МАТЕМАТИКА
6 школе
МАТЕМАТИКА —
содержание
За дальнейший подъем обучения и воспитания
Б В. Гнеденко — Математика в СССР за 50 лет .
О. Прините — К истории преподавания математики в эстонской школе
МЕТОДИЧЕСКИЙ ОТДЕЛ
Обсуждаем проект программы
А. Н. Колмогоров — К изменениям в тексте учебника алгебры для
VI—VIII классов А. Н. Барсукова ...
П С. Моденов — Задачи, предлагавшиеся на приемных испытаниях по
математике в Московском государственном университете в 1967 г
С. И. Шапиро—О разных подходах к решению задач
В помощь начинающему учителю
Контрольные работы по математике на II полугодие 1967/68 учебного
года для V—X классов	...
2
5
13
15
22
24
34

В. Серве — Аксиоматика и элементарная геометрия
Внеклассная работа
Ярослав Шедивы—Решение логических задач при помощи графов
П С. Маргалите — Построение изображений плоских сечений кониче-
ской и цилиндрической поверхностей
Л. Н. Рябчиков—Геометрические места точек на сфере .^.
Л М. Лоповок—Задачи на восстановление записей	. . .
И. А. Савостин — Проверка арифметических действий с помощью девятки
Д. М. Соловьев — О пропаганде математических знаний средн школь-
ников Дагестана
£ А. Морозова, И. С Петраков — IX Международная ............
Задачи
Задачи для учащихся
Задачи
Решения задач, помешенных в К 2 журнала за 1967 г
Сводка решений задач по № 2 за 1967 г.
ПЕДАГОГИ- МАТЕМАТИКИ
И. А. Наумов — Д. М. Синцов
Математический календарь на 1967/68 учебный год
ЗА РУБЕЖОМ
А. И. Волхонский — Д. Пойа о проблеме «чему учить»
Куок-Чинь — Задачи, предлагавшиеся в школах Вьетнама
36
45
56
6С
64
66
68
69
70
76
76
77
96
84
86
87
89
КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ
В. И. Левин — Рецензия	90
Тематический указатель статей, помешенных в журнале за 1967 г. . .	93
Научно-
методический
журнал
Мин истерства
просвещения
СССР
1967
1
50
ЗА ДАЛЬНЕЙШИЙ
ПОДЪЕМ ОБУЧЕНИЯ И ВОСПИТАНИЯ
Страна Советов отметила свое пятидеся-
тилетие.
Радостным, волнующим событием сохра-
нится в сердце каждого советского человека
этот неповторимый Октябрь тысяча девятьсот
шестьдесят седьмого
В преддверии праздника мы еще и еще раз
оглядывались назад и осмысливали пройден-
ный путь. Социалистическая индустриализа-
ция, обеспечившая условия для технической
реконструкции всех отраслей народного
хозяйства, обусловившая создание матери-
ально-технической базы коммунизма... Кол-
лективизация сельского хозяйства, выведшая
деревню на новый, социалистический путь,
укрепившая союз рабочего класса и крестьян-
ства... Победа над немецким фашизмом в
Великой Отечественной войне... Восстанов-
ление народного хозяйства в послевоенные
годы... Грандиозная культурная революция,
начавшаяся с ликвидации массовой неграмот-
ности и приведшая к триумфальному шествию
советской науки — детища социализма, по-
лучившего в канун 50-летия Октября еще
одно блестящее подтверждение — успешный
полет советской автоматической межпланет-
ной станции «Венера-4»... Утвердившееся
социалистическое братство всех народов на-
шей Родины... И мы еще и еще раз ощутили
в эти дни грандиозность совершенного за
пятьдесят советских лет.
В эти дни во всех уголках Земли миллионы
людей с особой глубиной прочувствовали,
что эта величайшая из всех революций, по-
трясшая основы капитализма, явилась реша-
ющим поворотом в истории человечества,
проложив ему путь к социализму. Именно
поэтому полувековой юбилей Великого
Октября стал праздником не только совет-
ского народа и народов стран социалистиче-
ского содружества, но и народов независимых
и развивающихся стран, сложившихся в ре-
зультате революционного обновления мира,
начатого Великим Октябрем, праздником все-
го прогрессивного человечества.
Мы явились свидетелями глубокой при-
знательности Стране Советов, ее Коммуни-
стической партии за бескорыстную помощь
другим народам, верность интернациональ-
ному долгу, упорную, настойчивую борьбу
за мир. В эти праздничные дни представите-
ли многих стран еще и еще раз заявили, что
Страна Советов стала надежным оплотом
борьбы народов за свободу и национальную
независимость, что судьбы, борьба и чаяния
трудящихся всего мира неразрывно связаны
с Советским Союзом.
Не изгладятся в памяти дни праздников —
совместное торжественное заседание Цент-
рального Комитета Коммунистической партии
Советского Союза, Верховного Совета Сою-
за Советских Социалистических Республик
и Верховного Совета Российской Советской
Федеративной Социалистической Республи-
ки в Кремлевском Дворце съездов, юбилей-
ные торжества в Ленинграде — колыбели ре-
волюции, впечатляющие военный парад и
праздничная демонстрация 7 Ноября в Москве
на Красной площади, демонстрации в горо-
дах и селах страны. Празднование 50-летия
Октября вызвало трудовой энтузиазм и твор-
ческую инициативу трудящихся. Отовсюду
продолжают поступать приветствия и рапор-
ты коллективов трудящихся о выполнении
юбилейных обязательств. В юбилейном году
вошли в строй новые крупные заводы, фаб-
рики, электростанции. Достигнуто значи-
тельное ускорение развития сельского хозяй-
ства. Многое сделано для повышения обще-
образовательного и культурного уровня
советского народа, улучшения здравоохра-
нения, расширения сети детских и других со-
циально-культурных учреждений.
С большим творческим подъемом трудилось
в канун юбилея советское учительство. Сви-
детельство тому — высокие награды. Более
13 тысяч работников просвещения награжде-
ны в конце 1966 г. орденами и медалями
Советского Союза. Орденом Ленина награж-
дена средняя школа имени В. И. Ленина
г. Ульяновска, орденом Трудового Красного
Знамени — школы № 201 Москвы, № 1 г. Рос-
това-на-Дону, Григориполисская средняя
2
школа №2 Ставропольского края, №82 г. Ки-
ева, №50 г. Минска, №24 г. Ташкента, №190
г. Баку, № 1 г. Риги и другие. Коллективам
средней школы №5 г. Свердловска, Суслен-
ской средней школы Молдавской ССР и не-
которым другим вручены на вечное хранение
Памятные знамена победителей в социали-
стическом соревновании в честь пятидесяти-
летия Великой Октябрьской социалистиче-
ской революции. Многие школы и учителя
занесены в книги Почета. Большой группе
работников просвещения присвоено звание
заслуженного учителя, вручены значки «От-
личник народного просвещения», Почетные
грамоты. Почти повсеместно состоялись
чествования ветеранов педагогического труда.
Важнейшей задачей учительства было и
остается претворение в жизнь постановления
ЦК КПСС и Совета Министров СССР
«О мерах дальнейшего улучшения работы
средней общеобразовательной школы», на-
правленного на дальнейшее расширение сред-
него образования, совершенствование обуче-
ния и воспитания подрастающего поколения.
Поэтому необходимы постоянное внимание
и неослабный контроль в каждом педагоги-
ческом коллективе за осуществлением выра-
ботанных мероприятий в связи с этим по-
становлением.
Первого сентября более 63 процентов
выпускников восьмых классов пришли в де-
вятые классы. Это ощутимые шаги намечен-
ного постановлением расширения среднего
образования. За этим — большой труд педаго-
гов. Но не менее важно помочь девятикласс-
никам с первых дней втянуться в новый для
них режим работы старших классов, успешно
усвоить программу, не допускать отсева.
Важнейшее требование постановления
о школе — дальнейшее совершенствование
учебного процесса, улучшение обучения
школьников. Большое значение для всего
дальнейшего развития школы и математиче-
ского образования имеет широкое введение
факультативных курсов по выбору.
На педагогических советах школ, в мето-
дических объединениях, на научно-практи-
ческих конференциях теперь все чаще и
чаще обсуждаются вопросы повышения эф-
фективности педагогического процесса, ак-
тивизации познавательной деятельности уча-
щихся на уроке, внедрения элементов про-
граммированного обучения, научной орга-
низации труда учителя. Это и понятно, ибо
качество знаний учащихся оставляет желать
лучшего. Это относится и к математике. Как
показала проверка Министерства просвеще-
ния РСФСР, несмотря на то, что в 1966/67
1*
учебном году большинство учащихся вы-
пускных классов в основном успешно сдали
экзамены, а общие результаты выполнения
контрольных работ по математике несколько
выше уровня 1964 г., многие школьники всех
классов допускают существенные ошибки,
свидетельствующие о серьезных недостатках
в уровне их математической подготовки. От-
мечено, что при выполнении письменных
контрольных работ учащиеся почти всех
классов лучше справились с задачами, чем
с примерами, так как содержание примеров,
предложенных ученикам, было более насыще-
но заданиями, выполнение которых требо-
вало умения применять теоретические зна-
ния на практике.
Весьма существенным недостатком являет-
ся невысокий уровень развития математиче-
ского мышления части учащихся.
Устранение указанных недостатков в работе
педагогов особенно необходимо в связи с
тем, что проекты новых учебных программ
по математике предполагают еще более вы-
сокие требования к уровню математической
подготовки и развитию математического
мышления учащихся.
Сейчас повсеместно началась большая ра-
бота, связанная с переподготовкой учителей
для работы по 'новым учебным программам.
Определены формы и сроки переподготовки
для каждого учителя в соответствии со
степенью его квалификации. Для учителей
городских школ, большинство которых бу-
дут обучаться без отрыва от производства,
уже начали работать постоянно действующие
семинары. Почти повсеместно к проведению
занятий привлечены специалисты высших
учебных заведений, научно-исследователь-
ских институтов, широко используется учеб-
но-лабораторная база этих учреждений. Как
показывают первые итоги, занятия семинаров
проходят содержательно, насыщенно и учи-
теля охотно их посещают. Учителя сельских
школ будут проходить переподготовку пре-
имущественно на летних курсах.
Но следует подчеркнуть, что в настоящее
время для каждого учителя важнейшей со-
ставной частью подготовки к работе по новым
программам должны стать самообразование,
систематическая целенаправленная самостоя-
тельная работа. Администрация, обществен-
ные организации школы, методические ка-
бинеты и институты усовершенствования
учителей призваны оказать учителям в этом
деле всемерную помощь. Должен быть усилен
контроль и внутри школы за этой стороной
работы учителя.
3
В связи с вопросами повышения качества
обучения надо отметить также и возрос-
шее внимание педагогических коллективов к
оборудованию учебных кабинетов и внедре-
нию технических средств обучения, что
особенно важно в преподавании математики.
Во многих школах Новгородской, Сумской,
Харьковской областей в последнее время си-
лами учителей и учащихся оборудуются
специальные кабинеты технических средств.
К изготовлению учебно-наглядных пособий
активно привлекаются учащиеся. Во многих
школах г. Харькова, например, традиционно
проводятся выставки наглядных пособий, из-
готовленных учащимися. В результате эти
школы не только сами имеют в учебных ка-
бинетах все необходимое, но и передают
наглядные пособия подшефным сельским
школам. Помогают школам в этом и про-
мышленные предприятия. На дверях четыр-
надцати кабинетов средней школы № 5
г. Свердловска прикреплены таблички с
надписью: «Подарок родной школе от кол-
лектива коммунистического труда — завода
медпрепаратов». Этот завод в Свердловской
области не единственный. Помогают школам
в оборудовании учебных кабинетов «Урал-
маш», Нижне-Тагильский металлургический
комбинат, предприятия г. Асбеста и другие.
Подобные примеры имеются повсеместно.
В последнее время много сделано по вы-
полнению постановления ЦК КПСС и Совета
Министров СССР о школе в части улучше-
ния воспитательной работы с учащимися.
Наблюдается заметный подъем этой работы.
Она стала более содержательной, разносто-
ронней и целенаправленной. Значительно
большее число школ ведут уже работу с деть-
ми в районе своей деятельности. Во многих
средних школах приступили к работе органи-
заторы внеклассной и внешкольной воспи
тательной работы.
Но особенно значительный размах в связи
с подготовкой к 50-летию Великого Октября
получила работа по воспитанию учащихся
на революционных, боевых и трудовых тра-
дициях советского народа. И среди учите-
лей-энтузиастов этого дела немало препода-
вателей математики. Наверное, трудно сейчас
найти школу, где бы не было отрядов «крас-
ных следопытов», участников экскурсионно-
краеведческих экспедиций. Миллионы школь-
ников изучают историю своего района,
города, ближайшего предприятия, колхоза,
знакомятся с коренными преобразованиями,
происшедшими за годы Советской власти,
разыскивают участников тех или иных исто-
рических событий. Учащиеся записывают
воспоминания старожилов о жизни трудя-
щихся при царизме, о революционной борьбе,
о первых советских активистах. Юные киае-
веды выявляют места расположения первых
Советов, места, где впервые был поднят
красный флаг революции, составляют марш-
руты экскурсий по революционным местам,
собирают пословицы, поговорки, рожденные
Октябрем. Только на Украине создано
70 000 экспедиционных отрядов, которые
объединяют свыше двух миллионов учащихся.
Широко ведется в школах воспитание уча-
щихся на примере жизни и деятельности
В. И. Ленина. Создаются ленинские музеи,
выставки, уголки, проводятся ленинские чте-
ния, встречи с ветеранами революции. Все
это помогает педагогам учить школьников
жить и работать по-ленински.
Большие возможности идейно-политиче-
ского воспитания школьников открывает раз-
вернувшаяся работа по разъяснению Тезисов
ЦК КПСС «50 лет Великой Октябрьской
социалистической революции», обобщивших
гигантский опыт борьбы Коммунистической
партии и советского народа за торжество
социализма и победу коммунизма, призывов
ЦК КПСС к 50-летию Октября, материалов
Торжественного заседания, посвященного
юбилею.
Много хороших дел, интересных начинаний
на счету педагогических коллективов школ
страны в юбилейном году. Очень важно сде-
лать этот опыт достоянием всего учительства
и внедрить его в практику школ, сохранить
в каждом педагогическом коллективе трудо-
вой энтузиазм, атмосферу творческих поис-
ков, высокой ответственности за порученное
дело.
50
Б. В. ГНЕДЕНКО (Москва)
МАТЕМАТИКА В СССР ЗА 50 ЛЕТ
1.	О некоторых предпосылках развития советской науки
Советский народ подводит итоги борьбы и
труда за пятьдесят лет со дня Великой Ок-
тябрьской социалистической революции.
В наследство от старого строя освобожден-
ный народ получил не только разоренную
страну, разрушенную промышленность и от-
сталое сельское хозяйство, но и потрясающую
отсталость в области народного просвещения.
За короткий исторический срок наш народ
совершил колоссальный скачок во всех обла-
стях науки и общественной жизни. Огромен
вклад нашей науки в прогресс естествознания
и математики. За полвека наша математика
заняла в мире значительное место и явилась
источником многих новых идей, существенно
изменивших облик всей современной матема-
тики. Как количественно, так и качественно
советская математика стала одной из основ-
ных определяющих сил современной науки.
Тысячи математиков преподают в высших
учебных заведениях и ведут исследователь-
скую работу в научно-исследовательских ин-
ститутах. Число советских ученых, прославив-
шихся открытиями выдающегося научного
значения, исчисляется сотнями. В краткой
статье нет возможности не только осветить
все такие открытия, выполненные советскими
математиками, но даже и перечислить их.
Далеко не полное описание достижений со-
ветской математики, которое имеется в специ-
альных сборниках «Математика в СССР за
30 лет», «Математика в СССР за 40 лет» и
«Математика в СССР за 50 лет», потребовало
нескольких тысяч страниц. В настоящей
статье сосредоточим основное внимание не
на перечислении имен, а на изложении харак-
терных черт развития советской математики
и на описании некоторых крупнейших ее до-
стижений.
Фундаментом развития науки в стране, не-
сомненно, является начальная и средняя шко-
лы, наличие большого числа знающих и увле-
ченных учителей, а также общественные
взгляды на науку и ее значение для обще-
ственного прогресса. Для дореволюционных
правительственных кругов характерным было
высказывание одного из царских министров
о том, что России наука не нужна, а если
она и понадобится, то ее можно вывезти к
нам из Германии. Молодая же республика
придерживалась на этот счет иных точек зре-
ния. Уже в 1919 г., когда страна находилась
в состоянии жесточайшего голода и тяжелей-
шей войны, в программе партии, принятой
VIII съездом, говорилось, что «РКП стремит-
ся к... созданию наиболее благоприятных
условий научной работы в ее связи с подня-
тием производительных сил страны» («КПСС
в резолюциях и решениях съездов, конферен-
ций и пленумов ЦК», ч. 1, изд. 7, Господит-
издат, 1953, стр. 424). Позднее эта централь-
ная линия отношения партии к науке не изме-
нялась. В недавно принятой Программе КПСС
сказано: «Развитие науки и внедрение ее до-
стижений в народное хозяйство будет и в
дальнейшем предметом особой заботы пар-
тии» («Программа КПСС», Госполитиздат,
1961, стр. 125—126).
В связи со сказанным полезно напомнить
одно место из воспоминаний М. Горького о
Ленине. «Помню, я был у него с тремя чле-
нами Академии наук. Шел разговор о необхо-
димости реорганизации одного из высших на-
учных учреждений Петербурга. Проводив
ученых, Ленин удовлетворенно сказал:
— Это я понимаю. Это — умники. Все у
них просто, все сформулировано строго, сразу
видишь, что люди хорошо знают, чего хотят.
С такими работать -- одно удовольствие. Осо-
бенно понравился мне этот...
Он назвал одно из крупных имен русской
науки, а через день уже говорил мне по те-
лефону:
— Спросите С. (речь идет о В. А. Стекло-
ве— крупнейшем математике того времени),
пойдет он работать с нами?
И когда С. принял предложение, это
искренне обрадовало Ленина, потирая руки,
он шутил:
— Вот так, одного за другим, мы перетя-
нем всех русских и европейских Архимедов;
тогда мир, хочет не хочет, а перевернется».
Массовая неграмотность населения была
одним из самых ужасных бедствий нашей
страны. Известно, что, по данным переписи
1897 г., в России было 76% неграмотных сре-
5
дн лиц от 9 лет и старше. Из каждых четырех
человек трое были неграмотны. Что может
быть ужаснее? Одним из первых был декрет
Советского правительства «О ликвидации
безграмотности среди населения РСФСР» (от
26 декабря 1919 г.). Конечно, одного декрета
для осуществления столь большого дела было
недостаточно, требовались время и упорные
действия. Собственно, разрешить эту пробле-
му удалось только к 1930 г., после того как
бея советская общественность была вовлече-
на во всенародный поход по ликвидации не-
грамотности.
Царская сословная школа представляла
почти непреодолимый барьер для развития
способностей учащихся из «низших классов».
Подавляющее большинство детей могли рас-
считывать в лучшем случае лишь на четырех-
классное образование в земской или приход-
ской школе или в городском училище. Вот по-
чему одним из самых первых декретов Совет-
ской власти была уничтожена сословная
школа, создана единая трудовая школа и
введено всеобщее начальное обучение. Рефор-
ма школы, несомненно, не только дала очень
многое для резкого подъема культуры всей
страны, но и позволила подготовить большое
число молодых людей для высших учебных
заведений. Школа и общество непрерывно
развивали интерес к науке, воспитывали
убеждение в важности научных исследований,
создавали уверенность у молодежи, что ей по
плечу любые задачи. Школа сделала многое
для воспитания поколения увлеченных про-
грессом науки советских граждан. Недаром в
Советском Союзе в настоящее время почти
все ученые являются воспитанниками совет-
ской .средней школы. Только единицы полу-
чили начальное или среднее образование в
гимназиях и реальных училищах дореволю-
ционной России.
2.	Развитие высшего образования
Грандиозные задачи, поставленные перед
страной революцией, требовали огромного
числа подготовленных специалистов — педаго
гов, инженеров, врачей, экономистов. Есте-
ственно, что функционирование оставшихся от
старой России высших учебных заведений в
условиях разрухи и гражданской войны яви-
лось предметом специальных забот Советско-
го правительства. В эти первые революцион-
ные годы, в условиях гражданской войны, хо-
зяйственной разрухи и голода, молодые ма-
тематики в Московском и других университе-
тах испытывали подлинный научный энту-
зиазм. Это научное горение не могли погасить
никакие трудности и тяготы, обрушившиеся
на плечи граждан молодой республики. В ис-
топленных помещениях читались лекции и
проводились лабораторные занятия, возника-
ли научные дискуссии и зарождались новые
научные школы.
К этому времени относится расцвет Москов-
ской математической школы, создававшейся
около профессоров Н. Н. Лузина и Д. Ф. Его-
рова; организация новых университетов —
Ташкентского, Ростовского, Горьковского,
Тбилисского, Минского, Бакинского и др. На
окраине страны, в Ташкенте, уже в 1918 г.
был основан первый в Средней Азии универ-
ситет, явившийся одновременно и первым выс-
шим учебным заведением на огромной терри-
тории бывшей полуколонии царской России.
Пионером математического образования, ор-
ганизовавшим не только преподавание всех
математических дисциплин, значившихся в
учебном плане, но и систематическую науч-
ную работу в области математической стати-
стики и анализа явился профессор В. И. Ро-
мановский. Созданная им научная школа и
его научные труды очень скоро завоевали ав-
торитет далеко за пределами Средней Азии
и Советского государства. В Тбилиси одно-
временно с созданием университета начала
организовываться и сильная школа в области
математической физики и математического
анализа. Группа молодых ученых — Г. Н. Ни-
коладзе, Н И. Мусхелишвили, А. М. Размад-
зе, А. К. Харадзе — положила в то время на-
чало этому в высшей степени замечательному
научному коллективу, сыгравшему и играюще-
му значительную роль в прогрессе математики.
В старых университетах Украины — Киевском
и Харьковском — возникли под руководством
Д. А. Граве, Н М. Крылова, С. Н. Бернштей-
на крупные математические школы по важ-
нейшим направлениям математики. Револю-
ция совершила величайший по своему значе-
нию шаг: перед народами окраин России был
открыт путь к вершинам науки. Теперь мы
видим результаты труда и забот тех лет и нас
уже не удивляет, что все народы нашей Ро-
дины принимают активное участие в развитии
математики и среди выдающихся представи-
телей нашей науки мы имеем грузин, армян,
узбеков, украинцев и др.
Индустриализация страны потребовала
огромного количества высококвалифицирован-
ных специалистов. Чтобы справиться с этой
задачей в 30-е годы, по всей стране была со-
здана широкая сеть высших учебных заведе-
ний. Подавляющая часть вузов требовала
преподавателей математики. Развитие сети
технических учебных заведений влекло за со-
бой увеличение приема на математические
6
отделения физико-математических факульте-
тов. Сами эти факультеты стали столь боль-
шими, что управление ими оказалось затруд-
нительным. Для улучшения работы было
произведено их разбиение на ряд факультетов.
Так, постепенно, начали выделяться самостоя-
тельные механико-математические факульте-
ты в университетах. Потребности народного
хозяйства в специалистах по теоретической
аэромеханике, гидромеханике, теории упруго-
сти и общей механике привели к необходимо-
сти дифференцировать подготовку математи-
ков и выделить отделения математики. Нет
сомнений, что эта мера себя оправдала: на
факультетах стали создаваться разнообраз-
ные механические лаборатории, студентов ста-
ли привлекать к лабораторным исследова-
ниям, механика стала преподаваться не
только как математическая, но и как физиче-
ская дисциплина. В стране появился большой
отряд механиков-теоретиков, увлеченных ре-
шением ряда первоочередных научно-практи-
ческих вопросов, в первую очередь связанных
с созданием отечественной авиации.
Традиции, созданные Н. Е. Жуковским и
С. А. Чаплыгиным, а также их воспитанника-
ми, быстро привели к ряду крупных успехов
советской аэромеханики, как практических,
так и научных. Были решены многие вопросы,
стоявшие перед авиацией того времени, — вы-
бор профилей крыльев; расчет самолетов на
прочность и на сопротивление; выяснение
причин, которые вызывают попадание само-
лета в состояние штопора, и указание дей-
ственных мер борьбы с этим явлением; иссле-
дование аэродинамических явлений при боль-
ших скоростях обтекания и пр. Естественно,
что новые задачи механики толкали и на раз-
работку новых математических методов их ре-
шения. В Днепропетровске А. Н. Динником
создавалась школа механики, занимавшаяся
вопросами горного давления в шахтных выра-
ботках и прочности шахтных подъемных ка-
натов.
Одновременно со значительным увеличе-
нием числа студентов университетов и педву-
зов, специализирующихся в области матема-
тики и механики, выявилась необходимость
резкого увеличения подготовки молодых уче-
ных через аспирантуру. В настоящее время
подавляющее большинство профессоров и до-
центов вузов, а также старших научных со-
трудников научно-исследовательских институ-
тов закончили курс аспирантуры.
После окончания Великой Отечественной
войны, когда выявилась важность перспектив-
ных научных исследований как для обороны
страны, так и для развития ее народного хо-
зяйства, в огромных масштабах увеличился
спрос на специалистов-математиков. Для ма-
тематика открылись новые пути применения
его знаний. Этому особенно содействовали
исследования в области использования ядер-
ных сил для оборонных и хозяйственных це-
лей, а также появление новой вычислительной
техники. Выявились новые пути автоматиза-
ции управления производственными процесса-
ми и значение поиска оптимальных путей
управления процессами использования мате-
риальных ресурсов, развития экономики. Воз-
никла невиданная ранее потребность и в ма-
тематиках нового типа: программистах для
электронных вычислительных машин, владе-
ющих современными методами решения при-
кладных проблем. Выявилась важность уси-
ления подготовки математиков в области ма-
тематической логики, математической стати-
стики, теории вероятностей, функционального
анализа, программирования, методов опти-
мального управления. Создалось положение,
когда значительно увеличенный выпуск мате-
матиков из университетов и педвузов пол-
ностью не удовлетворял потребности страны.
Возникла необходимость резко расширить
прием на механико-математические факульте-
ты уже существовавших университетов, и был
открыт ряд новых университетов — в Ужгоро-
де, Нальчике, Йошкар-Оле, Новосибирске и
других городах страны.
3.	Научно-исследовательские институты
До революции научная работа в области
математики была сосредоточена почти исклю-
чительно в немногочисленных университетах
и высших учебных заведениях. Никаких спе-
циальных научных учреждений для развития
математики в стране не было. Академия наук
существовала, в первую очередь, для того,
чтобы отметить заслуги ученого путем избра-
ния его в состав ее членов. Общее число уче-
ных было совсем невелико. Достаточно ска-
зать, что в Московском университете накану-
не Великой Октябрьской революции было все-
го-навсего шесть или семь профессоров мате-
матики, а по всей стране их насчитывалось
не более тридцати.
Советское правительство с первых же дней
сремилось привлечь деятелей науки к актив-
ной деятельности и использовать результаты
науки для развития страны. Недаром
В. И. Ленин в своей речи в Петроградском
Совете 12 марта 1919 г. говорил, что «для со-
циалистического строительства необходимо
использовать науку, технику и вообще все, что
нам оставила капиталистическая Россия»
(В. И. Ленин, Соч., изд. 5, т. 38, стр. 6). Уже
7
тогда руководители страны понимали, что
для удовлетворения потребностей государства
в научных исследованиях ограничиться одни-
ми небольшими ячейками в университетах со-
вершенно недостаточно, необходимо создавать
специализированные научные институты, в ко-
торых сотрудники решали бы актуальные на-
учные проблемы И для этой цели не жалели
средств. Вспомним, что уже в 1918 г. был
созван Центральный аэрогидродинамический
институт в Москве (ЦАГИ), а в 1921 г. Фи-
зико-математический институт в Ленинграде
(тогда в Петрограде), из которого позднее
выделился Математический институт Акаде-
мии наук СССР, и ему было присвоено имя
одного из организаторов Физико-математиче-
ского института — академика В. А Стеклова.
На Украине уже в первые годы революции
была создана Украинская Академия наук и в
ней Комиссия по математике. Впоследствии
эта Комиссия переросла в Математический
институт Академии наук Украинской ССР.
Позднее специализированные математиче-
ские институты были организованы во всех
союзных республиках и явились весьма круп-
ным фактором прогресса математической
науки.
Институты взяли на себя, помимо развития
самой математики, также организацию мате-
матической жизни — конференций и съездов,
приглашение ученых из других научных цент-
ров, а также редактирование математических
журналов. В недрах математических институ-
тов зарождались и многие вычислительные
центры, институты математических машин,
институты кибернетики.
В настоящее время в стране имеется не-
сколько десятков научных институтов соб-
ственно математического профиля и профиля,
близкого к математическому В таких инсти-
тутах, как физические, передачи информации,
механики, гидромеханики, кибернетики, авто
матики и телемеханики, математическая часть
очень велика В последние годы создают соб-
ственные математические отделы и многие ин-
ституты биологического профиля, институты
экономики и чисто производственные.
Конечно, в институтах, ставящих перед со-
бой задачу развития самой математической
науки, частные прикладные вопросы зани-
мают сравнительно небольшое место в тема-
тике работы. И если такие вопросы и попа-
дают в поле зрения сотрудников математиче-
ских институтов, то в первую очередь с целью
выявления общих математических проблем,
возникающих в актуальных задачах практики.
Уже сейчас можно привести большое число
примеров такого благотворного влияния прак-
тики на развитие общематематических кон-
цепций советскими учеными. Одним из ярких
примеров самого последнего времени являет-
ся создание Л С. Понтрягиным и его учени-
ками основ теории оптимального управления.
Основываясь на постановках ряда задач оп-
тимального управления в конкретных ситуа-
циях, Л. С. Понтрягин сформулировал общую
математическую проблему, выработал общий
принцип ее решения и построил основы мате-
матической теории. Число таких примеров
можно значительно увеличить.
Естественно, что математические институты
некоторую долю своего внимания уделяют
подготовке молодых ученых через аспиранту-
ру. После окончания аспирантуры научно-ис-
следовательских институтов молодые ученые-
математики лишь частично остаются в вос-
питавших их институтах, подавляющая же
их часть направляется на работу в вузы и
иные исследовательские институты.
Несомненно, что создание специальных на-
учно-исследовательских математических ин-
ститутов оправдало себя. Позднее подобные
же институты стали создаваться в других
странах мира. И это не прихоть ученых, а не-
обходимость, диктуемая временем, эпохой.
Культурный, технический, экономический и
оборонный потенциал страны теперь состоит
не только и не столько в наличии большого
числа заводов, сколько в наличии большого
числа ученых и инженеров, способных внести
новые идеи, указать новые пути прогресса.
Для экономического развития страны абсо-
лютно необходимо не только иметь возмож-
ность производить стандартную продукцию в
достаточных количествах, но и уметь своевре-
менно изменить отработанную технологию
производства на производство новых, более
совершенных изделий.
Если в нашей стране не была бы начата
своевременная подготовка большого числа
специалистов и не были бы созданы многочис-
ленные научно-исследовательские институты,
то в настоящее время мы не могли бы быть
пионерами в области освоения космоса, не
создали бы первыми в мире атомные электро-
станции, явившиеся прототипом для много-
численных подобных, но более мощных стан-
ций, построенных теперь во многих странах
мира.
4.	Методологические установки советской математики
Современная математика развивается весь-
ма интенсивно и оказывает огромное влияние
как ва прогресс естествознания, так и на рост
производительных сил общества. Процесс раз-
8
вития математики сопровождается выработ-
кой новых понятий, ломкой старых представ-
лений и глубокой перестройкой ее основ.
В такой ситуации ученый не может оставать-
ся только на позициях решения отдельных,
частных задач науки, без того, чтобы иметь
глубокое представление о принципах ее раз-
вития, об истоках ее понятий и идей. Более
того, исключительно важно, чтобы методоло-
гические установки ученого были правильны
и помогали ему проникать в существо пробле-
мы, а не уводили в сторону от истины. Фило-
софия диалектического материализма для со-
ветских математиков стала основой их фило-
софских взглядов и во многих случаях помо-
гала им в принципиальных вопросах находить
правильный путь для их решения. Позитивист-
ский лозунг «Наука — сама себе философия»
не может удовлетворить мыслящего матема-
тика и естествоиспытателя. Он не может обой-
тись без сложившихся философских концеп-
ций, поскольку в ином случае он, как об этом
говорил еще Ф. Энгельс, оказывается в плену
самой скверной философии.
Для математика, придерживающегося ма-
териалистических взглядов, понятия его науки
являются не произвольными конструкциями
ума, а отражают некоторые стороны объек-
тивно существующего мира. Из того, что ма-
тематика является одной из наиболее абс
трактных наук, совсем не вытекает, что ее
понятия оторваны от реального мира и от жи-
тейской практики. Процесс образования ма-
тематических понятий по сути дела ничем не
отличается от образования любых понятий.
Согласно В. И. Ленину, «познание есть ото-
бражение человеком природы. Но это не про-
стое, не непосредственное отображение, а
процесс ряда абстракций, формирования, со-
здания понятий, законов etc., которые... и
охватывают условно, приблизительно универ-
сальную закономерность природы, которая
вечно движется и развивается» («Философ-
ские тетради», ОГИЗ, 1947, стр. 156).
Математические понятия не рождаются в
голове математика безотносительно к вещам
мира, к происходящим в нем явлениям. В про-
цессе познания приходится неизбежно абс-
трагироваться от отдельных, частных черт и
искать типичные черты, свойственные всем
индивидуумам данной группы объектов. Раз-
личным ступеням познания, а также различ-
ным наукам свойственны разные ступени аб-
стракции. Одни науки при образовании поня-
тий сохраняют больше характерных черт объ-
екта изучения и тем самым остаются ближе
к вещам и явлениям определенного типа.
Другие — при образовании понятий — абстра-
гируются от значительно большего числа черт,
присущих реальным вещам. Утрачивая в кон-
кретности, такие понятия приобретают боль-
шую общность и относятся к значительно бо-
лее широкому кругу объектов изучения.
Заметим, что в одной и той же науке нередко
приходится использовать разные степени абс-
трагирования. Так, в гидродинамике понятие
идеальной жидкости находится на весьма вы-
соком уровне абстракции, тогда как понятие
вязкой жидкости — на несколько меньшем.
Математическим понятиям соответствует осо-
бенно высокий уровень абстракции. И именно
этим объясняется тот факт, что математиче-
ские понятия и теории имеют столь разнооб-
разные применения. Но в математике прихо-
дится идти дальше и абстрагироваться не
только от конкретных вещей, но и от ранее со-
зданных абстракций. Формирование понятия
целого числа связано с длительным процессом
счета конкретных предметов — раковин, ко-
ров, яблок и т. д. Образование же понятий
отрицательного и дробного числа, а особенно
комплексного находится на более высоком
уровне абстрагирования.
В связи с развитием аксиоматического ме-
тода в математике, особенно в конце XIX —
начале XX в., появился ряд работ философов
и математиков, в которых отстаивалась идея
произвольного творчества математиком ак-
сиом математики. Советские математики про-
тивопоставили этому положению один из тези-
сов В. И. Ленина, высказанный им в связи с
рассмотрением категорий логики. «Практиче-
ская деятельность человека миллиарды раз
должна была приводить к повторению разных
логических фигур, чтобы эти фигуры могли
приобрести значение аксиом» («Философские
тетради», ОГИЗ, 1947, стр. 156). Точно так
же аксиомы геометрии и арифметики возник-
ли не в силу творческого акта людей, который
был не связан с практикой, а в результате
длительных наблюдений и последующего аб-
страгирования от этих наблюдений.
Среди многочисленных определений мате-
матики, в которых частные ее особенности
возводились в ранг всеобщего, нельзя найти
базу для правильных представлений. Совет-
ская математика приняла определение, дан-
ное Ф. Энгельсом: «Чистая математика имеет
своим объектом пространственные формы и
количественные отношения действительного
мира, стало быть — весьма реальный мате-
риал. Тот факт, что этот материал принимает
весьма абстрактную форму, может лишь сла-
бо затушевать его происхождение из внешнего
мира. Но чтобы быть в состоянии исследовать
эти формы и отношения в чистом виде, необ-
9
ходимо совершенно отделить их от их содер-
жания, оставив это последнее в стороне как
нечто безразличное» (Ф. Энгельс, Анти-
Дюринг, 1957, стр. 37).
По мере проникновения в тайны природы,
экономических процессов, педагогического ма-
стерства выясняется, что первоначальные
представления и приемы описания недоста-
точны, грубы и требуют существенной пере-
стройки. Это относится как к качественному
их описанию, так и к математической их тео-
рии. Само собой разумеется, что для описания
исключительно глубоких закономерностей,
наблюдающихся при изучении внутриатомных
явлений, распространения электромагнитных
колебаний или же процессов мышления йеоб-
ходим не тот примитивный математический
аппарат, который достаточен при торговых
расчетах или при возведении крепостных со-
оружений. И было бы поразительно, если бы
приемы, результаты и методы математическо-
го исследования, которые были разработаны
в древнем мире или же во времена Ньютона
и Лейбница, были достаточны и в наши дни.
К тому же следует подчеркнуть и еще одно
обстоятельство. Роль математики в современ-
ных исследованиях стала существенно боль-
шей, чем даже в сравнительно недавние вре-
мена. Действительно, обычная схема познания
природы, которую мы восприняли со школь-
ных времен, такова: опыт нам открывает
предметы исследования, соответствующим об-
разом поставленный эксперимент дает нам
большой материал для построения теории,
эта теория проверяется - опытом и в случае
необходимости изменяется в соответствии с
данными наблюдений. В целом эта схема со-
храняет свое значение и в наши дни, но те-
перь требуются и некоторые коррективы. Мы
уже не можем сейчас в ряде случаев ставить
эксперимент, поскольку обычные средства на-
блюдения оказываются недостаточными. Так,
при изучении внутриатомных явлений мы мо-
жем наблюдать лишь вторичные эффекты и.
для того чтобы- понять природу вещей, нам
нужно до постановки эксперимента строить
математическую теорию, выводить из нее
большое число следствий и о качестве теории
судить по степени и>х соответствия с наблю-
дениями. Точно так же при изучении косми-
ческого пространства с помощью ракет мы за-
частую лишены возможности до запуска кос-
мических станций экспериментальным путем
проверить их поведение. Мы должны вновь
прибегать к построению математической тео-
рии соответствующих явлений, на базе этой
теории рассчитывать траекторию на разных
участках, а также поведение различных узлов
космической станции. При этом мы не отхо-
дим от законов диалектики, а, наоборот, ши-
роко их используем, поскольку все эти теории
базируются, во-первых, на уже накопленном
человечеством опыте, а во-вторых, используют
идеи единства материи и природы.
Отменяет ли такой новый подход к иссле-
дованию явлений природы и процессов эконо-
мического, технического и производственного
развития общества данное Ф. Энгельсом опре-
деление математики? Здравые рассуждения
показывают, что нет и речь идет не об отмене
определения Энгельса, а о расширении смыс-
ла слов «количественные отношения» и «про-
странственные формы» действительного мира.
В нашей стране постоянно подчеркивалась
необходимость одновременного развития как
прикладных математических исследований,
так и исследований общетеоретических, кото-
рые создавали бы базу для развития матема-
тических методов практики будущего. Узкое
делячество всегда противоречило принципам
советской науки, так же как и оторванное от
реальной практики теоретизирование. Теперь,
когда роль науки для жизни общества выяви-
лась особенно ярко, мы можем убедиться в
правильности тезиса о необходимости пропор-
ционального развития прикладных и теорети-
ческих исследований с особым вниманием на
развитие перспективных разделов науки. Этот
подход позволил нашей стране создать перво-
классную авиацию, в кратчайшие сроки про-
никнуть в тайны атома и не только создать
ядерное оружие, но и использовать внутри-
атомную энергию для мирных целей. Эти же
методологические установки советской науки
сделали наш народ первопроходцем в кос-
мосе.
5.	Пример коренного преобразования целой ветви
науки советскими математиками
Советские математики внесли за истекшие
50 лет замечательный вклад буквально во все
отрасли математической науки и много дали
для прикладных исследований. Можно гово-
рить о блестящих исследованиях Н. Н. Лузи-
на и его школы в области теории функций
действительного переменного; М. А. Лаврен-
тьева, И. И. Привалова и многих других в
теории функций комплексного переменного и
ее использовании в аэродинамике, теории
упругости и других областях знания. Велики
заслуги в развитии топологии П. С. Урысона.
П. С. Александрова, Л. С. Понтрягина и их
учеников. Огромны успехи советской науки в
развитии математического анализа. Здесь
нельзя обойти имена И. Г. Петровского,
10
И. М. Гельфанда, Н. М. Крылова, М. Г. Крей-
на и многих других. Исключительный про-
гресс математической физики достигнут в
трудах Н. Н. Боголюбова, А. А. Андронова
и других.
Более подробно остановимся на прогрессе
теории вероятностей, связанном в первую оче-
редь с советской наукой, в том числе с рабо-
тами А. Н. Колмогорова и А. Я. Хинчина.
Выбор нами этой области исследований свя-
зан с двумя обстоятельствами: во-первых,
здесь особенно сильно влияние методологиче-
ских установок советской науки, а во-вторых,
теория вероятностей сейчас представляет осо-
бый интерес для преподавателей средней шко-
лы, поскольку ее элементы будут изучаться
учащимися в факультативных курсах.
Теория вероятностей, возникшая в середине
XVII столетия, на протяжении XVIII и
XIX вв. не только наращивала общие матема-
тические факты, но и распространяла свое
влияние на естественные и гуманитарные нау-
ки. К 20-м годам нашего столетия стало до-
статочно ясно, что теоретико-вероятностные
концепции являются основополагающими для
физики, биологии, экономики и ряда произ-
водственных процессов. Широта применений
была ясна, но одновременно с этим было
ясно, что основы теории вероятностей остава-
лись совершенно неудовлетворительными, тре-
бовали перестройки, а ее аналитический аппа-
рат и основные понятия были значительно
уже потребностей. Критика основных понятий
теории вероятностей была предметом ряда
работ начиная с середины прошлого века. Хо-
рошо известны примеры Бертрана, которые
в зависимости от подхода к их решению при-
водили к разным результатам. Это удавалось
сделать потому, что неопределенность понятий
давала возможность в одной словесной фор-
мулировке объединять несколько различных
задач. Позднее, уже в 1917 г., С. Н. Берн-
штейн, в то время профессор Харьковского
университета, помимо серьезной критики по-
строения основ теории вероятностей как мате-
матической науки, предложил и построение ее
аксиоматики. Начиная с 1918 г. ряд критиче-
ских исследований по основам теории вероят-
ностей опубликовал немецкий математик
Р. Мизес. Предложение строить теорию веро-
ятностей на базе теории множеств было сде-
лано в 1909 г. французским математиком
Э. Борелем, а первый вариант такого изложе-
ния был опубликован польским математиком
А. Ломницким в 1922 г.
Как ни значительны были эти результаты,
все же они явились лишь толчком к построе-
нию А. Н. Колмогоровым общепринятой те-
перь аксиоматики теории вероятностей на ба-
зе теории множеств и теории функций. В этих
представлениях удалось классическое опреде-
ление вероятности случайного события вклю-
чить в более общее понятие, базирующееся на
понятии меры множества. Само понятие слу-
чайного события стало производным от пер-
вичного понятия множества элементарных со-
бытий. Случайная величина в этой концепции
рассматривается в качестве измеримой функ-
ции, определенной на множестве элементар-
ных событий. Этот подход позволил понять
смысл арифметических действий над случай-
ными величинами. Более того, понятия мате-
матического ожидания, дисперсии, моментов
уложились в понятие абстрактного интеграла
Лебега. Этим самым теория вероятностей по-
лучила аналитический аппарат, который к
этому времени был уже хорошо разработан.
Построение основ теории вероятностей от-
крыло невиданные возможности для поста-
новки новых вопросов и для решения ряда
классических задач. В ряде работ А. Я- Хин-
чина и А. Н. Колмогорова, а также их учени-
ков были найдены необходимые и достаточ-
ные условия применимости закона больших
чисел, центральной предельной теоремы, оп-
ределен класс возможных предельных рас-
пределений для сумм независимых случайных
величин при увеличении их числа и условия
сходимости к каждому из них и множество
других результатов.
На базе этих же идей в работах А. Н. Кол-
могорова, А. Я. Хинчина, Е. Е. Слуцкого,
С. Н. Бернштейна были созданы основы тео-
рии случайных процессов (случайных функ-
ций). Почти немедленно после первых работ
в области теории случайных процессов уда-
лось использовать их теорию при решении за-
дач статистической физики, биологии, в тео-
рии и практике телефонной связи. Очень бы-
стро теория случайных процессов преврати-
лась в центральную главу не только теории
вероятностей, но и всей прикладной матема-
тики.
Роль советской школы теории вероятностей
в становлении этой дисциплины как матема-
тической науки признана во всем мире. В на-
стоящее время, когда интерес к теории ве-
роятностей резко возрос во всем мире, совет-
ская наука продолжает занимать в этой об-
ласти весьма почетные позиции.
6.	Место советской математики в мировой науке
Отдельные замечательные математики, сде-
лавшие решительные шаги в прогрессе мате-
матики, были известны и в царской России.
11
Достаточно вспомнить такие имена, как
Н. И. Лобачевский, П. Л. Чебышев, А. М. Ля-
пунов, чтобы согласиться с тем, что еще доре-
волюционная наука нашей страны внесла в
научный прогресс огромный вклад. Однако в
целом дореволюционная математика (по ко
личеству выдающихся представителей, по чис-
лу идей и их прогрессивности) значительно
уступала математике Франции, Германии,
Италии.
русская учебная литература была исключи-
тельно бедной как по количеству названий,
так и по охвату основных математических
областей. Специализированных издательств
физико-математической литературы не было,
если не считать организовавшегося незадолго
перед Великой Октябрьской революцией изда
тельства Матезис в Одессе. Основная масса
печатавшихся учебников переводилась с дру-
гих языков, в первую очередь с французского
и немецкого Собственная учебная литерату-
ра печаталась главным образом студенчески-
ми обществами. Случаи перевода учебников
с русского языка на другие языки за предела
ми России были единичны. Тиражи изданий
были незначительны.
После революции стране пришлось созда
вать специализированные издательства для
издания физико-математической литературы.
В настоящее время наша страна имеет бога-
тейшую учебную и монографическую литера-
туру по математике, и не только на русском
языке. Практически все основные направле-
ния современной математики представлены у
нас превосходными книгами советских авто-
ров. За пределами Союза внимательно следят
за выходом новых советских математических
книг и стремятся как можно быстрее органи-
зовать их перевод и издание. Сотни советских
книг изданы в Англии, США, Франции, ГДР
и других странах мира, и некоторые из них
приняты в качестве основных учебников в уни-
верситетах и других высших учебных заведе-
ниях этих стран.
Советская система математического обра
зования и воспитания ученых привлекает все-
общее внимание. Молодые математики жела-
ют приехать учиться к нам в страну и вести
научную работу в наших математических кол
лективах.
Многие советские математики заслуженно
считаются крупнейшими представителями
избранных ими направлений. Их приглашают
в другие страны для чтения циклов лекций в
университетах и в высших технических шко-
лах. Как правило, помимо лекций собственно
по специальности, наших ученых просят по-
дробно рассказывать о системе советского об-
разования и воспитания. Многие идеи мате-
матического образования и математического
просвещения, родившиеся в нашей стране,
проводятся в жизнь и в других странах. Так.
школьные математические олимпиады совер-
шают сейчас победный марш по многим стра-
нам мира. Мои коллеги из США, Англии и
некоторых других стран рассказывали, что
они тоже проводили у себя в городах матема-
тические олимпиады, используя наш опыт.
До революции в нашей стране был один-
единственный специализированный математи-
ческий журнал — «Математический сборник».
Сейчас мы имеем около 20 математических
журналов, но и их недостаточно. Научная ак-
тивность возросла настолько, что от сдачи
статьи в журнал до ее опубликования нередко
проходит около двух лет. О том, что качество
работ весьма высоко, можно судить хотя бы
потому, что некоторые из наших математиче-
ских журналов переводятся на другие языки
и издаются в других странах.
Многочисленные поездки советских матема-
тиков за пределы Советского Союза показа-
ли, как много математиков изучали и изучают
русский язык, чтобы иметь возможность в
Оригинале знакомиться с работами советских
математиков.
Удельный вес советской математики
очень высок. Наши зарубежные коллеги счи-
тают, что математика США и математика
СССР сейчас представляют две основные дви-
жущие силы в этой науке. Но если советская
математика выросла целиком за счет внутрен-
них сил, то математика США выросла в зна-
чительной мере за счет переселения многих
сотен крупнейших математиков из всех стран
мира.
Советская наука находится на подъеме.
Наша страна имеет многочисленную талант-
ливую математическую молодежь, которая
весьма часто обогащает нашу науку, еще бу-
дучи на студенческой скамье. В этом заслуга
как ученых старшего поколения, которые при-
влекают их к научным исследованиям, гак и
советской средней школы и советского обще-
ства. Именно школа и общество внушают ува-
жение молодежи к научным исследованиям
и дают первые начатки научных увлечений.
Как ни велики успехи нашей страны в раз-
витии математики за истекшие полвека, мы
вправе требовать от себя большего. Наша
страна исключительно богата талантами, и
задача состоит в том, чтобы научиться их на-
ходить и воспитывать Без учителя средней
школы, влюбленного в свой труд, способного
внушить любовь к науке своим ученикам и
передать им знания, не может быть прогрес-
12
сивного роста науки Нам нужно добиться то-
го, чтобы такой обширный источник талант-
ливых людей, в том числе и математиков, как
молодежь деревни, был использован во всей
широте. Для этого нам предстоит сделать еще
очень многое. Нам многое нужно сделать и в
высшем математическом образовании как ма-
тематиков, так и других специалистов — ин-
женеров, экономистов, биологов и др. В этом
таятся огромные резервы повышения произ-
водительности труда и использования огром-
ных возможностей нашей страны для эконо-
мического, социального и культурного про-
гресса.
50
О. ПРИНИТС (г. Тарту!
К ИСТОРИИ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ
В ЭСТОНСКОЙ ШКОЛЕ
Начальное образование на родном языке
в Эстонии начало осуществляться еще в кон-
це XVII в., однако первый учебник по мате-
матике на эстонском языке был выпущен
только в 1806 г. — это арифметика для на-
чальной школы П. X Ф р е я. Во второй по-
ловине XIX в. опубликованы уже несколько
учебников на родном языке. Средн них отме-
тим «Разумный исчислитель» Рудольфа Кал-
ласа, содержащий не только фактический ма-
териал, но и ряд методических рекомендаций,
которые актуальны и для нашего времени:
количество домашних заданий должно быть
умеренным, а задания должны быть посиль-
ными для учащихся; проводить систематиче-
ски повторение; развивать мышление учащих-
ся; почаще менять формы работы, активизи-
руя тем самым внимание детей; организовы-
вать среди учащихся соревнования в решении
задач и т. п.
Первый эстонский ученый-математик
Я. Тюльк (по окончании университета в
Тарту совершенствовал свои знания в неко-
торых университетах Западной Европы) на-
писал для школы учебник геометрии (1879),
близкий по структуре к систематическому
к\рсу.
Годом раньше вышел из печати учебник
геометрии И. Каппа, в котором свойства
геометрических фигур устанавливаются глав-
ным образом на основе наблюдений и экспе-
риментов.
В эти же годы работники Тартуского уни-
верситета уделяют внимание школе. Так,
проф. Эттинген в небольшой работе «Об
обучении математике в школе» (1872) под-
черкивает недостаточность времени, отводи-
мого на математику, указывает на необходи-
мость ввести в школьную программу элемен-
ты высшей математики.
После революции 1905 г. преподавание на
родном языке начинается и в средней школе
(в гимназиях). Началом нового этапа в пре-
подавании математики в школах Эстонии на-
до считать конференцию математиков в авгу-
сте 1917 г. На конференции была рассмотрена
математическая терминология на эстонском
языке. Проф. Я. Сар в поднял проблемы со-
держания школьного курса математики, ее
методики
На этой конференции была также выдви
нута проблема объединения школьных курсов
арифметики, алгебры и геометрии в один
предмет— математику.
Участником конференции 1917г. был и ныне
здравствующий проф. И. Я. Д е п м а н.
Общереспубликанские конференции учите-
лей математики вошли в традицию. На кон-
ференции 1924 г. была образована программ-
ная комиссия под руководством проф. Г. Р я-
го. Комиссия разработала программы для
6-летней начальной школы и 5-летней сред-
ней. В этих программах математика рассмат-
ривается как единый предмет.
Средняя школа в Эстонии к этому времени
была дифференцирована — выделены классы
с гуманитарным уклоном и классы с реаль-
ным уклоном. В «реальных» классах в по-
следние два года обучения учащиеся изучали
элементы аналитической геометрии, матема-
тического анализа (производную, интеграл),
знакомились со статистическим методом и эле-
ментами сферической тригонометрии.
Учебники по новой программе были состав-
13
лены профессорами Г. Р я го и Ю Нуутом.
Некоторые формулы стереометрии в этих
учебниках выводились с помощью интеграла.
В связи с введением новой программы ожи-
вилась методическая мысль передовых учите-
лей. Было выпущено много учебных пособий.
В I—IX классах применялись рабочие тетра-
ди по математике. Их автором среди других
был и известный педагог И. К я й с.
В последние годы существования буржуаз-
ной республики, после фашистского перево-
рота* в 1934 г. проводилась крайне реакцион-
ная политика и в народном образовании.
В послевоенные годы учебные программы
эстонской школы были приведены в соответ-
ствие с программами школ Российской Феде-
рации. Были переведены на эстонский язык
некоторые учебники по математике Методи-
стам по математике пришли на помощь това-
рищи из РСФСР — проф. И. Я- Депман,
проф. И. К. Андронов и другие.
В 1957 г. после обсуждения на многих со-
вещаниях министерством просвещения Эстон-
ской ССР была утверждена эксперименталь-
ная программа для V—VIII классов и в со-
ответствии с ней написаны учебники.
В 40 школах республики в течение четырех
лет проверялась новая программа и учебни-
ки. С 1961 г. уже все школы республики пе-
решли на новые программы. Математика в
этих программах рассматривается как единый
предмет, хотя учителю предоставлялось право
преподавать раздельно алгебру и геометрию.
В эти же годы были написаны для школ
рабочей молодежи учебники арифметики, в ко-
торых действия над десятичными дробями
рассматриваются раньше действий над обык-
новенными. Надо заметить, что этот порядок
не был новостью для эстонских школ.
Много проблем возникло при выработке
программы для IX—XI классов. В ряде школ
проводились эксперименты.
Помимо традиционных тем элементарной
математики, в программу включены элементы
математического анализа: производная и ее
применение для исследования функций, диф-
ференциал, неопределенный и определенный
интеграл; комплексные числа рассматривают-
ся достаточно подробно — вплоть до умноже-
ния и деления комплексных чисел в тригоно-
метрической форме.
Много внимания в программе уделено гео-
метрическим преобразованиям на плоскости.
Заключается программа «темой по выбору».
Для изучения математики в IX—XI классах
по новой программе А. В и х м а н, О. Пр и-
нитс, Г. Росенберг и Э. Этверк напи-
сали новые учебники.
Чтобы дать материал для «темы по выбо-
ру», выпущен учебник «Дополнительные темы
для школьной математики» коллектива авто-
ров:	Вельске р, Кару, Рейман д,
Ханко.
В связи с опубликованием АПН СССР про-
ектов новых школьных программ по матема-
тике Научно-исследовательский институт пе-
дагогики Эст.ССР решил произвести некото-
рые изменения в программах для эстонских
школ. Принято ввести уже в I классе понятие
множества, изучение производной начать в
IX классе; включить в обязательную програм-
му элементы теории вероятностей и матема-
тической статистики.
Большую работу по обновлению програм-
мы в начальных классах провел А. Линт,
опубликовавший в газете «Ныукогуде ыпетая»
(«Советский учитель») ряд методических ста-
тей. В ряде школ в 1966/67 учебном году пер-
вые классы работали по новой программе.
Большую помощь в усовершенствовании со-
держания школьной математики и методов ее
преподавания оказывает журнал «Математи-
ка и современность», издаваемый на общест-
венных началах. Редакционную коллегию воз-
главляет доцент кафедры вычислительной
математики Тартуского университета Ю. К а а-
з и к. Активными участниками журнала явля-
ются учителя эстонских школ, работники тар-
туских высших учебных заведений, а также
математики и методисты братских республик
Советского Союза.
Центром методической работы по матема-
тике в Эст. ССР является кафедра методики
в Тартуском университете. Руководит кафед-
рой проф. Г. Ряго, который заканчивает
большой двухтомный труд по методике мате-
матики. В этом году проф. Г. Ряго исполняет-
ся 75 лет.
Повышение уровня знаний учащихся по ма-
тематике в школах Эстонии осуществляется,
как и в школах других республик Советского
Союза, также и путем развития внеклассной
работы и проведения математических олим-
пиад. По примеру Московского и Ленинград-
ского университетов при Тартуском универси-
тете создана заочная математическая школа,
насчитывающая в настоящее время около ты-
сячи учащихся.
В целях дальнейшего развития и усовершен-
ствования постановки математического обра-
зования в школах республики эстонские учи-
теля и научные работники поддерживают тес-
ную связь с соответствующими союзными ор-
ганизациями и организациями ряда союзных
республик.
14
МЕТОДИЧЕСКИЙ
ОТДЕЛ
Обсуждаем проект программы
П. К. ОДИНЦОВ, М. С. ТОЛСТЕНКОВ (г. Барнаул)
О ПРОЕКТЕ ПРОГРАММ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ
ПО МАТЕМАТИКЕ
Включение в проект программ элементов
аналитической геометрии, дифференциального
и интегрального исчислений, элементов тео-
рии вероятности, начал векторного исчисле-
ния, элементов математической логики, зна-
комство со счетно-решающими устройствами
и другими важными вопросами в значитель-
ной мере будут способствовать сближению
школьного курса с математикой как наукой,
осуществлению тесной связи обучения с
жизнью, поднятию общей математической
культуры учащихся.
Большую роль в усовершенствовании мате-
матического образования сыграет введение
факультативных занятий по математике. В ря-
де школ Алтайского края уже имеется опыт
изучения некоторых разделов проекта новых
программ. Так, например, в 1965/66, 1966/67
учебных годах в восьмых классах в порядке
эксперимента изучались следующие вопросы
геометрии: тригонометрические функции углов
от 0° до 180° и в связи с этим метрические
соотношения в косоугольном треугольнике и
решение косоугольных треугольников.
Опыт показывает, что изучение данных во-
просов необходимо проводить на векторной
основе; это значительно упрощает их изложе-
ние, повышает интерес к предмету, расширяет
представление учащихся о методологии ма-
тематики и подготавливает основу для ис-
пользования векторного аппарата в старших
классах. В связи с этим представляется целе-
сообразным включить в программу восьми-
летней школы элементы векторной алгебры
на плоскости, что вызывается также потреб-
ностями физики.
В математической школе при Барнаульском
пединституте, а также в двух других средних
школах с 1965/66 учебного года факультатив-
но изучается курс «Элементы общей алгеб-
ры», включающий следующие понятия: мно-
жество, равенство множеств, подмножество,
операции над множествами, однозначные и
взаимно однозначные соответствия, подста-
новки, матрицы, алгебраическая операция и
ее свойства, группа, кольцо, поле, изомор-
физм.
Изучение указанных понятий повысило уро-
вень логической строгости при изложении не-
которых вопросов алгебры, позволило дать
структурный анализ изучаемых в школе чис-
ловых множеств, четко сформулировать за-
дачу о расширении числового множества, спо-
собствовало преодолению формализма при
изучении таких понятий, как арифметический
корень, операция, равносильность уравнений,
неравенств и др.
15
Г. В. БЕНДЕРСКИЙ, Л. Ф. ПИЧУРИН [г. Томск]
СОДЕРЖАНИЕ ПРОЕКТА ПРОГРАММЫ И КАДРЫ
Сотрудники кафедры математического ана-
лиза и методики преподавания математики
Томского педагогического института с боль-
шим интересом встретили выход в свет проек-
та программы средней школы с объяснитель-
ной запиской к ней. Эта программа представ-
ляет значительный шаг вперед по сравнению
с существующей, делает действительно воз-
можным значительное увеличение объема по-
лезной информации, получаемой учащимися,
приближает уровень преподавания математи-
ки к современным требованиям и т. д.
Тем не менее на совместном заседании ка-
федр совершенно отчетливо выявились две
группы замечаний. Первая относится к дета-
лям объяснительной записки и программы.
1.	Составители программы напрасно прояв-
ляют нерешительность в вопросе о методах
решения текстовых задач по арифметике, пре-
доставляя право учащемуся самому выбирать
между арифметическим и алгебраическими
методами. Здесь необходима твердость — за-
дачи «чисто арифметические» (задачи-расче-
ты, задачи на четыре арифметических дей-
ствия, включая задачи на зависимость между
их компонентами и результатами, задачи на
составление смет), т. е. те задачи, которые
для своего решения не требуют алгебраиче-
ских методов, должны решаться, естественно,
арифметическим путем Задачи же, требую-
щие для своего решения введения неизвест-
ных и составления уравнений, но решающие-
ся также с помощью искусственных арифме-
тических способов («типовые задачи»), сле-
дует решать только алгебраически.
2.	Следует приветствовать раннее введение
отрицательных чисел, оно оправдано и логи-
чески и педагогически, но этого никак нельзя
сказать о нарушении традиции с расположе-
нием остальных тем курса арифметики, преж-
де всего о разрыве в изучении дробей. Изу-
чать десятичные дроби, затем делимость чисел
и после этого действия с обыкновенными и
десятичными дробями, вместо того чтобы
изучить сначала вопросы делимости, как ос-
нову учения о дробях, затем дроби (возмож-
но, совместно обыкновенные и десятичные
или в общепринятом порядке) — это предло-
жение, несомненно, дань моде и излишнее
оригинальничание, никак не связанное с ду-
хом программы,
16
3.	Данью моде представляется нам и тема
«Арифметические устройства вычислительных
машин» в VII классе. Введение этой темы, во-
первых, нарушает логическую стройность кур-
са алгебры Во-вторых, для ознакомления с
идеей применения двоичной системы в ЭВА)
пет необходимости тратить десять часов, по-
лучить же за это время какое-го положитель-
ное знание невозможно. Видимо, вполне до-
статочно того, что предлагается в X классе,—
беседы учителя о применении ЭВМ в науке
и народном хозяйстве, кстати, тогда не будет
и ненужного дублирования.
4.	Исследование квадратного трехчлена со-
ставители программы рекомендуют проводить
в IX классе в связи с изучением понятия про-
изводной. В то же время при решении урав-
нений настойчиво внедряется функциональный
подход. Следовательно, без элементарного
(без использования производной) исследова-
ния квадратного трехчлена обойтись, видимо,
не удастся. Кстати, в этом нет ничего трагиче-
ского— все равно для получения формулы
решения квадратного уравнения придется, ве-
роятно, идти традиционным способом выделе-
ния полного квадрата, а это и есть наиболее
громоздкая часть исследования.
5.	Никак нельзя согласиться г постепенным
привлечением в IV классе угольника и линей-
ки. Именно сразу, с момента появления пер-
вых геометрических понятий еще в начальной
школе должны быть привиты навыки приме-
нения угольника, линейки и циркуля В про-
тивном случае можно гарантировать создание
прочного навыка в небрежном оформлении
тетради по математике со всеми вытекающи-
ми отсюда последствиями
6.	Вызывает сомнение необходимость темы
«Движения» в курсе геометрии VII класса.
Изучение движений и их свойств в этом воз-
расте (тринадцать-четырнадцать лет) едва ли
может быть достаточно глубоким и на прак-
тике почти наверняка выльется в формальное
заучивание «правил» без понимания красоты
и силы идей, заложенных в этой теме.
7	Мы не видим смысла в троекратном или
двукратном изучении ряда прикладных во-
просов геометрии (длина окружности, площа-
ди. объемы и т. п.). Кстати, не совсем ясно,
сохраняется ли тема № 12 курса геометрии
восьмилетней школы — в объяснительной за-
писке она упоминается, в проекте же про-
граммы ее нет.
8.	Необходимо основательно отредактиро-
вать программу и объяснительную записку,
избавив их от ряда расплывчатых рекоменда-
ций, вроде: «выбор задач на построение про-
граммой не фиксирован, однако общее число
решенных задач должно быть достаточным
для создания устойчивою навыка».
9.	Язык математики как науки есть язык
логико-математический, и его основные эле-
менты необходимо изучить в школе. Однако
в предлагаемом проекте элементы математи-
ческой логики, в частности в первую очередь
алгебры высказываний, не нашли отражения.
10.	Говорить о деталях программы старших
классов, которая будет введена не ранее, чем
через пять лет, по-видимому, преждевремен-
но, но две несообразности бросаются в глаза.
Во-первых, куда-то исчезла алгебра как та-
ковая — по существу в программе нет ни чис-
ла, ни группы, ни уравнения, осталось лишь
изучение функции. Такой ярко выраженный
функциональный уклон едва ли может быть
оправдан и в наше время тоже выглядит ар-
хаично. Во-вторых, в геометрии пропали пре-
образования, отнесенные только на факуль-
тативные занятия. С этим никак нельзя со-
гласиться — в старших классах в курсе гео-
метрии можно отказаться от изучения любых
фактов, но не от изучения определяющих идей
пауки.
Такова первая группа наших замечаний.
Вторая же относится к возможности реали-
зации предлагаемого проекта в массовой
школе. Будучи глубоко убежденными в том,
что по уровню трудности предлагаемая про-
грамма, не говоря уж о действующей, несом-
ненно ниже возможностей среднего ученика,
что в принципе мозг ребенка и подростка в
состоянии усваивать гораздо больший объем
знаний, овладевать куда более глубокими
идеями, чем те, которые заложены в этой про-
грамме, мы тем не менее считаем, что в на-
стоящее время реализовать эту программу
некому.
Для работы по ней необходимо универси-
тетское образование В настоящее время учи-
теля с таким образованием составляют нич-
тожное меньшинство. Университетов вообще
немного, и они не ставят перед собой задачу
подготовки учителей математики, а если в не-
которых случаях и ставят, то на практике
большинство выпускников университета до-
вольно быстро уходят из школы. Промельк-
нувшая в печати мысль о необходимости де-
ления учителей по классам (в старших клас-
сах — выпускники университетов, в восьми-
летней школе — выпускники пединститутов)
представляется нам вредной. Во-первых, от
того, как и кем будет подготовлен выпускник
восьмилетней школы, зависят его успехи в
старших классах, во-вторых, преподавание в
восьмилетней школе только кажется более
легким, чем в старших классах, на деле же
все обстоит наоборот, в-третьих, такая поста-
новка вопроса ведет к подрыву авторитета
педвузов в глазах населения, и прежде всего
молодежи, выбирающей профессию, наконец,
задача перехода ко всеобщему среднему об-
разованию, поставленная XXIII съездом
КПСС, требует непрерывности в преподава-
нии школьных предметов.
Короче говоря, рассчитывать на помощь
университетов не приходится Взгляд же на
учебный план и программы физико-матема-
тических факультетов педагогических инсти-
тутов убеждает, что при нынешней системе
подготовки учителей математики реализация
предлагаемой программы не будет обеспе-
чена..
Надо принципиально по-новому решить во-
прос о подготовке высококвалифицированных
учителей математики. При этом следует иметь
в виду, что если переход на новые программы
предполагается осуществлять постепенно, то с
перестройкой системы подготовки учителей
медлить нельзя, ее надо осуществлять немед-
ленно.
Р. А. ХАБИБ (г. Ташкент]
О НОВЫХ ПРОГРАММАХ
Проект программы по математике несколь-
ко раз обсуждался на совещаниях учителей
и ученых Ташкента, которые дали ему в це-
лом положительную оценку. Было признано
правильным общее направление нововведе-
ний: ориентация на органическую связь обу-
чения математике с содержательной, есте-
ственнонаучной интерпретацией математиче-
ских фактов в сочетании с повышением логи-
ческого уровня преподавания и сближением
его с современным состоянием научных зна-
ний. Несмотря на значительное обновление
17
содержания школьного курса математики, нет
оснований сомневаться в доступности этих
материалов для школьников, поскольку соста-
вители программы руководствовались уста-
новками на дидактически правильное сочета-
ние индуктивных и дедуктивных методов
обучения (с опорой в младших классах на
непосредственный практический опыт школь-
ников), на твердое усвоение соответствующих
навыков, закрепляемых выполнением боль-
шого числа достаточно простых упражнений.
Конечно, на пути к переходу на новые про-
граммы учителей ожидает немало трудностей.
Но ведь любую трудность можно преодолеть,
если знать, что другие успешно справляются
с ней. Новая программа реальна, потому что
она опирается на результаты большой экспе-
риментальной работы, проводившейся в стра-
не (в том числе сектором методики препода-
вания математики Академии педагогических
наук), на опыт обучения математике в сред-
них специальных учебных заведениях.
Преподавание арифметики и начал алгеб-
ры в IV—V классах в первые годы перехода
к новым программам, видимо, вызовет осо-
бый интерес учительства. Выскажем несколь-
ко замечаний по поводу программы этого
курса, основанных на результатах экспери-
ментальной работы по изучению систематиче-
ского курса арифметики в IV классе ’.
I. Привлечение элементов теории множеств
никаких возражений не вызывает. Мы ис-
пользовали введение этих понятий не только
для определения арифметических действий,
но и для повышения логического уровня обос-
нования законов арифметических действий,
для выявления связи между взаимно обрат-
ными действиями, а также для установления
свойств равенства по отношению к сложению
и вычитанию, умножению и делению. Усвое-
ние рассуждений по обоснованию правил,
многие из которых были известны школьни-
кам уже в начальных классах, не представ-
ляло для них особых трудностей, поскольку
эти рассуждения проводились применительно
к различным предметным множествам (ка-
рандашам, палочкам, кубикам и пр.). Обоб-
щение сделанных выводов позволяло найти
естественный мотив в пользу введения бук-
венных записей.
П. Доступность введения элементов алгеб-
ры в первоначальный курс арифметики дока-
зана многими экспериментами. Проект про-
граммы предполагает усилить насыщенность
1 Эксперимент проведен автором этих строк совмест-
но со студентами Самаркандского университета; см.
журнал «Начальная школа», № 5 за 1964 г. и № 8
за 1966 г.
курса математики IV и V классов алгебраи-
ческим материалом, который раньше изучался
в VI классе.
Изучение начал алгебры с IV класса может
быть использовано для повышения качества
знаний учащихся по арифметике. Буквенные
формулы и уравнения — одно из средств из-
учения зависимостей, и поэтому естественно,
что их применение способствует более со-
знательному усвоению арифметического ма-
териала. Например, вводя правило порядка
действий на буквенных формулах, мы помо-
гаем ученикам отвлечься от несущественного
на данном этапе факта: конкретных значений
чисел, из которых составлен пример. То же
самое можно сказать о записях: а + 0 = а;
О + а = а; а — 0 = а; а • 0 = 0; а • 1 = а и др.
Считаю, что было бы полезнее рассредото-
чить по всему курсу математики IV класса
введение буквенных записей (тема 6)’. Пояс-
нение составителей программы о том, что в
этой теме («Рациональные числа. Формулы
и координаты») «широко применяются бук-
венные записи зависимостей между числами
и величинами в виде формул:
5 =	V = a b-c ит. п.»,
о том, что «здесь же записываются основные
свойства действий ab = ba, (а-Ь)-с =
= а-(Ь-с), а-(Ь + с) = а  b + а  с и правила
действий с дробями», может нацелить учите-
лей на изолированное изучение арифметиче-
ских и алгебраических вопросов.
III.	Введение уравнений возможно, как
показал опыт, на самой ранней стадии изуче-
ния курса арифметики. Проект программы
для начальных классов предполагает решение
простейших уравнений (на основе зависимо-
стей между данными и результатами дей-
ствий) в III классе. Поэтому изучение урав-
нений в IV классе вполне оправдано. И здесь
важно подчеркнуть, что уравнения могут
быть использованы в целях усвоения арифме-
тического материала, а именно: как сред-
ство краткой записи условия задачи, как
способ изучения зависимостей, как общий
прием решения задач.
Опыт показал, что формирование навыка
решения уравнений на основе зависимостей
требует не меньшей затраты учебного време-
ни, нежели усвоение некоторых специальных
правил решения уравнений. Учитывая, что
вышеуказанные зависимости изучаются в на-
чальных классах, где будет показано также
применение этих правил для решения простей-
ших уравнений, целесообразно уже в I теме,
а не во II, как рекомендуется проектом
программы, уделить основное внимание под-
18
готовке к введению правил решения урав-
нений, вплоть до правила перемены знака
при перенесении члена из одной части урав-
нения в другую.
IV.	Изучение целых чисел вслед за нату-
ральными представляется вполне приемле-
мым. Сектором методики математики Акаде-
мии педагогических наук найдены удачные
методические приемы, облегчающие усвоение
этого материала учениками IV класса.
Мы ввели знак «—» как характеристику
направления движения при упражнениях с
клетчатой бумагой. В «Геометрии для I — IV
классов» А. М. Пышкало (изд. «Просвеще-
ние», М., 1965) даны рисунки лодок, парохо-
дов, домиков и других фигур из клетчатой
бумаге. Когда ребята усвоили вычерчивание
этих фигур по готовым образцам, мы пере-
шли к словесному описанию построения. Уче-
ники отмечали на бумаге положение одной
точки, затем находили положение второй
(«продвинуться на 4 клетки вправо»); треть-
ей точки («продвинуться от первой точки на
2 клетки влево и опуститься вниз на 3 клет-
ки») и т. д.
Чтобы еще более упростить этот «графиче-
ский диктант», мы договаривались с учени
ками обозначать знаком « + » движение впра-
во и вверх, знаком «—»— движение влево и
вниз от первой точки (начала координат).
Те же самые рисунки (сумка, профиль Бура-
тино) получались уже после того, как учи-
тель последовательно называл несколько пар
чисел, определявших опорные точки.
Указанный способ хорошо объяснял учени-
кам также идею метода координат.
V.	Проект программы предполагает изуче-
ние раздела «Десятичные дроби» в IV клас-
се, а изучение раздела «Действия с обыкно-
венными и десятичными дробями» — в V
классе.
Поскольку первоначальное изучение деся-
тичных дробей связывается с десятичной си-
стемой мер и дает возможность трактовать
именованные числа как десятичные дроби, а
изучение арифметических действий с обыкно-
венными и десятичными дробями проводится
затем отдельно, предлагаемый порядок распо-
ложения материала является приемлемым.
В самом деле, несмотря на некоторую пере-
становку традиционных арифметических тем,
учителю не придется дважды обосновывать
законы действий с дробными числами (для
десятичных и обыкновенных дробей), а сов-
местное изучение обыкновенных и десятич-
ных дробей имеет свои преимущества. В Уз-
бекистане (в г. Самарканде, а затем в г. Кар-
ши) проверяется система параллельного
изучения обыкновенных и десятичных дробей.
Экспериментаторы считают, что по сравне-
нию с системой раздельного изучения она
дает более прочные навыки вычислений с
дробными числами при значительной эконо-
мии учебного времени.
VI.	Неудовлетворительно, на мой взгляд,
решен в проекте программы вопрос о прибли-
женных вычислениях. Оценку погрешностей
суммы, разности, произведения и частного
приближенных чисел, правила подсчета цифр
предусмотрено ввести лишь в VII классе,
т. е. в конце четвертого года изучения систе-
матического курса математики. Разрыв между
первичным ознакомлением с приближенными
числами (в V классе) и введением правил
действий над такими числами является неже-
лательным.
Некоторые учителя, оправдывая смещение
правил действий с приближенными числами
на более поздний срок, ссылаются на труд-
ности усвоения этой темы учениками. Но
трудности усвоения зависят главным образом
от подхода к изучению темы. Наш опыт пока-
зал, что изучение правил приближенных вы-
числений (правил подсчета цифр) с позиций
«здравого смысла», т. е. наблюдение в ходе
обычных, «точных» вычислений, влияния по-
грешностей данных на погрешность результа-
та, вполне доступно пятиклассникам,
VII.	Построение курса геометрии IV—V
классов как естественнонаучной дисциплины,
обобщающей наблюдения над окружающим
миром, одобряется учителями. Несомненно,
что этот курс позволит решать задачу логи-
ческого развития школьников постепенно, осо-
знанно, на основе сформированных навыков
геометрического черчения. Хотелось бы толь-
ко, чтобы внимание на формирование этих
навыков было обращено уже в IV классе, а
не в V, как указывает проект программы.
19
И. Е. ШИМАНСКИЙ (г. Киев)
ЗАМЕЧАНИЯ К ПРОЕКТУ ПРОГРАММЫ
ДЛЯ СРЕДНЕЙ школы по математике
Рассматриваемый проект программы имеет
немало положительных сторон и, несомненно,
он может быть принят как основа будущей
программы. Отметим существенные недостат-
ки проекта программы:
1.	Прежде всего бросается в глаза не-
сколько нигилистическое отношение к пробле-
ме навыков В частности, это касается курса
геометрии. Почему учащиеся не должны
прочно усвоить основные формулы для пло-
щадей и поверхностей, а только пользоваться
справочником? Здесь авторы проекта уда-
ряются в другую крайность—ничего не нуж-
но заучивать или запоминать.
2.	В некоторых местах нарушены основные
дидактические требования — от легкого к
сложному и систематичность в изложении
основного программного материала.
Известно, что отрицательные числа трудно
воспринимаются учащимися VI класса. Для
чего же их переносить в IV класс, а обыкно
венные дроби оставлять в V классе?
Главное, что время, потраченное на изуче
ние в IV классе отрицательных чисел напрас-
но пропадает, так как навыки, которые даль-
ше не закрепляются, быстро исчезают. А
перерыв между первым и вторым концепт У
рами (в изучении рациональных чисел) про- (
должается около года	|
Трудно согласиться также с утверждением '
авторов проекта, что изучение отрицательных
чисел до изучения дробей полезно и для
закрепления вычислительных навыков.
3.	Вызывает возражение распределение ча-
сов на отдельные темы. Так, только на повто-
рение целых чисел в IV классе выделено
85 часов, а на изучение трех трудных новых
тем в V классе (обыкновенные дроби, деся-
тичные дроби и проценты) тоже выделено
только 85 часов.
4	Не ясно, почему необходимо в VI классе
изучать графики функций ах2 и ох3 во время
изучения разложения на множители и фор-
мул сокращенного умножения. Какая логиче-
ская связь между этими вопросами?
Не понятно также, почему делимость чисел
оторвана от темы «Натуральные числа»?
5.	Рано также давать в VII классе понятие
об обратной функции. Главное, что дальше
это понятие не используется.
6. Совершенно не понятно, какое отноше-
ние к теме «Приближенные вычисления»
имеет построение графиков у = | х — а\ и
Лишним является введение специальных
символов для целой и дробной частей.
7	. Отсутствует в проекте преобразование
графиков, хотя бы параллельный перенос.
8	При изучении степенной функции все
внимание сосредоточено на рассматривании
ее на логарифмической сетке
9	. Значительное возражение вызывают
упорные попытки авторов дать учащимся
IX класса понятие непрерывности на языке
(е—6). Известно, что это трудно восприни-
мается студентами-первокурсниками, для
чего же по этому вопросу игнорировать опыт
высшей и средней школы? Здесь достаточно
ограничиться описательной передачей поня
тия непрерывности.
10	Ссылаться на «пропедевтику граничных
процессов» в VII классе во время изучения
темы «Приближенные вычисления» педаго-
гически наивно.
’	11. Введение в VII классе приближенных
вычислений методом граничных абсолютных
погрешностей недоступно учащимся этого
класса. Всем известно, сколько времени необ-
ходимо для того, чтобы приучить учащихся
VI—VII классов правильно проводить при
ближенные вычисления методом подсчета
цифр. Метод граничных абсолютных погреш-
ностей в соединении с правилами подсчета
цифр вызывает большие трудности даже у
студентов На наш взгляд, этот материал
можно перенести в VIII—IX классы.
12.	Разделяем «сожаление» составителей
проекта программы об исключении из про-
граммы средней школы комплексных чисел.
Без понятия комплексного числа изложение
теории квадратных уравнений останется очень
неполным; у учащихся может создаться впе
чатление, что не все квадратные уравнения
разрешимы, а это было бы очень вредно в
идейном отношении Комплексные числа мож-
но ввести так же, как вводим на низшей и
средней ступенях многие другие новые поня-
тия,— чисто описательно; учащиеся на этой
стадии развития еще не требуют более «науч-
ных» объяснений.
20
13.	Не понятно, почему в объяснительной
записке дважды указывается, что произ-
водную вводить только в связи с квадратным
трехчленом. Естественно, что одним из бли-
жайших применений производных будет ис-
следование квадратного трехчлена, но указы-
вать до некоторой степени органическую
связь между ними нецелесообразно.
14.	Вряд ли целесообразно говорить в VI
классе о множестве углов между —оо и +оо.
Лучше тогда ограничиться множеством от
— 180° и до +180°.
15	Совсем нежелательно вводить в VII
классе рекуррентную формулу для извлече-
ния квадратного корня. Достаточно указать
метод проб.
М. И. ИВАНОВ (г Тула)
О ПРОЕКТЕ НОВОЙ ПРОГРАММЫ
ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ IV И V
Положительные стороны новой программы
очевидны. Об этом уже писали, повторять
не будем.
Укажем ряд недостатков, которые будут
мешать проведению в жизнь этой программы.
1.	Программа IV класса перегружена; ма-
териал выше возрастных возможностей уче-
ников данного класса. Надо учесть и то, что
в IV классе в основном будут работать учи-
теля, не имеющие специального математиче-
ского образования.
Вводить отрицательные числа в IV классе
и решать уравнения с переносом членов из
одной части равенства в другую без доста-
точной подготовки не следует. Такая поспеш-
ность, вызывая излишние трудности, не спо-
собствует прочности усвоения материала.
В IV классе следует совершенствовать
способы решения уравнений на основании за-
висимости между компонентами действий,
применяя и устные вычисления. Так, при ре-
шении уравнения 32 — 2х = 20 ученик без
записей должен сказать: «х = 6». Но подго-
товку к приемам решения на основании
свойств равенств проводить следует.
В IV классе вместо десятичных дробей сле-
дует пройти курс обыкновенных дробей,
используя пропедевтику дробей в начальных
классах. Этот курс представляет дальнейшее
развитие изученного в начальной школе. В
то же время это хорошая база для совершен-
ствования в следующем классе вычислитель-
ной техники.
В действующей программе и в проекте
новой во П и III классах имеется подготови-
тельный курс обыкновенных дробей со знаме-
нателями не больше 10. Учащиеся первых трех
классов будут иметь некоторые навыки в об-
ращении с простейшими дробями. А что
дальше? В IV классе по проекту все это пре-
рывается и вводится незаконченный курс де-
КЛАССОВ
сятичных дробей. В V классе возвращаются
к обыкновенным дробям и заканчивают деся-
тичные, причем (как сказано в проекте) дей-
ствия с этими дробями проходятся совместно.
В результате — лишние концентры и отсут-
ствие строгой последовательности.
Действия с десятичными дробями легче, но
само обоснование их не так просто.
2.	В проекте для V класса (п. 6) введены
формулы длины окружности, площади прямо-
угольника, площади круга. Вычисления по
этим формулам требуют знаний правил при-
ближенных вычислений. Указания, сделанные
по этому вопросу в проекте по V классу,
явно недостаточны. По действующим програм-
мам в учебнике арифметики для V и VI клас-
сов дан в основном достаточный для дан-
ного периода обьем знаний приближенных
вычислений. Подобный курс, дающий возмож-
ность производить действия с приближенны-
ми числами, указан в проекте только в VII
классе. Это надо исправить.
3.	В заключение несколько замечаний по
решению задач. В программе IV и V классов
о решении текстовых задач ничего не гово-
рится. Но в примечаниях на стр. 9 проекта
(журнал № 1) правильно указана большая
роль уравнений при решении текстовых за-
дач, а далее говорится: «На достаточно убе-
дительных примерах раскрываются преиму-
щества алгебраического способа перед ариф-
метическим». Эти по существу единственные
суждения о задачах вызывают возражения.
Было бы неправильно после трехлетней на-
чальной школы заняться свертыванием ариф-
метического способа решения задач.
Каждый из способов имеет свои преиму-
щества, и в IV классе надо использовать
разнообразные методы и приемы решения
задач; выбор того или иного приема зависит
от характера задачи.
A. H. КОЛМОГОРОВ (Москве]
К ИЗМЕНЕНИЯМ В ТЕКСТЕ
УЧЕБНИКА АЛГЕБРЫ ДЛЯ VI-VIII КЛАССОВ
А. Н. БАРСУКОВА
Издательство «Просвещение» нашло целе-
сообразным внести в новое издание учебника
алгебры для VI—VIII классов А. Н. Барсу-
ке вЧа небольшие, предложенные мною, изме-
нения. Исправлены некоторые логически не-
удовлетворительные формулировки и даны
дополнительные пояснения в тех местах, где
вопросы принципиальной важности были осве-
щены недостаточно обстоятельно. Специаль-
ного внимания заслуживают следующие три
новшества.
1.	В § 29 тождество определяется просто как
равенство, верное при всех значениях входя-
щих в него букв. Это определение благополуч-
но работает на протяжении третьей, четвертой
и пятой глав. В шестой главе вводится новый
§ 60а, в котором объясняется целесообраз-
ность более широкого понимания понятия
«тождество» при изучении дробных выра-
жений.
2.	В § 92 на основе рассмотрения графика
функции
У = х2
учащиеся приводятся к мысли, что уравнение
х2 = а
при каждом положительном а должно иметь
два корня. Это допущение и принимается для
дальнейшего с указанием на то, что совершае-
мый здесь выход за пределы системы рацио-
нальных чисел будет более подробно освещен
в курсе IX класса.
3.	По-новому излагается понятие функции.
Новые два параграфа, которые заменяют
прежние § 115 и 116, публикуются далее.
Можно рекомендовать еще по получении
нового издания учебника заранее ознакомить-
ся с новым § 7а, где последовательно прово-
дится различение между понятиями «дробь»
и «дробное число» 1 с уточнением представле-
ний об одночленах, многочленах и алгебраи-
ческих дробях как стандартных рациональных
выражениях, к которым приводятся при помо-
щи тождественных преобразований все
остальные рациональные выражения (§ 28,
41а, 60 и 60а).
* Дробь 4/2 является записью целого числа, а разные
дроби 2/3 и являются записью одного и того же
числа.
Я думаю, что преподавание по новому изда-
нию учебника в классе, где часть учащихся
пользуется старыми изданиями, не встретит
больших трудностей. Лишь в очень неболь-
шом числе случаев изменение формулировки
определений и принятого подхода к делу
должно быть доведено до сознания учащихся
при помощи специальных записей в тетрадях.
§ 115. Звпись зависимостей между переменными
величинами при помощи урввнений
С такой записью по существу мы имели де-
ло с самого начала изучения алгебры.
Пример 1 (см. пример 2 из § I). Брат
старше сестры на 3 года. Обозначим возраст
сестры через т, а возраст брата — через п.
Каждая из этих двух величин переменна
(меняется со временем), но они всегда связа-
ны зависимостью:
п—т = 3.	(1)
Зависимость (1) можно записать в виде
п = т + 3,	(2)
или в виде
т = п— 3.	(3)
Уравнение (2) показывает, как находить п,
если известно пг, уравнение же (3) дает пра-
вило вычисления т при неизвестном п.
Пример 2 (продолжение второго примера
из § 114). Выведем уравнение, выражающее
зависимость между катетом х = АВ и пло-
щадью S треугольника АВС. Обозначив вто-
рой катет через у, имеем
5 = ху	(4)
и по теореме Пифагора х2 + у2 = d2 (d—диа-
метр описанной окружности)
у = Vd2 - X2 ,
что после подстановки в (4) дает
S = -^-x~\fd2 — х2.	(5)
Если диаметр d — известная нам постоян-
ная величина, то уравнение (5) позволяет' для
каждого возможного значения катета х найти
соответствующее ему значение площади 5.
Если бы мы хотели решить обратную задачу, найти по
заданной площади S катет х, то следовало бы решить
22
уравнение (5), считая неизвестным х. Но и не делая
выкладок, можно показать геометрически, что задача
эта может иметь не одно, а два решения. На чертеже 1
площади треугольников АВ,С и АВгС равны, а кате-
ты х, — АВ, и х2 — АВ2 не равны.
Не трудно проделать и соответствующие выкладки:
4S2 = x2(d2 —х2),
х4—d2x2 + 4S2-0,
Допустимыми в задаче являются значения площади,
лежащие в пределах 0< S d*. Площади S —
= d2 соответствует единственное значение х =
а
= —==-, во всех остальных случаях заданному S
> 2
соответствуют два значения х.
Пример 3. Стороны прямоугольника а и
Ь, его полупериметр р и площадь S связаны
за висимостями
а + Ъ — р,	(6)
ab = S.	(7)
В этом примере две величины а и b могут
принимать произвольные положительные зна-
чения. Если эти значения заданы, то значе-
ния остальных двух величин р и S можно
вычислить по формулам (6) и (7).
Пример 4. Будем считать в предыдущем
примере полупериметр р постоянным и извест-
ным. Тогда
S = a(p — а).	(8)
Черт. 2
Мы видим, что теперь, зная одну из сторон
а, можно вычислить площадь S. Зависимость
(8) можно изобразить графически (черт. 2).
Площадь 5 будет больше всего, когда
Этого можно было ожидать; чтобы при дан-
ном периметре 2р получить прямоугольник
наибольшей площади, надо взять все его
стороны равными. Иначе говоря, среди пря-
моугольников данного периметра квадрат
имеет наибольшую площадь.
Как и в примере 3, обратная задача опре-
деления стороны а по площади 5 при всех
допустимых значениях S (такими будут зна-
чения S в пределах	кроме
с Рг
о = имеет не одно решение, а два (это
видно на черт. 2).
§ 116. Понятие функции
Будем рассматривать зависимости, связы-
вающие только две переменные величины
(так и было в наших примерах за исключе-
нием примера 3).
Определение. Если две величины х и у
связаны такой зависимостью, что каждому до-
пустимому значению величины х соответствует
одно определенное значение величины у, то
говорят, что величина у является функцией
величины х.
В примере 2 площадь 5 является функцией
катета х, но катет х не является функцией
площади 3. В примере 3 площадь S является
функцией стороны а, но сторона а не являет-
ся функцией площади S.
В примере 1 можно считать возраст брата
функцией возраста сестры (эта функция вы-
числяется по формуле (2), но можно считать
и возраст сестры функцией возраста брата
(это другая функция, которая вычисляется
по формуле (3).
Приведенное выше определение функции
является неявным: в нем сказано, когда мож-
но считать, что одна переменная величина
есть функция другой, но не дано прямого от-
вета на вопрос: что такое функция.
Прямой ответ на этот вопрос можно сфор-
мулировать так: функция — это закон, кото-
рый указывает для каждого допустимого зна-
чения некоторой переменной величины (назы-
ваемой аргументом, или независимым пере-
менным) одно определенное значение другой
величины (называемой зависимым перемен-
ным) .
23
Вы уже встречались со специальными обо
значениями для функций. Например, в записи
y = V х знак можно рассматривать как
знак функции: закон, который каждому неот-
рицательному значению аргумента х ставит
в соответствие арифметический корень из это-
го значения аргумента.
Другим примером может служить запись
у = sin А. Здесь знаком функции служат три
буквы sin. Когда угловой аргумент А пробе-
гает значения от нуля до 90°, зависимое пе-
ременное у пробегает числовые значения от
нуля до единицы (см. черт. 3).
Чаще всего при изучении функций независи-
мое переменное (аргумент) обозначают бук-
вой х, а зависимое переменное — буквой у.
Сама функция (т. е. закон соответствия меж-
ду х и у) может и не обозначаться специаль-
ным знаком. Чаще всего функция задается
при помощи формулы, показывающей, какие
действия надо выполнить, чтобы по значению
аргумента х получить соответствующее значе-
ние у. Так мы и поступали в разобранных вы-
ше примерах.
Заметьте, выражение «у есть функция» имеет смысл
только тогда, когда указано, в качестве функции ка
кого аргумента мы рассматриваем величину у. Напри
мер, не имеет смысла просто сказать «в прямоуголь-
ном треугольнике АВС отношение катета к гипоте-
зе
нузе у — есть функция». Это отношение можно
рассматривать как функцию угла А или как функцию
угла В. у — sin А, у -= cos В (черт. 4). Очевидно, что
это две разные функции.
В § 111, рассматривая трехчлен ах2 + Ьх +
+ с, мы называли букву х аргументом. Теперь
это название понятно. Букве х мы приписыва-
Черт. 3
Черт. 4
ли произвольные числовые значения: для лю-
бого заданного значения х получалось вполне
определенное значение у — ах2 + Ьх+с.
Мы имеем дело с функцией, которая опре-
делена при всех числовых значениях аргу-
мента.
. 1
В отличие от этого функция у = — опре-
делена только при х Ф 0
Определение. Множество всех значе-
ний аргумента, для которых определены соот-
ветствующие им значения функции, называет-
ся областью определения функции.
Иногда область определения функции зави-
сит не от вида формулы, служащей для ее за-
писи, а от реального содержания задачи. На-
пример, функция у — х2 определена при лю-
бых числовых значениях аргумента х. Но, ес-
ли речь идет о площади у квадрата со сторо-
ной х, то функцию следует считать опреде-
ленной только при положительных значе-
ниях х. Если у = 9х есть стоимость (в руб-
лях) х пар лыж, то у как функция х определе-
на только для натуральных значений х.
П. с. МОДЕНОВ (Москва)
ЗАДАЧИ, ПРЕДЛАГАВШИЕСЯ НА ПРИЕМНЫХ ИСПЫТАНИЯХ
ПО МАТЕМАТИКЕ В МОСКОВСКОМ ГОСУДАРСТВЕННОМ
УНИВЕРСИТЕТЕ В 1967 Г.
Механико-математический факультет
1. Указать все значения а, при кото-
рых уравнение
logioo-*2 =’og^r10(lgl0a- |lg-J-|) (1)
имеет решение, и найти все соответ-
ствующие решения.
Решение. Данное уравнение эквивалентно
следующему:
lg2x — 2^1 + iga —
1g л	~ °’
Корнями данного уравнения являются все
корни числителя, отличные от 1.
Итак, будем решать уравнение
1g2 х — 2 (1 4- lg а — 11g 1) = О,
или
lg2x —2 —21ga + 2|lgx—Iga/=0. (2)
Случай 1. Igx^lga. Уравнение (2)
эквивалентно следующему квадратному урав-
нению относительно 1g х:
1g2 х 4- 21g х — 2 — 41g а = 0.	(3)
Его дискриминант Д = 3 + 41g а.
Корни уравнения (3) действительны только
тогда, когда Д^>0, т. е.
1	3
Ig«>-"4--
з
Если 1gа —----т. е. Д = 0, то уравне-
ние (3) имеет равные корни: 1g х = —1; усло-
вие lgx>-lga не выполняется. Значит, при
з
а = 10 4 данное уравнение не имеет корней
таких, что lg х^ 1g а. Будем считать, что
з
1g а>----Тогда корни уравнения (3) отно-
сительно 1g х действительны и различны;
lgx=Iga является корнем уравнения (3)
только тогда, когда
Ig2 а — 21g а — 2 = 0,
т. е. только тогда, когда
lga = l±]/3.
Данное уравнение имеет корни (lgx = lga):
х = IO1-*43, если а = 101-1<3 и х = 101+,/л, если
а = 101+^3.
Будем теперь считать, что
1g а>----, 1g а =/= 1 — /3, 1g а =£ 1 + ИЗ.
Тогда и только тогда корни уравнения (3)
действительны, различны и ни один из них
не равен 1g а.
Уравнение (3) в случае 1 (и при условии
1gа>-----, 1g а 1 — /3, lgа =£ 1 4- /3 )
имеет два корня относительно 1g х только
тогда, когда1
1 Мы ссылаемся на следующую теорему. Если корни
х, и х2 уравнения хг + рх + q = О действительны
и различны, то число Л меньше их обоих только тогда,
когда Xs + рХ -t- q > 0, 2Х + р < 0. Число X лежит
между корнями х, и х2 только тогда, когда X2 4- рХ 4-
+ q < 0. Наконец, X > Xi и X > х2 только тогда, когда
X2 + рХ -р q > 0, 2Х -р р > 0. В самом деле: X < х,
иХ<х2 только тогда, когда X—xt < 0, X—х2 < 0
или (X — х,) (X — х,) >0 и X — х, 4-Х — х2 < 0 или
X2 — (х, 4- х2) X 4- х,х2 >0 и 2Х — (х, 4- х2) < 0. и так
как х, 4- х2----р, x,x2—q, то X2 4- рХ 4- q > 0, 2X4-
4-р<0. Аналогично доказывается остальное.
I (1g2х-f- 2Igx — 2 — 4Iga)igо>0,
I (21gx + 2),g x=1ga<0.
Второе неравенство противоречит условию
lg а >---1- действительности корней уравне-
ния (3).
Уравнение (3) в случае I (и при условии
1g а > — ~ . 1g а =£ 1 — Уз, 1g а =/= 1 + |Лз )
имеет два корня относительно Igx, один
из которых больше 1g а, а другой меньше 1g а,
только тогда, когда
(1g2 х 4- 21g х — 2 - 41g a)lg Л=1в a <0,
т. e.
1—P^3<lga<14- |/3.
Корнем данного уравнения будет больший ко-
рень уравнения (3), т. е.
1gх = VS 4- 41ga — 1.
Однако из условия 1g х = }^3 4- 4 lg а — 1 = 0
находим 1g а ---т. е. а =—1=-
2	к ю '
Это число заключено в интервале (1 — (/3,
1 4- 1 3), и потому
X --= Ю^34"41® "-1
является корнем данного уравнения, если или
1 - V3<a
1
/10 ’
или
—t-<a<l 4- уз.
V 10
Случай 11. !gx<Jga. Уравнение (2)
эквивалентно следующему:
1g2 х — 21g х — 2 = 0,
откуда
1g х = 1 + у 3
Значит, если lga<:i — УЗ, то данное урав-
нение не имеет корней таких, что 1g х/1g а.
Если 1 — j/3<a<:i4-j/3, то данное урав-
нение имеет корень х = 10’-^, а если
lga> 1 4- /3, то корни данного уравнения
х = К)1-*''3, х= Ю^3.
2.	Лаборатории необходимо заказать
некоторое количество одинаковых сфе-
рических колб общей вместимостью
100 л. Емкость одной колбы склады-
вается из стоимости труда мастера,
пропорциональной квад рату поверхно-
сти колбы, и стоимости материала,
пропорциональной ее поверхности. При
этом колба объемом в 1 л обходится
в 1 руб. 25 коп., и в этом случае стои-
25
мость труда составляет 20% стои-
мости колбы (толщину стенок колбы
считать пренеб режительно малой). Ка-
кое количество колб надо сделать, чтобы
их изготовление было наиболее дешевым?2
Решение. Обозначим через г, s и v соот-
ветственно радиус, поверхность и объем про-
извольной сферической колбы, а через r0, s0
и ‘У0('У0 = 1) соответственно радиус, поверх-
ность я объем сферической колбы объемом
в 1 л. Тогда
Стоимость
,	2
V	Г*	S
— = —=- ; отсюда — — ч) л .
Vo	'о
одной колбы (в рублях) равна
4'== psi + qs0,
где р и q — коэффициенты пропорциональ-
ности.
По условию задачи имеем: ps2 = — (руб.);
отсюда
1 1
q=~--
Стоимость одной колбы объемом ч> равна
ps2 + qs = S2 4-	$ = -j- V 3 + 3 .
а стоимость всех колб
т ( 1 ОТ ,	Т100
+‘г'3?— =
= 100 (-4-“° 3 + ®	/•
X 4	1	/
П	гГ 'Г	100
Пусть х— число колб. 1огда v = —, и
значит,
Т = 100 [4- (4г)^+ Сг)~	=
= 100 [4(~5г)Т~ (v)~	10°-
Отсюда следует, что функция Т от х
(при х>0) принимает наименьшее значение
только тогда, когда
i	1
1 /100 \“б	/100\__б Л	„ЮС
т(—) -(т-) =0’ 0ТКУда -г = 12’5-
Однако число колб не может быть равно 12,5.
Для решения задачи докажем, что функция
4 Здесь дана несколько измененная задача по срав-
нению с той. которую фактически сформулировали
на испытаниях.
на полуинтервале (0; 12,5] — убывающая, а
на полуинтервале [12,5; -)-оо) — возрастающая.
Тогда ясно, что оптимальное решение даег
либо х=12, либо х=13.
Находим
Т(х2)-Т(х() =
1	1	/ lOOVJ/JOO\'3'_4
ос Г/ 100 Хз /100ХТ1 1 хг) X х, )
х' ’ (“4W
Знак разности Т (х2) — Т (xj определяется
знаком разности
/100х4л100>)4_ 4 или 10000 _64==
X х, J \х, J	xtx2
= 64 12,5г —
Считая, что 0 <4 хх <4 •Яг'С 12,5, находим
7(х2)-7(х1)<0.
Следовательно, функция Т (х) на полуинтер-
вале (0; 12,5] — убывающая.
Если же 12,5<х1<х2, то Т (х2)—7(Xj£>0,
и, значит, функция Т (х) на полуинтервале
(12,5; Доо) — возрастающая.
Из доказанного следует, что наиболее рен-
табельно изготовить либо 12, либо 13 колб.
Для решения войроса надо сравнить стоимость
изготовления 12 и 13 колб и взять их раз-
ность. Эта разность равна
Г (13) — Г(12) =
Так как (ту) 3 ~ (ду) 3 <°- т0 знак Раз’
ности 7(13)—7(12) определяется знаком
10000	10 000 -64-13-12
13-12	1312
10 000 — 9984 _ 4
“	156	39
Итак, 7(13) — 7(12) <0, т. е. 7 (13) <7(12).
Приблизительно 7(12) — 7(13) —0,07 коп.
3.	На координатной плоскости ука-
зать все точки с координатами (х, у),
для каждой из которых существует
хотя бы одно значение t, при котором
выражение
2 cos 2t -J- 4 sin 2х sin t + 2 sin (x + y) —
— (sin 2x — I)2
26
больше 1, и изобразить область, обра-
зуемую этими точками.
Решение. Преобразуем неравенство
2 cos 2Z -J- 4 sin 2х sin t 4- 2 sin (x 4- у) —
— (sin 2x — 1)2^> 1
следующим образом:
2 — 4 sin21 + 4 sin 2x sin t 4- 2 sin (x 4- y) —
— sin2 2x + 2 sin 2x — 1 > 1,
или
2 [sin (x+ y) + sin 2x] — (2 sin t — sin 2x)2> 0.
Если
sin (x + y) 4- sin 2x 0,
то левая часть последнего неравенства не по-
ложительна при всех действительных значе-
ниях t.
Если же
sin (х + у) 4- sin 2х > 0,	(1)
то, например, при
t = arc sin ( sin 2х)
имеем
2 [sin (х + у) + sin 2х] — (2 sin t — sin 2x)2 =
= 2[sin (x + y) + sin 2x[ > 0.
Итак, координаты x, у всех точек, удов-
летворяющих условию задачи, находятся ре-
шением неравенства
sin (х + у) + sin 2х > 0,
строится так. Построим прямые
[ Зх 4- у = 4л£,
[ Зх 4- У === 4л£ 4- 2л;
{у — х — 4-кп — л,
у — х = 4лп 4- л	С'®)
и прямые
( Зх 4- у = 4лх — 2л,
| Зх 4- у — 4л$;	(С}
I у — х = 4л/д 4- л,
I у — х = 4л/п 4* Зл.
Любые две параллельные прямые (Л) (при
любом целом k) и любые две параллельные
прямые (В) (при любом целом п) образуют
параллелограмм, для координат любой внут-
ренней точки которого выполняется неравен-
ство (1).
Аналогично и для уравнений (С) и (£)).
Всеми внутренними точками всех указанных
параллелограммов исчерпываются все решения
неравенства (1) (черт. 1).
4.	Основание правильной треугольной
пирамиды касается шара с центром
в вершине пирамиды, причем внутри
пирамиды содержится всей поверх-
ности шара. Определить отношение
объемов пирамиды и шара.
или
sin
Зх 4- v у —
----^~СОЭ=Чу
0.
Теперь заметим, что все решения неравен-
ства
•	4“ У	л
sin---2 —	0
таковы:
4л£ <С Зх + у <С 4vk 4- 2л,
а все решения неравенства
•	*^х “Ь У
sin----
4лх — 2л Зх 4- у 4л$,
где k и s принимают все целые значения.
Все решения неравенства
cos у~2 х > 0:
—л4- 4лпу — х<®4 4лп,
а все решения неравенства
л 4- 4л/и у — х < Зл 4- 4л/п,
где тип принимают все целые значения.
Множество всех точек (х, у), координаты
которых удовлетворяют неравенству (1),
2
•Я
Решение. Сумма А 4- Z?-|- С углов сфе-
рического треугольника АВС (т. е. треуголь-
ника, образованного дугами больших кругов
сферы) с его площадью х связана соотно-
шением:
Л + 5 +	р-,	(1)
где г — радиус сферы.
Так как все двугранные углы данной пира-
мвды равны между собой, то, полагая г= 1,
из формулы (1) получим
ЗЛ = л + х,
где х — площадь сферического треугольника,
высекаемого из сферы боковыми гранями
данной пирамиды.
Так как при условии г = 1 поверхность
сферы равна 4те, а х по условию состав-
ляет -у- этой величины, то
откуда
Такова величина внутреннего двугранного
угла, ребром которого является боковое
ребро пирамиды. Пусть в основании пира-
миды лежит треугольник PQR, а О ее вер-
шина (черт. 2). Проведем через прямую PQ
плоскость, перпендикулярную OR (это воз-
можно, так как PQj_OR). Пусть эта пло-
скость пересечет ребро OR в точке N.
Обозначим через 7И середину отрезка PQ.
Так как 07 = 1, то, полагая OR=l и
PR = а. получим
1MR = MN-l, MQ = MN tg
Поделив почленно первое равенство на вто-
рое, получим
Из Л ОТR находим
i ।	® о* 9 "4
i+_— _3tg2—,
откуда
a2 = 3 (3tg2  ----1) = 6—1~2c°S/ ,
\ 6	2	/	1 + cos A
и, значит, объем т>п пирамиды OPQR равен
__ >z 3	1—2 cos А
"°n	2 ’	1 + cos A
Объем шара равен
4
“«ш—	3 я,
следовательно,
ип __ 3 уЛ3 1 — 2 cos А
уш 8л 1 + cos А
7л
= IT? . 1 — 2 C0S~15~	3 / 3~
8л	7п	8л Х
1 + cos —ру
„ 8л
1 + 2cos 15	3/3
Х	8л	~	32л	Х
1-cos-jy
X [40 + 12 V5- 3/3 (3 + /5)K10-2/5'j.
8л	л	л
Заметим, что -тл- = -=——л-.
15	О	О
При вычислении cos з была использована
формула
л	ос о	8 + 1
COS -у-= cos 36 = --------
Вывести ее можно так:
л	2п	1	2л 2л
COS—л~ COS —л- = ------ Sin —=- COS —л- =
5	5	_ л 5 о
7С	2TZ	Os	1 О7С
COS -у---COS -у- = 2. Sin -у Sin -]0 =
1	, 2л ,3л
=	- sin пг sin По- ~
cos 10
1 / л	л \
~rvos~T6~~ cos~r>	i
тс	2
cos-jy
28
о	л	2л
Значит, cos -с- и —cos—=— являются кор-
5	5
ними квадратного уравнения
, 1 1 Л
х ~ДГХ - V =°-
Физический факультет
1. Для каждого вещественного числа а
решить неравенство
21 х — а | << 2ах — х- — 2.
Решение. Перепишем данное неравен-
ство так:
21 х — а | + х2 — 2ах + а2 < а2 — 2
или
|х — а[2+2|х — а|<а2 — 2.	(1)
Если а2 — 2<0, неравенство решений не
имеет.
Предполагая, что |а|>У<2, перепишем
неравенство (1) так:
(| х — а | + 1 )2 < а2 — 1.
В силу условия | а | > К2 имеем а2 — 1 >
>0, и, значит, последнее неравенство экви-
валентно следующему:
|х — а| + 1 < I а2 — 1,
или
| х - а | < И а2 — 1 — 1,
откуда (I а2 — 1 — I >0. так как а2 ^>2)
а + 1 — И а2 — 1 <Дх < I а2 — 1 -t- а —1,
|а|> /2?
2 Решить у равнение
tgЗх + tg Зх tg2x tg х = tg 2х + tgx.
Решение. Предварительно заметим, что
если
cosa=^0, cos р =/= о, cos j 7^=0,
cos(a + р + Т)=£0,
то
tg (a + р + 7) «=
= tg а + tg р + tg т — tg a tg р tg 7
1	— tgfltgT —tgTtga — tga tgjJ •
Так как x 4-2x + ( —Зх) = 0. то цри усло-
вии, что
cosx=/=0. cos 2х=/=0, cos3x=^=0, имеем
tgx -г tg 2х + tg (— Зх) —
tg х tg 2х tg (— Зх) = 0.
Значит, данное уравнение эквивалентно сле-
дующему:
tg х tg 2х tg Зх = О,
откуда
х =
У
где k принимает все целые значения.
3 Для каждого вещественного числа
а>0 решить не равенство
Vа	х + /а - х> a
Решение. При а>0 данное неравенство
эквивалентно следующему:
2а + 2 V а1 — х2 > а2
или
2	]/ а2 — х2 > а2 — 2а.	(1)
Случай I. а2— 2а <0, т. е. 0<а<;2.
Неравенство (1), следовательно и данное не-
равенство, выполняется при всех х из сег-
мента | — а; а], т. е. —д<х<а.
Случай II. а = 2. Неравенство (1) при-
нимает вид
1 4 - х2 > 0
и выполняется
( — 2; 2), т. е.
при всех х из интервала
— 2<х<2.
Случай III. а >2. Имеем: а2—2а >0 и
неравенство (1) эквивалентно следующей
системе:
। 4 (а2 — х-’) а2 (а — 2)2,
I | х I < а,
или
9 S' Ч	Д
2<«3—4~
а.
Если а ^>4, то это неравенство решений не
имеет. Будем считать, что 2<а<4. Тогда
система неравенств (2) выполняется при ус-
ловии
\x\<~Va(4 а).
Заметим, что при 2<а<4 выполняется не-
равенство
V а (4 — а) < а.
Значит, в случае 2<л<С4 имеем
—у / a (4 — а) <х<-^-|/а(4— а)
Геологический факультет [отделение геофизики]
1.	Указать все действительные значе-
ния а, при которых не существует ни
одного действительного значения х, од-
29
повременно удовлетворяющего двум не-
равенствам:
9
ах2 + (а — 3) х + —-2а О,
ах^ а2 — 2.
Решение. Значение а = О не входит в
область определения функции
9
ах2 + (а — 3) х + —-2а
и потому в дальнейшем не рассматривается-
Случай I. а^>0. Неравенство ах^-а2—2
эквивалентно следующему:
а* —2
и, конечно, существуют значения х, удов-
летворяющие этому неравенству, для ко-
торых
<Р = ах2 + (а — 3) х + — 2а =
Случай II. а <С 0. Неравенство ах > а2 — 2
эквивалентно такому:
я2 —2
х<С-----------------------,
а
и по условию задачи при любом таком х
должно выполняться неравенство
или (а<0)
(*-
Последнее неравенство будет выполняться
при всех
только тогда, когда
а2 — 2	. а + 1
а	" а
а2 — 2 ^2 ' — а
а	а
или (а < 0)
Для этого достаточно взять значение х,
,	а2 — 2	«4-1	„ о 1 —а
больше чисел -------, ------ и 2-------.
а ’ а	а
Значит, все положительные значения а не
удовлетворяют условию задачи.
а2 — 2>а+ 1,
а2 — 2>2 — 2а,
или
а2 — а — 3 > 0,
а2+ 2а — 4>0,
Черт. 3
30
и так как а<^0, то, решая последнюю си-
стему неравенств, получим
а< — 1 - /5?
Задача имеет следующую геометрическую интерпре-
тацию. Перепишем данные неравенства в виде
I а[а(х — 1) — l][a(x-f-2) — 2]>0,
I	а (а — х) — 2-<0.
Уравнение а = 0 есть уравнение оси Ох (а — орди-
ната), уравнения а (х—1) = 1 и а (х + 2) = 2 явля-
ется уравнениями гипербол Г, и Гг; асимптоты пер-
вой а = 0 и х = 1; асимптоты второй а = 0 и х — —2
(черт. 3).
Уравнение а (а — х) = 2 есть также уравнение ги-
перболы (Г,). Произведем преобразование системы ко-
ординат:
X = а — х, Y = а.
Старые координаты нового масштабного вектора
оси OX (X = 1, Y = 0) будут х-----1, а = 0. Старые
координаты нового масштабного вектора оси OY (X —
 О, Y = 1) будут а =• 1, х = 1.
е, = {-1. 0}, ег — {1,1}.
Уравнение гиперболы Г, в системе ХО Y
YY = 2.
Гиперболы Г, и Г, пересекаются в одной точке
М^4- 4).
Гиперболы Г, и Г, пересекаются в двух точках
/5— /13	1-/13}
Л413^ б 1	2	/ и
д „ /5 + /13	1 + /13}
^131	6	2 А
Гиперболы Г, и Г, пересекаются в двух точках
Л123	’ Y 5 — 1 J и
Уб—3	}
^23^-----2----’	~ »/ 5 ~ 1/-
Для областей А и В, отмеченных на чертеже 3, оба
данных неравенства выполняются. Если а, + —1—) 5
(а, + 0), то прямая а = аа пересекает одну из этих
областей.
Если же а„ < — 1 — /5, то прямая а = ад пересе-
кает гиперболу Г, в некоторой точке (х0; а0); при
х > х„ не выполняется второе из данных неравенс гв,
а при х + х0 — не выполняется первое.
Экономический факультет
(отделение экономической кибернетики]
1. Квадрат целого положительного
простого числа N делится (с остат-
ком) на три, полученное неполное част-
ное делится (без остатка) на три,
частное вновь (с остатком) делится на
три, и, наконец, полученное неполное
частное опять (с остатком) делится
на три и дает в результате 16. Най-
ти N.
Решение. Во-первых, заметим, что так
как N — простое число, то его можно пред-
ставить или в виде 3« + 1, или в виде
3/г + 2, где п — натуральное число. В пер-
вом случае № = 9п2 + 6п 4-1, во втором
№ = 9п2 + 12п + 4 = 9п2+12п + 3+ 1, и
значит, N2 при делении на 3 в обоих слу-
чаях дает в остатке 1, т. е. N2 можно
представить в виде ЗЛ + 1, где k — натураль-
ное число. Так как неполное частное при
делении № на 3 есть k, и k по условию
делится без остатка на 3, то k = 3s, где
х также некоторое натуральное число. По
условию х делится на 3 с остатком, т. е. х =
ЗХ + р, где X — натуральное число, а р = 1
или /7 = 2. Таким образом,
№ = 27Х + 9/7 + 1.
Используя заключительное условие зада-
чи, получаем Х = 48 + ?, где q = 1 или
q = 2. Итак,
N2 = 27-48 + 27? + 9р + 1 =
= 1297 + 27? + 9/7.	(1)
Для р и q возможны следующие комбина-
ции значений:
/7 = 1, ? = 1;
/7=1, ? = 2;
/7 = 2, q = 1;
/7 = 2, q = 2.
Если /7 = ? = 1, то число 1297+ 27 + 9
оканчивается на 3 и, значит, не может быть
точным квадратом даже натурального числа.
Если /7=1, q — 2, то число 1297 + 54 +9
оканчивается на 0 и, значит, не может быть
квадратом простого числа. Если /7 = 2, q —
= 1, то число 1297 +27 + 18 оканчивается
на 2 и, значит, не может быть квадратом
даже натурального числа. А вот если р =
= q=2, то 1297 + 54+ 18 = 372. Итак,
N = 37.
Окончание решения можно провести не-
сколько иначе. Перепишем равенство (1)
так:
№-362 = 27? + 9/7 + 1,
или
(N -36) (N + 36) = 27? + 9/7+1.	(2)
Таким образом, простое число N должно
быть больше 36; оно может быть равно 37,
так как если N — натуральное число,
большее 37, то левая часть не меньше 148,
правая же часть имеет максимальное значе-
ние при /7 = ? = 2 и она меньше, чем 148.
Полагая N = 37, из равенства (2) находим
73 = 27? + 9/7+1,
3? + р = 8,
31
и так как р u q могут принимать только
значение 1 или 2, то.это равенство возмож-
но только при /7 = <7 = 2. Итак, N = 37.
2. Решить не равенство
{х1 - Зх + 1) > 0.
Решение. Область определения функции
у=1 х 4-1 — Ух — 1 такова: х^1; при
этом у>0 Решая неравенство
|/х4~ 1 - У х — 1 < 1,
получим
Ух + 1 < 1 4- Ух — 1; оно эквивалентно сле-
дующему: 2 У х — 1 > 1 или 4 (х — 1) >> 1,
откуда х>-г-. Решая неравенство
Ух +1 —1 х- 1 > 1,
получим
2	< 1;
это неравенство эквивалентно следующей си-
(4(х- 1)<1,
с теме неравенств: | х> ]
т. е.
Наконец, отметим, что уравнение
1 х+~1 - /х^П =1.
5
имеет только один корень х = -^-.
1°. Если 1<Сх<^-|~, то данное неравенст-
во выполняется только тогда, когда
х2 — Зх -р 1	1, или х2 — 3x^0, и так как
х^>1, то х-3>0, откуда х^>3. Таким об-
разом, данное неравенство в полуинтервале
[' ’ Т ) Решени11 не имеет
5
2° Пусть х > Тогда данное неравен-
ство выполняется только тогда, когда
0 < х2 — Зх 1-^1.
Все решения неравенства
х2 - Зх -I- 1 > 0
таковы:
,, 3 — г 5	3 -г и 5
или х < -—2------, ИЛИ X >------.
Все решения неравенства
х2 — Зх < 0
таковы:
0 <С х «СЗ.
Совокупность неравенств
х> 0 х < 3
-^4
И ИЛИ X
ИЛИ X
3 + » 5
2
выполняется только тогда, когда
это все решения данного неравенства
3. Решить систему у равнений
I tg2 х 4- ctg2 х = 2 sin2y,
I sin2 у 4- cos2 z — 1
Решение. Перепишем данную систему
так:
Так как
2	1,-2
ао— = 1 4- sin2y
sin2 2х	J
sin2 у — sin2 z.
_2____>2
sin5 2л ’
причем знак равенства имеет место только
при условии, что sin22x = l, и так как
1 4- sin2 у < 2, причем знак равенства имеет
место только тогда, когда sin2 у = 1, то первое
уравнение выполняется только тогда, когда
sin2 2х = 1, sin2 у 1,
следовательно,
sin2 z = 1.
Эга система эквивалентна следующей
cos 2х = 0, cos у = 0, cos z 0,
Итак.
Tt T.k	тс .	тс
X = -д- 4- — ,у = -у 4- z = -2" 4-
где k, т. п принимают все целые значения.
4. Углы треугольника АВС относятся
как 4:2:1, т. е. Д: £?: С = 4: 2: 1. Дока-
зать, кто для сторон этого треуголь-
ника справедливо равенство
1 у _JL_ = -1
ВС 'АС АВ 
Первый вариант решения. Из ус-
ловия задачи следует, что углы треугольни-
ка АВС равны А =	, В = С- , С =
и, значит, точки А, В и С можно рассмат-
ривать как соответствующие вершины пра-
вильного семиугольника (черт. 4). Пусть
5 _ окружность, описанная вокруг этого
правильного семиугольника, a D — такая
точка этой окружности, что четырехуголь-
ник ABDC — выпуклый и BOD = При-
меняя к четырехугольнику ABDC теоремл
Птолемея (во всяком выпуклом четырехуголь-
нике. вписанном в окружность, произведение
диагоналей равно сумме произведений проти-
32
воположных сторон), имеем
АВ-CD + AC BD = BC AD
или
А В • ВС 4- АС  АВ—ВС • АС.
Разделив обе части этого равенства на
произведение АВ- ВС С А, получим требуе-
мое.
Второй вариант решения. Приме-
няя к данному треугольнику теорему сину-
сов, приходим к выводу, что равенство
АС ВС АВ
эквивалентно такому:
4г.	~	2г.
Sin —у sin —у
т.
sin -у
или
, 2х , х ,	, 4г , х
sin-у- sin-у + Sin -у sin— =
,4x	2т:
= sin—— Sin -у,
х	Зх	Зх	5г.
COS у---COS -у-и cos—у----COS—у- =
Зх	6х
= COS —----COS —у,
х	5х	2х	6х
COS у--COS—у = COS -у------COS—,
что верно, так как
х.	6л	5т.	2л
COS-у = — COS —у , — COS -у = COS -у.
Филологический факультет
[отделение структурной и прикладной лингвистики)
1 Решить неравенство
sln2x tg +\а- - >• sin2 х.
Решение. Так как при всех действи-
тельных значениях х выполняются неравен-
ства
причем знак равенства имеет место только
при х = 0, то все решения неравенства
находятся из условия
откуда
Таким образом, все решения неравенства
sin2 х tg  ;1тг-> sin2 х
1 "Т* А.
таковы:
0*|х|<)/Зу
или
2. Каким числом способов трех экзаменато-
ров можно распределить между п экзаменую-
щимися, если каждый экзаменующийся дол-
жен спрашиваться хотя бы одним экзаменато-
ром? Один экзаменатор может проверять
нескольких экзаменующихся (хоть всех экза-
менующихся). Кроме того, не обязательно,
чтобы каждый экзаменатор экзаменовал хотя
бы одного человека.
Решение. К одному экзаменующемуся
можно прикрепить трех экзаменаторов семью
способами (I, II, III, I II, II III, III I, I II III),
значит, к двум экзаменующимся Т2 = 49 спо-
собами и т. д., а к п экзаменующимся 7“
способами.
Подводя итоги, следует сказать, что на раз-
личных факультетах МГУ были задачи по
всем разделам программы по математике для
поступающих в высшие учебные заведения,
причем немало нешаблонных задач. От по-
ступающего требовалось проявление некото-
рой инициативы и изобретательства.
Трудные задачи по геометрии были даны
в 1967 г. на механико-математическом фа-
культете. Все эти задачи единообразны
по замыслу и методу решения; однако естест-
венный ход решения задачи и достаточно
быстрое получение результата заставляют
расчленить задачу на ряд вспомогательных
2 Мвнмвттм в школе N в
33
предложений: вывод формулы для площади
сферического двуугольника и несколько более
сложной части сферы, сводящийся к вычис-
лению плошади двуугольника; вывод форму-
лы для площади сферического треугольника,
вывод формулы, объема «пирамиды» с рав-
ными прямолинейными боковыми ребрами,
в основании которой лежит сферический тре-
угольник (или даже сферический четырех-
угольник). После всего этого надо было еще
проделать ряд выкладок,— правда, уже до-
статочно простых. В одной из задач такого
типа поступающие столкнулись с тригономет-
рическими функциями угла	-р. Я не
касаюсь здесь вопроса целесообразности по-
мещения задач подобной трудности, отмечу
только то, что предварительное, самостоя-
тельное установление вспомогательных пред-
ложений для решения той или иной задачи,
безусловно, характеризует очень высокий
уровень подготовки учащегося, однако вла-
деют подобного рода методикой у нас в шко-
лах пока слабо.
Достаточно часто давались задачи с пара-
метрами и на уравнения, и на неравенства.
Поступающий должен исследовать область
изменения параметров, в которой уравнение
или неравенство имеет то или иное решение.
. Далее: на всех факультетах часто требова-
лось находить область определения функции
(а если дана задача с параметром, то даже
область определения функции от двух аргу-
ментов). Предлагались задачи на логарифми-
ческие уравнения и неравенства, в которых
основанием является функция, а не число.
Достаточно часто давались задачи и на транс-
цендентные неравенства, задача на решение
неравенства сочеталась с задачей на решение
уравнения (f(x)	0). Давались системы не-
равенств (и даже системы неравенств с пара-
метром с довольно тонкой логической форму-
лировкой условия — см., например, задачу на
геологическом факультете, отделение геофи-
зики). Интересна ее геометрическая интерпре-
тация (см. стр. 31, черт. 3).
Не оставались без внимания и задачи по
арифметике (см. задачу на стр. 31, данную
в этом году поступающим на отделение эко-
номической кибернетики экономического фа-
культета). В предыдущие годы на различных
факультетах были нешаблонные задачи на
комплексные числа. В последние годы пред-
лагались системы уравнений, в которых число
уравнений не равно числу неизвестных.
На отделении структурной и прикладной
лингвистики филологического факультета
предлагались задачи по комбинаторике
(см. стр. 33) и задачи по геометрии, нетруд-
ные с точки зрения аналитического решения,
но хорошо задуманные с точки зрения допол-
нительного вопроса на построение с помощью
циркуля и линейки. Я считаю это хорошим
началом: сочетание аналитического решения
с геометрическим, безусловно, плодотворно
(оно очень широко применяется, например, во
Франции).
Задачи на факультеты: химический, геоло-
гический (общее отделение), географический,
биолого-почвенный, экономический (отделе-
ние политической экономии) и на факультет
психологии были значительно проще задач,
предлагавшихся на факультеты: механико-
математический, физический, экономический
(отделение кибернетики), геологический (от-
деление геофизики) и филологический (отде-
ление структурной и прикладной лингви-
стики) .
С. И. ШАПИРО |г. Курск]
О РАЗНЫХ ПОДХОДАХ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
Среди задач, предлагавшихся на VIII Меж-
дународной математической олимпиаде1, бы-
ла следующая:
На олимпиаде были даны три задачи: А, В. С.
25 школьников решили хотя бы одну задачу
(1). Среди школьников, не решивших зада-
чу А, решивших В в два раза больше, чем ре-
1 См.; «Математика в школе», 1966, № 6, стр, 63.
шивших С (2). Школьников, решивших толь-
ко задачу А, на одного больше, чем остальных
школьников, решивших задачу А (3). Сколько
школьников решили только задачу В, если
среди школьников, решивших только одну за-
дачу, половина не решила задачу А? (4)
Мы предложили решить эту задачу не-
скольким школьникам IX—X классов, про-
явившим способности к математике, с каж-
34
дым из которых мы занимаемся индивидуаль-
но на протяжении 2—3 лет. Нам представ-
ляется заслуживающим внимания различие
подходов учащихся к решению задачи.
Решение Ш. Ш. несколько раз внима-
тельно прочитал условие задачи и сделал чер-
теж (черт. 1).
Черт. 1
Черт. 2
Приводим его рассуждения.
Площади каждого из трех кругов условно
выражают число школьников, решивших со-
ответствующую задачу. Вся фигура состоит
из трех типов заштрихованных фигур и неза-
штрихованной части и. Если к площади косой
штриховки прибавить 1, то фигуры всех трех
типов равновелики: (3), (4).
Из (2): у = 2z + и, и каждая заштрихован-
ная фигура равна 3z + и. Из (1): (За + и) 3 +
+ и = 26; 9z + 4и = 26. Единственное цело-
численное решение: z — u = 2. Тогда у = 6;
х = 8; v + w + t = 7.
Основой решения задачи служит геометри-
ческая модель, которую условно назовем кру-
говой. Опираясь на свою модель, Ш. уже по-
сле решения задачи нашел возможность
упростить аналитические рассуждения. При-
водим протокольную запись его «мышления
вслух».
«Три такие площади, как х, вместе с и
равны 26. Но	Значит, х'^>1.
С другой стороны, х<9 (иначе Зх^-27).
Далее, х ф 7, в противном случае и = 5 и
I У ~h ==!
система	не имеет целых корней.
I у — 2z =5
Итак, х = 8; и = 2; z = 2; у = 6».
Решение А. (Для удобства сравнения
с решением Ш. изменены обозначения.) А. ис-
пользовал «прямоугольную модель» (черт. 2).
Заштрихованная часть — 25. Из чертежа
25 + 3z + 1 = (3z + «)4; 9z + 4u — 26, и А.
пришел к тому же уравнению, что Ш. На наш
вопрос, как он догадался сделать такой чер-
-м £
8	•	•	•
7	•	•	•
6	’		1
5	•	•	•
4	...
3	•	•	•
2	.	.	.	.
I	.	.	.	.
6
Черт. 3
теж, А. ответил: «Можно иначе». И, почти не
задумываясь, привел «точечную модель». Точ-
нее, заметив, что х равно 7 или 8, А. остано-
вился на двух возможных точечных моделях
(черт. 3). Модель (а) явно непригодна, так
как u + 2z = у <х\ z #= О и 7. Модель (б)
удовлетворяет условию задачи.
В отличие от предыдущих решение испытуе-
мого Д. чисто аналитическое. Познакомив-
шись бегло с условием, Д. сказал, что в зада-
че, по-видимому, 7 неизвестных, которые мож-
но связать уравнениями. Еще не представляя
себе ясно картины в целом, он (если пользо-
ваться предыдущими обозначениями) по ходу
чтения задачи получил систему уравнений:
| х + у + z 4 и + ‘У + ^-|-/ = 25,
I у + u = 2(z + и),
х = -±-(х + у + Z).
Сделав ряд преобразований, Д. пришел
к уравнению 9z + 4и = 26 и легко справился
с ним. Когда мы после получения этого урав-
нения попросили Д. наглядно изобразить зави-
симость между данными, го оказалось, что он
сразу сделать это не в состоянии. Следова-
тельно, никакие наглядные представления
в связи с решением данной задачи у него не
возникли. Однако, несколько подумав, Д. про-
моделировал задачу геометрически. Его мо-
35
дель можно условно назвать линейной
(черт. 4).
и + (Зг 4- и)3 — I = 25; 9z + 4w = 26.
Таким образом, дело вовсе не в том, что Д.
не способен к образованию наглядных моде-
лей. Он просто не испытывает нужды в них,
аналитическое решение ближе складу его ма-
тематического мышления. С другой стороны,
Ш. и А. свободно решают задачи аналитиче-
скими методами.
Черт. 4
Можно было предположить, что Д. приучен
преимущественно к аналитическому решению
задач, а Ш. и А.— к опорам на наглядно-
образные интерпретации.
Однако, как показывают наши наблюдения,
все учащиеся одинаково хорошо справляются
как с чисто геометрическими, так и с алгеб-
раическими задачами, не имеющими геомет-
рического истолкования. Речь, таким образом,
идет об устойчивых индивидуальных особен-
ностях математического мышления, вероятно,
о геометрическом и аналитическом «стиле»
проявления математических способностей.
При гео-метрическом решении задача как
бы воспринимается сначала в целом, без де-
талей, как единый наглядный образ Логико-
математический анализ производится на базе
первичного индуктивного «схватывания» свя-
зей, и можно говорить о своеобразной геомет-
рической интуиции. Напротив, аналитическое
решение начинается с логико-математическо-
го анализа и завершается образованием связ-
ного образа.
В помощь начинающему учителю
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО МАТЕМАТИКЕ
НА II ПОЛУГОДИЕ 1967/68 УЧЕБНОГО ГОДА
ДЛЯ V-X КЛАССОВ
От редакции Настоящие работы являются продолжением тех, которые были
опубликованы в № 4, поэтому все примечания, ранее сделанные к работам, остаются
в силе.
Работы составлены для V класса — Н. А. Чумичевой, для VI класса — Н. К. Ма-
лышевой, для VII и VIII классов — В Г. Филатовым, для IX и X классов по алгебре
и элементарным функциям—Е. С Кочетковой, по геометрии— Г. А Ястребинецким.
ПЯТЫЙ КЛАСС
АРИФМЕТИКА
№ I
1. Два трактора вспахали поле за 6 часов. Первый
трактор, работая один, мог бы вспахать это поле за
15 часов. За сколько часов вспахал бы это поле второй
трактор, работая один?
5
2. Если к -g- неизвестного числа прибавить 15. то
8
получится 75. Найти д- неизвестного числа.
№ 2
1.	Начертить с помощью транспортира углы в 90°;
135°, 150°.
36
2.	Сколько градусов содержит угол между минутной
и часовой стрелками в 4 часа, в 5 час., в 9 час., в 4 часа
30 мин.?
3.	Написать число, которое: а) больше, чем 0.2, но
меньше, чем 0,3; б) больше 0,78, но меньше 0.79:
в) больше 2.005, но меньше 2,006.
4.	Выразить сначала в центнерах, а затем в кило-
граммах 0,8 т 0,02 т 0,95 т: 7,45 t
5	Округлить: а) 18,6 л до I м. б) 5963 кг до I т:
в) 2,83 до десятых долей; г) 46,758 га до I ара.
№ 3
I. Пионеры школы собрали за три дня несколько ки-
лограммов желудей В первый день они собрали 0,4
всего количества желудей (по весу), во второй день —
0.5 того, что было собрано в первый день, а в третий
день — остальные желуди Сколько всего килограммов
желудей собрали пионеры за три дня, если в третий
день они собрали на 98,4 кг больше, чем во второй день?
2. Записать формулой и вычислить: частное от де-
ления разности чисел 7,24 и 2,76 на их сумму.
№ 4 (на 15—20 мин.)
1 Начертить какой-нибудь квадрат и какой-нибудь
прямоугольник и сравнить их периметры нли построени-
ем, или непосредственным измерением в миллиметрах.
2. Измерьте длину и ширину своей тетради. Резуль-
тат выразите в сантиметрах. (В других вариантах учи-
тель указывает какие-либо другие предметы, имеющиеся
у школьника.)
№ 5
1. С одной железнодорожной станции вышел товар-
ный поезд со скоростью 33,6 км в час. Спустя 2 часа
с той же станции вышел в том же направлении пасса-
жирский поезд, скорость которого составляла 1,25 ско-
рости товарного. На каком расстоянии от станции пас-
сажирский поезд догнал товарный?
2. К числу 13,21 прибавить его десятую часть и его
сотую часть. Полученную сумму увеличить на 0,7069.
Какое число получился?
№ 6
1. Длина дома 40,8 м, ширина на 19,9 м меньше. Ре-
шетка, окружающая дом, поставлена отступя на 10 и
от дома Какая площадь огорожена решеткой (ответ
выразить в арах с точностью до 1 ара)?
2. Вычислить: а) 8,5:9; б) 2,25: 1,6; в) 3,67:3,145
(с точностью до 0,01).
3 Какую часть 50,45 составляет от 201,8?
4. Найти число, 28% которого составляют 57,4.
№ 7
1.	Вычислить:
616-0,375 — [5 : 0,25 + 0,6- (9.275 — 4,275)]:
: 0,1+60-0,0015.
2.	Во сколько раз 5,76 центнера больше, чем
19,2 кг?
3	Какую часть составляет разность между самым
большим двузначным нечетным и самым малым дву-
значным нечетным числами от их суммы?
№ 8 (на 15 мин.)
Построить по данным вершинам треугольник. Прове-
сти высоту. Вычислить площадь и периметр построен-
ного треугольника. (Учитель может показать на доске
примерное расположение вершин.)
№ 9
1.	Из пионерского лагеря вышли пионеры, а через
2 часа 45 мин. по тому же направлению выехали ком-
сомольцы на велосипедах. Комсомольцы ехали со скоро-
стью 12 км в час, а скорость движения пионеров состав-
ляла 40% скорости комсомольцев. На каком рассто-
янии от лагеря комсомольцы догнали пионеров?
2.	Какое число, уменьшенное на 25% его, составляе!
6,6?
№ 10
1 Обратит* в десятичные дроби:
о 7	57	7
d 125 ’ 60 ’ 27 •
2 Вычислить-
<	, I7 „ 1 \	5 33
0,84:0,26254-3.6: 68,1:7,5 — 8 2q 4~ г. gQ J 4- 4 g • ^g •
3.	Составить пример и решить его, где требуется
найти точное или приближенное частное от деления
суммы двух десятичных дробей на разность тех же
чисел.
№ II
1.	Найти отношения:
а) 0,5 кг : 20 г; б) 3 куб. дм : 1,5 куб. см
км м км км
в) 36 час:30’сёк:
КМ	КМ км
2.	Даны три скорости: 4,9 —3,5 ——и 7~~~.
Найти отношение первой скорости ко второй и второй
к третьей. Какое из этих отношений больше?
3.	Придумайте и запишите три примера на отноше-
ние, в которых отношение а) меньше единицы, б) равно
единице, в) больше единицы.
4.	Товарный поезд был в пути 3 часа. В первый час
он прошел 34,8 км, во второй — 39 км, а в третий —
38,4 км. Какова средняя скорость поезда?
Ns 12 (на 15—20 мин.)
По данному плану (черт. 1) земельного участка, по-
строенному в масштабе 1 : 5000, вычислить его периметр
и действительную площадь всего участка.
№ 13
1. Одна бригада может выполнить некоторый заказ
в 15 дней. Другой бригаде на выполнение этого заказа
требуется времени на 20% меньше, чем первой; третья
бригада может выполнить этот заказ в полтора раза
скорее первой. Во сколько дней будет выполнен весь
заказ при совместной работе всех трех бригад?
2. Записать формулой и вычислить: сумму чисел 2.56;
3,84 и 3,9 умножить на разность между суммой первых
двух чисел и третьим числом.
Ns 14
1.	Вычислить:
/14	5 \
0,396-2,54-33:27.5—0,13 / 4^:2- 1	21,2212:20,02.
2.	Найти число, которое в 4 раза больше, чем 15%
числа 596.
3.	Найти с точностью до 0,1 куб. м объем прямоуголь-
ного бруса, длина которого 12,4 м. ширина 25 см и вы-
сота 0,32 м.
37
ШЕСТОЙ КЛАСС
АЛГЕБРА
№ 1
1.	Задача. Автомобиль шел t часов со скоро-
км	км
стью v----— и b часов со скоростью а -------. Найти
нас	нас
среднюю скорость движения автомобиля.
Составить формулу для решения задачи и найти
числовые значения а) при t = 3,5; v = 48, b = 2,5;
км
а = 54 и б) с точностью до 1 цдс ' при t = 2,8; v =40;
b = 3,5; а - 52.
2.	Сколько сантиметров в а м b дм и с см'>
3.	Написать общую формулу числа, дающего при
делении на 7 в остатке 2.
4.	Сколько единиц содержит а) трехзначное число,
в котором цифра сотен х, десятков у, единиц г
и б) число, записанное теми же цифрами, но в обрат-
ном порядке?
Какие числовые значения может принимать здесь х,
У.
№ 2 (на 10—15 мин.)
1.	Найти сумму
а) (—11)4- (—6) 4- [х 4- ( —х)] 4- ( 4-18):
б) ( —15) 4- ( —15) 4- ( 4-30) 4- ( —28).
2.	На сколько —3,2 больше —8.8?
3	Написать какие-либо а) два противоположных
числа, б) два обратных числа.
4.	Подобрать числовое значение а такое, что —а > а.
№ 3
1.	Выполнить действия-
а) (—11) 4-(-8)-(—15) 4-(4-18) -( 4-19):
б) ( 4-16) —(—58)— (4-30) 4-(—5) —( 4-41);
в) 1—2,7 4-(4-5,2)] - (—0,21) 4- |( -3,6) — ( -3,6)]
и результаты показать на числовой оси.
2.	Подобрать такие числовые значения х и у (по две
пары для каждого случая, чтобы а) | х 4- у | — | х | 4-
4- I У К б) | х 4- у | < I х | 4- | у ); в) | х 4- V | = 0.
3.	Написать все целые числа, которые больше (—5,2),
но меньше ( 4-3), и показать их на числовой оси.
4*. Как изменится разность двух чисел, если к умень-
шаемому прибавить ( 4-7). а от вычитаемого от-
нять (—7)?
№ 4
1. Выполнить действия
а)(-П6-(-24)-( 4- 4-)-(-16):(-4)4-(-2Г-1;
б) (—36): [(—20):(—0,8) 4- (-2.5)4 4-14)];
в, —-у 4--g- (6 — 4 — 8);
г) (-8,3 — 2 4-8,6 4- 1.5)’.
2. Вычислить (№ — 1):(х 4- 1) а) при х = 1 и б) при
х = —1.
3. Что больше и на сколько: (—0,2)’ или (—0,2)4?
4*. Подобрать такие числовые значения-—положи-
тельные и отрицательные, при которых а) х1 > х;
б) х2 = х; в) х2 < х.
№ 5 (на 20—25 мин.)
1. Решить уравнения;
1	3	1
а) 0,6х — 4 — —2,8; б) 1-у х — 5-у - —6~у
15
в) — =• —1,5; г) 18 4- Зх = х 4- 50 и показать корни
на числовой оси.
2. Показать на числовой оси точки, для которых
| х | > 2.
3. Сумма неизвестного числа и 46 в 5 раз боль-
ше 15. Найти неизвестное число.
Решить задачу, составив уравнение по ее условию.
№ 6
1.	Раскрыть скобки и привести подобные члены:
а) (За6 4- 6а3) 4- [7а4 4- (—За6)] —
— [6а’ — (За4 — 2а6) — (—4а4)];
б) 1 8х2у’ — [(—5.9x3v 4- 3,7x2v’ 4-
4- 6х3у) + ( —х-’у)] 4- O.lx’y.
2.	Упростить (ввести показатели степени и привести
подобные члены): 4 (а — 5) (а — 5) 4-(а — 5) (а—5) 4-
4- (а— 5) (а—5) 4- (а—5) (а—5) — 2 (а — 5) (а — 5).
3.	Решить уравнение:
11,2х 4- I — (Зх —7) 4- 6) — 8,8 = 9,7 — 1,8х.
4.	Показать на числовой прямой точки, для которых
I х | < 5.
№ 7
1.	Найти произведения.
а) 1,2а3-5а6; б) 20а2х-5а6х2-O.Ola’x7;
в) 4x"v Зх2л у’; г) —5а2л~,-в’л+’;
д) 4’-4,2-44: е) 2-Зл+2-13,5-3Л-2.
2.	Возвести в степень;
а) ( — х5)4; б) ( —а8)5; в) (0,Зх2у)’.
3.	Найти частные:
а)	27х’у’г6:(—Эх’у’г):
б)	4,8asft’  0,24а6Ьв.
4*. Показать, что частное 15-24Л+3:(3-24Л—’) равно 80
№ 8 (на 20—25 мин.)
1. Выполнить действия:
а) ( — 1,5ах4) (8а’х—1,2а2—4х’);
б) (10,8а2й3	9.6а2*4 — 12а*3)- 1,2а*’;
в) (0.8m3 — 1):0,1 — (—2,4m1' 4- 6m3): 12m3—(9m’—10,5).
2. Задача. На одной базе было 27 m картофеля,
на другой 29 т. С первой базы ежедневно отпускали
по 2 т, со «горой— по 1,5 т. Через сколько дней на
второй базе останется картофеля в 2 раза больше, чем
на первой? (Задачу решить, составив уравнение по ее
условию.)
№ 9
1.	Выполнить действия:
а) (а’ —2а2 4- 2а — I) (а’ — 2а2 —2а 4- 1):
б) (а2 —2а—I)2;
в) (0,4х3 — 0,25х2 4- 1,1 х 4- 2) (8х 4- 10).
(Умножение производить «в столбик».)
2.	Выполнить действия: (а—4)(а — 2)—(а—1)(а—3),
, 3
а затем вычислить при а = 1—у.
3.	Доказать тождество:
(2х — 7) (х 4- 1) — 2 (0,5х — 2) (2х 4- 3) = 5.
4*. (а7"-1 — 3)(ал 4- За).
38
№10 (на 20—25 мин.)
1. Выполнить действия, применяя, где возможно»
формулы умножения.
а) (а -4- I)2; б) (2а — 5)’: в) (х — 7)* — (7 — х)я;
г) (0,1 х2у + 4) (0,1 Xяу — 4):	д) (4а - 3) (4а 4- 5);
е) (4-г)2+(4-г)2; ж) 29-8’30-2:
з) (а — Ь + с) (а + b — с).
№ 11
1.	Выполнить действия:
а)	(0,3а2 — 5х) {0,3а2 4- 5х);
б)	(1,2а« —0,5ай2)2;
/ 3	\2
в)	( —4m6 *)’ 4- т — 8m9 ) ;
г)	(5а5 4- 2)! — 25 (а5 4- 1) (а6 — 1):
д)	(2х — I)3 4- (х 4- 2)’.
2.	Дополнить до полного квадрата двучлена 9х’—
— ЗОх’у и проверить.
3.	Доказать тождества:
а> (а — х)2 — (х — а)2;
б)	(х + 5)2 - (—х — 5)2.
В соответствии с программой основное внимание
в контрольных работах уделено преобразованиям одно-
членов и многочленов. Решение уравнений предпола-
гается как на основании зависимостей между компо-
нентами действий, так и на основании свойств равенств.
ГЕОМЕТРИЯ
№ 1
Задача 1 (черт. 2). Дано: ВО = OD: СО — ОЕ.
Доказать: CD — BE.
Задача 2 (черт. 3). Дано: ^CBD — ^BDA;
^BDC =• ^DBA. Доказать: . С — ,<А.
Задача 3(черт. 4). Дано: АВ — CD; ВС — AD. До-
казать: ^В =- ^D.
№ 3
1. Дан разносторонний треугольник АВС. Найти
на стороне АС или на ее продолжении точку, равно-
удаленную от В и С.
2. В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = ВС)
построить проекции АВ, АС и ВС на прямую, проходя-
щую через точки А и D — середину ВС.
№ 4 (на 15—20 мин.)
Дано: MN Ц PQ; прямая EF пересекает MN в точ-
ке А и PQ в точке В. Проведена ACj.EE; АС пере-
секает PQ в точке D, ^ADQ = 125°. Найти углы
&ABD.
№ 5
1. В прямоугольном треугольнике из вершины пря-
мого угла проведены высота и биссектриса. Угол
между ними равен 25°. Найти углы данного прямо-
угольного треугольника.
2. Внешний угол при вершине равнобедренного
треугольника равен 140°. Найти угол между высотами
этого треугольника, проведенными к боковым сто-
ронам.
(К задачам 1 и 2 сделать точный чертеж.)
3*. Доказать: биссектриса внешнего угла при вер-
шине равнобедренного треугольника параллельна его
основанию.
№ 6
1. В прямоугольном треугольнике АВС ^А = 60°.
Проведена биссектриса угла А — AD. Из точки D
опущен на гипотенузу перпендикуляр DF = 10 см.
Найти длину биссектрисы AD.
2 Построить равносторонний треугольник по его
высоте.
СЕДЬМОЙ КЛАСС
АЛГЕБРА
№ 1
Черт. 3
№ 2 (на 15—20 мин.)
Построить равнобедренный треугольник, если его
основание равно 10 см, а высота 3 см. Провести затем
высоту к боковой стороне.
1. Сократить дроби:
1 2х + Xя
а) 1 + ху_х_у б)
2. Выполнить действия:
т 4- п т (4п — т)
За4 - 24а
24а — 24а2 + 6а3
т — п
б) 1,2 + 0,045-(33,62 — 2-33,6-13,6 4- 13,62).
3*. Сократить дробь
41»__4ц___3-4’»
219 + 2“ — 2’5	•
№ 2 (на 20—25 мин.)
1. Выполнить действия:
х хя —Ьх Ьг
а) Ья — bx b ’ х4 ’’
ая + 2a 4- 1 2a — 3	7a2 —7a 4-7
6)	14a	3a’4-3 ’	9 —4a!
Iя — t P — 1
B) P 4- t 4- 1 : P — 1 ‘
2*. Выполнить действия:
/За’п+1у /	6а4Я+’\з
\ 2ЬЯ ) Р ) ‘
39
№ 3
1.	Выполнить действия
I 8а 17а -<- 6с 1 /	36с	\
I а2 —36с2 + (а — 6с)2 ] Л5 * * * + а - 6с )
2.	Доказать тождество
3.	Решить уравнение
ix+ !	х4-4	/ 5х — 1 \
2	+4“ 3 -Д3 ** -	6 /
4*. Решить уравнение
= 2.
№ 4
1. Задача. Двое рабочие изготовили 350 дета-
лей, причем второй, изготовлявший в час на 15 дета-
лей меньше первого, работал 7 час., а первый 6 час.
Сколько деталей изготовил каждый рабочий?
2. Решить уравнение относительно х
5 х 13дс
6 4-3 ~ 3 — 6 ” 62 — 9‘
^Ответ: при b — 4-3 уравнение теряет смысл; при 6=10
уравнение не имеет решения; при 6=/=+3 и b =f= 10
5(3-6) \
х ~ 6—10 )
№ 5
1.	Построить график зависимости у——1,5.x 4-2 и
отве гить на следующие вопросы:
а)	чему равен х, если у =—2,5; у — 0;
б)	как изменяется у, если х изменяется от —2 до 3;
в)	при каких значениях х у < 0?
(Все ответы иллюстрировать на графике.)
2.	Найти координаты точки пересечения графиков
у — Зх и х — у = 2.
3.	Упростить и вычислить
5х х — 1 /, .	„	,	5х* 4- 1 \
2^ +•	2 -Зх 4-1 4- х ) при х - 2.
4*. Построить график зависимости у — | —1,5х 4- 2|.
№ 6
I 2х — v = 4
1. Решить систему {
I 5х 4- 2у = 10
и построить графики каждого уравнения системы
2. Решить систему
5у — х	2у — х
3	~11 “	2
3. Решить уравнение относительно х
х	1	2х — 1 а — ах
а2 —а 4- 1 ~ 2а 4- 2	2а2 — 2а 4- 2 + а2 4- 1 •
^Ответ: при а = —1 уравнение теряет смысл; при
а
а *- 0 х — любое число, при а=/=и и ау= —1 х — ~2~- у
4*. Найти координаты общих точек графиков:
у = |х — 1 | и у -|х 4- 1 |.
№ 7
1.	Задача. Два велосипедиста выехали одновре-
менно навстречу друг другу из двух пунктов, рас-
стояние между которыми 52 км. и встретились через
2 часа. Определить скорость каждого велосипедиста,
если один из них за 5 час. проезжал на 9 км больше,
чем другой за 6 час.
2.	Решить графически системы:
а) ( х 4- 2у = 7	б) । 0,5х — 1,5у = 1
(у — 2х — 11;	1х — Зу — 3.
Q* г>	.	[ v - 2 - х
3	. Решить графически систему: !
I у -|х|.
№ 8
1. Задача. На двух автоматах надо было изго-
товить некоторое количество деталей. Работа на вто-
ром автомате начата на 3 часа позднее, чем на пер-
вом; после 6 час. их совместной работы задание было
выполнено. На втором автомате изготовлено 25% всех
деталей. Сколько деталей изготовлено на каждом
автомате, если на втором изготовлялось на 5 деталей
в минуту меньше, чем на первом?
2. Выполнить действия:
1	(2а_________________________а_____
а а3 — а26— аб2 4-63	а26 — 2аЬг 4- 63
1 аХ — ь2
ab 4- 62 а 4- 26 а2 4- /аб '
ГЕОМЕТРИЯ
№ 1
1. Построить параллелограмм по двум диагоналям,
равным 7,6 см и 2.8 см. и стороне, равной 4,7 см.
2. Найти площадь прямоугольной трапеции с основа-
ниями 26 см и 11 см, большая боковая сторона кото-
рой равна 17 см
№ 2 (на 20—25 мин.)
Начертить развертку прямой треугольной призмы,
основанием которой служит равнобедренный треуголь-
ник. Вычислить плошадь полной ее поверхности, произ-
водя необходимые измерения.
№ 3
1.	Определить ребро куба, если плошадь полной по-
верхности его равна 1014 см2.
2.	Вычислить плошадь полной поверхности прямой
призмы, имеющей в основании прямоугольный треуголь-
ник. гипотенуза которого равна 29 см. а один из ка-
тетов 21 см-. высота призмы равна 7 см.
3.	Из бумаги нужно вырезать развертку прямоуголь-
ного параллелепипеда по его измерениям: длина 210 и.и,
ширина 170 мм и высота 85 мм. Какие размеры может
иметь лист бумаги, имеющий форму прямоугольника?
№ 4 (на 25—30 мин.)
1. Найти объем прямой треугольной призмы, основа-
нием которой служит прямоугольный треугольник (на
основе непосредственных измерений).
2. Основанием прямой призмы г деланной из куска
стали ^удельный вес стали 7.8	служит равно-
сторонний треугольник, сторса которого равна 12.3сл<:
высота призмы равна 7,4 см. Определить вес призмы.
40
3*. Ребра двух кубов относятся как 2: 3. Как отно-
сятся между собой нх полные поверхности? объемы?
№ 5
1 Хорда пересекает диаметр под углом в 60° и делит
ею в точке пересечения на отрезки 2 см и 10 см Найти
расстояние от центра до хорды (с точностью до 1 мм).
2. В круге даны две не равные между собой хорды,
каждая из которых делится пополам одним и тем же
диаметром. Концы этих хорд соединены непересека-
ющимися хордами. Определить вид образовавшегося
из хорд четырехугольника.
3*. Доказать, что параллельные хорды, проведенные
через концы одного диаметра, равны.
№ 6
1. Через концы хорд АВ и АС, равных радиусу ок-
ружности, проведены касательные. Доказать, что рас-
стояние от точки их пересечения до центра окружности
равно ее диаметру.
2. Концы диаметра удалены от касательной на 1 см
и 3 см. Найти радиус круга.
3*. Как расположены окружности одна относительно
другой, если их диаметры равны 6 см и 10 см, а рассто-
яние между центрами равно 8 см?
№ 7 (на 20—25 мин.)
Вычислить объем и площадь полной поверхности ци-
линдра по предложенной модели на основе непосредст-
венных измерений.
№ 8
1 Заполнить таблицу при помощи четырехзначных
таблиц длины окружности и площади круга:
Радиус		0,2215		
Диаметр	50,1			
Длина окружности			1,451	
Площадь круга				68,5
2. Найти вес мотка медной проволоки длиной 50 м,
„ Г
диаметром 3 мм. Удельный вес меди 8,9 с ц3—.
3 Длина дуги в 90° равна 47,1 см. Определить ради-
ус круга.
ВОСЬМОЙ КЛАСС
АЛГЕБРА
№ 1
I. Сократить дроби
— 1х— 120	8л2 — 2х — 3
а) х‘ — 64	; б) 4л2 + х — 3 :
1462 + 1Ьс _ 66—Зс
Е 762 + 46 — 3
2. При каком значении с один из корней уравнения
8л2 — 2л + с = 0 меньше другого на l,z5?
j,*. Не решая уравненья л2 -f- рх т Q — 0, найти
сумму кубов его корней.
№ 2
1. Решить системы уравнений:
а)
б)
в)
л2 + 5лу + у2= 25
5л + у = 8;
у — л = 3 у^5
л2 + Злу + у2 = —5:
Зл + у у — л
л —1 +~2^—“
л — у — 4.
2. Составить квадратное уравнение по его корням
л, = л2 — 0,5	24.
3*. Решить систему уравнений
лу — 48
у г = 54
гх = 72.
№ 3 (на 20 мин.)
1. Построить график функции у — 1,5л — 2 и отве-
тить на вопросы:
а) При каких значениях аргумента значения функ-
ции положительны, при каких — отрицательны, при
каких — равны нулю?
б) Возрастающая или убывающая функция?
2. Решить графически систему I Зл—у = 2
I 2л —5-0
№ 4
1.	Построить график функции у = —-у л2 +- л 4- 2.
Пользуясь графиком, исследовать функцию но плану:
а) область определения функции;
б)	область изменения функции;
в)	экстремальные значения функции;
г)	промежутки знакопог гоянства функции;
д)	монотонность функции.
2.	Найти координаты точек пересечения графиков.
у — — ~2~ хя + 3 и у — 2л2 — 4л.
3.	Найти графически с точностью до 0,1 корн л урав-
нения
2л2 — 4л + 1 — 0.
(При выполнении этой работы целесообразно пользо-
ваться шаблонами парабол.)
№ 5 (на два урока)
1.	Задача. Школьники отправились на экскур-
сию из города А в город Б на теплоходе, а возвра-
тились обратно по железной дороге. Расстояние от Л
до Б по воде—80 км, а по железной дороге — 72 км.
Поездка по железной дороге продолжалась на 1 час
20 мин. меньше, чем на теплоходе. Средняя скорость
теплохода на 24 км в час меньше скорости поезда.
Найти скорость движения теплохода и поезда.
2.	Выполнить действия
а3 + 1 Г 1	1 а + 1	1	1
1 + а3— а2 ая + а ‘ (а — I)2'~ 1 —	- ц2 I’
3.	Найти числовое значение выражения л’—Юл -f- 3
при л = 5 + 2 । 3.
4.	Решить графически систему ( лу — —3
I л‘ + у-6
41
5.	Вычислить
69,564:4,08 — 2,05
4,968:(0,621’ — 0,221 -0,825 + 0,221 -0,204) •
6*. Построить график функции у = | хг 4- Зх— 4|.
оме	(а —1)“*
2. Найти числовое значение выражения --zi—
(1 — а)-‘
• —— при а----------2—*.
№ 2 (на 20—25 мин.)
ГЕОМЕТРИЯ
1. Углы между диагоналями двух прямоугольников
равны. Их диагонали относятся как 5.4 Найти пло-
щадь меньшего прямоугольника, если площадь больше-
го прямоугольника равна 80 см2.
2. Построив прямоугольный треугольник, если даны
его биссектриса прямого угла I и отношение катетов
а: 6=7 : 4.
1. Построить график функции у = (х—2)~1 и опи-
сать ее свойства.
2. Доказать тождество
[(д + I, )	— (в*—6’)(в —6)-* j -(ab)~l — ab.
№ 2 (на 20 - 25 мин.)
В треугольнике АВС : С = 90°; .4 = 62'42', с = 10,32.
Найти: а; 6; В и S.
№ 3
1. Меньшее основание прямоугольной трапеции равно
53,4 см. Один из углов равен 114°38'. Найти площадь
трапеции, если большая боковая сторона равна 42,8 см.
2. Доказать, что площадь параллелограмма равна
произведению двух его сторон на синус угла между
ними.
№ 4 (на 25—30 мин.)
1. Катеты прямоугольного треугольника равны 48 см
и 14 см. Найти диаметры окружностей: а) вписанной в
треугольник, б) описанной около него.
2. Определить площадь круга, описанного около рав-
ностороннего треугольника, высота коюрого равна h.
1. Найти арифметическое значение корней (не поль-
зуясь знаком модуля):
а)	। (~2х2 4- 5х — 3)*:
б)	(Зхг — 2х +- 1)’ .
2. Решить уравнение /(х— 2)а 4- /(3— х)2 — 1,
3. Найти область определения функций:
й	4
а) > х! —1; б) к'(х — 1)(х + 3).
1. При каких значениях х верны равенства:
3	3	3
a) i (2 — х) (Зх 4- 1) = V2 — х- । Зх 4- 1,
б) । (х - 4) (5 -г 2х) — /х — 4  5 4- 2х?
2. Выполнить действия
№ 5
1. Около крута описана трапеция, периметр которой
равен 18 см Найти среднюю линию трапеции.
2. В равнобедренном треугольнике АВС угол при вер-
шине В =136°, высота й(,=18,6 см. Найти радиус окруж-
ности, описанной около этого треугольника.
3*. Доказать, что в прямоугольном треугольнике
г = Р — с (г — радиус вписанного круга, р — полупери-
метр, с—гипотенуза).
1.	Найти площадь правильного пятнадцатиугольника,
если его сторона равна 41,5 см (с помощью тригоно-
метрических функций острого угла).
2.	Сколько сторон имеет правильный многоугольник,
если его внутренний угол равен 179°36'>
3.	Чему равен внутренний угол правильного 450-уголь-
ника?
Im	т \ mi п — п V п
\ ► т — у п » т 4- у п / 2тп
3. Упростить выражение
а
а	1 + г ’
---г аг	i аг + b
/ a2 -t- b — —4----------—
а2 4- 6 а ± у а1 + b
н вычислить при b — — 1, а — 3.
4. Освободиться от радикалов в знаменателе дроби
н затем вычислить с точностью до 0,01:
7 /5
2/3 — /Г ‘
ДЕВЯТЫЙ КЛАСС
1, Упростить выражение
Ь — b
АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
£	2_7~2	___L
а 2 —b2	(4аЬ)	2
J. _1_	: (а — Ь)-1’
а 2 4- Ь2
2.	Доказать тождество
№ 1 (на 15—20 мин.)
1.
а)
б)
Выполнить действия:
а~'сЬ—г
_ 1
3.	Решить уравнение 5х—1 4-х	2 — 6 = 0.
4.	Построить график функции
у = / х — 3.
№ 1
№ 3
№ 4
№ 6
№ 5
42
№ 6 (на 20—25 мин.)
1. Вычислить:
sin 330° + cos (— 750°)
а) tg(—300°) —ctg 1035° :
2 cos 135° — sin 120°
б> 4 sin 45° — 3 ctg 150°
2 Доказать, что у sin2 л- и у— cos’х — четные
функции.
№ 7
1
1. Найти cos ф, tg ср и ctg ср, если sin и = "
тупой угол.
2 Что больше и почему: sin 46° или cos46°?
3. Упростить выражение
4. В каких четвертях может оканчиваться угол а,
если sin а и tg а имеют одинаковые знаки?
Ле 8
1.	Доказать тождество
1 — 2 Sin a cos а ctg а — 1
cos’а — sin2 а — ctga-t-1"
2.	Решить уравнения:
а)	5cos ^"2” +	“ • + 2 cos2x:
б)	cos 2л: = sin Г х— -4-) cos 2х.
3.	Что больше и почему: a) sin 3 или sin 5,2?
б) ctg 163° или ctg 128°?
№ 9
1.	Сумма трех чисел, составляющих геометрическую
прогрессию, равна 21. Если от первого числа отнять
единицу, ко второму прибавить единицу, а третье
оставить без изменения, то полученные в результате
этого числа образуют арифметическую прогрессию.
Найти заданные числа.
2.	Найти сумму бесконечно убывающей геометри-
ческой прогрессии, если ее первый член равен
V3 -I- 1, а второй равен ьЛ3—1
3	Сумма второго и девятого членов арифметической
прогрессии равна 5. Найти сумму ее 10 членов.
ГЕОМЕТРИЯ
№ 1 (на 20—25 мин.)
1 Из вершины В квадрата ABCD восставлен пер-
пендикуляр BS к плоскости квадрата. Найти расстоя-
ние от точки S до диагоналей и сторон квадрата, если
BS = b и сторона квадрата равна а.
2 Каким должен быть треугольник, чтобы через одну
из его сторон можно было провести плоскость, перпен-
дикулярную другой стороне^
№ 2
1. Точка К отстоит от каждой стороны ромба на рас-
стояние, равное 10 см, а от его плоскости — на 6 см.
Вычислить длину стороны ромба, если его площадь со-
держит 64 см1.
2. Дан куб	Через середину К реб-
ра SjCj и произвольную точку N на отрезке ОО1( сое-
диняющем центры граней ABCD и AxBtCiDy, проведена
прямая. Найти точку пересечения прямой KN с плоско-
стью основания. (Можно ограничиться построением
без записи обоснования.)
Доказать, что АВ | KN.
№ 3
1. Треугольник АВС расположен так, что сторона АС
лежит в плоскости а, а вершина В — вне плоскости а.
Из точки В опушен перпендикуляр ВО на плоскость а,
а из точки О (Ос«) опущен перпендикуляр ОК на пло-
скость АВС. Вычислить длину отрезка ОК, если извест-
но, что отрезок ОВ образует с плоскостью АВС угол в 60°,
площадь треугольника АВС равна 15 см? и АС = 5 см.
2*. Точка Л1 отстоит от плоскости прямоугольного
треугольника на 4 см и ча одинаковые расстояния от
вершин треугольника. Найти это расстояние, если ги-
потенуза треугольника равна 6 см.
№ 4
1. Ромб ADEC и треугольник АВС расположены так,
что сторона АС у них общая и пх плоскости образуют
двугранный угол, содержащий 60°. Найти площадь тре-
угольника АВС, если известно, что DC =2 а, АЕ =2Ь и
ВО ± пл. A DEC.
2. Построить сечение куба ABCDA1B1CID1 плоско-
стью, проходящей через ребро AD и произвольную точ-
ку К на ребре ВВ,.
Ответить на вопросы- а) какая фигура получилась в
сечении; б) каков угол между секущей плоскостью и
гранью AAtBtB?
№ 5
1 Через ребро данного двугранного угла проведена
плоскость, делящая этот угол пополам (биссекторная
плоскость). Доказать, что любая ее точка одинаково
удалена от граней данного двугранного угла.
2. Сформулировать геометрическое место точек, рав-
ноудаленных от граней трехграниого угла.
3. Существует ли четырехгранный угол, плоские углы
которого содержат:
а) 57°, 41°, 28°, 81°; б) 43°, 62°, 29°, 145°?
№ 6
1 Дан треугольник АВС, в котором АС = b, Z А = а,
Z С = ₽ Прямая КМ пересекает сторону АВ в точке К,
а сторону ВС —-в точке М, причем ВК =‘/з АВ и
ВМ —1/2 ВС. Найти а) площадь треугольника КВМ;
б) площадь круга, описанного около треугольника АВС.
Произвести вычисление при & =12,0 см, а =15°, 0 = 30°.
2. Внутренние углы треугольника находятся в отно-
шении 1:2:7. В каком отношении находятся стороны
этого треугольника?
ДЕСЯТЫЙ КЛАСС
АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
№ 1 (на 20—25 мин.)
1. Найти область определения функции
1 у = 1g (2х! + 5х — 3).
2. Решить неравенство 1g (л 2 - 6) < 1.
43
№ 2 (на 20—25 млн).
Вычислить с помощью таблиц логарифмов:
। 3,0016 cos 110°33' .	о(131,
а) 0,005412-17,02“	’ б) 7,943 ’ '•
№ 3
Решить уравнения:
1.9v+‘ + 5-46-3v.
10	1
2.	3 + qx_j+ 2^—1 “0.
1
3.	|K(7-x)-2-ylg(28 4- x) lg 50.
4-	logs log5 (x! —44) = 0.
№ 4
1.	Наиги область определения функции
2.	Задана функция у — (4 — х)(х4-2)	8.
al Найти область изменения этой функции, б) По-
строить график ее. в) Выяснить, при каких значениях
аргумента х функция монотонно возрастает н при
каких она убывает, г) Найти абсолютные экстремумы
данной функции в интервале [0; 3].
1 1
3.	Доказать, что a) v = х |	--у — четная
' 3
функция; б) у - cos у “2“ 71 + х — нечетная функция.
№ 5
1.	Даны четыре комплексных числа: 3; — 4; —2/:
2 + Зт. Наииса1ь числа; а) сопряженные данным,
б) противоположные данным. Указать на координатной
плоскости точки, изображающие как данные числа,
так и полученные.
2.	Найти действительные числа а и Ь нз уравнения
За (b + I) — 5 — (ЗЬ — 16) I.
3.	Вычислить
(1 4-20“—(1 —0s
(3 4-20“ —(2 +О’’
4. Изобразить на плоскости множество точек, соот-
ветствующих комплексным числам х + ту, если — 1 <
< х < 2 и 0<у<4.
Jsie 6 (на 20—25 мнн.)
1. Найти и и v из уравнения За 4- iv = 5 4- 6т, если
известно, что и и v — числа чисто мнимые.
2. Составить квадратное уравнение с действитель-
ными коэффициентами, один из корней коюрого ра-
3. Решить уравнение х*— 5—0
7 (на 2 часа)
1. Найти область определения функции
2. Упростить выражение
1 1
(4 —с“) * 1 2 —(2 —а) 2	1— а
1+ .L	-J. 1-, 2=~а
(2 + а) + (4 - а‘)
и указать, при каких значениях а справедлив полу-
ченный результат.
3.	Решить уравнение 1 4- tg х 4- sec х = 0.
4.	Найти sin 2а — cos 2а, если tg 4а = — 0,75 и 0 < а
<45°.
5.	Решить уравнения:
a) log2(9—2А) = 3- х.
1g (2х“-5x4-3) о
J lg(3-x)
ГЕОМЕТРИЯ
№ I (на 20—25 мин.)
1. Основанием пирамиды, около которой описан ко-
ну I., служит прямоугольный треугольник. Найти угол
между плоскостью основания и боковой гранью, про-
ходящей через гипотенузу. Построить его линейный
угол.
2. Основанием прямой четырехугольной призмы слу-
жит трапеция, средняя линия которой равна 5 см, а бо-
ковые стороны содержат по 3 см Можно ли в эту
призму вписать цилиндр3 (Ответ обосновать.)
№ 2
Основанием пирамиды служит прямоугольный треу-
гольник с катетом а и противолежащим острым углом а.
Боковые грани, проходящие через катеты, перпендику-
лярны к плоскости основания, а третья боковая грань
наклонена к плоскости основания под углом (3 Окото
этой пирамиды описан цилиндр так, что основание ци-
линдра описано около основания пирамиды, а вершина
пирамиды лежит в плоскости другого основания цилин-
дра. Найти объем и боковую поверхность цилиндра.
№ 3 (на 2 урока)
1. На поверхности конуса с вершиной В дана точка К,
причем отрезок ВК равен '/з образующей. Р — точка на
высоте конуса
а)	Найти точку М пересечения прямой РК с пло-
скостью основания.
б)	Найги длину отрезка КМ, если известно, что боко-
вая поверхность конуса равна 5, угол в осевом сечении
конуса а, а угол между прямой РК и плоскостью осно-
вания равен р.
2. Две точки окружностей верхнего и нижнего основа-
ний цилиндра соединены отрезком, длина которого а
и который образует с плоскостью основания угол в 45°.
Радиус основания R. Найти кратчайшее расстояние ме-
жду осью цилиндра н данным отрезком
№ 4
1. Равносторонний треугольник со стороной а вра-
щается около оси, расположенной в его плоскости, про-
ходящей через одну из его вершин и перпендикулярной
к стороне, которой принадлежит эта вершина.
Найти поверхность и объем тела вращения.
2. Как должны быть расположены две равные окруж-
ности, чтобы через них могла пройтп сфера того же
радиуса? (Ответ обосновать.)
№ 5
Основанием пирамиды служит прямоугольник, сторо-
на которого равна а и противолежащий угол между
диагоналями равен Р Каждое боковое ребро пирамиды
образует с основанием угол а Около этой пирамиды
описан шар. Найти расстояние от центра шара до
плоскости основания.
Используя полученную формулу, исследовать поло-
жение центра шара относительно плоскости основания.
В. СЕРВЕ [Бельгия]
АКСИОМАТИКА И ЭЛЕМЕНТАРНАЯ
ГЕОМЕТРИЯ1
1.	ВВЕДЕНИЕ
1.1	В элементарной геометрии учащийся
впервые встречает сложные математические
структуры. При традиционном преподавании
он подходит к геометрии без математической
подготовки, с пустыми руками.
В Бельгии была проведена большая педаго-
гическая работа с целью облегчить начинаю-
щему усвоение геометрии.
Рассмотрение элементарной геометрии с
высшей точки зрения всегда интересовало ма-
тематиков. Достаточно назвать следующие
три недавние работы- «Геометрическая алгеб
ра» — Э. Артен, «Преподавание геомет-
рии»—Г. Шоке, «Линейная алгебра и эле-
ментарная геометрия» — Ж. Дьедонне,—
чтобы показать, насколько актуальна алгеб-
раическая модернизация преподавания гео-
метрии.
«Царская дорога» в отношении такой кон-
струкции геометрии, как выразился Г. Шоке,
была известна еще по высказываниям Грас-
смана и Кэли до популяризации этих
идей Клейном.
1.2.	Эксперимент, проводимый в классе
уже более 25 лет, показал нам, что учащиеся
17-Г-18 лет вполне успешно овладевают аф-
финной геометрией и учением о векторах с
дальнейшим введением скалярного произведе-
ния и переходом к евклидовой геометрии.
Новым является то, что ясное представление
об аксиоматике действительного векторного
пространства можно давать в возрасте 15 лет,
если позаботиться об овладении понятиями
вектора и действительного числа в возрасте от
12 до 14 лет Именно с этого возраста мы в
Бельгии и начинаем изложение курса гео-
метрии.
1.3.	Мы хотели бы рассказать о преподава-
нии геометрии учащимся 12 лет, в частности,
с аксиоматической точки зрения.
Не представляется возможным сразу вло-
жить в головы пятнадцатилетних учащихся
понятия вектора и действительного числа. Эти
понятия должны быть отработаны па первом
этапе преподавания при помощи методов, при-
емлемых как с математической, так и с педа-
1 Перевод А. И. Фетисова статьи проф В. Сер-
ве, опубликованной в бетьгийском журнале «Матема-
тика и педагогика».
гогической точки зрения. Более того, нужно
приучить детей к математическим рассужде-
ниям, отличным от эмпирических выводов, ко-
торые они получали в результате процессов
склеивания или складывания.
В этих математических рассуждениях еще
нет непосредственных математических обоб-
щений, но есть прогрессирующее приближение
к усвоению, где имеют место и повторение, и
подражание.
Иногда думают, что было бы лучше в тече-
ние всего первого периода обучения приме-
нять экспериментальный метод, а уже после
перейти к дедуктивному изложению. Но это
значит тешить себя иллюзиями. Забывают, что
учащиеся должны приобрести опыт в рассуж-
дениях, без которого всякая дедукция показа-
лась бы загадкой или даже непонятной бас-
ней, которую нужно учить наизусть букву за
буквой.
Мы думаем, что надо учить доказывать и
определять как можно раньше, с того самого
времени, когда ребенок обнаружит потреб-
ность в этом отношении. Речь идет не о том,
чтобы с необдуманной поспешностью «дресси-
ровать» учащихся, насильно навязывая им
дедуктивные методы мышления, но разумно
подводить их к этому, проводить с ними рас-
суждения, когда дети обнаружат, что они мо-
гут рассуждать.
Классный эксперимент показал, что учащие-
ся 12 лет, поступающие в школу второй сту-
пени, могут вполне удовлетворительно упраж-
няться в рассуждениях.
2.	ОЗНАКОМЛЕНИЕ С ОСНОВАМИ
2.1.	Как известно, в бельгийских школах
второй ступени, принявших современную про-
грамму математики, ученики в 12 лет на пер-
вом году обучения активно вводятся в понима-
ние идеи множества, отношения и функции,
используя диаграммы Венна и разноцветные
графы со стрелками.
Что касается множеств, то в этом отноше-
нии учащиеся знакомятся с символикой, обо-
значающей принадлежность, включение, пере-
сечение, объединение, разность и декартово
произведение.
2.2.	Учащиеся усвоили понятие взаимности
отношений, а также идею композиции двух
или нескольких последовательных отношений.
Они научились видеть рефлексивность, сим-
метрию и транзитивность некоторых отноше-
ний.
В связи с классификацией множеств вводит-
ся понятие об их эквивалентности. Включение
множеств и другие примеры приводят к отно-
шениям порядка.
2.3.	В связи с понятиями функции и отобра-
жения рассматриваем, в частности, случай,
когда обратное отношение само является
функцией. Отсюда получается понятие взаим
но однозначного соответствия и равенства
мощности множеств. Учащиеся замечают, что
множества одной и той же мощности имеют
одно и то же число элементов. Они переосмыс-
ливают операции над натуральными числами
и свойства этих операций, исходя из операций
над множествами.
3.	ПРЕИМУЩЕСТВО АФФИННОЙ ГЕОМЕТРИИ
3.1.	В конкретной геометрии, которой обла-
дает ребенок 12 лет, только часть ее содержа-
ния воспринимается им сознательно.
Поэтому, когда начинается изучение систе-
матического курса геометрии, ему бывает
трудно понять, что из этого содержания мож-
но принять как очевидное и что нужно дока-
зывать.
Существует несколько путей для математи-
ческой обработки интуитивных и не подвер-
гавшихся анализу понятий ребенка.
И в традиционном преподавании и в неко-
торых более современных направлениях его
есть стремление начинать сразу с метрической
геометрии в достаточно полном объеме. Для
чего? Несомненно, формирование первона-
чального понятия длины имеет в некоторых
отношениях преимущество, но преимущество
это опять-таки довольно спорное.
3.2.	В Бельгии мы по ряду соображений
смело начинаем с аффинной геометрии.
Прежде всего известно, что аффинная гео
метрия независима от геометрии евклидовой.
Эта независимость становится совершенно
ясной, если освободить аффинную геометрию
от ее евклидовой оболочки.
Между тем, и это показал продолжительный
эксперимент, определение геометрических
свойств с точки зрения групп инвариантности
является очень точным и с педагогической
точки зрения и позволяет выделить способ
доказательства, адекватный аффинной, метри-
ческой или проективной природе вопроса.
3.3.	С другой стороны, аффинная геометрия
как математическая модель весьма полезна
для физики, некоторые разделы которой, как,
например, термодинамика, могут с успехом
использовать аффинные соотношения. Для
проблем физики, нуждающихся в метрической
трактовке, часто выгодно ввести их в нужный
момент в рамках аффинной геометрии.
3.4.	Могут сказать, что все это еще далеко
от обоснования. Почему при наличии возмож-
ности не сделать это раньше? Тем более что
аффинная геометрия представляет собой пред-
мет значительно более простой, чем метриче-
ская, и что основные свойства в ней менее
многочисленны Это обстоятельство дает опре-
деленное педагогическое преимущество, когда
начинающему нужно отыскать доказательство.
Так как правила игры в аффинной геометрии
менее многочисленны, чем в евклидовой, то их
легче применять, не обращаясь бессознательно
к физической очевидности
Таким образом, мы стремимся получить
возможность подойти к построению системы
векторов и действительных чисел более сво-
бодным и быстрым путем.
4.	ПЛОСКОСТИ И ПРЯМЫЕ
4.1.	Первоначальные аксиомы, которые мы
обычно принимаем, следующие.
В планиметрии:
А]. Плоскость есть множество точек; это —
мир точек.
А?. Каждая прямая есть собственная часть
плоскости.
А3. Каждая прямая содержит по крайней
мере пару точек.
А4. Каждая пара точек принадлежит одной
единственной прямой.
Эти свойства выявляются из чертежа. Их
интуитивный смысл совершенно ясен.
4	2 Чтобы довести до сознания учащихся
логическое значение этих предложений, пред-
лагаем им упражнения, в которых прямые
представлены диаграммами Венна, дополняе-
мыми указанием частей, являющихся необхо-
димо пустыми.
Например, если А и В прямые и если
= о (черт. 1), то мы должны иметь две
точки, включенные в ЛП5 откуда
А = В и А = 0.
Эти упражнения заставляют рассуждать,
вместо того чтобы только видеть.
4.3.	До сих пор учащиеся не отдают себе от-
чета в том, что аксиомы представляют собой
нечто большее, чем добросовестное описание
свойств, интуитивно полученных из рассмотре-
ния изображений прямых на плоскости.
Мы им предложим упражнения на интер-
претацию аксиом. Прежде всего интерпрета-
ции физические.
46
Если в предложениях Л;, А2, А3, Аа мы ин-
терпретируем прямую, содержащую пару то-
чек, как соединяющую их черту, проведенную
по линейке, то будет ли это правильным? Нет!
Класс находит интерпретацию, названную
«открытка»: черта, проходящая через две точ-
ки, должна быть продолжена до границ кар-
точки. Тогда аксиомы будут оправданы
(черт. 2).
Черт 2
Производились аналогичные интерпретации
плоскости как множества точек сферы и пря-
мых как окружностей, проведенных по ней.
Интерпретация, которая учащихся и интере-
сует и забавляет, состоит в рассмотрении пло-
скости как совокупности некоторых элементов,
где прямыми являются просто пары этих эле-
ментов. Таким путем получаются конечные
модели.
Учащиеся нашли, что аксиомы удовлетворя-
лись моделью минимум из трех элементов.
5.	ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ
5.1.	Определение, ставшее отныне классиче-
ским и называющее параллельными непересе-
кающиеся или совпадающие прямые, вводится
без затруднений. Имеются преподаватели, ко-
торые отказываются признать совпадение пря-
мых за частный случай параллельности.
Множество прямых, параллельных одной и
той же прямой, называется направлением.
Аксиома Евклида представлена в двух экви-
валентных (в силу определения разбиения
множества) формах.
Р. К каждой данной прямой через каждую
точку проходит одна, и только одна, парал-
лельная, или каждое направление есть разбие-
ние плоскости.
Следовательно, параллельность есть отно-
шение эквивалентности на множестве прямых.
5.2.	На модели из трех элементов не суще-
ствует ни одной пары параллельных, и аксио-
ма параллельности здесь неверна.
То же мы имеем и в интерпретации на «от-
крытке», где через каждую точку вне данной
прямой можно провести сколько угодно па-
раллельных.
Если вернуться к определению прямой как
пары элементов множества и взять модель из
четырех элементов, то получим: всякая пря-
мая параллельна своему дополнению. Мы по-
лучили параллелограмм, диагонали которого
параллельны.
Модели'из 5, 6, ... элементов содержат 2, 3,
... параллельных, проходящих через внешнюю
точку.
5.3.	Следуя по этому пути, учащиеся не-
сколько наивно констатируют два важных
факта:
1)	Система аксиом может получить такие
интерпретации, которые могут показаться не-
ожиданными даже для того, кто эти аксиомы
сформулировал.
2)	Аксиома Р параллельности удовлетво-
ряется не во всех моделях, справедливых для
предыдущих аксиом, эта аксиома «приносит
новое».
5.4.	Благодаря введенным аксиомам опреде-
ляется проекция плоскости на прямую парал-
лельно данному направлению. Это есть ото-
бражение плоскости на прямую.
Проекция прямой А на прямую В в задан-
ном секущем направлении устанавливает
взаимно однозначное соответствие между
А и В.
Поэтому все прямые имеют одинаковую
мощность, они имеют одно и то же кардиналь-
ное число X.
Координатная проекция на две пересекаю-
щиеся прямые показывает, что мощность пло-
скости эквивалентна мощности декартова про-
изведения двух прямых. Следовательно, кар-
динальное число плоскости равно X2.
Без труда находят кардинальное число на-
правлений на плоскости А + 1 и также множе-
ство прямых на плоскости X2 + X. Интересно
проиллюстрировать эти формулы на модели
из 9 элементов, где каждая прямая содержит
3 элемента.
Все сказанное выше становится очевидным
для учеников по мере того, как они получают
необходимые понятия теории множеств.
47
6.	ЛИНЕЙНЫЙ ПОРЯДОК
6.1-	Для каждой пары {а, Ь} существуют
два порядка 2:{(а, Ь)} и {(Ь, а)}.
На множестве, состоящем из трех или боль-
шего числа элементов, можно установить бо-
лее двух порядков.
Когда мы пробегаем прямую в одном на-
правлении, мы определяем на ней естествен-
ный порядок. Это интуитивное наблюдение
приводит к принятию аксиомы:
Ot. На всякой прямой существуют два вза-
имных порядка. Эти два естественных поряд-
ка задаются данной прямой. Каждый из них
определяет обратный ему порядок.
Исходя из этой аксиомы определяем ориен-
тированную прямую, открытую или замкнутую
полупрямую, интервал открытый, интервал
замкнутый (отрезок), полуинтервал, много-
угольный контур, выпуклую часть плоскости,
границу выпуклой части плоскости, что позво-
ляет ввести элементарные многоугольники.
6.2.	Зависимость между двумя естественны-
ми порядками на одной прямой и двумя есте-
ственными порядками на другой устанавли-
вается аксиомой:
О2. Параллельная проекция с одной прямой
на другую переводит естественный порядок
первой в естественный порядок второй; иначе
говоря, всякая параллельная проекция одной
ориентированной прямой на другую прямую
есть возрастающая или убывающая функция
Каждый из двух естественных порядков од-
ной прямой изоморфен одному из двух есте-
ственных порядков другой прямой.
Аксиомы О, и О2 проверяются на модели
из 4 элементов (черт 3).
Черт. 3
2 Говорят, что в множестве введен порядок (или
«полный» порядок — в отличие от частичного порядка),
если для любых двух различных элементов a, h М
указано, какой из них предшествует другому (а<Ь
или Ъ<а). При этом должна выполняться аксиома, ес-
ли а < bt b < с, то а < с (Ред.).
Пусть мы имеем прямую А, на которой
а < b < с.
Если d А, проекции на А пары (b, d)
в направлении прямых ad и cd дают пары
(Ь, а) и (Ь, с), которыми соответственно опре-
деляются два естественных порядка на А.
Следовательно, посредством композиции па-
раллельных проекций можно установить такое
взаимно однозначное отображение прямой на
себя, что образом одного естественного по-
рядка будет служить обратный порядок.
Два естественных порядка одной и той же
прямой изоморфны.
6.3.	О3. Проекция данной ориентированной
прямой на параллельную прямую устанавли-
вает на последней прямой один и тот же поря-
док независимо от направления проекции
(черт. 4).
.Черт. 4
Эта аксиома, подтвержденная чертежом, не
имеет места на модели из 4 элементов. Это то-
же является неожиданностью.
Определяем ориентированные параллель-
ные прямые, одинаково и противоположно
направленные.
Опираясь на аксиому О3, легко доказать,
что на каждой прямой имеется бесконечное
множество точек.
На прямой имеются по крайней мере две
различные точки а и b (Л3). Далее существует,
но крайней мере, одна точка и вне прямой ab
(Л2). Строим точку р так, чтобы было uv^ab
и bv || аи.
Достаточно осуществить последовательность
параллельных проекций, как указано на чер-
теже 5.
Если а <Ь определяет порядок на прямой
ab, то в силу О3 последовательно получим
Чср1 о
48
b<c, с < d, так что две точки последова-
тельности а < b < с < d < ... не могут совпа-
дать.
Это предложение уже исключает возмож-
ность применения рассмотренных ранее моде-
лей с конечным числом элементов.
7.	ГРУППА РАСТЯЖЕНИЙ
7.1.	На основе конкретных наблюдений: ки-
тайские тени, увеличение фотографий, кино
проекции, перемещение сдвигающейся две-
ри — учащиеся получают представление о рас
тяжснии
Определение. Растяжение есть взаимно
однозначное преобразование плоскости, при
котором каждая прямая отображается в па-
раллельную ей прямую 8.
Тождественное преобразование есть растя-
жение.
7.2.	Из построения параллельных получаем,
что растяжение определено заданием пары
точек и их образов. Растяжение, имеющее две
неподвижные точки, есть тождественное пре-
образование (черт. 6 и 7).
7.3.	Мы примем единственную аксиому су-
ществования.
D Существует, по крайней мере одно рас-
тяжение, переводящее две данные точки а и b
в заданные их образы а', Ь', принадлежащие
прямой, параллельной ab. Вследствие 7.2 это
растяжение единственно.
7.4.	Устанавливаем, что множество растяже-
ний плоскости является группой по отношению
к их композиции.
Действительно, взаимно однозначные соот-
ветствия в плоскости образуют группу, а па-
раллельность есть отношение эквивалентности.
7.5.	При растяжении всякая прямая, соеди-
няющая точку и ее образ, инвариантна; она
называется трассой растяжения.
3 Можно дать менее сильное определение растяжения.
См.: W. Servais, Dilafations, Mathematics teaching,
пс 26
Два взаимно обратных растяжения имеют
одни и те же трассы
Нетрудно убедиться в том, что при растя-
жении, если оно не является тождественным
преобразованием, все трассы либо параллель-
ны между собой, либо проходят через одну и
ту же точку с.
В первом случае растяжение есть, по опре-
делению, трансляция (параллельный перенос),
во втором — гомотетия с центром с.
Тождественное преобразование может рас-
сматриваться как трансляция: каждая прямая
является трассой, параллельной самой себе,
если же тождественное преобразование рас
сматривать как гомотетию, то каждая точка
плоскости есть пересечение трасс.
7.6.	Множество гомотетий с общим центром
образует группу относительно их композиций.
7.7.	Очевидно, что если композиция двух
трансляций имеет неподвижную точку а, то
она имеет и другую4 неподвижную точку Ь.
Значит, это есть тождественное преобразо
вание.
Далее, композиция двух трансляций есть
тоже трансляция. Л4ножество трансляций в
плоскости образует группу относительно их
композиции.
8.	ГРУППА ВЕКТОРОВ
8	1. Часть плоскости А эквиполлентна части
В, если существует трансляция, преобразую-
щая А в В.
Так как трансляции образуют группу, то
эквиполлентность есть соотношение эквива-
лентности, которое мы обозначаем значком 1
8.2.	Трансляция преобразует пару точек
(а, Ь) в эквнполлентпую пару (а', Ь'):
(a, b) Т (а'. Ь') Класс всех пар точек, экви-
поллентных одной и той же паре (а, Ь), есть,
по определению, вектор — вектор ab
При трансляции пары точек, определяемые
каждой точкой и ее образом, эквиполлентны
(черт. 8)
Действительно, в параллелограммах имеем:
(а, а') I (й, Ь'), (Ь. Ь’) ( (с, с').
Отсюда, в силу транзитивности:
(а, а') Т (с, с').
Пары, эквиполлентные (а. а'), определяют
вектор трансляции.
8.3.	Производя композицию двух трансля-
ций, получаем трансляцию, вектор которой, по
определению, называется суммой векторов
данных трансляций.
4 Достаточно взять b вне трассы точки а.
49
а а' с с
w
b tj
Черт. 8
Очевидно, получим: ac^ab-\-bc.
Векторная символика есть способ обозначе-
ния трансляций, а композиции трансляций со-
ответствует векторное сложение.
Множество векторов образует группу по от-
ношению к операции сложения, и эта группа
изоморфна группе трансляций.
Обе группы коммутативны.
Рассмотрим подгруппы, порождаемые одним
или двумя векторами.
8.4.	Рассмотрим трансляцию, которая пере-
водит постоянную точку о плоскости в какую-
нибудь данную точку.
По определению, суммой двух точек а и b
называется такая точка с, для которой
ос = оа + ob.
Плоскость с начальной точкой, определяю-
щей сложение, является коммутативной груп-
пой, изоморфной группе трансляций или век-
торов.
Рассмотрим подгруппы, определяемые од-
ной точкой или парой точек (черт. 9).
8.5.	При параллельной проекции на прямую
две эквиполлентные пары точек отображаются
также в две эквиполлентные пары.
Действительно, если (a, b) | (с, d), то тран-
сляция ас преобразует b в d.
Эта трансляция преобразует а' и Ь' в точ-
ки е и f прямых сс' и dd'.
Мы имеем (a', b') [ (е, /), и точки е, f ле-
жат на прямой, параллельной c'd'.
Итак, (е, f) f (с', d').
Отсюда, в силу транзитивности,
(a', b') f (с', d').
Если в качестве проектирующего направле-
ния принять прямую ab, то точка а' совпадает
с Ь' и точка с' — с d' и эквиполлентность со-
хранится.
Середина отрезка проектируется в середину
проекции этого отрезка.
Диагонали параллелограмма пересекаются
в их середине. Параллельная проекция пло-
скости на прямую преобразует вектор плоско-
сти в вектор на прямой.
Сумма двух векторов имеет проекцией сум-
му их проекций.
Посредством параллельной проекции можно
построить половину вектора и противополож-
ный вектор.
8.6.	Растяжение преобразует две эквипол-
лентные пары в две эквиполлентные пары,так
как параллелограмм отображается в паралле-
лограмм.
Растяжение преобразует вектор в вектор и
сумму двух векторов — в сумму их образов.
Группа трансляций преобразуется растяже-
нием в себя.
8.7.	Если при растяжении две точки меня-
ются местами, то это же имеет место и для
всех пар соответствующих в преобразовании
точек и каждый вектор преобразуется в проти-
воположный.
Это преобразование называется централь-
ной симметрией. Ее центр есть середина от-
резка, соединяющего точку с ее образом. Мно-
жество трансляций и центральных симметрий
образует группу относительно их композиций.
9.	ОСЕВАЯ СИММЕТРИЯ И АФФИННАЯ ГРУППА
9.1.	Осевая симметрия, заданная осью А и
направлением D (пересекающим Л), есть
взаимно однозначное отображение плоскости
в себя, при котором каждой точке х соответ-
ствует ее образ х', причем прямая хх' имеет
направление D и середина m отрезка [ax']
принадлежит оси А (черт 10).
Точки прямой А неподвижны, и все прямые
направления D преобразуются в самих себя.
При осевой симметрии прямая преобра-
зуется в прямую. Это предложение очевидно,
если прямая ху параллельна оси А, так как
( браз прямой ху можно получить путем тран-
сляции С ВСКТОрОМ 2.Хт.
50
Пусть прямая ху пересекает ось А в точке о
и пусть у' симметрична с у. Гомотетия с цент-
ром С, преобразующая х в у, преобразует V
в у" так, что прямая уу" параллельна пря-
мой хх' и середина т отрезка [хх'] преобра-
зуется в середину п отрезка [уу"], расположен-
ную на прямой А.
Следовательно, у" = у' и прямая ху преоб-
разуется в прямую х'у'.
9.2.	Композиция растяжений и осевых сим-
метрий порождает группу аффинных преобра-
зований.
Композиция двух симметрий с параллельны-
ми осями и общим направлением симметрии
дает трансляцию.
Композиция двух, симметрий с непараллель-
ными осями при условии, что каждая ось оп-
ределяет направление симметрии другой оси,
есть центральная симметрия с центром в точ-
ке пересечения осей (сопряженные осевые
симметрии).
10.	ГРАДУИРОВКА ПРЯМОЙ.
АБСЦИССА ТОЧКИ
10.1.	Прямая D с заданным на ней нача-
лом о и правилом сложения точек определяет
группу (Do, +). Эта группа коммутативна.
Если прямая ориентирована, то можно так-
же упорядочить группу.
10.2.	Из группы (Don, -j-) выделим под-
группу, определяемую точкой и, отличной от
начала о.
Эта подгруппа есть градуировка прямой,
обозначаемая (Do„, +) (черт. 11).
10.3.	Принимаем аксиому Архимеда.
Arch. Для всякой точки х прямой ои су-
ществует такое целое число п, что
2и Ju 0 и 2и Зи
Черг. 11
х£]пи, (Tz-j-l)zz] или иначе множество ин-
тервалов ] пи, (п + 1)и] для n£Z есть раз-
биение прямой ои.
10.4.	Пусть дана точка х прямой ои; су-
ществует отрезок [пи, (п + 1) и], который
ее содержит.
Чтобы уточнить положение х на этом от-
резке, разделим его на два эквиполлентных от-
резка и получим новый отрезок, которому при-
надлежит х. Полученный отрезок вновь делим
на два эквиполлентных отрезка и т. д.
Конечное двоичное число позволяет эту по-
следовательность геометрических операций
довести до заданной степени точности. Прини-
маем, что мы эти операции можем продол-
жать неограниченно и получить бесконечную
двоичную дробь.
Каждая точка при последовательных деле-
ниях отрезков определяет два разложения в
двоичную дробь, сходящихся к этой единствен-
ной точке.
Обратно: бесконечная двоичная дробь, за-
данная a priori, определяет программу деле-
ния отрезков и вместе с тем последователь-
ность вложенных друг в друга отрезков.
С. Аксиома непрерывности. Пересечение
вложенных отрезков, полученных путем не-
ограниченного последовательного деления
каждого отрезка на два эквиполлентных, со-
держит единственную точку.
Устанавливаем, что две двоичные бесконеч-
ные дроби, определяющие одну и ту же точку,
равны между собой. Это число называют
абсциссой точки х по отношению к началу о
и к единичной точке и.
10.5.	Посредством параллельной проекции
градуировка одной прямой переносится на
другую прямую. По отношению к этим гра-
дуировкам данная точка и ее образ имеют од-
ну и ту же абсциссу (теорема Фалеса).
10.6.	В гомотетии с центром о две отличные
от о точки Ui и и2 отображаются в точки
%! и х2, которые имеют одну и ту же абс-
циссу в градуировках, определяемых о и и\,
о и и2.
Эта общая абсцисса называется коэффици-
ентом гомотетии.
Чтобы каждой двоичной дроби соответство-
вала гомотетия с центром о, необходимо при-
нять, что нулевой двоичной дроби 0,0000...
соответствует выродившаяся тождественная
гомотетия, при которой все точки плоскости
отображаются в один и тот же центр о.
10.7.	При всякой нетождественной гомоте-
тии и при всякой трансляции градуировка
прямой отображается в градуировку прямой,
в которую данная прямая преобразуется.
51
По отношению к таким градуировкам точка
и ее образ имеют одну и ту же абсциссу.
Достаточно заметить, что растяжение преоб-
разует две эквиполлентные пары в эквипол-
лентные пары и ориентированную прямую в
ориентированную прямую.
11.	ПОЛЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
11.1.	Сложение и умножение двоичных чисел
определяется при помощи композиции транс-
ляций и гомотетий.
Сложение точек в (О07!, +) позволяет опре-
делить сложение их абсцисс: суммой абсцисс
двух точек, по определению, является абсцис-
са суммы этих точек. Отсюда следует, что мно-
жество абсцисс есть коммутативная группа по
отношению к их сложению.
По определению, композиция гомотетий
имеет коэффициентом произведение коэффи-
циентов данных гомотетий (в порядке их ком-
позиций).
Множество ненулевых абсцисс есть группа
по отношению к умножению. Устанавливаем,
что она коммутативна.
11.2.	Наконец, в силу того, что всякая гомо-
тетия, включая и нулевую, преобразует сумму
векторов в сумму их образов, умножение абс-
цисс дистрибутивно по отношению к сложе-
нию.
Множество абсцисс точек градуированной
прямой определяет сложение и умножение на
числовом поле независимо от выбора прямой.
Это поле называется полем действительных
чисел.
12.	ДЕЙСТВИТЕЛЬНАЯ ВЕКТОРНАЯ ПЛОСКОСТЬ
12.1.	В плоскости с фиксированным началом
о произведение точки а на действительное чис-
ло а есть точка b — образ точки а в гомотетии
с коэффициентом а и центром о.
Группа точек плоскости, полученных при за-
данном начале путем умножения на действи-
тельные числа, есть векторное пространство.
Если это построение произв сти по отно-
шению к другому началу о' и если имеем
оа = о'а', то образ Ь’ точки а' в гомотетии
с центром о' и коэффициентом а таков, что
ab = а'Ь’._
Вектор ob называется произведением век-
тора оа на число а. Это записывается так:
-->	- т
ob =а  оа
Группа векторов плоскости, полученная по-
средством такого умножения на действитель-
ные числа, образует действительное векторное
пространство двух измерений, изоморфное
множеству векторов на плоскости.
12.2.	Рассмотренное построение курса дает
возможность одновременно усвоить аффинную
геометрию плоскости, поле действительных чи-
сел и двумерное векторное пространство Оно
постепенно вводит аксиомы и показывает
посредством моделей, что они вносят новую
информацию и позволяют сделать различные
важные выводы.
Идя геометрическим путем, мы вводим пер-
воначальные понятия о преобразовании пло-
скости и о группах, которые они образуют.
Таковы свойства групп трансляций и гомо-
тетий, на основе которых получается интуитив-
ное и логическое представление о поле дей-
ствительных чисел.
Изложенная программа была пройдена в те-
чение первых двух лет обучения в школе вто-
рой ступени.
13.	ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ
13.1.	Метрическая геометрия строится на
базе уже усвоенной аффинной геометрии по-
средством введения понятия перпендикуляр-
ности двух направлений 5.
Рассмотрение бумаги, разлинованной в клет-
ку, дает возможность принять следующие
аксиомы:
Pi. На множестве направлений в плоскости
существует симметричное отношение — пер-
пендикулярность.
Р^. Для каждого данного направления в
плоскости существует единственное направле-
ние, перпендикулярное данному.
Р3. Два перпендикулярных друг другу на-
правления различны (антирефлективность)
13.2.	Две прямые перпендикулярны, если
они принадлежат соответственно к двум вза-
имно перпендикулярным направлениям.
Из аксиом выводим.
Перпендикулярные между собой прямые
пересекаются.
Через данную точку к данной прямой мож-
но провести только один перпендикуляр
14.	ОРТОГОНАЛЬНАЯ ОСЕВАЯ СИММЕТРИЯ
14.1.	Симметрия относительно оси А назы-
вается ортогональной, если направление этой
симметрии перпендикулярно к оси. Эта сим-
метрия вполне определяется осью.
Применяя свойства аффинной осевой сим-
метрии 9.1 к ортогональной осевой симметрии,
получим: Ортогональная осевая симметрия
преобразует прямую в прямую.
5 В. Серве, Метрическая геометрия (Mathematics
teaching, n°30).
52
Композиция двух ортогональных симметрий
с параллельными осями есть трансляция, ко-
торая приводится к тождественному преобра-
зованию, если оси совпадают.
Композиция двух ортогональных симметрий,
оси которых перпендикулярны друг другу, есть
центральная симметрия, центром которой слу-
жит точка пересечения осей. (Это — две со-
пряженные осевые симметрии.) Для каждой
пары точек существует единственная ортого-
нальная осевая симметрия, которая преобра-
зует их друг в друга.
14.2.	Складывая лист бумаги с двумя луча-
ми, имеющими общее начало, можно добить-
ся того, чтобы эти лучи совпадали.
Мы получаем аксиому
В.	Существует6 ортогональная осевая сим-
метрия, преобразующая друг в друга два лу-
ча, имеющие общее начало.
15.	ДВИЖЕНИЯ
15.1.	Композиция двух ортогональных сим-
метрий, оси которых имеют по крайней мере
одну общую точку, есть по определению вра-
щение.
Фиксированная общая точка двух осей на-
зывается центром вращения.
Если оси имеют вторую общую точку, то
вращение становится тождественным преобра-
зованием.
Центральная симметрия есть частный слу-
чай вращения
Если даны две полупрямые [ах, [by, то все-
гда можно найти композицию двух ортого-
нальных осевых симметрий, преобразующую
[пх в [by.
Итак, существует трансляция или вращение,
которые преобразуют одну из двух данных
полупрямых в другую.
15.2.	Построим отображение некоторого за-
данного множества точек посредством компо-
зиции ортогональных осевых симметрий.
Если снять первоначальные точки на каль-
ку, то можно каждую точку совместить с ее
отображением, если только число последова-
тельных осевых симметрий было четное. Этот
эксперимент приводит к определению.
Движение есть композиция четного числа
последовательных ортогональных осевых сим-
метрий.
Итак:
Тождественное преобразование есть движе-
ние.
6 Достаточно потребовать только существования без
единственности так как будет показано, что единствен
ность следует из (16.2).
Трансляция и вращение суть движения.
Преобразование, обратное движению, есть
движение
Композиция двух движений есть движение.
Множество движений образует группу по
отношению к их композиции.
15.3.	Очевидно, что тождественное преобра-
зование оставляет неподвижной каждую полу-
прямую.
Экспериментируя с калькой, находим, что
это — единственное преобразование, обладаю-
щее таким свойством.
Мы принимаем аксиому:
I.	Единственное движение, оставляющее не-
подвижной данную полупрямую, есть тожде-
ственное преобразование
Из этой аксиомы следует, что существует
единственное движение, преобразующее дан-
ную полупрямую [ох в другую данную полу-
прямую [by.
Действительно, если [ах = [by, то свойство
это следует из аксиомы I Если нет, то пусть
6 есть движение, переносящее [ах на [by.
Пусть б1—движение, производящее то же
преобразование. Тогда преобразование б *° б1
оставляет неподвижной полупрямую [ах.
Следовательно, б"1 ° б1 = 1, откуда б1 = б.
Отсюда мы получаем, что всякое движение
есть либо трансляция, либо вращение и что
вращение вполне определено заданием полу-
прямой, исходящей из центра вращения, и об-
раза этой полупрямой.
Композиция двух вращений с общим цент-
ром есть вращение с тем же центром.
Вращения с общим центром образуют
группу.
Никакое движение нс может быть ортого-
нальной осевой симметрией. Действительно:
такая симметрия имеет неподвижную прямую,
а единственной трансляцией или вращением,
имеющими по крайней мерс одну неподвиж-
ную прямую, является тождественное преоб-
разование.
16.	ПОВОРОТ7
16.1.	Когда множество неколлинеарных то-
чек Е преобразуется в множество Е' ортого-
нальной осевой симметрией, то, перенеся Е на
кальку, мы увидим, что совместить Е < Е' мож-
но, только перевернув плоскость. Это же са-
мое получится, если Е' будет получено из Е
путем нечетного числа последовательных орто-
гональных осевых симметрий.
7 В русской терминологии «поворот» обычно не упот-
ребляется: чаще говорят о «движении второго рода»
пли «движениях, обращающих ориентацию плоскости».
53
Этот эксперимент приводит к определению:
Поворот плоскости есть или одна ортого-
нальная осевая симметрия, или композиция
нечетного числа последовательных ортого-
нальных симметрий.
16.2.	Доказываем следующие предложения:
Поворот, не приводящийся к одной ортого-
нальной осевой симметрии, есть композиция
этой симметрии с одной трансляцией или с
одним вращением.
Никакой поворот не есть движение.
Существует единственный поворот, который
преобразует данную полупрямую в другую
полупрямую.
Поворот, содержащий по крайней мере одну
неподвижную точку, есть ортогональная сим-
метрия с осью, проходящей через эту точку.
В аксиоме В пункта 14.2 ортогональная осе-
вая симметрия единственна. Ее ось называет-
ся биссектрисой угла между полупрямыми.
Ортогональная осевая симметрия преобразует-
ся ортогональной осевой симметрией в ортого-
нальную симметрию.
Далее. Ортогональная осевая симметрия
преобразует:
1.	Медиатрису отрезка — в медиатрису об-
раза этого отрезка.
2.	Две перпендикулярные прямые — в две
перпендикулярные прямые.
3.	Биссектрису угла — в биссектрису обра-
за этого угла.
16.3.	Композиция вращений с общим цент-
ром коммутативна.
Возьмем вращение рь которое преобразует
[оа в [ob, и вращение р2, преобразующее [ob
в [ос (черт. 12).
Обозначим через а„ а2, а3 ортогональные
симметрии с осями: биссектрисой Sj угла
aob, прямой S2 — ob, биссектрисой S3 угла
Ьос.
Имеем: pj = с2 ° °i и р2 = с3 о а2.
Откуда
Й2 ° Р1 = °3 ° °2 ° °2 ° °1 = °3 ° °1-
Чтобы доказать коммутативность p2°Pi =
= Pi ° р2, достаточно доказать, что o3oaj =
= <з2 о Cj о <з3 о а2, или
°2 ° °з °°1 = °i ° °з ° °2-	(В
Поворот с2 о с3 о С] имеет неподвижную точ-
ку о. Следовательно, это есть ортогональная
осевая симметрия. Это же справедливо и для
С1 С °з С
Так как ортогональная осевая симметрия
равна своей обратной, то равенство (1) дока-
зано.
Вращения с общим центром образуют ком-
мутативную группу.
17.	ИЗОМЕТРИЯ
17.1.	Изометрия есть, по определению, дви-
жение или поворот.
Множество изометрий образуют группу по
отношению к их композиции.
Движения образуют подгруппу этой группы.
Множество Е называют изометричным мно-
жеству Е', если существует изометрия, преоб-
разующая Е в Е'.
Изометрия есть отношение эквивалентности.
17.2	Класс эквивалентности отрезков, изо-
метричных с одним и тем же отрезком, опреде-
ляет их длину.
Пусть мы имеем отрезок [ай] и полупрямую
[ох. Существует единственное движение 6, ко-
торое переносит луч [ab на луч [ох.
Существует также единственный поворот р,
который преобразует [ab в [ох. Так как р есть
композиция движения б и ортогональной сим-
метрии с осью ох в двух изометриях б и р,
точка b преобразуется в одну и ту же точку с
на луче [ох.
Отсюда следует, что если даны отрезок [ай]
и луч [ох, то существует одна, и только одна,
точка с на луче [ох, для которой отрезок [ос
изометричен с [ай].
Что касается сопоставления длин, то опре-
деление их суммы и ее свойства получаются
из рассмотрения трансляции пар точек на
прямой. Если прямая градуирована, то мы мо-
жем получить меру длины как положительное
действительное число или нуль.
Отсюда непосредственно получаются опре-
деление круга и вывод его элементарных
свойств в отношении симметрии, вращения и
трансляции.
17.3.	Класс эквивалентности углов, изомет-
ричных с данным углом, определяет раскрытие
(I’ouverture) данного угла.
54
Когда две фигуры изометричны по отноше-
нию к движению, они называются собственно
изометричными.
Так как движения образуют группу, то со-
отношение собственной изометрии есть соотно-
шение эквивалентности.
18.	ГРУППА ОРИЕНТИРОВАННЫХ УГЛОВ
18.1.	Пусть мы имеем вращение р, преобра-
зующее лучи [оа и [об соответственно в лучи
[са' и [об'.
В силу определения пары ([оа, [об) и ([оа',
[об') собственно изометричны.
Покажем, что это же имеет место и для пар
([ос, [ос') и ([о&, [об') (1) (черт. 13).
Пусть р' — вращение, преобразующее [оа'
в [об. Полупрямая [оа преобразуется в [об
вращением р' ° р. Полупрямая [оа' преобра-
зуется в [об' вращением р ° р'. В силу комму-
тативности р ° р' = р' ° р.
Вращение, переводящее [оа в [об, преобра-
зует [оа7 в [об'.
Следовательно, пары (1) собственно изомет-
ричны.
Класс пар, собственно изометричных паре
[ос, [об, называется ориентированным углом и
обозначается
([оо. [об).
Итак, при вращении мы получим
([оа, [оа') = ([об, [об').
Полупрямые, идущие из центра вращения
в их соответственные образы, определяют
один и тот же ориентированный угол, назы-
ваемый углом вращения.
18.2.	Доказываем, что два вращения с од-
ним и тем же ориентированным углом и цент-
рами о и о' преобразуются друг в друга
трансляцией оо'.
Композиции двух вращений соответствует
один и тот же ориентированный угол, незави-
симый от выбора центра вращения. По опре-
делению, этот ориентированный угол есть сум-
ма ориентированных, углов данных вращений.
Множество ориентированных углов есть
коммутативная группа относительно операции
сложения, изоморфная группа вращений с од-
ним и тем же произвольным центром.
19
Этот первоначальный очерк евклидовой гео-
метрии дополняется введением скалярного
произведения и группой подобий, порождае-
мой изометриями и гомотетиями.
Этот раздел не требует новых аксиом и
усваивается без труда.
10 ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Изложенное содержание курса геометрии
опирается на 16 аксиом, которые вводятся по-
степенно на интуитивной основе.
Здесь мы имеем также генетический метод,
при котором учащиеся мало-помалу овладе-
вают содержанием каждой группы аксиом и
их следствиями.
Интерпретации аксиом, соответственным об-
разом варьируемые, подчеркивают независи-
мость аксиом
Растяжение, векторы и действительные чис-
ла рассматриваются в тесной связи перед вве-
дением метрических понятий длины и угла.
Группы преобразований вводятся одним и
тем же методом как средства выполнения по-
строений. Отношения эквивалентности в раз-
личных группах позволяют определить фунда-
ментальные геометрические понятия: вектор,
длина, ориентированный угол — как классы
эквивалентности.
Такое изучение этого материала, с некото-
рыми вариациями, было осуществлено в тече-
ние трех первых лет обучения в школе второй
ступени учащимися от 12 до 15 лет.
Таким образом, эти учащиеся, переходя на
высшую ступень обучения, обладают уже до-
статочным багажом понятий, который позво-
ляет идти по «царской дороге» к более высо-
ким абстракциям, основанным на аксиомах
поля действительных чисел, действительного
векторного пространства и евклидова вектор-
ного пространства. Эти аксиомы могут быть
предложены без колебаний умам, уже подго-
товленным к пониманию и уважению той ра-
циональной экономии, которая получается в
результате их применения.
Внеклассная работа
ЯРОСЛАВ ШЕДИВЫ (г. Прага]
РЕШЕНИЕ ЛОГИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ПРИ ПОМОЩИ ГРАФОВ 1
ВВЕДЕНИЕ
Настоящая статья посвящена описанию графического
метода решения логических задач, который состоит
в применении одной из простейших математических
структур — множества, снабженного одним двуместным
отношением. Эта структура эффективно изучается при
помощи представления ее в виде графа Основную ин-
формацию о теории графов даст читателю книга [2],
с сущностью представления отношений в виде графов
можно познакомиться по книге [3]. Область применения
теории графов очень широка; достаточно сказать, что
упомянутую структуру можно увидеть в разнообразных
проблемных ситуациях. Описанный в статье метод быт
разработан при поисках модели этой структуры в алгеб-
ре высказываний.
ЛОГИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ПЕРВОГО ТИПА
Начнем с задачи условие которой явно сформулиро-
вано при помощи импликаций. Это дает нам возмож-
ность сосредоточить внимание на конструкции графа
и работе с ним.
Четыре друга Ваня, Коля, Миша и Петя купили лод-
ку и катались на ней в течение четырех недель, каждый
одну неделю. В какой очередности они катались, если
известно следующее. 1) Если во вторую неделю на
лодке катались Ваня или Петя, то Миша катался в
первую неделю. 2) Если Петя катался на лодке послед-
ним, то Миша был третьим, а Ваня первым 3) Если
Миша катался вторым или Петя третьим то Коля ка-
тался последним. 4) Если Ваня катался в третью неде-
лю, то Коля — во вторую, и наоборот. 5) Если Петя
катался в первую неделю, то Миша — в третью. 6) Если
Петя катался в третью неделю, то Ваня катался во
вторую.
Решение задачи мы изложим в несколько этапов.
а) Установление базисного множества высказы-
ваний. Множество высказываний назовем базисным
множеством для данной задачи, если при помощи его
элементов и логических связок можно выразить усло-
вия задачи и возможные ответы на ее вопросы. В на-
шей задаче это множество состоит из 16 высказываний
тина «х катался на лодке в п-ю неделю», где х£ [Ваня.
Коля, Миша, Петя} и {1, 2, 3, 4}. Обозначим сфор-
мулированное в кавычках высказывание символом
(х, п), а операции отрицания, конъюнкции, дизъюнкции,
импликации и эквиваленции — символами Ж', A. V.
<•—>. Запишем теперь условия задачи символически.
1) К В. 2) ч (П. )|->(М 1). 2) (П,4)- [(М, 3)/.(В,1)].
3) |(М. :>) v (П 3)| - (К, 4). 4) (В, 3) <—>(К, 2).
5)	(П. 1) ЧМ.З) 6) (П.3)-(В,2).
Сложные высказывания 1) - 4) представим в виде
конъюнкций простых импликаций и выразим, таким
образом, условия задачи с помощью 10 импликаций:
1 Некоторые изменения и сокращения по просьб;
автора проведены А. А. Столяром.
(В, 2) — (М, 1),	(П, 2)- (М, I),	(П, 4)(М, 3)
(П, 4)-(В, 1), (МА)-(К, 4), (П, 3)- (К, 4). (В, 3)-
- (К. 2), (К, 2) - (В. 3), (П, 1) - (М, 3), (П.З) - (В, 2).
б)	Представление структуры в виде графа. Для раз-
мещения вершин графа применим способ, напоминаю-
щий способ изображения точек на плоскости в прямо-
угольной системе коорчинат Вершины графа обозна-
чим в виде небольших кружков (черт. |,а), помещен-
Черт. 1
ных в определенных точках плоскости. Ориентирован-
ное ребро графа должно выходить из вершины, пред-
ставляющей посылку импликации, и входить в вершину
представляющую заключение импликации. При наличии
двух взаимно обратных импликаций нужно начертить
одно ребро с двумя стрелками.
При построении графа чертим те ребра, которые
представляют импликации, содержащиеся в условиях
задачи, не добавляя следствий из данных импликаций.
Например, из импликаций (П, 3)—>-(В, 2) и (В, 2) *
—- (М, 1) следует, что (П, 3)—*(М, 1), но эту послед-
нюю импликацию не надо представлять ребром, при
добавлении новых ребер граф теряет наглядность.
в)	Графическое изображение значений истинности
высказываний. Пусть черная вершина графа обозначает
ложность высказывания представленного этой верши-
ной, а двойная вершина графа (т е. вершина, изобра-
жаемая в виде к<льца)—истинность высказывания.
Мы имеем, таким образом, следующий «логико-графиче-
ский словарь», определяющий переход от логической
задачи к графу.
Высказывание (элемент
структуры)
Импликация х -> у.
Эквиваленция х *—► у.
Истинное высказывание.
Ложное высказывание.
Вершина 1рафа
Ребро ху графа.
Ребро ху графа (с дву-
мя стрелками).
Двойная вершина графа.
Черная вершина графа.
56
г)	Правила для раскрашивания графа Выразим эти
правила параллельно на языке логики высказываний и
теории графов.
Правило О,
Если импликация х ->- у
истинна и посылка х истин-
на, го и заключение у
истинно.
Правило Os
Если импликация х -► у
ис 1 инна, а заключение у
ложно, то и посылка х
ложна.
Правило О,
Каждо высказывание
1IMCCI одно и только одно
из двух значений истинно-
сти «ложно, истинно».
Если ребро ориентиро-
вано от вершины х к вер-
шине у и вершинах двой-
ная, то и вершина у двой-
ная.
Если ребро ориентиро-
вано от вершины х к
вершине у и у черная,
то и х черная.
Каждая вершина гра-
фа является или черной,
или двойной.
Правила О(, О2, О2 являются общими, т. е. они спра-
ведливы тля раскрашивания графов, полученных при
решении логических задач разных типов При решении
задач отдельных частных типов добавляются специаль-
ные правила Так. в условии данной задачи требуется,
чтобы каждый из друзей катался ровно одну неделю
и притом двое не катались одновременно. Используя
это условие, сформулируем специальные правила:
Правило S|.
Если в графе, изображенном на чертеже 1,6, некото-
рая вершина двойная, то все остальные вершины, лежа-
щие с ней в той же самой строке или в том же самом
столбце — черные
Правило S2
Если в некотором столбце или в некоторой строке
графа, изображенного на чертеже 1, б, три вершины
черные, то четвертая двойная.
д)	Раскрашивание графа. Вернемся к графу, изобра-
женному на чертеже 1,6 и опишем процесс раскрашива-
ния вершин этого графа В первом столбце слева нахо-
дятся четыре вершины, только одна из них должна
стать двойной; поэтому необходимо рассмотреть четыре
возможности: а) вершина (В, 1) двойная (черт. 2, а),
б) вершина (В, 2) двойная (черт. 2,6), в) вершина
(В. 3) двойная (черт. 2, в) и г) вершина (В, 4) двой
ная (черт. 2. г)
Читатель легко сможет проследить процесс раскраши-
вания графа в каждом случае по следующим записям.
а)	Предположение- IB. I) —двойная.
(В 2). (В, 3) (В. 4), (К. И.
(М 1). (П. I) — черные
О2 (К, 2). (П. 2) (П. 3) черные.
Sr (М, 2), (П. 4) двойные
О, (М. 3) (К, 4) — двойные.
Противоречие.
б)	Предположение: (В, 2) —двойная.
Si:	(В 1), (В, 3), (В, 4), (К, 2),
(М, 2), (П, 2) -черные.
Oj: (М, 1)—двойная.
S,: (К, 1), (П, 1), (М, 3), (М, 4)—черные.
О2: (П, 4) -черная.
S2:	(П, 3). (К, 4) — двойные.
Si: (К, 3) черная, и раскрашивание окончено
в) Предположение: (В. 3) —двойная
Оц (К, 2) двойная.
S(: (В, 1) .(В, 2), (В, 4), (К, 1), (К, 3), (К, 4),
(М, 2), (М, 3), (П, 2), (П, 3)—черные.
О2: (П, 1), (П, 4)—черные.
Противоречие.
г) Предположение: (В, 4) — двойная
Si: (В, 1), (В, 2), (В, 3). (К, 4), (М, 4), (П, 4)—черные
О2: (К, 2), (М, 2), (П, 3) — черные.
S2: (П, 2) —двойная.
Oi: (М, 1)—двойная.
•Si: (К, 1). (П. 1), (М. 3) —черные.
S2: (К 3)—двойная, и раскрашивание окончено.
Случаи а) и в) привели к противоречию, случаи б)
и г) дают решение задачи Однако необходимо прове-
рить, нет ли скрытых противоречий в этих ответах.
Проверяем отдельные строки и столбцы относительно
правил S,, S2 и все ребра графа относительно правил
О], О2 и убеждаемся, что найденное решение удовлет
воряет всем условиям задачи. Итак, решешями задачи
являются конъюнкции (В, 2) А уК, 4) A (М. I) А (П, 3)
и (В, 4) А (К. 3) А(М, I) А(П, 2).
ЛОГИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ВТОРОГО ТИПА
Для этих задач характерно, что рассматривается мно-
жество, содержащее наряду с базисными высказывания-
ми еще отрицания этих высказываний.
Задача химика. Завод, выпускающий специаль-
ные краски, хочет расширить ассортимент продуктов
Сколько смесей можно образовать из веществ: А В.
С, D, Е, F, G, Н, К, L — и какие вещества должны вхо-
дить в эти смеси, если необходимо соблюдать следую-
щие условия: 1) Окончательный продукт не должен со-
держать вместе с веществом В вещества А и D, но
должен содержать по крайней мере одно из веществ
В, С, одно из веществ F, G и одно из веществ A, L.
2) Если А входит в смесь, то и G должно входить в
нее; вещества D, Е либо оба входят в смесь, либо оба
не входят в смесь. 3) Вещество С неприменимо без
вещества F, вещество К. неприменимо без G. 4) Нали-
чие вещества F в смеси исключает применение L; смесь
содержит хотя бы одно из веществ L, Н и одно из
веществ F, Н. но ие более одного из веществ Я, К и
ие более одного из веществ Е, F.
Решение.
Базисное множество высказываний содержит 10 вы-
сказываний типа «смесь содержит вещество X», где
Х£{А, В, С, D, Е, F, G, Н, К, £} и 10 отрицаний этих
высказываний («смесь не содержит вещество X») для
Черт. 2
Черт. 3
тех же X. Выразим условия задачи при помощи этих
двадцати высказываний и импликаций.
Обозначим буквами а, b.....k, I базисные высказы-
вания и буквами а', Ь', .... k',l' их отрицания.
В условиях задачи имеются выражения: «... по край-
ней мере одно из веществ X, У» и «... не более од-
ного из веществ X, У». Первое из них можно выра-
зить в виде импликации «х' -> у» или «у' -> х», второе
в виде «х у'» или «у -» х'». Для упрощения соот-
ветствующего графа важно, что импликации каждой
пары эквивалентны и потому можно использовать
только одну из них. Благодаря этому можно выразить
условия задачи конъюнкцией следующих пятнадцати
импликаций:
b а’, b d', b'-> с, f g, а' -> Z, а -> g, d е<
d' -» е', f -> с', g' -> k', f — I', f k,l' * h, k-+ h'<
e -> f.
Таким образом, область решения задачи представляет
собой структуру, состоящую из множества {а, Ь, ...
.... k, I, а', Ь'__, k', Z'J и заданного на нем отноше*
ния -*.
Представление этой структуры в виде графа удобно
осуществить, размещая вершины графа на двух парал-
лельных горизонтальных прямых так, чтобы пары х, х'
лежали на одной вертикали (черт. 3, а, 3, б).
Правила для раскрашивания графа содержат наряду
с основными правилами О(, О2, О8 еще одно специаль-
ное правило, выражающее сущность отрицания: одно
из высказываний х, х' истинно и одно ложно. Сформу-
лируем это правило на языке теории графов.
Правило S3.
Если одна из двух вершин, ле/кащих на одной верти-
кали. двойная, то вторая — черная, и наоборот.
При помощи правил О\, О2, Оз, S3 можно раскрасить
граф, если известен цвет одной вершины. Выбор вер-
шины произвольный, но полезно избрать вершину, из
которой выходит большее число ребер. На чертеже 3, а
раскрашивание графа начато с черной вершины {', на
чертеже 3, б — с двойной вершины f'. В обоих случаях
удалось раскрасить все вершины графа. Следовательно,
можно создать две смеси:
{Я, С, F, G, И} и {В, G, Н, L}.
Интересной подгруппой логических задач второго
типа являются задачи, получаемые при ведении след-
ствий. Рассмотрим одну из них.
Задача судебного следователя. Ответы
четырех заподозренных в преступлении лиц содержат
следующие утверждения: ответ лица А: «Виноват С».
Ответ лица В: «А сказал неправду, он сам виноват».
Ответ лица С: «Виноваты А или £>». Ответ лица D:
*В сказал неправду, ио он сам не виноват»
Судебный следователь знает из заявлений свидетелей,
что преступление совершено только одним из заподо-
зренных лиц; из опыта работы с ними он уверен, что
самое большее один из выслушанных сказал правду.
Можно ли получить при этих условиях однозначный
ответ на вопрос, кто совершил преступление?
Решение.
Базисное множество высказываний содержит выска-
зывания двух типов. «X виноват» и «X сказал правду»,
гдеА'£{/1, В, С, D}. Содержание ответов каждого запо-
дозренного лица можно выразить при помощи базисных
высказываний и их отрицаний:
1) Если А сказал правду, то С виноват. 2) Если В
сказал правду, то А не сказал правду и А виноват.
3) Если С сказал правду, то В не виноват и С не ви-
новат. 4) Если D сказал правду, то В не сказал прав-
ду и В не виноват.
Обозначим символами ах, bx, сх, d, высказывания
«А сказал правду», «В сказал правду» и т. д„ симво-
лами а2, b2, с2, d2 высказывания «А виноват», «В ви-
новат» ит. д.; пусть Яр _____ а!2, ..., d2 обозначают
отрицания упомянутых высказываний.
Содержание ответов заподозренных лиц можно запи-
сать в виде конъюнкции следующих импликаций:
ах » б| —аг Ьх —а2, сх —► Ь2, сх ~Cgj
dx dx -* b^.
Вершины графа целесообразно разместить на двух
параллельных прямых (черт. 4), как в предыдущей за-
даче. Правила для раскрашивания графа содержат без
изменения правила О,. О2, Оз, S3 и следующие особые
правила.
П р а в и л о S<.
Если все ориентированные ребра, исходящие из вер-
шины Xi, заходят в двойные вершины, то и xf двойная.
Правило S5.
Если из черной вершины хх выходят п ориентирован-
ных ребер (n> 1), причем п— 1 из них заходят в двой-
ные вершины, то вершина, в которую входит и-е реб-
ро, — черная.
Правило Se.
Если одна из вершин ах, bx, Ci, dt двойная, то осталь-
ные — черные.
Правило S7.
Если одна из вершин а2, b2, с2, d2 двойная, то осталь-
ные — черные, и если какие-нибудь три из этих вершин
черные, то четвертая — двойная.
Черт 4
53
Необходимо рассмотреть 5 возможных случаев при
раскрашивании графа: все вершины at, bt. Ci, А—чер-
ные, ai—двойная (при черном цвете остальных), bi —
двойная, Ci — двойная, di— двойная. На чертеже 4 по-
казано окончательное состояние графа, полученное из
предположения, что все вершины at. Ь|, Ci, rfi — черные.
Читатель может проверить, что этот случай не'ведет
к противоречию с правилами Oi—Оз, S3—S7. Предполо-
жение о точно одной двойной вершине в четверке аь
Ь}, C|, dj ведет к противоречию. Исследовав все случаи,
получим однозначный результат: преступление совер-
шил В.
ЛОГИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТРЕТЬЕГО ТИПА
Это—более сложные задачи, решение которых тре-
бует систематического отыскания следствий из избран-
ных посылок. Применение графов при решении таких
задач более полезно, чем при решении предыдущих
задач, которые можно решить обычными рассуждения-
ми, не применяя ни символики, ни графов. Задачи
третьего типа основаны на структурах, представляющих
собой конечное множество высказываний (снабженное
отношением —►), которое содержит базисные (далее
нерасчленимые) высказывания х. у, .... их отрицания
х', у', ... и все конъюнкции х /\ у, х' /\ у, х /\ у',
х' А у'-.. 
Задача сборной команды. Старший тренер
сборной команды футболистов выбирает игроков — пред-
ставителей страны — для ближайшего чемпионата.
Участие ряда испытанных мастеров не вызывает сом-
нений, но обсуждается вопрос, кого присоединить из
пяти младших игроков А, В, С, D, Е. Выбор игроков
обусловлен выполнением следующих условий: в команду
необходимо включить по крайней мере одного из игро-
ков А, В, Е, ио не более, чем одного из игроков А, С,
D. Игрока С возможно включить в команду без игрока
В тогда и только тогда, когда включен игрок А без
игрока D. Если в команде будет игрок В без игрока С,
то в ней будут вместе игроки D, Е При неучастии иг-
рока А нельзя включить в команду ни D, ни Е.
Решение.
Базисное множество высказываний содержит пять
высказываний типа: «Игрок X включен в команду»,
где X £ {Л, В, С, D, А]. Обозначив эти высказывания
соответственно буквами a, b, с, d, е, а их отрицания
буквами a', b', с', d', е', можем выразить условия за-
дачи при помощи конъюнкции следующих имплика-
ций: (а' /\ Ь') -> е, a--(c'/\d’), с -» d’, (c/\b') <—>
<—>(a/\d'), (b/\c') -> (d/\e), а' (d'/\er). Некоторые
из этих импликаций можно разложить в конъюнкцию
простых импликаций, например а -> (с'/\d') выразим
в форме (а — с') Л (а d'), но импликации, посылка
которых выражена конъюнкцией, представить таким
образом нельзя. Здесь следует применить структуру,
определенную на множестве, которое содержит не
то1ько высказывания а, Ь, .... а', Ь'.... но и их
конъюнкции.
Представление этой структуры в виде графа можно
осуществить разными способами. На чертежах 5. а, 5,6
изображен граф с малым числом ребер и экономичным
обозначением вершин. Вершины графа размещены в
вершинах сетки, покрывающей равнобедренный прямо-
угольный треугольник, на гипотенузе которого отобра-
жены симметрично базисные высказывания и их отри-
цания. Вершины графа образуют строки и столбцы;
каждая вершина, не лежащая на гипотенузе, представ-
ляет конъюнкцию двух высказываний, изображенных
на гипотенузе и лежащих в той же самой строке и в
том же самом столбце, что и рассматриваемая. Назовем
эти вершины гипотенузы проекциями вершины, не ле-
жащей на гипотенузе. Благодаря этому соглашению
Черт. 5
граф не переполнен буквами. Сформулируем специаль-
ные правила Se—Sis для его раскрашивания.
Правило Ss.
Все вершины, лежащие на оси симметрии гипотену-
зы,— черные (представляют ложные высказывания
х Л х').
Правило Sg.
Если вершина гипотенузы черная (двойная), то сим-
метричная с ней вершина гипотенузы — двойная (чер-
ная).
Правило Sro.
Если вершина гипотенузы черная, то все вершины,
лежащие в той же самой строке и в том же самом
столбце,— черные.
Правило 5ц.
Если вершина, не лежащая на гипотенузе, двойная,
то ее проекции на гипотенузу тоже двойные вершины.
Правило S12.
Если вершина, не лежащая на гипотенузе, черная,
и одна из ее проекций — двойная, то вторая — черная.
Правило S13.
Если две вершины гипотенузы двойные, то они яв-
ляются проекциями двойной вершины.
Раскрашивание графа осуществляется при помощи
правил Ot—О3 и S8—S13 и начинается выбором цвета
одной вершины; на чертеже 5,а выбрана двойная вер-
шина а, а на чертеже 5,6—черная вершина а. Процесс
раскрашивания опишем схематически.
а)	Предположение: а — двойная.
Oi: d'/\сг — двойная
S„ :d', с' — двойные.
S9:d, с — черные.
S„ -.af\d' — двойная.
Oi'.c/'\br —двойная.
Sn :с — двойная.
Противоречие (вершина с)
б)	Предположение: а — черная.
S9:a' — двойная.
Oi .d' /\е' — двойная.
Sii’.d', ег — двойные.
S,: d, е — черные.
Si0-.a/\dr, d/\e — черные.
Ог-с/\Ь', Ь/\с', а'/\Ь' — черные.
Si2:b' —черная.
S9:fc — двойная.
Sts:c' — черная.
S9:c — двойная и т. д.
В случае б) можно продолжать процесс раскрашивания
графа, пока все вершины не раскрашены; затем необ-
ходимо убедиться, что этот случай не ведет к противо-
речию с правилами О[—Оз, S3—S13. Полученному в ре-
зультате раскрашивания графу соответствует включе-
ние в команду игроков В, С; других возможностей нет.
59
Графический метод применим также для решения
более сложных логических задач, в том числе и выра-
женных при помощи кванторов (с конечной областью
значений перем-иных). В конце концов кажется воз-
можным рассмо1рсть н представить в виде графа на-
роду со структурой (S, --> также структуру- (S, , \>
пли (S, V). где S— конечное множество высказываний.
Однако для целей обучения логике достаточно рас-
смотреть самую естественную структуру (S, -►>. Чита-
тель может применять граф структуры также для
составления новых логических задач. Источником инте-
ресных задач служат книги по занимательной матема-
тике или логике, сборники головоломок [4], [3].
Литература
[11. Н Бурбаки, Теория множеств, изд. «Мирз. М..
1965.
[2]	. О. О р е. Графы и их применения, изд. «Мир», М„
1965.
[3]	. А. А. Столяр, Методы обучения математике,
изд. «Высшая школа», Минск, 1966.
[4]	. К. А. Р у п а с о в. 100 логических задач, изд. «Про-
свещение», М., 1963.
[5]	. О. 3 и х, А. К о л ь м а н, Занимательная логика,
изд «Наука», М., 1966.
П. С. МАРГОЛИТЕ (г. Ярославль]
ПОСТРОЕНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЙ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ
КОНИЧЕСКОЙ И ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТЕЙ
В курсе черчения средней школы рассматриваются
некоторые основные методы изображения пространствен-
ных фигур на плоскости. На уроках стереометрии эти
знания должны быть расширены и дополнены при изу-
чении основных свойств параллельной проекции. Од-
нако в геометрии не всегда подробно останавливаются
на этих вопросах. В связи с этим у учащихся создает-
ся впечатление, что метод Монжа и метод аксономет-
рических проекций являются единственными методами
изображения фигур Между тем существует достаточно
много других, н было бы желательно, чтобы учащиеся
владели различными способами изображения фигур и
при решении конкретных задач пользовались тем спо-
собом, который упрощает решение.
Укажем один из методов проектирования точек кони-
ческой и цилиндрической поверхности вращения на пло-
скость симметрии этих поверхностей. Предлагаемый ма-
териал был использован нами при повторении стерео-
метрии в школе.
Для разъяснения метода проектирования рассмотрим
сначала несколько упражнений из планиметрии. Пусть
дана прямая /, на которую ортогонально проектируются
точки примой а, не перпендикулярной I (черт. I). Меж-
ду точками прямой а и их проекциями на / устанавли-
вается взаимно однозначное соответствие.
Иначе обстоит дело, если проектировать точки окруж-
ности на прямую I, являющуюся осью симметрии ок-
ружности. В этом случае каждая точка окружности k
проектируется в одну точку отрезка PQ прямой I
(черт. 2). Обратно каждой точке отрезка PQ (кроме
концов Р и Q) на k соответствуют две различные точ-
ки. Чтобы установить взаимно однозначное соответствие
между точками окружности k и точками отрезка PQ,
введем следующее соглашение: будем каждой проекции
на PQ приписывать ориентацию. Точку со знаком «~Г»
(например. А+, В+ и т. д.) будем называть положи-
тельно ориентированной, точку со знаком «—» (A—, fi-
ll т. д.)—отрицательно ориентированной.
Если точка является проекцией точки окружности, ле-
жащей над прямой I (считаем / горизонтально распо-
ложенной), то приписываем проекции положительную
ориентацию, если же точка отрезка PQ является проек-
цией точки, лежащей под прямой /, то приписываем
проекции отрицательную ориентацию (черт. 2).
Проекции точек Р и Q, в которых / пересекает k. сов-
падают с самими точками, и для них положительная и
отрицательная ориентации совпадают.
Перейдем к рассмотрению пространственных фигур.
Пусть дана плоскость изображения л. Если на эту пло-
скость ортогонально проектировать точки некоторой пло-
скости а, неперпендикулярной л, то полем проекций яв-
ляется все множество точек плоскости л. Между точка-
ми плоскости а и их проекциями на плоскости л может
быть установлено взаимно однозначное соответствие.
Рассмотрим коническую поверхность К2, точки кото-
рой ортогонально проектируются на плоскость симмет-
рии л, проходящую через вершину О перпендикулярно
оси конической поверхности (черт. 3). Будем для удоб-
ства считать, что плоскость л расположена горизонталь-
но. Каждая точка л. кроме точки О. является ортого-
нальной проекцией двух точек конической поверхности.
60
Для того чтобы установить взаимно однозначное
эответствие между точками К2 и их проекция-
III, будем опять приписывать проекциям на плоскости
л ориентацию: положительную — если точка является
проекцией точки конической поверхности, лежащей над
плоскостью л, и отрицательную — если она является
проекцией точки К2, лежащей по другую сторону от л.
Если точке О приписать двойную ориентацию, то полем
проекций является двойная плоскость л. Для того что-
бы на плоскости л задать коническую поверхн- сть К2.
надо указать ее вершину.
Введем такие обозначения: точки на конической по-
верхности обозначим А', В'. . . . , их ортогональ-
ные проекции А+, В+,	,А , В~, ... .Эти обозначе-
ния позволят нам в дальнейшем устанавливать соот
зетствие между ориентированными точками на л и точ-
ками К2 без специальных разъяснений.
Пользуясь указанным методом проектирования, перей-
дем к изображению прямых. Пусть прямая а' пересека-
ет поверхность К2 в точках А' и В' (черт. 3). На пло-
скость изображения л эти точки проектируются в ориен-
тированные 1очки А и В (может быть .4+ и В+. А и
В и В1 А~ и В + ). Прямая а . АВ есть ортого-
нальная проекция прямой А'В' на плоскости л Если
прямая т' является касательной к К2 в точке М', то
et проекцией является прямая т, проходящая через
ориентированную точку М
Образующая конической поверхности проходит через
вершину, поэтому ее проекцией будет прямая на л,
проходящая через точку О. Однако здесь важно отме-
тить, что ориентированные точки, которые определяют
проекцию образующей, должны иметь одну ориента-
цию. если они лежат по одну сторону от точки О (Л+и
С+. например на черт. 3). и противоположную ориен-
тацию, если они лежат по разные стороны от U.
Переходим к вопросу об изображении плоского -сече-
ния конической поверхности К2, заданной на плоскости
проекций вершиной О. Для этого рассмотрим последо-
вательно несколько задач.
Задача 1. Построить след S прямой А'В' на пло-
скости проекций л. если прямая задана изображениями
А и В двух ее точек пересечения А' и В' с конической
поверхностью К2.
След S прямой А'В' на плоскости я существует,
если А'В' непараллельна л, и он леж it на прямой
АВ. Чтобы построить след, проведем плоскость (1 че-
рез А'В' и вершину О конической поверхности. Плос-
кость р пересечет л по прямой Ь, проходящей через
О (черт. 4). Так как А’В’ лежит п р, то след этой
прямой на л должен лежать па прямой Ь. Следова-
тельно, S b х АВ. Поэтому задача сводится к по-
строению прямой h на плоскости л. Для этого прове-
дем через точку А’ плоскость а. параллельную л.
Плоскость а пересекает К? по окружности k'o, а об-
разующую В'О — в точке Д'. Окружность k‘o проек-
тируется на л в окружность k0 с центром в точке О и
радиусом О А. Плоскость р пересекает а и л по парал-
лельным прямым А’ Ва и Ь: проекции их также па-
раллельны, т. е. АВа || Ь. Проекция В, точк i В\ нахо-
дится на пересечении и проекции ОВ образую-
щей OB'.
Таким образом, след S, если он существует, мож.-т
быть построеи в такой последовательности (черт. 4а. 46):
1) соединяем ориентированные точки А и В с точкой
О (получаем проекции ОА и ОВ образующих К2);
2) проводим окружность ke с центром в точке О
и радиусом ОА и находим точку В, на пересечении
с прямой ОВ; 3) проводим b Ц ЛВ, и находим иско-
мую точку S = b X АВ.
Если точки А и В имеют одинаковую ориентацию,
то точки А' и Д' и лучи ОА' г: ОВ' лежат по одну
сторону от плоскости я. Точка Ва лежит по ту же
61
сторон} от тг. След X лежит вне отрезка АВ
(черт. 4а).
Если А и В имеют противоположную ориентацию,
то точки А' и В', а следовательно, и лучи О А' и ОВ'
лежат по разные стороны от л. Точка Ва принадле-
жит продолжению луча OB', и точки В и Ва лежат
по разиы стороны от О (черт. 46). След S в этом
случае находится между точками А и В.
При А'В' || т. точки А' и В' лежат в плоскости а,
точка Ва= В, прямая Ь ||| АВ и след X не существует.
Прямая АВ может пройти через точку О, но не
являться проекцией образующей. Приведенное по-
строение не позволяет в этом случае определить на
чертеже положение точки S, но тогда можно восполь-
зоваться другим свойством следа. Пусть О А — rt,
О В = лг (черт. 4а, 46). Так как О А — OBa = rt, то
ХЛ SB = г, : г2. Это значит, что след X делит внеш-
ним или внутренним образом (в зависимости от ори-
ентации Я и В) отрезок АВ в том же отношении,
в котором О делит АВ внутренним или внешним
образом.
Интересно отметить, что наличие на плоскости
изображения одной окружности kQ позволяет нахо-
дить на л след любой другой прямой, пересекающей
К2 в двух точках С' и D'. В самом деле, через С
и D' проведем образующие ОС' и OD'. Они пересе-
кают плоскость а, проведенную через точку А' па-
раллельно г., в точках Са и £>а. Таким образом, плос-
кость COD' пересекает а по прямой CaDa, а плос-
кость я —по прямой, параллельной CaDa и, следова-
тельно, параллельной проекции CaDa. Точки Са и Da
лежат на k„ при пересечении с ОС и OD. След пря-
мой CD' на г. есть точка пересечения CD с прямой,
проходящей через точку О параллельно CaDa.
Следствием этой задачи является задача на построе-
ние следа касательной а' к конической поверхности.
Если А' — точка касания, то она может быть рассмот-
рена как сдвоенная точка пересечения прямой а'
и /<2. Тогда через ориентированную точку А прово-
дится не секущая, а касательная к окружности
в точке А. Прямая Ь, параллельная указанной каса-
тельной, пересекает а в точке, являющейся следом
касательной а' на плоскости п.
Задача 2 (обратная). Построить изображение
В второй точки пересечения прямой А'В' с кони-
ческой поверхностью К2, если прямая задана на
плоскости изображения я следом X а изображе-
нием А точки пересечения этой прямой с К2-
Укажем последовательность построений (черт. 4а, 46)
1) проводим прямую SO и окружность /г0 с центром
в точке О и радиусом ОА, 2) через точку A npoi о-
дим прямую, параллельную SO, и находим точку пе-
ресечения Ва этой прямой с k„; 3) проводим прям) ю
ОВа и на пересечении ее с прямой AS находим
искомую точку В
Если прямая SO перпендикулярна АО, то прямая,
проведенная через точку А параллельно SO, есть
касательная к окружности /гс. Это значит, что ХЛ
является касательной к /<2, точка А — изображением
точки касания.
Если прямая AS проходит через вершину конуса О,
то положение точки В находим, пользуясь соотноше-
— SA-SO
нием SB =•	в котором рассматриваем
направленные отрезки.
Во всех случаях точка В имеет одинаковую с .4
ориентацию, если обе точки лежат по одну сторону
от X, и противоположную ориентацию, если точкл
лежат по разные стороны от X (черт. 4).
Задача 3. Построить изображение плоского
сечения конической поверхности К2. если плос-
кость сечения а задана на плоскости изображе-
ния л следом s и проекцией А—точки конической
поверхности.
Если след з секущей плоскости проходит через
точку О, то изображением сечения являются две пря-
мые, которые могут сливаться и в частном случае
совпасть с прямой з.
Пусть на плоскости т. дан след з секущей плоско-
сти о, не проходящий через О, и ориентированная
точка А, не лежащая на з (черт. 5). Любая прямая
плоскости о, проходящая через точку А', либо пере-
секает /<2 еще в одной точке, либо является каса-
тельной в этой точке. Множество точек пересечения
/<2 и прямых пучка с центром в точке А' определяют
плоское сечение, а их проекции — изображение се-
чения.
Так как прямые пучка лежат в с, то их следы,
вообще говоря, лежат на прямой з. Соединим точку
А с точкой X, следа з плоскости а. На AS,, зная
проекцию А и след X, прямой АХ,, построим изо-
бражение В, второй точки пересечения В, прямой
АХ, с Кг (задача 2). Считая точку Х„ текущей точ-
кой следа з, можно на каждой прямой /1ХП постро-
ить ориентированную точку Вп, принадлежащую
изображению сечения. Прямая, параллельная з, про-
ходящая через А, является проекцией прямой пло-
скости о, проходящей через А' параллельно з. Вторая
точка пересечения В„ последней прямой с Кг нахо-
дится в плоскости а || г., и проекция Во лежит иа й0.
Множество ориентированных точек Вп и точка А оп-
ределяют изображение с2 конического сечения с'2.
Точка А на плоскости п может иметь как положи-
тельную, так и отрицательную ориентацию. Эти слу-
чаи определяют две различные плоскости в прост-
ранстве, симметричные относительно плоскости л.
В силу симметричного расположения конической по-
верхности по отношению к плоскости л изображения
сечений поверхности Кг этими плоскостями совпадают.
Опустим из точек Я и Вп перпендикуляры AD = d
и BnDn = dn на след з (черт. 5). Из подобия тре-
угольников SnAD и SnBnDn и из условия 5„Д: S„Bn =
= r:rn (задача 1) следует, что г: d — rn:dn. Отноше-
ние г : d заданием точки А фиксируется, поэтому для
каждой точки сг отношение расстояния до точки О
к расстоянию до прямой s остается постоянным. Зна-
чит, точка О является фокусом, а прямая s — директ-
рисой конического сечения с2, соответствующей фо-
кусу О.
При г < d изображением сечения является эллипс,
при r=d— парабола, при г > d—гипербола.
Если секущая плоскость суя, то изображение се-
чения совпадает с прямой s.
62
Задача 4. Построить изображение сечения
конической поверхности плоскостью, заданной
проекциями трех точек поверхности.
Пусть на плоскости изображения л даны три ориен-
тированные точки А, В и С. Для построения проекции
сечения построим на л следы двух прямых, принадле-
жащих секущей плоскости (задача 1). Следы этих пря-
мых определяют след секущей плоскости, и решение
сводится к задаче 3. Задача имеет единственное реше-
ние. если ориентация точек А, В и С фиксирована и
если они не являются проекциями точек одной образу-
ющей. Если точки А', В' и С лежат на одной образу-
ющей, то решений — бесчисленное множество.
Если ориентированные точки Л, В и С не лежат на
одной прямой и их ориентации ие фиксированы, то мож-
но указать восемь различных сочетаний точек А+, В+,
С+; А~, В+, С+; А+, В—, С+; А+, В+, С- и четыре дру-
гих, полученных из указанных заменой ориентации у
каждой точки на противоположную Первые четыре со-
четания точек определяют положение четырех различных
плоскостей в пространстве, четыре следующих — еще че-
тырех плоскостей, симметричных первым четырем отно-
сительно плоскости л. Так как симметричные относи-
тельно л секущие плоскости определяют одно изобра-
жение на плоскости проекций, то в этом случае задача
имеет четыре различных решения.
Задача 5. Построить изображение сечения кониче-
ской поверхности плоскостью, заданной проекциями двух
точек конической поверхности и точкой на плоскости
изображения.
Решение данной задачи может быть сведено к ре-
шению задачи 3.
Рассмотрим теперь цилиндрическую поверхность. По-
строение изображения плоского сечения цилиндрической
поверхности может быть проведено аналогично построе-
нию изображения плоского сечения конической поверх-
ности. Спроектируем точки цилиндрической поверхности
Е2 ортогонально на плоскость л, проходящую через ось
поверхности (черт. 6). Плоскость л пересекает В2 по
двум параллельным прямым kt и k2. Эти прямые яв-
ляются следом цилиндра Е2 на плоскости л. Точки
Т2 проектируются в точки, лежащие внутри полосы
между параллельными прямыми kt и k2 и на самих этих
прямых. Обратно, каждая точка, лежащая внутри ука-
занной полосы, является ортогональной проекцией двух
точек поверхности цилиндра, симметричных относитель-
но л. Для установления взаимно однозначного соответ-
ствия между указанными точками приписываем поло-
жительную или отрицательную ориентацию проекциям
на плоскости п. Цилиндрическая поверхность задана на
плоскости изображения, если дан ее след в виде двух
параллельных между собой прямых fe| н fe2.
Сказанное об изображении прямых, пересекающих и
касающихся конической попсрхносги. в полной мере от-
носится к цилиндрической поверхности. Образующая
цилиндрической поверхности проектируется в прямую,
параллельную kt и k2, все точки проекции должны иметь
одинаковую ориентацию.
Выполним следующее построение. Пусть на плоскости
изображения л дана ориентированная точка А (черт. 7).
Найдем высоту точки А' над плоскостью л.
Проведем через А'А проектирующую плоскость а, пер-
пендикулярную оси цилиндрической поверхности Г2.
Тогда плоскость а пересекает л по прямой PQ, перпен-
дикулярной оси, а поверхность Г2— по окружности k',
диаметр которой равен отрезку PQ. Проектирующая
прямая АА' перпендикулярна PQ. Повернем плоскость
а вокруг PQ до совмещения с плоскостью л. При этом
окружность k' займет положение окружности k0, по-
строенной на отрезке PQ, как на диаметре, точка А'—
G3
положение точки А,., прямая А'А—положение прямой
А ,.4 ; PQ. Таким образом, высота точки А' нал пто-
скостью л определяется тлнной отрезка ААО.
Задача G- На пл >скости изображения те дан
след цилиндрической поверхности !г и две opieH-
тированные точки А и В. Построить на плоско-
сти г. след S прямой А'В'.
Пусть две прямые k, 1| k„ определяют след F? на
плоское!и те. Проведем плоскость р через прямую
А’В’ и через образующую /2, проходящг ю через В'
(считаем АВ непараллельной k, и kA. Плоскость р
пересекает те по прямой Ь, параллельной оси поверх-
ности. След прямой А'В’ должен лежать на прямой Ь.
Проведем через А' проектирующую плоскость п,
перпендикулярную оси F2. Образующая, проходящая
через В', пересекает а в точке В'а Прямая А'В' яв-
ляется прямой пересечения плоскостей а и р, и по-
этому ее след S„ на плоскости те принадлежит пря-
мой Ь. Таким образом, построив точку So, можно
провести прямую Ь и, следовательно, определить
по >ожение точки S.
Построение следа S прямой А'В' на плоскости я,
если он существует, сводится к следующему (черт. 7):
1) строим прямую PQ, перпендикулярную оси F„
проходящую через точку А; 2) на PQ строим ориен-
тированную точку бо: 3) строим на плоскости те сов-
мещенное положение окружности PB'aA'Q и прямой
А'Ва — окружность й0 и прямую	4) высоты
точек А' и Ва над плоскостью те равны АА„ и
поэтому следом So прямой А'Ва на те является точку
пересечения прямых /10Я„ и АВа- определяем положе-
ние S„= Л0В0ХАВь, 5) через So проводим прямую b
параллельно оси Fs‘, 6) находим точку S = b%AB—
след прямой А'В' на плоскости те.
Если точки А и В имеют одинаковую ориентацию,
то точка S находится вне полосы между прямыми k,
и k2. Если А к В имеют противоположную ориента-
цию, то точка Ло находится по одну сторону, а точка
В, — по другую сторону от PQ и 50 лежит между
точками А и Ва. След S прямой А'В’ в этом случае
находится внутри полосы между прямыми kt и /г2.
Если А'В' II те, но ис является образующей /'2, то
прямая Л0В0 || PQ и след прямой А'В' построить
нельзя.
Прямая АВ может быть параллельна оси поверх,
носгл и не являться проекцией образующей. В этом
случае точки А и В имеют противоположную ориен-
тацию. а точки А' и В' находятся на одинаковой вы-
соте над плоскостью те. След 5 находится в середине
отрезка А' В', а следовательно, и в середине АВ.
Если прямая является касательной к Fs, то можно
считать, что точка касания есть сдвоенная точка п< -
ресечения, тогда А' В’, А — В и прямая А0В„—ка-
сательная к окружности k„. Точка So определяется
как точка пересечения этой касательной с прямой PQ.
Наличие на плоскости изображения те одной
окружности k0 позволяет находить на плоскости те
следы любых других прямых, заданных проекциями
двух точек пересечения с В2. В самом деле, пусть
дана прямая CD', след которой на те надо постро тгь.
Проведем через С' и D' образующие и найдем точки
С' и Da пересечения этих образующих с плоскостью а-
Проекциями Са и £>а этих точек являются точки пе-
ресечения PQ с проекциями соответствующих обра-
зующих. В остальном построение повторяет построе-
ние следа прямой А' В'.
Задача 7 (обратная). Зная след прямой на плос-
кости проекций и проекцию одной из точек пересечения
этой прямой с цилиндрической поверхностью, постро-
ить проекцию второй точки пересечения прямой с по-
верхностью.
Задача 8. Построить изображение плоского сече-
ния цилиндрической поверхности, если плоскость сече-
ния задана на плоскости изображения следом и ориен-
тированной точкой.
Эта задача может быть решена иа основании послед-
них двух задач (аналогично тому, как на основании
задач 1 и 2 решается 3).
Изображением сечения цилиндрической поверхности
плоскостью могут быть: 1) эллипс, 2) отрезок, заклю-
ченный между параллельными прямыми и k2, опре-
деляющими след цилиндрической поверхности, 3) две
различные прямые, параллельные kt и й2, 4) сдвоенная
прямая, паратлельная kt и £2.
При подготовке данной статьи была использована ра-
бота 3. А. Скопеца «Изображение конических сечений
в ортогональной монопроскции» (сб. «Вопросы совер-
шенствования преподавания в средней школе», Ярос-
лавль, 1963, стр. 176—185).
Л. Н. РЯБЧИКОВ (Ленинград]
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕСТА ТОЧЕК НА СФЕРЕ
Сфера представляет собой простейший пример мет-
рического пространства, для которого оказываются не-
верными многие соотношения (двумерной) евклидовой
геометрии. Поэтому на ней можно наглядно показы-
вать некоторые особенности неевклидовых геометрий,
используя при этом элементарные приемы. Это тем
более интересно, что обычно сферическая геометрия
остается вне поля зрения учащихся.
В данной статье мы рассмотрим лишь кривые на
сфере, аналогичные кривым второго порядка.
Обычная теория кривых второго порядка объединя-
ет эти кривые в один класс только на основании их
аналитического выражения, представляющего собой
уравнения второго порядка.
Однако все три группы кривых (эллипс, гипербола
и парабола) остаются в евклидовой геометрии прии-
ципиально различными. Так, эллипс на плоскости яв-
ляется замкнутой и конечной кривой, тогда как гипер
бола и парабола—бесконечные кривые. Гипербола име-
ет две ветви, а эллипс и парабола — по одной.
Кроме того, для задания (с точностью до поворота
и параллельного переноса) эллипса и гиперболы необ-
ходимы два параметра, а для параболы достаточен
лишь один.
Все кривые второго порядка на сфере замкнуты, н
различие между ними лишь в точке зрения, с кото-
рой они рассматриваются.
Расстояния на сфере будем измерять дугами боль-
ших кругов, выраженных в единицах радиуса сферы
Точки, лежащие на противоположных концах одно-
го и того же диаметра сферы, назовем симметричными.
Точку, симметричную точке С, будем обозначать С'.
64
Очевидно, что расстояние между любыми двумя сим-
метричными точками равно л.
Кривую, все точки которой симметричны некоторой
данной кривой на сфере, назовем ей симметричной.
В силу центральной симметрии все свойства кривой
будут справедливы и для симметричной ей кривой.
Мы будем исходить из геометрического определения
кривых второго порядка, т. е. (плоским) эллипсом
называется геометрическое место точек, для каждой
из которых сумма расстояний до двух заданных точек
(называемых фокусами) есть величина постоянная;
гипербола — геометрическое место точек, разность рас-
стояний которых (по абсолютному значению) до двух
заданных точек (фокусов) есть величина постоянная;
парабола — геометрическое место точек, расстояния
которых до заданной точки (фокуса) и заданной пря-
мой (директрисы) равны.
Под сферическим эллипсом, гиперболой и параболой
будем понимать соответствующие геометрические ме-
ста точек на сфере, определяемые совершенно анало-
гично плоскому случаю. В дальнейшем для краткости
слово «сферический» будет опускаться.
Из вышесказанного следует, что кривая, симметрич-
ная эллипсу (гиперболе, параболе), также будет эл-
липсом (гиперболой, параболой) с фокусами в точках,
симметричных фокусам исходной кривой.
Теорема 1 (черт. 1). Геометрическое место точек,
определяющее эллипс с фокусами Ft и Гг и большой
осью AimA2, будет также эллипсом с фокусами F1 и
F2u с большой осью.
Atm' Д2 — 2т — AtmA2.
Доказательство. Для произвольной точки
эллипса М имеем
F^M + MF2 = <т — F,M) -F (t—MF2) -
— 2т— (FtM + МГг) — 2т— A,mA2 -• Atm' A 2,
поскольку F,M + Mp2 = Ai/nA2 в силу определения
эллипса.
Замечание 1. Каждый эллипс имеет две пары
фокусов, симметричных между собой, и две больших
оси, сумма которых равна 2тс.
Теорема 2 (черт. 2). Геометрическое место то~
чек, определяющее эллипс с фокусами F, и Ft и
большой осью АгтА2 и ему симметричный, представ-
ляет собой соответственно две ветви гиперболы,
один фокус которой совпадает с фокусом эллипса.
Черт. 1
3 Математика в школе N S
а другой — с тем фокусом симметричного эллипса,
который симметричен второму фокусу первого
эллипса, и действительной осью AtA2 — т — А,тА2.
Доказательство. Для произвольной точки
эллипса М имеем
F2M — Г\М —(T—MF2)-FtM -t — (F,M+MF2)^
— тс— А,тА2 — A2At.
Аналогично и для точек симметричного эллипса.
Черт. 2
Теорема 3 (обратная теореме 2). Ветви гипер-
болы являются парой симметричных эллипсов.
Доказательство аналогично предыдущему.
Замечание 2. Гипербола и ей симметричная
совпадают.
Замечание 3. Различие между эллипсом (в паре
с симметричным) и гиперболой заключается лишь
в выборе системы фокусов и осей, причем эллипс
переходит в гиперболу (и наоборот) заменой одного
из фокусов на ему симметричный, а оси — на допол-
нение до тс.
Теорема 4 (черт. 3). Геометрическое место
точек, определяющее параболу с фокусом F, и
фокальным параметром LFt, является эллипсом.
большая ось которого равна а расстояние
между фокусами FtF2 =	—LFt.
Доказательство. Так как КМ и LFX (Л4 —
произвольная точка параболы) перпендикулярны од-
ному и тому же большому кругу LKN, то они пере-
секаются в некоторой точке F2 на
расстоянии
от LKN.
Отсюда FtM -Г MF2 = FtM +	— МК^ —	.
поскольку FtM — МК в силу определения параболы.
FtF2 = LFt — LF, — ~- — /.F,.
Теорема 5 (обратная теореме 4). Эллипс с боль-
шой
осью.
равной
. является параболой с фо-
65
Черт. 3
дываемом от одного из фокусов (например, F2) в сто-
рону другого фокуса, проведем большой круг LN
перпендикулярно большой оси эллипса. Тогда любой
большой круг F2K, проходящий через точку F2, бу-
дет перпендикулярен большому кругу LN и расстоя-
ние от F2 до LN по дуге большого круга F2K равно
Отсюда для любой точки эллипса М имеем
FtM +MF2 - F,M -Ь (-Z- — MK
т. е.
FtM = МК
LFt - LF2 — FtF, -	— F,F2.
Замечание 4. Парабола представляет собой
частный случай эллипса.
Замечание 5. Парабола (вместе с ей симметрич-
ной) является частным случаем гиперболы с действи-
тельной осью, равной
2
, и расстоянием между
фо-
кусом в одном из фокусов эллипса и фокальным
параметром, равным-^- — FtF2.
Доказательство.
На расстоянии
2
откла-
кусами —+ LFt.
Теория кривых второго порядка на сфере получает
значительно более простой и стройный вид, если
отождествлять диаметрально противоположные точки
сферы, т. е. перейти к геометрии Римана.
Л. М. ЛОПОВОК |г. Луганск)
ЗАДАЧИ НА ВОССТАНОВЛЕНИЕ ЗАПИСЕЙ
При решении задач на восстановление записей повто-
ряются многие вопросы курса арифметики, решение
таких задач развивает наблюдательность, способствует
развитию логического мышления школьников.
Рассмотрим задачу на восстановление записей при
умножении;
*8*
5
Здесь известны только 2 цифры из 23, вместо осталь-
ных цифр стоят точки. Восстановим неизвестные циф-
ры. Из трех произведений одно трехзначное и два че-
тырехзначных. Так как трехзначное произведение по-
лучено в результате умножения числа на 8, то дру-
гие должны получиться при умножении этого же чис-
ла на 9. Итак, множитель — 989. Так как произведе-
ние оканчивается цифрой 5, а множитель нечетный, то
и множимое оканчивается пятеркой. Исходя из количе-
ства цифр в произведениях, устанавливаем, что мно-
жимое больше 111, но меньше 125. Следовательно, оно
равно 115,
Приведем несколько задач.
№ 1.
№2...........
8..
4...
...3.
№ 3.	..9.
...9
.3..
..5.
.8.....
При составлении таких упражнений не всегда уда-
ется добиться, чтобы задача имела одно решение (ино-
гда решений два). Однако необходимо следить за тем,
чтобы в условии не было лишних данных.
Решение задач на умножение, в которых все цифры
заменены буквами, сводится к рассмотрению несколь-
ких вариантов. К таким задачам относятся, например,
следующие:
№ 4. ТРИ X ТРИ = ДЕВЯТЬ. № 6. АБВ
БГВ
J4 5. ТРУД X УМ - УСПЕХ.	~~БДБВ
ДБЕВ
ЖВЗ
ИИЖЕВ
.0
....0
Рассмотрим задачу на все действия, в которой дей-
ствия записаны и по горизонтали м по вертикали.
66
КОМ — ЛР - ЛАК
‘ + —
М X М — ПА
ПЛ + ЛУК = ЛПИ
Сложение во втором столбце позволяет определить,
что Л=1, У=0 и А=9. Но тогда во второй строке чи-
сло «М» возведено в квадрат и получено двузначное
число, оканчивающееся девяткой. Значит, М = 7. Отсюда
нижняя строка: 41+ 10. = 14.. Умножив 41 на 7, найдем,
что К=2 и 0=8. Далее ясно. Приведем еще две подоб-
ные задачи:
№ 7. АБ X ВБ - ГДА № 8. АБ х БВ = ГДЕ
+ + : + + •
КВ —ВЛ = Г	КВВ : БВ = Д
ГР + КТ - ВВК	КГД—BE = КБЕ
Более трудны упражнения на сложение, в которых
слагаемые и сумма зашифрованы так, что в записи
даны существительные, связанные по смыслу. Рассмот-
рим, например, следующую запись:
ЛИНИЯ
+ ЛИНИЯ
ФИГУРА
Прежде всего замечаем, что Ф=1 и Л не менее 5.
Рассмотрим возможные варианты.
Если Л = 9, то и И = 9 (учитывая переход через де-
сяток), чего не может быть. Если Л = 8, то И = 7. В та-
ком случае Г и Р могут быть равны 4 и 5 Однако
дальнейшая проверка показывает, что при этих значе-
ниях Г и Р для остальных букв не существует систе-
мы непротиворечивых значений.
Если Л = 7, то И = 4, а Г и Р — 8 и 9. Испытания
показывают, что в этом случае при Я = 3, Н = 6 и
Н = 5, а при Я = 5, Н = 3. При Л = 5 и Л = 6 реше-
ний нет.
Итак, приведенная запись может быть восстановлена
в трех вариантах:
74543	74643	74345
74543	+ 74643	+ 74345
149086	149286	148690
К записям такого рода относятся и расшифровки
так называемых визитных карточек. В них имя и от-
чество расшифровываются как слагаемые, а фамилия—
как сумма. Приведем примеры:
«Лука Лукич Иванов», «Иван Фомич Бантов», «Петр
Ильич Терпев». Здесь первые два слова слагаемые, а
последнее — их сумма.
Весьма распространены упражнения на восстановле-
ние записей при делении. Покажем ход восстановления
заижси на следующей задаче:
ПАТЕНТ | ТОН
ПНИН НУЕ
ОПАН
ОГЕП
ПТТТ
ПИЗГ
ПИТ
Из последнего вычитания (Т—Г=Т) видим, что Г=0.
Произведение ТОН-Е оканчивается нулем. Так как
Н не нуль, то либо Н, либо Е — пятерка. Если Н=5,
то последние цифры произведений должны быть либо
0, либо 5, т. е. должны быть записаны цифрами Г или
Н. Это условие не выполняется. Значит, цифра 5 за-
писана буквой Е.
Первое умножение наводит на мысль, что можно
определить Н. В самом деле, после умножения Н' Н
получается число, которое кончается цифрой Н. Это
может быть лишь при Н = 0, Н = 1, Н = 5, Н = 6. Уста-
навливаем, что имеет место лишь Н=6. Из второго
умножения видно, что П — четная цифра, второе вычи-
тание подтверждает, что и Т — четная. Поскольку Т
больше П, то Т — 8 или 4, а П — 4 или 2 Но первое
умножение показывает, что вариант Т = 8 невозможен.
Значит, Т=4 и П=2. Дальнейшие буквы угадываются
легко: А = 9, И=1, 0 = 3, У =7, 3 = 8.
Записав буквы в порядке возрастания их значений,
получим ключ шифра—слово «гипотенуза». Восстано-
вить запись теперь просто.
Для составления таких «ребусов» имеется достаточ-
ное количество «ключей»: только среди существитель-
ных их около 200.
Вот несколько задач, аналогичных рассмотренной:
№ 9. КОЛИБРИ | БОР
ВАР ЛБРКБ
ОКИ
РЛМ
ЕРИБ
ЕЛБР
БЕВР
БКБМ
РРИ
РЛМ
БИ
№ 10. КАЛИБР | ЛЕС
ЛЕС ЕУЛБ
СКУЙ
СУУК
ПААБ
ПЛИС
ПСПР
ПРЛР
ЕИР
№ 11. СТРУКТУРА | ПАР
СПТР	РМПНПУ
РИКТ
РКНП
НУАУ
АРУН
РПАР
РКНП
НППА
НССП
СУ У
И. А. САВОСТИН (Москва)
ПРОВЕРКА АРИФМЕТИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИИ С ПОМОЩЬЮ ДЕВЯТКИ
В программу факультативных занятий для VIII клас-
са включены «сравнении, вычегы, арифметика выче-
тов». Однако представляется целесообразным исполь-
зование некоторых результатов арифметики вычетов
уже в младших классах для проверки сложения, вычи-
тания, умножения и деления натуральных чисел, а
затем и десятичных дробен. На факультативных же
занятиях в VIII классе учащиеся познакомятся с тео-
ретическим обоснованием приобретенных навыков про-
верки.
Подробное освещение теории вычетов учитель най-
дет в курсах теории чисел.
Проверка арифметических действий с помощью де-
вятки известна давно. В наше время этому вопросу
была посвящена глава I работы В. Л. Гончарова
«Арифметические упражнения и функциональная про-
педевтика» (Изд. АПН, М., 1947). В данной статье мы
подробно осветим практику проверки результатов дей-
ствий с помощью сравнений по модулю 9 и на одном
примере по модулю 11.
Учащимся младших классов покажем, как легко
можно найти остаток от деления какого-нибудь числа
на 9. Разделим, например, 37625 на 9, получим в
остатке 5;* сложим «цифры» того же числа, получим
23, остаток от деления 23 на 9 опять равен 5; а если
найти сумму цифр 23, вновь получаем 5.
Таким образом выясняем, что остаток от деления
какого-либо числа на 9 можно найти, не производя
деления; достаточно найти S, — сумму цифр данного
числа; если 5, окажется больше 9, то найдем S2—
сумму цифр числа S,; затем сумму цифр числа S2
и т. д. Последняя из полученных сумм, меньшая 9,
равна остатку от деления данного числа на 9.
Будем называть этот остаток цифровым остатком
по модулю 9. Нахождение цифрового остатка по мо-
дулю 9 можно упростить посредством отбрасывания
девяток из суммы цифр. Например, при нахождении
цифрового остатка числа 37 625 можно сразу отбро-
сить 3 + 6 и 7 + 2.
В VIII классе докажем, что разность между дан-
ным натуральным числом а и цифровым остатком а
кратна 9, т. е.
а —а = 9fe,	(1)
где k — целое положительное число.
Пусть данное число а — а0 4- 10а, + 102а24- ... 4-
+ 10”ал. Сумма его цифр а — а„ а, 4- аг + .. .+ап.
Разность а — а — (10— 1) а, 4- (10г — 1) а2 4- ... 4-
4- (10л— 1) ап. Ясно, что (10— 1) а, — 9а, = 0(mod 9),
(I02 — 1) а2 = 0 (mod 9),
(10° — 1)ал 0 (mod 9),
где «—я знак сравнения по модулю.
Сумма чисел, кратных 9, также кратна 9, следова-
тельно, а — а = 0 (mod 9).
Мы получили, что а и а равноостаточны по модулю
9. Таким же образом найдем, что а и а тоже равно-
остаточиы по модулю 9, а значит, а и а также равно-
остаточны по модулю 9, т. е. а == 9k 4- о- Значит, фор-
мула (1) а—а — 9k верна.
На факультативных занятиях в VIII классе будут
в общем виде рассмотрены свойства сравнений, т. с.
68
те свойства, которые являются обоснованием провер-
ки результатов действий с помощью цифровых остатков.
В младших классах перед тем, как начать провер-
ку с помощью цифровых остатков, на ряде примеров
устанавливается свойство цифровых остатков: если над
натуральными числами совершается какое-нибудь ариф-
метическое действие, то такое же действие произво-
дится и над цифровыми остатками, т. е. Ц| ± а2 =
— (9/г, 4- oi) ± (9й2 4- а2) = 9й3 4- (а, ±а2). Если произ-
водится вычитание (деление), то в некоторых случаях
к цифровому остатку уменьшаемого (делимого) надо
прибавлять одну или несколько девяток (если цифро-
вые остатки вычисляются по модулю 9).
Известная учащимся зависимость между компонента-
ми вычитания и деления сохраняется и для цифровых
остатков.
Теперь на нескольких примерах покажем приемы про-
верки результатов действий.
Проверка сложения
	Числа	Сумма цифр	Цифр вой остаток
Слагаемые	2563	16	7
	4185	18	0
	6792	24	6
Сумма	13540		(13) 4
Проверка умножения
	Числа	Сумма цифр	Цифровой остаток
Множимое	346	13	4
Множитель	273	12	3
Произведение	94 458	—	(12) 3
Возведение в степень с натуральным показателем
проверяем как нахождение произведения равных чисел.
Пример. 2053 = 205  205- 205 — 8 615 125; цифровой
остаток основания равен 7,73 = 343; цифровой остаток
как 8 615 125, так и 343 равен 1.
Проверка вычитания
	Числа	Сумма цифр	Цифровой остаток
Уменьшаемое	6289	25	7
Вычитаемое	2453	14	5
Разность	3836	—	2
	Числа	Сумма цифр	Цифровой остаток
Уменьшаемое	345	12	3 + 9
Вычитаемое	213	6	6
Разность	132	-	6
Вычитание—действие сбратиое сложению,
поэтому проверку вычитания можно произвести иначе:
надо найти цифровой остаток суммы цифровых остат-
ков разности и вычитаемого; должен получиться циф-
ровой остаток уменьшаемого.
Проверка деления
	Числа	Сумма цифр	Цифровой оста гок
Делимое	325	10	1
Делитель	25	7	7
Частное	13	-	4
Делимое равно произведению делителя на частное,
поэтому для проверки находим произведение соответ-
ствующих цифровых остатков. 4-7 = 28, цифровой оста-
ток 28 как раз равен 1 — цифровому остатку делимого.
Пример — деление с остатком
	Числа	Сумма цифр	Цифровой остаток
Делимое	1407	12	3
Делитель	85	13	4
Частное	16	—	7
Остаток	47	—	9
Для проверки вычисляем 4-7 + 2 = 30; цифровой
остаток 30 равен 3, т. е. такой же, как и делимого.
Надо заметить, что проверка с помощью 9, как и
вообще любая другая проверка, основанная на теории
сравнений по какому-либо модулю, дает лишь необхо-
димый признак правильности результата действий, но
не достаточный. Чтобы получить большую уверенность
в правильности результата, можно произвести провер-
ку, пользуясь цифровым остатком по другому мо-
дулю, например по модулю 11.
Для вычисления цифрового остатка по модулю 11 на-
до разбить число на грани справа по две цифры в
каждой грани (в крайней левой может оказаться одна
цифра), затем найти сумму полученных двузначных
чисел. Остаток от деления этой суммы на 11 равен
цифровому остатку данного числа по модулю 11.
Пример. Дано 8 472 316: 16 + 23 + 47 + 8 = 94;
цифровой остаток 8 472 316 по модулю II равен остат-
ку от деления 94 на 11, т. е. 6. Аналогично тому, как
выше мы выбрасывали девятки, здесь можно из каж-
дой грани вычитать целое число раз по 11; тогда в
данном случае получим 5+1 + 3-J-8, а исключая
3 + 8, найдем цифровой остаток 6.
Покажем двойную проверку — по модулю 9 и по
модулю 11 на одном примере.
При вычислении 65-104 ученик получил 910. Цифро-
вые остатки по модулю 9 как 65-104 (2-5= 10), так и
910 равны между собой. Проверка по модулю 11 дает
цифровой остаток 65-104, равный 10-5 = 50, т. е. 6; а
цифровой остаток 910 по модулю 11 равен 8. Значит,
при умножении 65 на 104 ученик допустил ошибку.
Проверка с помощью цифровых остатков может быть
рекомендована и при решении упражнений на совмест-
ные действия. Эта проверка легко проводится устно,
поскольку ограничивается действиями чаще всего над
однозначными числами.
Пример (над знаками действий показаны цифровые
остатки результатов по модулю 9):
I 7 os ь
(9384-204 + 56-35— 54-15)'52 = 23.
Так как действия над десятичными дробями всегда
можно свести к действиям над натуральными числами,
поэтому проверку с помощью цифровых остатков
возможно применять и в этих случаях.
О ПРОПАГАНДЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗНАНИИ
С 1958 г. при Дагестанском государственном универ-
ситете имени В. И. Ленина работает математический
лекторий для учащихся средних школ.
В 1962 г. Министерство просвещения Даг АССР сов-
местно с университетом организовало при школе № 13
г. Махачкалы классы с математической специализацией
в которых математику ведут преподаватели универси-
тета. Вычислительную математику и программирование
учащиеся изучают в вычислительной лаборатории уни-
верситета на базе машины «Сетунь». Кроме того, в са-
мой школе организована вычислительная лаборатория,
оснащенная вычислительными машинами.
Опыт работы по программе с элементами высшей ма-
тематики обобщается и пропагандируется среди учи-
телей республики и это окажет им определенную по-
мощь при переходе средней школы на новую програм-
му по математике.
В 1966 г. при Дагестанском университете был открыт
филиал Заочной математической школы при МГУ име-
ни М. В. Ломоносова. В работе филиала на обществен-
Д. М СОЛОВЬЕВ (г. Махачкала]
СРЕДИ ШКОЛЬНИКОВ ДАГЕСТАНА
ных началах принимают участие преподаватели и аспи-
ранты университета. В настоящее время в нем зани-
маются около 100 учащихся, большинство из них —
жители горных районов республики.
С 1961 г. в республике проводятся традиционные ма-
тематические олимпиады школьников Из победителей
республиканской олимпиады создается команда для
участия во Всероссийской математической олимпиаде.
Отрадно отметить, что члены нашей команды неодно-
кратно награждались дипломами и поощрительными
грамотами за успехи на Всероссийской математической
олимпиаде.
Результаты олимпиад говорят, что уровень математи-
ческой подготовки учащихся Дагестана из года в год
повышается.
Вся эта работа, бесспорно, повышает интерес к изу-
чению математики и других естественных наук, застав-
ляет более углубленно изучать точные науки, позволяет
выделить наиболее одаренных учащихся и помогает
им в выборе профессии.
69
Е.А. МОРОЗОВА, И. С.. ПЕТРАКОВ [Мосина]
IX МЕЖДУНАРОДНАЯ
2—13 июля 1967 г. в югославском городе Цетинье
состоялась IX Международная математическая олимпи-
ада, в которой приняли участие делегации 13 стран:
Англии, Болгарии, Венгрии, Германской Демократи-
ческой Республики, Италии, Монголии, Польши, Румы-
нии, Советского Союза, Франции, Чехословакии, Шве-
ции, Югославии.
Каждая делегация, кроме Италии и Франции, состоя-
ла из 8 участников, как правило выпускных классов,
руководителя — члена жюри и педагогического руко-
водителя. Делегация Италии состояла из 6 участников.
Делегация Франции, состоявшая из 5 школьников,
принимала участие только во втором дне соревнования.
В состав советской делегации вошли:
1.	Бошерницан Михаил — ученик X класса
специализированной школы-интерната № 18 при МГУ.
В 1964 г., учась в VII классе, получил I премию по
девятым классам на городской олимпиаде в г. Черно-
вицах (УССР); в 1965 г.— I премию на городской и
областной олимпиадах по математике, I премию на
областной олимпиаде по физике, I премию по матема-
тике на Всеукраннской олимпиаде, I премию по мате-
матике и физике на Всероссийской олимпиаде (с уча-
стием команд союзных республик); в 1966 г.— премию
на Московской городской олимпиаде, Л премию на
Всероссийской олимпиаде; в 1967 г.— III премию на
Московской городской олимпиаде.
2.	Хар и нов Юрий — ученик X класса специали-
зированной школы-интерната № 165 при Новосибирском
университете. В 1964 г. получил I премию на Ташкент-
ской городской олимпиаде по математике; в 1966 г.—
II премию по математике на Узбекской республикан-
ской и Всероссийской олимпиадах, I премию по физике
на Всесибпрскои олимпиаде; в 1967 г.— III премию по
математике на Всесоюзной олимпиаде.
3.	Кричевер Игорь—ученик X класса специа-
лизированной школы-интерната № 18 при МГУ. С V
по VII класс ежегодно получал I премии по восьмым
классам на Таганрогской городской олимпиаде; в
1965 г.— I премию на областной олимпиаде по вось-
мым классам и одновременно II и III по IX и X клас-
сам, на Всероссийской олимпиаде получил похвальный
отзыв; в 1966 г.— I премию на Всероссийской олим-
пиаде; в 1967 г.— похвальный отзыв на Московской
городской олимпиаде.
4.	Лившиц Александр — ученик X класса шко-
лы № 239 Ленинграда. Учась в V классе, участвовал
в Ленинградской городской олимпиаде шестых классов
и получил II премию, в VI—VII классах участвовал
в Ленинградских городских олимпиадах седьмых клас-
сов и получил I премии. В 1966 г. и в 1967 г. полу-
чил I премии по математике и по физике на Ленин-
градских олимпиадах и I премию по математике на
Всесоюзной олимпиаде.
5.	Со болев Сергей — ученик IX класса специа-
лизированной школы-интерната № 165 при Новосибир-
ском университете. В 1965 г. получил I премию на
Узбекской республиканской олимпиаде и II премию на
Всесибирской олимпиаде; в 1966 г.— I премию на Уз-
бекской республиканской, Всесибирской и Всероссий-
ской олимпиадах; в 1967 г.— II премию на Всесоюзной
олимпиаде (первые премии по девятым классам ие
присуждались).
6.	Суслин Андрей — ученик X класса английской
средней специализированной школы № 183 Ленинграда.
Получил в V, VI, VIII и X классах I премии на Ленин-
градской городской олимпиаде, в 1964 г.— II премию
и в 1965 г.— I премию на Всероссийской олимпиаде.
7.	Турчанинов Виктор — ученик X класса шко-
лы-интерната № 45 при Ленинградском университете.
Получил в 1965 г. II премию на Мурманской област-
ной олимпиаде; в 1966 г.— 11 премию на Ленинградской
городской и Всероссийской олимпиадах; в 1967 г.—
I премию на Ленинградской городской и III премию
на Всесоюзной олимпиадах.
8.	Харламов Вячеслав — ученик X класса
школы-интерната № 45 при Ленинградском универси-
тете. Получил в 1966 г. II премию на Ленинградской
городской олимпиаде и I премию на Всероссийской
олимпиаде; в 1967 г.— II премию на Ленинградской
городской олимпиаде.
5	и 6 июля школьники решали задачи.
ЗАДАЧИ
1.	В параллелограмме ABCD треугольник ABD
остроугольный. Сторона АВ — a, AD = 1 и
BAD = а. Докажите, что четыре круга ДА, Кв,
Кс< Kd радиуса 1, центры которых в вершинах
А, В, С, D тогда и только тогда покрывают парал-
лелограмм, когда а cos а + у4 3 sin а.
(Польша, 6 очков)
2.	В тетраэдре длина одного и только одного
ребра больше 1. Докажите, что его объем не пре-
восходит —.
8
(Чехословакия, 7 очков)
3.	k, т, п — положительные целые числа и т +
4-Л + 1—простое число, большее п + 1. Пусть
Cs = s (s -|- 1). Докажите, что произведение (Ст+,—
— СцУ(Ст+г — СЙ)....(Ст+„— Сь) делится на про-
изведение C,-Ci-... - Сп.
(Англия, 8 очков)
4.	Даны два остроугольных треугольника А„В0С„
и A,BtCt. Построить треугольник АВС, подобный
треугольнику АХВХС, (вершина А соответствует
Ах, В — В,, С — С]), описанный около треугольника
АгДаС0, так что С„£ АВ, А0СВС, B„£ CA. По-
строить такой треугольник АВС, имеющий мак-
симальную площадь.
(Италия, 6 очков)
5.	Рассматривается последовательность
ci — а1 +	+ • • • + ав,
е» — ai +	+ . •. +
с„ — а" + а" + ...
70
где ......дв — действительные числа, не все рав-
ные нулю. Среди членов последовательности бес-
конечно много равных нулю. Найти все п. для ко-
торых сп = 0.
(СССР, 7 очков)
6.	В спартакиаде, продолжавшейся п дней, было
разыграно т медалей. В I день были вручены 1 ме-
даль и еще оставшихся т — 1 медалей. Во II
день были вручены 2 медали и еще ~ оставших-
ся после этого медалей и т. д. Наконец, в п-й по-
следний день были вручены оставшиеся п медалей.
Сколько дней продолжалась спартакиада и сколь-
ко медалей было вручено?
(Венгрия, 8 очков
7	и 8 июля для школьников были организованы экс-
курсии на Адриатическое побережье в Будву и в
Святой Стефан. 9 июля все участники олимпиады и
члены жюрн приняли участие в экскурсии на Београд-
ские озера.
Все участники олимпиады познакомились с музеями,
историческими памятниками и героической историей
города Цетинье (бывшей столицы Черногории) и его
окрестностей. Поднимались на вершину Ловчей, где
находится мавзолей Негоша. 11 июля состоялась очень
интересная экскурсия в древний город-сказку Дубров-
ник. 2 и 13 июля советская делегация провела в Бел-
граде.
12 июня в здании городского совета Цетинье состоя-
лось закрытие олимпиады. С приветствием к участни-
кам обратился министр просвещения Югославии Мичу-
нович. Он же вручил дипломы и призы победителям.
Дипломом первой степени награждались участники,
набравшие от 38 до 42 очков.
Бандт Христоф (ГДР) — 42 очка, Войкулеску Дан
(Румыния)—42 очка, Георгиев Петер (Болгария) —
42 очка, Лившиц Александр (СССР) — 42 очка, Хайн-
рих Штефан (ГДР) — 42 очка, Филлипс Нортон Симон
(Англия) — 41 очко, Турчанинов Виктор (СССР) — 39
очков, Хоппнер Рейнхард (ГДР)—39 очков, Елекеш
Гиорги (Венгрия) —38 очков, Суслин Андрей (СССР)—
38 очков, Шурани Ласло (Венгрия) — 38 очков.
Дипломом второй степени награждались участники,
набравшие от 30 до 37 очков.
Бошерннцан Михаил (СССР) —37 очков, Вилльямсон
Малькольм (Англия) —36 очков, Герт Зиберт (ГДР)—
35 очков, Дворничих Роберто (Италия) — 35 очков,
Жаринов Юрий (СССР) — 35 очков, Бабаи Ласло
(Венгрия) — 34 очка, Попа Еуген (Румыния) — 34 оч-
ка, Файер Патрик (Англия) — 34 очка, Ульрих Цэле
(ГДР) —33 очка, Хоггман Гиорги (Венгрия) —33 очка,
Кричевер Игорь (СССР) — 32 очка, Кширмац Ласло
Слева направо: в пер-
вом ряду — А. Суслии,
И. Кричевер, И. С. Пет-
раков, Ю. Жаринов,
В. Харламов; во вто-
ром — С. Соболев, М. Бо-
шерницаи, А. Лившиц,
В. Турчанинов.
71
(Венгрия)—3! очко, Бурмайстер Вольфганг (ГДР) —
30 очков, Сивак Бохуш (Чехословакия) — 30 очков.
Дипломом третьей степени награждались участники,
набравшие от 22 до 29 очков.
Грегор Радован (Чехословакия)—29 очков, Лунгу-
леску Еуген (Румыния) — 29 очков, Дейвис Артур
(Англия) — 28 очков, Кульен Михаил (Англия) — 28 оч-
ков, Сергиеску Влад (Румыния) — 28 очков, Шцукс
Андреш (Венгрия) — 28 очков, Эк Бепдт (Швеция) —
28 очков. Полкар Павел (Чехословакия) — 27 очков,
Соболев Сергей (СССР) — 27 очков, Дашдорж (Монго-
лия) — 26 очков, Маргиоччо Марко (Италия) — 26 оч-
ков, Пинтц Янош (Венгрия) — 26 очков, Пизанскн Томо
(Югославия) —26 очков, Харламов Вячеслав (СССР) —
25 очков, Дикранян Дикран (Болгария) — 24 очка, Ка-
мерон Смит (Англия) — 24 очка, Мачек Томаш (Че-
хословакия) — 24 очка, Иоахим Фриц (ГДР) —23 очка,
Лабороци Золтан (Венгрия) — 23 очка, Линдберг Пер
(Швеция)—23 очка. Доп Кэлин (Румыния)—23 очка,
Гарлэнд Давид (Англия)—22 очка, Лаясевич Стани-
слав (Польша) — 22 очка, Попович Слободан (Югосла-
вия)— 22 очка, Ралеску Дан (Румыния)—22 очка,
Сливник Томаш (Югославия) — 22 очка.
Советский школьник А. Лившиц был единственным
полностью решившим задачу № 4. За решение этой
задачи ему был присужден специальный приз.
За решение задачи Ns 5 специальный приз присуж-
ден болгарскому школьнику П. Георгиеву.
За решение задачи Ns 3 специальный приз присуж-
ден английскому школьнику Филлипсу Нортону.
Общие результаты IX Международной математиче-
ской олимпиады приведены в таблицах.
№ задачи и макси-
мальное число очков
(в скобках)
Число участников, получив-
ших указанное число очков
8 | 7 | 6 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0
1 (6)	—	—	31	8	10	16	7	10	12
2 (7)	—	27	5	16	8	7	6	5	20
3 (8)	28	0	2	0	4	6	6	3	45
4 (6)	—	—	43	И	10	16	7	1	12
5 (7)	—	23	4	7	9	6	8	20	22
6 (8)	29	5	11	7	6	11	7	5	18
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
IX МЕЖДУНАРОДНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ОЛИМПИАДЫ
Черт. 1
1. Вокруг остроугольного треугольника ABD (черт. 1)
опишем крут, центр которого — точка О лежит внутри
этого треугольника.
Четвертая вершина С параллелограмма ABCD лежит
вне описанного круга. В самом деле, если точка С' ле-
жит внутри круга по другую сторону прямой BD от
точки А, то /BCD измеряется или половиной ду-
ги BAD (если точка лежит на окружности), или может
быть еще большим Но дуга BAD больше полуокруж-
ности, так как дополнительная дуга измеряет острый
по условию Z BAD, Получаем противоречие с тем, что
z Bad = z bcd — острый.
Утверждаем тепепь, что если параллелограмм покрыт
кругами Кл, Кв. Кс, Kd, то радиус R описанной около
CABD окружности не превосходит единицы. Предпо-
ложим противное, т. е. R — ОА = OB == OD > 1. Тогда
круги КА, Кв и Кв не покрывают точки О. Круг Кс
также не может покрыть точки О, ибо, по доказанно-
му выше, ОС >/?>!. Значит, условие R С 1 необхо-
димо.
Но оно и достаточно. Пусть R < 1. Опустим из точ-
ки О перпендикуляры на стороны /\АВР. которые, как
известно, разделят эти стороны пополам. Эти перпен-
дикуляры, а также радиусы ОА, OB, OD разбивают
A ABD иа шесть прямоугольных треугольников, в каж-
Страна	Номера участников и число набранных ими очков								Общее число очков	Число полученных дипломов			
	1	2	3	4	5	6	7	8		I сте- пени	II сте- пени	III сте- пени	Участ- ника
Англия . . .	24	28	18	36	34	28	41	22	231	1	2	4	1
Болгария . .	7	14	24	20	20	11	21	42	159	1	0	1	6
Венгрия . . .	34	31	38	33	23	26	38	28	251	2	3	3	0
ГДР ....	42	30	23	42	39	35	13	33	257	3	3	1	I
Италия . . .	20	35	19	7	26	3	.—	—	ПО	0	1	1	4
Монголия	10	11	26	5	6	9	7	13	87	0	0	1	7
Польша . . .	22	8	12	7	18	5	9	20	101	0	0	1	7
Румыния . .	34	42	22	17	29	19	28	23	214	1	1	4	2
СССР ....	37	35	32	42	27	38	39	25	275	3	3	2	0
Франция. . .	4	10	9	6	12	—	—	—	41	—					5
Чехословакия	16	27	30	24	9	13	11	29	159	0	1	3	4
Швеция . . .	16	10	15	28	9	20	14	23	135	0	0	2	6
Югославия	13	18	И	18	26	22	6	22	136	0	0	3	5
72
дом из которых радиус является гипотенузой. Очевид-
но, расстояние от вершины прямоугольного треугольни-
ка до любой его точки не превосходит гипотенузы.
Значит, для любой точки М треугольника ABD най-
дется вершина, удаленная от нее не больше чем на R.
Поэтому круг Л с центром в соответствующей верши-
не покрывает точку М Мы доказали, что A ABD при
R <1 весь покрывается кругами Кл, Кв и KD. По
симметрии ЛСйВ также покрывается кругами Кс. Rd
и Кв.
Воспользуемся теперь формулой R =	, где а, Ь,
с — стороны треугольника, 5' — его площадь.
В нашем случае AD = 1, АВ — а, BAD -= а, тогда
по теореме косинусов имеем
BD = V1 г«г — 2а cos а.
Откуда
R — а f 1 + а2 — 2а cos о
2а sin а
Решением неравенства (1) будет
COS а — | 3 sin a «J а - COS а 4* р 3 sin а.
Но левая часть неравенства выполняется, так как
а — АВ > AD cos а = cos а при AD = 1 в силу остро-
угольное ти Д ABD.
Отсюда получаем, что Л ABD будет покрыт кру-
гами КА, Кв, R-о тогда и только тогда, когда
а <' cos а + । 3 sin а.
2. Пусть АВ — наибольшее ребро. Тогда в A ACD
и Д BCD (черт. 2) все стороны не превосходят 1,
высота BE Д BCD и высота AF A ACD, как легко
доказать, не превосходят | 1 —	, где CD — д<1.
Высота тетраэдра ИЗ" АЕ <	1 — А Объем
тетраэдра
V = — S.,nc,..AS	J----Lafl— —=
3 двсп з 2	\	4 J
•= —а (4 — аг).
24	'
Найдем максимум объема тетраэдра при й<1, для
чего исследуем функцию у ~ х (4 — хг)при0<х<1.
у = х (4-х!) - 3-(1 — х) —2(1 — х)! —
— х(1 — х)2-т 3.
1
Отсюда v — 3 при х = 1 и И,пах = шах -тег а (4 — аг) =
0-а I z
1
Осталось проверить, что тетраэдр с объемом,
равным-g-, удовлетворяющий условию задачи, су-
ществует. Возьмем тетраэдр, в котором АС — CD -=
= AD — ВС — BD — 1 и плоскость ACD перпен-
-1/ *3 Г
дикулярна BCD. При этом АВ = у	~
-ГЬ..
Многие искали экстремум функции у —х(4— хг)
с помощью производной, и некоторые из них не за-
метили, что точка безусловного экстремума не при-
надлежит интервалу изменения переменного.
3. Прежде всего имеем
Ср — Cq = рг 4- р — (дг + д) = (р — д)(р + q + 1).
Отсюда получаем, что
(G»+i — Сд4 (Сг;^|_2 — С/.)-... -(Ст^п CD -=
= (т -f- 1 — k) (т -f- 1 -г /г 4- 1)(/л 4- 2 — k) -
• (т 4- 2 4- k 4- 1)- (tn 4- п — k)(m 4- п 4- k 4 1)-=
-= [(m — k 4- 1) (т — k 4- 2).. .(т— k 4- n)j •
[(лг 4- А 4- 2) (tn 4- R 4- 3).. .(tn 4- 4~ г? 4~ 1)]«
С другой стороны,
Ct C2-...Cn • 1-2-2-3-3-4-...-и (л 4- 1)-
- n\ (n 4- 1)!.
Итак, надо доказать, что
[(m — k 4- 1)-... -(tn — k 4- л)]
л!
[(m * k 4- 2) •... - (m 4- k 4- n 4- 1)]
(n + 1)!
целое число.
(m — k 4- !)...-(m - k 4- n) — произведение n по-
следовательных целых чисел делится на л! Это оче-
видно в случае обращения в нуль одного из сомно-
жителей; хорошо известно в случае положительных
сомножителей н для отрицательных сомножителей
приводится к предыдущему отбрасыванием знаков.
Теперь докажем, что
(т 4- k 4- 2)(т 4- k 4- 3)-... -(т 4- k 4- л 4* 1)
делится на (п 4- 1)!.
Рассмотрим
Г'П+1
^т+Л+л+1
(tn Р Л + 1) (т 4- /г 4- 2) . .(т 4- Л 4- л 4- 1)
(п + I)!
Это число, как известно, целое. Но по условию
т 4- k 4- 1 — число простое, большее л 4-1; поэтому
т 4- k 4- 1 не делится ни на один простой сомножи-
тель числа (л 4- 1)> Значит, (/«4 *4-2)--(m+^+n4-l)
делится иа (л 4- 1)!. Тем самым произведение л после-
довательных целых чисел (лг 4-/г-|-2)-... •(п*-|-А4-л4-1)
делится на (л 4- 1)!.
4 Пусть Д АВС (черт. 3) удовлетворяет условию
задачи. Тогда его вершина В лежит на дуге сегмента,
построенного на отрезке А0Сс и вмещающего угол,
равный углу В,. Причем Л А„ВсС0 и этот сегмент ле-
жат по разные стороны от -40С„. В самом деле,
Л А„В£„ (на чертеже 3 провести А,В0) ВПцсан
в А АВС. Поэтому прямая А^С,,. пересекая отрезок
АВ в точке С„, отделяет точку В от точки А По тем
же причинам она отделяет В и от С. Значит, и вер-
шина В„ лежит с В по разные стороны от Л0Сс. Анало-
гично, вершины С и А лежат еа дугах сегментовпо-
строенных во внешнюю от д Л,.В,С\. сторону наот-
резках А^В,, и В„Со и вмещающих углы, равные соот-
73
ветственно углам С, и Л,. Обозначим центры этих
сегментов соответственно Ot, Ot, О,. Так как все три
угла Л1, В,, Ct — острые, то они лежат внутри своих
сегментов, т. е. вне А АвВвСв.
Рассмотрим подробнее положение прямой ВС. Про-
ведем к окружности О, в точке Ло касательную ЛСЛ4
и возьмем ее луч Л„Л1, лежащий по ту же сторону
прямой Л0С0, что и сегмент Ot. Тогда весь сегмент Ot
в точке Со дает (с учетом изменения направления от-
счета угла при перемене Ав и Со местами)
О < ^д ВСвАв < 2d — <=д В,.
^д А, — ^д Со < .д ВСвЛо < 2d — -Д С2,
С„АвВ + .д ВСвА„ ^2d — ^:Bl.
Поэтому первое условие в точке Сс эквивалентно
первому условию в точке Л„, второе же дает
-<C0 — ^дВ1<-ДСоЛ0В<2й — ^дС,.	(3)
Мы вывели три необходимых условия для возмож-
ности требуемого в задаче построения треугольника
с вершиной в точке В сегмента О,. Покажем, что
выполнения этих трех условий достаточно. В самом
деле, проводя рассуждения в обратном порядке, убеж-
даемся, что продолжение АвВ луча АВС за точку Ав
лежит внутри угла Л4Л0С0 и, следовательно, пересе-
кает сегмент О2 в некоторой точке С. Из условия (3)
по тем же причинам выводим, что прямая ВСв пере-
секает сегмент Ог в некоторой точке А по другую
сторону от Со, чем В. АвВСв — д В, по построе-
нию как вписанный в сегмент О,. ВвАСв — Л,
как вписанный в сегмент О,, и ^гЛ0СВ0=^дС, как
вписанный в сегмент О2. Точка Во лежит внутри
угла В, образованного лучами ВАв и ВСв в силу
того, что прямые ВАв и ВСв не пересекают Д АвВвСв,
а лишь, в силу условии (1), (2), (3), проходят через
его вершины. Значит, в четырехугольнике АВСВв
^.В„АВ, ЛВС и ^ВСВв— внутренние, и в сумме
составляют 2d. Отсюда ^д АВвС — 2d н три точки А,
Вв и С лежат на одной прямой.
Условия (1), (2) и (3) можно свести в одно, записав
шах (0, z: Ct — .д А3, хД С„ — хдВ,Х
-Д СвАвВ ^2d — max (.д В„ А„,	С,).
лежит внутри угла между лучами АВМ и Л0С0, где
^МА0С„ -2d — ^В,.
Легко видеть, что всякий луч с вершиной в Ло, ле-
жащий внутри тупого угла Л4Л0С0, пересекает дугу
сегмента, а все остальные лучи этот сегмент не пере-
секают. Совершенно аналогично, луч АВС должен ле-
жать внутри тупого угла между лучами ЛОВС и АВР,
где ^dBBABP — 2d—^.С, и отложен от Л0В0 в про-
тивоположную от А АаВвСв сторону. Покажем, что
эти два тупых угла не накладываются друг на друга.
Отсчитывая от луча АВР, получаем
РАвВв <д В0Л0С0 + СВАВМ =
- 4d — В, — С, + ^д А„ = 2d + .д А, + Ло,
что меньше 4d, так как и ^А, и ^Ав— углы тре-
угольника, острые. Значит, луч АВМ действительно
не заходит за луч АВР.
Выясним теперь, где может лежать луч АвВ. Ясно,
что он лежит внутри угла MA0C0, что дает
0<^дСоЛоВ<2^ — дВ„	(1)
если отсчет ведется в ту же сторону, что и раньше.
Условие, что луч АВС (продолжение луча Л„В) лежит
внутри угла РАвВв, записывается как О^^дСЛоВ,,<
<РЛ0В0 или
2d > 2d — .' САвВ„ >2d—^ РАаВв,
что дает
-Д С2 д СвАвВ ^д Л„ 2d,
поскольку
-Д САвВв + ^д ВвАВСВ + ^д СвАвВ - 2d.
Или окончательно
— ^дЛ0<^С(1Л()В<2г/—Ло, (2)
где разность zC,—Ав может быть как положи-
тельной, так и отрицательной. Аналогичный подсчет
Отсюда видно, что это условие всегда выполнено,
например для д СвАвВ — d, так что описанные тре-
угольники заведомо существуют. Отыщем среди них
треугольник максимальной площади. Очевидно, для
этого надо найти треугольник с максимальной сторо-
ной, так как все рассматриваемые треугольники по
добны как имеющие соответственно равные углы
сдЛ.В.С,.
Черт. 4
Рассмотрим произвольный описанный треугольник.
Спроектируем центры О, н Ог сегментов на хорды АвВ
и Л0С (черт. 4). Отрезок HiH3 есть проекция отрез-
74
ка OtOt. Его длина ие превосходит длины OtO, и мо-
жет совпадать с ней лишь когда jBC||OiOi.
Нетрудно подсчитать, что
O2A0Oi ~~ OsA0B0 -J- В0А0Са *d «=
- 2d — -< С, — .<r Bt + хГ А„ =
— А, + хГ Ао < 2d.
Поэтому отрезок OaOj пересекает лучи АЛС„ и АйВъ,
отсекая некоторый треугольник A^XY.
Через точку Д проведем ВгС2, параллельную OtOy.
Она будет лежать вне Л АйВйСй (иначе она пересекала
бы отрезок ХУ), и точки Ог и Ot будут лежать от
нее по ту же сторону, что и Д Л0В0С0. Пусть луч А0В2
лежит по ту же сторону прямой ДС0, что н точка Ot.
Перпендикуляры из точек О, и Os на хорды ДС0
и АцВц пройдут через их середины f( и f, и пере-
секутся в точке О — центре круга, описанного около
А АсВсСс. В силу его остроугольности, точка О лежит
внутри Д А0В0С0.
Очевидно, ^dOsOA0 = ^dO,C)BQ = хс Со, так как они
измеряются одной и той же величиной дуги (описан-
ного круга О). Аналогично, ^d С^ОД = ^d Ве,
OtOOe = хГ 0,0 Д + хГ Д002 - Д + Со < 2d.
Поэтому прямая ОгО, разделяет точки О и Д. От-
сюда
d — ^d В, = х^СоДО, < CaXOt < d
и, аналогично,
d — <d Ct < <-d ВйАйОг < ^d BaY02 < d.
Проводя через точку Ao прямую, образующую
с А0Са угол, равный углу С0ХОи мы заведомо удов-
летворим всем ограничениям сверху. Ограничение (3)
также выполнено, так как ^d Со—dBt <d— ^dBt.
Наконец, связывая ^d.BoYOs с ^С0ЛО,, как при вы-
воде условия (2), убеждаемся, что выполнено и оно.
Значит, можно описать подобный треугольник, чтобы
его сторона BSCS была параллельна ОгО,. Но тогда
этот треугольник — искомый.
5.	Очевидно, что сумма четных степеней всегда по-
ложительна, кроме случая когда все а,.. ае равны
нулю, н тогда все с„ = 0. Таким образом, в нетриви-
альном случае нулю могут равняться лишь какие-то
суммы нечетных степеней. Докажем, что если среди
сумм нечетных степеней бесконечно много равных
нулю, то все нечетные суммы обязательно равны
нулю. Для этого покажем по индукции, что если среди
сумм последовательных степеней 2т действительных
чисел бесконечно много нулей, то эти числа разбива-
ются на т пар, состоящих каждая из положительного
и равного ему по абсолютной величине отрицатель-
ного числа. Действительно, пусть Ь — максимум абсо-
лютной величины чисел ак, причем среди максималь-
ных по абсолютной величине р положительных и q
отрицательных. Не ограничивая общности, можно счи-
тать, что это числа а, -= аг = ... = ар -= b, ap+t = ...-=
= ap+q — —b, а последующие (если они есть) числа
меньше, и максимум их абсолютной величины равен d,
0-t^.d < b. Тогда
Caft+i — (р—q)bsk+' + (ap+q+i)ik+t + -•• +
и если рфц, т. е. [р — #|>1, то при достаточно
log 4т
больших k. точнее прн 2k + 1 > j d , имеем
|Cjfc+1|>|p — q\b*k+'_ 2mdsk+'>Ьгк+', T. e.
[log 4m 1
, —.--1 -  I + 1 нечетные сте-
log b — log a j
пени также все отличны от нуля, что противоречит
условию задачи. Значит, р — q и суммы нечетных сте-
пеней первых р -f- q чисел всегда равны нулю. Следо-
вательно, среди сумм нечетных степеней остальных
чисел ар+9+,...а2т (если они есть) бесконечно много
нулей. Тогда, по предположению индукции, они раз-
биваются на пары, требуемые условием леммы. Первые
же числа также разбиваются на пары, их р — поло-
жительных и q — р—отрицательных, равных по мо-
дулю. Лемма доказана.
Отсюда следует, что все нечетные степени взаимно
уничтожаются.
6.	Рассмотрим (п — /г)-й день.
В этот день для раздачи оставалось медалей.
На следующий (и— k + 1)-й день останется
•*л-й+1 — хп-к — n + k — ~y (xn-k — п + k) медалей,
6
т. е. лп_л+1 = -y-lXn-b — n + k).
Откуда
7
e g Xfi—k + Л.	(1)
Используя формулу (1), получим хп = п; так как
•*«4-1 в б:
7	7
xn-i = -g-n — 1 + п = п + (п — 1),
/ 7 \2	7
хп— г = \"б”7 П	О + (п 2),
Предположим, что
=(4")п+("v) (n~i)+-”+
7
+ -g-(n-Z+ !) + («-/).	(2)
Докажем формулу (2) методом математической индук-
ции. Для
xn-i+i - ("б~) п + ...+
7
+ -y-(n - I + 2) + (п - I + 1).	(3)
7
Умножив обе части (3) на ~g~, прибавив к обеим ча-
стям (п — I) и подставив в (1), получим (2).
По условию Xi -= т, поэтому
- & [(т)"-	'+42+6<“ -1’ -
/ 7
= 6(и —6)-y-g-J +36.
п — 6
Но так как 7 и 6 взаимно просты, то дд_р — целое
число. Отсюда заключаем, что п делится на 6. Дока-
75
жсм, что | и — 6 | < 6П—* для любого п 6:
| п —6 < п —
что и требовалось доказать.
Итак, |п — 6|<6"~*, но —gn—,— — целое число,
меньшее 1. Отсюда можно заключить, что п— б — О,
или п — 6. Тогда т = 36
Легко проверить, что п-6, т = 36 удовлетворяют
условию задачи.
Задачи
ЗАДАЧИ ДЛЯ УЧАЩИХСЯ
401.	Найти год рождения тех людей, которым
в годовщину 50-летия Советской власти исполнится
столько лет. какова сумма цифр года их рож-
дения.
Б. Г. Гончаренко (г. Тамбов)
402.	Известно, что
cos2 а + cos2 р — т.
Найти
cos (а — Р) ' cos (а 4- Р).
А. Н. Смоляков (Кабардино-Балкарская АССР)
403.	Решить уравнение
sin’ х + cos’ х = —т=- sin 2х.
Г 2
М. Ш. Готлер (г. Вильнюс)
404.	Упростить выражение
4 + 2/3
з •
р 10 + 6 г 3
В. П. Калинин (г. Горький)
405.	Решить уравнение
> х + /Зх — /б /2 + уб — / х
/ 2х + 6	/х + 4
С. Н. Воскресенский (г. Куйбышев)
406.	Два велосипедиста выезжают из пунктов А
и В навстречу друг другу. Каждый из них, доехав
до другого пункта, возвращается назад в пункт,
из которого он выехал, Первая встреча велосипе-
дистов произошла в пяти километрах от А,
а вторая — в трех километрах от В. Каково рас-
стояние АВ?
М. Г. Кузуб (Черниговская обл.. УССР)
407.	Найти зависимость между сторонами тре-
угольника АВС, в котором
„ R—r
cos В — —-—.
к
В. О. Гордон (г. Петровск-Забайкальский)
408.	Доказать, что число
М = 19051917 + 1917190s
делится на 91.
С. Т. Берколайко (Белгородская обл.)
409.	Как расположить сделанный из непрозрач-
ного материала куб, чтобы его тень, отбрасывае-
мая на плоскую площадку, освещенную солнцем,
имела бы наибольшую площадь (лучи солнца счи-
таются параллельными)'.’
410.	Доказать, что если все плоские углы при
вершине треугольной пирамиды прямые, то каж-
дый из отрезков, соединяющих середины двух ее
противоположных ребер, равен радиусу шара,
описанного около этой пирамиды.
Г. П. Бевз (г. Киев)
ЗАДАЧИ
41 1 . Найти наименьшее значение функции
+ sin2x \ «	/ 1 + cos2 х \n
= \ Sin2 X ) + \ cos2x ) ’
где п — натуральное число.
В. И. Гридасов (г. Новый Оскол)
412. Найти действительные решения системы
{ахг — Ьху — су + а — 0,
fey2 — ах у — сх + b — 0.
А. Я. Воскресенский (г. Казань)
413. На плоскости даны четыре прямые а, Ь,
с, d. Доказать, что если произведение dcba четы-
рех отражений от данных прямых есть вращение
около точки М на угол у, то произведение adcb
есть вращение на угол 2г.— <р около точки М’,
симметричной М относительно прямой а.
3. А. Скопец (г. Ярославль)
414 Найти сумму первых п членов последова-
тельности, первый член которой равен 2 и ak—
—	= ft (3ft — 1), ft > 1.
X. Я. Шуфрина (г. Махачкала)
415 В играх на первенство по футболу
участвовало 6 команд. Каждая команда играла
с каждой один матч. Никакие две команды не на-
брали одинаковое количество очков. Определить,
как окончилась каждая встреча этих команд, если
известно, что а) только один матч был сыгран
вничью: б) каждая команда, кроме первой, выиг-
рала у одной из команд, занявших более высокое
место.
X. X. Хамзин (г. Стерлитамак)
416. Длины сторон треугольника являются кор-
нями у равнения
Xs — 12х2 + 47х — 60 = 0.
76
Не решая этого уравнения, вычислить площадь
треугольника.
Л. М. Воронович (Львовская обл.)
417. а) Последовательность задана рекуррентной
формулой
ап — un—i cos х 4- cos (п — 1) х, п > 2.
Найти ее общий член, если с, — 1.
б) Последовательность задана рекуррентной
формулой
a^i 2afj—.] cos х  ац—-2, п 3-^ 3.
Найти ее общий член, eciu <Zj = 1, аг — 2cosx.
Э. А. Ясиновый (г. Куйбышев)
18. Доказать справедливость равенства
©О DO
j=2 п=2
(п, s — нату ральные числа).
Б. Д. Касимцев (г. Маркс Саратовской обл.)
419. Доказать неравенство
F^ + F$ + R%>3R\
где R, Rt, R2, R3— радиусы окружностей, описан-
ных около треугольников АВС, ВОС, СОА. АОВ,
а точка О — центр окружности, вписанной в тре-
угольник АВС.
К. В. Ветров (г. Братск)
420. Около треугольника описана окружность
радиуса R. Построены окружности радиусов r3, г3,
г3, каждая из которых касается продолжений
двух сторон треугольника и описанной окруж-
ности.
Доказать, что
П 4 гг 4-	6А.
Ю. И. Герасимов (г. Новосибирск)
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ, ПОМЕЩЕННЫХ В № 2 ЖУРНАЛА ЗА 1967 Г.
341.	Доказать, что
2	2	2	2	2
Д1 — а2 + а3 —	+ fl2n-l — а2п
делится на 24, если ai—нечетные числа, не деля-
щиеся на три (J. = 1, 2, 3,...,2п).
Решение. Преобразуем данную в условии задачи
сумму:
2	2	2	2	2
а1 — а2 + д3 — • • • + а2п—1 — а2п =
2л
“ S (-!>'-* И-1)-
/=1
Так как ai — нечетное число, то, очевидно, — 1 =
= {ai — 1)(я; 4- 1) кратно 8, ибо из двух последова-
тельных четных чисел одно кратно 4.
Далее, произведение трех последовательных нату-
ральных чисел ai — 1, <2/, а/ 4- 1 кратно трем. Но ai
на три не делится, поэтому произведение (Д/— 1) •
- (а/ + 1) —	— 1 кратно 3. Итак, а? — 1 делится на
8 и на 3, т. е. иа 24. Вследствие этого и сумма таких
чисел делится па 24.
342.	Найти все натуральные х, для которых
выражение 22х 4- 5 является квадратом натураль-
ного числа. Записать общий вид таких чисел х.
Решение. Пусть 22х + 5 = №, где N — нату-
ральное число. Тогда
№ — 16 - 11 (2х —1).
Отсюда либо N — 4, либо W 4-4 кратно 11. Но по-
скольку — число нечетное, то
ТУ = (2Л—1) 11 + 4,
или
a) W-=22£ —7;	б)У = 22Л —15.
Следовательно,
№ —5	(22Л —7)2 —5
а)	х -	22	“	22
х - 22Л2 - 14Л + 2;
№ —5	(22* —15)г —5
б)	х = 22 ”	22	’
х — 22Л2—ЗОЛ 4-10.
343.	Доказать, что число Wk + 4nft 4- 10 ни при
каких натуральных п и k не может быть произ
ведением последовательных натуральных чисел.
Решение. Пусть nk = т. Тогда число
N = 2/п3 -t- 4m у 10-
-= (3/n3 4- 3/n 4- 9) — (т — \)т(т 4- 1)4-1
при делении на 3 дает остаток 1, ибо произведение
трех последовательных чисел кратно 3. Следовательно,
N не может быть произведением трех (или более) по-
следовательных чисел. Но N не может быть и произ-
ведением двух последовательных чисел, так как такое
число N при делении на 3 имеет остаток 0 или 2, а не 1,
как это имеет место в нашем случае.
Итак, N не может быть произведением последова-
тельных натуральных чисел.
344.	Доказать, что если сумма двух чисел х и у
кратна 7, то сумма х7 + у7 кратна 49.
Решение. Воспользуемся формулой бинома Нью-
тона:
(х 4- у)7 «= х74-7х“у 4- 21х3у2 4- 35х4у3 4- 35х3у4 4-
4- 21х2у5 4- 7хув 4- у7 = х7 4- у7 + 7ху (х3 4- у3) 4-
4- 21х2у2 (х3 4- у3) 4- 35х’у3 (х 4- у).
Заметим, что х5 4- у5, х3 4- у3 делятся на х 4- У.
а поэтому и на 7. Тогда числа 7 (х3 4- у3), 21 (х3 4- у3),
35 (х 4- у), (х 4- у)7 делятся на 49. Следовательно,
и х7 4- у7 делится на 49.
345.	Доказать справедливость равенства
tg 20° 4- tg 40° 4- tg 80° - 8 sin 40° 4- j 3.
Решение. Имеем:
A - tg 20° 4- tg 40° 4- tg 80° — tg 60° =
sin 60°	sin 20°
“ cos 20° cos 40° + cos 80° cos 60°
sin 60° cos 80°
“ cos 20° cos 40° cos 80° COS =
- 8 sin 60°-sin 10° 4- 4 cos 10°,
1
так как cos 20° cos 40° cos 80° = -g-. Итак,
A = 4 (cos 50° — cos 70° 4- cos 10°) =
= 4 (sin 40° 4- 2 stn 40° sin 30°) - 8 sin 40°,
и окончательно
tg 20° 4- tg 40° 4- tg 80° — 8 sin 40° 4- -/^3 .
346.	Решить уравнение
cos (x — a) — -4 - sin 2 (x 4- a) - sin 4a.
77
Решение. Имеем
2 cos [(х + а) — 2а] — sin (х 4- а) cos (х 4 а) - 2 sin 4а.
Отсюда
2 [cos (х + а) cos 2а 4- sin (х 4- а) sin 2а] —
— sin (х + а) cos (X 4- а) — 4 sin 2 а cos2a — О,
или
[sin (х + а) — 2 COS 2а] • [2 sin 2 а — cos (х 4- а)] = 0.
Решая
Аналогично получаем
И2) =г(1> tP2--т
'а ' а	4
Таким образом, после п-го
г< п) = г tn2" —г
а г ь 4
те — Л	те — Л
—-'•tg*—4—.
шага находим
те — В
2П------
4
.(и)
ь
получим
уравнение
sin (х + а) = 2 cos 2а,
{сп) - Г tg
2П
4
ибо
X = (—l)n arc sin (2 COS 2a) 4- теп — a,
те т	тете
~б“ 4--2-Л<“<“з~ 4-^“*.
Значит,
2п
2л
2л
л
1	1
— cos 2a <C ~2~-
Решая второе уравнение
cos (x 4 a) = 2 sin 2a,
те — А те — В те — В те — С
—4— tg —4— 4- tg —4— tg
4
те — С те — Л
4- tg—4—tg-^~
найдем
х — + аге cos (2 sin 2a) 4- 2теп — а,
тете	тете
—12 +~2~ k<a<~V2 +~2~ k‘
ибо —	•< sin 2a
347. В углы А, В и С треугольника АВС вписаны
окружности радиусов г*}1, г^\ г(с1}, касающиеся впи-
санной окружности радиуса г и двух сторон тре-
угольника. Затем в эти углы вписываются окруж-
ности радиусов r(2), rff, г*.2), касающиеся двух сто-
рон треугольника и соответственно окружностей
радиусов r^, r^\ rj,1’ и т. д. Доказать справедли-
вость соотношения
п 2«
Но известно, что если а 4- ₽ 4- 7 = "у> то tg “ tg ₽ 4-
+ tg ₽ tg 7 4- tg 7 tg a = 1.
В нашем случае
те — А
а =
4
те — В
₽—5”
те — С
7 “
— и
“ 4- ₽ 4- 7 = 4 [3я — (Л 4* В 4- С)]	•
Следовательно,
2п	2п
2л
в
2n________ 2n__________
I dn) 4- ]/7<n) <n>.
г ' u * I ' Ь с 1 ' с а >  •
что и требовалось доказать.
348. Доказать, что для всякого треугольни-
ка АВС справедливо неравенство
2S
a sin Л 4- fc sin В 4- с sin С >	/ 3 ,
где а, Ь, с — стороны треугольника, S — его пло-
щадь, R— радиус описанной окружности.
Решение. Имеем:
a sin А + b sin В 4- с sin С
2R
Но
а* +	4- с* > 4S у 3 .
Следовательно,
„	„ 4S /3 2S /3
a sin А 4- b sin В 4- с sin С	---
Примечание. В первоначальном условии задачи была
допущена опечатка.
349. Около треугольника описана окружность
радиуса R. Построены окружности радиусов г,, rt,
ra, каждая из которых касается двух сторон тре-
угольника и описанной окружности. Доказать.
Решение. Пусть О — центр вписанной
сти, а Ot — центр окружности радиуса
Из Л ОО,Л4 имеем:
Г —	Л
'а	А
Г + r(t) “ sin*2~-
окружно-
(черт. 1).
Решение 1. Воспользовавшись выкладками, содер-
жащимися в решении задачи 246 (см.: «Математика
в школе», 1967, № 1), будем иметь:
( 1 1
1
Отсюда
те А
Т —
cos’
cosa~2
1
1
COS’-g-
1 \
где га, гь, гс — радиусы вневписанных окружностей'
(1) _
73
Но
i <_L/_L , J_\
ra + r b "" 4 ro + rb J'
____i	_LA
гь + rc 4 \ rb + rc )'
i____ j_/j_ J_A
Гс + га 4 \rc + ra)‘
Поэтому
/ 1	1	1 X
Г, + Г« 4- Г,<2/?r ^—+ -—+ —}.
\ • a ' b ' c /
Но, с другой стороны,
1111
Г ra + rb + Г с •
Следовательно,
<i + г2 + г3 2/?.
Решение 2. Как и в первом решении, находим;
f 1	1	1	\
г,+ г, + г, = г! А + в 4- с | =
I cos2 -у	cos2 ~2~	cos2 -у I
(	, А . в , С X
= г 4- tg2 -у- + tg* -у + tg8 ~2~).
Но
А В С АВ
•g,-2“+ tg8~y +‘g y>'gy tg-y +
B С C A
4-tg-rtg^-+ tg-y.tg-g-= 1,
R
Следовательно,
Г1 + Г 2 4- г, <
R f А В С X
<~2Д3 4- tg "у 4- tg8 "у 4- tg8 ~2"у-С 2/?.
350.	Доказать, что для всякого треугольника
справед ливо неравенство
1 1	, 1	4
(р — а)2 + (р — Ь)2 + (р — с)2	R2'
где а, Ь, с — стороны треугольника, р — его полу-
периметр, R— радиус описанной окружности.
Решение. Воспользуемся формулой
А
г{р — a) tg ~2~.
Очевидно,
__1__	__L_	£	4
(р — а)2 + {р — Ь)2 Ср —с)2 ~ R2 ”
1 / А В С \
-7r(jg ’-r+tg’-^tg8^;-
4	1	4	А?2 —4г\
— R2 > r2 ~ R2 “ R2r* > °-
ABC
так как tg2 -у + tg2 -q~ 4- tg2-y> 1,	> 2г (см. ре-
шение предыдущей задачи).
351.	Доказать, что разность р^ — р\ делится
на 240, если р3 и ра — простые числа, причем
Pi> Рз> 5-
Решение. Докажем, что разность pj— р\ крат-
на 5. В самом деле, числа р, и р2 могут оканчиваться
цифрами 1, 3, 7, 9. Четвертые степени чисел р, и р,
оканчиваются поэтому цифрой 1. Следовательно, раз-
ность pj — Р2 оканчивается цифрой 0 и поэтому раз-
ность кратна 5.
Далее, pj — р* = (pf + Р2) (Pi ~ Рг)- согласно
решению задачи 341, разность р\ — р% кратна 24,
а сумма р{ 4- pi, кратна двум.
Значит, разность pj— р% кратна и 48 и 5, т. е. эта
разность кратна 240.
352.	Доказать, что уравнение х3— 5у2 — 13
не имеет решения в целых числах.
Решение. Преобразовав данное уравнение, по-
лучим
х’-8 = 5(у24- 1).
Нетрудно заметить, что х нечетно, ибо в противном
случае у2 4- 1 делилось бы на 8.
Преобразуем уравнение далее:
(х — 2) [(л 4-1)8 + 3J- 5(у2 4-1).
Так как х нечетно, то число (х+ 1)24 3 есть число
вида 4k 4- 3 и, следовательно, (х4 1)2 + 3 имеет про-
стой делитель того же вида. Но тогда у2 4- 1 также
должно иметь делитель вида 4k -I- 3, что, как известно,
невозможно. Таким образом, уравнение х3 — 5 г/2 = 13
неразрешимо в целых числах.
Примечание. В первоначальном условии задачи урав-
нение было записано неверно.
353.	Решить уравнение
2х’ — 6л 4- 5 = 0.
1
Решение. Положим х = t 4- -у-. Тогда
2 \t3 4-	4- 6 (^t 4- — j —	4- 7-) 4- 5 = 0,
или
21!» 4- 5t3 4- 2 -= 0.
Отсюда находим t3 -= —2, t3 —--Очевидно, что
значение х не меняется, если t заменить на у-. Кор-
ни уравнения — — обратны корням уравнения
р = — 2. Следовательно, для нахождения х доста-
точно воспользоваться корнями уравнения t3 4- 2 = 0
3 _	з _	з _
	/2,	-/2е. #.--/2е»,
где-------------------_______ •	'
— 1 4-Z/3
JCs” — I Z2 е 4- -3-
\	/2г
79
х,---/ 2 e1 + T77- )•
\	/2e*/
Учитывая, что e’ — 1, находим:
3 _	3 _
/4еЧ1	e!+ /4е
x2  —	3 __	“	3 _
/2 с	/2
---4"^’ /4 4-2/2 е),
з _	3 _
е*+/4гг	е 4- /4ег
X, —	з	—	з
/2	/2
= -4-(£/4 4-2/2?)-
354.	Найти соотношения между коэффициен-
тами уравнения ах* 4- Ьх3 4- сх 4- d — 0, зная, что
корни уравнения а3х‘ 4- Ь3х2 4- с3х + d3 — О являют-
ся кубами корней данного уравнения.
Решение 1. Согласно формулам Виета, имеем'
х3 4- х3 4- х3--—, , х,х2 4- хах3 4- х.х, -
Отсюда
Ь	Я о
(X, 4- ха 4- X,)3---^5- - х3 4- х3 4- х| 4-
4- 3(х,х2 4- х|х2 4- x|xi 4- х^х, 4- х^х, 4-
4- х|х2 4- 2х,хах3),
ИЛИ
4- х|х2 4- 2х,хах, — 0.
Полученное равенство можно переписать так:
(Х|Ха 4- Хаха 4- xtx,)(xt 4- х2 4- ха) — х,х,х, — 0.
Если учесть значения симметрической функции кор-
ней, получим:
или
ad — be.
Решение 2. Как легко проверить.
о 9	9 Ь3 — Час
х3 4- х^ 4- х| ----;
xf 4- х| 4- xf - (х, 4- ха 4- х,)(х? 4- х3 4- х| —
— х,ха— хах, —x,Xj) 4- Зх,х2х, —
-	(— Ь‘ 4- ЗаЬс — 3a2d).
Но по условию
1	Ь2
(— Ь‘ 4- ЗаЬс — 3a2d)-------
Следовательно. ЗаЬс — 3a3d. или be — ad Далее,
XjXj 4- х^Хз 4- xjx^ =
с*	1
=	~ 2х,хах3 (х, 4- х2 4- х3, -	(с2 — 4bd):
х3х| 4- х|х| 4- x|xf -	[^г(с» — 2hd) - -рр ьа j 4-
d3 I	'с3
4-3 д2 — fl2 (с3 — 3bcd 4 3arfz) — fl3 .
Отсюда находим, что
ad — be.
Наконец,
Итак, соотношение ad — be является необходимым
и достаточным условием того, что корни второго ура-
внения являются кубами корней первого уравнения.
355. В окружность вписан правильный много-
угольник АСА,... Агп.
Доказать, что знакопеременная сумма расстоя-
ний от центра окружности до стороны А„А,
и до диагоналей 40Ла, 4043,..., А„Ап равна поло-
вине радиуса окружности.
Решение 1. Пусть R — радиус указанной окруж-
ности и 1 — знакопеременная сумма расстояний центра
ее до отрезков ДД, Д4а..А0А„.
Очевидно,
Г те	2те
^[с°3 2^4Л-СО82^П 4-
Пп I
4.... +(_i)n_.cos——
Полагая
Z“COS2^VI + /sin2^Tl’
получим
4-(-1)я-‘г4-- - 4-г"-34-
4-г"+1----4-(— 1)"-'г!п| -
г2П+' 4- 1
R	R
~ 2 ‘	гп	~ 2 ’
ибо
г2я+1 — cos те 4- i sin те — — 1.
Решение 2. Пусть данная окружность является
единичной zz — 1 и вершинам многоугольника
A„At ... As„ соответствуют комплексные числа
1, а, а3,	,азп(азп+‘ — 1). Необходимо доказать, что
-у | 1 4-а | —|14-аг14-4~1:1+а*1 —
-... 4-(-1)я+’И 4-а«| -~
Х_|14-а|.|₽|_|14-а»|.|Р»|4-
4-|1 4- “• I I ₽31 —	4-(— ir+’ll 4-а"1-|₽п| - 1,
где — а. Очевидно, что все комплексные числа
(14-“k)₽fc имеют равный нулю аргумент и поэтому
являются положительными числами. Вследствие этого
80
при вычислении 2 знак модуля у комплексных чисел
можно опустить:
2 _ [р — р2 4- Р2---+ (— 1 )Л+*РЛ] +
4- [afj — а2р2 + а3₽3--+ ( — 1)”
Слагаемые в скобках являются членами геометриче-
ских прогрессий. Поэтому, если учесть, что р — -р~,
получим
р_р*4-р3-------+(_1)«+>рп_-р-_-^Г4- рг-
-----+ (— Dn+1- -рт- -	1 4. р •
ар _ а2р2 + а*рз----4- (— 1)Л+‘°ЛРЛ -
или
р—1	1—а
Р- ар-1 ' Я~ ар— 1-
Таким образом,
а(р-1) Р(а —1)
т~ ар—1 + ар—1 1
И
Отсюда получаем уравнение
(ар _ I)2 __ а* (р _ 1 )2 pt (а __ 1)2 _ 0
или
[(а —1)Р2-2ар 4-а + 1](а — 1)-0.
Решая его относительно р и учитывая, что a 1, Р=^=1,
получим
Следовательно,
s -	[(!+₽)+(- i)n+,(-[k + ₽л+*)]-
Но из условия а2я+‘ — 1 следует, что р4Л+а — 1, или
же р2л+* — — 1.
Но тогда
Рл+* + ~^----0 и 2-1.
356 В окружности проведены два перпендикуляр-
ных радиуса О А и ОВ. Прямые, соединяющие про-
извольную точку М окружности с точками А и В,
пе ресекают прямые ОВ и О А соответственно
в точках В, и А,.
ОВ, ОА}
Определить р — если ~
Решение. Пусть данная окружность единичная
ОВ, ОА,
(zz — 1) и Л (1), В (i), М (т). Если =- — Р и =- _ а
(а=^=1, Р£1), то точкам А, и В, соответствуют комп-
лексные числа а и pi: Л,(а), В,(р/) (черт. 2).
Из коллинеарности троек точек Л,. В, М и В,, Л, М
следует:
т = ра 4- (1 — р) I; т — q + I — q$l.
Из этих соотношений находим:
pa = q 4- 1, 1 — р = г/р,
357. В окружность вписан правильный много-
угольник А,Аг...А„ с нечетным числом вершин.
Доказать, что сумма расстояний любой точки,
принадлежащей дуге А,АП. до вершин с четными
номерами равна сумме расстоянии этой точки
до вершин с нечетными номерами.
Решение. Пусть вершине Л, соответствует комп-
лексное число 1, а вершине Ak — комплексное чис-
ло а*—очевидно, а” = 1 (черт. 3). Необходимо дока-
зать, что
— г\ “|1— г’! — [а — z | +
i=0
4-	I а2 — г | — ... 4- I а"-* — г | - О,
где г—комплексное число, соответствующее точке
дуги Л,Л„.
Для доказательства заметим, что комплексные числа
1 — Z, (а-г)Р, (а2 —г)Р2....(ал-*—г)рл-‘
имеют одинаковые аргументы, если р2 = а. Поэтому
знакопеременная сумма модулей этих чисел равна
модулю их знакопеременной суммы
I	а — г а — г	ап~' — г I
S “ 11 —г— р + рг — • - • + pS=i | “
•= | 1 г ~' ₽ + р“ +	— pi" • - • + ₽л-1 — pn-i | =
81
-|(1-₽ + ₽*~ ... 4-₽n-’)-
/. 1 1 1
Z V- ₽ + р! — ••• + рЛ_. J] -
1
I 1 + рп 1 + ₽«
“I  + ₽	+ '
+ ₽
Но из условия ап — 1 следует psn = 1 и рл = —1.
Таким образом, X = 0 и задача решена.
358.	Прямые g3, g3, g3, проходящие через одну
точку, пересечены прямой в точках А3, Аг, А3.
На данных прямых взяты соответственно точки
Ви Вг, В3. Доказать, что необходимое и доста-
точное условие коллинеарности этих точек выра-
жается равенством
Ма А) -н + (А3 — Л]) — +
О ।	Dg
+ (А-ла)-ф-=о.
в3
Решение. Пусть О — точка пересечения данных
прямых. Из условия задачи следует, что начало век-
торов совпадает с точкой О. Очевидно, что Л/ =
Условие коллинеарности точек Л/ и В/ имеет вид;
| (1 4-Х)В2= В, + ХВ3,
> (1 + И) Аг = Л, 4- рВ3.
Второе условие можно записать так:
Х2 (1 + р.) В2 =	u.A3B3.
Таким образом,
Х,В, + рХ3В3 В, 4-ХВ3
• ^s(l + Р-)	1 + X
Отсюда получаем:
( Ха (1 + Iх) — (1 4- X),
I Х2Х (1 4* Iх) — Х3р (1 4- X).
Исключив р из последней системы, найдем
X, (А, — Х2)
\ (ла Х3) "
Итак,
О+мх’-х?) )в2 = в,+
X, (X,— Ха) -
+ ~Х.(Ха-Х,) Д.а.¥Ю»Ха^Х3).
или
Xj (Х3	Х2) В, 4- Х2 (X, — Х3) Вг 4- А3 (Х3 — X,) В, « 0.
Отсюда получаем
(Л3 — Л,)	+ (Л, — Л,) -=?- 4- (Л, — At)-=r- •= 0.
В,	В2	Вг
359.	Плоскость пересекает стороны АВ, ВС, CD,
DA косого четырехугольника ABCD соответст-
венно в точках К, L, М, N, а прямые ДМ и LN
пересекаются в точке R. Доказать, что имеет
место равенство
х + ky
_ В£ ДУ? АД~
HD ' У ~ LC ’ Z~ ДМ ’ k= ДВ '
Решение. Примем точку R за начало векторов
Тогда	_	_	_	_
— A + kB _ В 4- уС
К~ 14-*	_ 1 + у 1
— Д A + kB C + qD
М г----------г(1 4- k) ~	1 + ? •
_ Л 4- xD В+ уС
N-~i + x =р-г+г-
Из системы уравнений
С 4- cfD ~A + kB
1 4- q z(\ + k)’
A 4~ xD В 4" yC*
1 +x p 1 4-У
исключаем вектор D'.
pq(l 4-x) - ,	-
—— (B 4- yC) — q A =
(l+q)z(A + kB)
z(l+k) XC-
Используя однозначность разложения вектора по трем
некомпланарным векторам Л, В, С, получим систему
х(1 4- q)
z{\+k)'
pq{\+x) —k(l+q)x
14- у “ Z(l+k) ’
pq(\ 4-*) У _
14-у “ x-
Из последних двух уравнений получаем
Отсюда
Z (1 4- k) ,
q-----ky-----1
и, подставив это значение q в первое уравнение, по-
лучаем
г(14-Л) х
1 ky ~ ky
и после упрощений
х 4- ky
------1 + й •
360. Ребра параллелепипеда, исходящие из одной
вершины, разделены соответственно на т, п и р
равных частей. Плоскости, проходящие через точ-
ки деления параллельно граням, разбивают его
на равные параллелепипеды. Сколько параллелепи-
педов из тпр полученных содержат отрезки одной
из диагоналей данного параллелепипеда?
Решение. Пусть Л,С — данный параллелепипед,
ЛЛ, — р, АВ — п, A,D, — т.
1. Будем полагать, что (т, п, р) — 1, т. е. числа т,
и, р не имеют общего делителя. В таком случае диа-
гональ BD3 не будет содержать ни одной из вер-
шин тпр рассматриваемых параллелепипедов, кроме
В и Dt.
Если через точки деления на ребрах параллелепи-
педа проведем плоскости, параллельные его соответ-
ствующим граням, то получим (т 4- п 4- р — 3) пло-
скостей, которые высекают на диагонали BDt (т 4-
4- п 4- р—1) точку деления (считая В и D3). Заме-
тим, что некоторые точки деления могут совпасть.
Ясно, что вто произойдет тогда и только тогда, ес-
ли BD, пересекает ребро внутреннего параллелепи-
педа.
Выясним, сколько ребер, параллельных AAIt пере-
секают диагональ BDt.
Каждый раз, как диагональ BD, пересекает внут-
реннее ребро, параллельная проекция £,£>, этой
диагонали на грань А,В,С,£)1 проходит через соот-
ветствующую вершину внутреннего параллелограмма
этой грани.
Следовательно, таких ребер будет [(т.п)—1 ],
где (т, п) — наибольший общий делитель чисел т и п.
Теперь становится ясным, что число совпавших
точек на диагонали BDt, равно
(т, п) + (и, р) + (т, р) — 3
и, следовательно, на диагонали ВО, появляются
т + п + р — 2 — [(т, п) + (п, р) + (р, т) — 3] —
= т + п + р — (.т.п) — (п, р) — (р, т) + 1
отрезков, каждый из которых попадает внутрь како-
го-либо параллелепипеда из числа тпр.
2. Если же (т, п, р) = d=fc 1, то т -- dm^, п — dnt,
р = dpt. Мы получаем d одинаковых параллелепипе-
дов, в каждом из которых, в силу пункта 1,
1«1 + п, + р, — (т,, п,) —(п,, р,) —(р„ ги,) + 1] d
параллелепипедов пересекаются диагональю BDt.
Следовательно, всего число s искомых параллеле-
пипедов равно [т, + «, + р,—(т,, п,) — (и,, р,) —
— (Pi. mi) + 1] d нли $ •= т + п + р — (т, п) — (п, р)—
— (р.т) + (т, п, р).
ЗАМЕЧЕННЫЕ ОПЕЧАТКИ В № 4 ЗА 1967 Г.
*	9
Страница и колонка	Строка	Напечатано	Следует читать
20, левая 22, левая	2 снизу Подстроч- ное приме- чание № 10	Введение в математику	Введение в метаматематику Чтобы получить принцип нормализации, надо взять в качестве Е множество всех слов в некотором алфавите Б, в качестве К—это же самое множество, в качестве В — совокупность всех	нормальных алгорифмов над алфавитом Б, рассматри- ваемых как преобразования Е в Е.
42, правая	22 сверху	с делится на Ь. Поэтому с	г делится на Ь. Поэтому г
42, правая	12 снизу	так как	так как
43, правая	18, сверху	а какой-	а какой-
45, левая	3—4 снизу	неотрицательных чисел	неотрицательных целых чисел
68, правая	9 снизу	sin (120°—a)-sin (60° — а) — 0,75	sin (120° — a).sin (60° — а) + sin2 а - 0,75
В № 3 ЗА 1967 Г.			
65, левая	7 и 8	1 1	1	2
	сверху	1-3-5 + 3-5-7 + - • • + 1	1-3-5 + 3-5-7 + • • • + п
		+ (2п — 1)(2п + 1)(2п + 3)	+ (2п-1)(2п+ 1Х2и+3)
В № 5 ЗА 1967 Г.
13, левая	7 снизу	И. h. Кавун	|	П. А. Компаиийц
80, левая	12 снизу	Олег	Ольга
ПЕДАГОГИ
МАТЕМАТИКИ
И. А. НАУМОВ (г. Харьков)
д. м. синцов
(К 100-летию со дня рождения)
20 ноября 1967 г. исполнилось 100 лет со дня рож-
дения выдающегося советского ученого и педагога
действительного члена АН УССР, заслуженного деятеля
науки УССР, профессора Дмитрия Матвеевича Сиицова.
Д. М. Сиицов родился в г. Вятке (г. Киров) в семье
земского врача. В 1886 г. он закончил с золотой ме-
далью Ш Казанскую гимназию и поступил на физико-
математический факультет Казанского университета.
Его учителями по математике были профессора:
А. В. Васильев, Ф. М. Суворов, В. В. Преоб-
раженский и П. С. Назимов. Особенно большое
влияние на Д. М. Синцова имел проф. А. В. Васильев,
учеником которого он себя считал.
Взгляды Д. М. Синцова складывались под влиянием
творчества Н. И. Лобачевского, имевшего ярко
выраженную материалистическую направленность. Про-
фессора А. В. Васильев и Ф. М. Суворов были актив-
ными сторонниками и пропагандистами идей Лобачев-
ского.
Математические способности Д. М. Синцова обнару-
жились уже в студенческие годы.
На IV курсе он выполнил первую самостоятельную
работу «О функциях Бернулли дробного порядка», за
которую ему была присуждена золотая медаль.
В 1890 г. Д. М. Синцов закончил университет и был
оставлен А. В. Васильевым при кафедре математики
для подготовки к профессорскому званию.
С 1894 г. он стал работать приват-доцентом кафедры
математики Казанского университета. Кроме этого, в
1895—1897 гг. он был сверхштатным преподавателем
математики I Казанской гимназии.
В 1895 г. Д. М. Синцов защитил магистерскую дис-
сертацию «Теория коннексов в пространстве в связи с
теорией дифференциальных уравнений в частных про-
изводных первого порядка».
Ценным вкладом в науку является докторская дис-
сертация Д. М. Синцова «Рациональные интегралы ли-
нейных уравнений» (1898), в которой автор значительно
усовершенствует способ Л иубилля для нахождения ра-
циональных интегралов линейных дифференциальных
уравнений с рациональными коэффициентами, а также
устанавливает взаимное соотношение и сравнительную
ценность способов Лиувилля и В. Г. Имшенецкого.
С 1899 по 1903 г. Д. М. Синцов был ординарным
профессором высшей математики ЕкатерТшославского
высшего горного училища, организованного в конце
XIX в.
В Т903 г. он был избран ординарным профессором
чистой математики Харьковского университета. Дальней-
шая жизнь и научно-педагогическая деятельность
Д. М. Синцова протекает в Харькове и связана с Харь-
ковским университетом.
Великую Октябрьскую социалистическую революцию
Д. М. Синцов как прогрессивный ученый горячо при-
ветствовал. Он говорил перед избирателями в 1938 г.,
что революция дала ему «возможность свободно жить
и полностью, в самых широких масштабах применять
свои знания». Он с первых же дней активно включился
в работу Харьковского университета. Д. М. Синцов весь
свой многолетний опыт преподавательской работы, все
свое педагогическое мастерство вкладывал в дело под-
готовки советских специалистов для народного хозяй-
ства и культуры. Много внимания уделяется подготов-
ке научных работников через аспирантуру.
С организацией в 1921 г. при Харьковском институте
народного образования (университет) научно-исследо-
вательских кафедр Д. М. Синцов становится руководи-
телем кафедры геометрии.
Д. М. Синцов был одним из инициаторов открытия
в Харькове научно-исследовательского института мате-
матики и одним из его организаторов.
84
Кафедра геометрии университета и сектор геометрии
научно-исследовательского института математики со-
ставили ядро геометрической школы, созданной Д. М.
Синцовым в Харькове. Харьковская геометрическая шко-
ла была ведущей на Украине.
Д. М. Синцов был выдающимся педагогом. В Екате-
ринославском высшем горном училище, в Казанском
и в Харьковском университетах он прочитал большое
количество математических курсов, лекции по которым
были тщательно обработаны и изданы как учебные по-
собия для студентов. Учебники по математике
Д. М. Синцова оказали известное влияние на постанов-
ку преподавания математики в вузах Украины
Кроме этого, Д М. Синцов в коллективе с другими
авторами подготовил ряд учебников для школ и кур-
сов рабочих: «Основания арифметики и алгебры для
школ и курсов рабочих», «Початки математики», «Ма-
тематический задачник для школ рабочей молодежи».
Эти учебники были рекомендованы для профессиональ-
но-технических заведений и сыграли значительную
роль не только как пособия для школ, курсов рабочих
и рабфаков, но и в деле ликвидации неграмотности.
Для средней школы им был написан прекрасный учеб-
ник «Аналитическая геометрия для VII класса реаль-
ных училищ», выдержавший два издания (1914 и
1922 гг.).
С 1906 г. и до конца жизни Д. М. Синцов был пред-
седателем Харьковского математического общества. Это
одно из старейших обществ в нашей стране. Председа-
телями ХМО были крупнейшие математики В. Г. И м-
ш е н с ц к и й, К. А. Андреев, А. М. Ляпунов,
В. А. Стеклов. Печатный орган общества «Сообще-
ния ХМО» — широко известен.
По инициативе Д. М. Синцова при ХМО в 1908 г.
организуется педагогический отдел с библиотекой. От-
дел устанавливает связь с преподавателями математики
средних школ Общество проводит заседания по педаго-
гическим вопросам. Так, например, в период с 1908 по
1916 г. из 55 заседаний ХМО 20 было посвящено пе-
дагогическим вопросам. В 1932 г. общество было реор-
ганизовано. В его составе стало две самостоятельные
секции— научная и педагогическая.
Члены общества С. Н. Бернштейн, Д. М. С и н-
ц о в и другие проявляли постоянный интерес к вопро-
сам преподавания математики.
Д. М. Синцов читал математику на курсах по подго-
товке преподавателей для средних учебных заведений
Харьковского учебного округа, регулярно печатал ста-
тьи по вопросам преподавания математики, решения
задач по элементарной математике, рецензии на раз-
личные книги по элементарной и высшей математике
отечественных и зарубежных авторов в известных жур-
налах «Вестник опытной физики и элементарной мате-
матики», «Математическое образование», «Путь про-
свещения» и др., давал отзывы о письменных работах
по математике в реальных училищах Харьковского
учебного округа, выступал с докладами по вопросам
согласования программ высшей и средней школы.
В этих статьях содержится много методических вы-
сказываний, которые не потеряли актуальности и в на-
стоящее время.
Д. М. Синцов проявлял живейший интерес ко всем
начинаниям в области улучшения преподавания мате-
матики и повышения математической культуры.
Он принимал участие в работе ряда международных
математических конгрессов и съездов, всероссийских
съездов преподавателей математики, всесоюзных мате-
матических съездов. Работа этих съездов, принимаемые
ими решения широко освещались им в печати.
Д. М Синцов был членом русской подкомиссии Меж-
дународной комиссии по преподаванию математики в
средней школе, которая была учреждена на IV Меж-
дународном конгрессе в Риме в 1908 г. под председа-
тельством известного немецкого математика Ф. К л е й-
н а. Д. М. Синцов в своих статьях, докладах на съез-
дах преподавателей математики доказывал необходи-
мость реформы математического образования.
Им были переведены на русский язык такие класси-
ческие работы, как: 1) Б. Риман «О гипотезах, ле-
жащих в основаниях геометрии»; 2) А Пуанкаре
«Об основных гипотезах геометрии»; 3) С Ли «Заме-
чания на работу Гельмгольца «О фактах, лежащих
в основе геометрии»; 4) Ф. Клейн «Сравнительное
обозрение новейших геометрических исследований
(Эрлангенская программа Ф. Клейна)».
По инициативе Д. М. Синцова было организовано
издание Харьковской математической библиотеки.
В этой библиотеке при участии Д. М. Синцова были
изданы книги: 1) Якоб Штейнер «Геометрические
построения, выполняемые посредством прямой линии н
подвижного круга, как предмет преподавания в сред-
них учебных заведениях и для практического приме-
нения» (ред. Д. М. Синцова с приложением биографи-
ческого очерка автора); 2) Н И Лобачевский
«Новые начала геометрии» (вступительная статья и
примечания Д. М. Синцова); 3) Э. Пикар «О раз-
витии за последние 100 лет некоторых основных тео-
рий математического анализа» (от издательства —
Д. М. Синцов).
Д. М. Синцов много времени уделяет библиографиче-
ской работе. Им были составлены систематические ука-
затели книг и статей по чистой и прикладной матема-
тике, опубликованных за период с 1805 по 1905 г.
Он поместил свыше 2000 рефератов в междуна-
родных реферативных математических журналах
«Jahrbuch uber die Fortschritte der Mathematik», «Revue
semestnelle». Это важная работа, популяризировавшая
за границей достижения отечественных ученых.
В 1935 г Д. М. Синцову было присвоено почетное
звание заслуженного деятеля науки УССР за выдаю-
щуюся научную деятельность; в 1939 г. он был избран
действительным членом Академии наук УССР; в 1944 г.
он был награжден орденом Трудового Красного Зна-
мени.
28 января 1946 г. — на семьдесят девятом году жиз-
ни — Д. М. Синцов умер.
175 ЛЕТ СО ДНЯ РОЖДЕНИЯ Н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО
20 ноября (1 декабря н. ст.) 1792 г. родился Н. И. Лобачевский — великий русский
математик, создатель неевклидовой геометрии, мыслитель-материалист. Бессмертную
славу Н И Лобачевский приобрел созданием новой геометрической системы, явив-
шейся поворотным пунктом в развитии математического мышления XIX века.
Основная литература о Н. И. Лобачевском: 1) В. Ф. Каган, Лобачевский, М.—Л.
1948. 2) П. С. Александров, Что такое неевклидова геометрия? М. 1950. 3) Историко-
математические исследования, выпуски 3 (1950), 4 (1951), 9 (1956). 4) «Математика
в школе», № 2 — 1946, статья А. П. Юшкевича «Из истории математики».
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КАЛЕНДАРЬ НА 1967/68 УЧЕБНЫЙ ГОД
ЯНВАРЬ
5 января — 325 лет со дня
рождения великого английского
физика, механика, астронома и-
математика Исаака Ньютона
(см.:	«Математика в школе»,
1962, № 1).
6 января — 50 лет со дня
смерти знаменитого немецкого
математика Георга Кантора
(см.:	«Матем тика в школе»,
1963, № 1).
8 января — 80 лет со дня
рождения крупнейшего совре-
менного математика Рихар-
да Куранта. До 1933 г. Ку-
рант работал в Гиттингенском
университете, затем эмигрировал
в США, где с 1934 г.— профессор
Нью-Йоркского университета. Ос-
новные результаты, полученные
Кур нтом, связаны с развитием и
применением так называемого
принципа Дирихле к теории кон-
формных отображений и крае-
вым задачам математической фи-
зики для уравнений эллиптическо-
го типа. Значительная часть ре-
зультатов Куранта и Куранта сов-
местно с Д. Гильбертом изложена
в двухтомном сочинении «Мето-
ды математической физики».
Многие из работ Куранта пере-
веден на русский язык. Поль-
зуются известностью у нас его
«Курс дифференциального и
интегрального исчисления» (чч. I
и II, М.— Л., 1931), «Геометриче-
ская теория функций комплекс-
ного переменного» (М.— Л., 1934).
«Что такое математика» (М.— Л.,
1947), написанная совместно с
Г. Роббинсом, «Принцип Дирихле,
конформные отображения и ми-
нимальные поверхности» (ИЛ, М.,
1953), и др. (см.: «Биографиче-
ский словарь деятелей естество-
знания и техники», т. 1, М., 1958).
19 января — 60 лет со дня
рождения советского математика
Александра Геннадиевича Ку-
р о ш а — профессора Москов-
ского университета. А. Г. Курош
родился в г. Ярцево Смоленской
обл., окончил Смоленский уни-
верситет (1928), с 1930 г. работа-
ет в Московском университете.
А. Г. Курош получил существен-
ные результаты во многих разде-
лах современной алгебры. Он яв-
ляется автором монографии по
теории групп (1944), переведен-
ной на ряд иностранных языков,
и наиболее распространенного
учебника по высшей алгебре для
университетов и пединститутов и
«Лекций по общей алгебре»
(1962). За книгу «Теория групп» в
1946 г. А. Г. Курошу присуждена
премия им. П. Л. Чебышева (см.:
«Биографический словарь дея-
телей естествознания и техники»,
т. I, М., 1958; «Успехи математи-
ческих наук», 1958, т. 13, вып. 1).
25 января — 125 лет со дня
рождения немецкого математи-
ка Германа Адамандуса Ш в а р-
ц а (см. «Математика в школе»,
1963. № 1).
27 января — 150 лет со дня
рождения немецкого математика-
педагога Рихарда Бальтцера
(1818—1887). Бальтцер родился в
г. Мейсен в округе Дрезден. Был
профессором математики в Гисе-
не. Пользовались известностью
его труды «Элементы математи-
ки» и учебник по теории опреде-
лителей. В 1867 г. Бальтцер об-
ратил внимание математиков на
почти забытые труды Н. И. Ло-
бачевского и Я. Больяи и стал
энергичным пропагандистом этих
идей (см.: Г. Вилейтнер, Ис-
тория математики от Декарта до
середины XIX столетия, М., 1966).
ФЕВРАЛЬ
3 февраля — 70 лет со дня
рождения советского математи-
ка Павла Самуиловича У р ыс о-
н а (см. «Математика в школе»,
1964, № 4).
6 февраля — 70 лет со дня
рождения советского математи-
ка и механика Якова Лазаревича
Геронимуса. Геронимус ро-
дился в г. Ростове-на-Дону, окон-
чил Харьковский университет,
профессор (1929), доктор физи-
ко-математических наук (1939), с
1920 г. работает в Харьковском
технологическом институте. Рабо-
ты Геронимуса в области мате-
матики относятся к теории функ-
ций действительного и комплекс-
ного переменных, дифференци-
альным и интегральным уравне-
ниям, истории математики и дру-
гим разделам математики. Геро-
нимус опубликовал обзор резуль-
татов отечественных ученых по
теории ортогональных многочле-
нов. Пользуются известностью
его «Очерки о работах корифе-
ев русской механики» (М., 1952)
объемом 520 стр. (см.: «Матема-
тика в СССР за 40 лет», т. 1—2,
М„ 1959).
13 февраля — 90 лет со дня
рождения немецкого математи-
ка Макса Дена (1878—1952),
ученика Д. Гильберта. Основные
работы Дена относятся к геомет-
рии, теории групп и топологии.
Ему принадлежит решение одной
из знаменитых математических
проблем, поставленных Д. Гиль-
бертом в 1900 г.: существуют ли
два тетраэдра с равными площа-
дями оснований и высотами, ко-
торые нельзя разложить на кон-
груэнтные тетраэдры или допол-
нить конгруэнтными тетраэдра-
ми до таких полиэдров, которые
разлагаются на попарно конгру-
энтные тетраэдры. В 1901 г. Ден
решил эту проблему, построив
искомые тетраэдры. Он нашел
необходимые условия равносо-
ставленности двух многогранни-
ков, из которых, в частности,
следует, что куб и правильный
тетраэдр, имеющие одинаковые
объемы, не равносоставлены. Тем
самым была доказана невозмож-
ность построения теории изме-
рения объемов многогранников
без привлечения инфинитезималь-
ных методов. В русском перево-
де отдельным изданием вышла
работа Дена «О преобразовании
многоугольников» (1913)	(см.:
«Историко-математические ис-
следования», вып. 16, М., 1965;
вып. 17, М., 1966).
14 февраля — 500 лет со
дня рождения немецкого мате-
матика Иоганна Вернера (см.:
«Математика в школе», 1963,
№ 1).
14 февраля — 25 лет со дня
смерти знаменитого немецкого
математика Давида Г ильберта
(см*.: «Математика в школе», 1962,
№ 1).
23 февраля — 60 лет со дня
рождения советского математика
и механика Феликса Рувимовича
Гантмахера	(1908—1964).
Гантмахер родился в Одессе.
С 1927 г. начал свою педагогиче-
скую деятельность; с 1938 г.—
доктор физико-математических
наук, профессор. Научные инте-
ресы Гантмахера относились к
теории матриц, механике, теории
дифференциальных уравнений и
к теории полупростых групп Ли.
За цикл работ по внешней бал-
листике Гантмахер был удостоен
Государственной премии (см.:
«Успехи математических наук»,
т. 20, вып. 2. 1965; журн. «Авто-
матика и телемеханика», т. 25,
1964, № 8).
А. И. Бородин
86
А. И. ВОЛХОНСКИЙ [г. Можайск)
Д. ПОИЛ О ПРОБЛЕМЕ «ЧЕМУ УЧИТЬ»
ЗА НАШ
за том
Читателям журнала хорошо знакомы книги Д. П о й а
«Как решать задачу» и «Математика и правдо-
подобные рассуждения». Непосредственным продолже-
нием этих книг является его «Математическое откры-
тие» *. Первый том этой книги вышел еше в 1962 г.
В конце 1965 г. появился ее второй том (заключи-
тельный).
Наряду с основной темой книги — «как решать» — на
протяжении обоих томов рассматриваются вопросы,
связанные с методикой обучения решению задач и с
проблемой содержания обучения. Последней теме отво-
дится отдельная глава второго тома (глава 14), ей по-
священы заключительные строки книги. Начав с проб-
лемы «как решать», обнаружив, что решение мате-
матических задач сходно с решением задач нематема-
тических, Пойа с логической неизбежностью пришел к
выводам о том, «чему учить». Мысли Пойа на эту
тему представляют интерес для читателей журнала.
Чтобы быть ближе к оригиналу, мы будем излагать
их не связным текстом, а отдельными фрагментами.
Мы берем их не только из основного текста, а и из
тех отдельных «комментариев и примеров», которые со-
провождают в книге основной текст. Итак, «чему
учить».
1.	Говорят, общеобразовательная школа должна
учить всему тому, что «нужно знать культурному чело-
веку». На уроках географии, например, наши шести-
классники заучивают: «Овраги — это отрицательная
форма земной поверхности, образованная временными
потоками». И в самом деле, как культурному человеку
не знать, что такое овраг?
Но Пойа иного мнения. «Общая культура,— говорит
он,— лозунг, как лозунгом им часто злоупотребляют.
Легко и болтовню отнести к общей культуре»
(стр. 133) 1 2.
2.	Говорят, надо учить тому, что доступно школьнику.
Если, например, показано, что он способен усвоить
понятие производной и интеграла, то почему не учить
его этому?
По этому поводу Пойа пишет: «Я допускаю, что
труд учителя окружен соблазнами. Например, мы мо-
жем соблазниться учить тому, чему легко учить, что
легко усваивается. Однако должны ли мы учить всему
тому, что легко усваивается? Искусный тренер может
1 Polya George, Mathematical discovery, vol. 1, vol.2,
New-York — London — Sydney, John Wiley, 1962—1965.
2 Здесь и ниже указаны страницы т. Z.
научить тюленя балансировать мячом на носу. Но по-
может ли это тюленю ловить больше рыбы?» (стр. 132).
3.	По поводу стремления «поднять обучение до уров-
ня современной науки» читаем:
«Современные математики больше имеют дело со
множествами, операциями, группами, полями и т. п.,
чем с устаревшей геометрией и алгеброй. Поэтому мы
должны изучать в школе множества, операции, группы
и поля, а уж потом традиционные предметы. Это мне-
ние аналогично такому: «Соввеменный взрослый аме-
риканец проезжает в автомобиле значительно большие
расстояния, чем проходит пешком. Поэтому мы должны
учить ребенка управлять машиной, прежде чем он
станет ходить» (стр. 133—134).
4.	Быть может, Пойа считает, что надо вернуться к
Евклиду, учить «строгим доказательствам», которые,
как полагали, «учат логически мыслить», «оттачивают
мысль»?
Нет, он говорит: «...я думаю, что, обучая в школе,
мы в первую очередь должны развивать интуицию, а
потом — способность к дедуктивным рассуждениям...
Заполнение страниц книги доказательствами, необходи-
мость которых не осознана учеником, плохо отразится
на лучших учениках, владеющих талантом интуиции,
который мог бы быть очень полезен и инженеру, и уче-
ному, и математику» (стр. 128).
5.	Так что же предлагает Пойа, из каких принципов
он исходит?
«Наши знания по тому или иному предмету,— гово-
рит он в предисловии к первому тому,— состоят из
знания фактов и навыков. Если вы имели настоящий
опыт работы в области математики на любом уровне,
элементарном или более высоком, у вас не будет и те-
ни сомнения, что в математике навыки более важны,
чем знание фактов. Поэтому в средней школе, как и
на любом другом уровне, мы должны давать ученику
одновременно с некоторым количеством фактов неко-
торую степень навыков.
Что представляют собой навыки в математике? Уме-
ние решать задачи — не только обычные задачи, но
и задачи, требующие некоторой степени самостоятель-
ности суждений, оригинальности, изобретательности.
Поэтому первая и основная обязанность — вовлечь уче-
ников в систематическую работу по решению задач»
(предисловие к тому I).
6.	О том, какими должны быть задачи, Пойа говорит
подробнее:
87
«Задача может быть решена прямым механическим
применением правила или прямой механической ими-
тацией примера. Более того, правило, которое нужно
применить, или пример, которому следовать, лежит со-
всем близко, только что проходилось3. Обычно учитель
предлагает такие задачи в конце урока, в течение кото-
рого он объяснял сходный тип задач. Задача такого
типа предполагает практику, но ничего кроме; она мо-
жет научить пользоваться этим частным правилом или
алгоритмом, но не научит ничему другому.
Задача труднее, если она решается тоже «примене-
нием правила, изученного в классе, или имитацией при-
мера, показанного в классе, но при этом не очевид-
но, какое именно правило или пример должны быть
использованы. Ученику нужно некоторое овладение ма-
териалом, преподнесенным ему в последние недели, и
некоторое рассуждение, чтобы найти пригодные
приемы».
Еще труднее задачи, для решения которых «ученик
должен соединить два или более правила или приме-
ра, показанные в классе Задача будет не очень труд-
ной, если некоторая подобная ей комбинация (но не
та же самая) обсуждалась в классе. Конечно если ком-
бинация совсем новая или если должны комбиниро-
ваться многие части курса или части курса из весьма
удаленных глав, то задача может потребовать высокой
степени самостоятельности, может оказаться очень труд-
ной» (стр. 139).
Этот тип задач, по мнению Пойа, смыкается с иссле-
довательскими задачами, для решения которых необхо-
димы наблюдения, предположения — гипотезы, сужде-
ния по аналогии и прочие средства из арсенала иссле-
дователя (однако это тоже школьные задачи).
Чем труднее задача (в только что рассмотренном
толковании этого понятия), тем, вообще говоря, выше
ее образовательная ценность.
К этой оценке Пойа хочется добавить следующее:
ограничение школьных занятий задачами «правило под
носом» совершенно неизбежно, если программа перегру-
жена фактическим материалом и если она видит в за-
даче лишь средство для иллюстрации этого материала.
7.	Почему именно решение задач должно считаться
основной целью обучения Пойа объясняет еще так.
Среди учащихся средней школы США (по оценке
Пойа) не больше Iе/» составляют те, которые после
школы станут математиками, примерно 29% выберут
профессии, требующие знания математики (инженеры,
экономисты, некоторые учителя и т. д.), а остальные
70% (будущие бизнесмены, юристы и проч.) после
школы вовсе не будут нуждаться в математике. (Речь
идет, конечно, не о той математике, которая нужна при
пок', пках в магазине, при получении зарплаты и т. п.)
Математика нужна далеко не всем. И все же ее ценят
все даже те, кто по роду своей деятельности уже за-
был все формулы, теоремы и «фундаментальные фак-
ты» Ценят обычно интуитивно, не зная толком за что.
Пойа объясняет за что: за то ценное, что ученик по-
лучает от решения задач.
3 «Правило под носом», по выражению Пойа.
«Умение решать математические задачи,— говорит
он,— требует, конечно, использования математических
сведений, но в еще большей степени для этого нужен
особый склад ума, некоторый общий подход к вещам,
который мы в обычной жизни называем «здравым смы-
слом». Учитель, который хочет принести пользу всем
своим учащимся, и тем, которые будут и тем, которые
не будут после школы пользоваться математикой, дол-
жен обучать решению задач так, чтобы это обучение
иа одну треть было математикой, а на две трети здра-
вым смыслом. Может быть, не очень легко внедрять
здравый смысл и реальный склад ума, но, если учите-
лю удастся это, он принесет неоценимую пользу своим
учащимся, чем бы они ни занимались в будущем. Это
особенно важно для тех 70% учащихся, которые в
дальнейшей жизни не будут нуждаться непосредствен-
но в математике» (стр. 121—122).
В другом месте он добавляет: «Обучение решению
задач на уроках математики дает великолепную воз-
можность развить такие концепции и привычки ума,
которые, по моему мнению, являются важной состав-
ной частью обшей культуры человека» (стр. 123).
8.	Итак, основное в обучении математике, по мне-
нию Пойа,— задача. Но ведь задачи даются на каком-
то фактическом материале. Каким должен быть он?
Пойа не дает на это прямого ответа. По-видимому,
с его точки зрения, это почти безразлично. Он как бы
говорит нам: вы можете ввести в свою программу и
производные, н интегралы, и векторы, и все что хо-
тите. Но сможете ли вы «озадачить» весь этот мате-
риал? И не просто «озадачить» отдельные разделы?
Каждая новая глава должна вписываться в общин ан-
самбль. давать задачи, для решения которых можно
бы было использовать весь пли почти весь материал
предыдущих глав. Чтобы ученик имел дело не только
с задачами типа «правило под носом». Совместимо ли
это со стремлением сообщить учащимся как можно
больше «фундаментальных фактов»?
И Пойа пишет: «Анатоль Франс говорил об обсуж-
даемом нами предмете- «Не пытайтесь удовлетворить
ваше тщеславие, обучая этому великому многообра-
зию вещей Разбудите их (учеников) любопытство. До-
статочно открыть им глаза не перегружая их разум.
Зароните лишь искру. Ибо, если есть горючий матери-
ал, огонь разгорится сам» («Сад Эпикура»)».
9	В последней главе второго тома Пойа показыва-
ет, как уже на школьных задачах можно знакомить
учащихся с методами работы исследователя, учить их,
как, наблюдая, догадываясь и проверяя свою догадку,
приходить к открытию. Работа с такими задачами
подчеркивает те аспекты математики, которые обычно
остаются в тени: математика становится для ученика
«живой наукой», и ее методы смыкаются с методами
других наук.
Он заканчивает словами: «Итак, я надеюсь, что ма-
тематическое открытие, научный метод и индуктив-
ный аспект математики не будут полностью отвер-
гаться в средней школе будущего, как это имеет место
в современной школе» (стр. 158).
ЗАДАЧИ, ПРЕДЛАГАВШИЕСЯ В ШКОЛАХ ВЬЕТНАМА
КУОК-ЧИНЬ (ДРВ|
Задача 1. Найти геометрическое место то-
чек, разность расстояний которых от двух дан-
ных фиксированных точек равна некоторой по-
стоянной k2.
Решение. Пусть А и В — данные точки (черт. 1).
Примем прямую ЛВ за ось абсцисс, а прямую, пер-
пендикулярную АВ и проходящую через середи-
ну АВ,—за ось у, Обозначим через 2а расстояние АВ
и через х, у координаты точки М искомого геомет-
рического места.
Имеем МА2— МВ2 = й*
но
ма2 - (х + у)2 + №. мва = (х —у) +№•
Следовател ьно,
*	2ах = k2,
откуда	k2 k2
х=2а ~АВ-
Из полученного уравнения видно, что искомое гео-
метрическое место — прямая, перпендикулярная к АВ.
Расстояние от точки О до этой прямой равно
Задача 2. Найти геометрическое место цент-
ров прямоугольников, вписанных в данный тре-
угольник.
Решение. Пусть дан треугольник АВС (черт. 2).
Примем основание АВ треугольника за ось х и вы-
соту СО за ось у.
Пусть ОЛ = а, ОВ — Ь, ОС — h.
х	У
= 1 — уравнение прямой АС,
X	У
—	-у + у — 1 — уравнение прямой ВС.
Проведем MN параллельно АВ на расстоянии НР=т
от прямой АВ. Уравнение МН: у = т. Определим
координаты точек М и N, решая системы уравнений:
Получим:
М Г-у (й — т\, mJ ; Н Г— — т); т
Найдем координаты точек Р и Q:
—	-у (Й — и); oj; Q (й — ту, о].
Заметим, что абсцисса точки К (центра прямо-
угольника) равна полусумме абсцисс точек М и Н,
т. е.
а —b
х = ~у-(й —т),	(Ь
т
у--у.
(2)
Для нахождения искомого геометрического места
необходимо из уравнений (1) и (2) исключить т.
Заменив т = 2у в уравнении (1), получим
2hx + 2 (а — Ь) у = Ща — Ь),
или
х	У
a — b+ й = L
2	2
Это уравнение прямой, проходящей через две точки
на осях координат:
Следовательно, геометрическое место центров пря-
моугольников— отрезок RS.
Задача 3. Найти геометрическое место то-
чек. сумма квадратов расстояний которых от
двух фиксированных точек есть величина посто-
янная, равная k2.
Решение. Пусть А и В — данные точки (черт. 3).
Примем прямую АВ за ось абсцисс, а прямую, про-
веденную перпендикулярно АВ через середину АВ, —
за ось ординат. Обозначим расстояние АВ через 2а
и координаты точки М через х, у. Получим
МА2 + МВ2 = k2
Но
М А2 = (х + а)2 + уа; МВ2 = (х— а)2 А-у2.
Следовательно,
k2
х* + у* = у — а*.
Итак, искомое геометрическое место есть окружность
с центром О и с радиусом, равным 2йа— 4аа.
89
В. И ЛЕВИН [Москва)
РЕЦЕНЗИЯ
на книги: 1. О. В. Мантуров, Ю. К. Солнцев, Ю. И. С о р к и н,
Н. Г. Ф-е дин, Толковый словарь математических терминов. Пособие
для учителей. Под ред. проф. В. А. Диткина. Изд. «Просвещение»,
М., 1965.
2. Справочник по элементарной математике. Геометрия, тригоно-
метрия, векторная алгебра. Под ред. чл.-корр. АН УССР П. Ф. Филь-
чакова. Изд. «Наукова думка», Киев, 1966.
Справочная литература по математике пользуется
большим спросом и, соответственно, число таких изда-
ний в последние годы сильно возросло. Сюда входят
более пли менее подробные систематизированные спра-
вочники (по отраслям науки) от конспективных учеб-
ников до сборников формул, а также справочники-
словари, составленные лексикографически. Последние
относятся к наиболее трудным для составления посо-
биям, требующим, во-первых, установления разумного
объема словник» (перечня разъясняемых терминов); во-
вторых,—краткой, но достаточно полной и математиче-
ски точной статьи по каждому термину и, в-третьих,—
продуманной системы перекрестных ссылок, дающих
возможность разобрать математическое содержание
каждого термина до конца. В иностранной литературе
мы имеем уже опыт составления таких толковых мате-
матических словарей разных объемов от сравнительно
краткого словаря н? 7000 терминов 1 по общей матема-
тике и на 8000 терминов по прикладной математике2
до большого двухтомного немецкого словаря, содержа-
щего около 20 000 терминов3 Рецензируемый «Толко-
вый словарь математических терминов» ставит себе бо-
лее скромную цель—помочь учителю — и содержит
всего около 1800 терминов. Тем важнее становится пер-
вая задача- Vr6op разъясняемых терминов. Авторы
справились с Этой задачей и вообще с составлением
своего словаря, в общем, удовлетворительно, хотя, само
собой разумеется, можно сделать ряд критических за-
мечаний.
Что касается словника, то здесь достаточно полно
представлены термины, относящиеся к элементарной
математике (в традиционном понимании этого терми-
на), ио отбор терминов, относящихся к так называемой
1 Mathematics Dictonary, ed. by Glenn James and
Robert C. J a m e s, Toronto, Princeton, New-York, London,
1949, 1959.
2 International Dictionary of Applied Mathematics, To-
ronto, Princeton, New-York, London, 1960.
3J Naas, H L Schmid, Mathematisches Worter-
buch, Band L, U, Berlin, Leipzig, 1961.
высшей математике, весьма произволен. Интересы и за-
просы учителя в этой области, конечно, трудно учесть,
но обращает на себя вниманир некоторый крен в сторо-
ну геометрических дисциплин за счет аналитических.
Мало отражена, например, теория рядов, не включены
признаки сходимости, читатель не найдет ничего отно-
сительно явления Гиббса (некоторый дефект сходимо-
сти тригонометрических рядов Фурье в точках разры-
ва), фигурировавшего даже в одном из проектов школь-
ной программы, и т. д. Нет смысла останавливаться на
других пробелах, так как при столь ограниченном объе-
ме справочника выбор терминов все же дело вкуса.
Перейдем к рассмотрению того, что есть, а именно к
качеству самих статей. Уже отмечалось, что в целом
свыше пятисот страниц текста словаря содержат массу
полезного для учителя материала. Приведенные ниже
замечания имеют своей целью послужить возможному
улучшению словаря при его переиздании. Список отме-
чаемых неточностей никоим образом не претендует, ко-
нечно, на полноту.
1.	«Архимедова аксиома» сформулирована так: «для
любых двух неотрицательных действительных чисел а и b
всегда найдется такое натуральное число п, что будет
выполняться неравенство ап > Ь». Чтобы это было вер-
но а должно быть строго положительным.
2.	Сомнительно, чтобы «Валлиса формула» могла слу-
жить для приближенного вычисления я, так как беско-
нечное произведение сходится очень медленно; для
л существуют значительно быстрее сходящиеся разло-
жения.
3.	Пример в статье «Возрастание функции в точке»
приведен не на месте; его место в близкой статье
«Возрастающая функция» (название статей следовало
бы согласовать). Кроме того, в первой из этих статей
неудачно выражение «бесчисленное число раз».
Вообще в статьях по математическому анализу име-
ется разнобой; в частности, не проведено существенное
различие между свойствами локальными (в малом) и
глобальными (в цепом). Совершенно аналогичные опре-
деления даны в разных стилях. См. также «Выпуклая
кривая», «Выпуклость», нет более Общего определения
60
выпуклой дуга —"понятия, используемого аз статьях
«Объемлемая» и «Объемлющая».
4.	В конце статьи «Гаусса лемма» приведена форму-
лировка: «произведение примитивных функций равно
примитивной функции». Здесь имеются в виду так назы-
ваемые примитивные многочлены. Так называются мно-
гочлены от нескольких переменных Xi. х2, . . . хп, кото-
рые будучи расположены по одному из переменных,
имеют коэффициенты (которые суть многочлены от
остальных переменных), ие содержащие общего непри-
водимого множителя. Этот термин в справочнике ни-
где не разъяснен, а в других статьях «примитивная
функция» понимается как первообразная. Ясно, что та-
кое положение может привести к недоразумениям.
5.	В статье «Замечательные пределы» сказано, что
в курсе математического анализа выводится замеча-
тельный предел
На самом деле в курсе анализа доказывается, что
существует предел
“ (’ + т-)'
после чего этот предел обозначается буквой е. Ут-
верждение «Справочника» напоминает чеховский воп-
рос: «Откуда мы знаем, как называются звезды?»
6.	«Обратные гиперболические функции» — статья не-
полная; учителю важно напомнить геометрический
смысл этих функций, связанный с площадью гиперболи-
ческого сектора — тогда будет ясно, почему в названи-
ях фигурирует термин «площадь». Это должно пере-
кликаться с отсутствующим же разъяснением в статье
«Обратные тригонометрические функции» (термин
«аркус»).
7.	В определении объемлемой есть существенная опе-
чатка: «Объемлемая есть выпуклая дуга ... Z, имеющая
с другой выпуклой дугой L... общие концы А и В...
и не содержащая внешних точек фигуры, ограничен-
ной кривой / (должно быть: L.— Рец.) ... и хордой
АВ ...». Кроме того, неясно, что здесь понимается под
выпуклой дугой, и неверно, что согласно этому опреде-
лению всякая объемлемая короче всякой объемлющей
(объемлемая может совпадать с объемлющей). Сле-
дующее затем определение объемлющей просто неверно:
«Объемлющая есть выпуклая дуга кривой..., имеющая
с другой выпуклой дугой I... (объемлемой первой)
общие концы А и В и не имеющая внутренних точек
фигуры, ограниченной кривой I... и хордой АВ...».
Получается, что всякая выпуклая дуга, идущая от А
к В и лежащая по другую сторону от хорды АВ. есть
объемлющая. Кстати, эти обе статьи по стилю харак-
терны для многих статей: отсутствует параллелизм в
определениях (в одном случае I и L, в другом только I,
«дуга» и «дуга кризой», «содержащая точки» и «имею-
щая точки»), нет перекрестных ссылок между статья-
ми (которые должны были бы быть, хотя статьи и со-
седние), неудачны рисунки.
7.	В статье «Однолистная функция» неудачны приме-
ры, более подходящие к следующей статье — «Одно-
листности область». Надо было бы привести классиче-
ские примеры однолистных функций — дробно-линей-
ную функцию, функцию Кебе, функцию Жуковского.
8.	В статье «Пи-число» должен, естественно, быть
приведен способ приближенного вычисления к, осно-
TZ	1
ванный на замечательном равенстве = 4arctg —
1
— arctg 2зу
вместо гораздо худшего — = arctg
л).
9.	В статье «Покрытие-множеств»-сказано: «Важным
утверждением дифференциального исчисления является
лемма Гейне — Бореля».
Лемма Гейне — Бореля утверждает, что если отрезок
[а, б] покрыт бесконечной системой интервалов (откры-
тых!), то из этой системы можно выделить конечную
систему интервалов, также покрывающую отрезок [а, б]
Как видно, эта лемма не принадлежит дифференциаль-
ному исчислению Еще хуже, что в специальной статье
«Гейне — Бореля лемма» она сформулирована неверно
(речь идет о покрытии отрезка отрезками, а не интер-
валами).
10.	Обращает на себя внимание следующая непосле-
довательность в статье «Поля теория»: всюду в слоза-
ре векторы записывались разложением по ортам I, j, k,
а здесь вдруг просто перечислением координат. В фор-
мулировках теорем Остроградского и Стокса отсут-
ствуют указания на ориентацию.
11.	В статье «Производная по направлению» есть не-
приятные опечатки: I вместо е, и в одном месте нужен
жирный шрифт (вектор).
Вообще, при просмотре текста встречается много опе-
чаток. Из наиболее злых отметим еще щ статье «Рас-
пределение» формулу «Р(х, dx) = q(x)dx + O(dx)».
Вместо символа О должно быть о: o(dx) обозначает
бесконечно малую величину более высокого порядка,
чем dx. Несомненно, не следовало употреблять этот
символ без разъяснения.
12.	Авторы считают, что термин «сгущения точка»
есть устаревшее обозначение предельной точки. Это не
так. Термин «точка сгущения» имеет и самостоятельный
смысл: точка в любой окрестности которой содержится
подмножество, имеющее мощность континуума.
13.	Статью «Сопряженные гармонические функции»
следовало бы, вероятно, расширить за счет указания на
их разложения в тригонометрические ряды. Я бы так-
же не ограничился утверждением несимметричности со-
отношения сопряженности, а отметил бы, что если v
сопряжено с и, то — и сопряжено с v.
14.	Очень важно для учителя снабдить статью «Со-
хоцкого теорема» примером е г (также, впрочем, как
и раздел статьи «Особая точка» однозначной анали-
тической функции).
15.	В статье «Таблицы Кулика» есть фраза: «Эти
таблицы являлись результатом огромного титанического
труда феноменального выдающегося вычислителя про-
фессора Пражского университета...» Такие фразы вряд
ли уместны даже в черновой рукописи.
16.	В статье «Тейлора ряд» (при определении ряда
Тейлора с произвольным центром разложения а) есть
нечетко сформулированный пример: «Т. р. для
/w =
о,
х=£Ъ,
х = 0
является сходящимся, ио не сходится к f(x), а тож-
дественно обращается в нуль». При о#=0 это неверно,
а то, что имеется в виду в = 0, не оговорено. Ссылка
на ряд Маклорена дана слишком поздно.
17.	Все, что связано с конусом, и, в частности, «Те-
лесный угол», сформулировано несколько неуклюже
(«направляющая, гомеоморфная окружности»).
18.	Казалось бы, простые вещи надо объяснять про-
сто. С этих позиций нам представляется очень неудач-
ной статья «Тригонометрические уравнения». Попытки
давать формализованные определения понятиям, не
входящим ни в какую разумную систему теорем, бес-
полезны и даже вредны. Здесь нужен ряд примеров.
91
обрисовывающих тот класс уравнений, который при-
нято называть тригонометрическим.
19.	Где логика’ Составители нашли нужным поме-
стить в справочнике следующие четыре статьи: «Воз-
растание функции в точке», «Возрастающая функция
на отрезке», «Убывание функции» и «Убывающая функ-
ция на отрезке». Было бы естественно рассматривать
возрастание и убывание функции одновременно, но уж
раз авторы решили эти свойства разделить, то, по
крайней мере, изложение в соответственных статьях
должно вестись параллельно. Ничего подобного мы
не находим. В статье «Убывание функции» есть пер-
вый пункт «1°. У. ф. в точке», ни нет второго. В статье
«Возрастание функции в точке» вообще нет никаких
нумерованных пунктов.
Подобных небрежностей встречается много. Напри-
мер, статье «Возрастающая прогрессия» соответствуют
две статьи: «Убывающая арифметическая прогрессия»
и «Убывающая геометрическая прогрессия».
20.	Статья «Функционал» может вызвать ряд недо-
уменных вопросов; кроме того, термин «функционал»
фигурирует в статье «Общее решение: 2°. О. р. диффе-
ренциального уравнения в частных производных», где
он может ввести в заблуждение. Кстати, статья «Об-
щее решение» далеко не исчерпывает в шести разде-
лах содержание термина (например, отсутствует очень
важное понятие — общее решение линейной системы
уравнений. В пп. 1° и 2° содержатся весьма невнят-
ные определения общего решения дифференциальных
уравнений; здесь даже не упоминается, что общее ре-
шение есть решение, что требует все же некоторого
разъяснения, а общее решение уравнения в частных
производных характеризуется как функционал, что вер-
но только в очень специальном смысле, совершенно не
предусмотренном статьей «Функционал». Еще одно не-
большое замечание эстетического порядка: в «4°. О.р.
линейного однородного дифференциального уравнения
второго порядка» постоянные С1 и С2 надо было бы
переставить, так как общее решение принято иметь
в виде C]i/i + C2i/2, а не С^+С^г.
21.	Статьи, связанные с Фурье и расположенные од-
на за другой, мало согласованы друг с другом. При-
ведем только следующие замечания; ие проводится па-
раллели между рядом Фурье и интегралом Фурье, меж-
ду коэффициентами Фурье и преобразованием Фурье,
интеграл Фурье записывается в комплексной форме,
ряд Фурье — не записывается (несмотря на то что в
статье «Тригонометрические ряды» комплексная за-
пись фигурирует, но связь комплексных коэффициен-
тов с действительными нигде не приводится; между
прочим, почему название этой статьи из всех единствен-
ное в множественном числе?). Фурье ряд записывается
через коэффициенты, выражения которых в ряд не под-
ставлены, Фурье интеграл записывается сразу в виде
двойного интеграла, т. е. с подставленными коэффи-
циентами. Фурье преобразование четных и нечетных
функций отмечается, специальные случаи Фурье коэф-
фициентов ие рассматриваются и т. д. Статья «Фурье
метод» мало что разъясняет читателю, в ней нет по-
нятий о разделении переменных и суперпозиции; зато
в ней есть неправильное утверждение, что *A„(t) опре-
деляются из начальных и граничных условий», тогда
как граничные условия к А (t) уже никакого отноше-
ния ие имеют, ибо А„(7) находятся из дифференциаль-
ного уравнения и начального условия.
22.	В статье «Целая рациональная функция» режет
слух выражение: ..функция «содержит (?!.— Рец.) не
более п—1 экстремумов (см.) и не более (п.—2) точек
перегиба (см.)». Почему, к тому же, п—2 в скобках, а
п—1 без скобок?
23.	В статье «Целая функция» фигурирует «точка
г=со», которая для целой траисцеидеитной функции
должна быть существенно особой. Но ни определе-
ние бесконечно удаленной точки, ни определение по-
ведения функции в этой точке не было разъяснено.
24.	«Цепное правило» — не только устаревшее пра-
вило арифметики, но и принятое название правила
дифференцирования сложной функции, о чем в статье
не упомянуто.
25.	В статье «Циркуляция» теорема Стокса (не в
первый раз) сформулирована без указания на согла-
сование ориентаций.
26.	Статья «Член определителя», целесообразность
помещения которой вообще сомнительна, дает опреде-
ление члена определителя как «всякое произведение
п элементов этого определителя, взятых по одному
из каждой строки и каждого столбца» без упомина-
ния правила знаков.
27.	Статья «Шаровые функции» определяет этот
термин как однородные гармонические полиномы, а за-
тем утверждает, что шаровыми функциями являются
также функции Лапласа второго рода, которые не яв-
ляются полиномами. Есть в ней и опечатка: вместо
В напечатано v.
Как уже отмечалось, этот список далеко не исчер-
пывает всех замечаний, которые следовало бы сде-
лать. В частности, мы почти не касались статей по
терминам элементарной математики. В целом они на-
писаны все же лучше.
Хотелось бы сделать еше одно обшее замечание.
Объем и степень детализации статей далеко не всег-
да соответствуют значимости терминов. Есть простран-
ные изложения по второстепенным поводам, а неко-
торые важные вещи удостоены лишь краткого упо-
минания. Весьма произвольным в ряде мест представ-
ляется также цитирование имен.
Несмотря на эти критические замечания, следует
все же признать, что коллектив авторов и редактор
В. А. Диткин выпустили в свет достаточно ценное
пособие, которое следует переиздать в исправленном
виде. Полиграфическое оформление книги — неплохое.
Справочник по элементарной математике под ред.
П. Ф. Фильчакова является, по-видимому, вто-
рым томом из трех Об этом заинтригованный чита-
тель (почему именно только берется геометрия, триго-
нометрия и векторная алгебра?) узнает не из явного
указания, скажем, на титульном листе или из преди-
словия, а путем эвристических догадок, основанных на
одном туманном замечании, которое можно найти
на стр. 13 в «§ 1. Предмет геометрии. Краткие све-
дения о ее развитии», где сообщается, что к вопро-
сам геометрии Лобачевского авторы еще вернутся в 111
томе данного справочника. Это, конечно,— непрости-
тельный дефект оформления книги, свидетельствую-
щий о пренебрежительном отношении к покупателю и
читателю. Любой авторский коллектив и любое из-
дательство должны быть заинтересованы в том, чтобы
информировать общественность о наличии (или пред-
полагаемом выпуске) тома I и его содержании, о пред-
полагаемом количестве томов вообще и т. п. Книги
надо делать культурно.
Как и большинство аналогичных изданий, спра-
вочник «рассчитан на читателей, закончивших сред-
нюю школу и желающих повысить уровень матема-
тических знаний в области геометрии, тригонометрии
и векторной алгебры. Он также полезен при подго-
товке к вступительным экзаменам в высшие учеб-
ные заведения». К этому можно добавить, что это посо-
бие в большей степени, чем другие справочники, при-
ближено к краткому учебнику, причем методическую
сторону изложения следует оценить высоко (думаю, что
текст справочника вполне можно было бы положить в
основу хорошего современного учебника). Достаточно
подробно излагается планиметрия (ч. I), причем пос-
92
леднис 10 параграфов специально отводятся геометри-
ческим задачам на построение с помощью циркуля и
линейки (особенно отметим § 37 — геометрические зада-
чи на неравенства). Ч. II — стереометрия — изложена
более конспективно, но и здесь охвачен большой мате-
риал. То же можно сказать о тригонометрии, которой
отведена ч. III. Наконец, в ч. IV излагаются основы
векторной алгебры.
Справочник, несомненно, достиг поставленных целей.
Изложение хорошо систематизировано, сопровождается
большим числом хорошо выполненных чертежей и мно-
гими решенными типовыми задачами. Составители смог-
ли даже включить в справочник доказательства ряда
основных положений. В качестве приложений даны таб-
лицы тригонометрических функций, список литературы
и алфавитный указатель. Типографское оформление —
хорошее, опечаток немного.
Существенных претензий к научной стороне изложе-
ния материала в справочнике предъявить нельзя. Ти-
пичные погрешности встречаются, главным образом, в
формулировке определений (пристрастием к которым
всегда отличалась элементарная математика). В частно-
сти. нам представляется неудовлетворительным извест-
ное определение тригонометрического уравнения
(стр. 308): «Тригонометрическим уравнением называет-
ся равенство, содержащее неизвестную величину только
под знаком тригонометрических функций и справедли-
вой (sic) лишь при некоторых определенных значениях
неизвестной. Эти значения называются корнями...» Сло-
ва «некоторые определенные значения» должны отгра-
ничивать, очевидно, уравнение от тождества, но они
этой цели не достигают, так как любой континуум со-
стоит из некоторых определенных точек. Бесполезно
пытаться отличить уравнение от тождества по мощно-
сти множества корней, так как уравнение вообще есть
тождество на множестве своих кнрней. Столь же бес-
содержательны слова «только под знаком тригономет-
рических функций»; в выражении /{sm л} под знаком
какой функции стоит х? Если в тригонометрическом
уравнении могут фигурировать члены sin2x, cos3 л~.
О
tg	и т. д., то почему не допускаются 2s,n х и
arcsin(sin х)? Дело в том. что такие понятия, как три-
гонометрическое уравнение, вообще не требуют опре-
деления (так как они не являются объектами содер-
жательной теории), но если настоять на той или иной
характеризации класса уравнений, то эта характери-
зация может быть только рекурсивной. Так, тригоно-
метрическое уравнение можно, например, определить
как уравнение вида
Р (sin ах cos ах) = 0,
где Р(и, v) — многочлен от двух переменных, а а —
постоянное. Несмотря на кажущуюся узость этой ха-
рактеристики, в действительности все уравнения, на-
зываемые в школе тригонометрическими, приводятся
именно к такому алгебраико-тригонометрическому виду
(случай, когда вместо Р левая часть уравнения имеет
вид отношения двух таких многочленов, отличается от
основного только могущей возникнуть необходимостью
исключения некоторых корней). Аналогичную критику
можно было бы привести и по поводу ряда других
определений, данных в справочнике (и принятых в ме-
тодике), однако это вряд ли уместно в рецензии на
справочник, заслуживающий, как уже указывалось,
положительной оценки.
ТЕМАТИЧЕСКИЙ УКАЗАТЕЛЬ СТАТЕЙ, ПОМЕЩЕННЫХ В ЖУРНАЛЕ ЗА 1967 Г.
ПЕРЕДОВЫЕ
Великий Октябрь — светоч коммунизма, №	5,
стр. 4—6.
Оправдать высокое доверие, № 4, стр. 2—3.
Подготовка к работе по новым программам — важ-
нейшая задача, № 3, стр. 2—3.
За дальнейший подъем обучения и воспитания, № 6,
стр. 2—4.
Совершенствовать работу школы, № 1, стр. 2—3.
Факультативные занятия по математике, №	2,
стр. 2—3.
К50-ЛЕТИЮ ВЕЛИКОГО ОКТЯБРЯ
И. К. Андронов, Арнольд Игорь Владимирович,
№ 2, стр. 17—18.
И. К. Андронов, Гончаров Василий Леонидович,
№ 3, стр. 4—6.
И. К. Андронов, Извольский Николай Александро-
вич, № 1, стр. 27—30.
И. К. Андронов, Киселев Андрей Петрович, № 1,
стр. 24—27.
И. К. Андронов, Лебединцев Константин Феофа-
нович, № 2, стр. 14—16.
И. К. Андронов, Полвека развития системы под-
готовки математиков-педагогов в СССР, № 5,
стр. 11 —14.
И. К. Андронов, Хинчин Александр Яковлевич,
№ 3, стр. 7—9.
М. В. Бадалян, В. В. С а г а т е л я н. Математиче-
ское образование в Армении за годы Советской вла-
сти, № 5, стр. 14—18.
Б. П. Бычков, В. П. Бычков, Математическое об-
разование в Молдавской ССР, № 5, стр. 23—27.
Б. В. Гнеденко, Математика в СССР за 50 лет,
№ 6, стр. 5—12.
Т. Н. К а р ы - Н и я з о в, Приветствие, № 5, стр. 10.
А.	И. Маркушевич, Приветствие, № 5, стр. 9.
О. Приниус, К истории преподавания математики
в эстонской школе, № 6, стр. 13—14.
К. П. Сикорский, Приветствие, № 5, стр. 10.
Р. С. Черкасов, Этапы большого пути, № 5,
стр. 7—9.
В. Д. Чистяков, Методика математики в БССР
за 50 лет, № 4, стр. 4—8.
Р. А. Хабиб, От феодальной отсталости к расцве-
ту народного образования, № 5, стр. 19—22.
МАСТЕРА ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ТРУДА
Н. Ф. Белок-ур, Л. Г. Фадеева, Лидия Трофи-
мовна Корчагина. № 4, стр. 9—10.
М. М. Войнилович, Галина Николаевна Минаева,
№ 5, стр. 29—30.
В.	И. Герасименко, Александра Ивановна Заха-
рова, № 4, стр. 10—11.
В. В. Герасимова, Рафаил Порфирьевич Пичуж-
кин, № 5, стр. 32.
С.	И. Захаров, Иван Павлович Ярандай, № 3,
стр. 15—16.
К. И. Кудрявцева, И. Т. Яковлева, Людмила
Ивановна Ильина, № 4, стр. 11—12.
Б. С. М а л и н к и н, Николай Павлович Кучкин, № 6,
стр. 34—35.
К. А. Малыгин, Иван Григорьевич Федюков, № 3,
стр. 10—11.
93
А.	. Я. Маргулис, Татьяна Георгиевна Смирнова,
№ 3, стр. 13.
В.	В. Миллер, Зоя Дмитриевна Вечернина, № 5,
стр. 32—33.
С.	С. Милосердое, Софья Степановна Синельни-
кова, № 3, стр. 14—15.
Л. М. Никольский, Лариса Адамовна Шумило-
ва, № 5, стр. 31.
Т. В. П е н я г и н а, Прасковья Егоровна Черняева,
№ 5, стр. 34.
И. Я. Пугач, Сергей Афанасьевич Новоенков, № 5,
стр. 28—29.
И. В. Че людских, Прасковья Максимовна Кокша-
рова, № 3, сгр. 11—12.
М. М. Чернецов, Николай Филиппович Власик,
№ 3, стр. 16—17.
НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ
В. А. Успенский, Как работает машина Поста,
№ 1, стр. 31—38; № 2, стр. 19—26; № 3, стр. 1В—27;
№ 4, стр. 13—24.
МЕЖДУНАРОДНЫЙ КОНГРЕСС МАТЕМАТИКОВ
И. К. Андропов, Три этапа в развитии междуна-
родного школьного математического образования, в
XIX—XX вв , № 4, стр. 82—85.
Джеффри Метьюз, Наффилдовский проект мате-
матического образования, № 2, стр. 31—32.
Ж. П а п и, Геометрия в современном преподавании
математики, № 1, стр. 39—42.
А.	А. Столяр, Логико-математический язык в пре-
подавании математики, № 2, стр. 27—30.
МЕТОДИЧЕСКИЙ ОТДЕЛ
В.	Г. Болтянский, Что такое программированное
обучение, № 4, стр. 39—57.
В. С. Ваксман, К свойствам показательной и лога-
рифмической функций, № 2, стр. 43—46.
С.	М. Гуль, Об изучении курса «Алгебра и элемен-
тарные функции» в IX и X классах во втором полу-
годии, № 1, стр. 54—62.
Г. С. Запорожцев, Об одном способе построе-
ния графиков сложных функций, № 2, стр. 47—49.
В. А. Зотов, Применение разверток при решении
задач на построение, № 5, стр. 62—65.
Е. С. Канин, Дополнительные упражнения по ал-
гебре для VIII класса, № 2, стр. 50—52.
Л. 3. Карелин, Задачи к некоторым темам гео-
метрии VII—VIII классов, № 5, стр. 60—62.
А. Н. Колмогоров, К изменениям в тексте учеб-
ника алгебры для VI—VIII классов А. Н. Барсукова,
№ 6, стр. 22—24.
А.	Н. Колмогоров, Об учебниках на 1966/67
учебный год, № 1, стр. 43—48.
В.	Л. Минковский, Упражнения на отрицание в
преподавании математики, № 5, стр. 57—60.
А.	В. Михалевский, О диафильмах по математи-
ке, изготовленных на Украине, № 2, стр. 63—64.
П. С. Моденов, Задачи, предлагавшиеся на прием-
ных испытаниях по математике в Московском госу-
дарственном университете в 1967 г., № 6, стр. 24—34.
Нгуен Зан, Обобщение одного геометрического
места точек, № 1, стр. 72—73.
В.	А. Нечаев, Решение задач графическим мето-
дом, № 2, стр. 56—60.
Проект программы по математике для I—III классов,
№ 2, стр. 64—66.
В. Серве, Аксиоматика и элементарная геометрия,
№ 6, стр. 45—55.
Г. Н. Скобелев, Тождественные преобразования
тригонометрических выражений, связанные с понятием
арифметического корня, № 2, стр. 52—54.
3. А. Скопец, Приложения комплексных чисел к
задачам элементарной геометрии, № 1, стр. 63—71.
Содержание факультативных занятий по математике
в 1967/68 и 1968/69 учебных годах, № 2, стр. 33—38.
Г. Т. Соколов, Неточности, встречающиеся при
изложении темы «Показательная функция», № 2,
стр. 46—47.
А.	В. Соколова, Итоги контрольных и экзамена-
ционных работ за 1966/67 учебный год, № 1,
стр. 48—53.
М. С. Толстенков, Вывод формул преобразова-
ния суммы тригонометрических функций в произведе-
ние, № 2, стр. 54—56.
А. К. Терещенко, Математические собеседования
в V—VI классах, № 2, стр. 61—63.
В.	А. Успенский, Вступительные экзамены по ма-
тематике на филологическом факультете МГУ в 1966 г.,
№ 2, стр. 38—40.
С.	И. Шапиро, О разных подходах к решению за-
дач, № 6, стр. 34—36.
М. Г. Ш в а е ц к и й, О равноугольных и равносостав-
ленных многоугольниках, № 1, стр. 71—72.
В. И. Шевченко, О нестандартных приемах ре-
шения уравнений, № 5, стр. 65—67.
Г. Н. Щеглов, Развитие навыков исследовательской
работы в математической игре, № 2, стр. 60—61.
Г. А. Ястребинецкий, К вопросу о решении
уравнений, содержащих параметры, № 2, стр. 40—42.
О НОВОЙ ПРОГРАММЕ
Н. Д. Апухтина и др.. Некоторые замечания о
проекте программы по математике для средней шко-
лы, № 3, стр. 37—38.
Г. В. Бендерский, Л. Ф. Пичурин, Содержание
проекта программы и кадры, № 6, стр. 16—17.
Т. Н. Денисова. Замечания по проекту програм-
мы, № 4, стр. 34—35.
М. И. Иванов, О проекте новой программы по ма-
тематике для IV и V классов, № 6, стр. 21.
А. Н. Колмогоров, Новые программы и некото-
рые основные вопросы усовершенствования курса ма-
тематики в средней школе, № 2, стр. 4—13.
А. Я. Котов, П. И. К о н о п а т о в. Достоинства и
недостатки проекта программы, № 3, стр. 29—33.
К программе курса «Математика», № 3, стр. 29.
В. М. Медведев, Межпредметные связи в про-
екте программы по математике, № 4, стр. 33—34.
К. Ф. Михайлов, В. М. Чернов, Проект заслу-
живает одобрения, № 4, стр. 27—28.
П. Е. Непомнящий, По силам ли? №	4,
стр. 28—29.
П. К. Одинцов, М. С. Толстенков, О проекте
программ средней школы по математике, № 6,
стр. 15.
О проекте программы средней школы, № 4,
стр. 25—26.
О проекте программ средней школы по математике
(Отделение математики АН СССР), № 3, стр. 28.
Проект программы средней школы по математике,
№ 1, стр. 4—23.
Проект программы по математике для I—111 клас-
сов, № 2, стр. 64—66.
Г. Н. Скобелев, Пожелания к проекту программ,
№ 4, стр 29—32.
С. В. Смирнов, Новая программа по математике
и педагогический институт, № 5, стр. 36—39.
В. В. Смирнова, А. Н. Левин, Лучше меньше,
да лучше, № 4, стр. 32—33.
И. ф. Т-е-сл емко, Программа приемлема, № 3,
стр. 33—36.
94
ф. В. Томашевич, Ю. В. Калиниченко,
А. И. Бойченко, Больше систематики, № 4,
стр. 36—37.
Р. А. X а б и б, О новых программах, №6, стр. 17—19.
И. Е. Шиманский, Замечания к проекту програм-
мы для средней школы по математике, № 6,
стр. 20—21.
Н. Г. Я р у т к и н. Повышение теоретического уровня
школьной математики, № 3, стр. 36—37.
МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ФАКУЛЬТАТИВНЫХ ЗАНЯТИЙ
Н. Я. В и л е н к и н, С. И. Шварцбурд, А. Г.
Морд ков и ч, Метод математической индукции
(IX класс), № 3, стр. 58—71.
Н. 8. Кайдалова, Н. А. Шмакова. Готовимся
к переходу на новые программы, № 4. стр. 59—61.
М. Д. Кошкина, Из опыта проведения факульта-
тивных курсов по выбору, № 3, стр. 71—73.
А. И. Маркушевич, Дополнительные вопросы
арифметики целых чисел, № 4, стр. 38—48.
8. М. Монахов, Системы счисления и арифмети-
ческие устройства электронных вычислительных машин
(VII класс), № _3, стр. 39—48; N° 4- стр. 49—57.
Программы специальных курсов по математике, № 3,
стр. 73—75.
Программы специальных курсов по математике, № 4,
стр. 58—59.
С. Б. Суворова, А. А. Шершевский, Множе-
ства и операции над ними (IX класс), № 3, стр. 49—58.
КОНСУЛЬТАЦИЯ
А.	В. Соколова, О письменном экзамене за курс
средней школы, № 1, стр. 73.
В ПОМОЩЬ НАЧИНАЮЩЕМУ УЧИТЕЛЮ
В.	М. Клопский, М. И. Ягодовский, Упражне-
ния по теме «Параллельность в пространстве», № 4,
стр. 69—72.
Контрольные работы по математике на I полугодие
1967/68 учебного года для V—X классов, № 4,
стр. 61 —69.
Контрольные работы по математике на II полугодие
1967/68 учебного года для V—X классов, № 6,
стр. 36—44.
ЭКСПЕРИМЕНТ
Т. Г. Ге гели’я, Л Г. М а г н а р а д з е, Ш. С. П ха-
ка д з е, О вступительных экзаменах по математике
с помощью машин, № 5, стр. 70—73.
М. Б. Гельфанд, Е. С. Д у б и н ч у к, Т. Я. Н е-
стеренко, И. ф. Тесленко, Безмашинное про-
граммированное обучение, № 5, стр. 68—70.
ВНЕКЛАССНАЯ РАБОТА
М. И. Башмаков, Н. Б. 8 а с и л ь е в, Ю. И. И о-
н и н. Решения задай Всесоюзной математической
олимпиады 1967 г., Ы° 5, стр. 81—84.
Н. Б. Васильев, всесоюзная заочная математиче-
ская олимпиада, № 1, стр. 75—81.
Н. Б. Васильев, Е. Г. Глаголева, В. Л. Г у-
тенмахер, Накануне четвертого года Заочной мате-
матической школы при МГУ, № 4, стр. 72—75.
Н. Я. Ви ленкин. Комбинаторные задачи по гео-
метрии, № 5, стр. 73.
8.	А. Голубев, Квадратные многочлены fo(x) =
«= х2 + а2 с бесконечным множеством простых значе-
ний, № 3, стр. 78
П. .До мор яд. Геометрические развлечения, № 3,
стр. 75—77.
М. У. Искаков, Формула Герона в пространстве,
NP 5, стр- 78.
И. М. Кипнис, Решение некоторых физических за-
дач с помощью тригонометрии треугольника, № 3,
стр. 78—80.
В. Г. Лес юк, Геометрические места точек в курсе
алгебры, № 1, стр. 74—75.
Л. М. Л о п о в о к, Задачи на восстановление запи-
сей, № 6, стр. 66—67.
П. С. М а р г о л и т е, Построение изображений пло-
ских сечений конической и цилиндрической поверхно-
стей, № 6, стр. 60—64.
Б. Е. Маргулис, Как ознакомить учащихся с мето-
дом последовательных приближений, № 2, стр. 67.
Е. А. Морозова. 14 С. Петраков, IX Между-
народная, № 6, стр. 70—76.
О неравенстве Финслера и Хадвигера, № 2, стр. 72.
А.	И. О с т р о в с к и й, О равносоставленных прямо-
угольниках и треугольниках, № 5, стр.. 75.
И. С. Петраков, всесоюзная математическая
олимпиада 1967 г., № 5, стр. 79.
Л. Н. Рябчиков, Геометрические места точек на
сфере, № 6, стр. 64—66.
И. А. Савостин. Проверка арифметических дейст-
вий с помощью девятки, № 6, стр. 68—69.
Д. М. Соловьев, О пропаганде математических
знаний среди школьников Дагестана, № 6, стр. 69.
Яр слав Шедивы, Решение логических задач
при помощи графов, № 6, стр. 56—61.
В.	С. Шишов, О некоторых многогранниках, № 3,
стр. 81—83.
ЗАДАЧИ
Задачи для учащихся, № 5, стр. 85; № 6, стр. 76.
Задачи для учащихся VII—X классов, № 1, стр. 82;
№ 2, стр. 74; № 3 стр. 83; № 4, стр. 75.
Избранные задачи и специальные методы их реше-
ния, № 1, стр. 82—83; № 2, стр. 75; № 3, стр. 84; № 4,
стр. 76.
Решения задач, помещенных в: № 3 журнала за
1966 г., № 1, стр 83—90; № 4 журнала за 1966 г.,
№ 2, стр. 75—80:	№ 5 журнала за 1966 г., № 3,
стр. 84—89; № 6 журнала за 1966 г., № 4, стр. 77—
82; № 1 журнала за 1967 г., № 5, стр. 86—91; № 2
журнала за 1967 г., № 6, стр. 77—83.
Сводка решений задач по: № 3 за 1966 г., № 1,
стр. 90; № 4 за 1966 г., № 2, стр. 82, № 5 за 1966 г.,
№ 3, стр. 89; № 6 за 1966 г., № 4, стр. 88; № 1 за
1967 г., № 5, стр. 91; №2 за 1967 г., № 6, стр. 96.
3. А. Скопец, Развивать творческую деятельность
учащихся, № 5, стр. 84.
ПЕДАГОГИ-МАТЕМАТИКИ
И. К. Андронов, Ю. М. Гайдук, Николай Ан-
дреевич Чайковский, № 1, стр. 92—93.
И. К. Андронов, Р. С. Черкасов, Иван Яковле-
вич Депман, № 1, стр. 91.
Б. М. Бредихин, К. А. Малыгин, Степан Пав-
лович Пулькин, № 2, стр. 81.
В. М. М а й о р о в, А. Я. М а р г у л и с, Абрам Миро-
нович Лопшиц, № 4, стр. 86—87.
И А. Н а у м о в, Д. М. Синцов, № 6. стр. 84—85.
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КАЛЕНДАРЬ
А.	И. Бородин, Математический календарь, № 1,
стр. 93; № 2, стр. 82; № 3, стр. 90; № 4, стр 87; № 5.
стр. 92; № 6, стр. 86.
НЕКРОЛОГИ
И. К. Андронов, Александр Александрович Гла-
голев, № 4, стр. 89
Н. М. Бескин, Григорий Исаакович Глейзер, № 4,
стр. W.
Б. В. Б и р ю к о в, В. Н. М о л од ш и й, Ю. А. П е т-
ров, Д. А. Райков, Софья Александровна Яновская,
№ I, стр. 94—95.
КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ
Ю. А. К и к е ц, М. Д. К а с ь я н е н к о, М. П. Ма-
ла н ю к, В. Л. Минковский, «За страницами учебника
математики», изд. «Просвещение», М., 1966, № 4,
стр. 96.
В.	И. Л е в и н, Рецензия, № 6, стр. 90—93.
А.	Я. Маргулис, Б. А. Радунский, «75 задач
по элементарной математике — простых, но...», № 4,
стр. 94—95.
В.	В. Никитин, К. А. Р у п а с о в, О книге Б. Г. Гон-
чаренко «Задачи и вопросы по стереометрии (для
устного решения), № 2, стр. 88.
Л. А. Сидорова, В ближайшие месяцы 1967 г.
в издательстве «Просвещение» выходят, № 5, стр. 96.
Л. А. Сидорова, Что будет выпущено издатель-
ством «Просвещение» в 1967 г., N? 2, стр. 89—90.
С. И. Шварцбурд, О литературе по математике
для поступающих в вузы, № 2, стр. 83—88.
ЗА РУБЕЖОМ
Р. А. Александрова, Одна из эксперименталь-
ных программ по математике для средней школы
США, № 3, стр. 91—95.
Б. П. Бычков, Обзор журнала «Gazeta matemati-
са» seria А за 1966 г., № 4, стр. 91—92.
А. И. Волхонский, Д. Пойа о проблеме «чему
учить», № 6, стр. В7—88.
И. Г. Вишняцкея, О применении геометрических
образов при изучении рациональных чисел в средней
школе (из зарубежного опыта), № 2, стр. 91—92.
Куок-Чин ь, Задачи, предлагавшиеся в школах
Вьетнама, № 6, стр. 89.
И. М. Я г л о м. Геометрия в школах США, № 2,
стр. 93—96.
ХРОНИКА
И. К. Андронов, О работе семинара при АПН
СССР «Современные идеи в преподавании математи-
ки в СССР и за рубежом», № 4, стр. 93.
А. Я. Маргулис, В секции средней школы Мо-
сковского математического общества (год девятнадца-
тый), № 5, стр. 95.
М. С. М а ц к и н, К. П. Сикорский, VIII научная
конференция математических кафедр пединститутов
Поволжья, № 4, стр. 85.
Б. Д. Р а к о в е р. О научно-педагогической конфе-
ренции, № 1, стр. 96.
В. В. Репьев, О зональной конференции Поволжья,
№ 1, стр. 96.
К. П. Сикорский, Клуб юных математиков, № 3,
стр. 96.
СВОДКА РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ ПО № 2 ЗА 1967 Г.
Ахвердов Г. Б. (Ленинград)—341, 342, 344, 345,
350—357. Баимбетов С. А. (г. Ходжейли Каракалпак-
ской АССР) — 341—345, 349, 351—355, 357. Безру-
ких В. А. (Ленинград) —342, 344,351—353. Ветров К. В.
(г. Братск)—341—354. Владимиров А. С. (г. Асбест
Свердловской обл.) — 341—357. Волков А. Л. (с. Суса-
нине Костромской обл.)—341, 342, 344—347, 350—354.
Герасимов Ю. И. (г. Новосибирск) — 341—351, 353—359.
Головачев Е. А. (Белгородская обл.)—341, 342, 344—
359. Гордон В. О. (г. Петровск-Забайкальский)—341—
345, 347—351, 353, 355—359. Готлер М. Ш. (г. Виль-
нюс)— 341—348, 350—359. Давыдов У. С. (г. Гомель) —
341—348, 350—359. Демчинский В. И. (г. Ровно) —
351—359. Зубилин Н. И. (Орловская обл.) — 341—356.
Казанцев Н. А. (г. Тюмень)—351—354, 356 Лауды-
ня Э. А. (г. Даугавпилс Латвийской ССР)—341—359.
Мамедов М. (Туркменская ССР) — 351—354, 356. Райх-
штейн Б. 3. (г. Ярославль)—341—359. Савостин И. А.
(Москва) — 342, 344, 35!—353. Саргеян Г. А. (г. Идже-
ван Армянской ССР) —341, 342, 344, 345. 348, 351, 352.
Тасмуратов С С. (Астраханская обл.)—341—358.
Утемов В. А. (г. Красноуфимск)—341—359. Хре-
бет Н. Ф. (г. Днепропетровск) — 341, 344—354. Цхай Т. Т.
(г. Андижан Узбекской ССР)—341—358. Черепин-
ский И. Д. и Черепинский О. Д. (г. Черкассы)—341—
345, 348, 350—352, 354, 355, 357. Чичин В. П. (Ярослав-
ская обл.) —341, 342, 344—347, 350—354. Шнипор Б. Н.
(г. Литии Винницкой обл.)—341—355.
Редакционная коллегия:
Главный редактор Р. С. Черкасов	Зам. главного редактора С. А. Пономарев
Члены редакционной коллегии: И. К. Андронов, В. Г. Болтянский, Н. Ф. Власик,
И. С. Глаголев, Б. В. Гнеденко, А. С. Ильин, О. П. Орешина, И. С. Петраков, А. Д. Семушин,
3. А. Скопец, А. В. Соколова, П. В. Стратилатов, Н. Ф. Четверухин
Зав. редакцией 3. В. Шепелева	Корректор Г. А. Шипилова
Технический редактор А. А. Шлихт	Художественный редактор Б. Ф. Рябое
Адрес редакции: Москва, Г-117, Погодинская ул., д. 8. Телефон редакции: Г 5-04-53.
Издательство «Просвещение» Комитета по печати при Совете Министров РСФСР
А-14537 Сдано в производство 23/Х — 67 г. Объем 6 (10,08) п. л. Учетно-и л. 11,41
Цена 45 коп. Заказ 485 Тираж 281 650 экз. Бумага 84 X 108'/ie Подп. к печ. 12/XII 1967 г.
Московская типография № 13 Главполиграфпрома Комитета по печати
при Совете Министров СССР. Москва, ул. Баумана, Денисовский пер., д. 30.
Цена 45 коп.
Ф
о<
Ю
<
СО
X
о
о
2
•
ш
X
X
ш
?
ш
са
О
о
а
Е
ДОРОГИЕ ТОВАРИЩИ!
С этого номера наш журнал стал органом Министер-
ства просвещения СССР. Перед журналом встают новые
задачи. На его страницах получит отражение опыт школ
и учителей всех союзных республик.
Редакция ждет от читателей советов и предложений
как по улучшению содержания материалов, так и по
оформлению.
Редакция
Интересно прочитать
Авондо-Бодино Дж., Применение в экономике теории
графов, перевод с англ., М., изд. «Прогресс», 1966.
Выгодский М. Я., Справочник по элементарной математике.
Таблицы, арифметика, алгебра, геометрия, тригонометрия, функ-
ции и графики, изд. 17-е, М., изд. «Наука», 1966.
Гельфанд И. М., Лекции по линейной алгебре, изд. 3-е, пе-
реработ. и доп., М., изд. «Наука», 1966.
Гельфанд И. М., Глаголева Е. Г., Кириллов А. А., Ме-
тод координат, изд. 2-е, испр. (Библиотека физико-математической
школы, вып 1, Математика), М., изд. «Наука», 1966.
Гельфанд И. М., Глаголева Е. Г., Шн о л ь Э. Э., Функ-
ции и графики (основные приемы), изд. 2-е, испр. и доп. (Матема-
тика. Библиотека физико-математической школы, вып. 2), М., изд.
«Наука», 1966.
Д ы н к и н Е. Б. и др.. Математические задачи, изд. 2-е (Библио-
тека физико-математической школы, вып. 1, Математика), М., изд.
«Наука», 1966.
Земан И., Познание и информация. Гносеологические пробле-
мы кибернетики, перевод с чеш., М., изд. «Прогресс», 1966.
Коровкин П. П., Неравенства, изд. 3-е (Популярные лекции
по математике, вып. 5), М., изд. «Наука», 1966.
Неванлинна Р., Пространство, время и относительность, пе-
ревод с нем. («Современная математика», популярная серия), М.,
изд. «Мир», 1966.
Розенфельд Б. А., Многомерные пространства, М., изд.
«Наука», 1966.
Успенский В. А., Треугольник Паскаля (Популярные лекции
по математике, вып. 43), М., изд. «Наука», 1966.
Фор Р., К о ф м е н А., Д‘е ни-Папен М., Современная мате-
матика, перевод с франц., М., изд. «Мир», 1966.
Хренов Л. С., Малые вычислительные машины, Краткое спра-
вочное руководство, изд. 4-е, испр., М., изд. «Наука», 1966.