Author: Курош А.Г.  

Tags: алгебра   общая алгебра  

ISBN: 978-5-8114-0617-3

Year: 2007

Text
                    ЛУЧШИЕ КЛАССИЧЕСКИЕ УЧЕБНИКИ
МАТЕМАТИКА
А. Г. КУРОШ
ЛЕКЦИИ
ПО ОБЩЕЙ
АЛГЕБРЕ
УЧЕБНИК
Издание второе,
стереотипное
TL
ЛАНЬта
Санкт-Петербург · Москва · Краснодар
2007


ББК 22.144 К 93 Курош А. Г. К 93 Лекции по общей алгебре: Учебник. 2-е изд., стер. — СПб.: Издательство «Лань», 2007. — 560 с. — (Учебники для вузов. Специальная литература). ISBN 978-5-8114-0617-3 В настоящем издании впервые объединены две книги одного из крупнейших алгебраистов XX в. А. Г. Куроша (1908-1971): «Лекции по общей алгебре» и «Общая алгебра. Лекции 1969-1970 учебного года». Первая из этих книг выходила в 1962 и 1973 гг., неоднократно переводилась на иностранные языки. Вторая была издана в 1970 г. в МГУ (ротапринтным способом), а затем в 1974 г. Автор намеревался объединить два упомянутых учебника в один. К сожалению, при его жизни этот замысел не был осуществлен. В учебнике освещаются, в частности, следующие вопросы: частично упорядоченные множества и аксиома выбора, группы, полугруппы и инверсные полугруппы, квазигруппы и лупы, кольцоиды, полугруды, ассоциативные и неассоциативные кольца, универсальные алгебры, группы с мультиоператорами, структуры, модули, линейные алгебры, упорядоченные и топологические группы и кольца, нормированные и дифференциальные кольца. Как и другие известные учебники А. Г. Куроша («Курс высшей алгебры», «Теория групп»), книгу отличает ясность изложения материала. Для студентов математических специальностей и научных работников. ББК 22.144 Обложка С. ШАПИРО, А. ЛАПШИН Охраняется Законом РФ об авторском праве. Воспроизведение всей книги или любой ее части запрещается без письменного разрешения издателя. Любые попытки нарушения закона будут преследоваться в судебном порядке. © Издательство «Лань», 2007 © А. Г. Курош, наследники, 2007 © Издательство «Лань», художественное оформление, 2007
ОГЛАВЛЕНИЕ От редактора 5 Предисловие 7 Глава первая. Отношения 11 § 1. Множества 11 § 2. Бинарные отношения 14 § 3. Отношения эквивалентности 17 § 4. Частичная упорядоченность 20 § 5. Условие минимальности 23 § 6. Теоремы, равносильные аксиоме выбора 28 Глава вторая. Группы и кольца 33 § 1. Группоиды, полугруппы, группы 33 § 2. Кольца, тела, поля 39 § 3. Подгруппы, подкольца 47 § 4. Изоморфизм 52 § 5. Вложение полугрупп в группы и колец в тела .... 58 § 6. Неассоциативные тела, квазигруппы. Изотопия ... 66 § 7. Нормальные делители, идеалы 72 § 8. Гауссовы полугруппы 81 § 9. Гауссовы кольца 89 § 10. Дедекиндовы кольца 97 Глава третья. Универсальные алгебры. Группы с мультиоператорами 107 § 1. Универсальные алгебры. Гомоморфизмы 107 § 2. Группы с мультиоператорами 114 § 3. Автоморфизмы, эндоморфизмы. Поле р-адических чисел 125 § 4. Нормальные и композиционные ряды 136 § 5. Абелевы, нильпотентные и разрешимые Ω-группы 142 § 6. Примитивные классы универсальных алгебр .... 150 § 7. Свободные универсальные алгебры 154 § 8. Свободные произведения групп 165 Глава четвертая. Структуры 178 § 1. Структуры, полные структуры 178 § 2. Дедекиндовы структуры 187 § 3. Прямые объединения. Теорема Шмидта-Орэ 195 § 4. Прямые разложения Ω-групп 204 § 5. Полные прямые суммы универсальных алгебр . . . 209 § 6. Дистрибутивные структуры 214 Глава пятая. Операторы групп и кольца. Модули. Линейные алгебры 220 § 1. Операторные группы и кольца 220
§ 2. Свободные модули. Абелевы группы 228 § 3. Векторные пространства над телами 236 § 4. Кольца линейных преобразований 241 § 5. Простые кольца. Теорема Джекобсона 248 § 6. Линейные алгебры. Алгебра кватернионов и алгебра Кэли 255 § 7. Альтернативные кольца. Теорема Артина 264 § 8. Обобщенная теорема Фробениуса 270 § 9. Теорема Биркгофа-Витта о лиевых алгебрах .... 279 § 10. Дифференцирования. Дифференциальные кольца 286 Глава шестая. Упорядоченные и топологические группы и кольца. Нормированные кольца 293 § 1. Упорядоченные группы 293 § 2. Упорядоченные кольца 300 § 3. Архимедовы группы и кольца 307 § 4. Нормированные кольца 315 § 5. Логарифмические нормирования полей 321 § 6. Теорема Алберта о нормированных алгебрах .... 327 § 7. Замыкания. Топологические пространства 334 § 8. Частные типы топологических пространств 342 § 9. Топологические группы 347 § 10. Связь топологии и нормирования в кольцах и телах 354 § 11. Соответствия Галуа. Основная теорема теории Галуа 363 Указатель литературы 372 Предметный указатель 392 Лекции 1969-1970 учебного года 399 Предисловие редактора 400 Введение 402 § 1. Универсальные алгебры 408 § 2. Группы 414 § 3. Полугруппы 417 § 4. Инверсные полугруппы 421 § 5. Полугруды 431 § 6. Квазигруппы и лупы 436 § 7. Муфанговы лупы 442 § 8. д-группы 448 § 9. Ассоциативные кольца 453 § 10. Неассоциативные кольца 460 § 11. Группы с операторами. Модули 468 § 12. Представления универсальных алгебр в полугруппах 475 § 13. Универсальные алгебры с операторами Дифференциальные кольца. Линейные алгебры. Мультиоператорные группы, кольца и линейные алгебры 478 § 14. Абелевы алгебры 484 § 15. Кольцоиды 490 § 16. Структуры 495 § 17. Полные структуры. Соответствия универсальных алгебр 503 § 18. Конгруенции 511 Литература 516 Предметный указатель 553
ОТ РЕДАКТОРА Вышедшие β 1962 году своим первым изданием «Лекции по общей алгебре» А. Г. Куроша подводили итог громадной работы одного из крупнейших современных алгебраистов по пропаганде идей и методов абстрактной, теоретико-множественной («общей», как любил говорить А. Г. Курош) алгебры среди широких кругов математиков. Книга сразу стала библиографической редкостью. Ее автор в последние годы своей жизни мечтал о широком пополнении книги. Об этом говорится*в введении к ротапринтному изданию Московского университета «А. Г. Курош. Общая алгебра (лекции 1969/70 учебного года). Москва—1970» его автором следующее: «В 1962 г. вышла из печати моя книга «Лекции по общей алгебре», позже появились ее переводы на английский, немецкий, французский, польский, чешский, японский и китайский языки. Настоящий курс не опирается на эту книгу и имеет с нею сравнительно немного перекрытий, хотя идейно к ней весьма близок. Надеюсь, что в будущем я смогу объединить материал этой книги и этого курса в одну новую книгу». К сожалению, этому не суждено было сбыться... Настоящее издание книги было предпринято уже после ухода ее автора из жизни (Александр Геннадиевич Курош скончался 18 мая 1971 года). Оно полностью воспроизводит, без каких-либо существенных изменений, текст первого издания; исправлены лишь отдельные неточности и опечатки. Однако, в интересах читателя, широко пополнен «Указатель литературы», помещенный в конце книги. За последние 10 лет бурное развитие общей алгебры сопровождалось еще более бурно возраставшим потоком книг по алгебре во всем мире. Положение сложилось таким, что пришлось почти полностью отказаться от дополнительного включения в «Указатель»
6 ОТ РЕДАКТОРА журнальных статей (даже и обзорного характера), а также книг ротапринтного и препринтного изданий. (Некоторое предпочтение в этом отношении дано лишь двум направлениям в алгебре, особенно увлекшим А. Г. Куроша в последние годы его жизни,— теории категорий и теории универсальных алгебр.) Правда, в значительной степени этот урон компенсируется перечислением в «Указателе» всех обзоров по алгебре, вышедших в серии сборников «Итоги науки, ВИНИТИ АН СССР», каждый из которых снабжен весьма подробной библиографией. Наконец, в интересах прежде всего более молодых читателей книги, в «Указатель литературы» включено несколько книг по теории множеств, математической логике и топологии, а также по некоторым приложениям алгебры. О. И. Головин
ПРЕДИСЛОВИЕ На рубеже двадцатых и тридцатых годов нашего века широкие круги математиков обнаружили, что в алгебре, одной из старейших ветвей математики, произошла радикальная перестройка. Эта перестройка, а именно превращение алгебры в теоретико-множественную, аксиоматическую науку, имеющую основным объектом изучения алгебраические операции, производимые над элементами произвольной природы, была подготовлена, конечно, всем предшествующим развитием алгебры. Началась она еще в конце девятнадцатого века, продолжалась, постепенно усиливаясь, в первых десятилетиях двадцатого века, но лишь выход в 1930 и 1931 гг. двухтомной «Современной алгебры» Ван-дер-Вардена сделал идеи, результаты и методы этой «новой» алгебры доступными всем математикам-неалгебраистам. Общеизвестно, сколь значительным, а иногда и решающим, было в дальнейшем влияние этой современной алгебры на развитие многих областей математики, из которых в первую очередь назовем топологию и функциональный анализ. Одновременно в последние три десятилетия продолжалось интенсивное и даже бурное развитие самой алгебры, обнаружились ее многочисленные новые связи со смежными разделами науки, и в результате лицо современной или, как мы предпочитаем говорить, общей алгебры стало сейчас совсем иным, чем оно было тридцать лет тому назад. За эти десятилетия весьма далеко идущее развитие испытали те более старые ветви общей алгебры — теория полей и теория ассоциативных и ассоциативно-коммутативных колец, — которым была в основном посвящена книга Ван-дер-Вардена. Еще более решительной была перестройка теории групп, старейшей среди всех ветвей общей алгебры. Вместе с тем теория колец в значительной мере стала сейчас теорией неассоциативных колец, включающей в себя в качестве составной
8 ПРЕДИСЛОВИЕ части теорию лиевых колец и алгебр. Возникла и заняла весьма заметное место топологическая алгебра, развилась параллельная ей теория упорядоченных алгебраических образований. Появилась и быстро развилась теория структур, в самые последние годы возникла параллельная ей теория категорий, имеющая, несомненно, очень большое будущее. В рамках классических разделов общей алгебры оформились такие самостоятельные направления, как гомологическая алгебра, уже нашедшая многочисленные выходы в топологию и алгебраическую геометрию, проективная алгебра, включившая в себя основное содержание проективной геометрии, и дифференциальная алгебра, открывающая общей алгебре непосредственные выходы в теорию дифференциальных уравнений. Теории полугрупп и квазигрупп перестали быть просто теориями «обобщенных» групп и нашли собственные пути развития и собственные области приложений. Возникла, наконец, общая теория универсальных алгебр и еще более общая, переплетающаяся с математической логикой, теория моделей. Казалось бы, что основные идеи и важнейшие результаты, накопленные к настоящему времени общей алгеброй, должны были бы в той же мере входить в научный багаж всякого культурного математика, как это было в тридцатых годах, когда экзамен по современной алгебре сдавался большинством аспирантов-математиков. На самом деле, однако, это далеко не так — знакомство широких кругов математиков с достижениями общей алгебры остается сейчас в значительной мере на уровне начала тридцатых годов. Причину этого указать легко. Основным пособием, по которому молодые математики изучают общую алгебру, у нас остается книга Ван-дер-Вардена, хотя эта книга, безусловно замечательная и сыгравшая в истории математики двадцатого века выдающуюся роль, уже так далека от современного состояния алгебры, что сам автор, выпуская ее четвертое издание, назвал ее просто «Алгеброй». В зарубежной литературе имеются и другие книги, более свежие. Некоторые из них, несколько модернизируя материал, изложенный в книге Ван-дер-Вардена, в основном дополняют и развивают его в сторону личных научных интересов автора. Получаются полезные книги, не дающие, однако, правильного представления о современном состоянии общей алгебры. Кроме того, это обычно книги большого объема, адресующиеся скорее к алгебраистам, чем к математикам всех специальное-
ПРЕДИСЛОВИЕ 9 тей. Книги другого типа представляют собой по существу свод основных алгебраических понятий и их простейших свойств. Полезные в качестве справочных пособий, такие книги не дают читателю возможности почувствовать "все своеобразие и глубину" современной алгебраической науки— самые глубокие и самые значительные результаты в них или отсутствуют совсем, или же формулируются среди упражнений. Для того, чтобы показать математикам современное лицо общей алгебры, более подошла бы книга иного характера. Не очень большая по объему, она должна была бы адресоваться к читателю, владеющему университетским курсом высшей алгебры и желающему пополнить свое алгебраическое образование, но, быть может, не предполагающему выбирать алгебру своей научной специальностью. Этим не исключается, конечно, возможность того, что и алгебраист в вопросах, далеких от своих специальных интересов, мог бы найти в этой книге кое-что для себя полезное. Эта книга не должна и не могла бы заменить монографий по отдельным разделам общей алгебры. Не должна она быть и коллекцией вводных глав из этих монографий. Задачей книги был бы показ основных разделов современной общей алгебры, преимущественно в их взаимной связи, причем изложение доводилось бы до отдельных глубоких теорем и нацеливалось бы на эти теоремы. Отбор весьма небольшого числа таких теорем в каждом из основных разделов общей алгебры неизбежно определялся бы субъективными оценками автора книги. Сами эти теоремы вовсе не должны были бы излагаться в наибольшей общности, достигнутой к настоящему времени. Содержание этой книги было бы, понятно, весьма мозаичным, и читателю пришлось бы, следуя за автором, иногда в пределах одного параграфа переходить из одной ветви общей алгебры в другую. Разбивка материала на главы была бы столь условной, что о схеме зависимости глав не могло бы быть речи. О желательности появления книги такого характера мне привелось говорить в 1951 г. на Всесоюзном совещании по алгебре и теории чисел (см. Успехи матем. наук 7:3 (1952), стр. 167), а писать ее я начал в 1956 г. За четыре года, прошедших с этого времени, работа над книгой неоднократно прерывалась и возобновлялась, план книги много раз менялся, многие параграфы писались по нескольку раз, написанный
10 ПРЕДИСЛОВИЕ материал переставлялся, переделывался, выбрасывался. Иными словами, работа приобретала такой характер, что все чаще и чаще приходилось вспоминать новеллу Бальзака «Неведомый шедевр».'.. Было разумно поэтому завершить работу, не стремясь довести книгу до того состояния, которое соответствовало бы изложенной выше программе. Читатель без труда обнаружит, в чем именно книга отступает от этой программы. Замечу, что название книги полностью оправдывается тем, что в основе ее лежат три больших специальных курса по общей алгебре, прочитанные мною за последние десять лет в Московском университете. В книгу местами включены формулировки некоторых результатов, в самой книге не доказываемых и не используемых. Предполагается, что эти формулировки, выделенные из общего текста звездочками, читателем не будут пропускаться. Вряд ли нужно специально подчеркивать, что включение в книгу этих дополнительных указаний не означает доведения соответствующих мест книги до самых последних результатов, к настоящему времени полученных. Ссылки на журнальную литературу, встречающиеся в тексте книги, в общем довольно случайны и не могут рассматриваться как материал по истории алгебры в двадцатом веке. С другой стороны, к книге приложен достаточно полный указатель книг по различным разделам общей алгебры, вышедших за последние тридцать лет. В него включены и некоторые обзорные статьи. Ввиду большой многоплановости и мозаичности книги в ней пришлось весьма часто делать ссылки на предшествующий материал, хотя ясно, что в большинстве случаев читатель будет находить эти ссылки для себя излишними. Ссылка V.3.6 означает: глава пятая, параграф 3, пункт 6. И первоначальный план книги, и ряд ее глав, притом некоторые в различных редакциях, я имел удовольствие докладывать на семинаре по общей алгебре Московского университета. Я приношу моим товарищам по семинару за их интерес к моей работе, за советы и критику свою искреннюю благодарность. Я горячо благодарю также Олега Николаевича Головина, взявшего на себя большой труд редактирования книги, внимательно прочитавшего рукопись и сделавшего много полезных замечаний. Москва, май 1960 г. А Курош
ГЛАВА ПЕРВАЯ ОТНОШЕНИЯ § 1. Множества 1. В основе общей алгебры лежат понятия и методы теории множеств. Читатель, приступающий к изучению общей алгебры, не нуждается, конечно, в том, чтобы ему напоминали определения таких теоретико-множественных понятий, как подмножество, дополнение подмножества в множестве, пустое множество, пересечение и объединение множеств. Отметим, что для обозначения пересечения и объединения множеств мы будем употреблять соответственно символы f| и U, для обозначения принадлежности подмножества и элемента к множеству — соответственно символы с и G, а дополнение подмножества А в множестве Μ будем обозначать через М\А. Операции пересечения и объединения множеств связаны между собою следующими двойственными друг другу законами дистрибутивности', для любых трех множеств А, В, С А(](В[]С) = (А[]В)[](А[]С), (1) A[j(B(]C) = (A\jB)i](A[]C). (2) Докажем хотя бы второе из этих тождеств. Так как В(]С^В, то А[)(В(]С)<=А{)В; аналогично А[}(В(\с)<=а[}С, и поэтому левая часть равенства (2) содержится в его правой части. С другой стороны, если элемент χ содержится
12 ОТНОШЕНИЯ [ГЛ. I в правой части равенства (2), то одновременно хе=А[)В, χ е= А [} С. (3) Если χ ^ А, то χ содержится в левой части равенства (2). Если же χ к А не принадлежит, то из (3) следует, что χ принадлежит и к В, и к С, т. е. содержится в пересечении В()С, а поэтому χ снова содержится в левой части равенства (2). Вся правая часть равенства (2) входит, следовательно, в его левую часть. Равенство (2) доказано. 2. Читатель знаком, далее, с понятием отображения, или соответствия, или однозначной функции. Если φ — отображение множества А в множество В, т. е. на все В или на его подмножество, то будем употреблять символ φ: А->В, а образ элемента а^А при отображении φ будем обозначать через αφ. Если φ: А-^В, ψ: В-*~С, то последовательное выполнение отображений φ и ψ приводит к вполне определенному отображению множества А в множество С, которое мы обозначим через φψ и назовем произведением отображения φ на отображение ψ. Таким образом, для всех α из Л α(φψ)==(αφ)ψ. (4) Это умножение отображений можно назвать частич- н ы м: если даны два любых отображения, φ: А~>В и ψ: А'->£', то произведение φ·ψ существует не всегда; оно существует тогда и только тогда, когда для всех а е Α αφ G Л'. Отсюда следует, что для отображений любого множества А в себя произведение всегда существует. Умножение отображений ассоциативно: если даны ото- бражения φ: Л->Д ψ: £->С, χ: С~>Д (5) то (φψ)χ = φ(ψχ). (6) Действительно, если а — произвольный элемент из Л, то ввиду (4) * ΚφΨ) χ] = \а (φΨ)1 х = [(βφ) ψ] χ = (αΦ) (Ψχ) = α [φ (Ψχ)]· Ввиду равенства (б) результат последовательного выполнения отображений (5) можно записать через φψχ.
§ И МНОЖЕСТВА 13 3. Тождественное отображение множества А в себя условимся обозначать через ε^; таким образом, агА = а для всех а ^ А. Тождественное отображение играет при умножении отображений роль единицы, так как для любых отображений φ: А -»- В и ψ: С -> А елср = (р, грел = Ψ- Читатель знаком с понятием взаимно однозначного отображения множества А на множество В (т* е. взаимно однозначного соответствия между этими множествами). Очевидно, что отображение φ: А -+В тогда и только тогда будет взаимно однозначным отображением А на В, если для него существует обратное отображение, т. е. отображение φ-1: Β-*~Α, удовлетворяющее условиям Как известно, если существует взаимно однозначное отображение множества А на множество В, то множества А и В называются равномощными или, как говорят, они имеют одну и ту же мощность. При этом мощность конечного множества совпадает с числом его элементов, множества, равномощные с множеством всех натуральных чисел, называются счетными, а о множествах, равномощных с множеством всех действительных чисел, говорят, что они имеют мощность континуума. 4. При изучении бесконечных множеств весьма часто приходится использовать следующую аксиому выбора: Если дано множество М, то существует функция φ, сопоставляющая каждому непустому подмножеству А из Μ один определенный элемент ψ (А) этого подмножества. Иными словами, функция φ отмечает по одному элементу в каждом из непустых подмножеств множества М. Вопрос о логических основах этой аксиомы и о законности ее использования принадлежит к числу самых трудных и спорных вопросов обоснования теории множеств. Мы не смогли бы, однако, обойтись без аксиомы выбора. Для счетных множеств она может быть, впрочем, легко доказана: если элементы множества Μ пронумерованы натуральными числами, то мы получим требуемую функцию, если в каждом
14 ОТНОШЕНИЯ ГГЛ. I подмножестве А из Μ отметим тот его элемент, который имеет наименьший номер. В 1.6.3 будут приведены некоторые утверждения, равносильные аксиоме выбора. § 2. Бинарные отношения 1. Если дано множество М, то его квадратом МхМ называется множество всех упорядоченных пар (а, Ь), где а, Ь^М. Пусть R — любое подмножество из Μ χ Μ. Оно следующим образом определяет в множестве Μ бинарное отношение, которое мы также будем обозначать символом R (в конкретных случаях для записи отношений используются различные специальные символы): если а, Ь^ /И, то говорят, что элемент а находится в отношении R к элементу Ь, и записывают это через aRb в том и только в том случае, если пара {а, Ь) принадлежит к подмножеству R; таким образом, записи aRb и (a, b) <= R равносильны. Изучение бинарных отношений в множестве Μ не отличается, следовательно, от изучения подмножеств множества МхМ. Можно говорить, в частности, о включении бинарного отношения R в бинарное отношение R', R<=zR'f а также о пересечении и объединении бинарных отношений. Дополнением к бинарному отношению R является_ бинарное отношение R, определяемое подмножеством R = (MxM)\R; иными словами, aRb тогда и только тогда, если (а, Ь) φ R. 2. С другой стороны, то обстоятельство, что бинарные отношения задаются множествами упорядоченных пар элементов из М, делает алгебру бинарных отношений более богатой, чем простая алгебра подмножеств произвольного множества. Так, пусть в множестве Μ заданы произвольные бинарные отношения R и S. Назовем их произведением RS бинарное отношение, определяемое следующим образом: a(RS)b тогда и только тогда, когда в Μ существует хотя бы один такой элемент с, что aRc и cSb. Умножение бинарных отношений ассоциативно, (RS)T = R(ST), так как элемент а тогда и только тогда находится в каждом из отношений (RS)T и R(ST) к элементу о, если сущест-
§2] БИНАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ 15 вуют такие элементы с и d, что aRc, cSd, dTb. Умножение бинарных отношений не является, однако, коммутативным; бинарные отношения R и S лишь иногда будут перестановочными, RS = SR. Если в множестве Μ даны бинарные отношения Ri (i пробегает множество индексов I) и S, то \}r,\s=\Jr$, s/|J/?A=Us/?,. (1) /е/ / /g/ we/ Действительно, а и* \/e/ b равносильно существованию такого элемента с} что a 11 J RA с и cSb. Это равносильно, we/ / однако, существованию такого индекса i0, что aRi с и с6#, т. е. a (RiQS) b, и поэтому а 11 I /?^51 £. We/ / Заметим, что в равенствах (1) объединения нельзя заменить пересечениями. Из (1) следует, что если даны бинарные отношения R, R' и S, причем R ^ R', то RS <= R'S, SR <= SR'. (2) Действительно, включение R^ R' равносильно равенству R U R' = R', из которого вытекает равенство (R[}R')S = RS\JR'S = R'S, равносильное включению RS^R'S. 3. Для всякого бинарного отношения R в множестве Μ существует обратное отношение R 1, определяемое следующим образом: aR~xb тогда и только тогда, когда bRa. Ясно, что (Я-1)-1=Я и что из /? д= 5 следует R~l ^ 6""1.
16 ОТНОШЕНИЯ [ГЛ. I Если в множестве Μ даны бинарные отношения Ru /е/, S и Т, то ГК) ,=i]Rr1' (3) ия'Г'-и*'"1· (4) ($Т)~1 = Г"1^1. (5) ι Действительно, α / Π /?Л b означает, что ЪΙ Π /?Λ α, т. е. \ί<ΞΞ/ / _ \ί€=/ £/?ζ·α для всех /е/, откуда aR^b для всех /е/, и поэтому α /I I Rr^b. Аналогично доказывается и равенство (4). Нако- Ve=/ / нец, α (ST) х£ означает, что b (ST) а, т. е. существует такой элемент с, что bSc и сТа, а поэтому аТ~гс и cS""1^, откуда aiT^S'^b. 4. Единичное отношение Ε определяется следующим образом: аЕЬ тогда и только тогда, если а = Ь\ иными словами, отношение Ε задается множеством всех пар вида (а, а), а^М. Очевидно, что Ε'1 = Ε и что для любого бинарного отношения R RE = ER = R. Отметим также пустое отношение О, определяемое пустым подмножеством множества Μ Χ Μ. Ясно, что для любого бинарного отношения R в множестве Μ 0<=R и RO = OR = 0. 5. В ближайших параграфах мы встретимся с такими бинарными отношениями R, заданными в множестве Ж, которые обладают некоторыми из следующих четырех свойств: Рефлексивность: aRa для всех flGAi; иными словами, Транзитивность: если aRb и bRcy то aRc\ иными словами, RR^R. Симметричность: если aRb, то W?a; иными словами, ЯГг = Я Антисимметричность: если aRb и W?a, то а — Ь\ иными словами, R Π R"1 ^ Е.
§31 ОТНОШЕНИЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ 17 Если бинарное отношение R обладает любым из указанных четырех свойств, то обратное отношение R'1 обладает этим же свойством. В самом деле, если E^zR, то £ = £-*£/Г1· Если RR^R, то R-iR-i = (RR)-i^R-\ Если R~1 = R, то (/?-ΐ)-ι = /? = /?-ι. Наконец, если R (] R^1 ^ Е, то R-^iR-^^R-^R^E. 6. Пусть в множестве Μ выбрано подмножество N. Бинарное отношение R, заданное в Ж, естественным образом индуцирует бинарное отношение RN в множестве N. если а, £ ζ Ν, то а/?^£ тогда и только тогда, когда в Μ справедливо aRb. Иными словами, учитывая, что Ν Χ Ν является подмножеством множества Μ χ Μ, Легко проверяются следующие равенства: We/ / te/ \ί·<ΞΞ/ / t'G/ 7. Понятие бинарного отношения допускает различные обобщения. Так, рассмотрим п-ю степень Мп множества ΛΤ, т. е. множество всех упорядоченных систем (аь а2, ..., ап) из η элементов множества М. Тогда любое подмножество R множества Мп определяет в множестве Μ η-арное отношение (при п = 3 — тернарное отношение). Множества, в которых задано некоторое число таких отношений, называются моделями и являются предметом самостоятельной теории. § 3. Отношения эквивалентности 1. Важным типом бинарных отношений являются отношения эквивалентноети, т. е. бинарные отношения, обладающие свойствами рефлексивности, транзитивности и симметричности (см. 1.2.5). Из многочисленных
18 ОТНОШЕНИЯ ГГЛ. Τ известных читателю конкретных примеров таких отношений напомним хотя бы равенство дробей и сравнимость целых чисел по некоторому модулю. Для записи отношений эквивалентности чаще всего используются символы ~ и =. 2. Отношения эквивалентности, определенные на множестве М, весьма тесно связаны с разбиениями множества Μ на непересекающиеся классы. Под разбиением следует понимать такой выбор в множестве Μ системы непустых подмножеств (классов этого разбиения), что всякий элемент из Μ принадлежит к одному и только одному из этих подмножеств. Всякое разбиение π множества Μ определяет в Μ отношение эквивалентности. Действительно, если а, Ь е Μ и если мы положим а ~ £ в том и только в том случае, когда а и Ь принадлежат к одному классу разбиения π, то получим в Μ бинарное отношение, удовлетворяющее, очевидно, всем требованиям определения отношения эквивалентности. Обратно, всякое отношение эквивалентности /?, заданное в множестве М, определяет разбиение этого множества. В самом деле, назовем классом элемента а и обозначим через Ка множество всех тех элементов χ из М, для которых aRx. Из рефлексивности отношения R вытекает включение а е Ка> т. е. система классов Ка> а^ М, покрывает все множество М. Далее, симметричность отношения R показывает, что из Ь е Ка следует а е Кь> транзитивность же отношения R приводит к тому, что если Ь е Ка> то из cg Kb следует с е Ка> т. е. Кь ^ Ка- Эти последние замечания приводят вместе к тому, что если b е Ка> то Кь = Ка, т. е. класс определяется любым своим элементом. Если, наконец, Ка и Кь — два произвольных класса с непустым пересечением, содержащим, например, элемент с, то Ка = Кс и Кь = КС9 т. е. классы Ка и Кь совпадают. Мы доказали, что система всех различных классов вида Ка является разбиением множества М. Очевидно, что переход от разбиения π множества Μ к определяемому им отношению эквивалентности, а затем к определяемому последним разбиению множества Μ приводит снова к разбиению π. Между отношениями эквивалентности в множестве Μ и разбиениями множества Μ на непересекающиеся классы установлено, следовательно, взаимно однозначное соответствие.
$3] ОТНОШЕНИЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ 19 3. Если в множестве Μ заданы отношения эквивалентности Riy i e /, то их пересечение также будет отношением эквивалентности. В самом деле, из aRta для всех / е / следует α ι I I RA а. \/е/ Далее, если а/П/?Ибиб/ И /?л с, то а/^& и bRf для \/е/ / \/е/ / всех / е /, откуда α/^-c для всех / е /, а поэтому а ( I 1 RA с. Наконец, если α ί Π /?Λ £, το aRfi для всех / е /, т. е. £/^а для всех / е /, откуда й / Π /?И а. \ίε/ / Без труда проверяется, что если отношениям эквивалентности Ri} i e /, соответствуют разбиения л( множества М, I е /, то отношению эквивалентности \\Ri соответствует разбиение, классами которого служат все непустые пересечения классов, взятых по одному в каждом из разбиений щ, i e /. Это разбиение мы назовем пересечением разбиений щ, i e /. Если в множестве Μ заданы отношения эквивалентности Rit i e /, то их объединение, понимаемое в смысле объединения бинарных отношений, уже не будет, вообще говоря, отношением эквивалентности. В множестве Μ существует, однако, такое отношение эквивалентности, которое включает в себя все отношения Riy I e / (в смысле включения бинарных отношений), но само включается в любое другое отношение эквивалентности, включающее в себя все Rif i e /. Это отношение эквивалентности может быть названо объединением отношений эквивалентности Rb ί е /. Для доказательства определим в множестве Μ бинарное отношение 5 следующим образом: aSb тогда и только тогда, когда в Μ можно хотя бы одним способом выбрать такую конечную систему элементов а = с0, с ι, с2, · · · > сп~ъ Сп~®> \У) что для k—\, 2, ..., η существует хотя бы один такой индекс ik e /, для которого ck^ikck. Отношение S является, очевидно, рефлексивным, транзитивным и симметричным. Если же Г— любое отношение эквивалентности, включающее в себя
20 ОТНОШЕНИЯ [ГЛ. I все Ri, /e/, и если aSb, причем этим элементам соответствует система элементов (1), то из ck_^Rifck следует ck_{Tcky k=l, 2, ..., η, а поэтому ввиду транзитивности отношения Τ имеет место аТЬ. # Произведение RS двух отношений эквивалентности R и S тогда и только тогда является отношением эквивалентности, если отношения R и S перестановочны, RS = SR. Если это имеет место, то объединение отношений эквивалентности R и S совпадает с их произведением как бинарных отношений [Шик, Spisy vyd. pfirodovode fakult. Masarykovy univ. (1954), № 3, 97—102].* 4. Множество классов разбиения, соответствующего данному отношению эквивалентности R в множестве Ж, мы будем обозначать через M/R и называть фактор-множеством множества Μ по отношению эквивалентности R. Отображение множества Μ на фактор-множество M/R, сопоставляющее всякому элементу а ^ Μ тот класс разбиения, соответствующего /?, в котором лежит элемент а, называется естественным отображением Μ на M/R. Между отношениями эквивалентности, имеющимися в множестве Mf и отображениями этого множества на некоторые другие множества существует тесная связь, являющаяся прототипом так называемых «теорем о гомоморфизмах», с которыми мы неоднократно будем встречаться в следующих главах книги. Именно, если дано отображение φ множества Μ на некоторое множество /V, то ему соответствует вполне определенное отношение эквивалентности R в множестве Μ (т. е. разбиение этого множества): для элементов а, Ъ е Μ полагаем aRb в том и только в том случае, если αφ = by. Сопоставляя каждому элементу χ из N класс тех элементов из Ж, которые имеют χ своим образом при отображении φ, мы получаем взаимно однозначное отображение ξ множества N на множество MIR, причем произведение φξ совпадает с естественным отображением Μ на M/R. § 4. Частичная упорядоченность 1. Другим очень важным типом бинарных отношений являются отношения частичной упорядоченности, т. е. бинарные отношения, обладающие свойствами рефлексивности, транзитивности и антисимметричности.
§4] ЧАСТИЧНАЯ УПОРЯДОЧЕННОСТЬ 21 Множество Μ с заданной в нем частичной упорядоченностью называется частично упорядоченным. Для записи частичной упорядоченности будет употребляться символ ^; если а, Ь ^ Μ и а ^ Ь, то, в зависимости от обстоятельств, будем говорить, что а меньше или равно Ь, а содержится в Ь, а предшествует Ъ. Если а^Ь и афЬ, то будем писать а<С.Ь и говорить, что а меньше Ь, а строго содержится в Ъ и т. д. Бинарное отношение <С уже не будет, конечно, рефлексивным. Через ^ и > будут записываться отношения, обратные к отношениям ^ и <, т. е., например, а^Ь (а больше пли равно Ь, а содержит Ь, а следует за Ь) тогда и только тогда, когда Ь^а, Пусть в множестве Μ задана частичная упорядоченность. Элементы а и Ъ этого множества будут называться сравнимыми если а^Ь или Ь^а. Далеко не всякие два элемента из Μ обязаны быть сравнимыми — именно по этой причине мы говорим о «частичной» упорядоченности. Так, мы получим тривиальную частичную упорядоченность множества Ж, если положим, что а^Ь лишь при а = Ь; различные элементы из Μ будут в этом случае несравнимыми. Частично упорядоченное множество, в котором любые два элемента сравнимы, называется упорядоченным множеством или линейно упорядоченным множествому или цепью. 2. В различных разделах математики упорядоченные и частично упорядоченные множества встречаются чрезвычайно часто. В качестве первых примеров упорядоченных множеств можно указать множество натуральных чисел и множество точек прямой линии (т. е. множество всех действительных чисел), оба в их естественной упорядоченности. Примерами частично (но не линейно) упорядоченных множеств служат: множество N всех подмножеств некоторого данного множества N с отношением теоретико-множественного включения ^ в качестве отношения частичной упорядоченности; множество всех непрерывных действительных функций, определенных на отрезке [0, 1], если f^g означает, что для всех χ из этого отрезка f(x)^Ug(x)\ множество всех натуральных чисел, если а^Ь понимать в том смысле, что Ъ делится нацело на а.
22 ОТНОШЕНИЯ [ГЛ. I # Всякая частичная упорядоченность данного множества Ж может быть продолжена до линейной упорядоченности этого множества, т. е. может быть включена в линейную упорядоченность (в смысле включения бинарных отношений, см. 1.2.1) [Шпильрайн, Fund. Math. 16 (1930), 386—389]. χ 3. Пусть между частично упорядоченными множествами Ж и Ж' установлено взаимно однозначное соответствие φ, αφ = α', а е Ж, а' е Ж'. Если из а^Ь, где а, Ъ е Ж, всегда следует αφ==Οφ и обратно, то φ называется изоморфизмом между Ж и Ж', а сами множества Ж и Ж' — изоморфными частично упорядоченными множествами. Очевидно, что в тех случаях, когда частичная упорядоченность является самостоятельным объектом изучения, а природа элементов, из которых составлены рассматриваемые множества, не играет роли, изомофные множества можно считать тождественными. 4. Мы знаем (см. 1.2.6), что частичная упорядоченность, заданная в множестве Ж, индуцирует во всяком подмножестве этого множества некоторое бинарное отношение; легко видеть, что оно также будет частичной упорядоченностью. Будем говорить, что частично упорядоченное множество Ж изоморфно вкладывается в частично упорядоченное множество Ν, если существует изоморфное отображение множества Ж на некоторое подмножество Ν' множества Ν, причем Ν' рассматривается с частичной упорядоченностью, индуцированной в нем частичной упорядоченностью множества N. 5. Следующая теорема подчеркивает особую роль первого из указанных в 1.4.2 примеров частично упорядоченного множества. Всякое частично упорядоченное множество Ж изоморфно вкладывается в множество N всех подмножеств некоторого множества Ν, частично упорядоченное по включению. В качестве множества N можно взять, например, само Ж. В самом деле, поставим в соответствие каждому элементу а из Μ подмножество Л, составленное из всех таких элементов χ е Ж, что χ ^ а. Пусть а, Ъ е Ж, а А, В — соответствующие им подмножества. Если А —В, то Ь^а,
§5] УСЛОВИЕ МИНИМАЛЬНОСТИ 23 a^b, откуда a = b. Этим доказано, что соответствие а~>Л является взаимно однозначным отображением множества Ж в множество Ж всех его подмножеств. Если, далее, а^Ь, то из χ ^ а будет следовать χ ^ Ь, т. е. А с= В. Обратно, если Л ^ β, то α е β, т. е. а^Ь. Таким образом, соответствие α -> Л является изоморфным вложением Ж в Ж. 6. Как вытекает из доказанного в 1.2.5, отношение, обратное к отношению частичной упорядоченности, само будет частичной упорядоченностью. Частично упорядоченные множества Ж и Ж' называются инверсно изоморфными, если одно из них изоморфно другому, взятому с обратной частичной упорядоченностью, т. е. если между ними существует такое взаимно однозначное соответствие φ, αφ = α', а е Ж, а'^М', что а ^ by где a, b (= Ж, тогда ' и только тогда, когда αφ ^ Ь(р. § 5. Условие минимальности 1. Элемент а частично упорядоченного множества Ж называется минимальным элементом этого множества, если в Ж нет ни одного элемента х, удовлетворяющего условию χ<Ζα. Ясно, что Ж может содержать много различных минимальных элементов, но может также не иметь ни одного такого элемента. Так, множество N всех подмножеств некоторого множества N обладает единственным минимальным элементом — это будет пустое подмножество. В множестве всех непустых подмножеств множества N минимальными элементами являются все подмножества, состоящие из одного элемента. Наконец, если множество N бесконечное, то множество всех его бесконечных подмножеств вообще не имеет минимальных элементов. Понятие минимального элемента будет сейчас использовано в определении одного специального класса частично упорядоченных множеств, более широкого, чем класс конечных частично упорядоченных множеств. Это будет класс
24 ОТНОШЕНИЯ ГГЛ. ! частично упорядоченных множеств, удовлетворяющих следующим условиям, между собою эквивалентным: Условие минимальности. Всякое непустое подмножество N частично упорядоченного множества Μ обладает хотя бы одним минимальным (в Ν) элементом. Условие обрыва убывающих цепей х). Всякая строго убывающая цепь элементов частичо упорядоченного множества М, % > а2> · · · > а>п > · ·., обрывается на конечном месте. Иными словами, для всякой убывающей цепи элементов &\ ^ а2 ^ ... ^ ап ^ ... существует такой индекс п, на котором эта цепь стабилизуется, т. е. ап = ап+1= ... Условие индуктивности. Все элементы частично упорядоченного множества Μ обладают некоторым свойством % если этим свойством обладают все минимальные элементы этого множества (в случае, когда они существуют) и если из справедливости свойства § для всех элементов, строго предшествующих некоторому элементу а, может быть выведена справедливость этого свойства для самого элемента а. 2. Докажем эквивалентность указанных трех условий. Из условия минимальности вытекает условие индуктивности. В самом деле, пусть частично упорядоченное множество Μ удовлетворяет условию минимальности и пусть в нем для некоторого свойства § выполняются посылки условия индуктивности. Если тем не менее в Μ существуют элементы, которые не обладают свойством §, то пусть а будет одним из минимальных среди таких элементов — существование элемента а вытекает из условия минимальности. Элемент а не может быть минимальным во всем М, что следует из 1) Понятие убывающей цепи, о котором идет речь в этом условии, является частным случаем общего понятия цепи, введенного в 1.4.1.
$5] УСЛОВИЕ МИНИМАЛЬНОСТИ 25 первой посылки условия индуктивности, а так как все элементы, строго предшествующие а, свойством § уже обладают, то, по второй посылке условия индуктивности, и сам элемент α должен обладать свойством §, т. е. мы приходим к противоречию. Из условия индуктивности вытекает условие обрыва убывающих цепей. Пусть, в самом деле, частично упорядоченное множество Μ удовлетворяет условию индуктивности. Применим это условие к следующему свойству: элемент а обладает свойством §, если всякая строго убывающая цепь элементов, начинающаяся от элемента а, обрывается на конечном месте. Этим свойством обладают, очевидно, все минимальные элементы множества М9 если они существуют. С другой стороны, пусть все элементы, строго предшествующие элементу а, обладают нашим свойством g. В этом случае второй член любой строго убывающей цепи, начинающейся от элемента а, будет обладать свойством §, а поэтому рассматриваемая цепь должна обрываться, т. е. элемент а также обладает свойством §. Из условия индуктивности теперь следует, что нашим свойством § обладают вообще все элементы множества М, т. е. в Μ обрывается всякая строго убывающая цепь —она начинается, понятно, с некоторого элемента. Из условия обрыва убывающих цепей вытекает условие минимальности. Для доказательства предположим, что частично упорядоченное множество Μ условию минимальности не удовлетворяет, а именно пусть его непустое подмножество N не имеет минимальных элементов. Пользуясь аксиомой выбора (см. 1.1.4), отметим по одному элементу в каждом непустом подмножестве из TV, а затем следующим образом построим последовательность элементов аю п=\, 2,... (1) В качестве аг возьмем элемент, отмеченный в самом подмножестве N. Если элемент ап уже построен и a„GiV, то в качестве ап+1 берем элемент, отмеченный в непустом (так как N не имеет минимальных элементов) множестве элементов из TV, строго предшествующих ап. Последовательность (1) является, очевидно, бесконечной строго убывающей цепью, т. е. множество Μ не может удовлетворять условию обрыва убывающих цепей.
26 ОТНОШЕНИЯ [ГЛ. I 3. Условие индуктивности позволяет проводить не только доказательства по индукции, но и построения по индукции. Именно, пусть Μ — частично упорядоченное множество с условием минимальности и пусть мы хотим определить на этом множестве функцию φ (χ), относящую всякому элементу χ из Μ некоторый элемент вспомогательного множества & Будем считать при этом, что функция ψ(χ) должна удовлетворять некоторым рекуррентным соотношениям, т. е. соотношениям, однозначно определяющим для всякого а е Μ значение φ (α) по значениям φ(£) для всех Ь, строго меньших а. Докажем, что существует, и притом единственная, функция ψ(χ), определенная на всем множестве М, удовлетворяющая указанным рекуррентным соотношениям и принимающая произвольные заданные значения на всех минимальных элементах множества М. Начнем с доказательства единственности. Пусть на Μ существуют две различные функции, φ(χ) и ψ(χ), удовлетворяющие нашим условиям. В непустом множестве тех элементов х, для которых φ (χ) φ ψ (χ), существует, ввиду условия минимальности, хотя бы один минимальный элемент а. Этот элемент не может быть минимальным во всем Λί, так как на минимальных элементах множества Μ функции φ(χ) и ψ(χ) по условию совпадают. Существуют, следовательно, такие элементы Ь, что £ < а, причем для всех этих элементов ψ (Ь) == ур (Ь). Рекуррентные соотношения однозначно определяют, однако, значения рассматриваемых функций для х = а по их значениям для всех #<а, а поэтому φ(α) = 'ψ(α), τ. е. мы пришли к противоречию. Переходим к доказательству существования искомой функции φ(χ), предполагая, что на минимальных элементах ее значения уже заданы. Будем говорить, что элемент а е Μ обладает свойством g>, если на множестве Л всех таких х, что χ <: а, может быть определена функция φα (χ), удовлетворяющая заданным рекуррентным соотношениям и принимающая заданные значения на минимальных элементах из М, содержащихся в а. Все минимальные элементы из Μ обладают, очевидно, свойством §. С другой стороны, если а и Ь обладают свойством § и Ь<^а, то, применяя доказанную выше единственность искомой функции вместо Μ к множеству В тех х, для которых х^Ь, мы получим, что для всех этих χ <Р* (*) = φα (■*)·
§5] УСЛОВИЕ МИНИМАЛЬНОСТИ 27 Отсюда следует, что если все элементы Ь> строго предшествующие данному элементу а, обладают свойством g, то этим свойством обладает и сам элемент а: мы получим функцию Φα (χ)> удовлетворяющую всем требованиям, если для всякого by b<Ca, положим а в качестве ψα(α) возьмем то значение, которое однозначно определяется рекуррентными соотношениями. На основании условия индуктивности, выполняющегося в множестве Ж, можно теперь утверждать, что все элементы этого множества обладают свойством §. Полагая, наконец, для всех α (Ξ Μ ф(«) = Фа(«)> мы определим функцию φ(χ), обладающую всеми нужными свойствами, и этим закончим доказательство теоремы. 4. Линейно упорядоченное множество, удовлетворяющее условию минимальности, а поэтому и двум другим условиям, с ним эквивалентным, называется вполне упорядоченным. Примером вполне упорядоченного множества служит множество натуральных чисел в его естественной упорядоченности. Всякое подмножество вполне упорядоченного множества само вполне упорядочено. Из определения вполне упорядоченного множества следует, что оно обладает единственным минимальным элементом. Во вполне упорядоченном множестве для всякого элемента а существует элемент, непосредственно следующий за а (за единственным возможным исключением, если а является максимальным (см. 1.5.5) элементом). Элемент а может не иметь, однако, непосредственно предшествующего элемента; в этом случае он называется предельным эле- ментом. Частично упорядоченное множество тогда и только тогда удовлетворяет условию минимальности, если все его цепи {т. е. линейно упорядоченные подмножества) вполне упорядочены. Действительно, если частично упорядоченное множество Μ удовлетворяет условию минимальности, то это же верно для всех его подмножеств, в частности для всех цепей. Обратное утверждение вытекает из того, что в формулировке условия
28 ОТНОШЕНИЯ [ГЛ. I обрыва убывающих цепей, эквивалентного условию минимальности, используются лишь цепи множества М. 5. В частично упорядоченном множестве Μ можно перейти к обратной частичной упорядоченности. Минимальные элементы этой обратной упорядоченности называются максимальными элементами множества Μ в его исходной упорядоченности, а убывающие цепи в обратной упорядоченности называются возрастающими цепями множества М. Вообще, этим путем для всякого понятия (или утверждения), связанного с частичной упорядоченностью, можно получить двойственное понятие (утверждение). Пусть частично упорядоченное множество Μ удовлетворяет условию минимальности. Беря в Μ обратную частичную упорядоченность, мы получим частично упорядоченное множество, удовлетворяющее условию максимальности. Для множеств с условием максимальности остается справедливым, после замены отношения ^на отношение^ и обратно, все, сказанное выше о множествах с условием минимальности. § 6. Теоремы, равносильные аксиоме выбора 1. Пусть N—подмножество частично упорядоченного множества М. Всякий элемент α из Ж (не обязательно содержащийся в А/), удовлетворяющий условию а ^ χ для всех jcgM называется верхней гранью подмножества N в множестве М. Двойственным является понятие нижней грани. 2. С другой стороны, если Ж —частично упорядоченное множество, то множество всех его цепей само будет частично упорядоченным при помощи теоретико-множественного включения. Максимальные элементы этого последнего множества, если они существуют, естественно называть максимальными цепями множества М. 3. Эти понятия используются в формулировке двух из следующих трех теорем, каждая из которых, как будет сейчас доказано, эквивалентна аксиоме выбора (см. 1.1.4). Теорема Цермело. Всякое множество можно вполне упорядочить. Теорема Хаусдорфа. Всякая цепь частично упорядочен- кого множества содержится в некоторой максимальной цепи. ^
§ 6] ТЕОРЕМЫ, РАВНОСИЛЬНЫЕ АКСИОМЕ ВЫБОРА & Теорема Куратовского — Цорна. Если всякая цепь частично упорядоченного множества Μ обладает верхней гранью, то всякий элемент множества Μ меньше (или равен) некоторого максимального элемента. 4. Докажем эквивалентность этих теорем и аксиомы выбора. Из аксиомы выбора следует теорема Цермело. Будем называть отрезком некоторого вполне упорядоченного множества Л всякое его подмножество В, содержащее вместе с любым своим элементом b все такие χ е Л, что х^Ь. Множество элементов, строго предшествующих некоторому элементу а из Л, будет истинным отрезком множества Л (т. е. отрезком, отличным от самого Л), и этим исчерпываются все истинные отрезки: если В — такой отрезок, то В состоит из всех элементов, строго предшествующих минимальному элементу дополнения А\В, т. е. определяется этим элементом. Пустое подмножество мы также будем считать истинным отрезком множества Л; он определяется минимальным элементом этого множества. Перейдем к доказательству теоремы. Пусть дано произвольное множество М. На основании аксиомы выбора отметим в каждом его непустом подмножестве N по одному элементу φ (TV). Будем называть непустое подмножество Л из Ж отмеченным, если оно может быть вполне упорядочено, причем так, что для всякого а^ А а = (р(Ж\Л'), где Л' — отрезок множества Л в указанной полной упорядоченности, определяемый элементом а. Отмеченные подмножества в Μ существуют; таково, например, подмножество, состоящее из одного элемента φ (Ж). Пусть Л и В — два отмеченных подмножества, для которых выбраны полные упорядоченности, обладающие свойством, указанным в предыдущем абзаце. Тогда оба эти подмножества имеют φ (Ж) в качестве первого элемента и поэтому обладают непустыми Совпадающими отрезками. Объединение С всех совпадающих отрезков этих двух подмножеств будет, очевидно, отрезком в каждом из них; это наибольший среди совпадающих отрезков. Если бы отрезок С был отличен и от Л, и от Bf то, по определению отмеченного подмножества, отрезок С определялся бы и в Л, и в В элементом ф(Ж\С),
30 ОТНОШЕНИЯ [ГЛ. I а тогда А и В обладали бы большим, чем С, совпадающим отрезком, состоящим из С и элемента (р(М\С). Это противоречие с определением С показывает, что одно из двух отмеченных подмножеств А и В является отрезком другого. Отсюда следует, что объединение L всех отмеченных подмножеств из Μ само будет отмеченным. Действительно, если а и Ъ из L принадлежат соответственно к отмеченным подмножествам А и В, το они оба лежат в большем из этих подмножеств, например в А. Полагая а^>Ь в L, если а^Ь в этом Л, мы получим в L линейную упорядоченность, которая будет даже полной упорядоченностью: всякая убывающая цепочка элементов в L целиком содержится в некотором отмеченном подмножестве А и поэтому должна обрываться. Наконец, если agL, то α содержится в некотором отмеченном подмножестве А и определяет в L и в А один и тот же отрезок Л', причем а = φ (Λί \ А'). ЭтихМ доказана отмеченность множества L. Для окончания доказательства теоремы остается указать, что если бы L было отлично от Ж, то, в противоречие с определением L, мы получили бы большее, чем L, отмеченное подмножество, присоединяя к L элемент φ (Ж \ L) и считая этот элемент следующим за всеми элементами из L. Из теоремы Цермело следует теорема Хаусдорфа. Пусть в частично упорядоченном множестве Μ взята произвольная цепь А. Если А = М, то доказывать нечего, в противном же случае будем считать, на основании теоремы Цермело, множество В = Μ \ А вполне упорядоченным; эта полная упорядоченность никак не связана с частичной упорядоченностью В как подмножества множества М. Отнесем первый элемент множества В к первому классу, если он в множестве Μ сравним (см. 1.4.1) с каждым элементом из Л, и ко второму классу в противоположном случае. Пусть теперь Ь — произвольный элемент из В и пусть каждый из элементов множества В, строго предшествующих элементу b в смысле заданной в В полной упорядоченности, уже отнесен к первому или ко второму классу. Тогда мы отнесем элемент b к первому классу, если он в Ж сравним как с каждым элементом из Л, так и с каждым из тех элементов, ему предшествующих в В, которые отнесены к первому классу; в противоположном же случае элемент Ь будет отнесен ко второму классу.
§ 6] ТЕОРЕМЫ, РАВНОСИЛЬНЫЕ АКСИОМЕ ВЫБОРА 31 Мы проводим, таким образом, индуктивное построение по вполне упорядоченному множеству В, и поэтому можно считать (см. 1.5.3), что всякий элемент из В однозначным образом отнесен к первому или второму классу. Множество С, содержащее все ^элементы цепи А и все элементы первого класса из В> будет в множестве Μ цепью, так как любые два элемента из С сравнимы в Μ между собой. Эта цепь будет в Μ максимальной, так как всякий элемент второго класса из В несравним хотя бы с одним элементом из С. Теорема доказана. Из теоремы Хаусдорфа следует теорема Куратов- ского —- Цорна. В самом деле, пусть дано такое частично упорядоченное множество УИ, в котором всякая цепь обладает верхней гранью, и пусть agM. Цепь, состоящая из одного элемента а, по теореме Хаусдорфа содержится в некоторой максимальной цепи С. Если элемент с — Еерхняя грань цепи С, то а^с. С другой стороны, элемент с максимален в М: если существует такой элемент Ь, что с <Cb, то для всех xgC ввиду χ ^ с будет χ << Ь, т. е., присоединяя к цепи С элемент Ьу мы получим большую цепь в противоречие с максимальностью цепи С. Теорема доказана. Из теоремы Куратовского —Цорна следует аксиома выбора. Пусть дано произвольное множество Ж. Рассмотрим такие системы непустых подмножеств из Ж, на которых возможно задание (хотя бы одним способом) функции, отмечающей в каждом подмножестве А данной системы один из его элементов φ (А). Системы такого рода существуют — таковы, например, системы, состоящие из одного непустого множества. Обозначим через Φ множество всех функций указанного вида, заданных на всевозможных системах подмножеств, на которых задание таких функций возможно. Пусть φ и ψ — две функции, принадлежащие к Φ и заданные соответственно на системах подмножеств S и Т. Положим φ ^ ψ, если S^7h на системе 6* функции φ и ψ совпадают. Этим в множестве Φ определяется частичная упорядоченность. Возьмем в Φ произвольную цепь Г (в смысле этой частичной упорядоченности), состоящую из функций φα, заданных соответственно на системах Sa. На системе Τ = I J Sa а
32 отношения [тл. ι может быть определена функция ψ, совпадающая на каждой системе Sa с функцией φα. Ясно, что ψ принадлежит к Φ и служит верхней гранью для цепи Г. К множеству Φ применима, следовательно, теорема Кура- товского — Цорна, а поэтому Φ обладает максимальными элементами. Пусть χ будет один из этих элементов. Если бы система U, на которой определена функция χ, не содержала непустого подмножества А из Ж, то на системе, полученной из U присоединением Л, можно было бы определить функции, строго большие, чем χ: эго была бы всякая функция, совпадающая с χ на системе U и отмечающая в подмножестве А один из его элементов. Полученное противоречие с максимальностью функции χ показывает, что система U совпадает на самом деле с системой всех непустых подмножеств множества Ж. Теорема доказана. * Утверждение, что всякое множество может быть линейно упорядочено, является более слабым, чем аксиома выбора [Мостовский, Fund. Math. 32(1939), 201-252].*
ГЛАВА ВТОРАЯ ГРУППЫ И КОЛЬЦА § 1. Группоиды, полугруппы, группы 1. В основе всех понятий, изучаемых в различных отделах алгебры, лежит понятие алгебраической операции. Ограничимся пока рассмотрением бинарных операций. В самом широком понимании это будет закон, по которому некоторым упорядоченным парам элементов данного множества Μ (т.е. некоторым элементам из квадрата множества Ж, см. 1.2.1) ставятся в соответствие элементы из Ж, один или много. Если мы назовем эту операцию умножением и будем употреблять для нее обычную мультипликативную запись, то равенство ab = c (1) будет иметь тот смысл, что для пары элементов а, Ь из Μ произведение определено и что одним из значений этого произведения служит элемент с. Понятие бинарной алгебраической операции, рассматриваемое в этом широком смысле, равносильно понятию заданного в множестве Μ тернарного отношения (см. 1.2.7). Действительно, если в Μ задана бинарная операция, то мы введем в Μ тернарное отношение /?, полагая, что R(a, b, с) тогда и только тогда, когда имеет место равенство (1). Обратно, если в Μ задано тернарное отношение R, то будем считать, что равенство (1) имеет место тогда и только тогда, когда справедливо R{a> b, с). 2. В дальнейшем бинарная алгебраическая операция будет пониматься, как правило, в более узком смысле:
34 ГРУППЫ И КОЛЬЦА (ГЛ. Π произведение должно быть определено для любой упорядоченной пары элементов и должно быть однозначным. Всякое непустое множество, в котором задана алгебраическая операция этого типа, называется группоидом. Это понятие все еще слишком широко. Более узким будет имеющее разнообразные применения понятие полугруппы, т. е. группоида, в котором выполняется закон ассоциативности: для любых элементов а, Ъ и с (ab) c = a (be). (2) Равенство (2) придает однозначный смысл произведению abc любых трех элементов полугруппы. Отсюда легко следует, что при всех η произведение ага2 ... ап любых η элементов, взятых в указанном порядке, также будет однозначно определенным элементом полугруппы. 3. Еще более узким является понятие группы, одно из самых важных алгебраических понятий. Группой называется полугруппа, в которой выполнимы обратные операции, т. е. для любых элементов а и b каждое из уравнений ах = ЬУ уа = Ь (3) обладает решением, притом единственным. Заметим, что единственность решений каждого из уравнений (3) позволяет производить в группе левосторонние и правосторонние сокращения: если аЬг = ab2 или Ьха = Ь2а, то b1 = b2. Решения χ и у уравнений (3) в случае произвольной группы не обязаны совпадать. Дело в том, что алгебраическая операция не предполагается нами коммутативной, т. е. произведение может зависеть от порядка сомножителей. Группа (или полугруппа, или группоид), для любых двух элементов a, b которой выполняется закон коммутативности ab — Ьау называется коммутативной или абелевой. 4. Всякая группа Q обладает однозначно определенным элементом е, удовлетворяющим условию ае =.еа = а для всех элементов a gG.
§ И ГРУППОИДЫ, ПОЛУГРУППЫ, ГРУППЫ 35 Действительно, из определения группы следует существование в О для любого элемента а такого элемента еш что ае'а = а, причем этот элемент е'а однозначно определен. Если Ь — любой другой элемент группы G, а у — элемент группы, удовлетворяющий равенству уа = Ь, то, ввиду закона ассоциативности, be а = (у а) е'а=у (ае'а) =уа = Ь, откуда е'ь~е'а. Элемент еа не зависит, следовательно, от элемента а; обозначим его через е\ Таким образом, ае' = а для всех a^Q. (4) Аналогично доказывается существование и единственность такого элемента е"у что е"а = а для всех а^О. (5) Применяя, однако, равенства (4) и (5) к произведению е" е'у мы получаем е"е'~е" и е"е—е\ откуда е" = е'. Теорема доказана. Элемент е, существование и единственность которого утверждаются в этой теореме, называется единицей группы G и обычно обозначается символом 1. Для всякого элемента а группы О существует такой однозначно определенный элемент а-1, что аа~1 — а~1а = 1. Действительно, из определения группы вытекает существование таких однозначно определенных элементов а' и а"\ что аа' = 1, а"а= 1. Однако, применяя закон ассоциативности, мы получаем а"аа' = а"{аа') = а" . 1 = а", а"аа'— (а" а)а'— \ - а' —а', откуда а" = а'. Элемент а-1 называется обратным элементом для д. Ясно, что обратным для а~1 служит сам элемент а и что 1_1=1. Легко видеть также, что для любых элементов аь а2,..., ап (ага2... ап^апУ1 = αηιαή^ .,, a^aj\
36 ГРУППЫ И КОЛЬЦА [ГЛ. II 5. Следующая теорема часто облегчает проверку того, что данная полугруппа является группой: Полугруппа G тогда и только тогда будет группой, если в О существует по меньшей мере одна правая единица е, обладающая свойством ае = а для всех а е G, причем это е можно выбрать так, что для всякого а^.0 существует по меньшей мере один правый обратный элемент а'1, удовлетворяющий условию аа'1 = е. В одну сторону эта теорема доказана в предшествующем пункте. Пусть теперь дана полугруппа G, удовлетворяющая условиям теоремы. Покажем, что элемент е будет и левой единицей для G. Если аеОи а'1 — один из его правых обратных элементов, то еааГ1 =.ее = е = аа'1. Умножая обе части этого равенства справа на один из элементов, правых обратных для а-1, и используя однозначность произведения в полугруппе, мы получим еае = ае> откуда еа = а, что мы и хотели показать. Если теперь е' — любая правая единица для G, е" — любая левая единица, то, как и в доказательстве первой теоремы предшествующего пункта, мы получим, что е" = е', т. е. докажем существование и единственность в G единицы е. Пусть, далее, снова a^Q и а'1— один из правых обратных элементов для а. Умножая равенство аа'1 = е слева на а-1, мы получим а^ааг1 = а'1. Умножая это последнее равенство справа на один из правых обратных элементов для яГ1, мы приходим к равенству а^ае = е, откуда а~га = е. Элемент яГ1 оказался и левым обратным для а. Теперь, как и в доказательстве второй теоремы предшествующего пункта, легко проверяется, что любой левый обратный элемент для а равен любому правому обратному
§ 1] ГРУППОИДЫ, ПОЛУГРУППЫ, ГРУППЫ 37 элементу. Отсюда следует существование в О для всякого элемента а однозначно определенного обратного элемента а-1. Для завершения доказательства теоремы укажем, что решениями уравнений (3) служат соответственно элементы 4 х = а~гЬ и у = ЬаГ1. Единственность этих решений следует из того, что если, например, ах1 = ах2? то, умножая это равенство слева на а-1, мы получим х1 = х2. 6. Иногда, в частности при изучении абелевых групп, используется не мультипликативная, а аддитивная запись: групповая операция называется сложением, сумма записывается через а-\-Ь, единица группы называется нулем и обозначается символом 0, а вместо обратного элемента говорят о противоположном элементе и обозначают его через —а. При аддитивной записи для абелевых групп обратная операция— в этом случае она будет, конечно, единственной — называется вычитанием. Решение уравнения а-\-х = Ь называется разностью и записывается в виде b — а. Ясно, что b — a = b-\-(—а), и поэтому b — (a1 + a2) = b — a1 — a2. 7. Многочисленные важные примеры абелевых групп дают нам обычные операции над числами. Так, беря все целые числа —положительные, нуль и отрицательные — и рассматривая в этом множестве операцию сложения, мы получаем абелеву группу, называемую аддитивной группой целых чисел. Абелеву группу по сложению составляют также все рациональные числа — это аддитивная группа рациональных чисел. Можно говорить и об аддитивных группах всех действительных и всех комплексных чисел. Если же взять лишь натуральные числа, то они составляют по сложению полугруппу, называемую аддитивной полугруппой натуральных чисел, но не группу, так как вычитание здесь не всегда выполнимо. При составлении из чисел групп по умножению следует помнить, что ни в одну из них не войдет число нуль, так как деление на нуль невозможно. Мультипликативную группу составляют, например, все отличные от нуля рациональные
38 ГРУППЫ И КОЛЬЦА [ГЛ. II числа, равно как и лишь строго положительные рациональные числа. С другой стороны, по умножению полугруппами, но не группами, будут системы всех целых чисел, всех целых неотрицательных чисел и всех натуральных чисел. Как пример конечной абелевой группы назовем мультипликативную группу корней п-й степени из единицы. Порядок этой группы — а порядком конечной группы называется число ее элементов — равен п. 8. Перейдем к примерам некоммутативных групп и полугрупп. Назовем преобразованием множества Ж любое отображение этого множества в себя (т. е. на некоторое его подмножество). Частным случаем преобразования является подстановка, т. е. взаимно однозначное отображение множества Ж на себя. В 1.1.2. введено умножение отображений, понимаемое как их последовательное выполнение, и доказана ассоциативность этой операции. В применении к случаю преобразований мы получаем, что относительно операции последовательного выполнения все преобразования данного множества Ж составляют полугруппу; она называется симметрической полугруппой на множестве Ж. Так как последовательное выполнение двух подстановок множества Ж снова будет подстановкой, то можно говорить и о полугруппе подстановок на Ж. Тождественная подстановка, оставляющая на месте каждый элемент из Ж, является единицей этой полугруппы. С другой стороны, если χ— произвольная подстановка, переводящая всякий элемент α из Ж в элемент ах, то обратное преобразование, переводящее ах в а для всех а^: Ж, также будет подстановкой; она служит для χ обратной подстановкой. Таким образом, ввиду II. 1.5, по операции последовательного выполнения все подстановки данного множества Ж составляют группу; она называется симметрической группой на множестве Ж. Если множество Ж конечно и состоит из η элементов, то симметрическая группа на Ж, называемая симметрической группой п-й степени и обозначаемая через Sn9 будет конечной и имеет порядок п\. Конечной будет и симметрическая полугруппа на конечном множестве Ж. Другим примером некоммутативной группы является совокупность всех невырожденных квадратных матриц порядка η (где η ^ 2) с действительными элементами, рассматриваемая относительно операции умножения матриц.
$2] КОЛЬЦА, ТЕЛА. ПОЛЯ 39 § 2. Кольца, тела, поля 1. Вторым важнейшим алгебраическим понятием, наряду с понятием группы, является понятие кольца. Кольцом называется множество R, в котором заданы две бинарные алгебраические операции (в смысле II.1.2) — сложение и умножение, причем по сложению это должна быть абелева группа — аддитивная группа кольца R, — а умножение должно быть связано со сложением законами дистрибутивности: а (Ь + с) — аЪ + ас, {b-\-c)a — ba-\-са. (1) На само умножение в общем случае не накладывается никаких ограничений, т. е. кольцо R по умножению является лишь группоидом — это будет мультипликативный группоид кольца R. Если умножение в кольце ассоциативно, то мы называем кольцо ассоциативным кольцом и говорим о его мультипликативной полугруппе; если же умножение в кольце и ассоциативно, и коммутативно, то кольцо называется ассоциативно-коммутативным. Во всяком кольце законы дистрибутивности выполняются и для разности, т. е. a(b — c) = ab — ас, (Ь — с)а ~Ьа — са. (2) Действительно, по И. 1.6, c + (b-c) = b. Умножая обе части этого равенства слева на а, а затем применяя в левой части равенства первый из законов дистрибутивности (1), мы получим ас -f- а (Ь — с) = ab, откуда, снова по II. 1.6, вытекает первое из равенств (2). 2. Всякая абелева группа Q служит аддитивной группой некоторого кольца: достаточно предположить, что групповая операция группы G записывается аддитивно, а затем ввести в Q нулевое умножение, т. е. положить ab = 0 для любых а и b из О. Выполнение законов дистрибутивности (1) очевидно. Это нулевое кольцо с аддитивной группой G будет, конечно, ассоциативно-коммутативным. В теории
40 ГРУППЫ И КОЛЬЦА [ГЛ. II колец нулевые кольца играют роль, параллельную той роли, которую в теории групп играют абелевы группы. Первым примером ненулевого ассоциативно-коммутативного кольца служит кольцо целых чисел. В качестве примера ассоциативного, но не коммутативного кольца напомним кольцо квадратных матриц порядка η (где η ^ 2) с действительными элементами: операциями в этом кольце служат вводимые в курсе высшей алгебры сложение и умножение матриц. Укажем, наконец, один пример неассоциативного кольца. Это будет кольцо векторов трехмерного евклидова пространства, причем операциями служат обычное сложение векторов и определяемое в курсе аналитической геометрии векторное умножение векторов. Легко проверяется, что это умножение не будет ни ассоциативным, ни коммутативным, но что со сложением оно связано законами дистрибутивности (1). Читатель легко проверит также (или же найдет в учебниках по векторной алгебре), что в построенном нами кольце для любых векторов а, Ь, с выполняются следующие равенства: а2 = 0 (3) и тождество Якоби (аЬ) с + (be) a + {с а) 6 = 0. (4) Заметим, что из (3) вытекает закон антикоммутативности ba = — ab. Действительно, так как α2 = £2 = (α + 6)2 = 0, то 0 = (а + Ь)2 = а2 + аЬ + Ьа + Ь2 = аЬ + Ьа. 3. Всякое кольцо, удовлетворяющее условиям (3) и (4), называется лиевым кольцом. Лиевы кольца составляют важный класс колец, в общем случае неассоциативных; к ним принадлежат, впрочем, все нулевые кольца. Между ассоциативными и лиевыми кольцами существует следующая любопытная связь: Если R —произвольное ассоциативное кольцо, то, со- храняя аддитивную группу этого кольца, а операцию
§2] КОЛЬЦА, ТЕЛА, ПОЛЯ 41 умножения ab заменяя операцией коммутирования a°b—ab — ba, мы получим лиево кольцо R(_). В самом деле, проверим справедливость законов дистрибутивности; можно проверить хотя бы первый из законов (1) а ° (Ь + с) = а (Ь + с) —- (Ь + с) а = ab + ас — Ьа — с а == = (ab — Ьа) -\-(ас -—са) = а°Ь-\-а*с. Таким образом, множество /?, рассматриваемое с операциями сложения и коммутирования, оказывается кольцом; обозначим его через R(~\ Остается проверить справедливость равенств (3) и (4): а° а = аа — аа = 0, (a°b)°c-\-{b°c)°a-{-(c°a)°b = {ab — ba)c — с (ab — ba) + + (be —- cb) α — a (be — cb) + (ca — ac) b — b (ca — ac) = 0. Кольцо /?(_) оказалось лиевым. 4. Если в ассоциативном кольце R сохранить его аддитивную группу, а операцию умножения ab заменить операцией симметрирования a- b = ab-\-ba, то будет получено кольцо /?(+), в котором для любых элементов a, b выполняются равенства a-b = b- а, (5) [(а· а).й]. а = (а- а)-(Ь· а). (6) В самом деле, проверим хотя бы первый из законов дистрибутивности (1): а · (Ь + с) = а(Ь + с) + (Ь + с)а = а£ + ас + £я + са — = (а£ + ^а) + (ас + ^я) = а · ^ + л · с. Проверим теперь справедливость равенств (5) и (6): a-b = ab-\-ba=zba-\-ab = b* а, [(а · а)-Ь]- а = [(аа + аа)b-\-b (аа + аа)\ а-f- + а [(аа -f- аа) £ -f- £ (аа + яя)] = aaba + + аа£а + Ьааа + £ааа + ааа£ + aaab 4- + я£яа + aftaa = (яя + аа) (Ьа + а£) -f- + (Ьа + а£) (аа + аа) = (а- а)-(Ь- а).
42 ГРУППЫ И КОЛЬЦА [ГЛ. II Всякое кольцо, удовлетворяющее условиям (5) и (6), называется йордановым. В общем случае оно неассоциативное; к йордановым кольцам принадлежат, впрочем, все ассоциативно-коммутативные кольца. • 5. Во всяком кольце R любое произведение, в котором хотя бы один из сомножителей равен нулю, само равно нулю. Иными словами, я.0 = 0.а = 0 (7) для всех элементов а кольца R. В самом деле, если х — произвольный вспомогательный элемент кольца R, то, ввиду (2), а · 0 = а {х — х) = ах — ах = 0. Если а и Ь —любые элементы произвольного кольца R, то (-a)b = a(-b) = -ab, (8) (-a)(-ft) = a& (9) Действительно, a6 + (-a)ft = [a + (-a)]ft = 0.ft = 0. Так же проверяется и вторая половина равенства (8). С другой стороны, используя (8), получаем (—а)(—Ь)= -[а (—*)]= -(—aft) = aft, чем доказано и (9). 6. Заметим, что обращение утверждения, выражаемого равенством (7), справедливое в случае числовых колец, в общем случае не имеет места: существуют кольца, обладающие делителями нуля, т. е. такими отличными от нуля элементами а и Ь, произведение которых равно нулю: ab = 0. Примерами таких колец помимо любого нулевого кольца, являются кольца матриц. Мы уже упоминали кольцо действительных квадратных матриц. Вообще, если R — произвольное кольцо, то можно рассмотреть всевозможные квадратные матрицы порядка η с элементами из /?. Определяя для них обычным способом сложение и умножение, мы получим, как
§2] КОЛЬЦА. ТЕЛА, ПОЛЯ 43 легко проверить, кольцо, даже ассоциативное, если ассоциативно исходное кольцо /?. Нулем этого кольца служит нулевая матрица, составленная из нулей. Построенное кольцо называется полным кольцом матриц порядка η над кольцом R и обозначается через Rn. Если η ^ 2, а кольцо R состоит не только из одного нуля, то полное кольцо матриц Rn обладает делителями нуля. Действительно, если α— отличный от нуля элемент из R, то матрицы а 0 ... 0\ /0 ... О 0\ О 0 ... (Г ... , 0 ... О О \0 0 ... О/ \0 ... .0 а) отличны от нулевой матрицы, но их произведение равно нулю. Примерами колец с делителями нуля являются также полные кольца функций. Пусть даны произвольное множество Μ и произвольное кольцо /?. Рассмотрим множество всевозможных функций на Μ со значениями в R, т. е. всевозможных отображений / множества Μ в кольцо R; образ элемента х^М при отображении / будем обозначать здесь через f{x). Это множество функций превращается в кольцо, если сумма и произведение функций будут определены, как обычно, равенствами (J+g)W=f(x) + g(x)> <Jg){x)=n*)-g{x)> т. е. при помощи сложения и умножения значений заданных функций для всех χ из М. Легко проверяется, что все требования, входящие в определение кольца, выполняются и что полученное кольцо будет ассоциативным или коммутативным, если только ассоциативно или соответственно коммутативно исходное кольцо R. Построенное кольцо называется полным кольцом функций на множестве Μ со значениями в кольце R. Если М — множество точек числовой прямой, a R — совокупность действительных чисел, то наше кольцо будет обычным кольцом всех действительных функций действительного переменного.
44 ГРУППЫ И КОЛЬЦА ГГЛ. II Всякое полное кольцо функций на множестве М, содержащем не менее двух элементов, со значениями в кольце R, состоящем не из одного нуля, обладает делителями нуля. В самом деле, роль нуля в этом кольце играет нулевая функция, тождественно (т. е. для всех χ из М) равная нулю. Если же мы разобьем множество Μ на два непустых непересекающихся подмножества А и В, то существуют, очевидно, такие ненулевые функции fug, что / принимает нулевые значения на Л, a g — на В. Ясно, что произведение fg будет нулевой функцией. 7. Аесоциативно-коммутативное кольцо без делителей нуля называется областью целостности; таковы, в частности, всевозможные числовые кольца. Важные примеры областей целостности можно получить, используя следующую конструкцию. Если R—произвольное ассоциативно-коммутативное кольцо, то можно рассмотреть всевозможные многочлены а0 + ахх + а2х2 +... + апхп, # ^ О, относительно, неизвестного χ с коэффициентами а0, аь ... ..., ап из /?; если ап Φ О, то η будет степенью этого многочлена. Определяя сложение и умножение многочленов так же, как это делается в курсе высшей алгебры, мы получим, как нетрудно проверить, кольцо, называемое кольцом многочленов R[x] от неизвестного χ над кольцом R; это кольцо также будет ассоциативно-коммутативным. Нулем кольца многочленов служит многочлен, все коэффициенты которого равны нулю. Аналогично определяется кольцо многочленов R [хь х2,... ..., хп] от любого конечного числа неизвестных; оно будет при этом просто кольцом многочленов от одного неизвестного хп над кольцом R [хь ..., χη_ι]. Можно говорить и о кольце многочленов над R от любого бесконечного множества неизвестных, считая при этом, что каждый отдельный многочлен зависит лишь от некоторого конечного числа неизвестных. Если R —область целостности, то любое кольцо многочленов над R также будет областью целостности. Справедливость этого утверждения для кольца многочленов R[x] от одного неизвестного вытекает из того, что если многочлены fug отличны от нуля, а в R нет делителей нуля, то степень произведения fg равна сумме степеней сомножителей, т. е. это произведение также отлично от нуля. Переход к случаю любого конечного числа неизвестных
§2] КОЛЬЦА, ТЕЛА, ПОЛЯ 45 достигается простой индукцией, а в случае колец многочленов от бесконечного множества неизвестных достаточно учесть, что всякий многочлен записывается через конечное число неизвестных. 8. Над произвольным ассоциативно-коммутативным кольцом R можно рассматривать не только многочлены, но и (формальные) степенные ряды со а0 + а1х + а2х2 + ... + akxk + ... = ^ я*** (10) k = 0 от неизвестного х. Определение операций переносится с многочленов на степенные ряды без всяких затруднений: оо оо оо 2 акхк+ 2 &*** = Σ ("k + bk)**, 6=0 fc=0 6=0 оо оо оо 6=0 1=0 т = 0 где ст = 2 α Α' Как и в случае многочленов, проверяется, что мы получаем ассоциативно-коммутативное кольцо; оно называется кольцом степенных рядов от неизвестного χ над кольцом R и обозначается через R {х}. Переход к кольцам степенных рядов над R от любого конечного числа, а затем и от бесконечного множества неизвестных совершается так же, как для колец многочленов, причем в случае бесконечного множества неизвестных целесообразно наложить требование, что каждый степенной ряд зависит лишь от конечного числа неизвестных. Если R — область целостности, то любое кольцо степенных рядов над R также будет областью целостности. Достаточно рассмотреть случай кольца R \х\ от одного неизвестного. Если мы назовем нижней степенью степенного ряда (10) число η в том случае, когда α0 = α1 = ... = αΛ.1 = 0, αηφ0, то всякий ненулевой степенной ряд будет обладать нижней степенью. Ввиду отсутствия в R делителей нуля нижняя
46 ГРУППЫ И КОЛЬЦА [ГЛ. II степень произведения двух степенных рядов равна сумме нижних степеней сомножителей. Отсюда следует наше утверждение. 9. Понятие единицы, введенное в II. 1.4 для случая группы, переносится, конечно, на случай любого группоида или кольца R: это будет такой элемент I, что для всех элементов а из R а· 1 = 1 · а = а. Если единица в кольце R существует, то только одна. Ее может, однако, и не быть, как показывает пример кольца четных чисел. Всякое лиево кольцо (см. II.2.3), состоящее не только из одного нуля, является кольцом без единицы. Действительно, пусть лиево кольцо L обладает единицей 1. Тогда, по (3), полагая а=1, получаем 12 = 0. Таким образом, 1 = 0, откуда, ввиду (7), вытекает, что кольцо L состоит лишь из нуля. Если кольцо R обладает единицей, то единицами обладают также всевозможные кольца матриц над R, кольца функций со значениями в R, а в ассоциативно-коммутативном случае и кольца многочленов и кольца степенных рядов над R от любого числа неизвестных. Действительно, единицей кольца матриц служит единичная матрица, по главной диагонали которой стоит 1, а все элементы вне диагонали равны нулю. Единицей кольца функций является функция, тождественно равная 1. Наконец, единицей кольца многочленов (или кольца степенных рядов) служит многочлен (степенной ряд), все коэффициенты которого равны нулю, кроме а0, равного 1. 10. Всякое кольцо является по умножению группоидом а ассоциативное кольцо — полугруппой. Никакое кольцо, состоящее не только из нуля, не может быть по умножению группой, как вытекает из мультипликативного свойства нуля (7). Может оказаться, однако, что все отличные от нуля элементы кольца составляют группу по умножению. Такое кольцо — оно непременно будет ассоциативным — называется телом, а группа по умножению его отличных от нуля элементов — мультипликативной группой этого тела. Тело с коммутативным умножением называется полем. Основные примеры полей - поле рациональных чисел, поле
§ 31 ПОДГРУППЫ, ПОДКОЛЬЦА 47 действительных чисел и поле комплексных чисел. Пример некоммутативного тела будет указан в V. 6.8. Из определения тела следует, что тело не содержит делителей нуля. Далее, всякое тело обладает единицей — действительно, единица мультипликативной группы этого тела служит, ввиду (7), единицей для всего тела. Наконец, во всяком теле каждое из уравнений ах = Ь, уа = Ь, где а ф 0, (11) обладает решением, притом единственным. Действительно, если ЬфО, то оба уравнения (11) обладают однозначно определенными решениями в мультипликативной группе тела, а нуль не может удовлетворять ни одному из этих уравнений. Если же Ь = О, то нуль служит решением для каждого из уравнений (11) и никаких других решений нет ввиду отсутствия делителей нуля. Обратно, ассоциативное кольцо R будет телом, если в нем каждое из уравнений вида (11) при любом афО и произвольном Ь обладает хотя бы одним решением. Покажем прежде всего, что в R нет делителей нуля. Если афО и ЬфО, но аЬ = 0, то обозначим через е одно из решений уравнения ах = ау а через с —одно из решений уравнения Ьх = е. Тогда О = 0 · с = dbc — ае — а, что противоречит условию. Отсюда следует, что множество отличных от нуля элементов кольца R будет мультипликативной полугруппой. Оно будет даже группой, так как уравнения (11) обладают при афО и ЬфО решениями в самом этом множестве, а единственность этих решений следует из отсутствия в R делителей нуля: если, например, ах1 = ах2 и афО, то α (Χι — х2) = 0 и поэтому хх = х2. Теорема доказана. С вопросом о перенесении понятия тела на случай неассоциативных колец мы встретимся в Н.б.1. § 3. Подгруппы, подкольца 1. Непустое подмножество А группоида G называется подгруппоидом в G, если произведение любых двух элементов из А само принадлежит к А. Если G — полугруппа, то подгруппоид А естественно назвать подполугруппой. Если же
48 ГРУППЫ И КОЛЬЦА [ГЛ. II О — группа, то подгруппой этой группы мы назовем такую подполугруппу Ау которая сама является группой относительно операции, определенной в группе О; для этого достаточно, чтобы подполугруппа А вместе со всяким своим элементом а содержала и его обратный элемент ал1. Не всякая подполугруппа некоторой группы обязана быть подгруппой этой группы, как показывает пример аддитивной полугруппы натуральных чисел, являющейся подполугруппой, но не подгруппой, аддитивной группы всех целых чисел. Заметим, что имеет смысл говорить и о подгруппах любой полугруппы. Так, симметрическая группа на произвольном множестве Ж (см. П. 1.8) является подгруппой симметрической полугруппы на этом же множестве. 2. Подкольцом кольца R называется всякое подмножество А этого кольца, само являющееся кольцом относительно операций, определенных в R. Иными словами, А должно быть подгруппой аддитивной группы кольца R и подгруппоидом мультипликативного группоида этого кольца: законы дистрибутивности, будучи справедливыми в R, выполняются, конечно, и в Л. Можно говорить, в частности, о подкольце тела или поля. Так, кольцо целых чисел является подкольцом поля рациональных чисел. Аналогично определяются понятия подтела и подполя. Можно говорить при этом о подтеле (подполе) не только тела, но и любого кольца. Так, в кольце многочленов Ρ [χ] над произвольным полем Ρ многочлены нулевой степени, к которым добавлен нуль, составляют подполе. 3. Подгруппами всякой группы G являются, в частности, сама эта группа и единичная подгруппа Е, составленная из одной единицы. Аналогично подкольцами всякого кольца R служат само это кольцо и нулъ-подкольцо, составленное из одного нуля. Для получения более интересных примеров подгрупп введем понятие о степенях элементов. Пусть G — произвольная полугруппа и а — ее элемент. Ассоциативность умножения позволяет обычным путем определить положительные степени ап элемента а, я=1, 2, ..., причем, как обычно, ак-а1 = аш, (1) (akY = akl. (2)
§3] ПОДГРУППЫ. ПОДКОЛЫДА 49 Из (1) следует, что все положительные степени элемента а составляют в полугруппе О абелеву подполугруппу, называемую циклической подполугруппой элемента а. Если же G—группа, то мы положим а°=1, а затем введем отрицательные степени элемента а. Именно, если п— любое натуральное число, то легко проверяется равенство из которого вытекает, что (а-Г = (апу\ (3) Элемент, равный обеим частям равенства (3), мы и обозначим через сГп. Равенства (1) и (2) остаются справедливыми для любых степеней элемента а группы О, а поэтому все степени элемента а, включая нулевую и отрицательные, составляют в группе О абелеву подгруппу, называемую циклической подгруппой элемента а и обозначаемую через {а}. При аддитивной записи групповой операции вместо степеней элемента следует говорить о кратных этого элемента. 4. Степени элемента а группы G, имеющие различные показатели, не обязаны быть различными элементами этой группы, как вытекает хотя бы из существования конечных групп. Если все степени элемента а действительно различны, то а называется элементом бесконечного порядка, а в противном случае — элементом конечного порядка. В этом втором случае существуют такие целые числа k и /, что k > /, но ak = al. Отсюда ak~l=l9 причем &--/;> О, т. е. существуют равные единице степени элемента а с натуральными показателями. Наименьший среди таких показателей называется порядком элемента а. Если а — элемент конечного порядка я, то степени 1 = а°, а, а2, ..., ап~1 (4) будут, очевидно, различными элементами группы. Всякая другая степень ak элемента а, положительная или отрицательная, равна одному из элементов (4). Действительно, если k — nq-\-r, 0 ^ г <Zn,
50 ГРУППЫ И КОЛЬЦА [ГЛ. II то, ввиду (1), (2) и равенства ап=\, ак = (аУаг=аг. Отсюда следует, что порядок η элемента конечного порядка а совпадает с порядком (см. П. 1.7) его циклической подгруппы {а}. Группа, все элементы которой имеют конечные порядки, не обязательно ограниченные в совокупности, называется периодической. С другой стороны, группа называется группой без кручения, если все ее элементы, кроме 1, бесконечного порядка. 5. В случае колец возникает естественный вопрос об аналоге циклической подгруппы, т. е. о минимальном под- кольце, содержащем данный элемент. Пусть R— произвольное (не обязательно ассоциативное) кольцо и а — его элемент. Всякое подкольцо кольца /?, содержащее а, содержит также всевозможные произведения по η множителей, равных а (я=1, 2, 3, ...); эти произведения играют роль положительных степеней элемента а. Ввиду возможной неассоциативности умножения во всяком таком произведении должны быть некоторым образом распределены скобки, причем так, чтобы каждый раз перемножались лишь два элемента кольца. Для л = 3 таких произведений будет два — (аа) а и а(аа), для η = 4 — пять, и т. д. Всякое подкольцо, содержащее а, содержит и всевозможные суммы любого конечного числа указанных произведений, взятых с любыми целыми коэффициентами. Элементы кольца R, записываемые в виде таких сумм (быть может, и неоднозначно), сами составляют, однако, подкольцо в R; это и будет искомое подкольцо, порожденное элементом а. Из сказанного следует, что если кольцо R ассоциативно, то подкольцо, порожденное элементом а, состоит из всех тех элементов кольца R, которые хотя бы одним способом записываются в виде суммы (с целыми коэффициентами) положительных степеней элемента а. Это подкольцо будет, таким образом, коммутативным. 6. Всякая подгруппа группы G содержит единицу этой группы, всякое подкольцо кольца R — нуль этого кольца. Пересечение любой системы подгрупп группы G (любой системы подколец кольца R) будет, следовательно, непустым.
5 3] ПОДГРУППЫ, ПОДКОЛЬЦА 51 Пересечение любой системы подгрупп группы О является подгруппой этой группы. Аналогично, пересечение любой системы подколец кольца R будет подкольцом этого кольца, пересечение любой системы подполугрупп некоторой полугруппы, если оно не пусто, будет подполугруппой, и т. д. Докажем хотя бы первое утверждение. Пусть в группе G взята произвольная система подгрупп Аа, где α пробегает некоторое множество индексов, и пусть D — пересечение этих подгрупп. Если Ь и с — любые элементы из Д то их произведение be содержится в каждой из подгрупп Аа, т. е. содержится в D. С другой стороны, для любого Ъ е D элемент Ь х принадлежит к каждой из подгрупп Ла, а поэтому ί)"1 g D. Множество D будет, следовательно, подгруппой группы G. 7. Пусть О будет или группой, или кольцом, или телом, или полугруппой, или алгебраической системой какого-либо другого из встречавшихся нам типов. Если Μ — любое подмножество из G, то существует минимальная подгруппа (соответственно подкольцо, подтело и т. д.), содержащая подмножество М, — подгруппа, порожденная множеством М; обозначается она через {Λί}. Именно, это будет пересечение всех подгрупп группы G, целиком содержащих Ж; по меньшей мере одна такая подгруппа существует, а именно — сама G. Легко проверить, обобщая данное в Н.3.3 определение циклических подгрупп, что подгруппа \М\ состоит из тех и только тех элементов группы G, которые хотя бы одним способом могут быть записаны в виде некоторого произведения степеней конечного числа элементов из М. Аналогично, обобщая сказанное в П.3.5, мы получим, что подкольцо, порожденное в кольце R множеством М, состоит из всех тех элементов кольца R, которые хотя бы одним способом могут быть записаны в виде суммы (с целыми коэффициентами) произведений конечного числа элементов из М\ в неассоциативном случае эти произведения рассматриваются, конечно, с некоторым распределением скобок. 8. Применяя сказанное выше к случаю, когда в группе Q задана некоторая система подгрупп Л/, / е /, а множество Μ
52 ГРУППЫ И КОЛЬЦА [ГЛ. II является объединением всех Аь мы придем к понятию под- группы, порожденной заданной системой подгрупп', обозначается она через {Ab i е /} в общем случае, через {А, В}, если речь идет об объединении двух подгрупп Л и β, и т. д. Аналогичный смысл имеет понятие подкольца, порожденного в кольце заданной системой подколец. 9. Если G — или группа, или кольцо, и т. д., то в О существуют такие подмножества Ж—-само G, например,— что {M}=G. Всякое такое подмножество Μ называется системой образующих для G. Если G обладает хотя бы одной конечной системой образующих, то говорят, что (л —группа (или полугруппа, или кольцо) с конечным числом образующих. Система образующих может состоять, в частности, из одного элемента. Группы, обладающие одним образующим элементом, т. е. совпадающие с одной из своих циклических подгрупп, называются циклическими группами. Полное обозрение циклических групп будет дано в следующем параграфе. § 4. Изоморфизм 1. Понятие изоморфизма может быть введено для каждого из рассматриваемых в этой главе типов алгебраических систем, причем оно играет здесь ту же роль, что и для частично упорядоченных множеств (см. 1.4.3): изоморфные группы, например, могут рассматриваться как тождественные, как два экземпляра одной и той же группы всякий раз, когда изучается сама групповая операция, а природа элементов, из которых группы составлены, не играет роли. Переходим к определениям. Группоиды G и G' называются изоморфными, если существует такое взаимно однозначное отображение φ группоида G на группоид G', что для любых элементов a, b gG (аЪ) φ = αφ · by. Само отображение φ с этими свойствами называется изоморфным отображением. Ясно, что свойство группоидов быть изоморфными симметрично (отображение, обратное изо-
§4] ИЗОМОРФИЗМ 53 морфному, само будет изоморфным) и транзитивно; оно и рефлексивно— достаточно рассмотреть тождественное отображение группоида на себя. Изоморфизм группоидов О и G' записывается обычно символом Этот же символ будет использоваться нами для записи изоморфизма и в случае других алгебраических образований. Понятно, что при изоморфном отображении сохраняются все свойства группоида, формулируемые на языке операции, заданной в этом группоиде, в частности такие, как ассоциативность, коммутативность, существование единицы и обратных элементов. Покажем на простом примере, как доказываются такого рода утверждения. Пусть Q — коммутативный группоид, а φ — его изоморфное отображение на группоид G'. Если а' и Ъ' — любые элементы из О', а а и Ъ — такие элементы из G, что αφ — α', ΰφ = b', то (ab) φ = а'Ь\ (ba) φ = b'a', и из равенства ab = ba и однозначности отображения вытекает равенство a'b'—b'a'. Отсюда следует, что изоморфным образом полугруппы, группы или абелевой группы будет полугруппа или соответственно группа, или абелева группа. Два кольца называются изоморфными, если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие, являющееся изоморфизмом как для аддитивных групп, так и для мультипликативных группоидов этих колец. Ясно, что при изоморфизме сохраняется свойство кольца быть ассоциативным, коммутативным, лиевым или йордановым, а также свойство быть телом. Укажем один интересный пример изоморфизма групп: мультипликативная группа положительных действительных чисел изоморфна аддитивной группе всех действительных чисел. В самом деле, ставя в соответствие каждому положительному числу его логарифм по некоторому фиксированному основанию, мы получим взаимно однозначное отображение первой из указанных групп на вторую. Изо- морфность этого отображения вытекает из того, что логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей.
54 ГРУППЫ И КОЛЬЦА [ГЛ. II 2. Переходя к обещанному в Н.3.9 обозрению всех циклических групп, начнем с некоторых примеров. Аддитивная группа целых чисел служит примером бесконечной циклической группы, так как всякое целое число кратно числу 1. С другой стороны, мультипликативная группа корней #-й степени из единицы служит примером конечной циклической группы порядка п, как вытекает из существования первообразного корня л-й степени из единицы. Все бесконечные циклические группы изоморфны аддитивной группе целых чисел и поэтому изоморфны между собой. Все конечные циклические группы порядка η изоморфны мультипликативной группе корней п-й степени из единицы и поэтому изоморфны между собой. Докажем первое из этих утверждений. Если О —бесконечная циклическая группа с образующим элементом а, то соответствие ak-*k будет взаимно однозначным отображением группы G на всю аддитивную группу целых чисел. Изоморфность этого отображения вытекает из II.3.3, формула (1). Для доказательства второго утверждения достаточно установить соответствие между степенями (с одинаковыми показателями) образующего элемента заданной циклической группы и соответствующего первообразного корня из единицы. В силу этой теоремы для того, чтобы получить, например, обозрение всех подгрупп бесконечной циклической группы, достаточно рассмотреть аддитивную группу целых чисел. Все ненулевые подгруппы аддитивной группы целых чисел исчерпываются совокупностями чисел, кратных некоторому натуральному числу п. Ясно, в самом деле, что все целые числа, кратные натуральному числу я, составляют подгруппу, а именно циклическую подгруппу числа п, причем при различных η эти подгруппы различны. С другой стороны, если А — любая ненулевая подгруппа аддитивной группы целых чисел, то она не может состоять лишь из отрицательных чисел, так как 'вместе со всяким числом должна содержать и число, ему противоположное. Пусть п — наименьшее натуральное число, содержащееся в подгруппе А. Если а — любое число из Л,
§ 4] ИЗОМОРФИЗМ 55 то пусть a==qn-^r> о ^ г << п. Тогда г = a — qn^ А, а поэтому, ввиду выбора числа п, г = 0, т. е. a = qn, что и требовалось доказать. Таким образом, всякая подгруппа бесконечной циклической группы сама является циклической. Это же верно и для конечных циклических групп. 3. Говорят, что группоид О изоморфно вкладывается в группоид G', если существует изоморфное отображение группоида G на некоторый подгруппоид группоида G'. Это понятие переносится, конечно, и на случай колец. Всякое кольцо R изоморфно вкладывается в полное кольцо матриц Rn (см. П.2.6). В самом деле, скалярные матрицы, т. е. матрицы, имеющие на главной диагонали один и тот же элемент а, а вне этой диагонали нули, составляют в Rn подкольцо, изоморфное кольцу R. Всякое кольцо R изоморфно вкладывается в полное кольцо функций на данном множестве Μ со значениями в R (см. И.2.6). Действительно, функции, принимающие для всех χ из Μ одно и тоже значение а е /?, составляют в кольце функций подкольцо, изоморфное кольцу R. Для произвольного ассоциативно-коммутативного кольца R кольцо многочленов R [х] изоморфно вкладывается в кольцо степенных рядов R {х} (см. П.2.8). В самом деле, степенные ряды, имеющие не более конечного числа отличных от нуля коэффициентов, составляют в R [х\ подкольцо, изоморфное кольцу R [х]. 4. Несколько больше усилий требует доказательство следующей теоремы: Всякое кольцо R изоморфно вкладывается в кольцо с единицей. Если при этом кольцо R ассоциативно или коммутативно, то его можно вложить соответственно в ассоциативное или коммутативное кольцо с единицей. Доказательство. Рассмотрим множество всевозможных пар вида (a, k)> где а ^ R, k — целое число. Определим
56 ГРУППЫ И КОЛЬЦА [ГЛ. II сумму и произведение таких пар равенствами: (а, k) + (by l) = (a + b, k + l), (1) (а, А)(й, l) = (ab + la + kb, kl). (2) По сложению мы получаем, очевидно, абелеву группу. Так как [(a, k) + (b, t)](c, т) = (а + Ь, k + l)(с, /и) = = ((а + й)£ + /я(а + й) + (£ + /)<7, (А+ /)"*) = = (ас + та + kc + bc + mb + lc, km + lm) = = (ас + та + kc, km) + (be + mb + lc, lm) = = (a, k)(c, m) + (b, l)(c, m) и так же проверяется второй закон дистрибутивности, то нами построено кольцо. Из (2) следует, что (а, А) (0, 1) = (0, 1)(а, А) = (а, А), т. е. пара (0, 1) служит единицей этого кольца. Наконец, ввиду (1) и (2), (а, 0) + (Ь, 0) = (а + Ь, 0), (a, 0)(ft, 0) = (aft, 0), т. е. пары вида (а, 0) составляют в нашем кольце пар под- кольцо, изоморфное кольцу R. Этим доказано первое утверждение теоремы. Второе утверждение легко следует из (2). Заметим, что построенное нами кольцо вовсе не является единственным (или минимальным) кольцом с единицей, содержащим (в смысле изоморфного вложения) заданное кольцо R — так, уже само кольцо R могло обладать единицей. 5. Всякий группоид изоморфно вкладывается в мультипликативный группоид некоторого кольца, причем ассоциативный или коммутативный группоид может быть вложен в кольцо, обладающее таким же свойством. Для доказательства рассмотрим всевозможные суммы вида Σ k*a> (3) где а пробегает все элементы данного группоида G, а коэффициенты ka являются целыми числами, причем не более конечного числа этих коэффициентов отлич-
§4] ИЗОМОРФИЗМ 57 но от нуля. Следующим образом определим сложение и умножение сумм вида (3): Σ k*a+ Σ 1*α= Σ (ka + Qa> (4) a^G ч a^G a^G Σ kaa- Σ У> = Ц*Л (5) a^G b<=G c^G где тс является суммой всех отличных от нуля произведений kalb для таких а и Ь, что ab = с. Ясно, что правые части равенств (4) и (5) являются суммами вида (3); так, равенство (5) имеет тот смысл, что конечные суммы, входящие в качестве множителей в левую часть этого равенста, должны перемножаться почленно, далее, kaa · lbb = (kalb) {ab), причем произведение ab следует понимать в смысле операции, заданной в группоиде О, а затем выполняется приведение подобных членов. По сложению мы получаем, конечно, абелеву группу. Проверка законов дистрибутивности, а также доказательство того, что из ассоциативности или коммутативности умножения в группоиде G следует это же для умножения сумм вида (3), несколько громоздки, но не представляют никаких принципиальных трудностей, и их проведение предоставляется читателю. Таким образом, всевозможные суммы вида (3) составляют кольцо относительно операций, определенных равенствами (4) и (5). Те суммы вида (3), у которых ka = 1 для какого-то одного элемента а из G, а все остальные коэффициенты равны нулю, составляют, как вытекает из (5), подгруппоид мультипликативного группоида этого кольца, изоморфный заданному группоиду G. Теорема доказана. Построенное нами кольцо называется целочисленным группоидным кольцом группоида G. Если группоид Q является полугруппой или группой, то говорят соответственно о целочисленном полугрупповом кольце и целочисленном групповом кольце. 6. Всякая группа Q изоморфно вкладывается в симметрическую группу на некотором множестве Μ (см. II. 1.8). В качестве Μ можно взять при этом множество элементов самой группы G.
58 ГРУППЫ И КОЛЬЦА [ГЛ. (I В самом деле, поставим в соответствие каждому элементу а группы G преобразование этой группы, переводящее любой элемент χ из G в элемент ха. Так как из χ Фу следует хафуа и, кроме того, для любого χ из G имеет место равенство {ха'1) а — х, то преобразование х->ха отображает G на себя взаимно однозначно, т. е. является подстановкой. Далее, если афЪ, то и подстановки, соответствующие этим элементам, будут различными, так как, например, \ -аф\ -Ь. Наконец, равенство (ха) b = x (ab) показывает, что подстановка, соответствующая произведению аЬу совпадает с результатом последовательного выполнения подстановок, соответствующих элементам а и Ь. Всякая полугруппа G изоморфно вкладывается в симметрическую полугруппу на некотором множестве Μ (см. П. 1.8). Для доказательства изоморфно вложим полугруппу G, используя П.4.5, в мультипликативную полугруппу некоторого ассоциативного кольца /?, изоморфно вложим затем это кольцо, по II.4.4, в ассоциативное кольцо R с единицей и обозначим через G мультипликативную полугруппу этого последнего кольца. Так как в G существует такой элемент 1, что из а Ф о следует 1 · а Ф 1 · b, то, почти дословно повторяя доказательство предшествующей теоремы, мы получим, что полугруппа G изоморфно вкладывается в симметрическую полугруппу на самом множестве О. Этим достигается искомое вложение и для заданной полугруппы G. Заметим, что возможность вложения любого группоида (и, в частности, любой полугруппы) в группоид (полугруппу) с единицей можно было бы доказать и непосредственно, без перехода к кольцам. § б. Вложение полугрупп в группы и колец в тела 1. Не всякая полугруппа G может быть изоморфно вложена в какую-либо группу — необходимым условием для этого является выполнимость в G закона сокращения (см. II. 1.3): Из ас = Ьс, а также из ca = cb следует а = Ь.
§ 5] ВЛОЖЕНИЕ ПОЛУГРУПП В ГГУППЫ И КОЛЕЦ В ТЕЛА 59 Пример полугруппы, не удовлетворяющей этому условию, построить очень легко. Аналогично не всякое ассоциативное кольцо R может быть изоморфно вложено в какое-либо тело —для этого необходимо (см. И.2Л0) отсутствие в R делителей нуля. Указанные необходимые условия в общем случае вовсе не являются достаточными. -X Необходимые и достаточные условия для вложимости полугруппы в группу выражаются в виде бесконечного множества требований вида: «из данной системы равенств следует такое-то равенство»; они не могут быть записаны при помощи конечного числа таких требований [А. И. Мальцев, Мат. сб. 6 (1939), 331—336; 8 (1940), 251—264]. Существуют ассоциативные кольца без делителей нуля, которые не могут быть вложены в тело [А. И. Мальцев, Math. Ann. ИЗ (1937), 686—691]. * 2. Целью этого параграфа является доказательство того, чго приведенные выше необходимые условия для вложимости полугруппы в группу и ассоциативного кольца в тело будут в коммутативном случае и достаточными. Начнем с доказательства следующего вспомогательного утверждения: Пусть в абелевой полугруппе О выделена подполугруппа S, причем в G можно выполнять сокращение на элементы из S, т. е. из ах = Ьх, где χ е S, a, b gG, всегда следует а = Ь. Тогда полугруппу Q можно изоморфно вложить в такую абелеву полугруппу Q с единицей, что всякий элемент из S обладает в G обратным элементом. Рассмотрим множество всевозможных дробей вида —, где a^.Qy ,vg5, понимая под этим просто упорядоченную пару элементов а, х. Дроби — и — будем считать равными, χ у а __ Ь χ ~ у ' в том и только в том случае, если ау — Ъх. Это отношение равенства будет, очевидно, рефлексивным и симметричным. Оно и транзитивно, так как если также | = с_ у ~ ζ »
60 ГРУППЫ И КОЛЬЦА [ГЛ. IB . т. е. bz — cy, то ayz = bxz = сух, откуда, после сокращения на у ^ S, получаем az = сх или Ξ. — с χ ~~ ζ ' Таким образом (см. I. 3.2), все множество дробей распадается на непересекающиеся классы равных дробей. Множество этих классов обозначим через G. Определим умножение дробей равенством a b _ ab ,-v χ ' у ~ ху ' \ Это определение имеет смысл, так как xy^S. Если χ χι* у уг' } т. е. ах1 = а1х, by1 = bly, (3) то аЬхгуг = афхху, откуда ab _ а1Ь1 Таким образом, заменяя в левой части равенства (1) множители равными им дробями, мы получим произведение, равное правой части равенства (1). Это позволяет рассматривать равенство (1) как определение умножения классов равных дробей. Ассоциативность и коммутативность этого умножения очевидны, а поэтому О превращено нами в абелеву полугруппу. Все дроби вида ·—, ^gS, равны между собой. С другой стороны, если а _ z χ ~~ ζ ' то αζ = ζχ, т. е., после сокращения на ζ, α —χ. Дроби вида — составляют, следовательно, отдельный класс. Этот класс
§ 5] ВЛОЖЕНИЕ ПОЛУГРУПП В ГРУППЫ И КОЛЕЦ В ТЕЛА 61 играет роль единицы полугруппы G. Действительно, так как дроби можно сокращать на общий множитель, принадлежащий к S: XZ X ' ввиду (αζ) χ = α (хг), то α г __ αζ __ α л: 2 #ζ д; Если а — фиксированный элемент из Q, то все дроби вида — равны между собой: из (ах)у = (ау)х следует ах _ ау ~х~~~ул С другой стороны, если ах __ Ь χ ~~ у ' то алгу = йлг, т. е. b — ау. Наконец, если * ~~ у ' то аху — Ьух, откуда а = £. Таким образом, ставя в соответствие каждому элементу а из G класс равных между собою дробей вида —, мы получаем взаимно однозначное отображение полугруппы G в полугруппу G. Изоморфность этого отображения вытекает из равенства ах by __ (ab) (xy) χ у ху Для завершения доказательства заметим, что элементу ζ е S соответствует класс дробей вида —. Существование в полугруппе G обратного элемента для этого класса вытекает из следующего замечания: Класс дробей, равных дроби —, где х, у е S, обладает в полугруппе G обратным элементом. Им служит класс дробей, равных дроби —. Действительно,
62 ГРУППЫ И КОЛЬЦА [ГЛ. II 3. Из доказанного выше утверждения и последнего замечания предшествующего пункта вытекает теорема (случай S = Q): Всякая абелева полугруппа с законом сокращения может быть изоморфно вложена в абелеву группу. Так, применяя изложенную конструкцию к аддитивной полугруппе натуральных чисел, являющейся абелевой полугруппой с законом сокращения, читатель получит обычное вложение этой полугруппы в аддитивную группу целых чисел. 4. Пусть в ассоциативно-коммутативном кольце R выделено множество N элементов, отличных от нуля и не являющихся делителями нуля. Тогда кольцо R можно изоморфно вложить в такое ассоциативно-коммутативное кольцо R с единицей, что всякий элемент из N обладает в R обратным элементом. Заметим сперва, что подполугруппа 5 мультипликативной полугруппы кольца R, порожденная множеством N (см. II. 3. 7), также не содержит ни нуля, ни делителей нуля. Действительно, 5 состоит из всевозможных произведений элементов из N. Однако, если а^=0, ЬфО и оба эти элемента не являются делителями нуля, то ab^=0 и из (ab)c = 0 следует be —0 и поэтому с = 0. Таким образом, в мультипликативной полугруппе кольца R можно выполнять сокращение на элементы из 5, а поэтому по II.5.2 эта полу£руппа вкладывается в такую коммутативную полугруппу R с единицей, в которой всякий элемент из S и, в частности, из N обладает обратным элементом. Будем считать, что полугруппа R получена конструкцией, указанной в II.5.2. Желая превратить R в кольцо, определим сложение дробей вида —, а е R, χ ^ S, равенством χ у ху ' ^ ) Это определение имеет смысл, так как ху е 5. Если имеют место равенства (2) и поэтому (3), то (ay -f bx) xxyx = ayxLyx -f bxx1y1 = аххууг + Ь1ухх1 = βΙβιΛ + Μι)^.
§ 5] ВЛОЖЕНИЕ ПОЛУГРУПП В ГРУППЫ И КОЛЕЦ В ТЕЛА 63 т. е. ау + Ьх _ a1y1 + b1xl ху хгуг Таким образом, равенство (4) можно рассматривать как определение сложения классов равных дробей, т. е. сложения в R. Коммутативность этого сложения очевидна, а ассоциативность легко проверяется на основании (4). Все дроби вида — равны между собою и составляют полный класс равных дробей. Этот класс играет в R роль нуля, так как а , 0 _ az __ a X ' Ζ ~ ΧΖ ~ X ' Далее, всякий элемент из R обладает противоположным элементом, так как а , (— а) ___ α# + (— α) χ _ О χ * χ ~~ х2 х2 ' Мы получаем, следовательно, что R будет по сложению абе- левой группой. Сложение и умножение связаны в R законом дистрибутивности: а с , Ъ с ас , bc_ __ acyz + bcxz _ асу + hex χ * ζ ~*~ у ζ ~ xz ' yz ~~ xyz2 ~~ xyz ~~ с ζ ас , be __ acyz + bcxz ~ xz ' yz ~~' xyz2 ay + bx с xy ζ ~(т + }) Таким образом, R оказывается ассоциативно-коммутативным кольцом. Как мы знаем, отображение, переводящее каждый элемент а е R в класс равных между собою дробей вида —, изоморфно по умножению. Оно изоморфно и по сложению, как показывает равенство ах j. by __ аху + Ьух (а + Ь) ху χ ' у ~~ ху ху Доказательство теоремы закончено. Кольцо R, построенное нами, называется кольцом дробей кольца R по множеству неделителей нуля N (или по мультипликативной полугруппе неделителей нуля S). Как мы знаем из 11.5.2, в кольце дробей R обратными элементами обладают не только
64 ГРУППЫ И КОЛЬЦА [ГЛ. II все элементы из S, но и вообще все элементы, пред ставимые дробями вида —, где х, j/g5. 5. Применим полученные результаты к случаю, когда R является областью целостности (см. 11.2.7). В этом случае можно положить N = R\0, причем S = N. Мы приходим к очень важной теореме: Всякая область целостности R изоморфно вкладывается в поле. Действительно, в этом случае в виде —, где х, j/g5, записывается всякий элемент из R, отличный от нуля, т. е. всякий такой элемент обладает в R обратным элементом. Кольцо R будет, следовательно, полем; это — поле дробей области целостности R. χ Пусть ассоциативное кольцо R без делителей нуля удовлетворяет следующему условию, в коммутативном случае всегда выполняющемуся: для любых элементов а и Ъ из R, отличных от нуля, в R можно найти такие отличные от нуля элементы χ и у, что ах = Ьу. Тогда R изоморфно вкладывается в тело [Орэ, Ann. of Math. 32 (1931), 463—477]. * 6. Установленная выше теорема существования поля дробей дополняется следующей теоремой единственности: Пусть R — область целостности, R — ee поле дробей) пусть, с другой стороны, R является подкольцом некоторого поля Р, причем подполе поля Р, порожденное множеством R, совпадает с самим Р. Тогда между R и Ρ существует изоморфное соответствие φ, тождественно отображающее кольцо R на себя, причем это соответствие φ однозначно определено. Условимся элемент а кольца /?, рассматриваемый как элемент поля Р, обозначить через а'. Таким образом, соответствие а—> а' есть тождественное отображение кольца R на себя. Докажем сначала, что если изоморфное отображение φ поля R на поле Р, тождественное на R, существует, то оно _ а однозначно определено. Действительно, если -т-— произвольная дробь, то из Ь- τ =а о
§ 5] ВЛОЖЕНИЕ ПОЛУГРУПП В ГРУППЫ И КОЛЕЦ В ТЕЛА 65 следует т. е., ввиду αφ = α', by ·-= b1\ Таким образом, изоморфизм φ переводит элемент -г поля R в частное элементов а' и й' поля Ρ и поэтому определен однозначно. Переходим к доказательству основного утверждения теоремы. Поставим в соответствие элементу -г поля R частное а' , .t тл а' (а\ -тт элементов а и о поля Р, причем положим — = I —- φ. CL С Если — = — т. е. ad —be, то в Ρ справедливо равенство а' a'd'=b'c', а поэтому, ввиду равенства Ь' · -тт — а', будет откуда b'd9'~=za'd'' = Ь'с'9 о Ь' а' с' т. е. ~гг = -тт-. Отображение φ не зависит, следовательно, от выбора записи элемента поля R в виде дроби, т. е. является однозначным отображением поля R в поле Р. Оно будет даже взаимно однозначным отображением, так как если в поле Ρ а' с' имеет место равенство тт - =^ ~ f то a'd' — b'c'y а поэтому в кольце R будет ad —be, откуда в поле R вытекает равен- а с ство -г- = —. 6 d Изоморфность отображения φ следует из того, что равенства (1) и (4), определяющие умножение и сложение дробей, заведомо справедливы для частных в произвольном поле Р. Мы получили изоморфное отображение поля дробей R в поле Р. Оно будет тождественным на кольце /?, так как для любого αεί? аЬ \ а'Ь' , 0
66 ГРУППЫ И КОЛЬЦА [ГЛ. II Наконец, мы знаем, что изоморфным образом поля всегда является поле. Следовательно, те элементы поля Р, которые записываются в виде частных элементов из /?, составляют в поле Ρ подполе, содержащее все кольцо R и поэтому, по условию теоремы, совпадающее с Р. Нами построено, следовательно, изоморфное отображение φ поля R на все поле Р, тождественное на R. 7. Полем дробей для кольца целых чисел служит поле рациональных чисел. Если Р—произвольное поле, то кольцо многочленов Р[х] является областью целостности (см. 11.2.7) и поэтому вкладывается в поле дробей. Это поле обозначается через Р(х) и называется полем рациональных дробей от неизвестного fix) χ над полем Р. Его элементы имеют вид дробей (' , где f(x) и g(x) — многочлены из Р[х], причем g(x)=^=0, а равенство этих дробей и операции над ними определяются в соответствии с П. 5.2 и II. 5.4. Аналогичный смысл имеет понятие поля рациональных дробей Ρ (хь х2, ..., хп) от нескольких неизвестных. χ Поле дробей для кольца степенных рядов Ρ {χ} над полем Ρ (см. II. 2.8) изоморфно полю «лорановых» степенных рядов над Р, т. е. рядов вида anxn + an+1xn+1+...i (5) где η может быть больше, равно или меньше нуля, а все коэффициенты принадлежат к Р; ряд (5) в общем случае содержит, следовательно, конечное число членов с отрицательными степенями неизвестного χ и бесконечно много членов с его положительными степенями. Операции над этими рядами выполняются по правилам, естественно обобщающим правила операций в кольце Ρ{χ}, # § β. Неассоциативные тела, квазигруппы. Изотопия 1. Понятие тела можно перенести на неассоциативный случай несколькими неэквивалентными способами. Так, можно рассматривать такие кольца, в которых для любых элементов а и Ь, где α=£θ, уравнения ax = b, ya^b (О
§ 6] НЕАССОЦИАТИВНЫЕ ТЕЛА, КВАЗИГРУППЫ. ИЗОТОПИЯ 67 обладают решениями, не обязательно однозначно определенными. Всякое такое кольцо мы будем называть кольцом с делением; из нашего определения вытекает, что кольцо с делением может обладать делителями нуля. Кольцо с делением, в котором уравнения (1) обладают однозначными решениями, назовем квазителом. Делителей нуля квазитело содержать не может, и поэтому отличные от нуля элементы квазитела составляют по умножению группоид. Это будет квазигруппа, т. е. группоид, в котором для любых элементов а и Ь однозначно разрешимы уравнения (1). Наконец, термин тело мы сохраним для квазитела, обладающего единицей. Отличные от нуля элементы тела составляют по умножению квазигруппу с единицей, т. е. лупу. # Всякое (не обязательно ассоциативное) кольцо без делителей нуля вкладывается в квазитело [Б. Нейман, Proc. London Math. Soc. 1 (1951), 241 -256]. * 2. Существуют квазитела, на являющиеся телами, и квазигруппы, не являющиеся лупами. Дело в том, что хотя в квазигруппе G для всякого элемента а уравнения ах = а, уа = а (2) однозначно разрешимы, но эти решения не обязаны совпадать и не обязаны служить соответственно правой или левой единицей для других элементов из G. Всякое под квазигруппа А лупы О с единицей е является подлупой с той же единицей е\ Действительно, для всякого α е А уравнения (2) обладают в G единственным решением е, которое должно, следовательно, содержаться в подквазигруппе А. 3. На квазигруппы и в особенности на лупы переносится ряд результатов, относящихся к группам. Мы не будем этого дальше касаться и введем лишь одно обобщение понятия изоморфизма, играющее в теории квазигрупп заметную роль. Пусть дан группоид G с умножением а-Ъ и пусть φ, \f> и χ —произвольные взаимно однозначные отображения множества G на себя, не обязательно различные. Мы получим на множестве G новый группоид, если для любых а,Ь ^0положим α ° b = (αφ ·&ψ) χ. (3)
68 ГРУППЫ И КОЛЬЦА [ГЛ. II Этот новый группоид не обязан быть изоморфным старому, но в какой-то мере они близки. В соответствии с этим группоид G с умножением а°Ь называется изотопным группоиду G' с умножением а' · Ь\ если существуют такие три взаимно однозначных отображения φ, ψ и χ-1 G на G', что для любых а, Ъ е G (а о Ь) χ"1 = αφ · &ψ. (4) Ясно, что л/я/ φ = ψ = χ-1 лш получаем изоморфное отображение Q на G'. Легко проверяется, что отношение изотопии рефлексивно, транзитивно и симметрично. Во многих случаях удобно считать, что обе операции, а°Ъ и а-Ь, заданы на одном и том же множестве G и что φ, ψ и χ, входящие в (3) или (4), являются некоторыми взаимно однозначными отображениями этого множества на себя. 4. Всякий группоиду изотопный квазигруппе, сам является квазигруппой. В самом деле, пусть на множестве G заданы группоид с умножением а°Ь и квазигруппа с умножением α-b, причем они изотопны, т. е. имеет место (3). Докажем, что, например, уравнение а°х = Ь (5) имеет однозначное решение для любых а, Ь ^ G. Мы знаем, что уравнение αφ·_ν = £χ_1 обладает однозначно определенным решением с. Положим x==c}p-i Тогда а о χ == а о Γψ"1 = (αφ · с) χ = ψ%~1) χ = b. С другой стороны, если х' — любое решение уравнения (5), то αφ · х'Ц = b%~1, откуда χ'ψ = с, т. е. х' = о\>~1. 5. Всякая квазигруппа изотопна лупе [А лбе ρ τ, Trans. Amer. Matn. Soc. 64 (1943), 507-519J. Действительно, фиксируем в квазигруппе G с умножением а ■ b произвольный элемент е. Тогда в G существует такой
§ 6] НЕАССОЦИАТИВНЫЕ ТЕЛА, КВАЗИГРУППЫ. ИЗОТОПИЯ 69 элемент /, что е./=е. (6) Пусть а — произвольный элемент из О. Обозначим через αφ и αψ такие однозначно определенные элементы, что αφ ·/== α, е- αψ = α. (7) Отображения α—+αφ и α—*αψ, где а пробегает все множество G, будут взаимно однозначными отображениями О на себя. Так, если αφ = #φ, то αφ ·/=%>·/, т. е. а — Ь. С другой стороны, если с — произвольный элемент из G, то с = (с·/) φ. Отсюда следует, что, полагая для всех а, £ gG а о £ = αφ · /?ψ, (8) мы определим на О новый группоид, изотопный с исходной квазигруппой; роль χ здесь играет тождественное отображение, т. е. это будет, как говорят, главный изотоп. Ввиду доказанного в предшествующем пункте полученный группоид будет сам квазигруппой. Он будет даже лупой, так как единицей для него служит элемент е. В самом деле, так как по (б) и (7) то, ввиду (8) и (7), а°е — αφ-/=α, е о α = е · αψ = α. Теорема доказана. 6. Если группоид с единицей изотопен полугруппе, то они изоморфны и поэтому оба ассоциативны и оба обладают единицей [Брак, Trans. Amer. Math. Soc. 60 (1946), 245-354; X ь ю з, J. London Math. Soc. 32 (1957), 510 — 511]. Действительно, пусть на множестве G заданы группоид с умножением α · b, обладающий единицей е, и полугруппа с умножением а°£, причем они изотопны, αο£ = (αφ.£ψ)χ, где φ, ψ, χ —взаимно однозначные отображения множества О на себя. Так как для любых а, Ь, с gO (а°Ь)°с = а°(р°с),
70 ГРУППЫ И КОЛЬЦА [ГЛ. IB то [(αφ · Щ χφ · сур] χ = [αφ · (top · *ψ) χψ] χ, откуда (αφ · £ψ) χφ · 6ψ = αφ · (£φ г £ψ) χψ. (9) Полагая в этом равенстве αφ = c-ψ = е, мы для всех b^Q получаем £ψχφ = £φχψ. (Ю) Полагая в (9), далее, αφ = £ и используя (10), получаем £φχψ · £ψ = (£φ · £ψ) χψ или, заменяя #φ на α и сф на £, αχψ·£ = (α·£)χψ (11) для всех α, £ eft Наконец, полагая в (9) п|) = е и используя (10), получаем (αφ · Щ χφ = αφ · £ψχφ или, заменяя αφ на α и £ψ на b, (α·£)χφ = α·£χφ (12) для всех α, £ gO. Используя (11), (12) и (10), мы приходим к следующему равенству: для любых a, b gG (а о й) ψχφ = (αφ · Щ χψχφ = (αφχψ · Щ χφ = αψχφ - £ψχφ. Это равенство показывает, что произведение ψχφ, являющееся взаимно однозначным отображением множества G на себя, будет изоморфизмом между заданными полугруппой и группоидом. Теорема доказана. Из этой теоремы вытекает теорема Алберта (Trans. Amer. Math. Soc. 64 (1943), 507—519): Если лупа изотопна группе, то они изоморфны. Отсюда, в частности, следует, что изотопные группы всегда изоморфны, и поэтому для применения изотопии в теории групп нет оснований. 7. Понятие изотопии можно перенести в теорию неассоциативных колец. Именно, рассматривая кольца с одной и той же аддитивной группой G, определим изотопию колец равенством (3), как и выше, но будем считать, что отображения φ, ψ и χ являются изоморфными отобра-
§ 6] НЕАССОЦИАТИВНЫЕ ТЕЛА, КВАЗИГРУППЫ. ИЗОТОПИЯ 71 жени ям и группы G на себя (т. е. ее автоморфизмами в смысле 111.3.1). Из результатов, полученных выше, и методов, использованных при их доказательстве, вытекают теперь следующие результаты: Всякое кольца, изотопное квазителу, само является квазителом, В самом деле, пусть на аддитивной абелевой группе G заданы кольцо с умножением а°Ъ и изотопное ему квазитело с умножением а · Ь. Если а«Ъ = 0, то (αφ·£ψ)χ = 0, а так как при изоморфизме χ группы Q нуль остается на месте, то αφ · b\p = 0. Поэтому один из сомножителей равен нулю, например αφ = 0, откуда а = 0, т. е. заданное кольцо не содержит делителей нуля. Таким образом, на множестве О \ 0 заданы группоид и квазигруппа, а так как отображения φ, ψ и χ можно рассматривать как взаимно однозначные отображения этого множества на себя, то остается применить II. 6.4. Всякое квазитело изотопно (неассоциативному) телу, В самом деле, если дано квазитело К с умножением а · Ь, то, по II. 6.5, мультипликативная квазигруппа его отличных от нуля элементов изотопна лупе с умножением а°£, определенным равенством (8), где взаимно однозначные отображения φ и ψ множества К\0 определяются равенствами (7). Дополнительно положим 0φ = 0ψ = 0, что согласуется с (7), и докажем, что φ и ψ являются теперь изоморфными отображениями аддитивной группы тела К на себя. Так, из (αφ + £φ) · / = αφ · /+ by-f=a-\-b следует (α + b) φ = αφ + Ьц>. Полагая дополнительно а°0 = 0°а=0для всех а^К, определяем умножение · для всех элементов из КУ причем единица е построенной выше лупы будет единицей и для этого умножения. Остается доказать дистрибутивность этого умножения относительно сложения. Так, по (8), (а + Ь) о с = (а + Ь) φ · Γψ = (αφ + £φ) · с\р = == αφ · п|э -J- £φ · cty = я ° с + b°с. Теорема доказана.
72 ГРУППЫ И КОЛЬЦА ГГЛ. ΪΓ Если кольцо с единицей изотопно ассоциативному кольцу, то они изоморфны. Действительно, пусть на аддитивной абелевой группе G заданы кольцо с умножением а · Ьу обладающее единицей еу и ассоциативное кольцо с умножением а°Ьу причем для любых а, Ь eG имеет место равенство (3), где φ, ψ и χ — изоморфные отображения группы G на себя. Тогда произведение ψχφ, являющееся, очевидно, изоморфным отображением группы G на себя, будет, в силу доказанного в II. 6.6, изоморфизмом между заданными кольцами. х Ассоциативное кольцо с единицей может обладать неассоциативным изотопом. Существуют ассоциативные кольца без единицы, между собою изотопные, но не изоморфные [А л б ер т, Ann. of Math. 43 (1942), 685—707]. Χ § 7. Нормальные делители, идеалы 1. Пусть дана группа О и в ней подгруппа Н. Если а — произвольный элемент из G, то совокупность аН всевозможных произведений вида ah, где h пробегает подгруппу И, называется левым смежным классом группы G по подгруппе И, определяемым элементом а. Ясно, что а (= е аН, так как подгруппа Η содержит единицу. Если элемент Ъ содержится в классе аН, то ЬН = аН, т. е. всякий левый смежный класс группы О по подгруппе И определяется любым из своих элементов. Действительно, если b = ah0, h0 е Η, то для любых h', h" е Η bti = a(h0ti) и ah" = b{h^h"\ т. е. ЬН^аН и аН <= ЬН. Отсюда следует, что два любых левых смежных класса группы О по подгруппе И или совпадают, или же имеют пустое пересечение. Мы получаем разбиение группы G на непересекающиеся левые смежные классы по подгруппе Н. Оно называется левосторонним разложением группы G по подгруппе И. Одним из классов этого разложения будет сама подгруппа И: если а е И, то аН = Н. 2. Аналогичным путем можно получить правостороннее разложение группы О по подгруппе Н, составленное из правых смежных классов На, agG. В некоммутативном случае правостороннее разложение О по И действительно мо-
§ 7] НОРМАЛЬНЫЕ ДЕЛИТЕЛИ. ИДЕАЛЫ 73 жет отличаться от левостороннего. Эти оба разложения состоят, однако, из одного и того же числа классов: отображение, переводящее каждый элемент а группы G в элемент сг\ является взаимно однозначным отображением G на себя, переводящим всякий левый смежный класс ati в правый смежный класс Нет1 и обратно. Число смежных классов в любом из двух разложений группы G по подгруппе Н, если оно конечно, называется индексом подгруппы И в группе G. 3. Если G—конечная группа порядка л, а Я —ее подгруппа порядка k и индекса у, то всякий смежный класс аН состоит ровно из k элементов, а поэтому η = kj. Отсюда вытекает Теорема Лагранжа. Порядок и индекс любой подгруппы конечной группы являются делителями порядка самой группы. Из этой теоремы следует, ввиду II. 3.4, что порядок любого элемента конечной группы является делителем порядка группы. Из теоремы Лагранжа следует также, что всякая конечная группа, порядок которой является простым числом, будет циклической. Действительно, эта группа должна совпадать с циклической подгруппой, порожденной любым ее элементом, отличным от 1. 4. Подгруппа Η называется нормальным делителем (или инвариантной подгруппой) группы G, если левостороннее разложение группы G по подгруппе Η совпадает с правосторонним, т. е. если для любого а ^ G имеет место равенство (понимаемое в смысле совпадения обоих подмножеств в О) аИ = Ма. (1) Можно говорить, следовательно, просто о разложении группы О по нормальному делителю Н. Укажем некоторые другие определения нормального делителя, равносильные приведенному выше. Элементы χ и у группы G называются сопряженными в G, если в G можно найти такой элемент а, что у = а~1ха, т. е. у получается из χ трансформированием элементом а.
74 ГРУППЫ И КОЛЬЦА [ГЛ. II Подгруппа Η группы Q тогда и только тогда будет нормальным делителем в Q, если Η вместе со всяким своим элементом содержит и все элементы, сопряженные с ним в G. Действительно, если Η — нормальный делитель в G, h — любой элемент из Н, а —любой элемент из G, то, по (1), в Я существует такой элемент Ы, что ah' = ha, (2) откуда a-4a = hf e=//. (3) Обратно, если для любых йеЯи aeG в Я существует элемент /г', удовлетворяющий равенствам (3) и поэтому (2), то На с= аН. Это включение справедливо при всех а, в частности при а~\ т. е. На*1 ^ а-1//, откуда следует аН с= На, а поэтому на самом деле имеет место равенство (1). Подгруппы U и V группы G называются сопряженными в G, если в G существует такой элемент а, трансформирование которым подгруппы U переводит ее в V, т. е. а-Юа = V. Заметим, что множество агЮа при любой подгруппе U и любом a^Q будет подгруппой, притом изоморфной с U. Действительно, если иь и2 е U, то (а_1гг1а) (α~^2α) = а*1 (ихи2) а; с другой стороны, из а~хиха = а-1гг2я следует и1 = и2? а поэтому отображение и-^а^иа, u^U, будет изоморфным отображением У на a~xUa и, следовательно, а~Юа является подгруппой. Всякий нормальный делитель группы Q совпадает со всеми подгруппами, сопряженными с ним в Q. Обратно, если подгруппа Η группы Q содержит все подгруппы, сопряженные с нею в Q, то она будет нормальным делителем. В самом деле, из (1) вытекает равенство а 1На = Я, (4)
§ 7] НОРМАЛЬНЫЕ ДЕЛИТЕЛИ. ИДЕАЛЫ 75 что доказывает первое утверждение теоремы. С другой стороны, если а-1На а Я, причем включение > строгое, то Таким образом, если подгруппа Η должна содержать все подгруппы, с нею сопряженные, то она непременно совпадает с ними, т. е. при любом a gG имеет место равенство (4), а поэтому и вытекающее из него равенство (1). 5. Пересечение любого множества нормальных делителей группы Q само является нормальным делителем в О. Действительно, если D есть пересечение нормальных делителей Ait i Ε/, то D будет подгруппой в G (см. II. З.б), и, кроме того, всякий элемент, сопряженный с элементом из Д содержится в каждом из нормальных делителей At и поэтому принадлежит к D. Подгруппа, порожденная любой системой нормальных делителей группы О (см. II. 3.8), сама будет нормальным делителем в G. Пусть, в самом деле, заданы нормальные делители Аь /е/, и пусть В будет подгруппа, ими порожденная. Как указано в II. 3.7, всякий элемент Ь из В может быть записан в виде Ь = а1а2 ... аю где aj ^ Αι , /=1, 2, ..., п. Если g— любой элемент из О, то g-1bg = (g-1aig) (g^azg) ... (g^ang), а так как g^GLjgEE Aij} 7=1, 2, ..., П, то g-4g €= В. 6. Все подгруппы абелевой группы будут в ней, конечно, нормальными делителями. С другой стороны, для всякой группы О нормальными делителями служат единичная подгруппа Ε и сама группа G. Группа, не имеющая нормальных делителей, отличных от нее самой и от Е, называется простой.
76 ГРУППЫ И КОЛЬЦА [ГЛ. ΙΓ Простыми абелевыми группами являются конечные циклические группы простых порядков и только они. Действительно, если абелева группа О простая, то она вообще не содержит нетривиальных подгрупп, а так как циклические подгруппы в ней должны существовать, то она сама будет циклической. Бесконечная циклическая группа обладает, однако, нетривиальными подгруппами — в аддитивной группе целых чисел содержится в качестве истинной подгруппы группа четных чисел. Далее, если группа G — {а} — циклическая конечного порядка п, то при составном числе п} n = kl, подгруппа {ak} будет иметь порядок /, т. е. отлична и от G, и от Е. Если же, однако, группа 0={а} имеет простой порядок /?, то она не может иметь нетривиальных подгрупп, как вытекает из теоремы Лагранжа. 7. Существуют и некоммутативные простые группы, как конечные, так и бесконечные. Рассмотрим, например, в симметрической группе #-й степени Sn (см. II. 1.8) подмножество Ап четных подстановок. Как доказывается в учебниках по высшей алгебре, четность подстановки #-й степени совпадает с четностью числа сомножителей в любом разложении этой подстановки в произведение транспозиций. Отсюда вытекает, что произведение четных подстановок #-й степени всегда четно, а так как подстановка, обратная к четной, сама четная, то мы получаем, что Ап будет подгруппой группы Sn. Группа Ап называется знакопеременной группой п-й степени и имеет порядок γη\. Заметим, что она будет в Sn не только подгруппой, но даже нормальным делителем: индекс Ап в Sn равен двум, причем оба разложения группы Sn по подгруппе Ап совпадают, состоя из двух классов —сама подгруппа Ап и класс нечетных подстановок. Группа А3 имеет порядок 3 и поэтому является циклической группой простого порядка, т. е. простой. Группа Л4 не будет простой — легко проверяется, что четные подстановки *) (12) (34), (13) (24), (14) (23) г) Напомним, что при записи подстановки через циклы за каждым символом пишется тот символ, в который он переходит при рассматриваемой подстановке. Цикл закрывается, когда мы доходим до
§ 7] НОРМАЛЬНЫЕ ДЕЛИТЕЛИ, ИДЕАЛЫ 77 составляют вместе с единицей нормальный делитель этой группы. Знакопеременная группа п-й степени Ап является при п^Ь простой. Покажем сперва, что циклы (ijk) длины 3, являющиеся, как легко видеть, четными подстановками, составляют для группы Ап систему образующих (см. II. 3.9). Действительно, всякая четная подстановка разлагается в произведение четного числа транспозиций, а поэтому и в произведение циклов длины 3, так как {№*) = №)> (ij)(kt) = (ijk)(ilk). Докажем, далее, что всякий нормальный делитель Η группы Аю содержащий хотя бы один цикл (ijk) длины 3, содержит и любой другой цикл (i'j'k') длины 3 и поэтому, как показано выше, совпадает с Ап. Действительно, если символы / и .т отличны от /, j и k7 то подстановка #-й степени (i j k I m .. Д a^[i' / k' V т'...)' которую можно сделать четной, транспонируя, если нужно, символы /' и т' в нижней строке, такова, что а-1 (V*) α = (/'/*'> Остается показать, что всякий нормальный делитель И группы Аю п^Ъу отличный от £, со- символа, переходящего в первый символ цикла. Символы, остающиеся при нашей подстановке на месте, при разложении в циклы опускаются. Так, /1 2 3 4 5 6\ (46135 2) = (143)С26). С другой стороны, /1 2 3 4\ (12)(34)Ц2143), если, конечно, известно, что это подстановка 4-й степени: Напомним также, что четность подстановки совпадает с четностью разности между числом символов, действительно переставляемых этой подстановкой, и числом циклов в ее разложении.
78 ГРУППЫ И КОЛЬЦА [ГЛ. II держит хотя бы один цикл длины 3. Возьмем в Η такой отличный от 1 элемент а, который оставляет неподвижными возможно больше символов. Если подстановка а не является циклом длины 3, то она будет иметь один из следующих двух видов: 1) Разложение а в циклы содержит хотя бы один цикл, длина которого не меньше трех: а = (ljk ...) ... При этом а, будучи четной подстановкой, не может быть циклом (ijkt) длины 4, а поэтому α перемещает по меньшей мере два символа, отличных от /, j и k\ пусть это будут I и т. 2) Подстановка а разлагается в произведение независимых циклов длины 2, которых будет не меньше двух: α = (//)(*/) ... В этом случае, так как η ^ 5, существует символ т, отличный от /, у, k и /. Пусть β = (klm). Тогда β^αβ е Я, так как β е Аю и поэтому γ^β^αβα-1^^. Подстановка γ отлична от 1, так как в случае 1) подстановка β_1αβ переводит символ j не в символ k, как это делает а, а в символ /; в случае же 2) подстановка β_1αβ переводит символ / в символ т, а не в символ k, как это производится подстановкой а. С другой стороны, подстановка у оставляет на месте в первом случае все символы, оставляемые на месте подстановкой а, так как все они отличны от k, l и т> а во втором случае—все символы, остающиеся на месте при а, кроме, быть может, символа т. Легко проверяется, однако, что в первом случае подстановка у дополнительно оставляет на месте символ /, а во втором случае —символы / и j. Таким образом, в обоих случаях при у остается больше неподвижных символов, чем при а. Это противоречие с выбором подстановки а показывает, что а должно быть циклом длины 3, т. е. доказывает теорему. Заметим, что знакопеременными группами Ат п^Ь, далеко не исчерпываются все конечные некоммутативные простые группы.
§ 7] НОРМАЛЬНЫЕ ДЕЛИТЕЛИ. ИДЕАЛЫ 79 8. В следующей главе будет показано, что та роль, которую в теории групп играет понятие нормального делителя, в теории колец принадлежит понятию идеала. Подмножество Л произвольного кольца R называется идеалом в /?, если оно является подгруппой аддитивной группы кольца R — для этого достаточно, чтобы разность любых двух элементов из Л принадлежала к А — и если, кроме того, для любых элементов а е А и геК оба произведения аг и га содержатся в Л. Из этого определения следует, что всякий идеал кольца R будет в R подкольцом. Легко видеть, далее, что пересечение любой системы идеалов кольца R само будет идеалом. С другой стороны, подгруппа аддитивной группы кольца R} порожденная данной системой идеалов Aif ί е /, также будет идеалом: эта подгруппа состоит из всевозможных конечных сумм элементов из идеалов Л/, но умножение такой суммы слева или справа на любой элемент кольца R снова приводит к сумме такого же вида. В П. 4.2 дано описание всех подгрупп аддитивной группы целых чисел. Все эти подгруппы {включая нулевую) и, конечно, только они являются идеалами в кольце целых чисел, так как произведение числа, кратного п> на любое целое число само кратно п. 9. Во всяком кольце R идеалами будут само R и нуль- идеал О, состоящий из одного нуля. Кольцо, не содержащее других идеалов, кроме этих двух, называется простым. Всякое тело и вообще всякое кольцо с делением (см. 11.6.1) является простым кольцом. Действительно, пусть дано кольцо с делением К- Если в нем задан идеал Л, отличный от О, и если а& А, а Ф О, то, ввиду разрешимости в К уравнений (1) из 11.6.1, к Л будет принадлежать любой элемент Ь из /?, т. е. Л = /?. Полное кольцо матриц Кп любого порядка η над любым кольцом с делением К является простым кольцом. Пусть, в самом деле, в кольце Кп задан ненулевой идеал Л. Если α = (α/у) —ненулевая матрица, принадлежащая к Л, то пусть, например, αΜφ§. Условимся обозначать через Jc^ матрицу из Кп, у которой на месте (iy j) стоит элемент χ из К, а все остальные места заняты нулями. Предположим, далее, что Ь — произвольный элемент из К, a s и t — произвольные индексы, 1 <i s, t ^ п. Ввиду разрешимости в К
80 ГРУППЫ И КОЛЬЦА [ГЛ. II уравнений (1) из 11.6.1 в К существуют такие элементы χ и у, что у{аых) = Ь. Применяя правило умножения матриц, получаем, что Узк (a* it) = bst. Таким образом, все матрицы вида bst принадлежат к идеалу А, а так как всякая матрица из Кп представима в виде суммы матриц этого вида, то А = Кп, что и требовалось доказать. 10. Если в определении идеала отказаться от требования, что для любого а из идеала А и любого г из кольца R оба произведения аг и га принадлежат к Л, и требовать это лишь для произведения аг и л и произведения га, то мы придем к понятию одностороннего идеала, а именно правого идеала, если аг е А для всех а ^ А и г (Ξ R, и левого идеала, если га<= А. В коммутативном случае, равно как и в антикоммутативном, в частности в лиевых и в йордано- вых кольцах (см. Н.2.3 и П.2.4), всякий односторонний идеал будет, конечно, идеалом (или, как иногда говорят, двусторонним идеалом). Так как в приведенном выше доказательстве простоты любого кольца с делением достаточно было использовать разрешимость лишь одного из уравнений (1) из П.6.1, то можно утверждать, что никакое кольцо с делением К не содержит односторонних идеалов, отличных от К и О. Если ассоциативное кольцо R не содержит других односторонних идеалов, кроме R и О, и не является кольцом с нулевым умножением (см. II.2.2), то оно будет телом. В самом деле, назовем левым аннулятором кольца R всякий такой элемент а, что аг = 0 для всех г e R. Левые аннуляторы составляют в ассоциативном кольце R идеал, даже двусторонний. Этот идеал в нашем случае равен нулю — если бы он равнялся R, то кольцо R было бы нулевым. Таким образом, для любого ненулевого элемента а множество aR всевозможных произведений вида аг, г е R, являющееся в ассоциативном кольце правым идеалом, будет отлично от О и поэтому aR = R. Отсюда следует, что для любого элемента Ь е R в R разрешимо уравнение ах — Ь. Аналогично доказывается разрешимость в R всякого уравнения вида у а — Ь,аф0,а поэтому, по Н.2.10, R будет телом.
§8] ГАУССОВЫ ПОЛУГРУППЫ 81 Из сказанного легко вытекает, что ненулевое ассоциативно-коммутативное кольцо будет простым тогда и только тогда, если оно является полем. С другой стороны, так как в нулевом кольце всякая подгруппа аддитивной группы будет идеалом, то, ввиду Н.7.6, нулевые простые кольца исчерпываются нулевыми кольцгми на циклических аддитивных группах простых порядков. 11. Определения идеала и одностороннего идеала легко переносятся на случай любого группоида — достаточно исключить из этих определений упоминания об аддитивной группе. Всякий идеал, а также левый или правый идеал кольца будут, очевидно, соответственно идеалом, левым или правым идеалом мультипликативного группоида этого кольца. Обратное, однако, tte имеет места: в кольце целых чисел совокупность чисел, кратных хотя бы одному из чисел 2 и 3, не будет идеалом, хотя и будет идеалом мультипликативной полугруппы этого кольца. § 8. Гауссовы полугруппы 1. Как известно, в кольце целых чисел Сив кольце многочленов Ρ [χ] над любым полем Ρ имеют место совершенно параллельные теорци делимости. В настоящем и следующем параграфах будут установлены причины этого параллелизма. Пусть дана абелева полугруппа G с единицей 1, удовлетворяющая закону сокращения (см. Н.5.1). Делители единицы этой полугруппы, т. е. такие элементы ε, для которых в О существует обратный элемент ε-1, εε"1 = 1, составляют в ней подгруппу, так как и произведение делителей единицы, и элемент, обратный к делителю единицы, сами будут делителями единицы. С другой стороны, если произведение элементов аь а2, ..., an^G является делителем единицы, аха2... ап = ε, то каждый из элементов a-t, i—\, 2, ..., η, сам будет делителем единицы. Действительно, а]'' = ах... α,·_ια,·+ι... αηε~\ ι = 1, 2, ..., п.
82 ГРУППЫ И КОЛЬЦА [ГЛ II 2. Если элементы а, Ь gO таковы, что а = be, то элемент Ъ называется делителем элемента а; говорят также, что а делится на Ъ. Элементы а и b называются ассоциированными, если каждый из них служит делителем для другого, a = bc, b = ad. (1) Так как из (1) следует а = a (cd), т. е., ввиду закона сокращения, cd— 1, то и с и d будут делителями единицы. С другой стороны, для любого делителя единицы ε элементы а и га ассоциированы между собой, так как а = ε-1 (εα). Отсюда же следует, что всякий делитель единицы служит делителем для любого элемента полугруппы G. Отношение ассоциированности является, очевидно, отношением эквивалентности, и поэтому вся полугруппа G распадается на классы ассоциированных элементов) одним из этих классов будет группа делителей единицы. С другой стороны, отношение «Ь служит делителем для а» рефлексивно и транзитивно. Вместе с тем для любых делителей единицы εχ и ε2 из а = Ьс следует гга = (г2Ь) (г^^с), т. е. гф служит делителем для гга. Мы получим, таким образом, частичную упорядоченность в множестве классов ассоциированных элементов полугруппы О, если для классов А, В положим 5<Л в том случае, когда хотя бы один (и, следовательно, всякий) элемент из В служит делителем хотя бы для одного (и, следовательно, для всякого) элемента из А Класс делителей единицы будет минимальным элементом этого множества (см. 1.5.1), притом единственным. 3. Элемент /?еО, не являющийся делителем единицы, называется неприводимым, если его делителями служат, помимо делителей единицы, лишь элементы, с ним самим
§8] ГАУССОВЫ ПОЛУГРУППЫ 83 ассоциированные, т. е. если из p = ab всегда следует, что один из элементов а, Ъ является делителем единицы, а поэтому другой ассоциирован с р. Вместе с ρ неприводимыми будут, очевидно, все элементы, с ρ ассоциированные. Классы ассоциированных неприводимых элементов, если такие элементы в полугруппе О вообще существуют, будут в точности минимальными элементами частично упорядоченного множества классов ассоциированных элементов, отличных от класса делителей единицы. Элемент ρ ^ О, не являющийся делителем единицы, называется простым, если произведение аЬ может делиться на ρ лишь в том случае, когда хотя бы один из элементов а, Ъ делится на р. Всякий элемент, ассоциированный с простым элементом р, будет, очевидно, простым. Индукцией по η легко доказывается также, что если произведение а±а2.... ап делится на простой элемент р, то на ρ делится хотя бы один из элементов аь /=1, 2, ..., п. Всякий простой элемент ρ является неприводимым. Действительно, если р — аЪ, то, ввиду простоты р, хотя бы один из сомножителей, например а, делится на р. Однако ρ делится в свою очередь на а, т. е. ρ и а ассоциированы, а поэтому элемент Ь будет делителем единицы. Заметим, что обратное утверждение в общем случае не имеет места. 4. Если а, Ь gO, то элемент d^.0 называется наибольшим общим делителем элементов а и b и записывается через d = (a, b), (2) если d служит для а и b общим делителем и если d сам делится на любой другой общий делитель элементов а и Ь. Если также d' = (α, b), то d и d' должны делиться друг на друга, т. е. они ассоциированы. С другой стороны, если d = (а, Ь) и гь ε2, ε3 — произвольные делители единицы, то и ε1ί/=χ(ε2α, гф),
84 ГРУППЫ И КОЛЬЦА ГГЛ. II т. е. замена в равенстве (2) всех входящих в него элементов любыми элементами, сними ассоциированными, не нарушает этого равенства. Иными словами, если Л, β, D — соответственно классы элементов, ассоциированных с a, b и d, то равенство (2) можно переписать в виде D = (A, β). Класс D будет единственным максимальным элементом (см. 1.5.5) в частично упорядоченном множестве всех таких классов X, что Х^Л и X ^ В, а символ (Л, β) следует рассматривать как обозначение для этого класса. Конечно, элементы a, b gG могут, вообще говоря, не иметь наибольшего общего делителя. Однако, если а делится на by то (а, Ь) существует, причем (а, b) = b. 5. Если наибольший общий делитель существует для любой пары элементов а, I»gG, то всякий неприводимый элемент полугруппы G будет простым. Докажем сперва, что при наших предположениях для любых a, bf с ^ G (ас, be) —(a, b)c. (3) В самом деле, так как а делится на (а, Ь), то ас делится на (а, Ь) с. Аналогично и be делится на (а, Ь) с, а поэтому левая часть равенства (3) делится на правую, (ас, bc) = (a, b)cd. (4) Отсюда ас = (ас, bd)u = (a, b)cdu, т. е., в силу закона сокращения, а = (а, b)du. (5) Аналогично 6 = (a, b)dv. (б) Из (5) и (6) следует, что элемент (a,b)d служит общим делителем для а и b, a так как он сам делится на (а, Ь), то элемент d должен быть делителем единицы. Этим доказано, что от равенства (4) можно перейти к равенству (3).
§81 ГАУССОВЫ ПОЛУГРУППЫ 85 Покажем теперь, что для любых трех элементов a, b, c<=Q ((α, ft), с) = (а, (ft, с)). (7) Действительно,4 элемент ((a, ft), с) служит общим делителем для (а, ft) и с, а поэтому общим делителем и для элементов а, ft, с. С другой стороны, всякий общий делитель этих трех элементов служит общим делителем для (а, ft) и с, a поэтому он будет делителем и для ((а, ft), с). Это же самое можно утверждать и для элемента (a, (ft, с)), а поэтому левая и правая части равенства (7) ассоциированы, что по существу и выражается равенством (7). Назовем, далее, элементы a, ft gG взаимно простыми, если их общими делителями служат лишь делители единицы; это можно записать равенством (а, й)=1. £сли (а, Ь)=1 и (а, £)=1, wo /г (а, ftc)=l. Действительно, так как α служит делителем для ас, то (а, ас) — а. Далее, из (a, ft)=l следует, ввиду (3), (ас, Ьс) —с. Поэтому, ввиду (7), (а, Ьс) = ((а, ас), Ьс) = (а, (ас, Ьс)) = (а, с)=\. Переходим к доказательству самой теоремы. Пусть ρ — неприводимый элемент полугруппы G и пусть произведение ab делится на /?. Если бы ни а, ни ft на ρ не делились, то, ввиду неприводимости р, общими делителями для аир (а также для ft и р) служили бы лишь делители единицы, т. е. а и ρ (а также ft и р) были бы взаимно просты, (а, /0=1, (Ь, /0=1. Но тогда, как доказано выше, мы имели бы и (aft, /0=1, хотя по условию aft делится на р, a p не является делителем единицы. Этим противоречием доказана простота элемента /?.
86 ГРУППЫ И КОЛЬЦА [ГЛ. ΙΓ 6. Пусть, как и раньше, G будет абелева полугруппа с 1, удовлетворяющая закону сокращения. Если а = ЬгЬ2 ...Ьк (8) и если элементы гь ε2, ..., гк таковы, что ЧЧ · · · Ч = 1 — все эти элементы будут, следовательно, делителями единицы,—то имеет место также равенство α = (εΑ)(ε2^2)...(εΑ)· (9) Два разложения элемента а в произведение нескольких элементов, (8) и а = сгс2... сь (10) будут называться ассоциированными разложениями, если l=k и если, быть может, после изменения нумерации множителей во втором из этих разложений элементы й,- и ct ассоциированы, i=l, 2, ..., k, т. е. (10) имеет вид (9). Абелева полугруппа G с единицей, удовлетворяющая закону сокращения, называется гауссовой полугруппой, если всякий ее элемент а, не являющийся делителем единицы, разлагается в произведение неприводимых элементов, причем любые два таких разложения элемента а между собою ассоциированы. К числу гауссовых полугрупп принадлежат все абелевы группы —они не содержат элементов, не являющихся делителями единицы. Гауссовой будет и мультипликативная полугруппа отличных от нуля целых чисел. Делителями единицы в этой полугруппе служат числа 1 и —1, а неприводимыми элементами являются все простые числа, взятые со знаком -+- или —. Мультипликативная полугруппа отличных от нуля многочленов от неизвестного χ с коэффициентами из поля Ρ также принадлежит к числу гауссовых полугрупп. Ее делителями единицы являются все отличные от нуля элементы поля Р, а неприводимые элементы совпадают с неприводимыми многочленами. 7. Абелева полугруппа О с единицей, удовлетворяющая закону сокращения, тогда и только тогда будет гауссовой, если она удовлетворяет любому из следующих
§8] ГАУССОВЫ ПОЛУГРУППЫ 87 эквивалентных между собою наборов условий: (α, β')> (α, β"), где условия α, β' и β" таковы: (а) частично упорядоченное множество классов ассоциированных элементов полугруппы G (см. II. 8.2) удовлетворяет условие минимальности (см. I. 5.1); (β') любые два элемента полугруппы G обладают наибольшим общим делителем', (β") всякий неприводимый элемент полугруппы О является простым. Так как, по II. 8.5, из (β') следует (β"), то эта теорема сводится на доказываемые ниже два утверждения. 8. Всякая гауссова полугруппа О удовлетворяет условиям (а) и (β'). В самом деле, назовем длиной элемента а гауссовой полугруппы G число множителей в любом разложении элемента а в произведение неприводимых множителей. Если а = Ьс, причем Ь —истинный делитель для а, т. е. ни Ъ, ни с не являются делителями единицы, то мы получим разложение элемента а в произведение неприводимых множителей, перемножая разложения такого рода, взятые для элементов Ь и с. Таким образом, длина элемента а равна сумме длин элементов b и с, а поэтому длина истинного делителя элемента а строго меньше длины самого а. Отсюда следует, что всякая такая последовательность аь а2> · · · > ап> · · · элементов полугруппы G, что ап+{ является истинным делителем для αΛ, я=1, 2, ..., обрывается на конечном месте. Этим доказана справедливость условия (а). С другой стороны, пусть а, Ь е G и пусть Ръ Ръ ..., Рп (И) будет такой набор неприводимых элементов, что всякий неприводимый делитель как элемента а, так и элемента Ь ассоциирован с одним и только одним элементом из (11); отсюда следует, что среди элементов (11) нет ассоциированных. Элементы а и Ъ можно записать теперь в виде где ε, ε' — делители единицы, а некоторые из показателей *i» k2, ..., kn, Ιυ /2, ..., ln могут равняться нулю. Так как
88 ГРУППЫ И КОЛЬЦА [ГЛ II любой делитель с элемента а может быть записан в виде где ε" —делитель единицы и 0^Si^ki} /=1, 2, ..., п, и аналогичное утверждение справедливо для делителей элемента Ь, то наибольшим общим делителем элементов а и Ъ будет служить элемент где mi — min (ki, /t·), /=1, 2, ..., п. Таким образом, выполняется и условие (β'). 9. Всякая абелева полугруппа О с единицей, удовлетворяющая закону сокращения и условиям (а) и (β"), является гауссовой. Нам нужно доказать, что всякий элемент a^G, не являющийся делителем единицы, обладает разложением в произведение неприводимых элементов и что это разложение определено однозначно с точностью до ассоциированности. Сперва заметим, что если это утверждение выполняется для а, то оно выполняется и для любого элемента, ассоциированного с а. Это позволяет, ввиду (а) и I. 5.1, доказывать наше утверждение индукцией по частично упорядоченному множеству классов ассоциированных элементов полугруппы G. Это утверждение заведомо выполняется для неприводимых элементов, т. е. для элементов из минимальных классов, отличных от класса делителей единицы. Будем считать поэтому все доказанным для всех истинных делителей элемента а. Если а не является неприводимым элементом, то а — be, где b и с — истинные делители для а. В силу индуктивного предположения Ь = PlP2 ---Pk> C= Pk+lPk+2 · · · Рю где все Рь /=1, 2, ..., п, неприводимы. Отсюда а = Plp2...pkpk+1pk+2 .--Ρη· (12) Пусть, далее, a = qiq2...qs (13)
§9) ГАУССОВЫ КОЛЬЦА 89 будет любое другое разложение элемента а в произведение неприводимых множителей. Так как, по (β"), неприводимый элемент q± является простым, то, по 11.8.3, хотя бы один из элементов рь /=1, 2, ..., л, должен делиться на qv Пусть это будет элемент pv Он, однако, неприводим, а поэтому элементы рх и q1 ассоциированы, Λ = β?ι· О4) Отсюда, ввиду закона сокращения, ^p2)p3...pn = q2q3...qs. (15) Левая и правая части равенства (15) являются разложениями на неприводимые множители для истинного делителя элемента а, а поэтому, по индуктивному предположению, они ассоциированы. Отсюда и из (14) вытекает, однако, ассоциированность разложений (12) и (13) элемента α— действительно, из ассоциированности элемента гр2 с элементом q2, например, следует ассоциированность элементов р2 и q2. § 9. Гауссовы кольца 1. Напомним, что если R — область целостности (см. II. 2.7), то множество R/0 будет по умножению абелевой полугруппой, удовлетворяющей закону сокращения. Область целостности R с единицей называется гауссовым кольцом, если мультипликативная полугруппа отличных от нуля элементов из R является гауссовой полугруппой. К числу гауссовых колец тривиальным образом принадлежат все поля. Однако не всякая область целостности с единицей будет гауссовым кольцом. χ Совокупность комплексных чисел вида а-\-Ь}/ — 3, где а и Ь — любые целые числа, будет областью целостности с единицей, но не гауссовым кольцом. Так, 4 = 2 · 2 = (1 +|/^3) (1 -1/^3) бу'дут в этом кольце два неассоциированных разложения числа 4 в произведение неприводимых множителей, χ 2. Пусть дана область целостности R с единицей. Если а е R, то множество (а) = aRt
90 ГРУППЫ И КОЛЬЦА [ГЛ. II т. е. совокупность элементов вида ar, reR, будет идеалом в R (см. П.7.8.). Это главный идеал, порожденный элементом а. Ясно, что а содержится в идеале (а), так как а = а· 1. Если в R все идеалы главные, т. е. всякий идеал из R порождается некоторым элементом, то R называется кольцом главных идеалов. Всякое кольцо главных идеалов R является гауссовым кольцом. Ввиду И.8.7 достаточно доказать, что в мультипликативной полугруппе отличных от нуля элементов из R выполняются условия (а) и (β'). Если элемент а делится на элемент b> a = be, то gg (b) и поэтому (а) с= (Ь); верно и обратное. Таким образом, если в последовательности ненулевых элементов аь а2, ..., ап, ... (1) каждый элемент ап делится на ап+ь п=1, 2, ..., то соответствующие главные идеалы будут составлять возрастающую последовательность, (ajc=(aa)c=...c=(fljc=... (2) Легко проверяется, что теоретико-множественное объединение этой возрастающей последовательности идеалов само будет идеалом в R, т. е., в силу наших предположений об /?, некоторым главным идеалом; обозначим его через (Ь). Элемент Ь, принадлежа к объединению возрастающей последовательности (2), должен содержаться в некотором идеале (ап) и поэтому во всех идеалах {а{) при i^n. Для всех этих / будет, следовательно, (Ь) ^ (а,·), что вместе с (а() с: (£) дает (ai) = (b). Таким образом, элементы а{ и b служат делителями друг для друга, т. е. ассоциированы. Этим доказано, что в последовательности (1) ассоциированы между собою все элементы а( при i^n, т. е. условие (а) выполняется. С другой стороны, если а, b e R, то совокупность элементов вида ar-\-bsy где г и s независимо пробегают все кольцо R, будет идеалом и, следовательно, главным идеалом; обозначим его через (d). Тогда (rf)S(a), (d)2(ft), так как
§9] ГАУССОВЫ КОЛЬЦА 91 и поэтому элемент d служит общим делителем для а и Ь. Если же с —любой общий делитель для а и Ь, то (с)э(а), (с) =>(*>), а поэтому идеал (с) содержит всякий элемент, имеющий вид ar-\-bs, т. е. (с) з (d), откуда следует, что с служит делителем и для d. Мы получаем, что d является наибольшим общим делителем для а и Ь. Этим доказано, что условие (β') также выполняется. 3. Область целостности R с единицей называется евклидовым кольцом, если всякому элементу а е R, отличному от нуля, поставлено в соответствие неотрицательное целое число η (α), причем выполняется следующее требование: для любых элементов a, b е /?, где £ =^= О» В кольце R можно так подобрать элементы q и г, что α = £# + г, причем или г = 0, или же n{r)<n(b). Всякое евклидово кольцо является кольцом главных идеалов и, следовательно, гауссовым кольцом. В самом деле, пусть в евклидовом кольце R взят идеал Л. Если А —О, то А = (0). Если же А Ф О, то пусть а0 будет один из тех ненулевых элементов из Л, что п(а0)^п(а), каков бы ни был ненулевой элемент ag Л. Тогда для произвольного АбЛ можно, по условию, найти в R такие элементы q и г, что « = ад + г, причем если г^О, то п(г)<.п(а0). Однако г == α — a0q e Л, и мы приходим к противоречию с выбором элемента а0. Поэтому г = 0, т. е. a = a0q, чем доказано, что Л является главным идеалом, порожденным элементом а0. К числу евклидовых колец принадлежат кольцо целых чисел С, а также кольцо многочленов Р[х] над полем Р: в первом кольце роль η (а) играет абсолютная величина \а\ числа а, а во втором — степень многочлена а. Кольца С и Р[х] будут, следовательно, кольцами главных идеалов и гауссовыми кольцами.
92 ГРУППЫ И КОЛЬЦА [ГЛ. IV # Во всяком евклидовом кольце для разыскания наибольшего общего делителя двух элементов можно применять известный читателю алгоритм Евклида. Существуют кольца главных идеалов, не являющиеся евклидовыми кольцами [Моцкин, Bull. Amer. Math. Soc. бб (1949), 1142—1146]. χ 4. Мы закончим параграф доказательством следующей теоремы: Если R — гауссово кольцо, то кольцо многочленов R [х] также будет гауссовым. Мы знаем из II.2.7, что кольцо R[x] будет в нашем случае областью целостности с единицей. Нужно доказать, ввиду Н.8.7, что в мультипликативной полугруппе отличных от нуля элементов из R[x] выполняются условия (а) и (β") из И.8.7. Начнем с замечания, что в кольце R[x] делителями единицы служат делители единицы кольца R и только они. Отметим, далее, что так как для ненулевых элементов гауссова кольца R выполняется условие (β') из ίΐ.8.7, то, ввиду (7) из II. 8.5, можно говорить о наибольшем общем делителе любой конечной системы ненулевых элементов из R, причем он определен однозначно с точностью до ассоциированности. Ясно, что это остается справедливым и в том 'случае, когда к рассматриваемой системе добавлено несколько элементов, равных нулю. Многочлен φ(χ) называется примитивным, если наибольший общий делитель системы его коэффициентов является делителем единицы и поэтому может быть принят равным 1. Многочлен, ассоциированный с примитивным многочленом, сам, очевидно, примитивен. Среди многочленов нулевой степени примитивными будут делители единицы и только они. Если f(x) — произвольный ненулевой многочлен и α — наибольший общий делитель его коэффициентов, то /(*) = αφ(*), (3) где многочлен φ (χ) примитивен. Если имеет место также равенство /С*) = Ж*), где b^R, а ψ (χ) — примитивный многочлен, то Ь, будучи делителем для всех коэффициентов многочлена f(x), служит
§91 ГАУССОВЫ КОЛЬЦА 93 делителем и для а, Поэтому, ввиду отсутствия в R[x] делителей нуля, ф(*) = <чр(*), откуда, ввиду примитивности ψ(χ), элемент с должен быть делителем единицы. Этим доказано, что в записи вида (3) для многочлена f(x) и элемент а из R, и примитивный многочлен ψ(χ) определены однозначно с точностью до множителя, являющегося делителем единицы, т. е. с точностью до ассоциированности. Будем называть запись вида (3) канонической записью многочлена f(x). 5. Лемма Гаусса. Произведение примитивных многочленов само примитивно. В самом деле, пусть даны примитивные многочлены f{x) = a0xk + а^1 +... + α,**"' +... + ak, g (x) = b0xl + Μ''1 +... + bjx1-1' + ... + bt и пусть их произведение /(*) g И = С^М + ci^k+l'1 + · · · + ci+JxlW - <'+/> +... + ck+l не является примитивным. Отсюда следует, так как кольцо R гауссово, что коэффициенты с0, сь ... f ck+l обладают общим неприводимым делителем р. Так как многочлены f(x) и g(x) примитивны, то ни у одного из них все коэффициенты не могут делиться на р. Пусть а,- и bj будут коэффициенты этих многочленов с наименьшими индексами, не делящиеся на р. Однако ci+J = atbj + αί-φ;+1 + ai-2bj+2-\-.. .+ai+1bj-i + ai+2bj^+... (4) Так как, по условию, все коэффициенты at-b α/_2> ... и bj-b bj-2> ... делятся на /?, то на ρ делятся как левая часть равенства (4), так и все слагаемые правой части, кроме первого. Отсюда следует, что на ρ делится и произведение афр а так как неприводимый элемент ρ является в гауссовом кольце R простым (см. Н.8.7.), то на ρ должен делиться хотя бы один из элементов ait bj в противоречие с их выбором. Лемма доказана.
94 ГРУППЫ И КОЛЬЦА [ГЛ. II Отсюда следует, что если даны ненулевые многочлены fi(x), /=1, 2, ..., п> с каноническими записями fi(x) = ai(pi(x)f Z=l, 2, ..., п, и если η η η /с*)=Π λ с*)» α=Π α*·> φ (χ)=Π φ* и· ί = 1 ΐ=1 ί = 1 то f(x) = αφ (χ) будет канонической записью многочлена /(х). Отсюда следует, что гели произведение нескольких многочленов равно примитивному многочлену, то каждый из сомножителей будет примитивным многочленом. Отметим также, что если даны многочлены f(x) и g(x) с каноническими записями /0*0 = αφ С*), 8 (χ) = ^Ψ С*0 и если f(x) делится на g(x), то а делится на Ь, α φ(χ) делится на ψ(χ). 6. Пусть в кольце R[x] дана такая последовательность ненулевых многочленов Λ(4Λ(4 ...,/я(4 ...» (5) что Λ 0*0 делится на Λ+ι(λγ), п= 1, 2, ... Если Λ(*) = ад>я(*), «=1> 2> ...» — канонические записи этих многочленов, то в каждой из последовательностей аь а2, ..., аю ..., (б) φ^ΛΓ), φ2(Λτ), ..., φ„(χ), ... (7) всякий элемент делится на следующий. Так как кольцо R гауссово и так как, с другой стороны, в последовательности (7) степени многочленов идут не возрастая, то найдется натуральное число N со следующими свойствами: 1) все элементы an^R при n^N между собою ассоциированы; 2) все многочлены ψη(χ) имеют при η^Ν одну и ту же степень, т. е. отличаются друг от друга множителями из R} которые, ввиду примитивности
§9] ГАУССОВЫ КОЛЬЦА 95 многочленов уп(х), должны быть делителями единицы. Отсюда следует, что все многочлены fn(x) из (5) будут при n^N ассоциированными между собою, а поэтому для отличных от нуля многочленов из R[х] выполняется условие (а). 7. Пусть теперь неприводимый многочлен ρ (χ) служит делителем для произведения f(x)g(x)- Если f{x) « αφ (*), g (x) = 6ψ (χ) — канонические записи многочленов f{x) и g(x), то /W^W = H)[?WtW] будет канонической записью произведения f(x)g(x)- С другой стороны, для многочлена р(х) также существует каноническая запись, а поэтому, ввиду его неприводимости, р(х) будет или неприводимым элементом ρ кольца /?, или же неприводимым примитивным многочленом π(χ). В первом случае элемент ρ служит делителем для произведения ab, а поэтому, ввиду того, что кольцо R гауссово, ρ будет делителем хотя бы для одного из элементов а, Ь, например для а. В этом случае элемент ρ будет делителем и для многочлена acp(x)=f{x). 8. Остается более трудный второй случай. Здесь многочлен л(х) будет служить делителем для произведения примитивных многочленов φ (χ) ψ (х). Как известно из II. 5.5, область целостности R вкладывается в поле дробей; обозначим его через Q. Всякий многочлен из кольца R[x] будет, конечно, многочленом и из кольца Q [х]. С другой стороны, если q (x) — произвольный ненулевой многочлен из Q(x), то, приводя дроби, служащие его коэффициентами, к общему знаменателю и вынося за скобки этот знаменатель, а загем и наибольший общий делитель числителей, мы придем к записи ?(-*0 = у<р(*)> (8) где φ (χ) — примитивный многочлен из R [х]. Если
96 ГРУППЫ И КОЛЬЦА [ГЛ. II — другая запись вида (8) для q(x), т. е. многочлен ψ(χ) принадлежит к R[x] и примитивен, то (ad)y(x) = (bc)^(x), (9) а поэтому левая и правая части равенства (9) будут каноническими записями одного и того же многочлена из кольца R [х], т. е. между собою ассоциированы. Таким образом, примитивный многочлен φ (χ) определен для многочлена q(x) однозначно с точностью до ассоциированности. Назовем запись вида (8) канонической записью многочлена q (x) из Q [χ]. Если даны ненулевые многочлены qi(x), q<z(x) из Q[x] с каноническими записями Ч>(х)=а1М*)> '=1. 2, (10) то ?i(*)?2(*) = g4<Pi(*)<P2(*)] (Π) будет, в силу леммы Гаусса, канонической записью для произведения q± (x) q2 (x)· Неприводимый примитивный многочлен π (χ) остается неприводимым и в кольце Q [х]. Действительно, если n(x) = qi(x)q2(x)> где qi(x), <?20*0 ^ Q [χ] и имеют канонические записи (10), то, по (11), π (χ) ассоциирован с произведением φχ (χ) φ2 (χ). Поэтому один из многочленов (р/(лг), /=1, 2, должен иметь степень 0; эго же верно для соответствующего qt(x). Мы знаем из Н.9.3, что кольцо Q [х] является гауссовым. Отсюда следует, так как π (χ) служит делителем для произведения φ (χ) ψ (лг), что один из этих сомножителей, например φ (χ), делится на π (χ) в кольце Q [х], φ (χ) = η (χ) q(x), q (x) <Ξ Q [x]. Если q(x) имеет каноническую запись то из примитивности многочленов φ(χ) и л(х) следует, что φ (χ) ассоциировано с произведением π (χ) χ (χ), а поэтому
§ Ю] ДЕДЕКИНДОВЫ КОЛЬЦА 97 φ (χ) делится на π (χ) уже в кольце R [х]. На π (χ) делится, следовательно, и многочлен f(x) = αφ (χ). Таким образом, в кольце R[x] выполняется и условие (β")· Теорема Н.9.4 доказана. 9. Из этой теоремы немедленно следует, что кольцо многочленов R[xb х2> ···> хп] от любого конечного числа неизвестных над любым гауссовым кольцом R само будет гауссовым. В частности, гауссовым является кольцо многочленов Ρ [хь х2> ... > хп] наД любым полем Р. Теперь легко показать, что существуют гауссовы кольца, не являющиеся кольцами главных идеалов. Так, в кольце многочленов R = P[x, у] над полем Ρ множество А многочленов без свободного члена будет идеалом, отличным от R. Этот идеал не является, однако, главным, так как общими делителями входящих в него многочленов хну служат лишь отличные от нуля элементы из Р. § 10. Дедекиндовы кольца 1. Как и в предшествующем параграфе, будем рассматривать область целостности R с единицей. Напомним (см. И.5.5 и Н.5.6), что область целостности R содержится в однозначно определенном поле дробей. Если А и В — идеалы из /?, то их произведением АВ называется идеал, порожденный всевозможными произведениями вида ab, где а еД Ъ е В. Легко видеть, что идеал АВ состоит из тех и только тех элементов кольца R> которые хотя бы одним способом могут быть записаны в виде η 2] сцЬь fl/еД bi&B. (1) /=ι Из ассоциативности операций в R сейчас же вытекает ассоциативность умножения идеалов. Можно говорить, следовательно, о полугруппе идеалов кольца R; коммутативность этой полугруппы очевидна. Так как всякий элемент вида (1) принадлежит и к пересечению идеалов А и В, то АВ <= А П В. С другой стороны, из В <=: В' следует, очевидно, АВ <= АВ'. (2)
98 ГРУППЫ И КОЛЬЦА [ГЛ. II 2. Идеал С называется простым, если из включения ху е С, x,y^R, всегда следует, что хотя бы один из элементов х, у содержится в С. Этому определению удовлетворяют, очевидно, идеалы R и О. Вдальнейшем, говоря о простых идеалах, мы будем эти два идеала исключать из рассмотрения. Идеал С тогда и только тогда будет простым, если для любых идеалов А, В из АВ ^ С следует, что или А^С, или В ^ С. В самом деле, пусть АВ ^ С, но А с£ С, В ξ£ С. Существуют, следовательно, такие ag/1, b e В, которые не содержатся в С, хотя ab e С. Идеал С не является, таким образом, простым. Обратно, если идеал С не простой, то существуют а и Ь, лежащие вне С, но ab e С. Переходя к главным идеалам, получаем, что (а) §£ С, (£) ξ£ С, но »(*)£= С. Будем понимать ниже под максимальным идеалом нашего кольца R всякий максимальный среди истинных (т. е. отличных от R) идеалов. Всякий максимальный идеал Μ является простым. Действительно, пусть а^Д b φ Μ, но ab €Ξ Μ. (3) Идеал (Ж, а), порожденный идеалом Μ и элементом а, совпадает с R. Он состоит, однако, из элементов, записываемых в виде т-\~ха, т е М, igR, и поэтому может быть записан в виде M-\-Ra. Аналогично (М, b) = R и этот идеал может быть записан в виде M-\-Rb. Поэтому, ввиду (3), мы приходим к противоречию: R = RR = (M + Ra)(M + Rb) ^ М. 3. В кольце главных идеалов (см. 11.9.2) простые идеалы совпадают с идеалами вида (р), где ρ — простой элемент (см. Н.8.3) Действительно, если ху е (р), то xy = pz, z&R, а поэтому, по определению простого элемента, хотя бы один из элементов ху у делится на /?, т. е. содержится в идеале (/?). Если же элемент q не простой, то, по Н.8.7, он приводим, q = ab, где ни а, ни b не являются делителями единицы.
§ Ю] ДЕДЕКИНДОВЫ КОЛЬЦА 99 Отсюда ab e (#); однако, например, если а е (q), то a = qc — abc, откуда, ввиду отсутствия делителей нуля, Ъс—\, т. е. Ъ оказалось бы делителем единицы. В кольце главных идеалов всякий идеал, отличный от всего кольца и от нуля, является произведением конечного числа простых идеалов. Действительно, если элемент а не является делителем единицы и не равен нулю, то существует разложение а в произведение простых множителей, а=ргр2 ... рп, а тогда (а) = (р1)(р2) ... (рп). Область целостности R с единицей называется дедекиндо- вым кольцом, если всякий идеал из /?, отличный от самого R и от О, представим в виде произведения конечного числа простых идеалов. Ниже будет указана некоторая характе- ризация дедекиндовых колец. 4. Пусть R — область целостности с 1, Ρ — ее поле дробей. Подгруппу А аддитивной группы поля Ρ назовем дробным идеалом кольца /?, если выполняются следующие два условия: 1) если аеД xgR, то ах ^ А; 2) все элементы из А можно записать в виде дробей с общим знаменателем, т. е. Л = 1Ло, A0c=R, dt=R, d=£0. (4) Ясно, что А0 будет идеалом в R и что при этом условии равенство (4) можно считать определением дробного идеала. К числу дробных идеалов принадлежат идеалы самого кольца R или, как мы будем сейчас говорить, его целые идеалы. С другой стороны, главным дробным идеалом будет называться дробный идеал вида Ί-{α)> где (а) — главный целый идеал. Этот главный дробный идеал содержит, в частая ~ ности, элемент -г поля Ρ и порождается этим элементом, а поэтому его можно было бы записать в виде 1-г-).
100 ГРУППЫ И КОЛЬЦА [ГЛ. ΙΓ Вообще, так как пересечение любого множества дробных идеалов является дробным идеалом, то можно говорить о дробном идеале, порожденном данным конечным множеством элементов из Р: так как все эти элементы можно записать в виде дробей с общим знаменателем d, то все они лежат в дробном идеале -т R, а поэтому можно говорить о пересечении всех дробных идеалов, содержащих заданные элементы. 5. На дробные идеалы переносится и определение произведения идеалов, причем если А = — Л0, В = -j Вф то == cd ° °' т. е. это произведение является дробным идеалом. Так как умножение остается ассоциативным (и коммутативным) и так как произведение ненулевых дробных идеалов само отлично от нуля, то можно говорить о полугруппе ненулевых дробных идеалов кольца R. Единицей этой полугруппы служит само R. Нашей целью является доказательство следующей теоремы: Область целостности R с единицей тогда и только тогда будет дедекиндовым кольцом, если его полугруппа ненулевых дробных идеалов является группой. 6. Пусть /? — снова область целостности с единицей. Ее дробный идеал А называется обратимым, если существует такой дробный идеал Л"1, что AA~*=R. Всякий ненулевой главный дробный идеал обратим, так как (ίΓ-Ш· Всякий обратимый дробный идеал порождается конечным кислом элементов. В самом деле, если АА~1 = /?, то для единицы существует запись вида η 1= £ а&ь ai^Ay ajeA"1, /=1,2,..., я. /=ι
§ Ю] ДЕДЕКИНДОВЫ КОЛЬЦА 101 Отсюда для любого а ^ А будет η Я= Σ ai(a'ia)> /= 1 а так как ща е /?, /=1,2,..., я, то Л = (αχ, α2,..., α„). Если в = Лц42...Ля и если дробный идеал В обратим, то каждый из дробных идеалов Аь /=1,2,..., п, также будет обратимым, так как чдалгн 7. Если простые идеалы Сь С2, ..., Сп, рассматриваемые как дробные идеалы, обратимы, то А = С1С2...Сп (5) будет единственным представлением целого идеала А в виде произведения простых идеалов. Будем вести доказательство индукцией по п. Если я=1, то покажем, что представление идеала Сг в виде произведения двух целых идеалов, отличных от R, С± = ΒχΒ^ вообще невозможно. Именно, так как идеал Q простой, то, по II. 10.2, будет, например, Вг ^ С±. Отсюда, так как, по условию, идеал Сх обратим, а включение (2) имеет место и в случае дробного идеала Л, £2 = RB2 = С^1С1В2 => С-'В^ = С-'С^ = R, что невозможно. Переходим к общему случаю. Пусть идеал А обладазт как представлением (5), так и представлением A = D1D%...Dh (6) где идеалы Dp j = 1, 2,..., k, простые. Пусть Q — один из минимальных среди идеалов С,·, /=1, 2, ...,/2. Так как А содержится в простом идеале Сх, то, ввиду (6) и II. 10.2, будет, например, Dx s Cx. Аналогично существует такое /, что
102 ГРУППЫ И КОЛЬЦА ГГЛ. I! Ci <=: Db Отсюда, ввиду минимальности Сь следует Приравнивая теперь правые части равенств (5) и (6), умноженные на С"-1, мы получаем С2... Сп — D2... Dki откуда, по индуктивному предположению, η = k и, после возможной перенумерации, Ci = Dh г = 2, ..., я. 8. В дедекиндовом кольце R всякий простой идеал максимален и обратим. Предположим сперва, что простой идеал С обратим, и докажем его максимальность. Пусть существует такой элемент а е R, лежащий вне С, что идеал (С, a) = C-\-Ra отличен от R. Тогда тем более отличен от R идеал C-\-Ra2, так как C-\-Ra2 ^C-{~Ra, и, ввиду дедекиндовости кольца, для этих двух идеалов существуют разложения в произведения простых идеалов, η k C + Ra=UCb C + Ra*=Y[Df. (7) /=i / = i Сейчас нам необходимо построить кольцо, которое в III.2.б будет названо фактор-кольцом кольца R по идеалу С. Разложим аддитивную группу кольца R в смежные классы по подгруппе С. Если С-\-х и С-\-у — два любых смежных класса, то, умножая любой элемент первого класса на любой элемент второго, мы получим (так как С — идеал) элемент смежного класса С-\-ху. Это позволяет говорить об умножении смежных классов. Можно говорить и о сложении смежных классов, так как сумма любого элемента из С-\-х с любым элементом из С-\-у лежит в смежном классе С + -\-{х-\-у). Легко проверяется, что множество смежных классов по С составляет относительно этих операций кольцо R; его нулем служит С, а единицей С+1. В нашем случае кольцо R не имеет делителей нуля, так как из χ φ С, у φ С и (С + х)(С+у) = С следовало бы ^gCb противоречие с простотой идеала С. К кольцу R применимы, следовательно, результаты предшествующих пунктов.
§ Ю] ДЕДЕКИНДОВЫ КОЛЬЦА 103 Так как, по (7), С <ξ С/, /= 1, 2, ..., п, то простой идеал Ci распадается на смежные классы по С, которые, как легко проверяется, составляют в R простой идеал Q; аналогично вводятся лростые идеалы Dp /=1> 2, ..., k. Если положим а=С-\-а, то из (7) для главного идеала Ra вытекает разложение Ra = flCif а поэтому (Raf = Ra2=f[C^l\Df. (8) i=\ /=ι Все простые множители, входящие в разложения (8) для главного и поэтому, по II. 10.6, обратимого идеала Ra , сами обратимы, и, следовательно, по II. 10.7, разложения (8) совпадают. Отсюда вытекает, что k==2n и, после перенумерации, Ci^Dzi-^D*, /=1, 2, ..., п. Таким образом, C + Ra2 = (C + Ra)2, откуда Ccz(C + Ra)2<=C2 + Ra. Для всякого χе С существуют, следовательно, такие j/gC2 и ,гб/?, что x=y-}-za. Отсюда za&C, а так как идеал С простой и а ф С, то ζ е С. Таким образом, С<=С2 + Са, а так как обратное включение очевидно, то С = С2 + Са. Умножая обе части на идеал С'1, существующий ввиду обратимости С, получаем R = C + Ra в противоречие с предположением. Максимальность идеала С доказана.
104 ГРУППЫ И КОЛЬЦА [ГЛ. II Докажем теперь обратимость всякого простого идеала С. Пусть xgC, хфО. Тогда Rx=f\ Ch где идеалы С,·, /=1, 2, ..., п, простые и, по Н.10.6, обратимые (так как идеал Rx главный и поэтому обратимый), т. е., по доказанному выше, они максимальны. Так как, однако, Rx дСи идеал С простой, то хотя бы для одного / будет С/ ^ С, т. е., ввиду максимальности С,·, С,- = С, а поэтому идеал С обратим. 9. Из результатов двух предшествующих пунктов вытекает следующее важное утверждение: В дедекиндовом кольце всякий идеал, отличный от R и О, обладает единственным разложением в произведение простых идеалов. 10. Покажем теперь, что всякий ненулевой дробный идеал А дедекиндова кольца R разлагается в произведение положительных или отрицательных степеней простых идеалов и поэтому обратим. Действительно, пусть А = -т А0. Тогда η k А>=ПС< Rd=U dp i = \ i = \ где все С* и Dj простые, а так как все простые идеалы Dp у=1, 2, ..., k, обратимы, то A = A,(Rdy* = f[Ci· Π Я"1· / = 1 / = 1 Этим в одну сторону доказана основная теорема II. 10.5. 11. Докажем обратное утверждение этой теоремы. Если ненулевые дробные идеалы области целостности R с единицей составляют по умножению группу и поэтому обратимы, то, по Н.10.6, каждый (целый) идеал из R порождается конечным числом элементов. Отсюда следует, что в R выполняется условие максимальности для идеалов'.
§ ю] ДЕДЕКИНДОВЫ КОЛЬЦА 105 объединение В возрастающей цепочки идеалов Аг s Л2 s .. · S Ап S... само будет идеалом и поэтому порождается конечным числом элементов. Найдется такое п, что все эти элементы уже лежат в Ап, а тогда В = Ая = Ая + 1 = ... Утверждение, что кольцо R дедекиндово, будет, ввиду II. 10.2, доказано, если мы покажем, что всякий целый идеал из R, отличный от R и О, является произведением максимальных идеалов. Если это не так, то пусть А будет одним из максимальных среди тех идеалов, которые не могут быть так представлены. Он не будет максимальным идеалом кольца /?, но, ввиду условия максимальности, существует содержащий его максимальный идеал М. Так как А ^ Μ и М~ХМ = R, то М~ХА cz R, т. е. Ж-1 Л является целым идеалом. Из A = RA = M(ArlA) (9) следует А с ATM. Если бы это включение было строгим, то идеал М~1А разлагался бы в произведение максимальных идеалов, а тогда, по (9), и для А существовало бы такое представление против предположения. Поэтому М~ХА = Л, т. е. А = МА. (10) Приведем это к противоречию, показав, что существует такой элемент :gM, что произведение элемента 1 — ζ на любой элемент из А равно нулю, хотя ζ Φ 1, а в R нет делителей нуля. Пусть идеал А порождается элементами хь х2, ..., хю А = (Х±у Хъ ... ? Хп)' Положим Ai = (Xi, Xi + ±, ...> Хп)> 1=1, *"> ···> #> и Λι+ι = 0 и докажем существование такого ^еЖ, ί = = 1, 2, ..., я-f 1> что (1-*,)Лс=Л£. (11) Так как ^ = Л, то можно взять zx = 0. Пусть ζ* со свойством (11) уже найдено. Тогда, ввиду (10), (1 - ζι) А = (1 - *,) МЛ Ξ МЛ,,
106 ГРУППЫ И КОЛЬЦА [ГЛ, II а так как всякий элемент идеала МА-г можно представить в виде суммы произведений элементов х» Xi+ъ ..., хп на некоторые элементы из Ж, то η (1 - zt)Xi = Д] zijXp z4 e= Μ, i = i Отсюда (1—*,· —2н)**еЛ£+1 и поэтому (1—Ζι+1)Α£Αι+ι где 1 —^4i = (! -*0О —Zi — Zih ясно, что ^-+1gM Элемент 2Λ+1 и будет искомым элементом ζ. Теорема доказана. -х Область целостности R с единицей тогда и только тогйа будет дедекиндовым кольцом, если удовлетворяются следующие условия: 1) условие максимальности для идеалов; 2) всякий простой идеал максимален; 3) кольцо R целозам- кнуто в своем поле дробей Р, т. е. всякий элемент из Р, являющийся корнем многочлена с коэффициентами из R и со старшим коэффициентом 1, сам принадлежит к R. χ
ГЛАВА ТРЕТЬЯ УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ. ГРУППЫ С МУЛЬТИОПЕРАТОРАМИ § 1. Универсальные алгебры. Гомоморфизмы 1. Параллелизм между теорией групп и теорией колец, неоднократно проявлявшийся в предшествующей главе, обнаруживается и во многих других разделах этих теорий. Во многих случаях оказывается целесообразным не рассматривать группы и кольца отдельно, а строить единую теорию, из которой результаты, относящиеся к группам и к кольцам, вытекали бы в качестве простых следствий. Именно с этой целью было начато изучение алгебраических образований с произвольным числом алгебраических операций, притом не обязательно бинарных. 2. Пусть дано множество G. Будем говорить, что в О определена η-арная алгебраическая операция ω (где η — целое неотрицательное число), если любой упорядоченной системе из η элементов аь а2,..., ап множества G сопоставлен однозначно определенный элемент этого же множества; этот результат применения операции ω к указанной системе элементов будет записываться через α^.,.α^ω. В некоторых случаях приходится отказываться от требования, чтобы «-арная операция ω была определена для любых упорядоченных систем из η элементов, т. е. эта операция будет лишь частичной. Требование однозначности операции будет, однако, обычно сохраняться, и поэтому понятие «-арной операции является лишь частным случаем понятия (п-\- 1)-арного отношения (ср. II. 1.1). При /2 = 2 мы приходим к привычному нам понятию бинарной операции (см. 11.1.2), при я = 3 получаем тернарную
108 УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ (ГЛ. III операцию, и т. д. С другой стороны, при η = 1 мы будем говорить об унарной операции. Эта операция сопоставляет всякому элементу a^G однозначно определенный элемент αω е G, т. е. является некоторым однозначным отображением множества G в себя. Наконец, случай η = 0, т. е. случай нулъарной операции, означает, что в множестве О фиксируется некоторый определенный элемент, который не зависит от выбора в G каких-либо элементов или систем элементов. Так, беря единицу группы, мы применяем к этой группе нульарную операцию; такими же операциями в случае кольца будет взятие его нуля или единицы (если последняя существует). 3. Множество G называется универсальной алгеброй, если в нем задана некоторая система Ω «-арных алгебраических операций, причем для различных операций ωεΩ числа η могут быть как различными, так и совпадающими. Эта система операций может быть и бесконечной — примерами универсальных алгебр такого рода служат векторные пространства над бесконечными полями: здесь имеется одна бинарная операция, а именно сложение, бесконечное множество унарных операций, а именно умножений на элементы основного поля, и одна нульарная, фиксирующая нулевой элемент. В предшествующей главе мы встречали много различных видов универсальных алгебр — группоиды, группы, квазигруппы, кольца и т. д. Заметим, что мы умеем двумя способами рассматривать группу как универсальную алгебру: с одной стороны, это множество с тремя бинарными операциями—умножением и левым и правым делениями; с другой стороны, это множество с одной бинарной операцией — умножением, с одной унарной операцией — взятием обратного элемента и с одной нульарной оцерацией — взятием единицы. К вопросу о различных способах задания одной и той же алгебраической системы в качестве универсальной алгебры мы вернемся еще в Ш.б.б. Заметим также, что тела можно будет считать универсальными алгебрами лишь в том случае, если к рассмотрению будут допущены частичные алгебраические операции, так как именно таковы и левое и правое деление в теле, и взятие обратного элемента.
§ 1] УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ. ГОМОМОРФИЗМЫ 4. Пусть дана универсальная алгебра Q с системой операций Ω. Подмножество Л с= G будет называться подалгеброй универсальной алгебры G, если для любой операции ω g Ω из ω1; α2,..., αη е А где я — арность операции ω, всегда следует αλα2... αηω е А. Частными случаями этого понятия являются, очевидно, подгруппоид группоида, подгруппа группы, подкольцо кольца. Отметим, впрочем, что если кольцо R обладает единицей и если оно рассматривается как универсальная алгебра, в число операций которой включена нульарная операция взятия единицы, то подалгебрами будут лишь те подкольца кольца R (см. Н.3.2), которые содержат единицу кольца /?, а не любые подкольца, даже если они обладают своей собственной единицей. Так же, как в Н.З.б, доказывается, что пересечение любой системы подалгебр универсальной алгебры Q, если оно не пусто, будет подалгеброй этой алгебры. Отсюда следует, что если в универсальной алгебре Q взято произвольное непустое подмножество М, то существует однозначно определенная подалгебра {М}, минимальная среди подалгебр, целиком содержащих М. Это будет пересечение всех подалгебр из G, содержащих Ж, — одной из таких подалгебр будет само О. Если {M}=G, то Μ будет системой образующих для G. 5. Универсальные алгебры G и G', в которых заданы соответственно системы операций Ω и Ω', называются однотипными, если можно установить такое взаимно однозначное соответствие между системами Ω и Ω', при котором любая операция ωεΩ и . соответствующая ей операция ω'£Ω' будут я-арными с одним и тем же п. Можно считать, следовательно, что в однотипных универсальных алгебрах задана одна и та же система операций Ω. Однотипные универсальные алгебры G и G' с одной и той же системой операций Ω называются изоморфными, если существует такое взаимно однозначное отображение φ алгебры G на алгебру G', что для любой я-арной операции шеЁ! и любых элементов аь а2,..., ап^.О (flxfla... αηω) φ = (^φ) (α2φ)... (αΛφ) ω. (1)
110 УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ (ГЛ. 111 Понятие изоморфизма универсальных алгебр играет в точности ту же роль, какую оно играло для групп, колец или частично упорядоченных множеств. Сейчас будет введено одно его обобщение, а именно понятие гомоморфизма, очень важное для всей дальнейшей теории. Именно, сохраняя требование (1), но считая, что φ является лишь однозначным (а не обязательно взаимно однозначным) отображением алгебры G в алгебру G' (т. е. не обязательно на всю эту алгебру), мы приводим к определению гомоморфного отображения одной универсальной алгебры в другую, ей однотипную. Из определения гомоморфизма легко следует,, что произведение гомоморфизмов (в смысле 1.1.2) само будет гомоморфизмом. Действительно, если даны однотипные алгебры G, G', G" с одной и той же системой операций Ω и гомоморфизмы φ: G-+G' и ψ: G'->G", то для любой я-арной операции ω е Ω и любых элементов аь a2,...,an^G будет (ага2... αηω) (φψ) = [{αλα2... αηω) φ] ψ = = [Κφ) (α2ψ) · · · Κ<Ρ) ω] ψ = [(αλφ) ψ] [(α2φ) ψ]... [(α„φ) ψ] ω = = [аг (φψ)] [α2 (φψ)] ,..[αη (φψ)] ω, чем и доказано, что произведение φψ будет гомоморфизмом алгебры G в алгебру G". Из (1) следует также, что если G(p есть образ алгебры G при гомоморфном отображении φ в алгебру G', то G(p будет подалгеброй алгебры G'. Если G(p — G', то мы говорим о гомоморфном отображении на G' и называем G' гомоморфным образом алгебры G. 6. Применим понятие гомоморфизма к случаю группоидов и колец. Ясно, что в случае бинарного умножения равенство (1) превращается в равенство (ab) φ = αφ · by (2) и что универсальная алгебра, однотипная с группоидом, сама будет группоидом. Легко проверяется, как и в случае изоморфизма (см. Н.4.1), что при гомоморфном отображении группоида G на группоид G' сохраняются такие свойства операции, заданной в G, как коммутативность и ассоциативность.
§ 1] УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ. ГОМОМОРФИЗМЫ П1 Пусть φ — гомоморфное отображение группоида G на группоид G'. Если О обладает единицей е, то еср будет единицей в О'. Если, сверх того, элемент ft е G является одним из (правых) обратных элементов для a gO, то Ьц> будет одним>из (правых) обратных элементов для αφ. Действительно, для agG из ае = еа = а и (2) следует αφ · еср — еср · αφ = αφ, а так как элемент αφ пробегает весь группоид G', когда α пробегает группоид G, то еср действительно будет единицей в G'. С другой стороны, из аЪ—е и (2) следует αφ · by = е<р. Таким образом, гомоморфный образ полугруппы или группы будет полугруппой и соответственно группой. Рассмотрим теперь гомоморфное отображение φ кольца R на однотипную ему универсальную алгебру /?'. Из сказанного выше следует, что R' будет абелевой группой по сложению и группоидом по умножению. Докажем, что в R' выполняются законы дистрибутивности. Если а', ft', с' е /?', а элементы а, ft, с е /? таковы, что αφ = α', ftcp = ft', су = с'у то из равенства (а + ft) с = ас + ^> справедливого в кольце /?, следует равенство (а'+Ь')с' = а'с' + Ь'с\ Так же проверяется и второй закон дистрибутивности. Таким образом, гомоморфный образ кольца будет кольцом. Из сказанного выше следует, что при гомоморфизме колец нуль переходит в нуль и что гомоморфным образом ассоциативного или коммутативного кольца будет кольцо с таким же свойством. 7. Существует некоторый способ обозрения всех гомоморфных отображений данной универсальной алгебры G. Введем сперва следующее понятие. Рассмотрим универсальную алгебру G с системой операций Ω. Отношение эквивалентности л (см. 1.3.1), заданное в G, называется конгруенцией в G, если для любой «-арной операции ω е Ω и любых элементов α·ν α\ εΟ, /= 1, 2,..., я, из α/ля/, i= 1, 2,..., η,
112 УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. III следует (й\й2... αη(ύ) η (α[α2... α'η(ύ). Иными словами, если взяты произвольные классы Аь А2>..·, Ап разбиения, определяемого отношением эквивалентности π (см. 1.3.2), то класс В, содержащий элемент а1а2...ап(о, где а^ е Л/, /=1,2,..., я, не зависит от выбора элементов ai в их классах Аь /=1,2,...,#. Это позволяет определить я-арную операцию ω в фактор-множестве G/π (см. 1.3.4), полагая АхАг...Апъ = В. (3) Так как это справедливо для всех операций ωεΩ, то в результате G/π превращается в универсальную алгебру с той же системой операций Ω, что и исходная алгебра G. Эта алгебра G/π называется фактор-алгеброй универсальной алгебры G по конгруенции π. Определение (3) операций в фактор-алгебре G/π и определение гомоморфизма (1) показывают, что естественное отображение алгебры G на фактор-алгебру G/π (см. 1.3.4) будет гомоморфизмом. Он называется естественным гомоморфизмом G на G/π. Из существования естественного гомоморфизма G на G/π и сказанного в предшествующем пункте следует, что фактор-алгебры группоидов, групп, колец сами будут соответственно группоидами, группами, кольцами. Можно говорить, следовательно, о фактор-группоиде (или φ актор-группе, или φ актор-кольце) G/π группоида (группы, кольца) G по некоторой конгруенции π. 8. Обращением сказанного в предшествующем пункте служит следующая теорема о гомоморфизмах, дающая обозрение всех гомоморфных отображений универсальных алгебр. Если G — универсальная алгебра с системой операций Ω, α φ — ее гомоморфное отображение на однотипную универсальную алгебру G', Оц> = G', то в G существует такая конгруенция п, что алгебра О' изоморфна фактор-алгебре G/π. Больше того, существует такое изоморфное отображение ψ алгебры G' на фактор-алгебру G/n, что произведение φΐ|? совпадает с естественным гомоморфизмом G на G/π.
$ 1] УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ. ГОМОМОРФИЗМЫ ИЗ В самом деле, мы получим разбиение алгебры G на непересекающиеся классы, относя в один класс такие элементы из G, образы которых при гомоморфизме φ совпадают. Отношение эквивалентности π, определяемое этим разбиением, будет в ^алгебре G конгруенцией. Действительно, для любой «-арной операции ogQ из αιψ = α^φ, Ζ = 1, 2,..., л, следует, по (1), (axa2... αηω) φ = (α±φ) (α2φ)... (ад) ω = = (αιΦ) (α2<Ρ) · · · (ад) ω = {αχα2... αηω) φ, т. е. элементы α1α2...α/ιω и αχα2... αΛω также принадлежат к одному классу разбиения π. Существует, следовательно, фактор-алгебра G/π. Ставя в соответствие всякому элементу а! е G' класс Л разбиения π, составленный из всех прообразов элемента а' при гомоморфизме φ, мы получим взаимно однозначное отображение ψ алгебры G' на фактор-алгебру Ο/π. Докажем, что ψ является изоморфизмом. Пусть я-арная операция ω — любая операция из Ω, а α£·,/= 1, 2,..., я, — любые элементы из О'. Полагая αίψ = Л£, Ζ= 1, 2,..., η, и выбирая элементы at е Л/, Z= 1, 2,..., я, откуда α/ψ = αί, Ζ= 1, 2,..., #, мы получим, по (1), (дхДа... αΛω) φ = aja^... αηω. (4) Так как, по (3), а1а2... апсо е ЛХЛ2... Л^со, то из (4) следует (а[а2 ... α'η(ύ)^ = Α{Α2 ... Л„со = (αίψ)(αίψ) ... (&ήψ)ω, что и доказывает изоморфность отображения ψ. Наконец, если α— произвольный элемент алгебры G и если αφ = α', α'ψ = Л, то, ввиду определения отображения ψ agA Этим показано, что произведение φψ совпадает с естественным гомоморфизмом О на Ο/π. Теорема о гомоморфизмах доказана.
114 УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. III § 2. Группы с мультиоператорами 1. Как мы увидим ниже, существует весьма тесная связь между конгруенциями и, следовательно, гомоморфизмами групп и колец, с одной стороны, и нормальными делителями групп и идеалами колец, с другой стороны. Эта связь не может быть в полной мере распространена на случай любых универсальных алгебр, в частности на случай группоидов или полугрупп. Она целиком сохраняется, однако, для одного специального класса универсальных алгебр, введенного недавно Хиггинсом (Ргос. London Math. Soc. 6 (1956), 366-416) и представляющего собою весьма удачное объединение классов групп и колец. Пусть дана группа G. Эта группа не обязана быть коммутативной, но нам будет удобно использовать для нее аддитивную запись; в частности, нулевой элемент этой группы будет, как обычно, обозначаться символом 0. Группа G будет называться группой с системой мулыпи- операторов Ω или, короче, U-группой, если в О задана помимо сложения еще некоторая система «-арных алгебраических операций Ω (при некоторых п, удовлетворяющих условию rc^l), причем для всех ogQ должно выполняться условие 00 ... 0ω = 0, (1) где слева элемент 0 стоит η раз, если операция ω я-арна. Ясно, что при пустой системе операций Ω мы получаем понятие группы. С другой стороны, понятие Ω-группы превращается в понятие кольца, если аддитивная группа этой Ω-группы —условимся так называть группу по сложению — коммутативна и если система операций Ω состоит из одного бинарного умножения, связанного со сложением законами дистрибутивности; условие (1) отсюда, как мы знаем, следует. 2. Ω-группу О можно считать универсальной алгеброй относительно операций аддитивной группы и операций из Ω. Всякая подалгебра этой алгебры (см. III. 1.4) будет подгруппой аддитивной группы и поэтому содержит 0, условие (1) продолжает выполняться, и поэтому она сама является Ω-группой. Будем говорить поэтому не о подалгебрах, а об Q-подгруппах Ω-группы G.
$2] ГРУППЫ С МУЛЬТИОПЕРАТОРАМИ 115 Отсюда, ввиду 111.1.4, следует, что пересечение любой системы Ω-подгрупп Ω-группы Q само будет Ω-подгруппой и, в частности, содержит элемент 0. С другой стороны, Ω-подгруппой будет и подалгебра {М}, порожденная непустым подмножеством Μ Ω-группы G. Заметим, что, ввиду (1), нулевая подгруппа аддитивной группы будет Ω-подгруппой. 3. Если Ω-группа О гомоморфизмом φ (см. III. 1.5) отображается на однотипную ей универсальную алгебру G', то это будет, в частности, гомоморфизм для аддитивной группы Ω-группы G, а поэтому алгебра G' по операциям, соответствующим операциям аддитивной группы Ω-группы G, сама будет группой. Будем считать эту группу записанной аддитивно и ее нуль обозначать через 0'. Так как φ —гомоморфизм, а 0φ = (У, то для любой операции ogQ будет, ввиду (1), О'О' ... 0'ω = 0'. Таким образом, всякий гомоморфный образ Ω-группы сам будет Ω-группой. В частности, фактор-алгебры Ω-групп (см. III. 1.7) сами являются Ω-группами. Можно говорить поэтому об Ω-φактор-группе О/л Ω-группы G по конгруенции π. 4. Непустое подмножество А Ω-группы G называется идеалом в G, если выполняются следующие два условия: 1) А является нормальным делителем аддитивной группы; 2) для всякой «-арной операции ωθΩ, любого элемента flGi4 и любых элементов хь х2, ..., хп е G должно при /=1, 2, ..., η иметь место включение — (хгх2... χηω) + x1...Xi_1(a + xi)xi + 1... χηω <= Α. (2) Для групп определенное сейчас понятие идеала совпадает с понятием нормального делителя, так как, ввиду пустоты системы операций Ω, условие 2) отпадает. Для колец наше новое понятие идеала совпадает с понятием (двустороннего) идеала, введенным в II.7.8. Действительно, в этом случае условие 1) требует, чтобы А было подгруппой аддитивной группы кольца, условие же 2) превращается для операции умножения и любых а^ А, xv x2^Q при /=1 в — ххх2 + (α + Χι) х2 = — Х\Хг + ах2 + ххх2 = ах2 е А,
116 УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. Ill а при 1 = 2 в — ххх2 + х± (а + х2) = — -*а*2 + X\Q> + -^1-^2 = ·*ια ^ ^> что и требовалось доказать. Заметим, что включение (2) может быть переписано в виде χι .·· *ί-ι(α + χϊ\Χι+ι ... л:йо) G дг^г ... χηω + Α, (3) /=1, 2, ..., η, где справа стоит смежный класс по нормальному делителю А, порожденный элементом х±х2... χη®- Применяя включение (3) несколько раз, мы приходим к следующему утверждению: Для любого идеала А Ω-группы Q, любой η-арной операции «GO, любых элементов аь а2, ..., ап^. А и любых элементов хь х2, ..., хп ^ О имеет место включение (а1 + х1)(а2 + х2) ...(αη + χη)(ύΕΞ хгх2... χηω + А (4) Отсюда следует, что всякий идеал А Ω-группы Q является ее Ω-подгруппой. Действительно, А будет подгруппой аддитивной группы в силу условия 1), а из (4) для любой л-арной операции ω е Ω и любых аь а2, ..., ап е А следует при Xi = x2 = ... = xn = ®> ввиду равенства (1), а1а2 ... αηω е А Ясно, что идеалами Ω-группы G будут, в частности, само G и нулевая подгруппа О. Если в G нет других идеалов, то это будет простая Ω-группа. Без труда проверяется, что пересечение любой системы идеалов Ω-группы Q само будет идеалом, а поэтому можно говорить и об идеале, порожденном любой системой элементов М. Заметим, что идеал, порожденный системой идеалов Aif i e /, Ω-группы G, совпадает с порожденной этими идеалами подгруппой В аддитивной группы. Действительно, из 11.7.5. мы знаем, что B = {Ah i^I) является нормальным делителем аддитивной группы и что всякий элемент из В записывается в виде b = a1-\-a2-\-... + ak, а/еЛ|/,/=1, 2, ..., k. (5) Пусть даны я-арная операция ω ^ Ω, элемент Ъ е В с записью (5) и элементы хь х2, ..., хп^О. Так как Aiv Ait, ..., Aik
§2] ГРУППЫ С МУЛЬТИОПЕРАТОРАМИ 117 являются идеалами, то, используя (3) и (5), мы получим ·*ά ··· *i-i(b + Xi)Xi+i ... χηω^ΧιΧ2 ... *„ω + β, что и требовалось доказать. Идеал B = {Ai,>i^I} будет называться суммой идеалов Аь i^L 5. Сейчас будет доказана теорема, вьн сияющая роль понятия идеала в теории Ω-групп. Заметим, что, говоря о разложении Ω-группы Q по идеалу А, мы будем понимать под этим разложение аддитивной группы этой Ω-группы по А как по нормальному делителю. Все конгруенции в произвольной Ω-группе Q исчерпываются ее разложениями по различным идеалам. В самом деле, пусть А будет произвольный идеал Ω-группы G. Для любых аъ а2 е А и хь x2^G существует, в силу определения нормального делителя, такой элемент а3 е А, что #1 "Ь ХЪ = ·%2 "Τ" fl3> а поэтому (*ι + αι) + С*2 + а2) = (*ι + *а) + (а3 + а2) е (Χι + х2) + А С другой стороны, для любой л-арной операции ω е Ω, любых элементов аь а2, ..., ап^ А и хь х2, ..., x„gO имеет место включение (4). Эти включения показывают, что разложение О в смежные классы по А действительно является конгруенцией в Ω-группе G. Пусть теперь в О дана произвольная конгруенция π. Обозначим через А тот класс разбиения π, в котором содержится нуль аддитивной группы; элементы а е А характеризуются, следовательно, тем, что имеет место απΟ. Если аь а2 е А, то %я0, α2π0, a поэтому, по определению конгруенции, (аг + а2) π (0 + 0), т. е. (аг + а2) π 0, откуда а1-\-а2^ А. Далее, если йеД то [0 + (-α)]π[α + (-α)], т. е. — απΟ, откуда — agA Наконец, если α е A jceO, то (— χ + α + χ) π (— χ + 0 + χ), т. е. (—χ + а + λγ)π0, откуда — x + a + ^gA Этим доказано, что А является нормальным делителем аддитивной группы.
118 УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. Ill Если теперь даны «-арная операция ω е Ω, элемент адЛ и элементы хь х2, ..., xrtEG, то (а + Χι) я (0 + Xi)> т. е. (а + xt) π xiy откуда [хх ... Xi_i(a-\-Xi)xi+1 ... χΛω] π(XiX2 ··· -^ω), а поэтому — ΧιΛΓ2 ... *„ω + *ι ... Xi-i(a + Xi)Xi+i ... ^gA, /=1, 2, ..., η. Мы получаем, что класс А будет даже идеалом Ω-групп ы О. Рассмотрим, наконец, произвольный класс В разбиения π. Если b ^ В, абД т. е. απϋ, то (b + a)n(b + 0), т. е. (Ь + а)лЬ, откуда для смежного класса Ь-\-А следует включение Ь + А<=В. С другой стороны, если bf — произвольный элемент из класса В, то из b'nb следует (—Ь-\-Ь')пО или «Н^еД т. е. b't=b + A. Этим доказано равенство В = Ь-\-А, т. е. доказано, что всякий класс разбиения π является смежным классом по идеалу А. Теорема доказана. 6. В силу этой теоремы мы будем говорить в дальнейшем не об Ω-фактор-группе О/л Ω-группы О по некоторой конгруенции π, а об Ω-фактор-группе по идеалу А и обозначать ее через О/А. Идеал А будет, очевидно, нулем этой Ω-фактор-группы. Применяя все сказанное к случаю групп, мы получаем, что все конгруенции в группе О исчерпываются ее разложениями по различным нормальным делителям. Можно говорить, следовательно, о фактор-группе группы О по нормальному делителю А и обозначать ее через О/А. С другой стороны, все конгруенции в кольце R исчерпываются его разложениями по различным (двусторонним) идеалам, а поэтому мы будем говорить о фактор-кольце кольца R по идеалу А и обозначать его через R/A.
§2] ГРУППЫ С МУЛЬТИОПЕРАГОРАМИ 119 Из доказанной выше теоремы вытекает еще одно замечание. Если φ— гомоморфное отображение Ω труппы G на Ω-группу G', то ядром гомоморфизма φ называется совокупность тех элементов из G, которые при φ отображаются в нуль Ω-группы Ог. Из теоремы 111.2.5 и из теоремы о гомоморфизмах 111.1.8. следует: Ядрами гомоморфизмов Ω-группы служат ее идеалы и только они. Гомоморфный образ Ω-группы определяется с точностью до изоморфизма ядром рассматриваемого г омоморфизма. 7. Рассмотрим некоторые простейшие, но важные примеры. Всякий гомоморфный образ циклической группы сам, является циклической группой. Действительно, если G' — образ циклической группы G = {а\ при гомоморфизме φ, причем αφ = α', то для любого элемента gf e (У можно найти прообраз ak e G, а поэтому g = α*φ = (αφ)* = a'fe, т. е. Q' = {a'). Найдем теперь все гомоморфные образы бесконечной циклической группы, в качестве которой, по И.4.2, можно взять аддитивную группу целых чисел. В Н.4.2 дано обозрение подгрупп этой группы, причем все они будут, конечно, нормальными делителями. Если {п} — подгруппа, составленная из чисел, кратных натуральному числу п, то два числа тогда и только тогда будут принадлежать к одному смежному классу по этой подгруппе, если их разность нацело делится на я, т. е. если эти числа при делении на η дают один и тот же остаток. Так как остатками при делении целых чисел на η могут служить лишь числа 0, 1, 2, ..., п— 1, то фактор-группа аддитивной группы целых чисел по подгруппе {п} будет конечной группой порядка п, притом, как показано выше, циклической. Число η было произвольным, а поэтому, учитывая описание циклических групп, данное в Н.4.2, мы приходим к следующему результату: Гомоморфными образами бесконечной циклической группы служат всевозможные циклические группы и только они. 8. Найдем теперь все гомоморфные образы кольца целых чисел С. Как отмечено в 11.7.8, все подгруппы аддитивной
120 . УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. Ill группы этого кольца служат в нем идеалами, а поэтому нам остается рассмотреть фактор-кольца по этим идеалам. Фактор-кольцо по нуль-идеалу изоморфно, конечно, самому кольцу С. Фактор-кольцо кольца С по идеалу чисел, кратных натуральному числу п, мы обозначим через Сп и назовем кольцом вычетов по модулю п. Из сказанного в предыдущем пункте следует, что это кольцо конечно и состоит из η элементов, что его аддитивная группа циклическая и что в смежных классах, составляющих это кольцо, в качестве представителей можно выбрать числа 0, 1, 2, ..., л—1. В соответствии с этим сами элементы кольца Сп могут быть обозначены через 0, 1, 2, ..., л—1. Из определения операций в фактор-кольце (ср. III. 1.7) вытекают следующие правила оперирования в кольце Сп: если O^k, 1<Сп и k-\-l = nq1-\-rb kl = nq2-\-r2> где 0 ^ гь г2 < п, то & + /=/*!, &-/=Г2. В частности, элемент 0 будет нулем кольца Сю элемент 1 — его единицей. Кольцо Сп обладает делителями нуля при составном числе п, но является полем, если число η простое. В самом деле, если n = kl, 1 << k, I < я, то элементы k и /кольца Сп отличны от нуля 0 этого кольца, но k-l = 0. Если же число η простое, п=р^2, то всякое число k> удовлетворяющее неравенствам \ ^k^p— 1, будет с ρ взаимно простым. Существуют, следовательно, такие целые числа / и т, что имеет место равенство kl-\-pm= 1, причем число / можно выбрать так, что 1^/^/7—1. Отсюда следует, что в кольце вычетов Ср выполняется равенство т. е. всякий элемент из Ср, отличный от нуля, обладает в кольце Ср обратным элементом, а поэтому это кольцо будет полем. Кольца вычетов Ср по простым модулям р, р — 2, 3, 5, ..., являются первыми примерами конечных полей, причем они играют в теории полей и тел весьма важную роль, как будет сейчас показано.
§2] ГРУППЫ С МУЛЬТИОПЕРАТОРАМИ 121 9. Пусть дано тело /С, не обязательно ассоциативное (см. 11.6.1). Пересечение всех подтел тела К само будет подтелом, которое мы временно назовем простым подтелом тела AT. Нашей целью является описание строения этого подтела. Назовем центром произвольного кольца R совокупность элементов а из R, перестановочных с каждым элементом кольца R, т. е. ах = ха (6) для всех χ е R, и, кроме того, удовлетворяющих для всех х, у е R условиям {ах) у = а (ху), (ху) а = х (уа), (7) а поэтому и условию (ха)у = х(ау), так как, по (6) и (7), (ха)у = {ах)у = а (ху) = (ху) а = х (уа) = χ (ay). Нуль кольца R, а также его единица, если она существует, принадлежат, понятно, к центру этого кольца. Центр кольца R является ассоциативно-коммутативным подкольцом. Центр тела является подполем. Действительно, если элементы а и b входят в центр кольца R, то для любых х, у е R (а ± Ь) χ = ах ± Ъх = ха ± хЪ = χ (а ± Ь), [(а ± Ь) х]у = (ах ± Ьх)у = (ах)у ± (Ьх)у = = а (ху) ± b (ху) = (а±Ь) (ху); так же проверяется и второе из условий (7). С другой стороны, (ab) χ = a (bx) = a (xb) = (ах) Ь = (ха) b = x (ab), [(ab)х]у = [а(Ьх)\у = а \(Ьх)у] = а[Ь(ху)] = (ab)(ху). Таким образом, центр кольца R оказался подкольцом, притом, очевидно, ассоциативно-коммутативным. Если же /? — тело с единицей е и а —элемент из его центра, причем а=^=0, то, решая уравнения ах = е и уа = е и учитывая, что а содержится в центре, мы найдем одно-
122 УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. ТП значно определенный обратный элемент а"1, одновременно левый и правый. Тогда для любых ху у е R а' гх = (а~гх) (аа~х) = [(а~гх) а]а~1 = [а~1 (ха)] а'1 = = [а'1 (ах)] а'1 = [(а' 1а)х] а"1 = ха'1, (а1х)у = (а'Ч) [(а'^у] = а'1 {а [(а~1х)у\} = = а~1{[а (а~1х)]у} = а"1 {[(аа'1) х]у} = а"1 (ху); так же проверяется и второе из условий (7). Этим доказано, что элемент а'1 принадлежит к центру тела /?, а поэтому центр будет полем. 10. Вообще говоря, центр кольца может случайно состоять лишь из одного нуля. Если же К — тело с единицей е, то его центр непременно содержит е, а также все кратные пе, где η — любое целое число. Все эти кратные составляют в К ассоциативно-коммутативное подкольцо Ок\ содержащееся во всех подтелах тела /С, а поэтому и в его простом подтеле. С другой стороны, простое подтело должно содержаться в центре тела К, так как центр является подполем, а поэтому простое подтело ассоциативно и коммутативно, В дальнейшем можно говорить, следовательно, не о простом подтеле, а о простом подполе тела К. Простое подполе тела К изоморфно или полю рациональных чисел, или же одному из полей вычетов Ср по простому модулю р. Для доказательства рассмотрим отображение п-> пе кольца целых чисел С на кольцо С(/Ч Это отображение будет гомоморфным, а поэтому, как показано в 111.2.8, кольцо Ок> изоморфно или кольцу целых чисел С, или же некоторому кольцу вычетов Сп, даже некоторому полю вычетов Ср по простому модулю ру так как в теле К нет делителей нуля. В последнем случае поле Ср и будет искомым простым подполем тела /С Если же имеет место первый случай, то центр тела /С, являющийся полем и содержащий подкольцо С^\ изоморфное кольцу целых чисел, будет содержать и поле дробей этого подкольца, изоморфное (см. 11.5.7) полю рациональных чисел. Это поле и будет простым подполем тела /С. 11. Если простое подполе тела К изоморфно полю рациональных чисел, то говорят, что тело К без характеристики
§2] ГРУППЫ С МУЛЬТИОПЕРАТОРАМИ 123 (или что оно имеет характеристику нуль); таковы, в частности, все числовые поля. Если же простое подполе тела К изоморфно полю вычетов Ср по простому модулю /?, то К называется телом конечной характеристики или простой характеристики, & именно характеристики р. Всякий отличный от нуля элемент тела К без характеристики (характеристики р) имеет в аддитивной группе этого тела бесконечный порядок (порядок р). Действительно, если тело К без характеристики и а е К, а Ф 0, то из па = 0 следовало бы (пе) · а = 0, т. е. пе = О, так как в К нет делителей нуля, откуда η = 0. Если же характеристика тела К равна /?, то для любого а из К будет ра = (ре) а = 0 · а = 0, а поэтому, если а Φ 0, порядок этого элемента будет равен простому числу р. 12. Вернемся к рассмотрению произвольной Ω-группы G. Возьмем в ней идеал А и Ω-фактор-группу по нему Gr = G/A. Пусть Я— произвольная Ω-подгруппы Ω-группы G', а В — ее полный прообраз в G при естественном гомоморфизме G на G', т. е. совокупность тех элементов из G, которые лежат в смежных классах, составляющих В. Докажем, что В будет в G Ω-подгруппой. В самом деле, если х, у е В, т. е. χ -f- А У + А е В\ то (x+y) + A = (x + A) + (y + A)t=B', — x + A = — (x + A)t=ff, т. е. х-\-у^В, —хеЯ С другой стороны, для #-арной операции ω е Ω и элементов Χχ, χ2, ..., хп^ В из включений лг^ + Л е /У, равенств ^ + А = A -f- -*ф / = 1, 2, ..., /г, и включения (4) следует равенство *ι*2 · · · */ιω + А = (Χι + А) (х2 + А) ... (хп + Л) ω s θ', а поэтому ^лга · · · -^ω е β. Ω-подгруппа В, построенная нами, содержит, конечно, идеал А. Обратно, если дана произвольная Ω-под группа В Ω-группы G, содержащая идеал А, то ее образ В при естественном гомоморфизме Ω-группы G на Ω-группу ff = G/A будет Ω-подгруппой, причем В служит для В полным прообразом.
124 УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. ΪΙΙ Действительно, естественный гомоморфизм G на G' индуцирует гомоморфизм В в G', а поэтому, в силу сказанного в III.1.5, В будет Ω-подгруппой в G'. С другой стороны, из В ^ А следует, что всякий элемент из G, входящий в смежный класс по идеалу А, принадлежащий к В', будет содержаться в В, Нами доказана следующая теорема: Относя всякой Ω-подгруппе Ω-φακ тор-группы (ϊ — G/A ее полный прообраз при естественном гомоморфизме G на G\ мы получаем взаимно однозначное соответствие, сохраняющее отношение включения, между всеми Ω-подгруппами Ω-группы Gf и всеми теми Ω-подгруппами Ω-группы G, которые содержат идеал Л. 13. Дополним этот результат следующей теоремой: При соответствии, указанном в предшествующей теореме, идеалу одной из Ω-групп О, G' соответствует идеал другой Ω-группы, причем Ω-фактор-группы по соответствующим друг другу идеалам изоморфны между собой, В самом деле, если В является идеалом Ω-группы G' — О/А, а В — его полным прообразом в G, то последовательное выполнение естественных гомоморфизмов G на G' и G' на Grr = G'IB будет, как следует из сказанного в III. 1.5, гомоморфизмом G на G". Ядро этого гомоморфизма (см. III.2.б) составляют те элементы из G, которые при отображении G на (У отображаются в В, т. е. элементы, составляющие Ω-подгруппу В. Отсюда следует, ввиду III.2.6, III.2.5 и III. 1.8, что В будет идеалом Ω-группы G и что Ω-факторгруппы G/B и (У/В изоморфны между собой. Пусть теперь В будет идеалом Ω-группы G, а В — его образом при естественном гомоморфизме G на (У, Если JgB, х е= G, то Ъ + А е= В, χ + А е= (У. Так как — x + b + x ^ В, то -(x + A) + (b + A) + (x + A) = (-x + b + x) + A<=B, т. е. В является нормальным делителем аддитивной группы Ω-группы G'. Если же дана л-арная операция π е Ω и произвольные элементы b е В и хх, хг, ♦ f „ хп ^ G, т. е.
§ 3] ЭНДОМОРФИЗМЫ. ПОЛЕ р-АДИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ 125 b+A<=B\ Xi + AgG', /=1, 2, ..., л, то из — ΧιΧ2 ... χηω + χχ ... Xi„i(b + Xi)Xi+1 ... xn<u = b0^B, 1=1, 2, ..., л, следует -(хх + Л)(х2+Л) ... (χη + Α)ω + (χ1 + Λ) ... ... (^.1 + Л)[(* + Л) + (^ + Л)](^+1 + Л) ...(х„ + Л)со = = b0 + A<=ff, /=1, 2, ..., /г. Этим доказано, что В' будет идеалом в G'. Заметим, что в последней части доказательства мы не пользовались предположением, что Вэ А § 3. Автоморфизмы, эндоморфизмы. Поле /j-адических чисел 1. Пусть G —универсальная алгебра. Всякое изоморфное отображение алгебры О на себя называется автоморфизмом. Так, G всегда обладает тождественным автоморфизмом — это будет тождественное отображение G на себя. Примерами нетривиальных автоморфизмов служат автоморфизм аддитивной группы целых чисел, переводящий всякое целое число k в число — k, а также автоморфизм поля комплексных чисел, переводящий всякое комплексное число а-\-Ы в число а — Ы. Результат последовательного выполнения автоморфизмов алгебры G снова будет автоморфизмом. По этому умножению, ассоциативному ввиду 1.1.2, все автоморфизмы алгебры G составляют группу, так как единицей служит тождественный автоморфизм, а обратное отображение для любого автоморфизма также будет автоморфизмом; эта группа называется группой автоморфизмов универсальной алгебры G. # Всякая группа изоморфна группе всех автоморфизмов некоторой универсальной алгебры [Б и ρ к г о ф, Revista Unione Mat. Argentina 11 (1946), 155—157]. Всякая группа изоморфно вкладывается в группу автоморфизмов некоторой абелевой группы, χ 2. Пусть дана некоммутативная полугруппа G, обладающая единицей, и в ней выбран делитель единицы ε, τ. е. элемент, для которого в О существует обратный элемент ε-1,
126 УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. III одновременно левый и правый (ср. 11.8.1). Трансформируя полугруппу G элементом ε, т. е. отображая всякий элемент χ из G в элемент е~1хг, мы получаем автоморфизм полугруппы G, называемый ее внутренним автоморфизмом. Действительно, из ε 1хг = г-1уг следует х=у, т. е. рассматриваемое отображение взаимно однозначно. Далее, из х = г~1(ехг~1)г вытекает, что это будет отображение на всю полугруппу G. Наконец, равенство ε-1 (ху) ε = ε~ 1хг · г~1уг доказывает изоморфность этого отображения. Ясно, что коммутативная полугруппа с единицей, в частности всякая абелева группа, обладает единственным внутренним автоморфизмом, а именно тождественным. Легко проверяется, что произведение трансформирований полугруппы с единицей элементами ε и δ совпадает с трансформированием элементом εδ, а обратным для трансформирования элементом ε служит трансформирование элементом ε-1. Отсюда следует, что внутренние автоморфизмы полугруппы с единицей составляют подгруппу в группе всех автоморфизмов этой полугруппы. Подгруппа внутренних автоморфизмов будет даже нормальным делителем в группе всех автоморфизмов рассматриваемой полугруппы G. В самом деле, пусть даны произвольный автоморфизм φ полугруппы G и ее внутренний автоморфизм а, порожденный делителем единицы ε. Тогда для любого xgG χ(ψ"1αφ) = [ε~1 (χφ~ι)ε\ φ== = (ε"!) φ. (χφ~г) φ. (εφ) = (εφ)" ιχ (εφ), т. е. автоморфизм φ_1αφ является внутренним и порождается делителем единицы εφ. С другой стороны, если G—группа и, следовательно, все элементы из G являются делителями единицы, то мы получаем гомоморфное отображение всей группы G на группу ее внутренних автоморфизмов, ставя в соответствие всякому элементу из G порождаемый им внутренний автоморфизм. Ядром
§ 3] ЭНДОМОРФИЗМЫ. ПОЛЕ р-АДИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ 127 этого гомоморфизма (см. III.2.6) служит совокупность элементов из О, перестановочных с каждым элементом этой группы; она называется центром группы О. Из теоремы о гомоморфизмах вытекает, что центр группы Q является нормальным делителем, ча группа внутренних автоморфизмов группы О изоморфна фактор-группе группы Q по ее центру. 3. Понятие внутреннего автоморфизма переносится на случай любого ассоциативного кольца с единицей. Именно, всякий внутренний автоморфизм мультипликативной полугруппы ассоциативного кольца R с единицей будет автоморфизмом самого этого кольца, так как г~х (х -\-у) г = г~ 1χε + ε" гуг. Такой автоморфизм естественно назвать внутренним автоморфизмом кольца R. 4. Всякое гомоморфное отображение универсальной алгебры G в себя называется ее эндоморфизмом. К числу эндоморфизмов принадлежат, в частности, все автоморфизмы, а также все изоморфные отображения G в себя и все гомоморфные отображения G на себя. Результат последовательного выполнения эндоморфизмов снова будет эндоморфизмом, а поэтому все эндоморфизмы составляют по этому умножению, ассоциативному ввиду 1.1.2, полугруппу, называемую полугруппой эндоморфизмов универсальной алгебры G. Эта полугруппа эндоморфизмов обладает единицей — ею служит тождественный автоморфизм. Делителями единицы полугруппы эндоморфизмов являются автоморфизмы и только они, так как только в случае автоморфизмов возможно однозначное обратное отображение. Полезно отметить, что тождественный автоморфизм универсальной алгебры G играет роль единицы не только для эндоморфизмов этой алгебры: он является, очевидно, левой единицей для всех гомоморфных отображений алгебры Q в любые другие алгебры, а также является правой единицей для всех гомоморфных отображений некоторых алгебр в алгебру G. 5. Займемся сейчас рассмотрением гомоморфных отображений Ω-групп. Если φ и ψ — два гомоморфизма
128 УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. III Ω-группы G в Ω-группу G', то отображение α(φ + Ψ) = αφ + #Ψ> «еО, (1) в общем случае не является гомоморфизмом. Оно тогда и только тогда будет гомоморфизмом (см. III. 1.5), если для любых aJgQ (β + *)(φ + Ψ) = α(φ + ψ) + *(φ + Ψ)> т. е. если by + αψ = αψ + % (2) и если для любой «-арной операции ω е Ω и любых аь αν ... ..., fl„GG (flifla... αηω) (φ + ψ) = [αχ (φ + Щ [α2 (φ + ψ)] ... [α„ (φ + Ψ)] ω, т. е. если (ai<p)(Oa<P) ··· (0«φ)ω + (αιψ)(α8ψ) ... (α„ψ)ω = = (αχφ + αχψ)(α2φ + α2ψ) ... (α„φ + α„ψ) ω. (3) Если условия (2) и (3) выполняются, то гомоморфизмы φ и ψ называются суммируемыми, а гомоморфизм φ+ψ — их суммой. Условие (2) показывает для случая групп без муль- тиоператоров, что гомоморфизмы φ и ψ группы Q в группу G' тогда и только тогда суммируемы, если подгруппы Οψ и Gi|) группы G' поэлементно перестановочны. Если же рассматриваются гомоморфизмы φ и ψ кольца R в кольцо R', то условие (2) выполняется автоматически, а условие (3) превращается в условие: для любых а, Ъ е R αφ · Ьц> + αψ · £ψ = (αφ -f- αψ) (£φ + £ψ), т. е. αφ · £ψ -f- αψ · &φ = 0. 6. Нами определено частичное сложение гомоморфизмов Ω-группы G в Ω-группу G'. Это сложение коммутативно, так как из (2) для всех aeG следует αφ-\-aty = aty-\- αφ, т. е., ввиду (1), φ + ψ = ,ψ + φ. Оно и ассоциативно, так как для всех α gG
0 3] ЭНДОМОРФИЗМЫ. ПОЛЕ р-АДИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ η Отсюда следует, что если сумма ^ φ* гомоморфизмов φ^: G-+G', / = 1, 2, ..., я, является гомоморфизмом, то она однозначно определена. Заметим, что можно говорить и о сумме бесконечного семейства гомоморфизмов φ,·: G->G', i e I, если дополнительно предположить, что для любого а^О лишь конечное число элементов αφ,·, i ^ 7, отлично от нуля. Если гомоморфизмы φ и ψ Ω-группы G в Ω-группу G' суммируемы, то для любых Ω-групп Η и F и любых гомоморфизмов σ: Η ->G и τ: G' ->F гомоморфизмы σφ и σψ, α также φτ κ ψτ (см. Ш.1.5) будут суммируемыми и σ (φ + ψ) == σφ + σψ, (φ + Ψ) t = φτ + ψτ· (4) Действительно, если aG/ί, то α[σ(φ + ψ)]=(ασ)(φ + ψ) = (ασ)φ + (ασ)ψ = = α (σφ) + α (σψ) = α (σφ + σψ), т. е. отображение σφ + σψ будет гомоморфизмом и имеет место первое из равенств (4). Столь же просто доказывается и второе утверждение теоремы. Заметим, что из существования сумм, стоящих в правых частях равенств (4), не вытекает существование сумм, стоящих в их левых частях. 7. Ввиду равенства 0 + 0 = 0, где 0 —нуль Ω-группы, и равенства (1) из Ш.2.1 отображение, переводящее всякий элемент Ω-группы G в нуль Ω-группы G', будет гомоморфизмом; это нулевой гомоморфизм G в G'. Немедленно проверяются следующие утверждения: всякий гомоморфизм φ: G->G' суммируем с нулевым гомоморфизмом, причем сумма равна φ; если гомоморфизмы φ, ψ: G->G' суммируемы и φ+Ψ = φ> то гомоморфизм ψ нулевой; наконец, для любых Ω-групп Η и Ζ7 и любых гомоморфизмов σ: H-+Q и г: G'->F произведение σ на нулевой гомоморфизм G в G' равно нулевому гомоморфизму Η в G', а произведение нулевого гомоморфизма G в G' на τ равно нулевому гомоморфизму G в F. 8. Рассмотрим гомоморфизмы некоторой группы G (без мультиоператоров) в абелеву группу G'; будем считать
130 УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. III первую группу записанной мультипликативно, а вторую аддитивно. В этом случае, ввиду (2), любые два гомоморфизма суммируемы. С другой стороны, для любого гомоморфизма φ: Q->Q' отображение —φ, определяемое равенством а (— φ) = — αφ, а е О, будет в этом случае гомоморфизмом, так как для любых a, bt=G (ab) (— φ) = — (ab) φ = — (αφ + top) = (— αφ) + (— top) = = α(— φ)+£(— φ). Этот гомоморфизм будет противоположным для φ, так как для а^О α [φ + (— φ)] = αφ-\-α (— φ) = αφ — αφ = 0, т. е. φ + (—φ) равно нулевому гомоморфизму. Таким образом, гомоморфизмы любой группы О в абелеву группу G' составляют по сложению абелеву группу. Рассмотрим, в частности, эндоморфизмы абелевой группы О. Они составляют по сложению абелеву группу, а по умножению полугруппу с единицей (см. III.3.4), причем справедливы законы дистрибутивности (4). Мы получаем, что эндоморфизмы абелевой группы О составляют относительно операций сложения и умножения эндоморфизмов ассоциативное кольцо с единицей. Это кольцо называется кольцом эндоморфизмов абелевой группы G. Всякое ассоциативное кольцо изоморфно вкладывается в кольцо эндоморфизмов некоторой абелевой группы. Ввиду Н.4.4 можно считать, что рассматриваемое ассоциативное кольцо R обладает единицей 1. Если а —любой элемент из R, то отображение, переводящее всякий элемент χ из R в элемент ха, будет эндоморфизмом аддитивной группы кольца /?, так как (х -\-у) а = ха +j/a. Сумме и произведению элементов из R соответствуют сумма и произведение соответствующих эндоморфизмов, как показывают равенства χ (α + Ь) — ха + хЬу х (аЪ) = (ха) Ь. Наконец, различным элементам из R соответствуют различные эндоморфизмы, так как из а=^=Ь следует 1 · а Ф 1 · b.
§ 3] ЭНДОМОРФИЗМЫ. ПОЛЕ /7-АДИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ 131 9. Кольцо эндоморфизмов бесконечной циклической группы изоморфно кольцу целых чисел С. В самом деле, если а — образующий элемент заданной группы, записанной аддитивно, и если эндоморфизм φ переводит элемент а в элемент ka> где k — некоторое целое число, то (па) φ = nka, (5) т. е. эндоморфизм φ вполне определяется заданием числа k. Обратно, отображение φ нашей группы, определяемое равенством (5), действительно будет эндоморфизмом. Таким образом, между эндоморфизмами бесконечной циклической группы {а} и целыми числами установлено взаимно однозначное соответствие. Изоморфность этого соответствия вытекает из того, что если αφ = ka, αψ = /α, то α (ψ+Ψ)= αΦ + αΨ = ^α + ^а = (* + 0 α> α (<ρψ) = (αφ) ψ = (ka) ψ = (kl) α. Так как в кольце целых чисел лишь числа 1 и — 1 обладают обратными, то группа автоморфизмов бесконечной циклической группы {а} является циклической группой второго порядка, причем состоит из тождественного автоморфизма и автоморфизма, переводящего всякий элемент группы в его противоположный. # Кольцо эндоморфизмов конечной циклической группы порядка η изоморфно кольцу вычетов Сп по модулю п. Кольцо эндоморфизмов аддитивной группы рациональных чисел изоморфно полю рациональных чисел. Таким образом, всякий ненулевой эндоморфизм этой группы является автоморфизмом. # 10. В теории абелевых групп очень большую роль играет группа типа /?°°, где р — простое число: это мультипликативная группа всех тех комплексных чисел, которые являются корнями из единицы некоторой степени рп, л = 1, 2, ... Как известно, группа корней из единицы степени рп, где η фиксировано, будет циклической порядка рп с образующим элементом 2л . . . 2π *« = cos-^-fisinp.
132 УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. III Группа типа /?°° будет, следовательно, абелевой и бесконечной, а именно объединением возрастающей последовательности циклических подгрупп {ап)> л = 1, 2, ... Система эле- * ментов ат л=1, 2, ..., (б) служит для этой группы системой образующих. Если мы условимся употреблять для группы типа /?°° аддитивную запись вместо мультипликативной, то образующие элементы (б) будут связаны равенствами раг = 0, рап + 1 = ап, п=\, 2, ... (7) Найдем кольцо эндоморфизмов группы типа /?°°. Если φ — эндоморфизм этой группы, то он вполне определяется заданием образов всех образующих элементов (б). Так как элемент ап имеет порядок рп, то и порядок элемента αηψ не может превосходить числа рп. Все такие элементы лежат, однако, в циклической подгруппе {ап}, а поэтому <h№ = knam /i=l, 2, ..., (8) где 0<Ая</Л (9) Далее, равенства (7), справедливые для элементов (б), должны выполняться и для их образов при эндоморфизме φ, а поэтому откуда Ρ {К+гап + 1) = kn+xan = knan. Отсюда следует, что разность kn+1 — kn должна нацело делиться на порядок рп элемента αΛ, или, используя символику, принятую в теории чисел, kn+1 = kn(modpn). (10) Таким образом, всякому эндоморфизму φ группы типа р°° соответствует последовательность целых неотрицательных чисел {kb k2, ..., kn, ...), (И) подчиненных условиям (9) и (10). Двум различным эндоморфизмам соответствуют при этом различные последовательности вида (11), так как хотя бы один из образующих элементов (6) имеет при этих эндоморфизмах различные образы.
§ 31 ЭНДОМОРФИЗМЫ. ПОЛЕ Р-АДИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ 133 Обратно, всякая последовательность вида (11), подчиненная условиям (9) и (10), соответствует некоторому эндоморфизму φ группы типа /?°°. Именно, на основании равенств (8) можно определить отображение φ для всех элементов нашей группы, причем лег^о проверяется, что это отображение будет эндоморфизмом. Если в группе типа р°° взяты два эндоморфизма, φ и ψ, заданные соответственно последовательностями (11) и (к, 4. .... Ь ..·). (12) ТО Μφ+Ψ) ==(*/! +'я) я»» МфФ) = (*/А)Я/!· Из справедливости для последовательностей (11) и (12) условий типа условия (10) следует, что kn + i + ln+i = kn + ln (mod/?*), kn+1ln+1 = knln(modpn); эти сравнения не нарушатся, если их левые части будут заменены положительными вычетами по модулю pnJrl (т. е. остатками от деления на рп+1), а правые —по модулю рп, чем достигается выполнение и условий (9). Таким образом, кольцо эндоморфизмов группы типа /?°° изоморфно кольцу последовательностей целых неотрицательных чисел вида (11), удовлетворяющих условиям (9) и (10), причем сложение и умножение этих последовательностей производятся покомпонентно с последующим переходом на каждом л-м месте к вычету по модулю рп. Это коммутативное кольцо называется кольцом целых р-адияеских чисел. Его нулем служит последовательность (0, 0, ..., 0, ...), соответствующая нулевому эндоморфизму группы типа /7°°; а единицей—последовательность (1, 1, ..., 1, ...), соответствующая тождественному автоморфизму этой группы. 11. Для целых /7-адических чисел возможна и другая запись. Пусть целое /?-адическое число а задано последовательностью целых неотрицательных чисел (11), подчиненной условиям (9) и (10). Если мы положим «· = *!, an = k^-kn, я=1, 2, ..., (13)
134 УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. ill то все ап, я=0, 1, 2, ..., будут целыми, а именно будут некоторыми положительными вычетами по модулю р, т. е. 0^а,г</?, л = 0, 1, 2, ... (14) Так как, по (13), kn = a0-\-a1p + a2p2+ ... +ап_1{/1'\ л=1, 2, ..., (15) то целому /?-адическому числу α можно поставить в соответствие бесконечный ряд а>о + агр + а2р* + ... + апрп +...; (16) различным целым /7-адическим числам соответствуют при этом, очевидно, различные ряды вида (16). Обратно, если произвольный ряд вида (16), коэффициенты которого целые и подчинены условиям (14), то, определяя числа kn равенствами (15), мы получим последовательность вида (11), удовлетворяющую условиям (9) и (10). Между всеми целыми /7-адическими числами и всеми рядами вида (16), коэффициенты которых являются вычетами по модулю /?, мы установили взаимно однозначное соответствие. Используя (15), легко перенести операции, определенные для целых /7-адических чисел, на ряды вида (16): если число а задается рядом (16), а число β —рядом Ь0 + Ь1р + Ь2?+ ... +b„iT+ ..., также удовлетворяющим условиям (14), то а. + $ = с0 + с1р + с2рР+ ...+спрп+ ..., где все коэффициенты сп являются вычетами по модулю р, причем Co = ao + b0—pq0, Cn = an + bn + qn_i-pqn, /ι=1, 2, ...; с другой стороны, a$ = d0 + dlP + d2p* + ... +dnPn+ ..., где коэффициенты dn также будут вычетами по модулю р, причем ^о = а0£0—/?$0, dn= Σλ akbi + sn-x—psp η=1,2,.,Ψ
§ 3] ЭНДОМОРФИЗМЫ. ПОЛЕ р-АДИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ 135 12. Из этого описания умножения немедленно следует, ввиду простоты числа /?, что кольцо целых р-адических чисел не содержит делителей нуля и поэтому, по П.5.5, для него существует поле дробей, называемое полем р-адических чисел. Это поле можно построить следующим образом. Рассмотрим всевозможные ряды вида akpk + afcnpk+i + ...+ a„pn + ..., (17) где все коэффициенты ап являются вычетами по модулю /?, a k больше, равно или меньше нуля; ряд (17) может содержать, следовательно, конечное число членов с отрицательными степенями числа р. Если при этом не все коэффициенты ряда (17) равны нулю, то будем считать, что акфО) с другой стороны, ряды с нулевыми коэффициентами все считаются между собою тождественными. Перенося естественным путем определение операций над рядами вида (16) на ряды вида (17), мы получим, что эти последние ряды составляют ассоциативно-коммутативное кольцо, единицей которого служит такой ряд вида (17), у которого а0=1, а все остальные коэффициенты равны нулю. Это кольцо будет даже полем: если ряд (17) отличен от нуля, т. е. ak =^= 0, то обратным для него будет ряд b_kP'k + Ь_ьпр-*+* + tt. + bnp» + ..., коэффициенты которого, являющиеся вычетами по модулю р9 последовательно находятся из следующих уравнений, разрешимых ввиду простоты числа р: akt>-k—ps-k = l> αφ-k+i + ak+ib-k + s-k — ps-k+i = °> ьФп + ak+ibn-i + · · · + <*n+2kb-k + Sn-i —pSn = 0> Те ряды вида (17), у которых k 5з= 0, составляют в построенном нами поле подкольцо, изоморфное кольцу целых /7-адических чисел. Само это поле служит для него полем дробей: всякий ряд вида (17) после умножения (в смысле нашего определения этой операции) на некоторую положительную степень числа ρ (которая является, конечно, целым /7-адическим числом) превращается в ряд вида (16), т. е. в целое /?-адическое число.
136 УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. Ш § 4. Нормальные и композиционные ряды 1. Если в Ω-группе Q даны идеал А и Ω-подгруппа В, то порожденная ими Ω-подгруппа {А, В] состоит из тех элементов из G, которые хотя бы одним способом могут быть записаны в виде а-\-Ъу где а е A, b e В, а поэтому имеет смысл запись {А В} = А + В. (1) Ясно, в самом деле, что всякий элемент вида а-\~Ь принадлежит к {А В), Покажем, что эти элементы сами составляют Ω-подгруппу, которая содержит, понятно, и А и В. Действительно, если а, а'еД b, bf e В, то i + a'-ieA, так как А является нормальным делителем аддитивной группы. Поэтому (a + b) + (a' + b')=[a + (b + a'-b)]+(b + b') = a" + b", где а" е A b" e В. Далее, 0 = 0 + 0, но нуль содержится и в А и в В. Если же дан элемент а-\-Ь, то противоположным для него будет элемент d — b, где а' = —b — a-\-b^A. Наконец, для любой я-арной операции ω е Ω и любых элементов аь а2,..., ап^ А и Ъъ Ь2,..., Ьп^ В, в силу (4) из ΙΙΙ.2.4, имеем (<*ι + ^)(α2 + Ь2).. .(ап + Ьп)ω ς= ЬгЬ2.. .Ьпа + А, но Ьф2... bn(u = b <=В, I так как В является Ω-группой, a b-\- A = A-{-b. 2. Следующая теорема об изоморфизме весьма часто используется. Если А и В —Ω-подгруппы Ω-группы О, причем А является идеалом в Ω-подгруппе {А, В}, то пересечение А{\В будет идеалом β В и имеет место изоморфизм {А В}1А^В1{А{\В). (2) Действительно, равенство (1) показывает, что всякий смежный класс Ω-группы \А9 В} по идеалу А содержит хотя бы один элемент из В. Таким образом, при естественном гомоморфном отображении {А В} на {А В}/А Ω-подгруппа В будет гомоморфно отображаться на всю эту Ω-фактор-группу.
§ 4] НОРМАЛЬНЫЕ И КОМПОЗИЦИОННЫЕ РЯДЫ 137 Ядром указанного гомоморфизма (см. III.2.6) служит, очевидно, пересечение А(]В. Оно будет, следовательно, идеалом в В, а справедливость изоморфизма (2) вытекает из теорем III.1.8 и Ш.2.5. 3. Сейчас будет доказана лемма Цасенхауза, обобщающая теорему об изоморфизме и существенно используемая ниже в доказательстве теоремы Шрейера. Если β Ω-группе О даны Ω-подгруппы Л, А', В и В', причем N и В являются соответственно идеалами в А и в В, то А'-\-{А{\В) и В-\-(В{\А') будут соответственно идеал 1ми в А'-\-(А{\В) и β Β'-\-(Β{\Α) и имеет место изоморфизм А' + (А() В)1А' + (А П В) ~ В + (В П А)/В + (В(] А*). (3) Эта лемма превращается, очевидно, в теорему об изоморфизме при А^В и В' = 0. Для доказательства леммы положим С=А(]В. Так как В' — идеал в В, а С ^В, то, по теореме об изоморфизме, С(]В = А(]В(]В = А(]В будет идеалом в С. Это же верно и для пересечения В f) A\ а поэтому и для суммы С этих двух идеалов (см. III.2.4), С' = (А(\В') + (В(\А'). (4) Положим D = C/C. С другой стороны, так как А является идеалом в А, то, по Ш.4.1, {А\ А[\В} = А' + (А[\В)=*А' + С. Произвольный элемент этой суммы имеет вид α' + c, где а' е А\ с е С. Поставим ему в соответствие смежный класс (т. е. элемент группы D) С-{-с. Если элемент d -\-с обладает другой записью этого же вида, d -μ с = а\ + сь а\ е А\ сг е С, то - а\ + а' = сг - с е= К [\ С <= Ν f| В д= С,
138 УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. III а поэтому с1 = (--а; + а') + се=С' + с. Мы получаем однозначное отображение Ω-группы Л'-f-C в Ω-группу Д даже на всю эту Ωτгpyππy, так как всякий элемент cgC, принадлежащий, конечно, к Л' + С, отображается при этом в свой смежный класс С-{-с. Это отображение гомоморфно: так как Л' —идеал в Л' + С, то (αϊ + ci) + (^ + с2) = а'г + (сг + с2), а3 е= Л', и, по (4) из Ш.2.4, для любой л-арной операции й£Й (а[ + сг){а2 + с2)...{ап + сп)ω = а'0 + сгс2...спа>, где а'0 е Л', a с^... εηω е С, так как С является Ω-группой. Ядром построенного гомоморфизма служит сумма Л' + + (Л р| BF). Действительно, эта сумма входит в ядро, так как А{\Е? ^С. С другой стороны, если элемент а'-\~с^ А'-\-С отображается при рассматриваемом гомоморфизме в С, то с ^ С", и поэтому, по (4), можно записать: c = u + v, где и е В Π Л', iieif|5' — ясно, что при записи суммы двух идеалов слагаемые можно писать в любом порядке. Таким образом, a' + c = (a' + u) + v<=A' + (A(]B'). Отсюда следует, что Л' + (Лр|/У) будет идеалом в А' -\- + С = Л' + (^ f|Z?) и, кроме того, имеет место изоморфизм Л' + (ЛП^)/Л' + (ЛП^)^^· По соображениям симметрии можно утверждать, что Вт + + (В Π Л') будет идеалом в β' + (β П Л) и Изоморфизм (3) этим доказан. 4. Конечная система вложенных друг в друга Ω-подгрупп Ω-группы G, G = Л0 z> Лх id Л2 id ... zd Ak = О, (5) начинающаяся с самой G и оканчивающаяся нулем, называется нормальным рядом этой Ω-группы, если всякая Ω-подгруппа Л/, /=1, 2,,.., &, является истинным идеалом в А^г
§ 4] НОРМАЛЬНЫЕ И КОМПОЗИЦИОННЫЕ РЯДЫ 139 (хотя и не обязательно в Л у при j<^i—\). Число k называется длиною нормального ряда (5), а Ω-фактор-группы Q/Ab AJA»..., Ak_xIAk = Ak_x — факторами этого ряда. Всякая Ω-группа4 G обладает нормальными рядами —таков ряд G zd О, а также, если в G имеется нетривиальный идеал Л, ряд О zd A => О. Нормальный ряд Q=B0zd Вг zdB2 id ... иВ1 = О называется уплотнением ряда (5), если всякая Ω-подгруппа Аь 1=1, 2,..., k — 1, совпадает с одной из Ω-подгрупп Zfy ясно, что /^&. Наконец, два нормальных ряда Ω-группы G называются изоморфными, если их длины равны, а между факторами можно установить такое взаимно однозначное соответствие, что соответствующие факторы будут изоморфными Ω-группами. При этом не предполагается, что указанное соответствие сохраняет взаимное расположение факторов, т. е. /-й фактор первого ряда не обязан быть изоморфным i-му же фактору второго ряда. 5. Теорема Шрейера. Всякие два нормальных ряда произвольной Ω-группы О обладают изоморфными уплотнениями. В самом деле, пусть в G даны нормальные ряды G = Л0 => А± => Л2 =э ... =) Ak = О, (6) G = В0 => Вг => £2 zd ... => В ι = О. (7) Положим Λ7 = Λ· + (Λ·-ιη#;)> *=1, 2,..., А, / = 0, 1,...,/; £yi==£;.+ (£,·_! П ^), /=1, 2,...,/, / = 0, 1,...,£. Эти записи имеют смысл в силу Ш.4.1, так как, например, Αχ является идеалом, а Λ·-ιΠ Bj~ Ω-подгруппой в Л^. Отметим, что для /=1, 2,..., А и /=1, 2,..., / имеют место включения Лм = Лй 3 л*\/-1 Э Л£у 3 Ац = Л£, fly^i = 5;о 3 5/, ϊ-ι 3 В μ 3 5уЛ = 5y. Ввиду леммы Цасенхауза (см. III.4.3) Л;;- и В μ будут соответственно идеалами в Aifj-i и Bjti-b а соответствующие
140 УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. III Ω-фактор-группы изоморфны: Aij-ylAij-Bjj^lBji. (8) Если мы вставим в ряд (б) между Αι_χ и A-v i=\, 2,... ..., k, все Aip /=1, 2,...,/—1, то получим, вообще говоря, для ряда (6) уплотнение с повторениями, так как равенство Aij_1 = Aij случайно может иметь место. Аналогично получается уплотнение с повторениями и для ряда (7). Эти уплотнения, ввиду (8), изоморфны. Для окончания доказательства остается перейти к уплотнениям без повторений. Если Aiij-1 = Aij, т. е. AitJ-1/AiJ = 0, то, по (8), и Bj^-x^Bji. Отсюда следует, что, не нарушая изоморфизма рассматриваемых уплотнений, можно одновременно исключить из них все повторения. Теорема доказана. # Возрастающим нормальным рядом Ω-группы G называется система ее Ω-подгрупп Аш удовлетворяющая следующим условиям: 1. Индексы α составляют вполне упорядоченное множество (см. 1.5.4) с первым элементом 0 и последним элементом μ. 2. А0 = О, Αμ = 0. 3. Если α < β, то Ааа А$. 4. Если индекс, непосредственно следующий за а, обозначим через а+1, то для всех а Аа является идеалом в i4a+1. 5. Если индекс α предельный, то Аа является теоретико- множественным объединением всех А$, β << α. Любые два возрастающих нормальных ряда произвольной Ω-группы G обладают изоморфными уплотнениями, также являющимися возрастающими нормальными рядами [А. Г. Ку- рош, Мат. сб. 16 (1945), 59 — 72]. Пример бесконечной циклической группы показывает, что для бесконечных убывающих нормальных рядов аналогичная теорема не имеет места, # 6. Нормальный ряд Ω-группы, не имеющий уплотнений, отличных от него самого, называется композиционным рядом этой Ω-группы. Ввиду Ш.2.13 нормальный ряд Ω-группы тогда и только тогда будет композиционным, если все его факторы являются простыми Ω-группами (см. III.2.4).
§ 4] НОРМАЛЬНЫЕ И КОМПОЗИЦИОННЫЕ РЯДЫ 141 Из теоремы Шрейера вытекают следующие две теоремы: Теоремы Жордана —Гельдера. Если Ω-группа Q обладает композиционными рядами, то всякие два ее композиционных ряда изоморфны. Если Ω-группа Q обладает композиционными рядами, то всякий ее нормальный ряд может быть уплотнен до композиционного ряда и поэтому имеет длину, не превосходящую длины композиционных рядов этой Ω-группы. Для доказательства этой второй теоремы достаточно применить теорему Шрейера к данному нормальному ряду и к одному из композиционных рядов рассматриваемой группы. Применяя введенные понятия к случаю групп без мульти- операторов, заметим, что композиционными рядами обладают как все конечные, так и некоторые бесконечные группы. Однако ни бесконечная циклическая группа, ни группа типа /?°° (см. III.ЗЛО) композиционных рядов не имеют. 7. Инвариантным рядом Ω-группы G называется упорядоченная по включению конечная система идеалов самой Ω-группы G, начинающаяся с G и оканчивающаяся нулем. Это понятие является частным случаем понятия нормального ряда, а поэтому для него имеют смысл понятия изоморфизма рядов и уплотнения ряда, введенные в Ш.4.4. Инвариантный ряд, не имеющий уплотнений, отличных от него самого и также являющихся инвариантными рядами, называется главным рядом. Имеют место теоремы: Всякие два инвариантных ряда произвольной Ω-группы могут быть уплотнены до изоморфных инвариантных рядов. Если Ω-группа обладает главными рядами, то всякие два ее главных ряда изоморфны, а любой инвариантный ряд может быть уплотнен до главного ряда. Легко проверяется, что эти теоремы могут быть доказаны теми же методами, как и соответствующие теоремы для нормальных рядов. Они, впрочем, немедленно вытекают из теорем, доказанных выше, если воспользоваться следующей конструкцией. Пусть дана Ω-группа Q. Расширим систему мультиоператоров Ω до системы Ω', добавляя к Ω некоторую, в общем случае бесконечную, систему унарных операций. Именно, к Ω добавляются все внутренние автоморфизмы аддитивной группы G, а также все отображения Q в себя, определяемые следующим образом: для любой я-арной
142 УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. III операции йеЙ, любых элементов хь х2,..., хп ^ @ и лю_ бого числа /, 1 ^i^n, берется отображение, переводящее всякий элемент agGb элемент — хгх2... χηω + хг... Xi-X (α + xi) Xi+i... ^«ω. Все добавленные унарные операции переводят нуль в нуль, т. е. удовлетворяют условию (1) из Ш.2.1, а поэтому G является Ω'-группой. В силу определения идеала (см. III.2.4) Ω'-под группами в Q будут идеалы Ω-группы Q и только они, а поэтому нормальные (композиционные) ряды Ω'-группы G совпадают с инвариантными (главными) рядами Ω-группы О. § б. Абелевы, нильпотентные и разрешимые Ω-группы 1. Пусть в Ω-группе G взяты Ω-подгруппы Л и В. Взаимным коммутантом [Л, В] этих Ω-подгрупп называется идеал Ω-подгруппы {Л, В}, порожденный в ней множеством всех элементов следующих двух видов: [a, b] = — a — b + a + b, a <= A, b <= В, (1) — этот элемент называется коммутатором элементов а и Ьу — и [аь а2,..., ап; Ьь b2i..., Ьп; ω] = — аха2... αηω — - Ьф2 ...Ья(о + (а± + b{) (а2 + b2)... (ап + bn) ω, (2) где ω — я-арная операция из Ω, аь а2,..., ап^А, Ьь Ь2>... ..., Ьп*=В. Таким образом, в случае группы G без мультиоператоров взаимный коммутант [Л, В] двух подгрупп Л, В ^ G является нормальным делителем, порожденным в подгруппе {Л, В} всевозможными коммутаторами [а, Ь]9 где а е Л, b ^ В. Если же рассматривается кольцо /?, то [а, £] всегда равно нулю, а элементы (2) принимают вид [аь а2) Ьь Ь2] = — аха2 — Ьф2 + {аг + Ь±) (а2 + Ь2) == = а1Ь2 + Ь1а2 = [аь 0; 0, £2] + [0> я2; К 0]. В этом случае, следовательно, взаимный коммутант [Л, В] двух подколец А, В ^ R является идеалом, порожденным в подкольце {Л, В} всевозможными произведениями ab и Ьа, где а^ A, b <= Я
§ 5] АБЕЛЕВЫ, НИЛЬПОТЕНТНЫЕ И РАЗРЕШИМЫЕ Ω-ГРУППЫ 143 Из определения идеала немедленно следует, что если в Ω-группе О взята Ω-подгруипа Дав ней некоторое подмножество М, то идеал, порожденный множеством Μ в Л, содержится в идеале, порожденном Μ в G. Отсюда вытекает, что если в Ω-груПпе G даны Ω-подгруппы А', В, А, В, причем А' ^ Л, В ^ В, то [Л', В'} <= [Л, В]. #· В группе без мультиоператоров взаимный коммутант [Л, В] совпадает с подгруппой, порожденной всеми коммутаторами [а, Ь], а е Л, b <= В. # 2. Для любых Ω-подгрупп А и В Ω-группы О имеет место равенство [А, В] = [В, А]. . (3) Действительно, для любых b e В, а^ А [Ь, а]= -а + [-а, Ь] + аеБ[А, В], (4) так как [Л, В] по сложению является нормальным делителем в {Л, Б}. С другой стороны, для любой л-арной операции ω е Ω и любых u-l, £2> · · ·> Ьп^ В, аь а2,..., ая е Л £^2... bn(u е Д αχα2... αηω е Л и поэтому, ввиду (4), [йхйа... Ьпыу ага2... αηω] е [Л, β]. Далее bi + ai = [ — bh —ai] + ai + bh /=1, 2,..., /г, а так как, по (4), [-ft* -а*]е=[Л, β], /=1,2,..., η, и [Л, Б] является идеалом в {Л, Б}, то, в силу (4) из Ш.2.4, Φι + αϊ) (йа + а2)... (6Л + αη)ω = = ф1 + Ь1)(а2 + Ь2).. .(ап + Ьп) ω + d, где d e [Л, Б]. Мы получаем, что [bv йа,..., йл; аь а2,..., а„; ω] = [й^... *„ω, аха2... αηω] + + К> я» · · ·> ат К Ъъ..., Ьп\ ω] + d е [Л, 5J. (5)
144 УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ {ГЛ. IIГ Из (4) и (5) вытекает включение [Д Л] £ [Л, В], из которого по соображениям симметрии следует равенство (3). 3. Как показывает определение, взаимный коммутант [Л, G] любой Ω-подгруппы Л с самой Ω-группой G является идеалом в G. Это справедливо, в частности, для G' = [Qy О]. Этот идеал называется коммутантом Ω-группы G. Для группы G без мультиоператоров коммутант G' будет, следовательно, нормальным делителем, порожденным всеми коммутаторами [я, Ъ\ а, b ^Q. Для кольца /? коммутант является идеалом, порожденным всеми произведениями ab, a, b е /?; в теории колец этот идеал называется обычно #вад- ратом кольца /?. Ω-подгруппа А Ω-группы Q тогда и только тогда является идеалом в G, если [Л, 0]дА (6) Действительно, если Л — идеал в G, то для всех а^ А, xgGb Л содержится элемент — х-\-а-\-х> а поэтому и элемент [а, лг]. С другой стороны, ввиду (4) из Ш.2.4, для всякой л-арной операции ωεΩ и всех аь а2,..., ап е Л, ■*ι> аг2, ..., ^gG в Л содержится элемент а поэтому и элемент [αχ, α2,..., αΛ; Χχ, χ2,..., χΛ; ω]. Идеал Л содержит, следовательно, и идеал, порожденный всеми указанными элементами, т. е. идеал [Л, G]. Обратно, если выполняется (б), то Л содержит, в частности, все коммутаторы [а, х], а е Л, χ е G, откуда — х + α -f- + χ (Ξ Л, т. е. условие 1) из Ш.2.4 выполняется. Выполняется и условие 2); действительно, (2) из Ш.2.4 следует из [О,..., О, я, 0,..., 0; хь х2,..., хп; ω] е Л, так как 0 ... ΟαΟ.. .0ω е Л. Из этой теоремы вытекает, ввиду включения [Α, 0]ς=[0, 0\ = Q't
§ 5] АБЕЛЕВЫ, НИЛЬПОТЕНТНЫЕ И РАЗРЕШИМЫЕ Ω-ГРУППЫ Н5 что всякая Ω-подгруппа А Ω-группы G, содержащая коммутант G', будет в О идеалом. 4. Ω-rpj/nna О называется абелевой, если ее коммутант равен нулю, [G, 0] = 0. Это означает, в частности, что для всех а, Ъ £0 [а, й] = 0, откуда следует α + £ = £ + α, (7) т. е. абелева Ω-группа имеет абелеву аддитивную группу. С другой стороны, для всякой л-арной операции ω ^ Ω и любых аь а2,..., аю Ъь Ь2,..., Ьп^О будет [аь а2,..„ ап; bb b2f...f bn; ω] = 0, т. е., ввиду (7), (аг + ^ι) (а2 + Ь2)... (ап + bn)(u = ага2... αηω + Ъф2... Ьпа>. (8) Для групп без мультиоператоров это понятие превращается в понятие обычной абелевой группы, а для колец — в понятие кольца с нулевым умножением, так как условие (8) равносильно для колец условию ab = 0 для всех а и Ъ. Всякая Ω-подгруппа А абелевой Ω-группы О является в О идеалом, так как А^Ог— О. Всякая Ω-подгруппа А и всякая Ω-φактор-группа G/A абелевой Ω-группы О сами абелевы, так как из справедливости в G условий (7) и (8) вытекает их справедливость и в Л, и в О/А. 5. Ω-φακтор-группа О/А Ω-группы О тогда и только тогда абелева, если идеал А содержит коммутант Ог Ω-группы О, А => G\ (9) Действительно, абелевость Ω-фактор-группы О/А означает, что для всех х, у е О [х + А,у + А] = А и для всякой и-арной операции шей и любых хь х2,... .· ·. хп> Уъ Уг>..., Уп^О l*i-f Λ х2 + А,...,хп + А; y1Jt-A,yi + A,...,yn-\-A; со] = Л.
146 УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. III Это равносильно, однако, включениям [*, у] е= Л, [хь х2, ..., хп; уь у2, .,., упу ω] <= Л, т. е. равносильно включению (9). В частности, абелевой будет Ω-φ актор-группа 0/(У Ω-группы Q по ее коммутанту. 6. Нормальный ряд G = Л0 zd Аг zd Л2 =>... id Ak = О (10) Ω-группы G (см. Ш.4.4) называется центральным рядом, если [Аь 0]с=Л1Ч1, / = 0, 1,..., А-1. (11) Заметим, что из (11) вытекает для всех / включение [Аь О] £ Л„ а поэтому, по Ш.5.3, все А-г будут идеалами в G, т. е. всякий центральный ряд является инвариантным рядом (см. Ш.4.7). Ω-группа G называется нильпотентной, если она обладает хогя бы одним центральным рядом. К числу нильпотент- ных Ω-групп принадлежит, в частности, всякая абелева Ω-группа О, так как для нее ряд Qzd О служит центральным рядом. Нижней центральной цепью произвольной Ω-группы G называется убывающая цепь идеалов О = О0 Э Οι Э Оа э ... 2 О,- з ..., (12) где Gi+i = [Gi> О], / = 0, 1, 2,... (13) Заметим, что если уже доказано, что G/ является идеалом, то идеал GI+1 будет содержаться в Gt·. Ω-группа Q тогда и только тогда нильпотентна, если ее нижняя центральная цепь (12) после конечного числа шагов достигает нулевой подгруппы, т. е. Qk = 0 при некотором k. В самом деле, если Gk = 0, то цепь (12) превращается, ввиду (13), в конечный центральный ряд. Обратно, пусть Ω-группа G обладает центральным рядом (10). Тогда G0 =
§ 5] АБЕЛЕВЫ, НИЛЬПОТЕНТНЫЕ И РАЗРЕШИМЫЕ Ω-ГРУППЫ 147 = G = A0. Если уже доказано, что Qt £ Аь то, по (13) и (11), Gi+1 = [G,, 0]е[Л,, 0]дЛ,+1. Отсюда следует, что т. е. Qk = 0. Всякая Ω-подгруппа А нпльпотентной Ω-группы О сама шыьпотентна. Действительно, пусть А = А0 з Аг э Λ ^ ... =2 Αχ э ... будет нижняя центральная цепь Ω-группы А Тогда а0 = а<=о = о0. Пусть уже доказано, что A-t ^ G/. Тогда Ai+1 = [Ai9 A]^[Oi9 Q] = Qi+1. Из Qk = 0 следует теперь Ak = 0. Всякий гомоморфный образ Η=Οφ нилъпотентной Ω-группы О сам нильпотентен. Действительно, пусть (12) и Η = Н0 Ξ2 Ηι ΞΞ2 Н2 3 ... 2 Я/ 2 .. . будут соответственно нижними центральными цепями Ω-групп G и Я. Тогда tf0==# = G(p = Go(p. Пусть уже доказано, что //i!=Gi(p. (14) Если а'^ Н» УёЯ, то существуют, ввиду (14), такие a^Qi и йеО, что αφ = α', £φ = b\ а поэтому, в силу определения гомоморфизма, [а, Ь]у = [а\ Ь'\ (15) Аналогично для любой л-арной операции ω е Ω и любых tfj, α^,..., ап е #*, &J, #2> · · ·> b'n^L Η существуют такие ах, а2>..., a„ е= Οι и 6χ, £2> ..^яеО, что αζ·φ = αϊ, £ζ·φ = b'if i=ly 2,..., η, а поэтому [αχ, α2,..., αη] Ьь b2, ..., bn; ω] φ = = [aj, a^, ..., an\ b'v b'^ ..., b'n\ ω]. (16)
148 УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. III Так как, в силу замечания, сделанного в конце III.2.13, образ Οζ·+1φ идеала Οζ+ι является идеалом в Я, то, ввиду (15) и (16), Отсюда и из Ok —О следует Hk = О. 7. Нормальный ряд G = А0 zd Аг zd Л2 zd ... zd Ak = О (17) Ω-группы G называется разрешимым рядом, если все факторы Л,/Л,+1? 1 = 0, 1,..., А—1, этого ряда являются абелевыми Ω-группами, т. е., ввиду Ш.5.5, если [Ai9 4.]дЛ/+1, / = 0, 1, ..., *-1. (18) Ω-группа G называется разрешимой, если она обладает хотя бы одним разрешимым рядом. Всякая нильпотентная Ω-группа G разрешима. Действительно, если в О задан центральный ряд (10), то, ввиду (11), [Аь At] <= [Ab Q] с= Ai+1, i = 0, 1,..., k - 1, что и требовалось доказать. Цепью коммутантов Ω-группы G называется убывающая цепь Ω-подгрупп G = G«» э G' э О' Э ... 3 Gu'> = ..., (19) где Q(M)=[Q(0, οί£>], / = 0, 1, 2,... (20) Ω-группа О тогда и только тогда разрешима, если ее цепь коммутантов (19) после конечного числа шагов достигает нуля, т. е. G(fe) = О при некотором k. В самом деле, если G^=0, то цепь (19) превращается, ввиду (20), в конечный разрешимый ряд. Обратно, пусть Ω-группа G обладает разрешимым рядом (17). Тогда G(0) = = Q = A0. Если уже доказано, что Gu) ^ Аь то, по (20) и (18), 0(М) = [0Ц)9 0(/)] с μ.? д.] с д/+1ш Отсюда следует, что т. е. 0^ = 0.
$. β] АБЕЛЕВЫ. НИЛЬПОТЕНТНЫЕ И РАЗРЕШИМЫЕ Ω-ГРУППЫ Н9 Всякая Ω-подгруппа А разрешимой Ω-группы О сама разрешима. В самом деле, пусть А = Л<°> э/1'2/1^...2 Л(0 э ... будет цепь коммутантов Ω-группы А. Тогда Если уже доказано, что Л('-) с= G(l), то Из G(fe) = 0 следует теперь Л(Л)=0. Всякий гомоморфный образ разрешимой Ω-группы О сам разрешим. Достаточно доказать это утверждение для Ω-факторгруппы G/A. Так как всякое уплотнение разрешимого ряда само разрешимо, то, по теореме Шрейера Ш.4.5, для нормального ряда О zd A zd О существует в нашем случае разрешимое уплотнение, которое, по III.2.12 и Ш.2.13, определяет разрешимый ряд в 01 А. 8. И в случае групп, и в случае неассоциативных, в частности лиевых, колец разрешимость оказывается существенно шире нильпотентности. Иное положение в случае ассоциативных колец: Всякое разрешимое ассоциативное кольцо нилъпотентно. Заметим сперва, что если даны ассоциативное кольцо R и натуральное число п, то идеал, порожденный в R множеством всевозможных произведений по η элементов из R, совпадает с подгруппой, порожденной этим множеством в аддитивной группе кольца R. В самом деле, указанная подгруппа состоит из нуля и всевозможных сумм конечного числа произведений по η элементов. Умножая такую сумму слева или справа на любой элемент из R, мы получим сумму нескольких произведений по я-f 1 элементу каждое. Заменяя, однако, в каждом из членов этой суммы одну пару соседних сомножителей их произведением, мы снова придем к сумме произведений по η элементов. Отсюда легко выводятся следующие два утверждения. В ассоциативном кольце R i-й член цепи коммутантов /?(ί) совпадает с идеалом, порожденным в R множеством всевозможных произведений по 2* элементов из R.
150 УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. III Для /=1 это известно нам из Ш.5.3. Пусть утверждение уже доказано для /, т. е. RW состоит из сумм произведений по 2* элементов. Тогда R(i+1) является, ввиду (20), подгруппой аддитивной группы кольца /?, порожденной всевозможными произведениями пар элементов из R^\ т. е., ввиду законов дистрибутивности, порожденной всевозможными произведениями по 2i+1 элементов. В ассоциативном кольце R 1-й член нижней центральной цепи Rt совпадает с идеалом, порожденным в R множеством всевозможных произведений по i-\-\ элементу из R. Для 1=1 это верно. Пусть наше утверждение уже доказано для /, т. е. Ri состоит из сумм произведений по / + 1 элементу. Тогда Ri+1 является, ввиду (13) и Ш.5.1, идеалом, порожденным в R произведениями элементов из Rt на любые элементы из /?, слева или справа, т. е., ввиду законов дистрибутивности, порожденным всевозможными произведениями по /-f-2 элемента. Таким образом, для ассоциативного кольца R «(ί)=«2'-ι / = 0' !> 2,..., а поэтому из RW = 0 следует R2k_x =0, что и требовалось доказать. § 6. Примитивные классы универсальных алгебр 1. Вернемся к изучению произвольных универсальных алгебр. Понятие однотипности алгебр (см. III. 1.5) является слишком общим для того, чтобы выделять разумные классы алгебраических образований. Так, далеко не всякая универсальная алгебра с одной бинарной операцией (умножение), одной унарной операцией (взятие обратного элемента) и одной нульарной операцией (взятие единицы) будет группой, хотя она и однотипна с группами. Группы выделяются среди всех этих алгебр тем, что в них, как мы хорошо знаем, имеют место следующие тождественные соотноше- н и я: для любых х9 у, ζ (xy)z = x(yz), λγ . 1 = λγ, λγλγ""1 = 1. Мы хотим определить понятие тождественного соотношения для случая универсальных алгебр с любой фиксированной системой операций Ω.
§ 6] ПРИМИТИВНЫЕ КЛАССЫ УНИВЕРСАЛЬНЫХ АЛГЕБР 151 2. Пусть дано некоторое непустое вспомогательное множество X, элементы которого будут называться свободными элементами и обозначаться через χ с индексами, а также через _у, ζ и т. д. С другой стороны, всем нульарным операциям из Ω, есЛи такие существуют, сопоставим некоторые символы, которые будут называться символами нуль арных операций. Определим понятие слова. Прежде всего, словами будут считаться все свободные элементы и все символы нульарных операций. Если же мы уже знаем, что выражения wb w2,... ...,wn являются словами, то для любой «-арной операции ωεΩ, где л^1, формальное выражение W1W2...Wn(u (1) также будет считаться словом. Таким образом, всякое слово будет конечным выражением, в котором участвуют свободные элементы, символы нульарных операций и символы ω для л-арных операций из Ω, л^1, причем с любым числом повторений; при этом символ л-арной операции ω всегда «действует» на η предшествующих ему слов. Так, пусть в Ω входят тернарная операция ω, унарные операции ω' и ω" и нульарная операция с символом 0. Тогда словами будут, например, выражения [(χω') 0 у ω] χ (у ω") ω или (хуг<о)(х(й')(уа/)<о. Понятно, что эти слова можно было бы записать без всяких скобок: х(о'0у(охусо"(о, xyztoxufyalto. Будем называть слова wb w2,..., wn подсловами слова (1). Будем считать, далее, что свойство быть полсловом транзитивно, и поэтому полслова слов wb w2> ...>wn будут полсловами и для слова (1), и т. д. В частности, подсловами слова (1) будут все входящие в его запись свободные элементы и символы нульарных операций. Условимся считать также, что всякое слово является своим собственным под- словом. Ясно, что понятие слова по существу зависит от системы операций Ω. Рассматривая универсальные алгебры с системой операций Ω, мы будем, разумеется, использовать лишь слова, имеющие смысл в £},
152 УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ ГГЛ. III 3. Пусть даны слова w± и w2, относящиеся к системе операций Ω. Обозначим через хь х2,..., xk все различные свободные элементы, встречающиеся хотя бы в одном из этих слов, а через 0Ь 02, ..., 0t — все встречающиеся хотя бы в одном из этих слов символы нульарных операций. Будем говорить, что в универсальной алгебре G с системой операций Ω выполняется тождественное соотношение 1Ю\ = Щ, (2) если равенство (2) имеет место в G при замене свободных элементов хь i = 1, 2, ..., k, произвольными элементами at ^ G, не обязательно различными. При этом символы 0у, /=1, 2, ...,/, заменяются, понятно, теми элементами из G, взятие которых означает в G соответствующую нульарную операцию, и, вообще, операции из Ω выполняются по правилам оперирования в алгебре G. Если дано множество тождественных соотношений Λ, то все универсальные алгебры с системой операций Ω, в которых выполняются все тождественные соотношения из Λ, составляют примитивный класс алгебр. Условимся обозначать этот примитивный класс той же буквой Λ, что и определяющее его множество тождественных соотношений. Так, примитивный класс составляют группы, рассматриваемые как алгебры с одной бинарной, одной унарной и одной нульарной операциями. Абелевы группы составляют более узкий примитивный класс—-здесь накладывается дополнительное тождественное соотношение ху =ух. Еще более узкий примитивный класс мы получим, налагая тождественное соотношение х2=1. Кольца, ассоциативные кольца, ассоциативно-коммутативные кольца, лиевы кольца, йордановы кольца также будут примитивными классами универсальных алгебр. Весь класс однотипных между собою универсальных алгебр с системой операций Ω также можно считать примитивным классом, а именно для пустого множества тождественных соотношений. Примитивным классом будет и класс Ω-групп с данной системой операций Ω — он определяется тождественными соотношениями, входящими в определение группы, и соотношениями (1) из III. 2.1. С другой стороны, множество тождественных соотношений Λ может оказаться таким, что из него следует тождественное соотношение х=у} т. е. соот-
§ 6] ПРИМИТИВНЫЕ КЛАССЫ УНИВЕРСАЛЬНЫХ АЛГЕБР 153 ветствующий примитивный класс состоит из одной-единствен- ной алгебры, содержащей лишь один элемент. 4. Всякий примитивный класс универсальных алгебр вместе со всякой своей алгеброй содержит все ее подалгебры и все ее гомоморфные образы. Ясно, что если в алгебре G выполняется тождественное соотношение (2), то оно выполняется, в частности, и для элементов из любой подалгебры. С другой стороны, пусть в G выполняется тождественное соотношение (2) и пусть задан гомоморфизм φ алгебры G на однотипную алгебру Н. Обозначим через w\y wZ те элементы из Н, которые получаются после подстановки в слова wx и w2 вместо свободных элементов хь /—1,2,..., /г, некоторых элементов Ъ{ е //, /=1, 2, ...,&. Выберем в алгебре О такие элементы α·ν /= 1, 2, ..., k, что ai{p = bi для всех /, и обозначим через w'v w'% те элементы из G, которые получаются после подстановки at вместо хь /=1, 2, ..., k, в слова wx и w2. Из определения гомоморфизма следует, что w'j(p = wrj, ] — 1, 2, а так как w[ = да, то и w[\ = w'i что и требовалось доказать. 5. Понятие слова может быть использовано и для других целей. Рассмотрим универсальную алгебру О с системой операций Ω и возьмем произвольное слово w = w (хь х2, ..., хп) в этих операциях относительно свободных элементов хь х& ·.·> хп> п^\. Заменим k из этих элементов, O^k^n, например элементы xn-k + 1, xn_k + 2, ..., хп, некоторыми фиксированными элементами Ьь Ь2, ..., bk^.Q. Выражение w{xb х2, ..., xn_k, Ьь Ь2, ..., bk\ (3) которое будет при этом получено, следующим образом определяет в множестве О (п — &)-арную операцию: системе элементов аь а2, ..., an_k^G эта операция сопоставляет однозначно определенный элемент w(ab а2, ..., an_k, bb Ь2, ..., bk). Все операции, которые этим путем могут быть в О получены, называются производными операциями алгебры Q.
154 УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. III Понятно, что различные выражения вида (3) могут случайно определять в G одну и ту же производную операцию. Производная операция будет называться главной, если k = О, т. е. если в слове w не производится никакой предварительной замены части свободных элементов элементами из G. К числу главных производных операций алгебры Ω принадлежат, в частности, операции из самой системы Ω. 6. Пусть на множестве G заданы две универсальные алгебры, соответственно с системами операций Ω и Ω'. Будем говорить, что эти две алгебры определяют на G одну и ту же алгебраическую систему, если в G всякая операция из Ω' является производной от операций системы Ω и обратно; сами такие системы операций Ω и Ω' назовем эквивалентными в О. Если алгебры G и И однотипны относительно системы операций Ω и если в G мы перейдем к эквивалентной системе операций Ω', то в И такой переход в общем случае не имеет смысла — если производная операция была получена в G заменой в некотором слове части свободных элементов фиксированными элементами из G, то в Я эта операция не может быть однозначно определена. Отсюда следует, что понятие гомоморфизма относится лишь к данной системе операций Ω и может потерять смысл при переходе к эквивалентной системе операций Ω'. Это же имеет место и для понятия подалгебры — достаточно учесть, что те элементы Ьь Ь2, ..., bk, которые участвуют в выражении (3), не обязаны принадлежать к рассматриваемой подалгебре (относительно операций из Ω). Читатель без труда проверит, что положение будет иным, если всякая операция любой из систем Ω, Ω' является главной производной операцией от другой системы. Отсюда следует, что те два способа рассмотрения группы как универсальной алгебры, которые указаны в III. 1.3, с точки зрения гомоморфизмов и подгрупп действительно равносильны, что, впрочем, мы знали и ранее. § 7. Свободные универсальные алгебры 1. Множество всевозможных слов относительно системы операций Ω и множества свободных элементов X можно рассматривать как алгебру с системой операций Ω. Именно, если даны я-арная операция ш£Й, п^19 и слова wv
§ 7] СВОБОДНЫЕ УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ 155 w29 ... > wn, то слово w1w2 ... wn(o будет считаться результатом применения операции ω к заданным словам. Применение же любой нульарной операции из Ω будет пониматься как взятие символа этой нульарной операции, принадлежащего, как мы знаем, к4 множеству слов. Обозначим эту алгебру слов через £(Ω, X). Понятно, что в ней не выполняется никакое нетривиальное тождественное соотношение, т. е. соотношение вида w1 = w2, (1) где ха\ и w2 — различные слова. Понятно также, что множество X служит для этой алгебры системой образующих (см. III. 1.4). Если же дано подмножество X'а X, то оно порождает в £(Ω, Χ) подалгебру, являющуюся алгеброй слов 2. Рассмотрим теперь произвольную систему тождественных соотношений Λ. Слова ν' и ν" будут называться эквивалентными относительно Λ, если от одного к другому можно перейти конечным числом преобразований следующего вида: пусть в системе Λ содержится соотношение (1); заменим входящие в него свободные элементы хь /=1, 2, ... k, некоторыми словами, после чего левая и правая части соотношения (1) превращаются в слова wx и w2\ если w^ (или w2) служит подсловом слова г/, то оно заменяется в слове ν' на w2 (или соответственно на Wi). Это отношение будет, очевидно, рефлексивным, транзитивным и симметричным, т. е. в алгебру 6*(Ω, Χ) введено отношение эквивалентности. Это будет даже конгруен- ция (см. III. 1.7), так как если дано слово w1w2 ... wn(u, полученное из слов wb w2 ..., wn применением операции ω, то замена слов wiy /=1, 2,..., п, словами, им эквивалентными, может быть осуществлена применением к данному слову конечного числа преобразований описанного выше вида. Фактор-алгебра алгебры 6*(Ω, Аг) по построенной нами конгруенции (см. III. 1.7) будет обозначаться символом 6*(Ω, Χ, Λ) и называться свободной алгеброй примитивного класса Λ, а множество X — ее системой свободных образующих. Конечно, на самом деле системой образующих для этой алгебры служит не само множество X, а множество соответствующих классов эквивалентных слов; мы будем
156 УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. Ill обозначать его, однако, той же буквой X. Всякая алгебра, изоморфная алгебре 6*(Ω, Χ, Λ), также будет называться свободной, а множество образов элементов из X при этом изоморфизме — системой свободных образующих. Из определения свободной алгебры £(Ω, Χ, Λ) следует, что в ней выполняются все тождественные соотношения из Λ, т. е. алгебра S (Ω, Χ, Λ) принадлежит к примитивному классу Λ. 3. Пусть в универсальной алгебре О примитивного класса Λ выбрана система образующих М. Алгебра О тогда и только тогда будет свободной алгеброй в примитивном классе А, а М — ее системой свободных образующих, если выполняется следующее условие: для любой алгебры Η класса А и любого однозначного отображения φ множества Μ в алгебру Η существует, притом единственное, гомоморфное отображение Q в И, совпадающее с ψ на множестве М. Положим сперва, что G = 5 (Ω, Χ, Λ), М = Х и уже задано отображение φ множества X в алгебру И. Отображение φ всей алгебры £ (Ω, Χ, Λ) в алгебру Η определим следующим образом: на множестве X оно совпадает с φ; символы нуль- арных операций ср отображает в те элементы из Я, взятие которых означает в Η соответствующую нульарную операцию; наконец, если для слов wb w2i ..., wn образы при φ уже однозначно определены, а операция ogQ л-арна, то полагаем (Wiw2 ... wn<u) φ = (τ^φ) (w2cp) ... (wny)(u] (2) ясно, что образ слова w±w2 ... τ®ηω ПРИ отображении φ может быть определен лишь равенством (2), если мы хотим, чтобы это отображение было гомоморфным. Заметим, что применение отображения φ к слову, эквивалентному слову w1w2 ... wn(o в смысле III. 7.2, дает элемент, равный в алгебре Η правой части равенства (2), так как в И выполняются все тождественные соотношения из Λ. Таким образом, отображение φ определено для элементов алгебры 5(Ω, Χ, Λ); его гомоморфность и однозначная определенность следуют из (2).
§ 7] СВОБОДНЫЕ УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ 157 Пусть теперь даны алгебра G и ее система образующих Му удовлетворяющие условию нашей теоремы. Возьмем в качестве алгебры Η такую свободную алгебру £(Ω, Χ, Λ), что множества Μ т X равномощны, т. е. существует взаимно однозначное отображение φ множества Μ на X. По условию, существует гомоморфизм ψ: G-+S(Q, Χ, Λ), совпадающий с φ на Ж. С другой стороны, из сказанного выше следует, что существует гомоморфизм χ: 5*(Ω, Χ, Λ)->0, совпадающий на X с φ1. Произведение χψ будет эндоморфизмом алгебры 6*(Ω, λ', Λ), тождественным на системе образующих Х> а произведение ψχ — эндоморфизмом алгебры G, тождественным на системе образующих М. Из условия единственности, предположенного для алгебры G и уже доказанного для 6*(Ω, Χ, Λ), следует, что эти эндоморфизмы будут тождественными автоморфизмами указанных алгебр. Отсюда вытекает, что каждый из гомоморфизмов ψ, χ будет в действительности изоморфизмом между алгебрами G и 6*(Ω, Χ, Λ), что и требовалось доказать. 4. Из доказанной теоремы вытекает следующий результат, выясняющий истинное значение понятия свободной алгебры: Всякая алгебра Q примитивного класса Λ является гомоморфным образом некоторой свободной алгебры этого класса. В самом деле, возьмем в G любую систему образующих Μ и рассмотрим такую свободную алгебру £(Ω, Χ, Λ), что существует отображение φ множества X на множество Ж, т. е. мощность X больше или равна мощности Ж. Тогда, по доказанному, отображение φ можно продолжить до гомоморфизма φ: 5 (Ω, Χ, A)-^G, причем это будет гомоморфизм на всю алгебру G, так как образ алгебры 5(Ω, Χ, Λ) при φ содержит все множество Ж. 5. Ясно, что если множества X и Υ равномощны, то свободные алгебры 5(Ω, Χ, Λ) и 5(Ω, Κ, Λ) будут изоморфными. На вопрос, следует ли, обратно, из изоморфизма указанных свободных алгебр равномощность множеств свободных образующих X и К, ответ в общем случае будет отрицательным, как показывает отмеченный в III. 6.3 примитивный класс»
158 УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. III состоящий из одной одноэлементной алгебры; этот класс, в котором выполняются, конечно, любые тождественные соотношения, условимся называть абсолютно вырожденным. Справедливы следующие теоремы Фудзивары [Ргос. Japan. Acad. 31 (1955), 135-136]: Если примитивный класс Λ не является абсолютно вырожденным и если свободные алгебры 6*(Ω, Χ, Λ) и S (Ω, Κ, Λ) изоморфны, причем хотя бы одно из множеств Х> Υ бесконечно, то эти множества равномощны. Пусть это не так и пусть, например, мощность множества X больше мощности множества У1). Можно считать, что рассматриваемые алгебры не только изоморфны, но даже совпадают, S(Q,X,A) = S(Q, К, Λ) = 5. (3) Всякий элемент из Υ записывается, следовательно, в виде слова относительно конечного числа свободных образующих из X. Фиксируя для каждого j/gF одну такую запись и собирая все элементы из X, которые используются в эгих записях для всех j/gK, мы получим подмножество X' cz X, имеющее заведомо меньшую мощность, чем X: оно конечно, если конечно множество К, и имеет мощность, не превосходящую мощности К, если Υ бесконечно. Можно выбрать, следовательно, элемент х0& Х\Х'. Элемент х0 записывается в виде слова от конечного числа элементов из Υ. Записывая в свою очередь эти элементы через элементы из Х\ мы получим, что х0 равно в алгебре S некоторому слову w0 от элементов из Х\ х0 = w0. Это равенство означает эквивалентность слов х0 и w0 в алгебре слов (см. III.7.2), т. е. оно получено применением тождественных соотношений из Λ. Но тогда, учитывая, что в слово w0 свободный элемент х0 не входит, мы могли бы при помощи тех же тождественных соотношений получить в алгебре 5* равенство а == w0, где а — произвольный элемент из & Таким образом, в 5 все элементы равны между собой, т. е. из тождественных соотношений Λ вытекает тождественное соотношение х=у, а поэтому примитивный класс Λ оказывается абсолютно вырожденным против предположения. Теорема доказана. 1) Здесь используется основанное на аксиоме выбора утверждение, что всякие две мощности можно сравнивать по величине.
§7] СВОБОДНЫЕ УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ 159 6. Пусть систему тождественных соотношений Λ можно расширить до такой системы Λ*, что примитивный класс Л* не является абсолютно вырожденным, но конечные множества свободных образующих порождают в нем конечные свободные алгебры. Тогда в классе Л изоморфные свободные алгебры обладают равномощными системами свободных образующих. Пусть, в самом деле, в классе Л даны изоморфные свободные алгебры с системами свободных образующих X и Υ. Как и выше, можно считать, что эти алгебры совпадают, т. е. имеют место равенства (3). Кроме того, в силу предшествующей теоремы оба множества Χ, Υ можно считать конечными. Предположим, что X содержит больше элементов, чем Υ. Наложим на алгебру 5 тождественные соотношения из системы Л* \ Л, т. е. перейдем к фактор-алгебре 5* по соответствующей конгруенции. Это будет, очевидно, свободная алгебра в примитивном классе Л*, причем она в силу условий теоремы конечна, так как имеет своими системами свободных образующих конечные множества X и К Пусть подмножество X' cz X содержит столько же элементов, как и Y. Тогда подалгебра {Х'\ алгебры S*, являясь свободной алгеброй S(QyX'9A*)y должна в действительности состоять из стольких же элементов, как и S*, т. е. она совпадает со всей алгеброй 6**. Отсюда следует, что всякий элемент х0^^\^' записывается в виде слова ог элементов из Х'у что, однако, как и в доказательстве предшествующей теоремы, приводит к противоречию. 7. Класс группоидов является примитивным классом относительно одной бинарной операции и пустого множества тождественных соотношений; будем, как обычно, называть эту операцию умножением и записывать в виде ab. Свободный группоид с множеством X свободных образующих совпадает с группоидом слов. Словом в этом случае будет всякая конечная упорядоченная система элементов из X, Х\Х% ... Хп, ft ^ 1, с любыми повторениями, причем в этой системе задано распределение скобок: каждый из символов xif /=1, 2, ..., п, считается взятым в скобки, а затем скобки расставлены так, что каждый раз «перемножаются» лишь две скобки.
160 УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. III Произведение двух слов означает, что заданные слова берутся в скобки и пишутся одно за другим. Конечно, записывая слова в группоидах, можно писать, например, {(ΧιΧ2) Χι) {x%x%), а не 8. Класс полугрупп является примитивным классом с тождественным соотношением ассоциативности. В этом случае слово относительно множества Λ' свободных образующих может быть записано в виде ΧχΧζ ... хп> п^\, (4) уже без всяких скобок. Произведение двух слов (4) означает теперь, что заданные слова записываются одно за другим без скобок. Утверждение, что нами построена свободная полугруппа с множеством X свободных образующих, будет обосновано лишь после того, как мы покажем, что различные слова вида (4) будут в этой полугруппе различными элементами. Однако умножение слов, определенное в предшествующем абзаце, превращает, очевидно, множество всех слов вида (4) в полугруппу с множеством образующих X. Эта полугруппа является гомоморфным образом свободной полугруппы с множеством X свободных образующих, а так как в ней различные слова вида (4) являются различными элементами, то это же верно и для свободной полугруппы. На самом деле указанный гомоморфизм является, конечно, изоморфизмом. Использование степеней элементов позволяет записывать слова в полугруппах короче: вместо слова x1x1x1x2XiX2X2 можно писать χ\χ2ΧιΧ2· 9. Рассмотрим теперь примитивный класс всех групп с операциями умножения, взятия обратного элемента и взятия единицы. Тождественные соотношения позволяют записать .всякое слово относительно множества X свободных образующих или в виде 1 — это слово, не содержащее ни одного свободного элемента, называется пустым, — или же в виде ф = х**х** ... х%п, п^1, (5)
§ 7] СВОБОДНЫЕ УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ 161 где χ,·, /=1, 2, ..., я,— элементы из А', не обязательно различные, е,- = ±1, 1=1, 2, ..., п, причем если Xi=xi+b то и 8/ = ei+1; иными словами, в (5) не могут стоять рядом элемент χ е А' и его обратный элемент х~\ Число η назовем длиной слова (5).> Различные слова вида (5) являются различными эле- ментами свободной группы с множеством X свободных образующих и не равны в этой группе пустому слову. Для доказательства построим группу, элементами которой служат пустое слово и всевозможные слова вида (5). Умножение слов определим в соответствии с тем, как оно выполнялось бы в свободной группе. Именно, пустое слово должно играть роль единицы. Если же даны два слова вида (5), Wl==xeiXe2 ... хгп> щ =у^у^ ... уг\т, где, понятно, )// g X, /=1, 2, ..., т, то записываем эти слова одно за другим, х**х*> ... xfry^y? ... j/>. Если при этом хп=Ух и гп=—%, то выполняем сокращение. После этого станут соседними элементы х^-Т1 и -У?2' и> быть может, снова придется выполнить сокращение. Так продолжаем до такого первого места k, что или хп-иФУк+ь или хп-к=Ук+ь но и zn-k = r\k+i· Тогда полагаем WlW2 = Хг,хг2 ш t . Xennfy^+iiy%r .. . у%п, (6) Ясно, что справа в (б) стоит слово вида (5), если пф т или же п = т, но k<^n, в противном же случае справа будет стоять пустое слово. Мы получаем, следовательно, что обратным для слова (5) будет слово W-1 = X~nEn ... Х~2г*Х~*х. Введенное нами умножение слов ассоциативно. Будем доказывать равенство w± (w2ws) = (w1w2) ws (7) индукцией по длине слова w2i причем все слова wb w2, w3 можно считать отличными от пустого слова. Пусть сперва w2=y^ где j/gX, η = ±1. Если последний символ слова w± и первый символ слова wB таковы, что хотя бы один из них отличен от у~\ то хотя бы в одном
162 УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. Ill из произведений WiW2, w2wb сокращения не будут выполняться и поэтому равенство (7) имеет место. Если же Wi = x\l ... х1п\хУ~ц> Щ=У~У]г%* ... z*s, то х\ · · · хп-\ У Z2 · * · Zs будет словом вида (5), равным как левой, так и правой части равенства (7). Пусть теперь w2 = W2-y^m, где слово w*2 имеет вид Х02=У^ ... J/^V Считая равенство (7) доказанным для случая, когда длина слова w% меньше т, получаем WX (W2Wd) = WX [(w'2'УУ) Щ] = Wl [W2 (j^^a)] = = (wtW2) (уУщ) = [(«№) УУ\ Щ = = [w± (туУ)] щ = («№) щ> что и требовалось доказать. Мы построили группу из слов вида (5) и пустого слова, причем множество X служит для нее системой образующих. Эта группа является гомоморфным образом свободной группы с множеством X свободных образующих. Поэтому указанные слова являются различными и в свободной группе, что и требовалось доказать. Построенная нами группа сама оказываете яУ следовательно, свободной группой с системой свободных образующих X. Слова вида (5) можно, понятно, записывать короче, используя, как и в случае полугрупп, степени элементов, на этот раз и отрицательные. Свободная группа с одним свободным образующим χ будет, очевидно, бесконечной циклической группой {х}. Если же множество свободных образующих X содержит больше одного элемента, то порожденная им свободная группа некоммутативна, так как слова ху и ух, где ху у е X, будут в ней различными элементами. В Ш.8.12 будет дано описание подгрупп свободной группы.
§ 7] СВОБОДНЫЕ УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ 163 10. В примитивном классе всех абелевых групп, записываемых аддитивно, словами относительно множества X свободных образующих будут суммы конечного числа различных элементов из X, взятых с некоторыми целыми коэффициентами, отличными от нуля, а также пустое слово 0. Определим сложение таких слов как сложение коэффициентов при одинаковых элементах xgX; если при этом в одно из слов элемент χ не входит, то считаем коэффициент при нем равным нулю. Немедленно проверяется, что мы получаем абелеву группу, которая и будет свободной абелевой группой с множеством X свободных образующих. 11. Перейдем к рассмотрению примитивного класса всех колец. Рассуждая так же, как в случае полугрупп или групп, мы получим, что аддитивная группа свободного кольца с множеством X свободных образующих является свободной абелевой группой (см. JH.7.10) относительно множества свободных образующих X, которое в свою очередь является свободным мультипликативным группоидом с множеством X свободных образующих (см. III.7.7). Умножение в свободном кольце сводится, в силу закона дистрибутивности, на умножение элементов из Ху которое производится по правилу умножения слов в свободном группоиде (см. ΙΙΙ.7.7). Все сказанное остается справедливым и для свободного ассоциативного кольца с множеством X свободных образующих. Множество X будет в этом случае, однако, свободной полугруппой с множеством X свободных образующих (см. ΙΙΙ.7.8), и умножение элементов из X производится по правилу умножения слов в свободной полугруппе. Наконец, свободное ассоциативно-коммутативноекольцо с множеством .Υ свободных образующих является просто коль- цом многочленов от элементов из X с целыми коэффициентами. Заметим, что далеко не для всякого примитивного класса универсальных алгебр удается получить такую однозначную («каноническую») запись элементов свободных алгебр этого класса, какая получена в рассмотренных выше случаях. 12. Свободные абелевы группы (а также свободные группы, свободные кольца, свободные ассоциативные или ассоциативно-коммутативные кольца) изоморфны тогда и только тогда, если их системы свободных образующих равномощны.
164 УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. III Действительно, накладывая на абелевы группы тождественное соотношение 2х = 0, мы получаем примитивный класс тех абелевых групп, все ненулевые элементы которых имеют порядок 2. Возьмем конечную систему свободных образующих X, состоящую из элементов хь х2> ..., хп- Тогда словом в рассматриваемом случае будет выражение вида k\Xi -\- k2x2 ~Ь · · · ~Ь knxny где все kif / = 1, 2, ..., η, равны единице или нулю. Сложение слов сводится на сложение коэффициентов при одинаковых элементах хь выполняемое по модулю 2, т. е. 1 —f-1 = 0. Мы получаем, что в рассматриваемом примитивном классе свободные группы, порожденные конечными системами свободных образующих, сами конечны. К этому же примитивному классу мы придем, накладывая на класс групп тождественные соотношения ху=ух и х2= 1 (легко видеть, впрочем, что первое из них вытекает из второго). По существу этот же примитивный класс получается при наложении на указанные в формулировке теоремы классы колец тождественных соотношений ху = 0, 2х = 0. Для доказательства теоремы теперь остается сослаться на вторую теорему Фудзивары (Ш.7.6). 13. Рассмотрим произвольный примитивный класс Ω-групп. Всякая Ω-группа G этого класса является, по III.7.4, гомоморфным образом некоторой свободной Ω-группы 5 этого же класса, т. е., по III.2.6 и III.1.8, изоморфна Ω-факторгруппе свободной Ω-группы 6* по некоторому идеалу А. Пусть элементы siy где / пробегает множество индексов /, порождают А как идеал Ω-группы 5. Соответствующие элементы в G равны нулю. Система равенств Si = 0, /ε /, (8) где S( считаются записанными через свободные образующие свободной Ω-группы 5, вполне определяет идеал А в свободной Ω-группе 5, т. е. определяет Ω-фактор-группу S/A, а поэтому с точностью до изоморфизма определяет исходную Ω-группу G. Система равенств (8) называется системой определяющих соотношений для Ω-группы G.
§8] СВОБОДНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ГРУПП 165 Таким образом, всякая Ω-группа, в частности всякая группа и всякое кольцо, может быть задана системой определяющих соотношений в некоторой системе образующих. Это задание, конечно, отнюдь не является однозначным. Пример. Симметрическая группа 3-й степени 6*3 (см· И. 1.8) может быть задана в классе групп двумя образующими a, b и определяющими соотношениями а3=1, 6»= 1, abab=l. (9) Действительно, подстановки /123\ /123\ порождают всю группу 6*3 и удовлетворяют соотношениям (9). С другой стороны, из (9) следует равенство Ьа = a2b, a поэтому всякий элемент группы, заданной определяющими соотношениями (9), может быть записан в виде akb\ где k = 0,1,2, /=0,1, т. е. эта группа состоит не более чем из шести элементов; порядок группы 6*3 равен, однако, шести. § 8. Свободные произведения групп 1. Указанное в Ш.7.3 характерное свойство свободных алгебр данного примитивного класса Л подсказывает следующее определение. Если Aiy i e /, — семейство алгебр класса Л, то назовем алгебру G класса Л свободным объединением этого семейства, если Л; cz G, / е /, и если для любой алгебры Η класса Л и любого набора гомоморфизмов φ^ алгебр At в алгебру Н, i е /, существует, притом единственный, гомоморфизм φ алгебры G в алгебру Я, совпадающий с ц>1 на подалгебре Aiy ί е /. Если свободным объединением алгебр Аь i e /, служат как алгебра G, так и алгебра G', то между G и G' существует изоморфизм, продолжающий тождественные автоморфизмы подалгебр Аь i e /. Действительно, указанные тождественные автоморфизмы можно рассматривать как гомоморфизмы φζ· подалгебр At алгебры G, / е /, в алгебру G', а также как гомоморфизмы ψ,- подалгебр At алгебры G', /g/, в алгебру G. Они индуцируют, следовательно, гомоморфизмы φ: G -> G' и ψ: G' -> G. Произведение φψ является тем единственным гомоморфизмом О
166 УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. III в себя, который определяется изоморфными вложениями всех Αι в G в качестве подалгебр, т. е. это будет тождественный автоморфизм алгебры G. Аналогично ψφ является тождественным автоморфизмом алгебры О', а поэтому φ и ψ будут обратными друг другу изоморфизмами. Свободное объединение О алгебр Л,·, / е /, совпадает с подалгеброй, порожденной в О всеми Л/, i e /. Пусть, в самом деле, подалгебры Aiy ί е /, порождают в О подалгебру G0 (см. III. 1.4). Если заданы алгебра Η класса Λ и гомоморфизмы φ,·: А{ -> Я, / е /, то определяемый этими гомоморфизмами гомоморфизм φ: Q-+H индуцирует гомоморфизм φ0: Ο0—►//, совпадающий с φζ· на подалгебре Л,·, / е /. Это будет единственный гомоморфизм О0 в И с указанным свойством. Действительно, без труда проверяется, что подалгебра G0 состоит из тех и только из тех элементов алгебры G, которые хотя бы одним способом выражаются через элементы подалгебр Л,·, / е /, при помощи операций алгебры G, применяемых конечное число раз. Гомоморфизмы φζ·, / е /, могут порождать, следовательно, лишь один гомоморфизм алгебры G0. Таким образом, алгебра G0 сама оказалась свободным объединением алгебр Л,·, i e /. Тогда существует, как доказано, изоморфизм φ алгебры G0 на алгебру G, продолжающий тождественные автоморфизмы алгебр Л,·, / е /. Но, ввиду сказанного в предшествующем абзаце, эти тождественные автоморфизмы могут порождать лишь тождественный автоморфизм алгебры G0, а поэтому G0 = G. 2. Группа G называется свободным произведением своих подгрупп Л,·, / е /, если эти подгруппы порождают вместе всю группу G и если всякий отличный от 1 элемент g^Q обладает единственным разложением в произведение вида g=aia2 ... α,„ п^ 1, (1) где ak е Л/ и afe =^= 1, k=l, 2, ..., η, причем рядом не могут стоять элементы из одной и той же подгруппы Аь т. е. Произведение с этими свойствами, стоящее в (1) справа, будем называть несократимой записью элемента g. Число η назовем длиной этого элемента и обозначим ее через λ(#).
§ 8] СВОБОДНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ГРУПП 16? Индексы /χ и 1п будем называть соответственно первым индексом и последним индексом элемента g. Дополнительно положим λ (1) = 0. Для записи свободного произведения будем использовать символ /<ΞΞ/ или, если число свободных множителей конечно, Q=A1*A2*...*An. Сопоставление с III.7.9 показывает, что свободная группа является свободным произведением бесконечных циклических групп. Если группа Q является свободным произведением подгрупп Аь i е /, то Q будет свободным объединением групп At в примитивном классе групп. В самом деле, если для набора гомоморфизмов φ^ подгрупп At в некоторую группу //, / е /, существует такой гомоморфизм φ группы G в Н, что φ —(pi на подгруппе Л/, /е/, то, по (1), для всех g^Q gq> = a1cph · a2cpi2 ... anyin, (2) т. е. φ определено однозначно. Легко проверяется, с другой стороны, что если (2) считать определением отображения φ группы G в группу Я, то φ будет гомоморфизмом. Эта теорема допускает обращение, как немедленно следует, ввиду теоремы, доказываемой в следующем пункте, из результатов настоящего и предшествующего пунктов. 3. Докажем, что для любого семейства групп Аь i е /, существует свободное произведение этого семейства групп, т. е., точнее, свободное произведение групп, изоморфных заданным. Будем называть словом формально написанное выражение ага2 ... ап, л^ 1, (3) где ak^Aik, акф\> k=l, 2, ..., л, и 1кФк+ъ k=l, 2, ..., я-1. Введем также пустое слово (случай η — 0). Множество всех слов обозначим через Ж, а симметрическую группу на этом множестве (см. II. 1.8) —через S.
168 УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ ГГЛ. III Всякий элемент а е Лг- следующим образом определяет отображение а множества Μ в себя: пустое слово переходит в слово а длины 1, откуда следует, что при афЬ, a, b^ Ah будет йфЪ\ с другой стороны, для слова вида (3) полагаем f#l#2 · · · апа> если Ιη Φ Ь аха2 ... (апа), если in = i и апа Φ Ι; ага2 ... ап-ь если in = i и апа=1. Отсюда следует, в частности, что единице группы At соответствует тождественное отображение множества Μ на себя. Легко проверяется, что ah = ab, a, b e Лг-, где произведение справа понимается в смысле умножения отображений, а поэтому отображение аг1 обратно отображению а. Таким образом, всякое отображение й будет подстановкой в множестве /И и, следовательно, отображения я, взятые для всех а е Α·ν составляют в группе 5 подгруппу Л{-, изоморфную группе At. Обозначим через G подгруппу группы 5, порожденную всеми подгруппами Аь i е /. Группа G будет свободным произведением подгрупп Aiy i e /: всякий элемент из G, отличный от единицы, может быть записан в виде произведения ^Л ..· йт (4) где ага2 ... ап — слово, причем эта запись единственная, так, как подстановка (4) переводит пустое слово как раз в слово аха2 ... ап. 4. Докажем следующую теорему о подгруппах, свободного произведения групп [А. Г. Курош, Math. Ann. 109 (1934), 647—660]: Если о = П*А> (б) /<ΞΞ/ то всякая подгруппа U группы Q является свободным произведением подгрупп, сопряженных в Q (см. 11.74) с некоторыми подгруппами свободных множителей Л,·, и некоторой свободной подгруппы.
§8] СВОБОДНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ГРУПП 169 Для того, чтобы указать более развернутую формулировку этой теоремы, введем следующее понятие. Элементы х, у е G назовем эквивалентными по двойному модулю (Ai} U), если у = ciiXU, di e Аь и е U. Так как At и £/--подгруппы, то мы получаем разбиение группы G на непересекающиеся классы вида AixU, которое назовем разложением (Aiy U). Заметим, что если D — класс из разложения (Aiy ί/), то D вместе со всяким своим элементом χ содержит и весь левый смежный класс xU, т. е. состоит из нескольких левых классов по U. Развернутая формулировка теоремы о подгруппах такова: Если имеет место (5) и U d G, то во всех классах D каждого из разложений (Лг·, U), i e /, можно так выбрать по одному представителю s = s{iy D), что и= П* (i/n«-M,s)*F, (6) /<ξξ/, Ье(Л., U) где F — свободная подгруппа. Выбор представителей возможен при этом такой, что для всех i (= I единица будет представителем своего класса AiU, т. е. все пересечения U Π Аь 1 ^ А отличные от Е, входят свободными множителями в разложение (б). 5. Доказательство этой теоремы, приводимое ниже, принадлежит Маклейну [Mathematika 5 (1958), 13—19]. Лемма 1. Существуют такие, зависящие от i e /, выборы систем представителей rt (С) во всех левых смежных классах С по подгруппе U, что выполняются следующие требования: 1)Μ(/)=1; 2) если а( е Аь то г ι {afi) = a-Ji (С), где а\ е А(; 3) если ti (С) = atsy где at e A{ (at может при этом равняться единице), a s ф\ и первый индекс j элемента s отличен от i, то ri(sU) = rj(sU) = s. Будем вести выбор представителей ri (С) индукцией по минимальной длине X(AiC) элементов того класса А{С
170 УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. III разложения по двойному модулю (Лг-, U), в состав которого входит С. Будем считать при этом, что выполняется также следующее требование 4) λ(Γ£(0)<1+λ(ΛΑ Если λ(Afi) = 0, т. е. Afi = Α··\·υ = AtU, то в С имеются элементы из At и в качестве rt (С) берем любой из этих элементов, полагая лишь Г/ (С/) = 1 · Требования 1), 2) и 4) проверяются без затруднений, а требование 3) в рассматриваемом случае бессодержательно. Пусть теперь класс D разложения (Л/, U) таков, что λ(D) = п^\. Если g^ D и λ(g) = л, то D = AigU, a первый индекс j элемента g отличен от iy так как иначе в классе D нашелся бы элемент, длина которого меньше п. Так как X(AjgU) <Zn, то по индуктивному предположению, уже выбран представитель rj(gU) = s, причем, по 4), λ(s)^п. Так как D — AiSU, то n = K(D)^K(s) и, следовательно, λ(5) = η, а поэтому первый индекс k элемента 5 отличен от /, причем, по индуктивному предположению (условие 3)), rk (sU) = 5. Выбираем теперь представителей г((С) для всех С, входящих в состав D. Именно, если С — s'U, то полагаем rt-(C) = s; для всякого другого C^Db качестве г ι {С) берем один из содержащихся в С элементов a^s, at e Лг. Ясно, что требования 2), 3) и 4) выполняются, а требование 1) к случаю /ί^Ι не имеет отношения. Лемма доказана. Одновременно мы получили, что в каждом классе D е {Аь U) среди представителей Ti(C) для всех левых классов С, входящих в Д имеется ровно один такой представитель 5, который или равен 1, или же его первый индекс отличен от /. Именно этот представитель выбирается в качестве 5 (/, D). Еще раз отметим, что для всякого класса С, входящего в Д представитель rt· (С) отличается от 5 (/, D) левым множителем, принадлежащим к Л/. 6. Лемма 2. Подгруппа U порождается всеми элементами rjx (С) г j (С), где /,/g/, а С пробегает левые смежные классы по U, и всеми пересечениями U П(5~1Л1-5), где s = s(u D), £е=(Л„ i/)> /e/. Заметим сперва, что представители о (С) и Гу(С) оба принадлежат к С, т. е. отличаются друг от друга правым множителем из Д а поэтому /71 (C)rj(C) e £/.
§8] СВОБОДНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ГРУПП 171 Возьмем теперь произвольный элемент g^G, его произвольную (не обязательно несократимую) запись вида g= ага2 ... ап> akt= Aik, k = 1, 2, ..., л, (7) и любой левый класс С по U. Тогда легкая проверка, которую целесообразно вести снизу вверх, показывает справедливость следующего равенства, в правой части которого стоит произведение элементов, взятых в квадратные скобки: г и1 (gQ · g - rin (С) = rJl (gC) · ага2 ... αη· rifi (С) = = [r7ll(gC)-a1.rit(a2 ... апС)]- * KU (an-ianQ · rinl (ая_!аяС)] · • K^KQ · г£я (аяС)] · [П1я (апС) · а, · rifi (С)]. В каждой строчке первый множитель имеет вид гГ(С')Г/(С). Рассмотрим любой из вторых множителей, х = П* (akak+1 ... апС) · ak · rift (ak+1 ... anQ, k=l, 2, ..., л, и покажем, что он содержится в пересечении U Π s'^-Ai.s, где 5 = 5 (/fe, D), D е (Л/^, ί/) и С ^ Д причем С — ak+i · · · αηΡ· Действительно, так как Пк (akC) = %$> Г/Л (С) = a\ks9 где α/Λ, α}Λ е Ау то х = 5~1 ^ajlakat )s e 5-1Л/^5. С другой стороны, если C = cU, то /'/Л(алаЛ + 1...аяС) = аЛаЛ+1 ... α^^, ^Εί/, rtk(ak + 1...anC) = afc+1 ... апси2, u2t=U, а поэтому х = щ1и2 е ί/. Заметим теперь, что если C=U и g&U, то Г/х(*С) = Г/я(С)=1,
172 УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. III и поэтому полученное выше основное равенство превращается в выражение для g, доказывающее нашу лемму. 7. Введем в рассмотрение символы [С, /, у] для любых /, /Е / и любых левых классов С по. U. Обозначим через F группу, которая имеет множество всех этих символов своей системой образующих и задается в этих образующих системой определяющих соотношений (см. HI.7.13), состоящей из всевозможных равенств следующих типов: (а) [С, U j][C,j, A] = [C, /, k\ (б) [ί/, /,/] = 1, (в) [sU9 U /]=!> если s = s (/, D), а у —первый индекс элемента s. Лемма 3. Группа F является свободной группой. В самом деле, из (а) следует равенство [С, l,j] = [C, I, k].[C, j, k}-\ а поэтому в системе образующих можно оставить лишь символы [С, /, k] с фиксированным вторым индексом k. Определяющими соотношениями в этих образующих являются равенства следующих типов: (а') [С, А, *] = 1, (б') [ί/, /, *] = 1, (в') [sU, U k] = [sU, у, k\ где s = s(l, D), а у·—первый индекс элемента s. Выбрасывая, наконец, все образующие, равные 1, и оставляя в каждом классе равных между собою образующих лишь по одному представителю, мы получим для F систему образующих, не связанных никакими нетривиальными соотношениями, т. е. систему свободных образующих. 8. Сопоставим каждой группе U f| s""Mjs, где s = s(i,D), D e {Ab U), / е /, изоморфную ей группу #/,£> и фиксируем определенный изоморфизм oiiD: B{tD ->(£/Os^Ais). С другой стороны, сопоставим каждому элементу [С, /, у] группы F элемент г~{ (С) г .(С) подгруппы ί/. Так как после такой замены равенства (а), (б) и (в) не нарушаются (см. 1) и 3) из леммы 1), то этим определяется гомоморфизм о ρ группы F в группу U. Возьмем теперь, в соответствии с ΙΙΙ.8.3, группу В= П* BifD*F. (8) /ε/, De=(i4/f U)
§8] СВОБОДНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ГРУПП 173 Набор всех гомоморфизмов Oit d и ст/г индуцирует, по III.8.2, однозначно определенный гомоморфизм σ группы В в группу U, даже, по лемме 2, на U. 9. Вернемся к рассмотрению основной формулы из III.8.6, дающей выражение для элемента r~{ (gC)-g-r. (С). Если в правой части этой формулы всякий множитель вида г~{ (С)г.(С) заменим соответствующим элементом [С, /, у] из F, а всякий множитель из подгруппы вида Ufts^AjS — соответствующим ему при изоморфизме G~{D элементом из Bit d> то получим вполне определенный элемент группы В, который обозначим через m{g, С). Лемма 4. Элемент т (g, С) не зависит от выбора записи (7) для элемента g и обладает следующими свойствами: т (gh, C) = m (g, hC) · [AC, U J] · m (/г, С), (9) где I —последний индекс элемента g> j —первый индекс элемента /г; т{\, С)=1, (10) m(g-\C) = m-i{gig-K). (11) Все эти утверждения без труда вытекают из определения элемента т (g, С). Нужно лишь учесть, что элемент g обладает единственной несократимой записью относительно свободного разложения (5) и что от одной записи вида (7) для элемента g можно перейти к любой другой такой записи конечным числом следующих преобразований и преобразований, к ним обратных: если ik — ik+l и akak+1 = a' e Aik, то в (7) отрезок akakJvl заменяется элементом а' при а'^1 и выбрасывается при а' = 1. Равенство (9) при C = U и g, h^U показывает, ввиду (б) из III.8.7, что отображение τ, сопоставляющее каждому элементу g^U элемент m(g, U)^B, будет гомоморфизмом U в В. Лемма 5. Произведение τσ является тождественным отображением группы U на себя. Действительно, из определения гомоморфизма σ и элемента т (g, С) следует, что m(g,C)o = ri-4gC).g.rin(C), (12)
174 УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. III а поэтому для g^U, ввиду 1) из леммы 1, g(TO) = m(g, U)o=g. 10. Лемма 6. Если r = ri(C), то т{г, ί/)=1. Доказательство ведем индукцией по λ (г), так как для г = 1 утверждение леммы следует из (10). Пусть г — ag, где а е Ар λ (#) = λ (г)-— 1 и поэтому или g=l, или же первый индекс k элемента g отличен от у. Если ]φί, то, по 3) из леммы 1, г;-(С) = г, а поэтому, снова по 3) из леммы 1, будет rj[(gU) — g. Отсюда по индуктивному предположению m{g,U)=\. (13) Пусть gφ\. Тогда, по (9), т (г, U) = m (ag U) = m (a, gU) ■ [gU, j, k] ■ m (g, U). Однако, из jфк следует (см. последний абзац в Ш.8.5), что g=s(j, D), где D — AjgU, а поэтому, по (в) из Ш.8.7, [gU,j,k)=l. Отсюда и из (13) следует, что т (г, U) = т (a, gU). Это равенство справедливо, очевидно, и при g=l. Так как, наконец, а е Ар то, по определению элемента т (g, С), т (г, U) = m (a, gU) = [rjl (rU) -a-r, (gU)] o-J, = 11. Л е μ μ a 7. Произведение στ является тождественным отображением группы В на себя. Достаточно, ввиду (8), найти образы при στ для элементов вида [С, /, у] и для элементов из подгрупп Bit D. Если Ъ = [С, /, у], то й(ат) = (йа/7)т = [гГ1(С)г/(С)]т. Положим n(C) — r, rj(C) = r0 и обозначим первые индексы этих элементов соответственно через k и k0. Тогда, ввиду Ггг0 е U и (9), 6 (στ) = (г-1^) t = т (Ггг0, U) = = т(Г1, r0U)[r0U, k, k0]m(r0, U).
§ 8] СВОБОДНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ГРУПП 175 Но, по лемме б и (11), т{Г\ roU) = m-x{r, rVouO-z/r1^, ί/)=1 и поэтому, так чкак r0U = C, 6(στ) = [£ А, А0]. Если & = /, k0—j, то £(στ) = £. Если k0=fij, то, так как г0 = г;· (С), то r0 — s (у, D) для соответствующего D. Поэтому, по (в) из III.8.7, [r0U, j, k0] = \, а тогда, по (а) из Ш.8.7, Ь (στ) = [С, k, k0] = [С, А, у] [С, у, А0] = [С, А, у]. Если, наконец, и k Φ ί, то аналогичные рассмотрения позволяют заменить k через /, т. е. снова b (στ) = b. Пусть теперь Ь е Bit D. Тогда bo = &σ,·, d = 5_1α5, (14) где α g Л,·, s — s(i, D). В то же время bo&U, а поэтому asU = sU. (15) Отсюда, ввиду (9), если через у обозначим первый индекс элемента s, у =^= /, £ (στ) = (s'^-as) τ = //ζ (s^as, £/) = = //ζ (s_1, αίί/) · [asi/, у, /] · πι (α, s£/) · [sU9 U j] · /w (s, U). Но, по лемме 6 и (11) Л|(5, [/)=1, m (s~\ asU) = m"1 (s, s^asU) = tn"1 (s, U) = 1. С другой стороны, по (в), (а) и (а') из Ш.8.7 и (15), [si/, /,7] = 1, [as£/, у, /] = [sU, у, Z] = [sU, U JV = 1. Мы получаем, ввиду (14) и (15), что Ь(от) = т(а, sU) = [г-1 (asU)-a· г,. (si/)jo7~b = = (s"1as)a^1D = ft, что и требовалось доказать.
176 УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. Ш 12. Из лемм 5 и 7 вытекает, что каждое из отображений σ и τ является изоморфизмом между U и В. Этим, ввиду (8), определения σ и леммы 3, доказано основное утверждение теоремы о подгруппах. Ее второе утверждение доказано при выборе представителей s(i, D) в Ш.8.5. Так как всякая подгруппа, сопряженная внутри некоторой группы с подгруппой бесконечной циклической группы, сама является бесконечной циклической группой, а свободное произведение свободных групп само будет свободной группой, то из доказанной теоремы вытекает Теорема Нильсена — Шрейера. Всякая подгруппа свободной группы, отличная от единичной подгруппы, сама свободна. 13. Отметим следующее очевидное свойство свободных произведений: Если 0 = ΤΓΛι (16) ί€Ξ/ и Ai= Y[*Aip /<=/, то o= Π* Ач- (17) Свободное разложение (17) называется продолжением свободного разложения (16). Два свободных разложения группы G, σ=Π*Α<*/7ι = Π*β/*/7«' /е/ /gJ называются изоморфными, если Fx и F2 являются изоморфными свободными группами, а между свободными множителями At и Bj можно установить такое взаимно однозначное соответствие, что соответствующие множители сопряжены в группе G. Справедлива следующая теорема [А. Г. Курош, Math. Ann. 109 (1934), 647-660; Бэр и Лев и, Сотр. Math. 3 (1936), 391 —398]: Два любых свободных разложения произвольной группы обладают изоморфными продолжениями.
§ 8] СВОБОДНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ГРУПП 177 В самом деле, если о=ГГл.=П*в/> о8) ie=/ /gJ то, применяя теорему о подгруппах, получаем BJ = Π* (β/ П s-M,s) χ /> 5 = 5 (Ζ, D), у е J; ie/, /)Е(Л;, Ву·) Л,= Π* (Л^П^Я/)*^ t = sU,D'), Ze=/. /GJ, D'(=(Bj, Α ή Этим определяются продолжения свободных разложений (18), и мы хотим доказать их изоморфность. Фиксируем пару индексов i^IJ^J и заметим, что если D е (Лг-, fly), то совокупность D"1 элементов, обратных ко всем элементам из Д будет классом разложения (fly, Лг), причем этим путем между классами указанных двух разложений устанавливается взаимно однозначное соответствие. Докажем сопряженность в G подгрупп fly f| s~Mt-s и Л( f| t~xBjt, где s = s(/, D), t = s(j, D'1). Так как D"1 = AyM; = (AiSBj)'1 = fly5"M;, TO tf = bjs^di, bj e fly, at· e Д-. Поэтому = Л. П a-lsB.s-la. = a-ls(s~] A.s (] B.)s-la{. Для окончания доказательства остается отметить, что нормальный делитель, порожденный в группе некоторой системой подгрупп, не меняется, если каждая из этих подгрупп заменяется подгруппой, с нею сопряженной, а затем воспользоваться следующим свойством свободного произведения: Если 0 = А -х В и А порождает в О нормальный делитель А, то В изоморфно фактор-группе G/A. В самом деле, нормальный делитель А состоит из тех и только тех элементов из G, для которых произведение элементов из А, входящих в их несократимую запись (с сохранением их взаимного порядка) равно 1. Отсюда следует, что всякий смежный класс О по А содержит ровно один элемент из В.
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ СТРУКТУРЫ § 1. Структуры, полные структуры 1. Параллелизм между теорией групп и теорией колец привел к введению в алгебру, наряду с понятием Ω-группы, и некоторых других понятий. Одно из них, а именно понятие структуры, подсказано тем, что и множества всех подгрупп или всех нормальных делителей некоторой группы, и множества всех подколец или всех идеалов (двусторонних, левых или правых) некоторого кольца частично упорядочены по теорегико-множественному включению, причем эта частичная упорядоченность обладает некоторыми дополнительными свойствами. Частично упорядоченное множество 5 называется структурой, если оно удовлетворяет следующим двум условиям: \v Для всякой пары элементов a, ^gSb 5 существует такой элемент с = а (] Ь> пересечение элементов а и Ь, что с ^ а, с^Ь, причем если некоторый элемент с' также обладает свойствами с' ^ а, с' ^ Ьу то с' ^ с. 12. Для всякой пары элементов a, b ^ S в S существует такой элемент d = a\Jb, объединение элементов a u b, что d^za, d^zb, причем если некоторый элемент d' также обладает свойствами d'^a, d'^zb, то d'^d. Ясно, что и пересечение а(]Ь, и объединение а[]Ь элементов а и b определены однозначно. Ясно также, что частично упорядоченное множество, инверсно изоморфное структуре
§ Π СТРУКТУРЫ, ПОЛНЫЕ СТРУКТУРЫ 179 (см. I.4.6.), само будет структурой, причем понятия пересечения и объединения двойственны друг другу (см. 1.5.5). Мы видим, что можно говорить о структуре подгрупп и структуре нормальных делителей некоторой группы G, а также о структуре подколец, структуре идеалов, структуре левых (правых) идеалов некоторого кольца R. Во всех этих случаях пересечением подгрупп (или подколец) А и В является их теоретико-множественное пересечение А(]В} г роль объединения играет подгруппа (подкольцо) {Л, В), порожденная этими подгруппами (подкольцами). Можно говорить, вообще, о структуре подалгебр данной универсальной алгебры, а также о структуре Ω-подгрупп и о структуре идеалов данной Ω-группы. Укажем некоторые другие примеры структур. Так, все подмножества множества Μ составляют структуру по теоре- тикс-множественному включению, причем пересечение и объединение имеют теоретико-множественный смысл; эта структура подмножеств Μ будет в дальнейшем использоваться. Всякое линейно упорядоченное множество L является структурой, причем если а, Ь е L и a^ib, то а(]Ь = а, а\]Ь — Ь. Множество натуральных чисел будет структурой, если в качестве отношения порядка принять отношение делимости. Роль пересечения играет здесь наибольший общий делитель, а объединением будет наименьшее общее кратное. 2. Структуры могут рассматриваться как частный случай универсальных алгебр. Именно, понятие структуры может быть определено без использования частичной упорядоченности, а лишь при помощи свойств бинарных операций пересечения и объединения: Множество S с двумя бинарными операциями а[\Ъ и а\]Ъ тогда и только тогда будет структурой, если эти операции удовлетворяют следующим тождественным соотношениям: Пг a(]a = af a\j a = a; II2. a(]b = b(]a} a\]b = b\]a\ И3. (а[\Ь)[\с = а[\(Ь[\с\ {а \] Ь)\) с = a{j(b{J с); П4. а[\(а[]Ь) = а, a\J(a(]b) = a. Предположим сперва, что дана структура 5, т. е. что операции а (] b и а [] b определены условиями 1х и 12. Тогда
180 УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ TV выполнение свойств 11х и 112 очевидно. Проверим свойство Н3, например для пересечения. Так как, по Ιχ, (а П b) Π с < а П Ъ < α, (α Π £) Π с < α Π й.< й, (аП*)П'<*> το, снова по Ii, (аП*)П'<»П*> (аП»)П'<*П(*П'> Аналогично аП(»П*)<(*П*)П*> а поэтому имеет место Н3. С другой стороны, ясно, ввиду \ь что α Π (л U *)< л; однако а^а и, по Ι2, α ^ α (J b, а поэтому, по If, а < α Π (« U b). Отсюда следует справедливость П4. Пусть теперь дано множество 5 с двумя бинарными операциями, обладающими сво ствами 11х—Н4. Если a, b s 5, то равенства a(}b = a, a\]b = b (1) одновременно выполняются или не выполняются. Действительно, если af)b = а, то, по П4 и И2, a[]b = (a[]b)[]b = b; если же а [} b = b, то, по П4, а П Ъ = а П (а [) Ь) = а. Если равенства (1) для элементов а и b имеют место, то положим а^Ь. Этим в множество 5 введена частичная упорядоченность. Действительно, а^а ввиду \1Ь Далее, если а^Ь и Ь^с, т. е. a(]b = a, b(]c = b, то, в силу Н3, a(]c = (a(]b)(]c = a(](b[\c)==a(]b = a> т. е. а ^ с. Наконец, если а ^ b и b =<: а, т. е. α f| £ = а, b(]a = b, то, ввиду И2, а = £. Покажем, что выполняется условие \ь Из (a f| b) f| а = = аП(аП^)==(аПа)П^ = аП^ следует α f| £ ^ а. Анало-
§ H СТРУКТУРЫ. ПОЛНЫЕ СТРУКТУРЫ 181 гично а П b ϊ^ b. Если же в 5 взят произвольный элемент с', удовлетворяющий условиям с' ^ а, с ^ Ь, т. е. с' (]а~ с', с' (]Ь = с'у то c'(]{a(]b) = (c'(]a)(]b = c'(]b = c'> откуда с' ^ а [\ Ь. Элемент а (] b является, следовательно, пересечением элементов а и b в смысле условия \±. Аналогичным образом доказывается, что элемент а [} b будет объединением элементов а и b в смысле условия 12. 3. Полученное нами второе определение понятия структуры показывает, что структуры составляют примитивный класс универсальных алгебр с двумя бинарными операциями (см. III.б.З). Это определение по существу должно считаться основным, как следует из приводимых ниже определений подструктуры и изоморфного вложения структур. Именно, подмножество Τ структуры 6* называется подструктурой этой структуры, если оно является подалгеброй структуры S, рассматриваемой как универсальная алгебра в смысле определения IV. 1.2. Иными словами, Τ вместе со всякими своими элементами а и b содержит их пересечение а П Ь и их объединение а [} Ь, понимаемые в смысле операций в структуре S, т. е. Τ само является структурой относительно операций, определенных в 6*. Следует учесть, что подмножество Τ структуры 6* может оказаться структурой по той частичной упорядоченности, которая индуцируется в Τ частичной упорядоченностью, заданной в S, не являясь подструктурой в смысле данного выше определения. Так, хотя в структуре подгрупп группы G упорядоченность теоретико-множественная, однако эта структура не будет подструктурой в структуре всех подмножеств множества G, так как объединения в этих двух структурах имеют разный смысл. Аналогично структура подколец кольца R не будет подструктурой структуры подгрупп аддитивной группы этого кольца. Структура нормальных делителей группы Q является подструктурой структуры всех подгрупп этой группы, как показано в П.7.5. Вообще, из сказанного в III.2.4 следует, что структура идеалов Ω-группы Q будет подструктурой как в структуре всех Ω-подгрупп этой Ω-группы, так и в структуре подгрупп ее аддитивной группы.
182 СТРУКТУРЫ [ГЛ. IV 4. Взаимно однозначное отображение φ структуры 6* в структуру S' называется изоморфным отображением или изоморфным вложением S в S', если для любых a, b ^ S (а П b) φ = αφ Π by, (α [} b) φ = αφ U by. Иными словами, это будет изоморфизм структур, рассматриваемых как универсальные алгебры (см. III. 1.5). Изоморфное вложение φ структуры S в структуру S' является изоморфным вложением S в S' в смысле изоморфизма частично упорядоченных множеств (см. 1.4.4). Действительно, пусть a, b ^ S. Если а^Ь} т. е. а (]Ь = а, то (а П b) φ = αφ f| by = αφ, откуда αφ^/?φ. Проводя эти рассуждения в обратном порядке и используя взаимную однозначность отображения φ, мы получим, что из αφ^έφ следует а^Ь. Примеры, приведенные выше, показывают, что обратное утверждение не имеет места: если даны частично упорядоченные множества 5 и S' и φ — изоморфное отображение 6* в 6", то в том случае, когда 5 и S' являются структурами, φ не обязано быть изоморфным отображением структуры 6* в структуру S'. Положение будет, впрочем, иным, если рассматриваются изоморфные отображения 5* на S': Если даны структуры S и S', то всякое изоморфное отображение S на S', понимаемое в смысле частичной упорядоченности, будет изоморфным отображением структуры S на структуру S'. Действительно, если a, b е S, то из а(]Ь^а следует (а П Ь) φ ^ αφ; аналогично (a f| b) φ ^ /?φ. Если же элемент c'g<? таков, что с' ^ αφ и с' =^£φ, и если с —тот элемент из S, для которого сер = с', то с ^ α и с ^ Ь, т. е. с ^ а (] Ь, откуда сц> ^ (a f| £) φ. Этим доказано, что {а П b) φ = αφ f| £φ. Так же проводится доказательство и для объединения. Заметим, что на структуры можно перенести также понятие гомоморфизма и вообще все, что относится к произвольным примитивным классам универсальных алгебр; в частности, в соответствии с III.7.2, имеет смысл понятие свободной структуры с данным множеством X свободных образующих.
§ H СТРУКТУРЫ. ПОЛНЫЕ СТРУКТУРЫ 183 5. Как следует из 1.2.1, бинарные отношения на множестве Μ составляют структуру, совпадающую со структурой всех подмножеств множества ΜχΜ. Отношения эквивалентности на множестве Μ также составляют структуру, как доказано в 1.3.3. >Эта структура отношений эквивалентности не является, однако, подструктурой структуры бинарных отношений. * Всякая структура изоморфно вкладывается в структуру отношений эквивалентности, определенных в некотором множестве [У и τ м э н, Bull. Amer. Math. Soc. 62 (1946), 507—522]. Структура отношений эквивалентности, определенных в произвольно заданном множестве, изоморфно вкладывается в структуру подгрупп некоторой группы [Б и ρ к г о ф, Ргос. Cambr. Philos. Soc. 31 (1935), 433—454]. Таким образом, всякая структура изоморфно вкладывается в структуру подгрупп некоторой группы. # 6. Многие из структур, отмечавшихся выше — структура подмножеств множества Ж, структура подгрупп группы О, структура подколец кольца R (и, вообще, структура Ω-подгрупп Ω-группы G), структура отношений эквивалентности на множестве Ж, — обладают тем свойством, что пересечения и объединения определены в них не только для двух и поэтому, в силу ассоциативности, для любого конечного числа элементов, но и для любых бесконечных подмножеств. Иными словами, эти структуры являются полными структурами в смысле следующего определения: Частично упорядоченное множество 6* называется полной структурой, если для любого непустого подмножества А с= 6* в 5 существуют элементы с и d со следующими свойствами: \\. Для всех flG.4 выполняется неравенство с^а, причем если некоторый элемент с' также удовлетворяет условию с' ^ а для всех аеД то с' ^ с. 12. Для всех α εξ А выполняется неравенство d^za, причем если некоторый элемент d' также удовлетворяет условию d' ^а для всех йеД то d' ^= d. Однозначно определенные элементы с и d называются соответственно пересечением и объединением элементов подмножества А. Записываться они будут следующим образом: с= Π α, tf= Μ α а^А βεА
184 СТРУКТУРЫ ггл. rv или, если элементы из А обозначены через αα, где индекс а пробегает некоторое множество Ж, с = Ι] αα, d = JJ аа. αε Λί аеЕ Λί Ясно, что полная структура является и просто структурой. 7. Пересечение всех элементов полной структуры 5 называется нулем этой структуры и будет обозначаться символом 0. Этот элемент однозначно определяется любым из следующих трех условий: для всех flGS 1) 0<α; 2) 0Πα = 0; 3) 0{)а = а. Объединение всех элементов полной структуры называется единичным элементом этой структуры и будет обозначаться символом 1. Этот элемент однозначно определяется любым из следующих трех условий: для всех ае5 Г) 13* а; 2') \\]а=\\ 3') \(]а = а. Нулем и единичным элементом (или одним из них) могут обладать, понятно, и структуры, не являющиеся полными. Роль нуля и единичного элемента в структуре подгрупп группы О играют соответственно единичная подгруппа и сама группа G, в структуре подколец кольца R — нуль-подкольцо и само кольцо R, в структуре подмножеств множества Μ — пустое подмножество и само множество М. В структуре натуральных чисел, упорядоченных по делимости, а также в цепи натуральных чисел с их естественной упорядоченностью, нулем служит число 1, а единичный элемент отсутствует. 8. Частично упорядоченное множество S тогда и только тогда будет полной структурой, если оно обладает единичным элементом и если в нем существует пересечение элементов для каждого непустого подмножества. В доказательстве нуждается лишь утверждение, что если в 6* существуют единичный элемент и все пересечения, то существуют и объединения. Пусть А — непустое подмножество из 5. В 6* существуют такие элементы Ъ, что' Ъ ^ а для всех а^А; таким элементом во всяком случае является 1. Пусть
§ Π СТРУКТУРЫ ПОЛНЫЕ СТРУКТУРЫ 185 В будет непустое множество всех этих элементов 6, a d— их пересечение, ί)£β Докажем, что d является объединением Элементов подмножества Л. В самом деле, если аеД то а^Ь для всех b е В, а поэтому а^d. С другой стороны, если элемент sgS таков, что s^a для всех аеА то s Ε Д а поэтому d^s. Таким образом, d= (J α. Так как свойство частично упорядоченного множества быть полной структурой (как и свойство быть структурой) сохраняется при инверсном изоморфизме (см. 1.4.6), то в доказанной сейчас теореме можно было бы требовать существование нуля и объединений для всех непустых подмножеств. # Назовем отображение φ частично упорядоченного множества Μ в частично упорядоченное множество N монотонным, если для а, Ь е Μ из а^Ь всегда следует αφ^Ьц>. Структура 5 тогда и только тогда будет полной структурой, если для любого монотонного отображения φ структуры 6* в себя существуют неподвижные элементы, т. е. такие элементы а, что αφ = α [Τ а р с к и й, Pacif. J. Math. б (1955), 285-309; Д э й в и с, Pacif. J. Math, б (1955), 311-319]. χ 9. В 1.4.5 было доказано, что всякое частично упорядоченное множество Μ изоморфно вкладывается в полную структуру Μ всех своих подмножеств. Сейчас мы хотим доказать следующую теорему: Всякая структура может быть изоморфно вложена (в смысле изоморфизма структур, см. IV. 1.4) в полную структуру. Эта теорема вытекает, впрочем, из следующего утверждения, усиливающего теорему 1.4.5: Всякое частично упорядоченное множество Μ изоморфно вкладывается в некоторую полную структуру S, причем так, что для всякого подмножества А^М, для
186 СТРУКТУРЫ [ГЛ. IV которого в Ж существуют пересечение или объединение, они сохраняются при этом вложении φ, т. е. [ Π α)φ== Π αφ> f U α)φ= Uaqx (2) Ясно, что вложение Ж в Ж, построенное в 1.4.5, не удовлетворяет поставленным требованиям. Мы поступим следующим образом. Будем считать, прежде всего, что множество Ж обладает нулем 0, так как иначе его можно было бы присоединить к Ж. Непустое подмножество X с= Ж назовем идеалом в Ж, если: 1) X вместе со всяким своим элементом χ содержит и все такие элементы j/g^, что у ^ х; 2) для всякого X' с= X, для которого в Ж существует объединение, это объединение содержится в X. Множество 6* всех идеалов множества Ж частично упорядочено по теоретико-множественному включению. Так как 5 обладает единичным элементом — Ж будет, очевидно, идеалом в самом себе — и так как теоретико-множественное пересечение любого множества идеалов содержит нуль и удовлетворяет всем требованиям, входящим в определение идеала, то множество 5 будет, по IV. 1.8, полной структурой. Для любого элемента а е Ж множество (а) всех таких элементов b e Ж, что Ь^а> будет идеалом; это главный идеал, порожденный элементом а. Ставя в соответствие всякому а е Ж порожденный им главный идеал (а), мы получим, как и в 1.4.5, изоморфное вложение φ частично упорядоченного множества Ж в полную структуру 5. Предположим теперь, что для подмножества Л ^ Ж в Ж существует пересечение Тогда с ^ α и поэтому (с) с= (а) для всех а е А. Если же теоретико-множественное пересечение всех главных идеалов (а), абД содержит элемент х, то χ^а для всех αε^ и поэтому х^,с. Таким образом, (0= Π (а), а^А что доказывает первое из равенств (2).
§ 2] ДЕДЕКИНДОВЫ СТРУКТУРЫ 187 Наконец, пусть для подмножества А с= Μ в Μ существует объединение . , d = (J а. OG A Тогда (d) 3 (α) для всех αεΑ Если же некоторый идеал X содержит все йеД то, по определению идеала, он содержит и их объединение rf, а поэтому (d) c= X Таким образом, («о= |J(a)· Этим доказано и второе из равенств (2), т. е. закончено доказательство теоремы. Читатель без труда проверит, что конструкция, использованная в этом доказательстве, в применении к упорядоченному множеству рациональных чисел по существу дает обычное пополнение системы рациональных чисел дедекин- довыми сечениями. 10, Частично упорядоченное множество S тогда и только тогда будет полной структурой, если S обладает нулем и если в S всякий идеал является главным. Действительно, если S— полная структура, то для любого идеала X существует объединение а всех его элементов, причем, в силу определения идеала, а е X, а поэтому Х — (а). Обратно, пусть в частично упорядоченном множестве 5 существует нуль и всякий идеал является главным. Главным идеалом будет, в частности, и само S, а поэтому в 5 существует единичный элемент. Если же Л — непустое подмножество из S, то совокупность X всех таких элементов χ е S, что χ ^ а для всех аеД содержит 0 и является идеалом. Этот идеал должен быть главным, Х = (Ь)9 и элемент Ъ будет пересечением подмножества А Ввиду IV. 1.8 6* оказалось полной структурой. Таким образом, применение к полным структурам конструкции, изложенной в предшествующем пункте, не может дать ничего нового. § 2. Дедекиндовы структуры 1. Среди аксиом \\х — Н4, определяющих структуру (см. IV. 1.2), лишь аксиома И4 связывает операции пересечения и объединения. Эта связь очень слаба. Некоторые структуры, например структура всех подмножеств некоторого множества,
188 СТРУКТУРЫ ГГЛ. IV дополнительно удовлетворяют условию дистрибутивности а(\(Ь[)с) = (а(]Ь)[)(а(]с) (1) (см. 1.1.1). Структуры, удовлетворяющие этому условию для любых a, b и с, называются дистрибутивными и будут изучаться в § б настоящей главы. Однако структуры нормальных делителей групп и тем более структуры всех подгрупп, как правило, не являются дистрибутивными. Желание выделить но возможности узкий класс структур, к которому принадлежали бы структуры нормальных делителей произвольных групп (хотя и не обязательно структуры всех подгрупп), приводит к следующему определению: Структура 6* называется дедекиндовой (или модулярной), если для любых а, Ь, с е S, удовлетворяющих условию а^Ь, выполняется равенство a(](b[]c) = b[](a(]c). (2) Всякая дистрибутивная структура является дедекиндовой, так как из а^Ь вытекает a(]b = b и поэтому при условии а^Ь из (1) следует (2). Всякая подструктура Τ дедекиндовой структуры S (см. IV. 1.3) сама дедекиндова, так как равенство (2) должно выполняться, в частности, для элементов а, Ь, с е Т, удовлетворяющих условию а^Ь. Свойство дедекиндовости сохраняется, само собою разумеется, при изоморфизме структур. С другой стороны, структура, инверсно изоморфная дедекиндовой структуре, сама дедекиндова, так как, меняя в определении дедекиндовой структуры символ ^ на символ ^ и переставляя символы ή и (J, мы придем к тому же определению с переставленными лишь буквами а и Ь. 2. Структура всех нормальных делителей произвольной группы является дедекиндовой. Действительно, пусть в группе G даны нормальные делители А, В и С, причем Α Ξ2 В. Нужно доказать, учитывая (1) из Ш.4.1, что А(]ВС = В(А(]С). (3) Так как В ^ А и В ^ ВС, то В содержится в левой части равенства (3). Там же содержится и А П С, так как
§2] ДЕДЕКИНДОВЫ СТРУКТУРЫ 189 С ^ ВС. Отсюда следует включение А П ВС э В (А П С). (4) С другой стороны, любой элемент, содержащийся в нормальном делителе А (\ВС, является элементом йеД допускающим в то же время запись а = be, (5) где Ъ е Д с е С. Отсюда с = £-1а е Л, так как Z? ^ Л, т. е. Поэтому, ввиду (5), всякий элемент левой части равенства (3) содержится в его правой части, что вместе с включением (4) доказывает это равенство. Идеалы произвольной Ω-группы составляют, в силу сказанного в Ш.2.4, подструктуру структуры нормальных делителей аддитивной группы этой Ω-группы, т. е. составляют дедекиндову структуру. Отсюда следует, что структура всех идеалов произвольного кольца будет дедекиндовой. Отметим, что структура всех подгрупп некоммутативной группы, как правило, не является дедекиндовой. 3. Существует много различных определений дедекиндовой структуры, равносильных приведенному выше. Укажем некоторые из них. Структура S тогда и только тозда дедекиндова, если для любых а, Ъ, с gS а№*[\Ь)\]с\ = {а[\ЬШа[\с). (б) Действительно, если структура 6* дедекиндова, то, так как а^а(]Ь, (б) следует из (2). Обратно, если в структуре 5 выполняется условие (б), то для а^Ь из (б) следует (2), так как в этом случае а{\Ъ — Ъ. Мы видим, таким образом, что дедекиндовы структуры составляют примитивный класс универсальных алгебр. 4. Структура S тогда и только тогда дедекиндова, если из того, что элементы а, Ъ, с g5 удовлетворяют условиям a^b, a(]c = b(]c, a{Jc = b{Jc, (7) следует а = Ь.
190 СТРУКТУРЫ [ГЛ. IV Действительно, если структура 5 дедекиндова и элементы a, by с удовлетворяют условиям (7), то a = a[}(a()c) = a[}(b()c) = b()(a[}c) = b()(b[}c) = b. Пусть теперь выполняются посылки обратного утверждения и пусть в 5 даны элементы а, Ь, с, причем а^Ь. Легко проверяется (см. вывод неравенства (4)), что, какова бы ни была структура 5, из а^Ь следует a(](b{]c)^b{j(a(]c). (8) Вместе с тем [a(](b{jc)](]c = a(][(b{jc)(]c] = a(]c9 (9) а так как при а^Ь а^Ь{](а[\ с), то a(]c^[b[j(a(]c)](]c^(a(]c)(]c^a(]cf т. е. [Ь[}(а(]с)](]с = а(]с. (10) Из (9) и (10) следует, что при а^Ь [a(](b[}c)](]c = [b[J(a(]c)](]c. (11) Переходя от равенства (11) к двойственному равенству, т. е. переставляя символы f| и U> a также меняя местами буквы а и Ь, мы получим [а(\(Ь[)с)][)с = [Ь[}(а(\с)][)с, (12) причем неравенство а^Ь сохраняется, так как символ ^ мы также должны заменить на ^. хМы видим, что (8), (11) и (12) имеют вид условий (7), а поэтому, в силу сделанных предположений, при а^Ь имеет место равенство (2), что и требовалось доказать. 5. В теорию дедекиндовых структур можно было бы перенести известные нам из Ш.4.7 свойства инвариантных и главных рядов Ω-групп. Мы не будем этого делать в полном объеме и ограничимся результатами, необходимыми для дальнейшего. Пусть дана дедекиндовая стуктура S, обладающая нулем и единичным элементом. Упорядоченная конечная система
§ 2] ДЕДЕКИНДОВЫ СТРУКТУРЫ 191 элементов, О = а0 < % < а2 <... <ak-1 <αΛ = 1, (13) называется нормальным рядом этой структуры *); число k— длина этого ряда, формальный ряд о = £о<г>1<£2< ... <ftw<ft,= i (Η) называется уплотнением ряда (13), если всякий элемент аь i = 0, 1, ..., /?, равен одному из элементов bp O^j^Ll. 6. Всякие два нормальных ряда дедекиндовой структуры S обладают уплотнениями одинаковой длины. Пусть, в самом деле, в S заданы произвольные нормальные ряды (13) и (14). Положим, в некоторой мере повторяя то, что мы делали в III.4.5, β£/=^υ(α/+ιΓΙ*/)> * = °> Ь ..., А—1, у = 0, 1, ..., /; */* = */U(VinaA 7 = 0, Ь ..., /-1, * = 0, 1, ...,£. Так как αΐο==: α*> αί/== αί+ί и aij^aitJ+b 7 = 0, 1, ..., / — 1,' то элементы αί;· составляют нормальный ряд, быть может с повторениями, являющийся уплотнением ряда (13). Аналогично элементы Ьд составляют уплотнение ряда (14). Эти два новых ряда имеют одну и ту же длину kl, и поэтому остается показать, что они обладают равным числом повторений. Действительно, пусть aij = ai,j+i' (15) Используя последовательно определение элемента ait 7+i, равенство (15), неравенство а^ ^ ai+i, определение элемента atj и, наконец, определение (2) дедекиндовой структуры вместе с неравенством ai+1 (] bj ^ bj+1, мы получим: «и-i Π bj+i = alt J+1П (fl/+i Π bJ+1) = atJ (] (ai+1 ft bJ+1) = = atj П h+1 = [a, U (α/+ι П bj)] П fty+i = (α£ (] bJ+1) [) (ai+i (] bj). !) Такова принятая здесь терминология, хотя было бы последовательнее говорить об инвариантных рядах.
192 СТРУКТУРЫ [ГЛ. IV Этот результат вместе с определением элементов Ь^ и bjt i+i и очевидным неравенством ai+1(]bj^bj приводит к равенствам bji = bj U (Vi П at) = bj U (bJ+1 П at) U (ai+1 (] bj) = = bj U (fli+i Π fy+i) = bjt i+1. Мы доказали, что повторения в построенных нами уплотнениях нормальных рядов (13) и (14) находятся во взаимно однозначном соответствии, т. е. могут быть одновременно удалены. Теорема доказана. 7. Будем называть главным рядом дедекиндовой структуры такой ее нормальный ряд, который не может быть уплотнен без повторений. Как и в III.4.б, из доказанной выше теоремы вытекают следующие результаты: Если дедекиндова структура обладает главными рядами, то все ее главные ряды имеют одинаковую длину. Если дедекиндова структура обладает главными рядами, то всякий ее нормальный ряд может быть уплотнен до главного ряда. Отсюда следует, что всякая подструктура Τ дедекиндовой структуры S, обладающей главными рядами, сама обладает главными рядами. В самом деле, если главные ряды структуры 5 имеют длину k, то длины цепей подструктуры Τ не. могут превосходить k. Если *ο<*ι<··.<*ζ (16) — одна из цепей максимальной длины, содержащихся в Т, то с0 и ct будут соответственно нулем и единичным элементом структуры Т, а (16) —одним из главных рядов этой структуры. 8. Полученные результаты позволяют указать еще одну форму определения дедекиндовой структуры: Структура S тогда и только тогда дедекиндова, если во всякой ее подструктуре, обладающей главными рядами, все главные ряды имеют одинаковую длину. Действительно, если структура 5* дедекиндова, то достаточно сослаться на IV.2.1 и IV.2.7. Если же структура 5 не дедекиндова, то из IV.2.4 следует существование в 5 таких элементов а, Ь, с, что выполняются условия (7), но афЬ. Легко проверяется, что при этих условиях элементы а, Ь, с, а(]с и a[jc составляют подструктуру структуры S, причем
§2] ДЕДЕКИНДОВЫ СТРУКТУРЫ 193 последние два элемента служат соответственно нулем и единичным элементом этой подструктуры. Построенная подструктура обладает, однако, двумя главными рядами различной длины, а именно рядами a(]c<,a<Zb<a[}c, a(]c<ic<Za{J с. 9. Дедекиндова структура S тогда и только тогда обладает главными рядами, если она удовлетворяет условиям обрыва убывающих и возрастающих цепей (см. 1.5.1 и 1.5.5). Действительно, если дедекиндова структура 5* обладает главными рядами длины k, то длины ее нормальных рядов не превосходят L· Однако всякая конечная цепь структуры 6* после добавления, если нужно, нуля и единичного элемента превращается в нормальный ряд этой структуры. Этим доказано, что в 5* не может быть бесконечных цепей. Обратно, пусть в структуре 5* выполняются условия обрыва убывающих и возрастающих цепей, а поэтому и условия, им эквивалентные (см. 1.5.1). Ввиду условия минимальности в 5 существуют минимальные элементы, а так как пересечение двух минимальных элементов должно совпадать с каждым из них, то в действительности в 5 существует лишь один такой элемент; он будет нулем нашей структуры. Аналогично в 6* существует и единичный элемент. Если agS и аф\, то в непустом множестве таких элементов х} что х^> а, существуют минимальные элементы, т. е., как говорят, элементы, покрывающие элемент а. Пользуясь аксиомой выбора, для каждого а, аф\, отметим один из покрывающих его элементов; обозначим его через а\ Цепь О = а0 < ах < а2 <... < ап <..., (17) где ап = ^п-ь п=1, 2, ..., по условию должна обрываться. Существует, следовательно, такое п, что ап=1, т. е. цепь (17) будет главным рядом структуры 5. 10. Если в произвольной структуре 5 взяты элементы α и Ь, причем а^Ьу то совокупность таких элементов лг, что а ^ χ ^ Ъ, будет в 5 подструктурой, имеющей b своим нулем
194 структуры [гл. ιν и а —единичным элементом. Обозначим эту подструктуру через а/Ь. Если в дедекиндовой структуре S взяты произвольные элементы а и Ъ, то подструктуры (а \] Ь)/а и Ц(а β Ь) изоморфны. Действительно, если χ е Ъ\(а (] Ь), т. е. а П Ь < χ < Ь, то положим χφ = χ U а. Ясно, что а <: χφ ^ а [] Ь, т. е. χφ ^ (а [) £)/а. Если бы существовал такой элемент у, a(]b^y^bf отличный от х, что j/φ = χφ, то элемент z = x[]y был бы заведомо отличен хотя бы от одного из элементов х, у, например от первого, т. е. z>x. Однако а П Ъ ^ ζ ^ bf и поэтому, ввиду а [} а = а, ^Ua = xU^Ua==(xUa)U(>Ua) = ^U3;9 = ^9 = ^U^ что противоречит дедекиндовости структуры 5 ввиду 1V.2.4. С другой стороны, если х' е (а U £)/а, т. е. а ^ х' ^ a U £, то, в силу дедекиндовости структуры, а так как то je' = (£ р| χ') φ. Отображение φ оказалось взаимно однозначным отображением подструктуры b/(a(]b) на всю подструктуру (а[]Ь)/а. Докажем изоморфность этого отображения. Если х, у е е £/(α Π £), то из χ ^_у следует χ (J α ^_у (J α, τ. е. χφ ^j/φ. С другой стороны, если χφ ^j/φ, т. е. χ (J α ^^ Uα» τ° (* U J>) U α = (χ U a) U (_V U о) =_У U fl, т. е. (χ Uу) φ =уц>, откуда, ввиду взаимной однозначности
§ 3] ПРЯМЫЕ ОБЪЕДИНЕНИЯ. ТЕОРЕМА ШМИДТА-ОРЭ 195 отображения φ, х[)у=у, т. е. х^у. Теперь остается сослаться на последний результат из IV.1.4. 11. Пусть дедекиндова структура 5 обладает главными рядами. Тогда для любого ueS подструктура а/0 также обладает главными рядами; обозначим длину этих рядов 1(a). Для любых элементов а и b дедекиндовой структуры S, обладающей главными рядами, имеет место равенство l(a\)b) = l(a)+l(b)-l(a[\b). (18) В самом деле, выше доказано, что подструктуры (a [) b)ja и b/(a fl b) изоморфны. Их главные ряды имеют, следовательно, одну и ту же длину. Эта длина для первой подструктуры равна, однако, числу l(a\}b) — /(a), для второй—числу 1(b)- I (a (]Ь). § 3. Прямые объединения. Теорема Шмидта — Орэ 1. В теории групп весьма употребительна одна конструкция, называемая прямым произведением групп или, в случае аддитивной записи групповой операции, их прямой суммой. В теории колец аналогичную роль играет двусторонняя прямая сумма колец. Изучение этих понятий приводит к совершенно параллельным теориям, которые в действительности являются частными проявлениями одной теории, относящейся к дедекиндовым структурам. Именно в этой общности мы и будем вести изложение, а в следующем параграфе дополним его замечаниями, относящимися специально к группам, кольцам или Ω-группам. 2. Пусть дана дедекиндова структура 5, обладающая нулем. Элемент agS называется прямым объединением элементов Ьь Ь2, ..., bk^S и будет записываться в виде a = b1Xb2X...Xbk, (1) если а является объединением этих элементов, a = ftiU»2U...Uft* (2) и если для /= 1, 2, ..., k (ftiU...UViUft/+iU...Uft*)n»/ = o. (3) Если структура 5 полная (см. IV.1.6), то можно определить и бесконечные прямые объединения: элемент а
196 структуры [ГЛ. IV будет прямым объединением элементов bi} где I пробегает некоторое множество индексов /, если «=|> (4) и если для всех i e I »ίΠ»£ = 0, (5) где h= U *'· 3. Приступим к изучению основных свойств прямых объединений в дедекиндовой структуре 5 с нулем. Мы ограничимся при этом случаем конечных прямых объединений. Дедекиндовость структуры S, в самом определении IV.3.2 не игравшая никакой роли, во многих местах будет теперь существенно использована. β определении IV.3.2 условие (3) может быть заменено следующим условием, ему равносильным: (*iU..-UVi)nfti = o, * = 2, з, ..., к. (6) Ясно, что (6) следует из (3). Для доказательства того, что из (6) следует (3), мы будем индукцией по / доказывать, что пересечение каждого из / элементов Ьь Ь2, ..., Ьь 2 ^ t^l^k, с объединением остальных /—1 элементов этой системы равно нулю. Действительно, для 1=2 это утверждение следует из (6) при / = 2. Пусть наше утверждение уже доказано для /—1. Из (6) следует равенство (*ιυ...υ»/-ι)η»/ = ο. (7) Если же ]<Z.U то применение неравенства ft,<iiU...U»/-i, дедекиндовости структуры S, равенства (7) и индуктивного предположения дает (6iU...U*/-iUViU...U&i)ilft/ = = [(*iU...U^.UViU...UVi)Ufti]n(*iU...UVi)flfty = = (^U...UViU^+iU...UVi) η^· = ο. Наше утверждение доказано, следовательно, для всех /, в том числе и для l = k, что и приводит к условию (3).
§ 3] ПРЯМЫЕ ОБЪЕДИНЕНИЯ. ТЕОРЕМА ШМИДТА *= ОРЭ 197 4. Пользуясь условием (б), читатель немедленно докажет следующие свойства прямого объединения: Если a = b1xb2x...x bk и Ьг [} Ь2 [] ... [} bt == с, / < &, то а = сх bl+1 X...xbk. Если a = b1X b2X ...Xbk и Ь1 = с1Х с2Х ... X сь то a = c1xc2x...xctxb2x...xbk. Учитывая, что в определении IV.3.2 нумерация элементов Ьь Ь2, ..., bk не играет роли, мы придем, применяя несколько раз второе из указанных сейчас утверждений, к такому результату: Если a = b1xb2X...xbk (8) и если элементы Ьь все или некоторые, сами разложены в прямое объединение, bi = cilXci2X...Xcil.f l</f, /=1, 2, ..., А, то элемент а будет прямым объединением всех элементов сц, 1^/^4 /=1, 2, ..., k. Это новое прямое разложение элемента а называется продолжением прямого разложения (8). С другой стороны, из определения прямого объединения следует, что если в прямом разложении (8) мы возьмем элементы Ьь Ь2,..., bb l<Zk, и положим Ьг [} Ь2 [} ... IJ bt = с, то c = b1xb2x...xbl. Отсюда и из первого из утверждений настоящего пункта вытекает следующий результат: Если дано прямое разложение (8) элемента а а если система элементов Ьь Ь2, ..., bk разбита на непересекающиеся подсистемы, то, заменяя каждую из подсистем объединением входящих в нее элементов, мы получим новое прямое разложение элемента а,- для которого разложение (8) служит продолжением. 5. Пусть дано прямое разложение (8) элемента а. Если выбраны элементы Ь\, 0 ^ bl ^ bif ζ" = 1, 2,..., k, и если a'^ftiUftaU.-.U^ то а' = Ъ\ X Ь'2 X ... X b'k. (9) Если Ъ\ <С bi хотя бы для одного i, то а' < а.
198 СТРУКТУРЫ (ГЛ. IV В самом деле, для / = 1, 2, ..., k (ftiU...Ufti-iUfti+iU...Ufti)n»i< <(ftiU...UViUftwU...Uft*)n»i = 0, чем доказано утверждение (9). С другой стороны, если а' = а, то, используя дедекиндовость структуры 5, получаем для /==1, 2, ..., k: bi = bl(}a = bi()a' = bi{)(b\Ubi\)...\Jb-k) = = b) U [b, П (b\ U · · · U bU U b}+1 U... U *'*)] = bu так как ftinWU...Ufti-iU^iU...Uft*X <ftifl(ftiU...UViUftmU...Uft») = o. 6. Если a = bxc и элемент а' удовлетворяет условиям Ь ^ а' ^ а, то а' = Ьх(а' П 4 Действительно, ввиду условия дедекиндовости, а' = а' [\а = а' [\(Ъ\)с) = Ъ\){а' [\с). С другой стороны, *П(а'П'Х»П' = 0. 7. Заметим, что если дедекиндова структура 5 обладает главными рядами и если а = Ьхс, то, по (18) из 1V.2.11, l(a)=l(b) + l(c). (10) Вообще, если а = йх X Ь2 X ... X #&> то /(a) = /(ft1)+/(fta) + ...+ /(ftlk). (И) 8. В тех случаях, когда используется понятие прямого объединения, важную роль играет обычно вопрос об изоморфизме различных прямых разложений данной группы (или данного кольца). Этот вопрос явился предметом многочисленных исследований, преимущественно в рамках теории дедекин- довых структур. Мы ограничимся изложением одного частного, но важного результата, явившегося началом этих исследований. Введем одно вспомогательное понятие. Пусть дана дедекиндова структура 5, обладающая нулем 0 и единичным
§ 31 ПРЯМЫЕ ОБЪЕДИНЕНИЯ ТЕОРЕМА ШМИДТА-ОРЭ 199 элементом 1, и пусть дано прямое разложение 1 =a1xa2x...xak. (12) Положим, как обычно, что а/ = 01U · · · U 0ί-ι U ai+i U ·. · U аь * = 1, 2, ..., А, (13) откуда, по 1V.3.4, \=aixai> Z=l, 2, ..., k. (14) Если £ sS, то назовем компонентой этого элемента в сомножителе аг· прямого разложения (12) элемент ft/ = ain(»Uffi). (15) 9. Элемент Ь содержится в объединении всех своих компонент относительно прямого разложения (12), Действительно, используя (15), а также несколько раз применяя определение дедекиндовой структуры, получаем: *IU*iU...Uft* = [ein(*Uei)]U[ean(ftUe«)JU... ...UKn(*Uaft)] = {aiU[a2n(bU52)]U... ...υ[α*η(&υ«*)]}ί1(&υβι) = . •={a1Ufl«U[«.n(6Ue»)]U...Ulfl*n(ftUfl*)]}n(*Uein П(*1М) = = = (Ь\}а1)[\(Ь\)йг)[\...[\{Ь\)йь)^Ь. Заметим, что в этом доказательстве мы использовали такие неравенства, как, например, αϊ П Ρ U βιΧ «* < & U βι» 1ФХ- 10. Назовем элементы а и b нашей структуры 5 прямо подобными, если в б1 существует такой элемент с, что l=axc = bxc. Два прямых разложения единичного элемента структуры 5 назовем прямо подобными, если они состоят из одинакового числа сомножителей и если между этими прямыми сомножителями
200 структуры [ГЛ. IV можно установить такое взаимно однозначное соответствие, что соответствующие сомножители прямо подобны в 5*. Назовем, наконец, ненулевой элемент а структуры 5 неразложимым, если он не может быть разложен в прямое объединение двух элементов, отличных от нуля. 11. Если дано прямое разложение 1 == % X а2 X ... X ак единичного элемента структуры 5, то, пелагая с ι = % χ а2 X ... χ аь l^k, мы получим в 5* нормальный ряд длины k: 0 = с0 < сг < с2 < ... < ck = 1. Отсюда следует, ввиду IV.2.7, что если дедекиндова структура S обладает главными рядами и если длина этих рядов равна п, то всякое прямое разложение единичного элемента состоит не более чем из η сомножителей и, следовательно, может быть продолжено (см. IV.3.4) до прямого разложения с неразложимыми сомножителями. 12. Нашей целью является доказательство следующей теоремы [О. Ю. Шмидт, Math. Zeitschr. 29(1928), 34—41; Орэ, Ann. of Math. 37(1936), 265—292]: В дедекиндовой структуре S, обладающей главными рядами, любые два разложения единичного элемента в прямое объединение неразложимых элементов прямо подобны (см. IV.3.10). Эта теорема вытекает, впрочем, из следующей теоремы: Если в дедекиндовой структуре S, обладающей главными рядами, даны два любых разложения единичного элемента в прямое объединение неразложимых элементов, l=a1xa2X...Xak, (16) l=b1xb2X...xbl, (17) то всякий сомножитель любого из этих разложений может быть замещен некоторым сомножителем из другого разложения*
§ 3] ПРЯМЫЕ ОБЪЕДИНЕНИЯ. ТЕОРЕМА ШМИДТА-ОРЭ 201 При этом под возможностью замещения элемента а{ в разложении (16) некоторым сомножителем bj из разложения (17) следует понимать существование прямого разложения l=bfXa2X...Xak, т. е., в силу (14), \^bjXub (18) Первая из указанных теорем действительно вытекает из второй. В самом деле, если элемент bj из (17) замещает элемент аг в (16), то, как показывают равенства (14) (для i=\) и (18), элементы аг и bj прямо подобны в S. Пусть уже построено прямое разложение 1 = Ьи X ... X bjm X ат+1 X ... X ак, (19) где 1 ^ т <С К причем bj , ..., bjm являются различными сомножителями из разложения (17) и элементы at и bj, i=l, 2, ..., т, прямо подобны в 5. Применим вторую теорему к прямым разложениям (19) и (17). Элемент ат+1 должен замещаться в (19) некоторым сомножителем bj из (17), а поэтому ат+1 и bj прямо подобны. При этом индекс jm+1 отличен от всех индексов ]ь ..., jm, так как из l=bhX...xbJmx bJm+1 χ ат+2 x...xak следует *лП^+1 = 0, /=1,2,..., т. Продолжая так далее, мы придем к прямому разложению l=bhxbJtx...xbJk, откуда k^L Сопоставляя с прямым разложением (17), мы получаем, что на самом деле k = I и что прямые разложения (16) и (17) прямо подобны. 13. Доказательство второй теоремы мы будем вести индукцией по длине главных рядов рассматриваемых структур, так как главный ряд длины 1 имеет лишь структура, состоящая из двух элементов, нуля и единицы, а для этой структуры доказываемая теорема, очевидно, справедлива. Пусть нужно заместить элемент ах из прямого разложения (16). Обозначим через а\ компоненту (см.IV.3.8) элемента а± в прямом сомножителе bt разложения (17). Предположим
202 СТРУКТУРЫ [ГЛ. IV сперва, что хотя бы при одном / элемент а[ отличен от bi9 Тогда, полагая g=a\\}a\\}...\}a[, в силу IV.3.5, получаем g=a}Xa?X...Xa{, (20) причем g<l. Так как, по IV.3.9, %^£, то, по IV.3.6, g=ax χ d, (21) где d = g(] (α2 χ ... xak). (22) По индуктивному предположению для структуры g/0 теорема уже доказана. Поэтому, продолжая разложения (21) и (20) до прямых разложений с неразложимыми сомножителями—обозначим эти разложения через (2 Г) и (20'),— можно будет заместить неразложимый элемент аг в (2 Г) некоторым неразложимым сомножителем сг из (20'), т. е. g=c1xd. (23) Для определенности пусть сг ^ а\. Из (23), (22) и неравенства c1^g следует 0 = *1 Π d = cx П g П («2 Χ ... Χ α*) = *ι Π (fl2 Χ ... Χ 4)> т. е. объединение А = ci U К X · · · X afe) будет прямым, /г = сх χ α2 χ ... χ afe. Из прямого подобия элементов ах и сг в g следует, ввиду (10) из IV.3.7, что /(αι) = /(£ι), а поэтому, по (11) из IV.3.7, /(/г) = /(1), откуда /г=1. Таким образом, \=с1х а2 χ ... xafe. Однако сх ^ а\ ^ £х, а так как элемент Ъх неразложимый, то, в силу IV.3.6, с1==а\ = Ьг (24) и поэтому 1 = Ьг χ α2 χ ... xak. Мы получаем, что элемент % заметается в прямом разложении (16) элементом £х; элементы аг и Ъх будут, следова-
§ 3] ПРЯМЫЕ ОБЪЕДИНЕНИЯ. ТЕОРЕМА ШМИДТА-ОРЭ 203 тельно, прямо подобными. Заметим, кроме того, что, по (24), компонента элемента аг в сомножителе Ьг прямого разложения (17) совпадает с Ьь Покажем, что в рассматриваемом случае элемент Ьг в свою очередь замещается в прямом разложении (17) элементом av Действительно, так как, по (24), а\ = Ьь т. е., по (15), то h < аг U Ьь а поэтому fliU»i=l. С другой стороны, из прямого подобия элементов аг и Ьх следует 1(αί) = 1(ΰ1), а поэтому, в силу (18) из IV.2.11 и (10) из IV.3.7, l(\) = l(b1) + l(b1) = l(a1) + l(b1)> откуда Этим доказано существование прямого разложения 1 = α1χ£1 = α1χ£2χ...χ£Λ 14. Предположим теперь, что компоненты элемента аг во всех сомножителях bt разложения (17) совпадают с самими bi и в то же время компонента в сомножителе аг разложения (16) хотя бы для одного biy например для bv совпадает с аь В этом случае, как мы знаем из рассмотрений предшествующего абзаца, fliU»i=l, *ιΙΜ=1· (25) Из (16), (17) и (25) следует, ввиду (18) из IV.2.11 и (10) из IV.3.7, что /(1) = /(а1) + /(й1) = /(й1) + /(*1), Сопоставляя эти равенства и неравенства, получаем
204 структуры [ГЛ. IV и, следовательно, a1(]b1 = b1[]a1 = 0i т. е. l=a1xb2x ... X Ь1==Ьгха2х ... X ak. 15. Остается рассмотреть тот случай, когда компоненты элемента аг во всех сомножителях Ьг разложения (17) совпадают с самими Ьь но компоненты всех bif /=1, 2, ..., /, в сомножителе ах разложения (16) отличны от аь В этом случае все прямые сомножители разложения (17) находятся в тех же условиях, в каких находился элемент аг в рассмотренном выше первом случае. Сомножители b^ i=l, 2, ..., /, можно, таким образом, последовательно замещать в разложении (17) сомножителями из разложения (16). Как мы знаем из 1V.3.12, при этом последовательном замещении Найдется такое Ь„ которое замещается элементом av Но тогда, как показано в IV. 3.13, компонента элемента bi в прямом сомножителе аг разложения (16) должна совпадать с аг против предположения. Это противоречие показывает, что рассматриваемый последний случай вообще невозможен. Теорема доказана. § 4. Прямые разложения Ω-групп 1. Как мы знаем, структура нормальных делителей произвольной группы, структура идеалов произвольного кольца и, вообще, структура идеалов произвольной Ω-группы являются и дедекиндовыми, и полными. Применяя определения IV.3.2 к этим структурам, причем к тому случаю, когда в качестве а берется сама группа, само кольцо или, вообще, сама Ω-группа (т. е. единичные элементы указанных структур), мы получим определение разложения группы в прямое произведение ее нормальных делителей и разложения кольца или Ω-группы в прямую сумму их идеалов. 2. Эти теоретико-структурные определения могут быть переформулированы на языке операций, заданных в группе, кольце или Ω-группе. Сделаем это сразу для Ω-группы. Пусть в Ω-группе G заданы Ω-подгруппы Вь fe/. Обозначим через Bi Ω-подгруппу, порожденную в Q всеми Вр где /е/, ίφί. Ω-группа G есть прямая сумма своих Ω-подгрупп Bi, ί^Ι, если выполняются следующие условия а) и β):
§ 41 ПРЯМЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ Ω-ГРУПП 205 α) Взаимный коммутант (см. III. 5.1) Ω-подгрупп Βι и Bt равен нулю для всех te/, [Bh Bi] = О, /е=/. (1) Отметим сразу же, что из условия а) следует равенство [Вь В;] = 0 при 1ф]. (2) Поэтому равны нулю, в частности, все коммутаторы [bif by], где bi^Bi, by^By, т. е. при ίφ] любые элементы, взятые по одному из подгрупп Bt и By, между собою перестановочны. β) Всякий ненулевой элемент a^G однозначно (с точностью до порядка слагаемых) записывается в виде суммы конечного числа ненулевых элементов, взятых по одному в некоторых из Ω-подгрупп В{у т. е. a = b1 + b2 + ... + bkf (3) где bi^Bfy 1=1, 2, ..., k, и ίιφΙΜ при 1фт. 3. Докажем равносильность этих двух определений. Пусть Ω-группа О является прямым объединением своих идеалов Вь ί е /, в смысле IV.3.2. Тогда, по Ш.2.4, Bh i e /, также будет идеалом. Поэтому, по III.5.3, [Ви ВЦ g= [Bh G] с= Вь [Вь Щ s [О, Щ <= ~ВЬ а так как Bi(]Bi = 0 по (5) из IV.3.2, то условие α) доказано. С другой стороны, равенство (4) из IV.3.2 (где в качестве а берется само G) и последняя теорема из Ш.2.4 показывают, ввиду вытекающей из а) перестановочности элементов, взятых в различных подгруппах В-и что для любого элемента a^G существует запись вида (3). Пусть этих записей две, а именно (3) и a = bi+b2 + ... + b'k\ без ограничения общности—достаточно добавить к обеим записям, если нужно, несколько слагаемых, равных нулю, — можно считать, что в них одно и то же число слагаемых и что Ь\, 1= 1, 2,..., ky содержится в той же Ω-подгруппе 5/ ,
206 СТРУКТУРЫ [ГЛ. IV что и bt. Если при этом, например, ЬгФ Ь[, т. е. —Ъ\-\-Ъхф У=0, то -b'i + b1 = b, + ... + b'k-(b2 + ... + bk)€EBil()Bii> что противоречит равенству (5) из IV.3;2. Пусть теперь Ω-группа G является прямой суммой своих Ω-π о д г ρ у π π Вь i e /, в смысле определения IV.4.2. Докажем, что всякая Ω-π одгруппа Βι является в Q идеалом. Если χ е Βι и а е G, то для а существует запись вида (3), а так как элементы из различных В ρ j e /, между собою перестановочны, то — а + χ + α = — ft,- + λγ + fti e ZV, этим доказано, что В-г является нормальным делителем аддитивной группы. С другой стороны, из равенства (1) следует, ввиду (2) из Ш.5.1, что для любой «-арной операции ωεΩ и любых элементов Ьь bv ..., bn <= Βι и Ъь b2, ..., bn^Bi (bi + h)(b2 + h) ··· (K + K)(u = b1b2 ... Μ> + *Λ ...Μ. (4) Пусть теперь заданы «-арная операция ω е Ω, элементы ах, а2, ..., an^Q, элемент b ^ Bt и число &, 1<:&=^я. Ввиду β) существует запись a/ = bj + bp bj^Bh bjf=Bb у=1, 2, ..., я. (5) Используя (4), (5) и перестановочность элементов из подгрупп B-t и Bh получаем -% ... αηω + α± ... afc-i(b + ak)ak+i ... αηω = = -(»ι + *ι)...(»π + »«)ω + (*1 + *1)... .. · {bk-i — bk_x) (б + б* + йл) (bk + 1 + bk +1) ... .-.(*Λ + ίι)ω= — έχ ... bniu-b1 ... 6„ω + + *ι ... bk-i(b + bk)bk + 1 ... M + *i ... bn<u<==Bi. Этим доказано, что все Л/, / е /, являются идеалами в G. Из условия β) следует, далее, что идеалы Βι порождают вместе всю Ω-группу Q. Наконец, если бы пересечение Βι Π Bt содержало ненулевой элемент а, то для него мы
§ 4] ПРЯМЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ Ω-ГРУПП 207 имели бы две различных записи вида (3) в противоречие с β): в одной из них из подгруппы Bi берется элемент а, а из других подгрупп — нули, в другой же элемент а представляется в виде суммы элементов, взятых по одному в нескольких подгруппах В ρ где / Φ и Теорема доказана. 4. Для групп условие а) из определения IV.4.2 может быть заменено условием: а') любые элементы, взятые по одному из любых двух подгрупп Bt и В ρ при Ьф] перестановочны между собой. Для колец условие а) может быть заменено условием: а") произведение любых элементов, взятых по одному из любых двух подколец В-г и В ρ при 1ф] равно нулю. Из сказнного в III.5.1 и включения \вь Bj]<=[Bb Щ, ΐφ], вытекает, что из а) следуют соответственно а') и а"). С другой стороны, в случае групп из а!) следует перестановочность элементов из Βι и Вь т. е., снова по III.5.1, следует а). В случае же колец из β) следует, что всякий элемент из Βι обладает записью вида (3) со слагаемыми, взятыми в некоторых из подгрупп В ρ ] Φ i. Поэтому, в силу законов дистрибутивности, из а") вытекает, что если χ е Bif у е Bh то а это, по III.5.1, влечет за собою а). 5. Пусть нормальные делители А и В группы G прямо подобны в смысле IV.3.10, т. е. существует такой нормальный делитель С, что имеют место прямые разложения 0 = АхС = ВхС. (6) Тогда А и В изоморфны фактор-группе G/C, т. е. изо- морфны между собой. При этом изоморфизме сопоставляются такие элементы аеА и b e В, что а = Ьс, с е С, причем элемент с принадлежит к центру группы О (см. III.3.2), а поэтому указанный изоморфизм между А и В называется центральным.
208 структуры ггл. ιν В самом деле, в силу второго из разложений (б) элемент с перестановочен с каждым элементом из В. С другой стороны, для любого c'gC из первого из разложений (б) следует равенство ас' = с'а, т. е. (be) с' = с' (be), откуда, ввиду сказанного выше, следует ее' = с'с. Элемент с перестановочен, следовательно, с элементами как из В, так и из С, а поэтому и со всеми элементами группы G. Аналогично, если даны прямо подобные идеалы А и В кольца /?, т. е. имеют место разложения в прямую сумму R = A + C = B + C, (7) το Α ιι В изоморфны фактор-кольцу R/C, а поэтому изоморфны между собой. При этом изоморфизме соответствуют друг другу такие элементы α ^ А и Ъ е В, что а = Ь + с, с 6Ξ С, (8) причем элемент с принадлежит к аннулятору кольца R, а поэтому указанный изоморфизм между А и В можно назвать аннуляторным. Отметим, что аннулятором кольца R называется совокупность таких элементов а е /?, что ах = ха = 0 для всех a:gR. Докажем, что элемент с из (8) обладает этим свойством. Из второго из разложений (7) следует, что для всех V е В, сг<=С b'c' = c'b' = 0, (9) в частности b'c = cb' = 0. (10) С другой стороны, из первого из разложений (7) следует, что для любого с' е С ас' = с а = 0, Т. е., по (8), (Ь + с)с' *=с' (Ь + с)=^=0}
§ 5] ПОЛНЫЕ ПРЯМЫЕ СУММЫ УНИВЕРСАЛЬНЫХ АЛГЕБР 209 откуда, в силу (9), cc' = c'c = Q. (11) Из (10) и (11) следует, ввиду второго из разложений (7), принадлежность с чк аннулятору кольца R. Из доказанного следует, что прямо подобные прямые разложения в группах и кольцах (см. IV. ЗЛО) будут соответственно центрально изоморфными и аннуляторно изоморфными. Обратное, понятно, не утверждается. 6. Из теоремы Шмидта — Орэ (см. IV.3.12) вытекают теперь следующие теоремы: Если группа Q обладает главными рядами, то любые ее два прямых разложения с неразложимыми сомножителями центрально изоморфны. Если кольцо R обладает главными рядами, то любые его два прямых разложения с неразложимыми слагаемыми аннуляторно изоморфны. •х- Если все гомоморфные образы группы (кольца) О, лежащие в ее центре (в его аннуляторе), удовлетворяют условию минимальности для подгрупп (подколец), то любые два прямых разложения G, причем число прямых сомножителей (слагаемых) может быть и бесконечным, обладают центрально (аннуляторно) изоморфными продолжениями. Условия этой теоремы выполняются, в частности, в том случае, когда центр (аннуля- тор) G или фактор-группа G по коммутанту (фактор-кольцо по квадрату) удовлетворяют условию минимальности [А. Г. Ку- рош, Изв. АН СССР, сер. матем. 10 (1946), 47—72]. χ § б. Полные прямые суммы универсальных алгебр 1. Пусть дарю семейство универсальных алгебр G/ с одной и той же системой операций Ω и относящихся к одному и тому же примитивному классу Λ (см. III.6.3); индекс / пробегает некоторое множество /, конечное или бесконечное. Рассмотрим множество G, элементами которого являются всевозможные системы α — (αι) элементов, взятых по одному в каждой из алгебр Qh т. е. а{ е G,·, / е /. Элемент αέ будет называться /-й компонентой (или компонентой в алгебре 0{) элемента а. Множество G можно превратить в универсальную алгебру с системой операций Ω, полагая, что операции из Q
210 СТРУКТУРЫ Ггл. ιν выполняются в О покомпонентно: если даны я-арная операция ω е Ω и η элементов из G, а<*> = (ар>), А=1, 2, ..., л, то а'а" ... α^ω = (α^α^ ... а<я)а>). Это определение операций показывает, что в алгебре О будут выполняться все тождественные соотношения из Λ. Алгебра G называется полной прямой суммой алгебр G,·, / €= /, и будет записываться в виде о= ς °i- О) ίε/ Можно говорить, в частности, о группе, являющейся полной прямой суммой (или полным прямым произведением) данного семейства групп, и т. д. 2. Подалгебра А алгебры G, представленной в виде (1) называется подпрямой суммой алгебр G/, / е 7, если для всякого / е / /-е компоненты всех элементов из А исчерпывают всю алгебру G,·. Ясно, что к числу таких подалгебр принадлежит сама алгебра G, но в G существуют, вообще говоря, и истинные подалгебры с этим свойством. Если алгебра А является подпрямой суммой алгебр G,·, / е 7, то для всякого / е I мы получим гомоморфное отображение <рг алгебры Л на алгебру G,·, сопоставляя всякому элементу а = {а{) е Л его ί-ю компоненту а(. Как мы знаем из III. 1.8, гомоморфизм φ,- определяет на алгебре А конгруенцию π,·, причем алгебры Qt и Α/πι изоморфны. Пересечение конгруенций щ, / е 7 (см. 1.3.3), является нулевой конгруенцией, т. е. разбиением алгебры А на отдельные элементы. Действительно, если в А даны два различных элемента, то хотя бы при одном / они имеют различные 1-е компоненты, а поэтому принадлежат к различным классам конгруенций щ. 3. Справедлива обратная теорема: Если в универсальной алгебре А задана система конгруенций π,·, /е/, с нулевым пересечением, то алгебра А
§5] ПОЛНЫЕ ПРЯМЫЕ СУММЫ УНИВЕРСАЛЬНЫХ АЛГЕБР 211 изоморфна под прямой сумме фактор-алгебр Α/η ι, /G/. Для доказательства обозначим через G полную прямую сумму алгебр Α/τι ι, ί е /, ίε/ Отобразим алгебру Л в алгебру G, сопоставляя каждому элементу ае^ тот элемент из G, /-я компонента которого для всякого / е / является классом конгруенции лг-, содержащим элемент а. Это отображение будет гомоморфизмом, так как в алгебре G операции производятся покомпонентно, а в алгебре А/щ, ί е /, применение операций к классам конгруенции л,- определяется через применение операций к элементам из Л, выбранным по одному в этих классах. Полученный гомоморфизм будет даже изоморфизмом, так как из условия, что пересечение конгруенции л,- должно быть нулевым, следует, что для любых двух различных элементов из А найдется хотя бы одно такое / е /, что эти элементы лежат в разных классах конгруенции Л/, а поэтому их образы в G имеют разные 2-е компоненты. Наконец, та подалгебра алгебры G, на которую алгебра А изоморфно отображается, будет подпрямой суммой алгебр А/щу i е /, так как для всех / е / любой класс конгруенции л,·, т. е. любой элемент алгебры A/niy служит /-й компонентой образов в G всех своих элементов. В случае Ω-групп конгруенции задаются идеалами, как мы знаем из III. 2.5, причем легко видеть, что пересечение конгруенции определяется пересечением соответствующих идеалов. Таким образом, представления любой Ω-группы (в частности, группы, кольца) в виде подпрямой суммы взаимно однозначно соответствуют системам ее идеалов (нормальных делителей) с нулевым пересечением. 4. Универсальная алгебра А называется подпрямо неразложимой, если в ней любая система ненулевых конгруенции обладает ненулевым пересечением. Из сказанного в IV. 5.2 и IV. 5.3 следует, что это будет тогда и только тогда, если при любом представлении алгебры А в виде подпрямой суммы некоторых алгебр G/, / е /, хотя бы для одного / гомоморфизм ψί, отображающий всякий элемент из А в его /-ю компоненту, будет изоморфизмом между А и G,·.
212 СТРУКТУРЫ [ГЛ. IV Имеет место следующая теорема [Б и ρ кг о ф, Bull. Amer. Math. Soc. 50 (1944), 764—768]: Всякая универсальная алгебра А разлагается в под- прямую сумму подпрямо неразложимых алгебр, принадлежащих к тому же примитивному классу, что и алгебра А. Для доказательства рассмотрим любую пару различных элементов х, j/gA и обозначим через М(х, у) множество всех конгруенций на алгебре Л, разделяющих эти элементы, т. е. таких, что χ и у для каждой из этих конгруенций принадлежат к различным классам. Множество М(х, у) не является пустым, так как в нем содержится нулевая кон- груенция (см. IV. 5.2). Покажем, что эго множество, частично упорядоченное в соответствии с 1.2.1, обладает максимальными элементами. Для этого, в силу теоремы Куратовского — Цорна (см. 1.6.3), достаточно показать, что всякая цепь множества Μ (χ, у) обладает верхней гранью. Пусть конгруенций ηi е Μ (χ, у), где / пробегает упорядоченное множество /, составляют цепь, т. е. π,<<π7· при i<Zj. Тогда бинарное отношение π*, определяемое условием, что Ьп*с тогда и только тогда, если существует такое / е /, что Ьп^, будет, очевидно, отношением эквивалентности. Оно будет и кон- груенцией: если в А взяты элементы bb bv ..., Ьп и сь cv ..., сю причем bj7t*cjj /=1, 2, ..., п, то существуют такие ib iv ..., /яе/, что bjTiijCp /=1, 2, ..., п. Если /0 — наибольший из индексов 1Ь iv ..., im то bj7iioCp у = 1, 2, ..., п. Пусть ω —любая «-арная операция, заданная в алгебре Л. Так как Л[0 является конгруенцией, то (Ьгь2 ... bn(u) nio (с±с2 ... cn(u), а поэтому и (рф2 ... bn(u) п* {сгс% ... сп(й)9 т. е. π* действительно является конгруенцией. Эта конгруен- ция разделяет элементы χ и _у, так как они разделялись каждой из конгруенций щ, iG/, и служит, очевидно, верхней гранью для заданной цепи конгруенций. Фиксируем теперь для каждой пары различных элементов х, у ^ А одну из максимальных конгруенций, их разделяющих; обозначим ее через π(χ, у). Пересечение всех этих конгруенций является нулевым, так как любая пара
§ Ь) ПОЛНЫЕ ПРЯМЫЕ СУММЫ УНИВЕРСАЛЬНЫХ АЛГЕБР 213 различных элементов из А разделяется хотя бы одной из этих конгруенций. Поэтому, по теореме IV. 5.3, алгебра А является подпрямой суммой всех фактор-алгебр А/п(х,у). Остается показать, что каждая фактор-алгебра А/п(хуу) подпрямо неразложима. Для этого заметим, что между всеми конгруенциями этой фактор-алгебры и всеми теми конгруен- циями алгебры Л, которые содержат конгруенцию π (χ, у\ существует естественное взаимно однозначное соответствие, сохраняющее отношение включения. Однако пересечение всех конгруенций алгебры Л, строго больших чем π (χ, _у), само строго больше этой конгруенций, так как все указанные конгруенций не разделяют элементов χ и у, в то время как π(χ, у) их разделяет. Отсюда следует, что пересечение всех ненулевых конгруенций алгебры А/п(х,у) само будет ненулевым. Теорема доказана. 5. Рассмотрим теперь полную прямую сумму Ω-групп Qh /е=/, tG/ Из сказанного в IV. 5.1 следует, что G само будет Ω-группой того же примитивного класса, к которому принадлежат все G,, / е /. Ее нулем будет служить элемент, всякая компонента которого равна нулю соответствующей Ω-группы G;. Подмножество G' Ω-группы G, состоящее из всех тех элементов а = (аг), у которых лишь конечное число компонент ah /ε/, отлично от нуля, будет в G Ω-подгруппой, так как покомпонентное применение к элементам из G' сложения или вычитания, а также операций из Ω не выводит за пределы G'. Ω-группа G' называется прямой суммой Ω-групп G,·, i e /. Основанием для этого служит следующая теорема: (il-группа G' является прямой суммой (в смысле определений IV. 3.2 и IV. 4.2) своих идеалов G}, i е /, соответственно изоморфных Ω-группам Gj. Для доказательства обозначим через 0\ подмножество тех элементов из G', у которых все компоненты, кроме, быть может, /-й, равны нулю. Ввиду покомпонентного выполнения операций это 01 будет в О' Ω-подгруппой и даже идеалом, причем оно изоморфно, очевидно, Ω-группе 0^
214 структуры [гл. ιν Заметим, далее, что всякий элемент из G' имеет лишь конечное число ненулевых компонент и поэтому может быть представлен в виде суммы конечного числа элементов, каждый из которых обладает лишь одной ненулевой компонентой. Отсюда следует, что G' является суммой (см^ III. 2.4) всех идеалов 0\, i e /. С другой стороны, сумма G\ всех идеалов G/, где /g/ и /ΦU состоит из тех и только тех элементов из G', /-я компонента которых равна нулю. Ясно, наконец, что о;пё;=о, т. е. все требования, входящие в определение IV. 3.2, выполняются. 6. Мы имеем, следовательно, для понятия прямой суммы Ω-групп три равносильных определения: теоретико-структурное определение IV. 3.2, «внутреннее» определение IV. 4.2 и «внешнее» определение IV. 5.5, являющееся конструкцией, позволяющей говорить о прямой сумме любых наперед заданных Ω-групп. Заметим, что понятие полной прямой суммы бесконечного числа прямых слагаемых не является теоретико- структурным. § 6. Дистрибутивные структуры 1. В IV. 2.1 структура S была названа дистрибутивной, если в ней тождественно выполняется равенство a{\(b{Jc) = {a(}b)D(a(]c). (1) Покажем, что тождество (1) равносильно двойственному ему тождеству a{j(b(]c) = (a{Jb)(](a{Jc). (2) Действительно, применяя (1) и определение структуры IV. 1.2, получаем: a[j(b(]c) = [a[](a(]c)]\j(b[]c) = a[][(a(]c)[j(b(]c)} = -a[j[(a[jb)(]c] = {(a[]b)[]a}[][(a\jb)(]c}=(a[jb)(](a[jc). Двойственные рассмотрения позволяют вывести (1) из (2).
§ 6] ДИСТРИБУТИВНЫЕ СТРУКТУРЫ 215 Если структура S дистрибутивна, то в ней для любых элементов а, Ь, с из a(]c = b{]cf a[)c = b[)c следует a = b. Действительно, а = а[}(а{)с) = а[}(Ъ()с) = (а[}Ъ)()(а{)с) = = (а[)Ь)()(Ъ[}с) = Ъ[}(а()с) = Ь[}(Ь()с) = Ь. # Доказанное сейчас свойство дистрибутивных структур может быть принято в качестве их определения, -к 2. Как мы знаем из I. 1.1, структура всех подмножеств любого множества дистрибутивна. Это же справедливо и для любых подструктур таких структур, т. е., как мы будем говорить, для любых структур множеств. Оказывается, что этим по существу исчерпываются все дистрибутивные структуры. Всякая дистрибутивная структура изоморфна некоторой структуре множеств. 3. Дистрибутивные структуры составляют примитивный класс универсальных алгебр, и поэтому к ним применима теорема IV. 5.4: всякая дистрибутивная структура является подпрямой суммой подпрямо неразложимых дистрибутивных структур. Примером подпрямо неразложимой дистрибутивной структуры служит структура Г, состоящая из двух элементов — ну л я и единицы. Дистрибутивность этой структуры очевидна. Если бы структура Τ была подпрямо разложимой, то она была бы подструктурой полной прямой суммы структур Tb i е /, причем существовали бы гомоморфизмы φι:Τ-*Τί9 ί е /, не являющиеся изоморфизмами. Но в этом случае всякая структура Tb i е /, состояла бы из одного элемента, а тогда и прямая сумма этих структур была бы одноэлементной и не могла бы содержать Т. Всякая подпрямо неразложимая дистрибутивная структура, состоящая не только из одного элемента, изоморфна структуре Т. В самом деле, пусть дана дистрибутивная структура S. Если она состоит из двух элементов, то изоморфна, очевидно,
216 структуры [ГЛ. IV структуре Т. Если же в 5 содержится не менее трех элементов, то найдется элемент а, отличный как от нуля, так и от единицы, если в 5* имеются нуль или единица. Обозначим через U подструктуру всех элементов χ из 5, удовлетворяющих условию х<а, а через V — подструктуру таких j;g5, что χ;>= а. Ввиду условий, наложенных на выбор элемента а, каждая из подструктур U, V состоит не только из одного элемента а. Обозначим через U-\- V полную прямую сумму структур U и V в смысле IV. 5.1: ее элементами служат пары (и, ν), и е U, ν е V, операции над которыми производятся покомпонентно. Сопоставим всякому χ ^ S пару (х f| α, χ [} a) e e t/+ V. Это отображение 5 в [/+ V взаимно однозначно, так как для х, у €Ξ S из х(]а==у{]а} x\ja=y\ja следует, как доказано в IV. 6.1, х=у. Это отображение является даже изоморфным, так как ((х[]у)[]а>^[}У)[}а) = ((х[]а)[](у(]а\(х[]а)[](у[]а)) = = (χ Π α, χ υ а) и (.у η я> У U я); ((^П^)ПА,(^П^)иа) = ((^Па)П(^ПА), (*Ua)n(_vUa)) = = (х[)а, х[)а)()(у()а,у[}а). Можно считать, следовательно, 5 подструктурой структуры U-\- V. Так как элементу χ е U соответствует пара (х, а), а элементу χ е V— пара (а, х), то мы получаем, что гомоморфизмы, отображающие всякий элемент из 5 соответственно в его первую или вторую компоненты, будут отображать 5* на все U и соответственно на все V и не являются изоморфизмами. Структура 5* оказалась, следовательно, подпрямо разложимой. 4. Докажем теперь основную теорему IV. 6.2. Если дана дистрибутивная структура S, то, по сказанному выше, она является подпрямой суммой структур Ть i е /, где всякое Τι состоит из двух элементов — нуля 0( и единицы 1г· (одноэлементные прямые слагаемые можно, конечно, исключить из рассмотрения). Обозначим через Μ множество всех единиц \b /g/, и сопоставим всякому элементу ag5 подмножество А множества Ж, состоящее из всех тех единиц \ь которые являются /-ми компонентами в записи α как элемента
§6] ДИСТРИБУТИВНЫЕ СТРУКТУРЫ 217 полной прямой суммы структур Ть i е /. Ясно, что если а Ф Ьу то и соответствующие им множества будут различными. С другой стороны, из покомпонентного выполнения операций в полной прямой сумме структур Tb i е /, и свойств единицы и нуля4 сейчас же следует, что элементу а [} Ъ соответствует теоретико-множественное объединение A (J В множеств А и Ву и элементу а(]Ь — теоретико-множественное пересечение А (] В этих множеств. Теорема доказана. Заметим, что если дистрибутивная структура S обладает нулем и единицей, то в полученном выше представлении множествами нулю будет соответствовать пустое подмножество множества М, а единице — само М. Заметим также, что если структура S конечная, то, как показывает доказательство теоремы IV. 5.4, она будет под- прямой суммой конечного числа подпрямо неразложимых структур, а поэтому она будет изоморфной некоторой структуре подмножеств конечного множества. 5. Дистрибутивная структура 5* с нулем и единицей называется булевой структурой (или булевой алгеброй)у если всякий элемент aeS обладает дополнением а, где а(]а = 0, а[)й=1. Всякий элемент ае 6* обладает единственным дополнением, как вытекает из доказанного в IV. 6.1. Структура всех подмножеств некоторого множества является булевой структурой, так как для всякого подмножества А существует теоретико-множественное дополнение Л. Структуру множеств (см. IV. 6.2), содержащую вместе со всяким подмножеством и его теоретико-множественное дополнение, будем называть булевой структурой множеств. Всякая булева структура S изоморфна некоторой булевой структуре множеств. Эта теорема уже доказана по существу в предшествующем пункте. Именно, если элементу agS соответствует подмножество Α <ξ My то дополнению а будет соответствовать теоретико-множественное дополнение А множества А в М: записи элементов α и α в полной прямой сумме структур Tit
218 СТРУКТУРЫ [ГЛ. TV /g/, таковы, что если /-я компонента в одной из них есть 1/, то в другой она будет О,, и обратно. 6. Всякая конечная булева структура S изоморфна структуре всех подмножеств некоторого конечного множества. Действительно, полученные выше результаты позволяют считать структуру 5 булевой структурой подмножеств конечного множества М. Обозначим через N множество всех тех подмножеств из М> которые являются минимальными отличными от нуля элементами структуры S. Всякое подмножество Л, являющееся элементом структуры 5, совпадает с объединением А0 всех содержащихся в нем подмножеств, входящих в N. В самом деле, в противном случае пересечение Л (] А0 было бы непустым элементом из 5 (так как А0 е 5), т. е. содержало бы хотя бы одно из входящих в N подмножеств в противоречие с определением множества А0. Теперь легко видеть, что, сопоставляя всякому Ле5множество всех содержащихся в нем элементов из N, мы получаем взаимно однозначное и даже изоморфное отображение структуры S на структуру всех подмножеств множества N. 7. Ассоциативное кольцо R с единицей называется булевым кольцом, если все его элементы идемпотентны, т. е. а2 = а, α е= /?. (3) Всякое булево кольцо коммутативно и удовлетворяет тождеству 2а = 0. (4) Действительно, для любых a, b ^ R из (3) следует a + b = (a + b)2 = a2 + ab + ba + b2 = a + ab + ba + b> откуда ab + ba = 0. (5) Полагая в (5) Ь — а и учитывая (3), мы получаем (4), т. е. а = — а, а тогда (5) можно переписать в виде ab — Ьа = 0.
§ 6] ДИСТРИБУТИВНЫЕ СТРУКТУРЫ 219 # Всякую булеву структуру можно превратить в булево кольцо, если положить a + b = (a ft b) [J (a ft b), ab = a (] Ь. Обратно, всякое булево кольцо можно превратить в булеву структуру, если положить a U Ъ = а + Ъ — ab, a (] Ъ — ab. Этим путем между булевыми структурами и булевыми кольцами устанавливается взаимно однозначное соответствие [Стоун, Trans. Amer. Math. Soc. 40 (1936), 37—111]. *
ГЛАВА ПЯТАЯ ОПЕРАТОРНЫЕ ГРУППЫ И КОЛЬЦА. МОДУЛИ. ЛИНЕЙНЫЕ АЛГЕБРЫ § 1. Операторные группы и кольца 1. Как известно, действительное векторное пространство является абелевой группой по сложению, в которой дополнительно определено умножение векторов на действительные числа, овязанное известными аксиомами со сложением векторов. Умножение на действительные числа имеет смысл также и в кольце действительных функций действительного переменного, и в кольце действительных квадратных матриц данного порядка. Эги и многие другие примеры привели к введению операторных алгебраических образований. Если дан группоид (в частности, полугруппа или группа) G, то в нем можно выбрать произвольную систему эндоморфизмов Σ (см. III. 3.4) и рассматривать лишь те подгруппоиды, которые отображаются в себя при всех эндоморфизмах из Σ. Обобщая эту идею, обозначим через Σ некоторое множество, составленное из элементов α, β, ..., и будем говорить, что группоид О является Σ-операторным, а множество Σ называть его областью операторов, если всякому элементу аеИ поставлен в соответствие некоторый эндоморфизм группоида G. Различным элементам из Σ может соответствовать при этом один и тот же эндоморфизм. Оператор а можно считать символом соответствующего ему эндоморфизма, так что для любых а, Ъ gO и любого α ^Σ (ab)a = aa-ba. (1) Если G-—Σ-операторная группа с единицей е, то из (1) следует еа — е, αΕ Σ.
§ 11 ОПЕРАТОРНЫЕ ГРУППЫ И КОЛЬЦА 221 Таким образом, операторная группа является частным случаем мультиоператорной группы (см. III.2.1): все муль- тиоператоры унарны и для каждого из них выполняется условие (1). 2. Подгруппоид А Σ-операторного группоида G называется Σ-допустимым, если при всех эндоморфизмах, соответствующих операторам из Σ, он отображается в себя, т. е. для всех αΕΣ Аа <= А Любой оператор αεΣ порождает, следовательно, некоторый эндоморфизм во всяком Σ-допустимом подгруппоиде А, что позволяет считать этот подгруппоид операторным с той же областью операторов Σ. Пересечение любой системы Σ-допустимых подгруппоидов, если оно не пусто, само будет, конечно, Σ-допустимым. С другой стороны, используя (1) и П.3.8, можно легко показать, что подгруппоид, порожденный некоторой системой Σ-допустимых подгруппоидов, сам будет Σ-допустимым. Операторные группоиды G и G' с одной и той же областью операторов Σ называются Σ-операторно изоморфными, если существует такое изоморфное отображение φ группоида G на группоид G', называемое Σ-операторным изоморфизмом, что для любых a^G и aGH (аа) φ = (αφ) α. (2) При помощи равенства (2) определяются и Σ-операторные гомоморфизмы. Можно говорить, в частности, о Σ-onepa- торных эндоморфизмах и автоморфизмах Σ-операторного группоида G. Из (2) вытекает, что эндоморфизм φ Σ-операторного группоида G тогда и только тогда будет Σ-операторным, если он перестановочен (в полугруппе эндоморфизмов, см. Ш.3.4) со всеми эндоморфизмами, соответствующими операторам из Σ. Заметим, что если множество Σ пусто или же состоит лишь из одного тождественного автоморфизма группоида G, то изучение G как Σ-операторного группоида равносильно изучению его как группоида без операторов. 3. Пусть даны полугруппа Σ и Σ-операторный группоид G. Будем говорить, что Q является группоидом с
222 ОПЕРАТОРНЫЕ ГРУППЫ И КОЛЬЦА. МОДУЛИ [ГЛ. V полугруппой операторов Σ, если для любого agOh любых α, β<=Σ α (αβ) = (αα) β. (3) Заметим, что условие (3) заведомо выполняется, если в качестве Σ взята подполугруппа полугруппы всех эндоморфизмов группоида О. Произвольное множество Σ можно так вложить в полугруппу Г, что всякий ^-операторный группоид будет группоидом с полугруппой операторов Г. При этом Σ-до- пустимые подгруппоиды будут и Υ-допустимы ми, а Σ-one- раторно изоморфные группоиды останутся и Т-опера- торно изоморфными. В качестве множества Г можно взять множество всевозможных слов вида αχα2 ... ап, (4) т. е. конечных упорядоченных систем элементов из Σ, где я^1, а элементы аь а2, ..., ап не обязаны быть различными. Определяя умножение слов равенством (а^а ... ап)ф$2 ... β*) = α!α2 ... ап$$2 ... β5, (5) мы превращаем Г в полугруппу. Ставя в соответствие слову (4) эндоморфизм Σ-операторного группоида О, являющийся произведением эндоморфизмов, соответствующих операторам аь а2, ..., ап, мы делаем группоид G Г-оператор- ным, причем требование (3) будет, ввиду (5), удовлетворяться. Все остальные утверждения теоремы также будут, очевидно, справедливыми. 4. Пусть G — аддитивно записанная абелева группа, а /? — ассоциативное кольцо. Группа G называется абелевой группой с кольцом операторов R или R-модулем, если О является /^-операторной группой, т. е. для любых а, Ъ gO и а е R имеет место равенство (1), записываемое теперь в виде (а + Ь) а — аа + Ьа, (6) и если, кроме того, для любых а^О и α, β е /? выполняются равенства α(α + β) = αα + αβ, (7) α(αβ) = (αα)β. (8)
§ 1] ОПЕРАТОРНЫЕ ГРУППЫ И КОЛЬЦА 223 Естественность этого понятия вытекает из того, что всякая абелева группа будет модулем относительно любого подколъца своего кольца эндоморфизмов, так как, по Ш.3.8, в этом случае условия (6) —(8) выполняются. Этот пример ч подсказывает следующее дополнительное требование: если кольцо R обладает единицей ε, то будем рассматривать такие /^-модули, что ε служит для них тождественным оператором) иными словами, оператору ε соответствует тождественный автоморфизм группы G, аг = а, а^О. (9) /^-модули со свойством (9) называются унитарными /?-мо- дулями. χ Если R — ассоциативное кольцо с единицей, то изучение произвольных /^-модулей полностью сводится на изучение унитарных /^-модулей и таких /^-модулей, в которых операторы из R действуют тривиально, т. е. для любого а из модуля и а из R αα = 0. Произвольное множество Σ можно так вложить в ассоциативное кольцо R с единицей, что всякая Σ-операторная абелева группа будет унитарным , /^-модулем, Σ-допустимые подгруппы останутся /^-допустимыми, т. е. будут подмодулями /^-модуля, а Σ-операторно изоморфные абелевы группы останутся изоморфными /^-модулями. ■* 5. Рассмотрим некоторые примеры. Для произвольной группы О группа ее внутренних автоморфизмов (см. Ш.3.2) служит группой операторов, так как, как мы знаем, условия (1) и (3) выполняются. Допустимыми подгруппами относительно этой области операторов будут нормальные делители группы G и только они. Для группы G группой операторов служит также группа всех ее автоморфизмов, а полугруппой операторов — полугруппа всех эндоморфизмов (см. III. 3.4). Подгруппы, допустимые относительно этих областей операторов, называются соответственно характеристическими и вполне характеристическими. Действительное я-мерное векторное пространство является унитарным модулем над полем действительных чисел. Подмодулями этого модуля служат линейные подпространства, а операторными эндоморфизмами(см.У. 1.2) — линейные преобразования.
224 ОПЕРАТОРНЫЕ ГРУППЫ И КОЛЬЦА. МОДУЛИ [ГЛ. V 6. Если в произвольном кольце R взят элемент а, то отображение χ -> χα, χ е R, будет эндоморфизмом аддитивной группы кольца R, как вытекает из закона дистрибутивности; этот эндоморфизм называется правым умножением. Аддитивную группу кольца R можно считать, следовательно, операторной с самим множеством R в качестве области операторов; допустимыми подгруппами будут при этом правые идеалы кольца/? (см. II.7.10) и только они. Аналогично определяются левые умножения, т. е. R еще раз выступает в качестве области операторов для своей аддитивной группы, причем в этом случае допустимыми подгруппами будут левые идеалы. Наконец, объединяя эти две области операторов, мы получим для аддитивной группы кольца R такую область операторов, при которой допустимыми подгруппами будут лишь (двусторонние) идеалы. Если кольцо R ассоциативно, то оно, рассматриваемое как множество правых умножений, будет служить для своей аддитивной группы даже кольцом операторов в смысле V. 1.4, так как условиия (7), (8) и, в случае кольца с единицей, (9) заведомо выполняются. Если же рассматривать R как множество левых умножений, то равенство (8) выполняться не будет. В этом случае, как показывает справедливое в R равенство (be) a = b (ca), кольцом операторов для аддитивной группы кольца R можно считать кольцо, антиизоморфное кольцу R. Отметим, что кольца R и R' называются антиизоморфными, если существует такой изоморфизм φ между аддитивными группами этих колец, что для всех a, b ^ R (ab) φ = by · αφ. 7. При определении понятия операторов для колец можно, конечно, использовать, по аналогии со случаем групп, эндоморфизмы кольца. Примеры, а именно умножение на число в кольце функций и в кольце матриц, подсказывают и другой путь, — рассмотрение тех эндоморфизмов φ аддитивной группы кольца R, которые перестановочны (в смысле умножения эндоморфизмов) с правыми и левыми умножениями (см. V.1.6), т. е. удовлетворяют условию (для всех a, b e R) (ab) φ = (αφ) b = α ψφ). (10)
§ 1J ОПЕРАТОРНЫЕ ГРУППЫ И КОЛЬЦА 225 Именно этот путь мы и избираем. Таким образом, если Σ — множество с элементами α, β, ..., то кольцо R называется Σ-операторным, если Σ-операторна его аддитивная группа и если, кроме того, для любых a, b e R и любого ае=2 (ab)a = (aa)b = a(ba). (11) Понятия Σ-допустимого подкольца, Σ-допустимого идеала, Σ-операторного изоморфизма и Σ-операторного гомоморфизма определяются по аналогии с тем, как это делалось в случае групп. Если Σ-операторное кольцо R обладает единицей, то эндоморфизмы, соответствующие операторам из Σ, сами являются умножениями (одновременно правыми и левыми) на элементы кольца R, перестановочные со всеми элементами из R, а поэтому все идеалы и все односторонние идеалы кольца R будут Σ-допустимыми. Действительно, для всех а е R и α£Σ αα = (α· Ι) α = α·(1α), αα = (1 · #)α = (1α)·α, откуда а · (Ια) = (Ια)* α, a^R. Заметим, не развивая этого далее, что определение Σ-операторного кольца без труда переносится на случай любой мультиоператорной группы. 8. Те эндоморфизмы аддитивной группы кольца R, которые удовлетворяют условию (10), составляют под- кольцо в кольце всех эндоморфизмов этой группы. Действительно, если эндоморфизмы φ и ψ обладают свойством (10), то, например, (ab) (φ ± ψ) = (ab) φ ± (ab) ψ = (αφ) b ± (αψ) Ь = = (αφ ± αψ) b = [α (φ ± ψ)] b, (ab) (φψ) = [(ab) φ] ψ = [(αφ) b] ψ = [(αφ) ψ] b = [α (φψ)] b. Этим оправдывается следующее понятие. Если Σ — некоторое ассоциативное кольцо, то кольцо R называется операторным с кольцом операторов Σ, если оно Σ-операторно и если, сверх того, кольцо Σ служит для аддитивной группы кольца R кольцом операторов в смысле V.I.4.
226 ОПЕРАТОРНЫЕ ГРУППЫ И КОЛЬЦА МОДУЛИ [ГЛ. V Заметим, что если η —- целое число, то отображение α -> па, определенное для всех элементов α кольца /?, будет эндоморфизмом аддитивной группы этого кольца, причем выполняются также условия (7), (8), (9) и (11). Таким образом, всякое кольцо R можно считать операторным с кольцом целых чисел в качестве кольца операторов. Все подкольца кольца R будут при этом допустимыми, все изоморфизмы — операторными. 9. Пусть эндоморфизмы φ и ψ аддитивной группы кольца R удовлетворяют условию (10). Если φψ=^=·ψφ, то существует такой элемент AEft что αφψ φ αψφ. Тогда для любого χ е R мы получим, используя (10): (αφψ) χ = (αφ · χ) ψ = αφ · xty = (α · χψ) φ = = [(αχ) ψ] φ = (αψ · χ) φ = (αψφ) χ. Отсюда следует, что отличный от нуля элемент b = αφψ — αψφ удовлетворяет равенству bx = 0 для всех χ е /?, т. е. служит для кольца R левым аннуля- тором. Так же проверяется, что Ь будет для R и правым аннулятором, поэтому и вообще аннулятором, т. е. (см. IV.4.5) Ъх = хЪ — 0 для всех л; е R. Конечно, кольца, обладающие аннуляторами, существуют —- так, всякое нулевое кольцо (см. Н.2.2) состоит только из аннуляторов. Можно считать тем не менее достаточно оправданным, если мы, изучая кольца с кольцом операторов Σ, будем предполагать это кольцо Σ не только ассоциативным, но и коммутативным. 10. Σ-операторные группы (Σ-операторные кольца) составляют при данном Σ примитивный класс мультиоператорных групп. К тому, что было сказано в главе третьей, в частности о гомоморфизмах мультиоператорных групп, мы добавим лишь несколько замечаний.
§ 1] ОПЕРАТОРНЫЕ ГРУППЫ И КОЛЬЦА 227 Идеалы Σ-операторных групп (колец), рассматриваемых как мулътиоператорные группы, совпадают с их Σ-допустимыми нормальными делителями {^-допустимыми идеалами). В самом деле,>если G—Σ-операторная группа, то для ее нормального делителя А включения ааеЛ для всех аеД а е Σ имеют место тогда и только тогда, если для всех α <= Α, χ eG, «g2 (χα)"1 (аа) (χα) = (χα)"1 (αχ) aeA Последнее включение является, однако, переписанным для нашего случая включением (2) из Ш.2.4. С другой стороны, если А — подгруппа аддитивной группы Σ-операторного кольца /?, то для всех аеДд:еК,ае11 включения ааеД и — ха + аа-f ха = — χα-{-(α-\-χ)α^ Α равносильны; последнее включение снова является, однако, включением (2) из Ш.2.4. Мы знаем, вместе с тем, что для кольца, рассматриваемого как мультиоператорная группа, понятие идеала совпадает с понятием (двустороннего) идеала. 11. Операторные эндоморфизмы Σ-операторной абеле- вой группы О составляют подколъцо в кольце всех эндоморфизмов этой группы (см. III.3.8). Это без труда следует из определения сложения и умножения эндоморфизмов, если использовать характеризацию операторных эндоморфизмов, указанную в V.I.2. Полученное подкольцо называется кольцом операторных эндоморфизмов Σ-операторной абелевой группы G. Так, кольцом операторных эндоморфизмов для л-мерного действительного векторного пространства (см. V.1.5) служит кольцо линейных преобразований, изоморфное, как известно из курса высшей алгебры, кольцу действительных квадратных матриц порядка п. 12. Пусть О будет группа (кольцо) с произвольной областью операторов Σ, а И—ее допустимый нормальный делитель (его допустимый идеал). Тогда факторгруппу (фактор-кольцо) G/H можно сделать операторной с областью операторов Σ, причем так, что естественный гомоморфизм О на 0[Н будет ^-операторным.
228 операторные группы и кольца модули [гл. ν Действительно, если О —группа, то для любых a^G, йеЯиαεΣ (ah) а = аа · ha = аа · /г', где h' ^ Η ввиду допустимости //. Это позволяет определить действие оператора а на элемент аН фактор-группы О/И равенством (аН)а = аа-Н. (12) Справедливость условия (1) из V.1.1 проверяется без затруднений: (аН-ЬН) а = (аЬН) а = (ab) а · Н= (аа · Ьа) Н = = (аа-Н) (Ьа - И) = (аН) а. (йЯ) а. Группа О/Η оказалась Σ-операторной; последнее утверждение теоремы непосредственно следует из (12). Если же G — кольцо, то равенство (12), определяющее действие операторов в G/H, перепишется в виде (а + Н)а = аа + Н. Проверим справедливость условия (11) из V.1.7: [(a + H)(b + H)]a = (ab + H)a = (ab)a + H=aa-b + H = = (aa + H)(b + H) = (a + H)a-(b + H). Так же проверяется и вторая половина условия (11). Теорема доказана. Читатель без труда проверит, что если G является группой с полугруппой операторов Σ, или абелевой группой с кольцом операторов Σ, или же кольцом с кольцом операторов Σ, то это же можно утверждать и для G/H, где И—Σ-допустимый нормальный делитель или идеал. § 2. Свободные модули. Абелевы группы 1. Все модули, рассматриваемые ниже, являются унитарными модулями над ассоциативным кольцом R с единицей; выполняются, следовательно, тождества (6) — (9) из V.I.4. Все эти модули составляют относительно операций абелевой группы и операторов из R примитивный класс универсальных алгебр (III.6.3), а поэтому можно говорить о свободных R-модулях (Ш.7.2). Систему свободных образующих свободного /^-модуля будем называть его базой.
§ 2] СВОБОДНЫЕ МОДУЛИ. АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ 229 Применяя определение абелевой группы и упомянутые выше тождества (б) — (9), мы сейчас же получаем, что всякий элемент свободного R-м одуля 5 с базой X записывается в виде конечной суммы х1а1 + х2а2 + ... + хпап> (1) где ΛΓχ, х2, ..., хп — различные элементы из Х> αχ, α2> . · ·, OLn e R и отличны от нуля, /ι^Ο. Покажем, что эта запись однозначна, после чего будем говорить о ней как о записи рассматриваемого элемента в базе X. Для доказательства сопоставим каждому χ е X /?-мо- дуль RXf изоморфный кольцу /?, рассматриваемому как правый модуль над самим собою (см. V.1.6), и возьмем, в соответствии с IV.5.5, прямую сумму S' всех этих модулей Rx, χ е X. Если элемент модуля Rx, соответствующий единице кольца /?, мы обозначим через х, то, по IV.4.2, всякий элемент модуля S' однозначно записывается в виде (1). Доказываемое нами утверждение вытекает теперь из того, что, по Ш.7.3, существует гомоморфизм 5 в S', переводящий всякий элемент χ е X в элемент χ соответствующего модуля Rx. Одновременно мы доказали, что всякий свободный R-модуль является прямой суммой некоторого множества R-модулей, изоморфных самому R как правому R-модулЮу и обратно. 2. Правый идеал В ассоциативного кольца R с единицей назовем главным, если существует такой элемент реД что всякий элемент из В хотя бы одним способом записывается в виде βα, а е R. Будем записывать в этом случае В = ф). Если все правые идеалы кольца R являются главными и R не содержит делителей нуля, то всякий ненулевой подмодуль свободного R-модуля сам будет свободным R-модулем. В самом деле, пусть в свободном /^-модуле 5* с базой X взят ненулевой подмодуль U. Множество элементов Υ ^ U назовем допустимым, если выполняются следующие требования: 1) подмодуль {К}, порожденный множеством У, является свободным и имеет Υ своей базой;
230 ОПЕРАТОРНЫЕ ГРУППЫ И КОЛЬЦА. МОДУЛИ [ГЛ. V 2) если Χγ есть множество всех элементов из X, входящих в записи в базе X для каких-либо элементов из К, то {Xy}()U = {Y}. Вопрос о существовании допустимых множеств оставим пока открытым, но отметим, что если они существуют и если дана цепь из допустимых множеств, то ее объединение также будет допустимым. Поэтому, по теореме Куратовского — Цорна (1.6.3), существуют максимальные среди допустимых множеств. Пусть Υ будет одно из них. Теорема будет доказана, ввиду 1), если мы покажем, что {Y} = U. Пусть {Y}cU; (2) это будет иметь место и в том случае, когда допустимые множества отсутствуют, если заменим подмодуль {Y) нулевым подмодулем. Покажем, что (2) приводит к противоречию. Ввиду условия 2) в записи любого элемента из U, лежащего вне {К}, должны встречаться элементы из X, лежащие вне Χγ. Пусть минимальное возможное число таких элементов будет п, л^1, и пусть в £/\{У} существуют элементы, в записях которых встречаются элементы χν х2, ..., хп из Χ\Χγ и только они. Коэффициенты при хп в записях всех этих элементов составляют, после добавления к ним нуля, правый идеал кольца /?, т. е., по условию, главный правый идеал (β). Обозначим через ζ тот из рассматриваемых элементов из ί/\ {К}, в записи которого коэффициент при хп есть как раз β, и покажем, что, в противоречие с максимальностью К, после добавления к Уэлементагмы снова получаем допустимое множество. Действительно, если бы не выполнялось условие 1), то элементы из подмодуля {К, ζ} обладали бы неоднозначной записью через элементы множества Y\Jz, а тогда нашелся бы такой отличный от нуля элемент а е R, что za e= {К}. Это невозможно, однако, так как в запись элемента ζ входят с ненулевыми коэффициентами элементы χυ χ2, ..., ^g ^Χ\Χγ, а тогда, ввиду отсутствия в кольце R делителей нуля, они имеют ненулевые коэффициенты и в записи элемента za.
§ 2] СВОБОДНЫЕ МОДУЛИ. АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ 231 С другой стороны, для проверки условия 2) возьмем любой элемент t e {А^и Л Π U. В его запись в базе X входят некоторые элементы из Χγ, а также элементы хь х2, ..., хю причем коэффициент при хп содержится в правом идеале (β), т. е. имеет вид βγ> yeR. Отсюда следует, что в запись разности t — zy элемент хп уже не входит, а тогда, ввиду минимальности числа п, не входят и элементы хь х2,..., хп-ъ т· е· t-zy^{XY}(]U =={¥}, откуда te-{Y, z}. Теорема доказана. 3. Всякая абелева группа является модулем над кольцом целых чисел, и это кольцо есть кольцо главных идеалов (см. Н.9.3). Применяя к этому случаю полученные выше результаты и учитывая, что аддитивная группа кольца целых чисел является бесконечной циклической группой, получаем: Всякая свободная абелева группа (см. III.7.10) является прямой суммой бесконечных циклических групп. Число этих циклических прямых слагаемых (или мощность их множества) не зависит, по Ш.7.12, от выбора прямого разложения и называется рангом этой свободной абелевой группы. Всякая ненулевая подгруппа свободной абелевой группы сама свободна. В свободной абелевой группе S конечного ранга η ранг всякой подгруппы конечен и не превосходит п. В самом деле, пусть хь х2, ..., хп будет база группы 5. Возьмем в 6* любые k элементов уь у2, ..., yki где k>n. Тогда Уь = с^хг + Ci2x2 +... + cifxm i = 1, 2, ..., k. Система из k целочисленных я-мерных векторов (с^, ci2, ..., cin), /=1, 2, ..., k, ввиду k^>n линейно зависима, как известно, а поэтому можно подобрать такие целые числа //, не все равные нулю, /= 1, 2, ..., k} что Элементы уь у2, ..., yk не могут входить, следовательно, в базу какой-либо подгруппы группы &
232 ОПЕРАТОРНЫЕ ГРУППЫ И КОЛЬЦА МОДУЛИ [ГЛ. V 4. Докажем следующую основную теорему об абелевых группах с конечным числом образующих: Всякая абелева группа с конечным числом образующих является прямой суммой конечного числа циклических групп. Доказательство этой теоремы, излагаемое ниже, принадлежит Радо [Journ. London Math. Soc. 26 (1951), 74—75]. Пусть абелева группа G обладает системами из η образующих. Рассмотрим всевозможные такие системы, допуская, что в них могут встречаться и равные элементы, и элементы, равные нулю. Пусть аь а2, ..., ап (3) — одна из этих систем образующих, причем положим, обозначая через о (а) порядок элемента а, что о (ах) < о (а2) ^... ^ о (а„). (4) Таким образом, если в (3) встречаются нули, то они стоят в начале, а если входят элементы бесконечного порядка, то они стоят в конце. Систему (3) можно выбрать так, что система чисел (4) будет в лексикографическом смысле минимальной из возможных, т. е. если Ьь Ь2У..„ £„-—другая система образующих и то нет такого /, 1 =<: / ^ п, что о(Ь1) = о(а1), ..., o(£i_i) = 0(ai_i), oft)<o(a/). Покажем, что если система образующих (3) выбрана указанным способом, то группа О будет прямой суммой циклических подгрупп {αι}> {аг}> · · -у {ап}· Если это не так, то запись элементов группы G в виде суммы элементов из указанных циклических подгрупп не будет однозначной, а поэтому можно получить равенство k1a1 + k2a2 + ... + knan = 0, (5) в котором не все слагаемые равны нулю. Пусть k1a1 =.. . = kj_1aj_1 = О, (б) но kjaj=£Q, y^l; можно считать, очевидно, что 0<.kj<o(aj). (7)
§ 2] СВОБОДНЫЕ МОДУЛИ. АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ 233 Обозначим через k наибольший общий делитель чисел kp kj+i> ...» kny т. е. ki = kmif l=j, /+Ь ...» η, (8) и числа тр mj+i ..., тп в совокупности взаимно просты. Докажем следующее вспомогательное утверждение: 5. Если дани абелева группа А = {ар α;·+1, ..., ап] и система взаимно простых целых чисел ntj, rrij+b ..., тп, то в А можно так выбрать новую систему образующих, А = {ЬР bJ + b ..., Ья}> (9) что by = mfaj + m/ + 1a/ + 1 +... + тпап. (10) Будем доказывать это индукцией по сумме абсолютных величин т = I mj I +1 mJ+i I +. · · +1 mn |, так как при т = 1 утверждение тривиально. Если т^>1, то хотя бы два из системы взаимно простых чисел тр mj+1,..., тп должны быть отличными от нуля. Пусть, например, \mj\^\mJ + 1\>0. Тогда или | mj-\-mj + i \<C\mj\ или | nij — nij + i \<Z\mj |, т. е. для одного из двух знаков будет \mj±mj+1\ + \mj + i\+...+ \mn\<:m. (11) Так как А = {ар dj+mzap uj+2y ..., αη}, то, учитывая (11) и применяя индуктивное предположение, мы получим (9), где bj = (mj± mf+1) aj + mf+i(aJ+1 qp aj) + + mf+2aJ + 2 + ...+ mnan = mjaj + mJ+iaJ+i + ...+ mnan, что и требовалось доказать. 6. Возвращаясь к доказательству основной теоремы и применяя доказанное утверждение, мы получим для группы Q новую систему образующих, 0 = {аь ..., a;-_i, Ьр bJ+i, ..., bn},
234 ОПЕРАТОРНЫЕ ГРУППЫ И КОЛЬЦА. МОДУЛИ [ГЛ. V где bj удовлетворяет равенству (10). Из (5), (б) и (8) следует, однако, что kbj = 0, а поэтому, ввиду (7), о (bj) ^k^ikj<Co (aj), что противоречит выбору системы образующих (3). Теорема доказана. 7. Бесконечная циклическая группа неразложима в прямую сумму (см. IV.3.10), так как, по II.4.2, всякие две ее ненулевые подгруппы имеют ненулевое пересечение. Конечная циклическая группа {а} порядка рп, где ρ — простое число, также неразложима, так как все ее ненулевые подгруппы исчерпываются циклическими подгруппами элементов а, ра, р2а, ..., рп~га, которые вложены друг в друга. Назовем такие циклические группы примерными. Конечная циклическая группа {а), имеющая порядок т — рп\рп2 ... nnk где рь р2, ..., Pk— различные простые числа и k^2, разлагается в прямую сумму примарных циклических групп, имеющих соответственно порядки рп\, рп2, ..., pnk. Действительно, введем обозначение qi=pni .../?i-W+i .../>% ί=1, % ..., k. ι ι — ι i-f-ι k Тогда циклическая подгруппа {<fra} имеет порядок pnj /=1, 2, ..., k. Сумма этих подгрупп будет, по IV.3.2, их прямой суммой, так как порядки всех элементов суммы подгрупп {<7;·α}, ]φί, взаимно просты с числом piy и поэтому пересечение этой последней суммы с подгруппой {^а} равно нулю. Так как, однако, порядок прямой суммы конечного числа конечных групп равен произведению порядков прямых слагаемых, то порядок прямой суммы всех подгрупп {^а}, / = 1, 2, ..., ky равен ту т. е. эта прямая сумма совпадает со всей группой {а}. Отсюда, ввиду IV.3.4, вытекает следующее усиление основной теоремы: Всякая абелева группа с конечным числом образующих является прямой суммой конечного числа неразложимых циклических групп, частью бесконечных, частью конечных примарных.
§ 21 СВОБОДНЫЕ МОДУЛИ. АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ 235 8. В IV.4.5 было введено понятие изоморфизма прямых разложений (прилагательное «центральный» для абелевых групп можно, конечно, опустить). Всякие два разложения абелевой группы G с конечным числом образующих в прямую сумму неразложимых циклических групп изоморфны. Действительно, пусть эти разложения будут 0={αί} + ...+ {αί} + {&ί} + . .. + {Ы}, где элементы а имеют конечные порядки, элементы Ъ бесконечного порядка. Без труда проверяется, что в абелевой группе совокупность элементов конечных порядков является подгруппой, которая называется периодической частью этой группы. Если F — периодическая часть нашей группы G, то F = Ы + ...+ Ы = {«!} + ...+ Ы (13) так как всякий элемент из G, в запись которого в одном из разложений (12) хотя бы один из элементов Ъ входит с отличным от нуля коэффициентом, будет непременно бесконечного порядка. Группа F конечная и поэтому обладает главными рядами, а тогда изомофизм прямых разложений (13) вытекает, по IV.4.6, из теоремы Шмидта — Орэ. С другой стороны, свободные абелевы группы {^ι} + .. . + {^5} и {^ί} + · · ·+ {Щ соответственно рангов s и t изоморфны, по IV.4.5, фактор-группе G/F, т. е. изоморфны между собой, а тогда s = t (см. V.2.3). # Всякие два разложения произвольной абелевой группы в прямую сумму неразложимых циклических групп изоморфны, если группа обладает такими разложениями (быть может с бесконечным множеством прямых слагаемых). Всякая подгруппа прямой суммы циклических групп сама разлагается в прямую сумму циклических групп [Л. Я. Куликов, Мат. сб. 16 (1945), 129-162]. * 9. Абелева группа называется примарной по простому числу /?, если порядок всякого ее элемента есть степень числа р. Элемент а примарной (по р) абелевой группы О имеет конечную высоту п, п^О, если уравнение pkx — a разрешимо в О тогда и только тогда, когда k^n.
236 ОПЕРАТОРНЫЕ ГРУППЫ И КОЛЬЦА МОДУЛИ [ГЛ. V # Всякая периодическая (см. II.3.4) абелева группа разлагается в прямую сумму примарных групп по различным простым числам. Примарная абелева группа G тогда и только тогда разлагается в прямую сумму циклических групп, если она является объединением возрастающей последовательности Аг <= А2 ^ ... ^ Лп <= ... таких своих подгрупп, что у каждой из них отличные от нуля элементы имеют конечные и в совокупности ограниченные высоты (в G) [Л. Я. Куликов, там же]. Всякая примарная абелева группа с ограниченными в совокупности порядками элементов разлагается в прямую сумму циклических групп [Прюфер, Math. Zeitschr. 17 (1923), 35 — 61]. Всякая счетная примарная абелева группа, все ненулевые элементы которой имеют конечные высоты, разлагается в прямую сумму циклических групп [Прюфер, там же].-к § 3. Векторные пространства над телами 1. Изучим /^-модули в том частном случае, когда ассоциативное кольцо R является телом, не обязательно коммутативным. Всякий унитарный модуль над ассоциативным телом К называется векторным (или линейным) пространством над этим телом. Следует помнить, что умножение элементов векторного пространства на элементы тела К подчинено условиям (6) —(9) из V. 1.4. Подмодули (т. е. /С-допустимые подгруппы) векторного пространства называются его линейными подпространствами. Изоморфизм векторных пространств над телом К всегда понимается, в соответствии с V.1.2, как их ДГ-операторный изоморфизм. 2. Для любого подпространства А векторного про- странства V над телом К существует дополнение, т. е. такое подпространство В пространства V, что А(}В = 0, {A, B}=V. Иными словами, пространство V будет прямой суммой подпространств А и В, V^A + B.
§ 3] ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА НАД ТЕЛАМИ 237 Действительно, рассмотрим все те подпространства векторного пространства V, пересечения которых с А равны нулю. Множество Μ всех таких подпространств не пусто, так как содержит нулевое подпространство. Далее, это множество частично Λ упорядочено по теоретико-множественному включению, причем оно удовлетворяет условиям теоремы Ку- ратовского — Цорна (см. 1.6.3). В самом деле, если в Μ дана любая цепь L, то объединение С подпространств Q, составляющих эту цепь (i пробегает некоторое множество индексов), само будет подпространством в V: если х, у е С, то существуют такие I и у, что xeQ, y^Cjy а поэтому, полагая, например, Q ς= Cj, получим χ, у^Ср т. е. х±у ^Cj и, следовательно, х±у^С\ с другой стороны, из χ е Ci следует ха е С/ для всех аЕ/{, а поэтому ха е С. Из С/ Π ^ = О Для всех * следует, очевидно, что С (]А = 0} а поэтому подпространство С служит верхней гранью в множестве Μ для цепи L. В множестве Μ существуют, таким образом, максимальные элементы. Пусть подпространство В будет одним из этих максимальных элементов. Тогда А(]В = 0, как вытекает из определения множества М. Покажем, что {Л, В\ = V. Если xgK, χ φ В, то подпространство {θ, λ;} состоит из всех элементов вида b -f- χα, где b ^ В, а е /С. Это подпространство строго больше Д а поэтому, ввиду максимальности β в Му пересечение А (] {В, х] содержит отличный от нуля элемент а = Ь-\-ха. Так как а=^=0—иначе было бы а^В в противоречие с равенством A f| В —О, — то х = = ааГ1 — bar1 e {А, В}> что и требовалось доказать. Дополнение для подпространства А может быть выбрано в пространстве V, вообще говоря, многими способами. Все эти дополнения изоморфны, однако, между собою, так как, по теореме об изоморфизме III. 4.2 или по IV. 4.5, все они изоморфны фактор-пространству V/A. 3. Понятие линейной зависимости, играющее очень большую роль в теории конечномерных векторных пространств над полем, изучаемой в курсе высшей алгебры, переносится и на рассматриваемый сейчас общий случай. Именно, конечная система элементов а{, а2, ..., ak (1) векторного пространства V над телом К называется линейно зависимой, если в К существуют такие элементы аь а2,..., akl
238 ОПЕРАТОРНЫЕ ГРУППЫ И КОЛЬЦА. МОДУЛИ [ГЛ. V не все равные нулю, что агах + а2а2 + ... + akaR = О, и линейно независимой в противоположном случае. Как обычно, линейная зависимость системы (1) равносильна тому, что хотя бы один элемент из (1) линейно выражается через другие элементы этой системы (с коэффициентами из тела /С). Все основные свойства линейной зависимости, устанавливаемые в курсе высшей алгебры, без всяких затруднений распространяются на случай произвольных векторных пространств над любыми ассоциативными телами. Мы не будем поэтому приводить доказательств этих свойств и ограничимся лишь формулировкой важнейших из них: Если в векторном пространстве V над телом К заданы две конечные системы элементов, а±, а2, ..., ak и Ьь Ь2, ..., Ъь из которых первая линейно независимая и, кроме того, всякий ее элемент линейно выражается через вторую систему, то k^i. Отсюда вытекает, что если в векторном пространстве V над телом К заданы две конечные линейно независимые системы элементов, причем любой элемент каждой из этих систем линейно выражается через другую систему, то эти две системы состоят из одного и того же числа элементов. 4. Некоторая, не обязательно конечная, система элементов X векторного пространства V над телом К называется линейно зависимой, если в X содержится хотя бы одна конечная линейно зависимая подсистема элементов, и линейно независимой, если все конечные подсистемы системы X линейно независимы. Ясно, что всякая линейно независимая система является подмножеством и что всякая ее часть сама линейно независима. Пространство V обладает линейно независимыми подмножествами; таковы, например, подмножества, состоящие из одного ненулевого элемента. Множество Μ всех линейно независимых подмножеств пространства V частично упорядочено по включению, причем удовлетворяет условиям теоремы
§ 3] ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА НАД ТЕЛАМИ 239 Куратовского —- Цорна (см. 1.6.3). Именно, если в Μ дана цепь L, то объединение X линейно независимых подмножеств Хь составляющих эту цепь, само будет линейно независимым: если в X взята конечная система элементов χ ι, х%, .. ■ > Хъ (2) то существует такое линейно независимое подмножество Хр входящее в цепь L, которое содержит всю систему (2), а поэтому система (2) должна быть линейно независимой. Подмножество X служит, следовательно, верхней гранью цепи L в множестве М. Этим доказано, что векторное пространство V над телом К обладает максимальными линейно независимыми подмножествами, причем всякое линейно независимое подмножество этого пространства содержится в некотором максимальном. Всякое максимальное линейно независимое подмножество векторного пространства V называется базой этого пространства. 5. Подмножество X, составленное из элементов xt (i пробегает некоторое множество индексов), тогда и только тогда будет базой векторного пространства V над телом К, если всякий отличный от нуля элемент а из V обладает однозначной записью а = χίχαλ + xi(p? +... + Xikak, (3) где Xiv χι, ..., xik e Χ, α1, a2, ..., ak — отличные от нуля элементы тела К, a k^l. Действительно, пусть X — база пространства V7, но отличный от нуля элемент α из V не может быть записан в виде (3); отсюда, в частности, вытекает, что а ф X. Тогда, добавляя элемент а к любой конечной подсистеме множества X, мы получим линейно независимую систему, а поэтому, добавляя а ко всей базе X, мы вновь получим линейно независимое множество в противоречие с определением базы. Если же элемент а обладает двумя различными записями через базу X, а именно (3) и α = χ/ιβΐ + χ/2β2 + ... + χ//β^, то объединение конечных подсистем х1{У ,.., х{ и х,,, ... ..., хц базы X будет линейно зависимым, что снова
240 ОПЕРАТОРНЫЕ ГРУППЫ И КОЛЬЦА. МОДУЛИ [ГЛ. V противоречит определению базы. Проверка обратного утверждения теоремы столь же проста и предоставляется читателю. Вместо записи (3) для всех элементов а векторного пространства V можно употреблять, конечно, однозначно определенную запись а= Σ х&*> αί^^> (3') в которой не более конечного числа коэффициентов а1 отлично от нуля. Ввиду V.1.4 сложение элементов, записанных в виде (3'), сводится к сложению коэффициентов при одинаковых хь а умножение элемента а на элемент β тела К равносильно умножению всех коэффициентов а1 из (3') на β справа. Ввиду IV.4.2 можно сказать, что векторное пространство V над телом К с базой X является прямой суммой векторных пространств хК, х е λ'. 6. Все базы векторного пространства V над телом К имеют одну и ту же мощность. Пусть, в самом деле, в пространстве V взяты базы X и У. Если хотя бы одна из них, например X, конечна и состоит из т элементов, то, как немедленно следует из V.3.3, база У также конечна и также состоит из т элементов. Пусть, однако, обе базы X, У бесконечны и имеют соответственно мощности шип, причем предположим, что m *< п. Всякий элемент χ базы X обладает, по V.3.5, записью вида (3) через конечную систему элементов Ух из базы У. Объединение У всех таких конечных подсистем УХУ где χ пробегает всю базу Х9 будет истинным подмножеством базы У, так как оно, как объединение множества конечных множеств, имеющего мощность т, само имеет мощность т. Пусть у— любой элемент из К\К'. По V.3.5 он линейно выражается через конечную систему элементов хь х2, ..., xk из Ху k а поэтому и через конечную подсистему I I К*, множества У\ что противоречит, однако, линейной независимости базы У. Теорема доказана. Мощность любой базы векторного пространства V называется размерностью этого пространства. Если, в частности, эта мощность конечна, то мы говорим о конечномерном пространстве. Так, векторное пространство хК одномерно.
§ 4] КОЛЬЦА ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 241 7. Для всякой мощности т, конечной или бесконечной, существует векторное пространство над телом К, имеющее размерность т. Пусть X— любое множество мощности т. Тогда прямая сумма одномерных векторных пространств хК для всех χ е X (ее существование вытекает из IV.5.5) будет искомым векторным пространством. Здесь хК есть совокупность элементов вида ха, aG/(, с естественными определениями операций сложения и умножения на элемент из К- Векторные пространства V и W над телом К изо- морфны тогда и только тогда, когда они имеют одну и ту же размерность. В самом деле, если существует изоморфное отображение φ пространства V на пространство W и если X — база пространства Vy то Хер будет базой пространства W. Этим в одну сторону теорема доказана. Пусть, с другой стороны, пространства V и W обладают соответственно базами X и У, имеющими одну и ту же мощность. Фиксируем некоторое взаимно однозначное отображение φ базы X на базу У, хер ^ У для всех χ ^ X, и следующим образом распространим его на все пространство V: если элемент а из V имеет запись (3') через базу Ху то положим xt<=X Мы получаем, очевидно, взаимно однозначное отображение пространства V на все пространство W; изоморфыость этого отображения следует из сказанного в V.3.5. Мы видим, что теоремы настоящего пункта дают исчерпывающее описание всех векторных пространств над любым телом К. § 4. Кольца линейных преобразований 1. Операторные эндоморфизмы векторного пространства V над телом К называются линейными преобразованиями этого пространства. По V.1.11 линейные преобразования составляют подкольцо в кольце всех эндоморфизмов абелевой группы V. Будем обозначать кольцо линейных преобразований через R(V, К).
242 ОПЕРАТОРНЫЕ ГРУППЫ И КОЛЬЦА МОДУЛИ [ГЛ. V Мы хотим показать, что заданием этого кольца определяется и тело К, и само пространство V. Для того чтобы точнее сформулировать это утверждение, введем следующее понятие, обобщающее понятие изоморфизма двух векторных пространств над одним и тем же телом. Пусть даны векторные пространства V над телом К и W над телом L. Будем говорить, что между этими пространствами установлено полулинейное соответствие σ, если существует изоморфизм σ тела К на тело L и изоморфизм, который также обозначим через σ, группы V на группу W, причем для всех aGK, aGii (αα) σ = ασ · ασ. Таким образом, если K=L и σ является тождественным автоморфизмом тела К, то полулинейное соответствие превращается в изоморфизм векторных пространств V и W над телом К. 2. Если векторные пространства V над телом К и W над телом L находятся в полулинейном соответствии σ, то кольца линейных преобразований R(V, К) и R(W, L) этих пространств изоморфны. В самом деле, пусть φ^ R(V, К). Тогда σ_1φσ будет отображением W в себя, являющимся линейным преобразованием, так как, учитывая, что φ является линейным преобразованием, для любых Ьу V е W, PgL получим φ + V) (ortyj) = Ь (σ^φσ) + V (σ^φσ), (6β) (σ_1φσ) = φσ'1 · βσ"1) φσ = (ίσ^φ · βσ"1) σ = Ь (сГ г<ра) · β. Соответствие φ -^σ-1φσ является гомоморфным отображением кольца /?(V, К) в кольцо R(W, L), так как для любого £<= W и любых φ, ψ<=#(Κ, К) Ь [σ~г (φ + ψ) σ] = b [σ~ 2φσ + σ~ 4|xj], Ь [σ_1 (φψ) σ] = Ь (σ_1φσ) (σ_1ψσ). Это будет отображение на все кольцо R(W, L), так как если <p'eR(W, L), то φ' = or ι (σφ'σ"г) σ, σφ'σ"χ e= R (К, К). Это соответствие будет, наконец, изоморфизмом, так как если преобразование σ_1φσ нулевое, т. е. для всех b e W 6(σ_1φσ) = 0,
§ 4] КОЛЬЦА ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 243 то для всех aGV αφ = (ασ) (σ~ χφσ) σ_1 = Οσ"1 = 0, т. е. линейное преобразование φ также будет нулевым. Будем говорить, что построенный нами изоморфизм между кольцами R(V, К) и R(W, L) индуцируется полулинейным соответствием σ. 3. Справедливо обратное утверждение (см., например, книгу Р. Бэра «Линейная алгебра и проективная геометрия»): # Всякий изоморфизм между кольцами линейных преобразований R(V, К) и R(W, L) индуцируется некоторым полулинейным соответствием между пространствами V и W. # Мы будем доказывать, впрочем, следующее более слабое утверждение: Задание, с точностью до изоморфизма, кольца линей- них преобразований R(V,K) определяет, также с точностью до изоморфизма, и тело К, и пространство V (т. е. определяет размерность этого пространства). 4. Фиксируем в пространстве V базу X с элементами x-v i e /. Как обычно, линейное преобразование φ вполне определяется, ввиду (2) из V.1.2, заданием образов χ£φ всех элементов базы А'. Сопоставим преобразованию φ бесконечную матрицу, строки и столбцы которой пронумерованы всевозможными индексами / е/, причем в ί-м столбце ставим коэффициенты записи элемента лгдо в базе Х\ понятно, что лишь конечное число этих коэффициентов отлично от нуля. Обратно, всякая матрица указанного вида, содержащая в каждом столбце лишь конечное число ненулевых элементов, соответствует некоторому линейному преобразованию. Множество Κι всех таких матриц будет кольцом при обычном определении операций над матрицами, и это кольцо антиизоморфно кольцу R(V,K) (см. V.1.6). Мы проверим лишь следующие два утверждения: Если Д5б Ки той ΑΒ^Κι- Действительно, если / е / и /-й столбец матрицы В имеет ненулевые элементы лишь в строках с номерами ]ь у2,..., /я, то рассмотрим столбцы с этими же номерами в матрице А. В них содержится лишь конечное число ненулевых элементов, которые расположены
^44 ОПЕРАТОРНЫЕ ГРУППЫ И КОЛЬЦА МОДУЛИ 1ГЛ. V в конечном числе строк, а поэтому в /-м столбце произведения ЛВ будет лишь конечное число ненулевых элементов. Если φ, \|)GR(l/,/0 и им соответствуют матрицы (β;7), (ykj) ^ Κι, то произведению φψ соответствует матрица (ykj)·(β//).' Действительно, для всех / е / из χ$ = Σ хьУк/ следует *ί(<Ρψ) = Σ(*>ψ)β/ί = Σ-^ftf Σ Υ*;β Д 5. Нам нужно, следовательно, доказать, что задание кольца Κι как абстрактного кольца определяет и тело К (с точностью до изоморфизма), и мощность множества индексов /. Фиксируем конечную систему индексов Λ, У» ..., Λ е/, л 3*1, (1) и систему отличных от нуля элементов Ц^К, 5, ί=1, 2,..., η, подчиненных следующим условиям: *ί=1; М = № λ%=λ«„. (2) Обозначим через S = S(jb y2,...,yV, λ», s, ί=1, 2,..., η) (3) совокупность матриц из Ки У которых лишь строки с номерами из (1) могут быть ненулевыми, причем для s, t=l9 2,..., η j's-я строка получается умножением слева уУ-й строки на λ^. Множество S является минимальным правым идеалом кольца Κι. Утверждение, что 5 будет правым идеалом в Κι, проверяется без затруднений. Этот идеал состоит не только из нуля —одну строку с номером из (1) в матрице из 5 можно, очевидно, задать произвольно. Для доказательства минимальности идеала S введем обозначение, которым будем пользоваться и дальше: если а е К, то через (а);7 обозначим матрицу из Κι, у которой на месте (у, /) стоит элемент а, а все остальные элементы равны нулю.
$ 41 КОЛЬЦА ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 245 Возьмем в 6* любую ненулевую матрицу Л; пусть у нее на месте (у, /), где у из системы (1), стоит элемент а Ф 0. Умножая А справа на матрицу {a~l)iiy мы получим матрицу из S с одним ненулевым ш столбцом, причем на месте (/, ι) стоит единица. Умножая, наконец, полученную матрицу справа на некоторую матрицу из Κι, у которой лишь /-я строка может быть ненулевой, можно получить, очевидно, любую матрицу из 6*. Идеалами вида (3) исчерпываются все минимальные правые идеалы кольца Κι- Действительно, возьмем в Κι произвольный ненулевой правый идеал 7, а в нем матрицу с ненулевым /-м столбцом. Умножая эту матрицу справа на (1)^·, мы получим матрицу А из Т, содержащую лишь один этот ненулевой /-й столбец. Пусть отличные от нуля элементы этого столбца будут ауу, *ht> · · ·> «/я/· Положим λ/ = α/8ία7//, s, t = 1, 2,..., η; условия (2) выполняются. Теперь легко видеть, что содержащийся в Τ правый идеал, порожденный матрицей А, есть идеал 6* из (3). 6. Все минимальные правые идеалы кольца Κι, рассматриваемые как правые модули над Κι, изоморфны между собой. Действительно, пусть S и S' будут два идеала вида (3). Отметим по одному индексу, у и /, из относящихся к этим идеалам систем индексов (1). Всякая матрица из 6* вполне определяется своей у'-й строкой, которая может быть произвольной; это же относится к S' и /. Мы получим, следовательно, взаимно однозначное соответствие между 6* и S', если сопоставим друг другу матрицы, у-я и соответственно у-я строки которых совпадают. Это соответствие является на самом деле изоморфизмом /^/-модулей 6* и S'. Отсюда следует, что изоморфны между собою и кольца операторных эндоморфизмов минимальных правых идеалов кольца Ки рассматриваемых как Кгмодули. Покажем, что эти кольца антиизоморфны телу К. Не нарушая общности, рассмотрим такой идеал 6* вида (3), для которого я=1, т. е. система (1) состоит из одного
246 ОПЕРАТОРНЫЕ ГРУППЫ И КОЛЬЦА. МОДУЛИ [ГЛ. V индекса ]. Ясно, что умножение слева всех элементов всех матриц из 6* на элемент а & К будет /(/-операторным эндоморфизмом идеала 6*. Пусть теперь φ будет любой /(/-операторный эндоморфизм идеала 5*. Так как (l)jj^S, то найдем (1)уу<р. Если бы эта матрица, содержащая одну ненулевую у-ю строку, имела отличный от нуля элемент на месте (у, /), J Φ i, то мы получили бы, в противоречие с /(/-операторностью эндоморфизма φ, что (0)//·0)«)φ = θφ = ο, ((%φ)·0)«¥=ο. Таким образом, (1);7φ = (α);7, αΕΚ. Всякая матрица А из S равна, однако, своему произведению слева на (1)у/, а поэтому Αφ = ((1)УУЛ) φ = (1)ууф · А = (а)ууА Последнее произведение означает, однако, что все элементы матрицы А умножаются слева на а. Мы получаем, что все /(/-операторные эндоморфизмы идеала 5 исчерпываются умножениями слева на элементы тела /С. При этом сумме эндоморфизмов соответствует сумма соответствующих элементов из /(, а произведению, так как умножение на а е К производится слева, — произведение элементов из К в обратном порядке. Этим доказано, что тело К определяется с точностью до изоморфизма заданием кольца R(V,K) как абстрактного кольца. Именно, тело К антиизоморфно кольцу /?'- операторных эндоморфизмов любого минимального правого идеала кольца /?'(= /С/), антиизоморфного кольцу R(V, К). 7. Переходим к вопросу о мощности множества индексов /. Предположим сначала, что множество / конечно и состоит из индексов 1, 2, ..., п. Совокупность S(j) матриц из Кь лишь /-я строка которых может быть отличной от нуля, /=1, 2, ..., п, будет, по V.4.5, минимальным правым идеалом кольца Кь Эти идеалы составляют прямую сумму (см. IV.3.2), совпадающую со всем кольцом Кь а поэтому в Кь как
§ 4] КОЛЬЦА ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 247 в правом /('/-модуле, имеется композиционный ряд длины η (см. Ш.4.6) OczS(\)czS(l) + S(2)cz ... с: 2 S(j) = Kb /=ι Число η инвариантно определяется, следовательно, ввиду теоремы Жордана —- Гельдера, самим /^/-модулем Кь Рассмотрим теперь случай бесконечного множества I. Назовем систему минимальных правых идеалов кольца Κι независимой, если правый идеал, порожденный всеми идеалами этой системы, является их прямой суммой. Система идеалов S(J) (см. выше), взятых для всех /g/, будет независимой системой, притом даже максимальной, так как всякий идеал 6* вида (3) содержится в прямой сумме идеалов S(j), где у —из системы (1), и поэтому не может быть добавлен к системе всех идеалов 5 (у), j ^ I, без нарушения ее независимости. Мощность системы идеалов S(j) совпадает, понятно, с мощностью множества /. Мощность любой независимой системы минимальных правых идеалов кольца Κι не больше мощности множества I. В самом деле, если дана система идеалов вида (3), то множество связанных с ними систем индексов (1) будет частью множества всех конечных подмножеств (бесконечного) множества /, и поэтому его мощность не превосходит мощности /. С другой стороны, из тех же результатов о композиционных рядах (см. Ш.4.6) следует, что независимая система идеалов вида (3), связанных с данной системой индексов (1), может быть лишь конечной. Таким образом, и мощность множества / (т. е. размерность векторного пространства V) однозначно определяется заданием кольца R(V, К) как абстрактного кольца. Именно, эта мощность является максимальной мощностью независимой системы минимальных правых идеалов кольца, антиизоморфного кольцу R(V, К). Теорема доказана. 8. Если в кольце R взято множество Ж, то назовем правым аннулятором этого множества совокупность таких элементов re/?, что хг = 0 для всех χ е Ж. Правый анну- лятор любого множества будет, очевидно, правым идеалом кольца R. Аналогично определяется левый аннулятор.
248 ОПЕРАТОРНЫЕ ГРУППЫ И КОЛЬЦА. МОДУЛИ [ГЛ. V # Ассоциативное кольцо R тогда и только тогда изоморфно кольцу R(V, К) всех линейных преобразований некоторого векторного пространства V над некоторым телом К, если оно удовлетворяет следующим условиям: 1) R обладает единицей; 2) R обладает минимальными односторонними идеалами, которые все содержатся в каждом ненулевом двустороннем идеале; 3) если правый аннулятор левого идеала равен нулю, то этот левый идеал содержит все минимальные левые идеалы; 4) сумма любых двух правых (левых) аннуля- торов сама является таким же аннулятором [Вулфсон, Amer. Journ. Math. 76(1953), 358—386]. * § 5. Простые кольца. Теорема Джекобсона 1. Из сказанного в II.7.9 следует, что полное кольцо матриц данного порядка η над ассоциативным телом К (т. е. кольцо всех линейных преобразований л-мерного векторного пространства над К) будет простым кольцом. Сейчас мы хотим изучить один много более широкий класс простых ассоциативных колец. Рассмотрим произвольное векторное пространство V над ассоциативным телом К. Образ \Ар этого пространства при линейном преобразовании φ будет, очевидно, линейным подпространством (см. V.3.1). Говорят, что φ есть линейное преобразование конечного ранга, если подпространство \Ар конечномерно. Ясно, что сумма и разность линейных преобразований конечного ранга, а также произведение линейных преобразований, хотя бы одно из которых является преобразованием конечного ранга, сами будут преобразованиями конечного ранга, а поэтому множество R'{V, К) всех таких преобразований будет подкольцом и даже идеалом кольца всех линейных преобразований R(V, К). Подкольцо R0 кольца R(V, К) называется плотным кольцом линейных преобразований, если для любой линейно независимой конечной системы элементов хь х2, ..., хп ^ V и произвольной системы элементов уь у2,.. .,уп^ V в кольце R0 найдется такое линейное преобразование φ, что ■*ι·φ=τΛ> /= 1, % . .·> п. 2. Всякое плотное кольцо линейных преобразований конечного ранга является простым кольцом.
§ б] ПРОСТЫЕ КОЛЬЦА. ТЕОРЕМА ДЖЕКОБСОНА 249 Действительно, пусть R0 — плотное кольцо линейных преобразований конечного ранга в векторном пространстве V над телом К и пусть R0 обладает ненулевым идеалом Л. Докажем, что для всякого конечномерного подпространства L можно найти в идеале А проекцию V на L, т. е. такое преобразование а е Л, что Va = L и для всякого у е L имеет место у а =у. Пусть сперва подпространство L одномерно, L = хК, х φ 0. Возьмем AG Л, а Φ 0. Подпространство Va конечномерно; пусть уь у2, ..., уп будет его база. Тогда существует такое хг е V, что xxa =_Ух. Ввиду плотности R0 существует такое φ е R0, что ΛΨ = ^1; У2У = ---=УпЧ> = 0· (1) Так как Л —идеал, то а(р = а'еЛ и, по (1), Ка/ = лг1^Г, причем Χχα' — хх. Существуют, далее, такие срь φ2 е /? лгсрх = jc х, Xi92 = λγ. Поэтому \/(φ1α/φ2) = χ/Γ=^, л: (φια'φ2) = λγ» а так как φια'φ2 е Л, то это и будет искомая проекция. Пусть теперь наше утверждение уже доказано для подпространств размерности п—1 и пусть подпространство L л-мерно, п^>\. Возьмем в нем (п—- 1)-мерное подпространство L'\ по предположению, существует проекция а' е Л пространства V на подпространство Z/. Тогда La' = L'. Ядро L" этого преобразования является одномерным подпространством, L'V = 0, и L = L' + L". Существует проекция а" е Л пространства V на подпространство L". Тогда а = а' + а"-а'а"еЕЛ и будет искомой проекцией V на L. В самом деле, для всех лгя = ха' + ^я" — (vca') a" e L; если χ е L', то „*ra = x-f ха" — ха" =-х\
250 ОПЕРАТОРНЫЕ ГРУППЫ И КОЛЬЦА. МОДУЛИ [ГЛ. V если xeL", то ха' = 0 и χα — χα" = χ. Доказательство теоремы проходит теперь без затруднений. Для любого φ£/?ο подпространство Vy конечномерно и, по доказанному, существует а^ А, являющееся проекцией V на l/φ. Поэтому φα = φ, откуда φ е Л, т. е. А = R0. 3. Всякое плотное кольцо линейных преобразований конечного ранга обладает минимальными правыми идеалами. В самом деле, пусть R0 — снова плотное кольцо линейных преобразований конечного ранга в векторном пространстве V нал телом К и пусть L — любое одномерное подпространство из V. Применяя доказанное выше утверждение к случаю A = R0, можно утверждать существование такого a^R0, которое является проекцией V на L. Обозначим через V совокупность таких у' ^ V, что у'а = 0. Тогда L(]Lf = 0 и V = L + L'. (2) Обозначим через А совокупность таких а' е R0, что L'a' = 0. Ясно, что a G А, т. е. Л состоит не только из нуля, и что А будет правым идеалом кольца R0. Докажем, что этот идеал минимальный. Пусть ах и а2 — любые ненулевые элементы из А. Если L = хК, то хаг Φ 0, так как иначе было бы Vai = 0, т. е. ^ = 0. Поэтому, ввиду плотности кольца R0, существует такое φ е R0, что (хаг) φ = ха2, (3) а так как * L'a1 = L'a2 = 0, то, ввиду (2) и (3), βιΦ = а2> т. е. правый идеал А порождается своим произвольным ненулевым элементом ах. 4. Обращением полученных результатов служит следующая теорема Джекобсона [Trans. Amer. Math. Soc. 57 (1945), 228—245]: Всякое ненулевое (см. П.2.2) простое кольцо R, обладающее минимальными правыми идеалами, изоморфно плот-
§ 5] ПРОСТЫЕ КОЛЬЦА ТЕОРЕМА ДЖЕКОБСОНА 251 ному кольцу линейных преобразований конечного ранга некоторого векторного пространства над некоторым телом. Возьмем в нашем кольце R минимальный правый идеал А. Умножение идеала А справа на элемент г ^R определяет эндоморфизм аддитивной группы А. Так как сумме (произведению) элементов из R соответствует сумма (произведение) соответствующих эндоморфизмов, то мы имеем гомоморфизм кольца R в кольцо эндоморфизмов аддитивной группы А. Из простоты кольца R следует, что этот гомоморфизм будет или изоморфизмом, или же отображением в нуль. Последнее, однако, невозможно. Из AR — О (т. е. аг = О для всех аеД г ^R) следовало бы А2 = 0, а тогда ненулевой двусторонний идеал B = RA + A, т. е. совокупность элементов вида η 2 riai + α> fi^R> αι,α^ A, I = 1, 2, ..., η (при всевозможных натуральных п), обладал бы свойством В2 = О. Из простоты кольца R вытекает, однако, B = R, а тогда /?2 = 0 в противоречие с тем, что кольцо R по условию ненулевое. 5. Можно считать, следовательно, что R является некоторым кольцом эндоморфизмов (т. е. подкольцом кольца всех эндоморфизмов) аддитивной группы идеала А. Так как правый идеал А минимальный, то в группе А нет нетривиальной подгруппы, допустимой (см. V.1.2) относительно всех эндоморфизмов из /?, т. е., как говорят, кольцо эндоморфизмов R неприводимо. Лемма Шура. Если задано некоторое неприводимое кольцо эндоморфизмов R абелевой группы А, то совокупность К тех эндоморфизмов группы А> которые перестановочны (в смысле умножения эндоморфизмов) с каждым эндоморфизмом из R, будет телом. Ясно, в самом деле, что К является подкольцом кольца всех эндоморфизмов группы А и содержит тождественный автоморфизм группы А. Пусть теперь aGi( и афО. Тогда АафО и так как подгруппа Аа выдерживает умножение справа на все элементы из R, а кольцо эндоморфизмов R
252 ОПЕРАТОРНЫЕ ГРУППЫ И КОЛЬЦА. МОДУЛИ [ГЛ. V неприводимое, то Ла = Л. Ядро эндоморфизма а будет R-ло- пустимой подгруппой, т. е., ввиду неприводимости кольца /?, оно равно нулю. Эндоморфизм а оказался, следовательно, автоморфизмом, а тогда существует обратный автоморфизм а-1, перестановочный, как и а, со всеми эндоморфизмами из /?; поэтому а-1 е К. Применяя лемму Шура к доказываемой нами теореме, мы получаем, что аддитивная группа идеала Л является векторным пространством над телом К, а так как всякий эндоморфизм из R перестановочен с каждым эндоморфизмом из К, то R будет некоторым кольцом линейных преобразований этого векторного пространства. 6. Кольцо R является плотным кольцом линейных преобразований. Пусть сперва в Л даны элементы а и а', причем а Ф 0. Множество aR является правым идеалом кольца R. Если aR = 0, то множество всех χ е Л, для которых xR = 0, будет состоять не только из одного нуля, а так как это правый идеал в /?, то, ввиду минимальности Л, он совпадает с Л. Отсюда следует, однако, AR = О, что, как показано в V.5.4, невозможно. Поэтому aR = Л, а тогда существует такое re/?, что аг = а'. Пусть теперь в Л даны линейно независимые над К элементы аь а2, ..., ап и произвольные элементы а'\, а% ..., аПУ п^> 1. Предположим, что уже доказано существование таких элементов r( e /?, /=1, 2, ..., п, что a^i ф 0, ajri = 0 при у=1, ..., /—1, /+Ь ···> п. По доказанному выше, существуют такие г* е/?, /=1, 2, ... ..., я, что Поэтому элемент η обладает тем свойством, что ар = aiy 1= 1, 2, ..., я. 7. Нам нужно, следовательно, доказать, что для любой линейно независимой над К системы элементов аь аг, ...
§ 5] ПРОСТЫЕ КОЛЬЦА. ТЕОРЕМА ДЖЕКОБСОНА 253 ..., ап е А, п i> 1, существует такой элемент г ^R, что а±г=... = ап_гг = 0, апг φ 0. Пусть сперва η = 2. Предположим, что из а±г = 0 всегда следует а2г = 0. Для всякого а е А существует такое г е /?, что α — α,χΤ. Если также а = ахг', то аг{г — r') = 0, a поэтому, по предположению, и а2{г — г') = 0, откуда а2г = а2г'. Мы определим, следовательно, однозначное отображение α группы Л в себя, если для а = агг положим аа — а2г. Отображение а является эндоморфизмом группы Л, так как из a~axr, b = a1r' следует a-^-b — ^^ + r') и поэтому (а + Ь) а = а2 (г + г') = а2г + а2г' = яа + Ьа. Эндоморфизм а перестановочен с каждым эндоморфизмом г0 е /?, так как из α = агг следует аг0 = аг (гг0), откуда (аг0) а = а2 (гг0) = (аа) г0. Этим доказано, что α е /С. Так как (αχα) г = (агг) а = a2r, r e /?, то (αχα — α2) г = 0, re/?, а поэтому, как мы знаем из V.5.6, аха — а2 = 0 в противоречие с линейной независимостью над К системы элементов аь а2. 8. Пусть теперь η произвольное и для η — 1 утверждение V.5.7 уже доказано. Существует, следовательно, такое г' е /?, что агг' =... = ап_2г' = 0, ап_гг' φ 0; обозначим через /?' множество всех таких г'. Если элементы ая_1г' и апг' линейно независимы над /С, то, по доказанному, существует такое г" е /?, что W'r" = 0, a„r'r"^=0, и можно положить r = r'r". Пусть, однако, *л-1г'=(аяг')Р, β^/C, β=^0. (4)
254 операторные группы и кольца, модули [гл. ν Используя снова индуктивное предположение, можно найти такое r0 e /?, что й1г0 =... = ап_2г0 = О, (αη_ί - α„β) r0 φ 0. (5) Если апг0 = 0, α,^χΓο Φ 0, то найдется такое гг е /?, что ^n-irori — an-ir'> а тогда можно положить г = г' — г0гь так как апг = апг' ф0. Если αΛ_ιΓ0 = 0, апг0ф0, то будет просто г = г0. Если ап_±г0 и a„r0 линейно независимы, то, так как г0 е /?', существование искомого г выше уже доказано. Остается рассмотреть случай an-So = (а«г0) γ, ΪΕ^,Ϊ^Ο; (б) из (5) следует β =^= γ. Существует такое r2 e R, что ^-1^0^2=^-1^· (7) * Тогда, по (б), (7) и (4), <W2 = «WoY"1^ = (*η-ι^ύ V"*1 = ая-ιΓ V1 = anr'$y-\ откуда Μ'·'βγ-1-'ν2) = 0. (8) Теперь можно положить г — г' — rj^. ясно, что а1г = ... = ап-1г = 0; если бы было и апг = 0, то, ввиду (8), мы имели бы апг' = апг'$у-\ а так как β γ—1 =^= 1, то получили бы аяг' = 0, что не имеет места. 9. Кольцо R состоит из линейных преобразований конечного ранга. Достаточно доказать, что R содержит хотя бы одно ненулевое линейное преобразование конечного ранга, так как тогда пересечение R с идеалом R' (А, К) кольца R(A, К) (см. V.5.1) будет отличным от нуля идеалом кольца R и, ввиду простоты, кольца R, будет совпадать с R. Мы знаем из V.5.4, что А2 Ф О. Отсюда и из минимальности правого идеала А следует, что для любого данного ненулевого а ^ А будет аА = А Существует, в частности, такое ееД е Φ 0, что ае = а. Отсюда
§ 6] ЛИНЕЙНЫЕ АЛГЕБРЫ 255 а поэтому е2 = е, так как элементы из Л, аннулирующие а справа, составляют правый идеал; элемент е является, следовательно, идемпотентом. Ясно, что A = eR. Рассматривая теперь е как принадлежащее к кольцу R линейное преобразование векторного пространства Л над телом /С, покажем, что оно конечного ранга. Именно, подпространство Ае одномерно. Действительно, если бы в нем содержались линейно независимые над К элементы а' и а", то, ввиду идемпотентности е, а'е = а', а"е = а". (9) В соответствии с V.5.7 существует такое rGR, что а'г = 0, а"г фО. Отсюда а'(ег) = 0, а" (ег)фО, т. е. ег Φ 0. Так как ег е Л, то множество элементов из А аннулирующих а' справа, состоит не только из нуля. Это множество является правым идеалом и поэтому совпадает с Л, что противоречит, однако, первому из равенств (9). Теорема Джекобсона доказана. # Если Riy /=1, 2, является плотным кольцом линейных преобразований конечного ранга в векторном пространстве Vi над телом К{ и если существует изоморфизм τ между кольцами Rx и /?2, то между пространствами V± и V2 существует такое полулинейное соответствие σ (см. V.4.1), что для всех ае^ rei?! (аг) σ — ασ · гх. Полные кольца матриц конечных порядков над телами и только они являются ненулевыми простыми ассоциативными кольцами, удовлетворяющими условию минимальности для правых идеалов, ж § 6. Линейные алгебры. Алгебра кватернионов и алгебра Кэли 1. Переходя к операторным кольцам (см. V.1.7), естественно в качестве частного случая рассмотреть кольца, допускающие в качестве кольца операторов (см. V.1.8) некоторое ассоциативное тело. При этом, учитывая сказанное
256 ОПЕРАТОРНЫЕ ГРУППЫ И КОЛЬЦА МОДУЛИ [ГЛ. V в V.1.9, мы будем предполагать, что это тело коммутативно, т. е. является полем. Кольцо /?, имеющее поле Ρ своим кольцом операторов, называется линейной алгеброй над полем Р. Обычно, впрочем, говорят просто об алгебре над полем, так как нет опасности смешать это понятие с понятием универсальной алгебры. Если при этом R является ассоциативным телом, то принято говорить об (ассоциативной) алгебре с делением. В неассоциативном случае в соответствии с терминологией, введенной в Н.6.1, мы будем называть алгеброй с делением всякое кольцо с делением, являющееся алгеброй над данным полем. Аналогичный смысл имеет понятие алгебры с однозначным делением. Если же алгеброй над полем является тело, то, как будет показано ниже, это всего лишь означает, что в центре нашего тела выделено некоторое подполе; впрочем, иногда мы будем все же говорить об алгебре с однозначным делением и с единицей. Все сказанное в V.1.7 применимо и к случаю алгебр. Так, изоморфизмы и гомоморфизмы алгебр над полем Ρ следует понимать как их Р-операторные изоморфизмы и гомоморфизмы. Р-допустимые подкольца алгебры называются ее подалгебрами. Под идеалом алгебры всегда понимается ее Р-допустимый идеал. Понятен также смысл термина фактор- алгебра. Аддитивная группа всякой алгебры R над полем Ρ является векторным пространством над этим полем, как немедленно вытекает из определения алгебры. Векторные пространства поддаются изучению много легче, чем, например, произвольные абелевы группы без операторов. По этой причине теория алгебр во многих отношениях проще и разработана заметно дальше, чем параллельная ей теория колец без операторов. 2. В III.2.9 было введено понятие центра кольца; напомним, что единица кольца, если она существует, содержится в его центре. Если кольцо R обладает единицей е и если в центре кольца R лежит подполе Р, содержащее е, то R будет алгеброй над Р. Действительно, если произведение элементов из R на элементы поля Ρ понимать в смысле умножения, заданного в кольце R, то выполненность всех требований, входящих
§6] ЛИНЕЙНЫЕ АЛГЕБРЫ 257 в определение алгебры, немедленно вытекает из свойств операций в кольце и определения центра. Так, поле комплексных чисел является алгеброй с делением над полем действительных чисел. Кольцо многочленов Ρ [χ] над полем Р.будет алгеброй над этим полем, так как многочлены нулевой степени составляют в Ρ [χ] подполе, изоморфное полю Ρ и содержащее единицу кольца. Всякое тело будет алгеброй над своим центром, так как последний, как показано в III.2.9, является полем. Если алгебра R над полем Ρ обладает единицей е> то в центре этой алгебры лежит подполе, содержащее е и изоморфное полю Р. Для доказательства обозначим через Р' совокупность элементов вида еа, где aGP. Ввиду (7) и (8) из V.1.4 и (11) из V.1.7 е(а±$) = еа±е% е (α β) = (ее) (αβ) = [(ее) α] β = (еа · е) β = еа · е$. Отсюда следует, что отображение а -> еа будет гомоморфным отображением Ρ на Р', притом даже изоморфным, так как Ρ — поле и, ввиду (9) из V.1.4, 1—^^-1=^=^=0, где 1 — единица поля Р. Докажем, наконец, что подполе Р' содержится в центре алгебры R. В самом деле, для любых х, у е R (еа) χ = (ех) а = (хе) а = х (еа), [(еа) х] у = [(ех) а] у = ха ·у = (ху) а = [е (ху)] а = (еа) (ху), (ху) (еа) = [(ху) е]а = (ху) а = х-уа = х [(уе) а] = χ [у (еа)]. Теорема доказана. 3. Пусть дана алгебра R над полем Ρ и пусть в аддитивном векторном пространстве этой алгебры выбрана база X, составленная из элементов x-t (где / пробегает некоторое множество индексов). Всякий элемент а из R обладает однозначной записью вида (3') из V.3.5, т. е. вида а = 2 xial> а* е Р, причем сложение элементов из R и их умножение на элемент β поля Ρ сводятся на сложение соответственных коэффициентов и на умножение коэффициентов на β.
258 ОПЕРАТОРНЫЕ ГРУППЫ И КОЛЬЦА. МОДУЛИ ГГЛ. V Если хь Xj e X, то произведение х(Хр будучи элементом из /?, также обладает записью через базу X, xk^x . причем при данных / и j лишь конечное число коэффициентов ε* может быть отлично от нуля. Система элементов ε*. поля Ρ полностью определяет умножение в алгебре R. Действительно, для любых α, β е Ρ (xia)(x^) = (xixj)(a^)= £ *а (ФФ)· xk<=X Если же в β даны произвольные элементы а= 2 х&1> Ь= Σ XJ&> (2) то, учитывая, что лишь конечное число коэффициентов а1 и β^ может быть отлично от нуля, на основании законов дистрибутивности получаем «*= Σ Σ {*&')(*#) = Σ *»(β?/«'βΟ· (3) ^G=X #-geX i, u k Понятно, что при переходе от базы X к другой базе алгебры R числа ε*, меняются, т. е. алгебра R будет в этой новой базе определяться «таблицей умножения», отличной от (1). 4. Если в векторном пространстве V над полем Ρ выбрана база X, составленная из элементов хь i e /, а в поле Ρ взяты произвольные элементы ε*., /, у, k е /, то существует алгебра над полем Р, имеющая V своим аддитивны ц векторным пространством и задаваемая в базе X таблицей умножения (1) с этими коэффициентами ε*. Действительно, если для любых элементов a, b ^ V, записываемых в базе X в виде (2), мы определим произведение формулой (3), то, как легко проверить, будут выполняться и законы дистрибутивности, и требование (11) из V.1.7, а элементы базы X будут перемножаться в соответствии с (1).
§6] ЛИНЕЙНЫЕ АЛГЕБРЫ 25Q Ясно, что алгебра, построенная этим путем, в общем случае (т. е. если выбор чисел ε*, не подчинен дополнительным ограничениям) не будет ни ассоциативной, ни коммутативной. Легко проверить, используя законы дистрибутивности, запись элементов алгебры через базу и свойства умножения в поле, что если в алгебре R над полем Ρ выбрана база X, то для того чтобы эта алгебра была ассоциативной, коммутативной или лиевой (см. Н.2.3), не только необходимо (что очевидно), но и достаточно, чтобы для любых хь Xj, Xk ^ X выполнялись соответственно равенства (XiXj) Xk = χι (XjXk) или X^X j = X jXι, или, наконец, X(Xj = — XjXi, (XiX j) Xk + (xjxk) xi ~l· (xkxi) xj = 0· 5. Применим результаты V.3.7 и V.6.4 к построению одного специального типа алгебр. Возьмем произвольный группоид G и произвольное поле Р, а затем построим векторное пространство над Р, имеющее множество G своей базой. Определяя произведение для элементов этой базы как их произведение в группоиде G, мы получим алгебру, называемую группоидной алгеброй группоида G над полем Р. Читатель сравнит, конечно, это понятие с понятием целочисленного . группоидного кольца из П.4.5. Группоидная алгебра будет ассоциативной, если группоид G является полугруппой или, в частности, группой. В этом случае говорят о полугрупповой и соответственно групповой алгебре. Так, алгебра многочленов Ρ [χ] над полем Ρ будет полугрупповой алгеброй: ее базой служит совокупность степеней дг° = 1, х, х2, ..., хп, ... неизвестного х, составляющая по умножению полугруппу, изоморфную аддитивной полугруппе целых неотрицательных чисел. 6. Если аддитивное векторное пространство алгебры R над полем Ρ конечномерно (см. V.3.6), то и сама алгебра называется конечномерной; ее размерность иногда называется также рангом. Так, кольцо матриц Рп над полем Ρ (см. Н.2.6) является, ввиду V.6.2, алгеброй над этим полем, так как центр кольца Рп
260 ОПЕРАТОРНЫЕ ГРУППЫ И КОЛЬЦА МОДУЛИ [ГЛ. V содержит совокупность скалярных матриц (см. 11.4.3), содержащую единичную матрицу и изоморфную полю Р. Алгебра матриц Рп имеет при этом конечную размерность я2, так как ее базу составляют матрицы etjf /, j == 1, 2, ..., η, у которых на месте (/, у) стоит 1, а на всех остальных местах —нули. Таблица умножения алгебры Рп в этой базе такова: Cij ' ejk = eik> eij-eki = Q при j φ k. 7. Как уже было отмечено в V.6.2, поле комплексных чисел К является алгеброй с делением над полем действительных чисел или, как мы будем говорить, действительной алгеброй с делением. Эта алгебра имеет размерность 2, так как числа 1 и / составляют ее базу. Алгебра К имеет в этой базе следующую таблицу умножения: 12= 1, 1./ = М=/, /а=-1. 8. Построим теперь четырехмерную действительную ассоциативную алгебру с делением Q, называемую алгеброй кватернионов. Это будет алгебра с базой 1, /, у, k и следующей таблицей умножения: 1 / J k 1 "Τ" / j k i i -1 -A j J j k -1 — / k "k -/ i -1 При разыскании в этой таблице произведения, например / на ]у следует брать пересечение строки с номером / со столбцом с номером ]у τ е. ij = k. Из таблицы умножения (4) сразу следует, что элемент 1 является единицей алгебры Q и что эта алгебра некоммутативна. Алгебра Q будет, однако, ассоциативной: так как элементы /, у, k входят в таблицу умножения (4) равноправным (с точностью до знаков) образом, то, ввиду V.6.4, достаточно проверить справедливость равенств (и) I = I (U), (и) j = I (У), (lj) I = что предоставляется читателю.
§ 6] ЛИНЕЙНЫЕ АЛГЕБРЫ 261 9. Всякий кватернион (т. е. элемент алгебры Q) α обладает однозначной записью а = а + ib + jc + kd с действительными коэффициентами а, Ь, с, d. Кватернион oi = a — ib —jc — kd называется сопряженным кватерниону а. Легко проверяется, что ^β = βα, α+β=α+β (5) и что αα = αα = α2 + b2 + с2 + d\ (6) Неотрицательное действительное число η (α) = αα = &α, (7) равное нулю лишь при α = 0, называется нормой кватерниона а. Легко проверить, что /ι(αβ) = /ι(α)./ι(β), (8) а поэтому алгебра кватернионов не содержит делителей нуля. Действительно, ввиду (7) и (5), η(αβ) = (αβ)(αβ) = αββα = (αα).η(β) = η(α).«(β). Если а Ф О и поэтому #(а)^0, то, по (7), \л(а) У \л(а) у' Для всякого отличного от нуля кватерниона а существует, следовательно, обратный кватернион, а поэтому алгебра кватернионов является телом. 10. Построим, наконец, одну восьмимерную действительную неассоциативную алгебру с однозначным делением и с единицей, называемую алгеброй Кэли. Рассмотрим всевозможные выражения вида α + β£, где а и β— кватернионы, а е — новый символ; в частности, вместо α + β^ при β = 0 мы будем писать просто а, а при а = 0 — просто β^. Определяя для рассматриваемых выражений сложение и умножение на действительное число а равенствами (а + $е) + (у + 6е) = (сс + у) + ф + 6)е, (9) (a -f βέ?) α = (μα) + фа) е, (10)
262 операторные группы и кольца модули [гл. ν мы получаем восьмимерное действительное векторное пространство с базой 1, /, у, k9 ey ie, je, ke. (11) Определим в этом пространстве умножение равенством (α + βή(Υ + δή = (αγ-8β) + (δα + βν)* (12) Легко проверяется дистрибутивность этого умножения относительно сложения (9), а также, ввиду (10), справедливость равенств [(α+β^)(γ + δ^)]α=[(α + β^)α](γ + δ^) = = (α+β*)[(ν + θ*)4 Таблица умножения полученной алгебры Кэли в базе (И) без труда выводится из (12). Это будет следующая таблица: 1 / j k е ie je ke 1 1 / J k e ie je kc i i -1 -k j — ie e ke -je i j k -1 — / -je -—ke e ie k k -j i - 1 — ke je --ie e e e ie je ke -1 — i -y -k ie ie — e ke -je I -1 k -j je je — ke — e ie j — k - 1 / ke ke Je -ie — e k j — i — 1 Мы видим, что элементы вида α=α + 0^ составляют в алгебре Кэли подалгебру, изоморфную алгебре кватернионов. С другой стороны, из (9) и (12) вытекает, что в записи α + β^ элементов алгебры Кэли и сложение, и умножение можно понимать в смысле операций, определенных в этой алгебре. Алгебра Кэли не является ни коммутативной, ни ассоциативной. Так, (ij)e = ke, i(je)= —ke. 11. Если ξ = α + β£ — элемент алгебры Кэли, то назовем сопряженным ему элемент | = α — $е.
§ 6] ЛИНЕЙНЫЕ АЛГЕБРЫ 263 На основании (12) и (5) легко проверяется, что для любых элементов ξ и η алгебры Кэли |η=ηϊ, ί+η = ϊ+η 03) и что для ξ = α -f- β^ ξ| = |ξ = αα + ββ = «(α) + β(β). (14) Это неотрицательное действительное число, равное нулю лишь при ξ = 0, называется нормой элемента ξ и обозначается через л (ξ). Если ξ = α+β£> η = γ + δ£, то из (12) и (14) следует, ввиду (5), что η {Ы = (αγ - 8β) (γα - βδ) + (δα + βγ) (αδ + γβ) = = п(а)п(у) + пф)п(6) + п(а)п{6) + п(Р)п(у) + а-Ь> где α = δαγβ + βγαδ, b = αγβδ + δβαγ. Так как, по (5), вторые слагаемые в выражениях для а и Ъ сопряжены с первыми слагаемыми, то а и Ъ будут действительными числами. Если δ = 0, то, очевидно, а = Ь = 0 и поэтому а — Ь = 0. Если же δ Φ 0 и поэтому η (δ) Φ 0, то, ввиду действительности числа а, απ (δ) = δαδ = bn (δ), откуда а = Ь, т. е. снова а — Ь = 0. Таким образом, η (ξη) = [η (α) + η (β)] [η (γ) + η (δ)] = η (ξ) η (η). (15) Отсюда следует, что алгебра Кэли не содержит делителей нуля. 12. Равенство (12) показывает, что элемент 1 = 1+0^ является единицей алгебры Кэли. С другой стороны, если даны элементы ξ = α4-β^ и Ц = у-\-$е, причем ξ^Ο, то уравнение Ιζ = η (16)
264 ОПЕРАТОРНЫЕ ГРУППЫ И КОЛЬЦА. МОДУЛИ [ГЛ. V обладает решением, притом единственным ввиду отсутствия делителей нуля. Именно, ζ = 7Γ7Ι) |η = 7Г1) № + 8Р) + <ба ~ PV) 4 Читатель без труда проверит, используя (12) и (5), что элемент ζ действительно удовлетворяет уравнению (16). Аналогично единственным решением уравнения ζ| = η. ΙΦ0, служит элемент Мы получаем, что алгебра Кэли является {неассоциативным) телом. § 7. Альтернативные кольца. Теорема Артина 1. Алгебру кватернионов и алгебру Кэли вовсе не следует считать случайными примерами действительных алгебр с делением — их особая роль устанавливается во многих теоремах, некоторые из которых будут доказаны или упомянуты в следующем параграфе, а также в §§ б и 10 следующей главы. Укажем сначала одну простую классификацию всех колец. Закон ассоциативности связывает, как известно, три элемента, а поэтому всякое кольцо, все подкольца которого, порожденные тремя элементами, ассоциативны, само будет ассоциативным. Более широкий класс колец составляют альтернативные кольца, т. е. те кольца, в которых ассоциативны все подкольца, порожденные двумя элементами. Еще более широким будет класс колец с ассоциативными степенями, т. е. тех колец, в которых ассоциативны все подкольца, порожденные одним элементом; этот класс не исчерпывает, конечно, всех колец. 2. Если а, Ь, с — элементы некоторого кольца R, то назовем ассоциатором этих элементов элемент [а, Ъ, c] = (ab)c — a(bc). (1) Очевидно, что [а,Ь,с] = 0
§ 7] АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ КОЛЬЦА. ТЕОРЕМА АРТИНА 265 тогда и только тогда, если для элементов а, й, с выполняется закон ассоциативности (ab) с— a (be). Из (1) следует, что [а + а\ Ь, с] = [а, Ь, с] + [а', Ь, с]; (2) аналогичные равенства справедливы и для мест, занимаемых в ассоциаторе элементами й и с. С другой стороны, [ — а, Ьу с] = — [а, Ьу с]. На основании (1) легко проверяется следующее равенство, справедливое для любых элементов а, й, с, d e R: [aby Су d] - [α, be, d] + [а, й, а/] = а [й, с, d] + [а, й, с] d. (3) 3. Теорема Артина. Кольцо R тогда и только тогда альтернативно у если для любых а, й е /? имеют место равенства (аа) Ь — а (ай), (йа) а = й (аа) *). (4) Очевидно, что в альтернативном кольце условия (4) выполняются. Будем считать поэтому, что дано кольцо R, в котором для любых элементов а и й выполняются равенства (4); эти равенства могут быть записаны в виде [а, а, й] = 0, [й, а, а] = 0. (5) 4. 5 кольце R для любых а и b справедливо равенство [а, й, а] = 0. (б) Действительно, ввиду (5) и (2), О = [а, а + й, а + й] = [а, а, а] + [а, а, й] + + [а, й, а] + [а, й, й] = [а, й, а]. Если в кольце R элементы а, й, с подвергнуты некоторой перестановке, то ассоциатор [а, й, с] #£ меняется, если эта перестановка четнаяу и меняет знак, если она нечетная. г) Читатель может принять тождества (4) в качестве определения альтернативного кольца и без ущерба для дальнейшего опустить доказательство теоремы Артина. Мы видим, что альтернативные кольца составляют примитивный класс универсальных алгебр (см. III.6.3).
266 ОПЕРАТОРНЫЕ ГРУППЫ И КОЛЬЦА. МОДУЛИ [ГЛ. V Достаточно, как известно, рассмотреть лишь случай транспозиций двух элементов. Ввиду (5) и (2) 0 = [а, b + c, b + c] = [a, b, b] + [a, b, с] + [а, с, Ь] + + [а, су с]*=[а, Ь, с] + [а, с, Ъ\ откуда [а, Ьу с] = — [а, с, Ь]. Аналогично доказываются равенства [a, bf с] = — [by а, с] и, ввиду (6), [а, by с] = — [с, by a]. 5. Если Л, By С — подмножества нашего кольца R, то условимся писать [Лу By С] = Оу если [a, by с] = 0 для всех а е Л, b e В, с е С. Подмножество Л кольца /? назовем а-множествоМу если [Л, Л, /?] = 0, (7) и поэтому, на основании доказанного выше, [Л, R, Л] = Оу [R, Лу Л] = 0. (8) Из (5) следует, что множество, состоящее из одного элемента, будет α-множеством. Подкольцо кольца /?, порожденное α-множеством Л, само будет а-множествоМу т. е.у короче, будет а-под- кольцом. Действительно, из (2) следует, что, добавляя к множеству Л всевозможные суммы и разности его элементов, мы снова получим α-множество. Покажем, что это же имеет место и тогда, когда к Л добавляются произведения всевозможных пар его элементов. В самом деле, если аь а2) а3, а4 ^ Л, то, ввиду (3), [α±α2> Ху а3] — [аь а2х} а3] + [аь а2, ха3] = = а1[а2, Ху а3] + [аь а2, х] а3, откуда, ввиду (7) и (8), [flifla, Ху α3] = °· (9) Далее, снова по (3), [ага2у Ху а3а^] — [аь а2ху α3α4] + [αι> а2> χ(α3α4)] = = ах[а2у х, агаА] + [аь а2, л;](а3а4),
§ 71 АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ КОЛЬЦА. ТЕОРЕМА АРТИНА 267 откуда, войду (7), (8) и (9), [а^, х, а3а±] = 0. Таким образом, если мы, начиная от множества Л, будем поочередно добавлять к построенному α-множеству или все суммы и разности его элементов, или же все произведения пар его элементов, мы получим в R возрастающую последовательность α-множеств. Объединение этой последовательности будет, конечно, α-множеством и вместе с тем оно будет совпадать с подкольцом, порожденным множеством Л. Из этого результата вытекает, что всякое подкольцэ кольца R, порожденное одним элементом, будет а-под- кольцом и поэтому будет ассоциативным. 6. Если Л и В будут α-подкольцами кольца R, то обозначим через С множество всех таких элементов с из R, что [Л, В, с] = 0. Ясно, что С=>(А[]В) (10) и что С замкнуто относительно сложения и вычитания. Если с е С, то для любых а' е А и V е В имеют место включения а'с, са', b'c, cb' e С. Действительно, если адД b e В, то, по (3), [аа'у с, Ь] — [а, а'с, Ь] + [а, a', cb] = а [а', с, Ь] -\- [а, а', с] Ь, [be, a', a] — [b, са', а\-{-[Ь, с, а'а]=Ь[с, а', а] + [^ с, а'] а или, учитывая, что А является α-подкольцом, a cgC, [а, а 'с, Ь] = 0, [Ь, са', а] = 0, т. е. а'с е С, са' е С. Так же доказываются и два других включения. Ввиду Н.3.7 любой элемент подкольца {Л, В} представим в виде суммы произведений вида w = хгх2 ...хп> где всякое Xi, i—\, 2, ..., п, принадлежит к Л или к В] назовем η длиной этого произведения, n = l(w). В произведении w некоторым способом распределены скобки, причем всякая скобка является произведением ровно двух меньших скобок. Произведение w длины η назовем нормальным элементом, если
268 ОПЕРАТОРНЫЕ ГРУППЫ И КОЛЬЦА МОДУЛИ [ГЛ. V всякая скобка длины k, 2^k^in, входящая в состав этого произведения, является произведением скобки длины k — 1 на элемент из А или из В, слева или справа. Таким образом, произведение (ab)(b'a') не будет нормальным, а произведение Ь' \(ab) а'} нормально. Из доказанного выше следует, ввиду (10), что всякий · нормальный элемент w принадлежит к множеству С, т. е. для всех AG/l, b e В [a, b, w] = 0. (11) 7. Всякое произведение нормальных элементов пред- ставимо в виде суммы нормальных элементов. Достаточно доказать это для произведения двух нормальных элементов ν и w. Будем вести доказательство индукцией по длине элемента ν, так как при / (ν) = 1 нормальность произведения vw очевидна. Если v = v'a, l(vf) — l(v)—\y адД то vw = (v'a)w = v' (aw)-\-[v\ α, w] = = ν' (aw) — [ν', w, a] = v'(aw) — (v'w)a-{-v'(wa), но каждое из трех слагаемых полученной суммы предста- вимо, по индуктивному предположению, в виде суммы нормальных элементов. На этот случай сводится и случай ν = αν': vw = (av')w = a(v'w)-\-[a, v'} w]=- ~a(v'w) — (v', α, w) = a(v'w)-—(v'a)w-\-v' (aw). Отсюда следует, что всякий элемент из {Л, В) представим в виде суммы нормальных элементов. 8. Если v, w — нормальные элементы, то для любых а^ A, b e В [a, v} w] = [b, ν, w] = 0. (12) Если /(г»)=1, то (12) следует из (11). Будем поэтому вести доказательство индукцией по длине элемента v. Если i> = 6V, где l(v') = l(v)-l, b'<=B, то, по (3), [b'v'f w, a] — [b'f v'Wy a] + [br, v', wa] = = b'[v', w, a]~\-[b', ν', w]a. Отсюда, используя индуктивное предположение, а также (11) и результат, доказанный в предшествующем пункте, мы по-
§ 7] АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ КОЛЬЦА. ТЕОРЕМА АРТИНА 269 лучаем [b'v'y w, a] = [v, w, a] = [a, v, w] = 0. В случаях ν = v'a', v = a'v' и v = v'b' также применяется тождество (3), причем в качестве элементов а, Ь, с, d нужно соответственно брать w, v'y α', а или а, а', v', w, или, наконец, г/, b'y w, а. 9. Если и, v, w — нормальные элементы, то [и, v, w] = 0. (13) Ввиду (12) можно вести доказательство индукцией по длине элемента и. Если и = и'а, 1(μ') = 1(ύ)— Ι, αεΑ то, по (3), [и'a, v, w] — [и', avf w] -f [и', a, vw] = и' [α, υ, ге>] -f [w'> я> *>] ^ или, используя индуктивное предположение и результат из V.7.7, [и'α, υ, ζ£>] = [и, υ, ге>] = 0. Так же рассматриваются и другие возможные случаи. Отсюда, учитывая, что всякий элемент подкольца {А, В} является суммой нормальных элементов, мы получаем, что подкольцо {А, В}, порожденное а-подкольцами А и В, будет ассоциативным. Если же в качестве А и В мы возьмем подкольца, каждое из которых порождено одним элементом, то получим, ввиду последнего результата из V.7.5, что всякое подкольцо кольца R, порожденное двумя элементами, ассоциативно, и этим закончим доказательство теоремы Артина. *Если аддитивная группа кольца R не содержит отличных от нуля элементов конечного порядка, то R тогда и только тогда будет кольцом с ассоциативными степенями, если для всякого элемента а из R (аа) α = а (аа), [(аа) а] а — (аа) (аа). [Алберт, Summa Bras. Math. 2 (1948), 21—33; см. также А. Т. Гайнов, Успехи мат. наук 12:3 (1957), 141 — 146].* 10. Докажем теперь, что алгебра Кэли альтернативна. Достаточно проверить, ввиду теоремы Артина, что в алгебре Кэли выполняются равенства (4). Проверим хотя бы первое из них. Если ξ = α + β6?, ц = у + 6е}
270 ОПЕРАТОРНЫЕ ГРУППЫ И КОЛЬЦА. МОДУЛИ [ГЛ. V то, по (12) из V.6.10, т η = [(α2 - ββ) γ - δ (βα + βα)]+[δ (α*-ββ)+(βα + βα)γ~] е, Ι (1ц) = [α (αγ - 6β) - (δαΤΜ) β]+[(6α+βγ)α+β(αγ-δβ)μ Правые части этих равенств будут, однако, совпадать, как легко показать на основании (5) из V.6.9, если учесть, что и α+ ά, и ββ = ββ являются действительными числами и поэтому перестановочны с любым кватернионом. § 8. Обобщенная теорема Фробениуса 1. Поле действительных чисел и поле комплексных чисел являются единственными конечномерными действительными ассоциативно-коммутативными алгебрами без делителей нуля. Тело кватернионов является единственной конечно- мерной действительной ассоциативной, но не коммутативной алгеброй без делителей нуля. Алгебра Кэли является единственной конечномерной действительной альтернативной, но не ассоциативной алгеброй без делителей нуля. Объединение первых двух теорем называется теоремой Фробениуса] объединение всех трех теорем мы будем называть обобщенной теоремой Фробениуса. 2. Докажем сперва следующую общую теорему: Всякая конечномерная алгебра R без делителей нуля над произвольным полем Ρ является алгеброй с однозначным делением. Докажем однозначную разрешимость хотя бы первого из уравнений ax = b, ya = b, (1) где а Ф 0. Обозначим через aR совокупность элементов вида аг для всевозможных г из R. Ясно, что aR будет линейным подпространством аддитивного векторного пространства алгебры R. Если это подпространство отлично от всей алгебры R, то оно имеет строго меньшую размерность. Взяв, следовательно, любую бязу Χχ> Х%> · · · > ^п
§ 8] ОБОБЩЕННАЯ ТЕОРЕМА ФРОБЕНИУСА 271 алгебры R, мы получим, что элементы ахь ах2, ..., ахп линейно зависимы, т. е. в поле Ρ существуют такие элементы αχ, α2> ..., OLni не все равные нулю, что (axj αχ + (ах2) a2 +... + (ахп) ап = 0. Отсюда, однако, следует а (Х&! + х2а2 +... + хпап) = °> где оба множителя отличны от нуля, что противоречит отсутствию в алгебре R делителей нуля. Мы получаем, что aR — R. Существует, следовательно, такой элемент re/?, что ar = b, т. е. первое из уравнений (1) действительно оказалось разрешимым. Единственность его решения вытекает из отсутствия в алгебре R делителей нуля. Теорема доказана. Для дальнейшего отметим, что в альтернативной алгебре ассоциативно не только всякое подкольцо, порожденное двумя элементами, но даже всякая подалгебра с двумя образующими—достаточно учесть, как выражаются элементы указанной подалгебры через элементы подкольда, порожденного этими же двумя образующими. Всякая альтернативная конечномерная алгебра с одно- значным делением R над произвольным полем Ρ обладает единицей. В ассоциативном случае утверждение этой теоремы немедленно следует из П.2.10. Если же алгебра R лишь альтернативна, то всякая ее подалгебра с двумя образующими будет ассоциативной конечномерной алгеброй без делителей нуля, т. е., по предшествующей теореме, алгеброй с делением и, следовательно, обладает единицей. Пусть, однако, две такие подалгебры обладают различными единицами, е± и е2. Подалгебра, порожденная этими двумя элементами, сама будет ассоциативной алгеброй с делением, и мы приходим к противоречию, так как в ассоциативном теле не может быть двух различных ненулевых идемпотентных элементов, т. е. элементов, равных своему квадрату. 3. Мы можем теперь, приступая к доказательству обобщенной теоремы Фробениуса, считать, что нам дана действи-
272 ОПЕРАТОРНЫЕ ГРУППЫ И КОЛЬЦА. МОДУЛИ [ГЛ. V тельная альтернативная (в частности, ассоциативная или даже ассоциативно-коммутативная) алгебра с однозначным делением R конечной размерности п, обладающая единицей. Как показано в V.6.2, в центре алгебры R содержится подполе Д изоморфное полю действительных чисел — это будет совокупность элементов, кратных единице 1 алгебры R. Если элемент а алгебры R лежит вне под поля D, то порожденная им подалгебра {а} содержит это подполе и изоморфна полю комплексных чисел, В самом деле, ввиду альтернативности алгебры R, подалгебра {а} ассоциативна, т. е. можно в обычном смысле говорить о степенях элемента а. Так как алгебра R имеет размерность п, то элементы 1, α, а2, ..., ап линейно зависимы. Существует, следовательно, такой многочлен f(x) с действительными коэффициентами, степени не выше п, который обращается в нуль элементом а. Из основной теоремы алгебры комплексных чисел следует, что f(x) разлагается на линейные и неприводимые квадратные множители с действительными коэффициентами, а так как в алгебре R нет делителей нуля, то элемент а обращает в нуль один из этих множителей; обозначим его через (р(х). Так как а лежит вне подполя D и поэтому не может удовлетворять никакому уравнению первой степени с действительными коэффициентами, то у(х) = х2 + $х + у, γ^=0. (2) Таким образом, α2 + βα + γ = 0, (3) т. е. yG {а} и поэтому в подалгебре {а} содержится все подполе D. Из (3) следует, что подалгебра {а} двумерна и что ее базу составляют элементы 1, а, причем а2 = — у — βα. Обозначим, с другой стороны, через α комплексное число, являющееся корнем квадратного трехчлена (2). Число а не является действительным, а поэтому числа 1, а составляют базу алгебры комплексных чисел. Таблица умножения, определяющая алгебру комплексных чисел в этой базе, совпадает, очевидно, с таблицей умножения, определяющей подалгебру {а} в базе 1, а. Отсюда, по V.6.3, вытекает изоморфизм подалгебры {а} с полем комплексных чисел.
§ 8] ОБОБЩЕННАЯ ТЕОРЕМА ФРОБЕНИУСА 273 4. Если элементы а и b алгебры R лежат вне под- поля D и порождают различные подалгебры {а}, {Ь}, то подалгебра {а, Ь\ изоморфна алгебре кватернионов. Так как подалгебра {а} изоморфна полю комплексных чисел, то в ней 'можно выбрать базу 1, /, причем г2 = —1. (4) Аналогично в подалгебре {Ь} существует база 1, у0, где Λ = -ΐ· (5) Ясно, что {/} = {а}, {/о} = {Ь}, откуда {/, у0} = {а, Ь] и, так как ]ъф{а)у элементы 1, /, у0 линейно независимы. Каждый из элементов /+у0, ΐ —у0 лежит поэтому вне подполя D и, следовательно, должен удовлетворять некоторому неприводимому квадратному многочлену с действительными коэффициентами, а тогда квадраты этих элементов должны выражаться через их первые степени и единицу. Существуют, следовательно, такие действительные числа α, β, γ, δ, что (I +Jof = -2 + ((/0 +/00 = a (i +у0) + β, С - /о)2 = -2 - ((/Ό -ЬуУ) = γ (ί -у'о) + δ. Κ) Складывая эти равенства, получаем _4 = (α + ν)* + (α-γ)/0 + (β + δ), откуда, ввиду линейной независимости элементов 1, /,/0, следует α + γ — α — γ = 0, т. е. α = γ — 0. Из (б) мы получаем теперь, что элемент (/о+УУ будет действительным числом, которое обозначим через 2μ; именно, ί/ο+7ν = 2μ = β + 2 = —(в + 2> (7) Так как квадратные трехчлены, которым удовлетворяют элементы /+/о и t— у0, неприводимы, то, ввиду α = γ = 0, должно быть β < 0, δ <; 0, откуда, по (7), — 1<μ<1. Число ν= Г 1 , (8) будет, следовательно, отличным от нуля действительным числом. Рассмотрим теперь лежащий в подалгебре {а, Ь\ элемент / = μν/ + γ/ο.
274 ОПЕРАТОРНЫЕ ГРУППЫ И КОЛЬЦА МОДУЛИ [ГЛ. V Так как νφΟ, то элементы 1, /, у линейно независимы, а на основании (7) и (8) легко проверяются равенства У2 = -1. (9) lj+Jl = 0. · (10) Введем обозначение k = tj = -JL (11) Если бы имело место равенство Α = α + βί + ν/ с действительными коэффициентами α, β, γ, то, умножая обе его части справа на /, мы получили бы, ввиду (11), / = ал ~ β — yk = ал — β — γ (α -f β/ + V7)· Приравнивая здесь, однако, коэффициенты при у, мы пришли бы к равенству ι=-γ2, что невозможно, так как число у действительное. Элементы 1, /, у, k оказываются, следовательно, линейно независимыми. Эти элементы лежат в ассоциативной (ввиду альтернативности алгебры R) подалгебре {а, Ь} и даже порождают эту подалгебру. Поэтому, на основании (4), (9) и (11), без труда проверяется, что для элементов 1, /, у, ^выполняются все равенства (4) из V.6.8. Так, например, & = W) (-У0 = -< С/2) / = * = -1. ]k=]{r-]I) = -{p)l = i. Этим показано, что элементы 1, /, у, k составляют базу порождаемой ими подалгебры {а, Ь] и что эта подалгебра изоморфна алгебре кватернионов. Таким образом, первая из теорем V.8.1 уже доказана. 5. Если бы доказательство второй из теорем V.8.1 было нашей конечной целью, то нам осталось бы проделать весьма немногое. Пусть рассматриваемая алгебра R ассоциативна и пусть в ней найдена подалгебра {а, Ь}, изоморфная алгебре кватернионов, и лежащий вне ее элемент с. Обозначим через 1, /, у, k базу подалгебры {а, Ь] с обычной для алгебры кватернионов таблицей умножения — будем называть такую базу канонической. С другой стороны, подалгебра {с} при наших предположениях изоморфна полю комплексных
§ 8] ОБОБЩЕННАЯ ТЕОРЕМА ФРОБЕНИУСА 275 чисел и поэтому в ней содержится такой элемент е, что е2==— 1, причем {£} = {<:}. Повторяя рассуждения, использованные при выводе равенства (7), можно утверждать существование таких действительных чисел α, β, γ, что ie -f- ei = а, /е + ej = β, &e + ek = γ. Отсюда, используя ассоциативность алгебры R, получаем ek = (el) J = α/ — / (ej) = α/ — β/ + (//) e = = a] — β/ + Ae = α/ — β* + Υ — ^^> т. е. 2ek = α; — β/ + γ, или, после умножения справа на k, — 2e = ai + $j + yk. Это приводит, однако, к включению е е {а, Ь}, что невозможно. Вторая из теорем V.8.1 доказана. 6. Возвращаемся к доказательству обобщенной теоремы Фробениуса. Если элементы а, Ь и с алгебры R таковы, что {а, Ь\, {а, с} и {by с} являются различными подалгебрами, изоморфными телу кватернионов, то подалгебра {а, Ь, с} изоморфна алгебре Кэли. Так как подалгебра {а, Ъ\ изоморфна телу кватернионов, то она обладает канонической базой 1, i, j, k. С другой стороны, в подалгебре {с} содержится такой элемент е0, что рЗ = 1 причем {е0} = {с}. Подалгебра {/, е0} изоморфна телу кватернионов, так как из {/} = {£0} следовало бы с е {а, Ь]. Поэтому, как показано в V.8.4, существует такой элемент e1 = a1i + ^1e0 (12) с действительными аг и βχ, причем β1^=0, что элементы 1, U еь ie± составляют каноническую базу подалгебры {/, е0}. Из {у} = {^1} следовало бы, ввиду (12), что е0 е {а, Ь}, что невозможно. Подалгебра {у, ег\ изоморфна, следова-
276 ОПЕРАТОРНЫЕ ГРУППЫ И КОЛЬЦА. МОДУЛИ [ГЛ. V тельно, телу кватернионов и поэтому в ней существует такой элемент *2 = α*/ + β2*ι (13) с действительными а2 и β2, причем β2=^=0, что элементы 1, ]у ^2> Je2 составляют каноническую базу подалгебры {у, е2}. Покажем, что подалгебра {/, е2} также изоморфна телу кватернионов и имеет систему элементов 1, /, е2у ie2 своей канонической базой. Действительно, из {/} = {е2} следовало бы, ввиду (13) и (12), что е1^{ау Ь}у откуда и е0 е {а, Ь)у что невозможно. Этим доказано первое утверждение. Так как, далее, уже известно, что P = *J = -1, то для доказательства второго утверждения достаточно, как мы знаем из V.8.4, установить справедливость равенства ie2 + e2i = 0. Учитывая, однако, что имеют место равенства //+77 = 0, /г?!+ <?!*· = 0, мы получаем ie2 + e2i = / (α2/ + β^) + (α2/ + β2^ι) i = = α2 (// +70 + β2 (tei + *ι0 = 0. 7. Как и выше, подалгебра {&, е2} изоморфна телу кватернионов и обладает канонической базой 1, k, e, ke, где e = ask + ^e2 (14) с действительными а3 и β3, причем β3 Φ 0. Отметим, что {k, e2} = {ky e}. Таким же путем, как в предшествующем пункте, проверяется, что подалгебры {/, е) и {/, е) также изоморфны телу кватернионов и имеют своими каноническими базами соответственно системы элементов 1, /, е, ie и 1, /, е, ]е. 8. Система элементов 1, /, ], k, e, ie, je, ke (Щ линейно независима. Действительно, если бы она была линейно зависимой, то в подалгебре {/, j) — {а, Ь} существовали бы такие эле-
$ 8) ОБОБЩЕННАЯ ТЕОРЕМА ФРОБЕНИУСА 277 менты н, г>, причем ν Φ О, что u = ve. (16) Так как подалгебра {ν} изоморфна полю комплексных или действительных чисел, то элемент гг1 содержится в ней и поэтому в ассоциативной подалгебре {v, е}. Отсюда гг1 (уё) = (гг1^) е = е, т. е. из (16) мы получили бы e = v~1u Θ {α, b], что невозможно. 9. Для элементов (15) выполняется таблица умножения алгебры Кэли (см. V.6.10). Мы знаем, что системы элементов (1, U J, Щ, (1, U e, ie\ (1, у, е, ]е\ (1, ft, e, ke) (17) являются каноническими базами порождаемых ими подалгебр, изоморфных алгебре кватернионов. Ввиду этого в указанной таблице остается проверить немного мест. Покажем на нескольких типичных случаях, как это делается. Так как подалгебра \e-\-U ]} ассоциативна, то U(e + i)](e + i)=j[(e + i)(e + l)}, откуда, используя сказанное выше о системах (17), получаем -j + Ue)i-ke-j = -2j, т. е. {]e)i = ke. (18) Далее, из равенства (е +1) [j(e + l)] = [(e + i)j](e + l) получаем, используя (18), что i(]e) = -ke. (19) Наконец, из ассоциативности подалгебры {k, l-\-je] вытекает равенство [(/ +Je) (i +je)] k = (i +je) [(i +je) k\ из которого, используя равенства (18), (19) и аналогично доказываемое равенство Це) k = —le,
278 ОПЕРАТОРНЫЕ ГРУППЫ И КОЛЬЦА. МОДУЛИ ГГЛ. V мы получаем (/*)(/*) = *. Этим путем будет показано, что элементы (15) составляют базу порождаемой ими подалгебры {а, Ъ, с] и что эта подалгебра изоморфна алгебре Кэли. Условимся базу подалгебры Кэли, удовлетворяющую таблице умножения из V.6.10, называть канонической. 10. Предположим, наконец, что алгебра R содержит как подалгебру, изоморфную алгебре Кэли и имеющую своей канонической базой систему элементов 1, /, j, k, е, ie, je, ke, так и некоторый элемент, лежащий вне этой подалгебры. Тогда, обобщая рассмотрения, проведенные в предшествующих пунктах, мы нашли бы в алгебре R такой элемент /, что каждая из следующих систем элементов порождала бы подалгебру, изоморфную алгебре Кэли, и служила бы для нее канонической базой: 1, U h k> f, tf, jf kf; \, I, e, ie, f //, ef, (ie)f; 1> ], e, je, f jf, ef, (je)f; 1, je, t, ke, f, {je)f, if, (ke)f Соответствующие построения весьма громоздки, но не представляют принципиальных трудностей и поэтому могут быть предоставлены читателю. Из каноничности указанных баз вытекают следующие равенства: e2 = —l, (if)2= — 1, Uf) (if) = h k(if) = -jf e(if) = (ie)f (if)e = -(ie)f, Vf)e = -{]e)f, [(je)f\e=jf [(ie)f](if) = -ke. Используя эти равенства, мы из равенства (jf) Це + if) (е + */)] = [(У/) (е + if)] (е + tf), справедливого ввиду альтернативности алгебры R, получаем -^ Uf) = [- Ue)f+ k] (e + if) = -2 (Jf) + 2ke, т. е. ke = 0, что невозможно.
§ 9] ТЕОРЕМА БИРКГОФА - ВИТТА О ЛИЕВЫХ АЛГЕБРАХ 279 Полученное противоречие заканчивает доказательство обобщенной теоремы Фробениуса. χ Всякое альтернативное тело или ассоциативно, или же, рассматриваемое как алгебра над своим центром (см. V.6.2), конечномерно, а именно, имеет размерность 8 и является так называемой алгеброй Кэли—Диксона, т. е. некоторым обобщением алгебры Кэли на случай произвольного основного поля [Л. А. Скорняков, Укр. мат. журнал 2:1 (1950), 70 — 85; Брак и Клейнфилд, Ргос. Amer. Math. Soc. 2 (1951), 878—890]. χ 11. Теорема Фробениуса не может быть обобщена на случай неальтернативных алгебр, так как существует, например, весьма много различных конечномерных действительных алгебр с ассоциативными степенями, являющихся алгебрами с однозначным делением. χ Размерность конечномерной действительной алгебры без делителей нуля может принимать лишь значения #—1, 2, 4 или 8 [Ми л нор, Bull. Amer. Math. Soc. 64 (1958), 87—89].* 12. Рассуждения, параллельные тем, которые использованы в V.8.3, немедленно приводят к следующей теореме: Единственной конечномерной алгеброй с ассоциативными степенями над полем комплексных чисел, обладающей единицей, но не содержащей делителей нуля, является само поле комплексных чисел. § 9. Теорема Биркгофа — Витта о лиевых алгебрах 1. В П.2.3 доказано, что, заменяя в ассоциативном кольце R операцию умножения ab операцией коммутирования а о Ъ = аЬ — Ьа, мы получаем лиево кольцо L (R). Если кольцо R является Пооператорным (см. V.1.7), то и кольцо L(R) будет ^-операторным. Так как указанные кольца имеют одну и ту же аддитивную группу, то нужно проверить лишь справедливость условия (11) из V.I.7. Если a, b^R, «g2, to (aob)a = (ab — ba)a = (ab) a — (ba) a = = (aa) b — b (ad) = (aa) · b.
280 ОПЕРАТОРНЫЕ ГРУППЫ И КОЛЬЦА. МОДУЛИ [ГЛ. V Так же проверяется и равенство (α°£)α=α°(/?α). В частности, если R является алгеброй над полем Р, то и L (R) будет алгеброй над этим же полем. 2. Для случая алгебр некоторым обращением результата из П.2.3 служит следующая теорема [Б и ρ к г о ф, Ann. of Math. 38 (1937), 526—532; Витт, J. reine und angew. Math. 177 (1937), 152—160]: Для всякой лиевой алгебры L над любым полем Ρ существует такая ассоциативная алгебра R над этим же полем, что алгебра L изоморфно вкладывается в алгебру L (R). Доказательство. Выбираем базу алгебры L над полем Р. Считая эту базу, в соответствии с теоремой Цер- мело (см. 1.6.3), вполне упорядоченной, запишем ее в виде еь е2, ..., еф ... (1) Если для записи умножения в алгебре L будет употребляться символ X, то ^aX^ = 2jcVv» (2) γ ясно, что при данных α и β лишь конечное число коэффициентов £Υβ может быть отлично от нуля. Будем называть словом всякую упорядоченную конечную систему элементов из базы (1), не обязательно различных. Если дано слово W = ea/a2 ...eak (3) длины ky k^ 1, — элементы, составляющие это слово, мы записываем друг за другом, не разделяя запятыми,— то, как обычно, назовем инверсией в этом слове всякую пару еа. еа. входящих в него элементов, для которой /</, но (Xi^xxj в смысле упорядоченности базы (1). Будем рассматривать, далее, суммы слов, т. е. конечные неупорядоченные системы слов, не обязательно различных, взятых с некоторыми отличными от нуля коэффициентами из поля Р. В записи сумм слов мы будем формально соединять слова знаком -(-·
§ 9] ТЕОРЕМА БИРКГОФА - ВИТТА О ЛИЕВЫХ АЛГЕБРАХ 281 Наибольшую длину слов, входящих в данную сумму слов s, назовем степенью этой суммы. Если п — степень суммы слов 5, то обозначим через lb i — n,n—l,...,2, общее число инверсий в словах длины /, входящих в s; если же в 5 слова длины / не входят совсем, то положим lt == 0. Ясно, что 1г можно не рассматривать. Символ σ = (/„, 4-1, ..., 4) (4) называется высотой суммы слов s. 3. Считая η фиксированным, введем в множество высот вида (4), т. е. степени я, лексикографическую упорядоченность: если то будем считать σ < σ', если есть такое /, что ίέ < 1\, но (при 1<п)1п=Гп, ..., /i+i=/i+i. Лексикографическая упорядоченность высот степени η делает множество этих высот вполне упорядоченным. Очевидно, что это будет линейная упорядоченность. Рассмотрим строго убывающую последовательность высот σι > σ2 > ... > ok >..., (5) где crfe = (4„, lk,n-'b ···> W> A=l, 2 ... Ясно, что hn ^ 4n ^ · · · ^ hn ^ · · · > и поэтому существует такое kb что 4ιΠ = 4χ -f 1, /ι = · · · Отсюда следует, что ^!, П — 1 =Ξ^ ^ι + 1, Π — 1 ^ · · · у и поэтому существует такое /г2> ^2 ^ ^ι> что 42, я — 1=^2 + Ь я —1=.·· Продолжая далее для п — 2, ..., 2, мы докажем, что последовательность (5) обрывается. 4. Пусть в сумму слов 5 входит с коэффициентом а^Р слово w = w1e^eaw2> где β>α в смысле упорядоченности базы (1), wh w2 — некоторые слова, из которых одно или
ОПЕРАТОРНЫЕ ГРУППЫ И КОЛЬЦА. МОДУЛИ [ГЛ. V оба могут отсутствовать. Назовем редукцией суммы слов s замену в s слагаемого aw суммой слов awxeae^w2 + £ (α^α) wxeyw2. ν Редукция не меняет, очевидно, степень суммы слов $, но понижает ее высоту. Отсюда следует, ввиду полной упорядоченности множества высот, что всякую сумму слов 5 можно превратить последовательными редукциями в сумму слов высоты (0, 0,..., 0), т. е. в сумму слов без инверсий или, как мы будем говорить, нормальных слов. В полученной сумме слов мы совершим затем приведение подобных членов, что может уменьшить, конечно, степень этой суммы, но не нарушит ее свойства быть суммой нормальных слов, и этим приведем сумму слов s к нормальному виду. 5. Лемма. Всякая сумма слов приводится к одному единственному нормальному виду, не зависящему от выполняемой последовательности редукций. Утверждение леммы выполняется для сумм высоты (0, 0, ..., 0), так как в этом случае совершается лишь приведение подобных членов. Это позволяет вести доказательство индукцией по вполне упорядоченному множеству высот. Пусть сумма слов 5 двумя последовательностями редукций приводится соответственно к нормальным видам s± и % Если обе цепочки редукций начинаются с одной и той же редукции, переводящей 5 в s', то, так как высота суммы s' меньше высоты суммы s, можно применить индуктивное предположение и поэтому s1 = s2- Пусть, с другой стороны, начальные редукции обоих цепочек редукций относились к различным словам суммы s, причем они переводили 5 соответственно в s' и s". В сумме s' можно выполнить начальную редукцию второй цепочки редукций, после чего придем к некоторой сумме слов $'"; эту же сумму слов s'" мы получим, выполняя в s" начальную редукцию первой цепочки. Приводя s'" некоторым способом к нормальному виду s3 и учитывая, что высоты сумм s' и s" меньше высоты суммы s, мы получим, что Si = s& 52 = % т. е. Sx^Sz. Эти же рассуждения применимы и к тому случаю, когда начальные редукции обеих цепочек редукций относятся к ука-
§ 9] ТЕОРЕМА БИРКГОФА - ВИТТА О ЛИЕВЫХ АЛГЕБРАХ 283 занным двум местам слова w^eaW^eyW^ β>α, δ>γ, (6) коэффициент которого мы опускаем; слово w3 может, конечно, и отсутствовать. В этом случае, однако, для перехода от сумм s' и s" к одной и той же сумме s'" необходимо выполнить начальную редукцию второй (первой) цепочки во всех тех словах суммы s' (суммы $"), которые появились вместо слова (6). 6. Остается рассмотреть случай, когда начальные редукции обеих цепочек редукций относятся к указанным двум местам слова ^1*γ^α^2> У > β > α· (7) Пусть, как и выше, s' и s" будут суммы слов, полученные после этих начальных редукций. Если начальная редукция первой цепочки относилась к месту (γ, β), то в слове той же длины, появившемся вместо слова (7) после этой редукции, можно выполнить еще редукцию на месте (γ, α), а затем и на месте (β, α). В результате от суммы s' мы придем к сумме sj", которая будет отличаться от исходной суммы 5 тем, что вместо слова (7) стоит сумма w1eae?)eyw2 + ^ 4:iw1e6eaw2 + б + Σ cwwieVe6w2 + Σί 4<*wie6eyW2' (8) б б Аналогично от суммы s" можно перейти несколькими редукциями к сумме s'z, отличающейся от суммы 5 тем, что слово (7) заменено суммой Wtfae^eyWi + 2] 4аЩеуебХ02 + 6 + 2] 4а^б<^2 + 2 4β^α^2· (9) б б 7. Сравним суммы (8) и (9). В них входят соответственно слагаемые 4β^ι^Λ и 4β^α^2· 0°) Если δ = α, то слагаемые (10) совпадают. Если δ>α, то в первом из этих слагаемых возможна редукция, переводящая его во второе слагаемое, к которому прибавлена сумма
284 ОПЕРАТОРНЫЕ ГРУППЫ И КОЛЬЦА МОДУЛИ \ГЛ. V Σ cy^c%awieEw4- Если же α!>δ, то редукция во втором из ε слагаемых (10) переводит его в сумму первого слагаемого и Суммы 2 4β^α6^ι^ε^2· ε Аналогичные рассмотрения применимы и к другим слагаемым сумм (8) и (9). Отсюда следует, что эти суммы после соответствующих редукций могут быть превращены в такие суммы — обозначим их через (8') и (9'),— которые отличаются друг от друга лишь словами вида w±eew2. Легко видеть, однако, что сумма коэффициентов при данном слове Wieew2 в сумме (8') равна Σ ^Υβ^δα + Σ CV*Ch + Σ *βα4ν> 0 l) 6>α 6<β 6>ν а в сумме (9') — Σ cvfica6 + Σ cv<*ch+ Σ ^βα4δ· Ο2) 6<α δ>β 6< ν Эти две суммы коэффициентов равны между собой. Действительно, применяя к справедливому в алгебре L равенству (еу X е$) X еа + (е$ X еа) X еу + (еа X еу) X ер = 0 таблицу умножения (2) и приравнивая нулю коэффициент при еъ, мы получим равенство Σ (^Υβ^δα + Cfacly + CayClp) = 0. 6 Отсюда следует равенство нулю разности сумм (11) и (12), если учесть, что для любых α, β и δ из еа Χ έ?β = —<?β Χ еа следует равенство £αβ = — ^βα> (13) а из — равенство Теперь можно утверждать, что существуют цепочки редукций, приводящие суммы слов s'i' и s2" к одному и тому же
§ 9] ТЕОРЕМА БИРКГОФА - ВИТТА О ЛИЕВЫХ АЛГЕБРАХ 285 нормальному виду s3. Дальнейшие рассмотрения идут так же, как в предшествующих случаях. Доказательство леммы закончено. 8. Построим теперь над полем Ρ алгебру /?, базой которой служит множество всех нормальных слов (см. V. 9.4). Произведением нормальных слов wx и w% будем считать тот нормальный вид, к которому приводится слово w^w* Ввиду леммы это произведение однозначно и ассоциативно. Перейдем от полученной ассоциативной алгебры R к соответствующей лиевой алгебре L (/?), обозначая умножение в последней символом · . Найдем ее подалгебру, порожденную всеми элементами еау которые, будучи нормальными словами, входят в базу алгебр R и L (R). Для этого покажем, что при любых α и β е<* ° е$ = е<х Χ *?β· Действительно, если а — β, то еа ° еа == ^ == еа X ew Если α > β, то, ввиду (2), <?а ° е$ = ^β — е$еа = е^а + Σ cl^ey — е$еа = ν Если же α<Γβ, то, ввиду (13), ^α^β = еае^ — е$еа = еае§ — еае§ — ^ c£aev = ν Υ Таким образом, в алгебре L (R) мы нашли подалгебру, изоморфную алгебре L. Теорема Биркгофа—-Витта доказана. # Если L— конечномерная лиева алгебра над полем без характеристики (см. III. 2.11), то существует такая конечномерная ассоциативная алгебра R над этим же полем, что L изоморфно вкладывается в L (R) [И. Д. А до, Изв. Каз. физ.-мат. о-ва 7 (1934—1935), 1—43; см. также И. Д. А до, Успехи мат. Наук 2:6(1947), 159—173; Хариш-Чандра, Ann. of Math. 50 (1949), 68—76]. Теорема, аналогичная теореме Биркгофа —Витта, справедлива для лиевых колец без операторов [Л а з а р, С. R., Paris
286 ОПЕРАТОРНЫЕ ГРУППЫ И КОЛЬЦА. МОДУЛИ [ГЛ. V 234:8 (1952), 788 — 791]. На лиевы кольца с произвольной областью операторов эта теорема не может быть распространена [А. И. Ширшов, Успехи мат. наук 8:5 (1953), 173-176].* § 10. Дифференцирования. Дифференциальные кольца 1. В V. 1.7, вводя понятие операторного кольца, мы использовали не эндоморфизмы кольца /?, т. е. не такие эндоморфизмы φ аддитивной группы этого кольца, которые удовлетворяют условию (ab) φ = αφ · by, α, b^Ry а те эндоморфизмы φ аддитивной группы, которые перестановочны со всеми правыми и левыми умножениями, т. е. удовлетворяют условию (ab) φ = (αφ) b = а (£φ), α, teR. Выбор именно этих преобразований можно, конечно, оправдать историческими соображениями. Однако во многих вопросах существенно используются и такие эндоморфизмы δ аддитивной группы кольца R, для которых выполняется условие (аЬ)6 = (аб)Ь + а(Ь6), a, te/?. (1) Это условие аналогично правилу дифференцирования произведения, а так как δ, как эндоморфизм аддитивной группы кольца Ry удовлетворяет и условию (а + Ь)6 = аб + Ьб, а, £<=/?, (2) аналогичному правилу дифференцирования суммы, то δ называется дифференцированием кольца R. Если кольцо R операторное, в частности алгебра над некоторым полем, то в определении дифференцирования естественно предполагать, что δ — операторный эндоморфизм аддитивной группы. Иными словами, δ должно удовлетворять помимо условий (1) и (2) также условию (αα)δ = (αδ)α, (3) где a^R, a — произвольный оператор. Нулевой эндоморфизм любого кольца R (см. III. 3.7) является, очевидно, его дифференцированием. Примером не-
§ 10] ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ КОЛЬЦА 287 тривиального дифференцирования служит обычное дифференцирование в кольце многочленов Р[х] от одного неизвестного над полем Р. 2. Если G —произвольная абелева группа, то ее кольцо эндоморфизмов (III. 3.8) ассоциативно. Заменяя в этом кольце операцию умножения операцией φ о ψ = φψ — ψφ, мы получаем, по II. 2.3, лиево кольцо, которое назовем лиевым кольцом эндоморфизмов абелевой группы G. Совокупность дифференцирований произвольного кольца R является подкольцом в лиевом кольце эндоморфизмов аддитивной группы кольца R. В самом деле, если δχ и δ2 —дифференцирования кольца R, то эндоморфизм аддитивной группы δχ + δ2 также будет дифференцированием, так как для любых a, b^R (ab) (δι + δ2) = (ab) δι + (ab) δ2 = (αδχ) b + a (Ьд^ + (αδ2) b + + α (Ь62) = (αδχ + αδ2) b + a (Ьдг + bd2) = = [a(61+62)]b + a[b(61 + 62)]. Выше уже отмечено, далее, что нулевой эндоморфизм является дифференцированием. Эндоморфизм —δ, противоположный дифференцированию δ, сам будет дифференцированием, так как для a, b^R (ab) (— δ) = — [(ab) δ] = — [(αδ) b + a («$)] = = [a(-6)]b + a[b(-6)]. Наконец, лиево произведение δι ° δ2 = δχδ2 — δ2δχ дифференцирований δ1; δ2 само будет дифференцированием, так как для a, b^R (ab) (61 · δ,) = (ab) (δΑ - δΑ) = [(ab) 6J δ2 - [(ab) δ2] δχ = = [(об,) b + a (Ьдг)} б2 - [(αδ2) b + a (Ь62)] δχ = = [(«δχ) b] δ2 + [a (b6j)] δ2 - [(αδ2) bfo - [а (Ь6г)] бх = = [Hi) δ»] * + («δχ) (£δ2) + (αδ,) (Μ,) + а [(Ь6{) δ2] - - [(αδύ δι] 6 - (αδ2) (Ь8г) - (αδχ) (W,) - α [(%) δχ] = = [а(б1.ба)]6 + а[6(б1.ад. Теорема доказана.
288 ОПЕРАТОРНЫЕ ГРУППЫ И КОЛЬЦА МОДУЛИ [ГЛ. V Заметим, что если R — алгебра над полем Р, то и кольцо операторных эндоморфизмов аддитивной группы кольца R будет алгеброй над Р: если φ —такой эндоморфизм, аеР и agR, то следует положить α (φα) = (αφ) а = (аа) φ. (4) Алгеброй над Ρ будет и лиево кольцо операторных эндоморфизмов аддитивной группы кольца R, так как, ввиду (4), α [(ψ! ο φ2) α] = [α (φ^ - φ2φχ)] α = = [β (Φια)] Φ2 ~ (яфг) (<Pi«) = β [(<Ρια) · φ2]> т. е. (<Ρι ° Ф2)а = (ф1«) · φ2 и, аналогично, (Φι ° <P2)a = <Pi ° (Фга). Наконец, лиево кольцо дифференцирований алгебры R будет подалгеброй этой лиевой алгебры эндоморфизмов, так как если δ— дифференцирование, aGP, то для a, b^R (ab) (δα) = [(ab) δ] α = [(αδ) b + a (bd)] a = [α (δα)] й + a [b (δα)]. Это замечание переносится, понятно, на случай колец с произвольной системой операторов. 3. Пусть дано ассоциативное кольцо R. Если re/?, то определим отображение δΓ, полагая для всех aeR αδΓ = ar — г a. (5) Это отображение будет дифференцированием, так как для a, b^R (a + b)dr = (a + b)r-r(a + b) = adr + bdn (ab) δΓ = abr — rab = a£r — r ab + ar£ — arb = (αδΓ) £ + a (bdr). Оно называется внутренним дифференцированием кольца R, определяемым элементом г. Ясно, что среди ассоциативных колец ассоциативно-коммутативные кольца и только они не имеют внутренних дифференцирований, отличных от нулевого эндоморфизма.
§ 10] ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ КОЛЬЦА 289 4. Если R—лиево кольцо и re/?, то правое умножение на г, т. е. отображение δΓ, определяемое равенством абг = аг, (6) где ogR, является дифференцированием кольца R. В самом деле, из V.1.6 мы знаем, что δΓ будет эндоморфизмом аддитивной группы кольца R. С другой стороны, если a, b^Ry то, используя тождество Якоби и закон антикоммутативности (см. II. 2.2), получаем: (ab) 6Г = (ab) г = — (br) а — (га) b = (аг) Ь-\-а (br) = = (adr)b + a(bdr). Дифференцирование δΓ называется внутренним дифференцированием лиева кольца Ry определяемым элементом г. Очевидно, что среди лиевых колец нулевые кольца и только они не имеют внутренних дифференцирований, отличных от нулевого эндоморфизма ω. Внутренние дифференцирования составляют идеал в лиевом кольце всех дифференцирований лиева кольца R, так как δΓ — bs = dr_sy δΓ ο δ' = δΛδ'> где r, 5GR, δ' — произвольное дифференцирование. Действительно, если aG/?, to а (дг — 6S) = аг — as = adr_sy α (δΓ ο δ') = α (δ А - δ Α) = (аг) δ' — (αδ') г = = (αδ') г + а (гб') - (αδ') г = αδί6>. Отображение r-+6n re/?, является гомоморфизмом лиева кольца R на лиево кольцо его внутренних дифференцирований. В самом деле, если а, г, sgR, to a$r+s — a(r-{-s) — ar-{-as — αδΓ + αδ5 = α (δΓ + 6Д αδΓ5 = а (г5) = — (rs) a = (sa) r + (аг) 5 = (аг) s — (as) r = = α (δ А — δ Α) = α (δΓ · δ5). Ядром этого гомоморфизма служит, очевидно, совокупность аннуляторов кольца R (см. V.1.9).
290 ОПЕРАТОРНЫЕ ГРУППЫ И КОЛЬЦА. МОДУЛИ ГГЛ. V Результаты этого пункта весьма напоминают результаты из Ш.3.2 о внутренних автоморфизмах групп. 5. Если R —ассоциативное кольцо, a L — лиево кольцо, соответствующее ему в смысле Н.2.3, то всякое дифференцирование δ кольца R будет дифференцированием и в L. Действительно, (а о Ь)6 = (аЬ-Ьа)д = (ад)Ь-\-а(Ьб)-(Ь6)а-Ь(аб) = = (аб о Ь) + (а . М$> Обратное, вообще говоря, не имеет места. Однако внутренние дифференцирования кольца R будут внутренними дифференцированиями и в кольце L и обратно. В самом деле, (5) можно переписать в виде адг = а с г; с другой стороны, (6) должно быть записано теперь в виде αδΓ = α · г и поэтому а8г = аг — га. Из результатов этого и предшествующего пунктов вытекает, что внутренние дифференцирования ассоциативного кольца R составляют идеал в лиевом кольце всех дифференцирований кольца R. Заметим, что все результаты, полученные в этих последних пунктах, справедливы для колец с произвольной областью операторов и, в частности, для алгебр. * Понятие внутреннего дифференцирования может быть распространено со случая ассоциативных и лиевых колец на случай произвольных колец, причем так, что внутренние дифференцирования будут составлять идеал в лиевом кольце всех дифференцирований [Ш э φ е р, Bull. Amer. Math. Soc. 65 (1949), 769-776]. χ 6. Вполне аналогичным понятию операторного кольца является понятие дифференциального кольца. Кольцо R называется дифференциальным кольцом с системой дифференцирований Δ, если задано множество Δ и всякому элементу δ ζ Δ поставлено в соответствие некоторое дифференцирование кольца R; при этом не предполагается, что
§ 10] ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ КОЛЬЦА 291 различным элементам из Δ должны соответствовать различные дифференцирования. Отметим, не давая точных формулировок, что можно было бы считать Δ лиевым кольцом и определить понятие дифференциального кольца с лиевым кольцом дифференцирований Δ. Если R — дифференциальное кольцо с системой дифференцирований Δ, то под дифференциальным подкольцом {идеалом) кольца R следует понимать такое подкольцо (идеал) А из R, что для всех а^А, δ^Δ αδ<=Α Естественным образом определяются также понятия изоморфизма и гомоморфизма дифференциальных колец с одной и той же системой дифференцирований Δ. 7. Рассмотрим дифференциальное кольцо R с одним дифференцированием б, причем условимся употреблять запись, привычную из курса математического анализа: если a^R, то αδ = α'. Равенства (1) и (2) перепишутся теперь в виде (ab)' = a'b + ab', (7) (a + ft)' = a' + ft', (8) откуда, в частности, 0' = 0, (9) (—а)' = —а'. (10) Если кольцо R обладает единицей е, то, по (7), для a<=R а' = (ае)' = а'е + ае' = а' + ае'у т. е. ае' = 0. Кольцо с единицей не может, однако, обладать аннулятором, отличным от нуля, и поэтому е' = 0. (11) Пусть R — поле, a, b^R, афО и с — решение уравнения ах = Ь. Тогда Ъ' = {ас)' = а'с + ас', откуда с' = α-Ψ - а-Ч'с = а-2 (аЬ' - а'Ь). (12)
^92 ОПЕРАТОРНЫЕ ГРУППЫ И КОЛЬЦА. МОДУЛИ [ГЛ. V 8, Элемент а кольца R называется константой относительно рассматриваемого дифференцирования, если а' = 0. Из (7) —(И) следует, что константы составляют в R подкольцо, содержащее единицу, если R — кольцо с единицей. Таким образом, в кольце целых чисел нет никаких дифференцирований, отличных от нулевого эндоморфизма. Это же справедливо для поля рациональных чисел, так как, ввиду (12), в поле константы составляют подполе. 9. Пусть R— ассоциативно-коммутативное дифференциальное кольцо с одним дифференцированием. Рассмотрим кольцо многочленов R = R[x, х\ χ",...,χΜ, ...] над кольцом R от счетного множества неизвестных (см. И. 2.7). Полагая (*)' = ■*', (*<*>)'== *<Я+Ч л=1, 2, ..., можно, опираясь на (7) и (8) и используя однозначность записи элемента из R в виде многочлена, распространить дифференцирование, заданное в R, на все кольцо JR. Проверка того, что при этом будут выполнены все требования, входящие в определение дифференцирования, предоставляется читателю. В полученном дифференциальном кольце R дифференциальное подкольцо, порожденное подкольцом R и элементом ху совпадает со всем R. По этой причине кольцо /?, рассматриваемое с введенным нами дифференцированием, называется кольцом дифференциальных многочленов над кольцом R от одного неизвестного х. Эта конструкция без труда переносится на случай нескольких неизвестных, а также нескольких дифференцирований. # Кольцо R не содержит никаких констант, отличных от констант кольца R. В частности, если кольцо R рассматривалось с нулевым дифференцированием, то R и будет служить подкольцом констант кольца R. χ
ГЛАВА ШЕСТАЯ УПОРЯДОЧЕННЫЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И КОЛЬЦА. НОРМИРОВАННЫЕ КОЛЬЦА § 1. Упорядоченные группы 1, Как правило, те основные алгебраические образования, с которыми обычно приходится иметь дело математикам, не являются группами, кольцами или полями в чистом виде. Уже рассмотренные нами операторные группы и кольца и дифференциальные кольца представляют собою некоторое приближение к тем конкретным алгебраическим системам, какие встречаются в неалгебраических исследованиях. В настоящей главе мы пойдем другими путями, но в этом же направлении. Начнем с рассмотрения упорядоченных образований. Аддитивные группы целых чисел, рациональных чисел и действительных чисел одновременно являются и группами, и линейно упорядоченными множествами (см. 1.4.1). Аддитивная группа действительных функций действительного переменного ху определенных для всех значений ху превращается в частично упорядоченное множество, если положить, что f^g тогда и только тогда, когда f(x)^g(x) для всех значений х. Во всех этих группах упорядоченность и групповая операция связаны следующим образом: неравенство между элементами группы не нарушается, если к обеим его частям прибавить один и тот же элемент. Это приводит к следующему определению, причем мы перейдем к мультипликативной записи: Группоид G называется линейно упорядоченным (соответственно частично упорядоченным), если для его элементов задана линейная (соответственно частичная) упорядоченность,
294 упорядоченные и тополог, группы и кольца [гл. νι причем из а^Ь следует ах^Ьх и xa^xb для всех χεΟ. Из этого определения вытекает, что если для элементов a, by су d частично (в частности, линейно) упорядоченного группоида О имеют место неравенства a^by c^dy то ac^bd. (1) Очевидно, что если А — подгруппоид группоида О, то частичная упорядоченность группоида Q индуцирует частичную упорядоченность в А. Частично упорядоченные группоиды G и G' называются изоморфными, если существует взаимно однозначное отображение О на G', являющееся изоморфизмом и в смысле алгебраической операции и в смысле частичной упорядоченности (см. П. 4.1 и 1.4.3). Всякий группоид можно считать частично упорядоченным, рассматривая его тривиальную частичную упорядоченность (см. 1.4.1). 2, Назовем монотонным преобразованием частично упорядоченного множества Μ такое отображение φ множества Μ в себя, что из а^Ь всегда следует αφ ^ Ьц>. Произведение монотонных преобразований само будет монотонным, т. е. эти преобразования составляют подполугруппу в симметрической полугруппе на множестве Μ (см. II. 1.8), причем подполугруппу с единицей, так как тождественное преобразование монотонно. Если φ, ψ — монотонные преобразования множества Ж, то положим φ^ψ, если χφ^χψ для всех χ е М. Этим полугруппа монотонных преобразований частично упорядочивается: если χ —любое монотонное преобразование, то из χψ ^ xty следует χ (φχ) ^ χ (ψχ) для всех χ е Ж, т. е. φχ^ψχ; с другой стороны, из (^χ)φ^(^χ)ψ для всех ^еЖ следует χ (χφ) <: χ (χψ), τ. е. χφ ^ χψ. Справедлива следующая теорема Кришнана [Bull. Soc. Math. Fr. 78 (1950), 235-263]: Всякая частично упорядоченная полугруппа Q с единицей изоморфно вкладывается в частично упорядоченную полугруппу монотонных преобразований самого частично упорядоченного множества Q.
δ И УПОРЯДОЧЕННЫЕ ГРУППЫ ^95 Действительно, поставим в соответствие всякому элементу a^Q преобразование φα, полагая для всех χ е G χψα = χα. Так как из χ ^у следует ха ^уа, то преобразование φ0 монотонно. С другой стороны, из II. 4.6 мы знаем, что благодаря наличию в G единицы отображение а -> φα, a gO, является изоморфным отображением полугруппы G в симметрическую полугруппу на G, т. е., следовательно, в полугруппу монотонных преобразований множества G. Наконец, если а^Ь, то для всех х будет ха ^ лг#, т. е. φα ^ φ6; обратно, из φα ^ φ6 следует, в частности, I · а ^ 1 · Ь, т. е. а^Ь. Теорема доказана. Из этой теоремы следует, что всякая частично упорядоченная группа Q изоморфно вкладывается в частично упорядоченную группу монотонных подстановок самого частично упорядоченного множества Q. 3. Элемент а частично упорядоченной группы G называется положительным, если а^=1 (или, при аддитивной записи, если а^О), и отрицательным, если а<:1. В линейно упорядоченной группе всякий элемент или положите- лен или отрицателен. Из (1) следует, что произведение положительных элементов частично упорядоченной группы G положительно, т. е. положительные элементы составляют в G подполугруппу, которую мы назовем полугруппой положительных элементов частично упорядоченной группы G. Впрочем, и отрицательные элементы составляют подполугруппу. Частичная упорядоченность группы Q полностью определяется заданием полугруппы положительных элементов, так как а^Ь тогда и только тогда, когда 1 ^ Ьа~х. Подполугруппа Ρ группы Q тогда и только тогда служит полугруппой положительных элементов при не- которой частичной упорядоченности группы G, если выполняются следующие условия'. 1) lei> 2) если ag Ρ и а 1 е Р, то а = 1; 3) если а^ Р, a:gG, то х~гах е Р. Действительно, если Ρ — полугруппа положительных элементов частично упорядоченной группы G, то 1) 1 ^ 1;
296 упорядоченные и тополог, группы и кольца [гл. νι 2) из а-1 :>= 1 следует 1^=а, а так как дано, что α^Ι, то а=1; 3) из а^1 следует х-1ах^х~гх = 1. Обратно, пусть подполугруппа Ρ группы G обладает свойствами 1) —3). Положим а^Ь, если bar1 еР,а поэтому, ввиду 3), и аГхЬ = α-1 (#α_1) α ^ Р. Это будет частичная упорядоченность группы G: а^а, так как, по 1), αα_1 = 1 G Ρ; если а ^ # и b ^ а, т. е. #а-1 gPh α£"_1 = (#а_1)-1 е Р, то, по 2), Ьй~1=1, т. е. # = а; если а^Ь и Ь^су т. е. #а-1 еЯ и с#-1 е Р, то са-1 == (<^_1) (bar1) <ξ Ρ, т. е. а ^ с; наконец, если а^Ь, т. е. #а-1 е Р, то (#лг) (αχ)-1 = = ЬаГ1 е Ρ, т.е. ax^bx, и, ввиду 3), (лг&) (лга)"1 = = χ (#а-1) х-1 е Р, т. е. χ а <: xb. При этой частичной упорядоченности положительными будут элементы из Ρ и только они, так как а ^ 1 тогда и только тогда, если α·1-1 = α^Ρ. Теорема доказана. Подполугруппа Ρ группы Q тогда и только тогда определяет линейную упорядоченность этой группы, если она удовлетворяет помимо условий 1) — 3) также условию 4) для любого а^О или ag P, или а'1 е Р. В самом деле, если группа G линейно упорядочена и элемент а не является положительным, то а<<1, откуда следует 1 <С а~\ т. е. элемент а-1 положителен. Обратно, пусть подполугруппа Ρ удовлетворяет условиям 1)—4) и а, йеС Если ЬаГ1 gP, то α<^ в смысле частичной упорядоченности, определяемой полугруппой Р. Если же Ьа~г φ φ Ρ, то, по 4), {ba"1)'1 = ab'1 е Ρ, т. е. # <; α. #■ Частично упорядоченное множество Μ называется направленным, если для любых a, b ^ Μ существует такой элемент сеД что а^с, Ь^с. Можно говорить, следовательно, о направленной группе. Частично упорядоченная группа тогда и только тогда будет направленной, если она совпадает с подгруппой, порожденной всеми ее положительными элементами, х 4, В частично упорядоченной группе О из α^Ι следует ап ^ 1 для всех натуральных п. Поэтому, ввиду свойства 2) полугруппы положительных элементов, всякий строго положительный элемент а (т. е. такой, что а>1)
§ 1] УПОРЯДОЧЕННЫЕ ГРУППЫ 297 должен иметь бесконечный порядок: если ап = 1, п^>\, то ап~1 = а~1. Отсюда следует (определения см. в П. 3.4): Всякая линейно упорядоченная группа является группой без кручения. Периодическая группа не допускает никаких частичных упорядочений, кроме тривиального. 5. Если в группе G заданы два частичных упорядочения, соответственно с полугруппами положительных элементов Рг и Р2, то второе частичное упорядочение назовем продолжением первого, если Р2 :э Рь т. е. если из а^Ь в первом упорядочении всегда следует это же неравенство во втором упорядочении. Множество всех подполугрупп группы G, удовлетворяющих условиям 1)—3) из VI. 1.3, частично упорядочено по включению. Объединение любой цепи из таких подполугрупп само будет подполугруппой со свойствами 1)·—3), а поэтому, по теореме Куратовского — Цорна, всякая подполугруппа со свойствами 1)—3) содержится в максимальной такой подполугруппе, т. е. всякая частичная упорядоченность группы Q продолжается до максимальной (далее не продолжаемой) частичной упорядоченности. Если группа Q допускает линейные упорядоченности, то всякая ее линейная упорядоченность максимальна. Это очевидное утверждение мы дополним одним критерием того, когда все максимальные упорядоченности группы G линейны [Охниси, Osaka Math. J. 2 (1950), 161-164]. 6, Начнем с некоторых замечаний о подполугруппах группы G, обладающих свойствами 1) —3). Если Ρ — такая подполугруппа, то множество Р-1 всех элементов /Г1, где /ιεΡ, также будет, очевидно, подполугруппой со свойствами 1)—3). Отметим, что Ρ П Ρ'' = ι, (2) так как иначе будет нарушено свойство 2). Лемма 1. Если Ρ и Q —подполугруппы группы G, обладающие свойствами 1)—3), и РПСГ1 = 1. (3) то множество PQ всех элементов группы Q, представим ых в виде pq, ρ е Ρ, q е Q, само будет подполугруппой со свойствами 1) —3).
^Я УПОРЯДОЧЕННЫЕ И ТОПОЛОГ. ГРУППЫ И КОЛЬЦА ГГЛ. VI . Действительно, (РгЯд (ftsft) = (Ρι · 4ιΡΜΪ) (<7ι<72) = />з<7з> (4) где рг gP, <7з ^ Q· Этим доказано, что PQ — подполугруппа. Далее, 1 = Ые PQ. С другой стороны, если pq=l, го p — q~lt откуда, ввиду (3), следует p = q=l. Из (/?l^l)(/?2^2)=1 будет вытекать поэтому (см. (4)), что /?з = #з=1> т· е-> так как полугруппы Ρ и Q обладают свойством 2), <7ι = ?2 =Л = qtftfV =Р2 = !■ Наконец, для любого -*г е G л:""1 (/?^) χ = (х~грх) С* ~ V*)=p'q' ^ PQ· Лемма доказана. Пересечение любой системы подполугрупп группы G, обладающих свойствами 1)—3), само будет, очевидно, подполугруппой с этими же свойствами. Отсюда следует, что если элемент а вообще содержится хотя бы в одной такой подполугруппе, то существует минимальная подполугруппа со свойствами I)—3), содержащая элемент а; обозначим ее через Ра. 7, Тогда и только тогда все максимальные упорядоченности группы G линейны, если: Ι. Ρα существует для всякого a^G. II. Из Ь, с е Ρω a^G, и Ьф\, с=?Ы, следует, что Рь{\ Рсф1. Доказательство. Если группа G допускает линейную упорядоченность с полугруппой положительных элементов Р, то а^ Ρ или а е Р~\ а поэтому свойство I выполняется. Пусть теперь всякая частичная упорядоченность группы G продолжается до линейной. Если bt с е Ρω Ьф\, сф\, но Р6 f| Рс=1, то, по лемме 1, Р^Т будет подполугруппой со свойствами 1)-—3). Частичная упорядоченность, определяемая этой подполугруппой, по условию может быть продолжена до линейной, определяемой подполугруппой положительных элементов Р. Таким образом, Ь(=Р, с-1 €= Р,
§ Π УПОРЯДОЧЕННЫЕ ГРУППЫ 299 а поэтому с е Р~1. Мы приходим к противоречию с тем, что или а^Р, т. е. Ра^Р, и поэтому Ра ή Ρ~ι = \, или же а^Р~г, т. е. Ра^Р~\ и тогда Ра(]Р=\. Этим доказано, что выполняется и свойство II. Предположим теперь, что группа G обладает свойствами I и II и что в G взяты элемент а и подполугруппа Ρ со свойствами 1)—3). Лемма 2. Если Ρ (] Ра Φ 1, то Ρ П Р~а = 1. В самом деле, пусть хеР(1Ра, x^l, и вместе с тем j/ePfl /Υ> у φ I. Тогда χ"1 е= Ра-ь У е P7=Pa-h a поэтому, по II, Однако л:-1 е Я-1, у еР, т. е. Ρ*-ι ^ Р"1, Ру<^Р, а поэтому Ρ-1 Π Ρ=^=1, что противоречит (2). Лемма доказана. Для окончания доказательства теоремы возьмем в группе G любую подполугруппу Р, определяющую максимальную упорядоченность. Если эта упорядоченность еще не линейная, то условие 4) из VI. 1.3 не выполняется, т. е. существует такой элемент а^О, что афР и α-1 φ Р. В силу условия I подполугруппа Ра существует, причем, ввиду леммы 2, можно считать (заменяя, если нужно, а на а-1), что Р(]Ра1==1- Поэтому, по лемме 1, произведение РРа будет подполугруппой со свойствами 1) —3), притом строго большей чем Р, что противоречит, однако, выбору подполугруппы Р. Теорема доказана. 8, Из доказанного критерия вытекает следующая теорема Е. П. Шимбиревой [Мат. сб. 20 (1947), 145 — 178]: Все максимальные упорядоченности абелевой -группы без кручения линейны. В самом деле, если а — отличный от 1 элемент абелевой группы без кручения G, то подполугруппа Ра состоит из всех степеней ап, п = 0, 1, 2, ... Так как, кроме того, всегда Ρχ=1, то условие I выполняется. Выполняется и условие II, так как если b — akf c = a\ k^\, /^1, то амф 1 и ам еР6(1 Ре. Частным случаем этой теоремы является теорема Леви [Rend. Palermo 35 (1913), 225-236]: Всякая абелева группа без кручения может быть линейно упорядочена.
300 упорядоченные и тополог, группы и кольца [гл. νι . # Существуют, притом в различных формах, необходимые и достаточные условия для того, чтобы группу можно было линейно упорядочить [И в а с а в a, J. Math. Soc. Jap. 1 (1948), 1—9; А. И. Мальцев, Изв. АН СССР, серия матем. 13 (1949), 473-482; В. Д. Поддерюгин, Изв. АН СССР, серия матем. 21 (1957), 199-208]. * § 2. Упорядоченные кольца 1. Все упорядоченные группы, перечисленные во втором абзаце VI. 1.1, являются аддитивными группами некоторых колец или полей. Эти примеры упорядоченных колец (полей) подсказывают следующее определение, которое можно было бы сформулировать сразу для любой группы с мультиопе- раторами (см. ΙΙΙ.2.1): Кольцо R называется линейно {частично) упорядоченным, если линейно (частично) упорядочена его аддитивная группа (см. VI. 1.1), и поэтому, по VI. 1.3, можно говорить о положительных элементах, и если, сверх того, произведение положительных элементов положительно, т. е. из а^ 0, Ь^О следует ah^0. Из этого определения следует, что тривиальная частичная упорядоченность аддитивной группы любого кольца будет (тривиальной же) частичной упорядоченностью самого кольца. Требование о произведении положительных элементов, входящее в наше определение, равносильно, очевидно, тому, что если а^Ь и с^0, то ас^Ьс и ca^cb. Отметим, далее, что так как из а^0 следует — а^ 0 — достаточно прибавить — α к обеим частям первого неравенства, — и, обратно, из а ^ 0 следует — а ^ 0, то справедливо следующее правило знаков: если а^0, Ъ^0, то αί»<0 ик<0; если а <: 0, Ъ ^ 0, то ah ^ 0. Отсюда следует, что было бы невозможно определить упорядоченное кольцо как кольцо, в котором задана такая упорядоченность, по которой и аддитивная группа, и мультипликативный группоид этого кольца являются упорядоченными в смысле VI. 1.1. Отметим, что в случае колец без делителей нуля условие о произведении положительных элементов, входящее в опре-
§2] УПОРЯДОЧЕННЫЕ КОЛЬЦА 301 деление упорядоченного кольца, можно изложить в следующей редакции: произведение строго положительных элементов строго положительно, т. е. из а>0, Ъ > 0 следует аЬ > 0. Это равносильно тому, что если а<^Ъ и с>0, то ас <С.Ьс и са< cb. Укажем, наконец, что изоморфизм упорядоченных колеи определяется по существу так же, как в VI. 1.1 для упорядоченных группоидов. 2. Ввиду VI. 1.3 любая частичная упорядоченность кольца R определяется аддитивной полугруппой положительных элементов Р: а^Ь тогда и только тогда, если b—α^Ρ. Из VI.1.3 и определения упорядоченного кольца следует: Подполугруппа Ρ аддитивной группы кольца R тогда и только тогда служит полугруппой положительных элементов при некоторой частичной упорядоченности этого кольца, если выполняются следующие условия: Г) 0е=Р; 2 ) если а е Ρ и — а^ Р, то α = 0; 3') если а^Р и Ь^Р, то ab^ Р. Частичная упорядоченность кольца R, определяемая аддитивной полугруппой Ρ со свойствами Г)—3'), тогда и только тогда будет линейной, если выполняется также условие: 4') для любого a^R или а^Р, или —а^Р. 3. Если аг, а2, ..., ап — отличные от нуля элементы кольца R, то под их произведением будем понимать сейчас всякое произведение (в неассоциативном случае — с некоторым распределением скобок), всякий множитель которого является одним из ah /=1, 2, ..., п, причем каждое at может встречаться в этом произведении несколько раз, в том числе не встречаться ни одного раза. Произведение элементов аь а2, ..., ап будет называться четным, если каждое aiy /=1, 2, ..., η, входит в него четное число раз. Наконец, говоря о сумме произведений некоторых элементов, мы будем считать, что все эти произведения входят в рассматриваемую сумму со знаком плюс. Справедлива следующая теорема [см. Й о н с о н, Ргос. Amer. Math. Soc. 3 (1952), 414—416; В. Д. Поддер ю г и н, Успехи мат. наук 9:4 (1954), 211—216]:
302 упорядоченные и тополог, группы и кольца [гл. νι Кольцо R тогда и только тогда является кольцом без делителей нуля, допускающим линейную упорядоченность, если всякая сумма четных произведений его элементов отлична от нуля. В самом деле, пусть R — линейно упорядоченное кольцо без делителей нуля и пусть дано некоторое четное произведение его элементов. Это произведение не изменится, если все входящие в него отрицательные множители будут заменены противоположными элементами, а поэтому оно равно произведению строго положительных элементов, т. е., ввиду отсутствия делителей нуля, само строго положительно. Строго положительной и поэтому отличной от нуля будет, следовательно, и всякая сумма четных произведений. 4. Наоборот, если кольцо R таково, что любая сумма четных произведений его элементов отлична от нуля, то R не может содержать делителей нуля, так как из аЬ = 0, а Ф 0, ЬфО, следовало бы, что равно нулю четное произведение (ab)(ab). Назовем подмножество Q нашего кольца R правильным, если оно удовлетворяет следующим требованиям: а) 0 φ Q; б) если α g Q, то — аф Q; в) если аь а2, ..., an^Q, п^О, и хь х2, ..., Xk— отличные от нуля элементы из R, k^O, причем /z-f-&>0> а σ — некоторая сумма произведений всех этих элементов, то существует хотя бы одна такая замена элементов Xj элементами х), где x'j = Xj или х)=. — Хр у = 1, 2, ..., k, (1) после которой сумма σ будет отлична от нуля. Лемма 1. Пустое множество является правильным. В самом деле, пусть сумма σ произведений отличных от нуля элементов хь х2, ..., xk e R, &^1, остается равной нулю при любой замене вида (1). Если элемент хг входит в каждый член этой суммы нечетное число раз, то οχλ будет суммой, каждый член которой содержит множитель хг уже четное число раз, причем эта сумма снова остается равной нулю, какая бы замена вида (1) ни была выполнена. Пусть, с другой стороны, некоторые члены суммы σ содержат множитель хх четное число раз, а другие — нечетное.
§ 2] УПОРЯДОЧЕННЫЕ КОЛЬЦА 303 Обозначим сумму первых через аь сумму вторых —через σ2- а = α χ + σ2. Таким образом, сумма Ох + ^г равна нулю при любой замене вида (1). Это же верно, следовательно, и для суммы, получающейся из нее после замены хг на — Χχ — эту сумму можно записать, очевидно, в виде Οχ — σ2> — а поэтому и и для суммы 2σχ, каждый член которой содержит множитель Χι уже четное число раз. Проделывая эти преобразования последовательно для каждого из элементов хь лг2, ..., х& мы придем, наконец, к равной нулю сумме четных произведений этих элементов, что противоречит, однако, нашим предположениям. Лемма доказана. Лемма 2. Если правильное множество Q не содержит ни элемента а, ни элемента — а, где афО, то хотя бы одно из объединений Q\J a, Q\j (—а) будет правильным. Пусть существует, в самом деле, такая сумма σχ произведений некоторых элементов из Q, элемента а и отличных от нуля элементов х±, х%, ..., Хь, (2) которая равна нулю, какая бы замена вида (1) для элементов (2) ни была выполнена. Пусть, с другой стороны, существует такая сумма σ2 произведений некоторых элементов из Q, элемента а и отличных от нуля элементов Уь У* ..·> Уь (3) которая остается равной нулю, если элемент а заменяется на —а, а элементы (3) подвергаются любой замене вида (1). Тогда σχσ2 будет такой суммой произведений некоторых элементов из Q и элементов а, хь χν ..., xki уь у2, ..., уь (4) которая равна нулю при всякой замене вида (1), примененной к элементам (4). Это противоречит, однако, правильности множества Q. Лемма доказана. 5. Объединение всякой цепи правильных подмножеств нашего кольца R будет, очевидно, правильным. Поэтому, по теореме Куратовского — Цорна, в R существуют максимальные
304 упорядоченные и тополог, группы и кольца [гл. νι правильные подмножества. Пусть Q — одно из них. В силу леммы 2 для всякого agR а Φ 0, или а, или —- а принадлежит к Q. Если а, Ь е Q, то и а-\-Ъ е Q. Действительно, а + & Φ 0 ввиду б) из определения правильного множества. Если бы множество Q содержало элемент с = — (а-\-Ь), то имело бы место равенство а-\-Ь + с = 0 в противоречие с правильностью множества Q. £сли a, b e Q, /#о и а& е Q. Действительно, аЬфО ввиду а) из определения правильного множества и отсутствия делителей нуля. Если бы множество Q содержало элемент d = — ab, то имело бы место равенство ab + d = 0 в противоречие с правильностью множества Q. Отсюда следует, что объединение Ρ = Q [} 0 будет аддитивной подполугруппой кольца /?, удовлетворяющей всем условиям 1') —4') из VI. 2.2. Этим теорема VI. 2.3 доказана. 6. Из этой теоремы следует: Коммутативно-ассоциативное кольцо тогда и только тогда является областью целостности, допускающей линейную упорядоченность, если никакая сумма квадратов его элементов, отличных от нуля, не будет равна нулю. Отсюда вытекает, что поле комплексных чисел не допускает линейной упорядоченности: в этом поле имеет место равенство 12+ /2 — 0. # Поле степенных рядов над упорядоченным полем Ρ (см. II. 5.7), а поэтому и поле рациональных дробей над таким полем Ρ—-могут быть линейно упорядочены. # 7. Если линейно упорядоченное кольцо R обладает единицей, то оно обладает подкольцом, изоморфным кольцу целых чисел с его обычной упорядоченностью. В самом деле, единица должна быть строго положительной, так как она совпадает со своим квадратом. Строго положительны, следовательно, и все положительные кратные единицы, которые все различны в силу VI. 1.4.
§2] УПОРЯДОЧЕННЫЕ КОЛЬЦА 305 Отсюда следует, что обычная упорядоченность кольца целых чисел является его единственной возможной линейной упорядоченностью. # Кольцо целых чисел является единственным линейно упорядоченным кольцом без делителей нуля и с единицей, упорядоченное подмножество положительных элементов которого вполне упорядочено (см. I. 5.4). # 8. Упорядоченность области целостности R может быть распространена, и притом единственным способом, на ее поле дробей R. Предположим сперва, что упорядоченность кольца R уже распространена на поле R. Если η-^>0} то, так как из ЬфО следует Ь2 > 0, мы получаем, что у -b2 = ab>0. Обратно, если ab>0 в /?, то, так как (й_1)2>0, будет а^.(Г1)2 = у>0. Отсюда уже вытекает единственность возможного распространения упорядоченности с R на R. Для доказательства существования такого распространения положим, что -г->0 тогда и только тогда, если а£>0. а с Если —- = "Τ, τ· е· ad = bc (см. II. 5.2), то abd2 — b2cd. Поэтому, ввиду d2 >> 0, Ь2 > 0, из ab > 0 будет следовать cd >> 0, т. е. -τ > 0; наше определение строгой положительности в поле R является, следовательно, законным. Если a, b е /?, причем а Ф 0, b Φ 0, то лишь один из элементов ab, (—а)Ь будет в R строго положительным, а поэтому или -г->>0, или же —- —= ^—>>0 (см. II. 5.4), причем эти случаи исключают друг друга. Если у>0, у>0, т. е. aft>0, cd>0, то abd2>0, b2cd^>0, откуда (ad + be) bd = abd2 + b2cd > 0,
306 УПОРЯДОЧЕННЫЕ И ТОПОЛОГ. ГРУППЫ И КОЛЬЦА [ГЛ, VI т. е. (см. II. 5.4) 7+Т>°· При тех же предположениях будет (ac)(bd) = (ab)(cd)>0, т. е. (см. II. 5.2) Ъ d^ Этим доказано, что множество Р, состоящее из нуля и всех строго положительных элементов поля /?, удовлетворяет всем условиям из VI. 2.2, т. е. определяет в R линейную упорядоченность. Эта упорядоченность является распространением заданной линейной упорядоченности кольца /?, так как, по II. 5.2, но из а>0 следует (ab)b = ab2'>0 и обратно. Из этой теоремы и VI. 2.7 вытекает, что обычная упорядоченность поля рациональных чисел является его единственной возможной линейной упорядоченностью. Так как аддитивная группа любого линейно упорядоченного тела К является, по VI. 1.4, группой без кручения, то К будет телом без характеристики (см. III. 2.11), т. е., ввиду сказанного выше, всякое линейно упорядоченное тело К содержит в качестве простого подполя поле рациональных чисел с его обычной упорядоченностью. 9. Упорядоченное множество Q строго положительных элементов любого линейно упорядоченного ассоциативного тела К составляет по умножению линейно упорядоченную группу. Действительно, из VI. 2.7 мы знаем, что единица тела К принадлежит к Q. Далее, если agQ, т. е. а>0, то и α'1 <ξ Q, так как из а_1<<0 следовало бы, по VI. 2.1, что аа'1 = 1 <<0. Множество Q оказывается, следовательно, мультипликативной группой. Остальные утверждения теоремы следуют из определения упорядоченности кольца без делителей нуля (см. VI. 2.1).
§3] АРХИМЕДОВЫ ГРУППЫ И КОЛЬЦА 307 # Всякая линейно упорядоченная группа может быть изоморфно вложена в линейно упорядоченную мультипликативную группу строго положительных элементов некоторого линейно упорядоченного ассоциативного тела [А. И. Мальцев, Докл. АН .СССР 60 (1948), 1499—1501; Нейман, Trans. Amer. Math. Soc. 66 (1949), 202—252]. * § 3. Архимедовы группы и кольца 1. Подмножество N частично упорядоченного множества Μ называется выпуклым, если оно вместе со всякими своими сравнимыми элементами а и b, а<С.Ь, содержит и все элементы χ множества /И, удовлетворяющие неравенствам а ^ χ ^ Ь. Подгруппа А частично упорядоченной группы О тогда и только тогда будет выпуклой, если в ней вместе со всяким положительным элементом а содержатся все положительные элементы χ группы G, удовлетворяющие неравенству χ ^ а. В самом деле, неравенства а^х^Ь и 1^ а~гх ^ а~гЬ равносильны. Пусть О и Q' — частично упорядоченные группы, Ρ и Р' — их полугруппы положительных элементов, φ — отображение О на О'. Отображение φ мы назовем монотонным гомоморфизмом, если оно является гомоморфизмом в теоретико- групповом смысле и если, сверх того, Ρφ = Ρ'. Этим не утверждается, конечно, что Ρ служит для Р' полнглм прообразом—достаточно вспомнить 2) из VI. 1.3. Ядро А монотонного гомоморфизма φ является вы- пуклым нормальным делителем. Пусть, в самом деле, а е Л, α^Ι и χ е О, l^jc^a. Из χ ^ 1 и определения гомоморфизма φ следует *(рЭ*Г. (1) С другой стороны, так как х~ха^\ и αφ=1', то 1' ^ (х^а) φ = (χψ)'1 (αφ) = (χφ)'1. (2) Из (1) и (2) следует χφ=1', τ. е. xgA Если А —выпуклый нормальный делитель частично упорядоченной группы G, то фактор-группу О' = О/А можно так частично упорядочить, что естественное
308 УПОРЯДОЧЕННЫЕ И ТОПОЛОГ. ГРУППЫ И КОЛЬЦА [ГЛ. VI гомоморфное отображение О на О' будет монотонным гомоморфизмом. Действительно, если Р — полугруппа положительных элементов группы О, то обозначим через Р' совокупность смежных классов по Л, содержащих хотя бы по одному элементу из Р. Теорема будет доказана, если мы покажем, что Р' является подполугруппой группы Q' и обладает свойствами 1) —3) из VI. 1.3. Требует проверки, впрочем, лишь свойство 2), так как остальные утверждения очевидны. Пусть ρ е Р, т. е. /?Л G Р', и пусть вместе с тем (рЛу1 — = /ГМ е Р'. Существует, следовательно, такой элемент р0—р-^а, что j90gP, аеА Поэтому рр0 = а, т. е. α^Ι, а так как 1 ^р0, то Р^РРо = а. Отсюда, ввиду неравенства 1^р и выпуклости Л, следует ρ е Л, т. е. ρ А = Л, что и требовалось доказать. 2. Выпуклыми подгруппами любой частично упорядоченной группы О являются сама группа О и единичная подгруппа Е. Из определения выпуклой подгруппы следует, что пересечение любого множества выпуклых подгрупп и объединение любой цепи выпуклых подгрупп сами будут выпуклыми. Выпуклые подгруппы линейно упорядоченной группы Q составляют цепь по теоретико-множественному включению. Пусть, в самом деле, в группе О взяты выпуклые подгруппы А и В9 причем в В содержится элемент Ъ, лежащий вне Л; без ограничения общности можно считать, что £>1. Если бы в Л существовал такой элемент а, что b << а, то, ввиду выпуклости Л, было бы b ^ А против предположения. Таким образом, все положительные элементы подгруппы Л будут меньше Ь, т. е., ввиду выпуклости В, все они принадлежат к В, а поэтому А а В. Теорема доказана. Если а — строго положительный элемент линейно упорядоченной группы Q, то множество Л, состоящее из всех таких элементов х, что 1^х^ап при некотором натуральном п, и элементов, им обратных, будет минимальной выпуклой подгруппой, содержащей элемент а. Все указанные элементы действительно должны принадлежать ко всякой выпуклой подгруппе, содержащей а. Пусть,
§ 31 АРХИМЕДОВЫ ГРУППЫ И КОЛЬЦА 309 далее, 1 е=с χ ^ak* \ (3) 1 ^ х ^ak, \ 1<Ка/ J при некоторых натуральных k и /. Тогда, по (1) из VI. 1.1, т. е. ху е Л, а поэтому и (лгу)-"1 =jr^""1 gA С другой стороны, из (3) следует а~/<_У~1^ 1, а поэтому а~1 ^ ху-1: Таким образом, если \^ху\ то ij/ 1G А Если же лгу~1< 1, то 1 < (ху-1)"1 ^ а7, т. е. (лгу-1)"1 gA a тогда и лгу"1 е А Теперь очевидно, что Л является подгруппой, притом содержащей а и выпуклой. 3. Строго положительные элементы а и Ь линейно упорядоченной группы G называются относящимися к одному архимедову классу, если они порождают одну и ту же выпуклую подгруппу группы G. Все строго положительные элементы распадаются, следовательно, на непересекающиеся архимедовы классы. Удобно считать также, что элемент 1 составляет отдельный архимедов класс. Множество архимедовых классов группы О линейно упорядочивается в соответствии с естественной линейной упорядоченностью скачков (т. е. пар соседних подгрупп) в цепи выпуклых подгрупп группы G. Линейно упорядоченная группа G называется архимедовой, если в ней нет выпуклых подгрупп, отличных от О и Е. Из последней из теорем VI.3.2 следует: Линейно упорядоченная группа О тогда и только тогда будет архимедовой, если для любой пары a, b ее строго положительных элементов можно указать такое натуральное число п = п(а, Ь\ что ап>Ь. Примерами архимедовых групп служат подгруппы аддитивной группы действительных чисел с их естественной упорядоченностью.
310 упорядоченные и тополог, группы и кольца [гл. νι 4. Теорема Гельдера. Всякая архимедова группа ком- мутативна и изоморфна некоторой подгруппе аддитивной группы действительных чисел с ее естественной упорядоченностью. Пусть архимедова группа G обладает минимальным строго положительным элементом а. Если b — любой строго положительный элемент из G, то существует такое натуральное число п, что ап^Ь< ап+\ Отсюда 1 ^ Ьа~п < а, а поэтому Ьа~п=\, т. е. Ь — ап. Все строго положительные элементы группы G исчерпываются, следовательно, степенями элемента а, а так как, по VI. 1.1, 1 < а < а2 <... < ап <..., то G оказывается изоморфной аддитивной группе целых чисел с ее естественной упорядоченностью. Предположим теперь, что среди строго положительных элементов архимедовой группы G нет минимального. В этом случае для всякого а >> 1 существует такое £> 1, что Ь2^а. Действительно, существует такой элемент с, что 1 < с < а, откуда \<^с~га. Если с2^а, то Ь = с. Если же с2^>а, то 1 > с^ас'1, т. е. а >> {с~га)2 и поэтому Ь = с~га. Для доказательства коммутативности группы G достаточно показать перестановочность любой пары ее строго положительных элементов а, Ь. Если аЬфЬа, то без ограничения общности можно положить, что с==а-1Ь-^аЬ^>\. Как доказано, существует такой элемент а1, что 1 <Cd и d2^c. Можно считать при этом, что d<Za и d<Cb, a поэтому существуют такие натуральные числа k и /, что dk^a<:dk+\ dl^b<dl+1. Отсюда
§ 3] АРХИМЕДОВЫ ГРУППЫ И КОЛЬЦА 311 т. е. а так как, по условию, d2 ^ с, то мы приходим к противоречию. Коммутативность группы G доказана. 5. Нам удобно перейти теперь к аддитивной записи операции в группе G. Фиксируем в G некоторый строго положительный элемент е и поставим в соответствие всякому элементу а^О класс Ua всех таких рациональных чисел —, п^> О, для которых те ^ па. (4) η *=Ua pn^qm следует Если — е Uа и — ^ —, то и — е ί/д, так как из (4) и (pri) e ^ (<7//г) £ ^ (qn) a, откуда /?£ ^ qa. о m T7 ρ m Ρ τι В частности, если ~^ип и -£- = -— то и —^иа, т. е. класс ί/Λ на самом деле можно считать множеством рациональных чисел. Класс Ua содержит не все рациональные числа: ввиду архимедовости группы G существует такое натуральное число т, что те^> а, а поэтому т φ Ua. Класс Ua является, следовательно, первым классом некоторого сечения в системе рациональных чисел, т. е. определяет, в силу дедекиндовой теории действительных чисел, некоторое действительное число а. Положим α = αθ. 6. Если а ^ Ь, то αθ ^ЬВ, так как из (4) и α<ί следует те ^ nb, т. е. Uа <= ί/*. Докажем, далее, что (α + 6)θ = αθ + Μ. (5) Действительно, если
312 упорядоченные и тополог, группы и кольца [гл. νι т. е. те ^ па, ре ^ qb, то (mq + np) e^nq(a-\- b), откуда тд + пр т ρ . nq n l q a ° С другой стороны, таким же путем может быть показано, что если ТО И m ι Ρ г+ τι откуда следует (5). Отображение θ является, следовательно, монотонным гомоморфным отображением группы G на некоторую подгруппу аддитивной группы действительных чисел. При этом гомоморфизме в нуль переходит лишь нуль группы G: если а > О, то, ввиду архимедовости группы G, существует такое нату- ^ ! η ральное число т, что та^> е, т. е. —^иа, а поэтому ад > 0. Гомоморфизм θ будет, следовательно, изоморфизмом, притом сохраняющим отношение порядка. Теорема доказана. Отметим, что подгруппа G8 аддитивной группы действительных чисел, на которую нами изоморфно отображена аддитивная группа G, содержит число 1, так как ед = \. 7. Лемма. Если А и В — подгруппы аддитивной группы действительных чисел с ее естественной упорядоченностью, α φ — монотонный гомоморфизм А на В, то существует такое действительное число г, г ^ 0, что для всех аеА αφ = аг. (6) Действительно, если существует такое аеД а^> 0, что αφ = 0, то и (па) φ = 0 для всех натуральных л, т. е. В=: Αψ = 0. В этом случае г = 0. Предположим поэтому, что φ является изоморфизмом. Если аь а2еД #ι>>0, α2>0, то и αχφ^>0, α2φ > 0. Если -^ <С —, то существует такое положительное рациональное α2φ #2
§ 3] АРХИМЕДОВЫ ГРУППЫ И КОЛЬЦА 313 число —, что Μ < HI <· Ь (7) Отсюда пах > /тга2, т. е. η (αχφ) > /я (а2ф)> хотя из (?) следует η (fli<p) <Г //ζ(Дгф)· ^ такому же противоречию мы придем и в предположении, что — > —. Таким образом, αχφ α! α2ιρ ~~ α2 ' а тогда r = f, ае=А а>0. Действительно, если а' <; 0, то α'φ = — (— α') φ = — (— а') г = а'г, т. е. число г удовлетворяет условию (б) для всех элементов из А. Лемма доказана. Назовем гомоморфизм φ линейно упорядоченной группы G на линейно упорядоченную группу Q' инверсным гомоморфизмом, если из α е G, α ^ О следует αφ ^ 0. Доказанная нами лемма справедлива и тогда, если φ — инверсный гомоморфизм; в этом случае, однако, г ^ 0. В самом деле, если φ — инверсный гомоморфизм А на В, то отображение —φ, где а (— φ) = — αφ, α ^ Α, будет монотонным гомоморфизмом. Существует, следовательно, такое действительное число г, г ^ 0, что α (— ф) = аг> α ^ А но тогда αφ = — [а (— φ)] = — at = а (— г), абД где — г ^ 0. 8. Линейно упорядоченное кольцо R называется архимедовым, если его аддитивная группа является архимедовой. Справедлива следующая теорема [Я. В. X и о н, Успехи мат. наук 9:4 (1954), 237—242; Таллинн, Atti Accad. Naz. Lincei, Rend. 18 (1955), 367—373J:
314 упорядоченные и тополог, группы и кольца [гл. νι Всякое архимедово кольцо R ассоциативно и коммутативно. Больше того, оно или является нулевым кольцом на некоторой подгруппе аддитивной группы действительных чисел, или же изоморфно некоторому под кольцу поля действительных чисел с его естественной упорядоченностью. Действительно, на основании теоремы Гельдера (см. VI.3.4) можно считать, что аддитивная группа кольца R уже является подгруппой аддитивной группы действительных чисел. Однако, умножение в R не будет, вообще говоря, совпадать с обычным умножением действительных чисел и, в отличие от последнего, мы будем записывать его через а · Ъ. Если а е R, то преобразование χ -> χ · α, χ е /?, будет эндоморфизмом аддитивной группы кольца R, монотонным при а^О и инверсным при а^О. Поэтому, по VI.3.7, существует такое действительное число га, что х. а = хгω χ ^R, причем из а^О следует га^0. Так как для всех jcgR x-(a-\-b) = x-a-\-x-b = xra + xrb = x(ra-\- rb), т. e. ra+b — ra + Ть то отображение а-+га будет монотонным гомоморфизмом аддитивной группы кольца R в аддитивную группу действительных чисел. Поэтому, по лемме, существует такое дейсгвительное число s, 5^0, что для всех a^R Г а = CLS. Если 5 = 0, то га — 0 для всех а, т. е. R будет нулевым кольцом. Если же s > 0, то отображение α -> га будет монотонным изоморфизмом аддитивной группы. Вместе с тем из α · £ = агъ = a (bs) = (ab) s следует ra-b = {o.'b)s = [(ab) s]s = (as) (bs) = rarb. Таким образом, при s >> 0 соответствие α -> ra отображает кольцо R монотонно и изоморфно на некоторое подкольцо поля действительных чисел с его естественной упорядоченностью. Теорема доказана.
141 НОРМИРОВАННЫЕ КОЛЬЦА 315 § 4. Нормированные кольца 1. В поле действительных чисел определено понятие абсолютной величины, в поле комплексных чисел — понятие модуля. Вспоминая привычные свойства этих понятий и учитывая, в частности, что и абсолютная величина и модуль являются неотрицательными действительными числами, а поле действительных чисел линейно упорядочено, мы приходим к следующему общему определению: Пусть W— линейно упорядоченное кольцо (см. VI.2.1). Некоторое кольцо R будет называться нормированным кольцом со значениями нормы в кольце W, если всякому элементу а е R поставлен в соответствие некоторый элемент w(a) e W — норма элемента а,— причем выполняются следующие условия: 1. ^(0) = 0; w(a)^>0 при α φ 0; 2. w(ab) = w(a)w(b); 3. w (a — b) ^ w (a) + w (b). Из 3 и 1 следует, что для всех b e R будет w (—b) ^ w (b) а так как b— —{ — b), то 31β w(—b) = w(b), bt=R. Отсюда вытекает 32. w (a + b) ^ w (a) + w (b). Помимо полей действительных и комплексных чисел примерами нормированных тел с действительной нормой могут служить тело кватернионов и алгебра К эли. Именно, в этих телах в качестве нормы элемента α нужно взять квадратный корень из той нормы η (α), которая введена соответственно в V.6.9 и V.6.11. Так определенная норма будет совпадать с длиною вектора а соответственно в четырех- и восьмимерном евклидовом пространстве, а поэтому условие 3 выполняется. Выполнение условия 1 очевидно, справедливость же условия 2 вытекает из равенств (8) и (15) § б гл. V. Всякое линейно упорядоченное кольцо R можно нормировать со значениями нормы в самом кольце R. Действительно, назовем абсолютной величиной \ а \ элемента а е R положительный из числа элементов а и —а. Абсолютная величина удовлетворяет требованиям, входящим в определение нормы. В самом деле, выполнение условия 1
316 упорядоченные и тополог, группы и кольца [гл. νι очевидно. Условие 2 легко следует из правила знаков (см. VI.2.1): если а ^ О, Ъ ^ 0, то | а | · | Ь | = ab = | аЬ |; если а^О, Ь^О, то | α | ·| b | = ( — a)b =—α£ = |α&|; если α <: 0, b ^ 0, то | а | · | b \ = (— а) (— £) == ab = \ ab |. Покажем, что выполняется и условие 3. Если α ^ b ^ О, то b^>z--b и α + ^^α —^, а поэтому | α — b\ = a — b *^a + ft = |a| + |ft|. Если α^0:^£, то Ι α — £| = α--£ = α + ( — й) = | α | +1 ft |. Если 0^>s a^zb, το — α ^ α и —α — b^a — b, а поэтому Ι α — £| = α — b^ — a — b = \a\-\-\b\. Если ^^α^Ο, το α^ — α и α + £:>ϊ£ —α, а поэтому Ι α — u I = ~(α — b) — b — a^a-\-b — \a\-\-\b\. Если ^^0^:α, то \a-b\=b-a = b + (-a) = \a\ + \b\. Если, наконец, Ο^^^α, то b^ — b и b-—a^ — a — b, а поэтому Теорема доказана. 2. Во всех примерах, рассмотренных выше, все положительные элементы кольца W служат нормами некоторых элементов кольца R. В этом случае мы будем говорить, что W является кольцом значений нормы. Пусть R — нормированное кольцо с кольцом значений W. Если кольцо R обладает единицей 1, то w{\) служит единицей кольца W. Действительно, если α£ϋ, то w (а) == w (а · 1) = w (а) · w (1), т. е. w(l) служит единицей для всех положительных элементов из W, а поэтому и для элементов, им противоположных. Кольца R и W одновременно обладают или не обладают делителями нуля.
§ 4] НОРМИРОВАННЫЕ КОЛЬЦА 317 В самом деле, если a, b ^ R, а Ф О, ЬфО, но ab = 0, то w(a)^>0, w(b)^>0, но w (a) w(b) = w (ab) = 0. Обратно, если кольцо W обладает делителями нуля, то в нем можно найти такие строго положительные элементы α, β, что αβ = 0. Тогда в R существуют такие элементы а, Ь, что w(a) = a, w(b) = $, и поэтому афО, ЬфО. Однако w (ab) = w(a)w (b) = αβ = 0, откуда αδ = 0. Если кольцо R коммутативно или ассоциативно, то это же можно утверждать и для кольца W. В самом деле, справедливость закона коммутативности или ассоциативности для положительных элементов кольца W немедленно следует из условия 2 в определении нормированного кольца, все же другие элементы кольца W являются противоположными для положительных элементов. Из этих же соображений вытекает и следующее утверждение: Если R является кольцом с делением (или кольцом с однозначным делением, или телом), то это же верно и для W. 3. Если линейно упорядоченное кольцо W обладает единицей 1, то любое кольцо R допускает следующее тривиальное нормирование со значениями в W: w(0) = 0, w(a)=\ для всех asfi, афО. Ясно, что все условия 1—3 из VI.4.1 выполняются. Выполняется даже следующее условие, более сильное, чем условие 3: 3'. w(a — b) ^ тгх (w (a), w(b)). Отсюда, как и раньше, следует 3J. w( — b) = w(b), а поэтому w (a + b) = w [а — (— b)] ^ max (w (a), w ( — b)) = = max(w(a), w(b)), т. e. З2. w (a -f- b) ^ max (w (a), w(b)). Нормирование, подчиненное условиям 1, 2 и 3', называется неархимедовым, в противоположность архимедову нормированию, при котором условие 3' не выполняется и
318 упорядоченные и тополог. Группы и кольца [гл. νι имеет место лишь условие 3. Перечисленные в VI.4.1 обычные нормирования полей действительных и комплексных чисел, тела кватернионов и алгебры Кэли являются архимедовыми. Таково же и указанное в VI.4.1 нормирование линейно упорядоченного кольца. 4. В определении неархимедова нормирования, т. е. в аксиомах 1, 2 и 3', используются лишь упорядоченность и умножение положительных элементов кольца W. Это определение можно дословно перенести поэтому на случай нормирования кольца R элементами некоторого линейно упорядоченного мультипликативного группоида G с нулем, т. е. с таким элементом 0, что для всех χ е G, О ^ х, х. О = 0 · χ = 0. Именно в таком смысле будут пониматься дальше неархимедовы нормирования кольца R. Мы будем при этом говорить о нормировании кольца R с группоидом значений G, если всякий элемент из G служит нормой некоторого элемента из R. Пусть в кольце R задано неархимедово нормирование w{a) с группоидом значений G. В этом случае имеют место результаты, аналогичные указанным в VI.4.2 и доказываемые теми же рассуждениями. Можно отметить, впрочем, что в рассматриваемом нами случае норма определяет гомоморфное отображение мультипликативного группоида кольца R на группоид G. Если кольцо R обладает единицей 1, то w{\) служит единицей группоида G. Кольцо R и группоид Q одновременно обладают или не обладают делителями нуля — смысл понятия делителей нуля в группоиде с нулем очевиден. Если кольцо R ассоциативно, то группоид G будет полугруппой. Из коммутативности кольца R следует коммутативность G. Если R является ассоциативным телом, то отличные от нуля элементы из Q составляют группу по умножению, заданному в G. 5. Пусть R — линейно упорядоченное кольцо, G — упорядоченное множество архимедовых классов его аддитивной группы (см. VI.3.3); класс, содержащий элемент а е R, а^О, будем обозначать через а. Если a, b e R, а^О, Ь^О,
§ 4] НОРМИРОВАННЫЕ КОЛЬЦА 319 откуда ab^O, то положим йЬ = аЬ. (1) Равенство (1) превращает множество Q в линейно упорядоченный группоид с нулем, называемый группоидом архимедовых классов кольца R. Действительно, если аг = а2, то пусть, например, аг^а2. Существует, однако, такое натуральное число п, что а2 ^ паь а поэтому ввиду Ь^О, αφ ^ αφ ^ η {αφ), откуда аф = аф. Этим доказано, что равенство (1) на самом деле является определением умножения в множестве О. Далее, если аг <; аъ то % <; а2, а поэтому для любого Ь^О аф·^ αφ, ϋαχ ^ Ьа2у откуда для любого йеО йф ^ йф, Ьйг ^ Ъй2. Таким образом, группоид G оказывается линейно упорядоченным (см. VI. 1.1). Наконец, класс 0 будет, очевидно, нулем линейно упорядоченного группоида G. Справедлива следующая теорема [Я. В. Хион, Изв. АН СССР, серия матем. 21 (1957), 311—328]: Всякое линейно упорядоченное кольцо R допускает неархимедово нормирование со своим группоидом архимедовых классов в качестве группоида значений. В самом деле, для каждого ag R возьмем в качестве w(a) тот архимедов класс, к которому принадлежит абсолютная величина \а\ (см. VI.4.1). Условие 1 выполняется очевидным образом, справедливость условия 2 следует из справедливости этого условия для абсолютной величины и равенства (1). Покажем, что выполняется и условие 3'. Действительно, ввиду | — b | = |й| и VI.4.1, \a-b\ = \a + (-b)\^\a\ + \b\<^2 max (| а \, \Ь |), а поэтому | а — Ь | ^ max (|α|, \b\), т. е. w (а ■— b) ^ max (w (α), w (b)).
320 упорядоченные и тополог, группы и кольца [гл. νι 6. Пусть в кольце R задана неархимедова норма со значениями в линейно упорядоченном группоиде G с нулем. Перейдем в группоиде G от мультипликативной записи операции, как до сих пор предполагалось, к аддитивной записи и, кроме того, заменим упорядоченность в G на инверсную (ср. 1.4.6). Элемент 0 естественно обозначить теперь символом оо, причем для всех χ е G оо^х, λγ4-οο = οο + λγ = οο. (2) Неархимедово нормирование, заданное в кольце /?, превращается этим путем в так называемое логарифмическое нормирование со значениями в аддитивном группоиде G, причем условия 1, 2 и 3' принимают вид: 10. гг;(0) = оо, w(a)<Zoo при афО; 20. w (ab) = w (a)-\-w (b); 3'0. w(a — b)^m\x\ (w(a), w(b)). Обратный переход также, конечно, возможен. Если в R было задано неархимедово нормирование с (неотрицательными) действительными значениями, то полученное из него логарифмическое нормирование также можно считать действительным, а именно со значениями в упорядоченной аддитивной группе действительных чисел, пополненной символом оо. В самом деле, описанное выше преобразование группоида значений нормы можно в рассматриваемом случае получить, заменив всякое положительное действительное число α числом — 1η α. Возьмем поле Ρ и рассмотрим в качестве R любое из следующих трех колец: кольцо многочленов Ρ [χ] (см. Н.2.7), кольцо степенных рядов Ρ {χ) (см. IL2.8), поле лорановых степенных рядов (см. И.5.7). Если ugR, а Φ 0, то пусть w(a) будет показатель наименьшей степени неизвестного х, входящей в запись многочлена (ряда) а с отличным от нуля коэффициентом; положим, кроме того, гг; (0) = оо. Этим в кольце R вводится целочисленное логарифмическое нормирование—проверка условий 10, 20, Зо не представляет затруднений. 7. Возвращаясь к общему понятию нормирования (см. VI.4.1), отметим, что иногда условие 2 заменяется более слабым условием 2'. w(ab)^w(a)w(b). В этом случае говорят о псевдонормировании.
§ 5] ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НОРМИРОВАНИЯ ПОЛЕЙ 321 Важные примеры псевдонормированных колец представляют некоторые кольца функций. Так, рассмотрим кольцо всех непрерывных действительных функций f(x), определенных на отрезке [0, 1] числовой прямой. Полагая w(f)= max \f(x)\, *€[0,1] мы вводим в это кольцо действительную псевдонорму, так как условия 1, 2'(но не 2) и 3 выполняются. § 5. Логарифмические нормирования полей 1. Логарифмические нормирования существенно используются в теории полей и теории областей целостности, причем их применения основываются, в частности, на излагаемых в этом параграфе понятиях и результатах. Пусть в поле Ρ задано логарифмическое нормирование w (см. VI.4.6) с группоидом значений G. Из результатов, указанных в VI.4.4, и определения логарифмической нормы вытекает, что О будет аддитивно записанной линейно упорядоченной абелевой группой, пополненной символом оо. Обозначим через Rw множество всех тех элементов а^ Р, для которых w(a)^0. Ввиду 10, 20 и Зо Rw будет подколь- цом поля Р; оно называется кольцом нормирования w в поле Р. Так как норма w определяет гомоморфное отображение мультипликативной группы поля Ρ на группу G, то единица поля Ρ принадлежит к Rw. С другой стороны, если ag Ρ, то w(а) = 0 тогда и только тогда, если и а, и а~г принадлежат к Rw, т. е. если а является обратимым элементом кольца Rw, так как w(l) = 0. (1) 2. Пусть в поле Ρ заданы логарифмические нормирования w и w' с группами значений О и Q', пополненными символом оо, соответственно. Кольца этих нормирований, рассматриваемые как подкольца поля Р, тогда и только тогда совпадают, Rw = Rw> (2) когда существует такое изоморфное отображение φ упорядоченной группы О на упорядоченную группу G', что для
322 УПОРЯДОЧЕННЫЕ И ТОПОЛОГ. ГРУППЫ И КОЛЬЦА [ГЛ. VI всех отличных от нуля элементов ag Ρ (w (α)) φ = w' (α). (3) Действительно, пусть имеет место равенство (2) и пусть w(a) = 0. Тогда, как отмечено выше, а будет обратимым элементом кольца Rw и, следовательно, кольца RW'y т. е. w' (α) = 0. Верно, конечно, и обратное утверждение. Таким образом, нормирования w и w' определяют такие гомоморфизмы мультипликативной группы поля Р, которые обладают одним и тем же ядром. Поэтому, по III. 2.6, существует изоморфизм φ группы О на группу G', удовлетворяющий условию (3). Наконец, если aGO и α ^ 0, то в ^ существует такой элемент а, что w (а) = а. Из (2) следует тогда, что w' (a) = = αφ^0 в G'. Изоморфизм φ отображает, таким образом, положительные элементы группы G на положительные элементы G' и, следовательно, удовлетворяет всем требованиям теоремы. Обратное утверждение теоремы очевидно. 3. Мы видим, что обозрение всех возможных логарифмических нормирований поля Ρ сводится на обозрение всех гаких подколец этого поля, которые могут служить для него кольцами нормирования. Подкольцо R поля Ρ тогда и только тогда может служить для этого поля кольцом нормирования, если для всякого a gP, а Ф 0, хотя бы один из элементов а, а~1 принадлежит к R. В одну сторону утверждение теоремы почти очевидно: если a^Rw, т. е. w(a)<^0, то из (1) следует w{a-1)^>^)i а поэтому а-1 е Rw. Пусть теперь подкольцо R удовлетворяет условию теоремы. Оно содержит, следовательно, единицу поля Р. Множество 6* обратимых элементов кольца R будет, очевидно, подгруппой мультипликативной группы Р* поля Р. Обозначим через G фактор-группу P*/S, записанную аддитивно. Так как кольцо R не содержит делителей нуля, то отличные от нуля элементы из R составляют подполугруппу R* группы Р*. Ввиду включения S a R* в группе G = P*/S выделяется подполугруппа H = R*fS. Покажем, что И служит полугруппой положительных элементов при некоторой линейной упорядоченности группы G, т. е. проверим условия 1)-4) из VI. 1.3.
§ 5] ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НОРМИРОВАНИЯ ПОЛЕЙ 323 В самом деле, условие I) следует из того, что нулем группы G служит подгруппа S, содержащаяся в R*. Далее, если а е Η и — а е Н, то к /?* принадлежат и элементы, составляющие смежный класс а, и элементы, им обратные, а тогда все эти элементы входят в S, т. е. а будет нулем группы G; этим доказано условие 2). Справедливость условия 3) очевидна. Наконец, условие 4) вытекает из предположения, сделанного о подкольце R в формулировке теоремы. Пополним теперь линейно упорядоченную группу G символом оо со свойствами (2) из VI. 4.6. Полагая w(0) = oo, а для каждого а е Ρ, α Φ О, беря в качестве w (α) тот элемент группы G, который, как смежный класс по 5, содержит элемент а, мы получим логарифмическое нормирование поля Р. Действительно, выполнение условия 10 очевидно. Справедливость условия 20 в случае, когда оба элемента а, Ь отличны от нуля, вытекает из того, что отображение а —> w (α), а ф О, является гомоморфизмом группы Р* на группу G; если же хотя бы один из эмементов а, Ъ равен нулю, то 20 следует из (2) в VI. 4.6. Проверим, наконец, условие 3'0. Так как, по (1) и ζ0, 0 = w(l) = w(-\) + w(-l), а группа G не содержит, по VI. 1.4, отличных от нуля элементов конечного порядка, то w{ — 1) = 0 и поэтому, снова по 20, для всех Ъ е Ρ w( — b) = w (b). Условие 3ό равносильно, следовательно, в нашем случае условию w(a-\-b)^miu(w(a), w(b)), которое и будет доказываться. Оно выполняется, очевидно, если хотя бы один из элементов a, b равен нулю. Если же они оба отличны от нуля, то пусть, например, w (b) ^ w (α), т. е. ~г е R. Поэтому, так как единица поля Ρ содержится в /?, и 1 -f- -г е R, т. е., ввиду 20 и (1), 0<wil +jWw[(a + 6)6-1] = w(fl-|-6) + w(fr-1)== = w (a + b) — w φ).
324 УПОРЯДОЧЕННЫЕ Й ТОПОЛОГ. ГРУППЫ И КОЛЬЦА [ГЛ, VI Отсюда w(a + b)^w(b) = min[w(α), w(b)). Теорема доказана. 4. Если в поле Ρ задано логарифмическое нормирование w с кольцом нормирования Rw, то те элементы а е Р, для которых w(a)>0, составляют в Rw идеал 1W (см. II. 7.8), называемый идеалом нормирования w. Действительно, если a, b ^ Iw, то из Зо следует, что а — b е lw\ если а е Iw, х е Rw, т. е. w (a) i>0, яу (х) ^ 0, то, по 20, гг; (αχ) = ге; (α) + ze> (χ) i> 0, т. е. ах е Iw. Так как, по VI. 5.1, всякий элемент а ^ Rw, афЗш обратим в Rw, то фактор-кольцо Rw/Iw будет полем; оно называется полем вычетов нормирования w. 5. В качестве важного примера найдем все нетривиальные логарифмические нормирования поля рациональных чисел. Пусть w — такое нормирование, Rw и Iw — соответственно кольцо и идеал этого нормирования. Так как 1 е RWi 1 φ Iw, то в Rw содержится все кольцо целых чисел С, а пересечение IW(]C будет истинным идеалом в С. Это пересечение отлично от нуля, так как иначе все ненулевые целые числа были бы обратимыми в кольце Rw, т. е. это кольцо совпадало бы со всем полем рациональных чисел, что для нетривиального нормирования невозможно. Поэтому, по II. 7.8 и IL 4.2, идеал Iw [\ С является совокупностью (р) целых чисел, кратных некоторому натуральному числу /?, /?> 1. Так как фактор-кольцо Rwflw будет полем, то произведение двух целых чисел, лежащих вне (/?), не может попасть в (/?). Это равносильно, очевидно, утверждению, что число ρ должно быть простым. Всякое целое число п, взаимно простое с /?, лежит вне идеала Iw и поэтому, по VI. 5.1, обратимо в кольце Rw, т. е. п~г е Rw. Этим доказано, что в кольце Rw содержится все кольцо Rp тех рациональных чисел, знаменатели которых взаимно просты с р. На самом деле даже
§ 5] „ ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НОРМИРОВАНИЯ ПОЛЕЙ 325 Действительно, если кольцо Rw содержит такое рациональное число —, что (т,р)=1, a /ig(jP), то т φ Iw, т. е. т~г е Rw, а тогда /г1 = -— · /я-1 е /?w, т. е. число η оказывается обратимым в кольце Rw в противоречие с тем, что η е Iw. Обратно, подкольцо Rp поля рациональных чисел при любом простом ρ удовлетворяет условию теоремы V1.5.3. Таким образом, кольца нормирований поля рациональных чисел исчерпываются кольцами Rp, где ρ пробегает все простые числа. 6. Найдем то логарифмическое нормирование поля рациональных чисел, для которого кольцом нормирования служит Rp. Всякое рациональное число α, α Φ 0, однозначно записывается в виде « = £/* (4) где числа тип взаимно просты между собою и с /?, а целое число k больше, равно или меньше нуля. Положим w(a) = ky αφ 0; (5) кроме того, пусть w (0) = оо. Мы получаем логарифмическое нормирование поля рациональных чисел со значениями в упорядоченной аддитивной группе целых чисел, пополненной символом оо, — проверка условий 10, 20 и Зо не представляет никаких затруднений. Это нормирование называется р-адическим нормированием поля рациональных чисел. Из (4) и (5) следует, что кольцом и идеалом р-адического нормирования служат соответственно кольцо Rp и его идеал R'p, составленный из тех рациональных чисел, числители несократимых записей которых делятся на р. Отметим, что RP = {Kp, С}, (б) где С —кольцо целых чисел. Действительно, если — eR™ то
326 УПОРЯДОЧЕННЫЕ И ТОПОЛОГ. ГРУППЫ И КОЛЬЦА ГГЛ. VI из (п, /0=1 следует, что числа sn, s = 0, 1, 2, ..., ρ —-1, лежат в различных смежных классах кольца С по идеалу (/?). Это верно тогда и для чисел m-\-sny s = 0, 1, 2, ..., ρ— 1, а поэтому одно из этих чисел, например m-\-tn, делится на /?. Тогда m + tn σ но т m-\-tn . η η Используя (6), а также равенство R'p f| С = (ρ) и то, что R'p является идеалом в Rp, мы на основании - теоремы об изоморфизме (см. III. 4.2) получаем, что Rp/Rp~C/(p). Поле вычетов р-адического нормирования изоморфно, следовательно, простому полю Ср характеристики ρ (см. III. 2.8 и III. 2.11). 7. Понятно, что /?-адическое нормирование поля рациональных чисел можно рассматривать также не как логарифмическое нормирование, а как неархимедово нормирование в смысле VI. 4.3. Для того чтобы совершить переход, обратный к описанному в VI. 4.6, достаточно взять любое действительное число г, г^>1у и для рационального числа а, записанного в виде (4), положить w (a) = r~k, приняв, кроме того, w(0) = 0. ж Для всякого архимедова нормирования w поля рациональных чисел можно указать такое действительное число а, 0<;а^1, что для всех рациональных чисел а w(a)=\a |α, где | а | — абсолютная величина числа α [Островский, Acta Math. 41(1918), 271-284].* 8. Пусть в поле Ρ задана действительная норма w в смысле VI. 4.1. Последовательность элементов аь а2, ..., ап, ... (7) из Ρ называется фундаментальной последовательностью, если для любого действительного числа г^>0 существует
$ 61 ТЕОРЕМА АЛБЕРТА О НОРМИРОВАННЫХ АЛГЕБРАХ 327 такое натуральное число Λ/ = Λ/(ε), что w(an — am)<Zs при п, m^>N. Фундаментальная последовательность (7) называется сходящейся, если в поле Ρ можно найти такой элемент а —предел этой последовательности, — что для всякого ε >> О существует натуральное число Ν=Ν(έ), удовлетворяющее условию w (ап —· α) <Ζ ε при η^>Ν. Сходящаяся последовательность, имеющая пределом 0, называется нулевой последовательностью. Поле Ρ называется полным по норме w, если всякая его фундаментальная последовательность является сходящейся. ж Для всякого поля Ρ с действительной, нормой w существует пополнение, т. е. такое поле Ρ с действительной нормой ffl, полное по этой норме, что Ρ ^ Я, норма w является продолжением нормы w и всякий элемент поля Ρ служит пределом некоторой фундаментальной последовательности из поля Р. Если поле рациональных чисел нормировано при помощи абсолютной величины, то его пополнением служит поле действительных чисел, также с абсолютной величиной в качестве нормы. Если же поле рациональных чисел рассматривается с /λ-адической нормой, то пополнением служит поле /?-адических чисел (см. III. 3.12). При этом логарифмической нормой отличного от нуля /?-адического числа, записанного в виде (17) из ΙΠ.3.12, считается целое число k.x 9. Нормированные поля РиР'с действительными нормами называются изоморфными, если между ними существует такой изоморфизм, при котором нулевые последовательности одного из этих полей переходят в нулевые последовательности другого поля и обратно. χ Всякое поле с архимедовой действительной нормой изоморфно подполю поля комплексных чисел, нормированному при помощи модулей комплексных чисел [Островский, Acta Math. 41(1918), 271—284].* § 6. Теорема Алберта о нормированных алгебрах 1. Пусть в поле Ρ задана действительная норма, которую будем обозначать теперь через | α |, αεΡ. Пусть, далее, R — алгебра над полем Ρ и пусть в R, как в кольце, задана действительная норма w со свойствами 1—3 из VI, 4.1.
328 УПОРЯДОЧЕННЫЕ И ТОПОЛОГ. ГРУППЫ И КОЛЬЦА [ГЛ. VI Будем называть R нормированной алгеброй, если для любых а ^ /?, α ^ Ρ выполняется равенство w(aa)=\a\w(a). (1) Справедливость этого же равенства будет предполагаться и в том случае, когда мы будем говорить о псевЪ о нор миро- ванной алгебре (см. VI. 4.7). 2. Всякая действительная конечномерная алгебра R может быть псевдонормирована [А л б е ρ т, Ann. of Math. 48(1947), 495-501]. Пусть, в самом деле, в алгебре R выбрана база х^ / = = 1, 2, ..., п, с таблицей умножения η χ· χj = ^^ EijXfc. Если μ —отличное от нуля действительное число, то базу алгебры R будут составлять также элементы у{ = \лхь ί = = 1, 2, ..., л, причем η где δί/ = με?,. Подберем, что легко сделать, число μ так, чтобы для всех U U ^=1, 2, ..., η было Ш^, (2) где | δ | — абсолютная величина числа δ. Тогда, определяя w(a) для любого элемента а е /?, записываемого в виде η а~ Σια^*> Равенством η мы введем в алгебру R псевдонорму.
§ 61 ТЕОРЕМА АЛБЕРТА О НОРМИРОВАННЫХ АЛГЕБРАХ 329 Действительно, если η η ΐ=1 / = ι то а поэтому, ввиду (2), w(ab)= Σ k = \ < Σ Ιβ?/Ιΐ«*ΙΙβ/Ι< < Σ |а*мР/1=^(«)^(»)· Этим доказана справедливость условия 2' из VI.4.7, выполнение же всех других условий, входящих в определение псевдонормированной алгебры, очевидно. 3. Справедлива, с другой стороны, следующая теорема Алберта [Ann. of Math. 48 (1947), 495—501]: Поля действительных и комплексных чисел, тело кватернионов и алгебра Кэли являются единственными конечномерными действительными нормированными алгебрами с единицей. Заметим, что указанные четыре алгебры на самом деле удовлетворяют всем условиям теоремы (см. VI.4.1). С другой стороны, если в кольце R задана действительная норма w, то в R нет делителей нуля: если a, b e /?, афО, Ъф 0, ab=0, то хю(а)Ф 0, %ю(Ь)Ф 0, но w(a)w(b)=w(ab)=0, что невозможно. Поэтому, ввиду обобщенной теоремы Фро- бениуса (см. V.8.1), требует доказательства лишь следующее утверждение: Всякая конечномерная действительная нормированная алгебра К, обладающая единицей, альтернативна. 4. Начнем доказательство с некоторых замечаний. Прежде всего условимся обозначать норму в алгебре К через | а |, где а^К. Далее, как отмечено выше, в алгебре К нет делителей нуля, а поэтому, ввиду V.8.2, К будет алгеброй с однозначным
330 упорядоченные и тополог, группы и кольца ггл. ντ делением. Отсюда следует, что при афО, а ^ К, правое умножение на элемент а (см. V.1.6), являющееся линейным преобразованием аддитивного векторного пространства алгебры К, будет невырожденным. Условимся обозначать это правое умножение через Ra; тождественное линейное преобразование будем обозначать через Е. Наконец, так как алгебра К обладает единицей 1, то, по V.6.2, в ее центре содержится подполе Д изоморфное полю действительных чисел; это будет совокупность элементов вида а · 1 = а, где а — действительное число. Лемма 1. Если а ф D, то линейное преобразование Ra не имеет действительных характеристических корней. В самом деле, если а—-такой корень, то линейное преобразование Ra — aE = Ra-a будет вырожденным, т. е., как отмечено выше, а — а = 0, откуда а = а ^ D. 5. Лемма 2. Если а ф D и \ а | = а, то модуль любого характеристического корня λ0 линейного преобразования Ra равен а. В самом деле, пусть λ0 = ρ (cos φ + / sin φ). (3) Линейное преобразование Ra — K0E комплексного векторного пространства, являющегося расширением действительного аддитивного векторного пространства алгебры /С, должно быть вырожденным. Поэтому в К существуют такие элементы b и с, что Ь + с1ф0, вн*| + М>о (4) (b + ci)(Ra-k0E) = 0. (b + ci)Ra = X0(b + ci), (b + ci)RZ = XT(b + cl) (5) для всех натуральных т. Так как Ra является линейным преобразованием действительного векторного пространства К, откуда и Отсюда и поэтому
ς 61 ТЕОРЕМА АЛБЁРТА О НОРМИРОВАННЫХ АЛГЕБРАХ 331 то из (5) и (3) вытекают равенства bR™ = pm φ cos тц) — с sin /#φ), cR% = pm φ sin ту + с cos /#φ). Используя определение нормированной алгебры, в частности (1), а также (4) и неравенства |cos#zq)|^l, \sm mcp\^\t мы из (6) получаем \b\am=\bR™\^pmb, Отсюда, ввиду (4), oam^2pm6, т. е. (ap-1)m^2, а так как число т произвольно, то а^р. С другой стороны, из (6) вытекают равенства φ cos ту + с sin тер) R% = pmb, (с cos тц) — b sin /#φ) R™ = pmc, которые приводят к неравенствам рт [ Ь | ^ бат, рт | с | ^ бат. Отсюда pm6 ^ 2fiam, τ. е. (pa-1)m ^ 2, а поэтому ρ ^ а. В результате мы получаем р = а, что и требовалось доказать. 6. Лемма 3. Если а ф D, то характеристический многочлен линейного преобразования Ra является степенью неприводимого квадратного трехчлена. В самом деле, если λ0 — характеристический корень для Rfl и Ь = а-\-\, то Rb = Ra-\-Ei и поэтому число λ0+1 будет характеристическим корнем для Rb. Пусть α + β^ у + δι — два характеристических корня преобразования Ra. Из леммы 2 следует, что эти корни имеют равные модули, т. е. α2+β2 = ν2 + δ2· Применяя это же к характеристическим корням преобразования Rb — ясно, что b φ D, — мы получим (α+1)2 + β2 = (ν+1)* + δ*. Отсюда 2а = 2γ, т. е. а = γ, а поэтому β2 = δ2, т. е. β = ± δ. Эти результаты вместе с леммой 1 заканчивают доказательство леммы.
332 УПОРЯДОЧЕННЫЕ И ТОПОЛОГ. ГРУППЫ И КОЛЬЦА [ГЛ. VI 7. Лемма 4. Если а щё D, то минимальный многочлен линейного преобразования Ra является неприводимым квадратным трехчленом. В силу леммы 3 характеристический многочлен преобразования Ra имеет вид χ(λ) = (λ2-αλ-β)Λ, где ν=-?-β>ο. Поэтому минимальным многочленом будет φ(λ) = (λ2-αλ—β)* *<А, т. е. (/?2-α/?β-β£)* = 0. (7) Пусть &> 1. Если * = f*(«-f). так что Ь φϋ, то равенства (/?2-а/?а-Р£У = о и (/?| + £/ = о будут -равносильными. Таким образом, (/?! + £)* = О, («i + £)*-i^O. (8) Так как число / служит для линейного преобразования Rb характеристическим корнем, то, по лемме 2, | Ъ \ = 1. Поэтому, полагая S — RI, мы для любого с^К получаем \cS\ = \(cb)b\ = \c\. Отсюда \cSm\ = \c\ (9) для всех се/( и всех натуральных т. Если Τ = (S-\~ E)k~2 — здесь используется, что&^2, — то, по (8), Τ φ О, T(S+E)=£0, T(S+Ef = 0. Существует, следовательно, такой элемент с', что т. е. с^с'ТфО, c(S + £)=^0, с(5 + £)2 = 0. (10)
§ 6] ТЕОРЕМА АЛБЕРТА О НОРМИРОВАННЫХ АЛГЕБРАХ 333 Из последнего равенства вытекает, что cS2 = — c(2S-\-E), т. е. при т = 2 выполняется равенство €&" = (—If*'1 с [mS + (m—l)E]. (11) Если равенство (11) уже доказано для данного т, то cSm+i = (— 1 yn-i с [т$* + (т - 1) S] = = (—\)mc[2mS+mE-(m-\)S]=-(—\)mc[(m+\)S+mEl т. е. (11) справедливо для всех т. Несколько меняя запись этого равенства и беря нормы от обеих его частей, мы получим, ввиду (9), что \c\ = \mc(S + E)-c\. (12) Если \c(S + E)\ = 6, то, ввиду (10), δ>0. Однако \mc(S + E)-c\^mb-\c\f т. е., по (12), при всех т справедливо неравенство 2 | с | 22= /юб, что невозможно. Этим доказано, что А? = 1, т. е. доказана лемма 4. 8. Отсюда, ввиду (7), следует равенство /$ = α/?β + β£, т. е., ввиду существования в алгебре К единицы, а2 = аа + β. Поэтому для любого b e /С (fta) a = bRl = b (aRa + β£) = α£α + β£ = 6 (αα + β) = &α2. Таким образом, равенство (ba)a = b(aa) доказано для а ф Д оно справедливо, однако, и при ag Д так как D содержится в центре алгебры К. Равенство a(ab) = (aa)b проверяется аналогичным путем. Этим, в силу теоремы Ар- тина (см. V.7.3), доказана альтернативность алгебры /С, т. е. доказана теорема Алберта. *Поля действительных и комплексных чисел, тело кватернионов и алгебра Кэли являются единственными действительными нормированными алгебрами с делением, обладающими
334 упорядоченные и тополог, группы и кольца ггл. νι единицей; конечномерность этих алгебр заранее не предполагается [А л б е ρ т, Bull. Amer. Math. Soc. 56 (1949), 763—768; Райт, Proc. Nat. Acad. USA 39 (1953), 330—332]. Поля действительных и комплексных чисел и тело кватернионов являются единственными псевдонормированными действительными ассоциативными алгебрами, не содержащими отличного от нуля элемента х, для которого существует такая последовательность ую не являющаяся нулевой последовательностью (см. VI.5.8), что хотя бы одна из последовательностей хуп или упх будет нулевой [Капланский, Duke Math. J. 16 (1949), 399—418]. Само поле комплексных чисел является единственной псевдонормированной комплексной ассоциативной алгеброй с деланием [Мазур, С. R. Paris 207 (1938), 1025—1027; И. М. Гельфанд, Мат. сб. 9 (1941), 3—24].* § 7. Замыкания. Топологические пространства 1. Будем говорить, что в частично упорядоченном множестве Μ задано отношение замыкания, если всякому элементу flG^M сопоставлен однозначно определенный элемент й ^ М, называемый замыканием элемента а> причем для всех a, b е Μ выполняются следующие требования: 10) а^а; 20) если а^Ь, то а^Ь; 30) Έ = й, т. е. замыкание любого элемента совпадает со своим замыканием. Элемент а назовем замкнутым, если он совпадает со своим замыканием. Ввиду 30) замкнутыми будут замыкания всех элементов и, очевидно, только они. С другой стороны, из 20) следует, что а содержится во всяком замкнутом элементе, содержащем а, т. е. отношение замыкания однозначно определяется заданием системы замкнутых элементов. Во всяком частично упорядоченном множестве можно задать тривиальное замыкание, полагая й = а для всех а. 2. Отношение замыкания можно ввести, в частности, в систему Μ всех подмножеств произвольного множества Ж, частично упорядоченную по теоретико-множественному включению. В дальнейшем именно в этом смысле мы будем гово-
§ 7] ЗАМЫКАНИЯ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 335 рить об отношении замыкания, заданном в произвольном множестве М. Вполне определен, ясно, смысл таких понятий, как замыкание подмножества из Ж и замкнутое подмножество; по существу сохраняются и формулировки условий 10)-30) из VI.7.1. Заметим, что если в множестве Μ задано отношение замыкания, то само множество Μ замкнуто, как замыкание самого себя. С другой стороны, пересечение любой системы замкнутых в Μ подмножеств само замкнуто. В самом деле, пусть в Μ задана система замкнутых подмножеств Ла (а пробегает некоторое множество индексов) и пусть β=ΓΚ α Тогда, по условию 20) из VI.7.1, из В ^ Аа следует Б ^Аа = = Аа> т. е. α Так как, с другой стороны, В ςζ в по условию 10) из VI.7.1, то Б = В, что и требовалось доказать. Справедлива следующая обратная теорема: Во всяком множестве Μ можно задать замыкание, беря в качестве системы замкнутых подмножеств любую систему подмножеств Σ, содержащую как само М, так и пересечение любой своей подсистемы. В самом деле, если в качестве замыкания А для любого подмножества А из Μ будет взято пересечение всех подмножеств, входящих в Σ и содержащих А — такие существуют, например само Ж,— то условия 10) — 30) будут удовлетворены, а замкнутыми окажутся подмножества из Σ и только они. 3. Два частично упорядоченных множества с замыканиями естественно называть изоморфными, если между ними существует такое изоморфное соответствие в смысле 1.4.3, при котором образы и прообразы замкнутых элементов замкнуты. В этом же смысле можно говорить об изоморфном вложении одного частично упорядоченного множества с замыканиями в другое. # Если Μ — частично упорядоченное множество с замыканиями, то в частично упорядоченной системе Μ всех
336 УПОРЯДОЧЕННЫЕ И ТОПОЛОГ. ГРУППЫ И КОЛЬЦА [ГЛ. VI подмножеств множества Μ можно так задать отношение замыкания, что Μ будет изоморфно вкладываться в М. χ 4. Понятие множества с отношением замыкания для подмножеств, введенное в VI.7.2, является слишком широким. Накладывая на отношение замыкания некоторые дополнительные ограничения, мы придем к понятию топологического пространства, одному из важнейших общематематических понятий, во многих случаях играющему роль, параллельную роли частично упорядоченных множеств. Говорят, что в множестве Μ задана топология или что Μ является топологическим пространством, если в нем задано замыкание, удовлетворяющее помимо условий 10) — 30) (или равносильных им условий, указанных в формулировке теоремы VI.7.2) также следующим дополнительным условиям: 40) замыкание объединения двух (а поэтому и любого конечного числа) подмножеств из Μ равно объединению замыканий этих подмножеств, A]jB = A[]E; 50) всякое подмножество, состоящее из одного элемента, замкнуто. В действительности условия 10) и 20) могут быть выведены из условий 40) и 50). Так, пусть А — любое подмножество из Μ и йеА Тогда, ввиду условий 40) и 50), А = А[]а = А[]а = А[]а} т. е. а е Л, откуда следует включение А с= Л, доказывающее условие 10). С другой стороны, если подмножества А и В таковы, что А^ Ву то, ввиду условия 40), В = А\)В = А\)В, т. е. Л ^ 5, чем и доказано условие 20). Если топологическое пространство Μ содержит более одного элемента — лишь такие пространства могут представлять интерес, — то его пустое подмножество замкнуто. Действительно, оно будет замкнутым как пересечение любых двух различных элементов из М, являющихся, по условию 50), замкнутыми подмножествами. Заметим, наконец, что, как следует из условия 40), объединение любого конечного числа замкнутых подмножеств топологического пространства замкнуто.
§ 7] ЗАМЫКАНИЯ. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 337 5. Система всех замкнутых подмножеств топологического пространства Μ частично упорядочена по включению. Частично упорядочена по включению и система всех дополнений в Μ к замкнутым подмножествам, т. е. система открытых под- множеств. Мы получим инверсно изоморфное соответствие (см. 1.4.6) между этими двумя частично упорядоченными системами, если всякому замкнутому подмножеству А поставим в соответствие открытое подмножество Μ \ А. Это позволяет путем дуализации вывести из известных нам результатов, относящихся к замкнутым множествам, результаты, относящиеся к открытым множествам. Так, учитывая, что дополнением для пересечения (или объединения) заданной системы подмножеств любого множества всегда служит объединение (соответственно пересечение) дополнений ко всем этим подмножествам, мы получаем, что объединение любой системы открытых подмножеств и пересечение любого конечного числа открытых подмножеств сами открыты. С другой стороны, и само пространство Ж, и пустое подмножество являются открытыми, так как они служат дополнениями друг для друга. 6. Всякое отношение замыкания в множестве М, а поэтому и всякая топология вполне определяются, как мы знаем, заданием системы всех замкнутых подмножеств. Топологию в Μ можно определить, следовательно, и заданием системы всех открытых подмножеств. Учитывая, что объединение любой системы открытых множеств открыто, можно ограничиться заданием лишь такой системы открытых подмножеств Σ, что всякое (непустое) открытое подмножество пространства Μ является объединением подмножеств из Σ. Такая система Σ, называемая полной системой окрестностей пространства М, определяется, понятно, неоднозначно. Подмножества, составляющие данную полную систему окрестностей Σ, будут называться окрестностями) все те окрестности из Σ, которые содержат данный элемент а^М, составляют полную систему окрестностей этого элемента. Пусть топология в Μ задана полной системой окрестностей Σ. Тогда подмножество А из Μ открыто тогда и только тогда, если для всякого элемента ад А можно указать такую окрестность U из Σ, что а е U и i/g= A — это следует из того, что А открыто тогда и только тогда, если оно является объединением окрестностей из Σ.
338 упорядоченные и тополог, группы и кольца [гл. νι С другой стороны, если А — произвольное подмножество пространства М, то его замыкание А состоит из тех и только тех элементов, любая окрестность которых содержит хотя бы один элемент из А. В самом деле, если элемент χ. φ А, то χ содержится в открытом множестве Μ \ Л, а поэтому существует окрестность элемента х, содержащаяся в Μ \ Л, т. е. имеющая с А пустое пересечение. С другой стороны, если некоторый элемент χ обладает окрестностью ί/, не содержащей элементов из Л, то Л содержится в замкнутом множестве Μ \ U, а поэтому, ввиду свойства 20) из VI.7.1, А^М\и = М\и, т. е. χ φ Ά. Отсюда следует, что подмножество А топологического пространства Μ замкнуто тогда и только тогда, если всякий элемент х, каждая окрестность которого содержит хотя бы один элемент из Л, сам принадлежит к Л. 7. Некоторая система Σ подмножеств множества Μ тогда и только тогда является полной системой окрестностей при некоторой топологии, заданной в М, если а) для любой упорядоченной пары различных элементов a, b из Μ можно указать такое подмножество V, принадлежащее к Σ, что а е U> Ъ φ U; β) для любых двух подмножеств ί/, V, входящих в Σ и содержащих некоторый элемент а, всегда можно указать в Σ такое подмножество W, что a^MuW^U(]V. Доказательство. Пусть Σ — полная система окрестностей топологического пространства М. Если а и £ —различные элементы из Ж, то, ввиду замкнутости Ь, подмножество М\Ь открыто и поэтому является объединением окрестностей из Σ. Так как а е М\Ь, то, по VI.7.6, в Σ можно найти такую окрестность U, что а е U и U ^ М\Ь> а поэтому b φίΐ. Этим доказано а). С другой стороны, если заданы окрестности U и V элемента а, то, по VI.7.5, их пересечение U (] V открыто, а так как а содержится в этом пересечении, то, снова по VI.7.6, существует окрестность W элемента а, содержащаяся в U [}V. Пусть теперь в множестве Μ задана произвольная система подмножеств Σ, обладающая свойствами а) и β). Для всякого подмножества А^М обозначим через А совокуп-
§ 7] ЗАМЫКАНИЯ. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 339 ность таких элементов χ е УИ, что всякое подмножество из Σ, содержащее х, содержит хотя бы один элемент из Л, и покажем, что этим в Μ введена топология. Достаточно показать, ввиду VI. 7.4, что выполняются условия 30), 40) и 50). Если χ е Л, то любое подмножество U из_2, содержащее х, содержит хотя бы один элемент _уеД а поэтому, снова по определению Л, подмножество U содержит хотя бы один элемент из Л. Отсюда следует, что χ е Л, т. е. А ^ А. Так как очевидно, с другой стороны, что всегда Α<Ξ: А, то Л ^ Л и поэтому А = Ау т. е. условие 30) доказано. Далее, если Л и В — произвольные подмножества из М, а х — любой элемент из объединения Л U β, то всякое подмножество из Σ, содержащее х, содержит хотя бы один элемент или из Л, или из В, т. е. хотя бы один элемент из Л U В9 а поэтому χ е Л [} В. Этим доказано, что Л [} В ^ ^ Л U β. С другой стороны, если элемент у е Л (J β, то любое подмножество из Σ, содержащее у, содержит хотя бы один элемент из А\] В. Пусть в Σ существуют такие два подмножества U и V, содержащие у, что U не содержит элементов из Л, a l7—-элементов из β. Тогда, по условию β), мы найдем в Σ подмножество W, содержащее у и лежащее в пересечении U (] V, т. е. не содержащее элементов ни из Л, ни из β, что невозможно. Таким образом, или все подмножества из Σ, содержащие _у, содержат элементы из Л, а тогда )/еД или же все они содержат элементы из β, а тогда )έ5. Отсюда следует, что Л [} В с= Д U β. Справедливость условия 40) также доказана. Наконец, справедливость условия 50) вытекает из того, что для любого элемента Ъ е Μ его замыкание b состоит лишь из by так как, по условию а), для любого другого элемента а можно указать такое подмножество из Σ, которое содержит а, но не содержит Ь. Для завершения доказательства теоремы остается показать, что система Σ служит полной системой окрестностей для топологии, построенной нами в множестве М. Если U — подмножество из Σ, то его дополнение M\U будет замкнутым, так как любой элемент из УИ, лежащий вне M\U, содержится в U, т. е. лежит в подмножестве из Σ, не содержащем ни одного элемента из M\U. Этим доказано, что U открыто. С другой стороны, пусть Л — любое открытое
340 УПОРЯДОЧЕННЫЕ И ТОПОЛОГ. ГРУППЫ И КОЛЬЦА [ГЛ. VI подмножество, α— элемент из Л. Тогда М\Л замкнуто, а ф М\А, а поэтому существует такое подмножество U из Σ, содержащее а, пересечение которого с Ж\Л пусто, т. е. U ^ Л. Подмножество Л может быть представлено, следовательно, как объединение некоторой системы подмножеств из Σ. Теорема доказана. 8. Два множества с замыканиями, Μ и ΛΓ, называются изоморфными, если между ними существует такое взаимно однозначное соответствие χ, которое сохраняет отношение замыкания, т. е. для всех Л£ Μ Отображение χ называется при этом изоморфным отображением или изоморфизмом. Обратное отображение χ-1 будет, очевидно, также изоморфным. Очевидна связь этого понятия с введенным в VI. 7.3 понятием изоморфизма для частично упорядоченных множеств с замыканиями. В частном случае топологических пространств термин «изоморфизм» заменяется обычно термином «гомеоморфизм»; мы не будем, однако, употреблять этого специального термина. При изоморфном соответствии между множествами с замыканиями замкнутые подмножества переходят в замкнутые и обратно, причем, ввиду VI. 7.1, это свойство можно было бы принять в качестве определения изоморфизма. Отсюда следует, что в случае топологических пространств изо- морфизм может быть определен также как такое взаимно однозначное соответствие между этими пространствами, при котором открытые подмножества переходят в открытые и обратно. Если в топологических пространствах Μ и М' топологии заданы соответственно при помощи полных систем окрестностей Σ и Σ', то взаимно однозначное отображение χ пространства Μ на пространство М' тогда и только тогда будет изоморфным, если для всякого элемента а' е М' и любой его окрестности U' существует такая окрестность U элемента α'χ-1 е М, что ύχ ^ U', и если для всякого элемента йе Μ и любой его окрестности V существует такая окрестность V элемента αχ, что Υ'χ"1 ^ V.
§ 7] ЗАМЫКАНИЯ. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 341 Действительно, пусть χ —изоморфизм и пусть, например, заданы элемент а' е М' и его окрестность []'. Тогда множество £/'χ_1 ^ Μ будет открытым, т. е. содержит окрестность U элемента α'χ-1. Ясно, что U% ^ V. Обратно, пусть, отображение χ удовлетворяет условиям, указанным в формулировке теоремы, и пусть, например, дано открытое подмножество А пространства М. Если αχ —произвольный элемент из А%, то а е А и в А содержится некоторая окрестность V элемента а. Тогда, по условию теоремы, существует такая окрестность V элемента αχ, что ν'χ"1 gz V. Отсюда ν'^ν'χ-ΐχςζ V% c= Αχ. Этим доказано, что Αχ будет открытым подмножеством пространства М'. Теорема доказана. Применяя эту теорему к случаю, когда Ж и Ж' совпадают, а χ является тождественным отображением пространства Μ на себя, т. е. αχ = α для всех а^М, мы придем к условию эквивалентности двух заданных в Μ полных систем окрестностей Σ и Σ', т. е. к условию для того, чтобы эти две полные системы окрестностей определяли в Μ одну и ту же топологию: это будет тогда и только тогда, когда всякая окрестность любого элемента а^М, взятая в одной из систем Σ, Σ', содержит некоторую окрестность элемента а из другой системы. 9. Топология, заданная в множестве Ж, индуцирует топологию во всяком подмножестве А ^ М. Именно, если топология в Μ задается полной системой окрестностей Σ, то обозначим через Σ^ совокупность всевозможных пересечений U Π А гДе i/s2. Из справедливости для системы Σ условий а) и β) теоремы VI. 7.7 немедленно следует справедливость аналогичных условий для системы Σ^, τ. е. эта система служит полной системой окрестностей для некоторой топологии, заданной в А. Если в пространстве Μ задана другая полная система окрестностей Σ', эквивалентная с Σ, то эквивалентность в А полных систем окрестностей Σ^ и ΣΆ проверяется на основании VI. 7.8 без всяких затруднений. Таким образом, топология в Μ однозначно определяет топологию в подмножестве А. Полученное этим путем топологическое пространство А называется подпространством пространства М.
342 УПОРЯДОЧЕННЫЕ И ТОПОЛОГ. ГРУППЫ И КОЛЬЦА [ГЛ. VI Из определения подпространства немедленно следует, что открытыми и замкнутыми подмножествами подпространства А пространства Μ будут пересечения с А открытых и соответственно замкнутых подмножеств из Μ и только они. 10. Тривиальное замыкание (см. VI. 7.1), введенное в систему всех подмножеств произвольного множества Ж, удовлетворяет, очевидно, условиям 40) и 50) из VI. 7.4, т. е. является топологией. Эта топология называется дискретной', все подмножества множества Μ будут в этой топологии и замкнутыми, и открытыми. Всякое множество может рассматриваться, следовательно, как дискретное топологическое пространство, причем в конечных множествах, где всякое подмножество является объединением конечного числа элементов, возможна лишь дискретная топология. Первым примером недискретного топологического пространства служит прямая линия. Рассматривая ее как числовую прямую и определяя для каждого подмножества А замыкание А как совокупность чисел, являющихся пределами сходящихся последовательностей чисел из Л, мы получим топологию — условия 30), 40) и 50) проверяются без затруднений. Одной из полных систем окрестностей для этой естественной топологии прямой служит система всех (открытых) интервалов. В дальнейшем, говоря о числовой прямой как о топологическом пространстве, мы будем всегда подразумевать ее естественную топологию. Плоскость и вообще всякое «-мерное действительное евклидово пространство также рассматриваются обычно как топологические пространства. Топология вводится в них так же, как выше в случае прямой, причем используется покоординатная сходимость. В случае плоскости полной системой окрестностей служит система всех (открытых) кругов; эквивалентной полной системой окрестностей будет система всех (открытых) квадратов. § 8. Частные типы топологических пространств 1. Как мы знаем (см., например, VI .7.7), для любых двух различных элементов a, b топологического пространства можно указать открытое подмножество U, содержащее элемент а, но не содержащее элемента Ь. Ограничения более
§ 8] ЧАСТНЫЕ ТИПЫ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ 343 сильные, чем это свойство, позволяют выделить некоторые специальные важные типы топологических пространств. Так, топологическое пространство называется хаусдор- фовым, если для любых двух различных его элементов а, Ь можно указать Такие открытые подмножества U, V, что aGf/, ^еУ и пересечение U(]V пусто. Если топология в Μ задана полной системой окрест- ностей Σ, то пространство Μ тогда и только тогда будет хаусдорфовым, когда пересечение замыканий всех окрестностей любого элемента а содержит лишь сам этот элемент. В самом деле, если пространство Μ хаусдорфово, а элемент Ь отличен от а, то, беря для а и Ь такие окрестности, соответственно U и V, что U [\ V пусто, мы получим, что 1]фЬ. С другой стороны, если пространство Ж удовлетворяет условию, указанному в формулировке теоремы, и если в кем даны два различных элемента а и Ь, то существует такая окрестность U элемента а, что b φ U. Тогда элемент b содержится в открытом подмножестве V = M\U, причем U(]V пусто. 2. Топологическое пространство называестя регулярным, если для любого элемента а и любого замкнутого подмножества В, не содержащего а, можно указать такие непересекающиеся открытые подмножества ί/, V, что а е U, В ^ V. Ясно, что всякое регулярное пространство будет хаусдорфовым. Все пространства, указанные в VI. 7.10, регулярны. Если топология в Μ задана полной системой окрестностей Σ, то пространство Μ тогда и только тогда регулярно, когда для всякой окрестности U любого элемента а можно указать такую окрестность V этого элемента, замыкание которой V содержится в U. Действительно, если пространство Μ регулярно и в нем взята окрестность U некоторого элемента а, то для а и замкнутого подмножества M\U можно указать такие непересекающиеся открытые подмножества V и W, что а е V, (M\U) ^ W. Тогда в V содержится некоторая окрестность V0 элемента а, причем vQ <= v <=m\w <= м\ (м\и) = и.
344 упорядоченные и тополог, группы и кольца [гл. νι Обратно, пусть пространство Μ обладает свойством, указанным в формулировке теоремы, и пусть в нем заданы элемент а и замкнутое подмножество В, причем а ф В. Тогда, по условию, существует такая окрестность U элемента а, замыкание которой U содержится в открытом подмножестве М\В. Пересечение открытых подмножеств U и M\U пусто, а так как M\U => М\ (М\В) = В, то регулярность пространства Μ доказана. Легко проверяется, что свойство топологического пространства быть хаусдорфовым или регулярным пере- носится на подпространства этого пространства. Более специальным, чем понятие регулярного пространства, является понятие нормального пространства: это такое топологическое пространство, что для любых его непересекающихся замкнутых множеств А и В существуют такие непересекающиеся открытые множества U к V, что Л ^ (У, В ^ V. χ Промежуточный класс между регулярными и нормальными пространствами составляют вполне регулярные топологические пространства, т. е. пространства со следующим свойством: для любого элемента а и любого замкнутого множества В, не содержащего этого элемента, можно определить на этом пространстве такую непрерывную (в смысле топологии этого пространства) действительную функцию /, что /(а) = 0, /(b) = 1 для всех b e В и 0^/(х)^1 для всех χ. χ 3. Очень важный класс топологических пространств составляют бикомпактные пространства. Именно, пространство Μ называется бикомпактным, если оно удовлетворяет любому из следующих условий, эквивалентность которых немедленно следует из сказанного в VI.7.5: I. Из всякой системы открытых подмножеств, объединение которых совпадает с М, можно выбрать такую конечную подсистему, что уже объединение составляющих ее подмножеств совпадает с М. II. Из всякой системы замкнутых подмножеств, пересечение которых пусто, можно выбрать такую конечную подсистему, что уже пересечение составляющих ее подмножеств пусто.
§ 8] ЧАСТНЫЕ ТИПЫ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ 345 Как вытекает из доказываемой в курсах математического анализа теоремы Гейне — Бореля, любой конечный замкнутый отрезок числовой прямой является бикомпактным пространством. # Каждое из следующих двух условий эквивалентно условиям I и II, и поэтому может быть использовано для определения бикомпактного пространства: III. Объединение всякой цепи (см. 1.4.1), составленной из отличных от Μ открытых подмножеств, само отлично от Ж. IV. Пересечение всякой цепи, составленной из непустых замкнутых подмножеств, само не пусто. #■ 4. Топологическое пространство называется локально бикомпактным, если всякий элемент этого пространства содержится в открытом подмножестве, замыкание которого бикомпактно. Всякое бикомпактное пространство локально бикомпактно. Примером локально бикомпактного, но не бикомпактного пространства служит числовая прямая. Действительно, всякая точка прямой обладает окрестностью, являющейся конечным открытым интервалом. Замыкание такой окрестности будет замкнутым отрезком, т. е., как отмечено выше, бикомпактно. С другой стороны, сама прямая не бикомпактна: она является объединением всех своих интервалов конечной длины, но не может быть представлена как объединение конечного числа таких интервалов. В качестве другого примера локально бикомпактного, но не бикомпактного пространства можно назвать любое бесконечное дискретное пространство. 5. Всякое замкнутое подмножество бикомпактного пространства бикомпактно, а локально бикомпактного пространства — локально бикомпактно. Заметим сперва, что если А — замкнутое подмножество любого топологического пространства М, то всякое подмножество В из Л, замкнутое в подпространстве Л, будет замкнутым и в Ж. В самом деле, асли В — замыкание В в Ж, то, как следует из VI.7.9, Б (] Л будет замыканием В в Л, т. е., ввиду замкнутости θ в Л, BftA^B. 0)
346 упорядоченные и тополог, группы и кольца [гл. νι Так как, однако, само А замкнутое М, то из В ^ А следует Б <=, А, а поэтому, ввиду (1), В —В. Теперь ясно, что из справедливости в бикомпактном пространстве Μ условия II из VI.8.3 следует справедливость этого условия во всяком замкнутом подпространстве пространства М. Если же пространство Μ локально бикомпактно и А — его замкнутое подпространство, то для всякого а е А существует в Μ такая окрестность U, замыкание которой U бикомпактно. Тогда пересечение U f| А служит окрестностью для а в А, причем ее замыканием в А является U Π А Это последнее пересечение будет, однако, бикомпактным, так как оно замкнуто в Ж (как пересечение замкнутых подмножеств) и содержится в бикомпактном пространстве U. χ Всякое открытое подмножество локально бикомпактного (в частности, бикомпактного) пространства локально бикомпактно. Всякое локально бикомпактное пространство изоморфно открытому подпространству некоторого бикомпактного пространства [П. С. Александров, Math. Ann. 92 (1924), 294—301]. χ 6. Топологическое пространство Μ называется несвязным, если оно распадается на два непустые непересекающиеся замкнутые подмножества (каждое из которых будет, очевидно, и открытым), и связным в противоположном случае. Топологическое пространство Μ называется вполне несвязным, если для любых двух различных элементов а, Ь^М существует такое разбиение Μ на два непересекающиеся замкнутые подмножества А, В, что йеД Ъ е В. Всякое дискретное пространство будет, конечно, вполне несвязным. Примером недискретного вполне несвязного пространства служит рациональная прямая, т. е. подпространство числовой прямой, составленное из рациональных чисел. Оно не дискретно, так как всякая окрестность на числовой прямой содержит бесконечно много рациональных чисел. С другой стороны, если а и Ъ — два различные рациональные числа, а<^Ь, то существует иррациональное число а, расположенное между ними, и мы получим искомое разбиение, беря в качестве А совокупность рациональных чисел,
§ 9] ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ 347 меньших а, а в качестве В — совокупность рациональных чисел, больших а. Отметим, что всякое подпространство вполне несвязного топологического пространства само вполне несвязно. § 9. Топологические группы 1. Рассмотрение многочисленных примеров алгебраических образований, являющихся в то же время топологическими пространствами (см. VI.7.4), приводит к следующим определениям. Группоид G, одновременно являющийся топологическим пространством, называется топологическим группоидом, если умножение в группоиде G непрерывно в заданной топологии, т. е. для любых элементов a, b е G и любой окрестности W элемента аЬ (см. VI.7.6) можно указать такие окрестности U и V элементов а и Ь соответственно, что UV <=l W (где UV есть множество элементов из G, предста- вимых хотя бы одним способом в виде произведения ιιν, α εξ U, ^g V). Частным случаем топологического группоида будет топологическая полугруппа. Группа G называется топологической группой, если она является топологической полугруппой и если, сверх того, операция взятия обратного элемента непрерывна в заданной топологии, т. е. для любого элемента а е G и любой окрестности V элемента а'1 существует такая окрестность U элемента а, что U'1 с= V (где U'1 есть множество элементов вида и"1 для всех и е U). Легко проверить, применяя условия эквивалентности полных систем окрестностей топологического пространства (см. VI.7.8), что свойство операции умножения (или операции перехода к обратному элементу) быть непрерывной не зависит от выбора в G полной системы окрестностей. Интуитивный смысл непрерывности операций состоит в том, что малым изменениям сомножителей (или элемента) соответствуют малые изменения произведения (или обратного элемента). Задание в группе G такой топологии, по которой эта группа будет топологической группой, называется ее mono- логизацией. # Существуют группы, являющиеся топологическими полугруппами, но не топологическими группами.
348 упорядоченные и тополог, группы и кольца [гл. νι Всякая хаусдорфова бикомпактная топологическая полугруппа (см. VI.8.1 и VI.8.3), в которой выполняется закон сокращения (см. П.5.1), будет группой и даже топологической группой [см. Арене, Bull. Amer. Math. Soc. 63 (1947), 623—630].-χ 2. Всякая группа может рассматриваться как топологическая группа с дискретной топологией (см. VI.7.10). Конечная группа допускает, понятно, лишь дискретную топологи- зацию. Вопрос о возможности недискретной топологизации любой бесконечной группы пока открыт. χ Всякая бесконечная абелева группа может быть сделана топологической группой с недискретной топологией .[К ер тес и Селе, Publ. Math. 3 (1953), 187—189]. * 3. Если А —открытое подмножество топологической группы Q и g — элемент из G, то множества Ag, gA, A'1 также будут открытыми. Докажем лишь первое из этих утверждений. Если b = ag, оеД то a = bg~1. Из непрерывности умножения вытекает существование такой окрестности U элемента Ь, что Ug'1 cz A (напомним, что Л —открытое множество). Отсюда U ^ Ag, т. е. множество Ag вместе со всяким своим элементом b содержит и некоторую его окрестность, что и требовалось доказать. Если g — элемент топологической группы Q, то отображения {для всех xgO) χ -> xg, χ -* gx, χ -> x~l являются изоморфными отображениями (см. VI. 7.8) Q, как топологического пространства, на себя. Взаимная однозначность указанных отображений очевидна и поэтому можно сослаться на предшествующую теорему, учитывая, что обратным отображением для правой трансляции x-+xg будет правая же трансляция x-^xg'1, а отображение х->х~х обратно самому себе. Отсюда, ввиду VI. 7.8, следует, что если А — замкнутое подмножество топологической группы О ug — элемент из Q, то множества Ag, gA, А"1 также будут замкнутыми. 4. Если а и £—-элементы топологической группы О, то трансляция χ-+χα~4, x^Q, переводит а в Ь. Отсюда
§9] ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ 349 и из установленного выше следует, что при доказательстве свойств пространства топологической группы, относящихся к отдельным элементам, достаточно рассмотреть лишь один фиксированный элемент, например единицу. Отсюда же следует, что при задании топологии в группе нет необходимости задавать всю полную систему окрестностей и можно ограничиться заданием полной системы окрестностей единицы (см. VI. 7.6). ^Система Σ подмножеств группы G тогда и только тогда может служить полной системой окрестностей единицы при некоторой топологизации этой группы, если выполняются следующие условия: 1) пересечение всех множеств, входящих в Σ, содержит лишь единицу группы G; 2) пересечение любых двух множеств из Σ содержит некоторое третье множество, принадлежащее к Σ; 3) для всякого множества U из Σ можно найти в Σ такое множество V, что VV'1 с= U\ 4) для всякого множества U из Σ и всякого элемента аеУ в Σ можно найти такое множество V, что Va <== U\ 5) для всякого множества U из Σ и любого элемента а группы G можно найти в Σ такое множество V, что arWa^U.* 5. Пространство всякой топологической группы Q регулярно и, следовательно, хаусдорфово (см. VI. 8.1 и VI. 8.2). Используя критерий регулярности из VI.8.2 и учитывая сказанное в предшествующем пункте, возьмем любую окрестность U единицы группы G. Так как 1-1-1=1, то существуют такие окрестности Vx и V2 элементов 1 и I"1 (= 1, понятно), что ViV2<=:U. Существует, далее, такая окрестность единицы V& что l/jj"1 <Ξ V2. Существует, наконец, окрестность единицы 1/, лежащая в пересечении Vx f) V3 (см. VI.7.7). Ясно, что mg[/. (1) Пусть iieV. Так как множество аV открытое, по VI.9.3, и содержит элемент а = а · 1 из замыкания множества V, то, по VI.7.6, в aV можно найти элемент b из V. Пусть
350 УПОРЯДОЧЕННЫЕ И ТОПОЛОГ. ГРУППЫ И КОЛЬЦА [ГЛ. VI Ь=ас, се V. Отсюда, ввиду (1), т. е. V ^ ί/, что и требовалось доказать. * Пространство всякой топологической группы вполне регулярно (см. VI.8.2). Существуют топологические группы, пространства которых не являются нормальными [А. А. Марков, Изв. АН СССР, сер. матем. 9 (1945), 3 — 64].* 6, Всякая подгруппа А топологической группы О сама будет, очевидно, топологической группой по топологии, индуцируемой в ней (см. VI.7.9) топологией группы О. Замыкание А подгруппы А топологической группы G само будет подгруппой. Если А — нормальный делитель в G, то и А будет нормальным делителем. Если А — абелева подгруппа, то и А будет абелевой подгруппой. В самом деле, если х, у е А и U — любая окрестность элемента ху, то существуют такие окрестности V элемента χ и W элемента _у, что VW ^ U. Существуют, далее, такие элементы х\ у' е Д что х' е V, у' е W. Принадлежащий к подгруппе А элемент х'у' содержится, следовательно, в U. Этим доказано, что ху е А* С другой стороны, если χ е А и ί/ —любая окрестность элемента х~г, то существует такая окрестность V элемента х, что V'1 ^ U. Существует далее, такой элемент χ' е Л, что х' е V, а поэтому принадлежащий к подгруппе А элемент х'~г содержится в U. Этим доказано, что х'1 е А. Таким образом, А оказалась подгруппой группы G· Пусть, далее, Л —нормальный делитель группы G. Если хеД g^G и U — любая окрестность элемента g^xg, то существует такая окрестность V элемента лг, что g^Vg ^ U. В V можно найти элемент х' е А, поэтому в U содержится элемент g^x'g e g~xAg = А. Этим доказано, что g~xxg^ Ау т. е. А — нормальный делитель. Пусть, наконец, подгруппа А абелева. Если х, у е А и U — произвольная окрестность элемента х~ху~хху —- коммутатора элементов χ и _у, — то из непрерывности операций в группе G легко следует существование таких окрестно-
§ 9] ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ 351 стей V элемента χ и W элемента у, что V'^-W^VW ^ U. Существуют, далее, такие элементы χ', у' ^ Л, что х' е V, у' е W. Отсюда т. е. всякая окрестность элемента х~ху~хху содержит единицу, а поэтому х~1у~1ху= 1, т. е. лг_у=_улг. Теорема доказана. Всякая открытая подгруппа А топологической группы G замкнута. Действительно, пусть xgA Смежный класс Ах содержит χ и, ввиду VI.9.3, открыт, а поэтому в нем содержится элемент из подгруппы А. Это возможно, однако, лишь при Ах = Л, откуда χ е Λ т. е. Л = А 7. Гомоморфизм φ топологической группы О на топологическую группу G' называется непрерывным, если он удовлетворяет любому из следующих условий, эквивалентность которых проверяется без всяких затруднений: 1) для всякого подмножества А из G Αφ s Αφ; 2) для всякого замкнутого подмножества Л' из G' его полный прообраз Α'φ'1 замкнут в G; 3) для всякого открытого подмножества А' из G' его полный прообраз Л'ср-1 открыт в G; 4) для всякой окрестности U' единицы группы G' ее полный прообраз υ'φ'1 открыт в G. Непрерывный гомоморфизм φ топологической группы G на топологическую группу G' называется открытым, если он удовлетворяет любому из следующих эквивалентных между собою условий: Г) для всякого открытого подмножества А из G его образ Лср открыт в G'; 2') для всякой окрестности U единицы группы G ее образ υφ содержит некоторую окрестность (]' единицы группы G' Наконец, топологические группы G и G' называются изоморфными, если между ними существует взаимно однозначное соответствие, являющееся изоморфизмом для О и О' как для групп (см. Н.4.1) и как для топологических пространств (см. VI.7.8).
352 УПОРЯДОЧЕННЫЕ И ТОПОЛОГ. ГРУППЫ И КОЛЬЦА ГГЛ. VI 8. Пусть Л—замкнутая подгруппа топологической группы G, М — множество правых смежных классов группы G по подгруппе Л, φ — отображение О на Ж, переводящее каждый элемент χ е О в смежный класс Αχ, Σ — полная система окрестностей пространства G, Σφ —система образов окрестностей, входящих в Σ, при отображении φ. Множество Μ можно считать топологическим пространством с Σ φ в качестве полной системы окрестностей. Для доказательства достаточно применить критерий из VI.7.7. Если Αχ Φ Ay, то, ввиду замкнутости Ау (см. VI.9.3), в Σ существует такая окрестность U, что χ G U и U [\Ау пусто. Тогда ί/φ содержит смежный класс Ах, но не содержит смежного класса Ду, т. е. условие а) выполнено. Пусть, с другой стороны, окрестности U и V из Σ таковы, что ί/φ Π ^φ содержит смежный класс Ах. Так как, по VI.9.3, множество aU открыто при всяком а е Л, то и произведение AU будет открытым; это же справедливо для AV. Элемент χ содержится в AU(]AV и, следовательно, в этом пересечении содержится окрестность W из Σ, содержащая х. Так как (Л ί/) φ = ί/φ, (Л V) φ = ΙΛρ, то Wtp ^ £Ξ (ί/φ Π ^φ)> причем Ах е №<р. Этим доказано, что условие β) также выполняется, т. е. закончено доказательство теоремы. Именно в смысле указанной топологии мы будем говорить о пространстве правых (или, аналогично, левых) смежных классов топологической группы по замкнутой подгруппе и, в частности, о топологии в фактор-группе топологической группы по замкнутому нормальному делителю. # Фактор-группа QIА топологической группы О по замкнутому нормальному делителю является топологической группой, а естественный гомоморфизм G на G/A — открытым гомоморфизмом. Если φ—открытый гомоморфизм топологической группы G на топологическую группу G', то ядро Л этого гомоморфизма является замкнутым нормальным делителем и существует такое изоморфное отображение ψ топологической группы G' на топологическую группу О/'Л, что произведение φψ совпадает с естественным гомоморфизмом G на 01 А. Фактор-группа О/А топологической группы G тогда и только тогда дискретна, если нормальный делитель Л открыт, χ
§9] ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ 353 9. Топологизация группы G называется линейной (соответственно вполне линейной), если она может быть задана полной системой окрестностей единицы, состоящей из подгрупп (из нормальных делителей) этой группы. Дискретная топологизация всякой группы будет, очевидно, вполне линейной. Система Σ нормальных делителей группы О тогда и только тогда служит полной системой окрестностей единицы при некоторой {вполне линейной) топологизации этой группы, если 1') пересечение всех нормальных делителей, входящих в Σ, содержит лишь единицу группы G; 2') пересечение любых двух нормальных делителей из Σ содержит некоторый третий нормальный делитель, принадлежащий к Σ. Необходимость условий Г) и 2') очевидна. С другой стороны, если система нормальных делителей Σ удовлетворяет этим условиям, то система Σ0 всех смежных классов по всем нормальным делителям из Σ удовлетворяет условиям а) и β) из VI.7.7, т. е. служит полной системой окрестностей для некоторой топологии в множестве G. Действительно, если a, Ь^О, афЪ, то, по 1'), в Σ найдется такой нормальный делитель А, что а~гЬ φ А, г тогда а и b лежат в разных смежных классах по А. Если же а^О, А, В е Σ, то, по 2'), в Σ содержится такой нормальный делитель С, что С^А (] В, а тогда аС ^ (аА (] аВ). Остается показать, что операции группы G непрерывны в этой топологии (см. VI.9.1). Если a, b^G, Ле2, то aA-bA = (ab) А, что доказывает непрерывность умножения; если же αεΰ, ЛеИ, то (аЛ)_1==а~М, откуда вытекает непрерывность операции взятия обратного элемента. Теорема доказана. Из этой теоремы следует, в частности, что всякая убывающая последовательность нормальных делителей группы О, пересечение которой равно Е, определяет вполне линейную топологизацию этой группы. 10. Всякая линейно топологическая группа О вполне несвязна (см. VI.8.6). В самом деле, пусть система подгрупп Σ служит полной системой окрестностей единицы группы G. Если a, b gG, а ф b, то в Σ содержится такая подгруппа Л, что а~Ч φ А,
354 упорядоченные и тополог, группы и кольца ггл. νι т. е. аА Φ ЪА. Ввиду VI.9.3 всякий смежный класс χ А, в том числе и аА, является открытым множеством. Открытым будет и множество Q\aA как объединение всех отличных от аА левых смежных классов группы Q по подгруппе А. Мы получили разбиение группы Q на два непересекающиеся открытые (замкнутые) подмножества, причем а е аА, Ъ 6Ξ Q\aA. * Всякая локально бикомпактная (см. VI.8.4) вполне несвязная топологизация произвольной группы линейна. Всякая бикомпактная (см. VI.8.3) вполне несвязная топологизация произвольной группы вполне линейна, -к § 10. Связь топологии и нормирования в кольцах и телах 1. Кольцо R называется топологическим кольцом, если в множестве R задана топология, относительно которой аддитивная группа кольца R является топологической группой, а мультипликативный группоид этого кольца—топологическим группоидом (см. VI.9.1). Ассоциативное тело К называется топологическим телом, если в К задана топология, относительно которой оно является топологическим кольцом, и если, сверх того, операция взятия обратного элемента непрерывна в смысле VI.9.1. Мультипликативная группа топологического тела будет, следовательно, топологической группой. Определение топологического тела легко преобразуется к такому виду, когда его можно применить и к неассоциативным телам или кольцам с делением. Читатель без труда сформулирует определение изоморфизма топологических колец. Вообще, многие вопросы, рассмотренные в предшествующем параграфе для топологических групп, могут быть поставлены и для топологических колец и тел. Мы не будем, однако, этим сейчас заниматься. 2. Всякое псевдонормированное кольцо R (см. VI.4.7) с действительными значениями псевдонормы w является топологическим кольцом, причем его полную систему окрестностей нуля составляют множества Ua (где а — любое положительное действительное число) тех элементов а из R} для которых w(a)<la.
§ 10] СВЯЗЬ ТОПОЛОГИИ И НОРМИРОВАНИЯ В КОЛЬЦАХ 355 Доказательство. Мы знаем из VI.9.3, что если бы аддитивная группа кольца R уже была топологической группой, то в ней вместе с Ua открытыми были бы и все множества вида a-\-Ua. Покажем, что система всех таких множеств (при любых а е R и любых положительных действительных а) на самом деле служит полной системой окрестностей для некоторой топологии в множестве R (см. VI.7.7). Пусть a, b ^ R, афЬ. Если w (b — а) = γ, то γ > 0. Множество а + Uy содержит элемент а, так как 0 е ί/γ, но не содержит элемента Ь, так как b — а ф Uy. Пусть, с другой стороны, а<=(Ь + и$)(](с + иу). Тогда w (а — Ь) = δχ <С β, w (а — с) = δ2 <С γ. Положим α = πιίη(β — δχ, γ —δ2). Если x^R, w(x)<Za, то a-\-x = b-\-(a — b)-\-x, причем ^[(α-^) + χ]<δ1 + α<δ1 + (β-δ1)-β. Этим доказано, что α + £/α ^ £ + ^β· Аналогично и я + ^α — Мы получили топологию в множестве R, причем видим, что во всякой окрестности элемента ag R содержится окрестность вида a-\-Ua. Докажем непрерывность операций кольца R в этой топологии. Пусть a, b e R и а + b + £/Y — данная окрестность элемента а-\-Ь. Если δ =ζ — у и i, j/g(/6, to гв; (х +_У) ^ w (χ) + w (у) < 2δ = γ. Этим доказано, что (β + ί/β) + (Ηί/β)£β + Ηί/ν т. е. доказана непрерывность сложения. Пусть, далее, ае R и — a-\-Ua — данная окрестность элемента — а. Если x^Ua, то, так как w{—x) — w(x) и — χ е ί/α, будет
356 упорядоченные и тополог, группы и кольца ггл. νι Этим доказана непрерывность операции взятия противоположного элемента. Если, наконец, a, b ^ R, w(a) = a, w(b) = $ и ab-\-Uy— данная окрестность элемента ab, то в качестве δ возьмем такое положительное действительное число, что αδ + δβ + δ2<γ. Если х, у о U& то w (ау + xb + ху) ^w(a)w (у) + w (x) w (b) -f w (x) w (y) <C Y> т. e. (a+U6)(b+U6)<=ab+Uy, чем доказана непрерывность произведения. Теорема доказана. 3. Если в ассоциативном теле К задана действительная норма w(a) (см. VI. 4.1), то в топологии, определенной в VI. 10.2, К будет топологическим телом. Мы уже знаем, что К будет топологическим кольцом, и поэтому остается доказать лишь непрерывность операции взятия обратного элемента. Заметим сперва, что из w(a) = w(a- l) = w(a)-w(l), a e К, следует Z2>(1)=1. Поэтому для а ф0, ввиду w (а) · w (а-1) = w (аа'1) = w (1) = 1, будет w (а-1) = [w (a)]'1. Пусть теперь а е К, а Ф 0, w (а) = а и пусть а"1 -f- Uy — данная окрестность элемента аГ1. Положим ясно, что 0<δ<α. Пусть w(x)<Zd. Тогда а-\-хф0 и существует такое у е /С, что (а + х)~1 = а"1+_у. Отсюда j/ = (а + х)'1 — а"1 = а-1 [а — (а-\- х)] (а + х)-1 = = а'1 (-—х) (а + х)~\
§ 10] СВЯЗЬ ТОПОЛОГИИ И НОРМИРОВАНИЯ В КОЛЬЦАХ 357 Однако w (а"1) = a-1, w(—χ) = w (χ) <C δ. Далее, w(a) = w[(a + x) — x]^w(a-{-x) + w (χ), откуда w (a + x) ^w(a) — w(x)^>a — 6>>0, а поэтому w [(а + х)'1] = [w (а + χ)]"* < (α - δ)"1. Таким образом, ^ΙνΧα^δία-δΓ1, что после замены δ его выражением (1) приводит к w (У) < Y· Этим доказано, что (а + б^)"1 ^ a"1 + UT Теорема доказана. 4. Обычное нормирование поля действительных чисел и поля комплексных чисел при помощи абсолютной величины (модуля) индуцирует (в смысле доказанных выше теорем) обычную топологизацию этих полей. Обычное нормирование тела кватернионов (см. VI.4.1) индуцирует топологизацию этого тела, совпадающую на его аддитивной группе с обычной топологизацией четырехмерного евклидова пространства (см. VI.7.10). Именно эти топологизации указанных трех тел мы будем иметь в виду, когда будем говорить об этих телах как о топологических телах. В поле рациональных чисел и в поле /?-адических чисел (см. III.3.12) их /?-адическое нормирование (см. VI.5.6 и VI.5.8) также индуцирует топологизацию. Эта топологизация (равно как и порождаемые ею топологизации кольца целых /7-адических чисел и аддитивных групп указанных полей и кольца) называется их р-адической топологизацией. Ввиду целочисленности и логарифмичности /ьадической нормы систему окрестностей нуля в этой топологии составляют множества Uk (где k — любое целое число) таких чисел а (рациональных или /?-адических), /ьадическая норма которых строго больше k. 5. Пусть /С — ассоциативное топологическое тело. Элемент а^К называется топологически нильпотентным, если последовательность его степеней ап, /2=1, 2, ..., сходится к нулю, т. е. любая окрестность нуля U содержит все
УПОРЯДОЧЕННЫЕ И ТОПОЛОГ. ГРУППЫ И КОЛЬЦА ГГЛ. VI эти степени, кроме, может быть, конечного числа их. Элемент а ^ К, а Ф 0, называется нейтральным, если ни а, ни а-1 не являются топологически нильпотентными. Наконец, множество Д А а К, называется ограниченным справа, если для любой окрестности нуля U можно указать такую окрестность нуля V, что AV^U. Докажем следующую теорему [Капланский, Duke Math. J. 14 (1947), 527—541; для топологических полей, в несколько иной формулировке — И. Р. Шафаревич, ДАН СССР 40 (1943), 149—151]: Пусть К— ассоциативное топологическое тело. Топология этого тела тогда и только тогда индуцируется действительной нормой, если выполняются условия: 1) множество N всех топологически нильпотентных элементов тела К открыто и ограничено справа] 2) если элемент а — топологически нильпотентный, а элемент Ь —топологически нильпотентный или нейтральный, то произведение Ьа топологически нпльпо- тентно. 6. Необходимость этих условий проверяется без затруднений. Если топология тела К индуцируется действительной нормой w(a), то топологическая нильпотентность элемента а равносильна тому, что w(a)<Zl, а нейтральность элемента а —тому, что w\a)—\. Отсюда сразу вытекает условие 2). Ограниченность справа множества N следует из включения NUy := Uy. Наконец, множество N будет и открытым, так как А/={/1. 7. Перейдем к доказательству достаточности этих условий. Покажем сперва, что если аеЛ/ и а Ф 0, то α-1 φ N. Пусть это не так и пусть U — произвольная окрестность нуля. Тогда, ввиду равенства 0-0 = 0 и непрерывности умножения, существуют такие окрестности нуля V и W, что V- W<=:U. Так как при достаточно больших натуральных η an^V, a~n^W, то lei/, что невозможно, так как U была произвольная окрестность нуля. Обозначим через Μ множество всех нейтральных элементов. Условие 2) из формулировки теоремы можно записать теперь в виде (N{JM)N<=N. (2)
§ 10] СВЯЗЬ ТОПОЛОГИИ И НОРМИРОВАНИЯ В КОЛЬЦАХ 359 Ясно, что 1еЖ Из определения нейтрального элемента следует, что если а е Ж, то и а-1 е Ж. Пусть, далее, а, Ъ <= Ж. Если ab^N, то, по (2), a~l(ab) = b e А/; если же (а^)"1 е А/, то b(aby1 = a~1 е А/. Таким образом, а£ еД т. е. АШ ^ Ж. (3) Пусть теперь деМ /έΜ. Если а# е Ж, то, ввиду (3) и Ь'1 е Ж, (а£) />_1 = ае1 Если же (а^)"1 е А/, то b (aby1 = а'1 ^ N. Таким образом, ab ^ N, т. е. АШ £ А/. (4) Из (2) —(4) следует (N\J M)(N\J M) <= (N\J M). (5) Пусть, далее, аЕЛ/,а х — произвольный элемент тела /С, отличный от нуля. Если £/—заданная окрестность нуля, то из λ:-1·0·λ: = 0 и непрерывности умножения следует существование такой окрестности нуля V, что x^Vx^U. Так как ап е V при достаточно больших натуральных п, то х~1апх = (х~1ах)п ^ U; отсюда х~гах е А/, т. е. χ-*Νχ £ N. (6) Если же а е Ж, л: ^= 0, то лг_1ал: е Ж, так как изЬ = х~1ах е А/ следовало бы, ввиду (6), лгйлг1 = а <= Ν, а из Jr1 e А/ следовало бы а-1 е А/. Таким образом, хгШх £ Ж. (7) 8. Из полученных результатов, в частности из (3) и (7), вытекает, что Ж будет нормальным делителем в мультипликативной группе А"* отличных от нуля элементов тела К- Можно рассмотреть, следовательно, факторгруппу К*/М. Отметим, что эта фактор-группа будет единичной тогда и только тогда, если N состоит лишь из одного нуля, т. е., ввиду условия 1), если топология тела К дискретна, — следует учесть, что тело К не может содержать нилъпотентных элементов, т. е. таких элементов а, что а ф 0, но ап~0 при некотором натуральном п. Ввиду (5) множество N [} Ж (без нуля) распадается на полные смежные классы по Ж и эти смежные классы составляют в фактор-группе К*/М подполугруппу. Легко проверяются, ввиду (б) и (7), условия 1) — 4) из VI. 1.3, т. е.
360 упорядоченные и тополог, группы и кольца [гл. νι эта подполугруппа будет полугруппой положительных элементов при некоторой линейной упорядоченности группы К*/М. Полученная упорядоченноеть оказывается архимедовой (см. VI. 3.3). В самом деле, если a, b ^ К* и смежные классы аМ и ЪМ строго положительны, то а е N, b e N. Пусть U — данная окрестность нуля; можно считать, что U 9Ξ N, так как N открыто. Ввиду 0-Ь~1 = 0 существует такая окрестность нуля V, что VTr1 si/, а так как из AGiV вытекает существование такого натурального числа k, что ak e V, то akb'x e U и поэтому аиЬ~х е А/. Отсюда следует, что в упорядоченной группе /С*/Μ будет (αΛί)Λ > ЬМ> т. е. архимедовость этой группы доказана. 9. Ввиду теоремы Гельдера (VI. 3.4) группа К*/М изоморфна подгруппе аддитивной группы действительных чисел с ее естественной упорядоченностью. Это определяет гомоморфное отображение φ группы /С* в аддитивную группу действительных чисел, причем в нуль отображаются элементы из Ж и только они, а образы отличных от нуля элементов из N (и только этих элементов) строго положительны. Пусть λ —пока произвольное положительное действительное число. Положим для ае К ^(α) = 2-λ·«Φ, αφΟ, w(0) = 0. Ясно, что условия 1 и 2 из VI. 4.1 выполняются. Позже мы покажем, что возможен такой выбор λ, при котором будет выполняться и условие 3. Из (8) легко следует, что w{a)*=z\ тогда и только тогда, когда аеЖ, a w (а) <С 1 тогда и только тогда, когда а е N. Как в VI. 10.2, обозначим через Ua (где а —положительное действительное число) множество тех элементов а е К, для которых w(a)<Ca. Если топология тела К дискретна, то при а<1 будет Ua = 0. Пусть топология тела К не дискретна. Рассмотрим произвольное Ua. В К существует такой элемент Ь, что w (b) > α"1. Так как множество N открытое, то найдется такая окрестность нуля U, что bU c= N=Ui. Поэтому U g= Ua. Обратно, пусть U— произвольная окрестность нуля тела К. Ввиду ограниченности справа множества N и предположенной нами недискретности тела К существует такое (8)
§ 10] СВЯЗЬ ТОПОЛОГИИ И НОРМИРОВАНИЯ В КОЛЬЦАХ 361 сф$, что Nc ^ U. Отсюда следует, что если a — w(c), то Ua^U, так как Ua=U1c = Nc. Таким образом, если λ будет подобрано так, что w(a) окажется нормой, то топология, индуцируемая этой нормой в смысле VI. 10.2, будет совпадать с исходной топологией тела К (см. определение эквивалентности систем окрестностей в VI. 7.8). 10. Продолжая считать λ выбранным произвольно, докажем существование такого числа /, что для всех а е /С, имеет место неравенство w (I + α)^ί(1 +w(a)). (9) В самом деле, если бы такого числа / не существовало, то мы нашли бы такую последовательность элементов ап е К, апф—\, п—\, 2, ..., что при я->оо \+w(an) _ 1 w(an) 0 w(\+an) w(\+an) "Г w(\+an) ~*V> т. е. ——1—- = w((i+fl|I)-i)->o, w(\+an) win// > ™ia{n) , = w(an(1 + a,,)'1)-> 0. Отсюда следовало бы, однако, ввиду доказанного в предшествующем пункте, что последовательности (1+а^Г1 и an(l+any\ n =1,2,..., (10) сходились бы к нулю в топологии тела К, что невозможно, так как сложение в теле К непрерывно, а сумма п-х членов последовательностей (10) равна 1. Из (9) следует, что если хотя бы один из элементов a, b ^ К отличен от нуля, то w (a + b)^I(w (a) + w(b)). (11) Действительно, если а Ф 0, то w(a + b) = w[a(l+a-1b)]^: ^lw(a)[\+ w'1 (a) w (b)] = l(w(a) + w (b)\ Ясно, что (11) справедливо и при a = b — 0. Из (11) следует w (a + Ь) < 2/ max (w (α), w (£)). (12)
362 упорядоченные и тополог, группы и кольца [гл. νι 11. Существует столь малое положительное действительное число ν, что (2/)v^ 2. Заменим в определении (8) число λ числом λν. Так как при этом число w(a) возводится в степень ν, то, относя с этого момента символ w к новому выбору числа λ, мы из (12) получим w (а + Ь) < 2 max (w (α), w (£)). (13) Отсюда легко следует для &=1, 2, ... ^(αι + α2 + ··· + α**)^2* max w(a(). (14) 1 ^ i <, Φ Условимся обозначать через л η-кратное единицы тела К\ этот элемент будет встречаться лишь под знаком w, и поэтому нет опасности смешать его с натуральным числом л. Отметим также, что К не предполагается телом без характеристики. Из (14) следует w(2*)<2*, A = l, 2, ... (15) Покажем, что для любого натурального л w(n)^2n. (16) В самом деле, пусть 2fe ^ л << 2fe+1. Будем доказывать (16) индукцией по &, так как при k = О это утверждение справедливо. Так как п = (п — 2k)-\-2k, то при w (л — 2k) <: w (2k) из (13) и (15) вытекает w (л) < 2w (2k) < 2 . 2k ^ 2л. Если же w (л — 2k) ^ гг; (2fe), то, применяя, ввиду л — 2k << 2fe, индуктивное предположение, получаем, что w(л)< 2а; (л - 2*) <с 2. 2 (л -2k) = 4л — 2*+2< 2л. 12. Возьмем теперь произвольный элемент а^К и применим (14) к разложению элемента (l-j-яУ1-1 по формуле бинома, полагая л равным некоторой степени числа 2. Формула бинома в рассматриваемом случае применима, так как элементы а и 1 перестановочны. Так как, ввиду (16), w(C*_i)<2C*_i, где Сп — 1— биномиальный коэффициент, то w((1 + ay-^^nmaxw {Ckn^xak) =лшах [w(Cn-t)w (ak)]^ ^ 2л max (Ckn _ xwk (a)) < 2л (1 + w (a))n~K
§ 11] ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ТЕОРИИ ГАЛУА 363 Отсюда следует [w(l+ α)]"-1 < 2η (1 + w (α))η-\ а так как п может быть сколь угодно большой степенью числа 2, то w{\ -\-a)^\ -\-w(a). Неравенство 32 из VI. 4.1, равносильное в рассматриваемом нами случае действительной нормы условию 3 из определения нормы — именно, в этом случае w(— 1)= 1 и поэтому выполняется равенство Зх из VI. 4.1, — выводится теперь так же, как (11) было выведено из (9). Теорема VI. 10.5 доказана. X Если ассоциативное топологическое тело локально бикомпактно (см. VI. 8.4), то его топология индуцируется действительной нормой [Капланский, Duke Math. J. 14 (1947), 527—541]. Поле действительных чисел, поле комплексных чисел и тело кватернионов, рассматриваемые с их естественной топологией (см. VI. 10.4), являются единственными связными (см. VI. 8.6) локально бикомпактными ассоциативными топологическими телами [Л. С. Π о н τ ρ я г и н, Ann. of Math. 33 (1932), 163—174]. Пусть F— топологическое поле. Топология поля F тогда и только тогда индуцируется неархимедовой нормой (см. VI. 4.3) со значениями в некоторой линейно упорядоченной группе, пополненной нулем, если: 1) в F существует окрестность нуля, порождающая ограниченную аддитивную подгруппу; 2) если подмножество A cz F не пересекается с некоторой окрестностью нуля, то А-1 ограничено [Зелинский, Bull. Amer. Math. Soc. 64 (1948), 1145—1150]. χ § 11. Соответствия Галуа. Основная теорема теории Галуа 1. Говорят, что между частично упорядоченными множествами Μ и М' установлено соответствие Галуа, если указаны отображения φ: Μ -> Μ' и ψ: Μ' -> Ж, удовлетворяющие (для любых а, Ь^М, а',Ь'^М') следующим требованиям: а) если а^Ь, то αφ ^ by; если а' ^ Ь\ то α'ψ ^ £'ψ; β) αφψ^α, α'ψφ^α'.
364 упорядоченные и тополог, группы и кольца [гл. νι Это понятие тесно связано с понятием замыкания в частично упорядоченном множестве (см. VI. 7.1): Если между частично упорядоченными множествами Μ и М' установлено соответствие Галуа, то равенства а == αφψ, аеЖ, άΓ=α'ψφ, αΈΛ', определяют соответственно в Ж и в М' отношения замыкания. Если Ж0 и M'q —системы всех элементов из Μ и М' соответственно, замкнутых при этих замыканиях, то φ отображает инверсно изоморфно М0 на М'0> α ψ отображает инверсно изоморфно М'0 на Ж0, причем на этих множествах отображения φ и ψ об- ратны друг другу. Покажем, что равенства (1) вводят в множествах Ж и Ж' отношения замыкания. Ясно, что β) непосредственно приводит к условию 10) из VI. 7.1, а из а) следует условие 20). С другой стороны, из β) следует, ввиду а(реЖ', неравенство αφψφ ^ αφ, а так как, по а), из αφψ^α вытекает αφψφ ^ αφ, то на самом деле αφψφ = αφ, (2) и поэтому αφψφψ = αφψ, аеЖ. (3) Этим доказано, что выполняется и условие 30) из VI. 7.1. Системы Ж0 и М'0 элементов, замкнутых в Ж и Ж' относительно построенных нами замыканий, состоят соответственно из элементов αφψ, где agM, и α'ψφ, где а'^М'. Равенство (2), записанное в виде (αφ) ψφ = αφ, показывает, что образ при φ любого элемента α из Ж замкнут в Ж'. Отсюда следует, что φ отображает систему Ж0 в систему М'0. Аналогично отображение ψ переводит ж; в ж0. . Из справедливости равенства (3) и аналогичного ему равенства α'ψφψφ = α'ψφ, α'^Μ\
§ И] ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ТЕОРИИ ГАЛУА 365 вытекает, однако, что в действительности φ и ψ, рассматриваемые лишь на М0 и МО, будут обратными друг другу взаимно однозначными отображениями. Они являются даже инверсными изоморфизмами, как следует из а). Теорема доказана. 2. Приведем лишь одно из многочисленных применений соответствий Галуа в алгебре. Рассмотрим поле К с отмеченным в нем подполем Ρ и обозначим через G(K,P) множество всех автоморфизмов поля К, оставляющих на месте каждый элемент из Р. Это множество будет, очевидно, группой относительно умножения автоморфизмов. Группа G(K, Ρ) называется группой Галуа поля К над подполем Р. Обозначим через Μ множество всех подмножеств А поля К, содержащих в себе подполе Р, Р^А^К, а через М' — множество всех подмножеств А' группы G(/C, P), причем оба эти множества рассматриваются с их теоретико-множественной частичной упорядоченностью. Для всякого ЛеЖ обозначим через Αφ совокупность тех автоморфизмов из О {К, Р), которые оставляют множество А поэлементно неподвижным. С другой стороны, для всякого Л'еЖ' обозначим через Л'ψ множество всех элементов поля К, оставляемых на месте всеми автоморфизмами из А'. Ясно, что Αφ будет подгруппой группы Галуа О (К, Р) и A''ty —подполем поля К, содержащим Р. Немедленно проверяется также, что отображения φ и ψ удовлетворяют условиям а) и β) из VI. 11.1. Нами установлено, следовательно, соответствие Галуа между множествами Μ и М\ что определяет замыкания в каждом из этих двух множеств. Наконец, отображения φ и ψ являются обратными друг другу инверсно изоморфными соответствиями между системами М0 с: Μ и М'0а М' замкнутых элементов, т. е. между некоторой системой подполей поля К, содержа- щих подполе Р, и некоторой системой подгрупп группы Галуа G(/C, P). 3. Особенно интересны те случаи, когда оказываются замкнутыми как все подполя, промежуточные между Ρ и /С, так и все подгруппы группы Галуа, т. е. когда обозрение всех подполей поля К, содержащих поле Р, сводится на
366 упорядоченные и тополог, группы и кольца ггл. νι обозрение всех подгрупп группы G(K, P). Рассмотрим один такой случай. Будем предполагать, что рассматриваются лишь поля без характеристики (см. III. 2.11). Будем считать также, что читатель уже знаком из курса высшей алгебры с основами алгебры многочленов над полями [см., например, А. Г. Курош, Курс высшей алгебры, изд. 10, 1971, §§ 47 — 49; дальше цитируется как «Курс»]. Пусть, как и выше, Ρ cz К. Элемент αεΚ называется алгебраическим над полем Р, если он является корнем некоторого многочлена из кольца Р[х] и, следовательно, корнем однозначно определенного неприводимого многочлена φ(-χτ), старший коэффициент которого равен единице. Степень этого многочлена называется степенью элемента а, а его корни, лежащие в поле К или в некотором расширении этого поля,— элементами, сопряженными с а. Поле К называется алгебраическим расширением поля Р9 если всякий элемент из К алгебраичен над Р. Поле К есть конечное расширение поля Р, а именно расширение степени п, если К является конечномерной линейной алгеброй над Ρ (см. V. б.б), причем имеет размерность л. Степень К над Ρ будет обозначаться символом (К: Р). Всякое конечное расширение является алгебраическим расширением. Действительно, если (К:Р) — п, то всякие п-\-1 элементы из К линейно зависимы над Р. В частности, если а е /С, то элементы 1, α, α2, ...уап линейно зависимы над Р, а это означает, что а является корнем многочлена степени η из кольца Ρ [χ]. 4. Теорема о примитивном элементе. Если поле К без характеристики является алгебраическим расширением поля Ρ и порождается присоединением к Ρ конечного числа элементов, то К порождается присоединением к Ρ одного элемента. Достаточно рассмотреть случай присоединения двух элементов. Пусть К = Р(а, β). Если φ (χ) и ψ (χ) — неприводимые над Ρ многочлены, имеющие своими корнями соответственно α и β, то существует такое расширение L поля К (например, поле разложения про-
§ 11] ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ТЕОРИИ ГАЛУА 367 изведения φ (χ)ψ (χ), см. «Курс», § 49), в котором оба эти многочлена имеют все свои корни. Пусть аг = а, а2, ..., ak будут все лежащие в L корни многочлена φ(χ); они различны, так как ψ(χ) не имеет кратных корней. Аналогично βι = β> β* ..·> β/ будут все лежащие в L корни многочлена ψ(χ). Так как Р, как поле без характеристики, бесконечно, то найдется такой элемент с е Р, что а, + сЬфа + сЬ (4) если хотя бы один из индексов /, ] отличен от 1. Положим γ = α + φ (5) Ясно, что Р{у)<=,К. Рассмотрим теперь многочлен φ(*) = φ(ν-'*) с коэффициентами из поля Ρ (γ). Так как, по (5), φ(β) = φ(ν-<Φ) = φ(α) = ο и, как мы знаем, ψ (β) = 0, то многочлены φ (χ) и ψ (χ) имеют общий корень β. Это единственный их общий корень: если φ(β;·) = 0, ]ф\У то φ (ν-<*/) = о, .т. е. y — c$j равно некоторому щ в противоречие с условием (4). Отсюда следует, что χ — β будет наибольшим общим делителем многочленов φ (я*) и ψ(χ). Коэффициенты этих многочленов, а поэтому и их наибольшего общего делителя, лежат в поле Ρ (γ), т. е. β е Ρ (γ). Отсюда, по (5), παεΡ (γ). Таким образом, /f = P(o,P) = P(v)t что и требовалось доказать. 5. Алгебраическое расширение К поля Ρ называется нор- мальным расширением, если всякий неприводимый многочлен из кольца Ρ [χ], имеющий в поле К хотя бы один корень, имеет в К все свои корни, т. е. разлагается над К на линейные множители.
368 УПОРЯДОЧЕННЫЕ И ТОПОЛОГ. ГРУППЫ И КОЛЬЦА [ГЛ. VI # Поле К тогда и только тогда будет нормальным расширением своего подполя Р, если К порождается присоединением к Ρ всех корней некоторого множества многочленов из кольца Ρ [χ], χ 6. Если поле К без характеристики является конечным степени η и нормальным расширением своего подполя Ρ у то группа Галуа О (К, Ρ) конечна и имеет порядок п. В самом деле, К алгебраачно над Р, по VI. 11.3, и, по VI. 11.4, обладает примитивным элементом, К=Р(а). Так как (К:Р) — п, то всякий элемент β е К обладает однозначной записью вида β = b0 + bta + b2a* +...+ bn-ip*-\ b0,bbb2, ..., *„_!€= Я, (6) а поэтому а имеет степень η над полем Р. Ввиду нормальности К над Ρ в поле К содержаться η различных (так как поле без характеристики) элементов, сопряженных с а: αχ = а, а2, ..., ап. (7) Ясно, что K^P(at), /=1,2, ..., п. Как известно (см. «Курс», § 49), существует однозначно определенный автоморфизм поля /С, оставляющий элементы поля Ρ на месте и переводящий а в ai} /= 1, 2, ..., я, а именно автоморфизм <рг, отображающий элемент β из (6) в элемент β/ = b0 + b&i + Ь2щ +... + Ьп_га}~\ Это дает п элементов группы Галуа G (/С, Р). С другой стороны, пусть φ будет произвольный автоморфизм поля К, принадлежащий к G(K, P), и пусть αφ = α'. Если f(x) = x» + a1x"-1 + ...+ an — тот неприводимый многочлен из кольца Ρ [χ], корнем которого является а, то, так как αφ = α для всех a q Ρ, /(а') = а/П + а1а/П~ +... + ая = = (α- + α1α-1 + ... + α„)φ = [/(α)]φ = Οφ = 0. Элемент а' совпадает, следовательно, с одним из элементов αϊ из (7), а поэтому автоморфизм φ совпадает с соответствующим автоморфизмом срг·. Теорема доказана.
§ И] ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ТЕОРИИ ГАЛУА 369 7. Ясно, что поля Q, промежуточные между Ρ и /С, Ρ <= Q <= /С, (8) составляют структуру по теоретико-множественному включению. Ясно также, что из К —Ρ (а) следует K=Q(a) для всякого Q, удовлетворяющего включениям (8). Если поле К конечно над полем Р, то промежуточное поле Q конечно над Р, К конечно над Q и (K:P) = (K:Q)(Q:P). В самом деле, конечность Q над Ρ следует из того, что Q является подпространством векторного пространства К над полем Р. Конечность К над Q вытекает из того, что мы получим базу К над Q, если возьмем в базе К над Ρ максимальную подсистему, линейно независимую над Q. Пусть, наконец, аъ а2, ..., ak будет база К над Q, а βχ, β2, ..., β/ — база Q над Р. Тогда для любого γ е /С будет k γ = 5>α/, £;^Q> *=1, 2, ..., *, (9) а так как ί>ί=Σα4$Ρ aij^P> (10) /=ι то /=Ι / = Ι Линейная независимость над Ρ системы Ы элементов a$y вытекает из того, что из равенства нулю правой части равенства (11) следовало бы, ввиду линейной независимости системы аь а2, ..., ak над Q, равенство нулю коэффициентов bi в (9), где bi имеют вид (10), а тогда, ввиду линейной независимости системы βχ, β2, ..., β/ над Р, равны нулю все коэффициенты αζ·7·. Если поле К нормально над полем Р, то оно нормально и над всяким промежуточным полем Q. Пусть, в самом деле, неприводимый над Q многочлен g(x) обладает в К корнем а. Неприводимый над Ρ многочлен /(х), корнем которого является а, имеет в поле К все свои корни, а так как g(x) служит делителем для f{x) в кольце Q[x] (см. «Курс», § 48), то и g(x) разлагается над полем К на линейные множители.
370 упорядоченные и тополог, группы и кольца ггл. νι 8. Основная теорема теории Галуа. Если поле К без характеристики является конечным и нормальным расширением поля Р, то соответствие, сопоставляющее всякому промежуточному полю Q (см. (8)) группу Галуа О (К, Q) поля К над этим полем Q, является инверсным изоморфизмом между структурой всех промежуточных полей и структурой всех подгрупп группы Галуа О (/С, Р). Действительно, отображение φ из соответствия Галуа, рассмотренного в VI. 11.2, сопоставляет всякому промежуточному полю Q подгруппу группы G{K,P\ являющуюся группой Галуа К над Q, Q<p = Q(K,Q). Основная теорема будет, следовательно, доказана, если мы покажем, что при замыканиях, определяемых указанным соответствием Галуа, будут замкнутыми как все промежуточные поля, так и все подгруппы группы Галуа. Если Q — произвольное промежуточное поле, то Qcp = Q(K, Q)=i/sO(K, Ρ), ί/ψ = Q' = ζ>φψ, Q'9 = Q(/C, 0/)=ί/'=ί/ψφ£θ(Κ,Ρ). Поэтому Q<^ Q', U 9Ξ U'. Обозначим через 5 и s' соответственно порядки подгрупп U и £/'. Тогда s < s' и, по VI. 11.7, ~~~ (K:Q)^(K:Q')- (12) Однако, по VI. 11.6, (K:Q} = s, (K:Q') = s'. Поэтому в (12) имеет место равенство, откуда Q' = Q. Пусть теперь (7—произвольная подгруппа группы Q(K, P). Положим , г (13) Q<p= f/ψφ = V <=G(K, Ρ). ν Тогда U ^ {/', т. е., как и выше, 5 ^s'. Пусть, однако, K = Q(a). Если ε = σι, σ2, ..., os (14)
§ 11] ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ТЕОРИИ ГАЛУА 371 — все автоморфизмы, включая тождественный автоморфизм ε, составляющие подгруппу U, то α будет корнем многочлена степени s f(x) = (χ — ασχ) (χ — ασ2)... (χ — aos). Коэффициенты этого многочлена, написанные по формулам Вьета, не меняются при любом из автоморфизмов (14)— умножение всех элементов группы U справа на один из ее элементов лишь переставляет эти элементы. Поэтому, в силу определения отображения г|з и (13), /C*)€=Q[*], т. е. степень а над Q не больше s, откуда $' = (/C:Q)<$. Таким образом, s' — s, т. е. U' = U. Теорема доказана. Из этой теоремы следует, в частности, что в рассматриваемых условиях число полей, промежуточных между Ρ и К, будет конечным. # В условиях основной теоремы промежуточное поле Q тогда и только тогда нормально над полем Р, если соответствующая подгруппа U = G(K> Q) является нормальным делителем группы ό(Κ, Ρ). Группа G(Q, P) изоморфна при этом фактор-группе О (К P)/U. В случае полей без характеристики конечность и нормальность К над Ρ не только достаточны, но и необходимы для справедливости утверждения основной теоремы. Если поле К без характеристики является алгебраическим и нормальным (но не обязательно конечным) расширением поля Р, то соответствие Q-+Q{K, Q) является инверсным изоморфизмом между структурой всех подполей, промежуточных между Ρ и /С, и структурой всех подгрупп группы G(/C, P), замкнутых в линейной топологии этой группы (см. VI.9.9), определяемой следующим образом: полную систему окрестностей единицы составляют подгруппы G(K, Q0)> где Q0 пробегает все подполя поля /С, являющиеся конечными нормальными расширениями поля Ρ [Крулль, Math. Ann. 100 (1928), 687 — 698].*
УКАЗАТЕЛЬ ЛИТЕРАТУРЫi) 1 АдамсонИ. Т. (Adamson I. Т.), Rings, moduls and algebras, Edinburgh, 1971. 2*. Азу мая Г. (Azumaya G.), Алгебраическая теория простых колец (на японском языке), Токио, 1951. 3*. А л б е ρ τ A. A. (Albert Α. Α.), Modern higher algebra, Chicago, 1937. 4*. А л б e ρ τ A. A. (Albert Α. Α.), Structure of algebras, N. Υ., 1939. 5* А л б е ρ τ Α. Α. (Albert Α. Α.), Fundamental concepts of higher algebra, Chicago — London, 1956; перепечатки, 1959, 1961. 6*. А л е к с а н д р о в П. С, Введение в теорию групп, М., 1938; 2-е изд., М., 1951; румынский перевод, Бухарест, 1954; немецкий перевод, Берлин, 1954, 1960, 1971; украинский перевод, Киев, 1955; польский перевод, Варшава, 1956; английский перевод, Лондон, 1959. 7. Александров П. С, Комбинаторная топология, М. — Л., 1947. 8. Александров П. С, Введение в общую теорию множеств и функций, М. —Л., 1948. 9. Александров П. С. и Хопф X. (Alexandroff P. und Hopf H.), Topologie I, Berlin, 1935. 10*. Альмейда Коста A. (Almeida Costa Α.), Abelian groups, noncommutative rings and ideals, hypercomplex systems and representation, Lisboa, в 2-х тт., 1942, 1948. 11*. Альмейда Коста A. (Almeida Costa Α.), Aneis associa- tivos nao comutativos, Lisboa, 1955. 12. Альмейда Коста A. (Almeida Costa Α.), Cours d'algebre generale, в 2-х тт., Lisboa, 1968. 13. Андрунакиевич В. Α., Арнаутов В. И. и Рябухи н Ю. М., Кольца, в сб. «Алгебра. Топология. Геометрия. 1965 (Итоги науки, ВИНИТИ АН СССР)», М., 1967, 133—180. 14*. Артин Э. (Artin E.), Galois theory, Notre Dame, 1942; 2-е изд., 1946, 1948; китайский перевод, Шанхай, 1958; немецкий перевод, Лейпциг, 1960. 15*. Α ρ τ и н Э. (Artin Ε.), Geometric algebra, N. Υ. — London, 1957; русский перевод, «Геометрическая алгебра», М., 1969. 16. Артин Э. (Artin E.), Algebraic numbers and algebraic functions, London, 1968. L) Звездочкой отмечена литература, вошедшая в 1-е издание книги.
УКАЗАТЕЛЬ ЛИТЕРАТУРЫ 373 17*. Артин Э., Несбитт Ц. иТрэлл P. (Artin Ε., Nes- bitt С. J. and Thrall R. M.), Rings with minimum condition, Ann. Arbor, 1944. 18. Α τ ь я М. иМакдональд И. (Atiyah M. F. and Maedo- nald I. G.), Introduction to commutative algebra, Reading (Mass.), 1969; русский перевод, «Введение в коммутативную алгебру», М., 1972. 19. Б а л ь ц е ж и к С. (Balcerzyk S.), Wst§p do algebry homolo- giczej, Warszawa, 1970. 20. Б a p а н о в и ч Т. Μ., Универсальные алгебры, в сб. «Алгебра. Топология. Геометрия, 1966 (Итоги науки, ВИНИТИ АН СССР)», М., 1968, 109-136. 21*. Барбильян Д. (Barbilian D.), Teoria aritmetica a idealelor (in inele necomutative), Bucures,ti, 1956. 22. Б a p ш а й Я. (Barshay J.), Topics in rings theory, N. Y., 1969. 23*. Баумгартнер Л. (Baumgartner L.), Gruppentheorie, Berlin — Leipzig, 1921; 3-е изд., 1958; русский перевод «Теория групп», Μ. — Л., 1934. 24. Белоусов В. Д., Неассоциативные бинарные системы, в сб. «Алгебра. Топология. Геометрия. 1965 (Итоги науки, ВИНИТИ АН СССР)», М., 1967, 63—81. 25. Белоусов В. Д., Основы теории квазигрупп и луп, М., 1967. 26. Б е л о у с о в В. Д., Алгебраические сети и квазигруппы, Кишинев, 1971. 27. Б е ρ ж К- (Berge CI.), Theorie des graphes et ses applications, Paris, 1958. 28. Б e ρ л е к э м п Э. (Berlekamp E. R.), Algebraic coding theory, N. Y. — St. Louis — San Francisco — Toronto — London — Sydney, 1968; русский перевод, «Алгебраическая теория кодирования», Μ., 1971. 29. Б е ρ м а н С. Д., Представления конечных групп, в сб. «Алгебра. 1964 (Итоги науки, ВИНИТИ АН СССР)», М., 1966, 83-122. 30*. Б ё ρ н е ρ X. (Boerner H.), Darstellungen von Gruppen mit Berucksichtigung der Bediirfnisse der modernen Physik, Berlin — Gottingen — Heidelberg, 1955. 31*. Б e ρ η с а й д В. (Burnside W.), Theory of groups of finite order, Cambridge, 1897; 2-е изд., Cambridge, 1911; перепечатки, Ν. Υ., 1955 1958. 32*. Б и ρ к го φ Г. (Birkhoff G.), Lattice theory, Ν. Υ., 1940; 2-е, переработанное изд., N. Υ., 1948; 3-е изд., Providence, 1967; русский перевод, «Теория структур», М., 1952. 33. Б и ρ к г о φ Г. (Birkhoff G.), The role of modern algebra in computing, «Comput. Algebra and number theory (SIAM — AMS Proc. 4)», Providence, 1971, 1—47. 34. Биркгоф Г. и Барти Т. (Birkhoff G. and Bartee Т.), Modern applied algebra, N. Y., 1970. 35*. Биркгоф Г. иМаклейн С. (Birkhoff G. and MacLane S.), A survey of modern algebra, N. Y., 1941; перепечатка, 1944; 2-е, переработанное изд., 1953; 3-е изд., 1965. 36. В о к у τ ь Л. Α., Ж е в л а к о в К- А. и К у з ь м и н Ε. Η., Теория колец, в сб. «Алгебра. Топология. Геометрия. 1968 (Итоги науки, ВИНИТИ АН СССР)», М., 1970, 9—56.
374 УКАЗАТЕЛЬ ЛИТЕРАТУРЫ 37*. Боревич 3. И. и Фаддеев Д. К-, Теория гомологии в группах, I, Вестник Ленингр. ун-та, 1956, № 7, 3—39; II, там же, 1959, № 7, 72—87. 38. Б о ρ е в и ч 3. И. и Ш а ф а р е в и ч И. Р., Теория чисел, М., 1964; 2-е изд., 1972. 39. Б о ρ е л ь A. (Borel Α.), Linear algebraic groups, Ν. Υ. — Amsterdam, 1969; русский перевод, «Линейные алгебраические груп- . пы», М., 1972. 40*. Борувка О. (Boruvka О.), Uvod do theorie grup, Praha, 1944; 2-е изд., 1952. 41. Борувка О. (Boruvka О.), Grundlagen der Gruppoid- und Gr'uppentheorie, Berlin, 1960. 42*. Брак P. (Bruck R. H.), A survey of binary systems, Berlin — Gottingen -— Heidelberg, 1958; 2-е изд., 1966; 3-е изд., 1971. 43. Браун X. и Кёхер Μ. (Braun Η. and Koecher Μ.), Jordan- Algebren, Berlin — Heidelberg — N. Y., 1966. 44. Бринкман Г.-Б. и Π у π π e Д. (Brinkmann Η.-В. und Puppe D.), Kategorien und Functoren, «Lecture Notes in Math.», № 18, Berlin — Heidelberg — N. Y., 1966. 45. Бринкман Г.-Б. и П у π π e Д. (Brinkmann H.-В. und Puppe D.), Abelsche und exakte Kategorien, Korrespondenzen, Berlin — Heidelberg — N. Y., 1969. 46. Б у к с б а у μ Д. (Buchsbaum D. Α.), Exact categories and duality, Trans. Amer. Math. Soc. 80, № 1 (1955), 1—34; русский перевод, «Точные категории и двойственность» (в книге: К а р - тан А. и Эйленберг С., Гомологическая алгебра, М., 1960, стр. 451—496). 47. Букур И. иДеляну A. (Bukur I. and Deleany Α.), Introduction to the theory of categories and functors, London — N. Y. — Sydney, 1969; русский перевод, «Введение в теорию категорий и функторов», М., 1972. 48. Б у ρ б а к и Н. (Bourbaki N.), Elements de mathematique; partie I, livre I, Theorie des ensembles, Paris, 1957—1963; русский перевод, «Начала математики», часть 1, книга 1, «Теория множеств», М., 1965. 49. Б у ρ б а к и Н. (Bourbaki N.), Elements de mathematique; partie I, livre II, Algebre, Paris, 1958—1964; существенно переработанное изд., Paris, 1970; русский перевод, «Элементы математики», книга 2, «Алгебра», в 3-х тт. (I. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра; II. Многочлены и поля. Упорядоченные группы; III. Модули. Кольца. Формы), М., 1962—1966. 50. Б у ρ б а к и Н. (Bourbaki N.), Elements de mathematique; par- tie I, livre III, Topologie generale, Paris, 1940—1947; существенно переработанное издание, Paris, 1960—1967; русские переводы, «Элементы математики», книга 3, «Общая топология», в 2-х книгах (I. Основные структуры; II. Числа и связанные с ними группы и пространства), М., 1958—1959; с переработанного французского изд. (I. Основные структуры; II. Топологические группы Числа и связанные с ними группы и пространства), М., 1968— 1969.
УКАЗАТЕЛЬ ЛИТЕРАТУРЫ 375 51. Бурбаки Н. (Bourbaki N.), Elements de mathematique; par- tie II, Algebre commutative, Paris, 1960—1965; русский перевод, «Элементы математики. Коммутативная алгебра», М., 1971. 52. Б у ρ б а к и Н. (Bourbaki N.), Elements de mathematique; partie II, Groupes et algebres de Lie, Paris, 1968; русский перевод, «Элементы математики. Группы и алгебры Ли (гл. IV. Группы Кокстера и системы Титса; гл. V. Группы, порожденные отражениями; гл. VI. Системы корней)», М., 1972. 53. Б у ρ б а к и Н. (Bourbaki N.), Elements de mathematique; fasc. XXXII, Theories spectrales, Paris, 1967; русский перевод, «Элементы математики. Спектральная теория», М., 1972. 54. Б у ρ ρ о у М. (Burrow M.), Representation theory of finite groups, N. Y. — London, 1965. 55. БусаркинВ. M. и Горчаков Ю. М., Конечные расщепляемые группы, Μ., 1968. 56. Бэр P. (Baer R.), Automorphismen von Erweiterungsgruppen, Paris, 1935. 57*. Бэр P. (Baer R.), Linear algebra and projective geometry, N. Y., 1952; русский перевод, «Линейная алгебра и проективная геометрия», М., 1955. 58. Б э ρ е н с Э.-А. (Behrens Ε.-Α.), Ring theory, Ν. Υ. — London, 1971. 59*. Ван-дер-Варден Б. Л. (van der Waerden В. L.), Moderne Algebra, в 2-х тт., Berlin, 1930, 1931; 2-е изд., 1937, 1940; 3-е изд., 1950; 4-е изд., «Algebra», Berlin — Gottingen — Heidelberg, 1955; перепечатка, 1959; 5-е изд., 1960; 6-е изд., 1964; русский перевод, «Современная алгебра», М. —Л., 1934, 1937; 2-й русский перевод, М. — Л., 1947; английский перевод, Нью-Йорк, 1949; венгерский перевод, Будапешт, 1953; португальский перевод, Лиссабон, 1954; китайский перевод, Ухань, 1943. 60. Ван-дер-Варден Б. Л. (van der Waerden В. L.), Die Gruppentheoretische Methode in der Quantenmechanik, Berlin, 1932. 61*. Ван-дер-Варден Б. Л. (van der Waerden B. L.), Grup- pen von linearen Transformationen, Berlin, 1935; перепечатка, Ν. Υ., 1948. 62. Ван-дер-Варден Б. Л. (van der Waerden В. L.), Einfuh- rung in die algebraische Geometrie, Berlin, 1939. 63. В a ρ η e ρ С. (Warner S.), Classical modern algebra, N. Y., 1971. 64. В a p у с ф е л ь A. (Warusfel A.), Structures algebriques finies, groupes, anneaux, corps, Paris, 1971. 65*. Василаке С. (Vasilache S.), Elemente de teoria multimilor sj a structurilor algebrice, Bucuresti, 1956. 66. В е б e ρ Γ. Μ. (Weber Η. Μ.), Lehrbuch der Algebra, в 2-х тт., Braunschweig, 1895, 1896; 2-е изд., в 3-х тт., Brauschweig, 1898, 1899, 1908; 3-е изд., в 3-х тт., Ν. Υ., 1962. 67*. В е й л ь A. (Weil A.), L'integration dans les groupes topolo- giques et ses applications, Paris, 1940; русский перевод, «Интегрирование в топологических группах и его применения», М., 1950. 68. В е й л ь A. (Weil Α.), Foundations of algebraic geometry, N. Y., 1946.
376 УКАЗАТЕЛЬ ЛИТЕРАТУРЫ 69. В е й л ь A. (Weil Α.), Basic number theory, Berlin — Heidelberg — N. Y., 1967; русский перевод, «Основы теории чисел», Μ., 1972. 70. В е й л ь Г. (Weyl Η.), Gruppentheorie und Quantenmechanik, Leipzig, 1931. 71*. Вейль Г. (Weyl Η.), The classical groups, their invariants and representations, Princeton, 1939; 2-е изд., 1946; русский перевод, «Классические группы, их инварианты и представления», М., 1947. 72. В е й л ь Г. (Weyl H.), Algebraic theory of numbers, 1940; русский перевод, «Алгебраическая теория чисел», Μ., 1947. 73. Вейль Г. (Weyl H.), Symmetry, London, 1952; немецкий перевод, Basel — Stuttgart, 1955; русский перевод «Симметрия», Μ., 1968. 74. В е й с Э. (Weiss Ε.), Cohomology of groups, Ν. Υ. — London, 1969. 75. В e η к о в Б. Б., Гомологическая алгебра, в сб. «Алгебра. 1964 (Итоги науки, ВИНИТИ АН СССР)», М, 1966, 203—235. 76. В и л а н д τ Г. (Wielandt Η. W.), Unendliche Permutations- gruppen, Tubingen, 1960. 77. В и л а н д т Г. (Wielandt H. W.), Finite permutation groups, N. Y. —London, 1964; 2-е изд., 1968. 78*. В и л е н к и н Н. Я-, Теория топологических групп, П, Успехи матем. наук 5, № 4 (1950), 19—74. 79. В и н б е ρ г Э. Б., Группы Ли и однородные пространства, в сб. «Алгебра. Топология, 1962 (Итоги науки, ВИНИТИ АН СССР)», М., 1963, 5—32. 80. В и н о г ρ а д о в Α. Α., Упорядоченные алгебраические системы, в сб. «Алгебра. Топология. Геометрия. 1965 (Итоги науки, ВИНИТИ АН СССР)», М., 1967, 83—131. 81. Виноградов Α. Α., Упорядоченные алгебраические системы, в сб. «Алгебра. Топология. Геометрия. 1966 (Итоги науки, ВИНИТИ АН СССР)», М., 1968, 91—108. 82. В л а д и м и ρ о в Д. Α., Булевы алгебры, М., 1969. 83. Вольвачев Р. Т. и Супруненко Д. Α., Линейные группы, в сб. «Алгебра. Топология. Геометрия, 1965 (Итоги науки, ВИНИТИ АН СССР)», М., 1967, 45—61. 84*. Вольф П. (Wolf P.), Algebraische Theorie der Galoisschen Algebren, Berlin, 1956. 85. Габриэль П. (Gabriel P.), Des categories abeliennes, Bull. Soc. math. France 90, № 3 (1962), 323—448. 86. Габриель П. и Цисман М. (Gabriel P. and Zisman M.), Calculus of fractions and homotopy theory, Eerlin — Heidelberg — N. Y., 1967; русский перевод, «Категории частных и теория го- мотопий», М., 1971. 87. Г а л у а Э. (Galois Ё.), Oeuvres mathematiques, Paris, 1897; 2-е изд., 1951; русский перевод, «Сочинения», М.—Л., 1936. 88. Г е л ь φ а н д И. М., Райков Д. А. и Шилов Г. Е., Коммутативные нормированные кольца, М., 1960. 89. Г е ρ и к е X. (Gericke Η.), Theorie der Verbande, Mannheim, 1963. 90. Г е ч е г Ф. и П е а к И. (Gecseg F. and Peak I.), Algebraic theory of automata, Budapest, 1972.
УКАЗАТЕЛЬ ЛИТЕРАТУРЫ 377 91. Гинзбург A. (Ginzburg A.), Algebraic theory of automata, N. Y. - London, 1968. 92. Г и ρ о Ж- (Giraud Jean), Cohomologie non abelienne, Berlin — Heidelberg — N. Y., 1971. 93. Глейхгевихт Б. (Gleichgewicht В.), Elementy algebry abstrakcyjnej, в 2-х тт., Warszawa, 1966, 1970. 94*. Гливенко В, И., Theorie generale des structures, Paris, 1938. 95. Г л у с к и н Л. М., Полугруппы, в сб. «Алгебра. Топология. 1962 (Итоги науки, ВИНИТИ АН СССР)», М., 1963, 33—58. 96. Г л у с к и н Л. М., Полугруппы, в сб. «Алгебра. 1964 (Итоги науки, ВИНИТИ АН СССР)», М., 1966, 161—202. 97. Г л у с к и н Л. М., Ш а й н Б. М. иШеврин Л. Н., Полугруппы, в. сб. «Алгебра. Топология. Геометрия. 1966 (Итоги науки, ВИНИТИ АН СССР)», М., 1968, 9—56. 98. Глухов М. М., Стеллецкий И. В. и Фофанова Т. С, Теория структур, в сб. «Алгебра. Топология. Геометрия. 1968 (Итоги науки, ВИНИТИ АН СССР)», М., 1970, 101—154. 99*. Глушков В. М., Строение локально бикомпактных групп и пятая проблема Гильберта, УМН 12, № 2 (1957), 3—41. 100. Глушков В. М., Абстрактная теория автоматов, УМН 16, № 5 (1961), 3—62; поправка, там же 17, № 2 (1962), 270. 101. Глушков В. М., Теория алгоритмов, Киев, 1961. 102. Годеман P. (Godement R.), Topologie algebrique et theorie des faisceaux, Paris, 1958. 103. Годеман Р. (Godement R.), Cours d'algebre, Paris, 1963. 104. Горенштейн Д„ (Gorenstein D.), Finite groups, N. Y. — Evansten — London, 1968. 105. Граве Д. Α., Теория конечных групп, Киев, 1908. 106*. Г ρ а е в М. И., Теория топологических групп, I, УМН 5, № 2 (1950), 3—56. 107. Грёбнер В. (Grobner W.), Moderne algebraische Geometrie. Die idealtheoretischen Grundlagen, Wien — Innsbruck, 1949. 108. Грей Μ. (Gray Μ.), A radical approach to algebra, Reading (Mass.), 1970. 109. Гретцер Г. (Gratzer G.), Universal algebra, Princeton (N. J.), 1968. ПО. Гретцер Г. (Gra4zer G.), Lattice theory. First concepts and distributive lattice, San Francisco, 1971. 111. Гросман И. и Магнус В. (Grossman I. and Magnus \V.), Groups and their graphs, N. Y., 1964; русский перевод, «Группы и их графы», М., 1971. 112. Г ρ ο τ е н д и к A. (Grothendieck A.), Sur quelques points d'algebre homologique, Tohoku Math. J., second series, 9, № 2—3 (1957), 119—221; русский перевод, «О некоторых вопросах гомологической алгебры», М., 1961. 113. Гротендик А. и Дьёдонне Ж- (Grothendieck A. et Diendonne J. Α.), Elements de geometrie algebrique I, Berlin — Heidelberg — N. Y., 1971. 114. Гудете й η P. (Goodstein R.), Boolean algebra, Oxford — London — Paris — Frankfurt — N. Y-, 1963.
378 УКАЗАТЕЛЬ ЛИТЕРАТУРЫ 115. Д в и н г е ρ Φ. (Dwinger Ph.), Introduction to Boolean algebras, Wiirzburg, 1961; 2-е, дополненное изд., 1971. 116*. Дёйринг Μ. (Deuring Μ.), Algebren, Berlin, 1935; Ν. Υ., 1948. 117. Дейсен П. (Deussen P.), Halbgruppen und Automaten, Berlin — Heidelberg — N. Y., 1971. 118. Демазюр Μ. и Габриэль П. (Demazure M. et Gabriel P.), Groupes algebriques. I. Geometrie algebrique—generalites, groupes commutatifs, Paris — Amsterdam, 1970. 119. Дёмушкин СП., Теория полей классов. Расширения полей, в сб. «Алгебра. Топология. Геометрия. 1967 (Итоги науки, ВИНИТИ АН СССР)», М., 1969, 59-69. 120. Д ж а н с И. П. (Jans J. P.), Rings and homology, N. Y., 1964. 121. Джейтеджейнкар A. (Jategaonkar A. V.), Left principal ideals rings, Berlin — Heidelberg — N. Y., 1970. 122*. Джекобсон Η. (Jacobson Ν.), The theory of rings, N. Y., 1943; русский перевод, «Теория колец», М., 1947. 123*. Джекобсон Η. (Jacobson N.), Lectures in abstract algebra, Princeton (N. J.)—Toronto — N. Y. — London, vol. I, 1951; vol. II, 1953; vol. Ill, 1964; китайский перевод, Пекин, 1960. 124*. Джекобсон Н. (Jacobson N.), Structure of rings, Providence, R. I., 1956; 2-е изд., 1964; русский перевод, «Строение колец», Μ., 1961. 125. Джекобсон Η. (Jacobson N.), Lie algebras, N. Υ. — London, 1962; русский перевод, «Алгебры Ли», М., 1964. 126. Джонсон Б. (Jonsson В.), Topics in universal algebra, «Lect. Notes Math.», 1972. 127*. Джонсон P. (Johnson R. E.), First cours of abstract algebra, N. Y., 1953. 128. Дивинский Η. (Divinsky N. J.), Rings and radical, London, 1965. 129. Диксон Дж. Д. (Dixon John D.), The structure of linear groups, London, 1971. 130*. Диксон Л. (Dickson L. E.), Linear groups with an exposition of the Galois field theory, Leipzig, 1901; перепечатка, Ν. Υ., 1958. 131. Диксон Л. (Dickson L. E.), Linear algebras, Cambridge, 1914; русский перевод, «Линейные алгебры», Харьков, 1935. 132. Диксон Л. (Dickson L. Ε.), Algebras and their arithmetics, Chicago, 1923; перепечатка, Ν. Υ., 1938; Ν. Υ., 1960. 133. Диксон Л. (Dickson L. E.), Modern algebraic theories, Chicago, 1926; перепечатка, Ν. Υ. — London, 1959. 134. Д и н P. (Dean R. Α.), Elements of abstract algebra, N. Y., 1966. 135. Доннелен Т. (Donnellan Th.), Lattice theory, Oxford — London, 1968. 136. Д ы η к и н Ε. Б., Структура полупростых алгебр Ли, УМН 2, № 4 (1947), 59—127. 137. Дьёдонне Ж- (Diendonne J.), Sur les groupes classiques, Paris, 1948; перепечатка, Paris, 1958. 138. Дьёдонне Ж- (Diendonne J.), La geometrie des groupes classiques, Berlin — Gottingen — Heidelberg, 1955; 2-е изд., Berlin — Gottingen — Heidelberg, 1963; 3-е изд., Berlin, 1971.
УКАЗАТЕЛЬ ЛИТЕРАТУРЫ 379 139*. Д ю б ρ е й П. (Dubreil P.), Algebre, v. I, Paris, 1946; 2-е изд., Paris, 1954; 3-е изд., 1963. 140. Дюбрей П. и Дюбрей-Жакотэн М. Л. (Dubreil P. et Dubreil-Jacotin M. L.), Legons d'algebre moderne, Paris, 1961; 2-е изд., Paris, 1964. 141*. Дюбрей-Жакотэн М.Л., ЛезьёЛ. и КруазоР. (Dubreil-Jacotin M. L., Lesieur L. et Croisot R.), Le£ons sur la theorie des treillis, des structures algebriques ordonnees et des treillis geometriques, Paris, 1953. 142. Жаффар П. (Jaffard P.), Les systemes d'ideaux, Paris, 1960. 143. Желобенко Д. П., Компактные группы Ли и их представления, М., 1970. 144*. Ж о ρ д а н К- (Jordan С), Traite des substitutions et des equations algebriques, Paris, 1870; фоторепродукция, Paris, 1957. 145. Зарисский О. (Zariski О.), An introduction to the theory of algebraic surfaces, Berlin — Heidelberg — N. Y., 1969; 2-е, пополненное изд., «Algebraic surfaces», там же, 1971. 146*. Зарисский О. и Самюэль П. (Zariski О. and Samuel P.), Commutative algebra, v. 1, 1958; v. 2, 1960; Princeton (N. J.) — Toronto — London — N. Y.; русский перевод, «Коммутативная алгебра», в 2-х тт., М., 1963. 147. Зыков Α. Α., Теория конечных графов, I, Новосибирск, 1969. 148*. Капланский И. (Kaplansky I.), Infinite Abelian groups, Ann. Arbor, 1954; перепечатка, 1956; 2-е изд., 1969. 149*. К а п л а-н с к и й И. (Kaplansky I.), An introduction to differential algebra, Paris, 1957; русский перевод, «Введение в дифференциальную алгебру», М., 1959. 150. Капланский И. (Kaplansky I.), Rings of operators, N. Υ., 1968. 151. К а π л а н с к и й И. (Kaplansky I.), Fields and rings, Chicago, 1969. 152. Капланский И. (Kaplansky I.), Commutative rings, Boston, 1970. 153. Капп К. Μ. иШнейдер X. (Карр К. Μ. and Schneider H.), Completely 0-simple semigroups, N. Y., 1969. 154. Карвалло Μ. (Carvallo Μ.), Monographie des treillis et algebre de Boole, Paris, 1962. 155. Каргаполов Μ. И. и Мерзляков Ю. И., Бесконечные группы, в сб. «Алгебра. Топология. Геометрия. 1966 (Итоги науки, ВИНИТИ АН СССР)», М., 1968, 57—90. 156. Каргаполов М. И. и Мерзляков Ю. И., Основы теории групп, М., 1972. 157*. Кармайкл P. (Carmichael R. D.), Introduction to the theory of groups of finite order, Boston, 1937; перепечатка, Ν. Υ., 1956. 158*. Картан А. иЭйленберг С. (Cartan Η. and Eilenberg S.), Homological algebra, Princeton (N. J.), 1956; русский перевод, «Гомологическая алгебра», М., 1960. 159. Картан Э. (Cartan E.), Sur la structure des groupes de transformations finis et continus, These, Paris, 1894.
380 УКАЗАТЕЛЬ ЛИТЕРАТУРЫ 160*. Кейсан М. иДеляше A. (Queysanne M. et Delachet Α.), L'algebre moderne, Paris, 1955; 2-е изд., 1957; 3-е изд., I960. 161. Кертес A. (Kertesz Α.), Vorlesungen tiber Artinsche Ringe, Budapest, 1968; Leipzig, 1968. 162. К л а у д а Д. (Klauda D.), Allgemeine Mengenlehre, в 2-х тт., 2-е, дополненное изд., Berlin, 1968. 163. К л и н и С. (Kjeene S. С), Introduction to metamathematics, Ν. Υ. — Toronto, 1952; русский перевод, «Введение в метаматематику», М., 1957. 164. Клиффорд А. и Престон Г. (Clifford A. H. and Preston G. В.), The algebraic theory of semigroups, в 2-х тт., Providence, 1961, 1967; русский перевод, «Алгебраическая теория полугрупп», в 2-х тт., М., 1972. 165. К н а й τ Дж. Т. (Knight J. Т.), Commutative algebra, «Lect. Notes Math.», London, 1971. 166. Кнатсон Д. (Knutson D.), Algebraic spaces, «Lect. Notes Math.», London, 1971. 167. Кокорин А. И. и Копытов В. М., Линейно упорядоченные группы, М., 1972. 168*. Кокстер Х.С. М. иМозер В.О.Дж. (Coxeter Η. S. M. and Moser W. О. J.), Generators and relations for discrete groups, Berlin — Gottingen — Heidelberg, 1957; 2-е изд., 1965. 169. Кон П. Μ. (Cohn P. M.), Lie groups, Cambridge, 1957. 170. Κ ο η Π. Μ. (Cohn P. Μ.), Universal algebra, N. Y. — London, 1965; русский перевод, «Универсальная алгебра», М., 1968. 171. Кон П. Μ. (Cohn P. M.), Free rings and their relations, N. Y. — London, 1971. 172. Кострики и А. И., Конечные группы, в сб. «Алгебра. 1964 (Итоги науки, ВИНИТИ АН СССР)», М., 1966, 7—46. 173*. Кохендёрфер P. (Kochendorffer R.), Einfuhrung in die Algebra, Berlin, 1955; 2-е изд., Berlin, 1962. 174. Кохендёрфер Р. (Kochendorffer R.), Lehrbuch der Grup- pentheorie unter besonderer Berucksichtigung der endlichen Grup- pen, Leipzig, 1966. 175. К о э н П. Дж. (Cohen P. J.), Set theory and the continuum hypothesis, N. Y. — Amsterdam, 1966; русский перевод, «Теория множеств и континуум-гипотеза», М., 1969. 176. Крауч Р. Б. и Бэкмен Д. Н. (Crouch R. В. and Beck- man D. N.), The structure of abstract algebra, Glenwiew (111.). 177*. Κ ρ у л л ь В. (Krull W.), Idealtheorie, Berlin, 1935; перепечатка, Ν. Υ., 1948; 2-е изд., Berlin — Heidelberg — Ν. Υ., 1968. 178. К р у з Р. Л. и Прайс Д. Т. (Kruse R. L. and Price D. Т.), Nilpotent rings, Ν. Υ. — London — Paris, 1969. 179. Куратовский К- (Kuratowski K.)> Topology, в 2-х тт., Ν. Υ. — London — Warszawa, 1966, 1968; русский перевод, «Топология», Μ., 1966, 1969. 180. Куратовский К- и Мостовский A. (Kuratowski К. and Mostowski Α.), Teoria mnogosci, Warszawa, 1952; 2-е, переработанное изд., 1966; английское изд., «Set theory», Amsterdam — Warszawa, 1967; русский перевод, «Теория множеств», М., 1970. 181*. К У ρ о ш А. Г., Пути развития и некоторые очередные проблемы теории бесконечных групп, УМН 3 (1937), 5—15.
УКАЗАТЕЛЬ ЛИТЕРАТУРЫ 381 182*. Курош А. Г., Теория групп, М. — Л., 1944, 2-е, переработанное изд., М., 1953; 3-е, дополненное (с обзором «Развитие теории бесконечных групп за 1952—1965 гг.») изд., М., 1967. Переводы: с 1-го изд. — на немецкий (с добавлением Б. Неймана), Берлин, 1953; со 2-го изд. — на венгерский (с добавлением Б. Неймана), Будапешт, 1955; на английский (в 2-х тт., с добавлением К- Хирша), Нью-Йорк, 1955, 1956 (повторно — в I960); на румынский, Бухарест, 1959; на японский (в 2-х тт.), Япония, I960, 1961; на китайский, КНР (первый из двух томов), 1964; с 3-го изд. —на немецкий, в 2-х тт., с пополнением автором библиографии за 1966—1968 гг.), Берлин, 1970, 1972. 183*. Курош А. Г., Современное состояние теории колец и алгебр, УМН 6, № 2 (1951), 3-15. 184. Курош А. Г., Лекции по общей алгебре, 1-е изд., М., 1962; переводы: на английский (авторизованный перевод К. А. Хирша), Нью-Йорк, 1963; перепечатка, 1965; на немецкий, Лейпциг, 1964; на китайский, КНР, 1964; на польский, Варшава, 1965; на французский, Париж, 1967; на чешский, Прага, 1968; на японский (в 2-х тт.), 1966, 1970. 185. Курош А. Г., Мультиоператорные кольца и алгебры, УМН 24, № 1 (1969), 3—15. 186. Курош А. Г., Общая алгебра (лекции 1969/70 учебного года), МГУ, М., 1970. 187. Курош А. Г., Лившиц А. X. и Шульгейфер Е. Г., Основы теории категорий, УМН 15, № 6 (1960), 3—52; переводы: на румынский, Бухарест, 1961; на английский, США, 1962; на немецкий, Берлин, 1963 [см. 187']. 187'. Курош А. Г., Лившиц А. X., Шульгейфер Е. Г. иЦаленко М. Ш. (Kurosch A. G., Liwschitz A. Ch., Schul- geifer E. G. und Zalenko Μ. S.), Zur Theorie der Kategorien, Berlin, 1963 (книга состоит из немецких переводов статей [187] и [374]). 188*. Курош А. Г. иЧерников С. Н., Разрешимые и нильпо- тентные группы, УМН 2, Ν·ι 3 (1947), 18—59; английский перевод, Нью-Йорк, 1953. 189. Кэртис Ч. иРайнер И. (Curtis С. W. and Reiner I.), Representation theory of finite groups and associative algebras, N. Y. — London, 1962; русский перевод, «Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр», М., 1969. 190. Л а м б е к И. (Lambek J.), Lectures on rings and modules, Wal- tham — Toronto — London, 1966; русский перевод, «Кольца и модули», Μ., 1971. 191. Л а м б е к И. (Lambek J.), Torsion theories, additive semantics and rings of quotients, Berlin — Heidelberg — N. Y., 1971. 192. Леви-Брюль Ж. (Levy-Bruhl J.), Introduction aux structures algebriques, Paris, 1968. 193*. Ледерман В. (Ledermann W.), Introduction to the theory of finite groups, Edinbourgh — London — N. Y., 1949; 2-е изд., 1953; 3-е изд., 1957; 4-е, дополненное изд., 1961. 194. Лезьё Л. и Круазо P. (Lesieur L. et Croisot R.), Algebre Noetherienne non commutative, Paris, 1963. 195. Л e μ a η A. (Lehman Α.), Postulates for a normed Boolean algebra, Madison (Wisconsin), 1963.
382 УКАЗАТЕЛЬ ЛИТЕРАТУРЫ 196. Л е н г С. (Lang S.), Introduction to algebraic geometry, Ν. Υ. — London, 1958. 197. Л e η г С. (Lang S.), Abelian varieties, N. Y. — London, 1959 198. Л e η г С. (Lang S.), Diophantine geometry, N. Y., 1962. 199. Л e η г С. (Lang S.), Algebraic numbers, Reading (Mass.) — Palo Alto — London, 1964; русский перевод, «Алгебраические числа», Μ., 1966. 200. Л е н г С. (Lang S.), Algebra, Reading (Mass.), 1965; русский перевод, «Алгебра», Μ., 1968. 201. Л е н е ρ И. (Lehner J.), Discontinuous groups and automorphic functions, Providenc, 1964. 202*. Л e η τ и н А. и Ρ и в о Ж. (Lentin A. et Rivaud J.), Elements d'algebre moderne, Paris, 1956; 2-е изд., 1957; 3-е изд., 1958. 203. Лентин А. и Риво Ж., (Lentin A. et Rivaud J.), Legons d'algebre moderne, Paris, 1961; 2-е изд., «Algebra moderna» (исп.), Madrid, 1967. 204. Лившиц A. X., Цаленко Μ. Ш. и Шульгей- фер Е. Г., Теория категорий, в сб. «Алгебра. Топология. 1962 (Итоги науки, ВИНИТИ АН СССР)», М., 1963, 90—106. 205. Линдон P. (Lyndon R. С), Notes on logic, Toronto — Ν. Υ. — London, 1966; русский перевод, «Заметки по логике», М., 1968. 206*. Литлвуд Д. Е. (Littlewood- D. Ε.), The theory of group characters and matrix representations of groups, 2-е изд., Oxford, 1950. 207. Литлвуд Д. Ε. (Littlewood D. Ε.), The skeleton-key of Mathematics, 3-е изд., London, 1960. 208. Лифшиц В. Η. и Садовский Л. Ε., Алгебраические модели вычислительных машин, УМН 27, № 3 (1972), 79—125. 209. Лоренц Ф. (Lorenz F.), Quadratische Formen iiber Korpern, Berlin — Heidelberg - N. Y., 1970. 210*. Л о у μ ο η τ Дж. (Lomont J. S.), Application of finite groups, N. Y. — London, 1959. 211*. Луговский Г. и Вейнерт Г. И. (Lugowski Η. und Weinert H. J.), Grundzuge der Algebra, Teil 1, Allgemeine Grup- pentheorie, Leipzig, 1957; Teil 2, Allgemeine Ring- und Korper- theorie, Leipzig, 1958, 1959; 3-е изд., 1967; Teil 3, Auflosungstheo- rie algebraischer Gleichungen, Leipzig, 1960; 2-е изд., 1967. 212. Любарский Г. Я-, Теория групп и ее применение к физике, М„ 1958. 213*. Л я π и н Е. С, Полугруппы, М., 1960. 214. Магнус В. (Magnus W.), Allgemeine Gruppentheorie (In Enzyk- lopadie der mathematischen Wissenschaften, 2-е изд., Bd. 1/1, H. 9, 1939). 215. Магнус В., Каррас А. и Солитэр Д. (Magnus W., Karrass A. and Solitar D.), Combinatorial group theory: presentations of groups in terms of generators and relations, N. Y. — London — Sydney, 1966. 216. Макдаффи Г. (MacDuffee С. С), An introduction to abstract algebra, N. Y., 1940; Gloucester (Mass.), 1966. 217*. Μ а к к о Й Η. X. (McCoy N. Η.), Rings and ideals, Baltimore, 1948,
УКАЗАТЕЛЬ ЛИТЕРАТУРЫ 383 218. Μ а к к о й Н. X. (McCoy Ν. Η.), Interoduction to modern algebra, Boston (Mass.) — London, I960. 219. Μ а к к о й Η. X. (McCoy N. Η.), The theory of rings, Ν. Υ. — London, 1964. 220. Маклейн С. (MacLane S.), Homology, Berlin — Gottingen — Heidelberg, 1963; русский перевод, «Гомология», М., 1966. 221. Маклейн С. (MacLane S.), Kategorien. Begriffssprache und mathematische Theorie, Berlin — Heidelberg — N. Y., 1972. 222. Маклейн С. иБиркгоф Г. (MacLane S. and Birkhoff G.), Algebra, N. Y. — London, 1967. 223. Мальцев А. И., Группы и другие алгебраические системы, в сб. «Математика, ее содержание, методы и значение», т. 3, М., 1956, 248—331. 224. Мальцев А. И., Конструктивные алгебры, I, УМН 16, № 3 (1961), 3—60. 225. Мальцев А. И., Алгоритмы и рекурсивные функции, М., 1965. 226. Мальцев А. И., Алгебраические системы, М., 1970. 227. Мамфорд Д. (Mumford D.), Lectures on curves on an algebraic surface, Princeton (N. J.), 1966; русский перевод, «Лекции о кривых на алгебраической поверхности», М., 1968. 228. Мамфорд Д. (Mumford D.), Abelian varieties, Bombay, 1968; русский перевод, «Абелевы многообразия», М., 1971. 229. Μ а н и н Ю. И., Кубические формы. Алгебра, геометрия, арифметика, М., 1972. 230. Маркус С. (Marcus S.), Algebraic linguistics; Analytical models, Ν. Υ. — London, 1967; русский перевод, «Теоретико- множественные модели языков», М., 1970. 231. Мацумура X. (Matsumura Η.), Commutative algebra, N. Υ., 1970. 232. Маэда Φ. и Маэда С. (Maeda F. and Maeda S.), Theory of symmetric lattices, Berlin — Heidelberg — N. Y., 1970. 233. Мендельсон Э. (Mendelson E.), Introduction to mathematical logic, Princeton (N. J.) — Toronto — N. Y. — London, 1963; русский перевод, «Введение в математическую логику», М., 1971. 234. Мерзляков Ю. И., Линейные группы, в сб. «Алгебра. Топология. Геометрия, 1970 (Итоги науки, ВИНИТИ АН СССР)», М., 1971, 75—110. 235*. Миллер Г., Бличфилд Х.и Диксон Л. (Miller G. А. Blichfeldt Η. F. and Dickson L. E.), Theory and applications of finite groups, N. Y. —London, 1916; 2-е изд., 1938. 236*. Миллер К· (Miller К. S.), Elements of modern abstract algebra, N. Y., 1958. 237. Μ и т ч е л Б. (Mitchell В.), Theory of categories, N. Υ. — London, 1965. 238. Михалев А. В., Скорняков Л. Α., Модули, в сб. «Алгебра. Топология. Геометрия. 1968 (Итоги науки, ВИНИТИ АН СССР)», М., 1970, 57—100. 239. Мишина А. П., Абелевы группы, в сб. «Алгебра. Топология. Геометрия. 1965 (Итоги науки, ВИНИТИ АН СССР)», М., 1967, 9-44.
384 УКАЗАТЕЛЬ ЛИТЕРАТУРЫ 240. Мишина А. П., Скорняков Л. Α., Абелевы группы и модули, М., 1969. 241*. Μ о и с и л Г. К. (Moisil Gr. С), Introducere in algebra, I, Inele si ideale, т. 1, Bucuresti, 1954. 242*. Монтгомери Д. и ЦиппинЛ. (Montgomery D. and Zippin L.), Topological transformation groups, N.Y. — London, 1955. 243*. Монтейро A. A. (Monteiro Α. Α.), Filtros e ideals, Rio de Janeiro, 1955. 244*. Моргадо Ж- (Morgado J.), Elementos de algebra moderna: reticulados, sistemas parcialmente ordenados, т. 1, Porto, 1956. 245* Мурнаган Ф. (Murnaghan F. D.), The theory of group representations, 1938; русский перевод, «Теория представлений групп», Μ., 1950. 246. Η а г а т а М. (Nagata Μ.), Local rings, N. Υ., 1962. 247. Наймарк Μ. Α., Нормированные кольца, М., 1956. 248. Наймарк Μ. Α., Линейные представления группы Лоренца, Μ., 1958. 249*. Накаяма Т. иАдзума.я Г. (Nakayama Т. and Azu- maya G.), Doisugaku II. Kanron (Алгебра. II. Теория колец, на японском яз.), Tokyo, 1954. 250. Нейкирх Ю. (Neukirch J.), Klassenkorpertheorie, Mannheim— Wien — Zurich, 1969. 251*. Нейман Дж. (Neumann J., von), Lectures on continuous geometries, в 2-х тт., Princeton, 1936, 1937. 252. Нейман Дж. (Neumann J., von), Continuous geometry, Princeton (N. J.), I960. 253. Нейман Дж. (Neumann J., von), Collected works, vol. I (Logic theory of sets and quantum mechanics), vol. 2 (Operators, ergodic theory and almost periodic functions in a group), vol. 3 (Rings of operators), vol. 4 (Continuous geometry and other topics), vol. 5 (Design of computers, theory of automata and numerical analysis), vol. 6 (Theory of games, astrophysics, hydrodynamics and meteorology), Oxford —London — N. Y. — Paris, 1961—1963. 254. Нейман X. (Neumann Hanna), Varieties of groups, Berlin — Heidelberg — N. Y., 1967; русский перевод, «Многообразия групп», М., 1969. 255. Новиков П. С, Алгоритмическая неразрешимость проблемы слов в теории групп, Труды Матем. ин-та им. Стеклова АН СССР 44, 1955. 256. Новиков П. С, Элементы математической логики, М., 1959; 2-е изд., 1973. 257. Новиков П. С. и Адян С. И., О бесконечных периодических группах, Изв. АН СССР, серия матем., 32 (1968), 212— 244, 251—524, 709—731. 258*. Норскотт Д. Г. (Northcott D. G.), Ideal theory, London, Cambridge, 1953. 259. Норскотт Д. Г. (Northcott D. G.), An introduction to homo- logical algebra, London, Cambridge, 1960. 260*. О к у н е в Л. Я·, Основы современной алгебры, М., 1941. 261. О ρ е О. (Ore О.), Theory of graphs, Providence (Rhode Island), 1962; русский перевод, «Теория графов», М., 1968.
УКАЗАТЕЛЬ ЛИТЕРАТУРЫ 385 262*. О с и м а, Теория групп (японск.), Кёрицу — Сюппан, 1954. 263. Парейгис Б. (Pareigis В.), Kategorien und Functoren, Stuttgart, 1969; английский перевод, «Categories and functors», Ν. Υ. — London, 1970. 264. Паршин А. Н., Арифметика алгебраических многообразий, в сб. «Алгебра. Топология. Геометрия. 1970 (Итоги науки, ВИНИТИ, АН СССР)», М., 1971, 111-151. 265. Перрон О. (Perron О.), Die Lehre von den Kattenbruchen, Leipzig — Berlin, 1913; 2-е, улучшенное изд., Leipzig — Berlin, 1929. 266. Перрон О. (Perron О.), Algebra, в 2-х тт., Berlin — Leipzig, 1927. 267*. Π и к е ρ τ Г. (Pickert G.), Einfuhrung in die hohere Algebra, Gottingen, 1951. 268*. Π и к e ρ τ Γ. (Pickert G.), Projektive Ebenen, Berlin — Gottingen — Heidelberg, 1955. 269. Пирс Р. (Pierce R. S.), Introduction to the theory of abstract algebras, N. Y., 1968. 270*. Плоткин Б. И., Обобщенные разрешимые и обобщенные нильпотентные группы, УМН 13, № 4 (1958), 89—172. 271. Плоткин Б. И., Группы автоморфизмов алгебраических систем, М., 1966. 272. Плоткин Б. И., Общая теория групп, в сб. «Алгебра. Топология. Геометрия. 1970 (Итоги науки, ВИНИТИ АН СССР)», М., 1971, 5—73. 273*. Понтрягин Л. С, Непрерывные группы, М. — Л., 1938; 2-е изд., М., 1954; 3-е, исправленное изд., М., 1973; переводы: английский, Принстон, 1939; румынский (в 2-х тт.), Бухарест, 1956; немецкий, Лейпциг (в 2-х тт.), 1957, 1958; польский, Варшава, 1961. 274. Понтрягин Л. С, Основы комбинаторной топологии, М. —Л., 1947. 275. Попеску Н. (Popescu N.), Categorii abeliene, Bucuresti, 1971. 276. Попеску Η. и Ρ а д у A. (Popescu N. and Radu Α.), Theoria categoriilor si a fasciculelor, Bucuresti, 1971. 277*. Постников Μ. Μ., Определенные семейства функций и алгебры без делителей нуля над полем действительных чисел, УМН 9, № 2 (1954), 67—104. 278*. Постников М. М., Основы теории Галуа, М., I960. 279. Пуанкаре A. (Poincare Η.), Quelques remarques sur les groupes finis et continus, Oeuvres completes, III, Paris, 1954. 280. Пуату Г. и Ж a φ φ a ρ Π. (Poitou G. et Jaffard P.), Introduction a la theorie des categories, Paris, 1965. 281. Π у п п е Д. (Puppe D.), Korrespondenzen in Abelschen Kategorien, Math. Ann. 148, № 1 (1962), 1—30; русский перевод, «Соответствия в абелевых категориях», сб. «Математика» 8, № 6 (1964), 109—139. 282*. Редей Л. (Redei L.), Algebra; v. I, Budapest, 1954; немецкий, переработанный перевод, Leipzig, 1959. 283. Редей Л. (Redei L.), Theorie der endlich erzeugbaren kommu- tativen Halbgruppen, Leipzig, 1963.
386 УКАЗАТЕЛЬ ЛИТЕРАТУРЫ 284. Ρ е з е ρ φ ο ρ д Д. (Rutherford D.), Introduction to lattice theory, Edinburg — London, 1965. 285*. Рейдеме истер К. (Reidemeister K.)> Einfuhrung in die kombinatorische Topologie, Braunschweig, 1932. 286. Рибенбойм П. (Ribenboim P.), Theorie des groupes ordon- nes, Bahia Blarica, 1963. 287. Рибенбойм П. (Ribenboim P.), Rings and modules, N. Y. — London — Sydney — Toronto, 1969. 288. Ρ и г е р Л. (Rieger L.), Algebraic methods of mathematical logic (перевод с чешского), N. Υ. — London, 1967. 289. Ρ и к а ρ τ 4. (Rickart Ch. Ε.), General theory of Banach algebras, Princeton (N. J.) — Toronto — N. Y. — London, 1960. 290*. Ρ и т т Дж. Φ. (Ritt J. F.), Differential equations from the algebraic standpoint, N. Y., 1932; 2-е изд., 1947. 291*. Ρ и τ τ Дж. Φ. (Ritt J. F.), Differential algebra, N. Y., 1950. 292. Робертсон А. П. и Робертсон В. Дж. (Robertson А. Р. and Robertson W. J.), Topological vector spaces, Cambridge, 1964; русский перевод, «Топологические векторные пространства», Μ., 1967. 293. Робинсон A. (Robinson A.), On the metamathematics of algebra, Amsterdam, 1951. 294. Робинсон A. (Robinson Α.), Introduction to model theory and to the metamathematics of algebra, Amsterdam, 1963; русский перевод, «Введение в теорию моделей и метаматематику алгебры», М., 1967. 295. Робинсон Г. (Robinson G. de В.), Representation theory of the symmetric group, Toronto, 1961. 296. Ρ от μ а н Дж. Дж. (Rotman J. J.), The theory of groups; an introduction, Boston, 1965. 297. Ca Чин-хан (San Chin-han), Abstract algebra, N. Y., 1967. 298. Садовский Л. Е., Некоторые теоретико-структурные вопросы теории групп, УМН 23, № 3 (1968), 123—157. 299*. Самуэль П. (Samuel P.), Algebre locale, Paris, 1953. 300. Самуэль П. (Samuel P.), Methodes d'algebre abstraite en geometrie algebrique, Berlin — Gottingen — Heidelberg, 1955. 301. Cac Г. (Szasz G.), Bevezetes a haloelmeletbe, Budapest, 1959; немецкий перевод, «Einfuhrung in die Verbandstheorie», Budapest, 1962; французский, пополненный перевод, «Theorie des treillis», Budapest, 1971. 302*. С a τ о С., Теория групп (на японском); китайский перевод, Шанхай, 1934. 303. С е г ь е Ж- Α., де (Seguier J. Α., de), Theorie des groupes finis, v. 1, Elements de la theorie des groupes abstraits, Paris, 1904. 304. Сегье Ж. Α., де (Seguier J. Α., de), Elements de la theorie des groupes de substitutions, Paris, 1912. 305. Сегье Ж- Α., де, и Π о τ ρ о н Μ. (Seguier J. Α., de, et Pot- ron M.), Theorie de groupes abstraits, Paris, 1938. 306. Семадени 3. и Вивегер A. (Semadeni Z., Wiweger Α.), Wst§p do teorii kategorii i functorow, Warszawa, 1972. 307. Семинар «Софус Ли» (Seminaire «Sophus Lie»), Theorie des alge- bres de Lie. — Topologie des groupes de Lie, Paris, 1955; русский перевод, «Теория алгебр Ли. — Топология групп Ли», М., 1962.
УКАЗАТЕЛЬ ЛИТЕРАТУРЫ 387 308. С е ρ ρ Ж.-П. (Serre J.-P.), Corps locaux, Paris, 1962; 2-е, исправленное изд, Paris, 1968. 309. С e ρ ρ Ж.-П. (Serre J.-P.), Lie algebras and Lie groups; N. Y. — Amsterdam, 1965; русский перевод, «Алгебры Ли и группы Ли», М., 1969. 310. Се ρ ρ Ж.-П. (Serre J.-P.), Algebres de Lie semi-simples complexes, N. Y. — Amsterdam, 1966; русский перевод, «Комплексные полупростые алгебры Ли» (помещен в качестве 3-й части в переводе книги [309]). 311. Се ρ ρ Ж.-П. (Serre J.-P.), Representations lineaires des grou- pes finis, Paris, 1967; 2-е, переработанное изд., 1971; русский перевод, «Линейные представления конечных групп», М., 1970. 312. Се ρ ρ Ж.-П. (Serre J.-P.), Abelian /-adic representations and elliptic curves, N. Y., 1968. 313. Сер ρ Ж.-П. (Serre J.-P.), Cours d'arithmetique, Paris, 1970; русский перевод, «Курс арифметики», М., 1972. 314. Сикорский P. (Sikorski R.), Boolean algebras, Berlin — Gottingen — Heidelberg — N. Y., 1960; 2-е изд., 1964; русский перевод, «Булевы алгебры», Μ., 1969. 315. Сколем Т. (Skolem Т.), Zur Theorie der associativen Zahlen- systeme, Oslo, 1927. 316*. Скорняков Л. Α., Проективные плоскости, УМН б, № 6 (1951), 112—154; английский перевод, 1953. 317. Скорняков Л. Α., Дедекиндовы структуры с дополнениями и регулярные кольца, М., 1961. 318. Скорняков Л. Α., Кольца, в сб. «Алгебра. Топология. 1962 (Итоги науки, ВИНИТИ АН СССР)», М., 1963, 59—79. 319. Скорняков Л. Α., Модули, в сб. «Алгебра. Топология. 1962 (Итоги науки, ВИНИТИ АН СССР)», М., 1963, 80—89. 320. Скорняков Л. Α., Теория структур, в сб. «Алгебра. 1964 (Итоги науки, ВИНИТИ АН СССР)», 1966, 237—274. 321. Скорняков Л. Α., Модули, в сб. «Алгебра. Топология. Геометрия. 1965 (Итоги науки, ВИНИТИ АН СССР)», М., 1967. 322. Скорняков Л. Α., Элементы теории структур, М., 1970. 323. С к о ρ ц а Г. (Scorza G.), Corpi numericie algebre, Messina, 1921. 324*. С к о р ц а Г. (Scorza G.), Gruppi astratti, Roma, 1942. 325. Скотт В. P. (Scott W. R.), Group theory, Englewood Cliffs (Ν. Υ.), 1964. 326. Спеньер Э. (Spanier E.), Algebraic topology, N. Y. -— London, 1966; русский перевод, «Алгебраическая топология», М., 1971. 327. Стинрод Η. иЭйленберг С. (Eilenberg S. and Steen- rod N.), Foundations of algebraic topology, Princeton (N. J.) 1952; русский перевод, «Основания алгебраической топологии», Μ., 1958. 328*. Судзуки Μ. (Suzuki M.), Structure of a group and the structure of its lattice of subgroups, Berlin — Gottingen — Heidelberg, 1956; русский перевод, «Строение группы и строение структуры ее подгрупп», М., 1960. 329. Супруненко Д. Α., Разрешимые и нильпотентные линейные группы, Минск, 1958. 330. Супруненко Д. Α., Группы матриц, М., 1972.
388 УКАЗАТЕЛЬ ЛИТЕРАТУРЫ 331. Супруненко Д. А. иТышкевич Р. И., Перестановочные матрицы, Минск, 1966. 332*. С у ш к е в и ч А. К-, Теория обобщенных групп, Харьков — Киев, 1937. 333*. Τ а н н а к а Т., Принцип двойственности (на японском), Токио, 1951. 334 У а й τ χ е д А. Н. (Whitehead A. N.), A treatise on universal algebra, with application, I, Cambridge, 1898; перепечатка, Ν. Υ.,' 1960. 335. Уокер P. (Walker R. J.), Algebraic curves, Princeton (N. J.), 1950; русский перевод, «Алгебраические кривые», М., 1952. 336. Φ е й τ В. (Feit W.), Characters of finite groups, N. Y. ■— Amsterdam, 1967. 337. Фейт В. и Томпсон Дж. (Feit W. and Thompson J. G.), Solvability of groups of odd order, Pacif. J. Math. 13, № 3 (1963), 775—1029. 338. Феферман С. (Feferman S.), The number systems. Foundations of algebra and analysis, Palo Alto — London, 1963; русский перевод, «Числовые системы. Основания алгебры и анализа», М., 1971. 339. Φ и ρ е г е X. (Vieregge H.), Einftihrung in die KJassische Algebra, Berlin, 1972. 340. Форэ Р. иХёргонЕ. (Faure R. and Heurgon E.), Structures ordonees et algebres de Boole, Paris, 1971. 341. Фрейд П. (Freyd P.), Abelian categories: An introduction to the theory of functors, N. Y., 1964. 342. Френкель A. (Fraenkel Α. Α.), Mengenlehre und Logic, Berlin, 1959. 343. Френкель А. и Бар-Хиллел И. (Fraenkel A. A. and Bar-Hillel Y.), Foundations of set theory, Amsterdam, 1958; русский перевод, «Основания теории множеств», Μ., 1966. 344. Фробениус Φ. Г. (Frobenius F. G.), Теория характеров и представлений групп (сборник переводов с немецкого 9 работ Фробениуса), Харьков, 1937. 345. Фробениус Ф. Г. (Frobenius F. G.), Gesammelte Abhand- lungen, herausgegeben von J.-P. Serre, в 3-х тт., Berlin — Heidelberg — N. Y., 1968. 346*. Фукс Л. (Fuchs L.), Abelian groups, Budapest, 1958; перепечатка, Oxford — London — N. Y. — Paris, 1960. 347. Фукс Л. (Fuchs L.), Partially ordered algebraic systems, Oxford — London — N. Y. — Paris, 1963; русский перевод, «Частично упорядоченные алгебраические системы», М., 1965. 348. Фукс Л. (Fuchs L.), Infinite Abelian groups, v. 1, Ν. Υ. — London, 1970; русский перевод, «Бесконечные абелевы группы», М., 1973. 349. X а л м о ш П. P. (Halmos P. R.), Algebraic logic, Ν. Υ., 1962. 350. Χ а л м о ш П. P. (Halmos P. R.), Lectures on Boolean algebras, Toronto — N. Y. — London, 1963. 351. Хассе М. иМихлер Л. (Hasse Μ. und Michler L.), Theorie der Kategorien, Berlin, 1966. 352. X а с с e X. (Hasse Helmut), Hohere Algebra, vv. 1, 2, Berlin — Leipzig, 1926, 1927.
УКАЗАТЕЛЬ ЛИТЕРАТУРЫ 389 353*. X а у π τ О. (Haupt О.), Einfuhrung in die Algebra, в 2-х тт. Leipzig, 1929; 2-е изд., Leipzig, 1952; 3-е изд., Leipzig, 1956. 354. Хаусдорф Ф. (Hausdorff F.), Grundzuge der Mengenlehre, Leipzig, 1914; 2-е, переработанное изд., «Mengenlehre», Berlin — Leipzig, 1927; русский перевод, «Теория множеств», Μ. —Л., 1937. 355. Хауснер Μ. и Шварц Дж. Т. (Hausner M. and Schwartz J. Т.), Lie groups; Lie algebras, N. Y., 1968. 356. X e й η e B. (Heine V.), Group theory in quantum mechanics, London — Oxford — N. Y. — Paris, 1960; русский перевод, «Теория групп в квантовой механике», М., 1963. 357*. X е ρ м е с X. (Hermes Η.), Einfuhrung in die Verbandstheorie, Berlin — Gottingen — Heidelberg, 1955; 2-е изд., Berlin — Heidelberg — N. Y., 1967. 358. Херстейн И. Η. (Herstein I. N.), Topics in algebra, N. Y. — Toronto — London, 1964. 359. Херстейн И. Η. (Herstein I. N.), Noncommutative rings, N. Y., 1968. 360. X и л л Э. (Hill E.), Functional analysis and semi-groups, N. Y., 1948; русский перевод, «Функциональный анализ и полугруппы», М., 1951. 361. Хилл Э. и Филлипс P. (Hille Ε. and Phillips R.), Functional analysis and semi-groups, Providence, 1957. 362. Хилтон П. иУайли С. (Hilton P. J. and Wylie S.), Homology theory: an introduction to algebraic topology, Cambridge, London, 1960; русский перевод, «Теория гомологии: введение в алгебраическую топологию», М., 1966. 363. Хилтон П. и Штэмбах У. (Hilton P. J. and Stamm- bach U.), A course in homological algebra, Ν. Υ. — Berlin — Heidelberg, 1971. 364. Хилтон X. (Hilton H.), An introduction to the theory of groups of finite order, Oxford, 1908. 365. Ходж В. иПидо Д. (Hodge W.V.D. and Pedoe D.), Methods of algebraic geometry, в 3-х тт., Cambridge, 1947, 1952, 1954; русский перевод, «Методы алгебраической геометрии», в 3-х тт., М., 1954—1955. 366*. Холл М. (Hall M.), Projective planes and related topics, Calif. Inst, of technol., 1954. 367. Холл Μ. (Hall Μ.), The theory of groups; N. Y., 1959; русский перевод, «Теория групп», М., 1962. 368. X о л л Μ. (Hall M.), Combinatorial theory, Waltham (Mass.) — Toronto — London, 1967; русский перевод, «Комбинаторика», Μ., 1970. 369. Холл Μ. и Сеньор Дж. К. (Hall Μ. and Senior J. К.), The groups of order 2n (n ^ 6), N. Y. — London, 1964. 370. Холл Φ. Μ. (Hall F. Μ.), An introduction to abstract algebras, в 2-х тт. Cambridge (London), 1966, 1969; 2-е изд., 1972. 371. Хольцер Л. (Holzer L.), KJassenkorpertheorie, Leipzig, 1966. 372. X у СТ. (Ни S. Т.), Introduction to homological algebra, San Francisco, 1968. 373. Хупперт Б. (Huppert В.), Endliche Gruppen, I, Berlin — Heidelberg—N. Y., 1967.
390 УКАЗАТЕЛЬ ЛИТЕРАТУРЫ 374. Цаленко М. Ш., К основам теории категорий, УМН 15, № 6 (I960), 53—58; немецкий перевод — в книге [187']. 375. Цаленко М. Ш. иШульгейфер Е. Г., Категории, в сб. «Алгебра. Топология. Геометрия. 1967 (Итоги науки, ВИНИТИ АН СССР)» М-, 1969, 9—57. 376. Цаленко М. Ш. иШульгейфер Е. Г., Лекции по теории категорий, МГУ, М., 1970. 377*. Ц а п π а Г. (Zappa G.), Gruppi, corpi, equazioni; 2-е изд., Napoli, 1954. 378. Ц а п п а Г. (Zappa G.), Fondamenti di teoria dei gruppi, в 2-х тт., Roma, 1965, 1970. 379*. Цассенхауз Г. (Zassenhaus Η.), Lehrbuch der Gruppen- theorie, Bd. I, Leipzig — Berlin, 1937; 2-е изд., «The theory of groups», Gottingen, 1956; перепечатка, Ν. Υ., 1958. 380. Ч а р и н В. С, Топологические группы, в сб. «Алгебра. 1964 (Итоги науки, ВИНИТИ АН СССР)», М., 1966, 123—160. 381*. Чеботарев Н. Г., Основы теории Галуа, в 2-х тт., Л. — М., 1934—1937; немецкий перевод, Гронинген, 1950. 382*. Чеботарев Н. Г., Теория Галуа, М. — Л., 1936. 383. Чеботарев Н. Г., Теория групп Ли, М. — Л., 1940. 384. Чеботарев Н. Г., Теория алгебраических функций, М. — Л., 1948. 385*. Чеботарев Н. Г., Введение в теорию алгебр, М. —- Л., 1949; китайский перевод, Пекин, 1954. 386. Чеботарев Н. Г., Собрание сочинений, в 3-х тт., М. — Л., 1949—1950. 387. Чейз Си Свидлер М. (Chase S. U. and Sweedler Μ. Ε.), Hopf algebras and Galois theory, Berlin, 1969. 388*. Черников С. Н., Условия конечности в общей теории групп, УМН 14, № 5 (1959), 45—96. 389. Черников С. Н., Линейные неравенства, М., 1968. 390. Черников С. Н., Линейные неравенства, в сб. «Алгебра. Топология. Геометрия. 1966 (Итоги науки, ВИНИТИ АН СССР)», М., 1968, 137—187. 391. Черников С. Н.,0 группах с ограничениями для подгрупп, в сб. «Группы с ограничениями для подгрупп», Киев, 1971. 392. Ч ё ρ ч A. (Church A.), Introduction to mathematical logic, I., Princeton (N. J.), 1956; русский перевод, «Введение в математическую логику, I», M., 1960. 393*. Чжан Хо-жуй, Основы современной алгебры (на китайском), Шанхай, 1952. 394. Чунихин С. Α., Подгруппы конечных групп, Минск, 1964. 395. Чунихин С. А. и Шеметков Л. Α., Конечные группы, в сб. «Алгебра. Топология. Геометрия, 1969 (Итоги науки, ВИНИТИ АН СССР)», М., 1971, 7—70. 396. Ш а т л е A. (Chatelet A.), Les groupes abeliens finis et les modules de points entiere, Paris — Lille, 1925. 397*. Ш a τ л e A. (Chatelet Α.), Arithmetique et algebre modernes, vol. 1 (Notions fondamentales, groupes), Paris, 1954; vol. 2 (An- neauxet corps,calcul algebrique, ideauxet divisibilite), Paris, 1956. 398. Шафаревич И. Р., Основы алгебраической геометрии, Μ., 1972. *
УКАЗАТЕЛЬ ЛИТЕРАТУРЫ 391; 399. Шафер P. (Schafer R. D.), An introduction to nonassociative algebras, N. Y. — London, 1966. 400. Шевалле К- (Chevalley С), Theory of Lie groups, vol. 1, Princeton, 1946; русский перевод, «Теория групп Ли», Μ., 1948. 401. Шевалле К. (Chevalley С), Introduction to the theory of algebraic functions of one variable, N. Y., 1951; русский перевод, «Введение в теорию алгебраических функций от одной переменной», М., 1959. 402. Шевалле К· (Chevalley С), Theorie des groupes de Lie, vol. 2, Groupes algebriques, Paris, 1951; русский перевод, «Теория групп Ли, т. 2, Алгебраические группы», М., 1958. 403*. Шевалле К· (Chevalley С), Theorie des groupes de Lie, vol. 3, Theoremes generaux sur les algebres de Lie, Paris, 1955; русский перевод, «Теория групп Ли, т. 3, Общая теория алгебр Ли», М., 1958. 404*. Шевалле К· (Chevalley С), Fundamental concepts of algebra, Ν. Υ., 1956; допечатка, N. Υ., 1965. 405. Шенкман Ε. (Schenkman Ε.), Group theory, Toronto — Ν. Υ. — London, 1965. 406*. Шиллинг О. (Schilling О. F. G.), The theory of valuations, Ν. Υ., 1950. 407*. Ширшов А. И., Некоторые вопросы теории колец, близких к ассоциативным, УМН 13, № 6 (1958), 3—20. 408. Шмелькин А. Л., Абстрактная теория бесконечных групп, в сб. «Алгебра. 1964 (Итоги науки, ВИНИТИ АН СССР)», М., 1966, 47—82. 409*. Шмидт О. Ю., Абстрактная теория групп, Киев, 1916; 2-е изд., М. —Л., 1933 (см. также в [410]). 410. Шмидт О. Ю., Избранные труды. Математика, М., 1959. 411. Шмидт Э. Т. (Schmidt E. Т.), Kongruenzrelationen algebrai- scher Structuren, Berlin, 1969. 412*. Шода К·, Общая алгебра (на японском), Токио, 1947. 413. Шпайзер A. (Speiser A.), Die Theorie der Gruppen von end- licher Ordnung, Berlin, 1923; 2-е изд., Berlin, 1927; 3-е изд., Berlin, 1937; 4-е, (дополненное и исправленное изд., Basel — Stuttgart, 1956; английский перевод, 1945. 414*. Ш π е χ τ В. (Specht W.), Gruppentheorie, Berlin — Gottin- gen — Heidelberg, 1956. 415. Штейнштрём Б. (Stenstrom В.), Rings and modules of quotients, Berlin — Heidelberg — N. Y., 1971. 416. Шуберт X. (Schubert H.), Kategorien, в 2-х тт., Berlin — Heidelberg — N. Y., 1970. 417. Энглефилд Μ. (Englefield Μ. J.), Group theory and the Coulomb problem, N. Y., 1972. 418*. Эндрю Р. В. (Andree R. V.), Selections from modern abstract algebra, Ν, Υ., 1958. 419. Эресман Ш. (Ehresmann Ch.), Categories et structures, Paris, 1965. \ 420. Эресман Ш. iEhresmann Ch.), Algebre, part 1, Paris, 1968.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Абелев группоид 34 Абелева группа 34 с кольцом операторов (= модуль) 222 —· Ω-группа 145 — полугруппа 34 Абсолютно вырожденный примитивный класс алгебр 158 Автоморфизм 125 — внутренний (ассоциативного кольца) 127 — — (полугруппы) 126 — операторный 221 — тождественный 125 Аддитивная группа кольца 39 — — рациональных (действительных, комплексных) чисел 37 — — целых чисел 37 — полугруппа натуральных чисел 37 Аксиома выбора 13 Алгебра (=линейная алгебра) 256 — булева (=булева структура) 217 —- групповая 259 — группоидная 259 — действительная 260 —- кватернионов 260 — Кэли 261 — линейная 256 — над полем (=линейная алгебра) 256 — — — конечномерная 259 — нормированная 328 — полугрупповая 259 — псевдонормированная 328 — с делением 256 — — однозначным делением 256 — свободная 155 — слов 155 — универсальная 108 Алгебраическая операция 33 — — бинарная 33 — —· нульарная 108 — — п-арная 107 — — тернарная 107 — — унарная 108 — — частичная 107 Алгебраический элемент 366 Алгебраическое расширение 366 Альтернативное кольцо 264, 265 Аннуля'тор кольца 208 — подмножества кольца 247 Аннуляторный изоморфизм 208 Антиизоморфизм (колец) 224 Антикоммутативность 40 Антисимметричность 16 Архимедов класс 309 Архимедова группа 309 Архимедово кольцо 313 — нормирование 317 Ассоциативное кольцо 39 — тело 46 Ассоциативно-коммутативное кольцо 39 Ассоциативность 34 Ассоциатор 264 Ассоциированные разложения 86 — элементы 82 База (векторного пространства) 239 — (свободного модуля) 228 Бикомпактное пространство 344 Бинарная операция 33 Бинарное отношение 14 Булева алгебра (=булева структура) 217 — структура множеств 217 Булево кольцо 218 Векторное (= линейное) пространство 236 — — конечномерное 240 Верхняя грань 28 Взаимно простые элементы полугруппы 85 Взаимный коммутант (в Ω-группе) 142 — — (в группе) 143 Включение бинарного отношения 14 Внутреннее дифференцирование 288, 289 Внутренний автоморфизм (кольца) 127 — — (полугруппы) 126 Возрастающая цепь 28 Возрастающий нормальный ряд 140 Вполне линейная топологизация 353 — несвязное пространство 346 — регулярное пространство 344 — упорядоченное множество 27
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 393 Вполне характеристическая подгруппа 223 Выпуклое подмножество 307 Высота элемента 235 Вычитание 37 Гауссова полугруппа 86 Гауссово кольцо 89 Главная производная операция 154 Главный дробный идеал 99 — идеал 90 — изотоп 69 — полный идеал 229 — ряд (Ω-группы) 141 — — (структуры) 192 Гомеоморфизм 340 — (линейной алгебры) 256 — (универсальной алгебры) ПО — естественный 112 — инверсный 313 — монотонный 307 — непрерывный 351 — нулевой 129 — операторный (группоидов) 221 — — (колец) 225 — открытый 351 Гомоморфный образ ПО Группа 34 — абелева 34 — — с кольцом операторов (= модуль) 222 — автоморфизмов 125 — архимедова 309 — без кручения 50 — Галуа 365 — знакопеременная 76 — квазиклиническая (= типа ρ ) 131 — коммутативная (= абелева) 34 — корней из единицы 38 — направленная 296 — операторная 220 — периодическая 50 — примарная 235 — простая 76 — с конечным числом образующих 52 — — системой мультиоператоров Ω 114 — свободная 160, 162 — — абелева 163 — симметрическая 38 — — п-й степени 38 — типа ρ 131 — топологическая 347 — упорядоченная 293 — циклическая 52 Групповая алгебра 259 Группоид 34 — абелев 34 — значений нормы 318 — операторный 220 —- с полугруппой операторов 221 — свободный 159 — топологический 347 — упорядоченный 293 Группоидная алгебра 259 Двусторонний идеал 80 Дедекиндова (=модулярная)структура 188, 189, 192 Дедекиндово кольцо 99 Действительная алгебра 260 Делитель 82 — единицы 81, 125 — нуля 42 Дискретная топология 342 Дистрибутивная структура 188, 214 Дистрибутивность 39 Дифференциальное кольцо 290 — подкольцо 291 Дифференциальный идеал 291 Дифференцирование 286 — внутреннее 288, 289 Длина нормального ряда 139 Дополнение к бинарному отношению 14 — элемента (структуры) 217 Допустимое подкольцо 225 Допустимый идеал 225 — подгруппоид 221 Дробный идеал 99 Дробь 59 Евклидово кольцо 91 Единица (группы) 35 — (кольца) 46 — (структуры) 184 Единичная подгруппа 48 Единичное отношение 16 Естественное отображение 20 Естественный гомоморфизм 112 Закон антикоммутативности 40 — ассоциативности 34 — дистрибутивности 39 — коммутативности 34 — сокращения 34, 58 Замкнутое подмножество 335 Замкнутый элемент 334 Замыкание подмножества 335 — тривиальное 334 — элемента 334 Знакопеременная группа 76 Идеал (алгебры) 256 — (кольца) 78 — (Ω-группы) 115 — (частично упорядоченного множества) 186 — главный 90 — главный дробный 99 — — правый 229 — двусторонний 80 — дифференциальный 291 — допустимый 225 — дробный 99 — — обратимый 100 — левый 80 — максимальный 98
394 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Идеал нормирования 324 — односторонний 80 — правый 80 — простой 98 — целый 99 Идемпотент 255 Изоморфизм аннуляторный 208 — векторных пространств 236 — группоидов (полугрупп, групп) 52 — колец 53 ·— линейных алгебр 256 — множеств с замыканиями 340 — нормальных рядов 139 — нормированных полей 327 — однотипных универсальных алгебр 109 — операторный (группоидов) 221 — — (колец) 225 — свободных разложений группы 176 — структур 182 — топологических групп 351 — — пространств 340 — центральный 207 — частично упорядоченных группоидов 294 —- — — множеств 22 — — — — инверсный 23 —- — — — с замыканиями 335 Изоморфное вложение группоида 55 — — структуры 182 — — частично упорядоченного множества 22 — — — — — с замыканиями 335 Изотоп главный 69 Изотопия (группоидов) 68 — (колец) 70 Инвариантная подгруппа (= нормальный делитель) 73 Инвариантный ряд 141 Инверсный гомоморфизм 313 — изоморфизм 23 Индекс подгруппы 73 Индуцированная топология 341 Йорданово кольцо 42 Квадрат кольца 144 — множества 14 Квазигруппа 67 Квазитело 67 Квазициклическая группа (= группа типа ρ ) 131 Кватернион 261 Класс ассоциированных элементов 82 Кольцо 39 — альтернативное 264, 265 — архимедово 313 — ассоциативное 37 — ассоциативно-коммутативное 37 — булево 218 — векторов трехмерного евклидова пространства 40 — вычетов по модулю η 120 — гауссово 89 Кольцо главных идеалов 90 — дедекиндово 99 — дифференциальное 290 — дифференциальных многочленов 292 — дробей 63 — евклидово 91 — значений нормы 316 —- йорданово 42 — лиево 40 — — эндоморфизмов абелевой группы 287 — линейных преобразований 241 — — — плотное 248 — матриц 40 — — полное 43 — многочленов 44 — нормирования 321 — нормированное 315 — нулевое 39 — операторное 225, 226 — операторных эндоморфизмов абелевой группы 227 — простое 79 — с ассоциативными степенями 264 — — делением 67 — свободное 163 — — ассоциативное 163 — — ассоциативно-коммутативное 163 — степенных рядов 45 — топологическое 354 — упорядоченное 300 — функций 43 — целозамкнутое в своем поле дробей 106 — целочисленное групповое (груп- поидное, полугрупповое) 57 — целых чисел 40 — — р-адических чисел 133 — эндоморфизмов абелевой группы 130 Коммутант 144 Коммутативная (= абелева) группа (полугруппа) 34 Коммутативность 34 Коммутативный (= абелев) группоид 34 Коммутатор 142 Композиционный ряд 140 Конгруенция 111 Конечное расширение поля 366 Конечномерная алгебра над полем 259 Конечномерное векторное пространство 240 Левое умножение 224 Левостороннее разложение группы 72 Левый аннулятор кольца 80 — — подмножества кольца 247 — идеал 80 — смежный класс 72 Лемма Гаусса 93 — Цасенхауза 137 — Шура 251
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 395 Лиево кольцо 40 с — — эндоморфизмов абелевой группы 287 Линейная алгебра (= алгебра над полем) 256 — зависимость 237, 238 — топологизация 353 Линейно упорядоченное кольцо 300 — — множество 21 — упорядоченный группоид 293 Линейное подпространство 236 — преобразование 241 — — конечного ранга 248 — (= векторное) пространство 236 Логарифмическое нормирование 320 Локально бикомпактное пространство 345 Лоранов степенной ряд 66 Лупа 67 Максимальная цепь 28 Максимальный идеал 98 — элемент 28 «Минимальный элемент 23 Многочлен 44 Множество вполне упорядоченное 27 — линейно упорядоченное 21 — направленное 296 — упорядоченное 21 — частично упорядоченное 21 Модели 17 Модуль (= абелева группа с кольцом операторов) 222 — свободный 228 — унитарный 223 Модулярная (= дедекиндова) структура 188, 189, 192 Монотонное отображение 185 — преобразование 294 Монотонный гомоморфизм 307 Мультиоператоры 114 Мультипликативная группа корней из единицы 38 — — тела 46 — полугруппа ассоциативного кольца 39 Мультипликативный группоид кольца 39 Наибольший общий делитель 83 Направленная группа 296 Направленное множество 296 Неархимедово нормирование 317, 318 Нейтральный элемент 358 Непрерывность умножения 347 Непрерывный гомоморфизм 351 Неприводимое кольцо эндоморфизмов 251 Неприводимый элемент (полугруппы) 82 Неразложимый элемент (структуры) 200 Несвязное пространство 346 Нижняя грань 28 — центральная цепь 146 Нильпотентная Ω-группа 146 Норма 315 Нормальное пространство 344 — расширение поля 367 Нормальный делитель 73 — ряд (Ω-группы) 138 — — (структуры) 191 Нормирование архимедово 317 — логарифмическое 320 — неархимедово 317, 318 — р-адическое 325 Нормированная алгебра 328 Нормированное кольцо 315 Нулевое кольцо 39 — умножение 39 Нулевой гомоморфизм 129 Нуль (группы) 37 — (структуры) 184 Нульарная алгебраическая операция 108 Нуль-идеал 79 Нуль-подкольцо 48 п-арная алгебраическая операция 107 п-арное отношение 17 Область операторов 220 — целостности 44 Обобщенная теорема Фробениуса 270 Образующие (группы) 52 — (универсальной алгебры) 109 Обратимый дробный идеал 100 Обратное отношение 15 Обратный элемент 35 Обрыв убывающих цепей 24 Объединение бинарных отношений 14 — отношений эквивалентности 19 — элементов (структуры) 178 Односторонний идеал 80 Однотипные универсальные алгебры 109 Окрестность 337 Оператор 220 Операторная группа 220 Операторное кольцо 225 — — с кольцом операторов 225, 226 Операторный автоморфизм 221 — гомоморфизм (группоидов) 221 — — (колец) 225 — группоид 220 — изоморфизм (группоидов) 221 — — (колец) 225 — эндоморфизм 221 Определяющие соотношения 164 Основная теорема об абелевых группах с конечным числом образующих 232 — — теории Галуа 370 Открытое подмножество 337 Открытый гомоморфизм 351 Отношение бинарное 14 — единичное 16
396 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Отношение замыкания 334, 335 — п· арное 17 — обратное 15 — пустое 16 — тернарное 17 — частичной упорядоченности 20 — эквивалентности 17 Ω-группа 114 ч — абелева 145 — нильпотентная 146 — простая 116 — разрешимая 148 Ω-подгруппа 114 Ω-фактор-группа 115, 118 Пересечение бинарных отношений 14 —· разбиений 19 — элементов (структуры) 178 Периодическая группа 50 — часть (группы) 235 Плотное кольцо линейных преобразований 248 Подалгебра (линейной алгебры) 256 — (универсальной алгебры) 109 Подгруппа 48 — вполне характеристическая 223 — единичная 48 — инвариантная (= нормальный делитель) 73 —, порожденная множеством элементов 51 —, — системой подгрупп 52 — характеристическая 223 — циклическая 49 Подгруппоид 47 — допустимый 221 Подкольцо 48 — дифференциальное 291 — допустимое 225 —, порожденное одним элементом 50 Подполе 48 Подполугруппа 47 — циклическая 49 Подпространство линейное 236 Подпрямая сумма алгебр 210 Подпрямо неразложимая алгебра 211 Подстановка 38 Подструктура 181 Подтело 48 Поле 46 — вычетов нормирования 324 — дробей 64 — лорановых степенных рядов 66 — полное по норме 327 — р-адических чисел 135 — рациональных дробей 66 Полная прямая сумма алгебр 210 — система окрестностей 337 — — — единицы 349 — структура 183, 184 Полное кольцо матриц 43 — — функций 43 — поле 327 Полный прообраз 123 Полугруппа 34 — абелева 34 — гауссова 86 — идеалов (кольца) 97 — положительных элементов 295 — свободная 160 — симметрическая 38 —- топологическая 347 — эндоморфизмов 127 Полулинейное соответствие 242 Пополнение поля с нормой 327 Порядок группы 38 — элемента 49 Правое умножение 224 Правостороннее разложение группы 72 Правый аннулятор кольца 226 — — подмножества кольца 247 — главный идеал 229 — идеал 80 — смежный класс 72 Предельный элемент вполне упорядоченного множества 27 Преобразование множества 38 Примарная группа 235 — циклическая группа 234 Примитивный класс алгебр 152 — многочлен 92 Продолжение свободного разложения 176 — частичного упорядочения 297 Произведение бинарных отношений 14 —- идеалов 97 — отображений 12 Производная операция алгебры 153 Простая группа 76 — Ω-группа 116 Простое кольцо 79 — подполе 121, 122 Простой идеал 98 — элемент (полугруппы) 83 Пространство бикомпактное 344 — векторное (= линейное) 236 — — конечномерное 240 — вполне несвязное 346 — — регулярное 344 — локально бикомпактное 345 — несвязное 346 — нормальное 344 —■ регулярное 343 — связное 346 — топологическое 336 — хаусдорфово 343 Противоположный элемент 37 Прямая сумма Ω-групп 204, 213 Прямо подобные разложения 199 — — элементы (структуры) 199 Прямое объединение (в структуре) 195 — произведение (групп) 204, 207 — — (колец) 204, 207 Псевдонормирование 320 Псевдонормированная алгебра 328 Пустое отношение 16 р-адическая топологизация 357 р-адическое нормирование 325 — число 133, 135
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 397 Разбиение множества на классы 18 Разложение группы по двойному модулю 169 — — — нормальному делителю 73 — — — подгруппе 72 — Ω-группы по идеалу 117 Размерность (векторного пространства) 240 — (=ранг) (линейной алгебры) 259 Разность 37 Разрешимая Ω-группа 148 Разрешимый ряд 148 Ранг (линейного преобразования) 248 — (= размерность) (линейной алгебры) 259 — (свободной абелевой группы) 231 Расширение поля 366 Рациональная дробь 66 Регулярное пространство 343 Рекуррентное отношение 26 Рефлексивность 16 Свободная абелева группа 163 — алгебра примитивного класса 155 — группа 160, 162 — полугруппа 160 — структура 182 Свободное ассоциативное кольцо 163 — ассоциативно-коммутативное кольцо 163 — кольцо 163 — объединение алгебр 165 — произведение групп 166, 177 Свободные образующие 155 — элементы 151 Свободный группоид 159 — модуль 228 Связное пространство 346 Симметрическая группа 38 — — п-й степени 38 — полугруппа 38 Симметричность 16 Система образующих (группы) 52 — — (универсальной алгебры) 109 — определяющих соотношений 164 — свободных образующих 155 Скалярная матрица 55 Слово 151, 159, 160, 163, 222 Сложение 37 Смежный класс 72 Соответствие Галуа 363 Сопряженные подгруппы 74 — элементы (группы) 73 — — (поля) 366 Сравнимые элементы 21 Степенной ряд 45 Степень (алгебраического элемента) 366 — (многочлена) 44 — (множества) 17 — (расширения поля) 366 — (элемента) 48, 49 Структура 178, 179 — булева (= булева алгебра) 217 Структура дедекиндова (= модулярная) 188, 189, 192 — дистрибутивная 188, 214 — множеств 215 — — булева 217 — отношений эквивалентности 183 — подалгебр 179 — подгрупп 179 — подколец 179 — подмножеств 179 — полная 183, 184 — свободная- 182 Сумма гомоморфизмов 128 — идеалов (Ω-группы) 117 Суммируемые гомоморфизмы 128 Сходящаяся последовательность 327 Таблица умножения линейной алгебры 258 Тело 67 — ассоциативное 46 — без характеристики 122 — конечной (= простой) характеристики 123 — топологическое 354 — характеристики нуль (= тело без характеристики) 123 ρ 123 Теорема Алберта о лупах 70 — — — нормированных алгебрах 329 — Артина 2С5 — Биркгофа — Витта 280 — Гельдера 310 — Джекобсона 250 — Жордана—Гельдера 141 — Кришнана 294 — Куратовского — *Цорна 29 — Лагранжа 73 — Леви 299 — Нильсена — Шрейера 176 — — гомоморфизмах 112 — — подгруппах свободного произведения групп 168 — — примитивном элементе 366 — об изоморфизме 136 ·— основная об абелевых группах с конечным числом образующих 232 — — теории Галуа 370 — Фробениуса 270 — — обобщенная 270 — Фудзивары 1-я 158 2-я 159 — Хаусдорфа 28 ( —- Цермело 28 — Шимбиревой 299 — Шмидта — Орэ 200 — Шрейера 139 Теонарная алгебраическая опера- ция 107 Тернарное отношение 17 Тождественная подстановка 38 Тождественное соотношение 152 Тождественный автоморфизм 125 Тождество Якоби 40 Топологизация группы 347
398 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Топологическая- группа 347 — полугруппа 347 Топологически нильпотентный элемент 357 Топологический группоид 347 Топологическое кольцо 354 — подпространство 341 — пространство 336 ч — тело 354 Топология 336 — смежных классов 352 — фактор-группы 352 Транзитивность 16 Трансляция 348 Трансформирование 73 Тривиальная норма 317 Тривиальное замыкание 334 Убывающая цепь 24 Убывающий нормальный ряд 140 Умножение 33 Унарная алгебраическая операция 108 Универсальная алгебра 108 Унитарный модуль 223 Уплотнение нормального ряда (Ω- группы) 139 — — — (структуры) 191 Упорядоченное кольцо 300 — множество 21 Условие индуктивности 24 — максимальности 28 — минимальности 24 — обрыва убывающих цепей 24 Фактор-алгебра (линейной алгебры) 256 — (универсальной алгебры) 112 Фактор-группа 112, 118 Фактор-группоид 112 Фактор-кольцо 112, 118 Фактор-множество 20 Факторы нормального ряда 139 Фундаментальная последовательность 326 Функция 43 Характеристика тела 123 Характеристическая подгруппа 223 Хаусдорфово пространство 343 Целочисленное групповое кольцо 57 — группоидное кольцо 57 — полугрупповое кольцо 57 Целые р-адические числа 133 Целый идеал 99 Центр (группы) 127 — (кольца) 121 Центральный изоморфизм 207 — ряд 146 Цепь 21 — коммутантов 148 Циклическая группа 52 — подгруппа 49 —- подполугруппа 49 Частичная алгебраическая операция 107 — упорядоченность 20 Частично упорядоченное кольцо 300 — — множество 21 —· упорядоченный группоид 293 Эквивалентность 17 — по двойному модулю 169 — полных систем окрестностей 341 — систем операций 154 — слов 155 Элемент бесконечного порядка 49 — конечного порядка 49 Эндоморфизм 127 — операторный 221 Ядро гомоморфизма 119
ЛЕКЦИИ 1969-1970 УЧЕБНОГО ГОДА
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА Имя выдающегося советского алгебраиста Александра Геннадиевича Куроша широко известно математикам всего мира. Его монографии «Теория групп» и «Лекции по общей алгебре» *), переведенные на многие языки, стали настольными книгами каждого алгебраиста. В 1969 году А. Г. Курош начал читать на механико- математическом факультете Московского университета специальный курс «Общая алгебра». Цель этого курса состояла в том, чтобы обоснованно предложить один из возможных путей дальнейшего развития общей алгебры — заполнение имеющегося разрыва между классическими разделами (теория групп, теория колец и др.) и новыми (теория универсальных алгебр, теория категорий). Тяжелая болезнь прервала чтение курса задолго до его окончания. Однако автор написал больше, чем прочел, и написанный материал был издан в 1970 году ротапринтным способом в МГУ **). В настоящей книге по существу повторяется это издание с незначительной редакционной правкой. Добавлена лишь библиография, посвященная таким алгебраическим образованиям, которые упоминаются в книге, но которые пока не принято называть классическими (например, полугруды, кольцоиды, почти- кольца, полукольца, мультиоператорные группы и кольца и др.). Список работ, относящихся к 1953— 1970 гг., был составлен автором и дополнен мною работами 1971 —1972 гг. Библиография помещена в конце книги, но распределена по параграфам. *) А. Г. Курош Теория групп, 1-е изд., М.— Л., 1944; 2-е изд., М., 1953; 3-е изд., М., 1967. А. Г. К у ρ о ш, Лекции по общей алгебре, 1-е изд., М., 1962; 2-е изд., М., 1973. **) А. Г. К у ρ о ш, Общая алгебра (лекции 1969—70 учебного, гоДа), М., МГУ, 1970.
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА 401 Книга написана так легко и прозрачна, что ее может читать всякий, владеющий обычным университетским курсом высшей алгебры. По духу эта книга очень близка упомянутым «Лекциям по общей алгебре», но не опирается на них и имеет с ними весьма небольшое пересечение. В будущем автор собирался объединить материал этих двух книг в одну новую книгу. Этим планам не суждено было осуществиться — Александр Геннадиевич Курош скончался 18 мая 1971 года. Апрель 1973 г. У. М. Баранович
ВВЕДЕНИЕ Появление и бурное развитие общей алгебры, продолжающееся, непрерывно нарастая, уже около пятидесяти лет, представляет собою одну из самых ярких страниц математики двадцатого века. Желая дать некоторое представление о том, что такое общая алгебра и какие цели преследует настоящий курс, начнем с весьма схематичного исторического обзора. На протяжении столетий алгебра была наукой об уравнениях. В девятнадцатом веке поняли, что вместо уравнений (и систем уравнений) можно говорить об их левых частях, т. е. о функциях специального вида (и о системах таких функций), а это привело к тому, что алгебра стала считаться частью математического анализа, частью теории функций. Даже не в очень удаленные от нас времена можно было встретить в некоторых книгах слова «алгебра или алгебраический анализ». Одновременно, однако, в недрах тогдашней алгебры и в связи с ее потребностями возникали некоторые новые теории, в математический анализ никак не укладывавшиеся. Именно, в связи с теорией Галуа возникла теория групп, медленно развивающаяся в девятнадцатом веке в виде теории конечных групп подстановок. Во второй половине девятнадцатого века стала разрабатываться примыкавшая к теории чисел теория полей, а именно —- теория полей алгебраических чисел. В это же время в связи с появлением кватернионов начинают изучаться различные гиперкомплексные числовые системы, т. е., на современном языке, конечномерные линейные алгебры, причем с некоммутативным, а иногда и неассоциативным умножением. Важным этапом был переход от девятнадцатого к двадцатому веку. Именно в это время было понято, что при изучении перечисленных выше математических объектов на самом деле изучаются свойства заданных в них алгебраических операций и что эти объекты следует определять аксиоматически, указывая исходные свойства операций и игнорируя природу элементов, над которыми операции производятся. Иными словами, появилось понятие изоморфизма. В результате в
ВВЕДЕНИЕ 403 первые два десятилетия нашего века теория конечных групп развивалась уже как абстрактная теория, было положено начало общей теории бесконечных групп, теории полей, а также теории коммутативно-ассоциативных колец. Это была пока предыстория общей алгебры. Ее история начинается в двадцатые годы, когда впервые было понято, что именно изучение алгебраических операций, т. е. изучение таких образований, как группы, поля, кольца, линейные алгебры, является истинной задачей алгебры. В эти годы в центре внимания была теория колец, как ассоциативно-коммутативных, так и любых ассоциативных; в первом случае развитие шло от теории идеалов колец целых алгебраических чисел, во втором — от теории конечномерных линейных алгебр. Теория бесконечных групп стала разрабатываться как теория групп с операторами, в частности, абе- левых групп с операторами, т. е. модулей, как стали говорить позже. Появление в 1930 и 1931 гг. двухтомной «Современной алгебры» Ван-дер-Вардена показало широким кругам математиков, что алгебра, одна из старейших ветвей математики, радикально перестроилась, что она стала наукой теоретико-множественной, аксиоматической. Эта новая наука долго так и называлась «современной алгеброй», хотя неудобства этого названия выявились довольно скоро, и сейчас с моей легкой руки утвердилось название «общая алгебра». Результаты этой перестройки можно назвать взрывом; это относится и к развитию самой алгебры, и к влиянию ее на всю математику. Если начать с последнего, то можно отметить хотя бы влияние общей алгебры на развитие топологии, в частности, ее роль в создании алгебраической топологии; многостороннее влияние на развитие функционального анализа; поглощение проективной геометрии; определяющую роль при возрождении алгебраической геометрии; стимулирование появления ряда новых разделов математической логики, а также многое другое. Развитие самой общей алгебры шло исключительно бурно. Все перечисленные выше ветви алгебры прадол-
404 ВВЕДЕНИЕ жали глубоко и всесторонне разрабатываться и вместе с тем возникали новые направления, новые области. В тридцатых годах появилась топологическая алгебра и началась активная деятельность в теории структур, т. е. области, истоки которой можно найти в работах, относящихся еще к началу нашего века. В сороковых годах развилась теория неассоциативных колец и бесконечномерных неассоциативных линейных алгебр, теория полугрупп, истоки которой можно найти еще в двадцатых годах, теория упорядоченных алгебраических образований, идущая от относящихся к началу века исследований по основаниям геометрии. В пятидесятых годах утвердилась в качестве самостоятельной области теория квазигрупп и началось бурное развитие теории категорий. Эти же годы явились годами начала систематического изучения универсальных алгебр, хотя основы их теории были заложены еще в тридцатые годы, а в математической логике они появились даже много раньше. Понятие универсальной алгебры долго вызывало у математиков настороженность — казалось, что понятие множества, в котором задана произвольная система произвольных алгебраических операций, произвольным образом между собою связанных, слишком широко и поэтому слишком бедно содержанием для того, чтобы стать объектом глубокой теории. Развитие теории за последние два десятилетия показало неосновательность этих опасений. Теория универсальных алгебр сейчас не только объединяет то немногое общее, с чего начинаются различные конкретные разделы общей алгебры, но pi нашла собственную проблематику и сложилась как самостоятельная ветвь алгебры. При этом ее появление никак не отменяет более конкретных разделов общей алгебры, так же как появление теории колец не отменило теории полей, а появление теории полугрупп не ликвидировало теории групп. Замечу, что существует более общее понятие, чем понятие универсальной алгебры, а именно — понятие модели. Теория моделей также развивается, не ликвидируя теории универсальных алгебр. Математики пока
ВВЕДЕНИЕ 405 Теория универсальных алгеор уже оказывает и, нужно ожидать, в ближайшие десятилетия будет оказывать все возрастающее влияние на развитие всей общей алгебры. Вообще, сейчас ученые всех специальностей занимаются прогнозами на конец нашего века, появляются даже книги о науке в 2000 году. Попытаемся и мы сформулировать некоторые прогнозы развития общей алгебры в ближайшие десятилетия. Трудно ожидать, что те классические разделы, которые разрабатываются уже несколько десятилетий, так и будут оставаться основным источником новых идей общематематического значения. Более вероятно (и признаки этого уже наблюдаются), что они, продолжая привлекать многих исследователей, будут переходить в этап завершения. Главные интересы будут концентрироваться в них на решении давно поставленных проблем, а это всегда означает исчерпание области, хотя решать открытые проблемы необходимо, конечно, всегда. Вместе с тем с позиций теории универсальных алгебр оказывается, что те понятия, которые исторически оказались первыми объектами изучения и поэтому стали носителями наиболее разработанных теорий и чаще всего используются соседями,— неалгебраистам трудно применять те алгебраические теории, которые алгебраистами еще не созданы,— логически эту свою первоочередность, избранность уже утрачивают. С другой стороны, между теорией универсальных алгебр и классическими разделами общей алгебры существует большое необработанное пространство. Исследования начались лишь в немногих местах, изолированные, иногда случайные, хотя среди этих мест есть такие, разработка которых безусловно необходима. Нужно ожидать, что именно в это «ничейное» пространство будут передвигаться в ближайшие десятилетия основные интересы общей алгебры. В соответствии с общими тенденциями современной науки (например, физики) новые объекты изучения, новые теории будут появляться здесь не с перерывами в десятилетия, а все чаще и чаще. Остановить этот
406 ВВЕДЕНИЕ процесс невозможно, пытаться это делать — неразумно. Можно лишь направлять этот процесс. Именно в такой аксиоматической науке, как общая алгебра, не нужно большого ума для того, чтобы создавать новые объекты изучения. Труднее их оправдать. Для этого мало указать примеры, даже важные, вводимых понятий. Понятие группы оправдывается не тем, что существуют симметрические группы на произвольных множествах, а тем, что симметрическими группами и их подгруппами с точностью до изоморфизма исчерпываются все группы. Понятие ассоциативного кольца оправдывается не тем, что существуют кольца линейных преобразований, а лишь тем, что кольцами эндоморфизмов абелевых групп и их подкольцами исчерпываются все ассоциативные кольца. Возможны и другие способы оправдания вводимых новых понятий, но они должны быть столь же убедительными. В нашем курсе мы хотим дать, опираясь на основы теории универсальных алгебр, обзор основных типов алгебр, как классических, т. е. изучаемых уже давно, так и ожидающих еще детального изучения, но уже вполне хорошо оправданных. Мы не пытаемся ни в одном случае излагать теорию соответствующего класса алгебр и ограничиваемся, помимо результатов, необходимых для оправдания выбора этого класса как объекта самостоятельного изучения, лишь результатами, позволяющими рассматривать этот класс как многообразие алгебр. Этим определяется и своеобразный характер курса, разные разделы которого между собою почти не связаны. В 1962 г. вышла из печати моя книга «Лекции по общей алгебре», позже появились ее переводы на английский, немецкий, французский, польский, чешский, японский и китайский языки. Настоящий курс не опирается на эту книгу и имеет с нею сравнительно немного перекрытий, хотя идейно к ней весьма близок. Надеюсь, что в будущем я смогу объединить материал этой книги и этого курса в одну новую книгу. К сожалению, чтение курса было прервано задолго до его окончания. Хотя написано было больше, чем я успел прочесть, однако некоторые параграфы так и
ВВЕДЕНИЕ 407 остались ненаписанными. В частности, в курс должны были войти сведения о свободных алгебрах многообразий, теорема Биркгофа о многообразиях, вопрос об эквивалентности многообразий и т. д. Некоторые из этих вопросов уже изложены, впрочем, в имеющихся на русском языке книгах по теории универсальных алгебр *). *) Обширный список имеющихся книг и обзоров по об- щей алгебре можно найти во втором издании книги А. Г. Куро- ша «Лекции по общей алгебре».— Прим, ред.
§ 1. УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ Начнем с понятия алгебраической операции, п-арная операция ω в множестве G, /г>1, сопоставляет всякой упорядоченной системе из η элементов аг, а2, . . . ...,апЕСоднозначно определенный элемент аха2 . . . αηω ΕΞ G. Иными словами, это любое отображение п-ж декартовой степени Gn в G. В случае η = 1 это будет любое преобразование множества G (отображение G в себя). Q-арная операция фиксирует в множестве G некоторый определенный элемент. Хотя у нас будут встречаться также операции частичные, или многозначные, или бесконечноместные *), однако они будут играть лишь служебную роль. Предметом изучения будет понятие операции в указанном выше смысле. Точнее, предметом изучения будут универсальные алгебры (или алгебры), т. е. множества, в которых задана некоторая система операций Ω, конечная или бесконечная. Множество символов операций Ω, для которых указаны их арности, будем называть сигнатурой рассматриваемых алгебр. Для записи того, что операция о)£Й га-арна, будет использоваться символ ω е Ωη. Примеры алгебр хорошо известны -—группы, кольца, модули. Однако понятие универсальной алгебры неизбежно кажется пока слишком широким. Мы начнем поэтому с рассмотрения многочисленных примеров, притом весьма естественных, желая показать, что никакие дополнительные ограничения при определении понятия универсальной алгебры сверх тех, которые сделаны при определении понятия операции, не были бы оправданными. Одновременно мы хотим показать, что те типы алгебр, которые исторически стали первыми объектами изучения и являются поэтому носителями наиболее разработанных теорий, логически, в рамках всей современной общей алгебры, уже утеряли свой характер исключительности, первоочередности. *) Т. е. соответственно отображения подмножеств Gn в #, отображения множества Gn в множество подмножеств G и отображения Gn в G, где η — произвольное кардинально© числи.— Прим. ред. .
§1] УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ 409 ,. Мы не будем доказывать об универсальных алгебрах каких-либо общих теорем до тех пор, пока естественность этого понятия не станет убедительной. Введем, однако, уже теперь несколько понятий для сокращения речи. Если дана алгебра G сигнатуры Ω, то подмножество Α <Ξ G называется подалгеброй, если оно замкнуто относительно всех операций из Ω. Иными словами, для любого ω Ε= Ωη, η > 1, и любых αχ, α2, . . ., ап ΕΞ А должно быть ага2 . . . αηω 6Ξ А. С другой стороны, элементы, отмечаемые в G всеми нульарными операциями из Ω (если такие существуют), должны содержаться в А. Пересечение любой системы подалгебр алгебры G, если оно не пусто, будет подалгеброй этой алгебры. Действительно, если в G взята система подалгебр Аи ίΕΞί, с непустым пересечением D и если (0GQn, η > 1, a d1, d2, . . ., dn — любые элементы из Ζ), то элемент dx d2 . . .άηω содержится в каждой из подалгебр А и а поэтому содержится в D. С другой стороны, в каждой из подалгебр А г·, а поэтому ивй, содержатся и элементы, отмечаемые в G всеми нульарными операциями из Ω. Отсюда следует, что если Μ — непустое подмножество алгебры G, то в G существует минимальная среди подалгебр, содержащих целиком множество М, а именно пересечение всех таких подалгебр; одной из них является сама алгебра G. Эта подалгебра обозначается через {М} и называется подалгеброй, порожденной множеством М. Если {М} = (?, то Μ называется системой образующих для G. Отметим, что пересечение подалгебр может быть пустым (если, конечно, сигнатура алгебры не содержит нульарных операций). Так, в полугруппе всех целых чисел по сложению подполугруппы строго положительных и строго отрицательных чисел имеют пустое пересечение. Отметим также, что если рассматриваются кольца с единицей и нульарная операция, отмечающая
410 УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ [§1 единицу, включена в сигнатуру, то подалгебрами будут лишь подкольца, содержащие единицу кольца. Если G и G' — алгебры одной и той же сигнатуры Ω (назовем их однотипными), то отображение q>:G-*G' называется гомоморфизмом, если для любого ω GE Ωη, η > 1, и любых αλ, а2, . . ., ап θ G будет (ага2 . . .αηω)φ = (αι<ρ)(α2φ) - . . (ялфК (1) а для любого (оЕ Ω0 элемент 0ω, отмечаемый этой операцией в G, переходит в элемент 0ω', отмечаемый ею вС, 0ωφ - О;. (2) Образ алгебры G при гомоморфизме φ: G -> G\ т. е. совокупность образов всех элементов из G, будет подалгеброй в G'. Действительно, если а\ = яг<р, а% EG, aiGG', i =1, 2, . . ., », и (ое Ωη, то а[а2. ♦ ♦ . . . а> ^КфЖф) · · · Κιφ) ω = К«2 · · · «ηω)φ. Элементы 0ω, со ΕΞ Ω0, также принадлежат по определению гомоморфизма к образу алгебры G. Гомоморфизм φ называется мономорфизмом, если он является взаимно однозначным отображением С? в G'f т. е. вложением, и эпиморфизмом, если он отображает G на С. Отображение G на (?', являющееся одновременно мономорфизмом и эпиморфизмом, называется изоморфизмом; если такое отображение существует, то G ж G' изоморфны, G ~ G\ Значение понятия изоморфизма в том, что две изоморфные алгебры с точки зрения свойств заданных в них алгебраических операций неразличимы, т. е. могут рассматриваться как два экземпляра одной и той же алгебры. Гомоморфизм алгебры G в себя (случай G' = G) называется эндоморфизмом, изоморфизм G на себя — автоморфизмом. Примером последнего является тождественное отображение G на себя. Пусть задана произвольная сигнатура Ω. Существуют ли алгебры этой сигнатуры? Всегда существуют одноэлементные алгебры, так как во всяком одноэлементном множестве можно определить, притом единственным способом, все операции из Ω. Существуют f
§1] УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ 411 впрочем, и алгебры сигнатуры Ω, имеющие сколь угодно большую мощность. Покажем это, построив алгебры, в некотором смысле самые свободные среди всех алгебр сигнатуры Ω; точный смысл этого высказывания вскоре выяснится. Возьмем произвольное множество X, о котором лишь предположим, что оно не пересекается с множеством символов операций Ω. С другой стороны, каждой нульарной операции ω G Ω сопоставим символ 0ω, причем все эти символы различны и не являются элементами множеств X и Ω. Определим понятие слова (точнее, Ω-слова) над алфавитом X. Именно, элементы из X и элементы 0ω, ω ΕΞ Ω0, считаются словами, а затем для любого ω ΕΞ Ωη, я> 1, и любьдх слов wl9 w2,... . . ., wn выражение wtw2 . . . ιυηω также будет считаться словом. Множество всех Ω-слов над алфавитом X следующим образом превращается в алгебру сигнатуры Ω. Если ω 6= Ωη, η > 1, то езультатом применения этой операции к словам wl9 w2l . . ., wn считаем слово w1w2 . . . ...ιυηω; если же о) ΕΞ Ω0, то эта нульарная операция фиксирует слово 0ω. Полученная алгебра называется алгеброй Ω-слов над алфавитом X. Множество X служит для этой алгебры системой образующих. Очевидно, что алгебры Ω-слов над равномощными алфавитами изоморфны. Алгебры Ω-слов свободны в классе всех алгебр сигнатуры Ω в следующем смысле: всякое отображение φ0 множества образующих X в любую алгебру G сигнатуры Ω можно продолжить, притом единственным образом, до гомоморфизма φ алгебры Ω-слов F (X) в алгебру G. В самом деле, образы элементов, отмеченных нульарными операциями, определяются однозначно в соответствии с (2). Если со ΕΞ Ω^, η > 1, и образы при отображении φ слов ш1? w2l . . ., wn уже определены, то образом слова w±w2 . . .гг^со считаем элемент (α?1φ)(^2φ) . . . (wncp)co ΕΞ G в полном соответствии с {ί). Единств нность построенного нами гомоморфизма следует из единственности записи всякого слова через элементы алфавита X и символы нульарных операций. - , . . . .
412 УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ [§1 Отсюда немедленно следует, что если алгебра G сигнатуры Ω порождается множеством М, G = {М}, то всякий элемент из G хотя бы одним способом записывается в виде Огслова от {конечной системы) элементов из М. Класс всех алгебр данной сигнатуры Ω является слишком широким и аморфным образованием. Правда, существует некоторая литература, посвященная группоидам, т. е. множествам с одной произвольной бинарной операцией. Трудно указать, однако, какой-либо вопрос, который был бы специфическим именно для этого случая, и мы будем смотреть на слово «группоид» лишь как на простой термин, а не как на понятие, которое должно было бы стать предметом самостоятельного изучения. Отметим здесь же, что класс всех алгебр с пустой сигнатурой (операции отсутствуют) есть просто класс всех множеств. Обычно приходится рассматривать классы однотипных алгебр, удовлетворяющих некоторым дополнительным условиям. Чаще всего это делается следующим образом. Фиксируем некоторый алфавит, например стандартный алфавит хг, х2, . . ., хП7 . . ., элементы которого назовем неизвестными. Если т, т' — два любых Ω-слова над этим алфавитом, то формальное равенство w = ю' назовем Огтождеством. Пусть Λ — любая система Ω-тождеств, конечная или бесконечная. Класс всех алгебр сигнатуры Ω, в которых выполняются все тождества из Λ (т. е. каждое тождество из Λ после подстановки в него вместо неизвестных любых элементов данной алгебры превращается в равенство, справедливое в этой алгебре), не является пустым — к нему заведомо принадлежат все одноэлементные алгебры сигнатуры Ω. Этот класс называется многообразием алгебр сигнатуры Ω, определяемым тождествами Λ, и будет записываться через (Ω, Λ). Отметим, что класс всех алгебр сигнатуры Ω будет многообразием, определяемым пустой системой тождеств (или тождеством χ = χ). С другой стороны, класс
§1] УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ 413 одноэлементных алгебр этой сигнатуры также является многообразием; это абсолютно вырожденное многообразие определяется тождеством χ = у. Довольно скоро мы должны будем воспользоваться следующим замечанием: всякая подалгебра алгебры многообразия (Ω, Λ) сама принадлежит к этому многообразию. В самом деле, всякое тождество из Λ, выполняясь во всей алгебре, будет справедливо, в частности, и для элементов из заданной подалгебры. Отметим также, что всякий эпиморфный образ алгебры многообразия (Ω, Λ) сам принадлежит к этому многообразию. В самом деле, пусть задан эпиморфизм φ: G->G'f где G —из многообразия (Ω, Λ), и пусть w± = w2 —- тождество из Λ. Если в его запись входят неизвестные хъ . . ., хп и если аъ . . .,αη — любые элементы из Gf, не обязательно различные, то существуют такие at ΕΞ &, ί = 1, . . ., гс, что α^φ = αι- Тогда Iwj (aXi . . ,j an)\ φ = wj (a'lf . . ., an), j = 1, 2, a так как wl (%, . . ., an) = w2 (av . . ., an)f то и что и требовалось доказать. В частности, алгебра, изоморфная алгебре данного многообразия, сама принадлежит к этому многообразию; иными словами, всякое многообразие является абстрактным классом алгебр.
§ 2. ГРУППЫ Известно, что группа есть множество с одним ассоциативным бинарным умножением, причем левое и правое деления всегда выполнимы и однозначны. Обозначим решение уравнения az = Ъ через Ъ \ а, а решение уравнения ta = Ъ — через Ъ/а. Можно считать, что это еще две бинарные операции, определенные в группе. Умножение и эти две новые операции подчинены тождествам: (la) (xy)z = χ (уζ), (lb) χ {у \ χ) = у, (lb') {y/x)x = у, (1с) ху \ χ = у, (1с') г/я/я = у. Последние два тождества как раз выражают однозначность обратных операций, так как если, например, ас = Ь, то по (1с) Ь\а = ас\а = с. Класс всех групп оказался многообразием относительно трех бинарных операций ab, b\a, Ъ/а. Известно, однако, что понятие группы можно определить также при помощи бинарного умножения, унарной операции перехода к правому обратному элементу а"1 и нульар- ной операции, фиксирующей правую единицу 1, причем снова получаем многообразие, так как указанные операции подчиняются тождествам (На) (xy)z = х (yz), (Ив) хх^1 = 1, (Пс) хЛ = х. Равносильность этих двух определений группы общеизвестна. Напомним лишь, что при переходе от первого определения ко второму умножение сохраняется и принимается, что 1. = а \ а, а'1 = I \ а. При этом приходится доказывать, что для любых а и Ъ Ъ \ Ъ = α \ α,
§2] ГРУППЫ 415 — лишь в этом случае 1 будет нульарной операцией. В самом деле, используя, помимо ассоциативности ум- ношения, последовательно аксиомы (lb'), (lb), (lb') и (Iс), получаем Ь\Ъ = [(Ъ / а)а] \Ь = 1(Ь / а)й(а \а)]\Ь = = [b (а \ а)] \ b = а \ а. Проверка аксиом (II) проходит теперь без затруднений. При переходе от второго определения к первому сохраняется умножение и принимается, что Ъ \ а = й~гЪ, Ъ / а = bar1. Проверка аксиом (I) проходит без затруднений после того, как будет доказано, что для всех а ί-α — а, агха = 1. Действительно, используя, помимо ассоциативности умножения, в первом случае последовательно аксиомы (Пс), (lib), (lib), (He), (lib), (lib), (Ис), а во втором — (He), (lie), (lib), (Ис), (lib), получаем Ьа = 1.α·1 = 1·α.α-1·(α-1)-1= М^а"1)-1 - = 1.(α-1Γ1 = α·α-1-(α-1)-1 = α-1 - ο, а~г -а = Λ"χ·α·1 = а*"1· а- а'1 -(а'1)'1 = = β-Μ-ία-1)"1 = а'1-(а'1)'1 = 1. Мы видим, что один и тот же класс алгебраических объектов может задаваться как многообразие универсальных алгебр многими разными способами. Это приводит к понятию эквивалентности многообразий. Понятие группы может быть определено и многими другими способами. Интересно то, что его можно определить, в частности, при помощи всего одной бинарной операции, впрочем, неассоциативной, причем оказывается, что класс групп является некоторым многообразием группоидов. В этом определении используется уже встречавшаяся нам операция Ъ/а. Обозначим ее через со, т. е. Ьасо = 6а"1.
416 ГРУППЫ [§2 Операции, используемые во втором из указанных выше определений группы, записываются через операцию ω следующим образом (используется бесскобочная запись, т. е. символ ω всегда применяется к двум предшествующим элементам группы): 1 — ααω, а'1 = ααωαω, ah = #&&ω&ωω. Тождества, определяющие группу, получим, переписав должным образом тождества (II). Впрочем, как показали Хигмэн и Б. Нейман (Publ. Math. 2 (1952), 215—221), рассматриваемое многообразие можно задать одним единственным тождеством, а именно хххыутыхх&хтююю ~ у. Любопытно, что класс групп не является многообразием полугрупп (т. е. ассоциативных группоидов). Отметим, что класс абелевых групп также будет многообразием — достаточно к набору тождеств (I) (или (II)) добавить тождество коммутативности умножения ху = ух. Этот класс будет многообразием и относительно указанной выше операции bato = bar1, причем это многообразие также может быть задано одним единственным тождеством, а именно xyzmjxioioiu = ζ.
§ 3. ПОЛУГРУППЫ В двух первых определениях группы из предыдущего параграфа участвует бинарное ассоциативное умножение. Множество с одной бинарной ассоциативной операцией называется полугруппой. Это не просто термин, введенный для сокращения речи,— класс полугрупп, являющийся, очевидно, многообразием, уже стал носителем богатой теории, а применения полугрупп в математике и смежных науках все умножаются. Нужно сказать, что и логические оправдания для понятия полугруппы как предмета самостоятельного изучения могут быть приведены столь же убедительные, как и для понятия группы. Покажем это. Правда, это будет скорее относиться к полугруппам с единицей, которые составляют многообразие алгебр с сигнатурой, состоящей из бинарного умножения и нульарной операции, отмечающей элемент 1, причем умножение ассоциативно и, кроме того, выполняются тождества хЛ = ί-χ = χ. (1) Впрочем, любую полугруппу G добавлением одного единственного элемента 1 можно вложить в полугруппу с единицей. При этом умножение, заданное в 6г, сохраняется, а произведение, хотя бы один из сомножителей которого есть 1, определяется в соответствии с (1). Ассоциативность так определенного умножения проверяется без затруднений. Как известно, преобразованием множества Μ называется любое отображение этого множества в себя (т. е. на некоторое подмножество). В частности, под- становкой множества Μ называется любое взаимно однозначное отображение этого множества на себя. С другой стороны, если даны множества М, JV, Ρ и отображения φ: Μ ->■ N и ψ: Ν ->■ Ρ, то последовательное выполненде этих отображений дает отображение φψ: Μ~-*Ρ, называемое их произведением. Таким образом, для всех α ΕΞ Μ α (φψ) = (αφ)ψ.
418 ПОЛУГРУППЫ [§з Это умножение отображений ассоциативно: если даны отображения φ: Μ-+Ν, ψ. Ν-+ Ρ, χ: Ρ -> (?, το (φψ)χ = φ (ψχ), так как для любого α ΕΞ Μ α[(φί|))χ] = Ια(φψ)]χ = [(αφ) ψ]χ = (αφ)$χ) = Умножение отображений не является, понятно, алгебраической операцией в смысле § 1. Она будет, однако, таковой в случае преобразований одного множества. При этом множество всех преобразований данного множества Μ оказывается полугруппой; это симметрическая полугруппа на множестве М. Симметрическая полугруппа на Μ оказывается полугруппой с единицей. Роль единицы играет тождественная подстановка 8м, агм = сь для всех α ΕΞ Μ. Больше того, для любых отображений φ: Μ ->■ N и ψ: L-> Μ будет, очевидно, ε^φ == φ, ψεΜ = ψ, т. е. тождественная подстановка гм играет роль единицы по отношению к умножению любых отображений, если, понятно, соответствующее произведение имеет смысл. Подстановки множества Μ выделяются в симметрической полугруппе на Μ как такие ее элементы φ, для которых существуют обратные элементы φ"1, удовлетворяющие условиям φφ-1 = φβ1φ = εΜ. Обратное преобразование φ""1 само будет подстановкой, переводящей для всякого α ΕΞ Μ элемент αφ в элемент а. Так как произведение подстановок само будет подстановкой и это умножение ассоциативно, то мы
§3] ПОЛУГРУППЫ 419 получаем, что множество всех подстановок данного множества Μ будет группой; это симметрическая группа на множестве М. Мы видим, что симметрическая группа на Μ выделяется в симметрической полугруппе на Μ как содержащаяся в ней однозначно определенная максимальная группа с тем же умножением и той же единицей. Существование симметрических групп и симметрических полугрупп в равной мере оправдывает выбор групп и полугрупп в качестве объектов изучения. Правда, для групп известна следующая теорема Кэли: Теорема 1. Всякая группа G изоморфно вкладывается в симметрическую группу на множестве G. Параллельная теорема справедлива, однако, и для полугрупп: Теорема 1'. Всякая полугруппа с единицей G изоморфно вкладывается в симметрическую полугруппу на множестве G. Из последней теоремы немедленно следует, ввиду сказанного выше, что всякая полугруппа G изоморфно вкладывается в некоторую симметрическую полугруппу, хотя в общем случае последняя берется на некотором большем, чем G, множестве. Покажем, что теоремы 1 и 1' являются непосредственными следствиями двух других теорем, представляющих и самостоятельный интерес. Отметим сперва, что произведение гомоморфизмов универсальных алгебр (в смысле умножения отображений) само будет гомоморфизмом. Действительно, если даны однотипные алгебры G, G', G" с системой операций Ω и гомоморфизмы φ: G-+G', =ψ: G' ->■ G"\ то для любого ω €= Ωη, η > 1, и любых элементов ανα2, . . ,,апбб будет (а±а2 . . .αηω)(φψ) = 1{ага2 . . . αηω)φ1ψ = = КздЖф) · · · («7*φ)ω]ψ = = [(α1φ){ψ][(α2φ)'ψ1 · · · 1(βηφ)ψ1ω = С другой стороны, если операция ©Ейо отмечает в
420 ПОЛУГРУППЫ [§з алгебрах G, (?', G" соответственно элементы СЦ 0ω, 0ω(φψ) = (0ωφ)ψ - θ1/ψ = θ'ω. Отсюда следует, что множество всех эндоморфизмов данной алгебры G составляет подполугруппу в симметрической полугруппе на множестве {?, притом содержащую единицу этой полугруппы,— тождественная подстановка является, очевидно, даже автоморфизмом. Полученная полугруппа с единицей называется полугруппой (всех) эндоморфизмов алгебры G. Аналогично всякий автоморфизм алгебры G является подстановкой в множестве G. Произведение двух автоморфизмов этой алгебры будет и подстановкой, и эндоморфизмом, а поэтому само будет автоморфизмом. Обратная подстановка φ"1 для автоморфизма φ сама будет автоморфизмом: если ω ΕΞ ΩΛ, η > Ι,ηα^, α2, . . . . . ., αη G G, то существуют так е Ъъ δ2, . . ., Ъп €Ξ G, что at = &г-ф, i = 1, 2, . . ., η, а поэтому (а±а2 . . . αΛω)φ"'1 = [(М>) (Ь2ф) · ·· (ЬпфЫф"1 = = (ЬгЬ2 . . .ЬлшКфф"1) = ЬгЬ2 · . . 6ηω = = («^"^(«гФ"1)· · · («пФ"Х)ш. Если же о) Gi30 отмечает в G элемент 0ω, то из 0ωφ = = 0ω следует 0ωφ-1 = 0ω. Таким образом, все автоморфизмы данной алгебры G составляют подгруппу в симметрической группе на множестве G\ это группа (всех) автоморфизмов алгебры G. Очевидно, что эта группа выделяется в полугруппе всех эндоморфизмов алгебры G как содержащаяся в ней однозначно определенная максимальная группа с тем же умножением и той же единицей. Можно сказать также, что группа автоморфизмов есть группа всех обратимых элементов полугруппы эндоморфизмов. Справедливы следующие теоремы, из которых теоремы 1 и 1' немедленно следуют: Теорема 2. Всякая группа G изоморфна группе всех автоморфизмов некоторой универсальной алгебры, определенной на множестве G.
§3] ПОЛУГРУППЫ 421 Теорема 2\ Всякая полугруппа с единицей G изоморфна полугруппе всех эндоморфизмов некоторой универсальной алгебры, определенной на множестве G. Оказывается, что теорема 2 сама следует из теоремы 2\ Проведем сперва некоторые вспомогательные рассмотрения. Пусть задано эпиморфное (в частности, изоморфное) отображение φ полугруппы G с единицей е на полугруппу G'. Тогда образ еср единицы будет единицей в G'. Если элемент а обратим в G, то образ α~1φ его обратного элемента аГ1 будет в G' обратным для элемента αφ, т. е. (αφ)""1 = а"г(р. Отсюда следует, что полугруппа, изоморфная группе, сама будет группой. В самом деле, если Ъ' — произвольный элемент из G'', то существует такой элемент Ь ΕΞ G, что δφ = Ъ\ Тогда Ъ' (eq) = (δφ)(£φ) = (be)(p = δφ = Ъ' и аналогично (еу)Ъ9 = Ь'. С другой стороны, (αφ)(α""1φ) = (ааГ*)у — еу и аналогично (α~αφ)(αφ) = еср. Пусть теперь теорема 2' уже доказана и пусть дана произвольная группа G. Являясь, в частности, полугруппой с единицей, G будет изоморфна полугруппе всех эндоморфизмов некоторой алгебры, определенной на множестве G. Эта последняя полугруппа будет, следовательно, группой. Отсюда вытекает, что все эндоморфизмы рассматриваемой алгебры обратимы, т. е. являются на самом деле ее автоморфизмами, что доказывает теорему 2. Остается доказать теорему 2'. Если дана полугруппа G с единицей е, то для всякого а €= G возьмем в множестве G унарную операцию ωα, являющуюся в полугруппе G левым умножением на элемент а, χωα = ах для все хжЕб. Множество G со всеми операциями ω_α, α εξ G, будет алгеброй, которую обозначим через G. Правое умножение Ц)ь в полугруппе G на элемент Ъ, хуь^~ хЪ для всех жбС, будет эндоморфизмом алгебры G, так как
422 ПОЛУГРУППЫ [§з для любых яг, а ЕЕ G (х(йа)Ч>ъ = {αφ = α(#δ) = (#(рь)(ов. При этом если b φ с, то φ5 =£= фс, так как ещ — еЪ — Ъ, ец)с = ее = с. Эндоморфизмами_ф&, bEzG, исчерпываются все эндоморфизмы алгебры G, так как если φ — произвольный ее эндоморфизм и ец> = с, то для всех жеС χψ = (хе)ц> = (β(χ)χ)φ = (£ф)(Ох = хс = #фс, т. е. φ = φ0. Мы получили взаимно однозначное соответствие между всеми эндоморфизмами алгебры G и всеми элементами полугруппы G, которое будет на самом деле изоморфизмом соответствующих полугрупп* так как для всех х, Ь, с ΕΞ G хсрЬс = х(Ъс) = (я*)с = («Гфг>)фс = х (фьфс), т. е. фЬс = ФбФс- При этом, как и должно быть, единице полугруппы С?__соответствует тождественный автоморфизм алгебры G, так как для всех χ ΕΞ G хсре = хе = χ. Теорема 2' доказана.
§ 4. ИНВЕРСНЫЕ ПОЛУГРУППЫ Рассмотрим теперь один класс алгебр, промежуточный между классами групп и полугрупп, а именно класс инверсных полугрупп. Введем сперва вспомогательные понятия. Именно, назовем полугруппу регулярной, если для всякого ее элемента а существует хотя бы один такой элемент х, что аха = а. (1) Назовем, далее, элементы а и Ъ полугруппы G обратными друг другу, если aba = а, ЪаЬ = Ь. Оказывается, что регулярную полугруппу можно определить как полугруппу, в которой всякий элемент обладает обратным элементом, не обязательно единственным. Действительно, если аха — а, то положим b = хах. Тогда aba = (аха)ха = аха = а, ЪаЬ = ж (аха)хах = χ (аха)х = mr — 6, т. е. b является обратным для а. В случае групп элементы, обратные друг другу в указанном полугрупповом смысле, будут в точности обратными в обычном (групповом) смысле, причем всякий элемент обладает единственным обратным. Полугруппа называется инверсной, если всякий ее элемент а обладает обратным элементом, притом единственным; обозначим его через а~г, так что аа~га = а, а~1аа~1 = сг1. Заметим, что требование единственности обратного элемента в этом случае, в отличие от случая групп, необходимо специально накладывать. Класс инверсных полугрупп содержит в себе класс всех групп и, как мы скоро узнаем, шире последнего. Понятие инверсной полугруппы допускает и иные определения. Напомним, что элемент а некоторой полугруппы (или группоида) называется идемпотентом, есди а2 = а. Отметим, что регулярная полугруппа неп-
424 ИНВЕРСНЫЕ ПОЛУГРУППЫ [§4 ременно обладает идемпотентами: если выполняется равенство (1), то элемент ах будет идемпотентом, так как (ах)2 — (аха)х = ах. Оказывается, что инверсные полугруппы — это такие регулярные полугруппы, в которых любые два идемпо- тента перестановочны. В самом деле, пусть дана инверсная полугруппа G. Ясно, что она регулярна. Докажем сначала, что в инверсной полугруппе произведение идемпотентов также будет идемпотентом. Пусть а и Ъ —· два идемпотента, а2 = а, b2 = b. Положим s = (аЪ)~г, t — sa. Тогда (ab)t(ab) = absa2b = (ab)s(ab) = ab, t(ab)t = sa2bsa = s(ab)sa = sa = t. Поэтому, ввиду единственности обратного элемента, t = (аб)"1, т. е. sa = s. Аналогично, полагая V = fe, получим bs = s. Отсюда s2 = (sa)(bs) = s(ab)s = 5, т. е. элемент 5 идемпотентен. Однако идемпотентный элемент служит для самого себя обратным, единственным ввиду инверсности полугруппы, а поэтому s = ab. Идемпотентность элемента ab доказана. Идемпотентен, следовательно, и элемент Ъа. Используя это, получаем: {ab){ba){ab) = ab2a2b = (ab)2 = ab, (Ъа)(аЪ)(Ъа) == ba2b2a - (Ъа)2 - δα. Этим доказано, что Ъа = (α&)_1. Однако элемент а&, будучи идемпотентом, совпадает со своим обратным, откуда ab = Ьа, что и требовалось доказать. Пусть теперь G—регулярная полугруппа с перестановочными идемпотентами, а — любой элемент из G, Ъ и с — обратные элементы для а. Тогда элементы «6, ас, 6а, са будут идемпотентами и, следовательно,
§4] ИНВЕРСНЫЕ ПОЛУГРУППЫ 425 между собою перестановочны. Отсюда Ъ = ЪаЪ = b(ac)(ab) = (bab)(ac) = bac, с = сас = (ca)(ba)c = (Ьа)(сас) = Ьас, т. е. δ = с. Теорема доказана. Класс инверсных полугрупп является на самом деле многообразием относительно операций ab и а"1, которое задается тождествами (xy)z = %{yz)y хх~гх = #, х~1хх~1 = я:"1. Покажем теперь, что инверсная полугруппа удовлетворяет тождествам 1. (χ-ΐ)-ι = χ. 2. (хуГ1 = ίΓ^Τ1. 3. хх~хуу~х = уу'1хх~1. Ясно, что инверсная полугруппа регулярна и удовлетворяет аксиомам 1 и 3 (последнее потому, что элементы аа~г и ЪЪ~Х идемпотентны и, следовательно, перестановочны). Выполняется и тождество 2, как показывают следующие равенства, в которых снова используется перестановочность идемпотентов: {аЪ){Ь~га^){аЬ) = а(ЪЪ-х){аГха)Ь = (аа'^ЬЬ'Ч) = аЬ, (Ъ-Ч-^аЩЪ-Ч-1) = Ъ'^агЧ^ЪЪ-^аГ1 = = {Ъ-ЧЪ-^аГЧаГ1) = Ь^а'1. Наоборот, как показал Б. М. Ш а й н (сб. «Теория полугрупп и ее приложения», Саратов, вып. 1 (1965), 286—324), регулярная полугруппа G, в которой для обратных элементов выполняются равенства 1, 2, 3, инверсна. Для любого а е= G будет, ввиду аксиом регулярной полугруппы, 2 и 1, а~1= (аа~га)~г = α"1(α"1)"1α"1 = яг1^-1, т. е. элементы а и а"1 действительно обратны друг другу. Далее, ввиду 3, агЧаг^ааг1 = aa-V"1^-1)-1,
426 ИНВЕРСНЫЕ ПОЛУГРУППЫ [§4 т. е., ввиду 1, ог1ааа"х = аоггсГга. Если теперь а — идемпотент, а2 = а, то, используя указанные равенства и 2, получим а~х = a'W""1 = а~гааагг = асгхсгха — а (аа)"%а = = αα""1α = а. Отсюда αα""1 = αα = α. Если & — любой другой идемпотент, то будет ЪЬ"1 = bf а поэтому из 3 следует перестановочность идемпотен- тов аи&, что и доказывает инверсность нашей полугруппы. Покажем теперь, что понятие инверсной полугруппы на самом деле имеет право быть предметом самостоятельного изучения. Назовем частичной подстановкой множества Μ любое взаимно однозначное отображение вида φ: А -> В, где А и В — некоторые подмножества из М. К числу частичных подстановок относятся, в частности, все подстановки множества М, все подстановки любого его подмножества, а также пустая подстановка (тождественная подстановке пустого подмножества), которую обозначим через 0. Если φ: А ->■ 2?, \|>: С -> D — две частичных подстановки множества М, то их произведение φψ определяется так. Если пересечение В [\ С пусто, то полагаем φψ = 0. Если же В (] С — непустое, то обозначим через А' его прообраз при φ, через D' — его образ при ψ. Тогда φί|>: А' ->■ D', причем для любого а' е= А' α' (φψ) = (α'φ)ψ. Ясно, что это будет частичная подстановка. Пустая подстановка 0 играет для этого умножения роль нуля, т. е. для любой частичной подстановки φ φ.0 = 0·φ = 0. Для всякой частичной подстановки φ: А -> В существует, очевидно, обратная частичная подстановка
§4] ИНВЕРСНЫЕ ПОЛУГРУППЫ 427 φφ χ = гл, ψ~χψ = гВу где в Αι например, есть тождественная подстановка подмножества А. Именно, если αφ = b, α ΕΞ А, то 6φ_1= α. Используя обратную частичную подстановку, мы могли бы, например, вместо Аг написать выше (В Π С)цгх. Покажем, что умножение частичных подстановок ассоциативно. Пусть даны φ: А ->- А*', ψ: В-+В', χ: С->С" и пусть (φψ)χ: D-+D\ φ(ψχ): £-+£'. Легко проверить, что Я = и'П(Я'ПОГ11ф~1· Покажем, что D = Е. Если α £Ξ D, то α(φψ) GC, a так как заведомо α(ψψ) ΕΞ β', то а((рф) ΕΞ -В'Г|С\ откуда αφ ΕΞ (5'Π ΟΨΓ1· Вместе с очевидным йфЕЛ' это показывает, что D cz 2?. Обратное включение проверяется аналогично. На полученном подмножестве отображения (φψ)χ и φ (ψχ) действуют одинаково, так как оба сводятся на последовательное применение отображений φ, ψ и χ. Полученная полугруппа регулярна, так как для любой частичной подстановки φ: А ->- В будет φφ"1 φ = εΑφ = φ. Эта полугруппа даже инверсна. Действительно, ее идемпотентами служат тождественные подстановки ε^ для всех подмножеств Л с Μ и, как легко проверить, только они. Действительно, если φ: А -> В и φ2 = φ, то, по определению умножения, (Β(\Α)<Γι = Α, (Β(\Α)φ = Β. Поэтому, ввиду взаимной однозначности φ, А = В(\А =Я, т. е. φ является подстановкой на А, притом тождественной, так как других идемпотентов симметрическая
428 ИНВЕРСНЫЕ ПОЛУГРУППЫ [§4 группа не содержит. Однако для любых А, В с: Μ εΑδβ = гАГ]в = &В&А· Эта инверсная полугруппа называется симметрической инверсной полугруппой на множестве М. Она не будет группой, так как мультипликативная группа не может иметь нуля, равно как и потому, что группа обладает единственным идемпотентом. Справедлива следующая теорема В. В. Вагнера-Престона (ДАН СССР 84 (1952), 1119— 1122, J. Lond. Math. Soc. 29 (1954), 411-419), параллельная теоремам 1 и 1' из § 3: Всякая инверсная полугруппа G изоморфно вкладывается в симметрическую инверсную полугруппу на множестве G. Отметим сперва, что для всякого α ΕΞ G будет Ga = Garxa, (2) где Ga означает множество всех элементов вида ха, χ €= G. Именно, ясно, что Ga"4 = (Ga"x)a ci Ga, но, с другой стороны, Ga = Gaa"xa = (Ga)a~Ja cz Ga~%a. Поэтому для всех а ЕЕ G Ga-1 = Gaar1. (3) Сопоставим, учитывая (2), каждому элементу а €= G отображение φα: Ga"1 ->- Ga, определяемое тем, что для всякого χ ΕΞ Ga"1 будет χφα = χα е Ga. (4) Поэтому φα-ι: Ga ->- Ga"1, причем для всех у EEGa. Однако, если xEzGa"1, т. е. χ = я'а""1, то # (φαφα-1) = ^'α~1αα~χ = #'α_1 = #
§4] ИНВЕРСНЫЕ ПОЛУГРУППЫ 429 и аналогично для у £Ξ Ga будет > .41'* У (φα"» Φα) = У' Отображения φα и φα-» оказались обратными друг другу и, следовательно, взаимно однозначными отображениями, т. е. частичными подстановками, причем Φα"* = Φα"1· ' (5) Пусть φα = Фь· Отсюда, в частности, ба-ι = Gb~\ (6) т. е. а"1^"1 = a^EEGb'1, a поэтому, снова ввиду равенства отображений (ра и φ6, α-ΐα = a""1??. (7) Ввиду (3) равенство (6) можно переписать в виде Gacr1 = Gbb~\ (8) причем acr1 и bb"1 являются, как мы знаем, идемпо- тентами. Ввиду (8) аа~х = xbb"1, откуда aa^bb"1. = хЬЬ~гЬЬ~1 = ^δίτ1 = aa"1; аналогично bb~xaarx = &&-*. Так как, однако, идемпотенты в G перестановочны, то из этих равенств следует ааг1 = Ыг1. (9) Используя (7) и (9), получаем а = ааг1 а = αα-1δ = 6&~г& = 6. Таким образом, отображение а -> φα является взаимно однозначным вложением G в симметрическую инверсную полугруппу на G. Докажем изоморфность этого вложения. Отображение <раЬ определено, как мы знаем, на множестве G (аЬ)~г, произведение φαφ6, вви-
430 ИНВЕРСНЫЕ ПОЛУГРУППЫ [§4 ду (5), — на множестве (Ga fl Gb"1)^1. Однако, ввиду (2), применяемого дважды, и (3), Ga П Gb-1 - Gcr4 Π Gbb~l = Ga^ablr1 = Gabb~\ так как, ввиду перестановочности идемпотентов, СЬЪ~гсГ1а = Ga~1abb"1 cz Gar1 а П Gbb~x, если же элемент # лежит в этом пересечении, то # = д:а~1а = яЬЬ""1 = xa"1abb"1 ΕΞ Ga~xabb~l. Поэтому, ввиду (3), (Ga П Gb-^a-1 = Gabb-Ч-1 = Giab^ab)'1 - б(аб)-1. Таким образом, отображения φα& и φαφδ определены на одном и том же подмножестве, а так как χ (ab) = — (xa)b, то доказано, что φαί> — ФаФь- Это вместе с (5) доказывает теорему. Можно было бы определить частичный автоморфизм универсальной алгебры как изоморфное отображение одной ее подалгебры на другую. Легко видеть, что произведение частичных автоморфизмов как частичных подстановок само будет частичным автоморфизмом и что частичные автоморфизмы данной алгебры составляют инверсную полугруппу с единицей и нулем» По аналогии с теоремами 2 и 2' из § 3 можно было бы поставить следующий вопрос: всякая ли инверсная полугруппа G с единицей и нулем изоморфна инверсной полугруппе всех частичных автоморфизмов некоторой универсальной алгебры, определенной на множество <?? О.И. Доманов показал, однако, что это не так (Изв. высших учебн. зав., Математика 8 (1971), 52-58).
§ 5. ПОЛУГРУДЫ Полугруппа G называется полугруппой с инволюцией^ если в ней задана, помимо умножения, еще унарная операция а"1, причем выполняются следующие тождества (помимо ассоциативности умножения)! (аг1)-1 = х, (ху)"1 = у-гх~х. Полугруппы с инволюцией составляют, следовательно, многообразие, содержащее в себе многообразие всех инверсных полугрупп. В полугруппе с инволюцией G следующим образом определим тернарную операцию labch labc] = аЪ~гс. Ассоциативность умножения и определение инволюции дают аЪ"гсдтге = {аЬ'^дгЧ = a {dcmlb)"1e = аЬ~г(с<1~1е)7 т. е. для операции labc] выполняются тождества [\xyz\uv] = lxluzy]v] = [xylzuv]]; (1) обращаем внимание на то, что в средней части крайние множители внутренней скобки оказались переставленными. Алгебра с одной тернарной операцией, удовлетворяющей тождествам (1), называется полу- грудой. Слова «полугруда, определяемая данной полугруппой с инволюцией» имеют понятный смысл. Если G будет инверсной полугруппой, то операция labc], определенная выше, будет удовлетворять, помимо тождеств (1), также тождествам [ххх] = х, (2) llxyyhz] = llxzz]yy], llxxy]yz) = [\yyx\xz]\ (3) последние вытекают из аксиомы 3 предшествующего параграфа, для первого из тождеств (3) переписанной для обратных элементов. Алгебра с одной тернарной операцией, удовлетворяющей тождествам (1), (2) и (3),
432 ПОЛУГРУДЫ [§5 нааывается обобщенной грудой. Быть может, термин «инверсная полугруда» был бы более оправданным. Наконец, если G будет группой (что также является полугруппой с инволюцией относительно умножения и взятия обратного элемента), то операция [abc] будет удовлетворять, помимо тождеств (1), также тождествам [хуу\ = х, [уух] = х, (4) из которых тождества (2) и (3) немедленно следуют. Алгебра с одной тернарной операцией, удовлетворяющей тождествам (1) и (4), называется грудой. Для определенных нами алгебр докажем следующую теоремуБэр а-Вагнера (Бэром она доказана для груд, В. В. Вагнером для обобщенных труд и полугруд; см. Уч. зап. Саратовск. ун-та 70 (1961), 25— 39). Назовем элемент е полугруды G биунитарным, если для любых α ΕΞ G \аее] = [ееа] = а. Тождества (4) показывают, что в груде всякий элемент биунитарен. Отметим также, что если полугруппа с инволюцией обладает единицей, то в соответствующей полугруде эта единица будет одним из биунитарных элементов. Если G — полу груда (или обобщенная груда), обладающая биунитарными элементами, или же груда, и если е — любой биунитарный элемент из G, то операции, определяемые равенствами ab = [aeb], а'1 = [еае], превращают множество G в полугруппу с инволюцией (соответственно, в инверсную полугруппу или в группу), для которой е служит единицей, причем определяемая ею полугруда (соответственно, обобщенная груда или груда) совпадает с исходной. Действительно, элемент е служит единицей для умножения аЬ, так как, ввиду его биунитарности, ае = laee] — а, еа === [ееа] = а.
§5] ПОЛУГРУДЫ 433 Далее, ассоциативность умножения ab следует из (1)1 (аЪ)с — llaeb]ec] — \aelbec]] = а{Ъс). Из (1) и биунитарности элемента е следует также (а""1)"1 = [е[еае]е] = [[ееа]ее] = а, Ъ^аг1 = Uebe]e[eae]] = ll[ebe]ee]ae] = [кМяе] = = [е [aeb]e] = (яЬ)"~\ т. е. нами получена полугруппа с инволюцией. Если же G — обобщенная груда, то, так как ab'1 = [aelefell = [laee]be] = [abe], (5) получаем аатга = [[аае]еа] = [aaleea]] = [ααα] = л ввиду (2), а также а~гаа~х = а"1. Нами получена, следовательно, инверсная полугруппа. Наконец, если G — груда, то, по (5) и (4), ааг1 — [аае] = е, т. е. нами получена группа, так как уже доказано, что е является единицей. Последнее утверждение теоремы проверяется следующим образом на основании (5): аЬ~гс = Uabe]ec] = [ab[eec]] = labc]. Теорема доказана. Эта теорема показывает, что введение понятия груды как самостоятельного объекта изучения было ошибкой, так как это всего лишь еще один способ определения понятия группы, на этот раз при помощи одной тернарной и одной нульарной операции (последняя фиксирует произвольный элемент), способ, эквивалентный рассмотренным в § 2. Заметим, что группы, которые получаются этим путем из дайной груды, будут, как можно показать, изоморфными. Именно, пусть в груде G взяты элементы е я е' и определены умножения а-Ъ = laeb], сюЬ = [ае'Ь]. (6)
434 ПОЛУГРУДЫ [§5 Тогда, ввиду (4) и (1), сюЪ = [а\еее'Щ = Цае'е]еЬ] = [ае'е\-Ь. Покажем, что преобразование о множества G, определяемое равенством аа = [ae'e], a e G, будет подстановкой. Действительно, преобразование τ, ах = laee']y aEfi, будет для него обратным, так как α(στ) = (ασ)τ = llae'e]ee'] — lae'leee']] = [#<?V] = α, #(τσ) = (ατ)σ = [[aee'\e'e] = \ae\e'e'e\\ = [aee] = α. Этим доказано, что группы с операциями (6) будут изотопными (см. § 6) и, по второй теореме Алберта (см. конец § 6), изоморфными. Что же касается понятий обобщенной груды и полугруды, то положение иное — сейчас будет показано, что существуют обобщенные груды, не содержащие бнунптарных элементов. Можно было бы доказать, впрочем, что всякую полугруду (всякую обобщенную груду) можно изоморфно вложить в полугруду (соответственно, в обобщенную груду), обладающую биуни- тарными элементами и определяемую, следовательно, некоторой полугруппой с инволюцией (некоторой инверсной полугруппой). Пример обобщенной груды без би- у ни тарных элементов можно построить следующим образом. Возьмем множество М, построим на нем симметрическую инверсную полугруппу и перейдем к определяемой ею обобщенной груде; обозначим последнюю через G. Возьмем, далее, в Μ подмножества А и В и обозначим через G' множество всех тех частичных подстановок в Μ (т. е. тех элементов из G), которые отображают (взаимно однозначно) некоторое подмножество из А на некоторое подмножество из В. Это множество замкнуто, очевидно, относительно тернарной операции [φψχ] = чЭДГ'Х* т· е· является
§5] ПОЛУГРУДЫ 435 подалгеброй обобщенной груды G и, следовательно, само будет обобщенной грудой. Пусть ε: Α0 -> В0 — ее биунитарный элемент. Тогда для любой частичной подстановки φ£(ϊ', т. е. φ: А' -> В\ А' с= А, В' cz В, должно быть εε""1φ = φ. Отсюда следует, ввиду определения умножения частичных подстановок, что A' cz cz А0, откуда, так как, в частности, подмножество А' могло быть любым отдельным элементом из А, вытекает А0 = А. Таким образом, если подмножества А и В будут выбраны так, что мощность А строго больше мощности В, то соответствующая обобщенная груда G' не будет содержать биунитарных элементов.
§ 6. КВАЗИГРУППЫ И ЛУПЫ Мы пришли к понятию полугруппы, заметив, что в некоторых из определений группы участвует бинарная ассоциативная операция. Первое определение группы из § 2 после удаления из него требования ассоциативности умножения приводит к другому важному понятию, также ставшему в последнее время предметом содержательной теории. Именно, группоид, в котором для любых элементов а, Ъ однозначно разрешимы уравнения ах = Ъ, уа = 6, называется квазигруппой. Как и в § 2, можно утверждать, что квазигруппы составляют многообразие относительно трех бинарных операций ab, b \ а, Ъ / а, определяемое тождествами х(у \ х) = у, (у / χ) χ = у, ху \ χ = у, ух / χ = у. Из определения квазигруппы нельзя вывести существование в ней единицы. Квазигруппа, обладающая единицей, называется лупой. Лупы также составляют многообразие, сигнатура которого состоит из трех бинарных и одной нульарной операции. Нельзя рассчитывать на то, что для оправдания выбора квазигрупп в качестве объекта самостоятельного изучения можно будет использовать каким-либо способом преобразования или отображения. Для этой цели хорошо служат, однако, так называемые сети. По образцу геометрической сети, состоящей из всех точек плоскости и трех семейств прямых — все прямые, параллельные оси абсцисс, оси ординат и еще одной прямой,— введем следующее понятие. Рассмотрим систему из четырех непустых попарно непересекающихся множеств Р, L1, L2, L3; элементы первого множества назовем точками, остальных множеств — прямыми, причем нумерацию множеств (или, как мы будем говорить, семейств) прямых считаем фиксированной. Примем, что точки и прямые могут находиться в отношении инцидентности, выражаемом словами «точка лежит на прямой», «прямая проходит через точку» и т. д.
§6] КВАЗИГРУППЫ И ЛУПЫ 437 Назовем эту систему сетью, если выполняются следующие требования: а) через каждую точку проходит одна и только одна прямая каждого из трех семейств; б) две прямые, принадлежащие к различным семействам, пересекаются в одной и только одной точке. Заметим, что ввиду а) прямые одного семейства не могут пересекаться. Заметим также, что семейства L1, L2, L3 равномощны — мы получим взаимно однозначное соответствие между L1 и L2, если фиксируем некоторую прямую 1В из L3 и сопоставим друг другу те прямые из L1 и L2, которые пересекаются в точке, лежащей на I3. Если G — множество, равномощное с каждым из U, i = 1,2,3, то прямые каждого из этих трех семейств можно снабдить индексами, пробегающими множество G. Фиксировав эти индексации, притом совершенно произвольные, мы следующим образом определяем на G операцию умножения: аЪ = с, если через точку пересечения прямых 1\ ΕΞ L1 и ЙЕЬ2 проходит прямая /с €= L3. Относительно этой операции G будет квазигруппой! единственным решением уравнения ах = Ь, например, будет индекс той единственной прямой семейства Z,2, которая проходит через точку пересечения прямых ll и /с. Эта квазигруппа называется координатной квазигруппой исходной сети. Всякая квазигруппа G является координатной квазигруппой некоторой сети. Построим эту сеть. Ее точками считаем упорядоченные пары (а, Ъ) элементов из G, прямыми i-ro семейства, г = 1,2,3,— символы 4 для всех абб. Точка (а, Ъ) считается инцидентной прямой 1а первого семейства, прямой it второго и прямой lib третьего. Следовательно, требование а) выполняется. Выполняется и требование б): прямые ll и Щ пересекаются в точке (а, 6), прямые 4 и t0 —- в точке (а, с \ а), прямые ll и I* — в точке (с / b, b). Очевидно, что при указанной индексации прямых построенной сети координатной квазигруппой служит как раз квазигруппа G.
438 КВАЗИГРУППЫ И ЛУПЫ [§6 Заметим, что применения квазигрупп, в частности, в теории алгебраических кривых, связаны обычно с указанным представлением квазигруппы в качестве координатной квазигруппы некоторой сети. Иногда, впрочем, берется понятие, двойственное к сети (прямые называются точками, а точки — прямыми). Координатная квазигруппа сети зависит, очевидно, от выбранных индексаций прямых каждого семейства. Если эти индексации будут изменены (что равносильно применению к ним некоторых подстановок множества G), то на том же множестве G будет определена новая квазигруппа, в общем случае с первоначальной не изоморфная. Эти квазигруппы будут, однако, изотопными в соответствии со следующим общим определением. Два группоида, с операциями а-Ь и а°Ъ, определенные на одном и том же множестве G, называются изотопными, если существуют такие подстановки ρ, σ и τ множества G, что для любых a, b Ez G асЪ = (ар-Ьа)х. Легко проверяется, что отношение изотопии будет для бинарных операций на множестве G отношением эквивалентности. Изоморфизм двух бинарных операций, заданных на одном и том же множестве, является частным случаем изотопии, а именно при ρ = σ = τ-1. С другой стороны, изотопия называется главной (соответственно говорят о главном изотопе), если τ является тождественной подстановкой, т. е. а°Ъ = ар-bo. Всякий изотоп группоида изоморфен некоторому его главному изотопу. Действительно, если на множестве G заданы группоиды с операциями α-b и а°Ъ, причем а о Ь = (ap-ba)r, то операция axb = ахр-Ъха определяет на G главный изотоп первого группоида* изоморфный второму, так как (атг1 Χ 6τ~χ)τ= [(ατ^τρ-ίίηΓ^τσΙτ = (αρ·δσ)τ = α°&.
§6] КВАЗИГРУППЫ И ЛУПЫ 439 Две координатные квазигруппы одной и той же сети, определенные на одном и том же множестве G, на самом деле изотопны. Действительно, обозначим операцию в первой квазигруппе через а°Ь, т. е. а°Ъ = с означает, что прямые l\, it и ll пересекаются в одной точке. Меняем теперь индексации прямых каждого семейства, подвергая их подстановкам ρ, σ и τ. Теперь эти же три прямые будут обозначены через Йр> С &, причем каждый из элементов ар, bo, ex пробегает все множество G, а поэтому во второй квазигруппе (с операцией а*Ь) будет ар-bo = сп, т. е. ар-bo = (а°Ь)х. Так как подстановки ρ, σ, τ были произвольными, то ясно, что все координатные квазигруппы данной сети составляют, с точностью до изоморфизма, полный класс изотопных квазигрупп, определенных на множестве G. Отсюда сразу следует, что всякий группоид, изотопный квазигруппе, сам будет квазигруппой. Используя сети, легко доказать также следующую теорему Алберта (Trans. Amer. Math. Soc. 54 (1943), 507-519): Всякая квазигруппа изотопна некоторой лупе. В самом деле, заданная квазигруппа G служит координатной квазигруппой для сети (Р, L1, L2, L3). Отметим теперь в G некоторый элемент е и следующим образом изменим индексацию прямых; индексацию семейства L3 оставим без изменения, а некоторую прямую семейства L1 обозначим через I], после чего прямую семейства L2 обозначим через it, если она проходит через точку пересечения прямых I] и ll (этим определяется, в частности, прямая ll), и, наконец, прямую семейства L1 обозначим через ^ если она проходит через точку пересечения прямых ll к ll. При этом, как легко проверить, индекс прямой Й не изменится. Координатная квазигруппа, соответствую-
440 КВАЗИГРУППЫ И ЛУПЫ [§6 щая этой новой индексации, имеет, очевидно, элемент е своей единицей, т. е. будет лупой. Изотопные лупы могут не быть изоморфными. Справедлива, однако, вторая теорема A flee ρ τ а: Если лупа (в частности, группа) изотопна некоторой группе, то они изоморфны. Эта теорема вытекает, впрочем, из следующей теоремы Брака — Хьюза (Trans. Amer. Math. Soc. 60 (1946), 245-354; J. London Math. Soc. 32 (1957), 510-511): Если группоид с единицей изотопен полугруппе, то они изоморфны, т. е. оба являются полугруппами с единицей. Действительно, пусть на множестве G заданы группоид с умножением а-Ь и единицей е и полугруппа с умножением а°Ъ, причем они изотопны, т. е. a°b = (ар-Ьо)х, где ρ, σ, τ — подстановки в G. Так как для любых а, Ъ, c^G (a°b)°c = a°(h°c), то [(ар · Ъо)хр · cah = [ap-(bp-ca)xa]x, откуда (ар-Ьо)хр-со = ap-(bp-co)xo. (1) Полагая здесь ар = со = е, получаем для всех Ъ е= G Ьахр = Ърха. (2) Полагая, далее, в (1) ар = е и используя (2), получаем Ърхо-са = (Ьр-са)ха или, заменяя Ьр на а и со на Ь, αχσ-b = (а-Ь)ха (3) для всех а, Ь ΕΞ G. Аналогично, полагая в (1) со = е и используя (2), получаем (ар-Ьо)хр — ар-Ьохр
§6] КВАЗИГРУППЫ И ЛУПЫ 441 или, заменяя ар на α и Ъа на Ь, (α·6)τρ = α·6τρ (4) для всех a, JgG, Наконец, последовательно используя (3), (4) и (2), получаем, что для любых а, Ъ е(? (а°Ь)охр = (αρ·6σ)τστρ = (apr<j'ba)rp = apro*boxp = = αστρ·δστρ, т. е. подстановка στρ оказывается изоморфизмом между заданными группоидом и полугруппой. Теорема доказана.
§ 7. МУФАНГОВЫ ЛУПЫ Многообразие луп настолько шире многообразия групп, что было бы неправильным смотреть на лупы как, так сказать, на «неассоциативные группы». В самом деле, хотя лупа обладает единицей 1 и, будучи квазигруппой, для всякого элемента а содержит элементы а'1 = 1 \ а и ~ха = 1 / а, однако эти «обратные элементы» вовсе не играют в лупе роль обратных элементов группы. Введем поэтому следующий более узкий класс луп. Лупа G называется лупой с обратимостью, если для любых a, b ΕΞ G (ba)^1 = δ, -Ч(аЪ) - Ь. (1) Подставляя во второе из равенств (1) вместо Ь элемент яг1, получаем ~га = яг1, т. е. всякий элемент лупи с обратимостью обладает однозначно определенным двусторонним обратным элементом а'1: аа~г = а~га = 1. Равенства (1) принимают теперь вид (Ьа)а-1 = агЦаЬ) = Ь. (2) Ясно, что (а"1)"*"1 = а, откуда 6 \ α = α-ι&, b / а = 6α"1. (3) Действительно, ввиду (2) будет, например, а[а~Ч) = (а"1)"1 (а"1*?) - Ь. На основании (3) покажем, что (ab)-1 - Ь-^"1. (4) В самом деле, если ab = с, то Ь = а_1с, откуда а""1 = — be"1 и, наконец, £-1 — Ь~х а-1. Укажем еще некоторые свойства луп с обратимостью, необходимые для дальнейшего. Пусть G — такая лупа и пусть задан ее главный изотоп с операцией aob = ap-ba7 (5)
§7] МУФАНГОВЫ ЛУПЫ 443 также являющийся лупой; пусть 1а — единица последней. Тогда, подставляя в (5) вместо Ъ элемент 10, получаем а = αρ·10σ, откуда, ввиду (2), ар = α·(10σ)-1. Аналогично, 6σ = (1οΡ)-1·*. Положим (V)"1 = и, (lop)"1 - v. Заметим, что в любой квазигруппе G умножение с π ρ а- в а всех ее элементов на некоторый элемент и определяет подстановку множества G, которую мы обозначим через ги. Аналогично через 1Ό обозначим подстановку, получающуюся от умножения слева всех элементов квазигруппы на элемент v. Возвращаясь к лупе с обратимостью G, мы получаем, что операция (5) любого ее главного изотопа, являющегося лупой, может быть записана в виде а°Ъ = aru-blv (6) (символ подстановки, как обычно, мы записываем справа). Отметим, с другой стороны, что для лупы с обратимостью G ее главный изотоп с операцией (6) при любых и, ν ΕΞ G будет лупой. В самом деле, единицей будет служить элемент v~xu~x, так как для всех α εξ G ν^υΓ1 ο α = (v~xu~x)ru-abv = [{v~1UTx)u]-{va) — = гГ1 (να) = α, и аналогично с другой стороны. Вернемся на минуту к рассмотрению изотопии группоидов (см. § 6). В том частном случае, когда обе изотопные операции совпадают, а°Ъ — аЪ, т. е. ab = (ap-bo)x, (7) говорят об автотопии рассматриваемого группоида. Обозначим через λ подстановку, обратную τ, т. е.
444 МУФАНГОВЫ ЛУПЫ [§7 λ = τ"1. Тогда автотопию (7) можно переписать в виде ар· bo = (ab)%. Запишем ее символом (ρ, δ, λ). В частности, если φ — автоморфизм группоида, то (φ, φ, φ) будет автотопией, и обратно. Если (ρ, σ, λ) и (ρ', σ', λ') — две автотопии группоида G, то их произведение (Ρ, σ, λ) (ρ', σ', λ') = (pp'f σσ\ λλ') также будет автотопией, так как для любых а, Ъ ЕЕ G αρρ'·δσσ' = (αρ·δσ)λ' = (αδ)λλ'. Это умножение автотопии ассоциативно, так как сводится к умножению подстановок, единицей служит тождественная автотопия (ε, ε, ε), где ε — тождественная подстановка, а обратной для автотопии (ρ, σ, λ) будет автотопия (ρ""1, σ-1, λ-1). Действительно, это будет автотопия, так как (аЬ)К'г = [(αρ-^ρ-ί&οΓ^σΙλ-1 - (βρ-^&οτ^λλ-1 = = αρ"1·6σ"1. Полученная группа автотопии группоида содержит в качестве подгруппы его группу автоморфизмов. Вновь возвращаясь к лупам с обратимостью, отметим, что в них отображение а -»- а"1 будет подстановкой; обозначим ее через ι: αι = at1. Лемм а. Если (ρ, σ, λ) — автотопия лупи с об- ратимостъю G, то (λ, ισι, ρ) и (ιρι, λ, σ) также будут ее автотопиями. Обратно, существование любой из этих новых автотопии влечет существование исходной автотопии. Действительно, для любых а, Ъ Еб выполняется равенство αρ-ba = (ab)K. Подставляя сюда аЪ вместо а и Ь~х вместо Ь, получаем (аЬ)р-Ыа = αλ,
§7] МУФАНГОВЫ ЛУПЫ 445 откуда (ab)p ^ αλ^δισ)"1 = #λ·6ισι, т. е. (λ, ισι, ρ), действительно, — автотопия. Аналогично, подставляя в то же равенство аЪ вместо Ь и а~1 вместо а, получаем aip*(ab)a = δλ, откуда (ab)a = (aip)~l*bX = αιρι · &λ, т. е. и (ιρι, λ, σ) будет автотопией. Последнее утверждение леммы следует из того, что применение уже доказанного к автотопии (λ, ισι, ρ), например, снова дает автотопию (ρ, σ, λ), так как ι2 = ε. На самом деле основным объектом изучения являются не лупы с обратимостью, а более узкий класс му- фанговых луп. Именно, луна называется муфанговой, если все лупы, ей изотопные, являются лупами с обратимостью. Муфанговы лупы также составляют многообразие ввиду следующей теоремы Μ у φ а н г (Math. Ann., 110 (1935), 416-430): Лупа G тогда и только тогда муфангова, когда в ней выполняется тождество (ху) (zx) = [χ (yz)]x. (8) Доказательство. Положим сперва, что G — лупа со свойством обратимости. Мы знаем, что всякий ее изотоп изоморфен главному изотопу и что во всех лупах, являющихся главными изотопами лупы G, операции задаются по правилу (6) при некоторых и и ν, которые могут быть произвольными элементами из G. Пусть G0 — один из этих главных изотопов, . а операция в нем есть аоЬ — aru*blv. Выполнимость в Gq первого из тождеств (1) равносильна существованию такой подстановки ι0> что для любых a, b ЕЕ G (а°Ь)°Ы0 = а,
446 МУФАНГОВЫ ЛУПЫ [§7 что равносильно равенству {aob)ru.bi0lO = α, равносильному, в свою очередь, равенству (а°Ь)ги = a-bi0lvi. (9) Заметим, что в нашей лупе G обратной для подстановки ги служит подстановка ru~i, т. е. гй1 = r^-ι, так как (αιήιτ1 = а; аналогично ΙΖ1 = 1Ό~±. Так как элемент агй1 пробегает вместе с элементом а все множество G и это же] верно для элементов bli1 и Ь, то равенство (-)) равносильно равенству (агй1 ° 6C)rtt = ar^-b/^ioZpi, т. е., полагая Ц\^ = τ, — равенству (a&)rw = аг^-Ьт; иными словами, оно равносильно существованию в лупе G автотопии (гй1, т, ги). Последнее, по лемме, равносильно существованию автотопии (ir^i, гц, τ), равной (lU7 ru, τ), так как ввиду замечания выше и (4), для всех α ΕΞ G air^S = (a^ur1)"1 ~ ua ~ alu. На самом деле, однако, τ = /иги> так как для любого a ΕΞ & ατ = (#·1)τ = aluAru = (alu)u = aluru. Наконец, существование автотопии (/u, rtt, ittru) no определению означает, что для любых α, b ΕΞ GF я^-Ь^ = (ab)lurm т. е. (ua){bu) = Ы(аЬ)Зи. Это означает, так как элемент w мог быть произвольным элементом из G, что выполнение во всех лупах, изотопных лупе (?, первого из тождеств (1), составляющих определение лупы с обратимостью, влечет выполнение
§7] МУФАНГОВЫ ЛУПЫ 447 в G тождества (8). Таким же путем доказывается, что и выполнение второго из тождеств (1) во всех лупах, изотопных лупе G, влечет выполнение в G того же тождества (8); при проведении доказательства нужно лишь в должном месте заменить элементы а и Ъ соответственно на alv1 и brZ1, а при применении леммы использовать ее другое утверждение. Остается доказать, что всякая лупа G с тождеством (8) будет лупой с обратимостью. Из (8) при у = 1 для всех х, zEiiG следует χ (ζχ) = (χζ)χ. Поэтому, подставляя в (8) вместо х, у, ζ элементы а"1, 6, а (где а, Ь — произвольные элементы из С и ааг1 = 1), получаем сгЧ = \<г\Ъа)\а-х = а^ЦЩаГ1], откуда Ь = (Ьа)а""1, т. е. в G выполняется первое из тождеств (1). С другой стороны, подставляя в (8) вместо х, у, ζ элементы _1а, а, Ъ (где ~га-а = 1), получаем 6(-ια) = [-^.(аЬЖ-Ч), откуда Ь = "га (ab), т. е. в G выполняется и второе из тождеств (1). Теорема доказана. Заметим, что тождество (8) можно было бы заменить в этой теореме некоторыми другими тождествами, равносильными ему в классе луп, например, тождеством l(xy)z]y = xly(zy)l Отметим, что в силу другой теоремы Муфанг му- фангову лупу можно определить как такую лупу, что во всякой лупе, ей изотопной, подлупа, порожденная любыми двумя элементами, ассоциативна, т. е. является группой.
§ 8. гс-ГРУППЫ Понятие сети, введенное в § 6, была подсказано примером сети, составленной из всех точек и трех семейств прямых на плоскости — прямые, параллельные оси х, оси у и еще одной прямой. Столь же естественно, однако, рассмотрение в трехмерном пространстве множества всех точек и четырех семейств плоскостей — параллельных трем координатным плоскостям и еще одной плоскости. Переход к ^г-мерному евклидову пространству очевиден. Этим подсказывается следующее определение. Система непустых попарно непересекающихся множеств Р, L1, Z/2, . . ., Ln4Z (элементы первого множества называются точками, а остальных — гиперплоскостями) называется n-мерной сетью, если между точками и гиперплоскостями задано отношение инцидентности, удовлетворяющее следующим требованиям: а) через каждую точку проходит одна и только одна гиперплоскость каждого из η -}- 1 семейств; б) η гиперплоскостей, принадлежащих к различным семействам, пересекаются в одной и только одной точке. Таким образом, сети, рассмотренные в § 6, в силу этого определения будут двумерными сетями. Заметим, что семейства гиперплоскостей L1, L2, . . . . . .,Ζ/ι+1 равномощны — мы получим взаимно однозначное соответствие между L1 и 2Д если фиксируем гиперплоскости Г ΕΞ L\ i = 3, . . ., η + 1, и гиперплоскости Ι1 ΕΞ L1 сопоставим гиперплоскость Ι2 ΕΞ L2, проходящую через точку пересечения гиперплоскостей llf /3, . . ., №. Пусть G — множество, равномощное с L\ i = 1, 2, . . ., η -{- 1. Используем его для индексации гиперплоскостей этих семейств, после чего определим в G следующим образом тг-арную операцию: ага2 . . . αηω = = £, если через точку пересечения гиперплоскостей 1^Д1 = 1,2,,..,п, проходит гиперплоскость ΐ£+ι е= Ε tn+1. Для этой операции на каждом из мест 1, 2, . . ,,п существует однозначно определенная обратная операция: так, решением уравнения ха2 . . ,αηω = Ъ будет индекс той единственной гиперплоскости семейства L1,
§8] я-ГРУППЫ 449 которая проходит через точку пересечения гиперплос- КОСТеИ ία2> *α3> · · ·> Lan bb · Алгебра с одной га-арной операцией, однозначно обратимой на каждом месте, называется п-квазигруппой. Так как, как и в § 6, можно показать, что всякая ?г-ква- зигруппа служит координатной /г-квазигруппой некоторой га-мерной сети, то га-квазигруппы оказываются столь же естественным объектом изучения, как и квазигруппы (т. е. 2-квазигруппы), и их изучение уже началось. Ясно, что га-квазигруппы при фиксированном га составляют многообразие. Много раньше началось изучение частного случая га-квазигрупп, обобщающего на га-арный случай понятие группы. Именно, га-квазигруппа называется га- группой, если в ней выполняются следующие τ о ж- дества ассоциативности: = Х\Х% , . . Х{ \Χι+χΧι+2 · · · Xi+n®)%i+n+l · · · *^2η-ΐω» (*/ i = 1, 2, . . ., η — 1. Как обычно, из (1) следует, что в га-группе можно однозначным образом говорить о произведении к элементов аг, а2, . . .,afc, взятых в указанном порядке, не заботясь о том, как расставлены скобки, если, конечно, это произведение вообще имеет смысл, т. е. если к при делении на га -— 1 дает остаток 1, к = I (mod га — 1). Условимся записывать это произведение просто в виде «ι#2 · · «ял (без символа ω). Условимся также в случае, когда в таком произведении где-то стоят рядом т элементов, равных одному и тому же элементу а, писать вместо этих элементов символ ат. Теория га-групп при га !> 3 существенно отличается от теории групп (т. е. 2-групп), так как при га > 3 нет аналога единицы. Будем считать поэтому, что на га наложено указанное условие га > 3.
450 я-ГРУППЫ [§8 Пусть дайа η-группа G. Если & έΞ (ϊ, τα решение уравнения ап~гх = а обозначается через а и называется элементом, косым для элемента а. Оказывается, что для всех i, 1 <; i <J nf ώ~4 αη^ = а (2) (считаем, что а0 означает отсутствие этого множителя). Действительно, из ап~га = α следует ап = (αη-1^)α71-1 = α71"1 (α^δα^4)^1, а поэтому равенство (2) вытекает из единственности обратной операции на (/г—г+1)-м месте. Больше того, для любых а1 Ъ Е<? имеют место равенства (i == 0, 1, . .,гс — 2) Ьа^ап^-2 = 6, (3) а1аап~1-2Ь = Ь. (4) Докажем первое из них. Можно подобрать такие элементы Cj, с2, . .., сп„1у что Ь = cxc2 . . .сп-\й. Поэтому, ввиду (2), btfaaP-t-* = (?л .. . <?„_! (а«+гйап"м ) = = сгс2 . . . сп_га = &. Второе равенство доказывается аналогично. Можно было бы показать (см. Глейхгевихт и Главен,' Coll. Math. 17 (1967), 209-219), что и-груп- пу при тг > 3 можно определить как множество с одной тг-арпой операцией, удовлетворяющей тождествам ассоциативности (1), и еще одной унарной операцией а, для которой выполняются следующие тождества, являющиеся частными случаями тождеств (3) и (4): ухп~2% = г/, ухп~3хх = у, $хп~2у = у, х$хп~*у = у. Пусть дана группа Г с умножением а°Ь> Бели η > 3, то следующим образом определим на
§8] я-ГРУППЫ 451 множестве Г w-арную операцию агаг . . б^: аха2 . . мп = ахоа2о. . . 0αη. Ясно, что все требования, входящие в определение w-группы, выполняются. Назовем полученную /г-груи- пу определяемой группой Г. Докажем, что η-группа G, η ]> 3, тогда и только тогда определяется группой, если она обладает хотя бы одним элементом t, удовлетворяющим условиям а) t = t, б) для любых аг,а2,. . ., а^ЕЕС и любого ί, 1<л^ < η — 1, taxa2 . . .αη_χ = аг . . .attai+1 . . ап-х. В самом деле, если тг-группа 6г определяется группой Г, то роль элемента t играет единица группы Г, хотя могут существовать и другие элементы, обладающие свойствами а) и б). Обратно, пусть тг-группа G обладает элементом t с нужными свойствами. Следующим образом определим на G бинарную операцию: для всех aob = atn~*b. Это умножение ассоциативно ввиду ассоциативности операции в тг-группе: {aob) ° с = (atn-*b)tn-4 = atn~* (btn~2c) = a°{boC). Роль единицы играет элемент t: ввиду а) и (3) будет aot = atn~4 = а. (5) Наконец, обратным для элемента а будет решение уравнения atn~2x = t, существующее в ^-группе G. Нами построена на множестве G группа с умножением а о Ъ. Определяемой ею /г-группой служит исходная тг-группа 6г. В самом деле, используя б) и применяя несколько раз равенство αη£η-1 — ап (см. (5)), получаем: ах°а2°. . -°ап = α1ύη^α2Ρι"^αζ. . . an^tn-2an^ = βι<ζ2 . . . α^*-2*71-1) = αχα2 . . .αη· Теорема доказана.
452 я-группы [§8 Мы видим, что класс всех тг-групп, определяемых группами, при фиксированном η, η !> 3, оказывается многообразием, в сигнатуру которого входят операции Гсг-группы и еще одна нульарная операция. Это многообразие оказывается эквивалентным многообразиям, указанным в § 2, т. е. мы получили еще одну форму определения группы. Понятие ^-группы допускает следующее разумное оправдание. Именно, можно было бы показать, что всякая n-группа изоморфно вкладывается в /г-группу, определяемую группой. Это вытекает из теоремы Поста (Trans. Amer. Math. Soc. 48 (1940), 208-350), утверждающей, что все га-группы можно получить из групп при помощи следующей конструкции. Берется группа G, обладающая нормальным делителем А, индекс которого конечен и делит число η — 1, а факторгруппа GIA — циклическая. Тогда смежный класс Ag, являющийся образующим элементом этой факторгруппы, обладает, ввиду gn~1^A1 тем свойством, что произведение любых η его элементов содержится в самом этом классе. Класс Ag оказывается, следовательно, /г-группой, а именно, тг-подгруппой /г-группы, определяемой группой G. Другая форма этого описания я-групп — в работах X о с с у (Publ. Math. 10 (1963), 87-92) и Л. М. Глускина (Матем. сб. 68 (1965), 444—472). Приведем пример 3-г руппы, не определяемой како й-л ибо группой. Именно, легко цроверяется, что следующая алгебра с одной тернарной операцией будет 3-группой (на самом деле здесь применяется конструкция, указанная в теореме Поста, к случаю, когда G — циклическая группа четвертого порядка, а А — ее подгруппа второго порядка): алгебра состоит из двух элементов а и Ь, а тернарная операция коммутативна (т. е. произведение xxx2^s не зависит от порядка сомножителей) и задается равенствами а3 = δ, a2b = α, ab2 = 6, b3 = a. Эта 3-группа не будет определяться группой в силу доказанной выше характеризации таких 3-групп, так как а = Ь, Ъ = а.
§ 9. АССОЦИАТИВНЫЕ КОЛЬЦА Настало время вспомнить, что в курсе высшей алгебры наряду с понятием группы значительное место занимают понятия ассоциативного кольца и модуля. Начнем с первого из них. Напомним, что ассоциативное кольцо можно определить как множество, являющееся абелевой группой по сложению и полугруппой по умножению (они называются соответственно аддитивной группой и мультипликативной полугруппой кольца), причем эти операции связаны законами дистрибутивности я (У + ζ) = ХУ + ж*» (χ + y)z = xz + yz. Ассоциативные кольца составляют, следовательно, многообразие. Любая абелева группа G может служить аддитивной группой некоторого ассоциативного кольца — достаточно взять на G нулевое умножение, т. е. положить ab = 0 для всех a, i>EG, где 0 -— нуль аддитивной группы. С другой стороны, не всякая полугруппа служит мультипликативной полугруппой некоторого ассоциативного кольца. Действительно, известно, что во всяком кольце R для любого его элемента а выполняются равенства а.О = 0-я = 0, (1) т. е. мультипликативная полугруппа ассоциативного кольца всегда является полугруппой с нулем (нуль полугруппы определяется равенствами (1)). Всякая полугруппа G изоморфно вкладывается в мультипликативную полугруппу некоторого ассоциативного кольца. Предположим сперва, что G уже является подполугруппой мультипликативной полугруппы кольца R. Тогда подкольцо, порожденное множеством G, будет состоять из тех элементов кольца Д, которые хотя бхл одним способом записываются в виде суммы 2' к*, (2)
454 АССОЦИАТИВНЫЕ КОЛЬЦА [§9 где а пробегает все элементы из G, а коэффициенты являются целыми числами, причем не более конечного числа этих коэффициентов отлично от нуля; это условие на коэффициенты отмечено штрихом у знака суммы. Ясно, что элемент b El G допускает запись вида (2), а именно, с &ь = 1 и ка = 0 для всех а ф Ъ. В соответствии со свойствами операций в кольце элементы этого вида составляют подкольцо, так как 2'М+ 2''α*= Σ'(*« + 'αΚ (3) a<=G a&G a&G 0= 2 Ό·α, (4) -(Σ4.β)= Σ'(-*«κ (5) 24α· S'^= S'wec, (6) a&G te(? c&G где mc является суммой всех отличных от нуля произведений ка1ъ для таких а и Ъ, что аЪ = с. Ясно, что правые части равенств (3) — (6) имеют вид (2) с конечным числом ненулевых коэффициентов. В частности, равенство (6) означает, что конечные суммы, стоящие множителями в левой части этого равенства, перемножаются почленно, затем применяются равенства вида каа-1ьЬ = (ка1ь)(аЪ), произведения ab заменяются равными им элементами с полугруппы G и, наконец, выполняется приведение подобных членов. Полученное подкольцо порождается, очевидно, множеством (?. Пусть теперь G — произвольная полугруппа. Рассмотрим множество всевозможных формальных сумм вида (2) и определим в этом множестве операции в соответствии с равенствами (3) — (6). Мы получим ассоциативное кольцо. В самом деле, по сложению это будет абелева группа, как без всяких затруднений следует из (3) — (5). Проверка ассоциативности ум-
§9] АССОЦИАТИВНЫЕ КОЛЬЦА 455 ножения и законов дистрибутивности уже несколько громоздка, но не представляет никаких принципиальных трудностей, и мы ее опускаем. Отметим, что умножение в соответствии с (6) слов вида (2), имеющих лишь один ненулевой коэффициент, притом равный единице, сводится к умножению элементов полугруппы G. Этим определяется изоморфное вложение заданной полугруппы G в мультипликативную полугруппу построенного нами кольца. Это самое свободное из возможных вложений нашей полугруппы в том смысле, что всякий элемент кольца записывается через элементы полугруппы в виде (2) однозначно. Построенное нами кольцо называется целочисленным полугрупповым кольцом полугруппы G, а если G — группа, то целочисленным групповым кольцом этой группы. Если мультипликативная полугруппа ассоциативного кольца R обладает единицей (см. § 3), то R называется кольцом с единицей. Ассоциативные кольца с единицей составляют, очевидно, многообразие. Всякое ассоциативное кольцо R изоморфно вкладывается в ассоциативное кольцо с единицей. Предположим сперва, что кольцо R уже содержится в ассоциативном кольце Я с единицей е. Тогда подкольцо, порожденное в R множеством R \J e, будет состоять из тех элементов, которые хотя бы одним способом записываются в виде а + ке, (7) где а ЕЕ R, к — целое число; обозначим выражение (7) символом (а, к). Из свойств операций в кольце R следует: (а, к) + (Ь, /) - (а + 6, к + /), (8) О = (0, 0), (9) -(а, к) - (-a, -fc), (10) (а, к) (Ъ, I) = (аЬ + la + кЪ, Ы). (И) Пусть теперь R — произвольное ассоциативное кольцо. Рассмотрим множество всевозможных пар вида
456 АССОЦИАТИВНЫЕ КОЛЬЦА [§9 (а, &), где а е R, к — целое число, и определим в нем операции в соответствии с равенствами (8) — (11). Мы получим ассоциативное кольцо — очевидно, что это будет абелева группа по сложению, а проверка ассоциативности умножения и законов дистрибутивности хотя и громоздка, но не представляет никаких принципиальных трудностей. Единицей этого кольца служит пара (0, 1), как немедленно следует из (11). Наконец, из (8) и (И) следует (а, 0) + (ft, 0) = (а + ft, 0), (а, 0) (ft, 0) - (aft, 0), т. е. пары вида (а, 0) составляют в построенном нами кольце подкольцо, изоморфное исходному кольцу R. Мы получили самое свободное вложение кольца R в кольцо с единицей в том смысле, что запись элементов кольца Я в виде (7) — ввиду (8) — (11) будет (а, к) = (а, 0) + к (0, 1) — оказывается однозначной. Ассоциативно-коммутативные кольца (умножение не только ассоциативно, но и коммутативно) были подсказаны, понятно, кольцами чисел, кольцами многочленов и кольцами функций. Покажем, чем оправдывается большой интерес к произвольным ассоциативным кольцам. Рассмотрим гомоморфизмы некоторой группы G, записанной мультипликативно, в абелеву группу G', записанную аддитивно. Если φ и ψ — два таких гомоморфизма, то отображение φ + ψ, определяемое равенством а (ф + Ψ) = αΨ + β'Ψ> a e G, (12) также будет гомоморфизмом G в G'. Действительно, ввиду коммутативности сложения в G' получаем для любых fl,iGfi (βδ)(φ + г|з) = (αδ)φ + (eft)\|) = = mq> -j- δφ + «ψ + #Ψ = (αφ + aty) + (ftq> + bty) = = «(φ + Ψ) + δ(φ + ψ)·
§9] АССОЦИАТИВНЫЕ КОЛЬЦА 457 Ясно, что это сложение гомоморфизмов коммутативно и ассоциативно. Роль нуля играет пулевой гомоморфизм, отображающий всю группу G в нуль группы Gf. С другой стороны, для любого гомоморфизма φ: G -> Gf отображение —φ, определяемое равенством α (—φ) = —αφ, а е= G, будет гомоморфизмом, так как для любых a, b g= G (ab)(~ φ) = — (α&)φ = —(αφ -f 6φ) = = (—αφ) + (—Μ = β (—ψ) + 6 (—φ)· Этот гомоморфизм будет противоположным для φ, так как для α ΕΞ G α [φ + (—φ)1 = αφ -f α (—φ) — αφ — αφ = 0, т. е. φ + (—φ) равно нулевому гомоморфизму. Таким образом, гомоморфизмы любой группы G (легко проверить, что в качестве G здесь можно было бы взять не группу, а любую алгебру, однотипную с группой) в абелеву группу G' составляет по сложению абелеву группу, В частности, эндоморфизмы абелевой группы G составляют по сложению, определяемому равенством (12), абелеву группу. Вместе с тем, в соответствии с § 3 они составляют полугруппу с единицей по умножению в смысле умножения преобразований. Покажем, что эти операции связаны законами дистрибутивности. Именно, для любого а£б и любых эндоморфизмов φ, ψ и χ α [φ (ψ + λ)1 = (αφ)(ψ + χ) = (αφ) ψ + (αφ)χ = = «(φψ) + β(φχ) = д(ф% + φχ), « Ι(Ψ + χ) φΐ = ί«(Ψ + χ)Ι φ = («Ψ + «χ)φ = = (αψ)φ + (αχ)φ - α(ψφ) + α(χφ) = α (ψφ + χφ). Для дальнейшего отметим, что в доказательстве первого закона дистрибутивности не использовалось то, что преобразования φ, ф, χ являются эндоморфизмами. Таким образом, эндоморфизмы абелевой группы G составляют относительно операций сложения и умножения эндоморфизмов ассоциативное кольцо с едини·
458 АССОЦИАТИВНЫЕ КОЛЬЦА [§9 цей. Оно называется кольцом эндоморфизмов абелевой группы G. Всякое ассоциативное кольцо изоморфно вкладывается в кольцо эндоморфизмов некоторой абелевой группы. Так как всякое ассоциативное кольцо изоморфно вкладывается в ассоциативное кольцо с единицей, то мы будем доказывать следующую теорему: Всякое ассоциативное кольцо В с единицей 1 изоморфно вкладывается в кольцо эндоморфизмов своей аддитивной группы. В самом деле, сопоставим всякому α ΕΞ R преобразование, переводящее всякий элемент χ εξ R в элемент χα. Это эндоморфизм аддитивной группы кольца R, так как (х + у) а = ха -J- уа. Сумме и произведению элементов из R соответствуют сумма и произведение соответствующих эндоморфизмов, как показывают равенства χ (а + Ъ) = ха + xb, x (ab) — {ха) Ъ. Наконец, различным элементам из R соответствуют различные эндоморфизмы, так как из а ф Ь следует 1·α=£ 1-6. В теории ассоциативных колец, ныне весьма широко разработанной, большую роль играют следующие классы колец, не являющиеся, впрочем, многообразиями: кольца без делителей нуля и тела. Имепно, кольцо R называется кольцом без делителей нуля, если его элементы, отличные от нуля, составляют подполугруппу мультипликативной полугруппы кольца, иными словами, если произведение любых двух элементов из R, отличных от нуля, само отлично от нуля. Если же указанная подполугруппа отличных от нуля элементов является по умножению даже группой, то кольцо называется телом, а в ассоциативно-коммутативном случае — полем. Ясно, что всякое подкольцо кольца без делителей нуля, в частности, тела, само будет кольцом без делителей нуля. Возникает естественный вопрос, всякое ли ассоциативное кольцо без делителей нуля можно
§9] АССОЦИАТИВНЫЕ КОЛЬЦА 459 вложить в тело? Этот вопрос оказался тесно связанным с вопросом об условиях, при которых полугруппа может быть вложена в груцпу. Из свойств группы немедленно следует, что если полугруппа G является подполугруппой группы, то G будет полугруппой с сокращениями, т. е. для любых а, Ь, с ΕΞ G из ас — be, а также из са = = сЪ следует а = Ъ. Полугруппа ненулевых элементов всякого ассоциативного кольца без делителей нуля будет полугруппой с сокращениями: если в кольце без делителей нуля ас = be и с =f= 0, то (а — Ь) с = О, откуда а — δ = 0, т. е. а = Ь. Можно доказать, что всякая коммутативная полугруппа с сокращениями изоморфно вкладывается в абе- леву группу, а всякое ассоциативно-коммутативное кольцо без делителей нуля (т. е. область целостности) изоморфно вкладывается в тело. С другой стороны, А. И. Мальцев (Math. Ann. 113 (1937)) построил пример ассоциативного (но не коммутативного) кольца без делителей нуля, которое не вкладывается в тело, причем полугруппа ненулевых элементов этого кольца (являющаяся, как мы знаем, полугруппой с сокращениями) не вкладывается в группу. В самое последнее время несколько авторов, в частности, Л. А. Б о к у τ ь (ДАН СССР 165 (1965), 555—558), построили примеры ассоциативных колец без делителей нуля, которые не вкладываются в тело, хотя полугруппы их ненулевых элементов вкладываются в группу.
§ 10. НЕАССОЦИАТИВНЫЕ КОЛЬЦА Хотя требование ассоциативности умножения в кольце оказывается весьма естественным, как только что было показано, однако очень часто оно не выполняется. По этой причине кольцом называют сейчас неассоциативное (т. е. не обязательно ассоциативное) кольцо. Это алгебра, являющаяся абелевой группой по сложению и группоидом по умножению, причем эти операции связаны законами дистрибутивности. Слова «аддитивная группа кольца» и «мультипликативный группоид кольца» имеют понятный смысл. Отметим, что для (неассоциативных) колец сохраняются (с их доказательствами) многие простейшие свойства ассоциативных колец, в частности, законы дистрибутивности для разности, а (Ъ —- с) = аЬ — ас, (Ъ ■— с) а = Ъа — са9 мультипликативное свойство нуля, а.0 = 0-а = 0, правило знаков при умножении, (—а) Ъ = а (—6) = — ab, (—a)(—b) = ab. Дословно так же, как в предыдущем параграфе, доказывается, что всякий группоид G изоморфно вкладывается в мультипликативный группоид некоторого кольца (а именно, строится целочисленное группоидное кольцо группоида G), а также что всякое кольцо изоморфно вкладывается в кольцо с единицей. Понятие кольца без делителей нуля переносится на неассоциативный случай без всяких затруднений. Что же касается понятия тела, то при его перенесении на неассоциативный случай возникают различные возможности, причем пока нет установившейся терминологии. Мы будем говорить о кольце с делением, если для любых а и &, где a=f= 0, уравнения ах = &, уа = Ъ обладают в кольце решениями, не обязательно однозначно определенными. Кольцо с делением может обладать, следовательно, делителями нуля.
§10] НЕАССОЦИАТИВНЫЕ КОЛЬЦА 461 Кольцо, в котором указанные уравнения обладают однозначными решениями, назовем квазителом. Делителей нуля квазитело содержать не может и поэтому его отличные от нуля элементы составляют по умножению группоид, даже квазигруппу. Наконец, термин тело целесообразно применять к кольцу, мультипликативный группоид ненулевых элементов которого является лупой или, быть может, даже муфанговой лупой. Можно доказать, что всякое (неассоциативное) кольцо без делителей нуля вкладывается в квазитело (Б. Ней- м а н, Proc. London. Math. Soc. 1 (1951), 241-256). Отметим также, что всякий группоид с сокращениями (ср. § 9) вкладывается в квазигруппу (см., например, П. К о н, Универсальная алгебра, VII, 4). Покажем некоторые случаи появления неассоциативных колец. Пусть R — произвольное ассоциативное кольцо. Сохраним его аддитивную группу, а операцию умножения аЪ заменим операцией комльути- рования а°Ь = аЪ — Ьа. (1) Это новое умножение дистрибутивно относительно сложения; так, например, а°(Ь + с) = а (Ъ + с) — (Ъ + с) а = аЪ -f ас — Ьа — са = — (ab — Ьа) + (ас ~~ са) = а°Ъ + а°с. Обозначим полученное кольцо через R^K Если кольцо R было и коммутативным, то R^ будет просто кольцом с нулевым умножением. В общем же случае оно может оказаться неассоциативным. В нем выполняются, однако, следующие тождества, из которых второе называется тождеством Якоби: х* - 0, (2) (ху) ζ + (уζ) χ + (ζχ) у = 0. (3) Проверим эти тождества: а°а = аа — аа = 0;
462 НЕАССОЦИАТИВНЫЕ КОЛЬЦА [§Ю (aob)°c + (boc)oa + (c°a)ob = (ab — ba) с — — с {ab — ba) + (be — cb) a —- a (be — cb) -f + (ea — ac) b — b (ca — ac) = 0. Кольцо, удовлетворяющее тождествам (2) и (3), называется лиевым. Таким образом, всякому ассоциативному кольцу R соответствует лиево кольцо R<~) с той же аддитивной группой и с умножением, определяемым равенством (1). Как показал Л а з а р (С. г. Paris 234 (1952)), для всякого лиева кольца L можно указать такое ассоциативное кольцо Д, что L изоморфно вкладывается в лиево кольцо ί?Η. Для дальнейшего отметим, что лиево кольцо, соответствующее в указанном смысле кольцу эндоморфизмов абелевой группы G, мы будем называть лиевым кольцом эндоморфизмов этой абелевой группы. Укажем еще один случай появления лиевых колец. Если R — произвольное (не обязательно ассоциативное) кольцо, то дифференцированием кольца R называется всякое преобразование δ множества R, являющееся эндоморфизмом аддитивной группы кольца R, т. е. (а + 6)6 = αδ + δδ, afb e R, и удовлетворяющее условию (аЬ)Ь = (аб)Ъ + α(6δ), о,^£Й. Примером дифференцирования любого кольца R служит нулевой эндоморфизм его аддитивной группы. Дифференцирования произвольного кольца R составляют лиево кольцо, а именно подколъцо лиева кольца эндоморфизмов аддитивной группы кольца Д. В самом деле, если δχ и δ2 — дифференцирования кольца R, то эндоморфизм аддитивной группы Ьг + -!~ δ2 также будет дифференцированием, так как для любых a, b £Ξ R (ab)(6x + δ2) - (аЬ)6г + (ab)82 = = (а6х)Ь + а(ЬЬг) + (αδ2)6 + α(£δ2) = = (αδχ + аб2)Ь + а(ЬЬг -f δδ2) =-- = [а (6г + δ2)] b + a lb (Ьг + β2)1.
§10] НЕАССОЦИАТИВНЫЕ КОЛЬЦА 463 Нулевой эндоморфизм, как уже отмечено выше, является дифференцированием. Эндоморфизм —δ, противоположный дифференцированию δ, сам будет дифференцированием, так как для а, Ъ ΕΞ R (аЬ)(—Ь) = —1(аЪ)6] = -[(αδ) Ъ + а (δδ)] - = [α(-δ)]6 + а Ιδ(-δ)]. Наконец, лиево произведение δι°δ2 = δ,δ2 — δ2δχ дифференцирований Ьг и δ2 само будет дифференцированием, так как для а, Ъ е= R (аЬ)(6гоб^ - (аЬ)фА - δ2δχ) - = [(αδ) 6J δ2 - Ι(αδ)δ2] 6Х - = Ι(βδι)6 + α(δδ1)]62 - [(αδ2)δ + α^)^ = = [(αδ^δΐδ, + [а(ВДб2 - [(вб^Ыв! - [α (ЬваЯб^ = [(αδ^δ,ΐδ + (αβ^δβ,) + (αδ,)^) + α [(δδ^δ,] - - [(αδ^δ^δ — (αδ^δδ^ - (αδ^δδ,) - «[(δδ^δ^^ - [α(δι0δ2)] δ + α[δ (δι0δ2)]. Заметим, что совокупность дифференцирований кольца R подкольцом (ассоциативного) кольца эндоморфизмов его аддитивной группы в общем случае не будет. Другой класс неассоциативных колец мы получим следующим аналогичным путем. В произвольном ассоциативном кольце R сохраним аддитивную группу, а операцию умножения заменим операцией симметрирования а-Ъ = аЪ + Ъа. (4) Это новое умножение дистрибутивно относительно сложения; например, а-(Ь + с) = а(Ъ + с) + (δ + с)а = аЪ + ае + Ъа + + са = (αδ + Ъа) + (ас -f са) = а-Ъ + а-г. Обозначим полученное кольцо через Д<+). Покажем, что в пем выполняются следующие тождества: х-у = г/-#, (5) [(#· #)·#]·# = (*·*)·(»·#). (6)
464 НЕАССОЦИАТИВНЫЕ КОЛЬЦА [§Ю В самом деле, для любых а,Ъ 6Ξ R а-Ъ — ab + Ъа = 6а + аб = й-#> [(α·α)·δ]·α = [(αα + aa) b + b(aa + aa)] a + + a [(aa + яа)й + b(aa + aa)] = — aaba -f- αα&α + ^ααα + &ш# + αααδ + aaab + + afeaa + ctbaa = (aa + aa)(ba + яЬ) + + (fea + ab) (aa + αα) = (a-a)-(b-a). Кольца, удовлетворяющие тождествам (5) и (6), называются йордановыми, В общем случае они неассоциативны, хотя к их числу принадлежат, очевидно, все ассоциативно-коммутативные кольца. Мы получили, что всякому ассоциативному кольцу R соответствует йорданово кольцо R^ с той же аддитивной группой и с умножением, определяемым равенством (4). Отметим, впрочем, что не всякое йорданово кольцо изоморфно вкладывается в кольцо R^ для какого-либо ассоциативного кольца i?. Многообразия лиевых и йордановых колец стали уже наряду с многообразием ассоциативных колец носителями богатых и активно разрабатываемых теорий. Изучаются и многие другие классы неассоциативных колец, в частности, коммутативные кольца, удовлетворяющие тождеству (5), и антикоммутативные кольца, удовлетворяющие тождеству (2). Название последних объясняется тем, что в любом кольце R из тождества (2) вытекает тождество ху = —ух. (7) Действительно, если а,Ъ £Ξ R, то, ввиду (2), а2 = &2 _ (а + Ь)2 = 0у откуда 0 - (а + bf = а2 + ab + Ъа + Ь2 = аЬ + Ъа. Обратно, если аддитивная группа кольца R не содержит элементов второго порядка, то из (7) следует (2), так как для любого аёй будет ввиду (7) а2 = —а2,
§10] НЕАССОЦИАТИВНЫЕ КОЛЬЦА 465 т. е. 2а2 = 0, откуда, ввиду сделанного предположения* а2 = 0. Большой интерес представляют некоторые классы колец, являющихся обобщениями ассоциативных колец. Так как в тождестве ассоциативности участвуют три неизвестных, то всякое кольцо, в котором ассоциативны все подкольца, порожденные тремя элементами, само будет ассоциативным. Поэтому естественно возникает понятие альтернативного кольца, т. е. кольца, в котором ассоциативны подкольца, порожденные любыми двумя элементами. Существует теорема Α ρ τ и н а, по которой кольцо тогда и только тогда альтернативно, когда в нем выполняются тождества (хх)у = х{ху), (ух)х = у(хх). Альтернативные кольца составляют, следовательно, многообразие; это можно было бы усмотреть, впрочем, и из исходного определения. Еще более широк класс колец с ассоциативными степенями, т. е. колец, в которых ассоциативны все подкольца, порожденные одним элементом. Весьма широк также класс эластичных колец, удовлетворяющих тождеству (ху)х = х(ух). К этому классу колец принадлежат, очевидно, все альтернативные (в частности, ассоциативные) кольца. К нему принадлежат и все коммутативные (в частности, йордановы) кольца, так как в этом случае (аЪ)а = а{аЬ) = а(Ьа), а также все антикоммутативные (в частности, лиевы) кольца, так как в этом случае, ввиду (7), (ab)a = —a(ab) = —а(~Ьа) = а(Ъа). Понятие кольца, как и понятие группы, может быть определено многими эквивалентными способами; иными словами, существует много различных многообразий алгебр, эквивалентных многообразию всех колец. Так, в произвольном кольце рассмотрим присоединенное
466 НЕАССОЦИАТИВНЫЕ КОЛЬЦА [§Ю умножение, определяемое равенством а*Ъ = а + b — ab. (8) Так как отсюда ab = а + δ — a*fe, (9) то понятие кольца может быть определено при помощи обычного сложения и присоединенного умножения. Законы дистрибутивности принимают теперь непривычный вид, а именно {а + Ъ)*с -= а*с + Ь*с — с, (10) с*(а + δ) = с*а + с*Ь — с. Проверим хотя бы первый из них: (а + Ъ)*с = a ~r b-{-c — (aJrb)c = a-\-bi-\- + с — ас — be — (а + с — яг) + (δ + с ~ be) —- £ = == а*с -[- &*е — с. Обратно, из законов дистрибутивности (10) для присоединенного умножения сейчас же следуют, ввиду (9), законы дистрибутивности для обычного умножения. Нуль кольца играет для присоединенного умножения роль единицы, так как, по (8), я*0 — а + 0 — α·0 = а и аналогично 0*а = а. Ассоциативные кольца имеют ассоциативное присоединенное умножение. Действительно, если кольцо R ассоциативно, то (а*6)*с = (а + Ъ — ab) + с — {а + & — аб) с = = α + & + с — ab — ас — be + abc = ~ а -{- (b -\- с — be) — a (b -\- с — be) = а*(6*с)# Изучение колец с использованием присоединенного умножения открывает новые возможности для развития теории. Так, ассоциативные кольца, являющиеся группой по присоединенному умножению,— единицей этой группы будет, как мы знаем, нуль кольца,—
§10] НЕАССОЦИАТИВНЫЕ КОЛЬЦА 467 аналогичны телам, но уже составляют многообразие. Это кольца, радикальные в смысле Джекобсона; они играют в теории ассоциативных колец очень большую роль. Кольцам без делителей нуля аналогичны полу радикальные кольца, т. е. ассоциативные кольца, по присоединенному умножению являющиеся полугруппой с сокращениями (см. § 9). Всякое подкольцо радикального кольца полурадикально, поэтому возникает вопрос о возможности вложения полурадикального кольца в радикальное. Оказывается (см. В. А. А н д ρ у - накиевич, Изв. АН СССР, сер. матем. 12 (1947) 129—178), что положение здесь в точности такое же, как в вопросе о вложении ассоциативных колец без делителей нуля в тела (см. § 9). Понятия радикального и полурадикального кольца могут быть перенесены и на неассоциативный случай, но, как показал О. И. Доманов, в этом случае теорема, аналогичная отмеченной выше в настоящем параграфе теореме Б. Неймана, уже не имеет места. Отметим ^ще один способ определения кольца. Именно (см. Ю. И. С о ρ к и н, Успехи матем. наук 12:4 (1957)), это можно сделать при помощи одной тернарной операции. Рассмотрим в произвольном кольце R операцию аЪсы — ас — be -f a — £>. (11) Легко проверить, что через эту операцию можно записать все операции, входящие в обычную сигнатуру кольца: ααδω = 0, ΟαΟω = —α, а&Осо = а ■— &, αΟδΟωΟω = а + Ъ, йОЬсоаОо) = аЬ. Тождества, задающие кольцо как алгебру с операцией (И), получаются переписыванием тождеств, входящих в обычное определение кольца, но можно показать, что кольцо может быть также задано относительно этой операции одним единственным тождеством.
§ 11. ГРУППЫ С ОПЕРАТОРАМИ. МОДУЛИ Существует, помимо перечисленных выше, много других типов универсальных алгебр, для которых можно было бы привести столь же убедительные аргументы, оправдывающие их введение и изучение. Мы вынуждены ограничиться кратким перечнем некоторых из них — далеко не всех, не сопровождая этот перечень до некоторого времени сколько-нибудь глубокими теоремами, хотя среди этих типов алгебр будут и такие, которые уже сейчас принадлежат к важнейшим объектам изучения в общей алгебре (например, модули, линейные алгебры и структуры), а также такие, которые должны будут занять центральное положение в алгебре в обозримом будущем. Еще на заре развития общей теории групп стали изучать группы с операторами, т. е. группы, в которых задана некоторая система Σ унарных операций, дистрибутивных относительно группового умножения. Иными словами, группа G называется ^-операторной, а элементы из Σ — операторами для (?, если для любых а,Ь ЕСиа£^ (ab)a = аа>Ьа. (1) Всякий элемент α £Ξ Σ действует, следовательно, как эндоморфизм группы 6г, причем различные элементы из Σ могут действовать в G как один и тот же эндоморфизм. Все группы с данной системой операторов Σ составляют, очевидно, многообразие универсальных алгебр: сигнатура состоит из групповых операций и Σ, а система тождеств — из соответствующих групповых тождеств и тождеств вида (1) для всех α ΕΞ Σ. Заметим, что подалгебры Σ-операторной группы называются Σ-допустимыми подгруппами, а гомоморфизмы Σ-операторных групп (с фиксированной, понятно, системой операторов Σ) — Σ-операторными гомоморфизмами. Понятие группы с операторами подсказано следующими примерами. Всякая группа G будет Σ-операторной относительно любой системы Σ своих эндоморфизмов. От этого частного случая понятие произвольной операторной группы отличается лишь тем, что
§ 11] ГРУППЫ С ОПЕРАТОРАМИ. МОДУЛИ 469 в общем случае, как уже отмечено выше, различные операторы могут действовать как один и тот же эндоморфизм группы. Если в качестве Σ мы возьмем множество всех эндоморфизмов группы С?, то Σ-допустимые подгруппы называются в теории групп вполне характеристическими. Если Σ будет множеством всех автоморфизмов группы G, то Σ-допустимые подгруппы называются характеристическими. Если же в качестве Σ рассмотреть множество всех внутренних автоморфизмов группы G, т. е. трансформирований группы G произвольными ее элементами (если фиксировано α ΕΞ G, то преобразование χ -> а~гха, ж£(?, является, очевидно, автоморфизмом группы G), то Σ-допустимы нормальные делители группы G и только они. С другой стороны, если в произвольном кольце R фиксирован элемент а, то правое умножение на а, т. е. преобразование χ —>- χα, χ εξ R, будет эндоморфизмом аддитивной группы кольца Д, как вытекает из закона дистрибутивности. Если взять в R всевозможные правые умножения, то можно считать аддитивную группу кольца R операторной группой с самим множеством R в качестве системы операторов. Допустимыми будут при этом правые идеалы кольца R, т. е. подгруппы аддитивной группы, выдерживающие умножение справа на любой элемент кольца. Мы получили пример операторной группы, в которой различные операторы могут действовать как один и тот же эндоморфизм группы. Взяв в кольце R левые умножения, мы приходим к еще одной возможности рассматривать аддитивную группу кольца как i?-onepa- торную; допустимыми подгруппами будут при этом левые идеалы кольца. Наконец, объединяя эти две системы операторов, мы придем к такой системе операторов для аддитивной группы кольца J?, что допустимыми подгруппами будут двусторонние идеалы этого кольца и только они. Отметим, что теория групп без операторов является частью теории операторных групп — достаточно взять систему операторов пустой или же состоящей из одного тождественного автоморфизма.
470 ГРУППЫ С ОПЕРАТОРАМИ. МОДУЛИ [§ 11 Изучение групп с произвольной системой операторов равносильно изучению групп с полугруппой операторов: система операторов является полугруппой Π относительно умножения αβ, причем для любого элемента а рассматриваемой группы и любых операторов α? β ΕΞ Π должно выполняться равенство α(αβ) = (αα)β. (2) В самом деле, пусть дана группа G с произвольной системой операторов Σ. Построим полугруппу П, элементами которой служат всевозможные слова вида аха2 . . .ап, где а1? а2, . . ., ап е Σ, η > 1, а умножение слов определяется равенством Каа . . .0(βιβ2 · · · β·) = αι^2 · · <*ηβιβ2 · · ·β·; (3) ассоциативность этого умножения очевидна. Отметим, что Π есть свободная полугруппа с множеством Σ свободных образующих (ср. § 1). Сопоставляя каждому слову αχα2 . . ,ап е= Π эндоморфизм группы G, являющийся произведением эндоморфизмов, соответствующих операторам аь а2, . .., а„Е2, мы превращаем G в П-операторную группу. Π служит для G даже полугруппой операторов, так как справедливость требования (2) вытекает из (3) и ассоциативности умножения эндоморфизмов. Ясно также, что Σ-допустимые подгруппы остаются и П- допустимы ми, а Σ-операторные гомоморфизмы будут и П-операторными. Условие (2) показывает, что, сопоставляя каждому элементу полугруппы операторов Π соответствующий ему эндоморфизм группы G, мы получаем гомоморфное отображение полугруппы Π в полугруппу эндоморфизмов группы G. К полугруппе операторов Π всегда можно присоединить единицу ε, действующую как тождественный автоморфизм основной группы G; условие (2) не будет при этом нарушено. Если полугруппа операторов, обладающая единицей, действует на группе G так, что единица является тождественным оператором, то будем говорить, что она действует унитарно.
§11] ГРУППЫ С ОПЕРАТОРАМИ. МОДУЛИ 471 Частным случаем этого является понятие группы с группой операторов. Если дана группа G с унитарно действующей группой операторов Г, то всякий элемент из Г действует как автоморфизм группы G> т. е. группа Г гомоморфно отображена в группу автоморфизмов группы G, или, как говорят, представлена автоморфизмами группы G. Изучению представлений групп автоморфизмами посвящена книга Б. И. Плоткина «Группы автоморфизмов алгебраических систем», М., «Наука», 1966. Теорию групп с группой операторов можно рассматривать впрочем, как часть теории групп без операторов. Именно, группа Η называется полупрямым произведением своих подгрупп А и J5, причем В должно быть нормальным делителем в Я, если всякий элемент h ΕΞ Η однозначно записывается в виде h = ab, αξ=ζΑ, Ье~В. Трансформирования элементами из А индуцируют в В автоморфизмы, произведению элементов из А соответствует произведение соответствующих автоморфизмов, а поэтому В будет группой с группой операторов А. Обратно, если дана группа G с группой операторов Г и если φ будет соответствующим гомоморфизмом группы Г в группу автоморфизмов группы G, то множество Η пар вида аа, αεΓ, «eG, превращается в группу, если умножение пар определить по правилу аа - β δ = (αβ)(α&6), где а$ = α(βφ) (т. е. образ элемента а при операторе β или, что то же самое, при автоморфизме βφ, соответствующем оператору β). Легко проверяется ассоциативность этого умножения; роль единицы играет пара ге, где ε и е — соответственно единицы групп Г и G; обратным для элемента аа служит элемент or1 (a~1)0L~i. Так же просто проверяется, что элементы вида ае, аеГ, составляют в Η подгруппу Г', изоморфную Г, а элементы вида εα, α ΕΞ G,— нормальный делитель С, изоморфный G, и что группа Η будет их полупрямым произведением, а автоморфизм, индуцированный в G' трансформированием элементом ае е= Г', соответ-
472 ГРУППЫ С ОПЕРАТОРАМИ. МОДУЛИ [§ 11 ствует при изоморфизме между G и G' автоморфизму αφ группы G. Впрочем, переход от полупрямых произведений групп к группам с группой операторов (а также к представлениям групп автоморфизмами других групп) открыл для развития теории такие возможности, которые без этого не могли бы возникнуть. Отметим хотя бы, что класс всех операторных групп с фиксированной группой операторов Г является многообразием: к тождествам, определяющим многообразие групп с системой операторов Г, нужно добавить всевозможные тождества вида (,τα)β = гу, если в группе Г для элементов α, β, γ выполняется равенство αβ = γ. Это же утверждение справедливо, понятно, и для класса групп с фиксировайной полу* группой операторов. Вернемся к произвольной системе операторов, но ограничимся теперь рассмотрением абелевых групп. Изучение абелевой группы с произвольной системой операторов равносильно изучению этой группы как операторной с ассоциативным кольцом операторов. При этом, если G —- абелева группа, записанная аддитивно, a R — ассоциативное кольцо, то & называется абелевой группой с кольцом операторов R или (правым) модулем над кольцом /?, или же, короче, R-модулем, если G является Д-операторной группой, т. е. для любых а, & Gz G и а &Е R имеет место равенство (1), записываемое теперь в виде (а + Ь)а — аа + Ьа, (4) и если, кроме того, для любых й Ε G и α, β6Ε# выполняются равенства а(а + β) = аа + αβ, (5) α(αβ) - (αα)β, (6) из которых последнее совпадает с (2). Как показывает определение кольца эндоморфизмов абелевой группы, всякая абелева группа будет модулем
§ 11] ГРУППЫ С ОПЕРАТОРАМИ. МОДУЛИ 473 над любым подколъцом своего кольца эндоморфизмов. С другой стороны, если задан Λ-модуль G, то, ввиду (5) и (6), этим задан гомоморфизм кольца R в кольцо эндоморфизмов аддитивной группы 6г. Отметим также, что, рассматривая выше аддитивную группу кольца R как Д-операторную, используя правые умножения, мы на самом деле в случае ассоциативного кольца R превратили эту группу в Д-модуль, так как справедливость условий (5) и (6) вытекает здесь из свойств ассоциативного кольца. Если кольцо R обладает единицей ε, то Д-модуль G называется унитарным в том случае, если ε действует в G как тождественный оператор, аг = α, α ΕΞ G, (7) т. е. если группа G имеет мультипликативную полугруппу кольца Д унитарной полугруппой операторов. Изучение абелевых групп с произвольной системой операторов равносильно изучению унитарных модулей. В самом деле, если дана абелева группа G с системой операторов Σ, то описанным выше способом можно перейти к полугруппе операторов П. Обозначим через R целочисленное полугрупповое кольцо полугруппы II (см. § 9) и для любого йбСи любого элемента (ср. § 9) положим яр = 2 К (яа). а СИ Без затруднений проверяется, что группа G превращается этим в Λ-модуль. Вложим, наконец, кольцо R в кольцо с единицей Я способом, указанным в § 9, и для любого α ΕΞ G и любого элемента (p,fc) ΕΞ Я (ср. § 9) положим а (р, к) = ар + ка. Группа G превращается этим в упитарный Д-модуль,
474 ГРУППЫ С ОПЕРАТОРАМИ. МОДУЛИ [§п причем ее Σ-допустимые подгруппы остаются и Я- допустимыми, т. е. будут подмодулями Л-модуля G, а Σ-операторные гомоморфизмы будут и /?-опера- торными. На основании таких же соображений, какие использовались выше в случае полугруппы или группы операторов, устанавливается, что все R-модули над фиксированным кольцом β (а также все унитарные R-модули над кольцом R с единицей) составляют многообразие. Отметим, что всякая авелева группа G является унитарным модулем над кольцом целых чисел,— если к — любое целое число, то его действие как оператора состоит в том, что всякий элемент а ЕЕ G переходит в свое fe-кратное ка. Унитарные модули над ассоциативным (не обязательно коммутативным) телом К называются {правыми) векторными пространствами над К; если К — поле, то добавлять «правыми» понятно, нет необходимости. Многообразие векторных пространств над телом К является одним из немногих примеров многообразий, все алгебры которых могут быть полностью описаны. Именно, всякое векторное пространство над К обладает базами, т. е. максимальными линейно независимыми подмножествами, причем все его базы имеют одну и ту же мощность; она называется размерностью пространства. С другой стороны, для всякой мощности ш, конечной или бесконечной, над телом К существует векторное пространство размерности т. Наконец, два векторных пространства над телом К изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одну и ту же размерность.
§ 12. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ УНИВЕРСАЛЬНЫХ АЛГЕБР В ПОЛУГРУППАХ Предыдущий параграф дал нам примеры алгебр с бесконечным множеством операций. Еще раньше мы встречались с операциями произвольной арности. Можно считать, таким образом, что понятие универсальной алгебры уже достаточно хорошо оправдано во всей той общности, в какой оно было введено в § 1. Существует, однако, возможность сделать это оправдание еще более убедительным, показав, что на самом деле все универсальные алгебры могут быть некоторым естественным способом получены при помощи полугрупп. Пусть дана полугруппа П. Зафиксируем в ней элемент а, возьмем натуральное число η и рассмотрим слово х1 . . . хпа. (1) Любой системе значений Ъг, . . ., Ъп ΕΞ Π неизвестных х1г . . ., хп слово (1) сопоставляет однозначно определенный элемент Ъх . . . Ьпа полугруппы П, т. е. определяет в Π га-арную операцию. Конечно, гг-арные производные операции можно задать в полугруппе Π и многими другими способами, но мы ограничимся сейчас операциями, определяемыми словами вида (1), т. е. заданием числа η и элемента а. Если дана произвольная сигнатура Ω, то сопоставим каждому ω ΕΞ Ωη, η]> 1, некоторый элемент αω полугруппы Π (эти элементы не обязаны быть различными для различных ω) и зададим на Π операцию ω при помощи слова хг . . . χηαω. Если, сверх того, элементы αω будут зафиксированы в Π и для всех со ΕΞ Ω0, то на множестве Π будет задана алгебра сигнатуры Ω, которую назовем специальной производной алгеброй сигнатуры Ω на полугруппе П. Эта алгебра определяется, конечно, выбором элементов αω, ω е Ω. Мы скажем, что алгебра G сигнатуры Ω обладает специальным точным представлением в полугруппе II, если она изоморфно вкладывается в некоторую специальную производную алгебру сигнатуры Ω на этой полугруппе. Докажем следующую теорему Кона- Ребане (П. Кон, Универсальная ал-
476 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ УНИВЕРСАЛЬНЫХ АЛГЕБР [§12 гебра, М., «Мир», 1968; Ю. К. Ρ е б а н е, Сиб. матем. ж. 7 (1966), 878-885). Всякая алгебра G произвольной сигнатуры Ω обладает специальным точным представлением в некоторой полугруппе П. Доказательство. Искомая полугруппа Π будет симметрической полугруппой (т. е. полугруппой всех преобразований) на следующем множестве М: его элементами служат всевозможные такие непустые упорядоченные конечные строки (их, . . ,, щ), что всякое иь i = 1, . . ., s, является или некоторым элементом из G, или же некоторым символом ω εξ Ω положительной арности, причем если щ = со ΕΞ Ωη, η Ξ> 1, и если η + 1 tgZj ^ s, то элементы Щ-п , . . . . . ., щ~г должны не все быть элементами из G. Сопоставим каждому ωΕΞ Ω элемент σω полугруппы Π, т. е. преобразование множества М. Именно, если ω нульарно и отмечает в алгебре G элемент 0ω, то для любого элемента (ulf . . ,,us) £= Μ положим (и±, . . .,^)σω = (uv . . .,ι/θ,0ω); (2) строка, стоящая справа, снова будет элементом из М. Если же со ΕΞ Ωη, η > 1, то полагаем (щ, . . .,Μβ)σω = (uj, . . . ,us,<o), (3) если справа стоит элемент из М; если же это пе так, т. е. если s !> η и все элементы щ_п+1, . . ., us лежат в G, а поэтому в С? существует элемент us_n+1 . . . • . Μ&ω, то полагаем (wlt . . .,и8)аа = (^i, . . . ,щ_п,щ_п+1 . . .^ω). (4) Используя элементы σω, о) ΕΞ Ω, в качестве элементов αω, мы, как указано выше, построим на полугруппе Π специальную производную алгебру сигнатуры Ω. Покажем, что в нее изоморфно вкладывается исходная алгебра G. Сопоставим всякому элементу α 6Ξ G следующий элемент φα полугруппы Π (т. е. преобразование множества М)\ (uv. . . ,^)φα = (ulf. . . ,Щ,а); (5)
§ 12] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ УНИВЕРСАЛЬНЫХ АЛГЕБР 477 строка, стоящая справа, будет, очевидно, элементом множества М. Если a,b g= G и а ф Ь, то φα φ <рь, так как, например, ввиду (5) (я)фа = («»«)» («)фь = (М)· Полученное взаимно однозначное отображение G в Π является изоморфным. В самом деле, если ω εξ Ω0, то, по (5) и (2), Φοω = ог«. Если же со е Ω„, га > 1, то, ввиду (5) и (4), <К. . . οηω = Φαΐ · ■ · Φαησω· Теорема Кона — Ребане доказана. Эта теорема не дает возможности, понятно, сводить все проблемы общей алгебры к теории полугрупп. Она показывает, однако, что все то, что мы изучаем в общей алгебре, в конечном счете содержится в полугруппах. В цикле работ Ю. К. Ребане (Сиб. матем. ж. 7 (1966), 878-885; 10 (1969), 945—949) указаны характеризации тех алгебр, которые обладают точным представлением в коммутативных полугруппах, в полугруппах с сокращениями, а также в полугруппах с некоторыми другими свойствами.
§ 13. УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ С ОПЕРАТОРАМИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ КОЛЬЦА. ЛИНЕЙНЫЕ АЛГЕБРЫ. МУЛЬТИОПЕРАТОРНЫЕ ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ЛИНЕЙНЫЕ АЛГЕБРЫ Специальные производные алгебры сигнатуры Ω на полугруппах, которыми мы пользовались в предыдущем параграфе, были связаны с фиксированием в полугруппе элементов αω, ω ΕΞ Ω. Иными словами, мы рассматривали полугруппу с дополнительной системой нульарных операций, мощность которой равна мощности множества Ω. Иногда рассматриваются и другие типы алгебр с дополнительной системой нульарных операций. Таково, например, многообразие колец с единицей, содержащееся в многообразии всех колец с одной дополнительной нульарной операцией. Столь же часто встречаются алгебры с дополнительной системой унарных операций. Так, понятие группы с операторами немедленно обобщается до понятия алгебры многообразия (Ω, Λ) с системой операторов Σ: каждый оператор aGi должен действовать в алгебре G этого многообразия как некоторый эндоморфизм относительно операций Ω. Как и в § И, от произвольной системы операторов Σ в этом общем случае также можно перейти к полугруппе операторов. В частности, если рассматривается кольцо R с системой операторов Σ, то для любых а^бйиае е Σ будет (а + Ъ)а = аа + Ьа9 (1) (ab)a = аа · Ьа. (2) Часто рассматривают, однако, кольца с такой дополнительной системой унарных операций, что эти операции действуют как эндоморфизмы аддитивной группы кольца, т. е. выполняется условие (1), но связь с умножением в кольце, выражаемая условием (2), заменяется некоторым другим условием. Так, понятие дифференцирования кольца (см. § 10) подсказывает следующее определение:
§ 13] УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ С ОПЕРАТОРАМИ 479 Кольцо R называется кольцом с системой дифференциальных операторов А (или дифференциальным кольцом), если Δ служит системой операторов для аддитивной группы кольца R и если для любых a, b e= R и δΕΑ выполняется условие (аЪ) δ - (аЬ)Ъ + а(Ьб). (3) Каждое δ ΕΞ Δ действует в i?, следовательно, как его дифференцирование. Так как дифференцирования кольца R составляют, как мы знаем, лиево кольцо — обозначим его через Δη,— то от произвольной системы дифференциальных операторов можно перейти к лиеву кольцу дифференциальных операторов. При этом оказывается, что теория колец с произвольной системой дифференциальных операторов (или дифференциальная алгебра, как принято говорить) равносильна изучению объектов, состоящих из произвольного кольца i?, лиева кольца Δ и гомоморфизма φ: Δ -> Δη. Иными словами, помимо тождеств (1) (с заменой α на δ) и (3) будут выполняться следующие тождества: для любых α £ ί и δ1? δ2 Ε А Φι + δ2) = аЬг + αδ2, « (δι°δ2) = {αδ1)δ2 — (α62)δχ, где через ° обозначено умножение в лиевом кольце Δ, а через αδ, δ ΕΞ Δ, обозначен образ элемента α ΕΞ R при дифференцировании δφ ΕΞ Ar. Укажем, наконец, еще один весьма часто встречающийся тип колец с дополнительной системой унарных операций, подсказываемый связью умножения в кольцах матриц и кольцах функций с умножением матрицы или функции на число. Именно, рассмотрим произвольное кольцо R с такой дополнительной системой унарных операций Σ, что всякое α£Σ действует в R как эндоморфизм аддитивной группы, перестановочный в кольце всех эндоморфизмов этой группы со всеми правыми и левыми умножениями кольца R] иными словами, помимо условия (1) выполняется
480 УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ С ОПЕРАТОРАМИ [§ 13 также следующее условие: для любых a,b Ez R (ab)a = (аа)Ъ = α(δα). (4) Те эндоморфизмы аддитивной группы кольца Л, которые удовлетворяют условию (4), составляют под- кольцо Kr в (ассоциативном) кольце всех эндоморфизмов этой группы. Действительно, если эндоморфизмы φ и ψ обладают свойством (4), то, например, для любых а, Ъ ΕΞ R (α6)(φ ± ψ) = (α6)φ + (α&)ψ = (αφ)6±(α*ψ) b = = («φ db а*ф)Ь = [а(ср ± ψ)1&, (Λ6)(φψ) = 1(α6)φ] ψ = [(α<ρ)&]ψ = 1(αφ)ψ]& = = [α(φψ)]&. Ввиду доказанного от произвольной системы Σ можно на основании тех же соображений, что и выше, перейти к ассоциативному кольцу К, элементы которого действуют в кольце R в соответствии с условиями (1) и (4), причем задан гомоморфизм φ: К -> Kr, т. θ. выполняются также условия (5) и (6) из § 11. Таким образом, аддитивная группа кольца R оказывается /Г-модулем. Если кольцо К обладает единицей ε, то естественно предположить, что полученный ^-модуль унитарен, т. е. выполняется также условие (7) из § 11. Если даны произвольное кольцо R и ассоциативное кольцо К с единицей, причем аддитивная группа кольца R является унитарным /^-модулем и выполняется условие (4), то кольцо Д называется линейной алгеброй над кольцом К. Коммутативность кольца К мы не предполагаем. Можно показать, однако, что если кольцо R не содержит аннуляторов, т. е. таких ненулевых элементов Ь, что для всех жбй Ьх = хЪ = 0, то «действующее» кольцо К непременно будет коммутативным. По этой причине, а также и в силу других соображений, с одним из которых мы встретимся в следующем параграфе, целесообразно ограничиться
§ 13] УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ С ОПЕРАТОРАМИ 481 рассмотрением линейных алгебр лишь над ассоциативно-коммутативными кольцами с единицей. Особенно важное место занимает в общей алгебре теория линейных алгебр над полями. Она развивается совершенно параллельно общей теории колец без дополнительных унарных операций, причем часто идет много дальше последней, так как векторные пространства над полями устроены много проще, чем произвольные абелевы группы. Сейчас будут указаны некоторые типы универсальных алгебр, обобщающие те или иные из рассмотренных ранее «классических» типов алгебр. Эти обобщения будут обычно идти весьма далеко в сторону произвольных универсальных алгебр, и поэтому эти типы алгебр естественно вводить лишь теперь, когда общее понятие универсальной алгебры можно считать вполне оправданным. Заметим, чтобы не оговаривать этого каждый раз, что все рассматриваемые нами классы алгебр будут многообразиями. Начнем с понятия, объединяющего понятия группы (притом с произвольной системой унарных операторов) и кольца. Пусть дана группа G. Эта группа не обязана быть коммутативной, но нам будет удобно использовать для нее аддитивную запись; в частности, нулевой элемент этой группы будет, как обычно, обозначаться символом 0. Группа G называется группой с системой мулыпиоператоров Ω или, короче, Q-группой, если в G помимо групповых операций задана еще некоторая система операций Ω положительных арностей, причем эти операции связаны с групповыми операциями следующим условием: для всякого ο)ΕΩη 0 . . .0ω = 0, (5) где слева нуль стоит η раз. Группу G назовем аддитивной группой Ω-группы G. Если подалгебру Ω-группы как универсальной алгебры мы будем называть Ω-подгруппой, то условие (5) можно было бы заменить словами: нуль Ω-группы G является ее Ω-подгруппой. Понятие Ω-группы превращается при пустой системе мультиоператоров Ω в понятие группы.. Всякая
482 УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ С ОПЕРАТОРАМИ [§ 13 Σ-операторная группа имеет Σ системой (унарных) мультиоператоров, так как для всякого α ΕΞ Σ равенство 0·α = 0 немедленно вытекает из условия (1) § 11, переписанного аддитивно. Наконец, произвольное кольцо является частным случаем Ω-груййЫ — система мультиоператоров Ω состоит в этом случае из одного бинарного умножения; справедливость в любом кольце равенства 0-0 = 0 вытекает из законов дистрибутивности. Конечно, связь между мультиоператорами и групповыми операциями, задаваемая условием (5), чрезвычайно слаба. Оказалось, однако, что все параллельно развивающиеся разделы теории групп с операторами и теории колец (их, впрочем, не очень много) могут быть изложены сразу для любых мультиоператорных групп (X и г г и н с, Ргос. London Math. Soc. 6 (1956); русский перевод в сб. «Математика» 3, № 4 (1959)). Следует отметить, что и группы с операторами, и кольца принадлежат на самом деле к числу дистрибутивных Ω-групп. Именно, условие (5) заменяется следующим много более сильным условием дистрибутивности каждой операции из Ω на каждом месте: если ω €Ξ Ωπ, то для i = 1, . . ., η аг . . . а^г (Ь + с) ai+1 . . .αηω = = аг . . . а^гЬа1+1 . . . anC0 + аг. . . «i-i^i+i · · · ап<д. (6) Отсюда следует, как обычно, что ах . . . αηω = 0, если хотя бы один из элементов ati . . ., ап равен нулю; уже это свойство само много сильнее условия (5). Сделаем еще один шаг в сторону теории колец, а именно, выделим такие дистрибутивные Ω-группы, аддитивные группы которых а б е л е в ы, а все муль- тиоператоры из Ω не менее чем бинарны. Это образование называется мулътиоператорным Огколъ- цом. Параллельно вводится понятие мулътиоператор- ной линейной Ω-алгебры над полем Р; именно, в качестве аддитивной группы берется векторное пространство над полем Р, а мультиоператоры из Ω
§ 13] УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ С ОПЕРАТОРАМИ 483 удовлетворяют не только условию дистрибутивности (6), но и условию: если ω & Ωη9 αβΡ, то для г = 1, . . ., η аг . . . cii-i {aat) ai+1 . . . αηω = = a (at . . . «{_! й1Щ+1 . . . αηω). Можно утверждать уже, что именно в этой общности следует рассматривать вопросы, относящиеся к произвольным неассоциативным кольцам и неассоциативным линейным алгебрам (см. обзор А. Г. К у ρ о ш а, Успехи матем. наук 24 : 1 (1969)).
§ 14. АБЕЛЕВЫ АЛГЕБРЫ Перейдем теперь к некоторым другим классам алгебр, обобщающим на этот раз понятие ассоциативного кольца. Это понятие было оправдано в § 9 при помощи колец эндоморфизмов абелевых групп, которые возникли ввиду того, что гомоморфизмы любой группы (на самом деле даже любой алгебры, однотипной с группой) в абелеву группу составляют по сложению гомоморфизмов абелеву группу. Опишем алгебры произвольной сигнатуры, обладающие свойством, аналогичным этому свойству абелевых групп. Пусть дана алгебра А сигнатуры Ω. Скажем, что гомоморфизмы алгебры G этой же сигнатуры в алгебру А суммируемы, если а) для любого ω е Ω71, η > 1, и любых гомоморфизмов φχ, . . ., φη: G-> А отображение срг . . . φηοο, определяемое равенством g (<Ρι · · . ψηω) = (CTi) . . . («τφη)ω, g G G, (1) само является гомоморфизмом; б) для любого ω ΕΞ Ω0, причем 0ω — отмечаемый этой операцией элемент алгебры А, отображение φω: (?-> А, определяемое равенством £Φω = 0ω, JGC, (2) является гомоморфизмом. Алгебра А сигнатуры Ω называется абелевой (в различных частных случаях употребляются многие другие названия), если гомоморфизмы в нее любой алгебры этой же сигнатуры суммируемы. Алгебра А сигнатуры Ω тогда и только тогда абе- лева, когда а) для любых ω £Ξ Ωηι ω' ΕΞ Ω5, η, s > 1, в А выполняется тождество (хп . . ,х1п со) . . . (xsl . , . xsn(u) ω' = = (*ιι · . . #*ι ω') . . . (χ1η . . . χ$ηω') ω, (3) где (xtf, I <J i ^ s, 1 ^ / ^/г) — матрица из неизвестных;
§14] АБЕЛЕВЫ АЛГЕБРЫ 485 б) все ω ΕΞ Ω0 отмечают в А один и тот же элемент и этот элемент является Ω-подалгеброй в А. Доказательство. Пусть ω е= Ωη, ω' ΕΞ Ωδ, га, 5> 1, пусть даны гомоморфизмы φ1? . . ., φ?ι алгебры G сигнатуры Ω в Л и пусть Ь1? . . ., bs ΕΞ G. Положим biifj = a,jf l<i<i, 1 < / < п. (4) Матрица (а^) является на самом деле произвольной матрицей данных размеров из элементов алгебры А — ввиду замечания, сделанного в § 1, достаточно было бы взять в качестве G алгебру Ω-слов над алфавитом bv . . ., bs, а в качестве φ,- гомоморфизм этой алгебры, переводящий указанный алфавит в /-й столбец данной матрицы. Используя (4), (1) и гомоморфность отображений q)j, получаем: («и· . . α1ηω) . . . (asl . . . asn ω)ω' = = [(^ιΦι) · . · (6ι<ρη)ω] . . . КЪм) . . . (6,φη)ω]ω' = = 1Ьг (φχ . . . φηω)] . . . [bs((px . . . φηω)]ω'; (αη . . . α$1ω') . . . (α1η . , . α8ηω')ω = = Ι(*ιΦι) · · · (^Φι)ωΊ · · · 1(&ιφη) . . . (6,φη)ω']ω = = 1(Ъг . . . δβω')ψι1 · · · ϊ(6χ · - - &βω')φη1ω = = (&!... ^ω'Χφι . . . φΛω)ν Эти равенства показывают, что справедливость в А всех тождеств вида (3) равносильна тому, что всякое отображение вида φχ . . . φηω, η > 1, ведет себя как гомоморфизм по отношению ко всем ненульарным операциям ω' £Ξ Ω. С другой стороны, из гомоморфности отображения φω из (5), ω 6Ξ Ω0, следует, в частности, что для любого ω' ΕΞ Ω0 элемент, отмечаемый этой операцией в G, должен переходить при φω в элемент 0W'Ei, т. е., ввиду (2), все ω ΕΞ Ω0 действительно отмечают в А один и тот же элемент; обозначим его просто через 0. Из этой же гомоморфности отображения φω, ο) ΕΞ Ω0, следует, что для любой операции ω' ΕΞ Ωη, η > lf
486 АБЕЛЕВЫ АЛГЕБРЫ [§14 и любых я1} . . ., ап е G будет (аг . . . αηω') φω = Κφω) . . . (αηφω) ω', т. е. 0 . . . Οω' = 0. Обратно, из справедливости условия б) теоремы следует гомоморфность всякого отображения φω, ω ΕΞ Ω0. Отсюда же следует, наконец, и гомоморфность всякого отображения вида Φι · · · Фп&>, °>е Ωη, и>1, относительно нульарных операций: если операция ω' ΕΞ Ω0 отмечает в алгебре G элемент 0ω', то, по (1), Οω' ίφΐ - · · φτιΟ)) = (Οω'φχ) . . . (Οω'φη)ω = - 0 ... Οω - 0. Теорема доказана. Заметим, что мы получили бы в точности этот же класс алгебр, если бы в определении абелевой алгебры требовали суммируемость гомоморфизмов в алгебру А лишь для таких алгебр сигнатуры Ω, которые принадлежат к некоторому заданному многообразию, содержащему А. В этом случае нужно было бы только использовать в доказательстве теоремы не алгебру Ω-слов, а соответствующую свободную алгебру этого многообразия. Если алгебра А сигнатуры Ω абелева, то определения (1) и (2) превращают множество всех гомоморфизмов в А любой алгебры G сигнатуры Ω в алгебру этой же сигнатуры,— (1) задает все операции положительных арностей, а гомоморфизм φω из (2) отмечается нульарной операцией ω; это алгебра гомоморфизмов G в А. Из определения операций над гомоморфизмами немедленно следует, что β алгебре гоморорфиз- мов любой алгебры G в абелеву алгебру А выполняются все тождества, выполняющиеся в А; в частности, эта алгебра сама будет абелевой. Из сказанного следует, что эндоморфизмы абелевой алгебры А сигнатуры Ω составляют по указанным операциям абелеву алгебру этой же сигнатуры. С другой стороны, они составляют полугруппу по умножению (в смысле умножения отображений, см. § 3). Это умножение связано с операциями из Ω законами дистрибутивности. Именно, если ω ΕΞ Ω?1, η > 1, то для любого
§14] АБЕЛЕВЫ АЛГЕБРЫ 487 «G4 и любых эндоморфизмов φΐ7. . .,φη/ψ будет, ввиду (1), α[ψ(φι . . . φηω)1 - (αψ)(φ1 . . . φηω) = = Ι(αψ)φ1] . . . [(αψ)φήΐω = Μψψι)] . . . [α(ψφΛ)1ω = -αΙ(ψΦι) · . · (ψφιιΜ, *1(φι · · · φηω)ψ] = [α(φχ . . . φηω)1ψ = = ί(αφι) . . . (шрп)о)Ь|) — 1(αφι)ψ1 · · · [(α<Ρη)ψ1ω = = ΜψιΨ)1 - · · Ηφτιψ)]» = α[(φ!ψ) . . . (Φηψ)ωΐ, τ. θ. ψ (ψ! . . . φ^ω) = (ψψ!) . . . (ψφη)ω, (5) (Φι . . . Φ„ω)ψ = (φχψ) . . . (φηψ)ω. (6) С другой стороны, если мы обозначим теперь через φ0 нулевой эндоморфизм алгебры А (т. е. эндоморфизм из (2), отображающий А в нуль 0 этой абелевой алгебры), то для любого α ΕΞ А и любого эндоморфизма я|) будет я(*Фо) = (<*Ψ)φο = О, <*(φοΨ) = (^Φο)Ψ = Oife = О, т. е. ψφο = Фо> (7) ΦοΨ = Φο· (8) Мы пришли к следующему многообразию алгебр: это абелевы алгебры сигнатуры Ω (с нулем 0, если в Ω имеются нульарные операции) и в то же время полугруппы по бинарному умножению, причем выполняются законы дистрибутивности и, в частности, нуль абелевой алгебры играет роль нуля для умножения. В соответствии с терминологией, которая будет введена в следующем параграфе, полученные алгебры можно называть дистрибутивными кольцоидами над абеле- выми алгебрами. Рассмотрим некоторые примеры. В многообразии групп абелевыми алгебрами будут в точности абелевы группы. Действительно, тождество (3) в группе для случая, когда и ω, и ω' являются умножением, имеет
488 АБЕЛЕВЫ АЛГЕБРЫ [§14 ВИД откуда x12x2i = ^Лг» τ· е· умножение коммутативно. Если же одна из операций ω, ω' является умножением, а другая — переходом к обратному элементу, то (3) принимает вид \Х]Х%) ~ Х\ #2 ? что в абелевой группе действительно выполняется. Наконец, единица группы на самом деле является подгруппой. Дистрибутивные кольцоиды совпадают в этом случае с ассоциативными кольцами. Для полугрупп с единицей абелевость также совпадает с коммутативностью, как показывает тождество (9) при хи = х12 = 1. В многообразии всех полугрупп существуют, однако, некоммутативные, но абелевы полугруппы. Такова, например, всякая полугруппа с умножением аЬ = а. Кольцо будет абелевым тогда и только тогда, когда оно с нулевым умножением, т. е. в нем выполняется тождество ху — 0. Действительно, тождество (3) для случая, когда ω — сложение, а ω' — умножение, принимает вид \Хц -р Xyz)\X<i\ + #22) == ^11^21 \ Х\гХ%Ъ1 откуда при х22 = 0 получаем χχ%χ2Χ ~ 0· Кольца с нулевым умножением играют в теории колец на самом деле ту же роль, какая в общей теории групп принадлежит абелевым группам. Рассмотрим, наконец, унитарные модули над ассоциативным кольцом К с единицей. Все требования, содержащиеся в приведенной выше характеризации а бе левых алгебр, вытекают в этом случае из определения модуля, кроме одного. Именно, если а, Ре^, то тождество (3) принимает для случая ω = α, ω' = β вид (ха)$ = (х$)а, т. е. *(αβ) = *(βα). (10)
§14] АБЕЛЕВЫ АЛГЕБРЫ 489 Естественно ограничиться поэтому при рассмотрении модулей, являющихся абелевыми алгебрами, просто модулями над коммутативно-ассоциативным кольцом К. При этом ограничении на К дистрибутивные кольцоиды над унитарными К-модулями — это в точности ассоциативные линейные алгебры над кольцом К. Действительно, дистрибутивность умножения на первом и на втором месте (условия (5) и (6)) относительно унарной операции а ΕΞ К, взятой в качестве ω, и есть как раз условие (4) из § 13.
§ 15. КОЛЬЦОИДЫ В этом параграфе будет введен еще один тип алгебр, более широкий, чем рассмотренный выше класс дистрибутивных кольцоидов над абелевыми алгебрами, но не менее естественный. Абелевы алгебры появились у нас потому, что мы хотели обеспечить суммируемость гомоморфизмов произвольной алгебры сигнатуры Ω в данную алгебру. Эта потребность отпадает, однако, если мы будем рассматривать не гомоморфизмы, а произвольные отображения. Именно, пусть дана алгебра А сигнатуры Ω. Рассмотрим множество всевозможных отображений (не только гомоморфизмов!) алгебры G сигнатуры Ω в алгебру А. Определяя для любого ω ΕΞ Ωη, η ;> 1, и любых отображений φ1? . . ., cpn: G-+A отображение срг . . . φ^ω равенством (1) из § 14, а для любого ω ΕΞ ΕΞ Ω0 отображение φω равенством (2) из § 14, мы превращаем множество всех отображений G в А в алгебру сигнатуры Ω. Из определения операций над отображениями сейчас же следует, что в этой алгебре отобра- жений Gb А выполняются все тождества, справедливые в А, т. е. эта алгебра принадлежит к многообразию (Ω, Λ), если в нем содержится алгебра А, В частности, все преобразования алгебры А многообразия (Ω, Λ) составляют по указанным операциям алгебру этого же многообразия — алгебру преобразований алгебры А. С другой стороны, они составляют полугруппу по умножению преобразований — симметрическую полугруппу на множестве А. При этом умножение преобразований связано с операциями из Ω законами дистрибутивности на втором месте: для любого (0G2n, η > 1, и любых преобразований ψ, ψ!, ... φη ψ(<Ρι · · · Ψηω) = (Ψ<Ρι) . . . (ψψη)ω; (1) для любого ω ΕΞ Ω0 и любого преобразования ψ ψφω = φω. (2) Действительно, при выводе формул (5) и (7) из § 14 (в отличие от формул (6) и (8)) мы на самом деле не использовали того, что рассматриваемые преобразования являются эндоморфизмами.
§15] КОЛЬЦОИДЫ 491 Полученное образование называется симметрическим (Ω, А)-колъцоидом на алгебре А в соответствии со следующим общим определением: Алгебра G, сигнатура которой состоит из Ω и еще одного бинарного умножения, называется кольцоидом над алгеброй многообразия (Ω, Λ) или (Ω, А)-колъцо- идом, если G, рассматриваемая как алгебра сигнатуры Ω, содержится в многообразии (Ω, Λ), а по умножению G является полугруппой, и если умножение связано с операциями из Ω законами дистрибутивности на втором месте. Операции из Ω называются аддитивными операциями кольцоида G, a G как алгебра сигнатуры Ω — аддитивной алгеброй кольцоида. Если законы дистрибутивности для умножения относительно операций из Ω выполняются и на первом месте (ср. (6) и (8) из § 14), то кольцоид называется дистрибутивным. Докажем следующую теорему Я. В. Хиона (Тр. Моск. матем. о-ва 14 (1965), 3—47), хорошо оправдывающую понятие кольцоида: Всякий (Ω, А)-колъцоид G изоморфно вкладывается в симметрический (Ω, А)-колъцоид S на некоторой алгебре Η многообразия (Ω, Λ). В качестве алгебры Η можно взять, например, алгебру преобразований ад- дитивной алгебры G+ кольцоида G. Доказательство. Пусть Η выбрано так, как указано в формулировке теоремы. Условимся обозначать умножение в кольцоидах G и S символом о для того, чтобы не смешивать его с применением преобразований. Среди преобразований алгебры G+ (т. е. множества G) имеются следующие постоянные преобразования cg, g ΕΞ G: для всякого жЕб xcg = g. (3) Множество С всех постоянных преобразований является подалгеброй алгебры Н. Действительно, для всякого ω ΕΞ Ωη, η > 1, и всяких я, аг, . . .,ап ΕΞ G будет, ввиду (1) из § 14 и (3), **чи...«п« = «i-.. αΛω = (xcj . . . (xcaJ ω = = X (Cai · - · Ce <0)f
492 КОЛЬЦОИДЫ [§15 откуда *αι...αηω = ** . . . C^G). (4) С другой стороны, если операция ω ΕΞ Ω0 отмечает в G элемент 0ω, то для отмечаемого ею вЯ элемента φω будет, ввиду (2) из § 14, #φω = 0 для всех χ е= G, откуда, ввиду (3), Φω = С0со. (5) Сопоставим каждому элементу α ΕΞ G элемент sa ΕΞ S, определяемый как преобразование множества Я, следующим образом: если АеС, h = cg, то hsa = °goa\ (6) если же h φ С, то hsa = ca. (7) Если а, 6 Еб и a =f= b, то sa=j= sb. Действительно, в этом случае найдется преобразование h множества <?, не принадлежащее к С (например, перестановка а и 6), и, по (7), hsa = са, hsb = сь, но ca=f=cb. Полученное вложение G в S является мономорфизмом кольцоидов. Именно, если ω£ Ωη, η > 1, то для любых &\1 · · · , &γι УНТ & В самом деле, если h = с^, то, применяя (6), (1), (4), снова (6), а затем (1) из § 14, получаем: = ^ . . . 6?^αηω = (Й5в1) . . . (hsaJ ω = = Α (ν . . . sfln©). Если же h ς£ С, то, применяя (7), (4), снова (7), а затем
§15] КОЛЬЦОИДЫ 493 (1) из § 14, также получаем: = (ftsai)... (hsaj ω = ft (5αι.. . 5α Ίω). Далее, если операция ω ΕΞ Ω0 отмечает в С? элемент 0ω, то s0(u будет элементом, отмеченным этой операцией в S. В самом деле, если ft = cg, то, применяя (6) и (2), получаем если я^е ft φ, С, то, по (7), снова Теперь остается сослаться на (5), а затем на (2) из § 14. Наконец, для любых a, b Ez G В самом деле, если ft = eg, то, используя (6), ассоциативность умножения в кольцоиде, снова (6) и определение умножения преобразований, получаем: hsaob = Cgoacb = (A«a) sb — h (sa ° sb). Если же ft q£ С, то, ввиду (7) и (6), снова hSaob = СаоЪ = (hsa) Sb = ft ($rt о $fe). Теорема доказана. Еще в тридцатых годах началось изучение кольцоидов над группами, т. е. почти-колец. Из того, что было сказано выше, можно сделать заключение, что понятие почти-кольца является столь же естественным объектом изучения, как и много более узкое понятие ассоциативного кольца. Это же справедливо и для двух промежуточных случаев — для дистрибутивных почти-колец (дистрибутивность выполняется на обоих местах, но аддитивная группа может быть неабелевой) и для почти-колец с абелевой аддитивной группой (хотя дистрибутивность на первом месте может не выполняться).
494 КОЛЬЦОИДЫ [§15 Давно изучаются и полукольца, т. е. кольцоиды над полугруппами. Рассматривались и неокольца, т. е. кольцоиды над лупами, а также кольцоиды над п- группами и т. д. Весьма интересны и давно изучаются кольцоиды над кольцами; для них конкурируют несколько названий, в том числе менгеровы алгебры. Значение их основано на том, что симметричная мен- герова алгебра на кольце R — это просто совокупность всюду определенных функций одного переменного из R в /?, рассматриваемая как кольцо относительно операций сложения и умножения функций (в смысле сложения и умножения значений функций при каждом значении переменного, ср. (1) из § 14) и в то же время как полугруппа относительно суперпозиции функций: (f°g)(x) = *(/(*)>. По существу эти же слова применимы, понятно, и к случаю симметрического кольцоида на алгебре любого многообразия (Ω,Λ). В литературе уже появились различные обобщения кольцоидов. Так, рассматриваются неассоциативные (Ω,Λ)- кольцоиды — по умножению лишь группоид (в частности, квазигруппа), а не полугруппа. Рассматриваются и η-арные (Ω,Λ) -кольцоиды. В частности, симметрические /г-арные кольцоиды, η ^> 2, возникают так же, как появились выше симметрические бинарные кольцоиды — нужно только рассматривать на данной алгебре функции от η -— i переменного, а не от одного переменного. Пока преимущественно изучались гс-арные кольцоиды над кольцами; началось изучение их и над мультиоператорными группами.
§ 16. СТРУКТУРЫ Введем, наконец, еще один класс универсатьных алгебр, занимающий в общей алгебре весьма заметное место. Напомним, что множество S называется частично упорядоченным, если на S задано бинарное отношение ^, т. е. для некоторых упорядоченных пар а, Ь ЕЕ S положено а ^ Ь, причем это отношение должно быть рефлексивным, транзитивным и антисимметричным, т. е. для всех а, Ь, с £Ξ S а < а, если а ^ Ь и Ъ ^ с, то а ^ с, если а ^ 6 и 6 ^ β, то а = Ь. Напомним также, что отношение > обратно отношению <ζ, т. е. Ъ ;> а тогда и только тогда, когда а <; 6. Частично упорядоченное множество 5 называется структурой (употребляется также термин «решетка»), если оно удовлетворяет следующим двум условиям. lv Для всякой пары элементов а, Ь ΕΞ S и S существует такой элемент с = а П Ь, пересечение элементов а ш. Ь, что с ^ а, с ^ &, причем если некоторый элемент с' также обладает свойствами с* ^ а, с' ^ й, то с' ^ с. 12. Для всякой пары элементов a, b Ez S в S существует такой элемент d = а [} Ь, объединение элементов α и &, что d > a, d !> &, причем если некоторый элемент d' также обладает свойствами d' > a, d' !> Ь, то d' > Л Из этого определения следует, что и пересечение а П Ь, и объединение α U Ь элементов α и Ъ определены в структуре S однозначно. Всякая структура является, следовательно, универсальной алгеброй с двумя бинарными операциями Π и U · Исходная частичная упорядоченность в структуре S может быть задана при помощи любой из этих операций. Именно, очевидно, что для элементов a, b ΕΞ S тогда и только тогда α *ζ Ь, когда a {] b = а (а также когда a \J b = b). Структуры как алгебры с бинарными операциями Π и (J составляют многообразие, задаваемое тождествами Hj. χ η # = χ,χ U χ = #; и2. « η » = ϊ η «» ^ υ ί/ = */ и #;
496 СТРУКТУРЫ [§16 ■ Из- (χ П у) П ζ = χ η (у Π *). (* U y) U ζ - ^ U to U ζ); ΙΙ4. я П (х О У) = «, x U (* Π #) = *. В самом деле, выполнение в структуре 5 тождеств Hi и И2 очевидно. Проверим Ц3, хотя бы для пересечения. Для любых а, Ь, с £Ξ S будет, ввиду Ilt (а П Ъ) П с < а П & < а, (а П &) П с < а П 6 < &, (л Π Ь) П с < с, откуда, снова по 1Х, (а П Ь) П с < й П с, (а П *) Π с < а П (& П с). Аналогично α П (Ь Π Ο < (α П Ь) П с, а поэтому имеет место II3. Проверим теперь хотя бы первое из тождеств |Iir* Ввиду 1х я Π (я U Ъ) < я, но й < α и, по Ι2, α < α U ft, откуда, по Ilf fl<«il(«U b); отсюда следует И4. Пусть теперь S — алгебра с операциями Π > U f удовлетворяющими тождествам 11х — И4. Покажем, что для a, b ΕΞ S равенства а П Ь = a, aU 5 = 5 (1) одновременно выполняются или не выполняются. Действительно, если а П Ь = #, то, по Н2 и И4, a U & = (я П &) U Ь = Ь; если же α (J δ = δ, то, по П4, а П Ь = а О (я U Ь) = а.
§16] СТРУКТУРЫ 497 Если равенства (1) для элементов а и Ъ имеют место, то положим а ^ Ь. Этим в множество S введена частичная упорядоченность. Действительно, а ^ а ввиду Пх. Далее, если α ^ fe и fe ^ с, т. е. а П Ъ = а, Ъ Π с = = Ь, то, в силу П8, т. е. я <; £. Наконец, если α < & и 6 < а, т. е. α Π & ^ = я, fe Π # = δ, ϊ0> ввиду II2J a — b. Покажем, что выполняется условие Ij. Из (a{]b)(]a = a{](a(]b) = (a(]a){]b = a(]b следует α Π b ^Z а. Аналогично а (] Ъ ^ Ъ. Если же в 5 взят произвольный элемент с\ удовлетворяющий условиям с' ^ а, с' ^ 6, т. е. с' f| а = с', с' Π & ^ = с', то с' П (* П &)=(*' П а) П Ь = с' П Ь = с'' откуда с'<а Π Ь. Элемент α f| & является, следовательно, пересечением элементов а и 6 в смысле условия 11# Аналогичным образом доказывается, что элемент а \] Ъ будет объединением элементов а и Ъ в смысле условия 12. Подструктурой структуры S называется подалгебра S как алгебры сигнатуры (f|, U )· Заметим, что подмножество Τ структуры S может оказаться структурой относительно той частичной упорядоченности, которая индуцируется в нем частичной упорядоченностью структуры S, не являясь подструктурой структуры £, — пересечения (или объединения) элементов из Τ в структуре Τ могут отличаться от их пересечений (объединений) в структуре S. Примером структуры служит всякое линейно упорядоченное множество (или цепь): для любых элементов а, Ъ имеет место или а ^ Ь, или же а ]> Ь. Множество натуральных чисел будет структурой с. отношением делимости в качестве отношения частичного порядка. Роль пересечения играет здесь наибольшей общий делитель двух чисел, а объединением будет* их наименьшее общее кратное.
498 СТРУКТУРЫ [§16 Подмножества любого множества составляют структуру относительно частичной упорядоченности по теоретико-множественному включению. Для нас особенно важно, что можно говорить о структуре подалгебр любой универсальной алгербы. G. Это будет множество всех подалгебр алгебры G, если в G нет таких подалгебр А, В, пересечение которых пусто, в противном же случае указанное множество пополняется пустым подмножеством. Частичная упорядоченность подалгебр берется по теоретико-множественному включению. Пересечение А П В Двух подалгебр есть их теоретико- множественное пересечение, а роль объединения А [} В выполняет подалгебра {А, В}, порожденная теоретико- множественным объединением подалгебр А, В (см.§ 1). Если G — группа, то для любых ее нормальных делителей А, В подгруппы А П В и {А, В} сами будут, как известно, нормальными делителями в G, причем {А, В} = АВ, т. е. всякий элемент из {А, В) может быть хотя бы одним способом записан в виде произведения аЪ, αΕΞΑ, Ъ ΕΞ Β. Нормальные делители произвольной группы составляют, следовательно, подструктуру в структуре всех подгрупп этой группы. Структура S называется дедекиндовой (или модулярной), если для любых а, Ъ, с <== S, удовлетворяющих условию а ]> &, выполняется равенство а П (Ь U с) = Ь U (а П с). (2) Структура нормальных делителей произвольной группы является дедекиндовой. Действительно, пусть в группе G даны нормальные делители А, В и С, причем А тэ В. Нужно доказать, что А П ВС = В (А П С). (3) Так как В cz А и В <ΞΞ ВС, то В содержится в левой части равенства (3). Там же содержится и Л Π С, так как С с: ВС. Отсюда следует, что вся правая часть равенства (3) содержится в его левой части. С другой стороны, любой элемент, содержащийся в нормальной делителе А (] ВС, является элементом rtEi, допускающим запись а = be, где Ъ £Ξ В, с е= С. Отсюда
§16] СТРУКТУРЫ 499 с= Иае^» так как Вс^А, т. е. с б (4 Π О» откуда а = Ъс^В (А (]С). Этим доказано, что левая часть равенства (3) содержится в свою очередь в его правой части. Легко показать, что структура всех подгрупп некоммутативной группы в общем случае не будет деде- киндовой. Дедекиндовы структуры составляют многообразие структур: структура S тогда и только тогда деде- киндова, если в ней выполняется тождество х П \{х П У) U ζ\ = (χ Г) У) U (х П ζ). (4) Действительно, если структура S дедекиндова, то (4) следуем из (2), так как а > а П Ь. Обратно, если в структуре S выполняется тождество (4), то для а !> Ъ чвыполняется равенство (2), так как в этом случае а (] Ъ = Ъ. Еще более узким является многообразие дистрибутивных структур, т. е. структур, в которых выполняется тождество χ П {у U ζ) = (χ П у) U (х П ζ). (5) В самом деле, всякая дистрибутивная структура является дедекиндовой, так как для таких элементов а, Ь, с структуры, что а > Ь, т. е. а П Ь = Ь, из (5) следует (2). С другой стороны, структура подгрупп прямой суммы двух циклических групп второго порядка дедекиндова, но не дистрибутивна. Для структур (в отличие от колец, например) тождество (5) равносильно двойственному ему тождеству х U (У П ζ) = (х U У) Π (х U ζ). (6) Действительно, применяя (5), а также Пг — Н4, по* л у чаем: β U (Ь Π с) = la U (а П с)] \] (Ь П с) = = a U Ι(λ Π с) U (Ь П *)1 = а [} [(а [) Ъ) [\ с] = = 1(а [} Ь) Π а) [} \(а U *) П d = (a U Ь) П (в U ')·
500 СТРУКТУРЫ [§16 Двойственные рассмотрения позволяют вывести (5) из (6). Легко показать, что структура подмножеств любого множества дистрибутивна,— проверка в этом случае тождества (5) (или (6)) не представляет никаких затруднений. Существует теорема Стоуна, по которой всякая дистрибутивная структура изоморфно вкладывается в структуру подмножеств некоторого множества (Trans. Amer. Math. Soc. 40 (1936), 37-111). Единицей некоторой структуры S называется такой элемент 1, что для любого α£<5 выполняется неравенство α^ί. Нулем структуры S называется такой элемент 0, что для любого а е S будет а ]> 0. Если структура обладает единицей (или нулем), то этот элемент определен однозначно. Если структура S обладает единицей и нулем, то элемент Ь е= S называется дополнением к элементу α ΕΞ S, если α П 6 = 0, «U 6 = 1. В общем случае элемент может иметь много различных дополнений, однако в дистрибутивной структуре с единицей и нулем всякий элемент может обладать не больше чем одним дополнением^ так как если структура S дистрибутивна, то в ней для любых элементов а, Ь, с из а (] с = b {] с, а [} с = b {) с следует а = Ъ. Действительно, а = a U (а П с) = a U (Ь П с) = (a U Ь) П (a U с) - = (« U *) П (Ъ U с) = b U (а П с) - = 6 U (* П *) =*. Обозначим дополнение к элементу а дистрибутивной структуры с единицей и нулем через а. Очевидны или легко проверяются следующие равенства: .1=0, 0 = 1, а = α, α Π b = d [} b, a (J b = a (] δ.
§16] СТРУКТУРЫ 501 Проверим хотя бы последнее из них: (a\jb){]^(]b)^[a(](l{]b)][j[b(]^[\b)]^0[}0^0, (a[)b)[j{a(]b) = [(а[)Ь)[)Ъ){)[(а[)Ь)[)Ъ) = \Г)1 = 1. Дистрибутивная структура с единицей и нулем, в которой каждый элемент обладает дополнением, называется булевой структурой (или булевой алгеброй). Структура всех подмножеств любого множества Μ является на самом деле булевой: роль единицы играет само множество М, роль нуля — пустое подмножество, дополнением к подмножеству А служит теоретико- множественное дополнение Μ \ А. Доказательство сформулированной выше теоремы Стоуна позволяет утверждать, что всякая булева структура изоморфно вкладывается (как алгебра сигнатуры (П , U » —, 15 0)) в булеву структуру подмножеств некоторого множества. С другой стороны, многообразие булевых структур оказывается эквивалентным одному специальному многообразию колец. Именно, ассоциативное кольцо В с единицей 1 называется булевым кольцом, если все его элементы идемпотентны, т. е. для всех а ЕЕ R а2 = а. (7) Всякое булево кольцо В коммутативно и удовлетворяет тождеству 2х = 0. (8) Действительно, для любых а,Ь ΕΞ В из (7) следует а -f Ъ = {а + Ь)\= а2 + аЪ + Ьа + Ъ2 = = а + аЪ + Ъа + Ь, откуда аЬ + Ьа = 0. (9) Полагая здесь b = а и учитывая (7), мы получаем (8), т. е. χ = —х, а поэтому (9) можно переписать в виде аЪ — Ьа = 0, т. е. я& = Ъа.
502 СТРУКТУРЫ [§16 Всякую булеву структуру можно превратить в булево кольцо, если положить а + b = (а {} Ь) {) (a ft b), ab - а [\ Ь. (10) С другой стороны, всякое булево кольцо можно превратить в булеву структуру, если положить a U Ъ = а + Ъ + аЪ, а [\ Ъ = ab. (11) Эти переходы обратны друг другу. При них нуль и единица структуры совпадают соответственно с нулем и единицей кольца, —а — а ввиду (8), а на основании первого из равенств (10) й = а + 1. Доказательство всех этих утверждений проходит при помощи канительной, но не сложной проверки. Стоит учесть при этом, что определение сложения из (10) можно записать, используя (6), также в виде а + Ъ = {a U Ъ) П (а [} В). Отметим, что операция а [) Ъ из (И) совпадает, ввиду (8), с присоединенным умножением в рассматриваемом кольпе (см. § 10).
§ 17. ПОЛНЫЕ СТРУКТУРЫ. СООТВЕТСТВИЯ УНИВЕРСАЛЬНЫХ АЛГЕБР Многие из структур, в том числе структура подмножеств любого множества и структура подалгебр любой универсальной алгебры, обладают тем свойством, что пересечения и объединения определены в них пе только для двух и поэтому, в силу ассоциативности, для любого конечного числа элементов, но и для всех бесконечных подмножеств. Это приводит к следующему понятию. Частично упорядоченное множество S называется полной структурой, если для любого непустого подмножества A cz S в S существуют элементы с и d со следующими свойствами: 1г. Для всех а£4 выполняется неравенство с ^ а, причем если некоторый элемент с' также удовлетворяет условию с' <; а для всех α ΕΞ А, то с' ^ с. l'2. Для всех а£4 выполняется неравенство d ]> а, причем если некоторый элемент dr также удовлетворяет условию d' > а для всех α ΕΞ А, то dr >d. Однозначно определенные элементы cud называются соответственно пересечением и объединением элементов подмножества А. Записываются они следующим образом: с = (]А (или с = (] а, шли с = f) аЛ, если а&А осе/ #α> α €Ξ /, пробегает все элементы подмножества А); аналогично для d. Ясно, что полная структура будет и просто структурой. Бесконечная полная структура не является, однако, универсальной алгеброй в том смысле, как это было определено в § 1, Тем не менее, это понятие играет для нас важную служебную роль и мы сделаем о нем в есколько замечаний. Всякая полная структура S обладает единицей и нулем — это будут соответственно элементы {] S и (]S. Если частично упорядоченное множество S обладает единицей ί и в нем существуют пересечения для любых непустых подмножеств, то S будет полной структурой.
504 ПОЛНЫЕ СТРУКТУРЫ [§17 Нужно доказать лишь, что всякое непустое подмножество A cz S обладает объединением. Обозначим через В множество всех таких элементов Ь €Е S, что Ъ !> а для всех а ее А. Множество В — непустое, так как 1 ΕΞ В, а поэтому существует элемент d= (]В. Покажем, что d = LM· В самом деле, если ае^, то а< 6 для всех Ье^В, а поэтому a^.d. С другой стороны, если элемент s ΕΞ S таков, что s > а для всех аЕ^5 то se5, а поэтому d ^Z $. Именно отсюда вытекает, что структура всех подалгебр любой алгебры G является полной,— объединением данной системы подалгебр Аа, α ΕΞ /, является подалгебра, порожденная теоретико-множественным объединением подмножеств Ααι α ΕΞ Ι (см. § 1). Если даны частично упорядоченные множества S и *S", то взаимно однозначное отображение φ множества S на множество £' называется изоморфизмом, если для любых а,Ь ΕΞ S условия а< 6 и αφ ^ £кр равносильны. Если φ: S -> £' — изоморфизм полных структур S и S' как частично упорядоченных множеств, то для любого непустого подмножества A cz 8 ( Π α)φ= П (αφ), а&А αξ~Α ( U β)φ= U («φ)· Докажем хотя бы первое из этих утверждений. Если с = Π я> <?' = Π (яф)> то из с <; a, «Ei, сле- а&А аеА дует £ψ <; αφ, а поэтому сер ^ с'. С другой стороны, с' ^ αφ, а €= -4, откуда c'qr1 ^ α; поэтому ίί'φ""1 ^ с, откуда с' ^ с<р. Этим доказано, что сер = с'. Эти рассмотрения применимы и к случаю структур, не обязательно полных. Мы получаем, что изоморфизм структур как частично упорядоченных множеств будет их изоморфизмом и как алгебр сигнатуры (Π , U )·
§17] ПОЛНЫЕ СТРУКТУРЫ 505 Обратное очевидно, так как а <! Ъ равносильно а П Ь — а. Элемент а полной структуры S называется компактным, если во всяком подмножестве В С^ S, для которого а ^ (\JB), найдется такое конечное подмножество В' < β, что а < ( U В'). В полной структуре подалгебр произвольной алгебры компактными элементами являются конечнопорождеи- ные подалгебры [т. е. подалгебры, обладающие конечной системой образующих) и только они. В самом деле, пусть, в алгебре G сигнатуры Ω взята конечнопорожденная подалгебра А = {аг, . . . , ап) и пусть она содержится в объединении подалгебр В^ as /, A Q {Ва, а е /}. Выбираем для каждого из элементов %, . . . , ап одну из его записей в виде Ω-слова от (конечной системы) элементов, принадлежащих к некоторым из подалгебр Ва, а ее J" (ср. § 1). В результате выделяется такой конечный набор подалгебр J3ai, . . . , 2?a<s, av . . . . . . , α, Ε /, что через элементы этих подалгебр записывается каждый из элементов at1 . . . , ant а поэтому А £ {Βαι9 . . . , BaJ. С другой стороны, если подалгебра С алгебры G не имеет конечной системы образующих, то она совпадает с объединением подалгебр {с}, где элемент с пробегает всю подалгебру С, но объединение любого конечного набора этих подалгебр строго меньше С. Полная структура S называется компактнопорож- денной, если всякий ее элемент является объединением компактных элементов. Легко видеть, что полная структура подалгебр всякой алгебры будет компактнопорожденной. Действительно, всякая подалгебра является объединением подалгебр с одним образующим, порожденных всеми ее элементами.
506 ПОЛНЫЕ СТРУКТУРЫ [§17 Существует теорема Биркгофа-Фринка, по которой всякая компактнопорожденная полная структура изоморфна полной структуре всех подалгебр некоторой алгебры (Trans. Amer. Math. Soc. 64 (1948), 299-316). Co всякой алгеброй естественным образом связывается еще одна полная структура, много более широкая, чем структура подалгебр. Она будет введена в следующем параграфе, а сейчас укажем одну часто используемую конструкцию. Пусть дано семейство алгебр Gh i ΕΞ /, одной и той же сигнатуры Ω; множество индексов / может быть как конечным, так и бесконечным. Рассмотрим множество G, элементами которого являются всевозможные системы а = (di | at ΕΞ Gh i ΕΞ /) элементов, взятых по одному в каждой из алгебр Gt. Множество G можно превратить в алгебру сигнатуры Ω, полагая, что операции из Ω выполняются в G покомпонентно: если со S Ωη, w>l, и в С взяты элементы ам = (а<*>), к = 1, 2, . . ., щ то а'а" . . . α<η>ω = (ща[ . . . α{η)ω); если же ω ΕΞ Ω0, то эта операция отмечает в G элемент οω = (or), где Of — элемент, отмечаемый операцией ω в алгебре Gt. Алгебра G называется декартовым произведением (или полным прямым произведением, или полной прямой суммой) алгебр Gu i E= /, и записывается в виде или, если множество / конечно и состоит из натуральных чисел 1, 2, . . . , /г,— в виде G = Gx χ G2 x . . . χ Gn. Из определения операций в G немедленно следует, что
§17] ПОЛНЫЕ СТРУКТУРЫ 507 если все алгебры Gh /ΕΞ/, принадлежат одному и тому же многообразию (Ω, Λ), то и их декартово произведение содержится в этом многообразии. Сейчас мы ограничимся рассмотрением декартовых произведений пар алгебр. Если даны алгебры Си Я сигнатуры Ω, то в их декартовом произведении G Χ Я возьмем произвольную подалгебру; нам удобно обозначать ее буквой р. Эта подалгебра состоит из некоторых пар вида (а, Ь), α ΕΞ G, Ъ £= Я, причем если (а, Ъ) ΕΞ р, то будем писать также apb. На ρ можно смотреть как на бинарное отношение между множествами G и Я, причем из определения подалгебры и определения операций в декартовом произведении следует, что подалгебра в G Χ Я — это те и только те бинарные отношения ρ между Guff, которые удовлетворяют следующим условиям: 1) если ω е= Ωη, гс> 1, и atpbh at G6, δ* ΕΞ Я, i = 1, . . . , η, το (αχ . . . αηω) ρ (Ьг . . . 6ηω); 2) если ω ΕΞ Ω0 и отмечает в G и Я соответственно элементы θ2 и Off, то 0ω ρ 0 ^. Подалгебры алгебры G X Я, т. е. бинарные отношения между G и Я, обладающие свойствами 1) и 2), называются соответствиями между G и Я. Для записи того, что ρ есть соответствие между G и Я, мы будем использовать символ 6?рЯ. Примерами соответствий служат всевозможные гомоморфизмы G в Я или даже частичные гомоморфизмы, т. е. гомоморфизмы подалгебр алгебры G в алгебру И\ если (?' с б и φ: Gr -> Я — гомоморфизм, то, полагая α'φ = fc' для ar ΕΞ G' и используя символ φ для записи соответствующего бинарного отношения, т. е. a'tpb', мы получим, что условия 1) и 2) для φ вместо ρ следуют из определения гомоморфизма. На произвольные же соответствия между (? иЯ можно смотреть как на «многозначные частичные гомоморфизмы» G в Я. Соответствия между алгебрами G и Я, являясь всевозможными подалгебрами алгебры <? χ Я, состав-
508 ПОЛНЫЕ СТРУКТУРЫ [§17 ляют полную структуру. Именно в смысле этой полной структуры соответствий между G и Η будет пониматься дальше частичная упорядоченность соответствий. Таким образом, ρ ^ σ для соответствий GpH, GoH означает, что для любых а ЕЕ G, бЕЯиз apb следует aab. С другой стороны, пусть даны однотипные алгебры G, Η и К сигнатуры Ω и соответствия GpH и ΗσΚ. Определим следующим образом бинарное отношение ρσ между G и К: а(ро)с, α ΕΞ G, с е К, тогда и только тогда, когда существует хотя бы один такой элемент tGff, что арЬ и Ъос или, короче, apboc. Это произведение ρσ соответствий GpH и НаК салю является соответствием между G и К. В самом деле, если ω €Ξ Ωη, η > 1, и аг{ра)си at e= G, £; е К i = 1, . . . , η, то существуют такие bt ΕΞ Η, что dfpbiuCi, i = 1, . . . , п. Поэтому по 1) из определения соответствия («!... αηω) ρ (&! . . . 6ηω) σ (сх . . . cnco), откуда, по определению произведения соответствий, {аг . . . . α„ω) (ρσ) fa . . . спа>). С другой стороны, для сое Ω0 будет, ввиду 2), Ο^ρΟ^σΟ^, откуда θ£ (рз) 0«. Следует помнить, конечно, что произведение соответствий определено не всегда; именно, оно не определено для соответствий GpH и Н'вК, если Η =£= Η''. Умножение соответствий ассоциативно. Действительно, если даны соответствия GpH, HaK, K%L, то для α €Ξ G, d e= L утверждение α[(ρσ)τ]ά равносильно существованию такого с ЕЕ К, что a(pa)cxd, что равносильно существованию такого Ь ΕΞ Н, что арЫсхй. Последнее же равносильно утверждению apb(ox)d, т. е. утверждению alp(ox)]d, что и требовалось доказать. Отметим, что произведение соответствий в применении к гомоморфизмам превращается, очевидно,
§17] ПОЛНЫЕ СТРУКТУРЫ 509 в произведение гомоморфизмов в смысле результата их последовательного выполнения (см. § 3). Умножение соответствий связано с их частичной упорядоченностью следующим образом: если дани соответствия бгрЯ, Gp'H, причем ρ ^ ρ', то для любых соответствий На К, LtG будет ρσ ^ ρ'σ, τρ <; τρ'· (1) Докажем хотя бы первое утверждение. Если а(ра)с, α ΕΞ G, с ζ= К, то существует такое Ь е= Я, что apboc, т. е., ввиду ρ ^ р', ар'Ъас, откуда следует а(р'в)с. Для всякого соответствия С?рЯ существует инверсное соответствие Hp~xG\ именно, Ьргха, где fl£G, Ь £= Я, тогда и только тогда, когда apb. Из определения соответствия (условия 1) и 2)) немедленно следует, что р~г действительно будет соответствием и что выполняются следующие свойства: (р-1)"1 = р; (2) если произведение ρσ существует, то (ρα)-ι = σ-ΐρ-ΐ; (3) наконец, ( П Pi)"1 = П Pi1, (4) а поэтому из ρ<σ следует р-1 ^ σ""1. Используя умножение соответствий, их частичную упорядоченность и инверсное соответствие, а также учитывая, что тождественный автоморфизм Bq алгебры G является соответствием G с самим собою, можно описать некоторые специальные виды соответствий. Отметим сперва, что если дано декартово произведение то, сопоставляя каждому элементу {at, г Е= /) 6Ξ G элемент at ΕΞ' £?г, мы получаем эпиморфизм π^: G ->■ 6?г; образ всякой подалгебры А с G при π£· будет подалгеброй в Gt, называемой проекцией А ъ G%,
510 ПОЛНЫЕ СТРУКТУРЫ [§17 В согласии с этим для любого соответствия Gpll проекция подалгебры ρ ΕΞ G X Η в G называется первой проекцией соответствия р; аналогично определяется вторая проекция. Без труда проверяются следующие утверждения: Первая (вторая) проекция соответствия Gpff тогда и только тогда совпадает с G (Н), когда рр"""1 > eq (когда р_1р > ε#). Соответствие GpH тогда и только тогда будет частичным гомоморфизмом, если ρ_1ρ^ ε#; гомоморфизмом,— если рр-1 !> eq и р_1р ^ ε#; мономорфизмом,— если рр"1 = 8g и рр"1 ^ ε#; эпиморфизмом,— если рр_1> > £(Л U р"Хр = Ен'у иЗОМОрфиЗМОМ,— вСЛЫ рр"1 = Eq U P~V = 8Я.
§ 18. КОНГРУЕНЦИИ Применим сказанное выше к случаю Η = G, т. е. рассмотрим, соответствия GpG алгебры G с самой собой (т. е., короче, соответствия алгебры G). Они составляют, как мы знаем, полную структуру, притом компакт- нопорожденную, так как это структура всех подалгебр декартова квадрата G X G. Известна теорема Искандера (Изв. АН СССР, серия матем. 29 (1965), 1273—1282), по которой всякая ком- пактнопорожденная полная структура изоморфна структуре всех соответствий некоторой алгебры; эта теорема обобщает, очевидно, отмеченную в предшествующем параграфе теорему Биркгофа — Фринка. С другой стороны, произведение соответствий вида GpG всегда определено и поэтому соответствия алгебры G составляют полугруппу по умножению; эта полугруппа соответствий обладает единицей 8 = б£. Наконец, в множестве соответствий алгебры G существует инволюция, а именно переход к инверсному соответствию р-1. Совокупность соответствий алгербы G, рассматриваемых с их упорядоченностью, умножением и переходом к инверсному соответствию,— связи между этими отношениями и операциями указаны в предшествующем параграфе,— назовем связкой соответствий алгебры G. Связка соответствий содержит в себе многое из того, что приходится использовать при изучении алгебры G. Так, структура подалгебр алгебры G изоморфна подструктуре структуры, ее соответствий, состоящей из всех таких соответствий р, что ρ ^ ε. Именно, такими соответствиями будут тождественные автоморфизмы всевозможных подалгебр алгебры G и только они — последнее потому, что для соответствия ρ, удовлетворяющего условию ρ ^ ε, обе проекции совпадают, т. е. являются одной и той же подалгеброй. С другой стороны, эндоморфизмы алгебры G — это такие ее соответствия р, что рр"1 >> ε, ρ_1ρ <; ε, а так как произведение гомоморфизмов совпадает, как мы знаем, с их произведением как соответствий, то полугруппа эндоморфизмов алгебры G будет подполугруппой полугруппы ее соответствий.
512 КОНГРУЕНЦИИ [§18 При изучении алгебр очень важную роль играет еще один тип соответствий. Именно, соответствие π алгебры G называется конгруенцией, если, как бинарное отношение, оно является отношением эквивалентности, т. е. рефлексивно, симметрично и транзитивно, иными словами, если оно удовлетворяет следующим условиям: л > ε, π"1 = я, ππ ^ π. (1) Для конгруенции π будет даже ππ = π, (2) так как из π > ε следует, по (1) из § 17, ππ > π. Если в алгебре G заданы конгруенции пь i£/, то их пересечение в структуре соответствий само будет конгруенцией, В самом деле, докажем справедливость условий (1) для конгруенции π = f] nt. Справедливость первого из этих условий очевидна, второе следует из равенства (4) предшествующего параграфа. Пусть, наконец, элементы а, с ΕΞ G таковы, что а(пл)с. Тогда существует такой элемент Ь ЕЕ G, что апЪ и Ьпс, а поэтому для всех i ΕΞ / будет апф, Ьп^с. Отсюда а(ягЯ;)с, т. е., так как для πι выполняется последнее из условий (1), то antc, iE/, а поэтому апс. С другой стороны, объединение конгруенции в структуре соответствий не обязано быть конгруенцией, как показывает следующий тривиальный пример. Рассмотрим множество М, в котором задана тождественная унарная операция χω = χ для всех χ ΕΞ Μ. Всякая эквивалентность в множестве Μ будет конгруенцией полученной алгебры. Возьмем две конгруенции этой алгебры пх и π2. Ввиду тождественности операции ω их объединение в структуре соответствий совпадает с их теоретико-множественным объединением как подмножеств множества Μ Χ Μ. Последнее не обязано, однако, быть конгруенцией, так как может не удовлетворять условию транзитивности: если элементы
§18] КОНГРУЕНЦИИ 513 α, b, с е= Μ таковы, что алгЬ, 6я2с, но а и с лежат в разных классах как по л1? так и по я2,— эта ситуация может быть реализована, если Μ содержит не менее трех элементов,— то а и с не находятся в отношении пг U π2, хотя а (^ [) л2) b, b (% U π2) с. Множество всех конгруенций произвольной алгебры G частично упорядочено как подмножество структуры соответствий, содержит единицу этой полной структуры, т. е. соответствие G X (?, и, наконец, замкнуто относительно пересечений. Оно само будет, следовательно, полной структурой. Эта структура конгруенций алгебры G не обязана быть, как мы знаем, подструктурой структуры соответствий. Легко показать, что структура конгруенций всякой алгебры является компактнопорожденной. Отметим теорему Грецера — Шмидта, по которой всякая компактнопорожденная полная структура изоморфна структуре конгруенций некоторой алгебры (Acta Sci. Math. (Szeged) 24 (1963), 34-59). Конгруенций данной алгебры не всегда составляют подполугруппу полугруппы ее соответствий, так как произведение двух конгруенций может не быть кон- груенцией. Докажем следующую теорему: Произведение л1п2 двух конгруенций лг и π2 алгебры G тогда и только тогда будет конгруенцией, если конгруенций пг и π2 перестановочны, т. е. πχπ2 = π2πχ. Действительно, если πχπ2 является конгруенцией, то, используя свойства конгруенций (1), а также (3). из предшествующего параграфа, цолучаем: яхя2 = (я^л^)""1 = π2 Щ = 1С2я1в Обратно, если пгп2 = π2πχ, то соответствие πχπ2 обладает всеми свойствами (1), входящими в определение конгруенций. Именно, ввиду (1) из § 17, πχπ2 ^ яхе ^ εε = ε; далее, ввиду (3) из § 17, (ji^2)~x = π2χπΐ = π^ = пхщ1
514 КОНГРУЕНЦИИ [§18 наконец, снова ввиду (1) из § П, (л1л2)(я1л2) ~ (^ι^ι)(π2π2) ^ 5ί1π2· Для некоторых классов алгебр, в том числе для групп, колец и вообще мультиоператорных групп, может быть доказана перестановочность всех их конгруенции. Структуры коыгруенций алгебр, обладающих этим свойством, являются дедекиндовыми. Можно доказать даже несколько больше. Полная структура называется вполне дедекиндовой, если для любых ее элементов аь Ъи i ΕΞ I, удовлетворяющих условию di !> bj при i =f= /, имеет место равенство (П«0 П (U *>0= Utonfti)· (3) i& iei iei Всякая вполне дедекиндова структура S является дедекиндовой. В самом деле, пусть в S взяты элементы а, й, с, причем а !> 6. Положим ах = а, а2 = а [} с, Ъг = с, δ2 = Ъ. Тогда аг > δ2 по предположению и «2 > 6j по определению операции объединения. Поэтому должно выполняться равенство (3), т. е. . («ι П «*) Π (δι U δ2) = («ι П &i) U (α2 П δ2) , или АПН'*) = (АПс)и [(« U с) П Μ, а так как а !> δ, то мы получаем равенство (2) из § 16, Дедекиндовость структуры S доказана. Справедлива следующая теорема Двингера (Ргос. Neder. Ac. 20 (1958), 70—76): Если в алгебре G конгруенции перестановочны, то структура конгруенции этой алгебры вполне дедекиндова. Значение конгруенции для теории универсальных алгебр определяется, как известно, следующим. Если π — конгруенции алгебры G сигнатуры Ω, то в множестве Gin непересекающихся классов, на которые разбивается G конгруенцией π, естественным
§18] КОНГРУЕНЦИИ 515 образом определяются все операции из Ω. Полученная фактор-алгебра Gin оказывается эпиморфным образом алгебры G при естественном эпиморфизме, сопоставляющем каждому элементу из G тот класс конгруенции π, к которому этот элемент принадлежит. Обратно, любой эпиморфизм φ: G-+G' определяет в алгебре G конгруенцию π, классами которой служат полные прообразы элементов алгебры 6?\ причем существует такой изоморфизм ф алгебры G' на фактор-алгебру Gin, что произведение φφ совпадает с естественным эпиморфизмом G на Gin.
ЛИТЕРАТУРА*) К § 5 В а г н е ρ В. В. 00 , , Теория обобщенных груд и обобщенных групп, Матем. сб. 32 (74) (1953), 545-632. [53 : 3, 1089] Обобщенные груды, приводимые к обобщенным группам, Укр. матем. ж. 8 (1956), 235-253. [57 : 5, 3819] Представление обобщенных груд, Укр. матем. ж. 11 (1959), 231— 242. [60 : 8, 8640] Полугруппы, ассоциированные с обобщенной грудой, Матем. со. 52 (1960), 597-628. [61 : 6, 257] Обобщенные груды и обобщенные группы с транзитивным отношением совместимости, Уч. зап. Саратовск. ун-та 70 (1961), 25—39. [63 : 1, 225] Обобщенные груды и канонически упорядоченные грудоиды, Изв. высш. учебн. заведений, Математика, 1967, № 37 8—19. [67 : 8, 122] К теории антигруд, Изв. высш. учебн. заведений, Математика, 1972, № 4, 18-31. [72 : 9, 147] Г л у с к и н Л. М. Полугруды с минимальными левыми идеалами, ДАН СССР 151 (1963), 485—488. [63 : 12, 225] Представление полугруд, сб. «Памяти Н. Г. Чеботарева», Казань, 1964, 44—59. [65 : 4, 187] Вполне простые полугруды, сб. «Теория полугрупп и ее приложения», Саратов 1 (1965), 179-197. [66 : 12, 260] Идеалы полугруд, там же, 198—228. [66 : 12, 261] Житомирский Г. И. О решетке отношений конгруэнтности в обобщенной груде, Изв. высш. учебн. заведений, Математика, 1965, № 1, 56—61. [65 : 6, 184] О гомоморфизмах обобщенных груд, сб. «Теория полугрупп и ее приложения», Саратов, 1 (1965), 229—237. [66 : 12, 263] О регулярных и стабильных отношениях на обобщенных грудах, Изв. высш. учебн. заведений, Математика, 1968, № 1, 64— 77. [68 : 6, 228] Стабильные бинарные отношения на универсальных алгебрах, Матем. сб. 82 (1970), 163—174. [70 : 10, 218] Многообразия обобщенных груд, сб. «Теория полугрупп и ее приложения», Саратов, 2 (1971), 27—35. [72 : 5, 156] Обобщенные груды и обобщенные группы с модулярной решеткой отношений конгруэнтности, Изв. высш. учебн. заведений, Математика, 1972, № 6, 26—35. [73 : 1, 186] йнасаридзе X. Н. К теории обобщенных груд, Тр. Тбилисск. ун-та 102 (1964), 207— 210. [65 : 4, 188] ' *) В квадратных скобках даны номера рефератов в Реферативном журнале «Математика», раздел Алгебра.
ЛИТЕРАТУРА 517 Μ о л д а в с ь к а 3. Я. JliHiiiHi швгруди, Доповда АН УРСР, А, 1971, № 10, 888—890, 957. [72 : 2, 234] Конгруенщт на лшшних швгрудах, Доповод Ан УРСР, А, 1972 № 7, 626-630, 670. [72 : 11, 117] Μ у с τ а ф а е в Л. Г. Об идеальных эквивалентностях полугруд, ИАН АзССР, сер. физ.-техн. и матем. наук, 1966, № 6, 30—35. [67 : 11, 186] Связки полугруд, ИАН АзССР, сер. физ.-техн. и матем. наук, 1967, №№ 3-4, 176-184. [68 : 6, 227] Коммутативные связки полугруд, ИАН АзССР, сер. физ.-техн. и матем. наук, 1968, № 3, 136—141. [69 : 4, 132] Наиболее дробные полуструктурные разбиения полугруд, ДАН АзССР 27 (1971), 3-5. [72 : 2, 233] Μ у с τ а ф а е в Л. Г., Б а б а е в Э. А. Коммутативные связки полугруд с сокращением, ИАН АзССР, сер. физ.-техн. и матем. наук, 1971, №№ 5—6, 80—83 [72 : 9, 146] Φ ей зуллаев Р. Б. Биидеалы полу груд, ИАН АзССР, сер. физ.-техн. и матем. наук, 1970, № з, 43—51. [71 : 5, 188] Идеалы полугруды гомоморфизмов графа, там же, 37—42. [71 : 6, 173] ΙΠ айн Б. М. Симметрические обобщенные груды, Научн. докл. высш. школы, физ.-матем. науки, 1959, № 1, 88—93. [61 : 1, 233] Представление обобщенных груд, Изв. высш. учебн. заведений, Математика, 1961, № 6, 142—154. [62 : 8, 164] Инволютированные полугруппы полных бинарных отношений, ДАН СССР 156 (1964), 1300—1303. [64 : 11, 194] Атомные полугруды и инволютированные полугруппы, Изв. высш. учебн. заведений, Математика, 1965, № 3, 172—184. [65 : 11, 228] К теории обобщенных групп и обобщенных груд, сб. «Теория полугрупп и ее приложения», Саратов, 1 (1965), 286—324. [66 : 12, 253] Ш и м е л ь φ е н и г О. В. Расширение обобщенных груд, Изв. высш. учебн. заведений, Математика, 1966, № 5, 129—141. [67 : 2, 173] К теории скрещенных по л у груд, Изв. высш. учебн. заведений, Математика, 1967, № 8, 100—105. [68 : 1, 190] Классификация расширений обобщенных груд и обобщенных групп, Волжск, матем. сб. 7 (1969), 219—224. [69 : 12, 272] К теории расширения обобщенных груд и обобщенных групп, там же, 215-218. [69 : 12, 271] Behanzin L. Quelques considerations sur la theorie de demi-amas (d'apres les travaux de V. V. Vagner), Semin. P. Dubreil, M. L. Dubreil-
518 ЛИТЕРАТУРА Jacotin ot C. Pisot, Fac. Sci. Paris 1960, 3/1-3/18. [61 : 8, 232] D all a V. V. Sulle quasischieri, Ann. mat. pura appl. 57 (1962), 187-201. [63 : 3, 213] F ου 1 i s D. J. Baer ^-semigroups, Proc. Amer. Math. Soc. 11 (1960), 648—654. [61 : 8, 234] Relative inverses in Baer *-semigroups, Mich. Math. J. 10 (1963), 65-84. [64 : 1, 257] Hosszu M. Belouzov egy teotelerol es annak nehany alkalmazasarol, Magyar tud. akad. Mat. es iiz. tud. oszt. kozl. 9 (1959), 51—56 [61 : 6, 257] The explicit form of a class of heaps, Nehozipari miisz. egyet. kozl. 23 (1964), 265-268. [65 : 6, 183] S i о s ο η F. Μ. On ideals and subsemiheaps, Rev. roum. math. pur. appl. 11 (1966), 383—400. [67 : 2, 172] К §6 У ш а н Я. Некоторые замечания о кликах и обобщение на «-арные полуклики, Матем. весн. 4 (1967), 307—315. [68 : 6, 241] Р-полуклики, Матем. весн. 5 (1968), 319—326. [69 : 4, 196] Некоторые замечания о полукликах и определение Λ ^-квазигрупп, Матем. весн. 6 (1969), 117—122. [70 : 3, 286] Ш а й н Б. М. Замечание к статье В. Зелмер, An. stiint. Univ. Iasi, Sec la, 10 (1964), 265-268. [65 : 10, 207] Austin A. К. A note on loops and laws, Quart. J. Math. 18 (1967), № 70, 119— 123. [68 : 4, 199]. DevideV. Uber eine Klasse von Gruppoiden, Glasnik mat.-fiz. i astron. 10 (1955), 265-286. [57 : 5, 3815]. FurstenbergH. The inverse operation in groups, Proc. Amer. Math. Soc. 6 (1955), 991—997. [57 : 1, 151] Hajek P. Die Szaszchen Gruppoide, Mat.-fyz. casop. 15 (1965), 15—42. [65 : 12, 260] Η a s h i m о t ο Η. Algebraic system with an operator, Math, japan 6 (1962), 59—64. 165 : 2. Я041
ЛИТЕРАТУРА 519 L i e b е с к Η. The structure of cliques, Math. Gaz. 51 (1967), N 375, 14—16. [67 : 9, 150] Μ ο 1 i η а г о I. Demi-groups residutifs, J. math. pur. appl. 39 (1960), 319—356. [61 : 10, 216] Ν ο r t ο η D. A note on associativity, Pacif. J. Math. 10(1960), 591—595. [61 : 5, 242] Ρ а г г а с к С А» Cliques, Math. Gaz. 50 (1966), 43-46. [66 : 9, 229] S с о t t В. Т. La forme generale les structures algebriques residuees, С. f. Acad Sci. Paris 254 (1962), 2112-2114. [62 : 11, 180] Szasz G. Die Unabhangigkeit der Assoziativitatsbedingungen, Acta scient. math. 15 (1953), 20-28. [54 : 4, 2895] Wagner A. On the associative law of groups, Rend. mat. e applic. 21 (1962), 60—76. [63 : 8, 182] Zelenko B. Schwach assoziative Gruppoide, Glasnik mat.-fiz. i astron. 16 (1961), 3-73. [63 : 5, 236] Axiomensysteme fiir/1-Gruppen, Glasnik mat.-fiz. i astron. 20 (1965), 205-233. [68 : 4, 202] Ζ e 1 m e г V. Pseudogroups and pseudorings, Mathematica (RPR) 5 (1963), 137—172. [65 : 11, 229] Pseudogrupuri, An. stiint. Univ. Iasi 9 (1963), 323—356. [64 : 9, 195] Whittaker J. V. On the structure of half-groups, Canad. J. Math. 11 (1959), 651— 659. [60 : 9, 10043] К §8 Белоусов В. Д. Об одном классе га-арных луп, сб. «Математические исследования», Кишинев, 1, №2 (1966), 130—139. [67 : 7, 226] Позиционные алгебры с подстановками, сб. «Вопросы теории квазигрупп и луп», Кишинев 1970 (1971), 131—139. [71 : 7, 285] Белоусов В. Д., Сандик М.Д. /2-арные квазигруппы и лупы, Сиб. матем. ж. 7 (1966), 31—54. [66 : 8, 1971
520 ЛИТЕРАТУРА Вакарелов Д. Тернарни групи, Годишник Софийск. ун-т, Матем. фак., 1966—· 1967, 61 (1968), 71—105. [69 : 4, 198) Г л у с к и н Л. М. О позиционных оперативах, ДАН СССР 157 (1964), 767—770. [64 : 12, 262] Максимальные биидеалы оператива, Изв. высш. учебн. заведений, Математика, 1968, № 10, 30—41. [69 : 4, 133] О позиционных оперативах, ДАН СССР 182 (1968), 1000—1003. [69 :3, 152] Позиционные оперативы, Матем. сб. 68 (1965), 444—482. [69 : 10, 156] О простых оперативах, Вестн. Харьковск. ун-та 53 (1970), 38— 51. [70 : 10, 217] Минимальные идеалы оператива, Матем. зап. Уральск, ун-та 7 (1970), 56-60. [71 : 5, 357] Об оперативах Риса, сб. «Математические исследования», Кишинев, 5, № 4 (1970), 35-44. [71 : 5, 355] К теореме Сушкевича — Риса, I, Вестн. Харьковск. ун-та, Матем. и мех. 35 (1971), 3-22. [72 : 1, 287] К теореме Сушкевича — Риса, II, Вестн. Харьковск. ун-та, Матем. и мех. 36 (1971), 14—36. [72 : 1, 288] Оперативы с минимальными левыми идеалами, сб. «Теория полугрупп и ее приложения», Саратов, 2 (1971), 14—26. [ 72 ; 5, 155] Глускин Л. М., Ш в а р ц В. Я. К теории ассоциативов, Матем. заметки 11 (1972), 545—554. [72 : 8, 401] МадевскиЖ. и-асощфтиви Kaj кои HeKOJ лев идеал е n-группа, Годишен. зб. Природно-матем. фак. Ун-т Скоще 17—18 (1966—1967), 5-10. [70 : 7, 177] С а н д и к М. Д. О единицах в и-лупах, сб, «Исследования по алгебре и математическому анализу», Кишинев, 1965, 140—146. [65 : 12, 333] Вполне приводимые η-квазигруппы, ИАН МолдССР, сер. физ,- техн. и матем. наук 7 (1965), 55—67. [66 : 5, 282] О единственности представления гс-квазигрупп, сб. «Исследования по общей алгебре», Кишинев, 1965, 123—135. [66 : 4, 210] Гомоморфизмы «-луп, сб. «Математические исследования», Кишинев, 2, № ι (1967), 83—100. [67 : 11, 216] О дистрибутивности в и-квазигругшах? сб. «Математические исследования», Кишинев, 3, № 2 (1968), 161—169. [69 : 4, 199] Действие гс-квазигруппы на множестве, сб. «Вопросы теории квазигрупп и луп», Кишинев, 1970 (1971), 110—115. {71 : 7,
ЛИТЕРАТУРА 521 С а н д и к М. Д., Соколов Е. И. Тотально-симметричные гс-квазигруппы, сб. «Математические исследования», Кишинев, 3, № 2 (1968), 170—182. [69 : 4, 2001 Матрицы обращения и тотально симметричные η -квазигруппы, сб. «Вопросы теории квазигрупп и луп», Кишинев, 1970 (1971), 115-122. [71 : 7, 284] С л i π е н к о А. К. Позищйт оперативи вщображень, Доповцц АН УРСР, Α., 1969, № 2, 143—147. [69 : 9, 205] 1деали симетричних оператив1в, Доповщ1 АН УРСР, Α., 1969, № 12, 1093-1096. [70: 4, 311] Зображення оператив1в, Доповда АН УРСР, Α., 1970, № 3, 226-230, 285. [70 : 9, 135] Слипенко А. К., Фейзуллаев Р. Б. Об идеальных эквивалентностях оперативов, И АН АзССР, сер. физ.-техн. и матем. наук, 1969, № 3, 77—82. [70 : 4, 210] С о к о л о в Е. И. Некоторые свойства тг-оперативов, Уч. зап. Кишиневск. ун-та 91 (1967), 15-29. [69 : 3, 198] Гомоморфизмы у?-кв аз игру пи, сб. «Исследования по общей алгебре», Кишинев, 1 (1968), 54—70. [70 : 9, 190] О приводимости (i, /Уассоциативных w-квазигрупп, И АН МолдССР, сер. фпз.-техн. и матем. наук, 1969, № 3, 10—18. [71 : 2, 212] Соколов Е. И., Б е л и о г л о A. PL О свойствах коммутативности 7?г-ассоциативных п-квазитрушт, сб. «Вопросы теории квазигрупп и луп», Кишинев, 1970 (1971), 139-145. [71 : 8, 206] Тодориков С., Костова М. Един аналог на теорема на Хьолдер при тернарна наредба, На- учни тр. Высш. ин-т хранит, и вкус, пром-ст, Пловдив, 12 (1965), 353-356. [66 : 9, 172] ТрпеновскиБ. Л. Делумно ассощцативни /г-групоиди со неутрални елементи, Бил- тен Друшт. матем. и физ. СРМ 14 (1963), 5—16. [66 : 3, 261} За n-групоидите со централни неутрални елементи, там же 31— 39. [66 : 3, 262] η -полугрупп што можат да ее поиолнат со неутрални елементи, Билтен Друшт. матем. и физ. СРМ 15 (1964), 23—26. [66 : 6, 178] За некой л-полугрупп што се унии од n-групи, Билтен Друшт. матем..и физ. СРМ 16 (1965), 11—17. [67 : 1, 148] Антикомутативни га-груноиди, Годшпен зб. Електро-маш. фак. Ун-т Скоще 1 (1967), 33—35. [69 : 12, 278] ТрпеновскиБ., Чупона Г. Финитарни асовдативни операции со неутрални елементи, Билтен Друшт. матем. и физ. НРМ 12 (1961), 15—24. [64 : 8, 271]
522 ЛИТЕРАТУРА У ш а н Я. Одно определение группы и его обобщение на гс-арный случай, Матем. вестн. 5 (1968), 145-149. [69 : 3, 197} Обобщение теоремы В. Д. Белоусова о четырех квазигруппах на тернарный случай, Билтен Другат. матем. и физ. СРМ 20 (1969), 13—17. [71 : 12, 298] Ассоциативные в целом системы тернарных квазигрупп, Math. balkan. 1 (197ί), 273-281. [72 : 3, 217] Ч у π о н а Г. За тернарните асоци^ативни операции, Билтен. Друшт. матом. и физ. НРМ 9 (1958), 5—10. [61 : 2, 158] За τι-арните подполугрупп, Билтен. Друшт. матем. и физ. НРМ 12 (1961), 5-13. [65 : 1, 216] Полугрупп геперирани од асоци^ативи, Годишен зб. Природно- матем. фак. Ун-т CKonje 15 (1964), 5—25. [67 : 6, 143] Ш в а рц В. Я. Об одном классе позиционных оперативов, Изв. высш. учебы, заведений, Математика, 1969, № 6, 98—105. [69 : И, 125] А 1 le n D. J. Abstract algebras with a single operation and group-like axioms, Amer. Math. Monthly 74 (1967), 186-188. [67 : 11, 269] Belousov V. D., Η ο s s ζ ύ Μ. Some problems on ternary quasigroups, Матем. весн. 1 (1964), 319— 324. [66 : 6, 182] Boccioni D. Simmetrizzazione di una operazione я-aria, Rend. Semin. mat. Univ. Padova 35 (1965), 82—106. [66 : 4, 213] Climescu Al. Independenta conditiilor de asociativitate, Bui. Inst. Politehn. Iasi 1 (1955), 1—9. [59 : 6; 5632] Crombez G. On partially ordered /г-groups, Abh. math. Semin. Univ. Hamburg 38 (1972), 141-146. [73 : 2, 297] G h i k a A. Structuri algebrice ternare, Comun. Acad. RPR 8 (1958), 257—261. [60 : 4, 3842] Gleichgewicht В., Glazek R. Remarks on η-groups as abstract algebras, Colloq. math. 17 (1967), 209-219. [69 : 1, 328] Hoehnke H. J. Uber Verallgemeinerungen des Scharbegriffs, Math. Nachr. 38 (1968), 365-382. [69 : 5, 179] Η ο s s ζ ύ Μ. On the explicit form of rc~group operations, Pubis math. 10 (1963), 88-92. [65 : 1, 217]
ЛИТЕРАТУРА 523 L о о s О. Assoziative tripelsysteme, Manuscr. math. 7 (1972), 103—112. [72 : 12, 292] Monk D., S i о s ο η F. Μ. rc?-semigroups, semigroups und function representations, Fundam. math. 59 (1966), 233-241. [67 : 10, 140] Rado F.,HosszuM. Uber eine Klasse von ternaren Quasigruppen, Acta math. Acad, scient. hung. 15 (1964), 29—36. [65 : 1, 215] Robinson D. W. «-groups with identity elements, Math. Mag. 31 (1958), 255—258. I 59 : 3, 2388] Rosenberg J. The application of ternary semigroups to the study of л-valued Sheffer functions, Notre Dame J. Form. Logic 10 (1969), 90— 96. [70 : 2, 151] S i о s ο η F. Μ. On regular algebraic systems, A note on notes by lseki, Kovacs. and Lajos, Proc. Japan Acad. 39 (1963), 283—286. [64 : 1, 318] Cyclic and homogenous m-semigroups, там же, 444—449. [64 : 9, 191] Generalisation d'un theoreme d'Hopkins — Brauer, С. г. Acad. sci. Paris 257 (1963), 1890—1892. [64 : 5, 201] Remarques au sujet d'une note anterieure, там же, 3106. [64 : 7, 296] Ideals in (m + l)-semigroups, Aim. mat. pura ed appl. 68 (1965), 161-200. [66 : 4, 211] On free abelian га-groups, I, Proc. Japan Acad. 43 (1967), 876— 879. [68 : 11, 197] On free abelian m-groups, II, там же, 880—883. [68 : 11, 198] On free abelian /rc-groups, III, там же, 884—888. [68 : И, 199] S ζ a s ζ С. Asupra axiomelor care stau la baza definitiei unui n-grup, Lucrari stiin$. Inst, politehn. Brasov, Fac. mec. 7 (1965), 43—47· [66 : 12, 258] Thurston H. A. Some properties of partly associative operations, Proc. Amer. Math. Soc. 5 (1954), 487-497. 157 : 1, 211] Timm J. Verbandstheoretische Behandlung и-stelliger Gruppen, Abh. math. Semin. Univ. Hamburg 37 (1972), 218—224. [73 : 1, 302] Tvermoes H. Uber eine Verallgemeinerung des GruppenbegriHs, Math, scand. 1 (1953), 18-30. [54 : 2, 2019] Ζ u ρ η i к D. Polyadic semigroups, Pubis math. 14 (1967), 273—279. [68 : 8, 181]
524 ЛИТЕРАТУРА К § 10 3 а р е ц к π й К. А. Абстрактная характеристика биполугруппы бинарных отношений, Матем. заметки 1 (1967), 525—530. [68 : 1, 192] Розен В. В* О рестриктивных биполугруппах, ассоциированных с обобщенными грудами, Изв. высш. учебн. заведений, Математика, 1966, № 6, 144-151. [67 : 5, 170] 4 у π о н а Г. За некой релации мечу бинарните операции, Билтен Друшт. матем. ифиз. НРМ'Ю (1959), 5-27. [62 : 2, 250] За квазипрстените, Билтен Друшт. мат. и физ. СРМ 20 [1969], 19-22. [71 : И, 311] Шайн Б. М. Рестриктивные биполугруппы, Изв. высш. учебн. заведений, Математика, 1965, № 1, 168—179. [65 : 6, 182] Рестриктивные биполугруппы отображений, Изв. высш. учебн. заведений, Математика, 1967, № 1, 115—121. [67 : 10, 137] Рестриктивные биполугруппы квазиоднозначных бинарных отношений, I, Изв. высш. учебн. заведений, Математика, 1969, Ко 5, 73—84. [69 : 10, 89] Involuted restrictive bisemigroups of binary relations, Matemat. casop. 19 (1969), 307-315. [70 : 5, 156] Bartolezzi F. Su una classe di quasi corpi (sinistri) finite, Rend. mat. e applic. 24 (1965), 165-173. [66 : 9, 199] Beamont R.A. Generalized rings, Proc. Amer. Math. Soc. 9 (1958), 876—881. [60 : 7, 7318] В о с с i о η i D. Indipendenza delle condizioni di distributivita, Rend. Seminar mat. Univ. Padova 28 (1958), 1—30. [59 : 7, 6686] Indipendenza delle condizioni di mutua distributivita, там же, 40-49. [59 : 7, 6687] Dipendenza delle condizioni di mutua distributivita nei bisistemi di ordine 3, там же, 50—67, [59 : 7, 6688] Condizioni di distributivita ed associativita unilaterali, Rend. Seminar, mat. Univ. Padova 30 (1960), 178—193. [62 : 6, 219] Condizioni di distributivita con almeno una operazione commuta- tiva, Rend. Seminar, mat. Univ. Padova 31 (1961), 87—103. 163 :2, 221] Indipendenza delle condizioni di doppia e di tripla distributivita, Rend. Seminar, mat. Univ. Padova 33 (1963), 33—47. [64 : 9, 258) Condizioni indipendenti ed equivalenti a quelle di mutua distributivita, там же, 91—98. [64 : 9, 260]
ЛИТЕРАТУРА 525 С 1 i m e s с u A. Anneaux faibles, Bull. Inst, politehn. Iasi 7 (1961), 1—6. [62 : 12, 184] A noua clasa de inele slabe, Bui. Inst. Politehn. Ia$i 10 (1964), 1-4. [66 : 8, 287] Choudhury A.C. Quasigroups and nonassociative systems, I, II, III, Bull. Calcutta Math. Soc. 40 (1948), 183; 41 (1949), 221; 49 (1957), 9-24. [59 :.3, 2389] Court L. M. The impossibility of rings with dual distributive laws, Riv. mat. Univ. Parma 6 (1965), 31—36. [68 : 3, 279] Ε 11 er s Ε., Κ ar ζ el H. Endliche Inzidenzgruppen, Abhandl. Math. Semin. Univ. Hamburg 27 (1964), 250-264. [65 : 4, 239] Ferrero G. Due gcneralizzazioni del concetto di anello e loro equivalenza neirainbito degli «stems» finiti, Riv. mat. Univ. Parma 7 (1966), 145-150. [69 : 1, 295] Struttura degli «stems» p-singolari, там же, 243—254. [69:1, 294] Harris В. Cohomology of Lie triple systems and Lie algebras with involution, Trans. Amer. Math. Soc. 98 (1961), 148—162. [62 : 5, 256] Η s i a η g Wuchung, Η s i a n g Wuyi A note on the theory of (w, ^-distributive rings, Arch. Math. 11 (1960), 88—90. [61 : 6, 301] Η s i a n g Wuyi On the distributive law, Proc. Amer. Math. S^c. 11 (1960), 348— 355. [61 : 3, 256] J о r d a n P., R u h а а к Н. Neue Beitrage zur Theorie der Lie-Tripel Algebren, und der Os- born-Algebren, Abh. math.-naturwiss. KL Akad. Wiss. und Literatur 1 (1969), 1-13. К ell a her M. J. Right Bol quasifields, Canad. J. Math. 21 (1969), 1409—1420. [70 : 12, 241] Lombardo-RadiceL. Quelques resultats nouveaux et queiques problemes ouverts dans la theorie des quasicorps, Semin. P. Dubreil, M. L. Dubreil- Jacotin ct С Pisot, Fac. Sci. Paris 2 (1958), 20/1—20/10. [60 : 1, 180] Anneaux ternaires et corps generalises lies aux geometries non- arguesiennes, Algebraic and Topologie Foundations of Geometry, 1962 123—130. [63 : 1, 276]
526 ЛИТЕРАТУРА Luchian Т. Asupra algebrelor slabede ordin 3, си diviziune, An. stiin£. Univ. Iasi 10 (1964), 29-42. [66 : 1, 371] Observa^ii asupra inelelor slabe, An. stihtt). Univ. Iasi, Sec. la, И (1965), 99—111. [67 : 7, 236] Homomorphisme in inele slabe, An. sttin^. Univ. la si* Sec. la, 13 (1967), 17—28. 168 : 8, 253] Asupra no^iunii de domeniu de integritate in inele slabe, там же, 257—262. [68 : 11, 230] Weak ring extensions, An. stiin^, Univ. Iasi, Sec. la, 18 (1972), 13-18. [73 : 1, 304] Μ θ 1 t er R. A. A geometrical property of Boolean quaternions, Simon Stevin 37 (1963), 35-37. [64 : 9, 259] Μ en i с h e 11 i G. Quasicorpi, di dimensione 2 sopra urn campo K, associati a tran- sformazioni quadratiche nel piano affine % (K), Matematiche 25 (1970—1971), 117-148. [72 : 1, 494] Μ e η ο η Ρ. Κ. A class of quasi-fields having isomorphic additive and multiplicative groups, J. Indian Math. Soc. 27 (1963), 71—90. [65 : 2, 369] N а г а у a n a R. M. L., W i 1 к e F. M. A necessary condition that two finite quasi-fields coordinatize isomorphic translation planes, Proc. Amer. Math. Soc. 24 (1970), 124-125. [71 : 8, 263] Natarajan N.S. Rings with generalised distributive laws, J. Ind. Math. Soc. 28 (1964), 1—6. [66 : 3, 248] О s b о r η J. Μ. Lie triple algebras with one generator, Math. Z. 110 (1969), 52—74. [70 : 1, 242] PeterssonH. P. Uber den Wedderburnschen Struktursatz fur Lie-Tripel-Algebron, Math. Z. 98 (1967), 104—118. [68 : 6, 312] PlaumannP., Strambach K. Zusammenh&ngende Quasikorper mit Zentrum, Arch. Math. 21 (1970), 455-465. [71 : 8, 250] Rodriguez G. Sui quasicorpi distributivi finiti, Atti Accad. naz. Lincei. Rend. CI. sci. fis., mat. e natur. 26 (1959). 458—465. [60 : 9, 10087] S a g 1 e A. A. On anti-commutative algebras and general Lie triple systems, Pacif. J. Math. 15 (1965), 281-291. [66 : 5, 240]
ЛИТЕРАТУРА 527 а а ι τ ο ι· Note on the distributive laws, Amer. Math» Monthly 66 (1959), 280—283. [60 : 6, 6252] On (m, ^-distributive division rings, Proc. Japan Acad. 37 (1961), 69-71. [62 : 3, 240] Note on the distributive laws (Supplement), Amer. Math. Monthly 68 (1961), 649—650. [62 : 11, 213J Sobocinski B. A new formalization of Newman algebra, Notre Dame J. Form. Logic 13 (1972), 255-264. [72 ι 10, 214] An equationalaxiomatizfltion ®f associate N wman algebras, там же, 265-269. [72 : 10, 215] On duo rings, Canad. Math. Bull. 3 (1960), 167—172. [61 : 9, 291] Yamaguti K. On algebras of totally geodesic spaces (Lie triple systems), J. Sci. Hiroshima Univ, A21 (1957), 107—113. [60 : 5, 4982] К § 12 Б a pa η о в и ч Т. М. О некоторых теоремах в теории мультиоператорных алгебр, Сиб. матем. ж. 13 (1972), 6-16. [72 : 5, 319] Г е ч е ρ Φ. О некоторых классах полумодулей и модулей, Acta scient. math. 24 (1963), 165-172. [64 : 7, 308] Ρ еб а н е Ю. К. О представлении универсальных алгебр в коммутативных полугруппах, Сиб. матем. ж. 7 (1966), 878—885. [67 : 10, 223] О представлении универсальных алгебр в полугруппах с двусторонним сокращением и в коммутативных полугруппах с сокращением, ИАН ЭстССР, сер. физ.* матем. 17 (1968), 375-378. [69 : 6, 250] Представление мультиоператорных колец в ассоциативных кольцах, УМН 24 (1969), 43-46. [69 : 9, 204] О представлении универсальных алгебр в нильштеитных полугруппах, Сиб. матем. ж. 10 (1969), 945—949. [70 : 2, 290] Френкин Б. Р. О приводимости и сводимости в некоторых классах п-группо* идов, сб. «Математические исследования», Кишинев, 6, № 2, (1971), 122—137. [72 : 2, 235] О приводимости и сводимости в некоторых классах п-группоидов, II, сб. «Математические исследования», Кишинев, 7, № 1,* (1972), 150-162. [72 : 6, 323] Ч а к а н ь Б. Об эквивалентности некоторых классов алгебраических систем, Acta scient. matht 23 (1962), 46—57, [63 ; 4, 225]
528 ЛИТЕРАТУРА Примитивные классы алгебр, эквивалентные классам полумодулей и модулей, Acta scient. math. 24 (1963), 157—164. [64 : 7, 307] Climescu A. line definition unitaire des algebres a operations finitaires, Bui. Inst, politehn. Iasi 60 (I960), 1—4. [62 : 5, 220] Neumann B. H., WiegoldE. C. A semigroup representation of varieties of algebras, Colloq. math. 14 (1964), 111-114. [66 : 8, 189] Padojcic M. D. On the embedding of universal algebras in groupoids holding the law xy * zu ** = xz * yu **, Матем. вестн. 5 (1968), 353 — 356. [69 : 5, 258] K§ 13 АндрунакиевичВ. Α., Марин В. Г. Мультиоператорные линейные алгебры без нильпотентных элементов, ДАН СССР 197 (1971), 746 — 749. [71 : 8, 266] Мультиоператорные линейные алгебры без нильпотентных элементов, сб. «Математические исследования», Кишинев, 1971, 3—21. [71 : 11, 328] Артамонов В. А. Клоны полилинейных операций и мультиоператорные алгебры, УМН 24 (1969), 47-59. [69 : 9, 206] Полупростые многообразия мультиоператорных алгебр, Ϊ, Изв. высш. учебн. заведений, Математика, 1971, № 11, 3—Ю. [72 : 3, 272] Полупростые многообразия мультиоператорных алгебр, II, Изв. высш. учебн. заведений, Математика, 1971, № 12, 15—21. [72 : 6, 334] Б у ρ г и н М. С. Теорема о свободе в некоторых многообразиях линейных Ω-алгебр и Ω-колец, УМН 24 (1969), 27-38. [69:9, 207] Линейные Ω-алгебры над коммутативными кольцами и достижимые многообразия, Вестн. Московск. ун-та, матем., мех., 1972, № 2, 56—63. [72 : 7, 266] Свободные факторалгебры свободных линейных Ω-алгебр, Матем. заметки 11 (1972), 537—544. [72 : 8, 398] Линейные Ω-алгебры и теорема о свободе, Вестн. Моск. ун-та, матем., мех., 1972, № 5, 72-77. [73 : 2, 291] Шрейеровы многообразия линейных алгебр, УМН 27 (1972), 227—228. [73 : 2, 295] БургинМ, С, Артамонов В. А. Некоторые свойства подалгебр в многообразиях линейных Ω- алгебр, Матем. сб. 87 (1972), 67-82. [72 : 5, 318]
ЛИТЕРАТУРА 529 Габович Ε. Я. Об архимедовски упорядоченных Ω-группах, Уч. зап. Тартуск. ун-та 129 (1962), 19—22. [64 : 3, 240] Г е ч е г Ф. Шрейерово расширение мультиоператорных групп, Acta scient. math. 23 (1962), 58-63. [63 : 3, 255] Д и д и д з е Ц. Ε. Свободные суммы Ω-алгебр с объединенной Ω-подалгеброй, Со- общ. АН ГрузССР 50 (1968), 531-534. [69 : 2, 388] Иванов И. С. Свободные 5Г-суммы мультиоператорных тел, Тр. Московок, матем. о-ва 17 (1967), 3—44. [69 : 1, 327] К и з н е ρ Φ. И. Две теоремы о тождествах в мультиоператорных алгебрах, УМН 24 (1969), 39—42. [69 : 7, 267] Кузьмин Б. Н. Тернарные тела, Алгебра и логика (семинар) 6, № 1 (1967), 69— 81.[68 : 8,281] К у ρ о ш А. Г. Свободные суммы мультиоператорных алгебр, Сиб. матем. ж. 1 (1960), 62—70. [61 : 4, 216] Свободные суммы мультиоператорных групп, Acta scient. math. 21 (1960), 187-196. [61 : 4, 218] Мультиоператорные кольца и алгебры, УМН 24 (1969), 3—15. [69 : 9, 203] Свободные суммы мультиоператорных линейных почти алгебр, сб. «Математические исследования». Кишинев, 6 (1971), 83-87. [71 : 8, 264] Свободные разложения в некоторых многообразиях мультиоператорных групп, Изв. высш. учебн. заведений, Математика, 1971, № 3, 50—54. [71 : 11, 333] Л η ш а к М. Г. Ω-группы с идеализаторным условием, ИАН КазССР, сер. физ.- матем. н.5 1964, № 2, 63—68. [65 : 3, 360] Метабелевы и слабо метабелевы Ω-группы, Идеализаторное условие, Вестник АН КазССР 10 (1964), 75—79. [65 : 4, 246] О периодической части абелевой Ω-группы. Тр. 1 Казахстанск. межвуз. научн. конф. по матем. и механ., 1963, Алма-Ата, «Наука», 1965, 140—146. [68 : 2, 232] Л ю Ш а о - с ю э' О прямых слагаемых в группах с мультиоператорами, Scientia sinica 13 (1964), 1735—1745. [65 : 8, 2621 Μ о л л о в Т. Ж. Векторни дистрибутивни мултиоператорни групи, Научни тр. Висш. пед. ин-та, Пловдив, 5, № 2 (1967), 13—20. [69 : 4, 271]
530 ЛИТЕРАТУРА Структурно наредеии, мультиоператорни групи, Научни тр. Висш. пед. ин-т, Пловдив, 6, № 1 (1968), 19—25. [69 : 10, 154] ПолинС. В. Подалгебры свободных алгебр некоторых многообразий мульти- операторных алгебр, УМН 24 (1969), 17-26. [69 : 7, 266] Ρ а д н е в П. Върху един клас структурно наредени мультиоператорни групи, Научни тр. Висш. пед. ин-т, Пловдив, 8 (1970), 35—38. [71 : 6, 349] Рябухин Ю.М. О некоторых многообразиях универсальных алгебр. И АН МолдССР, сер. физ.-техн. и матем. наук, 1967, № 8, 25—53. [68 : 7, 333] К теории нижнего ниль-радикала колец, Алгебра и логика (семинар) 6, № 4 (1967), 83-92. [69 : 1, 310] Радикалы в Ω-группах; I: Общая теория, Сб. «Математические исследования», Кишинев, 3, № 2 (1968), 123—160. [69 : 4, 270] Радикалы в Ω-группах, II: Идеально наследственные радикалы, Сб. «Математические исследования», Кишинев, 3, № 4 (1968-1969), 108-135. [69 : 9, 210] Радикалы в Ω-группах, III: Специальные и квазиспециальные радикалы, Сб. «Математические исследования», Кишинев, 4, № 1 (1969), 110—131. [69 : И, 283] Смирнов Д.М. О приведенно свободных мультиоператорных группах, ДАН СССР 150 (1963), 44-47. [63 : 12, 302] Упорядоченные мультиоператорные группы, Сиб. матем. ж. 6 (1965), 433-458. [65 : 10, 286] Смирнов Д.М., ТайцлинМ. А. О финитно аппроксимируемых абелевых мультиоператорных группах, УМН 17 (1962), 137—142. [63 : 7, 204] Соколовская Т. В. Мультиоператорные группы как универсальные алгебры с единственной операцией, подчиненной единственному тождеству, Сиб. матем. ж. 8 (1967), 853-858. [68 : 5, 353] ТайцлинМ. А. О финитной аппроксимируемости Ω-групп, Сиб. матем. ж. 3 (1962), 95—102. [62 : 9, 165] Черемисин А. И. Дистрибутивные ΓΩ-группы с конечным числом носителей; Сиб. матем. ж. 9 (1968), 177-187. [68 : 9, 255] Ч у π о н а Г. За [т, и]-протените, Билтен Друшт. матем. и физ. СРМ 16 (1965), 5-10. [67 : 1, 226]
ЛИТЕРАТУРА 531 BarnesW.E. On the Γ-rings of Nobusawa, Pacif. J. Math. 18 (1966), 411—422. [68 : 3, 257] Berman G., Silverman R. J. Embedding of algebraic systems, Pacif. J. Math. 10 (1960), 777— 786. [62 : 7, 236] В о с с i о η i D. P-gruppoide dei quozienti di un gruppoide con operators, Rend. Semin. mat. Univ. Padova 25 (1956), 176—195. [57 : 5, 3814] Q-pseudagruppi complementarizzabili, Rend. Semin. mat. Univ. Padova 26 (1956), 85-123. [57 : 11, 8468] A -modulo supplemental di un £-semigruppo commutativo, Rend. Semin. mat. Univ. Padova 27 (1957), 48-59. [58 : 8, 6513] Crawly P., Jonsson B. Direct decompositions of algebraic systems, Bull. Amer. Math. Soc. 69 (1963), 541-547. [64 : 7, 295] Crombez G. On (д, m)-rings, Abh. math. Semin. Univ. Hamburg 37 (1972), 180-199. [73 : 1, 296] Crombez G., Τ i m m G., Τ i m m J. On (w, m)-quotient rings, Abh. math. Semin. Univ. Hamburg 37 (1972), 200—203. [73 : 1, 297] D a n t ο η i G. Ω-gruppi distributivi a sottogruppi additivi tutti ideali, Mate- matiche 23 (1968), 449—466. [69 : 12, 343] Grillet P. A. Homomorphismes principaux de tas e de groupoides, Bull. Soc. math. France 93 (1965), 1 — 167. [66 : 12, 262] Hamisch W. Topologie in der Algebra, Math. Z. 60 (1954), 458—487. [56 : 11, 7923] Η i g g i η s P. J. Groups with multiple operators, Proc. London Math. Soc. 6 (1956), 366-416. [57 : 4, 2951] J a v i e r E. J. Homomorfismos de estructuras con operadores, 6 Reun. anual mat. espM Sevilla, 1967, 133—141. [68 : 5,356] К о sk a s M. Theorie des hypertas, Applications a la theorie des demi-groupes, Atti Accad. naz. Lincei. Rend. CI. sci. fis., mat. e natur. 40 (1966), 35-39. [67 : 2, 174] Hypertas, demi-groupes et demi-hypergroupes, C. r. Acad. sci. 263 (1966), A153-A155. [67 : 2, 175] Bi-hypertas, demi-groupes, demi-hypergroupes, там же, А197 — A199. [67 : 2, 176]
532 ЛИТЕРАТУРА Les hypertas, Semin. Dubreil et Pisot, Fac. Sci. Paris 16, 1962— 1963, N 1 (1967), 10/01-10/42. 168 : 5,234] Application de la theorie des hypertas aux demi-groupes, Semin. Dubreil et Pisot, Fac. Sci. Paris 17, 1963—1964, № 1 (1967), 3/01-3/22. [68 : 5, 236] Applications de la theorie des hypertas, II, Semin. Dubreil et Pisot, Fac. Sci. Paris 18, 1964-1965, № 1 (1967), 5/01-5/10.168 : 5, 235] К г e i m e r H. F. The foundations for an extension of differential algebra, Trans. Amer. Math. Soc. Ill (1964), 482—492. [66 : 2, 300] L a u s с h H. Functions on groups with multiple operators, J. London Math. Soc. 42 (1967), 698-700. [69 : 3, 196] Luh J. On primitive Γ-rings with minimal one-sided ideals, Osaka J. Math. 5 (1968), 165-173. [69 : 11, 214] On the theory of simple Γ-rings, Mich. Math. J. 16 (1969), 65 — 75. [70 : 1, 264] Μ u r a t a K. On nilpotent-free multiplicative systems, Osaka Math. J. 14 (1962), 53-70. [63 : 5, 307] NobauerW. Transformation von Teilalgebren und Kongruenzrelationen in allgemeinen Algebren, J. reine und angew. Math., 1964, 214— 215, 412-418. [65 : 3, 361] N obusawa N. On a generalization of the ring theory, Osaka J. Math. 1 (1964), 81-89. [65 : 10, 266] Osborn J. M. Vector loops, 111. J. Math. 5 (1961), 565-584. [63 : 2, 224] R о к о s P. Generalisation of theorems in «General algebra», Bull. Soc. Math. Grece28 (1954), 167-187. [56 : 5, 3712] Algebre-anneaux, Prakt. Akad. Athenon 32 (1957), 308-318. [63 : 3, 257] Sedlacek L. Grupoidy a grupy s operatory, Acta Univ. palack. olomuc. 7 (1961—1962), 33—36. [64 : 8, 207] S к 1 а г A. Canonical decompositions, stable functions and fractional iterates, Acquat. math. 3 (1969), 118—129. [70 : 6, 269] SzilagyiM. On ordered Ώ-groups, Rev. roum. math, pures et appi. 17 (1972), 1439-1450. [73 : 3, 325]
ЛИТЕРАТУРА 533 Τ a m υ г а Т., В и г η θ 11 D. G. A note on the extension of semigroups with operators, Proc. Japan Acad. 38 (1962), 495—498. [63 : 9, 190] Extension of groupoids with operators, Amer. Math. Monthly 71 (1964), 385-391. [65 : 4, 183] Virogl. Systemes reguliers de Ω-sous-groupes d'un Ω-groupe, I, Stud. Univ. Bades-Bolyai, Ser. math.-mech. 15 (1970), 3-7. [71 : 9, 267] Wuytack F., Depunt J. «Rings» and «Linear algebras» over /-collections of modules, Bull. Soc. math. Belg. 20 (1968), 36-65. [69 : 8, 231] К § 14 Алиев И. ΠΙ. О наименьшем многообразии симметрических алгебр, Алгебра и логика (семинар) 5, № β (1966), 5—14. [67 : 8, 198) Ч а к а н ь Б. Об абелевых свойствах примитивных классов универсальных алгебр, Acta scient. math. 25 (1964), 202—208. [66 : 3, 264J EvansT. A condition for a group to be commutative, Amer. Math. Monthly 68 (1961), 898-899. [62 : 6, 184] Endomorphisms of abstract algebras, Proc. Roy. Soc. Edinburgh A66 (1961-1962), 54-64. [63 : 6, 262] К § 15 Белоусов В. Д. К определению понятия квазитела, И АН Молд. ССР, сер, физ.-матем. и техн. наук, 1964, № 6, 3—10. [65 : 8, 230) £ Гринглая Л. Я. О локально нильпотентных квазикольцах, Матем. зап. Уральск, ун-та 5 (1965), 35-42. [66 : 5, 261] Данилов Р. А. Композиционная алгебра целых функций, Сб. статей по матем. Челябинск, гос. пед. ин-т, вып. 1, ч. 2 (1966), 102—110. [68 : 6, 314] Л е с о χ и н Μ. Μ. О полугруппе мультипликаций коммутативной регулярной полугруппы/ Изв. внеш. учебн. заведений, Математика, 1964, №3,84-87.(65 12,308] Л и б θ ρ С. А. Упорядоченные те-кольцоиды над мультиоператорнымй группами, сб. «Математические исследования», Кишинев, 7, № 1 (1972), 83-97. [72 : 6, 324J . ,
534 ЛИТЕРАТУРА Миронов А. В. К теории модулей над яолуполями, Тр. Ташкент, политехи, нн-та 56 (1970), 45-52. [71 : 6, 3101 Π л о τ к и н Б. И. Ω-полугруппы, Ω-кольца и представления, ДАН СССР 149 (1963), 1037-1040. [63 : 10, 244] Полин СВ. Примитивные τηΩ-почти кольца над мультиоператорными группами, Матем. сб. 84 (1971), 254-272. [71 : 6, 300] Радикалы в /?ιΩ-πο4ΤΗ кольцах, I, II, Изв. высш. учеб. заведений, Математика, 1972, № 1, 64—75; № 2, 63—71. [72 : 5, 320], ' [72 : 8, 393] Пономарев В. Т. Исследование применимости способа А. Н. Колмогорова для расширения упорядоченных полуколец и частично упорядоченных колец, сб. «Математические исследования», Свердловск, 1961, 3-52. [62 : 3, 248] Ρ е д и Э. Представление систем Менгера многоместными эндоморфизмами, Уч. зап. Тартуск. ун-та 277 (1971), 47—51. [72 : 5, 317] С а л и й В. Н. К теории инверсных полуколец, Изв. высш. учебн. заведений, Математика, 1969, № 3, 52—60. [69 : 9, 190] Фрейдман П. А. О дистрибутивно разрешимых почти кольцах, Тр. Рижск. ад- гебраич. семинара, Рига, 1969, 297—309. [70 : 4, 301] X е н н о Я. Эквивалентности Грина в системах Менгера, Уч. зап. Тартуск. ун-та 277 (1971), 37-46. [72 : 5, 158] Групповые системы Менгера, Тр. Таллин, политехи, ин-та, А, " 312 (1971), 95—110. [72 : 8, 234] Плотно вложенные правые идеалы систем Менгера, Изв. АН ЭстССР, физ., матем. 21 (1972), 131-141. [72 : 9, 261] Плотные вложения в системах Менгера, там же, 231—238. [73 : 2, 170] X и о н Я. В. Ω-кольцоиды, Ω-кольца и их представления, Тр. Моск. матем. о-ва 14 (1965), 3-47. [66 : 12, 339] Ω-кольцоиды, Ω-кольца и их представления, Уч. зап. Тартуск. ун-та 192 (1966), 3-11. [68 : 12, 254] α-арные Ω-кольцоиды, Сиб. матем. ж. 8 (1967), 174—194. [68 : 4, 252] Ш н е π е ρ м а н Л. В. Полугруппы непрерывных преобразований замкнутых множеств числовой прямой, Изв. высш. учебн. заведений, Математика, 1965, № 6, 166-175. [67 : 7, 247]
ЛИТЕРАТУРА 535 Я ρ о к е ρ Я. Η. Щяиком прост! менгеровсын оператяви, Допов1Д1 АН УРСРо А, 1972, § 1, 34-37. [72 : 6, 178) Ad ler I. Composition rings, Duke Math. J. 29 (1962), 607—623. [63 : 12, 254] Almeida С A. Sur la theorie generale des demi-anneaux, I, II, Semin P. Dubreil, M. L. Dubreil-Jacotin et C. Pisot, Fac. Sci. Paris, i960— 1961, 14 annee, fasc. 2, 1963, 24/01-24/17, 25/01-25/12. [64 : 9, 244-245] Sur les ideaux nucl6aires d'un demi-anneau. Rev. Fac. cienc. Univ. Lisboa 11 (1965—1966), 277—293. [69 : 1, 296] Andre J. Uber eine Beziehung zwischen Zentrum und Kern endlicher Fast- korper, Arch. Math, 14 (1963), 145-146. [63:10, 244] Uber iuvollstandige Fastkorper und verallgemeinerte affine Ra- ume, Math. Z. 119 (1971), 254-266. [71 : 8, 258] An she 1 M., С 1 а у J. R. Planar algebraic svstems: some geometric interpretations, J. Algebra 10 (1968), 166—173. [69 : 4, 252] В а г b и t E. On nil semirings with ascending chain conditions, Fundam. Math. 68 (1970), 261-264. [71 : 5, 327] Barthelemy J. P. Sur le spectre d'une semi-algebre, C. r. Acad. sci. Paris 274 (1972), A1768- A1771. [73 : 1, 303] Beidleman J. С Quasi-regularity in near-rings, Math. Z. 89 (1965), 224—229. [66 : 2, 328] A radical for near-ring modules, Mich. Math. J. 12 (1965), 377— 383. [66 : 5, 262] On near-rings and near-ring modules, Disse t. Abstrs. 25 (1965), 4716-4717. [66 : 8, 288] Distributively generated near-rings with descending chain condition, Math. Z. 91 (1966), 65—69. [66 : 12,314] Nonsemi-simple distributively generated near-rings wi1h minimum condition, Math. Ann. 170 (1967), 206—213. [67 : 11, 248] On the theory of radicals of distributively generated near-rings, I, The primitive-radical, Math. Ann. 173 (1967), 89—101. [68 : 2, 215] On the theory of radicals of distributively generated near-rings, II, The nil-radical, там же, 200—218.'[68 : 10, 207] Strictly prime distributively generated near-rings, Math. Z. 100 (1967), 97-105. [68 : 10, 205] A note on regular near-rings, J. Indian Math. Soc. 33 (1969—1970), 207-209. [71 : 6, 307]
536 ЛИТЕРАТУРА В е i d 1 е m а η J. С, С о χ R. Η. Topological near-rings, Arch. Math. 18 (1967), 485—492. [68 : 7, 312] l Bell Η. Ε. Certain near-rings are rings, J. London Math. Soc. 4 (1971) 264— 270. [72 : 4, 337] BermanG., Silverman R.J. Near-rings, Amer. Math. Monthly 66 (1959), 23—34. [60 : 9, 10085] Simplicity of near-rings of transformations, Proc. Amer. Math Soc. 10 (1959), 456-459. [60 : 10, 11378]. Betsch G. Ein Radical fur Fastringe, Math. Z. 78 (1962), 86—90. [63 : 6, 246] Biatynicki-BirulaA. On the spaces of ideals of semirings, Fundam. Math. 45 (1958), 247—253. [60 : 5, 4986] В la с к e t t D. W. Simple and semisimple near-rings, Proc. Amer. Math. Soc. 4 (1953), 772-785. [54 : 11, 5475] The near-ring of affine transformations, Proc. Amer. Math. Soc. 7 (1956), 517—519. [58 : 10, 8626] BleicherM.N., Bourne S. On the embeddability of partially ordered halfrings, J. Math. Mech. 14 (1965), 109-116. [65 : 10, 267] BoccioniD. Seminelli complementarizzabili, Rend. Semin. mat. Univ. Padova 24 (1955), 474-509. [56 : 10, 7207] Caratterizzazione di una classe di anelli generalizzati, Rend. Semin. mat. Univ. Padova 35 (1965), 116 — 127. [67:12, 275] Bosak J. Vse obecne mocniny ν pologrupach, Mat.-fyz. casop. 13 (1963), 137-146. [63 : 12, 206] Bourne S. On multiplicative idempontents of a potent semiring, Proc. Nat. Acad. Sci. USA 42 (1956), 632—638. [57 : 10, 7696] On compact semirings, Proc. Japan Acad. 35 (1959), 332—334. (61 : 6, 279] On the radical of a positive semiring, Proc. Nat. Acad. Sci. USA 45 (1959), 1519. [61 : 7, 267] On normed semialgebras, Studia math. 21 (1961), 45—64. [64 : 1, 300] On locally compact positive half-fields, Math. Ann. 146 (1962), 423-426. [64 : 1, 301] On convex topological halfalgebras, Portug. math. 24 (1965), 59— 63. [67 : 6, 198]
ЛИТЕРАТУРА 537 BourneS., ZassenhausH. On the semiradical of a semiring, Proc. Nat. Acad. Sci. USA 44 (1958), 907—914. [61 : 6, 278] On a Wedderburn — Artin structure theory of a potent semiring, Proc. Nat. Acad. Sci. USA 43 (1957), 613-615. [60 : 6, 8679] Brown H. Distributor theory in near-algebras, Communs Pure Appl. Math. 21 (1968), 535—544. [69 : 11, 254] Near-algebras, III. J. Math. 12 (1968), 215-227. [70 : 3, 335] В ruck R. H. Analogues of the ring of rational integers, Proc. Amer. Math. Soc. 6 (1955), 50-58, [56 : 9, 6456] В uch i J. R., W r igh t J. B. The theory of proportionality as an abstraction of group theory, Math. Ann. 130 (1955), 102—108. [56 : 10, 7153] Clay J. R. The near-rings on a finite cyclic group, Amer. Math. Monthly 71 (1964), 47—50. [64 : 12, 247] Imbedding an arbitrary ring in a nontrivial near-ring, Amer. Math. Monthly 74 (1967), 406-407. [68 : 1, 320] The near-rings on groups of low order, Math. Z. 104 (1968), 364— 371. [69 : 1, 298] Research in near-ring theory using a digital computer, BIT (Sver.) Ю (1970), 249—265. [71 : 6, 305] Generating balanced incomplete block designs from planar near- rings, J. Algebra 22 (1972), 319—331. [73 : 2, 279] С la у J. R., D о i D. K. Near-rings with identity of alternating groups, Math. Scand. 23 (1968), 54-56. [70 : 7, 268] Clay J. R., Lawver D. A. Boolean near-rings, Canad. Math. Bull. 12 (1969), 265—273. [70 : 6, 256] CI а у J. R., Μ alon e J. J. The near-rings with identities on certain finite groups, Math, Scand. 19 (1966), 146-150. [68 : 10, 206] С la у J. RM Μ axs on С J. The near-rings with identities on generalized quaternion groups, Rend. 1st. lombardo Accad. Sci. elett. A104 (1970), 525—530. [71 : 6, 306} CostaA.A. Sur les μ-demi-anneaux, Math. Z. 108 (1968), 10—14. [69 : 7, 249] Danes S'. On finite Dickson near-fields, Abh. math. Semin. Univ. Hamburg 37 (1972), 254-257. [73 : 1, 275]
538 ЛИТЕРАТУРА D a v i s A. S. An axiomatization of the algebra of transformations over a set, Math. Ann. 164 (1966), 372—377. [66 : 12,343] D e sk i ns W. E. A radical for near-rings, Proc. Amer. Math. Soc. 5 (1954), 825—827. [56 : 5, 3708] Dicker R. M. The substitutive law, Proc. London Math. Soc. 13 (1963), 493— 510. [64 : 8, 272] Du 1 in B. J., Μ ο sh er J. R. The Dedekind property for semirings, J. Austral. Math. Soc. 14 (1972), 82-90. [73 : 2, 274] Eilhauer R. Zur Theorie der Halbk5rper, I, Acta math. Acad. Scient. hung. 19 (1968), 23—45. [69 : 6, 262] Ε nd ler 0. Uber multiplikative Strukturen und eudoxische Hiillen von ar- chimedischen totalgeordneten Gruppen, Math. Z. 77 (1961), 339-358. [63 : 3, 204] EvansT. Some remarks on a paper by R. H. Bruck, Proc. Amer. Math. Soc. 7 (1956), 211—220. [58 : 2, 1042] F 1 i e s s M. Du produit de Hurwitz de deux series formelles, C. r. Acad. sci. Paris 268 (1969), A535 — A537. [70 : 1, 257] F r i η к О. Symmetric and self-distributive systems, Amer. Math. Monthly 62 (1956), 697-707. [57 : 1, 212] FrohlichA. The near-ring generated by the inner automorphisms of a finite simple group, J. London Math. Soc. 33 (1958), 95—107. [60 : 8, 8680] Distributively generated near-rings, I, II, Proc. London Math. Soc. 8 (1958), 76-108. [58 : 9, 7547] [60 : 9, 10086] Glaz ek K. On certain characterizations of distributive lattices, Colloq. math. 19 (1968), 195—198. [69 : 6, 244] Uwagi о idealach w polpierscieniach, Zesz. nauk. WSP Opolie Mat. 5 (1968), 161-176. [71 : 7, 341] Gonshor H. On abstract affine near-rings, Pacif. J. Math. 14 (1964), 1237— 1240. [66 :3, 245] GrStzerG. A theorem on doubly transitive permutation groups with application to universal algebras, Fundam. Math. 53 (1963), 25—41. [64 : 4, 256]
ЛИТЕРАТУРА 539 Graves J. A. Near-domains, Diss. Abstrs. Int., B32, № 8 (1972), 4725—4726. [72 : 7, 252] G r i 1 let M. P. A semiring whose Green's relations do not commute, Acta sci. math. 31 (1970), 161-166. [71 : 3, 2.36] Green's relations in a semiring, Port. math. 29 (1970), 181—195. [72 : 2, 385) Semisimple Л-semigroups and semirings, Fundam. Math. 76 (1972), 109-116. [73 : 3, 296] Gri llet 0. P. Subdivision rings of a semiring, Fundam, Math. 67 (1970), 67—74. [70 : 12, 227] Gu ρ t a N. D. Commutation near-rings of a group, J. Austral. Math. Soc. 7 (1967), 135-140. [68 : 3, 200] Η a 1 1 M. Projective planes and related topics, J. Calif. Inst. Techn, 1954, 1-77. [57 : 10, 7717] Η ar t ney 3. F. T. On the radical theory of a distributively generated near-ring, Math. Scand. 23 (1968), 214—220. [70 : 7, 269] Η a v e 1 V. Construction of certain systems with two compositions, Comment. math. Univ. Carolinae6 (1965), 413—428. [66 : 9,178] Heat her ley Η. Ε. C-Z. transitivity and C-Z. decomposable near-rings, J. Algebra 19 (1971), 496-508. [72 : 5, 296] Heatherley H. E., Malone J.J. Some near-rings embeddings, II, Quart. J. Math. 21 (1970), 445— 448. [71 : 6, 309] HenriksenM. The an(a} = a theorem for semirings, Math, japan 5 (1958), 21—24. [60 : 8, 8678] Η e r i η g C. A new class of quasifields, Math. Z. 118 (1970), 56—57. [71 : 6, 347] Η erz J.C. Pseudo-algebres de Lie, C. r. Acad. sci. Paris 236 (1953), 1935— 1937. [53 : 3, 1109] Η ofman К. Н. Topologische Doppelloops, Math. Z. 70 (1958), 213—230. [60 : 8, 8681] Topologische Doppelloops und topologische Halbgruppen, Math, Ann. 138 (1959), 239-258. [60 : 12, 13616]
540 ЛИТЕРАТУРА Uber archimedisch angeordnete, einseitig distributive Doppellops, Arch. Math. 10 (1959), 348-355. [61 : 1, 289] Uber lokalkompakte positive Halbkorper, Math. Ann. 151 (1963), 262-271. [64 : 5, 221] Topologische distributive Doppelloops, Math. Z. 71 (1959), 36—68. [61 : 7, 251] Η ο ο r η W. G. van Some generalisations of the Jacobson radical for seminear-rings and semirings, Math. Z. 118 (1970), 69—82. [73 : 6, 308] Η ο ο r η W. G. van, Rootselaar B. van Fundamental notion in the theory of seminear-rings, Compositio math. 18 (1966), 65-78. [68 : 10, 204] Home J. G. On the ideal structure of certain semirings and compactification of topological spaces, Trans. Amer. Math. Soc. 90 (1959), 408— 430. [60 : 9, 10038} Η ο r s t J. Probleme de divizibilitate in anumite semiinele si inele de mat- rici, Gaz. mat. (RSR) A75 (1969), 86-91. [70 : 2, 234] Η u gh e s D. R. Planar division near-rings, Trans. Amer. Math. Soc. 80 (1955), 502—526. [57 : 1, 201] I i ζ u к а К. On the Jacobson radical of a semiring, Tohoku Math. J. 11 (1959), 409-421. [61 : 6, 277] IizukaK., Nakaharal. A note on the semiradical of a semiring, Kumamoto J. Sci. A4 (1959), 1-3. [63 : 3, 248] Isek i K. Ideal theory of semiring, Proc. Japan Acad. 32 (1956), 554—559. [60 :5, 4984] Ideals in semirings, Proc. Japan Acad. 34 (1958), 29—31. [59 : 9, 8879] Quasiideals in semirings without zero, там же, 79—81* [59 : 11, 10892] On ideals in semiring, там же, 507—509. [60 : 7, 7317] I s ё к i Κ., Μ i у a n a g a Y. On a radical in a semiring, Proc. Japan Acad. 32 (1956), 562— 563. [60 : 5, 4985] I sek i K., Ohashi S. On definitions of commutative rings, Proc. Japan Acad.4 4 (1968), 920-922. [69 : 12, 346] Iskandpr A Word problem for ringoids of numerical functions, Trans. Аивдг.. Math. Soc. 158 (1971), 399-408. [72 : 4, 334]
ЛИТЕРАТУРА 541 J a n i n P. line generalisation de la notion d'anneau, Preanneaux, С r. Acad. sci. Paris 269 (1969), A62 — A64. [70 : 1, 258] Une generalisation de la notion d'algebre sur un anneau, Prealgeb- res, там же, А120 — A122. [70 : 1, 259] Johnson Α. Α. Order in logic and integral domains, Amer. Math. Monthly 72 (1965), 386-390. [67 : 12, 248] К a llaher M. J. A note on finite Bol quasifields, Arch. Math. 23 (1972), 164—166 [73 : 1, 294] К ar ζ el H. Kommutative Inzidenzgruppen, Arch. Math. 13 (1962), 535—538. [63 : 8, 220] Normale Fastkorper mit kommutativer Inzidenzgruppe, Abhandl. Math. Semin. Univ. Hamburg 28 (1965), 124—132. [65 : 10, 252] Unendliche Dicksonsche Fostkorper, Arch. Math. 16 (1965), 247— 256. [66 : 9, 200] К erb у W. Projektive and nicht-projektive Fastkorper, Abh. Math. Semin. Univ. Hamburg 32 (1968), 20—24. [69 : 2, 341] Angeordnete Fastkorper, там же, 132—146. [69:7, 213] Angeordnete Fastkorperebener, Abn. Math. Semin. Univ. Hamburg 33 (1969), 4-16. [70 : 1, 288] Klein-Barmen F. Ordoid, Halbverband, ordoide Semigruppe, Math. Ann. 135 (1958), 142-159. [59 :5,4516] La Τ or r e D. R. On the radical of hemiring, Dissert. Abstrs.25 (1964), 3001. [66 : 3, 247] ' - On u-ideals and Λ-ideals in hemirings, Pubis. Math. 12 (1965), 219— 226. [66 : 9, 215] A note on the Jacobson radical of a hemiring, Publs.math. 14 (1967), 9-13. [69 : 4, 238] Le Brown—McCoy radicals of a hemiring, там же, 15—28. [69 : 4, 239] A note on quotient semirings, Proc. Amer. Math. Soc. 24 (1970), 463-465. [71 : 9, 234] L a u s с h H. Kohomologie von distributive erzeugten Fastringen, T, Erweite- rungen, J. reine angew. Math. 229 (1968), 137—146. [69 : 4,326] An application of a theorem of Faschiitz, Bull. Austral. Math. Soc. 1 (1969), 381-384. [70 : 12, 226] Idempotents and blocks in Artinian d. g. near-rings with identit/ element, Math. Ann. 188 (1970), 43—52. [71 : 3, 237]
542 ЛИТЕРАТУРА Lawyer D. Α. Concerning nil groups for near-rings, Acta math. Acad. Sci. hung. 22 (1972), 373—378. [72: 12, 273] L a x t ο η R. R. Primitive distributively generated near-rings, Mathematika 8 (1961), 142-158. [63 : 6, 247] A radical and its theory for distributively generated near-rings, J. London Math. Soc. 38 (1963), 40—49. [64 : 6, 251] Prime ideals and the ideal-radical of a distributively generated near-ring, Math. Z. 83 (1964), 8—17. [66 : 1,385] LaxtonR. И., Machin A. On the decomposition of near-rings, Abh. math. Semin. Univ. Hamburg 38 (1972), 221-230. [73 : 2, 271] L a z a r d M. Lois de groupes et analyseur^, Ann. scient. Ecole norm, super. 72 (1955), 299—400. [57 : 4, 2923] Learner A. Hilberts function in a semilattice, Proc. Cambridge Phil. Soc. 55 (1959), 239-243. [61 : 3, 270] Lee Sin- Min Axiomatic characterization of Σ-semirings, Acta sci. math. 32 (1971), 337-343. [72 : 8, 359] Ligh S. On distributively generated near-rings, Proc. Edinburg Math. Soc. 16 (1969), 239—243. [70 : 1, 262] Near-rings with descending chain condition, Compositio math. 21 (1969), 162-166. [70 : 3, 334] On division near-rings, Canad. J. Math. 21 (1969), 1366—1371. [70 : 12, 228] On boolean near-rings, Bull. Austral. Math. Soc. 1 (1969), 375— 379. [70 : 12, 236] Near-ring with identities on certain groups, Monatsh. Math. 75 (1971), 38-43. [71 : 9, 236] The structure of a special class of near-rings, J. Austral. Math. Soc. 13 (1972), 141-146. [72 : 8, 361] On the commutativity of near-rings, III, Bull. Austral. Math. Soc. 6 (1972), 459-464. [72 : 11, 218] Ligh S., McQuarrie В., Slotterbeck O. On near-fields, J. London Math. Soc. 5 (1972), 87—90. [72 : 12, 272] Lin Y.-F., R a t t i J. S. The graphs of semirings, J. Algebra 14 (1970), 73-82. [70 : 11,214] L oh Η ο ο i-T ο η g Notes on semirings, Math. Mag. 40, № 3 (1967), 150-152. [68 : 3, 2801
ЛИТЕРАТУРА 543 Lugowski H. Uber die Vervollstandigung geordnete Halbringe, Pubis, math 9 (1962), 213—222. [64 : 4, 250) Uber gewisse Erweiterungen von positiven geordneten Halbmoduln, Pubis, math. 15 (1968), 303—310. [70 : 1, 238] Uber die Struktur gewisser geordneter Halbringe, Math. Nachr. 51 (1971), 311-325. [72 : 7, 251) Μ a 1 ο η e J. I. Near-ring automorphisms, Dissert. Abstrs. 24 (1964), 4213. [65 : 2, 368] Near-rings with trivial multiplications, Amer. Math. Monthly 74 (1967), 1111—1112. [68 : 7, 316] Near-rings homomorphisms, Canad. Math. Bull, fl (1968), 35—41. [69 : 1,299] Automorphisms of abstract affine near-rings, Math. Scand. 25 (1969)» 128-132. [70 ; 11, 235} A near-ring analogue of a ring embedding theorem, J. Algebra 16 (1970), 237-238. [71 : 5, 326] Μ a 1 ο η e J. J., Η e a t h e r 1 у Η. Ε. Some near-rings embeddings, Quart. J. Math. 20, № 77 (1969), 81-85. [69 : 11, 253] Μ alone J.J., Lyons С G. Endomorphism near-rings, Proc. Edinburgh Math. Soc. 17 (1970), 71-78. [71 : 3, 238] Finite dihedral groups and D. G. near-rings, I, Compositio math. 24 (1972), 305—312. [73 : 2, 277] Mares J. Dve vlastnosti vyrazu ν jiste volne univerzalni algebre, Kyberne- tika 5 (1969), 190-200. [69 : H, 255] Martin G. E. Parastrophic planar ternary rings, J. Algebra 10 (1968), 37—46. [69 : 4, 253] Μ a x s ο η С. J. On finite near-rings with identity, Amer. Math. Monthly 74 (1967), 1228-1230. [68 : 8, 254] On local near-rings, Math. Z. 106 (1968),. 197—205. [69 : 3, 232] On imbedding fields in nontrivial near-fields, Amer. Math. Monthly 76 (1969), 275-276. [69 : 11, 229] Local near-rings of cardinality /?2, Canad. Math. Bull. 11 (1968), 555—561. [70 : 3,336] Dickson near-rings, J. Algebra 14 (1970), 152—169. [71 : 5,328] On the construction of finite local near-rings, I, On noncyclic abe- lian />-groups, Quart. J. Math. 21 (1970), 449—457. [71 : 6, 303] On the construction of finite local near-rings, II, On non-abe- Uan p-groups, Quart J. Math. 22 (1971), 65—72. [71 : 9f 2351
544 ЛИТЕРАТУРА On well-ordered groups and near-rings, Compositiamath. 22 (1970), 241-244. [72 : 1, 497] On morphisms of Dickson near-rings, J. Algebra 17 (1971), 404— 411. [72: 4,332] β» β Μ e 1 d r u m J. D. P. Varieties and D. G. near-rings, Proc. Edinburgh Math. Soc. 17 (1971), 271-274. [71 : 12, 363] Μ e η g e r K. The algebra of functions: past, present, future, Rend. mat. applic. 20 (1961), 409-430. [63 : 7Б, 319] Μ i sf eld J., Τ imm J. Topologische Dicksonsche Fastkorper, Abh. math. Semin. Univ. Hamburg 37 (1972), 60—67. [72 : 9, 244] MosherJ.R. Generalized semirings of quotients, Dissert. Abstrs. B29, «N· 10 (1969), 3834. [70 : 4, 298] Generalized quotients of semi-rings, Compositio math. 22 (1970), 275-281. [71 : 12, 364] NataralanN S Ideal theory for semirings, J.Madras Univ. B32 (1962—1963) 161-168. [64 : 9, 246] Neumann H. Near-rings connected with free groups, Proc. Intern. Congr. Math. Amsterdam 2 (1954), 46-47. [56 : 2,1082] On varieities of groups and their associated near-rings, Mith. Z. 65 (1956), 36-69. [57 : 1, 147] NobauerW. Uber die Operation des Einsetzens in Polynomringen, Math. Ann. 134 (1958), 248-259. [58 : 11,9604] Funktionen auf kommutativen Ringen, Math. Ann. 147 (1962), 166—175. [64 : 12, 219] Uber die Darstellung von universellen Algebren dursch Funktio- nenalgebren, Pubis, math. 10 (1963), 151—154. [65 : 3, 3631 Ν δ b a u e r W., Philipp W. Uber Einfachlieite von Funktionenalgebren, Monatsh. Math. 66 (1962), 441-452. [63 : 7, 207] Die Einfachheit der mehrdimensionalen Funktionenalgebren, Arch. Math. 15 (1964), 1-5. [65 : 3, 364] Noronha G.M.L., A 1 m e i d a C. A. Sur le demianneau des nombres naturels, An. Fac. cienc. Univ. Porto, 1965, Μ 1-2, 35-39. [68 : 8,252] Ο η a s h i S. On axiom systems of commutative rings, Proc. Japan Acad. 44 (1968), 915-919. [69 : 12, 345] On definition for commutative idempotent semrings, Proc. Japan Acad, 46 (1970), 113-115. [71 : 6, 304]
ЛИТЕРАТУРА 545 О ρlu 8 til К. Die O-Systeme, Spisy vyd. pfirodoved. fak. Masarykovy univ. 2 (1957), 69-86. [58 : 8, 6540] Pater Z. Uber Funktionenalgebren, Bull. math. Soc. sci. math. RSR 9 (1965), 87—103. [68 : 1, 191] Pearson K.R. Interval semirings on Ri with ordinary multiplication, J. Austral. Math. Soc. 6 (1966), 273—288. [67 : 9, 170] Embedding semigroups in semigroups with multiplicative unit$ J. Austral. Math. Soc. 8 (1968), 183—191. [69 : 1, 297] Certain topological semirings in i?i, там же, 171—182. [69 2 3, 229] Compact semirings which are multiplicativelv groups or groups with zero, Math. Z. 106 (1968), 388—394. *[69 : 3, 231] The three kernels of a compact semiring, J. Austral. Math. Soc. 10 (1969), 299—319. [70 : 6, 257] Compact semirings which are multiplicatively 6-simple, там же, 320—329. [70 : 6, 258] Ρ e t r i с h Μ. Associative polynomial multiplications over an infinite integral domain, Math. Nachr. 29 (1965), 67—75. [66 : 1, 263] Ρ h i 1 i ρ ρ W. Uber die Einfachheit von Funktionenalgebren uber Verbanden, Monatsh. Math. 67 (1963), 259—268. [64 : 7, 289] Ρ i 1 ζ G. Uber geordnete Kompositionringe, Monatsh. Math. 73 (1969), 159—169. [70 : 1, 253] Geordnete Fastringe, Abh. Math. Semin. Univ. Hamburg 35 (1970), 83-88. [71 : 7, 339] Direct sums of ordered near-rings, J. Algebra 18 (1971), 340—342. [72 : 4, 333] Zur Charakterisierung der Ordnungen in Fastringen, Monatsh, Math. 76 (1972), 250-253. [73 : 2, 275] Ρ 1 ο η k a E. Symmetric operations in groups, Bull. Acad, polon. sci., S6r. Sci. math., astron., phys. 17 (1969), 481—482. [70 : 4, 237] Poinsignon G. M. Embedding of a semiring into a semiring with identity, Acta math. Acad, scient. hung. 20 (1969), 121—128. [69:9, 189] On semirings which are embeddable into a semiring with identity, Acta math. Acad. sci. hung. 22 (1972), 305—307. [73:2, 278] Pokropp F. Dicksonsche Fastkorper, Abh. Math. Semin. Univ. Hamburg 30 (1967), 188-219. [68 : 1, 289]
546 ЛИТЕРАТУРА Isomorphe Gruppen- und Fastkorperpaare, Archf. Math. ti8 (1967), 235-240. 168 : 4, 243] PoyatosF. Descomposiciones irreducibles en suma directa interna de ciertas estructurasalgebraicas,Rev. mat. hisp.-amer. 27, № 4 (1967), 151—170. [68 : 6, 319] Introduccion a la teoria de semimodulos, Pubis. Fac. cienc. Univ. Madrid 62A (1967), 187. [69 : 7, 222] Sobre ciertas des composiciones de semimodulos en suma directa, Rev. mat. hisp.-amer. 29, № 1 (1969), 51—58. [69 : 10, 140] Preston G. B. The arithmetic of a lattice of sub-algebras of a general algebra, J. London Math. Soc. 29 (1954), 1—15-[57 : 8, 6203] Factorization of ideals in general algebras, там же, 363—368. [57 : 8, 6204] Ramakotaiah D. Radicals for near-rings, Math. Z. 97 (1967), 45—56. [68 : 5, 304] Structure of 1-primitive near-rings,Math. Z. 110 (1969), 15— 26. [70 : 1, 263] Rao M. L. Narayana A question on finite Moufang—Veblen—Wedderburn systems, J. Algebra 13 (1969), 486-495. [70 : 6, 219] Rootselaar B. van Zum ΑΙ Ε - Fasthalbringbegriff, Nieuw arch, wiskunde 15 (1967), 247-249. [68 : 7, 315] R о s a t i L. A. Gruppi strettamente 2-transitive e pseudocorpi, Matematiche 22 (1967), 182—190. [68 : 4, 239] Rosenfeld A. Prime semigroups and semirings, Amer. Math. Monthly 74 (1967), 933-938. [68 : 6, 224] Rutherford D. E. The Cayley — Hamilton theorem for semirings, Proc. Roy. Soc. Edinburgh A66 (1963-1964 (1965)), 211-215. 166 : 2, 327] Schweizer Β.,-Sklar A. The algebra of functions, Math. Ann. 139 (1960), 366—382: [60 : 12, 14076] The algebra of functions, II, Math. Ann. 143 (1961), 440—447. [63 :7Б, 412] Sel d en J. A note on compact semirings, Proc. Amer, Math. Soc. 15 (1964), 882—886. [66 : 3, 246] Left zero simplicity in semirings, Proc. Amer. Math. Soc. ,17 (1966), 694-698. [67: 4, 212]
ЛИТЕРАТУРА 547 Skowikowski W., Zawadowski A. A generalization of maximal ideals method of Stone and Gelfand, Fundam. Math. 42 (1955), 215-231. [57 : 3, 2123] S m i 1 e у М. F. An introduction to Hestenes ternary rings, Amer. Math. Monthly 76 (1969), 245-248. [70 : 1, 260] Smith D. A. On semigroups, semirings and rings of quotients, J. Sci. Hiroshima Univ. Ser. A, Div. 1, 30 (1966), 123-130. [67 :12, 249] Smith ¥. A. A structure theory for a class of lattice ordered semirings, Dissert. Abstrs26 (1965), 1675. [66 : 9, 214] A structure theory for a class of lattice ordered semirings, Fundam. Math. 59 (1966), 49-64. [67 : 4, 206] St e inf e Id O. Ober die Struktursatze der Semiringe, Acta math. Acad, scient. hung. 10 (1959), 149—155. [60 : 11, 12553] t)ber Semiringe mit multiplikativer Kurzungsregel, Acta scient. math. 24 (1963), 190—195. [65 : 4, 235] A kvaziidealokrol, Maguar tud. akad. Mat. es fiz. tud. oszt. kozl. 14 (1964), 301-315. [65 : 5, 196] , SteinfeldO., WiegandtR. Ober die Verallgemeinerungen und Analogen der Wedderburn — Artinschen und Noetherschen Struktursatze, Math. Nachr. 34 (1967), 143-156. [68 : 2, 182] StoneH.E. Ideals in halfrings, Proc. Amer. Math. Soc. 33 (1972), 8—14. [72 : 11, 219] Subrahmanyam N.V. Boolean semirings, Math. Ann. 148 (1962), 395—401. [63 : 6, 248] Su L i Ρ i Homomorphisms of near-rings of continuous functions, Pacif. J. Math. 38 (1971), 261-266. [72 : 4, 336] S ζ e t о G. On a class of near-rings, J. Austral. Math. Soc. 14 (1972), 17—19. [73 : 2, 272] Tharmaratnam V. Complete primitive distributively generated near-rings, Quart. J. Math. 18, № 72 (1967), 293-313. Endomorphism near-ring of relatively free group, Math. Z. 113 (1970), 119-135. [70 : 6, 212] Τ imm J. Eine Klasse schwacher binarer Doppelstrukturen, Abh. Math· Semin. Univ. Hamburg 33 (1969), 102—118. [70 : 2, 291]
548 ЛИТЕРАТУРА Uber die additiven Gruppen spezieller Fastringe, J. reine angew. Math., 1969, 47-54. [70 : 7, 267] Zvir Theorie der (nicht notwendig assoziativen) Fastringe, Abh. Math. Semin. Univ. Hamburg 35 (1970), 14—31. 171 : 6, 311] Zur Konstruktion von Fastringen, II, там же, 57—74. [71 : 6, 312] Zur Theorie der Fastringkonstruktionen, II, Abh. math. Semin. Univ. Hamburg 36 (1971), 16-32. [72 : 1, 496] VandiverH. S., WeaverM.W. A development of associative algebra and algebraic theory of numbers, IV, Math. Mag. 30 (1956), 1-8. [57 : 8, 6185] WahlingH. Invariante und vertauschbare Teilfastkorper, Abh. Math. Semin. Univ. Hamburg 33 (1969), 197—202. [70 : 5, 239] Walt A. P. van der Prime ideals and nil radicals in near-rings, Arch. Math. 15 (1964), 408-414. [66 : 3, 244] Wefelscheid H. Zur Konstruktion bewerteter Fastkorper, Abh. math. Semin. Univ. Hamburg 38 (1972), 106-117. [73 : 2, 276] Weinert H. J. Uber Halbringe und Halbkorper, I, Acta math. Acad, scient. hung. 13 (1962), 365—378. [64 : 3, 233] Uber Halbringe und Halbkorper, II, Acta math. Acad, scient. hung. 14 (1963), 209-227. [64 : 3, 234] Uber Halbringe und Halbkorper, Acta math. Acad, scient. hung. 15 (1964), 177-194. [66 : 1, 383] Ein Struktursatz fur idempotente Halbkorper, там же, 289—295. [66 : 8, 272] Zur Erweiterung algebraischer Strukturen durch Rectsquotien- tenbildung, Acta math. Acad, scient. hung. 16 (1965), 213— 214. [65 : 12, 258] Whit lock H. I. A composition algebra for multiplace functions, Math. Ann. 157 (1964), 167-178. [65 : 11, 276] Wiegandt R. Uber die Structursatze der Halbringe, Ann. Univ. scient. buda- pest., Sec. math. 5 (1962), 51—68. [63 : 10, 235] W i 1 к е г P. Double loops and ternary rings, Bull. Amer. Math. Soc. 70 (1964), 543-547. [65 : 5, 236] Willi ams R. E. A note on near-rings over vector spaces. Amer. Math. Monthly 74 (1967), 173-175. [67 : 11, 245] Simple near-rings and their associated rings, Dissert. Absirs. 26 (1966), 5470. [67 : 11, 247]
ЛИТЕРАТУРА 549 Wolf son K. G. Two-sided ideals of the affine near-ring, Amer. Math. Monthly 65 (1958), 29—30. [60 : 5, 4981] Yamamuro S. Ideals and homomorphisms in some near-algebras, Proc. Japan Acad. 42 (1966), 427-432. [67 : 12, 274] Zemmer J.L. Near-fields, planar and non-planar, Math. Student 32 (1964), 145— 150. [66 : 1, 372] К § 16, 17 Искандер Α. Α. Частичные универсальные алгебры с па данными структурами подалгебр и соответствий, Матем. сб. 70 (1966), 438—456. [67 : 10, 222] К о н τ о ρ о в и ч П. Г., К у τ н е в К. М. Симметрические структуры, Сиб. матем. ж. 10 (1969), 537—548. [70 : 2, 211] Л и в ш а к Я. Б. Локальные теоремы для разрешимых структур с умножением, Матем. зап. Уральск, ун-та 3 (1Ш), 54—66. [62 : 9, 160] Стеллецкий И. В. Нилъпотентные структуры, Тр. Моск. матем. о-ва & (1960), 211— 235. [61 : 5, 284] В a ss H. Finite monadic algebras, Proc. Amer. Math. Soc. 9 (1958), 258— 268. [59 : 9, 8882] BenzakenC. Pseudo-treillis distributifs et applications, I, Pseudotreillis distributes. Bui. Inst, politehn. Iasi 12, №№ 3—4 (1966), 13—18. [68 : 6, 323] Pseudo-treillis distributifs et applications, II, Bui. Inst, politehn. Iasi 13, №№ 3-4 (1967), 11-15. [60 : 4, 244] Pseudo-treillis distributifs et applications, III, Bui. Inst, politehn. Iasi 14 (1968), 25-30. [70 : 5, 249] Bialynicki-Birula A.,Rasiowa H. On the representation of quasi-Boolean algebras, Bull. Acad, polon. sci. 5 (1957), 259-261. [58 : 1, 178] Remakrs on quasi-boolean algebras, там же, 615—619 [61 : 5, 283] Choudhury А. С. The doubly distributive m-lattice, Bull. Calcutta Math. Soc. 49 (1957), 71-74. [58 : 9, 7552]
550 ЛИТЕРАТУРА G a s t a m i η ζ а М. L., GastaminzaS. Characterization of a De Morgan lattice in terms of implication and negation, Proc. Japan Acad. 44 (1968), 659—662. [69 : 5, 251] Georgescu G. Algebres de Lukasiewicz completes, C. r. Acad. sci. Paris 269 (1969), A1181 — A1184. [70 : 6, 263] Georgescu G., V г а с i u C. η - valent centered Lukasiewicz algebras, Rev. roum, math. pur. appl. 14 (1969), 793-802. [70 : 1, 282] GerhardtsM. D. Zur Characterisierung distributiver Schiefverbande, Math. Ann. 161 (1965), 231-240. [66 : 10, 254] Uber die Zerlegbarkeit von nichtkommutativen Verbanden in kom- mutative Teilverbande, Proc. Japan Acad. 41 (1965), 883— 888. [67 : 2, 225] Ein unsymmetrisches Kommutativgesetz in der Verbandstheorie, Math. Nachr. 35 (1967), 305-310. [69 : 2, 374] Schragverbande und Quasiordnungen, Math. Ann. 181 (1969), 65— 73. [70 : 2, 268] Gratzer G. A generalization of Stone's representation theorem for Boolean algebras, Duke Math. J. 30 (1963), 469—474. [65:5, 247| HinuK. A decomposition theorem in a multiplicative system, Osaka J. Math. 2 (1965), 147-152. [66 : 9, 217] Jordan P. Zur Theorie der nichtkommutativen Verbande, Abh. math.-na- turwiss. Kl. Akad. Wiss. und Liter., 1953, № 3, 1—6. [54 : 5, 3263] Die Theorie der Schragverbande, Abh. Math. Semin. Univ. Hamburg 21 (1957), 127—138. [58: 7, 5572] Beitrage zur Theorie der Schragverbande, Abh. math.-natur- wiss. KL Akad. Wiss. und Liter., 1956, №2, 1—16. [59 : 3, 2423] Beitrage zur Theorie der Schragverbande, Abh. math.-natur- wiss. KL Akad. Wiss. Mainz, 1956, 27—42. [60: 10, 11384] Uber distributive Schragverbande, Abh. math.-naturwiss. KL Akad. Wiss. und Liter., 1958—1959, № 5, 1—31. [61 : 1, 286] Uber distributivmodulare Schragverbande, Abh. math.-naturwiss. KL Acad. Wiss. und Liter., 1961, № 9, 1—26. [62 : 10 196] Halbgruppen von Idempotenten und nichtkommutative Verban- v de, J. reine angew. Math. 211 (1962), 136—161. [64 :6,
ЛИТЕРАТУРА 551 Jordan?., В δ ge W. Zur Theorie der Schragverbande, II, Abh. math.-naturwiss. Kl. Akad. Wiss. und Liter., 1954, № 2, 76—92. 156 : 7, 5137] J ord an P., Wi t t E. Zur theorie der Schragverbande, Abh. math.-naturwiss. Kl. Akad. Wiss und Liter., 1953, № 5, 225—232. (55 : 5, 2140] KalmanJ.A. Lattices with involution, Trans. Amer. Math. Soc. 87 (1958), 485 — 491. [60 : 1, 1841 Klein-Barmen F. Verallgemeinerung des Verbandsbegriffs durch Abschwachung des Axioms der Idempotenz, Math. Z. 70 (1958), 38—51. [59 : 10, 9807] Μ a r ο η η a R. A characterization of Morgan lattices, Portug. math. 23 (1964), 169-171. [66 : 7, 314] Μ a r t i e L. Sur les generalisations du treillis libre, С. г. Acad. sci. Paris 244 (1957), 1593-1595. [58 : 7, 5566] Matsushima J. Idempotent semigroups on lattices, Japan. J. Math. 38 (1969), 1-17. [70 : 3, 190] Matsushita S. Lattices non-commutatifs, C. r. Acad. sci. Paris 236 (1953), 1525— 1527. [53 : 3, 1115] Ideals in non-commutative lattices, Proc. Japan Acad. 34 (1958), 407-410. [59 : 8, 7830] Zur theorie der nichtkommutativen Verbande, Math. Ann. 137 (1959), 1-8. [60 : 1, 185] McCarthy P. J. Primary decomposition in multiplicative lattice, Math. Z. 90 (1965), 185-189. [66 : 8, 291] Ρ!onk a J. On distributive quasi-lattices, Fundam. Math. 60 (1967), 191 —200. [68 : 4, 249] Ruedin J. Distributivite et axiomatique des treillis, C. r. Acad. sci. Paris 265 (1967), A812 — A815. {69 : 5, 252] S e r ν i M. Algebre di Frechet: una classe di algebre booleane con operatore, Rend. Circolo mat. Palermo 14 (1965—1966), 335—366. f68 : 2f 220]
552 ЛИТЕРАТУРА Steinfeld 0. Verbandstheoretische Betrachtung gewisser idealtheoreischer Fragen, Acta scient. math. 22 (1961), 136—149. [62 : 2, 290] Uber Zerlegungssatze fur teilweise geordneten Halbgruppen mit bedingten Distributivitatsregeln, Magyar tud. akad. Mat. kutato int. kozl. 9 (1964—1965), 313—330. [67 : 5, 172] Subrahmanyam N. V. An extension of Boolean lattice theory, Math. Ann. 151 (1963), 332-345. [64 : 1, 316] Ζ e 1 i η к а В. О jednom typu multiplikativnich svazu, Matemat. casop. 18 (1968), 90-98. [69 : 1, 311] Ζ e 1 m e r V. Un analogue del'algebreBooleenne, Mathematica (RSR) 10(1968},- 391-400. [70 : 1,278]
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Автоморфизм ,13 Автотопия 46 Алгебра 11 — абелева 87 — аддитивная кольцоида 94 — булева 104 — гомоморфизмов 89 — линейная 83 — менгерова 97 — свободная 14 — специальная производная 78 — универсальная И — Ω-слов над алфавитом X 14 Алгебры изоморфные 13 — однотипные 13 Аннулятор 83 Ваза 77 Гиперплоскость 51 Гомоморфизм 13 — нулевой 60 — противоположный 60 — Σ-операторный 70 Груда 35 — обобщенная 35 Группа 17 — абелева с кольцом операторов 75 — автоморфизмов 23 — аддитивная Ω-группы 84 — с группой операторов 74 — — операторами 70 — — полугруппой операторов 73 — — системой мультиопера- торов 83 — симметрическая 22 — Σ-операторная 71 Группоиды изотопные 41 Дифференцирование 65 Дополнение 103 Идемпотент 26 Изоморфизм 13 Изотоп главный 41 Изотопия 41 — главная 41 Инцидентность 39 Квазигруппа 39 — координатная 40 Квазитело 64 Кольцо альтернативное 68 — антикоммутативное 67 — ассоциативное 56 — без делителей нуля 61 — булево 104 — дифференциальное 82 — йорданово 67 — коммутативное 67 — лиево 65 — полурадикальное 70 — радикальное в смысле Дже- кобсона 70 — с ассоциативными степенями 68 — — делением 63 — — единицей 58 — — системой операторов 81 — дифференциальных 82 — целочисленное групповое 58 — — группоидное 63 — — полугрупповое 58 — эндоморфизмов 61 — — лиево 65 — эластичное 68 Кольцоид дистрибутивный над абелевой алгеброй 90 — над алгеброй многообразия 94 Конгруенция 115 Лупа 39 — муфаигова 48 — с обратимостью 45 Многообразие 15 — абсолютно вырожденное 16 Множество линейно упорядоченное 98 — частично упорядоченное 98
554 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Модуль (правый) над кольцом 75 Мономорфизм 13 Неокольцо 97 Объединение элементов 98 Операция аддитивная 94 — коммутирования 64 — симметрирования 66 — 0-арная 11 — /г-арная 11 Пересечение элементов 98 Подалгебра 12 —, порожденная множеством 12 Подгруппа вполне характеристическая 72 — характеристическая 72 — Σ-допустимая 70 Подстановка 20 — обратная 21 — тождественная 21 — частичная 29 Подструктура 100 Поле 61 Полугруда 34 Полугруппа 20 — инверсная 26 — регулярная 26 — с единицей 20 инволюцией 34 — — нулем 55 — — сокращениями 61 — симметрическая 21 — — инверсная 31 — соответствий 114 — эндоморфизмов 23 Полукольцо 97 Почти-кольцо 96 Представление специальное точное 78 Преобразование 20 — обратное 21 Произведение декартово 109 — отображений 20 '— полупрямое 74 Пространство векторное (правое) 77 Прямая 39 Размерность 77 Связка соответствий 114 Сеть 39 — га-мерная 51 Сигнатура 11 Система образующих 12 Слово 14 Соответствие НО — инверсное 112 Структура 98 — булева" 104 — вполне дедекиндова 117 — дедекиндова 101 — дистрибутивная 102 — компактнопорожденная 1Θ8 — конгруенций 116 — модулярная 101 — подалгебр 101 — полная 106 — соответствий 111 Тело 61 Теорема Алберта 42 — — вторая 43 — Биркгофа — Фринка 109 — Брака —- Хьюза 43 — Вагнера — Престона 31 — Грецера — Шмидта 116 — Двингера 117 — Искандера 114 — Кона — Ребане 78 — Муфанг 48 — Стоуна 103 — Хиона 94 Тождество Якоби 64 Точка 39 Умножение присоединенное 68 Фактор-алгебра 118
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 555 Цепь 100 Элемент обратный полугруппы 26 — биунитарный 35 — косой 53 — компактный 108 Эндоморфизм 13 Эпиморфизм 13 и-группа 51 —, определяемая группой 54 п-квазигруппа 52 Л-модуль 74 — унитарный 75 Ω-алгебра мультиоператорнаяг линейная 85 Ω-группа 84 — — дистрибутивная 85 Ω-кольцо мультиоператорное 84 Ω-подгруппа 84 Ω-слово 14 Ω-тождество 15 (Ω, Л)-кольцоид 94 — дистрибутивный 94 — неассоциативный 97 — симметрический 94 — и-арный 97
Александр Геннадиевич КУРОШ ЛЕКЦИИ ПО ОБЩЕЙ АЛГЕБРЕ Учебник Издание второе, стереотипное Генеральный директор А. Л. Кноп Директор издательства О. В. Смирнова Художественный редактор С. Л. Шапиро Верстальщик Е. Б. Бураков Выпускающие Н. К. Белякова, О. В. Шилкова ЛР №065466 от 21.10.97 Гигиенический сертификат 78.01.07.953.П.001665.03.02 от 18.03.2002 г., выдан ЦГСЭН в СПб Издательство «ЛАНЬ» lan@lpbl.spb.ru; www.lanbook.com 192029, Санкт-Петербург, Общественный пер., 5. Издательство: тел./факс: (812)567-29-35, 567-05-97, 567-92-72; print@lpbl. spb. ru Сдано в набор 12.01.05. Подписано в печать 22.11.06. Бумага офсетная. Гарнитура Школьная. Формат 84xl08V32· Печать высокая. Усл. п. л. 29,5. Тираж 1500 экз. Заказ № 3042. Отпечатано с готовых диапозитивов в ОАО «Владимирская книжная типография». 600000, г. Владимир, Октябрьский проспект, д. 7. Качество печати соответствует качеству предоставленных диапозитивов