Геометрия».
Чертеж к стр. 42
Контрольные работы по математике на
|| полугодие 1969/70 учебного года
для V—X классов
От редакции. Как и планы, работ, опуб-
ликованные в настоящем номере журнала,
контрольные работы надо рассматривать лишь
как рекомендуемые. В процессе использования
Учитель может уменьшать их объем, несколько
изменять их содержание применительно к сво-
ей системе работ.	,
Упражнения, отмеченные звездочкой, яв-
ляются дополнительными для тех учащихся,
которые выполнили все остальные упражнения
контрольной работы досрочно. Выполнение
дополнительного задания учитывается отдель-
но. Неудовлетворительные оценки за дополни-
тельные задания не выставляются.
Работы составлены в одном варианте; дру-
гие варианты учитель может составить по
данному образцу или заимствовать из ряда
соответствующих пособий, изданных в послед-
ние годы издательством «Просвещение» или
местными издательствами, а также из работ,
опубликованных в нашем журнале в № 6 за
1967 и 1968 гг.
Работы для V—VIII классов составлены
К П. Сикорским и для IX—X классов —
Г. А. Ястребинецким.
V класс
АРИФМЕТИКА
№ 12
1. Бассейн наполняется тремя трубами. Через одну
первую трубу бассейн может наполниться за 10 час.,
через вторую — в полтора раза скорее и через тре-
3
тью — за 8 час. Через сколько часов наполнится бас-
сейна, если открыть сразу все три трубы?
7
2. Найти делимое, если известно, что -g-делителя рав-
5	4
иы 1 jg, а частное равно 6"g-.
3 *. Написать какие-нибудь две несократимые дроби,
произведение которых равно
№ 13
1.	Начертить числовой луч и отметить на нем точки,
3
соответствующие числам: 1,2; 0,8; “g-; 0,4; 0,6; 0; 0,7.
2.	Уменьшить: 5,2 в 100 раз; 2002 в 1000 раз.
3.	Увеличить: 42,3 в 100 раз; 0,001001 в 100000 раз.
4.	Выразить: а) 2376 мм. в метрах; 2003 мм в деци-
метрах; 9,6 см в метрах; б) 3,02 т в килограммах;
24,3 ц в тоннах; в) 2750 куб. см в кубических децимет-
рах.
49
5.	Найти объем бруса, длина которого 275 см, шири-
на 48 см и толщина 25 см, и выразить его в кубических
метрах.
6.	Расположить числа в порядке их возрастания:
1,02; 0,98; 10,001; 0,099; 5,6; 0,980.
№ 14
1.	Пионеры первого звена отряда собрали 251,2 кг
макулатуры; второго — 0,625 того, что собрали пионеры
первого; а пионеры третьего—125% того, что собрали
пионеры первого. Сколько всего макулатуры собрали
пионеры?
2.	Вычислить: 48,56- (4,37 — 2-2,13 + 0,015).
3.	Найти х, если х: 0,024 = 27,5.
4	*. От деления какого числа на 702 получено в част-
ном 105 и в остатке 701? Ответ проверить.
№ 15
1.	Учитель раздает учащимся листки нелинованной
бумаги, иа которых изображены 1—2 фигуры, анало-
гичные данным в школьных задачниках по арифметике
(№ 567) и по геометрии (№ 485—487), и предлагает
найти непосредственным измерением их периметр (с
точностью до 1 мм) и вычислить площадь (с точностью
до 1 кв. см).
2.	На тех же листках вычерчиваются острый и тупой
углы, градусную меру которых учащийся должен иайти
с помощью транспортира с точностью до 1°.
3	*. Чему равен острый угол, образованный часовой
и минутной стрелками: а) в 3 ч. 15 мин.; б) в 3 ч.
20 мин.?
№ 16
1.	Между городами А и Б 90,9 км. В 8 час. из А в Б
вышел автобус, средняя скорость которого 48,4 км в
час; в то же время по той же дороге из Б в А вышла
легковая машина, средняя скорость которой на 24,4 км
в час больше скорости автобуса. В какое время и на
каком расстоянии от Б произошла встреча автобуса и
легковой машины (до встречи они шли безостановоч-
но)?
2.	Вычислить: 0,2 : 0,004 + (7,91 : 0,565 - 44,4 : 5,92) X
Х0,5.
3	*. Половину пути автобус шел со скоростью 60 км
в час, а другую — со скоростью 40 км в час. Чему
равна средняя скорость движения автобуса на всем
пути?
№ 17
1.	Доказать, что [ (20 + 19,488 : 4,8) • 0,25 — 0,022]:
: 0,26 —8,12-2,5 + 1,35 равно 4,1.
2.	а) Найти число, если 7.2% его составляют 0,864;
б) найти с точностью до 0,01 число, если 111,2% его
составляют 56,28.
3.	Длина комнаты 8,24 м, ширина 6,25 м. Найти ее
высоту (с точностью до 1 см)г если известно, что объем
комнаты равен 186,8 куб. м.
4.	На сколько надо умножить 31,25, чтобы полу-
чить 10?
№ 18
1. Из пункта А выехал велосипедист, делая в сред-
нем по 15 км в час. Через 24 мин. после того из пунк-
та А в том же направлении выехал автобус, скорость
движения которого на 240% больше скорости велоси-
педиста. Через сколько минут после своего выхода и
на каком расстоянии от пункта А автобус догонит ве-
лосипедиста’
2. Записать числовой формулой и вычислить: частное
от деления на 1,55 произведения суммы чисел 5,124 и
4,876 на разность тех же чисел.
3*. Найти х из уравнения 35,4—5,2-х — 28,9.
№ 19
1.	Вычислить:
1.075 - 0,075.[2,65-(-^—^-).74] +
/ 1	13 \
+ 0,505	-J4J-2,8.
2.	Обратить в десятичные дроби:
7	11 231 13
5 40 : 36 : 84 : 11 •
3.	Найти НОД и НОК чисел: 462, 693 и 770.
4	*. Как изменится частное, если делимое умножить
на 12,8, а делитель разделить на 2,5?
№ 20
I.	Одна бригада могла бы убрать весь картофель за
15 час.,‘а другая — за 12 час. После того как они обе
работали вместе 5 час., первая была переведена на
другую работу. Сколько времени понадобилось второй
бригаде, чтобы одной закончить уборку картофеля?
2.	Найти отношение: а) 3,5 кг к 750 й; б) 520 га к
13 кв. км; в) 256 куб. дм к 0,64 куб. м.
3.	Расстояние между пунктами А и Б, равное 180 км,
изображается на карте отрезком длиной в 36 мм. Найти
числовой масштаб карты.
4*. На прохождение всего пути от А до’Б туристы
затратили некоторое время. 0,75 этого времени они шли
со скоростью 4 км в час, а остальное время — со ско-
ростью 3,2 км в час. Найти среднюю скорость движе-
ния на всем пути от А до Б.
№ 21
1.	В 8 ч. 15 мин. утра из города А вышла грузовая
машина и в 10 ч. 45 тин. вечера того же дня прибыла
в город Б. В течение 3 ч. 20 мин. скорость машины
была 51,3 км/ч, 5 ч. 15 мин.— 45,6 км/ч и в остальное
время движения — 42,4 км/ч. На остановки в пути бы-
ло затрачено 1 ч. 40 мин. Найти среднюю скорость ма-
шины (с точностью до 0,1 км/ч) за все время пути от
А до Б (включая время, затраченное на остановки).
Решение записать числовой формулой.
2.	Проверить сочетательный закон сложения на при-
мере
/11	7 X 11
(1S 15 + 3 20 J + 2 12-
3.	Проверить распределительный закон умножения иа
примере
2,4-(1,25 + 0,375).
4	*. Объяснить, почему можно утверждать, что раз-
ность 15 786-190 752-40 323 — 2391  15 837-26 327-39 994
делится на 10.
№ 22
1.	Колхоз засеял пшеницей 48% всего поля, отведен-
ного под зерновые культуры. Площадь участка, засе-
3
янного рожью, составляла f площади под пшеницей.
Остальная часть поля была засеяиа гречихой. Пло-
щадь под гречихой была иа 550 га меньше площади,
занятой рожью Чему равна площадь отведенная под
зерновые культуры?
2.	Вычислить: (16,32-2,5— 146,88 : 3,6) : (57,876-3,08+
+ 18,26-199).
50
3.	а) Приведя дроби к общему числителю, ответить,
36	24
какая из дробей больше -j-yg или ууд; б) какое из чи-
5
сел больше или 0,1849?
4	*. Сколькими нулями оканчивается произведение
первых 20 чисел натурального ряда? (ответ объяснить.)
VI класс
АЛГЕБРА
№ 1
1.	Написать общую формулу среднего арифметиче-
ского пяти чисел
2.	Скорость катера в стоячей воде v км/ч скорость
течения реки а км/ч. На движение от пристани А до
пристани В по течению реки катер затратил 2 ч.
30 мин, а на обратный путь — 3 ч. Написать выраже-
ние средней скорости катера за все время движения.
Вычислить значение этого выражения при и = 25,
а = 3.
3.	Написать формулу четырехзначного числа, пифры
которого а, Ь, с, d. При каких значениях а, Ь, с. d по-
лучится наибольшее четырехзначное число, кратное 5?
4.	Записать в общем виде произведение трех после-
довательных четных чисел.
№ 2
1.	а) Начертить числовую ось и отметить на ней точ-
ки, соответствующие целым числам, заключенным
между —3,4 и +5 2.
б) Выбрав соответствующую единицу отсчета, отме-
тить на числовой прямой числа: —2500, —2000, +1000,
+ 2500, +3000.
в) Отметить ва числовой прямой все целые числа,
абсолютная величина которых ие превышает 3.
2.	Вычислить:
а) (—15) + (—20) — (+11) — (-40) +
4- [(-3,5) 4- (+3,5)];
б) а + Ь — (с — | d |), если а = —5,2; Ь = 7,3;
с ==—6,8; d = —3,2.
3.	Подобрать такие числовые значения а, b и с, что-
бы были верны следующие а) неравенство I а + b +
+ с I < | а | + | Ь | + | с | ; б) равенство | а + Ь -|-
4- с | = 0.
4	* Как изменится разность, если из уменьшаемого
вычесть —5, а к вычитаемому прибавить —7?
№ 3
I. Вычислить:
№ 4
1. Решить уравнения и значения корней отметить
точками на числовой прямой:
а) 2,4х + 6= (—5,6) •(—1,2);
б) 8 : (—0,5х) = 3,2; в) —1,2х —7,5 == 2-(—3,75).
2. В V, VI и VII классах школы учатся 269 человек.
В шестых классах — на 3 человека больше, чем в пя-
тых, а в седьмых — в полтора раза больше, чем в пя-
тых. Сколько человек учится в пятых классах? (Задачу
решить, составив уравнение.)
3*. Найти все целые числа х, удовлетворяющие
условию | х + 3 | < 4.
№ 5
1.	Раскрыть скобки и. сделать приведение подоб-
ных членов:
а) (7д4 — 2д2 — 1) + [ — (Зд2 4- 1) —
— (8л4 + 5)] + а* + 6д2 — 4,
б) 1 + [2,4х2 —(—1,2х+ 1)] —(2,5х2 —5,6х).
2.	Упростить (8л25 + 12л52 — 5abc) + (—15л62 +
+ 2а2Ь) — (ЗаЬс + а2Ь) и найти значение при л — —3;
1
b — -7J-; с — 0.
О
3.	Решить уравнение 5х — [4 4- 2х 4- ( — Зх + 7)] —
- 3,4,
4*. Решить уравнение 12х—5| — 11 и отметить
корни на числовой прямой.
№ 6
1.	Найти произведения:
а)	(— Зд*х2)-( — -g-д5х^-(2,4л5х);
б)	3»-2,*-3«-2,а;
в)	(а* — 2а1 х + 6л — 1) • 0,5л’х.
2.	Выполнить возведение в степень:
а) (—0,2д2х*у)’; б) (0,1х2у’)4.
3.	Выполнить деление:
а) 4,8л’ х5у : (—1,2а2х‘);
б) (4.5,»•7“):(20.5,•.7,,);
в) (— 16хву2а’ — 12х2у«х4 + х’у’х2): ( 0,2х2у2х2).
4.	Решить уравнение 2х(3х— 5) — 5х(1,2х— 1) —
- 20.
5*. Выполнить действия:
(15х“ + * у*« : 5х2"-’ у")  -±-хпу.
а) (—2,5).(—4)-(—1) 4- (-2)*-(+5),:(-1000) —
-(-2,4).(+4-);
б) ( + 3тг)-( —117') — [<—3)-( —	—
-(4-1):(	4-(—5»12):(—1,28);
в) (—8.3 + 0,35 — 2,05 + 7)2.
2. Найти значение (х2— 4) : (х + 2) При х——0,3.
3. Что больше (—0,2)4 или ( + 0,2)3 и на сколько?
4*. Подобрать такие значения а, при которых а3—
— а; а3 > —а2.
№ 7
1.	Выполнить действия:
а)	(л — 5) (л2 + Юл + 25);
б)	(х* — 2х2 — Зх 4- 4) (х2 — 2х — 1);
в)	(а —3) (д + 3) (л2+ 9);
г)	(х2 — Злх-+ д2)2.
2.	а) Показать, что (2х — 7) (х — 3) больше
(х — 8) (2х + 3) иа 45 при любых значениях х.
б) Показать, что х(х — 2п) + п2 равно 4 при х —
«= п + 2, а также при х — п — 2.
3.	Решить уравнение (2х — 5) (4х2 + 10х + 25) —
—8х (х2 — 7) = 43.
4е. Выполнить умножение; (д'1— 1) (ап + 1) (д2Я+1).
51
№ 8*
1. Выполнить действия, применяя формулы сокра-
щенного умножения:
а)	(1,1ха —0,2а’) (1,1ха 4-0,2аа);
б)	(х -1) (х + 1) (х* + 1) (х* + 1);
в)	(Зах 4- 0,5ха)а;
г)	(х—-у) + рх''
7	/2	\2
е) (х 4- а)4.
2.	Применяя формулы 1) произведения суммы двух
выражений иа их разность и 2) квадрата двучлена,
выполнить умножение:
а)	(аа— а + 1) (аа + а — 1);
б)	(х* + 2ху 4- 2уа) (х2 — 2ху 4- 2уа).
3.	Вычислить кратчайшим путем: а) 6,377а—3,623а;
6> 15,SP-4.IP. в) ; г) (’у/1 «> (s.4)!:
4*. Почему можно утверждать, что произведение
всех простых чисел, не превышающих 100, делится
на 10, иа 899, иа 3599?
ГЕОМЕТРИЯ
№ 7
1. В четырехугольнике ABCD проведена диаго-
наль BD. Даио: ВС = AD; ^.CBD = ^BDA. Дока-
зать: 1) АВ =- CD; 2) АВС - ADC.
2. Равнобедренные треугольники АВС и ADC имеют
общее основание АС. Их вершины В и D соединены от-
резком BD. Доказать: Д ABD = Д BDC Рассмотреть
два случая: 1) отрезок BD пересекает АС и 2) отрезок
BD не пересекает АС.
№ 8 (на 20—25 мин.]
Построить треугольник АВС, стороны которого а —
= 50 мм, Ь = 70 мм и с = 80 мм., Разделить (при помо-
щи циркуля и линейки) АВ на четыре равные части.
Точки деления М, N, Р соединить с вершиной С. Запи-
сать все треугольники, которые образовались на черте-
же. Сколько их, считая и данный?
№ 9
1.	Дай косоугольный /\АВС. Найти построением на
прямой ВС точку М, одинаково удаленную от вершин
А и С. (Построение обосновать.)
2.	В том же треугольнике на стороне АВ найти по-
строением точку, одинаково удаленную от прямых ВС
и АС.
3.	В том же треугольнике найти все точки, удален-
ные от вершины А на расстояние, равное АВ.
№ 10 (на 15—20 мин.)
Дано: АВ || CD: прямая, перпендикулярная к АВ,
пересекает ее в точке М и CD в точке N. На CD от-
1 За 1—2 урока до этой работы рекомендуется
провести письменную работу на 20—25 мин., содержа-
щую различные упражнения на формулы сокращен-
ного умножения, с обязательной проверкой на том же
уроке.
ложен отрезок NP = MN. Доказать: прямая МР делит
пополам / NMB.
№ 11
1. В равнобедренном треугольнике угол при основа-
нии вдвое больше угла при вершине, а) Найти углы
этого треугольника, б) Доказать, что биссектриса угла
при основании отсекает от данного также равнобед-
ренный треугольник.
2. Высоты равнобедренного тупоугольного треуголь-
ника, проведенные к боковым сторонам, при продолже-
нии образуют угол в 48°. Найти углы данного тре-
угольника.
№ 12
1.	Z А прямоугольного треугольника АВС равен 60°.
Катет АС = 5,2 см. Найти длины отрезков, на которые
высота, проведенная из вершины прямого угла, делит
гипотенузу.
2.	Дан равносторонний треугольник АВС. На стороне
АВ дана точка М, на ВС — N и на СА — Р, причем
AM = BN = СР. Доказать, что Д MNP равносторонний.
3	*. Построить равнобедренный треугольник по высо-
те, проведенной к основанию, и углу при основании.
VII класс
АЛГЕБРА
№ 8
1.	Упростить
х 4- 3	2—х	5 Зх—2
9ха ‘ Зха “Tex’- Зх’ ’
2
а затем вычислить а) при х— —-у; б) прих = —2.
2.	Выполнить действия:
3(3 —а) 4	6
а)	аг_! +fl+i аг+2а+1
2(5-а)
а* 4- аа— « — 1 ’
/	2	\ а* — 8	2
б)	^а+14-0,5а ) : а 4-2 + 2а—а”
3.	Решить уравнение
х 4-3	5	х+2
х+ 1 — 2x4-2 - 0,5x4-0,5	'1 * 3,°'
4*. Разложить на миожители 249 999, применяя из-
вестную формулу сокращенного умножения.
№ 9
1.	Выполнить действия:
/1	1 — т 1 — 2т \
а) ^2 4- 4m — 8та 4- 1 : 4ma— 2m4-1) Х
4m 4-2	______1____
X 2т — 1	1 — 4m 4- 4ma ’
г 4	1
б) I За + За—66
2.	Решить уравнения и корни проверить:
74 —9х	8	7
а) х’ —2х2 —4х 4-8 — ха — 4х-}-4 =ха —4:
2	3 2х 4- 3
б)х43 — 2х—6 ~4х2 —38 ’
3.	Вычислить: 15,321’— 5,321’— 30-15,321-5,321.
52
4* При каких значениях х дробь 2отрица-
тельна?
№ 10
1. На базе находились картофель и морковь, при-
чем картофеля на 64 т больше, чем моркови. Отпуск
картофеля был начат на 10 дней раньше, чем отпуск
моркови. Каждый день отпускалось по 1,5 т карто-
феля и по 1,2 г моркови. Через некоторое время
в один н тот же день было установлено, что карто-
феля осталось 50% первоначального запаса, а мор-
кови— 40%. Сколько картофеля и сколько моркови
было на базе первоначально?
2. Решить уравнение относительно х: (а + I)2 х—1 =
= х — (1 — а) (1 +л).
14 — х I ,
3*. Решить уравнение —5— — 1—7.
№ 11
1.	Построить график зависимости у = 2х—1 и от-
ветить на вопросы:
а)	при каком значении х у — 0;
б)	при каких значениях х у > 0; у < 0;
в)	как расположены относительно графика (выше
или ниже его) точки Л1(3; 4), Ла(4; 7), Л, (—1; 0),
А(—1; 0), А(0; 0), Л, (—5: —11)?
2.	Какое взаимное положение графиков зависимости:
а) у — —0,5х + 1 и у — —0,5х— 2;
б) у - 4х 4- 2 и у--0,25х 4- 1?
3.	Заштриховать ту часть координатной плоскости,
которую покрывают все графики у — kx + 2, если
—1<£< 1.
4.	Упростить
д« _ Зд* + Зда — 1 . (д —1)’ (а + 1)
a* -f- 2д2 +1	" а2 1
и затем найти числовое значение с точностью до 0,01
при а — —0,12 (воспользоваться таблицей квадратов
чисел).
№ 12
1. Построить (на одном чертеже) графики уравне-
ний: а) х — у — 3; б) 2х 4- Зу — —6; в) 0х + Зу = 6;
г) Зх — у — 1,5.
2. Построить па четырех чертежах графики уравне-
ний систем:
[ х — 4у ——3,
а) {
I 2х + у - 3;
( х — 2у — 1,
в) {
I —Зх + бу = 2;
I Ох 4- 2у — —5,
б)
( 2х 4- у = 3;
(4х — 2 у — 1,
г) {
\2х — у —0,5.
3. Решить системы:
а)
х у 4- 2 у —4
3 “	6	2 ’
2х—2 =(у — 1);
.4. Вычислить:
а) (8,516’ 4- 8,484’): 17 — 8,516-8,484;
б) (100s— 10’): 1000’ 4- 45«:(3,’-57).
№ 13
1. Из двух баков начали одновременно отпускать
бензин, из первого ежедневно отпускали по 16,5 г,
а из второго—11,4 г. К тому времени, когда из вто-
рого бака отпустили весь бензин, в первом остава-
лось еще 25 т. Если бы из первого бака отпускали
ежедневно по 10 г, а из второго — по 6 г, то бензина
в обоих баках хватило бы на один и тот же срок.
Сколько бензина было вначале в каждом баке?
2. Доказать тождество 1
/ а* 4- 962 \	/	962 \
36	) z {а+ а—ы) +
а /	66 \
+ ЗбА1—зь~ ~а~)------а'
3*. Заштриховать ту часть координатной плоскости,
точки которой удовлетворяют условию у <—0,4х 4- 2.
№ 14 [на 2 урока)
1.	В августе за 4 кг яблок и 3 кг груш уплачено
4 руб. 80 коп. В сентябре цены таких же яблок сни-
зились на 20%, а груш — на 30%, поэтому за 5 кг
яблок и 4 кг груш заплатили 4 руб. 64 коп. По какой
цене в сентябре покупали яблоки и по какой —груши?
2.	Разложить на множители: 64а’—х12.
3.	Найти частное: (х“ — х* — х2 4- 1):(х*— 2х2 4- 1).
4.	Доказать тождество
а с — х ах \	/ д
с а + с2—сх) ' \с — х +
с — х \ а — с + х
+	+ 2) “ а + с — х-
5.	Приведя .каждое уравнение системы к нормаль-
ному виду, решить ее графически:
7 4- Зх 2х 4- у
4	—	2	“2—У»
6.	Вычислить: 3.3752 4- 6,75-7,235-}- 7,2352 — 9,392.
ГЕОМЕТРИЯ
№ S
1.	Вычислить площадь полной поверхности прямой
призмы, в основании которой равнобедренный треуголь-
ник со сторонами 26 см. 26 см и 20 см; высота призмы
равна 15 см.
2.	Тупой угол ромба равен 150°. Сторона этого ромба
равна стороне квадрата. Чему равно отношение площа-
дей этих квадрата и ромба? (Ответ объяснить.)
3	*. Доказать: диагонали прямоугольника делят его
на четыре равновеликих треугольника.
53
№ 6
1.	В основании прямой призмы ромб, диагонали ко-
торого 18 см и 24 см. Боковые грани призмы — квадра-
ты. Найти ее объем.
2.	Построить равнобедренную трапецию, если даны ее
основания а и Ь и боковая сторона с.
3	*. Доказать: точка пересечения высот равносторон-
него треугольника отстоит от его стороны на расстоя-
нии, равном одной трети его высоты.
№ 7 (на 20—2S мин.)
1. Ответить на вопросы: где иа плоскости находятся
центры окружностей, проходящих а) через точку, дан-
ную на этой плоскости; б) через две точки данной
плоскости; в) через три точки данной плоскости (два
случая: точки не лежат на одной прямой, точки лежат
на одной прямой)? (Ответы сопровождайте чертежами.)
2. Можно ли провести Окружность, проходящую а) че-
рез все вершины прямоугольника; б) через все верши-
ны любого паралл елограмма?
№ 8
1.	В окружности проведен диаметр AD. Через точку
А проведена хорда АВ так, что Z BAD — 60°. Через
точку В — хорда ВС || AD; точки С и D соединены.
Доказать, что каждая из хорд АВ. ВС, CD равна ра-
диусу окружности.
2.	Хорда пересекает диаметр под углом, равным
135°, и делится в точке пересечения на отрезки а и Ь.
Найти расстояние центра окружности до хорды.
3	*. Одной из сторон треугольника служит диаметр.
Третья вершина — на той же окружности. Где должна
находиться эта точка, чтобы площадь треугольника
была наибольшая?
№ 9
1.	Дана окружность с центром в точке О. Ее радиус
равен 3 см. Из точки А, отстоящей от О на 6 см, про-
ведены две прямые, касающиеся данной окружности в
точках В и С. Найти a) Z ВОС и Z ВАС; б) длины
отрезков, на которые хорда ВС делит отрезок ОА.
2.	Вершины трапеции ABCD лежат на окружности.
Из вершины А основание трапеции ВС видно под уг-
лом в 40°, а боковая сторона CD — под углом в 30°.
Найти градусную меру дуг АВС и ACD.
3.	Из точки А вие круга проведена прямая, касаю-
щаяся окружности в точке В, и прямая, пересекающая
окружность в точках С и D. Проведены хорды ВС и
BD. Доказать, что углы Д АВС равны углам Д ABD.
№ 10
1. По одной дайной величине найти остальные с по-
мощью четырехзначных таблиц «Длина окружности» и
 «Площадь круга».
R D С S	0,7562	12,37	456,8	0,3756
2. а) Найти площадь полной поверхности цилиндра,
если диаметр основания равен 6,18 м, а высота равна
3,24 м.
б) Какой высоты должен быть цилиндр, чтобы его
объем был равен 3,50 куб. дм? Диаметр основания ци-
линдра 20,3 см.
№ 11
1 Стороны параллелограмма 34 см и 16 см, одна из
диагоналей перпендикулярна его стороне. Найти его
площадь и длину другой диагонали.
2. Построить треугольник по его основанию а, медиа-
не та н высоте ha, проведенным к основанию По-
строить затем окружность, проходящую через вершины
этого треугольника.
3 *. Доказать: если медиана, проведенная к одной из
сторон треугольника, равна ее половине, то треуголь-
ник прямоугольный.
VIII класс
АЛГЕБРА 2
№ 7
1.	Решить систему
[ Xя— 2ху— у2 * * * = 14,
( 2х — Зу = 9.
2.	Периметр прямоугольного треугольника равен
28 см, его площадь равна 21 кв. см. Найти его стороны.
3.	Найти графически ic точностью до 0,1) корни
уравнения х2 — 3,2х + 2 = 0.
4 *. Решить уравнение х2 — | 5х — 6 | =0.
№ 8
1.	Исследовать функцию у = —0,2х + 3.
2.	Заштриховать ту часть координатной плоскости,
в которой находятся все прямце, определяемые урав-
нением у— ах — 3, если —0,5 <а^1.
3.	Учитель на доске вычерчивает 2—3 графика, пред-
лагает учащимся начертить в тетрадях (или на милли-
метровой бумаге) аналогичный одному из них и, счи-
тая функцию заданной этим графиком, исследовать ее.
4.	Вычислить:
18« —З’о.ел + 8-3’,-4»
128-4»-2710
5 *. Решить графически систему
Г I -vy I — 1.
( 4х — 5у + 20 = 0.
№ 9
1 1
1.	Построить график функции у— — -д~х2 + х + 3g и
ответить на следующие вопросы :а) при каком значении
х функция имеет наибольшее значение и чему оно рав-
но; б) при каких значениях х функция имеет- отрица-
тельные значения, положительные, равные нулю; в) при
каких значениях х у возрастает, при каких убывает;
г) как изменяется у при изменении х от 1 до 3?
2.	Найти координаты пересечения парабол у =
= 0,5х2 + 1 и у = —х2 + Зх
3.	Доказать, что при любых допустимых значениях а
и х выражение
2 Рекомендуется в течение второго полугодия дать
3—4 домашние работы, по содержанию близкие к эк-
заменационным проштых лет, с последующим подроб-
ным разбором их выполнения на уроках.
54
За* 1 2 + 2ах — х2 60х2 + 10ах — 10а2
а2 4- 4а х 4- Зх2 + а1 — 9х2	®
равно 1.
4.	Построить график функции у = хг — 4х 4- 4.
№ 10
1.	Построить на одном чертеже графики функций
у — х* и у - /х и доказать, что прямая, проходящая
через общие точки графиков, делит пополам коорди-
натные углы I и 111 четвертей.
2.	Решить графически систему
у - /х 4- 3,
у — 0,5х2— 1,5х
(значения х и у дать с точностью до 0,1).
3.	Найти числовое значение многочлена
х2 — Зху — у2 при х - 5 4- 2 / 6, у - 5 — 2 у^б.
№ 11 (на 2 урока)
1.	Из пункта А в одном и том же направлении вы-
ехали одновременно автобус и грузовая машина. Авто-
бус проходил в среднем 54 км в час, а грузовая маши-
на — 45 км в час.
Через 40 мин. после того из пункта А в том же на-
правлении выехала «Волга». Она догнала автобус на
20 мин. позже, чем грузовую машину. Найти скорость
«Волги», и иа каком расстоянии от пункта А она дог-
нала автобус?
2.	В уравнении 8х2 4- 2х + с — 0 один из корней на
0,75 больше другого. Найти с.
3.	Решить графически систему
ху—1 — 0,
х2 — у — 5 = 0.
4.	Упростить
I а* — а2 4- 2а — 1
I (а2 4- I)2 — о2
5. Вычислить
(а2 — I)2 — а2 1 а2 — 2а
а* + 2а* 4- а2 — 1 ]' а* — 1 '
0,3‘ • (13,5282 4- 16,4722 4- 32,944-13.528',
(272-0,18 — 8,1’):2,7
ГЕОМЕТРИЯ
№ 6
1 Начертить произвольный четырехугольник и по-
строить ему подобный, приняв за коэффициент подо-
2
бИЯ k — -g-.
2. Построить прямоугольный треугольник, если даны
отношение с : Лс — 5 : 2 и 1л — биссектриса острого уг-
ла А.
№ 7
1. Катеты прямоугольного треугольника пропорцио-
нальны числам 3 и 7. Найти углы этого треугольника.
2. В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = ВС)
дано ha = 0,278 м, Л А — 32°44' Найти а, Ь и hb.
3. Вершины треугольника АВС лежат на окружности,
радиус которой R = 2,58 дм, Z В = 70°36'. Найти сто-
рону Ь.
№ 8
1.	Найти площадь равнобедренной трапеции; ее
меньшее основание равно 0,752 дм, и прилежащий к
нему угол равен 137°46'. Другое основание 0,972 дм.
2.	Биссектриса одного из острых углов прямоуголь-
ного треугольника делит кагет в отношении 0,82:0,316.
Найти углы этого треугольника.
3.	Доказать, что площадь равнобедренного треуголь-
ника равна ?, sin 2g ’ где — высота. проведенная
к боковой стороне, а — угол между этой высотой
и основанием треугольника.
№ 9
1.	Площадь равнобедренного треугольника АВС
(АВ = ВС) равна 300 см2; АС = 30 см. Найти радиу-
сы кругов, описанного около этого треугольника и впи-
санного в него.
2.	Около круга, диаметр которого равен 24 см, опи-
сана прямоугольная трапеция, большая боковая сторо-
на которой равна 25 см. Найти длину каждого основа-
ния трапеции.
3	♦. Доказать: если в четырехугольнике суммы про-
тивоположных сторон равны, то в этот четырехугольник
можно вписать круг.
№ 10
1.	Доказать: правильный шестиугольник содержит три
пары параллельных диагоналей, три диагонали,
к ним перпендикулярных, и две тройки диагоналей,
образующих равносторонний треугольник.
2 Вычислить градусную меру внутреннего угла каж-
дого правильного п-угольника, 1) если п = 3, 6, 12, 24
и 2) если п = 4, 8. Существует ли правильный много-
угольник, внутренний угол которого равен 179°15';
179°59'? Внешний угол которого равен 5°; 6°15'?
3 •. Доказать, что площадь правильного 12-угольника,
вписанного в круг радиуса А, равна ЗА2.
№ И
1.	Сторона ромба равна 18,26 см, один из углов ра-
вен 150°. Найти площадь круга, вписанного в этот ромб.
2.	Построить треугольник по отношению его сторон
7:2:8 и медиане, проведенной к большей стороне.
3	*. Из точки М, лежашей вне данной окружности,
проведена к ней касательная МА (А — точка касания)
и прямая, пересекающая окружность в точках В и С.
Точки А, В в С соединены. Доказать подобие тре-
угольников МАВ и МАС; записать в них равные отно-
шения сходственных сторон.
IX класс
АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
№ 7
1. Упростить
и затем найти числовое значение при х = 3,375, у —
-----0,125.
55
2. Решить уравнения:
а)	г 16 4- х — /11 — 2х + к 25 4- Зх — 0;
~2~ < а < л. Верно ли это равенство при а — -g-?
б)	<2х— 1 - 1— 2х.
3*. Не решая уравнение i 4х—13—у 5х—16 =
= 2, доказать, что оио не имеет корней.
№ 8
Найдите значение левой части равенства при “=*"2'-
4*. Найти наибольшее и наименьшее значения функ-
2
ции у = 2_| cos х । • Укажите соответствующие зна-
чения х из промежутка 0 < х < 2л.
1. Упростить выражение
1
а3	(2а — 6)° (а — Ь)~'
I I ’	J_
а* 1 2-62 J	Ь 2
если а^О, 6>0, а^=Ъ.
Имеет ли это выражение смысл при а = 0,5 6?
Ответ обосновать.
2. Упростить выражение
__ _1_
Z4аг — 4аЬ 4- Ьг  (Ь — 2а) 6
6 ________
/ (6 — 2а)5
№ 11
1.	Упростить выражение
sin2 (180° 4- а)
cos (270° 4- a) — sin (90° + а) +
cos (360° — а) — sin (а — 180°)
+	1 — ctg2 (270° — а) *
2.	Пользуясь таблицей, найти приближенное значе-
ние суммы cos (—863°) 4- sin 735°.
3.	Вычислить:
a)	sin (₽ — -у) 4-	15 +
б)	1 4-tg (3,25г.);
в)	cos 12,56 (с точностью до 0,001).
4*. Решить уравнение cos > х =- 0.
3. Указать допустимые значения для х в каждой из
данных функций:
з_____	—	1
у-Ух — 3; у-(х — 3) 3 : у---------—.
(х-З)3
4*. Решить неравенство 4х~’ — 3 < х~
№ 9
1.	Длина вектора, исходящего из начала координат,
равна 3, его абсцисса —1.
Найдите значения тригонометрических функций
угла а между этим вектором и положительным на-
правлением оси абсцисс. Постройте иа этой же пло-
скости еще один угол косинус которого равен cos а.
2.	Вычислить: | sin (——З-) | —— cos-g-4-
+ ctg2(—т)-
3.	Не производя вычислений, определить знак раз-
ности:
a)	cos 37° — cos 219°;
б)	sin(—2,3) — sin (—2,4);
в)	tg5 —tg5,3.
4*. Могут ли тангенс и котангенс одного и того же
угла быть равными соответственно 2	3 и 2— У^З ?
№ 10
1. Вычислить tg а, если
и 180° < а <270°.
2. Упростить выражение
известно, что sin а = —0,6
1 —sin* а — cos* а
cos* а
1 Г1 — sin а
3. Доказать, что у 1 4- sin с =	“ — sec а при
№ 12
1. Доказать тождество
cos2 (1,5л — а) —• cos2 (— а) 4- cos* (л -]- а)
cos2а — cos’ (~2~ +	+ sln* (— а)
- tg* а.
2. Решить уравнения:
a) sin (2х 4- 3) [cos (Зх 4- 2) 4- 1J = 0;
б) 2cos2х 4- sin х — 1 = 0.
3*. Вычислить:
№ 13
1. Дана последовательность [2 — Зл).
а) Доказать, что члены ее составляют арифмети-
ческую прогрессию.
б) Найти сумму ее десяти первых членов.
в) Найти те значения л, при которых Sn > — 12,
где Sn—сумма п членов (начиная от первого) после-
довательности.
2. Первый член геометрической прогрессии, члены
которой положительны, равен 2. Произведение вто-
рого члена на шестой равно 256. Найти сумму пер-
вых четырех последовательных членов прогрессии.
№ 14
1. Решить уравнение
х — Зт 2т 4-3 т — 5
Xs —9 ~ х4-3 х —3-
2. Найти область определения функции
.__________ 3
у= /9х —х2 —8 4-
56
3 Упростить выражение
(sin а 4- cos а)2 — 1
ctg а — sin а-cos а
3
и вычислить, если sin а = —0,8 и 2" л < а < 2л.
ГЕОМЕТРИЯ
№ 5
1. Из произвольной точки К катета ВС прямоугольно-
го треугольника АВС восставлен к плоскости треуголь-
ника перпендикуляр KN. Какой угол образует катет
АС с плоскостью, проходящей через ВС и KN? (Ответ
обосновать.)
2. Пользуясь таблицей, вычислить (с точностью до Г)
величину угла между диагональю куба и его боковой
гранью.
№ 6
1. Площадь ромба с углом в 60° равна 8УЗ си2. Точ-
ка М отстоит от каждой стороны ромба на расстояние,
равное высоте ромба. Найти расстояние от точки М до
плоскости ромба.
2. Найти величины углов между диагональю куба и
каждой из диагоналей основания.
№ 7
1. Треугольник АВС. в котором Z С = 90°, Z В = 30°
и АС = Ь, расположен так, что катет АС принадлежит
плоскости а, а вершина В вне плоскости а. ВО J_ и
(Оец). Найти расстояние от точки О до плоскости
АВС, если известно, что плоскость АВС образует с
плоскостью а двугранный угол, содержащий 45°.
2. Точка, расположенная внутри двугранного угла,
одинаково удалена от его граней. Доказать, что плос-
кость, проходящая через ребро двугранного угла и дан-
ную точку, является биссекторной.
№ 8
В треугольнике АВС ЛВ = 8,13 см. ZB4C = 64°36',
Z АВС — 70“18'. Из 1очки М на стороне ВС проведен
перпендикуляр AIS к плоскости треугольника АВС.
Точки 5 и А соединены. Найти длину наклонной S4,
если известно, что она образует С плоскостью АВС угол
в 48°24 и равные углы со сторонами АВ и АС.
№ 9
1. На ребре трехгранного угла с вершиной S взята
точка В Через точку В проведена плоскость, перпенди-
кулярная ребру SB и пересекающая другие ребра соот-
ветственно в точках А и С. Найти площадь треуголь-
ника СВА. если SB = 6,32 см, Z BSA = j>2°12'
Z BSC = 38°12'. Z СВА = 48° 18'
2. Доказать, что площадь треугольника АВС равна
2/?2 sin A sin В sin С, где R — радиус круга, описанного
около этого треугольника.
X класс
АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
№ 9
1. Дана функция у = 2х 4- 1.
а)	Построить ее график.
б)	Пользуясь графиком, на том же чертеже по-
строй гь график обратной функции.
и) Записать аналитическое выражение функции,
обратной данной
г) При каких значениях х полученная логарифми-
ческая функция: а) положительна, 6) отрицательна,
в) равна нулю? Как изменяется эта функция при воз-
растании х от 2 до 4?
2) Определить х, если:
5	1
e) log5/s х “ - ВТ б> 10g 3/2 IT “ х‘
в) logjc 9 >^3  5.
3. Вычислить: (у 5)’ + ,og‘7.
4*. Решить неравенство log0i, (2х — l)>log0,,(x 4- 2).
№ 10
1.	Прологарифмировать выражение
Зпа‘cos2 а — sin2p
8 (т — п) '
где а > 0, т > п, | cos а [ > | sin р |.
2.	Решить уравнения:
а) 251ов’,лг+3»-(/5)-1;
б) 1g (2х — 1) + 1g (х + 3) - 1 + 1g3.
3.	у — 9xloga х. Указать область определения этой
функции и найти log, у.
4*. Решить неравенство
х2 log»,» (Зх — 15) — log,,, (х 4- 3) < х2 log,,, (х f 3) —
— logi,B (Зх — 15).
№ 11
1.	Вычислить с помощью таблиц логарифмов:
8а‘ (sin а sin р)
а)	“ sin a —cos р
при а — 8,375, а — 80°24', р — 30°12';
б)	х — 5*^3 (с точностью до 0,001).
2.	При каких значениях х справедливо равенство
1g (х! — 5х 4- 6) — 1g (2 — х) 4- 1g (3 — х)?
3.	Решить уравнение sin’x— 2cos2x— 1,5.
4*. Решить неравенство | cos х |
№ 12 (на 2 урока)
1.	Решить уравнения:
а)	2,2912х - 0,3981;
-Д-	i-—
б)	2 2 — 3 4- 2	2 - 0;
в)	1g Z2x — 1 4- 1 - lg (х 4- 9);
г) (х — 3) 10g’ l-*-3’ + 3 - 16.
loga N toga N
2.	Доказать	. где M>0.
N > 0, a > 0 (а ф 1), b > 0 (b =# 1).
3.	Решить неравенство log, x-plog r— x-f-log . x<6.
r 3	__
3
4*. Решить неравенство logM (2x — 2) <logM (x 4- 1).
Из значений x, удовлетворяющих данному неравен-
ству, указать те, при которых sin х cos х < 0.
57
№ 13
1.	При каких действительных значениях а произве-
дение [(а2— 3)4-(а2 — 4а— 3)1] (14-О будет дейст-
вительным числом?
2.	Найти действительные числа х и у из уравнения
15 — (х 4- у) I = (х2 4- Зу) — 5z.
3.	Решить уравнение 27х* — 8 = 0 и дать геометри-
ческое изображение корней на комплексной пло-
скости.
4.	Заштриховать ту часть комплексной плоскости,
которая содержит все точки, соответствующие комп-
лексным числам а 4- bl при — 1 < а< 3, i 0.
5*. Найти действительные значения х, если
| sin 2х + I у41 — cos 2х | — 1^2-
№ 14 [иа 2 урока]
1.	Решить относительно х:
х 2 2х — а -1
а 4- 1 “ х — 2
Ответ: при <7=^=3, а =/=—1 х, = а 4- 3. х2 =
= а — 1; при а — 3 х -= 6; при а = — 1 уравнение
не имеет смысла.
2.	При каких значениях b прямые 2х — 36у = 5Ь
и х 4- 2у = 5 пересекаются, и точка пересечения при-
надлежит четвертой координатной четверти?
3.	Упростить выражение
(а0,5 _ 60,5)3 + 2	+	5
а 1,5	3 v ab — ЗЬ
Л1.5 + ь1-5	+ и — Ь
а > О, Ь > 0, а=/=Ь.
4. Найти область определения функции
5. Решить уравнение
sin’ 2х cos 2х—cos’ 2х sin 2х =
ГЕОМЕТРИЯ
№ 5
Основанием пирамиды служит равнобедренный тре-
угольник АВС (АВ = ВС) с углом ₽ при основании.
Две боковые грани, проходящие через равные стороны
основания, перпендикулярны к основанию, а третья бо-
ковая грань наклонена к плоскости основания под уг-
лом а. Найти боковую поверхность и объем цилиндра,
описанного около пирамиды, если расстояние от верши-
ны В основания до противоположной боковой грани
равно а.
№ 6 (иа 2 урока]
1.	Шар вписан в прямую треугольную призму, осно-
ванием которой служит прямоугольный треугольник с
катетом а и прилежащим к нему острым углом а. Най-
ти поверхность и объем шара.
2.	Треугольник АВС вращается около оси, лежащей в
его плоскости, проходящей через вершину А перпенди-
кулярно биссектрисе АЛ' угла А. Найти площадь поверх-
ности, образуемой вращением стороны ВС, если ВС = а,
Z В --=а, Z С = р.
№ 7 (на 2 урока]
1. В шар радиуса R вписан конус, боковая поверх-
ность которого в k раз больше площади основания.
Найти объем конуса.
2. Построить сечение правильной треугольной призмы
плоскостью, проходящей через сторону основания и се-
редину отрезка, соединяющего центры оснований
призмы.
ИЗ ОПЫТА ПРОВЕДЕНИЯ
ФАКУЛЬТАТИВНЫХ ЗАНЯТИЙ
ФАКУЛЬТАТИВНЫЕ ЗАНЯТИЯ — ВАЖНАЯ
ФОРМА ВОСПИТАТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
Е. С. ПЕТРОВА
(г. Архангельск)
Факультативные занятия являются новой
формой организации обучения, поэтому у каж-
дого преподавателя возникает немало органи-
зационных и методических вопросов, которые
могут быть решены по-разному в разных ус-
ловиях. Но если проблемы тематики занятий,
методики изложения материала были предме-
том обсуждения на страницах газет, журна-
лов, на конференциях, то о воспитывающей
роли факультативных занятий говорилось еще
очень мало. А между тем эта роль велика,
и нельзя ее недооценивать.
Действительно, мейыпий объем группы уча-
щихся, посещающих факультативные занятия,
по сравнению с числом учащихся в классе по-
могает учителю выявить индивидуальные осо-
бенности каждого школьника и обеспечивает
наиболее эффективное проведение индиви-
дуальной работы с учащимися на занятиях.
Свобода в выборе тематики занятий позволяет
учителю подобрать материал, имеющий непо-
средственно большое воспитательное значение.
По математике в этом отношении интересны
сообщения фактов из истории математики.
Наконец, принцип добровольности в выборе
факультативных занятий способствует повы-
58
шению интереса учащихся к этим занятиям,
активному, творческому отношению их к ра-
боте.
Факультативные занятия по математике по
сравнению с орычными уроками дают больший
простор для’ проведения целенаправленной
воспитательной работы со школьниками.
Огромное эмоциональное воздействие оказы-
вает на учащихся работа исследовательского
характера, когда ученик познает ни с чем не
сравнимую радость творчества. Сама специфи-
ка факультативных занятий позволяет широко
использовать создание проблемных ситуаций.
Работа такого характера, несомненно, воспи-
тывает у школьников стремление к знаниям,
желание не только выучить уже готовый мате-
риал, но и «открыть» новое, самостоятельно
исследовать это новое.
На уроке, когда в классе более тридцати
человек, невозможно проследить за ходом
мысли каждого ученика при решении задач,
поставленных перед классом. Факультативные
занятия не только позволяют учителю получить
достаточно полную обратную информацию, но
и дают возможность организовать обсуждение
решения каждой новой теоретической пробле-
мы или практической задачи. Товарищи могут
возражать отвечающему, критиковать его или
выдвигать другие аргументы, защищающие
его точку зрения. В некоторых случаях наме-
чается план решения задачи. Схематически
записываются на доске все предложенные ва-
рианты решения. Затем неправильные вариан-
ты отбрасываются и выбирается наиболее
рациональный путь решения задачи—тот,
при следовании которому приходится выпол-
нить возможно меньшее число операций.
Подобное коллективное обсуждение при ре-
шении каждой очередной проблемы приучает
учащихся работать по строго намеченному
плану, развивает их логическое мышление,
дисциплинирует, формирует и укрепляет соот-
ветствующие моральные качества. При подоб-
ных обсуждениях неловко чувствуют себя
ученики, не пытающиеся найти решение зада-
чи, но желающие создать впечатление активно
работающих. Школьники приучаются ценить
наиболее удачные ответы своих товарищей,
и каждый испытывает немалую радость при
мысли о том, что в красивом здании только
что «открытой» всей группой теоремы есть
и частица его труда, его мыслей.
По некоторым темам на дом школьникам
давались индивидуальные задания. Например,
после изучения темы «Уравнение линии» каж-
дому ученику задавалось уравнение кривой;
требовалось определить вид этой кривой и по-
строить ее Естественно, что желание решить
задачу (которая потом будет разбираться со
всей группой) помогало укреплению воли,
настойчивости школьника, а желание красиво,
со вкусом, четко оформить решение задачи —
эстетическому воспитанию.
Факультативные занятия позволяют с боль-
шей полнотой развивать творческую актив-
ность учащихся в процессе решения задач.
Этому во многом способствует и варьирование
условий и заключений задач. При этом изме-
нения в формулировку задачи вносят сами
школьники.
Работа по привитию навыков рациональной
записи условий математических предложений
и их доказательств, строгости словесных фор-
мулировок имеет огромное значение не только
для развития логического мышления учащих-
ся, но и для воспитания у них аккуратности,
четкости, грамотности речи, привычки тщатель-
но продумать всякое предложение прежде, чем
записать или высказать его. Это, несомненно,
способствует повышению не только математи-
ческой, но общей культуры учащегося.
В заметке были отмечены лишь некоторые
стороны важной проблемы. Факультативные
занятия по математике создают широкие воз-
можности для целенаправленной воспитатель-
ной работы. И задача учителя продумать, как
организовать эти занятия с получением наи-
большего воспитательного эффекта.
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
АРИФМЕТИКИ НА ФАКУЛЬТАТИВНЫХ
ЗАНЯТИЯХ В VIII КЛАССЕ
,	К. А. НЕЧИПОРЕНКО
(г. Луцк)
В деле организации факультативных заня-
тий, как во всяком новом начинании, имеются
и трудности и нерешенные проблемы. Нам ка-
жется, что и в настоящее время наиболее
важными вопросами остаются отбор учебного
материала и методика проведения занятий.
В программах факультативных занятий по
математике для VII—VIII классов есть темы
под общим названием «Дополнительные вопро-
сы арифметики целых чисел», которые вклю-
чают теорию делимости и элементы теории
сравнений.
Необходимость и важность изучения этих
тем, на наш взгляд, бесспорны. Дополнитель-
ные вопросы арифметики целых чисел являют-
ся основой для изучения некоторых других
важных разделов систематического курса ма-
59
тематики, а также тем остовом, вокруг которо-
го происходит систематизация, уточнение
и обобщение знаний по арифметике, получен-
ных учащимися в младших классах.
Арифметика в ряду учебных предметов
всегда стояла несколько обособленно. В курсе
арифметики изучается значительный по объе*-
му материал, содержание которого имеет
прикладной характер. Преподавание арифме-
тики ведется в основном конкретно-индуктив-
ными методами. Критерий знаний определяет-
ся умением решать задачи и достаточно
быстро и правильно производить вычисления
с целыми и дробными числами. Эти особенно-
сти предмета приводят к тому, что учащиеся
в арифметике зачастую видят только свод не
всегда удобных для запоминания правил, гро-
моздкие вычисления, необходимость которых
для них сомнительна. Не удивительно, что
учащиеся испытывают большое облегчение
при переходе к изучению алгебры, особенно
после ознакомления с алгебраическим спосо-
бом решения задач.
Программа по математике в последующих
классах построена так, что к вопросам ариф-
метики, а тем более к их теоретическому обос-
нованию учитель почти не возвращается.
В результате в знаниях учащихся по арифме-
тике обнаруживаются значительные пробелы,
которые особенно заметны на вступительных
экзаменах по математике в высшие и средние
специальные учебные заведения. Анализ ре-
зультатов вступительных экзаменов на физико-
математический факультет Луцкого пединсти-
тута позволяет заключить, что абитуриенты
очень опасаются вопросов по арифметике, по-
тому что их знания по этим вопросам зачастую
ограничены учебником для V класса.
Незнание элементарной теории делимости
целых чисел проявляется при изложении во-
просов, связанных с обращением обыкновен-
ных дробей в десятичные, решением квадрат-
ных уравнений, извлечением корней из целых
чисел. Ответы абитуриентов свидетельствуют
о незнании ими теоремы единственности разло-
жения целого числа на простые множители,
о каноническом представлении его делителей,
количестве делителей, условий делимости сум-
мы, разности и произведения на число.
Приведенные факты свидетельствуют о том,
что знания учащихся по арифметике сле-
дует пополнять и уточнять при дальнейшем
изучении математики в старших классах.
Одним из путей для этого, как показывает
опыт, является изучение дополнительных
вопросов арифметики целых чисел на факуль-
тативных занятиях
В 1967/68 учебном году названные темы
изучались нами с учащимися восьмых классов
луцкой восьмилетней школы № 9, а в
1968/69 учебном году — с учащимися восьмых
классов луцкой средней школы № 5.
В течение первого года проводился отбор
материала, уточнялся его объем и проверя-
лась доступность; проводились.поиски наибо-
лее эффективной конструктивной формы про-
ведения занятий, методов преподавания; опре-
делялось соотношение между классной и до-
машней работой учащихся.
В общих рекомендациях предлагается фа-
культативные занятия включать в расписание.
Но практически это сделать трудно, так как
в состав группы входят учащиеся нескольких
параллельных классов.
Для проведения факультативных занятий
мы выбрали наименее загруженный основным
расписанием день недели; занятия проводили
с 17 часов. На каждое занятие отводилось
2 часа, т. е. два урока по 45 минут с переры-
вом между уроками в 10 минут. В нашем
опыте была попытка проводить занятия по
1 часу два раза в неделю, но ойа не оправдала
себя — изученный материал в достаточной ме-
ре не закреплялся, не хватало времени на
самостоятельную работу, создавалось впечат-
ление незаконченности. Двухчасовые занятия
оказались более эффективными.
Занятия проводились по следующей прог-
рамме.
I. Теория делимости целых чисел (14 часов)
1.	Основные понятия теории множеств: множество,
элемент множества, подмножество, взаимно однознач-
ное соответствие, эквивалентность, конечные и бесконеч-
ные множества. Множество натуральных чисел Аксио-
мы натуральных чисел (без аксиомы индукции). Мно-
жество целых чисел.
2.	Теоремы о делимости целых чисел и их следствия:
1) Основная теорема делимости, ее доказательство.
2) Теоремы о делимости суммы, разности двух чисел
на число. 3) Теоремы о делимости произведения не-
скольких чисел на число и числа на произведение.
3.	Признаки делимости целых чисел: общий признак
делимости Паскаля, признак^ делимости на 3, 9, 7, 11,
13, 37.
4.	Числа простые и составные. Теорема о бесконеч-
ности множества простых чисел. Способ и критерий
Эратосфена отыскания простых чисел. Теорема о суще-
ствовании как угодно больших промежутков, которые
не содержат простых чисел.
5.	Представление натуральных чисел в каноническом
виде. Теорема единственности разложения целого числа
на простые множители. Наименьшее общее кратное и
наибольший общий делитель двух чисел. Нахождение
НОК и НОД способом разложения на множители.
6.	Алгоритм Евклида нахождения НОД двух чисел.
Свойства НОК и НОД. Решение разных примеров.
7.	Контрольная работа № 1. Подведение итогов по
теме.
60
II. Элементы теории сравнений. Применение сравнений
к решению некоторых задач (20 часов)
1.	Сравнения: определение и свойства.
2.	Применение свойств сравнений к нахождению
остатков от деления разных выражений на данное
число.
3.	Вывод признаков делимости с помощью сравнений.
Проверка результатов арифметических действий.
4.	Множество классов по данному модулю. Полная и
приведенная система вычетов, их свойства. Операции
над классами.
5.	Определение функции Эйлера. Формула для вычис-
ления функции Эйлера (без доказательства). Теоремы
Эйлера и Ферма. Решение разных упражнений на свой-
ства сравнений с применением теоремы Эйлера —
Ферма.
6.	Сравнения первой степени с неизвестной величиной.
Условие существования решений. Решение сравнений
первой степени подбором неизвестных и способом
Эйлера.
7.	Неопределенные уравнения первой степени с дву-
мя неизвестными. Условия существования решений.
Формулы общих решений. Использование сравнений
для отыскания частного решения неопределенного
уравнения ах -|- by = с.
8.	Упражнения по изученному материалу, в частности
решение задач на составление неопределенных уравне-
ний.
9.	Контрольная работа № 2.
10.	Анализ контрольной работы Подведение итогов.
Приведем тексты контрольных работ.
Контрольная работа № 1
1. Исследовать, простым или составным будет число
40 331.
18575
1. Сократить дробь "2574$'' использовав алгоритм
Евклида.
3.	Доказать, что сумма квадратов двух нечетных чи-
сел не может быть квадратом целого числа
4.	Доказать, что выражение п2(л4— I) делится иа
60 при любом натуральном п.
5.	Доказать, что (а, Ь) — (5а + 35. 13а + 85).
Контрольная работа № 2
1.	Общие свойства сравнений:
а)	Найти остаток от деления 6617 иа 7.
б)	Найти три последние цифры числа 201502.
2.	Сравнения с неизвестной величиной:
а)	Решить сравнение 18х s 12 (mod24).
б)	Решить в целых числах уравнение Зх — 5у — 7.
3.	а) Образуют ли полную систему вычетов по моду-
лю 8 числа: —261, —146, 162, 401, 965, 2400, 847, 1668’
б) Образуют ли приведенную систему вычетов по
модулю 12 числа: —361, — 193, 219, 377?
Конечно, приведенное планирование изучаемого ма-
териала следует считать ориентировочным. Учитель,
который возьмет на факультативные занятия этот ма-
териал, может некоторым вопросам уделить больше
внимания, а некоторые вопросы, может быть, найдет
нужным исключить.
Содержание каждого занятия в предложенном нами
варианте охватывает довольно большой по объему ма-
териал, поэтому успех во многом определялся методи-
кой организации занятий.
В поисках структурных форм факультативных заня-
тий мы остановились на сочетании урочной системы с
элементами лекционно-практической системы. Первый
час каждого занятия начинался обычно с беседы по до-
машнему заданию. Это не было проверкой домашнего
задания в обычном понимании, а именно беседой, в
ходе которой выяснялось, какие трудности встретились
при выполнении упражнений, как понят теоретический
материал, заданный для самостоятельного изучения.
Если в домашнее задание включалось доказательство
каких-либо предложений, то после беседы заслушива-
лись и анализировались доказательства, предложенные
учащимися.
Школьнач лекция была основным методом объясне-
ния нового материала. Во время лекции определения
и формулировки теорем диктовались, все остальные за-
писи учащиеся вели самостоятельно, используя записи
иа доске. Главные моменты при объяснении и выводы
повторялись, так что учащиеся успевали сделать пояс-
нения к записям.
Большое место на занятиях занимала самостоятель-
ная работа учащихся. К работе давались необходимые
указания, а выполненные упражнения обязательно ана-
лизировались. Одним из приемов анализа был такой:
один из учеников выходил к доске и объяснял найден-
ное им решение, другие ученики по ходу объяснения
задавали ему вопросы, вносили поправки, оценивали
рациональность выбранного способа решения. В клас-
се создавалась атмосфера свободного творческого об-
суждения проблемы.
Трудным с самого начала оказался вопрос об оцен-
ке знаний учащихся. На первых порах мы никаких
оценок учащимся не ставили, но всячески поощряли
их успехи в овладении материалом. При ответах под-
черкивали наиболее удачные моменты, использованные
учеником, тщательно анализировали рациональные спо-
собы решения упражнения.
Позднее стали выставлять оценки за ответы по до-
машнему заданию, если оно включало доказательство
теорем, за разбор и объяснение упражнений, предло-
женных для самостоятельного выполнения на занятии.
Невыполнение домашнего задания или неудачные
ответы во время объяснения не карались неудовлетво-
рительными оценками.
Как правило, в журнал выставлялись только хорошие
и отличные оценки. По-видимому, такое положение
вполне оправдано: ученик дает неправильный ответ или
совсем не отвечает тогда, когда не понимает материал.
Но в ходе занятия он слушает дополнительное объяс-
нение учителя, ответы своих товарищей, и через некото-
рое время материал ему становится понятным, поэтому
на следующем занятии он заслуженно получает хоро-
шую оценку. По основной части теоретического мате-
риала оценок фактически не выставляли, ио в конце
изучения темы учащимся ставили общую оценку за
тему, в которой была учтена их работа в течение каж-
дого занятия.
Кроме того, по каждой из изученных тем была про-
ведена контрольная работа, включающая задания при-
кладного характера (примеры и задачи). С контроль-
ными работами учащиеся справились, хотя часть работ
и была выполнена на «3».
Двухлетний опыт изучения дополнительных вопро-
сов арифметики целых чисел на факультативных заня-
тиях позволяет нам заключить, что предложенный ва-
риант программы вполне доступен для учащихся
VIII класса; избранная нами мегодика дает возмож-
ность изучить и закрепить за время одного занятия
довольно обширный теоретический материал.
Наиболее трудными и ответственными являются
первые 2—3 занятия, поэтому для проведения их мы
особенно тщательно отбирали факты и примеры, иллю-
61
стрирующие новые понятия. Много внимания было
уделено и изучению первых теорем. Ведь учащиеся
вообще не знали, что те предложения относительно де-
лимости целых чисел, которые оии изучали в V—
VI классах, являются теоремами. Им трудно было при-
выкнуть к доказательству без геометрической иллюст-
рации.
Трудности постепенно преодолевались, и учащиеся
с интересом изучали материал.
О ПОДГОТОВКЕ СТУДЕНТОВ К ПРОВЕДЕНИЮ
ФАКУЛЬТАТИВНЫХ ЗАНЯТИИ В ШКОЛЕ
.	И. Б. ЮДИНА
(г. Коломна)
В Коломенском педагогическом институте
на физико-математическом факультете прово-
дится весьма разнообразная по форме работа
со студентами по подготовке их к проведению
факультативных занятий в школе (мы оста-
навливаемся на работе в этом направлении
математического отделения факультета). При
организации такой работы учитывается, что
студенты должны не только уметь правильно
методически разработать тот или иной курс,
но и, это главное, иметь высокий уровень
научной подготовки по вопросу, предложенно-
му программой в качестве темы факультатив-
ных занятий. У нас организованы спецкурсы,
спецсеминары, кружки, работа которых спла-
нирована в соответствии с планом подготовки
студентов к проведению факультативных за-
нятий.
Одними из основных идей современной мате-
матики являются идеи теории множеств. Они
пронизывают новую программу средней школы
по математике. Элементы теории множеств
в качестве отдельных тем включены в прог-
рамму факультативных занятий. Поэтому
одним из первых спецкурсов, организованных
для студентов в целях подготовки их к про-
ведению факультативных занятий, был спец-
курс по теории множеств. Мы сочли необходи-
мым расширить и углубить знания студентов
по этому вопросу. Им был прочитан спецкурс
по теории множеств (в плане и стиле Н. Бур-
баки «Теория множеств»). Параллельно рабо-
тал спецсеминар, на котором студенты занима-
лись методической разработкой темы «Элемен-
ты теории множеств».
Программа факультативных занятий пред-
лагает проводить изучение элементов теории
множеств в различных параллелях и в раз-
личном объеме. Студентами были составлены
соответствующие варианты программ по этой
теме, была разработана система занятий,
подобраны и составлены необходимые упраж-
нения. При этом они изучили весьма обшир-
ную литературу по теории множеств, состави-
ли подробную библиографию. Студенты
установили, что целесообразно главное вни-
мание в младших классах обратить на при-
кладные (если можно так выразиться) воз-
можности теории множеств, на применение
основных законов, которым подчиняются тео-
ретико-множественные операции, к изучению
уравнений, неравенств и их совокупностей, на
рационализацию, которую позволяет ввести
использование теоретико-множественной сим-
волики. В старших классах, по мнению сту-
дентов, следует основное внимание учащихся
обратить на те законы, которым подчиняются
теоретико-множественные операции. Можно
установить, что совокупность подмножеств
некоторого заданного множества образует
новую, незнакомую до этого учащимся ма-
тематическую структуру, так называемую
булеву алгебру. Было предложено познако-
мить учащихся с'примерами других булевых
алгебр. В частности, были выяснены возмож-
ности параллельного изучения с учащимися
булевой алгебры множеств и булевой алгеб-
ры высказываний.
В прошедшем учебном году студентам
III курса читался спецкурс и параллельно ра-
ботал спецсеминар по вопросам аксиоматиче-
ского обоснования школьного курса геомет-
рии. Ими разрабатывалась тема «Геометриче-
ские преобразования».
Студенты IV курса на спецсеминаре мето-
дически разработали несколько тем факуль-
тативных занятий: «Дополнительные вопросы
• арифметики», «Задачи на максимум и мини-
мум», «Номограммы», «Геометрические пре-
образования», «Метод координат».
Этой же цели подготовки студентов к про-
ведению факультативных занятий в школе
служит разработанная система курсовых и
дипломных работ. Все ведущие преподаватели
предлагают студентам такие темы, в работе
над которыми они более глубоко овладевают
теорией вопроса, методически подготавливают
различные факультативные курсы. В прошлом
учебном году среди тем курсовых работ были
такие: «Производная», «Интеграл. Методика
его введения и изучения», «Элементы теории
множеств на факультативных занятиях в
школе», «Геометрические преобразования»,
«Системы счисления и вычислительные маши-
ны», «Задачи на максимум и минимум на
факультативных занятиях в школе», «Элемен-
ты теории вероятностей на факультативных
занятиях в школе». Некоторые из этих работ
62
стали дипломными. Педагогические, методи-
ческие выводы были подтверждены экспери-
ментом, работой в школе.
Студенты проводили факультативные заня-
тия по разрабатываемой ими теме в одной, а
иногда и в двух-трех школах г. Коломны или
Коломенского района.
При четырехлетием сроке обучения в педа-
гогическом институте времени для работы со
студентами по подготовке их к проведению
факультативных занятий в школе очень мало.
Поэтому формы такой работы приходится
разнообразить, а иногда и изменять. В по-
следнее время у нас входят в практику двух-
летние курсовые работы. Предлагаются темы
различного характера, например: «Элементы
линейной алгебры и линейного программиро-
вания в курсе математики средней школы»,
«Элементы векторной алгебры в школьном
курсе математики», «Элементы сферической
геометрии в школе», «Линейные математиче-
ские модели в экономике и ознакомление
с ними учащихся средней школы», «Элементы
теории множеств в школе», «Элементы ма-
тематической логики в курсе математики
средней школы», «Изучение в школе общеал-
гебраических понятий группы, кольца, поля»
и др. В первый год работы над темой студен-
ты более глубоко изучают теорию рассматри-
ваемого вопроса, составляют необходимую
библиографию, решают соответствующие за-
дачи. Второй год работы над темой посвящен
главным образом ее методической разработке.
Работая над одной и той же темой два года,
студенты получают реальную возможность
проведения педагогического эксперимента во
время очередной педагогической практики. Не-
которые студенты продолжают проведение
в школе факультативных занятий, руковод-
ство математическим кружком и после окон-
чания педагогической практики. Студенты
к работе подобного рода относятся с большим
энтузиазмом. Число желающих заняться та-
кими работами заметно возрастает.
ОТ РЕДАКЦИИ
Рукописи, присылаемые в журнал «Математика в школе», должны быть перепе-
чатаны на машинке через два интервала на одной стороне листа или переписаны от
руки чернилами разборчивым почерком также на одной стороне листа с большим
интервалом. Желательно присылать два экземпляра рукописи, что сократит срок ее
рассмотрения.
Каждая статья должна быть подписана автором, и должен быть указан адрес
для ответа.
Все цитаты и ссылки на статьи и книги должны быть тщательно выверены. На-
звания источников цитат или ссылок даются без сокращений, с указанием автора,
названия книги или статьи и издания, в котором статья опубликована, места издания,
номеров страниц.
Чертежи должны быть пронумерованы. В тексте статьи даются ссылки на соот-
ветствующие номера чертежей.
Лицам, желающим принять участие в решении задач, следует присылать в ре-
дакцию решения не позднее двух месяцев после выхода в свет номера, в котором
помещены задачи. Решения, поступившие позже указанного срока, редакцией рас-
сматриваться не будут. В сводку помещаются фамилии читателей, решивших не менее
50% предложенных задач.
Редакция журнала доводит до сведения читателей, участвующих в решении за-
дач, следующие правила, выполнение которых является обязательным:
1.	Решения задач присылаются отдельно от всякой другой корреспонденции.
2.	Решение каждой задачи дается на отдельном листе и подписывается автором
с указанием местожительства (город, район, область).
3.	К решением прилагаются на отдельном листке список номеров присылаемых
задач и точный адрес.
4.	Решения должны быть написаны четко и разборчиво, а номер каждой из ре-
шаемых задач должен быть крупно выделен.
Редакция напоминает всем лицам, предлагающим задачи в «Отдел задач»:
1.	Задачи должь  присылаться вместе с решениями. Задачи, присланные без
решений, редакцией рассматриваться не будут. Каждая задача должна быть представ-
лена на отдельном листе.
2.	Если задача заимствована, то должен быть указан источник, откуда она взята.
3.	По задачам, не принятым к напечатанию, переписка с авторами не ведется,
и текст задач авторам не возвращается.
63
99997999999999 99999
Задачи для учащихся VI —VIII классов
681.	В прямоугольном треугольнике АВС
(^гС = 90°) проведены биссектрисы AD и BF. Из
оснований биссектрис опущены пе рпендикуляры
DN и FM на гипотенузу. Доказать, что
MCN - 45°.
В. П. Чичин (Пошехонский р-н
Ярославской об л.)
682.	Около окружности описан шестиугольник,
у которого противоположные стороны попарно ,
параллельны. Доказать, что противоположные
стороны попарно равны.
3. А. Скопец (г. Ярославль)
683.	Доказать истинность числового равенства
3-5-17-...- (1 + 2s") = 2гл+1—1.
А. Н. Смоляков (г. Затеречный
Ставропольского края)
684.	Найти все целые значения п. при которых
л2 + 2л 4- 6 делится на п 4- 4.
А. Н. Смоляков (г. Затеречиый
Ставропольского края)
685.	Сумма четырехзначного и трехзначного
чисел равна 4190, а сумма обращенных чисел рав-
на 6980. Найти эти числа.
Л. М. Лоповок (г. Луганск)
Задачи для учащихся IX—X классов
686.	Доказать, что если a,, а2...ап состав-
ляют геометрическую прогрессию, то имеет
место равенство
J-4- —4- ...4- —------s-a—.
а, аг	ап	аП
К. Токаев (Джети-Огузский р-н
Киргизской ССР)
687.	Найти три последние цифры разности
lg™ _ 187О.
А. В. Аляев (г. Пачелма
Пензенской обл.)
688.	Доказать неравенство
[~ + Тб + ” + (2л)2 ]Х
*r_L + _L+ 1-	1	1
[ 9	25	'	(2л + I)2 J 8 ‘
Вычислить предел этого произведения при п-> со.
А. С. Владимиров (г. Асбест
Свердловской обл.)
689.	Доказать, что если
а + р = 60°, а > 0, р > 0,
то tga-tgP<-L.
О
Б. М. Григоривкер (г. Херсон)
690.	Доказать истинность числового равенства
sin • cos sin '3 — —Ь-	6 —• V2)-
36	36	36	16
А. Н. Смоляков (г. Затеречный
Ставропольского края)
691.	В окружности проведены два перпендику-
лярных диаметра ML и BQ. Стороны АВ и СВ
равнобедренного треугольника АВС параллельны
боковым сторонам КМ и NL трапеции MLNK,
вписанной в данную окружность. Доказать, что
треугольник и трапеция равновелики.
А. С. Владимиров (г. Асбест
Свердловской обл.)
692.	В окружности радиуса R проведена хорда
и параллельная ей касательная. Из концов хорды
ня касательную опущены перпендикуляры. Вычи-
слить наибольмчй возможный периметр обра-
зовавшегося прямоугольника.
К. В. Ветров (г. Братск)
693.	Две окружности с центрами О, и О2 ка-
саются внешне. На отрезке О,О2. как на диамет-
ре, построена окружность радиуса R. Радиус
окружности, касающейся первых двух окруж-
ностей внешне, а третьей окружности внут-
ренне, равен г. Доказать, что 4r < R.
Ю. И. Герасимов (с. Красный Чикай
Читинской обл.)
64
694.	Доказать, что для всякого треугольника
имеет место неравенство
д'* + 6* + С* > 16s2,
где а, Ь, с — длины сторон треугольника, a s — его
площадь.
А. Н. Смоляков (г. Затеречный
Ставропольского края)
695.	Доказать, что если две грани тетраэдра —
остроугольные треугольники, а две другие грани—
тупоугольные треугольники, причем тупые углы
лежат против скрещивающихся ребер тетраэдра,
то основания всех четырех высот такого тет-
раэдра лежат вне соответствующих его граней.
В. А. Юдаков (Верхнекетский р-н
Томской обл.)
Избранные задачи
и специальные методы
их решения
Сравнения и их применение
696.	Найти остаток, получающийся при деле-
нии нитурального числа а на 67, если а5" и а61
при делении на 67 дают соответственно остатки
2 и 63.
В. И. Сухоруков (г. Балашов
Саратовской обл.)
697.	Решить в натуральных числах уравнение
11 +21+ ... +х!-у2г.
И. И. Михайлов (г. Иваново)
Иррациональные числа
698.	Доказать, что при нечетном п'^5 первые
п десятичных знаков после нуля числа
(п + /7^чП)п
равны нулю. .
И. Д. Черепинский, О. Д. Черепинский
(г. Черкассы)
Суммирование
699.	Найти сумму членов бесконечной числовой
последовательности, общий член и„ которой ра-
вен arcctg (ns — п + 1).
А. А. Пенкин (пос. Санчурск
Кировской обл.)
Геометрические неравенства (аффинные задачи)
700.	Доказать, что если через произвольную
точку О, лежащую внутри тетраэдра ABCD,
провести отрезки АА„ BBt, СС,. DD, (точки
Ai, В,, Ci, .€>i лежат в гранях, противолежащих
соответственным вершинам А, В, С, D), то
АО , ВО , СО , DO >
О А, ОВ, + ОС, OD,
Г. П. Бевз (г. Киев)
701.	Через точку М, взятую внутри треуголь-
ника, проведены три прямые, соответственно па-
раллельные его сторонам. Эти прямые образуют
со сторонами треугольника три треугольника.
Доказать, что если s„ s„ s»— площади этих тре-
3 Математика в школе. ?Л в
угольников, a s — площадь данного треугольника,
то
Si + S» + s, > ’ s.
О
Ю. И. Герасимов (с. Красный Чикай
Читинской обл.)
Группы
702.	На множестве G пар (а, Ь), где а и Ь — ра-
циональные числа (а у- 0), определить операцию по
формуле
{а, Ь) (с, d) = (ас, be + d).
Доказать, что G— группа.
Логическая символика
703.	Пусть а, Ь, с — положительные числа. Что
означает высказывание
у а(д6(Ь’ - а)&у6ус (Ь1 — а 8с. Ь =/= с -* с2 =/= а)]?
Примечание. Напомним, что у — квантор общно-
сти («для всех»), д — квантор существования («суще-
ствует»), & — знак конъюнкции («и»),	— знак импли-
кации («если ...» то ...»).
Геометрические преобразования
704.	Даны два равных и одинаково ориентирован-
ных равное то ранних треугольника АВС и AiB^C,.
Одно вращение преобразует вершины А, В, С в
вершины А„ В„ Ct, другое — в вершины Bt, Ct, Аи
третье — в вершины С,, А„ В,. Доказать, что
центры вращения принадлежат одной прямой или,
в частности, совпадают.
3. А. Скопец (г. Ярославль)
Применение скалярного произведения векторов
705.	Дан трехгранный угол ОаЬс. На его ребрах
а и b заданы единичные векторы ОМ •= М, ON = N.
Доказать, что вектор Л+tg А + AT-tg В, где А и В
(А #=90°, В =+90°) — двугранные углы трехгранного
угла при ребрах а и Ь, принадлежит проекции
ребра с на плоскость противолежащей грана.
3. А. Скопец (г. Ярославль)
65
Решения задач, помещенных в № 2
журнала за 1969 г.
581. Вычислить сумму
1=_2= + 3= —43+ ... + 99*—100s + ЮР.
Решение. Имеем:
Is — 2s + ... + 101s = 1 + (ЮР — 1002) +
(99s — 98s) + ... 4-(3s —2s) - 201 + 197+ ... + 9 +
+ 5 + 1 = -L (201 + 1)-51 - 101-51 = 5151.
582. Доказать, что число
999...9 7 000...0 2 999...9
л—1	л—1	л
есть третья степень натурального числа.
Решение. Данное число N может быть пред-
ставлено так:
77-9 (10зя—* + 10*"-* + ... + 10s"+*) + 7- 10s" +
+ 2-10я + 9(10"-* + 10n-s + ... + 1).
Но
9(103"-* + ... + 10s«+‘) - 10(10“-* + ... + 10s"+*)—
— (IO3"-* + ... + 10*"+*) = Ю*я—10*"+*,
9(10"-* + ... + 1)= 10(10"-* + ... + 1) —
— (10”—* + ... + 1) - 10я — 1.
Следовательно,
W = Юзя — 10sn+* + 7- 10s" + 2- 10я + 10я — 1 =
_ Ю*я — 3- 10s" + 3-10” — 1 - (10я— I)3
583 Через вершину А квадрата ABCD со сто-
роной а проведена произвольная прямая, пересе-
кающая сторону ВС в точке М, а продолжение
стороны DC —в точке N. Доказать, что
Решение. Пусть ВМ = Ь, тогда СМ — а — Ь
(черт. 1). Из подобия Д АВМ и Д NCM получим
CN _ а " Следовательно,
1	1 _ 1 — Ь = JL
СМ CN ~ а — Ь а(а — Ь) а'
584.	Доказать, что можно построить треуголь-
ник, стороны которого соответственно равны
суммам противоположных сторон и сумме диаго-
налей любого четырехугольника.
Решение. Рассмотрим четырехугольник ABCD
(черт. 2). Поскольку
е <С.а + Ь, е •С. с + д. f < а + d. / <b + с.
то
е + / < (а + с) + (Ь + d).
Аналогично устанавливаем, что
а + с < (е + /) + (* + d)
b + d < (д + с) + (е + /).
Итак, утверждение задачи истинно.
Черт. 2
585.	Скорняку нужно было наложить на мех
заплату в виде треугольника. Он выкроил заплату,
но по ошибке не той стороной. Как должен по-
ступить скорняк, чтобы наложить требуемую
заплату из ошибочно вырезанного куска меха?
Решение. Для исправления ошибки скорняк, оче-
видно, должен разрезать заплату на фигуры, имеющие
оси симметрии. Это можно сделать, например, сле-
дующим образом. Пусть А — наибольший угол Д.АВС,
EF— средняя линия, AD — высота (черт. 3.) Тогда
треугольники BED и DFC — равнобедренные, а че-
тырехугольник AEDF имеет ось симметрии EF.
Поэтому скорняк может разрезать заплату по прямым
ED и DF. (Угол А взят наибольшим, чтобы точка D
наверняка лежала на стороне ВС, а не на ее продол-
жении.)
586.	Отрезок соединяющий основания Ht и
Н2 высот АН-t и ВН2 треугольника АВС, виден
из середины М2 стороны АВ под прямым углом.
Вычислить угол С треугольника АВС. Сформули-
ровать и доказать обратную теорему.
Решение 1. Если угол С острый, то основания
Н, и Н2 высот АП, и ВН2 принадлежат сторонам ВС
и АС или же одно основание принадлежит ВС, а дру-
гое — продолжению АС (или наоборот). В этом случае
С = 45°. В самом деле в первом случае (черт 4а)
^Н2М2А - 180°— 2Д ^Н,М,В- 180° — 2В и
180° — 2А + 180° — 2В - 90°. Отсюда А + В - 135°
и С - 45°.
Во втором случае (черт. 46) ВМ2Н\ — 180° —
— 2(180° — В), ^ВМ,Н2 — 2А. Следовательно, 180° —
— 2(180° —В) + 2Л-90°. Отсюда 2 (Л + В) - 270°;
С - 45°.
Если же С > 90°, то Ht и Н2 принадлежат продол-
жениям ВС и АС. В этом случае AM,lit — 2В,
66
Черт. 4а
BMaHs = ЧА и 2Д + 2В = 90°. Отсюда А 4- В = 45°
и С = 135°.
Обратно, если С=45° или С = 135°, то HlMtA = 90°.
Доказательство проводится аналогичным образом.
Итак, если угол треугольника равен 45° или 135°,
то из середины стороны, противолежащей этому углу,
отрезок, соединяющий основания высот, опущенных
на две другие стороны, виден под прямым углом.
Решение 2. Окружность, построенная на отрезке
АВ, как на диаметре, проходит через точки Ht и Нг.
Если С < 90° (черт. 5а), то
С = 90° — H3BHt = 90° — -L HsMaHt = 45°.
Если же С > 90° (черт. 56), то
С - 90° + HSBH, - 90° +	= 135о
587.	Велосипедист, ехавший по направлению к
пункту А, встретил сперва автобус, а через
4 мин. — грузовик. По прибытии велосипедиста в
пункт А оказалось, что автобус и грузовик вые-
хали из А одновременно ровно час назад. Найти
скорость велосипедиста, зная, что она меньше
скорости автобуса на 20 км/ч и меньше скорости
грузовика на 10 км)ч, причем велосипедист ехал
бистро.
Решение. Пусть у км — расстояние от пункта А
до места встречи велосипедиста с автобусом,
х км/ч — скорость велосипедиста, тогда (х4-20) км/ч —
скорость автобуса и (х + Ю) км)ч — скорость грузо-
вика.
За -2— час. автобус пройдет —— (х 4- 20) км и со-
гласно условию
у + (х + 20) = х + 20.	(1)
Черт. 46
Аналогично, за время --------- час. грузовик прой-
дет  Х {х + 10) км и поэтому
15у~* + —у_~-- (х + 10) - х + 10.	(2)
la
Решая полученную систему уравнений (1) и (2), при-
ходим к уравнению
2№ — 45х	100 - 0,
откуда следует, что
х = 20.
Итак, скорость велосипедиста 20 км/ч.
588.	Доказать, что tg“10° 4- tg250° 4- tg!70° = 9.
Решение. Прежде докажем, что
р = cos 10°-cos 50°-cos 70° =	..
В самом деле,
р = _1_ (cos 80° + cos 60°) cos 50° =
= —L cos 80° - cos 50° -J- -A- cos 50° =
2	4
- — (cos 130° + cos 30°) 4- — cos 50° -
4	4
- — cos30° -	.
4	8
Далее,
3»
67
4- cos270°-cos2 10° 4- cos210°-cos250°)— 3 =
- J1L . _L К1 — cos 80°) (1 — cos 40°) 4-
4- (1 — cos 40°) (1 4- cos 20°) 4-
4- (1 4- cos 20°) (1 — cos 80°)] — 3 =
- 21 [3 — 2 (cos 40° 4- cos 80° — cos 20°) 4-
3
4-cos 80° «cos 40° — cos40° -cos20° — cos20°-cos80°] — 3-=-
- Д1 Г 3 — 2-0 4- -L (cos 120° 4- cos40° — cos 60° —
— cos 20° + cos 80° — cos
3
J [3 — -1- 4- -1 (cos 80° 4- cos 40° — cos 20°:
-21 .JL-3-9.
3	4
589. Решить уравнение
Решение. Преобразуем данное уравнение
х* -J- 2х* + х‘ — х (х + 1) — а = 0,
х2(х4-Л)2 — х(х4- 1)—«~0.
Положив X (X 4- 1) — t, получим
Р — t — а-0, t - -L (1 ± <4а 4- 1),
2
Следовательно,
2	-	~
590. Решить уравнение
2.9log,0,sx — xiog,6__х2
середина AC, E— середина ВС; DE^BG (G—цент-
роид треугольника). Имеем
bss - А-(С!+
= + T (^-as)-4-(3fl2 + c2)-
1 r________
Отсюда BS — -ту- / За2 4- с2. Аналогично,
AE - -y- /3ft2 4- c*.
Из подобия треугольников BDE и BSC следует
BD- , a8-~.
а ^с‘ + 3аг	V c2 + 3as
Ho
DG - BS— BD - 4* /3^+T2 —^==7
1
3
аг
Решение. Преобразуем данное уравнение
2.9iog,x-1 _ ^log^-log.jr _ g2 log, ж
_2_.giog!>* = glog,jr________4|og»Jr.
Разделим обе части уравнения почленно на 6loe,Jr:
1ог,ж_9_
2
юг,лг.9.
JoKjx _ будем иметь 2Z2 — 9/ 4- 9 — 0,
откуда t — 3, t — Таким образом,
(3 \10g,JT	3	9.
T' x '
,log,x _ з
2 1—log„2
591. Доказать, что если медианы, проведенные
к двум катетам прямоугольного треугольника,
4
образуют угол х, то cos
5
Решение 1. Пусть авЬ— катеты прямоуголь-
ного треугольника (черт. 6), с—его гипотенуза. S —
Следовательно,
DG _____________________________________
cosx- E(J - у+ cB) (3fcS + c
2c" E 2c2	4
5 •
/ 4c* + 9я2Л2
2c1
Решение 2. Примем центроид G прямоугольно-
го треугольника АВС (С — 90°) за полюс. Положим
GA - A, GB — В. _Тогда СА — 2А_4-В. СВ- 2В 4- А
и (2А + В) (2В 4- А) — 0. Отсюда 5А-В + 2 (А2 + В2) -
—- 0 и
•2\А' + ВЛ) 4| A|-|B|	4
C0SX“ 5| A|-|B| > 5| A |-| B| “ 5 ’
592. Углы треугольника удовлетворяют соотно-
шению
sin А 4- sin В 4- sin С 1
cos А 4- cos В 4- cos С “ з"
Доказать, что один из углов этого треугольника
больше 120°.	J
Решение. Вместо  запишем tg 30° и пре-
образуем данное уравнение
68
sin Л cos 30° — cos A sin 30° -}- sin В cos 30° —
— cos В sin 30° + sin C cos 30° — cos C sin 30° = 0,
или
sin (Л — 30°) + sin (B — 30°) + sin (C — 30°) = 0.
He нарушая общности доказательства, можно счи-
тать, например, что С > 30°. Тогда
2 sin ^60° — “g”) cos —2~~ + sln — 30°) =
и
sin ^60° — -у^ <С 0.
С
Отсюда 60° — -у < 0, или С > 120°.
593.	Доказать, что если сумма углов А и С вы-
пуклого четырехугольника ABCD больше 180°, то
е	ad + Ьс
f	ab + cd ’
где АВ = а, ВС = Ь, CD = с, DA = d, BD - f, AC =
- e.
Решение. Если A 4- С > 180° (черт. 2), то cos А 4-
„ Л + С А —С „ „
4- cos С = 2 cos —2— cos —2— < 0’ Далее>
+	/=	b2 + c2—f2
cos А-------2ad~~~ • cos С =----Wc-----•
Следовательно, (л2 + d2) be 4- (b2 с2) ad — f^ad-j-bcX
< 0, откуда получаем
(ab + cd) (ас + bd) < (ad + Ьс)/2.	(1)
Кроме того, из теоремы Птолемея вытекает
ef < ас + bd.	(2)
Перемножая неравенства (1) и (2), после преобразо-
ваний получим
е ad + Ьс
f < ab 4- cd ’
594.	Угол при вершине равнобедренного тре-
ТС
угольника равен -7-. Доказать, что между осно-
ванием а и боковой стороной b треугольники име-
ет место соотношение
а2 — 4агЬ2 + ЗаЬ* — Ь2 = 0.
Черт 7
Решение. Если Л — а = -у, то В = С = —у
(черт. 7). Проводим BD так, чтобы ABD — а, тог-
да DBC - - В DC = 2а.
Из равнобедренных треугольников ABD и BDC
имеем
Ь	Ь — а
cosa= 2(Ь_а). cos 2“ “-2Г”•
Так как 1 4- cos 2a — 2 cos2 а, то
Ь 4- а b2
2a “ 2(Ь — а)2’
или
а* — а2Ь — ЧаЬ2 + Ь2 = 0.	(1)
Данный многочлен Р — а® — 4а2Ь2 + ЗаЬ*— Ь2 разла-
гается на множители:
Р = (а2 — а2Ь — ЧаЬ2 4- Ь») (а2 4- аЬ — Ь2).
Тогда из (1) следует, что Р = 0.
595.	В полуокружность радиуса R вписаны че-
тырехугольники, имеющие общую сторону, рав-
ную диаметру полуокружности. Найти среди них
четырехугольник наибольшей площади.
Решение. Пусть Л = х, D •» у (черт. 8), тогда
1
Sabcd = ~2~ BD- AC sin AMD =
= 2Яа sin х-sin y-sin (х + у).
Положим х + У = 180° — г, тогда
$abcd = 2^! sln х"Sin y-sin z <
причем знак равенства имеет место в случае х — v =
= г - 60°.
Искомый четырехугольник—равнобедренная трапе-
ция с углом 60°.
596.	Доказать равенство
k
S <—p + m+1 = (p-bb-f-l)!
т=0
для любых натуральных р и k.
Решение. В равенстве
k\
(х+ 1)(х + 2)-...-(*+ Л-f- 1)“
A, At	_ Аь+i
“ х 4- 1 +	+ • • • + x + *+ 1 О)
определим коэффициенты ЛД/= 1, 2, Л 4- 1). Для
этого умножим обе части равенства на х 4-1 и после
сокращения подставим в обе части х = — Z; будем
иметь
(-1 4- 1)(-1 4- 2)-...-(-I)-1-2-... .(-/4-Л4-1)
69
Следовательно,
*	f-m
у* 1 (  nra  --5-----=
АЛ ( X + т + 1
172=0
ftl
= (Х+ 1)(х + 2)-...-(х + *+ 1)-
Полагая х =* р, получим
и
S <-)"£?• P + L+1 -
172=0
k\	p\k\
(Р 4- 1) {Р 4- 2).. .{р + k 4- 1) (р 4- k + 1)!'
597. Г рафик функции у = хп 4- atxn—1 4- ... 4-
4- ап(п> 1) пересекает прямую у —а в точках
Л,, А..... А„, а прямую у = Ь в точках Bt, В.......
В„. Прямая AiBi образует с осью абсцисс угол
ai(l - 1, 2...п). Доказать, что
п
£ Ctg а, - 0.
1=1
Решение. Пусть х? и xf — абсциссы соответст-
венно точек А/ и Bi(i — 1, 2......п). По теореме
п	п
Виета xf — xf — — а,. Но
1	i
xf-xf
ctg - Ь — а ’
следовательно,
X ctS a‘ “ S “ °-
598. Доказать неравенство
n
V 1	n
1 4- xi	« _________
i=i	1 4- / x,xs...x„
где 0 < x{ < 1, I = 1, 2. .... n.
Решение. Покажем справедливость неравенства
методом математической индукции. При п — 2 имеет
место неравенство
1_____	1	2
1 + xi 1 4-	14-/^ х,х2 '
(1)
Действительно, неравенству (1) равносильны следую-
щие неравенства:
_____2 4- Xi 4- хг __________2_____
1 4- (-*« 4- -*4) 4* xtx2 1 4- уДх,ха ’
2 Vх,х2 4- (х, 4- х2) xtx2 < (х, 4- х2) 4- 2xtxa,
(х, 4- х2) (1 — fXtX2) > 2 VXjX,(l — гАXjX2),
X! 4- xt > 2 x,xt (так как 1 — Vх,х, > 0).
Последнее неравенство верно. Следовательно, для
п — 2 данное неравенство доказано.
Предположим, что доказываемое неравенство спра-
ведливо для п—1 чисел. Введем обозначения:
л _____________
y/'xtXa ... хп = Рп. Xi — kiPп,
где, как легко видеть,
предположению имеем
ft,>0 и ktk2.. .kn = 1. По
л—1
X/ 1	< __________
АЛ 1 4- ktPn ""	"71----------
«=1	1 4- V k2k2...kn_2-Pn
Согласно (1)
_______________________п— 1___________________ п— 1
п— 1___________________ 4” л—1_________
1 4- Vk,k2...kn^t.pn 1 4- kn-Pn
_______2 (и— 1)_______ 2(я — 1)
1 / л— 1	"	1 4- Рп
14- Г /k,k2...kn-P’n
Наконец, снова по предположению
1	п—2
1 + knPп	1 4* Рп
“ 1 4- knpn + \ 1 4- рп +
п— 1	п----1
1 = " ”
\ + У kn-Pn-Pn-2 * * * *	1 4-Р"~1
п — 1
=	л-1___
1 4- k„-Pn
Сложив все три неравенства, после упрощения будем
иметь
п
L1	п — 2	2(п—1)
14-х, + 14-Р„	14-Рп ’
/=1
откуда получаем доказываемое неравенство для п чи-
сел. Таким образом, данное неравенство доказано
полностью.
Нетрудно заметить, что доказанное неравенство
имеет место, если некоторые (или все) числа х, рав-
ны единице.
599.	Вычислить предел
где т и п—целые числа и тп>0.
Решение.
(х — l)(x2m*-x 4-... 4- х 4- 1)
(х—1)(х*л’^14-...4-х 4- 1)
।	2^8 т
= V 2п‘ ~’~п’
ибо- т и п имеют одинаковые знаки.
600.	Доказать, что для того, чтобы при неко-
торой нумерации корней xt многочлена f (х) сте-
пени 2k выполнялось
х2 + х2 — xt + xt — ... — xIft_t 4- х2к,
необходимо и достаточно наличие общего корня
у всех производных с нечетными номерами дан-
ного многочлена fix).
70
Решение. Если х, + х2 = х2 + xt =... = х2Л,_,4-
+ хгк = 2р, то х, и хг — корни трехчлена (х р)2—
— х, и xt—корни трехчлена (х р)2 цг, ....
xaft_I и хгк—корпи трехчлена (х— р)2—qk. Поэтому
/ (*) — л oU* — Р)’ — 911 X
X [(х—р)2 —	[(х— p)2 — qk\ =
-= «„(х — p)2fc + а,(Х — p)2(fc-1) +...+
4-aft_t(x — р)2+ ак.	(1)
Разложение многочлена f (х) по степеням х—р
имеет, как известно» вид
/(х) - а„(х — P)2fc+ 7 (х — p)2fc-' 4-
/^(p)
+ (2ft—1)! (x — p>+ (2ft)l
(формула Тейлора). Сравнивая с (1), видим, что
/'(Р) - /"'(Р) - . . . - /(2*~ П(Р) - 0.	(2)
Обратно, если выполняется (2), то многочлен f (х)
имеет вид (1). Введя обозначение г *= (х—р)2, полу-
чаем
/(х)=- с0(г —?,)(г —9») =
- «<>[(* — Р)2 — ?1И(* — Р)2 — 9sl• • • 1(* — Р)2 — 9*1-
Отсюда
xsZ_! + xaZ = 2р,
где xti—t и xti — корни квадратного уравнения
(х — р)г— qi -0, /= 1, 2.....k.
601.	Доказать, что площадь треугольника, вер-
шины которого являются основани ями перпенди-
куляров, опущенных из какой-либо вершины пяти-
угольника, вписанного в окружность, на его сто-
роны, не зависит от выбора вершины пяти-
угольника.
Решение. Пусть вершинам А, В, С, D, Е впи-
санного пятиугольника соответствуют комплексные
числа a, b, с, d, е\ если Л,, Аг, А, — проекции вер-
шины А на стороны ВС, CD, DE, то, очевидно, точ-
кам At, As, А3 соответствуют комплексные числа
~^~(Ь + с + а — bca), -у (с + d + а — cda),
1
2 (d 4- е а — dea).
Тогда
5а,а2а3 “
b 4- с 4- а — bca	b 4- с 4- е — Ьса	1
=-у	с 4- d 4- а — cda	c + d + a—cda	1
d 4- e 4- a — dea	d + e + a — dea	1
b 4- c 4- a — bca
(d — b)(\ — ca)
(e — c)(l — da)
b 4- c 4- a — bca 1
(d — b) (1 — ca) 1
(e — c)(l — da) 1
I (a — c)(b — d) (c — e)(d — a) (e — b)
8 ’	abcde
Изучая полученную формулу для площади тре-
угольника проекций, убеждаемся в справедливости
утверждения задачи
602.	Доказать, что многочлены
(а 4- i)“fc“2 4- atk~2 4- &к~2
и
(а 4- b)2k+l — а*к+' — bik+'
делятся на (а2 + ab + b2)2 (k— натуральное число)
Решение. Докажем, что многочлены
/ (х) = (х 4- О’*-2 4- x6fc-2 4- 1
И
<р (х) = (х 4- l),ft+* — x6ft+’ — 1
делятся на (х2 4- х 4- I)2.
Трехчлен х2 4- х 4- 1 имеет корни е, и е2, при-
чем	sj=/=l, sj 4- 1 = — е?(( = 1, 2). Поэтому
нужно доказать, что
Лч) - /'(ч) — 0 и <р (е<) — <р'(ч) = 0, Z = 1, 2.
Имеем
/ (ef) =(14- Ч)6*-2 4- 2Г-2 4- 1 -
= £}2fc~4 4- s6ffc-2 4- 1 -	4- в?2 4- 1 =
= е2 4- s/ 4- 1 0;
<f(ez) = (14-4)eft+,-e6ft+‘-l =
= _ е™+2_ E6ft + 1 _ ! _ _ (е2 + ч + D = о.
Далее,
f'(x) - (6k — 2) [(х 4- I)’*”’ 4- xtft->],
<р'(х) = (6k 4- 1) [(х 4- I)6* — х6*],
f'(4) = (6ft — 2) (— s}2*-6 4- e6/-3) =
= (6ft —2)(—1 4- l) = 0,
<?'(ч) - (6ft 4- 1) (42* - 4fc) = (6ft 4- 1) (1 - 1) = 0.
Заметим, что
(a 4- b)*k-2 4- a«s-2 4- bik~2 =
= 6‘fc-2[(x 4- l)‘fc-a 4- x’fc-2 4- 1] = bek~-f(x),
(a 4- 6)бЛ’81 — a‘k+' — btk+l =
= i6ft+’[(x 4- 1)6*+* — x,ft+l — 1] = fc*fc+'-<p(x),
(a2 4- ab 4- b2)2 = й4(х2 4- x 4- I)2,
где
a
x~ b 
Так как 6ft — 2 > 4, 6ft 4- 1 > 0 и
b2k-2-f(x) : b*(x2 4- x 4- I)2.
66fc+1 -<p (x) ; b*(x2 4- x 4- I)2,
заключаем, что данный многочлен делится на
(а2 + ab + Ь2)2.
603.	В плоскости треугольника АВС дан вектор
PQ. Этот вектор спроектирован параллельно на
стороны треугольника в направлении соответ-
ствующих медиан треуголоника в векторы PtQi,
PtQv PiQi- Доказать, что
____	_____ ______ 3 ______
P,Q, + P£t 4- PtQt => PQ-
Решение. Пусть G — центром ц данного треуголь-
ника, At, В,, Ct — середины его сторон (черт. 9).
1)	Если PQ = CG то = CAt, P^QS = СВ,,
PtQ, =- 0. Очевидно,
PtQ, 4- Р& 4- P^QS -
- СЛ, 4-CB7-I-б-“СО -PQ.
71
Черт. 9
2)	Если PQ = aCG, то PiQt — аСЛь P2Q2 = аСВ„
/VT.-О и
P1Qi + РА + РА - * (СВ, 4- С А, + 0) =
з __________________ з _____
— а-~2~-CG — "2“ PQ.
Итак, если данный вектор коллинеарен с GA, GB
или GC, то утверждение задачи имеет место.
3)	Предположим, что PQ = aGA 4- ₽GB (черт. 10).
Если составляющую вектора PQ иа прямую MN, по-
лученную при параллельном проектировании, обозна-
чим компуиууРф, то в нашем случае
компвс^У = РА, komuq^PQ = PtQt,
eomhabPQ - РА-
НО компонента линейной комбинации нескольких век-
торов па данную прямую есть линейная комбинация
компонент этих векторов на данную прямую (с тем же
коэффициентом). Следовательно,
компвсР<2 — а компдсОЛ + ₽ компдсОВ = РА,
КОМПсдРф — а компСАОЛ + ₽ компСЛОВ = РА*
компABPQ = а компддОЛ -}- ₽ комплвОВ — РА-
Отсюда, согласно рассмотренным выше частным слу-
чаям, получаем
____	____ _____ 3 _______ 3 _______
P.Qi 4- РА + РА - a-—GA 4- ₽• ~2-GB -
з ______________ ____ з ______
---2-(аСЛ + ₽GB) =--yPQ.
604. Дан выпуклый четырехугольник ABCD. По-
строены векторы АА,___ВВ, СС, и DD,, равные
п^АВ, n-liC, n-CD и n-DA. Найти отношение пло-
щади четырехугольника AiBiCiD, к площади дан-
ного четырехугольника.
Решение. Площадь а четырехугольника ABCD
(черт. И) вычисляется по формуле
s = -y- (ЙС»М)) = у(С- A)o(D — В).
Если а,— площадь четырехугольника A,Bt ,Dtl то
s,	=• ~2~ (С, — Л,) о (О, — В,).
Но
Л, — (1 — п) Л 4- пВ, Bt — (1 — п) В 4- пС,
С, =» (1 — п) С + nD, О,- (1 — л) D 4- nA-
Если значения А,, В„ Си D, подставим в формулу для
вычисления а„ получим
«)(С—Л)4-л(О— В)] °
□ [(1 — л) (D —В) 4-л(Л — С)] =>
— я)2 (С—Й) о (D —В) 4-
4- л*(С — Л) о (D —В)] - (2л» — 2л 4- 1) а.
И гак, а,.‘а — 2л2 — 2л 4- 1.
605. Дано преобразование <о плоскости а, являю-
щееся подобием первого рода. Найти геометри-
ческое место точек Р плоскости а, чтобы пря-
мые РР'. где Р' =чо (Р), проходили через фикси-
рованную точку.
Решение 1. Пусть S — фиксированная точка, 0,
kt <р — параметры преобразования «о (черт. 12). Если
ш’(р) = р', то OP' — k-OP, ^РОР' •= ч>. Рассмотрим
треугольник ОРР'. По теореме синусов
OP k-OP
sin (<р 4-х) — sinx ’
72
где х — OPS. Следовательно, sin х — Л-sin (<р + х).
Отсюда
1 — k cos
ct8x=" fesin<f •
Итак, угол х постоянный, причем отрезок OS виден
из точки Р под углом х или 180° — х. Значит, точ-
ка Р принадлежит окружности, проходящей через
точки О и S. Если (Л4) = S, то прямая MS, оче-
видно, проходит через М и поэтому окружность
можно построить по трем точкам О, S и М.
Решение 2. Применим комплексные числа. Пусть
центр О подобного преобразования — нулевая точка
плоскости комплексных чисел. Преобразование о> пе-
реводит точку Р в точку Р', которым соответствуют
комплексные числа р и р' = ар. Если фиксированной
точке S соответствует комплексное число s, то p, s
и а связаны соотношением коллинеарности трех точек:
А	Р	1
ар	ар	1	= 0.
S	S	1
Отсюда находим
(а — а) рр + s(a — 1) р + 5 (1 — а) р = 0.
Исключив тривиальный случай гомотетии, полагаем
а =/= а. Имеем
- s(a— 1) s(a — 1) _
рр + —---р +-----— р =-0.
~	~	а— а
а— а
Получено уравнение окружности, проходящей через
нулевую точку О. Центру окружности соответствует
s(a— 1)
комплексное число ——=----------.
а — а
Сводка решений задач по № 2 за 1969 г.
Аляев А. В. (г. Пачелма Пензенской обл.)—581—
592, 594, 595, 604. Багдасарян Н. С. Ученица VII клас-
са (пос. Гадрут Аз. ССР)—581, 583—585, 587. Баг-
дасарян С. С. (пос. Гадрут Аз. ССР)—581—589, 591,
592, 595, 599. Баргштейн П. М. (Винницкая обл.) —
581—584, 586—591, 594, 604. Богомолов А. П. (г. Пет-
ропавловск Каз. ССР)—581—596, 599, 602. Букоба-
ев Н. (Восточно-Казахстанская обл.) —581—591, 593—
595, 599. Ветров К. В. (г. Братск)—581—595, 599.
Владимиров А. С. (г. Асбест Свердловской обл.) —
581—-596, 598, 599, 601, 602, 604, 605. Волков А. Л.
(с. Сусанине Костромской обл.)—581—592, 594, 595,
599. Воробьев Ю. П. (г. Омск)—581—592, 594, 595,
599, 604. Головачев Е. А. (Белгородская обл.)—581—
584, 586—605. Гордон В. О. (г. Петровск-Забайкаль-
ский)—581—605. Готлер М. Ш. (г. Вильнюс)—581—
597, 599—605. Давыдов У. С. (г. Гомель)—581—597,
599—600, 602—605. Деконтас А. А. (г. Ионава Лит.
ССР)—581—592, 594, 595, 599, 602, 604. Диденко Н. А.
(г. Краснодар)—581, 582, 584—590. Зубилин Н. И.
(Орловская обл.) — 581—595, 599. Кан А. А. (Кемеров-
ская обл.) —581—584. 588—590. Касимов Ш. К. (г.
Киров) — 581—592, 594, 595, 597, 599. Мамедов Т. (г.
Нахичевань Аз. ССР) — 581—584, 589, 599. Манукь-
ян М. О. (г. Петропавловск Каз. ССР)—581, 583,
588—591, 594. Математический кружок 17-й средней
школы г. Киева (руководитель Вайнман Б. Ш.) —
586—588, 592, 594. Математический кружок 173 й шко-
лы г. Киева (руководитель Кушнир И. А.)—586—591,
595, 596, 598, 599, 602—604. Менщиков Л. Е. (г. Южно-
уральск) —581—587, 590, 591, 595. Мисько Л. И.
(г. Тольятти)—581—590, 594, 596, 599, 604. Наза-
ров М. (г. Ош Кирг. ССР) — 581—595. Нерсесян П. Н.
(пос. Гадрут Аз. ССР) — 581—589, 591, 592, 595, 599.
Никитин В. В. (Рязанская обл.)—581—587, 589—592,
594, 595. Панченко Я. Е. (г. Невинномысск Ставро-
польского края)—581, 583—585, 599, 602. Рачин-
ский Г. П. (Ставропольский край)—581—595, 597,
599—604. Рашидов X. Р. (г. Ош Кирг. ССР)—581—
583, 585, 587—591. Рымшин А. П. (пос. Мамлютка Се-
веро-Казахстанской обл.)—581—595. Сергеян Г. А.
(г. Иджеван Арм. ССР) —581—584, 587—591, 604. Си-
меонов А. А. (г. Бов, Болгария)—581—592, 594—596,
599—604. Сысуев Г. Я. (прииск Херпучи Хабаровского
края)—581—584, 587—595, 602. Холопов В. А. (г.
В. Устюг Вологодской обл.)—581—583, 589, 599. Хэ-
бэшеску Г. М. (Рышканский р-н Молд. ССР)—581—
595. Цоцанова А. К. (г. Цхакая Груз. ССР)—581,
583, 589, 591, 599. Цубер Е. А. (г. Брест) — 581—584,
587, 589—591, 595, 597. Цхай Т. Т. (г. Андижан Уз.
ССР)—581—604. Чепкасов Г. С. (г. Краснодар) —
581—595. Чернов Н. М. (г. Бельцы Молд. ССР) —
581—605. Юдаков В. А. (Томская обл.)—581—592,
595, 597—599, 603, 604.
По № 1 за 1969 г. Рашидов X. Р. (г. Ош Кирг. ССР)
решил задачи 561, 563—569, 575—577.
ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ
СТРАНИЦА
«Счастливый» билет
В трамвае, автобусе или троллейбусе нередко можно
наблюдать, как некоторые пассажиры, получив билет,
с любопытством разглядывают его и подсчитывают
цифры — «а не счастливый ли билет мне достался?»
Например, билет с номером 623 191 считается «счаст-
ливым», так как у него сумма первых трех цифр рав-
на сумме трех последних.
Получивший ^счастливый» билет радуется и про-
должает поездку в приподнятом настроении духа.
Предлагаю в час досуга подсчитать вероятность по-
лучения «счастливого» билета. Для этого достаточно
определить их число в большом рулоне, содержащем
номера билетов, начиная от номера 000 001 и кончая
номером 999 999 («счастливый!»). Только ие вздумайте
перебирать все номера подряд — это отнимет слишком
много времени. Придумайте, как решить эту задачу
элементарными математическими методами.
Приводим одно из возможных решений.
Таблица 1
10_19	11 1 111111 I
20—29 llllllllil
30—39	1 1 1111111 1
40—49	1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
50—59	1 1 1 1 111 1 1 1
60—69	11 1 111 1 1 1 1
70—79	1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
80—89	1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
90—99	1 111 1 1 1 1 11
Итого
(0—99)
123456789 10 98765432 1
Рассмотрим сначала, какие суммы цифр дают числа
от 0 до 99. Ответ ясен — от 0 до 18. Определим за-
тем, сколько чисел из промежутка 0—99 имеют сумму
цифр, равную 0, 1, 2, 3, ... — до 18. Для этого интервал
0—99 разбиваем на десятки: 0—9; 10—19; ... — до 90—.
99. Результаты сведены в таблицу 1.
Каждый десяток отличается от предыдущего тем, что
сумма цифр его чисел на единицу больше.
Суммируя цифры в каждом столбце таблицы 1, по-
лучаем, что в числах от 0 до 99 есть одно число, имею-
щее сумму цифр 0, два числа с суммой цифр 1, ..., де-
вять чисел с суммой цифр 10, ..., одно число с суммой
цифр 18 (см. нижнюю строчку табл. 1).
Рассмотрим теперь, сколько чисел из промежутка
от 0 до 999 имеют сумму цифр 0, 1, 2, 3, ...—до
27(9-f-9 + 9). Распределение сумм цифр для чисел
0—99 мы уже имеем. Следующие сотни 100—199,
200—299, ...—до 900—999 имеют такое же распределе-
ние сумм цифр, что и в первой сотне (см. табл. 2).
Суммируя цифры в каждом столбце таблицы 2, полу-
чаем, что в числах от 0 до 999 есть одно число, имею-
щее сумму цифр, равную 0, три числа с суммой цифр,
равной 1, шесть чисел с суммой цифр, равной 2,
и т. д. (см. нижнюю строчку таблицы 2).
Значит, сумма первых трех чисел шестизначного би-
лета может равняться, например, 2 — шестью различ-
ными способами; очевидно, что и сумма трех вторых
цифр в билете может равняться 2 — также шестью
способами.
Таким образом, число «счастливых» билетов, у кото-
рых сумма трех первых цифр равна сумме трех по-
следних и равна 2, будет 62 = Зб.
На основании таких рассуждений, пользуясь симмет-
рией нижней строки таблицы 2 относительно середи-
ны, можно определить общее число «счастливых» биле-
тов (п):
п=2(12+ 32+ 62+102+152 +212 +282+ 362+ 452 + 552+ 632 +
+ 692 + 732+752) — 1=55 251.
(Единица в этой формуле вычитается, так как нет
билета с шестью нулями.)
Вот мы и установили, что в рулоне, имеющем мил-
лион (без одного) билетов, 55 251 «счастливый».
Вероятность получения «счастливого» билета равна:
55 251 ~ 1
999 999 ~ 18 '
Значит, если вы ежедневно ездите одним трамваем
(автобусом, троллейбусом) на работу и обратно, вам
ежемесячно в среднем достанутся 2—3 «счастливых»
билета.
И. А. Элине он
Таблица 2
Сумма цифр	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27
0—99	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1									
100—199		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1								
200—299			1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1							
300—399				1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1						
400—499					1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1					
500—599						1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1				
600—699							1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1			
700—799								1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1		
800—899									1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1	
900—999										1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1
Итого (0 —999)	1	3	6	10	15	21	28	L |36	45	55	63	6?	73	75	75	73	69	63	55	45	36	28	21	15	10	6	3	1
74
К 300-ЛЕТИЮ СО ДНЯ РОЖДЕНИЯ Л. «*». МАГНИЦКОГО
(1669-1739)
Первый учитель математики российского
И К АНДРОНОВ
(Москоа)
юношества Леонтий Филиппович Магницкий
В истории России конец XVII в. и начало XVIII отме-
чены большими преобразованиями в экономике, госу-
дарственном строе и культуре. Одним из важных дел
в развитии просвещения явилось открытие , по указу
молодого царя Петра I 14 января 1701 г. в Москве
школы «математических и навигацких наук». Она раз-
местилась в Сухаревой башне. Заведование школой
было поручено боярину Ф. А. Головину.
Учителями назначены вывезенные Петром I из
Англии профессор математики Абердинского универси-
тета Андрей Фарварсон; преподаватели навигации Сте-
фан Гвын и Ричард Грейс. Занятия в школе начались
22 февраля 1701 г., когда «велено быть в науках
математических и навигацких осташковцу Леонтию
Магницкому и чрез свой труд издать на славянском
диалекте, избрав сколько возможно из арифметики,
геометрии и навигации, книгу, напечатать в количестве
2400 экземпляров». В школе обучалось 200 человек —
детей и взрослых.
В указе 1701 г. об открытии школы говорилось:
«Учинить неимущим (ученикам) во прокормление по-
денный корм, усмотра, арифметике или геометрии,
ежели кто сыщется отчасти искусным, по 5 алтын в
день, иным же по гривне и меньше, рассмотрев кое-
гождо искусство учения».

g
8
8
8
s
х
I
fl । i д ж / т i к * t
MitffK	*
tSMHKAIU’ f AfA JMWKW H вМНКАЛ»
kha
H АМАНА И djAMA '«Win «ШОДГИКШ J
f	J > / M
, w аелнколл'А Кйд4
ne'Fpgm’i, й
bmhkoavs г(лд4 лккй4: »т^г?лф»кйл«
«гитстм<& млн
^tV««t<Kt1^'* СЖКЖФаи •> HKfAKATW ЧМНЛ
И &О^А<'ТЛ AWAfH НА Hs4t‘A Н?ОЛЗ«Д<НЛ «
tlffftOf «	л4?Г<> W «STKOJfHfA ЛНр
уЗ»А» , Ш f.ATSA Я« ПОНАОТН
ГА&БА ’ tMAifi'TA Ai T
auia	»

5
i,
ГЛ А’1;»ГО ф «STKOfHHA MfA
—I
*.«454 i «HAJfi'TA Ai т
<> ’	* t f
ОЙМИЖ? {«««ж* (ii *«»’« у rflSli •	ar-siww  ~ ••'**)»
В 1703 г. выходит на славянском языке книга «Ариф-
метика, сиречь наука числительная. С разных диалектов
на славянский язык преведенная, и воедино собрана,
и на две книги разделена.
Ныне же повелением благочестивейшиего великого
государя нашего царя и великого князя Петра Алексее-
вича, всея Великия и Малыя и Белыя России самодерж-
ца; при благороднейшем великом государе нашем
цесаревиче и великом князе Алексии Петровиче, в бо-
госпасаемом царствующем великом граде Москве
типографским тиснением ради обучения мудролюбивых
75
российских отроков и всякого чинв и возраста людей
на свет произведена, первое в лето от сотворения миро
7211, от рождества же по плоти бога слова 1703, индик-
та 11, месяца яннуариа».
В конце страницы малыми буквами указан скромно
автор работы: «Сочинися сия книга чрез труды Леонтия
Магницкого».
«Арифметика» состоит из двух книг. Первая книга
«Арифметика политика или гражданская» имеет 215
больших листов; вторая «Арифметика логистика не
токмо ко гражданству, но и к движениям небесных
кругов принадлежащая» имеет 91 лист.
Л. Ф. Магницким, кроме «Арифметики», вместе с
другими учителями математической школы было созда-
но еще два труда.
В 1703 г. вышли «Таблицы логарифмов и синусов, тан-
генсов, секансов к научению мудролюбивых тщателей».
В первом издании не указаны авторы труда, но позднее
из второго издания, вышедшего в 1716 г., было ясно,
что в ней принимали участие Л. Ф. Магницкий, А. Фар-
варсон и С. Гвын.
В 1722 г. вышли в сотрудничестве А. Фарварсона и
Л. Магницкого «Таблицы горизонтальные северные и
южные широты», являющиеся переводом с голланд-
ского языка работы Шац Кремера 1697 г.
К биографии Леонтия Филипповича Магницкого
Первые краткие печатные сведения о Л. Ф. Магниц-
ком были даны через четверть века после его смерти
его современником, знавшим лично Магницкого, поэтом
В. К. Тредиаковским (1703—1769), который поместил в
журнале «Академический Ежемесячник» (1765, т. 1)
заметку: «Магницкий Леонтий — муж, сведущий словян-
ский язык, истинный христианин, добросовестный и
нельстивый человек, первый российский арифметик и
геометр; первый издатель и учитель в России арифме-
тики и геометрии. Он сочинил стих на крест и герб
государев и напечатал в Арифметике своей в Москве
1703 г.».
Второй, дополняющей сведения о Л. Ф. Магницком,
была работа «Жизнеописание Л. Ф. Магницкого», со-
ставленное русским ученым В. Н. Верхом, помещенное
в «Записках адмиралтейского департамента» (1825, ч. 8)
и продолженное в книге «Жизнеописание первых рос-
сийских адмиралов или опыт истории российского фло-
та» (1831, ч. 1), где читаем: «Л. Ф. Магницкий родился
1669 г., июня 9, но где — неизвестно. Равным образом
не дошло до нашего сведения, где обучался он наукам
и кто были его предки. Петр I имел случай узнать сего
достойного мужа, явил ему много милостей: пожало-
вал деревнями в Владимирской и Тамбовской губер-
ниях и приказал ему выстроить дом на Лубянке. Госу-
дарь, беседуя с ним многократно о математических
науках, был так восхищен глубокими познаниями его
в оных, что называл его магнитом и приказал писаться
Магницким. Какое название имел он до сего времени,
то даже ближним его неизвестно. В церкви Гребневской
богоматери ему на стене иссечена надгробная надпись,
к сожалению, до нас не дошедшая».
Третьим значительным пополнением биографии
Л. Ф. Магницкого была работа, появившаяся в «Москов-
ских ведомостях» (1836, № 76} без подписи, под назва-
нием «Сочинитель первой русской арифметики Леонтий
Магницкий», в которой даются весьма подробные све-
дения о Магницком начиная со встречи с ним Петра I.
Автор статьи пишет, что он «слово в слово скопировал
надпись с надгробия, находившегося при гробе Магниц-
кого в церкви Гребневской богоматери». Как выясни-
лось, «Московские ведомости» эту статью заимствовали.
Поиски ее автора привели нас к «Дневнику» И. М. Сне-
гирева (М., 1836), из которого позднее была сделана
выписка  журнале «Русский архив» (1902, № 10).
«У ранней обедни я был у Гребневской, где отыскивал
камень надгробный Л. Магницкого, но, по свидетель-
ству дьячка Дмитрия Петрова, служащего при церкви
50 лет и в 1812 г. израненного за богоматерь Гребнев-
скую, спрятанную им на сводах, камень Магницкого
положен в помосте приделе св. Сергия у южных две-
рей, подле камня Магницкой, умершей от радости при
свидании с сыном, которого она почитала умершим...
Был у доц. Н. Е. Зернова и проф. Д. М. Перевощикова
(университетских математиков). С тем и другим прочел
статьи из Словаря писателей о Магницком и Гурьеве,
наших математиках, на кои они сделали свои замеча-
ния... Утром я занимался чтением корректур Словаря:
окончил статью о Л. Магницком и отдал ее переписы-
вать в Московский сиротский дом».
В книге «Русская старина в памятниках церковного
и гражданского зодчества» (М., 1852) в статье «Церковь
Гребневской богаматери», составленной А. Мартыно-
вым, членом-корреспондентом императорского Архео-
логического общества, по тексту И. М. Снегирева чи-
таем:
«Как в стены, так и в помост вставлены надгробные
камни — указатели имен и могил. На них читаем фами-
лии князей Щербатовых и Урусовых, графов Толстых;
здесь погребены роды Волынских и Магницких, из ко-
торых известен первый сочинитель «Арифметики», по-
гребенный здесь в 1739 г. Некоторые камни еще в
прошлом столетии обращены надписями вниз, как,
например, надгробный камень г-жи Магницкой о кон-
чине ее от радости, при нечаянной встрече с сыном
своим, которого она почитала умершим». Здесь же в
конце дано примечание: «В «Московских ведомостях»,
статья Снегирева о Магницком».
Теперь становится ясным, что «Надгробную эпита-
фию» списал И. М. Снегирев, поместив ее в «Москов-
ских ведомостях» (1836, № 7).
В книге «История Московской славяно-греко-латин-
ской академии» С. Смирнова (М.,	1859) читаем:
«Л. Ф. Магницкий учился в Московской академии, ве-
роятно, еще при Лихудах» (1694). Здесь смущает слово
«вероятно». Отсюда можно заключить, что С. Смирнов
достоверно этого не знал. Тем самым нельзя ссылаться
на это сообщение С. Смирнова в биографии Л. Ф. Маг-
ницкого. В то же время весьма многие авторы в своих
популярных изложениях биографии Л. Ф. Магницкого
говорят, что последний учился в академии. Появляется
к концу XIX в., например, «Историческое описание
Заиконоспасского монастыря в Москве» Алексея Кова-
лева (М., 1887), где буквально повторено все то, что
выше сказано в труде С. Смирнова; дальше, в начале
XX в. и даже до сего времени, печатается немало книг,
где повторяются многие непроверенные данные, без
всякого стремления их доказать. Естественно, в наше
время встал вопрос о написании биографии Л. Ф. Маг-
ницкого, опирающейся на достоверное основание, с
дополнением вероятных данных, но ссылкой на соответ-
ствующие источники.
1. Первой нашей задачей поставлено было найти под-
линное надгробие Л. Ф. Магницкого. Здесь помогли
обстоятельства связанные со строительством метро в
Москве, начатом в 1932 г. Было решено разобрать
древнейшую церковь Гребневской богоматери, по-
строенную в XV—XVI вв. (на углу ул. Кирова и проезда
Серова). 27 мая на глубине одного метра обнаружилась
плита примерно 140 см X 110 см X 25 см из крепкого
известняка, на обратной стороне которой действительно
оказалась тонко выбита «эпитафия» надгробия
Л. Ф. Магницкого. На другой день под плитой-памят-
ником на глубине четырех метров обнаружена была
гробница Магницкого. Она была выложена из хороше-
го кирпича и залита со всех сторон известью. В могиле
76
находилась дубовая колода, в ней лежал невредимый
скелет Леонтия Филипповича с некоторыми сохранив-
шимися на нем покровами, в частности, сравнительно
хорошо сохранились сапоги, в которых находились
кости ног; под головой находилась стеклянная черниль-
ница, имевшая форму лампадки, и рядом лежало полу-
истлевшее гусиное перо. Вместе с гробницей Леонтия
Филипповича была гробница Марии Гавриловны, жены
Магницкого, где на камне была высечена надпись, воз-
вещающая об ее внезапной смерти при неожиданной
встрече с сыном, которого она считала умершим.
Хотя на плите-памятнике Л. ф. Магницкого искусно
выбиты буквы твердом песчанике, но некоторые бук-
вы стерлись; кроме того, в плите около середины сде-
лано значительное круглое отверстие: вероятно, когда-
то плита была прибита ч стене. Все это крайне затруд-
нило прочтение высеченного в камне текста. Ниже
приводим этот текст в орфографии, близкой к совре-
менной.
«В вечную память христиански, благочестно, целомуд-
ренно, благоверно и добродетельно пожившему Леон-
тию Филипповичу Магницкому, первому в России мате-
матики учителю, зде погребенному мужу христианства
истинного, веры в бога претвердой, надежды на бога
несомненной, любви к богу и ближнему нелицемерной,
благочестия по законе ревностного, жития чистого, сми-
рения глубочайшего, великодушия постоянного, нрава
тишайшего, разума зрелого, обхождения честного, пра-
водушия любителю, в услугах государям своим и оте-
честву усерднейшему попечителю, подчиненным и отцу
любезному, обид от неприятелей терпеливейшему, ко
всем приятнейшему и всяких обид, страстей и злых дел
всеми силами чуждающемуся, в наставлении и юных в
рассуждении совете друзей искуснейшему, правды как
о духовных, так и гражданских делах опаснейшему хра-
нителю, добродетельного жития, истинному подража-
нию всех добродетелей собранию, которой путь сего
временного и прискорбного жития начал 1669 года ию-
ня 9 дня. Наукам научился дивным и неудобовероятным
способом, его величеству Петру Первому великому
императору и самодержцу всероссийскому для остро-
умия в науках учинился знаем в 1700 году, и от его
величества по усмотрению нрава ко всем всеприятней-
шего и к себе влекущего, пожалован, именован прозви-
щем Магницкий, и учинен российскому благородному
юношеству учителем математики, в котором звании
ревностно, верно, честно, всеприлежно и беспорочно
служа четырем самодержцам всероссийским, и, пожив
в мире сем 70 лет 4 месяца и 10 дней 1739 года, октяб-
ря 19 дня 20 по полуночи в 1 часу, оставя добродетель-
ным своим житием и благочестно христианскою кончи-
ною по многим и неисчетным мира сего суетных потор-
жинях пример оставшим по нем по шестидневной бо-
лезни и по тою благочестно скончался.
Довольно жил себе по заслугам и для памяти вечной,
но ах недовольно
по желанию своих присных и для услуг всего отечества,
но хотя не к тому с нами, но во царствии небесном
бессмертный,
Ты же пришедший,
Что? Ищещи всем. Так жил, ныне же есть прах и пепел.
Научися убо от сего гроба.
Что? Каков ты, таков он был, а в таком он ныне,
таков ты будешь.
И всегда тщися на смерть быти:
Понеже мы подвержены все единой смерти,
невестно, когда тя похощет стерти.
Не по должности надписал горькослезный
Иван, нижайший раб, сын ему любезный».
Из этого документа получены достоверные биогра-
фические сведения:
1)	время рождения — 9 июня 1669 г.;
2)	фамилия Магницкий дана царем Петром 1 в 1700 г.
и неизвестна его фамилия до этого времени;
3)	Магницкий «наукам научился дивным и неудобо-
вероятным способом»; тем самым исключается его
пребывание студентом духовной академии;
4)	Магницкий был назначен учителем российского
юношества;
5)	Магницкий имел замечательного сына Ивана, смог-
шего написать такую «эпитафию», слезно переживав-
шего смерть отца;
6)	время смерти —19—20 октября 1739 г.
Осталось многое в биографии Л. Ф. Магницкого не-
известным, что хотелось бы прояснить хотя бы с веро-
ятностью. Начались наши поиски соответствующих
архивных документов.
II. О месте рождения, родителях и родственниках
Л. Ф. Магницкого известно немногое
1)	У Л. Ф. Магницкого был дядя — устроитель Нило-
вой пустыни около Осташкова, известный архимандрит
Нектарий Теляшин (1587—1667), сын крестьянина Павла
Теляшина патриаршей Осташковской слободы; до
монашества Нектарий именовался Николаем. Эти сведе-
ния взяты из журнала Министерства внутренних дел за
1843 г. В докладе протоиерея Н. А. Криницкого, сделан-
ном на II областном Тверском археологическом съезде
10—20 августа 1903 г. и напечатанном в 1906 г., сказано:
«Л. Ф. Магницкий приходился ближним родственником
устроителю Ниловой пустыни, архимандриту Нектарию».
В книге «Нилова пустынь» (издание императорского Об-
щества истории и древностей российских при Москов-
ском университете, М., 1876) в историческом очерке
В. Рачинского читаем: «Боярин окольничий Михаил Ти-
мофеевич Лихачев, еще при жизни Нектария пожертво-
вал двор для братства Ниловой пустыни в Москве в
Старогазетном переулке, между Тверской и Никитской
улицами. А после кончины в нем Нектария, место это
с произведенными постройками утвердилось за оби-
телью. Здесь с тех пор останавливалась братия, приез-
жавшая в Москву по делам. Игумен Нектарий был при-
нят у царя Михаила Феодоровича, а царь Алексей
Михайлович вместе с приближенными провожал остан-
77
ки умершего Нектаоия далеко аа Москву. После смерти
Нектария имущество, в частности книги, вывезли в Ни-
лову пустынь».
2)	Л. Ф. Магницкий—сын крестьянина Осташковской
слободы Филиппа (позднее в монашестве Фирса) по
прозванию Теляшина, об этом сообщает тот же про-
тоиерей Н. А. Криницкий с приведением вероятных
доказательств.
3)	В книге И. Ф. Токмакова — почетного и действи-
тельного члена губернских статистических комитетов,
многих ученых обществ и архивных комиссий — «Город
Осташков и его уезд» (М., 1906) читаем: «Фамилия
«Магницкий» не была родовою родственников Леонтия
Филипповича и его потомков по прямой нисходящей
линии, как данная ему, по преданию, царем Петром 1
за личные его достоинства, и никак не родственникам
его из крестьян Пафнутьева монастыря, жившим близ
Осташкова; этих последних могли называть по фамилии
Магницкий только по простонародью...»
III. Непосредственная педагогическая деятельность
Л. ф. Магницкого в школе математических и нави-
гацких наук и особенно его энциклопедия математиче-
ских наук — «Арифметика» — крепко заложили фунда-
мент математического образования в нашей стране.
Магницкий, прекрасно понимая значение математики,
писал в «Арифметике»: «И желаем, дв будет сей труд
добре пользоваться весь русский люд». «Арифметика»
Магницкого попала в Холмогоры, и мальчик Михайло
Ломоносов, найдя «Арифметику» у местного дьячка,
увлекся ее чтением и четырнадцатилетним самостоя-
тельно изучил ее вместе с «Грамматикой» Мелетия
Смотрицкого. Эти книги пробудили в мальчике жажду
к знаниям и явились «вратами учености» для Михаила
Васильевича Ломоносова.
Учились математике у Л. Ф. Магницкого геодезисты-
картографы И. М. Евреинов и Ф. Ф. Лужин, участвовав-
шие в Камчатской экспедиции Беринга; исследователь
Арктики и автор первого на русском языке руководства
по навигации С. Г. Малыгин, географы Д. Л. Овцын,
С. И. Челюскин и И. К. Кириллов.
Нельзя не отметить замечательного педагога-матема-
тика, ученика Л. Ф. Магницкого, продолжившего его
школу — Н. Г. Курганова, сына солдата, увлеченного
математикой, ее приложениями к практике и искусством
педагогического мастерства. Н. Г. Курганов в 1741 г.
перешел в Морскую академию, где рано стал прояв-
лять свое педагогическое призвание: 19 лет он уже был
любимым преподавателем математики и навигации у
слушателей Морской академии. Н. Г. Курганов в 1757 г.
выпускает «Универсальную арифметику». Эта книга
совершенствует «Арифметику» Магницкого, полвека хо-
рошо послужившую математическому образованию.
Н. Г. Курганов одновременно создает учебные пособия
по гуманитарным и математическим основам наук.
В 1769 г. опубликована его «Универсальная российская
грамматика», позднее выходившая многими изданиями
под названием «Письмовник». В 1769 г. выходят «Эле-
менты геометрии» Н. Г. Курганове, а в 1794 г. — «Гене-
ральная геометрия».
Кроме того, Кургановым много раз издавались
«Арифметика или числовник, содержащий в себе все
правила цифирного вычисления».
19 октября 1969 г.—день трехсотлетия со дня рож-
дения первого русского учителя математики Леонтия
Филипповича Теляшина-Магницкого.
Мы с глубоким уважением отдаем земной поклон
незабвенному учителю учителей.
Б. В. ГНЕДЕНКО,
И. Б. ПОГРЕБЫССКИЙ
(Москва)
Леонтий
Магницкий и его «Арифметика»
В текущем году математическая общественность на-
шей страны отмечает важную дату: трехсотлетнюю го-
довщину со дня рождения автора замечательной кни-
ги — «Арифметики» Леонтия Филипповича Магниц-
кого. Влияние этой книги на развитие физико-матема-
тических знаний и исследований в России было очень
велико. Недаром когда говорят про «Арифметику»
Магницкого, то всегда вспоминают слова М. В. Ломо-
носова, называвшего ее «вратами своей учености». Она
была «вратами учености» не только для М. В. Ломоно-
сова, но и для ряда поколений русских людей, сделав-
ших много для просвещения страны, ее технического
и экономического развития, а также для прогресса нау-
ки. К тому же нужно учесть, что, помимо арифметиче-
ских знаний, в ней были изложены также алгебраиче-
ские, геометрические, тригонометрические, астрономи-
ческие и навигационные сведения. Так что произведе-
ние Магницкого в действительности было своеобразной
энциклопедией математических знаний и давало также
достаточно обширные прикладные сведения.
Л. Ф. Магницкий широко известен как автор «Ариф-
метики». Однако заслуживает внимания вся его научно-
педагогическая деятельность. Он был выдающимся
представителем России петровского времени, если го-
ворить об его общем образовании, и в особенности
о его математических знаниях. Он первый в России
избрал математику своей специальностью и был авто-
ром первого печатного математического произведения
в нашей стране.
^Биографические сведения о Л. ф. Магницком очень
бедны. Подлинная фамилия Магницкого нам неизвест-
на, а эту приказал присвоить ему Петр I, который был
поражен обширными математическими познаниями
своего подданного. Позднее он был одним из препо-
давателей навигацкой школы, открытой по указу Пет-
ра I от 14 января 1701 г. v
Сам факт, что наряду с приглашенными Петром I
иностранцами среди руководящих педагогов учебного
заведения, которое было совершенно новым для Рос-
сии по своему назначению, оказался отечественный спе-
циалист в «хитростных наук учений», нуждается в под-
робном освещении. Где приобрел свои знания Маг-
ницкий, как он подготовился к педагогической и
научно-литературной работе, как укрепился у него ин-
терес к математическим наукам,-— эти вопросы имеют
значение не только для истории отечественной мате-
матики, но и для общей истории культуры нашей
страны.
В известной речи Феофана Прокоповича «На
похвалу блаженныя и вечнодостойныя памяти Петра Ве-
ликого» имеется сравнение состояния математической
культуры России до и после петровских преобразова-
ний: «Что же реши о арифметике, геометрии и прочих
математических искусствах, которым ныне дети россий-
ские с охотой учатся, с радостью навыкают и получен-
ное показуют с похвалою: так прежде было ли? Не ве-
даю, во всем государстве был ли хотя один цырклик,
а прочего орудия и имен не слыхано; а есть ли бы где
некое явится арифметическое или геометрическое дей-
ствие, то тогда волшебством нарицано»
Это утверждение, несмотря на авторитетность источ-
ника, не может быть нами принято полностью. В дей-
ствительности в Московской Руси можно проследить
два подхода к науке. Один из них полностью отрицает
всякое положительное знание и учение, кроме рели-
гиозного. Рукописная школьная запись 1643 г., храня-
щаяся в библиотеке имени В. И. Ленина, поучает:
«Братия, не высокоумствуйте! ...Аще кто ти речет, веси
ли всю философию, и ты ему рцы: еллинских борзо-
стей не текох, ни риторских астроном не читах, ни
с мудрыми философы не бывах, учуся книгам благо-
датного закона...»1 2. Еще в одном поучении говорится,
что «богомерзостен перед богом всякий, кто любит
геометрию; а се душевные грехи учиться астрономии
и еллинским книгам...» 3. Однако уже сами эти поучения
свидетельствуют, что были охотники до «еллинских
борзостей», в частности и до геометрии. Например,
Олеарий сообщает, что посланный вместе с ним в Пер-
сию Алексий Савич Романчиков любил математику и,
познакомившись с астролябией, заказал себе этот ин-
струмент и производил с его помощью измерения.
В библиотеках князя В. В. Голицина и боярина Моро-
зова были математические книги. Царь Федор был из-
вестен как любитель наук, особенно математических.
Олеарий упоминает, что многие из московской знати
любят читать книги научного содержания. Ученых мо-
нахов, выписанных при Алексее Михайловиче для уточ-
нения перевода религиозных книг, использовали так-
же для создания разных пособий и энциклопедических
сборников. Перечисление таких фактов можно продол-
жить. Здесь следует добавить, что Магницкий не был
лицом знатного рода, но научные интересы, пусть да-
же порой и в религиозной оболочке, не были в Мо-
скве XVI и XVII столетий привилегией лишь знати.
Собор 1661 г. наложил ограничения на торговлю кни-
гами, так как «на Москве всяких чинов люди пишут
в тетрадях и на листах и в столбцах выписки из книг
божественного писания и продают у Спасских ворот и
в иных местах...; а простолюдины, не ведая истинного
писания, приемлют себе за истину и в том согрешают,
паче же вырастает из того на Святую Церковь против-
ление» 4. Обычно около Спасских ворот и в других мес-
тах продавали не только религиозную литературу. При
этом следует принять во внимание и то, что сказанное
про Москву в некоторой степени отн сится и ко всей
Московской Руси. Достаточно вспомнить про старые
культурные центры — Новгород, Псков, про своеобраз-
ную культуру северных областей, которая выдвинула
М. В. Ломоносова, чтобы согласиться с его словами:
«Не мало имеем свидетельств, что в России толь вели-
кой тьмы невежества не было какую представляют
многие внешние писатели».
у/Если Магницкий действительно учился в славяно-гре-
ко-латинской академии, то именно там он овладел ла-
тинским и греческим языками (позднее он изучил так-
же голландский, немецкий и итальянский языки, по-ви-
димому, самостоятельно). Там он также должен был
1 Ф. Прокопович (1681—1736) — выдающийся
церковный и общественный деятель, ученый и поэт
России петровской эпохи. Был преподавателем и ректо-
ром Киево-Могилянской академии, в которой препода-
вал и математику. Пользовался микроскопом и теле-
скопом.
2 П. Пекарский, Наука и литература в России при
Петре Великом, т. I, СПб., 1В62, стр. 3.
3 В. Ключевский, Курс русской истории, т. Ill,
М., 1937, стр. 318.
4 Д. Д. Г а л а н и н, Л. Ф. Магницкий и его арифмети-
ка, вып. I, М., 1914.
изучать риторику, логику, психологию и физику. Пре-
подавание в академии имело ярко аыраженяый рели-
гиозный характер и в основном шло за Аристотелем.
Несомненно, что стихотворные поучения, так щедро
разбросанные в «Арифметике», были следствием обу-
чения риторике. Конечно, знания, которые давалис»
в первом высшем учебном заведении Москвы, были
далеки от того, что требуется математику, естество-
испытателю и практику, но это были все же система-
тизированные гуманитарные знания того времениРЗа-
метим, что физика, которая там излагалась, не имела
ничего общего с физикой в нашем понимании. Это бы-
ло общефилософское учение о движении и материи
в духе Аристотеля и вдобавок с большим уклоном
в сторону священного писания. Не нужно думать, что
этот средневековый схоластический стиль был характе-
рен только для учебных заведений Руси, он был гос-
подствующим еще во многих университетах Западной
Европы. Почти столетие спустя, в 1771 г., университет
в Саламанке не пожелал иметь преподавателя физики,
так как, говоря словами этой ученой коллегии, Ньютон
не учит ничему такому, что необходимо для хорошего
логика, а Гассенди и Декарт далеко не так согласны
с библейскими откровениями, как Аристотель.
Однако при всем этом необходимо признать вслед
эа Д. Д. Галаниным, что академия могла познакомить
Магницкого не только с Аристотелем и священным пи-
санием. Например, один из братьев Лихудоз (первые
преподаватели академии, у которых и должен был
учиться Магницкий) излагал взгляды Кампанеллы и Га-
лилея (пусть даже с целью их опровержения). Несколь-
ко позднее, в 1704 г., Феофилакт Лопатинский, заме-
нивший Иоанникия Лихуда и читавший физику по Арис-
тотелю, говорил: «Мы уважаем всех философов, и осо-
бенно Аристотеля, но, не настаивая на древних идеях
и желая познать чистую истину, не полагаемся ни на
чьи слова; философу свойственно доверять больше ра-
зуму, чем авторитету...»5. Поэтому, каким бы схолас-
тичным ни было преподавание в академии, и оно мог-
ло дать кое-что для формирования научных интересов
Магницкого. Но математическую эрудицию он приоб-
рел, несомненно, самостоятельно. Вполне вероятно, что
он не был одинок в своих математических интересах
(например, московский издатель В. Киприанов, работав-
ший вместе с Магницким, называет себя в прошении на
имя Петра I «рабом математических наук»), но учиться
математике он должен был сам. Анализ его «Арифме-
тики» показывает, что источниками для него были и
русские математические рукописи XVII столетия, и за-
падноевропейская литература, с которой он был широ-
ко знаком.
Для характеристики общественных взглядов Магниц-
кого у нас, к сожалению, недостаточно материала. Нет
сомнений, что самим опубликованием «Арифметики»
он поставил себя в ряды тех, кто, несмотря на запре-
щения поборников веры, пошел служить науке, чему
так решительно расчищал дорогу Петр I. За это гово-
рит и деятельность Магницкого в качестве преподавате-
ля школы математических и навигацких наук. Вместе
с тем новое, носителем которого был Магницкий, жило
в нем наряду со старым. Юб этом свидетельствует со-
хранившаяся записка Магницкого в деле про ересь
Тверитинова (1715; Тверитинова обвиняли в «лютеран-
ской ереси»). В деле Тверитинова Магницкий выступал
чуть ли не основным обвинителем, и к тому же по
собственной инициативе. Вообще, принимая во внима-
ние его записку, нужно признать, что в религиозных
вопросах он стоял на самых ортодоксальных позициях.
5 А. И. Лавровский, Феофилакт Лопатинский и
его библиотека, «Ученые записки Калининского педин-
ститута», т. XV, вып. 1, 1947, стр. 197—211.
7Q
Больше того, из этой записки Магницкого можно усмот-
реть его общие консервативные взгляды.
Сравнив все приведенные факты, следует, как нам
кажется, оценивать Магницкого не меркой человека,
созданного эпохой петровских реформ. Эта эпоха за-
стала его уже сложившимся человеком, воспитанником
допетровской Русн, но с научными интересами, которые
подготовили его к работе над новыми проблемами,
выдвинутыми временем. И здесь его просветительская
деятельность получила большое значение. Связана она
была формально, согласно документам, только со шко-
лой математических и навигацких наук.
Работу Магницкого ярко характеризует записка дьяка
Курбато а (1703) Головину, которому была подчинена
школа. Курбатов писал: «По 16 июля прибрано и учит-
ся 200 человек. Англичане учат их той науке чиновно,
а когда временем и загуляются... Имеем, по приказу
милости твоей, определенного им помоществователем
Леонтия Магницкого, который непрестанно при той
школе бывает и всегда имеет тщание не только к еди-
ному ученикам в науках радению, но и ко иным к доб-
ру поведением, в чем те англичане, видя в школах его
управление не последнее, обязали себя к нему, Леон-
тию, ненавидением, так что уже просил он, Леонтий,
от частого их на него гневания от школы себе свобод-
ное™...» 6. Курбатов не принял отставки Магницкого и
постарался укрепить его позиции в школе. Про англи-
чан он далее писал, что «дело в них признал я в одном
Андрее Фарварсоне, а те два хотя и навигаторы напи-
саны, только и до Леонтия наукой не дошли». Из
дальнейших высказываний Курбатова видно, что у Маг-
ницкого с англичанами были и методические разногла-
сия, причем взгляды Магницкого были значительно бо-
лее передовыми. Курбатов писал, что «учителя учат
нерадительно, а ежели бы не опасались Магницкого,
многое бы у них было продолжение, для того, что ко-
торые учатся остропонятно, тех бранят и велят дожи-
даться меньших, только я ему, Магницкому, молчать
им не велел...» 7 8.
В 1715 г. в Петербурге была открыта Морская акаде-
мия. Магницкий туда переведен не был—он эстался
в Москв в навигацкой школе, превратившейся в учеб-
ное заведение по своей специальности второго ранга,
и в ней руководил обучением до конца своих дней.
Возможно, что прав Д. Д. Г аланин, который высказал
в цитированной нами книге предположение, что при-
чиной оставления Магницкого в Москве было его по-
ведение в деле Тверитинова. Ведь в ту пору религиоз-
ный консерватизм нередко прикрывал политическую
оппозицию реформам Петра. После 1715 г. сведения
о Магницком почти обрываются. В 1724 г. про него
вспоминает В. Киприанов (сын московского печатника),
отметив, что его отец «производил и печатал с нынеш-
ним арифметической, геометрической и тригонометри-
ческой наук профессором Леонтием Магницким сперва
на печатном дворе книги арифметику и логарифмы,
а потом у себя в доме многие картины, и глобусы, и
лакарты (ошибка — должно быть «ландкарты». — Г. и П.),
и календари неисходимые (т. е. «вечные».— Г. и П.), а
также и другие разные листы и книги медными доска-
ми и набором» е'.
Мы видим, что Л. Магницкий был незаурядным дея-
телем просвещения и педагогом, но в памяти после-
дующих поколений он был и остается автором «Ариф-
метики» Магницкого.
6 С. М. Соловьев, История России с древнейших
времен, т. XV, стр. 89.
7 Т а м же.
8 В. Ключевский, Курс русской истерии, М., 1937,
стр. 254.
80
Чтобы оценить по заслуге «Арифметику» Магницкого,
кратко остановимся на ев содержании.
(Для нас несколько непривычен внешний стиль книги:
рядом с систематическим изложением курса математи-
ки существенное место в нем уделено общим сообра-
жениям, представленным в стихотворной форме; не-
привычные для нашего времени символические рисунки
помещены в тексте. Так, на титульном листе изображен
букет, окруженный виньеткой со словами: «Тако цветет
человек, яко цвет сельный». Под виньеткой помещен
стих, дающий возможность сделать вывод об отноше-
нии автора к арифметике как к науке, которая по-
могает человеку во всей его практической деятельно-
сти, дает возможность проникать в природу вещей и
этим выбирать правильный способ действий. Это стихо-
творение имеет большой интерес, и поэтому приводим
значительный отрывок из него:
«Арифметике любезно учися, в ней разных правил
и штук придержися.
Ибо в гражданстве к делам есть потребно, лечить
твой ум аще числит вредно.
Та пути в небе, решит и на море, еще на войне по-
лезна и в поли.
Общее всем людям образ дает знати, дабы исправ-
но в размерах Ступати».
Мы не будем приводить последующих стихотворений,
в которых кратко изложено содержание книги, дея-
тельность Петра I и т. д. Гораздо важнее для нас выде-
лить высказанную автором мысль, что и «от твари тво-
рец познавает и удивляем паче бывает».
Такое категорическое заявление, которое отстаивает
за человеком право мыслить и познавать, несколько
расходится с осторожностью, проявленной Магницким
в заключительной части книги, где он говорит о систе-
ме мира (чтобы не противоречить церковному учению,
он явно уклоняется от ответа на то, прав или неправ
Коперник).
Преподавание предмета математики начинается, соб-
ственно, лишь с 37-й страницы с вопроса: «Что есть
арифметика?» — и непривычного для нас ответа: «Ариф-
метика, или числительница, есть художество честное,
независтное и всем удобопонятное, многополезнейшее
и многохвальнейшее, от древнейших же и новейших,
в разные времена живших изряднейших арифметиков
изобретенное и изложенное».
Надо отметить, что такое определение арифметики
в русской литературе было дано впервые. И оно пол-
ностью отобразило взгляды Магницкого на арифметику
как на искусство, т. е. как на искусство справляться
с задачами счета и вычисления, которые встречаются
в разнообразных задачах практики.
Все произведение Магницкий раздепил на две книги.
Собственно арифметические сведения изложены в пер-
вых трех частях первой книги. Часть 1-я — «О числах
целых», часть 2-я — «О числах ломаных или с долями»,
часть 3-я — «О правилах подобных, в трех, пяти и
в семи перечнях» (т. е. простое и сложное тройное
правило. — Г. и П.), части 4-я и 5-я — «О правилах
фальшивых или гадательных», «О прогрессии и радик-
сах квадратных и кубических» — содержат скорее
алгебраический, чем арифметический, материал.
Следует отметить, что между 1-й и 2-й частями по-
мещен раздел, посвященный описанию древних мер и
монет, сравнению их с петровскими, а также описание
монет, мер и весов «Московского государства и окрест-
ных некиих». Эти сведения были очень нужны деловым
людям того времени, особенно в связи с широким
развитием экономических и культурных отношений Рос-
сии со странами Европы. Для нас этот раздел является
ценным источником сведений о системах старых рус-
ских мер и весов. Сравнительные таблицы старых мер
и мер того времени, оригинальные сопоставления, при-
веденные в тексте, несомненно, свидетельствуют о ши-
рокой эрудиции автора и о том, что в круг его науч-
ных интересов входила не только математика.
После 3-й части помещено обширное дополнение
«О различных к гражданству потребных действованиях
через прошедшие части», в котором автор привел
большое количество примеров практического содер-
жания. Дадим иллюстрацию помещенных в этом допол-
нении задач: «Паки егда окружение колесе есть 7 ар-
шин и другое против того сделать, которое бы брати-
лось четырежды против десятих обращений первого и
ведательно есть, коликих аршин ему во окружении по-
добает быти...».
Вторая книга подразделяется на три части: часть
1-я—«Арифметика алгебраика», часть 2-я — «О гео-
метрических через арифметику действуемых», часть
3-я — «Обще о земном размерении и яже к морепла-
ванию принадлежа». В этих книгах, кроме операций
с буквенными выражениями, излагаются решения квад-
ратных и биквадратных уравнений, начала плоской и
сферической тригонометрии, вычисление площадей н
объемов. В 3-й части содержится много необходимых
для мореплавания сведений об определении местопо-
ложения. Заканчивается книга дополнением «О толко-
вании проблемат навигацких различных через вышепо-
ложенныя таблицы локсодромические».
В «Арифметике» строго и последовательно проведена
одна форма изложения: каждое новое правило начи-
нается с простого примера, потом идет общая форму-
лировка, которая закрепляется большим количеством
примеров и задач в значительной части практического
содержания. Каждое действие сопровождается прави-
лом проверки («поверенном»); это делается как дпя
арифметических, так и для алгебраических действий.
Книга Магницкого Сыграла существенную роль в ста-
новлении русской математической терминологии. Много
математических понятий и терминов было им впервые
использовано в русской литературе. Не все предложен-
ное Магницким укрепилось в русской учебной и науч-
ной литературе. Так, для примера, корень из числа он
называл «бок» или «радикс»*' Безусловно, прогрессив-
ной тенденцией книги являлось систематическое ис-
пользование русских названий, пояснение и замена ими
общеупотребимой в то время в научной литературе
латинской терминологии. Следует Считать, что русская
терминология в арифметике начала систематически ис-
пользоваться лишь после выхода в свет работы Маг-
ницкого. В русских математических рукописях, издан-
ных раньше, чем появилась работа Магницкого, рус-
ская терминология далеко еще не установилась Напри-
мер, в одной из рукописей XVII столетия было напи-
сано: «Нумерасия или считание словесом и начертание
числом цифирным... Адитсие или считание... сюстряк-
ция, по-русски — вынимание или вычитание...». В связи
с этим интересно привести некоторые сведения из од-
ного исторического документа. В учебных тетрадях по
арифметике Петра I имеются только латинские назва-
ния арифметических действий: «адиция, субстракция,
мультипликация...». Сложение обозначалось в тетради
так: «Адиция. Буде хочешь разные сметы вместе сло-
жить, что их будет...». При объяснении вычитания — суб-
стракции — уменьшаемое принималось за «долг», вы-
читаемое — за «мои деньги», разница — за сумму, ко-
торую следует «доплачивать».
В первой арифметике, напечатанной на русском язы-
ке в 1701 г. в Амстердаме, которая называлась «Руко-
ведение во арифметику» и известна в истории как
«Арифметика» Копиевского, четыре арифметические
действия имеют названия: «адиция, субстракция, муль-
типликация и дивизия»; рядом с ними уживаются так-
же и русские названия «придача, изъятие (убавление),
умножение, деление». Нуль в арифме.ике Копиевского
назывался «оником» (в тетрадях Петра I нуль обозна-
чен словом «он»).
 В «Арифметике» Магницкого, как и i о всех учебни-
ках того времени, рассматривается пять действий: ну-
мерация, сложение, вычитание, умножение и деление.
Рядом с русскими, знакомыми нам со школьной скамьи
названиями Магницкий параллельно давал также их
греческие и латинские названия.
Изложение предмета начинается с понятия десятич-
ной системы счисления и введения привычных нам чис-
ловых знаков. Знаки 1, 2, ..., 9 Магницкий называет
«знаменованиями», а число 0 — «цифрою или ничем
именуется». Числа меньшие десяти, включая 0, в тер-
минологии Магницкого — «персты», числа вида единицы
с нулями (10, 200, 300, ._) — «составы», а все другие
числа (29, 350, ...) — «сочинения». Эти названия пере-
кликаются с теми, которые употреблялись в старорус-
ских арифметических рукописях. Такая терминология
употреблялась в русской учебной литературе до конца
XVIII столетия. Далее в книге приведена таблица чисел
вида 10" до 1024 и их названия: 106 — миллион, 1012 —
биллион, 1018 — триллион, 1024— квадриллион. Позднее
Магницкий знакомит читателя со славянскими числовы-
ми знаками, дает сравнение славянских и индусских
(арабских) числовых знаков и римские числовые обо-
значения, доводя последние до 9 000 000. В вычислениях
Магницкий нигде не применяет славянских числовых
обозначений, в то время как нумерация страниц книги
сделана славянскими обозначениями.
После правила сложения двух целых чисел в книга
приведена таблица суммы двух чисел при изменении
слагаемых в пределах первого десятка, а потом — стих:
«К двум един то есть три, хотящий же не лгати,
два же к трем пять похвально слагати.
Смотри, да тщится познати
Так и все назиран,	изустно сказати».
таблицу разбирай,
Методика изложения действия сложения мало отли-
чается от тон, которая применяется сейчас: сначалаТна
примерах дается сложение двух чисел, причем приме-
ры постепенно усложняются, потом рассматривается
сложение трех чисел, закрепляется большим количе-
ством примеров и лишь после этого деется «правило
загальне» для какого угодно количества слагаемых.
Далее снова рассматривается большое количество при-
меров и задач прикладного характера. Приведем одну
из таких задач.
«Житопродавец некий продал жита 7 человекам. Пер-
вому 125 четвертей, другому 107, третьему 99, четвер-
тому 86, пятому 130, шестому 133, седьмому 250. И по-
следи смечал колике четвертей продал.
И сложив сице
обрете в сложении 930».
После выполненного сложения в этой задаче, как и
во всех остальных, делалась проверка («повврение»).
Методика изложения умножения и вычитания мало
чем отличается от применяемой теперь. Так же, как
это делают современные учебники, приводилась табли-
ца умножения, которую надо было знать наизусть. Для
примера приведем небольшую ее часть:
7)	(49
есть
56
63
10	[70
Таблица заканчивалась
«Аще кто не твердит
таблицы и гордит.
Не может познати
Числом, что множати
и во всей науки
таким поучительным стишком:
не свободен от муки.
Колике не учит,
туне ся удручит
и в пользу не будет
аще се забудет».
81
Кроме числовых примеров на умножение, Магницкий
выделил специальный раздел «приклады, потребные ко
гражданству». Первый пример этого раздела состоит в
следующем:
«Во едином нощеденствии 24 часы, а во едином годе
365 дней, и еще хощешь ведати, в годе или седмице
или во 1000 днех часов, умножай сице» (при решении
этой задачи вычислено количество часов не в 1000, а в
100 днях; быть может, опечатка в условии задачи — до-
вольно редкое явление в книге Магницкого).
£ Деление в «Арифметике» излагается так же, как из-
лагается теперь. Отличие имеется только в способе
записи. Для иллюстрации приведем пример, рассмот-
ренный Магницким,— деление 598 432 на 678. Об изло-
женном способе деления и записи Магницкий писал,
что это «изящнейший образец деления, зане в едином
сем образце сугубное действо, сиречь с делением и
поверение».
1792
56032
598432
678/882
5424
5424
1356
436 «оставшееся»
598432 «верно разделено»
Теперь легко разобраться в записи действий. Под де-
лимым Магницкий предлагал записывать делитель, от
делителя чертой отделять частное; под делителем по-
следовательно записывались неполные частные, умно-
женные на делитель, а над делимым — остаток от соот-
ветствующих вычитаний. Действительный остаток запи-
сывался под неполными частными, множимыми на де-
литель. Сумма всех неполных частных, умноженных на
делитель, и остатка, очевидно, должна быть равна
делимому. Отсюда и примененный Магницким способ
проверки.
После 3-й части, которая посвящена изложению трой-
ного правила (как простого, так и сложного), как мы
уже говорили, было большое дополнение про меры
и веса древней Руси и других стран. J
Мы кратко остановимся на таблице удельных весов
разных материалов. Приняв за единицу веса вес еди-
ницы объема золота, Магницкий считал, что вес того
же объема свинца будет 0,65; серебра — 0,56; меди —
0,50; олова — 0,42; железа — 0,415; мрамора — 0,155.
Эти данные немного расходятся с известными нам ве-
личинами удельного веса; для примера приведем
удельный вес, вычисленный по данным Магницкого,
и в скобках покажем современные табличные данные:
свинец—12,5	(11,4), серебро—10,8 (10,5), медь —
9,6 (8,4), железо — 8,0 (7,8), олово — 8,1 (7,4), мрамор —
3,0 (2,7).
Прикладная тенденция, проходящая через всю книгу
Магницкого, выявляется не только в подборе задач,
приведенных полезных сравнительных таблиц мер, ве-
сов и денежных единиц Московской державы и ряда
европейских стран, но и в наличии специальных разде-
лов («статей»), предназначенных для торговых людей:
«Статья меновая в торгу», «Статья торговая тройная в
товарных овощах и с вывескою», «Статья торговая
складная с прикащики», «Статья торговая складная со
времены» и др.
Отдельная статья посвящена интересным задачам:
«О утешных некиих действиях, через арифметику упо-
требляемых».
(.Включение алгебраических частей в первую книгу
«Арифметики» автор пояснил в предисловии к разделу
«Прогрессии», сказав, что смысл этих разделов «и во
гражданстве потребными же приклады». А из-за того,
что алгебра тяжела и доступна лишь особенно «тща-
ливейшим», а не «общенародному человеку», Магниц-
кий решил простейшие алгебраические разделы поме-
стить в арифметической части своего произведения.
Общих формул в последних трех частях книги не дано,
правила излагаются на примерах^
Получение квадратного и кубического корней Маг-
ницкий, как правило, связывал с геометрическими за-
дачами — по площади квадрата или по объему куба
найти сторону. И то и другое действие не было чуж-
дым русским математическим рукописям XVII столетия.
Магницкий воспользовался значительной частью задач,
рассмотренных в рукописях, но дополнил их и новыми
задачами. Кроме того, он полнее изложил правила по-
лучения квадратных и кубических корней. Очень важно,
что именно в этом разделе впервые в русской литера-
туре было дано изложение основ десятичных дробей
и правил действий над ними. С помощью десятичных
дробей Магницкий получал приближенное значение
корней.
Мы не ставим своей задачей дать подробный анализ
всех разделов «Арифметики», и поэтому о содержании
второй книги ограничимся только теми общими сведе-
ниями, которые были сообщены нами раньше. Важно
теперь еще раз подчеркнуть то, что работа Магницко-
го появилась не неожиданно, не сразу, а была подго-
товлена как предыдущими многочисленными рукопис-
ными статьями, так и новыми требованиями петровско-
го времени. Чтобы представить себе степень исполь-
зования материала, имеющегося в рукописях, отметим
только одно: более половины задач Магницкого было
уже рассмотрено в старых русских рукописях; в неко-
торых частях книги все задачи Магницкого были взяты
из этого источника.
В заключение остановимся на одной мысли, выска-
занной известным русским историком математики
В. В. Бобыниным, которая, по нашему мнению, не толь-
ко противоречит духу всей книги, но и расходится с из-
вестными документальными сведениями. Бобынин на
основе того, что Магницкий использовал геодезические
наблюдения конца XVII столетия, сделал заключения,
что книга была начата еще до попыток организации
навигационной школы и поэтому написана не как учеб-
ник для нее. Мы считаем неубедительным и аргумент
и вывод Бобынина. Весь стиль книги, и особенно со-
держание второй ее части, показывает, что Магницкий
имел в виду написать учебник именно для навигацион-
ной школы, не отбрасывая возможности использования
его для других учебных заведений и для самообразо-
вания. К тому же остались документы, которые пока-
зывают, что Магницкий за написание «Арифметики»
получал «кормовые деньги» с 2 февраля 1701 г. по
1 января 1702 г. по пять алтын на день, а всего полу-
чил 49 рублей 31 алтын и 4 деньги.
Интересно отметить, чтоСработа Магницкого, возмож-
но, уже в рукописи получила высокую оценку. Об этом
можно судить не только из того, что она была выпу-
щена сказочно большим для того времени тиражом —
2400 экземпляров. То, что на протяжении более 50 лет
книга оставалась основным русским учебником ариф-
метики и вообще элементарной математики, достаточ-
но убедительно показывает, что она была написана
очень хорошо. А обширные сведения из навигационно-
го дела, которые помещены в ней, делают «Арифмети-
ку» Магницкого предвестником нашей печатной научно-
технической литературы.
82
педагоги-
567890 МАТЕМАТИКИ
Жизнь в школе и для школы
(К 80-летию со дня рождения Е. С. Березанской)
Имя Елизаветы Савельевны Березанской из-
р.естно каждому учителю математики нашей страны.
И не только учителю. Не одно поколение советских
школьников училось арифметике по задачнику Е. С. Бе-
резанской.
В январе 1970 г. Елизавете Савельевне исполняется
80 лет. Свыше 55 лет отдано преподаванию математи-
ки в школе и решению научно-методических проблем
ее преподавания. И в годы трудных поисков, годы ста-
новления и роста новой советской школы Елизавета
Савельевна принимала активное участие в постановке и
решении проблем преподавания математики.
Родилась Елизавета Савельевна Березанская 9 января
1890 г. в г. Майкопе. После окончания гимназии с педа-
гогическим классом поступила на математическое отде-
ление Высших женских (Бестужевских) курсов в Петер-
бурге, которые окончила в 1914 г. В том же году
началась ее педагогическая деятельность в частном
Реальном училище В. П. Кузьминой, известном высоким
уровнем постановки преподавания. Е. С. Березанская
была первой женщиной-преподавателем в старших
классах этого училища. В это же время вместе с дру-
гими бестужевками она активно включилась в занятия
с рабочими в воскресной школе за Невской заставой
(преподавала мироведение и арифметику). Молодые
учительницы многому учились здесь у своих учеников-
рабочих. Перед ними возникали многие вопросы, в
частности и вопросы методики преподавания: Чему и
как учить взрослых людей, которые после работы стре-
мились пополнить свое образование? Как показать
практическую полезность изучаемого? Что и как предо-
ставить самостоятельности учащихся?
Не раз потом возвращалась Елизавета Савельевна
к этим вопросам в своей школьной работе и методиче-
ских исследованиях.
В 1918—1920 гг. она работала в Майкопском учитель-
ском институте, а в июле 1920 г. переехала в Москву.
По рекомендации Н. К. Крупской Елизавета Савельевна
в 1920 г. начала работать в Московской опытно-показа-
тельной школе-коммуне НКП им. П. Н. Лепешинского.
Позже ей посчастливилось много раз встречаться с
Н. К. Крупской, ощущать ее поддержку, слышать от
нее, какой должна быть советская общеобразователь-
ная школа, каким должен быть советский учитель и
как он, в частности, должен строить обучение матема-
тике. Школа-коммуна была в те годы школой передо-
вого опыта как в вопросах политехнического обучения,
так и в вопросах самоорганизации учащихся и их ком-
мунистического воспитания.
Проработала она в школе-коммуне до конца суще-
ствования школы (1941), принимая активное участие не
только в преподавании математики, но и в решении
общих задач, встававших перед школой.
Опыт преподавания математики в тесной связи с
производительным трудом учащихся на производстве
был обобщен в учебном руководстве «Математика на
текстильном производстве» (1926). Эта работа была
основной среди работ, за которые в 1938 г. Е. С. Бере-
занской присуждена степень кандидата педагогических
наук. Этот опыт нашел свое отражение и в ее «Сбор-
нике задач и упражнений по арифметике», выдержав-
шем 20 изданий (1933—1953) и оказавшем существен-
ное влияние на преподавание арифметики в нашей
школе, на повышение математической культуры уча-
щихся.
С 1922 г. наряду с рабо ой в школе Елизавета Са-
вельевна начала вести занятия по математике и методи-
ке математики в высших педагогических учебных заве-
дениях Москвы. С 1922 по 1936 г. она работала в Ака-
демии коммунистического воспитания вначале в долж-
ности старшего преподавателя, затем доцента, про-
фессора и заведующего кафедрой. С 1932 по 1941 г.
Елизавета Савельевна работала в Московском город-
ском педагогическом институте, а с 1943 г. до ухода
на пенсию в 1965 г. — в Московском государственном
педагогическом институте имени В. И. Ленина.
Вся научная деятельность Е. С. Березанской посвя-
щена проблемам школьного преподавания матема ики,
поэтому, не говоря уже о годах работы в школе, она
всегда была тесно связана со школой, с учителями:
занятия с молодыми учителями в ИУУ, методическое
руководство работой учителей математики в отдельных
районах Москвы, руководство педагогической практи-
ка
кой студентов, участие в работах конференций учителей
математики, обширная переписка с учителями, частые
встречи с учителями — выпускниками института — все
это давало ей возможность постоянно ощущать пульс
школьной жизни и в своих научных исследованиях и
методических пособиях отражать реальные нужды
школы. Елизавета Савельевна неоднократно участвовала
в работе комиссий по составлению программ по мате-
матике для средней школы, в работе Ученой математи-
ческой комиссии Министерства просвещения РСФСР.
В 1933—1940 гг., возглавляя кабинет математики Ин-
ститута политехнического образования, Е. С. Березан-
ская провела большую организаторскую и методиче-
скую работу по улучшению преподавания математики
в школе. Методические письма, составленные по мате-
риалам обследования школ, организация выставок, вы-
ступления на семинарах, совещаниях, съездах препода-
вателей математики, многочисленные статьи в педагоги-
ческой печати оказали большую помощь учителям мате-
матики в их практической работе. Ее «Методика ариф-
метики», изданная впервые ь 1934 г., выдержала 5 пере-
изданий и поныне широко используется учителями и
студентами нашей страны. Эта книга, так же как и
«Сборник задач и упражнений по арифметике», переве-
дена на многие иностранные языки. В «Методике» учи-
тель (особенно молодой, а книга предназначена для
молодых учителей) находит ответы на многие вопросы,
возникающие в Процессе преподавания арифметики,
так как в ней собран и отражен опыт лучших учителей
нашей страны и многолетний опыт автора. На протяже-
нии многих лет Елизавета Савельевна стремилась внед-
рить в школьную практику устные упражнения на уро-
ках математики, видя в этом одно из эффективных
средств поднятия качества обучения, повышения инте-
реса к математике, развития мышления учащихся.
В соавторстве со своими коллегами Елизавета Савельев-
на создала ряд задачников для устных упражнений по
различным разделам школьного курса математики.
В них на первый план выдвигаются упражнения, спо-
собствующие более глубокому усвоению основных по-
нятий школьного курса, связи между этими понятиями.
В 1964 г. вышла одна из последних работ Е. С. Бере-
занской «Вопросы стереометрии в курсе математики
восьмилетней школы», явившаяся ответом на запросы
учителей, когда в программу восьмилетней школы были
внесены вопросы стереометрии.
Обобщая свой личный опыт и результаты педагоги-
ческой практики студентов, Елизавета Савельевна раз-
работала методику преподавания таких трудных разде-
лов программы, как «Арифметический корень», «Иссле-
дование корней квадратного уравнения», «Иррациональ-
ные уравнения», «Графики и функции», и ряда других.
Много сделала Елизавета Савельевна для улучшения
подготовки молодых преподавателей математики. Она
принимала участие в составлении программ по методи-
ке математики для педагогических институтов, часто
выступала с докладами на межвузовских конференциях
и семинарах преподавателей пединститутов во многих
городах Советского Союза.
Еще одна сторона ее педагогической деятельности —
подготовка научных кадров по методике математики —
руководство аспирантами. Ею подготовлены десятки
научных работников — кандидатов наук, которые в на-
стоящее время работают в различных педагогических
вузах нашей страны. Многие из них заведуют кафед-
рами.
Большую роль в развитии школьного математического
образования играют ученики Елизаветы Савельевны в
некоторых социалистических Странах (Монголия, Вьет-
нам).
Ко всему сказанному необходимо добавить, что одно-
временно с весьма напряженной преподавательской и
научно-исследовательской деятельностью Е. С. Березан-
ская постоянно ведет активную общественную работу.
Сначала воскресная школа, затем с 1920 по 1936 г. она
работает пропагандистом Среди работниц ткацкой фаб-
рики Фрунзенского района Москвы, за что отмечена
не раз грамотами и благодарностями. В годы Отече-
ственной войны Елизавета Савельевна работала в воен-
ных госпиталях и за отличную повседневную работу по
уходу за ранеными бойцами Красной Армии награж-
дена грамотой.
Являясь с 1936 г. членом Коммунистической партии,
Елизавета Савельевна ведет активную работу и в своей
партийной организации. К выполнению своих рабочих
обязанностей, партийных и других общественных пору-
чений она всегда относилась с необычайной тщательно-
стью. Ни одного общественного поручения — большого
или малого — не считала малозначительным. Такая обя-
зательность была всегда весьма поучительна для това-
рищей по работе и учеников. За безупречный труд и
большие заслуги в области народного образования и
в развитии методики математики Е. С. Березанская на-
граждена орденом Ленина, значком «Отличник народ-
ного просвещения», медалью имени К. Д. Ушинского
и другими медалями. Учительское кредо Елизаветы
Савельевны: «Нет безнадежно плохих учеников». Она
всегда верила, что каждый ученик способен усвоить
основы математики, и практически доказывала это. Вот
что пишет в своих воспоминаниях о школе-коммуне
воспитанница этой школы А. А. Шишкова: «Сколь-
ко труда и терпения проявила в работе с нами Елиза-
вета Савельевна Беоезанская. Она делала Свой предмет
интересным и доступным даже слабым ученикам. Сухая
математика делалась какой-то необычайно интересной
и значительной в ее устах. Товарищеский подход, вни-
мание к каждому ученику — вот неоценимые педагоги-
ческие качества этого воспитателя и учителя».
Я думаю, что к этим словам присоединимся все мы —
ее ученики: школьники, студенты, аспиранты—и горячо
поздравим Елизавету Савельевну с восьмидесятилетием.
Доброго Вам здоровья, дорогая Елизавета Савельевна!
Л1. М. Чернецов
Виктор Иосифович Левин
(К 60-летию со дня рождения]
Выдающемуся педагогу, видному ученому в области
математического анализа Виктору Иосифовичу Леви-
ну— шестьдесят лет. Родился В. И. Левин 1 декабря
(18 ноября) 1909 г в г. Могилеве в семье инженера-
строителя. В 1926—1927 гг. он—студент Московского
высшего технического училища. Высшее образование
завершил в Берлине (Высшее техническое училище) по
специальности «Прикладная математика».
В марте 1933 г. защитил в Берлине диссертацию на
соискание ученой степени доктора-инженера (прирав-
ненную затем к нашей кандидатской Степени). С 1933
по 1937 г. вел научную работу в Кэмбриджском универ-
ситете (Англия) под руководством знаменитых матема-
тиков Харди и Литлвуда.
В 1939 г. в МГУ защитил диссертацию на соискание
ученой степени доктора физико-математических наук.
В этом же году получил ученое звание профессора.
В 1937 г. ботал внаштатным редактором «Матема-
тического сборника». С 1938 по 1949 г.— профессор и
заведующий кафедрой высшей математики МЭИ и МАИ
им. С. Орджоникидзе, затем два года работал заведую-
щим кафедрой в Пензенском индустриальном институ-
т< и три года — профессором в Тульском педагогиче-
ском институте. С 1954 по 1959 г. заведовал кафедрой
в Московском заочном педагогическом институте и ра-
ботал старшим научным сотрудником в институте мето-
дов обучения Академии педагогических наук РСФСР.
Много лет читал лекции также в Московском институте
стали и сплаве . В настоящее время В. И. Левин заве-
дует кафедрой математической физики Московского
ордена Трудового Красного Знамени педагогического
института им. В. И. Ленина.
Виктор Иосифович участвовал в комиссиях Методиче-
ского управления МВО СССР, был автором ряда про-
грамм по математике для вузов, с 1954 г.— член уче-
ной комиссии по математике Минпроса РСФСР, а с
1959 г. является ее председателем. Активный пропа-
гандист математических значий. Член научно-методиче-
ского совета правления Всесоюзного общества «Зна-
ние». С сентября 1967 г. — декан факультета повышения
квалификации преподавателей педвузов при МГПИ
им. В. И. Ленина.
Виктор Иосифович — автор книг: «Ряды и интегралы
Фурье. Элементы операционного исчисления» (1948);
«Дифференциальные уравнения ‘математической физи-
ки» (1951, совместно с Ю. И. Гросбергом); «Функции
комплексного переменного и их применения» (1951,
совместно с Б. А. Фуксом); «Методы математической
физики» (1955, 1961); «Уравнения математической фи-
зики» (1964, 1969, совместно с И. Г. Арамановичем).
Кроме книг, им написано сорок научных статей (первая
статья опубликована в 1932 г.).
Выдающиеся организаторские способности В. И. Ле-
вина помогли ему создать в МЭИ четко работающую
математическую кафедру, а в настоящее время — боль-
шой научно-педагогический коллектив кафедры в пед-
институте.
Весьма интересны мысли В. И. Левина по поводу пре-
подавания математики в учебных заведениях различных
типов. Свои идеи о подготовке учителей математики
педагогических институтах Виктор Иосифович изложил
в программной статье («Математическое просвещение»,
1958, № 3). В. И. Левин является сторонником широкого
математического образования будущего учителя и пола-
гает, что в каждом математическом курсе особый
акцент должен делаться на раскрытии современного
содержания основных математических понятий этого
курса, которые играют важную роль в школьном пре-
подавании.
Вопросам реформы преподавания математики в Сред-
ней школе были посвящены статьи В. И. Левина «Неко-
торые вопросы преподавания математики в Средней
школе» («Математическое просвещение», 1959, № 4),
и написанные совместно с В. Г. Ашкинузе и А. Д. Се-
мушиным статьи «О перестройке программ по матема-
тике в свете новых задач средней школы» («Математи-
ка в школе», 1959, № 1), «Некоторые замечания к про-
екту программ по математике для средней школы»
(«Математическое просвещение», 1960, № 5).
Большой интерес вызвала статья В. И. Левина «Жизнь
и творчество индийского математика С. Рамануджана»
(«Историко-математические исследования», 1960, вып.
XIII) и брошюра «Рамануджан — математический гений
Индии», удостоенная премии общества «Знание».
В. И. Левин находится в расцвете своих творческих
сил. Пожелаем юбиляру доброго здоровья и успехов
в его плодотворной научной и научно-организационной
деятельности.
Б. В. Гнеденко, А. Я. Маргулис
85
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
КАЛЕНДАРЬ
на 1969/70 учебный год
ЯНВАРЬ
15 января — 120 лет со дня
рождения Софьи Васильевны К о-
валевской (см : «Математика
в школе», 1949, № 1; 1953, № 2;
1965, № 1).
27 января—ПО лет со дня
рождения выдающегося венгер-
ского математика Яноша Бойяи
(см  «Математика в школе», 1962,
№ 6).
ФЕВРАЛЬ
2 февраля—100 лет со дня
рождения швейцарского матема-
тика Анри Фера (1870—1954).
А. Фер родился в Цюрихе, был
профессором Женевского универ-
ситета и одним из основателей
международного журнала «L’en-
seignement mathematique». В
1908 г. четвертым международ-
ным конгрессом математиков в
Риме был уполномочен (вместе
с Ф. Клейном н Гринхиллом) со-
ставить международную комис-
сию для изучения состояния пре-
подавания математики (см.: «Ре-
феративный журнал математики»,
1955, № 10; 1957, № 1).
8 февраля — 270 лет со дня
рождения выдающегося физика и
математика Даниила Бернулли
(1700 1782).
Д. Бернулли родился в Гронин-
гене (Голландия). Математику
изучал под руководством отца
Иоганна 1 Бернулли (1667—1748.)
и старшего брата Николая 11
Бернулли (1695—1726). Окончив
Базельский университет со сте-
пенью магистра философии, он до-
полнительно изучал медицину.
С 1725 по 1733 г. Д. Бернулли
работал в Петербургской Акаде
мии наук сначала на кафедре фи-
зиологии, а затем механики и
опубликовал в ее Изданиях 47 ра-
бот.
Д. Бернулли принадлежат важ-
ные работы по алгебре, теории ве-
роятностей, исчислению бесконеч-
но малых, теории рядов, теории
дифференциальных уравнений и
тругим разделам математики.
В алгебре известен его прибли-
женный метод численного решения
алгебраических уравнений с по-
мощью возвратных рядов. В тео-
рии вероятностей Д. Бернулли
впервые применил исчисление бес-
конечно малых, что упростило
многие задачи этой науки. Ему
принадлежит определение чис-
(	1 V!
ла е как предела ( 1 + — ) при
п—^-оо. В теории дифференциаль-
ных уравнений он, одновременно
с Л. Эйлером, получил решение
линейного дифференциального
уравнения га-го порядка с постоян-
ными коэффициентами.
Гораздо важнее были исследо-
вания Д. Бернулли по теории ря-
дов, связанных с проблемами ме-
ханики. В работе о колебании
струны (1755) он впервые приме-
нил тригонометрические ряды
(впоследствии названные рядами
Фурье) к решению соответствую-
щего дифференциального уравне-
ния, а затем принял участие в
споре о представимости с по-
мощью таких рядов произволь-
ных функций, в ходе которого им
самим, Даламбером, Эйлером, Ла-
гранжей и другими математиками
были высказаны положения, сы-
гравшие выдающуюся роль при
разработке основных принципов
математического анализа в XIX в.
Парижская Академия наук 10
раз присуждала ему премии за
лучшие работы по вопросам мате-
матики и физики, а в 1734 г. он
разделил со своим отцом двойную
премию той же академии за со-
чинение «О причинах различного
наклонения планетных орбит к
солнечному экватору». (См.: Био-
графический словарь деятелей
естествознания и техники, т. I,
М„ 1958; История математики от
Декарта до середины XIX столе-
тия, М., 1966; Историко-математи-
ческие исследования, вып. 10, М.,
1957; История отечественной мате-
матики, т. I, Киев, 1966, А. П.
Юшкевич, История математики
в России до 1917 г., М„ 1968.)
9 февраля — 90 лет со дня
рождения выдающегося венгер-
ского математика, действительно-
го члена Венгерской Академии
наук, иностранного члена Бавар-
ской и Польской АН, члена-кор-
респондента Геттингенского и по-
четного члена Калькуттского мате-
матических обществ, почетного
доктора ряда университетов Ли-
пота Фейера (1880—1959).
Л. Фейер опубликовал более ста
научных работ, в которых изложе-
но много ценных результатов, по-
лученных им в теории функций,
теории тригонометрических рядов,
теории интерполирования, теории
специальных функций и других
разделах математики.
За выдающиеся работы по ма-
тематике Венгепская АН награди-
ла Л. Фейера премиями Марчува-
ни (1911), Большой премией
(1918), премией им. Кошута
(1948). С 1946 г. он — почетный
член Венгерской АН. Со времени
основания в Венгрии Математи-
ческого общества им. Яноша
Бойяи Л. Фейер был его предсе-
дателем (см.: «Успехи математи-
ческих наук», 1960, т. XV, вып. 4,
111—122).
11 февраля — 320 лет со дня
смерти великого французского фи-
лософа, математика, физика и
физиолога Рене Декарта (см.:
«Математика в школе», 1965, №1).
13 февраля — 70 лет со дня
рождения советского математика
Абрама Иезикеловича П л е с н е-
р а.
А. И. Плеснер родился в Лодзи
(Польша), учился в университетах
Германии В 1932—1948 гг. рабо-
тал в Московском университете
и Математическом институте АН
СССР. Он является одним из ос-
нователей Московской школы в
области функционального анализа
(см.: «Успехи математических на-
ук», 1961, т. XVI, вып. I, стр.
213—218).
24 февраля — 50 лет со дня
смерти русского математика-педа-
гога, профессора Николая Алек-
сандровича Шапошникова
(см.: «Математика в школе»,
1965, № 1).
А. И. Бородин
86
КРИТИКА
IZI БИБЛИОГРАФИЯ
Что будет выпущено издательством
«Просвещение» в 1970 г.
Пособия для пединститутов
Бохан К. А. и др., Курс математического анали-
за, т I, т. II.
В I томе изложены основные сведения из теории
чисел, теории пределов, теории дифференцирования
функций одной переменной, исследование функций
с помощью производной, приложение производной
к вопросам естествознания, техники и геометрии, тео-
рия неопределенного и определенного интегралов и их
приложения, а также разложение функций в ряды.
Теоретические положения подкрепляются примера-
ми и задачами.
Во II томе изложены теория дифференцирования и
интегрирования функций нескольких переменных и ее
приложения к вопросам геометрии, физики, механики;
теория разложения функций в степенные ряды; теория
функций комплексного переменного, основные сведе-
ния об элементарных функциях комплексного пере-
менного. Подробно разобраны теория обыкновенных
дифференциальных уравнений, ряды Фурье, уравнение
колебания струны.
Теория подкрепляется большим числом примеров и
задач с указаниями к их решению.
Виленкин Н. Я-, Задачник по математическому
анализу.
Данный сборник содержит большой набор примеров
и задач по математическому анализу, а также реше-
ния типовых задач. Наряду с задачами тренировоч-
ного характера включены задачи, выясняющие смысл
таких понятий, как предел, непрерывность, производ-
ная, интеграл и т. д., а также задачи на доказатель-
ство и на построение. Многие задачи связаны с при-
менением методов математического анализа к элемен-
тарной математике.
Сборник составлен в соответствии с программой
математического анализа для пединститутов.
Кудреватов Г. А., Сборник задач по теории
чисел.
Каждый параграф предлагаемого сборника начи-
нается с кратких теоретических сведений, необходи-
мых для решения приведенных задач. В сборнике со-
держится около 500 задач по теории чисел. К ним да-
ны ответы, указания или решения. Помимо тради-
ционных разделов, в сборнике имеется раздел «Не ре-
шенные до сих пор задачи теории чисел».
Пособия для учителей
Андронов И. К., Окунев А. К-, Арифметика
рациональных чисел.
Курс построен на современном понятии множества.
Особое внимание уделено в нем теории и практике
признаков делимости натуральных чисел; множествам
простых и составных чисел с приложением их к эф-
фективному нахождению НОД и НОК- Ограничение
обратной операции вычитания во множестве натураль-
ных чисел ведет к необходимому обобщению и соз-
данию теории множества целых чисел.
В конце книги рассматриваются рациональные чис-
ла в форме конечных цепных дробей и бесконечных
систематических периодических рядов; заканчивается
курс рассмотрением неопределенных уравнений первой
степени с двумя переменными над кольцом целых
чисел.
Бескин Л. Н., Стереометрия.
Предлагаемое пособие не повторяет известные учеб
иые пособия для вузов и совсем не похоже на школь
ные учебники. Книга состоит из введения, трех частей
и дополнения. Материал, содержащийся в трех ча-
стях, трактует традиционные вопросы стереометрии,
однако его изложение в методическом отношении весь-
ма оригинально.
Автор «Стереометрии» ведет изложение с позиций
исследователя, который вслух размышляет, ставит
вопросы, задумывается над выбором материала. Он
преподносит материал более доступно по сравнению
с вузовскими учебниками, но значительно содержа-
тельнее по сравнению со школьным курсом геометрии.
Важное место в книге занимает дополнение, содер-
жащее разделы: аксиомы геометрии, неевклидова гео-
метрия, группы преобразований
Д ы ш и и с к и й Е. А., Игротека математического
кружка.
Данная работа содержит набор интересных матема-
тических игр и методические советы по организации и
проведению их в математических кружках V—-VIII
классов.
Автор также показывает, как некоторые игры мож-
но использовать на уроках математики в V—VIII
классах.
Никитин В. В., Сборник логических упражнений.
В пособии дан набор разнообразных упражнений
(около 400), способствующих обучению школьников
умению доказывать теоремы и оперировать понятия-
ми и суждениями.
Систематически подобранные упражнения позволят
учителю целенаправленно вести работу по развитию
мышления учеников.
Сборник содержит упражнения и задачи, распреде-
ленные в три раздела: понятия, теоремы, доказатель-
87
ства. Он поможет учителю в проведении логических
'упражнений на уроке и во внеклассных занятиях.
Орехов Ф. А., Решение задач методом составле-
ния уравнений.
Данная работа посвящена одной из центральных
проблем методики обучения математике в средней
школе — решению задач посредством составления
уравнений. Рассмотрены вопросы обучения решению
задач не только в курсе алгебры, но и в курсах гео-
метрии, арифметики, физики.
Автором разработана система конкретных рекомен-
даций, приемлемых при решении любой задачи: уста-
новление функциональной зависимости между вели-
чинами отдельных частей (процессов) условия зада-
чи, алгебраическое выражение значений величин,
установление основания для составления уравнения.
Возражая против многословия при решении задач,
автор дает примеры табличной записи условия задачи,
схемы процесса решения и некоторых других форм
записи.
Петраков И. С., Преподавание алгебры в педа-
гогических училищах.
В книге изложены некоторые вопросы методики изу-
чения курса алгебры в педучилищах, особое внимание
уделяется методике изучения наиболее сложных во-
просов По каждой теме приводятся контрольные и са-
мостоятельные работы.
Эрдниев П. М., Методика упражнений по мате-
матике.
В пособии приводятся эффективные приемы обуче-
ния решению примеров и задач, проверенные на прак-
тике в ряде школ. В основу приемов обучения поло-
жены методы противопоставления (одновременное
изучение взаимно обратных действий) и широкое ис-
пользование синтетических упражнений.
Пособия для учащихся
Доброхотова М. А. и др.. Сборник задач по
математике для учащихся средней школы.
Работа содержит набор задач по курсу факульта-
тивных занятий IX—X классов. К большинству задач
даны решения или указания
Финкельштейн Г. М., Элементы  математиче-
ского анализа и его простейшие приложения.
Книга содержит разделы: переменные величины,
функции, производная и дифференциал, исследование
функций, интеграл, приложение интегральных и диф-
ференциальных исчислений. Понятия предела, произ-
водной и интеграла даны на основе задач.
Завершается пособие кратким историческим обзо-
ром возникновения н развития основных понятий, свя-
занных с функциями.
Содержание книги охватывает материал, предусмот-
ренный программой факультативных занятий по ма-
тематике в средней школе.
Колмогоров А. Н. и др., Летняя математиче-
ская школа. Серия «Проблемы математической
школы».
В 1968 г. в Ивановской области у Рубского озера
работала летняя математическая школа для окончив-
ших восьмые классы. Описание организации работы
школы, программы школы и содержание прочитанных
в этой школе лекций помещены в предлагаемой
книге.
В ней можно найти образцы практических работ по
геодезии, номографии, конкурсных задач и контроль-
ных работ с указаниями.
Пособие предназначено для тех, кто ведет факульта-
тивные и внеклассные занятия по .математике со школь-
никами VIII—IX классов.
Крыговская 3., Геометрия. Основные свойства
плоскости (перевод с польского). Серия «Математи-
ческое просвещение».
Книга оригинальна по содержанию, изложению и
построению. В ней разработан один из вариантов си-
стемы геометрии (планиметрии).
Л. А. Сидорова
Издательство «Знание» для учителей
Цель литературы, выпускаемой издательством «Зна-
ние»,— доступно, точно, интересно, а главное своевре-
менно рассказать о новейших достижениях в жизни,
науке и технике нашей страны. Таков девиз наших
23 подписных серий.
Вся эта литература рассчитана не только на мас-
сового читателя, ио и на специалиста.
В брошюрах серии «Математика, кибернетика»
в 1970 г. будут освещаться проблемы, связанные
с применением математики и кибернетики в различ-
ных областях знаний. Серия рассчитана на круг чита-
телей, интересующихся математикой и кибернетикой,
а также на учителей, инженеров, студентов и учащих-
ся старших классов.
Математическая биология — одно из новейших на-
правлений современной прикладной математики. Здесь
сочетаются методы обработки данных, основанные на
математической статистике, математическое моделиро-
вание биологических систем, опирающееся как на
классический аппарат дифференциального исчисления,
так и на методы теории вероятностей, и, наконец, ко-
личественная морфология — геометрия живого. Изуче-
ние структуры живого организма основано на методах
опознавания образов, и основным инструментом ис-
следователя прн этом служит универсальная цифро-
вая вычислительная машина (УЦВМ). О том. как
изучается эта структура и как ведется «разговор» че-
ловека с машиной, и будет рассказано в брошюре кан-
дидата технических наук Г. Р. Иваницкого «Гео-
метрия живого».
Современная математика — наука чрезвычайно раз-
ветвленная, однако фундаментальные математические
понятия имеют тесные связи между собой, ибо в ос-
нове сложных структур всегда лежат хорошо знако-
мые «элементарные» понятия и факты.
3. А. Кузичева в своей брошюре «Векторы, ал-
гебры, пространства» показывает, как эти элемен-
тарные понятия, постепенно усложняясь, превра-
щаются в сложные представления современной мате-
матики.
Создание принципов научного управления общест-
вом и его экономикой — одна из самых важных на-
учных проблем современности.
В брошюре члена корреспондента АН СССР
Н Н Моисеева «Математика, управление, эконо-
мика» рассматриваются некоторые важные вопросы,
88
отображающие современный взгляд науки на эту про-
блему. В ней, в частности, рассмотрены такие вопро-
сы, как моделирование экономических процессов, рас-
сказано о программе и программном управлении,
а также о связи между работами математиков и со-
циологов в создании автоматизированных программ
управления.
15 мая 1971 г. исполняется 150 лет со дня рож-
дения П. Л. Чебышева — великого русского ма-
тематика и выдающегося педагога.
Брошюра кандидата физико-математических наук
В. Е. Прудникова «П. Л. Чебышев» посвящена
описанию жизни и творчества П. Л. Чебышева и рас-
считана на широкий круг читателей.
В брошюре кандидата педагогических наук
П. М. Эрдниева «Аналогия в математике» на при-
мерах, взятых из элементарной и высшей математики,
показывается роль и значение логического приема ана-
логии как в математических открытиях, так и в пре-
подавании математики.
На издания общества «Знание» любой желающий
может подписаться в органах «Союзпечати», в любом
пункте подписки. Индекс серии «Математика, киберне-
тика» в каталоге «Союзпечати» 70 096. Годовая стои-
мость подписки 1 р. 08 к.
Г. А. Анашкин
Сергей Павлович Бобров
(К 80-летию со дня рождения)
8 ноября 1969 г. исполнилось
80 лег со дня рождения Сергея
Павловича Боброва.
С. П. Бобров — старейший со-
ветский писатель. Он автор соци-
ально-утопических романов, автор
работ по стиховедению, перевод-
чик литературных произведений
зарубежных писателей. Однако ин-
тересы С. П. Боброва далеко не
ограничиваются литературой.
С. П. Бобров — автор книги «Ин-
дексы Госплана» (М., 1925), это
было первой работой на русском
языке по теории и практике ин-
дексов иен.
Вскоре после того под редакци-
ей С. П. Боброва с его обшир-
ными комментариями и дополне-
ниями вышли переводы сборника
статей «Математические методы в
статистике» Г. Л. Ритца (М.,
1927) и «Построения индексов»
американского экономиста Ирвин-
га Фишера (М., 1928); в тогдаш-
нее время эта книга была своего
рода энциклопедией индексов.
С. П. Бобров является автором
книг «для юных читателей, кото-
рые любят точные науки и мате-
матику»:	«Волшебный двурог»
(первое издание вышло в 1948 г. и
второе, переработанное — в
1967 г.) и «Архимедово лето»
(книга I, М., 1959 и книга II, М.,
1962).
В «Волшебном двуроге» (науч-
ный редактор I издания — И. В.
Арнольд и II—И. Н. Веселов-
ский) рассказывается немало ин-
тересного. «Читатель узнает о
развитии математики с ее древ-
нейших времен, о значении мате-
матики в технике, особенно об од-
ной из важнейших отраслей мате-
матики— математическом анализе.
Читателю предлагается немало за-
нимательных задач, многие из ко-
торых сопровождаются подробным
разбором».
В обращении к читателю «Ар-
химедова лета или Истории содру-
жества юных математиков» (на-
учный редактор И. Н. Веселов-
ский) автор пишет: «В книге рас-
сказывается о математике, о ее
замысловатых рассуждениях и
способах решения самых запутан-
ных и необыкновенных задач».
Изложение в книге ведется хо-
рошим литературным языком. На-
писано «Архимедово лето» для де-
тей среднего и старшего возраста.
В ней найдет пятиклассник реше-
ние арифметических задач, близ-
ких по содержанию к тем, кото-
рые ему задают в школе, а деся-
тиклассник прочитает с интересом
о цепных (непрерывных) дробях.
В журнале «Теория вероятно-
стей и ее применение» (т. IX.
вып. 2, 1964) опубликована статья
С. П. Боброва «Применение кор-
реляции к стиховедению. Опыт
изучения вольного стиха пушкин-
ских песен западных славян».
В предисловии к «Пробуждаю-
щейся науке» Б. Л. ван дер Вар-
дена (русский перевод И. Н. Ве-
селовского, М., 1959) переводчик
отмечает, что С. П. Бобров прило-
жил «много сил для того, чтобы
русский перевод был ... хорошо
обработанным литературно; в ча-
стности ему принадлежат все
имеющиеся в книге стихотворные
переводы».
В 1966 г. вышла автобиографи-
ческая повесть С. П. Боброва
«Мальчик».
Мы желаем С. П. Боброву доб-
рого здоровья и благодарим его
за интересные книги.
К. П. Сикорский
РУБЕЖОМ
Международный коллоквиум, посвященный
Б [г.'киш™ модернизации преподавания математики
23 сентября — 1 октября 1968 г. в Бухаресте прохо-
дил Международный коллоквиум по актуальным во-
просам преподавания математики в средней и высшей
школе европейских стран, организованный ЮНЕСКО
совместно с Международной комиссией по математи-
ческому образованию.
Повестка дня, предложенная заранее оргкомитетом
участникам совещания, содержала четыре вопроса.
1.	Роль обучения математике а современном обще-
стве. а) Требования комплексного и быстрого разви-
тия современного общества в плане экономическом,
научном, техническом и культурном, б) Соотношение
между этими требованиями и всесторонним и быстрым
развитием современной математики на протяжении
последних десятилетий, в) Необходимость реорганиза-
ции обучения математике на всех ступенях (началь-
ной, средней, высшей). Роль университетского образо-
вания.
2.	Общие принципы. Методы и способы, а) Необхо-
димость тесной связи между модернизацией содержа-
ния математических курсов и разработкой новых ме-
тодов для преподавания современных понятий, б) Со-
гласованность деятельности по модернизации обуче-
ния математике в школах различных ступеней. Необ-
ходимость обеспечивания преемственности при пере-
ходе от одного цикла к следующему, в) Основные осо-
бенности модернизации содержания математических
курсов в школах различных ступеней. Результаты про-
геденных экспериментов, г) Роль психолого-педагоги-
ческих факторов; осуществленные исследования и
эксперименты. Дозировка современных математиче-
ских понятий н представление их в форме, доступной
различным уровням обучения, д) Роль н характер
школьных учебников, задачников и т. д.; использова-
ние современных методов воспитания, е) Стимулиро-
вание интереса молодежи к математике. Роль мате-
матических журналов, кружков и конкурсов.
3.	Подготовка кадров, а) Подготовка, непрерывное
совершенствование и рациональное использование ма-
тематиков в различных сферах деятельности (исследо-
вательской, учебной, экономической и т. д.). б) Под-
готовка учителей математики для начальной, средней и
высшей школы. Непрерывное информирование и усовер-
шенствование учителей начальной и средней школы,
ь) Роль послеуниверситетских курсов, летних курсов,
циклов лекций и т. д. г) Информирование общественно-
сти. Профессиональная ориентация молодежи.
4.	Роль международного сотрудничества, а) Значе-
ние периодического ознакомления и сопоставления
90
в рамках международных встреч осуществленных опы-
тов и мероприятий, проведенных в различных стра-
нах. б) Необходимость развития обмена информацией
в этой области (публикации, документация, учебники,
исследования и т. д.). в) Возможности развития со-
трудничества европейских стран в области модерни-
зации преподавания математики. Рекомендации о фор-
мах и методах сотрудничества в европейском плане,
г) Помощь, оказанная ЮНЕСКО развитой в этой об-
ласти деятельности. Сотрудничество с заинтересован-
ными международными организациями.
По первому вопросу единственный доклад «Влия-
ние математических исследований на школьное обуче-
ние» представил Г. П а п и (Бельгия). По второму
вопросу делегаты 13 стран представили 28 докладов.
По третьему вопросу было представлено 10 докладов
делегатами 6 стран. По четвертому вопросу повест-
ки дня не было представлено ни одного доклада, а со-
стоялся общий обмен мнениями.
Последние два дня заседаний были посвящены об-
суждению и утверждению выводов и рекомендаций.
В заключение коллоквиум принял документ «Выводы
и рекомендации», содержащий четыре раздела: об-
щие соображения, принципы и методы, подготовка
учителей, международное сотрудничество.
В первом разделе отмечается, что модернизация
обучения математике достигла большого прогресса во
многих странах. Обосновывается и подчеркивается
научное, воспитательное и социальное значение этой
модернизации. Не касаясь детально содержания со-
временного математического образования, отмечается,
что оно должно обеспечить создание прочного фунда-
мента из понятий и структур, а также развить спо-
собности к их применению. Современный материал и
современные методы преподавания повышают инте-
рес учащихся к математике, вследствие чего повы-
шается и эффективность обучения. В заключение ука-
зывается необходимость признать место педагогики
математики как науки и создать условия для про-
должения исследований в этой области. Второй раз-
дел содержит следующие пункты: 1) характеристика
современного обучения математике, 2) математическая
подготовка учащихся, 3) роль учителя в процессе
обучения математике, 4) пособия при обучении ма-
тематике, 5) внеклассные занятия, 6) исследователь-
ские центры по педагогике математики.
Остановимся более подробно на первых двух пунк-
тах. Отмечаются следующие черты, характеризующие
современное обучение математике: а) Возросшая само-
стоятельность и формированье собственного от ноше-
ния к программе у учащихся за счет отказа от накоп-
ления знаний мелких деталей и специализированной
техники. Таким образом, развивается большая гиб-
кость в математических рассуждениях и приложе-
ниях, более глубокое понимание изучаемого и ученик
оказывается не перегруженным бесполезными знания-
ми. б) Развитие способности логически мыслить было
всегда главной целью обучения математике. В совре-
менном изложении логической структуре преподавае-
мого материала уделяется больше внимания, она ста-
ла более ясной и точной. Это дает возможность уче-
нику составить более четкое представление о харак-
тере доказательств. Не отказываясь от интуиции,
а также от индуктивных рассуждений, ученик более со-
знательно пользуется различными методами доказа-
тельства, а это приводит к лучшему развитию логи-
ческого мышления.
Относительно математической подготовки учащихся
указывается, что обновление содержания математиче-
ского обучения должно произойти на всех уровнях
(начальное, среднее, высшее) и в различных направле-
ниях (общеобразовательное, специализированное, тех-
ническое). На каждом этапе выбор содержания обу-
чения должен обеспечить учащимся усвоение понятий
и технических навыков, необходимых для дальнейше-
го обучения и для работы по избранной специально-
сти тем, которые ограничатся обязательным обуче-
нием. Основной целью обучения должно быть разви-
тие мыслительных способностей.
В начальной школе учащиеся должны получить
первые элементы воспитания современного математи-
ческого мышления. Механическое изучение вычисли-
тельной техники должно быть заменено деятель-
ностью, организованной вокруг основных понятий:
множества, отношения, функции, законы композиции
и т. д.; деятельностью, способной мобилизовать мысль
учащихся и направить ее по пути личных исследо-
ваний.
Среди черт, характеризующих математическую под-
готовку учащихся, указываются: способность к абстра-
гированию, умение математизировать данную ситуа-
цию, отыскание математических зависимостей, устная
и письменная формулировка математических идей,
отыскание математической структуры (включая логи-
ческую структуру), способность к решению матема-
тических задач, умение применять математические
знания в нематематических областях.
В заключение отмечается, что осуществление мо-
дернизации обучения математике ставит вопрос о не-
обходимости быстрого развития илн создания науч-
но-исследовательских институтов или центров, специа-
лизирующихся в области педагогики математики.
Каждый университет должен был бы иметь в соста-
ве математического факультета отдел методологии
обучения математике.
По вопросу подготовки учителей подчеркиваются в
основном две стороны этого процесса: научная и ме-
тодическая. Обращается внимание на необходимость
циклической переподготовки учителей. То, что делает-
ся сейчас (курсы, семинары, стажировка, радио и те-
лепередачи), недостаточно, абсолютно необходимо соз-
дание постоянных институтов, которые занимались бы
только этим вопросом.
В осуществлении модернизации решающую роль
играет убежденность учительских кадров в необходи-
мости ее проведения. Для этого нужно ознакомить учи-
телей с ролью математики в современном обществе,
с основными линиями развития математики и ее пе-
дагогики, тогда они скорее станут на сторону мо-
дернизации. Учителя больше будут заинтересованы
в осуществлении модернизации, если им будет предо-
ставлена свобода в интерпретации программы в во-
просах выбора порядка изучения материала, сравни-
тельного значения тем и времени, предусмотренного
на их изучение.
По вопросу международного сотрудничества указы-
вается особая роль, которая принадлежит в этом от-
ношении Международной комиссии по математиче-
скому образованию. Желательно, чтобы национальные
подкомиссии назначались организациями, активно
участвующими в преподавании математики, и чтобы
в их распоряжение были выделены достаточные сред-
ства.
Подчеркивается необходимость международного об-
мена опытом между научно-исследовательскими цент-
рами по педагогике математики и создания междуна-
родного института документации об исследованиях
в области обучения математике.
Вопросы преподавания математики в высшей школе
были только частично затронуты на этом коллоквиу-
ме. Имея в виду сложность и значение этих вопро-
сов, они должны стать предметом особого и глубокого
изучения. Для этого предлагается создать между-
народную ассоциацию, которая занялась бы пробле-
мами преподавания математики в высшей школе.
Должна быть установлена тесная связь этой ассоциа-
ции с теми, которые занимаются преподаванием ма-
тематики в средней школе, с целью обеспечить гармо-
нию, преемственность, единство и эффективность всего
процесса обучения математике.
12345678910 •••
ХРОНИКА
I Международный конгресс
Г. Г. МАСЛОВА
(Москва) ПО
24—30 августа I960 г. в г. Лионе (Франция) состоял-
ся I Международный конгресс по преподаванию матема-
тики. Конгресс был подготовлен Международной мате-
матической комиссией (Г. Фрейденталь, Л. Гилл-
иан, М. Г л и м а н, И. Новак, С. Соболев,
Г. Штейнер, С. Страшевич, Б, Твейтс,
И. В и р с з у п), Национальным комитетом и Ассоциа-
цией учителей математики Франции.
В работе конгресса приняло участие более 700 чело-
век из 44 стран, в том числе известные математики и
педагоги — А. Маркушевич, А Ревью з, В. Сер-
ве, А. Страшевич, Б. Твейтс, Дж. Мэтьюз,
Г. Штейнер, 3. Д ь е и е ш„ Л. Феликс, Г. Фэр
и другие.
Программа пленарных заседаний включала 20 часовых
докладов. Два из них — доклады советских представи-
телей: «Некоторые проблемы обучения математике в
школе» А. И. Маркушевича (публикуется в этом
номере журнала) и «Развитие важнейших математиче-
ских понятий и идей в обучении математике детей от
7 до 15 лет» Г. Г. Масловой.
На секционных заседаниях было заслушано 44 15-ми-
нутных доклада.
В большинстве докладов, представленных на кон-
гресс, поднимались актуальные вопросы совершенство-
вания школьного курса математики, высказывались
различные (часто противоречивые) точки зрения иа пути
развития математического образования в средней шко-
ле. Практически все аспекты преподавания математики
получили то или иное освещение. Отдельные проблемы
обсуждались в дискуссиях за «круглым столом», при-
преподаванию математики
влекавших большое число участников. Некоторые из
этих проблем: обучение геометрии детей 6—11 лет, воз-
можность аксиоматизации школьного курса геометрии,
проблема раннего введения элементов анализа и под-
готовка учащихся 10—12 лет к восприятию понятия пре-
дела, изучение элементов теории вероятностей и мате-
матической статистики в школе, счетно-электронные ма-
шины в школе и др.
Участники конгресса имели возможность ознакомить-
ся с выставкой учебников и учебных пособий, некото-
рых игр для школьников, посетить показательные уроки
английских учителей, которые они давали своим уча-
щимся, специально приехавшим во Францию (во Фран-
ции школьный год начинается 15 сентября), просмотреть
некоторые учебные кинофильмы.
Из докладов и их обсуждений можно сделать вывод
относительно общих тенденций в совершенствовании
школьного математического образования — намечается
определенный отход от «ультрасовременных» взглядов
на содержание школьного курса математики и методы
обучения. Это выявляется в отказе в ряде новейших
курсов от специального изучения структур и аксиомати-
зации курса математики на ранних ступенях обучения,
в требовании «разумной» дедукции, в связи преподава-
ния математики с практикой, в критике исключительно-
сти так называемого метода открытий и т. д.
Большое внимание было уделено подготовке учителей
в области собственно математики (в связи с введением
в школу нового содержания) н методики преподавания
новых разделов.
Ф,АГБ,РТЕНЕЕ В лагере МАН
(г. Евпатория)	1
23 июня —17 июля 1969 г. прошли седьмые лагерные
сборы Малой академии наук (МАН) Крыма «Искатель».
В летнем научно-оздоровительном лагере у подножия
Медведь-горы только в группах, увлеченных математи-
кой и кибернетикой, находилось более 50 юных крым-
чан — победителей различных олимпиад, активистов
секций МАН и т. д. Занятия со школьниками проводи-
ли более 15 ученых МГУ, Киевского института киберне-
тики, ХГУ, Симферопольского пединститута и др. Так,
В. Н. Касаткин (Крымский пединститут) рассказал
о системах счислений, Т. П Марьянович (г. Ки-
ев) — об элементах теории вероятностей, проф.
Б. Н. Малиновский — об устройстве вычисли-
тельных машин, А. Б. Каток (МГУ)—о геометриче-
ских преобразованиях. Под руководством А. К. Тол-
пы го (МГУ) проводились семинары по решению
задач повышенной трудности, а каждую субботу —
математические олимпиады.
К школьникам в гости приезжали их сверстники —
учащиеся математической школы-интерната прн МГУ.
92
Незабываемой была встреча с почетным членом МЛН
летчиком-космонавтом А. А. Леоновым.
В этом году при поддержке областного отдела народ-
ного образования удалось организовать при лагере
МАН занятия для группы преподавателей математики,
приехавших в основном из сельских школ области.
Удачное сочетание отдыха и напряженной работы было
плодотворным не только с точки зрения повышения
квалификации преподавателей. Общение с учеными,
работниками народного образования, активное участие
в жизни лагеря способствовали интенсивному обмену
мнениями, опытом, рождению новых замыслов и планов.
Выступление представителя издательства «Просвещение»
послужило поводом для обсуждения некоторых проблем
создания новых учебных пособий. Оказывают помощь
и принимают непосредственное участие в работе лагеря
академики А. Н. Колмогоров, В. М. Глушков.
Хочется отметить большую работу, проведенную по
организации педагогического процесса в лагере бессмен-
ных руководителей групп математики и кибернетики
А. П. Тинякова (средняя школа № 40 г. Симферо-
поля) и В. Н. Касаткина (Крымский пединститут).
Тематический указатель статей,
помещенных в журнале за 1969 г.
ПЕРЕДОВЫЕ
Больше внимания образованию взрослых, № 6,
стр. 2.
Важный стимул в борьбе за глубокие знания, № 2,
стр. 2.
Воспитывать убежденных патриотов-интернационали-
стов, № 5, стр. 2.
Новый учебный год, № 4, стр. 2.
Положение о золотой медалЛ «За отличные успехи в
учении, труде и за примерное поведение» и о похваль-
ной грамоте «За особые успехи в изучении отдельных
предметов», № I, стр. 3.
К 100-ЛЕТИЮ СО ДНЯ РОЖДЕНИЯ В. И. ЛЕНИНА
И. К- Андропов, Надежда Константиновна Круп-
ская— соратник Владимира Ильича Ленина, № 1,
стр. 24; № 2, стр. 4.
Е. С Березанская, Воспоминания о встречах с
Н. К. Крупской, № 5, стр. 6.
Б. В Болгарский, Илья Николаевич Ульянов —
педагог-математик, № 3, стр. 2.
Б. В Болгарский, Первые рабочие факультеты,
№ 5, стр. 4.
Г, Н. Волков, Воспитание в семье Ульяновых,
№ 4, стр. 5.
Н. А. Киселева, Карл Маркс и математика, № 1,
стр. 5.
В. Н. Молодший, О математических рукописях
К. Маркса, № 1, стр. 10.
Навстречу ленинскому юбилею, № 1, стр. 2.
А. Д. Семушин, Школа «Памяти В. И. Ленина»,
№ 6, стр. 4.
ЛАУРЕАТЫ ГОСУДАРСТВЕННЫХ ПРЕМИЙ
А. Л. Шмелькин. Яркий талант, № I, стр. 28.
НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ
А.	Д. К у д р я ш о в, А. С. М е щ е р я к о в, К вопро-
су о периодических функциях, № 6, стр. 19.
М. М. Постников, Разложение многочленов на
множители, № 3, стр. 18.
А С. Со л о д о в и и к о в, Системы линейных нера-
венств, Ks 6, стр. 8.
НАУЧНЫЕ ОСНОВЫ
ШКОЛЬНОГО КУРСА МАТЕМАТИКИ
В.	Г. Болтянский, И. М. Я гл ом. Геометрия в
старших классах средней школы, № 4, стр. 9.
А Н. Колмогоров, Научные основы школьного
курса математики, № 3, стр. 12.
А.	Н. Колмогоров, Научные основы школьного
курса математики, натуральные числа, № 5, стр. 8.
МЕТОДИЧЕСКИЙ ОТДЕЛ
Примерное изложение некоторых вопросов новой
программы.
Из пробного учебника «Математика» для V класса
под ред. А. И Маркушевича, Ks 1, стр. 30; № 3, стр. 25.
Н. А. Принцев, Л. Н. Принцева, М. И. Яго-
до в с к и й, Из рукописи пробного учебника «Матема-
тика» для V класса, Ks 2, стр. 9.
А. Н Агапитов, О некоторых видах «нестандарт-
ных» уравнений, № 3, стр. 49.
Г.Д. Б а л к, О применении эвристических приемов в
школьном преподавании математики, № 5, стр. 21.
М. И. Башмаков, С. М. Ермаков, В. С. Саба-
неев, О приемных экзаменах по математике в Ленин-
градском университете, Ks 2, стр. 24.
М. Бебуришвили, О письменных экзаменах по
математике за курс средней школы в Грузинской ССР,
№ 1, стр. 61.
Н. П. Бибикова, Извлечение квадратного и куби-
ческого корней из чисел, № 3, стр. 35.
В.	Г. Болтянский, Новые веяния в оснащении
школьных математических кабинетов, № 2, стр. 32.
С.	И. Векслер, Развивать способности учащихся,
Ks 5, стр. 31.
В Министерстве просвещения СССР, о работе по но-
вому учебнику математики длч IV класса под ред.
А. И. Маркушевича, № 5, стр. 18.
М. Б. Гельфанд, Преобразования графиков при
решении некоторых неравенств и уравнений, № 2,
стр. 40.
М. С. Г е л ь ф а н д, Г. Д. Г л е й з е р, Н. Г. М и н-
д ю к, С. М. Саакян, Новое содержание математиче-
ского образования в вечерней школе, № 6, стр. 28.
Я. Ш. Герценштейн, О некоторых уравнениях,
имеющих единственный корень, № 4, стр. 35.
В. А. Гусев, Изменения, внесенные в учебник
Н. Н. Никитина «Геометрия» для 6—8 классов, № 4,
стр. 27.
Г. В. Дорофеев, Обобщение метода интервалов,
Ks 3, стр. 39.
М. Д. Кошкина, М. М. Чернецов, Итоги при-
емных экзаменов по математике на математическом
факультете МГПИ им. В. И. Ленина, № 2, стр. 27.
Н. В. Косарев, М. Степаненко, Арифметиче-
ские примеры в VII—VIII классах, № 2, стр. 53.
Э. Ю. Красс, Г. Г. Л е в и т а с. Новый диафильм
по геометрии для IV класса, К» 5, стр. 45.
Л. Н. Лобанова, Один из приемов контроля и
самоконтроля, № 5, стр. 38,
93
Л И. М а р к у ш е в и ч, Некоторые проблемы обуче-
ния математике в школе, № 6. стр. 22.
А.	А Матюшкин-Герке, К решению некоторых
иррациональных уравнений, № 5, стр. 37.
Ш. М. Майлиев, Из опыта работы над повышени-
ем качества знаний по алгебре в VI—VII классах, № 3,
стр. 52.
В.	П. Моденов, Введение параметра при решении
некоторых уравнений, № 4, стр. 36.
В.	П. М о д е н о в, О составлении уравнений при ре-
шении текстовых задач, № 3, стр. 46.
Л. П. Муравьев, Н. А Терешин, О приемных
экзаменах по математике в средние специальные учеб-
ные заведения в 1968 г, № 1, стр. 47.
И. Л. Никольская, Логическая грамотность и
школьные учебники математики, № 5, стр. 29.
М. К- Потапов, П. Л. Ульянов, О приемных
экзаменах по математике в Московском университете в
1968 г., № I, стр. 36; № 2, стр. 17.
М. В. Потоцкий, К вопросу о структуре и языке
учебника математики, № 2, стр 54.
А.	А. П р е с м а н, Еще раз о геометрической иллюст-
рации одного неравенства, № 2, стр. 53.
А М. П ы ш к а л о. Новая программа обучения
младших школьников математике, № 4, стр. 22.
Н. Л. Севастьянова, Использование кинофраг-
ментов и диафильмов, № 2, стр. 50.
Н. Л Севастьянова, Кинофрагменты в V клас-
се, № 5, стр. 47.
В.	Е. С е м е н о в, О решении некоторых тригономет-
рических уравнений, № 2, стр. 46.
А. В. Соколова, Итоги контрольных работ за
1967/68 учебный год, № 1, стр. 50.
Т. Л. Сытина, Применение диафильмов на уроках
математики, № 5, стр. 39.
И. Ф. Т е с л е н к о, Е. С. Д у б и н ч у к, А. П. Шат-
ковский, О переводных и выпускных экзаменах в
школах УССР в 1967/68 учебном году, Ns I, стр. 57
Г. С. У м а н с к и й, О роли устных вычислений в
закреплении и углублении знаний, Ns 2, стр. 47.
Р. А. X а б и б, О некоторых приложениях правил
подсчета цифр, Ns 5, стр. 33.
Л. Шагдар, Д. Шагдар, Д. Ламжав, Заме-
чания к статье Г. С. Запорожцева «Об одном способе
построения графиков сложных функций», № 2, стр. 50.
Р. П. Шейицвит, К вопросу об исследовании ли-
нейного уравнения с одним неизвестным. Ns 3, стр. 44.
В С. Шишов, Заметки с приемных экзаменов в
МИИ Г в 1968 г., Ns 2, стр. 30.
ПИСЬМА В РЕДАКЦИЮ
А. Н. Колмогоров, Письмо в редакцию, Ns 2,
стр. 93.
С.	И. Новоселов, Письмо, Ns 6, стр. 96.
К. П. Сикорский, Об устном решении квадрат-
ных уравнений, Ns 3, стр. 54.
А. А. Столяр, Письмо в редакцию. Ns 2, стр. 93.
Л. И. Т о м а ш е в и ч, Ф. В. Тоиашевич, Об од-
ном случае решения неравенств, № 3, стр. 54.
В ПОМОЩЬ НАЧИНАЮЩЕМУ УЧИТЕЛЮ
Контрольные работы по математике на I полугодие
1969/70 учебного года для V—X классов, Ns 4, стр. 41;
на II полугодие — Ns 6, стр. 49.
С. А. Пономарев, П. В. Стратилатов, Ре-
шение задач в школьном курсе арифметики с примене-
нием уравнений, № 5, стр. 50.
Планы работ по математике на II полугодие 1969/70
учебного года. Ns 6, стр. 34.
Э. Г. Я к у б а. Из опыта работы по совершенство-
ванию учебного процесса, Ns 4, стр. 35.
МАТЕРИАЛЫ
ДЛЯ ФАКУЛЬТАТИВНЫХ ЗАНЯТИЙ
И ИЗ ОПЫТА ПРОВЕДЕНИЯ ФАКУЛЬТАТИВНЫХ
ЗАНЯТИЙ
А.	М. А л и е в, Из опыта изучения элементов тео-
рии множеств, Ns 4, стр. 53.
В.	П. Б л а г н и с. Факультативам — постоянную
заботу, № 4, стр. 51.
Б. П. Бычков, Не связывать инициативу учителя.
Ns 5, стр. 56.
В. Я. Векслер, Факультативные курсы завоевали
прочные позиции, № 5, стр. 62.
Б. Е В е й ц, Элементы теории вероятностей и комби-
наторики, N» 1, стр. 63.
Г. Ю. Г р а у д о н е, П. П. 3 а р и н ь ш, Факульта-
тивные занятия в школах Латвийской ССР, Ns 5,
стр. 54
С. X. Д ж а б б а р о в, Примерные программы — хоро-
шая основа для плодотворной работы, Ns 5, стр. 58.
Д. А. М а в а ш о в, О факультативных и кружковых
занятиях в школах Узбекской ССР, Ns 5, стр. 57.
Методические указания к проведению факультатив-
ных занятий, Ns 2, стр 94.
А. Мирзоев, Факультативные занятия в школах
Таджикистана, Ns 4, стр. 52.
К. А. Нечипоренко, Дополнительные вопросы
арифметики на факультативных занятиях в VIII клас-
се, № 6, стр. 59.
Е. С. Петрова, Факультативные занятия — важная
форма воспитательной работы, № 6, стр 58.
А.	Г. Парджанадзе, Факультативные занятия по
математике в школах Грузинской ССР, Ns 4, стр. 50.
И. И Поздняков, Пробуждать интерес учащих-
ся, Ns 5, стр. 60.
Е. Е. Семенов, Из опыта изучения проективных
преобразований, Ns 3, стр. 55.
В.	Д. С т е п а н о в, О методике проведения факуль-
тативных занятий, № 5, стр. 59.
И. Б. Ю Д и н а, О подготовке студентов-математиков
к проведению факультативных занятий в школе, Ns 6,
стр. 62.
ЭКСПЕРИМЕНТ
И. Г. Вишняцкая, О геометрическом представле-
нии рациональных чисел, Ns 2, стр 59.
М. А. Грабовский, П. М. Котельников,
Изучение тригонометрических функций на основе кине-
матических представлений, Ns 4, стр. 54.
Р. А. Погосян, Опыт изучения логарифмической
и показательной функций в восьмилетней школе (гео-
метрическая теория логарифма), № 3, стр. 59
Н. М. Р о г а н о в с к и й, Опыт аксиоматического из-
ложения курса стереометрии в IX классе. Ns 4, стр. 60
О. Н. У ш в е р и д з е, Векторный метод в школьном
курсе стереометрии, Ns 2, стр. 56.
ВНЕКЛАССНАЯ РАБОТА
В. К. Б а б о ш и н. Школьное математическое об-
щество, Ns 2, стр. 63.
М. А. Б а ж е н о в. Из опыта преподавания элемен-
тов теории вероятностей, Ns 2, стр. 66.
А. А. Б а х т а д з е, К вопросу об исследовании квад-
ратного трехчлена. Ns 5, стр. 69.
Н. Б. Васильев, Решения задач Всесоюзной мате-
матической олимпиады 1969 i , Ns 4, стр. 66.
С. И. 3 е т е л ь, О недианах треугольника, № 5,
стр. 72.
М. Ф. Карпов, О некоторых приложениях функции
«антье», № 2, стр. 69.
94
Э. А. Логинов, Е. Г. Т е р е х о в а. Задача Гал-
лая о кругах, № 3, стр. 73.
А.	Я. Маргулис, Б. А. Радунский, Геометри-
ческая интерпретация результатов исследования уравне-
ний второй и третьей степени, № 5, стр. 68.
Г. В. Пухова, Летняя физико-математическая шко-
ла, № 2, стр. 64.
В.	И. Седаков, Третья Всесоюзная математиче-
ская олимпиада 1969 г, № 4, стр 63.
3. А. Скопец, Равнобочная гипербола и окруж-
ность, № 3, стр. 70
И. А. Т е р е х о в. Из опыта внеклассной работы,
№ 3, стр. 65.
В Д. Чайковский, Из опыта воспитания интере-
са учащихся к математике, № 3, стр. 68.
К. У. Ш а х н о. Исследование экстремума с помощью
высших производных. № 4, стр. 70.
Е. А. Шестакова, О строении периодов некото-
рых бесконечных десятичных дробей, Ns 5, стр. 65.
Л. А. Ш пан нагель, Задачи по арифметике с при-
менением числовой функции {/=[*], № 2, стр. 67.
Л. Л. Цииман, О «парадоксе изобретателя», Ns 4,
стр. 71.
Э. А. Я си н о в ы й, О составлении упражнений по
алгебре, № 5, стр. 66.
ЗАДАЧИ
Задачи для учащихся V—X классов, № I, стр. 74;
Ns 2, стр. 72; Ns 3, стр. 75; № 4, стр. 72; № 5, стр. 75;
№ 6. стр. 64.
Избранные задачи и специальные методы их решения,
Ns 1, стр. 75; № 2, стр. 73; Ns 3, стр. 76; Ns 4, стр. 73;
Ns 5, стр. 76; Ns 6, стр. 65.
Решения задач, помещенных в Ns 3 за 1968 г., Ns 1,
стр. 75; в Ns 4 за 1968 г.. Ns 2, стр. 74; в Ns 5 за 1968 г.,
Ns 3, стр. 77; в Ns 6 за 1968 г., Ns 4, стр. 74; в Ns 1 за
1969 г., Ns 5, стр. 76; в Ns 2 за 1969 г., № 6, стр. 66.
Сводка решений задач по Ns 3 за 1968 г., N® 1,
стр. 82; по № 4 за 1968 г.. Ns 2. стр. 80; по Ns 5 за
1968 г.. Ns 3, стр. 82; по Ns 6 за 1968 г.. Ns 4, стр. 81;
по Ns 1 за 1969 г., Ns 5, стр. 89; по № 2 за 1969 г.. Ns 6,
стр. 73,
ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ СТРАНИЦА
Ns 1, стр. 83; Ns 2, стр. 81; № 3, стр. 83; № 4, стр. 82;
Ns 5, стр. 82; № 6, стр. 74.
ПЕДАГОГИ-МАТЕМАТИКИ
И. К. Андронов, И. А. Савостин, Ольга Ни-
колаевна Цубербиллер. Ns 2, стр. 83.
И. К. Андронов, Сергей Иосифович Новоселов,
Ns 1, стр. 84.
А.	И. Бородин, Герой Социалистического Труда
академик С. А. Чаплыгин, Ns 2, стр. 82.
Э. П. Бережная, Александр Матвеевич Астряб.
Ns 5, стр. 83.
В.	М. Б рад ис, Иван Косьмич Андронов (К 75-летию
со дня рождения). Ns 3, стр. 84.
Б. В. Г н е д е н к о, А. Я. М а р г у л и с, Виктор Иоси-
фович Левин, Ns 6, стр. 85.
Е. С. К а н и н, Н. Г. К и л и н а, Федор Федорович
Нагибин, № 1, стр. 85.
Мещерина и др., Алексей Георгиевич Сидоров
(К 50-летию педагогической деятельности), № 3. стр. 85.
Ю. А Митропольский, В. П Шелест, Не-
утомимый искатель нового (К 60-летию со дня рожде-
ния Н. Н. Боголюбова), № 4, стр. 83.
М. М. Чернецов, Жизнь в школе и для школы
(К 80-летию со дня рождения Е. С. Березанской), Ns 6,
стр. 83.
К 300-летию Л. Ф. Магницкого
Р. Н. А б а л я е в, Леонтий Филиппович Магницкий,
Ns 3, стр. 87.
И. К. Андронов, Первый учитель математики рос-
сийского юношества Леонтий Филиппович Магницкий,
№ 6, стр. 75.
Б В. Гнеденко, И. Б. Погребысский, Леон-
тий Магницкий и его «Арифметика», стр. 78,
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КАЛЕНДАРЬ
Математический календарь на 1968/69 учебный год.
Ns 1, стр. 85; Ns 2, стр. 84; Ns 3. стр. 86; на 1969/70
учебный год. Ns 4, стр. 85; Ns 5, стр. 86; № 6. стр. 86.
К. П. Сикорский, Сергей Павлович Бобров, Ns 6,
стр. 89.
НЕКРОЛОГИ
Н. И. А х и е з е р, А. Я. М а р г у л и с, Сергей На-
танович Бернштейн, № I, стр. 87.
Н. М. Бескин, Александр Исаакович Островский,
Ns 2, стр. 95.
А.	А. Бухштаб, А. Б. Шидловский, Александр
Осипович Гельфанд, Ns 1, стр. 89.
КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ
Г. А. Ан а-ш кин, Издательство «Знание» для учите-
лей, Ns 6, стр. 88.
И. Г. Башмакова, Б. В. Гнеденко, Рецензия
на книгу А. П. Юшкевича «История математики в Рос-
сии», Ns 4, стр, 86.
Б. В. Бирюков. А. П. Подашев, Книга о гра-
фических методах математической логики и их совре-
менных приложениях. Ns 3, стр. 88.
С. Т. Завале, Об учебном пособии по алгебре для
школ с математической специализацией. Ns 5, стр. 85.
В.	Л. Минковский, В. В Ветров, О новом
пособии для учителей по изучению производной в шко-
ле, Ns 4, стр. 90.
М. В. Потоцкий, Рецензия на книгу В. А. Крутец-
кого «Психология математических способностей школь-
ников», № 4, стр. 87.
Л. А. Сидорова, Что будет выпущено издатель-
ством «Просвещение» в 1970 г„ Ns 6, стр. 87.
В. К. Смышляев, Первые русские ученические ма-
тематические журналы. Ns 5, стр. 88.
П. И. Сорокин, Рецензия на книгу А. Я. Котова
«Вечера занимательной арифметики». Ns 2, стр. 92.
И. М. Я г л о м. К вопросу о математических дока-
зательствах, Ns 2, стр. 90.
ЗА РУБЕЖОМ
Ю. А. Белый, По страницам болгарского моло-
дежного журнала «Математика», Ns 5, стр. 91.
Б. П. Бычков, О болгарском журнале «Математика
и физика», N® 5, стр. 90.
Б. П. Бычков, Реформа преподавания математики
в средней школе Франции, Ns 1, стр. 91.
Б. П. Бычков, Международный коллоквиум, посвя-
щенный модернизации преподавания математики. Ns 6,
стр. 90.
Л. Р. Вайнер, А. А, Столяр, О «логических бло-
ках» Дьенеша, № 5, стр. 92.
95
М. Гарднер, Иерархия бесконечности и проблемы,
которые она создает, Ns 2. стр. 85.
Методические мысли У. У. Сойера, Ns 3, стр. 92.
П. К. Одинцов, Вопросы общей алгебры в про-
граммах и учебниках по математике гимназии Нёша-
тель, Ns 4, стр. 91.
М. И. Осипова, Обзор журнала «Mathematik in
der Schule» за 1968 г., Ns 3, стр. 90.
У Чжо Тин, О математическом образовании в Бир-
манском Союзе, Ns 2, стр. 89.
В. Н. Шапкина, «Проникновение в элементарную
математику» У. У. Сойера, № 3, стр. 93.
ХРОНИКА
Ф. А. Бартенев, В лагере MAH, Ns 6, стр. 92.
Б. П. Бычков, XII Республиканская математиче
ская олимпиада школьников Молдавии, № 4, стр. 95.
Н. Б. Васильев, М. Л. Смоляне кий, «Квант»,
Ns 5, стр. 17,
И. М. Власов, В. М. Власова, XXVII конферен-
ция математических кафедр педвузов Урала, Ns 2,
стр. 96.
В Министерстве просвещения СССР, № 3, стр. 96.
А. Я. Маргулис, В секции средней школы Мо-
сковского математического обще'' ва, Ns 4, стр. 94.
Г. Г. Маслова, Встреча с французскими учителя-
ми, Ns 4, стр. 95.
Г. Г. Маслова, I Международный конгресс по
преподаванию математики, Ns 6, стр. 92.
Н. В. Метельский, Методика математики в «Тру-
дах II Республиканской конференции математиков Бе-
лоруссии», Ns 4, стр. 96.
О присвоении звания Героя Социалистического Труда
наиболее отличившимся ученым, Ns 3, стр. 16.
О редакционном совете, Ns 3, стр. 96.
И. С. Петраков. В Минис^рстве просвещения
СССР, Ns 1, стр. 96.
3. И. Т у р л а к о в а, Новый журнал. Ns 5. стр. 95.
3. О. Шварцман, Первая конференция математи-
ческих кафедр педвузов Сибири, № 5, стр. 96.
Уважаемая редакция!
Прошу через Ваш журнал опубликовать следующее мое разъяснение.
Издательством «Просвещение» было издано пособие «Тригонометрия, дополни-
тельный материал к курсу геометрии 9—10 классов», в котором содержится текст,
извлеченный из моего учебника «Тригонометрия».
Это обстоятельство, как мне стало известно, дало повод к возникновению
ошибочного мнения, будто я являюсь одним из авторов вышеуказанного пособия.
Считаю своим долгом разъяснить, что я не принимал никакого участия ни в состав-
лении, ни в издании этого пособия.
С. Новоселов
Редакционная коллегия:
Главный редактор Р. С. Черкасов	Зам. главного редактора С. А. Пономарев
Члены редакционной колле ии* И. К. Андронов, В. Г. Болтянский, Н. Ф. Власик,
Б. В. Гнеденко, Н. А. Ермолаева, А. С. Ильин, А. Н. Колмогоров, Г. Г. Маслова,
О. П. Орешина, И. С. Петраков, А. Д. Семушин, 3. А. Скопец, А. В. Соколова,
П. В. Стратилатов, 3. С. Сухотина, И. Ф. Тесленко, Н. Ф. Четверухин
Зав редакцией 3. В. Шепелева	Художественный редактор Б. Ф. Рябов
Технический редактор А. А. Шлихт	Корректор В. Н. Рейбекелъ
Адрес редакции: Москва, Г-111, Погодинская ул., 8. Телефон редакции 247-03-74
Издательство «Педагогика» Академии педагогических наук СССР
и Комитета по печати при Совете Минис ров СССР
Сдано в производство 22/Х 1969 г.	Объем 6 (10,08) п. л.	Учетно-изд. л. 11.55
Подп. к печ. 2/XII 1969 г. Тираж 320 760 экз. Бумага 70 X 10В‘/и Цена 45 коп. Заказ 1159
Московс t типография № 13 1 лавполи рафпрома Комитета по печати
пои Совете Министров СССР. Москва, ул. Баумана, Денисовский пер., д. 30.
ВНИМАНИЮ УЧИТЕЛЕЙ
Магазины учебно-наглядных пособий ежегодно орга-
низуют сбор заявок от школ, отделов народного
образования, от учителей и директоров школ своей
области на учебные наглядные пособия и учебное
оборудование и высылают заказы в адрес заявителей.
Условия приема и исполнения заказов, каталоги
имеющихся пособий магазины высылают бесплатно.
Сообщаем адреса магазинов учебно-наглядных по-
собий.
РСФСР
Абакан, ул. Советская, 35.
Арзамас, ул. Кооперативная, 20.
Архангельск, ул. Пролетарская, 5.
Астрахань, ул. Б. Хмельницкого, 13.
Барнаул, ул. Горького, ЗВ-а.
Белгород, Коммунистический пр., 38.
Березники, Советский пр., 10.
Бийск, ул. Кирова, 8.
Благовещенск-на-Амуре, ул. Бурхановская, 44.
Борисоглебск, ул. Пешкова, 108.
Брянск, ул. К. Маркса, 12.
Бугульма, ул. Ленина, ВО-а.
Великие Луки, Новокукинский пр., 3.
Владивосток, ул. П. Лумумбы, 14-а.
Владимир, ул. Чайковского, 42.
Волгоград, ул. Ленина, 25.
Вологда, ул. Мира, 4.
Воронеж, ул. Маркса, 108/110
Горький, пр. Ленина, 17.
Грозный, пр. Победы, 10.
Иваново, Аптечный пер., 11.
Ижевск-4, Советская, 66.
Иркутск, ул. К. Маркса, 41.
Йошкар-Ола, ул. Волкова, 16.
Казань, ул. Нефтянников, 6.
Калинин, Волоколамское шоссе, 28/2-Б.
Калининград (обл.), ул. Багратиона, 100.
Калуга, ул. Дзержинского, 57.
Каменск, ул. Украинская, 54.
Канск, ул. Красный огородник, 17.
Кемерово, ул. Дзержинского, 20.
Киров, Октябрьский пер., 110-в.
Комсомольск-на-Амуре, пр. Ленина, 13.
Кострома, Пряничные ряды, 8.
Краснодар, Рабочий городок Масложиркомбината, 7.
Красноярск, пр. Мира, В5.
Куйбышев, ул. Сад-Совхозная, 7.
Курган областной, ул. Мякотина, 157.
Кудымкар, ул. Кирова, 24.
Курск, ул. Горького, 15.
Кызыл, ул. Сельская, 95.
Ленинград, ул. Красных текстильщиков, 7.
Липецк, ул. 8 Марта, 8.
Магадан, ул. К. Маркса, 27.
Магнитогорск, пр. Металлургов, 6.
Майкоп, ул. Пролетарская, 93.
Махачкала, ул. Маркова, 32.
Москва, ул. Велозаводская, 11.
Москва, ул. Новопесчаная, 23.
Мурманск, ул. Челюскинцев, 37.
Нальчик, ул. Байсултанова, 24.
Нижний Тагил, Уралвагонзавод, ул. Орджоникидзе, 26.
Новгород, ул. Комсомольская, 14.
Новокузнецк, ул. Мичурина, 5.
Новомосковск, ул. Комсомольская, 37.
Новосибирск-23, ул. Д. Кавальчука, 185.
Омск, Иртышская наб., 40.
Орджоникидзе, ул. Ватутина, 23.
Оренбург, ул. 9 января, 33.
Орел, ул. Комсомольская, 69.
Орск, ул. Медногорская, 37.
Пенза, ул. Гладкова, 9.
Пермь, ул. Советская, 37.
Петрозаводск, ул. Дзержинского, 6.
Петропавловск-Камчатский, ул. Красноармейская, 18.
Псков, ул. Гоголевская, 6.
Ростов-на-Дону, ул. Ленина, 123.
Рубцовск-2, ул. Сельмашская, 6-а.
Рязань, ул. Свободы, 52.
Салават, ул. Первомайская, 3.
Саранск, ул. Пролетарская, 112.
Саратов, ул. Горького, 35.
Свердловск, ул. 8 Марта, 12.
Серов, ул. Луначарского, 1.
Смоленск, ул. Коминтерна, 16.
Сочи, Туапсинская, 14.
Ставрополь, ул. Дзержинского, 33.
Сызрань, Ульяновское шоссе, 17.
Сыктывкар, ул. Орджоникидзе, 14.
Тамбов, ул. Советская, 90.
Тихорецк, пл. Центрального рынка.
Томск, Московский тракт, 11-а.
Тула-В, ул. Мориса Тореза, 20.
Туринск, ул. Свердлова, 46.
Тюмень, ул. Мельникайте, 99.
Улан-Удэ, ул. Казачья, 23.
Ульяновск, ул. Маркса, 19/30.
Уфа, ул. Кремлевская, 57.
Хабаровск, ул. Ким Ючена, 19.
Чебоксары, пр. Ленина, 7.
Челябинск, ул. Ленина, 43.
Чита, ул. Н. Островского, 6.
Элиста, ул. Джангар, 33.
Южносахалинск, пр. Маркса, 96.
Якутск, пр. Ленина, 29.
Ярославль, ул. Комсомольская, 5.
Украинская ССР
Винница, ул. Свердлова, 94.
Днепропетровск, пр. К. Маркса, 94-а.
Донецк-17, б. Шевченко, 28.
Дрогобыч, ул. Завалля, 11.
Житомир, ул. К. Маркса, 2В.
Запорожье, 40 лет Советской Украины, 27.
Ивано-Франковск, ул. Кооперативная, 10.
Киев, Крещатик, 12.
Кировоград, ул. Гагарина, 13/8.
Кривой Рог, квартал 79, ул. Днепропетровская, 59.
Луганск-21, квартал Гаевого, ул. Тимирязева, 4.
Луцк, ул. Димитрова, 10.
Львов, ул. Коперника, 3.
Николаев-17, ул. Московская, 54.
Цена 45 коп.
73246
Одесса, ул. Чкалова, 42.
Полтава, ул. Пушкина, 16.
Ровно, пр. Мира, 6.
Симферополь, пр. Кирова, 46/2.
Сумы, ул. Ленина, 17.
Тернополь, ул. 8 Марта, 12.
Ужгород, ул. Октябрьская, 24.
Харьков-14, Верховский пер., 7.
Херсон, ул. Свердлова, 20.
Хмельницкий, Фрунзе, 50.
Черкассы, ул. Фестивальная, I
Чернигов, ул. Попудренко, 34.
Черновцы, ,ул. Ломоносова, 4.
Белорусская ССР
Барановичи, ул. Смоленская, 11.
Брест, ул. Московская, 1.
Витебск, ул. Ленина, 6/2.
Гомель, ул. Первомайская, 19.
Гродно, ул. Светлая, 1.
Минск, ул. Долгобродская, 8.
Могилев, ул. Пионерская, 35.
Молодечно, ул. Щорса, 18.
•	Узбекская ССР
Андижан, ул. Кенгаш, 134.
Маргилан, ул. Речная, 23.
Наманган, ул. Эн ельса, 12.
Самарканд, ул. Узбекистанская, 49
Ташкент, ул. Навои, 42.
Ургенч, ул. Ханкинская, 59.
Ходжейли, ул. Ахунбабаева, 6.
Казахская ССР
Актюбинск, ул. Джамбула, 36.
Алма-Ата, ул. Ауэзова, 3-а.
Гурьев, ул. Лебедева, 1.
Джамбул, ул. Бурульская, 8.
Караганда-5, 2-й рудник, ул. Старогорняцкая, 22.
Кзыл-Орда-8, ул. Кирпичная, 3.
Кустанай, ул. Тарана, 116.
Павлодар, ул. Дзержинского, 99.
Петропавловск, ул. Советская, 91.
Семипалатинск, ул. Гагарина, 331.
Талды-Курган, ул. Садовая, 61.
Уральск, ул. Ленина, 223.
Усть-Каменогорск, ул. Урицкого, 58.
Целиноград-22, ул. Сенная, 9.
Чимкент, ул. Крегера, 1.
Грузинская ССР
Батуми, ул. Бараташвили, 3.
Кутаиси ул. Кирова, 20.
Сухуми, ул. Мира, 19.
Тбилиси, Сабуртапо, ул. Павлоза, 14.
Азербайджанская ССР
Ба<у-110, ул. Дружбы молодежи 12.
Литовская ССР
Вильнюс, ул. Партизану, 5}.
Молдавская ССР
Кишинев, ул. Киевская, 56.
Латвийская ССГ'
Рига, ул. Кр. Барона, 4.
Киргизская ССР
Фрунзе, ул. 22 партсъезда, 106.
Таджикская ССР
Душанбе-30, ул. Шапкина, 389.
Армянская ССР
Ереван-51, ул. Комитаса, 50.
Туркменская ССР
Ашхабад, ул. Советских Соколов 6.
Эстонская ССР
Таллин, ул. Иманта, 8.