МАТЕМАТИКА
в школе
издательство «просвещение»
МАТЕМАТИКА в школе
Научно методический журнал Министерства просвещения СССР АВ
о» поп издательство
—г 1969 «просвещение»
СОДЕРЖАНИЕ
Новый учебный год
К 100-ЛЕТИЮ СО ДНЯ РОЖДЕНИЯ В. И. ЛЕНИНА
Воспитание в семье Ульяновых и математика
НАУЧНЫЕ ОСНОВЫ ШКОЛЬНОГО КУРСА МАТЕМАТИКИ
Геометрия в старших классах средней школы
МЕТОДИЧЕСКИЙ ОТДЕЛ
Новая программа обучения младших школьников математике
Изменения, внесенные в учебник Н. Н. Никитина «Геометрия» дли 6—8 классов
О некоторых уравнениях, имеющих единственный корень
В помощь начинающему учителю
Из опыта работы по совершенствованию учебного процесса
Контрольные работы по математике на I полугодие 1969/70 учебного года для
V—X классов
Из опыта проведения факультативных занятий
Факультативные занятия по математике в школах Грузинской ССР
Факультативам — постоянную заботу
Факультативные занятия в школах Таджикистана
Из опыта изучения элементов теории множеств
Эксперимент
Изучение тригонометрических функций на основе кинематических представлений
Опыт аксиоматического изложения курса стереометрии в IX классе
Внеклассная работа
Третья Всесоюзная математическая олимпиада 1969 г
Решения задач Всесоюзной математической олимпиады 1969 г.
Исследование экстремума с помощью высших производных
О «парадоксе изобретателя»
Задачи
Занимательная страница
ПЕДАГОГИ-МАТЕМАТИКИ
Неутомимый искатель нового
Математический календарь на 1969/70 учебный год
КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ
Рецензия на книгу А. П. Юшкевича «Истории математики в России»
Рецензия на книгу В. А. Крутецкого «Психология математических способностей
школьников»
О новом пособии для учителей по изучению производной в школе
ЗА РУБЕЖОМ
Вопросы общей алгебры в программах и учебниках по математике гимназии
Нёшатель (Швейцария)
ХРОНИКА
2
5 Г. Н. Волков
9 В. Г. Болтянский,
И, М. Яглом
22 А, М. Пышкало
27 В. А. Гусев
35 Я. Ш. Гёрценштейн
35 Э. Г. Якуба
41
0 А. Г. Парджанадзе
51 В. П. Благнис
52 А. Мнрзоев
53 А. М. Алиев
54	М.	А. Грабовский,
	П.	М. Котельников
60	н.	М. Рогановский
63	в.	И. Седаков
66	н.	Б. Васильев
70	к.	У. Шахно
71	л.	Л. Цинман
72		
82	с.	И. Зетель
83 Ю. А. Митропольский,
В П. Шелест
85 А И. Бородин
86 И Г. Башмакова,
Б. В. Гнеденко
87	М. В. Потоцкий
90	В. Л. Минковский,
В. В. Ветров
91 П. К. Одинцов
94
Новый учебный год
Начался новый учебный год, завершение
которого совпадает со всенародными торже-
ствами— 100-летием со дня рождения созда-
теля нашей победоносной Коммунистической
партии и Советского государства, вождя все-
го трудящегося человечества Владимира
Ильича Ленина.
В постановлении Центрального Комитета
КПСС «О подготовке к 100-летию со дня рож-
дения Владимира Ильича Ленина» говорится:
«В. И. Ленин придавал огромное значение
коммунистическому воспитанию молодежи, ее
активному участию в революционной борьбе
и строительстве нового общества. Он подчерк-
нул важность выработки у молодежи цельного
революционного мировоззрения, усвоения бо-
гатейшего опыта старших поколений, умения
превратить коммунизм в руководство для
практической работы...
...Вступая в сознательную жизнь, молодежь
под руководством партии идет дорогой отцов,
продолжает революционные традиции, приум-
ножает материальные и духовные богатства
нашего общества».
Этими словами не только определено место
нашей молодежи в строительстве коммунизма,
но и сформулированы задачи ее воспитателей
и учителей.
Завершилось международное Совещание
коммунистических и рабочих партий.
Учитель — всегда пропагандист! Разъясне-
ние материалов Совещания как своим учени-
кам, так и среди населения требует глубоко-
го изучения всех документов этого всемирного
форума. Школьники должны быть ознаком-
лены с боевой программой борьбы с империа-
лизмом, воспитываться на идеях интернацио-
нальной солидарности. Успех этой работы во
многом зависит от классного руководителя.
Прошел год со времени Всесоюзного съезда
учителей. Его работа, речь Л. И. Брежнева,
принятые документы стали программой дей-
ствий огромной армии педагогов. Страна при-
ступила к решению задачи — дать каждому
подрастающему гражданину законченное
среднее образование. Базой для ее выполне-
ния является закон об обязательном 8-летнем
всеобщем образовании.
Как много здесь зависит от учителя мате-
матики! Выполнению закона о 8-летнем все-
обуче прежде всего наносит ущерб второгод-
ничество. Именно оно влечет за собой отсев
из школ, потерю интереса к учебе и нередко
и вовсе закрывает подростку путь к получе-
нию законченного образования. Второгодниче-
ство серьезно нарушает нормальный режим
и работу школы, тормозит планомерную под-
готовку кадров, необходимых народному хо-
зяйству, их поступление на нужные участки
нашего строительства.
Преодолеть второгодничество — первый долг
учителя математики в наступающем учебном
году.
Восьмилетняя школа является основным
фундаментом, на котором строится система
средних специальных учебных заведений (тех-
никумов). Эта утвердившаяся и постоянно
расширяющаяся форма подготовки среднего
командного состава нашей промышленности,
строительства и сельского хозяйства приняла
в текущем учебном году 1,3 миллиона чело-
вен. Качество общей, в том числе математи-
ческой, подготовки этих кадров закладывает-
ся в восьмилетке, и в решении этой огромной
государственной задачи участвует каждый
учитель.
В стране идет процесс непрерывного попол-
нения рабочего класса. Это происходит не сти-
хийно, а по определенному плану не только
в количественном отношении, но и по линии
качественного состава этого пополнения. Су-
ществующая у нас уже три десятилетия и
вполне оправдавшая себя система своевремен-
ной подготовки стабильных кадров рабочего
класса сейчас действует в форме разветвлен-
ной сети профессионально-технических учи-
лищ. Большое государственное значение имеет
постановление Центрального Комитета КПСС
и Совета Министров СССР «О мерах по даль-
нейшему улучшению подготовки квалифициро-
ванных кадров в учебных заведениях системы
профессионально-технического образования».
За три минувших года в народное хозяйство
влилось почти 4 миллиона воспитанников
профтехшколы. Каждый учитель начальной и
средней школы должен трезво оценивать этот
вызванный жизнью, государственными интере-
сами, нашей экономикой естественный про-
цесс. Сейчас он приобретает другую направ-
ленность, сущность которой ясно изложена в
тексте постановления. Новый шаг в этом на-
правлении призван осуществить постепенное
преобразование профессионально-технических
учебных заведений в профтехучилища с 3—4-
летним сроком обучения, где выпускники
8-летних школ будут получать наиболее слож-
ные профессии и одновременно среднее обра-
зование. Эта мера вытекает из общей зада-
чи— предоставления всей молодежи закон-
ченного среднего образования и вместе с тем
2
поднятия научно-технического уровня рабоче-
го класса эпохи строительства коммунизма.
Уже сейчас в такие училища должно быть за-
числено до 50 тысяч человек, а к 1975 г. чис-
ленность приема достигнет 300 тысяч. А в це-
лом, в дневные профессионально-технические
училища страны должно быть принято
почти полтора миллиона человек, что почти на
10% больше, чем в прошлом году. Эти задачи
должны быть ясны для каждого, кто зани-
мается обучением и воспитанием рабочей сме-
ны страны, следовательно, для каждого учи-
теля.
Отсюда естественно вытекает вопрос о про-
фессиональной ориентации наших школьников
и роли каждого учителя в этом государствен-
но важном деле. Известно, что высшие учеб-
ные заведения страны сейчас и в ближайшие
годы могут принять в свои стены не более
20% выпускников средней школы, или одного
из пяти получивших аттестат зрелости десяти-
классников. Педагог должен по-отечески при-
нимать участие в дальнейшей судьбе каждого
выпускника, с полным учетом его интересов
и возможностей по-деловому помочь в выборе
жизненного пути.
На первый план в работе среди учащихся
по их дальнейшей профориентации должна
стать общественная потребность в кадрах раз-
личных профессий. Прежде всего должны
быть учтены нужды и условия развития про-
изводства в той или иной конкретной местно-
сти. Каждый педагог прежде всего должен
поддержать намерения старшеклассников по-
сле окончания школы трудиться на производ-
стве. В условиях расширения среднего обра-
зования все большая часть выпускников пой-
дет работать в сферу материального произ-
водства и обслуживания, к чему и надо их
всесторонне готовить. Особенно важно это в
условиях села. Там школа прежде всего при-
звана обеспечивать потребности деревни в ра-
бочей силе, в специалистах всех категорий.
В свете решений октябрьского Пленума ЦК
КПСС (1968 г.) эта проблема становится осо-
бенно актуальной. С малых лет нужно пробу-
дить у школьников интерес к сельскохозяй-
ственной профессии, настоящий интерес к бу-
дущему любимому делу, который делает учебу
осмысленной и целеустремленной. Учитель-
математик, в течение нескольких лет подряд
работающий с классом, может многое сделать
для пробуждения такого интереса и любви.
Сельская школа пока находится в менее
благоприятных условиях, чем городская, там
хуже обстоит дело с оборудованием, техниче-
скими средствами обучения, с обеспечением
педагогическими кадрами.
Поэтому предметом особой заботы всей си-
стемы народного образования становится сей-
час сельская школа. Это вполне понятно, если
учесть специальные задачи, которые выдвину-
ли партия и правительство по подъему сель-
ского хозяйства, подготовке для него квали-
фицированных кадров, всемерному развитию
культуры на селе в свете общей задачи сти-
рания граней между городом и деревней.
Процесс развития мировой науки, научно-
технического прогресса со всей очевидностью
показал огромную роль в нем математики.
Задача всемерного поднятия математической
подготовки подрастающего поколения, упроче-
ния математических знаний школьников —
требование эпохи. Этим определяется пере-
смотр учебных программ средней школы по
нашему предмету, создание новых учебников,
смелое научное экспериментирование в обла-
сти преподавания. Неизмеримо возрос тот
минимум знаний и подготовки, который тре-
буется сейчас от подростка, идущего на про-
изводство.
Новые требования предъявляет наше время
и к юноше, идущему в армию выполнять свой
первый гражданский долг. Там ждут ново-
бранца, способного к скорейшему овладению
новой техникой, способного в кратчайшие сро-
ки стать хозяином всего того арсенала, кото-
рый подготовила Родина для защиты своих
священных рубежей. Долг педагога-патриота
довести эти мысли до сознания своих воспи-
танников, в таком аспекте должен раскрыться
для них сегодня призыв Ленина к советской
молодежи «Учиться, учиться и учиться!».
Именно эти истины должны помнить наши пи-
томцы, решая задачи, отвечая у доски, готовя
домашние задания по математике.
В последнее время в нашу школу властно
вошли «занятия по интересам». Это явление
продиктовано жизнью, более ранней диффе-
ренциацией интересов учащихся в старших
классах, необходимостью более глубокого раз-
вития индивидуальных способностей учащих-
ся, более глубокой подготовки их к избран-
ной специальности. Педагоги получили широ-
кие возможности выявления подростков с яр-
ко выраженными способностями, своевремен-
ного выявления подлинных талантов.
Частично эти задачи решаются в математи-
ческих школах-интернатах и в классах с ма-
тематической специализацией. Но основной
путь в этом направлении — факультативные
занятия в массовой школе. Математика стоит
на одном из первых мест по количеству фа-
культативных групп, по охвату учащихся. Од-
нако это новое дело еще иуждается в направ-
1*
3
лении и координации, а первый опыт — в серь-
езном изучении и обобщении.
С каждым годом все большее количество
учителей вовлекается в экспериментальную,
исследовательскую, методическую работу. Это
расширяет базу научных обобщений, служит
основой научно-исследовательских работ в си-
стеме Академии педагогических наук.
Недавно ЦК КПСС принял специальное по-
становление о работе этого центра научно-пе-
дагогической мысли нашей страны. Учитель-
ская масса ждет от АПН действенной помощи
в решении новых задач, выдвигаемых жизнью
перед школой. Ученые-педагоги способны
строить свои рекомендации, только опираясь
на широкий опыт мыслящих, ищущих, твор-
чески работающих учителей. Поэтому выпол-
нение задач, поставленных решением ЦК
КПСС перед АПН, возможно лишь при усло-
вии совместных усилий ученых, методистов,
учителей.
Всесоюзный съезд учителей призвал каждо-
го педагога еще выше поднять свою личную
роль в деле подъема советской школы на но-
вую ступень развития. Прошедший после
съезда учебный год несомненно знаменовал
собой повышение уровня учебно-воспитатель-
ной работы школы, труженики педагогическо-
го фронта ответили на призыв Коммунистиче-
ской партии конкретными делами. Но это
только начало выполнения большого наказа
съезда.
Как никогда прежде, требует сегодняшний
день творческого роста учителя. Как известно,
учителя математики видят свою главную за-
дачу сейчас в успешном овладении новыми
программами и учебными пособиями, которые
получает наша школу по этому предмету. Не
может успешно выполнять свой педагогиче-
ский долг тот, кто стоит на месте, не растет
в научном отношении, не оттачивает свое педа-
гогическое мастерство. Ширится система по-
вышения квалификации учителей, но ничем
нельзя заменить его самообразование, его по-
вседневное совершенствование, идейный и
профессиональный рост.
Подготовка к 100-летию В. И. Ленина вы-
звала новый подъем политической активности
нашего народа, усилила стремление глубже
изучить труды великого вождя, углубить
свою марксистско-ленинскую подготовку.
В разнообразных формах развертывается в
сети политического просвещения серьезная ра-
бота над трудами Ленина. Пусть этот год ста-
нет также годом значительного идейного ро-
ста нашей педагогической армии, всех учите-
лей-предметников, в том числе преподавате-*
лей математики.
Учитель математики не может упускать вос-
питательную роль своего предмета. Задача
формирования материалистического мировоз-
зрения, глубокой идейной убежденности в
правоте марксизма-ленинизма должна ре-
шаться на каждом уроке. Наш предмет, фило-
софски осмысленный, сызмальства готовит
школьника к пониманию законов диалектики,
к более глубокому и сознательному восприя-
тию учения Маркса — Ленина. Курс обще-
ствоведения, призванный завершить всю идео-
логическую подготовку нашего школьника к
выработке материалистического мировоззре-
ния, будет в своей философской части более
успешно усвоен ими на основе повседневного,
целенаправленного труда учителя математи-
ки. Идейное воспитание в процессе обучения
на основе данных своей науки — таков закон
работы каждого педагога советской школы.
Задачи обучения и воспитания у нас нераз-
рывны, и каждый учитель должен превращать
свой учебный час в урок коммунистического
воспитания, постепенного выковывания убеж-
денного строителя коммунизма, патриота, бу-
дущего созидателя нового общества.
О значении идеологии в современной борь-
бе двух непримиримых систем, о ее роли в
победоносном движении к коммунизму еще
раз напомнил в своем выступлении на между-
народном Совещании коммунистических и ра-
бочих партий в Москве Генеральный секре-
тарь ЦК КПСС Л. И. Брежнев: «Мы видим,
что наши идеи все шире распространяются в
массах. Сегодня именно марксизм-ленинизм
находится в наступлении, и это наступление
мы должны развертывать все шире. Теперь,
как никогда, важно помнить предупреждение
Ленина о том, что всякое ослабление комму-
нистами идеологической работы, всякое от-
странение от нее ведет к усилению влияния
буржуазной идеологии».
Наша страна готовится отметить 100-летие
В. И. Ленина новыми производственными
успехами на пути коммунистического строи-
тельства. Каждое предприятие, каждый тру-1
довой коллектив взяли на себя конкретные
обязательства и выполнение их считают делом
своей чести.
Задачи наших школ ясно определены: все-
мерное повышение качества учебной и воспи-
тательной работы, подготовка образованной и
всесторонне развитой смены строителей ком-
мунизма. Этот учебный год должен стать в
каждой школе годом высоких показателей, и
под этим девизом должен работать каждый
педагог и каждый школьник.
Н 100-летию
со дня рождения
В. И. Ленина
Воспитание в семье Ульяновых и математика
г. н. ВОЛКОВ
(г. Чебоксары)
Семья Ульяновых была замечательной и
особенной семьей во многих отношениях.
В характерной для семьи атмосфере дружбы,
взаимных забот и сердечных привязанностей
создавались весьма благоприятные условия
для всестороннего развития детей. Вся жизне-
деятельность семьи была пронизана духом
воспитания и педагогики. Что же касается
главы семьи — И. Н. Ульянова, то, пожалуй,
трудно указать еще один пример подобной пе-
дагогической гармонии в семье и в служебной,
общественной деятельности: он был замеча-
тельнейшим педагогом и одновременно образ-
цовым учителем и неповторимым наставником
своих детей.
Мать В. И. Ленина, имея на руках детей
и хозяйство, самостоятельно подготовилась
и сдала экзамены на звание народной учи-
тельницы.
Общеизвестны раздумья Александра Улья-
нова о подготовке человека к деятельности,
полезной обществу, его убийственная критика
отношения правительства к духовной жизни
общества, его беседы с братьями и сестрами,
его огромное влияние на формирование их
взглядов.
В. И. Ленин помогал Анне Ильиничне в
углубленном изучении латыни, много читал
вместе с Ольгой Ильиничной, объяснял ариф-
метические задачи маленькой Марии Ильи-
ничне, занимался в Кокушкине с младшим
братом.
М. И. Ульянова — учительница по образова-
нию и опыту работы, а А. И. Ульянова — та-
лантливый педагог, работник Наркомпроса,
заботливая воспитательница детей Д. И. Улья-
нова, соратница Н. К. Крупской.
Не составлял исключения в этой семье,
сплошь состоявшей из педагогов, Д. И. Улья-
нов— врач, организатор здравоохранения, му-
зейный работник. В своих письмах к родным
он высказывал педагогические взгляды, очень
сходные с мыслями Александра и Владимира
Ульяновых.
Обстановка всей семьи Ульяновых была, та-
ким образом, основательно «педагогизирова-
на». Семья всегда жила очень богатой и ин-
тенсивной интеллектуальной жизнью. Родите-
ли стремились обогащать память своих детей,
если выражаться словами В. И. Ленина, «зна-
нием всех тех богатств, которое выработало
человечество». В числе этих богатств, вырабо-
танных человечеством, одно из важнейших
мест занимала математика.
В семье высоко ценился математический об-
раз мышления, «математический склад ума»
(так оценивались способности юного В. И. Ле-
нина многими — И. Я. Яковлевым, преподава-
телем математики Симбирской чувашской
5
учительской школы, Г. Н. Шебуевым, приват-
доцентом Казанского университета, и други-
ми), ценились обстоятельные, но лаконичные
и точные ответы, гибкость мысли, сообрази-
тельность, умение логически рассуждать, до-
казывать, обосновывать. Двоюродный брат
В. И. Ленина Н. В. Веретенников писал, что
юный Владимир Ильич коротенькой репликой
часто опрокидывал многословные рассужде-
ния.
В домашних занятиях и увлечениях детей
Ульяновых много места занимали так назы-
ваемые сидячие игры, проводившиеся под ру-
ководством И. Н. Ульянова, позднее — под ру-
ководством старших детей, в том числе и
Владимира Ильича. Это было решение зани-
мательных задач, разбор математических со-
физмов, устный счет, игра в «омонимы», в
«пословицы», отгадывание загадок, шарад,
расшифровка ребусов. Эти игры тренировали
память, будили мысль, развивали сообрази-
тельность.
Немало своеобразного и содействующего
развитию логического мышления было в отга-
дывании шарад. Так, например, в семье Улья-
новых «классической шарадой считалось: пер-
вое из целого творится, целое последнего
боится (виноград)...».
Не проходила бесследно для развития детей
и игра в шахматы. Отец сначала учил, затем
играл со всеми сыновьями, шахматы знали и
все дочери Ильи Николаевича. Прекрасно
играл в шахматы и В. И. Ленин.
Развитию математических способностей и
интереса к математике способствовало и окру-
6
жение, круг знакомых и друзей И. Н. Ульяно-
ва: И. Я. Яковлев, много лет преподававший
математику в учительской школе, Н. М. Охот-
ников, по словам А. И. Ульяновой, имевший
большие способности к математике, Н. И, Ве-
ретенников, учитель математики и физики,
Г. Н. Шебуев, многие преподаватели матема-
тики гимназии и других городских школ.
И. Н. Ульянов в воспитании своих детей
в семье широко использовал как наиболее
эффективное средство естественные науки, в
числе которых первое место принадлежало
математике. Он находил время и возмож-
ность, чтобы внимательно следить за матема-
тическим развитием детей, руководил их до-
полнительными занятиями математикой.
В Кокушкине нередко возникали «матема-
тические состязания» между детьми Ульяно-
вых и Веретенниковых, в ходе которых зада-
чи на смекалку и сообразительность предла-
гал и Илья Николаевич. Деревня, лес, река,
поле, крестьянская жизнь использовались от-
цом для развития у детей способности смот-
реть на окружающую жизнь, по выражению
Н. К- Крупской, «сквозь математические оч-
ки», о чем, между прочим, свидетельствует и
случай, описанный Н. Веретенниковым в кни-
ге «Володя Ульянов» (М., Детгиз, I960).
Подпасок Бахавий раньше времени пригнал
стадо, и пастух Антон начал бранить -его за
это.
«— Да как же без часов узнает он время?—
заступается Володя.
— Отмерил четверо лаптей, вот и узнал! —
возражает Антон».
Однако ни Володя, ни Николай не пони-
мают, как это лапти могут заменить часы.
Только после наглядного разъяснения Ан-
тона и Бахавия они поняли, что в полдень в
это время года отбрасываемая человеком тень
равна длине четырех его ступней (предпола-
гается, что ступня пропорциональна росту).
Любопытно, что Володя тут же припомнил
о гномоне — древнем астрономическом инстру-
менте (вертикальной палочке, отбрасывающей
тень), при помощи которого первые астроно-
мы— тоже пастухи — определяли высоту солн-
ца. Простой, без всякого поучительства, рас-
сказ Володи заинтересовал не только Николая
Веретенникова и татарского мальчика Баха-
вия, но и старика Антона.
По воспоминаниям А. И. Ульяновой, в лет-
нюю пору, когда вместе собирались двоюрод-
ные сестры и братья, они очень дружно игра-
ли, с увлечением отгадывали загадки. В играх
принимал участие и И. Н. Ульянов, который
очень тактично переключал внимание детей на
полезные занятия, заботливо вел их от зага-
док к задачам, предлагая для отгадывания
собственные загадки с явным математическим
уклоном, арифметические вопросы на сообра-
зительность, простые задачи на смекалку.
Позднее совместные занятия отца и детей ма-
тематикой становились все более содержа-
тельными и систематическими, о чем, напри-
мер, свидетельствует следующий отрывок из
письма Александра: «Посылаю папе брошюру
«Математические софизмы», которую он очень
желал иметь. Володе, я думаю, она может
быть очень полезна, если он станет самостоя-
тельно разбирать эти софизмы».
Как вспоминал А. И. Яковлев, ближайший
друг детства Д. И. Ульянова, в семье Ульяно-
вых в иные годы появлялся даже домашний
сборник задач, составленный из задач, при-
думанных детьми во время занятий, проводи-
мых отцом. Сохранились документальные под-
тверждения об интересных задачах, приду-
манных в свое время Владимиром Ильичем.
Отчеты И. Н. Ульянова до представления в
Учебный округ непременно обсуждались им
совместно с И. Я. Яковлевым, окружным ин-
спектором чувашских школ. Более того, печа-
тание многих отчетов осуществлялось в Каза-
ни Яковлевым, который был в 1870—1875 гг.
студентом университета. Сохранились письма
И. Н. Ульянова к И. Я. Яковлеву с просьбой
править корректуру и ускорить печатание.
Именно в отчете за 1872 г„ отпечатанном в
Казани при участии Яковлева, И. Н. Ульянов
отмечал крупные недостатки в преподавании
арифметики в чувашских школах: немногие
учителя обучают счету практическим путем,
посредством наглядного применения палочек,
счетов и т. д.; «...в большей части училищ уче-
ники знали только четыре действия над целы-
ми числами и затрудняются в решении даже
несложных задач». После посещения десятков
чувашских школ И. Н. Ульянов делает заме-
чания по существу недостатков преподавания
арифметики: ученики слабо ознакомлены с
мерами длины и слабо производят арифмети-
ческие исчисления в уме; очень слабы навыки
арифметических действий на счетах; имеют
смутное представление о десятине и вообще о
квадратных мерах; имеют пробелы в навыках,
неооходимых при производстве арифметиче-
ских действий, и др.
И. Н. Ульянов рекомендовал при изучении
основ геометрии изготовлять из бумаги и кар-
тона геометрические фигуры, чтобы учащиеся
могли все пространственные понятия пред-
ставлять вполне конкретно. Между прочим,
этим занимались дома и дети Ульяновых.
В. И. Ленин рано начал прислушиваться к
разговорам отца с И. Я. Яковлевым и други-
ми учителями о важности математических
знаний в жизни подрастающего поколения.
Ему не раз доводилось слышать беседы этих
двух инспекторов об улучшении преподавания
арифметики после их возвращения из совмест-
ной инспекторской поездки по школам Сим-
бирской губернии.
Отчет за 1879 г., к примеру, до печатания
обсуждался Ульяновым при участии Яковле-
ва. Обсуждение проходило дома, продолжа-
лось у Яковлева. Читали отчет вслух, наме-
чали меры по улучшению математического об-
разования. Радость И. Н. Ульянова по поводу
улучшения преподавания математики выска-
зана в отчете вполне определенно: «Успехи
детей по арифметике весьма удовлетворитель-
ны: старшие и младшие мальчики и девочки
обнаруживают в умственном и письменном ре-
шении задач гибкость ума, сообразительность,
дельность и вообще твердое знание. Учителя
используют жизненные примеры и идут путем
легких счислений постепенно возрастающей
трудности... К некоторым недостаткам в пре-
подавании арифметики относится то, что мно-
гие обособляют устный счет от письменного
решения задач».
Радость отца по поводу улучшения препо-
давания математики в школах косвенно со-
действовала пробуждению у юного В. И. Ле-
нина мысли о важности этой науки. В. И, Ле-
нин видел, как его отец высоко ценит в моло-
дежи математический талант и увлеченность
математикой.
На одном из учительских съездов
И. Н. Ульянов поручил молодому Н. М. Охот-
никову вести с учителями занятия по матема-
тике. А в августе 1882 г. талантливого юношу
взял с собой в Москву на научно-педагогиче-
скую выставку.
И. Н. Ульянов ценил систему знаний, гар-
монический характер образования, всесторон-
нее развитие, заботился о поддержании инте-
реса ко многим наукам при доминирующем
интересе к математике, внушал своему юному
коллеге мысль о необходимости математики
для получения широких знаний во многих об-
ластях науки. Если до поездки на выставку
7
двадцатидвухлетний Охотников занимался ис-
ключительно изучением математических книг,
то после нее под влиянием И. Н. Ульянова
круг его интересов заметно расширился:
«С этого времени, кроме книг математических,
я начал читать книги естественно-историческо-
го и технического содержания». Тем не менее
Н. М. Охотников признавал решающее значе-
ние математики для его самообразования и
участия в работе математической секции Об-
щества естествоиспытателей при Казанском
университете.
Когда И. Н. Ульянов познакомился с
Н. М. Охотниковым, Владимиру Ульянову бы-
ло 12 лет. Н. М. Охотникова И. Н. Ульянов
приглашал к себе домой и подолгу с ним бе-
седовал. Он, между прочим, первым пробудил
в нем мысль о поступлении в университет, на
тот самый факультет, который окончил сам
почти 30 лет тому назад. Однако у Охотнико-
ва не было аттестата зрелости. Мечта об уни-
верситете казалась заманчивой, но неосуще-
ствимой. И. Н. Ульянов не мог, естественно,
предвидеть, что в осуществлении мечты та-
лантливого математика главную роль сыграет
его сын — Владимир.
Владимир Ильич довел до конца дело, на-
чатое отцом, подготовил Н. М. Охотникова к
сдаче экзаменов на аттестат зрелости.
Учитель и ученик относились друг к другу
с уважением. Н. М. Охотников своего сына в
честь В. И. Ленина назвал Владимиром.
В. И. Ленин был первым учеником в классе
по всем предметам, особенные успехи имел в
математике. Он охотно помогал в объяснении
трудных задач не только своим товарищам, но
и учащимся, жившим по соседству, например
восьмилетнему ученику приходской школы
Н. Нефедьеву, которому трудно давалась ма-
тематика.
Особенно много приходилось заниматься
математикой в классе. «В VIН классе нам
предстояло держать трудные экзамены по ма-
тематике, и мы просили Ильича помочь нам.
Собирались человек 5—6 в классе и с по-
мощью Ульянова решали трудные задачи»,—
вспоминает М. Ф. Кузнецов, один из одно-
классников В. И. Ленина.
М. Ф. Кузнецов рассказывает, что Влади-
мир Ильич любил заниматься математикой и
мог без затруднения решать задачи из сбор-
ника задач, предлагавшихся в то время на
аттестат зрелости. Он описывает работу
кружка любителей математики, который об-
разовался благодаря Владимиру Ильичу.
У В. И. Ленина и позднее не падал деловой
интерес к математике и к ее преподаванию, о
чем свидетельствует и то, что он находил вре-
мя следить за математической литературой.
Интерес к математике, пробужденный отцом в
юные годы, сохранился до самой смерти. Об
этом, между прочим, свидетельствует и фонд
библиотеки В. И. Ленина в Кремле. В этой
библиотеке, по существу являющейся семей-
ной библиотекой и заботливо комплектовав-
шейся годами по инициативе самого В. И. Ле-
нина и Н. К- Крупской, много математических
книг. Например, только по теории относитель-
ности в библиотеке В. И. Ленина имеется
14 книг; чтение их требует глубоких матема-
тических знаний. В числе книг В. И. Ленина
труды А. В. Васильева «Целое число»,
Л. Д. Исакова «На все времена, для всех
народов» (очерки по истории метрической си-
стемы), Л. Ф. Мантеля «Теория вероятно-
стей в области предсказаний», две книги
Г. Н. Попова «Культура точного знания в
древнем Перу», «Псаммит Архимеда» (исчис-
ление песчинок) и другие.
В числе учебников и учебных пособий, хра-
нящихся в кремлевской библиотеке В. И. Ле-
нина, преобладают книги по математике. На-
зовем некоторые из них. Это «Элементарная
алгебра» И. Вульфа и Д. Цинзерлинга,
«Сборник арифметических задач» И. Вере-
щагина, «Народный задачник для школ
первой ступени» С. Глазенапа, «Элемен-
тарная геометрия» Н. 3 в е р е в а, оба выпуска
книги «Живой счет в городской школе»
Е. Звягинцева и А. Бернашевского,
«Сборник задач по аналитической геометрии
на плоскости» А. Казарова, «Самодельная
логарифмическая линейка» Н. К а Меньши-
кова, «Новый задачник по геометрии» Я. П е-
рельмана, «Концентрический сборник алге-
браических задач» В. Фридмана и многие-
многие другие.
В. И. Ленин проявлял постоянный интерес
к проблемам улучшения преподавания мате-
матики в школе. Его интересовали и вопросы
содержания школьного математического кур-
са, и проблемы учебников, и усовершенство-
вание методических приемов. Он детально об-
суждал с Н. К. Крупской, А. В. Луначарским
вопросы улучшения народного образования, в
частности и математического.
В. Г. БОЛТЯНСКИЙ,
и. м. яглом
(Москва)
НАУЧНЫЕ ОСНОВЫ
ШКОЛЬНОГО КУРСА
МАТЕМАТИКИ
Геометрия в старших классах
средней школы
1.	ВВЕДЕНИЕ
В объяснительной записке к утвержденным
Министерством просвещения СССР програм-
мам по математике для средней школы под-
черкнута возможность различных вариантов
построения курса стереометрии в IX—X клас-
сах. Приведем этот текст полностью (см. «Ма-
тематика в школе», 1968, № 2, стр. 16).
«Программа не предрешает, будет ли изложение на-
чал стереометрии начинаться с перечисления простран-
ственных аксиом соединения, или же, опираясь на на-
глядные соображения, будут сформулированы свойства
операций над векторами, которые и лягут в основу
дальнейшего дедуктивного построения курса в качестве
аксиом.
На первом пути кажется неизбежным по-прежнему
опираться при изложении стереометрии на всю сово-
купность ранее установленных фактов планиметрии, не
смущаясь тем, что курс планиметрии восьмилетней шко-
лы либо совсем лишен аксиоматической базы (в ныне
действующих учебниках упоминаются лишь отдельные
примеры аксиом), либо (в соответствии с пожеланиями
этого проекта) может быть построен на основе избыточ-
ной трудно обозримой системы аксиом.
Второй путь позволяет предложить вниманию уча-
щихся обозримую полную аксиоматику геометрии. Но
для нашей школы он является совсем новым».
Нам кажется, что приведенный текст объяс-
нительной записки многим учителям матема-
тики будет недостаточно ясен. Настоящая
статья преследует цель разъяснить его смысл
и наметить возможные пути построения курса
геометрии IX класса средней школы. Основ-
ным здесь является вопрос о согласовании но-
вого для средней школы понятия вектора с
традиционным (синтетическим) материалом.
Возможно построение курса стереометрии, с
самого начала базирующееся на понятии век-
тора. Возможно также изложение, в котором
понятие вектора появляется примерно в се-
редине курса (перед разделами, связанными
с перпендикулярностью в пространстве). На-
конец, возможно и такое изложение, при кото-
ром основной теоретический материал изла-
гается традиционными методами, а векторы
появляются лишь в конце курса как мощное
средство решения задач.
Первый вариант (два пути реализации ко-
торого намечены в пунктах 2, 3, 4 этой статьи)
предполагает наличие у учащихся, пришедших
из восьмилетней школы, четких простран-
ственных представлений. Предполагается, что
они знают (чисто наглядно, без какого бы то
ни было строгого обоснования), что такое
прямые и плоскости в пространстве, что такое
параллельные прямые и плоскости и т. д.
В противном случае может возникнуть опас-
ность отрыва (в сознании учащихся) абстракт-
ного векторного построения стереометрии от
реальных (зрительных и осязательных) пред-
ставлений. Весьма существенно здесь также
предварительное знакомство учащихся с по-
нятием вектора и со свойствами векторов, так
как в противном случае аксиомы геометрии
окажутся трудными в силу своей непривычно-
сти. Таким образом, для возможности осу-
ществления этого пути необходимо особо
углубленное прохождение тем 5 и 6 курса гео-
метрии VII класса. Несмотря на кажущуюся
трудность такого пути построения стереомет-
рии (в основном из-за его новизны), мы ду-
маем, что в будущем он станет основным —
в первую очередь в силу его близости совре-
менным научным воззрениям.
Напротив, третий путь построения стерео-
метрии (видимо, самый легкий для учителя,
поскольку он требует наименьшей ломки тра-
диционно сложившейся системы изложения)
9
кажется нам сегодня довольно архаичным.
К тому же этот путь не обеспечивает привыч-
ку учащихся к векторному аппарату и свобо-
ду пользования им при решении задач.
Второй, компромиссный путь (пункты 5, 6
этой статьи) является более приемлемым. Он
обеспечивает повторение первоначального ма-
териала пространственной геометрии, закреп-
ление и углубление пространственных пред-
ставлений до введения векторного аппарата.
Вместе с тем векторы появляются в курсе до-
статочно рано, причем они используются не
только при решении задач, но и как средство
доказательства основных теорем о перпенди-
кулярности прямых и плоскостей в простран-
стве.
2.	ВЕКТОРНЫЙ ПУТЬ ОБОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ
Традиционный путь построения геометрии,
идущий от Евклида и закрепленный Д. Гиль-
бертом в его аксиоматике геометрии (1899),
заключается в следующем. Основными, неоп-
ределяемыми понятиями геометрии служат
понятия точки, прямой, плоскости. Основны-
ми, неопределяемыми отношениями меж-
ду ними являются: отношения принадлежно-
сти (например, точка лежит на прямой, пло-
скость проходит через прямую и т. д.); поня-
тие «между», являющееся отношением трех
точек одной прямой и позволяющее опреде-
лить отрезок, луч, угол и т. д.; отношение ра-
венства (конгруэнтности), связывающее два
отрезка или два угла. Формулируются два де-
сятка аксиом, связывающих между собой ос-
новные понятия и отношения (и, по существу,
дающих косвенное определение этих основ-
ных понятий и отношений). Среди этих аксиом
имеются такие хорошо известные, как: «Через
две различные точки проходит единственная
прямая», «Из трех точек одной прямой лишь
одна лежит между двумя другими», — а так-
же аксиома параллельности и ряд других. Все
остальные понятия геометрии уже точно
определяются; предложения геометрии
(отличные от аксиом) строго доказыва-
ются (т. е. выводятся из аксиом в соответ-
ствии с правилами логики).
Этот путь построения евклидовой геомет-
рии является самым известным, но отнюдь не
единственно возможным. В частности, можно
осуществлять построение геометрии исходя из
других первоначальных (неопределяемых) по-
нятий и отношений, разумеется, пользуясь в
этом случае другой системой аксиом. Так,
можно отбросить равенство из списка перво-
начальных отношений, введя вместо него (как
одно из первоначальных понятий) движение
и определив равные отрезки или углы как
такие, которые переводятся один в другой с
помощью некоторого движения. Такой путь
построения геометрии имеет свои преимуще-
ства. В наиболее совершенном виде он был
разработан Ф. Шуром (1912), аксиоматика
которого по своей стройности и по известно-
сти вполне может соперничать с гильбертовой.
Совершенно иной путь построения геомет-
рии был предложен (1917) знаменитым не-
мецким математиком Г. Вейлем. В качестве
основных, неопределяемых понятий и отноше-
ний геометрии в аксиоматике Вейля принима-
ются: вектор, точка, сумма векторов, произве-
дение вектора на действительное число, ска-
лярное произведение векторов и откладывание
вектора от точки. Прямые, плоскости, равен-
ство фигур и т. п. определяются через эти
первоначальные понятия и отношения.
Приведем список аксиом Вейля (в одном
из вариантов).
I группа: аксиомы сложения векторов
(групповые аксиомы)
Основное отношение: каждым двум векто-
рам а, b однозначно сопоставляется третий
вектор, называемый их суммой и обозна-
чаемый через a -f- b.
Ij. (а + Ь) + с *~а + (Ь + с) для любых
трех векторов а, Ь, с-
I2.	a -f- b = b 4- а для любых двух век-
торов а, Ь.
13.	Существует такой вектор 0, что
а 4-0 = а для любого вектора а (вектор
0 называют нулевым вектором).
14.	Для любого вектора а _найдется
такой вектор а', что а-\-а' — 0 (вектор а'
называется вектором, противополож-
ным вектору а, и обозначается через — а).
II группа: аксиомы умножения векто-
ра на число (аксиомы линейного прост-
ранства)
Основное отношение: каждому вектору а
и каждому числу k однозначно сопоставля-
ется новый вектор, называемый произведе-
нием вектора а на число k и обозначаемый
через ka-
II,. 1а = а для любого вектора а.
П2. Л (/а) =(£/) а для любого вектора
а и любых действительных чисел k, I.
II3. (k -f-1) а = ka 4- la для любого век-
10
тора а и любых действительных чисел
k, I.
II4. k(a 4-ft) •= ka -{-kb для любых век-
торов а, b и любого действительного
числа k.
Ill группа: аксиомы скалярного про-
изведения (метрические аксиомы)
Основное отношение: каждым двум век-
торам а, b однозначно сопоставляется неко-
торое (действительное) число, называемое
их скалярным произведением и обозна-
чаемое через аЪ.
III,. ab = ba для любых двух векторов
а, Ь. _
Ш2. (а -|- Ь) с== ас -f- Ьс для любых трех
векторов а, Ь, с.
Ш3. (ka)b’=k(ab) для любых векторов
а, Ъ и ^любого действительного числа k.
Ш4._аа^>0 для любого вектора а (чис-
ло аа называется скалярным квадратом
вектора а_и обозначается также через а2;
число а2 обозначается через |а| и назы-
ваетсядлиной вектора а).
1П5. а2“0 только в случае, если а = 0.
IV группа: аксиомы размерности
Определение: векторы а2, .... ат
называются линейно зависимыми, если
существуют такие числа klt k2, ..., km, хо-
тя бы одно из которых отлично от нуля,
что
+ k2a2 + ... 4- kmam = 0.
Если векторы не являются линейно зави-
симыми, то они называются линейно неза-
висимыми.
IVP Существуют три линейно неза-
висимых вектора.
IV2. Любые четыре вектора линейно
зависимы.	*
V группа: аксиомы откладывания
вектора
Основное отношение: каждой паре точек
Л, В однозначно сопоставляется некоторый
вектор а, обозначаемый через лВ.
V,. Для любой точки А и любого век-
тора а найдется такая точка В, что
АВ — а (в этом случае говорят, что точ-
ка В получается в результате отклады-
вания вектора а от точки А).
V2. АВ + ВС = АС для любых трех
(не обязательно различных) точек А, В, С.
V3. Если AB — Q, то точки А и В сов-
падают.
Аксиомами этих пяти групп и исчерпывает-
ся аксиоматика геометрии по Вейлю.
Прежде чем переходить к схематическому
описанию плана построения геометрии на
основе этой аксиоматики, остановимся корот-
ко на научном значении схемы Вейля.
Напомним, что основным достоинством
гильбертовой схемы, обеспечившим ее победу
над другими близкими по времени система-
ми обоснования геометрии (М. Пиери,
В. Ф. Кагана и др.), является научно обосно-
ванное членение его системы аксиом на от-
дельные группы. Каждая из этих групп содер-
жит аксиомы, характеризующие ту или иную
категорию свойств евклидова пространства
(аксиомы принадлежности, аксиомы порядка,
аксиома параллельности и др.). Не только вся
аксиоматика в целом, но и несколько отдель-
ных групп аксиом определяют достаточно
содержательную геометрию. Так, исключив из
системы аксиом Гильберта аксиомы равен-
ства, мы получаем аксиоматику свободного от
метрики аффинного пространства; Исключив
аксиому параллельности, мы приходим к абсо-
лютной геометрии, введенной Я.' Бояи, а за-
менив эту аксиому ее отрицанием, мы прихо-
дим к аксиоматике неевклидовой геометрии
Лобачевского. Тесно связана аксиоматика
Гильберта также с различными неархимедо-
выми геометриями (в которых не существует
единого процесса измерения отрезков).и т. д.
Система аксиом Вейля обладает аналогич-
ными достоинствами. Первая и вторая груп-
пы его аксиом вводят понятие векторного про-
странства. Это понятие играет самую перво-
степенную роль как в самой математике, так
и в большинстве ее приложений. Оно исполь-
зуется в современной алгебре и геометрии,
теории функций и теории вероятностей, в тео-
ретической физике и математической биоло-
гии, в экономике и лингвистике. Вообще се-
годня, видимо; невозможно указать такую об-
ласть науки, где при математическом описа-
нии изучаемых явлений не использовалась бы
концепция векторного пространства. Далее,
первая, вторая и пятая группы аксиом Вейля
определяют’ аффинное пространство. Особую
роль играет в аксиоматике Вейля четвертая
группа аксиом. Замена в аксиомах IVj и IVg
чисел три и четыре соответственно на два и
три приводит нас к гермятрии на плоскости
11
(планиметрии), а замена этих же чисел на
п и п + 1 — к так называемому п-мерному
евклидову (или аффинному) пространству,
играющему чрезвычайно важную роль в со-
временной математике и ее приложениях
(и, кстати сказать, трудно описываемому на
языке гильбертовой аксиоматики). Еще одна
модификация четвертой группы аксиом при-
водит к понятию (бесконечномерного!) гиль-
бертова пространства, играющему фундамен-
тальную роль в современном анализе и теоре-
тической физике (в первую очередь — в кван-
товой механике). Далее, ограничиваясь здесь
случаем двумерного пространства, можно ука-
зать, что замена аксиомы Ш4 утверждением
о существовании таких (ненулевых!) векторов
«1 и а2, что а1 21 >0, a g!2 < 0 (и отказ от аксио-
мы IП5), приводит нас к понятию псевдоевкли-
дова пространства Минковского, являющегося
математическим фундаментом теории относи-
тельности Эйнштейна, а сохранение аксио-
мы Ш4 и замена аксиомы Ills утверждением
о существовании таких ненулевых векторов
и а2, что а21 >0, а а22 = 0,— к так называе-
мой полуевклидовой геометрии, так же свя-
занной с классической механикой Галилея и
Ньютона, как связана псевдоевклидова гео-
метрия с (релятивистской) механикой Эйн-
штейна (Аналогично определяются и много-
мерные псевдоевклидово и полуевклидово про-
странства, в частности — четырехмерные про-
странства, наиболее точно описывающие свой-
ства окружающего нас пространства — време-
ни ) Наконец, простое переименование объек-
тов трехмерного векторного пространства,
а именно — условие о том, что точками назы-
ваются его одномерные подпространства (пря-
мые), а прямыми — двумерные подпростран-
ства (плоскости), приводит нас к плоской про-
ективной геометрии, а такое же переименова-
ние, примененное к трехмерному евклидову,
соответственно псевдоевклидову пространст-
ву,— к плоским неевклидовым геометриям Ри-
мана и Лобачевского 2. (Аналогично можно по-
лучить пространственную проективную и не-
евклидову геометрии исходя из четырехмерных
геометрий, определяемых по схеме Вейля,
а n-мерные геометрии — из (п+1)-мерных
геометрий.) Этот ряд модификаций схемы Вей-
ля, приводящих к содержательным геометри-
ческим конструкциям, может быть еще про-
должен.
1 Относительно всех этих геометрий см., например, вы-
пускаемую вскоре в свет издательством «Наука» книгу
И. М. Яглома «Принцип относительности Галилея н
неевклидова геометрия».
2 См. предыдущую сноску.
Таким образом, по богатству заключенных
в ней идей аксиоматика Вейля намного пре-
восходит аксиоматику Гильберта. Более того,
если аксиоматика Гильберта, по существу, об-
ращена в прошлое геометрии, проливая
яркий свет на отдельные этапы исторической
эволюции учения о пространстве и возникав-
шие в прошлом затруднения (неевклидова
геометрия Лобачевского, неархимедова гео-
метрия Веронезе, геометрия порядка Паша
и т. д.), то пафос аксиоматики Вейля состоит
в ее устремленности в будущее, в ее тес-
нейшей связи с наиболее актуальными и раз-
вивающимися разделами современной науки.
3. ПОСТРОЕНИЕ ГЕОМЕТРИИ ПО СХЕМЕ ВЕЙЛЯ
Наметим теперь вкратце основные этапы
построения геометрии, исходя из аксиома-
тики Вейля.
а) Прежде всего следует сделать чисто
алгебраические выводы из аксиом I, II и
IV групп. Так, например, аксиома !3 ут-
верждает, что существует (хотя бы
один) нулевой вектор, но там вовсе не ут-
верждается, что такой вектор 0 имеется
лишь один. То же относится к противо-
положному вектору (аксиома 14). Оказыва-
ется, что исходя из аксиом можно ’ дока-
зать, что имеется лишь один нулевой вектор
и что для каждого вектора а имеется един-
ственный противоположный ему вектор —а.
Далее, выводится, что уравнение ах = b
всегда однозначно разрешимо, что позволя-
ет ввести понятие разности векторов
(Ь — а=>х). Более того, однозначно разре-
шимо и любое уравнение вида а 4- kx =- Ъ
(где k z/z(6). Из аксиом вытекает также, что
с векторными равенствами можно обращать-
ся так же, как с числовыми; в частности,
слагаемые можно переносить из одной части
равенства в другую, меняя стоящие перед
ними знаки на противоположные, можно при-
водить подобные члены и т^п. Устанавли-
ваются также равенства 0£»=0, Л0 = 0 и
— (kb) = (— k) b, справедливые для любого
вектора b и любого действительного чис-
ла k. Завершается эта первая глава курса
геометрии доказательством того, что любой
вектора может быть однозначно разло-
жен по любым трем линейно независимым
векторам ех, е2, т. е. представлен в ви-
де их линейной комбинации
а = kxey 4- k2e2 4* k3e3.	(1)
Для того чтобы пояснить читателю, как
работают аксиомы в этой первой! части кур-
12
са, наметим вывод формулы (1) из аксиом
и ранее доказанных предложений (предпо-
лагая, что понятие суммы векторов уже
распространено на случай более двух сла-
гаемых и дистрибутивный закон П4 также
распространен на случай более двух сла-
гаемых).
Так как у нас имеются четыре век-
тора а, еъ е2, е3, то по аксиоме IV2 они
линейно зависимы, т. е. можно найти такие
числа а, р2, ₽з» из которых хотя бы одно
отлично от нуля, что
аа +	+ ₽2^2 + ₽ЗеЗ = 0-	(2)
Если бы было а = 0, то мы имели бы аа —
-^0а — 0. Но тогда написанное равенство
приняло бы вид
0 + ^1 +₽2ё2 + ₽з^з = ®, _или -Ь ₽2£?2+
+ ₽ЗеЗ = 0»
что противоречит линейной независимости
векторов elt е2, е3 (ибо поскольку а=0,
то хотя бы одно из чисел р2, рз должно
быть отлично от нуля).
Таким образом, а^ДО. Умножим обе части
равенства (2) на число -i-:
-1-	(аа +	+ $2ё2 4- ₽3ё3) = -1--0. (3)
Справа стоит нулевой вектор (ибо -~0 =
— б). В левой же части можно раскрыть
скобки (ср. аксиому П4), и мы получим
4-(а«) + -г^)4--^М +
+ 4-<₽зё3) = 0.	(4)
Теперь на основании аксиом П2 и II, имеем
4- (аа)=(4—)а=~ а
и
4<fe>-	4 (₽»?.) —М»-
Таким образом, равенство (4) упрощается:
«+4гг1+-Г*2 + 4гёз = О.
Перенося теперь последние три слагаемых
в правую часть, получаем
Воспользовавшись теперь равенством
— (kb) = (— k)b,
получаем
a = (-A)?,+(_A)5i+(_A)?3.
Обозначив числа —, —, — через А,,
а	а	а г 1
k2, k3, получим равенство (1).
Далее нужно доказать единствен-
ность разложения (1), т. е. то, jito если,
кроме разложения (1), мы имеем a = k}el-\-
+ ^2+ к3е3, то непременно ki = kx, k2 = k2,
k'3 = k3. Это доказательство также неслож-
но (оно базируется на том, что векторы е,,
е2, е3, по предположению, линейно не-
зависим ы).
При школьном изложении геометрии по схе-
ме Вейля описываемая алгебраическая часть
должна быть сведена к минимуму. В частно-
сти, сокращение может быть достигнуто за
счет использования избыточной системы
аксиом, так, например, требование единствен-
ности нулевого вектора вполне может быть
включено в условие аксиомы 1з, а требование
единственности противоположного вектора —
в условие аксиомы U3.
б) После изучения алгебры векторов можно
определить понятия прямой и плоскости.
Делается это следующим образом.
Определение 1. Пусть А и В — две раз-
личные точки. Прямой АВ называется мно-
жество всех таких точек М, что векторы АВ и
AM линейно зависимы.
Теорема I. Если Р и Q — две различные
точки прямой АВ, то прямая PQ совпадает
с прямой АВ.
Эта теорема утверждает, что прямая опре-
деляется любыми двумя своими точками.
Заметим еще, что из определения 1 непосред-
ственно вытекает теперь, что через любые две
различные точки проходит прямая и притом
только одна.
Определение 2. Пусть А, В, С —три
точки, не принадлежащие одной прямой.
Плоскостью АВС называется множество
всех таких точек М, что векторы АВ, АС и AM
линейно зависимы.
Теорема 2. Если Р, Q, R — три точки пло-
скости АВС, не лежащие на одной прямой, то
плоскость PQR совпадает с плоскостью АВС.
3 Заметим, что, строго говоря, также и аксиома 12
приведенного выше списка аксиом является излишней,
поскольку она может быть выведена из остальных ак-
сиом; однако в школьном преподавании эго обстоятель-
ство, бесспорно, следует игнорировать.
13
Эта теорема утверждает, что плоскость
определяется любыми тремя своими точка-
ми, не лежащими на одной прямой.
Теорема 3. Если две точки прямой I со-
держатся в плоскости а, то все точки прямой t
принадлежат плоскости а. (В этом случае го-
ворят, что прямая I лежит в плоскости а.)
Теорема 4. Если две плоскости имеют
одну общую точку, то найдется еще одна об-
щая точка этих плоскостей.
Теорема 5. Две произвольные плоскости
либо совпадают, либо не имеют общих точек,
либо, наконец, множество всех общих точек
этих плоскостей представляет собой прямую.
Определение 3. Две плоскости называ-
ются параллельными, если они либо сов-
падают, либо не имеют общих точек.
Следует отметить, что в противоположность
укоренившейся в школе традиции здесь пред-
лагается считать две совпадающие плоскости
частным случаем параллельных плоскостей.
Это замечание ни в какой мере не относится
только к вейлевской аксиоматике, а имеет об-
щий методологический характер и позволяет
в ряде случаев упростить формулировки тео-
рем и устранить часто допускающиеся неточ-
ности. Так, сформулированная ниже тео-
рема 6 (выражающая свойство транзитив-
ности понятия параллельности, о чем будет
идти речь ниже) при принятом в школе пони-
мании параллельности является неточной.
Действительно, если плоскости а и ₽ совпада-
ют, а у им параллельна, то а || у и 01| у, но
плоскости а и 0 не считаются параллельными
(они не параллельны, а совпадают!). При та-
ком понимании параллельности корректной
была бы следующая формулировка: две пло-
скости, параллельные третьей, либо парал-
лельны, либо совпадают. Подобные замечания
можно сделать по поводу многих теорем
школьного курса геометрии.
Но дело заключается не только в устране-
нии неточностей или упрощении формулиро-
вок. Фундаментальную роль во всей матема-
тике играют отношения, связывающие
два объекта того или иного рода (так назы-
ваемые бинарные отношения). Например,
к ним относятся: отношение меньше, связываю-
щее два числа; отношение подобия, связываю-
щее две фигуры; отношение равносильности,
связывающее два уравнения, и т. д. При этом
важнейшими типами бинарных отношений яв-
ляются так называемые отношения эквива-
лентности и отношения порядка. Бинарное
отношение а~Ь называется отношением экви-
валентности, если оно обладает следующими
тремя свойствами (верными для любых рас-
сматриваемых объектов а, Ь, с, . . .):
i)	рефлексивностью: а~а-,
2)	симметричностью: если а~Ь, то
Ь~а\
3)	транзитивностью: если а~Ь и
Ь~с, то а — с.
Из числа изучаемых в школе бинарных от-
ношений к отношениям эквивалентности при-
надлежат равенство, подобие, равносильность
уравнений и многие другие. (Отношение мень-
ше принадлежит к числу отношений порядка,
о которых мы здесь подробно говорить не бу-
дем4.) Значение отношений эквивалентности
состоит в том, что они позволяют разбить все
множество рассматриваемых объектов на
классы эквивалентности: любые два объекта,
принадлежащие одному классу, эквивалентны
между собой, в то время как объекты, взятые
из разных классов, неэквивалентны. Так, все
плоские фигуры можно разбить на классы по-
добных фигур, все уравнения — на классы
равносильных уравнений и т. д.
Понятие параллельности (прямых или пло-
скостей) при бытующем в школе определении
отношением эквивалентности не является
(оно не удовлетворяет условиям рефлексивно-
сти и транзитивности). Между тем достаточно
условиться считать совпадающие прямые или
плоскости параллельными, и мы получим по-
нятие параллельности, обладающее всеми тре-
мя свойствами, т. е. являющееся отношением
эквивалентности. Классами эквивалентности
при таком определении будут пучки парал-
лельных плоскостей (или прямых); в случае
прямых эти классы эквивалентности часто на-
зывают направлениями на плоскости (см.,
впрочем, ниже, стр. 19). Понятие направле-
ния, понимаемое таким именно образом, вхо-
дит в новую школьную программу по мате-
матике.
Итак, принятое выше определение 3 не толь-
ко устраняет неточности и упрощает форму-
лировки, но и соответствует современным на-
учным воззрениям.
Теорема 6. Две плоскости, параллельные
третьей, параллельны между собой.
Теорема 7. Через каждую точку проходит
единственная плоскость, параллельная данной
плоскости.
Далее вводятся понятие параллельности
прямой и плоскости и понятие параллельно-
сти двух прямых, после чего доказываются
обычные теоремы, относящиеся к этим поня-
тиям.
в) Следующий этап построения геометрии
по Вейлю связан с использованием III группы
4 В геометрии к этой категории относится отношение
порядка точек на прямой, приводящее к фундаменталь-
ному понятию направления прямой.
14
аксиом и раскрывает смысл понятия перпен-
дикулярности.
Определение 4. Векторы а и Ь назы-
ваются перпендикулярными (или
ортогональными) друг другу, если ab = 0.
Определение Б. Две прямые называют-
ся перпендикулярными, если для лю-
бых двух точек А, В первой прямой и любых
двух точек С, D второй прямой векторы АВ
и CD перпендикулярны.
Теорема 8. Если векторы АВ и CD
(где А ф В, С D) перпендикулярны, то
прямые АВ и CD перпендикулярны.
Определение 6. Прямая и плос-
кость называются перпендикуляр-
ными, если для любых двух точек А,
В прямой и любых двух_точек С, D
плоскости векторы АВ и CD перпенди-
кулярны.
Теорема 9. Если прямая перпендикуляр-
на плоскости, то она перпендикулярна любой
прямой, лежащей в этой плоскости.
Теорема 10. Если прямая перпендикуляр-
на двум непараллельным прямым, лежащим
в некоторой плоскости, то она перпендикуляр-
на этой плоскости.
Теорема 10 известна под названием теоре-
мы о двух перпендикулярах. Для примера
приведем ее доказательство. При этом пло-
скость, фигурирующую в условии теоремы,
обозначим через а, лежащие в ней прямые —
через и lz, а третью прямую (перпендику-
лярную и /2) — через а.
Доказательство. Пусть А — точка
пересечения (непараллельных!) прямых Z, и
/2. Далее, пусть BY — отличная от А точка
прямой I,, а В2 — отличная от А точка пря-
мой Z2. Так как точки А, Въ В2 не лежат
на одной прямой (иначе 1г и 12 совпадали бы,
т. е. были бы параллельны), то, согласно
определению 2 и теореме 2, для любой точ-
ки векторы AM, АВг АВ2 линейно
зависимы, откуда следует, что AM выра-
жается через векторы ABV и АВ2.
AM = kx • АВi 4- k2 • АВ2.
Если теперь С и D — две произволь-
ные точки прямой а, то по условию тео-
ремы (a I Zj, a I Z2) имеем
'CD-AB^C, CD-AB2 = 0
и потому
CD  AM = CD • (kx • ABj + k2• Аё2) -
= ~CD •	• ABi) + ~CD • (k2 • AB2) =
= k^CD  AB J 4- 62(CD-AB2) =
^keO + k2-0 = 0
(см. аксиомы III группы).
Итак, если M— произвольная точка
плоскости а, то AM-CD = 0. Если теперь
N — любая другая точка плоскости а, то
точно так же AN-CD = 0. Но (см. аксио-
му V2) AMMN = AN; поэтому MN =
= AN — AM и, следовательно,
~MN-CD = (AN — AM)-CD =
= AN- CD- AM- CD = 0 — 0 = Q,
т. e. a I a.
Теорема 11. Через каждую точку прохо-
дит единственная прямая, перпендикулярная
данной плоскости.
Теорема 12. Если прямая перпендикуляр-
на плоскости, то она не параллельна ей и, сле-
довательно, имеет с этой плоскостью единст-
венную общую точку.
Теоремы 11 и 12 обосновывают возмож-
ность осуществления ортогонального проекти-
рования фигур и тел на плоскость.
Дальнейший путь построения пространст-
венной геометрии совпадает (в отношении
формулировок теорем) с общепринятым.
В частности, формулируется теорема о трех
перпендикулярах, вводится понятие угла
между двумя плоскостями, угла между пря-
мой и плоскостью и т. д. Следует лишь
отметить, что в отношении углов первона-
чальным является понятие угла между дву-
мя векторами а, Ь, который (при «^0,
6^0) определяется формулой
cos а = -	.	(5)
Читатель, несомненно, заметил, что в отно-
шении основных определений и теорем это
построение геометрии довольно мало отли-
чается от традиционного. Доказательства же,
напротив, как правило, совершенно отличны
от традиционных. При этом, если в традици-
онном построении геометрии доказательства
основываются на довольно зыбких аксиомах
(полный список которых школьникам не со-
общается) и существенно апеллируют к на-
глядным представлениям, то здесь мы имеем
последовательное дедуктивное построение гео-
метрии. При решении задач учащиеся могут
использовать как традиционные методы (со
ссылками на строго доказанные теоремы),так
и новые, векторные методы.
15
4.	ВАРИАНТЫ ВЕЙЛЕВСКОГО ПОСТРОЕНИЯ ГЕОМЕТРИИ
Мы видели, что в вейлевской аксиоматике
геометрии фигурируют два неопределяемых
понятия — вектор и точка,— которые находят-
ся в довольно неравноправном положении.
Понятие точки появляется лишь в самом кон-
це аксиоматики (V группа), да и весь путь
построения геометрии в значительной степени
является векторным. При этом естественно
возникает вопрос, нельзя ли вовсе отказаться
от понятия точки, построив всю геометрию на
чисто векторной основе. Такое построение
геометрии возможно, и притом оно мало чем
отличается от построения, намеченного в пунк-
тах 2, 3. Этот путь построения геометрии сво-
дится к тому, что мы вычеркиваем «точку» из
списка первоначальных понятий, полностью
отбрасываем аксиомы V группы и несколько
иначе воспринимаем «точки», «прямые» и
«плоскости». Более точно: под «точками»
в этой схеме следует понимать просто векто-
ры, т. е. понятие точки отождествляется с по-
нятием вектора. Это отвечает тому хорошо
известному обстоятельству, что при фиксиро-
ванном начале отсчета О каждой точке М со-
ответствует ее радиус-вектор ОМ. Таким об-
разом, при этом подходе к геометрии вместо
точек рассматриваются «связанные векторы»
(приложенные к фиксированной точке О),
свойства которых описываются аксиомами
групп I—IV.
Итак, в «бесточечном» построении геомет-
рии фигурирует единственное первоначальное
понятие «вектор» и три первоначальные опе-
рации (отношения): сложение векторов, умно-
жение вектора на число и скалярное умноже-
ние векторов. Постулируется, что эти перво-
начальные объекты удовлетворяют аксиомам
групп I—IV, сформулированным в п. 2. Учи-
тывая укоренившуюся терминологию, целесо-
образно на этом пути построения геометрии
разрешить использование термина «точка»,
считая его синонимом слова «вектор».
Разумеется, раздел а) п. 3 полностью со-
храняется и в обсужденном сейчас построении
геометрии (факты, о которых шла речь в этом
разделе, опираются лишь на аксиомы групп
1, П, IV).
Раздел б) начинается с определений пря-
мой и плоскости. Эти определения следует
теперь видоизменить следующим образом:
Определение Г. Пусть а и b — два
различных вектора. Прямой {а, Ь)
называется множество всех таких век-
торов т, что векторы т — а и b — а
линейно зависимы.
Прямая определяется любыми двумя
своими точками, т. е. справедлива следую-
щая теорема:
Теорема 1'. Если pnq — два различ-
ных~векпгора прямой {а, Ь), то прямая
(р, q) совпадает с прямой {а, Ь}.
Теорема А. Если а и р — два про-
извольных вектора, причем р ^0, то
множество всех векторов вида ~a-\-tp,
где t — произвольное действительное
число, представляет собой прямую.
Любая прямая может быть задана
таким образом. (Вектор р обычно назы-
вают направляющим вектором рас-
сматриваемой прямой.)
Эта теорема легко доказывается с по-
мощью определения и аксиом I и II групп.
В свою очередь, она может быть положена
в основу нового определения прямой (цри
этом определение 1' станет теоремой).
Определение 2'. Пусть а, Ь, с —
три вектора, не принадлежащие одной
прямой. Плоскостью {а, Ь, с) называет-
ся множество всех таких векторов т,
что векторы b — а, с — а и т — а линей-
но зависимы.
Как и в случае прямой, несложно доказы-
вается, что плоскость определяется любыми
тремя своими точками, не лежащими на одной
прямой.
Дальнейшее построение геометрии почти не
отличается от намеченного в п. 3, хотя, конеч-
но, имеются и некоторые различия. Так, на-
пример, определение параллельных прямых
можно теперь сформулировать проще: две
прямые /ь /а называются параллельны-
ми, если их направляющие векторы pit ръ ли-
нейно зависимы.
Таким образом, множество векторов, удов-
летворяющее аксиомам групп I—IV, фактиче-
ски совпадает с трехмерным пространством
Евклида, изучаемым в средней школе. Такое
множество векторов обычно называют (трех-
мерным) евклидовым векторным простран-
ством.
Возможно и иное построение геометрии в
стиле Вейля, в некотором смысле противопо-
ложное только что намеченному. Именно, вме-
сто вектора за единственное неопределяемое
понятие геометрии принимается точка. При
этом опять приходится отказываться от аксиом
группы V, связывающих точки и векторы.
Кроме того, отбрасываются и аксиомы груп-
пы I (которые в этой схеме доказывают-
ся как теоремы). Вместо этого вводится но-
16
вая группа аксиом I *, описывающая основное
(неопределяемое) отношение (ABCD), кото-
рое наглядно можно представлять себе как
расположение четырех точек А, В, С, D в че-
тырех последовательных вершинах параллело-
грамма (возможно, вырожденного). Вот
аксиомы этой группы:
1*. Если (ABCD), mo (ADCB).
I*. Если (ABCD), то (CDAB).
1з- Если (ABCD) и (CDEF), то (ABFE).
1*. Для любых трех точек А, В, С
существует единственная точка D, для
которой (ABCD).
Определение А. Упорядоченная
пара точек А, В называется направ-
ленным отрезком и обозначается через
АВ.
Определение Б. Направленные от-
резки АВ и CD называются эквива-
лентными, если (ABDC).
Без труда устанавливается, что это отноше-
ние рефлексивно, симметрично и транзитивно,
и потому множество всех направленных отрез-
ков можно разбить на классы эквивалентно-
сти по этому отношению. Эти классы эквива-
лентности называются (в этой схеме построе-
ния геометрии) векторами.
Определение сложения векторов.
Пусть а и b — два вектора и пусть
MN£a, PQ£b. Выберем произвольную
точку О и найдем такие точки А, В, С,
что (NMOA), (QPOB) и (АОВС) (аксиома I4).
Тогда вектор с, определяемый направ-
ленным отрезком ОС, называется сум-
мой векторов а и b (и обозначается че-
рез а + Ь).
Несложно доказывается, что это опреде-
ление корректно, т. е. что сумма а -|- b
определяется независимо от случайностей
построения (т. е. от выбора «представите-
лей» MN£a и PQ£b, а также от выбора
точки О).
Далее доказывается, что сумма векторов
удовлетворяет всем аксиомам группы 1. Если
теперь к аксиомам группы I* добавить
аксиомы групп II, III, IV, то мы получаем
возможность построения геометрии по вей-
левской схеме. (Операция откладывания век-
тора а от точки А здесь определяется:
она приводит к такой точке В, что АВ £ а;
при этом все аксиомы группы V доказы-
ваются.)
Какое место могут занять в школьном пре-
подавании намеченные здесь два пути по-
строения курса геометрии? Первый из них нам
кажется непригодным для школы в силу его
абстрактности и оторванности от привычных
школьнику наглядных представлений. (Впро-
чем, во многих современных университетских
учебниках геометрии принят именно этот путь
построения геометрии.) Второй путь близок
к введению понятия вектора на базе уже
сложившихся геометрических представлений
(ср. следующие пункты). Однако нам кажет-
ся, что в чисто педагогическом отношении он
уступает тому изложению, которое было на-
мечено в пунктах 2, 3.
5.	СМЕШАННЫЙ (СИНТЕТИЧЕСКИ-ВЕКТОРНЫЙ) ПУТЬ
ПОСТРОЕНИЯ ГЕОМЕТРИИ
Как мы уже говорили во введении, сущест-
вует второй, компромиссный путь построения
геометрии, при котором все вопросы, связан-
ные с параллельностью прямых и плоскостей,
излагаются синтетически, без использования
векторов, в то время как факты, связанные
с перпендикулярностью, доказываются с ис-
пользованием аппарата векторной алгебры.
Эта точка зрения последовательно проводит-
ся, например, в учебнике геометрии для
IX класса, написанном 3. А. Скопецом,
В. М. Клопским и М. И. Ягодовским
(изд. «Просвещение», 1969).
Таким образом, начало изложения стерео-
метрии по этой системе представляет собой,
по существу, синтетическое построение аффин-
ной геометрии трехмерного пространства.
Каким образом и в какой степени это изло-
жение может быть осуществлено на строгой
логической основе? Нам кажется, что наибо-
лее подходящим для этого путем является ис-
пользование избыточной системы аксиом, су-
щественно опирающейся на то обстоятельство,
что плоская геометрия Евклида была изучена
ранее. Поэтому, говоря о плоскостях, естест-
венно в качестве одной из аксиом потребо-
вать, чтобы в каждой плоскости действовала
(уже знакомая учащимся) планиметрия
Евклида (см. аксиому 7 ниже).
Приведем один из вариантов такой систе-
мы аксиом. Основными понятиями в ней
являются точка, прямая и плоскость,
а основными отношениями между ними — от-
ношение принадлежности (точка А лежит
на прямой / или на плоскости а; обозна-
чается это так: A£l, Aga).
Аксиома 1. Через каждые две точки про-
ходит одна и только одна прямая.
Аксиома 2. На каждой прямой имеется не
менее двух точек.
17
'Аксиома 3. Через каждые три точки, не
лежащие на одной прямой, проходит «дна и
только одна плоскость.
Аксиома 4. Существуют четыре точки, не
лежащие в одной плоскости.
Аксиома 5. Если две точки прямой при-
надлежат некоторой плоскости, то любая точ-
ка, лежащая на этой прямой, принадлежит
этой плоскости.
Определение 1. Если все точки, принад-
лежащие прямой I, лежат в плоскости а, то
говорят, что прямая I лежит в плоскости а
(и пишут Zee а).
Аксиома 6. Если две плоскости имеют
общую точку, то они имеют еще одну общую
точку.
Аксиома 7. В множестве всех точек и
прямых, лежащих в произвольной плоско-
сти а, действует евклидова планиметрия.
Этот список аксиом достаточен для построе-
ния евклидовой геометрии в пространстве.
В этом пункте мы покажем, как из этих аксиом
выводятся все теоремы, связанные с парал-
лельностью прямых и плоскостей, а в следую-
щем расскажем о введении понятия перпен-
дикулярности.
Определение 2. Две прямые называют-
ся параллельными, если они лежат
в одной плоскости и либо не имеют общих то-
чек, либо совпадают.
Определение 3. Две плоскости назы-
ваются параллельными, если они либо
не имеют общих точек, либо совпадают.
Определение 4. Прямая называется
параллельной плоскости, если она либо
не имеет с ней общих точек, либо лежит в этой
плоскости.
Теорема 1. Если точка А не лежит на
прямой I, то существует единственная плос-
кость а, которой принадлежат и точка А
и прямая I.
Доказательство. Пусть В и С — две
точки, лежащие на прямой I (аксиома 2). До-
кажем, что точки А, В, С не лежат на одной
прямой. Допустим, напротив, что А, В, С ле-
жат на одной прямой пг. В силу аксиомы 1
прямые I и пг совпадают (обе они проходят
через точки А и В). А так как А € пг, то, зна-
чит, А € А что противоречит условию теоремы.
Итак, А, В, С не лежат на одной прямой,
и потому через них проходит некоторая пло-
скость а (аксиома 3). Так как В С а, С 6 а,
то /еда (аксиома 5 и определение 1).
Остается доказать, что если р — какая
угодно плоскость, содержащая А и I, то
она совпадает с а. В самом деле, так как
I сс р, то В 6 р, С € р (определение 1). Кроме
того, А € р. Следовательно, плоскости а и р
совпадают (аксиома 3).
Теорема 2. Если прямые Ц и 4 имеют об-
щую точку А и не совпадают, то существует
единственная плоскость а, содержащая обе
прямые 1\, 12.
Теорема 3. Через каждую точку А про-
ходит единственная прямая, параллельная
данной прямой I.
Заметим, что это утверждение вовсе не сов-
падает с известной из курса планиметрии
аксиомой параллельности: ведь здесь
речь идет о точках и прямых в простран-
стве.
Теорема 4. Любые две плоскости аир
либо параллельны, либо множество всех их
общих точек есть прямая 5.
Определение 5. Две непараллельные
плоскости называются пересекающи-
мися.
Таким образом, согласно теореме 4, множе-
ство всех общих точек двух пересекающихся
плоскостей а, р представляет собой некоторую
прямую I. Говорят также, что плоскости аир
пересекаются по прямой I.
Теорема 5. Если прямая I параллельна
прямой m и пг са, то 7 Цо-
Теорема 6. Если 11| а и А € а, то пря-
мая пг, параллельная прямой I и проходящая
через точку А, лежит в плоскости а.
Доказательство. Если А € I, то пря-
мая пг должна совпадать с I (по определению
параллельных прямых), а прямая I должна
лежать в плоскости а (по определению парал-
лельности прямой и плоскости). Следователь-
но, в этом случае тс а.
Пусть теперь точка А не лежит на прямой I.
Обозначим через р плоскость, проходящую
через прямую I и точку А (теорема 1). Если
Р совпадает с а, то /с а и потому m cz а (по
определению параллельности прямых).
Пусть, наконец, плоскости а и Р не совпа-
дают. Так как А ё а, А € р, то плоскости а и Р
пересекаются по некоторой прямой п. Ясно,
что прямые I и п не имеют общих точек (ибо
пса, а прямая I не имеет общих точек с а).
Так как, кроме того, /с=р, п<=р, то 1\\п.
Следовательно, прямые тип совпадают (тео-
рема 3) и потому т сс а.
Теорема 7. Если прямая I параллельна
двум плоскостям а, р, пересекающимся по
прямой пг. то 11| т.
Теорема 8. Если 11| пг и т || п, то 11| п.
Из теорем 3 и 8 вытекает, что множество
всех прямых, параллельных данной прямой I,
6 Формулировка этой теоремы предполагает, что пря-
мая рассматривается как множество точек (т. е. как
множество всех точек, лежащих на этой прямой).
18
заполняет все пространство, причем все эти
прямые попарно параллельны (и, следова-
тельно, любые две из этих прямых либо сов-
падают, либо не имеют общих точек). Такое
множество прямых (попарно параллельных
и заполняющих все пространство) называется
связкой параллельных прямых.
Теорема 9. Если 11| а и а || р, то 11| р.
Теорема 10. Если Icza, mca, /41 tn,
III P, m || p, to a || p.
Теорема 11. Через каждую точку А про-
ходит единственная плоскость, параллельная
заданной плоскости а.
Теорема 12. Если а || р и р || у, то а||у.
Из теорем 11 и 12 вытекает, что множество
всех плоскостей, параллельных заданной пло-
скости а, заполняет все пространство, причем
все эти плоскости попарно параллельны. Та-
кое множество плоскостей называется пучком
параллельных плоскостей.
Далее рассматривается вопрос о возможном
взаимном расположении двух прямых в про-
странстве, а также прямой и плоскости в про-
странстве (в частности, определяются скрещи-
вающиеся прямые и решается задача о про-
ведении пары параллельных плоскостей через
две скрещивающиеся прямые).
Теорема 13. Всякая плоскость а разби-
вает пространство на две части, называемые
полупространствами и обладающие
тем свойством, что если две точки А, В лежат
в одном полупространстве, то отрезок АВ не
пересекает плоскость а, а если А и В лежат
в разных полупространствах, то отрезок АВ
пересекает плоскость а.
Доказательство этой теоремы проводится
с существенным использованием аксиомы 7
(предполагающей, в частности, знакомство
учащихся с тем фактом, что прямая разби-
вает плоскость на две полуплоскости).
Последним понятием, вводимым в этой ча-
сти курса, является понятие направления
(в пространстве). При этом предполагается
(в соответствии с аксиомой 7), что учащиеся
знакомы с понятием направления на прямой
и на плоскости. Именно направление на пря-
мой задается указанием упорядоченной пары
точек А, В (где А =#В). Говорят о «направ-
лении от А к В» на рассматриваемой прямой.
На прямой имеются два различных направле-
ния. Прямая с заданным на ней направлением
называется направленной прямой. Далее, две
направленные параллельные прямые на пло-
скости могут быть одинаково направлен-
ными или противоположно направлен-
ными. После этого можно определить две
одинаково направленные параллельные пря-
мые в пространстве (ибо две параллельные
прямые всегда лежат в одной плоскости).
Устанавливается, что отношение одинаковой
направленности параллельных прямых (в про-
странстве) транзитивно. Поэтому на всех пря-
мых связки параллельных прямых можно
ввести такие направления, что каждые две
прямые будут одинаково направлены. Такая
связка одинаково направленных параллельных
прямых и называется направлением в про-
странстве.
Заметим еще, что связка параллельных пря-
мых позволяет осуществлять параллельное
проектирование пространственных фигур на
плоскость. Это дает возможность рассматри-
вать методы изображения пространственных
тел на плоскости.
На этом и заканчивается синтетическое из-
ложение (не использующее векторы) аффин-
ных свойств трехмерного евклидова простран-
ства.
6.	ПОНЯТИЕ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ
ПРИ СМЕШАННОМ ПУТИ ПОСТРОЕНИЯ ГЕОМЕТРИИ
Понятие направления удобно использовать
при определении вектора, которое вводится
обычным образом (см. например, книгу
В. Г. Болтянского и И. М. Я г л о м а
«Преобразования, векторы», изд. «Просвеще-
ние», 1964). Обычным образом вводится так-
же сумма векторов и произведение вектора на
число. Разумеется, свойства этих операций
(ср. выше, группы аксиом I и II на стр. 10)
теперь должны доказываться, ибо поня-
тие вектора при таком изложении первона-
чальным не является и аксиомами не описы-
вается. Существенно отметить, что все эти
свойства операции сложения векторов и опе-
рации умножения вектора на число (и связан-
ные с ними теоремы) доказываются совер-
шенно одинаково как для векторов на плоско-
сти, так и для векторов в пространстве. На-
пример, можно использовать изложение, дан-
ное в учебном пособии «Геометрия» для
IX класса В. Г. Болтянского и И. М. Я г-
лома (изд. «Просвещение», 1964).
Перейдем теперь к скалярному произведе-
нию векторов. Определить скалярное про-
изведение проще всего следующим образом:
| а | • | cos а, если а =/= 0, b =/= 0 (где
__ а — угол между векторами а, Ь);
0, если хотя бы один из векторов
а, b равен нулевому вектору.
Из этого эопределения сразу же вытекает
справедливость свойств, составляющих содер-
жание аксиом Illi, П13, Ш4, Ills (стр. 11).
Остается доказать дистрибутивность скаляр-
ного произведения (ср. аксиому 1П2).
19
Однако дистрибутивность скалярного произ-
ведения доказывается намного сложнее всех
остальных его свойств, и выбор способа его
доказательства во многом определяет по-
строение всего курса геометрии. В современ-
ных втузовских учебниках аналитической гео-
метрии дистрибутивность скалярного произве-
дения доказывается с помощью теории проек-
ций. При этом приходится пользоваться проек-
тированием векторов на прямую с помощью
перпендикулярных к этой прямой плоскостей.
Но это возможно лишь в том случае, если уча-
щиеся уже знакомы с понятием перпендику-
лярности прямой и плоскости и с относящими-
ся сюда теоремами (теорема о двух перпенди-
кулярах и др.). Ясно, что в принятой системе
изложения это доказательство дистрибутивно-
сти скалярного произведения неприемлемо
(теорема о двух перпендикулярах и понятие
перпендикулярности прямой и плоскости уча-
щимся еще неизвестны). Напротив, замысел
здесь в том и заключается, чтобы использо-
вать скалярное произведение (дистрибутив-
ность которого доказана как-то иначе) для
введения понятия перпендикулярности пря-
мой и плоскости и доказательства всех отно-
сящихся сюда теорем.
Таким образом, основная трудность в опи-
сываемой схеме построения курса геометрии
заключается в доказательстве дистрибутивно-
сти скалярного произведения. Один из воз-
можных путей доказательства был предложен
3. А. Скопецом. (Близкое доказательство ра-
нее указал французский математик и педагог
Г. Шоке.) Он заключается в следующем.
Прежде всего _доказывается, что для любых
двух векторов а, Ь справедливы формулы
(а ф- й)2 = а2 ф- 2аЪ ф- Ь2,
(а — b)2 = а2 — 2аЬ ф- Ь2.	(6)
Заметим, что векторы а,. Ь, а ф- Ь, а — Ь,
участвующие в этих формулах, расположены
в одной плоскости (а именно, в плос-
кости, содержащей векторы а и Ь), и по-
тому формулы (6) выражают некоторые фак-
ты, относящиеся к планиметрии. Ясно поэто-
му, что и доказательство этих формул
может быть получено методами планиметрии
(напомним, что, согласно аксиоме 7, в каж-
дой плоскости действует евклидова плани-
метрия). Например, формулы (6) могут быть
выведены из теоремы косинусов (по суще-
ству, эти формулы и представляют собой век-
торную запись теоремы косинусов). Другой
путь заключается в использовании теории про-
екций на плоскости (см. § 53 учебного посо-
бия «Геометрия» для IX класса В. Г. Бол-
тянского и И. М. Я г л о м а); при этом тео-
рема косинусов легко выводится из фор-
мул (6).
Когда формулы (6) уже тем или иным
путем установлены, доказательство дистри-
бутивного закона
(а ф- b) с = ас ф Ьс	(7)
проводится чисто алгебраически, например,
следующим образом. Пусть а, Ь, с, — три
произвольных вектора. Положим, а ф- b = т,
а — Ь = п. Из формул (6) легко получаем
(т ф- л)2 ф- (т — л)2 = 2т2 ф- 2л2,
или иначе
[2лф-(Н-?)]2ф-(й-7)2 =
= 2 (а ф- Ь)2 ф- 2 (а ф- с)2.
Применяя снова формулы (6), запишем пос-
леднее равенство в виде
4л2 ф- 4а (b ф- с) ф- (b ф- с)2 ф- (Ь — с)2 =
= 2а2 ф- 4аЬ ф- 2Ь2 ф- 2а2 ф- 4ас ф- 2с2,
или
4л2 ф- 4а (b ф- с) ф- 2Ь2 ф- 2с2 =
= 4а2 ф- 4аЬ ф- 4ас ф- 2Ь2 ф- 2с2.
Отсюда
4а (b ф- с) = 4аЬ ф- 4ас,
или
а {Ь ф- с) = ab ф- ас\
это и дает дистрибутивный закон (7).
В чем смысл этого доказательства? Слож-
ность ситуации состоит в том, что закон ди-
стрибутивности (7) представляет собой суще-
ственно стереометрический _факт (поскольку
он связывает три вектора а, Ь. с, которые мо-
гут не лежать в одной плоскости). Формулы
же (6) являются, как мы отмечали выше,
планиметрическими. Таким образом, проведен-
ные выше алгебраические выкладки представ-
ляют собой некоторый «фокус», позволяющий
вывести стереометрический факт (7), исполь-
зуя несколько раз подряд планиметрические6
формулы (6). Разумеется, никакой геометри-
ческой поучительностью приведенное рассуж-
дение не обладает и геометрическая суть его
неизбежно окажется скрытой от учащихся. Не
поможет здесь и изготовление чертежей или
6 Поскольку формулы (6), очевидно, являются след-
ствиями дистрибутивного закона (7) для векторов од-
ной плоскости, то можно сказать, что наше рассужде-
ние выводит стереометрический дистрибутивный закон
из соответствующего планиметрического закона.
20
пространственных моделей: указанное доказа-
тельство представляет собой алгебраическую
выкладку и только.
После того как все свойства скалярного про-
изведения (включая дистрибутивность) уста-
новлены, понятие перпендикулярности в про-
странстве вводится так же, как и при по-
строении геометрии по схеме Вейля (см. раз-
дел в) в п. 3, стр. 14—15).Единственным отли-
чием будет то, что понятие угла между век-
торами (по существу, относящееся к плани-
метрии) в этом случае считается известным
до введения скалярного произведения, и по-
тому формула (5) теперь не является основой
для введения понятия угла, а вытекает из
определения скалярного произведения.
7. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Выше были намечены два пути построения
курса стереометрии в старших классах сред-
ней школы. Разумеется, наряду с ними суще-
ствует и третий путь (упомянутый во введе-
нии) : сначала традиционными методами по-
строить курс пространственной геометрии
(включая учение о перпендикулярности пря-
мых и плоскостей), а затем на этой базе по-
строить векторную алгебру (в качестве по-
следней темы курса IX класса). Мы уже от-
мечали во введении недостатки этого пути из-
ложения геометрии. Добавим, что на этом пу-
ти мы не избежим трудностей, связанных
с доказательством дистрибутивности скаляр-
ного произведения.
Таким образом, основными, видимо, надо
считать два пути построения курса геометрии,
намеченные в пунктах 2, 3 и в пунктах 5, 6
(ср. со сказанным в объяснительной записке
к программам по математике, см. стр. 9 на-
стоящей статьи). Для того чтобы ответить на
вопрос, какой из этих двух путей лучше, не-
обходим длительный эксперимент. Впрочем,
научная и педагогическая интуиция позволяет
авторам предвидеть определенные преимуще-
ства первого (вейлевского) пути, за которым,
видимо, будущее.
От редакции. В редакцию поступают письма читателей с прось-
бой выслать тот или другой номер журнала «Математика в школе».
Сообщаем, что журнал «Математика в школе» в розничную про-
дажу не поступает. Тираж каждого номера соответствует числу под-
писчиков.
Если вы хотите систематически читать наш журнал, то не забывайте
заблаговременно возобновить подписку на него.
Подписка производится в отделениях связи (почты) и отделениях
«Союзпечати» без ограничения, с любого очередного номера.
Редакция журнала и издательство «Просвещение» подписку не при-
нимают и журналы не рассылают.
МЕТОДИЧЕСКИЙ
ОТДЕЛ
Новая программа обучения младших
А. М. ПЫШКАЛО
(Москва) школьников математике
С 1 сентября 1969 г. первые классы всех
школ нашей страны начнут работать по но-
вому учебному плану и новым программам.
Обучение в школе поднимется на новый уро-
вень, соответствующий возросшим требова-
ниям современного общества. Это стало воз-
можным благодаря успешным творческим
поискам учителей, методистов, ученых.
Работа по определению содержания обуче-
ния младших школьников проходила длитель-
ное время в несколько этапов. Исследованию
и тщательной проверке были подвергнуты со-
держание всех учебных предметов и сама
структура начальной школы в целом. В ре-
зультате начальная школа вместо четырехлет-
ней стала трехлетней. Это означает, что изу-
чение систематических курсов основ наук под
руководством учителя-предметника будет на-
чинаться в четвертых классах, а не в пятых,
как это имеет место теперь.
Такое изменение структуры начальной шко-
лы естественно повлекло за собой коренные
изменения содержания большинства учебных
предметов. При этом, очевидно, нельзя было
пытаться механически уложить программу
четырехлетней начальной школы в новые рам-
ки, т. е. ограничиться только количественными
изменениями. Заметные изменения произошли
в содержании и методах обучения матема-
тике.
При решении проблемы определения нового
содержания курса начальной математики со-
ставители программы исходили из следующих
принципов.
Новая программа должна сохранять извест-
ную преемственность со старой, что позволит
использовать в обучении все ценное и пере-
довое, накопленное школой за многие годы.
Качественные и количественные видоизме-
нения курса начальной математики были свя-
заны с поисками более рационального распо-
ложения учебного материала и исключением
«топтаний на месте». В нем пересматривалась
образовательная ценность некоторых разде-
лов. Например, удалось значительно сокра-
тить и упростить изучение именованных чи-
сел и действий с ними, существенно изменить
систему изучения арифметических действий.
В курсе арифметики были введены (в са-
мом скромном объеме) сведения о геометри-
ческих фигурах и операциях над ними, а так-
же некоторые алгебраические сведения: зна-
комство с буквенными обозначениями, выра-
жениями, простейшими уравнениями и нера-
венствами *. Именно поэтому стало возможным
новый курс I—III классов назвать курсом
математики.
При сохранении требований к уровню основ-
ных навыков вычислений и измерений нужно
было расширить круг математических пред-
ставлений младших школьников, чтобы уси-
лить роль теоретических знаний в обучении
математике. Это стало возможным потому, что
в экспериментах последних лет убедительно
показано, что способность детей младшего
школьного возраста к упорядоченному мыш-
лению значительно выше, чем это обычно счи-
тали и из чего исходили в обучении.
На первом этапе (1960—-1964) в нашей стра-
не осуществлялись экспериментальные поиски,
направленные на определение содержания
и методов обучения математике младших
школьников. Эксперименты проводились в от-
1 С первым проектом программы курса математики на-
чальной (трехлетней) школы можно познакомиться в
журнале «Математика в школе», 1967, № 2.
22
дельных классах и школах различными науч-
ными коллективами (в Москве — под руковод-
ством Л. В. Зайкова; Д. Б. Эльконина
и В. В. Д а в ы д о в а; Н. А. М е н ч и н с к о й,
М. И. Моро; И. К. Андронова и
Ю. М. Колягина; в Ленинграде —
А. А. Люблинской и М. А. Бантовой;
в Ставрополе — П. М. Эрдниева; в Сверд-
ловске — Е. М. Семенова).
Этот этап завершился созданием ряда
авторских коллективов и нескольких проектов
программ для начальных классов. В том чис-
ле сектора начального обучения НИИ общего
и политехнического образования совместно
с лабораторией обучения НИИ психологии
АПН СССР; лаборатории обучения и воспи-
тания НИИ теории и истории педагогики
АПН СССР; кафедры начального обучения
Ленинградского педагогического института
имени Герцена и др.
На втором этапе (1964—1966) была начата
разработка единого проекта программы мате-
матики для начальных классов. Работа эта
осуществлялась специально созданной Цент-
ральной программной комиссией АПН во гла-
ве с вице-президентом АПН СССР, профессо-
ром А. И. Маркушевичем. В состав ко-
миссии входят научные сотрудники институтов
АПН СССР, работники кафедр педагогических
институтов и институтов усовершенствования
учителей, методисты и учителя, подкомиссию
по начальной математике возглавляет профес-
сор И. К. А н д р о н о в.
В соответствии с выработанным проектом
программы были подготовлены (на основе экс-
периментальных учебных материалов) учеб-
ники. Из представленных Министерству про-
свещения РСФСР трех учебников в качестве
стабильного был рекомендован учебник «Ма-
тематика. I класс* М. И. Моро, М. А. Бан-
товой и Г. В. Бельтюковой (эти же
авторы участвуют в составлении учебников для
II и III классов).
Начиная с 1967 г. проект программы и учеб-
ники подвергли тщательному и широкому
опробированию в условиях работы массовой
школы — во всех школах трех районов
РСФСР (Суздальский район Владимирской
области, Тосненский район Ленинградской об-
ласти, Белоярский район Свердловской обла-
сти). К этой работе последовательно подклю-
чались по одному району от каждой области
и территории РСФСР и Москвы. В 1968/69 учеб-
ном году по новой программе и учебникам
уже обучалось около 400 тыс. первоклассников.
Массовая проверка программы и учебников
дала возможность подметить ряд недостатков
и учесть их. В ходе этой большой работы бы-
ли опробированы новые методические руко-
водства 2.
Приведем примерное содержание програм-
мы математики I—III классов (заметим, что
число часов указано примерно и что текст
программы III класса не утвержден оконча-
тельно), которое определилось в результате
всей проделанной работы и в соответствии
с которой написаны учебники математики.
1 класс
ДЕСЯТОК
Нумерация и простейшие фигуры (30 часов]
Счет предметов. Название, последовательность и
обозначение первых десяти чисел натурального ряда.
Сравнение чисел (равные, неравные, больше, меньше).
Знаки «=», «>», «<». Число нуль и его обозначение.
Умение различать и изображать прямую, кривую, ло-
маную линии, отрезок прямой, многоугольники (тре-
угольники, четырехугольники и др.). Умение различать
элементы многоугольника (вершины, стороны, углы).
Умение найти длину данного отрезка (в целых санти-
метрах) с помощью линейки, начертить отрезок задан-
ной длины. Знакомство с монетами в 1, 2, 3, 5 копеек,
их набором и разменом
Сложение и вычитание (40 часов)
Название действий (сложение и вычитание) и их
обозначение (знаки плюс и минус). Названия данных и
искомых чисел при сложении и вычитании.
Умение увеличить и уменьшить отрезок на величину
данного отрезка. Разностное сравнение отрезков.
Приемы вычислений: а) при сложении — прибавление
числа по его частям и с использованием перестановки
слагаемых; б) при вычитании — вычитание заданного
числа по его частям и на основе связи между сложени-
ем и вычитанием. Сложение н вычитание с нулем.
Чтение, запись и сравнение выражений вида: 5 + 4 и
6 + 4; 7 + 2 и 7 — 2; 3 + 0 и 3 — 0.
Простые задачи на сложение и вычитание (в том
числе задачи на нахождение неизвестного компонента
действий). Числовые формулы их решения с обозначе-
нием неизвестного буквой. Составление задач по число-
вым формулам.
СОТНЯ
Нумерация (30 часов]
Десяток как счетная единица. Устная и письменная
нумерация чисел 11—20; их десятичный состав; санти-
метр, дециметр.
Устная и письменная нумерация чисел 21—100; их де-
сятичный состав. Сантиметр, дециметр, метр. Монеты в
15, 20, 50 копеек и 1 рубль; их набор и размен.
Случаи сложения и вычитания вида: 17+1; 19—1;
10 + 2; 18—8; 14—10.
Сложение и вычитание. Геометрические фигуры
и величины (110 часов)
Прибавление числа к сумме и суммы к числу; вычи-
тание числа из суммы и суммы из числа; приемы сло-
жения и вычитания в пределах 100.
Чтение, запись н сравнение выражений вида: 10 —
— (5 + 3) и 10 — 5 — 3.
Таблица сложения в пределах 20 как основа сложе-
ния и вычитания чисел.
2 Новый стабильный учебник математики для I клас-
са и методическое руководство к нему учителя получат
к началу учебного года.
23
Нахождение суммы одинаковых слагаемых и пред-
ставление числа в виде суммы одинаковых слагаемых.
Знакомство с прямым углом. Получение прямого угла
перегибанием листа бумаги. Умение различать углы
прямые и непрямые. Прямоугольник (квадрат). Изобра-
жение этих фигур на клетчатой бумаге.
Представление о килограмме, литре в процессе взве-
шивания и определения емкости.
Составные задачи небольшой сложности. Числовая
формула их решения.
II класс
СОТНЯ (продолжение)
Сложение и вычитание. Геометрические фигуры
и величины (24 часа)
Сложение и вычитание с применением изученных
приемов и решение задач.
Использование букв для записи математических вы-
ражений. Буквенная запись переместительного свойства
суммы. Вычисление значения выражений вида: а + 22,
Ь — 34. а + Ь, а + (Ь — с) при заданных значениях
букв. Нахождение числовых значений букв в неравен-
ствах вида: а + 3<7, b— 2>7 и подобных, а также
в уравнениях вида: 12 + х = 20, х— 17 = 42, 56 — х =
= 38. Использование букв для обозначения геометриче-
ских фигур.
Умножение и делание. Геометрические фигуры
и величины (124 часа)
Понятие об умиожшии как нахождении суммы оди-
наковых слагаемых. Деление. Деление иа равные части
и деление по содержанию; их обобщение. Названия
компонентов и результатов умножения и деления. Обо-
значение этих действий: знаки умножения (•) и деле-
ния (:).
Переместительное свойство произведения и его ис-
пользование в вычислениях. Взаимосвязь между компо-
нентами и результатами действий умножения и деления
(нахождение неизвестного компонента).
Таблица умножения. Умножение и деление иа еди-
ницу. Умножение на нуль и деление нуля. Деление с
остатком.
Умножение и деление суммы иа число. Приемы вне-
табличного умножения и деления.
Сравнение выражений вида: х-9 и 9-х, 7-8 и 7-9,
10 0 и 10-1, 141 и 14:1.
Нахождение значения выражений вида: а-4, b• 3,
а : Ь, а • Ь, а также (а + Ь) • с, (а — Ь) • с, (т -|- п) : k,
(т — п) : k при данных числовых значениях букв.
Нахождение числового значения букв в уравнениях
вида: 6-х = 42, х: 4 = 12, 36 : х = 4, 99 : х = 11, а также
вида: (х —5) + 12 = 40, (45 + 12) — х = 50, 6-х =
= 42— 12 и подобных им.
Порядок выполнения арифметических действий.
Скобки
Простые задачи иа умножение и деление. Более слож-
ные, чем в I классе, составные задачи иа все четыре
действия. Числовые формулы их решения.
Увеличение и уменьшение отрезка в несколько раз,
кратное сравнение двух отрезков. Деление отрезка на
равные части.
Углы: прямой, острый, тупой Треугольники, их виды.
Длина ломаной линии. Периметр многоугольника.
Свойство сторон прямоугольника и вычисление его
периметра. Окружность как граница круга, циркуль.
Центр и радиус окружности. Деление круга иа равные
части.
Задачи на разложение данного многоугольника на
части и обратные им задачи.
24
Доли величины (6 часов)
Их обозначение и сравнение. Нахождение доли числа
и числа по его доле.
Время и его измерение (6 часов)
Год, месяц, сутки, час, минута. Определение времени
по частям. Решение задач.
ТЫСЯЧА
Нумерация. Сложение и вычитание, умножение
и деление (50 часов)
Устная и письменная нумерация. Меры длины: кило-
метр, миллиметр. Меры веса: килограмм, грамм.
Сложение и вычитание, устные и письменные приемы
вычислений.
Умножение и деление круглых десятков и сотеи на
однозначное число (устно). Задачи на все четыре дей-
ствия; числовые формулы их решения.
III класс
ТЫСЯЧА (продолжение — 12 часов)
Сложение и вычитание с применением изученных
устных и письменных приемов вычислений.
Умножение и деление (устные приемы вычисления).
Задачи на все четыре действия. Задачи с геометриче-
ским содержанием.
МНОГОЗНАЧНЫЕ ЧИСЛА.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ И ВЕЛИЧИНЫ
(192 часа)
Нумерация (устная и письменная) (12 часов)
Метрическая система мер длины и веса (18 часов)
Таблица мер. Простое и составное именованное число.
Замена мелких единиц измерения более крупными и
наоборот.
Сложение и вычитание (устные и письменные приемы
вычислений) (40 часов)
Зависимость между компонентами и результатами
действий (обобщение). Проверка сложения и вычитания.
Изменение результатов сложения и вычитания в связи
с изменением одного из компонентов этих действий.
Решение уравнений вида (х + 24) — 16 = 23 и нера-
венств вида х + 16 < 82.
Умножение и деление (устные и письменные приемы
вычислений) (90 часов)
Умножение и деление иа однозначные, двузначные и
трехзначные числа.
Умножение и деление на произведение.
Зависимость между компонентами и результатами
действий (обобщение). Проверка умножения и деления.
Изменение результатов умножения и деления в связи
с изменением одного из компонентов этих действий.
Решение уравнений вида х-12 + 36 = 60; 560 : х +
+ 37 = 57 и неравенств вида 72 : х > 6.
Задачи на все четыре действия.
Примеры зависимости между различными величинами
(ценой, количеством и стоимостью, скоростью, време-
нем и расстоянием при равномерном движении и др.).
Решение задач с помощью составления уравнений.
Дроби (6 часов)
Образование дробей, их чтение и запись. Числитель
и знаменатель дроби. Замена дроби равной ей дробью,
но с другим знаменателем (с иллюстрацией иа различ-
ных геометрических фигурах).
Решение задач на нахождение дроби числа. Простей-
шие диаграммы.
Время и его измерение (10 часов)
Таблицы мер времени. Замена мелких единиц изме-
рения более крупными и наоборот. Сложение и вычи-
тание. Решение задач на вычисление времени.
Площадь многоугольника (10 часов)
Первоначальное представление о площади фигуры.
Площадь прямоугольника (нахождение непосредствен-
ное с помощью палетки и косвенное—по формулам).
Единицы измерения площади: квадратный сантиметр,
квадратный дециметр, квадратный метр.
Задачи на вычисление площади.
Повторение основных вопросов начального курса
математики (12 чвсов)
В течение всего года проводятся устные вычисления
с использованием изученных приемов.
Большинство учителей, полностью реализо-
вавших новую программу, отмечают ее пре-
имущество по сравнению с ныне действующей.
Они отмечают доступность материала. Изуче-
ние состояния знаний обнаружило, что работа
по новым программам ведет к возрастанию
возможностей учащихся лучше овладевать ма-
тематическими знаниями по мере продвижения
из класса в класс. Более раннее использование
обобщений, позволяющее формировать теоре-
тические знания детей, открывает возможно-
сти быстрого овладения основными навыками,
обеспечивает более высокий уровень развития
мышления, обеспечивает при большем объеме
усвоенных знаний и навыков их высокое ка-
чество.
Многие работники органов народного обра-
зования и институтов усовершенствования учи-
телей отмечают, что работа по новым про-
траммам привела к заметному росту теоре-
тической и методической подготовки учителей.
Заметно усилились творческие связи между
учителями начальной школы и преподавателя-
ми математики средней школы.
Новой программой предусмотрено сущест-
венное изменение системы ознакомления млад-
ших школьников с арифметическими действия-
ми. Уже с I класса вместо большого числа
вычислительных приемов сложения и вычита-
ния (более 20) «применяются четыре основ-
ных правила: правила прибавления числа
к сумме и суммы к числу и вычитания числа
из суммы и суммы из числа». Авторы этой си-
стемы полагают, что «овладев этими правила-
ми, научившись применять их, ребенок оказы-
вается в состоянии не только самостоятельно
найти путь решения любого примера на сло-
жение и вычитание, но и применить несколько
способов решения»3. Например, при нахожде-
3 М. И. Моро, «Начальная школа», 1968, Ns 5,
стр. 56.
нии разности 13 — 8 ученик может заменить
число 13 суммой 10 + 3 и получит последова-
тельно: 10—8 = 2, 2 + 3 = 5. Но он может
пойти и другим путем: 13 — 8 = 13 — (3 + 5) =
= 13 — 3 — 5 = 10 — 5 = 5 и т. д.
Заметно изменилась система ознакомления
учащихся I—Ill классов с геометрическими
фигурами. Если раньше изучение геометриче-
ских фигур осуществлялось главным образом
«через измерения» (вообще изучались только
те фигуры, на которых легко было получить
навык измерения длины, площади или объе-
ма), то новая программа имеет ввиду изучать
свойства и отношения геометрических фигур,
не связывая с измерениями, т. е. геометриче-
ский материал приобрел некоторое самостоя-
тельное значение.
Совершенно новыми являются методические
вопросы, связанные с ознакомлением млад-
ших школьников начиная с I класса с алгеб-
раическими способами решения задач. Пред-
полагается, что наряду с традиционными прие-
мами решения задач («по вопросам») дети
I—III классов должны познакомиться с основ-
ными приемами составления числовых фор-
мул (уравнений) по условиям несложных
задач.
Однако подмечено, что овладение новой
программой связано с рядом трудностей для
многих учителей начальной школы. Недостат-
ки подготовки учителей начальной школы
к преподаванию математики по новым про-
граммам приводят к нарушению методики
обучения, что иногда вызывает перегрузку
учащихся. Чаще всего это связано с изуче-
нием уравнений и неравенств, с обучением
решению задач с помощью уравнения (состав-
ление уравнения по условию задачи), с реше-
нием простейших уравнений, с использованием
свойств арифметических действий для обосно-
вания и выполнения вычислений, с правиль-
ным формированием геометрических представ-
лений, т. е. именно с теми вопросами, кото-
рые включены в программу впервые.
У таких учителей обучение сводится к за-
учиванию ряда правил за счет выполнения
очень большого числа тренировочных упраж-
нений. Поэтому предстоит большая работа по
подготовке учителей к переходу на новую про-
грамму. И в этой работе неоценимую помощь
могут и должны оказать учителя математики.
Но для этого последним необходимо познако-
миться с содержанием начального курса ма-
тематики4.
4 Более подробно о новых вопросах содержания и
методики начального обучения математике можно уз-
нать из статей, помещенных в журнале «Начальная
школа», 1967, № 1, 11; 1968, Ns 5, 11; 1969, № 2,3,4,5.
25
В заключение остановимся на краткой ха-
рактеристике знаний и умений, которые дол-
жен приобрести каждый ученик, переходящий
(по новой программе) в IV класс. Здесь ука-
заны главным образом те программные тре-
бования, достижение которых обязательно для
каждого ученика III класса.
О числах и арифметических действиях с ними
Учащиеся должны уметь читать и записы-
вать (в десятичной системе) многозначные
числа, представить число в виде суммы раз-
рядных слагаемых. Знать алгоритм каждого
действия и владеть навыками вычислений.
Уметь решать примеры на совместные дей-
ствия, соблюдая порядок их выполнения.
Уметь использовать свойства суммы, произве-
дения для рационализации устных и письмен-
ных вычислений; знать зависимость между
компонентами и результатами действий и
уметь применять эти знания при решении про-
стейших уравнений и задач с помощью урав-
нений; знать, как изменяются результаты дей-
ствий в зависимости от изменения одного из
компонентов; знать способ образования раз-
личных долей единицы и уметь представить
данную дробь в более крупных или в более
мелких долях; уметь решать задачи на на-
хождение дроби числа и числа по его дроби.
Об элементах елгебры
Учащиеся должны познакомиться с употреб-
лением букв, входящих в математические вы-
ражения и равенства. Уметь читать простей-
шие выражения, записывать их, находить чис-
ловые значения выражений. Уметь на основе
знаний зависимости между компонентами
арифметических действий решать соответст-
вующие уравнения. Уметь использовать урав-
нения для решения задач.
Об элементах геометрии, величинах и их измерениях
Учащиеся должны знать названия и неко-
торые свойства геометрических фигур — точек,
линий, отрезков, углов, многоугольников и их
элементов; уметь различать в сложной фигу-
ре составляющие ее элементы и составлять из
отдельных фигур другие фигуры; уметь ис-
пользовать геометрические фигуры для иллю-
страции отношений между числами и для изо-
бражения натуральных чисел и простейших
дробей. Иметь представление о периметре
многоугольника и уметь вычислить периметр
прямоугольника (квадрата). Уметь начертить
на нелинованной бумаге с помощью линейки,
чертежного треугольника и циркуля много-
угольник, прямоугольник, правильный тре-
угольник и шестиугольник, окружность задан-
ного радиуса.
Учащиеся должны иметь реальное пред-
ставление об основных единицах измерения
длины, веса, времени, стоимости, площади.
Уметь, пользуясь масштабной линейкой и
циркулем, измерить отрезок заданной длины;
пользуясь чашечными весами, находить вес
предметов; по часам определять время в 12-
и 24-часовом исчислении.
Иметь представление о площади фигуры и
уметь с помощью палетки сравнивать площа-
ди произвольных плоских фигур; знать фор-
мулу вычисления площади прямоугольника
(квадрата) и уметь находить площадь фигу-
ры, состоящей из прямоугольников.
Знать зависимость между длиной, шириной
и площадью прямоугольника и на этой осно-
ве уметь решать три взаимообратные задачи.
Перечисленные выше знания и навыки вы-
рабатываются на уроках математики, труда,
природоведения. Овладение ими позволит уча-
щимся успешно изучать новую программу по
математике в IV классе.
Завершена большая работа, обеспечившая
переход начальной школы на новый учебный
план и программы. Начинается очередной
этап творческой работы учителей по овладе-
нию новыми методами и совершенствованию
этих методов и путей обучения и воспитания
школьников. Однако было бы неверно думать,
что на этом закончилась работа по перестрой-
ке математического образования в нашей
стране. В системе Академии педагогических
наук СССР продолжительное время ведутся
поисковые эксперименты по прогнозированию
структуры и содержания обучения и воспита-
ния школы будущего. В частности, по мате-
матике такое исследование ведется группой
научных сотрудников под руководством док-
тора физико-математических наук, действи-
тельного члена Академии педагогических наук,
профессора А. И. Маркушеви ч а. С неко-
торыми предварительными результатами этой
работы читатель может познакомиться в кни-
ге К. И. Нешкова и А. М. Пышка л о
«Математика в начальных классах», ч. I /изд.
«Просвещение», 1968).
2В
Изменения, внесенные в учебник
ГУСЕВ u u ..	_	. п
(Москва) п. п. Никитина «Геометрия» для 6 — 8 классов
В методической литературе неоднократно
различные авторы указывали на те недостат-
ки, которые содержит стабильный учебник
«Геометрия для 6—8 классов» Н. Н. Ники-
тина. Наиболее подробно об этом было ска-
зано в статье А. Н. Колмогорова («Мате-
матика в школе», 1966, № 3).
Основываясь на материале статьи А. Н. Кол-
могорова, а также замечаниях, высказанных
другими авторами, в учебник Н. Н. Никитина
были внесены некоторые изменения.
При переработке было решено ограничиться
самым необходимым. Прежде всего были
устранены некоторые грубые логические де-
фекты изложения, которые реально вредили
развитию у школьников правильных навыков
мысли. В некоторых случаях авторы перера-
ботки постарались сделать изложение более
содержательным и менее формальным. Но
там, где казавшиеся желательными изменения
были не столь настоятельно необходимыми
и повлекли бы за собой замену слишком боль-
шой части текста, от этих изменений было
решено воздержаться.
В настоящей статье изложены те измене-
ния, которые внесены в учебник.
I. § 3. ПРЯМАЯ, ЛУЧ, ОТРЕЗОК, ЛОМАНАЯ
Если прочитать начало параграфа, то мож-
но заметить, что все примеры, приведенные
в учебнике, никак не формируют у учащихся
понятия прямой линии. В переработанном ва-
рианте начало § 3 будет таким:
«Первое представление о прямой линии
можно получить, натянув между двумя точка-
ми А и В шнур (черт. 7). Так получится,
однако, не вся прямая, а только ее отрезок,
заключенный между точками Л и В. На чер-
теже 8 отрезок АВ продолжен до краев класс-
ной доски. Но прямая, часть которой видна
на чертеже, продолжается и дальше неограни-
ченно в обе стороны.
Кругом вы найдете много отрезков прямой:
край стола, край листа бумаги. Если акку-
ратно сложить лист бумаги, то линия сгиба
будет прямолинейным отрезком (черт 9).
Постарайтесь во всех случаях представить се-
бе всю прямую, на которой лежит какой-либо
отрезок. Укажите, например, точки, в которых
прямая, проходящая по краю стола, пересе-
кает стены класса.
В геометрии отвлекаются от практических
трудностей, возникающих при желании про-
должить отрезок очень далеко, и считают, что
каждая прямая линия уже продолжается
в обе стороны неограниченно, что у нее сов-
сем нет «концов». Только такую бесконечно
продолжающуюся в обе стороны линию назы-
вают в геометрии прямой линией или просто
прямой (черт. 10).
Сформулируем первое свойство прямой:
1. Прямая бесконечна.
Сформулируем второе важное свойство
прямой.
2. Через любые две точки проходит прямая
и притом только одна.»
В переработанном варианте чертеж 8 по-
лучил номер 9, а чертеж 8 новый (мы не при-
водим его, так как достаточно ясно, что на
нем изображено). Изложение материала на
странице 8 остается без изменения.
II.	§ 4. ПЛОСКОСТЬ
Недостаток этого параграфа тот же, что
и § 3. Для более удачного формирования по-
нятия плоскости начало параграфа было
изменено.
«Познакомимся еще с одним основным по-
нятием геометрии—понятием плоскости. Пер-
вое представление о плоскости можно полу-
чить, рассматривая поверхность стола или по-
верхность спокойной воды в сосуде или
в пруду в тихую погоду. Однако во всех этих
случаях мы имеем дело не со всей плоскостью,
а только с ее частью. Чтобы получить пра-
вильное представление о плоскости в том
смысле, как это слово понимают в геометрии,
надо представить себе поверхность стола или
озера продолженной неограниченно. Мысленно
можно представить себе, например, как пло-
скость поверхности стола при ее продолже-
нии разрезает стены комнаты и проходит
в соседнюю комнату по поверхности другого
стола, если он имеет ту же высоту, как и стол
в нашей комнате (черт. 18а).
Стараясь представить себе наглядно пло-
скость, надо опираться на следующее основ-
ное свойство плоскости:
Если через две точки плоскости проведена
прямая, то все точки этой прямой лежат на
той же плоскости.
27
Так как отрезок и луч являются частями
прямой, то из основного свойства плоскости
вытекает, что отрезок, или луч, имеющий
с плоскостью две общие точки, целиком лежит
на этой плоскости».
Чертеж 18а — новый, мы его здесь не при-
водим.
Текст со слов «Точки, линии и поверхно-
сти...» идет без изменений.
III.	§ 6. ИЗМЕРЕНИЕ ОТРЕЗКА. СВОЙСТВО ОТРЕЗКА
На странице 12 опущены три строки, в ко-
торых длина отрезка сравнивается с длиной
«всякой другой линии, соединяющей его кон-
цы». Взамен этой формулировки введен до-
полнительный пункт «Длина ломаной и свой-
ство отрезка.
Длиной ломаной называется сумма длин
составляющих ее отрезков. Например, длина
ломаной на чертеже 30, а равна 2+3+2+
+ 4=11 (сл*).
IV.	§ 9. УГОЛ. ДЕЙСТВИЯ НАД УГЛАМИ
Старый текст § 9 совершенно неприемлем.
Известно, что угол можно определить
1)	как фигуру, образованную двумя лучами
с общим началом,
2)	как часть плоскости, ограниченную дву-
мя лучами, исходящими из одной точки.
Каждая из этих концепций может быть про-
ведена последовательно и логично, но их
объединение в одной работе недопустимо.
В согласии с подготовленными в настоящее
время учебниками для младших классов авто-
ры переработки приняли вторую концепцию,
которая делает более осязаемой аналогию
между углом и отрезком, сложением углов
и сложением отрезков. Приводим новый
текст:
«Углом называется часть плоскости, огра-
ниченная двумя лучами с общим началом.
Примеры углов изображены на чертеже 39.
Рассматривая этот чертеж, надо понимать,
что весь угол изобразить на чертеже нельзя,
как нельзя на чертеже изобразить и весь луч.
Каждый угол в действительности продолжает-
ся неограниченно. На нашем чертеже заштри-
хованы только части изображенных там
углов.
Точка, из которой выходят ограничивающие
угол лучи, называется вершиной угла, а сами
эти лучи — сторонами угла (черт. 40).
Если начертить на плоскости два луча ОА
и ОС, то они разделят плоскость на две части.
Мы получим не один угол, а два (черт. 41).
Часто при изображении угла чертят только
выходящие из вершины начальные участки
его сторон, а ту часть плоскости, которую хо-
Отметим важное свойство отрезка прямой
линии:
Отрезок прямой короче любой ломаной, со-
единяющей его концы.
Так на обоих чертежах 30,6 и 30,в длина
ломаной ABCDEF больше длины отрезка AF.
Замечание. Можно высказать и более общее
утверждение: отрезок прямой короче, чем любая дру-
гая линия, соединяющая его концы (черт 30,г). Но
точный смысл этого утверждения будет вам понятен
только тогда, когда вы познакомитесь с точным опре-
делением длины произвольной линии».
23
Черт. 41
Черт. 44а
Черт. 456
тят указать, обозначают дужкой, как это сде-
лано на чертеже 42».
Дальше старый текст со слов «Угол обоз-
начается...» до слов «Вырежем из листа...».
Затем снова новый текст.
«Укажем еще один способ получения углов.
Если возьмем луч АС (черт. 43) и будем
поворачивать его вокруг точки А против часо-
вой стрелки вплоть до положения АВ, то его
последовательные положения «заметут» угол
со сторонами АС и АВ.
Продолжая вращать луч в том же направ-
лении, мы будем получать все новые углы.
Может наступить такой момент, когда оба
луча будут составлять прямую линию
(черт. 44). Такой угол называется разверну-
тым углом. Легко понять, что развернутый
угол есть часть плоскости, ограниченная пря-
мой линией, т. е. полуплоскость (черт. 44а).
Если продолжать вращение луча еще даль-
ше, чем на чертеже 44а, будем получать снова
новые углы (черт. 45,а), пока луч не вернется
в свое начальное положение (черт. 45,6).
Будем считать, что луч в ходе своего враще-
ния «замел» самый большой возможный угол,
называемый полным углом.
Замечание. Заметьте, что, введя понятие, о «пол-
ном угле», мы отступили от первоначального определе-
ния угла. Полный угол, в сущности, есть вся плоскость
(черт. 45,6), а не ее часть, ограниченная двумя лу-
чами».
В пункте 2 остается текст со слов «Углы
называются равными...» до слов «Рассмотрим
теперь...», после этого говорится:
«Если угол I можно наложить на угол 2
так, что одна из сторон угла 1 совместится со
стороной угла 2, но при этом угол 1 составит
только часть угла 2 (черт. 47), то говорят,
что угол 1 меньше угла 2, а угол 2 больше
угла 1:
Z1<Z2,	Z2>Z1».
Пункты 3 и 4 остаются без изменений.
В главе II § 14 дано исправленное опреде-
ление периметра:
«Длина замкнутой ломаной, ограничиваю-
щей многоугольник, называется его пери-
метром».
V.	§ 20 и § 21. ПЕРВЫЙ И ВТОРОЙ ПРИЗНАКИ
РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ
В эти два параграфа внесено очень неболь-
шое изменение. Дело в том, что строки: «Мы
можем по этим же данным построить сколько
угодно треугольников, и все они будут равны
между собой» — поставлены в обоих парагра-
фах в конце доказательства теоремы. Мы счи-
таем, что это не соответствует значению этих
строк, необходимых для верного понимания
доказательства равенства фигур. В связи
с этим строчки эти изъяты, а перед непосред-
ственным доказательством признаков поме-
щен новый текст;
«По этим данным мы можем построить
сколько угодно треугольников. Докажем, что
все они равны между собой. Для этого рас-
смотрим любые два из них: АВС и А'В'С'».
VI.	§ 22. ТРЕТИЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА
ТРЕУГОЛЬНИКОВ
В этот параграф внесены более существен-
ные изменения, так как приведенное рассуж-
дение нельзя считать доказательством третье-
го признака. Доказывая признак для про-
извольных треугольников АВС и А'В'С, рас-
сматривается лишь случай, изображенный на
чертеже 145.
Полное доказательство требует рассмотре-
ния трех различных случаев (см. ниже).
Поэтому во вводном тексте параграфа опуще-
но упоминание конкретных длин сторон
(30, 40, 42 мм), а на странице 54 после пер-
вых четырех строк дан новый текст:
«Сначала на произвольной прямой постро-
им отрезок АС, равный данному отрезку Ь,
мы сразу получим две вершины искомого
треугольника—А и С (черт. 145).
Так как длины второй и третьей сторон
соответственно равны отрезкам с и а, то
третья вершина треугольника должна нахо-
диться как на дуге, описанной из центра А
радиусом, равным с, так и на дуге, описанной
из центра С радиусом а. Следовательно,
третьей вершиной треугольника будет точка
29
ляется целесообразным, так как у учащегося
восьмилетней школы должна быть полная
ясность о всех возможных случаях построения
треугольников по трем элементам.
Приводим текст параграфа:
«Треугольник имеет три стороны и три
угла. В §20, 21 и 22 мы разобрали три случая
построения треугольников по трем из этих
шести «элементов треугольника». Рассмотрим
теперь все различные способы выбора трех
элементов треугольника из шести указанных.
Таких способов шесть:
пересечения этих дуг. Обозначим эту точку
буквой В и, соединив ее отрезками с точками
А и С, получим искомый треугольник АВС.
По этим данным мы можем построить сколь-
ко угодно треугольников. Докажем, что все
они равны между собой, для этого рассмот-
рим любые два из них — АВС и А'В'С'. При-
ложим треугольник А'В'С' к треугольнику
АВС так, чтобы их равные стороны АС
и А’С совместились (черт. 145), причем точ-
ка А совпала бы с точкой А', а точка С — с С'.
Тогда треугольник А'В'С' примет положение
АВ"С. Сторона А'В' будет равна стороне АВ"
и сторона В'С — стороне В"С.
Соединим отрезком прямой точки В и В"
и найдем точку D пересечения этого отрезка
с прямой АС. Приходится различать три слу-
чая: 1) точка D лежит между точками А и С
(черт. 145,а); 2) точка D лежит вне отрезка
АС (черт. 145,6); 3) точка D совпадает с од-
ним из концов отрезка АС (черт. 145,в).
Проведем доказательство в первом случае.
В этом случае (черт. 145,а) имеем два равно-
бедренных треугольника £\ВАВ" и ДВСВ",
у которых Zl = Z2 и Z3=Z4, откуда
ZB = Zl + Z3 = Z2+ /4= ZB".
(А во втором случае (черт. 145,6)
ZB= Zl — Z3= Z2 —/4 = ZB")
Следовательно, по первому признаку равен-
ства треугольников /\АВС = /\АВ"С, тогда
и ДАВС = ДА'В'С'.
Аналогично проводится и доказательство
в двух других случаях».
Далее старый текст: «Мы доказали...».
VII. § 25. ПОСТРОЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКА ПО ТРЕМ
ЭЛЕМЕНТАМ. ЧЕТВЕРТЫЙ СЛУЧАЙ ПОСТРОЕНИЯ
ТРЕУГОЛЬНИКА
Этот параграф помещен вместо изъятого
§ 25 «Значение признаков равенства треуголь-
ников». О значении признаков равенства тре-
угольников говорить еще рано, так как к дан-
ному моменту не использованы все возмож-
ности построения треугольников по трем эле-
ментам. Помещение нового материала яв-
1) две стороны и угол меж-
ду ними;
2) сторона и два прилежа-
щих к ней угла;
3) три стороны;
4) две стороны и угол, npoj
тиволежащий одной из них;
5) сторона, один угол, при-
лежащий к ней, и другой —
противолежащий;
три угла.
Пятым и шестым случаями мы займемся
позднее, а сейчас рассмотрим четвертый
случай.
Пусть даны две стороны а и Ь и угол а,
противолежащий стороне а. На произвольной
прямой построим отрезок АС, равный отрез-
ку b, а на этом отрезке при точке А постро-
им угол, равный а. Проведем окружность
радиуса а с центром в точке С. Эта окруж-
ность либо вовсе не пересечется со второй
стороной угла (черт. 151,а), либо будет иметь
со второй стороной угла только одну общую
точку (черт. 151,6), либо, наконец, пересечет-
ся со второй стороной угла в двух точках
(черт. 151,в). Таким образом, задача построе-
ния треугольника по двум сторонам а и b
и углу а, противолежащему стороне а, может
иметь два решения, одно решение или вовсе
не иметь решений.
На чертеже 151,в треугольники АВС и АВ'С
не равны. Поэтому нельзя сказать, что из
30
Черт. 151
равенства двух сторон и угла, противолежа-
щего одной из сторон одного треугольника,
соответствующим сторонам и углу другого
треугольника вытекает равенство треуголь-
ников».
VIII.	§ 29. ПОНЯТИЕ О ТЕОРЕМЕ И АКСИОМЕ
Весь параграф оставлен без изменений,
лишь в конце дан дополнительный текст, по-
ясняющий аксиоматическое построение курса
геометрии, аксиома о свойстве длины отрезка
дана в измененном варианте:
«В каждом доказательстве теоремы прихо-
дится ссылаться на ранее установленные
предложения. Поэтому ясно, что изложение
геометрии должно начинаться с аксиом. Из
аксиом можно выводить теоремы, из этих тео-
рем— новые теоремы и т. д. Но, не приняв
сначала ни одной аксиомы, нельзя сдвинуться
с места. В § 37 мы познакомимся еще с одной
аксиомой (аксиомой параллельности), обсуж-
дение которой сыграло особую роль в истории
геометрии.
Вы видите, что наш учебник ограничивается
указанием некоторых примеров аксиом. Кроме
этих аксиом, мы опирались и на некоторые
другие допущения, принятые без доказатель-
ства, т. е. по существу на не сформулирован-
ные явно аксиомы. Совершенно строгое изло-
жение геометрии без скрытых, невысказанных
допущений, только на основе явно высказан-
ных аксиом — дело довольно трудное. Число
аксиом, необходимых для такого изложения
геометрии, оказывается довольно большим.
К вопросу о построении геометрии на основе
аксиом вы еще вернетесь в девятом классе».
IX.	§ 35. ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ДВУХ ПРЯМЫХ
Доказательство в пункте 1 нельзя считать
удовлетворительным, так как не объяснено,
почему прямая ОМ должна пересечься с пря-
мой CD. Новый текст доказательства:
«Пусть прямые АВ и CD пересечены пря-
мой EF и Zl = Z2. Возьмем точку О — сере-
дину отрезка KL секущей EF (черт. 189).
Опустим из точки О перпендикуляр ОМ на
прямую АВ и перпендикуляр ON на прямую
CD. Докажем, что точки М, О, N лежат на
одной прямой MN. Рассмотрим два треуголь-
ника OLM и OKN.
Эти треугольники прямоугольные, так как
OM.LAB, a ON1.CD, у них Zl = Z2 по
условию, ОК = OL по построению, следова-
тельно, эти треугольники равны (§ 27).
Из равенства этих треугольников следует,
что Z.MOL = Z.KON. Чтобы доказать, что
точки М, О и N лежат на одной прямой, рас-
смотрим Z.MON. Z.MOK + Z.MOL — 180°, но
Z.MOL—Z.KON, а значит, Z.MOK +
+ Z.KON = 180°, т. е. Z.MON развернутый, а
это и значит, что точки М, О и N лежат на
одной прямой. ОМ±АВ, ON .LCD, следова-
тельно, MN перпендикулярна АВ и CD».
X.	§ 37. АКСИОМА ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ЕВКЛИДА
В этом параграфе на странице 80 исключе-
на фраза «так как... сливаются» и далее текст
со слов «Принятая Евклидом...» до конца
параграфа заменен новым текстом, который
более ясно раскрывает заслуги великого рус-
ского ученого Н. И. Лобачевского:
«Евклид сформулировал аксиому парал-
лельности в таком виде:
Если при пересечении двух прямых третьей
сумма внутренних односторонних углов мень-
ше двух прямых, то эти две прямые пересе-
каются с той стороны от секущей, с которой
сумма внутренних углов меньше двух прямых.
Можно доказать, что аксиома параллель-
ных в формулировке Евклида равносильна
принятой нами.
Более двух тысячелетий после Евклида мно-
гие математики пытались доказать математи-
ческое предложение, выраженное аксиомой
параллельных, опираясь на другие принятые
Евклидом аксиомы, но всегда их попытки
оказывались безуспешными.
Только в начале XIX в. великий русский
ученый, профессор Казанского университета
31
Николай Иванович Лобачевский показал,
что, используя все другие аксиомы Евклида,
это математическое предложение доказать
нельзя. Принимая вместо аксиомы параллель-
ных евклидовой геометрии другую аксиому:
«Через точку вне прямой можно провести не
одну, а несколько прямых, параллельных дан-
ной прямой»,— можно построить новую гео-
метрию, логически столь же стройную, как
и обычная евклидова геометрия. В этой новой
геометрии — геометрии Лобачевского — нигде
не встречается противоречий.
Аксиомы обычной евклидовой геометрии
выражают свойства окружающего нас реаль-
ного пространства, проверенные на практике.
Но проверка эта имеет всегда лишь прибли-
женный характер. Можно считать установлен-
ным, что в знакомой нам на практике части
пространства с очень большой точностью
оправдываются все теоремы геометрии
Евклида.
Мы не можем здесь останавливаться на
взглядах современной физики по вопросу
о геометрии реального пространства в косми-
ческих масштабах. Многие ученые считают,
что в масштабах, далеко превышающих раз-
меры солнечной системы и галактики, геомет-
рия реального пространства может и отли-
чаться от евклидовой».
XI.	§ 39а. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
О ПОСТРОЕНИИ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
И ПРИЗНАКАХ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Только после доказательства теоремы
о равенстве суммы углов треугольника двум
прямым мы можем окончательно рассмотреть
вопрос о построении треугольников по сторо-
нам и углам.
Был введен новый параграф — § 39а.
«Вернемся теперь к шести задачам о по-
строении треугольника по трем элементам из
§ 25. Теперь нам ясно, что, зная два угла тре-
угольника, можно найти третий. Если извест-
ны углы а и р, то третий угол (у) равен
— 2d — а — р.
Легко произвести и соответствующее геомет-
рическое построение: построив углы аир
с общей вершиной О по разные стороны от
луча ОМ (черт. 211а), найдем угол
NOP = 2d - а — р = у.
Это замечание позволяет свести пятый слу-
чай построения треугольника ко второму.
Второй признак равенства треугольников те-
перь можно высказать в такой форме:
Если сторона и два угла одного треугольни-
ка равны соответствующим стороне и углам
второго треугольника, то треугольники равны.
Черт 211а
Применяя сформулированный таким обра-
зом второй признак равенства треугольников,
надо только следить за тем, чтобы считать
соответствующими углы, противолежащие со-
ответствующим сторонам. Несоблюдение это-
го правила могло бы привести к ошибочным
выводам: на чертеже 2116 треугольники АВС
и А'В'С' имеют равные стороны АС = А'С
и Z.A = ЛА’, Z.B = ZC', но треугольники
не равны.
Черт. 2116
Что касается шестого способа выбора трех
элементов треугольника, то мы видим теперь,
что задание трех углов треугольника не дает
ничего нового по сравнению с заданием двух
углов. Если заданные три угла в сумме равны
двум прямым, то можно построить сколько
угодно неравных треугольников с этими угла-
ми (черт. 211в). Если же сумма заданных
углов не равна двум прямым, то построить
треугольники нельзя».
XII. § 63. КУБ
В пункте 1 изменено начало параграфа; не
имеющие смысла слова «развертка геометри-
ческого тела» заменены понятием «развертки
поверхности геометрического тела»:
«На чертеже 286 изображена выкройка, или,
как ее принято называть, развертка поверхно-
сти куба. Она состоит из шести равных квад-
32
ратов. Если эту развертку согнуть по указан-
ным на чертеже пунктирным линиям и склеить
отмеченные одинаковыми пометками стороны
квадратов, то получим поверхность геометри-
ческого тела, называемого к}бом».
В пункте 2 частично изменен текст с целью
дать более четкое определение двугранного
угла:
«Две полуплоскости с общим краем делят
пространство на две части (черт. 289а). Каж-
дая из этих частей называется двугранным
углом. Мы будем рассматривать только мень-
шую из этих частей.
Двугранный угол ограничен двумя полупло-
скостями, которые прилегают к общей прямой,
называемой ребром двугранного угла. Ограни-
чивающие двугранный угол полуплоскости
называются его гранями.
Двугранные углы бывают острые (черт.
290), прямые (черт. 289) и тупые (черт. 291)».
Пункт 3 оставлен без изменения.
В пункте 4 исключены абзацы, начинаю-
щиеся словами «Этот вывод...» и «Через лю-
бую точку...», так как текст учебника может
дать неверное представление о высказанном
утверждении. Вместо этого дан новый текст:
«Сформутированное предложение дает нам
признак перпендикулярности прямой и пло-
скости. В курсе девятого класса оно доказы-
вается.
Отметим еще два предложения, которые
тоже примем без доказательства:
1) через любую точку можно провести пер-
пендикуляр к данной плоскости и притом
только один;
2) через любую точку прямой можно про-
вести плоскость, перпендикулярную к данной
прямой, и притом только одну».
Так как текст, который посвящен измере-
нию двугранных углов, в пункте 2 изъят
и к данному моменту есть возможность ска-
зать об измерении двугранных углов более
ясно, то введен новый пункт:
«5. Измерение двугранных углов.
Возьмем на ребре двугранного угла точку
и проведем через эту точку плоскость, перпен-
дикулярную ребру (черт. 294а). В сечении
получим плоский угол. Градусная мера этого
плоского угла и считается мерой двугранного
угла5. Если этот плоский угол острый, пря-
мой или тупой, то и двугранный угол считают
соответственно острым, прямым или тупым.
Легко проверить, что в силу этого опреде-
ления двугранные углы, образуемые гранями
куба, действительно прямые, как и было ска-
зано в п. 2».
1 Градусная мера двугранного угла не зависит от вы-
бора точки на ребре.
2 Математика в школе, ХЛ 4
Старый пункт 5 остается без изменений
и идет под номером 6.
XIII.	§ 64. ПРЯМАЯ ПРИЗМА
В этот параграф введены небольшие поправ-
ки; здесь так же, как и в § 63, пользуемся
понятием поверхности геометрического тела.
XIV.	§ 79. ПЛОЩАДЬ КРУГА
В этом параграфе сделано небольшое из-
менение старого текста с целью сделать изло-
жение более ясным. Убран текст со слов
«Обозначим через...» и до конца. Вместо это-
го помещен следующий текст: «Сумма площа-
дей всех треугольников составит:
При большом числе делений сумма площадей
треугольников становится весьма близкой
к площади круга, сумма оснований ап — к
длине окружности С, а высота h — к радиусу
круга г. Поэтому
anh Ст 2т.г-г о
-2-^ —==-2-=№.
Так как с увеличением числа делений п точ-
ность этого равенства можно сделать сколь
угодно высокой, то на самом деле
5 = №,
где S площадь круга.
Строгое обоснование подобных рассужде-
ний, содержащих «переход к пределу» при
неограниченном возрастании числа п дается
в старших классах».
XV.	§ 80. ПЛОЩАДЬ СЕКТОРА
В этом параграфе даем дополнение:
«Обозначив m = -pg”- длину дуги, стяги-
вающей сектор, можно формулу для пло-
щади сектора записать в виде S тг».
XVI.	§ 84. ПОСТРОЕНИЕ ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫХ
ОТРЕЗКОВ
Текст этого параграфа переписан заново,
но все же многое оставлено из старого изло-
жения. Более четко говорится о том, что
доказательство проводится лишь для случая
отрезков, длины которых выражены рацио-
нальными числами.
«Теорема. Если две прямые пересечь не-
сколькими параллельными прямыми, то отно-
шение двух отрезков, получившихся на первой
прямой, равно отношению соответствующих
отрезков на второй прямой.
Докажем теорему для случая, когда от-
ношения отрезков выражаются рациональпы-
J3
ми числами, т. е. дробями вида —, где р и
q — натуральные числа.
На чертеже 354
ВС	5
АВ	4 ’
т. е. четверть отрезка АВ укладывается
ровно пять раз в отрезке ВС. Надо дока-
зать, что отношение отрезков В'С и А'В'
тоже равно Разделив отрезок АВ на че-
тыре равные части, а отрезок ВС — на пять
равных частей, получим девять равных от-
резков. Через точки деления проведем пря-
мые, параллельные прямым АА', ВВ', СС.
На прямой т' получим тоже девять равных
отрезков (см. § 47), причем в отрезке А’В'
уложится четыре этих отрезка, а в отрезке
В'С — пять (черт. 355). Поэтому
В'С 5 ВС
А’В' ~ 4 — АВ ’
что и требовалось доказать.
То же самое рассуждение можно провести
и в случае любого отношения где р и
q — натуральные числа. Ничего не изменит-
ся в ходе доказательства и в других ука-
занных на чертеже 356 случаях взаимного
расположения отрезков.
„	.	А'В'	CD'
Так, в случае а)
АВ'	В'С
в случае б)	= -g^-;
.	АВ	А'В'
в случае в)	=
Черт. 356
XVII.	§ 1«. КОНУС
Текст пункта «3. Площадь поверхно-
сти к о н у с а» заменен:
«Площадь поверхности конуса (или просто
поверхность конуса) равна сумме площадей
основания и боковой поверхности.
В предыдущем пункте мы рассмотрели по-
нятие развертки поверхности конуса. Будем
обозначать через R радиус основания конуса,
а через / — длину образующей. Развертка бо-
ковой поверхности конуса есть сектор круга
радиуса I, ограниченный дугой, длина которой
равна 2л)?. По формуле площади кругового
сектора (§ 80) эта площадь равна
2^/?Z	,,,
---- =
Площадь основания конуса равна nZ?2.
Поэтому площадь полной поверхности конуса
равна
"Z?2 + nRl =*nR(R + I)»-
В заключение отметим два случая, в кото
рых авторы переработки отказались от изме
нений, представлявшихся им в принципе жела
тельными по соображениям, указанным в на
чале статьи.
1. Представляется не-
сомненным, что в
школьном курсе гео-
метрии определение
фигуры F, симметрич-
ной фигуре F' относи-
тельно оси I, не долж-
но ограничиваться фи-
гурами F, лежащими
по одну сторону от оси.
Например, учащиеся
должны были бы
узнать, что на прила-
гаемом рисунке отре-
зок АВ симметричен отрезку А'В'. Но авторы
переработки не хотели брать на себя опреде-
ление будущей методики введения такого бо-
лее широкого понимания осевой симметрии.
2. Авторы переработки считают, что поня-
тие подобия фигур следует возможно ранее
сформулировать в общей форме: две фигуры
подобны, если расстояния между их соответ-
ствующими точками находятся в постоянном
отношении. Несомненно, что в будущем, когда
первое знакомство с множествами и взаимно
однозначными соответствиями будет прохо-
дить в младших классах, такой подход будет
доступным и почти само собой разумею-
щимся. Но сейчас переход на такую точку
зрения еще мог бы вызвать споры или
непонимание.
34
Я. Ш. ГЕРЦЕНШТЕЙН
(Москва)
О некоторых уравнениях, имеющих
единственный корень
Можно показать, что если монотонная
функция имеет корень, то он единственный.
В следующих уравнениях (иррациональных,
показательных, логарифмических, тригономет-
рических и др.) этот корень находится устно
подбором, прикидкой; остается только пока-
зать монотонность левой части уравнения
f(x) = O.
Решение и особенно составление таких урав-
нений учащимися поможет им в изучении
свойств функций.
Примечание. В уравнении 16 полезно
обе части разделить на 81х; аналогичные пре-
образования помогут и при решении уравне-
ний 17—20.
1.	2 /Т^Л + /Г+2 — 4 = 0.
2.	2х - /3 — 2x7 -3 = 0.
3.	З/Г+6-/2^Лс-4 = 0.
________ а _
4.	2/х: — 1+/х:—1=0.
4 __ 3
5.	/х7 — 1 + 2/ЗХ+ 2 — /ЛЛх = 4.
6.	(cos-у-)* + (sin-^-)* — 1=0.
7.	(/З + /З)х + (/3 — / 3/ — 6 = 0.
8.	13х + 12х —25 = 0.
9.	2х: + 3lg(3x: + 4) — 7 = 0.
10.	2х+ 31gx7 —2 = 0.
11.	3 arcsin х: + тх: — т = 0.
12.	3 arccos Х7 — кх:-|- = 0.
13.	arc sin	— arcsin	—^- = 0.
14.	log^x: + log^^x:+ -^------1J—1=0.
4	5
15.	21ogJLx: — 3 ]/ ^- + 1 =0.
16.	3-16х + 36х — 2-81x =0.
17.	5х — 4х — 3х — 0.
18.	32~x-42x — 7-2x -2-3x = 0.
19.	/2x: — 1 + /x; - 2 - /x7 + 1 = 0.
20.	(/2 + P 3/ +(/2-)/3)' — 2x=0.
В помощь начинающему учителю
Из опыта работы по совершенствованию
Э. Г. ЯКУБА
(г. Ростов-на-Дону) учебного процесса
В настоящей статье автор ставит задачу
осветить некоторые оправдавшие себя в прак-
тике работы учителей нашей области методи-
ческие приемы, используемые на уроках мате-
матики.
Лучшие учителя математики уделяют много
внимания организации такой системы обуче-
ния учащихся, которая не только способствует
хорошему усвоению программы, но и обеспе-
чивает всестороннее развитие учащихся. Осо-
бое внимание учителями уделяется созданию
проблемной ситуации, которая ставит школь-
ников перед противоречием, затруднением,
побуждает их к самостоятельным поискам до-
казательства, решения, отбора методов для
обоснования своих утверждений. Постановка
проблемы осуществляется по-разному: в про-
цессе выполнения лабораторных и практиче-
ских работ, при решении задач, которые пока-
зывают либо несовершенство, либо недоста-
точность знаний и т. п.
Так, в VIII классе по геометрии перед изуче-
нием теоремы о свойстве касательной и секу-
щей, проведенных к кругу из точки, взятой вне
круга, учащимся предлагается в порядке до-
машней лабораторной работы на соответствую-
щих чертежах произвести измерения касатель-
ной, секущей, внешней ее части и вычисления
квадрата касательной и произведения се ущей
на ее внешнюю часть (берутся разные 'поло-
2*
35
В	жения точки вне
Д	круга). При обсуж-
дении результатов
этой лабораторной
работы учащиеся
высказывают пред-
положения о воз-
можном соотноше-
нии между рассмат-
риваемыми отрезка-
ми и приходят к мы-
сли о необходимости
обоснования сделан-
£ ного предположе-
Черт. 1	НИЯ.
Широко исполь-
зуется составление прямых и обратных
задач. Учительница восьмилетней школы
№ 70 г. Ростова-на-Дону А. М. Л а б и н-
цева уже в VI классе, решая по геомет-
рии задачи на доказательство, предлагает
учащимся составлять обратные задачи. Неред-
ко при этом учащиеся обнаруживают, что для
решения этих задач у них нет соответствую-
щих знаний. Такие упражнения учительница
использует для создания проблемной ситуации.
Так, перед доказательством теоремы о сторо-
нах треугольника, лежащих против равных
углов, учащимся было предложено решить
такую задачу по готовому чертежу (черт. I):
Дано: в £±АВС АВ = ВС, ЕС±_АВ
AF ± ВС.
Доказать: EC = AF.
Учащиеся формулируют по плакату усло-
вие задачи, решают ее, рассматривая пары
таких треугольников: 1) £\АЕС и Л AFC
или 2) £\ ABF и [\ВЕС.
Затем составляют новую задачу.
Дано: в /\ ABC СЕ_[_АВ, AF±.BC,
AF = СЕ.
Доказать: АВ = ВС.
Для доказательства равенства сторон тре-
угольника делается попытка рассматривать те
же пары треугольников, но вскоре учащиеся
убеждаются, что необходимо сначала выяс-
нить, справедливо ли утверждение: против
равных углов в треугольнике лежат равные
стороны. Ученики предлагают до решения
составленной ими задачи рассмотреть вопрос,
который как раз представляет тему урока.
После знакомства с новой теоремой вновь воз-
вращаются к решению задачи.
Нередко применяется и такой прием, когда
одна и та же задача решается и до и после
изложения нового материала и при этом пока-
зывается преимущество применения вновь при-
обретенных знаний.
Например, перед изучением теоремы о трех
перпендикулярах в IX классе учительница
средней школы № 1 г. Ростова-на-Дону
Г. В Говорова предложила учащимся по
готовому чертежу (черт. 2) определить, как
расположены относительно друг друга прямые
1) SO и АС, 2) АВ и SC при условии, что
SO ± пл. АВС, АС = ВС, DC_[_AB (чертеж
был сделан на переносной доске). Учащиеся
решили задачу.
Затем учительница сообщила, что на уроке
будет рассмотрена теорема, облегчающая ре-
шение подобных задач. После доказательства
теоремы о трех перпендикулярах (обобщен-
ной) снова была решена эта же задача и вы-
яснено, что решение второго вопроса с помо-
щью новой теоремы упрощается.
Черт. 2
Иногда для постановки проблемы, для воз-
буждения интереса учащихся к знаниям весь-
ма полезны исторический экскурс, вступитель-
ная беседа учителя. Так, например, перед из-
учением теоремы Пифагора в VII классе учи-
тель сообщает учащимся, что они будут из-
учать особенную теорему, что в древности о
вей слагали легенды, многие математики по-
свящали свои работы этой теореме или вели
исследования, связанные с ней. Полезно также
указать, что существует много различных спо-
собов доказательства теоремы, но на уроке
будет рассмотрен только один (затем можно
порекомендовать книгу В. Литцмаиа «Тео-
рема Пифагора», М., Физматгиз, 1960).
Созданию проблемной ситуации при сооб-
щении новых знаний, умений, навыков в на-
стоящее время придается большое значение.
В педагогической печати опубликовано много
статей по данному вопросу, однако было бы
ошибочным считать, что сейчас уже имеются
все условия для выполнения этого требования
к процессу обучения на каждом уроке. Учите-
ля математики Ростовской области ведут от-
бор наиболее удачных примеров, способов соз-
36
дания проблемной ситуации, учитывая, что по-
ложительное решение этого вопроса возможно
прежде всего при глубоком знании самого
предмета, при повышении научного уровня
преподавания. При этом учитывается и бюд-
жет времени урока, в котором центральное
место должно отводиться изучению и закреп-
лению новых знаний Поэтому иногда начало
работы, связанной с постановкой проблемы,
относится на домашнее задание. Так, перед
изучением геометрического истолкования ре-
шения системы двух уравнений с двумя неиз-
вестными полезно в домашнем задании (пре-
дыдущего урока) предложить учащимся само-
стоятельное построение таких пар линейных
зависимостей, графики которых пересекаются,
совпадают, параллельны. Результаты такой
домашней работы дают возможность само-
стоятельно сформулировать вывод и дать его
обоснование. Время урока в этом случае зна-
чительно экономится.
Большое значение при изучении математики
имеет организация целенаправленного повто-
рения и выполнения специальных упражнений,
практических работ, которые предусматрива-
ют подготовку учащихся к усвоению основных
положений, преодолению трудностей, преду-
преждению ошибок.
Так, например, перед изучением формулы
(o + ft)2 учащимся следует предлагать специ-
альные упражнения на нахождение квадратов,
произведений, удвоенных произведений раз-
личных чисел (целых, дробных, положитель-
ных, отрицательных), одночленных выраже-
ний. Перед знакомством с формулой корней
приведенного квадратного уравнения учащим-
ся полезно устно выполнить упражнения по
определению половины данного числа, взятого
с противоположным знаком, нахождению
квадрата половины данного числа или выра-
жения. Перед изучением теоремы Виета сле-
дует предложить упражнения, в которых тре-
буется а) назвать число, противоположное
данному; б) по знаку произведения двух чисел
определить возможные знаки сомножителей;
в) по сумме чисел с одинаковыми знаками
указать знаки этих чисел; г) по сумме двух
чисел с разными знаками указать знак числа,
имеющего большую абсолютную величину,
если сумма положительна (отрицательна);
д) по данным произведению и сумме двух чи-
сел определить их знаки; е) по данным произ-
ведению и сумме двух чисел определить числа;
ж) по данным произведению и числу, противо-
положному сумме двух чисел, определить
числа.
Организуя повторение перед изучением но-
вого материала, выполняя упражнения с це-
лью подготовки учащихся к восприятию ново-
го, учитель должен спланировать его так, что-
бы углублять, совершенствовать имеющиеся
у учащихся знания и навыки. Так, перед изуче-
нием бесконечно убывающей геометрической
прогрессии учащимся могут быть предложены
такие вопросы:
1.	Какая последовательность называется
убывающей? Приведите примеры.
2.	Определите вид последовательности
3.	Сформулируйте признак Вейерштрасса о
существовании предела последовательности.
4.	Найдите Urn qn, если	Пока-
жите на числовой оси, что 11т^п==0 при
-1<<7<0.
5.	Что можно сказать о lim qn при |^К1?
Л-*оо
Приступая к изучению теоремы «Не суще-
ствует рационального числа, квадрат кото-
рого равен 2», полезно рассмотреть в по-
рядке повторения и углубления знаний сле-
дующие упражнения:
1.	Записать формулу четного числа.
2.	а) т и п — числа четные. Что можно
сказать о дроби -^-?
б)	т и п не имеют общих множителей.
Что можно сказать о дроби ™ ?
3.	Квадрат четного числа делится и на 2 и
на 4. Доказать.
4.	Если а2 — число четное, то а — также чет-
ное число. Доказать.
Выполнение таких упражнений до изучения
нового (до выполнения трудных упражнений)
способствует облегчению восприятия трудных
элементов и целостному восприятию нового
материала, четкому представлению методов,
благодаря которым ученик приобретает новые
знания и умения. Трудности, которые ученик
испытывает при овладении новыми знаниями,
зачастую лишают его возможности хорошо их
усвоить, а нередко создают отрицательное от-
ношение к новым знаниям. Вдумчивый педа-
гог обязательно готовит ученика к преодоле-
нию этих трудностей и заботится о создании
положительного отношения к новому материа-
лу, новым упражнениям, учитывая большое
значение эмоционального фактора в процессе
обучения.
Многолетние наблюдения на экзаменах и
уроках показывают, что некоторые разделы,
вопросы программы бывают плохо усвоены
учащимися разных школ. Так, например, вы-
зывает затруднения у учащихся доказатель-
37
ство теоремы о сумме плоских углов выпукло-
го многогранного угла, если ее изучение про-
водилось без соответствующей подготовки.
Между тем минимум подготовительных вопро-
сов и заданий определяется самой теоремой.
Они могут быть примерно следующего содер-
жания:
1.	Даны выпуклый многогранный угол и
плоскость, пересекающая все его грани. Какая
фигура получается в сечении?
2.	Дан выпуклый n-угольник. Найти сумму
его внутренних углов.
3	На чертеже 3 дан трехгранный угол ABCD.
Сравните его плоские углы CAD, САВ и BAD,
применив только что изученную теорему
(имеется в виду теорема о свойстве плоских
углов трехгранного угла).
4.	Чему равна сумма углов п треугольников?
5.	Даны п треугольников. Сумма углов при
вершинах этих треугольников равна а. Найди-
те сумму углов этих треугольников, кроме тех
углов, которые лежат при вершинах.
6.	Решить неравенства а — b <^а — х.
В процессе выполнения этих упражнений
будут повторены вопросы, выполнены опера-
ции, сделаны частные суждения, которыми
учащимся придется оперировать при рассмот-
рении теоремы, и тогда им будет легче связать
их в стройную систему доказательства теоре-
мы. А для того чтобы показать важность и не-
обходимость доказательства этой теоремы, по-
лезно в предшествующее домашнее задание
включить хотя бы такую лабораторную работу.
Изготовить пятигранный угол из таких
углов а) 36°, 74°, 25°, 55°, 70° (сумма углов
меньше 360°); б) 100°, 50°, 60°, 80°, 70° (сумма
углов равна 360°); в) 110°, 60°, 70°, 80°, 90°
(сумма углов больше 360°).
Анализ результатов этой лабораторной ра-
боты поможет поставить и сформулировать
3S
познавательную задачу, котовая решается тео-
ремой о сумме плоских у1лов выпуклого мно-
гогранного угла.
Не может быть шаблона и трафарета в
организации подготовки учащихся к восприя-
тию нового, она должна отражать всю систе-
му работы учителя, его педагогический по-
черк. Однако в основе этой работы лежит та-
кая система, когда учащимся предлагается
самостоятельно решать ряд конкретных позна-
вательных задач, которые органически связа-
ны с центральной познавательной задачей те-
мы урока и связаны с повторением изученного
ранее материала. Ясно, что подготовка к вос-
приятию новой темы не всегда может быть
осуществлена непосредственно на том уроке,
на котором предполагается изучение этой те-
мы, ее нередко приходится распределять по
ряду уроков. В связи с этим большое значение
приобретает тематическое планирование, ко-
торое позволяет учителю выделять важнейшие
разделы программы, их связь с изученными
ранее вопросами.
Наиболее трудным при проведении урока
является побуждение каждого ученика к ак-
тивной самостоятельной мыслительной дея-
тельности. Практика показывает, что этому
способствует, с одной стороны, целенаправлен-
ный отбор содержания учебного материала, с
другой стороны, соответствующие методы и
формы организации работы учащихся, преду-
сматривающие создание условий, обстановки,
в которой каждый ученик поставлен перед не-
обходимостью самостоятельно решать предло-
женные учителем вопросы. В связи с этим
учителя уделяют большое внимание организа-
ции и проведению самостоятельной работы
учащихся на уроке. Организуя самостоятель-
ные работы учащихся в процессе изучения или
закрепления нового,, их следует различать
прежде всего по степени проявления учеником
самостоятельности: полусамостоятельные, тре-
нирующие, контро тирующие.
При этом учитель должен одновременно ре-
шить три основных вопроса: определить со-
держание самостоятельной работы, форму ее
выполнения и, наконец, способ выявления ее
результатов. Безусловно, мыслительная актив-
ность учащихся определяется прежде всего со-
держанием самостоятельной работы. Однако
в условиях необходимости широкого и систе-
матического использования самостоятельной
работы необходимо применять разнообразные
формы самостоятельной работы, ибо известно,
что трафарет в учебной работе является одним
из факторов, вызывающих отрицательное от-
ношение учащихся к учению. Наконец, вряд
ли можно подвергнуть сомнению исключи-
тельную важность выявления результатов са-
мостоятельной работы, своевременное исправ-
ление ошибок учащихся, оценку ее результа-
тов, которая в руках умелого педагога являет-
ся важным фактором возбуждения у учащих-
ся стремления к улучшению знаний и навыков.
При этом следует обязательно иметь в виду
следующие два обстоятельства: во-первых,
наблюдения психологов, передовой опыт пока-
зывают, что исправление допущенных ошибок
наиболее эффективно, если проверка осуществ-
ляется сразу же после выполнения самостоя-
тельной работы, во-вторых, систематическое
использование самостоятельных работ требует
от учителя такого количества времени на их
проверку, которое превышает реальные воз-
можности. Решительных успехов в обучении
учащихся добиваются только те учителя, кото-
рые применяют разнообразные формы само-
стоятельных работ с проверкой результатов
непосредственно на уроке: устные, полупись-
менные, письменные, с помощью дидактиче-
ских и технических средств (типа перфокарт,
математических книжек или карточек, различ-
ных шаблонов, устройств для выявления ре-
зультатов самостоятельной работы), наконец,
в форме дидактических игр (в младших клас-
сах). За последние годы разработано и описа-
но много оригинальных технических средств,
позволяющих и ускорить сам процесс выпол-
нения самостоятельной работы учеником, и
осуществить контроль ее результатов и даже
дать оценку, но не все из них пока доступны
для использования в каждой школе, каждым
учителем, а эффективность некоторых из них
является спорной. В Ростовской области ряд
передовых учителей работает над проблемой
создания и эффективного использования техни-
ческих средств в процессе обучения. Это такие
учителя, как А. Г. Перцев (Егорлыкская
средняя школа), А. У. Межерицкий
(средняя школа № 52 г. Ростова-на-Дону),
В. Г. Алексеенко (средняя школа № 8
г. Таганрога), И. И. Пономарев, Р. И.
Жорова (средняя школа № 25 г. Новошах-
тинска) и другие. Однако наряду с этим ведет-
ся разработка и внедрение таких форм орга-
низации самостоятельной работы, которые
сейчас доступны каждому учителю, каждому
ученику. Очень полезны индивидуальные сиг-
нальные карточки, которые помогают управ-
лять процессом закрепления, тренировки и
выявлять знания и навыки учащихся не толь-
ко в младших, но и старших классах.
Так, например, в VI классе на уроках алгеб-
ры успешно применяется карточка с изобра-
жением знаков « + » и «—», с помощью кото-
рой проводятся устные самостоятельные рабо-
ты по закреплению правила знаков при выпол-
нении действий над рациональными числами
(источник ошибок даже в старших классах).
Карточки с изображением «Д. 3.» и «3. Ц.»
(«десятичный знак» и «значащая цифра»)
позволяют учителю добиться активного уча-
стия в устных упражнениях по закреплению
этих основных понятий в теме «Приближенные
вычисления».
В VII и IX классах карточки с изображе-
нием двух пересекающихся, параллельных и
совпадающих прямых (выполненных разным
цветом) позволяют всем ученикам одновре-
менно информировать учителя о своих ответах
на вопросы по определению решений систем
уравнений первой степени с двумя неизвестны-
ми (при устном характере самостоятельных
упражнений).
В IX классе при закреплении вопроса о зна-
ках тригонометрических функций, формул
приведения, четности и нечетности функций
учителя применяют набор карточек А. Г. П е р-
ц е в а (описаны в сборнике «Пути преодоле-
ния второгодничества», изд. «Просвещение»,
1966, стр. 250, 251).
Особого внимания заслуживают такие ди-
дактические средства, которые позволяют уче-
никам воспроизводить на индивидуальных
наборных панелях (полотнах) весь ход пись-
менного упражнения, но гораздо быстрее, чем
в ходе письменного упражнения. Имеется ряд
вариантов таких самодельных наборных посо-
бий для выполнения графических упражнений,
решения некоторых задач на построение и др.
Например, учительница школы № 22 г. Ро-
стова-на-Дону О. С. Ш р а м к о использует
такое пособие. На листе ватмана размером
12 X 18 см (черт. 4) начерчен в левом углу
Черт 4
прямой угол, на сторонах которого через 1 см
нанесены деления (примерно 15—20). К этому
листу прилагается такой же прозрачный пря-
моугольный лист (черт. 5), на котором тушью
нанесен отрезок прямой с делениями тоже
через 1 см (в целях удобства пользования от-
резок начерчен по диагонали). Пособие позво-
ляет имитировать построение углов по дан-
39
ному значению тригонометрической функции и
применяется при закреплении этого вопроса.
В кабинете математики имеется такое пособие
для каждого ученика. Например, учитель
3
предлагает построить угол а, если sin а = — .
Каждый ученик поступает примерно следую-
щим образом. На одной из сторон прямого
угла (например, горизонтальной) находи:
точку «3», накладывает второй лист на первый
так, чтобы какая-либо точка деления отрезка
на втором листе совпадала с точкой «3», и
вращает вокруг этой точки прозрачный лист
так, чтобы другой катет (в этом случае верти-
кальный) отсекал на нем отрезок, равный
4 см. Точка пересечения вертикального катета
и отрезка на втором листе дает вершину
искомого угла. Затем одновременно (по тре-
бованию учителя) каждый ученик поднимает
«набранное» решение и держит одной рукой
соединенные листы в том месте, где находится
вершина искомого угла (черт. 6).
Учитель имеет возможность быстро прове-
рить работу каждого, дать указания. Выпол-
нение упражнений на аналогичных пособиях
увеличивает количество выполняемых учени-
ком операций при развитии определенных
умений и навыков, а это часто является ре-
шающим фактором. Наблюдения показывают,
что нередко у учащихся нет достаточных на-
выков потому, что при закреплении новых
знаний не был обеспечен достаточный опыт в
оперировании основными, опорными элемента-
ми новых знаний, умений и навыков. Безуслов-
но, упражнения с аналогичными пособиями
бывают непродолжительны, они не заменяют
других видов упражнений (устных и письмен-
ных), но они помогают учителю выполнять
упражнения при первичном закреплении, рас-
ширять опыт учащихся, улучшать контроль за
работой каждого ученика. Своевременный и
эффективный контроль за работой каждого
ученика — одна из важнейших черт современ-
ного урока, и поэтому в Ростовской области
уделяется большое внимание вооружению
учителей методами и приемами контроля, наи-
более доступными каждому учителю не толь-
ко городской, но и сельской школы на данном
этапе развития методики, передового опыта и
материального оснащения школ. Методиче-
ские комиссии школ в связи с эгим наряду с
другими вопросами работают над проблемой
развития у каждого учителя умения на уроке
выявлять результаты самостоятельной работы.
При письменном выполнении самостоятельных
работ в связи с этим широко используются
переносные доски. Решения задач или приме-
ров, выполненных на переносной доске (уче-
ником или учителем), позволяют организо-
вать одновременную самопроверку письмен-
ной работы каждым учеником с опорой на
зрительное восприятие, которое имеет боль-
шое значение в учебном процессе. Особенно
важным в этом случае является доведение
проверки до ее главной цели: выявления и
исправления ошибок, допущенных учениками.
В противном случае самостоятельная работа,
ее проверка носят формальный характер Мно-
голетние наблюдения показывают, что именно
этот элемент организации самостоятельной
работы является наиболее уязвимым еще у
значительной части учителей математики.
Рамки статьи не позволяют остановиться на
ряде не менее важных вопросов процесса об-
учения учащихся на уроке математики, как,
например, сочетание общеколлективных и ин-
дивидуально-групповых работ в рамках клас-
са, организация системы контроля за каче-
ством знаний и навыков учащихся, привитие
навыков самостоятельной работы с книгой
и др. Опыт передовых учителей в дополнение
ко всем этим проблемам все более настойчиво
привлекает паше внимание к проблеме обору-
дования урока наглядными и дидактическими
пособиями, создания условий для успешной
работы и учеников и учителя. В связи с этим
во многих школах нашей области так же, как
и в других областях, ведется большая работа
по созданию и оборудованию школьных каби-
нетов математики, которая особенно усилилась
в связи с подготовкой к 100-летию со дня рож-
дения В И Ленина.
Контрольные работы по математике
на I полугодие 1969/70 учебного года
для V —X классов
От редакции. Публикуемые контрольные
работы для V—VIII классов составлены за-
ведующим кабинетом математики Московско-
го областного ИУУ М. М. Архиповым и
дня IX—X классов — заведующей кабинетом
математики Московского городского ИУУ
С. М. Г у л ь.
Так как программы по математике в V—X
классах на 1969/70 учебный год не изменены,
учитель в своей практической работе в школе
может пользоваться не только настоящими
работами, но и ранее опубликованными в
«Математике в школе» (1967, № 4 и 1968,
№4), а также в ряде учебных пособий, выпу-
щенных республиканскими и областными из-
дательствами.
В конкретных условиях учитель может из-
менять объем и характер той или иной рабо-
ты, в частности увеличить число небольших
(на 15—20 минут) работ, проверяемых, как
правило, на том же уроке, на каком они про-
ведены.
При подборе текстов работ, особенно давае-
мых не на целый урок, рекомендуем обратить
внимание на тождественные преобразования,
выполнение которых, как показывают итоги
прошлых лет, все еще является слабым ме-
стом в знаниях учащихся.
ПЯТЫЙ КЛАСС
АРИФМЕТИКА
№ 1
1.	Колхоз в первый день собрал 12 т 400 кг
арбузов, а дынь — на 28 ц меньше, чем арбу-
зов. Во второй день дынь — на 1 т 8 ц 40 кг,
а арбузов — на 9 т 8 ц 60 кг больше, чем в
первый день. Сколько дынь и сколько арбузов
собрал колхоз за два дня?
2.	На сколько сумма чисел 3865 и 4979
больше разности чисел 12 002 и 9993?
3	Вычислить. (42 731 + 18 004 — 57 207) —
- (16 020 — 15 931) + 79.
3*. Сумма двух слагаемых на 10 больше
одного из них и на 15 больше другого. Найти
слагаемые.
№ 2
1.	Из аэропорта вылетел самолет со ско-
ростью 600 км в час. Через 30 минут вслед
за ним вылетел другой самолет со скоростью
750 км в час. Через сколько времени после
своего вылета второй самолет догонит пер-
вый?
2.	Вычислить: (110 292:14:101 + 4129 —
— 3127) • (1237 — 23 138:23).
3.	Найти делимое, если делитель равен 407,
частное— 121, остаток—9.
4*. К делимому прибавили число, равное
делителю. Как изменится частное?
№ 3 (на 20—25 мин.)
1.	Бронза содержит 40 частей меди, 8 ча-
стей олова и 1 часть цинка. Для получения
сплава взято 1 кг 200 г олова. Сколько надо
взять меди?
2.	Разложить на простые множители: 8016
и 2400.
3.	Написать какое-нибудь трехзначное чис-
ло, которое делится на 3, но не делится на 9.
4*. Могут ли два простых числа стоять ря-
дом в натуральном ряду чисел?
№ 4
1.	С 14 га собрали по 150 ц картофеля с
каждого гектара. Картофеля первого сорта
оказалось в два раза больше, чем второго сор-
та, а третьего сорта в два раза меньше, чем
второго. Сколько картофеля каждого сорта
собрали?
2.	Найти наименьшее общее кратное чисел:
150, 375, 400.
3.	Из цифр 3. 5, 4, 6 составить два различ-
ных трехзначных числа, каждое из которых
делились бы и на 3 и на 5.
4*. Мальчик хочет разложить 30 орехов на
три кучки так, чтобы в каждой кучке было
нечетное число орехов. Можно ли это сделать?
№ 5 (на 20—25 мин.)
1.	Как изменится дробь, если ее числитель
увеличить в 12 раз, а знаменатель — в 3 раза?
2.	Записать все дроби с числителем 1,
, 1
большие -JQ-.
41
3.	Записать в порядке возрастания дроби:
3	3	3	3
5 ’ 2 • 7 • 10 '
4.	Ученик прочел книгу за 2 часа 40 минут.
Какую часть книги он прочел за 10 минут?
№ 6
*
1.	В двух кусках одинаковое количество
ткани. После того как от одного куска отре-
зали 18 м, а от другого — 25 м, в первом кус-
ке осталось вдвое больше ткани, чем во вто-
ром. Сколько метров ткани было в каждом
куске?
о ~	,	42	128 350
2.	Сократить дроби:	w
on	,	7	11	11
3.	Расположить дроби	-уу в по-
рядке возрастания.
4*. Знаменатель дроби увеличили в 5 раз.
Как надо изменить числитель, чтобы дробь
увеличилась в два раза?
№ 7
1. На нефтебазе было 2188 т керосина,
нефти и бензина. Нефти и керосина было
7	1
1225-jq- т, а керосина и бензина — 1388у т.
Сколько керосина, нефти и бензина было от-
дельно на базе?
2. Вычислить: 25—8-^----( 13-Y- + 2-Ц- Y
3*. Уменьшаемое на 2-^- больше разности.
о
Чему равно вычитаемое?
№ 8
1. От каждой из 30 коров за год надоено
молока в среднем по 3870 кг. Выход сли-
4
вок из молока составляет 2 веса молока.
п	2
Выход масла из сливок составляет -у веса
сливок. Сколько масла получится из моло-
ка, надоенного от всех коров за год?
2. Вычислить:
X
3*. Какая дробь, знаменатель
позначное число, больше
которой од-
но меньше
А?
9
NS 9
1.	Велосипедист проехал 12-у км и еще
3
у- этого расстояния, после чего ему оста-
лось ехать -|- всего пути. Сколько кили-
метров содержит весь путь?
2.	Вычислить: 1-^- : -|- + 2-|- :	-f-
+ < 63	21 )  2-
3.	Найти число, обратное произведению
7	„2
чисел и 3-=-.
/
№ 10
1. Два трактора, работая вместе, вспахали
поле за 6 часов. Первый трактор, работая
один, мог бы вспахать это поле за 15 часов.
За сколько часов мог бы вспахать это же поле
второй трактор, работая один?
2. Вычислить: [(-§- +	: А-
z 3	17J	11 •
3*. Может ли сумма четырех последова-
тельных натуральных чисел быть простым
числом?
ШЕСТОЙ КЛАСС
АРИФМЕТИКА
№ 1
1.	Размеры овощехранилища 12,5 м*7.5 мX
Х1.8 м. Сколько тонн картофеля можно по-
местить в этом хранилище, если 0,15 его объе-
ма занимают проход и перегородки и если
1 куб. м картофеля весит 0,68 г?
2.	Произвести действия над приближенны-
ми числами:
(4,52 — 0,306 • 1,568) :7,8.
3.	Округлить 2789 куб. см до 0,1 куб. дм и
найти абсолютную погрешность округления.
4*. Уменьшаемое 5,4, вычитаемое X),67; к вы-
читаемому прибавили разность этих чисел.
Найти новую разность. Изменится ли ответ,
если данные числа заменить какими-либо дру-
гими?
№ 2
1.	Найти 235% от 6,4.
2.	Найти число, если а) 75% его составля-
ют 1,5; б) 0,23% его составляют 0,2438.
3.	Из 2000 зерен пшеницы взошло 1845 зе-
рен. Определить процент всхожести семян. От-
вет дать с точностью до 1 %.
42
№ 3
1.	С топливного склада вывезли в первый
день 12,8 т угля, во второй — 75% того коли-
чества, которое вывезли в первый день, а в
третий день в полтора раза меньше того, что
вывезли за первых два дня вместе. Количе-
ство угля, вывезенного за три дня, составило
16% всего угля, имевшегося на складе. Сколь-
ко угля было на складе первоначально? Ответ
дать с точностью до I т.
2.	Выполнить действия над приближенными
числами:
289,2: 21,0 + 34,28 : 32,5 — 3,48 • 0,75.
3*. Разделить 80 на две части так, чтобы
одна часть составляла 60% другой.
MS А
I.	Определить числовой масштаб карты,
если расстояние между пунктами на местно-
сти равно 975 м, а на карте — 3,9 см.
2.	Найти х из пропорции:
9	7
6-4-: 14- х =0,48: 1,2.
<5 У
3.	Разделить 2784,6 на четыре части про-
з
порционально числам 2,5; 0,2; 3-^-; 0,375.
4*. Отношение двух чисел равно -5-. Найти
О
эти числа, если их разность равна 0,35.
№ S
I. Десять кубометров воздуха содержат
2,1 куб. м кислорода. Определить объем кис-
лорода в комнате, длина которой 10,6 м, ши-
рина 8,0 м, высота 3,25 м.
2. Для покрытия пола требуется 39 .метров
линолеума шириной 1,5 м, но на складе лино-
леума такой ширины не оказалось, и предло-
жили взять линолеум на 0,25 м уже. Сколько
метров более узкого линолеума потребуется,
чтобы покрыть пол?
3*. Можно ли считать прямо пропорцио-
нальными объем куба и длину его ребра? От-
вет обосновать.
№ 6
1. Комбайнер убрал пшеницу за три дня.
В первый день он убрал 30% всего участка.
Площади, убранные во второй и третий дни,
относились, как 3:4. Какова площадь всего
участка, если в третий день убрано на 5 га
больше чем в первый?
2. Вычислить:
[(2,25_А):2А+29,75:б4-
3*. Вычислить сумму чисел, обратных чис-
лам 2; 0,24; 2-4; 1.
ГЕОМЕТРИЯ
№ 1 [на 15—20 мин.)
1. На прямой линии построить отрезок АВ
(В лежит справа от Л). Затем от точки В
вправо отложить отрезок ВС, равный 4 см, и
от точки С влево отрезок CD, равный 5 см.
Вычислить длины отрезков AD, AC, BD, если
АВ = 8 см.
2. Отрезок АВ равен 3,6 дм. Найти расстоя-
ние между серединой этого отрезка и точкой,
делящей отрезок АВ в отношении 1 :3.
№ 2 (на 15—20 мин.)
1.	Сколько всего острых и тупых углов на
чертеже 1а? Записать все острые и все тупые
углы.
2.	Из вершины данного угла А провести два
луча, соответственно перпендикулярные сторо-
нам этого угла. Записать получившиеся на
рисунке прямые углы.
3.	На чертеже 16 угол BA С равен углу DAE.
Какие другие углы на этом чертеже равны?
1.	Дуга составляет 40% окружности. Найти
центральный угол, соответствующий данной
дуге.
2.	Два смежных угла относятся, как 4:5.
Найти эти углы и построить их с помощью
транспортира.
3.	Два угла с общей вершиной расположе-
ны один вне другого. Найти каждый из них.
если стороны одного перпендикулярны к сто-
ронам другого и один в три раза больше дру-
гого.
43
№ 4
1.	Построить равнобедренный треугольник с
углом при основании 30°. Провести в нем вы-
соты на боковые стороны и измерить угол
между этими высотами.
2.	Углы COD и АО В, имеющие общую вер-
шину О, расположены так, что Z^AOB нахо-
дится внутри Z.COD-, Z.AOB=\0Q°, ZCOD =
= 140°. Вычислить угол между биссектрисами
углов АОС и BOD, если луч О В лежит внутри
ZAOD.
3.	Доказать, что в равных треугольниках
медианы, проведенные к равным сторонам,
равны.
№ 5
1. На высоте CD, проведенной к основанию
АВ равнобедренного треугольника АВС, взя-
та точка Л1, которая соединена с вершинами
А и В. Доказать, что треугольники АМС и
ВМС равны.
2. В равнобедренном теругольнике АВС с
основанием АВ проведены медианы AD и BE.
Периметр треугольника АВС равен ПО см, а
периметр треугольника ACD на 10 см больше
периметра треугольника АВЕ. Определить сто-
роны треугольника АВС.
СЕДЬМОЙ КЛАСС
АЛГЕБРА
№ 1
1.	Школьная спортплощадка имеет прямо-
угольную форму. Длина ее на 8 лг больше ши-
рины. После того как длину спортплощадки
увеличили на 2 м, а ширину — на 1 м, пло-
щадь ее увеличилась на 46 м"2. Определить
первоначальные размеры площадки.
2.	Решить уравнение 5(х 4-1)4- 6(х + 2) =
= 9(х + 3).
3.	При каких значениях k выражение
(&+1)2(13— k) меньше выражения
(k — 1)2(9 — k) на 18?
4*. Вычислить:
[(--п>)-<-4>-24-<-3>—J-X
x(-4)](-4W
№ 2
1. Отряд туристов, подойдя к реке, рассчи-
тал, что если посадить в каждую лодку по
5 человек, то 4 останутся без места, а если в
каждую лодку посадить по 6 человек, то 2 ме-
ста останутся свободными. Сколько было в
отряде туристов и сколько было лодок?
2. Решить уравнение
х + 10 , 16х— 3 7х — 6 х — 3 , 3(х — 3)
З5 г 20	4	= Ч 1	10	‘
3*. Вычислить наиболее простым способом:
6,48-9,28 + 3,24-14,4 — 6,482.
№ 3
1. Бригада рабочих ежедневно перевыпол-
няла норму на 15 деталей. Таким образом не
только выполнила намеченную работу за
12 дней вместо 16 по плану, но и изготовила
сверх задания 100 деталей. Сколько деталей в
день бригада должна была изготовлять по
плану и сколько она изготовляла фактически?
2. Разложить на множители: а) 8а4 с3 —
— 12а2с2 4- 16а3е4; б) 12(х 4- 1) а — Зх(л4-1);
в)5'66’~Шс4; г> 16т2-(3ш4-2п)2.
3*. Доказать, что сумма кубов трех после-
довательных целых чисел делится на 3.
№ 4
1. Разложить на множители:
a) x6+8x3t/+16у2; б) t/34-9pz/24-27p4/4-27p3;
в) (5с4 — 6)2 — (4с4 — 5)2;
г) 462— 206с + 25с2— 49zn2; д) Ьап м 4- 48а" ~2;
е) \ — ах — (а — х) а.
2. Число рабочих в первой смене составило
7
8 числа рабочих во второй смене. Если из
второй смены перевести в первую 60 человек,
то в ней станет вдвое меньше, чем в первой.
Сколько рабочих было в каждой смене?
3*. Вычислить наиболее простым способом:
0,16-6,41 • 1,25—1,252-0,16—0,162-1,25.
№ 5
1. Разложить на множители: а) —8а3х —
— 18«х3	24а2х2; б) 64у5п ~3 — 16у5"-5;
в) (а3 4- I)2 — (^3 — О2; г) 8а2с — 6а2х ~
— 8сх3 4- 6х4.
2. Число единиц двузначного числа вдвое
больше числа его десятков Если цифры числа
переставить, то вновь полученное число будет
больше первоначального на 27. Найти перво-
начальное число.
№ 6 (на 25 мин.]
1. Разложить на множители: а) 27 4- 125а3;
б) 1 - (х 4- 2)3.
2. Произвести деление, а затем вычислить
частное при данных значениях букв: а) (8а3—
44
—Ь3):(2а—Ь) (при а = 1, Л =—0,2); б) (3x4-
4- 192л7): (1 — 4л-2 4- 16л4) (при х==~^^)-
№ 7
1.	Расстояние между двумя пунктами вело-
сипедист может проехать на 4 часа 40 минут
скорее пешехода. Найти расстояние между
этими пунктами, зная, что скорость движения
велосипедиста 15 км!час, а скорость пешехода
составляет 30% скорости велосипедиста.
2.	Сократить дроби:
. \2а*Ьгх _ n xk + nb*n+' .	. 42а* — 30«=Л
Э‘ 18аФу ’	хп Ьп ' В' 35аЬг — 25Ь‘ ’
3.	Доказать, что выражение (х —7)24-
4- 2 (л — 7) (1 — х) -j- (1 — х)2 при любых зна-
чениях л равно 36.
2. Через вершины треугольника проведены
прямые, параллельные его противоположным
сторонам. Найти отношение площади данно-
го треугольника к площади треугольника, об-
разованного проведенными тремя прямыми.
ВОСЬМОЙ КЛАСС
АЛГЕБРА
№ 1 (на 15—20 мин.)
1. Вычислить при помощи счетной линейки:
19,7-81,2
0,735-142-7,03 ‘
2. Упростить и найти с помощью линейки
4№Л_______________________________y%k
числовое значение выражения 2л,2^ ПРИ
х л; 8,24; у ^12,3; k ^0,824.
ГЕОМЕТРИЯ
№ 2 (на 15—20 мин.)
К9 1
1. Построить параллелограмм по двум его
неравным сторонам и высоте, проведенной к
большей стороне.
2. Доказать, что биссектрисы углов прямо-
угольника, не являющегося квадратом, своим
пересечением образуют квадрат.
№ 2
1. Середины сторон прямоугольника, диаго-
наль которого 20 см, соединены последова-
тельно отрезками прямой. Определить вид по-
лучившегося четырехугольника и найти его
периметр.
2. Доказать, что сумма двух неравных вы-
сот параллелограмма меньше суммы его диа-
гоналей.
№ 3
1. В равнобедренной трапеции угол при
большем основании равен 45°, высота трапе-
ции—5 дм, средняя линия — 25 дм. Найти ос-
нования трапеции.
2. Доказать, что отрезок средней линии тра-
пеции, заключенный между ее диагоналями,
равен полуразности оснований трапеции.
№ 4
1. Средняя линия равнобедренной трапеции
равна 20 см, высота — 15 см. Определить диа-
гональ и боковую сторону трапеции, если ее
основания относятся, как 3:7.
1. Вычислить при помощи таблиц:
/15,62 4- 23,52 4- 9,112.
2. Вычислить с помощью счетной линейки:
4,872
у 692-0,904 ’
№ 3
1.	Вынести множитель за знак корня:
]/ Ъ75с(’Ь'! , где с < 0, b }> 0.
2.	Привести подкоренное выражение к це-
лому виду;
°,6ху	где х<0, у<0.
3.	Упростить выражение:
2 V 2454- 4“ 582 - 222 - 30 Ь8-
4.---При каких значениях х выражение у =
=------т= не имеет смысла?
6—2/х
5.	Чему равно выражение /(х—I)2 при
х 1?
6.	Найти числовое значение выражения
х2 — 8х 4-7 при х=-4-/11.
№ 4
1. Решить уравнения: а) 4х24-9х = 0;
б) 4- 4- — = 4- 4- —1 в) х2 — 4х — 12 = 0;
7	6 1 х	4 1	х	7
г)	9л2 — 5	12л;	д)	16/2 — 40/	+ 25-0;
е) z2 4-2г 4-10 = 0; ж) 4х —5 = -~.
45
2. При каких значениях х выражения
(Зл — 2)2 и 8 (х 1) + 60 равны?
1. Теплоход прошел 9 км по озеру и 20 км
по течению реки, за 1 час. Найти собствен-
ную скорость теплохода, если скорость те-
чения реки равна 3 км/час.
2. Решить уравнение
(х 4- З)2 , 1 (Зх — I)2 х (2х — 3)
5	+ 1	5	~	2
№ 6 (на 2 урока)
1.	Два подъемных крана разгрузили бар-
жу за 40 часов совместной работы. Если бы
половину баржи разгрузил один кран, а затем
вторую половину — другой, то баржа была бы
разгружена за 81 час. За сколько часов мо-
жет разгрузить баржу каждый кран, работая
отдельно?
2.	Разность корней уравнения 25х2—ЗОх+
+ с = 0 равна 2. Найти с.
3.	Решить уравнение графически: х2 + 2х—
— 6 = 0.
4.	Сократить дробь
5.	Вычислить с помощью счетной линейки:
. 19,1-0,758
0,456
ГЕОМЕТРИЯ
№ 1
1. Начертить отрезок произвольной длины,
разделить его на 3 части в отношении 1:2:3.
2. Через точку D, взятую на стороне АВ
треугольника АВС, проведен отрезок, парал-
лельный стороне АС и пересекающий ВС в
точке К- Найти отрезок В К, если AD: DB —
= 5:6, ВС = 22 см.
3*. Доказать, что биссектриса внешнего уг-
ла равнобедренного треугольника при его вер-
шине параллельна основанию треугольника.
№ 2
1. В трапеции ABCD с диагональю АС углы
АВС и ACD равны. Определить диагональ Л С,
если основания ВС и AD соответственно рав-
ны 12 см и 27 см.
2. Доказать, что высоты параллелограмма
обратно пропорциональны сторонам, на кото-
рые эти высоты опущены.
№ 3 (на 25 мин.)
1. Средняя линия равнобедренной трапеции
равна 20 см, высота — 15 см. Определить диа-
гональ и боковую сторону трапеции, если ее
основания относятся, как 3 : 7.
2. В /\АВС, стороны которого равны а, Ь,
с, проведена прямая MN параллельно АС так,
что AM = BN. Найти MN.
№ 4
1. Хорда равна 12 см. Через один из концов
этой хорды проведен диаметр длиной 16 см.
Найти проекции данной хорды на диаметр.
2. Из точки окружности проведены под пря-
мым углом две хорды, одна из которых от-
стоит от центра на 12 см, а другая — на Б см.
Определить диаметр круга.
№ 5
1. Ширина кольца, образованного двумя
концентрическими окружностями, равна 4 dM.
Хорда большей окружности, касательная к
меньшей, равна 2 м. Найти радиусы окружно
стей.
2. Доказать, что две трапеции подобны,
й	Ь	с	cl ~ _ _ . _
если — = -г- — -— в -г, где а и а — боль-
а,	о,	ct	а,	'
шие их основания, b и Ьх — мепыпие основа-
ния, с и с} — большие боковые стороны,
d и dx — меньшие боковые стороны.
ДЕВЯТЫЙ КЛАСС
АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
№ 1
1.	Написать уравнение прямой, зная, что ее
угловой коэффициент k = а отрезок, от-
секаемый ею на оси у, b =» — 2. Построить
график. Пользуясь графиком, определить
те значения х, при которых у-СО-
2.	Решить уравнение относительно х
4k х + 3	k — 2 + х
	3	~	2
з
Ответ. При k — — решений нет; при
, . 3	ЗА —12
к 4= -т- х =	.
' 4	4k — 3
3.	Доказать неравенство
т 1 \ I П	/Л	, п
—г------>----------,, если тп44/ и тА-п/>0.
п2 т п т2'	г
46
NS 2
1.	Решить систему неравенств
„	2 — Зх с Зх - 1
Зх------4---->5-------g----,
2х~?- + 3<2х - 5~2х 
2.	Решить уравнение относительно х
2х3 4- 3m2 . 4х	2х
т2— х2	*_/п4-х	х—
Ответ. При /и«=0 х — любое действи-
тельное число, кроме нуля; при т=£0 х =
т
2 '
3.	Найти целые решения неравенства
7х —9	,
2х + 6
4*. Решить уравнение
|2х — 3| •= 3 — 2х.
№ 3
1.
а)
Решить системы уравнений:
2у — 1 х — 3	4 —у2______п
х —3 2у 4- 1	(2у4-1)(х-3) v’
2у 4- 3 2у 4- 5 .
, х — 4	х— 6 ’
б) ( (а — 2) х 4- бу = 15,
I Зх + (2а—4) у -= 15.
Написать уравнение, несовместное
2.
с уравнением х + 8у = 8 и имеющее одним
Г х = 2,
из решений |	Построить их графики.
3*. Решить графически неравенство
2 — Зх 4-2)2
№ 4
1.	Решить уравнение
2х . 4х 4- т .J ________	18m2
2х — 3m 2х 4- 3m	4х2 — 9m2
Ответ. При т = 0 решений нет; при
т #= 0 х •= — т.
2.	В уравнении 2х2 + Ьх + 3 = 0 один из
корней больше другого на 0,5. Найти Ь.
3.	При каких значениях а уравнение
ка — 1)х2 — 2ах + а — 2 = 0 имеет равные
корни?
4*. Решить неравенство
(6—х)(х2 —2х 4- 1) о
(х—1)°
№ 5
1.	Построить график функции у •= х2—4х
и определить по графику значения х, при
которых у — 3.
2.	Определить, при каких значениях т
неравенство (т— 1)х2— (2/?г—2)х—/и- 1<Ч)
выполняется при любых вещественных зна-
чениях х.
3.	Решить неравенство
Зх2 — 22х 4-7 р
(х-5)2	<-U-
4*. При каких значениях х справедливо
равенство
(х - 6) V х^Г 4- (2х - 5) И3”=
= V 3 (2х - 5)2 — /(х — 6)2 (х- 1) ?
№ 6
1.
Решить системы уравнений:
а) ( х + у2 = 7,
| ху2 = 12;
б)	х2у + ху2 = 30,
х ‘ у 6
2. Решить уравнение
/х+ 7 + /х- 1 •= 4.
3*. Решить уравнение
V Xй — Зх + 5 4- х2 — Зх = 7.
№ 7
1.	Решить уравнения
,	2______________2_______
х + /2 — х2 х —	2 — х2
б) X2 4-/х2 4-11 = 31.
2.	Выполнить действия
0,04- 2 • 125-1 4- 63  36-1 (- 2)° 4- 8-1 (0,125)-2.
3.	Сократить дробь
а—2 Ь2 — а
4*. Решить уравнение
ГЕОМЕТРИЯ
№ 1
1. Дана последовательность с общим
членом
_ Зп 4-4
П4-2’
47
а)	Изобразить точками числовой оси пер-
вые четыре члена этой последовательности.
б)	Показать, что данная последователь-
ность возрастает.
в)	Доказать, что любой член этой после-
довательности меньше 3.
г)	Найти предел этой последовательности.
д)	Найти номер того члена последова-
тельности, начиная с которого разность
между 3 и каждым из следующих за ним
членов последовательности будет мень-
ше 0,01.
2. Найти отношение площадей правильных
вписанного в окружность и описанного около
окружности шестиугольников.
№ 2
1. В круг вписан и около круга описан
правильные восьмиугольники. Найти отно-
шение площадей этих восьмиугольников.
2. Окружность радиуса /? делится в от-
ношении 1:2:3. Определить площадь сег-
мента, ограниченного средней по величине
дугой.
№ 3
1. Построить сечение куба ABCDA{BXC^D}
плоскостью, проходящей через точки
К. L, М, если точка К принадлежит A{D\
и Д/<:/CD, = 4:1, точка L принадлежит
DjCj, причем DiLzLCy -1:3 и точка М
принадлежит DC, причем DM : МС *=» 3: 1.
2. Доказать, что сечение, проведенное
в кубе ABCDA}B}C1Dl через вершины Л, Dt
и С, параллельно сечению, проведенному
через вершины Д, В и
№ 4
1. Определить площадь сечения куба
плоскостью, проходящей через диагональ
верхнего основания и середину стороны ниж-
него основания, если ребро куба равно а.
2. Доказать, что диагональное сечение
правильной пятиугольной призмы параллельно
одной из боковых граней.
ДЕСЯТЫЙ КЛАСС
АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
NS 1
1.	Вычислить
a)	cos (— 2730 °);
б)	tg[arccos(—
ч 1	> ( И
в)	-j-arcctg
---— arctg (—	+2 arccos *_•
2	\	3)	/2
r) cos[arcctg(-^-)].
2.	При каких положительных значениях а
и Ь имеет смысл выражение arcsin----?
2 vab
3.	Решить уравнение ctg3x— 3ctgx = 0.
4*. Найти область определения функции
у = ]/ Y 3 — 2 sin Зх.
№ 2
I. Доказать, что
cos2 33° — cos2 57°_1
sin 21 ° — cos 21 °	у ~2
2. Найти sin-^-, если ctga = — 0,75
450° < a < 540°.
[3	8 1
arcsin -=—(- arcsin -r=- .
o	17 J
и
4*. Вычислить sin 2 arctg
№ 3
1.	Преобразовать в произведение
cos 25° — cos 65° + p<2 sin 40°.
2.	Доказать тождество
cos2 ^45° — 4г)~ cos2 (15° 4- -y) -f- sin a	a
a	Sin
4cos —
3.	Решить уравнения:
a)	cos 4x + 2 cos2x — 0;
6)	-|cos,^ - 0.
' 1 — tg X
4*. Найти область определения функции
у —	0,5 — cos2 х.
№ 4
1.	Решить уравнения:
а)	1—cos 6х = 2 sin Зх;
б)	1 — cos (к — х) Д sin — -	0;
(3 jc	i v "X
cos -g— sin -g- j ;
г)	sin (x + cos (j2x 4- ^-) =
2*. Найти область определения функции
-if. к
№ 5
1 Построить график функции
у — — 2sin^ — -}-0,5 xj 4- 1 и определить по
у = cos ^4х —
5. Решить неравенство
2х+2 > 0,25х’-4.
6*. При каких значениях х верно равенство
)/(х2 —Зх—4)4 = 4 -{- Зх - х2?
графику, как изменяется функция при возра-
стании аргумента от-----до к.
2.	Найти наименьший положительный пе-
риод функции
)
3.	Определить, является ли функция
f <х) •= tg—-- четной или нечетной.
4.	Решить уравнение
2 cos2 (х + 30°) + sin (60° — х) =
= 2 cos2
5*. Решить уравнение sin2xctgx=O.
№ 6
1.	Упростить
- /	1	1 \2	/	1	1 \2	-1-2
X а 4 + 6 4 / + \а4—64/ _2
а + (ab) 2
V 4(1 — д)а
а~*(1 +	)2 ’
2.	Решить уравнения:
а	з
а)	х v ~х — 1 , о /хг — 1	.
3 _ "I 3 ________
уА х? — 1	X уА X — 1
б)	1 — FgT = 1 4- 2 sin х cos х.
3*. Найти значение выражения
sin (а - 4г)- cos (а +^г)>
1
если cos а «= —.
№ 7
z ] \ — 2х
1.	Построить график функции у
и по графику определить, как изменяется у
с возрастанием х от —2 до 1. Вычислить у
при х —	.
|/g~
2.	Верна ли запись ) >7^3? Ответ
обосновать.
3.	Какое заключение можно сделать о чис-
лах /пил, если 1,27 3 < 1,27 3 ?
4.	Упростить
уА о 4~ 2
ГЕОМЕТРИЯ
№ 1
1. В правильной четырехугольной призме
диагональ d составляет с боковой гранью
угол 0. Определить площадь основания приз-
мы.
2. В основании пирамиды лежит равнобед-
ренный треугольник, боковая сторона которого
10 см, а высота — 6 см. Каждая боковая грань
пирамиды составляет с плоскостью основания
угол 60°. Определить высоту пирамиды.
№ 2
1. В прямоугольном параллелепипеде диа-
гональ, равная 8 см, составляет с плоскостью
основания угол в 45°, а с боковой гранью угол
в 30°. Определить полную поверхность парал-
лелепипеда.
2. Основанием пирамиды служит прямо-
угольный треугольник. Каждое боковое ребро
одинаково наклонено к плоскости основания.
Построить линейные углы двугранных углов
при основании пирамиды так, чтобы одна из
сторон этих линейных углов проходила через
вершину пирамиды.
№ 3
1. Все грани параллелепипеда — равные
ромбы со стороной а и острым углом а. Опре-
делить объем параллелепипеда.
2. Основанием наклонной призмы служит
равнобедренный треугольник АВС, в котором
АВ = АС. Одно из боковых ребер образует со
сторонами АВ и АС равные углы. Доказать,
что одна из граней призмы — прямоугольник.
№ 4
1. В основании пирамиды лежит ромб со
стороной 10 см и острым углом 30°. Боковые
грани составляют с основанием углы 60°. Оп-
ределить объем пирамиды.
2. Основанием пирамиды служит прямо-
угольник. Две боковые грани перпендикуляр-
ны плоскости основания. Доказать, что боко-
выми гранями пирамиды являются прямо-
угольные треугольники.
49
Из опыта проведения
факультативных занятий
Факультативные занятия по математике
А. Г. ПАРДЖАНАДЗЕ
(г. Тбилиси) в школах Грузинской ССР
В текущем учебном году в школах Грузин-
ской ССР был введен факультативный курс
«Дополнительные главы и вопросы математи-
ки». Занятия предусматривались в VIII, IX,
X классах (по классам соответственно 1, 2,
2 учебных часа в неделю).
В настоящее время лишь в 20% школ на-
шей республики ведутся факультативные за-
нятия по математике, это главным образом
городские школы. Основной причиной этого
следует считать отсутствие соответствующей
учебной литературы и неподготовленность
преподавательских кадров.
Мы считаем необходимым включение в
программы для факультативных занятий от-
дельной темы — «Формы и способы умозак-
лючений по математике».
Учащиеся часто стараются заучить прави-
ла, но не замечают закономерностей, запоми-
нают последовательность доказательства, но
не осознают основную идею. Следовательно,
учащихся надо приучать замечать законы,
производить обобщения, делать выводы, не-
обходимо возбудить интерес учащихся к по-
знанию, исследованию и поиску закономер-
ностей. Для достижения указанной цели и
следует ввести указанную тему.
Наиболее болезненным вопросом при про-
ведении факультативных занятий является
оснащение учителей и учащихся соответству-
ющей учебной литературой. В текущем учеб-
ном году в нашей республике были сделаны
первые шаги в этом направлении: силами на-
учных работников НИИ педагогических наук
Грузии и Тбилисского государственного уни-
верситета были разработаны и опубликованы
на страницах грузинского методического жур-
нала «Физика и математика в школе» специ-
альные статьи по следующим темам: элемен-
ты теории множеств, функции и графики,
элементы теории вероятностей, производная.
Отдельной книгой (на ротапринте) был напе-
чатан учебный материал о геометрических
преобразованиях. Но все же вопрос об обес-
печении факультативных курсов учебной ли-
тературой остается нерешенным. Это вопрос
будущего.
Следует задуматься и над таким вопросом:
каким должен быть учебник для факульта-
тивных занятий? При изучении отдельных во-
просов в учебнике должен отражаться путь,
которым человечество пришло к постановке
рассматриваемой проблемы. Может быть,
следует избегать особой строгости в доказа-
тельствах. Примеры и задачи должны подби-
раться таким образом, чтобы они опирались
на какую-нибудь закономерность. Мы долж-
ны приучить учащихся замечать закономерно-
сти и использовать их.
Трудно указать, каким будет окончатель-
ный вариант учебников для факультативных
занятий, но одно ясно, они не могут быть та-
кими же, как ныне действующие школьные
учебники.
В большинстве школ нашей республики
(особенно в сельских) не удалось организо-
вать группы для факультативных занятий из-
за неподготовленности преподавательских
кадров. В городах, где имеются высшие учеб-
ные заведения, были выделены консультанты
из числа научных работников. Но из-за отсут-
ствия учебных пособий учителям приходи-
лось все материалы конспектировать, что не
всегда возможно. В будущем учебном году в
городах республики будут организованы спе-
циальные курсы для переподготовки соответ-
ствующих кадров.
В начале учебного года большое количест-
во учащихся изъявили желание заниматься в
факультативных группах, но в дальнейшем
большинство из них отсеялось. Конечно, та-
кая текучесть учащихся нежелательна, но де-
лу отнюдь не повредит своевременный отсев
тех, которые приобщились к факультативным
занятиям, следуя примеру своих одноклассни-
ков. Здесь же отметим, что ограничение со-
става группы для факультативных занятий
минимум 15 учащимися не представляется.
50
нам правильным. Количество учащихся в
группе должно быть не менее 5 и не более 18.
Факультативные занятия в отдельных шко-
лах нашей республики проводятся после 6 ча-
сов вечера, а в других школах после уроков.
Для факультативных занятий школы име-
ют специальный журнал учета. Учитель отме-
чает в журнале изученный материал и усло-
вия рассмотренных задач. За ответы учащим-
ся отметки не выставляются, лишь словесно
поощряются лучшие ответы.
Идея факультативных занятий получила
полное одобрение основной части учительства
нашей республики, но у этого дела имеются
и отдельные противники, их доводы, в основ-
ном, сводятся к следующему:
1. Разницу в уровне знаний сильных и сла-
бых учащихся можно заметить в каждом
классе. Если эта разница довольно сущест-
венная, то учителю трудно отыскать тот сред-
ний путь, по которому он направит учебный
процесс. Факультативные занятия будут,
естественно, способствовать росту математи-
ческих знаний части учащихся. Таким путем
еще более возрастает разница в уровне под-
готовки среди учащихся, что, как указыва-
лось, отрицательно влияет на учебный про-
цесс.
2. Факультативные занятия дополнительно
загружают учащихся. Это затрудняет рабо-
ту школьного математического кружка.
Первое опасение не имеет серьезных под-
тверждающих данных. Мы считаем, что раз-
ница в уровне подготовки учащихся по мате-
матике не так резко увеличится и не будет
являться столь непреодолимым барьером,
как это представляется некоторым. Относи-
тельно второго замечания можно сказать,
что если вопрос организации факультатив-
ных занятий будет решен правильно, то заин-
тересованные учащиеся не пожалеют времени
для посещения и математического кружка.
В заключение отметим, что имеющиеся не-
дочеты в организации и проведении фа-
культативных занятий в основном объясня-
ются отсутствием опыта в этом направлении.
В дальнейшем этот новый, интересный вид
школьной работы твердо займет почетное ме-
сто во всей системе обучения и воспитания
подрастающего поколения.
В. П. БЛАГНИС
(г. Вильнюс) Факультативам—постоянную заботу
Большую помощь учителям литовских
школ в проведении факультативных занятий
оказывает Республиканский институт усовер-
шенствования учителей. На курсах, организо-
ванных при институте, занимались почти все
руководители факультативных занятий По
математике. В помощь учителям кабинет ма-
тематики института усовершенствования учи-
телей издает материалы-конспекты по отдель-
ным темам программы факультативных за-
нятий. Для подготовки таких материалов
привлечены ученые республики, как, напри-
мер, кандидат физико-математических наук
доцент П. Сурвила («Номограммы»), кан-
дидат физико-математических наук А. М и-
талаускас («Элементы теории вероятно-
стей»), кандидат физико-математических наук
Б. Квядарас («Вычислительная математи-
ка»), Готовятся материалы и по другим те-
мам программы факультативных курсов.
Основной трудностью при проведении фа-
культативных занятий в настоящее время яв-
ляется отсутствие учебных пособий для уча-
щихся и учителей. Учитель вынужден сам
разрабатывать тему так, как этого требует
уровень знаний учащихся
Значительная часть Литературы, указанной
в программе, отсутствует В районных библио-
теках, так как на подобную литературу рань-
ше не было спроса.
Отсутствие учебных пособий приводит к
довольно однообразной форме проведения за-
нятий. Это, в основном, урок-лекция. При на-
личии учебных пособий занятия могли бы но-
сить более разнообразный характер — семи-
нары, беседы, реферативные чтения.
Введение факультативных занятий выдви-
гает необходимость значительно обогатить
математический кабинет, снабдить его доста-
точным количеством учебно-наглядных посо-
бий и математической литературой, соответ-
ствующей программным требованиям.
Следует теснее связать программы факуль-
тативных занятий с учебной программой так,
чтобы факультативные занятия были ее до-
полнением и углублением. В данное время
темы по углублению программного материала
немного далеки от этого.
51
Учащиеся страших классов заинтересованы
факультативными занятиями больше, чем
учащиеся VII—VIII классов. Видимо, тема-
тика занятий для младших классов не соот-
ветствует подготовке учащихся или состав-
лена недостаточно точно. Например, тема
«Дополнительные вопросы арифметики целых
чисел» доступна учащимся, но особого инте-
реса у них не вызывает.
Учащиеся больше интересуются не теоре-
тическим материалом, а практическим приме-
нением его. По-видимому, нужно строить фа-
культативные занятия так, чтобы заинтере-
совать учеников теоретическим материалом.
По мнению некоторых учителей, в програм-
му следует включить больше вопросов, из ко-
торых учитель мог бы выбрать по своему
усмотрению, например, задачи на построение
в плоскости и в пространстве, задачи на до-
казательство, построение графиков сложных
функций вида 4/ = Д<р(л:)], решение числовых
неравенств с использованием неравенств Ко-
ши, Бернулли, Буняковского, решение нера-
венств при помощи метода интервалов.
Мы считаем, что программа должна быть
более детальной, т. е. по каждой теме надо
указать вопросы, которые рекомендуется
изучить. Следовало бы изменить и порядок
изложения некоторых тем, например, снача-
ла проходить вопросы комбинаторики, а по-
том теорию вероятностей
Серьезного решения требуют выявившиеся
противоречия между обязательным количе-
ством учащихся в группе и свободным выбо-
ром факультативного курса. Требование, что-
бы в факультативную группу входило не ме-
нее 15 учащихся, не позволяет даже при на-
личии двух параллельных классов собрать
группу действительно способных по матема-
тике учащихся. Таким образом, приходится
принимать в группу и таких, которые хотя и
хотят заниматься, но не совсем готовы к
углубленному изучению математики. А с та-
кой группой работать, безусловно, трудно,
результаты мало эффективны.
Школам рекомендуется организовывать
межшкольные факультативные занятия, но
учителя заинтересованы в том, чтобы их уча-
щиеся находились под руководством учите-
лей данной школы, так как в таком случае
легче следить за их развитием. Это противо-
речие можно преодолеть, если каждый учи-
тель будет вести факультатив по выбору.
По мнению некоторых учителей, при про-
хождении факультативного курса по матема-
тике следует дать возможность учителю са-
мому выбрать тематику факультативных
курсов, учитывая уровень подготовки уча-
щихся и их интерес.
Нам еще не удалось найти твердого реше-
ния о месте факультативных занятий в рас-
писании уроков. Так как факультативы по-
сещают не все учащиеся одного и того же
класса, то они могут проводиться только на
последних уроках или даже после уроков.
Это ухудшает посещаемость и снижает эф-
фективность занятий из-за усталости уча-
щихся.
Идею организации факультативных заня-
тий по выбору учащихся учителя республи-
ки всемерно одобряют, считают ее целесооб-
разной. Трудности в их проведении появля-
ются из-за отсутствия опыта, из-за новизны
предмета, но эти трудности преодолимы.
Факультативные занятия повышают общее
развитие учащихся, особенно помогают раз-
вивать математическое мышление. Факуль-
тативные занятия могут стать действительно
серьезной школой развития талантов.
Факультативные занятия в школах
А. МИРЗОЕВ
(г. Душанбе) Таджикистана
Факультативные занятия, введенные в
1967/68 учебном году в школах Таджикиста-
на, нашли широкую поддержку со стороны
учителей и были с одобрением встречены
учащимися и их родителями.
Наибольшее число групп для факульта-
тивных занятий было создано по изучению
математики. В 1968/69 учебном году свыше
20% учащихся VIII, IX и X классов изучали
факультативно математику.
52
Знакомство с организацией и работой фа-
культативных групп в ряде школ республи-
ки показало, что там, где к этим занятиям
готовились до начала учебного года и где
их проводили опытные квалифицированные
учителя или научные работники вузов, уча-
щиеся с большим интересом посещали за-
нятия.
Хорошо организованы факультативные за-
нятия по математике в гг. Душанбе, Ленина-
баде, Курган-Тюбе, и особенно в тех школах,
где создана математическая «атмосфера»,
где из года в год ведется разнообразная вне-
классная работа по математике. Примером
могут служить школы № 1, 8, 20, 21, 22, 28,
39 г. Душанбе, № 1, 2, 3, 5 г. Ленинабада,
№ 1, 3, 5 г. Чкаловска и др.
Учитель душанбинской школы № 39
А. М. Михеев ведет факультативные заня-
тия в IX классе. Дети охотно посещают эти
занятия. Они учатся самостоятельно добы-
вать новые знания, приобщаются к науке.
Ученики А. М. Михеева стали победителями
III тура республиканской математической
олимпиады.
На высоком теоретическом уровне прово-
дят факультативные занятия и многие дру-
гие учителя математики.
В организации и проведении факультатив-
ных занятий вообще и в частности по мате-
матике мы встретились с рядом трудностей.
Прежде всего, это отсутствие специальной
литературы. Учителям приходится очень мно-
го времени тратить на подготовку к факуль-
тативным занятиям, они вынуждены искать
необходимые сведения в различных источни-
ках, перелистывать множество учебников ^в
поисках ответа на вопросы программы; боль-
шие затруднения мы встречаем и в осущест-
влении прикладной части программы.
Были, конечно, неудачи и в организации
факультативных занятий, когда тот или иной
учитель сводил их к дополнительным заня-
тиям или натаскиванию на решение более
сложных, конкурсных задач. Неудачи были и
в тех школах, где учащимся разрешали уча-
ствовать в факультативных занятиях по двум
и трем предметам. Как правило, такие груп-
пы к концу года распадались. Не везде удач-
но решался вопрос о времени проведения за-
нятий: в урочное или внеурочное время. Для
сельских школ большим препятствием в ор-
ганизации групп является их наполняемость,
так как зачастую в одной школе не набира-
ется 15 человек, желающих изучать факуль-
тативный курс, создавать же межшкольные
группы невозможно ввиду большой удален-
ности одной школы от другой.
Из опыта изучения элементов теории
А. М. АЛИЕВ
(г. Баку) МНОЖеСТВ
Изложение темы «Множества и операции
над ними» в VIII классе нужно построить
на базе знаний и умений учащихся в объеме
семи классов. Но это обстоятельство в изло-
жении темы «Множества и операции над ни-
ми» не учитывалось, и в объяснительной за-
писке к программе об этом ничего не
говорится.
В VII классе по действующей программе не
предусматривается изучение тем «Неравен-
ства» и «Системы неравенств». Но в програм-
ме введение понятий множества и операций
над ними предусматривается при помощи
решения неравенств и систем неравенств. Не
зная элементарных сведений о неравенствах
и системах неравенств, ученики VtTT класса
вряд ли в течение 10 часов освоят эти тещ>1
и элементы теории множеств.
Поэтому мы несколько по-другому подо-
шли к изложению темы «Множества и опе-
рации над ними». Несмотря на высокую сте-
пень абстракции, усвоение теории множеств
не представляет особых трудностей, так как
не требует предварительной подготовки. Ис-
ходя из этого, мы сразу начали с элементов
теории множеств и в ходе изложения исполь-
зовали упражнения по темам действующей
программы, которые давали возможность на-
глядно иллюстрировать взаимнооднозначное
соответствие, пересечение, объединение, до-
полнение множеств. Такой подход к вопросу
тесно связывал элементы теории множеств
со школьной математикой. А это в свою
очередь повысило уровень усвоения тем
школьной математики, тесно связанных с эле-
ментами теории множеств.
53
Тесная связь элементов теории множеств со
школьным курсом математики должна отра-
жаться в примерах, решаемых по каждой
подтеме.
Такой подход к преподаванию элементов
теории множеств дает возможность ученикам
более уверенно заглянуть в пройденный ма-
териал и найти такие примеры и задачи, ко-
торые связаны с множествами и действиями
над ними.
В большинстве учебников и методических
пособий для введения нового понятия, поль-
зуясь пройденным материалом, ставится но-
вая задача перед учениками. А ученики убеж-
даются, что для решения этой новой задачи
они должны изучить новый материал. Это
полезно, потому что заранее бывает ясно
значение новой темы и этим развивается ин-
терес, сосредоточивается внимание учащихся.
Наш опыт показал, что для введения но-
вых понятий элементов теории множеств та-
кой метод не вполне оправдывается. Здесь
лучше сперва дать понятие, а потом для
закрепления и связи с пройденным решить
примеры и задачи. Это объясняется тем, что
элементы теории множеств так первоначаль-
ны и просты, что они без комментариев лег-
ко усваиваются.
Так как рассматриваемая тема изучается
в начале учебного года, то необходимо па-
раллельно с изучением первых двух вопросов,
указанных нами выше, организовать повто-
рение соответствующих тем. Это будет и по-
лезно, и разумно. Наш опыт показал, что это
вполне оправдывается. При таком подходе
экономится время и основное внимание уча-
щихся обращается на изучение элементов
теории множеств.
Наблюдения и беседы с преподавателями
факультативных занятий показали, что изу-
чение элементов теории множеств положи-
тельно влияет на подготовку учеников.
ЭКСПЕРИМЕНТ
Изучение тригонометрических функции на основе
М. А. ГРАБОВСКИЙ,
П. М. КОТЕЛЬНИКОВ
(Москва) кинематических представлении
Многие преподаватели математики отмечают трудно-
сти, которые возникают у учащихся средней школы при
изучении тригонометрических функций и их свойств. Од-
на из этих трудностей состоит в том, что исследование
тригонометрических функций числового аргумента в
средней школе не может быть проведено с помощью то-
го аппарата, которым пользуется для этого исследова-
ния математический анализ. В школе при изучении три-
гонометрических функций приходится прибегать к гео-
метрическим соображениям, которые облегчают уча-
щимся понимание вопроса.
Известную помощь в преодолении этой трудности
может сыграть и связь школьного курса математики с
кинематикой. Рассматривая вопрос о расширении по-
нятия об угле н дуге и о различных способах измере-
ния дуг и углов, преподаватель математики использу-
ет кинематические соображения.
В этом случае (в отличие от школьного курса гео-
метрии) угол рассматривается как угловой путь, описан-
ный (или пройденный) подвижным радиусом относи-
тельно неподвижного. Возникает вопрос о числовой ха-
рактеристике этого углового пути, и этот вопрос приво-
дит учащихся, во-первых, к различным способам изме-
рения углов, а во-вторых, к возможности характеризо-
вать угловой путь как положительным, так и отрица-
тельным числом. Угловой путь при этом полезно рас-
сматривать как функцию времени.
Пусть радиус-вектор (в дальнейшем его будем на-
зывать вектором) равномерно вращается от некото-
рого начального положения. Тогда в каждую единицу
времени вектор описывает некоторый постоянный
угол и>, называемый угловой скоростью. Угловой
путь <р в этом случае может быть выражен формулой
<f = u>t + <р0, где <(0 — угол, определяющий начальное
положение вектора. Угол <р0 принято называть началь-
ной фазой. Следует также, положив — 0 и а-
= 1	, особо обратить внимание учащихся на то
обстоятельство, что угловой путь в этом случае ха-
рактеризуется тем же числом, что и время. Таким
образом, угол поворота может служить характери-
стикой промежутка протекшего времени. Это дает
возможность в дальнейшем, при изучении тригоно-
метрических функций, рассматривать аргумент с раз-
ных точек зрения, а не придавать ему только гео-
метрический смысл.
54
Перейдем к рассмотрению тригонометрических
функций и их свойств.
I. Спроектируем радиус-вектор точки М, равномерно
движущейся по окружности, на ось Ох (черт. 1).
рад.
При этом предполагается, что ш -= 1 и <р0 = 0.
Учащиеся сообразят, что существует зависимость
между временем t и проекцией. Необходимо разъяс-
нить учащимся, что хотя зависимость эта и имеет
место, однако мы не имеем возможности в этом слу-
чае каждому данному значению аргумента t (рас-
сматриваемому как время или как угол поворота)
привести в соответствие определенное значение про-
екции, ибо это значение зависит ие только от t, ио
и от длины вектора ОМ.
Возьмем теперь отношение этой проекции к длине
вектора. Для каждого заданного значения t мы мо-
жем найти одно-единственное значение этого отно-
шения. Можно утверждать, что отношение проек.
ции ОР вектора ОМ на ось Ох к длине вектора есть-
функцня аргумента t.
Аналогично устанавливается, что отношение проек-
ции OQ вектора ОМ на ось Оу к длине вектора также
является функцией t (черт. 1).
Обращается внимание учащихся на то, что эти функ-
ции различны, ибо одному и тому же значению аргу-
мента, вообще говоря, соответствуют различные значе-
ния этих функций.
Первую из рассмотренных функций мы называем
косинусом аргумента t и обозначаем символом
/ прОхОМ\
cos t (cos t —---------J, а вторую — синусом аргу-
мента t и обозначаем символом sin t fsln t =
nposOM
= R
Перед тем как перейти к вопросу об изложении
свойств введенных функций, необходимо сделать не-
сколько замечаний по поводу методики изучения их
свойств
В статье А Н Колмогорова, И М. Я г л о м а
«О содержании школьного курса математики» («Мате-
матика в Школе», 1965, № 4, стр. 57) подчеркивается
мысль о необходимости согласованного преподавания
математики и других предметов: «Нам кажется не-
сомненным, что более тесный контакт между препода-
ванием математики и физики таит в себе значительные
возможности прочного усвоения начал математическо-
го анализа и векторного исчисления без лишнего обре-
менения учащихся» *.
Учитель физики широко пользуется в своей работе
классным физическим экспериментом. Почему бы этот
прием ь известной степени не перенести в практику
преподавания математики? Это особенно удобно сде-
лать, как нам представляется, при ознакомлении уча-
щихся с тригонометрическими функциями.
Рассмотрим следующие демонстрации.
Деревянный диск (0^0,7—1 л), в котором имеется
ряд отверстий, устанавливается с помощью металли-
ческого стержня На горизонтально расположенной цент-
робежной машине (черт. 2). В одво из отверстий, вбли-
Черт 2
зи края диска, вставляется стержень с деревянным ша-
риком (0 г» 3 4 см) на конце. Центробежную машину
вместе с диском располагают на расстоянии 1,5—2 м
от проекционного фонаря, приготовлениого для теневой
проекции (точечный источник света). Расположение
приборов должно быть таким, чтобы нз экране (белой
стене) получилась достаточно четкая и неразмытая
с краев тень ог стержня и шарика. При вращении цент-
робежной машины тень от шарика должна двигаться по
прямой линии. Демонстрацию нельзя считать удовле-
творительной, если движущаяся по экрану тень шарика
описывает эллипс или петлю. При демонстрации этого
опыта следует предложить учащимся одновременно
следить как за равномерным движением шарика по
окружности, так и за движением его тени по экрану.
Начать эксперимент следует с того момента, когда
тень от шарика занимает крайнее правое положение от
центра диска. Проекция центра на экране помечена
нулем 1 2 (черт. 2).
Медленное и равномерное вращение диска дает воз-
можность проиллюстрировать следующие факты:
1) Проекция расстояния от центра диска до стержня,
несущего шарик, изменяется по величине непропорцио-
нально времени вращения. 2) Положив значение проек-
ции вправо от нуля иа экране положительным, влево —
отрицательным и приняв длину вектора за единицу,
легко показать, что при изменении угла поворота диска
1 См. также статью Н. Н. Ш а л а с т е р а, «Матема-
тика в школе», 1964, № 1 и статью Р. С, Черкасова,
«Математика в школе». 1964, № 4.
2 Этот опыт рассмотрен во многих пособиях по тех-
нике физических демонстраций. См., в частности, «Лек-
ционные демонстрации по физике» под ред. В, И. Иве-
роковой, М, изд. «Наука», 1965
те
от 0 до ~2 проекция вектора изменяется от 1 до 0; при
те
изменении угла от g" до л проекция эта изменяется
3
от 0 до —1; при изменении угла от л до^к проекция
увеличивается от —1 до 0 и, наконец, при изменении
3
угла от 2 л яо 2л проекция возрастает от 0 до 1.
3) Вращение диска на несколько оборотов легко дает
возможность обнаружить периодичность в изменении
проекции вектора на ось Ох, а следовательно, и перио-
дичность cost с периодом 2л.
Аналогично можно показать ход изменения sint. Для
этого следует принять ось. изображенную на экране, за
ось Оу, а стержень с шариком поместить так, чтобы он
был максимально удален от экрана. Можно одновре-
менно демонстрировать характер изменений обеих
функций, проектируя движущийся шарик с помощью
двух фонарей на два взаимно перпендикулярных экра-
на (две соседние стены).
Подобная установка широко применяется на уроках
физики при изучении гармонического колебания
Теперь перейдем к рассмотрению кинематической мо-
дели, которая помогает укрепить у учащихся представ-
ление о функциях tgt и ctgt.
Электрический фонарь с горизонтальной осью, центр
которого расположен в точке А (черт. 3), дает узкие
параллельные пучки света через две противоположно
расположенные щели в его кожухе. Фонарь может вра-
щаться вокруг своей оси. На расстоянии единицы дли-
ны от центра фонаря вертикально установлен экран
больших размеров, на котором нанесена ось тан-
генсов (Оу)
В начальный момент времени лучи света, выходящие
из двух щелей, распространяются вправо и влево вдоль
опорной горизонтальной плоскости. В этот момент пра-
вая щель, которую будем называть в дальнейшем
первой, дает на экране, на уровне горизонтальной ли-
нии, светлое пятно; левая (вторая) щель посылает
параллельный пучок света, который уходит влево от
точки А и, конечно, не попадает на экран. Когда нач-
нется равномерное вращение фонаря (на угол от 0 до
" 'l
~2), светлое пятно от первой щели будет двигаться по
экрану вверх, в то время как луч от второй щели будет
вращаться в левом полупространстве, не затрагивая
вовсе плоскости экрана3. Принимая за начало отсчета
на оси тангенсов точку О пересечения ее с горизонталь-
ной плоскостью в которой находится ось фонаря, и за
положительное направление — направление снизу вверх,
мы сможем определить ординату точки пересечения лу-
ча с экраном. Отношение этой ординаты к расстоянию
от центра фонаря до экрана называют тангенсом угла
поворота фонаря (луча).
Следует обратить внимание на то, что у. а следова-
тельно, и tgt растет не пропорционально времени,
а значительно интенсивнее. Когда угол поворота луча
те
достигает у, то оба луча будут направлены параллель-
п
но экрану, следовательно, tgy не существует.
ТЕ
Когда угол поворота фонаря превысит , то луч от
второй щели начнет попадать на экран в той его части,
где расположена отрицательная полуось тангенсов.
Итак, после прохождения обоими лучами вертикального
3 На рис. 3 лучи от первой щели помечены цифрой 1,
а лучи от второй щели — цифрой 2.
56
Черт. 3
положения ордината точки пересечения луча с экранам
будет отрицательной и по мере приближения угла пово-
рота фонаря к л будет увеличиваться до 0. Следова-
тельно, tgt в этих условиях будет также отрицательным
ТЕ
и при изменении аргумента от у до л будет увеличи-
ваться до 0.
При угле поворота, превышающем л, ордината — по-
ложительна, а следовательно, и тангенс этого угла —
3
положителен. При угле поворота, большем л, но
меньшем 2л, тангенс этих углов отрицателен.
Медленно и равномерно вращая фонарь, можно про-
демонстрировать следующие важные свойства функции
tgt: 1) Периодичность его изменения (период, в отли-
чие от сииуса и косинуса, равен л). 2) Монотонность
этого изменения: при вращении фонаря в положитель-
ном направлении tgt возрастает (пятно движется по
экрану только вверх). 3) Наличие разрывов при
я 3
t = у ,ул, ... .
Эту же кинематическую схему можно использовать
при рассмотрении функции ctgt. этом случае экраном
может служить потолок класса.
С помощью рассмотренных выше кинематических мо-
делей можно проиллюстрировать справедливость неко-
торых соотношений.
1)	sin (t + 2fet) = sint и tg(t + Ал)= tgt, где k~ лю-
бое целое число.
2)	sin(t + л) = —- sint.
3)	cos(— t)=cost и т. д.
II. Переходя к вопросу о графическом способе зада-
ния тригонометрических функций, необходимо еще раз
дать определение понятия графика функции как мно-
жества точек, абсциссой каждой из которых служит
значение аргумента х, а ординатой — соответствующее
значение функции (значение х должно принадлежать
области определения функции). Учащиеся должны хо-
рошо уяснить, что, строя конечное число точек графи-
ка и проводя через эти точки сплошную кривую линию,
мы получаем лишь приближенный график рассматри-
ваемой функции, ибо нет основания утверждать, что
точки кривой, за исключением построенных вначале,
принадлежат тому множеству точек, о котором говорит-
ся в определении графика. График тригонометрических
функций в виде кривой можно получить с помощью ки-
нематического приема. Рассмотрим, например, график
функции у = sin/.
Возьмем прямоугольную систему координат Юу.
Проведем единичную окружность с центром в точке С
на оси Ot (черт. 4).
Допустим, что вектор ОМ вращается равномерно
с угловой скоростью <1> — 1 Пусть прямая KL
в начальный момент времени совпадает с осью Оу.
Обозначим через М' проекцию точки М на пря-
мую K.L. Будем прямую KL перемещать параллельно
так, чтобы ее точка пересечения с осью Ot двигалась
равномерно вдоль оси Ot со скоростью v —
ед. дл.
— I —. С допустимой в условиях средней школы
строгостью можно принять, что при непрерывном из-
менении t точка М’ опишет некоторую непрерывную
кривую, которая и будет являться графиком функции
у — sin t, так как: 1) любая точка кривой имеет
координаты (Z, sin Z); 2) всякая точка с координатами
(Z, sinZ) лежит на построенной нами кривой. В самом
деле, если бы это было не так, то, проводя прямую
через эту точку параллельно осн Оу, мы получили бы
в пересечении с построенной кривой точку с абсцис-
сой t и с ординатой, не равной sin t, что противоре-
чит сказанному выше.
Полученная кривая называется синусоидой.
Предположим теперь, что прямая KL начала свое
движение, когда вектор ОМ успел повернуться на
угол %. Применяя описанный выше прием, получим
кривую, которая будет являться графиком функции
у = sin (Z + Число называется начальной фазой.
Эта кривая также будет представлять собой сину-
соиду, но, в отличие от предыдущего случая, сдвину-
тую вдоль оси Ot.
Мы рассмотрели случай, когда угловая скорость ш
и линейная скорость v были численно равны между
собой. Допустим теперь, что <и и v численно не рав-
ны между собой. Пусть, как и выше, v — 1 ~сек'~'-
рад.
если при этом ы >1 сек—, то полный цикл изме-
нения ординаты точки М', а следовательно, и sinZ
произойдет за промежуток времени, меньшнй 2ясек.,
и мы получим «сжагую» вдоль оси Ot синусоиду,
р - 1 Рад-
П.СЛИ <0 < 1 сек—, то, наоборот, мы получим сину-
соиду, «вытянутую» вдоль оси Ot. Полученная кри-
вая представляет собой график функции у — sin at
при <о^= 1. При наличии сдвига во времени между
началом вращения ОМ и началом перемещения пря-
мой KL мы получим график функции у — sin (<oZ + <р0).
Здесь необходимо отметить, что школьный курс
физики ко времени изучения учащимися тригономет-
рических функций на уроках математики дает разно-
образный иллюстративный материал из области меха-
нических колебаний. Учащиеся знакомы с законами
движения математического маятника, пружины, ка-
мертона и т. д. Все эги сведения можно привлечь
при дальнейшем изучении тригонометрических функ-
ций, основываясь на кинематических соображениях,
положенных в основу настоящей статьи.
III. Проиллюстрируем с помощью кинематических
соображений вывод некоторых основных формул.
1.	Рассмотрим выражение
sin а + sin р.	(1)
Предположим, что единичные векторы 0М2 н 0М2
(черт. 5), вращающиеся с одинаковой угловой скоро-
стью <о в одном н том же направлении, в некоторый
промежуток времени образуют с осью Ох соответ-
ственно углы а и р. Допустим, что сдвиг по фазе
между ними равен <р, тогда а — at -|- ср и р — at; вы-
ражение (1) можно записать так: sin (at + <р) + sin at.
Задача заключается в том, чтобы сложить две про-
екции на ось Оу, полученные о г проектирования век-
торов OMi и ОМ2. Физический смысл подобного ело"
жения может быть следующим. Тело участвует в двух
гармонических движениях, направленных по одной
прямой, амплитуды которых равны единице, ср — сдвиг
фаз между ними *. В результате сложения тело будет
* Здесь рассмотрен случай, когда 0<'р<п. Меняя
начальные фазы, что сооответствует применению фор-
мул приведения, можно показать, чго вывод спра-
ведлив для любого значения ср.
57
участвовать в одном гармоническом движении, харак-
теризуемом той же частотой, какой обладают состав-
ляющие движения, отличаясь от них лишь фазой
и амплитудой (см. ниже). Механика, акустика, элек-
тротехника и радиотехника дают много примеров
подобных сложений колебательных процессов.
Для нахождения суммарного смещения необходимо
сложить смещение у, от первого колебательного дви-
жения со смещением у, от второго. Для этого вос-
пользуемся следующей теоремой: сумма проекций
двух векторов на одну и ту же ось равна проекции
на ту же ось вектора суммы. Сложим геометрически
векторы ОМ, и ОМ,, а затем спроектируем вектор-
сумму ОМ, на ось Оу.
Вследствие того, что векторы ОМ, и ОМ, вращают-
ся с одинаковой угловой скоростью ш, сдвиг фаз меж-
ду ними все время будет постоянен; результирующий
вектор ОМ, будет вращаться с той же угловой ско-
ростью ш, сохраняя при этом постоянную длину. Дли-
на вектора ОМ, определяется только величиной сдвига
фаз между составляющими движениями и в данной
задаче длина его не может превысить 2.
Проектируя вектор ОМ, на ось Оу, мы получим
проекцию у,, равную сумме проекций составляющих
векторов ОМ, и ОМ,, т. е. у, — у, + у,. Имеем
V, — ОМ, sin MQOM, н у, -}- у, =• sin (ш/	<р) 4- sin
Найдем ^М„ОМ, и ОМ,.
^МаОМ,--^+^-^^.
Так как ОМ, — 20 К (черт. 5) и ОК — ОМ, cos-j- ,
а ОМ, -= ОМ, — 1, то ОМ, — 2 cos Отсюда
„	«	2ш( и
у, — 2 cos -у- sin --g-•	(2)
Формула (2) выражает гармоническое колебание про-
екции точки М, по осн Оу, происходящее с той же
частотой ш, но с другой амплитудой 2 vos-g-. Это
результирующее колебательное движение имеет на-
чальную фазу Так как <о( 4- ? — а, а = ₽, то
ср = а — ₽.
Итак,
а 4- р в —р
sin а 4- sin р = 2sin	— cos—г;—
При кинематическом выводе последнего соотношения
мы опирались на физическую основу: сложение двух
гармонических колебаний, происходящих вдоль одной
прямой. Независимо от того, в одном ли квадранте
или в разных находятся в данный момент вращаю-
щиеся векторы, доказанное соотношение остается
справедливым.
2.	Рассмотрим выражение
cos а 4- cosp.
В этом случае значение результирующего векто-
ра ОМ,, полученного от сложения двух единичных
векторов ОМ, и ОМг, проектируем на ось Ох', все
дальнейшие рассуждения будут аналогичными тем,
которые проводились в первом случае.
3.	Рассмотрим выражение
sin а — sinp.	(3)
В этом случае при выводе необходимо исходить из
таких вращений единичных векторов или из таких
движений точек по окружности радиуса, равного еди-
нице, чтобы иметь возможность производить вычита-
ние проекций на ось Оу Это удобно сделать, пред-
положив, что точка М, движется по окружности в про-
тивоположную сторону, т. е. уголР — отрицательный6.
Тогда выражение (3) можно переписать иначе slna-p
4- sin ( — Р).
6 При преобразовании выражения (3) в произведе-
ние можно было бы воспользоваться сложением гар-
монических колебаний, положив sin a — slnP —sina4-
4-sin(n4-P), т. e. меняя фазу второго колебания.
Этим приемом мы воспользуемся далее при выводе
формулы для cos а — cos р.
Черт. 6
Сложим векторы OMt и ОМг и определим длину
результирующего вектора ОМ,. Из чертежа 6 сле-
дует, что
___	2<о/ 4- со
ОЛТ, = ЮК - 2-1-cos---
Этот вектор будет находиться под углом Л40ОЛ(,
к оси Ох,
^Л1„ОЛ13 = / МйОМ,— ^М,ОМ, = (<л( + у) —
2ш/ + <f <р
~	2	2	*
Следует	заметить, что величина	этого	угла не	ме-
няется со временем, а длина результирующего век-
тора ОМ,	меняется Объединяя	найденные соотно"
шения, получим, что
2ш/-|-<р
sin а—sin р —2 cos-—2—sin-^-, или
а — (3 a 4- (3
sin а — sin ₽ — 2 sin —g— coS —2—'
4.	Рассмотрим выражение
cos а — cos р.	(4)
В этом случае необходимо подобрать такие движения
точек М, и М2, чтобы при проектировании векторов
на ось Ох проекции их вычитались. Это легко сде-
лать, предположив, что точка М, начала свое движе-
ние не от точки Л40, а от точки М'о, диаметрально
противоположной точке Л1о (черт. 7). Тогда выраже-
ние (4) запишем так;
cosa + cos (Р + л), или cos (со/ + <р) 4- cos (<ot 4- л).
В этом случае нахождение х,, т. е. значения проек-
ции результирующего вектора ОМ, на ось Ох, све-
дется к геометрическому суммированию векторов
ОМ, и ОМа, затем к проектированию нх суммы на
ось Ох. Получим х, — х, + х,. Так как
х, - ОМ, cos МоЗм, и ОМ, - ЮК,
где
ОК — ОЛ4, sln~'. то ОМ, = 2sin“2”.
Теперь найдем
МаОМ, - M„OMi 4- М,ОМ, =.
,	лгал 2<о/ 4* V
“4- Т 4* 2 ~~2 Г +	2	•
Тогда
х, — ОМ, cos МоОМ, — 2 sin -у- cos (“g- +	2~^~) *
Вводя данные в условии задачи углы а и ₽ н учиты-
вая, что х,4- х, — cos a—cos ₽, получим cos а — cos ₽=-
Черт. 7
Приведенные выше рассуждения можно подкрепить
рядом физических соображений, легко демонстрируе-
мых физическими опытами: а) сложение колебаний, на-
правленных по одной линии, на синусоидальных шабло-
нах; б) сложение колебаний на камертонах; в) сложе-
ние колебаний на электронном осциллографе и т. д.
Из формул, полученных выше, могут быть выведены
так называемые формулы сложения, которые выражают
наиболее полно все важнейшие свойства тригонометри-
ческих функций. Все другие формулы (формула для
тригонометрических функций двойного угла, половинно-
го угла и т. д.) могут быть выведены из формул сло-
жения.
Итак, в данной статье сделана попытка показать, как,
привлекая на помощь несложные кинематические поня-
нятия, можно сделать изложение некоторых разделов
тригонометрии более наглядным, а следовательно, и бо-
лее доходчивым.
Кинематические соображения следует привлекать, ко-
нечно, не только при изложении рассмотренных в статье
вопросов, но и в других случаях, например, при реше-
нии тригонометрических уравнений, стараясь всякий
раз, когда это окажется целесообразным, дать физичес-
кое (кинематическое) истолкование полученных резуль-
татов.
Учащиеся должны привыкнуть к мысли, что всякое
математическое уравнение представляет математичес-
кую модель явления или процесса, протекающего в дей-
ствительности. Помощь в этом должна оказать им связь
математики и физики.
Опыт аксиоматического изложения курса
Н. М. РОГАНОВСКИЙ
(Москва)
стереометрии в IX классе
В рассматриваемом изложении существенную роль
играет отражение от плоскости*. При введении понятия
отражения от плоскости в курсе стереометрии средней
школы перед нами возникли две принципиально важ
ные задачи: определить место введения данного пре-
образования в структуре учебного курса и найти ме-
тодически приемлемый и эффективный способ введения
этого преобразования. Обе эти задачи взаимосвязаны и
обусловливают друг друга. Обычно в учебниках и по-
собиях по стереометрии для средней школы понятие от-
ражения от плоскости основывается на перпендикуляр-
ности прямой и плоскости, т. е. вводится неаксиомати-
ческим путем. Такой подход к введению понятия отра-
жения от плоскости (наряду с многими своими достоин-
ствами) обладает весьма существенным недостатком:
данное преобразование вводится слишком поздно и
возможности практического использования его при из-
ложении теоретического материала и решении задач
значительно сокращаются. Аксиоматическое же
определение понятия отражения от плоскости1 2 обеспе-
чивает более раннее введение данного преобразо-
вания в курс стереометрии.
Перед изучением стереометрии нами систематизирова-
лись и обобщались представления учащихся о дедук-
тивном строении геометрии, формулировались и уточ-
нялись аксиомы планиметрии.
Изложение курса стереометрии IX класса велось на
довольно широкой аксиоматической базе, которая со-
держала в себе: аксиомы соединения; аксиомы поряд-
ка; аксиому параллельности и аксиомы отражения от
плоскости.
Остановимся подробнее на аксиомах отражения от
плоскости и на их роли в построении курса стерео-
метрии.
К аксиомам отражения от плоскости подходили, про-
водя физические опыты по наблюдению отражения от
плоского зеркала. Эти опыты просты и осуществлялись
не только в классной обстановке, но и в домашних
условиях каждым учеником. Физические опыты с плос-
кими зеркалами в значительной мере помогали придер-
живаться содержательного, а не формального
толкования аксиом отражения от плоскости. Хотя плос-
кое зеркало отражает только одно полупространство,
но, смотря в зеркало, учащиеся непосредственно улав-
ливают данное точечное соответствие, которое оптичес-
ки осуществляется частично. Они ясно представляют се-
бе, что точки, находящиеся за зеркалом, могут быть от-
ражены и дадут изображения, расположенные перед
зеркалом. Особенно наглядно отражение от плоскости
иллюстрируется при помощи тонкого плоского зеркала,
обе поверхности которого являются отражающими.
В ходе выполнения опытов с плоскими зеркалами уча-
щиеся самостоятельно приходили к формулировке каж-
дой аксиомы отражения от плоскости.
Так, к первой аксиоме учащиеся пришли, выполняя
следующие задания.
Задание 1. Когда вы смотрите в зеркало, то ви-
дите свое изображение. Где располагается это изобра-
1 Об образовательной ценности использования сооб-
ражений симметрии в практике преподавания говорит-
ся, например, в [5].
2 В основу аксиоматического определения понятия
отражения от плоскости положены аксиомы отражения
от плоскости, приведенные в [4].
женпе: на зеркале или за зеркалом? Уточните свою до-
гадку опытным путем.
Указание Коснитесь, например, карандашом по-
верхности зеркала и рассмотрите вазимное расположе-
ние изображения карандаша н плоскости зеркала.
Учащиеся на опыте убеждаются, что при отражении
от плоскости зеркала точки, лежащие на зеркале,
остаются неподвижными, а точки, расположенные перед
зеркалом, переходят в точки, которые лежат за зерка-
лом.
Задание 2. На листе бумаги отметьте точку А. От-
разите ее с помощью зеркала. Отметьте точку, которая
является изображением данной точки А Обозначьте эту
точку через А'. Установите: в какую точку при отраже-
нии от этого же зеркала перейдет точка А'.
Указание. При выполнении этого задания целе-
сообразно использовать двустороннее плоское зеркало.
Плоскость зеркала должна совпадать с плоскостью сим-
метрии глаз наблюдателя.
В ходе выполнения этого задания устанавливалась
взаимность в соответствии точек при отражении от
плоскости: если точка А при отражении от плоскости
переходит в точку А', то одновременно точка А' пере-
ходит в точку А.
После чего формулировалась аксиома.
Аксиома 1. Каждая плоскость в пространстве
определяет преобразование отражения, при котором
точки одного полупространства взаимно переходят
в точки другого полупространства; причем точки самой
плоскости остаются неподвижными.
Тот факт, что при отражении от плоскости а точка А
переходила в точку А’. записывался так:
А'=а(А),
а читалась запись следующим образом: «При отраже-
нии от плоскости а точка А перешла в точку А'», или
«Точка А’ есть образ точки А при отражении от
плоскости а».
Аналогичным образом подводились учащиеся
и к остальным аксиомам отражения от плоскости.
Аксиома 2. При отражении от плоскости прямая
переходит в прямую, причем порядок точек сохра-
няется.
Если при отражении от плоскости а прямая а пере-
ходит в прямую а', то это записывали так:
а' = а (а).
Следствие 1. При отражении от плоскости отре-
зок переходит в отрезок, луч — в луч.
Вводились следующие определения.
Определение 1. Плоскость, определяющая отра-
жение пространства, называется плоскостью от-
ражения, а пара взаимно соответствующих друг
другу фигур — взаимно отраженными.
Наряду с термином «отражение от плоскости» упо-
треблялись также термины «зеркальное отражение»,
«симметрия относительно плоскости» и т д.
Определение 2. Отражение от плоскости, пере-
водящее точку А' в точку А, называется обратным
отражением по отношению к отражению точки А
в точку А'. Обратное отражение от плоскости а обозна-
чается через а1. Преобразования а и а-1 называются
взаимно обратными.
Определение 3. Преобразования, в которых об-
ратное преобразование совпадает с данным, называют-
ся инволюциями.
60
Теорема 1. При отражении от плоскости плос-
кость переходит в плоскость.
Доказательство. Пусть А, В и С — три не-
коллинеарные точки плоскости р и А'=а(А),В'~а:(В),
С'= а(С) (черт. 1) При помощи аксиом 1—2 устанав
Черт. 1
ливаем, что точки А', В' и С' неколлинеарны. Обозна-
чим через р' плоскость, проходящую через эти точки.
Докажем, что Р' а(Р), т. е. при отражении от плос-
кости а плоскость р переходит в плоскость Р'.
1. Докажем, что все точки плоскости р при отраже-
нии от плоскости а переходят в точки плоскости Р'.
Если точки плоскости Р есть точки прямых АВ, ВС
и СА, то по аксиоме 2 они перейдут в точки, располо-
женные на прямых А'В', В'С и СА’, и, следовательно,
в точки плоскости Р'
Пусть теперь точка Л4— точка плоскости р, не лежа-
щая ни на одной их этих прямых. Предположим, что
прямая AM пересекает прямую ВС в точке Р. Тогда
точка P'sa(/J) efi'C'cp', следовательно, прямая
А'Р' сс р', но a(Af) s Л1' е А'Р'. Поэтому М' е р'. Итак,
все точки плоскости р при отражении от плоскости и
переходят в точки плоскости р'.
2. Осталось доказать, что каждая точка плоскости Р'
представляет собой образ некоторой точки плоскости р.
Для доказательства этого факта необходимо произве-
сти обратное отражение от плоскости a
Существенную роль в данном изложении играет по-
нятие инварианта.
Определение 4. Если какое-либо отношение
между геометрическими фигурами сохраняется при от-
ражении от плоскости, то такое отношение называется
инвариантным при отражении от плоскости.
Следующая аксиома утверждает инвариантность от-
ношения симметрии между геометрическими фигурами
при всех отражениях от плоскостей.
Аксиома 3. Если отражение от плоскости р пере-
водит плоскость а в плоскость а’, то пара взаимно сим-
метричных фигур относительно плоскости а переходит
в пару взаимно симметричных фигур относительно
плоскости а'.
Следующие аксиомы являются специальными
аксиомами евклидовой геометрии пространства
Аксиома 4. Две различные точки пространства
определяют одну, и только одну плоскость отражения
этих точек.
Аксиома 5. Два различных луча с общей, верши-
ной определяют одну, и только одну плоскость отраже-
ния этих лучей.
Следствие 2. Так как отражение от плоскости
есть взаимно однозначное соответствие и плоскость
при отражении переходит в плоскость, то отношения
между прямыми: пересечение, параллельность и скре-
щивание— являются инвариантными отношениями
при всех отражениях от плоскостей.
Следствие 3 Если М е а, то а(М) szM. И об-
ратно: если а(М) =А4, то М ва.
Следствие 4. Точка пересечения двух взаимно
отраженных прямых принадлежит плоскости отра-
жения.
Доказательство Пусть а (о) а’ и а X а’ =s А.
Тогда a(A) =а(а х а') = а' х а = А. Получили
а(А)=А, Отсюда, по следствию 3, Леа
Определение 5. При отражении от плоскости
может случиться, что фигура и ее образ совпадают. То-
гда говорят, что такая фигура инвариантна при
данном преобразовании. Среди инвариантных фигур бу-
дем различать неподвижные фигуры, т е. фигу-
ры, каждая точка которых инвариантна при преобразо-
вании.
Следующее следствие играет особо важную роль: оно
является основанием для введения понятия прямой,пер-
пендикулярной к плоскости
Следствие 5. Прямая, проходящая через две раз-
личные взаимно отраженные точки, является инвариант-
ной прямой.
Доказательство. Пусть а(А)=А'. Тогда
a(AA')zs А'А, но прямые А А' и А'А суть одна и та же
прямая. Итак. АА' а А'А. т. е. прямая АА' является
инвариантной прямой при отражении от данной плос-
кости.
Определение 6. Прямая, инвариантная при от-
ражении от плоскости и не принадлежащая ей, назы-
вается перпендикулярной к этой плоскости.
В этом случае говорят также, что плоскость перпенди-
кулярна к данной прямой.
Наглядное представление о прямой, перпендикуляр-
ной к плоскости, дает, например, такое положение ка-
рандаша относительно отражающей поверхности зерка-
ла, при котором: карандаш «пересекает» плоскость от-
ражения; карандаш н его образ прн отражении распо-
лагаются на одной и той же прямой.
Теорема 2. Плоскость, проходящая через две
различные взаимно отраженные точки,— инвариантная
61
Доказательство. Пусть ц(А)г=/1',	и
Л'ер (черт. 2) Докажем, что «(₽)=< Р- Возьмем пря-
мую а = АА'. Пусть АА' X а = В. Плоскости а и 6,
имея общую точку В. нуресркутея по прямой Ь, Имеем
а(о)=в'^о (следствие 5) и а(1))е fc'= I) (след-
ствие 3). Пусть а(Р)*“₽'- Так как в' с: (У и Ь' с (У,
а Ь' == ь и о! а, то b <=, Р' и в <_ ₽'. Плоскости р п р'
имеют общими две пересекающиеся прямые. Поэтому
₽ = Р'-
Итак, а(Р) р.
Определение 7. Плоскость, инвариантная при
отражении от данной плоскости и отличная от нее, на-
зывается перпендикулярной к данной плос-
кости.
При помощи отражения от плоскости определялось
важное понятие равенства произвольных фигур-
Определение 8. Две фигуры называются рав-
ными, если одна из них переводится в другую при
помощи нескольких последовательных отражений от
плоскостей. Две фигуры называются собственно
равными, если одна из них переводится в другую
при помощи последовательного выполнения четного чис-
ла отражений от плоскостей. Две фигуры называются
несобственно равными, если одна из них пе-
реводится в другую при помощи последовательного вы-
полнения нечетного числа отражений от плоскостей.
Далее сообщалось, что собственно равные фигуры —
равные и одинаково ориентированные фигуры, а не-
собственно равные — равные и противоположно ориен-
тированные фигуры.
Определение §. Преобразование, представимое
в виде последовательного выполнения отражений от
плоскостей, называется изометрией.
Сообщалось, что при помощи изометрии каждая фи-
гура может «занять» любое наперед заданное положе-
ние в пространстве. С помощью изометрии можно, на-
пример, всегда перевести данный отрезок в отрезок,
расположенный на дайной прямой В пространстве,
в данном направлении на ней рт данной точки этой
прямой. На чертеже 3 представлен один из возможных
способов перевода отрезка АВ в отрезок А'В', располо-
женный иа прямой I от данной на ней точки А' в дан-
ном направлении: сначала переводится точка А в точ-
ку А' при помощи плоскости отражения а этих двух
точек (аксиома 4), и полученный отрезок A'Bt новым
отражением от плоскости отражения а' лучей I и А'В,
переводится в искомый отрезок прямой I (аксиома 5).
Отрезок АВ можно было бы перевести в отрезок, PSC’
положенный на прямой Z от данной на ней точки А'
в заданном направлении, И так: сначала перевести точ-
ку В в точку А', и полученный отрезок A'Ai новым от-
ражением от плоскости отражения лучей I и пере-
вести в искомый отрезок прямой Z.
Можно подобрать бесконечное множество других от-
ражений от плоскостей, которые приведут к аналогич-
ному результату В связи с этим естественно возникает
вопрос о взаимном расположении полученных таким об-
разом отрезков на прямой Z. Опыт показывает, что эти
отрезки совпадают. Таким образом приходили к послед-
ней аксиоме, которая вместе с предшествующими аксио-
мами 1—5 полностью раскрывает содержание понятия
отражения от плоскости.
Аксиома 6. Какой бы изометрией мы ни перево-
дили данный отрезок в отрезок, расположенный на дан-
ной прямой от данной на ней точки в данном направ-
лении, всегда будем получать один и тот же отрезок.
Следовательно, шестая аксиома отражения от плоско-
сти утверждаем, что отражение от плоскости и вообще
изометрии однозначно переводят данный отрезок в рав-
ный ему отрезок.
На основании этого выводились такие следствия.
Следствие 7. Если на сторонах угла (которые
взаимно отражаются в данной плоскости) от вершины
отложить два равных между собой отрезка, то их кон-
цы будут являться взаимно отраженными точками от-
носительно данной плоскости,
Следствие 8. Взаимно отраженные точки распо-
ложены: а) на перпендикуляре к плоскости отражения:
б) в разных полупространствах, определяемых плос-
костью отражения, в) на равных расстояниях от точки
пересечения плоскости отражения и перпендикуляра, на
котором лежат взаимно отраженные точки.
Весьма просто и изящно доказывалась важная тео-
рема теории отражения от плоскости, которая обеспе-
чивает наиболее фундаментальные применения этого
преобразования.
Теорема 3. Плоскость отражения двух различных
точек есть ГМТ пространства, равноудаленных от двух
данных точек.
Доказательство, 1) Пусть а(А) =ч А' и Рдц
(черт. 4) Тогда отрезки ЛД и А'Р равны (определе-
ние 8). Это означает, что все точки плоскости отраже-
ния точек А к А' равноудалены от этих точек.
62
2) Пусть точка Q не принадлежит плоскости а. До-
пустим при этом, что отрезок AQ равен отрезку A'Q.
По следствию 7, существует некоторая плоскость а', та-
кая, что а'(А)^А’, Q^a' Плоскость а' не может
совпасть с плоскостью а, ибо тогда точка Q лежала бы
В плоскости а, что противоречит ее выбору. Но тогда
получим, что точки А и А' определяют две различные
плоскости а и а', взаимным отражением в которых они
являются. Последнее противоречит аксиоме 4. Следова-
тельно, отрезок AQ не равен отрезку A'Q.
Из 1) и 2) следует справедливость данной теоремы.
Изложенный выше материал представляет собой ба-
зу, на основе которой строился курс стереометрии.
Для иллюстрации использования соображений сим-
метрии при изложении теоретического материала при-
ведем доказательство хотя бы одной теоремы из курса
стереометрии IX класса.
Теорема 4. Если одна из параллельных прямых
перпендикулярна к плоскости, то и вторая прямая пер-
пендикулярна к этой плоскости.
Доказател ьство. Пусть с_1_а и b II а (черт. 5).
Докажем, что Ь _1_ а. Так как a J_ а, то а(о) = а. Пусть
а(Ь) = Ь’. Отношение параллельности прямых есть ин-
вариантное отношение при отражениях. Поэтому Ь' || а.
Через точку А’ = b х а можно провести только одну
прямую, параллельную а. Отсюда Ь'^Ь, т. е. a (6)=Ь,
а это означает, что b_La (определение 6).
Как видно, в отличие от «классического» доказатель-
ства из учебника А. П. Киселева, здесь не требовалось
выполнения каких-либо дополнительных построений; от-
личаясь своей простотой, это доказательство более бо-
гато в идейном отношении.
Проведенный автором эксперимент в школе-интерна-
те Памяти В. И. Ленина (базовая школа АПН СССР
в Горках Ленинских) в 1967/68 и 1968/69 учебных годах
показал доступность такого изложения курса стерео-
метрии. Использование соображений симметрии при
изучении теоретического материала и при решении за-
дач вызывало значительный интерес и являлось важ-
ным средством математического развития учащихся.
Наиболее широкое применение получило отражение
от плоскости при изложении темы «Перпендикуляр-
ность в пространстве». Контрольная работа по этой
теме показала, что большинство учащихся довольно хо-
рошо усвоили весь материал и получили прочные прак-
тические навыки в его применении.
Распределение часов по темам определилось следую-
щим образом.
1.	Систематизация и обобщение сведений 4 час.
из планиметрии о дедуктивном сiроении
геометрии
2.	Аксиомы соединения и порядка для 4 ,
пространства
3.	Аксиомы отражения от плоскости и их 8 »
следствия
4.	Параллельность в пространстве	13 „
5.	Перпендикулярность в пространстве 14 ,
В своей работе автор использовал следующую лите-
ратуру
1.	Колмогоров А Н., Геометрические преобразо-
вания в школьном курсе геометрии, «Математика в
школе», 1965, Xs 2.
2.	Никитин Н. Н., Геометрия, Учебник для
6—8 классов, М., «Просвещение», 1967.
3.	Фетисов А. И., Очерки по евклидовой и неев-
клидовой геометрии, М., «Просвещение», 1965.
4.	Ш в а н В., Элементарная геометрия, ч. I, М., Уч-
педгиз, 1937.
5.	Я гл ом И. М., О школьном курсе геометрии,
«Математика в школе», 1968, № 2.
JJXJI2M3S4X
••• *••••• .
ВНЕКЛАССНАЯ
РАБОТА
Третья Всесоюзная математическая
В. И. СЕДАКОВ
(Москва)
олимпиада 1969 г.
С 10 по 16 апреля в Киеве состоялся заключительный
тур Третьей Всесоюзной математической олимпиады
школьников. Этому соревнованию предшествовали
школьные, районные, городские, областные, краевые и
республиканские олимпиады, в которых участвовали
миллионы учащихся V—X классов. На заключительный
тур приехали 660 лучших юных математиков — учащих-
ся VIII—X классов, занявших на предыдущих соревно-
ваниях призовые места. Это были представители всех
союзных и автономных республик, 108 областей и кра-
ев, 7 крупнейших городов, 6 физико-математических
школ-интернатов, а также 5 команд от школ Министер-
ства путей сообщения. В числе участников заключитель-
ного тура 471 член ВЛКСМ, 98 девушек.
10 апреля участники заключительного тура были теп-
ло встречены работниками киевских школ 11 апреля
состоялось торжественное открытие олимпиады. Во
Дворце пионеров с приветствием к участникам обрати-
лись заместитель министра просвещения УССР С. Т. 3 а-
вало, представитель ЦК ЛКСМ Украины н было за-
читано приветствие министра просвещения СССР
М. А. Прокофьева. В этот же день участники
олимпиады совершили экскурсию на Выставку достиже-
ний народного хозяйства УССР и по историческим мес-
там Киева. Представители всех союзных республик воз-
ложили цветы у памятника В. И. Ленину.
12 и 13 апреля были проведены письменные работы,
каждая из которых состояла из трех задач. Во время
пребывания в Киеве для участников олимпиады были
организованы встречи со школьниками Киева, встреча
с учеными в Киевском государственном университете,
экскурсия на Киевскую ГЭС, другие разнообразные
63
экскурсии и мероприятия и разбор задач. В это время
жюри олимпиады, возглавляемое профессором Киевского
государственного пединститута Н. А. Давыдовым,
тщательно проверяло работы участников олимпиады.
Несмотря на сложность предложенных на олимпиа-
де гадач, многие участники справились с ними успешно.
Из 280 учащихся десятых классов верно решили за-
дачу 1—75 человек, задачу 2—31 человек, задачу 3—
4 человека, задачу 4 — 128 человек, задачу 5 — 28 чело-
век и задачу 6 — 1 человек. Из 214 учащихся девятых
классов верно решили задачу 1 — 58 человек, зада-
чу 2—55 человек, задачу 3—22 человека, задачу 4—
1 человек н 5 частично, задачу 5—66 человек, задачу
6—2 человека и 8 частично Из 165 учащихся восьмых
классов верно решили задачу 1 — 25 человек, задачу 2 —
10 человек, задачу 3—29 человек, задачу 4—2 человека,
задачу 5—9 человек, задачу 6—3 человека
В отличие от предыдущих заключительных туров в
1969 г. работы учащихся были зашифрованы.
I премию жюри присуждало при условии решения
участником не менее пяти задач, 11, как правило,— не
менее четырех задач, 111 — не менее трех задач. По-
хвальный отзыв I степени был дан участнику, решивше-
му две задачи, отзыв II степени — за решение одной-
двух задач или давшему очень оригинальное решение
(хотя бы и неполное) двух-трех задач.
В итоге участникам олимпиады было дано следующее
Все участники, получившие I и II премии, были на-
граждены грамотами, ценными подарками (настольные
часы и книги), а участники, получившие Ill премию и
отзывы, были награждены грамотами и книгами. Уча-
щиеся десятых классов, получившие I, 11 и III премии,
кроме того, получили рекомендации в высшие учебные
заведения соответствующего профиля.
Приводим список победителей олимпиады.
I ПРЕМИЯ
X класс
Берзиньш Айвар — физико-математическая школа-ин-
тернат Ленинграда, Темкин Михаил — школа № 2 Мос-
квы, Дринфельд Владимир — школа № 27 г. Харькова.
IX класс
Володарский Владимир — физико-математическая шко-
ла-интернат Ленинграда, Крылюк Ярослав — школа
№ 23 г. Черновцы УССР, Ходулев Андрей — физико-ма-
тематическая школа-интернат Л1осквы
VIII класс
Александров Алексей — физико-математическая школа-
интернат Ленинграда, Швец Василий — школа № 42
г Барнаула.
II ПРЕМИЯ
X к л а,с с
Хинин Владимир — шкода № 4Q г. Симферополя Со-
ловьев Валерий — школ§ № 131 г. Казани, Суворов Ле-
вел — физико-математическая школа интернат Ленингра-
да, Неклюдова Елена — школа № 7 Москвы, Зелевин-
ский Андрей — школа № 2 Москвы Сизиков Виктор —
школа № 128 Новосибирской обл., Панченко Валерий —
школа № 58 г. Воронежа, Осташко Сергей — шкота
№ 116 г. Одессы.
IX класс
Бабичев Андрей — школа Хе 30 Ленинграда, Ершов
Юрий — школа № 88 г. Омска, Залманович Елена —
школа № 58 г. Тулы, Климов Аркадий — физико-мате-
матическая школа-интернат Москвы, Сталин Алек-
сандр — школа № 27 г. Харькова.
VIII класс
Аникин Сергей — школа № 5 г. Владимира, Влэдуц
Сергей — школа Кв 2 Москвы, Исаев Айро— шкота
№ 21 г. Алма-Аты, Кеглес Геннадий — физико-математи-
ческая школа-интернат Ленинграда, Козлов Владимир —
физико-математическая школа-интернат Ленинграда, Ло-
гачев Дмитрий — школа № 2 Москвы, Штейнберг Алек-
сандр— школа № 31 г. Челябинска, Изюмин Игорь —
школа Кв 14 г. Севастополя.
Ill ПРЕМИЯ
X класс
Зинченко Валентин — школа Кв 27 г. Брянска, Озол-
Калнин Валерий — школа Кв I г. Риги, Харламов Ми-
хаил — школа Кв 17 г. Донецка, Аблов Борис — школа
Кв 52 г. Львова, Львов Анатолий — школа Кв 25 г. Ря-
зани, Попов Георгий — школа Кв 7 г. Еревана, Иоф
Владимир — школа Кв 134 г Баку, Пухов Александр —
школа Кв 2 Москвы, Кузьменко Юрий — школа Кв 17
г. Хмельницкого УССР, Френкель Игорь — школа Кв 58
г. Воронежа, Маламид Владимир — школа Кв 58 г. Во-
ронежа, Лебедев Вячеслав — школа Кв 40 г. Симферо-
поля, Жидков Николай — школа Кв 30 г. Ижевска, Ки-
поть Леонид — школа Кв 131 г. Казани, Гелимсон Лев —
школа Кв 8 г. Сумы УССР, Сокол Вита <ий — школа
Кв 80 г. Днепропетровска, Козлов Сергей — Повинскач
школа Кв 1 Костромской обл., Маркус Анатолий — шко-
ла Кв 2 г. Дзержинска Донецской обл., Манассон Вла-
димир— школа Кв 2 г. Черновцы, Бурштейн Алек-
сандр— школа Кв 116 г. Одессы, Шурыгин Вадим —
школа Кв 131 г Казани, Прасолов Андрей — физики ма-
тематическая школа-ннтернат Москвы, Ройтберг Миха-
ил— школа № 27 г. Киева.
IX класс
Гольберг Серегй —школа № 50 г. Минска, Григорчук
Ростислав — школа Кв 23 г. Черновцы, Комаров
Игорь — физико-математическая школа-интернат г. Кие-
ва, Копылов Павел — школа № 58 г. Воронежа, Корлю-
ко’в Александр — физико-математическая школа-ингер-
нат Москвы, Кузнецов Евгений — школа Кв 131 г. Каза-
ни, Лернер Игорь— школа Кв 2 г. Винницы. Овсиенко
Сергей — физико-математическая школа-интернат г. Кие-
ва. Пайнен Гунар — школа Кв 1 г. Риги, Сандрацкии
Леонид — школа Кв 23 г Челябинска, Туганбаев
Аскар — школа Кв 56 г. Алма-Аты, Фосс Сергей — фи-
зико-математическая школа-интернат г Новосибирска,
Чекуров Сергей —школа Кв 52 г Новокузнецка Шол-
по Ирина — школа Кв 42 г. Саратова, Эппель Марк -
школа Кв 10 г. Ангарска.
VIII класс
Бучанов Владимир — школа Кв 34 г. Тулы, Гашков
Сергей — школа Кв 45 г. Дзержинска Горьковской обл.
64
Григорьев Дмитрий — физико-математическая школа-ин-
тернат Ленинграда, Проскурня Нина — школа № 27
г. Брянска, Храмов Александр — школа № 135 г. Куй-
бышева, Шварцман Ефим — школа № 15 г. Владимира,
Старостин Юрий — школа № 2 Москвы.
ПОХВАЛЬНЫЙ ОТЗЫВ I СТЕПЕНИ
X класс
Галеев Эльфаг — школа № 30 г. Ижевска, Коновалов
Владимир—школа № II г. Магадана, Кривошеев Вяче-
слав— физико математическая школа-ннтернат г. Ново-
сибирска, Пехота Сергей — школа № 33 г. Рыбинска,
Топычканов Владимир—школа № 23 г. Владивостока,
Теплое Сергей — школа № 1 г. Мичуринска, Челышев
Николай — школа № 27 г. Орла, Харченко Владислав —
физико математическая школа-интернат г. Ново-
сибирска, Вазовский Игорь — школа № 9 Белгорода,
Киков Олег — школа № 7 г. Каспийска Дагестанской
АССР, Востриков Василий — школа № 2 г. Дорогобужа,
Иванов Сергей — школа № 1 г. Калинина, Катюхин
Валерий—школа № 144 г. Куйбышева, Кочерыгин
Александр — школа № 7 г. Смоленска, Матушко Вик-
тор— школа № I г. Новотроицка, Озчинцев Михаил —
школа № 78 Волгограда, Рубанов Игорь — школа
№ 1 пос, Рахья Ленинградской обл., Абезгауз Борис —
школа № 2 г. Пензы, Красносельских Владимир — шко-
ла № 27 г. Оржоникидзе, Карасик Борис — школа
№ 134 г. Баку, Ротфарб Леонид — школа № 2 г. Витеб-
ска, Карпула Алексей — школа Ns 7 г. Шостки УССР,
Филее Владимир — школа № 6 г. Полтавы, Царевский
Николай — школа Хе 17 'г. Луганска, Шур Юрий —
школа № 1 г. Коммунарска Луганской обл., Атаев Му-
рад— школа № 1 г. Чаршангн Туркменской ССР, Аб-
дулов Нурлан — школа № 1 с. Абай Чимкентской обл.,
Андрусенко Сергей — школа № 174 г. Ленинска Кзыл-
Ординской обл., Бурштейн Михаил — школа № 42
г. Тбилиси, Сергеев Михаил — школа № 1 г. Риги, Со-
сонкин Александр — школа № 62 г. Минска, Карчиаус-
нас Кястутис — школа № 8 г. Каунаса, Петрович Ва-
лентина— школа Хе 50 г. Минска, Ахалал Тенгиз — шко-
ла Хе 42 г Тбилиси, Котов Олег — физико-математиче-
ская школа-интернат г. Киева, Страхов Владимир —
школа Хе 34 Кировограда, Катышев Валерий — школа
Хе 13 г. Мурома, Жаков Михаил — школа Хе 13 г. Во-
логды.
IX класс
Абдувахитов Хамдам— школа Хе 39 г. Душанбе,
Алтлейс Велл — Ныоскинская школа Эстонской ССР,
Асатиони Сосо— физико-математическая школа-интер-
нат г. Тбилиси, Ганюшкин Александр—физико-матема-
тическая школа-интернат г. Киева, Губачев Александр —
школа Хе 10 г. Полтавы, Драгунов Владимир — школа
Хе 7 г. Рубцовска Алтайского края, Дробушевич Вик-
тор— школа № 3 г. Советска Калининградской оба.,
Дубровин Николай — школа Хе 6 г. Владимира, Зеликов
Евгений — школа Хе 1 г. Могилева, Карташов Нико-
лай— физико-математическая школа-интернат г. Киева,
Коновалов Александр — школа Хе 19 г. Тольятти Куй-
бышевской обл., Лачдман Уриэль — школа Хе 1 г. Днеп-
родзержинска, Машаев Байрам — школа Хе 6 г. Ашха-
бада, Ровенский Владимир — школа Хе 63 г. Караган-
ды, Сафонов Михаил — Яитиковская средняя школа Чу-
вашской АССР, Хеджер Сергей — школа Хе 2 г. Хаба-
ровска, Цалюк Вадим — школа Хе 48 г. Краснодара,
Шмундак Александр — школа Хе 27 г. Харькова, /Огай
Тамара — школа Хе 7 г. Намангана Узбекской ССР.
VIII класс
Агаханов Назар — школа Хе 6 г. Ашхабада, Ахулков
Сергей — школа Хе 7 г. Смоленска, Вантаев Сергей —
школа Хе 1 г. Чебоксары, Гольфман Леонид — школа
Хе 9 Волгограда, Дружинин Вячеслав — школа X? 15
г. Усть-Каменогорска, Исламов Рафаэль — школа Хе 1
пос. Семилетка Башкирской АССР, Мерсон Сергей —
школа Хе 17 г. Тольятти Куйбышевской обл., Суменков
Евгений—школа Хе 17 г. Петропавловска-Камчатского,
Чубов Владимир—школа Хе 15 г. Усть-Каменогорска,
Шнейдерман Яков — школа Хе 40 г. Горького.
ПОХВАЛЬНЫЙ ОТЗЫВ II СТЕПЕНИ
X класс
Иванов Владимир — школа № 1 г. Ишима Тюменской
обл., Мухаметишна Лилия — школа Хе 30 г. Ижевска,
Суханов Александр — школа № 13 г. Саратова, Яков-
лев Евгений — школа Хе 1 г. Рыбинска, Ватутин Вла-
димир— школа Хе 1 пос. Волоконовка Белгородской
обл., Жиров Алексей — школа Хе 7 г. Тулы, Зыгарь
Виктор — школа Хе 239 Ленинграда, Лебедев Нико-
лай — школа Хе 8 г. Вологды, Изюрова Елена — школа
№ 12 г. Сыктывкара, Подмогаева Людмила — школа-
интернат Хе 4 г. Горького, Прудников Владимир—шко-
ла Хе 10 г. Новосибирска, Дивин Григорий — школа Хе 1
г. Гродно, Султанов Салех — школа Хе 134 г. Баку, Шу-
рин Аркадий — школа Хе 3 г. Бобруйска, Дарбинян
Ашот — физико-математическая школа интернат г. Ере-
вана, Елисеев Владимир — физико-математическая шко-
ла-интернат г. Еревана, О-зокимян Бениамин — физико-
математическая школа-интернат г. Еревана, Широносов
Владимир — физико-математическая школа-интернат
г. Киева, Балтер Борис — школа Хе 37 г. Кишинева,
БлФгинин Анатолий — Юргомышская средняя школа
Курганской обл., Махмудов Алым — школа Хе 15 г. Ур-
генча Узбекской ССР, Штарас Арунас — школа Хе 1
г. Паневежиса Литовской ССР. Котлярский Марк — шко-
ла Хе 145 г. Киева, Данилов Владимир — школа Хе 3
станицы Новоалександровской Ставропольского края,
Гостищева Татьяна — школа Хе 12 г. Свободного Амур-
ской обл., Бурдина Елена — школа Хе 83 г. Бузулука
Оренбургской обл., Кондаков Алексей — Верхневилюй-
ская школа Якутской АССР, Семенов Михаил — Верх-
невнлюйская школа Якутской АССР, Макаревич Зоя —
средняя школа с. Хмелева Брестской обл., Окунь Васи-
лий— Тульчинская школа-интернат Винницкой обл.,
Суесинов Аманжол — средняя школа пос. Досеор
Гурьевской обл., Линчук Степан — средняя школа
с. Лужаны Черновицкой обл., Мишачев Николай — шко-
ла Хе 44 г. Рязани, Надыров Рустам — школа Хе 131
г. Казани.
IX класс
Авдеева Ольга — школа Хе 16 г. Кирова, Брызгин
Александр — школа Хе 4 г. Салавата Башкирской
АССР, Бусыгин Михаил — школа № 19 Белгорода,
Быстров Александр—физико-математическая школа-
интернат г. Новосибирска, Васильева Зоя — школа Хе 30
г. Витебска, Волик Александр — школа Хе 1 г. Шахтер-
ска Донецкой обл., Вялов Валерий — школа Хе 33
г. Ульяновска, Гамозова Екатерина — школа Хе 42
г. Тбилиси, Гусак Андрей — школа Хе 1 г. Черкассы
УССР, Датова Евгения — школа Хе 2 г. Свердловска,
Иванов Александр — школа Хе 4 г. Острова Псковской
обл., Литвинов Олег — школа Хе 8 г. Сумы УССР, Лу-
кин Александр — школа Хе ПО г. Новосибирска, Мишу-
ра Юлия — школа Хе 181 г. Киева, Павлов Владимир —
школа Хе 39 г. Рязани, Пан Евгений — школа Хе 2 Пах-
тааральского р-на Узбекской ССР, Пасько Виктор —
школа Хе 2 г. Евпатории, Пидкуйко Сергей — школа
Хе 8 г. Чирчика Узбекской ССР, Рикун Анатолий —
школа Хе 134 г. Баку, Слуцкий Михаил — школа
Хе 145 г. Киева, Старокожко Александр — школа
Хе 409 г. Кзыл-Орды Казахской ССР, Сыроид Васи-
лий — средняя школа с. Корчнка Львовской обл.. Уме-
ров Хикмет—школа Хе 6 г. Ферганы, Ушверидзе
Александр — средняя музыкальная школа г. Тбилиси,
3 Математика в школе, ЛЛ 4
65
РаПнгольд Илья — школа № 168 г. Ташкента, Цилъна
Андрей — школа № 1 г. Березны Ровенской обл., Бори-
сов Александр — школа № 2 г. Чадана Тувинской АССР,
Вечканов Владимир — Новочеремшанская средняя шко-
ла Ульяновской обл., Дрозд Николай — школа № 1
г. Козьмодемьянска Марийской АССР, Дьякова На-
талья — средняя школа с Бачкары Томской обл., Мель-
ников Виктор — школа № 6 г. Кушвы Свердловской обл.
VIII класс
Альперович Виталий — школа № 20 г. Душанбе, Бара-
нов Александр — школа № 1 г. Петропавловска Казах-
ской ССР, Бергер Александр — школа № 10 г. Тернопо-
ля Украинской ССР, Бурмистров Александр — школа
As 9 г. Саранска Мордовской АССР, Верник Алек-
сандр — школа № 1 г. Ульяновска, Воронин Сергей —
школа № 1 ст. Джаныбек Казахской ССР, Головтеева
Ирина — школа № 17 г. Калуги, Голубцова Валенти-
на— школа № 17 г. Череповца, Гольдин Виктор —
школа № 51 г. Томска, Горячев Владимир — школа
№ 32 г. Уральска, Дост Светослав — школа № 3 г. Со-
лигорска Минской обл., Егоров Вячеслав — школа
№ 12 г. Выборга, Завьялов Петр — школа № 5 г. Юж-
но-Сахалинска, Изосимова Татьяна — школа № 5
г. Астрахани, Калашникова Светлана — школа № 1
г. Магадана, Канатников Анатолий — Глазуновская сред-
няя школа Орловской обл., Каплан Леонид — школа
№ 5 г. Каховки Херсонской обл., Клименко Екатери-
на— школа № 115 г. Киева, Кузнецов Сергей — школа
Хе 1 г. Чебоксары, Ланд Сергей — школа № 7 г. Перми,
Лаптев Андрей — школа Хе 7 Москвы, Левитин Вик-
тор— школа Хе 28 г. Запорожья, Мусин Олег — школа
Хе 8 г. Орска Оренбургской обл., Нисонский Влади-
мир — школа Хе 3 г. Ивано-Франковска, Олиферовский
Юрий — школа Хе 1 г. Ахтырки Сумской обл., Орехов
Владимир—школа Хе 44 г. Севастополя, Низенков
Александр — школа № 1 г. Кумертау Башкирской
АССР, Пеллер Владимир — школа Хе 28 г. Запорожья,
Переяславский Виталий — школа Хе 17 г. Николаева,
Пилюгин Сергей — школа Хе 1 пос. Солотвииа Закар-
патской обл., Пирожкова Наталья—школа Хе 20 г. Лу-
ганска, Поташев Андрей — школа Хе 42 г. Кандалакши,
Ровенко Юрий — школа с. Юрьевки Киргизской ССР,
Рубин Александр — школа с. Уладовки Винницкой обл.,
Рудин Леонид — школа Хе 116 г. Одессы, Султанов
Самед—школа г. Тауза Азербайджанской ССР, Тетенов
Андрей — школа Хе 10 г. Новосибирска, Фирсова
Татьяна — школа Хе 6 г. Иванова, Яричук Сергей —
школа № 3 г. Степногорска Целиноградской обл.
I, II и III премии, как и в прошлом году, не смогли
получить школьники из Карельской АССР, Курской, За-
карпатской, Ровенской, Читинской н некоторых других
областей. Видимо, следует обратить внимание на более
тщательный отбор учащихся на заключительный тур и
повысить трудность задач предлагаемых на областных,
краевых и республиканских олимпиадах. Предполага-
лось, что в числе четырех участников, направляемых на
заключительный тур Всесоюзной олимпт^ды, один уче-
ник будет из сельской школы, однако во многих ко-
мандах были ученики только городских школ. Сельских
школьников на олимпиаде было лишь 85 из 660 участ-
ников. Некоторые местные оргкомитеты нарушили «По-
ложение об олимпиаде», направив команды в составе,
превышающем норму. Так, из Воронежской области при-
были 10 человек вместо 4. Жюри не разрешило 6 уча-
стникам этой команды участвовать в конкурсе. Такое же
решение было принято в отношении одного-двух «запас-
ных» участников из Ростовской, Саратовской, Рязанской,
Пензенской, Челябинской областей и Татарской АССР.
Вместо учащихся школ Аджарской, Абхазской и Юго-
Осетинской автономных республик оргкомитет Грузии
почему-то направил школьников в основном из Тбилиси.
Самовольно, без разрешения школы и гороно приехали
три ученика из Ленинграда. Руководители ленинград-
ской команды вынуждены были отправить их домой, не
допустив к выполнению олимпиадных работ. Несколько
участников заключительного тура не были победителями
областных соревнований, что является нарушением
«Положения».
Заключительный тур Третьей Всесоюзной математи-
ческой олимпиады, по мнению большинства участников
и руководителей команд, прошел организованно. Этому
способствовала большая подготовительная работа, ко-
торую провели многие сотрудники Министерства прос-
вещения УССР, учителя и руководители школ и орга-
нов народного образования Киева (С. Т. 3 а в а л о,
А. И. Сивец, А. П. Ш а т к о в с к и й, Ю. А. Кнрке-
вич, Э. М. Корнев г, В. М. Андрущак и другие),
работники Киевского государственного университета
(М. И. Ядренко, Г. И. П р и з в а, И. И. Ляшко
и другие). Отлично справились со своей задачей члены
жюри Н. Б. Васильев, А. П. Савин, М. И. Баш-
маков, М. И. Серов и другие товарищи из Москов-
ского, Ленинградского, Новосибирского университетов и
других высших учебных заведений страны. Хороших
результатов многие школьники добились благодаря то-
му, что их обучение и воспитание осуществляли замеча-
тельные педагоги: А. И. Плоткин (Ленинград), И. X.
Сивашинский (Москва), А. В. Столин (г. Харьков),
В. Д. Аксельрод (г. Черновцы), Е. В. Куреева (г. Бар-
наул), М. П. Ляпин (г. Казань), Д. Б. Сморгонский
(г. Воронеж), Т. А. Шевченко (г. Одесса) и многие
другие.
Математическая олимпиада школьников, в которой
участвовали миллионы учащихся, способствовала разви-
тию их интересов к математике, усилению внеклассной
и внешкольной работы, повышению уровня препода-
вания.
Решения задач Всесоюзной математической
Н. Б. ВАСИЛЬЕВ	irtzrt
(Москва) олимпиады 1969 г.
1. В центре поля, имеющего форму квадрата, нахо-
дится волк, а в вершинах квадрата — 4 собаки. Волк
может бегать по всему полю, а собаки — только по сто-
ронам квадрата. Известно, что волк задирает собаку, а
две собаки задирают волка. Максимальная скорость
каждой собаки в 1,5 раза больше максимальной скоро-
сти волка. Доказать, что собаки имеют возможность не
выпустить волка из квадрата (В. Л а п и ц к и й, Ленин-
град) *.
Решение. Пусть v — максимальная скорость волка.
Проведем через «волка» две прямые, параллельные диа-
гоналям квадрата (вначале эти прямые идут по диаго-
1	В скобках после условия задач указаны их авторы.
66
налям квадрата, а затем, при движении волка, каждая
прямая перемещается, оставаясь параллельной прежне-
му направлению) Эти прямые пересекают контур квад-
рата в четырех точках Сь С2, С3, С4. Поскольку ско-
рость проекции волка на диагональ не превышает и,
то скорость каждой из точек С2, С3, С4 не превыша-
ет v У 2 < 1,5 о. Если собаки будут постоянно находиться
в этих четырех точках, то они не выпустят волка из
квадрата.
2	.Дана конечная последовательность нулей и единиц,
обладающая следующими двумя свойствами:
а) если в некотором произвольном месте после-
довательности выделить 5 цифр подряд и в любом
другом месте также выделить 5 цифр подряд
(эти пятерки могут перекрываться, например
О 1 1 0 1 1 1 0), то эти пятерки будут различны,
б) если к последовательности добавить справа любую
цифру 0 или 1, то свойство а) для новой последователь-
ности уже не выполняется.
Доказать, что первая четверка цифр данной последо-
вательности совпадает с последней четверкой (А. К у ш-
нирепко, Москва).
Решение. Пусть abed — четверка последних цифр
последовательности. В последовательности встречаются
пятерки abed 0 (иначе можно было бы добавить 0 с со-
хранением свойства а), что противоречит б)) и abed 1.
Следовательно, четверка abed встречается в последова-
тельности трижды. Какие же цифры стоят перед этой
четверкой? Ни 0, ни 1 не могут стоять перед abed бо-
лее одного раза, иначе нарушается а). Следовательно,
один из трех раз четверка abed стоит в самом начале
последовательности — перед ней не стоит никакой
цифры.
3. Четыре различных трехзначных числа, начинающих-
ся с одной и той же цифры, обладают тем свойством,
что их сумма делится на три из них без остатка. Найти
эти числа (М. И. Серов, г. Петрозаводск).
Решение. Пусть 8 — сумма четырех чисел, х —
одно из них, а — его первая цифра. Тогда, с одной сто-
роны, х 100а, а каждое из остальных трех чисел мень-
ше 100(a-f- I), поэтому
jS , ,300(0+1) a + I
х < 1 +	100a	“ 1 +«5- а
4 + Л
а
С другой стороны, х < 100(а -ф 1), а каждое из осталь-
ных трех чисел не меньше 100a, поэтому
S	300a	о а	3
х > 1 + 100 (a + 1) ” 1 + * З’а + 1	4 — а 4- 1 
S	S
Итак, 2,5<~^г<7 при а = 1 и 3 <	< 5,5 при
а >2. Поскольку 8 делится на три из данных чисел
без остатка, частное должно принимать три раз-
личных целых значения. Следовательно, а = 1 и эти
три частных могут находиться только среди чисел 3,
4, 5 и 6. При этом, поскольку среди чисел от 100 до
199 отношение двух любых меньше 2, то 3 и 6 одно-
временно не могут быть частными. Остается два слу-
чая: 1) три частных — 5, 4, 3; 2) три частных — 6, 5,
4. В обоих случаях S, очевидно, кратно 60: S = 6Cfc,
где k — целое.
В первом случае искомые числа — 12&, 15k, 20k и
(60—12—15 — 20)ft=13fe, причем неравенствам 100 еД
12fe, 20fe sj 199 удовлетворяет k — 9.
Во втором случае получается, что из искомых чисел
10/г, 12/е. 15Лг и (60—10—12 — 15)£ = 23/г одно должно
быть более чем вдвое больше другого, что, как мы уже
говорили, невозможно.
Отает: 108, 135, 180, 117.
4. В некотором государстве система авиалиний устрое-
на таким образом, что лю^ой город соединен авиали-
ниями не более чем с тремя Другими и из любого го-
рода в любой другой можно проехать, сделав не более
одной пересадки. Какое максимальное число городов мо-
жет быть в этом государстве?
Решение. Поскольку из данного города А не более
чем в 3 города можно проехать непосредственно и за-
тем из каждого из этих трех городов — еще не более
чем в два, отличных от А, то всего в государстве не
более 1 +3 + 3-2= 10 городов. Пример устройства нуж-
ной системы авиалиний в государстве с 10 городами
А), А2, Аз, А4, А5, Bt, В2, В3, В4, В5: проведены стороны
пятиугольников А^зАзА^ц п В1В2В3В4В5 и еще пять от-
резков AjBj, А2#з, А3В5, А4В2, AsB4 (черт. 1); всего 15
авиалиний (отрезков).
5. На основании AD трапеции ABCD нашлась такая
точка Е, что периметры треугольников АВЕ, ВСЕ и
CDE равны. Доказать, что ВС — AD.
Решение. Пусть С] — такая точка на прямой ВС,
что АВС\Е —паралтелограмм. Тогда, поскольку перимет-
ры треугольников ВСЕ н BCtE равны, то С| совпадает
с С (иначе в треугольнике С,СЕ одна сторона оказалась
бы равной сумме двух других), т. е. ВС = АЕ. Анало-
гично, ВС = DE, поэтому ВС = -ry-AD.
6а. Рассматривается выпуклый пятиугольник, у кото-
рого все стороны равны. Доказать, что внутри него най-
дется такая точка, лежащая на наибольшей диагонали,
из которой все стороны видны под углами, не превыша-
ющими прямого.
66. В выпуклом пятиугольнике все стороны равны. До-
казать, что круги, построенные на его сторонах, как на
диаметрах, не покрывают пятиугольник целиком (М. И.
Серов, г. Петрозаводск).
Решение 6а. Пусть К — середина наибольшей диа-
гонали AD выпуклого пятиугольника ABCDE, все сторо-
ны которого равны а. Углы АКЕ и DKE — прямые. По-
скольку AC AD, то Z ВАС Z DAE и тем более
Z ВАК > Z КАЕ, поэтому В лежит по ту же сторону
от прямой КЕ, что и точка А, т. е. Z ВКА < 9(Г. Ана-
логично, Z CKD < 90°.
Предположим, что Д.ВКС 9СГ. Тогда ВК<а и
СК <а (А ВКС). АК< а (Д АКЕ) и KD < а
(A.DKE), поэтому в каждом из треугольников А КВ,
ВКС и CKD наибольшая сторона равна а, т. е. наиболь-
ший угол в каждом из этих треугольников — при верши-
не К. Но каждый из этих углов не может быть больше
3'
67
60®, так как их сумма-*- IfiKP, Полученное противоречие
показывает, что Z ВДСЧ<острый.
66. Из решения 6а сЛеЛует, что если на продолжении
отрезка ЕК за точку К, очень близко от точки К, взять
точку М, то все углы АМВ, EMC, CMD, DME, ЕМА бу-
дут острыми, т. е. точка М не будет покрыта построен-
ными кругами.
Верен даже более сильный результат: для некоторой
точки М все треугольники АМВ, ВМС, ..., ЕМА будут
остроугольными, но известное автору задачи доказатель-
ство было слишком громоздким, чтобы предлагать эту
более трудную задачу на олимпиаде.
7. а, Ь, с и d— положительные числа. Доказать, что
среди неравенств --
a4-6<c-f-rf,
(а 4- Ь) (с 4- d) < ab 4- cd,
(а 4- b)cd <Z ab(c 4- d)
есть хотя бы одно неверное (Ю. И. Ионин, Ленин-
град).
Решение. Перемножая первое и второе, затем вто-
рое и третье неравенства, сокращая обе части получен-
ных неравенств на с 4- d и пользуясь тем, что
(а 4- б)2 4аЬ, получим
4ab < ab 4- cd
и
4abcd < {ab 4- cd)ab,
т. е. ЗаЬ < cd, 3cd < ab, а эти неравенства явно проти-
воречат одно другому.
Существует множество решений в том же роде. Более
«научное» решение заключается в следующем. Перепи-
шем данные неравенства так:
с + d — а — б > О,
 аЬ 4- cd — ас — Ьс — ad — bd>0,
abc 4- abd — cda — cbd > 0.
Заметим, что в левых частях этих неравенств стоят
коэффициенты многочлена
Р(х) = (х — а) (х — Ь)(х 4- с)(х 4- d).
Так как все коэффициенты положительны, то этот мно-
гочлен не может иметь положительных корней, в то же
время
Р(а) — Р(Ь)—0.
8. Каково наименьшее натуральное число а, для ко-
торого найдется квадратный трехчлен с целыми коэф-
фициентами и старшим коэффициентом а. имеющий два
различных положительных корня, меньших единицы?
(Г. А. То н о я н, г. Ереван).
Решение. Пусть
f (х) — ахг + Ьх + с -= а (х — Xi) (х — ха),
где 0<Х1<1 и 0 < ха < 1; а, b и с — целые, а > 0.
Тогда /(0) и /(1) — натуральные числа, поэтому
/(0)-/(1) > 1, т. е. д2х,(1 — xi)xa (1 — х2) > 1. Теперь
заметим, что х(1 — xX~j- для любого х, причем
1
равенство имеет место лишь при	Поскольку
Xi и ха различны и положительны, x^l—х,) X
X хг (1 — хг) < -у-*. Поэтому аг >16, а > 4.
Для а — 5 нетрудно привести пример нужного трехчле-
на. Если f (х) = 5х2 4- Ьх 4- С и f (0) = f (1) = 1 (нз ска-
занного выше ясно, что трехчлен f(x), для которого
ПО) 7(1) >2, нас не устраивает), то f(x)=5x2— 5х 4-
4- 1. Этот трехчлен удовлетворяет условию задачи; его
корни
1 , JL1/Z
х>.» - 2 ± 2 V 5 ‘
9. На доске написано уравнение
х3 4- ... х2 . ..х 4 ... = П.
Двое играют в такую игру. Первый ставит на любое
из пустых мест целое число, отличное от нуля (положи-
тельное или отрицательное). Затем второй ставит целое
число на одно из оставшихся мест. Наконец, первый ста-
вит целое число на последнее свободное место. Дока-
зать, что первый может играть так, чтобы независимо
от хода второго все корни получившегося уравнения ока-
зались целыми числами (М. И. Серов, г. Петроза-
водск) .
Решение. Первому достаточно поставить число — 1
перёд х и затем, когда второй поставит на одно из
оставшихся мест какое-то целое число, поставить проти-
воположное ему (по знаку) число на последнее место.
Получится многочлен вида х3 — ах2 — х+а (а—це-
лое), который раскладывается на множители
(х2—1)(х — а) и имеет корни 1, —1, а.
Замечание. Если считать (как это и делало жюри
олимпиады), что в задаче речь идет только с вещест-
венных корнях, то годится также и такое, например, ре-
шение- поставить сначала 1 перед х и затем сводить де-
ло к многочлену Xs 4- ох2 4- х 4- а = (х2 4- 1) (х 4- а), у
которого только один вещественный корень х == —а, т. е.
тоже все корни — целые.
10. В розыгрыше первенства страны по футболу уча-
ствуют 20 команд Какое наименьшее число игр должно
быть сыграно, чтобы среди любых трех команд нашлись
две, уже сыгравшие между собой? (Ю. И. Ионин, Ле-
нинград).
Решение. Две группы по 10 команд, в каждой из
которых все команды сыграли друг с другом, но ни од-
на не играла с командой нз другой группы,— пример си-
туации, удовлетворяющей условиям задачи. При этом
сыграно 90 игр. Докажем, что при выполнении усло-
вия задачи сыграно не меньше 90 игр.
В противном случае найдется команда А, которая
сыграла 6<С8 игр. Будем обозначать те команды,
которые играли с А (их k), через X, те, которые не
играли с А (их 19 — k),— через К. Очевидно, что
все Y сыграли между собой. Пусть среди X есть р
пар, не сыгравших между собой. Поскольку любая
из Y должна сыграть с одной из X в каждой из
этих р пар, причем каждая нз X принадлежит не
более чем k—1 из р пар (всего X—k команд) то
19 —Л
должно было состояться не меньше £— 1" Р ИГР меж*
19 — k
ду X и К. Заметим, что поскольку Л С 8, то k। Р~>Р
Таким образом, если вместо этих игр X с Y все еще
не сыгравшие X проведут встречи между собой, то
общее число игр только уменьшится. Итак, сыграно
не менее
k(k—l) ,	(19 — k) (18 — k)
2 +fe +	2	”
= k2 — 186 4- 9-19 - (k — 9)a 4- 90 >90 игр.
11. Дано натуральное число п. Выпишем все дроби ви-
да , где р и q взаимно просты, 0<p<q^nn
р + q > п. Доказать, что сумма всех таких дробей
равна ’/2 (D- С. Levine, Harvard, USA).
Решение. Докажем это утверждение по индукции.
1 1
При п = 2 оно верно: ууг; *”
Мы предоставляем читателю удовольствие проверить
это утверждение для нескольких первых п, хотя для до-
казательства это не нужно.
Например, для п — 6 можно убедиться, что
1 1 1 11 .1 1
Ь6 5-6 2-5 З-о 4-5 3-4 "" 2 '
68
При переходе от п — 1 к п к рассматриваемой сумме
дробей добавляются все дроби вида , где Р < п
и (р, п) — 1, и из нее выбрасываются все дроби ви-
да р(п — ру где р <л — р и (р, п — р)~1. Заме-
ТИМ, что
1____ 1 _________1
р (п — р)  рп + (л — р) п'
Таким образом, вместо каждой выброшенной дро-
би	в сумме появляются две новые компенси-
рующие ее дроби и
(Очевидно, что
п	п
р < n-J9<=:)/)<y<=)n-p>—;
(р, п — р) - 1 <=Нр, л) — 1<=)(л — р, л) = 1.)
Поэтому при переходе от и — 1 к п сумма не меня-
ется.
12	В пространстве расположены п точек так, что
любые три из них являются вершинами треугольника,
один из углов которого больше 120°. Доказать, что эти
точки можно обозначить буквами А>, А2, ...» Ап та-
ким образом, что каждый из углов /1{Л ]АЛ, где 1	/ <
< I < k п, больше 120° (предложил К- Zitek,
г. Прага).
Решение. Пусть п точек в пространстве удовлетво-
ряют поставленным условиям. Тогда 1) любой из углов
треугольника с вершинами в этих точках илн больше
120°, илн меньше 60° (очевидно); 2) средн этих точек
существуют ровно две такие, что среди углов с верши-
нами в этих точках (речь идет, разумеется, об углах
все тех же треугольников) нет ни одного большего 120°.
(Будем называть такие точки крайними ) Действитель-
но, это точки В и С, находящиеся на максимальном рас-
стоянии друг от друга среди данных точек. С одной
стороны, для любой D из п точек, отличной от В и С,
Z- BDC— наибольший в A BDC и потому больше 120®.
С другой стороны, для любых двух D и Е из наших то-
чек /1DBC < 60°, Z ЕВС < 60° и потому ДОВЕ <
< Z DBC + Z ЕВС < 120°.
После этих замечаний докажем по индукции утверж-
дение задачи, дополненное следующим образом: если
В и С—крайние из п данных точек, то точки можно
занумеровать так, что A/AjAjj > 120° для всех
и при этом At = В, Ап= С. Для
п — 3 утверждение очевидно. Пусть для п точек оно
аерно. Докажем его для л 4- 1 точек. Выберем из
этих п + 1 две крайние точки В и С, одну, скажем С,
обозначим через Лп + , и пока исключим. Среди остав-
шихся п точек В — одна из двух крайних (все углы
с вершиной В меньше 120°), поэтому, по предполо-
жению индукции, их можно занумеровать так, что
А, = В и AiAjAt,'^ 120° для всех
Осталось доказать, что AiAjAn+x > 120° для всех
1	Для 1 — 1 это очевидно, поскольку Л,
и А„ + j — крайние точки. Если l<Z<J<n, то
А/AjA„ + 1> 120°, поскольку в треугольнике
AiAjAn+ , угол А„ + ! меньше 60° (Дя+1— крайняя)
и угол А{ меньше 60° (если бы ^гДуД/Дя+, был
больше 120°, то, поскольку AtA/Aj> 120°, по пред-
положению индукции, и Л,Л|Ля+1> 120°, при вер-
шине А/ образовался бы трехгранный угол с суммой
плоских углов, 'большей 360°, что невозможно).
13.	Л* — апофема правильного k-угольника, впи-
санного в круг радиуса R. Доказать, что
(л + 1) hn + ! — nhn > R.
Решение. Расположим п- и (л 4-1)-угольники
так, что их апофемы h„ — ОК и hn+t — OL лежат на
одном радиусе ON. Пусть АС и BD — стороны п- и
(л 4- 1)-угольника, соответствующие этим апофемам
(черт. 2). Тогда KL — проекция на радиус ON хор-
180®
ды АВ, стягивающей дугу АВ величины —,	•
J	п (П -р I)
180°
На дуге BN величины п 4. j можно, очевидно, уме-
стить ровно п луг, равных АВ, причем проекции
соответствующих им хорд на радиус ON будут за-
ведомо меньше KL — проекции АВ, поэтому сумма
этих проекций LN меньше nKL, т. е.
В hn 4 । n (hn 4 j hn)
(л 4- 1)Ля+ nhn> R.
Более естественно решение, основанное иа триго-
нометрических формулах;
(л 4- 1) cos — n cos > 1
$
(те	те \	к
cos 7+Т -cos v; > 1 - cos F+T
я . я (2л +1)	. к
ns,n 2л (n 4-1) s,n 2л (Л 4-1) > sln 2 (n 4- 1) *
Последнее неравенство верно, поскольку
п(2л4-1)^ . я2л
sln 2л (n 4-1) > S,n 2л (n 4- 1) >
>s,n л 4- 1 > s,n 2 (л 4- 1)
И
" siп 2л (n 4-1) s,n 2 (л 4- 1) •
что следует из неравенства n | sin а | >j sin п з [, легко
доказываемого, например, по индукции.
14.	Доказать, что для любых положительных
чисел a-i, а.... выполняется неравенство
-----+  ..l	4- —а"~г— 4.
°а + о» Я» + °«	” ’ ап — 1 + ап
.	— 1	।___Лп п
+	4- Й1 + Л1 4- аг 4
(предложена 8. Д а п и ц к и м, Ленинград).
69
Решение. Пусть at —наибольшее из a1(...tan.
Булем выбирать последовательно at,, at*.... ,air, где
at +l — наибольшее из чисел в знаменателе дроби
с числителем a/ft (t-1, 2,...,г), до тех пор, пока
ие придем к at: air + t
Если иомера 1, 2,...,п расположить по кругу, то
/* + 1 и Ik (а также 1Г и it) будут стоять или рядом,
п „
или через один, поэтому -g-. Данная сумма, оче-
видно, больше, чем
+2ai, + •” + 2aZj
1 / ai, °1,	alr\
~ 2 \af, + al, + +аЛ )'
Произведение г дробей в круглых скобках равно 1,
поэтому сумма этих дробей ие меньше г, т. е. не
п
меньше Отсюда следует доказываемое неравен-
ство.
Нам не известно, всегда ли верно более сильное
неоавеиство
_. ___________2*___.	. ___2»__>22-
дя	flj 4 Л4	о, са 2 ’
которое обращается в неравенство при at — at —
~ • • - - а„.
В этом году Всесоюзная олимпиада, по предложе-
нию Киевского оргкомитета, проводилась в точности
по регламенту международных олимпиад: два дия
по четыре часа на три задачи каждый день.
В следующей таблице указано, в каких классах
предлагалась та или иная задача. Звездочками отме-
чены более трудные задачи.
Класс	VIII	IX	X
1-й день	5, 1, 2	7, 5, 8	8, И, 12*
2-й день	3, 4, 6а*	66*. 9, 10*	9, 13. 14*
Устного тура в этом году не было — возможно, он
и не будет проводиться в дальнейшем, но многие чле-
ны жюри считают очень желательным предусмотреть
возможность обсудить с каждым школьником его ра-
боту хотя бы после олимпиады.
Исследование экстремума с помощью высших
К. У. ШАХНО
(Ленинград)
производных
Некоторые теоремы, лежащие в основе правил отыс-
кания экстремумов функции одного аргумента, в школь-
ном курсе математики лишь формулируются, поскольку
доказательства их не положены по программе. Однако
в школах с математическим уклоном, да и иа факуль-
тативных занятиях других школ учителя стремятся вос-
полнить этот пробел, а нередко и ставят задачу более
полного изучения вопроса В связи с этим хотелось бы
указать на возможность доказательства одного доста-
точного признака существования экстремума функции,
которое не требует привлечения никаких новых идей,
кроме уже известных учащимся. В литературе этот
признак доказывают исключительно с использованием
формулы Тейлора.
Известны следующие достаточные признаки существо-
вания строгого экстремума: 1) использующий первую
производную (он приведен в учебном пособии Е. С. К о-
четкова и Е. С. Кочетковой); 2) использующий
вторую производную; 3) использующий производные по-
рядка выше второго.
Второй из них формулируется так: если в стацио-
нарной точке х = хь функции f (х) ее вторая производ-
ная f"(x) не равна нулю, то в точке х — х0 функция
f(x) имеет экстремум.
Доказательство второго признака общеизвестно.
Случай, когда ("(хо) =0, остается открытым — здесь
может быть экстремум, но может и не быть его. Одна-
ко легко доказать, что если в стационарной точке
х = х0 функции f(x) ее вторая производная f"(x) равна
нулю, но во всех остальных точках некоторой окрестно-
сти этой точки f"(x) знакопостоянна, то при х = х0
функция f (х) имеет экстремум. Действительно, если, на-
пример, f"(x) > 0 для х < хо, то Г(х) возрастает слева
от хо и, так как f'(xo) •“ 0, то f(x)<0 для х<х0.
Аналогично доказывается, что f (х)>0 для х > х0. Но
в таком случае, на основании первого достаточного
признака, f(x0) есть минимум функции f(x).
Будем называть только что доказанное предложение
леммой. Теперь сформулируем и докажем третий доста-
точный признак существования экстремума.
Если первая из необращающчхся в нуль произ-
водных функции f(x) в точке лг — х, имеет поря-
док k, где k—четное число, то f (хв) есть экст-
ремум функции f lx), причем когда f{k}(xB) > 0, то
это будет минимум, а когда У(*'(лг0) < 0,— мак-
симум.
Доказательство проведем для случая у(*’(х0)>0
и k = 2л.
Пусть f'(xB) - f"lx„) - ... - У(*-|)(х0) “°. а
f^(xB) > 0. Тогда, по второму признаку, функция
У(Л~2)(х) имеет минимум у<л-2)(л0) — 0 и потому
-2)(х) > 0 как для х<х„, так и для х > хв. По-
следнее же означает, что f^k~2\x) в окрестности
точки хв (исключая точку лг0) знакопостоянна. Но
в таком случае, по лемме, f^k~4\x) имеет экстремум
(минимум) в точке х — х0, равный нулю, и следова-
тельно, в окрестности точки х — хв (исключая х — х0)
y(ft 4'(лг) > 0. Продолжая так рассуждать, мы через
конечное число шагов докажем, что f"lx) > 0 в не-
которой окрестности точки х = хв, исключая точку
х = хв, что па основании леммы позволяет сделать
заключение о наличии экстремума (минимума) у функ-
ции / (х) в точке х — хв.
Этим же методом доказывается отсутствие экстре-
мума у функции fix) в точке х — х0, если Г1хв) —
-/"(xo)=...-/rnW-0,	У1*>(хо)#=0 и *-
-2л—I.
70
Л. Л. ЦИНМАН ZS _	*	- и
(Москва) О «парадоксе изобретателя»
При доказательстве арифметических теорем иногда
возникает такая ситуация. Некоторое утверждение
<4 (л) о натуральных числах не поддается доказательст-
ву методом полной математической индукции. Базис
индукции Л(1) легко проверяется, а доказательство
утверждения, выражающего индукционный переход
(«если Л(л), то Л(л + 1)»), наталкивается на трудно-
сти. Либо это утверждение просто не поддается дока-
зательству, либо само требует по крайней мере еще
одного применения метода математической индукции.
Но в то же время удается подыскать утверждение
В (л), более сильное, нежели Л (и), для которого дока-
зательство метолом математической индукции проходит
сразу, без труда. И мы, доказав В(л), получаем из
него А (л) в виде очевидного следствия.
Иными словами, иногда приходится доказывать
утверждения более сильные, чем это нужно на самом
деле.
Такую необычную ситуацию американский математик
Д. П о й а в своей популярной книге «Как решать за-
дачу» назвал inventor’s paradox (парадокс изобретате-
ля, исследователя).
В качестве иллюстрации в этой книге он подробно
рассматривает такой пример. Пусть задано п последо-
вательных натуральных чисел: 1, 2, ..., п. Пусть А(п)
есть утверждение: сумма кубов этих чисел есть квад-
рат некоторого натурального числа. Пусть В (л) есть
утверждение: сумма кубов этих чисел есть квадрат на-
турального числа, которое является суммой заданных
чисел. Т. е. В (л) утверждает, что I3 + 23	... -f- и3 =
= (1 + 2 + ... + л)2.
Конечно, В (л) является более сильным утверждением,
несет в себе больше информации, чем Л (л). Пусть
теперь нам требуется доказать утверждение А (л) До-
казать, что А (л) справедливо для всякого л. возможно
лишь с помощью математической индукции. Базис ин-
дукции, т. е. Л (1), очевиден. Но в то же время Д. Пойа
показывает, что всякие эвристические соображения, ко-
торые возникают при попытке провести индукционный
переход, так или иначе необходимо приводят к откры-
тию формулировки н последующему доказательству но-
вого, более сильного утверждения В (л), из которого
А (л) следует очевидным образом.
Примеры, подобные рассмотренному, встречаются не
только в арифметике, но и в других разделах матема-
тики, где рассматриваются утверждения, доказательства
которых проводятся по индукции.
Возникает вопрос: действительно ли существуют
такие «парадоксальные» ситуации? Может быть, нам
просто в голову не пришло доказательство утверждения
«если А (л), то А(п + 1)» и, потрудившись еще немного,
мы бы его нашли, не прибегая к помощи В (л)?
Конечно, поставленный вопрос и использованные в его
формулировке термины требуют уточнения.
Так, прежде всего необходимо уточнить, что мы по-
нимаем под доказательством. Ведь без строгого опре-
деления этого понятия мы не сможем показать недо-
казуемость какого-либо утверждения.
Известно, что в математических теориях в том их
виде, с которым мы обычно имеем дело, понятие «до-
казательство» не определяется. Такие математические
теории обычно называются содержательными. В проти-
воположность содержательным математическим теориям
в математической логике математические теории строят-
ся в виде формальных систем. Утверждения содержа-
тельных теорий записываются в таких формальных
системах в виде формул, и формула называется дока-
зуемой, если она может быть выведена из нескольких
исходных формул (аксиом) с помощью фиксированных
заранее правил вывода. В настоящее время рассмотре-
ние математических теорий в виде формальных систем
приобретает все большее значение. Так, Н. Бурбакн,
весьма далекий от специальных задач математической
логики, тем не менее в первой книге своего знамени-
того трактата «Начала математики» начинает строить
основополагающую математическую теорию «Теорию
множеств» в виде формальной системы. Там же, во вве-
дении, Н Бурбаки подробно обсуждает вопрос о зада-
нии математических теорий в формальном и содержа-
тельном виде.
Сейчас хотелось бы лишь подчеркнуть, что точная
постановка интересующего нас вопроса, а также ряда
других, значительно более важных вопросов о матема-
тических теориях, например, вопросов о непротиворе-
чивости, алгоритмической разрешимости, независимости
аксиом, становится подчас возможной только тогда,
когда теория задана в виде формальной системы.
В специальной литературе по математической логике
описано несколько вариантов формальных арифметиче-
ских систем. Но все они в некотором смысле равно-
сильны. Наиболее доступна для первого знакомства
формальная арифметическая система S, построенная в
5-й главе книги П. С. Новикова «Элементы матема-
тической логики» (М., Фнзматгнз, 1959) *. Ниже в этой
статье мы будем иметь в виду именно эту формальную
систему.
Далее следует уточнить, что мы понимаем под вы-
сказыванием «арифметическое утверждение В(п) силь-
нее арифметического утверждения Л (л)» или под вы-
сказыванием «Л(л) есть очевидное следствие В(л)».
Пусть содержательные утверждения Л (и) и В (л) за-
писываются в формальной системе S соответственно в
виде формул Л* (л) и В* (л). Для наших целей вполне
достаточно такое определение: будем говорить, что
формула Л* (л) есть очевидное следствие формулы
В* (л), если В*(л) имеет вид конъюнкции, одним из
членов которой является формула Л*(л). На содержа-
тельном языке это означает, что утверждение В(л)
имеет вид сложносочиненного предложения, составлен-
ного из более простых предложений с помощью союза
«и» и одним из этих предложений является утвержде-
ние Л (л).
В формальной арифметической системе S, как и в
содержательной арифметике, в том или ином виде при-
сутствует аксиома полной математической индукции.
Если удалить из списка аксиом системы S эту аксиому,
то получится более слабая формальная система, кото-
рую обозначим S'. Теперь можно сформулировать ре-
зультат, проливающий некоторый свет на «парадокс
изобретателя».
Теорема. Для каждого k (k—2, 3,...) можно
указать такие формулы (л)..........Лл (л) систе-
мы S, что:
1)	формула Л* (1) & Л2 (1)&... & А, (1) доказуема
в S1;
1 Еще одно построение формальной арифметической
системы изложено в серьезной и обстоятельной моно-
графии С. К. Клини «Введение в метаматематику»
(М., Изд. иностр, лит, 1957).
71
2)	формула
А* (п)& А*(п?$: ... & A*k (л)-»-
->- А* (п+1)& Л2(п4-1)&...&Л^(п + 1)
доказуема в S1;
3)	ни для одного I (I =• 1, 2.k) формула
A*t(n) -> А*(п + 1)
не доказуема в системе S’.
Комментарий. Обозначим формулу
Л, (л) & Л£ (п) & ... & Ak (п) через В*(л).
Согласно нашему определению, любая из формул Л, (п)
(1-1,2.....k) есть очевидное следствие форму-
лы В*(п). Из пунктов 1 и 2 теоремы следует, что
формулы В*(1) и В* (п) -» В* (п + 1) доказуемы в си-
стеме S’. Значит, формула В* (л) может быть дока-
зана в системе S одним применением аксиомы
индукции (т. к. доказательство формул В* (1) и Bw (п) -*
-» В” (л + 1) уже не требует применения этой аксио-
мы). В то же время из пункта 3 следует, что ни одна
из формул At(n) (Z — 1, 2...k) не может быть дока-
зана таким же образом, так как для доказательства
формул Ai (л) -* А'{ (н 4- 1) (/ = I, 2,..., k), выража-
ющих индукционный переход, требуется хотя бы еще
одно применение аксиомы индукции. Таким образом
♦
для доказательства какой-либо из формул At(n)
(Z — 1,2,..., Л) «легче» сначала доказать более силь-
ную формулу В* (и), а из нее уже получить А^п)
в качестве очевидного следствия.
Отметим еще, что содержательные утверждения
Л,(л),..., А/, (л), соответствующие формулам Л, (л), ...
...,Л^(л), имеют довольно искусственный характер.
Любопытно было бы найти содержательные утверж-
дения с тем же свойством в «обычной» математике.
Доказательство сформулированной теоремы, полу-
ченное автором статьи, изложено среди других во-
просов в моей работе «О роли принципа индукции
в формальной арифметической системе» (Математиче-
ский сборник, изд. «Наука», 77(119), № 1, 1968).
9992779779V99999999
Задачи для учащихся
VI —VII классов
631 Доказать неравенство
2 4 6	120 > 1
3 ’ 5 ‘ 7	121	1Г
632.	Доказать, что при любом нату ральном N
разность N* — Nf делится на 10 без остатка
633.	Сколько имеется прямоугольных треуголь-
ников, длины сторон которых выражаются це-
лыми числами, если один из катетов этих тре-
угольников равен 15?
Ю. Нурпеисов (г. Ходже или Узб. ССР)
634.	Дан четырехугольник ABCD. Построен па-
раллелограмм DBCM. Доказать, что s(ACM)~
— sCABCD) (s — обозначает площадь).
635.	В треугольник вписана окружность О. Точ-
ки касания ее с двумя сторонами соединены от-
резком Во вновь образовавшийся треугольник
вписана окружность О,. Доказать, что центр
этой окружности принадлежит окружности О.
Учащиеся математического кружка
школы № 173 г. Киева
(Руководитель кружка И. А. Кушнпр)
Задачи для учащихся VIII —X классов
636 Стороны треугольника выражаются чис-
лами /14, tg^-, tg-yj- Вычислить площадь тре-
угольника.
К. Б. Базаров (г Ходжейли Узб. ССР)
637.	Доказать, что произведение П„ первых п
членов геометрической прогрессии можно вычис-
лить по формуле
п
где Sn — сумма первых п членов данной прогрес-
сии, а Ап — сумма первых п членов ряда, члены
которого обратны соответствующим членам дли-
ной прогрессии.
Г. И. Остапенко (г. Грозный)
638.	Найти предел
Нш / 5 II- А- - 2ла —п— 1 \
п —► «о \ 9 20 35	2л* 4- п — 1 )
А. Н. Смоляков (г. Затеречный
ставропольского края)
72
639.	Около окружности диаметра D описана
равнобочная трапеция. Доказать, что диагональ
этой трапеции больше D ,^2.
Ю. И. Герасимов (Читинская обл.)
640.	Дан четырехугольник ABCD. Прямая, про-
веденная через вершину А параллельно ВС, пере-
секает BD в точке М, а прямая, проведенная
через вершину В параллельно стороне AD, пере-
секает АС в точке N. Доказать, что MN Ц CD.
641.	Дан треугольник АВС и некоторая точкаХ.
Построить параллелограмм BXCY, а затем дру-
гой параллелограмм YXAZ Доказать, что преоб-
разование X -+• Z есть гомотетия, и найти ее
коэффициент и центр.
642.	Дана прямоугольная трапеция ABCD
(DA ± АВ, СВ Л АВ); из двух точек М и N, рас-
положенных на стороне АВ, противоположная
сторона CD видна под прямыми углами. Дока-
зать, что s (ABCD) = s (MCD) 4- s (NCD).
643.	Tреугольник ABC цписан в окружность
с центром О. П родолженйе отрезка СО пересе-
кает АВ в точке D, продолжение ВО пересекает
сторону АС в точке Е. Найти угол ADE, если
А - ^CDE - 50°.
R. Beetham (Великобритания)
644.	Окружность, вписанная в треугольник АВС,
касается стороны АС в точке М и стороны ВС
в точке N. Биссектрисы углов А и В треуголь-
ника встречают MN соответственно в точках X
и Y. Доказать, что отрезки MX, NY, XY про-
порциональны сторонам треугольника АВС.
Э. Г. Готмал (г. Арзамас)
64о. Через вершину О правильного трехгран-
ного угла Oabc внутри него проведен луч d, обра-
зующий равные углы с ребрами трехгранного
угла. Плоскость пересекает Лучи а, Ь, с и d соот-
ветственно в п очках А, В, С и D. Найти зависи-
мость между длинами отрезков О А, ОВ, ОС и OD
Нгуеи-Конг-Кви (г. Ханой, ДРВ
ИЗБРАННЫЕ ЗАДАЧИ И СПЕЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ИХ РЕШЕНИЯ
Комбинаторика
646 Доказать равенство
k
У С^п.п2 - й-22*-2.
Я—I
И. М. Рабинович (г. Рига)
Неравенство
647 Доказать не равенство
iaa + b‘ + с* — ЗаЬс)2 < (а2 4- Ь2 4- с2)’.
3. А. Скопец (г. Ярославль)
Уравнения высших степеней
648.	Решить у равнение
(х — 2)2- 6-_§_ — 2х.
х2
С. Т. Берколайко (Белгородская обл.)
Суммирование
649.	Доказать, что при xy=kr. выражение
I + 2 cos х + 3 cos2 х + ... А- п cosn—'х 4- ...
2-1 + 3-2cosx + 4.3cos2x+._.+(n+ 1) n cos"-,x4--.
равно sin2
М. И. Левин (г. Таллин)
650.	Решить у равнение
[ 2х — 1 ] L | 4х 4- 1 1 _ 5х — 4
L 3	_Г[	6	3	’
где [aj — целая часть числа а.
Т. Г. Мишакова (г. Тирасполь)
Многочлены
651.	Пусть ЧТ ч>2 <р3 -многочлены от одного пе-
ременного, X,, X,, X,—данные три попарно разные
числа. Доказать, что если сумма
?! (X 4- М) + <?а (-* + ХаУ> + <?. (X 4- X, у)
тождественно равна нулю, то Та. Та —• линей
ные функции.
Обобщить задачу для четырех и большего числа
функций.
Б. 3. Райхштейн (г. Ярославль)
Применение векторов
652.	Противоположные стороны шестиугольника
параллельны. Доказать, что три прямые, прохо-
дящие соответственно через середины противо-
положных сторон шестиугольника, пересекаются
в одной точке или параллельны.
Преобразование
653.	Даны две точки А и В. Для произвольной
точки X строим на окружности АВХ точку У,
диаметрально противоположную точке X. Оха-
рактеризовать преобразование X -* У и найти
образы прямых в этом преобразовании.
Применение комплексных чисел (или векторов)
654.	Даны два одинаково ориентированных квад-
рата ABCD и AJAtCiDi. Доказать, что
А А2 4- СС2 - ВВ2 4- DD2.
3. А. Скопец (г. Ярославль)
Применение комплексных чисел
655.	В окружность радиуса R вписан правиль-
ный многоугольник AtA2.. .Ап. Доказать, что для
произвольной точки Р окружности имеет место
равенство
п
У РА2™ - С™т-п-Р2т.
*=1
А. С. Влапимиров (г. Асбест)
73
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ, ПОМЕЩЕННЫХ В
№ 6 ЖУРНАЛА ЗА 1968 г.
541.	Доказать, что разность квадратов двух
целых чисел, не делящихся ни на 2, ни на 3,
кратна 24.
Решение 1. Если целое число х не делится ни
иа 2, ни на 3, то х —6£+1, где k — целое число.
Поэтому х2 — 366* + 12 k + 1 и
х2—1 - 12(36* ±k).
Но 362 + k — 262 + k(k + 1) - 2N, так как 6(6+1)
число четное. Следовательно, х2—1 — 24АА
Если у не делится ни на 2, ни на 3, то у2— 1 = 24 М.
Итак, (х2 — 1) — (у2 — 1) - 24 (2V — М), или х2 —
— у2 — 24Р.
Решение 2. Пусть р и q — числа, удовлетво-
ряющие условию задачи. Тогда
р2— 1-(р-1)(р+1)-’8,
ибо р — нечетно. Далее,
р(р2 — 1)-(р — 1)р(р + 1) • 3,
но р не делится на 3, поэтому (р2—1) • 3.
Итак (р2 — 1) • 24.
Аналогично, (уа—1) • 24, и поэтому [(р2—1) —
— (q2— D] • 24, или (р2 — д'2) 1 24.
542.	При каких значениях п сумма
п2 + (п + I)2 + (л + 2)2 + (п + З)2
кратна 10 (п— натуральное число)?
Решение 1. Имеем
п2 + (п + 1)2+ (п + 2)2 +(п + З)2 - 2(2л2 + вп + 7).
Следовательно, 2п2 + 6п + 7 — 5k. Решая это квадрат-
ное уравнение, находим
„„ — 3+/5(26 — 1)
Число п будет натуральным тогда и только тогда,
когда 2k— 1 — 5(2t + I)2.
Итак, п — ~~3 + 5^—+ 1 —, или п — 5t + 1 (t — це-
лое неотрицательное число)
Решение 2. Заметив, что
п2 + (л + I)2 + (п + 2)2 + (л + З)2 -
- (2л + З)2 + 5,
заключаем, что последней цифрой числа 2п + 3 долж-
на быть 5. Следовательно, 2п + 3 — 10< + 5, откуда
находим л — 5t + 1.
Решение 3. Выпишем последние цифры квадра-
тов последовательных натуральных чисел:
0, 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1.
В этом ряду имеются лишь две последовательные
четверки чисел, сумма которых кратна 10:
1 + 4 + 9 + 6 - 6 + 9 + 4 + 1 - 20.
Поэтому последней цифрой числа и должна быть 1
или 6. Таким образом, л — 5t + 1.
543.	Доказать, что сумма
19" + 69м
делится на 44.
Решение 1. Докажем, что s = 19" + 6909 делится
на 4 и на 11. В самом деле,
1) з - (20—1)" + (68 + 1)" - 20m — 1 + 68л + 1 -
— 4 (5m + 17л);
2) з - (22 — 3)" + (66 + 3)" - 22m, + 66л, + З69 —
— 3" - 11 р + 3" (З89 — 1) - 11р + 3" (243" — 1) =
- 11р + 3"-242? - 11g,.
Итак, з • 4 и з • 11, поэтому з • 44.
Решение 2. Очевидно,
з _ 19‘9 + 69" —19“ [(1919)5 -1]=-
-88m—19"(19“ —1)л.
По малой теореме Ферма число W — 19“~1 — 1 крат-
но 11. Кроме того, АГ - (192)5 — 1 - 361“ — 1 - 360 k.
Следовательно, X кратно 8.
Итак, N кратно 88 и данная сумма также крат-
на 88.
544. Некоторое трехзначное число, написанное
в пяте ричной системе счисления, в семе ричной
системе изображается теми же цифрами, но
записанными в обратном порядке. Найти такие
числа.
Решение 1. Если W—искомое число, то
N - хуг* - гул,.
Отсюда следует
25х + 5у + z — 49г + 7 у + х,
или
у- 12 (л: —2г).
Но 0 у 4, поэтому х — 2г — 0, у — 0. Имеются
две возможности:
1) л - 4, г - 2, AZ - 402, - 204, - 1021о,
2) х - 2, г - 1, W - 201, - 102, - 5110.
Решение 2. Если исходить из другого толкова-
ния условия задачи, когда данное число W предпо-
лагается трехзначным в десятичной системе, то реше-
ние несколько меняется. Данное число не может быть
написано в семеричной системе пятизначным числом,
так как
д.7* + 6-7» + с-72 + d-7 + е > 999.
Следовательно, данное число W может быть предпо-
ложительно записано в семеричной системе четырех-
значным и трехзначным числом. Докажем, что оно
не может быть и четырехзначным. Имеем
125л: + 25у + 5г + и — 343и + 49г + 7у + х,
или
62х + 9у - 22г + 171ы.
Так как 22г + 171л <62-4 + 9-4 - 284, то и - 1 и
62х + 9у - 22г + 171.
При х <2 имеем 62х + 9у < 62-2 + 9-4 - 160 < 171;
при х - 3 186 + 9у - 22г + 171, 15 + 9у - 22г; г - 3,
у-—; при х-4 248 + 9у = 22г + 171, 77 + 9у-
3
7
— 22г; у — 0, г — —Итак, данное число N в пяте-
ричной системе не может быть записано четырьмя
цифрами.
Пусть N есть трехзначное число в пятеричной си-
стеме. Тогда	„
25л: + 5у + г — 49г + 7у + х,
74
откуда находим у — 12(х — 2г). Итак, х — 2г, у — 0.
Дальнейшие рассуждения такие же, как и в решении 1.
Второе решение необходимо исключить.
545.	Решить у равнение
/2(1 + л8) + 2 (х — 1) -= 2а /х.
Решение. Очевидно, х = 0 не является корнем
уравнения. Следовательно, х>0. Положим, х—1 =
= у Ух. Тогда х2 + 1 = х (у2 + 2) и данное уравне-
ние принимает вид
/2 (у2+ 2) - 2 (а — у), а > у.
После освобождения от иррациональности получаем
у’ — 4ау + 2 (а2 — 1) = 0.
Отсюда
у, = 2а + /2(а2 + 1),
у2 = 2а— /2(а2+1).
При а 0 имеем
а — У1 = — (а + У2(а2 + 1)) < 0;
при а < 0
а— у,----(а + /2 (а2 + 1)) < 0.
Таким образом, корень yj отбрасываем. С другой
стороны,
а — у2 — -/2 (а2 + 1) — а.
Разность а — уя > 0 при а<0и при а > 0. Следова-
тельно, остается решить уравнение
X—1 = у2/х.
Отсюда
/Т =	(у2 +	+ 4)
И
х -	[2а - /2(а’+ 1) +
+ Уба2 + 6 — 4а У2(а2 + 1)].
546.	Решить у равнение
(х2 + а2) (х — За)2 = 8а*, а / 0.
Решение. Преобразуем уравнение:
х* — бх’а + 10х2а2 — бха’ + а‘ = 0.
Отсюда
х* — 4х’а + 6х2а2 — 4ха2 + а* —
— 2 (х’а + 2х2а2 + ха’) = 0,
или
(х — а)* — 2ах (х — а)2 •= 0,
(х — а)2 (х2 — 4ах + а2) = 0.
Следовательно,
xt = х2 = а, х2 =- а (2 + /3), х< =- а (2— Уз).
547.	Упростить дробь, освободив ее от иррацио-
нальности в знаменателе
з _ з
295 — 413 /2+177 /4
з _ з _
5 + 3/4 —7/2
Решение. Так как
295 413	177
5 = 7 “ 3 = 59,
то искомая дробь равна 59.
548.	Точки М и N— середины сторон CD и DA
параллелограмма ABCD. Прямые AM и BN пере-
секаются в точке Р. Какую часть площади дан-
ного параллелограмма составляет площадь тре-
угольника АКР? Наряду е другими решениями
дать решение посредством векторов.
Решение 1. Проведем прямую MS, парал-
лельную AD, пересекающую BN в точке R,
а АВ — в точке S (черт. 1). Тогда RS^-^-AN—
11	3	3
= -4- AD = — SAf; значит, RM =- AD =- — AN
3	5
и MP -= ~2~ АР, откуда AM =- AP. Ho
s(ANP) AN AP 12	1
s(AMD) “ AD' AM “ 2 ‘ 5 “ 5 *
Так как s (AMD) =- -|-s (ABCD), to
s (ANP) s (ABCD).
Ре ш e н и e 2. За репер аффинной системы коорди-
нат примем репер {ДВР} (черт. 1). Тогда (“g", 1)
и (о, *2")—соответственно координаты точек М
и N. Уравнения прямых AM и BN имеют вид у = 2х,
х + 2у = 1, а точка Р их пересечения имеет коорди-
наты х = -у, у = -g-. Поскольку
1	1 5	2 5	1
s (ABCD) = 1, s (APN) - -у		1	= 20’ то
	0	2	
s (APN) = -go- s (ABCD).
Решение 3. Пусть BN пересекает продолжение
CD в точке Q. Тогда
s (NQD) =--^--s (ABCD) s(ABCD)^).
Так как
s (АВР) + s (ANP) s (ANP) +
+ s (NPMD)----(ABCD),
то
s (АВР) = s (NPMD).
Если s (АВР) =- х, то
1
4 A1Q2 9
х “ АВ2 “ 4 *
75
Отсюда
х =- и a (ANP) = — a {ABCD) —
—у a {ABCD) =- y-.
Решение 4. Примем точку А за начало векторов.
Тогда
a (APN) - у PoN - ~^-~P°D.
Но
_	_	_ k _	—
Р _ kN + (1 — k) В - у D + (1 — k) В,
p-^d+^b').
Следовательно,
k I , L
1 ~ 2 ' 2 “ 1 “ k’
Отсюда
k	.	4
4~ - 1 — k И k - —.
Итак,
P-yD + y 5
и
a {APN) - у • 4"	” 20 5 (AB^D).
549.	Противоположные стороны выпуклого ше-
стиугольника ABCDEF попарно параллельны
и равны. Какую часть площади шестиугольника
составляет площадь треугольника АСЕ? Наряду
с другими решениями дать решение пос редством
векторов.
Решение 1. Вначале докажем, что диагональ CF
делит шестиугольник на два равновеликих четырех-
угольника ABCF и CDEF (черт. 2). В самом деле,
Черт. 2
а (АВС) = a {DEF) н a (ACF) = a (CDF)\ поэтому
a {ABC) \-s (ACF)= s (DEF^-s {CDF), или a {ABCF)=-
- s(CDEF). Далее, а {АСЕ) - -4>- CACEsln(ACE) -
= -77- FD-CE-sln {СЕ, FD) s (CDEF), так как пло-
щадь четырехугольника равна половине произведе-
ния его диагоналей на синус угла между ними. Сле-
довательно,
а (АСЕ) - a (CDEF) - у 5 (ABCDEF).
Решение 2. Диагонали AD и BE шестиугольника
являются и диагоналями параллелограмма ABDE.
Поэтому эти диагонали своей точкой пересечения О
делятся пополам (черт. 3). Отсюда уже следует, что
все три диагонали AD, BE и CF пересекаются в одной
точке О и делятся ею пополам {О—центр симметрии
шестиугольника).
Черт. 3
Таким образом,
s (АОС) s (ОAF), s (СОЕ) — s (OEF),
а (ЕОА) — a {ODE).
Складывая почленно эти равенства, получим
а (АОС) + а {СОЕ) + а (ЕОА) -
- a (OAF) + a (OEF) + s (ODE),
или
а (АСЕ) - a (ADEF).
Итак, а (АСЕ) = у a (ABCDEF).
Решение 3. Проведем через точку С прямую
параллельно АВ, а через точку А прямую параллель-
но ВС (черт. 4). Точку пересечения этих прямых М
соединим с Е. Поскольку АВСМ—параллелограмм,
то отрезок МС параллелен и равен ED Тогда
MCDE — параллелограмм, вследствие чего и AMEF—
параллелограмм. Отсюда
а (АСЕ) =- а (АСМ) 4- a (MCE) +s(MЕА) -
- у а (АВСМ) + у a (MCDE) + у a (MEFA) -
“ у a (ABCDEF).
Решение 4. Примем центр симметрии шести-
угольника за начало векторов (черт. 3). Тогда
76
s (ABC DEF) —	CA°&+	+ C°z5 4-
4-	DoE + EoF+ F°A),
где ~2~ CAoB ) — s (OAB) и т. д. Но А =• — D, В —
=—Е, С =- —F. Поэтому
s (ABCDEF) = ~2~ (—АоЕ — ЕоС — Со А — А°Е —
— ЁоС — СоА)  ---------(А°Ё + E°C"+ С о А) -
-= АоС + С°Е + Е°А — 2s (АСЕ), или
s (АСЕ) - -g- s (ABCDEF).
550. Плоскость наклонена к граням прямого
трехгранного угла под углами а, (3 и 7. Доказать,
что
cos а 4- cos ₽ 4- cos 7 -С	.
Решение 1. Пусть данная плоскость а пересекает
ребра прямого трехгранного угла О в точках А, В
и С (черт. 5). Положим. ОА =• а, ОВ — Ь, ОС = с. Со-
гласно формуле Герона имеем;
16s2 (АВС) - 2АВ3  АС3 4- 2ВС2 • В А3 4- 2СА3  СВ3 —
— АВ*—ВС* —С А*-2 [(а3 4- Ь3) (а3 4- с2) 4-
4- (й2 4- с3) (Ь3 4- а3) 4- (с3 4- а3) (с3 + й2)] — (а3 4- Ь3)3 —
— (Ь3 4- с3)3— (с3 + а3)3 = 4 (а3Ь3 4* й2с24- с3а3).
Отсюда
s (АВС) = ~2~ 1//Га3Ь3 4- Ъ3с3 4- с3 а3.
Но
s (О ВС) _________Ьс________
C0S ° “ 5 (АВС) “ /	+ /)2CS + сгаг •
Следовательно, cos2a 4- cos2 р 4- cos2 7=1.
Согласно теореме о среднем арифметическом и сред-
нем квадратичном имеем
откуда следует
cos a 4- cos ₽ 4- cos 7 yr3*.
Знак равенства имеет место при я — р =- 7, когда
а = Ь = с.
Решение 2. Если ht, ht, h.— высоты боковых
граней пирамиды ОАВС (черт. 5), то
йс	са	ab
/й24-с2	Vc3+a3 ’	/аа4-й2
Далее, если Ло—высота ОН пирамиды ОАВС, то
I h-i'a _	abc VЬ34- с*
0	4- а3 VЬ3 + с3-^Ь3с3 4- а3 (Ь3 4- с2)
abc
уЁ а3Ь3 4- й2с2 4- е3а3
Отсюда
Л„ „	ha
sIna“-ftT’ s,n₽“ А • ^7 = 7-,
sin2 a 4- sin2 p 4- sin2 7 •=
> / 1 1 1 \
2 a3 (b3 4- c3) 4- й2 (c3+ a3) 4- с3 (o24- й2)
“ Ло ’	aVc3	“ 2
и cos2 a 4- cos2 p 4- cos2 7 — 3 — 2 — 1. Дальнейший ход
решения рассмотрен выше.
551. Охарактеризовать взаимное расположение
плоскостей
у 4- z • ах,
г 4- х — by,
x + y^cz.
Решение. Рассмотрим определитель системы:
— а	1	1
или
1	—-й	1
1	1 —с
— 2 -|- (о 4- й 4- с) — лйс.
О - (а 4-1) (й 4-1) 4- (й 4-1) (с 4- 1) 4- (с 4- D (а 4- D —
- (а 4-1) (й 4- 1) (с 4- 1).	(1)
А) Если 0=^0, то три данные плоскости имеют
единственную общую точку 0(0,0, 0).
Б) Если D — 0, то три данные плоскости могут иметь
общую прямую, не иметь общих точек, могут совпасть.
Перепишем данную систему так:
х 4- у 4- z — (а 4- 1)л,
 л: 4- у 4- г - (й 4-1) у,	(2)
х 4- У 4- г - (с 4- 1) г.
1)	Пусть (а 4- 1) (й 4- 1) (с 4- 1) -= 0. Если а 4- 1=0,
то из (1) следует (й 4- 1) (с 4- 1) = 0. Поэтому, если
й 4 1 =” 0, с 4- 1=/=0, то две плоскости совпадают,
а третья их пересекает по прямой х 4- У = 0, г — 0.
Если жей4-1—0 и с 4- 1 = 0, то все три плоскости
совпадают.
2)	Пусть (а 4-1) (й 4-1) (с 4-1)^0. В этом случае
плоскости пересекаются по прямой
*“a+T> y“T+T’ z“T+r- <3)
В самом деле, из совместности системы (2) следует
(а 4- 1)л: = (й4- 1)у = (с 4- \)z,
7?
или
х	у	г
1	“ 1	“ 1 ’
а + 1	6+1 с + 1
т. е. уравнения (3), представляют собой параметри-
ческое задание прямой.
552. Числовая последовательность задана рекур-
рентной формулой их=-2, и„-=• Зип—i-j-2п — 3.
Найти обший член последовательности.
Решение 1. Имеем
ип + п = 3 (u„_i + л — 1).
Тогда
ип -1 + (л — 1) “ 3 (ип _ г + п — 2),
и, 4-2 = 3(а, + 2—1).
После почленного умножения этих равенств получим
л + ая = Зп—*-3 — 3".
Итак, ип = 3" — и.
Решение 2. Найдем частное решение заданного
в условии задачи линейного разностного уравнения
в виде ип = па 4- р. Подставляя, найдем
ал + р = 3 [а (л — 1) + р] + 2л —3,
ап + Р = (За + 2) л — За + Зр — 3.
Отсюда а = За 4-2,	—За 4-Зр — 3. Из этой си-
стемы находим а = — 1, р *= 0. Итак, частное реше-
ние такое: ип -= —п.
Далее рассмотрим однородное разностное уравне-
ние, соответствующее данному уравнению:
ия = 3ля_,.
Легко заметить, что ая = Л-Зп — *. Следовательно,
общее решение данного разностного уравнения имеет
вид:
ип = А-Зп~2 — л
(см.: П. С. Моденов, Сборник задач по элементар-
ной математике, гл. X, § 2). Но л, — 2, поэтому
2 - Л — 1 и Л = 3.
Итак, ип = Зп — п.
553. Сколько имеется многочленов Р (х, у) =• 2х4+
+ Зх’ у + пх2 у2 + Злу’ + 2у4 (л — натуральное чис-
ло), представимых в виде произведения двух мно-
гочленов с целыми коэффициентами?
Решение. Так как Р (х, у) симметрический мно-
гочлен, то его можно представить как произведение
Pi (х, У) • Рг (* > У). если
1) Р, и Рг — симметрические многочлены относи-
тельно х, у,
2) Pi Pi — взаимно симметричны, т. е, Рх(х, у) =
•= Рг(у, х).
1) В этом случае возможны два подслучая: а) Р1 (х, у)—
многочлен первого порядка; р) Pt (х, у) — многочлен
второго порядка.
а) 2х4 + Зх’у 4- пх2у2 + Злу’ + 2у4 —
= (х + у) (2х* 4- ах2у + Ьху2 4- 2у’).
Отсюда находим а = 1, 6 = 1, л = 2:
Р (х, у) = (х + у)-(2х* + х2у + ху2 + 2у’).
р) 2х4 + Зх’у 4- лх2у2 + Зху’ 4- 2у4 =
= (х2 4- аху + у2)(2х2 + Ьху + 2у2).
Отсюда 2а 4- 6 = 3, ab 4- 4 — п. Решая эту систему,
получаем
3 + у<41 — 8л
/7. = -----------•
Черт. 6
Поскольку л — натуральное число, имеем:
л=5, а = 1, 6=1; л = 4, а—0, 6 = 3;
и = 2, а = 2, 6 = — 1
и
Р (х, у) = (х2 + ху + у2) (2х2 + ху + 2у2),
Р(х, у) -=(х2 + у2) (2х2 + Зху + 2у2),
Р(х, У) — (х2 + 2ху + у2) (2х2 — ху + 2у2).
2) В этом случае
2х4 + Зх’у 4- лх2у2 + Зху’ + 2у4 =
= (2х2 + аху + у2) (х2 + аху + 2у2).
Отсюда 3а = 3и5 + а2 = л, т. е. а = 1, л = 6 и
Р (х, у) = (2х2 + ху + у2) (х2 + ху + 2у2).
Итак, всего имеется четыре многочлена, соответству-
ющие значениям л = 2, л = 4, л = 5 и л = 6. При
л = 2 данный многочлен можно представить в виде
произведения двух многочленов двумя способами.
554. Два действительных числа х и у выбраны
наугад так, что сумма их квадратов меньше 20.
Какова вероятность того, что число х по абсо-
лютной величине меньше 2, а у остается положи-
тельным, но меныиим, чем х2?
Решение. Будем рассматривать числа х и у как
прямоугольные декартовы координаты точки М.
(черт. 6). По условию задачи точка А1 принадлежит
кругу х2 4- у2 <20. Благоприятным событием является
попадание точки Л1 в область ABOCDA, ограничен-
ную линиями у = х2, х =» 2, х = — 2 и у = 0.
Вычислим площадь S криволинейной трапеции
ABOCD:
2
С	х’ |2	2*	2’	16
S= \ x2dx =-3-^= "3- + -3---3-.
—2
Площадь с круга равна 20л. Следовательно, искомая
вероятность такова:
16	4
р = S:a = -д-:20тс =	0,0849.
78
555. Вычислить без применения таблиц сумму
п	Зп	15п
sin* + sln*-^ + ••• + sln<-32’*
Решение 1. Положим,
2п	2к
cos -g4 + I sin — 2.
T or да
, 2r.	1 .	2к 1
sln	sln 64 “Тб
2Лк 1	.
sir,4'64 “ ”16	~* ) •
Искомая сумма
s = [(z-z)^ (z’-Z3)4 + ... + (z«‘-z”’B * * *)4] -
- Тб 1(г< + z’2+ ••• + г*0) —4^! + ?• + ... + *")+
4- 48— 4 (z2 + z6 + ... 4- z30) 4-
4-(z44-Z24-...+;60)].
Ho
z4 4 г12 4- ... + z60 = z4 4- z12 4- ... 4- z69 - 0,
так как сумма векторов, направленных из центра
правильного многоугольника к его вершинам, равна
нулю. Далее, z2 4- z6 4- ... 4-z304-z24- z64-... 4-z30= 0t
так как сумма векторов, направленных из центра
правильного 16-угольника к его вершинам, равна нулю.
Итак, s = 3.
Решение 2. Воспользуемся формулой
8 sin1 а — 3 cos 2о 4- cos 4а,
71
положим, а —
8
X' . . (2£— 1)к
s- 2sln ------“
*=1
8
V ( 3	1	(2А — 1) к
2Д 8 — 2 cos 16	+
k-i
1	(2k — 1)к\
4--8-COS g-------3~
8	8
1 ха (2й—1)«	1 V1 (2Л—1)к
~Т 2.'cos	Jg +-g- 2j cos 8	•
fc=i	*=1
Но первая сумма равна нулю, так как сумма векто-
ров, направленных из центра правильного восьми-
угольника к его вершинам, равна нулю, вследствие
чего сумма проекций этих векторов на диагональ
восьмиугольника, проходящую через его противопо-
ложные вершины, равна нулю. По аналогичной при-
чине и вторая сумма равна нулю.
Итак, s = 3.
556. На плоскости даны две взаимно перпенди-
кулярные прямые и точка вне их. Построить
равносторонний треугольник с вершиной в данной
точке и с двумя другими вершинами на данных
прямых. Провести решение, основанное на при-
менении геометрических преобразований.
Решение 1. Пусть т и п— данные прямые,
а точка С не принадлежит ни одной из ннх. Пред-
положим, что АВС искомый равносторонний тре-
угольник, причем Ас т. Вс п. Вращение плоскости
около С на 60е преобразует А в В (черт. 7). Поэтому
Черт. 7
точку В легко построить: необходимо повернуть
около С прямую т на—60°; в новом положении т'
она пересечет п в точке В. Зная точки С и В, можно
построить точку А. Задача имеет два решения, соот-
ветствующие повороту плоскости на 60° и —60°
около С.
Решение 2. Пусть точкам А, В и С соответ-
ствуют комплексные числа а, b и с. Если примем
направленные прямые т и п за оси координат, то
число а будет вещественным, а Ь — чисто мнимым.
Условие того, что треугольник АВС ориентирован
положительно, записывается так:
а 4- ab 4- агс = 0,
где
2я	2х
а = cos -g- 4-1 sin -g~.
Отсюда
a — ab 4- c2c — 0.
Из последних двух уравнений исключаем 6:
а 4 а2с а 4- аас
а	°
Но
Поэтому
а 1 а
И
а’с 4- с агс + с
а “ - 1+^’------------~а “ « 4 ас-
Итак, для построения искомой вершины А посту-
паем так. Поворачиваем около начала О точку С на
120° (черт. 8) н точку Ct, симметричную С относи-
тельно прямой т, на— 120°. Получаем точки С' и
С\ и находим О А — ОС' 4- ОС'Г
Если треугольник АВС ориентирован отрицательно,
то а находим из системы
а*а 4- аб 4- с = О,
а2а — ab 4 с = 0.
7Э
Имеем
а 2а 4- с	ага 4- с
как у' — 1 — Зх5 > 0. Поэтому
JZ 1 \	3
Утал ~ 2 V ~ 4 J “ 8 *
Следовательно,
3
Ла4-Лй<87?--д~, ha + hb^3R.
Условие, что данный треугольник должен быть не-
тупоугольным, лишнее. Неравенство ha 4- h^SR верно
для любого треугольника, причем требование, что-
бы ha и hb были не ббльшими высотами, необходимо
лишь для остроугольного треугольника. Для неостро-
угольного треугольника неравенство верно для любых
двух высот, причем верно даже более сильное:
Ло 4- hb ^2R (Второе решение и дополнение при-
надлежат М. Ш. Готлеру.)
558. Диагонали А,А3, ЛаЛ4, А2АС, Л4ЛЬ АСА2 пя-
тиугольника Л|ЛгЛаЛ4Ла пересекаются последо-
вательно в точках В3, Bt, Bt, В3, Bt. Прямые
AiBi(i—\, 2....5) пересекают стороны, противо-
лежащие Ai, в точках Ла4, Л45, Л51, Л1а, Лаа Дока-
зать, что
Л1 I	ЛаЛаа	ЛаЛа4	Л4Л48	ЛаЛ bi	1
Л)аЛ	ЛааЛ8	Ла4Л4	Л45Л6	Л51Л1
Отсюда
а 4- а2с 4- а2д 4- с = О
и
а- (1 + “2) — — (°2с 4- с)-
Но 1 4-	— —а- Поэтому
а — ас 4- “с.
557. Доказать, что для нету по у сольного тре*
угольника, вписанного в окружность радиуса R‘
имеет место неравенство 3R>ha + he, где ha
и he — не большие высоты данного треугольника.
Решение 1. Пусть хС — меньший из углов
треугольника, тогда С < 60°. Стороны а и Ь будут
не меньшими, а поэтому высоты ha и he—не боль-
шими. Имеем:
sin С+а sinC=2/?(sin В sin С 4- sin A sin С) —
—/? [cos (В —С) —cos (В 4- С) 4- cos (Л— С) —
— cos (Л 4- С)] — R cos (В — С) 4- cos (А — С) 4-
А — В	С1	/	1 \
4- 2cos—g— sin I	^1 4-1 4- 2-1 '~2~) “ 3/?-
Итак, 3R > ha 4- й*. Равенство 3R =• ha + hb имеет
место только для равностороннего треугольника.
Решение 2. Пусть для определенности Л>В>С.
А + В
Тогда А 4- В > 120°, —т, >60°. Имеем:
ha 4- Л» — с sin В 4- с sin А = 2R sin С (sin А 4- sin В)
Л 4- S Л 4" В А — В
8/? sin5 —2— cos--------2--------cos —2—
Л 4- В А + В
< 8/? cos —2— sin2 —2— “	— х^'
А + В
х " cos —2~~~
Рассмотрим функцию у — х(1—х2) на интервале
(о,-g-l. На этом интервале функция возрастает, так
Черт. 9
Решение. Рассмотрим треугольник Л,ЛаЛ4
(черт. 9). По теореме Чевы имеем:
ЛаЛ|а	Ла5в	Л4В,
ЛцЛа	Дв-^4	В3Аг	’
или
ЛаЛ|а	ВеА3 B3Ai
12 Л1аЛа	А2В3 Л4Ва
у (Л4ЛаЛ,) у (ЛаЛ,Лд)
а (А,А3А2) s (AtA2At)
Аналогично,
s (ЛвЛ4Ла) У (А2А2Аг)
Ла« “8(ЛаЛ4Ла) ’«(Л.Л.Лв)’
у(Л^ЛаЛа) s (Л 4Ла А2)
*’* “ s (ЛаЛ5Л4) ' у (Л4Л2Л,) ’
у(ЛаЛ,Л4) у (Л5Л4Л,)
“ у(Л4Л,Л8) ’ у(Л,Л,Л2)'
у(ЛаЛаЛ5) у(Л1Л,Л4)
*»• “ Г(ЛвЛаЛ1) '«(Л.ЛвЛ,)-
80
Черт. 10
Непосредственно проверяется, что
= 1-
559. Даны окружность «о и прямая g, проходя-
щая через ее центр. Из середины S одной из
полученных полуокружностей точки А и В, при-
надлежащие прямой g, спроектированы в точки А,
и В, на окружность и>. Доказать, что пря-
мая PS, где Р—полюс прямой AJ3t относительно
окружности ш, делит отрезок АВ пополам.
Решение. Точки А,, В„ S н С\ окружности ш,
где С, = PS П<», образуют гармоническую четверку,
так как прямые и CtS сопряжены относитель-,
но <о (черт. 10). Спроектируем эти точки из S на g
в точки А, В, SM h С. В силубТого, что гармониче-
ское деление пар точек при проектировании сохра-
няется, пара точек С и $.о делит пару точек А и В
гармонически. Но поскольку точка — несобствен-
ная, то С—середина АВ .
560. Тело ограничено гранями двугранного угла
и круговой цилиндрической поверхностью, ось
которой пе ресекает ребро двугранного угла
и перпендикулярна одной из его граней. Найти
объем этого тела, если радиус цилиндрической
поверхности равен 1, а двугранный угол равен <р.
Решение. Данное тело ограничено полуэллипсом,
полуокружностью и частью цилиндрической поверх-
ности, образующие которой проектируют ортого-
нально соответствующий эллипс в окружность.
Пусть АВ общий диаметр полуэллипса и полуокруж-
ности, О — середина АВ. Примем направленную пря-
мую АВ за ось абсцисс, а направленный перпенди-
куляр к ОА в точке О, расположенный в плоскости
окружности, за ось ординат. Площадь треугольного
сечения KLP тела, расположенного в плоскости,
перпендикулярной к АВ, равна-^KL-LP	=
= —(1—x2)-tg<p, где х — абсцисса точки К.
Искомый объем находим по известной формуле
С 1	(	2
v -2\у (1 — х!) tg <р d х - tg <р	—-у J|Q - -ytg 9.
в
СВОДКА РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ ПО № 6 ЗА 1968 г.
Абремский Б А. (г. Семипалатинск)—541—544, 546,
547, 552, 554, 555, 560. Аванесян Ш. Е. (Гадрутский р-и
Аз. ССР)—541—549. Аляев А. В. (Пензенская обл.) —
541—553, 556 Ахмедов Ж. Д. (Дагестанская АССР) —
541—549, 553, 555. Багдасарян С. С. (пос. Гудрут Аз.
ССР)—541—544, 546—548, 553, 555, 557. Байрамов С.
(Джебраильский р-н Аз. ССР)—541—549, 551—553, 555.
Баргштейн П. М. (Винницкая обл.)—541—548, 555.
Богомолов А. П. (г. Петропавловск Каз. ССР)—541 —
550, 552, 555—557. Бортная М. И. (г. Тетиев Киевской
обл.)—541, 547, 550—552, 555. Будков Н. П. (Рязан-
ская обл.) — 541—560. Букобаев Н. (Восточно-Казах-
станская обл ) — 541—544 546, 547, 552, 553, 555, 557.
Вайнман Б. Ш. (г. Киев) —541—553, 555, 557. Вет-
ров К. В. (г. Братск) — 541—550, 552, 553, 556, 557, 560.
Владимиров А. С. (г. Асбест)—541—560. Волков А. Л.
(г. Сусанино Костромской обл.)—541—547, 550, 552,
555, 557, 560 Воронович Л. М. (Львовская обл) —
541, 542, 544—547, 555. Головачев Е А. (Белгородская
обл.)—541—560. Гордон В. О. (г. Петровск-Забайкаль-
скнй)—541—557, 560. Готлер М. Ш. (г. Вильнюс) —
541—560. Давыдов У. С. (г. Гомель)—541—557, 559,
560. Деконтас А. (г. Ионава Лит. ССР) —541—544, 546,
547, 552—556, 560. Диденко Н. А. (г Краснодар) —
541—550. Дудин И. А. (Краснодарский край)—541—
547, 551—555 Жиляев В (г. Астрахань)—541—557,
559, 560. Зайцев П. В (с. Шемалаково Чув. АССР) —
541—544, 546, 547. Зубилин Н. И. (Орловская обл.) —
541—550, 552, 553, 556, 557, 560. Ивануна И. В. (Сум-
ская обл) —541—544, 546, 547, 550, 552, 555, 560. Кара-
гезов Б. Ф (Цалскин р н Груз. ССР) —541, 542, 544—
547, 551, 553, 555, 556, 560. Касимов Ш. К- (г. Киров) —
541—549, 552, 554—556. Курцер М. (г. Тбилиси) —541—
548. 552, 553. Кушнер Б. С. (Куйбышевская обл.) —
541—544, 546—557, 560. Мапукьян М. О. (г. Петропав-
ловск Северо-Казахстанской обл.)—541—550, 552, 555,
557. Математический кружок школы пос. Мамлютка (Се-
веро-Казахстанская обл.)—541—544, 546—550. Мель-
ников 3. Н. (Оренбургская обл.)—541—549, 552—556,
560. Меньшиков Л. Е. (г. Южноуральск Челябинской
Обл)— 541, 542, 544, 546, 547, 551—554, 560. Мухам-
беткалиев X. (г. Гурьев Каз ССР) —541—553, 555—
557, 560. Назаров М. (г. Ош Кирг. ССР)—541—544,
546—548, 550, 552—554. Нерсесян П. Н. (пос. Гадрут
Аз. ССР)—541—544, 546—550, 553, 555, 557. Панчен-
ко Я. Е. (г. Невинномысск Ставропольского края)—
541— 553, 555, 560. Рачинский Г. Н. (Ставропольский
край)—541—557, 560. Никитин В. В. (Рязанская
обл.)—541—542, 544—546, 548—550, 555. Ручкин Д. Д
(Маркинский р-н Марийской АССР)—541—544, 546,
547, 552, 555—557. Сагань А. К. (Краснодарский
край) —541—550, 552, 555, 556. Саргеян Г. А. (г. Идже-
ван Ары. ССР)—541, 542, 544. 546, 548, 549, 552, 553,
557. Сименов А А. (Болгария)—541—547, 550—553,
555—557, 560. Суконник Я- Н. (г. Киев)—541—553,
555—557, 560. Сысуев Г. Я (Хабаровский край) —
541—547, 549, 550, 552, 553, 555, 557. Тен Хай Дон
(г. Наманган Уз. ССР)—541—548, 553, 555. Филиппов
А. П. (Мордовская АССР)—541—644, 546—550. Хар-
ченко А. Е. (г. Середпнцы Хмельницкой обл.)—541 —
550, 555, 556. Хребет Н. Ф. (г. Днепропетровск)—541,
543, 544 546, 547, 549, 550, 552, 554, 555. 557, 560. Ца
турян Б А. (Шаумяновский р-н Аз. ССР)—541—547.
Цубер Е. А. (г. Брест)—541—547, 554, 555, 560. Цхай
Т. Т. (г. Андижан Уз. ССР) — 541—560. Чваньков И. Т.
(Гомельская обл.)—541—555, 557, 558. Чепкасов Г. С.
(г. Краснодар) —541—550, 552—557, 560. Чернов Н. М
(г. Бельцы)—541—560. Шн шор Б. Н (Винницкая
обл)—541—547, 550—553. Юдаков В. А (Томская
обл)—541—544, 546, 548, 549, 552, 553, 555, 560. Ягу-
дин Ф. М. (Муслюмовский р-н Тат. АССР)—541—544,
546, 550, 553.
81
Об одном свойстве
прямоугольных треугольников
ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ
СТРАНИЦА
1. Теорема. Всякому прямоугольному тре-
угольнику (х, у, z) (у > х, г— гипотенуза) с углом,
меньшим 30°, соответствует новый треугольник,
у которого (у — х)2 + (у 4 х)2 = 2г2, т. е. такой,
у которого сумма квадратов двух сторон равна
удвоенному квадрату третьей.
Пусть дай прямоугольный треугольник с катетами
х, У (У > х) и гипотенузой г.
Составим новый косоугольный треугольник со сто-
ронами у + х, у — х, г. Для существования такого
треугольника необходимо и достаточно, чтобы
Z
(у — х) + г > у + х, отсюда х < -у-.
Итак, если в прямоугольном треугольнике (х, у, z)
угол меньше 30°, то треугольник со сторонами
(у— х, z, у + х) существует. В полученном треуголь-
нике (у — х)2 4- (у + х)2 = 2г2.
Действительно,
у2 — 2ху + х2 + у2 + 2ху 4- х2 — 2г2.
2. Обратимся к книжке В. Серпинского «Пи*
фагоровы треугольники» (Учпедгиз, 1959, стр. 15)-
В. Серпинский рассматривает пифагоровы треуголь-
ники (х, у, у + 1), т. е. такие, у которых больший
катет и гипотенуза выражаются последовательными
числами.
Имеем х2 + у2 “ у2 + 2у + 1; х2 — 2у 4-1 = У 4-
+ (У + 1) = У + г.
Полагая х =• 2а-105 4- 1; у = 2а2-1025 4- 2а-105; г =
— 2а2- 10" 4- 2а- 10s 4- 1, получим при а = 1
В. Серпинский указывает, что эти таблицы им за-
имствованы из журнала «The American Mathematical
Monthly», 41 (1943), стр. 330.
3. Применяя к каждому из приведенных треуголь-
ников доказанную теорему, получим соответственно
из первой и второй таблиц.
у — х	у 4- х	г
199	241	221
19999	20401	20 201
1999999	2 004001 2 002001
у — х	у 4- х г
799	881	841
79999	80 801	80 401
7999999 8008 001 8004001
и т. д.
и т. д.
Каждая тройка сторон треугольника третьей и чет-
вертой таблиц связана зависимостью (у — х)2 4
4-0 4- х)2 - 2г2.
Например: 79 9992 4- 80 8012 = 2-80 4012.
Это тождество легко проверяется.
(80 801 4- 80 401)- (80 801 — 80 401) -
= (80 401 — 79 999) • (80 401 4- 79 999);
161 202-400 - 402-160 400;
80 601 - 201-401;
26 867 - 67-401;
401 - 401.
х-= 2-1054- 1 - 20 . . .01;
j—1 нулей
у = 2-1025 + 2-10* - 20 . . . 020... 0;
J—1 нулей 5 нулей
г-2-10" 4-2-105 4-1-20 . . . 020 . . . 01;
J—1 нулей J— 1 нулей
при а = 2
х -= 4- 10J 4- 1 - 40 . . . 01;
S— 1 нулей
у - 8-10" 4- 4-105 — 80 . . . 040 ... 0;
J—1 нулей J нулей
z = 8- 10я* 4- 4-105 + 1 = 80 . . . 040 . . . 01.
J—1 нулей j—1 нулей
В примечаниях, данных мною к книжке В. Серпин-
ского имеется одно на стр. 80, в котором приводит-
ся следующая таблица пифагоровых треугольников:
X	У	Z
20	99	101
200	9999	10001
2000	999999	1000 001 и т. д.
Каждая строка имеет вид 2-Ю5, 100s—1, 100*4 1-
Из этой таблицы получаем (на основании теоре-
мы 1):		
У— х	у 4- х	г
79	119	101
9 799	10199	10001
997 999	1001999	1000 001 и т. д.
Полагая s — 1, 2, 3,
угольники:
получим пифагоровы тре-
х	у	г
21	220	221
201	20200	20201
2001	2002000	2 002001
и т. д.
х	у	г
41	840	841
401	80400	80401
4001	8004 000	8 004001
и т. д.
Каждую следующую тройку сторон пифагорова
треугольника получаем из предыдущей, вписывая ну-
ли в соответствующие места чисел предыдущей
строки.
Для каждой тройки чисел одной строки существу-
ет зависимость, которую мы проверим, например, для
чисел второй строки:
9 799-’4 Ю 199= - 2-100012.
Проверка.
9 7992 4- 10 1992 - 10 0012 4- 10 0012,
10 1992 — 10 0012 -= 10 0012 — 9 7992,
(10199 4- Ю001)(10199—10001)—
= (10 001 4- 9 799) (10 001 — 9 799),
20200-198= 19 800-202
С. И. Зете ль
82
педагоги-
567890 МАТЕМАТИКИ
Большой популярностью и уважением пользуется в
мировой науке выдающийся ученый Николай Николае-
вич Боголюбов.
Многие из киевских математиков и физиков-теоретиков
с гордостью называют себя его учениками. Да разве
только киевских! Во многих научно-исследовательских
институтах и вузах страны плодотворно работают мно-
гочисленные ученики Н. Н. Боголюбова, который за
свою многолетнюю деятельность воспитал большое по-
коление ученых.
Н. Н. Боголюбов является членом Президиумов двух
наибольших академий Советского Союза АН СССР и
АН УССР, академиком-секретарем отделения математи-
ки АН СССР. Он возглавляет Объединенный институт
ядерных исследований в Дубне и Институт теоретиче-
ской физики АН УССР в Киеве. Академик Н. Н. Бого-
любов — почетный член многих зарубежных академий и
научных обществ. Его научные труды изданы на десят-
ках языков мира.
Творческий диапазон Н. Н. Боголюбова необычайно
широк. Рассказывают, что известный профессор О п-
пенгеймер очень удивился, когда впервые услышал
о работах Боголюбова в области теории дисперсионных
соотношений: он знал труды советского ученого по не-
линейной механике, т. е. совсем в иной области.
Душевная щедрость, человечность, неутомимость и ки-
пучая энергия, неугомонный характер, глубина и энцик-
лопедичность научной мысли, тонкий анализ, предан-
ность делу — вот те черты, которые объединяет в себе
наш земляк.
Киевляне знают, уважают и ценят его как одного из
основателей нового направления в нелинейной механи-
ке, а также в статистической физике, которые сейчас
интенсивно развиваются в нашей стране и за рубежом.
В Москве и Киеве он основал научные школы кванто-
вой теории поля и элементарных частиц.
Неутомимый искатель нового
[К 60-летию со дня рождения
Н. Н. Боголюбова)
Работами Н. Н. Боголюбова и его учеников впервые
в мире была создана математически совершенная тео-
рия так называемой процедуры перенормировки в кван-
товой теории поля. Он является основоположником
одного из наиболее плодотворных направлений аксиома-
тической квантовой теории поля и создателем первого
корректного доказательства общеизвестных дисперсион-
ных соотношений, которые играют очень важную роль
в теории элементарных частиц.
Выдающийся математик, Николай Николаевич владеет
редкой интуицией при решении разнообразных задач
механики и физики. И это свойство улавливать суть
механических и физических процессов в счастливом
соединении с исключительным знанием математики по-
зволяет ему разрабатывать наиболее эффективные мето-
ды конкретных расчетов, которые характеризуются вы-
соким математическим совершенством и физической
наглядностью.
Труды академика Боголюбова нашли широкое приме-
нение в механике, теоретической физике для объяснения
и выявления разнообразных закономерностей и явлений,
например: резонансных явлений в нелинейных колеба-
тельных системах, явлений сверхтекучести и сверхпро-
водимости.
Сорок семь лет научной работы ученого увенчаны
высокими наградами Родины: золотой медалью лауреа-
та Ленинской премии, двумя медалями лауреата Госу-
дарственной премии, четырьмя орденами Ленина, орде-
нами Трудового Красного Знамени и «Знак почета*.
Недавно выдающиеся достижения ученого отмечены
наивысшей наградой — Золотой Звездой Героя Социали-
стического Труда.
Вспоминая свои детские годы, Н. Н. Боголюбов всег-
да с большой теплотой говорит о влюбленном в мате-
матику учителе семилетней школы села Большая Круча
на Полтавщине Павле Александровиче Ященко, ко-
торый вместе со своим маленьким учеником вне всяких
программ проникал в таинственный мнр формул и
теорем.
Об исключительной одаренности Боголюбова в дет-
стве ходят легенды. Уже двенадцатилетним мальчиком
ои самостоятельно изучал серьезные научные труды.
А по приезде в Киев ему посчастливилось встретиться
с выдающимся ученым — академиком Николаем Митро-
фановичем Крыловым, который ввел его в большую
науку.
83
Сохранились воспоминания, что как-то в читальном
зале научной библиот’йги' Николай Митрофанович обра-
тил внимание на невысокого мальчика. Тот вниматель-
но вчитывался в математические книги, которые не
всегда по силам студентам-старшекурсникам.
— Ты все понимаешь? — удивленно спросил академик.
— Нет, не все,— искренне ответил мальчик.
Но его объяснения отличались такой глубиной н ма-
тематическим пониманием, что у Николая Митрофано-
вича это вызвало удивление и восхищение. Он тут же
пригласил мальчика к себе Николай Боголюбов начал
посещать семинар Крылова, а через год уже вышла в
свет его первая работа. Это было в 1924 г., когда авто-
ру минуло 14 лет. По специальному разрешению Нар-
компроса УССР одаренного юношу без диплома о выс-
шем образовании приняли в аспирантуру кафедры
математической физики АН УССР.
Семнадцатилетний Николай Боголюбов успешно вы-
полнил ряд работ по вариационному исчислению, за
которые ему была присуждена премия Болонской Ака-
демии наук. В 1930 г. Президиум Украинской Академии
наук присвоил Н. Н. Боголюбову степень доктора мате-
матических наук без защиты диссертации. Юноше было
тогда 20 лет.
Со своим учителем Н. М. Крыловым Николай Нико-
лаевич много лет отдал созданию и развитию новой
отрасли математической физики — теории нелинейных
колебаний, которую они назвали нелинейной механикой.
Результаты, полученные Крыловым и Боголюбовым,
уже в начале 30-х годов применялись в радиотехнике,
технике сильных токов, самолетостроении, машинострое-
нии и т. д.
Киевская школа нелинейной механики, созданная
Крыловым и Боголюбовым, плодотворно развивается их
учениками. О ее высоком международном авторитете
свидетельствует тот факт, что именно в Киеве состоял-
ся в 1961 г. Международный симпозиум по проблемам
нелинейных колебаний.
Сейчас киевские математики снова готовятся к Меж-
дународной конференции, которая состоится в августе
этого года.
Большим авторитетом пользуется также киевская
школа теоретической и математической физики, создан-
ная Н. Н. Боголюбовым. О ее признании свидетельст-
вует, в частности, решение провести в Киеве в 1970 г.
XV Международную рочестерскую конференцию по фи-
зике высоких энергий.
Особенностью творческого метода Боголюбова яв-
ляется глубина и всестороннее изучение явлений. Об
одном из его исследований — создании теории диспер-
сионных соотношений — руководитель Международного
теоретического центра в Триесте Абдус Салам сказал,
что Боголюбов «бульдозером» проехался по проблеме
и «раскопал» ее до конца. Ученые разных стран, кото-
рые собрались в 1956 г. на конгресс математиков в
Снетле (США), высоко оценили теоретические исследо-
вания Боголюбова. Вот что написал Николаю Николае-
вичу известный швейцарский ученый Пост: «Как я узнал
из газет, Вам, Николай Николаевич, присуждена между-
народная премия Хай немана по математической
физике за 1966 год. Это меня чрезвычайно обрадовало
Я вспоминаю конгресс в Сиетле 10 лет назад, когда
имел счастье встретить Вас. Вы произвели на меня
незабываемое впечатление. Большинство активных тео-
ретиков в то время чувствовали к математике только
неприязнь. Логическая дедукция растаптывалась нога-
ми. Значение имело только романтическое влияние
гения. И тогда появились Вы, человек, владеющий как
математикой, так и физикой и готовый взяться за труд-
ные проблемы, требующие логического соединения того
и другого. Мие кажется, что в этом находит свое вы-
ражение национальный характер Вашего великого на-
рода, настойчивость в достижении поставленной цели».
Ученые разных стран не один год задумывались над
загадочным явлением сверхпроводимости. И вот в 1958 г.
газеты запестрели заголовками: «Тайны сверхпроводи-
мости не существует».
В раскрытии сути явления сверхпроводимости, одной
из интереснейших проблем современной физики, боль-
шую роль сыграли работы Н. Н. Боголюбова и его
школы. _В то время он возглавлял лабораторию теоре-
тической физики в Объединенном институте ядерных
исследований, которая стала одним из ведущих цент-
ров теоретической мысли в области физики.
Экспериментально явление сверхпроводимости было
открыто незадолго до первой мировой войны. До этого
считалось, что все вещества оказывают сопротивление
электрическому току, проходящему через них. Поэтому
значительная часть электроэнергии, вырабатывающейся
электростанциями мира, тратится на преодоление со-
противления проводов, обусловливает их нагревание и
рассеивается в пространстве. Как же удивился гол-
ландский ученый Г. Каммерлинг-Оннес, когда,
охладив ртуть до температуры, близкой к абсолютному
нулю, не выявил в ней никакого сопротивления. Это яв-
ление сверхпроводимости, своей загадочностью захва-
тившее многих ученых, до недавнего времени было не-
объяснимым.
Одним из наиболее ранних и наиболее убедительных
теоретических объяснений этого явления является обос-
нование Н. Н. Боголюбова. Объяснить его Николаю
Николаевичу помогло теоретически решенное им рань-
ше, не менее загадочное и интересное явление сверх-
текучести. Его впервые наблюдал в 1938 г. академик
П. Л. Капица.
Жидкий гелий при температуре, близкой к абсолют-
ному нулю, вдруг полностью терял свою вязкость и
без всякого сопротивления начинал проникать сквозь
ничтожные щели. Долго не удавалось постигнуть при-
чину такого странного «поведения» гелия. Выдвигались
лишь некоторые предположения. В 1947 г. академик
Боголюбов блестяще разрешил эту проблему математи-
ческим путем.
Однако и явление сверхпроводимости состоит в том,
что электрический ток без сопротивления проходит
сквозь металл. При очень низкой температуре, когда
тепловые колебания атомов металла совершенно ослаб-
лены, электроны образуют «электронную сверхтекучую
жидкость», которая свободно протекает внутри металла
без сопротивления. Настает состояние сверхпроводимо-
сти. При нагревании металла атомы снова возобновляют
колебания и электроны вынуждены затрачивать много
энергии, чтобы «пробираться» в металле.
Математическая теория, созданная под руководством
Николая Николаевича Боголюбова, объяснила сложный
и интересный механизм этого явления. Трудно предста-
вить, какой переворот произойдет в электротехнике,
когда ученым удастся добиться состояний сверхпрово-
димости металлов не только при низких, ио и при обыч-
ных температурах. За эти работы Н. Н. Боголюбов был
удостоен звания лауреата Ленинской премии.
В Москве и Киеве работают его школы математиков
и физиков-теоретиков. Ученики Николая Николаевича
трудятся в Дубне, Серпухове, Новосибирске, Будапеш-
те, Софии, Берлине, Бухаресте. И хотя многие из них
уже руководят научными группами, лабораториями, ин-
ститутами, Николай Николаевич всегда находит время,
чтобы поинтересоваться, как у них дела, посоветовать,
подсказать какую-нибудь идею. Не только широкая
эрудиция ученого, но и его творческая щедрость и доб-
рожелательность влекут к нему многочисленных уче-
ников.
84
Особенно многэ учеников Николая Николаевича
в Киеве. Ведь именно здесь он начинал свою научную
деятельность, свыше 15 лет руководил кафедрой ма-
тематической физики и механико-математическим фа-
культетом Киевского университета. Под его научным
руководством решают важные проблемы коллективы
институтов ма тематики и теоретической физики
АН УССР.
Член Президиума Академии наук Украины Николай
Николаевич Боголюбов с глубоким интересом следит за
достижениями украинской науки, в развитие которой
ои вносит весомый вклад.
Выступая на одном из нюбныгейных празднований,
Николай Николаевич как-то- Мошуфил, что напрасно его
хвалят за большое количество работ по разным на-
правлениям. На самом деле он всю жизнь занимается
одной темой — так называемым малым параметром.
В этом году научная общественность будет отмечать
60-летний юбилей Николая Николаевича. Ученый —
в расцвете творческих сил и таланта. Впереди еще
много нераскрытых тайн природы. Так пожелаем
Николаю Николаевичу долгих и счастливых лет вдохно-
венного творческого труда и новых открытий.
Ю. А. Митропольский, В. П. Шелест
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
КАЛЕНДАРЬ
на 1969/ 70 учебный год
СЕНТЯБРЬ
4 сентября — 90 лет со
дня рождения советского мате-
матика-педагога, заслуженного
деятеля науки Украинской ССР
Александра Матвеевича А с т-
ряба (1879—1962) (см.: «Мате-
матика в школе», 1954, № 5;
1963, № 2).
4 сентября — 80 лет со
дня рождения советского матема-
тика, члена-корреспондента АН
СССР, лауреата Государственной
премии Вячеслава Васильевича
Степанова (1889—1950). В. В.
Степанов родился в г. Смолен-
ске. В 1912 г. окончил Москов-
ский университет и сразу же был
командирован на год за границу
для повышения своей математи-
ческой подготовки. В Геттингене
он слушал лекции Гильберта,
Клейна, Ландау и др. С 1928 г.
работал профессором Москов-
ского университета. Был вице-
президентом (с 1943 г.) Москов-
ского математического общества.
Научные исследования В. В.
Степанова относятся главным об-
разом к теории функций и тео-
рии дифференциальных уравне-
ний. Один особый класс функций
носит название «почти периоди-
ческие функции Степанова». В. В.
Степанов является одним из ос-
новоположников советской шко-
лы в области качественной тео-
рии дифференциальных уравне-
ний. Большой известностью поль-
зуется его «Курс дифференци-
альных уравнений», 1937	(см.:
«Успехи математических наук»,
т. 5, вып. 5, 1950; П. С. Алек-
сандров и В. В. Немыцкий,
Вячеслав Васильевич Степанов,
Изд. МГУ, 1956; «Прикладная ма-
тематика и механика», т. 14, вып.
6, 1950; Биографический словарь
деятелей естествознания и техни-
ки, т. 2, М., 1959; «История оте-
чественной математики», т. 3,
Киев, 1968).
8 сентября — 75 лет со дня
смерти знаменитого немецкого
естествоиспытателя Германа Люд-
вига Гельмгольца (1821 —
1894). Гельмгольц был военным
врачом, профессором физиоло-
гии и физики, директором фи-
зико-технического института в
Берлине. Работал в области фи-
зики, математики, физиологии и
психологии. 8 математике Гельм-
гольц подверг изучению римано-
во понятие пространства, отча-
сти в поисках геометрического
образа для его теории цветов,
отчасти в поисках происхожде-
ния наших зрительных оценок
расстояния. Это привело к ис-
следованию природы геометри-
ческих аксиом и, в частности,
римановой квадратичной метри-
ки. Гельмгольц доказывал, что
все основные положения гео-
метрии имеют опытное проис-
хождение, что опытным путем
можно было бы выяснить форму
пространства. Норвежский мате-
матик Софус Ли усовершенство-
вал рассуждения Гельмгольца
относительно характера римано-
вой метрики, проанализировав
природу лежащих в основе этого
групп преобразований. Эта проб-
лема пространства «Ли — Гельм-
гольца» оказалась имеющей зна-
чение не только для теории от-
носительности и теории групп, но
и для физиологии (см.: Биогра-
фический словарь деятелей есте-
ствознания и техники, т. 1, М.,
195В; Д. Я. С т р о й к. Краткий
очерк истории математики, М.,
изд. «Наука», 1964).
30 сентября — 75 лет со
дня рождения американского ма-
тематика и историка ма ематики
Дирка Яна Стройка. Д. Я.
Стройк родился в Роттердаме
(Нидерланды), окончил Лейден-
ский университет. В 1917—1924 гг.
работал ассистентом в Высшей
технической школе в Дельфте.
С 1927 г.— профессор Массачу-
зетского технологического инсти-
тута в Кембридже (США). В об-
ласти математики Д. Я. Стройк
исследовал вопросы тензорной
дифференциальной геометрии.
Более известны его работы по
истории математики. На русский
язык переведены: «Очерк исто-
рии дифференциальной геомет-
рии до XX столетия», М.— Л., 1941
и «Краткий очерк истории мате-
матики», М., 1964.
ОКТЯБРЬ
10 октября — 40 лет со дня
смерти выдающегося учителя ма-
тематики и методиста Бориса Бро-
ниславовича Пиотровского
(1876—1929) (см.: «Математике в
школе», 1950, № 3).
17 октября — 100 лет со
дня рождения немецкого мате-
матика Иозефа 8ельштейна
(1869—1919). 8ельшт йн был про-
фессором университета в Страс-
бурге. Известна его интерпрета-
ция геометрии Лобачевского.
Пользуется популярностью трех-
томная «Энциклопедия элемен-
тарной математики» Вебера и
Вельштейна, переведенная на
русский язык.
26 октября — 120 лет со дня
рождения немецкого математика
Фердинанда Георга Фробе-
ниуса (см.: «Математика в шко-
ле», 1964, № 5).
А. И. Бородин
85
КРИТИКА
1/1 БИБЛИОГРАФИЯ
Рецензия на книгу А. П. Юшкевича
«История математики в России»
И. Г. БАШМАКОВА,
Б. В. ГНЕДЕНКО
(Москва) (м- изд. «Наука», 1968)
в школе» появилась серия
Исследования по истории
математики в России были
начаты в конце прошлого
века профессором Москов-
ского университета В. В.
Бобынины м. Они были
продолжены после Великой
Октябрьской революции в
ряде направлений. В прове-
дении и организации этих
исследований несомненная
и большая заслуга принад-
лежит А. П. Юшкевичу, от-
давшему им свыше 30 лет.
Вопросам истории матема-
тики в России была посвя-
щена докторская диссерта-
ция А. П. Юшкевича. После
войны в 1947, 1948, 1949 гг.
в журнале «Математика
его статей, в которых был
дан анализ русской учебной литературы по математике
XVII—XIX вв Десятью годами позднее вышла в свет
коллективная монография «История естествознания в
России», в которой все математические главы были на-
писаны А. П. Юшкевичем. За этим последовали его гла-
вы в двухтомной «Истории АН СССР». Мы перечисли-
ли только наиболее крупные работы автора, послужив-
шие основой для написания рецензируемой книги ’.
Конечно, в новую монографию указанные произведения
вошли не непосредственно, а подверглись значительной
переработке. В частности, значительно вырос объем со-
общенного материала. Автор воспользовался первоисточ-
никами, опубликованными в печати, а также докумен-
тами, изученными автором как в архивах Союза, так
Парижа и Берлина. В архиве Парижской академии
наук А. П. Юшкевичем были найдены неопубликован-
ные работы М. В. Остроградского, относящиеся к ран-
1 Между тем за все это время у нас появилась лишь
одна книга, посвященная истории математики в России,
а именно книга Б. В. Гнеденко (Очерки по истории
математики в России) (ГТТИ, 1946). Эта небольшая,
по очень интересно и живо написанная книга познако-
мила широкие круги читателей с развитием математики
пашей родины. Но, во-первых, эта книга уже давно
стала библиографической редкостью, а во-вторых, за
те двадцать с лишним лет, которые протекли с момен-
та ее публикации, наши знания по истории русской
математики значительно расширились и углубились —
И. Башмакова.
нему периоду его творчества, а также другие доку-
менты, касающиеся русской математики прошлого века.
Для автора история математики является составной
и неотъемлемой частью истории культуры нашей роди-
ны. Именно поэтому он систематически обращается
к общей истории России и анализирует зависимости
между развитием математики и ее преподавания и успе-
хами других наук, литературы, искусства и обществен-
ными нуждами. Кроме того, для автора история ма-
тематики в России является составной частью истории
мировой математики. И при этом не только успехи
математики других стран оказывали влияние на про-
гресс математики в нашей стране, но и математика на-
шей страны оказывала и оказывает обратное воздейст-
вие на прогресс математики во всем мире. Достаточно
вспомнить значение для мировой науки идей и резуль-
татов Лобачевского, Чебышева, Ляпунова
и других корифеев русской математики, чтобы убедиться
в этом. Эта роль отечественной науки резко возросла
после Великой Октябрьской революции. В математике
имеется преемственность поколений, и нередко невоз-
можно понять современные устремления науки без глу-
бокого анализа ее прошлого развития. Именно поэтому
неоднократно А. П. Юшкевич вынужден обращаться
для анализа и объяснения отдельных фактов истории
математики и математического просвещения в России
к развитию математики в Европе последних столетий
или же к математике древней Греции.
Книга подразделена на четыре части. Первая из них —
«Математическая культура в России до начала
XVIII в.» — естественно отделена ог остальных трех
тем, поскольку в период, который в ней описан, речь
шла не о развитии математической науки в нашей
стране, а о ее восприятии. Впервые описание и анализ
древних математических русских рукописей были сде-
ланы В. В. Бобыниным. Сравнение их с руководствами
практической арифметики, изданными в те времена
в Англии, Франции и Германских княжествах, привело
А. П. Юшкевича к более высокой их оценке. Выясни-
лось, что, несмотря на известную их близость по содер-
жанию и стилю изложения, русские арифметические ру-
кописи имеют ряд интересных особенностей, в том чис-
ле и ту, что все задачи и примеры в них составлены
применительно к русской метрологии. Геометрические
рукописи следует оценить значительно ниже, поскольку
в них имеются неточности и прямые ошибки.
Но, помимо лиц, познававших элементы математиче-
ских знаний, необходимых для практической деятельно-
сти, в Россйи XV—XVII столетий появляются и высоко-
образованные любители наук, интересовавшиеся более
глубокими и трудными вопросами. В этом отношении
86
интересна рукопись «Синодальная № 42», написанная
в 1625 г. князем Иваном Елизарьевым. А. П. Юш-
кевич отмечает, что равноценные по математическому
уровню сочинения появились в России лишь после
организации Академии наук.
Заканчивается первая часть описанием реформ Пет-
ра I, в том числе и в области математического обра-
зования, а также первых печатных учебных руководств,
в особенности знаменитой «Арифметики» Магниц-
кого.
Вторая часть — «Математика в Петербургской Акаде-
мии наук в XVIII веке» — естественно отделяется как
от первой, так и от третьей части, поскольку органи-
зация Академии наук явилась поворотным пунктом в
истории отечественной науки. Автор излагает новый
важный материал, почерпнутый нм из архивных до-
кументов и из изученной им переписки ученых того
времени. В частности, из письма Д. Бернулли Л. Эйле-
ру выяснилось, что задолго до П. Л. Чебышева X. Гольд-
бах нашел все случаи интегрируемости дифференциаль-
ного бинома. Большое место уделено в книге выдаю-
щимся математикам — представителям Академии наук
того времени. Естественно, что значительное внимание
уделено Л. Эйлеру (5 глав), а также его ученикам и
преемникам. Проанализированы работы С. Е. Гурьева,
посвященные его обоснованию математического анали-
за, опиравшемуся на Даламберовское представление
о бесконечно малых.
Третья часть книги—«Математика в России в первой
половине XIX века» — начинается с изложения реформы
образования, состоявшей в организации гимназий, уезд-
ных училищ, открытии новых и реорганизации старых
университетов, а так же описания учебной литературы
и сопутствующего пробуждения научной мысли. В этой
части освещаются работы выдающихся математиков
того времени — Н. И. Лобачевского, М. В. Остроград-
ского, а также В. Я. Буняковского. Понятно, что Лоба-
чевскому, несмотря на то что ему уделялось серьезное
внимание нашими исследователями, отведено большое
место. Изучением творчества Остроградского, и в част-
ности его работ в области математической физики, спе-
циально занимался автор книги, и эта глава пред-
ставляет значительный самостоятельный интерес.
Последняя часть книги — «Математика в России во
второй половине XIX и в начале XX века» — занимает
почти половину объема (272 стр.) и особенно богата
именами и фактами. Много места автор уделяет дви-
жению за реформу математического образования, заняв-
шему весь описываемый период и захватившему многих
педагогов и ученых. А. П. Юшкевич останавливается не
только на описании достижений основных математиче-
ских школ России, но н дает достаточно полное пред-
ставление о периферийных малых математических шко-
лах, из которых позднее выросли значительные матема-
тические коллективы и направления научной работы. •
Книга хорошо иллюстрирована. Имеющиеся в ней
портреты могут послужить серьезным подспорьем для
организации портретной галлереи отечественных матема-
тиков, так нужной нашим школам и преподавателям
математики.
Выход в свет книги А. П. Юшкевича следует привет-
ствовать: она не только дает первое связное изложе-
ние истории досоветского периода отечественной мате-
матики, но и увязывает ее развитие с жизнью школы.
Читатель-учитель сможет извлечь для себя и для бесед
с учащимися богатый материал. Конеч ю, досадно, что
в книге нет хотя бы общего очерка развития матема-
тики в нашей стране после Великой Октябрьской ре-
волюции. Рассчитывать на столь же подробное изло-
жение, какое дано для предшествующего периода, нет
возможности, поскольку именно на это время прихо-
дится основная часть научных математических дости-
жений, поставивших нашу математику в число руково-
дящих математических держав мира.
Тираж для книги такого содержания (11000), кото-
рое вызовет интерес очень многих, явно недостаточен.
Быть может, было бы своевременно поставить вопрос
о переработке этой книги специально для издания в из-
дательстве «Просвещение» и о максимальном учете нужд
преподавателей средних школ. Если автор согласится
на это, то придется сократить некоторые главы, нося-
щие исследовательский характер, ввести материал, не-
обходимый преподавателям, и прежде всего написать
новую часть «Математика в СССР». Эта трудная, но
благодарная работа могла бы стать прекрасным подар-
ком учителям.
Рецензия на книгу В. А. Крутецкого «Психология
математических способностей школьников»
М. В ПОТОЦКИЙ
(Москва) (М., изд. «Просвещение», 1968, 432 стр.)
Эта книга, описывающая результаты исследований
автора и оценивающая огромный материал по психоло-
гии математических способностей школьников, написана
психологом для психологов: «Наша работа носит чис-
то психологический характер, поэтому ни сейчас, ни
в дальнейшем мы ни в какой мере не претендуем на
анализ педагогических методов обучения математике,
на создание новой методики обучения математике
и т. д. По нашему глубокому убеждению, это дело не
психологов, а ученых-математиков, педагогов и методи-
стов — квалифицированных и эрудированных в соответ-
ствующей области людей» (стр. 3).
И тем не менее эта книга содержит интересный мате-
риал для учителя, желающего глубже понять, как мыс-
лит школьник, которого он обучает, и как учитель мо-
жет использовать эти свои знания для усовершенство-
вания преподавания.
Задачей учителя математики является не только со-
общение учащимся определенных сведений по матема-
тике, но и развитие математического мышления, воспи-
тание математических способностей. А для этого учи-
тель должен знать, что такое математические способно-
сти и как их можно развивать. Понятно, что книга, по-
священная этим вопросам, крайне нужна учителю.
Книга начинается с раздела, озаглавленного «Состоя-
ние проблемы и задачи исследования». Здесь автор,
останавливаясь на истории вопроса, отвергает тот под-
ход к нему, которого придерживается большинство пси-
хологов за рубежом. Он отмечает, что «многие из этих
работ направлены на оправдание классового и расово-
го неравенства, существующего в буржуазном обществе».
По одному из основных вопросов — о соотношении
врожденного и приобретенного в процессе развития и
формирования способностей — большинство буржуазных
87
• н
ИГ И X АО J И Я
X Ш‘ 1"1Ч~СКИХ
СПССОВНОСТЪЙ
шуальМиКов
психологов считает спо-
собности чисто биологи-
ческим, врожденным
фактором. Подробно
анализируя литературу,
опыт преподавания и
эксперимент, автор фор-
мулирует точку зрения,
которая господствует
среди советских психо-
логов и которой придер-
живается и он сам.
Эта точка зрения со-
стоит в том, что врож-
денными могут быть
только задатки, т. е не-
которые анатомо-физио-
логические особенности
мозга и нервной систе-
мы. Способности же не
заключены в задатках, они — результат развития, они
формируются в процессе деятельности человека, в про-
цессе его обучения и воспитания. Отсюда — та огром-
ная роль, которую играют педагогика, методика, весь
характер преподавания, вся деятельность учителя.
Правильно поставленное преподавание может дать
хорошее развитие н сравнительно скромным задаткам,
и, наоборот, неудачно поставленное обучение может за-
глушить резко выраженные богатые задатки.
Далее автор критически оценивает широко применяе-
мый за рубежом метод тестов для оценки способностей.
Приводя результаты исследований и мнения ряда за-
рубежных и наших ученых, он приходит к выводу, что
при одинаковом результате тестового испытания психи-
ческие процессы, ведущие к этому результату, могут
быть принципиально различными, а это различие может
явиться ценным материалом для суждения о психологи-
ческих особенностях испытуемого, о его способностях.
Таким образом, один лишь метод тестов не решает
вопроса о способностях учащегося. Затем рассматри-
вается вопрос о том, в чем состоит специфика матема-
тических способностей, какова их структура, в чем мо-
гут быть их различия, говорится о различных состав-
ляющих их факторах и т. д. Здесь же приводятся мне-
ния по этим вопросам А. Пуанкаре, Ж- А д а м а р а
н других математиков и психологов.
В конце раздела автор формулирует, что он понимает
под способностями: «Под способностями к изучению ма-
тематики мы понимаем индивидуально-психологические
особенности (прежде всего особенности умственной дея-
тельности), отвечающие требованиям учебной математи-
ческой деятельности и обусловливающие при прочих
равных условиях успешность творческого овладения ма-
тематикой как учебным предметом; в частности отно-
сительно быстрое, легкое и глубокое овладение знания-
ми, умениями и навыками в области математики»
(стр. 91).
Конкретные задачи, которые автор постарался реали-
зовать в рассматриваемой работе, следующие:
1.	Разложение общего понятия «математические спо-
собности» на отдельные его компоненты; выяснение сла-
гаемых понятия «математические способности».
2.	Создание экспериментальной методики исследова-
ния математической одаренности.
3.	Выяснение типологических различий в структуре
способностей.
4.	Выяснение возрастной динамики развития компо-
нентов математических способностей.
Второй раздел, посвященный методике исследования
и его организации, почти весь состоит из наборов задач
по арифметике, алгебре и геометрии, которые предлага-
лись школьникам с целью проверить роль отдельных
компонентов математических способностей школьников.
Учителю поучительно будет познакомиться с тем, как
школьники решали предложенные им задачи, и сопо-
ставить эти результаты со своими наблюдениями над
учащимися.
При подборе циклов задач автор исходил из опре-
деленной гипотезы о компонентах математических спо-
собностей. Так, один цикл состоит из задач, имеющих
целью проверить наличие способностей к обобщению,
другой цикл — из задач, имеющих целью проверить
гибкость мышления (умение по-разному подойти к ре-
шению задачи); есть циклы задач на проверку развития
пространственных представлений, на аналитический и
геометрический тип мышления, на остроту логического
мышления (умение видеть ограничения в условиях за-
дачи и т. д.), всего таких циклов 26.
Метод анализа процесса решения задач, принятый ав-
тором, такой обращение к учащимся с просьбой вслух
решать задачи и протоколирование их слов, анализ их
записей и чертежей, анализ их ответов на вопросы экс-
периментатора по ходу решения задачи, беседа с уча-
щимися после решения задачи и т. д.
Третий раздел — «Анализ структуры математических
способностей школьников» начинается с главы о крите-
риях и признаках математических способностей по вы-
сказываниям учителей математики и математиков-уче-
ных. Здесь приводится целый ряд таких признаков, как,
например, быстрое овладение математическими знаниями
и навыками, быстрота понимания объяснений учителя,
логичность и самостоятельность мышления, сообрази-
тельность, прочное запоминание математического мате-
риала, высокая способность к обобщению, пониженная
утомляемость при занятиях математикой, способность
быстро переключаться с прямого иа обратный ход
мысли и другие.
Вторая глава этого раздела посвящена описанию за-
нятий по математике с математически одаренными деть-
ми. Учителю полезно прочесть эти страницы, чтобы
ощутить работу мысли этих детей во всей ее силе, не-
посредственности, во всем ее своеобразии.
Вот Соня Л. (8—9—10 лет) решает арифметическую
задачу. Не говоря уже о глубоком понимании существа
каждой задачи, взаимоотношении между входящими
в нее величинами, быстроте решения задач, она часто
ищет сразу обобщение предложенной задачи п занята
не решением предложенной задачи, в поиском ответа
на вопрос: «Как решаются такие задачи».
Вот другой тип математических способностей, Воло-
дя Л. (того же возраста). Очень любознательный, ои
интересуется математикой, химией, географией, зооло-
гией. Причем все его интересы в основном связаны
с математической, точнее, числовой стороной этих наук.
Но его математические способности качественно не-
сколько отличны от способностей Сони Л. Он быстро
решает арифметические задачи, замечает соотношения,
возникающие в них между числами, данными и искомы-
ми, и находит искомые числа скорее подбором чисел,
отвечающих требованиям задачи, чем логическими рас-
суждениями.
В этой главе приведены описания девяти подобных
случаев.
Как пишет автор, математическая одаренность mhoihx
детей (8—10 лет) начинает проявляться со страсти
к счету, к числам. Подрастая, многие из них начинают
видеть мир, так сказать, в «математическом свете».
Увлекаясь астрономией, они интересуются расстоянием
от Солнца до планет, до звезд и т д В географии они
заняты вычислением высоты гор, длин рек и т. д Та-
кая тяга к числам распространяется на все их мышле-
ние, которое во многих случаях при решении арифмети-
ческих задач становится в какой-то мере инстинктив-
ным. Это проявляется, например, в том, что, решив ка-
88
кую-нибудь задачу, они не могут объяснить словами,
как они ее решили.
Остальная часть третьего раздела посвящена резуль-
татам основного эксперимента, которому автор посвя-
тил эту книгу.
Здесь идет речь о том, как решали школьники ту си-
стему экспериментальных задач, которые были приве-
дены во втором разделе книги, и какие выводы отсюда
следуют.
Проверяя контрольные работы, отвечая на вопросы
учащегося на консультациях, проводя опрос и экзаме-
нуя, учитель каждый раз видит результаты умственной
работы учащегося. Психолог своими методами в какой-
то мере получает возможность проследить и уловить
процесс мыслительной работы учащегося. С результата-
ми этой работы психологов должны познакомиться ме-
то чисты.
Автор пытается разложить понятие «способность» или
«неспособность» школьника на составные части, чтобы
точнее понять, в чем сила первого учащегося и чего
«недостает» второму. И делается это не с целью «воз-
высить» одних и «принизить» других, а с целью так
построить преподавание, чтобы восполнить то, чего не
хватает слабому, и развить возможно больше то, в чем
сила способного.
Не имея возможности излагать здесь все содержание
этой части книги, отметим наиболее интересные и наи-
менее очевидные факты, приведенные в ней.
Прежде всего речь идет о способности к обобщению.
Здесь мы наблюдаем довольно естественное явление.
Сильные учащиеся сразу замечают за различными де-
талями скрытую в них общность. Способному учащему-
ся достаточно решить один пример типа (o-J-b)2, что-
бы сразу решить по этой формуле пример (c-|-d +
+ е) (ес-|-d). Наоборот, малоспособный школьник
после решения примера (а + Ь)2 никак не может заме-
тить, что пример (1 +-2-а3Ь2)2 решается по той же фор-
муле. Интересные протоколы рассуждений учащихся
при решении этих задач мы находим на стр. 265—267.
Любопытный и совсем не очевидный результат экспе-
римента приводит автор на стр. 271—272. Школьникам
и взрослым предлагали возможно быстрее решить за-
дачу: «Записать алгебраически общий вид чисел, деля-
щихся на 5 и в остатке дающих 7». Оказалось, что
многие взрослые и способные школьники, т. е. те, ко-
торые сразу мыслят обобщенно, тут же заявили (не осо-
бенно вникая в «детали»!), что общий вид таких чисел
5х-|-7. Наоборот, менее способные ошибались реже,
ибо, пока они рассуждали, как решить эту задачу, они
замечали, что остаток не может быть больше делителя.
Автор говорит о том, что способные учащиеся обла-
дают умением сразу формализованно воспринимать за-
дачу, т. е. видеть функциональные связи, отдаленные
от предметной и числовой формы. Иные из них прямо
говорят: «Числа мешают!» — и пытаются решать зада-
чи сразу в общем виде. С этой точки зрения их оши-
бочное решение этой задачи понятно: «отбросив числа»
в этой задаче, они получают ответ: числа вида ах + Ь,
а подставляя в эту формулу числа, они уже не думают
о том, в чем была суть дела. Такие обобщенные пред-
ставления, когда числа начинают мешать (обычно они
всем помогают!), конечно, далеко не очевидное явление.
Весьма не очевидное указание делает автор, говоря
об отсутствии утомления при занятиях математикой
способных учащихся: эти занятия для них отдых, в то
время как занятия другими (более легкими предмета-
ми!) утомляют их гораздо больше.
Автор отмечает, что более способные учащиеся лучше
удерживают в памяти схему условия задачи, схему ее
решения, забывая о тех предметах, о которых в ней
идет речь. Наоборот, память менее способных привяза-
на к предметам. Вот пример. На вопрос о том, какую
задачу учащиеся недавно решали, более способные ука-
зали на образ действий в ней, я менее способные ха-
рактеризовали ее иначе — «мы решали задачу на ябло-
ки» (ученица 11 класса).
Много полезного для себя материала найдет учитель
в разделе об аналитическом и геометрическом мышле-
нии учащегося. Один учащийся не нуждается в геомет-
рических иллюстрациях, а другой, наоборот, проявляет
большое искусство в переводе каждой задачи, где это
возможно, на геометрический язык. Есть и такие, у ко-
торых обе эти стороны развиты гармонично. Очень яп-
кий пример приведен на стр. 352 из материала, собран-
ного С. И. Ш а п и р о. На вопрос: «Могут ли синус и
косинус одного и того же аргумента быть равными ну-
лю?» сразу и почти одновременно прозвучали два свое-
образных ответа: «Нет, так как сумма их квадратов
не была бы равна 1» («аналитик»!) и «Нет, синус равен
нулю на концах горизонтального диаметра, а косинус
вертикального» («геометр»!).
Перейдем к выводам. Мы сумели упомянуть только
основные вопросы, а более подробно остановиться иа
очень немногих. Подчеркнем самое главное.
Мы видим ценность этой книги не только в том, что
в ней сказано, но н в том, к чему она ведет (не говоря
об этом специально).
Подвергая детальному анализу структуру и типы
математических способностей школьника, эта книга дает
в руки вдумчивому учителю материал для улучшения
преподавания. Дело в том, что наши задачники по-
строены так, что дают упражнения на определенные
правила действий (например, в алгебре: вынесение за
скобки, умножение многочленов и т. д.), имея целью
научить учащихся их выполнять и использовать при
решении задач. Но наши учебники ие нацелены на раз-
витие определенных сторон мышления (последнее мо-
жет осуществляться при наших способах обучения «по-
путно»). Тот материал, который дают психологи, как
раз говорит о том, как можно специально развивать
определенные стороны мышления учащегося, что, вооб-
ще говоря, не менее важно, чем знание определенных
формул. Эта книга позволит учителю проникнуть в со-
знание своих учащихся, оценить те скрытые причины,
которые часто лежат в основе их ошибок.
Итак, эта книга, предназначенная психологу, принесет
много пользы вдумчивому учителю. Поэтому мы на-
стоятельно рекомендуем ее каждому учителю, заметив
лишь, что первые три главы первого раздела носят ис-
торико-психологический характер и потребуют от учи-
теля лишь беглого их просмотра.
Начиная со второго раздела чтение должно стать си-
стематическим. Оно должно быть не спешным. Учитель
хорошо сделает, если будет оценивать содержание кни-
ги, сопоставляя его с опытом своего преподавания.
Остается пожелать, чтобы автор продолжал публика-
цию своих исследований по вопросу о формировании и
развитии математических способностей, о диагностике
способностей, т. е. по вопросам, которые теснейшим об-
разом связаны с поднятыми в этой книге, но не полу-
чившими в ней полного освещения.
89
В Л. МИНКОВСКИЙ,
В В. ВЕТРОВ
(г. Орел)
О новом пособии для учителей по изучению
производной в школе
В 1968 г. издательство «Просвещение» выпустило
книгу М. С. и Р. Ю. Майкиных «Функции и преде-
лы. Производная» (тираж 40 тыс. экз.).
В книге Майкиных излагаются вопросы содержания
и методики преподавания начальных разделов мате-
матического анализа: функции и пределы (гл. 1—3),
производная и ее применение (гл. 4—5).
Авторы, проявляя заботу о сохранении преемствен-
ности между курсами математики восьмилетней и сред-
ней школы, высказывают ценные методические рекомен-
дации, относящиеся к изучению темы «Функции и гра-
фики» в VIII классе.
Серьезное внимание в книге уделяется приобщению
школьников к построению графиков различных функ-
ций, к выработке у них умения не только геометрически
изображать функции, но и читать их графики.
Достойно поощрения стремление авторов пособия
освободить школьный курс математики от усложнен-
ной терминологии (отказ от использования терминов
«локальный максимум (минимум)» и «абсолютный мак-
симум (минимум)»).
Говоря о важнейших понятиях математики и путях
ознакомления с ними школьников, авторы, как правило,
стремятся выяснить, какие цели преследуются введе-
нием этих понятий в школе и какие задачи могут и
должны быть решены в процессе их изучения. Суще-
ственно отметить, что введение новых понятий доста-
точно тщательно подготовляется всем ходом изложе-
ния предшествующего материала. Так, например, при
вычислении пределов функций с использованием теорем
о пределах внимание учащихся фиксируется на том, что
во многих случаях предел функции [(х) при х-г-а
совпадает со значением функции в той же точке, что
является содержательной пропедевтикой понятия не-
прерывности функции в точке.
Красной нитью через методическое пособие проходит
мысль о том, что ие следует учащихся ориентировать
на заучивание различных рассуждений, а необходимо
направить их усилия иа достижение должного пони-
мания изучаемого материала. В частности, с этой целью
уделяется постоянное внимание использованию на уро-
ках наглядных пособий.
Изложение материала ведется так, что оно преду-
преждает возможность ошибочных обобщений (сопо-
ставление решений разнообразных примеров на отыска-
ние предела от одной и той же функции при
и при х—►—со. демонстрация случаев монотонного и
немонотонного приближения значений функций к пре-
делу и т. п.).
При изложении элементов математического анализа
в IX—X классах естественно проявлять стремление
к достаточно корректному изложению материала, если
только оно соответствует возможностям учащихся Так,
например, из двух различных доказательств той или
иной теоремы, каждое из которых доступно учащимся,
следует предпочесть то, которое более строго обосно-
вано. Авторы пособия сопоставляют, например, два
вывода формулы производной от функции sin х, анали-
зируя математические понятия, которые используются
при проведении каждого из выводов.
Перейдем теперь к характеристике некоторых недо-
статков рецензируемого пособия.
Авторы, вступая в явное противоречие со своей прин-
ципиальной установкой на упорядочение терминологии,
используют в предлагаемом пособии термины «интер-
вал», «промежуток», «отрезок», «сегмент», не выясняя
сколько-нибудь вразумительно их смысл (стр. 9, 12, 70,
139 и др.). В определении мгновенной скорости прямо-
линейного движения тела допускается нагромождение
терминов, связанное с забвением того факта, что поня-
тия мгновенной скорости и скорости в данный момент
времени равносильны (стр. 77).
Формулировки теорем о пределах и производных
загромождены перечислением условий, налагаемых па
функции. Методически целесообразнее предварительным
указанием ограничить класс рассматриваемых функций.
Тогда отпадает необходимость дважды формулировать
любую из приводимых теорем, как это делают авторы,
которые каждый раз переходят от развернутой форму-
лировки к более краткой, хотя во всех случаях есть
возможность ограничиться только краткими формули-
ровками.
Не всегда авторы соблюдают чувство меры в уста-
новлении степени трудности. Так, например, нецелесооб-
разно выяснять, что не всякая точка экстремума обя-
зательно отделяет промежуток возрастания от проме-
жутка убывания на примере рассмотрения графика
функции
У =
| X | + X sin ~ при X =/= 0,
при х *- 0.
Весьма сложно, явно не в соответствии с уровнем
изложения элементов математического анализа в школь-
ном курсе математики, вводится первый замечательный
предел. Здесь, вероятно, отрицательно сказалось стрем-
ление авторов слишком близко следовать за курсом
«Основ математического анализа» Г. М. Фихтен-
гольца.
В книге доказана теорема о том, что если функ-
ция f(x) имеет в данной точке хо производную, то она
непрерывна в этой точке. Однако при изложении ма-
териала о непрерывности функций полностью замалчи-
вается факт существования непрерывной кривой без
касательной и тем самым учащимся внушается уверен-
ность в существовании у каждой из непрерывных функ-
ций производной. Подобное изложение замечательный
ученый и педагог Н. Н. Лузин квалифицировал как
разительный пример отхода от требований научности
в преподавании.
Нельзя не указать на пример неоправданного обра-
щения к аналогии, выражающийся в попытке распро-
странить на производные известную учащимся теорему
о пределе произведения функций (стр. 85). В самом
деле, ученики уже владеют общим правилом дифферен-
цирования и приобрели некоторый опыт в его исполь-
зовании, а потому подобное обращение к аналогии,
к тому же ложной, вряд ли будет представляться им
резонным, а не искусственно надуманным.
Заканчивая нашу рецензию, считаем нужным под-
черкнуть, что, несмотря на отдельные недостатки, кни-
га М. С. и Р. Ю. Мацкиных является содержательным
и ценным пособием для учителя математики.
90
ЗА РУБЕЖОМ
Н
Вопросы общей алгебры в программах
и учебниках по
математике гимназии Нёшатель
П. К. ОДИНЦОВ
(г. Барнаул)
(Швейцария)
В окружной гимназии de Neuchatel (Нёшатель) в
Швейцарии несколько лет ведутся эксперименты по от-
работке новых математических программ для учащихся
от 15 до 19 лет (старшие классы средней школы).
В 1961—1963 гг. бычи составлены и проверялись для
двух секций: литературной и педагогической, научной.
По новым программам для той и другой секции бы-
ли составлены пробные учебники. Для литературной и
педагогической секции в 1965 г. был издан первый том
учебника A. Calame «Современная математика» [1].
А для научной секции в том же году вышел первый
том учебника Н. Suter «Современная математика» [3].
Оба эти учебника предназначены для первого года обу-
чения (ученики от 15 до 16 лет). В 1966 г. вышли в
свет II том учебника A. Calame «Современная матема-
тика» [2] и II том учебника Н. Suter «Современная ма-
тематика» [4], предназначенные для второго года обуче-
ния.
Новая программа по математике для классов литера-
турных и педагогических, отредактированная A. Calame,
рассчитана на два года обучения.
Программа первого года обучения состоит из следую-
щих разделов: теория множеств, отношения, отображе-
ния, законы композиций, группы, векторы, аффинная
геометрия на плоскости, графическое изображение отно-
шений и отображений, пересечение и объединение мно-
жеств. Этот материал изучается в три триместра за 108
часов (на математику отводится 3 часа в неделю).
Программа второго года обучения, рассчитанная иа
учеников от 16 до 17 лет, содержит следующие вопро-
сы: уравнения II степени, ортогональная база и скаляр-
ное произведение, тригонометрия, метрическая геомет-
рия на плоскости, аффинная геометрия в трехмерном
пространстве. На этот материал отводится по програм-
ме 72 часа.
Исследуемая программа имеет шесть приложений.
В них рассматриваются числовые множества, начиная
от натурального и кончая комплексным, и указывается,
сколько и каких операций было определено ранее на
каждом из них. В приложениях проводится идея зада-
чи расширения числового множества.
При составлении рассматриваемой программы автор-
ский коллектив под руководством A. Calame исходил из
того, чтобы лучше выделить в ней структуры математи-
ческих теорий, использовать с выгодой современные ма-
тематические понятия, подчеркнуть культурный аспект
математики и ее роль в современной жизни.
В программе нашли себе место вопросы абстрактной
алгебры, а именно: законы композиций, группы.
И в программе, и в учебнике A. Calame «Mathemati-
ques modernes I» [1] глава «Законы композиций», на
изучение которой отводится 18 часов, состоит из следу-
ющих параграфов: 1. Закон внутренней композиции.
2. Закон внешней композиции. 3. Коммутативность.
4. Ассоциативность. 5. Композиция отображений.
Глава «Группы» включает в себя следующие парагра-
фы: 1. Примеры. 2. Определение. 3. Некоторые теоремы.
4. Классы вычетов (modn). 5. Подгруппы. 6. Изомор-
физм. На изучение этой главы отведено по программе
15 часов.
Остановимся на анализе изложения главы «Группы»
(5-я глава) в учебнике A. Calame «Mathematiques mo-
dernes I» [1].
В § 1 этой главы автор рассматривает пять примеров,
подводящих к понятию группы. Чтобы ясна была ме-
тодика изложения этих примеров, приведем описание
одного из них'.
Так, рассматривается множество Р — {.., а-3, а~\
a-1, cP, а, а2, а\ ...} относительно умножения, где а —
рациональное число, большее 1.
A. Calame напоминает, что по соглашению в матема-
тике принято:
д«=1, д-"=4г.
Затем отмечается, что умножение во множестве Р есть
внутренняя операция, поскольку всякой паре (а™, ал)
соответствует элемент а' того же множества Р такой,
что
am-an = ат+п = а‘ (а4-а3 = а4+3 = а7).
Автор обосновывает, что умножение на Р ассоциа-
тивно.
Указывается в Р нейтральный элемент к умножению
а° = 1 : сР-ап = ап-а° = ап.
Подчеркиваетя, что каждый элемент в Р обладает
обратным. Элементу ап соответствует обратный а~п:
ап-а~п = а-п-ап =а°= I.
И в конце описания примера указывается, что во мно-
жестве Р деление всегда возможно:
ат
ат: аП =	-= ат-а~п — ат—п.
Исходя из разобранных примеров, автор в § 2 дает
определение группы «Множество G есть группа, если
выполняются следующие условия.
91
1.	Во множестве G существует внутренняя операция.
2.	Операция ассоциативна: (a>fd>) с = а -X- (Ь Ж с).
3.	Существует нейтральный элемент е.
(3?): (ух) е^х^х^е — х.
4.	Всякийэлвмент х обладает обратным элементом х'
таким, что х х' — х' х = е » ([ 1 ], стр. 79).
Это определение и позволяет осуществить индуктив-
ный подход при формировании понятия группы
После определения группы приведены примеры групп
и упражнения. Например, показать, что следующие
множества не снабжены структурой группы:
а) а^Ь-^а — b во множестве {0, 1, 2, 3, 4};
Ь) сложение во множестве {х; —1 < х < 1, х£А?};
с) а^Ь равно наибольшему из чисел а и b во мно-
жестве р, 2, 3, 4, 5, 6},
(Нужно отметить, что в пунктах а), Ь) и с) этого
упражнения следует ставить на первое место множест-
во, а затем указывать операцию.)
Устанавливается, что в группе нейтральный элемент
является единственным, каждый элемент обладает толь-
ко одним обратным.
Доказывается, что в группе из а^х — а^у=^х-=у
и из x%b-y%b=$x*=y.
Четвертая (и последняя) теорема § 3 следующая:
«В группе каждое уравнение
b>)cx = a,	(1)
У'ЛЬ = а	(2)
допускает единственное решение» ([1], стр. 82).
Следует заметить, что доказательство указанных тео-
рем проведено известными приемами и без особых разъ-
яснений (на уровне вузовского учебника).
В § 4 A. Calame показывает, что множество классов
вычетов (mod 5) относительно сложения классов обра-
зует группу. Исходя из этого примера, сделан общий
вывод о том, что множество классов вычетов (modn)
составляет аддитивную абелеву группу (п — произволь-
ное натуральное число).
Затем рассматривается таблица умножения на мно-
жестве классов вычетов (mod 6):
0	ct	Cl	Cs	C,	c.	Cl
Со	Ct	Co	Co	Co	Co	c0
Cl	Co	Cl	c.	C,	C«	Cl
Cl	Co		Co	Co	Cs	Ci
Cl	Co	cs	Co	Cl	Co	c.
С\	f 0	c4	Ci	Cl	c4	Cl
Cl	Co	Cl	Co	Cl	C,	Cl
Автор отмечает, что поскольку один и тот же эле-
мент фигурирует несколько раз в одной и той же стро-
ке, то данная таблица ие является таблицей группы.
В частности, каково бы ни было п, элемент с0 занимает
все клеточки 1-й строки и 1-го столбца.
Исходя из этого примера, делается вывод о том, что
умножение классов вычетов (mod п) не определяет
структуру мультипликативной группы. В замечании же
указывается, что если л есть число простое, то классы
вычетов (mod л) сь ег, с3, , cn~t (благодаря исклю-
чению класса с0) составляют мультипликативную груп-
пу. Для обоснования этого положения приведена толь-
ко следующая таблица умножения классов вычетов
(mod 5);
0	Cl	Cl	Cl	
	Cl	Cl	Cl	Cl
C,	C2	Cl	Cl	Cl
Cl	Cl	Cl	Cl	Cl
Co	Cl	C,	Сг	Cl
Для закрепления материала § 4 предлагается уста-
новить таблицу сложения и умножения классов выче-
тов (mod 2); (mod3); (mod 4); (mod 7).
§ 5 начинается с определения подгруппы. «В груп-
пе G, если подмножество S есть группа по отношению
к закону композиции в 6, говорят, что S есть подгруп-
па группы 6» ([1], стр. 87). Далее приведены примеры
подгрупп для некоторых групп и всего лишь два упраж-
нения на подгруппу.
Таким образом, при формировани понятия подгруппы
используется дедуктивный подход.
Отметив существенные признаки изоморфных групп
при рассмотрении одного примера, A. Calame дает
следующее определение изоморфизма групп в § 6: «Две
группы G и С изоморфны, если можно установить вза-
имно однозначное соответствие между G и G' такое,
что:
х^->Х
и =“х ^у <—►ХоГ»([1], стр. 89).
У*-* Y
Затем автор приводит примеры изоморфных групп.
Так, группа вращений равностороннего треугольника
{е, d, f] изоморфна аддитивной группе классов вы-
четов (mod3), поскольку
е *—► св,
d *-+ Ci,
f *-* сг.
Таблицы композиций у этих групп одинаковы:
Упражнения к § 6 приведены следующие:
1.	Отыскать изоморфизм между группой ромба, груп-
пой прямоугольника, аддитивной группой классов выче-
тов (mod 4), мультипликативной группой классов выче-
тов сь с2, Сз, с4 (mod 5) и группой вращений квадрата.
2.	Доказать, что отношение изоморфизма есть отно-
шение эквивалентности.
Новая программа по математике научной секции, от-
редактированная Р. Burgat и Н. Suter в 1962 г, рассчи-
тана на три года обучения (учащиеся от 15 до 18—19
лет).
В первый год обучения изложение математических
дисциплин, как указывают авторы программы, должно
избегать всяческого формализма, базируясь на конкрет-
ном представлении и больше на индукции, чем иа де-
дукции. Новые понятия вводятся на данном этапе по-
следовательно через построения, целесообразно подо-
бранные упражнения.
Преподавание в первый год обучения может быть оха-
рактеризовано как «Обучение фундаментальным поняти-
ям и технике определений». Программа этого года обу-
чения содержит следующие разделы: 1. Алгебра. II. Гео-
метрия. III. Векторное исчисление. IV. Упражнения и
повторение.
Эти разделы изучаются за 34 недели, в три тримест-
ра (на математику отводится 7 часов в неделю). На
изучение раздела «Алгебра» отводится 80 часов. Алгеб-
ра, изучаемая в I триместре, содержит следующие гла-
вы 1. Алгебра множеств (элементарная точка зрения).
2. Понятие отображений (элементарная точка зрения).
3. Натуральные числа. 4. Целые числа. Конгруэнтность.
5. Рациональные числа. 6. Первое представление о мно-
жестве действительных чисел. 7. Комплексные числа.
Во II триместре рассматриваются следующие вопро-
сы алгебры: 8. Понятие полинома. 9. Числовая величи-
на. Делимость на х — а. Схема Гориера. 10. Нуль —
многочлен. Делимость. Теорема Виета. 11. Равенства,
уравнения, тождества. Эквивалентные уравнения.
12. Приближенное решение алгебраических уравнений.
13. Уравнения II степени. 14. Уравнения, сводящиеся к
квадратным.
По убеждению авторов программы, на втором году
обучения станет возможным ввести идею аксиоматиче-
ской базы и аксиоматизации различных глав геомет-
рии, теории чисел, теории групп. Поэтому преподавание
во второй год обучения может быть охарактеризовано
как «Аксиоматика и дедуктивное построение». Програм-
ма этого года обучения содержит разделы: I. Алгебра.
11 Геометрия. IV. Упражнения и повторения. V. Ана-
лиз. Эти разделы изучаются за три триместра, 34 не-
дели (на математику отводится 7 часов в неделю).
Алгебра изучается на втором году обучения в тре-
тьем триместре и содержит следующие главы: 15. Груп-
пы 16. Векторные пространства. 17. Кольца и поля. На
изучение этих глав отводится по программе 30 часов
Об их содержании можно судить по учебнику Н. Su-
ter, Mathematiques modernes II ([4], стр. 1—39), о чем
будет сказано ниже.
В разделе «Геометрия» (I триместр) также изуча-
ются вопросы алгебры: аналитическое исследование ли-
нейных преобразований, первые понятия в исчислении
матриц, структуры множеств матриц, делители нуля.
В этом же разделе используется понятие группы отно-
сительно некоторых множеств векторов.
В раздел «Упражнения и повторение» (II триместр)
включены следующие вопросы алгебры- перестановки,
размещения, сочетания, бином Ньютона, треугольник
Паскаля. Эти вопросы являются своего рода подготов-
кой к изучению теории вероятностей.
Изоморфизм множества действительных чисел с то-
чечным рядом рассматривается в разделе «Анализ».
Третий год обучения по замыслу авторов является
синтезом различных ветвей в математике, рассмотрени-
ем общих структур и приложений. Программа этого
года обучения содержит следующие разделы: I. Линей-
ная алгебра. И. Геометрия,^ IV. Дополнения. Синтез.
Упражнения. V. Анализ. У1^теорйя вероятностей. Ста-
тистика. На изучение этих разделов отведено 30 недель,
170 часов.
Раздел «Линейная аглебра» состоит из следующих
глав: 18. Линейные преобразования. ’4) Элементы алгеб-
ры матриц. 20. Приведение матриц к простейшему виду.
21. Случай симметрических матриц. Квадратическая
форма, сводящаяся к симметрической матрице. 22. При-
ведение к простейшему виду койических сечений.
Дадим краткую характеристику глав «Группы» и
«Кольцо и поле», которые включены в учебник Н. Suter,
Mathematiques modernes II ([4], стр. 1—39) соответствен-
но под номерами А.14, А.15.
Глава «Группы» включает в себя следующие пара-
графы: А.14.1. Структура группы. А.14.2. Некоторые об-
щие теоремы о группах. А.14.3. Подгруппы. Цикличе-
ские группы. А.14,4. Комплексы и классы в группе.
А.14.5. Гомоморфизмы. А.14.6. Подстановки. Группа
подстановок. Полная индукция. Элементы комбинатор-
ного анализа. А.14.7. Упражнения.
Среди упражнений есть, например, такие:
3.	Показать, что G — [1; I; —1; —Z} есть мульти-
пликативная группа.
4.	Пусть имеем некоторую группу G Показать,
что уа, а, b£G 3Х, у; х, yQG такие, что
Ьуа'-^х — а^Ь,
уУЬ^са — а*Ъ,
х и у называют тогда коммутаторами слева и справа
(соответственно) относительно а и Ь.
5.	Какое существует отношение между коммута-
торами а и Ь с Ь и а?
Глава «Кольцо и поле» состоит из следующих
параграфов: А.15.1. Структура кольца А.15.2. Неко-
торые общие теоремы о структуре кольца. А.15.3,
Структура тела.
Приведем некоторые упражнения в главе А. 15.
3. Доказать, что множество <р(т' классов вычетов
(mod т) есть коммутативное кольцо (ym, m£N).
4. Доказать, что обладает структурой комму-
тативного тела, если т — число простое.
6.	Пусть имеется множество £ = {х —• а 2 J
ya, b; a, b£Q}c.R, где знаки 4- и • представляют сло-
жение и умножение в R. Доказать, что £ есть тело
(где Q — множество рациональных чисел, R—мно-
жество действительных чисел).
Изложенные вопросы представляют интерес для пре-
подавателей математики, ведущих факультативные за-
нятия в школе по соответствующим темам.
ЛИТЕРАТУРА
[1]	A. Cal a me, Mathematiques modernes 1, Editions
du Grifton, Neuchatel— Suisse, 19G5.
[2]	. A. Calame, Mathematiques modernes II, Editions
du Griffon, Neuchatel — Suisse, 1966.
[3]	. H. Suter, Mathematiques modernes I, Editions du
Griffon, Neuchatel — Suisse, 1965.
[4]	. H Suter, Mathematiques modernes II, Editions du
Griffon, Neuchatel — Suisse, 1966.
12345678910 •••
ХРОНИКА
В секции средней школы Московского
математического общества
А. Я МАРГУЛИС
(Москва)
(год двадцать первый)
19 сентября 1968 г. А И Маркушевич,
Е. А. Морозова и И. С. Петраков доложили об
итогах X Международной математической олимпиады
(Москва. 5—18 июля 1968 г.). С решениями задач вы-
ступили лауреаты олимпиады (Г. В. Белый,
П. Ф Курчанов, В. Ю. Пономаренко,
С. В. Соболев — ныне студенты МГУ). (См «Мате-
матика в школе», 1968, № 6.)
Собрание почтило память умершего члена секции учи-
теля И. И. Смирнова.
17 октября 1968 г. Г. Г. М а с л о в а сообщила о кон-
грессе по интеграции естественно-математического обра-
зования 1 (г. Варна, сентябрь 1968 г).
На этом же заседании М. И С к а и а в и рассказал
об опыте проведения контрольной работы по матема-
тике по телевидению.
21 ноября 1969 г. К. Е. Морозов прочитал доклад
«О математическом моделировании в научном позна-
нии». Были даны определения модели, моделирования,
математической модели и математического моделирова-
ния. Докладчик выделил предметно-математические мо-
дели (модели прямой и непрямой аналогии) и логико-
математические модели (модели описания-обобщения,
модели интерпретации и модели аналогии). (См.:
К. Е. Морозов, Математические модели в кибернети-
ке, М., изд. «Знание», 1968.)
На этом же заседании А. К. Кетлер изложил ре-
зультаты, полученные им в геометрии «вписанного че-
тырехугольника». После рассмотрения теоремы Птоле-
мея были выведены аналоги теорем синусов, косинусов,
тангенсов, теоремы Пифагора Было выведено общее
выражение трансверсали. Полученные соотношения
обобщают на случай вписанного четырехугольника ре-
зультаты метрической геометрии треугольника.
Секция почтила память умерших крупных математи-
ков С. Н. Бернштейна и А. О. Гель фон да.
На заседании 19 декабря 1968 г С. М Гуль рас-
сказала о поездке в ГДР. На этом же заседании был
* Под термином «интеграция» понимается полное или
частичное объединение всех естественнонаучных дисцип-
лин в школе в единый курс. Идея возникла в связи
с неудовлетворенностью обшей системой образования
в капиталистических странах (наша позиция — не ин-
теграция а координация).
заслушан отчет бюро секции зй два года (Б В Гне-
денко) и было избрано бюро секции в следующем
составе: Н. М. Бескин, В. Г. Болтянский (зам.
председателя), Б. В. Гнеденко (председатель),
С. М. Гуль, А. Я. Маргулис (зам. председателя),
А. И. Маркушевич, Г. Г. Маслова, А Ю Ми-
хайловская, И. С Петраков, М. Н. Покров-
ская, П Б. Ройтман, Т. Г. Смирнова,
А. И. Фетисов, Е. Н. ФивейскаЯ, Р. С. Ч е р к а-
с о в, И. М. Я г л о м.
16 января 1969 г. П. Б. Р о й т м а н рассказала
о поездке в Венгрию (22 октября — 5 ноября 1968 г.).
20 февраля 1969 г. А Я. Маргулис рассказал
о геометрической интерпретации результатов исследова-
ния уравнений второй и третьей степени. На этом же
заседании А. Я. Маргулис изложил решение «транс-
портной задачи линейного программирования» в обра-
ботке, пригодной для воспроизведения в условиях сред-
ней школы
20 марта 1969 г. С. И Шапиро (Курск) сделал до-
клад на тему «Структуры алгоритмического Типа в ма-
тематическом мышлении». В сообщении была рассмот-
рена роль алгоритмов в формировании сложившихся
структур, а также механизм актуализации сложившихся
структур при решении задач. Использованы алгоритмы
типа Ляпунова — Шестопал, графы, аппарат булевых
алгебр. Описан психолого-педагогический эксперимент.
(См.: С. И. Шапиро, Об алгоритмизации процесса
формирования понятий, «Вопросы психологии», 1967,
№ 2, стр. 101—ПО.)
На этом же заседании В. Н. Тростников расска-
зал об опыте изложения основ теории функций, ком-
бинаторики и теории вероятностей с точки зрения тео-
ретико-множественной концепции в лаборатории мате-
матики Московского городского Дворца пионеров.
17 апреля 1969 г. В И. Л е в и н рассказал «О зада-
чах на доказательство неравенств».
На этом же заседании В. Г. Филатов доложил
о поездке в Болгарию (25 октября — 9 ноября 1968 г.),
и С. М. Гуль рассказала об итогах Всесоюзной мате-
матической олимпиады (г. Киев, 1969 г.).
14 мая 1969 г. А. Б. Сосинский рассказал об
одном исследовании успешности занятий по математике
в США. Исследование (при помощи систематического
тестирования) проводилось в течение 1963—1968 гг.
04
организацией NSLMA (Национальное длительное ис-
следование математической успеваемости). В этом ис-
следовании был применен статистический корреляцион-
ный анализ к параметрам, характеризующим математи-
ческие умения и способности, и к факторам, влияющим
на эти параметры. Проверка результатов тестирования
проводилась при помощи вычислительных машин.
На заключительном заседании 19 июня 1968 г.
Е. Н. Фи в ейская доложила о поездке в Польшу.
Б. В. Гнеденко рассказал о Франко-советском колло-
квиуме по современному преподаванию математики
(Москва, 30 марта — 4 апреля 1969 г).
А. Я. /Аар гул ис сделал обзор периодической ли-
тературы по вопросам преподавания математики в от-
дельных странах мира.
Бюро секции организовало в 1968/69 учебном году
цикл лекций А. Н Колмогорова «Научные основы
школьного курса математики» (10 лекций), которые бу-
дут опубликованы в журнале «Математика в школе».
(См.: «Математика в школе», 1969, К» 3.)
Г. Г. МАСЛОВА
(Москва) Встреча с французскими учителями
С 30 марта 1969 г. в Советском Союзе находилась
большая группа французских педагогов. Гости знако-
мились с постановкой школьного математического об-
разования в СССР.
Разнообразной и насыщенной была их программа —
посещение школ в ряде городов Советского Союза (Мо-
скве, Ленинграде, Киеве, Ярославле), Московского го-
сударственного педагогического института нменн
В. И. Ленина, научно-исследовательских институтов
Академии педагогических наук СССР.
3 и 4 апреля состоялся коллоквиум по проблеме со-
вершенствования преподавания математики в школе,
организованный АПН, обществом «СССР — Франция»
и педагогической секцией Союза советских обществ
дружбы.
С большим интересом были выслушаны доклады
вице-президента АПН СССР проф. А. И. Маркуше-
в и ч а (о подготовке и введении в школах СССР новых
программ) и профессора международного колледжа
в г. Сэн-Жермен-Ан-Лэ Дюмона (о программах по
математике в школах Франции), а также сообщения
участников коллоквиума по педагогическим исследова-
ниям в области школьной математики в СССР:
Г. Г. Масловой, А. М. П ы ш к а л о, С. Б. Суво-
ровой, А. Б. Сосинского и Франции: Дюмона,
Кондамина, Жильбера, Дювера, Лимон ж.
Большой интерес, вызвал доклад профессора высшей
практической школы Пьера Греко о некоторых на-
правлениях исследований французских психологов («Пси-
хология и математика») и сообщение профессора Лион-
ского лицея Дювера об опыте учителей г. Лиона
в организации математических школ для родителей, де-
ти которых начали заниматься по новым программам.
Заключи:ельное заседание было посвящено подготов-
ке учителей математики в СССР и во Франции. До-
кладчикам профессору Московского государственного
педагогического института имени В. И. Ленина
В. И. Левину и директору Научно-исследовательского
института обучения математике г. Лиона Гл им а ну
было задано много вопросов.
Тепло встретили участники выступление президента
общества «СССР — Франция» действительного члена
АПН СССР А Н. Леонтьева, президента общества
«Франция — СССР» г-на Раймона Шмиттлена, пред-
седателя секции средней школы Московского матема-
тического общества академика УССР Б. В Гнеденко.
Весьма полезным для участников коллоквиума ока-
зался обмен мнениями по вопросам, актуальным как
для нас, так и для французских коллег: о месте и ро-
ли теории множеств в школьном курсе математики,
о логическом развитии школьников, о возможности зна-
комства детей 6—7 лет с основными математическими
идеями и понятиями в игровых ситуациях. Обе сторо-
ны отметили трудности в построении курса геометрии
для учащихся 11—14 лет.
Для участников коллоквиума была организована вы-
ставка советской и французской учебной и методической
литературы. Большой интерес вызвали наглядные посо-
бия, привезенные нашими коллегами, и особенно ди-
дактические игры для изучения множеств, отношения
между множествами, классификации множеств. Каждый
участник встречи получил материалы, раскрывающие
содержание выступлений.
Встреча способствовала более глубокому ознакомле-
нию с системой и содержанием школьного математиче-
ского образования, выяснению точек зрения по отдель-
ным проблемам, укреплению контактов между участни-
ками, подготовке к Международному конгрессу по пре-
подаванию математики, который должен состояться
в августе этого года в г. Лионе.
XII Республиканская математическая олимпиада
Б. П. БЫЧКОВ
(г. Кишинев)
школьников Молдавии
27 марта 1969 г. в Кишиневе проходил заключитель-
ный тур очередной Республиканской математической
олимпиады учащихся VIII—X классов школ Молдавии.
К заключительному туру было допущено 127 человек.
Из победителей была составлена команда, представ-
лявшая Молдавию на III Всесоюзной математической
олимпиаде школьников в г. Киеве. В ее состав вошли:
П ы р в у Евдокия — X кл. молдавской школы с. Ла-
пушна Котовского района; Балтер Борис — X кл.рус-
ской школы № 37 г. Кишинева; Цы фр а Виктор —
X кл. русской школы № 34 г. Кишинева; Фалько
Николай — VIII кл. русской школы Ns 6 г. Тирасполя.
95
Методика математики в «Трудах II
Республиканской конференции математиков
Н. В. МЕТЕЛЬСКИЙ
(г. Минск)
Белоруссии»
Конференции математков Белоруссии становятся
традиционными. Они проводятся при Белорусском орде-
на Трудового Красного Знамени государственном уни-
верситете имени В. И. Ленина. Издательство этого уни-
верситета выпустило в свет книгу «Труды 11 Республи-
канской конференции математиков Белоруссии» (iMmhck,
1969). В книге напечатаны в сокращенном виде 104 до-
клада, прочитанных в следующих семи секциях:
I — алгебра н математическая логика, II — вычислитель-
ная математика, III — геометрия, IV — дифференциаль-
ные уравнения, V — теория функций и математическая
физика, VI — теория машин и протраммирования,
VII — методика преподавания математики.
В разделе «Трудов», отведенном седьмой секции, по-
мещены следующие доклады:
1.	А. Н. Б е к а р е в и ч. Элементарное вычисление зна-
чений тригонометрических функций с любой степенью
точности. Понятие о составлении тригонометрических
таблиц.
2.	Н. Д. Беспамятных. Основные этапы разви-
тия счетной логарифмической линейки.
3.	И. Г. Б ул о т ко. О некоторых задачах, приводя-
щих к обобщениям.
4.	А Б. Василевский. О комплексном использо-
вании вычислений, построений и измерений при реше-
нии геометрических задач.
5.	Н. А. Г о н ч а р и к, В. М. С а в и п к и й. Элементы
векторной алгебры в школьном курсе математики.
6.	М. Е. Драбкина. К вопросу об общелогической
подготовке кадров преподавателей для средней школы.
7.	В. С. Ели н. Опыт изучения элементов дифферен-
циального исчисления в IX классе средней школы
8	П. В. Е п и м а ш к о. Некоторые замечания по кур-
су теории чисел в пединститутах.
9	Л. В. Кирилюк Об экранизации некоторых во-
просов элементарной геометрии.
10.	М М. Кобрин. О связи преподавания высшей
геометрии с механикой.
11.	А А. Мазани к. Внеклассное решение задач по
математике в восьмилетней школе
12.	Н. В. Метельский. Пропедевтика основ выс-
шей математики в средних классах общеобразователь-
ной школы.
13.	Н. В. Попова, К. 3. Баранцевич,
А. М. Д'! а рк ин а, Ц. Б. Немченко, В. Б. Хейн-
м а н. Об одном программированном учебном пособии
по высшей математике.
14.	И М. Р о з е т, В. Ю. Г у р е в и ч. К вопросу о воз-
можности обучения решать нестандартные математиче-
ские задачи.
15.	И. М. С т е п у р о. Решение алгебраических не-
равенств и исследование уравнений с одним парамет-
ром.
16.	А. А. Столяр. О факультативном курсе «Эле-
менты математической логики» в IX классе средней
школы.
17.	М. М. X м е л и н с к а я. Изучение логических свя-
зок в курсе алгебры VI класса.
18.	В. Д. Чистяков. Методика математики в БССР
за 50 лет.
19.	Ф. М. Шустеф. Основные работы по методике
преподавания алгебры, вышедшие на русском языке
в послевоенные годы.
20.	А. И. Я н ц е в и ч. Об алгебраизации изучения три-
гонометрических функций в средней школе.
В настоящее время ученые готовятся уже к III Рес-
публиканской математической конференции, которая
будет посвящена 100-летию со дня рождения
В. И. Ленина и состоится в юбилейном 1970
году.
Редакционная коллегия:
Главный редактор Р. С. Черкасов	Зам. главного редактора С. А. Пономарев
Члены редакционной коллегии: И. К. Андронов, В. Г. Болтянский, Н. Ф. Власик,
Б. В. Гнеденко, Н. А. Ермолаева, А. С. Ильин, А. Н. Колмогоров, Г. Г. Маслова,
О. П. Орешина, И. С. Петраков, А. Д. Семушин, 3. А. Скопец, А. В. Соколова,
П В. Стратилатов, 3. С. Сухотина, И. Ф. Тесленко, Н. Ф. Четверухин
Зав. редакцией 3. В. Шепелева	Художественный редактор Б. Ф. Рябов
Технический редактор А. А. Шлихт	Корректор Г, И. Губинская
Адрес редакции: Москва, Г-117, Погодинская ул., 8. Телефон редакции 245-04-53
Издательство «Просвещение» комитета по печати при Совете Министров РСФСР
Сдано в производство 23/VI 1069 г.	Объем 6 (10,00) п. л.	Учетно-изд. л. 11,34
Цена 45 коп. Заказ 966 Тираж 317 570 экз. Бумага 84 X 108'/ia Подп. к печ. 29/VII 1968 г.
Московская типография № 13 Главполиграфпрома Комитета по печати
при Совете Министров СССР. Москва, ул. Баумана, Денисовский пер.. 30.
Прибор
для демонстрации
движения
Известные трудности у учащихся вызывают задачи,
связанные с движением тел (встречное движение и дви-
жение в одну сторону). Обычно на уроках задачи этого
типа иллюстрируются рисунками и схематическими чер-
тежами. Однако они не дают учащимси реального
представления о движении: они показывают лишь «фо-
тографии» его отдельных моментов. Если же учащийся
ие видит движения, то ему трудно бывает осмыслить
условия задачи и правильно представить себе ход
решения. Применение учителем на уроке кннофрагмеи-
тов и других средств обучения, дающих динамическую
иллюстрацию того или иного движения, повышает эф-
Рис. 2
Рис. 3
Рис. 4
фективность обучения, помогает учащимся лучше ориен-
тироваться в задачах указанного вида.
В этой заметке дается описание прибора для* демон-
страции движения; с его помощью можно демонстриро-
вать как движение тел навстречу друг другу, так н
движение тел в одном направлении; как равномерное
движение, так и другие виды движения, например
равноускоренное. Кроме того, прибор позволяет демон-
стрировать сдвиг графиков относительно осей коорди-
нат, сравнение дробей и многое другое.
Прибор может быть изготовлен силами учителя
и учащихся. Он монтируется в ящике (рис. 1). Внутри
ящика укреплены два валика (/), которые могут вра-
щаться с помощью ручек (2) вокруг своей оси на
остриях. В передней части ящика имеются две
неподвижные направляющие (3). На валики наматы-
вается лента из тонкой бумаги (4), которая про-
пускается перед направляющи ли. При повороте рукоя-
ток лента перематывается с одного валика на другой
Рио. 1
Рис. 5
Цена 45 кон.
73246
в любом направлении. Сверху ящик закрывается крыш-
кой, имеющей специальные пазы. В эти пазы встав-
ляются маски и подкладки, набор которых также
входит в описываемый прибор.
Для демонстрации встречного движения тел или дви-
жения в одну сторону выбирается маска, в которой
имеется узкая прорезь, параллельная осям валиков
(рис. 2). На бумажной ленте начерчены две цветные
пересекающиеся прямые линии, расположенные по-раз-
ному для демонстрации встречного движения (рис. 3)
и движения в одну сторону (рис. 4). Наклоны прямых
к оси валика выбираются с таким расчетом, чтобы
обеспечить необходимую скорость движения. Прибор
устанавливается вертикально, т. е. так, чтобы оси вали-
ков находились в горизонтальном положении. При вра-
щение валиков мы будем наблюдать иллюзию встреч-
ного движения цветных точек (точнее, кусочков пря-
мых), которые видны через прорезь. Появление
в прорези точки пересечения линий будет наблюдаться
как встреча движущихся предметов. Если сделать одну
линию прямой, а другую — в форме одной ветви пара-
болы у2 = ах + Ь, то при вращении валиков в прорези
будет наблюдаться движение тел, из которых одно дви-
жется равномерно, а другое равноускоренно.
Для демонстрации сдвигов функции ящик встав-
ляется в прозрачную маску, на которую нанесена пря-
моугольная система координат (рис. 5) так чтобы
ручки управления оказались вверху. На бумажной
' ея-е изображен график изучаемой функции. Для
иллюстрации вертикального сдвига графика функции
ящик с легким трением перемещается по пазам маски
вверх или внцз. Для иллюстрации горизонтального
сдвига графика функции нужно вращать ручку валика,
в результате чего лента с изображением графика сдви-
нется соответственно влево или вправо.
Для графической иллюстрации хода изменения функ-
ции используется та же маска с прямоугольной систе-
мой крординат. В пазы хрышки ящика за маской
встав.пяется прокладка, имеющая прорезь в форме гра-
фика изучаемой функции (рис. 6). Например, можно
вырезсть прорезь в форме графика в бумажном листе
и для большей прочности наклеить этот лист на кусок
целлофана. Часть леиты закрашивается в какой-либо
цвет, а часть остается белой (рис. 7). При вращении
валика график как бы постепенно заливается краской
в направ тении от одного края графика к другому.
В этом случае учитель может показать учащимся мо-
менты возрастания и убывания функции, ее наибольшие
и наименьшие значения, промежутки знакопостоян-
ства и т. д.
Прибор может быть использован также при изучении
сравнения дробей в IV классе. С этой целью изготав-
ливается маска с двумя прорезями одинаковой длины
(рис. 8). Длина каждой и,з прорезей изображает еди-
ницу. На верхней щели намечены точки, делящие ее,
например, на три равные части, а на нижней — иа
шесть равных частей. Используем ту же ленту, что
и на рисунке 7, и, поворачивая ручки так, чтобы закра-
шенная часть ленты заполнила первую треть верхней
прорези, мы увидим, что в нижней прорези закрашены
первые две шестые части. Таким образом можно полу-
чить наглядную иллюстрацию равенства */з = 2/з,
2/з = 4/с, а также (используя маски с другими деле-
ниями) 2/4 = */2 и т. д
Можно также использовать прибор и для иллюстра-
ции сравнения дробей с взаимно простыми знаменате-
лями. Например, для сравнения дробей */з и 2/з нужна
лента, изображенная на рисунке 9, с соответствующим
подбором длины выступа (в данном случае длина
выступа должна быть равна %—*/з= */is)- Имея на
ленте несколько ступеней с разными длинами выступов,
можно проводить сравнение дробей с небольшими
знаменателями.
Размеры ящика, ширина и длина ленты выбираются
самим учителем. Мы использовали ящик 500 X 200 X
X ЮО мм при ширине ленты 180 мм
Ф. П. Соловьев, Э. Ю. Красс