Журнал "Математика в школе", 1980 №06

Author: Черкасов Р.С.

Tags: образование журнал математика в школе

ISBN: 0130—9358

Year: 1980

Similar

Избранные главы истории математики

Рассказы о математиках

История отечественной математики. Том 4. Книга 2. 1917-1967 гг

Энциклопедический словарь юного математика

Text

ISSN 0130—9358
МАТЕМАТИКА
6-80 В ШКОЛЕ
УЧ ЕН Ы Е-МЛТЕМ АТИ КИ
МИХАИЛ ВАСИЛЬЕВИЧ ОСТРОГРАДСКИЙ
(1801—18611
ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР
11707—1783)
М. В. Остроградскпй родился в деревне Пашенной
Полтавской губернии в имении своего отца. С 1817 г.
он успешно обучался на физико-математическом фа-
культете Харьковского университета, однако в выда-
че диплома ему было отказано, потому что он не по-
ceniaj лекций по богословию.
В 1822 г. М. В. Остроградский уехал в Париж. Там
он слушал лекции великих математиков того времени:
Лапласа, Коши и других. В 1822 г. Остроградский
представил Парижской АН свою работу по гидроди-
намике, которая была встречена полным одобрением
и напечатана в мемуарах академии. В 1828 г. молодой
ученый вернулся пл родину. В 30-летнем возрасте он
стал членом Петербургской АН. Научные труды соз-
дали Остроградскому широкую славу не только в Рос-
сии, по п за рубежом. Он был избран членом Париж-
ской, Римской, Американской и других академий.
Основные работы Остроградского относятся к мате-
матическому анализу и механике, теории упругости,
высшей алгебре и теории чисел. Особое внимание он
уделял тем математическим проблемам, которые могли
найти применение в практике.
М. В. Остроградский развернул в Петербурге боль-
шую педагогическую и общественную деятельность.
Высшие специальные учебные заведения столицы счи-
тали большой честью видеть у себя профессором мате-
матики М. В. Остроградского. В 1832 г. он был при-
глашен в Главный педагогический институт, который
вошел в историю нашей страны как центр воспитания
знаменитых педагогов и ученых. В их числе были
Д. И Менделеев, Н. А. Добролюбов, И. А. Вышне-
градский Остроградский составил замечательные для
своего времени учебники по высшей и элементарной
математике. С его именем связано начало периода
оригинального математического творчества русских
ученых.
Интересно отметить, что М. В. Остроградский нахо-
дился в дружеских отношениях с Т. Г. Шевченко.
Возвратившись из десятилетней ссылки, поэт встретил
самый сердечный прием у знаменитого математика.
Леонард Эйлер родился в Швейцарии, в г. Базеле.
Еще обучаясь в гимназии, он слушал в университете
лекции по математике И. Бернулли, а в 1723 г. полу-
чил степень магистра наук.
По приглашению Петербургской АН Эйлер в
1727 г. приехал в Петербург и начал работу в звании
адъюнкта, а в 1731 г. стал действительным членом
академии. Он читал лекции студентам академического
университета, участвовал в различных технических экс-
пертизах, в составлении, карт России, опубликован
свыше 50 работ разных направлений: от общедоступ-
ного «Руководства к арифметике» до фундаменталь-
ного труда по теории кораблестроения и кораблевож-
дения. В Петербурге Эйлер изучил русский язык.
В 1741 г. он был приглашен в Берлинскую АН п за-
нял пост директора класса математики, а с 1759 г.
был фактически руководителем академии. В это время
Эйлер не прерывал связей с Петербургской АН, вел
большую научную переписку, в частности с М. В. Ло-
моносовым, о статьях которого по физике и химии
дал блестящий отзыв в 1747 г., чем немало разочаро-
вал академических чиновников в Петербурге.
В 1766 г. Эйлер вернулся в Петербург, где и рабо-
тал до конца своей жизни. Всего Эйлер написал 886
научных трудов, и это несмотря на то, что потерял
один глаз, когда ему было около 30 лет, и почти ослеп
па второй к 60 годам. Пользуясь своей феноменаль-
ной памятью, Эйлер продолжал диктовать свои откры-
тия.
Необыкновенно широк был круг научных интересов
Эйлера, охватывающий все отделы современной ему
математики. М. В. Остроградскпй писал, что «Эйлер
создал современный анализ... и сделал из него самый
могущественный инструмент ума человеческого. Он
один охватил анализ во всем его объеме и указал на
многочисленные и разнообразные его применения».
Эйлер положил начало изучению теории функций комп-
лексного переменного. Те определения п обозначения,
которыми мы пользуемся в школьном курсе тригоно-
метрии, были введены Эйлером.
МАТЕМАТИКА
В ШКОЛЕ - 6 1980
Научно-методический
Министерства 1росвеи;ения
СССР
Москва «Педагогика»
Издается с 1934 года
Выходит один раз
в два месяца
СОДЕРЖАНИЕ
Развитие математики и математического образования в СССР
МЕТОДИЧЕСКИЙ ОТДЕЛ
О повышении эффективности урока
О современном уроке математики
Подготовка к проведению уроков повторения
Активизация работы ученика
Организация повторения и обобщающие уроки по геометрии в VIII классе
Воспитание и развитие учащихся в процессе решения проверочных задач
О формировании и закреплении у старшеклассников навыков самоконтроля
К преподаванию математики в IV классе
Некоторые нестандартные задачи по теме «Натурал |ые числа»
3 Б. В. Гнеденко
Применение производных при решении задач в школьном курсе математики
Применение производной в практической деятепьности
Из опыта обучения стереометрии в IX классе
Читатели вносят предложения
К методике решения избранных задач по геометрии
О производной степенной функции
Закрепление материала по планиметрии в процессе обучения стереометрии
От I паеного управления школ Министерстве просвещения СССР
Об использо! ании учебных телепередач в учебно-воспитательном процессе
в общеобразовательных школах
В помощь учителям вечерних (сменных] школ
Примерные планирование и контрольные заботы по математике в IX—XI
классах вечерней (сменной) школы на II полугодие 1980/В1 учебного года
Учебное оборудование
О порядке снабжения школ учебно-наглядными пособиями и учебным обору-
дованием
Эксперимент
Экспериментальная про»ерка пробных учебников «Алгебра» и «Геометрия»
для VI класса средней школы в 1979/80 учебном году
Тема «Тригонометрические функции» на I курсе средних профтехучилищ
Проблемы и суждения
О школьном курсе матема-ики и тенденциях его дальнейшего развитие
Внекласснав работа
Задачи на подобие
Доказательство некоторых классических неравенств е помощью производной
Задвчи
Поздречллсм юбш яров
Дмитрий Абрамович Майков
9 Н. Г. Килина
12 В. И. Коротков
14 К. Петров
16 МА. Куликова,
Л. А. Радкевич
17 3. 3. Заки jobb
19 Г. И. Запенкова,
Н. В. Павлова
В. Н. Троценко
21 С. Р Сефибеков
22 Д. В. Клименченко,
Т. Д. Цикунова
24 Г. В. Дорофеев
30 Б. А. Петров
В. С. Чертков
32 В. Е, Лыов
34 Р. Н. Мотин
35 В. Н. Гордиенко
35 Б. Г. Имранов
35
37 Л. Н. Беленовская и др.
41 Ю А. Глазков,
М. Ф. Колпаков
42 О. А. йокопнев,
И. И. Юдина
45 М. И. Башмаков,
Т. Е. Савелоаа
49 Г. Г. Маслова
53 Д Ф. Изаак
55 Г. А. Сорокин
56
63 В. П. Федорова,
П. В. Семенов
'С' Издз-гпьстго «Г.едагггмкп» «Мгтлматчи» я школе» 19ВЭ.
Наум Яковлевич Виленкин
Чествование А. И. Худобина
63 Б. В. Гнеденко,
С. И. Швврцбурд,
А. Г. Мордкэвич
64 Г. И. Мвмыкина
КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ
О книге Л. В. Тарасова «Математический анализа Учебное пособие по геометрии для студентов пединститутов Книга об алгоритмической культуре школьников О кгме Р. А. Хабиба «Организация учебно-познавательной деятельности учащихся» Новый задачник по геометрии Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука» 65 67 67 68 69 69 И, А. Марнянгкий; Л. Т. Малько А. Т. Кондратьев, Н. С. Липатов В. Н. Евладенко
А. Н. Г. Н. В. Деттерер В. Наумович, Я- Куприянова И. Шушанский
в 1981 г.
ЗА РУБЕЖОМ
О новом учебнике геометрии для VI класса средней школы НРБ 72 Л. А. А. Латотин, А. Столяр
ХРОНИНд
О работе научно-методических семинаров при НИИ СиМО АПН СССР в 1979/80 учебном году Совещание-семинар заведующих математическими кафедрами 74 76 В. И. В. Т. С. А. Далингер; С. Бровиков, Н. Шапкина; А. Кондрашенкова Г. Первухина

| Василий Андреевич Курбатов | 71 в. К. Розов и др.
Тематический указатель статей, опубликованных в журнале в 1980 г. 77
РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ
Главный редактор Р. С. Черкасов. За-и главного редактора С. А Пономарев. Члены
редакционной коллегии: Н. М. Бескин, В. Г Болтянский, Н. Ф. Власик. Г. Д. Глейзер,
Ь В. Гнеденко, Г. В. Дорофеев. Н. А. Ермолаева. А. Н. Колмогоров. fO. М. Калягин,
М. Р. Леонтьева, Г. Г. Маслова, К* И. Пешков, Л. М. Пашкова. И. С Петраков,
Н. X. Розов. К. 77. Сикорский, В- А. Скворцов, 3. А. Скопец П. В. Стратилатов,
3. С. Сухотина, К. И. Шалимова, С. И. Шварцбурд. Г. А. Ястребинецкий.
РЕДАКЦИОННЫЙ СОВЕТ (представители союзных республик)
А. М. Алиев (АзССР), X А. Асадов (ТаджССР). Б. Б. Бердыев (ТССР), И. С. Бро-
виков (РСФСР), Б. п. Бычков (МССР), В. А. Гусев (РСФСР) А. С, Зибертас
(ЛитССР). Д. И. Икрамов (УзССР), К. К, К&жаспаев (КазССР) Ш. М. Майлиев
(КиргССР), В. Я. Миллере (ЛатвССР), 3. И. Моисеева (РСФСР), С. Ф. Рубанов
(БССР), Н. И. Садовникова (РСФСР). Р. В. Саркисян (АрмССР). 3 И. Слепканъ
(УССР). А. Э. Тельгмаа (ЭССР), И. Ф, Теслнко (УССР), А. М. Хоштария (ГССР),
Р. А. Хабиб (РСФСР).
Зав. редакцией
3. В Шепелева
Художествен н ый
редактор
Б. Ф. Рябов
Технический
редактор
Л. В. Розанова
Корректор
М. А. Суворова
Сдано в набор 22.10.80 Подписано в печать 5.12.80 Формат бумаги 84xi08’/ie-
Печать высокая. Усл. п. л. 8,40. Уч.-нзд, л, 11,70 Тираж 398 760 экз. Зак. 418. Цена 45 коп.
Издательство «Педагогика» Академии педагогических наук СССР
н Государственного комитета СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли
Адрес вздательствя 107847 Москва, ГСП Б05. Лефортовский пер., д. 8.
Телефон редакции: 283-85-83=
Московская типография № 13 Союзполнграфпрома при Государственном комитете СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
107005. Москва, Б-5, Денисоаский пер., д. 30.
Развитие математики
и математического образования в СССР
Съезды КПСС играют в жизни нашей стра-
ны исключительную роль: они нацеливают
народ на выполнение больших задач, задач
очередных этапов в развитии народного хо-
зяйства, культуры, науки, здравоохранения,
образования. На нашей памяти прошли такие
замечательные этапы в области народного об-
разования, как введение обязательного на-
чального, неполного среднего и среднего обра-
зования. Следует вдуматься в это поразитель-
ное достижение нашего парода: каждый граж-
данин Страны Советов имеет право и
обязанность получить полное среднее образо-
вание и тем самым приобщиться к замечатель-
ным завоеваниям человечества в области фи-
зики, математики, химии, биологии, истории,
литературы. За короткий исторический срок
превратить страну, в которой более половины
населения было неграмотным, в страну всеоб-
щей грамотности, где каждый обязан не толь-
ко научиться читать и писать, но и получить
полное среднее образование,— это ли не вели-
чайшее завоевание партии, правительства и
народа!
Съезды партии не только намечают общую
направленность политики государства в обла-
сти народного образования, но и подчеркива-
ют необходимость постоянного его совершен-
ствования, установления тесной увязки с на-
сущными потребностями страны, ее экономи-
ки, обороны, науки и культуры. Недаром с
первых дней существования Советской власти
постоянно подчеркивалась идея прочной свя-
зи образования с жизнью, с предстоящей
практической деятельностью учащихся. Имен-
но в этом смысл политехнизации обучения:
учить так и тому, что необходимо для пони-
мания законов природы и общественных явле-
ний, для быстрой ориентации в трудовых про-
цессах, с которыми придется столкнуться уча-
щимся после окончания школы.
Научно-технический прогресс требует от ра-
бочих, инженеров, организаторов производст-
ва обширных знаний и способности самостоя-
тельно учиться, овладевать новым. Это осо-
бенно необходимо в связи с тем, что научно-
технический прогресс неизбежно приводит к
отмиранию традиционных производств и за-
рождению новых, к отмиранию ранее распро
страненных профессий и появлению новых, к
отказу от изготовления прчвычт’ых изделий
техники и переходу к производству ранее не-
виданных. Современное автоматизированное
производство предъявляет не только к инже-
нерно-техническому, но и к рабочему персо-
налу очень высокие требования в отношении
знаний, культуры и способности переучи-
ваться.
Чтобы непрерывно росли темпы развития
страны и ее хозяйства, росла производитель-
ность труда и качество продукции, необходи-
мо воспитать в молодом поколении творческое
отношение к труду, к использованию законов
природы для поиска новых технологических
процессов, более совершенной организации
труда, увеличения его производительности,
более экономного использования станочного
времени и исходных материалов с одновремен-
ным улучшением качества продукции, ее на-
дежности и эффективности в работе. Эти за-
дачи неизбежно вызывают потребность в со-
вершенствовании образования, всестороннем
развитии научных исследований и приближе-
нии их к нуждам практики, производства,
здравоохранения, экономики. Чтобы выпол-
нить с честью эти задачи, следует обратить
особое внимание на подготовку учителей на-
чальных и средних школ в духе поиска ново-
го, прогрессивного, в духе творческих исканий.
От педагога теперь, более чем когда бы то ни
было ранее, зависит предстоящий обществен-
ный прогресс во всех его аспектах. Таким об-
разом, следует всерьез обсудить вопросы, свя-
занные с совершенствованием педагогического
образования и повышения квалификации учи-
телей.
К сказанному хотелось бы добавить превос-
ходные слова Генерального секретаря ЦК
КПСС, Председателя Президиума Верховного
Совета СССР товарища Л. И. Брежнева, ска-
занные им 4 июля 1968 г. на Всесоюзном съез-
де учителей: «Ваша профессия, дорогие това-
рищи, одна из тех удивительных профессий,
где мастер из года в год продолжает себя в
своих учениках. Если учитель слаб, если его
собственные знания отстают от развития нау-
ки, то его слабости перейдут в будущее через
его учеников. Ничего хуже этого быть не мо-
жет. В то же время хороший учитель также
продлевает себя, свои знания, свои добрые
1*
3
качества в сердцах н умах своих питомцев.
И нет ничего благороднее этой миссии» ’.
Всем хорошо известно, что любая деятель-
ность, в том числе в научная, способна к раз-
витию лишь тогда, когда имеется приток мо-
лодых сил. Поскольку учебные заведения по-
стоянно пополняются молодежью, естественно
привязывать научные исследования к учеб-
ным заведениям. Этим удастся добиться ре-
шения ряда проблем: повышения качества об-
разования, приближения его к современному
состоянию науки, привлечения способной мо-
лодежи к научным исследованиям, повышения
роли науки в жизни вуза. На базе хоздого-
ворных средств в вузах можно оснастить ла-
боратории современной аппаратурой и прибо-
рами, начать строительство лабораторных кор-
пусов. Современная лабораторная база край-
не необходима и педагогическим институтам.
Педагогические исследования нуждаются в
точном эксперименте и построении матема-
тических моделей процессов восприятия, за-
поминания, приобретения навыков, утомляе-
мости, взаимных влияний в коллективе и т. п.
Это требует сложного процесса перестройки
мышления и методов работы уже имеющихся
научно-педагогических кадров. Необходимо
глубоко продумать, какой арсенал математи-
ческих средств целесообразно привлечь не
только для обучения, но и для исследования
самого педагогического процесса.
Следует отметить, что до сих пор педагоги-
ка и психология занимались преимущественно
проблемами, связанными с об) чением и воспи-
танием детского и отроческого возраста. Пси-
хология и педагогика обучения взрослых оста-
ются до сих пор пасынками. И это несмотря
на то, что в техникумах и вузах в настоящее
время обучаются миллионы учащихся. Кроме
того, еще многие миллионы взрослых, уже по-
лучивших специальность, занимаются на раз-
ного рода курсах повышения квалификации.
Как организовать работу учреждений этого
рода, чтобы в максимальной степени содейст-
вовать повышению профессионального мастер-
ства учащихся и пробудить их творческую ак-
тивность?
Прогресс науки и систематическая связь на-
учных исследований с актуальными проблема-
ми практики во всем ее многообразии были
предметом постоянных забот партии и Совет-
ского правительства. Достаточно вспомнить,
что в грозные годы гражданской войны, когда
страна находилась в тисках интервенции и го-
лода, хозяйственной разрухи и сыпного тифа,
В. И. Ленин нашел время и средства для ока-
зания помощи ученым, науке и для поиска но-
1 Брежнев Л. И. Ленинским курсом, т. 2.— М.: По-
литиздат, 1970, с. 227.
4
вых путей организации научных исследований.
Недаром именно в эТо время были созданы
такие научные учреждения, как ЦАГИ (Цент-
ральный аэрогидродинамический институт) и
Нижегородская радиотехническая лаборато-
рия, влияние которых на развитие науки не
может быть преувеличено. В те же годы были
созданы многие новые университеты на окрап
нах бывшей царской империи. Эти универси-
теты не только воспитали первых просвети-
телей узбекского, грузинского, армянского и
других народов, но и показали, что несет Со-
ветская власть народам мира, на что направле-
ны ее помыслы и стремления. В этих универ-
ситетах в настоящее время развернута интен-
сивная научная работа как общетеоретическо-
го плана, так ц прикладного направления. Не-
сомненно, что необходимо расширять те на-
правления исследований, которые особенно
тесно связаны с решением проблем развития
прилегающего региона, не ослабляя при этом
внимания к развитию и чисто теоретических
работ. Особенно существенно показать науч-
ной молодежи то, что, решая, казалось бы,
частные задачи практики, удается одновремен-
но существенно продвинуть и развитие теории.
В нашей стране настойчиво решается зада-
ча приближения теоретических исследований
к нуждам практики. Теперь, когда мы имеем
целую армию математиков-исследователей, мы
можем охватить своим влиянием все важней-
шие направления- прикладных исследований,
не ослабляя при этом принципиальной теоре-
тической работы. Это тем более верно, что
настоящая прикладная работа математика со-
стоит не в том, чтобы применять уже разрабо-
танный стандартный математический аппарат
в различных ситуациях, а в том, чтобы нахо-
дить те математические средства, которые на-
иболее адекватно позволяют описывать ре-
альные явления и получать лог ическим путем
полезные для практики следствия. Нередко
при этом окажется, что соответствующих ма-
тематических методов еще нет, они не разра-
ботаны и математик-нрикладиик должен их
самостоятельно разработать. Этим он окажет
двойную пользу — поможет решить актуаль-
ную задачу практики и даст толчок развитию
нового направления математической теории.
Но чтобы успешно работать над практически-
ми вопросами, математик должен не только
знать методы и результаты своей науки, но
и вникнуть в суть прикладной проблемы и
уметь придать ей математическую формули-
ровку.
В университетах и педагогических институ-
тах следует преподавать так, чтобы студенты
видели математику в действии и наглядно
представляли себе неограниченные возможно-
сти ее применения к задачам практики. Но
этого еще недостаточно. Нужно, чтобы они по-
лучили вкус к решению прикладных задач и
научились на их базе развивать и саму тео-
ретическую математику, и методы ее изуче-
ния. Как говорил В. И. Ленин, мы должны
приучать нашу молодежь «не довольствовать-
ся тем уменьем, которое выработал в нас
прежний наш опыт, а идти непременно даль-
ше, добиваться непременно большего, перехо-
дить непременно от более легких задач к бо-
лее трудным» 2.
Всзм хорошо известно, что значение науки,
в том числе и математики, для развития всех
сторон жизни современного общества стано-
вится с каждым годом все большим. Совер-
шенствование технических систем, технологии,
экономических связей требует новых идей и
более глубокого проникновения в суть процес-
сов, с которыми приходится иметь дело. При-
менение в промышленном производстве новых
материалов и новых физических эффектов при-
водит к необходимости изменять тот матема-
тический инструментарий, который использу-
ется для расчетов и для построения матема-
тических моделей. Привычных средств
математического анализа оказывается при
этом недостаточно, приходится использовать
методы, которые ранее для подобных целей
не использовались. Отсюда вытекает настой-
чивое требование: учить молодое поколение
так, чтобы оно свободно могло приноравли-
ваться к изменяющейся обстановке и было
способно к самостоятельной работе над кни-
гой по технике, организации производства,
экономике, математике, физике и химии.
Учить следует так, чтобы прививать учащим-
ся дух новаторства и искания, стремление к
лучшим, более совершенным методам работы.
Несомненно, что эта задача должна считать-
ся одной из самых основных, как для вуза,
средней школы, ПТУ, так и для всей системы
повышения квалификации специалистов.
За годы Советской власти удалось воспи-
тать многочисленные кадры хорошо образо-
ванных и преданных своему делу специалис-
тов. Сейчас вопрос состоит уже пе столько в
том, чтобы теми же темпами обеспечивать
количественный рост инженеров, г.едагогов,
врачей, организаторов производства, сколько
в том, чтобы увеличивать эффективность их
работы, повышать интенсивность и качество
их труда, их способность искать новое, отве-
чающее задачам дня и возможностям науки
и производства. Они должны помнить, что то,
что сегодня является превосходным, завтра
окажется уже только удовлетворительным, а
послезавтра отстанет от требований времени.
2 Лечин В. И. Поли, собр соч, т 37, с 196.
Последние десятилетия коренным образом
изменили не только технологию производства
и характер изготовляемых изделий, но и ос-
новные направления научных исследований.
Наука в этом процессе играла центральную
роль. Достаточно вспомнить такие направле-
ния работ ы, как овладение энергией атома,
создание электронных вычислительных ма-
шин, начало космических исследований, что-
бы убедиться в том, что современная научная
мысль стала играть в жизни человечества
резко возросшую роль. Об этом превосходно
сказано в материалах XXIII, XXIV, XXV
съездов КПСС. Наука была названа произво-
дительной силой общества. И это действи-
тельно так, поскольку наука указывает на но-
вые источники энергии, сырья; создает новые
принципы технологии, организации работы;
указывает на новые возможности, которые та-
ятся в окружающих нас явлениях природы,
продуктах живой и мертвой природы.
В развитии математики, особенно ее при-
кладных возможностей, огромную роль сыгра-
ло изобретение электронных вычислительных
машин. Речь при этом идет не только о колос-
сальном расширении вычислительных возмож-
ностей, но в первую очередь об открытии
новых принципов: полной автоматизации вы-
числительных операций, исключительной логи-
ческой гибкости вычислительных устройств, ко-
лоссальной быстроте осуществления отдель-
ных логических и арифметических операций.
Новые вычислительные средства позволили
охватить производство не только чисто вычис-
лительных действий, но и сложных логиче-
ских операций. Это дало исследователям мощ-
ное орудие для решения проблем управления
быстропротекающими процессами, для сбора
и обработки информации, проведения банков-
ских операций и пр. ЭВМ прочно вошли в
жизнь современного общества, и сейчас мы
уже не мыслим дальнейшего развития науки
и народного хозяйства без их широкого ис-
пользования в научной и производственной
жизни. За 30—40 лет скорости производства
элементарных логических и арифметических
операций ЭВМ возросли с нескольких десят-
ков в секунду до нескольких десятков миллио-
нов. При этом следует заметить, что энергети-
ческие затраты снизились в десятки тысяч раз,
а размеры — в сотни раз. Это обстоятельство
открывает буквально неограниченные возмож-
ности для установки вычислительных машин
непосредственно на самолеты, космические ра-
кеты и поручения нм задачи автоматического
управления движением и большого числа дру-
гих задач.
Само собой разумеется, что, как бы совер-
шенны ни были современные вычислительные
машины, без человека, без его определяющей
роли они остаются слепыми и глухими. Чело-
век должен задать им задачу и указать ту по-
следовательность действий, которые она будет
выполнять. Для того чтобы машины работали,
человек должен создавать для них программы
работы, продумать за них все мыслимые раз-
ветвления программы действия в зависимости
от полученных промежуточных результатов и
поставленной дели. Следовательно, в педаго-
гической работе необходимо особое внимание
уделять воспитанию логической строгости и
полноты рассуждений, добиваться, чтобы уча-
щиеся стремились к пониманию проводимых
доказательств, а не к их заучиванию, чтобы
логическая отчетливость мысли и речи стала
второй их натурой.
Таким образом, мы приходим к весьма важ-
ным выводам, которые должны стать руково-
дящими в работе учителя: повышать требова-
тельность к всесторонней подготовке учащих-
ся, к формированию их практических навыков,
к воспитанию логической культуры, воору-
жать всех школьников первичными навыками
работы на простейших электронных вычисли-
тельны\ машинах.
Роль математических методов в жизни об-
щества будет со временем еще более возрас-
тать. И если в сравнительно недалеком прош-
лом врач, экономист, агооном, рабочий могли
обойтись минимальными сведениями преиму-
щественно арифметического характера, то те-
перь все больший круг лиц нуждается в глу-
боких и разветвленных математических зна-
ниях и умениях. Математические методы ши-
роко входят в медицинские исследования, ряд
проблем современной медицины требует для
своего решения глубокого развития методов
математической статистики, теории массового
обслуживания, а также широкого применения
вычислительных средств. Экономика нуждает-
ся в теории оптимизации, теории случайных
процессов, математический статистике, мате-
матическом моделировании, в вычислитель-
ной технике.
В связи со сказанным следует проаиа лизи-
ровать процесс преподавания математики в
школе и изгнать из него все то, что мешает
многим учащимся добиться понимания идей,
методов и содержания школьной математики,
овладеть логикой рассуждений.
Необходимо как можно быстрее прийти к
единой программе курса математики средней
школы, которая должна быть согласована с
нуждами общества в математических знани-
ях не отдельных, в будущем выдающихся
представителей математической науки, а по-
давляющего большинства граждан. Изложе-
ние материала программы в учебниках долж-
но быть доступным для учащихся соответст-
вующего возраста и вызывать у них интерес к
предмету. Учебники должны побуждать чита-
телей к самостоятельным размышлениям, раз-
вивать точность мышления и его самостоятель-
ность. Учебники обязаны не только учить ма-
тематике в ее формальном аспекте, но и вос-
питывать мировоззрение, указывать на связи
математических понятий и результатов с ре-
альными явлениями.
Хотелось бы отметить, что указание на свя-
зи математики с практикой, обсуждение не-
которых из ее методологических аспектов,
краткие сведения из истории науки никак не
должны лишать математику ее логической
цельности, последовательности изложения,
полноты и законченности доказательств, чет-
ких формулировок теорем и полноценных аб-
страктных определений. Абстрактность науки
совсем не означает оторванности ее от прак-
тики. Абстрактность является силой матема-
тики, поскольку позволяет в одних и тех же
терминах, одними и теми же рассуждениями
получать решение не только данной конкрет-
ной задачи практики, но и множества других,
физически неэквивалентных.
Большое значение для уяснения учащимися
смысла понятий, условий теорем и получения
навыков использования имеющихся знаний, а
также воспитания логической культуры име-
ют задачники. Нецелесообразно увлекаться
огромным числом упражнений, важно хорошо
и с полным пониманием рассмотреть сравни-
тельно небольшое их число; но сделать это с
полным пониманием дела: условий, хода ре-
шения, выводов. Задачи должны быть самого
разнообразного характера — на получение на-
выка в использовании формул и проведении
вычислений, на доказательство несложных
теорем, на разыскание ошибки в рассуждени-
ях, на выяснение смысла условий той или иной
теоремы и т. д. Правильно и самостоятельно
решенная задача лучше воспитывает, чем не-
ряшливое и несамостоятельное решение де-
сятка задач. В задачах можно широко исполь
зовать различные народнохозяйственные и
естественнонаучные данные. Это даст возмож
ность увязывать преподавание математики с
другими дисциплинами, использовать эти за-
дачи для воспитания патриотизма и чувства
гордости за народ, показавший чудеса трудо-
вого и военного героизма.
Хороший учебник написать крайне трудно,
даже если он предназначен для студентов
университета. Если же говорить об учебнике
для учащихся средних школ, то трудности
увеличиваются стократно. И авторы должны
относиться к этой работе с сознанием ответ-
ственности перед целым поколением. Ошибоч-
ные утверждения, запавшие в память учаще-
гося, живут очень долго и могут быть причи-
ной недопонимания последующего материала.
6
Вот почему так важно, чтобы учебник перед
массовым тиражом обязательно прошел ста-
дию пробного тиража и последующего обсуж-
дения содержания учительской общественно-
стью.
По-видимому, интересы дела требуют нали-
чия не одного, а нескольких конкурирующих
учебников — единых по содержанию, но раз-
личных по своим методическим установкам.
Вполне может случиться, что стиль одного
автора будет недоступен тому или иному уча-
щемуся, а стиль другого ясен и интересен.
К тому же и учитель может выбрать систему
изложения, которая больше соответствует его
представлениям о структуре курса и методике
его изложения. Этот прием широко использу-
ется в вузах, но он необходим и в школе.
Школа не только дает знания, не только за-
кладывает основы современного образования,
она также воспитывает. Каждая эпоха, каж-
дая социальная система ставит свои акценты
на вопросах воспитания, стремясь использо-
вать Школьные годы для воспитания молодо-
го поколения в необходимом обществу Духе.
Вопросы воспитания исключительно широки
и разнообразны. Они касаются очень многих
сторон характера и взглядов человека. На
первое место среди них следует вынести та-
кие: трудолюбие, ответственное выполнение
порученного дела, стремление выполнить каж-
дое поручение только нанлучшим путем, при-
вычку до конца осмысливать сложившуюся
ситуацию и находить разумное ее разрешение,
честность и благородство, бережное отноше-
ние к общественному, своему и чужому иму-
ществу, упорство в достижении цели, благо-
желательное отношение к людям, критическое
отношение к себе и своим поступкам, любовь
к Родине, стремление к познанию и совершен-
ствованию, научное мировоззрение. Конечно,
самое важное из всего перечисленного — вос-
питание мировоззрения, поскольку именно
оно влечет за собой все качества человека.
Если человек убежден в некоторых положе-
ниях и без них он не представляет своего су-
ществования, то за эти убеждения он готов ид-
ти на любые конфликты, готов отстаивать их
до конца.
Воспитание мировоззрения представляет
собой длительный и очень деликатный про-
цесс, в котором должны принимать участие
все преподаватели. Математикам в этом про-
цессе отводится серьезное место. Прежде
всего именно математика призвана возглавить
борьбу за материалистическое мировоззрение,
поскольку она является наукой теоретической
и ее понятия непосредственно не связаны с
опытом. Все они являются глубокими абст-
ракциями. Роль преподавателя — показать,
что не только понятия математики, но и ее
проблемы, идеи, методы в конечном счете свя-
заны с жизненными потребностями людей, с
изучением природы и ее закономерностей. Ши-
рокие обобщения, к которым постоянно при-
бегает математика, и принятые в ней методы
доказательства позволяют подмечать единст-
во природы и ее законов.
На воспитание мировоззрения ЦК КПСС
постоянно обращает самое пристальное внима-
ние. В постановлении ЦК КПСС от 26 апреля
1979 г. «О дальнейшем улучшении идеологи-
ческой, политико-воспитательной работы» чет-
ко сказано; «...добиваться органического един-
ства учебного и воспитательного процессов,
формирования у учащихся и студентов науч-
ного мировоззрения, высоких морально-поли-
тических качеств, трудолюбия. Прививать уча-
щейся молодежи интерес к политическим зна-
ниям, всемерно развивать их общественную
активность. Принять меры для дальнейшего
развития внешкольной работы, технического и
художественного творчества...»
Воспитание полноценного гражданина стра-
ны, относящегося с глубоким уважением к на-
циональным культурным и материальным цен-
ностям и одновременно понимающего и ценя-
щего вклад других народов в мировую куль-
туру, стремящегося внести и собственную
лепту в развитие страны — ее народного хо-
зяйства, науки, литературы, всегда было пред-
метом особых забот партии и правительства.
Советская школа проводит огромную рабо-
ту по воспитанию и образованию молодых
граждан, по распространению знаний и куль-
туры, по выработке ценных качеств будущих
работников, по выявлению и воспитанию та-
лантливых учащихся и стремлению показать
школьникам, что каждый из них обладает спо-
собностями, свойственными только ему. Но
при этом необходимо постоянно отмечать, что
сколь угодно большие способности без систе-
матической работы, без постоянного труда ни-
что. Именно их объединение позволяет каж-
дому поколению выдвигать из своей среды
выдающихся ученых, артистов, писателей, ин-
женеров, врачей, мастеров своего дела — ра-
бочих и колхозников. Безделие и пренебреже-
ние собственными способностями могут при-
нести обществу вред, а самому их носителю —
разочарование и моральное разложение. Вот
почему лень, верхоглядство, стремление про-
жить свою жизнь без забот и тревог и притом
за чужой счет должны подвергаться презре-
нию и общественному осуждению.
Наши цели просты, ясны и прекрасны: вос-
питать гармонически развитую личность из
теперешних школьников, внушить им высокие
общественные, трудовые, Культурные и соци-
альные идеалы, сочетать умственное и физи-
ческое развитие, привить чувство ответствен-
7
ности перед народом и стремление к про-
грессу.
Для каждого ясно, что грандиозные задачи
по воспитанию человека, лишенного корыст-
ных интересов, способного на подвиги ради
общего дела, готового к повседневной напря-
женной работе, постоянно ищущего более со-
вершенных путей решения стоящих перед об-
ществом проблем, превращающего любой
труд в творческую деятельность, доставляю-
щую радость самому работнику и окружаю-
щим людям, требуют увлеченных и превосход-
но подготовленных педагогов, способных по-
вести за собой молодежь, зажечь ее жаждой
познания и напряженного труда. Для этого
необходимо, чтобы в педагогических учили-
щах, пединститутах и университетах не только
обучали будущих педагогов специальности,
но и показывали величие их будущего труда,
прививали уважение к этой специальности,
превращали общение с учащимися в глубокую
внутреннюю потребность.
Педагогическое образование должно иметь
свои характерные черты, воспитывающие ка-
чества педагога, шпроту взглядов, проникно-
вение в психологию учащихся разного возра-
ста, глубокое понимание идей математики,
артистическое владение методами изложения,
личное обаяние и умение увлечь школьников
предметом, уроком, получением знаний, меч-
тами о собственном вкладе в общественный
прогресс.
Среди вопросов, которые требуют быстрей-
шего рассмотрения, хотелось бы выделить
один — изучение будущими педагогами исто-
рии своей науки. История математики нужна
будущим преподавателям для возбуждения ин-
тереса к предмету, для использования на уро-
ках оставшихся от прошлого задач, для рас-
сказа о происхождении математических поня-
тий и математических теорий, для воспитания
упорства в достижении цели и материалисти-
ческого мировоззрения. Нельзя считать педа-
гогическое образование математика завершен-
ным, если он не имеет сформировавшегося
представления об истоках своей науки, о сме-
не основных идей, о глубоких причинах появ-
ления новых ветвей математики. Полезно в
связи со сказанным вспомнить мысль
В. И. Ленина о том, что исторический подход
является наиболее верным средством избе-
жать догматизма.
История математики является одним из
сильнейших средств, которые могут по-
мочь в осуществлении следующего указания
В. И. Ленина: «Вся задача состоит в том,
чтобы человек, усвоивший себе начальное ру-
ководство, имел в руках надежную путевод-
ную нить для дальнейшего изучения этого
предмета, чгооы он получил интерес к такому
изучению...»3. Но история должна быть дана
не как собрание биографических фактов о вы-
дающихся математиках прошлого, а как исто-
рия математических идей.
Необходимо, чтобы все общество на деле
еще выше поднимало авторитет педагога и пе-
дагогического труда, чтобы педагог не был
обременен обилием различных не свойствен-
ных его профессии поручений, а мог отдать все
свободное время повышению педагогического
мастерства, чтению литературы и осмыслива-
нию возможностей ее использования в педа-
гогическом процессе. Педагогу абсолютно не-
обходимо быть в курсе событий науки образо-
вания, а также проблем, которые особенно
волнуют общественность. Свободное время у
преподавателя должно быть и для того, что-
бы он имел возможность побеседовать с уча-
щимися об их интересах, а если их пет, то по-
мочь им определить область увлечений. Из-
вестны многочисленные случаи, когда такие
беседы оказывали решающее влияние на жиз-
ненный путь молодых людей и прививали им
вкус к работе, определяли их дальнейшее
призвание. Педагогу мы поручаем самое цен-
ное, что у нас имеется,— наших детей, а имен-
но поэтому мы должны заботиться о том, что-
бы он был постоянно в наилучшей форме.
Художественная литература, театр, кино
должны поднять на щит профессию учи геля,
показать ее привлекательность, общественную
ценность. Молодежь должна понять, что про-
фессия учителя является не только одной из
самых гуманных, но и самых сложных, по-
скольку она имеет дело с вечно изменяющим-
ся, податливым и непокорным, порой сопро-
тивляющимся, порой оказывающим помощь
материалом. Завоевать доверие учеников, их
любовь—'Величайшее благо. Как говорил
Л. И. Брежнев, «...труд учителя тем ценен и
прекрасен, что он формирует самого челове-
ка. И кем бы ни стал в жизни человек... каж-
дый с чувством благодарности вспоминает
своего первого учителя, свою школу. Учитель,
образно говоря, осуществляет связь времен,
он — звено в цепи поколений. Он как бы пере-
дает эстафету из настоящего в будущее, и эго
делает его труд таким увлекательным, истин-
но творческим»4.
Академик АН УССР Б. В. ГНЕДЕНКО
3 Ленин В. И. Поли. собр. соч., т. 4. с. 37.
’ Брежнев Л. И. Ленинским курсом, т. 2.— М.: По-
литиздат, 1970, с. 228.
8
МЕТОДИЧЕСКИЙ
ОТДЕЛ
G повышении эффективности уроха
Н. Г. КИЛИНА
(г. Киров)
О СОВРЕМЕННОМ УРОКЕ МАТЕМАТИКИ
Научно-техническая революция поставила
перед школой новые проблемы: как. научить
всех, не увеличивая существенно времени обу-
чения, как научить перманентному самообра-
зованию, без которого немыслим труд человека
нашего общества. Основой для решения ука-
занных проблем являются новейшие научные
достижения методики преподавания матема-
тики, а также дидактики и психологии.
В каждом уроке более или менее отчетливо
прослеживаются основные этапы обучения:
постановка цели, организованное восприятие
новой информации, ее осмысление, закрепле-
ние воспринятой информации, проверка зна-
ний, систематическое обобщение изученного
материала *. Среди них особое место занима-
ет этап постановки цели обучения. Он главен-
ствует над другими и задает тон всему про-
цессу обучения. Но цель урока, установлен-
ная учителем, должна быть преобразована в
цель для ученика и воспринята последним.
Четко поставленные и принятые учащимися
целевые установки обеспечивают позитивное
отношение школьника к учению.
Теперь можно сформулировать главное тре-
бование к уроку — это целенаправленность,
т. е. такое взаимодействие всех его компонен-
тов, в котором главенствующая и связующая
роль принадлежит цели урока.
Уроки математики в старших классах сред-
ней школы в настоящее время в основном
удовлетворяют требованию целенаправленно-
сти. Здесь рассматривается серьезный по со-
держанию и трудоемкий для усвоения мате-
риал. Этим объясняется выделение на уроке
в соответствии с его целью одного из этапов
1 Лернер И. Я. Процесс обучения и его закономерно-
сти.—М.: Знание, 1980.
обучения в качестве основного, превалирующе-
го. Если, например, главным на уроке явля-
ется восприятие новой информации, давае-
мой учителем, и первоначальное ее осмысле-
ние, то урок приобретает форму школьной
лекции. Можно выделить уроки по самостоя-
тельному приобретению знаний, уроки обоб-
щения и систематизации изученного и другие.
В старших классах появился новый интерес-
ный вид урока— общественный смотр знаний.
По-другому обстоит дело в младших, осо-
бенно в IV—V классах. Отдельные этапы уро-
ка здесь не всегда объединяются общей
целью. Довольно часто, например, устная ра-
бота и проверка знаний, проводимые до изу-
чения нового материала, совсем не связаны
логически с последующими этапами урока.
Изолированность отдельных частей урока ма-
тематики в младших классах не менее вред-
на, чем в старших. Специфика предмета ма-
тематики такова, что она требует постоянной
работы по отысканию взаимосвязей между
всем тем, что делается на уроке.
В связи с этим отметим намечаемую в нас-
тоящее время тенденцию, которая состоит в
том, что в пятых классах в уроки, посвящен-
ные геометрическому материалу, не включает-
ся алгебраический материал, не имеющий не-
посредственного отношения к теме. Такой
урок значительно продвигает детей в их позна-
нии начальных сведений по геометрии.
Итак, осознание цели учащимися, их целе-
устремленная работа по усвоению нового —
важные условия эффективности урока.
В современных условиях в соответствии с
целями обучения по-новому ставится пробле-
ма содержания урока. Необходимо подчерк-
нуть, что три вида умений и навыков — мате-
матические, общеинтеллектуальпые (приемы
умственной деятельности), умения и навыки
учебной деятельности — формируются у уча-
щихся на уроках математики на базе его ма-
тематического содержания.
Важно выделять в каждом уроке стержне-
вую идею его математического содержания,
вокруг которой группируется всё остальное.
Выделять главное совсем не просто. Для этого
надо видеть перспективы обучения математи-
ке и формирования приемов учебной деятель-
ности в целом.
Основную помощь в выделении главного
учителю оказывает школьная программа и
методические пособия. Но этого мало. Учи-
тель должен быть вооружен такими методи-
ческими знаниями и умениями, которые поз-
волили бы ему успешно управлять всей учени-
ческой деятельностью на уроке. Одно из важ-
нейших средств управления учебной деятель-
ностью на уроках математики--это задачи.
9
От широты учительского взгляда на воз-
можности учебной задачи значительно зави-
сит успех работы по повышению эффективно-
сти урока математики. Если, например, са-
мо понятие «задача» сделать объектом изуче-
ния в школе, то нетрудно представить, какие
возможности откроются при этом для реше-
ния проблемы «учить учиться».
«Учительская газета» от 20 мая 1980 г. рас-
сказала о средней школе № 9 Волгограда.
Учительница этой школы М. Н. Кузнецова,
ведущая занятия по экспериментальной прог-
рамме Л. В. Зайкова, организует на уроке
по решению задач интересную работу со свои-
ми второклассниками: на доске сделана за-
пись; ученики обосновывают сами, что записа-
на задача, потому что здесь есть данные, есть
неизвестное, есть вопрос. Затем ребята реша-
ют две задачи, сравнение которых позволяет
сделать вывод, что они обратные. Сравнение
и вывод делают сами второклассники.
На уроках математики в настоящее время
все чаще можно наблюдать планомерно ор-
ганизованную деятельность учащихся: а) по
раскрытию логической структуры определе-
ний, б) по распознаванию понятий, в) по обу-
чению приемам доказательств теорем и др.
Анализируя конкретное математическое со-
держание урока, учителя стремятся выявить
возможности ознакомления учащихся с обще-
математическими идеями через изучение кон-
кретного материала.
Выделение главного в математическом со-
держании урока и умелое обучение ему — это
один из путей устранения учебной перегруз-
ки учащихся. Он должен органически соче-
таться с целенаправленной работой по обу-
чению учащихся основным приемам учебной
деятельности.
Верный путь повышения эффективности
урока — это обеспечение единства его содер-
жания и формы. Выбирая в соответствии с
содержанием методы и приемы обучения, не-
обходимо помнить, что ни один из методов
нельзя универсализировать, ни одно из
средств изолированно не сможет обеспечить
достижения целей обучения.
Сравнительно недавно в качестве универ-
сальных выдвигались системы алгоритмиче-
ского, программированного и проблемного
обучения. В настоящее время пересмотрены
их место и роль в общей системе обучения.
Алгоритмизация используется только как
один из вариантов объяснительно-иллюстра-
тивного метода, обеспечивающего в основном
репродуктивное усвоение знаний.
Программирование как целостная система
обучения не оправдало себя на практике.
Учителя используют свои знания из теории
программированного обучения для установле-
ния четкой последовательности учебных за-
дач, которые должен решить ученик на уроке.
Элементы программированного обучения ус-
пешно применяются для организации самосто-
ятельной работы, для проверки знаний уча-
щихся.
Нельзя универсализировать и проблемное
обучение, так как далеко не всякий материал
можно изучать этим методом.
Обратимся к отдельным примерам из опыта
работы учителей, раскрывающим некоторые
черты современного урока математики.
1. В настоящее время в лексиконе учителя
все чаще стало встречаться слово опоры
Специфика самого предмета математики по-
рождает необходимость применения различно-
го рода опор. Можно, например, говорить спе-
циально о так называемых «логических опо-
рах» при доказательстве математического
предложения. Если учитель ставит цель на-
учить выделять опоры такого рода, то он дела-
ет большое и нужное дело по развитию мате-
матического мышления учащихся.
Для изучения математических абстракций
необходимы наглядно-образные опоры. Веро-
ятно, любую модель или рисунок, выполнен-
ный с учетом дидактических требований, мож-
но рассматривать как наглядную опору.
Приведем пример такой наглядно-образной
опоры. В VI классе как итог изучения линей-
ной функции составляется опорная таблица
(рис. 1), дающая полное наглядное представ-
ление об изученной функции. Эта же табли-
ца может служить опорой для формирования
понятия о решении линейного уравнения
ах-{-Ьу=с, когда 6=#=0. В этом случае урав-
нение приводится к виду y—kx+l, где 1=
=—а/b, 1=с/Ь, и рассматриваются четыре ва-
рианта расположения графика в зависимости
от значений k и I.
К этой таблице можно обратиться еще в
ряде случаев: в VII классе при изучении воз-
растающих и убывающих функций, в IX клас-
10
се при изучении понятия производной или по-
нятий о четной и нечетной функциях.
В качестве опор используются и различно-
го рода схемы. Например, при работе над
усвоением определения, в которое входят три
существенных характеристических признака
понятия, объединенные союзом «и», опорная
схема может выглядеть так, как показано на
рис. 2. В этой схеме цифрами обозначены ха-
рактеристические признаки понятия, входя-
щие в определение, «+» и «—» показывают
соответственно наличие или отсутствие приз-
нака, «да» и «нет» — принадлежность или не-
принадлежность исследуемого объекта к дан-
ному понятию, знак «?» ставится в тех слу-
чаях, когда наличие признака не исследовано
или невозможно сделать вывод о принадлеж-
ности объекта к данному понятию.
Рис. 2
Опоры различного рода могут строить сами
учащиеся, например схему доказательства
теоремы или решения задач какого-то вида
и т. п.
Мы не останавливаемся здесь на вопросах
составления и использования опорных конс-
пектов, так как считаем, чго они должны быть
предметом специального обсуждения.
2. Вполне оправданным в настоящее вре-
мя является интерес к проблеме обучения уча-
щихся работать с книгой вообще и с матема-
тической книгой в частности.
Передовые учителя ведут эту важную рабо-
ту планомерно, начиная с младших классов.
Составляются перспективные планы, разра-
батываются специальные задания по обучению
работать с математическим учебником, изы-
скиваются возможности заинтересовать уча-
щихся изучаемой темой и чтением дополни-
тельной литературы. Направить взор ученика
за страницы школьного учебника, открыть ок-
но н мир науки математики, ее истории — как
это полезно для развития ученика, для повы-
шения интереса к математике! Начало такой
работы должно быть на уроках, а не на фа-
культативных занятиях или кружках.
Ответы на некоторые вопросы, связанные
с изучением математики, ученик может найти
в различного рода справочниках. Академик
Л. Н Леонтьев указывает один из возмож-
ных путей экономии сил и времени учащихся:
«Для школы нужно создавать справочные из-
чаиия... и разрешать пользование ими не под-
польно, а... открыто. Выполняется классная
работа — пожалуйста, держите справочник на
столе» (Вопросы философ!.и, 1973, № 1, с. 33).
Учащимся нужны и такие книги, из которых
они извлекали бы прямые советы и указания,
как надо учиться, «учить уроки». Примером
такой книги является роман С. Л. Соловеичи-
ка «Учение с увлечением».
3. В борьбе за прочное, осознанное и твор-
ческое усвоение знаний учителями взят на
вооружение так называемый принцип перма-
нентного повторения. Успешное осуществле-
ние почти каждого этапа урока математики в
силу специфики самого предмета требует не-
прерывной работы по установлению связей
между новым и ранее изученным материалом.
Для чего, что, как и когда повторять—все эти
вопросы являются актуальными в современ-
ных условиях работы. Вероятно, сущность са-
мого понятия повторение нуждается в
уточнении. Повторение — это не простое вос-
произведение ранее изученного, здесь обяза-
тельно должно появляться что-то новое, поз-
воляющее посмотреть на «старое» с других
позиций, например с точки зрения нового ма-
териала. Как сделать повторение более эф-
фективным'1 Вероятно, надо поставить ученика
в такие условия, чтобы он проявил активную
мыслительную деятельность, включился в вы-
полнение таких заданий с повторяемым мате-
риалом. каких раньше он не выполнял.
Принцип перманентного повторения предпо-
лагает разнообразие видов и места повторе-
ния в учебном процессе, активность учащихся.
4. В последнее время подвергаете я справед-
ливой критике увлечение классно-коллектив-
ной фронтальной формой работы на уроках
математики. Фронтальные формы создают
видимость активности всего коллектива: чаше
всего ответы на вопросы дают сильные уча-
щиеся и по ним учитель судит об усвоении
материала классом в целом. Передовыми учи-
телями накапливается опыт по рациональному
использованию в различных сочетаниях кол-
лективных, групповых и индивидуальных форм
учебно-познавательной деятельности учащих-
ся. Вот один пример из опыта работы учите-
ля математики Опаринской средней школы
Кировской области 3. Н. Щеклеиной. Уроки
самостоятельного добывания знаний проходят
у нее несколько необычно. Получив задания,
учащиеся вначале работают индивидуально,
затем по желанию объединяются в группы,
сдвигают столы, бурно обсуждают, спорят...
У них возникает множество вопросов, кото-
рые они стремятся вначале решить сами, и
только после нескольких неудачных попыток
обращаются к учителю. Работают увлеченно,
забыв обо всем другом, кроме математики.
Плохо, если на уроке активен только ечи-
тель, если всю нагрузку по обучению учаших-
11
ся он берет целиком на себя. У передовых
учителей обучают на уроках и сами учащие-
ся, когда мыслят вслух, высказывают свои ги-
потезы, объясняют другим свой путь решения
задачи... Более того, организуются разли щые
формы товарищеской взаимопомощи непосред-
ственно на уроках, назначаются ассистенты,
консультанты из числа учащихся этого же
класса, оказывающие помощь учителю в орга-
низации групповой работы на уроке.
В заключение отметим, что современный
урок не мыслится без широкого комплексного
применения на нем наглядных и технических
средств обучения. Надо только использовать
их так, чтобы они способствовали максималь-
ному заполнению урока педагогически целе-
сообразной учебно-познавательной деятельно-
стью учащихся.
Качество урока, его эффективность во мно-
гом определяются высокой педагогической
культурой и методическим мастерством учи-
теля.
В. И. КОРОТКОВ
(г. Капустин Яр Астраханской сбл.]
ПОДГОТОВКА К ПРОВЕДЕНИЮ
УРОКОВ ПОВТОРЕНИЯ
Опытный учитель всегда тщательно готовит-
ся к урокам по повторению пройденною ма-
териала, сознавая, что хорошо сцементирован-
ные при повторении знания станут более проч-
ными. Большое внимание он уделяет методике
проведения таких уроков, использует формы
и методы обучения, активизирующие мысли-
тельную деятельность учащихся, повышающие
интерес к изучаемому. Особенно важно все
сказанное для уроков, которые проводятся в
конце учебного года после прохождения всего
программного курса.
При подготовке к урокам повторения срети
прочих вопросов нас волнует: что хуже всего
усвоил ученик, в каком месте программы зна-
ния потеряли свою прочность. Существует
много форм учета пробелов в знаниях учащих-
ся, но не всегда они дают полную и объектив-
ную информацию. Казалось бы, нет ничего
проще, чем узнать об этом у самого ученика:
и учитель, и обучаемый заинтересованы в од-
ном— в глубоких и прочных знаниях. Однако
общая заинтересованность далеко не гаранти-
рует искренности и правдивости со стороны
воспитанника; нередко молчание — лучший
для него выход.
Создание в классе деловой и творческой
атмосферы, когда ученик имеет неформаль-
ное право задать самый «нелепый» вопрос,
когда он не стыдится своего непонимания са-
мых простых истин, мож< г усомниться в оче-
видном,— задача нелегкая, но, решив ее, Мы,
учителя, порой увидим и удивимся многим
сомнениям и вопросам, возникающим в голо-
ве ребенка. Создание такой атмосферы — не
только психологическая задача; преподавание
само должно пробуждать и воспитывать у уча-
щихся такие чувства, которые содействова-
ли бы успешности их обучения Получение
правильной и наиболее полной обратной связи
«ученик — учитель» — одно из решений не
только оптимизации процесса обучения, но и
создания творческой лаборатории в коллек-
тиве учащихся.
Получению информации о качестве и проч-
ности знаний программного материала перед
повторительными уроками предшествует про-
верка выполнения той части домашнего зада-
ния, которая содержит вопросы, включенные
в повторение.
В классе существует специальная, назовем
ее дежурной, тетрадь, которая находится
у дежурного ученика или представителя учеб-
ного сектора класса. Список учеников в ней
один на все дни, а на каждый урок отводит-
ся страница (в ее верхней строке записаны
номера задач, вошедших в домашнее зада-
ние). Если у ученика при выполнении домаш-
ней работы были какие-либо затруднения, то
он сам на отведенной для этого дня странице
в столбике с соответствующим номером за-
дачи делает пометку. При этом он использу-
ет следующие обозначения: знак «- -» — не ре-
шил, знак «_1_» — не уверен в правильности
решения. Такой способ получения информа-
ции особенно полезен в старших классах, где
учитель не имеет возможности проверять каж-
дый день тетради или проверять все задание
в классе: он видит, какие задачи вызвали
затруднения, выясняет причины. Разумеется,
ученики могут ошибаться в оценке правиль-
ности и полноты решения, но педагогическое
мастерство должно подсказать учителю — до-
вериться ученикам или нет. Одно совершенно
ясно, что нерешенная многими учениками за-
дача требует внимания.
После получения информации о выполнении
домашнего задания и выяснения причин, выз-
вавших затруднения, учитель корректирует
свой поурочный план. Ученикам, успешно
справившимся с домашним заданием, он да-
ет отдельное задание, которое подготовлено
заранее. В тех случаях, когда задачу не реши-
ли два-три ученика, им можно помочь отдель-
но, не задерживая весь класс: пригласить на
консультацию, поручить ученику-консультан-
ту объяснить решение (вопрос решается в за-
висимости от причин нзвыполнения и сложно-
сти задания).
12
Описанная форма проверки домашнего за-
дания дифференцирует процесс обучения, поз-
воляет оптимально использовать время, спла-
нированное учителем для этого этапа урока.
Но нужно отметить, что применить ее в клас-
се удается не сразу. На первых уроках уча-
щиеся могут все же скрывать невыполнение
задания, но условие, что предупредивший уче-
ник «двойки» не получит, дает желаемый ре-
зультат. Чтобы не снимать ответственности
учащихся за выполнение домашнего задания,
учитель вправе у любого ученика спросить
черновик, в котором видно, что ученик «стра-
дал» над своими несостоявшимися идеями. Но
со временем в этом отпадает необходимость:
учащиеся заинтересованы в конечном резуль-
тате всей работы, в успешном выполнении ито-
говой контрольной работы по данной теме.
Очень часто радость успеха, чувство своей си-
лы рождают интерес к предмету. Не раз при-
ходится видеть: радость ощущения собствен-
ной силы гораздо полнее радости высокого
балла.
При подготовке к урокам заключительного
повторения в конце года учитель также сове-
т\ется с учащимися, какие темы необходимо
повторить перед итоговой контрольной ра-
ботой. Они серьезно и охотно помогают ему
в решении данного вопроса. Чтобы сориенти-
ровать учащихся, им предлагается список тем
и типы задач, которые решались в течение
года; разместить это можно в таблицах, где
слева указывается изученная тема, а спра-
ва— типы соответствующих упражнений. Так,
например, в VI классе в таблицу «Тождест-
венные преобразования выражений Решение
уравнений и систем уравнений» можно вклю-
чить следующий материал.
1. Уравнение с одной переменной
а) 0,2 (х—8) =0,5(15- х);
б) 11— 2(х—3)=9—2х;
в) (г/-].5)(у+1/3)=0.
2. Прямая и обратная пропорциональность
5 + ( — k) k — 4
2 — 3 •
3. Система линейных уравнений
а)(3х-2у=17, б) х у 4-1
| 9х + у = 2; 2 3 ’
z у __х 2
7 ~ “6~ ’
в) (6 (х + у) — 8 2х — Зу,
I 5 (у — х) -= 5 4- Зх + 2у.
4. Степень с натуральным показателем
а) Представить в виде степени:
(2<1)5- (2а)3, 76:73, 125а6
б) Сократить дробь:
64х4у7 (— /и)4.'»’
ас‘ ’ (2ху)Б ’ ( — т8)2
в) Представить в виде проба
11 п л _ 55т’п’
2ху ’ 6 (ху)7 ’
5. Раскрытие скобок и заключение в скобки
а) Привести выражение (3m2—llm-|-4) —
— (6m2—2m—3) к многочлену стандартного
вида.
б) Заменить А4 выражением, при котором
равенство М-\- (5х2—2ху) =6х24-9ху—у2 яв-
ляется тождеством.
в) Представить в виде разности одночлена
и трехчлена — 2уА—3t/34-5t/—8.
6. Произведение многочлена и одночлена.
Вынесение общего множителя за скобки
а) Привести выражение
4- -^-х- (16х — 2х3)
к стандартному виду.
б) Разложить на множители выражения:
6х3— 12х2+18х, 5 (т—3) —7 (3—т).
7. Произведение многочленов. Разложение
многочлена на множители методом группи-
ровки
а) Решить уравнение
(10x4-9) х—(5х—1) (2x4-3) =8.
б) Разложить на множители: х4-у-|-10х-|-
4-101/, ап2-\-сп2—ар-\-ар2—cp-j-cp2.
8. Формулы сокращенного умножения
а) Решить уравнение: 25х2—49=0, (хЦ-
4-7)24- (х—3)2=8x4-220.
б) Сократить дробь:
(2л —6)’ 4у7 — 12у 4- 9
а1 — 6л 9 ’ 9 — 4 у’
в) Найти значение выражения
19,324-2-19,3-30,74-30,72.
Можно предложить учащимся таблицу и
несколько иного плана. Например, таблицу
«Задачи, встречающиеся в курсе VI класса»,
включив в нее следующий материал.
1. Содержание задач:
а) задачи, связанные с понятием процента;
б) задачи, связанные с понятиями скорости,
времени и расстояния;
в) задачи, связанные с понятиями «рабо-
та», «производительность труда».
2. Методы решения:
а) арифметический;
б) составление уравнений;
в) составление систем уравнений.
Предлагаемые таблицы можно заранее раз-
местить на съемных стендах или в специаль-
ной тетради, которая хранится в кабинете
математики. Такую работу можно сделать в
каждой «параллели» классов.
После просмотра этих таблиц ученики запи-
сывают в дежурную тетрадь темы, которые
они хотели бы повторить. Например, по двум
приведенным в статье таблицам может быть
такая запись:
13
Таблица 1 Таблица 2
Иванов 3, 6а, 76 —
Николаев 76, 86 , 8в 1а
Указание в таблицах вместе с темами типов
упражнений конкретизирует темы, облегчает
их понимание учащимися. Это помогает уче-
нику правильнее сделать выбор того матери-
ала, по которому он еще раз желает полу-
чить разъяснения.
Упражнения, указанные в таблице, не долж-
ны быть отягощенными сложными тождест-
венными преобразованиями, не должны ме-
шать ученику увидеть основную нагрузку те-
мы по выработке практических навыков.
С другой стороны, они не должны быть чрез-
вычайно простыми. Задания должны быть чет-
кими, конкретными, понятными.
После сбора такой информации учитель пла-
нирует уроки повторения с учетом пожеланий
учащихся. Возможно, это будут или уроки-
практикумы, или уроки-лекции, или обобщаю-
щие уроки; в том случае когда ученики недо-
статочно уверенно строят графики функций,
полезны лабораторно-графические работы.
Учителю необходимо продумать формы и ме-
тоды индивидуальной работы. Ценен метод
работы с ассистентами (см.: Математика в
школе, 1978, № 5, с. 43). Эти учащиеся могут
оказать индивидуальную помощь остальным
ребятам, что весьма полезно, так как далеко
не всегда все ученики хотят повторить одну и
ту же тему. Объем заявок, как правило, пре-
вышает возможность удовлетворить их на пла-
нируемых уроках повторения, а обойти их бы-
ло бы ничем не оправдано.
К. ПЕТЮь
(София, Болгария)
АКТИВИЗАЦИЯ РАБОТЫ УЧЕНИКА
Лавина информации обрушивается в наше
время на каждого учащегося — книги, газеты,
журналы, радио, кино и особенно телевиде-
ние. В этих условиях от учителя требуется
большое искусство, чтобы управлять интел-
лектуальным миром школьников и поддержи-
вать в них устойчивый интерес к учебе. Кро-
ме того, в век научно-технической революции
школьное обучение, которое сводится к пас-
сивному усвоению, не удовлетворяет потреб-
ностей общества.
Школьное образование должно учитывать
индивидуальность каждого ученика. Задача
учителя — поддерживать мыслительную актив-
ность ученика, предлагая при этом целе-
сообразные задания, соответствующие его
индивидуальным склонностям и его силам.
Уравниловка вредна: она обезличивает силь-
ных учащихся и замедляет их развитие.
Любой математический вопрос можно углуб-
лять неограниченно. Учитель может в каждой
теме требовать от учеников исследования на
доступную глубину. Вот несколько примеров.
I. Связь между понятиями. Родовые и ви-
довые понятия. Существенные признаки. Со-
держание и объем понятия. Все это выясня-
ется на конкретных примерах из школпного
курса математики. В методической литературе
можно найти много разработок по этим воп-
росам .
II. Связь между высказываниями. Импли-
кации P=>Q, Q^-P, p=^Qt Q^p (черта над
буквой означает отрицание). Связь между ис-
тинностью этих импликаций. Ученики сами
должны находить примеры, иллюстрирующие
эти положения; необходимые и достаточные
условия.
Опыт показывает, что учащиеся особенно
затрудняются строить примеры отрицания оп-
ределений.
Пример 1. Фигура А — не параллело-
грамм. Что это значит?
Это значит, что либо А — не четырехуголь-
ник, либо А — четырехугольник, имеющий па-
ру непараллельных противоположных сторон.
Пример 2. Прямые а и b не параллельны.
Что это значит?
Это значит, что либо прямые а и b не при-
надлежат одной плоскости, либо имеют ровно
одну общую точку (совпавшие прямые
считаются параллельными).
Пример 3 (более трудный). Число с не
есть предел последовательности щ, и2, ..., ип,
... . Что зто значит?
Это значит, что существует число е такое,
что для любого N найдется такое п, что хотя
n^N, но при этом \ип—cj>e.
III. Глубокое исследование задач. Реше-
ние задач не должно все!да быть рассчитано
на применение заученного алгоритма. Такое
обучение, во-первых, не развивает и, во-вто-
рых, вовсе не гарантирует от ошибок. В ошиб-
ках бывает виноват не алгоритм, а то, что
учащиеся применяют не тот алгоритм, кото-
рый соответствует данной ситуации. Выбор
алгоритма — творческий процесс. Богатый ма-
териал для глубокого исследования дают за-
дачи с параметрами (но не только они!).
Пример 4. Решить уравнение
tg2x=m(l—cos х).
Приняв за неизвестное у—cosx, приведем
данное уравнение к виду
(I—У) (ту2—у—1)=0.
14
Найдутся ученики, которые сократят на
1—у. Если этого не случится, они получат три
решения:
. 1 — 1 + 4т 1 4- 1 + 4т
У1 - 1, у2--------gw ’ Уз--------------2т
Далее некоторые запишут условие действи-
тельности: 1-|-4т^0. Это излишне, потому что
из данного уравнения видно, что если cosx=#
=#=1, то должно быть т^О (иначе уравнение
не имеет решений).
Внимательное исследование поиводит к
следующему результату. При любом т урав-
нение имеет решение yi. При 0^/п<оо, кро-
ме того, имеется решение у2 (неопределен-
ность при т=0 устраняется переводом ирра-
циональности в знаменатель). При 2^т<оо
кроме этих двух решений имеется решение
Й» (впрочем, при т=2 оно совпадает с yi).
Эти результаты иллюстрируются на рис. 1,
-1 О 1 2 т
О 1 2 3 т
। • । । । ff2
г J т
--*—1----' • 1 Уз Рис. 1
Пример 5. Приведем пример бездумного
формализма. Рассказы о великом русском
ученом, педагоге и основателе научной школы
Н. Н. Лузине уже давно распространены в
Болгарии (да и не только в Болгарии). Од-
нажды Лузин на экзамене предложил студен-
ту задачу «Найти длину двух арок циклоиды
x=R(t—sin/), y=R(l—cost)». Почему имен-
но двух арок? В этом был тонкий педагогиче-
ский замысел. Студент решил задачу так:
ds = У dx2 -j- dy2 = R р/"4sin2-^-d/ =
= 2R sin-y-Л
(здесь ошибка: должно быть 2R | sin
и далее
4ic 4л
5 = 2/? sin ~ dt = — 4R cos-|-1 = 0.
о о
Лузин. Не кажется ли Вам, что этот ре-
зультат противоречит очевидности?
Студент. Это не мое дело. Я применил
имеющуюся в учебниках формулу для длины
дуги, я тщательно проверил выкладки и ру-
чаюсь, что в них нет ошибки. Больше я ни за
что не отвечаю.
Что и требовалось доказать!
IV. Графическое представление. Графиче-
ское представление разных вопросов следует
понимать широко: речь идет не только о гра-
фиках функций, но вообще о графическом изо-
бражении различных ситуаций.
Пример 6. Хорошо известна задача об
улитке, которая за день поднимается по ство-
лу дерева на 2 м, а за ночь опускается на 1 м.
Сколько времени ей потребуется, чтобы до-
стичь вершины дерева высотой 4 м?
Поскольку за сутки она поднимается на 1 м,
напрашивается ответ: 4 суток. Графическое
изображение (рис. 2) наглядно показывает
все обстоятельства движения улитки.
Рис. 2
Во-первых, улитка достигнет вершины через
2 суток. Во-вторых, ответ «4 суток» не толь-
ко неверный, но и нелепый, так как через
3суток улитка вторично достигнет верши-
ны и ей больше некуда будет подниматься.
Разумеется, таких примеров можно приве-
сти сколько угодно. Графическое изображе-
ние, давая наглядную и всеобъемлющую мо-
дель явления, предохраняет нас от напраши-
вающихся ошибок и подсказывает путь к ре-
шению.
V. Нахождение точечных множеств по не-
тривиальным условиям.
Пример 7. Какое множество точек (на
плоскости) определяется условием
| x2_|_y2_/?2 | =0?
Ответ: замкнутый круг радиуса R с цент-
ром в начале координат1.
VI. Изучение функций элементарными сред-
ствами. Многие задачи на нахождение экст-
ремумов или на исследование графиков вовсе
не требуют применения дифференциального
исчисления. Обращение же учащихся в этих
случаях к дифференциальному исчислению
происходит от лености ума (воспитанного
школьным преподаванием!). Нередко они
предпочитают механически применить заучен-
ный алгоритм, вместо того чтобы подумать.
Пример 8. Построить график функции
1
У ~ ха — 4л- 4- 3"
1 Большое количество примеров такого типа имеется
в книжке А С. Смогоржевского «Метод координат»
(М., 1952).— Прим. ред.
15
На рис. 3 штрихами показан график функ-
ции у=х2—4л+3. Взять обратное значение
легко. Точки, где i/=±l, остаются на месте.
В точках у—0 теперь появятся вертикальные
асимптоты. Вместо у—>оо теперь будет у—>0.
В заключение отметим, что мы вовсе не при-
зываем насаждать в школе трудные задачи
олимпиадного характера. И на простых зада-
чах можно приучать школьников самостоя-
тельно мыслить, а не полагаться только на го-
товые рецепш. Какое заблуждение считать,
что мыслить можно только на трудном мате-
риале, а с легким надо действовать по рецеп-
ту! Но это заблуждение очень распространен-
ное и потому особенно вредное.
М А. КУЛИКОВА. Л. А. РАДКЕВИЧ
(г. Астрахань)
ОРГАНИЗАЦИЯ ПОВТОРЕНИЯ
И ОБОБЩАЮЩИЕ УРОКИ ПО ГЕОМЕТРИИ
VIII КЛАССЕ
В процессе обучения важно не только хо-
рошее изложение учебного материала и его
закрепление, но и правильная, эффективная
организация систематического повторения ра-
нее изученного материала.
За ряд лет в нашей школе сложилась оп-
ределенная система организации повторения
учебного материала по геометрии в восьмых
классах; результаты такого повторения раду-
ют учителей.
В начале учебного года учитель планирует
повторение материала по геометрии за VI—
VIII классы по следующим темам:
1. «Конгруэнтность фигур и перемещения»
и «Параллельность и параллельный перенос».
2. «Многоугольники» и «Векторы».
3. «Подобие и гомотетия».
4. «Тригонометрические функции».
В каждой теме выделя! пся основные тео-
ретические вопросы, а также задачи (на вы-
hi
числение, построение и доказательство) На-
пример, в первом случае повторяются пунк-
ты 15—17, 19—22, 24—26, 29, 31, 36, 38 и ре-
шаются задачи № 229, 230, 245, 267, 277—
279, 318, 425, <190, 496, 500, 501.
Таких основных пунктов по всем темам пов-
торения обычно набирается 50—55, т. е. прак-
тически в каждый урок можно включать по
одному пункту на повторение.
В классе полезно оформить стенд «В по-
мощь учащимся», который поможет провести
повторение более эффективно. На нем учащие-
ся найдут полезные рекомендации: во-пепвых,
все вопросы по данной теме с указанием пунк-
тов учебника и номеров задач, во-вторых, от-
е еты на некоторые вопросы (краткое содер-
жание, образец доказательства). Во втором
пункте рекомендации будут сменяться чаще,
в зависимости от материала, повторяемого в
данный момент. При этом иногда можно пред-
ложить учащимся другой по сравнению с
учебником рисунок и несколько иное дока-
зательство. Например:
«Сумма углов треугольника», § 38, задачи
№ 490, 496.
Теорема. Сумма углов треугольника рав-
на 2d.
Дано: £хАВС.
Доказать. 1 +2+3= 2d.
Доказательство.
а) Проведем J (ДС), АЛ1) (см. рис.).
б) ;ДС)П[ВА0| ~ 2
(ДВ)И|ДА1) |=> ’
[СД)П|В/У)) . -
[сд)н[вс) Г. '
в)1+2 + 3 = 4 + 5 + 3, но 4 + 5 т 3 =»
= 180° (развернутый угол),значит, 1+2+3=
= 180°—2d.
Следствия: 1. В треугольнике не может
быть более одного прямого или тупого угла.
2. Внешний угол треугольника равен сум-
ме двух углов треугольника, не смежных с
ним.
Остановимся теперь на том. как мы прово-
дим повторение материала непосредственно
на уроке.
На первом уроке недели учитель вызывает
к доске наиболее подготовленных учеников,
которые быстро и хорошо доказывают теоре-
мы, умеют решать задачи и отвечать на воп-
росы. Класс внимательно слушает ответ уче-
ника, дополняет, исправляет его. Затем учи-
тель кратко обобщает этот ответ, обращает
внимание учеников на наиболее трудные мо-
менты в доказательстве и рассуждении. На
следующем уроке он вызывает учащихся, ко-
торые усваивают материал труднее, но у них
есть форма ответа, так как они уже прослу-
шали ответы своих товарищей на предыдущем
уроке.
При уплотненном опросе, с использованием
переносных досок и кодоскопа, за 10—15 ми-
нут повторяется как новый материал, так и
материал повторения. В этом случае удобнее
всего вызывать к доске четырех учеников по
проверке нового материала и двух (они рабо-
тают на переносных досках) по повторению;
остальным ученикам предлагается решить за-
дачи, содержание которых проецируется на
экран с помощью кодоскопа или размещается
на заранее заготовленной таблице. При этом
возможны либо комментированное решение
задач (учениками с места), либо самостоя-
тельная работа с последующей проверкой с
помощью кодоскопа.
После прохождения целого раздела мы
обычно проводим обобщающие уроки, цель
которых состоит в оказании практической по-
мощи учащимся при повторении, при система-
тизации знаний, для более сознательного усво-
ения ранее пройденного материала.
Обстановка на таких уроках спокойная, доб-
рожелательная, ученики заранее, за месяц, из-
вещены о времени проведения обобщающего
урока. Им дается перечень вопросов, задач,
которые будут включены в урок. Эти вопро-
сы многократно повторялись на уроках, уче-
ники получали коллективные и индивидуаль-
ные консультации учителя, и поэтому им не
представляет большого труда подготовиться к
таким урокам.
Сам урок проходит следующим образом.
Учитель из вопросов и задач составляет би-
леты, в которых содержится 2 вопроса: в од-
ном теоретический вопрос, в другом небольшая
задача. Учитель берет один из билетов, зачи-
тывает его и приглашает к доске желающего
стветить. Таким же образом получают зада-
ние и еще 5—6 человек, всем им дается вре-
М1 иа подготовку. Весь класс в это время ре-
шает одну из задач на повторение, ее условие
заранее записано на листе бумаги или на
кодоскопе. Затем начинается опрос вызванных
учащихся, во время которого остальные уче-
ники следят за их ответами, а потом вносят
дополнения и исправления.
В конце урока подводится итог ответам и
даегся небольшая самостоятельная работа,
после чего выставляется оценка каждому уче-
нику за весь урок. Неудовлетворительные
оценки за такие уроки, как правило, не вы-
ставляются, так как цель их — оказание по-
мощи учащимся. Сами уроки проходят живо,
активно.
Обобщающие уроки являются итогом боль-
шой работы учащихся по повторению, оказы-
вают им практическую помощь в подготовке
к экзаменам. Отзывы восьмиклассников об
этих уроках, их осознанные, логически строй-
ные ответы, с правильным использованием
символической записи, умением применять
теоретические знания при решении задач го-
ворят о большой эффективности такого повто-
рения.
3. 3. ЗАКИ ОВД
[г. Уфа)
ВОСПИТАНИЕ И РАЗВИТИЕ УЧАЩИХСЯ
В ПРОЦЕССЕ РЕШЕНИЯ
ПРОВЕРОЧНЫХ ЗАДАЧ
В данной заметке на основе результатов
двухгодичного эксперимента предпринята по-
пытка определения содержания и методики
составления проверочных работ, с помощью
которых вместе с контролем знаний осуществ-
лялось бы воспитание и развитие учащихся.
За основу принимаем следующие принципы.
1. Для каждого из основных знаний темы
с целью проверки выделяем соответствующие
умения по имеющимся в предмете математи-
ки содержательно-методическим линиям *.
Упорядоченность данных линий предопределя-
ет последовательность выделения, а следова-
тельно, и последовательность проверки уме-
ний. Проверочные задачи должны быть наце-
лены не только на контроль знаний, умений,
но и на воспитание и развитие у учащихся со-
ответствующих навыков: к примеру, навыков
геометрического воображения при проверке
понятия фигуры, навыков упрощения вычисле-
ний при выявлении «ычислительных умений
и т. д.
2. Для выявления сформированное™, а так-
же для воспитания и развития в процессе ре-
шения проверочных задач мыслительных опе-
1 Данные линии описаны в трудах: Гончаров В. Л.
Математика как учебный препмет— В кн.: Известия
Академии педагогических наук РСФСР. Выл. 92. 1958;
Шварцбурд С. И. Некоторые общие вопросы препода-
вания математики в 4—5 классах.— В кн.: Преподава-
ние математики в 4—5 классах: Пособие для учителей/
Сост. К- И. Пешков, С. И. Шварцбурд. М.: Просвеще-
ние, 1975.
17
раций сравнения, классификации, обобщения
и др. следует выделять из темы те понятия,
которые требуют выполнения данных опера-
ций. Проверочные задачи должны быть ориен-
тированы на применение этих операций.
3. Для проверки сформированное™, а так-
же для воспитания и развития умений само-
стоятельно делать обобщающий вывод, откры-
вать математическую закономерность следует
составлять проверочные работы так, чтобы их
выполнение позволяло выявить степень усвое-
ния материала в логически завершенном ви-
де.
Опишем на примерах основанную на дан
ных принципах методику составления прове-
рочных работ с воспитывающими и развиваю-
щими функциями.
В качестве примера использования указан-
ных в заметке принципов приведем три про-
верочные работы с воспитывающими и разви-
вающими функциями. Работы составлены к
следующим пунктам учебника «Математи-
ка 4»: п. 54—5G («Разряды десятичной дроби»,
«Измерение углов», «Транспортир»), п.60—62
(«Умножение десятичных дробей», «Частные
случаи умножения десятичных дробей»,
«Смежные углы») и п. 43—46 («Деление с ос-
татком», «Делители и кратные», «Признаки
делимости на 10, на 5 и на 2», «Признак де-
лимости на 3»),
К п. 54—55
1. В числе 2,341 перенесите все цифры на
один разряд вправо. Запишите полученное
число. Сравните данное и полученное число.
Укажите, какое из них больше и во сколько
раз. Сделайте вывод.
2. По рисунку запишите, какие числа соот-
ветствуют концам отрезка АВ.
л в
i--,-1--,-]-------1--1—Ч--Н----1---—
0 7
3. В трех бидонах 80 л молока. Сколько
литров молока в каждом бидоне, если во II
бидоне его в 2 раза больше чем в I, в III в
7 раз больше, чем в I? Решите задачу, сос-
тавляя уравнение.
4. Используя знак «+», укажите в табл. 1,
каким будет являться заданный yi ол.
Таблица 1
Угол Величина угла
М=90° Р=180° К=32° Д =130° В=45°-2 С = 180°:3 0=112°— --32° 90°<£<180°
Тупой
Острый
Прямой
Развернутый
5. Постройте углы ЛОВ и АОС, если
АОВ=62°, АОС =74°. Найдите величину уг-
ла ВОС. (Задача имеет два решения.)
X п. 60—62
1. Заполните пустые места в табл. 2.
2. Выполните действия 1,269—0,05-(6,8—
—5,9) -20+2,631.
Таблица 2
а 1,2 1,213 С,00018 24,15 3,001
ь 0,76 5,7 100
а-Ь 241,5 3001
3. Сравните значения трех выражений: 1,35;
1,35-4 и 1,35-0,4. Результат сравнения запи-
шите в виде двойного неравенства.
4. Найдите значение выражения 2,17-%+
+2,17-у при х—3,82 и у=6,18. Какой прием
упрощает вычисление? Придумайте задачу,
решением которой было бы данное выражение
с указанными значениями переменных.
5. Начертите угол АВС в 115°. Постройте
угол CBD, смежный с углом А ВС. Является ли
угол CBD тупым? Ответ обосновать.
К п. 43—46
1. Выполните деление с остатком: а) 344 на
28; б) у на 2 ври у=3, 4, 5, 6. Выразите де-
лимое через частное, делитель и остаток. Сде-
лайте вывод об остатке.
18
2. Сколько детских костюмов можно сшить
из 168 дм ткани, если на пошив одного кос-
тюма требуется примерно 17 дм ее? Сколько
ткани следует добавить к остатку, чтобы мож-
но было сшить еще один костюм?
3. Найдите: а) множество делителей числа
16, запишите их в порядке возрастания;
б) два числа, меньших 40 и кратных числу
16.
4. Какие из чисел в табл. 3 кратны: а) 10;
б) 5; в) 2; г) 3? Ответ дайте в таблице зна-
ком «+».
Таблица 3
Число 7110 3105 71 304 43 830 5031 2413
10
5
2
3
5. Кратно ли произведение 25-14-213 чис-
лу: а) 10, б) 5; в) 2; г) 3?
Г. И. ЗАПЕНКОВА, Н. В. ПАВЛОВА
|г. Череповец],
В. Н. ТРОЦЕНКО
(г. Владивосток]
О ФОРМИРОВАНИИ
И ЗАКРЕПЛЕНИИ У СТАРШЕКЛАССНИКОВ
НАВЫКОВ САМОКОНТРОЛЯ
При решении задачи можно выделить сле-
дующие этапы:
1) составление планов решения задачи;
2) анализ и выбор оптимального плана;
3) процесс решения задачи;
4) анализ результата.
Следует отметить, что выпускники средних
школ зачастую беспомощны при реализации
четвертого этапа решения задачи: не умеют
анализировать полученный ответ, не могут
оценить его правдоподобность. Так, например,
решая на вступительных экзаменах в вуз за-
дачу о вычислении площади фигуры, ограни-
ченной линиями y=sinx, у=0, х—, х—0,
абитуриент получил:
15 It
Т 2
S sin xdx = cos .t | = — 1 (кв. ед.),
и 0
Его нисколько не смутил тот факт, что пло-
щадь выражена отрицательным числом.
Приведенный пример лишний раз говорит о
том, что учащихся необходимо систематиче-
ски приучать анализировать полученные отве-
ты, воспитывать у них навыки самоконтроля.
На примере задач из темы «Определенный
интеграл» покажем возможность закрепления
у старшеклассников таких навыков самоконт-
роля, как прикидка, оценка ответа сверху и
снизу и т. д.
Познакомив учащихся с формулой для вы-
числения площади криволинейной трапеции,
им можно предложить простые задачи для
уяснения этой формулы.
1. Вычислить площадь фигуры, ограничен-
1
чой линиями У=~^Г' У — и> х—4.
Решение (рис. 1).
I 1
= - 4- (кв. ед.).
Чтобы оценить полученный ответ, построим
прямоугольники ANMB и ADCB и вычислим
их площади:
§ AN Мв~ КВ' еД-, SADCB ~ ' 15 КВ' ед-
Так как полученная площадь S заключена
между площадями рассмотренных прямо-
угольников, т. е.
то ответ правдоподобен.
2. Вычислить площадь фигуры, ограничен-
ной линиями y—sinx, у=0 (О^х^л).
Решение (рис. 2)
Рис. 2
У
19
S = ( sin xdx = — cos x | = 1 + 1 = 2 (кв. ед.).
О о
Для контроля ответа можно сделать гру-
бую прикидку, заменив рассматриваемую фи-
гуру треугольником ОАВ;
$ о ав = -J- 1 = 4~ I’6 ед-)’
Полученная площадь S приблизительно рав-
на площади треугольника и, кроме того, S>
Z>Soab- Таким образом, мы можем сделать
вывод о том, что полученный ответ правдопо-
добен.
Убедившись, что учащиеся усвоили форму-
лу площади криволинейной трапеции, можно
поставить перед ними проблему о вычислении
площади фигуры, не являющейся криволиней-
ной трапецией. Для решения этой проблемы
полезно организовать коллективную работу в
классе, предложив, например, следующую
задачу: «Вычислить площадь фигуры, заклю-
ченной между параболами
х' . 2 ,
у = — и у = 4--гх2.
Для учащихся решение предложенной зада-
чи — проблема, так как фигура, площадь ко-
торой надо определить, не является криволи-
нейной трапецией (рис. 3). Они столкнулись
с препятствием, которое могут преодолеть,
но готового метода для этого не имеют. В этом
случае уместно им напомнить об основных
этапах решения задачи.
Рис. 3
Итак, преподаватель предлагает высказы-
вать идеи по плану решения задачи; обычно
ученики охотно их предлагают, например:
а) рассмотреть разность площадей фигур
MB V и MCOAN-,
б) поднять ось Ох\
в) вычислить прежде площадь половины
искомой фигуры;
г) опустить фигуру ОСВАО и т. д.
Все предложения выписываются на доске
(на этом этапе не рекомендуется какая-либо
2D
критика предлагаемых идей). На втором эта-
пе решения задачи необходимо провести ана-
лиз предложенных идей и выбрать оптималь-
ный план решения: требуются «логики» и
«критики», им дается возможность высказать-
ся. Например, один ученик так анализировал
второе предложение: «Если ось Ох перенести
параллельно самой себе на расстояние 100' |,
то фигура будет состоять из двух криволиней-
ных трапеций. Это хорошо, но тогда в новой
системе координат надо записывать и урав-
нения данных линий, что является лишней ра-
ботой. Если лучшего плана решения не най-
дется, то можно реализовать и этот план».
Аналогично анализируются другие предложе-
ния и выбирается оптимальный вариант, ко-
торый и реализуется: S—2(SObad—5ОАО),где
фигуры OBAD и OAD криволинейные трапе-
ции.
Найдя координаты точек пересечения пара-
бол, учащиеся вычисляют площадь искомой
фигуры:
г 2
х-2(К4--з-'г)с,х-И^)-
о о
-2 К4-Iх’
О
2 2
= 2 (4 - x2)dx = 2 (4х- | =
О о
= 2 (8 - ф) = 10,7 (кв. ед.).
\ о / о
Правдоподобность ответа можно проверить,
сравнив площадь искомой фигуры г площадью
четырехугольника ОАВС:
$оавс = Ц-1ОВЫ АС | = А-4• 4 = 8 (кв. ед.).
Полученный ответ того же порядка, кроме то-
го, S>Sqabc, следовательно, ответ правдопо-
добен.
Анализируя метод решения этой задачи,
учащиеся могут сделать вывод, что если фигу-
ра, площадь которой надо определить, не яв-
ляется криволинейной трапецией, то ее ладо
представить в виде объединения или разности
криволинейных трапеций.
Таким образом, поставленную проблему уча-
щиеся решили. Они самостоятельно пришли к
новому знанию, применив при этом элементы
одного из методов организации коллективной
раооты, и закрепили некоторые методы само-
контроля.
С. Р. СЕФИБЕКОВ
(с. Кашнент ДагАССР)
К ПРЕПОДАВАНИЮ МАТЕМАТИКИ
В IV КЛАССЕ
Исходя из своего опыта преподавания в
четвертых классах в течение последних нес-
кольких лет, я хочу высказать ряд сообра-
жений о методике работы с четвероклассника-
ми.
Прежде всего хочу заметить, что школьни-
ки IV класса утомляются быстрее, им труд-
нее сосредоточить свое внимание при продол-
жительном объяснении учителя, они чаще от-
влекаются и от активного восприятия пере-
ходят к пассивному. Поэтому на уроке сле-
дует чередовать трудные вопросы с более лег-
кими, следить за тем, чтобы деятельность уча-
щихся не была однообразной. Для этого нуж-
но шире использовать устные упражнения.
Обычно устными упражнениями занима-
ются в начале урока, но я использ^ ю
их и в середине урока, в промежутках между
более трудными вопросами, например между
объяснением нового материала и решением
задач.
Добиться большего внимания учащихся при
объяснении нового материала учитель может
при помощи наглядных пособий или рисунков
на доске. Не следует пренебрегать и таким
приемом, как изменение интонации голоса.
Бывает полезен и переход к иной форме изло-
жения, например если сначала был рассказ
учителя, то продолжить обьяснение можно в
форме беседы или заслушать доклады, зара-
нее подготовленные некоторыми учениками.
На уроке надо приучать детей работать с
книгой, чтобы облегчить им пользование учеб-
ником при подготовке домашних заданий. Это-
му вопросу целесообразно уделять внимание с
самого начала учебного года. Приведу в ка-
честве примера описание первого урока в IV
классе по теме «Обозначение натуральных чи-
сел».
Прежде всего учащиеся познакомились с
требованиями учителя. Они узнали, что долж-
ны приносить с собою в класс, как пригото-
виться к уроку, как нужно вести записи в
тетради и выполнять домашние задания. За-
тем учитель провел краткую беседу о мате-
матике, подчеркнув, что изучение ее требует
труда и прилежания.
Следующий этап урока был посвящен чте-
нию и разбору п. 1 из учебника «Математи-
ка 4». Сначала текст этого пункта учитель
громко прочитал сам и сделал необходимые
разьяснения. Затем этот же текст учащиеся
читали поочередно фразу за фразой. Детям,
для которых русский язык не является род-
ным, такая форма работы позволяет до кон-
ца осознать прочитанное. Затем учащиеся под
руководством преподавателя выделили основ-
ные моменты изученного и записали их: 1) на-
туральные числа, 2) обозначение натураль-
ных чисел, 3) десятичная запись чисел,
4) миллиард, 5) чтение чисел. Такие планы
учащиеся составляют каждый раз после изу-
чения нового материала. Ученики записывают
их в отдельную тетрадь, туда же заносят но-
вые определения и правила, но только уже не
на уроке, а дома. Эти записи облегчают уча-
щимся подготовку к устному ответу, приуча-
ют их к связному рассказу.
После разбора текста учебника в классе
были выполнены упражнения № 1 (а), 2 (а,
б, в, г), 3 (а), 4 (а), 5(1), 8(1). Для домашней
работы дети получили задания № 9(a), 10,
12(a), 13(a). Кроме того, было предложено
найти сумму всех натуральных чисел от 1 до
40.
На втором уроке при проверке домашнего
задания выяснилось, что все учащиеся нашли
сумму чисел от 1 до 40 непосредственным
сложением. Тогда им был продемонстрирован
более простой путь решения:
1+2+...+39+40= (1+40) + (2+39) +-+
+ (20+21) =41 -20=820.
Красоту этого способа оценили все ребята.
Если систематически показывать рациональ-
ные подходы к задачам, внушать школьни-
кам, что они в состоянии самостоятельно на-
ходить остроумные и красивые решения, то
постепенно учащиеся привыкают творчески
подходить к задачам. Учитель должен под-
держивать поиск более простых решений, вы-
слушивать различные варианты и отмечать
самые удачные. Не нужно думать, что для та-
кой работы годятся только особые, нестан-
дартные задачи. Учитель должен поддержи-
вать творческий поиск, имея дело даже с са-
мыми привычными задачами.
Рассмотрим одну из таких задач: «Плошадь
трех комнат 51 м2. Третья комната в 3 раза
меньшей первой, а вторая на 5 м2 меньше
первой. Найдите площадь каждой комнаты».
Эту задачу учащиеся решали в классе само-
Таблица I
Комнаты Площади
нерпая вторая третья х м’ (х - 5) м" (х: 3) м’
Итого Ц и’
Таблица 2
Комнаты Площади
первая вторая третья Зх м’ (Зх—5) м’ X м1
Итого 51 м’
21
стоятельно, а затем были разобраны два раз-
личных решения. Один ученик записал усло-
вие в виде табл. 1 и составил уравнение: *+
+ (х—5)+ (х: 3) =51. но решить его не смог,
так как уравнения такого вица не изучаются
в IV классе. Учитель разъяснил причину зат-
руднения. Она состоит в том, что обозначения
введены нерационально. Классу было проде-
монстрировано решение другого ученика, ко-
торый записал условие в виде табл. 2. Это
позволило составить значительно более легкое
уравнение 3%+(3х—5)+%=51, которое было
решено всеми учащимися.
Д. В. КЧИМЕНЧГНКС. Т. Д. ЦИКУНОВА
(г. Бердянск)
НЕКОТОРЫЕ НЕСТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ
ПО ТЕМЕ «НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА»
Приходя в IV класс, дети владеют основны-
ми идеями десятичной позиционной системы
счисления. Но при изучении систематическо-
го курса математики возникает настоятельная
потребность расширения, углубления и систе-
матизации этих знаний на более прочной тео-
ретической основе. Проведению такой работы
соответствует содержание программы по мате-
матике IV—V классов. Практика показывает,
что наиболее эффективным средством дости-
жения поставленной цели являются задачи
развивающего характера. Сами учащиеся
говорят, что им нравится решать задачи, над
которыми нужно хорошенько подумать. «По-
больше бы таких задач»,— высказывают они
свои пожелания.
Мы используем нестандартные задачи при
изучении различных вопросов программы, а
также во внеклассной работе, в качестве ин-
дивидуальных заданий, для самостоятельной
творческой домашней работы и т. п. Приведем
примеры задач, используемых нами в IV—VI
классах, и кратко укажем методику работы с
ними.
Задача 1. Сережу попросили назвать но-
мер квартиры, которую получила его семья
в новом доме. Он ответил, что этот номер вы-
ражается числом, которое в 17 раз больше
числа, стоящего в разряде единиц номера. Ка-
кой же номер этой квартиры?
Для того чтобы верно сориентировать уча-
щихся в их поисках решения, были предложе-
ны такие вспомогательные задачи:
а) Запишите число 72 в виде суммы разряд-
ных единиц. Во сколько раз 72 больше числа,
стоящего в разряде единиц?
б) Запишите число, содержащее а десятков
и b единиц.
в) Запишите число, в 17 раз большее того
числа, которое в записи 10а+5 стоит в раз-
ряде единиц.
В этих задачах и во всех следующих латин-
скими строчными буквами мы обозначаем
только 0 и натуральные числа от 1 до 9. Об
этом надо всегда предупреждать учащихся.
Разобрав предложенные задачи, учашиеся
составили уравнение 10а+5=175. Получен-
ное уравнение для них оказалось необычным,
так как содержит две переменные. Однако,
приведя его к виду 10п= 165, а затем к виду
5а=85 и зная, что а и b не превышают 9.
ученики нашли ответ: а=8 и 5=5. Следова-
тельно, номер квартиры 85.
Задача 2. Количество килограммов ме-
таллолома, собранного одним пионерским от-
рядом, выражается трехзначным числом. Ес
ли первую цифру 9 этого числа перенести в
конец, то получим число килограммов метал-
лолома, собранного другим отрядом. Известно,
что один отряд собрал на 216 кг больше дру-
гого. Сколько металлолома собрал каждый от-
ряд?
Для решения этой задачи нужно уметь за-
писать новое число, полученное в результате
перестановки первой цифры в конец данного
числа. Здесь полезно конкретизировать ситуа-
цию, предложив, например, выполнить анало-
гичное требование для числа 725. Получив в
результате 257, путем наводящих вопросов
выясняем, что в исходном числе цифра 2 сто
пт в разряде десятков, а в полученном — в
разряде сотен; в исходном числе 5 единиц, в
полученном— 5 десятков. После такого срав-
нения согласно условию записываем’ если
100-9+10-а+5 исходное число, то новое
100а+105+9. Учащиеся устанавливают, что
большим будет первое число, и составляют
уравнение
900+10а+5=100п+105+9+216,
откуда 10^+5=7-10+5 и <7=7, 5=5. Зна-
чит, первый отряд собрал 975 кг металлолома,
а второй — 759 кг.
Задача 3. Количество учеников, обучаю-
щихся в IV—V классах школы, выражается
трехзначным числом. Из цифр этого числа
(без повторений их) можно составить 6 дву-
значных чисел, сумма которых вдвое больше
числа учеников IV-V классов. Сколько уче-
ников в этих классах?
При решении этой задачи используются эле-
менты комбинаторики. Поэтому мы сначала
предлагаем такие вспомогательные задачи и
наводящие вопросы:
а) Из цифр 2, 3 и 5 составьте всевозмож-
ные двузначные числа без повторений цифр.
Сколько чисай получено?
22
б) Составьте всевозможные двузначные
числа из цифр а, Ь, с без повторении этих
цифр. Сколько получено таких чисел?
в) Запишите трехзпачнос число, имеющее
а сотен, b десятков и с единиц.
После такой подготовки учашиеся присту-
пают к решению задачи. Пусть в IV—V клас-
сах обучается 100а-ф106-фс учащихся. Тогда
условию соответствует уравнение:
(10а-ф6) -ф (1ОЬ+а) -ф (ICta-f-c) -ф (Юс-фа) -ф
-ф (106-фс) -ф (1 Ос-фб) =2 (100а-ф 106-фс),
откуда 10с-ф6=89а.
Число 10с-ф6 двузначное, поэтому 89а так-
же двузначное, но это возможно только при
о=1. Тогда с=8 и 6=9. Искомое число 1у8.
Задача 4. Найдите все трехзначные чис-
ла X, в записи которых цифры не повторяют-
ся, такие, чтобы разность числа X и ему обра-
щенного (т. е. записанного теми же цифрами,
но в обратном порядке) была также трехзнач-
ным числом, состоящим из тех же цифр, что
иХ.
Эта задача предполагает проведение некото-
рой экспериментально-исследовательской ра-
боты и наблюдений, перебора различных ва-
риантов и выявления закономерностей. Ее це-
лесообразно предлагать в качестве индивиду-
альных творческих заданий.
Для организации поисковой деятельности
учащихся мы прежде всего предложили им
установить вид числа, получаемого в резуль-
тате вычитания из трехзначного числа, запи-
санного разными цифрами, обращенного ему
(или из обращенного— данного трехзначного
числа, если оно меньше обращенного). Про-
водя экспериментально-исследовательскую ра-
боту, учащиеся заметили, что в полученной
разности в разряде десятков стоит цифра 9
и сумма чисел, стоящих в разрядах сотен и
единиц также 9. Более подготовленные школь-
ники сумели доказать подмеченную законо-
мерность. В результате получили: (100а-ф
ф106-фс) — (ЮСс-ф 106-фа) =99 (а—с). Учи-
тывая условие задачи, заключаем, что (а—с)
может изменяться от 2 до 8, а выражение
£9(а—с) принимает значения 198, 297, 396,
495, 594, 693, 792.
Достаточно рассмотреть первые четыре чис-
ла, так как последние можно получить пере-
становкой цифр во втором, третьем и четвер-
том числах. Значит, следует рассмотреть че-
тыре случая. Цифры искомого числа могут
быть такими: 1, 8 и 9; 2, 9 и 7;3,9 и 6; 4,9 и 5.
Проведя для каждого случая испытания (на-
пример, 891—198=693; 981—189=792; 918--
—819=99), учащиеся нашли, что требованию
задачи удовлетворяют два числа — 954 и
459.
Задача 5. Если к 38 прибавить число,
записанное теми же цифрами, но в обратном
порядке, то получится квадрат некоторого чис-
ла. Найдите все двузначные числа, удовлет-
воряющие этому условию.
Эту задачу можно рассмотреть в V классе
после изучения темы «Степень».
Для решения достаточно записать двузнач-
ное число в общем виде, а также обращенное
ему, найти их сумму и исследовать получен-
ный результат, т. е. 10а-ф6-ф106-фа= 11 (а-ф
-фб). Он может быть равен квадрату числа
11, но лишь при условии, что а-ф6=11, т. е.
сумма чисел, стоящих в разрядах десятков и
единиц, равна 11. Этому условию удовлетво-
ряют числа 29, 38, 47, 56, 65, 74, 83 и 92
Задача 6. Существует ли число, которое
удваивается от перестановки его крайней ле-
вой цифры в конец?
Задача эта способствует воспитанию у уча-
щихся потребности в проведении доказа-
тельств, а также формированию умений и на-
выков в выполнении таких доказательств с
использованием символики.
Решение следует начать с рассмотрения кон-
кретного примера. Переставим в числе 3578
цифру 3 в конец и установим прежде всего,
что в данном числе эта цифра стоит в разря-
де тысяч, а в полученном — в разряде еди-
ниц. Теперь запишем: 3578= 103-3-ф578, а
5783=578- 10-фЗ и сделаем обобщение на слу-
чай а-значного числа.
Рассмотрим л-значное число, составленное из
цифр а, аи а2, - • -. <2п-ь Оно записывается так:
ааЩъ... ап-ъ Пусть - ап_| = 5, тогда
аащ2... a„-i = а - Ю”-1 -ф В. После перестанов-
ки ц 1фры а получим:
aja2... ап-\а = 105 Д а.
По условию 105-фа=2(10п-1а-ф5), откуда
85=а (2-10”-1— 1).
В дальнейшем доказательство сводится к
установлению того, выполняется или не выпол-
няется это равенство. Вопрос этот для уча-
щихся сложен, поэтому учитель должен уде-
лить ему пристальное внимание.
Левая часть равенства кратна 8, по-
этому должна быть кратна 8 и правая. Одна-
ко число 2-Ю'1-1—1 нечетное, поэтому не де-
лится на 8; число а кратно 8 только
при условии а=8 (а может принимать значе-
ния 1, 2, ..., 9). Но если при а=8 удвоить дан-
ное и-значное число, то получим а-ф1-значное
число (8-2=16), в то же время от переста-
новки цифры количество цифр в числе не ме-
няется. Полученное противоречие дает основа-
ние отрицательно ответить па вопрос задачи.
Приведем еще несколько задач, которые
можно использовать в работе с учащимися
IV—VI классов при изучении различного прог-
23
раммного материала. В квадратных скобках
указаны ответы.
7. Найдите наименьшее натуральное число,
делящееся на 36, в записи которого встре-
чаются все 10 цифр по одному pasv.
[1023457896.]
8. При возведении числа 4 в различные сте-
пени Саша получил три числа, у которых пос-
ледние цифры различны. Юра, не вычисляя ре-
зультатов, сразу заметил, что Саша ошибся.
Какое он имел для этого основание? [Степени
числа 4 могут оканчиваться либо на 6, либо
на 4.]
9. В числе 513879406 вычеркните 4 цифры
так, чтобы оставшиеся цифры в том же поряд-
ке составили: а) наибольшее число; б) наи-
меньшее число, [а) 89406; б) 13406.]
10. Все натуральные числа от 1 до 100 раз-
биты на 2 групяы — четные и нечетные. Опре-
делите, в какой из групп сумма всех цифр, ис-
пользуемых для записи чисел, больше и на
сколько. [Сумма всех цифр, используемых для
написания нечетных чисел от 1 до 100, на 49
больше, чем сумма цифр, используемых для
написания четных.]
11. Расстояние от села до города в кило-
метрах выражается таким два значным чис-
лом, первая цифра которого равна разно-
сти между этим числом и числом, записан-
ным теми же цифрами, но в обратном поряд-
ке. Чему равно это расстояние? [98 км.]
12. Запишите четырехзначное число, у ко-
торого каждая последующая цифра на 1 боль-
ше предыдущей, затем запишите число теми
же цифрами, но в обратном порядке и из
большею числа вычтите меньшее. Повторите
это несколько раз, беря каждый раз иные
числа’. Какие получаются результаты и поче-
му? [Разность всегда равна 3087]
13. Урожай кукурузы в центнерах, собран-
ный с участка, выражается четырехзначным
числом, записанным при помощи цифр 0, 2, 3
и 5. Когда подсчитали среднюю урожайность
с гектара, то оказалось, что она выражается
таким же числом центнеров, как и площадь
участка в гектарах. Определите общий уро-
жай и среднюю урожайность кукурузы.
[3025 ц; 55 ц.]
14. Сколько всего шестизначных чисел, у
которых все цифры нечетные? [15625.]
Г. В. ДОРОФЕЕВ
(Москва]
ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ
ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ
В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ 1
Комментарии к задачам
Задача 1. Школьная программа не предусматри-
вает детального ознакомления учащихся с логически-
ми особенностями исследования функций на замкну-
том промежутке, точнее - с тем, какую роль при этом
играет непрерывность функции (а фактически даже
односторонняя непрерывноеJb). Формально говоря, это
обстоятельство несколько сужает возможности приме-
нения рассматриваемого метода исследования — без
обращения к непрерывности нельзя обосновать даже
такое простое и очевидное утверждение, что функция,
монотонная на открытом промежутке, принимает свои
экстремальные значения в его концах.
Однако заострять на этом внимание учащихся, осо-
бенно ' на начальном этапе, и тем более требовать от
них соответствующих точных логических обоснований
педагогически совершенно нецелесообразно. Представ-
ляется вполне достаточным ограничиться наглядным
уровнем рассуждении, показав поведение исследуемой
функции па эскизе графика (и явно подчеркнув при
этом значение непрерывности функции) — в противном
случае критико-логическая сторона деятельности уча-
щегося полностью заслонит сторону творчески-матема-
тпческую,
В то же время осознание необходимости непрерывно-
сти функции, воспринятое даже лишь на и нт; итивиом
уровне, может б дальнейшем явиться базой для про-
педевтики самого понятия непрерывности. Нельзя не
отметить психологически благоприятного обстоятель-
ства для пропедевтики непрерывности при таком под-
ходе — это понятие возникает не на основе кзких-то
соображений «высшего порядка», а непосредственно
из личной практики учащегося, из его личных потреб-
ностей.
С другой стороны, в рассматриваемой задаче, как
и в ряде других, преодолеть возникшие затруднен 1я
можно и сохранив «полный» уровень стр тгосги: для
этого следует рассмотреть функцию f на каком-либо
открытом промежутке, содержащем точку 0, - напри-
мер, на ]—1; 4-оо [,— тогда точка 0 окажется внут-
ренней, а поскольку функция f возрастает н на этом
более широком промежутке, то неравенство f(x)>f(O)
будет следовать непосредственно из условия возраста-
ния функции на открытом промежутке. В то же вре-
мя такое расширение области определения исследуе-
мой функции далеко не всегда возможно, и поэтому
в любой задаче учитель сам должен иайти уровень
строгости обоснования, ориентируясь на поставленные
цели и учитывая возможности учащихся.
Задача 2. Отметим, что в задачах такого рода
«само собой ► возникает понятие второй производной,
и если при этом при первом знакомстве можно и не
вводить этого термина, то при приобретении некоторо-
го опыта явное определение второй производной и ис-
пользование этого понятия не представит для учащих-
ся никаких трудностей
В некоторых задачах процесс «итераций» может
быть и более длинным, состоять из нескольких ша-
1 Окончание Начало в № 5 за 1980 г.
24
гов — например, при доказательстве известных нера-
венств
Jf2 Х& Х± х6
> 1 + * + -TjT + — + 24 720-
д'З j^3
Х- —<sinx<x --^-1 (X>0),
X2 Г2 Г4
1--F<cosx<l -^-4--^-.
При рассмотрении задач с большим количеством «ите-
раций» следует, конечно, явно пользоваться понятием
производной любого порядка — иначе изложение будет
излишне затрудненным.
После решения этой задачи полезно применить до-
казанное неравенство для оценки числа е: при x — '/i
из него получаем, что Уе^13/8, откуда е>2,64. При
меньших значениях х можно получить более точные
нижние границы для числа е, однако наиболее поучи-
телен для учащихся здесь сам факт — доказанное не-
равенство дает возможность с помощью обычных вы-
числений оценить число, определенное в учебнике весь
ма необычным для школьников образом.
Обратим внимание еще на тот факт, что неравен-
ство g(x) >0, или
е1>1+х (х>0),
установленное в нашем решении, может быть исполь-
зовано для исключительно простого доказательства не-
равенства между средним арифметическим и средним
геометрическим. Это доказательство проведено в
статье Г. А. Сорокина, публикуемой в этом номере
журнала.
Задача 3. Переформулировка этой задачи, ско-
рее всего, доставит учащимся значительные трудно-
сти, и поэтому учителю целесообразно провести неко-
торые эвристические рассуждения, приводящие к новой
формулировке белее или менее естественным образом.
Эти рассуждения можно провести примерно так: ясно,
что при больших значениях х правая часть мало от-
личается от 1п х3=31п х, а логарифм, как это совер-
шенно очевидно из графиков, растет медленнее, чем
функция р=х; поэтому для больших значений х («на
бесконечности») данное неравенство заведомо не вы-
полняется. Остается теперь оформить эту идею в виде
строгих рассуждений.
Для использования более сложной техники диффе-
ренцирования или для более детальной проверки зна-
ния учащимися свойств логарифмов можно рассмотреть
логарифмы с основанием, отличным от е, н подобрать
числа таким образом, чтобы заключительная непосред-
ственная проверка была связана с техническими труд-
ностями требуемого уровня.
Отметим, что в решении мы даже не сослались на
непрерывность функций g, f, хотя, строго говоря, та-
кая ссылка должна быть сделана. Тем не менее
и в дальнейшем мы ссылки такого рода делать не бу-
дем, считая, что логическая и педагогическая ситуация
здесь достаточно подробно описана в комментариях
к задаче 1.
Обратим внимание еще на одну особенность реше-
ния задачи. Мы не придерживаемся здесь принятой
в школе в настоящее время схемы исследования: сна-
чала найти критические точки и затем интервалы мо-
нотонности Нам кажется, что в большинстве случаев
решение неравенства f'(x)><J никоим образом не труд-
нее, чем решение уравнения а нахождение
интервалов монотонности автоматически дает точки
экстремума, сразу при этом определяя их вид.
Впрочем, при нашем способе рассуждений приходит
ся пользоваться — явным или неявным образом — по-
нятием равносильности неравенств на некотором мно-
жестве, обычно на области определения исследуемой
функции: однако это понятие является весьма естест-
венным, ведь фактически в любом рассуждении мы
всегда имеем в виду некоторое вполне определенное
множество значений, которые принимает та или иная
переменная. Представляется поэтому, что понятие рав-
носильности на множестве оправдано уже тем, что
с его помощью исследование* функций проводится
естественно и компактно. Разумеется, учитель вправе
придерживаться в работе с учащимися и других схем
исследования.
Задача 4. В этой задаче несколько усложнена за-
ключительная час гь решения — доказательство нера-
венства f(x0)<l,75. Ясно, что это пе имеет отношения
к сущности применяемого метода, но при решении за-
дач такого рода с учащимися, особенно на начальном
этапе, трудности естественно разделять.
Кроме того, следует рассматривать и такие задачи,
в которых фактически исследование не нужно, в ко-
торых можно обойтись подбором, т. е. явным указа-
нием значения переменного, при котором данное нера-
венство выполняется. Например, если требуется выяс-
нить, имеет ли решения неравенство Зх — tgx>],36
на промежутке |0; л/2|. можно прежде всего испробо-
вать отдельные «хорошие» значения переменной; так,
при х=л/4 имеем
Зл
I > 1,35,
и эта попытка оказалась пеудачной, по при х=л./3
п —}'3>3,14— 1,75=1,39,
и, следовательно, данное неравенство имеет решения.
Рассмотрение таких «провокационных» задач пред-
ставляется совершенно необходимым именно с воспита-
тельной точки зрения; учащиеся убеждаются в необ-
ходимости анализировать, исследовать задачу, а ие
следовать заранее предписанным схемам. Решение под-
бором следует иметь в виду и нри составлении задач:
если мы хотим заставить учащегося воспользоваться
производной, цифры следует подбирать таким образом,
чтобы рассмотрение «хороших» значений не приводило
к цели.
Задача 5. В этом внешне простом и естествен-
ном решении кроется чрезвычайно существенная тон-
кость, оставлять которую без внимания было бы мето-
дически неверно. Дело в том, что мы фактически без
доказательства, только с ссылкой на непрерывность
утверждаем, что область значений функции — это
замкнутый промежуток между ее наименьшим и наи-
большим значениями.
С точки зрения математической здесь все правильно,
и наше утвержд( иие обосновано одной из важнейших
теорем о непрерывных функциях — так называемой
теоремой о промежуточных значениях, или теоремой
Больцано — Коши: если функция f непрерывна иа от-
резке |а; б], f(a)=A, f(b)=B и Л<сС<В, то суще-
ствует число с£]а; б[, для которого f(c)=C Однако
этой теоремы в школьном курсе нет, и ее доказатель-
ство потребовало бы средств, заведомо выходящих за
допустимый в школе уровень сложности.
В то же время свойство непрерывной функции при-
нимать все промежуточные значения настолько есте-
ственно и геометрически очевидно, что использование
его без доказательства (с явной оговоркой о негтро-
гости геометрической иллюстрации) нс только, иа наш
взгляд, допустимо, по н целесообразно.
Впрочем, в новом учебном пособии «Алгебра и на-
чала анализа 9—10» эта теорема сформулирована,
формально говоря, для частного случая, когда С=0,
а числа А и В имеют ра шые знаки. Но совершенно
очевидно, что общий случай легко сводится к этому
частпомх заменой исследуемой функции f(x) на
1М-С.
С другой стороны, в этой задаче можно привести
обоснование нужного утверждения, не опираясь на
теорему Больцано — Коши, а с помощью теоремы,
имеющейся в ныне действующем учебном пособии.
Именно, если функция определена, непрерывна и воз-
растает (убывает) на промежутке 1. то множество ее
значений есть некоторый промежуток 1 («Алгебра
и начала анализа 10», п. 84; «Алгебра и начала ана-
лиза 9—10», п. 51).
В нашем случае, согласно проведенному исследова-
нию, непрерывная функция / возрастает па отрезке
(2; 8/3], и поэтому множество ее значений на этом
отрезке есть отрезок между ее «крайними» значениями
f(2) и /(8/3), т. е. |2; Уб]. Точно так же находим, что
множество значений функции / на отрезке [8/3; 4] есть
отрезок [7'2; Уб]. Но тогда
Е (/) •= [2; /б 1 U [/2; Аб ] = [ /2; /б"]-
Нельзя не отметить, впрочем, что и в этом обосно-
вании с точки зрения школьного курса есть логический
дефект: фактически здесь использовано понятие одно-
сторонней непрерывности фупкцьп (в конечных точках
отрезка), но эту деталь вскрывать явно перед учащи-
мися, видимо, не следует.
Задача 6. Решение задач такого рода — опреде-
ление числа корней уравнения с помощью исследования
ею левой части (если в правой части посте нгое чис-
ло) — целесообразно начинать с самых простых случаев,
когда монотонность левой части уравнения очевидна,
как. например, в уравнениях
V х±2 + /2х 3 = 3, х + 2х == 6,
sin* 23° + cos* 23° = 1.
При этом полезно подбирать числа таким обпазом,
чтобы иногда можно было найти, корень уравнения
подбором, т. е. полностью решить уравнение. В более
сложных случаях, когда корень подобрать нельзя, еле
дует, как и в задаче 5, иметь в виду аспекты реше-
ния, связанные с теоремой о промежуточных значе-
ниях.
После таких начальных примеров полезно, на наш
взгляд, рассмотреть задачи, в которых монотонность
левой части не очевидна, но может быть доказана
несложным приемом без применения производных: на-
'пример, уравнение
х 4- 18— у/ х -f-8 = 2
имеет не более одного корня, поскольку его левая часть
_________10_________
/х 4- 184- А + 8
4- 18— V х 4- 8 =
является, как легко видеть, убывающей функцией.
Точно так же для решения уравнения Зх4-4а: = 5* сле-
дует сначала переписать его в виде

и заметить, что левая часть нового уравнения — убы-
вающая функция.
В дальнейшем можно решать и более сложные зада-
чи, в которых, например, исследуемая функция снача-
ла убывает, а потом возрастает. В этих задачах важ-
ным рабочим инструментом являются графики, что да-
ет возможность сделать построение графиков для уча-
щихся не самоцелью, а средством исследования.
Задача 7. Задачи такого рода являются есте-
ственным продолжением задачи 6 и аналогичных ей.
Если в последних речь идет о том, что монотонная
функция принимает каждое свое значение не более од-
ного раза, или, что равносильно, уравнение вида
f(x)=g(x), где функции / и g монотонны в разных
смыслах, имеет ие более одного решения, то в рассмат-
риваемой задаче появляется принципиально новый мо-
мент: обе части уравнения представляют собой возра-
стающие функции. В связи с этим возникает необходи-
мость сравнения скорости возрастания этих функций,
нужно, иными словами, сформулировать на математи-
ческом языке, что именно означают сами эти слова:
функция f возрастает быстрее, чем функция g.
К требуемому определению — выполнению неравен-
ства f'(x) >g'(x) —учащихся может подвести учитель,
и их работа по «придумыванию» этого определения
принесет существенную пользу, поскольку здесь дей-
ствительно работает физический смысл производной
как скорости возрастания функции, причем не как ил-
люстрация, а как средство исследования.
Отметим, что и в этой задаче возникают трудности,
связанные с необходимостью ссылаться на непрерыв-
ность функций, но их можно частично избежать, если
исследовать функцию /—-g не на отрезке [5/6 3/2],
а на (5/6; 2).
Задача 8. Поиск нужной переформулировки в этой
задаче вряд ли возможен без геометрической иллю-
страции, и, на наш взгляд, требовать строгого доказа-
тельства того факта, что «критической» прямой из се-
мейства прямых у=а+х является именно касательная
к графику функции /, не следует. Здесь так же, как
и в задаче 1, нельзя допускать, чтобы стремление к ло-
гической строгости превалировало над исследователь-
ской идеей поиска способа решения Освобождение
учащегося от необходимости доказывать это утверж-
дение строго можно рассматривать как своего рода
премию за открытие решения. Конечно, учащийся дол-
жен понимать необходимость соответствующего дока-
зательства.
Провести доказательство можно следующим образом.
Заметим сначала, что график функции /:х->У2х—1
лежит всюду ниже касательной к нему в точке
Л(1; 1)—кроме, разумеется, самой точки касания: это
следует из выполнения неравенства У2х — 1 <?х для
любого х=/= 1 из его области определения. Тем более
график функции / Лежит ниже прямой у—а + х при
а>0; с другой стороны, при неравенство
)'2х—1>а4-х выполняется, например, при х=1. От-
сюда и вытекает требуемое утверждение.
Проведенное доказательство не так уж сложно и са-
мо по себе представляет определенный познавательный
интерес, однако при решении данной задачи рассмат-
ривать его методически нецелесообразно, поскольку
идейно оно лежит в стороне от рассматриваемых здесь
вопросов.
Задача 9. В этой задаче, так же как и в преды-
дущей, нуждается в строгом обосновании центральное
утверждение — возможность вычисления Требуемого
расстояния как расстояния от точки касания А до
прямой 1. Методическая ситуация здесь также анало-
гична, и мы проведем строгое доказательство.
Заметим сначала, что парабола t/=x2 всюду, за
исключением точки касания, лежит выше касательной:
действительно, касательная в точке х0 имеет уравне-
ние у — 2ха(х — х0) 4- Хр . а тогда неравенство х2>
>2х0(х— Хо) 4- Хд, или х2—2хох4-Хд>0, выпол-
няется при любом х=#х0.
Напротив, прямая I (см.
рис.) лежит всюду ниже
прямой т, так что парабо-
ла и прямая I лежат в раз-
ных полуплоскостях, опреде-
ляемых прямой т. Отсюда
следует, что расстояние
|/(Е| больше расстояний
между прямыми I и т, так
что найденное расстояние
d=|AB| и есть искомое.
Нельзя не указать также,
что и в этой, и в преды-
дущей задачах существен-
но расположение кривой по
одну сторону от касательной
свойство, формализация которого приводит к понятию
выпуклости, а в аналитическом плане — к понятию
второй производной н к ее использованию при более
детальном исследовании поведения функции.
26
Отметим, наконец, что постановка данной задачи
мижег показался довольно искусственной и потому
не выполняющей важное назначение —естественное
введение аадачи о проведении касательной. Однако
политехническая формулировка, точнее, беллетризация
этой задачи, достаточно проста: например, можно
сформулировать ее как задачу о проведении кратчай-
шего пути от прямолинейного шоссе до песчаного
карьера, граница которого имеет форму параболы.
Задача 10. Предложенный в решении способ вве-
дения функции, функционализации данного в условии
неравенства не является, разумеется, единственным.
Однако даже поверхностный анализ этого неравенства
с целью его упрощения приводит к идее освободиться
хотя бы от одного радикала, т. е. разделить на V3
обе части неравенства.
Задача 11. В действительности достаточно очевид-
но, что log36<log45— показатель степени, в которую
надо возвести 5, чтобы получить 6, видимо, меньше,
чем показатель степени, в которую надо возвести 4,
чтобы получить 5. Поэтому можно было бы начать
решение с этого неравенства. Мы однако, предпочли
начать решение с противоположного — неверного — не-
равенства, чтобы показать, во-первых, Что при работе
с равносильными неравенствами справедливость исход-
ного неравенства не имеет значения, и, во-вторых, чт ),
во всяком случае, в задачах такого рода нет никакой
необходгмости использовать знаки «сомнительного не-
равенства» Д и V- которые в математике в этом
смысле никогда ие употребляются.
Отметим, что данное неравенство имеет еще и сле-
дующий «искусственный» способ решения: в силу нера-
венства между средним арифметическим и средним
геометрическим имеем.
гГ . logs 4 + logs 6 logs24
у logs 4- logs 6 <----- 9------------2— < 1’
т. e. logs 4-logs6<1, или logs 6 < log4 5. Мн видим, что
этот способ, как обычно и бывает при применении
искусственных способов, быстрее приводит к цели. Од-
нако придумать его значительно сложнее, чем приме-
нить производные — в конце концов, применение произ-
водных в рассматриваемой ситуации может и должно
стать именно естественным способом решения.
Отметим еше, что неравенство
х In х> („’+!) In (х+1),
равносильное может быть опровергнуто и
с помощью производной: действительно, (х1пх)'=
= 1пхФ1>0, так что функция х->х1пх возрастает.
Задача 12. Функциональное происхождение нера-
венства в этой задаче совершенно не очевидно, и его
поиск потребовал предварительной работы, определен-
ной изобретательности. Более интересно, однако, то
обстоятельство, что возникшая естественным образом
функция не поддается непосредственному дифференци-
рованию, но допускает нужное для целей решения ис-
следование
Педагогическая ценность этой ситуации состоит
в том, что в мышлении учащихся в некоторый момент
уже складывается определенный стереотип: если надо
исследовать функцию, то следует прежде всего взять
ее производную. Поэтому, получив показательно-степен-
ную функцию, они. естественно, теряются и ие могут
продолжить исследование.
Хотя закрепление этого стереотипа — факт сам по
себе положительный, но при этом следует обратить
внимание иа определенную ограниченность такого пря-
молинейного способа решения, показать, что подлин-
ное математическое исследование далеко не всегда
может идти по каким-либо строго определенным пра-
вилам.
В частности, здесь следует лишний раз подчеркнуть
учащимся, что при решении задачи, углубившись
в какие-либо рассуждения, идя по уже намеченному
пути, никогда не следует забывать о главной, перво-
начальной цели, об условии Задачи, об уже получен-
ных промежуточных результатах. В данном случае
следует помнить, что производная функции f сама по
себе нам даже и не нужна, ее назначение — чисто при-
кладное, по ее знаку мы можем судить о монотонно-
сти функции f. И если мы не можем эту производную
найти непосредственно по формулам дифференцирова-
ния, то возникает вопрос, нельзя ли рассмотреть более
простую функцию, монотонность которой была бы есте-
ственным образом связана с монотонностью функции f
Разумеется, этот подход вряд ли придет в голову
учащимся, если они совершенно не подготовлены к раз-
мышлениям такого рода, а для подготовки полезно
предварительно решить несколько задач, связанных
с композицией монотонных функций. Одной из послед-
них подготовительных задач такого рода может быть,
например, следующая: найти промежутки монотонности
функции
/' Л' > 2 Г Тл5—2.Г+3
Эта задача может, наоборот, послужить и исходной
для создания проблемной ситу ации — исследовать иа
монотонность функцию очень сложного вида. При ее
решении учащиеся, скорее всего, не рискнут непосред-
ственно применять формулы дифференцирования войду
очевидной громоздкости соответствующих выкладок, и
после уже проделанных предварительных упражнений
вполне могут прийти к выводу о том, что интервалы
монотонности этой функции совпадают с интервалами
монотонности «самой внутренней» функции
х -> х" — 2х + 3,
причем направление монотонности у функции f будет
противоположным, поскольку среди остальных функ-
ций, композицией которых является f,
1 3-
х-> у х, х-> 1пх, х-> у х, х ->2Х
имеется ровно одна убывающая.
Возникшей в этой задаче ситуацией можно восполь-
зоваться и с другой целью: указать способ диф-
ференцирования показательно-степенных функций f:
хи(х)u(I). Для функций такого вида предполат ает-
ся, как правило, что в области определения выпол-
няется неравенство ы(х)>0, и поэтому ее производную
можно найти с помощью логарифмирования: если
g(x) =ln f (х) =о(х) 1п и(х), то
f'(x) и'х
ё'= Т(х} = г (7(7) + 1п и
откуда легко получаем формулу
(Uv)' = и11 (у -- v' In Uj.
Полученная формула, однако, довольно сложна,
трудно запоминаема и мало полезна, так что даже де-
монстрировать ее вывод представляется педагогически
нецелесообразным, разве что если учащиеся сами под-
нимут этот вопрос из чистой любознательности.
Отметим, наконец, что и в этой задаче мы начали
решение с неверного неравенства, но, в отличие от пре-
дыдущей задачи, установить истинное неравенство до-
статочно надежными эвристическими соображениями
здесь вряд ли возможно.
Задача 13. Для доказательства возрастания функ-
ции на некотором промежутке в школьном курсе
имеется достаточное условие — строгая положи гель-
ность ее производной. Но в данном случае это усло-
вие «ие работает», поскольку производная f"&} =
= 1 — sin х может обращаться в 0 В решении задачи
мы обошли эту трудность специальным рассуждением
с использованием непрерывности функции f. При рас-
27
смотрении этого решения с учащимися полезно создать
перед ними общую проблемную ситуацию: что можно
сказать о функции [, если известно, что f'(x)^O? Этот
вопрос, в принципе, возникает и в школьном курсе,
и обычно приводится пример функции х -> х3. Под-
черкнем, однако, что в курсе этот вопрос возникает
из чисто логических соображений (а верно ли утверж-
дение, обратное к упомянутой выше теореме?), тогда
как в данном случае решение этого вопроса необходи-
мо в прикладном смысле — для решения конкретной
задачи.
Добавим, что и в данном случае имеется несложное
доказательство требуемого неравенства с помощью
искусственного приема: поскольку
1 1
Sin 2~ < 2 ’
1 1 39611
то | cos 1980— cos 1981 | = I 2sin —<у- sin I =
^sln^iln^l.
Задача 14 Эта задача, безусловно, достаточно
сложна, поскольку функционализация данного неравен-
ства далеко не очеви тна. Поэтому целесообразно, ско-
рее всего, либо предлагать ее учащимся иа длитель-
ный срок для самостоятельных размышлений, либо ис-
пользовать при проведении олимпиад различного
уровня.
Решать ее даже па занятиях математического круж-
ка вряд ли полезно, поскольку н учителю трудно
естественным образом подвести учащихся к нужным
эвристическим соображениям.
Задача 15. Приведем решение этой задачи сред-
ствами, имеющимися в настоящее время в школьном
курсе, без использования теоремы Лагранжа.
Обозначим через f функцию, заданную формулой
f(x) =sin3 (х 4- а)—sin3x (х £< ] 0; 5а[),
т.
где а = jgQ; тогда
/'(x)=3sin2 (х+а) cos (х-|-а) —3sin2xcosx.
Положив теперь
g(x)=sin2xcosx (х (9 ] 0; 5а[),
будем иметь
g'(x) =2 sin х cos2x — sin3 х=sin x (2 — 3 sin2 x),
и поскольку 5а<л/4, то на рассматриваемом проме-
жутке 2 — 3sin2x>2— 3-1/2>0, так что производная
g' положительна и функция g возрастает. Но тогда иа
промежутке ] 0; 4а [ производная
f(x)=3(g(x+a) —g(x))
положительна, так что функция f возрастает, и поэто-
му f(3a)>f(a), т. е.
sin3 4е — sin3 3°>sin3 2° — sin31°.
Отметим, что математическое содержание этой зада-
чи связано с тем что функция й: х sin3 х выпукла
вниз иа промежутке ]0; 5a [, н поэтому середина хор-
ды, соединяющей точки графика h с абсциссами а
и 4a, расположена выше середины хорды, соединяющей
точки с абсциссами 2a и За. Но выпуклость функции
связана, как нзгестно, со знаком ее второй производ-
ной. и функция будет выпуклой вниз в том случае,
когда ее вторая производная положительна. Ч дей-
ствительно, в данном случае мы установили положи-
тельность функции g', которая является второй произ-
водной функции й (с точностью до множителя 3).
Таким образом, мы фактически исследовали функцию
x->sin3x с помощью второй производной. Это обстоя-
тельство также можно использовать для пропедевтики
исследования выпуклости функции с помощью второй
производной.
Задача 16. Способ решения этой задачи — типич-
ный пример использования так называемых производя-
щих функций, широко употребительный в комбинатор-
ном анализе В частности, именно этим приемом фак-
тически доказываются стандартные для школьной ком-
бинаторики фо| мулы суммы биномиальных коэффици-
ентов и знакопеременной суммы биномиальных функ-
ций. В этих случаях производящей фу пкцией как раз
и является бином.
Задача 17. Приведем еще одно решение этой за-
дачи, в котором производная не используется. При
х=#йл данное тождество может быть переписано
в виде
Q(cos х) =
sin пх
sin х ‘
Левая и правая части этого
сгвенно, одинаковые пределы
тождества имеют, есте-
при х -* 0, и поскольку
sinnx sin пх
lim — = п lim---------
«sinx „.J, пх
sin х п
а в силу непрерывности косинуса и многоч’еиа Q
lim Q (cos х) = Q(cosO) = Q(l),
х-»0
так что Q(l)=n. Отметим, что в этом решении акти-
визируются знания учащихся о непрерывных функци-
ях — теоремы о непрерывности косинуса, многочлена
и композиции непрерывных функций.
Задача 18. Может представиться более целесооб-
разным при формулировке этой задачи и при ее реше-
нии не пользоваться терминологией, связанной с ком-
позицией функций, а сразу начать с постановки зада-
чи о выполнимости тождества (1). Правда, в этом
варианте изложения тождество (1) выглядит неесте-
ственно, поскольку его происхождение не прослежи-
вается.
Полезно, быть может, поставить задачу в виде тож-
дества (1), а затем, переформулировав в том виде,
в котором мы ее рассматривали, подвести учащихся
к общей задаче о решении функциональных урав-
нений.
Задача 19. Эта задача является классическим
примером функционального уравнения, хотя мы, с уче-
том своих целей, ограничились ее постановкой в клас-
се дифференцируемых функций. Если же рассматривать
более широкий класс непрерывных функций, то реше-
ние проводится значительно более сложно. Обсудить
эту проблему с учащимися было бы чрезвычайно по-
лезно хотя бы потому, что исходное ограничение в ус-
ловии задачи существенно для нашего решения, но
не для самого результата, и, следовательно, учащиеся
подходят к уяснению весьма’ тонкого понятия — суще-
ственное и несущественное условие (в отличие от не-
обходимого условия)
Кроме того, решение данного функционального
уравнения в классе непрерывных функций интересно
и поучительно с математической точки зрения. Нако-
нец, после приведенного решения не может не возник-
нуть сам собой вопрос о том, насколько существенна
непрерывность функции, что ведет уже к чрезвычайно
тонким математическим построениям, вряд ли доступ-
ным даже для хороших школ! ников. Но все исследо-
вание в целом пробуждает любознательность и инте-
рес к изучению математики.
Нельзя не отметить, наконец, что в приведенном ре-
шении естественным образом возникает понятие част-
ной производной, хотя на данном этапе обучения да-
же произносить этот термин,- пожалуй, не следует.
Задача 20. Перед тем как ставить задачу, полез-
но напомнить учащимся чтэ если ко всем членам
арифметической прогрессии прибавить некоторое чис-
ло или умножить все ее члены на некоторое число, то
получится также арпфгетнческая прогрессия, а уже
затем поставить вопрос о справедливости обратного
утверждения.
При таком подходе понятие функционал: ного урав-
нения возникает вполне естественно, и с этой точки
зрения целесообразно, видимо, поступить следующим
28
образом: поставить сначала задачу 20, получить в ней
функциональное уравнение (1) и, оставив его времен-
но в стороне, решить внешне более простое уравнение
из задачи 19. после чего завершить решение задачи 20.
Задача 21. Решая задачу с учениками, следует
ввести термины: вторая производная, третья производ-
ная и, вообще, производная порядка п, что заметно
облегчит изложение.
Именно, решение задачи можно изложить примерно
следующим образом. Заметив, как и в приведенном ре-
шении, что надо рассматривать производные высших
порядков, можно формально определить эти понятия,
а затем рассуждать «с другого конца»: ясно, чго
=ka0, где 6=/=0; но /<’*> тождественно равна 0,
так что ао = О, и дальнейшее очевидно.
И хотя решение задачи можно провести, и не поль-
зуясь явно высшимн производными, тем не менее
ввести это понятие здесь представляется методически
вполне целесообразным. В данной задаче высшие про-
изводные возникают совершенно естественно и успеш-
но применяются в других задачах.
Заметим также, что учащиеся обычно знают (хотя
и не известно, из каких источников), что алгебраиче-
ское уравнение степени п имеет п корней, практически
никогда не понимая точного смысла этого утвержде-
ния, поскольку мало кто из них знаком с полем комп
лексных чисел и с понятием кратного корня много-
члена.
В 1той задаче мы доказали, конечно, значительно
более слабую теорему, однако даже такое относительно
несложное утверждение, что многочлен степени п име-
ет не более п корней, требует для доказательства со-
вершенно других идей, имеющих к тому же скорее
дискретный, чем непрерывный характер.
Укажем еще одно применение производных высших
порядков к многочленам. Именно, с помощью после-
довательного дифференцирования можно получить
формулу бинома Ньютона без каких бы то ни было
комбинаторных соображений. Легко видеть, что после
раскрытия скобок r выражении (l-f-х)” получится
многочлен степени п относительно х, т. е. выполняет-
ся тождество вида
(1 + х)п = I + atx + а,х’ + • + akxk +
+ xft+1 + • • + х"-1 + xn,
где а.... Ои-i — некоторые натуральные числа. Пос-
ле fc-кратного дифференцирования этого тождества
в левой части получим выражение п(п — 1)...
...(л— k -|- I) (1-f-х) "_А, а в правой части лишь одно
слагаемое не будет содержать х; это слагаемое равно,
как нетрудно подсчитать, k(k—1)(й — 2).. .3-2-1оц.
Поэтому после подстановки в новое тождество значе-
ния х=0 мы получим равенство
п(п— 1)...(п— k 4- 1)
“ 1-2-3-...-А ’
чем и доказана формула бинома в рассматриваемом
случае. Ясно, что для перехода к общему случаю мож-
но сделать замену х=Ь[а и провести очевидные пре-
образования.
Задача 22. Понятие периодичности функций до-
ставляет учащимся, как известно, весьма серьезные
трущостн. Поскольку само определение периодической
функции имев! совсем не простую логическую структу
ру, то эти трудности имеют, безусловно, объективный
характер, но они усугубляются к тому же традицион-
ными особенностями преподнесения этой темы уча-
щимся.
Конечно, основным требованием к периодической
функции является выполнение равенства f(x-f-Г) =/(х),
но. к сожалению, только оно и остается в памяти уча
щихся. Между тем перед этим равенством (даже если
речь идет о функциях, определенных на всем множе-
стве Rj в действительности имеются еще определен-
ные логические связки, квантоуная r.puc.ae'.za «суще-
ствует такое Т 0, что для любого х £ R».
Отсутствие этой кванторной приставки в явном виде
при «практической» работе с периодическими функ-
циями приводит к ее постепенному забыванию и, как
следствие, к широко распространенной ошибке, когда
учащиеся говорят примерно так: «функция является
непериодической, если f (х+Г) (х)>. Ясно, что с та-
ким представлением о непериодической функции труд-
но доказать непериодичность какой-либо конкретной
функции
Более того, даже при явном упоминании кванторной
приставки от учащегося требуется достаточно высокая
логическая культура, чтобы правильно построить отри-
цание определения периодической функции, не забыв
поменять кванторы общности и существования на про-
тивоположные. Без труда выполнять эту операцию,
как показывает опыт, далеко не всегда могут даже
студенты младших курсов.
Наконец, и при полной логической ясности вопроса
доказательство непериоднчностн конкретных функций
непосредственно по определению связано со значитель-
ными трудностями н, по-видимому, в большинстве
случаев заведомо сложнее, чем рассматриваемый нами
прием с использованием производной (если, конечно,
речь идет о функциях, имеющих производную).
Рассмотрение этого приема полезно предварить хотя
бы одним примером доказательства непериоднчностн
функции непосредственно по определению. Например,
естественно взять для начала ту же самую функцию
У = х2, и нетрудно предугадать, что требуемое доказа-
тельство проведут далеко не все Затем можно рас-
смотреть, например, функцию р=х4, и, когда учащиеся
заметят, что трудности возрастают, а учитель попросит
их доказать непериодичность функций р=х5 — х -|- 1,
t/=x18—6х3 + х2—1, они не смогут не заподозрить,
что у него есть «в запасе» какой-то более общий ме-
тод решения таких задач. Кроме того, следует специ-
ально обсудить вопрос о том, может ли монотонная
функция быть периодической.
Отметим, что непериодичность многочлена вытекает,
конечно, и из других соображений, в частности нз тео-
ремы о том, что многочлен степени п не может иметь
более п корней, и из достаточно очевидного утвержде-
ния, что периодическая функция с областью определе-
ния R не может иметь предела при х->+«!. Ясно,
однако, что обоснование этих утверждений требует
развития теории, выходящей далеко за пределы школь-
ного курса, в то время как применение производной
делает доказательство иепериодичпости многочлена
очевидным
Задача 23. При решении задач такого рода акти-
визируются знания учащихся о периодических функ-
циях: в частности, здесь «работает» теорема о сумме
периодических функций с одним периодом. Кроме того,
в решениях этих задач полезно и эффективно исполь-
зуются производные высших порядков.
3 а д а ч.а 24. Задачу можно пескочько усложнить,
если в тригонометрической части функции у взять уг-
лы разной кратности, например:
у = 2 cos 2х — sin Зх -|- х37 — 2x,s -f- 6.
Тогда при комбинировании функции и ее сороковой
производной придется проявить больше изобретатель-
ности — впрочем, это комбинирование явно напоминает
метод исключения переменных при решении систем ли-
нейных уравнений и поэтому проводится совершенно
аналогично.
Отметим еще, что мы взяли производную порядка 40,
а не 37, которая тоже «аннулировала» бы алгебраиче-
скую часть функции у, для того чтобы не думать
о закономерности изменения производных синуса и
косинуса,— проще всего помнить, что при четырехкрат-
ном дифференцировании еннус и косинус не изме-
няются.
29
Задача 25. Заметим, что основные рассуждения,
проведенные при решении этой задачи,— это фактиче-
ски решение методом последовательного исключения
переменных системы линейных уравнений, в которой
выражения sin х, sin ах и sin Рх выступают в роли пе-
ременных, а у, —у" н р<4> — в роли свободных членов.
Поэтому тем же самым приемом можно доказать
И более общее утверждение: функция
1/=с0 sin х + о, sin aix +.. -+од sin a^x
периодична тогда и только тогда, когда ai, «г, .... ак
рациональны (ограничения на параметры при этом
не нужны, поскольку их нарушение пр 1ведет лишь
к уменьшению числа слагаемых). Однако для доказа-
тельства этого утверждения рассмотренным методом
требуются значительные знания линейной алгебры,
точнее, теории определителей, н, в частности, знаком-
ство с определителем Вандермонда.
(с. Толстики
В. А. ПЕТРОВ
(г. Смоленск],
В. С. ЧЕРТКОВ
Смоленской обл.]
ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОМ
В ПРАКТИЧЕСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ
Сколько бы ни говорил учитель о роли практики
в прогрессе математики н о значении математики для
практики,— отмечает Б. В. Гнеденко в статье |2],—
но если он не показывает, как практика влияет на
развитие математики и как математика помогает прак-
тике в решении ее проблем, то развитию материали-
стического мировоззрения будет нанесен серьезный
ущерб. Но для того чтобы показать, как математика
помогает практике в решении ее проблем, нужны
задачи, не придуманные в методических целях, а воз-
никающие на самом деле в различных областях прак-
тической деятельности человека.
В настоящей заметке приводится несколько задач
на применение производной из практики геодезистов,
транспортников, мелиораторов, строителей и деревооб-
раиотчиков.
Геодезия
В «Геометрии 6—8» (п. 83, с. 298) указан способ
определения высоты предмета с помощью угломерных
инструментов. Прн топографических съемках местно-
сти аналогичный прием используется для определения
превышения одной точки земной поверхности над дру-
гой. Этот способ дает хороший результат, если рас-
сматриваемые точки находятся на незначительном
расстоянии. В противном случае начинает сказывать-
ся кривизна Земли и возникает существенная погреш-
ность.
Если расстояние между точками В и С достаточно
велико, то к найденному (с помощью угломерных ин-
струментов) значению превышения точки В над точ-
кой С прибавляют так называемую поправку на кри-
Р
визну Земли: Д/д = где R— радиус Земли, I—
длина горизонтальной проекции отрезка ВС [5].
Задача 1. Объясните происхождение указанной
выше формулы для поправки Ah.
Решение. Рассмотрим рис. 1, на котором штриха-
ми изображена поверхность океана, точка О — центр
Земли. Пусть, для простоты, точка С лежит на по-
верхности океана, а точка В принадлежит горизон-
тальной плоскости, проходящей через точку С. Так
как в таком случае угол между лучом СВ н горизон-
тальным направлением (оно определяется с помощью
отьеса) равен нулю, то из точки С нам покажется,
что точки В и С имеют одинаковую высоту. Согласив-
шись с этим, мы допустим погрешность
Д/г = |ДВ/ = |ОВ|—|6Л| - //?’ + /’ — R.
Величина / относительно мала по сравнению с R.
Поэтому для вычисления V7?24-Z2 можно воспользо-
ваться приближенной формулой
Zх0 + Дхг « +- Д.г,
полученной (с помощью производной) в п. 22 «Ал-
гебры н начал анализа 9—10». Положив в этой фор-
муле х0=Р2, Дх=/2, мы и получим указанное выше
выражение для АЛ.
, Транспорт
В практике проектирования сети автомобильных
дорог часто возникает необходимость устройства узла
разветвления. Местоположение узла и взаимное рас-
положение проходящих через него дорог определяется
комплексом экономических н географических условии,
но первый, предварительный, этап решения этой зада-
чи учитывает лишь затраты рабочего времени на пере-
возки, причем в качестве вспомогательной решается
| / ] вначале следующая задача.
Задача 2. Каким должен быть угол примыкания
а (рнс. 2) дороги (СЕ) к автомагистрали (АВ), чтобы
затраты времени на перевозки по маршруту ЛЕС были
наименьшими, если скорость движения автомобилей по
магистрали планируется равней vm. а по подъездкой
дороге — vd (vm>jd)?
Рис. 1 Рис. 2
Решение. Проведем нз точки С перпендикуляр
к прямой АВ и обозначим длину отрезка CD через Л,
а длину отрезка AD "срез I. Тогда получим:
l^l = Ac(ga.
Отсюда находим время движения автомобиля по марш-
руту ЛЕС:
I h etg a h
t =----------— 4------:---.
t'm Vm vd Sin a
Так как точка А в наших рассуждениях зафиксирова-
на условно, определяя лишь направление движения по
магистрали, то а может изменяться в промежутке
]0; л/2 [. Задача свелась к отысканию наименьшего
значения функции t(a) на указанном промежутке.
Найдем производную:
. h /vd \
tr (о) = ‘(-------— cosa L
k ' VrfSin2a \Vm J
Так как 0 < ~— < 1, то производная на рассматривае-
vm
мом промежутке обращается в нуль лишь в одной
точке
vd
a0 = аге cos——, (1)
vm
причем /'(a)<0 при afj]O; a0[ и f(a)>0 при
a(j]ao; л/21- Это означает, что на промежутке
]0; а0] функция t убывает, а на промежутке |а0; л/2|
возрастает. Следовательно, рассматриваемая функция t
при a=a0 достигает наименьшего значения.
Ответ: угол примыкания определяется по форму-
ле (1).
30
Мелиорация
Площадь го поперечного сечения канала1 называют
его живым сечением, а длину х границы такого сече-
ния называют смоченным периметром канала. С по-
мощью теоретических расчетов н эксперимента уста-
новлено |3], что из всех каналов с заданным живым
сечением наибольшей пропускной способностью и од-
новременно наименьшей фильтрацией отличаются ка-
налы с наименьшим смоченным периметром. Про та-
кие каналы говорят, что они имеют гидравлически
наивыгоднейший профиль.
В мелиоративной практике часто сооружаются кана-
лы или лотки с поперечным сечением в форме прямо-
угольника, треугольника, трапеции и сегмента круга.
Поэтому представляет интерес расчет гидравлически
наивыгоднейшего профиля для каналов такой формы.
Задача 3. При каком отношении глубины к ши-
рине канал прямоугольного сечения имеет гидравличе-
ски наивыгоднейишй профиль?
Решение. Пусть х — ширина канала, го— его жи-
вое сечение- Тогда глубина канала ш/х, а его смочен-
ный периметр (рис. 3):
2ш
X (х) - х + —.
Требуется найти наименьшее значение функции х на
промежутке ]0; 4-оо(. Найдем производную;
хг— 2ш
Х'(-г) =
Так как Xх ( у 2ш) — О, X' (х) < 0 при 0 < х <
и X' (х) > 0 при х > у^2ш, го функция X в точке у 2ш
достигает наименьшего значения.
Итак, ширина канала в рассматриваемом случае долж-
на быть у 2ш, глубина а искомое отношение
1
равно -ту.
Задача 4. Сечение канала — равнобедренный тре-
угольник. Каким должен быть угол при вершине, чтобы
канал имел гидравлически наивыгоднейший профиль?
Ответ: 90°.
Замечание. Эту задачу легко решить и без при-
менения производной, опираясь на известные свойства
тригонометрических функций.
Задача 5. Сечение канала — равнобедренная тра-
пеция (рис. 4) с углом откоса а таким, что ctga=m.
При каком отношении ширины дна канала к его глу-
бине он имеет гидравлически наивыгоднейший про-
филь?
Решение Пусть ширина дна канала Ь, а его глу-
бина h. Тогда
| ВС | = h etg а -= mh, [ АС | = /|AB|’4-|BcT’ -
= Л yf I + /геа,
ш = -g- Л (26 -f- 2Л/га) = bh + /геЛа, (1)
X = 6 4- 21 AC | — 6 4- 2ft /1 + zre’. (2)
<о— mft’
Из (1) получаем, что b =--jr-, а значит,
1(h) - • — mh 4- 2й /1 + т’ (0 < ft).
С помощью производной .находим, что функция X до-
стигает наименьшего значения на промежутке
] 0; -р оо [ при /ь0 -= 1 / -—.
1 1 у 2 у 1 4- m'—m
1 Мы рассматриваем для простоты каналы, целиком
за|блненные водой.
Задача 6. Сечение канала — сегмент круга (рис. 5).
Каким должен быть центральный угол а (0<я^п),
чтобы канат имел гидравлически наивыгоднейший
профиль?
Решение. Пусть R — радиус круга. Живое сечение
канала найдем как разность площадей сектора и тре-
угольника:
= ~2~ (а — sin а).
Отсюда получаем, что
и значит, смоченный периметр
---
X (а) = Ra = | 2со- У -;-.
1 ' ’ Та— sin а
Исследуем более простую функцию f (а) =«
При 0 < а < к имеем
«(l-1-cosa) — 2sintz
J г °) “ 2 (а—sin а)2
а а
а (14* COS а) 2 2
2 (а — sin a)2 "
а а
Так как sin а<а и —у < tg —на рассматриваемом
интервале (см п. 77 «Алгебры и начал анализа 10» или
п. 44 «Алгебры и начал анализа 9—10»), то производ-
ная на ] 0; л| определена и отрицательна. Поэтому
функция f, а значит, и х убывает на |0; л[. В силу
непрерывности функции х на промежутке )0; л) ?а-
ключаем, что х убывает и на гаком промежутке. Сле-
довательно, функция х достигает наименьшего значения
при а—л. В сечении канала должен быть полукруг.
Строительство
При монтаже промышленных и сельскохозяйствен-
ных зданий небольшой высоты широко используются
автомобильные краны. Для правильного выбора крана
необходимо знать многие исходные данные о соору-
жаемом объекте В частности, габаритные данные объ-
екта позволяют заранее определить требуемую длину
стрелы крана. Рассмотрим эту задачу.
Задача 7. Вывести формулу для определения дли-
ны стрелы авт мобильного крана, с помощью которого
можно построить здание высоты Н и ширины 21 с плос-
кой крышей.
Решение. Так как автомобильный кран может пе-
ремещаться вокруг всего здания, то крюк его крана
достанет до любой точки здания, если он достанет
(рис. 6) до середины крыши (имеется в ви^у середина
по ширине).
31
Рассмотрим кран, который, находясь в точке О, по-
дает деталь на середину крыши. Пусть угол наклона
стрелы при этом составляет а. Тогда
1СГ>| I |СЕ| H—h
' 1 ' cos a =cosas * sin a sin a ’
где ft= |AO| — высота подвеса стрелы крана. В таком
случае длина стрелы крана
Н- h ______1_
*" Sin a COS a '
Из формулы (1) видно, что для совершения указан-
ной работы краном, установленным в другой точке
(ближе к зданию или дальше от него), потребуется
кран с другой длиной стрелы, поскольку при таком
перемещении меняется угол а. Определим наивыгодней-
шее место установки крана, т. е. такое место, с кото-
рого заданная работа может быть выполнена краном
с наименьшей длиной стрелы. Для этого, очевидно,
достаточно определить, при каком а из промежутка
]0; л/21 функция I принимает наименьшее значение.
Рис. 6
Рис. 7
Найдем производную функции I:
I sin’ а — (Н — h.) cos’ a
7 (°) ~ sin® a cosj a —
I cos a f H — h\
- 1 я —------— I.
Sin’a \ e I /
Рассуждая теперь так же, как и при решении зада-
чи 2, находим, что функция I достигает наименьшего
значения при
а - arc tg у —. (2)
Найдя нз формулы (2) значение а и подставив его
в формулу (1), мы и получим наименьшее возможное
значение длины стрелы. Эти формулы и используются
[1] на практике.
Деревообработка
Важное народнохозяйственное значение имеет рацио-
нальный раскрой древесины. Комплексное решение та-
ких задач требует применения довольно глубоких ме-
тодов классической и современной математики. Однако
отдельные задачи такого рода можно решить, исполь-
зуя только пр >изводиую.
Задача G. На лесопильных рамах (они предназна-
чены для продольного пиления) бревна часто распи-
лизают [4] на квадратный брус и четыре доски (рис. 7)
с максимально возможной площадью поперечного сече-
ния. Какой должна быть расстановка пил для такой
распиловки?
Р е ьч е в и е. Из рис. 7 видно, что для ответа на во-
прос задачи достаточно определить толщину выпили-
ваемых досок Так как сторона квадрата, вписанного
в окружность радиуса г, равна г}'2, то |ОА|
4
Пусть толщина доски |АВ|=х. Тогда ее ширина
21 ВС | = 2 У(ОСР—|ОВ|г -=
1 ।г-------—-----------
~ гр V (р — 4 v 2 dx - Sc’,
а площадь поперечного сечения
S (х) = 21 АВ | • | ВС | = ~2 у d* — 4 У 2 dx — Ьх!.
Требуется узнать, прн каком х из отрезка
У | функция 5 достигает наибольшего
значения Найдем производную:
№ —6 V?dx— 16х!
S'(x) - ..
21 № — 4rzy 2х — 8ла-
Критнческая точка
У 34 — 3 У 2
х„ - —----jg—-----d О, НИ.
Так как
S (0) = S ( - 0, а S (х„) > 0.
то доски толщиной 0, ПИ имеют наибольшую площадь
поперечного сечения.
Рассмотренная задача—с несколько иным решени-
ем — приведена в книжке [6]. Там можно найти и еще
несколько задач иа применение производной.
Литература
1. Аммосов Н. Г. Монтаж строительных конструк-
ций.— М.: Высшая школа. 1974.
2. Гнеденко Б. В. Политехнические аспекты препода-
вания математики в средней школе.— Математика
в школе, 1974, № 6.
3. Курганов А. М., Федеров Н. Ф. Справочник по
гидравлическим пасчетам систем водоснабжения и ка-
нализации.— Л.: Стройиздат, 1978.
4. Михайлов В. Н. и др. Технология механической
обработки древесины.— М.: Лесная промышленность,
1964.
5. Орлов П. М. Курс геодезии.— М.’ Изд-во сельско-
хозяйственной литературы и плакатов, 1962.
6. Петров В. А. Математические задачи из сельско-
хозяйственной практики.— М.: Просвещение, 1980
7. Романенко И. А. Технико-экономиоескне основы
проектирования сетей автомобильных дорог.— М.: Выс-
шая школа, 1975.
В. Е. ЛЬВОВ
(г. Казань)
ИЗ ОПЫТА ОБУЧЕНИЯ СТЕРЕОМЕТРИИ
D IX КЛАССЕ
Формальное усвоение учащимися математической
теории часто объясняется тем, что очи не понимают
закономерности ее построения Это особенно заметно
при изучении первой темы курса стереометрии в
IX классе.
Обеспечить понимание помогает методический под-
ход, предполагающий следующий план действий:
1 Учашиеся моделируют взаимное расположение
двух (в некоторых случаях—трех) основных геомет-
рических фигур, точек, прямых, плоскостей.
2 . Систематизируют основные варианты их взаимно-
го расположения, руководствуясь понятием пересече-
ния фигур.
3 Рассматривают теоретические задачи на построе-
ние в пространстве «минимальных каркасов». Простей-
шие примеоы таких задач: «Указать минимальное ко-
личество точек, определяющих одну прямую» «Ука-
зать минимальное количество прямых, определяющих
32
единственную плоскость. Каково взаимное расположе-
ние таких прямых?»
4 . Результаты наблюдений и выводы учащиеся за-
носят в специальную таблицу.
Кратко опишем как можно реализовать предложен-
ный план действий при изучении темы «Основные по
пятня стереометрии. Параллельность в пространстве»
(«Геометрия 9». § 1 13)
Рассмотрим последовательно на моделях фигуры:
точку А и плоскость а, прямые а и 6, плоскости о
И ₽ Установим два основных, варианта их взаимного
расположения: 1) пересечение рассматриваемых фигур
представляет собой пх'стое множество. 2) пересечение
фигур не является пустым множеством Сделаем соот
ветствующие записи и рисунки в столбцах А. Б. В
таблицы Теперь заметим, что случаи, указанные
в клетках- 61, Б2, описываются аксиомой 1. Тогда
в клетках Г1 и Г2 мы сделаем краткую запись «А. 1»
(аксиома 1).
Обозна- чения фигур Взаимное расположение фигур
Обозначения Иляюсп’раццц Аксио- мы Новые Г/Онягае Теоремы
А Б В г д Е
7 А,а. АПа = 0 (А$<х) А» у А. 7 7 в, §11
2 А(Нх=А (Аеа.) А.1 78,$77
J а,Ь аса Ьса anb=A А.1.А.2 С/Г2,§3 З'.к
4 anb=0 аиь Сл3.§3 3!а
5 anb=a(=6J
5 а^а № а (16=0 а—Ь 7/, £6, §11, задача
1 а, л аПа = 0 —- а на 12,3, §7
3 а Па = а АЗ
9 а Ла = л —-7 Г\а / А.1- А.З
№ <x;fi осЛ/3=0 /от. - 7 a Uj3 Тб,£10. 17,§11. Слизан
77 CWA.9 r.o.iw
12 А.5 ТА,5,§8
Для фигур аиб, аиа, Риа (см.: в таблице
АЗ—А12) понятие пересечения множеств уже не может
подсказать все варианты их взаимного расположения.
На моделях легко показать, что случаю а[\Ь=£0
соответствуют два варианта: аГ\Ъ—А и п(ЧЬ=а,
а случаю а С. 8 = 0— тоже два варианта а II b (а=АЬ)
и а — Ь. Введем понятия параллельных (Д4, Д5)
и скрещивающихся (ДБ) прямых, докажем теорему 1
из § 6 о существовании скрещивающихся прямых. По
следствию 2 из § 3 две пересекающиеся прямые за-
дают единственную плоскость. По следствию 3 из § 3
две различные параллельные прямые задают един-
ственную плоскость. Таким образом, указаны 2 при-
мера минимальных каркасов, что условно записано
в клетках ЕЗ Е4 Символом «д1а» мы обозначаем
следующую фразу: «Существует единственная плос-
кость а».
После введения понятия параллельности плоскостей
докажем, что две скрещивающиеся прямые задают
единственную пару параллельных плоскостей. Это за-
дача из § II, что отмечено в клетке Е6. В § 11 до-
казывается теорема 8: «Через данную точку можно
провести одну и только одну плоскость параллельную
данной плоскости» Она фактически указывает еще
один пример минимального каркаса, поэтому мы запи-
шем ее в таблице (см.: El, Е2).
Рассмотрим фигуры а и а, о и ₽. Если пересечение
этих фигур не является пустым множеством, то могут
быть следующие случаи: ара=а (аксиома 3), oQa=
— А (следствие из аксиом I—3), аП₽ = а (следует из
аксиомы 4) и aflP=c (аксиома 5). Все эти случаи
фиксируем в клетках Б7—Б12
Теперь можно ввести понятия параллельности пря-
мой и плоскости (Д7. Д8), двух плоскостей (ДЮ,
ДИ), доказать существование прямой а. не имеющей
общей точки с плоскостью и. Затем переходим к до-
казательству признака параллельности прямой и плос-
кости н обратной теоремы (теоремы 2 и 3 из § 7).
Проводим через параллельные прямые а и b пере-
секающиеся плоскости п и f>. Возникает вопрос, как
располагается прямая с—линия пересечения плоско-
стей а и ₽ — относительно прямых а и Ь? Модель В12
подсказывает ответ: с II а, с || Ь. Эта же модель помо-
гает сформулировать теорему о том что параллель-
ность прямых обладает свойством транзитивности.
Выделяя основные варианты взаимного расположе-
ние. фигур, учащиеся с помощью учителя или само-
стоятельно выдвигают предположения об особенностях
расположения фигур, о том. какие из этих преДполо
жений можно принять в качестве аксиом, а какие до-
казывать как теоремы, какие новые понятия ввести,
заполняют таблицу — идет последовательное построе-
ние теории. Когда заполнение таблицы закончено, уча-
щиеся видят, что все основные варианты расположе-
ния основных геометрических фигур описываются или
аксиомами, или теоремами
Таблица позволяет охватить одним взглядом всю те-
му, ее структуру, облегчает ориентировку в изученном
материале, поэтому ее целесообразно использовать и
при обобщающем повторении.
Опыт раббты в ГПТУ № 19 г. Казани показал, что
использование описанного методического подхода поз-
воляет учителю создать систему проблемных ситуаций,
разрешая которые учащиеся самостоятельно открыва
ют для себя ряд теоретических положений Это один
из возможных путей реализации проблемного обучения.
2 Матечяти>» " школе Н 6
33
Читатели вносят предложения
Р. Н. МОТИН
(г. Бокситогорск Ленинградской обл.)
К МЕТОДИКЕ РЕШЕНИЯ
ИЗБРАННЫХ ЗАДАЧ ПО ГЕОМЕТРИИ
Некоторые математические предложения в виде тео-
рем не вошли в новую программу, но с ними полезно
познакомить учащихся, взяв их в качестве задач. Имен-
но эта идея проводится и авторами учебных пособий.
Приведем примеры трех таких задач.
В новой программе нет теоремы «Квадрат каса-
тельной равен произведению секущей на ее внешнюю
часть». Целесообразно рассмотреть эту теорему в ка-
честве задачи; она будет хорошим упражнением при
изучении в VIII классе темы «Подобие».
Доказательство . сформулированного утверждения
можно, провести обычным способом. Но можно было
бы при рассмотрении этой теоремы создать еще и та-
кую проблемную ситуацию: учащимся предлагается
доказать эту теорему, опираясь на теорему Пифагора
(такое задание было дано учащимся на одном из фа-
культативных занятий).
В результате коллективного творчества учащимися
было предложено следующее доказательство.
Пусть [ОМ]J_[40] (рис. I). Треугольники АОВ,
АОМ и СОМ прямоугольные, следовательно:
|4В|2=|ОД|2 — |ОЕ|2,
|ОЛ|2=|МЛ|2 +• |МО|2,
|МО|2=|ОС|2— |МС|2.
Используя эти равенства и то, что |МЛ| = [ЛС|+
+ |МС|, получим;
|Ле|2=|МД|2+ [МО|2— |ОВ|2=
= (|ЛС| + |МС|)2+ |ОС|2- |МС|2— |ОВ|2=
= (|ЛС| + |МС| - |МС|)(|ЛС| + |МС| + |МС|) =
= |ЛС|.|ЛО|.
Итак, |ЛВ|2= |ЛС| • |ЛО|. Теорема доказана.
В теоретическом материале учебных пособий нет
и такой теоремы: «1ри медианы треугольника пересе-
каются в одной точке, и точка пересечения медиан де-
лит каждую из них в отношении I : 2, считая от соот-
ветствующей стороны», но она имеется там в качестве
задачи. Так, в учебном пособии «Геоме1рия 6—т8» есть
задача 638** и 860(2). Решение первой из них предпо-
лагает использование свойства средней линии тре-
угольника. вторая решается с помощью векторов (ре-
шение этой задачи имеется в статье Э. Г. Готмана
в № 2 журнала «Квант» за 1975 г.). Однако, изучая
тему «Подобие», к этой теореме можно вернуться.
Так, доказывав с помощью подобия треугольников,
что точка пересечения медиан отсекает от каждой из
них третью часть, считая от соответствующей стороны,
учащиеся обычно предлагают различные способы ре-
шения; приведем три из нчх В каждом из >тих слу-
чаев (см. рис. 2—4) дан ДАВС и медианы AD и ВЦ,
требуется доказать, что
ioz?| = 4" । А°\-
♦ 1
Так как Д ABO оо Д ODK (рис. 2) и | DK | = | ЛВ|,
то |OD| =>4~|ЛО|.
На рис. 3 [ВЛ4) Ц [ЛС] и F = [ВО) Л [АО), тогда
Д BFD^ д ADC. Отсюда | BFI - | AC I, но | АКI -
I . „ 1
= -2“1ЛС|, значит | АК I — “ji* I BF |. Кроме того,
Д АО К л ВОГ, поэтому [ OK I ” ~7~ I ВО |
Некоторые учащиеся провели [DE] || [АС] (см.
рис. 4).
Приведем еще один пример.
Важное значение в геометрии имеет следующее пред-
ложение: «Биссектриса внутреннего угла треугольника
делит противоположную сторону ва отрезки, пропор-
циональные прилежащим сторонам» Этого предложе-
ния нет в теоретической части учебного пособия, но
оно сформулировано в виде задачи (см.; «Геомет-
рия 6- -8:>, задача 914*) и применяется в IX классе
как уже известная теорема. Чтобы такое использова-
ние стало возможным, учащиеся должны с этим пред-
ложением предварительно встречаться в различных
ситуациях. Например, эту же задачу можно решить
и в VIII классе, проведя доказательство с помощью
формулы- площади треугольника.
Так, если [ВО] — биссектриса треугольника АВС, то
|АВ|-|ВО] , В
Sabd “ J sln ~2~ и Sd.bc “
Отсюда следует, что Sabd : Sdbc = |АВ| ; |ВС[. Кроме
того, Sabd Sbbc= |ДО|;]ОС|, поэтому |AD[;|ОС| —
= |АВ|с|ВС|.
В IX классе можно опять вернуться к решению этой
задачи после рассмотрения теоремы о трех компланар-
ных векторах.
Опыт работы показал, что такое многократное воз-
вращение к решению одной и той же задачи различны-
ми способами позволяет учащимся лучше запомнить
этот факт и они свободно пользуются им затем как
теоремой.
34
В. н, ГОРДИЕНКО
(г. Каменец Подольский)
О ПРОИЗВОДНОЙ СТЕПЕННОЙ ФУНКЦИИ
В учебном пособии по алгебре и началам анализа
Для IX класса доказательство теоремы о производной
степенной функции проводится методом математиче-
ской индукции. Однако тема '^Метод математической
индукции» в действующую школьную программу по
математике не включена.
Приводим иное доказательство этой теоремы, без
ссылки на аксиому индукции. В предлагаемом доказа-
тельстве используется Тождество
ап hn ‘
-= й”-1 + ап~2Ь + Ь”~\ (1)
которое является следствием формулы суммы первых п
членов геометрической прогрессии с первым членом ап~'
и знаменателем b/а (тождество (1) имеется в курсе
алгебры VIII класса).
Применим это тождество к отношению для
степенной функции:
(х + Ах)” — хг
= (х + Ах)"-1 + (X + Дх)п-2х + ... + х"“’
п слагаемых
Перейдя в равенстве (2) к пределу при Дх -> 0, полу-
чим искомую формулу
(ХП)'=ЛХ«-1.
Таким образом, закрепление материала по планимет-
рии в ходе преподавания стереометрии обусловлено са-
мой природой последней.. Руководствуясь этим, учитель
может вести преподавание любой темы по стереомет-
рии в тесной связи с соответствующей теоретической
и практической темой по пЛаниметрии, каждую задачу
по стереометрии преобразовывать в более простую за-
дачу планиметрии и при необходимости решать ее.
Без этого на уроках стереометрии лишь немногие уча-
шиеся, да и то не во всех случаях, улавливают связь
приобретаемых знаний с планиметрией. Но если с по-
мощью преподавателя они почувствуют и увидят та-
кую связь, то их интерес к предмету значительно воз-
растет, усвоение материала станет более осознанным.
Наш опыт показывает, что проведение такого повторе-
ния помогает лучшему усвоению стереометрия; закреп-
ляет материал по планиметрии; содействует лучшему
развитию пространственных представлений учащихся;
совершенствует умение самостоятельно решать задачи
и выполнять чертежи.
Очевидно, одним из важнейших условий успешного
закрепления знаний по планиметрии в процессе препо-
давания стереометрии является заблаговременное пла-
нирование учебного материала к предстоящему учебно-
му году для каждой темы и урока. Учителю необхо-
димо четко выделить весь повторяемый материал из
курса планиметрии и .организовать это повторение на
каждом уроке. Причем необходимо спланировать свою
работу таким образом, чтобы в процессе преподавания
стереометрии использовались все вопросы планиметрии.
В противном случае при неоднократном повторении
одних тем другие останутся не повторенными н не ис-
пользованными, что в конечном счете приведет к. сни-
жению эффективности обучрния.
Б. Г. ИМРАЯОЧ
(Баку)
ЗАКРЕПЛЕНИЕ МАТЕРИАЛА ПО ПЛАНИМЕТРИИ
В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ СТЕРЕОМЕТРИИ
Некоторые частные, но важные вопросы методики
преподавания стереометрии пока остаются вне поля
зрения методистов. К такикц вопросам относится, на-
пример, проблема закрепления материала по планимет-
рии в процессе преподавания стереометрии Эта проб-
лема, по нашему мнению, весьма актуальна, и при ее
решении следует исходить из необходимости умелого
использования материала по планиметрии на уроках
стереометрии с целью углубления знаний учащихся.
Планиметрия как систематический курс изучается
в VI—VIII классах, а стереометрия — в IX—X классах.
Учащиеся сдают экзамен на аттестат зрелости по об-
щему курсу, пройденному за 5 лет. Отсюда становится
очевидным, что если материал по планиметрии ие бу-
дет закреплен в процессе изучения стереометрии, то
это может привести не только к отрицательным ре-
зультатам на экзамене, но и к недостаточно глубоким
знаниям “
Методическое решение поставленной задачи состоит
в том, что учитель перед началом объяснения нового
материала по стереометрии на каждом уроке несколь-
ко минут отводит на повторение курса планиметрии
(VI-VIII классы). Возможности реализации такого
пути вытекают из содержания самого предмета и сле-
дующих его особенностей:
I. Стереометрия представляет собой не изолирован-
ную от планиметрии самостоятельную дисциплину,
а является ее вроде чжением.
2. Понятия и определения стереометрии развивались
в тесной связи с планиметрией.
3. Многие понятия и теоремы стереометрии приводят
к соответствующим понятиям и теоремам планиметрии.
2’
От Главного управления школ
Министерства просвещения СССР
ОБ ИСПОЛЬЗОВАНИИ УЧЕБНЫХ ТЕЛЕПЕРЕДАЧ
В УЧЕБНО-ВОСПИТАТЕЛЬНОМ ПРОЦЕССЕ
В ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ ШКОЛАХ 1
В последние годы учебные течевизнонные передачи
получили широкое распространение н признание. Кро-
ме Центрального телевидения, ведущего учебные пере-
дачи по III программе, они создаются еще 20 геле
студиями, в том числе в союзных республиках — на
языках народов СССР.
По своему содержанию учебные передачи соответ-
ствуют школьным программам и приурочиваются к ка-
лендарным срокам изучения тех или иных гем Чтобы
передачи охватывали возможно большее число клас-
сов, они повторяются для приема на следующем уроке.
Часть передач рассчитана на просмотр вне класса; эти
передачи могут несколько выходить за пределы школь-
ной программы, они направлены на углубленное изуче-
ние отдельных вопросов науки, искусства, преследуют
цели профориентации. Просмотр внеурочных передач
1 Текст рекомендаций публикуется в обращенном
виде.
полезно использовать во внеклассной работе и на фа-
культативных занятиях.
Учебные телевизионные передачи призваны быть
средством повышения эффективности учебпо-воспнта-
тельной работы в общеобразовательной школе. Они
помогают теснее связать учебно-воспитательный про-
цесс с жизнью, с практикой коммунистического строи-
тельства, служат эффективным средством пропаганды
достижений науки и техники, расширения кругозора
учащихся, Формирования мировоззрения, уважения
к труду, воспитания подлинно художественного вкуса,
любви к искусству
Телевизионные передачи способствуют дальнейшему
повышению методического уровня преподавания, дают
возможность учителю использовать современные мето-
ды обучения и воспитания, новые средства наглядности
и тем самым облегчают усвоение учащимися сложных
тем и вопросов школьной программы
Учебные передачи готовятся с учетом современных
задач, определенных постановлениями партии и прави-
тельства о школе, основными положениями новой Кон
ституции СССР. В программах решаются важные во-
просы обучения и воспитания учащихся, в том числе
нравственного, трудового и эстетического.
Тематика передач охватывает основные проблемы
школьных курсов Передачи, как правило, содержат
материал, который учитель не может раскрыть с необ-
ходимой глубиной без использования средств телеви-
дения.
Телепередачи выполняют на уроке различную роль
в зависимости от их целей, учебного содержания, ме-
тодов и приемов изучения материала.
Учебная передача может иллюстрировать объяснение
учителя, дополнять его рассказ наглядными эпизода-
ми, что облегчает учащимся запоминание учебного ма-
териала и более глубокое его усвоение. •
Чрезвычайно важны передачи и при повторении
учебного материала, поскольку телевидение располага-
ет широкими возможностями представить его в обоб-
щенном виде, показать в новом ракурсе, выделив наи-
более существенные, ключевые позиции.
Педагогические возможности передачи могут быть
реализованы только при условии достаточной методи-
ческой подготовленности учителя. Он должен ясно
представлять содержание передачи, учитывать, на ка-
кие знания учащихся, на какой их предшествующий
опыт опирается передача, какую работу следует раз-
вепнуть после просмотра, каким типом самостоягел*
ных заданий следуе! закрепить новые факты. О содер-
жании передачи учитель узнает из информации, регу-
лярно публикуемой в «Учительской газете» и бюллете-
не «Говорит и показывает Москва» Большую помощь
учителю в организации передач окажет сборник «Анно-
тации и методические указания к учебным телепереда-
чам для общеобразовательной школы? (М. Просвеще-
ние, 1979). В сборнике дается краткий пересказ содер-
жания основных передач а также методические реко-
мендации для учителей При пользовании сборником
следует учесть обновление школьных программ, в свя-
зи с чем в него не вошел ряд новых телепередач, ко-
торые будут подготовлены в 1980/81 учебном году
Полную информацию с каждой урочной передаче
III программы ЦТ можно получить, предварительно по-
смотрев ее на предыдущей неделе в программе «Эк-
ран — учителю» (ежедневно, в вечернее время). Специ-
альный предварительный просмотр учебных передач,
с которыми учителю предстоит работа в классе, обес-
печивает ему возможность необходимой и заблаговре-
менной подготовки к телеуроку
При планировании учебных передач на уроке целе
сообразно исходить из следующих положений
Работа с телепередачей на уроке складывается из
нескольких этапов Прежде всего следует выделить
этап, предшествующий непосредственному просмотру
передачи Задача этого этапа — формирование установ-
ки, определенного отношения к передаче, к тому мате-
риалу, который будет показан. Сделать это можно по-
разному: провести беседу по изученному прежде мате-
риалу, пересказать текст, решить задачи илн выполнить
упражнение, подводящее к содержанию передачи.
В практике школы оправдали себя также установоч-
ные беседы с использованием наглядных материалов
(фотографий, рисунков, схем, моделей, диакадров),
близких по своим выразительным качествам к зритель-
ному ряду предстоящей передачи.
Необходимо указать учащимся, что во время про-
смотра передач нецелесообразно вносить записи, кон-
спектировать текст ведущего: такие записи, если они
не предусмотрены во время рабочие пауз, вынуждают
учащихся отрываться от телеэкрана
Важна техническая подготовка к передаче. Телеви-
зионные приемники должны быть включены не менее
чем за 5 минут до начала передачи. После пробы
регулятор звука отводится на нулевое положение,
а экран прикрывается дверцами (телеприемник
««Школьный») или шторкой (заиавеской), если в классе
используется телеприемник бытового типа. Открывать
экран следует в момент появления на нем соответ-
ствующей заставки, сопровождаемой звуковым сиг-
налом.
С самого начала просмотра у чнтель должен следить
за состоянием внимания учащихся. Если передача пре-
дусматривает рабочие паузы, учитель в классе орга-
низует дополнительно работу учащихся; для этого
у него должны быть подготовлены необходимые мате-
риалы для экспериментов, чертежи, модели, муляжи,
тексты.
Во время просмотра передачи учитель оказывает
помощь слабым учащимся, репликами и замечаниями
направляет учащихся на восприятие основного, наибо-
лее существенного в передаче. Однако реплики и заме-
чания учителя должны быть краткими и не иметь оце-
ночно-эмоционального оттенка.
Следующий этап работы начинается после просмот-
ра, он не менее ответствен, чем' первый (вступитель-
ный) этап Реализация этого этапа тесно связана
с установкой, которая была сформулирована перед
просмотром Учитель должен дать учащимся время
для того, чтобы они выполнили задание, 'записали
план, составили тезисы и т д.
Далее учитель ведет работу в соответствии с наме-
ченным планом: он може! предложи:ь школьникам
самим обобщить материал передачи, дать им возмож-
ность подумать о том, чем можно было бы подтвер-
। дить ее основные положения, составить план лабопа-
торной работы, эксперимента Возможности методиче-
ской реализации материала, сообщаемого с помошыо
телевидения, практически не ограничены, учитель орга-
низме! работу, исходя из содержания материала, его
специфики, традиционной методики его изучения. Здесь
важно найти такой подход, чтобы подчеркнуть, выде-
лить то принципиально новое, что дает телевидение
как средство обучения Очень важно связать содержа-
ние передачи с содержанием и иллюстративным мате-
риалом учебника.
Способом закрепления материала передачи могут
быть различного рода задания, которые учащиеся вы-
полняют после просмотра Уровень их выполнения по-
кажет учителю, насколько глубоко усвоены наиболее
существенные положения передачи
Учебные передачи мес iных телестудий часто вклю-
чают факты о работе местных промышленных и сель-
скохозяйственных предприятий, рассказы производ-
ственников, деятелей культуры и науки Связывая эти
передачи со школьндй программой, учитель не должен
забывать, чго никакая телепередача не сможет заме-
нить «живую» экскурсию в музей и на производства
Телеэкскурспю следует рассматривать как форму за-
нятий, готовящую к посещению предприятия. колхоза,
музея. С помощью передачи надо формировать уста-
ковку, определять для учащихся объекты особого вни-
мания. давать задания для выполнения во время
экскурсий.
К материалу учебной телепередачи учитель должен
обращаться и на последующих уроках, в разных ва-
риантах напоминая учащимся отдельные эпизоды, фак-
ты, увиденные ими на телеэкране. Особенно полезно
опираться на материал телепередачи перед просмотром
др'гнх передач по курсу, кинофильмов, на уроках
обобщающего характера.
Использование телепередач в школе не должно но-
сить случайный характер. Передачи дают серьезный
эффект лишь тогда, когда они принимаются регулярно.
Важно обеспечить учителей необходимой техникой
и современной информацией о передачах. Поскольку
методика занятий с j чеб! ыми телепередачами недоста-
точно разработана, полезно организовать в школе от-
крытые уроки с применением телепередач, посвящать
обсуждению этих уроков производственные совеща-
ния, за ияти!я методичеш их объединений. псдагогичест ие
оветы, обобщать опыт учителей И обмениваться им
с соседними школами
В помощь учителям
вечерних (сменных) школ »
Л. Н. БЕЛОНОВСКАЯ, Г. Д. ГПЕГЗЕР,
Н. П. ПУЧКОВА, С. М. СААКЯН
(Москва]
ПРИМЕРНЫЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
И КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО МАТЕМАТИКЕ
В IX—XI КЛАССАХ ВЕЧЕРНЕЙ (СМЕННОЙ] ШКОЛЫ
НА II ПОЛУГОДИЕ 1980/81 УЧЕБНОГО ГОДА 1
ПЛАНИРОВАНИЕ
IX класс
Алгебра и начала анализа
Действительные числа. Числовые фчнкции
(окончание темы) 10(12)^4
Предел функции в точке. Простейшие пределы:
Ilm k = k. Нт х -= а. Нт > х = 1 а (а > О) (А,,
r-t-a х~*-а к-^а
п. 38; Л„ п. 10, 11) 2(2) ч
Теоремы о пределах ^суммы. произведения,
частного двух функций * (без доказательства)
(Ав, п. 40; Аз, п. 12) 1(2) ч
Непрерывность функции в точке. Наглядное
представление о непрерывности функции. Пре-
дел рациональной функции (Аз, п. 41; А3,
п. 13, 14) 3(?) ч
1 Общие вопросы преподавания математики в IX—
XI классах вечерней (сменной) школы на 1980/81 учеб-
ный год п примерные планирование и контрольные ра-
боты нт I полугодие опубликованы в статье, помещен-
ной в № J5 за 1980 г. Там же введены используемые
в статье условные обозначения.
<
Метод интервалов (Аз, п. 14) LH) ч
Числовая функция и ее предел (семинар-
ское занятие) 1(2) ч
Контрольная работа № 4 1(1) ч
Обобщающий урок 1(1) Ч
Зачет № 2
Производная 12(14) ч
Приращение функции (Аз, п. 36; А3, п. 17) 1(1) ч
Понятие производной функции в точке. Фун-
кция f'— производная функции f. Примеры на-
хождения производной по определению (А2,
п.’ 42, 43; Аз, п. 18) \ _ 3(31 ч
Производная суммы двух функций (А2, п. 44;
Аз, п. 19(1)) . KD ч
Производная произведения двух функций
(А2, п. 45; Аз, п. 19(2)) KD ч
Производная частного двух функций (А21
п. 47; Аз, п. 19(3)) 1(2) ч
Производная функции f(x)=x11, а ( R (с
доказательством для целого а) (А2, п. 46, 48;
Аз, п. 19(4)) KD ч
Сложная функция. Правило диффер- щирова-
ння функции f(kx-f-b). Правило дифференциро-
вания сложной функции (А2, п. 49, 50; Аз,
п. 20, 21) 2(2) ч
Производная (семинарское занятие) ’ 1 (2) ч
Контрольная работа № 5 1(1) ч
Зачет № 3
Применение производной 14(14) ч
Формула для вычисления приближенных зна-
чений дифференцируемой функции (Аг, п. 51;
Аз, п. 22) 1(1) ч
Касательная к графику функции. Геометри-
ческий смысл производной (угловой коэффици-
ент касательной). Уравнение касатепьной к
графику функции (А2, п. 52; А3, п. 23) 1(1) ч
Вычисление скорости и ускорения прь пря-
молинейном движении (А2, п. 53; Аз, п. 24) 1(1) ч
Теорема Лагранжа (без доказательства).
Возрастание и убывание функции на множестве.
Достаточный признак возрастания (убывания)
функции на интервале и иа отрезке (А2, п. 35,
54; Аз, п. 16, 25) 2(2) ч
Точки максимума и минимума функции. Не-
обходимое условие экстремума дифференцируе-
мой функции (А2, п. 55; А3, п. 26) 1(1) ч
Наибольшее и наименьшее значения функции
на промежутке. Правило нахождения наиболь-
шего и наименьшего значений функции на от-
резке (А2, п. 59; Аз, п. 28) 1(1) ч
Схема исследования функций (А2, п. 56, 58;
Аз, п. 27) . 4(4) ч
Применение производной (семинарское за-
нятие) 1(1) ч
Контрольная работа № 6 1(1) ч
Обобщающий урок 1(1) ч
Зачет № 4
Повторение 2(2) ч
Геометрия
Основные понятия стереометрии.
Параллельность в пространстве 16(12) ч
Основные понятия и аксиомы стереометрии
(в ознакомительном плане). Следствия из акси-
ом. Полупространство (Г2, § 1—3) 2(1) ч
Проведение в пространстве прямой, парал-
лельной данной прямой (Г2, §4) 1(1) ч
Решение задач на построение сечения много-
гранника (Г2, § 5) II1) ч
Скрещивающиеся прямые (Г2. ^6) 1(1) ч
Взаимное расположение прямой и плоскости.
Признак параллельности прямой и плоскости
(теорема 3 без доказательства) (Г2, § 7) 2(1) ч
37
Транзитивность параллельности прямых (Г2,
§ 8) 1(1) ч
Контрольна^1 работа № 3* 1 (1) ч
Параллелепипед (задача о построении линии
пересечения плоскостей не рассматривается)
Взаимное расположение двух плоскостей. Приз-
нак параллельности плоскостей (Г2, § 9, 10) 2(1) ч
Теоремы о параллельных плоскостях (Г2,
§ Ч) 1(1) ч
Параллельная проекция фигуры. Свойства па-
раллельной проекции (без доказательства) (Г2,
§ 12) 1(1) ч
Изображение фигур в геометрии (примеры
изображения плоских и неплоских фигур в
ознакомительном плане) (Г2, § 13) 2(1) ч
Контрольная работа № 4 1(1) ч
Зачет № 2
Повторение 3(2) ч
* X класс
Алгебра и начала анализа
Тригонометрические функции, их производные,
свойства и графики (окончание темы) 14(14) ч
Общая схема исследования функций Обрат-
ная функция к непрерывной возрастающей
Сбывающей) функции (А2, п. 58, 84; As, п. 27,
51) 1(1) ч
Свойства и график функции синус. Функ
ция арксинус и решение уравнения sin х—а
(А2, п. 85; Аз, п. 46, 52(1)) 2(2) ч
Свойства и график функции косинус Функ-
ция арккосинус и решение уравнения cos х—а
(А2, п. 86; Аз, п. 47, 52(11)) 1(1) ч
Сзойства и график функции тан!енс. Функция
арктангенс и решение уравнения tgx=a (А2,
п. 87; Аз, п. 48. 52(111)) 2(2) ч
Свойства и график функции котангенс. Фун-
кция арккотангенс и решение уравнения ctgx=
= а (А2, п. 88; Аз, п. 49, 52(1V)) 1(1) ч
Примеры решения простейших тригонометри-
ческих неравенств (Аг п. 93; Аз, п. 53) 1(1) ч
Примеры решения тригонометрических урав-
нений и доказателы' гва . тригонометрически
тождеств (А2, п. 94 95; Аз, п. 54) 3(3) ч
Тригонометрические тождества, уравнения,
неравенства (семинарское занятие) 1(1) ч
Контрольная работа № 4 1(1) ч
Обобщающий урок 1(1) ч
Зачет № 2
Показательная, логарифмическая и степенная
функции 22(24) ч
Показательная функция, ее свойства и гра-
фик. Примеры решения простейших показа-
тельных уравнений и неравенств (А|, § 128,
129, 131; \2, п. 108; Аз, п. 63) 4(4) ч
Логарифмическая функция, ее свойства и гра-
фик. Основное логарифмическое тождество.
Теоремы о логарифмах (Ац § 135, 136; А2,
п. 111; Аз, п. 64) 2(3) ч
Формула перехода от логарифмов при одном
основании к логарифмам при другом основании
(А2, п 111; Аз, п. 64) 1(1) ч
Примеры решения простейших логарифмиче-
ских уравнений и неравенств (Ai, § 138; А.,
п. 113; Аз, п. 64) 3(3) ч
Показательная и логарифмическая функции.
Показательные и логарифмические уравнения и
неравенства (семинарское занятие) 1(1) ч
Контрольная работа № 5 1(1) ч
Производная показательной функции. Число
.е (Аа, п. 109; А3, п. 65) 2(2) ч
Производная обратной функции. Производ-
ная логарифмической функции (А2, п. 112, 113.
Аз, п. 67) . • 2(2) ч
Степенная функция и ее производная (А2,
п. 115, Аз, п. 68) 1(2) ч
Примеры решения иррациональных уравнений
(А2, п. 116; Аз, п. 69) 2(2) ч
Производные показательной, логарифмиче-
ской и степенной функций. Иррациональные
уравнения (семинарское занятие) 1(1) ч
Контрольная работа № 6 1(1) ч
Обобщающий урок 1(1) ч
Зачет № 3
Повторение 2(2) ч
Геометрия
Перпендикулярность в пространстве.
Двугранные и многогранные углы 8(14) ч
Две плоскости, перпендикулярные прямой
(Г2. § 33) -(1) ч
Расстояние от точки до плоскости (Г2, § 34) —(I) ч
Общий перпендикуляо скрещивающихся пря-
мых (Гг, § 35) —(I) ч
Теорема о трех перпендикулярах (Г2, § 36) — (I) ч
Угол между наклонной и плоскостью (Г2,
§ 37) -(2) ч
Решение задач по теме «Перпендикулярность
в пространстве» 2(2) ч’
Контрольная работа № 4 1(1) ч
Двугранный угол. Измерение двугранных уг-
лов (Г2, § 38) 1(1) ч
Признак перпендикулярности плоскостей (Г2,
§ 39) 2(2) ч
Многогранный угол. Трехгранный угол (Гг,
§ 40) 1(1) ч
Конт; ольная работа № 5 1(1) ч
Зач . № 2
Координатный метод в пространстве 9(10) ч
Координаты вектора. Правила действий над
векторами, заданными своими координатами
(правило 4 без доказательства) (Г2, § 42) 2(2) ч
Вычисление длины вектора (Г2, § 43(1)) 1(1) ч
Прямоугольная система координат. Коорди- наты точки (Г2, § 44) 2(2) ч
Уравнение плоскости (теорема 26 без дока- зательства) (Г2, § 45) 2(2) ч
Гомотетия пространства (определение, свой- ства— без доказательства) (Г2, § 46) 1(2) ч
Контрольная работа № 6 1(1) ч
Зачет № 3
Повторение 2(4) ч
XI класс
Алгебра и начала анализа
Системы уравнений и неравенств
(окончание темы) 6(12) ч
Решение не чиненных уравнений и систем уравнений (Аг, о. 122; А3, п. 74) -(3) ч
Решение уравнений и систем уравнений (се- минарское занятие) -(1) ч
Контрольная работа Ns 3 -(1) ч
Обобщающий урок Зачет Ns 2 -(1) ч
Решение неравенств с двумя переменными
(Аг. п. 123; Аз, п. 75) 2(2) ч2
Решение систем неравенств с двумя перемен- ными (А2, п. 123; Аз, п. 75) 3(3) ч
2 В школах с продолжительностью учебного года
36 недель предыдущий материал изучался в 1 полуго-
дии (см.; Математика в школе, 1980, Ns 5).
38
Контрольная работа Ns 4
Зачет № 3
Повторение 32(30) ч
Числовая функция. Числовые последователь-
ности. Сходимость последовательностей. Сумма
бесконечной геометрической прогрессии при
1?1<1
Четность и нечетность функций. Взаимно об-
ратные функции
Предел функции. Теоремы о пределах функ-
ции
Определение производной, ее геометрический
н физический смысл
Теоремы о производных
Производные степенной, показательной -и ло-
гарифмической функций •
Производные тригонометрических функций
Монотонность функций и экстремумы. Наи-
большее и наименьше^ значения функции на
отрезке. Исследование функции и построение
схемы ее графика
Контрольная работа № 5
Линейная, квадратичная, показательная и ло-
гарифмическая функции, их свойства н графики
Решение показательных и логарифмических
уравнений и неравенств
Определение тригонометрических функций.
Соотношения между тригонометрическими фун-
кциями одного и того же аргумента
Свойства и графики тригонометрических фун-
кций. Периодичность тригонометрических фун-
кций
Тригонометрические формулы сложения. Фор-
мулы приведения
Тригонометрические функции двойного и по-
ловинного аргументов
Формулы суммы и разности одноименных
тригонометрических функций
Решение тригонометрических уравнений и не-
равенств. Доказательство тригонометрических
тождеств
Контрольная работа № 6
Первообразная и интеграл
Уравнения и системы уравнений. Неравенст-
ва и системы неравенств
1(1) ч
2(2) ч
2(2) ч
1(1) ч
41) ч
2(2) ч
1(1) ч
1(1) ч
•
2(2) ч
(1) ч
3(2) ч
1(1) Л
1(1) ч
2(2) ч
1(1) ч
1(1) ч
1(1) ч
3(3) ч
1(1) ч
2(2) ч
3(2) ч
Геометрия
Фигуры вращения3 * 10(16) ч
Фигура вращения. Цилиндр. Площадь поверх-
ности цилиндра (Г2, § 60) 1 (2) ч
Конус. Площадь поверхности конуса (Г2,
§ 61; 1(2) ч
Сфера и шар. Уравнение сферы. Сечение сфе-
ры (Г2, § 62, 63) 1(2) ч
Плоскость, касательная к сфере (Г2, § 64) 1 (2) ч
Контрольная работа № 4 1(1) ч
Объем цилиндра (теорема 38 без доказа-
тельства) (Г2, § 65) 1(2) ч
Объем фигуры, полученной при вращении
криволинейной трапеции (Г2, § 66) 1 (2) ч
Объем конуса Объем шара (Г2, К 67, 6Ъ) 1 (2) ч
Площадь сферы (Г2, § 69) 1(1) ч
Контрольная работа Ns 5 1(1) ч
Зачет Ns 3
3 В школах с продолжительностью учебного года
28 недель на данную тему отводится 6 часов в I по-
лугодии и 10 часов во II полугодии.
Повторение 9(18) ч
Взаимное расположение двух прямых в про-
странстве. Параллельность прямой и плоскости.
Параллельность плоскостей 2(3) ч
Преобразования пространства. Перемешенит.
Центральная и осевая симметрия, симметрия
относитепьно плоскости. Свойства параллелепи-
педа 1 (2) ч
Направление в пространстве. В» кторы. Дейст-
вия над векторами. Коллинеарные и компла-
нарные векторы 1 (2) ч
Угол между двумя направлениями, вектора-
ми, прямыми. Перпендикулярность прямой и
плоскости. Теорема о трех перпендикулярах.
Угол прямой с плоскостью. Двугранные углы.
Перпендикулярность плоскостей 1 (2) ч
Правила действий над векторами, заданными
своими координатами. Вычисление длины век-
тора н расстояния между двумя точками. Урав-
нения плоскости, окружности, сферы 1 (2) ч
Контрольная работа № 6 1(1) ч
Решение задач на нахождение площади по-
верхности и объема многогранников и фигур
вращения 2(6) ч
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ
IX класс
Алгебра и начала анализа
№ 4
1. Укажите область определения функции
2. Вычислите
х= — 4х + 3
lim--------;---
л->1 X 1
3. Решите неравенство
(х + 1)(х — 2)(х — 1)2<0.
4. Постройте график функции
f Г х3 при х<1,
1 'х) “( 2х — 1 при х> 1
и вычислите f (0), f(l), f(2).
№ 5
1. Пользуясь определением производной, найдите
производную функции f(x)=x3—Зх и вычислите зна-
чение переменной х, при которой f'(x)=0.
2. Найдите производные функций:
7х+ 1
а) / (х) = (Зх’ - 2) (2х + 1); б) g (х) =
в) h (х) = (Зх5 — 4)’.
№ 6
1. Дан^ функция f(x)=x3—Зх:
а) исследуйте с помощью производной эту функцию
и постройте схематически ее график;
б) найдите наименьшее и наибольшее значения фун-
кции f на отрезке [0; 1];
в) напишите уравнение касательной к графику фун-
кции f в точке с абсциссой Хо=2.
2. Материальная точка движется прямолинейно до
1
законуs(t) ---g-/3+5(2—4 (s измеряется в метрах,
t — в секундах) В какой момент времеин ускорение
м
движения равно 2?
39
Геометрия
№ 3
1. Постройте сечение куба ABCDA^BiCjDi плоско-
стью, проходящей через середины ребер С«С и АВ и
1
точку Л ребра В,В такую, что | | -• | В,В\.
2. Даны две скрещивающиеся прямые. Проведите
плоскость, содержащую одну из данных прямых и па-
раллельную другой.
3. Верне ли утверждение: если а—Ь, Ь||с, то а||с?
№ 4
1. Постройте сечение куба ЛВСО/hfiiCiDi плоско-
стью, проходящей через середину ребра BtB и парал-
лельной плоскости ABiC.
2. Цокажит :, что если плоскость параллельна одной
из двух параллельных прямых, то она параллельна и
другой. ,
3. Какие фигуры можно получить, проектируя на
плоскость прямоугольник?
X класс
Алгебра и начала анализа
№ 4
1. Решите уравнения;
>7 3
a) cos 2х — —у—;
б) cos2 х—3 sin х-Ц-3=0;
в) 3sin2x—sin х cos х—2cos’x=0.
2. Постройте график функции ^=2cosx п с его
помош. ю решите неравенство 2cosx—13-«0
NS S
1. Изобразите схематически «рафики функций!
а) / (х) - б) g (х) - log, х.
2 Решите уравнения:
а) 5-2х+э—3-2х+1=68. б) iogs (х’+?) =4.
NS 6
1. Найдите производные функций:
а) / (*) 6) g (х) — log, (Зх4 +- 2).
2. Решите уравнение /2х—1 -• х—о
3. Исследуйте функцию/(х) — 2*1 н схематиче-
ски изобразите ее график
Геометрия
№ 4
1. Из точки, отстоящей от плоскости на рас-
стоянии 9 см проведены к этой плоскости две на
клонные, образующие с ней углы в 30° и 45е. Найдите
расстояние между точками пересечения наклонных с
плоскостью, если угол между ортогональными проек-
циями этих наклонных на плоскость—прямой.
2. Из вершины А равнобедренного треугольника АВС
проведен отрезок АК, перпендикулярный его плоскости.
Найдите площадь треугольника В С К, рсп |ЛС| =
= |Дб1 = 13см. |fiC[ = 10cM, |Л/С|=16 см.
№ S
1. Концы отрезка АВ принадлежат различным гра-
ням прямого двугранного угла. Точки А«, — орто-
гональные проекции соответственно точек А и В на
грани, которым данные точки не принадлежат. Найди-
те длину данною отрезка, если |4Bi|=5 см, |В|В| =
= 12 см, |Д1Л | =4 см.
2. Через сторону ВС равнобедренного треугольника
АВС проведена плоскость а, составляющая е плоско-
стью данного треугольника угол в 30°. Найдите рас-
стояние от вершины А до плоскости а, если |ЛВ| =
= |ДС| = 10 см, |ВС| = 12 см
№ 6
• 1. Найдите расстояние между точками А (3, —1, 4)
и В (5; 0; 6).
- 2. Составьте уравнение плоскости, проходящей через
точку А (3; —1, 2) и перпендикулярной вектору п =
= (—2, 4; 1).
3. Постройте линии пересечения координатных пло-
скостей с плоскостью, заданной уравнением х—Зг/+
XI класс
Алгебра и начала анализа
№ 4
1. На координатной плоскости укажите множества
решений систем неравенств:
а) I х’ + у’ < 25, б) [ х > — 1, в) / у, > х5 — 1,
I Зх — у < 2; j х + 1 < 0, ( х + Зу < 9.
I 2х — у < 3;
2. Для каждой из систем неравенств в первом зада-
нии укажите по одному решению.
№ 5
1. Найдите производные функций:
а) / (л; - 3Х’~Л, б) g (х) - 1п (Зх* + 4), в) Л (х) -
— sin 2х — cos
О
2. Дана функция /(х) — -j- xs — 2х5 ч- Зх + 1:
а) исследуйте эту функцию;
б) найдите ее наибольшее и наименьшее значения
на отрезке [—1; 3];
в) напишите уравнение касательной к «рафику фун-
кции f в точке с абсциссой х0=3.
№ 6
1. Решите уравнение
3 cos2 х—5 sin х+5=0.
2. Докажите тождество
cos a -f- cos 5а
3. Решите неравенство
2 cos а—1-^0.
4. Приведите к значению тригонометрической фун-
кции острого угла sin 624°.
Геометрия
М° 4
1. Площадь боковой поверхности цилиндра равна
60 л см2, а площадь основания равна 36 л см2. Найди-
те длину диагонали осевого сечения цилиндра.
2. Высота конуса равна 5 см. Найдите площадь бо-
ковой поверхности конуса, если его осевым сечением
служит прямоугольный треугольник.
3. Длина радиуса шара равна 10 см. Через середи-
ну радиуса проведена перпендикулярно к нему плос-
кость. Найдите площадь сечения.
№ 5
1. Прямоугольный равнобедренный треугольник вра-
щается вокруг оси, содержащей один из катетов Най-
дите объем фигуры вращения, если длина гипотенузы
треугольника равна 5 т 2 см.
2. Найдите высоту цилиндра, равновеликого шару
радиуса 3 см, если радиус основания цилиндра равен
2 см.
3. Криволинейная трапеция, заданная уравнениями
ее границ: у—хг, у=0, х=2, вращается вокруг оси
абсцисс. Найдите объем фигуры вращения.
№ 6
1. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей
через середину диагонали верхнего основания куба
перпендикулярно ей. Найдите площадь сечения, если
длина ребра куба равна 7 см.
2. Даны точки А (Г. 6; —3), В (4. 4;'4), С (1;
—2; 2), D (6; 2; 3). Докажите, что векторы АВ и CD
перпендикулярны.
40
Учебное оборудование
Ю. А. ГЛАЗКОВ
(НИИ U1OTCO АПН СССР),
М. Ф. КОЛПАКОВ
(Управление снабжения школ МП СССР)
О ПОРЯДКЕ СНАБЖЕНИЯ ШКОЛ
УЧЕБНО-НАГЛЯДНЫМИ ПОСОБИЯМИ
И УЧЕБНЫМ ОБОРУДОВАНИЕМ
Приобретение учебио-наглядных пособий (УНП) и
учебного оборудования (УО) производится на основе
заказа, направляемого школой в адрес магазина учеб-
но-наглядных пособий, обслуживающего школу (в не-
которых республиках — в адрес отдела народного об-
разования). Заказ оформляется на специальном блан-
ке, рассылаемом магазинами-учколлекторами или Глав-
ными управлениями, управлениями или отделами ми-
нистерств просвещения союзных республик, занимаю-
щимися снабжением школ, и подписывается распоряди-
телем кредитов и бухгалтером. Заказ составляется на
основе следующих документов:
1) типовые перечни учебно-наглядных пособий и
учебного оборудования для общеобразовательных школ;
2) бланк или специальная форма заказа;
3) публикации о новых УНП и УО в журнале «Ма-
тематика в школе», если в них указано, с какого вре_-
меии начинается серийное производство и какова опто-
вая цена пособия.
Основным нормативным документом, определяющим
сосав полного комплекта УНП и УО, являются типо-
вые перечни, утвержденные приказом МП СССР и
разосланные во все союзные республики с указанием
об обеспечении ими каждой школы. Перечни содержат
названия приборов н моделей, инструментов и приспо-
соблений, печатных, экранных и звуковых пособий; они
же устанавливают нормативные количества каждого
типа пособий из расчета на школу с одним комплек-
том классов. Для школ с двумя и более классами в
каждой параллели данные для определения количест-
ва УНП и УО предоставляет «Сборник сметных норм за-
трат и типовых наборов оборудования и предметов
внутреннего- убранства общественных и административ-
ных зданий» (М.: Стройиздат, 1974, т. 5 — Учебные
заведения, вып. I — Общеобразовательные школы и при-
школьные интернаты). Например, в соответствии с
этим Сборником демонстрационные пособия по мате-
матике для IV—VIII классов школами на 784 и 1176
учащихся (с двумя и тремя комплектами классов соот-
ветственно) приобретаются в удвоенном количестве, а
школами на 1568 учащихся — в утроенном. Комплект
демонстрационных пособий для IX—X классов удваи-
вается только для школ на 1568 учащихся.
Производство и поставка учебного оборудования, фи-
нансирование закупок поставляемых пособий осущест-
вляются в строгом соответствии с Типовыми перечня-
ми, которые согласованьГ с Госпланом СССР и Мин-
фином СССР Школы при составлении заказов дол-
жны строго выполнять установленные нормативы. При-
обретение пособий в количествах, меньших, чем те, ко-
торые указаны в Перечнях, не обеспечит проведение
учебного процесса в соответствии с требованиями про-
граммы. С другой стопоны. приобретение лишних эк-
земпляров пособий приводит к бесполезной трате ас-
сигнований, лишает другие учебные предметы и школы
нужного оборудования. Учителям, директорам школ,
работникам органов народного образования следует
учитывать, что заказы на оборудование, проанализи-
*
рованные и обобщенные, ложатся в основу заявки Ми-
нистерства просвещения СССР министерствам, ведом-
ствам, предприятиям на производство и поставку учеб-
ного оборудования. Неправильное оформление и не-
своевременная сдача заказа школой приводит к умень-
шению заявки предприятиям.
Нужно иметь в виду, что не все пособия выпускают-
ся в количествах, достаточных для одновременного
удовлетворения потребностей каждой школы. Выпуск
таких пособий планируется с перспективой обеспече-
ния нми школ в течение ряда лет. Кроме того, в соот-
ветствии с установленными сроками заявки иа произ-
водство УНП и УО направляются по крайней мере за
год до начала производства. Поэтому поданный в те-
кущем году заказ в ряде случаев может быть удов-
летворен только через один-два года. В этих условиях
большое значение имеет контроль со стороны opianoB
народного образования за очередностью выполнения
заказов, правильным распределением пособий по шко-
лам..
При составлении заказов необходимо учитывать, что
названия некоторых выпускаемых пособий отличаются
от названий, приведенных в Перечнях. Приведем спи-
сок УНП и УО, поставляемых в настоящее время шко-
лам (именно эти названия и марки нужно вносить в
заказы). ,
Доски магнитные с координатной сеткой. Комплек-
ты «Доли и дроби» ДИД. Комплекты кривых для маг-
нитной доски. Комплекты резиновых штампов по ма-
тематике. Комплекты стереометрических тел КСТ. Ли-
нейки классные ЛКл. Линейки логарифмические демон-
страционные ЛЛд. Наборы моделей для лабораторных
работ по измерению площадей и объемов. Наборы шар-
нирных моделей НШМ. Полигоны логических схем
ПЛС-2 (логические операции). Приборы магнитные
«Измерение, площадей». Транспортиры классные ТрК.
Угольники классные 30°, 60° УКл. Угольники классные
45° УКл-45. Циркули классные. Циркули школьные
пластмассовые ЦШк. Автоматизированные модульные
классы АМК-1 '0. Автоматизированные модульные
классы АМК-1-5. Устройства группового контроля
УГК-1. Устройства группового контроля знаний
«Диск-18». Класс автоматизированного контроля «Орле-
нок» (приобретается один из указанных пяти типов ав-
томатизированных контролирующих устройств).
Выпускаются г дедующие диафильмы: «Векторы в про-
странстве», «График уравнения. Графическое решение
систем уравнений», «Длина окружности и площадь кру-
га», «Действия с обыкновенными дробями», «Длины и
расстояния», «Интеграл», «Использование гомотетии для
решения задач и доказательства теорем», «Логическое
строение геометрии», «Математическая индукция»,
«Многогранники»; «Множества и операции над ними»,
«Поьорот. Центральная симметрия», «Предел функции.
Производная», «Приближенные вычисления», «Прямо-
угольные координаты в пространстве-, «Прямоугольный
параллелепипед, его поверхность и объем», «Углы и йх
виды», «Целые неотрицательные числа и дроби», «Че-
тырехугольники», «Числовые неравенства и их свой-
ства». <
Серии диапозитивов: «Векторы», «Геометрические
преобразования графиков», «Гомотетия и подобие»,
«Действия с- положительными и отрицательными числа-
ми и нулем», «Делимость натуральных чисел», «Дроби,
содержащие переменную», «Задачи на использование
формул», «Задачи на составление уравнений. Часть 2»,
«Кабинет математики», «Обыкновенные дроби», «Ото-
бражения в ппостранстве».
Серии таблиц по математике для IV класса, по алгеб-
ре для VI класса, по алгебре и началам анализа для
IX класса, а также по геометрии для IV—V классов.,
Каждое из этих пособий приобретается из расчета
один экземпляр на школу с одним комплектом клас-
сов. Исключение составляют чертежные инструменты
41
(3 экземпляра) и набор шарнирных моделей (2 экзем-
пляра) .
В 1976—1978 гг. выпущены кинофильмы «Из исто-
рии геометрии», «Гомотетия и подобие», «Графики фун-
кций. Разделы 1 и 2», «Конгруэнтность фигур н пере-
мещеадя», «ЭВМ и работа ча ней» (кинофильмы посту-
пают только в фильмотеки и выдаются школам на-
прокат) .
Важным источником пополнения школьных фондов
УНП и УО является самооборудование. Журнал «Ма-
тематика в школе» регулярно публикует статьи с опи-
санием пособий, которые можно изготовить в условиях
школы. Часть таких статей перечислена на последней
странице обложки журнала № 4 за 1977 с.
Эксперимент
ОТ РЕДАКЦИИ
В настоящее время по поручению Министерства про-
сгещения СССР во многих школах союзных республик
поводится экспериментальная проверка различных про-
грамм и подходов к школьному математическому об-
разованию.
В школах Российской Федерации начиная с 1979/80
учебного года проводится проверка программы по ма-
тематике, разработанной МП РСФСР (см.: Математи-
ка в школе, 1979, № 3). В школах Украины (г. Харьков
и Харьковская область) экспериментируется программа,
разработанная комиссией по математике под руководст-
вом академика И. М. Виноградова (см.: Математика
в школе, 1979, № 2). По этой программе напрсан и
проверяется учебник по геометрии для VI—X классов
академика А. В. Погоне зова. В 1979/80 учебном году
такая проверка осуществлялась в VI и IX классах.
В нескольких школах Армянской ССР и Молдавской
ССР проводится экспериментальная проверка учебника
по геометрии для VI—VIII классов авторского коллек-
тива под руководством В. Г. Болтянского.
В школах Эстонской ССР экспериментируется ориги-
нальный курс математики в IV—XI классах без разде-
ления иа предметы (алгебру и геометрию).
Созданы и в ближайшие годы подвергнутся экспе-
риментальной проверке пробные учебники по алгебре
и началам анализа для IX—X классов Н. Я, Виленкина
и др., по геометрии для ”Х—X классов А. Д. Александ-
пова и др. и еще ряд учебников.
Коллегия Министерстза просвещения СССР рассмот-
рела итоги экспериментальной проверки пробных '>чеб-
ников математики в школах РСФСР и УССР в 1979/80'
учебном году.
Журналу «Математика в школе» поручено знакомить
учителей с проводимыми экспериментами.
В этом номере журнала начинается серия публика-
ций о ходе эксперимента по различным программам
и учебникам.
О. А. БОКОВНЕВ,
зав. лабораторией обучения математике
НИИ школ МП РСФСР,
И. И. ЮДИНА,
зав. кабинетом математики ЦИУУ
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ПРОВЕРКА
ПРОБНЫХ УЧЕБНИКОВ «АЛГЕБРА»
И «ГЕОМЕТРИЯ» ДЛЯ VI КЛ кССА
СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ В 1979/8С УЧЕБНОМ ГОДУ 1
По решению коллегии МП РСФСР от 1 марта 1979 г.
лаборатория обучения математике Научно исследова-
тельского института школ совместно с Программно-ме-
тодическим управлением и Центральным институтом
усовершенствования учителей в 1979/80 учебном году
проводила - эксперимент по пробным учебникам для
VI класса «Алгебра» и «Геометрия»
Для экспериментальной работы были выделены: Го-
родецкий район Горьковской области (30 школ), Боло-
товский район Калининской области (10 школ), Чамзин-
ский район Мордовской АССР (21 школа). Киевский
район Москвы (27 школ), Куйбышевский район Ленин-
града (15 школ)—всего около пяти тысяч учащихся.
Экспериментальную работу в классах ведут 112 учи-
телей, а руководство ею на местах осуществляют ка-
бинеты математики Институтов усовершенствования
учителей и райметодкабинеты
Общая задача экспериментальной проверки — оценка
теоретического, практического содержания и всей ме-
тодической системы пробных учебников.
Цели эксперимента
Проверить доступность изложения учебного материа-
ла в пробных учебниках.
Установить, насколько позитивно влияет на формиро-
вание алгебраических понятий усиление теоретико-чи-
словой основы курса алгебры; выяснить влияние на-
глядных представлений и практического опыта иа ус-
пешность усвоения курса геометрии, построенного на
дедуктивной основе начиная с VI класса.
Определить объем учебного материала, исключающий
перегрузку учащихся и обеспечивающий прочное усвое-
ние школьниками основных математических навыков.
Проверить, удачно ли найдено авторами соотношение
теории и практики в процессе изучения алгебры и гео-
метрии.
Выяснить, достаточно ли представлена в учебнике
связь курсов алгебры и геометрии с жизнью, практикой,
другими учебными предметами.
Определить учебное время, необходимое для прочного
и сознательного усвоения всеми учащимися основных
вопросов из курсов алгебры и геометрии VI класса.
Установить, способствует ли изчожение теоретическо-
го матерна па в учебнике, а также подобранные в нем
задачи и упражнения активизации самостоятельной ра-
боты учащихся, возбуждению у них интереса к учению.
Проверить, является ли полной, посильной и после-
довательной предложенная в пробных учебниках систе-
ма упражнений.
Выявить приемы и методы работы учителя, обеспечи-
вающие наибольшую эффективность обучения матема-
тике в экспериментальных классах.
Одновременно экспериментальной проверке подверга-
ется и проект программы по математике для IV—
1 Алимов Ш. А., Ильин В. А.. Калягин Ю. М., Сидо-
ров Ю. В., Шабунин М. И Алгебра: Пробный учебник
дли 6-го класса средней школы. — М.: Просвещение,
1979.
Атанасян JI. С., Позняк Э. Г. Геометрия: Пробный
учебник для 6-го класса средней школы. — М.; Просве-
щена , 1979.
42
X классов сродней общеобразовательной школы ’, по
которому и составлены указанные выше пробные учеб-
ники для VI класса. Этет проект подготовлен Комис
сиен Министерства просвещения РСЛСР; 15 февраля
1979 г. он был в целом одобрен комиссией по экспери-
ментальным школьным программам и учебникам Отде-
ления математики АН СС^Р (председатель академик
А. Н. Тихонов), а 1 марта 1979 г.— Коллегией Мини-
стерства просвещения РСФСР для экспериментальной
проверки.
В соответствии с декабрьским 1977 г. постановлени-
ем ЦК КПСС и Совета Министров СССР о школе, ука-
занная программа особое внимание уделяет совместной
реализации принципов научности и доступности курса
математики и обеспечению прочного усвоения всеми
школьниками основ математических знаний, необходи-
мых для последующей трудовой деятельности. Про-
грамма не придает основополагающего значения теоре-
тико-множественной трактовке математических поня-
тий, исключает усложненную терминологию и символи-
ку, освобождает школьный курс математики от вопро-
сов, не имеющих общеобразовательной ценности.
Проект программы предусматривает отработку у
школьников практических навыков (алгебраические пре-
образования, решение уравнений, неравенств и их си-
стем, графические навыки, вычисления, измерение ве-
личин, построение фигур) на том уровне, который фак-
тически необходим для успешного изучения основ ма-
тематики и на практике. Математическую терминологию
я символику предполагается вводить постепенно, по
мере возникновения в ней потребности. При этом вво-
дятся лишь те термины и символы, которые общепри-
няты в научно-технической литературе.
В пробных учебниках повышенное внимание удетя-
ется практическому использованию алгоритмов и тео-
рем, введению новых математических представлений че-
рез прикладные задачи.
При развитии мышления учащихся, особое внимание
уделяется формированию логического мышления и раз-
витию пространственных представлений школьников.
Пробный, учебник «Алгебра VI» последовательно реа-
лизует теоретико-числовую основу формирования зна-
ний учащихся, продолжает и закрепляет одну из глав-
ных линий курсов математики I—III и IV—V клас-
сов— линию развития понятия числа. Тем самым усили-
вается теоретическая основа курса алгебры. Важные
алгебраические положения обосновываются обращением
к известным законам и свойствам чисел и арифметиче-
ских действии над ними.
Пробный учебник «Геометрия VI» построен дедуктив-
но. Изложение ведется не на основе теории отображе-
ний, а на основе аксиоматики, построенной с опорой
на опыт и наглядные представления учащихся. Система
аксиом курса легко обозрима, а сами аксиомы хорошо
иллюстрируются на моделях. В учебнике не рассмат-
ривается общее понятие неотрицательной скалярной ве-
личины, ибо оно является трудным для шестиклассни-
ков. Теория измерения отрезков и углов строится иа
числовой основе, хорошо знакомой учащимся из I-—
V классов и из курса алгебры VI класса. В курсе гео-
метрии особое внимание уделяется решению практи-
ческих и вычислительных задач.
По ходу экспериментальной проверки комплексно ана-
лизировались и оценивались программа, материал проб-
ных учебников, учебная деятельность шестиклассников,
методическая работа учителя.
Оценка знаний и практических навыков учащихся на
разных этапах обучения осуществлялась с использова-
нием разнообразных форм контроля: устные ответы
учащихся, текущие самостоятельные и тематические
контрольные работы, срезовые контрольные работы
(1 срезовая контрольная работа на полугодие). В ха-
• Математика в школе, 1979, № 3, с. 15—21,
рактеристике деятельности учащихся на уроке и.при
выполнении домашней работы имела место не только
качественная оценка знаний и навыков, но и количест-
венная оценка объема теоретической и практической
работы, выполняемой учащимися, с выделением этой
оценки для сильных, средних и слабых школьников.
В процессе экспернмен а анализировалась структура’
урока и методическая работа учителя на уроке.
Анализ результатов эксперимента за 1979/80 учебный
год позволяет дать предварительную оценку всей ме-
тодической системе изучения алгебры и геометрии в
VI классе.
Реализация теоретико-числовой основы изучения ал-
гебры в VI классе уже в стадии подготовки пробного
учебника позволила разгрузить программу от некото-
рых вопросов, сложных "для шестиклассников — тожде-
ство, равносильность и т. д. Эксперимент показал, что
принятая авторами теоретико-числовая основа построе-
ния курса алгебры „орошо согласуется с уровнем воз-
растных возможностей учащихся VI класса и обеспечи-
вает осмысленное и достаточно прочное усвоение на-
чал алгебры.
В соответствии с требованием программы усиление
практической направленности обучения алгебре поло-
жительно сказалось на отработке практических навы-
ков учащихся. Так, по результатам итоговой контроль-
ной работы 86% учащихся безошибочно решили систе-
му двух уравнений первой степени с двумя неизвест-
ными, 93% правильно установили принадлежность точ-
ки графику линейной функции, 92% выполнили работу
без вычислительных ошибок. Важно- отметить, что 57%
писавших итоговую контрольную работу получили
оценки «4» и «5».
Укажем один вариант итоговой контрольной работы
по алгебре.
1. Решить систему уравнений
(Зх —7у = 3,
I х-2у = 2.
2. Выполнись действия;
с’ — d’ ( с Д
2d3 \d “
3- Проходит ли график функции у = 2х — 4
через точку В (3; 2)? Постройте график
этой функции.
4. Решить уравнение
3 — 5х о 6х -I- 7
8 “3— 7 •
В ходе эксперимента выявилась целесообразность до-
полнитепьной разгрузки программы по алгебре за счет
исключения из курса VI класса некоторых вопросов
(применение формул сокращенного умножения к приб-
лиженным вычислениям, степень и свойства степени с
целым показателем, пропорции и их свойства; всего
на 9 учебных часов), что позволило высвободить время
для изучения других тем и повторения основных раз-
депов курса алгебр а! VI класса. /
Большинство учителей-экспериментаторов отмечает
доступность изложения материала в учебнике. Более
того, подчеркивается, что примерно половина учебного
материала пробного учебника алгебры может быть са-
мостоятельно изучена учащимися в случае пропуска
ими классных занятий. Вместе с тем некоторые главы
вызвали определенные трудности, например «Алгебраи-
ческие дроби», «Линейная функция и ее график». Пред-
варительный анализ возникших трудностей показал, что
в главе «Алгебраические дроби» не был выбран опти-
мальный для данного школьного возраста уровень от-
рабатываемых навыков, а глава «Линейная функция и
ее график» перегружена описательным материалом.
43
В пробном учебнике недостаточно была представлена
система задач и упражнений для формирования и от-
работки необходимых навыков.
Первый год эксперимента 1ьной работы показал воз-
росшую активность и позитивные сдвиги в обучении
алгебре слабоуспевающих школьников. Это подтвержда-
ется и итогами годовой контрольной работы. Так, до-
пустили ошибки при умножении дробей, в формулах
сокращенного умножения, при переносе членов уравне-
ния, приведении подобных членов лишь от 2 до 3%
учащихся. В той же контрольной работе в эксперимен-
тальных классах школ Москвы не приступили к реше-
нию системы уравнений менее 1% учащихся, к выпол-
нению действии с алгебраическими дробями 2%.
Первый год экспериментальной проверки показал,
что теоретическая основа курса геометрии также в ос-
новном отвечает возрастным возможностям учащихся
VI класса. Заложенная в нем практическая направлен-
ность положительно сказалась на формировании практи
ческих навыков учащихся. Так, по результатам итого-
вой контрольной работы правильно построили медиану
треугольника 75% учащихся, биссектрису — 82%, ре-
шили верно и полностью задачу вычислительного ха-
рактера — 59%.
Укажем один вариант итоговой контрольной рабо-
ты по геометрии.
1. Начертите прямоугольный треугольник
и с помощью циркуля и линейки проведите
из вершины одного из острых углов бис-
сектрису треугольника.
2. В треугольнике АВС [ВЛ] = [ВС], гра-
дусная мера внешнего угла при вершине /1
равна 123°. Найдите градусную меру угла С
этого треугольника.
Дано-
= [08],
LACD — LUBA.
Доказать:
[Л0] = [да].
За итоговую контрольную работу 44% учащихся по-
лучили оценки «4» и «5».
Однакр в ходе эксперимента была выявлена некото-
рая избыточность учебного материала в курсе геомет-
рии, необходимость его разгрузки по отдельным раз-
делам. Например, трудным для понимания шестикласс-
ников языком вводятся определения таких геометри-
ческих понятий, как теорема, структура теоремы, след-
ствия, аксиома. Учителя-экспериментаторы считают, что
этот материал следует исключить. Недостатки отмеча-
ются и в изложении следующих тем: аксиома измере-
ния отрезков, свойства лучей полуплоскости, признаки
равенства треугольников, теорема о внешнем угле тре-
угольника. Их устранение даст возможность высвобо
лившееся учебное время отвести на решение задач и
повторение курса VI класса.
Учителя-экспериментаторы н методисты после пер-
вого года работы отмечают строгость, научность изло-
жения теоретического материала в пробном учебнике
«Геометрия VI». Его важной методической особенно-
стью является возможность формирования геометриче-
ских знаний и развитие логического мышления на ос-
нове выполнения практических заданий. Этот подход
положительно сказывается на учебной работе слабоус-
певающих школьников.
Итоги проверки показывают, что теоретический ма-
териал пробного учебника геометрии в своей практиче-
ской части может быть усвоен всеми учащимися
VI класса. Часть теоретического материала учебника
может быть изучена учащимися самостоятельно.
Анализ уроков и контрольных работ показывает, что
объем вводимой символики можно считать практиче-
ски достаточным.
На выработке геометрических навыков у учащихся
отрицательно сказались следующие особенности проб-
ного учебника геометрии: недостаточное количество вы-
числительных. задач, целый ряд задач логического ха-
рактера и на построение малодоступны для данного
школьного возраста.
Таким образом, в целом подтверждается методиче-
ская целесообразность основных концепций построения
курсов алгебры и геометрии VI класса.
Наблюдения, отзывы учителей, специально проводи-
мый хронометраж уроков алгебры констатируют их
возросшую практическую направленность, что положи-
тельно сказывается на методической оснащенности уро-
ков и их структуре Например, если по хронометражу
уроков алгебры в {цколе № 69 Москвы в I полугодии
на решение задач по новому материалу в среднем тра-
тилось 17 мин, то во II полугодии — 21 мин. Устойчиво
сохраняется иа каждом ^роке время, отводимое для
самостоятельной работы учащихся (в среднем 9 мин).
На подготовку домашнего задания ученики тратят при-
мерно 15-—35 мин (по категориям: сильные, средние,
слабые). Таким образом, примерно две трети урока ал-
гебры отводится на практическую работу учащихся.
Это соответствует заложенному в пробном учебнике
соотношению практического и теоретического мате-
риала.
Наблюдения за работой учителей экспериментаторов
показывают, что выполнение практически:- заданий на
уроке геометрии становится стержнем урока. Сюда от-
носится и самостоятельная работа учащихся на уроке,
и решение задач, и доказательство теорем. Тем самым
структура урока геометрии также в значительной сте-
пени изменяется в сторону усиления его прикладной
направленности. Хронометраж уроков геометрии по
Москве показывает, что во II полугодии заметно умень-
шилось среднее время, затрачиваемое на объяснение но-
вого материала (с 17 до 13 мин). Соответственно уве-
личилось среднее время на решение задач (с 11 до
13 мин). Наметилась тенденция увеличения времени на
самостоятельную работу учащихся на уроке (до 8 мин).
. Итак, анализ результатов первого года эксперимен-
тальной проверки программы и пробных учебников ма-
тематики р шестых классах позволяет сделать следую-
щие выводы:
1. Основные методические линии программы и содер-
жание обучения в шестых классах методически обос-
нованы и практически реализуемы.
2. Структура, изложение н отбор материала в проб-
ных учебниках алгебры и геометрии в целом достаточ-
но удачны. Учебный материал в своей основе доступен
школьникам.
3. Наблюдаемое повышение интереса учащихся к изу-
чению математики положительно сказывается на рабо-
те всех групп учашихся и особенно слабоуспевающих.
Результаты эксперимента указали те направления, по
которым необходимо доработать пробные учебники.
В частности в настоящее время система упражнений
и задач пробных учебников «Алгебра» и «Геометрий»
для VI класса доработана с учетом данных экспери-
мента и направлена в экспериментальные классы от-
дельным изданием для каждого ученика.
44
«
М. И. БАШМАКОВ, Т. Е CABFJ1OBA
[Ленинград)
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
§ 1. Вращательное движение
ТЕМА «ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ»
НА I КУРСЕ СРЕДНИХ ПРОФТЕХУЧИЛИЩ
Учащиеся ряда средних профессионально-технических
училищ Ленинграда шестой год изучают математику
по экспериментальной программе, в составлении кото-
рой принимали участие ученые нескольких ленинград-
ских институтов. В настоящее время работа по этой
программе ведете^ под руководством НИИ профтех-
педагогики АПН СССР В ходе эксперимента усовер-
шенствуются методические материалы, с частью из ко-
торых журнал «Математика в школе» уже знакомил
своих читателей*.
Изменения в программе были проведены не только
в новом для школы материале (векторы, производная,
интеграл), но и в изложении традиционных тем.
В этой статье рассказываете^ об опыте изучения те-
мы «Тригонометрические функции» по эксперименталь-
ной программе на 1 курсе средних ПТУ Для ориенти-
ровки читателей заметим, что эта тема разбита на
2 части, изучаемые в конце I и начале 11 курса.
Мы хотим обратить внимание читателей только на те
разделы, изложение которых отличается от принятого
в школьном учебнике. Например, изменено введение
основных тригонометрических функций, в публикуемых
материалах оно основано на механических представ-
лениях о вращательном движении; изучение свойств
этих функций опирается на наглядную механическую
интерпретацию: вычисления производных от тригоно-
метрических функций производится с использованием
наглядных свойств движения точки по окружности. 3?
метим, что изучение этой темы сопровождается боль-
шим числом рисунков и графиков, но в статье приве-
дена лишь часть из них
Результаты экспериментальной работы показывают,
что широкое использование наглядных представлений
при введении новых понятий, постоянное применение
физических иллюстраций позволяют преодолеть часто
встречающийся формализм при изучении тригонометри-
ческих функций, повысить интерес учащихся к этому
материалу, их активность при выполнении самостоя-
тельных работ и в конечном счете приводят к повы-
шению качества усвоения этой важной темы.
Следует отметить, что учителя, работающие по экс-
периментальной программе, единодушно признали
удачными введенные изменения. Новая методика
изучения тригонометрических функций позволяет более
широко использовать методы проблемного обучения,
разработанные академиком АПН СССР М. И. Махму-
товым и его школой 1 2.
1 Башмаков М. И., Чекаева Г. Г К проблеме разви-
тия теоретико-функцнональиых навыков у учащихся
средних профтехучилищ.— Математика в школе 1976,
№ 2; Башмаков М. И. и др. О преподавании математи-
ки в средних ПТУ Ленинграда по экспериментальной
программе.— Математика в школе, 1978, № 6; Башма-
ков М. И., Поздняков С. Н. Изучение темы «Векторы»
на первом курсе средних профтехучилищ.— Математика
в школе, 1979, № 4.
2 Махмутов М. И. Проблемное обучение.— М.: Педа-
гогика, 197.6 Махмутов М. И. Организация проблемно-
го обучения в школе.— М.; Педагогика, 1977.
1°. Движение точки по окружности
Рассмотрим на координатной плоскости окружность
радиуса г=1 с центром в начале координат. Эту
окружность мы будем называть единичной окруж-
ностью.
Точку единичной окружности с координатами (1; 0)
обозначим через А. Половина длины окружности ра-
диуса r= 1 обозначается буквой л. Число л является
иррациональным. Первые десятичные знаки числа л та-
ковы:
л=3,1415926536... .
Представим себе маленький шарик, который равно-
мерно вращается по окружности в положительном на-
правлении (т. е. против часовой стрелки). Будем счи-
тать, что в момент времени ( = 0 шарик находился
в положении А и что за время /=1 он проходит по
окружности расстояние, равное I. Половину окружно-
сти шарик проходит за время, равное л, а всю окруж-
ность — за время 2л
Обозначим через Pt точку на окружности, в которой
шарик находится в момент времени t. Для того чтобы
найти на окружности точку Pt надо отложить от точ-
ки Ро=А по окружности путь длины |1| в положи-
тельном направлении, если />0, и в отрицательном на-
правлении, если /<0.
Рассмотрим примеры.
г
1 Пусть I — Отложим от точки Ро в положи-
it
тельном направлении путь длины Так как длина
всей окружности равна 2т. то точк; Р „ является се-
редгной дуги АВ (рис. 1).
Рис. 1 Рис. 2
9х
2 . Пусть t — -j-. Отложим от точки Рл путь длины
9»
Заметим, что
9п к
— = 215 + —-
Пройдя путь длины 2я, мы опять попадем в точку
А. Пройдя оставшийся путь, мы попадем снов.. в сере-
дину дуги АВ. Таким образом точка Р^ совпадает
с точкой Р п .
т
3 Найд, м теперь точку Р х . Для этого нам необ-
ходимо пройти в отрицательном напргнзлсши! путь дли-
ны -у (рис. 1).
45
С помощью вращательного движения нами построе-
но отображение множества всех действительных чисел
R во множество точек единичной окружности:
t^Pt.
2°. Свойства вращательного движения
Сейчас мы изучим некоторые свойства вращательно-
го движения. Ясно, что в разные моменты времени
шарик может занимать на окружности одно и то же
положение. Так, в примере 2 мы убедились, что
4. 4
Это произошло из-за того, что числа л/4 и 9л/4 отли-
чаются друг от друга на 2л, а за время /=2л шарик
проходит всю окружность и его положение не меняет-
ся. Аналогично, если разность А—12 равна 4л, 6л, 8л
или —2л, —4л и т. д., то
Pt, = РК>
т. е. в моменты времени ti, <1±2л, <1±4л, ... шарик
занимает одно и то же положение на окружности.
Сформулируем полученный результат.
Свойство I. Для всякого целого числа k точка
Pt совпадает с точкой
pt+2lm-
Свойство 1 выражает периодичность вращательного
движения: если моменты времени отличаются на число,
кратное 2л, то шарик в эти моменты занимает одно
и то же положение. Ясно и обратное — если в какие-
то два момента времени положения шарика совпали,
то между этими двумя моментами точка прошла целое
число раз всю окружность. Сформулируем этот вывод.
Свойство^. Ес ни Pti=Pt^, то найдется такое
целое число k, что /, = /,+ 2йл.
Сформулируем еще несколько простых свойств вра-
щательного движения.
Свойство 3. Для всякого значения t точки^ Pt
Pt+n диаметрально противоположны (рис. 2).
Действительно, за время л шарик проходит половину
окружности и занимает положение диаметрально про
тивоположное исходному.
Свойство 4. Для всякого значения t точки Pt
и P-t симметричны друг другу относительно оси абс-
цисс (рнс. 2).
Действительно,‘для построения точек Pt и P-t надо
отложить от точки Рв дугу, равную |f|, но в противо-
положных направлениях.
Свойство 5. Для всякого значения t точки Pt
PT—t симметричны относительно оси ординат. Для
доказательства достаточно рассмотреть рис. 3.
Свойство 6. Для всякоги значения t точки Pt
I’
~ —t симметричны относительно биссектрисы пер-
вого и третьего координатных углов.
Доказательство. Возьмем две точки Ро и Р
~Г
Они симметричны друг другу относительно биссектрисы
первого и третьего координатных углов (рис. 4). Что-
бы построить точку Pi, надо от точки Р„ двигаться
в одном каком-го направлении на расстояние t, а что-
бы построить точку , надо на такое же расстоя-
Т
ние двигаться от точки Р т , но в противоположном
Т
направлении (см. рис. 4).
Ясно, что при этом точки Pi и Р„ при всяком
*
t будут оставаться симметричными «друг другу относи-
тельно указанной прямой.
3°. Замечание
Сделаем важное замечание относительно скорости
вращательного движения. Скорость точки при любом
движении есть вектор. Как известно из механики, при
движении точки по окружности скорость ее направлена
по касательной.
Вектор скорости не остается постоянным при враща-
тельном движении — он все время меняет свое направ-
ление. Длина вектора и, т. е. число о=|о|, задает ли-
нейную скорость, которая является производной длины
пути по времени. В этом параграфе мы рассматриваем
вращательное движение с постоянной линейной ско-
ростью, т. е. у нас длина вектора v остаетси постоян-
ной (и равной числу 1). Однако нельзя говорить, что
мы рассматривали движение n<j окружности с постоян-
ной скор )СТЬЮ.
В механике при изучении вращательного движения
вводят угловую скорость <о, которая является скаляр-
ной функцией и измеряет скорость изменения угла по-
ворота, т. е. является производной угла поворота по
времени. Мы рассматриваем- движение с постоянной
угловой скоростью со=1. Напомним, что угловая ско-
рость ы связана с линейной скоростью v соотношением
о=<ог, где г — радиус окружности, по которой проис-
ходит движение точки.
§ 2. Определение тригонометрических функций
1°. Координата вращающейся точки
Продолркпм рассмотрение вращательного движения,
начатое 1 § 1. Пусть по-прежнему шарик движется по
единичной окружности с единичной линейной ско-
ростью, причем при / = 0 он находится в точке Л(1; 0).
Для каждого числа t мы умеем строить точку окруж-
ности Pt, в которой находится шарик в момент вре-
мени t. Координаты точки Pt являются функциями
от t, которые мы будем изучать в этой главе.
Определение 1. Синусом числа t называется ор-
динат" точки Pt, т. е. ордината точки окружности,
в которой находится шарик в момент времени t.
Определение 2. Косинусом числа 1 называется
абсцисса точки Pt, т. е абсцисса точки окружности,
в которой находится шарик в момент времени t.
Определение 3. Тангенсом числа f называется
отношение ординаты точки Pt к ее абсциссе.
Определение 4. Котангенсом числа t называется
отношение абсциссы точки Р( к ее ординате.
Если обозначить координаты точки Pt через х( и
yt, то данные выше определения можно записать так:
sin t = yz, tgy =
cos i = xt, etg t =
2е Область определения
Определение тригонометрических функций основано
ha вращательном движении, которое позволяет сопо-
стаьпть каждому действительному числу t точку Pt
46
единичной окружности. Сопостьнляя далее точке Pt ее
абсциссу и ординату (см. рис. 5), мы получаем основ-
ные тригоиом< трические фущ< пин — косинус и синус.
В дальнейшем аргумент синуса и косинуса мы будем
обозначать разными буквами — t, х, а и т. п. В каче-
стве аргумента синуса и косинуса можно взять любое
число, так как для любого числа t можно построить
точку Pt, а затем вычислить ее координаты.
Область определения синуса и косинуса — множество
всех действительных чисел.
Тангенс и котангенс определяются как отношения
коордийат, поэтому они определены не всегда. Отно
шсние tg t —
имеет смысл тогда, когда х<#=0. Есть две точки на
единичной окружности, у которых абсцисса равна ну-
лю,— это точки В и'D (см. рис. 6).
Положение В движущаяся точка занимает в момент
времени t—n/2, а также в моменты времени
t = “2* + 2Ля,
где k — произвольное целое число. Положение D дви-
жущаяся точка занимает в моменты времени
п в
t 2 4-* и 2 “Ь
где k — снова произвольное целое число. Множество
всех моментов времени t, в которые движущаяся точка
имеет нулевую абсциссу, можно коротко записать так:
п
-2- + ^;

Значит, tg t определен для всех значений /, кроме тех.
которые принадлежат этому множеству. Таким образом,
об ласт t определения тангенса — множество
r\ *&z}.
Аналогично,
х,
ctgz —
У/
имеет смысл тогда, когда На единичной окруж-
ности есть две точки, у которых ордината равна 0, это
точки А и С (см. рис. 6). В эти положения движу-
щаяся точка приходит в моменты времени 0, я, 2л,
Зя.....а также —л, —2л, —Зл...........Это множество
можно записать так.
{nk, k £ Z).
Областью определения котангенса является множе-
ство
R \ k Z}».
3 Далее в пунктах 3°, 4°, 5° рассматриваются прос-
тейшие соотношения, тригонометрические таблицы и
выражение одних тригонометрических функций через
другие.
§ 3. Исследование синуса и косинуса
1°. Периодичность
Важным свойством вращательного движения являет-
ся его периодичность; пройдя целиком окружность, ша-
рик возвращается в исходное положение. Это свойст-
во было от мечено нами в § I.
Координаты движущегося шарика, т. е. синус и коси-
нус, будут периодически повторяться.’ Сформулируем
это свойство периодичности синуса и косинуса.
Свойство I. Периодичность синуса и косинуса.
Для любого числа t выполняются равенства
sin(/ + 2n) — sin t,
cos (t 4- 2я) =— cos t.
Действительно, при вращательном движении 'шарик
в момент времени / имеет координаты (cost; sint).
В момент времени /4-2л он имеет координаты
(cos (/4-2л); sin (/-(-2л)). Так как в момент времени
/4-2л шарик занимает то же положение иа окружно-
сти, что и в момент времени t (свойство вращательно-
го движения), то координаты не изменятся, т. е. cost—
—cos (/-(-гл), sin/=sin (/-(-2л), что и требовалось до-
казать.
Итак, при прибавлении числа 2л к аргументу значе-
ния синуса и косинуса не меняются. Они не будут ме-
няться и при вычитании числа 2л.
Так как можно прибавлять и отнимать 2л любое це-
лое число раз, то окончательно мы получим такие
фопмулы;
sin (/ 4- 2тсй) = sin /, k (f Z;
cos (/ 4- 2лЛ) — cos /, k £ Z.
Отметим, что число Т=2л является наименьшим по-
ложительным числом, для которого выполняется тож-
дество
sin/«= sin(/4- Г). (2)
Итак, синус и косинус — периодические функции, их
периодом является число 2л.
2°. Четность
В § 1 мы обратили внимание на симметрию в рас-
положении точек при вращательном движении. Из это-
го мы выведем различные свойства симметрии для ко-
ординат вращающегося шарика, т. е. для синуса и ко-
синуса.
Свойство 2. Для любого числа / выполняются
равенства
sin(—/) «= —sin/,
cos( — /) = cos t ‘ ®
Действительно, мы знаем, что для всякого значения /
точки Pt и P_t симметричны друг другу относительно
оси абсцисс (свойство 4 вращательного движения).
Абсциссы точек Pt и Р_( совпадают т. е. cos /=
=cos (—/). Ординаты очек Р, и Р_( противоположны
друг другу, т. е. sin (—/) =—sin /, что и требовалось
доказать.
Итак, синус — нечетная функция, а косинус — четная
функция.
3®. Формулы приведения
Другие свойства симметрии вращательного движения,
рассмотренные в § I, порождают следующий набор
формул для синуса и косинуса:
sin(/4-n)“ —sint,
cos (/ 4- я) — — cos t, W
sin (n — /) — sin/, *
cos (я — /) >= — cos /;
sin (-5--/) — cos/,
/п ‘ \ (6)
cos (-y — t) — sin /.
47
Формулы (4) — это запись в координатной форме
третьего свойства вращательного движения, формулы
(5) — запись пятого, а формулы (6) — запись шестого
свойства. Для их уяснения полезно еше раз просмот-
реть рис. 2, 3, 4.
С помощью периодичности и формул (3) — (6) —мож-
но привести вычисление синуса и косинуса любого ар-
гумента к вычислению синуса и косинуса числа t, ле-
жащего между 0 и л/2, т. е. для Поэтому
формулы (3)—(6) называют формулами приведения.
Рассмотрим примеры.
41 я
1. Вычислить sin -g~.
Решение:
41л / 5я\ 5т
sin -7— 0= sin ( 6я + ~т~ ) = sin -7-
6 \ 1 6 / 6
„ 88«
2 Вычислить cos -3-.
Решение:
4т. \ 4я
“T? » COS
88я
cos -g- — cos
Можно вычислять иначе
Рис.' 7
ии t через x(t) и y(t). Рассмотрим мгновенную ско-
рость движущейся точки А в момент времени t0. Срав-
нив векгор мгновенной скорости v с вектором средней
скорости, увидим, что координаты вектора v в момент
времени tB равны
x'(tj и у'(/0).
2°. Производные синуса и косинуса
» Пусть точка А движется с единичной скоростью в по-
ложитепьном направлении по окружности радиуса 1
с центром в начале координат. Координаты точки А =
— Pt в момент времени / равны cos / и sin t.
-►
Нам известно (см.-замечание в § 1), что вектор v
направлен по касательной к окружности, и в силу тео-
ремы о перпендикулярности касательной к’ радиусу,
проведенному в точку касания, вектор v перпендикуля-
рен вектору ОА (рис. 7). Кроме того, вектор v имеет
единичную длину, т. е. о_1_ОЛ и |р| = 1.
Можно вывести и другие формулы приведения:
sin (-у- + — cos t,
cos -м)------------- sin/;
/Зя \
sin 2~ + M ~ cos
cos ^-g- 4- tj — sin t.
(7)
(8)
Заметим, что этим требованиям подчиняются радиу-
сы-векторы точек
В = Р с р (рис- 7)-
Учитывая направление движения. точки А. заключа-
ем, что вектор v равен вектору ОВ. Следовательно, ко-
ординаты этих векторов- совпадают:
х' (() =. cos (-у + t
Доказательство одной из формул (7):
/л \ /я \ 6
sin -J- t) => sin — (— t)1 = cos (— t) = cos t.
Окончательно
cos' (/) => — sin t, sin' (t) — cos t.
В этих записях цифра, стоящая над знаком равенства,
указывает, какой из ранее выведенных формул мы вос-
пользовались 4.
§ S. Производные тригонометрических функций
1°. Координаты вектора скорости
Пусть точка А движется по криволинейной траекто-
рии. Обозначим координаты точки А в момент време-
* В следующих пунктах 4°—7°, которые здесь не при-
ведены, рассматриваем (с доказательством соответ-
ствующих утверждений) множества корней функций
sin t и cos t, промежутки знакопостоянства, участки мо-
нотонности и построение графиков j/=sinx, y—cosx.
Далее следует § 4 (мы его опускаем), в котором рас-
сматривается исследование функций тангенса и котан-
генса.
Этим пунктом мы заканчиваем изложение темы. Ука-
жем только, что в п. 3° вычисляются производные тан-
генса и котангенса, а п. 4° посвящен приближенным
формулам. Экспериментальная программа преподавания
математики в средних профтехучилищах предусматри-
вает ознакомление учащихся с понятием дифференпиа-
ла функции в данной точке и его применением в при-
ближенных вычислениях. Знание производных тригоно-
метрических функций позволяет продемонстрировать
учащимся простейшие приближения синуса, косинуса,
тангенса прн малых значениях аргумента
Sin t COS t -Zz 1 — —g- tg t t
Вывод этих соотношений не требует больших усилий,
но дает возможность практически использовать изучен-
ный материал. Указанные приближения находят приме-
нение в дисциплинах профессиональног'о цикла ио мно-
гим специальностям.
48
Проблемы и суждения
Г. Г. МАСЛОВА
(Москве)
О ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ
И ТЕНДЕНЦИЯХ ЕГО ДАЛЬНЕЙШЕГО РАЗВИТИЯ
В десятой пятилетке учителями проведена огромная
работа по освоению нового содержания курса матема-
тики. совершенствованию методов обучения в условиях
осуществления всеобщего среднего образования. Широ-
кое изучение практики преподавания и предложений по
совершенствованию учебного процесса было положено
в основу работы по корректировке ныне действующей
программы.
В наступающем пятилетии предстоит закрепить все
ценное и полезное, что достигнуто как в теоретических
разработках, так и в практике обучения. Вместе с тем
уже в настоящее время ведутся серьезные эксперимен-
ты, направленные на дальнейшее совершенствование
школьного математического образования. Исследова-
ния, результаты которых войдут в практику работы
школы в обозримом будущем, непосредственно связаны
с научно-технической революцией, социальным прогрес-
сом нашего общества.
Научно техническая революция ускоряет темпы раз-
вития науки, техники, экономики, культуры, повышает
роль интеллектуального труда в сфере производства и
управления. Она оказывает влияние на все стороны
жизни общества. Ее ход и дальнейшее развитие в зна-
чительной мере определяется образовательным потен-
циалом страны, непосредственно связанным с общеоб-
разовательной школой.
Естественно, что с научно-техническим и социальным
прогрессом меняются пели образования, содержание и
методы обучения Что-то устаревает, выявляются новые
вопросы, включаемые в круг знаний и умений, обяза-
тельных для всех учащихся, уточняются требования к
качествам личности, которые должны быть сформиро-
ваны у школьников. Все это приводит к необходимости
систематически анализировать соответствие результатов
обучения математике целям математического образова-
ния и вносить соответствующие коррективы в содержа-
ние и метопы обучения. В этом смысле совершенствова-
ние школьного образования в целом и математического
в частности — непрерывный процесс. Его содержание и
результаты определяются целями образования, которые
устанавливаются на каждом Этапе развития общества.
В ходе совершенствования школьного математическо-
го образования приходится разрешать объективно
существующих противоречий диалектического характе-
ра. К ним относятся, например, противоречие между
растущим объемом знаний, овладение которым жела-
тельно для всех учащихся, и ограниченностью учебного
времени; противоречие между повышением теоретиче-
ского уровня курса математики и осуществлением все-
общего среднего образования. Проблема эффективности
обучения предусматривает совершенствование н модер-
низацию методов работы учителя, но это затрудняется
тем обстоятельством, что многие учителя получили под-
готовку в условиях ранее существовавших требований
к школьному математическому образованию. Имеет ме-
сто противоречие между обучением всех по единой
программе и необходимостью учета в этих рамках раз-
нообразных интересов и склонностей учащихся и др.
Жизненность и эффективность программы во многом
определяется тем, насколько точно и полно в ней отра-
жен социальный заказ общества, отражены объективно
существующие противоречия, насколько программа со-
ответствует общим тенденциям развития школьного кур-
са математики.
Основные направления совершенствования школьного
математического образования определяются его методо-
логической основой, целями и задачами.
Методологической основой школьного образования
является концепция марксизма-ленинизма о взаимосвя-
зи между научными знаниями, мировоззрением, практи-
кой, о комплексном подходе к коммунистическому вос-
питанию. Цели обучения математике определяются об-
щими требованиями развитого социалистического обще-
ства к среднему образоввнию, сформулированными в
программе КПСС; «Среднее образование должно обес-
печивать прочное знание основ наук, усвоение принци-
пов коммунистического мировоззрения, трудовую и по-
литехническую подготовку в соответствии с возоастаю-
щим уровнем развития науки и техники, с учетом по
требностей общества, способностей и желаний учащих-
ся, а также нравственное, эстетическое и физическое
воспитание здорового подрастающего поколения» '.
Обучение ма тематике вносит свой вклад в решение
этих задач. Оно должно обеспечить прочное и созна-
тельное овладение основами математических знаний,
умениями и навыками, нужными для изучения на до-
статочно высоком уровне как самого курса математики,
так и смежных дисциплин, для овладения профессией,
продолжения образования в высших и средних спе-
циальных учебных заведениях, для самообразования.
Обучение математике должно способствовать формиро-
ванию качеств, обеспечивающих достаточно быструю
адаптацию молодежи к непрерывно меняющимся в эпо-
ху НТР условиям деятельности. В связи с этим в
школьном курсе математики должны быть отражены
не только требования сегодняшнего дня, но и в воз-
можной мере — перспективы изменения требований об-
щества к школьному математическому образованию.
Одной из особенностей обучения математике на ны-
нешнем этапе является усиление акцента на воспитание
у учащихся потребности к приобретению знаний, при-
вычки трудиться. Принципиально ьажно, чтобы содер-
жание и методы, вся ориентация обучения создавали
необходимые условия для формирования у учащихся
коммунистического мировоззрения, коммунистического
отношения к труду.
Таким образом, на содержание школьного математи-
ческого образования влияет целый гяд факторов.
Часть из них обуслонлена развитием самой матема-
тики и ее приложений В современном мире математи-
ческие ме.оды находят все большее применение во
всех областях деятельности человека В связи с этим
понимание роли математики, ее методов, соотношения
математики и практики становится неотъемлемой частью
общей культуры человека.
Другие факторы вызваны общественной необходи-
мостью обеспечения высокого образовательного потен-
циала населения страны. Решение этой задачи приобре-
тает особую важность в связи с переходом ко всеоб-
щему среднему образованию.
Анализ научно-технического и социального прогресса
позволяет .сделать вывод о том, что в совершенствова-
нии школьного курса математики должны проявляться
некоторые объективно существующие общие прогрес-
сивные тенденции его развития. Это, во-первых, усиле-
ние общеобразовательной роли курса математики, его
гуманизация, во-вторых, усиление прикладной и поли-
технической направленности курса, наконец, повышение
его теоретического уровня.
1 Программа Коммунистической партии Советского
Союза. Политиздат, 1976, с. 123.
3 Математика в школе, м 6
19
Отечественный и международный опыт модернизации
школьного математического образования, осуществлен-
ной в той илн иной мере в последние десятилетия во
всех странах мира, подтверждает правильность выска-
занного предположения. *
Однако существо и характер отражения этих тенден-
ций в школьных курсам математики далеко не едино-
образны и определяются рядом факторов. Важнейшие
из них — общественно-политический строй общества, це-
ли и система школьного образования, математическо-
го в частности, достигнутый уровень развития науки
(в том числе педагогики, психологии, методики матема
тики), техники, культуры, экономики.
Комплексное проявление этих тенденций в социали-
стических странах обусловливается прежде всего целя
мй школьного образования в обществе развитого со-
циализма в условиях НТР: коммунистическое воспита-
ние молодежи, гармоническое развитие личности, пони-
мание роли математики в развитии науки, техники, тех-
нологии, экономики. Комплексный учет этих тенден-
ции расширяет возможности повышения образовател!
него потенциала общества, усиливает мотивацию учеб-
ной деятельности школьников.
Достаточно полное отражение этих тенденций в сов-
ременных курсах математики стало возможным в связи
с последними достижениями в области возрастной пси-
хологии, педагогики, методики математики.
Нарушение равновесия между тенденциями развития
школьного курса математики приводиг к необходимо-
сти корректировки программ, переработки учебников
В капиталистических странах, где общеобразователь-
ная школа служит интересам капитала и одной из ее
задач является воспитание граждан, «хороших» с пози-
ций правящего класса, задача формирования гармони-
чески развитой личности вообще не ставится. Анализ
учебников и учебных программ по математике в этих
странах показывает, что каждая из названных тенден-
ций находит в них отражение. Однако в зависимости
от типа школы, от того, какое будущее готовит своим
выпускникам эта школа, преимущественное влияние
приобретает та или иная тенденция.
Усиление общеобразовательного аспекта курса мате-
матики, предназначенного для подавляющего большин-
ства учащихся, выражается в создании чисто описа-
тельных курсов. В результате учащиеся получают све-
дения о некоторых простых фактах и Формулах. Одна-
ко представления о системе знаний, о роли математики
в исследовании фактов и явлений действительности эти
курсы не дают. К их числу может быть отнесен и рид
интегрированных курсов, в которых сведения по мате-
матике занимают лишь служебное положение.
Тенденция усиления прикладной ориентации курса
х атематикп трансформируется, искажаясь в тенденцию
утплитарнзации курса, особенно это характерно для не-
которых учебников США. Изучая их, молодые люди
приобретают весьма бедный и в содержательном, и да-
же в прикладном аспектах объем знаний. Так, в США
большинство учащихся завершают свое математическое
образование курвом, содержащим по номенклатуре те
сведения, которые соответствуют нашему VII и частич-
но VIII классу. В этом курсе фактически нет доказа-
тельств, отдельные его темы не связаны идейно, упраж-
нения направлены на выработку самых элементарных
навыков. Теоретическое содержание курса п система уп-
ражнений ие имеют целью обеспечить математическое
развитие учащихся. Такие тупиковые курсы не позво-
лиют использовать сведения по математике (ввиду их
крайней ограниченности) ни для продолжения обра-
зования, ни для приобретении профессии.
Тенденция повышения теоретического «ровня школь-
ной математики иногда понимается как необходимость
создания высоко теоретизированных курсов Многие из
учебников, построенных на такой oci ове, предусмат-
ривают аксиоматическое изложение материала. В таких
50
учебниках все предложения доказываются, как бы они
ни были очевидны для учащихся. Доказательства про-
водятся с привлечением обширной логической симво-
лики. В них большое место занимают абстрактные кон-
струкции, не находящие выхода в практику. Нередко
изложение материала по уровню ригоризма превосхо-
дит все разумные нормы.
Следует отметить еще одно весьма важное обстоя-
тельство. Курсы математики, предназначенные для со-
ответствующих отделений элитарной школы США, для
старших классов лицеев Франции, гимназий ФРГ, стар-
шей средней школы Японии, в которых учится относи-
тельно небольшая группа молодежи, сохраняют, как
правило, равновесие указанных ранее тенденций. И это
понятно. Именно этой группе учащихся капиталистиче-
ское общество обеспечивает полноценное образование —
из пх среды выходят высококвалифицированные спе-
циалисты. Таким образом, в капиталистических странах
комплекс задач по повышению общеобразовательного
и прикладного значения Курса математик;, и его теоре-
тического уровня, в отличие от социалистических стран,
решается лишь для ограниченного контингента моло-
дежи.
Рассмотренные выше общие тенденции развития
школьного курса математики проявляются в системати-
ческом обновлении его содержания, совершенствовании
структуры, в направленности обучения. Они получают
соответствующее отражение и в учебно-методическом
обеспечении курса — в программе, учебниках, дидакти-
ческих материачах для учащихся, методических посо-
биях к курсу, в содержании подготовки учителей.
Для современного школьного курса математики ста-
ло характерным систематическое обновление содержа-
ния в соответствии с целями обучения и тенденциями
его развития. Одним из принципов, последовательно
реализуемых на всех этапах совершенствования про-
граммы по математике в советской школе, является
бережное отношение к опыту работы школы, сохране-
ние достаточно большого стабильного ядра курса (чи-
сло, выражение, тождественные преобразования, урав-
нения и неравенства, функция, элементы синтетической
геометрии). Усиление функциональной линии курса и
роли геометрических преобразований, включение эле-
ментов анализа и векторной алгебры являются расши-
рением этого стабильного ядра. В силу теоретической
и прикладной значимости этих вопросов они, по-види-
мому, сохранят свое место и при последующих пере-
смотрах программы.
Обновление содержания курса математики имеет по
сравнению с другими предметами свою специфику. На-
пример, в курсах физики и химии достаточно четко про-
слеживаетси стремление отразить достижения совре-
менной науки. На уроках физики учащиеся получают
сведения о теории относительности, о лазерах, принци-
пе действия ракет, об электронике и пр., т. е. о науч-
ных достижениях последних десятилетий. В силу слож-
ности математического аппарата и задач, решаемых сов-
ременной математикой, для школьного курса матема-
тики эта цель не ставится. Речь может идти лишь об
овладении учащимися достаточно простыми идеями,
понятиями и методами, широко применяемыми как в
самой математике, так и в ее приложениях, независи-
мо от того, иа каком этапе развития науки они появи•
лись. И только отдельные сведения, относящиеся к сов
ременной математике (множество, алгоритм, сведения
о программировании, возможности ЭВМ и др.), входят
по необходимости в школьный курс в весьма упрощен-
ном виде. Эти сведения, как правило, рассматриваются
в ознакомительном плане.
Анализ развития школьного курса математики в по-
следние десятилетия позволяет выделить несколько ос-
новных направлений его модернизации. Это прежде
всего усиление функциональной и алгоритмической ли-
ний курса (В арифметике, алгебре, геометрии); приведе-
ние языка школьной математики в соответствие е сов-
ременной математической терминологией. Следующее
направление модернизации — это исключение устарев-
шего теоретического материала и материала, менее цен-
ного по сравнению с оставляемым (обоснование дей-
ствии на логарифмической линейке, формулы объема
усеченной пирамиды и усеченного конуса и др.); за-
мена методов решения задач более современными (ис-
следование функций с помощью производной, усиление
внимания к решению текстовых задач алгебраическим
способом, использование свойств преобразований).
В связи с осуществлением всеобщего среднею образо-
вания особенно важным становится четкое выделение
требований к знаниям и умениям учащихся.
В учебных программах и учебниках как в нашей
стране, так и за рубежом четко проявляется стремле-
ние отразить- в структуре курса единство матема-
тики, ее понятий, методов. Это стремление является
следствием двух основных обсто'ятельств: глубоких свя.
зей между отдельными областями математических зна-
ний и поисков педагогически целесообразной системы
изложения курса
Исторически сложившееся деление курса математи-
ки на отдельные дисциплины, имевшее место в дорево-
люционной школе, вызывало большие сложности в ор-
ганизации учебного материала и "самого процесса обу-
чения. Приходилось все время заботиться, с одной сто-
роны, об установлении и реализации внутрипредмет
ных связей и, с другой, о предотвращении или умень-
шении неизбежного при таком построении курса дуб-
лирования материала.
Разбиение курса на отдельные предметы неудачно и
с педагогической точки зрения — легче усваивать во-
просы, органически связанные друг с другом, чем от-
дельные изолированные факты; большое число учебных
предметов не позволяет достаточно концентрированно
изучать материал.
Указанными выше соображениями и было продикто-
вано изменение в 1953 г. структуры школьного курса
математики в старших классах. Курс тригонометрии пе-
рестал существовать как отдельный предмел Его содер-
жание былт распределено между курсами алгебры и
геометрии.
Уже в конце 40-х годов стала ясна необходимость
пропедевтики алгебраических и геометрических понятий.
По сути, речь шла об интеграции арифметического и
алгебраического материала для детей 11—12 летнего
возраста. В течение ряда лет исследовалась проблема
функциональной пропедевтики в курсе арифметики
(В. Л. Гончаров) и возможности изучения геометриче-
ского материала с V класса (Н. Н. Никитин). На осно-
ве этих исследований в 50-х годах была начата работа
по созданию в IV- V классах единого курса математи-
ки (К. И. Нешков), завершившаяся введением такого
курса в ныне действующую "программу (Н. Я Виленкин,
К И. Нешков, С. И. Шварцбурд и др.).
Большая работа по реформе школьного математиче-
ского образования была проведена комиссией по мате-
матике под председательством академика А. Н. Колмо-
горова.
В связи с включением в ныне действующую програм-
му производной (IX класс) и интеграла (X класс) соот-
ветствующий курс получил название «Алгебра и начала
анализа», отражающее слияние учебного материала, от-
носящегося к этим дисциплинам.
Однако усиление внутрипредметных связей не устра-
нило ранее отмеченные недостатки разбиения курса ма-
тематики на отдельные предметы.
Г тедующим этапом совершенствования структуры ма-
тематического образования явится,, по-видимому, созда-
вие интегрированного курса математики без традици-
онного его деления на отдельные учебные предметы.
Первые исследования по этой проблеме относятся еще
к 50—СО-м годам. Проведенные в последние годы ис
следования возможности н целесообразности интеграции
курсов алгебры и геометрии VI класса уже примени-
тельно к ныне действующей программе показали пер-
спективность этого направления Оно привлекает все
большее число математиков, педагогов, методистов.
Единый курс математики изучается в школах Эстонии,
в средних ПТУ Ленинграда. Начата разработка еди-
ного курса математики для VI—VIII и IX—X классов
общеобразовательной школы.
Тенденции совершенствования школьного курса мате-
матики проявляются и в характере обучения, что вы-
ражается в усилении внимания к сознательному овла-
дению учащимися знаниями, их применениям, в разви-
вающем и воспитывающем обучении. Все эти аспекты
школьного математического образования весьма тесно
связаны между собой. Ведущим является прочное ус-
воение материала. Нельзя обучать приложениям мате-
матики, не научив самой математике; развитие может*
осуществляться лишь на основе и в связи с получени-
ем прочных знаний. Воспитание мировоззрения предпо-
лагает глубокий анализ происхождения математиче-
ских понятий и взаимовлияний теории и практики.
Переход иа ныие действующую программу качествен-
но изменил знания учащихся. Но уже в первые годы
работы по ней стала ясной необходимость внесения
корректив в программу и учебники, совершенствования
методов обучения. Основные направления этой рабо-
ты были указаны в постановлении ЦК КПСС и Совета
Министров СССР 22 декабря 1977 г. Большое число
предложений по. совершенствованию программ, учебни-
ков было получено от учителей. Многие из этих пред-
ложений уже учтены при подготовке проекта типовой
программы и новых изданий учебников.
Содержание школьного математического образования
привлекло внимание математической общественности.
В комиссиях под председательством академиков
И М. Виноградова и А. Н. Тихонова составлены экс-
периментальные программы, по которым создан ряд
учебников, проходящих проверку в условиях работы
массовой школы. Второй год проводится эксперимен-
тальная проверка курса геометрии VI—X классов, раз-
работанного академиком А. В. Погореловым. Под ру-
ководством академика А. Д. Александрова создан курс
геометрии IX—X классов. Ценные предложения по со-
вершенствованию школьного математического образова-
ния высказаны академиками С. Л. Соболевым и
Л. В. Канторовичем. Все это, безусловно, даст новый
импульс развитию школьного математического образова-
ния, сыграет большую роль в профессиональной подго-
товке учителей.
Вместе с тем представляется необходимым рассмот-
реть некоторые более далекие перспсктг вы совершен-
ствования содержания школьного курса математики,
учет которых необходим для проведения предваритель-
ных исследований. Рассмотрим некоторые из них.
Введение в школу элементов математического анали-
за качественно изменило подготовку учащихся. Выяви-
лась необходимость расширить приложения этого ма-
териала в физике, например к кинематике, изучаемой
в VIII K.asfce В этой связи заслуживают внимания ис-
следования возможности более раннего введения по-
нятия производной и интеграла.
Действующая программа предусматривает введение
довольно большого круга сведений по векторной алгеб-
ре. Одиако фактически приложения этого материала в
курсе весьма скромны. Векторные методы решения гео-
метрических задач, традиционно рассматриваемых в
курсе, не всегда эффективны. По-вндимому, при раз-
работке программы нужно продолжить поиски разум-
ного расширения приложений векторов.
Необходимы исследования по разработке эффектив-
ной системы введения в курс общеобразовательной шко-
лы элементов математической статистики и теории в“-
3*
Л
роятностей. Воспитание теоретико-вероятностного и
статистического мышления, понимание вероятностного
характера явлений природы, некоторых общественных
процессов, формирование представлений о роли и воз-
можности статистических методов — все это должно
явиться существенным элементом общего образования.
Многочисленные исследования н опыт зарубежной шко-
лы, да и оошие соображения свидетельствуют о целе-
сообразности достаточно раннего введения простей-
ших элементов математической статистики и теории
вероятностей (случайное событие, частота гистограм-
ма, вероятность, основные правила исчисления вероят-
ностей, обработка статистических иных и др.) и по-
следовательного нх развития. В этой связи важно бы-
ло бы обеспечить достаточно раннее появление не толь-
ко на уроках математики, но п на уроках биологии
географии, физики, химии, истории и других предметов
простейших статистических данных и вероятностных
задач (таблицы наблюдений, подсчет среднего арифме-
тического. понятие о разбросе данных, составление таб-
лиц возможных равновероятных исходов опытов и пр ).
Такой подход позволит накопить большой фактический
материал для его обобщения и формализации на уро-
ках математики в более старших классах. Заметим, что
в ряде зарубежных учебных программ, в частности в
программе по курсу математики в японской школе, от
первого до последнего класса весьма четко просле-
живается линия расширения и углубления . статистиче-
ских и вероятностных понятий.
В исследовании сложных процессов, пр, проектиро-
вании, организации управления, в экономических и со-
циологических исследованиях все большее значение при-
обретают математические модели. Естественно, что рас-
смотрение уже известных и создание новых математи-
ческих моделей, их исследование должно вестись сов-
местными усилиями учителей математики и смежных
дисциплин. Введение элементов анализа позволило рас-
ширить число физических моделей, рассматриваемых в
школе (дифференциальное уравнение гармонических ко-
лебаний, уравнение показательного роста). Экономи-
ческие мотели, как правило, не рассматриваются. По-
видимому, и они должны найти отражение в школь-
ном курсе математики.
Серьезного внимания заслуживает вопрос о явном
выделении в курсах математики и некоторых других
предметов (напрймер, в курсе экономической геогра-
фии) проблемы оптимизации решений. В настоящее вре-
мя в школе намечен некоторый сдвиг в этом направле-
нии рассматриваются задачи на нахождение экстрему-
мов функций одной переменной. Но есть и другие зада-
чи на рптимизацию, вполне доступные учащимся и ре-
шаемые с помощью метода линейного программирова-
ния. Весь математический аппарат необходимый для их
рассмотрения- (системы линейных уравнений и нера-
венств), уже содержится в программе.
Широкое использование в практике инструментальных
вычислений, внедрение автоматических н полуавтомати-
ческих машин на производстве, массовое изготовление
карманных калькуляторов заставляет по-иному оце-
нить роль и место обучения вычислениям в школе,
роль различных средств вычислений. По-видимом у, в
будущем в программе дол кны найти больше места во-
просы, связанные с алгоритмами, с организацией вычи-
слений, составлением программ вычислений, ручных и
машинных, учет погрешностей вычислений и др.
Большое образовательное значение сохранит ознаком-
ление с возможностями ЭВМ, а в перспективе про-
сматривается знакомство с простейшими методами диа-
лога человекч с машиной. Большой интерес в этой свя-
зи представляют работы, ведущиеся в Новосибирском
отделении АН СССР под руководством члена-коррес-
пондента АН СССР А П Ершова.
Усиление прикладной ориентации курса вызывает не-
обходимость изменения акцента при решении задач с
практическим содержанием. Внимание школьников дол-
жно привлекаться к таким этапам их решения, как ма-
тематизация ситуации, составление ее модели, решение
полученной математической задачи и интерпретация ре-
шения применительно к рассматриваемой ситуации.
В настоящее время основная работа в школе ведется
в рамках второго из указанных этапов.
Включение в программу нового материала, развитие
прикладных аспектов курса, повышение теоретического
уровня не только курса математики, но и смежных дис-
ннгГлин, выражающееся, в частности, в более широким
использовании методов математики, естественно приво-
дят к качественно иному содержанию межпредметны?
связей, расширению форм их реализации.
Для нашей школы характерны два основных пути
реализации межпредметных связей— применение в
смежных предметах аппара'та, подготовленного на уро-1
ках математики, и использование на уроках математи-
ки материала, уже рассмотренного в смежных дисцип-
линах.
Однако содержание этих связей требует более полно-
го согласования времени введения понятий, символики,
терминологии. Необходимо также установить единые
подходы к трактовке общих для ряда предметов поня-
тий (векторы н др.).
Возникает естественный вопрос, каким образом в ус-
ловиях ограниченного времени может быть проведено
дальнейшее обогащение курса математики понятиями,
методами и фактами По-видимому, здесь решающее
значение должен иметь комплексный учет различных
возможностей.
Планируемый переход к одиннадцатилетней школе
создаст лучшие условия для формирования понятий и
навыков в связи с увеличением общего времени на изу-
чение математики (II лет вместо 10;
Разработка единого непрерывного курса от первою
до выпускного класса, как это уже доказано не толь-
ко в эксперименте, но и в какой-то мере в практике
обучения, позволит строить изложение более экономно
и в силу концентрации внимания учащихся (изучается
один предмет — математика) создаст лучшие условия
для формирования знаний, умений и навыков.
Большое значение для более компактного построения
курса может иметь дальнейшая генерализация знаний
и исключение устаревшего материала. Вспомним, какой
важной казалась в свое время тренировка в вычисле-
ниях на счетах, в построениях с циркулем и линей-
кой, в решении квадратных уравнений методом выделе-
ния полного квадрата, в решении сложных тригономет-
рических уравнений.
Применение калькуляторов, особенно в старших клас-
сах, обеспечивая быстроту выполнения вычислительной
части работы, также может дать определенную эконо-
мию времени.
Большие, еще не использованные возможности имеет
сама методика математики Соответствующая методи-
тескаи обработка материала, рациональная система
формирования понятий, умений н навыков позволит
более эффективно организовать обучение. Например,
принятая в IV—V классах последовательность изуче-
ния десятичных и обыкновенных дробей диктуется тем,
что на практике десятичные дроби встречаются более
часто, поэтому психологически целесообразно их изу-
чать раньше обыкновенных. Более того, алгоритм дей-
ствий над десятичными дробями во многом аналоги-
чен алгоритму действий над натуральными числами.
Таким образом, изучение десятичных дробей сразу же
за натуральными числами позволит закрепить получен-
ные учащимися знация о действиях над натуральными
числами. При такой последовательности изучения ма-
териала учащимся могут быть показаны разнообразные
практические применения десятичных дробей.
Вероятно, перспективным явилось бы выделение в
каждом классе специального времени на практикумы,
при выполи) нии которых больше вш мания уделялось
52
бы обучению учащихся решению прикладных задач,
рациональным приемам вычислений и преобразований
и др. (такие исследования уже ведутся). Для старших
классов эта идея может вылиться в разработку меж
предметных практикумов. На этих практикумах спе-
циальное внимание может быть уделено построению
математических моделей различных процессов и явле-
ний и их исследованию.
Естественно, что здесь рассмотрена лишь часть во-
просов, связанных с проблемой совершенствования
школьного математического образования. Но уже их
краткий перечень говорит о многообразии методических
проблем, над которыми предстоит работать в одиннад-
цатой пятилетке.
Внеклассная работа
ределяют подобие с центром А. которое точки А, О,
В отображает иа точки A, D. С: А-* А, О т D, В -кС.
В этом годобин середина М отрезка ОВ отображат г, я
на середину N отрезка DC — образа отрезка ОВ. Тог-
да по свойству HI ДАМА-—ДАВС, откуда следует,
что треугольник AMN равнобедренный и прямоуголь-
ный.
Задача 3 В остроугольном треугольнике АВС про-
ведены высоты AF и С D О — ортоцентр М — середина
[АВ], N—середина [ОС] (рис. 3). Доказать: &NFM~
~&CFA.
Решение.
Д. Ф. ИЗААК
[г. Орск]
OCF = BAF = 90° — Ь
д OCF - Д BAF.
ЗАДАЧИ НА ПОДОБИЕ
OFC - BFA = 90°
В статье Л. И Кузнецовой и 3 А. Скопеиа «Метод
подобия при решении планиметрических задач» (Мате-
матика в школе. 1977, № 6) помешены интересные за-
дачи, решенные методом подобия, и высказана мысль
о целесообразности более широкого применения в сред-
ней школе метода подобия к решению различных за-
дач. В данной статье приведены 10 задач, которые ре-
шены методом подобия; оии могут быть использованы
во внеклассной работе с учащимися.
Будем считать известными следующие свойства подо-
бия (П) первого рода, отличного от перемещения.
1. Существует точка О (центр подоб] я) такая,-что
П - Н\ о /?£ .
11. Если центр подобия первого рода дан, то оно мо-
жет быть задано всего одной парой соответственных
точек.
III. Если //д»/$(Я) = В, | <р | < 180°, то форма тре-
угольника'ОАВ определяется параметрами k и АОВ=
= | <? |, | ОВ | : | ОА | = fe Другими словами, если по-
добие первого рода с центром О отображает точку А
на точку В. точку С на точку D, то ДОАВ~ДОС£).
IV. Если Hq о R^ ([АВ)) = [СО), то лучи АВ и CD
образуют угол <р. В частности, если Hq о Ад ((АВ)) =
-(CD), то (АВ) 1 (CD).
Задача 1. В прямоугольном треугольнике АВС
(С = 90°) проведена высота CD, Ot и 0% - центры
окружностей, вписанных в треугольники АСЬ и CBD
(рис. 1). Доказать, что треугольники ADC и (RDO? по-
добны.
Решение. Подобие П = HkD^ , где k =
= | ВС | : | AC | , отображает треугольник ACD на тре-
угольник CBD, а точку O[ на точку O2 Поэтому
Д0|О02~ДАТ>С (свойство III).
Задача 2. Дан квадрат ABCD. О — его центр,
М — середина отрезка ВО. N — середина отрезка CD
(рис. 2). Доказать, что треугольник АМ\ равнобедрен-
ный и прямоуго гьный.
Решение, Подобные тресте пьники АОВ и ADC оп-
Эти треугольники определяют подобие с центром F,
в котором F-t-F, О -> В, С-»-А, [ОС]-»-[В4] а сере-
дина А отрезка ОС отображается на середину М от-
резка ВА. По свойству III ДА7Л1~ДС/А.
Задача 4. В остроугольном треугольнике АВС
(|АВ] = ]АС|, рис. 4) [АЕ] и [BD] — высоты. [АЕ]Г|
П[ВЕ>]=0, М —середина [АО]. Доказать: /\MDF~
~&ADB.
Решение.
140 = CBD = 90°
-^С
=> Д /OD—'Д, BCD.
ADO = В DC = 90°
Эти треугольники определяют подобие П с центром D,
в котором А-*В, О-> С, [АО]-»-[ВС]. Так как М —
’середина [АО], a F — середина [ВС], то П(Л4)=Е.
Тогда по свойству ill AADB ~ &MDF
Задача 5. Даны два квадрата A BCD и MNKB,
М G [АВ], В G [КС] (рис. 5). Доказать:
1) Прямые MD, NA, КВ пересекаются в одной точке;
2) лучи ND и МС образуют угол в 45°.
Решение. 1) Подобие, отображающее квадрат
MNKB на квадрат DABC (M-*-D, N-*A, К-*-В,
В-ь-С), является гомотетией, так как прямая КВ ото-
бражается на прямую ВС, т. е. на себя. Через центр
О гомотетии проходит любая прямая, проведенная че-
рез некоторую точку и ее образ. Поэтому О=(Л'А)Л
Л(ЛЮ)Л(КВ).
2) Подобие П = Н& о R?&\ где k — ——• отобр?-
53
жает точку В на себя, точку V на точку М, точку D
на точку С, а луч ND — на луч МС. По свойству IV
лучи ND и МС образуют угол, равный углу поворо-
та, т. е. 45®.
Задача 6. Даны два квадрата ABCD и MNKL,
7V£[BC], [ВС], |ВЛ/| = |КС| (рис. 6). Доказать,
что прямые МС, ND, КА, LB пересекаются в одной
точке. •
Рис. 5
Решение. Подобие отображающее квадрат MNKL
на квадрат CDAB (M-t-C, N -* D, К-*-A, L -нВ), есть
гомотетия, так как прямые MN, NK, КС, LM отобра-
жаются на параллельные им прямые. Центр гомотетии
О принадлежит любой прямой, проходящей через точ-
ку и ее образ. Поэтому 0 = (МС)П((УО)П(КЛ)П(СВ).
Задача 7. Даны подобные прямоугольники ABCD
и MABF, М е МО], F € [ВС] (Рис- 7) Показать-.
I) (ЛС) х (MB), (AF) X (ВО):
2) д FUD — Д АВС, где О - [ЛС|П[Л1В].
Решение. Рассмотрим подобие П, отображающее
прямоугольник МАВ/' на прямоугольник ABI D Пусть
П = Hq, oPtfa' . Так как П ((ЛВ)) — (ВС), то ? -- 90° Но
П([Л4В]) - МС], П (|АВ ]) - [ВО], поэтому (свойство IV)
(МВ) х (AC), (AF) х (BD).
Найдем центр О] подобия П. Так как П([Л4Л]) =
= [ДВ], то отрезки МА и АВ видны из точки О( под
прямыми углами и поэтому C^ffBAI]; так как
П(|ЛВ]) = |ВС], то отрезки АВ и ВС видны из точ-
ки Ot также под прямыми углами и поэтому Г>1£ [ЛС].
Следователг-но, 0^ = 0= [Л1В]П[ЛС], a &FOD~&AUB
(свойство III). Но АЛОВ—ДЛВС, значит AFOD~
-ААВС.
Задача 8. Дан прямоугольник ABCD. Построены
t гевозможные прямоугольники MNBF так, чтобы
‘N£\BA), F£\BC), |AI.V| : |Л'В| = |ЛВ| : |ВС|. Найти:
а) множество точек 0=[ЛС]Г)[Л1В];
б) множество центров S подобий, отображающих
прямоугол! ники MNBF на прямоугольник ABCD.
Решение, а) Пусть подобные прямоугольники
MNBF и ABCD определяют подобие П -« Hks oFfs. Так
как П ([WB])-= [ВС], то а - 90°. Но П фИВ]) - [ЛС],
поэтому [AfB[_L[4C] (рис. 8). Отсюда следует, что
диагонали МВ прямоугольнике^ MNBF будут перпен-
дикулярны постоинной прямой 4С, поэтому будут ле-
жать на одной прямой и пересекать [ЛС] в постоян-
ной точке О. Такгтм образом, пересечение отрезка АС
с диагоналями ВМ прямоугольников MNBF-состоит из
одной точки О — основания перпендикуляра, проведен-
ного через точку В к диагонали АС.
б) Подобие, отображающее прямоугольник MNBF
на прямоугольник ABCD, переводит отрезок NB в от-
резок ВС. Поэтому
NSB = rfsC- 90°, S С INC] и '&$] х [ЛГС].
Таким образом, точка S принадлежит полуокружности
с диаметром ВС. Нетрудно для любой очки S этой
полуокружности построить прямоугольник MNBF, по-
добный прямоугольнику ABCD, так, чтобы
W е [ВЛ), F £ ]ВС) и H^p-^(MNBF) =ABCD(рис. 8);
1) [С5)П[ВЛ)-М
2) [ВО)Х [ЛС], Р€МС];
3) (NM) х [B2V], М - [BO)n(NM);
4) [А4В] X (ВС), F£[BC].
Задача 9. На данном отрезке АВ по одну сторо-
ну от него построены всевозможные прямоугольники
ABCD. Для каждого из них построен прямоугольник
MABF так, что 7ИС[ДО), F £ [ВС) и |Л1Л|:|ЛВ| =
— \АВ\ : \ВС\. Найти множество точек О^=(АС)(](ВМ).
Решение (рис. 7). Как показано в решении зада-
чи 7, подобные прямоугольники MABF и ABCD опре-
деляют подобие П — Hq °F^°, где О — [Л|В]П[ЛС| и
|7ИВ]_1_[ЛС]. Таким образом, из точке О отрезок АВ
виден под прямым углом, поэтому точка О описывает
полуокружность с диаметром АВ. Нетрудно для лю-
бой точки О этой полуокружности построить прямо-
угольники MABF и ABCD удовлетворяющие условию
задачу, в которых О=[ЛС]П[В2И] (рис. 9). Строим:
1) С - (ЛО)П(ВС), где (ВС) X [ЛВ];
2) D - (AD)(\(CD), где (AD) X [ЛВ] и (CD) х (ВС);
3) М - (ВО)П(ЛО);
4) F = (BC)C\(MF), где (MF) 1 [ЛА4].
Задача 10 Дан прямоугольный треугольник
АВС (С = 90°) и Д Л,В,С - Я£(Д ЛВС). Найти мно-
жество точек М —(ЛЛ,)П(ВВ,) для всех 0°-<<р<
< 360'
Решение. Подобие Л = Hf. , отображающее
точку А на точку В, точку At на точку Вь отображает
прямую ЛЛ1 на прямую BBj и поэтому (ЛЛ1)Х_(ВВ1)
(свойство IV); точка М= ^Л1)П(ВВ1) принадлежит
окружности с диаметром ЛВ (рис. 10).
Так как 0®^ф<360°, то точки М заполнят всю эту
окружность, т. е. для любой точки М этой окружно-
сти можно построить треугольник Л1В)С, конгруэнтный
треугольнику ЛВС, так, чгобы (ЛЛОГЦВВм “А1.
54
Г. X СОРОКИН
(г. Саратов)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
НЕКОТОРЫХ КЛАССИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ
с помои’ЬЮ ПРОИЗВОДНОЙ
В школьном курсе с помощью производной решаются
в основном задачи, связанные с исследованием функ-
ций. Между тем возможности, которые предоставляют
понятия и методы математического анализа, изучаемые
в школе, значительно шире Покажем эти возможности
на примере доказательства знаменитого неравенства
Коши между средним арифметическим и средним гео-
метрическим п неотрицательных чисел. Доказательство
это весьма просто, используемые в нем понятия и ут-
верждения не выходят за пределы программы сред-
ней школы Оно вполне доступно для рассмотрения как
на внеклассных или факультативных занятиих, так и
(при наличии времени) непосредственно на уроке.
Совершенно аналогично доказывается так называемое
обобщенное неравенство Коши, в качестве следствий ко-
торого автоматически получаются классические нера-
венства Йенсена, I ельдера, Коши-^— Буняковского.
Докажем прежде всего, что при любом х £ R вы-
полняется перавенство
ех~1 > х, (1)
причем равенство достигается здесь только при х = 1.
Действительно, если f(x)=ex~[—х, то производная
Г(х) =ех~‘—1 отрицательна при х<;1 и положительна
при х>1. Следовательно, f(l)=0—наименьшее зна-
чение функции f, достигаемое только при х=1
Таким образом, для любого х f R выполняется не-
равенство е*~‘—х:>0, равносильное (I). Ясно также,
что равенство достигается только при х=1.
Пусть теперь Х|, х2, .... хп — неотрицательные действи-
тельные числа, их среднее арифметическое обозначим
через А, т. е.
В силу неравенства (1) для положительных чисел
Xi, ..., хп имеем:
перемножив яти неравенства, получаем
Х1+х,+ ...+хп
------л-------п
Ап
Но Х< —*-‘ „ Х" ~ и. так что х1х,...х„-<Л,г,
ИЛИ
пг-------- х1 4-х, 4-... 4-х„
V х,х,.. .х„ <--------------------, (2)
а это и есть неравенство Коши Ясно, что равенство
в нем достигается только в том случае, когда
X, X, х„
~д-----ИЛИ X, ~х, - ... -х„.
Если среди чисел X/ имеется хотя бы один нуль, то
неравенство (2) очевидно.
Докажем теперь обобщенное неравенство
Коши.
Пусть ХпХ,,..., х„, ри рп— положительные
числа, Тогда
xfxP»...x^<
/ -У1Р1 + х,р, 4- ... 4- Х„Рп \Р»+ Р.+—+РЯ
Р1+ Р,+ ... + Рп / ' ’
причем равенство достигается только при xt = х,= ...=
— хп.
Доказательство. Положим
_ -*iPi -I- х,р, 4- ... 4- хпрп
Pi 4- Pi + • • • +- Рп
и выпишем п неравенств, вытекающих из неравен-
ства (I):
Возведем первое из этих неравенств в степень Ръ вто-
рое — в степень р2 и т. д„ а затем их почленно пере-
множим. Тогда будем иметь
xfx₽’...x^</,+ ₽’+-₽"X
X 1Р\+Хчрч +...+Х р
----------------as- (р,+р,+...+₽„)
/\ в “
_ ^Р. + Р.+ .-. + Ря, ,
что и требовалось доказать. Заметим, что в выражении
(3) равенство достигается только при
s — s ” ' з ” •
т. е. при xi=x2=...=xn.
Следствия обобщенного неравенства Коши
1. Классическое неравенство Коши (2-) получается из
неравенства (3) при любом наборе pi = р2=...=рп-
2. Если и, Г2, ..., гп — положительные числа и
то, подставляя в неравенство (3) хг/ вместо X/ и
вместо pi, получаем неравенство
которое называется обобщенным неравенством Йенсе-
на. Обычное неравенство Йенсена получается из него
при л=2 и записывается обычно в несколько иных
обозначениях.
если
1 I
и “7* 4- —Т — 1, го
Р Ч
р > 0, q > О
ХР V®
ху< -+S-(x>Q, у>0).

3. Пусть х,, х„..., х„, у,, у,. уП — положитель-
1 1
ные числа, р > 0, q > 0 и 4- — 1.
Тогда справедливо неравенство Гельдера:
55
/=1 /=] /=]
Доказательство. Положим
л-(2иГ)7'. в-(2к')~-
1 = 1 1=1
Тогда из неравенства Йенсена (4) будем иметь
х1У1 . х? у1 1 о
АВ рАр + дВч ~1' 2................п}-
После сложения этих неравенств, учитывая, что
л н
ЪХ?=АР,
i=t i=i
получим
и п
Vr" V v«
п л zj У/
vXiyi г 1=1 1=1_____L । _L i
AB pAp + qB11 ~ p "" q ” ’
i=L
откуда и вытекает неравенство Гельдс~а.
4. При p—q—2 из неравенства Гельдера получается1
неравенство
(-*» У1 + • • + Хпу„)’ < (X] + . . . + Хд) X
Задачи
ЗАДАЧИ ДЛЯ IV—VIII КЛАССОВ
2301. Найти все трехзначные числа, для каждого из
которых сумма с числом, записанным 1вми же цифрами,
но в обратном порядке, делится на 68.
С. Л. Манукян (ГССР, с. М. Памач)
2302. Если первую цифру данного двузначного числа
уменьшить на I и полученное число перемножить с дан-
ным, то получится трехзначное число, записанное тре-
мя одинаковыми цифрами. ’Найти данное число.
И Т. Михалкова ч
(Минская обл., г. п. Красная Слобода,
2303. Для того чтобы возвести в квадрат данное
двузначное число, достаточно вставить между его циф-
рами некоторое двузначное число. Чему равно-послед-
нее число?
И. Т Михалкович
2304. Данное четырехзначное число имеет одинаковые
первые две цифры, одинаковые последние две цифры
и раскладывается в произведение лвузначных чисел
каждое из которых также имеет одинаковые цифры.
Найти данное число.
И. Т. Михалкович
2305. Доказать равенство
п

У 0 + 2 4- 3 4- ... -f- (п k)) =
часто называемое неравенством Коши — Бувяковского.
Упражнения
• 1. Докажите, что
где а, Ь, х больше 0.
2. Докажите, что последовател! пости (ип) и (Пп),
где
возрастают.
Указание. В неравенстве (5) положите:
а *= 1, b — 1 + -i-, х — л.
3. Докажите неравенства:
2 2 2 9
а) а + b т b-j-c^’c-t-a^'a-f-b-j-c’
, । / а 4- ‘2Ь -ь Зе + 4d х'“
б) -------------------jy------у ,
в)
д’ у. ь* 4- cf у+»+с
аа**сс.
если a, b, с, d принимают только положительные значе-
ния.
4. Докажите неравенства:
а) (*! 4- х, 4- ... 4- *„)’ < л (х^ 4- Xg 4- ... 4- x^J,
б) (sin’ x)s,n'1 x-(cosJ x)cos’ * >• ~2~ (sin 2x =/= 0).
s=i
= l-(n 1) 4 2-(n —2) 4- ... 4-(л p-1.
Математический кружок 173-й шк. Киева
(рук. Р. П Ушаков)
2306. Изобразить, на координатной плоскости множе-
ство точек, координаты которых удовлетворяют равен-
ству
|х—1| —10—1| = 1—|у—X—1|.
Математический кружок 173-й шк. Киева
2307. Дан параллелограмм ABCD, диагонали которо-
го пересекаются в точке М. Радиусы окружностей
ADM. DMC и МСВ равны соответственно Ri, Ri. Ri.
Докцзать, что длины р и q отрезков общих касатель-
ных, проведенных к первой и второй, второй и третьей
окружностям, связаны с радиусами Rt и R-2 соотноше-
нием:
p^+qT=iRiRt.
Т. П. Григорьева (г. Горький)
2308. На сторонах прямоугольного равнобедренного
треугольника АВС построить соответственно точки
Bi, Ci (Л1 g [ВС1, В, £ [СЛ]. С,€(АВ]). так, чТибы
треугольник AtBiCi также был прямоугольным и рав-
нобедренным.
А. П. Дупло (Киев)
ЗАДАЧИ ДЛЯ IX— X КЛАССОВ
2309. Решить уравнение
Цх| — [х] | - ||х| —[х]].
А. М. А в о я и (Греван)
2310. Решить систему уравнений
х 4- [у] 4- {?} = 1,1,
' У 4- И 4- {х} = 2,2,
. « + И + {» - 3,3.
А. М А в о я и
56
2311. Найти сумму
S‘g (“ + ~п~^) ,g(“ + ‘T’')'
fc=i
С. Т. Берколайко (Белгородская обл., с. Котово)
I I
2312. Доказать, что при — + '7'=1> Р>0, ^>0
на инте реале )0; п/2[ выполняется не равенство
р tg^₽ х + q ctg1,e х > 1.
В X. Габибов (АзССР, г. Агаджабеди)
2313. В треугольнике АВС проведены медианы AAt,
BBi, CCi. Биссектриса угла ACfC пересекает отрезки
AAi и АС соответственно в точках Р и Q, а биссектри-
са угла BCtC пересекает отрезки ВВ, и ВС соответст-
венно в точках М и А Доказать, что если |АР| =
= |AQ|. то |ВМ| = |ВА'|.
В. А. Горб’упова (г. Вологда)
2314. Даны две окружности ю, и п>2. пересекающиеся
в точках А и В Через точку А проведена прямая, пе-
ресекающая вторично с», в точке Xi, а <п2 в точке Х'г-
Биссектриса угла ХДХ, пересекает [A',.¥2| в точке Y.
Найти множество точек Y на всех прямых, проходящих
через точку А.
Л. И Кузнецова (г. Горький)
2315. Дана сфера с (О; R) и две точки А и В, такие,
что OA-OB = R7 Цоказать, что сфера о, с диаметром
АВ пересекает сферу а ортогонально. (Две сферы на-
зываются ортогональными, если касательные плоскости,
проведенные к ним в их1 обшей точке, перпендикуляр-
ны)
Р. Г Петрова (НРБ, г. Шумен)
2316. Доказать, что если ОА. ОВ, ОС, OD такие
различные единичные векторы, что
АОВ= COD. ВОС = DOА, СОА = BOD,
то либо О А + OB 4- ОС г OD = 0, либо ABCD —
п рямочгольник, либо выполняются оба условия
однов ременно.
Г. В.* К и о т и н а (г. Рязань)
Простые числа
2317 Доказать, что если (рп) — последовательность
простых чисел, то начиная с некоторого номера выпол
няется неравенство рп > 4л.
Ф А. Бартенев (г. Евпатория)
Предел последовательности
2318. Пусть а, •= 1, д„+1 = (л 4- 1) ап 4- 1. Най-
Математический кружок 173й шк.’ Киева
Задачи абсолютной геометрии
2319. Не опираясь на аксиому о параллельных и
следствия из нее, доказать, что треугольник равнобед-
ренный, если две его медианы конгруэнтны.
2320. Дана неплоская замкнутая ломаная A BCD А.
Не используя аксиомы о параллельных и следствий из
нее. доказать, что середины четырех ее звеньев принад-
лежат плоскости.
3. А. .С к о л е ц (с. Ярославль)
В ПОМОЩЬ РЕШАЮЩИМ ЗАДАЧИ 1
III. Квадрат натуральное числа2
Квадрат натурального числа называют точным квад-
ратом. Это понятие используется во многих задачах
на делимость Ниже приводятся несколько задач на
точный квадрат, решение которых основано на следу-
ющих пяти отправных теоремах.
1. Точный квадрат либо делится на 4, либо при де-
лении на 8 дает в остатке 1.
2. Точный квадрат либо делится на 9, либо при де-
лении на 3 дает в остатке 1.
3. Между квадратами двух последовательных целых
чисел не содержится ни одного точного квадрата.
4. Точный квадрат не может оканчиваться ни на одну
из цифр 2, 3, 7, 8.
5. Если разность двух целых чисел равна 2л, то про-
изведение этих чисел, увеличенное на л2, есть точный
квадрат.
Задачи
1(111.1). Доказать, что сумма двух последовательных
четных чисел не может быть точным квадратом.
2(111.1). Доказать, что сумма квадратов двух или
трех нечетных чисел не может быть точным квадра-
том.
3(111.1). Доказать, что любое четное число, не крат-
ное 4, нельзя представить в виде разности квадратов
двух целых чисел.
4(111.1). Доказать, что уравнение 13х’4-2 = (/’ не име-
ет решений в целых числах.
5(111.1). Найти все целые значения п, при которых
число 2г+8л+5 является точным квадратом
6(111.2). Доказать, что ни при каком натуральном п
число 24л4-41 не может быть точным квадратом.
7(111.2). Доказать, что ни при каком натуральном п
число 7-10”+4 не является точным квадратом.
8(111.2). Доказать, что сумма квадратов трех прос-
тых чисел, больших 3, есть число составное.
9(111.3). Доказать, что произведение двух последо-
вательных натуральных чисел не может быть точным
квадратом.
10(111.3). Найти все натуральные п, при которых
число л2+3л является точным квадратом.
11(111.4). Доказать, что нн при каком натуральном
п число 22п+,+32п4-(—1)п~* не может быть точным
квадратом.
12(111.4). Доказать, что йи при каком натуральном п
число л2+3 не делится на 5.
13(111.4). Найти все. натуральные п, при которых
число 1-2-3-...-Л4-97 является точным квадратом.
14(111.5). Доказать, что произведение четырех после-
довательных целых чисел, увеличенное на 1, является
точным квадратом.
15(111.5). Доказать, что произведение четырех после-
довательных членов целочисленной арифметической про-
грессии, увеличенное на четвертую степень разности про-
грессии, является точным квадратом.
1 Продолжение. Начало в № 4, 5 за 1980 г.
2 Материал подготовил С. Г. Губа (г. Вологда).
57
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ, ПОМЕЩЕННЫХ II НС 1
ЗА 1980 Г.
2201. Найти все двузначные Числа, у которых чет-
вертая степень суммы цифр равна сумме цифр четвер-
той степени самого числа.
Решение. Четвертая степень любого двузначного
числа содержит не более восьми цифр, следовательно,
сумма этих цифр не превышает 72. Чтобы четвертая
степень суммы цифр двузначного числа не превышала
72, сама сумма цифр не должна превышать 2. Суще-
ствуют только три двузначных числа с такой суммой
цифр: 10, 11 и 20. Далее имеем: 104=10 000, 114 =
= 14 641, 204=160 000. Легко видеть, что условию за-
дачи удовлетворяют только 10 и 11.
2202. Существуют ли два последовате ч.ных нату-
ральных числа, сумма, цифр каждого из которых де-
лится на 11 ?
Решение. Возьмем натуральное число, сумма цифр
которого делится на 11 н при этом ровно 5 последних
его цифр являются девятками. Тогда сумма цифр по-
следующего натурального числа будет на 44 меньше,
т. е. она также будет делиться на 11. Поимером могуч
служить числа 2 899 999 и 2 900 000. Вообще же таких
пар чисел существует бесконечно много.
2203. Сколько вершин имеет многоугольник, если
известно, что число его диагоналей делится на число
вершин?
Решение. Пусть многоугольник имеет п вершии
и m диагоналей. Через каждую вершину проходит п—3
п [П—
диагонали, и поэтому от —— %-- Так как по условию
ni—k-n, то п(п—3)=2kn, откуда п—3=2А и л=2А4-3.
Итак, искомый многоугольник имеет нечетное число
вепшин
2204. Найти все трехзначные числа, удовлетворяющие
равенству
xt/z=x4zy24-z3.
Решение. Запишем данное равенство в виде
100x4- 10у+г=х+у!+г3.
После перегруппировки членов получим
г3—г=99x4-1 Оу—у2.
Однако Юу—у’^0, 10у—у2=25—(5—у)’^25 и, сле-
довательно,
99х sg г3—z 5g 99х 4-25.
Вычисляя множество значений выражения z3—г для
всех возможных значений г и множества значений 99х
и 99x4-25 для всех возможных значений х, получим
соответственно:
Л={0, 0. 6, 24, 60, ,120. 210, 336, 504, 720},
В ={99, 198, 297, 396, 495, 594, 693, 792, 891},
С={124, 223, 322, 421, 520, 619, 718, 817, 916}.
Мы должны найти такие числа из множества А,
каждое из которых находится в промежутке между
каким-либо числом нз множества В и стоящим под
ним числом из множества С. Этому условию удовлет-
воряют числа: 120 (ему соответствует z=5, х=1),
210 (г=6, х=2), 504 (г=8, х=5).
Чтобы определить цифру у для полученных значений
г и х, мы запишем из (1) три уравнения:
у(10-у)=21, у(10-у) = 12. у(10-у) =9.
Первое и треп-' уравнения имеют, очевидно, соответ-
ственно корни 3 и 7, 1 н 9, а второе уравнение корней
не имеет.
Таким образом, условию задачи удовлетворяют числа
135. 175, 518, 598.
2205. Найти наименьшее значение выражения
|36т—5й |, где m и п — натуральные числа.
Решение. Разность 36т—5й оканчивается цифрой
1, а разность 5"—36™ — цифрой 9. Докажем, что
|36т—5П| не может быть равным ни 1, ни 9.
Из равенства 36т—5" = 1 следует, что (6т4-1)Х
Х(6т—1)=5П, а тогда степень числа 5 делится на
58
число 6т 4-1, оканчивающееся цифрой 7, чего не мо-
жет быть. Из равенства 5"—36т = 9 следует, что 5"
делится на 9, что неверно
Поскольку 36—5’= II, то 11 и есть наименьшее зна-
чение рассматриваемого выражения.
2206 Квадраты со сторонами 1. 2, 3. ... единиц дли-
ны поставлены в ряд таким образом, что основания
соседних квадратов имеют ровно одну общую точку и
лежат на одной прямой. Доказать, что центры этих
квадратов расположены на параболе.
Решение. Выберем систему координат таким об-
разом, чтобы прямая, на которой лежат основаи!.я
квадратов, была осью ординат, а прямая, на которой
лежит боковая сторона первого квадрата, была осью
абсцисс (рис. 1). Тогда центр квадрата со стороной k
k
имеет абсциссу — и ординату
„ k k(k — 1) k А’
1 4- 2 4- • • • 4- (А 1)4- 2 = 2 + 2 = 2 ’
А» / А \2
Поскольку ~2~ = 21 — ~2~ I , то координаты цен-
тров квадратов удовлетворяют уравнению у=2х2, т. е.
лежат на параболе.
2207. Внутри окружности а(О; R) дана точка М
Провести через эту точку хорду АВ так, чтобы сумма
|ЛМ |’4- |Л4В Is была 1) наибольшей; 2) наименьшей.
Решение. Данную в условии сумму запишем в
векторной форме, откладывая векторы от точки О
(рис. 2):
I МА |’ 4-! МВ |’ = (ОА — ОМУ 4- (ОВ — ОМу -
- О А* 4- OB' 4- 2ОМ' — ЮМ- 2Оо\ = 2R' р
4-2 }ОМ |’—41 ОМ I’cosa = 2/?’4-21 ОМ |!—41 ОМУ sin 0
Рассматриваемая сумма примет наибольшее значе-
ние, если sin 0=0 или 0=0. В этом случае хорда АВ
является диаметром.
Данная сумма будет иметь наименьшее значение, ес-
ли sin 0=1 или 0=-9О". В этом случае хорда АВ пер-
пендикулярна диаметру, проходящему через точку М.
2208. Даны отрезок А Аз и острый угол а. Построить
такую окружность (О; R), чтобы сумма длины ее хор-
ды AiC (или А2С), где С € И ,44, и расстояния цен-
тра О до этой хорды была равна а величина
угла AiOC (или А2ОС) равна 2а.
Решение. Пусть такая окружность со(0; |<4iO|)
построена (рнс. 3). Проведем диаметр AiN и соединим
точку N с С и Аз. Проведем [OAf]_L[ACJ. По усло-
вию задачи
(АС) 4-1ОЛ4 j — | 4,4,}» 4,0(7-2а.
Заметим, что A,CN - 00°, | СМ | - 21 МО |, | МО | -
— I АгС | н | CN | = 21 АгС]. Рассматривая прямоуголь-
ный треуготьник СНА,, находим, чю tg А, = 2.
Итак, зная сторону 4,42 и величины углов А, и
Л, (41=90°—a, tgА2=2) треугольника 4[42W, строим
точку iV. Центр О искомой окружности совпадает с се-
рединой стороны AiN; '
I
t /? = -2~| Л,ЛГ|.
2209. Вычислить значение выражения
A (2n — k) (2n + 2k— 1)
1 1 (4Л —3)(4п —4Л + 3)- _
Л=1
Решение. Знаменатель данного выражения равен
1 -5-9-...- (4п- -3) • (4n—1) (4п—5) -...-7-3 =
= 1-3-5-7-...- (4п—3) (4n—1).
Далее:
П (2п —Л) = (2п—l)(2n —2)...(п + 1)п-
Л=1
].2-3-....(2п—2) (2п — 1)
” 1-2.3-...-(п— 1) ”.
(1-3-5-...-(2л — 1)) (2.4.6-...-(2л—2))
“ 1-2-3-. ..-(л — 1) “
= 2n-1 (1-3-5-... .(2п — 1)).
Наконец,
П 2л 4 2Л-!)= (2л+1) (2л4 3). .. (4л—I).
л = Л
Отсюда следует, что данное выражение равно 2"~т«
2210. Доказать, что целая часть числа
(<« + Ап 4- l)2 (ng N)
есть нечетное число.'
Решение. С помощью возведения в квадрат легко
доказать неравенство
A4n -J- 1 < Ап +1 п 4- 1 < А4п 4- 2,
или
4я 4- 1 < (АйГ 4- угп 4- 1)2 < 4п 4- 2.
Поэтому
|(| П 4 > п 4- i)2] = 4Л4-1.
2211. Найти /'(О) если
f (_v) = х (х — I) (х — 2).. .(х — п).
Р е ш е и и е. Если / (л) = xg- (л), то /' (л) = g (х) 4-
4- xg'(x), так что /'(0) = g (0). В данном случае по-
лучаем
/' (0; = (— 1) (-2). ..(—п)~(—1)пп1
2212. Доказать, что шесть точек пространства, коор-
динаты которых получаются из различных чисел а. Ь,
с при помощи всевозможных перестановок, лежат в од-
ной плоскости. Вычислить расстояние от этой плоско-
сти до начала координат.
, Решение. Пусть А (а, Ь, с), В (а, с, 6), С (Ь, а,
с), D (b, с, а), Е (с, a, b), F (с, Ь, а) —данные точки.
Так как сумма координат любой из этих точек равна
a-i-b-j-c, то каждая из них принадлежит плоскости
л -|- у + г — (а + b + с) = 0.
Расстояние от начала поординат до плоскости равно
| а Д- b 4 с | „
-----7=---. В самом деле, проекция начала коорди-
/3
.. f a -j- b -F с а-\- Ь-\-с
нат на плоскость есть точка М I----gg,
а 4 Ь 4- с \
-----3--- 1, являющаяся точкой пересечения медиан
треугольника АВС, вершины которого получаются от
пересечения плоскости с осями координат. Отсюда
ю«1-
2213. В плоскости треугольника АВС дана точка М.
через нее проведены прямые, параллельные прямы- АВ,
ВС, СА и пересекающие соответственно прямые ВС, СА,
АВ в точках Ai, Bt, Ci. Доказать, что •
МА, МВ, МС,
“ 1 •
АВ ВС СА
Решение. Пусть /2, В2 и С2— вторые точки пе-
ресечения прямых МА,, МВ,, МС, со сторонами тре-
угольника (рис. 4), тогда
МА, _ Д,с7 i С,С
~АВ ~вс вс ВС
МС, _ МВг В А,
СА св ~ВС
Рис. 4
Сложив лесые и правые части равенств, получим
МА, МВ, + МС, A,Ct 4 С2С 4- В4,
~АВ ВС С А ВС
2214. Даны сфера с и точка М £ с. Найти множест-
во точек X. чтобы |ХА1| : |ХГ)=А, где k — данное по-
ложительное число, (XT) — касательная к сфере в точ-
ке Т.
Решение. Выберем прямоугольную декартову си-
стему координат так, чтобы центр О данной сферы на-
ходился в начале координат, а точка М имела коорди-
наты (1; 0; 0).
Пусть X (х: //; г) — искомая точка, тогда
IЛМ | - А(*-0’ + у*4-г\
59
|Л'Г|- г |ОХ|’-|ОГ|’ = I х’ту’+г’. - I.
Из условия задачи следует равенство
у (х — k » х' + у' г — 1
MR
DC
| MP |
W
Учитывая (1) и (2), получим
После ею преобразований получаем:
/IV *4
!) (/ + |М—1 | ) + Уг+*г “ (*2 — 1)2 • есл" ^1;
2) х = 1. если k = 1.
Ответ Искомое множество точек Y:
1) сфера с центром в точке t [ , 0; 0^ и
радиусом j । I , если k=£ 1;
2) плоскость х=1, за исключением точки М, если
fc=l.
2215. Дан тетраэдр ABCD. Через точку М g (АВС)
проведены прямые р, q, г, параллельные соответственно
ребрам DA, DB, DC, пересекающие плоскости граней
DBC, DCA, DAB в точках Р, Q, R. Доказать, что
MP + MQ MR
DA DB DC
Решение. Пусть (ОР)П[ВС] = Д, (О/?)ПИВ| <=/(,
(О0)П[.4С] -= N (рис. 5). Очевидно, что L£(AM),
К € (СМ), Л(£(ВМ). Из подобия треугольников ALD
и MLP. CKD и MKR, BND и MNQ следует:
IMP) |М£| I М Q) |ММ|
|ОЛ) “ |Л£| ’ |DB| = |ВЛ'| •
I MR | |MKI
| DC |“ |CK | ‘
Известно, что площади треугольников, имеющих об-
щую сторону, относятся как длины параллельных от-
резков, проведенных из противолежащих вершин к об-
щей стороне. Тогда
l^l ,Ijwyi JмкI sMAC (
I al I + |вм| + |CK| “ sABC + SABC
Так как векторы MP и DA, -MQ и DB, MR и DC
противоположно направлены, то
I
---к
MP
---у-
DA
| MP |
|ОЛ| •
MQ
DB
|MQ|
IDS | ’
MP лГ> MR
—► +_____► +___► “
DA DB DC
— 1.
2216. В сферу о (О; R) вписан тетраэдр ABCD Че-
рез точку М проведены прямые МА, 71В, Л1С, MD. пе-
ресекающие сферу вторично в точках A,. В,. С,, D,.
Найти множество точек М для которых
11 AM ВМ СМ ' dm
+ ’ + “ 4
МА, МВ, МС, MD,
► ►
о AM ВМ СМ DM
2) + „ + + „ - —4
М.4, МВ, МС, MD,
Решение. I) Из условия задачи следует, что
АМг ВМ2
__л____> +___>_____> "Т
AM МА, ВМ МВ,
ОМ2 DM2
+ “ 4.
СМ-МС, DM-MD,
Но АМ-МА, ~ ВМ-МВ, = СМ-МС, ~ DM-MD, ~
= Р2 —ОМ2, поэтому
ЛМ’ +- ВМ2 + СМ’ {- DM2 = 4 (Р2—ОМ2), (1)
или
(ОМ - О А)2 + ... +(Оа7— ОО)’ = 4р’ — 4ОМ2.
После несложных преобразований получаем
8ОМ’ — 20М-(0А + ОВ + ОС Р OD) - 0. '
Если G—точка пересечения прямых, проходящих через
вершины тетраэдра и точки пересечения медиан в про-
тиволежащих им гранях (центроид тетраэдра), то 4OG =
= О А + О В + ОС + OD. Поэтому последнее "равен -
ство прпнимае! вид ОМ2—OM-OG=0, или OM-GM—0 .
Искомое множество точек есть или сфера диаметра
OG, если G=#O, или точка О, если G = O.
2) Рассуждая аналогично, вместо равенства (I) по-
лучим (И):
ЯМ2+-... +ОМ!= —4(Р2 —ОМ’). (]')
Отсюда
(ОМ — ОЛ)’+... + (ОМ— OD)‘ - —4р2 -j- 4ОМ2,
или после упрощений получим
Р2 —ОМ-00 = 0.
Построим точку G, такую, чтобы OG-OG|=P"(G-£O)-
Точка Gi — одна из искомых точек М. Проще всего ее
гО
построить на прямой OG : |OG |- |OG, | е= R2. Тогда по-
лучаем равенство
OG-OGt-OM-OG = О,
или
OG-MG, =0.
Искомое множество точек есть плоскость, проходя-
щая через точку Gi перпендикулярно прямой OG.
Если G = O, искомое множество — пустое: точек М
не существует В этом случае тетраэдр — равногран-
ный, т. е. его противоположные ребра попарно кон-
груэнтны.
2217. Доказать неравенство
tg* а 4- Ctg* а > 2 4 Л2 cos’ 2а,
где AGN, а С] О. it/2[.
Решение. Если 0<а<л/4. то ctga>tga.
cos2a>0 и данное неравенство можно переписать в
виде
ь ъ
ctg .2 а tg 2 Н >- k cot! 2a.
Рассмотрим функцию
f (л) — ctg" x ign x — 2n cos 2x
(xG]0, H/4J, n-fc/2).
Имеем:
Л _ . Z7 и i Л
X44n=tn2.r=
= — n(ctg"_| X (1 4 ctg2 л) 4 tg"-1 л(1 4- tg2x) —
— 4 sin 2x) = ((ctg"~’x 4 tg" -1 x) 4-
4 (ctg"+,x 4- tg"+I x) —4 sin 2л) <
-< — n (4 — 4 sin 2л) < 0.
Следовательно, на интервале ] 0; л/1] функция f убы-
вает и поэтому принимает наименьшее значение при
х=гл/4. Поскольку /(л/4)=0, то требуемое неравен-
ство доказано на промежутке ]0; л/4].
Для доказательства неравенства на промежутке
]л/4: л/2[ достаточно заметить, что если а лежит в этом
промежутке, то л/2—a f |0; л/4[, а данное неравенство
не изменяется при замене а на л/2 —а.
2218. Известно неравенство Чебышева: если
< Уп< гг^. ...^.гп> О,
п п п
Л=1 /=1 / I
Сформулировать и доказать интегральный аналог это-
го неравенства.
Решение. Интегральный аналог неравенства Че-
бышева естественно сформулировать следующим обра-
зом: если функции fug определены и непрерывны иа
отрезке [а; Ь] и f возрастает, а g убывает, то
ь к ь
С ICC
\f(Jt)g(x)dx } f <^л ygfxydx. (I)
а а а
Для доказательства этого неравенства разобьем от-
резок [а; Л] иа п отрезков одинаковой длины точками
х>; тогда, положив f(xt)=yt, gfx^—Zi, будем иметь:
ь п
С а VT
\ f (х) dx = Hm —-— 2j У1’
g(x) dx = lim
n
b n
\ f (-V) g (x) dx =! Um ° V v/Z/.
4 n /=1
Теперь неравенство (1) легко получается из неравен-
ства Чебышева с помощью предельного перехода
2219. Дан треугольник АВС и две точки Р и Q в его
плоскости. Доказать, что для площадей ориентирован-
ных треугольников имеет место равенство
APQ-BCP -J- BPQ-CAP 4- CPQ-ABP^ 0.
(APQ"—площадь ориентированного треугольника APQ.)
Решение. Пусть точки А, В, С, Р заданы своими
декартовыми координатами. Если точка Q имеет иоор-
динаты х, у, то функция
/(Л, у) = APQ-BCP 4- BPQ-CAP 4- CPQ АВР
имеет вид Kx-f-LyA-M.
Если Q = A. или Q = B, или Q=C, то непосредствен-
ной проверкой убеждаемся,' что во всех трех случаях
f(x. у) —Kx+Ly+M обращается в нуль. Поскольку
вершины ‘треугольника не принадлежат одной прямой,
то K=L = M = G, и равенство f(x, у)=0 имеет место
для любой точки Q.
2220. Иа сфе^е даны точки А, В, С. Найти на сфере
такие точки М чтобы сумма !МА|24-|/ИВ|24-|Л1С|2
была а) наибольшей; б) наименьшей.
Решение. Пусть дана сфера го с центром О и ра-
диусом 7?, тогда
| А4А |’4- | Л1В |2 Е |.ПГ|’ =
= (ОА — О.«)! 4 (ОД ОА4)’ 4- (ОС — 0.41)’,
или
I М А I2 4- I MB I2 4 I МС I2 = 6/?2 — BOM-OG,
——>- — ► ——► -----►
где 3OG = ОА 4- ОД 4- ОС (точка G — центроид тре-
угольника АДС). Но OM-OG = /?-| OG | cos <р, ? =
= (ОМ, OG), поэтом}'
| МА I’ 4- I МВ |’ 4-1 МС |’ = 6Д2 — 6/?.| OG | cos<p.
Если O=/=G, то значение суммы \МА |24-|Л4В|24-1/ИС|2
зависит только от cos ср Следовательно, |Л(А|24-
4-|Л4В|24-|Л4С|2 принимает наибольшее значение, если
cos <р =—1, и наименьшее значение, если costp=l.
Итак, точки пересечения Mt и М? прямой OG со сфе-
рой со являются искомыми. Если плоскость АВС разде-
ляет точки О и Л41, то сумма |Л11А |’4-|Л4|В|24-|Л1.С|2
является наименьшей, а для диаметрально противопо-
ложной точки Mi сумма |Л42А |24-|Л1?В|’4-|Л42С|2 бу-
дет наибольшей.
Заметим, что если точки А, В и С являются верши-
нами равностороннего треугольника, лежащего в плос-
кости большого сечении сферы .о точки О и G совпа-
дают, а сумма \МА |24- |Л1В|24- |Л1С|2, где М-—любая
точка сферы, равна 6R2.
61
СВОДКА РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ ПО № 1 ЗА 1980 Г.,
Абандерсе О. Н., Аблингст А. Д., Абульве У. С.,
Абфалыски О. Г. (г. Чебоксары) — 2201—2203, 2205,
2206, 2209—2211. Алиев Н. М. (р. -Кировабад) — 2201—
2206, 2209—2212. Андриевский С. А. (г. Омск)—2201,
2203, 2206, 2211. 2212. АрустамянК.М. (Арм.ССР, г. Ка-
фан) — 2203, 2204, 2206, 2207, 2209, 22Н, 2212. Ахма.
.тов М. А (г. Ейск) — 2201—2211,2215. Ахмедов М. Я.
(г. Чимкент)—2201, 2204, 2206. 2210—221 2, Бада-
мов Б. А. (АзССР)—2203,2205—2208,2211,2212. Вет-
ров К. В. (г. Братск)—2203—2213, 2215. Владими-
ров А. С. (Свердловская обл„ г. Асбест)—2201, 2203,
2204. 220G—2209, 2212—2215, 2217, 2219, 2220. Вой-
нов И. И. (Орловская об-i., г. Волхов)—2201—
2213, 2215, 2217. Головачев Е. А. (Белгородская
обл.) — 2201—2220. Егоров П. В. (г. Рязань) —
2201—2204, 2206—2212, 2215. Емелюшин И. С. (г. Бар-
наул) — 2203, 2206—2208 Жуманазаров П. (Ошская
обл.) — ’201—2207. Зискинд Л. Е. (г. Винница) —
2202—2208, 2210—2212, 2217. Зубилнн Н. И. (Ор-
ловская обл.) —2203, 2204, 2207, 2208, 2210, 2211.
Карабаев А. К. (Чимкентская обл.) — 2202—2204,
2206, 2210—2212. Кассиров В. А. (Павлодарская
обл )—2201—2204, 2206, 2208 Креймер М. О. (г, Жи-
томир)—2201, 2203, 2204, 2206, 2207, 2210- 2212.
Кульченко В. И.* (г. Тольятти)—2201, 2203, 2°04,
2206—2212. Курганов Т. К. (УзССР, г. Чирчик).— 2203,
2207, 2209—2212, 2215, 2219, 2220. Кушнер Б. С. (Куй-
бышевская обл., г. Жигулевск) - 2203—2206, 2208,
2210, 2211, 2217. Любенов Л. Т. (Болгария, г. Павел
Баня)—2202 -2204, 2210—2212. Мамедова Р. И.
(АзССР) — 2203, 2205—2207, 2211, 2213—2215, 2217,
2218. Мхеян К. П.» (АрмСС!’)—2201, 2203—2207. Не-
взоров А. Л. (г. Кременчуг)—2201—2213, 2215. С^ын-
басаров И. Г. (УзССР) — 2203, 2207, 2210, 2211, 2217.
Пац А. Н. (Гродненская обл.) —2201—2207, 2210, 2211,
2214. Повелий В. И. (Ровенская обл.)—2207, 2210,
2212, 2213, 2215, 2217, 2219. Полхлвский Н. Н. (г. Фер-
гана)—2202—2204, 2206, 2207, 2209—2212, 2217. Про-
копенко Г. Т. (г. Ялта)—2201—2209, 2211, 2212, 2215,
2220. Рагимов Ш. Т.* (г. Кировабад) — 2202—2205,
2209—2211. Рытов Н. Н. (Тамбовская обл.)—2201—
2213, 2215. Сабитов А. М. (Целиноград)—2201—2212,
2214, 2215. 2219. Салимов Э. Г (г. Кировабад) —2203—
2206, 2208—2215. Симеонов А. А.* (Болгария, г. Сво-
ге)—2211—2213, 2215—2217, 2219, 2220. Степа-
нян Э. С.* (Баку)—2201—2211. Сулейманов Н. Д.
(АзССР) — 2203, 2‘J04, 2206, 2209, 2211, 2212. Таймас-
ханов У. Д. (Дагестанская АССР)—2202—2212, 2214,
* Звездочкой отвечены фамилии читателей, не полно-
стью выполняющих правила оформления решений задач,
опубликованные в № 1 журнала за 1979 г.
2217, 2218. Ташбаев А. М. (Ошская обл.)—2201—2204,
2206, 2209—2212. Тимошенко Н. Р. (Черниговская
обл.) — 2201—2220. Токарев В. А. (Сахалинская обл.)—
2201—2204, 220с, 2209—2211. Трофимчук Ю. В. (Вин-
ницкая обл.)—2201—2208, 2210—2212. Фридлин Г. М.
(г. Бердичев) —2201—2213, 2217, 2220. Хагабанов Х.Т.
(Кабардино-Балкарская АССР) — 2202—2204, 2206.
2210. Хибабаев. У К. (АзССР) - 2203, 2204, 2210, 2211.
Хизанншс или Ц. И. (Тбилиси)—2202, 2203, 2206, 2207,
2210—2212. Цхай Т. Т. (г. Андижан) — 2201—2220. Щи-
ряков А. Н. (Минская обл., г. Красная горка)—2201—
2206, 2210, 2211. Эйвазов А. Г. (АзССР) — 2202—2205,
2207—! 211, 2220. Юдаков В. А. (Крымская обл.) —
2201—2206, 2208—2215, 2217—2220. Юсупов С. (Хорезм-
ская обл.) — 2203—2207, 2209—2211. Ягодов В. Н.
(Марийская АССР)—2206, 2207, 2210—2212, 2220.
Математические кружки: Иджеваиского индустриаль-
но-технологического техникума г. Иджевана АрмССР
(рук. А. А. Зеван)—2201—2203, 2210, 2211; 46-й шк.
г. Мурманска (рук. В. Е. Андреев) — 2202—2204, 2206—
2212; 101-й восьмилетней шк. Бак}' (рук. А. С. Баши-
ров)— 2202—2206, 2208—2210; 10 й шк. г. Ангарска
(рук. В. А. Васильева) —2201—2203, 2206—2208, 2210—
2212, 2214, 2215; 94-й шк. Киева (рук. Е. И. Грищен-
ко)—2201. 2203, 2204, 2206—2208, 2210, 2211; Пираль-
ской ср. шк. АзССР (рук. X. Ш. Гусейнов)—2202,
2206, 2209—2213, 2215; 39-й шк. г? Кировабада (рук.
М. А. Джафаров)—2203—2206, 2203—2217; 24-й шк.
г. Сумгаита (рук. М. М. Исмаилов) — 2202—2205, 2209—
2211; Карыкышлакской шк. Лачинского р-на АзССР
(рук. Э. X. Казымет)—2203—2207, 2209, 2210,
2220; 13-й шк. пос. Байжаисай Чимкентской обл.
(рук. А. К. Карабаев) — 2202, 2204, 2206, 2211; 206-й
шк. Киева (рук. И. А. Кушнир) *— 2201—2207, 2209,
2210, 2212, 2213, 2215, 2218, 2220; Каратобинской ср.
шк. Кусарскоги р-на ^з( СР (рук. М. Ш. Мехманов) —
2201—2204, 2206, 2211, 2212 ср. шк. г. Рогачева БССР
(рук. С. Л. Нахамчик)—2201—2212, 2214, 2216—2219;>
Дворца пионеров и школьников г. Караганды (рук.*
Э. Я Пыркова) — 2202—2204, 2206, 2209; 2-й шк.
г. Мархамат Андижанской обл. (рук. О. Сатторов) —
2203—2205, 220/, 2209 -2211; Быстричской ср. шк. Бе-
резновского р-на Ровенской обл. (рук. Ф. Г. Стахнюк)—
2201—2204, 2206, ’° 10—2212; 173-й шк. Киева (рук.
Р. П. Ушаков) — 2201—2218, 2220; 4-й шк. Советского
р-на Кулябской обл. (рук. X. Хазраткулов *) — 2202—
2204, 2211; Самурской < р. шк. Кусарского р-на АзССР
(рук. С. А. Халидов) — 2203, 2207, 2209, 2211; 30-и
шк. г. Кировабада (рук. У. М. Халилов) —2201, 2203—
2206, 2208, 2210—2212; 17-й шк. Киева (рук. А. П. Ша-
пиро*)— 2201—2212, 2214, 2215; Нефтечалинской ср.
шк. № 1 (сук. Б. X. Юсифов) —2202, 2203, 2207, 2208,
2210—2212; 1-й шк. г. Moi илева-Подольского (рук.
В. А. Ясинский).—2201—2203, 2205, 2207, 2208, 2210,
2211.
ВНИМАНИЮ ЧИТАТЕЛЕЙ!
В издательстве «Педагогика» в августе и сентябре 1980 г. вышли следующие
книги:
Бабанский Ю. К., Победоносцев Т. А. Комплексный подход к воспитанию школь-
ников. — 80 с., 20 к. 40 000 экз.
Ефремов А. Н. Жертвы жестокости — дети. (Империализм: события, факты,
документы). — 272 с., ил., 55 к., 100 000 экз.
Календарь для родителей. 1981-- 152 с., ил., 1 р. 70 к., 200 000 экз.
Обухов В. М., Берман В. В. Изучение Советский Конституции в системе воспи-
тательной работы школы: (Организация внеклассной работы). — 80 с., 10 к., 30 000 эка.
Семыкин Н. П., Бака И. И. Трудовая подготовка в сельской школе: (Из опыта
работы школ Кировоградской обл.). — 80 с., 20 к., 40 000 экз.
Энциклопедический словарь юногс астронома. — 320 с.. 2р. 90 к., 300 000 экз.
62
Поздравляем юбиляров
ДМИТРИЙ АБРАМОВИЧ РАЙКОВ
|К 75-летию со дня рождения)
Исполнилось 7b лет со дня рож-
дения Дмитрия Абрамовича Райко-
ва, доктора физико-математических
наук, ипофессора Московского госу-
дарственного педагогического инсти
тута им. В. И. Ленина.
Д. А. Райков родился в 1905 г. в
Одессе. После окончания рабфака
поступил в Московский университет.
Учился в аспирантуре под руковод-
ством А. Я. Хинчина. В 1929 г. за-
щитил кандидатскую диссертацию по
теории вероятностей. Докторскую
диссертацию «Гармонический анализ
на коммутативных группах с мерой
Хаара и теория характеров» защитил
весной 1941 г. Был участником Ве-
ликой Отечественной войны, имеет
правительственные “награды.
Математические интересы Д. А.
Райкова необычайно ни роки. В три-
дцатые годы внимание Дмитрия Аб-
рамовича привлекает функциональ-
ный анализ. Совместно сИ. М. Гель-
фандом, М. А. Наймарком и Г. Е.
Шиловым он является создателем
теории нормированных колец, сделав-
шей советскую школу функциональ-
ного анализа одной из ведущих в
мире. Кроме трудов по функциональ-
ному анализу и теории вероятностей
у него имеются рабо.'ы по теории чи-
сел, алгебре, топологическим линей-
ным пространствам. В настоящее вре-
мя он плодотворно работает в тео-
рии категорий. Дмитрий Абрамо-
вич — автор более 70 печатных
трудов, в том числе монографий «Ком-
мутативные нормированные кольца»
(совместно с Г. Е. Шиловым) и
«Векторные пространства».
Блестящая математическая эруди-
ция, сочетающаяся с большой лю-
бовью к точности, сделали Д. А.
Райкова признанным переводчиком и
редактором математической литера-
туры. Достаточно сказать, что он яв-
ляется гл реводчиком или редактором
перевода на русский язык несколь-
ких томов трактата Н. Бурбаки
«Элементы .математики», двухтомни-
ков «Теория групп Ли» К. Шевалле,
«Задачи и теоремы анализа» Г. По-
лна и Г. Сёге, моно’рафий «Совре-
менная алгебра» Б. Ван дер Варде-
на, «Математический анализ на мно-
гообразиях» М. Спивака и «Норми-
рованные линейные пространства»
М. Дея.
Д. А. Райков является не только
выдающимся исследдвателем, но и
учителем многих математиков. Ои об-
ладает даром вовлекать молодежь в
научные исследования, оказывает
большую помощь молодым математи-
кам постановкой задач и редактиро-
ванием их работ. Любое его выступ-
ление, будь то лекция, доклад на се-
минаре или отзыв на научную рабо-
ту, всегда отличается одновременно
высоким теоретическим уровнем и
доступностью изложения.
В течение многих лет Д. А. Рай-
ков руководит работой научных се-
минаров по топологическим вектор-
ным пространствам в МГУ им. М. В.
Ломоносова и по теории категорий в
МГПИ им. В. И. Ленина, которые
неизменно вызывают интерес среди
математиков нашей страны.
Много сил отдает Дмитрий Абра-
мович делу математического просве-
щения в стране. Еще в сороковые го-
ды он написал совместно с Б. Н. Де-
лоне учебник по аналитической гео-
метрии, до сих пор популярный среди
студентов. В последнее время он уде-
ляет большое внимание вопросам
преподавания математического ана-
лиза. Для факультета повышения
квалификации при МГПИ нм разра-
ботан и читается курс «Научно-мето-
дические основы математического
анализа», пользующийся большим ус-
пехом у слушателей. Дмитрий Абра-
мович стремится к тому, чтобы новые
идеи быстрее проникали в препода-
вание математического анализа в
высшей школе. Этой цели служит
подготовленная им в соавторстве с
А. В. Штраусом ныне действующая
программа по математическо <у ана-
J иву для педагогических институтов
В настоящее время Дмитрий Абра-
мович работает над двухтомным
учебником математического анализа,
который скоро увидит свет.
Д А Райков никогда не стоял в
стороне от общественной работы. С
1929 г. он активный член партии,
принципиальпый. требовательный к
себе и внимательный к окружающим.
Желаем Дмитрию Абрамовичу
крепкого здоровья творческой рабо-
тоспособности, дальнейших успехов в
деле математического просвещения.
В. П. ФЕДОРОВА, П. В. СЕМЕНОВ
НАУМ ЯКОВЛЕВИЧ ВИЛЕНКИН
(К 60-летию со дня рождения)
Исполнилось 60 лет известному
советскому математику и педагогу,
доктору физико-математических на-
ук профессору Науму Яковлевичу
Виленкину.
Н. Я Виленкин рг лился в Москве
в семье служащего. В 1942 л. закон-
чил с отличием механико-математиче-
ский факультет МГУ, в 1945 г.—
аспирантуру при НИИ математики
МГУ, защитив кандидатскую диссер-
тацию на тему «Прямые разложения
топологических абелевых групп». За
эту работу он был удостоен премии
Московского математического ооще-
ства для молодых математиков. В
1949 г. Н. Я. Виленкин защитил док-
торскую диссертацию на тему «Ис-
следования по теории топологических
абелевых групп», высоко оцененную
известными алгебраистами А. Г. Ку-
рошем и А. И. Мальцевым. В 1951 г.
Н. Я. Виленкин утвержден в звании
профессора по кафедре высшей ма-
тематики.
63
Свыше 35 лет Н. Я. Виленкин пре-
подает в высших учебных заведени-
ях. С 19С1 г. и по настоящее вре-
мя он работает в Московском госу-
дарственном заочном педагогическом
институте. Превосходный лектор, та-
лантливый педагог, он пользуется у
студентов большим уважением и лю-
бовью.
Профессор Н. Я. Виленкин — тон-
кий, эрудированный и активно рабо-
тающий математик. Он является ав-
тором более чем 250 работ, в том
числе четырех монографий. Его на-
учные интересы лежат в области то-
пологической алгебры, функциональ-
ного анализа, теории представлений
групп, теории мультипликативных си-
стем функций.
В последние годы профессор
Н. Я. Виленкин активно включилср
в разработку вопросов методики пре-
подавания математики. Он одни из
авторов следующих учебных пособий
для средней школы: -Математика 4»,
«Математика 5», «Алгебра» и «Ма
тематический анализ» (последние два
для школ с математической специа-
лизацией). Кроме того, в печати на-
ходится пробный учебник по алгебре
и началам анализа для IX—X клас-
сов средней школы. Коллектив авто-
ров учебника математики для IV
класса был удостоен премии имени
К. Д. Ушинского 1 степени.
Н. Я- Виленкин разработал целый
ря!т факультативных курсов для
VII—X классов: «Симметрия»,
«Элементы математической логики»,
«Множества на координатной плоско-
сти», «Бесконечные множества», «Ме-
тоды математической индукции»,
«Элементы комбинаторики», «Бинар-
ные отношения и соответствия»,
«Дифференциальные уравнения». По-
следний из перечисленных факульта-
тивных курсов готовится к изданию,
остальные опубликованы в различных
сборниках.
Широкой популя( .юстью пользуют-
ся написанные Н. Я. Виленкиным
книги для учителей: «Математика
4—5 классы. Тео[ етические основы»,
«Индукция. Комбинаторика», «Предел
и непрерывность» (в соавторстве)
«Производная и интеграл» (в соав-
торстве). Большую помошь учителям
оказывают его статьи по методике
преподавания математики, опублико-
ванные на страницах журнала «Ма-
тематика в школе».
Н. Я. Виленкин обладает литера-
турным талантом и даром популяри-
затора. Широко известны у нас в
стране и за рубежом его научно-по-
пулярные книги: «Рассказы о множе-
ствах», «Комбинаторика», «Популяр-
ная комбинаторика», «Метод после-
довательных приближений», «Функ-
ции в природе и тех'Нйке». «Популяр-
ная комбинаторика» была удостоена
II премии в конкурсе общества «Зна-
ние» как лучшая научно-популярная
книга. Н. Я. Виленкин является ав-
тором значительного числа научно-
популярных статей, опубликованных
в журнале «Квант» и в «Детской эн-
циклопедии».
Много сил и энергии уделяет Наум
Яковлевич вопросам начального ма-
тематического образования. В настоя-
щее. время в контакте с НИИ общей
и педагогической психологии АПН
СССР он ведет экспериментальную
Работу по преподаванию математики
в начальных классах, для которых
написаны пособия «Математика 1»,
«Математика 2» и «Математика 3».
Значительный вклад внес Н. Я. Ви-
ленкин в дело совершенствования за-
очной подготовки учителей математи-
ки. Он принимает участие в состав-
лении учебных планов, часто высту-
пает с докладами на совещаниях по
заочному обучению, организовал ряд
авторских коллективов для создания
учебных пособий для студентов-заоч-
ников Н. Я. Виленкин — один из ав-
топов ппогпаммы Kvoca «Совпемен-
ные основы школьной математики»,
ответственный редактор ежеюдного
республиканского сборника «Пробле-
мы подготовки учителя математики в
пединститутах».
Многие поколения заочников учи
лйсь и учатся по учебным пособи
ям, написанным авторскими коллек
тивами во главе с Н Я Виленкиным.
Перечислим некоторые из этих посо-
бий: «Введение в анализ», «Диффе-
ренциальное исчисление», «Интеграль-
ное исчисление», «Задачник по курсу
математического анализа» (т. 1, 2),
«Элементы функционального анализа
в задачах», «Задачник-практикум по
теории вероятностей», «Ма1емагика»
(для педагогических факультетов)
и др. Этот перечень наглядно показы
вает, сколь велик спектр методиче-
ских интересов И. Я, Впленкика,
Своим опытом и знаниями Наум
Яковлевич щедро делится со своими
многочисленными учениками.
Н. Я. Виленкин ведет большую об
щественную работу. Он является
членом секции математики, киберне-
тики и физики Московской организа
ции общества «Знание», членом' Уче-
ной комиссии по математике Мини-
стерства просвещения РСФСР и Уче-
ного методического совета Миннстер
ства просвещения СССР. Дважды
награжден значком «Отличник народ-
ного просвещения РСФСР».
В круг интересов Н. Я. Виленкина
входят не только математика и ее
преподавание. Он хорошо знает рус-
скую поэзию, обладает широкими
философскими познаниями, большой
знаток истории математики.
Наум Яковлевич Виленкин нахо-
дится в расцвете творческих сил. По-
желаем же нашему юбиляру креп-
кого здоровья, и больших творческих
успехов во всех направлениях его
разнообразной научно-методической
и педагогической деятельности
Б. В. ГНЕДЕНКО, С. И. ШВАРЦБУРД,
А. Г. МОРДКОВИЧ
ЧЕСТВОВАНИЕ А. И. ХУДОБИНА
•
7 октября [980 г. учительская об-
щественность Пензенской области от-
метила 70-летие заслуженного учите-
ля школы РСФСР Александра Ива-
новича Худобина.
А. И. Худобнн является соавтором
«Сборника задач по тригонометрии»
который издавался массовым тира-
жом в 1954—1955 гг. и «Сборника
щдач по алгебре и элементарным
Функциям» выпушениогс) в J966 и
1970 г. За эту книгу Александр Ива-
нович был награжден медалью
Н. К. Крупской.
В настоящее время А. И Худобин
ие прекращает методической деятель
ности среди учительства области: ве
дет семинар с учителями математики
г. Сердобска и Сердобского района
проводит -занятия на курсах повыше-
ния квалификации учителей матема
гики при Пензенском областном иуу.
Г, И. МАМЫКИНА
КРИТИКА И
БИБЛИОГРАФИЯ
О КНИГЕ Л. В. ТАРАСОВА
«МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ»1
Включений начал математического анализа в школь-
ный курс математики обсуждалось многократно и дол-
го. Изучение же элементов анализа в вось.милегней
школе до сих пор принято считать нецелесообразным,
хотя курс физики нуждается в понятии производной
(мгновенная скорость, ускорение). И объясняется это
сложностью понятий анализа, особёино понятия пре-
дела функции. Методике изложения этих понятий в
школе посвящена значительная литература, чего нельзя
сказать об изданиях, адресованных самим учащимся.
В этой связи сам факт появления рецензируемой кни-
ги можно считать явлением незаурядным, к тому же
принятая в по< обии форма изложения необычна для
пособий по математике. Все изложено по-сократовски:
диалог между автором и читателем, с помощью кото-
рого читатель подводится к надлежащему выводу.
Эта книжка, по замыслу ее автора, должна служить
дополнением к учебному пособию по алгебре и началам
анализа. В ней подробно обсуждаются трудные момен-
ты в содержании основных понятий, а также затронуты
некоторые общие идеи математического анализа. В
сущности, подобное обсуждение должно происходить
ва уроках, но практически это не всегда возможно.
Книга состоит из 14 небольших бесед, в которых ав-
тор и читатель ведут неторопливый оживленный разго-
вор о функции, пределе, производной, интеграле, а так-
же о дифференциальном уравнении.
В первых трех беседах, где речь идет о последова-
тельности и ее пределе, уточняется и несколько допол-
няется материал, изложенный в учебниках для VI11 и
IX классов. Полезно частое обращевие автора к изо-
бражению последовательности на координатной плос-
кости. При этом получается некоторый выигрыш не
только в наглядности, но и в подготовке читателя к
соотв< гствуюшим рассмотрениям в беседах о пределе
функции. Кратко освещен вопрос о последовательности
чисел Фиб шаччи, тщательно разъясняется определение
предела последовательности. Подробно, с привлечением
диаграмм Эйлера — Вениа, рассмотрена связь »ежду ог-
раниченно), 1ью, монотонностью н сходвмостью последо-
вательности.
Следующие две главы посвящены понятию функции
(определение, способы задания, сложная и обратная
функции, а также понятия функционала и оператора).
Автор часто использует здесь нестандартные схемати-
ческие изображения обсуждаемых понятий. Думается,
что схематически представленный на с. 54 механизм
сложной функции может содействовать лучшему усвое-
нию этого понятия читателем.
• Вместе с тем некоторые моменты в этих беседах вы-
1 Тарасов Л. В. Математический анализ. Беседы об
основных понятиях: Пособие для учащихся.— М.: Про-
свещение. 19/9.
зывают недоумение. Так, при обсуждении понятия
функции автор почему-то начинает все е самого начала
(как бы с нуля), хотя предполагаемый читатель (уча-
щийся IX или X класса) уже изучал его не менее трех
лет. Вряд ли можно считать удачным и основное опре-
деление функции, не дающее прямого ответа на вопрос
«Что такое функция^1», а описывающее лишь ситуацию,
в которой «говорят, что задана функция» (с. 37).
Пределу Функции посвящены 6-я и 7-я беседы. Здесь
всесторонне обсуждЬются понятия предела и непрерыв-
ности функции, приводятся примеры функций с не-
ожиданными (для школьников) свойствами (с. 60, 65).
Много места уделено вопросу о связи межд; поня-
тиями предела последовательности и предела функции,
в частности подробно доказывается равносильность
двух рассмотренных определений предела функции (по
Коши и по Гейне). Впрочем, это последнее доказатель-
ство вряд ли уместно в книжке, рассчитанной иа сред-
него школьника (тираж книги — 475 тыс. экземпляров).
В 8-й беседе обстоятельно изложен вопрос о мгновен-
ной скорости Вызывает, однако, сомнение приведенное
здесь определение, в котором мгновенной скоростью
называется предел последовательности средних скоро-
стей (с. 81), хотя из имеющейся здесь записи видно,
что речь идет о пределе функции (непрерывного’ аргу-
мента).
Анализируя понятие производной в 9-й беседе, автор
акцентирует внимание иа том, что отношение прира-
щения функции к приращению аргумента является
функцией последнего. Также подробно разъясняется,
что производная является пределом функции в точке,
в которой сама эта функция может быть ие определена.
Указано различие между производной — функцией и
производной — значением функции в точке.
В заключительной части этой беседы читатель знако-
мится с такими понятиями, как оператор дифференци-
рования и дифференциал функции. Эти понятия исполь-
зуются в 10-й беседе при выводе правила дифференци-
рования сложной функции и в символической записи
этого правила.
Следующие две беседы посвящены первообразной и
интегралу. Эти понятия рассмотрены значительно под-
робнее, чем в учебнике. Заслуживают внимания имею-
щиеся здесь геометрические иллюстрации сводная таб-
лица производных и первообразных, две возможности
введения понятия интеграла и их сопоставление
В двух заключительных беседах уточняются понятия
дифференциального уравнения и его решения. Удачно
изложен здесь вопро" о геометрическом смысле произ-
водной, приведено немало хорошо подобранных задач
физического содержания, решаемых с помощью про-
стейших дифференциальных уравнений.
В конце книги читателю предложены 30 упражнений
средней и повышенной трудности (с ответами и. час-
тично с указаниями).
Дополним вышеизложенное еще несколькими замеча-
ниями общего и частного характера. Гипотетический
читатель выглядит порой таким смышленым и компе-
тентным, что оольшинству реальных читателей остается
лишь недоумевать и завидовать. Приведем один только
пример (с. 9):
«Читатель. Казалось бы, что числовая последова-
тельность отличается от случайного набора чисел на-
личием внутренней упорядоченности, которую как раз
и должна отражать формула для n-го члена или ре-
курргнтное соотношение. Однако последние два приме-
ра показывают, что такая упорядоченность может от-
сутствовать...»
Заметим попутно, что полезно было бы затронуть
вопрос о том, однозначно ли определяется формула
общего члена несколькими первыми членами последова-
тельности. Следовало бы также указать, что такую
формулу можно найти по любым нескольким членам
последовательности, например с помощью интерполя-
ционной формулы Лагранжа.
65
Явный промах допущен на с. 63: после рассмотрения
частного примера i сворится, будто читатель доказал
теорему о единственности предела функции.
Далее автор подробно останавлш ается на простом
выводе правила дифференцирования суммы двух функ-
ций, но не касается вопроса о возможности получения
формулы Ньютона — Лейбница, если интеграл опреде-
ляется как предел интегральных сумм.
Наконец, об одном досадном моменте: в нескольких
местах (с. 74, 120) произвольно используются квадрат-
ные скобки, хотя в настоящее время ими обозначают
лишь функцию «целая часть числа».
Подводя общий итог, можно утверждать, что, не-
смотря на отдельные недостатки, книга • представляет
собой полезное пособие для учащихся старших клас-
сов' по одному из трудных разделов школьного курса-
матсматики.
И. А. МАРНЯНСКИЙ
(г. Николаев]
Цель книги Л. В. Тарасова — дать читателю отчетли-
вое представление об основных понятиях математиче-
ского анализа, входящих в курс средней школы.
При первоначальном знакомстве со сложным мате-
матическим понятием автор в беседе с читателем под-
водит его к этому понятию лишь на уровне «вкусовых
ощущений». Далее дается строгое определение, которое
затем подробно анализируется. Читателю дается воз-
можность почувствовать структуру -вводимого понятия,
его внутреннюю логику. Автором удачно проведены бе-
седы, в которых формируются такие понятия, как бес-
конечная числовая последовательность, предел последо-
вательности, предел функции, непрерывность, производ-
ная и др. В этих беседах вводимые понятия разбирают-
ся «по косточкамх, разъясняются самые тонкие места,
обращается внимание на своего рода изюминки. В ре-
зультате читатель получает прввильное представление
об изучаемых понятиях, учится математически мыслить,
у него возбуждается интерес к математике.
Рисунки дополняют текст и способствуют лучшему
пониманию излагаемых вопросов. Так, например,
условный рисунок на с. 24 используется для выяснения
связи между такими свойствами последовательности,
как ограниченность, монотонность, сходимость. Это
позволит читателю глубже понять сущность необходи-
мого и достаточного условий сходимости последователь-
ности
В конце'беседы для закрепления и более глубокого
и сознательного усвоения новых понятий разбираются
примеры и, задачи.
Рецензируемое .пособие не лишено недостатков. Оста-
новимся на некоторых из них.
В книге недостаточно использована математическая
символика, применяемая в современных, школьных кур-
сах
Упражнения, данные в конце пособия для самостоя-
тельного решения, следовало бы расчленить по разде-
лам и увеличить их число. Это облегчило бы использо-
вание пособия читателями.
Неудачно проведена автором 4-я беседа «Функция»
(с. 32). Читатель в начале беседы представляет себе
функцию «как некую зависимость между двумя пере-
менными величинами х и у». Далее автор спрашивает у
читателя: «Что такое переменная величина?», «Какой
смысл вкладывается в выражение „величина принимает
значение”?» и т. д. После выяснения этих понятий чи-
татель признается: «Похоже, что я запутался...» Непо-
нятно, для чего автором поиведен этот диалог, но ясно,
что он не смог направить читателя на верный путь. Пыта-
ясь «распутать» читателя, а именно дать определение чис-
ловой функции, используя термин «соответствие», автор
конструирует образ функции. С этой целью рассматри-
вается аппарат, работающий как функция, который по
числу дает число. Но символическая запись, получен-
ная с помощью такого аппарата, не изображает функ-
цию. И непонятно, для чего автор таким сложным пу-
тем пытается подвести читателя к определению число-
вой функции. Еше в VI классе учащиеся знают, что
функции — это частный случай соответствий. Поэтому
следовало бы, опираясь на эти знания, дать понятие
числовой функции так, как это сделано в учебном по-
собии для IX класса.
В некоторых местах автор рассчитывает на слишком
прозорливого читателя, который сразу дает правильный
ответ на довольно трудные вопросы. Например, без до-
казательства приводится правило дифференцирования
обратной функции. Без наводящих вопросов читатель
дает ответ: «Мне кажется, что эту формулу можно
легко получить, если воспользоваться геометрическим
толкованием производной...» — и без всякой заминки по-
лучает правило дифференцирования обратной функции
(с. 96).
В тексте есть места, в которых автор отступает от
своего замысла: выяснить в беседе с читателем тонкие
места в рассматриваемых вопросах. Так, например, ч
3-й беседе он пишет: «Отметим, что любой сходящейся
последовательности (уп) (имеющей предел а) соответ-
ствует своя бесконечно малая последовательность (а„),
где ап = Уп—а» (с. 28). Совсем непонятно, ча каком
основании автор отмечает этот факт. В учебном посо-
бии для IX класса это предложение доказывается. Или
иа с. 91—92 читаем: «Рассмотрим некоторую дифферен-
цируемую функцию f(x) и представим ее приращение
Af в точке х, соответствующее приращению Дх аргу-
мента. в виде Д/ = /'(х)Дхт|(Дх)Дх, где т](Дх)—ка-
кая-то функция от Дх». Рассматриваемое равенство
никак не обосновано (в учебном пособии для IX клас-
са приведено обоснование). Это равенство используется
при выводе правила дифференцирования сложной функ-
ции (с. 95—96).«Приведенный вывод не нов, он есть
во всех основных учебниках по математическому анали-
зу для вузов, поэтому давать его таким способом из-
лишне. Достаточно ограничиться тем, что сказано по
данному вопросу в учебном пособии для IX класса.
При доказательстве теоремы о единственности преде-
ла последовательности (с. 25—26) автор использует
геометрический смысл понятия предела последователь-
ности; при доказательстве следующей теоремы автор
использует определение предела последовательности,
т. е. нет общею метода при доказательстве теорем, рас*
смотренных в одной и той же беседе. Это не способ-
ствует прочному усвоению материала.
К сожалению, автор ^ает мало исторических справок.
Они имеются только в беседах «Функция» (с. 43—44)
и «Интеграл» (с. 122). Желательно,, чтобы историче-
ская справка давалась к каждому основному рассмат-
риваемому математическому понятию.
В заключение следует сказать, что материал книги
непосредственно примыкает к темам школьного курса,
а такой материал всегда воспринимается учащимися с
особым интересом. Цель, поставленная автором, достиг-
нута. Книга написана в доступной форме. Она принесет
несомненную пользу школьникам старших классов,
студентам, преподавателям средней школы.
Л. Т. МАЛЬКО
(г. Ставрополь)
66
A. T. КОНДРАТЬЕВ. Н. С. ЛИПАТОВ
(г. Пенза)
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ГЕОМЕТРИИ
ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПЕДИНСТИТУТОВ
В. Н. ЕВЛАДЕНКО
(Кировоград)
ОБ^ЛГОРИТМИЧЕСКОЙ КУЛЬТУРЕ ШКОЛЬНИКОВ1
В объяснительной записке к программе по научным
основам школьного курса математики для студентов
физико-математических факультетов пединститутов ака-
демик А. Н. Колмогоров отмечает: «Очень желательно,
чтобы к «Научным основам школьного курса матема-
тики» примыкал спецкурс или спецсеминар по геомет-
рии, продолжающий общее направление данного курса».
Недавно вышедшая в издательстве «Просвещение» кни-
га И. П. Егорова «Геометрия» (1979, 256 с.), несомнен-
но, содержит богатый материал для таких спецкурсов
и спецсеминаров.
Рецензируемая книга требует от читателя известной
математической культуры вследствие конспективности
изложения ее чтение нелегко.
Материал книги разбит на 2 раздела. Первый из них
состоит из 5 глав и посвящен главным образом общим
вопросам аксиоматики и понятию математической
структуры. Здесь, в частности, анализируется аксиома-
тика А. II. Колмогорова школьного курса геометрии,
аксиоматика Венля, Гильберта, строится аксиоматиче-
ская теория длин, площадей и объемов. Большой инте-
рес представляет пятая глава этого раздела «О симво-
лических исчислениях и формализации геометрии», вхо-
дящая в круг идей математической логики и современ-
ных формализованных теорий. В этой главе автор по
существу возвращается к вопросам, с которых начал
изложение книги, но теперь уже на более высоком
уровне. В ней подчеркивается большая роль проблемы
пятого постулата и антиномий теории множеств в раз-
витии формальных теорий.
Первый раздел полезен для углубленного понимания
вопросов школьного курса геометрии.
Второй раздел (содержит 3 главы и «Добавление»)
посвящается различным вопросам обобщенных прост-
ранств. Предметом изучения шестой главы являются
сферическая, эллиптическая геометрии, а также геомет-
рия Лобачевского, развиваемая на основе аксиом Вей-
ля. Этот раздел не имеет прямого отношения к школь-
ному преподаванию и рассчитан на студентов, изучаю-
щие ^рысшие разделы геометрии.
Таким образом, содержание специального курса, до-
пущенного Минпросом СССР в качестве учебного по-
собия, включает большой круг вопросов, как правило
рассматриваемых с точки зрения математических струк-
тур.
В книге даны широкие связи школьного курса гео-
метрии с современным состоянием геометрических ис-
следований и их важными приложениями в теории от-
носительности. Благодаря краткости изложения посо-
бие содержит большую и разностороннюю информацию
и служит введением в важнейшие разделы современной
геометрии.
В заключение сделаем некоторые замечания. Книга
содержит весьма обширный материал, поэтому ряд во-
просов изложен только в обзорном порядке, конспек-
тивно, промежуточные выкладки нередко опускаются. В
тексте встречаются мелкие опечатки.
Однако эти недочеты не снижают общий высокий
уровень рецензируемого пособия. Книга необходима не
только студентам. Большую пользу окажет она учите-
лям математики средних школ для повышения своей
квалификации, расширения научного кругозора Полез-
на она и преподавателям математических кафедр вузов.
Рецензируемая книга написана в помощь учителям
математики и представляет собой учебно-методическое
пособие, материал которого может быть использован
как на уроках математики, так и во внеклассной работе
и на факультативных занятиях.
В этом пособии учитель найдет ответы на многие
вопросы, связанные с формированием у учащихся по-
нятия алгоритма и элементов алгоритмической куль-
туры. Актуальность этих вопросов следует из того, что
теория алгоритмов является составной частью теории
конструирования и использования современных ЭВМ,
которые в настоящее время находят широкое приме-
нение в самых разнообразных сферах человеческой де-
ятельности. Следует также иметь в виду, что навыки
алгоритмизации требуются учащимся не только на уро-
ках математики, но и на уроках физики, химии, про-
изводственного обучения и даже при изучении гумани-
тарных дисциплин, например при изучении грамматиче-
ских правил языков.
Во «Введении» кратко обосновывается необходимость
повышения алгоритмической культуры учащихся в со-
временных условиях.
В первой главе — «Представление об основных эле-
ментах алгоритмической культуры школьника» — авто-
ры выделяют и описывают понятия и принципы, кото-
рые могут быть положены в основу формирования со-
временной алгоритмической культуры школьников и по-
нимание которых очень важно нри практическом ис-
пользовании ЭВМ.
Для записи алгоритмов предлагается использовать
в дальнейшем язык блок-схем, являющийся простым,
очень наглядным и в тс же время универсальным, поз-
воляющим описать любой а'лгоритм. Здесь же читатель
подводится к пониманию принципа адресности и прин-
ципа программного управления современных ЭВМ.
Вторая глава — под названием «Формирование алго-
ритмической культуры на уроках математики в IV—
V классах и на уроках алгебры в VI—VIII* классах» —
иосит характер методических рекомендаций и указа-
ний. В этих рекомендациях изложены приемы алгорит-
мизации изучения отдельных тем и решения наиболее
типичных задач из школьных учебников. Особое вни-
мание обращается на алгоритмический характер таких
тем и вопросов: правила действий, заполнение таблиц,
тождественные преобразования выражений, решение
уравнений и неравенств и их систем, правила ‘работы
с «Четырехзначными таблицами» В. М. Брадиса и др.
Дается описание ряда алгоритмов в словесном виде,
т. е. в виде последовательности указаний, а также в
табличном виде, в виде формул, иа языке блок-схем.
Приводятся примеры алгоритмов ветвящихся и цикли-
ческих вычислительных процессов, а также рассмат-
ривается задача невычислительного характера (логиче-
ская) из школьного курса математики.
В третьей главе — «Формирование алгоритмической
культуры в курсе геометрии VI—VIII классов» — авто-
ры акцентируют внимание на решении планиметричес-
ких задач на построение с точки зрения их алгорит-
мизации.
Для описания решения задачи на построение пред-
ложена стандартная форма записи, где указаны как
заданные фигуры, название процедуры-построения, чер-
теж, так и алгоритм решения задачи.
1 Монахов В. М.. Лапчик М. П., Дел'идовчч Н. Б„
Червочкина Л. П. Формирование алгоритмической куль-
туры школьника при обучении математике: Пособие для
учителей.— М.; Просвещение, 1978.
GJ
В конце главы авторы выделяют те черты языка
геометрических построений, которые сближают его с
современными языками программпров .ния.
Четвертая глава — «Алгоритмы для ЭВМ и язык
блок-схем» - посвящена составлению алгоритмов реше-
ния ряда конкретных задач. Описание алгоритмов при-
ведено на языке блок-схем. Здесь рассматриваются за
дачи самого разнообразного характера: и вычислитель-
ные, и логические. Рассмотренные в этой главе при-
меры алгоритмов являются типичными в практике про-
граммирования, а запись нх в виде блок-схем вместе
с приданной им памятью дает возможность ознакомить
учащихся с сущностно процесса программироьания на
ЭВМ, хотя и без явного их использования.
От языка блок-схем достаточно легко перейти к про-
граммированию на алгоритмическом языке типа
АЛГОЛ-60, что иллюстрируется на конкретном приме-
р< в главе V, которая носит название «Общее пред-
ставление об алгоритмическом языке и ЭВМ». В этой
главе в самых общих чертах приведено также описа-
ние структуры ЭВМ и ₽е функционирование, а также
выполнение на ней АЛГОЛ-программы.
Достоинством рецензируемой книги следует признать
то, что в ней акцентируется внимание на возможности
приобщения учащихср к пониманию основных идей со-
временного программирования и использования ЭВМ
непосредственно иа уроках математики.
Очень полезна для учителя третья глава. Именно
здесь учитель получает ответ на часто возникающий
вопрос, как правильно и кратко оформдпть решение
задачи иа построение.
В качестве положительного в книге следует отме-
тить и то, что существенное место в ней отводится
решению задач с точки зрения нх алгоритмизации.
Значительное число их взято непосредственно из учеб-
ников и учебных пособий по математике для VI—
VIII классов. Этим самым достигается естественная
связь рассматриваемых вопросов со школьным кур-
сом математики
Весь материал книги разбит на отдельные относитель-
но независимые главь1!, что значительно облегчает их
изучение и применение Предложенные в книге методи-
ческие рекомендации могут быть использованы учите-
лем как в процессе преподавания основного курса ма-
тематики, так и во внеклассной работе.
В книге имеются мелкие неточности и описки, осо-
бенно в третьей главе. Однако они не влияют на по-
нимание изучаемого материала и достаточно высокий
в целом научно-методический уровень изложения. Кни-
га уже стала хорошим подспорьем для творчески рабо-
тают го учит ля в его повседневной деятельности.
А. В. ДЕТТЕРЕР
(г. Томск]
О КНИГЕ Р. А. ХАБИБА «ОРГАНИЗАЦИЯ
УЧЕБНО-ПОЗНАВАТЕЛЬНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ
УЧАЩИХСЯ» 1
Методисты и учителя математики найдут в этой кни-
ге много нового, интересного и полезного. Вниманию
читателей предложена стройная система положений об
организации на уроке сочетания п взаимодействия кол-
лективной и индивидуальной форм обучения для осу-
ществления учебной и познавательной деятельности —
учебно-познавательной работы школьников, по выра-
жению автора.
1 Хабиб Р. А. Организация учебно-позиавательной де-
ятельности учащихся (иа материале математики).— М.:
Педагогика 1979.
Рецензируемая книга раскрывает методические поло-
жения индивидуальной и совместной учебно-познава-
тельной деятельности учащихся восьмилетней школы при
изучении ими курса математики. Она содержит три
главы.
Первая глава — «Организация коллективной и инди-
видуальной работы учащихся как фактор совершен-
ствования классно-урочной системы школьного обуче-
ния» — освещает путь исторического развития урока.
Первоначально од отвечал целям пассивного догмати-
ческого обучения. На современном этапе развития со-
ветской ш. олы классно-урочная система совершенст-
вуется с учетом новых задач воспитания, развития,
обучения учащихся.
В условиях жесткого лимита учебного времени класс-
но урочная система затрудняет организацию самостоя-
тельной работы учащихся, требует индивидуализации
обучения Применение в этих целях некоторых обуча-
ющих н контролирующих технических средств и про-
граммированного обучения часто приводит к противо-
поставлению индивидуальных, фронтальных и коллек-
тивных форм работы. Возникает противоречие между
коллективными условиями учебной работы школьников
на уроках и индивидуальным характером усвоения уча-
щимися математических знаний, умений и навыков.
Как разрешить это противоречие? Необходимо вклю-
чать школьника в активную познавательную деятель-
ность. Автор выдвигает следующую рабочую гипотезу:
«В условиях классно-урочной системы возможно органи-
зовать коллективную работу учащихся, органическое
сочетание которой с индивидуальной работой при изуче-
нии математики содействует как взаимному повыше-
нию педагогической эффективности каждого из этих
видов учебной работы, так н совершенствованию учеб-
но-воспитательного процесса в целом (в направлении
одновременного улучшения результатов обучения, раз-
вития и воспитания школьников)» (с. 28). Сформули-
ровав основные задачи исследования (нх четыре груп-
пы), автор указал научные методы, которые были при-
менены при их решении.
Вторая глава — «Вопросы организации учебно-позна-
вательной деятельности школьников на уроках матема-
тики в восьмилетией школе» раскрывает особенности
познавательной деятельности учащихся при изучении
математики автор показывает значение дидактического
принципа связи обучения с жизнью, его влияние на
организационные факторы учебного процесса.
Рассмотрение обучения математике как информацион-
ного процесса позволило найти условия оптимального
управления им: это соответствующий выбор учителем
форм сигналов, каналов связи, структуры и способа
функционирования системы «учитель — ученики - обу-
чающие средства». В частности, обосновывается целе-
сообразность технического оснащения школ, создания
таких коммуникативных систем в классах, которые спо-
собствовали бы, с одной стороны, индивидуализации
обучения, а с другой' стороны, помогали бы учителю
быстро проводить массовый контроль знаний учащихся
В свою очередь, оперативная проверка обеспечивает
шкочьникам более быстрое усвоение знаний.
Третья глава — «Сочетание и взаимодействие коллек-
тивной и индивидуальной учебно-познавательной де-
ятельности учащихся на уроках математики» - устанав-
ливает объективные педагогические функции коллектив-
ной учебной работы школьников, структуру сочетания
ее с индивидуальной работой, содержание и этапы вза-
имодействия этих форм обучения.
В повышении эффективности обучения большую роль
играют особые, разработанные автором н описанные
им в книге приемы обучения. Они обеспечивают высо-
кую интенсивность взаимодействия коллективной и ин-
дивидуальной работы, ускорение взаимного обмена учеб-
ной информацией между учителем и учащимися.
Польза книги несомненна, но, к -сожалению, издана
она небольшим тиражом, который быстро разошелся.
68
Н. В. НАУМОВИЧ, Г. Я. КУПРИЯНОВА
(г. Ростов-на-Дону)
НОВЫЙ ЗАДАЧНИК ПО ГЕОМЕТРИИ
' »
Очень своевременно вышла из печати книга Э. Г. Гет-
мана п 3. А. Скопеца «Решение геометрических задач
аналитическим методом» (пособие для учащихся 9—
10 классов.— М.: Просвещение, 1979).
Авторы подобрали систему задач по геометрии, ре-
шаемых аналитическим способом.
Преподаватели Ростовского-на-Дону педагогического
института, сотрудничая с учителями математики в учеб-
но-научно-педагогическом комплексе, второй год ведут
поиск путей оптимизации методов обучении и воспита-
ния учащихся Поэтому рецензируемая книга сразу же
взята учителями школ Ростовской области в качестве
рабочей книги.
Чем же привлекла нас эта книга? Универсальным под-
ходом к исследованию и решению нестандартных задач
их разнообразием по содержанию, удачной классифика-
цией, состыкованностыо школьных и вузовских про-
грамм по математике, методическими находками
Пособие содержит 600 задач и может использоваться
для самообразования, так как снабжено указаниями к
алгоритмизации решения и примерами таких решений
к каждому разделу.
Включение в книгу ряда редких задач и задач по-
искового типа привлечет как сильных учащихся, так и
тех, кто хочет обрести уверенность в знаниях, прове-
рить себя.
Более 300 задач по планиметрии могут использовать-
ся учителями восьмилетней школы.
Несмотря иа достоинства этой книги, хотелось бы
высказать некоторые замечания н пожелания.
1. В § 5 «Задачи иа построение» следует поместить
и стереометрические задачи.
•2. К большинству задач на доказательство нужны
указания, а их нет даже для довольно трудных задач,
например:
48. Покажите, что отрезки, соединяющие середину
высоть. давильного тетраэдра с в< ршинами его основа-
ния, попарно перпендикулярны.
267. Докажите, что из всех четырехугольников с
данными сторонами наибольшую площадь имеет тот,
около которого можно описать окружность.
Н. И. ШУШАНСКИЙ
(Москва)
*
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ,
ФИЗИКО М ТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
ИЗДАТЕЛЬСТВА «НАУКА» В 1981 Г.
Учебники и учебные пособия дпя вузов
Девятым изданием выпускается книга И. М. Вино-
градова «Основы теории чисел». Учебник предназначен
для студентов математических специальностей универ-
ситетов и педвузов, аспирантов, научных работников
в области математики.
На базе спецкурса, который автор читал студентам
и аспирантам МГУ, написана книга М. М. Постникова
«Лекции по геометрии. Семестр V». Она содержит под?
ровное и сложение взаимосвязей между группами и ал-
гебрами Ли, на которых основываются более глубокие
разделы теории групп Ли. Учебное пособие содержит
большое количество примеров (в том числе до сих пор
никогда ие рассматривавшихся в учебной литературе)
и отличается тщательностью изложения. Книга рассчи-
тана на студентов н аспирантов физико-математических
факультетов университетов и. пединститутов.
Два произведения выдающегося французского мате-
матика А. Пуанкаре (1854—1912) включейы в книгу
«Наука- и гипотеза. Ценность науки». Эти работы по-
священы рассмотрению путей познания в математике,
механика и физике. Кинге предпослана критическая
статья «Гносео югические взгляды А Пуанкаре и физи
ка». Адресована научным работникам, аспирантам, пре-
подавателям и студентам университетов и пединститу-
тов.
Важнейшему разделу современной алгебраической
топологии посвящена переводная книга Н. Стинрода и
Д. Эпстейна «Когомологические операции». Она напи-
сана с присущим авторам мастерством и содержит ин-
тересные примеры и нетривиальные геометрические при-
ложения. В качестве добавления в книгу включена ра-
бота известного тополога Дж. М?я, содержащая еди-
ный общекатегорный подход к когомологическим опе-
рациям. Рассчитана книга на научных работников, ас-
пирантов и студентов старших курсов математических
факультетов университетов и пединститутов.
Основные сведения об алгорифмических функциях,
перечислимых, разрешимых и креативных множествах,
эффективных операциях над множествами и функция-
ми в систематической форме излагаются в переводной
книге Р. Смальяна «Теория формальных систем». Мно-
гие существенные результаты, содержащиеся в книге,
получены ее автором. Предназначена математикам раз-
личных специальностей, стремящимся познакомиться с
важнейшими результатами математической логики. Кни-
га может служить также хорошим учебным пособием
для студентов университетов и пединститутов.
Учебники и учебные пысобия дпя технииумгв
и самообразования
В 1981 г. запланировано выпустить второе, перерабо-
танное издание «Математики для техникумов» в 3-х
частях М. И. Качеиовского и др., под ред. Г. Н. Яков-
лева.
При подготовке второго издания некоторые главы
и параграфы переработаны и несколько сокращены.
Изложение теории сопровождается разбором задач.
В каждой главе даются задачи для самостоятельной
работы учащихся: Адресована учащимся техникумов иа
базе восьмилетней школы, преподавателям математики
старших классов, абитуриентам.
Основные математические понития, формулы и тео-
ремы, а также .программы вступительных экзаменов в
техникумы включены в «Пособие по математике для
поступающих в сре гние специальные учебные заведе-
ния». Изучение пособия обеспечивает необходимый уро-
вень умений и навыков, определяемый действующими
в настоящее время программами н учебниками мате-
матики для восьмилетней школы.
Научно-популярная литература
Преподаватели математики, студенты пединститутов,
старшеклассники, интересующиеся развитием русской
науки, историей формирования фундаментальных мате-
матических понятий, с большой пользой для себя про-
чтут брошюру В. С. Владимирова и И. И. Маркуша
«Владимир Андреевич Стеклов — ученый и организатор
науки». В книжке дается анализ основных трудов
В. А. Стеклова и прослеживается их влияние на после-
дующее развитие матемагики.
Третьим изданием выходит книга Д. Гильберта и
С. Кон-Фоссена «Наглядная геометрия». Она представ-
ляет собой наглядный, но достаточно строгий рассказ
о геометрических науках и теориях, в частности о гео-
метрической кристаллографии, о геометрической суш
о9
кости кинематики и о топологии. Книга рассчитана на
школьников старших классов, интересующихся матема-
тикой, студентов младших курсов математических фа-
культетов университетов и пединститутов.
Краткое описание алгоритмического языка алгол при
сохранении достаточного уровня строгости содержится
в брошюре А. П. Ершова «Три урока по алголу». Книж-
ка рассчитана на лиц, желающих изучить алгол, в пер-
вую очередь школьников старших классов, преподава-
телей, учащихся техникумов, программистов:
Задачи, предлагавшиеся па Всесоюзных заочных ма-
тематических олимпиадах (1964—1970 гг.) и конкурсах
Всесоюзной заочной математической школы (1964.—
1979 гг.) для учащихся. VTI—X классов, составляют
основу книги Н. Б. Васильева, В. Л. Гутенмахера,
Ж. М. Раббота, А. Л. Тоома «Заочные математические
олимпиады». Задачи эти разбиты на тематические цик-
лы, за которыми следуют их решения, обсуждения и
дополнительные попросы для самостоятельного обдумы-
вания. Цель сборника — научить читателя творчески
относиться к решению каждой интересной задачи, по-
казать, с какими другими математическими вопросами
связана эта задача и какие общие закономерности ле-
жат в основе их решения. Книга предназначается
школьникам VII—X классов средней школы, препода
вателям, студентам'.
Дифф| ренциальное и интегральное исчисление и их
приложения излагаются в брошюре С. М. Никольского
«Элементы математического анализа». Брошюра адре-
сована школьникам, изучающим математический ана-
лиз, а также уч'ителям, преподающим этот предмет.
Она может оказаться полезной и учащимся технику-
мов н просто для самообразования.
В круг важных идеи классической алгебры и анали-
за вводит книжка М. М. Постникова «Устойчивые
многочлены». Она посвящена изложению теории, игра-
ющей основную роль в проблемах устойчивости систем
автоматического регулирования и других динамических
систем. В последней главе брошюры, более трудной по
содержанию, приводятся наиболее важные результаты
об устойчивости целых функций и, в частности, квази-
миогочленов (теория Понтрягина). Книжка предназна-
чена для школьников старших классов, студентов ву-
зов и любителей математики.
С принципами автоматического управления и устрой-
ствами автоматики, с проблемами кибернетики, искусст-
венного интеллекта, с применением электронных вы-
числительных машин знакомит читателей книга
Jl. А. Залманзона «Беседы об автоматике и киберне-
тике». Обсуждается будущее кибернетики. Книга адре-
сована широкому кругу читателей: от школьника-деся-
тиклассника до преподавателей пединститутов и универ-
ситетов и специалистов в различных областях народ-
ного хозяйства.
Серия «Популярные лекции по мвтемвтике»
Популярное изложение важнейшего для современной
математики понятия содержит брошюра Л. Бераиа
«Упорядоченные множества» (перевод с чешского).
В ней рассмотрены понятия точной верхней и точной
нижней грани, введены структуры (решетки), рассмот-
рены алгебраические свойства операций взятия точных
граней, введены дистрибутивные структуры. Для ожив-
ления текста привечены"*многочислепные примеры из
жизни. Теоретический материал сопровождается инте-
ресными упражнениями. Кинга рассчитана на учащих-
ся старших классов средней школы и студентов млад-
ших курсов вузов.
Одному из наиболее замечательных достижений ма-
тематической ло1ики посвящена книжка В. А. Успен-
ского «Теорема Геделя о неполноте». Автор излагает
доказательство этой теоремы, опирающееся на теорию
алгоритмов. Предварительных знаний для чтения бро-
шюры не требуется необходимые Сведения сообщаются
по ходу дела, так что читатель попутно знакомится
с начальными понятиями и фактами теории алгорит-
мов. Книга представляет интерес для школьников стар-
ших классов, преподавателей математики и студентов
младших курсов пединститутов, интересующихся логи-
ческими проблемами математики.
Серия «Библиотечке „Квант"»
С идеями топологии, ее основными понятиями и фак-
тами знакомит книга В. Г. Болтянского и В. А. Еф-
ремовича «Наглядная топология». Опа написана прос-
то и доступно. Большое количество чертежей облег-
чает понимание. Этому же способствуют свыше ста пя-
тидесяти задач. Книга рассчитана на школьников стар-
ших классов, преподавателей, студентов пединститутов
и университетов.
Основные понятия и результаты теории множеств
описываются в брошюре Н. Я. Вилеикииа «Рассказы
о множествах. Бесконечность в математике и физике».
Она содержит также размышления о связи этой тео-
рии с практикой, о пользе и опасностях абстрагирова
иия при изучении конкретных вопросов и многое дру-
гое В качестве иллюстрации автор использует рассказ
известного гепоя произведений польского писателя Ста-
нислава Лема звездопроходца Йона Тихого о необык-
новенной космической гостинице, в которой было бес-
конечно много номеров. Книжка предназначена школь-
никам, преподавателям, студентам пединститутов.
С жизнью и открытиями таких выдающихся ученых,
как Кардано, Тарталья, Галилей, Гюйгенс, Паскаль,
Гаусс, Клейн, Лебег, знакомит книга С. 3. Гиндикииа
«Рассказы о математиках и физиках». Читатель узнает
о том, как появились первые работы по алгебре, об
изобретении маятниковых часов и математических ра-
ботах Гюйгенса, связанных с этим изобретением, о
работах Гаусба и т. д. Рассчитана на школьников стар-
ших классов, преподавателей, студентов пединститутов
и лекторов.
О влиянии современных электронных, вычислитель-
ных машин иа творческую деятельность человека рас-
сказывает! я в брошюре В. М. Глушкова и ’ И. Ни-
китина «ЭВМ помогает размышлять». На конкретных
примерах рассматриваются решения некоторых сложных
неформализованных (эвристических) задач в режиме
диалога человека с машиной. Описаны программы, под-
держивающие такой диалог. Предназначена для школь-
ников, преподавателей, лекторов.
С различными сторонами шахматной игры и шах-
матного искусства знакомит читателей книга чемпиона
мира по шахматам А. Е. Карпова и кандидата техни-
ческих наук'Е. Я. Гика «Шахматный калейдоскоп».
В ней освещены такие темы, как история матчей на
первенство мира, шахматные комбинации, этюды, зада-
чи и задачи-шутки, необычные свойства шахматных фи-
гур, геометрия шахматной доски, дебютные сюрпризы.
Авторы рассказывают также о программировании шах-
матной игры, о шахматных соревнованиях машин, о
первенствах -мира uq шахматам среди ЭВМ, об успехах
ЭВМ в анализе эндшпиля. В качестве дополнения в
книгу вхидят партии чемпиона мира с его коммента-
риями. Адресована школьникам, преподавателям, сту-
дентам
Вторым изданием выпускается книжка Л. А. Люг-
териика «Выпуклые фшуры и многогранники». В пей
рассматриваются некоторые .задачи общей теории этих
геометрических объектов. Методы, которыми оперирует
автор при доказательствах данных теорем, очень кра-
сивы, остроумны, ио, как правило, элементарны. Ма-
териал книжки с большой пользой может быть исполь-
зован в работе школьных математических кружков а
семинаров младших курсов вузов.
70
Свыше 500 задач по плаиимет ти, разбитых на два
отдела, вдлючепо в сборник «Задачи по геометрии»
И. Ф. Шарыгина и А. 3. Бернштейна. В первом отделе
содержится около 230 сравнительно простых задач,
которые сопровождаются ответами и указаниями и мо-
гут быть использованы как в классной, так и во вне-
классной работе в школе. Второй отдел включает около
300 зачач, собранных по тематике: задачи на вычисле-
ние, задачи на доказательство и т. д. Задачи этого отде-
ла снабжены указаниями и подробными решениями.
Книга может быть использована во внеклассной рабо-
те, в работе школьных математических кружков, при
подготовке к математическим олимпиадам.
О математических задачах производства и экономи-
ки, теории моделирования и об имитации производст-
венных систем, о новых средствах и задачах автома-
тизированных процессов управления, об автоматизиро-
ванном бухгалтерском учете, автоматизированных скла-
дах, заводах-автоматах, о связи информационных си-
стем предприятий с общегосударственной системой уп-
равления рассказывается в книжке В. В. Шкурбы и
В. Ф. Рудницкого «Выпускнику об АСУП». Ес с ин-
тересом прочтут нс только школьники старших .клас-
сов, но и преподаватели, студенты вузов и лекторы.
Заказы на указанные выше книги принимаются без
ограничения всеми магазинами Книготорга, Академкниги
и Центракоопкииги, распространяющими физико-матема-
тическую литературу.
ВАСИЛИЙ АНДРЕЕВИЧ КУРБАТОВ
На 77-м году жизни скоропостиж-
но скончался известный математик и
педагог, один из организаторов мате-
матического образования на Урале
профессор В. А. Курбатов.
Василий Андреевич родился в де-
ревне Тулумбаихе Охаиского района
Пермской области в крестьянской
семье. С 1920 г. после окончания
высше-начального четырехклассного
ччилиша, он начал работать учителем
начальной школы. Осенью 1921 г.
районный отдел народного образова-
ния откомандировал молодого учите-
ля для продолжения образования иа
рабфак при Пермском государствен-
ном университете.
Закончив в 1929 г. физико-матема-
тический факультет Пермского госу-
дарственного университета, Василий
Андреевич был назначен преподава-
телем математики физико-техническо
го отделения открытого в Свердлов-
ске Уральского индустриально-педа-
гогического института, который в
1923 г был преобразован в-Сверд-
ловский государственный педагогиче-
ческий институт. Вся последующая
жизнь и многогранная деятельность
В. А. Курбатова неразрывно связа
ны с физико-математическим, а с
1964 г. — математическим факульте-
том Свердловского пединститута.
В 1936 г. В. А. Курбатов был на-
значен деканом физико-математиче-
ского факультета и оставался в этой
должности до 1939 г. В эти годы яр-
ко проявился организаторский та-
лант Василия Андреевича, умение
принципиально, по-деловому руково-
дить работой большого коллектива.
В 1940 г. в Казанском университе-
те В. А. Курбатов защитил кандидат-
скую диссертацию «О полиномах, ко-
торые дают подстановки для беско-
нечно многих простых чисел». В кон-
це 40-х годов внимание ученого
сосредоточилось на исследованиях
теории Галуа, главным образом на
теории алгебраических уравнений
степени где р — простое число. Ре-
зультаты его научных исследований
изложены в 45 работах, опубликован
ных в'различных академических из-
даниях СССР, США, Румынии.
В 1942—1971 гг. В. А. Курбатов
бессменно заведовал кафедрой алгеб-
ры и математического анализа До
последних дней своей жизни Василий
Андреевич с большим мастерством
читал лекции по математическому
анализу, высшей алгебре, теории чи-
сел и другим курсам. В 1968 г. он
был утвержден в ученом звании про-
фессора.
По инициативе В. А. Курбатова
организовывались межвузовские кон-
ференции математических кафедр пе-
дагогических институтов Урала. В
1967 г. для координации научных ис-
следований и других форм работы
на математических кафедрах в пед-
вузах Уральской зоны было создано
зональное объединение кафедр. Пред-
седателем бюро этого объединения
был назначен В. А. Курбатов. Много
лет он был членом Научно-методиче-
ского совета по математике при МП
РСФСР. Василий Андреевич был од-
ним из учредителей Уральского мате-
матического общества.
Трудовая деятельность профессора
В А. Курбатова неоднократно отме-
чалась высокими правительственными
наградами
Глубоко понимая жизнь, он любил
ее всей своей щедрой, богато одарен-
ной душой и передавал эту любовь
своим многочисленным ученикам и
товарищам по труду
Светлан память о Василии Анд-
реевиче Курбатове, отдавшем всю
свою сознательную жизнь делу на-
родного образования, навсегда оста-
нется в сердцах всех, кто знал его,
кто работал с ним рядом, для кого
он был мудрым учителем и верным
другом.
В. К. РОЗОВ, А. Ф. СЕМЕНОВИЧ,
Е. М. СЕЛЕЗНЕВА, П. А. ФРЕЙД МАИ,
Р. С. ЧЕРКАСОВ, Н. А. ШМАКОВА,
Е. Л. ШУВАЛОВ
71
За РУБЕЖОМ
Л. А. ЛАТОТИН, А. А. СТОЛЯР
(г. Могилев)
О НОВОМ УЧЕБНИКЕ ГЕОМЕТРИИ
ДЛЯ VI КЛАССА СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ НРБ 1
В 1978 г. вышел новый учебник геометрии для \ I
класса единой средней политехнической школы НРБ. в
г написании которого в той или иной мере участвовали
23 автора — видные ученые-математики, методисты и
учителя практики.
В VI классе школ НРБ. как и у пас начинается изу-
чение систематического курса планиметрии, до VI клас
са геометрический материал изучается пропедевтически.
Небольшой по объему (102 с ) учебник содержит
теоретический материал и 290 задач по всем разделам
курса При изложении теоретического материала выде-
лены специальными обозначениями 9 аксиом, 18 опре-
делении н 11 теорем, хотя доказывается и еще ряд
предложений, не названных официально теоремами.
Учебник построен на базе теоретико-множественного
подхода и идеи метрического пространства. Изложение
простое, доступное учащимся, иллюстрированное конк-
ретными примерами, наглядными рисунками, подкреп-
ленное необходимыми задачами
Книга состоит из пяти глав. I глава посвящена про-
педевтике стереометрии. Здесь рассматриваются площа-
ди поверхностей и объемы призм и пирамид. Изложение
начинается с задач и поиска формул для их решения.
Формула объема прямоугольною параллелепипеда из-
вестна учащимся из IV класса. Формулу площади по-
верхности прямой призмы получают с помощью раз-
вертки, формулу объема прямой призмы — с помощью
преобразования призмы в параллелепипед. Для получе-
ния формулы объема пирамиды .проводится опыт по
переливанию жидкости из сосуда пирамидальной формы
в ванночку, имеющую форму призмы с теми же осно-
ванием и высотой. Замечается, что жидкость занимает
одну треть объема призмы.
Во II главе «Основные понятия и аксиомы планимет-
рии» начинается систематическое изучение планиметрии.
Ее содержание: первичные понятия; свойства прямой;
расстояние, основные свойства расстояний; Аксиомы и
теоремы, отношение «между», отрезок, луч; полуплос-
кость, угол; окру жность, пересечение двух окружностей.
В 1Ц главе «Одинаковости в плоскости»2 рассматри-
вается следующий материал: одинаковость; свойства
одинаковости; одинаковые фигуры; сравнение углов,
сумма углов; осгвая симметрия; расстояние от точки
до прямой ось симметрии отрезка; пересечение прямой
и окружности; биссектриса; поворот; центральная сим-
мст рчя. I
В IV главе «Параллельные прямые» учащиеся знако-
мятся со следующими вопросами: параллельные пря-
1 Геометрия 6 класс/Под ред. доц. А. Гьонова.— Со-
фия Народна просвета, 1978.
2 Термин «еднаквости в раввината» применяется для
обозначения перемещений в плоскости.
мые, аксиома параллельных прямых; признак парал
дельности двух прямых; свойство параллельных пря-
мых; д' .има углов треугольника; внешний угол трс
угольника.
V глава посвящена повторению.
В учебнике применяется небольшое число специаль-
ных символических обозначений, некоторые из них сов
падают с принятыми в нашей школе. Приведем их в
порядке появления
А£а— прямая а проходит через точку А, или точка
А принадлежит прямой а, или точка А. лежит на пря-
мой а;
A $ а — точка А не лежит на прямой а:
АВ — прямая, определенная точками А и В;
|АВ)— расстояние между точками А и В;
ОА~*— луч с началом О, содержащий точку А; лучи
обозначаются также малыми буквами (р, 9, ...);
р\ р - два противоположных луча;
Z-POQ — угол, определенный лучами ОР~* и QQ"",
для величины угла нет специального обозначения; вели
чина угла обозначается тем же знаком, что и угол, или
греческой буквой (а, (3. ...);
k(0; г) —окружность k с центром О и радиусом г;
F=F' - фигуры F и F' одинаковые (по принятой в
наших учебниках терминологии — конгруэнтные), если
F и F' — отрезки или углы, то вместо знака «=» при-
меняется « = »;
So — осевая симметрия с осью q (для краткости обо-
значается черег S);
г(О; а) —поворот с центром О на угол а (для крат-
кости обозначается через г);
So центральная симметрия с центром О.
В книге вводятся следующие акейомы:
1-е основное свойство' прямой: всякая прямая — не-
пустое множество точек
2-е основное свойство прямой: для всяких двух раз-
личных точек существует единственная прямая, содер-
жащая их.
Аксиомы расстояния
1. Всяким двум точкам А и В сопоставляется неот
рицательное число |АВ|, которое положительно, когда
точки различны, и равно 0, когда точки совпадают, ,т. е.
если А^=В, то |АВ| >0 если А=В, то |АВ|=0.
2. Расстояние от точки А до точки В равно рассто"
нию от точки В до точки А, т. е. | А В | = | ВА |.
3. Для любых трех точек А, В, С расстояние от А до
В меньше или равно с>мме расстояний от А до С и от
С до В, т. е. |4В|^|АС| + |СВ|. *
Аксиома порядка на прямой
Всякая точка О прямой а делит прямую на два не-
пустых подмножества точек, обладающих следующими
свойствами:
а) Если две точки (X и У) принадлежат различным
подмножествам, то О лежит между ними.
б) Если две различные точки (X и У) принадлежат
одному и тому же подмножеству, одна из них ле
жит между О и другой.
Перед введением этой аксиомы вводится понятие об
отношении «между».
Аксиома' порядка плоскости
Всякая прямая g плоскости разделяет плоскость на
два непустых подмножества точек такие что:
а) Если две точки принадлежат различным подмно-
жествам, то соединяющий их отрезок имеет одну об-
щую точку с g.
б) Если две точки принадлежат одному (и тому же
подмножеству, то соединяющий их отрезок не имеет
общей точку с g.
Аксиома об общих точках двух окружностей
Если |rj — |г2|<|О,О2|<|г|| + |г2| при Inl^l^l,
окружности ki (Оь rj и kztOz, гг) имеют точно дне об-
щие точки.
72
Аксиома параллельных прямых
Через данную точку проходит точно одна прямая, па-
раллельная данной прямой.
Изложение материала в учебнике характеризуется по-
следовательным применением дидактического принципа
от частного к общему. Формулировка аксиом и теорем
предваряется рассмотрением конкретных ситуации, из
которых выявляются частные случаи этих предложений.
Необходимо отметить также тщательное' разъяснение
исходных и других важнейших понятии
Приведем несколько примеров, иллюстрирующих при-
нятую в учебнике систему изложения.
Разъяснение понятия измерения проводится так:
«При изучении свойств фигур мы уже пользовались
понятием расстояния Опыт учит, что при выборе еди-
ницы длины (например, метр, сантиметр и др.) всяким
двум точкам сопоставляется число, называемое рас-
стоянием между этими точками. Следовательно, когда
говорим о расстоянии между, точками, то необходимы
два множества; элементы первого —пары точек (на
практике этими точками могут служить определенные
объекты, например центр городской площади и данное
место на горе; центр Земли и определенная точка на
ее поверхности и т. п.), а элементы второю — неотри-
цательные числа. С помощью определенной единицы
измерения всякому элементу первого множества Г (па-
ре точек) сопоставляется элемент второго множества
Р (неотрицательное число) (рис. 25).
Это сопоставление (отображение) называют измере-
нием. Измерению (как и точке, прямой и плоскости) не
дают определения».
В учебнике дается следующее разъяснение'понятий
аксиомы и теоремы.
«Мы уже знаем, что исходными понятиями плани-
метрии являются: точка, прямая, плоскость, измерение.
С их помощью определяются другие понятия (напри-
мер, окружность). Мы также видели, что, используя
некоторые утверждения, можно доказать с помощью
рассуждения другие утверждения. Например, используя
второе свойство прямой, мы доказали утверждение
«Две различные прямые плоскости имеют не более од-
ной обшей точки». Этот подход к установлению свойств
математических объектов будет применяться и дальше.
При этом невозможно доказываю все свойства без то-
го, чтобы использовать верные утверждения, которые
принимаются за основные. Такие утверждения назы-
ваются аксиомами. Например, аксиомами являются два
основных свойства прямой и три основных свойства
измерения. Утверждения, которые доказываются, т. е.
истинность которых устанавливается на основе аксиом
и других известных утверждений, называются теоре-
мами».
Прн введении понятия одинаковости («еднаквости»)
в плоскости разъясняется, что означает отображение
плоскости на себя, и сообщается, что подробно будет
изучен один вид отображения плоскости на себя. Затем
проводится опыт: на лист бумаги кладут тонкую пла-
стинку со многими отверстиями. С помощью карандаша
отмечается иа листе положение одного отверстия (од-
ной точки). Пусть это точка А плоскости. Затем пере-
мешают произвольно пластинку на листе, и через это
же отверстие отмечается новая точка А'. Говорится,
что так можно поступить с любой точкой плоскости.
Затем отмечают острием карандаша через два отвер-
стия пластинки точки В и С плоскости и после некото-
рого перемещения пластинки через те же отверстия от-
мечают новые точки — В' и С' соответственно. Гак как
при перемещении пластинка не растягивается и не сжи-
мается, то расстояния между точками сохраняются,
т. е. |ВС| = |В'С'|.
Таким образом, всякая точка X неподвижного листа
отображается точно в одну точку X' этого же листа.
Так получается отображение плоскости на себя, при,
котором расстояние между любыми двумя .точками
равно расстоянию между их образами.
Затем дается определение' отображение плоскости иа
себя, сохраняющее расстояния, называется одинако-
востью (по нашей терминологии перемещением).
Рассматривается одно из важнейших свойств одина-
ковости— сохранение расположения точек.
Теорема. Если точки А', М', В' — образы точек
А, М, В соответственно при данной одинаковости и М
лежит между А и В, то М‘ лежит между А' и В'.
Разъясняется, что утверждение «точки А\ М', В' —
образы точек А, М, В соответствен.ю при данной оди-
наковости и М лежит между А и В» называется усло-
вием теоремы, а утверждение «ЛГ лежит между А' и
В'» — заключением теоремы.
Затем приводится следующее доказательство.
Из условия, что точка М лежит между точками А и
В, следует равенство
|ДВ| = |Л2И| + |2ИВ|. (1)
Из определения одинаковости следует
|ДВ| = |Д'В'|, |А2И| = |А'ЛГ| и |Л1В| = |ЛГВ'| (2)
Если в (1) заменить |ДВ|, |АЛ1|, |Л1В| равными им
из (2), получим
|А'В'| = |А'М'| + |М'В'|.
Это равенство показывает, что М' лежит между А’
и В'.
Затем рассматриваются одинаковые фигуры.
Приводится известное из V класса определение оди-
наковых треугольников: два треугольника называются
одинаковыми, если можно так наложить один треуголь-
ник иа другой, чтобы они совпали.
Далее дается определение понятия одинаковых фи
гур: говорят, что фигура F одинакова фшуре F', если
существует одинаковость плоскости, прн которой F' —-
образ F.
Виды одинаковости (осевая симметрия, поворот,
центральная симметрия) изучаются по одной схеме:
рассматривается конкретная ситуация, приводящая к
данному виду одинаковости, дается определение ново-
го понятия как отображения, а затем доказывается,
что это отображение является одинаковостью.
Приведем в качестве примера данное в учебнике до-
казательство теоремы: осевая симметрия — одинако-
вость.
«Условие: S—осевая симметрия с осью g.
Заключение: S — одинаковость
Доказательство: чтобы доказать, что 5 — одинако-
вость, нужно доказать, что она сохраняет расстояния.
Пусть Л, В — две произвольные точки (рис. 85) и А',
В' — симметричные им точки относительно g. Докажем
теорему для случая, когда А и В принадлежат одной
полуплоскости. (Если А и В лежат в различных полу-
плоскостях относительно g, доказательство аналогич-
ное.) Отрезки АА’ и ВВ' пересекают g соответственно
в точках М и N.
Чтобы доказать, что |АВ| = |А'В'|, докажем, что
&ANB=£A'NB'. Установим, что AA/VMsAa NM.
Треугольники ANM и A'NM одинаковы по первому
признаку..
73
Действительно:
1. MN — общая сторона двух треугольников.
2. АМ=А'М (По"ему?)
3. Z_AMN=eLA'MN—d. (Почему?)
Из одинаковости треугольников следует, что
AN—A'N и ЛАКМ = ЛА'ММ
Теперь докажем, что ZxANB—A'NB'. У них:
1. BN=B'N (В и В' симметричны относительно g).
2. AN—A'N.
3. Z-4AB = Z_A'AB' (если из равных прямых углов
MNB н MNB' вычесть раЬиые ^глы MNA и MNA', по-
лучим равные углы).
Из одинаковости ЛАМ’В и A.A'NB' следует, что АВ =
<=А'В', т. е. |/1В| = |Д'В'|.
Так как осевая симметрия — одинаковость, то она
об 1адает всеми свойствами одинаковости».
Как видно из приведенных примеров, изложение яв-
ляется одновременно и доступным, и достаточно стро-
гим.
Отмстим, что набор задач к каждой теме довольно
разнообразен. Он включает задачи, предназначенные
как для закрепления и углубления теоретического ма-
териала, так и для его применения в разнообразных
конкретных ситуациях. Имеются и задачи, связанные с
методом координат. В качестве примера приведем за-
дачу на применение осевой симметрии.
«Начертите координатную систему Оху с единичным
отрезком 0,5 см и изобразите точку А (2; 4).
Если SOx и SOb — осевые симметрии соответственно с
осью Ох и Оу, постройте образ А' точки А при Sox
и образ А" точки А' при SOv. Докажите, что:
а) луч Ох~ биссектриса угла АОА', а луч Оу-*— бис-
сектриса ЛА'ОА”-,
б) A-AOA"=2d-.
в) точка О — середина отрезка АА".
Если координаты А' и А" обозначи “ соответственно
через (х'; у'} и (х"; у"), а точки А через (х; у), верно
ли, что:
х'= х, х” = —х, х' = —х" ;
У - — У, У" - — У, У' - /'?»•
О РАБОТЕ НАУЧНО-МЕТОДИЧЕСКИХ СЕМИНАРОВ
ПРИ НИИ СиМО АПН СССР
В 1979/80 УЧЕБНОМ ГОДУ
«Основные проблемы преподавания математики
, в средней школе»
За истекший 1979/80 учебный год на заседаниях се-
минара, работающего под руководством действитель-
ного члена АН УССР Б. В. Гнеденко, заслушано и об-
суждено госемь докладов.
Доклады были посвящены различным проблемам пре-
подавания математики в средней школе.
На первом заседании семинара 25 октября 1979 г.
Н. Я. Виленкин сделал сообщение о некоторых принци-
пах написания учебника «Алгебра и начала анализа».
Докладчик, в частности, остановился на изложении в
этом учебнике понятий арифметической и геометриче-
ской прогрессий, показательной функции, осветил ряд
вопросов методики формирования понятий непрерывно-
сти функции и производной.
22 ноября с докладом «К вопросу о внедрении
в преподавание математики новой вычислительной тех-
ники» выступили Ю. А. Белый и А. В Иванников Они
уделили много внимания описанию оборудования и
средств наглядности, необходимых для преподавания с
помощью вычислительной’ техники. Были продемонстри-
рованы разработанные докладчиками средства, оказы-
вающие эффективное воздействие на процесс обучения
математике, в котором используется современная техни-
ка индивидуальных вычислений (электронные микро-
калькулятооы). В частности, демонстрировалось вынос-
ное табло, с которого считываются показания микро-
калькулятора.
В докладе Г. Г. Массовой «Системный подход к оцен-
ке программ по математике», с которым она выступила
27 декабря, была дана характеристика системного
подхода как метода познания педагогических процес-
сов. Были освещены такие вопросы, как специфика си-
стемного подхода и его место среди других методов,
системные параметры и закономерности. Подробно был
рассмотрен в< прос об использовании системного под-
хода при анализе и оценке школьных про:рамм по ма-
тематике. Остановившись на проблемах дальнейшего
совершенствования содержания школьного курса мате-
мат..ки, Г. Г. Маслова проанализировала действующую
программу по математике и проект типовой программы,
разработанный лабораторией обучения математике НИИ
СиМО АПН СССР.
«О школьном естественно-математическом образчва-
нии в США» - с таким докладом 24 января 1980 г.
выступила Н. А. Ермолаева. Она остановилась иа тео-
ретических и экспериментальных исследованиях в об-
ласти модернизации естественно-математического обра-
зования в средней школе США. В докладе была оха-
рактеризована существующая в США система общеоб-
разовательной подготовки молодежи, рассмотрены во-
просы, связанные с изменением содержания основных
курсов естественно-математического цикла и дидакти-
ческими принципами построения учебников математики.
М. И. Башмаков сделал 28 февраля сообщение
на тему «Экспериментальный единый курс математики
для средних профессионально-технических училищ». До-
кладчик останови 1ся иа методике проведения экспери-
мента. организованного в средних профессионально-тех-
нических училищах Ленинграда. Отметив принципиаль-
ные отличия экспериментальной программы от ныне
действующей, он привел схему экспериментальной про-
граммы, показав методику изучения некоторых вопро-
сов. В каждой, теме этой программы определено ядро
математических знаний, иа основе чего формируются
минимальные требования к учащимся ПТУ по каждой
теме. Слушатели были ознакомлены с результатами сре-
74
зов, проведенных в экспериментальных и контрольных
группах, и с их качественным анализом.
27 марта на заседании семинара было продолжено
обсуждение вопроса о едином курсе математики. С до-
кладе'! «О едином курсе математики в школах с эс-
тонским языком обучения» выступил А. Э. Тельгмаа.
В порядке эксперимента в школах с эстонским язы-
ком обучения математика преподается в виде одного
учебнодо предмета. Исследования ученых в Эстонии
направлены на выяснение тех общих понятий и мето-
дов, на основе которых может произойти соединение
отдельных разделов школьной математики в единый
учебный предмет. Докладчик под меркнул, что в реше-
нии данного вопроса большое значение имеют такие
понятия и методы, как элементы теории множеств
(вместе с соответствующей терминологией и символи-
кой), понятия бинарного отношения, функции, преоб-
разования, меры, алгоритма, вектора и т. д. Особое
место занял вопрос о роли системы задач и упраж-
нений.
«О едином уровне математического образования в
различных типах средних учебных заведений» — с та-
ким докладом 24 апреля выступил А. С. Чагнокев.
Он затронул актуальную проблему, состоящую в раз-
работке научно обоснованных рекомендаций к опреде-
лению оптимального содержания общего образования
во всех типах средних учебных заведений. Рассмотрев
вопрос об основной цели обучения математике доклад-
чик выделил параметры, по которым можно вести под-
робный анализ содержания каждого понятия, метода
доказательства, метода решения и т. д. Исходя из
предложенных параметров, проведен поэлементный ана-
лиз содержания программ и учебников по математике,
на основе которого разработан проект инвариантной
части программы по математике. Слушатели более под-
робно были ознакомлены с базисной программой по
алгебре и началам анализа
22 м а я 1980 г Н. Ф. Неклюдова сделала сообщение
на тему «Структура математических знаний». В основу
построения структурной схемы математических знаний
положен системио-структурный подход, который являет-
ся проявлением диалектического метода в "познании.
Выделив три основных компонента мате] [этических зна-
ний — содержание, форму и стоуктуру — Н. Ф. Неклюдо-
ва подробно охарактеризовала каждый из иих. Она по-
казала, каким образом по структурной схеме матема-
тических знаний можно определить общие цели обуче-
ния матемвтике, составить рабочие программы, логико-
структуриые схемы занятий. В докладе большое место
отводилось вопросу об ориентировочной основе дейст-
вий учащихся и управлению их деятельностью в про-.
цессе изучения понятий, теорем и методов доказательств
В 1980/81 учебном году семинар продолжает свою
работу. Его заседания проходят в четвертый четверг
каждого месяца по адресу: Москва, ул. Макаренко,
дом 5/16, коми 28. Начало заседаний в 16 ч 30 мии.
Желающие могут принять участие в работе семинара.
Секретарь семинара В. А. ДАЛИНГЕР
«Передовые идеи в преподавании математики в СССР
и за рубежом»
За . 1979/80 учебный год на заседаниях семинара,
работающего под руководством члена-корреспондента
АПН СССР профестооа И. С. Бровикова, было заслу-
шано и обсуждено 8 докладов по различным вопросам
преподавания математики.
11 октября 1979 г. Е. Н. Перевощикова (Москва)
доложила" о своем исследовании по реализации идеи
взаимосвязи курсов _ алгебры и геометрии в процессе
решения задач в восьмилетпей школе. В основу идеи
положено использование на уроках алгебры умений и
навыков, приобретаемых учащимися на уроках геомет-
рии, и, наоборот, применение алгебры как метода йо-
лучеиня новых знаний по геометрии.
На заседании 15 ноября 1979 г. было заслушано
2 сообщения: доклад учителя математики Г Григоряна
(г. Степанакерт Азербайджанской ССР) на тему «Вы-
явление н предупреждение ошибок при изучении эле-
ментов геометрии в курсе математики IV—V классов»
и доклад Яноша Урбана (Будапешт, ВНР) «О новой
программе по математике в венгерских школах». По-
знакомив слушателей со структурой общеобразователь-
ной школы, коллега из Венгрии подробно остановился
па содержании новых программ в начальной школе н
гимназии, принятых соответственно в 1978—1979 гг. В ос-
нову новой программы положен теоретико-множествен-
ный подход. В программу для гимназий включены эле-
менты теории вероятностей и математической логики.
Автором программы для начальной школы является из-
вестный венгерский педагог математик Т. Варга.
Заседание 13 декабря 1979 г. было посвящено
обучению индуктивным и дедуктивным умозаключениям
в курсе алгебры восьмилетней школы. К. О. Ананченко
(г. Витебск) проанализировал с этой точки зрения воз-
можности курса алгебры и дал конкретные методичес-
кие рекомендации по обучению индуктивным и дедук-
тивным умозаключениям в процессе изучения программ-
ного материала. Свои рекомендации докладчик сопро-
вождал интересными и убедительными примерами.
10 января 1980 г. Т. Н. Кадькалова (Павлоград)
познакомила слушателей с разработанной ею методи-
кой изучения математических выражений в начальных
классах.
14. февраля 1980 г. В. А. Далингер (Москва) сде-
лал доклад «О парачлельпом изучении на логической
основе одноместных и двуместных отношений в курсе
математики IV—V классов». Обосновав целесообраз-
ность изучения одноместных отношений наряду с дву-
местными, докладчик указал пути их параллельного
изучения на основе логических понятий: переменная,
предложение с переменными, высказывание, истина,
ложь.
13 марта 1980 г. Н. Г Федин (Москва) познакомил
слушателей с пробным учебником алгебры для VI класса,
который согтавлеи коллективом авторов (Ш. А. Али-
мов, В. А. Ильин, Ю. М. Колягии, IO. В. Сидоров,
М. И. Шабунин «Алгебра. Пробный учебник для 6-го
класса средней школы»). Докладчик отметил сокраще-
ние объема учебника (160 с. по сравнению с 208 с. дей-
ствующего учебника), выразительность и четкость язы-
ка, разметку текста условными обозначениями. В неко-
торых случаях авторы пособия возвращаются к тради-
ционному названию н изложению отдельных тем, на-
пример: выражение с переменной они называют алге-
• браическим выражением, тождества сокращенного ум-
ножения — формулами сокращенного умножения, вво-
дят понятие уравнения первой степени с одним неизве-
стным. Отход к прежним позициям вызвал дискуссию, и
некоторые слушатели расценили его как недостаток
учебника.
Заключительное заседание 10 апреля 1980 г. было
посвящено проблемам подготовки преподавателей мате-
матики в университетах. Основной докладчик Е. И. Щу-
кин (г. Ярославль) затронул вопрос о соответствии чи-
таемого в университетах курса методики преподавания
математики задачам подготовки высохоквалифищ.рован-
ного учителя. Преподаватели университетов С. А. Шварц-
ман (г. Томск), 3. П. Мотова (г. Ростов-на-Дону) по-
75
делились интересным опытом работы в своих универ-
ситетах в плане обсуждаемых вопросов.
. В новом учебном году семинар продолжает свою ра-
боту. Заседания по-нрежнему будут проходить во вто-
рой четверг каждого месяца в 17 ч по адресу: Мо-
сква, ул. Макаренко, 5/16, НИИ СиМО, комн. 28.
И. С. БРОВИКОВ, В. Н ШАПКИНА
тий с помощью системы обучающих задач». Основу
этой системы составляет рациональное сочетание задач
на формирование обшелогнческих и специфических (гео-
метрических) понятий и действий
Справки о работе семинара в 1980/81 учебном году
можно получить в лаборатории обучения математике
НИИ содержания и методов обучения АПН СССР.
Секрс гарь семинара Т. А. •КОНДРАШЕНКОВА
«Воспитание логической культуры при обучении
в школе»
1979/80 учебный год был четвертым годом работы
семинара «Воспитание логической культуры при обуче-
нии в школе». Руководит семинаром кандидат педаго-
гических наук И. Л. Никольская.
На первом заседании 13 ноября 1979 г. препода-
ватель Криворожского пединститута С. В. Уткина
сделала Доклад на тему «Использование системного
подхода при обучении геометрии». В нем были пока-
заны различные способы представления курса геомет-
рии VI—VIII классов и его фрагментов как системных
объектов, описана основанная на гаком представлении’
методика их изучения. Доклад вызвал оживленную
дискуссию о роли и специфике использования обще-
научных методов в частных методиках преподавания.
11 декабря преподаватель Сырдарьинского пед-
института Т. Камалова рассказала о разработанной ею
системе упражнений для логической подготовки млад-
ших школьников. С помощью этой системы на основе
выделения признаков предметов и их сравнения у уча-
щихся формируются первоначальные представления об
определении, классификации, дедукции.
Доклад В. В. Корюкиной (г. Челябинск) об опыте
проведения в школе факультатива «Элементы матема-
тической логики» был заслушан 27 декабря. Этот
факультатив ориентирован на развитие общей культуры
мышления и формирование мировоззрения учащихся.
Помимо традиционных вопросов «Элементы логики вы-
сказывании», «Предикаты и кванторы» на нем рас-
сматривались роль и место аксиоматических теорий в
процессе познания, гносеологическое значение теоремы
Гёделя о неполноте и другие вопросы.
29 января 1980 г. заседание семинара было по-
священо вопросу об употреблении слов «свойство» и
«признак» в школьных учебниках. Сообщение сделала
Т. А. Кондрашенкова (г. Смоленск). Разнобой, а иногда
и противоречия в употреблении этих терминов послу-
жили поводом для подготовки к следующему заседа-
нию доклада В. В. Карюкиной содержавшего предло-
жения по упорядочению употребления этих терминов.
Доклад был заслушан 19 февраля. В нем затраги-
вались также вопросы об употреблении терминов «ка-
чество», «существенный признак», «необходимое усло-
вие (признак)», «достаточное условие (признак, осно-
вание)».
На заседании 18 марта старший научный сотруд-
ник института дефектологии АПН СССР Л. И. Тигра-
нова сделала доклад «Об особенностях логического
мышления слабослышащих детей и отражении этих
особенностей в методике обучения родному языку н
математике».
На последнем заседании, состоявшемся 22 апреля,
преподавательница пединститута в Ростове-на-Дону,
кандидат педагогических наук 3. П. Мотова выступила
с сообщением на тему «Изучение геометрических поня-
76
С. Г. ПЕРВУХИНА
(г. Ульяновск)
СОВЕЩАНИЕ-СЕМИНАР
ЗАВЕДУЮЩИХ МАТЕМАТИЧЕСКИМИ КАФЕДРАМИ
10 —12 сентября 1980 г. в Воронежском государст-
венном университете нм. Ленинского комсомола прохо-
дило совещание-семинар заведующих математическими
кафедрами и ведущих лекторов-математиков, работаю-
щих в вузах Волго-Вятской, Поволжской и Централь-
но-Черноземной зон. На семинаре работали три секции:
преподавателей университетов, технических вузов и пе-
дагогических институтов.
Руководителем секции преподавателей педагогических
вузов был заведующий кафедрой математического ана-
лиза Воронежского пединститута профессор И. А. Бах-
тин Секция объединила более 60 преподавателей из
15 институтов.
На секции были заслушаны и обсуждены доклады,
посвященные различным аспектам главной проблемы —
повышению качества подготовки учителя математики.
О совершенствовании научно-теоретической подготов-
ки будущего учителя рассказал профессор А. В. Штра-
ус (г. Ульяновск) в докладе «Об опыте преподавания
курса математического анализа». Докладчик изложил
интересную систему обучения студентов по программе,
составленной с его участием.
Многие педагогические вузы страны (Казанский, Уль-
яновский, Ленинградский и др.) разрабатывают про-
фессиограммы учителя математики. Реализации профес-
сииграммы учителя математики в процессе преподава-
ния геометрии было посвящено выступление* доцеита
Казанского пединститута И. И. Беловой.
О задачах профессиональной подготовки учителя ма-
тематики говорили следующие докладчики: Г. Г. Ба-
широва (г. Уйьяиорск) «Об организации математичес-
кими кафедрами педагогического института профессио-
напраьленной научно-методической работы студентов»,
Л. П. Шутова (г. Йошкар-Ола) «О профессиональной
подготовке учителя математики», С. Г. Первухина
(г. Ульяновск) «Методическд подготовка учителя ма
тематики в свете решений XXV съезда КПСС» и др.
Повышение качества подготовки педагогических кад-
ров связано с поиском новых форм и методов обуче-
ния студентов. О путях решения таких задач рассказала
доцент Н. Ф. Неклюдова (Воронежский пединститут).
В рекомендациях секции было записано общее мнение
ее участников о том, что действующие школьные про-
граммы, учебники и учебные пособия требуют дальней-
шего совершенствования. Однако в них обеспечена
преемственность между школьным и вузовским мате-
матическим образованием, более доступным для сту-
дентов стал материал, математического анализа.
ТЕМАТИЧЕСКИЙ УКАЗАТЕЛЬ СТАТЕЙ,
ОПУБЛИКОВАННЫХ В ЖУРНАЛЕ В 1980 г.
ПЕРЕДОВЫЕ
Гнеденко Б. В. В. И. Ленин и математика — № 1, с 3
Дело Ленина живет н побеждает — № 2, с. 3.
Навстречу XXV съезду КПСС —№ 5, с. 3.
Паначин Ф Г. Ключевая пробпема школы — № 5,
с. 7.
Повышение эффективности урока — неотложная зада-
ча! — № 3, с. 3.
Политехнической трудовой подготовке школьников —
неослабное внимание—№ 4, с. 3.
Соболев С. Л. В. И. Ленин и естествознание — Xs 2,
с. 7.
Навстречу XXVI съезду КПСС
Гнеденко Б. В. Развитие математики и математичес-
кого образования в СССР — № 6, с 3.
F ПРЕЗИДИУМЕ АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК
О проведении VI Всесоюзных педагогических чте-
ний — № 4, с. 6.
V ВСЕСОЮЗНЫЕ ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ЧТЕНИЯ
Ко Кракова Н. Р. Формирование навыков самостоя-
тельной работы с учебной и справочной литературой —
№ 1, с. 15.
Кунеров В. Е. Воспитательная роль средств нагляд-
ности в процессе обучения математике—№ 1, с. 18.
Пестининкас Ю. Самостоятельная работа как средст-
во развития способностей учащихся—№ 1, с. 13.
Проблемы повышения эффективности обучения — №2,
с. 20.
Розинова Л'. О. Профессиональная ориентация уча-
щихся в процессе изучения математики — № 1, с. 10.
МЕТОДИЧЕСКИЙ ОТДЕЛ
От Главного упр |вления школ Министерства
просвещения СССР
О совершенствовании преподавания математики и
подготовке учащихся к вступительным экзаменам в ву-
зы -- № 3, с. 6.
Об использовании учебных телепередач в учебно-вос-
питательном процессе в общеобразовательных школах —
№ 6, с. 35.
Антонов Д. А. Развитие творческой активности уча-
щихся прн работе над математическим текстом—№ 2,
с. 31. '
Арташкина Т. А. О работе с первыми понятиями сте-
реометрии при решении задач в IX классе — № 4, с. 25.
Арутюнян Е Б. и др. Система устных заданий для
IV класса — № 5, с. 40.
Афанасьева Ф. Е. О воспитании бережного отноше-
ния к книге- Xs 1, с. 28.
Баранов И. А.. Ястребинецкий Г. А. Применение при-
знака постоянства функции к решению некоторых за-
дач — № 5, с. 21.
В Министерстве просвещения СССР — Xs 1, с. 9.
Верченко С. Б, Развитие пространственных представ-
лений учащихся IV—V классов — Xs 5, с. 33.
Габович И. Г. Решение экстремальных задач на ком-
бинации стереометрических фигур — Xs 5, с. 24.
Гайдаржи Г. X. Задачи творческого характера в
V классе —Xs 1, с. 24
Галицкий М. Л. Об изложении темы «График линей-
ной функции» — Xs 5, с. 30.
Груденов Я. И. и др. Система элементарных задач
по стереометрии — X» 3, с. 31.
Далакян Л. А. Больше внимания геометрическим по-
строениям— Xs 1, с. 25.
Двояковский П. Г. О геометрическом решении алге-
браических задач — Xs 3, с. 33.
Дорофеев Г. В. Применение производных при реше-
нии задач в школьном курсе математики — Xs 5, с. 12;
Xs 6, с. 24.
Жак Я. Е. Несколько простых прикладных задач —
Xs 2, с. 37.
Жилина Е. И. Задачи на умножение положительных
и отрицательных чисел — Хе 5, с. 37.
Закирова 3. 3. Воспитание и развитие учащихся в
процессе решения проверочных задач — Xs 6, с. 17.
Закирова 3. 3. Упражнения для повторения курса
математики IV класса — Xs 1, с. 21.
Запенкова Г. И., Павлова Н. В, Троценко В. Н.
О формировании н закреплении у старшеклассников на-
выков самоконтроля — Xs 6, с. 19.
Иванов А. И. Из опыта изучения в VII классе не-
которых вопросов по теме «Приближенные вычисле-
ния» — Xs 1, с. 27.
Килина И. Г. О современном уроке математики —
Xs 6, с. 9.
Килина Н. Нагибин Ф. Ф. Устные задачи' по гео-
метрии — Xs 2, с. 34.
Клопский В. М., Ягодовский М. И., Скопец 3. А.
О понятии многогранника в школьном курсе гео-
метрии — № 4, с. 22.
Колмогоров А. И. и др. Об учебном пособии «Алгеб-
ра и начала анализа 9—10» —Xs 4, с. 18.
Коротков В. И. Подготовка к проведению уроков по-
вторения — Xs 6, с. 12. _
Куликова М. А.. Радкевич Л. А. Организация повто-
рения и обобщающие уроки по геометрии в VIII клас-
се — Хе 6, с. 16.
Лоповок Л. М. Геометрические задачи для X клас-
са — Xs 4, с. 27.
Львов В. Е. ГТ опыта обучения стереометрии в IX
классе — Xs 6, с. 32.
Макаревич И. Е. Центральная симметрия в V клас-
се — Xs 4. с. 29.
Мостовой А. И. Больше внимания проведению обос-
нований — Хе 2, с. 36.
Нешков К- И., Чесноков А. С., Шварцбурд С. И.
Об изменении в содержании курсов математики IV и
V классов — Хе 3, с. 17.
Об изучении курса геометрии VII класса в 1980/81
учебном году — Xs 4, с. 15.
Об изучении первой темы курса алгебры и начал
анализа X класса в 1980/81 учебном году-—Х° 3, с. 25.
Обзор отзывов о трех проектах программ по матема-
тике — Хе 1, с. 29
Петров В. А., Чертков В. С. Применение производ-
ной в практической деятельности — № 6, с. 30.
Петров К- Активизация работы ученика — Xs 6, с. 14.
. Потоцкий М. В. Логика на уроках математики п в
жк"ни — Хе 2, с. 24.
Прохватилов А. М. К решению задач векторным мето-
дом — Xs 5, с. 27.
Ройтман П. Б., Левитас Г. Г. О работе методичес-
кого объединения учителей математики — Х° 2, с. 39.
Рыжик В. И. ’формирование потребности в самоконт-
роле при обучении математике — Xs 3, с. 26.
Сорокин Б. В. О заключительном повторении, в курсе
алгебры и начал анализа — Хе 2, с. 27. 1
Тесленко И. Ф. О структуре профессиональной дея-
тельности учителя математики и повышении эффек-
тивности урока — Xs 3, с. 11.
Хавелов С. В. Применение обратных функций при
вычислении площадей некоторых фигур — № 5, с. 32.
О повышении эффективности урока
' Кузнецова Н. И. Активная методическая работа
школьного объединения — средство повышения эффек-
тивности урока — Xs 4, с. 7.
Моцык Н. Д. О некоторых возможностях более рацио-
нального использования учебного времени - № 4, с. 9.
Рузин Н. К- Задача как цель и средство обучения ма-
тематике— № 4, с. 13.
Чита-ели вносят предложения
Акопян Е. А. Учить школьников самостоятельно при-
обретать знания и умения — № 5, с. 45.
Гордиенко В И. О 'производной степенной функции —
№ 6, с. 35.
Джавари Ф. А. Самостоятельные работы со взаим-
ной проверкой — К» 5, с. 44.
Жилина Е. И. Из опыта изучения сложения и вычи-
тания десятичных дробей в IV классе — № 2, с. 43.
Зельцер Д Н.' График линейной функции — № 2,
с. 42
Имранов Б. Г. Закрепление материала по планимет-
рии в процессе обучения стереометрии — № 6, с. 35.
Клименченка В. Д„ Цикунова Г. Д. Некоторые не-
стандартные задачи по теме «Натуральные числа» —
№ 6, с. 22.
Макарова 3. В. Принцип сравнения при изучении по-
нятий производной и интеграла — № 1, с. 35.
Махров В. Г. Два вида задач, связанных с уравне-
нием касательной — № 2, с. 41.
Мельник И. Г. Построение касательной к данной
окружности —№ 5, с. 46.
Мотин Р. И. К методике -решения избранных задач
по геометрии — № 6, с. 34.
Сефибеков С. Р. К преподаванию математики в IV
классе — № 6 с. 21.
Тютев Р П. О некоторых -Тригонометрических урав-
нениях — Ns 5, с. 46.
Ходжаназаров Т. А. Как лучше вести записи — № 5,
с. 45.
Шихалиев X. Ш К методике решения уравнений и
неравенств в школе--Ks 1, с. 34.
В помощь учителям вечерних (сменных] школ
и профтехучилищ
Белоновская Л. Н. ir др. О преподавании математики
в IX—XI классах вечерней (сменной) школы в I полу-
готии 1980/81 учебного года — № 5, с. 47; во II полу-
годии — № 6, с 37.
Пашкова Л. М„ Шварцбурд С. И. Об изучении ма-
тематики иа I—III курсах средних профтехучилищ в
1980/81 учебном году — № 3, с. 35.
Петраков И. С., Романько И. В. Об изучении матема-
тики иа школьных отделениях педучилищ — Ks 4. с. 33.
О вступительных экзаменах в 1979 г.
Бруй И И. Гомельский государственный универси-
тет — Ks 3. с. 41.
Довлатова Л. И., Чебыкин Ю. Ф. БакинАое высшее
общевойсковое командное училище — № 3, с. 44.
Дуничев К. И. Московский государственный педаго-
гический институт им. В. И. Ленина — Ks 3. с. 39.
Пехлецкая А. Н. О профессиональной направленности
вступительных экзаменов в Пермском педагогическом
институте — Ks 3, с. 46.
Прохоренко В. И. Московский энергетический инсти-
тут — Ks 3, с. 37.
Самохин В. И., Симонов Р. А. Московский полигра-
фический институт — Ks 3, с. 45.
Шестырева Л. В., Юдина I1 Б. Коломенский педаго-
гический институт — Ks 3’, с. 42.
Консультация
Об использовании учебных пособий в 1980/81 учеб-
ном году — № 4, с. 32.
Учебное оборудование
Арутюнян Е. Б., Глазков Ю. А. Учебное оборудова-
ние по геометрии для VI—VIII классов — № 2. с. 44.
Глазков Ю. А., Колпаков М. Ф. О порядке снабже-
ния школ учебно-наглядными пособиями и учебным
оборудованием—Ks 6, с. 41.
Довженко В. П., Сердюк В. Л., Павлюк В П Что
надо знать при изготовлении экранных пособий — № 2,
обложка. . •
Исаев В. И., Шилов В. Ф. Новый способ получения
сечений — № 5, обложка.
Колесник А. С Простой способ изготовления объем-
ных моделей — Ks 1, обложка.
Меденникова Т. В. Кодоскоп помогает решать зада-
чи — Ks 3, обложка.
Федотов В. Е. Прибор для демонстрации графичес-
кого решения уравнений, систем уравнений и нера-
венств — Ks 2, с. 47.
Шилов В. Ф. Диапроектор для кабинета математи-
ки — Ks 2, с. 49.
Шилов В. Ф., Исаев В. И. Новый графопроектор и
его возможности — К? 4, обложка.
Проблемы и суждения
Александров А. Д. О геометрии — Ks 3, с. 56.
Бевз Г. П. Об определении понятия «вектор» — Ks 2,
с. 58.
Кондрашенкова Т. А.. Никольская И. Л. О межпред-
метном значении «логической составляющей» курса ма-
тематики — № 3, с. 62.
Маслова Г. Г. О школьном курсе математики и тен-
денциях его дальнейшего развития—№ 6, с. 49.
Монахов В. М.. Гуревич В. 10. Об одном метоле
системного анализа внутрипредметных связей — Ks 2,
с. 5{.
Эксперимент
Антипов И. И. Опыт обучения школьников програм-
мированию на APL — № 3, с. 49.
Башмаков М. И., Савелова Т. Е. Тема «Тригономет-
рические функции» на I курсе средних профтехучи-
лищ— Ks 6, с. 45.
Боковнев О. А., Юдина И. И. Экспериментальная
проверка пробных учебников «Алгебра» и «Геометрия»
для VI класса средней школы в 1979/80 учебном году —
№ .6- с. 42.
Мирзаев Ч. Э. Об элементах анализа в школьном
курсе математики—№ 3, с. 53.
Первин Ю. А. Информатика в школе — Ks 3,/с. 46.
Рогановский Н. ЛТ Формирование навыков дедуктив-
ных рассуждений в процессе решения задач — Ks 3,
с. 52
Сабуров М. С. Об одной из форм проверки знаний — <
Ks 3, с. 54.
Саградян М. К., Кузнецов 3. И. Обучение элементам
программирования иа базе электронных клавишных вы-
числительных машин — Ks 1, с. 38.
Серегин Г. М. Изучение понятий непрерывности и
предела в IX классе иа основе понятия «окрестность» —
Ks 5, с. 51.
Федоренко И. Т-, Можаева И. А. Предваряющие до-
полнительные збнятия с учащимися —Ks 5, с. 55.
Шкиль М. И. и др. Микроэлектронная вычислитель-
ная техника приходит в школу — Ks 1, с. 35.
Факультативные курсы
Программа факультативных курсов на 1980—1985 гг.-
Ks 4, с. 35.
Внеклассная работа
Банникова Л. П., Никулин И. А. О графике квадрат-
ного трехчлена — Ks 4, с. 43.
Богданова Т. А., Лебедев И. И. О взаимном поло-
жении трех плоскостей в пространстве — № 4, с. 47.
Боравлев А. Ф. К методике изучения начальных тео-
рем стереометрии — Ks 1, с. 45.
Дыбов П. Т., Жукова И. Б. О весенних зачетах по
математике на телевизионных под. отовнтельных кур-
сах — № 2, с. 59.
7Ь
Bar С. М, Некоторые признаки делимости чисел —
№ 2, с. 65.
Зубелевич Г II. Решение одной и той же задачи в
разных классах — Хе 5, с. 60.
Ивашев Мусатов О. С. Материал для внеклассной
работы по элементам математического анализа — № 4,
с. 39.
Нзаак Д. Ф. Задачи на подобие — Хе 6, с. 53.
Имранов Б. Применение векгиров к получению три-
гонометрических неравенств - Хе 2, с. 62.
Кострикина II. П. Задачи повышенной трудности в
курсе математики IV класса — № 3, с. 67.
Крыстев В. О расположении корней квадратного урав-
нения, коэффициенты которого зависят от параметров —
Хе 1, с. 49.
Кузнецова Г. А. О татевской школе Хе 2, с. 65.
Михайлов И И. Из опыта работы с задачами прак--
тического содержания в IV—V классах — № 4, с. 48.
Моханти Г. Ч Геометрический подход к разложе-
нию тригонометрических функций кратных углов — Хе I,
с 50.
Наконечный М. Н. Различные способы решения задач
способствуют эффективности обучения—Хе 4, с 45.
Савин А. П., Мишин В. И. XXI Международная ма-
тематическая олимпиада — № 1, с. 41.
Сефибеков С. Р. К построению графиков функций!
двух видов — № 1, с,-48.
Смоляков А. Н. О введении числа е — № 5, с. 72.
Смышляев В. К. Решение некоторых нестандартных
задач — № 5, с. 59.
Сорокин Г. А. Доказательство некоторых классичес-
ких неравенств с помощью производной — № 6, с. 55.
Темралиев Я. И. «Флажки», квадраты и развертки ку-
ба — № 4, с. 50.
Тихомиров В. М., Гальперин Г. А. 42-я Московская
математическая олимпиада — № 3, с. 63.
I оом А. Л. О задачах вступительной работы ВЗМШ —
№ 4, с. 38
Шоластер И. И. О построении графиков сложных
функций — № 5, с. 56.
Вопросы профориентации во внеклассной работе
Шаров В. ^И„ Шарова О. И., Губа С. Г., Лома-
кин К). В. О некоторых формах приобщения учащихся
старших классов к педагошческой профессии—№ 5,
с. 62.
Задачи
№ 1, с. 52; № 2, с. 68; № 3, с. 68 № 4. с. 52;
№ 5. с. 66; Хе 6, с. 56.
В помощь решающим задачи—Хе 4, с. 53; X® 5,
с. 67; Хе 6, с. 5'..
Занимательная страница
Гельфанд М. С. Свойство квадратов чисел, начинаю-
щихся с 4. 5 или 9 — Хе 3, с. 76.
Кордемский Б. А. Задачи, связанные, с курьезными
тождествами — Хе 2, с. 67.
Кордемский Б. А. Каким днем недели начинается
2000-й год? — Хе 4, с. 51.
Коногорский И. П. Аналитический календарь — Хе 4,
с. 51.
СТРАНИЦЫ ИСТОРИИ
Болгарский Б. В. Воспоминания о работе в первых
советских школах —Хе 2, с. 52.
Бычков Б. П. Вера Миллер-Лебедева — Хе 5. с. 73.
Хахамов Л. Р. От края сплошной неграмотности к
всеобщему среднему образованию — Хе 2, с. 50.
К 225-летию Московского университета
Гнеденко Б. В. Московский университет и математи-
ческое просвещение — Хг 2, с. 14.
УЧЕНЫЕ-МАТЕМАТИКИ
Алексей Николаевич Крылов — Хе 5, обложка.
Аль-Бируни — Хе 4, обложка.
Вениамин Федорович Каган —Хе 2, обложка.
Давид Гильберт — Хе 2, обложка.
Евклид — Хе 3, обложка.
Леопард Эйлер — Хе 6, обложка.
Михаил Васильевич Остроградский — Хе 6, обложка.
Николай Егорович Жуковский — Хе 5, обложка.
Пифагор Самосский — Хе 3, обложка.
Софья Васильевна Ковалевская — Хе 1, обложка.
Улугбек — Хе 4, обложка.
Эмми Нетер—Хе 1, обложка.
Математический календарь
На 1979/80 учебный год, март — апрель—Хе 1, об-
ложка; май—нюнь — № 2, обложка; июль — август —
Хе 3 обложка; на 1980/81 учебный год, сентябрь —
октябрь —Хе 4, обложка, ноябрь — декабрь — X® 5, об-
ложка; январь — февраль — Хе 6, обложка.
Куликов Л. Я.. Семенов П. В. Вадим Германович
Лемлейн — Хе 3, с. 80.
Мишин В. И. К 90-летию со дня рождения Е. С. Бе-
резанской— Хе 1, с. 79. •
Халезов Е. А. К 70-летпю со дня рождения академи-
ка А. И. Мальцева —Хе 2, с. 78.
Шиманский И. Е., Кухарь В. М. К 100-летию со дня
рождения А. М. Астряба — Хе 1, с. 77.
Поздравляем юбиляров
Богдашин Б. И., Ларин С. В., Яковлев Б. В. Самсон
Львович Эдельман—Хе 5, с. 74.
Бухштаб А. А. и др. Василий Ильич Нечаев—Хе 1,
с. 63.
Гнеденко Б. В., Шварцбурд С. И., Мордкович А. Г,
Наум Яковлевич Виленкин — Хе 6, с. 63.
Дышинский Е. А., Поносова О. М. Евгений Григорь-
евич Гони и —Хе 4, с. 60.
Ермолаева И. А. и др. Галина Герасимовна Масло-
ва — Хе 4, с. 62.
Камерина Л. А.. Лукс Л. Н. Авраам Вильгельмович
Штраус — Хе 4, с. 61.
Коваленко В. Г., Моисеева 3. И., Черкасов Р. С.
Александр Федорович Семенович — Хе 5, с. 74.
Мамыкина Г. И. Чествование А. И. Худобина — Хе 6,
с. 64.
Мартынов И. П„ Сидорчук А. С. Никифор Дмитрие-
вич Беспамятных — Хе 4, с 60.
Монастырский М. И. Борис Николаевич Делоне —
Хе 3, с. 70.
Нурбаев У. И., Мостовой А. И. «алдыбай Бектаевич
Бектаев — Хе 3, с. 72.
Пономарев С. А.. Пышкало А. М. Александр Спири-
донович Пчелко — Хе 3, с. 71.
Федорова В. П., Семенов П. В. Дмитрий Абрамович
Райков — Хе 6. с. 63.
Черепанова И. А. Таисья Николаевна Мамаева —
Хе 2, с. 74.
КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ
Блох А. Я. О книге «Прямые и кривые» —Хе 1, с. 64.
Вишняцкая И. Г. Две книги об учебном оборудова-
нии — Хе 5, с. 77.
Гельфман Э. Г.. Холодная М. А.; Маланюк М. П.,
Янченко А. М.; Ефремов А. В., Бескин И. М.; Болтян-
ский В. Г. О книге П. М. Эрдииева «Преподавание ма-
тематики в школе» — Хе 1, с. 65.
Гнеденко Б. В. О серии брошюр «Математика, кибер-
нетика» — Хе 5, с. 76.
Гнеденко Б. В.: Артемчук И. М. О книге «Биографи-
ческий словарь деятелей в области математики» — Л® 4,
с. 64.,
79
Математический календарь на 1986 81 учебный год
Январь
3 января — 60 лет со дня рожде-
ния советского математика, члена-
корреспондента Международной ака-
демии истории наук Изабеллы Гри-
горьевны Башмаковой (см.:
Математика в школе, 1970, № 6).
10 января — 70 лет со дня рожде-
ния американского математика, чле-
на Национальной академии наук
США и Американской академии ис-
кусств и наук Гаррета Биркгофа.
Известен широтой своих научных ин-
тересов, простирающихся от абст-
рактной алгебры до гидродинамики,
но основные работы относятся к
теории множеств и математической
логике. На русский язык переведе-
ны его книги: «Теория структур»
(М., 1952), «Современная прикладная
алгебра», написанная в соавторстве
с Барти (М., 1976), и др.
14 января — 80 лет со дня рождения
польского математика, члена Поль-
ской академии наук Альфреда Тар-
ского. Родился в Варшаве. Окончил
Варшавский университет. С 1939 г.
живет и работает в США. Основные
труды относятся к математической
логике. Многие понятия и утвержде-
ния математической логики связаны
с именем Тарского. На русский язык
переведена его книга «Введение в
логику и методологию дедуктивных
наук» (М., 1948).
14 января — 70 Лет со дня рождения
советского математика, члена Азер-
байджанской академии наук Заида
Исмаила-оглы Халилова (1911 —
1974) (см.: Математика в школе,
1970, № 6).
17 января —100 лет со дня рожде-
ния польского математика Антони
Ломницкого (1881—1941). Ро-
дился во Львове. Окончил Львов-
ский университет. С 1913 г. препо-
давал математику во Львовском
политехническом институте, с 1921 г.
руководил кафедрой, до 1917 г. ра-
ботал еще и в средних школах. По-
гиб от рук фашистов.
Труды Ломницкого относятся к ана-
лизу, теории меры, теории вероят-
ностей и математической картогра-
фии. В 1923 г. им впервые была
дана трактовка вероятности как ме-
ры Много внимания он уделял во-
просам преподавания математики в
средних школах, в частности, напи-
сал учебник по геометрии.
18 января — 80 лет со дня рождения
выдающегося советского математи-
ка, известного общественного дея-
теля, Героя Социалистического Тру-
да, дважды .лауреата Государствен-
ной премии СССР, академика АН
СССР Ивана Георгиевича Петров-
ского (1901—1973). Он внес боль-
шой вклад в развитие дифферен-
циальных и интегральных уравнений,
теории вероятностей, теории функ-
ций и топологии.
С 1951 г. около 22 лет И. Г. Пет-
ровский был ректором Московско-
го университета, избирался членом
Президиума Верховного Совета
СССР, членом Президиума Акаде-
мии наук СССР. Награжден 5 оо-
денами Ленина, 3 орденами Трудо-
вого Красного Знамени, 4 иностран-
ными орденами, а также многими
медалями. По постановлению Со-
вета Министров СССР 19 марта
1973 г. одна из улиц Москвы назва-
на улицей академика Петровского,
(см.: БСЭ, 2-е и 3-е изд.; Успехи
математических наук, 1971, т. 26,
вып. 2; Математика в школе, 1973,
№ 4).
24 января — 50 лет со дня рожде-
ния шведского математика, лауреата
Филдсовской медали (1962) Ларса
Хёрмандера — крупного спе-
циалиста по теории линейных диф-
ференциальных уравнений с част-
ными производными. Теорией Хёр-
мандера назысают общую теорию
дифференциальных операторов. Мно-
гие его монографии переведены на
русский язык.
Февраль
10 февраля — 70 лет со дня рожде-
ния выдающегося советского учено-
го в области механики и математи-
ки, видного государственного дея-
теля, трижды Героя Социалистиче-
ского Труда (1956, 1961, 1971),
академика АН СССР (1946) Мстисла-
ва Всеволодовича Келдыша
(1911—1978). Родился в Риге. Окон-
чил Московский университет (1931),
профессор (1937), доктор физико-
математических неук (1938). С 1936 г.
работал в АН СССР, в 1961—1975 гг.
был ее президентом. Член КПСС
с 1949 г. Непосредственный орга-
низатор и научный руководитель
крупных научно-исследовательских
институтов, в том числе Института
прикладной математики АН СССР.
Труды М. В. Келдыша посвящены
разнообразным вопросам механики
и математики. Многие из разрабо-
танных им методов математики
имеют большое практическое зна-
чение. Внес большой вклад в разви-
тие в СССР вычислительной мате-
матики и вычислительной техники.
Создал крупные научно-исследова-
тельские школы, разрабатывающие
сложнейшие научные и технические
проблемы нашего времени. Отме-
тим здесь только, что во время
Великой Отечественной войны
М. В. Келдышем была разработана
математическая теория флаттера и
таинственность этого явления исчез-
ла, а за время войны не было слу-
чаев разрушения самолетов из-за
флаттера.
За свои работы М. В. Келдыш был
удостоен звания лауреата Ленинской
премии (1957), двух Государственных
премий СССР (1942, 1946), Золотой
медали им. М. В. Ломоносова (1976),
Золотой м дали им. К. Э. Циолков-
ского (1972). Награжден семью орде-
нами Ленина, тремя орденами Тру-
дового Красного Знамени, многими
иностранными орденами, а также ме-
далями. Член многих зарубежных
академий, научных учреждений и
обществ.
М. В. Келдыш похоронен у Крем-
левской стены. АН СССР учредила
Золотую медаль и премию им.
М. В. Келдыша за выдающиеся на-
учные работы в области прикладной
математики и механики, а также за
теоретические исследования по ос-
воению космоса. Имя М. В. Келды-
ша присвоено Институту приклад-
ной математики АН СССР Установ-
лен бюст на родине М. В. Келдыша
в Риге (см.: БСЭ, 2-е и 3-е изд.;
Прикладная математика и механика,
1978, т. 42, вып. 4; Космические ис-
следования, 1978, № 6; Математика
в школе, 1961, Ns 4).
11 февраля — 90 лет со дня рожде-
ния советского математика, члена-
корреспондента АН СССР (1939)
Ивана Ивановича Привалова
(1891—1941). Родился в Нижнем Ло-
мове (Пензенская обл.). Окончил
Цена 45 коп.

70557
Издательство «Педагогика» Москва
Московский университет (1913), док-
тор физико-математических наук,
профессор (1918). С 1922 г. работал
в Московском университете и Воен-
но-воздушной академии. Основные
труды относятся к теории функций
и интегральным уравнениям. Поло-
жил начало исследованиям по тео-
рии однолистных функций в СССР.
Большую роль играет так называе-
мая задача Римана — Привалова.
Всего И. И. Приваловым опублико-
вано более 70 оригинальных работ,
среди которых известные моногра-
фии и учебники, такие, как «Введе-
ние в теорию функций комплекс-
ного переменного», «Аналитическая
геометрия» и другие, выдержавшие
много переизданий (см.: БСЭ, 2-е
и 3-е изд.; История отечественной
математики, т. 3; Успехи математи-
ческих наук, 1967, 22, № 4; Мате-
матика в школе, 1966, № 1).
16 февраля — 90 лет со дня рожде-
ния советского математика и меха-
ника, академика АН СССР (1939) и
АН Грузинской ССР (1941), Героя
Социалистического Труда (1945) Ни-
колая Ивановича Мусхелишви-
ли (1891—1976). Родился в Тбилиси.
Член КПСС с 1940 г. Окончил Пе-
тербургский университет (1914), про-
фессор (1922), доктор физико-мате-
матических наук (1934). С 1920 г.
работал в университете и политех-
ническом институте в Тбилиси, с
1941 г.— директор Тбилисского ма-
тематического института им. А. М. Раз-
мадзе, в 1941—1972 гг.— президент,
а с 1972 г.— почетный президент
АН Грузинской ССР. Основные тру-
ды относятся к области теории уп-
ругости, интегральных уравнений,
граничных задач теории функций
и др. Н. И. Мусхелишвили одним
из первых начал применять теорию
функций комплексного переменного
к задачам теории упругости, пред-
ложил ряд методов, которыми ус-
пешно пользуются и в других раз-
делах математики, а также в теоре-
тической физике и механике. Он
является одним из создателей Тби-
лисской математической школы. Де-
путат Верховного Совета СССР пер-
вого — восьмого созывов. Член мно-
гих иностранных академий, научных
учреждений и обществ. Награжден
шестью орденами Ленина, орденом
Октябрьской Революции, многими
медалями, а также двумя иностран-
ными орденами. Н. И. Мусхелишвили
был удостоен Государственной пре-
мии СССР (1941, 1947) и Золотой
медали им. М. 8. Ломоносова (1972)
(см.: БСЭ, 2-е и 3-е изд.; Векуа И. Н.
Академик Н. И. Мусхелишвили. Но-
восибирск, 1961; Успехи математи-
ческих наук, 1972, 27, № 4; Наука
сегодня, М., 1974; Математика в
школе, 1961, № 4).
18 февраля — 780 лет со дня рож-
дения ученого-энциклопедиста и го-
сударственного деятеля Абу Джа-
фара Мухаммеда ибн Мухаммеда
ибн Хасана Абу Бакра Н а с и р э fl-
дина Туси (1201—1274). Родился
в г. Туси на территории нынешнего
Ирана. Жил в Туси, Багдаде, Кухи-
стане. В 1259 г. организовал одну из
лучших обсерваторий в г. Марата,
создал там великолепную библиоте-
ку, собрав рукописи из Хоросана,
Сирии, Багдада, Мосула и других
мест. Под его руководством было
создано много работ из разных об-
ластей знания, которые имели зна-
чительное влияние на дальнейшее
развитие наукн, в частности на раз-
делы математики, связанные с аст-
рономией, в первую очередь гео-
метрии и тригонометрии. В работе
«Изложение Евклида» Насирэддин
показывает, что пятый постулат Ев-
клида является следствием предпо-
ложения существования четырех-
угольника с четырьмя прямыми уг-
лами. В «Трактате о полном четы-
рехстороннике» плоская и сфериче-
ская тригонометрии выступают как
самостоятельные дисциплины, неза-
висимые от астрономии. Этот трак-
тат сыграл большую роль в разви-
тии математики в Европе. Перевел
и написал комментарии и приложе-
ния ко многим важным математиче-
ским, астрономическим и физичес-
ким работам древних ученых. Его
именем назван кратер на видимой
стороне Луны (см.: БСЭ, 2-е и 3-е
изд.; Историко-математические ис-
следования, 1951, вып. 4; Кубасов А.
Великие ученые Средней Азии и
Казахстана, Алма-Ата, 1965; Ереме-
ева А. И. Выдающиеся астрономы
мира. М., 1966; Вопросы истории
естествознания и техники, 1976,
1(54)).
19 февраля — 75 лет со дня рож-
дения советского математика, ака-
демика АН БССР Федора Дмитрие-
вича Г а х о в а (см.: Математика в
школе, 1975, № 6).
24 февраля — 75 лет со дня рожде-
ния советского механика и матема-
тика, члена-корреспондента АН СССР,
дважды лауреата Государственной
премии СССР Василия Захаровича
Власова (1976—1958) (см.: Мате-
матика в школе, 1975, № 6).
27 февраля—100 лет со дня рож-
дения голландского математика
Лёйтзена Эгберта Яна Брауэра
(1В81—1966). Родился в Оверсхи. Был
профессором Амстердамского уни-
верситета, членом Нидерландской
академии наук, членом-корреспон-
дентом Парижской и Геттингенской
академий. В 1911—1913 гг. пслучил
ряд важных результатов в области
топологии. С его именем связаны
многие математические понятия и
утверждения: группа Брауэра в ал-
гебре, принцип Брауэра в функцио-
нальном анализе, многообразия Брау-
эра в алгебраической топологии и др.
Трудности, связанные с теоретико-
множественными концепциями со-
временной математики, привели
Брауэра к коренной критике логи-
ческих основ математики, в частно-
сти закона исключенного третьего
в математических доказательствах,
и к созданию философско-математи-
ческого направления, носящего на-
звание «интуиционизм» (см.: БСЭ,
2-е и 3-е изд.; Шеренга великих
математиков. Варшава, 1970).
А. И. БОРОДИН (г. Донецк)
Математика в школе, 1980, №6, 1—80.