НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ М
МЕХАНИКИ ХАРЬКОВСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
Проф. А. К. СУШКЕВИЧ
ТЕОРИЯ
ОБОБЩЕННЫХ ГРУПП
ОНТИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ НКТП
НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО УКРАИНЫ
Карьков 1937 Киев

Библиографическое «писание
«того вйдаввя DQMetumo *
|<;и Упр печат "
реш pi. ' и др
Укр. Кииж.
23-5-4
DQMetumo *
„ЛиГОДиед уЧР печати", ,,«ар-
точном реш pi. ' в других ука-
ватеаях Укр. Книж. Падат«.
Ответственный редактор К. Р. Иршенко
Литредактор М. С. Марковский
Техофор"мление О. А. Кадашевич
Корректора Я. М. Марковский и А. И. Драгоманом
Типография Государственного научно-технического издательства Украины.
Киев, ул. Воровского, 42
Уполномоч. Главлита № 3615. Зак. № 497. Тираж 2000—11 лип.

ОТ АВТОРА
Настоящая монография представляет собой, быть может,
первое по времени, связное изложение теории всех' типов обоб-
обобщенных групп. Сюда'вошли как мои собственные исследования,
изложенные частью в моей диссертации,1 частью в отдельных
моих работах, помещенных в разных математических журналах,
так и и<. следования других математиков, посвященные обобщен-
обобщенным группам.
Несмотря на мои старания охватить предмет как можно пол-
полнее, я, конечно, не могу претендовать на исчерпывающую пол-
полноту; могу тЪльк о сказать, что использойал всю доступную мне
.литературу, относящуюся к обобщенным группам, и считал не-
необходимым дать читателю хотя бы небольшое представление
о всех известных мне типах обобщенных групп.
Укажу также на известную неравномерность распределения
материала в этой книге: группы без чзакона неограниченной
и однозначной обратимости разобраны весьма подробно, тогда
как об иных типах групп сказано немного. Это объясняется
тем, что группы без закона однозначной и неограниченной об-
обратимости разработаны в математической литературе подробнее
всех других типов обобщенных групп, и теория их приведена
в некоторых своих частях к известной законченности.
Для чтения этой книги, кроме общей математической ку^ь-
.туры, треб>ется только* знакомство с классической теорией
обычных групп, хотя бы в объеме книги ак. О. Ю. Шмидта
„Абстрактная* теория групп".
Настоящий труд предназначается для всех любителей групп,
начиная от студентов старших курсов физматов и кончая ква-
квалифицированными математиками.
А. Сушкееин
..Теория действия, как общая теория групп*. Воронеж, 1922 (Литогр.).
Ьыла издана в очень малом количестве экземпляров.

ВВЕДЕНИЕ
Настоящая книга посвящена одной из двух основных ветвей
современной алгебры, а' именно теории систем с одним дей-
с гвием,—систем, которые мы будем просто называть группами,
употребляя этот термин в обобщенном смысле. Обычные группы
(которые можно было бы назвать „классическими", аналогично
„классическому" анализу) — конечные и бесконечные — являются
частным случаем этого обобщенного понятия о группе, поскольку
действие обычных групп является частным случаем понятия
о действии вообще; оно подчинено вполне определенным законам
(ассоциативному) неограниченной и однозначной обратимости
и т. п.), которые доказываются (в случае конкретных групп)
или просто постулируются (в случае абстрактных групп). Если
говорится о .действии", то предполагается и наличие объектов,
над которыми действие совершается; в абстрактной теории эти
объекты называются элементами. Природа этих элементов
для нас безразлична; безразлично также, как именно совершается
наше действие над взятыми элементами, но важно соответствие
между взятыми элементами и элементами, полученными в ре-,
зультате действия. Это соответствие (иначе соотношение)
выражается в,виде равенства. С рассмотрения равенства мы
и начнем.
Равенство, как известно, есть соотношение между двумя
элементами, подчиненное трем основным законам: симметрии
(если А =5, то и В<=А), транзитивности (если А = В, В=С,
то А = С) и рефлексивности (Л = А). Если А = В, то эле-
элементы А и В называются равными; в противном случае они
называются неравными или различными (что обозна-
обозначается: А ф В). Указанные три закона равенства позволяют
распределить все элементы по классам так, что элементы
одного и того же класса все равны друг другу, а элементы
из разных классов—различны. Когда говорят о конечности
или бесконечности данного множества элементов или о числе
элементов конечного множества, то имеют в виду именно
эти клагсы элементов, т. е., иными словами, равные друг'другу
элементы считаются за один элемент.
Укажем теперь на четвертый основной закон равенства—в связи
с действием: результат какого бы то ни было действия над

данными элементами не изменится, если данные элементы,
заменить равными им. При этом слова „не изменится" надо
поднимать: «перейдет в равный". Отсюда вы iекает обшее след-
следствие: во всяком выражении * или соотношении можно заменять
элементы равными им; от этого ни выражение не изменится,
ни соотношение не нарушится.
Мы предполагаем, что все элементы нашей системы (группы)
как-то индивидуально обозначены, хотя бы большими буквами
латинского алфавита со значками или без значков, ** п.ри этом
должно быть соблюдено следующее правило: разные (т. е.'не-
е.'неравные друг другу) элементы не могут быть обозначены одним
и тем же символом (т. е. одной и той же буквой с одним и тем
же значком).8 При этом условии дадим классификацию равенств
между выражениями из наших элементов. Равенства бывают
следующие:
1. Равенство только с индивидуально обозначенными элемен-
элементами (иначе — с «известными элементами); такое равенство
может быть верным или неверным; в первой случае оно выра-
выражает определенный индивидуальный факт; во втором случае оно
отбрасывается, как содержащее противоречие.
2. Равенство, куда входит,хоть один симрол (буква), не
являющийся обозначением ни одного индивидуального эпемента;
такой символ представляет „общий* или „переменный* или
„неизвестный" элемент. Такие равенства подразделим еще на
три рода:
а) Равенства-о*бозначения, служащие исключительно
лишь для того, чтобы сокращенно обозначить одной буквой
(Стоящей в одной части равенства) более или менее сложное
выражение (стоящее в другой части равенств^. Мы отмечаем
этот род равенств от остальных, ибо они, встречаясь на каж-
каждом шагу, не могут быгь причислены ни к тождествам, ни
к уравнениям. В таких равенствах, вместо обычного знака =,
мы будем писать ^.
б) Тождества—равенства, остающиеся верными, если мы
вместо символов „общих" элементов подставим символы любых
индивидуальных элементов.* Среди тождеств выделяется абсо-
абсолютное тождество, выражающее, что элемент равен самому
себе: А=А. Все остальные тождества условны; они выра-
выражают свойства или законы действия данной группы, и для иной
1 Мы не,даем определения термину .выражение", подразумевая под ним
то же. что подразумевается и в элементарной алгебре, только вместо чисел
предполагая элементу,
1 Для конечных и'исчислимых систем .обозначение" Э5ечентов не возбуж-
возбуждает сомнений. Хуже обстоит дело с ^неисчислимою системой: тут саму воз-
возможность обозначения элементов надо ставить, как постулат.'
3 Но обратное может быть когда различными буквами обозначены равные
Друг другу элементы.
* Это определение тождеству не сводится1 с тец, «акое дается в теории

группы могут и не б,ыть тождествами,. Например, р^ц
АВ*=В?. является тождеством для абелеэых групп ^i выражает?
коммутативной з,акоц действия группы; для групп же не абеле-
вых э/гр равенство не является"тождеством- Тождество идфгда
обозначает знаком Е.
в) Уравнения—все равенства, неподходящие под указан-
указанные выше типы. В уравнение должен входить, по крайцей;
мере, одиц символ, „общего" элемента, являющегося зт,есь „не-
известным", поскольку вообще неизвестно, какие индивидуальные
элементы следует подставить вместо „общего" (или „общих")
элемента, чтобы равенство оказалось правильным; эти индиви-
индивидуальные элементы называются корнями или решениями
данного уравнения, а нахождение их называется решением
уравнения. Может случиться, что данное уравнение совсем
не „имеет корней, или имеет корни, но не все элементы даннбй
группы являются его корнями, или, наконец все эле иен гы груп-
группы—его корни („удовлетворяют" ему;; в последнем случае,
поскольку мы знаем, что он имеет место, данное равенство есть
не уравнение, а тождество*.
Заметим еще, что существуют смешанные равенства: 'тож-
'тождества относительно- одних букв и уравнения относительно
других. Так, в гл. II, § 22, равенство C) есть тождество отно-
относительно элемента X и уравнение для С.
Возвращаясь теперь к нашему абстрактному действию, заме-
заметим еще раз, что оно является не чем иным, каь. только уста-
установлением соответствия между элементами — „данными*
и элементами — „результатами* действия; это соответствие вы-
выражается в форме равенства, в одной части которого стоят
элементы „данные", соединенные или объединенные специаль-
специальным знаком (буквою или специально придуманным значком),
символизирующим наше действие, а в другой части — один из
элементов .результатов действия". В дальнейшем мы ограни-
ограничимся случаем, когда „результат действия"—единственный эле-
элемент, вполне определенный „данными" элементами; такое дей-
действие однозначно (противоположность ему — Многознач-
Многозначное действие). Что касается количества .данных" элементов,
то оно может быть каким угодно — не только конечным, но
и бесконечным. Обычные так называемые „арифметические" или
„алгебраические" действия являются действиями с двумя дан-
данными" элементами; таковы- же и их обобщения — композиции
подстановок п символов, матриц, геометрических преобразо-
преобразований, и, наконец, отвлеченное действие обычных („классиче-
(„классических") групп. Но и действия с одним данным элементом широко
распространены в математике, часто, впрочем, в скрытой форме.
Такими действиями являются обычное дрференцирование (на-
(нахождение производной) и интегрирование (нахождение перво-
первообразной функции); элементами тут являются функции. Далее,
каждое геометрическое преобразование также является таким
Действием, элементы здесь —точки или иные геометрические
образы. Широко распространившийся в новой математике

оператор" есть тоже символ действия с одним данным элементом.
В гл. VII мы встретим примеры действия с п данными элемен-
элементами, где га>2; в современной математике таким действие!»
является решение алгебраического уравнения п— 1 степени; это
действие (га— 1)-значное над л данными элемевтами, коэфи-
циентами уравнения. Наконец, как пример действия с исчисли-
исчислимым множестьом данных элементов, можно привести стремление
к пределу членов ряда: а,, а2, а8...; Итал=аесть единственный
результат этого действия.

ГЛАВА /
ДЕЙСТВИЯ С ОДНИМ ЭЛЕМЕНТОМ
Подстановки
§ 1. Наши „элементы" будем обозначать малыми греческими
буквами с индексами или без индексов; действие обозначим
буквою 9. Рассмотрим сначала случай конечного множества
различных „элементов": а„ а2>... а„; произведя над каждым из
этих элементов наше действие, получим результаты:
На,, йа„... На„. A)
Здесь представляется два случая: 1) элементы A) те же самые
элементы аъ at>... а„ (может быть, только в ином порядке и не
все), 2) элементы A) (все или частично) отличны от аи а2(... а„.
Разберем сначала первый случай; он сводится к подста-
подстановке:
/а, а,... а. \ ,
\ ва, 9а2 ва J '
которую мы сокращенно обозначим1 j^' J. Здесь мы снова раз-
различим два случая:
a) Элементы A) все различны, т. е., так как число их рав-
равно п, то это все элементы j.,, gc2,... <хп, только в другом по-
порядке; иными словами, подстановка B) — обычная. Следова-
Следовательно, действие в таково, что из Оах = вал следует ах==ях или
приахг?ах и Эа^^Нах; такое действие однозначно обра-
обратимо. Далее, так как в ряду A) имеется каждый из элемен-
элементов а„ а2,... аП( то при данном я.^. из этого ряда всегда най-
найдется в этом же ряду такой элемент ох, что во^ = а,,. Говорят, что
действие в неограниченно обратимо. Таким образом
в случае конечного числа элементов законы однозначной и не-
неограниченной обратимости вытекают один из другого. Оба эти
закона говорят о существовании и однозначности обратного
к и действия, которое мы обозначим через в—1; оно соответ-
соответствует обратной подстановке и тоже однозначно и неограни-
неограниченно обратимо, причем (в-1) = в.
b) Может случиться, что в ряду A) не все элементы раз-
различны, откуда следует, что в этом ряду имеются не все эле-
элементы а1}... а„. Следовательно, в этом случае для действия в

не исполнены законы однозначной и неограниченной обрати-
обратимости; подстановку B) назовем в этом случае конечной
обобшенной; она не имеет обратной.
Разложение на циклы
§ 2. Разберем первый случай более подробно. Возьмем ка-
какой-либо из наших элементов, например, а, и будем над ним
производить наше действие в несколько раз.
0а, = ая, 0аг = а3 C)
(мы обозначаем 9а, через аг, 0а2 через а, и т. д., так как, ведь,
от нас зависит, как нумеровать наши элементы). Так как мно-
множество всех наших элементов конечно, то в ряду C) не все
элементы будут различными — с определенного места начнутся
повторения; предположим, что:
Goift _lj_! = <xk+l = ак
при наименьших k и /. Тогда, следовательно:
0aj = а.%, 0я2 = а3,... 0aft_i = ак,... 0aft+;_2 = «ft+i-i
все различны, но далее 0ай+г_! = аъ и элементы ак, aft+1,.. .a.k^i—i
повторяются периодически, тогда как а1( а2>... а^_г не повто-
повторяются.
Назовем k — родом, а I — порядком элемента ах.
Таким образом мы получим цикл, который можно схема-
схематически представить в следующем виде:
D)
Ф1г. 4.
Мы имеем „круг", составленный из элементов ак, aA+i,.. .+
с „хвостом", составленным из элементов а4, аа.... ak_i, „круг"
этот назовем „ядром" цикла, а также каждого из элементов
<*!,... а.к+1_ъ входящих в цикл. Если k+l—1 < л, то, кроме эле-
элементов а„... aft+l_!, существуют еще дальнейшие: ai, a'2 ;
взяв один из них, найдем и для него соответствующий цикл,
причем может быть один из следующих трех случаев: или этот
новый цикл не имеет с предыдущим ни одного общего эле-
элемента, или оба цикла имеют общее ядро; в последнем случае
этот взятый элемент (например, а.[) дает от ядра цикла D) новое
ответвление — новый „хвост"; или, наконец, взятый элемент^
только „удлинит" уже имеющийся в D) хвост (если а^ непо-
ю

средственно или -посредственно переходит в а,). Таким обра-
образом всякую обобщенную подстановку можно разложить на циклы
вида D;, причем не исключается возможность, что ядро такого
ци.ла состоит всего лишь из одного элемента; хвостов может
быть несколько, а может и совсем не бьпь; в ^последнем слу-
случае подстановка обычная, разложенная обычным образом на
циклы, состоящие только из одних ядер.
Пример. Разложить на циклы подстановку:
/0 123456789 ap?s
\5a73364pi 1 2a54
Здесь имеем два цикла:
/
/
?¦ ' E)
Ядро первого цикла сострит из одного только элемента 3,
переходящего в самого Ge6g.
Совокупность ядер всех циклов, на которые разлагается
данная подстановка, образует обычную подстановку — глав-
главную часть данной подстановки; входящие в эту главную
часто элементы назовем тоже главными. Так, в предыдущем
примере эту главную часть составляют циклы:
d
7,
/ 2 3 7 a p \
\7 3 р 2а/
дающие обычную подстановку:
2 3 7а
3 р 2
Заметим, что все элементы одного и того же цикла имеют один
и тот же порядок, который равен числу элементов ядра; роды
же нх вообще различны; элементы ядра имеют род, равный 0. Наи-
Наибольший из родов элементов цикла назовем родом, цикла, а
порядок его элементов — порядком цикла, если цикл состоит
только из ядра (без хвостов), то условимся его род считать
равным 1 (а не 0).
Обратим внимание на начальные элементы всех хвостов цикла
(в первом из циклов, E) это 0, "f, S, е; во втором—8, 9), назовем
их генераторами цикла, ибо они его порождают и вполне
определяют (при данном действии 0). Если цикл состоит из
11

одного только ядра (без хвостов), to за его генератор можно
принять любой из его элементов. Если же цикл имеет хотя бы
один хвост, то его генераторы вполне определены, как началь-
начальные элементы хвостов.
Группы и подгруппы
. § 3. Возвращаемся опять к нашему действию в. В рассма-
рассматриваемом первом случае назовем систему элементов^, а2 а№
группой относительно действия О; п — порядок группы.1 Как
мы видели, такой группе соответствует подстановка B), разло-
разложимая на циклы; каждый из этих циклов сам составляет группу
относительно в — подгруппу всей группы. Таким образом
вся группа распадается на такие подгруппы — циклы, совер-
совершенно независимые друг от друга в том смысле, что никакая
нх пара не имеет общих элементов; каждая из этих подгрупп
порождается одним или несколькими генераторами (см. конец § 2);
все эти генераторы всех циклов составляют систему генерато-
генераторов группы. Генераторы разных циклов совершенно независимы
друг от друга. Между генераторами одного и того же цикла
существуют соотношения, которые мы'и выявим.
Введем для этого такие обозначения: если 0^
а4=9а8, то будем обозначать в8 = вааь a4 = 03<Zi,...
В таком случае, например, в цикле D), будем иметь:
это и есть (здесь единственное) соотношение, которому удов-
удовлетворяет генератор а,. В. первом цикле (о) имеем соотношения;
е60=е«0, 0^ = 00, 05=в3О, 0е=0«О;
во втором цикле E) имеем:
в«8 = 0*8, 99=08.
Конечно, эти соотношения между генераторами для данного
цикла определены вообще не однозначно. Если цикл состоит из
одного только ядра с т элементами:
то всякий из элементов а„ ог>... ат можно принять за генератор,
и имеем только одно соотношение для взятого генератора, на-
например, для a,: fimdLt =at.
Циклы являются не единственными подгруппами всей группы;
1 Мы здесь определяем порядок конечной группы, как число всех различ-
различных ее элементов, в соответствии с определением порядка обычной конечной
группы; но этот порядок группы не имеет ничего общего с порядком соответ-
соответствующей подстановки (см. ниже).
12

если г. число всех циклов, то совокупность s (s<r) из этих
циклов тоже составляет подгруппу, т. е. всего таких подгрупп:
(включая сюда и с*му группу). Но и это вообще еще не все
подгруппы: „урезывая" (целиком или частично) хвосты у цикла,
получаем тоже подгруппы (только ядро каждого цикла должно
оставаться неизменным).
Повторение действия; род, порядок
§ 4. Среди всех возможных действий й отметим действие Е,
обладающее свойствами: Еа=а для всякого элемента а Такое
действие назовем тождественным; при нем каждый элемент
это — цикл, состоящий* из одного одночленного ядра; подста-
подстановка, соответствующая этому действию, есть тождествен-
тождественная подстановка Е.
В § 3 мы уже говорили о „повторениях" действия Н,
выражающихся символическими степенями: 0г, 93,...; эти степени
являются новыми действиями, которым соответствуют степени
подстановки B). Так как при конечном числе п элементов суще-
существует только ограниченное число возможностей для 'действия и
над ними, то, следовательно, существует только конечное
число ( = ля) различных-действий (и столько же различных под-
подстановок). Следовательно, при некоторых наименьших (це-
(целых, положительных) Ли/ будем иметь:
¦е**'а = в*а F
для всякого элемента ах: (условим?я при этом считать eja=ea);
будем эхо обозначать сокращенно:
0*+' = в*. Fа)
Число к назовем родом, а /—по рядком действия 0 и соот-
соответствующей подстановки B) (этот порядок действия не
следует смешивать с порядком группы). Легко видеть, что
род действия равен нанбольЧиему из родов циклов, на которые
распадается соответствующая подстановка, а порядок действия
равен общему наименьшему кратному порядков этих циклов.
Если действие в однозначно обратимо, т. е. существует
обратное действие Э, то для всякого элемента a 0~'8a = a,
т. е. можно написать: 0—1Э = Е (и, очевидно, в(>~1=Е); в этом
случае подстановка B) — обычцая, ее род (и род действия (*)
равен единице, и при этом 0' =Е или 0~1 = ОГ~1. Но обратное
заключение неверно: если род подстановки и действия равен 1, то
отсюда еще не следует, что подстановка обычная, а действие
однозначно обратимо; а именно: из равенства в'+1=0 еще не
следует, что 0'=Е; может случиться, что циклы в этой подста-
подстановке имеют одночленные хвосты..
Очевидно, что Ег = Е; но это свойство не характерно для
тождественного действия, а именно: если в циклах для дей-
действия в все ядра и все хвосты одночленны, то для этого
13

действия (и для соответствующей подстановки B) тоже А2 = в,
хотя,Ф:?Е. Такое действие (и соответствующую ему подста-
подстановку) назовем идемпотёнтным. Докажем, что среди сте-
степеней всякого действия имеется всегда одно, и только одно
идемпотентное действие. Так, по Fа) имеем:
вообще e*+'+k= 9*4>- при всяком X; при X «= I в*+2Г= в*+'= 0*;
отсюда вообще при всяких X и ji
вообще e 9 при всяк
отсюда вообще при всяких X и
9>чЧ
выберем X так, чтобы было:
для этого должно быть: X = и./ — ?, йри этом р. таково, что yl^k.
По G) при различных j* получаем одно и то же действие в*',
причем (в'Л')а= 9'^= О*1*, т. е. в*' идемпотентно.
Композиция подстановок
§ 5. Вернемся еще раз к обобщенной подстановке Л:
! *? «У-:»» V (8)
здесь <Xj, а.р...ь'п—те же элементы *„ о^.-.а^, только в ином
порядке и (если А действительно обобщенная подстановка) не
все, в то время как некоторые повторяются больше одйбго раза.
В>такой подстановке обязательно имеет место» случай, когда
два различных элемента а»'и ах переходят в один й тот же
элемент, или, если верне»#ся к соответствующему деАетвию в»
когда Й1Х= 9а, при ахф^.
Такие два элемента а.х и ах назовем сопряженными в под-
подстановке А, а самый этот факт — сопряжением. Если не-
несколько, например, X различных элементов переходят в один
и тйт же в данной подстановке Л^напр'имер, если Оя, =^^аа =
==... = Оях, то Этот факт мы обозначим, как X— 1 сопряжение.
Число всех сопряжений подстановки А, сложенное с числом
различных элементов в нижней строке А, очевидно, даст в сумме
п (число всех элементов верхней строки).
Если в, и Ц, два (различных или одинаковых) действия няд
теми же самыми элементами а,, яг,...а„, то последовательное
производство действий в, и й-2 дает новое действие А2в,, опре-
определяемое формулой: М29,а = <-l2(f>,a) для всякого а. Этой ком-
композиции действий соответствует композиция подстановок: если
действию Н, соответствует подстановка Л,, а действию б,,—
подстановка А.г) то действию ва9, соответствует „произведение"
подстановок: АгА.г. Для этого символического умножения (ком-
(композиции) действий и подстановок коммутативный закон невереи,
но сй Ъ '
но
14
у р,
ассоциативный Закон верен; именно, пусть Ъга—- а',
= а", нза*= а"', тогда: (в,9г)в3а = ^(в^а = а'"—для вся-

кого элемента; это показывает, что вообще (в1ва)98= в, (9,e3)g=
= в,в2гK. * (Аналогичное имеем для подстановок).
Если В, и в2 однозначно обратимы, то и Q3= 02в, тоже; об-
обратно, если 08 й один из сомножителей (О, или 02) однозначно-
обратимы, то и другой сомножитель тоже.
Если действие 9 однозначно обратимо, то из 00Л = 9й4 или
из (-1,0= 0г6 следует в1= <->г; далее, уравнения 0Х = 0' и Yfc>=>W
при всяком й' имеют реш'ения: Х= 0-1 0' и У=н'в~1.
Соответствующее имеем и для подстановок. Из предыдущего
заключаем:
Теорема. Композиция действий над одним элементом (опе-
(операторов) есть ассоциативное действие над двумя элементами.
Если действия над одним элементом однозначно и неограни-
неограниченно обратимы, то и для их композиции верен закон одно-
однозначной й неограниченной обратимости; такие действия обра-
образуют обычную группу.
Все этб относится и к подстановкам, котбрые являются по
существу только иным обозначением действий Над одним эле-
элементом.
Трансмутацйй
§ 6. Рассмотрим теперь второй случай § 1, т. е. случай
когда элементы A) все или частично отличны от элементов а„
а2,...ап. В этом случае действие н расширяет область наших
элементов, к которым присоединяются еще элементы A). Или,
иначе, если рассматривать и элементы A), как данные, то можно
сказать, что действие в выполнимо не-над каждым элементом,
а только над элементами а,, а2)...а„. Соответствующая такому
действию подстановка B) называется т ран с мута цие й.2 Осо-
Особенность трансмутаций та, что не всякие две трансмутации мо-
могут быть скомпонированными одна с друго$: если А и В—
трансмут'ации, то для того, чтобы существовало АВ, необходимо
и достаточно, чтобы все элементы нижней строки Д входили
в верхнюю строку В.
Легко видеть, что если А компонируется с В, а В с С, то
и АВ компонируется с С и Л с ВС, причем верен ассоциатив-
ассоциативный закон: (АВ)С = А(ВС).
Очевидно, что никакая трансмутация не компонируется сама
с собой — степеней трансмутации не существует.
Могут быть случай композиции трансмутаций с подстановками
и подстановок с трансмутациями. Результат такой композиции
1 Два действия et и в2 мы считаем равными: ©t = в2, если для бся-
к о г о э 1емента а 0ха= в2а.
2 Понятие о грансмутации ввел A Loewy (Ober abstract definierte Transmu-
tatlonssysteme oder Mlschgruppen, Journ. Crelle, Bd. 157 A927), S. 2J9-254); он
определяет трансмутацию, как такую подстановку I " I» где нижние
, • • ' \PiP8p!--- /
элементы pi, рг, ро>... все различны меэкду собой и отличны от -верхних. Мы
несколько обобщаем это понятие.
15

не» непременно трансмутация: он может быть и подстановкой,
как показывают следующие примеры:
/1 2 3 4\ /3 4 а В\_ 1 2 3 4\
\а 4 а 4/ \а 3 4 p/iU 3 4 3/*'
/1234W123 4\_/1 2 3 4\
\4 2 2 4/\а 3 р 1/ \1 3 3 1/"
Особенно интересен случай, когда в нижней строке трансму-
трансмутации А все элементы различны, т. е. соответствующее действие
однозначно обратимо; в таком случае существует .обратная"
трансмутация А, соответствующая обратному действию. Про-
Произведения АА~-1=*ЕУ и А~ХА = Е— тождественные подстановки,
но над различными элементами.
Пусть А — данная подстановка, соответствующая дей-
действию 6, а Р — подстановка или трансмутация, имеющая обрат-
обратную Р~\ причем в верхней строке Р те же элементы, что
и в верхней строке- А. Тогда существуют Р~1А, АР, а следова-'
тельно, и Р~ХАР, причем последняя есть «подстановка, получае-
получаемая из А, если мы в циклах А каждый элемент заменим тей,
каким он заменяется в Р, т. е. подстановки А и Р-гАР отли-
отличаются друг от друга только обозначением элементов;
такие подстановки называются подобными; с отвлеченной
точки зрения они ничем не отличаются друг от друга. Итак,
•операция Я—'ЛР есть перемена обозначени й "элементов.
Если <-> и в' —действия, соответствующие подстановкам А
и Р~ХАР, то группы относительно этих действий изоморфны.
.Если при этТш Р—подстановка (а не трансмутация), то обе эти
группы состоят из одних и тех же элементов, но они различны,
ибо действия вив' различны. Действия же эти совпадают
тогда, и только ^огда, если А = Р-1АР или РА = АР, т. е. если
подстановки А и Р перемести мы; в таком случае мы имеем
автоморфизм группы. .Обратно, легко видеть, что изомор-
изоморфизм двух групп, в частности, автоморфизм группы может быть
представлен только таким образом.
Позже (в гл. V) мы увидим, что трансмутации вместе с обыч-
обычными подстановками могут образовать так называемые «сме-
«смешанные группы" A. Loewy и „группоиды" Brandt'a.
Подстановки с исчислимым множеством элементов
§ 7. Переходим'теперь к случаю, когда множество элемен-
элементов бесконечно исчислимо: а,, а2, а8,.. .in inf. В таком случаи
действие над одним элементом приводит к подстановке
с исчислимым множеством элементов:1
(а.х <х4 а8... in inf.
0а3... in inf
" )•
1 Такие подстановки рассматривает A. Haar, Ober uneitdliche kommutativc
Gruppcn. Math. Zeitschr., Bd. 33 A931), S. 129—159, § 1. См. также мою pa6oTv:
Ober einen merkwiirdigen Typus der verallgemeinerten unendlichen Gruppen.
Записки Харк. MdT. т-ва, сер. 4, т. 9 A934), стр. 39—44.{
l.i

Можно различить четыре типа таких подстановок.
Тип 1. В нижней строке (9) встречается каждый элемент <и
« только по одному разу; назовем такую подстановку
обычной; для такой подстановки существует обратная. На-
«пример (если элементы обозначим просто номерами: 1, 2,3...),
л /12 3 4567 8...\/ п \
\21 43658 7... У U + <— I)"'11/
Легко видеть, что здесь обратная подстановка: А~1= А.
Тип 2. В нижней строке (9) все элементы различны, но
-среди них встречается не каждый элемент ах, например:
/12 3 4 5 6 7 8... \(п\
\ 2 4 6 8 10 12 14 16... )\2п)'
Тип 3. В нижней строке (9) встречаются и одинаковые эле-
элементы, и все-таки туда входит каждый элемент верхней
строки, например:
п
/ 1 2 3 4 5 6 7 8. .. \_( rjra_—J "]
\1 1 2 2 3 3 4 4..J \L 2 J
Ff'H
тде | -'-*-¦—-- | — наибольшее целое число <
Типы 2 и 3 не имеют аналогии в области конечных подста-
подстановок.
Тип 4. В нижней строке. (9) не все элементы различны,
я среди них встречается не каждый элемент а.\ верхней строки,
^например:
/1
\2
23 4567 8...
2 2 4 4 6 6 8 8.
Подстановки с исчислимым множеством элементов можно
«омпонировать друг с другом, как конечные подстановки, при-
причем легко убедиться, что для этой композиции и здесь верен
ассоциативный закон, тогда как коммутативный закон вообще
неверен; например:
2W \2/г+2(-1Г7
1 2 3 4 5 6 '7 . 8...
4 2 8 6 12 10 16 14...
U) (л + (- О' ) V2«+(-l)8n+1) ( 2п - 1 )
/ 1 2 3 4 5 6 7 8...\
U 3 5 7 9 11 13 15.../
•Сушкевич—4ST—а ]7

Подстановки типа A) (обычные) образуют, как легко видеть,
обычную бесконечную группу; роль единицы здесь играет тож-
тождественная подстановка:
12 3 4 5../
/^ ,1-2345..Л
U/ \1 2 3 4 5..J
Далее легко видеть, что произведение двух подстановок,
типа 2 есть тоже подстановка типа 2, а произведение двух под-
подстановок типа 3 — тоже подстановка типа 3.
Для всякой подстановки А типа 2 существует бесчисленное
множество правых обратных подстановок, т. е. таких подстано-
подстановок Л', что АА' — Е, причем все эти подстановки А' типа 3.
Подобно же, для всякой подстановки В типа 3 существует,
по крайней мере, одна левая обратная, т. е. такая подстановка 5V
что В'В — Е, причем всякая такая подстановка В' типа 2.
Именно, пусть подстановка А = ( Я| а* Лз"' j типа 2, т. е. 3„.
Ра» "Р»» - - - РЯД различных элементов аА, но не все ах туда входят.
Обозначим через ifж,iТа» Ъ>--- те элементы sx, которые не встре-
встречаются среди Рри (множество этих элементов •*, конечно или бес-
бесконечно). Строим подстановку А' следующим образам: элемент
Si в А' пусть переходит в ctk (к = 1, 2, 3,.. .In inf.), элементы же
7Р—в любые из элементов а*. Построенная таким образом под-
подстановка А'—типа 3, и АА'=Е, причем вследствие того, что
в А' элементы ч? могут переходить в любые ак, А' опреде-
определяется бесчисленным множеством способов.
Пусть теперь В — типа 3; выберем в верхней строке В эле-
элементы 3^ За, 83,... так,1 чтобы 8х переходило в а». (\= 1, 2,
3,...in inf.); такие элементы 3>. существуют при всяком л в верх-
верхней строке В.
Теперь определяем: В'- ( ' 1; В'—типа 2, и В'В = ?. Так как
ряд элементов 8j, 8г, 88i... вообще можно выбрать многими,
(иногда и бесчисленным множеством) способами, то таких под-
подстановок В' существует вообще несколько (иногда и бесчислен-
бесчисленное множество).
/ _* \
Например, легко видеть, что подстановка И N-1 I —
правая обратная для { 4; подстановки j | и I ) — обе-
\2tiJ \2п) \2я — 1/
( -*
левые обратные для ( ^— + 1
1 При этом применяется аксиома Цермело (Auswahlprinzip).
.18

Если обозначим через А; В, С подстановки соответственно
2, 3 и 1 типов, то легко видеть, что АС и СА — типа 2, а произ-
произведения ВС и СВ — типа 3. Отсюда следует: уравнения АХ—С
и YB = С всегда имеют решения X (типа 3) и У (типа 2).,
Действительно, пусть АА' = Е, тогда Л {А'С) = ЕС = С, т. е.
Л'С = Л" тиг1а 3. Пусть, далее В'В = ?;. тогда {СВ)В= СЕ = С,
т. е. Г = С5' типа 2.
Вообще же произведения подстановок 2 и 3 типов будут
подстановками типа 4.
Геометрические преобразования
§ 8. Переходя теперь к случаю, когда множество данных
элементов а неисчислимо, заметим, что нечто реальное мы здесь
получим только в том случае, если припишем нашему множе-
ству элементов а топологические свойства, в частности, свой-
свойство непрерывности. Таким образом множество элементов а
составляет топологическое пространство и действие 0 над ними,
в общем случае, есть преобразование топологического про-
пространства или его части (области). Й здесь нечто реальное мы
получим только в том случае, если поставим еще условие, что
это преобразование в — непрерывно, т. е. если бесконечный ряд1
элементов а,, а.,, а8... имеет точку сгущения а, то и ряд соот-
соответствующих элементов ва,, ва2, ©а3>... имеет точку сгущения 9а.
Если еще при этом действие 0 однозначно и неограниченно
обратимо, то существует и обратное действие С», и соответ-
соответствующее преобразование называется топологическим.
И здесь возможны два случая: иЯи множество элементов 9а не
содержит иных элементов, кроме самих элементов а (т. ё. иЛи
множество 9а сливается с множеством а, йлй составляет часть
множеств^ а), или множество Ш содержит новые элементй (Все
или частично); первый случай соответствует ЙЬдста(нййкам; Йто-
рой — транемутацийм.
Переходя к аналитическому вйражейию Этих преобразований,
мы, в первую очередь, сталкиваемся с понятием о числе изне-
рений пространства, т. е. о чисЛе координат, которыми опреде-
определяется каждый наш элемент а. Обозначая это число измерений
через п и координаты элемента (точ'ки) й через х,, хг,...хп,—
имеем аналитическое выражение общего непрерывного преобра-
преобразования:
Х! = /l (Xl> *2' • • • Хп)г -*2 == А 0*1> -*2> • • • Хп)> • • •
•«;=/п(л„ хг,...хп), (Ю).
где х[, х'2,.. ,хп — координаты точки 9а, a fv /,, .. ./„ — любые
непрерывные функции своих аргументов в данной области, обра-
образуемой всеми нашими элементами а.
Координаты л,, xst... х^ данной „точки" л вообще произ-
произвольны; мы можем предположить, что это —ортогональные
декартовы координаты в пространстве п измерений; этим мы
19

специализируем наше топологическое пространство. Ставя допол-
дополнительные условия для функций A0), мы специализируем наше
преобразование. Так, поставив условие однозначной разреши-
разрешимости уравнений A0) относительно jc,, хъ,.. .хп, по крайней мере,
в некоторой области, мы получим топологическое преобразова-
преобразование (непрерывное, однозначно и неограниченно обратимое). По-
Поставив условие неограниченной диференцируемости функций A0)
и неравенства нулю функционального детерминанта (якобиана)
?>(-/' -/*J.'l/l\ A1)
, Хх Х2. ¦ -Хп I
в некоторой области, получим преобразования, которые рас-
рассматривал S. Lie. Взяв за функции_Д дробовые линейные функции
с одним и тем же знаменателем, получим общее проективное
преобразование. Взяв за функции _Д целые однородные линей-
линейные функции отх1гхл,.. .хп, получим аффинное преобразование.
Наконец, взяв fy целыми, однородными, линейными функциями
от хи х2, ... хп, составляющими нормированно-ортогональную си-
систему, получим ортогональное преобразование,1 представ-
представляющее вращение всей нашей системы вокруг неподвижной
точки, или, иначе, преобразование прямоугольных декартовых
координат в прямоугольные же, с тем же самым началом.
Функций A0) необратимы в том случае, если (при их дифе-
диференцируемости) функциональный детерминант A1) равен нулю
(тождественно, например, в некоторой области). Это условие
говорит, что функции fk (в этой области) зависимы друг от
друга, т. е. существует, по крайней мере, одно соотношение
вида F(flfft,.. ./„) = 0 или F(x'v х'2,. ..х'п) = 0. Это показывает,
что точки (x'v x'v .. ,х'п) или 9я лежат в некоторой гиперповерх-
гиперповерхности, т. е. рассматриваемое преобразование переводит область $
измерений в область меньшего числа измерений. Конечно, такое
преобразование необратимо, тогда как при детерминанте A0),
отличном от^нуля, соответствующее преобразование, хотя бы
в некоторой области, однозначно обратимо. Итак, необратимые
преобразования характеризуются тем, что переводят область п
измерений в область меньшего числа измерений.
Линейные подстановки, матрицы
§ 9. Рассмотрим подробнее аффинные или, иначе, линейные
преобразования. Аналитическое выражение такого преобразова-
1 Система линейных форм: /к = V a)(luх^ (X = 1, 2,... я) нарывается норми-
рованнО'Ортогональной, если выполнены условия:
л п
ху- /а~ ^ При Х^СГ Л, X 04,.— 1>
(Коэфициенты при этом предполагаются все «реальными).
20

ния есть линейная подстановка:
п
9; (а =1,2,... га). A2)
Для удобства дальнейших выкладок „старые" переменные
мы здесь выражаем через чновые"; существенного значения это
не имеет, как и вообще никакой роли не играет обозначение
переменных. Некоторые авторы применяют даже одно и то же
обозначение для „старых" и для „новых" переменных и пишут
вместо A2):
(л;а(?оозл:р); (а** 1,2.... л). A2а)
Линейная подстановка вполне определяется коэфициентами а*$
(а, р = 1,2,... га) и может быть просто задана таблицей этих
коэфициентов:
Такая таблица называется матрицей'и обозначается обычно
одной буквой, например, матрица А. Функциональный детерми-
детерминант A1) для функций A2) есть не что иное, как детерминант
матрицы A2Ь):
и21 аю...ашп^ A3)
#л1 йпч. ¦.. а„„ \
Следовательно, линейная подстановка A2) тогда и только
тогда неограниченно и однозначно обратима, если ее детерми-
детерминант A3) отличен от нуля. Обратная подстановка:
где Л„р — минор»—1 порядка матрицы А, соответствующий
элементу матрицы аа?. Обратной подстановке соответствует
обратная матрица А~г, при этом |Д~М— .
\А\
Матрица вида A2Ь) — квадратная; она состоит из га* „эле-
„элементов" аар, расположенных, в я строк и га колонн, число га
есть порядок матрицы. Матрица 1-го порядка есть отдельное
число а. Отметим еще следующие матрицы:
21

1) Единичная матрица га-го порядка:
/1 О О ... О
О 1 0...0
Еп = 1 О О 1 ... О
О 0 0...1
соответствующая тождественной подстановке ха—ха{а.= \, 2,.. .га);
очевидно |?„| = 1.
2) Нулевая матрица га-го порядка, все элементы которой
равны нулю; она обычно и обозначается нулем и соответствует
подстановке, в которой все точки га-мерного пространства пере-
переходят в одну и ту же точку 0 (начало координат).
Понятие о матрице обобщается на случай прямоуголь-
прямоугольных матриц, в которых числа строк и колонн неодинаковы;
так, m/t-матрицей называется матрица, состоящая из тп эле-
элементов, расположенных в т строк и га колонн:
ап а12 ... а1п
Прямоугольную матрицу, конечно, тоже можно истолковать,
как отображение га-мерного пространства на /и-мерное, хотя
обычно такого толкования не дается, и она рассматривается
или как таблица коэфицнентов уравнений или функций, или
просто отвлеченно.
1я-матрица есть просто строка (аь а2, ... ап); ml-мат-
рица есть колонна
Очень важно понятие о ранге матрицы, квадратной или
прямоугольной. Матрица имеет ранг г, если среди ее детерми-
детерминантов (миноров) г-го порядка ;т. е. таких, которые составятся
из элементов, стоящих на пересечений г взятых строк и г взятых
колонн этой матрицы) есть, по крайней мере, один, не равный нулю,
тогда как все детерминанты (r-i-l)-ro порядка этой матрицы
равны нулю. Ранг квадратной матрица га-го порядка > 0 и < га;
ранг 0 имеет только нулевая матрица. Матрица, у которой г = га,
т. е. ранг равен порядку, называется неособенной или ре-
регулярной. При г<га — матрица особенная. Обратная мат-
матрица существует только у неособенной и сама — тоже неосо-
неособенная. У mra-матрицы ранг не больше наименьшего из чисел
т и га.
22

Композиция преобразований и матриц
§ 10. Переходим теперь к композиции геометрических пре-
преобразований или отображений. Если преобразование Л переводит
область Гх в Га, а преобразование В переводит область Г, в Г4,
то скомпонированное преобразование АВ, перейодящее область
Г, в Г4 или в часть Г4, существует тогда, и только тогда, если
Та С Г3, т. е. или Г2 сливается с Г3, или Г2 составляет часть 1%.
Легко видеть, что для композиции преобразований верен
ассоциативный закон: если существует АВ и ВС, то существует
и {АВ) С а А (ВС), причем (АВ) С = А (ВС). Действительно,
пусть А переводит область Г, в Г2, В переводит Г, в Г4, и С
переводит Г5 в Г„; тогда по условию Г2_СГз, F< CIY, АВ пере-
переводит Тл в Г^ХГ4; следовательно, Г^ С Гг,," и (АВ) С существует;
очевидно, что и А (ВС) существует. Пусть теперь А переврдйт
элемент а в ?, В переводит р в |,С переводит if в 8; тогда
и (АВ)С, и А (ВС) переведут а в S; так как это верно для вся-
всякого элемента а, то (АВ)С — А(ВС).
Таким образом ассоциативный закон теснр связан с преоб-
преобразованиями: при композиции всяких преобразований ассоциа-
ассоциативный закон верен. Коммутативный же закон вообще неверен.
Обозначив через Е тождественное преобразование, а через
Л — преобразование, обратное к А (если оно существует),
имеем:
AA~l = Е, A~*A=El.
При композиции ^играет роль единицы, точнее: если Е ком-
¦понируется с А справа, то АЕ = А; если Е компонируется с А
слева, то ЕА = А.
Как частный случай композиции преобразований, мы имеем
композицию квадратных матриц, причем вычислением найдем,
что при .
А = (ааР),2 В = (fcp), C=AB= (с*)
будет:
п
с*? = ?:а« bxj (а, р = 1, 2, ... л). A6)
.(Порядок данных матриц мы считаем равным га).
В теории матриц формула A6) принимается за определение
произведения квадратных матриц, так что это „перемножение"
матриц производится уже чисто формально ^комбинированием"
строк множимого с колоннами множителя — при этом отвлека-
отвлекаются от представления матриц, как преобразований. В этом
чисто формальном смысле мы можем поставить вопрос о
1 Следует иметь в виду, что тождественное преобразование относится к опре-
детенной области, а следовательно, оно не единственное, а различное длр раз-
различных областей. Если, например, А переводит область fj в Г5, тд в формуле
АА -Л=ЕЕ — тождественное преобразование области Г,, а в формуле А—М=?
Е— тождественное преобразование Г».
1 Так сокращенно обозначаем матрицу.
23

„перемножении" и прямоугольных матриц. Чтобы можно было и тут
формально применить формулу A6), нужно, чтобы число колон»
множимого равнялось числу строк множителя (равного я); это —
необходимое и* достаточное условие перемножения двух пря-
прямоугольных матриц. Итак, если А = (ааъ) тя-матрица, В —
) яр-матрица, то С = АВ — (са?) /я/?-матрица, причем:
c*f= ?
(а = 1,2, ... т; 3 = 1, 2, ... р).
A6а>
Определив чисто формально произведение матриц формулам»
A6) и A6а), мы должны формально проверить правильность
ассоциативного закона для этих произведений; это' труда не
представляет, и мы не будем на этом останавливаться.
Отметим еще такие общеизвестные теоремы:
1) Детерминант произведения квадратных матриц равен про-
произведению детерминантов сомножителей. Отсюда следует: произ-
произведение неособенных матриц тоже неособенная матрица.
2) Ранг произведения матриц (квадратных или прямоугольных)*
не больше ранга каждого из сомножителей. Отсюда следуете
если хоть один из сомножителей особенная матрица, то и все
произведение тоже особенная матрица.
Теоремы о матрицах
§ 11. Докажем ряд теорем о матрицах.
Теорема 1. Если А тп - матрица, В «р-матрица, обе ранга/с
(я<т,га<р), то матрица АВ тоже ранга п.
Доказательство. Пусть А = (аа3), В — (&„,) и, например,.
a,l Clafi
?13,
Ф0;
тогда А, Вх ф 0; но это—детерминант и-го порядка матрицы АВ,
В то же время все детерминанты (га + 1)-го порядка этой мат-
матрицы равны нулю (это следует хотя бы из обобщенной теоремы
умножения детерминантов). Таким образом т|Ьрема доказана.
При т=р матрица АВ квадратная, m-го порядка и л-го-
ранга. В этом случае существует и матрица ВА л-го порядка;
ранг ее может быть и<«.
Теорема 2. Всякая /ге/нматрица ранга я (га < т, я< р) может
быть представлена, как произведение /ига-матрицы и.«р-матрицьр
(причем оба сомножителя ранга л).1
1 Для случая ш = р, т. е. для квадратных матриц эту теорему высказал*
Kronecker, Bemerkungen zur Determinantentheorie. Werke, Bd. I, S. 237.
24

Доказательство. Пусть С = (с?), (а = 1,2, ... /я; 8 —
,2, ... р) — данная матрица ранга я и пусть:
Са р . . . Сл <? '
Г= . " - "". ' =Ь0. A7>
Возьмем
А—/ил-матрица ранга л, так как Г—'один из ее детерминан-
детерминантов га-го порядка. Найдем яр-матрицу X = (х*$), (а = 1,2, ... га;
Р = 1, 2, ... р) так, чтобы было: АХ = С> это дает систему тр-
линейных уравнений с пр неизвестными ха$.
(а= 1,2, ...от; р« 1,2,... р).
А=1
При данном ,3 A8) есть система m уравнений с л неизвестными
¦tip, Лть... .«я?; матрица коэфициентов этой системы есть А ранга я;,
присоединив к ней колонну свободных членов уравнений A8),.
найдем матрицу:
которой ранг остается равным п, ибо эта матрица составляет
часть матрицы С, т. е. ее ранг не может быть > га, а с другой
стороны, матрица Аи включает в себе А, т. е. ее ранг не можег
быть и<га. "**
Итак, при всяком значении ,3 = 1,2,...р система A8) имеет
одно, и только одно решение х^, лг2р,... х„$; эти р систем ре-
решений и составляют «р-матрицу X, которая, таким образом,,
вполне определена при данном А. Ранг X есть я, ибо ранг
произведения АХ = С равен я. Таким образом теорема 2 дока-
доказана.
При т = р С—квадратная матрица т-го порядка, а А —
я/я-матрица; возьмем вместо буквы X букву В; тогда С—АВ^
Но в этом случае существует и матрица: СХ=ВА. Это квадрат-
квадратная матрица га-го порядка и ранга < п; рассмотрим случай,,
когда ранг С, равен л, т. е. когда детерминант: \С1\ф0. В этот
случае существует обратная матрица, С{~\ так что:
25

Обозначим:
С^1 В = Alt AC~X = В';
Аг — га/ге-матрица, В'—тл-матрица, обе ранга га (по теореме 1).
Имеем:
ВВ' = ВАСГ1 = С.С'1 = Еп;
AtA = СГ1 ВА = С~1 С, = Еп;
•обозначим еще: В'В = I; тогда:
АА, = ДСГ1 В = В'В = I;
.далее:
/2 = В'В В'В == ?'?„? = ?'? = /,
т. е. /—и д ем поте нтн ая матрица.
Теорему 3. Матрица / есть двусторонняя единица для С;
^существует „обратная" к С матрица С' ртносительно /, т. е.
такая матрица С, что:
СС'=С'С= I.
Доказательство.
С/ = ABB'В = АЕпВ ^
1С = АА^АВ = АЕпВ =
(В'Аг) С = В'А^АВ = В'ЕпВ =
т. е. С' = Б'А', и есть искомая „обратная" матрица к С, она, как
«Си/, m-vo порядка и ранга л.
Заметим, что теорема 3 верна лишь при условии, чтобы
матрица л-го порядка Сг = ВА была и ранга п (при С= АВ).
Докажем и обратную теорему.
Теорема 4. Если матрица Р т-го порядка и ранга я имеет
двустороннюю единицу / и „обратную" матрицу Р относи-
относительно /, то для всякого разложения Р = LK, где /. — /ига-мат-
рииа, а К—я/га-матрица, матрица KI. будет ранга п, т. е.
детерминант \KL\d^Q.
Доказательство, /и Р', очевидно, ранга я. Пусть K.L —
= Г^ из ЯР' = / и Р = LK получаем: Z. (АГЯ') = h обозначим:
КР' *> А; тогда ZZ, =/; следовательно: LKLLX =&.РЛ1Л или Я/=
= f.PiLu но Я/='Р, т. е. P*=.LPxLi\ это показывает, что ранг Р,
равен л, ибо ранг Р равен га, а ранг произведения не может
быть выше ранга каждого из сомножителей.
Следствие. Если для какого-нибудь одного разложения
Р = LK (L — mra-матрица, К—ram-матрица) j AX J =Л 0, .то и для
всякого подобного же разложения Р — YX также \XY\^O.
Такую матрицу Р назовем обычной.
Теорема 5. Если Р обычная матрица, то и все степени Р
обычные и того же ранга, что и Р. Обратно, если (при опре-
определенном показателе k) матрица Р* того же ранга, что и Р,
то Р (а значит, и все степени Р) — обычная матрица.
26

Доказательство. По теореме 3 Р имеет двусторрннюю
•единицу / и обратную матрицу Р'. Цмеем: IPV= IP- Pk—i =
= PPk~x — P*; подобно же P" I = PK Далее:
Я'*Р* = P *-! (P'P) P"-1 = P'*-1 /P*-1 = P'*-1 P*-li= . . . == p'p -= /;
подобно же: P'P'* = /, и P*—обычная по теореме 4.
Обратно, пусть Р* (при определении Л) того же ранга, что
и Р; пусть Р = LK, где /.—/яга-матрица, а К— я/л-матрица;
имеем:
Р* » Л/С .ГК.-.LK = Л (ATI)*-1 ЛГ;
А раз
«ели бы ранг А71 был меньше, чем га, то и ранг {KL)k~1, а сле-
следовательно, и ранг Р* был бы < я; что противоречило бы нашему
условию. Следовательно, ранг Ю- равен л, и Р—обычная.
Лемма. Если матрицы Р*и О порядка /га, Р — ранга га, a Q —
ранга п1>п, если при этом PQ и QP обе тоже ранга я, то
1и QPQ ранга п.
Доказательство. Пусть Р=/Ж, где L—/яга-матрица,
/С—raw-матрица, обе ранга га; подобно же пусть Q=NM,
N — /ил^матрица, М — raj/n-матрица, обе ранга пл. Тогда:
=*L (KMM);
QP=NM-LK= (NML) К;
так как PQ и QP ранга п, то и ram-матрица /$VM, и
/тал-матрица NML,— обе ранга П. Следовательно (по теореме 1),
« их произведение ранга га:
(NML) (KNM) <= (NM) (LK) {NM) = QPQ;
этим лемма доказана.
Теорема, 6. Если матрицы Q* и Q*1 (при некотором опре-
определенном k) имеют один и тот же ранг, то и все степени Qk l
(I = 0, 1, 2,.. Димеют тот же самый ранг, и матрица Q*—обычна.1
Доказательство. Это следует из предыдущей леммы,
если положить там Р = О\ тогда PQ = QP = Qk+\ QPQ = Qft+2;
следовательно, Q*+2 имеет тот же ранг, что и Q*. Положив те-
теперь Р— Qkt-1, найдем, что и Qft+3 имеет тот же ранг и т. д.
Что матрица Q* обычна, следует из теоремы 5, ибо Q* имеет
тот же ранг, что и Q2i = (Q*)a.
Цели взять ряд степеней данной матрицы Р:
"> * f ' > • • • »
то их ранги образуют убывающий ряд:
ранг Р> ранг Р2 > ранг РЗ > ...;
1 Здесь, конечно предполагается, что матрица Q квадратна, ибо только
квадратная матрица имеет степени.
27

но ранг—целое число > 0, т. е. он не может неограниченно
уменьшаться; следовательно, мы дойдем до такой степени Р*г
что ранг Рк~~1 е<де больше, чем ранг Рк, но ранги всех после-
последующих степеней Рх {1 > к) те же, что и ранг Рк. Это вполне
определенное для данной матрицы Р число k назовем родом
матрицы Р. Матрица Рк—обычна. Матрица Р тогда, и только»
тогда обычна, если ее род k = 1.
Бесконечные матрицы. Интегральные уравнения
§ 12. Переходя к обобщению матриц на случай, когда их
порядок становится бесконечным, заметим, что это обобщение,
как и вообще такие обобщения в математике, может итти по
двум линиям, которые можно «характеризовать терминами
„дискретная бесконечность" и „непрерывная бесконечность".
Первый род обобщения дает бесконечные матрицы,,
т. е. системы чисел: (а«3) (а = 1, 2, 3,.'. .in inf.*, p = 1, 2, 3,.. .In inf.).
Но уже при композиции таких матриц возникают трудности
в связи с вопросом о сходимости: если определить формально
оо \
(как в случае конечных матриц): (аа?) (Ьа$) — ( ^ aaxbx$ |, то это
определение имеет смысл только в том случае, если все бес-
оо
конечные ряды V) aaxb^ (а, р = 1, 2, 3,... in inf.) сходящиеся*
Этот случай мы, например, имеем, если в рассматриваемых мат-
матрицах ряды:
A-1 я=1
сходящиеся, ибо по известному неравенству Шварца (Scbwarz):
т. е. все ряды ^ aMbxp абсолютно сходятся.
x=t
Матрицы со сходящимися рядами A9) (так называемые Q-мат-
рицы по Wintner'y) все-таки еще не представляют полной ана-
аналогии с конечными матрицами: например, мы не можем даже
утверждать, что для их композиции верен ассоциативный закон.
Более специальный тип бесконечных матриц—ограничен-
н ы е матрицы. Именно, вместе с бесконечной матрицей (аа9).
рассмотрим и бесконечную билинейную форму:
оо оо
А(х, у) = V >? а*9хауК

Конечная билинейная форма:
л л
К{х, у) = ? ^аазхоур
«=*?-1
¦называется п-м отрезком билинейной формы А(х, у).
Билинейная форма А{х, у) называется ограниченной,
если существует такое постоянное ччисло М>0, что при вся-
л п
ком я | Ап (х, у) | < М, если только ?л^<1 и^).у|,<1.
Матрица ограниченной формы тоже называется ограниченной;
у такой матрицы ряды A9) сходятся. Можно доказать, что про-
произведение ограниченных матриц — тоже ограниченная матрица, и
что для произведения ограниченных матриц верен ассоциатив-
«ый закон.
Бесконечная матрица:
'1 О О.
О 1 0.
0 0 1.
называется единичной матрицей; она ограничена и при компо-
композиции играет роль единицы. Но понятия об единственной дву
•сторонней обратной матрице для данной матрицы здесь вообще
¦не существует.
Переходим теперь ко второму, „непрерывному" обобщению
матриц. Представим себе конечную матрицу, как систему коэ-
коэффициентов а«з линейных уравнений с га неизвестными:
п
2 а*?х? = Ьа; (а =1,2,... га). B0)
p=-i
Мы можем считать а^, Ь« и х$—функциями от а и р, где этиг
„переменные" аир принимают только целые значения 1, 2,...п;
¦вместо этих значений мы можем давать для а и р значения:
и я
цЛ -^ (^=1. 2,... и); это сведется только к перемене
п
¦обозначения. Пусть теперь при постоянных а и C га безгранично
возрастает; тогда наши дискретные переменные лир обратятся
уже в непрерывные переменные s и t. ha, aa?, x? будут функ-
функциями от них; мы обозначим: ba=f{s), a*?==K{s. t), хр =
=»?(<}; f(s) и K{s, t) — данные функции, y(f) — искомая. Сумма
же в B0) обратится в интеграл, и мы получим интеграл ь-
¦ное уравнение:
/K(s,tL(f)dt=f(s); B1)
а
•его левая часть обозначается символически через АТ(<р); функция
K{s,t) называется ядром интегрального уравнения; мы «е
29

считаем непрерывной в интервале <а, b > Для s й t Ядро и есть
то, во что обратилась система коэфициентов (а«з) наших урав-
уравнений B0) при переходе к пределу при «-><¦*¦¦, т. е. K(s, t) л
есть обобщение матрицы для этого случая.
Pinchefle ввел символическое исчисление и композицию ядер.
Пусть, кроме К($, t), и L(s, f) тоже ядро; обозначим:
имеем:
= fK(s, r)dr /L(r,
t)drU
J
, r)L(r, t)drU(t)dt;
J
ядром правой части является функция:
P(s, t) = /K(s, r)L{r, t)dr; B2)
a
Обозначим ее символически через KL. Эта операция, выражен-
выраженная в правой части B2), и есть композиция ядер К и L Можно-
Доказать", что для нее верен ассоциативный закон:
s, r)L(r, a)M{u, t)drdu.
Можно компонировать ядро само с собой; получаем „степени*
лдра, или итерированные ядра, например:
К}~] к($, /•) К (г, t) dr; fC = / / K{s, r) К (г, и) К(и, t) drcUi,...
а а а
Здесь верен закон обычного умножения степеней:

ГЛАВА И
ДЕЙСТВИЯ С ДВУМЯ ЭЛЕМЕНТАМИ
Определения. Групповое свойство. Группа
§ 13. В предыдущей главе мы уже не раз встречались с дей-
действиями над двумя элементами: композиция подстановок — обыч-
обычных и обобщенных—композиция матриц, геометрических преоб-
преобразований, наконец, композиция ядер в теории интегральных
уравнений—это все примеры действий с двумя элементами.
Мы пришли -к этим действиям, рассматривая действия с одним
элементом; эти последние (подстановки, преобразования, мат-
матрицы), сами рассматриваемые как новые элементы, которые
могут быть скомпонированными друг с другом, дают в этой-
композиции уже пример действия с *двумя элементами. Мы
видим, что для всех этих композиций справедлив ассоциативный
закон; позже мы убедимся, что ассоциативный закон вообще
является характерным свойством для композиций преобразова-
преобразований всякого рода.
Теперь же мы рассмотрим абстрактно действие с двумя=
элементами в возможно более общем виде. Множество наших
элейентов может быть конечным или бесконечным,— исчисли-
исчислимым или неисчислимым; в последнем случае мы и тут будем
предполагать, что это множество образует континуум. Мы
рассматриваем наше действие абстрактно, т. е. нам безразличны
как природа наших элементов, так и те специальные конкретные
правила, по которым фактически выполняется действие над
двумя данными элементами; всего этого нам просто не дано.
Мы считаем только, что нам дана возможность отличать наши
элементы один От другого и определять, когда *ни равны и
когда неравны, и, к^оме того, что нам известно, какой элемент
получится в результате композиции всяких двух данных эле-
элементов, взятых в определенном порядке. Отдельнье элементы
мы обозначаем большими латинскими буквами А, В, С,... (со
значками или без значков), действие же над ними обозначаем,,
или просто ставй их рядом (как в умножении), или ставя между
ними специальный знак: •#, С, Ас-- (если рассматриваем одно-
одновременно несколько действий); например: АВ = С, А-^В=СГ
AQB = C, А&В=С, и т. п. Как уже было сказано во введении,
мы ограничимся только однозначными действиями, т. е.
такими, которые при определенных двух данных элементах А
и В (взятых в определенном порядке) дают единственный
результат С. Что же касается неограниченной выполни-
3!

¦м о ст и действия над всякими двумя элементами, то в некоторых
случаях мы от нее откажемся (см. гл. V —„смешанную группу"
Леви и „группоид" брандта; в гл. I § 6 и 10 мы видели, что
композиции трансмутаций и прямоугольных матриц не всегда
выполнимы).
Множество элементов с действием (над двумя элементами),
•обладающее тем свойством,1 что результат этого действия
над всякими двумя данными элементами из этого множества
(взятыми в определенном порядке) — если только это действие
над взятыми (в определенном порядке) элементами выполнимо —
тоже есть элемент того же множества,— назовем (по примеру
§ 3) группой, или, точнее, обобщенной группой.2 Мы
будем обозначать группы большими готическими буквами &,
Ш, S3,.-.; подобно же мы будем обозначать и^ вообще системы
или „комплексы" элементов, если они и не составляют группы;
тот факт, что комплекс или группа 21 состоит из элементов А,
В, С,..., мы обозначим, как и принято в теории групп, сле-
следующим образом:
причем следует помнить, что знак + тут не есть знак действия,
а просто знак „объединения" элементов в один комплекс.
Если элемент А входит в группу или комплекс 21, то мы
¦будем обозначать: А С 21 или 21 ~) А.
Если все элементы3 группы или комплекса 58 входят
в группу или комплекс % то мы это обозначим: 41 D 58 или
'93 С 21.
Мы говорим, что 58 составляет часть 21, или, что S3
входит в 21, или 58 является делителем 21, 21 — содер-
содержит 58.
Если одновременно 2О 58 и 2К 93, то 21 и 58 равны, и мм
пишем 21 = 58. Если же 21 "> 58, но 21 не С 58, то мы говорим,
что 83 составляет правильную часть 21. Если 58-г-часть 21,
но неизвестно, правильная ли она, или нет, то иногда обозна-
обозначают: 21J^SB.
Когда"мы говорим о группе, то существенное.значрние имеет
яри этом то действие, относительно которого данное множество
составляет группу; если мы одновременно рассматриваем не-
несколько действий, то, говоря о группе относительно одного из
этих действий, будем справа от обозначения группы в скобках
ставить символ рассматриваемого действия; например: 65 (-Х-)
означает: „группа & относительно действиях".
1 Это свойство носит название .группового свойства".
г Обобщенной—в отличие от .обычных* илн „классических* групп,— ко-
конечных или бесконечных, — дискретных или непрерывных.
8 Под словом „все" подразумеваются различные элементы, т. е. равные
друг другу элементы (такие приходится иногда рассматривать) считаются за
ОЛИ К.
.32

Структура группы; таблица Кели
§ 14. Итак, абстрактная группа определена, если известно,
какому элементу равен результат композиции каждых двух
элементов группы. Следовательно, абстрактная группа дается
таблицей, где указаны эти результаты действия над каждыми
двумя элементами группы.1 Таблица эта строится в виде квад-
квадрата (или таблицы „с двумя входами") подобно пифагоровой
таблице умножения; для обычных конечных групп такая таблица
известна под именем таблицы Кели (Cayley); мы будем так
называть и таблицы для обобщенных групп. Такая таблица дает
то, что называется структурой группы; все свойства груп-
группы как „общие", так и „специальные" * можно вывести из таб-
ицы Ке,ли этой группы — они находят в( ней свое отражение.
В случае конечной группы построение или задание таблицы
глн не представляет ничего принципиально трудного. Число
13личных элементов конечной группы назовем (как и в случае
шчной группы) порядком группы. Чтобы составить конеч-
ую группу л-го порядка общего вида, обозначим л ее элемен-
¦>в номерами: Аи Ait...An, построим квадрат с л2 клетками,
вставим в заглавной строке и в заглавном столбце эти
ямволы Л„ Л2....Л„, а затем разместим их же—в любом пр-
,)ядке, с повторениями — в пг клетках нашего квадрата.3 Мы и
получим „произвольную" группу л-го порядка.
Иное дело, если группа бесконечна; в случае, если она
исчислима, мы можем еще обозначить ее элементы номерами:
А^ Аа>.. .in inf., но составить всю таблицу Кели нельзя — можно
составить только ее часть (как и всякая пифагорова таблица
умножения по "существу только часть таблицы умножения);
следовательно, мы принципиально не имеем возможности по-
построить „произвольную" исчислимую группу целиком; понятие
о „произвольной" бесконечной группе мы, конечно, можем
ввести, но никакого реального значения оно иметь не будет.
Бесконечная (в частности -г- исчислимая) группа нам дана только
в том случае, если известен определенный закон композиции ее
элементов друг с другом (а следовательно, и сами элементы
должны быть заранее как-то определены) — з^кон, позволяющий
находить („вычислять") „произведение" всяких двух данных
элементов групп. Но такая группа уже далеко не „произволь-
„произвольная" и не „абстрактная", поскольку нам дано „действие" в виде
1 .Для этого, конечно, нам должно быть дано само множество элементов и
индивидуальные обозначения этих элементов, что, в случае бесконечной Груп-
Группы, вещь далеко ие простая (см. ниже).
2 В данном месте мы подразумеваем под .общими" свойствами основные
законы (ассоциативный и т. п.), принадлежащие целым классам групп; .специ-
.специальные" же свойства — индивидуальна для группы н не выражаются в фор,ме
общих законов.
3 Если мЫ не предполагаем выполненным закон о неограниченной приме-
применимости нашего действия ко всяким двум элементам, то некоторые из клеток
квадрата—по нашем.у произволу — мы оставляем „пустыми".

определенного процесса „вычислений" с какими-то индивидуа-
индивидуализированными элементами.
Еще сложнее, обстоит дело в случае неисчислимого множе-
множества элементов: там и бамая возможность индивидуального
обозначения элементов представляется спорной. Если мы, как
уже было сказано в § 13, ограничимся здесь непрерывным
множеством элементов,-, то возникает вопрос о „числе измере-
измерений" этого множества. Ограничиваясь одномерным континуумом,
мы можем сопоставить с ним множество реальных чисел — всех,
или в некотором интервале, причем это сопоставление взаимно
однозначно. Но тогда можно вообще всякий наш элемент
обозначить, как реальное число а, х, у,..., а результат z
нашего действия над элементами х и у выразить в виде:
z=fix> У)> т- е- изучение „произвольного" действия над, двумя
элементами сводится к изучению „произвольной" функции ог
двух переменных. На этом случае мы в дальнейшем не будем
останавливаться.
Вводя и исследуя в дальнейшем разные понятия, относя-
относящиеся к группе „в общем виде", мы будем иметь в виду, глав-
главным образом, конечные группы, где всеобщие выводы можно не-
непосредственно проверить; но большинство этих понятий прило-
жимы к бесконечным группам. Выявив невозможность исследова-
исследования бесконечной группы „в самом общем виде", мы, конечно, не
отказываемся от исследования отдельных типов бесконечных
групп — типов, характеризуемых наличием тех или иных общих
законов данного действия; только в то время, как у конечных
групп эти законы выявляются непосредственно в таблице
Кели, у бесконечных групп мы должны заранее их пост>-
лировать.
Зависимость и независимость элементов
§ 15. Если элемент А данной группы представляется, как
произведение иных элементов той же группы, например, вида:
А =E,52)...5т
(при этом В\ не все обязательно различные — они только от-
отличны от А), то мы говорим, что элемент А зависит от Ви
В2,...Вт; в противном же случае он независим от /?,,
Вг, ... Вт. Элементы Ах, Аг,... Ак независимы друг от друга,
если ни один из них не зависит от остальных. Заметим, что
равенства вроде: (Аа Л?) А-, ... = А* (А,. А^)..., где а, р, f, • • - ',
\ I, ... имеют значения 1, 2,.. . k (может бкть и с повторе-
повторениями), еще не обусловливают зависимости элементов..
Элемент группы абсолютно неза-висим,' если он не
представляется в виде произведения двух других элементов.
Абсолютно независимые элементы могут быть двух родоь:
1) невоспроизводящиеся, которые не равны никакому про-
произведению, т.е. совсем не встречаются внутри таблицы Келн.
34

и 2) самопроизводящиеся, представляющиеся как произ-
произведение, по крайней мере один из сомножителей которого —
равен, самому произведению. Заметим, что вся группа может
состоять только из абсолютно независимых элементов.
Генераторы; основные соотношения
§ 16. Пусть & — данная г.руппа, а А один из ее элементов;
перемножая А с самим собой всевозможными способами, полу-
получим множество элементов из &, которые, очевидно, составят
группу; эта группа обозначается через \А\; она порождается
элементом Л; А — ее генератор (порождающий эле-
элемент) Если © — конечная группа, то и {А\, очевидно, конеч-
конечная; если же © — бесконечная, то {А} может быть бесконечной,
а может быть и конечной. Может случиться, что {А} = ©. Но
может случиться, что {А} С®, т.е. {А} составляет правильную
часть ©; заметим, что если одна группа входит в другую, как
часть ее, то первая называется подгруппой для второй.
Итак, если {А}—правильная подгрупа для ©, то в & имеется
элемент В, не входящий в {Л}; строим тогда группу {В}; если
окажется, что A L {В}, то и {A} L {В{, и мы просто берем В
вместо А. Если же Л не С {В{, то, перемножая А и В всевоз-
всевозможными способами, приходим к группе {А, В} с двумя гене-'
раторами А и В. Если {Л, В] — правильная подгруппа. для &,
то берем из & элемент С, не входящий в {Л, В}. Если окажется,
что {А, В} С {С}, то мы просто берем С вместо Л и В (это будет
в том случае, если А С {С} и В <. {С}). Если А С {С} или AL{C, В},
но В не ч {С}, то {А, В} С {С, В}, и мы берем С вместо Л.
Если же ни А, ни В — не из {С}, то строим группу {А, В, С}
и т. д.
Если & — конечная группа, то после конечного числа таких
построений найдем: & — {Л„ Л2,... Ак}; здесь Л„ Л2, ... Ак
независимые друг от. друга 1енераторы группы © (впрочем, та-
такое же обозначение применяется и в iom случае, если Ал,
Л2, .. .vlfc— не независимы). Заметим, что такое представление ®
не однозначно; даже число k независимых друг от друга ге-
генераторов группы не однозначно определен^». Только абсолютно
независимые элементы (если они есть) должны входить во вся-
ку^ю систему генераторов.
Если же & — бесконечная группа, то множество генераторов
может быть бесконечным, а может быть и конечным. Например,
множество всех целых чисел, как группа относительно сложе-
сложения,— есть циклическая группа; порождается одним генерато-
генератором— числом 1, а как группа (обобщенная) относительно умно-
умножения,— порождается числами 0, —1 и всеми простыми чис-
числами >0, множество которых бесконечно.
Но в случае бесконечной группы мы не имеем возможности
„проверить" фактически, есть ли, например, {Л} = ©, да и вообше
не можем найти все элементы группы {Л}.

Замечание. Обращаем внимание на то, что группа {А}'
(конечная ли она, или бесконечная) вообще не есть „цикли-
„циклическая" группа в обычном смысле, ибо, ведь, ассоциативный закон
вообще неверен.
Между генераторами данной группы, даже и независимыми
друг от друга, существуют, вообще говоря, соотношения вида:
(Аа A?)A^...=AX[(AV А^)..., A)
где Ал, А?, ... Лх,... эти генераторы, и в каждой части A) нахо-
находится конечное их число. Такие соотношения A) мы получаем
всякий раз, когда в двух клетках таблицы Кели стоит один и
тот же элемент, ибо это говорит, что:
АВ = CD,
а, подставляя вместо А, В, С, D их выражения через генера-
генераторы, мы и получим или абсолютное тождество, или соотно-
соотношение вида A).
Если данная группа © — конечна, л-го порядка и имеэт k
независимых друг от друга генераторов, то, беря все «* соотно-
соотношений вида АВ = С между ее элементами и подставляя вместо
А, Д С их выражения через генераторы, получим п2 равенств
между последними; но из этих равенств как-раз п — k абсолют-
абсолютных тождеств, получающихся из равенств, выражающих через
наши k генераторов остальные п — k элементов группы. Следо-
Следовательно, остаются чЛ2 — п + k соотношений между генераторами
и эти соотношения в общей группе независимы, и при этом
единственные независимые соотношения между генераторами.
Генераторами и независимыми соотношениями между ними дан-
данная группа вполне определена.
С бесконечными группами дело опять гораздо сложнее: здесь
невозможно таким же путем выявить все независимые соотно-
соотношения между генераторами; этих соотношений может быть
конечное число, может быть и бесчисленное множество, а может
их и совсем не быть; в последнем случае назовем группу» сво-
свободною.1
Подгруппы
§ 17. В предыдущем параграфе уже было введено понятие
о подгруппе. Необходимым и достаточным условием, чтобу
данная группа © совсем не имела подгрупп (конечно, кроме
самой себя), является следующее: она должна порождаться
каждым из своих элементов, т. е. если А — любой элемент
из ©, то должно быть: {А}—®.. Заметим, что группа без под-
подгрупп совсем не должна иметь абсолютно независимых элементов,
1 Это понятие не совсем сходится с существующим понятием «свободной»
группы; обычно под свободной группой подразумевают бесконечную обычную
группу, между генераторами которой не существует никаких соотношений, но
при этом соотношения вида АА~*=Е во внимание не принимаются.
36

ибо, если такие элементы есть, то все остальные элементы
той же группы составляют ее подгруппу.
Если таблица Кели конечной группы составлена произ-
произвольно (т. е. ее клетки заполнены „наобум"), то существование
подгрупп у такой группы очень невероятно, ибо существование
подгруппы сильно ограничивает произвольность распределения
элементов по клеткам в таблице Кели данной группы.
В бесконечной группе множество подгрупп может быть тоже
бесконечным.
Изоморфизм и автоморфизм
§ 18. Всего различных таблиц Кели для групп я-ro порядка
существует я"*, ибо я элементов приходится распределять поя8
клеткам с повторениями. Но не все получаемые таким образом
группы с отвлеченной точки зрения различны: ведь, обозначения,
элементов роли не играют и, дав элементам номера 1, 2, ... п,
мы можем переставлять Ьти номера я! способами, не изменяя
при этом структуры группы, а изменяя только обозначения ее
элементов; получаемые таким образом группы будут друг другу
просто изоморфны. В частном случае может быть то,
что от такой перестановки новая таблица окажется ожде-
ственной со старой; в таком случае данная группа 1*^морфна
самой себе или имеет автоморфизм, который дается под-
под/1, 2, З...л
становкой /1» 2, 3 ...я \ где а^ а^ а^ тщ,ап—иное расположе-
ние номеров^ 1, 2, 3, ... п, которое и дало нам автоморфизм
(т. е. эта подстановка — обычная, см. 1).
Вообще изоморфизм двух обобщенных групп определяется
так же, как и изоморфизм обычных групп: это соотношение
между элементами двух групп 21 и Жи в котором каждому
элементу группы 21 соответствует некоторый элемент группы 21,,
и каждому элементу из 21, соответствует некоторый элемент
из 21, причем произведению двух элементов из 21 соответствует
произведение соответствующих элементов из 81,. Если при этс/м
каждому элементу из 2lj соответствует только один элемент
из 21 и обратно, то изоморфизм простой; в противном случае
изоморфизм обо б щенны й.1 Простой изоморфизм говорит, что
структуры групп одинаковы, т. е. с отвлеченной точки зрения
группы ничем не отличаются друг от друга.
Изоморфизмом 2-го рода или антиизоморфизмом
назовем такое "соотношение между элементами двух групп 81,
и 2tj, что если элементу А из 21 соответствует элемент Ал из 21,
¦1 элементу В из 21 — элемент ?, из 81„ то произведению АВ
соответствует произведение В^А^ И" этот изоморфизм может
быть простым или обобщенным.
1 Мы предпочитаем название «обощепный» изоморфизм более обычному
¦ азваиию «кратный» изоморфизм; последнее название-имеет смысл только для
обычных групп.
37

Автоморфизм есть изоморфизм (конечно, простой) группы
самой себе; и здесь, кроме обычного автоморфизма, мы различаем
еще автоморфизм 2-го рода или антиавтоморфизм.
Всякая группа всегда имеет тождественный автоморфизм,
гле каждому элементу соответствует он сам; этот автоморфизм
вырзжается тождественной подстановкой.
Итак, каждый автоморфизм (и 1-го, и 2-го рода) выражается
обычной подстановкой, и произведение двух таких подстановок
дает, очевидно, тоже автоморфизм, который мы назовем „про-
„произведением автоморфизмов". При этом легко видеть, что про-
произведение двух одноименных автоморфизмов (т. е. < боих 1-го
рода, или обоих 2-го рода) есть автоморфизм 1-го рода, а про-
произведение разноименных автоморфизмов есть автоморфизм 2-го
рода. Таким образом все автоморфизмы 1-го и 2-го рода дан-
данной группы составляют сами группу, и при этом обычную,
ибо автоморфизмы являются обычными подстановками. Если
у данной группы имеются автоморфизмы 2-го рода, то ее авто-
автоморфизмы 1-го рода сами составляют группу, — инвариантную
подгруппу индекса 2 группы всех автоморфизмов. (Заметим,
что не всякая группа имеет автоморфизмы 2-го рода, тогда как
автоморфизм 1-го рода,—хотя бы один тождественный,— имеется
всегда).
Если группа имеет хотя бы один автоморфизм 2-го рода, то
назовем такую группу симметричною,1 ибо все свойства
такой группы должны быть одинаковыми в обе стороны. На-
Например, обычная группа всегда симметрична, ибо всегд! имеет
автоморфизм 2-го рода — именно тот, в котором каждому эле-
элементу соответствует обратный ему элемент.
Коммутативная группа, т. е. такая, для действия которой
верен коммутативный закон, конечно, симметрична: в ней вообще
не г разницы между автоморфизмами 1-го и 2-го рода.
В „произвольной" группе наличие автоморфизмов (кроме
тождественного; очень невероятно, ибо наличие автоморфизма
сильно ограничивает „произвол" таблицы Кели.
Автоморфизм 1-го и 2-го род,а могут быть и в бесконечной
группе, только там мы не имеем никакого общего способа их
выявления.
Степени элемента
§ 19. Пусть А данный элемент; определяем его степени
следующим образом: А*~.АА, А?~А2А, вообще: Akvi^AkA.
Если группа,, к которой принадлежит элемент А, конечна, то
все эти степени не могут быть различны; пусть в первый раз
(т. е. при наименьших k и т): А" т=Ак; но тогда: Ак+т+г=Ак+1.
^*«+ii4*n и т# д. Но элементы А, А\ Л3,...А*-1, А", А*+1,
1 Не следует смешивать это название с термином „симметрическая группа"
в теории обычных групп подстановок: наше название с этими группами ничего
общего не имеет.
38

4..Ak+m—1 все различны; из них Ak, Ak+\... а*1"-1 в дальней-
дальнейшем повторяются- периодически, а А, А3,... Ак~1 не повто-
повторяются. При этом А*=А? тогда, и только тогда, если <* = $ (modm)
и а и р>&. Назовем k родом, а т порядком элемента А
(ср. § 4).
В общем случае степени элемента вообще не составляют
группы: здесь не только неверен закон Л'Л? = Л'+э, но вообще
произведение двух степеней элемента Л не есть степень элемента.
Кроме этих „правых" степеней, можно определить и „левые"
степени элемента А, введя обозначения: 2Ас^АА, 3Л~ЛМ,
вообще: *+]Л~Л-М; и здесь верно все, что мы говорили о
„правых" степенях, в частности, элемент конечной группы
имеет определенный „левый" род и „левый" порядок; они во-
вообще отличнг>! от „правых" рода и порядка.
Если верен коммутативный закон, то правые степени слива-
сливаются с левыми.
Если верен ассоциативный закон, то не только правые сте-
степени совпадают с левыми, но верна формула:
А*А* = А9Аа = Л*+?, B)
т. е. для степеней коммутативный закон есть следствие ассо-
ассоциативного, произведение двух степеней А есть тоже степень А,
т. е. все степени одного и того же элемента составляют
группу — обобщенную циклическую группу.1
Анализ общих законов действия
§ 20. Переходим теперь к анализу общих законов действия.
Всякий общий закон отражается на построении таблицы Кели
для данной группы в целом, ограничивает известным образом
„произвол" в заполнении клеток в таблице Кели. При этом
возникают две задачи: 1) если дана таблица Кели группы, то
найти, каким именно законам подчинено действие этой группы,
в частности выяснить, подчинено ли оно данному закону; 2) если
дан закон или несколько законов, то найти все группы (если
они существуют), действие которых подчинено именно данным
законам. Первая из этих задач в случае конечных групп решена,
по крайней мере, относительно главнейших законов; вторая же
далека от своего общего решения.
Рассмотрим подробнее самые законы, которые мы в общем
виде будем тоже обозначать буквами Л, В, С,... Закон Л на-
назовем независимым от законов В,С, если существует хотя бы
одна конкретная группа, для действия которой выполнены за-
законы В, С..., но не выполнен закон А. При этом под кон-
конкретной группой мы подразумеваем частный случай группы,
таблица Кели которой или нам дана, или может быть нами по-
построена до каких угодно пор (если группа бесконечна).
Законы Л, В, С,... независимы друг от друга, если каждый
из них независим от всех остальных.
1 Более обычное название: циклическая полугруппа.
39

Закон А зависит от законов В, С,..., если во всякой
группе, где исполнены законы В, С, ..., исполнен также и за-
закон А. Конечно, непосредственно проверить это, рассмотрев
все такие группы, мы не можем; обычно зависимость одного
закона от других выводится дедуктивным путем.
Если закон Л зависит от закона В, то назовем В частным
случаем закона Л, а Л — обобщен и е м закона В. Эта зави-
зависимость может быть безусловная или условная — при существо-
существовании определенных условий, в частности, — других законов.
Например, в случае, если группа циклическая, то ассоциа-
ассоциативный закон влечет за собой коммутативный закон, т. е. ассо-
ассоциативный закон есть частный случай коммутативного.
Если действие данной группы подчиняется законам А, В, С,...,
то будем говорить, что эти законы определяют действие
или составляют систему постулатов для этого действия.
В такой системе постулатов, конечно, достаточно оставить только
независимые друг от друга постулаты (или законы), хотя это
не необходимо. При этом может случиться, что действие взятой
группы, кроме законов А, В, С,... подчинено еще и другим,
независимым от этих законам. Например, действие абелевых
групп является же примером действия, для которого выполнены
все постулаты обычных групп, хотя, кроме них, тут выполнен
еще и коммутативный закон.
Пусть нам дана система постулатов, которую мы обозначим
одной буквой А; той же буквой мы обозначим и всякое действие,
для которого верны все постулаты системы А. Тут могут быть
три случая: 1) существует несколько (конечное или бесконечное
множество) групп с действием А; такую систему постулатов А
назовем по примеру Huntington'a дизъюнктивной; 2) су-
существует только одна1 группа с действием А; такую систему А
назовем категорической; 3) не существует ни одной группы
с действием А; такая система А — несовместна.
Действие А есть частный случай действия В, если все группы
с действием А являются также группами и с действием В,8 но
не наоборот; действие В в этом случае есть обобщение
действия А. Такой случай мы, например, имеем, если, в систему
постулатов А входят все постулаты системы В и, кроме того,
еще другие. Если же все группы с действием А являются груп-
группами с действием В, и обратно, то действия А и В тождествен-
тождественны, а системы постулатов Аи В равносильны. Например,
система постулатов Weber'a и Frobenius'a для определения
обычных групп равносильна с системою постулатов Мооге'а и
Dickson'a. Конечно, равносильность систем постулатов устанав-
устанавливается дедуктивным путем.
1 Конечно, одна с отвлеченной точки зрения: просто изоморфные группы
не считаются разными.
2 Мы имеем здесь в виду, конечно, одно и то же фактическое действие,
которое может рассматриваться н как действие А, и как действие В.
40

Может случиться, что формулировка закона Л зависит or
закона В, так что закон А только и может фактически выя-
выявиться при выполнении закона В. В этом случае следует считать
(если больше не дано никаких условий) законы А и В незави-
независимыми друг от друга; если закон В не выполнен, то закон А
можно считать выполненным или невыполненным по желанию^
ибо нет такого случая, который дал бы нам определенный ответ
относительно его. выполнения или невыполнения. Так, в систе-
система^ Мооге'а и Dickson'a таким является постулат о существо-
существовании обратных элементов, формулировка которого предполагает
существование единицы.
Разделим все существующие законы" еще на такие два рода:
1) законы, сохраняющиеся для подгрупп (§ 16) и 2) законы, не-
сохраняющиеся для подгрупп.,Если для действия данной группы'
верен данный закон, то из этого еще не следует, что этот закон
остается верным и для* всякой подгруппы1 данной группы.
Например, если в данной группе существует единица, то отсюда,
еще не следует, что в каждой подгруппе этой, группы должна
существовать единица. Но есть законы, самая формулировка
которых исключает такой случай, например, ассоциативный за-
закон, коммутативный закон.
Подобно отдельным законам и системы постулатов бывают
двух родов: сохраняющиеся и несохранякшшеся для подгрупп.
Конечно, если система постулатов состоит из постулатов только
1-го рода, то и сама она 1-го рода. Но есть системы, в которые
входят и постулаты 2-го рода—и нсе-таки эти системы сохра-
сохраняются и для подгрупп. Например, такова система Dickson'a для
определения обычных групп в случае конечной группы. Если
же группа бесконечна, то система Uickson'a не сохраняется для
подгрупп: обычная бесконечная группа может иметь „подгруп-
„подгруппой" и полугруппу.
Укажем еще на одну классификацию законов действий. Если
закон, верный для данной группа, остается верным и для анти-
антиизоморфной (§ 18} с нею группы, то назовем такой закон сим-
симметричным. Если же для группы, антиизоморфной с данной,,
закон „меняет свою сторонуu, то назовем его односторонним.
Подобно же и действие назовем симметричным, если вместе
с данной группой к нему принадлежит и антииаоморфная
с ней группа; в противном случае назовем действие односто-
рон ним.
Например, коммутативный, ассоциативный законы — симмет-
симметричны; закон однозначной обратимости — односторонний. Дей-
Действие обычных групп — симметрично; каждое из обратных к нему
действий (см. гл. VI, § 65) — односторонне.
1 При этом подгруппу, как и группу, мы определяем исключительно только»
наличием группового свойства (§ 13); это не сходится, например, с обычным
' определением подгруппы обычной бесконечной группы, где, кроме выполнения
группового свойства, требуется еще вхождение н подгруппу единицы и обрат-
обратных элементов.
4V.

В систему постулатов, определяющую симметричное действие,
могут входить и односторонние постулаты, и не обязательно
обе стороны каждого из них. Например, в систему Dickson'a,
определяющую обычные группы, входят односторонние посту-
постулаты— о существовании правой единицы и о существовании
правых обратных элементов.
Если группа симметрична, т. е. имеет автоморфизм 2-го рода
Щ 18), то ее действие тоже симметрично, но не обратно.
Главнейшие законы действия и их обобщения
§ 21. Рассмотрим вкратце главнейшие основные законы дей-
действий и их возможные обобщения.
Ассоциативный закон, пожалуй,' следует признать самым
важным, вследствие его многочисленных и важных применений
и наличия его в громадном большинстве конкретных случаев,
ло и самым трудным, вследствие трудности выявления его
в абстрактных группах. Как известно, закон этот выражается
формулой:
= А(ВС)
и позволяет писать без скобок: ABC; из этой основной формулы
непосредственно следует, что если дано произведение несколь-
нескольких сомножителей, то мы можем эти сомножители соединить
в какие угодно группы, только не переставляя их.
Как мы уже видели в гл. I, во всех действиях, которые
можно истолковать как композиции преобразований или под-
подстановок, ассоциативный закон исполнен сам собой и является
для этих композиций характерным. Но „проверить" его наличие
по таблице Кели абстрактной группы очень трудно.
В случае конечной группы возьмем ее таблицу Кели и в ней
заглавную колонну и колонну, соответствующую элементу
заглавной строки; написав эти колонны как строки, друг под
другом, получим подстановку:
5- ( А В С D ...
р = \АР ВР СР DP...
Таким образом каждому из п элементов («—порядок нашей
группы] данной группы C соответствует такая подстановка;
эти п подстановок образуют комплекс '(§, который вообще
группы не составляет. Но если .этот комплекс (S составляет
группу, и если (&, хотя бы обобщенно, изоморфна группе ©,
то тогда, и только тогда для группы ® верен ассоциативный
закон (см. § 62).
Ассоциативный закон—1-го рода и симметричный.
Коммутативный закон выражается формулой:
АВ = ВА.
42

При наличии ассоциативного закона отсюда сле-
следует, что сомножи.телей произведения можно соединять в какие
угодно группы и переставлять их, как угодно. Но без ассоциа-
ассоциативного закона коммутативный закон дает очень мало: из него
даже не следует, что произведение двух степеней одного эле-
элемента есть степень того же элемента.
Коммутативный закон — 1-го рода и симметричный; его на-
наличие делает всякое действие, всякую группу симметричными.
На таблице Кели коммутативный закон отражается Просто:
таблица должна быть симметричною относительно своей главной
диагонали (идущей сверху —слева вниз — направо).
Закон однозначной обратимости — 1-го рода, односторонний.
Левая его сторона: из ВА = С А следует В = С; правая сторона:
из АВ = АС следует В— С. Обе стороны независимы друг от
друга.
На таблице Кели закон однозначной обратимости отражается
просто: для выполнения его левой стороны в каждой из ко-
колонн должны стоять все различные элементы; для правой
его стороны в каждой из строк должны стоять все различные
элементы.
Закон неограниченной обратимости — 2-го рода, односторон-
односторонний. Левая его сторона: уравнение ХА — В при всяких А и В
имеет решение <Х; правая сторона: уравнение AY' = В при всяких
А и В имеет решение Y. Обе стороны независимы друг от друга.
На таблице Кели закон неограниченной обратимости отра-
отражается просто: для левой стороны в каждой из колонн
должны находиться все элементы группы; дли правой стороны
в каждой из строк должны находиться все элементы группы.
В случае конечной группы каждая сторона закона неогра-
неограниченной обратимости совпадает с той же стороной закона одно-
однозначной обратимости — независимо от всех других законов,
ибо, если данная группа я-го порядка, и, например, в каждой
колонне (состоящей из п клеток) таблицы Кели должны стоять
все, т. е. п элементов нашей группы, то очевидно, что каждый
там встретится только один раз—одинаковых элементов в ко-
колонне не будет. Обратно, если в п клетках колонны все эле-
элементы различны, то там находятся все п. элементов данной
группы.
В случае бесконечной группы закон однозначной обра-
обратимости более общий, чем закон неограниченной обратимости:
из обеих сторон последнего вытекает каждая сторона пер-
первого, но при наличии ассоциативного закона. *
Закон неограниченной и однозначной обратимости говорят
о существовании и однозначности обратных действий к дей-
действию нашей группы; этих обратных действий два — столько же,
1 Доказательство этому можно найти у de Seguier: «Elements de la theo-
riedes groupes abstraits". Paris, 1904 p. 7—8. См. также мою работу: „Ober elnen
merkwurdigen Typus der verallgemeinerten unendlichen Gruppen". Записки Харк.
мат. т-ва, сер. 4, т. 9, 1934.
43

сколько данных элементов в нашем действии; но если данная
группа симметрична, то оба обратных действия одинаковы с от-
отвлеченной точки зрения (это мы имеем, например, в случае
обычных групп); если для нашей группы верен коммутативный
закон, то оба обратных действия вообще совпадают.
Закон существования единицы — 2-го рода, односторонний.
Левая его сторона: в группе имеется, по крайней мере, одна
левая единица для всех элементов, т. е. такой элемент ?",, что
для всякого элемента А ЕгА = А.
Аналогично, правая его сторона говорит о существовании,
по крайней мере, одной правой единицы Ег для всех элементов
группы.
Существование левой единицы выявляется в таблице Кели
в том, что имеется строка, одинаковая с заглавной строкой;
при существований правой единицы имеется в таблице Кели
колонна, одинаковая с заглавной колонной.
Если в группе существуют и правые, и левые единицы, то
легко заключить, что существует только одна единственная
единица, — она же и правая, и левая.
Закон существования обратных элементов — 2-го рода, одно-
односторонний. Левая его сторона: если в группе имеется хотя бы
одна единица (левая или правая), то для одной из таких еди-
единиц Е для каждого элемента А имеется свой Левый обратный,
т. е. такой элемент AT г-что А~ А = Е.
Правая сторона говорит о существовании правого обратного
элемента для каждого элемента группы.
В таблице Кели существование левых обратных элементов
выявляется в том, что в каждой колонне таблицы имеется эле-
элемент Е. Существование правых обратных элементов аналогично
выражается в том, что в каждой строке таблицы имеется эле-
элемент Е.
§ 22. Дадим теперь несколько обобщений законов, .приве-
.приведенных в предыдущем параграфе.
Постулат А. В равенстве
C)
элемент С зависит только от элементов А и В, но не от X.
Этот закон — 1-го рода, односторонний; мы формулировали
его правую сторону. Он является обобщением ассоциативного
закона — именно, при С = АВ он переходит в ассоциативный
закон. Если в группе верен постулат А и есть левая единица Е,
то выполнен и ассоциативный закон, ибо при Х=Е получаем
из C): АВ = С.
В таблице Кели постулат А выявляется в том, что ком-
комплекс ($ (см. § 21, „Ассоциативный закон") есть группа (но ни-
ничего не говорится о том, что ® изоморфна данной группе).
Постулат В. В равенстве
{ХА)В= Х(АВ,) D)
44

элементы В и Вг щвисят только друг от друга, но не от
А и X.
Этот закон — 1-го рода, односторонний (мы привели его
правую сторону); он является частным случаем постулата А
• именно, 'если С = АВг) и обобщением ассоциативного закона
{который получается из него при В1 — В).
В очень тесной свяаи с этим постулатом стоит следующий.
Постулат В' ¦ Если АВ = CD и К любой элемент, то
A(BK)^C(DK). E)
При наличии законов неограниченной и однозначной обра-
обратимости постулаты В я В' следуют друг из друга.
Именно, пусть R такой элемент, что (АВ) R = А (ВК); по
постулату В R зависит только от К; следовательно, и (CD)R =
= C(DK); если теперь АВ = CD, то. и (AB)R=(CD)R, а сле-
следовательно, верно и E), т. е. постулат В'. Обратно, пусть
исполнен постулат В'; выберем Е так, чтобы было ВЕ=В;
пусть D любой элемент; тогда всегда можно выбрать А и С
так, чтобы было АВ = CD", но тогда по постулату В': A (BE) =
= C(DE); а так как А(ВЕ)= А В, то и С (DE) = CD; а отсюда по
закону однозначной обратимости DE — D, т. е. Е—правая
единица для всех элементов группы. Пусть теперь А(ВК) =
¦^(AB)R; если AB = CD, то по постулату В' и С (DK) = (CD) R,
т. е. при данном R, К зависит от R и от АВ, но не от А и В
« отдельности. Пусть АВ — Х=ХЕ; тогда (XE)R<=XR —
= Х(ЕН), и по закону однозначной обратимости R=^EK; это
и показывает, что R и К зависят только друг от друга, т. е.
исполнен постулат В.
Постулат С. Правая сторона: если равенство ХА = ХВ верно
-для всех элементов X группы, то А — В.
Левая сторона: если, равенство АХ = ВХ верно для всех эле-
элементов X группы, то А = В.
Этот закон авляется обобщением закона однозначной обра-
обратимости. Он — 2-го рода, односторонний. В таблице Кели его
правая сторона выявляется в том, что в таблице нет двух
„одинаковых колонн, а его левая сторона — в том, что в таб-
таблице нет „одинаковых" строк.
Заметим, что если для двух элементов А и В имеем ХА =
= ХВ при всяком X, то для нашего действия над Л и S слева
эти элементы А и В неразличимы — они равноценны для
колонн. Подобно же, если АХ=ВХ для всякого: X, то А а В
равноценны для строк. Постулат С говорит об отсутствии
в группе равноценных элементов (для строк или для колонн).
Постулат К- Для всяких, трех элементов А, В, С должно
быть:
(АВ)С = (АС)В. Fj
Этот зако^—1-го рода, односторонний; мы формулировали
его правую сторону. Если существует левая единица, то из F)
45

следует коммутативный закон (достаточно» только положить А
равном этой левой единице Е), но не обратно. При существо-
существовании ассоциативного закона из коммутативного закона следует
постулат К; обратное же можно заключить, если, кроме ассоциа-
ассоциативного закона, верен правый закон однозначной обратимости,
или только праиый постулат С
Теорема. Ассоциативный закон есть -следствие коммутатив-
коммутативного и одной из сторон постулата К-
Доказательство. Имеем:
(АВ) С = (АС)В = (СА) В = [СВ) А = (ВС) А = А (ВС).
Замечание. Таким образом в системах постулатов, опре-
определяющих абелевы группы, можно ассоциативный закон заме-
заменить одной из сторон постулата К.
Постулат К'. Для одного определенного элемента А и для
всяких элементов X, Y должно быть:
(AX)Y=(AY)X. Fa>,
Этот закон является обобщением постулата К', он — 2-го-
рода, односторонний; мы привели его* правую сторону.
Теорема. Если для действия групы (конечной или бесконеч-
бесконечной) верны правые стороны постулата К и закона неограничен-
неограниченной обратимости, то в такой группе существует правая единица.
Доказательство. Пусть А — определенный элемент
группы, для которого верна формула Fа), а X—любой эле-
элемент группы; по закону неограниченной обратимости найдем
в группе элементы Е, В так, чтобы было: АЕ = А, АВ = X; по
постулату Д' имеем: Х = АВ = (АЕ)В = (АВ) Е = ХЕ, т.е. Е
правая единица для всякого элемента X, что и требовалось,
доказать
Постулат О- Для всякого элемента X группы всегда
XX =Е, G>
где Е не^ото^лй определенный элемент группы.
Этот закон — 1-го рода, симметричный; в таблице Ке.ш он
выявляется в том, что вдоль главной диагонали (идущей сверху —
слева 1-низ — направо) таблицы стоит элемент ?1Мы встретимся
с этим законом при рассмотрении „обратного" действия (см..
гл. VI).
Постулат V. Для каждого элемента А группы существует,,
по крайней мере, один такой элемент ЕЛ, что
АЕА=А.г (8)
Этот- закон — 2-го рода,, односторонний (мы привели его пра-
правую сторону). В таблице Кели он выявляется тем, что в .каждой
строке таблицы имеется непременно тот элемент, который стоит
в заголовке этой строки (для правой стороны; для левой — то
же самое для колонну
Этот закон ввел и рассмотрел A. Vakselj: „Eine neue Form der Gruppen-
е und..eine Erweiterung des Gruppenhegriffes. (Publ. Matlf. Univ. Belgrade'

ГЛАВА III
КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ БЕЗ ЗАКОНА ОДНОЗНАЧНОЙ
ОБРАТИМОСТИ
Группы с односторонним законом однозначной обратимости
§ 23. В этой главе мы рассматриваем обобщенные группы,
действие которых подчинено следующим постулатам:
I. Действие однозначно и неограниченно применимо.
II. Верен ассоциативный закон.
III. Множество элементов конечно. '
Закон однозначной обратимости (а следовательно, и тожде-
тождественный с ним закон неограниченной обратимости, — см. § 21)
не предполагается выполненным; если, в частном случае, он
окажется выполненным (с обеих сторон), то мы получим обыч-
обычную группу. Но может случиться, что выполнена только одна
сторона этого закона; тогда мы получим обобщение обычных
групп, являющееся в то же время частным случаем групп рас-
рассматриваемого типа; этот случай мы вначале и рассмотрим.
Итак, кроме постулатов I — III, мы считаем еще выполнен-
выполненным следующий постулат:
IV;. Верен левый закон однозначной (а следовательно, и
неограниченной) обратимости.
Легко видеть, что IV; равнозначен со следующей теоремой:
если 21— группа (конечная), а Р — любой элемент из 2(, то
SSLP = 21 (но Р21 вообще С Щ. Из названной теоремы следует,
что если 21 — группа, то 2t2 — 21.
Группу, действие которой подчинено постулатам I — III и IV/,
назовем левой группой. Выведем ряд свойств такой группы.
Теорема 1. В левой группе 21 всегда существуют правые
единицы (для всех элементов); это именно все идемпотентные
элементы группы (т. е. такие элементы Е, что Е2— Е). Каждый
элемент левой группы имеет свою собственную левую единицу
(к которой этот элемент „принадлежит"), которая является
1 С первого взгляда может показаться, что этот постулат III не относится
к свойствам действия; но если мы будем определять действие генераторами
и соотношениями между ними (§ 16), то совершенно ясно, что конечность или
бесконечность множества элементов группы так же вытекает из основных соот-
соотношений между генераторами, как и все остальные законы действия.
G. Frobenius („Ober endliche Gruppen", Sitzungsber. der Berl. Ak. 1895, S. 163)
выражает закон о конечности множества элементов группы словами: „Die
Operation ist begrenzt in ihrer Wirkung" („операция ограничена в своем дей-
действии"), явно приписывая именно действию (операции) свойство конечности
множества элементов группы.
47

правой единицей для всех элементов группы. Если левая
группа имеет левую единицу,—одну и туже для всех элемен-
элементов'группы,— или если она имеет только одну правую еди-
единицу, то эта группа — обычная (классическая).
Доказательство. Пусть Е—решение уравнения ЕР=*Р,
где Р—некоторый определенный элемент из ЭД; по IV; такое
решение Е существует (и при этом единственное); если X—
любой элемент из 3t, то по II и IVZ Х(ЕР) — (ХЕ)Р = ХР; сле-
следовательно, ХЕ ~ X, т. е. Е — левая единица для Р—является
правой единицей для всех элементов X. В частности, при Х = Е
имеем: Е2 = Е.
Обратно, пусть Е2 = Е; тогда для любого X ХЕ* = ХЕ; сле-
следовательно, по II и Wi ХЕ = X.
Если Ег — левая единица для всех элементов группы 9t, a E
любая правая единица для % то ЕгЕ — ?2 = Е, т. е. в этом
случае Е единственная, двусторонняя единица группы 31. Если
А^А^Е и АВ = АС, то А,АВ = А,АС, ЕВ = ЕС, В = С, т. е.
верен и правый закон однозначной (а следовательно, и неогра-
неограниченной) обратимости (обозначим его через IVr); следовательно,
% — обычная группа.
Докажем еще, что если для одного определенного элемента Р
РЕ — Ру то и для всякого элемента X ХЕ—Х; по IV/ найдем Q
так, чтобы было: QP=X; тогда по II QPE=QP, т. е. ХЕ = Х.
Теорема 2. Род каждого элемента левой группы равен 1,
т. е. степени элемента образуют обычную циклическую группу.
Можно определить нулевую и отрицательные степени: А°саАт —
= Е, А~х~Ат—'к, где т—порядок элемента А, а Е—единица,
к которой принадлежит А и все степени А; формула B) § 19
верна для всех целых показателей а, р; в частности, А* • А~л — Е,
т. е. А~* — обратный элемент к А\
Доказательство. Если Ах= А'-, то по IV; отсюда сле-
следует: Л" = А*', а отсюда легко следует (как и в обычных
группах), что род элемента А равен 1, а также и все осталь-
остальное, о чем говорится в теореме 2.
Теорема 3. Если Ev E2t... Er—все правые единицы левой
группы %, то Ч|*
91 ?21 ?91ЯД; A)
здесь ?«21с^(?х — просто изоморфные друг другу обычные.,
группы, при этом никакие две из них ие имеют общих элемен-
элементов. Если п — порядок группы &х, то пг — порядок St. Все еди-
единицы из % тоже образуют левую группу: @тЕц + Ег + ... + ЕТ,
при этом ?х Е\ = ?х. Самая общая подгруппа группы %. имеет
вид: б^х, где ©х какая-нибудь подгруппа для (?*, а @,с=:?х +
+ Е-,. + ?"ц+ ..., где х, >., (л,... — некоторые (или все) из индек-
индексов 1, 2,... г.
Доказательство. Если А, В — любые элементы из % то
ЕХА и ЕгВ — элементы из ^, и ЕХА • Еф = Ех {АВ), т. е. 6, обоб-
обобщенно изоморфна группе 2(. Группа (?, состоит из всех элементов
48

группы 91, принадлежащих к единице Ег; она — обычная группа,
так как имеет единственную (правую и левую) единицу (см. тео-
теорему 1).
Далее имеем: <?2 = Е.г% = ?2(?\91) = ?2Sj; подобно же: (?, =-=
-=?!©2. Следовательно, (?, и ©s одного и того же порядка; но
они, кроме того, изоморфны: элементу ЕгА Q (?х соответствует
элемент ЕЛА (_ (?2; следовательно, они просто изоморфны. Наконец,
<?, и Sj не имеют общих элементов, так как их единицы раз-
различны. Этим доказано и представление A).
Теорема 4. Если А и В элементы левой группы (I), то урав-
уравнение
АХ = В B)
имеет решения тогда, и только тогда, если А и В принадлежат
К одной s и той^же единице, и при этом г различных решений;
«если Р одни из них, то все они имеют вид: ЕХР, ЕЯР,... ЕГР.
Доказательство. А и АХ всегда принадлежат к одной
и той же единице, следовательно, и В должно принадлежать
к этой же единице, которую обозначим через Е{, таким обра-
образом А и В взяты из обычной группы б/, и уравнение B) имеет
в этой группе единственное решение Р = EtP. Пусть X — любое
решение уравнения B) и ХС&*; тогда ЕгХС^! тоже решение B),
т. е. EtX = Р, ибо в группе' @\ имеется только одно решение Р;
-следовательно, X = ЕАХ= Е%Е1Х = Е%Р.
§ ,24. Рассмотрим подробнее, как осуществляется, изомор-
изоморфизм между группами ©х. Обозначим:
6, = Е1 + Аг + Вх + С, + ...;
Ех—единица; остальные элементы взяты в каком-нибудь по-
порядке. Имеем далее:
gx = ЕЛ{ = ?* ?, + ?* Ал + E,Bi + Е*Сг + \ .. (х = 2, 3,... г) .-
Имеем: ?х Е\ = Ех; теперь о б о з н а ч и м: ?х А, — Дх, Е%Вг(^Вх,
ЕъСг~Сх,...; этим между группами"^ и (^устанавливается
изоморфное соотношение, в котором элементу А, соответствует
-Лх, элементу Вх—В* и т. д. -
Но 6Х и (?х(х^=>.) тоже просто изоморфны и ?х©х=©х; мы
?наем, что Е\?, = Ex. Но будет ли Е\ Лх,= А\, Е\Вх = В\, ... ?
Ответ на этот вопрос утвердительный, ибо:
ЕХАХ = Ex(ExAt) = {& E*YAi = ExAt = Ax
и подобно же для Вх, Сх,... Этот фчкт мы выражаем словами:
при введенных обозначениях каждые две группы @х и ©х оди-
одинаково расположены друг относительно друга.
Заметим еще следующее: постулат IV^, при наличии посту-
постулатов I — III, равносилен такому: .
Постулат Н. Всякий идемпотентный элемент есть правая
единица группы. (Этот постулат—1-го рода, односторонний;
приведена его правая сторона].
Сушкевич—497— 4 49

Действительно, из теоремы 1 (§ 23) видно, что из постулата
IV/ вытекает постулат N (правая сторона). Обратно, пусть
исполнен постулат N.* Легко ридеть, что при наличии постулатов
I — III в группе ьсегда есть идемпотентный элемент:2 пусть"
Л —любой элемент, к—его род, от —его порядок (§ 19); возь-
возьмем целое s>0 так, чтобы было stn^k; тогда:
(Аш)г — A%sn = Аш,
т. е. Asm и есть идемпотентный элемент (при этом единствен-
единственная идемпотентная степень А. Ср. § 4).
Asm—единица для всех степеней элемента А, начиная с Ай;
но по постулату Н Аш должно быть, правой единицей для всех
элементов группы, т. е. и для А, а именно: AAsm = A1 ism = А -,.
но 1 + sm>~k; следовательно, k— 1 и Asm — двусторонняя еди-
единица и для А. Итак, каждый элемент нашей группы имеет род,
равный 1, и, кроме того, — Двустороннюю единицу, являющуюсй
правой единицей для всей группы.' Но каждый элемент имеет
jeuie и „обратный" элемент для своей единицы, например, для А
„обратный" элемент есть А*, ибо AAsm~l — Asm~lA = Asm.
Далее, легко видеть, что если 91— наша группами ? г—один
из ее идемпотентнь'х элементов, то ?91— обычная (классиче-
(классическая) группа: действительно, Е является единственной двусто-
двусторонней единицей группы ?81,. и каждый элемент из ?91 имеет,
как мы видели, обратный элемент относительно своей единицы,
т. е. Б, ибо она здесь единственная.
Теперь докажем, что для нашей группы 81 верен постулат IVV
Пусть ВА = СА и пусть ?—¦единица для В; тогда: Е{ВА) =
='?(СА), но ЕВА = ВА = СА, следовательно: Е(СА) = СА ; есл»
бы С имело единицу Еъ отличную от ?, то эта единица Ех
была бы единицей и для СА, т. .е* СА имело бы две единицы:
Е и ?j, что неверсно; следовательно, ? есть единица и для С;,
но тогда мы можем написать: (ЕВ){ЕА) = (ЕС)(ЕА), откуда
следует: ЕВ = ЕС, ибо все это — элементы обычной труппы ?91,
т. е. и В = С, и IV; доказано для 91.
Замечание. Если бы мы вместо постулата IV? поставили
постулат IVr (т. е. правую сторону заксЗНЬ однозначной и не-
неограниченной обратимости), то получили бы „правые" группы,
свойства и структура которых совершенно аналогичны ^свой-
^свойствам и структуре левых групп, только всюду следует пере-
переставить прав>ю и левую стороны; при этом условии верны все
четыре теоремы § 23; постулат IV, равносилен левой стороне
постулата N.
1 Этот иостулат принадлежит Huntington'y (.Note on the definition of ab-
abstract groups and fie ds by sets of Independent postulates". Transact, of the Amer.
Math. Soc, 6, 1905).
2 Это доказывает Huntington в назчанной выше работе; ср. также Е. Н. Мо-
оге, A definition of abstract groups". Transact, of the Amer. Math. Soc, 3, 1902.
Frobenius („Uber endliche Gruppen". Sitzungsber. der Berl. Ak., 1895) доказывает
то же, рассматривая только вместо элементов комплексы.
.10

Группа-ядро
§ 25. Переходим теперь к группам, где не выполнена ни
одна сторона закона однозначной 'и неограниченной обрати-
обратимости, т. е. где остаются в силе только постулаты I — III § 23.
Пусть 65—такая группа, а Р—ее любой элемент; легко ви-
видеть, что ©Р тоже группа, где исполнены постулаты I—III,
причем (&Р С ®. Пусть Р пробегает все элементы из ©; между
всеми группами ®Р выберем* ту, которой порядок (т. е. число
различных элементов,—ведь, по III наши группы конечны) наи-
наименьший; пусть это $Х~91. Если Л С 21, то 21А С 21; но 2СА =
= © (ХА), т. е. порядок 21Л не может быть ниже, чем порядок 21;
следовательно, 51Л = 21; но это говорит (§ 23), что для группы 91
верен постулат Wh т. е. 21— левая группа.
Пусть Р—любой элемент из ©; имеем: 21Р = ©(ХР); сле-
следовательно, 2L" тоже группа, и ее порядок равен порядку
группы 91 (ибо по условию он не может быть ниже, чем поря-
порядок 21). Пусть AP~At^% но тогда ЖАР = 2LAi = ЖР = 21.
Отсюда следует, что группы 21 и 21Р или совпадают, или не
имеют йи одного общего элемента. В последнем случае
21Р~2Г так же, как и 21, левая группа.
Пусть теперь Р С 21'; тогда 21'Р = 21', но и ©Р = 91'; ибо,
если 91'= ©Г, то P=OY при G С &, т. е. &Р = (®О) Y С0Г;
(>)РС2Г; но порядок 21' — наименьший; следовательно, @Р = 91',
а следовательно, и 91Р=2Г; отсюда заключаем, что в 21 име-
имеется такой элемент А, что АР = Р.
По теореме 3 § 23 21=(?1 + <5а+.... где (?„ ©г>... просто
изоморфные друг другу обычные группы, пары которых не
имеют общих элементов. Пусть взятый элемент А С Kt и пусть
?4 — единица в Si, т. е. правая единица для 21. Далее, подобно
же имеем: 21' = ©^ + 6^ +..., и пусть Р С &[, и Е[ — единица
для 6j, т. е. правая единица для 21'. Имеем: АР = Р = ?jP,
т. е. (?\А) Р = (?,?¦;) Р = ?-,Р = ЛР = Р; но 2ГР = 21' имеет тот
же порядок, что и %; отсюда следует, что равенство ЕР = ЛР
может существовать только при A^-E^ Итак, Е1Р=Р.<Если
Q — любой элемент из &[, то можно найти элемент RC^[ так,
чтобы было Q = PR (ибо в обычной группе ©,' верен закон
неограниченной обратимости); следовательно, ?\Q = {EXP)R —
= Р/? = Q, т. е. Ег—левая единица для всех элементов группы (S.
Но, ведь, также 91'Л = Я, н мы заключаем, что в 21' имеется
правая единица, например, Е'х, которая является левой единицей
для всех элементов из &[. Пусть
тогда
Ъ1Р = Р
ибо EtP = Р; но тогда Е[Р = (Е'гЕ1)Р= ЕгР ¦= Р; но, ведь, всякий
элемент из W имеет единственную левую единицу, и для Р эта
51

левая единица есть Ек; следовательно, Е'% = E'v х = 1. Но в таком
случае и Л,Р, BtP,... имеют левую единицу Ь[, т. е. являются
элементами из 6,', т. е. &tPC (S^. Но, ведь, мы можем также
найти, что и d[A С 6,. А так как порядок gtP тот же, что и
порядок (Sf, а порядок ©(Л тот же, что и порядок &[, то за-
заключаем: ©,/>= (X;, б^Л = ©!, т. е. порядки групп 6» и ©^
одинаковы, а следовательно, и число групп 6„ @21... то же,
что и число групп ©j, Sj,. . . (ибо группы 21 и 21' одного и
того же порядка).
Но мы докажем,.что (^ и 6^ просто изоморфны друг другу.
Пусть АР= Q((^; но, ведь, в обычной группе (Х^ мы можем
найти такой элемент R, чтобы было: Q = RP; следовательно,
AP=RP; легко видеть, что и для всякого элемента .ХС[
ЛХ = /?Х C)
(это следует из закона неограниченной обратимости для обыч-
обычной группы 6j). Но C) дает взаимно однозначное соответствие
между элементами групп Ej и ($¦[: элементу Л соответствует R.
Пусть подобно же элементу 5(©i соответствует SC@j; поло-
положив в ГЗ) X = BP<=SP, получим: А(ВР) = RISP) или {АВ)Р =
= {RS)P, а следовательно, и для всякого XC6j: (AB)X=(/?S)X;
л это и показывает, что установленное соответствие есть изо-
изоморфизм; он — простой, ибо порядки групп К, и ©(одинаковы.
Мы видим, что Ег есть левая единица для Кд'; покажем, что Ех
не будет левой единицей ни для &'v ни для %,... Пусть Q С (?.',
и EtQ = Q; если ХСб^ т0 можно выбрать /?(&2 так, чтобы
было X=QR; тогда и EiX=X. Но мы видели, что Е'1Е1—Е1
(ибо E't — левая единица для ©j); следовательно, (Е^ЕХ) X =
= ЕУХ = Е[(Е1Х) = Е[Х = X, т. е. Е[ — левая единица для
группы Kj, что неверно; этим доказано наше утверждение. По-'
добно же, Е^ — левая единица для 6^, но не^ля ©2, SS)...
Переменим теперь наши обозначения: через St,, 2C2t ¦ • • %s
обозначим все различные группы ®Х наименьшего порядка; мы
видим, что все они левые, просто изоморфные друг другу
группы, и их пары не имеют общих элементов. Пусть далее:
2Ь. => <?«.+6». + ... + 6,>. Г/. = 1, 2,... s);
здесь 6Х). просто изоморфные друг другу обычные группы, ника-
никакая пара которых не имеет общих элементов; общее их число: r-s.
Обозначим через ?*,., Лх>., Вл, С*/,... элементы группы 6л;Ех>.—
единица. Таким образом 2Ь. имеет правые единицы: Ей., Ег-,,,...
ЕГ1. Возьмем две группы: %. и 2tv. Мы видели, что в 9IV имеется
одна, и только одна из групп S^, имеющая Ех1. левой единицей;
пусть наши обозначения выбраны так, чтобы это была группа &„;
52

мы видели, что в таком случае ?*„ есть левая единица для
группы 6*х; пусть наши обозначения выбраны так, чтобы эго
имело место для v = 1, 2, ...s. Обозначим через о один
Ж индексов рода 1, 2,... s;-имеем:
отсюда легко следует, что Е*\ есть левая единица и дл"я @х,
(г. е. и обратно, ?"„—левая единица для, (?*т). Следовательно,
при введенном обозначении, все группы 6х1, 6х2,... (?м (с одним
и тем же первым индексом х) имеют общие левые единицы:
Ехи Ext, ¦. • E%s. Мы видели также, что Ах\В%ч = Cxv. Обозначим •
f8x являются правыми группами, ибо все идемпотентные эле-
элементы Ехи Ехг,... Exs такой группы являются ее левыми едини-
единицами (см. замечание в конце § 24).
Обозначим'еще: S^S^-f 2ls+ ... +31«®—тоже группа, кото-
которую мы назовем ядром группы ®; она имеет особое строение,
которое представлено в при веденной ниже схеме I.
Я =91, +•«.+...+«.
кии- и
+
¦+¦ + + ¦•• +
3 jg
Схема
Группу, имеющую такое строение, будем,называть груп~
пой типа ядра. Если а—порядок каждой из групп G»i, то n-rs—
порядок группы $; $*=*$. При г=\ $—правая группа; при
s = l й —левая группа; п-ри г — s=l *й — обычная группа; таким
образом правые, левые и обычные группы — частные сдучаи
групп типа ядра.
Обе группы 95х и ^ не имеют общиэе-элементов; пересечение
групп Их и Эх есть группа ©,х.
Докажем теперь, что группы Ъ имеют вид X® (Х'с ®),
причем это труппы наинизшего поряДка такого вида.
Имеем: ®Ехх~%х; ?хх©?л«=6л; пусть ?xX®~Sx'x; так как
93* с ®, и ?ххЭЗх=-93х, то 95Х с .98'*^ в частности, и Ел^'9'л. До-
Докажем, что 93^х — правая группа, т. е. что для нее верен посту-
постулат IV,.. Пусть:
53

где G, Н, Иг — элементы из ®. Или:
но E%\GE%l.c?±Au — из обычной группы (?,а, т. е. Ах\ имеет в
обратный элемент д^1; умножив равенство
слева на A~f, получим:
а это и доказывает постулат IVr для группы ЗЗхХ.
Пусть G — любой элемент из ©; порядок (б- Ех,)® ^ порядка
Ел®; но (?xx,G) (Ех,®)^Ел®, ибо ?x>.@=93xX правая группа.
Следовательно, порядок GE%\Q$ равен порядку Ех\®. С другой
стороны, порядок G?xx© ^порядка G % следовательно, порядок
?хх<3й порядка G®, где G—любой эл'емент группы (§. Сле-
Следовательно, группы Ех\ ® *= 93хХ — группы наинизщего порядка
вида G®.
Очевидно, что Е& — левая единица для Э^«=?хх©; t другой
стороны, ?"хх не есть левая единица ни для одного элемента из
Фц {р-Ф*У, следовательно, Ъ'хХ и 93ц не имеют ни одного эле-
элемента общего. Подобно тому, как'ЭДх, мы докажем, что группы
®х> и 35^, ^^ Д«© или тождественно равны, или не имеют &н
одного общего элемента. Но и 83хХ и S3,, содержат группу 83х>
следовательно, должно быть: 83Х'Х = 33ХУ, т. е. Ъ'хХ не зависит от
второго индекса, и можно просто обозначить: 93^х—93х< Далее,
бак мы уже видели,
9;Ел = ЕА®ЕЛ"Ъл,
Отсюда следует, что (?хь 6«2. ••• 6х, — те..же обычные группы
из которых состоит правая группа 58Х (см. замечание в конце
§ 24 и A) § 26); но мы еще не можем утверждать, что этб все
обычные группы, из которых состоит 93Х: может быть "есть еще
и дальнейшие: '&%,s+i, ®х, н-г, • • • @*. *''* s> > s- Подобно же и са^о
число г' групп 93х может бьгть ^^ Но: мы могли бы начать
наше исследование с групп G®, т.е. S3X, и затем перейти к груп-
группам 91),; тогда мы также нггшли бы: < г ^ г', s ^ s'; отсюда сле-
следует: r = r', s = sf, Ф^ = 58х.
Если Л,« с ^^ С ^» то, 2(xA|j.v*=*2C (как мы видели в начале
этого параграфа) и, следовательно, ба.^ с 9tv, а также и
©ххй^, (; 2lv; но подобно же докажем, что бхь^у С ®*« т- е- ®л ®и-*
входит в пересечение 6«» групп 33Х и 21,; а,так как порядки
группы 6XV и произведения бххбцч одинаковы, то
Сл6^ = 6*,; D)
а следовательно:-
Лл^-Ссв". Dа)
54

Из D) и Dа) легко следует, что уравнение АХ\Х = В9, разре-
разрешимо в ® тогда, и только тогда, если х = р,.и имеете этом слу-
случае в Sr решений (по одному из каждой группы ©1в, @29,... (?,,);
подобно же уравнение УА^ = В?Я разрешимо в.й тогда, и только
тогда, если v = o, и имеет в этом случае в us решений (по од-
одному из" каждой группы 6рЬ (?р3,... 6М).
Формула D) показывает, что группы ©хх, рассматриваемые,
как новые элементы, сами образуют группу; эта группа со-
состоит только из идемпотентных" элементов (ибо для каждой
Укажем еще на некоторые формулы, которые легко доказать:
21x93* = $, E)
».Их = ва. F)
Если Х® = Ъ„ ©Г-Их/то
G)
Пусть теперь X (_ ©, и группа ©X— левая; следовательно, для
всякого GC© имеем: ®Х • GX=(&X. Выберем О так, чтобы
было: ©G —21*; * тогда ®XG (; 91», но„так как порядок группы
ЭДх— наименьший из порядков всех групп вида ©G, то ®'XG =
= 2lx=@G; ©Х- GX=<$l*X. того же порядка, что и 21Х, т. е.
®XGX = ®X—одна из групп Шг. Подобно же доказывается, что,
если группа X®— правая, то она одна из групп Ъх. Из всего
сказанного следует:
Основная теорема 1. Каждая группа ©, подчиненная посту-
постулатам^— Ш, содержит подгруппу к, называемую .ядром" груп-
группы &, особенной структуры, указанной в схеме I; группы ЗЦ —
вида ®Y наинизшего порядка; они — „левые"; группы 48%—вида
X® наинизшего порядка; они—„правые"; группы iSxx просто
изоморфные друг другу обычные группы, пары которых не
имеют общих элементов. Для всех этих групп в^рны формулы
<4) — (8). Всякая левая группа вида ©К есть одна из групп Six;
всякая правая группа вида X® есть одна из групп 53».
§ 26. Исследуем подробнее структуру группы ® типа ядра.
Будем рассматривать одну из r-s просто изоморфных друг
другу групп Ил совершенно абстрактно и независимо от группы
St и обозначим ее:
f—единица группы; остальные элементы обозначаются каким-
нибудь образом. Обозначим далее:
©хх = ?хх+Асх+ДН-Схх+ .;
в изоморфизме между 6 и 6хх пусть Д> соответствует Аг\, В со-
соответствует Вл и т. д.; конечно, Е соответствует Ел. Но Ах\,
55

,.. могут быть выбраны Соответствующими А, В, . раз-
разными способами, ибо @хх всегда имеет автоморфизму; поэтому
мы должны это соответствие установить точнее.
1. Начнем с группы 6П и выберем каким-нибудь образом
элементы An, Ви, Cn, t.. так, чтобы они соответствовали эле-
элементам А, В, С,... из 6 в изоморфизме между Su и ©.
2<. Далее, мы обозначим:
E,i4u~4,i, ЕыВи~ВхЬ... (х = 2,3,...#г)
(уравнение ExiEu = Exi выполнено само собой); в таком случае
(по § 24) все группы @ш <?ilt...-<&г1 одинаково расположены
друг относительно д^уга.
3. Далее, обозначим:
Аи Ей ~ Аи, Ви Ел ~ B1U ... (к = 2, 3, ... s)
(при этом, само собой, Яп Яп =*Я».); в таком случае группы Ки>
6^ ... &is одинаково расположен^ друг относительно друга.
4. Наконец, обозначим:
ЕХ\АЛ~А*х, ExxBi\c^Bx\, ... (х = 2,... г; l — 2,...s);
в таком случае группы ©u, S2x, • •. ©гх одинаково располржены
друг относительно друга.
Из 2, 3 и 4 легко следует:
(именно. А%х В^х — А* Е^ Вп = Лхх В\х = Ал Ел Вп = А*х ^хх).
Это показывает, что при перемножении элементов из 9ix
(Х = 1, 2,. t. s) или из $! можно просто нользоваться таблицей
Кели для группы @.
Теперь уже обозначены все элементы всех групп &*х. И воз-
возникает вонрос:
б. Одинаково ли расположены относительно друг друга группы.
@*i, бхг, • j • 6«? Или, йвдми словами,—мйжыо ли при перемно-
перемножении элементов из Ъ7\* > 1) тоже просто пользоваться тйб-
лй^йй Кели для группы б? Будет ли и здесь также ЛйВ„=
= А„В„?
Ответ на этот- вопрос вообще отрицательный:
Ал Яхх = Л^ ф Лхх; За Ял = В[х ф В*х;
подобно же: АщЕх\фА%\; только Я*^Яхх = Яхх остается верным.
Далее:
Л = D,1 В
Пусть 4хх = Лх1Яхд, Лх).Яхт = 4^; тогда:
Ах>. Ях* = (Л"х, Ях>.) Ях, = 4,1 Ях, = A;v; (l o>
следовательно:
Aii 5xn = 4хх ЯХ7 Вхч = А^ Въ.. A1)
56

Эта формула говорит, что и в этом случае можно пользо-
пользоваться таблицей Кели группы 6, только сначала следует там
_ . (Е А В ..Л
переставить строки. Эта перестановка Ас=:1 .„ , )даетав-
\jO A d ... у
томорфизм группы 6, который соответствует изоморфизму групп
х). и Kxv, выраженному уравнением: <ЕлЕхч = бх». Подобно же пусть
х , у ур у
Ф сч { t ,")—автоморфизм группы ©(Соответствующийизо-
©(Соответствующийизоморфизму 6xi Е-л = Sxx, a W — автоморфизм ©, соответствующий
изоморфизму ©xi?'xv=©xv. В таком случае, как показывает A0)
6. Остается еще указать, как находятся произведения АХ\В^
(у.-у.(А, ^Ф^). Пусть hX).Ep.i = Xxi (по Dа) это произведение — из
группы 6xv), мы имеем:
Ай Вр. = (Лх> Ехк) (Ер, В?.) = Лхх А'х, S,,,; A3)
таким образом, если известно А«, то можно найти АХ,,В^, по
f4) и E) двумя способами, именно, как (АХ-,.ХХЧ) В^; или, как
¦<4х>.{Х„ By*). Но элементы Х„ и подстановки А зависят друг от
друга, как мы сейчас покажем.
Пусть ЕпЕх>.~Хп(Хф 1, Х-/-1); Лп — любой элемент из (?и,
Ai^x).~A'V)., AnXlK~YyK, Xi\A%>.~Yii. Имеем, с одной стороны:
А1г Ел = Ап Хг, ЕхХ = (А п Хп) Ех, = Yn Ех>. = Г„.5
с другой стороны:
Ли Ей = (Еи A.i) Ел = Еи ГА,, ?¦,>.) = ?„ Л«. = Еи (Хл Ал) =
== ?ц Jii.= /1/.;
следовательно:
Гх, = Yv, или Xj). Лхх = Аи Хь. A4)
А так как оба произведения A4) находятся по таблице Кели
для группы К, то и между элементами из 6 существует соот-
соотношение:
ХА' = АХ;
А' = X—1 АХ, следовательно, также:
; A5)
т. е.
Н) <15а>
Отсюда следует, что Ф, также и Ч?', а следовательно, и А явля-
являются внутренними автоморфизмами группы 6.
Обозначим еще: ЕиЕ^~ Уи; в таком случае по A1), A2), A5а):
1 )-1 Лх, (Х-1 Kxv) fiXV) A6)
57

Установим теперь зависимость между произведениями
Имее.м:
Таким образом:
?"*>. ?„., == (?"-.). Er.) (f,;. ?„,); A7)
(?XJ Яр,). A8)
Разберем схему этих формул. Пусть нам дана таблица про-
произведений единиц; рассмотрим часть этой таблицы (см. схему II).
Из A7) и A8) следует:
Схема II
Оба эти произведения мы можем найти по (9) и A6), если из-
известны /<xj, /xv, Мх.„ N^. Из схемы II видно, что первый сомно-
сомножитель /<"„ (а также М%\) — в строке, а второй сомножитель/^
(а также Nr) — в колонне, на пересечении которых стоит
элемент Х^\ при этом или оба первых индекса, или оба втеркх
индекса у сомножителей должны быть те же, что и у Х„.
Положив в A7) ja = ¦/., а в A8) v = X и немного изменив обо-
обозначения; получим:
&лЕ^(Е„Е^=Е<& B0)
заменив в A9) х и X соответственно через р и наоборот, по-
получим:
(Е9ЯЕ1Л.)(Е„ЕГ>) = Е{,.. B1)
Эти формулы позволяют из четырех произведений
Е^.Е%ч, ExtE^,., Е^Ечх вычислить три, если четвертое известно.
Пусть нам известны все произведения Exl Ex>.(y. = 2,... г;
X = 2, ... s), т. е. все элементы первой строки таблицы произве-
произведений единиц. Докажем, что в этом случае мы сможем вычи-
вычислить и все остальные произведения единиц: Е^.Ер,. По A9),
B0), B1) мы можем, зная ЕХ1Е%\, вычислить ЕлЕ1и Ех, Е&, En.E%i.
Положив, далее, р = 1 в A7) и о = 1 в A8), получим:
Ех>. Е^ = (?хх Е») (?и Ер,); B2)
Ег.;. Е».-, = (Еух Ец) (Е^ Е^); B3)
58

а положив К = 1 в B2) и*=1 в B3), получим:
с* с1 _„ / р р \ /с* р л (ОАЛ
¦*-'Тс1 *-*jj.v — \*-*х1 i-iv/ v^li ^-"P*vt y?n:/
р . /"" -— ( Р.- р „\ ( р Р \ (О*л\
Напдя по A9), B0), B1) все ЕхкЕп, ЕпЕ1Х, EAEt,, мы по B4)
и B5) найдем все Е%\Е^, ЕцЕ^, затем по A9)—B1)—все f.^fxi
и Е^Ец и, наконец, по B2), 23) — все Е*\Е^; после этого мы
сможем по A5), A5а) и A2) найти все подстановки А, а затем
по (9), A6) и A3) —и все произведения АХ\В^; этим группа й
будет вполне определена.
Из всего предыдущего выводим:
Основная теорема 2. Группа й типа ядра вполне определена,
если даны: 1) структура обычных групп (?xx; 2) числа г и s;
3) (г—1) (s— 1) п[.оизведений ЕпЕ%\ (/ = 2, ...г; \ — 2,...s),
как элементы отвлеченной группы (?, просто изоморфной груп-
группам ©л; здесь Еу.\ означает единицу обычной группы (?х>..
Позже (§ 32) мы увидим, что эти три условия могут быть
выбраны произвольно.
Некоторые теоремы о группах без закона однозначной
обратимости
§ 27. Выведем еще некоторые свойства рассматриваемых
групп. Пусть @ — группа, подчиненная постулатам I—III, й—ее
ядро. Разделим все элементы из © на два класса: к 1-му классу
принадлежит элемент, если какая-нибудь его степень входит
в й; ко 2-му классу принадлежат те элементы, степени которых
не входят в й. Очевидно, что если элемент Р первого класса
и рода (§ 19) k, то Рк наименьшая степень Р, входящая в й,
Все. элементы из й, конечно, 1-го класса, и род их равен 1 (ибо
все они—элементы обычных групп).
Подобно же разделим и все подгруппы группы ® на два
класса; подгруппа 21 1-го класса, если она содержит, по край-
крайней мере, один элемент 1-го класса, подгруппа S8 2-го класса,
если она состоит только из элементов 2-го класса. Очевидно,
что подгруппы 1-го класса имеют общие элементы с ядром груп-
группы 65, а подгруппы 2-го класса совсем не имеют элементов,
общих с ядром. Если © имеет хоть один элемент Р 2-го класса,
го © имеет и подгруппу 2-го класса, хотя бы циклическую
группу {Р}.
Если группа © не имеет подгрупп 2-го класса, то назовем
ее 1-го ранга; если © имеет подгруппы 2-го класса и только
1-го ранга, то назовем © 2-го ранга. Вообще, группа © л-го
ранга, если она имеет, по крайней мере, одну подгруппу 2-го
класса и (п—1)-го ранга, но не выше.
Докажем еще несколько теорем.
Теорема 1. Всякая подгруппа группы типа ядра —тоже типа
ядра (или один из ее частных случаев).
59

Доказательство. Пусть ft — группа типа ядра, имеющая
структуру, представленную схемой 1 § 25, а ft' ее подгруппа.
Группы ft' и бхх могут иметь или не иметь общих элементов;
если эти группы имеют общие элементы, то ®(ft', ©X>J с=: @хХ есть
обычная группа (так как всякая подгруппа обычной группы —
обычная). Пусть, далее, ft' содержит элемент А^ из группы <^„;
в таком случае ft содержит и всю систему й^А^, имеющую
столько же различных элементов, сколько и в группе (?^; при
этом ©X,/V cr ?xv С Gxv (по § 25, Dа)); но мы ще не можем утвер-
утверждать, что CSxv— группа; но во всяком случае @xv порождает
группу {@xv} = 6^, содержащуюся в L и в ft'. Но подобно же
мы найдем, что комплекс &^Ех>.— &"л> имеющий больше различ-
различных элементов, чем 6Х',, содержится в @х>. и в ft': но это — проти-
противоречие, так как ©х) = ® (ft', &*;.). Следовательно, {@xv} — ©xv, т. е.
(?IV— группа (и при этом обычная, как подгруппа обычной груп-
группы Gxv); кроме того, очевидно, l?xv = D(ft', &„)¦ Если Е„ — еди-
единица из (?„, т. е. из ?xv, то найдем, как и раньше: 6^ = ®х'; ?V,;
но отсюда следует, что @хч просто изоморфно с (?х), ибо ра-
равенство &„ = ©х)/;"xv дает простой изоморфизм групп ©х>. и 6,.,
(§ 24). Подобно же найдем: А^ (?^= D(f, (E^) ~ 6J,, ^^4,,,=
= АрKxv = ?)(^ ©р)~6рт; все эти группы 6^, (?хч, g^, ©^про-
©^просто изоморфны друг другу.
Таким образом й' составлена из групп 6JX. Пусть, например,
й' содержит группы 6^,, <S,'iV.. Л'Г1{г' ^г), но не имеет общих
элементов с группами (?*i при * > г'; подобно же, пусть Ж со-
содержит группы С^2,...Е^, (s'-^s), но но имеет общих элементов
с группами 6d. при X > s' (ж нарушая общности, мы можем это
допустить, так как дело сводится к обозначениям). Но в таком
случае на основании предыдущего заключаем, что ST' содержит
все группы 6/х~/Г,л (?^ = @х1?хх ПРИ * — 1» Х- ¦ -г'; X = 1, 2,.. .s'
и никаких других; все эти группы просто изоморфны друг
другу и 6хХ = D (ft', <5х>.). Обозначаем еще: ^+...+?^^31;,
gxi+• ••+^и'==93х; ^=1, 2,...г'; Х=1, 2,- ..s'); легко убедиться,
что 21^ — левая группа, а 53Х — правая. Следовательно, ft' =
j' г' г' s'
"S^x S^x = S S^x/ имеет то же строение, что и й, т. е.
/...1 х- 1 I, 1/.--1
й' тоже типа ядра.
Теорема 2. Если @ группа с ядром ft, а § — ее подгруппа
1-го класса, то ядро группы ¦?> есть ft' = D(ft, §).
Доказательство. По теореме 1, к' — ^уппа типа ядра;
пусть ft' имеет структуру, указанную в теореме 1.
Пусть КС SxX С ft'; имеем: Щ С %К=%\, §/С С §; следова-
следовательно: §KQ% = D (§, 91л); с другой стороны: 2Г С ft' С ф;
60

ЗГ/С& Wx С §К; .следовательно: &/(»= Щ, и аналогично:
Это верно для всякого элемента КС Ш'. .
Пусть теперь элемент Н—из & (но не непременно из $');
группа фЯ имеет всегда элементы из ®', ибо, если АТС $', то
и А7/ С f (так как А7/ С й и С ф). Таким образом, если ядро^
группы ф обозначим через $", to Sf' и ®" непременно имеют'
Общие элементы; пусть К—такой элемент, например, К С 6^;
тогда $#«Sq С Г, #& -="»' С «• по (8), § 25, имеем: $/<:& =
= ?"; но с другой стороны:
к,
следовательно: Й* = Й' и теорема 2 доказана.
Рассмотрим теперь группы ©Р и Q®, где Р и Q—любые
элементы группы @. По теореме 2 ядро группы ©jC^^P есть
#1 = ?)(®!, t), так как ©а, очевидно, 1-го класса; й— попреж-
кему#ядро группы ©.'Пусть fj состоит из левых групп ЩС %;
в таком случае Ех). с $,; ©i^.—2^; но с другой стороны: ©i?,c>.=
=>®(РЕхк); отсюда следует, что Щ=Жх, ибо это группа вида
<ЗХ, a Six — группа наименьшего порядка этого вида. Сле-
Следовательно, tj имеет структуру: ^ «= 31в1 + 2t«4 + • •. -f ®v =
•= 93( + 93g+ ... +95^; здесь a,,a3,... a3 какие-то s'(es)? из ин-
индексов 1, 2,... s-
Иными словами:
ti «= 2®x>. при v. = 1, 2,;.. r; I = a,, a2, . .. a4.
xX-
Рассматривая группу Q© ~ ©а, получаем аналогичные ре-
результаты.
Теорема 3. Ядро ®t группы &Р (Р С Щ составлено из неко-
некоторого числа s'(^s) групн 81)., иными словами, й, = ^©х>.. где
X,/.
л = 1, 2,... г, а X равняется некоторым 5' из чисел 1,2,... s. Подоб-
Подобно же ядро ®а группы Q© (Q С @) составлено из некоторого числа
г' (=g г) групп Ъ%; иными словами, % — "^jSxx, где X = 1,2,... s,
У., К
а х равняется некоторым г„ из чисел 1,2,...г.
Следствие. Ядро группы Q®P имеет следующую струк-
ТУРУ: 2®хХ| где х пробегает некоторые г1 из индексов 1,2,..»г,
х.Х
а ). пробегает некоторые 5' из индексов 1,2,... s (/¦' ^ г, s' =s s).
Пусть Р—элемент из 0 1-го класса, рода к, пусть Р* С (?хх,
1 Знак равенства {т. е. s' = s) имеет место только в том случае,' если
G1

тогда:
© ) &Р ) @Р* ) ... ) ©Р4 =
Пусть теперь Я —2-го класса; никакая степень Р не содер-
содержится в ®. Имеем: © ) Р, а следовательно, ®Р ) -Р2, ©Р* ) Р*
и т. д. Каждая группа @Рт будет, таким образом, содержать
элементы 2-го класса и, следовательно, не может быть равна Six.
Подобно же всякая группа Рт & не может быть равна 93». Это
даел1 новое определение элементов 1-го и 2-го классов.
Теорема 4. Всякий элемент Р С ($ 1-го класса и рода k имеет
свойство: 65Р* = Six, Pk® = ©»• Если же Р 2-го класса, то при
всяком т порядок группы GPm больше,' чем порядок Six, а по-
порядок Рт © больше^ чем- порядок S3»-
Пусть Р — 1-го класса, и пусть /—наименьший показатель,
для которого ©Р'=ц31х; в таком случае PJ+1 С 81х,(так как Р С®);
следовательно, l+l^k, а так как /—наименьшее, то 1+1=* k,
l=*k — 1. Это условие необходимо, но, конечно, недостаточно,
чтобы было ©P* = Slx. Подобно же и для случая Р'@=>93Х.
§ 28. Рассмотрим группу ©, подчиненную постулатам I — III
§ 23 и имеющую ядром обычную группу $ = Е + А + 5 + C-j- ....
(Е—единица для Й; в данном случае r = s=l, ® = 8l, =831 = (S|1).
Пусть элемент из ©, щ> не из й; имеем: ®Е<=Е® = $?; сле-
следовательно, РЕ и ЕР—элементы из й; пусть, например, РЕ~А;
ИМ66М'
ЕР=(ЕР)Е - Е(РЕ) = ЕА - А;
следовательно;
РЕ<&ЕР~А. B6)
Назовем элемент А ядра сопряженны» с элементом Р; два
элемента РХР2 из © вообще назоьем сопряженными, если
РЕ — РХЕ (т. ,е. и ЕР = ЕРг). Если элемент Р сопряжен'с A^St,
а элемент Q — с ВС®, то имеем:
= P(QE) = РВ~ Р{ЕВ) = [РЕ)В = АВ,
т. е. произведение PQ сопряжено с произведением АВ; это
можно выразить следующим образом.
Теорема 5. Группа @ с обычным (классическим) ядром St
обобщенно изоморфна своему ядру; этот изоморфизм дается
формулой ($? = ®.
Следствие 1.,Если Р сопряжено с А С Ш, то Рх сопряжено
с А'-; если п—порядок А, то Рп сопряжено с Е.
Следствие 2. Порядок каждого элемента группы делится
на порядок сопряженного с данным элемента ядра.
Следствие 3. Если порядок элемента Р взаимно простой
с порядком ядра Si, то Р сопряжено с Е.
Специальный случай групп с обычным (классическим) ядром
представляют коммутативные группы, т.е. группы, где, кроме
Г2

постулатов I — Щ, верен и коммутативный закон- Если Р и Q
элементы такой групцы, то:
(PQf = PmQm. B7)
Пусть Р—1-го класса рода к; тогда Pk С ft; но тогда по B7):
j[jPO)* = PkQk С ft
(так как произведение элемента из ft на любой момент — тоже
элемент из ft); следовательно, PQ 1-го класса и рода ^ к.
Теорема 6. В коммутативной группе произведение элемента
1-го класса рода к на любой элемент —тоже 1-го класса и
рода ^ к.
Следствие. В коммутативной группе все элементы 1-го
класса и рода =s к образуют группу.
„Сложение" обычных групп
§ 29. Пусть Я и S3 две обычные (классические) группы, не
имеющие общих элементов (даже их единицы различны). Возь-
Возьмем комплекс @~Я4-33 и посмотрим, нельзя ли распростра-
распространить наше действие на этот комплекс так, чтобы он сделался
группой. Для этого нам надо определить всевозможные произ-
произведения АВ и ВА(А С 91, 5Ч93), но не вводя новых элементов.^
Очевидно/что закон однозначной обратимости не может быть ве-
верен для @. Именно, пусть АВ=А' (_ Я; обозначим:" Л"~/Г"\Л'с Я;,
тогда АА" = А'?, т. е. АВ=* АА", но ВФА".
Постараемся определить АВ и ВА так, чтобы для @ остался
верен ассоциативный закон. В таком случае @ будет удовле-
удовлетворять постулатам I — III § 23. По основной теореме 1 § 25 <$¦
имеет определенное ядро ft, состоящее из обычных просто изо-
изоморфных друг другу групп. В нашем случае должно быть или
1) ft = &1-r-83i, или 2) ft = 91,, или 3) ft = 951( где Я1 — под-
подгруппа 31, а- 93! — подгруппа 83; в первом случае^ и 23j—просто
изоморфны.
Пусть Я—единица для Я, т. е. и для Я,: имеем в первом
и во втором случаях по G) § 25: Е®Е = Я,; но, с другой сто-
стороны, ES&E - Я, Я С ®. ЕЪЕ с* Е®Е, т. е. 31 с 91,; следовательно,
%г = St. Подобно- же найдем, что в случаях первом и третьем
«Bj = S3. Итак, ьозможны такие случаи: 1) Й=Я + 93= @; 2) ft = 31;
д) ft = 33.
Случай первый может быть только, если Я и 83 простр изо-
изоморфны; пусть
Я = Е, + А, + В, + С, -Ь ... (?, — единица);
95 = Еа + А2 + В2 -t- С2 -1- ... (?2 — единица),
и пусть в изоморфизме Лх соответствует А?, 5,—Въ, Cj^ — Ct
и т. д. (Еи конечно, соответствует Es). Тогда можно опреде-
определить: ч

этим определяются и все произведения: Л,5, = i4t?,52 = AtBx',
Далее определим:
?2?, =ЕЪ ЕгАх = Ай, EjSj = ?2J ?2С, = С2, ..;
этим определяются произведения: АгВ1 = AiEiB1 = А2В2; и © бу-
будет левой группой.
Если определим:
то © будет правой группой.
Случаи второй и третий отличаются друг от друга только обо-
обозначением. Рассмотрим случай второй. Здесь © имеет кяаос«че-
,ское ядро 31. По теореме 5 © обобщенно изоморфно своему ядру 31;
еслиР С ©» а ?—единица для % то РЕ=ЕР С Ж. Следовательно,
Ч5Е = ?33^91, (1. Докажем, что 9^— группа. Пусть Р, Q эле-
элементы из S3; PQ^zR, PE=zlA, QE^Bi но, ведь, мы видели (при
доказательстве теоремы 5), что тогда RE «= АВ; этб и доказы-
доказывает, что Щг—группа и при этом классическая, как подгруппа,
классической группы St. При этом 58 гомоморфна ЭД, (в смысле-
Frobenius'a), так как каждому элементу из 93 соответствует
только один элемент из 31„ но разным элементам из 83 может
. -соответствовать один и тот же элемент из 91,. Из теории обыч-
обычных (классических) групп известно, что в таком случае Ш1 аро-
<то изоморфна дополнительной группе -=-, i|te К — инвариантная
подгруппа для 93.
Итак, выберем в группе 91 подгруппу 911( которая была бы
S3
гомоморфна S3, т. е. просто изоморфна -^-, где © — инвариантная
подгруппа для 93 (в предельных случаях может быть 31, «= Е,
<? = S3, например, если S3—простая группа, — или 9lj = 91, (?=?—
-если 91 и S3 просто изоморфны друг другу). Пусть 93 —©4-КР+
1 93
-f(SQ-f-..,, 31, = В\+ А + В+ ...; изоморфизм %и -~- дает со-
соответствие: К — соответствует Е, ©Р соответствует A, KQ
cooTBeTcteyeT В и т. д. Определим теперь для всякого
элемента S С ©: SE = Е, {SP)E = A, (SQ)E = B,...; по B6) бу-
будем иметь: ?5 = ?, E{SP) = A, E{SQ) = 5,...
*Этим группа © вполне определена, так как при Р Q 93.
А с 91 имеем: РА = [РЕ)А, АР *= А{ЕР), а РЕ = ЕР L 91, т. е.
произведения РА и АР найдем по таблице Кели группы %.
Ассоциативный закон верен для группы @, так как он верен
для групп 91 и 93 (легко проверить его для всех случаев
группы <$)..
Заметим, что если Е' — единица группы 93, то Е' Q (?, а сле-
следовательно, Е'Е = ЕЕ' = Е; легко видеть, что Е' будет общей
единицей для всех элементов группы ©.
¦64

В этом случае 2 (а также 3) группа О всегда 2-го ранга.
Заметим, что (Э^З^ + ЯЗ также группа с постулатами I — III
§ 23 и с ядром 31,.
Теорема 7. Если 31 и S3 две обычные (классические) группы
без общих элементов, то можно всегда расширить наше дей-
действие так, чтобы ©~91 + 33 стало группой с постулатами I—III
§ 23; за исключением случая, когда 31 и 93 просто изоморфны
друг другу, группа & всегда имеет классическое ядро.
Представление групп рассматриваемого типа посредством
обобщенных подстановок
§ ЛО. Переходим теперь к представлению групп рассматри-
рассматриваемого типа посредством конечных обобщенных под-
подстановок (§ 1). В § 5 мы видели, что для композиции этих
подстановок верен ассоциативный закон; закон же однозначной
обратимости верен вообще только в том случае, если подста-
подстановки обычные; для обобщенных подстановок закон однозначной
обратимости вообще неверен, как показывает следующий пример:
/1 2 3 4 5 6\ /1 2 3 4 5 6
\3 1 4 2 3 1/ \4 3 1 2 1 з
/12345 6\/1 2 3 4 5 6\ /1 2 3 4 5 6\
U 1 4 2 3 1/ U 3 1 2 4 2/ \1 4 2 3 1 4/'
/1 2 3 4 5 6 7\ /1 2 3 4 5 6 7\ =
\б 3 1 2 1 3 5/ \4 6 1 4 3 2 3/
/1 2 3 4 5 6 7\/1 2 3 4 5 6 7\ /1 2 3 4 5 6 7\
\7 3 4 2 4 3 7У\4 6 1 4 3 2 з) \3 1 4 6 4 1 3/"
Так как число этих обобщенных (включая сюда и обычные)
подстановок данных л символов1 конечно (равняется га"), то из них
можно образовать группы нашего типа, — с постулатами I — III
§ 23. Но особенно важно, что и обратная теорема верна.
Основная теорема 3. Всякую абстрактную группу, подчи-
подчиненную постулатам I — III § 23, можно представить как группу
конечных обобщенных подстановок.
Доказательство. Пусть Av Аг,... Ап все элементы
группы © нашего типа; рассматривая их как символы и добав-
добавляя еще один новый символ Е, сопряжем с каждым элементом
Ак следующую подстановку:
). B8)
АгАк... АпАкАк)
1 В главе I мы говорили об .элементах" в наших подстановках; в дальней-
дальнейшем же, чтобы не спутать эти переставляемые „элементы" с элементами наших
групп (каковыми являются сами подстановки), мы будем эти переставляемые
„элементы" называть .символами".
Сушкевич—497—6 65

Докажем, что эти подстановки Аи At,... Ап образуют группу &,
просто изоморфную &. Действительно, подобно B8), имеем:
1 \AxAt А2Аг...
/4,4* AtAk ... АпА
\ АхАкАг АгАкАг ... АпАкАг Аг
Отсюда (как и в теории классических групп) следует:
\ :: Х 1У * *¦ •
чем и доказывается изоморфизм групп & и ©. Что этот изо-
изоморфизм простой, следует из того, что при АкфАг и АкфАг:
именно символ Е в подстановке Ак переходит в символ Ак, а
в подстановке Аг—в символ Аг. Таким образом теорема до-
доказана.
Примечание 1. Символ Е вводится именно для того,
чтобы „отделить" друг от друга подстановки Ак и Аь если они
окажутся равными при неравных Ак и At; последнее будет, если
элементы Ак и Аг равноценны справа (см. § 22, постулат С).
Примечание 2. Введение нового символа^Е по существу
равнозначно введению нового элемента- Е в нашу группу; при
этом B8) дает: ЕАк = Ак; ассоциативный закон останется испол-
исполненным, если еще определить: АкЕ = Ак, ЕЕ = Е, т. е. ввести Е,
как двустороннюю единицу группы @.
§ 31. Рассмотрим еще некоторые свойства обобщенных под-
подстановок п символов. Обратим внимание на случай, когда в под-
подстановке два разных символа переходят в один и тот же; будем
называть этот факт сопряжением, а оба символа,, перехо-
переходящие в один и тот же символ, — сопряженными. Если а
различных символов переходят в данной подстановке в один и
тот же, то мы будем считать здесь а— 1 сопряжений. Если it
число всех символов, к — число сопряжений, а /—число сим-
символов в нижней строке („нижних" символов) в данной подста-
подстановке, то я = k + l. (Ср. § 5).
Если АВ = С, то нижние символы в С те же, что и в 5 (но
в В их может быть больше), а сопряжения в А—те же, что и
в С (но в С их может быть больше).
1 Это второе представление подстановки Аг условно: дело в том, что про-
произведения А^Аъ,.. .А„Ак не исчерпывают вообше всех символов Ах, ... Ап, но
дают именно те, которые нам нужны, так как А, у нас является вторым сомво-
жителем в B9).
2 Что в произведении AiAl символ Е переходит в Л*Лг, следует из тло„
что Ак переводит Е в Ак, а Л, переводит Ак в ЛЛ
66

Уравнение АХ = В тогда, и только тогда, имеет решение X
(вообще не одно), если все сопряжения в А входят и в В
(но, кроме них, В может иметь иные сопряжения). Уравнение
YA = 5 тогда, и только тогда имеет решение Y (вообще не
одно), если в В имеются только те нижние символы, что и в А
(но не все нижние символы А обязательно будут нижним сим-
символами и в 5). Так как для конечных групп закон неограничен-
неограниченной обратимости равносилен закону однозначной обратимости
(§ 21), то отсюда следует:
Теорема. Группа @ конечных обобщенных подстановок тогда,
и только тогда правая, если все ее подстановки имеют одни и
те же сопряжения; группа © тогда, и только тогда левая,
если все ее подстановки имеют одни и те же нижние сим-
символы.
Следствие 1. Группа @ конечных обобщенных подстано-
подстановок тогда, и только тогда обычная, если все ее подстановки
имеют одни и те же сопряжения и одни и те же нижние сим-
символы.
Следствие 2. Если © — группа конечных обобщенных под-
подстановок типа ядра, то числа k (сопряжений) и I (нижних
символов) одни и те же для всех подстановок из @.
Теорема. Ядро й группы @ конечных обобщенных подста-
подстановок состоит из всех подстановок из (%, имеющих наимень-
наименьшее количество нижних символов (т. е. наибольшее количество,
сопряжений).
Доказательство. Пусть Р одна из подстановок группы ©,
имеющих наименьшее число нижних символов. Все подстановки
группы ®Р имеют те же нижние символы, что и Я (меньше, чем
в Р, их быть, ведь, не может); в таком случае из предыдущей
теоремы следует, что &Р — левая группа, а из основной тео-
теоремы 1 (§ 25), что &Р = 91). С $?; но по предыдущему следствию 2
все подстановки в ® имеют одно и то же число нижних сим-
символов, т. е. оно — то же, что и в Р, а именно, наименьшее.
С другой стороны, в &, ведь, имеется единица для Р, это — одна
из степеней Р(§ 24^ из § 3 следует, что род Р равен 1); следо-
следовательно, Р С ®Р — $х, т. е. Р С ®, и теорема доказана.
§ 32. Переходим теперь к вопросу, затронутому в конце
§ 26: могут ли три условия, которыми вполне определяется
структура группы типа ядра, быть выбранными произвольно.
Мы ответим утвердительно на этот вопрос тем, что покажем,
как в этом случае построить группу йтипа ядра, как группу
обобщенных подстановок.
Итак, пусть нам даны: 1) обычная группа © = Е+А + 5+ ...,.
как группа обычных подстановок т символов a,, aj,.. .am;
2) числа г, s; 3) (г—l)(s—1) произведений ЕиЕх-, (х = 2, ... г;
X = 2, ... s), как подстановки из группы Е.
Возьмем s систем по т символов: а[, a'v.. .a^; aj', а'2\.. .а^',\ ..;
а^\ ... а?> соответственно s группам 31,, 31а,.. .2ts так, чтобы
6Т

нижними символами всех подстановок из %. были символы
*-й системы а®*, а%\...а$, которую мы сокращенно обозначим
через S>. Кроме названных s систем, возьмем еще систему k
„разделительных" символов Ьх,...Ък, число и значение которых
выяснится в дальнейшем. Подстановки группы 31Х мы строим
следующим образом: относительно символов системы 5х это
обычные подстановки, такие же, как и подстановки из % отно-
относительно символов ап... ат; две такие одинаковые подста-
подстановки из %. и из 6 мы назовем соответственными и обозначим
одной и той же буквой, — только из © — без индекса, а из ЭДх—
с двумя индексами, причем второй индекс равен X, так: А С ?,
А^х С 91/.. Символы системы Sp.0*^ X) в подстановке Ал переходят
во все символы системы Sx. Таким образом каждый из символов
системы S^ в А%\ сопряжен с одним, и только с одним символом
системы Sx, и обратно. Каждый из „разделительных" символов
Ьъ ... Ьк сопряжен с каким-нибудь символом системы Sx (т. е.
с каким-то символом и каждой из систем SF). Всего каждая
подстановка из ® будет иметь m(s—\) + к сопряжений.
Пусть попрежнему %\ — (?и + (?2х-т- • • • +®г>; все подстановки
из 6„>, имеют одни и те же сопряжения, отличающиеся от со-
сопряжений подстановок из S^. при ц. ф ¦*. (хотя число сопряжений
одно и то же). Подстановки Ал и А^ совершенно одинаковы
относительно символов системы Sx (такие же, как подстановка
ЛСК относительно своих символов av...am); они отличаются
друг от друга только сопряжениями. С другой стороны, все
подстановки группы 33* = ©ш + Кхг-Ь ¦ .. + 6^должны иметь одни
и те же сопряжения. Подстановки Ал и Ащ(Ьфр) отличаются
друг от друга только нижними символами: Лх). такая же под-
подстановка относительно символов системы S^ как Axv. относи-
относительно символов системы S^, как А С S относительно символов
av...am. В единице Ех\ каждый из символов а^\...а^ должен
переходить в самого себя; это необходимо и достаточно для
единицы. Остается теперь еще определить сопряжения в 33](... 95Г.
При поставленных выше условиях мы можем утверждать
следующее:
1. Ехь Еу>. = Ех\', Ех\ EXv — Exs, это легко непосредственно про-
проверить. Но вообще Ех\Ь^ф Ew, можно только утверждать, что
2. Если в © АВ = С, то и в 91>. АххВ^ = Сл, т. е. группы
©хх и ?„а одинаково расположены относительно друг друга
(§ 24).
3. Но всобше А%1.В„фС„, если АВ — С в группе ?. Сопря-
Сопряжения в Лх>. и Вгч одни и те же (это сопряжения всей группы $х);
пусть сопряжения символов системы Sx с символами си-
стемы S, даются обычной подстановкой/ *Л или обратной под-
\а )
р
\ау )
становкой| ^ 1. Отбросив верхние индексы, получим обычную
\ <3Jv /
68

подстановку символов аи... ат: Ас^( х\ (мы пок„ ..> .ложем
утверждать, что А принадлежит к группе S). Подстановку A%i
относительно символов системы Sv можно представить себе сле-
следующим образом: o'v) заменяется через а^\ и а?> испытывает
подстановку ту же, что и ах в А С (?. ВВ,; а?> снова заменяется
через а^', и а^() испытывает ту же подстановку, что и ад в В С И.
Это, таким образом, сводится к следующей операции в группе (?:
а в группе Sxv:
АВ (А~
если положим: A"~\AA = А'; таким образом мы снвеа приходим
к формулам A1) и A6) § 26.
4. Установим теперь в 3J, следующие сопряжения: а<?> сопря-
сопряжено с а%\(х= 1, 2,... т) — для всех X и v. В таком случае
для 58 подстановка А тождественная, и мы получаем:
т. е. вторую из формул (9) § 26; К,,,... ?и, таким образом,
оказываются одинаково расположенными относительно друг
друга.
5. Пусть по 3: Axi?*>. = Х^Мхх ХхХ; пусть, дал^е: ЕиЕ^ =
= Х*1Х(Х' С 6\ Подстановка ^ Дает, как мы видели, сопряжение
символов а'х с символам^ а^ в 83Х. Подстановка -Y^ имеет те
же сопряжения, что и (?,,, т. е. и 95t, и те же нижние символы:
что и %., т. е. о^',.-- а?'; следовательно, в ^ = ЕиЕх\ Еп пе-
переводит символ а^ в а^. (см. 4), а ?,а переводит символ а'х
в а'х> (т. е в тот, с которым а'% сопряжен в 95Х); таким образом
Х[х переводит alf> в ,а(у\ а подстановка X' С 6 переводит аж в а„;
но, ведь, то же делает и подстановках символов alt... ят; сле-
следовательно, X = X' С ©. Что касается до подстановки А, то,
как и в § 26 (ср. A2)), убедимся, что А = X~XY, где Xu=?nE,/.,
Уь= ?ц?х,; следовательно, и А С ©.
Таким образом произведениями- ЕиЕх2)... ЕпЕ^ вполне
определяются все сопряжения в 58Х. причем названные произве-
произведения могут быть взяты произвольно, как элементы из tl. Беря
* = 2, 3,... г, мы построим всю группу ®.
Остается еще только выяснить следующее: не может ли слу-
случиться, что Ъ% и 23ц (х ф н-) будут иметь совершенно одинаковые
сопряжения? Это действительно будет, если выбрать: ЕпЕп —
= ?ц?112, ЕиЕхз = ?,,?^3,-.-, EUE*S =EnEps. В таком случай по-
построенные 33Х и 33F будут тождественны друг с другом; чтобы
09

их' „разделить" друг от друга, воспользуемся „разделительными"
символами Ъх,... Ьк: установим в Чдг одни, а в 93^ другие
сопряжения этих символов; этим мы и отделим 93Х и 93ц друг
от друга. Если указанный случай не имеет места, то раздели-
разделительные символы не нужны — их незачем и вводить.
Дополнение к основной теореме 2. Введенные в этой тео-
теореме три условия, определяющие группу типа ядра, друг от
друга, независимы и могут быть выбраны произвольно.
Сделаем еще некоторые замечания.
1. Самый простой тип группы ядра получим, положив:
ЕпЕх>. — Ei,. при всех х, >.; в таком случае и вообще ЕХ\Е^=
--= ?xv, и врякое произведение Л*> 5рт = Сх„ просто находится по
таблице группы (?(АЁ = С). Но в этом случае разделительные
символы необходимы.
2. Если (?— абелева группа, то она, как известно, внутрен
них автоморфизмов (кроме тождественного) не имеет; поэтому
формула A6) § 26 упрощается: АХ-,.ВХЧ = АХч В*».
Пример. Пусть искомая труппа $ удовлетворяет следу-
следующим условиям:
1. E — симметрическая группа 3-й степени, 6-го порядка, т. е.,
группа следующих подстановок:
/О 1 2\ /О 1 2\ ,_ /О 1 2Л _ /Ch 1
\0 1 2/' \0 2 1/ \2 i 0/ \1 0
0 1
таблица Кели этой группы прилагается (схема Ш).
E A'
A' E
А' В
\ А'" С
В А"
С
A"
С
E
В
A'" A'
о с4 С* С1
A'" A' A'
Схема III
А'" В С
В А'" А"
С А' А'"
E A" A'
С Е
E b
1 ¦"'49 """""
, = 5,
•Здесь необходим разделительный символ, чтобы отделить 932
и Ъ3 друг от друга.
70

Введем следующие символы:
О, 1, 2 соответственно группе 2tx;
3, 4, 5 , „ Я,;
6, 7, 8 , Я,;
"9 — разделительный символ.
Пусть в SBj сопряжены О с 3 и с 6, 1 с 4 и с 7, 2 с 5 и с 8.
Сопряжение 932 определяется уравнениями: Еп Еп = А'1г,
ЕиЕгз — Bis, сопряжения в 93, определяются уравнениями:
-^п^зг = А'12, ЕХ1ЕЬЪ = Вп. Пусть символ 9 в 93, и в 9}2 сопряжен
с 0, в 933—с. 1.
Этим группа подстановок й вполне определена; ее единицы:
•- (
?,,-(
^23"
012 345 678 9
012 012 012 0
fO12 345 678 9
1345 345 345 3
'012 345 678 9
678 678 678 6
/012 345 678 9
I 012 021 201 0
/012 345 678 9
\354 o45 435 3
,012 345 678 9
I786 768 678 7
'33
?,
21
Е ._ /012 345 678 9
31~ \012 021 201 1
n
012 345 678 9\
354 345 4?5 5/'
012 345 678 9\
786 768 678 8/'
En
En
En
En
К
в*
F
A*
*..
F F
cn cn
A'u A'n
Clt Cn
F F
c21 c2i
En En
E E
31 3 *
Esi ?31
Bn
En
B»
22
22
A»
^32
A»
A,
fin
К
E»
F
22
En
Eu
ES2
?¦32
Кг
E»
A»
E2t
?¦22
•C22
?¦32
E3*
En
Elt
•Eu
ca3
A*
Л'"
Aa
En
EM
E%*
Аз
Язз
E«
б О
в,.
Е,.
^23
Е„
E3S
Esa
•^зз
Схема IV
Група $ вполне определена, если известны все произведения
единиц Е7:,.Е^; таблица произведений единиц дается в схеме IV; эти
произведения находятся по формуле A9)—B3) §26. Удобно
расположение этих единиц в заголовной колонне брать не-
несколько иным, чем в заголовной строке (см. схему IV), при этом
вся таблица распадается на r-s отделений, причем каждое
отделение соответствует определенной паре индексов х, ).
(у- = 1, ...г; Х = },/..s).
71

Группы обобщенных подстановок
§ 33. В предыдущих двух параграфах указан способ постро-
построения группы типа ядра, а также даны общие указания относи-
относительно обобщенных подстановок, образующих обычную, левую
или правую группу или группу типа ядра. Сопоставляя это с
§ 2 гл. I, приходим к выводу, что обобщенные подстановки,
образующие группу указаниях типов, имеют род, равный 1, т. е.
одночленные „хвосты" и их нижние символы являются все
„главными".1 Разберем теперь несколько подробнее состав под-
подстановок указанных групп, если эти группы нам уже даны.
1) Пусть дана обычная группа E обобщенных подстановок.
Как мы видели в § 32, нижние символы (они же и „главные";
во всех подстановках одни и те же, и сопряжения одни и те же.
Эти главные символы образуют обычные подстановки, группа
которых просто изоморфна ?. Кроме главных, есть еще „побоч-
„побочные" символы, каждый из них сопряжен с определенным глав-
главным,— тем, в который он переходит в единичной подстанов-
подстановке Е. Число побочных символов может быть любым.
2) Пусть дана левая группа % ^ 6t + (Е2 + • • • -+ %\ группы
К* — обычные, просто изоморфные друг другу. И здесь все под-
подстановки из 91 имеют одни и те же главные, — они же и ниж-
нижние,— символы; эти главные символы образуют обычные под-
подстановки—одни и те же во всех 6»,— образующие обычную
группу E, просто изоморфную с каждой группой (?*. Различ-
Различные @х отличаются друг от друга только сопряжениями побоч-
побочных символов, число которых произвольно и каждый из кото-
которых сопряжен с каким-нибудь главням символом. Во всех под-
подстановках одной и той же группы 6* сопряжения одни и те же,—¦
они даются „единицей" группы Е.
3) Пусть дана правая группа S5'^©1 + (?2 +•• •-fGs; Ex-
просто изоморфные друг другу обычные группы, различающиеся
между собой только главными (они же и нижние) символами
своих подстановок. Таким образом, мы имеем здесь s систем
5„ S2,...SS этих главных символов, так что символы системы
S*—главные для (?х. Но сопряжения в каждой подстановке
группы 93 одни и те же, т. е. и число их одн.о и то же; а отсю-
отсюда следует (см. начало § 31), что каждая система Sx имеет одно
и то же число символов. В данной группе (?* символы системы
5Х — главные, а остальные— побочные, и каждый\из побочных
сопряжен с одним главным. Следовательно, каждый символ во-
вообще сопряжен с одним и только с одним символом системы S*
при х = 1, 2,... s. Следовательно, каждый символ каждой си-
системы Sx сопряжен с одним, и только с одним символом каждой
другой системы 5^.. Обозначим символы системы Sx через a^l
af\ • • ¦ ой» (х = 1, 2,... s), причем выберем обозначения так, что-
чтобы при х ф (i всегда а?х) было сопряжено с а^, а<я) с а^ и т. д.
1 Ворбще „главные" символы составляют только часть нижних.
72

В таком случае символы системы Sx в 6* образуют просто-
изоморфную с (?„ ' группу обычных подстановок, — совер-
совершенно такую же, как группа обычных подстановок, образуемая
символами Sy. в (?ц (у-ф*). Кроме этих символов систем Sx,
в подстановках группы S3 может быть еще любое число побоч-
побочных символов; каждый из них сопряжен с каким-нибудь сим-
символом системы S, (а следовательво, и каждой из систем Sx), но
все эти сопряжения — о дни. и те же во всех подстановках
из 93.
Наконец, может случиться, что символы разных систем 5Ж
и Дь частично одни и те же. Следует только заметить, что если
символы одинаковы, то они и подавно сопряжень;. Следова-
Следовательно, при принятых нами обозначениях может случиться толь-
только, что совпадают символы с одним и тем же нижним индек-
индексом, например, а<*> = af*. Вообще требуется, чтобы системы S%
и S». различались, по крайней мере, одним символом.
4) Переходя теперь к группе типа ядра Ш, можно Ha_ .осно-
.основании предыдущего заключить, что данное в § 32 ее строение,
как группы обобщенных подстановок,— самое общее, если только'
еще принять во внимание, что символы различных систем S»
и S». могут частично совпадать. Этот случай мы сейчас и раз-
разберем.
Пусть ® = Я^ + ЗЗа 4- ... + S3S где 93*—правые группы.
Каждой такой группе 93Х соответствует определенная система
сопряжений, которую мы обозначим через Тх. Пусть теперь два
символа различных систем Sx и 5, равны друг другу; мы видели,
что (согласно принятым нами обозначениям) они должны быть
с одним и тем же нижним индексом: а'рХ) = аМ. Но это может
быть только тогда, если эти символы aw и а^ сопряжены во
всех системах Тх; такой случай следует, конечно, признать
исключительным.
§ 34. Пусть (В — группа обобщенных конечных подстановок,
ft— ее ядро, имеющее строение, выраженное схемой 1 § 25.
Примем обозначения предыдущих параграфов. Пусть Р — любая,
подстановка из @; тогда (по § 25):
~Л*,х С 2k; EaP^Baj: 93х. C0>
Давая X различные, значения от 1 до s и принимая во внимание
строение подстановок ядра (§ 32,33), выводим из второй фор-
формулы C0) следующую теорему.
Теорема. Символы системы S>. (X = 1, 2 ... s) в Р не отделя-
отделяются друг от друга: каждая система S* переходит или в самое
себя, или в иную систему S^, при этом различные символы в S\
переходят в различные же символы S^.
Таким образом подстановка PC® дает определенную под-
подстановку систем Si, Sit ... Ss, которую мы символически обо-
обозначим: ( М и которая может быть и обобщенная.
73.

Далее, заключаем из первой формулы C0), что перестановка
¦символов внутри системы в Р должна быть одна из тех, ко-
которая встречается в подстановках из Ж.
/о \
Теорема. Если известна подстановка ( х) систем в Р и если
при некоторых оп р еде л е нн ых х и X известно равенство
¦/э?хх= А,.,,, т. е. известен элемент (подстановка) А%1ъ то и под-
подстановка Р, как подстановка символов систем S1} St,... Ss, впол-
вполне определена.
/О \
До к аз а тел ьство. Подстановка ( М дает расположение
-системы 5/, в нижней строке Р; подстановки же ?Х). и Аь\ дают
расположение символов внутри каждой системы Sk.
При наших обозначениях удобно считать известным произ-
произведение РЕп, как элемент группы З^. Но эти два условия для
определения Р, как мы ниже увидим, не независимы друг от
Друга-,
Поставим следующую задачу: пусть дана группа подстано-
подстановок й типа ядра, при этом, кроме символов систем^,, S2, ¦••5S,
больше символов не имеется; найти наибольшую группу ф под
становок тех же символов, содержащую Й, как ядпо.
Для этого мы должны построить указанным способом все-
всевозможные подстановки Р, но не все так построенные подста-
подстановки будут принадлежать искомой группе $$. Здесь имеем
такое правило: построив Р, находим произведения РЕ„;
PES1, ¦.. РЕ,у, все они должны принадлежать к группе %, т. е.
к одной из групп Ёи> Gtn|f. • ¦ Sr(; следовательно, системы сопря-
сопряжений в них должны быть или 7\, или Г2, ... или Тг; если ока-
окажется, что какое-нибудь из-этих произведений.РЕ%1 имеет си-
систему сопряжений, отличную от 7\, Т2,... Тг, то так построен-
построенный элемент Р следует отбросить: он не принадлежит к ф.
Если же все произведения РЕ%1 принадлежат к SXlf то легко
убедиться, что вообще все произведения РЛ„хи АУ;,Р принадлежат
труппе ?. Действительно:
*= [РЕЛ) А* С Их;
ExiPC%.%, если в Р система & переходит в систему 5^; по
самому построению подстановки Р следует, что эта трансмута-
трансмутация S-,. в S>., соответствует некоторой подстановке символов
системы S).,, встречающейся среди подстановок группы @i>.,t. e.
действительно ЕцР С &ц. С %., ¦
Далее:
АлР~АхХ{ЕлР) С»х.
Докажем еще, что сконструированные так подстановки Р
действительно образуют группу (вместе с подстановками из Ш/
эта группа и есть искомая группа ф.
.74

Пусть Р и Q две полученные таким образом подстановки;
нам надо доказать, что (PQ) E*i при х = 1, 2 ... г принадлежит
к $?, т. е. PQ — тоже подстановка из §. Действительно, пусть
QEyi = Xfii тогда
(PQ) Ех1 = /^Qua) = ЛГц С 91, С f,
что и требовалось доказать.
Пример. Пусть группа ® определена условиями:
1) ®л — циклические группы 3-го порядка.
2) г = 2, s = 3. . f
3) ?u?22 = Л12, ЕпЕп = Я„, где Л - @, 1, 2,), В = ^, z, I).
Эта группа ® состоит из следующих 3 • 2 • 3 = 18 подста-
подстановок:
012 345 678\ = /012 345 678\ B /012 345 678\
о12 201 120/' 21 j
с.2=
82
13
/012 345 678\ . /012 345 678\ D /012 345 678\
\012 012 012/ \Д20 120 120/ \201 201 201/
= /012 345 678\ B = /012 345 678\
\120 012 20lj' 2l~ \201 120 012/'
/012 345 678\ . /012 345 678\ D /012 345 678\
.2= I 1, Л,,— I I, -0,,= ( |;
\345 345 345/ \453 453 453/ \534 534 534/
= /012 345 678\ А = /012 345 678\ д = /012 345 678\
1,453 345 534/' а2 \534 453 :-Ад)' ** \345 534 453/'
/012 345 678\ 4 = /012 345 678\ в = /012 345 678\
\678 678 678/' Л" \786 786 786/' ," \ 867 867 887/'
t ^ ,012 345 678\ А = /012 345 678\ = /012 345 678\
'23 \867 786 678/' 23~ \б78 867 786/'- 2Я~ \786 678 867/'
Строя указанном выше образом подстановки Р, найдем, что к
группе § будут принадлежать только следующие 18 подста-
подстановок (кроме подстановок -из Si):
/012 345 678\ /012 345 678\ /012 345 678\ _
(,012 345 678// 420 453 786/' \201 534 867/'
/012 345 678\ /012 345 678\ /012 345 678\
\Ш 678 012/' \453 786 120/' \534 867 201/'
/012 345 678\ /012 345'678\ /012 345 678\
V678 012 345/' V786 120 453/' \867 201 534/'
/012 345 678\ /012 345 678\ /012 345 678 \
\678 534 120/ \786 345 201/' 1,867 453 012/'
/012 345 678\ /012 345 678\ /012 345 678\
\345 201 786/' \453 012 867/' \534 120 678/'
/012 345 678\ /012 345 678\ /012 345 678\
\012 867 453/' \120 678 534/' \201 786 345/'
75

Эти 18 (обычных) подстановок образуют обычную транзитив-
транзитивную, но импримитивную группу (?; ф=?4-©—наибольшая группа
подстановок 9 символов, имеющая ядро ®.
Обратим внимание еще на частный случай, когда данная
группа ® — правая, т. е. г = 1. Здесь имеется только одна си-
система сопряжений Ти и все элементы Р, построенные указан-
указанным выше способом, принадлежат к ф.
Представление групп посредством особенных- матриц
§ Зо. Переходя к представлению наших конечных групп без
закона однозначной обратимости посредством 'Матриц, заметим.
сначала, что, как всякую обычную подстановку га символов
( " I можно представить в виде обычной линейной
\а1а2а3а4...а„/
подстановки частного вида: xt — х'а, ха — х'а,... л-п = ла', или
в виде неособенной матрицы (в х-строке которой все нули, кро-
кроме Ях-го элемента, который равен 1; х = 1, 2, ...га),— так же точ-
точно и конечную обобщенную подстановку можно представить,
как матрицу, по' тому же самому принципу, только в то время,
как в обычной подстановке а„ а2, ... я„ все различны, т. е. пред-
представляют собой перестановку га чисел 1, 2, ... п, в обобщенной
подстановке среди чисел а„ а2, .-Л а„ могут быть и одинаковыег
т. е. не непременно среди этих чисел встречаются в*се номера
1, 2, ... п. Отсюда следует, что в соответствующей матрице не
в каждой колонне непременно имеется единица: некоторые ко-
колонны могут состоять из нулей, зато в других колоннах может
быть по несколько единиц; следовательно, матрица, соответ-
соответствующая обобщенной подстановке, будет „особенная" (§ 9),
т. е. такая, у которой детерминант равен нулю, или ранг ниже
порядка. Из самого значения матриц, как подстановок, вытекает
уже тот факт, что „произведению" двух наших обобщенных
подстановок соответствует „произведение" соответствующих
матриц. Действительно, пусть в первой подстановке г перехо-
переходит в а,, а во вторей я, переходит в $н; это значит, что мат-
матрица, соответствующая первой подстановке, дает х'л = х'а,а мат-
матрица, соответствующая второй подстановке, дает х\ =х"?д; но
отсюда очевидно, что произведение подстановок переводит х
в Р«х> а произведение соответствующих матриц дает: хх <=; х-^ >
т. е. это произведение соответствует произведению наших под-
подстановок.
Пример. Имеем произведение подстановок:
/1 2 3 4 \ /1 2 3 4\ /1 2 3 4\
\2 1 1 3 ) \4 3 3 2/ [з 4 4 3/
7о

и произведение соответствующих матриц:
/О 1 0 0\ /0 0 0 1\ /0 0 1 0\
О 0 1 01 [0 0 0 1
0 0 10] 0001
0 10 0/ \0 0 1 О/
Отсюда и из основной теоремы 3 (§ 30; следует, что всякая
группа рассматриваемого нами типа, т. е. с постулатами I — III
(§ 23) может быть представлена, как группа (особенных) матриц.
Но мы дадим более общее представление при помощи матриц
для некоторых рассмотренных нами видов групп. При этом мы
будем пользоваться теоремами, доказанными в § 11, и считать
известным представление рбычных (классических) групп при
помощи неособенных матриц.
§ 36. Пусть нам дана обычная (классическая) конечная груп-
группа, представленная, как группа неособенных матриц л-го по-
порядка:
Е—единица группы, т. е. обычная единичная матрица и-ro по-
порядка. Можно бесчисленным множеством способов выбрать
тп-матрицу К и и/и-матрицу L (т > и), обе'—ранга и, так,
чтобы было: LK=E. Действительно, возьмем одну из матриц К
или L, например L, произвольно (только ранга п):
[ап ап...а1т\
\Дл1 ап2... anmi
а матрицу К будем рассматривать, как искомую:
¦*И21 - • • - W7
в таком случае, условие LK=E эквивалентно следующей си-
системе уравнений:
т
= еа? (а = 1, 2,... п; р - 1, 2,... и); C1)
здесь ет — 1, еа?. = 0 при аф$. При данном |3 C1) есть система
п линейных уравнений (при а=1, 2, ...п) с т неизвестными
xvp. Xii,... xmz,tn> n, и ранг этой системы равен и, т. е. система
имеет решения, где т—п неизвестных остаются произвольными.
СледовательнОг^матрица К существует и может быть выбрана
-бесчисленным множеством способов. Обратно, при данной мат
ри/С матрица L определяется бесконечно многозначно.
77

Заметим, что каждую матрицу га-го порядка можно умножить
на К слева и на L справа. Составим комплекс:
®~№L = KBL + KAL + KBL + ...;
он состоит из матриц /га-го порядка и ранга л (по теореме
1, § 11); докажем, что этот комплекс © есть группа, просто-
изоморфная группе ©. Имеем такое соответствие:
ыатриа,а_1 си KEL = KL соответствует Е;
, ~A~KAL , A;
„ В~КВГ. „ Л
я т. д.
Тогда матрице AB=KAL- KBL = KA{LK)BL = KAEBL = K{AB)L
соответствует АВ; этим установлек изоморфизм, и одновре-
одновременно доказано, что © — группа. Докажем, что этот изомор-
изоморфизм простой; для этого достаточно доказать, что разным мат-
матрицам^ группы © соответствуют разные матрицы из @ или чтч>
при А = Ъ и А = В. Но Д = 5 дает:
отсюда:
но LK= Е; следовательно, ЕАЕ = ЕВЕ, т. е. А = В, что и требо-
требовалось доказать.
Итак, © есть представление нашей обычной группы © по-
посредством матриц /и-го порядка и ранга п <.т.
Обратно, пусть имеем такое любое представление:
© — обычная ^классическая) группа матриц т-го порядка и pair-
га п < т; I—единичный элемент группы. По теореме, 2, § 11,.
можно найти тп- матрицу /Си га/га-матрицу L, обе ранга га,
так, что будет:
/ = AZ.
По теореме 4, § 11, заключаем, что матрица LK я-го поряд-
порядка— неособенная, т. е. (ЬК)ф.О. Далее:
L-KL- KL-K= L-KI-K,
ибо KL = /, а Р = /; иначе:
(LK-LK)-L/<= LK'LK;
но так как Для произведения неособеннык матриц верен закон од-
однозначной обратимости, то
LK-LK=LK;
78

т. е. LK—идемпотентная матрица л-ro порядка и ранга га; но
единственная такая "матрица есть единичная матрица Е га-го
порядка, т. е. LK — Е.
Возьмем теперь такой комплекс матриц:
@~WK = LIK+LAK +
здесь LIK— LK- LK — LK— В; остальные матрицы и-го порядка
и л-ro ранга, ибо, например,
LAK = (LA) К;
LA — га/и- матрица; имеем:
К- (LA) = Ш.) ¦ А = /А = А;
А имеет двустороннюю единицу / и обратную матрицу относи-
относительно / (ибо А — матрица из обычной группы, где для всякого
элемента имеется^ обратный); следовательно, — по теореме D),
§11, матрица (LA)-K=LAK—ранга п. Подобно же докажем,
что и LBK, • ¦ ¦ ранга га. Далее:
LAK¦ LBK- LA{KL)BK=LAIBK- L(АВ) К:
это показывает, что комплекс © — группа (обычная), просто
изоморфная &, при этом & — группа неособенных матриц я-го
порядка. Отсюда заключаем:
Теорема. Все представления обычной (конечной) группы по-
посредством матриц /и-го порядка и ранга и (т > га) мы получим
из представлений той же группы посредством неособенных
матриц и-го порядка. Если О одно из этих последних представ-
представлений, Е—его единица (т. е. неособенная единичная матрица
я-го порядка), К—тп -матрица, L — пт- матрица, и I.K—E,
то K&L — представление группы посредством матриц /и-го по-
порядка и ранга га.
§ 37. Пусть теперь © = ©, + (Е2 + • • • -1- ©г — левая группа;
(Si, ©2,... (?г попарно просто изоморфные обычные группы без
общих элементов (попарно).
Пусть © = Е+А + В 4- ¦ • • — представление обычной группы®.
посредством матриц га-го порядка и я-го ранга; Е — единица.
Взяв произвольно пт- матрицу L ранга га, найдем г различных
mra-матриц ранга га К{, Кг,...Кг так, чтобы было:
LK, = Е (X = 1, % ... г);
(в § 36 мы видели, что при данном LK определяется бесконечно
многозначно). Теперь возьмем комплекс:

и докажем, что © и есть левая группа матриц иг-го порядка
и ранга га, просто изоморфная данной левой группе ©.
Действительно, из § 36 следует, что все Кх @Z(X=1,2,. ..r)—
просто изоморфные (? (а следовательно, и друг другу) обычные
группы.
Далее:
К, AL -KxBL^K.A (LKx )BL = & AEBL = К, {AB)L -
= К, AL ¦ К, BL,
а это и есть характерная особенность левой группы (§ 23, 24) ©.
Обратно, пусть & = ©,+(?2+ ... + ©гесть представление
левой группы посредством матриц m-ro порядка и ранга п.
Пусть h — единица обычной группы Кх. Как и в § 36, пред-
представляем Л (при данном X) в виде произведения:
Л - Кх L,
где Кх — тп- матрица, a L—я/га -матрица, — обе ранга га; как и
в § 36, выводим, что LK\'= E — единичная матрица га-го поряд-
порядка, ранга га, и комплекс LQi\K\!=^& — обычная группа неособен-
неособенных матриц я-го порядка, причем Lh Kk — LKx =» Е.
Если /^ — единица группы ©ц, то имеем (§ 23):
1„ Л = /„,, т. е- U = № Кх) L;
но /ц Кх — Л^ — /гая-матрица ранга га (ибо ранг /ц равен га); та-
таким образом и /ц представлено в виде: I* = АГц L, откуда сле-
следует, что LKf. = LI?. Kf. — Е, и LQ^Ky. — обычная группа неосо-
неособенных матриц га-го порядка. Но мы докажем, что ZS|lA' =
= LQkKx = &, действительно, например:
LA* K» = L (/„ Ах) 1^ Кх = LK,. • LAxKx = E • ?Лх /<х = ^Л ДГх,
что и требовалось доказать.
Давая для р значения 1, 2,... г, получим:
Совершенно аналогично получим представления и правых
групп; только левая и правая стороны переменятся ролями.
Из всего предыдущего следует:
Теорема. Чтобы получить все представления левой (правой)
группы ©==Е1+©2+...+©г посредством матриц /га-го порядка и
ранга п (га < /га), берем представление © обычной группы 6„ по-
посредством неособенных матриц га-го порядка; далее, берем
любую я/га-матрицу L (любую /яга-матрицу К) ранга га и находим
г различных /тш-матриц К„ Ка, • •. Кг '/ш-матриц LvLt,...Lr) так,
чтобы было Z/Gl = Е [LxK—Щ при X = 1, 2, ... г, тогда
и есть представление левой (правой} группы C посредством
матриц /к-го порядка и га-го ранга.
80

Замечание. Так как элементы конечных групп рассматри-
рассматриваемых типов (а также групп типа ядра) конечного порядка и ро-
рода, равного 1, то в их представлениях через матрицы последние
должны быть обычными (см. § 11), при этом одного и того
же ранга, ибо определенная степень каждой матрицы равна
своей единице, а произведения единиц— те же единицы,— все
одного и того же ранга. Поэтому данные здесь представления
при помощи матриц левых и правых групп, действительно, самые
общие.
§ 38. Переходя к представлению группы типа ядра, мы бу-
будем пользоваться обозначениями § 25, 26 и схемой I (в § 25),
представляющей структуру группы ® типа ядра. По основной
теореме 2 (§ 26) группа ® вполне определена тремя указан-
указанными в этой теороме условиями; эти условия мы здесь возьмем
в следующем виде:
1) Обычная группа S нам дана, как группа неособенных
матриц л-го порядка.
2) Даны числа г и s.
3) Произведения ЕиЕ%\ (х=2,... г; X — 2,... s) нам даны, как
матрицы из группы S.
Попытаемся представить группу ® посредством матриц т-го
порядка и ранга п (т>«).
Пусть (? = Е+А+В+С+...; ? —единичная матрица я-го по-
порядка. Как и в § 36, найдем лт-матрицу Kt н лт-матрицу 1„ —
обе ранга п, — так, чтобы было L1Kt = E; пусть Z., = {xi$),
/f, = (ур, (а «= 1, 2,... л; р =» 1, 2,... т); в таком случае условие
LJd «= Е дает:
т
?*аХв = *«э (а, р ¦= 1, 2, ... я); C2)
здесь еар имеет то же значение, что и в формуле C1) § 36. Из
§ 36 мы знаем, что K^Ll будет группой матриц m-го порядка
и ранга п, — просто изоморфной группе (?. Рассматриваем эту
группу, как представление группы йцг/С,©/^ = 6n;K^ELl—Eu—
единица для (?п; далее, обозначим^Л/^с^Л,!,K1BL1=^Blv...
Чтобы представить левую группу 3C1 = S11+6«i + . -. + ©«. берем
по § 37, кроме Кц-еще г—1 тп-матриц Kz,..-Kt так, чтобы
было: ЬгК* = Е (х = 2,... г); если К=(у$), то предыдущее условие
дает:
т
2 V$ = е*> («. Р - 1. 2,... л; х = 2,... г). C3)
Далее мы определяем: К% (?Li = @xi;(x=2,... г); /С* EL=E%1—
единица для 6хь обозначим далее: Кх А1х~А-л,K^BL^B^,...
Имеем теперь (см. § 37):
Переходим теперь к представлению правой группы ©i=@ij-1-
6-|-...4-<?is. По той же теореме §37 находим, кроме 1» еше
Сушкевич 4»7 в

s — 1 nm - матриц L2,... Ls так, чтобы L,.KX = E (X = 2,... s); если
Z,x =(л^), то это дает:
S *№ = <V. (a, p = 1, 2,... n; X = 2, ... s). C4)
Определяем теперь: КгШ> = &v. (X = 2, ...s). И здесь
KXEL\ = ?u — единица для Lu, и мы обозначим: KiAU~Au,
KiBfy.cnfin,... Получаем, таким образом, по теореме § 37:
Переходим теперь к представлению группы <L>. (x> 1, Х> 1);
ЕцЕх>. принадлежат к группе <§i>.; пусть:
ЕиЕл-Х?>; C5)
здесь Х<-Л) данная матрица из S; Х<^> = KtX^l)L,.. Берем ?*>.
в виде E%)=KXXL\, где XQ 6; в таком случае C5) дает KJ-iK* XL\ —
^KtX^l.-,; но LiK* = ?, ЕХ=Х;следовательно:^^/.). = КгХ^/л;
умножив обе части этого равенства слева на Z.,, справа на К\,
получим, приняв во внимание, что 1.ЛК\ = L>. К{ = Е:X—Х^К Сле-
Следовательно, Ех\=Кх Х<*'>?> . Но ?л должно быть идемпотентной
матрицей, что дает:
ЕАЕА = /G X<*U К, X^U = К, X^L, = Ел;
умножив обе части слева на Lx, справа на Ки найдем:
а так как ЛГ(Х>) и L,. К* — неособенные матрицы, то
Z,./f« = (XW)-1. C6)
Обозначим через кль — элементы матрицы (XSxVf)—y\ поскольку
нам дана матрица Х^'-\ постольку же известна и матрица (Л'1"'))",
т. е. ka$ — данные числа. В таком случае C6) дает:
*•* («, Р= 1. 2,... я; х=2,... г; X = % ... s). C7;
Пусть теперь Ах>. — любой элемент из 6«; покажем, как его
представить в виде матрицы т-го порядка и ранга п. По § 26,
п. 3, мы обозначаем:
Ап. = Ех-,. = Ац',
или, подставляя выражения для Ext. и Ан.:
Ал~ К, XWL,. KXAL, = /С (Л>«-)Л) Z* , C8)
ибо L) /<! = ?. Символически можно написать:
Этим определены все группы S«>, т. е. и вся группа Ш.
82

Можно проверить, что 2Ц=(?п4-?2^+...-)-(Ел действительно
1левые, a 93x = (Sxi4-(L2+... + ©m правые группы.
Таким образом задача сводится к нахождению всех элемен-
элементов х'?, у1^ матриц Lx и К%; всего этих элементов "m-n-(-r+s);
между ними существуют соотношения, выражаемые уравне-
уравнениями C2), C3), C4) и C7); число всех- этих уравнений равно
n2rs. Кроме этих уравнений, матрицы К* и Lx еще подчинены
условию, чтобы их ранг был равен п; но это условие само со-
собой выполняется при удовлетворении уравнений C2), C3), C4),
ибо эти уравнения равносильны формуле: L\Kv.=E, а так как
Е — ранга п, то и /С* и должны быть ранга п. Для разреши-
разрешимости уравнений C2), C3), C4) и C7) в обш-<;м случае их число
должно быть не больше, чем число неизвестных; это дает усло-
условие для т:
п • т (r+s) ^ n2rs;
C9)
r+s
Например, при r=s = 2 мы просто имеем: т>п. При r=% s =
6
должно быть т^-~п и т.д.
О
Пример. Пусть (?=?+А+В+р— четверная группа,
т. е. п*=2. Пусть, далее, r=s=2; EuEit = Bl%. В данноы случае
можно взять т=3. Уравнения C2), C3), C4) и C7) здесь пред-
представляют собой 16 уравнений с 24 неизвестными:
V +Л У
32
=V
0)
(II)
(III)
х"лУ
лУи

32
Здесь
)-»=?- ' = 5;
x"
x"
У
'У
У
11
21
11
tt
21
ч
31
х"
Xя
У
У
У
ггх
22 Х
•'и
Я
22
гг
32
IS
24
\
•
J
Восемь из наших 24 неизвестных мы можем выбрать произ-
произвольно, но не любых восемь. Положим: х'п—1, л:'12 = л:'1з = О,
л'21==л'23=0, х'.г2=1 и, кроме того: j's,=y'3a=0; в таком случае
получим из (I): Уп=Уа.= 1, y'ii=--y\i=^, а из (II) и (Ш): У'и =
=у2=\) у*12=у21 = о, х"п=х".г,— 1, х№12=х1=0. Остается еще
определись хЬ, x"iM х\х, у'^; но уравнения (IV) дают:
1 _j_ г" \г П х" \)" =1' \-X-x" v" —0 х" \>" 1 Чтп
4 уравнения с 4 неизвестными; но они не независимы; напишем
их в виде: x"nfbl = — 1; ¦x"]3v%2=l, •х%а>'";,2=— Ь л!1у"з, = 1,
помножим первое на третье и разделим на второе, — получим
четвертое. Следовательно, еще одно неизвестное остается произ-
произвольным. Возьмем у, — 1; тогда х'\ь=—1, лЯ = 1, У32 = —1«
Следовательно, имеем такие матрицы:
'1 ON
все они ранга 2.
Далее найдем:
/ 1 0 0 \ 1-Х 0 0\ / О I 0 \ / 0-1 0\
?„= 0 10, Ап=[ 0-1 0 , ^„= 100, С12=( -1 00);
\ о о о / \ о о о/ \ о о о / -Vooo/'
/1 0 0\ /—1 0 0\ / 0 1 0\ / 0—1 0\
?ц= 0 10), /121= 0-10, В„= 100 , Си- -1 00 ;
\i-i о/ \—1 I о/ \-1 1 о/ . V i--i о/
/1 о—1\ /—1 0 1\ /0 — 1 1\ / 0 —1 —1\
?а=@ 1 1 » /»„= 0-1 -I Ь В12= 1 0—11» С„- -1 0 1 ;
\о о о/ \ о о о/ \о о о/ \ о о о/
/ 0 1 1\ /0-1 -1\ /1 0-1\ /-1 0 1\
?г„= 1 о— 1 , Аи= — 1 0 1 Ь В22- О I 1 » С,г= о —I -1 .
*-1 1 2/ \ 1-1—2/ \1 —1 —2/ " \—1 I 2/

ГЛАВА IV
БЕСКОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ БЕЗ ЗАКОНА НЕОГРАНИЧЕННОЙ
ОБРАТИМОСТИ
Обычные полугруппы
§ 39. Как уже было указано в § 21, в случае бесконечных
ассоциативных групп закон однозначной обратимости более
общий, чем закон неограниченной обратимости: при выполнении
обеих сторон последнего выполнены и обе стороны первого.
Таким образом первое наше обобщение обычных бесконечных
групп будет состоять в том, что мы обе стороны закона неогра-
неограниченной обратимости заменим обеими сторонами закона одно-
однозначной обратимости. Обобщенные группы такого типа назы-
называются полугруппами; они были известны еще в начале XX
века: о них упоминает deSeguier;1 им посвятил статью Dickson.2
Очевидно, что всякая конечная полугруппа есть обычная
конечная группа, ибо для конечных групп законы однозначной
и неограниченной обратимости равносильны (§ 21).
Излагая в дальнейшем свойства полугрупп, мы, конечно,
предполагаем их бесконечными, но не ставим никаких условий
относительно их исчислимости или неисчислимости.
Теорема 1. Всякая часть обычной группы или полугруппы,
обладающая групповым свойством (,§ 13), т. е. такая часть, что
произведение двух ее элементов есть тоже ее элемент, есть
полугруппа (которая в частном случае может оказаться и обыч-
обычной группой).
Это непосредственно следует из того, что закон однозначной
обратимости, верный для всякой обычной группы, есть закон
1-го рода (см. § 20), т. е. сохраняет свою силу и для всякой
части грулпы.
Теорема 2. Если хоть один элемент полугруппы имеет одно-
одностороннюю единицу, то эта единица — двусторонняя единица
для всех элементов полугруппы, и при этом единственная.
Доказательство. Пусть, например, АЕ=А; в таком слу-
случае для всякого элемента Х{АЕ) X = А (ЕХ) = АХ и по закону
однозначной обратимости ЕХ=Х; но отсюда: Х{ЕХ) = (ХЕ) X —
= ХХ, и снова по закону однозначной обратимости ХЕ = X;
итак: ЕХ—ХЕ = Х, т.е. Е — двусторонняя единица для всех
1 J. A. de Seguicr, Elements de la theorie des groupes abstraits. Paris,
1904, p. 8.
2 L. E. Dickson, On semigroups and the general isomorphism between infinite
groups. Transactions of the Amer. Math. Soc, vol. t> A905), p. 205—208.
85

элементов; отсюда следует, что Ег=Е. Пусть Ег—другая (хотя
бы односторонняя) единица'.тогда/:^"*Е=Еи и теорема 2 доказана.
Замечание. Но полугруппа может и совсем не иметь
единицы.
Теорема 3. Если полугруппа имеет единицу, и для данного
элемента этой полугруппы существует односторонний обрат-
обратный элемент, то этот последний есть и двусторонний обратный
(и при этом единственный) элемент для данного.
Доказательство. Пусть, например, элемент А имеет
правый обратный (§ 21) элемент В, т.е. АВ=Е; (Е—единица);
тогда (АВ) Л = ЕА = АЕ или А (ВА) = АЕ; отсюда по закону
однозначной обратимости следует: ВА = Е, т. е. Bc^A~*— дву-
двусторонний обратный элемент для А. Если X какой-нибудь
иной (например, правый обратный) элемент для Л, то имеем:
АХ=Е=АА~]; отсюда по закону однозначной обратимости за-
заключаем: Х=А~1.
Эти три теоремы доказаны Dickson'oM. *
Теорема 4.2 Если ® полугруппа, а Р—ее любой элемент,
то вообще: ®Р С ®, Р® С О, причем ®Р и Р® тоже полугруппы.
Соотношения ®Р 3 Р и Р® ) Р «ля одновременно исполнены
для всех элементов Р из О, или ни одно не исполнено ни для
одного элемента из ®; первый случай имеет место тогда, и
только тогда, если ® имеет единицу.
Доказательство. Первая часть теоремы очевидна. Если
для какого-нибудь элемента PC® будет Р С ®Р или Р С Р®, то
это значит, что в ® имеется такой элемент Е, что ЕР— Р или
РЕ=Р, т. е. элемент Р имеет одностороннюю единицу; но тогда
из теоремы 2 следует, что этот элемент Е — двусторонняя еди-
единица для всей полугруппы 0; в таком случае и для всякого
элемента X С ® будет: X = ЕХ С ®Х, X = ХЕ С X®; этим тео-
теорема 4 доказана.
Теорема 5. Если 6 полугруппа с единицей, то все элементы
из <3, имеющие обратные элементы, образуют обычную группу
®— наибольшую обычную группу, содержащуюся в <3.
Доказательство. Пусть ® комплекс элементов из 6,
имеющих обратные элементы; эти обратные элементы тоже за-
заключены в ®, так как свойство обратности взаимное; единица Е
тоже заключена в ®, так как она обратна самой себе. Наконец,
если элементы Р и Q имеют обратные элементы P~l, Q—1, то и PQ
имеет обратный элемент Q^P1.
Теорема 6. Произведение двух (или нескольких) элементов
полугруппы только тогда имеет обратный элемент, если каждый
из сомножителей имеет обратный элемент.
1 См. Dickson, 1. с.
2 Относительно этой и следующих теорем о полугруппах см. мои работы:
„Ober Semigruppen" [Записки Харк. мат. т-ва, сер. 4, т. 8 A934), стр. 25—27)
и .Про поширення nierpynn до ц1ло! групи" (Записки Харк. мат. т-ва. сер. 4.
т. 12A935), стр. 81-87).
86

Доказательство. Пусть R=PQ имеет обратный элемент
-1- в таком случае:
отсюда по теореме 3 заключаем:
На основании теоремы 5 заключаем, что полугруппа © со-
состоит из двух частей:
© = © + &. A)
О (обычная группа, введенная в теореме 5) есть группо-
групповая часть полугруппы ©, § — главная часть полугруппы©.
Часть © может' быть бесконечна или конечна, или может
даже состоять из одного только элемента Е (единицы), наконец,
может и совсем отсутствовать (быть „пустой),— в том, и только
в том именно случае, когда © не имеет единицы. Часть § — по-
полугруппа (как следует из теоремы 6) без единицы; она необхо-
необходимо бесконечна и всегда имеется (если только © не сводится
к обычной группе). Из той же теоремы 6 следует, что, если
в произведении есть хоть один сомножитель из §, то и все
произведение принадлежит к §. Отсюда же следует (при нали-
наличии групповой части ©;:
Щ = ф® = Щ = §@ = $. B)
Пусть Л— элемент из групповой части ©; тогда в ® имеется
и обратный к нему элемент А~\ так что А~1 А = Е; имеем:
ф = $? = $ (А-' А) = (фЛ-1) Л С
¦отсюда
и подобно же.
Теорема 7. Если Л любой элемент из групповой части ©
JCM. A)], ТО
§Л = Лф = §; 6Л = Л© = @.» C)
Если же РС§, то, как следует из теоремы 6:
Следствие. Если Л элемент из групповой части, а Р — лю-
Ч5ой элемент полугруппы, то уравнения
АХ = Р, YA = P
всегда имеют решения в данной полугруппе:
Х = А~1Р, Y^PA-1
{причем эти решения единственные).
1 Второе равенство C) следует из того, что при АС® @А ¦= A($j = @э
так как СУ — обычная группа.
87

§40. Как на" простейший пример полугруппы, укажем на со-
совокупность степеней (с целыми положительными показателями)
элемента А, если верен ассоциативный закон, т. е. формула B)
§ 19, и элемент А — не конечного порядка. Если такой элемент А
входит в обычную группу, то имеется и обратный к нему
элемент Л—1, и ряд — тоже бесконечный — его степеней А—1, А—*-,
А~3,..., тоже образующих полугруппу; если ко всем этим по-
положительным и отрицательным степеням элемента А присоеди-
присоединить еще единицу группы: Е^±А°, то получим бесконечную
циклическую группу {Л} всех степеней элемента Л. Таким об1
разом, полугруппа положительных степеней А действительно
составляет как бы „половину" всей группы {Л}. Заметим,, что
все положительные степени Л вместе с элементом Е составляют
полугруппу, полугруппу составят также* все степени Л, начиная
с некоторой его степени Л* при к > 0, а также все степени Ат
при т > 0 и кратном некоторого числа к.
Если данная* полугруппа © является частью какой-нибудь
обычной группы 91 (см. теорему 1, §39), то очевидно, что в 91
содержится и группа {©}, порожденная всеми элементами из ©
(в частном случае может оказаться и {6} = 91). Таким образом
здесь мы совершенно естественно дополнили данную полугруппу
до обычной группы. Но если полугруппа © задана отвлеченно,
независимо от всякой обычной группы 21, то возникает вопрос,,
можно ли, „создавши" новые элементы, „дополнить" эту полу-
полугруппу до обычной группы.
Возьмем сначала полугруппу ©=§, состоящую только из
главной части, т. е. не имеющую единицы. Ни один из элементов,
конечно, не имеет обратного. Пусть Р, Q. R,_S,_..._ различные
элементы из @; создадим новые элементы рг Q, R, S,... так,
чтобы каждому элементу из © соответствовал новый элемент,
обозначаемый той же буквой, только с чертой над ней. Устано-
Установим следующее правило композиции этих новых элементов:
если PQ =_/?_(согласно таблице полугруппы ©), то будем
считать: ЦР = Н. Этим совокупность всех новых элементов
образует тоже полугруппу ©, антиизоморфную с 6 (§ 18).
Далее, „создадим" еще элемент Е, который определим, как
двустороннюю единицу для всех элементов из © и из б".
Потом определим:
XX = ~XX~E D)
для каждого элемента X С © и для соответствующего элемента
ХС<5. Наконец, „создадим" еще бесчисленное множество „про-
„произведений":
PQ, PQ,- PQR, PQR, PURS; PQRS,... E)
где „множители" из @ чередуются с „множителями" из ©. Эти
„произведения"' мы пишем прямо без скобок, считая для них
ассоциативный закон верным, как определение.
88

Мы составляем „произведения" этих „произведений" E)
просто тем, что пишем все „сомножители" один за другим:
TS • P~QR = T{SP) QR,
причем произведение RU мы заменяем соответствующим эле-
элементом по таблице умножения для ©, а произведение SP за-
заменяем одним элементом по таблице умножения для ©.
Эти произведения E) можно иногда сократить, принимая'
во внимание формулы D); например, если дано PQRST, и по
таблице умножения для © мы имеем:
R=US, F)
то
PQRST = PQUSS7 = PQUET = PQ (UT) = PQV,
если
UT=V.
Или, если по таблице умножения для E
Q= WV, G)
то имеем:
PQV = PW V V = PWE = PW.
Но следует заметить, что при данных R и S не всегда .су-
.существует в © такой элемент U, что исполнено F); аналогично
и относительно G), так как закон неограниченной обратимости
не имеет места ни для S, ни для ©.
Два произведения вида E) мы считаем равными тогда, и
только тогда, если их можно преобразовать одно в другое,
„сокращая" указанным способом или вставляя с концов или
в средине произведения вида XX или XX и применяя формулы
D), F), G). Если же так преобразовать их одно в другое не-
невозможно, то мы считаем такие произведения различными. Легко
видеть, что для этого равенства произведений верны три основ-
основных закона равенства (см. введение), что дает возможность
распределить все произведения E) по классам „равных" произ-
произведений (так, что два произведения одного класса равны друг
другу, а два произведения разных классов всегда различны).
Эти классы равных произведений мы теперь будем считать на-
нашими новыми „элементами" и совокупность их обозначим че-
через ©,. Конечно, каждый элемент полугруппы © принадлежит
к одномуиз этих классов так же, как и каждый элемент полу-
полугруппы ©. Нам надо еще доказать, что два разных элемента
из © не могут принадлежать к одному и тому же классу; точно
так же и два ра_зных элемента из ©; наконец, элемент из 6
и элемент из © всегда принадлежит к разным классам.
Заметим, что всякое преобразование произведения E), и,
в частности, одного элемента из © или из © посредством
89

формулы D), — с применением таблиц умножения для © и для E
(последняя по существу та же, что и первая, — только перестав-
переставлены строки с колоннами), — сводится к умножению на единицу Е
или к сокращению этого множителя Е; при этом Е представ-
представляется в виде XX или ~ХХ, т. е. всякий раз, когда данный эле-
элемент А умножается на X, появляется и „компенсация" в виде
множителя X, и обратно, — эта компенсация может исчезнуть
только в том случае, если справа или слева от нее исчезнет
й множитель X, и опять останется А (так как для полугруппы
верен закон однозначной обратимости). То же самое мы имеем,
если множители вида XX вставляются в средине: пусть, на-
например, _ _
А = Л, Аг А3 = Л, ХХАа YYAS;
какие бы вставки или сокращения мы ни делали, — все равно,
множители Аи А2, Л3 (в таком именно порядке) остаются. Пусть,
например, в предыдущей формуле X = Xt Х^ Л2 — Х2 Аг\ тогда
А =Д ХХ~^Хг А*ТУА3 = A, XX\A[ YYА3;
будто бы исчезло А2; н0« ведь, из X — X, Х2 следует:
и, следовательно:
A^A^XjC^A'tYY Аъ = A, XaAiYYA9,
и снова, ведь,
Xt А'г = At.
Возьмем элемент Е; преобразовывая его указанным образом,
мы всегда приходим к произведениям вида E), где все „сомно-
„сомножители „сокращаются", т. е. (при помощи таблицы умножения
для €> и для €>) распределяются по парам вида D). Такое рас-
распределение по парам D) без остатка, как мы видели, невозможно
для произведений, равных элементу из © или из © (там — пол-
полная аналогия с 6); следовательно, элемент Е (единица) не равен
ни элементам из ©, ни из @ (иными словами, в классе, где на-
находится Е, нет ни одного элемента ни из <3, ни из <3).
Иное дело, если элемент А—любой элемент из @; пусть
A=BU, причем в ®}_ВХ= C}i_^= lYj. KU = LV; в таком
случае имеем: YQ=XB, YL=XK, UK= VL. Далее:
A = BU=BXXU= CYXKKU= CYYLLV = CV;
таким образом из предыдущих условий вытекает: BU — CV.
Если это равенство в @ не выполнено, то, „дополняя" указанным
образом @ до группы, мы тем самым „суживаем" 6, именно
делаем равными элементы в <3, которые ранее были неравны,
без этого „суживания" полугруппу © дополнить до группы не-
невозможно. Итак, необходимым условием возможности дополне-
дополнения полугруппы до группы (без „суживания") является: из
90

равенств BX = CY, KX=>LY, KU= LV в © должно следовать;
BU= CV. Это условие нашел А. Мальцев,1 давший также при-
пример полугруппы, которая не может быть дополнена до группы.
.Конечно, вместе с полугруппой S суживается также и по-
полугруппа ©.
Совокупность ©t классов наших произведений E) содержит
в себе, таким образом, как части, полугруппы, обобщенно изо-
изоморфные полугруппам 6 и ©. Легко видеть, что ©t— обычная
группа. Действительно, произведение каждых двух ее элемен-
элементов есть тоже ее элемент, ассоциативный закон верен, Е (и класс,
к которому принадлежит Е) — единица для @t, и для каждого
элемента из 6, существует обратный, например, для PQRST
обратным является TSRQP, так как их произведение равно Е.
Таким образом ©х—обычная группа, получаемая „допол-
„дополнением" © до группы, только при этом может быть и „су-
„сужение" 6.
Пусть теперь 6 = & + ф имеет и групповую часть &. .До-
.Дополним" в этом случае & до группы (хотя бы с .сужением" ее);
получим группу §t; остается теперь соединить группы ® и фь
в одну группу; но в таком случае эти две группы должны иметь
одну и ту же единицу Е, т. е. Е в формуле D) должно озна-
означать не новый элемент, а единицу из группы &.
Определим теперь произведения элементов из © и эле-
элементов из ф (ф, как раньше ©, — полугруппа, антиизоморфная
с &) следующим образом: при А С 65, а Р, Q, R из ф.
если
если
Но, ведь, тогда: _ _
A = QP=PR, (8}
т. е. всякий элемент А С & представляется как произведение
элементов из ^ и |, причем еще Р в (8) можно выбрать про-
произвольно из ф; отсюда следует, что А С §,, т. е., что вся
группа & уже заключена в §и как подгруппа. Следует заметить,
что формулы (8) дают новые соотношения между произве-
произведениями E), так как, беря, например, за Р все различные
* A. Malcev, On the Immersion of an Algebraic Ring into a Field Math. An-
nalen, Bd. 113, 5 Heft A937), S. 686—691. Пример, приводимый Мальцевым,
опровергает мое прежнее утверждение о том, что всякую полугруппу можно
дополнить до группы.
91

элементы из ?>, мы для каждого из них найдем соответствующий
элемент Q из § и получим по (8):
А = Q^ = Q..P, = Q.P, = ...;
если, например, Л = QP, В *= SR и АВ = С = ~VU [no (8)J, то
QPSR = VU, и т. п. Таким образом от этого ,, включения" группы
& в группу ©1 последняя еще более „сужается". И здесь без этого
„сужения" невозможно данную полу группу дополнить до группы. *
Если данная полугруппа S — без групповой части, и при
этом „свободная" (см. конец § 16), т. е. между ее генераторами
не существует никаких соотношений, то такую полугруппу
можно без сужения дополнить до обычной группы, ибо тогда
соотношения вида ВХ = СУ могут быть только абсолютными
тождествами (см. введение).
§ 41. Всякая полугруппа, как и вообще всякая (как обычная,
так и обобщенная) группа может быть определена системой
генераторов и основных соотношений между ними (§ 16). Ко-
Конечно, дело здесь усложняется тем, что полугруппа - беско-
бесконечна; поэтому и система генераторов и соотношений между
ними может быть бесконечной, а в таком случае определить ее
целиком практически невозможно. Разница в основных соотно-
соотношениях между генераторами у обычной группы и у полугруппы
та, что в группе основные соотношения выявляют и существо-
существование единицы, и существование обратного элемента для каждого
генератора, тогда как в полугруппе единица может тоже су-
существовать, но обратные элементы существуют во всяком слу-
случае не для всех генераторов. Если полугруппа —без груп-
групповой части, то основные соотношения у ней не дают единицы
{а следовательно, и обратных элементов).
Теорема. Если данная полугруппа имеет групповую часть,
то последняя, как группа, определяется теми генераторами дан-
данной полугруппы, для которых из основных соотношений следует
существование обратных элементов.
Доказательство. Если в полугруппе есть групповая
часть, то существует и единица, т. е. ее существование выяв-
выявляется основными соотношениями для данной полугруппы.
Групповая часть, как и всякая группа, порождается своими
генераторами; нам надо доказать, что, кроме генераторов, яв-
являющихся генераторами для всей полугруппы, групповая часть
не имеет иных генераторов, а именно, что произведение гене-
генераторов данной полугруппы не может иметь обратного элемента,
если хоть один из сомножителей его не имеет; а это непосред-
непосредственно следует из теоремы 6, § 39.
Что касается главной части данной полугруппы, то она
вообще порождается не только теми генераторами всей полу-
полугруппы, которые не имеют обратных элементов, так как может
1 Это „сужение" группы <д показывает только, что задача расширения полу-
полугруппы ф до группы (с сужением ее) — разрешима не однозначно. Решение,
приведенное нами выше, так бы сказать, самое широкое.
92

случиться, что произведение элемента из главной части на
элемент из групповой части — такой элемент из главной части,
который не порождается генераторами, не имеющими обратных
элементов. Поэтому, чтобы составить полную систему генера-
генераторов главной части § данной полугруппы <3,— следует к гене-
генераторам <5, не имеющим обратных элементов, добавить еще
некоторое (конечное или бесконечное) количество генераторов,
которые сами порождаются и генераторами из <5, имеющими
обратные элементы, и генераторами из <5, не имеющими обрат-
обратных элементов.
Дадим теперь несколько иной способ дополнения полугруппы
до обычной группы. Пусть § полугруппа без групповой части
(или главная часть полугруппы в общем виде) и U, V, IF,...ее
полная система генераторов (независимых); ни один из них не
имеет обратного элемента. Так создадим для них обратные
элементы U, V, W,... Соответственно каждому соотношению
между U, V, W,... установим соотношение;
между СЛ Р% W,... и построим полугруппу § с генераторами
V, V, W,..., антиизоморфную с §. Если UVW...=P, то мы
обозначи м:... WV U — Р. Соотношение D), § 40, мы уста-
устанавливаем теперь только для* генераторов U, V, W, ...,
U, V, W,...\ отсюда уже следует, что оно будет правильным
для любого элемента X из § и X из Jg. Дальнейшее построе-
построение группы ?>, идет так, как и в § 40.
Если для данной полугруппы © верен коммутативный закон,
то назовем такую полугруппу абелевою. При дополнении ее
до группы мы устанавливаем, что_ каждый элемент из @ пере-
переместим с каждым элементом из <В (@ тоже абелева); тогда и
@г будет обычной абелевой группой, и каждое из произведений
E) приводится к виду: PQ = QP.
Пример. Пусть C2L = A + A2 + Aa+ ... так называемая „ци-
„циклическая" полугруппа; она имеет один» генератор А. Введем
единицу Я_и элемент А с условием: АА = АА — Е; строим по-
полугруппу (& — А + А* + А3+ ... и всевозможные произведения E),
которые здесь имеют вид:
или Л'~* (9)
s зависимости от того, что k>l или k<l; при k = l имеем
Получаем обычную циклическую бесконечную группу {А}.
93

По способу § 40 мы могли бы построить %, введя бесчис-
бесчисленное 'множество новых элементов: А, А2, А"... ..определив
затем AkA~t=A~e+i, откуда (беря /=1, 6 = 1, 2,...)
определив, далее, Ak А" = Ак Ak = Е и выведя формулу (9).
Односторонние полугруппы
§ 42... Переходя теперь к обобщениям полугрупп, отбросим
одну сторону закона однозначной обратимости, т. е. будем для
нашей обобщенной полугруппы @ считать исполненными одно-
однозначность и неограниченную применимость действия, ассоциа-
ассоциативный закон и левую сторону закона однозначной обрати-
обратимости. (Множество элементов в @, конечно, считаем бесконечным).
Назовем это обобщение © левой полугруппой.
Итак, из ВА — СА следует В = С; но из АВ = АС вообще не
следует В = С.
Пусть АС<5; А<& и @А — тоже левые полугруппы, содержа-
содержащиеся в <3. Это легко видеть, так как законы ассоциативный и
однозначной обратимости — 1-го рода (§ 20).
Если X пробегает все элементы из <3, то при различных X
и все ХА различны, тогда как АХ не должны быть обязательно
различными.
Пусть для некоторого элемента Л С © будет @А = @; это зна-
значит, что существует в <В такой элемент Е, что ЕА — А; но
Тогда для всякого X С @
откуда по левому закону однозначной обратимости ХЕ = Х,,
т. е. Е — правая единица для всех элементов нз 6. Очевидно,
что @? = б, тогда как @i^f@C@.
Левая полугруппа <5е состоит из всех элементов С <5, имею-
имеющих Е двусторонней единицей.
Имеем: EZ = E, т. е. Е — идемпотентный элемент. Обратно,
всякий идемпотентный элемент <3 будет правой единицей для
всех элементов из 6, так как из Ей = Е следует:
откуда по левому закону однозначной обратимости ХЕ=Х.
Может случиться, что наша левая полугруппа @ имеет не-
несколько, даже бесчисленное множество правых единиц Е„ Ег,
Еъ,...;х каждой из них соответствует полугруппа типа <Зе. Вся
левая полугруппа @ состоит, таким образом, из этих полу-
1 Обозначение их значками 1, 2, 3,... —чисто условно; их множество мо-
жег быть и неисчислимо.
91

групп @е и „остатка" % причем Щ. — тоже левая полугруппа, ни
один элемент которой'не имеет левой единицы. Для доказа-
доказательства этого нам достаточно показать, что произведение двух
элементов из 91 тоже принадлежит к % т. е. не имеет левой
единицы. Пусть Rt и R2 два любых элемента из 9V к пусть
F \RiRt) = RxR%, но тогда (FRi) Hi = HiR2, откуда по левому за-
закону однозначной обратимости выводим: FRt = Ru т. е. F—ле-
F—левая единица для /?„ что неверно..
Рассмотрим теперь две полугруппы вида:
<Вг, = Е& и <Зе, = ?2©; •
между их элементами существует следующее соответствие:
элементу Е^Х из SSl соответствует элемент Е2Х из @е,; при
этом, если элемент Е1Х соответствует элементу Е2Х, элемент
EXY—элементу E2Y, то элемент ЕХХ • EXY соответствует элементу
E2X-E2Y, так как ЕкX• EXY = Е-к (ХЕх) Y- Ex (XY), т. е. это
соответствие есть изоморфизм и при этом простой:мы имеем
Е1Е2=Е1, Е2Е1 = Е2, следовательно, если ЕХА—ЕХВ, то, умножая
обе части этого равенства слева на Е2, мы найдем: Е2А = ЕгВ,
и обратно. Очевидно, что всякая полугруппа <3Е изоморфна и
всей полугруппе <3, но этот изоморфизм обобщенный, так как
при ХфУ может случиться, что EX = EY.
Рассмотрим детальнее полугруппу Е<& = @,. Выделим в@г все
элементы, имеющие обратные (относительно Е). Легко видеть,
что если элемент А имеет односторонний обратный элемент
А, то этот элемент А будет двусторонне-обратным и при том
единственным; именно, из АА = Е следует: (АА) А = АЕ = ЕА, от-
откуда по левому закону однозначной обратимости АА = Е; об-
обратное— аналогично. Обозначим обратный к А элемент, как
обычно, через А-1. Легко видеть, что В~1А~1 = (АВ)-~1. Это го-
говорит, что те элементы в 6s, для которых существуют обрат-
обратные, образуют группу ®е, при этом — обычную (классическую).
В начале этого параграфа мы видели, что если в <& имеется
такой элемент А, что 6А = ©, то в @ есть и правая единица Е
для всех элементов из @, являющаяся двусторонней единицей
для А. Следовательно, А С @е; но мало этого, равенство ©А = 5
говорит, что в <В есть элемент А~1, для которого А~гА = Е, т. е.
А имеет обратный элемент А — тоже из ©5 — именно:
ЕА-1 = (А-1 А) А-1 = А-1 (АА-1);
но {АА-1) А=А (А—1А) = АЕ=ЕА, т. е. А А-1 = Е; следовательно,
ЕА-1 = А~ХЕ = А-\ т. е. А-1 С ©е.
Далее имеем:
с другой стороны:
А@ - Е (AS) С ?®;
Следовательно: А© = ?@ = 6S.
95

Итак, АС®„. Обратно, пусть АС©.; тогда существует
А-1 С ®*; А-1 А = Е, следовательно, EА ~) Е, а также ©А !> А,
S") (А-1J, откуда ©A D (А-1J А, или ©А 5 А; следовательно,
QA содержит и все произведения: ХАА—1 = ХЕ = Х, где X —
любой элемент из @, т. е. ©А Ь ©; но, с другой стороны, QA l @;
следовательно, A6 = ?'6 = @e, и по предыдущему найдем: А6 =
Итак, полугруппа ©, имеет следующую структуру:
®t, как мы видели,— обычная группа, а „остаток" 9U — обоб-
обобщенная полугруппа тех элементов из @, которые имеют двусто-
двустороннюю единицу Е, но не имеют обратных элементов относи-
относительно Е. Это легко доказать следующим образом: пусть (АВ)С=
= С{АВ) = Е, но, ведь, тогда А(ВС) = Е, (CA)B = Ef т. е„ если
произведение АВ имеет обратный элемент, то и оба сомножи-
сомножителя тоже имеют обратные элементы.
Может случиться, что % — обычная полугруппа; но в общем
случае 5ftt только левая полугруппа. Выделим из ©е те эле-
элементы, для которых верен правый закон однозначной обрати-
обратимости; обозначим их совокупность через <2Г и докажем, что ©е'
обычная полугруппа, имеющая групповую часть ©,. Пусть А, В
два элемента из ©е такие, что из AX = AY или из BX = BY
(X, Y—из <5t) следует Х= Y; пусть теперь дано:
АВХ = АВУ; A0
тогда мы заключаем, что BX=BY, а отсюда уже, в свою оче-
очередь, Х= Y. Обратно, пусть из A0) следует: Х= Y, и пусть
дано: BX=BY; но отсюда следует A0), а из A0) — Х= У. Если
.4С®е, то существует А-1; пусть АХ — АУ; но тогда A~1AX =
= A-1 AY, EX=*EY, или Х= Y.
Итак, <2Г—действительно обычная полугруппа и ©« D ©е, от-
откуда легко следует, что ©е —групповая часть 6,'.
Обозначим: бе'= ©.+§* (т. ,е, ?>е — главная часть <S'.); тогда:
©е =©;+»;=©.+&+ю;-©.+«.,
т. е. ».-
Но мы одновременно доказали, что и для Wc исполнено
групповое свойство, ибо, если для Р, Q неверен правый закон од-
однозначной обратимости, то и для PQ он тоже неверен; т. е.
Ш'г есть тоже левая полугруппа.
Теорема. Левая обобщенная полугруппа © имеет в общем
случае следующую структуру:
06

¦символическая „сумма* может относиться к конечному или бес-
бесконечному (исчислимому или неисчислимому) множеству „слага-
„слагаемых"—она может и совсем отсутствовать (именно, в том
случае, если 6 не имеет ни одной общей правой единицы). Каж-
Каждое „слагаемое"
б, = Е<5 = &t+ ®t+K = ®.+ ». (Я= ©.+-8Q
•относится к определенной правой единице Е для 6, причем Е
есть двусторонняя единица для всех элементов 6 (и только для
них). б^ = ©,+ Ф, есть обычная полугруппа, — наибольшая,
содержащаяся в 6S; ($,— групповая часть для <5't,— наибольшая
обычная группа, содержащаяся в бв; tftj— левая полугруппа, ни
для какого элемента которой не верен правый закон однознач-
однозначной обратимости; Ш — левая полугруппа, ни один элемент кото-
которой не имеет левой единицы. Все 6е при различных Е просто изо-
изоморфны друг другу (а следовательно, и все @е просто изоморфны
друг другу, а также и все 6Е\ все ?>е, все 3tE и все di'j; если Ех,
Ei — две различных правых единицы, то
Exeti = e,x; еж, =("v, ?.6^- б.х
?,$* = фч; ЕЖХ = 31.',. A2)
Тогда, и только тогда <5Л = 6, если А—элемент одной из
обычных групп ®е, и в этом, и только в этом случае Л6==(ре.
Конечно, совершенно аналогичная Теорема существует и для
^правых" обобщенных полугрупп.
Односторонние группы
§ 43. Переходим теперь к рассмотрению случая, когда для
нашего ассоциативного действия верна левая сторона не только
закона однозначной обратимости, но и закона неограниченной
обратимости. Обобщенные бесконечные группы с таким дей-
действием будем (аналогично §23) называть л е вы м и бесконеч-
бесконечными группами (аналогично и правые бесконечные
группы). Эти группы имеют много аналогии с конечными
левыми (аналогично—правыми) группами С§ 23). Так, теорема 1
¦'§ 23 целиком переносится и на бесконечные левые группы.
Теорема 2 § 23 верна для элементов конечного порядка. Тео-
Теорема 3 (и формула A)) § 23 верна с той оговоркой, что как
группы (?,, так и их множество (т. е. множество правых еди-
единиц Ех во всей группе), могут быть и бесконечными (исчисли-
(исчислимыми или неисчислимыми); в частности, для различных х н
имеем, если 91 — данная группа, и Ех'Щ-^^:
?, Ек = Ех; Ех & - Sx.
Теорема 4 § 23 тоже верна и для бесконечной левой группы,
только число решений уравнения B) может быть и бесконечный.
'Сущкевич—497 7 Q-]

Конечно, и здесь можно все группы ©х одинаково рас*
положить друг относительно друга (§ 24). Но заменить левук>
сторону закона однозначной обратимости правой стороной по-
постулата Н, как для конечных групп (§ 24), мы не можем, так
как в бесконечной ассоциативной (обобщенной) группе не всегда
есть идемпотентный элемент, и не каждый элемент имеет обрат-
обратный для своей единицы.
Заметим, что множество ?©е в A1) § 42 есть левая группа.
Все сказанное (с изменением стороны) относится, конечно,
и к правым бесконечным группам.
Некоторые типы обобщенных полугрупп из матриц
§ 44. Переходя теперь к обобщению группы типа ядра на
случай бесконечного множества элементов, заметим, что здесь
группы этого типа не играют той роли, что в теории конечных
групп без закона однозначной обратимости. Во-первых, здесь
нет аналогии к основной теореме 1 (§ 23); во-вторых, во всей
теории обобщенных бесконечных групп с ассоциативным законом
полугруппы играют большую роль, чем обычные группы, и, имея
в виду найти аналогию группы типа ядра, естественнее находить
эту аналогию именно для обобщения полугрупп. Мы даем
здесь одно такое обобщение в конкретном виде — в виде группы
матриц, порядок которых выше ранга — применяя тот же метод,,
что и в § 36 — 38.1
Очевидно, что из неособенных матриц данного л-го порядка
составимы обычные полугруппы, так как для композиции этих
матриц верны законы и ассоциативный, и однозначной обрати-
обратимости, и множество этих матриц бесконечно." Так пусть © —
такая полугруппа неособенных матриц я-ro порядка (в частном
случае она может быть и обычной группой). Пусть X—какой-
нибудь элемент (матрица) из 6 (если в-6 есть единица Е, то
можно взять X = Е). Подобно тому, как в § 36, найдем /ran-
матрицу К и шге-матрицу L (обе — ранга п</га) так, чтобы
было:
LK = X; A3)
как мы видели в § 36 (для случая X = Е), одну из матриц К, L
можно выбрать произвольно (только ранга п). Составляем теперь
комплекс K&L; по теореме 1, § 11 этот комплекс состоит из
матриц /га-го порядка и я-го ранга.
Теорема. Комплекс AT6Z. — обычная полугруппа, просто изо-
изоморфная полугруппам Х<5 и <5Х (где попрежнему LK—X С 6);*
1 Можно, впрочем, и здесь итти абстрактным путем: см. мою работу „Ober
eine Verallgemeinerung der Semigruppen", Записки Харк. матем. т-ва, сер. 4,
т. 12 A935), стр. 89—97.
"Остается открытым вопрос, всякую ли обычную полугруппу можно
представить через матрицы.
• Легко видеть, что полугруппы Х<& и &Х (X С <5) всегда просто изо-
Морфны друг другу.

матрица m-го порядка KL тогда, и только тогда принадлежит
полугруппе KQL, если @ имеет единицу Е; полугруппа KS>L
просто изоморфна всей полугруппе 6, если <& имеет групповую
часть © и X L @.
Доказательство. Установим между KQL и XQ или &Х та-
такое взаимно однозначное соответствие: пусть при Л С 6 матрице
KAL (./F/- соответствует ХА С Х@или АХ l ©А"; если В С ©,то
матрице KBL соответствует ХВ ил'и ВХ, матрице К(АХВ) L соответ-
соответствует Х(АХВ) или (AXB)X;noK(AXB)L = KAL • KBL; X(AXB) =
— ХА'ХВ; (АХВ) X — АХ • ВХ; этим установлен изоморфизм
между KJBL и Х<5 и @Х; что этот изоморфизм простой, след\ ет
из того, что при АфВ и ХАфХВ, АХфВХ и KALjzKBL
(это следует из закона однозначной обратим >сти для 6;.
Если <3 имеет единицу Е, то Ю- = KEL (\K<5L; KL соответ-
соответствует в Х<5 Сили в <5Х) матрица ХЕ — X (или ЬХ = X). Об-
Обратно, пусть KL С K<5L и соответствует XV С А@ или К,Х С ©X;,
если A v. 6, то произведению KL-KAL соответствует XY-XA
или УгХ - АХ; но KL ¦ KAL = K(XA) L и этому соответствует
ХХА (или ХАХ); а следовательно, так как наше соответствие
взаимно однозначно: XYXA —ХХА или YXXAX= ХАХ; а отсюда
(по закону однозначной обратимости): XY' — Y\X = X; отсюда же
fno теореме 2, § 39) следует, что Y= Y1 = E — единица для ©.
Последняя часть нашей теоремы следует из второго равенства C)
теоремы 7 § 39, так как при X С @ Х<5 = <&Y = "<3.
Следствие 1. Если <5 — обычная группа, то /С@? тоже
группа, просто изоморфная <В; единицей для /CSZ. является
КХ-1 L.
Нам следует доказать только последнюю часть; но мы имеем:
при А С <5:
 ? = КАХХ-1 L = KAEL = KAL;
КХ~Х L • KAL = КХ-1 XAL = /С?Л^ = KAL.
Следствие 2. Если @ — обычная полугруппа с групповой
частью (§, и X С ($. 'то для K<SL групповая часть есть K&Li
она просто изоморфна © и имеет единицу КХ—1 L.
§ 45. Пусть @ — опять обычная полугруппа неособенных мат-
матриц я-ro порядка, и X С <5; созьмем в A3) я/n- матрицу L
произвольно, а /ия- матрицу К выберем, разными способами,
т. е. найдем Кх, Kv - • • (этих матриц може* быть и бесконечно
много) так, чтобы было:
L*i~ L/C, = ...-*. A3а)
В таком случае имеем следующую теорему.
Теорема. Комплекс § = Kt<BL + K&L .. .= ^K<?L есть ле-
вая полугруппа, все обкчные полугруппы K<BL просто изоморфны
друг другу и полугруппам Х<3 и ®Х; если C имеет групповую
часть ($ и X Q ©, то K<5L просто изоморфны с 6. Никакие две
полугруппы K&L не имеют общих элементов.

Доказательство. Из теоремы § 44 следует, что KQL —
обычные полугруппы, просто изоморфные Х<& или <5Л", т. е.
и друг другу; далее, что при наличии у 6 групповой части <$,
и при X L (В, K&L просто изоморфны с <3. Докажем, что при
Кг. Ф Кх полугруппы Kx<BL и К\ @? не имеют общих матриц.
Пусть KxG^^KxG.L; тогда LKxG.LK^LK^LK,; XGXX =
= XG2X, откуда по закону однозначной обратимости для 6 Gt = Gt.
Итак, теперь K*GXL = KkGxL или
{Кг - Кх) QXL = 0. A3b)
Равенство A3b) имеет вид: KL = 0, где К /ля-матрица, а /.—
матрица ранга п {т > п)\ докажем, что в таком случае К = 0.
Пусть К = (хх\), L = (/).р); тогда KL = 0 дает:
2 *л /хр = 0 (а, р = 1, 2, ... т). A3с)
/.=1
При данном а A3с) есть система т линейных однородных урав-
уравнений с п неизвестными хаи хаг,... хап (п < т), причем ранг этой
системы (ранг матрицы L) есть п; значит, единственное решение
системы A3с): ха\<=ха2— ... = хап = 0 при всяком а, т. е. К = 0.
Переходя теперь к'A3Ь), имеем: Кх — Кх = 0, Кх=К\; но это не-
неверно, следовательно, при К% ф К\ полугруппы Кх QL, K,!S>L не
имеют общих элементов.
Докажем теперь, что ф есть действительно левая полугруппа,
т. е. левый закон однозначной обратимости для нее верен.
Пусть
KxG.L • K+QL = K-,Gtl • A;GL;
иначе
Но, ведь, мы только что доказали, что при % ф I такое равенство
невозможно; следовательно, х = I, а далее мы, как и выше,
выведем: Gt = G2, т. е. Кх GXL = KxG2L
Но правый закон однозначной обратимости вообще невереи,
как можно убедиться из следующего примера:
KxGL • AT. GtL = KxGL- K&L - Кх (GXGt) L;
но ATjGjZ.^/Cp.O^ при X^tt.
Следствие 1. Кх &L • Кх <BL = Кх FА@)L X. Кх<5Ц здесь
Кх{®Х<В)Ь тоже обычная полугруппа, независимая от >.; все
такие полугруппы (при различных *) просто изоморфны друг
другу и полугруппам Х®Х<5 и <ЗХ<ВХ.
Следствие 2. Если © обычная группа, то § — левая группа;
в этом случае все K&L просто изоморфны © и
Kx<5L • K,.<SL = Kx<5L,
так как <5ЛГ@ = 6.
100

Замечание. Полученная здесь левая полугруппа ф явля-
является частным случаем общей левой полугруппы A.1) § 42, именно,
в случае, когда все SRj и SR отсутствуют.
Взяв теперь в A3) произвольно К и находя разными спосо-
способами Ly, Ц,... так, чтобы было:
LiK=L2K=...~X, A3d)
мы построим аналогичным образом правую полугруппу, обла-
обладающую свойствами, аналогичными свойствам построенной левой
полугруппы.
§ 46. Возьмем теперь два (конечных или бесконечных) мно-
множества mra-матриц Kv Kit... и ят-матриц Lv L2,... таких,
что
t= X, A Зе)
A3f)
где X и «Y<*x> — матрицы га-го порядка из обычной полугруппы 6
неособенных матриц я-ro порядка. Обозначим:
<Вй~К,вЬх; 2Ь.-?©„.; ЯЗ*
22
i. X X, I
Знак ^ означает не что иное, как просто объединение в один
комплекс элементов в слагаемых комплексах; значки здесь вовсе
не должны означать, что мы рассматриваем только исчислимые
множества: наши множества комплексов E**, 21* и 93* могут быть
совершенно любыми: конечными, исчислимыми или неисчисли-
неисчислимыми.
Теорема. 6%* — обычные полугруппы, никакая пара которых
не имеет общих элементов; 21* — левые, 93* — правые полугруппы.
Доказательство. Из теоремы § 44 следует, что 6*>.—
обычные полугруппы. Предположим, что бхх и ©^ имеют общий
элемент:
умножая обе части этого равенства слева на Lu а справа на
получим по A3е):
XGXX = XG9X;
а отсюда по закону однозначной обратимости для @:
таким образом KMiU = K&L,; умножая это слева иа
получим:
а отсюда, как и в § 45 A3Ь), найдем: L\ = L-, и, наконец, по-
подобно же Кх = К^., т. е. бл и <5^ совпадают.
lot

Докажем теперь, что их при всяком I — левые полугруппы
\при *. = 1 это следует уже из теоремы § 45), т. е. что для них
верен любой знак однозначной обратимости. Пусть
K^Lx ¦ К, ALX = Л, A2U - К, ALX;
иначе [по A2d)]:
/С, (А,*»*> A) U = К, {AJCW A) U;
но при \i- ф v полугруппы <3,д и ©vx не имеют общих матриц,
следовательно, n = v; но тогда, как и раньше, заключим: A1 = Ait
т. е. K^U = Кн AaU ¦
Аналогично докажем, что 35*— правые полугруппы.
Заметим еще следующие формулы:
^™, A4)
так как
—Тоже обычные полугруппы.
<В'Л^5BZ Ях = S ©«©„). = S ©Й1-» С б*; A5)
6Х\ — тоже обычные полугруппы.
&*) ~ «х Ъ* - ^ б,д©„ - ? ©'^) С ? ©„ = t. A6)
St^' — система того же рода, что и й, только, вместо <В^, имеем
там б<;;>.
Й — дальнейшее обобщение полугруппы, соответствующее
группе типа ядра (§ 25). Но здесь мы не можем утверждать,
что все полугруппы <3хх просто изоморфны друг другу; по тео-
теореме § 45 можно утверждать только, что все полугруппы 6Х,
и Six просто изоморфны с ©ц, т. е. и друг с другом; но при у- и
I > 1 полугруппы ©хх вообще не изоморфны с ©Tll. Если полу-
полугруппа © имеет групповую часть © и ХС®, то Х^ могут все-
таки не принадлежать к &; если же и все Х<-Х1К®, то все ©^
просто изоморфны друг другу и полугруппе ©.
В частности, если © — обычная группа, то и все ©«х — обыч-
обычные группы, просто изоморфные с ©, 9tx—изоморфные друг
другу левые группы, S3, — правые группы, $ — группа (беско-
(бесконечная) типа ядра.
При фактическом построении группы $, определяя К% и
1\, надо удовлетворить условиям A3е) и A3f); это дает ряд
систем уравнений, аналогичных уравнениям C2), C3), C4), C7)
§ 38,— для определения элементов матриц К* и LK; здесь же
получаем и нижнюю границу для т при данном п. Но если
выбрать Кх и Z.x только из условий A3е), то произведения
LxKx — Xi**-) вообще не будут матрицами из ©, даже если они
неособенные. В таком случае .расширим" полугруппу 6, „при-
J02

«соединив" к ней эти матрицы Х<л> (и, конечно, все возможные
произведения их друг на друга и на матрицы из б); при этом
может случиться, что 6, бывшая сначала группой, обратится
в полугруппу, или наоборот.
Пример. Пусть я = 2, /п = 3; возьмем 6, состоящую из од-
яюй только единичной матрицы Е= у ). Выберем:
у ).
легко проверить, что Z.,/С, = LJ^X = L1K» = Е. HoZ.2/C2 = ( )c~j
v^lP—новая матрица.
„Присоединив" Р к Е, мы „расширим" нашу полугруппу р
матрицей Р и ее степенями с целыми положительными показа-
показателями (их бесчисленное множество):
Теперь имеем:
К><5Ц~<512 = Е1г
, ~ 6„ = Еи
S
здесь:
Мы видим, что здесь имеется известная асимметрия: полу-
полугруппа <223 не изоморфна остальным ©„>.; ©2а не имеет единицы.
Обобщение непрерывных групп
47. В построениях § 44—46 никаких специальных предпо-
предположений относительно обычной полугруппы (или'группы) не
Делалось. Мы можем предположить, что @ непрерывная группа
юз

линейных преобразований га-мериого пространства в самое себя;
это значит, что элементы матриц из <5 являются функциями
одного или нескольких параметров tv tit...tk,1 причем различ-
различные значения этих параметров и дают различные матрицы из <3.
Таким образом сами матрицы из <5 можно рассматривать, как
значения некоторых функций от этих параметров; пусть Аг=
*=A(alta3,...ak), A2^-A (Ьг, bit.. .bk) — две матрицы из <5, из ко-
которых первая определяется значениями параметров t-i = alr
?а= аъ. ..tk— ак, а вторая — значениями ^= bv ?2*= b^,.. .tk= bk
по групповому свойству S:
AiA2 — АЯ=А (cv cit... ck),
так как произведение АгА2— тоже из ©, т. е. соответствует не-
некоторой третьей степени значений параметров.
Таким образом мы имеем определенную зависимость значе-
значений сх от значений ак и Ьк, выражаемую в виде функций:
Cr= b(aJt.t..ak; bu...bk); х = 1, 2,...fc
Символ tp» фактически является символом действия над двумя
элементами, причем этими "элементами здесь являются системы
по к чисел (at,...ak), (bi,...bk); результат этого действия есть
система чисел (clt...ck). Единицу группы <3, или тождественное
преобразование Е, получим при некоторых частных значениях
параметров, например, при tx = t2— ... =4=0.2
Применяя построение § 44 и выбрав тп- матрицу К (где
т»>га) и пт-матрицу L согласно A3), где X С <3, получим не-
непрерывную группу /CSZ. преобразований m-мерного пространства
в я-мерное; эти преобразования — несобственные, ни для какого1
такого преобразования нет „обратного", нет также такого
„тождественного" преобразования; но группа (или полугруппа)
K<S>L — обычная; она может иметь „единицу" и „обратные" к своим*
„элементам".8
. Применяя -теперь построения § 45 и 46, мы получим „ле-
„левые" и „правые" непрерывные группы и группы типа ядра. Но-
можно пойти и дальше: формула A3) § 44 при данном L опре-
определяет К неоднозначно; некоторые из элементов в К остаются
произвольными, и, давая им разные значения, мы ' и получаем
различные решения /С,, Kit... (см. A3а) § 45). Но будем рас-
рассматривать эти произвольные элементы, как параметры, изме-
изменяющиеся непрерывно в некоторых пределах; тогда вместо
1 Вследствие конечного числа параметров такие непрерывные группы нося г
название конечных; это название не следует смешивать с понятием конечной
группы, как имеющей конечное число элементов.
3 Но непрерывная группа преобразований может и не иметь единицы и, сле-
следовательно, обратных элементов; такая непрерывная' группа соответствует тому,
что у нас называется .полугруппой".
8 Повторяем, что непрерывная группа может и не иметь единицы и обрат-
ных элементов.
104

отдельных решений Кх, Кг---, мы получим просто К, как функ-
функцию от этих параметров:
каждой системе значений их— аи.. .щ= az соответствует опре-
определенная тп-матрица К(ах, ¦ • ¦ щ) и определенная (обычная)-
непрерывная группа К5Ц непрерывйая совокупность этих групп
21 ^^/(©Z, есть обобщенная непрерывная „левая" группа; от-
отдельные ее матрицы преобразовывают /га-мерное пространство
в «-мерное, но это последнее —не постоянно, а само меняется
(во всем m-мерном пространстве) в зависимости от этих пара-
параметров и,, и2,. ..«г.
Подобно же можно построить и „правые" непрерывные группы,
и группы типа ядра.1
Пример 1. Возьмем за © ортогональную группу всех вра-
вращений плоскости вокруг точки О. Такое вращение выражается!
известной подстановкой:
х = х' cos <р— j/'sin ф, у = .x'sin tp -\~у' cos <р. A7)^
Здесь « = 2; имеем один параметр ф, меняющийся в пределах
от 0 до 2и. © имеет единицу (тождественное преобразование),
получаемую при ф==0. Обратное преобразование к A7) соот-
соответствует углу —ф или 2и — ф (вообще ф определено; „по мо-
модулю 2ци). „Произведение" преобразований типа A7) с углами
4i и Ъ есть преобразование того же типа с углом
Обозначим:
cos ф — sin i
Выберем:
\
sin
cos
"!)¦
-
легко проверить: LK— Е =
Далее найдем:
(т. е. т = 3);
= —4 —15
14 cos <p-f 22 sin <fi
— 4cos<p— 7 sin ф
cos»+ 3sintp
Очевидно: ?1=Л1@).
1
КАШ =
52 cos tf+72 sin ф 26 cos <
-15cos ф—23sin»—8cos<p— sin<p \r^<
4 cos » +10 sin ф 3cos<p+ sin ^
1 Некоторые из этих построений в общем виде*детально провел В. В-
Н и кишев.
105

Можно легко убедиться, что все подстановки Ах (^) перево-
переводят все трехмерное пространство в плоскость: х + 4у + 2г = 0.
Пример 2. Возьмем теперь опять L = l \, а для К
\2 7 2/
выберем наиболее общую C, 2) — матрицу, удовлетворяющую
уравнению: LK—E**( у, найдем:
7+ 13н —3+ 13г>
—2 — 4и 1— 4
и v
Пусть для простоты, <5 состоит только из одной тожде-
тождественной подстановки Е; имеем:
/14-13и + 26г>39и+91г> —13— 13а+26гЛ
KEL = KL -( — 4и —8г> 1—12н —28-0 4+4а— 8гН.
\ и + 2г; За + 7v — и + 2<о/
Можно убедиться, что подстановка АХ переводит трехмер-
трехмерное пространство в плоскость:
— A +и —
Мы видим, что эта плоскость зависит от а и г» и меняется
< этими параметрами. Можно проверить вычислением, что все
подстановки вида K.L (при разных К, т. е. при разных значениях
параметров и и г») составляют, левую группу, причем, если К
и А"—два значения для К, то:
Специальный тип обобщенной группы
§ 48. Рассмотрим еще один замечательный тип обобщенных
„левых" полугрупп, именно: левые полугруппы, для которых
верен правый закон неограниченной обратимости. Пусть ®
такая обобщенная группа, т. е. для ее действия, кроме его не-
ограченной применимости и однозначности, верны: 1) ассоциа-
ассоциативный закон, 2) левый закон однозначной обратимости, 3) пра-
правый закон неограниченной обратимости. Пусть А — любой эле-
элемент из ©; в таком случае по 3) А® = О, т. е. 02= @; но ®А С®,
причем в комплексе ($Д все элементы различны.
Из формулы ©а= О следует, что при всяком ВС® имеется
в @ такой элемент А, что уравнение ХА = В имеет решение
X (в ©).
Теорема 1. Если уравнение ХА =* А имеет решение X С ®
хотя бы для одного элемента А из ©, то @ — обычная группа.
Доказательство. Если ХА = А, то длЪ любого В С ® —
имеем:
В(ХА) = (ВХ)А = В А,
106

а отсюда по 2:
т. е. X—правая единица для всех элементов из ©; но по 3)
всякий элемент ОС© имеет правый обратный, т. е. такой эле-
элемент <3, что
отсюда следует, что для ® верны все постулаты системы Dick-
son'a/T. e. ®— обычная группа.2
Следствие. Если группа ® имеет хотя бы один идемпо-
тентный (ср. § 4) элемент, то она обычная, так как если /—
идемпотентный элемент, то уравнение XI = I имеет решение
X — I.
Но уравнение АХ = А при любом АС® всегда имеет (по 3)
решения; каждое такое решение назовем „правой единицей"
элемента А.
Теорема 2. Все правые единицы элемента А нашей группы ©
образуют группу $д того же типа, что и ©.
Доказательство. Пусть 1и /2 две правые единицы для А;
тогда A(Ilfi)=(Ar1)I2=Al2=A, т. е. и 1г12 тоже правая единица
для А. Таким образом система $д этих правых единиц для А
обладает групповым свойством; постулаты 1 и 2 для иее, оче-
очевидно, исполнены. Докажем, что и постулат 3 исполнен. Урав-
Уравнение ^Х — 1г имеет решение X = /8 в ®; но А(/,/2) =(AI1)IS =
= А/8 = А72=Л, т. е. А1а — А, /3 С $д, что и требовалось дока-
доказать.
Следствие. Если группа 3U для некоторого определен-
рого АС® конечна,3 то ® — обычная группа, так как в конеч-
конечной ассоциативной группе всегда имеется, по крайней мере, один
идемпотентный элемент (§ 24).
Теорема 3. Все решения уравнения
АХ = В A8)
составляют комплекс Х$в, где Хг какое-нибудь частное реше-
решение этого уравнения.
Доказательство. Если /С $в, т. е. В1=В, то из АХХ**В
следует: А(Х,/) = BI — В. Обратно, пусть X—. любое решение
уравнения A8); по 3 имеется элемент /С® такой, что X — XJ;
следовательно:
В= АХ= AXJ^BI,
т.е. /С$в, что и требовалось доказать.
1 L. E. Dickson, Definitions of a group and a field by independent postulates.
Transact, of the Amer. Math. Soc. vol. 6 A905) p. 198 — 204.
2 Очевидно, это обычные (классические) группы —частный случай рассма-
рассматриваемого обобщения.
3 А следовательно, и обычна, ибо конечные группы рассматриваемого типа
могут быть только обычными.
107

Следствие. Уравнение A8) при любых А и В из © всегда
имеет бесчисленное множество решений (если ©— не обычная
группа).
Теорема 4. При любом АС© комплекс ®А— группа того же
типа, что и ©, обобщенно изоморфная группе А®, т. е. самой
группе ®. Элемент А не входит в группу ©А (если © не обыч-
обычная группа); ©А не имеет с $А ни одного общего элемента, но
все элементы из За — правые единицы для всех элементов из ®А.
Доказательство. Если Gt и О2 — два любых элемента
из ®, то О,А • G%A = (GtAG3)A С ©Л, т. е, (ЗА обладает группо-
групповым свойством; постулаты 1 и 2 верны для. &А. Для доказа-
доказательства выполнения постулата 3 для ©А возьмем два любых
элемента Gx и G2 из ®; тогда (по 3 для ©) в © имеется эле-
элемент Ga такой, что
GjA • G3 = G2;
отсюда
G^A • G3A = G2A,
а это и показывает правильность постулата 3 для ©Л.
Если А С ©А, то, значит, в © имеется такой элемент X, что
ХА=А, т.е. по теореме 1 ® — обычная группа.
Если А[=А, то при любом GC® и GA-l^GA. Если такой
элемент / С ©А, то I=GA при некотором GC©; тогда /2=
= GA' I—GA — [, т.е. по следствию из теоремы 1 группа © —
обычная.
Установим между элементами групп &А и А® такое соот-
соответствие: пусть элементу ХА из ©А соответствует элемент
АХ из А®; подобно же элементу YA из ©А соответствует эле-
элемент АУизА®, но тогда элементу {ХА Y)А из ©А соответствует
элемент A(XAY) из А©; так как (XAY)A = ХА • YA, A(XAY) =
= АХ'. AY, то это соответствие есть изоморфизм. Заметим,
далее, что при различных X, X', X",... и все произведения ХА,
Х'А, Х'А различны, тогда как произведения АХ, АХ\ АХ",...
могут быть и одинаковыми, так как (по следствию из теоремы 3)
уравнение вида A8) всегда имеет бесчисленное множе-
множество решений. Это показывает, что установленный изоморфизм
между группами ©А и А® = ® — обобщенный (§ 18), и при
этом — бесконечно кратный.
Интересно здесь то, что группа ®А есть правильная
часть группы ®, обобщенно изоморфная всей группе ®; мы
можем между этими группами установить и простой изомор-
изоморфизм, определивши только в ©новое действие О следую-
следующим образом:
В таком случае, если элементу ХА из ®А соответствует эле-
элемент X из ®, элементу YA из ®А соответствует элемент Y из ©,
то произведению XA'YA=*(XAY)A соответствует элемент ХАY=
= X О У- Это и показывает, что ©А и © изоморфны, причем
108

этот изоморфизм простой, так как при различных X и Y раз-
различны и ХА и YA, и обратно.
§ 49. Приведем два примера групп рассмотренного типа,
не сводящихся к обычным группам.
Пример 1.4 Рассмотрим подстановки с исчислимым множе-
множеством символов (§ 7), при этом типа 2, и такие, где в нижней
строке отсутствует бес коне ч ное множество символов из тех,
что стоят в верхней строке. Обозначим такие подстановки че-
через А,, #р,..., где через а, %... мы обозначаем совокупность
нижних символов в Аа, В?,... Докажем, что множество всех
таких подстановок образует группу типа, рассмотренного в пре-
предыдущем параграфе, причем эта группа не сводится к обычной.
1) Пусть АаВ$ =СТ; ясно, что множество к составляет часть
множества J3, при этом правильную часть, так как среди симво-
символов 7 не встречаются те из символов системы Р, в которые
переводятся в В$ символы системы а. Итак, Ст того же типа,
что и А^ и Вг, т. е. совокупность этих подстановок обладает
групповым свойством. Что для композиции этих подстановок
верен ассоциативный закон, мы уже указывали в §7. Остается
еще проверить постулаты 2) и 3) §58.
2) Пусть YAa = В$; требуется доказать, что подстановка Y
(если она существует) однозначно определена. Пусть в В} сим-
;вол k переходит в т, а в Аа в т переходит символ / (только
один, так как т может встретиться в нижней строке Аа только
•один раз); следовательно в Y символ k должен переходить
в символ /; таким образом Y однозначно определено. Но Y су-
существует не при всяких Ал и В$; если, например, символ т
не входит в нижнюю строку Ал (т. е. если совокупность р не
является частью совокупности а), то решения У% не существует.
3) Докажем теперь, что уравнение Аа X = В$ всегда имеет
решения X. Мы построим X следующим образом: если в Аа сим-
символ k переходит в /, а в В$ тот же символ k переходит в ni,
то в X символ Z должен переходить в т. Этим подстановка X
однозначно определяется относительно символов системы а;
что касается остальных верхних символов в X, то они перехо-
переходят в любые из оставшихся символов Р; этим вся подстановка А"
определяется бесконечно многозначно, причем она
существует при всяких Аа и В$~.
Если мы теперь возьмем совокупность подстановок типа 3,
§ 7, причем именно таких, что всякий символ, встречающийся
более одного раза в нижней строке такой подстановки, должен
там встречаться бесчисленное множество раз, — то эта сово-
совокупность § тоже есть обобщенная группа, отличающаяся от
рассмотренного типа только перестановкой правой и левой
1 Этот пример — по существу тот же, что приведен в работе R. В а е г'а
и F. L e v i, .Vollstandlge irreduzibele Systeme von Gruppenaxiomen* (Sltzungs-
berichte der Heidelberg. Ak., Mathem.-naturw. Kjasse, 1932, 2 Abh., § 2, S. 7).
См. также мою работу „Ober einen merkwurdgien Typus der verallgemeinerten
unendlichen Qruppen". (Записки. Харк. мат. т-ва, сер. 4, т. 9, 1934).
109

сторон, т. е. для группы ф верны: 2') правый закон однознач-
однозначной обратимости и 3') левый закон неограниченной обрати-
обратимости.
Пусть Аи В — подстановки из § и АВ=С. Пусть в А символы
а\> ai> аз>— т inf- переходят в Ь, а в В символ b переходят в с; тогда
в С аи а2, а3,... все перейдут в с, т. е. будут сопряжены; но они
могут быть в С сопряжены и с другими символами а'„ а'2> а'3,...
Обратно, пусть символы а„ а3, аъ>... в С сопряжены; в таком
случае они могут быть все или частично сопряжены и в Л;,
но в этом случае их множество бесконечно; если же они не сопря-
сопряжены в Л, то в А они переходят во все различные символы
b\, b2, b3,..., а эти последние должны быть сопряжены в В, т. е.
их множество, а также и множество символов а„ а2, а3>... бес-
бесконечны, т. е. подстановка С — тоже из §, т.е. ф обладает
групповым свойством.
2') Пусть дано уравнение: АХ—В, где А и В из §; докажем,,
что X однозначно определено (если X существует). Пусть а —
один из наших символов; он (как и всякий символ) встречается
в нижней строке А; пусть в А переходят в а символы bu &2>
bz,...; если X существует, то эти символы bv bit b.,... сопряжены
и в В; пусть они в В все переходят в с; тогда в X символ а
должен переходить в с. Таким образом X однозначно опреде-
определяется при данных А и В, но может и совсем не существовать.
3') Пусть дано уравнение: КА = ? (Л и В — из |>); докажем,,
что К всегда существует и определяется бесконечно многозначно.
Пусть в В символы а„ а%, а3>... in. inf. все сопряжены и пере-
переходят в с; выберем в Л все символы, переходящие в с; пусть
это будут: blt b2, Ья,... (их может быть один или бесконечно
много); в таком случае в Y символы а,, аг, а3>... переходят
в Ьх> Ь.г, Ь%,..., причем от нас зависит распределить точно, какие
а% переходят в какие ?х (можно, например, сделать, чтобы бес-
бесчисленное множество символов ах переходило в один и тот же
символ Ь\, а другие а^-в другие b и т. п.). Таким образом'
Y можно выбрать бесчисленным множеством способов.
§ 50. Пример 2.1 Возьмем в интервале <0, 1> для х все не-
непрерывные, монотонные, возрастающие функции f(x) при усло-
условии: /@) = 0, Д1)<1. „Действием" будем считать подстановку
одной функции в другую, так
В таком случае все такие функции составляют группу рас-
рассмотренного нами в § 48 типа, причем эта группа не сводится
к обычной. Действительно, обозначив <р (/(л;)) = F(x), легко убе-
убедиться, что F(x) функция того же типа, что и /, и <?, т. е. не-
непрерывная, возрастающая с условиями: Д0) = 0, /7A)<1. Ассо-
Ассоциативный закон для этих подстановок функций в функции верен.
1 Этот пример придумал и устно сообщил мне мой ученик М. Р. Войдк—
славский.
110

Остается еще проверить выполнимость постулатов 2 и 3 § 48.
2) Докажем, что в равенстве
&Ч = чШ)=П*) A9)
при данных Ри if / однозначно определена (если / существует).
Пусть при данномх = хкF(xJ = уи но tf(x)=yl при x=xt; тогда
следовательно, f(xx) = х2 однозначно определено. Но может
случиться, что при 0==x=?l все.время <p(jc)<y,;_ тогда функции
f(x)> удовлетворяющей уравнению A9), не существует.
3) Докажем теперь, что прн данных f и Fb A9) функция у(х)
всегда существует и определена бесконечно многозначно. Обо-
Обозначим: f{x\=y; пусть при возрастании х от 0 до 1 'у возрас-
возрастает от 0 до k<\. Тогда в интервале <.О, &> для у определим:
y(y)tssF(x), при этом <р(/г) = F(\)<1; остается определить <р(У)
в интервале от k до 1; пусть там <?(.у) как-нибудь возрастает
вместе с у от y(k) до некоторого аначения <рA)<1. Этим функ-
функция <р(у) [или <pU)]» определяется при всяких /и F и при этом —
бесконечно многозначно.

ГЛАВА V
ГРУППЫ, СТОЯЩИЕ В СВЯЗИ С ПРЕДЫДУЩИМИ
Сверхгруппа Раутера1
§ 51. „Сверхгруппой" („Ubergruppe") Раутер назвал систему
элементов % с действием; эта система % распадается на две
части:, регулярную область (der Regularitatsbereich) 9fc и
„оболочку" (der Mantel) ф и подчиняется следующим постулатам.
1. Групповое свойство. При этом, если оба сомножи-
сомножителя из Ш, то и произведение тоже из SR, а если хоть один из
сомножителей из ф, то и произведение из ф.
2. Постулат о главной единице. Существует в Z та-
такой элемент Е, что для всякого элемента Т С % ТЕ = ЕТ— Т.
3. Постулат об обратных элементах. Если RC31,
то существует в 9t, по крайней мере, один такой элемент R-1,
что RR~l = E. Но для элемента Н из ф не существует в %
такого элемента Т, что НТ= Е.
4. Постулат о нулевом элементе. Если ф— непустое
множество, то существует такой элемент Л/Хф, что для всякого
элемента Т из % NT = 7W = N.
5. Ассоциативный закон (для всех элементов из %).
6. Постулат об однозначности. При любом RCSi и
ТС% уравнения RX= T, YR=T, кроме решений R~l7 и TR-1
не имеют иных решений.
Из этих постулатов непосредственно выводим: >
Ш есть обычная группа (это следует из постулатов 1, 2, 3, 5)—
наибольшая, содержащаяся в % с единицей Е (это следует из
второй части постулата 3).
В % имеются идемпотентные элементы, например, Е, N; если
J—идемпотентный элемент, a R — любой элемент из 5R, то R~lJR
тоже идемпотентный элемент.
Если Н — элемент из ф, то существуют такие элементы /?C9fc,
что RH = И, например, ЕН = Н; в этом случае и Я" Н = Н;
если R и Rx два таких элемента, то и RRt тоже такой же эле-
элемент, т. е. все такие элементы составляют обычную группу $н —
подгруппу для 5R; Зя—„левая тождественная группа" для Н
(„linkshandige ldentitatsgruppe"). Очевидно, что при RCSi $r = E,
Sn=%. Подобно же определяется и „правая тождественная
группа" для Н, — именно, $'н.
1 Herbert Rauter, Abstrakte Kompositionssysteme oder Obergruppen. Journ.
Crelle, Bd. 159 A928), S. 229 — 237.
112

Если Г—любой элемент из % и мы разложим 31 по под-
подгруппе Зг справа R = Зг 4- Ri Зг 4- R^T + • • •» то
31Г=ЗгГ + /? ^гГ+/?8»гГ + ... A)
рсть разложение комплекса 917" на отдельные элементы, так
как $тТ=Т, #1Зг7*=/?,7*,#,Зг7>Я§7'|..., и элементы Т,
RtTt Rt T,».. все разтичаы, так как из R3T *= RtT следует
fta"-1 Rs <- Зг» что неверно.
Элементы М из Я, переместимые с данным элементом Г С %,
образуют обычную группу У1т — нор мал'изатор элемента Т
в группе. 31; из МТ— ТМ следует, что, если М принадлежит
к одной из групп Зг и Зг', то он принадлежит н к другой, т. е.
пересечение всех трех групп ЧЯг, Зь Зг то же, что и пересече-
пересечение любых двух из этих групп; это пересечение. ®г—инвари-
®г—инвариантная подгруппа для У1т, так как легко видеть что при ?>^-®г,
М С 9?7 элемент M~lDM принадлежит и к Sr, и к З'г т- е-
и %т, например,
(ЛГ DM) T= ЛГ1 (DT) М - ЯГ* ТМ = М'1 МТ= Т
Если Я, Я' элементы из"§, то комплексы ШН и ЖЯ' или оди-
одинаковы, или не имеют о.бщих элементов, так как, если R1H =
= /?гЯ, то Э?/?,Я = 31/?гЯ', но 31/?, = 9*^ = 31, откуда 3d Я =
«=31Я. Подобно же и комплексы Я34 и Я'31. Отсюда имеем
два разложения % на комплексы, никакая пара которых не имеет
общих элементов:
?=т+ЗД+31Я8+...=31+Яа'314-Я3'91-Ь... B)
Но отдельные комплексы 9?Я8, ЗШа,... (а Также fi.t%'НЯЩ,...)
имеют различное число элемен гов; это число в 31Я, и ШН8 одно и то
же, если группы Зяги Зя3 одного и того же порядка (аналогично
для Hi 31 и Яз Э1); 31Я тогда, и только тогда того ж е порядка,
что и % если $? = ?". Элемент N один составляет комплекс, так
как 9l/V=/V3{ = M Всегда ЯС31Я, ЯСЯЗг.
Сверхгруппы являются частным случаем ассоциативных групп
без закона однозначной и неограниченной обратимости, рас-
рассмотренных в главах Ш и IV. Ядром сверхгруппы (см. основную
теорему 1 в § 26) является „нулевой элемент" NM Сверхгруппа
всегда ранга выше 1#-го;'ее „регулярная облает* Ш есть под-
подгруппа наивысшего класса (см. § 27).
Пример (Ра у те ра) с верх группы. Совокупность классов
чисел по модулю р", где р — простое,* и где за ^действие" при-
принято обычное умножение, есть сверхгруппа. Здесь 91 есть группа
(обычная) классов, чисел, взаимно простых с р" (т. е. не деля-
делящихся на р)\ порядок 31 есть у{рп)<= рп~1(р — \\ Нулевой элемент
есть класс, содержащий число 0. Легко проверить все осталь-
остальные постулаты. Разложение этой сверхгруппы по 31:
Ж- ЗН
(здесь верен и коммутативный закон, так что оба разложения B)
сливаются).
Сушкеямм—497---3

Связи сверхгруппы с обычными группами
§ 52. Мы дадим другой пример конечной сверхгруппы и уста-
установим ее более тесную связь с обычными конечными группами.1
Пусть ®=Е+А+В+С+... обычная конечная группа я-го
порядка. Кроме ее элементов, будем рассматривать и все раз-
различные комплексы из этих элементов: 91 = Р+ Q'-f /?+...
(Р, Q, R... из ©), как новые элементы; при этом два таких ком-
комплекса мы считаем одинаковыми, если каждый элемент из однЪго
комплекса встречается и в другом, и обратно (т. е. мы не обра-
обращаем4 внимания на порядок, в каком стоят элементы в комплексе,
и равные элементы считаем за один). Эти комплексы мы пере-
перемножаем между собой, а также умножаем на отдельные эле-
элементы по правилу умножения сумм Дт. е. применяя дистрибу-
дистрибутивный закон); для этого умножения комплексов, как известно,
верен ассоциативный закон, но вообще неверен закон однознач-
однозначной обратимости.
Совокупность всех этих комплексов и отдельных элементов
из C обозначим через Г. Назовем „классом" комплекса — число
еко различных элементов; в группе 6$ имеется:
п комплексов 1-го класса (т. е. отдельных элементов):
2-го „
(,») ; з-го
Всего: я+( )+( П )+•••+1==2Л—-1 различных комплексов,
т. е. Г состоит из 2"—1 этих новых „элементов". Легко прове-
проверить, что для Г исполнены все 6 постулатов § 51, т. е Г есть
сверхгруппа, причем ее регулярной областью является сама
группа 0 как группа, а ее нулевым элементом является та
же группа ®; но как новый „элемент". Единица Е из © яв-
является единицей для всех „элементов" из Г. Оболочку Г состав-
составляют все комплексы, начиная со 2-го класса, рассматриваемые
как новые „элементы"; ^з них группы являются идемпотентными>
элементами, рассматривая комплексы, как элементы, -будем за-
заключать немецкие б>квы, обозначающие эти комплексы, в скобки.
Пусть B1) элемент из оболочки Г, т. е. 21 = At + Ла + .. .-\-At
некоторый комплекс элементов из &. Найдем группы 3 и 8'
(см. §51); эти группы — подгруппы для &. Имеем:
т. е. и
1 Cw. мою работу Ober 'deii Zusammenhan? der Rauterschen Obergruppe mlt
den gewuhnlichenGruppen Mathematisihe Zeitsdir,Bd. 38A934;, S 643 — 649
114

или
3am= >Д = Sa^i + 3a A, + • • • + 3a At;
но всякие два комплекса правой части или одинаковы, или не
имеют общих элементов; оставив только разные комплексы,
получим:
Я \A + З^ + + ЗЛ
т. е. 91 состоит из некоторых комплексов, на которые распа-
распадается группа © по подгруппе 3 . «взятой налево; отсюда
также виДно, что класс 91 делится на порядок группы 3 . Ана-
Аналогичное имеем и для группы 3'.
Теорема 1. Порядки левой и правой тождественных групп
3 и 3' элемента B1) — делители класса (91); комплекс 91 со-
состоит из некоторых комплексов, на которые распадается вся
группа*© по подгруппе 3 . взятой налево или по подгруппе 3'»
взятой направо.
Следствие 1. Если класс 91 взаимно простой с порядком
группы &, то За = За = Е-
Следствие 2. Если порядок 3 [или 3 1 равен классу Я,
та и 3 [или 3 1 того же порядка и сопряжена с 3 [или 3' !•
Ибо в этом Случае
иЗ4
л-задсзй;
но так как порядок 3' не выше класса 91, то
Пусть (93) другой элемент из оболочки Г:
Ъ - Вх + В.г + ... + Вь;
посмотрим, когда 9391 того же класса, что и 91; для этого должно
быть:
или
следовательно,
Вместо Ви конечно, можно взять Bt, Вя,... Обратно, пусть
" ^ X%sa; в таком случае 9321 того же класса, что и 9(, так как,
115

если XPj-и ХР.г два элемента иа ХЗ , то
(ХР,) 91 - (ХР„)« - ХЯ
{по определению группы 5 \. Аналогичное имеем для правой
стороны.
Теорема 2. Произведение 2Ш [91331 гогда и только тогда
того же класса, что и 21, если 95 С ХЗ ПВ ^ 3 -XI-
Рассмотрим степень элемента (91) и выясним, когда его род
(%\9) равен единице. Для этого все степени 51, 21*. %,,..'. должны
быть одного и того же класса; из теоремы 2 (при 93 = 91) сле-
следует, что тогда порядок групп 3 и 3' . должны равняться
классу 31, а по следствию 2 из теоремы 1 —что 3 и 3' Должны
быть сопряжены:
Из 31 = 3 а. следует: 91х = 3 9l\ a TaK как 91х того же кла< -
са, что и % то следовательно, 3 —левая тождественная
группа и для всех степеней й; аналогичное — для 3'• Между
степенями (91) имеется один, и только один идемпотентный
элемент, являющийся подгруппой для ©; пусть это 91'. так чмо
SF = W, имеем также
но это возможно только при 31* = 3 = 3' 1 так как порядки
всех этих групп одинаковы.
Обратно, пусть для (91) 3=3 того же порядка, что и
класс 91; тогда 91 ?= 3 А — А$ для всякого элемента А С Ч,
в а
т. е. комплекс 91 входит в нормализатор группы 3 •
Далее: «•- Д3/За - ^За = ЗаА2. «'-А8За = 3/' и т. д.
Пусть / порядок элемента А; тогда: 91' =3 ^' = 3 Е = $ , т. е.
i = 2l; таким образом род (91) равен 1, а порядок —дели-
—делитель /.
Теорема 3. Род элемента B1) тогда, и только тогда раЕен 1,.
если 3 —3' и порядок 3 тот же, что класс % "или иначе,
если 21 имеет вид 3 X и заключается в нормализаторе 3 •
Посмотрим, какие подгруппы имеет Г; конечно, всякая под-
подгруппа 51, группы ® „порождает" сверхгруппу А (так, как ©

порождает Г), и А С Г. Но это еще не все сверхгруппы,, содер-
содержащиеся в Г: может случиться, что из элементов оболочки Г
можно составить обычные группы (например, дополнительные
группы для ®, если ® — не простая); такие группы' тоже „по-
„порождают" свои сверхгруппы, содержащиеся в Г. Но и при одной
и той же регулярной области, например, ® может быть не- ¦
сколько сверхгрупп, так, уже @ + (@; составляет сверхгруппу.
Найдем все обычные группы,-содержащиеся в оболочке Г;
пусть (ЗД-М83)+ (<?) + ... — обычная группа. Так, как уравнения
(9l)(Xj = <Sb "и (ШB1) = (93) в этой группе всегда разрешимы при
всяких B1) и (93) из этой грущш, то все комплексы 51, 93, (?,...
должны быть одного и joro же класса, т. е. все они ~чда $Х,
где 5 — общая всем им левая (и правая) тождественная группа, а
X принадлежит к нормализатору. 5; т- е- $• 93, ©,... комплекс
разложения нормализатора 5 по $; между ними встречается и
сама группа 3? (и играет роль единицы).
Теорема 4. Единственные» обычные группы, содержащиеся
в оболочке Г,—дополнительные группы различных подгрупп @
относительно их инвариантных подгрупп.
Теорема 5. Г не имеет подгрупп, для которых исполнена
только одна сторона закона однозначной (и неограниченной)
обратимости.
Доказательство. Такая подгруппа (§ 23) имеет, по край-
крайней мере, два идемпотентных элемента 9lt и 31, с такими соот-
соотношениями: 51,^ = 51!, %% = % (или ад, = %, %% = %% Но
из теорем 2 и 3 тогда следует: ?14 = ЭДв..
Следствие. Всякая подгруппа группы Г без закона од-
однозначной обратимости имеет ядром обычную группу.
Рассмотрим комплексы, на которые распадается группа @
но какой-нибудь своей подгруппе 5^ вятой, например, налево. Если
ЗД — инвариантная подгруппа, то эти комплексы образуют группу.
Если же $( — не инвариантна, то эти комплексы, не образуют
i руппы хотя бы уже потому, что невыполнено для них групповое
свойство; произведение двух таких комплексов — вообще ком-
комплекс уже не из той же системы. Но если эти комплексы и не
образуют группы, то онн порождают группу (при этом
обобщенную —без закона однозначной обратимости), которую
мы и исследуем.
Пусть @ = 21-f 2IG + 510'+..» разложение © по подгруппе %
взятой слева. Имеем:
SIG • ?10'= «Ц • (ЖСГ1 - GO';
это показывает, что, если т—порядок % a d — порядок пересе-
пересечения 51 и G2tG~"\ то класс SG • 91G' есть — (по известной тео-
d
реае из теории обычных групп). Подобно же: 91G • 91G'• ?IG" =
= У. ¦ GWG-1 ¦ (GG')VHGG'r1 • GG'G" и т. д
Пусть й — ядро группы, порожденной комплексами 91, 41G,.. ;
по следствию из теоремы 5 №—обычная группа; пусть (89), (99Д
117

(S3,),... элементы из ft, при этом (93)— единица, т. е. S—под-
S—подгруппа для ®;.по теореме 4 93,, 93*,...— комплексы, на которые
распадается какая-то' подгруппа для &,, имеющая 93 инвариант-
инвариантной подгруппой. Но по свойству ядра (§ 25):
93 • 91G = S3* (тоже из ядра). C)
Так как Е С 83, то 93х Э ШЗ; но при различных G комплексы 31G
исчерпывают все элементы из ®; следовательно, и в комплексах
S3, 93i, 93г,... тоже содержится всякий элемент из (9, т. е. эти
комплексы —все комплексы, на которые распадается группа ©
-по подгруппе 95; т. е. 93 — инвариантная подгруппа для О.
Далее, 2193 «¦ Ш = 93, ибо- по C) ЯЗЗД^.ЗЗ,, но тут 93). = 93, так
как только ЯЗ из всех комплексов 93, SSi, 93*,... содержит эле-
элемент Е.Итак, 91 С SB, а отсюда G~'91G С G^SBG^», ибо 93—инва-
93—инвариантна. Следовательно, 93 содержит все сопряженные с 91 под-
подгруппы, а значит, и их общее наименьшее кратное €. Но,
с другой стороны, SI «G21G-1 С G, следовательно, 9l'G9lG-1« GG'C
CG-GG' и.т. д., т. е. произведения комплексов, на которые
распадается © по Я, все содержатся в комплексах, на которые
распадается ® по ©; но комплексы 91, УЮ, 91G',... порождают
все комплексы 93, 93„ 332,..., которые, таким образом, тоже со-
содержатся в комплексах 6G; в частности, группа 93 должна со-
содержаться в E, ибо 6 единственный из комплексов (SG, содер-
содержащий Е. Итак, 93 = ?.. Очевидно, что то же ядро Ш мы-получим,
взяв разложение & по подгруппе 21 справа, или взяв вместо 91
любую сопряженную с 91 подгруппу.
Теорема 6. Комплексы, на которые распадается группа по
любой своей неиивариантной подгруппе % порождают группу
без закона однозначной обратимости, ядро которой есть группа
©|33, где S3—-общее наименьшее кратное всех сопряженных с 91
.групп; такое же ядро получим, если вместо 31 ьозьмем любую
сопряженную с 21 подгруппу (безразлично — справа или слева).
Обобщенная группа Вакселя
§ 63. В диксоновской системе постулатов, определяющих
обычную группу (см. выноску в § 48) Ваксель заменяет йъсту-
латы III (о существовании односторонней единицы) и IV (о су-
существовании обратных элементов) такими:
III. Для всякого элемента А из О в © имеется такой эле-
элемент а, что исполнено одно из равенств: Аа = А или аА=А.
(Это не что иное, как постулат" V в § 22).
IV. Для некоторого определенного правого или левого еди-
единичного элемента а для А одно из уравнений АХ — а или ХА « а
разрешимо относительно X в ®.
х Anton Vakselj, ElneneueFormderOruppenpostulateundeine Erwelterung des
Gruppenbegriiles. bublications Mathematiques de l'univers. Belgrade, 3 A934), p.
118

Если к этим постулатам добавить еще следующий.
V. Всякий элемент А имеет в © не больше одного правого
и не больше одного левого единичного элемента,—
то полученная система постулатов (считая за I — постулат
об однозначности н неограниченной применимости действия, а
за II — ассоциативный закон) определит @, как обычную группу.
Это вытекает из приводимых ниже трех теорем, которые до-
доказывает Ваксель.
Теорема 1 Всякий элемент А имеет один левый и один пра-
правый единичный элемент, и оба эти элемента равны друг другу.
Теорема 2. Всякий элемент А имеет один левый обратный
и один правый обратный элемент; оба эти элемента равны
друг другу.
Теорема 3. Единичные элементы всяких двух элементов из
® равны друг другу.
Доказательства. 1. Пусть а —правый единичный элемент
для А; тогда из постулата V следует: аа = а, так как аа тоже
правый единичный элемент для А. Пусть А'— правый обратный
элемент для А, т. е. АА' = а; вместо А' можно взять А, = аА'а,
так как ААг = АаА'а = АА'а = аа = а; для A, a — двусторонняя
единица.
Пусть Л,А = а'; имеем: а'Ау — А^А^ — А^^А^, следовательно,
по V а' = а; итак, АХА = а. Далее, АА^А = аА = Аа*=А, т. е. для
случая, когда А имеет единичный и обратный элементы с одной
стороны (здесь — оба правые),— теорема 1 доказана.
Пусть теперь Аа = А, но А'А = о; обозначим: АА' = а'; тогда
а'а'=АА'АА'— АаА' = АА' = а'. Для а'а а—правая, а' — левая еди-
единицы. По IV или (а'а)х = а, или х(а'а)=а; в первом из этих случаев
а'—левая единица для а, т. е. а' = а; во втором случае (ха') а =
= а, т. е. (по V) ха' = а; но для ха' элемент а'—правая еди-
единица; отсюда (по V) а' = а. Итак, в обоих случаях АА' = а, и
мы приходим к уже рассмотренному случаю.
2. Часть теоремы 2 уже доказана: правый обратный элемент
для А есть и левый обратный, и наоборот; именно, мы имели:
AAt = AtA = а, причем Ala=aAi = Av Пусть еще АА2 — а;
имеем: аА2 = А1АА2=>А1а = А1; умножаем на А справа: аАгА—а,
следовательно (по V), АгА = а; далее, А2АА2 = Ага = аАг = Л2>
ибо, если а'—единица (по теореме 1 — двусторонняя и по V —
единственная) для А2, то из равенства Ага = аА2 найдем: а' = а,
т. е. Ага = аА.х — А2, но мы имеем: аАг = Аи следовательно,
А2 = А,.
3. Пусть аА - А, ВЬ = В, тогда а[АВ) = [АВ) b - АВ, откуда
по V и теореме \ b = а.
Если постулат V заменить следующим:
V*. Всякий элемент А в © имеет не больше некоторого
определенного числа правых или левых единиц,—
то получаем обобщенную группу, в которой, как доказывает
Ваксель, для каждого элемента имеется ассоциированный с ним
элемент, порождающий обычную циклическую группу.
119

Ваксель приводит следующий пример своей обобщенной
группы: возьмем множество мощностей (кардинальных чисел),
трансфинитных упорядоченных множеств:
*о> «„
всякое конечное множество этих мощностей образует относи-
относительно сложения или умножения обобщенную группу с посту-
постулатами I—IV — V*. Имеем:
^и^и = ^ц! при R(i з= К, Иц Kv = Sv ^|1 == ^v •
Бесконечное множество всех кардинальных чисел образует
группу с постулатами I — IV.
Эти обобщенные группы являются, конечно, частным случаем
групп без закона неограниченной и однозначной обратимости,
рассмотренных в главах III и IV. Ваксель утверждает (не дока-
доказывая этого), что конечные группы с постулатами I — IV и V*
содержат в себе, как частный случай, группы типа ядра.
Смешанная группа А. Леви '
§ 54. Смешанной группой (Mischgruppe) называется си-
система ffl элементов с одним действием, распадающаяся иа две
части: ядро (der Kernj ® и оболочка (die Schale) ?, и подчи-
подчиняющаяся следующим постулатам:-i
I. ®—обычная группа относительно нашего действия.
П. Если А, В элементы из 3JI, то АВ существует тогда, и
только тогда, если АС?.
III. Для нашего действия верен ассоциативный закон в такой
форме; если А и В элементы из Ш, а С любой элемент из 9Ji,
то (АВ) С = А (ВС).
IV. Единица Е из ® — единственная левая единица для всех
элементов из -Hi,8 т. е. из ХР = Р при каком-нибудь Р сле-
следует: X = Е.
Из этих постулатов непосредственно выводим: Е — един-
единственный идемпотентный элемент в Ш.
Ш имеет только одно ядро Ш.
1 Alfred Loewy, Ober abstrakt definierte Transmutationssysteme oder Misch-
gruppen. Journ.Crelle, Bd. 157 A927), S. 239 — 254.
2 Мы приводим систему постулатов не Loewy, a Baer'a, так как система
Васг'а проще. См. Relnhold Baer, Zur Einordnung der Theorie der Mlschgruppen in die
Gruppentheorie. Sitzungsber. der Heidelberg. Ak. der. Wiss. Math.-naturw. Klas-
se, 1928. 4-te Abh.
8 Baer не приводит этого постулата, хотя неявно им пользуется. Независи-
Независимость этого IV постулата от предыдущих доказывается следующим примером:
пусть 9Й= Е + А + К+ L+ М, где ? =» Е + А обычная группа 2-го порядка
с единицей Е, а К, L, М не компонируются между собой и только справа ком-
чонируются с Е и А; именно ЕК = L, АК = М, при этом еще верен ассоциа-
ассоциативный закон: EL = ЕЕК= ЕК = L ЕМ = ЕАК =AK-M,AL*= АЕК = АК -
— М, AM *= ААК — ЕК = L Для 3JJ исполнены постулаты I —111, но все-таки.
Щ — не смешанная группа.
120

Если А— любой элемент из Ш, то комплекс ЯА содержит
все различные элементы, так как, если КгА = КгА, то А =
= Кг*К»А, т. е. (по постулату IV) К? К* = Е, К2 = Kv
Если А, В— два любых элемента из ф, то или ША — йВ, или
эти комплексы совсем не имеют общих элементов. Именно, если
К,А = К2В, то (Я/Г,) Л = №К2)В, или 8А - Ш
Смешанная группа 2Й может быть разложена по своему
ядру:
3R = ?+«//+»//'+•••; D)
все комплексы ?//, ?//',... составляют оболочку ф смешанной
группы 2№, и никакие два из них не имеют общих элементов.
Смешанная группа Ж может быть и бесконечна; бесконечной
может быть и группа Я, и множество комплексов в D) может
быть конечным или бесконечным (исчислимым или неисчисли-
неисчислимым). Если Я конечная группа порядка к, то и каждый из
комплексов $?// имеет по k различных элементов; если Ш —
конечна, то ее порядок, как видно из D), есть kh, где h — число
различных комплексов ШН.
Две смешанные группы просто изоморфны тогда, и только
тогда, если их ядра просто изоморфны друг другу, и между
комплексами их разложений D) можно установить взаимно
однозначное соответствие (например, если можества этих ком-
комплексов конечны, число комплексов в каждой смешанной группе
одно и то же).
Пусть 91 подгруппа ядра Я, Ъ — нормализатор для 31. Раз-
Разложим S? по Ъ, взятой слева, а 93 — по 91:
отсюда и из D):
2W - 93 + 93АГ+93/С+ ... +93Я+93А7/+... +93//'+ ... -
Я У1ВШ ШС2Ш Я' ... +
Обозначим через П 2R/& 0 совокупность комплексов 21, 915,...
в E), причем эти комплексы будем рассматривать, как новые
„элементы".
Теорема. || 9R/91 ц—тоже смешанная группа с ядром §8/91.
Доказательство. Комплексы (91), (9Ш), (915'),... состав-
составляют обычную группу 58/91; каждый из этих комплексов компо-
нируется слева с каждым из остальных комплексов E), на-
например,
915 • ЖВ'КН « 91 • {ВВ') КН,
ибо В из группы S3, т. е. переместимо с 91, а 9Ш = 91; никакие
иные два комплекса E) друг с другом не компонируются. Ассо-
Ассоциативный закон верен для композиции комплексов. Наконец,
и постулат IV тоже верен: 9t, очевидно, есть левая единица для
всех комплексов E), и никакой из них никакой иной левой
единицы не имеет. Таким образом теорема доказана.
121

Обычную группу можно рассматривать, как частный случай
смешанной группы — именно, как смешанную группу с „пустой"
оболочкой, состоящую только из ядра. Из предыдущей теоремы
выводим:
Следствие. Комплексы разложения обычной группы по
любой (не инвариантной) ее подгруппе, взятой слева, состав-
составляют смешанную группу.
Группоид Брандта1
§ 55. В тесной связи со смешанной группой А. Леви стоит
группоид Брандта. Так называется система элементов с од-
одним действием, подчиненная следующим четырем постулатам:
I. Два элемента А, В группоида могут или не могут быть
перемноженными (взятые в определенном порядке); если могут,
и если АВ = С, то каждый из элементов А, В вполне опреде-
определяется двумя остальными.
II. Для действия группоида нерен ассоциативный закон в сле-
следующей форме: если существуют АВ и ВС, то существуют
и (АВ) С и А (ВС); если существуют АВ и (АВ) С, то существуют
и ВС и А (ВС); если существуют ВС и А (ВС), то существуют
и АВ и (АВ)С; и каждый раз (АВ)С = А(ВС).
III. Для каждого элемента Л группоида в последнем имеются
однозначно определенные следующие элементы: правая еди-
единица Е, левая единица Е' и „обратный" элемент А, так что
Назовем единицей всякий элемент Е группоида, являющийся
правой или левой единицей для какого-нибудь элемента
группоида.
IV. Если Е и Е' — две любые (равные или неравные) единицы
группоида, то в последнем всегда имеется такой элемент А,
для которого Е—правая единица, а Е'—левая единица.
Брандт рассматривает конечный группоид, т. е. группоид,
состоящий из конечного множества элементов, но замечает, что
легко сделать обобщение и на исчислимое множество элемен-
элементов. Мы ограничимся рассмотрением конечного группоида.
Из поставленных постулатов выводим:
Левый обратный элемент (по III) относительно правой еди-
единицы (для данного элемента) есть правый обратный относи-
относительно левой единицы (для того же элемента): или (в обозна-
обозначениях постулата III):
Е'. F)
Действительно, ЛА = ?, АЕ » А (АА) = (АА) А = А = Е'А,
1 Н. Brandt, Ober eine Verallgemeinerung des Gruppenbegriffes. Mattiem. An-
nalen, Bd. 96 A926), S. 360 -366.
122

а так как левая единица Я> для А определена однозначно, то
и получаем Fj.
Всякая единица — идемпотентный элемент, а обратно: вся-
всякий идемпотентный элемент — одна из единиц.
Действительно, имеем: АЕ =_А, А А = А (АЕ) = (АА) Е —
= ЕЕ = Е. Далее, Е'А = А, (Е'А)А = АА = Е' (АА) = Е'Е' = Е.
Обратно, если ЕЕ=*Е, то Е—и левая, и правая единица
для самой себя. _
Если Е — правая, Е' — левая единицы для А, а А — обрат-
обратный (по III) к А элемент, то для А обратный элемент—*Й,
правая единица — Е', левая — Е.
JMMeeM: (JA)A - А(АА), т. е. (по III и F)): ЕА~ = ~АЕ; далее,
(ЕА)А =¦¦= EjAA)=EE=E=AA, а так как_по Щ обратный к А
элемент А однозначно определен, то ЕА = А — АЕ'; отсюда
и из F) и следует верность нашей теоремы.
Идемпотентный элемент Е — правая единица для всех эле-
ментов А, ко мпонируемых с Е слева {т. е. для которых АЕ
существует), и левая единица для всех элементов В, ком-
понируемых с Е справа (т. е. для которых ЕВ суще-
существует).
Именно, из существования АЕ[ЕВ] и ЕЕ следует (по II):
(АЕ)Е = А (ЕЕ) - АЕ [Е (ЕВ) = (ЕЕ) В = ЕВ], а отсюда (по I):
АЕ~ А [ЕВ = В].
АВ существует тогда, и только тогда, если правая еди-
единица для А есть левая единица для В.
Именно, из АЕ = А, ЕВ = В найдем по II, что существует
ЕВ А(ЕВ)АВ
) ()
Обратно, пусть существует АВ и АЕ — А; тогда по II: АВ
(АЕ) В = А (ЕВ}, а отсюда по I: ЕВ = В. _
Если.существует АВ —J2, то существует и АС = В, СВ
И ! J
, _ _ _
Действительно, име^м: (АВ) В-СВ= А (ВВ) = АЕ = А (если
Е — правая единица для А, и следовательно,—левая для В).
Далее, A(AJJ± = ~АС_= (АА)В = ЕВ = В. Далее, СВ => А, т. е.
(СВ) А = С (ВА) = АА= Е'; с другой стороны: Е' (АВ) = Е'С =
= (Е'А)В— АВ — С, т. е- левая единица Е' для А есть также
левая единица и для С; следовательно, СС = Е' (по_ F)), а по
выведенному рань1ле: С (ВА) ?= Е'; итак, СС=С(ВА), и по I:
ВА = С. Остальное доказывается легко._
Если N*=AB ... М, то N = М...ВА.
Это доказано уже для произведения двух сомножителей и
легко обобщается на п сомножителей методом полной индукции.
Число г различных единиц группоида называется рангом
группоида. Из предыдущего следует:
Группоид ранга 1 есть обычная группа.
Из предыдущего следует:
123

Если АВ == С, _то имеют одну и ту же правую единицу
1) В и С, 2)_С и Л, 3) А и В; имеют одну и ту же левую еди-
единиц, 4) S и С, 5) С и Л, 6j Л и 5.
Элементы с одной и той же правой.единицей называются
принадлежащими друг другу справа; элементы с од-
одной и той же левой единицей называются принадлежа*
щи ми Друг другу слева,* наконец, элементы с одинако-
одинаковыми правыми и с одинаковыми левыми единицами называются
вдвойне принадлежащими друг другу.
Пусть Р и Q — два элемента, и РЕ' = Р, EQ = Q; выбираем но
постулату IV элемент А, имеющий леьую единицу Е' и правую Я;
в таком s случае существует В = PAQ с левой единицей той же,
что у Р, и с привой той же, что у Q. Если А{ еще элемент
с правой единицей Е и левой Е', и Ajdk А, то и 5, = РА{Цф
ф 5j_ ибо из PAQ - РА& следует: (РР) A {QQ) =* {рр) Л, (Qy);
но РР=Е', QQ=*E, т.е. Е'АЕ = Е'АХЕ, А = Л,. Обратно,
пусть В — любой элемент с той же левой единицей, что ji P,
и с той же правой, что и Q; в таком С?учае существует t^BQ
с левой единицей. Е' и правой Е, т. е. PBQ — один и!» элемен-
элементов А. Отсюда следует:
Различные комплексы вдвойне принадлежащих друг другу
элементов всегда находятся во взаимно однозначно и соответ-
соответствии, а следовательно, число вдвойнЬ принадлежащих друг
дру?у элементов в данном группоиде всегда одно и то же и
равно g. Число элементов в группоиде, принадлежащих друг
другу справа (а также и слева), равно rg, где г—[анг груп-
группоида. Число всех различных элементов группоида равно г%
Число g называется порядком группойла.
Действительно, элементы, принадлежащие друг другу справа,
HMfeiOT вид: PAQ, где Р—постоянный элемент, a Q пробегает г
значений (соответственно г единицам); элемент А имеет по-
прежнему g значений. Если же л Р принимает г соответствуй
ющих различным единицам значений, to PAQ пробегает все
элементы группоида, а всего r*g значений*.
'Элементы, вдвойне принадлежащие рдной и той же едат
ницё* образуют обычную группу порядка g; всего таких групп г,
и еде она просто изоморфны друг другу.
Именно, если Е и Е' две различные группы, и Р имеет пра-
правую единицу Е, а левую Е', и А пробегает группу вдвойне
принадлежащих к Е элементам, то В~РАР пробегает_группу
вдвойне принадлежащих к Е' элементов; если^с^ЯЛ,^, то
а это и показывает изоморфизм обеих групп (простои, ибо
группы — одного и того же порядка).
Если рассматривать, как новые элементы, комплексы при-
принадлежащих друг другу элементов группоида, тб эти комплексы
(число их равно г) сами образуют группоид 1-го порядка; еди-
нццами этого группоида являются те из комплексов, которые
124

образуют обычные группы. Это следует из того, что, если А и
А' вдвойне принадлежат друг другу, и В и В' тоже, и суще-
существует АВ, то существует и А'В', вдвойне принадлежащее к АВ.
Связь смешанной группы с группоидом
§ 56. Связь смешанной группы А. Леви с группоидом Брандта
ясно обнаруживается, если допустить еще один постулат для
смешанной группы, — один из тех, которыми определяет сме-
смешанную группу сам А. Леви, а именно:
V. Для всякого элемента Н оболочки & смешанной группы 3R
существует единственный правый обратный элемент //—',
т.е. такой элемент Н~1, что НН~1=Е(Е — единица ядра й);
это компонирование возможно, причем Н~х не принадле-
принадлежит к данной смешанной группе Ш.1
Заметим еще, что ассоциативный закон Леви формулирует
следующим образом: если А, В, С какие-нибудь из наших су-
существующих элементов (безразлично, принадлежат ли они к ffi,
или не принадлежат), то из существования ВС и А (ВС) следует
существование АВ и (АВ)С, и обратно; и каждый раз А(ВС) =
= (АВ) С.
Отсюда следует:
Теорема 1. Если //—любой элемент из оболочки ф сме-
смешанной группы Ш, то Н~1 компонируется слева со всеми эле-
элементами из 3R; Н~Ш — тоже смешанная группа с ядром Н~ЩН,
просто изоморфная с Ш.
Доказательство. Имеем: Е—ЕЕ=(НН~Л)Е — ЩН~ЛЕ)\
следовательно, по сформулированному выше ассоциативному
закону Н~1Е существует. Но так как и НН~1 — Е, а обратный
к Н элемент — единственный, то, следовательно, ff-lE = H~l,
т. е. Е — правая единица для всех этих обратных элементов//.
Пусть теперь К ^ ft, H С ф; имеем:
? = [К (.л/7 )\ К — L(.A.n) л 4i\ ';
но отсюда по ассоциативному закону (в его новой формули-
формулировке)
т. е. Н~1К~г существует и есть правый обратный элемент к КН\
1 Это постулирование существования элементов, не принадлежащих к опре-
определяемой группе у Леви, объясняется только конкретным происхождением его
отвлеченных смешанных групп от систем трансмутаций (§ 6), где существование
этих .обратных" траисмутаций, хотя бы и не входящих в данную систему, оче-
очевидно. Но вообще постулирование наличия элемевтов, не принадлежащих опре-
определяемой группе, — есть окольный путь; поэтому мы и предпочли дать опреде-
определение смешанной группе по Беру. Существование элементов вне данной си-
системы естественно ставит вопрос о расширении этой системы. Таким образом
смешанная группа расширяется в группоид.
125

Далее, при любом Р С Ш:
Р-> = Р-1 Е = Р-\{КН) (Н^К-1)}
следовательно, Р-ЦКН) существует, т. е. первая часть нашей
теоремы доказана, ибо в форме КН или К представляется лю-
любой элемент из Ш (произведение Р~*К, очевидно, тоже суще-
существует).
Итак, существует система Н^Ш, а также и Н~ЩН; далее,
очевидно,
-% Н- Н-^Н = Н-'Кг (//Я-1) К2Н
с н-тн,
т. е. всякие два элемента из Н~1йН компонируемы друг с дру-
другом, и произведение их тоже из Н~г§:Н. Далее, легко прове-
проверить, что H~1EH = H-1Hc=:Ei двусторонняя единица для Н-ЩН,
а Н^К-^Н—„обратный" (относительно ?\) элемент к Н~*КН.
Следовательно, Н~ЩН—обычная группа.
Легко проверить также, что и постулаты II, III, IV § 54 верны
для системы //~ЧШ, которая есть, таким образом, смешанная
группа. Остается доказать, что Н~Ш просто изоморфна с 3R;
для этого установим между их элементами такое соответствие:
пусть элементу К из S? соответствует элемент Н~*КН из Н~1ШН;
элементу Р из $> соответствует элемент Н~ 1Р из Н^Ш, если
Р—не из комплекса $#; если же Р — КН <Й:Н, то такому эле-
элементу из ffl. соответствует элемент Н~1К из Н^ЗЯ.
Это соответствие есть изоморфизм, ибо произведениям эле-
элементов из 'Ш соответствуют произведения соответствующих эле-
элементов из Н~Ш, именно:
элементу KiK, соответствует элемент Н~х{К^Кг)Н =
элементу КР соответствует элемент Н—1(КР) = Н л КН • Н^Р;
элементу/С, • КН соответствует элемент Н-^К^К) = H~lKiH • Н-'К.
Изоморфизм этот простой, ибо легко видеть, что разным
элементам из Ш соответствуют разные же элементы из Н-ЩХ.
Например, если Я КХН = Н-гК2Н, то, помножив обе части
слева на Н, а справа на Н~х, найдем: ЕК^Е—ЕК^Е, т. е. A\ =
— Кг и т. п.
Замечание. Смешанные группы Ш и Ш1с^.Н~1Ш совер-
совершенно равноправны: мы видели, что Н~х С 5Ш, и Н~1Н=* Ех —
единица в Ш, т. е. Н = f//-1)-1; обозначив: Я = Ни имеем:
ЭД = Н-Ш^ При этом 3R и 1, не имеют ни одного общего
элемента.
Теорема 2. Если
"Ж = Ж + ЖЯ1+...+!йЯ, Dа)
120

конечная смешанная группа, то
©с^ЗП + Н71Ш + ...
+ #7*да+яг1 щ,-+...
есть группоид Брандта.1.
Д,оказательство. Легко видеть, что элементы HT^KiHp. С
С НГ'йНц и И^1КгН-1.а НТ^ШНк компонируемы друг с другой
тогда, и только тогда, если ц = v, и в эгом случае:
ибо Н^Ну.1 «= Е — единица для Ш. (по определению И^1). Отсюда
видно, что* и произведение однозначно определяется сомножи-
сомножителями, и каждый сомножитель однозначно определен прои?ве-
дением и другим сомножителем, т. е. постулат I § 55 исполнен.
Постулат II § 55, очевидно, исполнен. Исполнены также и
постулаты III и IV: именно, единицами в ® являются:
С" .ТУ IJT- I LJ _- , ТУ Ы 1 f_f -^ . С
С ~Cj , /72 /7а —.Cj , . . • Пг tlr — t.r s
при этом элемент H7lKHi имеет правую единицу Е\ и левук>
единицу Е% и „обратный элемент" (по III § 55): Нь^К'^Н*.
Этим теорема 2 доказана; . '
Каждый из комплексов И71йИ\ состоит из элементов, ндвойне
принадлежащих друг другу; из них группами являются ком-
комплексы Н71ШНХ — их всего г.а Каждая из смешанных групп
ЯГ'ЗК состоит из элементов, принадлежащих друг другу слева.
Элементы, принадлежащие друг другу справа, составляют ком-
комплексы:
акт/, = дая,
жнг = дан, ^ н?йн, + ... + нг'дая, •
Эти комплексы тоже являются смешанными группами, только
„с обратной стороны:. Определяющие их постулаты —те же
постулаты I — IV § 54, если только там переставить праную и
левую стороны."
1 На это указывает сам Леви в конце своей процитированной в § 54
работы. ' i
2 К комплексам H^^ftH^ причисляются, конечно, и комплексы &НХ ^=
=Е~1®Н„ Я71^~/С'^?' наконец, и сама группа $=?-'$?.' Подобно же
пишем: ЭД =?-'$№.
„• Дело в том, что смешанные группы — о д н ос торон ни (§ 20). Группы
Ш, ЯГ'ЗЯ — апти изом о рф н ы (§ 18) группам Ш', Wh%- Группоид «се
принадлежит к числу симметричных групп (,§ 18).
127

Связь группоида и смешанной группы с группами беЗ" закона
однозначной обратимости
§ 57. Теорема J. Всякую смешанную группу Леви можно, рас-
расширив применимость ее действия, обратить в правую группу
(§ А 24, 43).
Доказательство.^ Введем иные-обозначения; пусть дан-
данная смешанная группа имеет разложение:
ЗЛ = $Et + ®Ег + . • • + Шг, D Ь)
где й— ядро ЗК, ^ — единица из ft. а Е.г,... Ег~ элемент из
оболочки 2JI, причем Ех не входит в комплекс &Е, г1ри %ф).
(т. е- Ба,...Ег--то же, что в Dа), § 56, Нг, ...НГ). Пусть
= Я, + А, + Bt + Су +...;
обозначим: А^Е* =АХ, ВХЕ^ =В%, Qf* «= Сх,... (?,?» = ?*—
само собою). Из произведений AiB>. существуют только те, где
*-1, и именно: AlBx = Al(BlEx) — (A1B1)Ex = С^Ех — Сх, если
А1ВХ = С1. Определим теперь при всяких х, X: АХВ,. = С>, если
Этим наше действие сделаюсь неограниченно применимым,
и смешанная группа обратилась в" правую; Я'Е*. сделались про-
просто изоморфными друг другу обычными группами.
Совершенно аналогично доказывается следуюшая теорема.
Теорема 2. Всякую смешанную группу „с обратной стороны"
{или „смешанную антигрупиу") можно, расширив применимость
ее действия, обратить в левую группу.
Наконец, имеем аналогичную теорему и для группоида.
Теорема 3. Всякий группоид можно, расширив применимость
его действия, превратить в специальный случай группы типа
ядра.
Доказательство. Пусть © данный группоид; в его пред-
ставлении G), § 56, изменим обозначения:
-f.
Gа)
+¦ Еп ЯЕи + EriSEi% +...+ Ег1йЕл,.
Здесь $—обычная группа, Еп—единица, Е12,... Е1Г—элемен-
Е1Г—элементы, ранее обозначенные че^ез H%,..Hr; E.lu...En — „обрат-
„обратные" к ним элементы; по определению этих „правых обратных"
элементов:
ЕпЕп =. EIV
Обозначим еще ?m?i>.^?u; это — единица в обычной группе
ЕиШЕ>л ~ Й-,х. „Расширим" теперь применимость нашего действия
следующим образом.
> Обозначим: ?«i~?»)?ii и оп ре д е л им: EvEti = Еи (цри
всяких i и 1),
428

Обозначим теперь: ft~$u = Еп + Аи + Bn + Ctl+ ...,
определим: E^A^Eix^ А%ь, ExiBltEaC^.Bxi,... . (ExiEtxEn.=EviEf>==
= .Е*х исполнено уже само собою).
Теперь имеем:
pi) Ей <=?'ExiEnEh = Е%\Е\Ч = Е%1; (8)
=?xi(i4u5n) ?ь =?х1С1,?„ = Сх„ (9)
если Л11Й11 = С11. Формула (9) вполне согласуется с формулой
A3) § 26 при Хх-; = Еч согласно (8). Этим доказывается наша
теорема. Полученная из .группоида группа ® типа ядра опреде-
определяется (согласно основной теореме 2, § 26) структурой обычной
группы Ж (играющей здесь роль группы (? § 26) тем, что s=r
и что ЕиЕх\ = Е\\ (согласно (8)); это—самый простой тип груп-
группы-ядра, упомянутый в § 32, в замечании после дополнения
к основной теореме. При этом превращение группоида в груп-
г
пу типа ядра смешанные группы 2"E»iJfEi). превращаются в пра-
вые группы c=Sx, а смешанные „антигруппы" VExif?i/. превра-
щаются в левые группы ?^*й\.
Представление смешанной группы и группоида при помощи
трансмутаций
§ 58. Теорема 1. Всякая конечная смешанная группа Леви
может быть представлена посредством обычных конечных под-
подстановок и трансмутаций (причем элементы ядра представля-
представляются подстановками, а элементы оболочки — трасмутациями).х
Доказательство. Пусть смешанная группа 9К представ-
представляется формулой Dа). Представим обычную конечную группу St
посредством обычных подстановок т символов а[, а2, ... а'т, обра-
образующих систему S,. Пусть даны еще г— 1 систем по т симво-
символов: S2(av al,... a"J,... 5,.(л^,а./),... а<?). Для простоты можно
считать, что эти системы не имеют общих символов, хотя это
и не 'обязательно; важно только, чтобы одинаковые символы
были с одними и те^и же нижними значками; так, может быть
«I = ау, но не может быть а\ = а'2\
Теперь берем за элементы //2, ... Нг следующие трансму-
трансмутации:
; а[а:...а
' Здесь имеются в ниду обычные трансму гации, т. с такие, в ниж-
ней строке которых стоят все различные символы; такие траисм-. тации имеют
обратные (см. § 6).

Если К—любой элемент из ядра, а К—соответствующая ему
обычная подстановка символов' системы Slt то пусть элементам
КНк соответствуют трансмутации КН\. Таким образом смешан-
смешанной группе Ш взаимно однозначно соответствует система Ш
обычных подстановок и трансмутаций,* при этом легко убе-
убедиться, что Ш тоже смешанная группа, просто изоморфная с ЗЛ.2
Можно доказать эту теорему и следующим образом: пусть
Я = Е + К, + Кг +...', (Е — единица);
тогда определим подстановку, соответствующую элементу КС ®
E Кг Кг...
... I
и трансмутацию, соответствующую элементу Н из оболочки Ш:
IE К, К,..
Легко доказать, как и для обычных групп, что эти подстановки
и трансмутации образуют смешанную группу Ш, просто изо-
изоморфную с ЗЛ. (Это доказательство теоремы 1 дает сам А. Яеви).
Уже в § 6 гл. I было упомянуто, что для обычных трансму-
трансмутаций существуют „обратные" трансмутации, получающиеся из
данных перестановкой верхних строк с нижними. Таким образом
для смешанной группы обычных подстановок и трансмутаций
исполнен постулат V § 56 о существовании^ правых обратных
элементов. Например, для трансмутации И2 в A0) обратная
трансмутация есть:
действительно, Н2Н2 —\a' ar ) = ^ — единица ядра, но
V 1 tn i
Я-**, /fli
уже новая подстановка — символов системы S2 (и для них —
тождественная).
1 Разным элементам ядра по условию соответствуют разные обычные под-
подстановки; если К\ф-Кг,то и KtHi. ф K^fh вследствие того, что трансмутация ~НХ
обычная, т. е. в нижних строках ЩЙу. и K^Fh. стоят различные перестановки
символов системы 5^ ; наконец, при %d ). КхНхфКгН-,, ибо нижние символы
этих трансмутаций — разных систем. _
а Если KJ<i = К3, то по условию и TtiKz = Кз; с другой стороны, по на-
нашему же определению К КН
130

Теперь мы можем построить из_наших_подстановок^и_транс-
мутаций и смешанную группу Н~Ш и Н-Ш,..., и Н~'Т1; ко-
конечно, в эти смешанные группы войдут уже подстановки и транс-
трансмутации, отличные от тех, которые входят в Ш (ведь, всякие
две такие группы не имеют совсем_ общих элементов). Напри-
Например, в Н-Ш подстановки ядра: Н~ШНг имеют вид: Н-^КН^
где /CCf; еще в § 6 было указано, что такое преобразование
сводится к „перемене обозначения" наших символов —в дан-
данном случае к замене системы Sy системою 5Я. Что касается
трансмутаций в группе Й~-Ш, то они переводят систему 52
в системы S,, Su,_SulJ..Sr. Аналогично и с остальными смешан-
смешанными группами Нг1^.
Но теперь у нас построен и весь группоид & (§ 56, G)) по-
посредством обычных подстановок и трансмутаций, или, точнее,
построен группоид© из этих подстановок и трансмутаций, про-
просто изоморфный данному абстрактному группоиду ®.
Теорема 2. Всякий конечный группоид1 представляется по-
посредством обычных конечных подстановок и трансмутаций.
Но этим самым мы представили посредством обычных под-
подстановок и трансмутаций и смешанную антигруппу, например,
(§ 56): _ _
Зй* = Sl + tf-'f + ...
эта формула показывает, каково строение подстановок и транс-
трансмутаций, составляющих Ш'.
Разложение обобщенных подстановок на трансмутации
§ 59. В § 57 мы видели, что „расширив" применимость на-
нашего действия, мы можем превратить смешанные группы, анти-
антигруппы и группоид в правые, левые и в группу типа ядра.
Теперь укажем и на обратное превращение. Пусть нам дана
правая группа обобщенных конечных подстановок, как в § 33, 3:
Ъd±<?j + <?2+'-•+<?»• Соответственно обычным группам ©х мы
имеем 5 систем 5„ S2,...SS no m символов; обозначим через
а(,х), а\*\...а$ символы х-й системы. В подстановках из Кх сим-
символы всех этих систем переходят в символы системы S\, что
схематически можно представить так:
'S, S8...S,\.
>. S*... .S\ /
при этом в нижней строке подстановки из Кх стоит s раз одна
и та же перестановка символов S\. Мы видим, что такая под-
подстановка ХС&х формально разбивается на s трансмутаций
'1 На основании результатов § 55 легко видеть, что всякий группоид ©
представляется в виде G), § 56.

(из которых Х-я есть обычная подстановка символов 5».), что
можно символически представить так:
Проделаем такое „разложение" для каждой подстановки
из 33. Возьмем теперь все первые трансмутации Л}1'этих раз-
разложений; они составляют смешанную группу Ш того же по-
порядка, что и 93; ее ядро ® составляют подстановки (ибо и в верх-
верхней, и в нижней строках их — символы 5,) Х^~> (т.е. первые
части подстановок из ?); Ж — обычная группа, просто изоморф-
изоморфная всем б»- Если обозначить через ?\ единицу группы 6>., то
строение смешанной группы Ш представится формулой:
Ш = f + Щ«+Ж?« + ... + Щ1К
Аналогично, беря от всех разложений A1) ;«.-е части, получим
смешанную группу, просто изоморфную 9№; ее ядро состоит из
подстановок Х^К Эта смешанная группа представляется в виде
Ерт, а ее ядро в виде ЕрШ*\
Если взять все части разложений (llj с одним и тем же нижним
значком (т. е. все части разложений A1) подстановок одной
и той же группы 6).), то они составят смешанную антигруппу.
Наконец, вообще все части (трансмутации и подстановки)
разложений A1) всех элементов группы 33 составят группоид.
Пример. Из примера в § 34 берем правую группу 93, состоя-
состоящую из подстановок: Еи, Аи, Вп, Е1г, А1г, EiS, В1Ъ; разбивая
согласно A1) каждую из этих подстановок на 3 части и беря
первые части, получим смешанную группу:
/012W012X /012W012W012W012W012V/012X /012
\012/ \120/ \201/ \345/ \453/ \534/ \678' \78бГ\867
беря же вторые части, получаем смешанную группу:
345 \ /345
4
/345\ /345\ /345\ /345\ /345\ /345\ /345\
\201/' V345A (,453/ \534J'\678J' \786/ \867/'
наконец, беря третьи части, получаем смешанную группу:
/678\ /678\ /678\ /678\ /678\ /678\ /'678\ /678 \ /678\
loi2j' Ч20Г B01Г l345J' Us)' \534J' V678J 1.786Г (ш)'
Все эти 27 подстановок и трансмутаций составляют группоид.
Если же выбрать из них те, которые имеют одни и те же ниж-
нижние символы, то такие подстановки и трансмутации составляют
смешанную антигруппу.
Связь смешанной группы и группоида с обычными группами
§ 60. Мы видели (см. следствие в конце § 54), что комплексы
разложения обычной группы по любой ее подгруппе, взятой
132

слева, составляют смешанную группу. Докажем теперь об-
обратное.
Теорема. Всякую смешанную группу (за одним только исклю-
исключением) можно представить, как смешанную группу комплексов
разложения обычной группы по ее подгруппе, взятой слева.
Доказательство. Пусть Ш — данная смешанная группа,
которую мы представим по теореме 1, § 58, как группу подста-
подстановок и трансмутаций (с теми ж"е обозначениями, что в § 58).
Все г систем Sl3. .\ Sr имеют всего г-т символов, из ко-
которых мы построим группу обычных подстановок следующим
образом: берем г rpynmif, НТ^Н» ...Н7ХШНТ; пусть g порядок
каждой из этих групп (просто изоморфных друг Другу); всего
в этих группах имеем rg подстановок, при этом группа //Г1®//*,
есть группа подстановок символов S,, (а. = 1, 2,... г), где X = 1
соответствует группе Й. Так составим подстановку всех гпг сим-
символов, написав подстановку из Й, рядом с ней подстановку из
НТ^Нъ рядом — из HT^Hg и т. д., наконец, из Н71®НГ. При
этом мы так комбинируем каждую подстановку из Si с каж-
каждой из ЯГ1ЙЯ2 и т. д. Всего таких комбинаций, а значит,
и скомбинированных так подстановок, будет gr. Эти подста-
подстановки составят группу. Но мы в каждой из них еще переставим
всевозможными способами системы S,, S2,... S,. в нижней строке.
Это даст всего gr • г! подстановок rm символов, И эти подста-
подстановки составят обычную группу 2. Пусть 91— подгруппа этой
группы, переводящая систему 5, только в самое себя, а © —
подгруппа группы 91, не меняющая каждого из символов систе-
системы Si. Если R— подстановка из 9i, a S С E, то очевидно, что
R~lSR тоже не изменит к а ж д ого символа из 5„ т. е. Rr~xSR С S,
т. е. ©—инвариантная подгруппа для 3ff. Пусть теперь Р — лю-
любая подстановка из % но не из % пусть Р переводит систему
5Х в S1 (у.ф1), т. е. Р—1 переводит обратно Sx в S* ; если
т>1, то в 8 имеется подстановка S', переставляющая символы
системы S* между собой (не оставляющая их все без измене-
изменения); если же m = 1, но г > 2, то в © имеется подстановка S",
переводящая систему S* в S\ (x ф \ ф 1 ф •/.). В обоих случаях
P—iSP и P—1S"P не принадлежат к ©, т. е. © — не инвариантная
подгруппа ни для какой подгруппы в % более широкой, чем 91,
т. е. 91 — нормализатор групгпы ©.
Разложим теперь группу % по подгруппе ©, взятой слева;
всего комплексов будет gz (ибо группа <Б порядка gr~* ¦ {г—lj!):
3:=8 + <SP2+----r@/V A2)
Будем рассматривать в каждой подстановке из % только ту
часть, где наверху стоят символы St; эти части составляют
трансмутации, или обычные подстановки. Легко убедиться, что
все подстановки одного и того же «из комплексов A2) дают одну
и ту же трансмутацию или подстановку символов Su причем
подстановку,— в том и только в том случае, если взятый ком*
133

плекс — из группы 91* Итак, между комплексами A2) и элемен-
элементами, смешанной группы имеем взаимно Однозначное соответ-
соответствие, которое есть изоморфизм (простой, ибо порядок Зй —
тоже gr). Действительно, ведь, элементы из 9J1 и есть подста-
подстановки или трансмутации символов Slt и комплексы A2) компо-
нируются только тогда, если компонируются соответствующие
им подстановки и трансмутацин символов 5,. Теорема доказана.
Исключительный случай представляется'при т = g = 1, г=2.
Эта так называемая особенная смешанная группа состоит из
двух элементов: ? = I I Д = [ }; Е — ядро, А — оболочка.
Группа X здесь 2-го порядка: Z1 2]. |#1 2); здесь <& = &'=*(}¦ Ч
\1 2/ \2 1/ \1 2.J
но © — инвариантная подгруппа для %, и разложение A2) дает
здесь саму группу ¦%.
Совершенно аналогично можно представить всякую смешан-
смешанную антигруппу, как антигруппу комплексов разложения обыч-
обычной группы по какой-нибудь ее подгруппе, взятой с пра в а,—
за исключением особенной смешанной антигруппы:
Посмотрим теперь, как представить аналогично A2) сме-
смешанную группу Н—'-Ш; ка# группа подстановок и трансму-
трансмутаций, эта смешанная группа отличается от группы Ш тем,
что в верхних строках ее подстановок и трансмутаций нахо-
находятся символы 5Х вместо S,; т. е. мы можем здесь провести
построение как для ffl, только взяв вместо группы © группу ©„,
оставляющую без изменения каждый символ системы Sx; но
легко видеть, что группа ©х сопряжена с ©, именно: ©* =
= Р~1вРх, где А—та из подстановок группы %, которая пере-
переводит каждый символ системы S, в соответствующий символ
системы ©х, т. е. а\ в а<х\ а2 в а?\ ... а'т в а?>. Разложение %
на комплексы по подгруппе @», взятой слева, получим из A2),
помножив обе части слева на Р~х;
Ъ +\.. + Р~1®РХ + ... Р^Рдг- A2а)
Предыдущее указывает на возможность представления всякого
конечного группоида посредством комплексов обычной группы
по сопряженным друг с другом подгруппам, а именно:
Теорема.i Всякий конечный группоид (за одним исключением)
представляется, как группоид, составленный из комплексов,
1 Р. К. Schmidt, Bemerkungen zum Brandtschen Gruppoid. Sitzungsber. der
Heidelberg. Ak. der. Wiss., Math.-nat. Klasse, 1927, 8-te Abh. „Beitrage zur
Algebra", S. 91—103.
134

на которые распадается обычная группа по ее сопряженным
друг с другом подгруппам (взятым .налево или направо,— без-
безразлично). Точнее: этот группоид образует все комплексы A2)
и A2а) при х = 2,... г.
Исключение составляет группоид, состоящий из четырех эле-
элементов: ( М» (Mi B|»| "М; это — так называемый особен-
ный группоид, соответствующий особенной смешанной группе
и антигруппе.
Представление смешанной группы и группоида
посредством матриц
§ 61. Переходим к представлению смешанной группы и груп-
группоида посредством матриц. Так как*действие в этих типах обоб-
обобщенных групп не неограниченно применимо, то естественно
здесь использовать прямоугольные матрицы, композиция кото-
которых тоже не всегда возможна (§ 10).
Пусть данная смешанная группа имеет строение, указанное
формулой Dа) § 56. Возьмем какое-нибудь представление ядра ^
посредством неособенных матриц п-го порядка, т. е. группу Ш
неособенных матриц п-то порядка, просто изоморфную с ®.
Возьмем, далее, г—1 прямоугольных матриц ранга га, имеющих
п_ строк_(т. е. компонируемых справа с матрицами из ®), Я2,
На, ... Нт; чясл& колонн в этих матрицах пока произвольны.
Комплекс ®//х состоит из g прямоугольных матриц ранга п
(например, шя-матриц при n<m); g— порядок ft; докажем,
что в?е матрицы этого комплекса различныЛ1усть К\ Кх =А2/Л,
или (Ki — 7Q Нх = 0; обозначим: ТСг — К2 = X = (ха$), (я, р = 1,
2,... п);_Нх = (Л„з), (а=1, ...п; р=1,...ш); в таком случае
имеем: ХНХ = 0, что сводится к системе га • /га линейных одно-
однородных уравнений:
^l= 0 («=1, ...п; р = 1,...т)
И.=1
с ri1 неизвестными xav:, при всяком данном а это дает систему
m линейных однородных уравнений с га неизвестными хл1,.. .Хопш,
ранг этой системы равен га (ранг матрицы Нх), т. е. система
имеет только одно решение: хл\ — ха2 = ... = хап = 0 (при вся-
всяком а); т. е. X = 0, Kt = K2- Следовательно, при
Возьмем теперь два различных комплекса ШН* и ШНх и по-
мотрим, при каких условиях они имеют общие матрицы.
135

Конечно, они не имеют общих элементов, если числа .колонн в Н*
и в Нх различны. Пусть эти числа одинаковы, равны т, и пусть
тогда Иг = (КГ1 Кг) Н\; JH\= (кТ^Кг) Н%; но тогда и вообще эти
комплексы совпадают: ШНХ = ЖН\.
Итак, чтобы эти комплексы не совпадали, надо., выбрав Мх*
выбирать Нх— не из комплекса Й:Н*. Выполнив эти условия, по-
получим смешанную группу матриц:
% = I+ Щ, + ... + 0ТГ,
просто изоморфную данной смешанной группе Ш.
Теорема. Всякая смешанная группа представляется при по-
помощи прямоугольных и квадратных матриц.
Если Нх— пт% -матрица, то удобно, но не необходимо,
брать тг, ms,... тТ все различными.
Совершенно аналогично докажем, что и всякая смешанная
антигруппа представляется при помощи прямоугольных и квад-
квадратных матриц. Только здесь мы имеем такое разложение
Й (ядро) — обычная группа неособенных квадратных матриц га-го
порядка; 'Нх — ш\п-матрица ранга п (X = 1, 2, ... г).
Посмотрим теперь, как здесь осуществляется постулат V,
§ 56. В § 36 мы видели, что для всякой tint - матрицы L ранга п
можно найти,— и при этом бесчисленным множеством спосо-
способов,— „обратную" tnn- матрицу К ранга п, так что LK = Е —
единичная матрица /t-ro порядка. Так, выберем для каждой
матрицы^ /У* (х = 2,. . .г) такую „обратную" матрицу Н'% так,
чтобы Я» Н% = Е. Получим:
Н'М = ТШ + TTJkHt + ... +TfSHx+... +Н'ЛНп A3)
по теореме 1 § 56 A3) естьтрже смешанная группа^ просто
изоморфная с Ж, с ядром Н-МН*. Что между 9Ji и HJSI суще-
существует взаимно однозначное соотношение, это очевидно: матрице
KHxjis ^соответствует матрица Н[КНх из #ХЗЛ, при этом,
если НЖМх = Н'ъКзН^ то,_умножив обе части^лева на Нх и при-
приняв во внимание, что Н*Нх = Е, найдем: KiHx = КъН?.. Легко
также видеть, что НХЧЯНХ обычная, просто изоморфная с $
группа матриц ^орядка т% и ранга га (га < /и*); единица этой
группы есть Н*НХ~ЕХ. Но все-таки A3) не смешанная группа,
если какое-нибудь тх=т\, ибо тогда, [например, матрицы ком-
комплекса Н'ъЧЯНх—квадратные, тх - го порядка; они компони-
руются с обеих сторон с матрицами из Н' ЙНХ, чего быть не
136

должно. Таким образом A3) (при определении х) будет смешан-
смешанной группой, если при Х:?х и тхфтх.' А желая, чтобы все
комплексы A3) были смешанными группами (при у. = 2, ...г),
мы должны числа т2, ... тТ взять ecej различными, что
в дальнейшем и предполагаем.
Взяв теперь:
~Ш'МЛ'М, A4)
получим группоид, составленный из матриц; при этом матрицы,
являющиеся элементами обычной группы—квадратные, осталь-
остальные матрицы — прямоугольные; все матрицы — ранга п.
Теорема. Всякий группоид @ представляется при помрщи
прямоугольных и квадратных матриц.
Эта теорема следует из того, что по G) § 56 всякий груп-
группоид имеет строение, представленное формулой A4).
Пример. Пусть ®^= Е + А + В + С четверная группа следу-
следующих матриц:
о 1/'
Возьмем далее К
о — 1
= I |
\ 3 0 1 /
ю
найдем:
«-н
и:; =
Можно потом взять
и вычислить
о
/
ЛГ=АГ'б= j
137

Далее, найдем:
0 0 0
КК
0
5_
3
3
—
0
1
3
0
-1
0
—
0
2
0
0
1
\
у
1
0
1
i^c,.
,— 1 —3 —2/
~BlS KN =
Обозначим еще:К+ L + M + N^§, 1
В таком случае: ЗЙ = й + & — смешанная
тоже смешанная группа, просто изоморфная
ф ф
ру р рф
изоморфные друг другу смешанные анти-
анти§1—группоид, строение которого выяс-
выясV, из которой видно, Например, что эле-
элегруппа;
с Ш; '
группы;
няется из схемы
менты из ®, будучи скомпонированы с элементами из ф, дают
тоже элементы из § и т. п. Звездочки обозначают, что элементы
соответствующих комплексов совсем не компоиируются (на-
(например, элементы из ® не компонируются с элементами, из й,
и из ф,).
i © Сл 6>
( 5l • «Р Stj
©1 tx
^ -х-
-к- •*¦
¦Х-
ft,
-Х-
-х-
Схема V
i
Пусть теперь нам дана еще матрица: Р ¦
ачим:
/2 1 0 1 \
\3212/'
Обо-
АР =
— 2 —1
СР=
^алее, берем: Р' =
Q' = РА =
138

13Э

/ 9
-18
4
\ 3
— 9
18
4
з
0
0
3
0
0
0
— 3
0
3
— 6
3
1
g
6
— 3
— 1
р'м = [-~ : : \~wi м-р
Z, N'P
Имеем: UU'= E2, U'U= Е1ш
Обозначим (несколько изменив прежние обозначения):
ftп - Е + А + В + С, $„ с- "?, + Л, + Д..+С„
Имеем группоид:
структура которого выясняется из схемы VI.
V3
«и
§з!
§32
§18
§23
«11
§21
§31
§3 2
§32
*
*
§»3
*
"^¦22 §23 §81
§12 §13 &U.
*
Схема VI
§13
§23
§31 §82
.1 §12
V21 &2!

ГЛАВА VI
ИНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ГРУПП
Неассоциативные группы
§ 62. Наше неограниченно применимое и однозначное дей-
действие обозначим символом -х-; рассмотрим конечную группу
относительно этого действия:
© = © (¦#);
считаем исполненными следующие постулаты для действия -Х-:
1) обе стороны закона однозначной, а следовательно, и не-
неограниченной обратимости;
2) постулат А (см. § 22, C)).
Выведем ряд свойств такой группы © Of).
1. В C) § 22 элемент С зависит только от А и В, т. е. С есть
результат какого-то действия над А и В; обозначим это так:
С=АОВ. A)
@ — обычная (классическая) группа относительно этого
действия Q.
Доказательство. Из закона однозначной и неограничен-
неограниченной обратимости для действия ^ и из C) § 22 следует, что в A)
каждый из элементов А, В, С всегда существует (в ©) и одно-
однозначно определен, если даны два другие. Следовательно, дей-
действие О неограниченно применимо и однозначно и неограни-
неограниченно и однозначно обратимо. Остается доказать, что для этого
действия О верен ассоциативный закон. Имеем:
с другой стороны:
[(Л1-х- А)* В] -Х- С = {X* Л)-Х- (Я О С) = X* [А О (В О Q]l
отсюда: (А О В) ОС = А О (В Q С), и ©(О) —обычная группа.
2. Группа,©(-Х-) всегда имеет правую единац\> (для всех эле-
элементов). Если эта группа имеет и левую общую единицу (ко-
(которая необходимо совпадает с правой), то ¦ группа © (~f) —
обычная, и действия -х- и О совпадают.
Доказательство. Пусть Е — единица обычной группы
© (О); имеем: (Х^-Е)-Х-А = ЛГ-х(Е<Э А) = ЛГ-Х- А; отсюда по за-
закону однозначной обратимости для © (-Х-): Х^Е=Х для вся-
всякого элемента X.
141

Если Е — левая единица для всех элементов из © (¦)(-), то
(Е-У:А)-?гВ — ?¦# (Л -Х- В) = А^ В;
но тогда в силу постулата Л и для всякого элемента X:
это и есть ассоциативный закон для & (-Х-), и это же показывает,
что АОВ = Л-Х-5.
3. Каждому элементу Л С © поставим в соответствие под-
подстановку
где X пробегает все элементы из ©. Все такие подстановки А
образуют (обычную) группу подстановок, просто изоморфную
с ® (О)- Обратно, если © (-Х) однозначно обратимая группа,
и подстановки B) образуют (обычную) группу ©, то для ® (-Х-)
верен постулат А (в частном случае,—и ассоциативный закон).
Доказательство. Если ,в~{ 1 = [ |>то
\ХВ) \(ХА)В)
у
\Х*В)
это доказывает первую часть теоремы.
Обратно, пусть теперь & — группа подстановок, и
или:
х \ I х \ / х у
+а) \ххв) \х*сг
но
/ X \ / Х-Х-Л
отсюда
для всякого элемента Л" С ®, а это и есть постулат Л.
4. 5се группы нашего типа получаются из обычных (класси-
(классических) групп, если в таблице Нели обычной группы в заглавной
строке сделать любую перестановку элементов; достаточно
даже делать только такие перестановки, которые оставляют
на своем месте единицу обычной группы. (Такую перестановку
обозначим через а).
Доказательство. Сделаем в заглавной строке таблицы
Кели группы © (-V-) следующую подстановку:
х х C)
где Е—правая единица для © (-Х-). Пусть Еу X = X'; определим
третье действие х следующим образом:
А у- В = Л X В'. D)
142

Это действие однозначно обратимо и ассоциативно, ибо
из D) и постулата А (§ 22, C)) следует:
(ХхА')хВ' = ХхС, E)
и С зависит только от А', В', но не от X; при X == ? имеем:
?XZ'=?-X-Z = Z',
А'хВ' = С; F)
подставив это вместо С в E), получим ассоциативный закон
для х. Итак, Щх) — обычная группа; а из A) и F) следует
изоморфизм (простой) групп @(О) и @(х).
Обратно, пусть ®(Х) обычная группа; сделаем в заглавной
(X \
-уг) и опре-
определим новое действие * следующим образом:
А* В.
Действие -х-, очевидно, однозначно, и однозначно и неограни-
неограниченно обратимо. Имеем, далее:
(Х*^) Х-В~=(ХхА)хВ = Хх(АхВ)=ХхС=Х*С,
если АхВ = С; отсюда видно, что С зависит только от Л и В,
ио не от X, т. е. постулат А верен для -х-.
Если Е—единица для (§(Х), то Е—правая единица для
ибо А^г? = АхЕ='А.
Берем новую подстановку:
или
Определяем нов^е действие: Л х 5 = A/ZJB'. Докажем, что
подстановка о^ :=:(„,) дает изоморфизм между группами ®(-Х-)
<х= -т? v ! пусть ЕхХ = X; тогда
и (^(Zly). Пусть:
^.^ = С; _ G)
отсюда: А'х В = С; но Л = ? х А', С = Е X С, отсюда
(? X Л')х5 ="?хС', а так как <5>(х) обычная группа, то
"?;,< (Л'х5)="?хС',
т. е. А'хВ= С, или (по определению действия СУ)'-
A'OJB' = С. (8)
143

G) и (8) и доказывают изоморфизм (простой) групп ®(*)
и ©(?7). Но для действия?J правой единицей является Е:
именно, имеем:
A/ZJE';
но формула ЕхХ' — X при Х = Е дает: ЁхЕ' = Ё, т. е. Е' ~ Е
(ибо группа ®(х) имеет только одну единицу Е).
Итак, заменив подстановку а подстановкою ait получим группу
Щ/U), просто изоморфную с ©(¦#¦), но с правой единицей Е.
5. Если ф(-х-) подгруппа для @(-Х-), то и ф(О) подгруппа
для ЩО). но не обратно. Всякая подгруппа для ®(О) будет
также подгруппой и для ®0f) тогда, и только тогда, если
подстановка а. (см. 4), соответствующая группе ® (-х-), имеет вид:
где показатели I -— взаимно простив с порядками соответству-
соответствующих элементов X.
Доказательство. Пусть ф~Р1 + Р24-Я84-...> и $(-)f) под-
подгруппа для ©(¦*¦); пусть (X-)(¦ Р*)Х-Pi =XyrPv;, если элементы
Рх и Р). даны из ?, то и Ру. существует в ф; но в силу посту-
постулата А имеем: PxOPi =Pf.] следовательно, $(О) группа.
Пусть теперь ip — подгруппа для ® относительно действия О-
(X \
д
(X \
у,), и
Так как о дает изоморфизм между ©(О) и ®(х) (где дей-
действие X определяется формулой D)), то ф' тоже группа (отно-
(относительно действия X).
Пусть далее и §(-)(¦) группа; в таком случае
/>,*/}.-Я, Х/^Р^Сф.
Если Р^ пробегает все элементы из ф', то Р^ пробегает все
элементы из ф, и обратно. Следовательно:
Р, X ф' = ©
(для всякого элемента Рх С §). Это говорит, что ф — один из
комплексов, на которые распадается группа ®(х) по подгруппе
ф'(Х), взятой направо. Это условие, очевидно, и достаточно
для того, чтобы ф(-Х-) была группой.
Так как подстановка а, не изменяет единицы Е, то ф и ф'
должны совпадать, ибо имеют общий элемент Е.
Исследуем теперь, при каких условиях каждая подгруппа
4>(Э) для ©(О) будет также подгруппой §(-)f) для ® (-х-)- В этом
случае ф'=ф для каждой подгруппы ф(О)- Берем ф' =ф(Х) = {Р},
т. е. берам ф(х) циклической группой; Р — произвольный эле-
144

мент из @. Так как {Р} должна быть группой и относительно
рействия >К, то
3, следовательно, (по D)), и для всякого элемента X С ©:
ХхР', (9а)
или в более общем виде:
Х*Р1 = ХхЯ/, A0)
Каждому показателю х в A0) соответствует один, и только
один показатель X, и обратно. Это верно для всякого элемента
PC®, т. е. верно и для Рк:
; A1)
здесь каждому \>. соответствует определенное -®, и обратно.
Пусть т — порядок Р, a d = D [ft-, т);1 в таком случае Щ- по-
порядок Рк (относительно действия X), и каждый показатель ky.
и Av в A1) делится на d. Обратно, если один из показателей х,
/- в A0) взаимно простой с т, — другой тоже взаимно простой
с т; отсюда следует, что показатель / в (9) или в (9а) взаимно
простой с т. Итак, подстановка а в этом случае имеет форму:
(*¦)¦
где числа / взаимно простые с порядками соответствующих
элементов X. Это условие не только необходимо, но и доста-
достаточно: если оно исполнено, то всякая циклическая подгруппа {Р}
для© относительно действия х также подгруппа и относительно
действия -Х-; а отсюда и всякая подгруппа §(х) для ®(х)
также подгруппа и относительно Х-; ибо, если Q, Р — два лю-
любых элемента из §, то Q X Р = QxP1, т. е. Q-Y.-P тоже принад-
принадлежит к §. Этим наша теорема "доказана.
В частности, можно взять: а =¦ ( .], где показатель г —
один и тот же для каждого элемента X, взаимно просшй с nd-
рядком группы ©.
Из первой части доказанной теоремы непосредственно выте-
вытекает приводимое ниже следствие.
Следствие. Для наших групп 65(X) верна теорема Ла-
гранжа о том, что порядок группы делился на порядок всякой
,-е подгруппы.
Степени элемента-
§ 63. Во всякой группе, где верен закон однозначной обра-
обратимости, род (§ 19) каждого элемента равен 1; это относится
» 0"—знак общего наибольшего делителя.
Ишкевич— 497 —10 145

и к нашим группам с действ!гем -эь Будем обозначать степени
элемента относительно этого действия -?, заключая показатели
в скобки, так:
А -К- А ~ А (», Л<2> -Х- Л — Л<3>,
вообще:
(Это — так называемые „правый степени; см. §19). Пусть т —
порядок (лравый) элемента А; тогда Л(т+1) = Л; можно опреде-
определить: Л@)~Л'т) (это вообще не - Е); A{~k)~ Л""""*'. Степени
элемента относительно действия X, определенного формулой D)
§62, будем обозначать, как обычно [® (X)— обычная группа).
Имеем:
=(Л ХА')ХА' = АхА'\
ибо для действия х ассоциативный закон ве^ен. Пусть уже до-
доказано, что:
Л<*> = Л X А'*'1;
тогда:
л»+») = АФ)*А - А{к) X Л' = (Л.Х Л'*-')ХЛ'=Л X Л'*,
т. е. имеет место формула:
Пусть т1 — порядок элемента А' относительно действия х;
в таком случае:
(E — единица для х); т. е. т1 делится на т (порядок Л относи-
относительно -X). Но, с другой стороны,
А=АтП=АхА'к,
т. е. А'т = Е, т. е. т делится на т^, отсюда: /и, = т.
Теорема. Порядок (правый) всякого элемента группы ©^)
относительно действия -jf тот же, что и порядок этого элемента
относительно действия О- [Ибо группы ©(О) и ®(Х_) просто
изоморфны, и изоморфизм дается подстановкой
Доказаннаятеорема имеет мес > в самом общем случае на-
наших групп ©(-?). Но в случае, указанном в 5, §62, и только
в этом случае, мы имеем то, что произведение относительно,-*
всяких двух степеней элемента А (степеней относительно -?)
есть тоже степень (относительно-)f) элемента Л. Действительно,
возьмем за ф(О) циклическую группу степеней относительно О
элемента Л; эта группа должна быть группой и относительно-X;
но тогда в нее должны входить и А-^А — /B), и Л *, и вообще
все степеви А относительно Х', но их по предыдущей теореме
146

столько же (различных), сколько и степеней А относительно 0>
т.е. ф Ю) = Ф1^) есть также циклическая группа {Л} и отно-
относительно -Х-, а, следовательно, произведение двух степеней
мента А — тоже степень А (относительно -}0.
Обратно, пусть степени (относительно -)f) элемента A t
зуют группу, т. е. произведение относительно -?г всяких двух
степеней А — тоже степень А. Имеем:
отсюда (по закону неограниченной-и однозначной обратимости)
следует, что и АО А есть степень А относительно -х-, например,
далее -имеем:*
и опять также заключаем, что А(*>0^ = (А О А) О А есть
степень А и относительно ¦#. Так мы найдем, что степени А
относительно О те же, что и относительно -& (только в другом
порядке), т. е. циклическая группа {Л} относительно -)f также
и циклическая группа относительно О- Если обозначим {А} = §,
а через §' обозначим соответствующую ip подгруппу относи-
относительно действия х, то, приводя те же рассуждения, что и
в §62, 5, найдем:
а далее так же, как и там, найдем:
(х)
где показатели /—взаимно простые «^порядками соответствен-
соответственных элементов X. А отсюда уже по §62, 5 следует, что каждая
подгруппа ф(О) есть также и подгруппа $(¦)(-).
Тебрема. При условиях §62, 5, и только* этом случае про-
произведение (относительно -Х-) двух степеней (относительно -%)
.одного и того же элемента есть тоже степень того же элемента.
Эта теорема относится к правым степеням; но легко ви-
видеть, что левые степени (§ 19) элемента совпадают в этом
случае с правыми степенями того же элемента, например,
(а)Л = ЛB) (это всегда); C)'Л = А * Л(г) = А(а'\
ибо произведение двух правых степеней А есть тоже правая
степень Л; подобно же: D)Л =¦ А^и т. д. Если т^ — „левый" по-
порядок элемента А, то
№+1)А = А^(т')А=%А;
шусть:
{/П1)А = Aif);
тогда:
147

т.е. Л(о>— гфйвай единица Для Л; но единственная правая еди-
единица в rpynrte есть Е; f. е. Л(р) = Е. Конечно, ни при каком
ином показателе из ряда 1, 2,,. ..m (яг— порядок Л) соответ-
соответствующая степень А не равна Б.
Теорема. При условиях §62, 5, существует одна, и только
Одна правая степень (относительно -Х-) у всякого элемента
группы, равная правой единице группы.
Группы-с постулатом В
§ 64. Заменим теперь постулат А постулатом В (§ 22), оставив
в силе все остальные постулаты, определяющие нишу конечную
группу (В (¦?:). В §22 мы видели, что вместо, постулата В можно взять
равносильный ему постулат В'. Группы с постулатом В являются
частным случаем групп с постулатом Л, а следовательно, эсе
свойстваС последних верны и для первых, например, способ по-
получения группы ® (-Х-) из обычней группы ®(Х) посредством
подстановки а, сделанной в заглавной строке таблицы Келн
для ®(Х) (§62, 4). Возникает вопрос, какая же должна быть
эта подстановка а, чтобы в полученной посредством нее группе
0 (-тг) был. верен именно постулат В. Ответ на этот вопрос дает:
Теорема. Постулат В тогда, й только тогда верен для
группы ® (-x-)i если подстановка а есть авто мор фи зм для
группы ®(х); в этом случае <х«—также автоморфизм и для
($}(-Х-), и действия х и. О совпадают друг с другом.
Доказательство. Пусть для (S(-)f) верен постулат В;
в этом случае элементы В vt Bt в (А), §22, зависят только друг
от друга и дают обычную подстановку j ). Через Е мы снова
обозначаем правую едийицу для 6 (Х-)- При Л«Я в D), в § 22,
получаем:
а отсюда по закону однозначной обратимости:
B = E-XBV A3)
Обозначим, как и раньще [§62, C)]:
а — I
\Х'1
где
Мы видим, что A3) дает ту же подстановку:
т. е (Xj)'= (X')j = X. Беря снова формулу D), §22:
148

и обозначая A^rBl = C, ямеем: (пр (I), §62]:
С = А ОВ= А-у-В% = АX ,(?,)'= 'А хВ
для любых элементов А и В; следовательно, действия х и О
совпадают.
Обратно, пусть дано, что действия X и О совпадают, и пусть
тогда:
т. е. выполнен постулат В. Далее:
- (XX А') X В' = Хх С;
отсюда:
а это и говорит, что а — автоморфизм для ©(X).
Обратно, пусть а — автоморфизм для ®{Х); тогда:
В)' =
т. е. для ©(-X) эерен постулат В-
Докажем еще, что а автоморфизм и для ф(-Х); имеем:
{А-)(-Ву=(АхВУ=А X
Таким образом теорема доказана.
Группы, «обратные" к обычным
§ 65. Если для данного действия верны законы неограничен
ной и однозначной обратимости, то мы можем рассматривать
обратные действия к данному, получающиеся1, если рассма-
рассматривать один из двух данных элементов, как искомый, а „произ-
„произведение" их, как данное. Так как давных элементов два,
то, — в зависимости от того, какой из них мы считаем неиз-
неизвестным,— мы имеем два обратных действия, —"„левое" и „лра-
вое". Оба эти действия однозначны и неограниченно применимы.
Если данное действие (т. е. и данная группа) коммутативно,
то оба обратных действия сливаются в одно, и имеем одну
обратную группу (т. е. группу относительно этого обрат-
обратного действия).
Для дейс?вия обычных групп коммутативный закрн вообще
неверен; для обычной Группы существует, таким образом, две
„обратных группы"; но вследствие того, что рбыч-ная группа
„симметрична" (§ 18), т. е. знтиизоморфиа самой себе, то обе
эти „рбратные" группы просто изоморфны друг другу (при под-
подходящем выборе обозначений), т. е. оба обратных действия
149

одинаковы по своим свойствам. Выведем же основные свойства
этих обратных действий к действию обычных групп.
Обозначим через х действие обычной (классической) конеч-
конечной, груцды а. через А и V—оба обратных к нему действия;
точнее: если А\хВ=*С, то Сд5 = А, СчА=В.,
Обе о&рат&ые группы ®(Д) и ©(V) конечны и однозначно
и неограниченно обратимы, 'но не ассоциативны. Посмотрим, ка-
какое влияние на действия Д и V оказывает ассоциативный закон
для действия х. Пусть:
тогда:
PxC=AxQ=R.
Отсюда:
Рд5=Л,
следовательно;
[Или:
$, Р=АхВ].
Это как раз постулат А, верный, таким образом, для действия Д
(и для :^). ho^ кроме того, для обоих этих действий Д и V
верен и постулат О (§=22), ибо, если Е — единица действия х,
то мы имеем для всякого элемента X: X&X=Xs/X=E.
Теорема 1. Конечная, однозначно обратимая группа ©Of)—
„обратная" к обычной группе тогда, и только тогда, если она
подчинена посту-лахам -А, и О.
1 Нам осталось доказать только одну часть этой теоремы.
Пусть fli?#i (&(#). .испфддаяы постулаты А и О. Если А$гВ=С,
то мы будем писать» CjbB**A. Действие Доднозначное, неогра-
ннченно применимое!«¦ (вдн^значно обратимое. Мы имеем:
С? зависят ;лчэльк»! от.н А т В'; Пусть XxA~Y; тогда:
следовательно:
это —постулат А для действия Д. Но из постулата О для -X-
¦сле-дует: Х^Х^Щ Е&Х**Х,т. е. 'группа &(Д) имеет левую еди-
единицу^ "ОГйь^а-(h<J §T6i, г^иедует, что эта группа обычная, и
теорема- докаэяна^
TeopeWa 2. '-Кйнечйая^ Ьдяозаачно обратимая группа &{^)
„обратная4 к вйёлевой прупие tdfAa, и только тогда, если она
подчинена постулатам В и О:
МбО

Доказательство.Пусть®'*-)подчинена постулатам В и O-h
по теореме 1 .обратная" к ней группа ©(Д);—-обычная; докажем,
что для 6$(Д) верен коммутативный закон. Имеем:
где В и Bt зависят только друг от друга. Пусть A^Bt—C\
тогда С&В1=А; но из A4) следует (см. доказательство теоре-
теоремы 1): В&А = С\ отсюда:
ЯА#А A5)
(мы пишем без скобок, ибо ассоциативный закон верен для Д).
-Формула A5) верна для всякого элемента А; пусть А=Е (еди-
(единица); тогда B&Bt=E, B1 = B^1; но в таком слутае A5) дает:
т. е. коммутативный закон для л.
Обратно, если обычная группа 6$(Д) — абелева, то A5) дает:
В^—В—1, т. е. в A4) В и Z?t зависят тольво друг от друга, т. е.
для -Х- верен постулат В, и теорема 2 доказана.
Таким образом постулаты В я О характерны для обычного
деления. Хотя мы в теоремах 1 и 2 брали конечные группы, но
те же самые доказательства применимы и к бесконечным груп-
группам, если только мы, кроме закона однозначно* обратимости,
будем считать выполненным и закон неограниченной обрати-
обратимости.
§ 66. Упомянем еще об одном определении группы .обрат-
.обратной" к обычной, следующими постулатами:
1. Действие (которде обозначим через О) однозначно и
неограниченно применимо.
2. Для всяких двух элементов группы А и В имеем:
Если обозначим: АОА = Е, fo (при В=>Е): EQE = E, т. е.
Е — идемпотентный и при этом единственный идемпотентный
элемент группы.
3. Для любых элементов А, В, С группы имеем:
4. Из ЕОА = ЕОВ следует А-В.
Из этих постулатов выводится:
1) Е—'правая единица для всех элементов группы.
Имеем:
отсюда по постулату 4: A — AQE.
2) Для всякого элемента А
E1

Имеем.
и по постулату 4 выводится теорема 2.
8) Для всяких элементов А, Р, С:
А О 03 О С) = [А О (Е С О] О 5.
Именно:
Л О E О С) - А О [В О (Е О (Я О С))] - [4 О (Я О Q] О
(по 2) и постулату 3)
4) Для всяких А, В
по 3 и 2.
5) Из #O-fr = CO^ или из АОВ = АОС следует 5 = С.
Имеем:
по 3) и постулату 2; подобно же: (Е О А) О'(СО А) = Е О С;
итак: Ё О В = Е QC> откуда, по постулату 4: Д = С.
Вторая часть следует из 4) и из первой части.
6) Соотношения: А О В = С, В = (? О С) О (? О А), А =,
СО(?^
СО(?О^ равнозначны одно с другим.
Имеем из первого: EOC=EOiA OB) = BOA (по
(по постулату 3, 2 и теореме-1).-Таким образом второе соот-
соотношение следует из первого; но совершенно фак же докажем к
обратное.
Теперь из второго соотношевия выводим новое так, каю
само онр рыводится дз перрого:
Е О А = (Е О В) О [Я О (? О С)]=(Е О ?) О С-
а отсюда по постулату 4,: Л = (TQ(?Oj?)- Это соотношение
третье, откуда также выводится второе.
Таким образом, если изАОЯ следует А = СО(ЕОВ), и
обратно, то действие х, определяемое по формуле:
обратное к действию О- Это обратное действие неограниченно-
применимо и однозначно, для него верен ассоциативный .закон,
а именно:
(АхВ)хС=СО[ЕО(ВО(ЕОА))];
152

НО по прстулату 3 и теореме 2:
[СО{ЕОВ)]О(Е
а по теореме 3 и 1:
этим и доказан ассоциативной закон для действия х.
Далее имеем
Е ¦>; А = А О (Е О Е) = А ОЕ = А;
т. е. Е — двусторонняя единица для -х-.
Наконец,
А(Е ОАIЕ&А) О(Е
т. е. ЕОА — „правый обратный" элемент для А относительно-
действия -Х-. Отсюда (по системе постулатов Dickson'a, опреде-
определяющих обычную группу) заключаем, что группа с действием
-X—обычная, т. е. определенное постулатами 1—4 действие
обратное к действию обычных групп.
Легко видеть, что постулат 3—частн"ый случай нашего посту
лата А', ведь, элемент QOiEQB) зависит от В и С, но не за-
зависит от А. Обратно, из постулата А при наличии постулата О
(здесь постулата 2) легко следует постулат 3.
Систему постулатов 1 — 4 этого параграфа для определения
групп, „обратных" к обычным, дал М. Ward;1 он доказывает и
в^аиадную независимость этих постулатов.
Пример группы с постулатом А. В таблице Кели
симметрической группы 3-й степени F-го порядка, см. схему .Щ,
§ 32) сделаем такую перестановку в заглавной строке:
А* А'" В С \
\ЕА'" В А' С Л'/'
получим группу с таблицей, представленной схемой V|i;
Пример группы с постулатам В. В заглавной строке
таблицы Кели той же группы сделаем следующую перестановку:
IE А' А" А'" ВС\ш
\ЕА" А' А" С В/'
1 Morgan Ward: Postulates for the inverse operations in a group. Transept, of
the Atner Math Soc.wo] 32. A930), p 520—526. Интересно, что в этой статье
М Ward ни слрр не упоминает о моей работе, по^ещеннр^ в предыдущем
C1-м) томе того же журнала и трактующей, между прочим, ют же вопрос —
об обратно^ действии к действию обычных групп,— только гораздо проще, чем
это делает Ward.
153

эта подстановка дает автоморфизм симметрической группы 6-го
порядка. Получим группу с таблицей, представленной схемой VIII.
Е
А'
А"
А"
В
С
Е
т
Е
А\
А'
А"
В
С
А'
А"
В
С
Е
А'
А'
А"
С
А'
А"
Л'
Е
В
А'"
А'
Е
В
С
А'
Л"
В
¦А"
С
Е
В
А'"
А'
С,
В
А'"
А'
Л*
С
Е
Е
А'
Л*
А'"
В
с 1
Е
Е
А'
М
А1"
В
С
А'
А"
С
Е
В
Л"
Л'
Л"
Л'
Е
В
С
А'
А"
А"'
А"
В
С
Е
А'
Л*
В
с
А"
А"
А'
Е
В
С
В
А"
А'
А"
С
Е
Схема VII
Схема VIII
Дистрибутивные группы Бурстина и Мазера1
§ 67. Эти группы стоят совершенно особняком, не имеют
нийакой связи с иными обобщениями групп, которые рассмат-
рассматривались в этой книге.
Пусть имеем систему "конечного или бесконечного множества
элементов с действием (которое мы "будем обозначать, как
обычное умножение), подчиненным следующим постулатам:
I. Действие однозначно и неЬграниченно применимо.
II. Верны законы однозначной и неограниченной обратимости.
III. Верен д и с три б у тивный закон: для всяких элементов
А, В, С
{АВ) С = (AQ (ВС); С (АВ) = (СА) {СВ).2
Эти три постулата независимы друг от друга. Независимость по-
постулата I доказывается таким примером: элементы — пелые числа
^О,АВ~—„ ; здесь исполнены постулаты II и III, но не
исполнен постулат I.
Независимость постулата II доказывается таким примером:
пусть даны л элементов Л„ Л2, ... Л„, причем действие опре-
определяется формулой: AtAk = Ак; здесь наполнены постулаты 1 и
III, но не исполнен постулат II.
Независимость постулата III доказывается существованием
обычных групп, для которых постулаты I и II верны, а посту-
постулат III неверен.
Непротиворечивость постулатов I — III доказывается суще-
существованием конкретных примеров дистрибутивных групп.
Пример 1. Элементы — комплексные числа; действие опре-
определяется формулой* Л-5~аЛ+Р?, где аир два постоянных
числа, причем а + р=1. Легко проверить, что постулаты* I—III
-здесь исполнены.
1 С. Burstin und W. Mayer. Distributive Gruppen von endllcher Ordnung.
Journ Creile, Bd 160 0929) S 111 — 130.
* Этот закон—1-го рода, односторонний (§ 20); здесь верны обе его
¦стороны
154

Пример 2. Элементы — реальные числа > 0; действие опре-
определяется формулой: ABc^V АВ. И здесь легко проверить вы-
выполнение постулатов I — III.
Пример 3. Элементы — точки л-мерного аффинного про-
пространства; ЛВ~ точке отрезка АВ, делящей этот отрезок в дан-
данном отношении а:ф, например, пополам. (Предлагается и здесь
проверить верность постулатов I — III).
Выведем некоторые следствия- из основных постулатов.
1. Для всякого элемента А верна формула: А А — А. Дей-
Действительно, по III: (АА) А= >АА)(АА) и по II: А = АА.
Каждый элемент дистрибутивной группы образует, таким
образом, группу 1-го порядка; это — единственная группа и
ассоциативная, и дистрибутивная одновременно.
Общей единицы для всех элементов дистрибутивной группы
(порядка > 1) не существует.
2. Не существует дистрибутивной группы 2-го порядка,
ибо из АА = А, ВВ= В следует, что ABd-/A и f В.
3. Существует одна (и только одна) дистрибутивная группа
3-го порядка; она коммутативна (см. схему IX).
А
В
С
А
А
С
В
В
С
В
А
С
В
А .
С
Схема IX
4. Всякая конечная коммутативная и дистрибутивная
группа—нечетного порядка.
Если Аи Л2)... Ап — все элементы такой группы, то (по II)
для всякого Ах имеется такой элемент Лхг^Лх, что АХА\—АХ
(при У.ф\, Х-А1), т. е. все элементы распределяются по парам,
кроме А „т. е. всего их — нечетное число.
5. Существует коммутативная и дистрибутивная группа,
которой порядок—произвольно данное нечетное число N — 2n+ 1.
Такую группу можно конкретно построить следующим обра-
образом: пусть ее элементы —целые числа от 1 до 2п + \: А\ = I;
пусть далее: Лх А Е (п + 1) (•/. + ^) (mod 2я + 1). (Предлагается
проверить, что построенная так группа—действительно дистри-
дистрибутивна).
§ 68. Теорема. Если 21 — подгруппа дистрибутивной группы &,
а Р—любой элемент из &, то 43^%Р тоже подгруппа, про-
просто изоморфная с 21.
Доказательство. Если Ац и А2 — два любых элемента
из 21 и AtA2 = Л3, то по III:
(А,Р)(АгР) = A3PV
155

что и доказывает нашу теорему (если принять еще во внимание
что 91 и 93 одного и того же порядка).
При 91 = 05 получаем: & = ®Р, т. е. &Р дает автоморфизм &
при любом PC®. Пусть А, В два любых элемента из ©; выбе-
выберем Р (по II) так, чтобы было: А = ВР; тогда в автоморфизме
& — &Р элементу В соответствует элемент А. Итак:
Теорема. В дистрибутивной группе существует автоморфизм,
переводящий любой данный элемент ее в любой другой данный
ее элемент; таким образом в дистрибутивной группе нет такого
свойства, которое принадлежало бы одному элементу и не при-
принадлежало остальным: дистрибутивная группа однородна отно-
относительно своих элементов.
Пусть элемент А группы © N-ro порядка входит в h различ-
различных подгрупп v-ro порядка; тогда и всякий элемент из © вхо-
входит в к различных подгрупп v-ro порядка; отсюда следует:
Следствие 1. Если в дистрибутивной группе N-ro порядка
имеется п различных подгрупп v-ro порядка, а каждый элемент
группы входит в h таких подгрупп, то Nh — nt.
Следствие 2. Если в дистрибутивной группе ./V-ro порядка
имеется т изоморфных друг другу подгрупп v-ro порядка, и
каждый элемент группы входит в q таких подгрупп, то Nq=mv.
И здесь число q одно и то же для каждого элемента.
При q—\ имеем: если 91 — одна из подгрупп, то все осталь-
остальные будут: 21Р2, 91Р3)... У-Рт> где Р2, Р3)... Pm — элементы из
данной группы <3. В этом случае каждые две такие группы
совсем не имеют общих элементов, и N = тч, т. е. группы 21,
9IP2>... 91Рт исчерпывают все элементы ©, и мы имеем:
2 + A7)
Теорема. Подгруппы 2t, 91Р2,... 9tPm в A7), рассматриваемые
как элементы, сами образуют дистрибутивную группу Г, причем
Г — v-ступенно-изоморфна с &.
Доказательство. Обозначим: 21РХ = 2lx, 9IA ~ % и пусть
Л, С 91Х, А, С %., тогда АУ.%. и 91ХЛ>. две изоморфные друг другу
группы v-ro порядка, имеющие общий элемент ЛХЛ>., а следо-
следовательно, совпадающие, т. е. Ах 91х = 91Х Ак — %; но это верно
для всякого элемента Л* С91*, т. е. и 91Х %. = 2^; и постулат I
доказан для Г.
Постулат II для группы Щ>. следует из того, что он верен
для элементов Ах. Именно, если дано: 21* 91$ = 91х> причем йс
ищется, то берем элементы Л* (91Х и Л>. (91>. и находим (по II)
элемент X из условия: Лх X = Л;, ; если ХСЩ, то Щ и есть ис-
искомая группа; она единственная, ибо из 81x91$ = 91Х915, следует
для какого-нибудь элемента Ах с 91», что Лх 9k = Аг 91с, а от-
отсюда (по постулату II для группы &): 5Хе = 3=,. Так же доказы
вается и левая сторона постулата II для группы Г.
Для доказательства постулата III возьмем элемент [А*Аг)Ар. —
= (Л-,Л„)(ЛХЛ,); но (Л, Л О Л С (&*%)%, (A*AJ (АЛ») С (91.91,,)
№Я,0; но из того, что группы (StxSU)*^ и (91.91^(91)91^.) имеют
156

общий элемент, — следует, что они одинаковы. Таким образом
теорема доказана.
§ 69. Пусть ® обычная (ассоциативная) абелева группа по-
порядка 2га + 1; «— целое число, выбранное так, что а и а — 1
взаимно просты с 2»+ 1 (например а = 2, или а = га 4-1). Дей-
Действие обычной группы ® обозначим через О- Если А* пробегает
все элементы из ©, то и А* тоже их пробегает. Введем новое
действие (которое мы будем обозначать, как обычное умноже-
умножение) следующим образом:
AtAk~A1OAT.. A8)
Постулаты I и II, очевидно, исполнены для этого нового дей-
действия. Далее имеем:
(А, • Ак) Аг = [А] О А1'*)* О А1~* = А!' О А^ О А*Г;
(А,А,) (AkAt) = (А; О А}-')' О (А\ О.^'" = К О А?*->О А\~\
т. е. для нового действия верен и постулат III. Таким образом
(9 — дистрибутивная группа относительно нового действия, опре-
определенного формулой A8).
Пример 1. Пусть элементы — целые числа по модулю 2п+1,
действие О — сложение. В таком случае наше (дистрибутивное)
действие определяется формулой: АВ^лА -\- A — a)B(mod2n-\-l);
и получаем конечную дистрибутивную группу.
Пример 2. Пусть элементы — все реальные числа, и дей-
действие О—сложение. Дистрибутивное действие определяется
формулой: АВ^>аА-\-(\—а)В; получаем бесконечную Дистри-
Дистрибутивную группу.
Пусть теперь .Я = А, + Аг + ... + Д7 и 58 = В\ +Ва + ... +'Ву.
две совершенно различные дистрибутивные группы, так что эле-
элементы одной из них не имеют ничего общего с элементами
другой. Будем рассматривать систему всевозможных пар: (Аи Вк)
и определим действие над ними следующим образом:
(Ah Bk) (A/, Bi) = (AiA
легко видеть, что эта система пар есть дистрибутивная группа
(порядка pv),—так называемая „группа с двумя индексами". Анало-
Аналогично строится „группа с тремя индексами" и т. п.
Замечание. Если вместо формулы.A8) взять за опреде-
определение нового действия формулу: ¦
где а и р — взаимно простые с 2га -^ 1, то постулаты I — II ока-
оказались бы выполненными; а вместо постулата III имели бы такой
закон.
(AD) (BD) = (АД) (DD), (DA) (DB) = (DD) (АВ);
вообще:

ГЛАВА VII
ДЕЙСТВИЕ НАД п ЭЛЕМЕНТАМИ
ц-группы Дерите1
§ 70. В этой главе мы рассмотрим один специальный тин
групп с действием над га элементами; эти группы являются
непосредственным обобщением обычных (классических) групв
на случай, когда «.действие совершается не над двумя, а сразу
над га(я>2) элементами; эти га-группы, как их назвал Дерите,
определяются следующим образом: га-группа есть конеч-
конечное или бесконечное множество элементов с действием, совер-
совершаемым над всякими п элементами этого множества, взятыми
в определенном порядке. Мы будем обозначать элементы ма-
малыми латинскими буквами, а действие над ними, как обычное
умножение. Для этого^действия верны следующие постулаты:
Р,) Действие однозначно и неограниченно применимо (ко
всяким га взятым в определенном порядке элементам).
Р2) Верен ассоциативный закон, выражаемый формулой:-
(JCj Хл. • ••КП7 -*я t lXni »• • • -*2л—l — Xt. • .JCv(JCv-fl. . .X4i л) Л»+л+1 • • • •*»*—1 —
=я . . . =>Х^. . ,Хп—1 \ХпХп (-1. . .Лзл—1Ч-
Р3) Верен закон однозначной и неограниченной обратимости,
выражаемый следующим образом: в равенстве
каждый |1з элементов хи х.г,... хп при данных остальных и при
данном z всегда существует и однозначно определен.
Здесь га —любое данное натуральное число больше 1. При п «= 2
получаем 2-группу, являющуюся не чем иным, как обычной (клас-
(классической) группой. Введенные постулаты Ри Р8, Р3 незави-
независимы друг от друга. На «группы непосредственно переносятся
понятия: конечной и-бесконечной группы, порядка конечной1
группы, изоморфизма, простого и кратного (гомоморфизма),
автоморфизма. Например, гомоморфизм определяется следую-
следующим образом: группа О гомоморфна группе ©', если каждому
элементу g С © соответствует один, и только один элемент
g't®', причем из gtg,... .gn = g следует g/g,'... gn' = g'; но
элементу из ©' может соответствовать и несколько элементов
William DOrnte: Untersuchungen fiber einen verallgemeinerten Gruppenbe-
griff. 'Mathemaiibhe Zatschrift, bd. 29A928), S. 1—19.
158

из 0$. Гбмоморфизм сводится к расширению понятия о равен-
равенстве элементов в группе &. Для гомоморфизма и изоморфизма
верны законы транзитивности и рефлексивности (см. введение),,
для простого изоморфизма верен и закон симметрии.
Соответственно произведению нескольких сомножителей в
обычных группах, в га-группах рассматривается так называемое
„длинноте произведение" т(т>п) сомножителей, но число т
непременно должно иметь вид: т = га + k{n — 1); илн: т=\
(modra—1), чтобы такое произведение составлялось из несколь-
нескольких произведений по га сомножителей. /
Теорема 1. В произведении т сомножителей [т = 1 (modra—1I
можно п последовательных мЪожителе'й в любом, месте заклю-
заключить в скобки.
Это следует непосредственно из Рг.
Следствие. В произведении т сомножителей [/me I (mod га—1)}
можно в любом месте заключить в скобки г последовательных
множителей (ге,1 (mod га—М)).
Теорема 2. Если
. A)
и bitb^..bt — любые k элементов, щ
bib2...bkxk+i.,.=b}bi...bkyk+l...; B)
подобное же можно заключить, если множители av ait...ak йюят
не слева, а справа.
Доказательство. Пусть т = ] (mod'«—1); по Рг можно
найти такие элементы 5fc)...%mi, чтобы было: ?j?....SmiO1...a4 = ^k; пЪ-
множив теперь обе части A) слева на blbi...bk^\\k..Xm и приняв
во внимание предыдущее следствие, получим B).
По Р3 всегда существует единственное решение уравнения:
это решение х=а назовем косым к а элементом.
Теорема 3. В левой части равенства:
элемент а можно поставить на .любое место.
^Доказательство. Из C) следует: a...a-и а...а= аа...а\по
¦—I «—1 Я
по теореме 1:
отсюда по Ра:
a... a..a—a.
is»

Теорема 4. Для всякого элемента х:
jca...a...a~a... а...ах=х.
п п
Это следует из теорем 3 и 2.
Теорема 5. При га>2 можно при помощи косых элементов
-составить однозначное (по Р3) решение уравнения:
av..x... an—a.
Доказательство. Например, пусть прига=»4 дано:а?л:е=й;
в таком случае: x=bbaadcc (это легко проверяется на основании
теоремы 4).
При га=5, если дано: abxcd=e, то x—bbbaaaedddcc.
Дли любого га х представляется, как произведение (га — 1) х
X (га — 2) + 1 сомножителей. При га=2 теорема не имеет смысла.
Первообразные и производные га-группы
§ 71. Если элементы л-группы & будем перемножать по т
(где /re=l(modn—1)), то © обратится в /и-группу, ибо посту-
постулаты Р1г Ра, Р3 § 70 останутся выполненными. Таким образом
^всякая л-группа порождает 1+k (га — 1)«группы.- Обратно, га-груп-
га-группа иногда может быть образована -цаким образом из „низших"
групп; если я-группа гак образуется из «^группы, то п =
= l+k (га, —1), т. е. «i = H = 1 +вл_ь где 8n-i — делитель
» k
числа га — 1.
Назовем га-группу первообразной, если она не может
быть образована из низших групп; в противном случае назовем
ее производной.
Пример. Три класса вычетов целых чисел по модулю 6,—
именно те, к которым принадлежат 1, 3, 5, образуют 3-группу
относительно сложения. Хотя суммы только двух чисел 1+3,
1+5, 3+5 не принадлежат к этой 3-группе, но все-таки она
производная; она просто изоморфна с 3-группой, образованной
из ^-рруппы всех трех классов чисел по модулю 3 (с действием
сложением).
Следующие две теоремы доказывают существование перво-
первообразных га-групп для всякого целого га>1.
Теорема 1. Числа класса вычетов р по модулю п—1, гДе
(j и п—1 — взаимно простые, образуют первообразную (беско-
(бесконечную) га-группу относительно сложения.
Доказательство. Пусть а1а2...ап — любые числа взятого
класса, т. е. каждое из них ах Ер (mod л—1); тогда:
a1+o2+-+anE«p==p(modra — 1),
т. е. постулат Р^ исполнен. Постулаты Р2 и Р3, очевидно,
исполнены. Пусть1 эта я-группа — производная из /га-группы; т. е.
it)

(m — 1); в таком случае для всякого ее элемента а суще-
существует такой элемент Ь, что:
aba...a—а; т. е.: {[(aba...a)ba...a]...} Ьа...а—а.
Иными словами:
Ьх+а{п — х)~а{тоЛп — 1)
иЛй: Ьх+ах(т—й)=(\; а{М — 2)+ЬвЪ, ибо хфО. Но, с Другой
сторойы: а = 6 = р(Шоа/1 —1),
a(m — 2)+b = (m— 1) p(m,od/i— 1),
т. е.
(/и— l)p = 0(modn— 1),
а так как D(p, п—1) = 1, то, следовательно, т — 1 делится н*
п—1, что невозможно, ибо я>/га>1. Этим теорема 1 до-
доказана.
Теорема 2. Классы по модулю «2 чисел, сравнимых с 1, п+1,
2»+1,...(я— 1)л+1, образуют относительно сложения первообраз-
первообразную (щ\-\)-группу (с п различными элементами).
Доказательство. Пусть ах =r, «4-l(mod«a)(i. = l, 2,...n+\);
тогда:
1
это показывает, что постулат Pt выполнен. Постулаты Р, и Pt
тоже легко проверить. Пусть эта («+1)-группа—производная из
/n-группы in+l=*l-\-x(m—l)\iinvin=x(m — \y, тогда, как и в до-»
кйзательстве предыдущей теореМы, найдем:
х [Ь+{т — 2) a] E 0 (mod n*);
во х(т — 1)=я, следовательно:
л [Ь+(т — 2) a] = qnl(th — 1);
— 2) a**qn(m— 1);
«ри а = 1 получаем, что b+ht — 2 делится на ft; но О^Л —2<
<я—2; &=s/i-f-l (s — целое), следовательно:
sn+1 ^m — 2+6<(s+l)n—1 «**»+»—1;
¦§то показывает, что Ь-\-т — 2 не может делиться иа п, и тео-
теорема .2 доказана.
Теорема 3. я-группа ® тогда, и. только тогда производ-
производная из 2-груипы,. если в ® существует такой элемент г, что
при зЛмене в произведении гг.. г любого сомножителя г на лю-
п
¦бой элемент дс С <3 получим произведение, равное х.
Доказательство. Если данная л-группа © есть произ-
производная из 2-группы, т. е. из обычной группы, то г=Е г— единица
Сушкемч—497— U 161

обычной группы. Обратно, пусть в О исполнено условие, что
г...х...г—х. Определим новое действие — над двумя элементами—»
л
следующий образом:
">~ ar...rb.
Докажем, что относительно этого действия © обычная 2-группа;
действительно, постулаты Рх, Р2, Р3 исполнены для О, что
легко следует из того, что для «-группы онн исполнены. Но»
данная л-группа есть производная от полученной таким образом
2-группы: действительно, по условию: a=rr...a...r; пусть а„ а,...
я
...ая любые -п элементов из ©; имеем:
= ахг... ratr...
a1r..,ra3r...(rran-2 r...
л
Этим теорема 3 доказана.
Подгруппы
§ 72. Совокупность каких-нибудь элементов составляет ком-
комплекс; аналогично тому, как в случае действия над' двумя
элементами, мы и здесь определяем „произведение" комплек-
комплексов,—только это произведение определено для п комплексов;
или вообще для т комплексов, где m=l(mod«—1). Анало-
Аналогично же определяем произведение комплексов и элементов
[только общее число Сомножителей произведения должно быть
всегда вида 1+х(р — 1)].
Комплекс §t элементов данной я-группы ©, составляющий
сам «-группу, называется подгруппой для ©.
Для дальнейшего нам .необходимо следующее обобщение
понятия к'осогр_элемента (§ 70): v-й косой элемент для а есть
такой элемент аD что
аа...аа^ = а, D)
где число сомножителей_в, D) есть 1+v (л —1).
Очевидно, что а{]~> = а; вообще же косые элементы с раз-
разными номерами различны. Существование этих разных косых
элементов для данного элемента а следует из постулата Ръ § 70.
Легко убедиться, что теоремы 3 и 4 § 70* верны и для v-ых ко^
смх элементов (доказательства непосредственна переносятся и
на случай v-ro косого элемента).
162

Теорема. При л>2 комплекс 21 элементов «-группы &
тогда, и только тогда подгруппа для ©, если для 2t исполнены
условия: 1) верен постулат Д (который есть не что иное, как
групповое свойство); 2) вместе со всяким элементом а из Ж в 91
входят также и все косые элементы o(v> для а.
Доказательство. Условие 1) не подлежит сомнению.,
Что же касается условия 2), то его необходимость следует из
самого определения косых элементов a(v) и из постулата:. Р9,
который должен быть исполнен для подгруппы, а достаточ-
достаточность— из теоремы 5 § 70, на основании которой мы може.м
утверждать, что Р3 будет выполнен для ЭД, если при a L 91 и
aCSl. (Постулат же Рг всегда выполнен, так как он — закон
1-го рода,—см. § 20).
Замечание. Всякая я-группе имеет подгруппой самое себя;
может случиться, что, кроме самой себя, «-группа совсем не
имее'т подгрупп. Подобно же две или несколько подгрупп
одной и «той же я-группы могут совсем не иметь общих
элементов. Но если общие элементы у этих подгрупп имеются,
тб, как и в случае я'=2, легко убедиться, что все эти общие
элементы ^образуют я-группу,— пересечение . данных под-
подгрупп. Подобно же для всяког^комплексай элементов п-группыф
имеется содержащая его наименьшая я-группа,— подгруппа для &
(которая может *и совпадать с ®); эта группа обозначается
через {Щ; она порождается комплексом й.
Если я-группа порождает (§ 71) то-группу (т>п), то под-
подгруппы первой являются подгруппами последней* но обратное
не 'всегца имеет место. Подгруппы первообразной группы могут
быть и первообразными, и производными; но и подгруппы
прои?водной грунпы могут оказаться первообразными.
Основная теорема,_Если в произведении аха2...ап один из
сомножителей заменить переменным элементом х и ряд других
последовательных сомножителей av одной и той же под-
гругнюй ф данной л-группы ©, то для различных х два таких
полученных комплекса или тождественны, или не имеют ни од-
одного общего элемента; такие комплексы одной и той же мощ-
мощности и в своей совокупности исчерпывают всю группу ©.
Доказател-ьство. Без ущерба для общности можно по-
положить, что элементы av, которые мы заменим через ф, стоят
в начале; тогда получим комплексы:
относительно которых нам и надо доказать, что они или сов-
совпадают, или не имеют общих элементов. Допустим, что они
имеют один общий элемент:
hK.. ,hka.k\-\.. .атхат+г- fln =
-an. E)
163

Пусть h[, h"v...h'kk любых элементов из ф; найдем цць». .§¦«
(из ф) так, чтобы было gn+i...?nA1...Ak=A^(элементы#*+»>•• .g*
существуют по постулату Я,). Помножив теперь обе части E)
слеэа'на h\ A,'.. .A^_, ft+.-i- • -Зад найдем:
1 А,' А,... h"k titt+i •. • ат-*Я;в+2... аа = А["... А^' a*+i... отулт+г • • • аа, Eа),
где Ai',...Aj' какие-то элементы из ф. Но в левой части Eа)
находится произвольный элемент из комплекса §.. .фа*+1...
...amxam+t...aa, и этот элемент, как показывает Eа), находится
в комплексе ф... &a*+i... атуат+г... аа. Подобно же докажем,
что всякий элемент из последнего комплекса находится в первом,
т. е. эти два комплекса тождественны. Таким образом если эти
комплексы не тождественны, те они не имеют ни одного об-
общего элемента. Но в этом случае между элементами этих
комплексов устанавливается взаимно однозначное соответствие:
элементу А,... hkak -i... amxam+t... ап соответствует элемент
Ах.. .Afcafc+1.. .а„уат^1.. ,аа, т. е. эти комплексы одинаковой мощ-
мощности. Что все они исчерпывают все элементы из ©, следует
из постулата Pt, благодаря которому мы всегда можем Опреде-
Определить х из уравнения: А,.. .Akaft+i.|. атхат+я... an=g, где g дан-
данный элемент из ©.
Заметим, что может случиться, что ни один из таких ком-
комплексов не равен группе $.
Доказанная теорема обобщается на тот случай, когда мы
заменяем через ф два ряда последовательных сомножителей —
по обе стероны от х. В этом случае только два подобны* ком-
комплекса могут и не'быть одной и той же мощности.
Замечание. Можно в произведении al...amxam+l...an и
все сомножители, кроме х, заменить через & (таких комплексов
имеется п типов). В этом случае среди комплексов $...$х$...&
непременно имеется и сама группа ?>. Но эти комплексы не все
одной и той же мощности. Заметим, что при л>2 все такие
комплексы могут быть группами.
Степени элемента
§ 73. Степени элемента о' определяются только для z = 1
(modя — 1). При z>0 а° определяется следующим образом:
, аа. ..а
а~* определяется, как (существующий по />,) элемент, удовле-
удовлетворяющий уравнению:
а-* а. ,.а=а
г+1
(здесь, ведь,—z~\ (mod it—1).
164

Для zsO имеем легко проверяемые формулы:
• • \Лг\Л/ j
П
*, + *.+ . . . rZn
[здесь г* Е 1 (mod «— 1); X = 1, 2, ... п].
(а2')г>-агл.
Из этих формул следует, что все степени одного и того оке
элемента а образуют п-группу {а} („порожденную" элемен-
элементом а).
Для этой группы верен и коммутативный закон: элементы
в произведениях такой я-группы можно всячески переставлять,
и это не меняет значений произведений; такую «-группу на-
назовем абелевою.
Если же для всяких п элементов я-группы мы имеем:
а1а3... пп-i ап = апа.г... ап—\av
то такая п-группа называется полуабелевою.
Может случиться, что различных степеней элемента а — ко-
конечное множество, и они повторяются циклически. Наименьшее
(целое, положительное) число z, для которого
aUz(n-l)=a,
называется порядком элемента а. Если же все степени а
различны, то считается, что а — нулевого порядка. Элементы
1-го порядка назовем идемпотентными. Таких элементов
может в группе совсем не быть. С другой стороны, имеются
группы, состоящие целиком только из идемпотентных элементов.
Инвариантные и полуинвариантные подгруппы
§ 74. Подгруппа & п - группы & инвариантна, если для
всякого элемента х С &:
л$ ...$-$... х ... ф = $ ... $л.
Если же только: x!q ...§=$... &х, то ф — полуинва-
полуинвариантная подгруппа.
Теорема. Если § — полуинвариантная подгруппа для &, то
все комплексы х§ ... ф образуют «-группу. (Если же ф — ин-
инвариантная подгруппа, то эта теорема и подавно верна).
Доказательство. Имеем (по определению полуинвариант-
полуинвариантной подгруппы):
(лг.ф ...$) (х, $...$)...(*„$...$) = (я,*,... Ai.) $ ...&
т. е. Рх исполнено; Р.г вообще верно для комплексов; Р3 вы-
выводится на основании теоремы 2, § 70.
Эта составленная из комплексов «-группа называется до-
дополнительной группой для & относительно $ и обозна-
обозначается:
ад.
Легко видеть, что группа (# гомоморфна группе (В/ф.
165

Теорема. Если произведение п любых комплексов xfe ... $
подгруппы § я-группы & тоже комплекс того же вида, то
4? — полуинвариантная (а в частном случае — и инвариантная)
подгруппа для ®.
Доказательство. Имеем при Л С §:
Следовательно, для всякого х:
но и из формулы (см. теорему 4, § 70) hh ... hz = z (для любого z)
следует: х§ ... § С у$ ... §, т. е. лф ... ф = j/ф ... ф. Таким
образом:
но отсюда (в силу той же теоремы 4, §70) следует:
ф ... &х С хф ... ф,
т. е.
$...$* = *$...?.
Можно доказать, что пересечение полуинвариантных групп
(если оно существует) — тоже полуинвариантная подгруппа;
точно так же и пересечение инвариантных подгрупп — тоже ин-
инвариантная подгруппа. Группа, порождаемая инвариантными'
подгруппами, тоже инвариантная подгруппа, которая есть просто
произведение данных инвариантных подгрупп. Для полуин-
полуинвариантных подгруп эти последние предложения неверны.
„Груды" Прюфера1
§ 75. В заключение скажем еще несколько слов о системах
элементов с действием над тремя элементами, — о так назы-
называемых „грудах" (die Schar), которые ввел Прюфер, как вспо-
вспомогательное понятие, при исследовании бесконечных абелевых
групп. Имея в виду это приложение к теории абелевых групп,
обозначая элементы большими латинскими буквами, Прюфер
обозначает результат действия над элементами А, В, С следую-
следующим образом: АВ~1С, при этом ставит такие постулаты:
I. АВ~Х В = А.
II. Коммутативный закон: АЕГ1С=СЕГгА.
III. Ассоциативный закон: (AB^QD^E = AB~1{CD~1 E).
Отсюда выводим:
(ЛЯ С) D'1 Е = {[А (ВС1 DT1 (ВС-1 D)) В'1 С) D~x E =
= {А (ВС'1 D)'1 [(ВСГ1 D) В -1 С]} • D Е =
1 Heinz Priifer, Theorie der Abeisciien Gruppen. I. Grundeigenschatten, Math.
Zeitschr., Bd. 20 A924), S. 1G5—187.
166

= {А (ВС-1 Dr1 [(DC-1 В) ВТ'С)} ГГ1 Е =
= { Л (BC1D)~1 [ DC1 (ВВГ1 С)]} D'1 Е =
= [А (ВС1 D)-1 (DC1 С)] ?Г1 Е = [ Л (ВС1 D)~l D\ D E
= Л (ВС1 D)-1 (DD-1 Е) = А (ВС1 D)'1 Е
(ибо по II и I АА~Х В = В); таким образом:
1 С)D~XE = A (BC1D)~1 E = АВ'1 (CD^E),
т. е. ассоциативный закон доказан целиком.
Понятие „подгруды" вводится аналогично „подгруппе". Подоб-
Подобно же вводится понятие о „пересечении" нескольких груд, кото-
которое, как легко видеть, тоже составляет груду; вводится понятие
0 груде, „порождаемой" несколькими грудами или отдельными
элементами, понятие изоморфизма.
Дерите (в цитированной уже в § 70 работе) показал, что
груды Прюфера являются частным случаем его «-групп: груда
не что иное, как полуабелева 3-группа, состоящая только из
идемпотентных элементов. В обозначениях Дерите постулаты
1 — III представятся так:
I. abb = a; II. abc — cba; III. (abc) de = ab (cde).
Мы уже выяснили, что из этих постулатов следует ассоциа-
ассоциативный закон; II есть определение полуабелевой группы; наконец,
из I при b = а следует: ааа = а, т. е. а — идемпотентный элемент.
С другой стороны — при наличии ассоциативного закона—II
следует из I, как показал Дерите; именно:
abc = (abc) aa = (abc) (abb) a = (abc) [ab (ccb)] a =
= (abc) [(abc) cb] a = (abc) (abc) (cba) = cba.
Остается еще доказать выполнение постулата Р3 § 70, т. е-
однозначную разрешимость уравнений xab = с, axb = с (что ка-
касается уравнения abx = с, то в силу II оно сводится к xab=c).
Но легко видеть, что решения этих уравнений: cba и acb.
Докажем их однозначность. Пусть xab = yab; тогда:
(xab) ba = (yab) ba, xa(bba)= у a (bba), xaa =yaa, x=y.
Подобно же из axb=ayb следует:
a (axb) b = a (ayb) b, (aax) bb = (aay) bb, aax = aay, x=y.
Непосредственным обобщением „груд" Прюфера являются
полуабелевы я-группы, состоящие только из идемпотентных
элементов.
§ 76. Груды, являющиеся подгрудами данной груды &,
можно „перемножать" по три, перемножая элементы каждой
из трех взятых груд (подобно тому, как в теорий групп пере-
перемножают комплексы); при этом, очевидно, постулаты II и III
сохраняют силу, но постулат I оказывается вообще невыполнен-
невыполненным для перемножения груд; имеем: 5193—Х23 ) 21, но не = St.l
1 Показатель — 1 в среднем сомножителе носит чисто условный характер:
это просто обозначение, которое ввел Прюфер, имея в виду дальнейшее прило-
приложение груд к абелевым группам. Дерите этого обозначения не придерживается.
167

Теорема. Две подгруды 91 и 95 данной груды тогда, и только
тогда имеют общие элементы, если 2193-18 = 9321—х 21.
Доказательство. Пусть D — общий элемент груд % и S3;
легко видеть, что 2Ш21=21, 93D-193 = 95; отсюда имеем:
~'
<Ц) 9395 = 2ВД-195 = 932
Обратно, пусть дано: ЗШ""^ = 93 2Г21; это значит, что между
элементами Ах С 21 и ВА С 93 существуют соотношения следую-
следующего вида: Л1ба-15д = 5^2~M3; но отсюда:
или:
или, наконец:
т. е. это произведение есть общий элемент груд 21 н 93.
Если две груды 21 и 93 удовлетворяют условиям:
9IS3-ii8 = 2t, 959I-19l=S3,
то назовем такие груды сопряженными.1 Всякая груда, очевидно,
сопряжена сама с собой (ибо 2Ш~121 = 21). Две груды, сопря-
сопряженные с третьей, сопряжены и друг с другом.
Пусть, например, 93 и © сопряжены с 21; тогда:
93GT16 = B12Г193) б6 - Я32Г1 Bt(?-16) = 932Г121 - 93;
и так же докажем, что (?93-193= ©, т. е. 93 и 6 сопряжены и
друг с другом.
Теорема 1. Две подгруды 21 и 95 груды (В тогда, и только
тогда сопряжены друг с другом, если в © существуют такие
элементы 21 и 93, что 21 = 2193-1 93.
Доказательство. При выполнении указанного условия для
всяких ЛС21иЯ0С93 следует: АВВ0 С 21, т. е. 91 = Ао (AB-^Bq)-1^
или 21 = А0В0-1(ВД-12П- АДг1^, ибо .ВА-121 =93; а это
показывает, что 91 = ЗШ93. Подобно же выведем, что 95 =
= 3321-1 SL
Обратно, если 21 и 33 сопряжены, то при А С 21, б С 93:
^ХАВГ^ХАВГ^ВА^Щ = 21, т. е. Ч&=АВ~1^3.
Теорема 2. Если 21 - подгруда груды ©, то всякий элемент
PC® содержится в одной, и только в одной груде, сопря-
сопряженной с 21.
Доказательство. При А С 21, Р С РА-Щ; если Р С 911( где
21Х—груда, сопряженная с 2(, то, обозначив РА-Шс^ 91', имеем:
1 У Прюфера „Nebenscharen von einander'.
168

но подобна же докажем, что п%'2Ж1Р
следовательно: $,—$'.
Теорем» 3. Если в произведении груд заменить каждый4
множитель сопряженной с ним грудой, то новое произведение
будет сопряжено со старым.
Это непосредственно..следует, из" теоремы 1.
Тецрема 4. Произведение сопряженных друг с другом груд.
сопряжено с каждым из сомножителей.
Доказательство. Пусть % 95, S сопряженные друг с дру-
другом груды; пусть USB®. Имеем.
этим теорема доказана. '
Из определения сопряженных груд и из предыдущей тео-
теоремы следует:
Все сопряженные друг с другом (сопряженные с подгрудой Ж)
подгруды данной груды © образуют груду. Эта груда назы-
называется дополнительной грудой для 2t в © и обозначается:
Теорема 5. Сопряженные друг с другом груды просто изо-
изоморфны.
Доказательство. Если 31 сопряжена с 95, то по теореме 1:
%
где А, В элементы из ©.
Это показывает, что 21 и S3 имеют одно и то же количество
элементов. Установим теперь такое соответствие между эле-
элементами 21 и 95: пусть элементу А^ С 91 соответствует элемент
АВ~1Ак С 95. Но мы имеем:
(АВ~ХАХ)
= АВГ1{А1А7\(ВА-1А)В-1А9]} -
*^Д АА);
а это показывает, что произведение элементов, соответствукмцих
Л,, А2, Л8, есть элемент, соответствующий произведению А хА?*Аъ-
Связь „груд" с абелевыми группами
§ 77. Всякая обычная абелева группа есть в то же время
я груда, если определим „действие" груды формулой: АВ~~1С,
т. е. если результатом этого действия над элементами Л, В, С
будем считать элемент, который получится, если мы А помно-
помножим (причем это „умножение" есть действие нашей обычной
группы) на элемент, обратный к В, и полученное произведение
помножим на С. (Имея в виду эту „конкретизацию" груд, Прюфер
169

и ввел, показатель —1 АИ* среднего элемента). Пусть ® —
щаша абелева группа, котбрую мы, таким образом, обратили
в груду; очевидно, что всякая подгруппа для О будет и под-
грудою, но не обратно; здесь имеется такая теорема:
Теорема 1. Подгруда 2t абелевой группы (В тогда, и только
тстда является и подгруппой, если содержит единичный эле-
элемент Е.
Доказательство. Что наличие Е необходимо, это
очевидно. Обратно, пусть 2t —подгруда, содержащая Е; если А
и В два любых элемента из Я, то в 2t содержится и элемент:
АЕ~1В = АЕВ = АВ,
и элемент.
БА~1Е=А~\
следовательно, 2t — группа.
Теорема 2. Если St —любая подгруда абелевой группы &,
то в © имеется одна и только одна подгруда 95, сопряженная
¦с % и содержащая Е, т. е. являющаяся и подгруппой.
Доказательство. Это следует непосредственно из тео-
теоремы 2, § 76
Следствие. Все подгруды абелевой группы © являются
«ли i/одгруппами ©, или комплексами, на которые распадается ©
по какой-нибудь подгруппе; обратно, всякий такой комплекс
-есть подгруда для 4S.
Нам требуется доказать только последнюю часть- пусть Я—
подгруппа для ©; а Р—любой элемент из C, докажем, что ш>
груда; но это следует из того, что (при Ax,-Av Аъ из 2t):
(А.Р) (ЛаР)-1 (А3Р) = А,РР-{Аг1АъР = (ЛИ,-1 А.) Р С ЯР.
Пусть теперь © — данная груда; пусть ? —какой-нибудь
«з^е? элементов. Определим в © новое действие (которое обо-
обозначим просго точкой) — над двумя элементами следующим
образом:
а-Встает1 в F)
для всяких двух элементов А, В из @. Легко видеть, что
относительно этого нового действия © — абелева группа. Дей-
Действительно, Ерупповбе свойство исполнено, ассоциативный закон
вытекает из III и F)т коммутативный закон следует из. II и F);
из (Ъ) и I при В = Е следует, что Е—единица группы; наконец,
существование Обратных элементов следует из того, что 'для
труды верен закон неограниченной обратимости (см. конец § 75).
Если мы в определении F) выберем вместо Е другой какой-
либо «элемент FC&, т. е. определим новое действие О фор-
формулой:
, (ба)
то '& обратится в абелеву группу © (О), которая просто изо-
изоморфна группа -® г.); действительно, порядки их одинаковы,
между их элементами можно установить -такое соответствие:
Л70

пусть элементу А из (® (•)) соответствует элемент FE~XA (hs
"® (О)); в таком случае элементу В соответствует элемент
FE~lB; но мы имеем по Fа) и по F).
(FЕ~гА) О (FET^B) = FET1 (A^F) ЕГХВ =
= FET1 (АЕГ%В) = FE-1 (А • В)-,
а это говорит, что элемент, соответствующий произведению
А В, равен .произведению соответствующих элементов, т. е.
это соответствие есть изоморфизм.
Основная теорема. Всякая абелева группа „порождает" одну,
я только одну груду, и обратно, всякая груда „порождает"
одну, и только одну абелеву группу.
Эта, теорема дает способ нахождения всех типов груд, если
известны все типы абелевых групп.
Обобщение „груд4 Бера
§ 78. Р. Бер обобщил понятие груды следующим образрм.1
Пусть & — любая, обычная (вообще—'не абелева) группа.
Часть ее © тогда, и только тогда есть груда, если вместе
с элементами А, В,- С © содержит и АВ~1С. Легко видеть, что
здесь верны постулаты I и III § 75, но неверен постулат II;
подобно же, вообще:
(АВ~1С) О-'ЕфА (ВСГ1О)-1Е.
Но теоремы 1 и 2 ^ 77 здесь верны, именно:
Теорема \,- Груда © з (обычно^) группе © тогда, и только
тогда подгруппа для ®, если содержит единичный элемент Е.
Теорема 2. Комплекс <3 элементов из (8 тогда, и только
тогда груда, если он или подгруппа, или один из комплексов,
на которые раСпадэется (8 по некоторой подгруппе @„ взятой
справа, или слева.
Доказательство. Если @—подгруппа, то она содер-
содержит Е; обратно, если <3 — груда, содержащая Е, и А и В два
любых элемента из <3, то @ содержит и элемент: AE~1B = ABt
и ЕА~*Е = А~'; следовательно,® — группа, и теорема 1 доказана.
Пусть @ = @jP приР'С® (@i—подгруппа для О); пусть
А, В, С три любых элемента из ®v т. ?. АР, ВР, СР любые
элементы из <3; тогда:
(АР) (ВР)-* (СР) = АРР~1В-1СР = (АВ-'С) Р С @,
т. е. © — груда. Подобно же рассуждаем, когда <B = t
Обратно, пусть © — груда, и Р — любой элемент из @; тогда
всякий элемент Q из © представляется в виде:
1 Reinhold Baer, Zur Einfuhrung des Scharbegriffs. Journ. Crelle, Bd. 160
<1929), S. 199-207.

Обозначим через ©t совокупность таких элементов QP—1^ A
я докажем, что ©j— группа. Действительно, если QP~lc=^Av то
AA^iQP-'CDP-1 то*е из ©u ибо QP~1Qi С©.
Далее, РР~1 = Е С @i и так как ©л тоже груда (ибо, ведь, при
А, А„ At из ©t и AA^A^QP^PQ^QtP-^iQQr'OJP-1
тоже принадлежит-к ©,), то по теореме 1 ваключаем> что ©i—
группа, но 6 = ©^, и теорема 2 доказана.
И здесь определяются сопряженные груды, только следует
различать сопряженные справа и сопряженные слева. •
©х и @а сопряжены справа, если @|@,-1©2 = @4 или
©262~1©1 = ©1; ©j и ©, сопряжены слева, если ©jSr®^©*
или ©!©—1©2 = ©]. Легко видеть, что @, и @г сопряжены справа
тогда, и только тогда, если ©1 = @2Л, ба = @1А--1) а слева —
тогда и только тогда, если @ = Д@„ ©а=Л-1@|. Определим, на-
наконец, общий случай сопряжения: @х и @2 сопряжены (вообще)^
если ©t = Л@85, где Л, В некоторые элементы из (8. Легко ви-
видеть, что, если @8—груда, то и А<&2В при всяких, А и 5 из ©
тоже груда. Таким образом совокупность всех взаимно сопря-
сопряженных груд — не что иное, как совокупность комплексов, на
которые распадется группа (8 по какой-нибудь своей под-
подгруппе 6 и по всем подгруппам, сопряженным с @, взятым
справа и слева. А отсюда следует (см. § 60);
Совокупность всех взаимно сопряженных груд составляет
группоид; совокупность всех взаимно сопряженных справа груД
составляет смешанную группу; совокупность всех взаимно ^ со-
сопряженных слева груд составляет смешанную антигруппу. Из
этих трех совокупностей последние две содержатся в первой»
Все три совокупности совпадают н образуют обычную группу,
если груда, содержащая Е — инвариантная подгруппа для (8.
К обобщенным грудам Бера можно щричислить и „бригады",
рассматриваемые СоггаГем, „бригадою" • Co/ral называет сово-
совокупность подстановок п символов, имеющую то свойство, что,
если А, В, С три любые (не непременно различные) подстанрвки
этой совокупности, то к ней же принадлежит и подстановка
ABC (в случае так называемой „совершенной" бригады), или
Подстановка АВ~1С (в случае „несовершенной" бригады).
(См. список литературы, № 35),

ЛИТЕРАТУРА
1. ReinholdBaer. Zur Einordnung der Theorie der Mischgrappen in die
¦Gruppetitheorle. Sltzungsber. der Heidelberg. Ak. d. Wiss., Math.-nat. Kb, 1928,
4-te Abb.. [К гл. V].
2. Reinhold Baer. Zur Elnfuhrung des Scharbegriffs. Journ. Crelle, Bd. 160,
A929), S. 199-207. [К гл. VII].
3. R. Baer u nd F. Lewi. Vollst5ndfge irreduzlbele Systeme von Gruppenaxi-
«men. Sitzungsber. der Heidelb. Ak.d. Wlss., Math.-nat. KL, 1932.2Abh. [Кгл.IV].
4. H. Brandt. t)ber eine Veraligemeinerung des Gruppenbegriffs. Mathem.
Annalen. Bd. 96 A926), S. 360 366. [К гл. V].
5. С. Burs tin und W. Mayer. Distributive Gruppen von endllcher Ord-
nung. Jounu Crelle, Bd. 160 A929), S. 111-130. [К гл. VI].
¦ 6. L. E. В1 с kson. Definitions of a group and a field by Independent postu-
postulates. Transact, of the Amer. Math. Soc,, vol. 6 A905),,p. 198—204. [К гл. IV].
7. L. E. Dickson. On semigroups'" and the general isomorphism between
infinite groups. Transact, of the Amer. Math. Soc., vol. 6 A905), p. 205 — 208.
,{k гл. IV].
8. W i I h e I m D б r n t e. Untersuchungen fiber einen verallgemeinerten Griip-
penbegriff. Mathem. Zeyschr., Bd. 29 A928), S. 1 — 19. [К гл. Vil].
9. G. F г о b e n i u s. Ober endliche Gruppen. Sitzungsber. d. Berl. Ak., 1895,
S. 163. IK гл. III].
10. A. Haar. Ober unendllche kommutative Gruppen, Math. Zeltschr., Bd. 33
1931), S. 129-159. [К гл. I].
11. E. V. Hun ting ton. Note on the definition of abstract groups and
fields by sets of inde endent postulates. Transact, of the Amer. Math. Soc, vol. 6
A905), p. 181—197. [К гл. III].
12. L. Kronecker. Bemerkungen zur Determinantentheorie. Werke, Bd. I,
S. 237. [К гл. I].
13. Alfred Loewy. Ober abstrakt definlerte Transmutationssysteme oder
Misch*>ruppen. Journ. Crelle, Bd. 157A927), S. 239—254. [К гл. 1, V].
14. E. H. Moore A definition of abstract groups. Transact, of the Amer.
Math. Soc, vol. 3 A902), p. 485-492. IK гл. Ч11].
15. Heinz Prflf er. Theorie der Abelschen Gruppen. I. Grundeigenschaften.
Math. Zeitschr., Bd. 20 A924), S. 165-187., [К гл. VII].
16 Herbert Rauter. Abstrakte• Kompositionssysteme oder Obergruppen.
Journ. Crelle, Bd 159 П9281, S. 229—237. [К гл. Vf.
17. F. K. Schmidt. Bemerkungen zuar^Brandtschen Gruppoid. Sltzungsber.
der Heidelberg. Ak. der Wiss., Math.-nat. Kl., 1927, 8-te Abh. „Beitrage zur Al-
Algebra', S. 91-103. [К гл. V]. -
18? J. A. de Segui er. Elements de la theorie des groupes abstraits. Paris,
1904. [К гл. II, IV]. ч
19. А. К. С у ш кевич. Теория действия, как общая теория групп. Воро-
Воронеж, 1?22 (литогр.). [К гл. I, II, Ш, VI].
20. A Suschkewitsch. Ober die end lichen Gruppen ohne das Gesetz der
-eindeutlgen Umkehrbarkeit. Math. Ann., Bd. 99^1928); S. 30-50. [К гл. Ш].
21. A.. Suschkewitsch. Ober die Darstelliftig der eindeutig nicht umkehr-
baren Gruppen mittelst der verallgemeinerten Substitutionen. Матем. сборн. т. 33
A926), стр. 371—373. {К гл. 111].
22. Д Suschkewitsch. Sur quelques cas des groupes finis sans la loi de
J'invcrsion univoque. Сообщения Харьк. мат. о-ва, сер. 4, т. 1 A927), стр. 17—24.
|К гл. Ш].
173

23. A. Suschkewitsch. Untersuchungen fiber veraHgemeinerte Subsiitutio-
неп. Atti dei Congresso Iniemaz. del Matem., t. JJ, bologna, 1928, p, 147—157.
' IK гл. I, III]. 7 '
24. A. Susch'ke wl tsch. liber die Matrizendarstellung der verallgemeinef-
ten Gruppen Записки Харк. мат. т-ва, сер. 4, т. 6 A933), стр. 27—38. [К гл. I, Ш]_
25. A. S u s chke wi t sch. On a generalization of the associative law. Trans-
Transact, of the Amer. Math. Soc, vol. 31 A929), p. 204-2^4. [К гл. VI].
26. A. S uschke wi t sch. Ober Semigruppen. • Записки Харк. мат. f-ва,
сер. 4. т. 8 A934), стр. 25—27. [К гл. IV].
- 27. A. S цэ ch ke wi tsch. Ober den-Zusammenhang der Rauterschen ftber-
gruppe mlt den gewbhnlichen Gruppen. Math, ^eitschr. Bd. 38 A934), S. 643-649'
IK гл. V].
28. A. Suschke wi ts с h. Uber einen merkwurdlgen Typus der verallgemeb
nerten unendlichen Gruppen. Записки Харк. мат. т-ва, сер. 4, т. 9 A934),
.стр. 39-44. [К гл. I, V].
39. A. S u s с h k e w i t s с h. Ober eine Verallgemeinerung, der Seraigruppen.
Записки Харк.' мат. т-ьа, сер. 4, т. 12 A935); стр. 89—97. [К гл. IV]."
30. А. К. Сушке в ил. Про потирення~Швгрупи до Шло! групи. Записки
Харк. мат. т-ва, сер. 4, т. 12 A935), стор. 81—87. [К гл. IV]:
31..А. К. Сушкевич. Про деяк! властивост! одного типу узагальнених.
груп. Учеш Записки Харк. держ. ун1вер. за 1935 р., № 2 — 3, crop. 23—25.
[К гл. IV].
32. A. Su sch ke wi ts ch. Sur quelques proprletes des serfiigroupes generali-
generalises. Записки и. д. 1н-ту матем. й мех. при "ХДУ та Харк. мат. т-ва, сер. 4, т. 13:
A936), вип. 1, стор. 29—33. [К гл. IV].
33. Anton Vakselj. Eine neue Form der Gruppenpostulate und eine Er-..
weiterung des Gruppenbegriffes. Publ. Math. Univ. Belgrade, 3 A934), p. 195—211.
[К гл. II, V].
34. Morgan Ward. Postulates for the inverse operations in a group. Transr
act. of the Amer. Math. Soc, vol., 32 A930), p. 520-526 [К гл. VI].
35. Jose Isaac Corral. Brigades de sustituciones. Primera parte. Habana>.
1934 A23 p.). Parte sequnda. Toledo, 1935 B28 p.). [К гл. VII].

О ГЛАВЛЕНИЕ
CTJK.
От автора . . • • *
Введение •<¦ 5-
Глава I. Действия с одним элементом
§ 1. Подстановки .'...' ft
§ 2. Разложение иа циклы 10
§ 3. Группы и подгруппы ............ 12
§ 4. Повторение действия; род, порядок 13
"§ 5. Композиция подстановок 14
§ 6. Трансмутации ¦ 15
§ 7. Подстановки с исчислимым множеством элементов 16\
§ 8. Геометрические преобразования 19
§ 9. .Линейные подстановки; матрицы 20
§10. Композиция преобразований и матриц 23
§11..Теоремы о матрицах * - 24
§ 12. Бесконечные матрицы. Интегральные уравнения 28'
Глава П. Действия с двумя элементами
§ 13. Определения. Групповое свойство. Группа. . . /. 31
§14. Стр\Ктура группы, таблица Кели 33
§ 15. Зависимость и независимость элементов 34
§16. Генераторы; основные соотношения 35
§ Г7. Подгруппы 36
§ 18. Изоморфизм и автоморфизм 37
§ 19. Степени элемента 38
§20. Анализ общих законов действия 39
§21—22. Главнейшие законы действия и их обобщения 2
Глава III. Конечные группы без закона однозначной обратимости
§23 — 24. Группы с односторонним законом однозначной обратимости ... 47
§25-~23. Группа-ядро ......." 51
§27г-28. Некоторые теоремы о группах без закона однозначной 'обрати-
'обратимости 59
§29. „Сложение" обычных групп (. 63
§30 — 32. Представление групп рассматриваемого типа посредством обоб-
обобщенных подстановок « ч 65
§33 — 34. Группы об^щенных подстановок \ 72
§35 — 38. Представление групп посредством особенных матриц . • . . . 76
Глава IV. Бесконечные группы без закона неограниченной
обратимости .
§39—41- Обычные полугруппы ' 85
§42. Односторонние полугруппы 94
§43. Односторонние группы 97
§44 — 41 Некоторые типы обобщенных полугрупп из матриц ....... 98
§47. Обобщение непрерывных групп . . . 103
§48 — 50. Специальный тип обобщенной группы 106
175

Глава V. Группы, стоящие в.связи с предыдущими
¦§51. Сверхгруппа Раутера. . г. 112
-§52. Связь сверхгруппы с обычными группами 1D
§53. Обобщенная группа Вакселя 118
-§ 54. Смешанная группа А. Леви 120
iJ55. Группоид Брандта ...... 122
§ 56. Связь смешанной группы с группоидом 125
§57. Связь группоида и смешанной группы с группами без закона одно-
однозначной обратимости 128
§58- Представление смешанной группы и группоида при помощи трансму-
трансмутаций 129
§59. Разложение обобщенных подстановок на трансмутации 131
¦§60. Связь смешанной группы и группоида с обычными группами 132,
§61. Представление смешанной группы и группоида посредством матриц. 135
Глава VI. Иные типы обобщенных групп
-§62. Неассоциативные группы • 141
§63. Степени элемента 145
§64. Группы с постулатом. В 148
-§65 — 66. Группы, „обратные" к обычным 149
-§67— 69. Дистрибутивные группы Бурстииа и Майера 154
Глава VII. Действие иад л элементами
>70. л-группы Дерите 158
}71. Первообразные и производные л-группы 160
>72. Подгруппы . 162
>73. Степени элемента 164
;74. Инвариантные и полуиивариантные подгруппы 16$
j 75 — 76. „Груды* Прюфера 166
§77. Связь .груд" с абелевыми группами 169
§78. Обобщение „груд" Бера : .'.... 171
Литература . 173
ДНТВУ. Сдано в набор 9/IX 1936 г. Подписано к печати 6/XII 1936 г. Формат
|умаги »/м 62*94 см. Вес метр, стопы. 38 кг. Нд печатном листе 48000 знаков.