/
Text
АННОТАЦИЯ
По замыслу автора книга должна служить одновременно и учебником
по теории групп, предназначенным для студентов и аспирантов, и моно-
монографией по некоторым избранным разделам этой дисциплины, находя-
находящимся в настоящее время в центре внимания специалистов.
Первые десять глав, снабженные упражнениями, представляют клас-
классический курс теории групп и могут быть использованы в качестве учеб-
учебника. Последние десять глав носят более специальный характер и посвя-
посвящены избранным вопросам теории групп.
Книга доступна студентам математических факультетов универси-
университетов и пединститутов; студенты-физики найдут в этой книге необхо-
необходимые им элементы теории представлений групп; специалист, же найдет
в ней изложение результатов, опубликованных только в журнальной
литературе.
Редакция литературы по математическим наукам
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Настоящая книга американского математика Маршалла Холла
(младшего) является одним из лучших современных трактатов по
теории абстрактных групп. По замыслу автора она должна слу-
служить одновременно и учебником по теории групп, предназначен-
предназначенным для студентов и аспирантов, и монографией по некоторым
избранным разделам этой дисциплины, находящимся в настоящее
время в центре внимания специалистов. Поставленная цель, не-
несомненно, достигнута: учащийся сможет^ по ней быстро ознако-
ознакомиться с» элементарными понятиями и усвоить материал, ставший
уже классическим, специалист же здесь найдет связное изложение
многочисленных результатов, полученных в самое последнее время
и опубликованных пока только в журнальной литературе.
Из сказанного видно, чт9 по своему построению книга М. Холла
похожа на известную книгу А. Г. КурФша „Теория групп" (Гостзх-
издат, 1 издание, 1944 г.; 2 издание, 1953 г.), ставшую настоль-
настольной книгой советских алгебраистов, а после ее перевода на не-
немецкий, английский, венгерский и японский языки пользующуюся
заслуженной славой среди зарубежных специалистов. Но по своему
содержанию книги А. Г. Куроша и М. Холла не совпадают, а во
многом дополняют друг друга. Впрочем, это не совсем случайно:
М. Холл обошел частичным или полным молчанием ряд важных
разделов современной теории групп (как, например, теорию беско-
бесконечных абелевых групп,, теорию прямых разложений, теорию
обобщенных разрешимых и нильпотентных групп) именно потому,
что они получили достаточно полное освещение в труде А. Г. Ку-
Куроша. С другой стороны, для советских алгебраистов предлагае-
предлагаемая книга сможет быть полезной как раз потому, что в ней он
найдет сравнительно полное освещение как раз таких направле-
направлений теоретико-групповых исследований, которые отсутствуют
в „Теории групп" А. Г. Куроша и которые до сих пор не изла-
излагались в обзорных статьях по теории групп, публикуемых в жур-
журнале „Успехи математических наук".
Начиная с конца прошлого столетия и по сей день, теория
абстрактных групп находится в состоянии непрерывного развития.
Более того* исследовательская работа по этой дисциплине явно
6 Предисловие редактора перевода
имеет тенденцию ко все большему расширению. Это видно хотя бы
уже из все возрастающего потока оригинальных статей по тео-
теории групп, публикуемых во всех крупных математических жур-
журналах как в СССР, так и за рубежом. При этом о расцвете тео-
теории групп свидетельствует не только число публикуемых работ,
но и несомненно более убедительные факты; появление все новых
и новых плодотворных постановок проблем и все новые приме-
применения именно тонких результатов теории групп в самых различ-
различных областях математики. Так, например, можно отметить боль-
большое значение теории абелевых групп для дальнейшего развития
гомологической алгебры — новой математической дисциплины,
приобретающей фундаментальное значение в алгебре, топологии,
в анализе и даже, по-видимому, в вычислительной технике и ки-
кибернетике. Все новые применения находит теория представлений
групп в анализе, в теории чисел, в кристаллографии и в теоре-
теоретической физике. Теория расширений групп все теснее смыкается
с гомологической алгеброй. Теория свободных групп и изучение
групп, заданных образующими и определяющими отношениями,
дают ценный материал для математической логики, в рамках ко-
которой доказывается алгоритмическая неразрешимость ряда вопро-
вопросов теории групп [например, доказательство алгоритмической не-
неразрешимости проблемы слов в группах, заданных образующими
и определяющими отношениями (П.~ С. Новиков)].
Все это и многое другое, что можно было бы здесь еще при-
привести, подтверждает, большое значение теории групп в современ-
современной математике и объясняет большой обгем и разветвленность
теоретико-групповых исследований. Ни один учебник, ни одна
монография не способны даже приблизительно осветить все основ-
основные направления. Поэтому книги, озаглавленные ;Теория групп",
должны быть именно такими, как книга А. Г, Куроша и предла-
предлагаемая книга М. Холла. Для ознакомления с другими областями
теории групп, не нашедшими места в указанных трупах, следует
обращаться к специальным монографиям или обзорным статьям,
публикуемым у нас в основном в журнале „Успехи математических
наук" (соответствующие указания, не претендующие на полноту,
мы включили в библиографию). /
При подборе разделов теории групп, включенных в рассмот-
рассмотрение, автор, естественно, во многом руководствовался личными
вкусами. Ценной является подробная трактовка результатов ис-
исследований английской школы кембриджского алгебраиста
Ф. Холла и его учеников и сотрудников. Сюда относится, в пер-
первую очередь, детальное исследование строения конечных /?-групп
с применением ряда оригинальных методов, введенных Ф. Холлом
(главы 11 и1 12): так называемый „собирательный процесс", ис-
исчисление сложных коммутаторов и др. Этими методами были по-
Предисловие редактора перевода
лучены важные тождества и соотношения (формулы Ф. Холла,
Э. Витта и др.) и выделен и изучен важный класс /ьгрупп — ре-
регулярные /7-группы. С этим кругом вопросов связаны исследова-
исследования по ослабленной проблеме Бернсайда (глава 18). Изложение
указанных вопросов достаточно подробно, но не претендует на
полноту: ряд результатов И. Н. Санова, А. И. Кострикина,
М. Лазара, Майер-Вундерли и др^ остались вне рассмотрения
отчасти из-за их сложности, отчасти потому, что не были из-
известны автору во время написания книги. Таким образом, чита-
читателю, желающему ознакомиться с современным состоянием вопро-
вопросов, нужно будет после прочтения книги проштудировать соот-
соответствующую оригинальную литературу. Трактовка же в, книге
М. Холла является превосходной подготовкой к такому изучению.
Подобные же замечания можно сделать и относительно дру-
других разделов: теории мономиальных представлений и понятия пере-
перемещения групп (глава 14), дающих мощный метод для доказатель-
доказательства непростоты групп, теории разрешимых и сверхразрешимь!х
конечных груцп (главы 9 и 10), теории когомологий и расши-
расширений групп (глава 15) и других вопросов.
Большой интерес представляет последняя глава книги, посвя-
посвященная установлению связи теории групп с теорией проективных
плоскостей. Многие из изложенных результатов принадлежат са-
самому автбру. Из советских работ, примыкающих к трактуемой
тематике, следует указать на работы Л. И. Копейкиной я осо-
особенно Л. А. Скорнякова.
Нельзя не отметить несколько странную манеру автора при
указании источников, которыми он пользовался, и авторов поня-
понятий, методов и результатов, которые он излагает: в некоторых
случаях он их указывает, зачастую же обходит молчанием. Это
касается как советских, так и зарубежных авторов. Редактор не
всегда был в состоянии восстановить источник и не внес поэтому
в перевод в этом отношении никаких изменений. Библиография же
была дополнена указанием на ряд советских работ, относящихся
непосредственно или примыкающих к трактуемой в книге тематике.
Для удобства читателя все работы советских алгебраистов
(как указанные автором, так и добавленные редактором перевода)
помещены в дополнении к литературе. Более подробное освеще-
освещение исследований советских авторов пд теории групп читатель
найдет в сборнике „Математика в СССР за сорок лет" (Физ-
матгиз, 1959 г.) — в обзорной статье „Общая алгебра" В. М. Глуш-
кова и А. Г. Куроша. #
Л. Л. Калужнин
ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемая книга должна служить двум целям. Предпола-
Предполагается, что первые десять глав могут лечь в основу курса по
теории групп; поэтому в конце каждой главы помещены упраж-
упражнения. Последние десять глав могут рассматриваться как избран-
избранный, факультативный материал для лекций или в качестве спра-
справочного материала. Как монография книга предназначена для сту-
студентов, прослушавших курс введения в современную алгебру,
сравнимый а.курсом Биркгофа и Маклейна „Обзор современной
алгебры". Я старался сделать содержание книги по возможности
не зависящим от другой литературы, тем не менее там, где мы
были вынуждены пользоваться предварительными данными, мы
в основном ссылались на монографию Биркгофа и Маклейна.
Современные исследования в области теории групп охваты-
охватывают очень большую и бурно развивающуюся область. Это видно
хотя бы из публикаций, реферируемых в Mathematical Review.
Таким образом, нет никакой возможности охватить всю тематику
или даже только привести полную библиографию. Поэтому при
выборе изложенных тем я в большой мере следовал моим соб-
собственным научным интересам, а библиография относится только
к той литературе, на которую имеется ссылка в самой книге.
Я умышленно постарался сократить некоторые очень интересные
разделы, детальное изложение которых имеется в легко доступ-
доступных недавних публикациях. Для ознакомления с детальными ис-
исследованиями по бесконечным абелевым группам мы отсылаем чи-
читателя к соответствующим главам второго издания книги А. Г. Ку-
роша „Теория групп" и к монографии Капланского „Бесконечные
абелевы группы". Мы рекомендуем книги М. Судзуки „Строение
группы и строение структуры ее подгрупп) и Коксетера и Мо-
зера „Образующие и отношения для дискретных групп" тем чи-
читателям, которые хотят глубже ознакомиться с этими разделами
(обе книги вышли в серии „Ergebnisse").
•Математика^ Русский пеРев°Д (И«Л, I960, серия „Библиотека сборника
10 Предисловие
Книга создана на основании конспектов по курсу „Теория
групп", который *г ряд лет читал в Государственном университете
штата Огайо. Большая часть предлагаемой книги была написана
в Тринити колледж, (Trinity College), Кембридж, в 1956 г., где
я проходил стажировку за счет фонда имени Джона Симона Гуген-
хейма. Я выражаю мою благодарность этому фонду за предо-
предоставленную мне возможность создать этот труд, а также членам
Тринити колледжа, позволившим мне воспользоваться всеми пре-
преимуществами колледжа.
Я должен особенно поблагодарить профессора Филиппа Холла
из Кинге колледжа, Кембридж, за многочисленные ценные советы
при подготовке рукописи и за предоставление его собственных
неопубликованных результатов. В благодарность за его любез-
любезность я посвящаю ему эту книгу.
Я хочу также выразить мою признательность за оказанную
мне помощь профессорам Герберту Райзеру и Яну Корринге и,
наконец, доктору Эрнесту Паркеру за его* участие в ходе дел,
связанных с подготовкой рукописи.
Колумбус, Огайо. Маршалл Холл
младший
Глава 1
ВВЕДЕНИЕ
1.1. Алгебраические законы
Большая часть алгебры имеет дело с системами элементов,
которые, подобно числам, можно складывать или умножать, или
подвергать обеим операциям. Пусть дана система, элементы кото-
которой обозначены буквами а, Ь, с, .... Назовем ее S = S(a, b, с, ...).
Свойства систем зависят от того, какие из следующих основных
законов в них выполняются.
Законы замкнутости. АО. Сложение МО. Умножение
вполне определено, вполне определено*
Это значит, что для каждой упорядоченной пары элементов
аЛ h£S элементы а + # = с и ab = d существуют и однозначно
определены в S.
А Г. (a + b) + c= 'Ml. (ab)c = a(bc).
Ассоциативные
законы.
Коммутативные А2. a-\~b = b-\~a. M2. ba = ab.
законы.
Нуль и единица. A3. Существует та- МЗ. Существует
. кой элемент 0, такой эле-
что 0 + д = д4~ мент 1, что
~\-0 = а для всех \а = а\ = а
a£S. для всех a£S.
Противоположные и А4. Для любого эле- М4.1) Для любого
обратные элементы. мента a£S су-
существует эле-
элемент —a £S та-
такой, что
элемента аФО
существует
элемент
а £5 такой,
что (а~1)а —
Дистрибутивные Д1.
законы. Д2.
) Закон М4 формулируется здесь для системы с умножением и сло-
ЖеНИ1\дМ* Если же сложение не определено и нуля в системе нет, то за-
закон М4 принимает вид: „Для любого элемента а существует элемент а*
такой, что (a-l)a~a(a-l) = L«
12 Гл. 1. Введение
Определение. Система, удовлетворяющая всем этим зако-
законам, называется полем. Система, удовлетворяющая законам
АО — А4, МО, Ml и Д1, Д2, называется кольцом.
Следует отметить, что законы АО — А4 совершенно аналогичны
законам МО — М4, кроме случая а = 0 в требовании М4, когда
обратный элемент не существует. Однако в дистрибутивных зако-
законах сложение и умножение неравноправны. Этот параллелизм
между сложением и умножением используется при употреблении
логарифмов, связывающих умножение и сложение формулой
log (лгу) = log * +log у.
Вообще п-местная операция в множестве 5 — это функция
/ = /(аг ап) от п аргументов аг ап, принадлежащих
множеству S, причем значение ее / (ах ап) = Ь однозначно
определено в множестве S, если функция / определена для этих
аргументов. Если при любом выборе элементов av У.., ап в мно-
множестве 5 функция f (av ..., ап) определена, то мы говорим, что
операция / всюду определена, или что множество 5 замкнуто
относительно операции /.
В поле F сложение и умножение являются вполне определен-
определенными бинарными операциями, а операция обращения f(a) = a~l
является унарной операцией, определенной для любого элемента,
кроме нуля.
1.2. Отображения
Одним из самых основных понятий современной математики
является понятие отображения множества 5 в множество Т.
Определение. Отображением а множества S в множество Т
называется некоторое правило, сопоставляющее каждому эле-
элементу х множества S единственный элемент у множества Т.
Будем обозначать это двумя способами:
а : х -> у или у = (х) а.
Элемент у называется образом х при отображении а. Если каж-
каждый элемент у множества Т является образом хотя бы одного
элемента х из S, мы говорим, что а есть отображение 5 на Т.
Отображения множества в (или на) себя особенно важны. На-
Например, вращение в плоскости можно рассматривать как отобра-
отображение множества точек плоскости на себя. Для двух отображе-
отображений аир множества S в себя можно построить третье отобра-
отображение множества 5 по следующему правилу.
Определение. Пусть даны два отображения а и C множе-
множества S в себя. Мы определяем третье отображение f мно-
множества S в себя так: если у = (х)<х и z = (y)$t то z =
1.2. Отображения 13
Отображение f называется произведением отображений а
и р и обозначается ? = оф.
Так как здесь элементы у = (л;)а и £ = (у)р однозначно
определены в 5, то и элемент z = [(х) а] р = (*jcj- однозначно
определен в 5 для любого x£S.
Теорема 1.2.1. Отображения некоторого множества S
в себя удовлетворяют законам МО, Ml, МЗ, если под умно-
умножением понимать умножение отображений множества S
в себя.
Доказательство. Как уже отмечалось, требование МО выпол-
выполняется. Проверим выполнимость закона Ml. Пусть а, р, f — три
данных отображения. Возьмем произвольный элемент х из S и
положим у = (х)а, 2 = (у)р и w = (z)t. Тогда (х) [(ар) f ] =
= (#) у = w, (л:) [а (ру)] = (у) ру = w. Это значит, что отображе-
отображения (ар) у и а(ру) дают один и тот же образ произвольного эле-
элемента х £»S, т. е. что (ap)f = a(pf).
Для проверки закона МЗ за 1 примем такое отображение, при
котором (х) 1 = х для любого элемента х £ 5. Тогда отображе-
отображение 1 является единицей в. том смысле, что al = la = a для
любого отображения а.
В общем случае для отображений ни требование М2, ни М4
не выполняются. Однако закон М4 справедлив для важного класса
отображений, а именно для взаимно однозначных отображений мно*
жества 5 на себя.
Определение. Говорят, что отображение а множества S
на множество Т взаимно однозначно, если каждый элемент
множества Т является образом только одного элемента из S:
Такое отображение обозначают a : х <^ у, где х £ 5, у£Т, и
говорят, что множества 5 и Т имеют одно и то же кардинальное
число1) элементов.
Теорема 1.2.2. Взаимно однозначное отображение множе-
множества S на себя удовлетворяет требованиям МО, Ml, МЗ, М4.
Доказательство. Выполнимость условий МО, Ml, МЗ уста-
установлена теоремой 1.2.1. Осталось проверить М4. Если отображе-
отображение a : х ^± у множества 5 на себя взаимно однозначно, то, по
определению, для каждого элемента у из 5 существует точно
один х из 5 такой, что у = (х)а. Сопоставляя этот элемент х
элементу у, мы определяем взаимно однозначное отображение
i:y^hx множества 5 на себя. Из определения отображения х
видно, что (х)ах = х для любого элемента х £S и. (у) та = у
для любого у£S. Следовательно, ax = m=l, и х является ото-
1) О кардинальных числах см. Биркгоф и Маклейн [1], стр. 356. (См.
также К л и н и К., Введение в метаматематику, ИЛ, М., 1957. — Прим.
перев.)
14 Гл. 1. Введение
подстановка
бражением, удовлетворяющим требованиям закона М4 для обрат-
обратного элемента а".
Взаимно однозначное отображение некоторого множества на
себя называется подстановкой. Если данное множество конечно,
подстановку можно записать, располагая элементы множества
в строчку и подписывая под каждым элементом его образ. Так,
/1 2 3\ /1 2 3\
а = I ) и р = ( 1 •— две подстановки множества
5A, 2, 3). Согласно определению, их произведением является
/1 2 3\
ар = ( ). Заметим, что это умножение произ-
производится здесь слева направо, однако некоторые авторы определяют
произведение подстановок так, что они умножаются справа налево.
1.3. Определения группы и некоторых сходных систем
Мы видеди, что системы с одной определенной в них опера-
операцией (сложением или умножением) подчиняются одним и тем же
законам. За исключением коммутативного закона, все они выпол-
выполняются при умножении взаимно однозначных отображений мно-
множества на себя. Законы, которым подчиняются эти взаимно одно-
однозначные отображения, мы и используем для определения группы.
Определение. (Первое определение группы.) Группой О назы-
называется некоторое множество элементов О (а, Ь, с, .,.) с би-
бинарной операцией, называемой „произведением", такой, что
выполняются*.
GO. Закон замкнутости. Для каждой упорядоченной пары
элементов a, b из G произведение ab — c существует и
является однозначно определенным элементом из О.
G1. Ассоциативный закон. (ab)c=^a(bc).
G2. Существование единицы. Существует такой элемент U
чтоЛа = а\ =а для любого элемента a£G.
G3. Существование обратного элемента. Для всякого элемента
a£G существует такой элемент a~l£G, что а~га = аа~1= 1.
Эта система аксиом избыточна. Можно ослабить требования
G2 и G3, заменив их следующими:
G2*. Существует такой элемент 1, что \а = а для лю-
любого a£G.
G3*. Для всякого a£G существует такой элемент x£G,
что ха=\.
Можно показать, что из G2* и G3* следуют условия G2 и G3.
Пусть для некоторого а имеют место соотношения ха = 1 и
ух = 1, согласно G3*. Тогда имеем
ах з= 1 (ах) ={ух) (ах) = у [х (ах)] = у [(ха) х] = у (\х)^=ух — 1,
1.3. Определения группы и некоторых сходных систем 15
т. е. выполняется условие G3. Аналогично
так что и G2 удовлетворено.
Единственность единицы 1 и обратного элемента а легко
устанавливается (см. упр. 13). Конечно, можно было бы заменить
G2 и G3 требованием существования таких элементов 1 и х,
что а\ =а и ах = 1. Однако аксиомы а\ ~а и ха= 1 приводят
к несколько иной ситуации1).
Существует несколько способов расстановки скобок в упоря-
упорядоченной последовательности элементов аха2 ... ап для получения
их произведения путем последовательного выполнения бинарногЪ
умножения. Для я = 3 существует только два таких способа,
а именно (аха2)а3 и аг(а2а^. Ассоциативный закон утверждает
равенство этих двух произведений. Важным следствием ассоциа-
ассоциативного закона является обобщенный ассоциативный закон.
*Все способй, расстановки скобок в упорядоченной после-
последовательности элементов axav ... ап при последовательном
выполнении бинарных умножений приводят к одному и тому же
результату.
Применяя индукцию по л, легко доказать, что обобщенный
Ассоциативный закон вытекает из ассоциативного закона (см.
упр. 1).
Можно дать другое определение группы, в котором явно не
■требуете^ существование единицы.
Определение. (Второе определение группы.) Группа О — это
такое множество элементов G(a, b, ...), что
1) для каждой упорядоченной пары а, Ъ элементов О одно-
однозначно определено бинарное произведение ab = c, принадлежа-
принадлежащее О,
2) для каждого элемента a£G однозначно определена унар-
унарная операция „обращения" а'1, где а—опять элемент из О,
3) выполняется ассоциативный закон (ab) с = а (be),
4) имеет место закон обращения a'1 (ab) = b = (ba)a~l.
Легко показать, что любое множество, удовлетворяющее ак-
аксиомам первого определения, также удовлетворяет аксиомам вто-
второго. Докажем обратное. Предположив выполнимость аксиом
второго определения, рассмотрим равенства
а~Ч = [(fl-ie) b] «Г1 = (e-ie) (bb~l) = a [a (bb~1)] = bb~l.
Для a = b отсюда следует a~la = aa~lt а также то, что элемент
а~1а = аа~1 не зависит от а и представляет один и тот же эле-
*) Манн [I].
16 Гл. 1. Введение
мент. Назовем его „Iй. Тогда аксиома G3 выполняется. Далее,
lft = (а~1а) Ъ = a (ab) = b
И
b\=b (aa~l) == фа) а = ft,
т. е. имеет место G2*. Итак, два определения группы эквива-
эквивалентны. Имеется третье определение группы.
Определение. (Третье определение группы.) Группа О — это
некоторое множество элементов О (а, ft, с, ...) с такой би-
бинарной операцией а/Ь, что:
L0. Для каждой упорядоченной пары at b элементов из О
однозначно определен элемент a/b — c£G.
LI. a\a = b\b.
L2. a/(ft/ft) = a.
L3. (a/a)l(b/c) = clb.
L4. (а/сIФ1с) = а1Ь.
Определим через эту операцию унарную операцию обраихе-
ния & следующим образом:
Пользуясь L3 и L2, получаем
Зададим бинарную операцию умножения, положив
Тогда a/b = a/(b~l) =ab~x. Обозначим через 1 общее значение
выражений aja = bjb. (Это равенство имеет место согласно L1.)
Тогда L1 можно записать в виде аа=19 откуда для любого а
имеем 1 =а^1(а) = аа. Таким образом, выполняется тре-
требование G3 из первого определения группы. В равенстве &~! =
= ф/Ь)/Ь полагаем Ъ = 1. Тогда 1 х == 1-1 г» и поэтому
1 = 1/1 = 1 . 1"= I, a L2 принимает форму а\~1 = д1 =а.
Так как, по определению, b^1 =\/b=l • ft, то, положив ft = a",
получаем (а") = 1 • (а"), или а=\а. Поэтому выполняется
аксиома G2 первого определения. L3 превращается в равенство
1 (bc~1)~l = cb~l, откуда (bc~l)~l = cb~l. В L4 полагаем а = х9
д=\, с = у и получаем (ху) Aу)~1 = х\~1 = х, или
(ху) у = х. Теперь для произвольных х% у, z полагаем а = xyt
b = z~l, с = у. Тогда ас~1 = (ху)у-1 = х, и L4 переходит в ра-
равенство (аС^фС1)'1 = ab"lt откуда (ac~l)(cb~l) = ab~l. Для
х, у, z это означает, что x(yz) = (xy)z, т. е. что выполняется
1.3. Определения группы и некоторых сходных систем 17
требование G1. Таким образом, из третьего определения группы
следует первое. Если же, наоборот, исходить из первого опреде-
определения и положить ab = а/b, легко обнаружить, что выполняются
законы L0 — L4. Таким образом, определения эквивалентны.
Существуют системы, удовлетворяющие только некоторым
аксиомам группы. Укажем самые распространенные из них.
Определение. Квазигруппой Q называется система элемен-
элементов Q(a, b, с, ...), в которой определена такая бинарная
операция умножения ab, что в равенстве ab — c любые два
из элементов а, Ь, с системы Q определяют третий.
Определение. Лупой называется квазигруппа, в которой
существует элемент 1 такой, что \а = а\ =а для всякого а.
Определение. Полугруппой называется система S(а, Ь, с, ...)
элементов с бинарной операцией умножения ab, удовлетво-
удовлетворяющей требованию {ab) c = a (be).
Ясно, что группа удовлетворяет всем этим определениям. Сле-
Следуя Курошу, можно еще определить группу как множество,
являющееся одновременно и полугруппой, и квазигруппой. Из
определения полугруппы следует, что для нее выполняются за-
законы GO и G1. Пусть t — единственный элемент, такой, что
tb = b для некоторого элемента Ь, и пусть у определяется эле-
элементами Ь, а и равенством Ьу = а. Тогда имеем (tb)y = by и
t(by)z=zby, или ta = a для любого а, так что выполняется G2*.
В квазигруппе G3* также выполняется. А эти свойства, как мы
уже показали, определяют группу.
Назовем систему с бинарным произведением и унарным обра-
обращением, удовлетворяющими условию
квазигруппой со свойством обращения. При этом приведенное
тождество будем считать законом обращения. Мы должны пока-
показать, что такое произведение определяет квазигруппу. Если ab — c,
то b = a~l(ab) = a~lc и a = (ab)b~l = сЬ~х. Поэтому а и & опре-
определяют элемент с однозначно, но также сна определяют не
более одного Ь, а для данных с и b существует не более одного а.
Положим a (a"lc) = w. Тогда a [a (a~lc)\ = a"lw, откуда ас =
==aw. Поэтому (л) (ас) — (а-1) (a~lw)t откуда c = w.
Значит, а(ас) = с и аналогично (cb~l)b — c. Итак, система
является квазигруппой. Заметим, что квазигруппа со свойством
обращения не обязательно является лупой. Например, три эле-
элемента а, Ь, с с отношениями а2 = а, ab = ba==c, b2 — b,
bc = cb = at c2 = c, ca = ac = b составляют квазигруппу со свой-
свойством обращения (обратным к каждому элементу является он сам),
но не имеющую единицы.
2 М. Холл
18 Гл. 1. Введение
1.4. Подгруппы, изоморфизмы, гомоморфизмы
Подмножество элементов группы О может само оказаться груп-
группой относительно умножения, определенного в О. Такое множе-
множество Н элементов называется подгруппой группы О.
В любой группе О единица 1 удовлетворяет условию 12=1.
Наоборот, если элемент x£G обладает свойством х?~х, то
х = х~1(х2) —х~1х = 1. Таким образом, единица подгруппы //,
так как она удовлетворяет уравнению х2 = х, должна совпадать
с единицей группы О.
Теорема 1.4.1. Подмножество Н группы О является под-
группой, если выполняются два условия:
"S1. Если h^H, H9CH, то НХН2£Н.
S2. Если h^H, то НТ1£Н. .
Доказательство. Эти два свойства обеспечивают выполнение
законов GO, G2, G3 в Н. А так как произведения в Н совпадают
с произведениями в группе О, условие G1 также выполняется в Н.
Между парами групп могут иметь место различные отноше-
отношения, заслуживающие внимания. Первым таким отношением является
изоморфизм.
Определение. Взаимно однозначное отображение G^H
группы О на группу Н называется изоморфизмом, если из
gx^thx и g2"^tfi2 следует, что g^^h^
Пример 1. Так как все подстановки некоторого множества
образуют группу (теорема 1.2.2), любое множество подстановок,
удовлетворяющее условиям S1 и S2, составляет подгруппу пол-
полной группы подстановок. Например, рассмотрим две следующие
подгруппы:
о, о2
1 2 3\ /12 3 4 5 6'
1 2 3
1 2 3\ /1 2 3 4 5 6
3 */' ^2 \2 3 164 5
2 /
/
2 3\ /1 2 3 4 5 6\
1 2/ Уз==\3 12 5 6 4/
\ - /1 2 3 4 5 6\
/ У4==^4 5 6 12 3/
\ _/1 2 3 4 5 6\
/ У5~\5 6 4 3 1 2/
/ 1 2 3\ _/1 2 3 4 5 6\
\2 1 3/ Уб~\6 4 5 2 3 1/
12 3
x. = '
1.4. Подгруппы, изоморфизмы, гоморфизмы, 19
Если отображать xt£Gx на у^£ О2, то во всех случаях произве-
произведению будет соответствовать произведение. Значит, Ог и О2 изо-
изоморфны.
В более общем случае отображение элементов одной группй О
на элементы другой группы //, при котором, вообще говоря,
нескольким элементам соответствует один, называется гомомор-
гомоморфизмом, если это отображение сохраняет произведение.
Определение. Отображение G->H элементов группы О на
элементы группы Н называется гомоморфизмом, если из
gx-^hx и g2->h2 следует, что gxg2->hxh2.
Пусть 1 —единица группы G, и пусть 1 ->е (е£Н) при гомо-
гомоморфизме G->#. Тогда 12-><?2. Так как 12=1, то е2 = е.
Поэтому е — единица группы Я. Также если g->h и g~l->ky
то gg~l->hk, и поэтому 1—>hk = e. Значит, /г = /г \ т. е. ото-
отображение переводит обратные элементы в обратные. Отметим,
что взаимно однозначный гомоморфизм есть изоморфизм.
Пример 2. Пусть Ох— та же группа подстановок, что и в при-
примере 1, Н — мультипликативная группа двух вещественных
чисел 1, —1, Тогда гомоморфизмом является отображение
х2 —► 1 xs —> — 1
'*3->l х6->— 1.
Группы подстановок интересны не только сами по себе, но еще
и потому, что любая группа изоморфна некоторой группе под-
подстановок.
Теорема J.4.2. (Кэли) Произвольная группа G изоморфна
некоторой группе подстановок своих элементов.
Доказательство. Для каждого g£G определим отображе-
отображение R (g): х —> xg для всех х £ О. При фиксированном g полу-
получаем отображение множества всех элементов Группы О на себя,
так как для данного у отображение R(g) дает yg -> (yg) g = у.
Это отображение взаимно однозначно, т. к. из xxg = x2g сле-
следует хх = х2. Итак, Jfy(g) — подстановка для каждого g£G. Ото-
Отображение R (gx) R (g2) — это соответствие x^ixgj g2 = x(gxg2).
Поэтому R(gx) R(g2) = R(gxg2). Далее, при R(gx) единица ото-
отображается в gx, а при R(g2) — в g-2. Поэтому если gxi^g2,
то R(gi) Ф R(g2)' Значит, отображение g<^R(g) является изо-
изоморфизмом. Отметим, что R(\) = I — тождественная подстановка
и что #(£-!)#(£.) = /, так что R(g~l) = [R(g)]~\
Группу подстановок R(g): x^xg называют правым регу-
регулярным представлением группы G. Можно было бы рас-
рассматривать подстановки L(g): x<^gx, т. е. левое регулярное
представление группы О. Легко видеть, что группа L(g) анти-
2*
20 Гл. 1. Введение
изоморфна G. Это означает, что отображение g->L(g) взаимно
однозначно и переставляет сомножители, т. е. L (gxg2) = L (g2) L (gj.
Рассмотрим множество подгрупп Hj группы G, где j пробе-
пробегает некоторое множество индексов У. Тогда множество элементов
группы G, каждый из которых принадлежит всем подгруппам Н*,
удорлзтворяет условиям S1 и S2 и поэтому составляет под-
подгруппу Н, называемую пересечением подгрупп #;.. Пересечение
мы будем записывать так: H—{]Hj. Множество всех конечных
произведений вида g}g2 .. . gs, где каждый элемент gt принад-
принадлежит некоторой подгруппе Hj, также удовлетворяет S1 и S2.
Это множество составляет подгруппу Т, называемую объединением
подгрупп Hj и обозначаемую так: T—\JJHj. Пересечение и объеди-
J
нение двух подгрупп Н и К соответственно будем записывать
так: Н(]К и Н[}К. Это обозначение согласуется с обозначением
в теории структур и будет рассмотрено более детально в гл. 8.
Произвольное множество элементов группы называется ком-
комплексом. Если А и В— два комплекса в группе G, то под АВ
будем понимать комплекс, состоящий из всех элементов вида ab,
где а£А, Ь£В, и будем называть АВ произведением комплек-
комплексов А и В, Легко проверяется ассоциативный закон (АВ)С =
= А (ВС) для умножения комплексов.
Если К — некоторый комплекс в группе G, обозначим через {К}
подгруппу, состоящую из всех конечных произведений хг .., хп,
где xt — элемент из К или обратный к нему. Говорят, что под-
подгруппа {К) порождена множеством /С. Легко видеть, что {К\
содержится в любой подгруппе группы G, содержащей К.
1.5. Смежные классы. Теорема Лагранжа. Циклические
группы. Индексы
Пусть даны группа О и подгруппа Я. Множество элементов
вида hxy где h — любой элемент из Я, а х — фиксированный эле-
элемент из G, называется левым смежным классом по Н и обо-
обозначается Нх. Аналогично множество элементов вида xh, где
опять h — любой элемент из Н, называется правым смежным
классом хН по подгруппе Н.
Теорема 1.5.1. Два левых (правых) смежных класса
группы G по Н или не пересекаются, или совпадают. Левый
(правый) смежный класс по Н и подгруппа Н равномощны.
Доказательство. Если Смежные классы Нх и Ну не имеют
общих элементов, то нечего доказывать. Поэтому предположим,
что z£Hx и z£Hy. Тогда г = Нгх = к2у. Отсюда x — hTlli2y и
hx = hh\ хЫу = h'y. Поэтому Нх Е Ну. Аналогично Ну =
1.5. Смежные классы. Теорема Лагранжа. Циклические группы. 21
= hh2lh\X = h х, откуда Ну с Нх. Значит, Их = Ну, т. е. классы
совпадают. Для правых классов доказательство аналогично. Соот-
Соответствия h<thxt h<^xh, /г£Я, показывают, что множества Я,
Нх и хН равномощны.
Элемент х = х\ — \х, принадлежащий смежным классам хН
и Нх, называется представителем смежного класса. Согласно
теореме 1.5.1, любой элемент и£Нх может быть выбран в каче-
качестве представителя, т. к. Ни = Нх. Таким образом, подгруппа
Я=Я1 = 1Я сама является одним из смежных классов G по Н.
Обычно удобно (а иногда и необходимо) выбрать единицу в каче-
качестве представителя подгруппы Я, рассматриваемой как один из
смежных классов. Чтобы отметить, что смежные классы Я,
Hxv ..., НхГ не пересекаются и исчерпывают всю группу G,
употребляется запись
+ ... +Нхг A.5.1)
Здесь сложение — лишь удобное обозначение; его не следует рас-
рассматривать как операцию.
Поскольку (Ял:) (множество элементов, обратных к элемен-
элементам вида hx) совпадает с х~1Н и (уН)~Х = Ну'1, имеется взаимно
однозначное соответствие между левыми и правыми смежными
классами по Я. Поэтому из A.5.1) получаем
.. +ху1Н./ A.5.2)
Кардинальное число г правых (левых) смежных классов по под-
подгруппе Я группы О называется индексом подгруппы Я в группе О
и обозначается [G: Я]. Порядком группы О называется карди-
кардинальное число ее элементов. Единица группы составляет под-
подгруппу, и смежные классы по ней содержат по одному элементу.
Поэтому порядок группы равен индексу единичной подгруппы.
Теорема 1.5.2. (Теорема Лагранжа). Порядок группы О равен
произведению порядка подгруппы Я на индекс Я в G.
Доказательство. Число элементов в каждом из r = [G:H]
смежных классов О по Я равно числу элементов в подгруппе Я,
т. е. ее порядку.
Если Я—подгруппа в G и К — подгруппа в Я, то пусть
+ ... +Нх8,
+ ... +КуГ.
Тогда для g£G представление g = hXj, где /г£Я, однозначно,
как и представление h = kyt, где k £ /С, для элемента h £ Я. По-
Поэтому Ky(Xj (i=.l r\ j=\ s) — смежные классы
группы G по подгруппе /С. Для того чтобы два таких смежных
класса совпадали, они должны принадлежать одному и тому же
22 Гл. 1. Введение
смежному классу по Я, и поэтому им должен соответствовать один
и тот же представитель х^ Умножая KytXj на xj1 справа, мы
видим, что для них должны также совпадать и представители yt.
Таким образом, смежные классы О по К задаются комплек-
комплексами KyiXj, причем эти выражения представляют различные классы.
Итак, мы доказали теорему.
Теорема 1.5.3. Если О Э Н э /С, то [О : К] = [G : Я] • [Я: К].
Группа О называется циклической, если каждый ее элемент
является степенью Ь1 некоторого фиксированного элемента Ь.
Пользуясь равенством \Ь~ ) = Ь~Т и ассоциативным законом,
можно показать методом полной индукции, что bmbt=bm'+t для
любых целых показателей m и t. Если все степени элемента Ъ
различны, то циклическая группа имеет бесконечный порядок и
изоморфна аддитивной группе всех целых чисел; при этом целые
числа являются показателями степени образующего элемента Ь.
Если же не все степени различны и, например, Ьт = Ь* при т > t,
то Ьт~*=\, где т — t > 0. Пусть п > 0 — наименьшее положи-
положительное целое число, для которого &я=1. Тогда легко видеть,
что элементы 1, Ь, .... Ьп"г составляют всю группу и что при
0О, 5<л имеем brbs = br+s, если r-{-s<n, и brbs = br+s~n,
если г + 5^> /г. Отсюда нетрудно убедиться в том, что для ка-
каждого положительного п существует, с точностью до изомор-
изоморфизма, одна единственная циклическая группа порядка /г. Она
является аддитивной группой классов вычетов целых чисел по
модулю п. Таким образом, циклическая группа, порожденная
элементом Ь, имеет порядок, равный либо бесконечности, либо /г,
причем в последнем случае п есть наименьшее положительное
целое число, для которого, &Л=1. Назовем порядком эле-
элемента b порядок порождаемой им циклической группы {#}.
Строение и число подгрупп группы О, безусловно, очень важны
для описания группы G. Но если О не содержит подгрупп, кроме
самой себя и единичной, то не существует истинных подгрупп,
которые раскрывали бы ее строение. В этом случае имеется очень
простое прямое описание группы О.
Теорема 1.5.4. Группа G, отличная от единичной, не со-
содержит подгрупп, отличных от единичной и самой себя, тогда
и только тогда, когда она является конечной циклической
группой простого порядка.
Доказательство. По предположению, если ЬЛ'Ф 1—элемент
из G, то циклическая группа, порождаемая элементом Ъ, отлична
от единичной и должна совпадать с О. Если b — элемент беско-
бесконечного порядка, то Ь2 порождает собственную подгруппу, состоя-
состоящую из элементов вида £2Л Поэтому b — элемент конечного по-
порядка /г, т. е. Ьп=\ш Если п — непростое число, то n = uvt где
1.6. Сопряоюенные элементы и классы 23
и > 1. v > 1. Тбгда степень Ьи порождает собственную подгруппу
порядка v. Поэтому число п простое, а О — циклическая группа
простого порядка. По теореме Лагранжа группа простого порядка
не может содержать подгруппу, отличную от единичной и всей
группы. Докажем основное соотношение для индексов подгрупп.
Теорема 1.5.5. (Неравенство для индексов.) [A U В : В] ^>
>И:ЛПЯ].
Доказательство. Обозначим подгруппу Л Л В через D. Пусть
A = D\-\-Dx2-\- ... -\-Dxr Утверждается, что все смежные
классы 51, Вх2 Вхг различны в А\}В. Действительно, если
Вх( = Bxj при / Ф у, то Xj = Ъх\ при Ъ £ 5. Но ведь элементы
xt и, Xj принадлежат А и, значит, Ь£А, т. е. b£A[\B = D.
Следовательно, смежные классы Dxr и Dxj имеют общий эле-
элемент Xj = bxt, что противоречит допущению. Значит, смежных
классов в A U В по В т меньше, чем в А по А (] В. Этим нера-
неравенство доказано.
Теорема 1.5.6. (Равенство индексов.) Если числа [А[}В:В]
и [A U В : А] конечны и взаимно просты, то [A (J В: В]—[А: А П 5]
и 1А[)В:А] = [В:АПВ].
Доказательство. Согласно теореме 1.5.3, [A (J В : А П В] =
^{АЦВ : ВЦВ : A f|5] =,{Л (J 5 : Л] [А : Л П 5]. По теореме 1.5.5
1Ж\}В :В]^\А: А(]В]. Но из приведенного равенства следует,
что {Л U В : 5] делит [Л : Л П 5], так как оно взаимно просто
с [Л U В : А]. Поэтому [А[} В : В] = [А ; А(]В] и аналогично
В В
1.6. Сопряженные элементы и классы
Пусть О — группа и 5 — некоторое ее подмножество. Тогда
множество S' элементов вида д;"^, где s£St a x — фиксиро-
фиксированный элемент группы, называется трансформацией множества S
элементом х и записывается в виде S' = xSxt или 5/==5дг*.
Лемма 1.6.1. Множества S и Sx равномощны.
Доказательство, Соответствие ^^л:"^ является взаимно
однозначным, так как если s->x~lsx = s', то sf->xs'x~1 =
= х (x~lsx) x = s — обратное отображение.
Если 5 и SJ — два множества в группе G, содержащей под-
подгруппу Я, и если существует такой элемент х£Н, что S' = Sxt
то мы говорим, что 5 и S' сопряжены но подгруппе Н. Если
S' = x-lSx, то S = (x-l)~lS'x~l. Кроме того, если S" = y~lS'y,
то S" = y-ix-1Sxy = (xy)~'1S(xy). Так как S=r\Sl, мы по-
получаем, что отношение множеств быть сопряженными по Н является
отношением эквивалентности, т. к. оно рефлексивно, симмет-
*) Элемент х называется - трансформирующим элементом. — Прим.
перев.
24 Гл. 1. Введение
рично и транзитивно. Назовем множество всех множеств S\ со-
сопряженных с данным множеством S, классом сопряженных мно-
множеств. Из равенств (x~1sx)~1 = x~1sx и x~1s1x»xs2x =
= x(sls2)x следует
Лемма 1.6.2. Любое множество, сопряженное с подгруппой,
есть также подгруппа.
Если xSx = S, то S = xSx~~l. Если также y~lSy = S, то
S = (xy) S(xy). Следовательно, множество всех таких х£Н,
что SX==S, есть подгруппа в //, которую мы будем называть
нормализатором множества 5 в Н и обозначать NH(S). Анало-
Аналогично можно показать, что множество таких элементов х £ //, что
x~lsx = s для всех s£S, является подгруппой в Н\ мы будем
называть ее централизатором множества 5 в Н и обозначать
CN(S) (или ZH(S), если следовать немецкому правописанию).
Отметим, что в случае одноэлементного множества 5 понятия
нормализатора и централизатора совпадают; кроме того, всегда
CH(S) cz NH(S). Если H=G, обычно говорят просто о нормали-
нормализаторе и централизаторе множества 5. Централизатор ,£ группы О
в G называется центром группы G.
Теорема 1.6.1. Число множеству сопряженных с S по Н,
равно индексу в Н нормализатора 'множества S в Н, т. е*
[H:NH(S)].
Доказательство. Положим для краткости Л^я E) = D, и пусть
H = D + Dx2+ ... +Dxr r = [H:NH(S)].
Тогда равенство x~~1Sx = y~lSy, где х, у^Я, имеет место в том
и только в том случае, когда S = (yx) S(yx% т. е. когда
yx~l£D, или y£Dx. Отсюда два сопряженных с 5 по Н мно-
множества совпадают тогда и только тогда, когда трансформирующие
элементы принадлежат одному левому смежному классу по D.
Поэтому число различных сопряженных с 5 множеств равно
индексу Db Я, что и требовалось доказать.
Если 5 состоит из одного элемента s, то элементы, сопряжен-
сопряженные с ним в G, образуют класс сопряженных элементов.
Множество всех элементов группы G распадается на непересекаю-
непересекающиеся классы сопряжённых элементов, что записываем так:
G = CX + C2+ ... +С5. A.6.1)
Единица 1 всегда образует отдельный класс. Согласно теореме 1.6.1,
число элементов в классе Ct равно индексу некоторой подгруппы
и, следовательно, делит порядок группы G.
1.7. Двойные смежные классы
Пусть G — группа, Н и К—две (не обязательно различные)
ее подгруппы. Множество элементов вида НхК, где х — фикси-
1.7. Двойные смежные классы 25
рованный элемент из О, называется двойным смежным классом
группы G. Как и для обычных смежных классов, имеет место
Лемма 1.7.1. Два двойных смежных класса НхК и НуК
либо совпадают, либо не пересекаются.
Доказательство. Если z = hlxkl = h2yk2> то hxk =
=z hh\lh2yk2k\lk, откуда НхК £ НуК; аналогично НуК с НхК.
Отсюда НхК = НуК.
Двойной смежный класс НхЮ содержит все левые смежные
классы по Н вида Hxk и все правые смежные классы по К
вида hxK. Кроме того, ясно, что НхК состоит из полных ле-
левых смежных классов по Я и полных правых смежных классов
по К.
Теорема 1.7.1. ЧисЛо левых смежных классов по Н в НхК
равно [К : /СП х~1Нх], а число правых смежных классов по К
в НхК равно [х-1Нх:К(]х~1Нх].
Доказательство. Установим следующее взаимно однозначное
соответствие между множествами НхК и x"lHxK : hxk^x~lhxk.
Тем самым установлено взаимно однозначное соответствие между
левыми' смежными классами Hxk no H в НхК и левыми смеж-
смежными классами x~lHx-k по х~хНх в х~1НхК, а также между
правыми смежными классами hxK по К в НхК и правыми смеж-
смежными классами x"lhxK по К в х~~1НхК. Условимся, что хНх=Л
и A(]K = D. Если теперь А = 1 *D-+u2D-\- ... + urD, r = [A:D],
то ut'£ Л, откуда /С, и2К, .... игК — правые смежные классы
по К в АК> Все они различны, так как если бы исК = иЖ, то
UflUj £ К, но поскольку uit Uj £ А, это означало бы, что ит1и. £ £),
т. е. utD = UjD, на это противоречит допущению. Каждый пра-
правый смежный класс по К в АК имеет вид аК, где а^А. Но эле-
элемент а можно представить как иьй, где d£Dt отсюда а£^/С==^/С.
Таким образом, число правых смежных классов по К в АК равно
[А : D] = [х~1Нх : х~1Нх ПК], и в силу взаимной однозначности
соответствия это число равно числу правых смежных классов
по К в НхК. Аналогично можно показать, что число левых смеж-
смежных классов по А в АК равно [К : D] = [К : хНх П/С], т. е.
в силу взаимно однозначного соответствия равно числу левых
смежных классов по Я в НхК !).
1) Разложение группы G
... +НхгК
в сумму непересекающихся двойных классов будем в дальнейшем назы-
называть разложением группы G по двойному модулю (Н, К). Этим раз-
разложением автор неоднократно будет пользоваться на протяжении
книги, — Прим, ред.
26 Гл. 1. Введение
1.8. Замечания о бесконечных группах
Многие теоремы о группах не зависят от того, конечен ли
их порядок или бесконечен. Но иногда результаты для ко-
конечных и бесконечных групп существенно различны, а в случае
одинаковых результатов различны методы доказательств.
Бесконечная группа G может обладать теми или иными свой- *
ствами конечности. Важными свойствами такого рода будут, на-
например, следующие:
1) G— группа с конечным числом образующих,
2) G—периодична, т. е. все элементы группы G конечного
порядка,
3) G удовлетворяет условию максимальности: каждая воз-
возрастающая цепочка Агс:А2с:Агс: ... различных подгрупп обры-
обрывается,
4) G удовлетворяет условию минимальности: каждая убы-
убывающая цепочка A1zsA2zd... различных подгрупп обрывается.
Говорят, что бесконечная группа G обладает некоторым свой-
свойством локально, если этим свойством обладает любая ее конечно
порожденная подгруппа. Семейство Ht гомоморфных образов
группы G называется семейством остатков для G, если для
любого g=fc\ из G существует по крайней мере одна группа Hit
в которой образ элемента g не является единицей. Мы будем
говорить, что некоторое свойство выполняется в* G остаточно,
если существует семейство остатков, состоящее из гомоморфных
образов группы G, каждый из которых обладает этим свойством.
Теорема 1.8.1. Группа G удовлетворяет условию макси-
максимальности тогда и только тогда, когда G и все ее под-
подгруппы конечно порождены.
Доказательство, Предположим, что некоторая подгруппа Н
группы G не имеет конечной системы образующих. Тогда можно
построить бесконечную возрастающую цепочку различных под-
подгрупп в Н: {Aj} с {hv h2) с ... cz {hv ..., ht) a ..., выбирая по-
последовательно произвольное ht £ Н, не принадлежащее {hx ..., /*,_i}.
Такое ht всегда найдется, так как Н не может быть подгруппой,
"порожденной множеством {hv ..., fy_i}. Обратно, пусть G и все
ее подгруппы конечно порождены. Пусть тогда В\ £ В2 Е £3~ Л • —
неубывающая цепочка подгрупп группы G. Покажем, что, начиная
с некоторого места, все подгруппы совпадают и, следовательно,
не существует бесконечной возрастающей цепочки различных под-
подгрупп. Множество всех таких элементов Ъ группы G, что b£Bt
для некоторого Вь из цепочки, составляет подгруппу В группы G,
так как если b£Bt и b'£Bj, то элементы Ь и V принадлежат
любой подгруппе Bk, где k^>i, k^j\ а поэтому также их произ-
произведения и обратные к ним элементы лежат в Bk*
1.8. Замечания о бесконечных группах 27
По предположению, В — подгруппа с конечным числом обра-
образующих, скажем, xv ..., хп. Пусть Bjx — первая подгруппа
среди B[t содержащая xv и вообще Bjk — первая подгруппа
среди Bt, содержащая xk (&—1, ..., п). Пусть т—наибольшее
из чисел jv ..., jn. Тогда Вт содержит все образующие xv ..., хп,
а потому В = Вы = Вт+1— ... и все дальнейшие подгруппы
в цепочке совпадают с В. Несколько позже мы увидим, что су-
существуют конечно порожденные группы, которые обладают под-
подгруппами, tfe имеющими конечной системы образующих.
Теорема 1.8.2. Группа G, удовлетворяющая условию мини-
минимальности, периодична.
Доказательство. Если О содержит элемент b бесконечного
порядка, то [Ь]•=>{№)•=>{№)•=> .. . -=)[b2t\^D . .. является бесконеч-
бесконечной убывающей цепочкой различных подгрупп.
При исследовании бесконечных групп мы не можем пользо-
пользоваться методом полной индукции по порядкам групп. Поэтому
возникает необходимость чем-то заменить этот метод доказатель-
доказательства, который так эффективен в теории конечных групп. Один
из путей состоит в использовании самых общих аксиом теории
множеств и упорядочения. Предположим, что в множестве 5 эле-
элементов \й> Ь, с, . .-*} определено некоторое отношение порядка
■u'i^b: Это отношение может подчиняться некоторым из следую-
следующих аксиом:
01) если а*СЬ и Ъ<; я, то а = Ь;
/ 02) если я<# ub^.c, то д<г,
03) для любой пары а, Ъ или а^Ь, или b^а\
04) любое непустое подмножество Т множества S имеет
первый элемент xv т. е. такой элемент xv что xx^.t для
любого t£T.
Если имеют место первые две аксиомы, то говорят о частич-
частичном упорядочении множества. Если выполняются первые три
аксиомы, то упорядочение «дзывается простым. Если, наконец,
все четыре аксиомы имеют место, то мы говорим, что множество
вполне упорядочено. Мы будем пользоваться следующей аксио-
аксиомой полного упорядочения: любое множество может быть
вполне упорядочено. Условимся писать а < Ь, если а<]&, но афЬ.
Во вполне упорядоченном множестве можно доказывать пред-
предложения методом трансфинитной индукции. Это делается так.
Обозначим через 1 первый элемент множества 5.ч Пусты Р (а)—не-
(а)—некоторое утверждение об элементах множества 5, пусть РA)
истинно и пусть из того, что Р(х) истинно для всех х < а, сле-
Дует истинность Р(а). Тогда мы заключаем, что Р(Ь) истинно
Для всех b£S. Действительно, пусть 7 есть такое подможество 5,
что P(t) ложно для t£T. Если Т непусто, оно имеет первый
28 Гл. 1. Введение -
элемент с. Тогда или с=1, или Р(х) истинно для всех х < с.
Но в обоих случаях отсюда следует, что Р(с) истинно, что про-
противоречит выбору с в множестве Г. Значит, Т пусто, и Р(Ь)
истинно для всех b£S. Заметим, между прочим, что во вполне
упорядоченном множестве любая убывающая последовательность
а1^> а2У> агу> ... обязательно конечна, так как она должна
содержать первый элемент.
Другой аксиомой, логически эквивалентной аксиоме полной
упорядоченности, является лемма Цорна. В ней опять идет речь
об упорядочении множества.
Лемма 1.8.1. (Лемма Цорна.) Если в частично упорядоченном
множестве S любое просто упорядоченное подмножество
имеет верхнюю (нижнюю) грань, то S имеет максимальный
(минимальный) элемент.
Если U — подмножество в S, то под верхней гранью мно-
множества U здесь понимается такой элемент Ь, что Ь ^ и для всех
u£U. Максимальным элементом при этом называется элемент,
не имеющий отличных от себя верхних граней. Перевернув поря-
порядок включения, аналогично определяем нижнюю грань и мини-
минимальный элемент.
Рассмотрим множество подгрупп группы G, частично упорядо-
упорядоченное по включению: Лс5, если Л — подгруппа в В. Тогда
множество всех элементов, содержащихся в некотором просто
упорядоченном подмножестве подгрупп, образует подгруппу. Дей-
Действительно, если gi — элемент одной из подгрупп, a g2 — некото-
некоторой другой, то оба эти элемента содержатся в большей из этих
подгрупп вместе со своими произведениями и обратными элемен-
элементами. По этой причине леммой Цорна удобно пользоваться
в теории групп и вообще абстрактных алгебр.
И аксиома полной упорядоченности, и лемма Цорна эквива-
эквивалентны следующей аксиоме.
Аксиома выбора. Для любого семейства F непустых под-
подмножеств [St) множества S существует функция выбора /(S£),
определенная на F со значениями в S такими, что f (St) = at £ St.
Оказывается, при определенных заключениях аксиома выбора
приводит к парадоксам и поэтому считается подозрительной. Все
три принципа безусловно верны для счетного множества 5, т. е.
такого множества 5, элементы которого можно поставить во
взаимно однозначное соответствие с рядом натуральных чисел 1,
2, 3 По-видимому, они верны и для других множеств 5 и,
возможно, для всех вполне определенных множеств, хотя нужно
отметить, что фактически еще никто не построил полного упоря-
упорядочения в множестве всех действительных чисел. Всякий раз,
когда в этой книге мы будем пользоваться одним из этих принци-
принципов, выражение „любое множество S" следует понимать в смысле
1.9. Примеры групп 29
-любое множество 5, для которого аксиома выбора выпол-
выполняется".
Полезным приложением этих методов является следующая
Теорема 1.8.3. Пусть g— элемент группы G, Н—ее под-
подгруппа, не содержащая g. Тогда существует подгруппа М,
содержащая И и максимальная среди всех подгрупп, не
содержащих элемент g.
Доказательство. Воспользуемся леммой Цорна. Подгруппы,
содержащие Я, но не содержащие g, образуют частично упоря-
упорядоченное множество по включению. Элементы любого просто упо-
упорядоченного множества этих подгрупп образуют подгруппу, кото-
которая содержит Я, но не содержит g. Следовательно, существует
максимальная подгруппа Ж, содержащая Я, но не содержащая g.
Используя эту теорему, легко получаем следующую теорему.
Теорема 1.8.4 Пусть G— конечно порожденная группа и
Н—истинная ее подгруппа. Тогда существует максимальная
подгруппа М группы G, содержащая. Н.
Доказательство. Пусть хх хт — образующие элементы
группы G, и пусть ух — первый среди них, не содержащийся в Н.
Пусть тогда МХ^Н, где Мг — максимальная подгруппа, не содер-
содержащая yv Тогда любая подгруппа, строго содержащая Mv
содержит yv а значит, и подгруппу [Mv y^—Hy Если H1 = G,
то Мх — искомая максимальная подгруппа. Если же H1c:G, то
выбираем подгруппу Ж2 Э ^» где М2 — максимальная подгруппа,
не содержащая у2, — первый среди xv ..., хт элемент, не при-
принадлежащий Hv Так как G— [хх хт}> то, продолжая этот про-
процесс, мы должны достичь такой группы Miy что Мь з Ht__x Э...ЭЯ,
где {Mt, yt) =G. кТогда подгруппа М~М к есть искомая макси-
максимальная подгруппа.
1.9. Примеры групп
Взаимно однозначные отображения множества на себя, сохра-
сохраняющие некоторое свойство, обычно образуют группу. Многие из
наиболее интересных групп получаются именно таким образом.
Примерами отображений такого рода являются симметрии Геоме-
Геометрической фигуры и конгруэнтные (т. е. сохраняющие расстояния)
отображения фигуры на себя. В приведенных ниже примерах групп
первые две — группы симметрии.
Пример 1. Группы диэдра. Симметрии правильного много-
многоугольника с я>-3 сторонами составляют группу порядка 2п. Они
определяются полностью, если указать, как отображаются друг
на друга вершины. Пронумеруем вершины числами 1, 2 п
по часовой стрелке. Вершина 1 может быть отображена на любую
вершину 1, 2, ..., лг, а остальные могут переместиться либо по
30
Гл. Г. Введение
часовой стрелке, либо против. Все симметрии порождаются вра-
вращением
2 3 ..
\2
3 4 ..
и отражением
12 3
1 п я—1
л—1 п\
п \)
... л—1 л\
... 3 2/"
Здесь ап = 1, Ь2 = 1, ba=^a"lb. Более того, эти отношения
полностью определяют группу, так как любой элемент, порожден-
порожденный а и bt имеет вид а^Ь^ ... а1'Ь*г, и благодаря равенству
bal = a~lb (что легко получается из последнего соотношения)
каждый элемент может быть приведен к виду а1 или alb при
/ = 0, 1 п—1. Это все 2п различных элементов группы.
Эти отношения также определяют группу для п = 2, порядок
которой равен 4. Она называется „четверной* группой.
Пример 2. Симметрии куба. Симметрии куба определяются
отображениями восьми вершин куба на себя. Перенумеруем вер- :
шины куба так, как показано на рисунке.
Симметриями являются вращения
12 3 4 5 6 7
8
/
/
/
а —
2 3 4 16 7 8
12 3 4 5 6
14 8 5 2 3
7 8\
7 в/
и отражение
Р и с. 1. Симметрии
куба.
с =
12 3 4 5 6
5 6 7 8 12
7 8\
3 4/*
Элементы а и b порождают группу 0^ отображающую каждую]
вершину в любую другую. Это видно из диаграммы
4 _*-> 5 -S-» 6
7 ~-> 8
1.
На этой диаграмме i-^-*j означает, что элемент х переводит Ц
в у. Отсюда видно, что Ьа2 переводит 4 в 7. Элементы, оста-
оставляющие 1 на месте, образуют подгруппу Нг группы Gv и мы|
можем разложить Gx по Нх\
гх2
где хг — элемент, переводящий 1 в I. В качестве лг-ов мы можем
взять л;2 = а, лг3==л2, х4 = а3, х5 = агЬ, х6 = а?Ьа, х7 = агЬа29>
хъ=а3Ьа3. Поскольку есть всего только восемь символов и вес*
1.9. Примеры групп 31
элементы класса Hxxt переводят 1 в то же самое /, здесь выпи-
выписаны 'все возможные смежные классы по Нх и индекс Нх в Gx
равен 8.
Вращение куба, оставляющее на месте вершину 1, должно
циклически переставлять три смежные с 1 вершины. Поэтому Нг
имеет порядок три и состоит из 1, Ь, Ь2, а, следовательно, Gx
имеет порядок 24. Отображение с не содержится в Ог, но так
как с2=1, са=ас и cb = a2ba2c, мы видим, что группа: G,
порожденная элементами а, Ъ и с, разлагается в сумму G = Gl-\-G1c
и порядок ее равен 48. G —полная группа симметрии куба.
Пример 3. Каков порядок группы G, порожденной элемен-
элементами а и Ь, подчиненными следующим отношениям:
а1 = 1, Ь3 = 1, Ъа == arb?
Каждый элемент g£G можё!* быть представлен как конечная
последовательность букв а и Ь. Пользуясь соотношением Ъа = атЪ,
мы можем1 представить его в виде
g 1 = 0, 1, ..., 6; у = 0, 1, 2.
Отсюда видно, что порядок группы G не больше 21. Он зависит
#г Значения г в соотношении ba = arft. Так как Ьа2 = arba =
z=&0r(arb)zzza2rb и, аналогично, bal — airbt то b2a==ba'b—ar*b2,
-а отсюда b2al = aifkb2. Используя это соотношение, 'получаем
Ььа^=гЬа^Ь2г=:а^Ьъ, Но ведь £3—1. Поэтому отсюда получается,
что ^ = а, а также а7=1. Рассмотрим г=1, 2, 3, 4, 5. 6.
При г=рЗ, 5, б получаем а=1, и G — циклическая группа
порядка 3 с образующим Ь, Но при г=1, 2, 4 ситуация иная.
Если г = 1, то Ьа = ab = с — элемент порядка 21. Обратно,
в циклической группе порядка 21, где с21=1, если положить
b = c7t а = сг, мы получаем а7=1, £3=1, ba = ab = c. При
г = 2 роль а и Ъ могут выполнять подстановки
12 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 1
/1 2 3 4 5 6 7\
\1 5 2 6 3 7 4/'
При г — 4 роль а и b могут выполнять соответственно первая
из этих двух подстановок и обратная ко второй. Этот пример
показывает, что небольшое видоизменение определяющих отноше-
отношений может очень изменить определяемую ими группу.
^ Пример 4. Определим группу подстановок семи букв Л, В,
• *Л £, F, G, которые переставляют между собой столбцы
32 Гл. 1. Введение
следующей диаграммы, причем порядок букв в столбце несущест-
несущественен:
Л, В, С, D, E, F, G;
В, С, D, £, F, G, Л;
D, Я, Z7, G, Л, В, С.
Сразу видно, что подстановка
/А В С D Е F О\
а = \В С D E F G а)
переставляет столбцы циклически. Тогда, если О — полная иско-
искомая группа подстановок и Н — подгруппа, оставляющая первый^
столбец' на месте, то смежный классе На1, /=1 6, состоит
из всех элементов, отображающих первый столбец на (/-{~1)-ый.;
Следовательно, т ']
В подгруппе Н могут быть элементы, переставляющие Л, В и D'%
циклически. Это свойство не определяет отображение остальных^
букв, но если мы, кроме того, предположим, что С отображается^
на себя*, то подстановка однозначно определится: \
/А В С D E F G\
) = \В D С A F G EJ'
Если К—подгруппа, оставляющая на месте первый столбец и
букву А, то
В подгруппе К укажем элемент, переставляющий В и D. Пусть
это элемент
с
/ А В С D E F G\
= \А D С В F E GJ
Отсюда, если Т—подгруппа, оставляющая на месте буквы Л, В
и D, имеем
с, с2=\, [К:Т] = 2.
Внутри подгруппы Т три буквы Л, Bt D фиксированы, а буква С
может отображаться на любую из четырех букв: С, Et F, G
1.9. Примеры групп
33
Каждая из этих возможностей осуществляется точно одной из под-
подстановок
А В С D E F G
А В С D E F G
А В С D E F G
А В Е D С G F
А В С D E F G
А В F D О С Е
А В С,D E F G
А В G D F. Е С
Таким образом, Т имеет порядок 4, К — порядок 8, Н—поря-
Н—порядок 24, вся группа G —порядок 168. Если семь букв А, ..., О
рассматривать как точки, а столбцы как прямые, то диаграмма
представляет конечную проективную плоскость из 7 точек,
а группа G — группу ее коллинеаций.
Пример 5. Группа ' кватернионов. Рассматриваемая группа
порядка 8 во многих отношениях исключительна. Ее необычные
свойства будут рассмотрены в § 5 гл. 12. Здесь мы хотим пред-
представить ее с помощью таблицы умножения, или таблицы Кэли,
как ее назвали в честь английского математика Кэли. На пересе-
пересечении строки хь и столбца х} мы помещаем произведение xk = xtx}.
хл
Хл
х-,
В этой таблице каждое xt встречается точно один раз в каждой
строке и каждом столбце. Поэтому в произведении ab = c любые
два элемента однозначно определяют третий. Тем самым рассма-
рассматриваемая таблица является таблицей умножения квазигруппы.
Проверка таблицы показывает также, что xlxl = xlxl = х1 для
любого /. Таким образом, хх = 1 — двусторонняя единица, и
3 М. Холл
*1.
*„
х2,
лг3,
х4.
х5,
х6,
х7.
х&,
х2,
х2,
х5.
х&.
х3.
х6,
*,.
х4,
х7,
лг3»
х3,
х5.
х6.
xv
хь.
х2.
х4.
х4.
xv
х2,
х5.
х6.
х3,
х6.
хх,
х5,
Х5'
х6,
х7,
Xs,
*1.
х2.
хъ,
х4.
х6,
х6.
*1.
х4,
xv
х2,
х5,
•^8»
х3,
Хт
х7,
xs.
Ху,
х2,
'х3,
х4,
х5,
х6.
xs
х8
Х3\
Хъ
ХХ
Х4
х7
хъ
Х5
34 Гл. 1. Введение
таблица определяет лупу. Оба эти свойства сохраняются, если мы
заменим последние две строки такими:
*7
Но, как утверждается, данная таблица — таблица умножения
группы. Для доказательства4 необходимо проверить ассоциативный
закон (ab)c = a(bc) для умножения. Полная проверка ассоциа-
ассоциативного закона в этом случае состояла бы из 83 = 512 частных
проверок. Несмотря на то, что проверка для случаев, когда один
из элементов а, Ь, с равен 1, тривиальна, тем не менее остается
еще 343 проверки. Здесь мы воспользуемся обращением теоремы
Кэли 1.4.2.
Теорема 1.9.1. (Обратная к теореме Кэли.) Лупа является
группой, если ее правые регулярные отображения x->xg
составляют группу.
Доказательство. При отображении R (g) R (h) имеем 1 ->g->gh.
Но при отображении R(gh) также имеем 1 -> gh, и это един-
единственное отображение, переводящее 1 в gh. Следовательно,
R (g) R (h) = R (gh), откуда (xg) h — x (gh) для любого х, и
ассоциативность установлена.
В нашем случае полагаем а = лг2, Ъ = хг и вычисляем
х3
х2
X,
хг
Хс
х6
х5 х
х7 х
6 Х7
;8 хг
xs
Здесь Л4 = 54=1, А2 = В2, ВА — АгВ. Легко заметить, что эле-
элементы А и В, подчиненные этим соотношениям, порождают группу
порядка 8, являющуюся именно правым регулярным представле-
представлением данной лупы. Следовательно, рассматриваемая лупа есть
группа. Вторые строки подстановок — не что иное, как столбцы
таблицы умножения. В образующих а и Ъ мы имеем ^=1,
х2 = а, ^хг = Ь, x4 = ab, хь = а2 = Ь2, л:6 = а3, x7 = b3=a2b,
х8 = агЬ, причем а4 = 1, ЬА = 1, Ь2 = а2, Ъа = аЧ.
Упражнения
1. Показать, что из ассоциативного закона (ab) с = a (be) следует
независимость произведения а{а2 ... ап от расстановки скобок без изме-
изменения порядка сомножителей.
2. Показать, что в любой группе (ab)~l = b~la~1 и вообще
(¥2 . • ■ ап-1ап)'1 = пп Ч"-1 • • • ^"Ч1-
Упражнения 35
3. Показать, что а и а~1— элементы равных порядков.
4. Показать, что элементы ab и Ьа имеют равные порядки. (У к*а з а-
ние: они сопряжены.)
5. Если ат = 1, Ьп = \, где т и п — положительные целые числа,
и ba^ab, показать, что (ab)k = 1, где k — наименьшее общее кратное т
и п. Найти пример, когда это неверно при Ьа Ф ab.
6. Показать, что если группа G содержит всего один элемент а
порядка 2, то ха = ах для любого х £ G.
7. Показать, что единственной конечной группой с двумя классами
сопряженных элементов является группа порядка 2.
8. Показать, что если р < q — простые числа, то группа порядка pq
не может содержать двух различных подгрупп порядка q.
9. Показать, что если И—истинная подгруппа конечной группы G,
то сопряженные с Н подгруппы не содержат все элементы группы G.
10. Показать, что лупы порядков 1, 2, 3, 4 являются группами, и
найти лупу порядка 5, которая не является группой.
11. Показать, что двойной класс НхК содержит точно те правые
смежные классы по К, которые содержат по крайней мере один элемент
из Их.
12. (Вильям Скотт). Показать, что система с бинарным произведением
и такой единицей 1, что \а = а\ = а для всех я, будет ассоциативной,
если мы допустим равенство двух произведений а{а2 ... ап% взятых в оди-
одинаковом порядке, но с различной расстановкой скобок.
13. Исходя из аксиом первого определения группы, вывести един-
единственность единицы 1 и обратного элемента а~~1.
14. Показать, что если Л и В — две конечные подгруппы группы G,
то комплекс АВ содержит точно [А : 1] [В : \]/[Af\B : 1J различных эле-
элементов.
Глава 2
ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДГРУППЫ И ГОМОМОРФИЗМЫ
2.1. Инвариантные подгруппы
Подгруппа Н группы О называется инвариантной подгруппой,
или нормальным делителем, если хНх = Н ляя всех x£G.
В терминах § 6 гл. 1 подгруппа Н является инвариантной, если
NQ{H) = O.
Лемма 2.1.1. Подгруппа Н в G инвариантна тогда и только
тогда, когда каждый левый смежный класс Нх есть также
а правый смежный класс хЛ.
Доказательство. Если х~1Нх = Н, то Нх — хН и, обратно,
если Нх = уН, то х £ уН. Отсюда уН = хН. Значит, хН = Нх
для всех x£G, а поэтому х~1Нх — Н.
Следствие 2.1.1. Подгруппа индекса 2 — инвариантная под-
подгруппа.
. Действительно, если G = Н-\-Нх, то G = H-\-xH/
Для конечных групп из хНх^Н вытекает х~1Нх = //,
так как подгруппы х~хНх и Н имеют равные порядки; для беско-
бесконечных же групп из включения не всегда следует равенство. Тем
fie менее, если х'1Нх ЯН и хНх с: #, то Н= х(хНх) х с:
схЯх gM* откуда Н = хНх и, аналогично, Н = хНх.
Таьич образом, включение х~1Нх^Н для всех х достаточно
для того, чтобы подгруппа Н была инвариантной.
Группа G, не содержащая истинных нормальных делителей,
называется простой. Слово „простая" следует понимать чисто
условно. Группами без собственных подгрупп являются, согласно
теореме 1.5.4, конечные циклические группы простых порядков.
Эти группы являются простыми и согласно определению и в бук-
буквальном смысле (т. е. несложными). Но существует много других
простых групп, например группа порядка 168, рассмотренная
в примере 4 § 1.9. Все конечные простые группы до сих пор
ещё не описаны. Было высказано предположение, что простые
конечные группы, за исключением групп простого порядка, имеют
четный порядок. Но, кажется, доказательство даже этого утвер-
утверждения необычайно трудно.
2.3. Фактор-группы 37
2.2. Ядро гомоморфизма
Пусть группа Н — гомоморфный образ группы G. Рассмотрим
множество Т элементов t£ G, отображаемых на единицу группы Н:
G->#, 7->1. B.2.1)
Как отмечалось в § 1.4, 1->1, откуда 1 £ Г. Если £-н*1, Г1-* и,
т0 1 = t • t~l —> и, но 1 -> 1, значит, а = 1, т. е. С1 -> 1, и t~l £ Г.
Далее, если tx—>1 и ^2"^^» то ^г""**» откУДа txt2^T. Следова-
Следовательно, Т—подгруппа группы G. Более того, если x£G, t£T,
т0 х->у, t->\, x~~l->y~l, откуда х~Чх->у~1\у= 1, т. е.
х'^лг^Г. Поэтому Т—нормальный делитель в G. Множество Т
называется ядром гомоморфизма G—>Н.
Теорема 2.2.1. (Первая теорема о гомоморфизмах.) При гомомор-
гомоморфизме G—>Н множество Т элементов группы G, отображае-
отображаемых на единицу группы Я, является нормальным делителем
в G. Два элемента из G имеют один и тот же образ в Н
тогда и только тогда, когда они лежат в одном смежном
классе по 7.
Доказательство. Мы уже показали, что Т—инвариантная
подгруппа в G. Пусть х—>и, у->и, x£G,y£Qt u£H. Тогда
ху~1-> 1, т. е. ху~1 £ 7» откуда х £ Ту, т. е. х и у лежат в одном
смежном классе по Т. Обратно, если х£ Ту, т. е. x — ty, и у->и,
то (так как t—> 1) х—>и, т. е. образы элементов х и у совпадают.
2.3. Фактор-группы
В предыдущем параграфе было показано, что ядро гомомор-
гомоморфизма группы G есть'нормальный делитель 7. Верно и обратное
утверждение: любой нормальный делитель Т есть ядро некоторого
гоморфизма, причем этот гомоморфизм определяется единственным
образом. Пусть
G=T+Tx2-\~ ... +Тхг B.3,1)
где Т—инвариантная -подгруппа в G. В качестве элементов си-
системы Н возьмем смежные классы Txt. Определим произведение
в Я.формулой ;\
(ТХ1)(Тх,)=Тхк. B.3.2)
если xtxj £ Txk в G.
^ показать, что произведение определено однозначно,
усть txxt и t2Xj — произвольные элементы соответственно из Тхь
и Txj. Тогда tlx.ttclxj = txx.t2x-ix . xlxJ = t3xixJ. так как Т—нор-
Т—нормальный делитель. Но если xtXj^Txk, то t3xtXj^Txk. Таким
образом, все произведения элементов из Txt на элементы из Txj
38 Гл. 2. Инвариантные подгруппы и гомоморфизмы
попадают в один и тот же смежный класс Txk. Значит, произве-
произведение B.3.2) зависит только от смежных классов, а не от выбора-
в них представителей, следовательно, произведение в Н вполне!
определено.
Так как Т—нормальный делитель, Т2=Т, Txi = xiT. Сле-
Следовательно, в Н роль единицы играет Т, так как Т- Txi=Txi%^
Txt • Т= Тх[Г = TTxi=Txi. Кроме того, умножение ассоциативно, 1
так как
(TxtTxj) Txk = Txixjxk = Txt (TxjTxk). ;
Если xrl£TXj, то Tx.Tx, содержит х.х^1—1, а поэтому1
TxtTXj=T, откуда в Н обратным к Txt является элемент Txjt
так как легко также проверить, что Txj • Txt = Т. Этим завер-1
шается проверка того, что Н есть группа. Эту группу называют \
фактор-группой О по Г и обозначают H=GjT. \
Теорема 2.3.1.. (Вторая теорема о гомоморфизмах.) Пусть\
G— группа, Т—ее нормальный делитель, H = GjT. Тогда \
существует гомоморфизм G на Н с ядром Т. Этот гомЪмор- ^
физм задается отображением g-> Txt, если g£ Txt в группе G. j
Доказательство. Рассмотрим отображение g->Txt группы О^
на группу Н (здесь g^Txt). Если g\^Txit g2£Txj, то, как |
было показано, g\g2(zTxk, где xtXj£Tx'k. Следовательно, ^i^"^!
-*Txk=TxiTxj. Таким образом, отображение G на Я сохраняет!
произведение и поэтому является гомоморфизмом. Так как 7—еди-J
ница группы G/T, то g—>1 (=Т в Н) тогда и только тогда, |
когда g£T в G, откуда Т—ядро этого гомоморфизма. Теорема |
доказана. |
Теорема 2.3.2. (Третья теорема о гомоморфизмах.) Если |
G -> К — гомоморфизм G на К и Т — ядро этого гомомор-1
физма, то группы К и H—G/T изоморфны. Если х->х* при^
гомоморфизме G—>K, то соответствие х*<^-Тх определяет]
изоморфизм между К и Н. \
Доказательство. Так как элементы из G, лежащие в одном |
смежном классе по Т, имеют общий образ в К, соответствие j
х*^Тх является взаимно однозначным. Если х->х*, у->у*>\
то ху->х*у*. Но ху£Тху, откуда **у* <^ Тху= ТхТу. Таким j
образом, соответствие х*<^Тх сохраняет, произведения и, еле- }
довательно, является изоморфизмом групп К и H—G/T.
Подытожим результаты этих трех основных теорем о гомо-
гомоморфизмах. Мы показали, что ядро любого гомоморфизма4 есть
инвариантная подгруппа, что любая инвариантная подгруппа есть
ядро некоторого гомоморфизма, образ которого единственен (с точ-
точностью до изоморфизма), и что этим образом является фактор-
факторгруппа данной группы по нормальному делителю. ^
2.4. Операторы 39
Теорема 2.3.3. Если А и В — подгруппы группы О и хотя бы
одна из них инвариантна, то А\] В = АВ.
Доказательство. Мы должны показать, что любое конечное
произведение ххх2 . . . xs, где xt£ А или В, может быть приведено
к виду ab. Если подгруппа В инвариантна, то ba = aa~~lba = аЪ'\
если же инвариантна подгруппа Л, то ba = bab~lb — а'Ь. Поэтому
произведение ххх2 . . . xs можно привести к виду, где ни один
элемент из В не предшествует ни одному элементу из А:
аха2 ... cijbJ+l ... bs = ab, где at, a£A и bi% Ь£В.
Теорема 2.3.4. Пусть Т—инвариантная подгруппа в G.
Тогда существует взаимно однозначное соответствие между
подгруппами К* группы H = G/T и подгруппами К группы G,
содержащими Т, причем К, состоит из всех тех элементов,
которые отображаются в К*. Если подгруппа К* инвариантна
в Я, то подгруппа К инвариантна в G, и обратно. Кроме
того, [G:K] = [H:K*].
Доказательство. Очевидно, что образ подгруппы группы G
в И есть подгруппа. Если теперь /С* — подгруппа в Н, то полный
прообраз К подгруппы К* в G содержит Т как прообраз единицы.
При этом К является подгруппой.
Итак, полный прообраз подгруппы К* группы И ерть вполне
определенная подгруппа К такая, что G 3 К 3 Т, а К* — образ
подгруппы К при гомоморфизме G->H. Значит, соответствие
К^±К* взаимно однозначно; при этом G 3 /( 3 71 и ЯзД"*з1.
Если подгруппа К* инвариантна в Я, то х~хКх -> х*~гК*х* = /С*,
откуда x~lKxczK для любого х, а поэтому К — нормальный
делитель в G. Обратно, если К — нормальный делитель, то инва-
инвариантность К* очевидна. Наконец, нетрудно заметить, что полный
прообраз смежного класса K*g* — смежный класс Kg, откуда
[О:К] = [Н:КЧ.
Если произвольная подгруппа А имеет образ Л*, то, как легко
увидеть, полным прообразом для А* служит подгруппа А [} Т= AT.
2.4. Операторы
> Отображение a:g—>ga группы G в себя называется эндомор-
эндоморфизмом G, или оператором на О, если (xyf = xaya. Таким
образом, эндоморфизм-^-это гомоморфизм группы G;b себя.
Автоморфизм — это взаимно однозначный эндоморфизм группы G
на себя. Если из ga=ha вытекает равенство g = h, то эндоморфизм а
есть изоморфизм, являющийся в случае конечных групп авто-
автоморфизмом. Но бесконечная группа может быть изоморфна соб-
собственной подгруппе. Так, соответствие х —> 2х — эндоморфизм
и даже изоморфизм аддитивной группы целых чисел, на подгруппу
четных чисел, но оно не является автоморфизмом этой группы.
40 Гл. 2. Инвариантные подгруппы и гомоморфизмы
Говорят, что подгруппа Н группы О допустима относительно
эндоморфизмов а/э если Hai с Н для всех oll. Из определений
немедленно следует, что объединение и пересечение допустимых
подгрупп — снова допустимые подгруппы. Ясно, что оператора
можно рассматривать как оператор на допустимой подгруппе.
Может случиться, что два оператора, не совпадающие на всей
группе, на некоторой допустимой подгруппе действуют одинаково.
Кроме того, если соответствие 0->К есть гомоморфизм О на К
с ядром 7, допустимым относительно эндоморфизма а, мы можем
определить соответствующий оператор в К. Для этого полагаем
(Тх)а=Тх«. > B.4.1)
Это естественное определение, так как действие эндоморфизма
на смежном классе Тх дает только элементы из класса Тха. Легко
проверить, что а — оператор в на К и что если х->х* при гомо-
гомоморфизме 0->/С, то ха—>х*а.
Две группы А и В операторное изоморфны, если существуют,
такие взаимно однозначные соответствия Л^Яи fy<^P/ между
двумя группами и их операторами, что из а+^b следует соответ-
соответствие aat<^b^t. Таким образом, операторный изоморфизм сильнее,
чем изоморфизм.
Теорема 2.4.1. Пусть О — группа, 2— множество опера-
операторов на О, Л— допустимая подгруппа группы G и Т—допу-
Т—допустимая инвариантная подгруппа. Тогда А(]Т—допустимая
инвариантная подгруппа в Л, причем фактор-группы А[}Т/Т
и А/А(]Т операторно изоморфны.
Доказательство. А[\Т как пересечение 2-подгрупп (т. е.
подгрупп, допустимых относительно 2) есть 2-подгруппа в А~
Если и£А()Т, #£Л, то а~1иа£гА. Но так как Т—инвариант-
Т—инвариантная подгруппа в О и и£Т, то а~1иа£Т. Итак, а~1иа(^А[\Ту
ть е. подгруппа А(]Т инвариантна в А.
Обозначим А(]Т через D. Пусть
+ ... + Dar B.4.2)
Утверждаем, что
2+ ... +7ЪГ, ' B.4.3)
где представители а{ те же, что и в B.4.2). Действительно, если
Tat = TaJt то aiaj1 (= Т, но ведь аьа]1 £ Л, откуда aiaj1 ^ Л П T=D*
что противоречит B.4.2). Следовательно, все смежные классы Tat
в B.4.3) различны. Кроме- того, так как Т—нормальный дели-
2.4. Операторы 41
тель, A U 7"= ТА, а поэтому любой смежный класс по Т в А [} Т
имеет вид Ta = Tdalt где a = dal из B.4.2). Но так как d£T,
Tdai= Tat, значит, смежные классы из B.4.3) исчерпывают А [} Т.
Соответствие
DTai B.4.4)
дает взаимно однозначное соответствие между смежными классами
из B.4.2) и B.4.3), т. е. между элементами групп A/D и А [} Т/Т.
Если ataj = dak, где d £ D, то из D ЯТ следует, что Dal Ddy=
z=^Dak и TalTaj=Tak. Поэтому соответствие B.4.4) есть изо-
изоморфизм между фактор-группами A/D и в А [} Т/Т. Оператор а£ 2
определяет оператор в A/D и в А\}Т/Т так: (Dajf — Da* и
Gаг)а= Та]. Отсюда сразу следует, что соответствие B.4.4) —опе-
—операторный изоморфизм. Теорема доказана.
Нетрудно показать, что подгруппа К группы О инвариантна
тогда и только тогда, когда она допустима относительно всех
внутренних автоморфизмов группы G.
Используя понятие оператора, определим последовательно два
понятия, более сильных, чем понятие нормальногб делителя.
Подгруппа, допустимая относительно всех автоморфизмов группы,
называется характеристической подгруппой* а подгруппа, допу-
допустимая относительно всех эндоморфизмов группы, называется
вполне характеристической подгруппой., Например, центр Z
группы G является характеристической подгруппой, так как если
zg = gz для всех g£O, то при любом автоморфизме а имеем
zaga=gaza. Когда g пробегает группу О, g-* также пробе-
пробегает всю группу О, значит, z* £ Z. Однако центр не всегда
вполне характеристичеркая подгруппа. Например, рассмотрим
группу G порядка 16, определенную отношениями а4=1, Ь2 —
= £2=1, ba = a~lb, ca = ac, cb — bc. Здесь центр Z имеет по-
порядок 4 и порождается элементами а2 и с. Отображение a->bt
b~>b, c-+b определяет эндоморфизм группы О, отображающий
элемент с центра на элемент Ь, не принадлежащий центру. Однако
эндоморфизм сохраляет вид любого элемента. Поэтому под-
подгруппы, порожденные всеми элементами вида л:3, где x£G, или
всеми элементами вида х~1у~1ху, где х% y£G, являются ^вполне
характеристическими.
Особенно полезное свойство этих двух понятий состоит в том,
что в то время, как нормальный делитель Н нормального дели-
делителя /С группы G не является, вообще говоря, нормальным дели-
делителем в О, характеристическая подгруппа характеристической
подгруппы характеристична и вполне характеристическая подгруппа
вполне характеристической группы вполне характеристична. Кроме
т°го, характеристическая подгруппа нормального делителя является
нормальным делителем.
42 Гл. 2. Инвариантные подгруппы и гомоморфизмы
2.5. Прямые и декартовы произведения
Пусть А и В— две группы. Образуем из элементов этих
групп множество упорядоченных пар (а, Ь), где а£Л, Ь£В. Эти
пары будут элементами ' новой группы, прямого произведе-
произведения А X В, если мы определим умножение равенствами
(av Ьх)(а2, Ь2) = (ага2, bxb2). B.5.1)
Проверка того, что произведение B.5.1) удовлетворяет группо-
групповым аксиомам с элементом A,1) в качестве единицы, проводится-
исключительно на основании того факта, что групповые аксиомы
выполняются для А и В. Кроме того, соответствие (a, b)^±(b, a}
является изоморфизмом групп А X В и В У А, так что мы мо-
можем говорить о прямом произведении А и В, не указывая их
порядка. Соответствие а^±(а, 1) дает изоморфизм между А и
множеством элементов из ЛХД второй компонентой которых
является единица. Аналогично, соответствие &^>A, Ь) дает изо-
изоморфизм между В и подгруппой элементов вида (l.ft). Отожде-
Отождествим А и В с ^тими подгруппами. Тогда мы можем говорить,
что группа G — Л X В является прямым произведением своих
подгрупп А и В. Из равенства (а, 1)A, b)=(a, ft) = (l, Ь){аЛ)
следует, что в А X В каждый элемент из А перестановочен
(или коммутирует) с любым элементом из 5, т. е. ab=-ba
для а£А, Ь£В.
В прямом произведении (а, b)~l = (a~l9 b~l). Отсюда
(av b^Tl{a29 \)(av ft1) = (af1a2a1, l),
т. е. А — нормальный делитель в А X В. Аналогично подгруппа В
инвариантна в Ау^В. Единственный Элемент A, 1) имеет одно-
одновременно и вид (а, 1), и вид A, Ь), откуда А(]В=\. Кроме
того, А \}В содержит все произведения (а, 1)A, b) = (a, b), откуда
А[}В = Ау В. Эти соотношения между А и В полностью харак-
характеризуют прямое произведение А У В.
Теорема 2.5.1. Группа G изоморфна прямому произведению
двух подгрупп А и В, если А и В нормальные делители*
A(]B=l9 A[}B = G.
Доказательство. Мы уже отмечали, что р прямом произве-
произведении А X В подгруппы А и В обладают этими свойствами.
Обратно, предположим,, что А и В — нормальные делители в G,
А П В = 1, A U В=О. Рассмотрим элемент аГхЬ"х ab—a~l (b~lab) =
= (a~lb~la)b, где а£Л, Ь£В. Из инвариантности подгрупп А
и В в G следует, что a~lb~lab£Af\B. Но А(]В=\, откуда
ab"^ab=\t т. е. ab = ba. По теореме 2.3.3, G = A[}B = AB.
поэтому любой элемент g представим в форме g — ab. Это пред-
2.5. Прямые и декартовы произведения 43
ставление единственно, так как из albl = a2b2 следует a%lax =
== b2b\l £ Л П В = 1, откуда ах = а2, *i = *2- Если £" = а*» то
между группами G и ЛХ^ установим соответствие g^t(a, b).
Если gi = axbv g2 = a2b2, то glg2 = albla^b2 = (ala2)(blb^. Таким
образом, это соответствие между G и А X 5 не только взаимно
однозначно, но также сохраняет произведение. Итак, изоморфизм
между G и А X S установлен.
Обобщим понятие прямого произведения на случай любого
числа групп, конечного или бесконечного. Предположим, что дано
семейство групп AL, где / пробегает некоторое множество индек-
индексов / (иногда мы будем считать множество / вполне упорядочен-
упорядоченным). Составим формальные произведения J[ at. Формальные
произведения представляют собой системы элементов av одновре-
одновременно выбранных по одному из каждой группы А-с Все формаль-
формальные произведения образуют группу, называемую декартовым про-
произведением групп А{у если определить умножение следующим
образом:
П в, • Ц *, = Ц ct. ct = afit B.5.2)
для любого
Подгруппа декартова произведения, в которой at = 1 для всех
индексов, кроме конечного числа их, называется прямым произ-
произведением групп Аг. Ясно, что прямое и декартово произведения
совпадают, когда число групп конечно. Ъ обоих случаях эле-
элементы JJ at, где ai=l, если 1Ф], образуют нормальный дели-
делитель, изоморфный Aj. Отождествляя Aj с этой подгруппой для
каждого у, получаем, что ^yf^(U A\=l- Здесь [J At есть
прямое произведение.
Теорема 2.5.2. Группа G изоморфна прямому произведению
подгрупп At, /£/, если
1) Все At — нормальные делители,
(и i)=l для всех
3) G= U
Доказательство аналогично доказательству теоремы 2.5.1.
Из 1) и 2) следует, что любое о^ перестановочно с любым ко-
конечным произведением элементов av 1Ф). Из 1), 2) и 3) также
следует, что элемент g^G представим в виде конечного произ-
яедения элементов из At, причем это представление единственно
с точностью до порядка сомножителей, при условии, что все
44 Гл. 2. Инвариантные подгруппы и гомоморфизмы
сомножители взяты из разных At. Этим мы устанавливаем изоморфизм
между О и прямым произведением подгрупп At. Любой элемент
из G может быть представлен в форме g = 1 или g = bx ,.. bm%
ЬкФ 1, где bk(k=l, ..., m) — элементы из различных Aib /£/.
Тогда g соответствует элементу JJ alt где at = bk; если элемент
bk£At встречается в произведении для g, и al=\ в противном
случае. Это соответствие и есть изоморфизм между О и прямым
произведением подгрупп Аг.
Упражнения
1. Показать, что любая группа диэдра гомоморфна группе порядка 2.
2. Показать, что если р и q (р < q) — простые числа, то в группе
порядка pq подгруппа порядка q инвариантна (см. упр. 8 к гл. 1).
3. Показать, что все подгруппы группы кватернионов — нормальные
делители.
4. Пусть х, у, z — три прямые, соединяющие центры противополож-
противоположных граней куба. Показать, что группа G симметрии куба индуцирует
группу подстановок Н порядка б на множестве (х, у, г). Показать, что
И — гомоморфный образ группы G.
5. Пусть G — совокупность отображений x^tax-}- b, где а, Ь — дей-
действительные числа и а Ф 0, множества действительных чисел на себя.
Показать, что G — группа, в которой множество сдвигов T:x^tx + t
составляет нормальный делитель. Указать фактор-группу G/T.
6. Для каждого элемента Ь группы G определяем оператор сопряже-
сопряжения элементом Ь : g-> gb = b~lgb. Какие подгруппы допустимы относи-
относительно всех таких операторов? Если Т—нормальный делитель в G, по-
показать, что оператор, ийдуцируемый в H=G/T, есть также оператор
сопряжения.
Глава 3
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП
3.1. Определение абелевой группы. Циклические группы
Группа G, удовлетворяющая коммутативному закону
G4. Ьа = аЬ для всех я, Ь £ G
называется абелевой в честь математика Абеля.
Мы также говорим, что элементы а и b перестановочны, если
ab = ba.
В § 1.5 мы определили циклическую группу как группу, по-
порожденную единственным элементом (скажем, Ь); все ее элементы
являются степенями Ь.
Так как blb* —J>Jbl — bl+* для любых целых чисел *, у, мы
видим, что каждая циклическая группа — абелева. Мы также за-
заметили в § 1.5, что с точностью до изоморфизма существует
одна-единственная циклическая группа каждого конечного порядка п.
Верно также, что любая подгруппа циклической группы циклична.
Теорема 3.1.1. Всякая подгруппа бесконечной циклической
группы, отличная от единичной, является бесконечной цикли-
циклической группой конечного индекса, и для любого конечного
индекса существует одна-единственная подгруппа. Всякая
подгруппа конечной циклической группы порядка п является
циклической группой порядка, делящего п, и для любого по-
порядка, делящего п, существует точно одна подгруппа.
Доказательство. Пусть О — циклическая группа, порожден-
порожденная элементом Ь, и Н—подгруппа группы G. Если Н не сов-
совпадает с единичной подгруппой и если Ь1£Н, то b~l £Н и один
из этих показателей положителен. Предположим, что т — наи-
наименьший положительный показатель среди показателей всех эле-
элементов подгруппы Н, и пусть Ъ1 любой элемент из Н. Тогда для
подходящего г имеем t= mr-\-s, где 0^s<m. Отсюда Ъ*'==
= (bm)rbs. Так как 'Ь* и Ьт принадлежат Н, то bs также принад-
принадлежит Я. Но если бы s, содержащееся в промежутке 0 ^ s < m,
было отлично от 0, то это противоречило бы нашему определе-
определению числа т как наименьшего положительного показателя сте-
степени элемента b в подгруппе Н. Итак, 5 = 0, Ь* — (Ьт)г, и все
элементы из Н являются степенями элемента Ьт, г это пока-
показывает, что Н циклична. Так как для любого целого х мы имеем
46 Гл. 3. Элементарная теория абелевых групп
x = km-{-i, где / — одно из чисел 0, 1, . ,.,/я— 1, мы без труда
убеждаемся, что
G = #-f-#£-f- ... + Hbm~K C.1.1)
Равенство C.1.1) содержит все смежные классы по Я, и все они
различны, так как из равенства Ь1 = hbJ для / Ф у, 0 ^ /, j < m— 1,
следовало бы, что или bl~J£H, или Ь'~1£Н, что противоречит
выбору числа пг. Значит, [О : Н] = т. Здесь т — наименьшая
положительная степень элемента Ь, содержащаяся в //, а также
индекс Я в О. Таким образом, если О бесконечна, то для
любого положительного т элементы (bm)r образуют под-
подгруппу, и, следовательно, существует в точности одна подгруппа
индекса т. Если G конечна и порядка п, то Ьп = I и тем самым
п = mr, т. е. пг делит п. Для любого /я, делящего я, элементы
1, bm, b2m, ..., ^(/'-1)m, где n—mr, образуют подгруппу по-
порядка г и индекса т. Поскольку п=^=тг может быть любым
разложением п на два сомножителя, очевидно, существует одна
и только одна подгруппа любого порядка г, делящего п.
3.2. Некоторые структурные теоремы для абелевых групп
Бесконечная абелева группа может иметь очень сложную струк-
структуру. Так, уже в сравнительно простой мультипликативной группе
всех комплексных чисел, кроме нуля, существуют элементы
бесконечного и любого конечного порядков.
Если в некоторой абелевой группе ап — 1, Ьт= 1, то (а~~1)п — 1
и (ab)mn — 1; следовательно, элементы конечного порядка в любой
абелевой группе А образуют подгруппу F. Каждый эндоморфизм а
группы А отображает элемент конечного порядка на элемент
конечного порядка. Таким образом, F является вполне характе-
характеристической подгруппой группы Л. В § 1.8 мы ввели термин
периодическая группа (в некоторых приложениях употребляется
термин группа кручения) для группы, все элементы которой
имеют конечный порядок. Наоборот, группа, в которой все эле-
элементы, кроме единицы, имеют бесконечный порядок, называется
апериодической (или группой без кручения).
Теорема 3.2.1: Пусть А — абелева группа и F — подгруппа
всех ее элементов конечного порядка. Тогда A/F апериодична.
Доказательство. Предположим противное, т. е. что некото-
некоторый элемент х Ф 1 в A/F имеет конечный порядок т. Пусть при
гомоморфизме А->A/F имеет место соответствие и->х. Тогда
um->xm=U откуда um£F, и ит имеет конечный порядок, ска-
скажем, п. Тогда (ит)л=1, и сам элемент и имеет конечный поря-
порядок. Но тогда u£F и и-»1, хотя мы предположили, что х ф 1.
3.2. Некоторые структурные теоремы для абелевых групп 47
Эта теорема сводит проблему построения всех абелевых групп
к трем более конкретным проблемам:
1) нахождению всех периодиче^их абелевых групп,
2) нахождению всех апериодических абелевых групп,
3) построению абелевой группы А с заданной периодической
группой F в качестве подгруппы так, чтобы фактор-группа A/F
была изоморфна данной апериодической группе Н.
Ни одна из этих проблем полностью не решена, но мы, по-
видимому, знаем больше всего о первой и меньше всего о последней.
Мы будем говорить, что множество элементов at абелевой
группы А независимо, если конечное произведение XIaJ/== *
только тогда, когда aeJ=\ для любого /. Если эти ^независимы
и, кроме того, порождают Л, мы говорим, что ах составляют
базис группы А. Таким образом, at составляют базис для А
тогда и только тогда, когда А является прямым произведением
циклических групп, порожденных элементами at.
Предположим, что абелева группа А порождается элементами
av . „., аг. Тогда каждый элемент из А имеет вид а"* ... а1/, где
ич — целые числа.
Если
а\\ ... ахтг=\ C.2.1)
является отношением для этих образующих, то мы говорим, что
а~*ь ...а~*т=\ C.2.2)
есть обратное к нему отношение. Из некоторого множества 5
отношений на группе А м,ы можем получить другие, перемножая
отношения из 5 и обратные к ним. Два множества отношений
•Sj и 52 называются эквивалентными, если отношения каждого
множества могут быть получены таким образом из отношений
другого множества. Легко видеть, что это действительно экви-
эквивалентность. Мы говорим, что множество 5 является множеством
определяющих отношений для Л, если каждое отношение на А
может быть получено из отношений, принадлежащих 5.
Можно показать, что произвольное множество 5 отношений
образующих av . *., аТ является множеством определяющих отно-
отношений для той абелевой группы Л, порожденной элемен-
элементами av . .., аг, в которой отношения, полученные из отноше-
отношений 5к имеют место, но никакие другие не выполняются. Может
оказаться, конечно, что группа А сводится к единичному элементу.
Теорема 3.2.2. Абелева группа, порожденная конечным
числом г элементов, имеет базис, состоящий, самое большее,
из г элементов.
48 Гл. 3. Элементарная теория абелевых групп
Доказательство. Теорема очевидна для г=1, так как тогда
группа циклична. Предположим, что А порождена элементами
ах йГ. Будем вести доказательство индукцией по г, а для
фиксированного г— по наименьшему возможному положительному
числу т, такому, что хь = т в каком-нибудь отношении
a*i ... ах/=\. C.2.3)
Если имеется единственное отношение, в котором все xi = О,
то А— прямое произведение бесконечных циклических групп {at)%
и наша теорема верна. В противном случае некоторое отношение
или обратное к нему будет содержать несколько положительных
показателей. Перенумеруем элементы а^ если необходимо, так,
чтобы наименьший положительный показатель в некотором отно-
отношении был х1 = т. Если т=1, то мы имеем
а1 = а-х*..:а-хтъ C.2.4)
и А порождается г — 1 элементами д2, • • •» аг и» п0 предполо-
предположению индукции, теорема верна.
Предположим теперь, что хх = т > 1 в отношении
а™ах* ... а*г=\. C.2.5)
Пусть yv ..., уг—показатели степени в некотором другом
отношении. ТогД1 для любого целого числа k из этого отноше-
отношения и C.2.5) tMbi можем получить отношение с показателями
ух — km, у2 — ^Х2* • •"•• Уг—^хг Мы можем выбрать k так, чтобы
О -^ У1 ~ km < т- ^° так как т было наименьшим положительным
показателем в любом отношении, то должно быть yj — km = Q,
и отношение с показателями ух уг выводимо из C.2.5) и
отношения с показателями 0, у2 — ^Х2* •••» У г—^хг Таким обра-
образом, множество всех отношений на А эквивалентно множеству,
состоящему из C.2.5) и отношений/для а2, .... аг.
Пусть в C.2.5) х2 = k2m + 52, ..., хТ = kTm -f- sr где
kt (i = 2 г) выбраны так, что 0^^<т.
Если мы выберем новый элемент
a* = aiak2^.. afcfrt C.2.6)
то a*v a2, ..., аг также порождают Л, и в этих образующих
C.2.5) выразится так:
й™а'2*...а'гг=\. C.2.7)
Если здесь какое-нибудь s отлично от нуля, то оно является
положительным числом, меньшим, чем т, и мы можем применить
3.2. Некоторые структурные теоремы для абелевых групп 49
нашу индукцию. Если же s2= ...—$/• = О, то C.2.7) превра-
превращается, в
<* = 1, C.2.8)
а так как C.2.5) и отношения между а2, ..., аГ были множеством
определяющих отношений для А между образующими av а2, .. ., ar,
отсюда следует, что C.2.8) и отношения между а2 ат
являются множеством определяющих отношений между образую-
образующими а*, а2, .... af. Следовательно, А является прямым произве-
произведением циклической группы порядка ту порожденной элементом а*,
и группы, порожденной г—1 элементами а2, - • •» аг> которая
(по индукции) является прямым произведением, самое большее,
г — 1 циклических подгрупп. Таким образом, теорема доказана
во всех случаях.
Чтобы изучить периодические абелевы группы, нам понадобится
лемма, которая выполняется в любой группе.
Лемма 3.2.1, Пусть х— элемент порядка тп в некоторой
группе, причем т и п — взаимно простые числа. Тогда х имеет
единственное представление вида х = yz = zy, где у—элемент
порядка т и z — порядка пу у и z—степени элемента х.
Доказательство. Обозначим через (а, Ь) наибольший Общий
делитель двух целых чисел а и Ъ. Так как тип взаимно просты,
(т, п)=\. С помощью алгоритма Евклида найдем такие целые
числа и и vt что um-\-vn = l, и, значит, х = xvnxum =
= xumxvn. Положим y = xvn, z = xum. Тогда х = yz = zy% при-
причем ym = xvnm=\, zn = xumn=\. Таким образом, порядок
у — некоторый делитель тх числа т% а порядок z — некоторый
делитель пх числа /г. Но из х = yz = zy следует, что порядок
х — делитель числа тхпх. Так как этот порядок равен тп, то
отсюда следует, что тг = т является порядком у и пг = п — по-
порядком z. Предположим, что х допускает другое- представление
x=zylz1 = zlyv где ух порядка т и гх — порядка л. Прежде
всего, ух и zx перестановочны с х> так как хух = yxzxyx = ухх
и xzx = zxyxzx = zxx. Но тогда ух и zx перестановочны q у и
z — элементами, являющимися степенями х. yz = x = yxzx при-
приводит к w = y~ly === zxz~l. Но у и ух — перестановочные эле-
элементы порядка т> a z и zx — перестановочные элементы порядка п.
Следовательно, элемент w удовлетворяет равенствам wm=-\>
<йу/2==1, а так как (т, я)=1, это дает w=\. Поэтому ух = у,
zi = z, что и доказывает единственность представления. Повтор-
Повторным применением этой леммы получаем следующий результат.
Лемма 3.2.2^ Пусть х — элемент порядка п = пхп2 .. . пг
г$е (я£, nj) = 1 для i Ф j. Тогда х допускает одно-единственное
4 М. Холл
50 Гл. 3. Элементарная теория абелевых групп
представление х = ххх2 ... хг где XjXt = xtXjt и xt имеет
порядок nv Каждое хг является степенью х.
В частности, если п = ре^ ... /А, где pv .... рг — различные
простые числа, мы можем применить эту лемму, считая п. = peJ.
В периодической абелевой группе А рассмотрим множество
Р элементов, порядки которых являются степенями фиксирован-
фиксированного простого числа р\ сюда мы относим также единицу, так как
она имеет порядок /?°=1. Если хрп=\, ур =1, то (ху)р = 1,
где с — max (а, Ь) и (х)р — 1. Следовательно, Р является под-
подгруппой, которую мы назовем силовской р-подгруппой S(p).
Мы будем называть Р также абелевой /7-группой.
Теорема 3.2.3. Периодическая абелева группа А является
прямым произведением своих силовских подгрупп S(p).
Доказательство. Ясно, что JS(p), прямое произведение
р
силовских подгрупп группы Л, является подгруппой группы Л.
Но, согласно лемме 3.2.2, если х £ А имеет порядок п = ре^ ... ре/\
то х = хгх2 ... хг где xt £S (д); поэтому любой элемент х
из А принадлежит прямому произведению силовских подгрупп.
Следовательно, рассматриваемое прямое произведение должно
совпадать с А.
3.3. Конечные абелевы группы. Инварианты
Конечная абелева группа является, очевидно, периодической и
конечно порожденной. Применяя результаты предыдущего пара-
параграфа, мы можем сформулировать следующее утверждение.
Теорема 3.3.1. Конечная абелева группа порядка п=р*1 ... /Л
разложима в прямое произведение силовских подгрупп
S(Pi)* •••» S(pr). Здесь S(Pi) — группа порядка /?**, являю-
являющаяся прямым произведением циклических групп порядков
р\1и ..., p\h. где eh -+-... -f- eig = et.
Доказательство. В абелевой группе порядка /г, как мы
знаем, порядки элементов делят п. Следовательно, силовская под-
подгруппа, принадлежащая простому числу, не делящему п, может
состоять только из единицы. Таким образом, если pv ..., рг
являются различными простыми делителями п, группа является
прямым произведением SipJ X • • • X S(pr). Но это еще не очень
много говорит нам о порядках групп S(Pi), некоторые из них
могли бы быть просто единичными группами. Так как группа S(p{)
или совпадает с единичной, или разлагается в прямое произведение
циклических групп порядков реЛ\ petls> то порядок 5 [р^ равен
3.3. Конечные абелевы группы. Инварианты 51
произведению этих порядков (скажем, /?'/, где ti = ei 4- • • •
а порядок всей группы равен произведению порядков групп
Но в силу единственности разложения целого числа п в произ-
произведение простых множителей отсюда вытекает, что pli= ptl во всех
случаях. Как вывод из этой теоремы и теоремы 3.1.1, мы по-
получаем
Следствие 3.3.1. Абелева группа порядка п содержит элемент
порядка р* если р — простое число, делящее п.
Конечная абелева /^-группа А (р) обычно может быть записана
в виде прямого произведения циклических групп различными
способами. Например, если а8 = 1, £4 = 1, группа А B) = {а} X {^}
имеет порядок 32. Если мы положим с = аЪ> d = a*b, то
cs=\, я?4=1, я = с5сН1, b = cAd. Мы легко проверяем, что
АB)={с} X{d}. В этом случае ЛB) допускает разложение
в прямое произведение циклических групп двумя различными
способами, но число сомножителей и их порядки те же самые.
Такое утверждение вообще верно для конечных абелевых р-групп,
но так как циклическая группа порядка 6 представима в виде
прямого произведения циклических групп порядков 2 и 3, то оно
неверно для конечных абелевых групп, не являющихся /7-группами.
Если А — абелева /7-группа, представленная_ в виде прямого
произведения циклических групп порядков /Л, ..., /А, то эти
числа называются инвариантами группы. В частном, но важном
случае, когда все инварианты — р, . . ., /?, мы говорим, что
группа А — элементарная абелева группа. Ясно, что инварианты
абелевой группы А определяют ее с точностью до изоморфизма.
Но они являются инвариантами в более сильном смысле, выражен-
выраженном более точно в следующей теореме.
Теорема 3.3.2. Если конечная абелева р-группа А разлагается
в прямое произведение циклических групп двумя способами
А = Ах X . . . X Аг = Вх X ... X Bs, то число сомножителей
в обоих случаях то же самое, r = s, и порядки подгрупп
Аг АТ совпадают с порядками Bv ..., Bs при некото-
некоторой подходящей нумерации.
Доказательство. Применим индукцию по порядку группы А.
Теорема очевидна, когда А имеет порядок р.
Если А — любая абелева /7-группа, обозначим через Ар под-
подгруппу элементов х из Л, для которых хр=\, и через Ар —
подгруппу элементов вида ур> у£А. Пусть av ...,ar—базис А,
где at — элемент порядка pei(i=\ г). Перенумеруем эле-
элементы aL так, чтобы ех^е2^ . . . >- еТ. Тогда можно легко про-
верить, что ар , .. ., аР —базис Ар и что порядок Ар ра-
вен рг. Если А — элементарная абелева, то Ар—\. В противном
4
.*
52 Гл. 3. Элементарная теория абелевых групп
случае, пусть ет — последний показатель, превосходящий 1, т. е»
е\ ^ е2 ^ • • • ^ет> ет+х ==...= ег == 1. Тогда, как легко можно-
показать, ар, ..., а^ — базис Ар.
Пусть bv ..., bs— другой базис Л, где bt порядка //*
(/=1, ..., s) и fx^f^ ... >-/,$. Тогда, если в качестве ба-
базиса выбраны av ..., аг, порядок Ар равен /?г, а если йх, ...,^,
он равен /?*; отсюда следует, что r = s. Если группа Л — элемен-
элементарная абелева группа, то на этом доказательство заканчивается.
Если нет, то пусть
л>/2> •••>/„>/„+,=.•• =л=1.
Тогда Лр имеет инварианты ре*~1, ..., /А* и инварианты
р*х~1, .... //я. По предположению индукции, т = п и ^ —
— 1=/! — 1, ..., £т—1=/т—1- Отсюда и из факта, что
r — s, получается, что ex = fv ..., er = fr, что и требовалось
доказать.
Следствие 3.3.2. Две конечные абелевы р-группы, имеющие
разные инварианты, не изоморфны.
Теорема' 3.3.3. Абелева группа А с инвариантами /?*>, ...
.. ., рег (ех >. ... ^>ег) обладает подгруппой К с инвариантами'
pk\ ..., /?Ч (kx>-...>- kt) тогда и только тогда, когда t^r
и kx^ex kt*Cef
Доказательство. Докажем сначала, что показатели инвариан-
инвариантов подгруппы К группы А удовлетворяют неравенствам тео-
теоремы, применяя индукцию по порядку группы А. Если порядок А
равен /7, теорема очевидна.
Так как Кр — подгруппа в Ару то t^.г\ это доказывает тео-
теорему в случае, когда А — элементарная абелева группа. В про-
противном случае полагаем ех ^ ... ^> ет >^т+1 = ... = еТ = 1 и
*i ^ • • • > *в > ku+\ =...== kt — 1, Тогда Кр — подгруппа в Ар
и инварианты Кр суть pkl, . .., /А*» а инварианты Ар —'
рех~х> ..., р6. Согласно предположению индукции, и^т и
ft/—1O/ —1, /=1 и. Отсюда &£О/ (/==!,..., и),
а так как /гц+1 ==...= kt = 1, то также ki^ei (i = u~{-\f ...
.. ., 0. откуда ftj Oj (J = i ,...,*)•
Если неравенства теоремы выполняются, to существует под-
подгруппа группы А с заданными инвариантами, в качестве базиса
которой мы можем выбрать подходящие степени первых t базисных
элементов группы Л. Но, вообще говоря, неверно, что при задан-
заданной группе Л и ее подгруппе К можно всегда выбрать базис для А
и базис для К так, чтобы базис К состоял из степеней элементов
базиса А (см. упр. 5).
Упражнения 5$
Упражнения
1. Абелева группа А порождается элементами ау Ь, с с определяю-
определяющими отношениями a3b9c9 = 1, я9£-3с9 = 1. Найти базис для А и порядки
базисных элементов.
2. Показать, что конечная абелева р-группа порождается своими эле-
элементами высшего порядка.
3. Абелева группа имеет инварианты /?3, р2. Сколько подгрупп по-
порядка /?2 она содержит?
4. Приведите два примера абелевых /7-групп, которые содержат точно>
P2 + P+1 подгрупп порядка р.
5. Пусть Л —абелева группа, порожденная а и b с определяющими
отношениями арг = 1, Ьр •=■ 1. Пусть К—подгруппа, порожденная элемен-
элементом х = apb. Показать, что невозможно выбрать базис для А и базис
для К так, чтобы базисный элемент для К был степенью базисного эле-
элемента для А.
Глава 4
ТЕОРЕМЫ СИЛОВА
4.1. Ложность обращения теоремы Лагранжа
Согласно теореме Лагранжа, порядок подгруппы конечной
группы является делителем порядка группы. Но, обратно, если мы
имеем группу G порядка п и если п делится на т, то О может
не иметь подгруппу порядка т. Например, можно проверить, что
следующая группа подстановок порядка 12 не содержит подгрупп
порядка 6:
/1 2 3 4\ /1 2 3 4\
\ 1 2 3 4/ \1 3 4 2/
1
1
1
2
1
3
1
4
1
2
1
3
2
2
2
1
2
4
2
3
2
3
2
1
3
3
3
4
3
1
3
2
3
1
3
2
4
4
4
3
4
2
4
1
4
4
4
4
12 3 4
14 2 3
12 3 4
3 2 4 1
12 3 4
4 2 13
12 3 4
2 4 3 1
12 3 4
4 13 2
Однако эта группа имеет подгруппы порядков 2, 3 и 4.
Таким образом, если т делит п, мы, вообще говоря, не мо-
можем быть уверенными, что группа порядка п содержит подгруппу
порядка т. Но если т — простое число или его степень, то всегда
такая подгруппа существует. Вопрос о существовании и числе та-
таких подгрупп выясняется в теоремах Силова, которым посвящена
настоящая глава. Мы начнем с теоремы, которая послужит от-
отправной точкой для теорем Силова,
Теорема 4.1.1. Если порядок группы G делится на простое
число р, то G содержит элемент порядка р.
Доказательство. Пусть п = тр — порядок группы О. Если
т=1, то G — циклическая группа порядка р, и теорема дока-
4.2. Три теоремы Силова 55*
зана. Будем проводить доказательство индукцией по т. Если О
содержит истинную подгруппу #, индекс которой [G : Н\ не де-
делится на /?, то порядок Н делится на р и, согласно предположе-
предположению индукции, Н содержит элемент порядка р. Предположим
теперь, что индекс любой истинной подгруппы группы G делится
на р. Тогда, согласно § 1.6, п = пг-\-п2-\- ... -\-ns, где каждое щ
обозначает число элементов в некотором классе сопряженных эле-
элементов группы G. При этом пьФ\ есть индекс истинной подгруппы
группы G, который, по предположению, ^делится на р. Можно
считать, что пх=\, так как единица составляет класс. Поэтому
количество nt, равных единице, кратно р. Элемент at составляет
класс сопряженных элементов группы G тогда и только тогда,
когда он принадлежит центру Z группы G. Таким образом, центр Z
имеет порядок, кратный /?. Но для любого z£Z и любого g£G
имеем zg = gz. Следовательно, элементы центра Z перестановочны
друг с другом, т. е. Z — абелева группа. Но теперь, согласна
следствию из теоремы 3.3.1, Z содержит элемент порядка р.
4.2. Три теоремы Силова
Если простое число р делит порядок группы G, то теорема
4.1.1 гарантирует существование по крайней мере одной подгруппы
порядка /?. Мы покажем теперь, что если G имеет порядок я =
= pms, то она содержит также подгруппы порядков /?2, /?3, ...
.... Рт.
Теорема 4.2.1. (Первая теорема Силова.) Если G имеет по-
рядок n = pms, где р — простое число, которое не делит s,
то G содержит подгруппы порядков pl(i=\ т), причем
каждая подгруппа порядка р*A=\ т—1) инвариантна,
по крайней мере, в одной подгруппе порядка pi+l.
Доказательство проведем индукцией по /. Как доказано выше,
G содержит подгруппу порядка р. Пусть Р — подгруппа порядка р',
где /^-1. Запишем G как сумму двойных смежных классов п<г
Р : G = Р 4- Рх2Р + .. . -\-РхгР. Пусть PxjP состоит из а;. пра-
правых смежных классов пб Р. Тогда [G : Р] = ах-\-а2-\- ... +яг,
где aJ- = [xj1PXj : xjlPxj (]Р\, и а1=\ для двойного класса
Р- 1 .р = р. Поэтому или uj=l9 или есть степень числа р.
Так как р делит [G : Р], число слагаемых о,-, равных единице,
должно быть кратным /7. Если а^=1, то хт1Рх* — Р, а потому
и Xj и смежный класс Pxj = XjP принадлежит нормализатору К
подгруппы Р. Обратно, если Xj£K, то xjlPXj = P и а;-=1.
Таким образом, [К: Р] равно числу слагаемых а^ равных единице,
а поэтому р делит [К : Р]. Следовательно, фактор-группа К/Р имеет
порядок [К : Р], кратный р. Поэтому К/Р Содержит подгруппу J*~
-56 Гл. 4. Теоремы Силова
порядка /7. По теореме 2.3.4, J* = J/P, где J с К и [У:Р] =
= [,/*: 1] = /?, а поэтому J—подгруппа порядка pi+l, содержа-
содержащая Р в качестве нормального делителя. -
Определение. Группа Р называется р-группой, если все ее
элементы, отличные от единицы, имеют 'порядки, равные
степеням простого числа р.
Определение. Подгруппа S группы G называется силовской
р-подгруппой группы G, если S — р-подгруппа, не содержа*
щаяся ни в какой другой р-подгруппе группы G.
Используя эти определения, мы можем сформулировать не-
несколько следствий из первой теоремы Силова.
Следствие 4.2.1. Любая конечная группа О порядка п — pm$t
(/?, s)= I, р — простое, содержит силовскую р-подгруппу по-
порядка рт, причем любая р-подгруппа содержится в некоторой
силовской р-подгруппе группы 6.
Любая группа порядка рт является /7-группой. Согласно тео-
теореме 4.1.1, если порядок группы делится на два разных простых
числа, то она не может быть /7-группой. Следовательно, любая
конечная /7-группа имеет порядок, равный степени простого числа р,
скажем, рт.
Следствие 4.2.2. Любая подгруппа р-группы Р порядка рт
содержится в некоторрй максимальной подгруппе порядка р*1,
причем все максимальные подгруппы группы Р инвариантны в Р.
Теорема 4.2.2. (Вторая теорема Силова). В конечной группе G
все силовские р-подгруппы сопряжены.
Доказательство. Пусть Рг и Р2— две силовские /7-подгруппы.
Тогда имеем разложение по двойному модулю: G = PlP2Jr
-\-PiX2P2-\- • • • Н-^Л^г- Пусть bt — число правых смежных
классов по Р2 в PlxiP2. Иначе, bi = \xTlPlxi: xTlPiXt{\ Р^*
а поэтому либо равно единице, либо степени простого числа /7.
Но число #!+.'.. +£j= [О : Р2] не делится на р. Следовательно,
bl=\ для некоторого / и xTlPlxi = Pr
Teqpema 4.2.3. (Третья теорема Силова.) Число силовских
^-подгрупп конечной группы G равно \-\-kp и делит порядок
группы G.
Доказательство. Это утверждение очевидно, если имеется
только одна силовская /?-подгруппа. В противном случае пусть
So — одна из силовских /7-подгрупп, a Sx Sr — все осталь-
остальные. Если эти последние трансформировать элементами из 50, то
они распадаются на некоторое число непересекающихся классов
сопряженных (относительно 50) между собой подгрупп. Согласно
второй теореме Силова, St — единственная силовская /7-подгруппа
в своем нормализаторе Kt. Следовательно, нормализатор под-
труппы St в 50 (/=£0) является собственной подгруппой группы 50,
4.2. Три теоремы Силова
относительно 60 под-
; ^ 1. Следовательно»
ft
и тем самым число сопряженных с St
групп степени числа /?, равно /Л, где
г =2 рех -|- ... + p*s = kp, и число всех силовских /7-подгрупп
равно 1+г=1+^/7- Число силовских /7-подгрупп равно, со-
согласно второй теореме Силова, индексу нор-
нормализатора группы 50, а потому делит по-
порядок группы G.
Теорема 4.2.4. Пусть К — нормализатор
силовской р-подгруппы Р конечной группы G.
Если Н — такая подгруппа, что О^эН^К^Р,
то Н совпадает со своим нормализато-
нормализатором в G.
Доказательство, Пусть х~хНх = Н. Тогда
Н^>х~1Рх = Р', где Р' — силовская /?-под-
группа в #. Следовательно, существует такой
элемент и£Н, что и~1Р'и = Р, откуда
и~1хРхи = Р, и тем самым хи£К, а отсюда
х £ И, т. е. группа Н совпадает со своим нор-
нормализатором.
Следующая теорема, представляя самостоя-
самостоятельный интерес, допускает ряд важных при-
применений, как это будет показано в последующих
главах.
Теорема 4.2.5 (Бернсайда). Пусть G — ко- т *
печная группа, h — ее р-подгруппа, и пусть h * ;
содержится в двух различных силовских
р-подгруппах, причем в одной из них является
нормальным делителем, а в другой не
является. Тогда h имеет г > 1, г ^0(mod/?),
сопряженных подгрупп h = hv h2 hr,
таких, что
а) все ht инвариантны в группе И = hl[}h2[} ... U hT>
б) не существует такой силовской р-подгруппы, чтобы
все группы hv /г2, . .., hT были бы в ней нормальными делите-
лями.
в) подгруппы hv h2 hr составляют полный класс сопря-
сопряженных подгрупп в группе NH — нормализаторе группы Н.
Доказательство. Пусть Nh — нормализатор подгоуппы h.
Пусть Q — силовская /7-подгруппа группы О, в которой h не-
неинвариантна, и такая, что группа D — Nh(]Q максимальна.
Пусть q — нормализатор D в Q, a ND — нормализатор D в О.
Мы утверждаем, что Q^qziDzDh. Действительно, h — инва-
инвариантная подгруппа индекса р в некоторой подгруппе группы Q,
но h не является нормальным делителем в Q. Отсюда Q z> D z> h.
Рис. 2. Теорема
Бернсайда.
58 Гл. 4. Теоремы Силова
Кроме того, D как истинная подгруппа в Q строго содержится
в своем нормализаторе q в Q. Итак, Q^q =э D zd h. Далее, так
как D = Nh[\Q, подгруппа h неинвариантна в q и тем более
неинвариантна в ND. Пусть h = hl /z5(s>l) — подгруппы,
сопряженные с /г в ND. Так как h — нормальный делитель в D и ND
индуцирует автоморфизмы в D, каждая подгруппа ht также инва-
инвариантна в D и тем более в H = hx\}h2\) ... \}hs^D. Норма-
Нормализатор Nн подгруппы И содержит Л/'D, так как элементы из ND
трансформируют Н в себя.
Пусть рх — силовская подгруппа группы Nh П ND и Рх^ рх —
сйловская подгруппа группы Nh. По условию Рх— силовская
подгруппа в G. Тогда D с: рх, так как D не совпадает со своим
нормализатором в Рх. Теперь Nh f| ND ^ ND с Л/я. Пусть р2^ Р\ —
силовская подгруппа в NH и Р ^ р2 — силовская подгруппа в G.
Если Р с£ Nh> то Р() Nh^ pxzd D, что противоречит свойству
максимальности грушш D. Следовательно, Р с ДГЛ> а поэтому
^л П А^я — Р П А/я = /?2, так как /72 — силовская подгруппа в Л/я.
Пусть h = hv ..., hs hr — сопряженные с h относи-
относительно NH подгруппы (и, следовательно, все нормальные дели-
делители в Я). Нормализатором подгруппы h в NH является NH f| Nh1
и поэтому число сопряженных с h в NH подгрупп равно
r = [Nlf:NHflNh]. Но NH(]Nh^ p2, где р2 — силовская под-
подгруппа группы NH. Следовательно, г ф 0 (mod р). ш
Если бы все hx hr были инвариантными подгруппами
некоторой силовской подгруппы Sp, то Sp с Л/я и каждая силов-
силовская /^-подгруппа группы NH содержала бы подгруппы ht в каче-
качестве нормальных делителей. Но q с MD cz MH — /7-подгруппа в NH,
содержащая h = hv но не в качестве нормального делителя.
4.3. Конечные р-группы
Из силовских теорем следует, что группа G порядка
я—у^1 ... рег содержит подгруппу порядка реЛ для любого
1=\ г, и все подгруппы этого порядка изоморфны, так как
они даже сопряжены в G. Поэтому задачу построения конечных
групп можно рассматривать как состоящую из двух частей:
1) построение групп, порядки которых равны степеням про-
простого числа,
2) построение групп порядка п из групп, порядки которых
являются степенями простых чисел, делящих п.
Если все силовские подгруппы цикличны (это, конечно, имеет
место, когда все et=l), мы умеем решать вторую задачу; реше-
решение ее будет изложено в главе 9 (теорема 9.4.3). Таким образом,
хотя ни одна из этих проблем ни в каком смысле в общем случае
не решена, следует решить первую, чтобы иметь материал для
4.3. Конечные р-группы 59
решения второй. Как нам кажется, трудности построения группы,
исходя из силовских подгрупп, очень сильно зависят от сложности
строения групп порядка, равного степени простого числа, т. е.
р-групп, как мы их будем в дальнейшем называть.
Первый очень важный результат о /^-группах состоит в сле-
следующем.
Теорема 4.3.1. Центр конечной р-группы отличен от
единичной подгруппы.
Доказательство, Пусть Р — конечная /?-группа. Представим Р
как сумму классов сопряженных элементов:
Р = Сг + С2+ ... +СГ. - D.3.1)
Здесь Cj состоит только из единицы. Пусть hi— число элементов
в классе С^, равное по теореме 1.6.1 индексу некоторой под-
подгруппы Р, т. е. оно или равно 1 (для элемента из центра), или —
степени числа р. Но Р имеет порядок рт, значит, имеет место
равенство
Так как Лх=1, в правой части равенства D.3.2) некоторые ht
также должны быть равными единице, следовательно, центр Р
строго больше единичной подгруппы.
Сформулируем следствие 4.2.2 в виде теоремы.
Теорема 4.3.2. Всякая истинная подгруппа р-груПпы Р
порядка рт содержится в максимальной подгруппе порядка рт~1>
и все максимальные подгруппы группы Р — нормальные дели-
делители в Р.
Еще одним следствием из первой теоремы Силова 4.2.1 является
тот факт, что никакая истинная подгруппа /ьгруппы не совпадает
со своим нормализатором. Оказывается, что имеет место даже
в некотором смысле обратное утверждение, которое мы сейчас и
докажем.
Теорема 4.3.3. В конечной группе G ни одна собственная
подгруппа не совпадает со своим нормализатором тогда и
только тогда, когда G — прямое произведение своих силовских
подгрупп.
Доказательство. Пусть любая собственная подгруппа группы G
не совпадает со своим нормализатором. По теореме 4.2.4 нор-
нормализатор К силовской подгруппы Р совпадает со своим норма-
нормализатором, откуда, по условию, К должно быть равно G. Таким
образом, Р — нормальный делитель группы G. Отсюда и из тео-
теоремы 2.5.2 следует, что объединение силовских подгрупп является
их прямым произведением, следовательно, G — прямое произведе-
произведение своих силовских подгрупп.
Г*л. 4. Теоремы Силова
Предположим теперь, что G = PXX • • • X ^г» где Pt — группа
порядка реЛ и р{Ф р., если / Ф J. Если теперь g = gxg2 ... gr,
где gi£Pi> то условия леммы 3.2.2. выполнены и, значит, gt есть
степень элемента g. Таким образом, если элемент g£G лежит
в подгруппе Н группы G, все его компоненты также находятся в Н.
Поэтому Н — прямое произведение Н—НХХ --- ХНГ групп И1%
где Ht = H(]Pt — подгруппа в Pt. Если Н — собственная под-
подгруппа в G, то некоторые Hj являются собственными подгруппами Ру.
Заменяя эти Н{ большими подгруппами из Р^ в которых они
инвариантны, мы получим подгруппу, строго содержащую Н
в качестве нормального делителя.
Теорема 4.3.4. Если А — нормальный делитель порядка р
в р-группе Р, то А лежит в центре Р.
Доказательство, Так как А имеет порядок /?, она циклична
и порождается элементом а, причем 1, а, ..., ар~~х—все эле-
элементы А Поскольку А — инвариантная подгруппа, сопряженные
с а элементы находятся в множестве а, а2, ..., ар~х. Но число
этих элементов равно индексу централизатора элемента а и
поэтому равно либо 1, либо степени числа р. Но число сопря-
сопряженных с а элементов не превосходит р—1 и поэтому равно 1.
Тем самым элемент а и подгруппа А лежат в центре группы Р.
4.4. Группы порядков р, р2, pq, р3
Группа простого порядка р не может иметь собственных под-
подгрупп и поэтому является циклической группой., порожденной
любым своим элементом, отличным от единицы. В теореме 1.5.4
мы уже показали, что группа G, не имеющая собственных под-
подгрупп,— циклическая группа простого порядка.
Нециклическая группа G порядка р2 содержит две различные
подгруппы порядка /7, например {а} и {#}, где ар=1, Ър=\ и
{а} Г) [Ь] = 1. Так как они являются максимальными собственными
подгруппами группы G, то, согласно следствию 4.2.2, они инва-
инвариантны, поэтому из теоремы 2.5.1 следует, что G={a}X{#}»
и, следовательно, G — абелева группа с базисом а, Ь.
Предположим, что порядок группы G равен pq, где р < q и
{/7, gr)=l. Согласно третьей теореме Силова, число подгрупп
порядка q равно такому числу \-\-kq, что оно делит р\ поэтому
юно равно 1. Эта единственная подгруппа {Ь\ инвариантна и bq =1.
Число подгрупп порядка р равно такому числу 1+&/?, которое
делит q, и, следовательно, оно равно или 1, или q. Если оно
равно 1, тогда при некотором а, таком, что ар=1, мы получаем
инвариантную подгруппу {a}, a G является прямым произведением
G = {a)X{b). Очевидно, что тогда группа G — циклическая
с образующим элементом c = ab порядка pq. Теперь рассмотрим
4.4. Группы порядков р, р2, pq, рг 61
: f
случай, когда группа G обладает \-\-kp = q подгруппами по-
порядка р и подгруппа {а} порядка р неинвариантна. Тогда др=1,
ря=1, а так как подгруппа {Ь} инвариантна, aba = br при
некотором г. Если г=1, О является абелевой и, более того,
циклической группой, рассмотренной выше. Пусть гф\. Тогда
a-ibla = bir для-произвольного / и, в частности, a~lbra = br\
откуда следует, что a~2ba2 = a~1bra = br. И вообще а~ ba=br .
Следовательно, при j=p мы имеем b = a~pbap = br , откуда
гр === l(mod<7). To, что это необходимое условие для г, является
также и достаточным для того, чтобы мы имели группу G по-
порядка pq, вытекает из следующего правила умножения двух
элементов некоторого множества:
и из доказательства того, что относительно этого правила умнот
жения рассматриваемое множество является группой порядка pq.
Последнее правило умножения является частным случаем более
общего правила, которое будет рассмотрено в теореме 6.5.1.
Существует три типа абелевых групп порядка /?3; они харак-
характеризуются инвариантами *(/?3), (/?2, р) и (/7, /?, р) соответственно.
Для описания неабелевых групп порядка /?3 мы рассмотрим от-
отдельно два случая: 1) /7 = 2 и 2) р — нечетное число. Пусть /7 = 2,
т. е. G неабелева группа порядка 8. Группа G не содержит элемент
порядка 8, так как, в противном случае, она была бы циклической.
Если все ее элементы порядка 2, то (abJ=l, или abab=\%
Ъа = a2bab2 = ab, и группа G абелева. Поэтому группа G обладает
элементом порядка 4, пусть, например, д4=1. Если # (£ {я} = Л,
тогда G= А^\-.АЬ и Ь2£ Л. Если Ь2 = а или Ь2 = аъ, то b — эле-
элемент порядка 8 и G — циклическая груцла. Следовательно, Ь2=\,
или Ь2 — а2. Так как А — инвариантная подгруппа, то b~lab£A,
а так как b~xab — элемент порядка 4, то Ь~лаЬ = а, или b~xab = я3.
Но при b~lab=a, G — абелева группа. Поэтому b^xab = я3. Итак,
мы нашли две неабелевы группы: группу диэдра с олределяющими
отношениями
я4=1, Ь2=\. Ь~хаЬ = аг
и группу кватернионов с определяющими отношениями
Легко проверить, что обе системы определяющих отношений дей-
действительно определяют две группы порядка 8, неизоморфные
ДР другу.
62 Гл. 4. Теоремы Силова
Теперь рассмотрим неабелевы группы порядка /?3 при нечетном |
простом р. Так как G — нециклическая группа, она не содержит *
элемент порядка /?3. «Предположим сначала, что G содержит \
элемент а порядка р2, ар2=\. Тогда подгруппа {а} = А являясь j
максимальной, инвариантна в группе G. Если Ь(^А, тогда ц
G = А-\- АЬ-\- ... -\- AbP~l, bP £ А и b ab = ar, причем г Ф \, i
так как G — неабелева группа. Так как для произвольного j^
справедливо равенство b~JabJ=aT и так как Ьр, являясь элементом •
подгруппы А, перестановочен с а, имеем a = b~~pabp' = ат , откуда
гр == 1 (mod р2). Согласно теореме Ферма, rp = r (mod p), следова-'•*
тельно, г === 1 (mod/?). Пусть г= \-\-sp. Тогда при таком j
что js ^ I (mod /7), мы имеем
Так как (у, /?) = 1 и ^ (£ Л, то в равенстве
под b можно понимать У, тогда b ab = al+p.
Пусть ^р £ Д. тогда £р = я*. Здесь £ должно быть кратно р,
так как порядок элемента b отличен от /?3. Пусть Ьр = аир. Тогда, i
учитывая,* что alb = bal^l+p\ получаем
(ba~uY'= bpa~u
-uD-up A + 2+
Здесь учитываем, что 1 +2+ • • • +р— 1 = Р(Р~ |)/2 кратно /?,„
так как р нечетно. Теперь при Ь1==Ьа~и имеем ар2—\, Ьр—\,
b^labl-=al+p. Последнее соотношение имеет место, так как
Наконец, пусть G не содержит элементоз порядка р2. Порядок.*
центра Z группы G равен /?, так как если бы он был равен р2,
то группа была бы абелевой. Фактор-группа G/Z задается отно-
отношениями хр=\, ур=\, ух = хуг Если при гомоморфизме
G-+G/Z а->х, Ь->у, то ар=\, bp=\, a lb lab = c£Z.
Если бы a~lb~lab= 1, то так как элементы а и b в совокупности
с Z порождают всю группу G, G была бы абелевой. Отсюда с Ф 1
и с порождает центр Z, а группа G задается следующими опре-
определяющими отношениями:
ap—\t bp—L cp=l, ab = bac, ac = ca, bc — cb.
I
Упражнения 63
Таблица определяющих отношений
I. Группа О порядка р.
1) Циклическая, ар=\.
И. Группа G порядка р2.
1) Циклическая, ар =\.
2) Элементарная абелева, ар=1, bp=\t ba—ab.
III. Группа G порядка /?#, Р < Я-
1) Циклическая, aw=l.
2) Неабелева, ар=1, ^=1, а~1Ьа = Ь\ rp=(?),
r^ri(mod^), /7 делит #—1. Решения сравнения гр = 1 (mod #),
r^ I (mod<7), следующие: г, г2 гр~1, причем все эти реше-
решения дают одну и ту же группу, так как замена образующего
элемента а циклической группы [а], ар=\, на а] приводит
к замене г ,на гК
IV. Группа G порядка /?3.
Абелевы группы;
1) ар8=1.
2) ар2=\, bp=\, ba = ab.
3) ap = bp = cp=\. Ъа^аЬ, са = ас, cb = bc.
Неабелевы группы порядка 23 = 8: '
4) группа диэдра, а4=1, Ь2=\, Ьа = а~хЪ.
5) группа кватернионов, а4=1, Ь2 = а2, ba — a~lb.
Нелбелевы группы порядка /?3, р — нечетное:
4) ар2=\, bp=\, b-lab = al+p.
5) ар=\, Ьр=\, ср=1, ab = bac, ca = ac, cb = bc.
Упражнения
1. Показать, что если И—инвариантная подгруппа конечной группы G
и индекс [G: Н] взаимно прост с /?, то любая силовская /?-подгруппа
группы G содержится в Н.
2. Показать, что в любой группе G инвариантная подгруппа К по-
порядка ра содержится в каждой 'силовской /?-подгруппе группы G.
3. Показать,, что любая группа порядка p2q, где р и q — различные
простые числа, содержит инвариантную силовскую подгруппу.
4. Показать, что группа порядка 200 содержит инвариантную си-
силовскую подгруппу.
5. Сколько элементов порядка 7 содержит группа порядка 168, не
имеющая инвариантной подгруппы?
64
Гл. 4. Теоремы Силова
6. В следующей таблице указано число групп каждого из порядков
от 1 до 20. Проверить ее, за исключением групп шестнадцатого по*
рядка.
Порядок
число
групп
1
1
2
1
3
1
4
2
5
1
6
2
7
1
8
5
9
2
10
2
11
1
12
5
13
1
14
2
15
1
16
14
17
1
18
5
19
1
20
5
Глава 5
ГРУППЫ ПОДСТАНОВОК
5.1. Циклы
Согласно теореме Кэли (см. гл. 1), любая группа может быть
представлена как группа подстановок. Как отмечалось там же,
для одной и той же группы существует несколько таких предста-
представлений. То, что подстановка тс переводит элемент xt в Xj, будем
обозначать так: (xt) тс = Xj.
Конечным циклом называется подстановка тс конечного мно*
жества элементов xv х2 хп, такая, что (х1)п = х2, ...
Бесконечным циклом называется подстановка тс бесконечного
множества элементов xt (i = — оо -\- оо), такая, что (л;;) тс =
Конечный цикл будем обозначать (xv x2 хп), а беско-
бесконечный (... x_v х0, xv . ..). Ясно, что циклы (х2, хъ хп, хг)
и (хг, х2 хп) представляют одну и ту же подстановку.
Теорема 5.1.1. Пусть тс— произвольная подстановка эле-
элементов некоторого множества 5. Множество S можно раз-
разбить на такие непересекающиеся подмножества, что тс инду-
индуцирует цикл на каждом из них.
Доказательство. Пусть хх — элемент множества 5. Если
(хх)п = xv то {хх) — уже цикл. Если (хг)пфх1, то обозначим
элемент (х^ и через х2. Затем выписываем элементы множества S
(х2)тг = л:3 \xl)iz = xi+l до тех пор, пока они не начнут
повторяться. Если элементы (xl)n = х2, ...", (xn_l)Tz = xn все
различны, а элемент (хп)к уже встречался, то (хп)к = х1 для не-
некоторого i=\ п. Если i = 2, ..., п, то (xl_l)n=*xit что
противоречит условию хпфх1_1. Следовательно, (хп)'к = х1 и под-
подстановка те индуцирует конечный цикл (хг хп) из элементов
xv ..., хп. Пусть элементы (х^п1 = xl+l(i— 1, . . .) все, раз-
различны, и пусть х0 — такой элемент, что (*0)ic = .tf1. Затем после-
последовательно из условий (xi_l)K = лг£(/ = О,—1,—2,...) опре-
определяем элементы x_v x_2,.... Все элементы этой последовательности
различны, так как подстановка тс не может переводить два эле-
элемента в один и тот же элемент. Таким образом, любой элемент х
множества 5 принадлежит некоторому подмножеству, которое под-
подстановка тг переставляет циклично. Но ведь любой элемент такого
5 М. Холл
41
66 Гл. 5. Группы подстановок
подмножества определяет его однозначно, так как равенством!
(x)ic = y каждый из элементов х и у ©днозначно определяете^
другим. Следовательно, различные подмножества не пересекаются,!
Мы можем, таким образом, представить любую подстановку щ
в виде произведения циклов, и так как циклы действуют на не-
непересекающихся множествах элементов, то порядок их записи не
имеет значения.
При записи подстановки ic в виде произведения циклов циклы
длины 1 обычно опускаются; при этом подразумевается, что под-
подстановка ic оставляет на месте отсутствующие элементы. Так, на*;
пример, 1с = A)B)C, 4, 5)=C, 4, 5). При таком соглашении
подстановку можно рассматривать как групповое произведение ее
циклов, если только количество этих циклов конечно.
Теорема 5.1.2. Порядок подстановки к равен наименьшему
общему кратному длин ее циклов.
Доказательство. Для цикла (хг, ..., хп) имеем (xt) п'' = xi+jf
где /-+-У берется по модулю п. Следовательно, (^)ic/ = ^/ тогда
и только тогда, когда t кратно числу п. Тогда (xj) icm = xt для
всех xt£S в том и только в том случае, когда т кратно дли-
нак всех циклов подстановки ic. Следовательно, при таком т
ът = 1. Если ic содержит цикл бесконечной длины или как угодно I
длинные циклы, то подстановка ic имеет бесконечный порядок. |
Полезна следующая выкладка.
Лемма 5.1.1. Если
Т=(аи ... alr)(a2l, .... a2s) ... (amV ..., amt)
h\ • • -aXr a21 • • • a2s • • • am\ • • • amt
)u ... blr b2l ... b2s ... bml ... bmi
S~lTS = {bn ... blr) (b2l ... b2s) ... (bml ... bmt).
Доказательство. Для произвольного элемента bjk имеем
bj, k ^ aj> ь ^ aj> k+i ^ ^y» k+v ,|
т. е. подстановка S^TS переводит элемент bjk в элемент bjt k+x. ]
Группа всех подстановок некоторого множества элементов на- \
зывается симметрической группой. Симметрическую группу ^
множества из п символов обозначают через Sn.
Теорема 5Л.З. Две подстановки сопряжены в симметрии л,
ческой группе тогда и только тогда, когда они имеют оди-\
наковое число циклов каждой длины. j
5.2. Транзитивность 67
Доказательство. Необходимость этого условия следует из
леммы 5.1.1. Для доказательства достаточности предположим, что
Т= (ап ... а1г) (а21 ... a2s) ... (aml .. .amt)
R = (bn ,.. blr) (b21 ... b2s) ... (bml ... bmt)
имеют одинаковое число циклов каждой длины, включая и циклы
длины 1. Так как по условию Т и R имеют одинаковое число
циклов каждой длины, то эти подстановки можно записать в ука-
указанном виде. Тогда в
fa -•- alr ... aml ... а
Ьп ... blr ... bml ..'. bmt
— такая подстановка, что Q~lTQ= R.
Отметим, что эта теорема не накладывает никаких условий
конечности, и «одинаковые числа» можно понимать как равные
кардинальные числа. При доказательстве мы должны включить
в рассмотрение циклы длины 1, так как в случае бесконечного
исходного множества подстановки Т я R могли бы иметь одина-
одинаковое число циклов длины, большей 1, но оставлять на месте
разное число элементов. Так, подстановки Г=@, 1)B, 3)D, 5) ...
и /? = @)A, 2)C, 4) E, 6) ... не сопряжены в симметричной
группе множества чисел 0, 1, 2, 3
5.2. Транзитивность
Теорема 5.2.1. Пусть О — группа подстановок множе-
множества символов ^C=z{x1 хп}9 S — некоторое подмноже-
подмножество множества X. Тогда подстановки из группы О, оста-
оставляющие на месте символы из 5, образуют подгруппу К.
Подстановки, переставляющие между собой символы из S,
образуют подгруппу //, которая содержит К в качестве нор-
нормального делителя.
Доказательство. Если две подстановки а и b из группы G
переставляют символы из множества 5 или оставляют их на месте,
то этими же свойствами обладают подстановки ab и а. Значит,
существует подгруппа Я, переставляющая элементы подмножества 5,
и ее подгруппа К* оставляющая каждый элемент из S на месте.
Если h£H, k£K, то ti~lkh — подстановка, оставляющая элементы
из 5 на месте. Поэтому К — нормальный делитель группы Н.
Определение. Группа подстановок О элементов хг хп
называется транзитивной на подмножестве 5 множества л^, ,.. хп,
если для любой подстановки o£G и любого элемента xt£S
(xt)g£S и если для xi% x*£S существует такая подстановка
5*
68 Гл. 5. Группы подстановок
__",, 4
o£G, что (xt)a = Xjl. Подмножество 5 называется областью^!
транзитивности группы G. [
Теорема 5.2.2. Если для фиксированного элемента хх мно-1
жество S состоит из всех таких хь> что xi = (xl)o, где\
a£G, то S является областью транзитивности. |
Доказательство. Если (хг)с=^= xit (хг) т = Xj, то (Xi)o~lfz= *ч
= Xj. Кроме того, если (хг)о = Х1, (Xi)p = xkt то (хг) ар = xk.\%
Теорема 5.2.3. Пусть S—область транзитивности группы j
подстановок G, и xx(^S. Для каждого xt£S выберем такую j
Gt(zG; что (xl)ai = xt. Пусть Н—подгруппа группы G, оста-,,
вляющая на месте хх. Тогда G = На1-\-На2-\- . .. -\-Hct-{~ ....
Доказательство. Если g = hat, где /г£#, то (xl)g== xiti
вначит, смежные классы //^различны: Далее, пусть g — некот<р-)
рый элемент из группы *6. Тогда (xl)g=xi для некоторого"
x^S. Тогда (xl)goj-l = xv откуда g<*Tl£Ht g = hat£h
и, следовательно, смежные классы Hot исчерпывают группу G.j
Следствие 5.2.1. Если область транзитивности S группы G|
содержит точно г элементов, то подгруппа Н> оставляющая
на месте один 'элемент из 5, имеет индекс г в G.
Определение. Группа G называется k-кратно транзитивной^
на множестве 5, если она транзитивна на S и если любое1
упорядоченное множество, состоящее из k различных элемент
тов множества 5, может быть переведено в любое другое]
упорядоченное множество из k различных элементов лшо-|
жества S некоторой подстановкой из группы G. j
Теорема, аналогичная теореме 5.2.2, имеет место для &-кратно^
транзитивных групп. Если группа G переводит фиксированное!
множество хх xk из k элементов в любое другое упоря-i
доченное множество элементов ух yk из S, то G есть &-кратн<Н
транзитивная группа на множестве 5. Подгруппа группы G,|
оставляющая на месте г < k элементов' из множества 5, является!
(k — г)-кратно транзитивной группой на множестве остальных эле-
элементов множества 5. Если G — r-кратно транзитивная группа и
если подгруппа Я, оставляющая на месте г элементов, сама s-кратнсН
транзитивна, то группа G — (г+5)"кРатн0 транзитивна.
5.3. Представления группы подстановками
Как уже отмечалось, любая абстрактная группа может быть *
представлена, вообще говоря, более чем одним способом как |
группа подстановок. Будем называть группу Р подстановок пред-^
ставлением группы G, если существует отображение группы ОI
на Р: g _> тс (#•), g £ G, тс (g) £ Р, такое, что тс (gx) тс (g2) = тс (gxg2). {
*) В противном случае группа подстановок G называется интран-1
зитивной на подмножестве S, — Прим. перев. )
5.3. Представления группы подстановками 69
Заметим, что Р является гомоморфным образом группы G.
Если же группа Р даже изоморфна G, мы будем говорить, что
р есть точное представление группы G. Подобно тому как все
гомоморфные образы группы О описываются при помощи фактор-
факторгрупп по нормальным делителям, все представления группы G
транзитивными группами подстановок могут быть описаны в тер-
терминах левых смежных классов по подгруппам группы G.
Так как уже для неабелевой группы порядка 6 существует
точное представление транзитивной группой подстановок трех,
а также шести элементов, то мы должны различать некоторые
группы подстановок, изоморфные как абстрактные группы.
Определение. Группа Рг подстановок множества 5г изо-
изоморфна, как группа подстановок, группе Р2 подстановок
множества 52, если существует изоморфизм тср ±^тср между
Рх и Р2 и взаимно однозначное соответствие xt^tyi между
множествами Sx и S2 такое, что (х^Пр — Xj тогда и только
тогда, когда (у.)ър^ = уЛ).
Теорема 5.3.1. Пусть G — группа и Н — ее подгруппа. Тогда
имеют место следующие утверждения'.
а) каждому элементу g£G соответствует следующая
подстановка левых смежных классов по Н:
в) отображение g->n(g) есть представление группы G
транзитивной группой подстановок множества левых смеж-
* ных классов по подгруппе Н, причем тс (g) оставляет Н на ме-
месте в том и только в том случае, когда g£H.
Обратно, пусть g-+n(g) есть представление группы G
транзитивной группой подстановок Р множества элементов S.
Тогда справедливы следующие утверждения:
c) если sx—некоторый элемент из S, множество элемен-
элементов g£G, таких, что подстановки K(g) оставляют эле-
элемент sx на месте, образуют подгруппу Н группы G;
d) между элементами множества S и левыми смежными
классами по Н можно установить взаимно однозначное соот-
соответствие так, чтобы группа подстановок Р была изоморфна
группе подстановок, описанной в первой части теоремы.
Доказательство, а) Отображение Их-^(Нх) g — Hxg вза-
взаимно однозначно, причем любой левый смежный класс является
1) Изоморфизм групп подстановок называется иногда подобием, а
изоморфные группы подстановок — подобными. В дальнейшем мы иногда
будем пользоваться этими терминами. — Прим. перев.
70 ' Гл. 5. Группы подстановок
образом, так как (Hxg) g— Нх. Поэтому тс (g) = ( ) есть
\HxgJ
подстановка множества левых смежных классов по Н.
в) Из равенства {Hxgx) g2 = Нх (gxg2) следует, что тс (gj тс (g2y.
=K(gig2). Поэтому g—>n(g) — представление группы G. Ото*;
бражение H->Hg— Н имеет место тогда и только тогда!
когда g^H. Иначе говоря, n(g) оставляет Н на месте в том И
только том случае, когда g£H. Так как подстановка тс(лг) ото4
бражает Н на Нх, это представление транзитивно.
c) Легко проверяется, что указанные элементы группы обра-*
зуют подгруппу //, так как если gx и g2 обладают этим свойств
вом, то элементы gxg2 и g-1 обладают им также.
d) Множество тех элементов g £ О, для которых имеет ме
сто равенство (sl)tiz(g) = si, не пусто в силу транзитивности
группы подстановок Р. Если хь — один из таких элементов, то
сразу видно, что все они составляют весь левый смежный класс Hxtl
где Н—подгруппа, рассмотренная в пункте с). Обратно, все
элементы из левого смежного класса Нх обладают тем свойст-
свойством, что под действием соответствующих им подставок элемент
переходит в один и тот же элемент. Этим установлено взаимна
дднозначное соответствие sl^tHxi между элементами множества «$
и левыми смежными классами по Я. Пусть Рг — группа подста
новок множества левых смежных классов по Н, определенная
(Нх \
в пунктах а) и в), причем подстановка тс, (g) = 1 ) g £ Ot
\HxgJ '
принадлежит группе Pv Если в группе Р имеет место равен?
ство (si)Tz(g)^sJt то (sl)[K(xi)iz(g)] = sj, откуда xtg£Hi
значит, (Hxt)g — HXj. Наоборот, из последнего соотношения еле*
дует, что (Sj) тс (g) = $j. Таким образом, соотношение ($i)Tz(g) =
выполняется тогда и только тогда, когда Hxinl(g) = Hxj. В ча-
частности, тс(£-) — тождественная подстановка тогда и только
тогда, когда тс^) тождественна. Итак, Р и Рг являются гомоморф-
гомоморфными образами группы О с одним и тем же ядром, причем со-
соответствие тс (g) ^± тсх (g) является изоморфизмом между ними.
Вследствие взаимной однозначности соответствия si^tHxl между S
и множеством левых смежных классов по И получаем, что группа
подстановокРизоморфна группе Р^так как равенство^)тс(^) = 5^J
выполняется тогда и только тогда, когда Нхг тсх (g) = Hxj. h
Этой теоремой все представления группы G транзитивными |
группами подстановок сводятся к представлениям множества |
смежных классов группы G по подгруппе Н. Если Н—единичная |
подгруппа, мы приходим к правому регулярному представлению»!
рассмотренному в § 1.4. 1
5.3. Представления группы подстановками 71
Теорема 5.3.2. Элементы, переходящие при представле-
представлении g-^^ig) (теорема 5.3.1) в единицу, образуют наиболь-
наибольшую инвариантную подгруппу группы G, содержащуюся в Н,
а поэтому представление точно тогда и только тогда, когда
Ц не содержит собственных инвариантных подгрупп группы G.
Доказательство. Для каких g £ О подстановка тс (g) — то-
тождественная подстановка? Пусть Hxg = Их для всех х £ G. Тогда
x~l Hxg= x~l Нх, т.е. g£x~~l Нх> Следовательно,
причем ясно, что N — нормальный делитель группы О и Л/сЯ.
Кроме того, любой нормальный делитель группы G, содержащийся
в Н, содержится и во всех х~1Нх, а поэтому и в Л/. Таким
образом, N есть наибольший нормальный делитель группы G,
содержащийся в Н. Обратно, если g£N, то Hxg = Hx при
любом х, а значит, ir(g)=l. Следовательно, равенство' N=1
является необходимым и достаточным условием точности предста-
представления g->n(g) группы G.
Следствие 5.3.1. Единственным точным транзитивным
представлением абелевой группы служит регулярное предста-
представление.
Теорема 5.3.3. Два точных представления группы О под-
подстановками множеств смежных классов группы G по под-
подгруппам Нх и Н2 изоморфны крк группы подстановок в том
и только в том случае,1 когда существует такой автомор-
автоморфизм а группы G, что Hl — fy.
Доказательство. Если а — автоморфизм группы G, для
которого Н* = Н2, то соответствие
— взаимно однозначное соответствие между смежными классами
по Нх и Н2\ если g->^i(g) — представление группы G подста-
подстановками множеств смежных классов по Hv з. g->K2(g) —п0
подгруппе Я2, то
Обратно, предположим, что имеет место изоморфизм предста-
представлений
как оба представления точные, то этим определяется взаимно
однозначное соответствие g^tg*, которое является автоморфиз-
автоморфизмом р группы G. При рассматриваемом изоморфизме представлений
72 Гл. 5. Группы подстановок
тгх(g)±jтг2(g*) имеем Нг^*Н2и. Таким образом, если H1g=Hv
то H2ug$ = Н2и, или и'1 Н2иgV — u~l Н2и, и обратно. Следо-
Следовательно, если g£Hv то gV^W1 H2u, и наоборот. Но #i —
u~1H2u> или Н2 —иН\ u~l = H\t где а — автоморфизм группы О.
5.4. Знакопеременная группа Лл
Рассмотрим полином 'от п переменных: А = Д(^ — Xj);
KJ
i,j^n, n^>>2. Если в нем произвести перестановку переменных *
xv х2, .... хп, то он перейдет в А или в —А. Записывая по-
полином А в виде
И = (х1 — х2) (хх — лг3) ... Oi — xn)X I
видим, что перестановка (хг, х2) переводит хх— х2 в х2 — ^1=1
= — (хх—х%) и переставляет между собой остальные сомножи-^
тели первой* строки и соответствующие сомножители второй^
строки, а остальные скобки оставляет без изменения. В резуль*
тате перестановка (xv x2) переводит А в —А. Будем называть!
подстановку четной, если она не изменяет полином А, и нечет-j
ной, если она переводит его в —А ц
Теорема 5.4.1. Четные подстановки множества xv x2, ...,хА
образуют инвариантную подгруппу индекса 2 в симме~1
трической группе Sn. Она называется знакопеременной груп1
пой Лп.
Доказательство. Непосредственно проверяется, что произве
дение двух четных подстановок четно, произведение двух нечет
ных подстановок — четно, а произведение четной и нечетной под
становок и нечетной подстановки на четную — нечетно. Отмети»
также, что тождественная подстановка 'четна.
,Мы видим, что четные подстановки группы Sn образуют под'
группу Ап. Так как (xv x2) — нечетная подстановка, смежны
класс An(xv x2) состоит только из нечетных подстановок. Если тс —
любая подстановка, то одна из подстановок тс, тс • (xv x2) четная
а другая — нечеугная. Так как тс = [тс • (xvx2)] • (хг, х2), смежны
классы Лп и Лп • (xv х2) «счерпывают всю группу Sn, т. е. Sn^$
= Лп -\- Ап • (xv х2) = Лп -|- (хх х2) • Лп. Следовательно, Лп —
группа индекса 2 в Sn, и поэтому она инвариантна.
Цикл (xlt Xj) длины 2 называется транспозицией. По тещ
реме 5.1.3 все транспозиции группы Sn сопряжены с цикла!
(хг, х2). Произвольная подстановка тс и обратная к d
подстановка тс имеют одинаковую четность. Следовательно
4
5.4. Знакопеременная группа Лп 73
71"l (xv х2) 7г = (xt, Xj) — нечетная подстановка. Нечетность транс-
транспозиции (xlt Xj) можно проверить и непосредственно.
Любой цикл длины п записывается как произведение п—1
транспозиций: (xv х2, ..., xn) = (xv x2){xv хг) . . . (xv xn).
Отсюда, согласно теореме 5.1.1, любая конечная подстановка
представима в виде произведения транспозиций. Произведение
четного числа транспозиций — четная подстановка, нечетного
числа — нечетная. Итак, хотя представление подстановки в виде
произведения транспозиций и неоднозначно, число транспозиций,
участвующих в произведении, всегда имеет одну и ту же четность.
Теорема 5.4.2. Группа А%, п^Ъ, (п—2)-кратно транзи-
транзитивна.
Доказательство. Пусть уг, ..., уп_2, Уп-\, Уп — некоторая
перестановка элементов xv ..., хп_2, xn_v xn. Пусть
(xv .. ., хп_2, xn_v хп
Уг. ..., Уп-ъ Уп-v Уп
и
(Xv ..., Хп_2, Хп-\ь Хп
У\> •••• Л-2- Уя. Уп-\
Тогда v = u(yn_v yn), и одна из подстановок и и v четная, дру-
другая— нечетная. Поэтому группа Ап(п—2)-кратно транзитивна,
но не д-кратно транзитивна. Ясно, что она не может также быть
и (п—1)-кратно транзитивной, так как в этом случае она была
бы и д-кратно транзитивной.
В группе подстановок бесконечного множества со элементов
знакопеременная группа Аш определяется как группа, состоящая
из подстановок, разлагающихся в произведение четного числа
транспозиций. Являясь нормальным делителем, Аш — подгруппа
индекса 2 в группе Нш тех подстановок, каждая из которых
перемещает только конечное числе элементов. Согласно теореме
5.1.3, подгруппа Нш инвариантна в группе S^ и Аш будет нор-
нормальным делителем в S^ индекса 2 в Нш.
Теорема 5.4.3. Знакопеременная группа Ап является про-
простой для всех п, конечных или бесконечных, кроме слу-
случая п = 4. *
Доказательство. Группа А2 состоит только из тождественной
подстановки. Л3 — циклическая группа порядка 3 и, следовательно,
простая. Группу А4 нужнб рассмотреть особо. Итак, мы можем
предположить, что число символов п^>5.
Лемма 5.4.1. Знакопеременная группа Ап, п^Ъ, поро-
порождается всеми циклами (а, Ь, с) длины три.
Доказательство. Ясно, что группа Ап порождается произве-
произведениями пар транспозиций. Если две транспозиции одинаковы, их
74 Гл. 5. Группы подстановок
произведение равно тождественной подстановке. Если они имеют
одну общую букву, как, например, (я, Ь) и (я, с), то (а, Ь)(а, с)—
— (а, Ъ, с). Если они не имеют общих букв, то (a, b)(c, d)—
= (а, b)(a, c)(ct a)(c, d) = (a, b, с) {с, a, d), и лемма доказана.
Мы докажем, что любая инвариантная подгруппа G груп-
группы Ап, п^>>5, отличная от единичной, содержит все циклы длины
три и, следовательно, совпадает с Ап. Для этого рассмотрим
ряд случаев. Заметим, что так как G с; Ап, то любой элемент из
подгруппы G может быть представлен как произведение конечного
числа конечных циклов.
Случай 1. Подгруппа G содержит цикл (а, Ь, с) длины три.
Тогда любой другой цикл (х, у, z) длины три лежит вместе
с циклом (а, Ь, с) в знакопеременной группе Аг конечного
множества, состоящим из г букв, где можно считать, что г ^5.
Так как АГ — группа (г — 2)-кратно транзитивная и г — 2^>3,
циклы (а, Ь, с) и (л:, yt z) сопряжены в группе Аг и тем более
в группе Ап. Но инвариантная подгруппа О должна содержать
все элементы, сопряженные с (а, Ь, с) в группе Ап, а значит, и
все циклы длины 3. Следовательно, по лемме 5.4.1 G — Ап.
Случай 2. Подгруппа G содержит элемент g с циклом
длины s^4.
Пусть
g = (av а2, ..., аг) ... (сг, с2, ..,, с5_3> <V_2, cs_v cs),
тогда t = (cSm.2, cs_v cs) £ An и
t~1gt = (av a2, ...,ar) ... (cv c2 c5_3, cs_v cs, cs_2).
Но элемент gt g t = (cs_3, cs, cs_2) принадлежит G, так как
G — инвариантная подгруппа.
Этим мы свели случай 2 к случаю 1. Сейчас рассмотрим
случаи, когда длины циклов не превышают 3.
Случай 3. Некоторый элемент g£G имеет, по меньшей
мере, два цикла длины 3.
Пусть
g = (av a2, a3)(bv b2, b3) ... (cv .%.t cr).
Для элемента t = (a3, bv b2) £ An
h = t~lgt = (av av bx)(ft2, a3> bz) ... (cv ...,cf)^O
и
gh~l = (a2, bv a3, bv b3) £ G.
Этим .случай З сведен к случаю 2.
Случай 4. Некоторый элемент g£G имеет по меньшей
мере один цикл длины 3, а остальные его циклы — длины 2.
5.5. И транзитивные группы. Подпрямые произведения 75
Пусть
g = (xv х2) (yv у2) ... (zv z2) (a, b, с) ... (d, *, /).
Тогда g2 = (a, с, b) ... (d, f, e) £ G, и мы свели этот случай
или к случаю 1, или к случаю 3.
Случай 5. Некоторый элемент g£Q состоит только из
циклов длины 2, причем количество их не меньше четырех.
Если g = (x, y){z, и) ... (a, b)(c, d) £ G, для элемента t =
= (у, а){Ь,с) £ Л„ имеем
h = t-*gt = (xt a)(z. и) ... (
gh = (x, с, b)(y, a,d) £ G.
Случай 5 свелся к случаю 3.
Случай 6. Элемент g£G имеет только два цикла длины
два.
Пусть
Поскольку, по предположению, п ^5, кроме букв4 a, bt с, d,
множество содержит еще хоть одну букву е. Возьмём элемент
/ = (а, ЬУ е) £ Ап, тогда
h = t~lgt=t(b, e)(c,d) £ G,
£A = (e. *,&) 6 G,
и мы пришли к случаю 1.
Знакопеременная группа .Л4 из элементов 1, 2, 3., 4 не является
простой, так как она содержит нормальный делитель, состоящий
из четырех элементов A), A2) C4), A3) B4), A4) B3).
5.5. Интранзитивные группы. Подпрямые произведения
Пусть группа G подстановок интранзитивна, и пусть Sl(xl, ...),
i £ / (/ — множество индексов) — различные множества символов»
на которых группа G транзитивна. Если вместо подстановок
группы G рассматривать только подстановки множества St, то
последние образуют группу GL. Для любого i £ / элемент g из О
определяет элемент gt из G/f а именно, подстановку букв из St>
индуцируемую элементом g.
Кроме того, мы можем положить
рассматривая g как элемент декартова произведения групп G/f
так как групповая операция в группе G согласуется с этой же
76 Гл. 5. Группы подстановок
операцией в декартовом произведении JJ Gt. Таким образом, интран-
i
зитивную группу можно рассматривать как подгруппу декартова
произведения транзитивных групп. Мы будем говорить, что G
есть подпрямое произведение групп Gt. Более точно, некоторая
группа называется подпрямым произведением групп Gt, если
1) G-—подгруппа декартова произведения групп 6Ь\
2) для любого элемента gj£Oj существует по меньшей мере
один элемент g£G, у-й компонентой которого является^-.
Это второе условие требует, чтобы все элементы групп Gt
участвовали в образовании элементов группы G.
Если все компоненты gt участвуют в образовании подпрямого
произведения G с JJ Gt независимо друг от друга, то G совпа-
дает со всем декартовым произведением. Но в общем случае это
не так. Следующая теорема выясняет характер возможной зави-
зависимости между компонентами подпрямого произведения. Пусть
G{ и Gj — две компоненты или же, возможно, две группы, задан-
заданные двумя непересекающимися множествами компонент Gt, i £ Iv
и Gj, j £ /2, /j П /2 = 0. Если рассматривать только компоненты
Gt и Gj, то элементы группы G индуцируют группу G*, кото-
которая является подпрямым произведением групп Gt и Gj. Можно
описать связь между компонентами Gt и Gj в группе G, выявляя
строение индуцированного подпрямого произведения G* групп Gt
и Gj.
Теорема 5.5.1. Пусть G* — подпрямое произведение групп
Gt и Gj, Иц u Hjj — подгруппы групп Gt u Gj соответственно,
состоящие из элементов, которые участвуют в образовании
тех элементов из G*, одна компонента которых равна еди-
единице. Тогда подгруппа Ну инвариантна в Gt, Hjt — в Gj, при-
чем существует изоморфизм между фактор-группами GJH^ —
^K^Gj/Iiji, такой, что элемент (gx, g2), gi^Gt, g2(z&j при-
принадлежит подгруппе G* тогда и только тогда, когда gx и
g2 имеют общий образ k при гомоморфизмах Gi-^K, Gj—>K>
Доказательство. Пусть (h, 1) — элементы подгруппы Нц
группы Gt, второй компонентой которых служит единица под-
подгруппы Gj группы G*. Тогда легко проверить, что подгруппа Ну
инвариантна в Gt, аналогично проверяется, что подгруппа Hjt'
инвариантна в Gj. Далее, для некоторого элемента gi^Gt мно-
множество элементов g2^Gj, таких, что (gv £2)€^*' как легко ви-
видеть, составляет смежный класс по Нуь. Аналогично множество
элементов g\^G-t, таких, что (gx, g2)£G*, где g2£Gj, как легко
видеть, составляет смежный класс по Н^. Далее, если (gv ^2)€^*»
то все элементы из множества (Hijgl, Hjtg2) принадлежат G*, и
никакой другой элемент (g'v g'2) из G* не содержит в качестве
5.6. Примитивные группы 77
компонент элементы смежных классов H^gx и Hjtg2. Следова-
Следовательно, для любого элемента (gv g2) из G* устанавливается вза-
взаимно однозначное соответствие Hijgl<^Hjig2 между смежными
классами по Нц в Gt и смежными классами по HJt в Gj.
Если элементы (gv g2) и (gz, gd принадлежат группе G*, то
элемент (gigz, &2ёд также принадлежит G*, значит, установлен-
установленное соответствие сохраняет операцию умножения, т. е. является
изоморфизмом между фактор-группами GJHy и Gy///;7. Если по-
положить G^H^ — K — Gj/Hj^ то при условии, что (gv g2)(zG*,
элементы gx и g2 принадлежат соответствующим смежным клас-
классам и поэтому имеют один и тот же образ k при Гомоморфиз-
Гомоморфизмах Gt->K, Gj->K.
Обратно, если две группы Gt и Gy обладают инвариантными
подгруппами Иц и Hjlt соответственно со свойством GJH^ c^K~
^Gj/Hjit то всё пары (gY, g2), где gi£Git g2^Gj, обладающие
тем свойством, что gx и g2 имеют* один и тот же образ k при
гомоморфизмах Gi-^K, Gj—>K, образуют подпрямое произведе-
произведение G* в описанном выше смысле.
5.6. Примитивные группы
Предположим, G Ф 1—группа подстановок некоторого мно-
множества, которое может быть разбито на непересекающиеся под-
подмножества Sv ..., Sm так, что любая подстановка из группы G
либо отображает все множество St на себя, либо на другое мно-
множество Sj. Если такое разбиение можно провести нетривиальным
образом, т. е. так, чтобы подмножеств было больше одного и
чтобы не все они имели по одному элементу, то группа G на-
называется импримитивной , а множества Sv ..., Sm — областями
импримитивности. Из определения ясно, что интранзитивная группа
тем более импримитивна. Если группа G не импримитивна, то
она называется примитивной. Таким образом, примитивная группа
есть транзитивная группа, основное множество которой нельзя
разбить на собственные подмножества, переводимые одно в дру-
другое этой группой подстановок.
Теорема 5.6.1. Пусть G — транзитивная, но импримитив-
ная группа. Пусть Sx — одна из областей импримитивности,
Ух — один из элементов множества Sx и Н — подгруппа под-
подстановок, оставляющих элемент ух на месте. Тогда элементы
группы G, отображающие Sx на себя, образуют подгруппу К,
причём Н cz К с: G. Число областей импримитивности равно
индексу [G:K], и каждая область импримитивности состоит
из [К: Н] элементов. Обратно, если G — транзитивная
группа и Н — подгруппа подстановок, оставляющих на месте
элемент yv и если существует подгруппа К, такая,
78 Гл. 5. Группы подстановок
что GzzKzdH, то группа О импримитивна и одна из ее
областей импримитивности состоит из [К: Н\ элементов,
в которые подстановки из подгруппы К переводят элемент yv
Существует [G: К] областей импримитивности, соответст-
соответствующих левым смежным классам по К. Таким образом, группа
G подстановок примитивна тогда и только тогда, когда под'
группа Н, оставляющая на месте некоторый элемент, мак-
максимальна.
Доказательство. Пусть G — транзитивная и импримитивная
группа подстановок. Пусть Sx, ..., Sm — области импримитивности
для группы • G, и пусть Н—подгруппа, оставляющая на месте
элемент уг из Sv Если
E.6.1.)
то, согласно теореме 5.3.1, мы можем отождествить элементы
yv . .., уп основного множества группы подстановок G с левыми
смежными классами Hxt из разложения E.6.1), на которых дей-
действуют подстановки K{g):Hxi-+Hxig, где g— любой элемент
из G. Если ylt у2, •••' Уг образуют множество Sv то элементы
группы G, отображающие это множество на себя, образуюу под-
подгруппу К. Подстановка, оставляющая на месте yv должна ото-
отображать множество Sx на себя, откуда НаК* причем включение
строгое, так как подстановка, переводящая ух в у2, принадлежит
подгруппе /С, но не принадлежит Н. Так как подгруппа К тран-
зитивна на множестве Sx, из разложения
E.6.2)
следует, что число элементов t в множестве Sx равно [К: Н]. Так
как множество Sx строго содержится в основном множестве, под-
подгруппа К строго содержится в группе G. Далее, если S( — лю-
любая область импримитивности, то существует подстановка из
группы G, которая переводит элемент ух в некоторый элемент
из St, 2l значит отображает вс£ множество Sx на все множество St.
Поэтому 5г и Sl имеют равное число элементов. Более того,
при подстановке Hxt —> Hxtg имеет место отображение Kxt ->
^>Kxtg, откуда видно, что области импримитивности — это левые
смежные классы по К в разложении E.6.1), а потому их число
равно [G :К]:
Обратно, пусть транзитивная группа G подстановок задана
как группа подстановок Hxi->Hxig смежных классов по под-
подгруппе //, фиксирующей элемент yv и пусть существует такая
подгруппа К, что GzdKzzH. Тогда смежные классы по К состоят
из смежных классов по Я и являются областями импримитивности
для группы G. Следовательно, группа G примитивна тогда и только
тогда, когда подгруппа Н максимальна.
5.6. Примитивные группы 79
Отметим некоторые элементарные факты, которые вытекают
из определения' примитивности и из доказанной теоремы.
Любая дважды транзитивная группа примитивна. Действительно,
если Sj—некоторая собственная часть основного множества сим-
символов, на котором действует дважды транзитивная группа G, то
существует подстановка, которая один из элементов Sj оставляет
на месте, а другой элемент из Sj отображает в произвольный
элемент, не принадлежащий Sv Поэтому Sx не может быть об-
областью импримитивности.
Другой факт заключается в том, что группа подстановок сте-
степени п (т. е. группа подстановок п символов) может иметь об-
область импримитивности из t элементов только тогда, когда t делит п,
так как по теореме 5.6.1 п — [О :Я] и t = [К:Я]. Поэтому груп-
группа простого порядка, безусловно, примитивна. Далее, в /7-группе
любая подгруппа содержится в максимальной Подгруппе индекса /?,
которая инвариантна (следствие 4.2.2). Поэтому группа подста-
подстановок, являющаяся /^-группой, импримитивна, если только ее сте-
степень не равна р, "причем в последнем случае она циклична по-
порядка р.
Теорема 5.6.2. Пусть G— примитивная группа подстано-
подстановок п символов, Я—ее транзитивная подгруппа подстановок
т символов, оставляющая остальные п — т символов на ме-
месте. Тогда
1) если Я примитивна, то G(n— т-\-\)-кратно транзи-
транзитивная
2) в любом случае группа G дважды транзитивна.
Доказательство. Группа Я транзитивна на подмножестве из
т символов. Любая подгруппа, сопряженная с Я, транзитивна на
некотором множестве из т символов, а так как группа G тран-
транзитивна, любой символ попадает по меньшей мере в одно из этих
множеств. Если бы эти множества либо не пересекались, либо
совпадали, то они были бы областями импримитивности для
группы G. Следовательно, для подгруппы Я существуют сопря-
сопряженные с ней подгруппы, которые переставляют некоторые, но
не все, из тех символов, которые переставляет подгруппа Я. Пусть
Нг — одна из подгрупп, сопряженных с Я и такая, что группы
И и Н' переставляют наибольшее возможное количество общих
символов. Положим
H:(av .... аг сх cs),
H'\(bx brcv ..., cs), r-\-s = m. E.6.3)
Эту запись мы понимаем так, что сг сТ — это символы, пере-
переставляемые как группой Н, так и группой Н\ аг аГ — это
остальные символы, переставляемые группой Я, bv ..., br — это
80 Гл. 5. Группы подстановок
остальные символы, переставляемые группой Я'. Утверждается,
что если группа Я примитивна, то г= 1, а если Я импримитивна
и /*>1, то av ..., ат составляют область импримитивности для Я.
Возьмем элемент hr из Я':
k'=lbv ---'К bu+v •••' Ьт% cv ..., с cr_u+v...% сЛ Eб4)
\Ь, ...,Ь,с ,...,с,Ь b ,с , ...,с/. '
Здесь элементы нижней строки не уточняются, а просто указано,
что и элементов вида bt отображается в элементы Ь, некоторое
число элементов b отображается в элементы с, некоторое число
с—вй с — вс. При этом следует отметить, что число г — и
элементов вида bi% отображаемых в элементы вида Cj, должно
быть равно числу элементов вида Cj, отображаемых в элементы
вида bi% так как в нижней строчке подстановки W должно быть
ровно г элементов вида bt.
Отсюда следует, что подгруппа h'~lHhr переставляет г эле-
элементов вида ak, r — и элементов вида bt и (s — r-\-u) элементов
вида Cj, а поэтому эта подгруппа переставляет всего s -\- и эле-
элементов таких, которые переставляются также подгруппой Я.
Таким образом, если г > 1 и подгруппа Нг примитивна, мы можем
найти элемент /г', переводящий некоторые, но не все, элементы
вида bt в элементы того же вида, откуда 1 ^ и < г; поэтому
число s-\-и указанных выше элементов больше, чем s, но
меньше, чем r-^\-s = m. Во всяком случае мы получаем, что г= 1,
если подгруппа Н примитивна, а если г=1, то, независимо от
того, примитивна подгруппа Н или нет, подгруппа Н\}НГ дважды
транзитивна на т+1 символах, а потому примитивна. Теперь
мы можем повторить проделанный цикл рассуждений, но так,
чтобы роль подгруппы Н играла подгруппа H\]Hf. Тогда у нас
получится еще большая подгруппа, уже трижды транзитивная на
пг-\-2 символах и т. д. В конце концов мы получим всю
группу G, которая окажется (п — т-\- 1)-кратно транзитивной.
В случае, когда группа И импримитивна, проведенное рас-
рассуждение неприменимо. Но мы можем увеличивать число s сим-
символов, сдвигаемых одновременно подгруппами Н и Н'\ до тех
пор, пока символы bv ..., br не составят область имприми-
импримитивности для Н', a av a2,..., аГ — область импримитивности
для Я. Кроме того, Н\}Н' — транзитивная группа на s-{-2r =
= т-\-г символах. Таким образом, если т меньше, чем я/2,
то /й-j-r будет меньше, чем п. Мы можем продолжить построе-
построение транзитивных подгрупп над все возрастающим числом сим-
символов, пока не получится транзитивная подгруппа Н над т
символами, причем т больше п/2, но меньше п. Тогда любая
подгруппа Н', сопряженная с Я, переставляет несколько тех же
символов, что и подгруппа Я. Предположим, что подгруппа Я
5.7. Кратно-транзитивные группы * 81
транзитивна на наибольшем возможном числе символов, не
превосходящем п. Если s-\-2r — n и г=1, то подгруппа Н
транзитивна на п — 1 символах, а потому группа G дважды
транзитивна. Если это не имеет места, мы построим группу И,
для которой s-\-2r = n и г Ф \. В этом случае символы вида
ak> bt и Cj составляют все множество, на котором действует
группа G. Но так как группа G примитивна, то существует такой
элемент g группы G, который отображает символ Ъх в некоторый
определенный символ b-v но не все символы такого вида — в сим-
символы того же вида, а поэтому он отображает по меньшей мере
один элемент вида ak или Cj в элемент вида bt. Тогда обе
подгруппы И и g~lHg оставляют на месте указанный эле-
элемент bt, и их объединение есть транзитивная группа над большим
числом символов, чем подгруппа Н.
Итак, мы в конце концов получим транзитивную подгруппу
на и — 1 символах, и поэтому группа G дважды транзитивна.
Второй из двух рассмотренных в доказательстве случаев дей-
действительно встречается. Это показывает пример 4 в главе 1, где
рассматривается транзитивная группа на семи буквах, которая,
следовательно, примитивна. Она обладает транзитивной подгруп-
подгруппой на четырех буквах С, Е, F, G и дважды, но не трижды,
транзитивна.
5.7. Кратно-транзитивные группы
Симметрическая группа степени п, очевидно, я-кратно транзи-
транзитивна, а знакопеременная группа Ап (как мы уже заметили
в § 5.4) (п — 2)-кратно транзитивна. Мы исключим эти группы
из дальнейших рассуждений о кратной транзитивности групп. Су-
Существует бесконечно много трижды транзитивных групп. Но,
кроме знакопеременной и симметрической групп, известны только
четыре группы, которые четырежды транзитивны. Это группы
Матье (Mathieu) степеней И, 12, 23 и 24, причем группы сте-
степеней 12 и 24 пятикратно транзитивны и содержат в качестве
подгрупп, оставляющих на месте одну букву, группы степеней 11
и 23 соответственно. Эти несколько таинственные группы были
предметом серьезных исследований, но осталось неизвестным,
являются ли эти группы в самом деле исключением или же они
принадлежат некоторому бесконечному семейству четырежды
транзитивных групп.
Теорема 5.7.1, доказанная Миллером [1]', дает оценку крат-
кратности транзитивности для групп подстановок степени п. Эта тео-
теорема вместе с „постулатом Бертрана" (Bertrand) устанавливает,
что для я>12 группа подстановок степени п не может быть
^-кратно транзитивной, если t^>%Yn — 2. Постулат Бертрана
(правильно доказанный Чебышевым в 1850 году) утверждает, что
6 М. Холл
82 Гл. 5. Группы подстановок
для любого действительного числа х^7 существует простое
число р в интервале х/2 < р^Сх— 2. Теорема Миллера дает
значительно лучшую оценку для многих частных значений п.
Известны еще лучшие оценки, но из-за сложности доказательств
iv ы их опускаем1).
Теорема 5.7.1. Пусть G— t-кратно транзитивная группа
(тепени п. Пусть Н—подгруппа, оставляющая на месте t
букв, и Р—силовская р-подгруппа группы Н, которая оста-
оставляет на месте w^>t букв. Тогда нормализатор подгруппы Р
в группе G является t-кратно транзитивной группой на мно-
множестве из w букв, инвариантных при Р2).
Доказательство. Пусть аг at и bx bt—два упо-
упорядоченных множества, в каждом из которых по t букв, причем
оба являются подмножествами множества из w букв, инвариант-
инвариантных при Р. Тогда, так как группа G ^-кратно транзитивна, суще-
существует элемент х из G, переводящий at в bt при / = 1 t.
Тогда х~1Рх оставляет на месте bv ..., bt% а, значит, под-
подгруппы Р и х~1Рх являются силовскими подгруппами группы G,
оставляющими на месте bv ..., bt. Согласно второй теореме Си-
лова, эти подгруппы сопряжены в группе, для которой буквы bv ...
..., bt инвариантны. Поэтому для некоторой подстановки у, оставля-
оставляющей на месте bv ..., bt, имеет место равенство у (хРх) у = Р.
Если z = xy, то z~1Pz = Pt причем подстановка z переводит
элементы av ..., at в элементы Ьг bt. Значит, в нормализа-
нормализаторе подгруппы Р существует элемент, отображающий любое
упорядоченное подмножество, состоящее из t букв множества
из w букв, оставляемых на месте подгруппой Р, на любое дру-
другое упорядоченное подмножество того же самого множества из w
букв. Таким образом, нормализатор подгруппы Р в группе G
/-кратно транзитивен на множестве из w букв, инвариантных при Р;
теорема доказана.
Теорема 5.7.2. Для целого числа п вида п — kp-\~rt где р —
простое число, р > k, г > k, группа подстановок степени п,
за исключением случая k=\ и г = 2, не может быть (г + 1)-
кратно транзитивной, если только она не совпадает с груп-
группами Sn или Ап.
Доказательство. Предположим, что группа G степени п
(г + 1)-кратно транзитивна. Подгруппа Н, оставляющая на месте
первые г букв 1, 2 г, транзитивна тогда на остальных kp
буквах. Поэтому порядок группы Н делится на р, г сама она
1) Паркер получил оценку для t порядка величины у п для подхо-
подходящих значений п. Наилучшую оценку /<31ogn получил Виландт [1].
2) В дальнейшем мы будем употреблять выражение „символ а инва-
инвариантен относительно Ни (где Н—множество подстановок) вместо
,символ а остается на месте при всех подстановках из Ни. — Прим. перев.
5.7. Кратно-транзитивные группы 83
содержит силовскую /7-подгруппу Р. Подгруппа группы Я, оста-
оставляющая одну из рассматриваемых kp букв на месте, имеет
индекс kp в группе Я, а поэтому ее порядок не делится на выс-
высшую степень числа /?, которая делит порядок группы Я. Следова-
Следовательно, подгруппа Р должна переставлять каждый из kp символов,
на которых подгруппа Я транзитивна. Далее, так как kp < /?2,
подгруппа Р не содержит транзитивной подгруппы степени р2.
Так как число символов в каждой области транзитивности
группы Р должно делить порядок Р, то группа Р, рассма-
рассматриваемая как группа подстановок kp символов, обладает
в точности k областями транзитивности, по р символов в ка-
каждой. (Мы уже исключили случай, когда какая-либо область
транзитивности состоит из одного единственного элемента.)
В каждой из этих областей транзитивности группа Р действует
как циклическая группа порядка^ р. Поэтому Р есть подпрямое
произведение k циклических групп порядка и степени р каждая.
Значит, любой элемент из Р имеет порядок р\ кроме того, Р—
абелева группа. В остальном же для нас несущественно, как
именно образовано подпрямое произведение Р.
. Пусть N — нормализатор подгруппы Р в О. По теореме 5.7.1
нормализатор N действует как симметрическая группа Sr на
первых г буквах из основного множества букв О. Рассмотрим
сперва случаи, когда г ^5. Пусть Nx — подгруппа группы N,
являющаяся знакопеременной группой Аг тех же г букв.
По теореме 5.4.3 группа Ат простая, составного порядка г!/2
и, так как г^4, неабелева. Пусть Tv ..., Tk — области транзи-
транзитивности (в каждой из которых по р элементов) для группы Р.
Мы получим гомоморфный образ группы Nv если будем комби-
комбинировать подстановки первых г букв с подстановками на обла-
областях транзитивности Tv переставляемыми между собой элемен-
элементами из Nv Этот образ является подпрямым произведением
группы Аг, действующей на первых г буквах, и группы В, не-
некоторым образом переставляющей k областей транзитивности Tt
между собой. Но группа подстановок k символов не может иметь
порядок, превосходящий &!, и поэтому вследствие неравенства
&!<г!/2 она не может иметь фактор-группу, изоморфную про-
простой группе Лг; таким образом, единственной фактор-группой
этой группы, изоморфной некоторой фактор-группе группы Аг
является единичная группа. Следовательно, это подпрямое произ-
произведение, в силу результата § 5.5, оказывается прямым произведе-
произведением групп Ат и В. Полным прообразом в группе Nx подгруппы
этого прямого произведения, порожденной подгруппой Afi с одной
стороны, и единицей группы В — с другой, является подгруппа Af2,
которая на первых г буквах действует как Аг, а каждую область
транзитивности Тг отображает на себя. Мы должны прервать
6*
84 Гл. 5. Группы подстановок
исследование группы N2, чтобы рассмотреть в группе подстано-
подстановок р букв xv ..., хр нормализатор циклической группы, по-
порожденной подстановкой а — (хг хр) этих букв. Учитывая,
что ap=l, bab = ai и с~1ас = а^, мы видим, что и be, и cb
трансформируют подстановку а в подстановку alJ. Таким образом,
автоморфизмы циклической группы, индуцированные преобразо-
преобразованиями из нормализатора этой группы, сами образуют абелеву
группу. (Мы увидим в следующей главе, что автоморфизмы ци-
циклической группы порядка р образуют циклическую группу по-
порядка р— 1.)
ч Пусть теперь и — некоторая подстановка букв хг хр,
перестановочная с а. Умножив и на подходящую степень а\ по-
получим подстановку v = ual, перестановочную с а и оставляющую
на месте букву хг. Но из этих двух свойств подстановки v
легко вывести, что v оставляет на месте х2, ..., хр и, значит,
v=l, откуда и=а~1. Отсюда вытекает, что группа N2 на
каждой из k областей транзитивности Tt (состоящей из р букв)
группы Р обладает инвариантной подгруппой порядка /?, состоя-
состоящей из степеней некоторой подстановки р букв, и фактор-груп-
фактор-группой по этой группе, состоящей из элементов, индуцирующих
различные автоморфизмы на группе порядка р. Эта фактор-группа
абелева/ Таким образом, любая фактор-группа или абелева, или
имеет абелеву фактор-группу. Поэтому единственной фактор-
факторгруппой, изоморфной фактор-группе группы Аг является единич-
единичная группа. Таким образом, оставив временно действия над
Г2, Г3, ..., Гл"вне рассмотрения и применяя результат из § 5.5
к первым г буквам и области Tv мы получаем, что группа N2
содержит подгруппу, которая на первых г буквах действует,
как Аг, а на области Тг — тождественно. Эта подгруппа Мг
в свою очередь обладает подгруппой N4, которая на первых г
буквах действует как Лг а на областях Тг и Т2 — тождественно.
Повторяя это рассуждение несколько раз, мы получим под-
подгруппу, которая на первых г буквах действует, как ^группа Аг,
а на всех других — тождественно. Но группа Ат содержит
цикл (а, Ь, с) длины 3, и поскольку группа G, по предположе-
предположению, самое меньшее пятикратно транзитивна на всех п буквах
(г ^> 5), этот цикл может быть трансформирован в любой другой
цикл длины 3 группы G. Согласно лемме 5.4.1, все циклы длины 3
порождают группу Ап. Итак, группа О содержит Ап. Следова-
Следовательно, G = An или G = Sn.
Приведенные рассуждения существенно используют предполо-
предположение г^5. Остается рассмотреть случаи г —3, k=\ или 2;.
г = 4, ^ = 1, 2 или 3. Рассмотрим сначала случаи, когда группа Р
циклическая и порождается некоторым элементом а, причем k — 1
5.7. Кратно-транзитивные группы * 85
или 2. Как мы отмечали выше, если и = A2)C). .. иу = A)B3).. .—
элементы нормализатора N "группы Р (который оказывается сим-
симметрической группой первых трех или четырех букв, оста-
оставляемых на месте группой Р), то, так как группа Р циклична,
элементы uv и vu трансформируют подстановку а в одну и ту же
ее степень. Поэтому подстановка u~lv~~luv = (\, 2, 3)... пере-
перестановочна с а. Этот элемент w = u~1v~1uv либо отображает
области транзитивности Тг и Г2 друг на друга, либо оставляет их
на месте. В обоих случаях элемент w2 = (l, 3, 2)... оставляет
в целом на месте обе эти области. Порядок этого элемента
делится на 3, а поэтому некоторая его степень имеет порядок З5;
первые три буквы она переставляет^ циклично, оставляя в целом
на месте области транзитивности; кроме того, эта степень пере-
перестановочна с элементом а. Но для каждого цикла подстановки а,
если он не является тождественной подстановкой, единственным
перестановочным с ним элементом является его степень порядка р.
Таким образом, если р =£ 3, элемент порядка З*5, перестановочный
с а, есть цикл A, 2, 3) или A, 3, 2) первых трех букв и
тождественная подстановка— остальных. Тогда группа G со-
содержит цикл длины 3 и к тому же трижды транзитивна, а значит,
совпадает либо с Лп, либо с Sn. Мы исключили случай р = 3 при
/г—1 или 2, г —3 или 4 (соответственно я = 6, 7, 9, 10). Если
р —3, k= 1, группа Р сама порождена циклом длины 3, и заклю-
заключение проходит. Этим рассуждением покрывается случай п = 6, 7.
Случаи п = 9 и п =10 должны быть рассмотрены отдельно.
Все возможности, когда k=\, уже рассмотрены, так как в этих
случаях группа Р, конечно, циклична. Если теперь k = 2 и группа Р
нециклична, то Р есть прямое произведение двух циклов длины р.
Тогда применяем теорему 5.6.2, где G— примитивная группа,
Н — циклическая группа порядка р и, значит, примитивная. Полу-
Получаем, что группа G (р-{-4)- или (р-\- 5)-кратно транзитивна.
Применяя уже изложенные рассуждения для г — р-\-Ъ или
г = р-\-4: и k=\, получаем, что группа G совпадает с Лп или Sn.
Рассмотрим, наконец, случаи, когда к = 3, г = 4. Прежде всего,
если группа Р циклична, можно доказать, как и прежде, что
существуют элементы A, 2, 3)D)..., A)B, 3, 4)..., которые пере-
перестановочны с образующим элементом а группы Р, причем в дей-
действительности все восемь возможных циклов длины 3 первых
4 букв обладают этим свойством. Но они могут переставлять
три области транзитивности подстановки а циклически одним
из способов: (Tv T2, Г3) или G\, Г3, Г2), и по меньшей
мере две из восьми подстановок должны переставлять области Tt
одинаковым образом. Перемножая эти подстановки, мы получаем
элемент вида A, 2,3) D). . .или (К 2)C, 4). ... который области 7\,
Т2, Г3 оставляет в целом на месте. Здесь число р не менее 5,
86 Гл. 5. Группы подстановок
и из элементов одного из этих двух видов, перестановочных с а
и переводящих циклы подстановки ># в себяг можно получить
элемент такого же вида, оставляющий на месте Ър тех букв, на
которые действует подстановка а. Таким образом, в группе О
имеется либо цикл A, 2, 3) длины 3, либо подстановка A, 2)C, 4),
а из четырехкратной транзитивности следует, что имеются также
подстановки A, 2)C, 5) и C, 4, 5). Поэтому группа О содержит Ап,
т. е. равна ей или совпадает с Sn. С другой стороны, есяи Я
содержит отдельный цикл из р символов, то можно применить тео-
теорему 5.6.2, в силу которой группа ОB/?-|-4)-или B/?-|-5)-кратно
транзитивна, следовательно, опять группа G есть или Ап, или Sn.
В последнем случае, который мы должны рассмотреть,
группа Р нециклична и не содержит /?-цикл. Тогда группа Р
должна быть порядка р2. Мы можем выбрать базис для группы Я,
состоящий" из двух элементов: a = (xv х2 хр)(У\> Уг» • • •» Ур)
и b = (yv у2 yp)(zv z2 zp), где а и b индуцируют один
и тот же цикл на элементах ylf у2 УР- В этом случае эле-
элемент ab~x и его степени суть единственные элементы из Я, оста-
оставляющие на месте множество Т2 элементов yv y2 ур. Теперь
можно выбрать элемент вида A, 2, 3, 4)..., принадлежащий нор-
нормализатору группы Я, так, чтобы он или оставлял на месте все
три подмножества, или переставлял два из них и оставлял на месте
третье. Тогда квадрат его и = A, 3) B, 4)... оставляет на месте
все три области транзитивности. Следовательно, элемент и транс-
трансформирует каждый из элементов а, Ъ и ab в некоторую его
степень и тем самым возводит а и Ъ в одинаковую (скажем,
в г-ю) степень и трансформирует любой элемент из Я в его
г-ю степень. Такой автоморфизм должен быть перестановочным
,с любым другим автоморфизмом группы Я и, в частности, с авто-
автоморфизмом, индуцированным подстановкой t^ = (l)B)C, 4) ....
Поэтому элемент v — w~luw = (\, 2)C, 4)... также трансформи-
трансформирует любой элемент из Я в его /-ю степень, а потому, естественно,
оставляет на месте указанные выше,области транзитивности. Но
теперь элемент uv~l = (h 4) B, 3)... перестановочен с любым
элементом из Я, оставляющим на месте рассматриваемые области
транзитивности. Отсюда вытекает существование подстановки
A,4) B, 3), принадлежащей группе О, а так как G четырежды
транзитивна на множестве из более чем четырех букв, то опять
группа G равна или Ап, или Sn.
5.8. О теореме Жордана
В 1872 году Жордан [2] доказал, что конечная четырежды
транзитивная группа, в которой любые четыре буквы инвариантны
только относительно единичной подгруппы, должна быть одной
из следующих групп: симметрической группой четвертой или пятой
5.8. О теореме Жордана 87
степени, знакопеременной группой шестой степени или группой
Матье одиннадцатой степени.
Здесь мы обобщим эту теорему Жордана в двух направлениях.
Во-первых, не будем предполагать конечность степени группы
подстановок; во-вторых, вместо предположения, что 4 буквы
инвариантны только относительно единичной подгруппы, будем
предполагать только, что они обладают этим свойством относи-
относительно конечной группы нечетного порядка. Заключение отличается
от теоремы Жордана лишь тем, что рассматриваемая группа
может быть еще знакопеременной группой седьмой степени. Наша
теорема гласит.
Теорема 5.8.1. Четырежды транзитивная группа G конечной
или бесконечной степени, в которой подгруппа, относительно
которой инвариантны 4 буквы, конечна и нечетного порядка,
должна быть одной из следующих групп: «S4, S5, Л6, А7 или
группой Матье одиннадцатой степени.
Случай 1. Группа G не более чем седьмой степени.
Четырежды транзитивная группа на 4 или 5 символах должна
быть симметрической группой. На шести символах ее порядок
должен быть равным по меньшей мере 6 • 5 • 4 • 3, т. е. она ока-
оказывается группой Aq или 56. На семи символах ее индекс
в группе 57 равен самое, большее 6. Так как группа 57 не имеет
подгрупп индексов 3 и 6, единственными возможными группами
опять оказывается Л7 или 57. И в группе 56, и в группе S7 суще-
существуют элементы порядка 2, оставляющие на месте по меньшей
мере 4 символа, и поэтому эти группы не удовлетворяют усло-
условиям теоремы.
Рассмотрению случая, когда степень группы G более 7, мы
предпошлем 2 леммы.
Лемма 5.8.1. Элементы а и Ь некоторой группы, удовле-
удовлетворяющие отношениям
порождают группу диэдра порядка 2s. Если число s = 2t — 1
нечетно, то некоторая степень элемента y = ab трансфор-
трансформирует а в Ь. Если число s = 2r четно, то элементы а и Ь
перестановочны с элементом уг.
Доказательство, Для y — ab имеем
а2'=1. /=1, b = ay = yla.
Если s = 2t—\, то
у~1ау1 = ay2t = b.
Если s = 2r, то
ayr = y~ra = yra.
Начиная с этого места, мы будем обозначать буквой G (как
в теореме 5.8.1) четырежды транзитивную группу степени более
Гл. 5. Группы подстановок
чем 7, а буквой Н—подгруппу нечетного порядка т, относи-
относительно которой инвариантны 4 символа.
Лемма 5.*8.2. Пусть группа G содержит элементы по-
порядка 2 и все они сопрящены.
Тогда 1) или каждый элемент порядка 2 оставляет
на месте 2 символа, 2) или каждый элемент порядка 2
оставляет на месте 3 символа.
Доказательство. Так как группа G четырежды транзитивна,
она содержит элемент вида
£• = A2) C4)....
Ясно, что подстановка g2 оставляет на месте элементы 1,2, 3, 4;
следовательно, она принадлежит подгруппе Н и имеет поэтому
конечный нечетный порядок mv Тогда х = gm^ = A2) C4)
причем х2=\. Так как порядок подгруппы Я нечетный, то любой
элемент и порядка 2 оставляет на месте, самое большее, 3 символа
и тем самым перемещает не менее 4 символов. Ко всякому эле-
элементу вида и = (ab) (cd)... имеется сопряженный элемент вида
Далее v — x или подстановка vx оставляет на месте 4 символа
и имеет нечетный порядок; отсюда, согласно лемме 5.8.1, эле-
элементы v n х сопряжены. Таким образом, все элементы порядка 2
сопряжены. С другой стороны, в группе G существует элемент z
вида Z — A)B) C4)..., причем либо сам элемент z, либо неко-
некоторая его нечетная степень будет элементом порядка 2, не пере-
перемещающим хотя бы два символа. Следовательно, любой элемент
порядка 2 оставляет на месте или 2, или 3 символа, так как они
оставляют на месте не менее двух символов, но не более трех.
Случай 2. Группа G степени более чем 7.
Пусть а1 = A)B)C4)... и b = A2) C4).. .— два элемента
порядка 2. Тогда элемент / = а1£ = A2)C) D)...—четного по-
порядка, а /2 — нечетного порядка mv Следовательно, элемент
/^i = a3 порядка 2; согласно лемме 5.8.1, аг перестановочен с а^
Положив еще а2 = а1аг, мы теперь видим, что в группе G содер-
содержатся перестановочные между собой элементы порядка 2:
E.8.1)
Так как а2 — элемент порядка 2, то он оставляет на месте
или два символа 5 и 6, или три символа 5, 6, 7. Поскольку
подстановка аг перестановочна с с2, она переводит множество
5.8. О теореме Жордана 89
этих символов в себя. Но подстановка ах оставляет на месте
символы 1, 2 и еще не более одного символа. Поэтому возможны
два случая:
а1 = A)B)C4).E6).... - ^ = A) B) C4) E6) G)...,
\, или а2 = A2)C4)E)F)G)... , E.8.2)
.; а3-A2)C)D)E6)G) ... .
Первый случай имеет место, когда все элементы порядка 2 оста-
оставляют на месте два символа, второй — когда они оставляют на
месте три символа. Элементы av аъ а3, только что выписанные,
и тождественная подстановка образуют четверную группу Клейна,
которую мы обозначим через V. Остальные символы распадаются
на области транзитивности для группы V по 4 символа в каждой:
*fl1 = (l)B)C4)E6)G)(A0C/*)---.
а2 = A2)C4)E)F)G)(АД(/*). . . , E.8.3)
Здесь подразумевается, что символ 7 не обязательно присутствует
в записи.
Порядок подгруппы /С, переводящей множество символов h,
it у, к в себя, рацен 24 m, где m — порядок инвариантной под-
подгруппы # = //(А, i, у, к) группы /С, для которой эти символы
инвариантны. Существует подгруппа U', KzdUzdH, которая пере-
переставляет символы h, I; j, k следующим образом:
(А)
(АО С/*)
(Aft) (/У)
(АУ/ft) E.8.4)
(Aft/))
(АО (У) (*)
(A)(OC/ft)
Порядок подгруппы U равен %пг9 и поэтому силовская 2-подгруппа
группы U имеет порядок 8. Подстановки, переставляющие эле-
элементы hy /, у, к между собой каким-то определенным образом»
составляют смежный класс по подгруппе Н в U. Так как под-
подгруппа Я инвариантна в группе U, подгруппа группы U порядка 8
содержит только по одной подстаноаке из каждого смежного
класса; она изоморфна фактор-группе U/H и, следовательно»
точно представлена этими подстановками символов /г, /, у, к.
90 Гл. 5. Группы подстановок
Группа V содержится в силовской подгруппе порядка 8 группы U.
Поэтому получаем подстановки
ах = A) B) C4) E6) G) (hi) {jk)....
« = A)B)C546)G)(АУ/А).... , E.8.5)
fl2« = A2)C6)D5)G)(A0 (/)(*)....
вз« = A2)C5)D6)G)(А)@С/*)...
или же подстановки, получаемые из подстановок E.8.5) заменой 5
на 6 и наоборот. Действительно, последние четыре подстановки
переставляют символы 1, ..., 7 согласно следующим отношениям:
u2 — av и~га2и — аг, (а2иJ—\.
Элемент и принадлежит нормализатору группы V, а, следова-
следовательно, из символов, инвариантных, относительно группы V, он
оставляет на месте только символ 7 (если этот символ вообще
встречается). Кроме того, элемент и должен отображать символы,
инвариантные при а3, в символы, инвариантные при а2. Отсюда
- /3, 4, .,
или и = [
/3. 4, ...\
" \5, 6. .../
но так как u2 = av то
и = C546)... или и = C645)....
Наконец, подстановка и должна оставлять символы 1 и 2 на
месте или переставлять их между собой. Но если и переставляет 1
и 2, то элемент а2и имеет порядок 2 и оставляет на месте
символы 1, 2, J, k. Таким образом, возможно только
и = A)B)C546) ... или « = A)B)C645)... . Отсюда следует
и вид остальных трех подстановок.
Каждая другая область транзитивности группы V, подобная
множеству символов ht i, jt k, дает некоторую группу 5, ана-
аналогичную группе E.8.5). В каждой из таких групп элементы7
вида A2) C6) D5) ... и A2) C5) D6) ... оставляют на месте два
символа в соответствующей области транзитивности. Так как
элемент порядка 2 не может оставлять на месте четыре символа,
то каждой такой области транзитивности соответствует свой эле-
элемент, который переставляет первые шесть символов так же, как
подстановка A2) C6) D5). Но существует не более m подстано-
подстановок, переставляющих первые шесть букв указанным образом. Сле-
5.8. О теореме Жордана 91
довательно, если существует t таких областей транзитивности,
то t — конечно, t^.mf и группа G действует на множестве из
д = 4£-)-6 или 4t-\-7 символов. Если /г.== 10 или 11, то t=\.
Четырежды транзитивной группы степени 10 не существует
(кроме А10 и 510, разумеется), так как нормализатор цикла длины 7,
согласно теореме 5.7.2, действует как группа 53 на остающихся
трех символах. Поэтому этот нормализатор, являющийся подпря-
мым произведением группы 53 и нормализатора цикла длины 7,
содержит произведение цикла длины 3 и единичной подстановки.
Следовательно, группа G содержит цикл длины 3, а так как она
четырежды транзитивна, то содержит все циклы длины 3. Но
тогда группа G содержит Л1а.
Порядок группы G степени 11 равен 11«10«9-8т. Даже
без предположения нечетности числа m рассмотрение нормализа-
нормализаторов силовских подгрупп, относительно которых инвариантны
четыре символа, показывает, что т=1. Группа порядка 8, отно-
относительно которой инвариантны три символа, содержит только один
элемент порядка 2, а потому она или циклична, или изоморфна
группе кватернионов. Циклическая группа имеет только 4 авто-
автоморфизма. Ее нормализатор не может быть трижды транзитивен
на остающихся трех символах, так как в этом случае группа О
содержала бы цикл длины 3. Следовательно, подгруппа, для
которой три символа инвариантны, должна быть группой кватер-
кватернионов Q. Итак, группа G является транзитивным расширением
группы Q, и методом Холиоке [1] мы можем легко построить из
группы Q не только четырежды транзитивную группу Матье
одиннадцатой стецени, но и пятикратно транзитивную группу две-
двенадцатой степени.
Чтобы завершить доказательство нашей теоремы, мы покажем,
что неравенство t > 1 противоречит нечетности порядка под-
подгруппы Н. Пусть символы w, х, у, z составляют область тран-
транзитивности группы V, отличную от /z, /, j, k. Из E.8.5) имеем
подстановку
а2и = A2) C6) D5) G) (hi) (j) (*)...
и отличную от нее подстановку
а2и' = A2) C6) D5) G) (wx) (у) (г)....
Каждая из этих подстановок перестановочна с аг и трансформи-
трансформирует а2 в д3, а аз в а2- Их произведение q оставляет на месте
первые шесть (или семь) символов, а поэтому имеет нечетный
порядок. Кроме того, элемент q принадлежит централизатору
группы V. Согласно лемме 5.8.1, некоторая степень элемента q
трансформирует а2и в а2и' и, следовательно, переводит символы j
и k, инвариантные при а2и, в символы у, z, инвариантные при а2и'.
92 Гл. 5. Группы подстановок
Будучи перестановочным с каждым элементом группы V, этот
элемент должен отображать всю область транзитивности /г, /, у, k
на область транзитивности w, х, yt z. Следовательно, существует
подгруппа С в G, которая оставляет на месте первые шесть (или j
семь) символов, содержится в централизаторе группы V и к тому же
транзитивна на множестве, состоящем из t областей транзитив-
транзитивности группы V. Элемент подгруппы С, переводящий одну из
областей транзитивности группы V в себя, будучи элементом не-
нечетного порядка, должен оставлять на месте все четыре символа.
Таким образом, областями транзитивности группы С являются
множества A), B), C), D), E), F), G), Th% Tt, TJt Tk, где последние
четыре множества содержат по t элементов; при этом символы h,
i, у, k находятся в различных областях транзитивности группы С.
, Пусть теперь р — простое число, делящее t. (Здесь мы исполь-
используем предположение, что t у> 1.) Пусть Р — соответствующая си-
ловская /7-подгруппа группы С. Тогда относительно группы Р не-
неинвариантны все At символов, переставляемых группой С, так как
подгруппа группы С, оставляющая на месте некоторый символ,
имеет индекс t = 0 (mod/7) и, следовательно, не может содержать
силовскую /^подгруппу. Пусть теперь Рг — силовская /7-подгруппа
в группе Я, оставляющая на месте символы 1, 2, 3, 4 и содер-
содержащая Р. Тогда группа Рг переставляет At символов, переста-
переставляемых группой С, и не переставляет никакие другие, кроме, j
может быть, случая, когда \
/7 = 3, t=3w, n=:At-{-7. \
1
В этом случае группа Рг, возможно, перемещает At-\~Z символов. ^
Эту возможность мы рассмотрим отдельно позднее. В основ- ;
ном же случае, согласно теореме 5.7.1, группа NG(Pl) четырежды j
транзитивна на первых шести или семи буквах, а потому |
содержит группу Л6 или А7 на этих символах. Но подгруппа, j
переводящая первые шесть (или семь) символов в себя, также 1
содержит подстановку и из E.8.5), которая не содержится в зна- |
копеременной группе этих символов. Таким образом, в группе G \
содержится вся подгруппа, действующая как симметрическая j
группа на множестве из первых шести или семи сим- 4
волов, и, следовательно, некоторый элемент, оставляющий на \
месте первые четыре символа и переставляющий пятый и шестой j
символы. Это противоречит предположению о нечетности порядка .«
подгруппы Н. Остается рассмотреть случай, когда ';
и группа Рг переставляет символы 5, 6 и 7 так же, как и At
символов, переставляемые группой Р. Если w > 1, то, конечно,
5.8. О теореме Жордана 93
5, 6 и 7 образуют область транзитивности группы Pv и в группе О
существует элемент вида
г = A)B)C)D)F67)... .
Если же до=1, то Р — группа порядка 3 (даже если в Рх сим-
символы 5, 6, 7 попадают в одну область транзитивности с обла-
областями транзитивности 8, 9, 10 и 11, 12, 13 группы Р).
Так как имеется элемент вида E)F)G)(8, 9, 10)A1, 12, 13) . . .,
то найдется и элемент вида z, оставляющий на месте 8, 9, 10.
Но из подстановки вида £ = A)B)C)D)E67) ... и подстановки и
из E.8.5) имеем подстановку
а это противоречит условию, что подгруппа Я, относительно
которой инвариантны четыре символа,—нечетного порядка.
Пусть G— четырежды транзитивная групп-а степени 11, не
совпадающая с группами Su и Аи. Если G содержит элемент
одного из видов: (а, Ь), (а, b)(c, d) или (а, Ь, с), то в силу че-
четырехкратной транзитивности группа G содержит так же все эле-
элементы такого вида и поэтому должна совпадать с Лп и Su. Если
группа О содержит цикл длины 5 или 7, то такой цикл поро-
порождает транзитивную и примитивную группу на символах, которые
он переставляет. В этом случае, согласно теоремам 5.6.2 и 5.7.1,
группа G должна совпадать с Su или Лп. За исключением рас-
рассмотренных случаев, подгруппа V' = V1234, оставляющая на месте
четыре символа, имеет порядок, делящий 24 • З2. Если группа V
отлична от единичной, то она должна содержать силовскую
2-подгруппу или силовскую 3-подгруппу. Вследствие сделанного
нами исключения в каждом из этих случаев такая силовская под-
подгруппа должна перемещать точно шесть символов. По теореме
5.7.1 нормализатор группы Р является четырежды транзитивной
группой на остальных пяти символах, и, так как группа Р имеет
области транзитивности одного из следуюших видов: три и три
символа, четыре и два символа или два, два и два символа, от-
отсюда следует, что группа G содержит цикл длины пять, а этот
вариант исключен. Таким образом, единственная оставшаяся воз-
возможность заключается в том, что подгруппа V, относительно
которой инвариантны четыре символа, состоит только из единицы,
а группа G порядка 11 • 10 • 9 •8.
Подруппа W, оставляющая на месте три символа, например
9, 10, 11, регулярна и транзитивна на остальных восьми симво-
символах, а потому она является регулярным представлением одной из
пяти различных групп порядка восемь. Подгруппа W содержит
94 Гл. 5. Группы подстановок
элементы порядка два, скажем л: = A2) C4) E6) G8) (9)A0)A1)|
В подгруппе //, оставляющей на месте символы 10 и 11, содер4
жатся девять сопряженных с W подгрупп, для каждой из кото-»'
рых имеется в точности один инвариантный символ. Если бы два*
различных элемента порядка два содержали некоторую общук
транспозицию, скажем' (/, У), то их произведение было бы эле-1
ментом, отличным от единицы и переставляющим не более семи!
символов, а это уже исключено. Но каждый из рассматриваемых!
элементов порядка два содержит четыре транспозиции, а транс-!
позиций символов 1 9 существует только 9 • 8/2 = 36j
Следовательно, группа W содержит всего один элемент порядка 2|
и должна быть или циклической группой порядка 8, или груп-j
пой кватернионов. Но если W — циклическая группа, то ее нор-*
мализатор содержит элемент порядка 3, который может быты
толькб циклом (9, 10, 11), что невозможно., Следовательно,^
группа W должна быть группой кватернионов Q. )
Подгруппа Я, для которой символы 10, 11 инвариантны, имеет;
порядок 72 и содержит девять групп кватернионов, из кото-^
рых любые две пересекаются по единице. Тождественная подста-i
новка<и восемь остальных элементов1) образуют подгруппу U\
порядка 9, которая инвариантна в //. Восемь элементов группы Ut\
отличные от единицыг сопряжены относительно группы Q, и no?S
тому U — элементарная абелева группа. \
Исходя из установленных фактов» мы легко можем построить
группу //, единственную с точностью до изоморфизма. В качестве
подстановок, порождающих £/, мы можем выбрать подстановки
и = A,2,3) D,5,6) G,8,9) A0) A1), \
v = A,4,7) B,5,8) C,6,9) A0) A1).
Тогда //=Q£/, где Q — группа кватернионов, порождаемая под-
подстановками
а = A) B,4,3,7) E,6,9,8) A0) A1),
Ь = A) B,5,3,9) D,8,7,6) A0) A1),
и
а2 = ^2 = A) B3) D7) E9) F8) A0) A1),
Подгруппа /С, оставляющая на месте символ 11, порождается
подгруппой Н и элементом х, сопряженным с а2, оставляющим
на месте 2 и 11 и переставляющим символы 1 и 10. Такой эле-
элемент должен существовать, так как группа G четырежды тран-
1) То есть не входящих ни в одну из сопряженных групп кватер-
кватернионов. — Прим. перев.
5.8. О теореме Жордана 95
зитивна. Ясно, что хщ принадлежит нормализатору группы Q. При-
Присоединение элемента 'X к группе Н не дрлжно давать элемента,
отличного от единицы и оставляющего на месте четыре символа.
Для элемента х имеются только три возможности:
хг = (\, 10) B) C) A1) D, 5) F, 8) G, 9), .
*2 = A. 10)B)C)<11)D. 6) E, 9) G, 8),
*3 = A, 10) B) C) A1) D, 7) E, 6) (8, 9).
Подстановка D, 5, 6) G, 8, 9) трансформирует группу Н
в себя, a xv х2, xz — друг в друга. Поэтому, с точностью до
изоморфизма, мы можем присоединить к Н любой из этих трех
элементов. Пусть подгруппа К получается присоединением эле-
элемента хх к Я. Тогда группа О получается присоединением к под-
подгруппе Н подстановки у, сопряженной с а2, оставляющей на ме-
месте символы 2 и 10 и переставляющей 1 и 11. Поэтому элемент
у принадлежит нормализатору подгруппы Q и подгруппы, .оставля-
.оставляющей на месте 1 и 11. Таких элементов у может быть лишь дв^:
у1 = A, 11)B) CH0) D, 6) E, 9) G, 8),
У2 = A. П)B)C)A0)D. 7) E, 6) (8, 9).
Элемент D, 9) E, 7) F, 8) принадлежит нормализатору подгруппы К
и трансформирует элементы уг и у2 друг в друга. Следовательно,
мы можем считать, что, с точностью до изоморфизма, группа О
получается присоединением элемента ух к подгруппе /С. Итак,
G—{H, xv уг}* Строго говоря, мы только что доказали, что
если существует четырежды транзитивная группа на 11 симво-
символах, отличная ют Ли и S1V то она изоморфна группе О. Про-
Проверка того, что группа G действительно обладает этими свойст-
свойствами, предоставляется читателю в виде упражнения (упражнение 4).
Группа G называется группой Матье одиннадцатой степени и обо-
обозначается Мп. Следует отметить следующий замечательный факт.
Если рассматривать группу Ми как группу подстановок, оставляю-
оставляющую на месте символ 12, и группу М12—{Ми, z}, где
г = \и .12)B)C)A0)A1)D, 7)E, 6)(8, 9),
то мы обнаружим, что М12 — пятикратно транзитивная группа
порядка 12- 11 • 10-Э-8, а Мп — ее подгруппа, для которой
символ 12 инвариантен.
Рассуждениями, аналогичными тем, которые проводились при
построении M1V можно доказать, что единственными четырежды
транзитивными группами (кроме знакопеременных и симметриче-
симметрических) менее чем 35 степени являются группы М11% М12 и группы
96 Гл. 5. Группы подстановок |
Матье 23 и 24 степени, обозначаемые соответственно М2г и Л124.^
Эти последние группы М2г и М2А можно определить с помощью \
подстановок -1
А = @, 1, 2,*3 22),
В = B, 16,9, 6, 8) D, 3, 12, 13, 18). \
.A0, 11, 22, 7, 17)B0, 15, L4, 19, 21), ,:
С=@, 23)A, 22)B, 11)C, 15)D, 17). -
•E, 9) F, 19) G, 13) (8, 20) A0, 16) A2, 21)^18, 14) \
1
следующим образом: М23={Л, В) и Ж24={Л, ВУ С}; М2г— ;
четырежды транзитивная группа степени 23 и порядка 23 • 22 • \
• 21 • 19 • 16 • J, а Л424—: пятикратно транзитивная группа, содер- |
жащая М2Ъ в качестве подгруппы, оставляющей на месте сим- ^
вол 24. А
1
5.9. Сплетение 1). Силовские подгруппы симметрических групп |
Пусть G и И—группы подстановок множеств А и В со- 1
ответственно. Дадим определение сплетения групп О и Я, |
обозначаемого G\H. G\H— это группа всех таких подстано- 1
вок б множества А X В, что |
(а, Ь)д = (ачь, br\)t a£A, b£B, E.9.1) 5
где Чь — подстановка из группы G для любого b £ В, причем под- 1
становки Чь для различных элементов b выбираются независимо, |
т]—подстановка из группы Н. Подстановки б,* для которых т|=1,
образуют инвариантную подгруппу G*, изоморфную прямому про-
произведению п экземпляров группы G, где п — число символов
во множестве В. Фактор-группа G/G* изоморфна группе Я, а под-
подстановки б, для которых -fft=l, образуют подгруппу, которая
изоморфна группе Н и элементы которой могут служить пред-;
ставителями смежных классов G по О*.
Сплетение — ассоциативная операция в том смысле, что если
К — третья группа подстановок некоторого множества С, то
группы (G\H)\K и G\(H\K) изоморфны, а если отождествить^
множества (Л X В) X С и А X (В X С) с множеством А X В X С *
то. они совпадают.
!) В оригинале „wreath product", что дословно означает „веночное
произведение". В ряде работ редактора для этого понятия употреблялся^
термин „полное произведение" (по-французски „produit complet"). В по-
последнее время в советской алгебраической литературе для обозначения^
рассматриваемого образования появился термин „сплетение", которым мы
и*будем пользоваться в 'дальнейшем. — Прим. ред. :
5.9. Сплетение. Силовские подгруппы симметрических групп 97
При помощи сплетения легко построить силовские подгруппы
симметрической группы Sn. Какая наивысшая степень числа р
делит п\? Сомножителями числа п\, делящимися на р, являются
числа р, 2/7, .,., kpt где k = [n/p] — наибольшее целое число,
не превосходящее п/р. Следовательно, п\ делится на pk и еще
на ту максимальную степень числа р, которая делит k\. Замечая,
что [&/р] = [я/р2]» и продолжая эту редукцию, мы находим, что
наивысшая степень числа р, делящая п\, равна pMi где
Если выразить п в системе исчисления с основанием р:
n = aop» + alP*-*+ ... +аи_\р + аи, E.9.2)
где 0^а(^р—1 для любого /, то оказывается, что
.. +<*«-!. E.9.3)
В частности, силовская подгруппа симметрической группы сте-
степени рг имеет порядок pNr, где Nr = р?'1-^ рг~2-\- . .. +Р+ 1.
Отсюда видно, что, построив силовские /7-подгруппы для симме-
симметрических групп степеней /7, /?2, ..., ри, мы можем легко по*
строить силовскую р-подгруппу симметрической группы степени я,
где п имеет вид E.9.2). Для этого нужно разбить множество из п
символов на такие непересекающиеся подмножества: а0 подмножеств
из ри символов, аг подмножеств из рР~1 символов , ..., аи_х
подмножеств из р символов, аи отдельных элементов. Затем
в каждом из этих подмножеств строится соответствующая силов-
силовская р-подгруппа и образуется их прямое произведение. Таким
образом можно получить подгруппу Р порядка pMt где М имеет
вид E.9.3). Следовательно, подгруппа Р и будет силовской р-под-
группой группы Sn.
Силовская р-подгруппа группы Sp символов 1, 2, .... р
имеет порядок р, и поэтому силовская р-подгруппа — цикличе-
циклическая группа, порожденная циклом ах = A, 2, ..., р). Группа Sp>
символов 1, 2 р2 имеет подгруппу, являющуюся прямым
произведением циклических групп, порожденных элементами
«1 = 0. 2 р), ва = (/>+1. /> + 2 2р), ...
7 М. Холл
98 Гл. 5. Группы подстановок
Если выбрать еще один элемент порядка /7, а именно
ft = (l. />+1, 2/7+1 р» —р+1)B. /7 + 2, ...) ...
... (/7, 2/7, ..., /72)J
то b~1alb = ai+v где индекс / пробегает систему вычетов по мо-j
дулю /7. Таким образом, элементы Ъ и а^ (/= 1, ...,/?) nopo-i
ждают группу Р2 порядка p?+l, которая является сплетением,
циклических групп, порожденных элементами Ь и ах. Группа';
Р2 — силовская /7-подгруппа группы Sp*. Вообще, пусть Рг—си-
ловская /7-подгруппа группы S г символов 1 рг. Рассмо-j
трим симметрическую группу 5 r+i символов 1 /7Г
r
,|
1 2рг pr+1. Тогда, выбрав элемент
где у принимает значения Л, ..., /7Г, получаем группы P^
= с~1Ргс1 порядка pNr символов //?г+1 (/+1)/?г. Так;
как группы * рф (/ = 0, 1 /7—1) заданы на непересе-j
кающихся множествах символов, то группа, которую они no-j
рождают, является их прямым произведением. Элемент с и под*1
группа Рг порождают подгруппу порядка ppNr+1. Но /7Afr+l =
= PlPr+ ... +Р+ 1] + 1 = A/r+1, и поэтому с и Рг поро-
порождают силовскую /7-подгруппу Рг+1 симметрической группы^
pr+1 символов.
Если группа Рг действует на символах 1, ..., /7Г, подстановкам
с—цикл g = (Uty4uv ..., #p_!), то сплетение Рг\{с] переставляет':
символы (/, Uj), где /=1, ..., /7Г; у = 0, ..,, /7—1. Если ото*1
ждествить цикл (/, uj) с элементом / + У/7Г, то только что поА
строенная группа Рг+1 совпадает со сплетением Рг\ \с). Попутыо
отметим, что группа Рг порождается г элементами порядка р.
Например, силовская 2-подгруппа группы 58 имеет порядок
и порождается подстановками ^ = A, 2), bl = (\, 3)B, 4),,J
^, = A. 5) B, 6)C, 7) D, 8). ■ . ■
Упражнения
1. Пусть G — бесконечная группа, Н—ее подгруппа конечного
индекса. Показать, что существует подгруппа /(cr Я, инвариантная в G
и имеющая в ней конечный индекс. (Указание: представить группу G
как группу подстановок смежных классов по Н.)
2. Показать, что существует только одн# простая группа порядка 60,
а именно знакопеременная группа степени 5.
3. Показать, что группа 34 имеет два точных транзитивных предста-
представления на множестве из шести символов, которые не подобны между
собой.
Упражнения 99
4. Пусть даны подстановки.
« = A,2,3) D, 5, 6) G, 8, 9),
а = B, 4, 3,7) E, 6, 9, 8),
* =B, 5, 3,9) D, 8, 7, 6),
* = A, 10) D, 5) F, 8) G, 9),
у -A,11) D, 6) E, 9) G, 8),
г = A,12) D, 7) E, 6) (8, 9).
Показать, что {и, а, Ь, х, у} — четырежды транзитивная группа Матье
степени Пи порядка 11 -10 - 9 * 8, а группа {Ми, г) — пятикратно тран-
транзитивная группа Матье М12, содержащая Мц -tf качестве подгруппы,
оставляющей на месте символ 12.
5. Даны подстановки
а = @, 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9, 10, И, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 16, 19, 20, 21, 22),
Ь = B, 16, 9, 6, 8) C, 12, 13, 18, 4) G, 17, 10,11, 22) A4, 19, 21, 20, 15),
с = @,23)A,22)B,11)C,15)D,17)E,9)F,19)G,13)(8,20)A0,16)A2,21)A4,18).
Показать, что {я, Ь} — четырежды транзитивная группа Матье М2г сте-
степени 23 и порядка 23 • 22 • 21 • 20 • 16 • 3 и что М24 = {я, Ь> с} — пятикратно
транзитивная группа Матье, в которой группа Af23 является подгруппой,
оставляющей на месте символ 23.
7*
Глава 6
АВТОМОРФИЗМЫ
6.1. Автоморфизмы алгебраических систем
В § 1.2 мы видели, что все взаимно однозначные отображения
любого множества на себя образуют группу. Вообще, все взаимно-
взаимнооднозначные отображения множества 5 на себя, которые сохраняют
некоторые определенные свойства Р, также образуют группу.
Пусть А — некоторая алгебраическая система, состоящая из
элементов Х= {х} и операций /^, таких, что fVk(xv . . ., хп) = у
есть некоторый элемент множества А, если элементы xv . ;., хп
принадлежат А. Таких операций может быть как угодно много,
но каждая из них является однозначной функцией от конечного
числа п аргументов. „Законы" или „аксиомы" системы А задаются
как отношения, включающие операции. При этом взаимно одно-
однозначное отображение а множества X на себя, Х<^Ха, называется
автоморфизмом системы А, если из соотношения
U(xv .. ., хп) = у вытекает f^{x\t . . ., хап) = уа F.1.1)
для всех операций /^ и любых значений хг, ..., хп. Произведе-
Произведение двух автоморфизмов есть снова автоморфизм, поэтому отно-
относительно умножения все автоморфизмы образуют группу. В част-
частности, автоморфизмы группы образуют группу. Так как в группе
определена единственная бинарная операция умножения, то для
того, чтобы взаимно однозначное отображение а было автомор-
автоморфизмом, достаточно потребовать, чтобы из равенства ab = c сле-
следовало равенство aaba = ca, или, более кратко, (ab)a = aaba.
Автоморфизмы алгебраических систем являются естественным
источником групп. Исторически теория групп возникла из изуче-
изучения автоморфизмов алгебраических полей.
6.2. Автоморфизмы групп. Внутренние автоморфизмы
Взаимно однозначное отображение а: х ^± ха группы G на себя
является автоморфизмом группы G в том и только в том случае,
если из соотношения ab = c вытекает соотношение aab(X==c(X, или,
кратко, если
(ab)*=a*b\ F.2.1)
6.2. Автоморфизмы групп. Внутренние автоморфизмы 101
Условие F.2.1) определяет эндоморфизм, а в § 2.4 мы опре-
определили автоморфизм как взаимно однозначный эндоморфизм. Таким
образом, два определения группового автоморфизма эквивалентны.
Любой фиксированный элемент а £ G определяет следующее
отображение А^ группы G на себя:
Аа: х^>а~~1ха для всех x£G. F.2.2)
Это отображение взаимно однозначно, так как аха"х—>
—> а (аха~1) а = х, и, кроме того, является автоморфизмом,
так как а~1хуа = а~1ха - а~1уа. Автоморфизм Аа группы О наг
зывается внутренним автоморфизмом. Все остальные автомор-
автоморфизмы группы G называются внешними. Так как b"l(a~lxa)b =
= (ab)~lx{ab) и a(a~lxa)a~l — x, ясно, что
АаАъ = АаЬ\ Аа-> = Л. F.2.3)
Теорема 6.2.1. Все внутренние автоморфизмы группы G
образуют нормальный делитель /(О) группы A(G) всех авто-
автоморфизмов группы G'. Отображение а-> Аа является гомо-
гомоморфизмом группы G на группу /(О); его ядро — центр
группы G.
Доказательство. Из соотношений F.2.3) ясно, что внутрен-
внутренние автоморфизмы образуют подгруппу /(G) группы A(G). Пусть
а — произвольный автоморфизм группы G. Тогда (а*~1ха)а =
= (аа) 1 хааа. Следовательно, отображение а~Маа переводит эле-
элемент х в элемент (аа)~1 ха*, откуда а (Аа)а = Лл«, и, значит,
/ (О) является нормальным делителем группы A (G). Из тех же
равенств F.2.3) видно, что отображение а->Аа есть гомомор-
гомоморфизм группы G на группу /(G). При этом Аа= 1 тогда и только
тогда, когда ха=ах при любом x£G. Таким образом, Аа=\
тогда и только тогда, когда элемент а принадлежит центру
группы G. Итак, ядро гомоморфизма G->I(G) образует центр
группы G.
Конечная абелева группа X представима как прямое произве-
произведение своих силовских подгрупп (теорема 3.2.3):
... XS(Pr). F.2.4)
Группа А(Х) всех автоморфизмов группы X должна содержать
прямое произведение групп автоморфизмов Л[5(/?£)]. Но так как
любой автоморфизм группы X должен отображать каждую из под-
подгрупп S(pt), i—\, ..., г, на себя, других автоморфизмов не
102 Гл. 6. Автоморфизмы
существует, и потому
Вообще группа автоморфизмов периодической абелевой группы
является декартовым произведением групп автоморфизмов силов»
ских подгрупп.
Проблема нахождения 'автоморфизмов периодической абелевой
группы, таким образом, сведена к нахождению автоморфизмов
абелевой /?-грушш. Любой автоморфизм конечной абелевой
/^-группы Ар отображает один базис на другой базис. Обратно,
пусть ах as и Ьг bs— дба базиса группы Ар, упорядо-*
ченные так, что порядок элемента аь равен порядку элемента bt»
(i=l, ..., s). Последнее возможно согласно теореме 3.3.2.
Тогда из разложений
Ар = Ы X Ы X ... X \а8) = \ЬХ) X \Ь2) X ... X \bs) F.2.6)
видно, что отображение
ai->(al)oi = bi (/=1, ..:, s) F.2.7)
есть автоморфизм а группы Ар.
В циклической группе С—{а}, ар=\, любой элемент а*
(/=1, ..., р—1) является образующим. Следовательно, суще-
существует р — 1 автоморфизмов, которые можно задать отображе-.
нием а->(а)а/ = а'. Если г — первообразный корень1) в кольце
вычетов по модулю /?, то отображение а—>(а)р = аг определяет
автоморфизм р. Тогда а->(а)ф* = аг . Так как г — первообраз-
первообразный корень, наименьшая степень/ числа г, такая, что г* = 1 (mod p)t
равна j = p—1. Следовательно, автоморфизм р имеет порядок
р—1, а группа автоморфизмов А (С)—циклическая порядка р—1 I
с порождающим элементом
6.3. Голоморф группы
Как отмечалось в § 1.4, правое и левое регулярные предста- ^
вления группы О являются подгруппами группы Sa всех подста- !
новок множества элементов группы О.# Кроме того, если )
а — автоморфизм группы G, то - отображение а; х 7^ ха также \
элемент группы 50, оставляющий на месте -единицу 1 группы О. . 1
Так как (gxx) g2 = gx (xg2% мы имеем равенство L (gx) R (g2) = i
= R(g2)L(gi)- Таким образом, правое и левое регулярные пред- i
ставления группы G поэлементно перестановочны. j
!) О первообразных корнях см. Биркгоф и Маклейн [1], стр. 446,
или Харди и Райт Ш, стр. 236 (см. также Виноградов И. М., Основы
теории чисел, ГИТТЛ, М., 1952, стр. 92. — Прим. перев.).
6.3. Голоморф группы 103
Теорема 6.3.1. Правое {левое) регулярное представление
группы G является централизатором левого {правого) регу-
регулярного представления в группе SQ.
Доказательство. Пусть подстановка тс из группы SQ при-
принадлежит централизатору подгруппы L{0) и {\)% = g. Тогда под-
подстановка nR{g)~ = тс* принадлежит централизатору группы L{0)
и оставляет на месте единицу: A)тс* = 1. При этом (l)lK*L{gf)=^g\
Следовательно, A) L {g') тс* = g', т. е. (#') тс* = g'. Но ведь g' — про-
произвольный элемент из группы О, поэтому тс*=1, следовательно,
тс £/?(£•). Итак, централизатор подгруппы L{G) есть Я (О). Ана-
Аналогично L{G) есть централизатор /?(G).
Этим указан централизатор подгруппы R{G) в группе SQ.
Будем называть нормализатор подгруппы R{G) в SQ голоморфом
группы G.
Теорема 6.3.2. Пусть И — голоморф группы G, т. е. нор-
нормализатор правого регулярного представления R (G) в группе SQ.
Подгруппа группы Я, оставляющая единицу группы G на месте,
есть группа A{G) автоморфизмов группы G.
Доказательство. Пусть Н — нормализатор подгруппы R (G)
и а — элемент из Я, оставляющий единицу на месте. Тогда ото-
отображение R{g)^a~lR{g)oL, безусловно, является автоморфизмом
группы /?(G), так как подгруппа R{G) инвариантна в Я. Следо-
Следовательно, равенство a~lR(g)a= R{ga) определяет взаимно одно-
однозначное отображение g^~±ga группы G на себя. Но так как при
этом {g^Y = ё\^2* отображение g^z±ga есть автоморфизм
группы G. Но ведь фактически а и есть подстановка gT^-g*
множества G. Поскольку A)а= 1 и a~1R{g)a = R {ga), получаем,
что A)a R{ga) = g* и {\)R{g)aL = g*, откуда (g-)a = g-a. Таким
образов, если подстановка а принадлежит Н и оставляет 1 на .месте,
то a — автоморфизм группы G. Обратно, пусть соответствие
a : gT^g* — автоморфизм группы G. Тогда a — элемент группы 50,
не переставляющий единицу 1 £ G. Далее, (#) R {g) a =
= xaga и {х) a/? (g-a) = xaga. % Следовательно, a/? (g-) a = R {ga)>
откуда видно, что элемент а принадлежит нормализатору под-
подгруппы /?(G). Таким образом, подгруппа группы Я, оставляющая 1
на месте, состоит только из автоморфизмов, причем содержит все
автоморфизмы группы G. При доказательстве теоремы 6.3.1 мы
показали, что только единица группы SQ оставляет l£G на месте
и что она перестановочна со всеми элементами подгруппы /?(G).
Следовательно, каждый автоморфизм группы G представлен только
одним элементом группы Я, оставляющей 1 на месте. Поэтому
совокупность этих элементов совпадает с A{G). Так как нор-
нормализатор группы содержит ее централизатор, то имеем включение
HL{G) '
104 Гл. 6. Автоморфизмы
6.4. Совершенные группы
Определение. Группа называется совершенной, если ее центр
состоит только из единицы и все ее автоморфизмы внутренние.
Теорема 6.4.1. Пусть совершенная группа G является нор-
нормальным делителем группы Т. Тогда группа Т разлагается
в прямое произведение G X Л' группы G и централизатора К
подгруппы G в Т.
Доказательстве. Пусть
7=G + Ga;2 + ... + 0*,+ .... F.4.1)
Тогда xrl0xl^=G9 так как G — инвариантная подгруппа в Г.
Значит, соответствие g^x71gx. = ga есть автоморфизм группы G.
Так как любой автоморфизм группы G является внутренним, то
ga = a~"lga для некоторого элемента a£G и всех g^G. Тогда
для любого g£G имеем xrlgxt = a~lga. Отсюда вытекает, что
элемент yt = xta~l принадлежит централизатору К подгруппы G
в группе Т. Но тогда Gxt = xfi = xta~lG — yfi = Gyt, и мы
можем выбрать yt в качестве представителей смежных классов по
подгруппе G. Поэтому любой смежный класс по G в Т содержит
элемент из централизатора К. Следовательно, T=G{)K = GK =
= KG, так как подгруппа G инвариантна. Но из того, что центр
группы О равен 1, следует, что K(]G=\. А так как любой
элемент из К перестановочен с любым элементом из G, то Г =
= GXK.
Следствие 6.4.1. Голоморф Н совершенной группы G есть
прямое произведение R (G) X L (G).
Это следует из того, что L(G) есть централизатор R(G)
в группе Н.
6.5. Нормальные, или полупрямые, произведения
Теорема 6.5.1. Пусть даны две группы Н и К, причем каж-
каждому элементу h£H соответствует автоморфизм группьь К:
k^-kh при любом k£K> F.5.1)
подчиненный условию
(khf2 = khlh\ hv h2£H. F.5.2)
Тогда символы [/г, k], h£H, /г£/С, образуют группу относи-
относительно следующего правила умножения:
[Аь fti]-[ft2. k2]^[h1h2, ftN2]; F.5.3)
эта группа называется нормальным произведением группы К
на группу Я, или полупрямым произведением К на И.
6.5. формальные, или полупрямые, произведения 105
Доказательство, Так как kh£K для любых k и А, то про-
произведение F.5.3) вполне определено.
1) Умножение F.5.3) ассоциативно, так как, согласно F.5.2)
и F.5.3), имеем
([Аь *i] ' [А2. *2]) • [Аз, Аз] = [AiA2 АЗД • [Аз. А3] =
= l(AiA2)A3. (/^2)%3] = [AiA2A3, A^AS8A3]. F.5.4)
а с другой стороны,
' [Аь Ах] • ([А2. А2] • [Аз, А3]) = [Аь Ai] [a2A , а2*А3] =
=-[А1А2А3, А^А^Аз]. F.5.5)
2) Единицей является элемент [1, 1], так как
[1, 1][А, А] = [1А, 1Л/г] = [А, А],
[А, А][1, 1] = [А1, АЧ] = [А. А],
где kl=k согласно условию F.5.2).
3) Произвольный элемент [А, к] обладает левым обратным
элементом [А~\ {k~l)h ], так как
[А". (А")*"] . [A. k\ = [h~lht А-1А] = [1, 1]. F.5.6)
Следовательно, символы [A, А], перемножаемые по правилу F.5.3),
образуют группу G.
Теорема 6.5.2. Если О есть нормальное произведение К на Я,
то элементы вида [А, 1] группы G образуют подгруппу, изо-
изоморфную группе Я, а элементы вида [1, k] образуют нор-
нормальный делитель, изоморфный группе К. Кроме того, авто-
автоморфизм F.5.1) группы /С, рассматриваемой как подгруппа
группы G, индуцируется трансформированием элементом
h — [h, 1] из группы HaG, так как
[A, I]!!. k\ [A, 1] = [1, АЛ). . F.5.7)
Более того, G = Н\]К, так как
[А, 1][1, k} = [А, А]. F.5.8)
Доказательство. Заметим, что соответствия А^[А, 1]
и Ат=^[1, /г] являются изоморфизмами между группами Н и К
и соответствующими подгруппами группы G [это следует из пра-
правила F.5.3) и того, что А1 = А]. Равенства F.5.7) и F.5.8) прямо
вытекают из правила умножения F.5.3). Равенство F.5.7) пока-
показывает, что К есть инвариантная подгруппа и что автоморфизм
F.5.1) совпадает с трансформированием элементом А = [А*, 1].
Далее, Н(\К — [1, Н=1, а равенство F.5.8) показывает, что
106 Гл. 6. Автоморфизмы
элементы из Н могут быть взяты в качестве представителей смеж-
смежных классов по нормальному делителю К.
Теорема 6.5.3. Группа О является нормальным произведем*
наем группы К на группу *Н тогда и только тогда, когда К
есть инвариантная подгруппа группы G, а И — подгруппа
группы О, элементы которой могут служить представите-
представителями смежных классов по К. Другими словами,
1) К — нормальный делитель группы G,
2) Н—подгруппа группы G,
3) АГП#=1,
4) H\)K = G.
Доказательство. Мы уже видели, что эти свойства имеют
Жесто, если G— нормальное произведение К на //. Обратно,
пусть эти свойства имеют место. Тогда из свойств 1), 3), 4),
применяя теорему 2.3.3, получаем, что любой элемент G одно-
однозначно представим в виде
g=hk. F.5.9)
Так как подгруппа К инвариантна, то
h <6.5.10)
причем ясно, что kT^kh — автоморфизм группы /С. Далее, из
соотношения F.5.10) получаем, что
{kht = kh>\ F.5.11)
Для двух элементов gx = hxkx и g2 = k2k2 группы G имеем сле-
следующее правило умножения:
glg2 = hxkxh2k2 = \h2 (h;lkxh2) • k2 = \h2 - kh*kr F.5.12)
Оно совпадает с правилом F.5.3). Поэтому G — нормальное про-
произведение К на //.
Отметим, что сопоставление некоторого автоморфизма группы К
элементу из Н определяет гомоморфизм группы Н в группу авто-
автоморфизмов группы /С. Если образом группы Н является тожде-
тождественный автоморфизм группы. /С т. е. kh = k для всех элемен-
элементов h и /г, то полупрямое произведение сводится к * обычному
прямому произведению групп Н и /С.
Упражнения
1. Показать, что группа диэдра порядка 8 изоморфна своей группе
автоморфизмов.
2. Показать, что группа автоморфизмов элементарной абелевой группы
порядка рг иадеет порядок (рг — V)(pr — /?)••• (Рг — Рг~1)-
Упражнения 107
3. Найти внешний автоморфизм симметрической группы 5б, обладаю-
обладающий свойством переводить два класса сопряженных элементов порядка 3
друг в друга.
4. Показать, что если порядок группы делится на р2, где р — простое
число, то порядок ее группы автоморфизмов делится на /?. (Указание:
если в группе не существует внутреннего автоморфизма порядка р, то
следует показать, что силовская /^-подгруппа абелева и является прямым
сомножителем группы G.) <
5. Автоморфизм а группы G называется центральным, если для лю-
любого элемента x^G имеет место включение x~l (x)a£ Z, где Z — центр
группы G. Доказать, что группа центральных'автоморфизмов, которые
являются внутренними, изоморфна центру фактор-группы G/Z.
6. Пусть группа G задана определяющими отношениями ав = Ьь =
= с4 = 1, b~lab = a5, c~lac = a5, c~lbc ~ a6b. Доказать, что подгруппа
{at b} представима как полупрямое произведение подгрупп {а} и {Ь} и
что группа G — полупрямое произведение подгрупп {а, Ь} и {с}. Отсюда
можно заключить, что порядок группы G равен 256, а элементы ее имеют
вид а1Ь1ск.
7. Пусть G — группа из упр. 6. Доказать, что а: а -> a5, b -> 6, с->с —
внешний автоморфизм группы G, который переводит каждый класс со-
сопряженных элементов группы G в себя.
Глава 7
СВОБОДНЫЕ ГРУППЫ
7.1. Определение свободной группы
Пусть нам дано множество элементов S= [sx sn), причем
не предполагается, что число п конечно или даже счетно. Но
когда это будет нам нужно, мы будем считать множество индек-
индексов / элементов $t вполне упорядоченным. Введем символы s] и
S'1, где s* = sr a srl — новый символ.
Слово — это пустая (обозначается 1) или конечная последова-
последовательность aj^.-.a^, где каждый символ at есть один из симво-
символов $?, е = ± 1, / = 1,... , п.
Слово называется редуцированным, если оно либо пустое,
либо в его записи ах ... at нет ни одной пары рядом стоящих
символов #;, ai+l(i=\ t—1) вида s* sjB, где е=± 1.
Два слова /г и /2 будем называть соседними, если они имеют
вид /, = gs)sj*ht /2 = gh.
Два слова fug эквивалентны (обозначается /~g"), если
существует такая последовательность слов fl = f, /2 fm== ^"»
что слова Д, fi+l — соседние при /=1,..., т—1. Ясно, что
отношение f ~ g рефлексивно, симметрично и транзитивно. Все
слова, эквивалентные слову /, образуют класс эквивалентных
слов, который мы обозначим через [/J.
Лемма 7.1.1. Любой класс содержит одно и только одно
редуцированное слово.
Доказательство. Если слово f = ах ... at содержит подслово
a.ai г = SyS7s, то соседнее с ним слово ах ... CLi_lai+2 • • • at со-
состоит из меньшего числа символов. После не более чем f/2 шагов
сокращения мы придем к редуцированному слову, эквивалентному
слову /. Этим показано, что класс [/] содержит, по меньшей
мере, одно редуцированное слово.
Далее, исходя из слова / = ага2 ... а(, мы определяем следую-
следующую систему преобразований, которую назовем W-процессом:
Wo = 1 — пустое слово,
Wl+l = Wlal+v если Wt не редуцированное слово вида Хаг*ъ
Wi+l = X, если Wt — редуцированное слово вида Хаг^1%
7J. Определение свободной группы 109
Тогда, по индукции, легко видеть, что слова WQ, Wv ..., Wt
являются редуцированными и что Wt — f, если слово / редуци-
редуцировано. Пусть теперь
агаг+1 ... at,
аи
и пусть Wo» W\9 ..., W) обозначают слова W-процесса, приме-
примененного к /i, a Wl W/+2—соответствующие слова для слова /2.
Покажем, что W] = W2+2- Имеют место равенства wl = Wo, ...
..., Wr = Wn так как до r-го шага ^-процессы совпадают.
Дальше же возможны два случая.
1) Слово Wlr= W2 редуцировано и имеет вид XsJ*. Так как
слово XsJe редуцировано, то слово X не может быть вида Ys).
Тогда для слова/2 имеем W?+i = X9 W2r+2 = XsJz = W? = Wlr.
2) Слово \^ = W? редуцировано, но не имеет вида Xsje.
Тогда W2r+\=W2rs)t W*+2 = W2r=zWlr.
2 1
Следовательно, в обоих случаях Wr+2 = Wrt и по индукции
мы заключаем, что W2+2+i==: Wl+t, так как для всех последующих
шагов процессы совпадают. Таким образом, ^-процесс преобра-
преобразует два соседних слова в одно и то же редуцированное слово.
Следовательно, он и любые два эквивалентных слова переведет
в одно и то же редуцированное слово. При этом U/'-процесс не
изменяет редуцированного слова. Следовательно, в классе эквива-
эквивалентных слов не может быть двух различных редуцированных
слов.
Мы можем теперь определить произведение классов эквива-
эквивалентных слов, относительно которого они будут образовывать
группу. Мы назовем ее свободной группой F, порожденной мно-
множеством 5.
Теорема 7.1.1 Для произвольной пары классов слов [Д],
[/2] над множеством S определим произведение следующим
образом: [/J [/2] = [/i/2]- Это произведение вполне опреде-
определено, и относительно него классы эквивалентных слов над
множеством S образуют группу — свободную группу F, поро-
порожденную множеством S.
Доказательство. Если fx — f[, f2 — fT то fxf2—•/[/'2- Дей-
Действительно, сперва можно показать, что fxf2 — f'\fv заменяя /х
последовательно соседними словами, ведущими от /г к /[. Ана-
Аналогично доказывается, что f[f2/^f[fr 0ТКУда следует, что
/i/2~/i'/2' T- е- [Л/г] = [ЛД]- Поэтому произведение [fJ2\ =
~ lf\] I/2] зависит только от перемножаемых классов, но не от
110 Гл. 7. Свободные группы *
их представителей. При таком умножении класс, содержащий пу-
пустое слово, представляет собой единичный элемент, так. как
[1] [/] = [/] fl] = [/]. Кроме того, если f = ax ... at и h = aTl ...
..-«Г1, то [/][*] = [/А] = [1] и [*][/] = [А/1 = [1]. Поэтому
класс [aj1., .flf Ч есть обратный класс для класса [ах ... at]. Да-*
лее мы обнаруживаем, что ([Д] [/2]) [Д] = [f1f2fs\ = I/il (Ш Г/з1)»
т. е. ассоциативный закон выполняется. Таким образом, классы
слов образуют группу, называемую свободной группой Ft порож-
порожденной множеством 5. Чтобы отметить последнее обстоятельство,
эту свободную группу часто обозначают через Fs.
Удобно писать fx = /2, если слова /г и /2 эквивалентны и,
следовательно, представляют один и тот же элемент группы F.
Мы будем писать Д = /2 для обозначения равенства слов fx и /2.
Удобно в качестве представителя класса выбирать редуцированное
слово. Если слово / = #! ... at редуцированное, то мы говорим,
что оно редуцировано к этому виду.
В произвольной группе G множество элементов Х:хг хп
порождает подгруппу Н, состоящую из всех конечных произве-
произведений bxb2 ... bt> где каждый элемент Ь, вида л;*., е= ± 1. Не-
Нетрудно проверить, что эти конечные произведения действительно
образуют подгруппу. Вообще говоря, элемент подгруппы Н мо-
может быть записан в виде указанного конечного произведения мно-
многими способами. Кроме того, очевидно, что все элементы группы О
порождают группу О. Следовательно, произвольную группу О
можно рассматривать как группу, порожденную некоторым мно-
множеством элементов X, при этом пишут О = {X}. Следующая теорема
показывает, почему свободные группы интересны не только сами
по себе, но и как орудие исследования произвольных групп.
Теорема 7.1.2. Пусть группа О порождается множеством
элементов Х\хх хп, a F — свободная группа с образую-
образующими S:sx sn. Тогда существует гомоморфизм F->Gt
определяемый отображениями si->xi для всех i.
Доказательство. Пусть / = аг ... at — любое слово над мно-
множеством 5. Рассмотрим элемент g — bt ... bt£G, где bt = хг^
если at = s* Тогда отображение f->g переводит каждое слово
над множеством S в некоторый элемент группы О, Ясно, что
соседние, а поэтому и эквивалентные слова над 5 отображаются
в один и тот же элемент группы О. Следовательно, отображение
/->^есть фактически отображение элементов свободной группы F
на элементы группы О. При этом из того, что fi~>gi и /2—>g2*
следует, что fif2-+g\g2- Значит, отображения $1 ->х{ определяют
гомоморфизм свободной группы /^на группу G.
Из теорем о гомоморфизмах получаем следствие.
7.2. Подгруппы свободных групп. Метод Шрейера 111
Следствие 7.1.1. Произвольная группа G с заданным мно-
множеством образующих X изоморфна фактор-группе свободной
группы F с таким же количеством образующих элементов.
Дадим другое определение свободной группы.
Определение: Свободная группа F, порожденная множе-
множеством элементов S, — это группа со следующими свой-
свойствами-.
1) Группа F порождается множеством элементов S.
2) Если G — произвольная группа, порожденная множе-
множеством элементов X, и если дано взаимно однозначное соот-
соответствие между множествами S и X, S<^Xt то существует
гомоморфизм группы F на группу G, F->G, продолжающий
отображение S на множество X.
Что второе определение свободной группы законно, ясно из
теоремы 7.1.2. Действительно, свободная группа Fs, по первому
определению, обладает этими свойствами. Кроме того, если F' —
группа, имеющая эти свойства, то гомоморфизм F'-+Fs есть
изоморфизм, так как его ядро состоит из единицы.
Однако следует отметить, что второе определение обладает
рядом недостатков. Прежде всего, это неконструктивное опреде-
определение/ которое без приведенного выше действительного построе-
построения не дает возможности утверждать, что существует группа,
удовлетворяющая требованиям 1) и 2), а если такая группа и
существует, то ниоткуда не следует, что в ней нет никаких не-
нетривиальных отношений. Кроме того, с более широкой точки зре-
зрения понятие „свободной" системы, системы, в которой не выполняются
никакие отношения, кроме отношений, вытекающих из аксиом,
прочно укоренилось, хотя теорема, аналогичная теореме 7.1.2,
может не иметь места.
7.2. Подгруппы свободных групп. Метод Шрейера
Природа подгрупп всегда играет фундаментальную роль при
изучении групп. Теорема же 7.1.2 указывает на особую роль
инвариантных подгрупп в свободных группах. Нильсен [1] и Шрей-
ер [3] доказали, что подгруппы свободных групп сами свободны.
Доказательство Нильсена проходит только для конечно поро-
порожденных групп, однако оно было обобщено Леви [1] и другими
на произвольные свободные группы. Нильсен оперировал непо-
непосредственно элементами подгруппы, а Шрейер — смежными клас-
классами по подгруппе. Первое доказательство, которое мы дадим*),
представляет собой упрощение доказательства Шрейера.
1) См. М. Холл, Радо [1]. Дальнейшие результаты можно найти в ра-
работах М. Холла [4, 5]. . ^
112 Гл. 7. Свободные группы
Множество О элементов свободной группы F называется
шрейеровской системой, если для любого элемента g(~G имеет
место
1) gz=zaxa2 ... at—редуцированное слово,
2) слово аха2 . . . a>t-\ также принадлежит О.
Мы будей говорить, что множество О — двусторонняя шрей-
еровская система, если наряду с 1) и 2) имеет место следую-
следующее свойство:
3) слово а2 ... at также принадлежит О.
Заметим, что шрейеровская система всегда содержит единичный
элемент.
Пусть F — свободная группа, порожденная множеством 5,
U — ее подгруппа. Рассмотрим левое разложение группы F по
подгруппе U:
■ ' F = t/. i+Ug2+...+Ugi+.... G.2.1)
Представителем смежного класса U мы всегда будем выбирать
единицу. Мы увидим, что целесообразно выбирать систему пред-
представителей остальных смежных классов так, чтобы они удовлетво-
удовлетворяли некоторым определенным отношениям.
Лемма 7.2.1. (Обобщенная лемма Шрейера.) Если U — под-
подгруппа свободной группы F, то в качестве системы предста-
представителей левых смежных классов по подгруппе U можно вы-
выбрать некоторую шрейеровскую систему. Если V — инвариант-
инвариантная подгруппа группы F, то может быть выбрана система
представителей, образующая двустороннюю шрейеровскую
систему.
Доказательство. Пусть множество образующих S : sv . .., sn
группы F и обратных к ним элементов некоторым образом вполне
упорядочено. Если число п конечно, это мо^жет быть сделано,
например, так: Sj < S\l < s2 < s^1 < . . . < sn < su\ Но здесь
вовсе не предполагается, что множество 5 конечно или даже
счетно; предполагается лишь, что множество SUS" может быть
вполне упорядочено.
Полное упорядочение множества SU»S~ может быть продол-
продолжено в лексикографическое упорядочение. А именно для двух
элементов fug группы F мы следующим образом определим
отношение „ <и : / < g, если редуцированные представления
этих элементов таковы, что выполняется одно из следующих
свойств:
7.2. Подгруппы свободных групп. Метод Шрепера 113
2) t=u. ax<bv
3) / = й; аг = ftlt ..., а{ = bt\ ам < Ьм;
здесь символы at и bj принадлежат множеству S[}S'1. Так опре-
определенный лексикографический порядок, конечно, является простым
и даже полным порядком, причем выполняются следующие полез-
полезные свойства.
Если / < g и слово gh редуцировано, то fh < gh. Если
/ < g и элемент hg редуцирован, то hf < hg. Это следует из
определения лексикографического порядка.
Чтобы доказать лемму, выберем в качестве представителя gt
смежного класса Ugt первый элемент этого класса в смысле лексико-
лексикографического упорядочения элементов группы F. Утверждается, что
так выбранные представители gt образуют шрейеровскую систему
и даже двустороннюю шрейеровскую систему, если подгруппа О
инвариантна. Так как единица есть первый элемент группы F, то
она выбирается в качестве представителя смежного класса U.
Пусть g=ax . . . at_xat— представитель класса Ug, т. е. наимень-
наименьший элемент этого класса1). Пусть h — наименьший элемент
в классе, содержащем элемент h* = ax ... at_x. Если h = bx ...
...bt, то h^.ax ... #,_!• Но hat£Ugt поэтому g^Chat. С дру-
другой стороны, hat^.ax ... at_xat — g. Значит, g = hat, а отсюда
элемент h = h* = al ... atmml есть также представитель смежного
класса. Таким образом, элементы gt образуют шрейеровскую
систему. Если U — нормальный делитель, то пусть элемент а2 . ..
... at находится в классе Uf = fU с наименьшим элементом /.
Тогда / <; а2 ... at% и элемент axf принадлежит классу
аг... atU = gU = Ug. Отсюда g^axf. Но мы также имеем не-
неравенство а^^а^ ... at = g. Таким образом, g==a1f и / =
= а2 ... at. Следовательно, элементы gt образуют двустороннюю
шрейеровскую систему. Заметим, что доказанная лемма только
гарантирует существование шрейеровской системы представителей
левых смежных классов. Но для одной и той же подгруппы
возможно существование более чем одной шрейеровской системы
представителей для смежных классов.
Основная теорема. Теорема 7.2.1. Любая подгруппа свободной
группы свободна.
Доказательство. Пусть F — свободная группа, порожденная
множеством 5, U — некоторая ее подгруппа. Тогда, согласно
лемме Шрейера, можно выбрать шрейеровскую систему О пред-
представителей левых смежных классов по U:
.... G.2.2)
1) „Наименьший" здесь и в дальнейшем понимается в смысле опре-
определенного выше лексикографического порядка. — Прим. ред.
8 М. Холл
114 ч Гл. 7. Свободные группы
Начнем доказательство с леммы, которая имеет место
произвольной, не обязательно свободной группы F. Пусть F-
группа, порожденная множеством S, U — подгруппу группы
и G.2.2) — левое разложение группы F по подгруппе U.
Если элемент / группы F принадлежит смежному классу I
в G.2.2), мы определяем функцию Ф(/) на группе, полага
ф(/) = g\. Ясно, что Ф(и/) = Ф(/), если u£U, и что Ф(/)=:
тогда и только тогда, когда f£U.
Пусть / = аха2 ... at, где at£S[)S~l. Полагаем /0=1, fx==a
/2 = ага2, .. ., ft = аха2 ... at = f и, далее,. ho = Ф (/0) =
/г1 = Ф(/1), ..., /г, = Ф(/). Представим элемент fhf1 в виде
Если / £ U, то это выражение равно /, так как тогда ht = 1
Далее, так как к1 = Ф(к1) = Ф(/1)==Ф(/1_1а1) = Ф(к
= Ф^А^з*), где a. = sl, е= ± 1, /г^О, то в равенстве G.2.
нам достаточно знать значения функции Ф только для аргументе
вида gs*> где g£Gt s^^SljS. Положим ср (gse) = Ф (^5е), гд
функция ср(/) определена только для аргументов вида / = gs*.
Лемма 7.2.2. Пусть в произвольной группе F элемент g
пробегает множество представителей левых смежных клас-
классов по подгруппе U из разложения G.2.2), элемент $ — мно
жество образующих группы F, a y(gse) есть представитель;
класса, содержащего элемент gs*. Тогда элементы вида
gsy (gs)~l являются образующими подгруппы U.
Доказательство. Если f£U, то ht=\ и, согласно равен-^
ству G.2.3), элемент / представляется в виде произведения эле-j
ментов hi-\aihTl- Поскольку /г/ = Ф(/г/_1а/), элемент h
имеет вид gs*y(gs*)~l, где hl_l = g и al==sst так как ht =
Но элемент gs* принадлежит смежному классу Uy(gss), откуда^
следует, что для любого элемента gs* элемент gs*y(gs*)~l
Заметим, что если y(gjSe) = gk, то ср (gks~*) = gj. Следовательно,/
если gjS*y(gjS*yl = gjS*g~lt то обратным к нему элементом бу- j
дет элемент gks~&gjl = gks~&y (gks~&\~lt который имеет такой же.
вид, но с противоположным- показателем степени при s. Следо-
Следовательно, элементы вида g\scp (gs) порождают подгруппу U.
Следствие 7.2.1. Если F — группа с конечным числом обра-
образующих и U — подгруппа конечного индекса, то подгруппа U
также имеет конечное число образующих.
Это утверждение следует из того, что число возможностей
выбора элементов g и st встречающихся в выражениях gs<f(gs)~l,
конечно.
7.2. Подгруппы свободных групп. Метод Шрепера 115
В дальнейшем будем предполагать, что F — свободная группа,
причем представители ее смежных классов по U образуют шрейе-
ровскую систему О.
Нам понадобятся следующие свойства функции y{gsz)\
2) если gs*£Gt то
3)
Введем общие обозначения, положив v = i—е/—еЧ 1
и = gs<f(gs) *. Теперь всякий элемент и всегда является элемен-
элементом v с показателем степени +1, а элемент v либо равен неко-
некоторому и, либо некоторому и. При этом, если v = gis"l^>(gis"l)'~l9
положим y(giS~l) = gj. Тогда/ согласно третьему свойству,
v~l = gjSgf1 = g*jS(f(gjS\~l = и\ аналогично u"l = v.
Лемма 7.2.3. Слово v — gs*y(gs*)~l или редуцировано, или
равно 1.
Доказательство. Пусть v = g ,•&%?(& jsaf * = £jsa£kl* где
gh= y(gjsa)' Слова gj и g~l оба редуцированы. Следовательно,
если слово v допускает сокращение, то или последняя буква
слова g. равна s~e, или первая буква в g~l равна s~e. Если
имеет место первый случай, то g.= ax ... <^t^xs~B — редуциро-
редуцированное представление элемента gj. Тогда элемент g.s*a= ах ... at__x
равен некоторому g, и, согласно свойству" 2 функции tp,
gk — y (gjS%\ — gjS*a> поэтому v = gjs*agkX = 1 • Если имеет место
второй случай, то аналогично g. = y(gks-&\ = gks~&, и снова v=l.
В случае когда v = gs6y(gs*)~l Ф 1, назовем-5е значимым со-
сомножителем слова v. Пусть v=gjS*a<f (gjsty~l=gksl(?(gbs*b) * ^ ^ •
Если слова gj и gk имеют равную длину, то gj — gk, $a = sb,
так как элемент v не допускает сокращения. Если слова gj и gk
разной длины, например gk длиннее, то слово gj$*a как начальная
часть слова gk само равно некоторому g, поэтому <f(gjty—'gj$*a»
откуда v=l, что противоречит предположению. Таким образом,
элемент *оФ 1, имеет единственное представление в виде gs*<f(g$*)~l,
и, в частности, его значимый сомножитель однозначно определен.
Лемма 7.2.4. При сокращении в произведении vxvv где юхФ\9
^2=£1» tu2^v\l* значимые сомножители в словах vx и v2 не
исчезают.
Доказательство. Пусть " vx = gts&a gj1, gj=y {£is*a)>
V2"==:gksb£rl* &i~? {gksb)* ^лова vi и v<i °^a не допускают со-
сокращения, а так как v2^v^l9 равенства gk — gj и s^ = &a не
8*
116 Гл. 7. Свободные группы
могут оба выполняться. Будем доказывать лемму от противного
Предположим, что сокращению подлежит значимый фактор. Есл»
сокращение достигает сначала s^, то слово g. начинается ело
вом gks~\ откуда y(gksb) = gksb и v2=\, что противоречи|
условию. Аналогично если сокращение достигает сначала s6a, то
gjS~* есть начальная часть слова gk и г*х=1, что тоже противо*
речит условию. Если сокращение достигает s*a и sj одновременно,
то тогда gk — gj, s^ = sa* и v2^=zV\l* что опять противоречит
условию.
Мы можем теперь закончить доказательство основной тео
ремы.
Лемма 7.2.5. Еслиюьф\ A=\ m),vi+^v[l(i=\ m—\L
то произведение vxv2 ... vm Ф 1.
Доказательство, Повторным применением леммы 7.2.4 мы
получаем, что сокращение между vt и vl+l не может затронуть
ни одного значимого сомножителя. Следовательно, произведё
ние vx ... vm, представленное как редуцированное произведение
символов, содержит все первоначальные значимые сомножители
а поэтому не равно единице.
Рассмотрим теперь элементы и = gsy (gs)~l Ф 1. По лемме 7.2.5,.
все их произведения не равны единице, и все элементы и Ф 1 по-*
рождают подгруппу U. Мы покажем, что U — свободная под-
подгруппа. Элементы и Ф 1 можно считать свободными образующими"
подгруппы £/, если убедиться в том, что ни одно из произведё-?
ний этих элементов, являющихся редуцированными словами в U,
не равно единице, т. е. эти произведения, рассматриваемые как
слова, составленные из образующих множества 5, не могут быть(
редуцированы к единице. Но всякое слово v Ф 1 равно либо их-
либо и. Следовательно, редуцированное слово от элемен-i
тов и Ф 1 имеет вид vxv2 . . . vm, v^\, где vi+1 Ф vjlt как
лемме 7.2.5, и поэтому не равно единице. Итак, мы доказали^
лемму 7.2.6.
Лемма 7.2.6. Элементы и = gsy(gs)~l Ф\ составляют си-,
стему свободных образующих подгруппы U.
Таким образом, мы нашли свободные образующие подгруппы U
и тем самым доказали, что она свободная подгруппа.
Использованное в лемме 7.2.4 понятие значимого сомножителя!
играет главную роль в приведенном доказательстве теоремы 7.2.l.j
Мы можем обобщить это понятие, дав независимое определение
значимого сомножителя. |
Рассмотрим множество Y такое, что У (]У =0. Будем гово- }
рить, что множество У обладает значимыми сомножителями, если !
7.2. Подгруппы свободных групп. Метод Шрепера 117
для любого элемента у £ Y мы можем выбрать из редуцированных
представлений элементов у и у
у = аг . .. ai ... av
y-i = aj'1 ... а-1 ... fl-i
такую пару символов а£ и аг1, что в любом произведении
zw, z=£w-1, z, w£Y\}Y~l
сокращению не подлежат значимые сомножители слов z и w.
Другими словами, множество Y обладает значимыми сомножите-
сомножителями, если для этих сомножителей в множестве Y\)Y~l выпол-
выполняется лемма 7.2.4. Значимые сомножители (множества называют
центральными значимыми сомножителями, если для слова у
нечетной длины значимым сомножителем является его центральный
член, а для слова у четной длины значимым сомножителем является
один из двух его центральных членов.
Теорема* 7.2.2. Если множество Y обладает значимыми
сомножителями, то оно является системой свободных обра-
образующих для порожденной им подгруппы. Если О — шрейеров-
екая система и каждый ее элемент g — наикратчайшее слово
в смежном классе Ug, то для элементов и вида u=gsy ^в)~хФ 1
множество элементов s образует множество центральных
значимых сомножителей.
Доказательство. По определению значимых сомножителей,
для элементов vv v2£ Y U К имеет место утверждение леммы 7.2.4.
Но тогда также выполняется лемма 7.2.5. Следовательно, слово,
записываемое в буквах у и у1, может быть равно единице
только в том случае, если после сокращения в элементах у оно
становится единичным словом.
Таким образом, множество элементов у представляет собой
систему свободных образующих группы, которую они порож-
порождают.
Если Q—шрейеровская система представителей g смежных
классов по подгруппе U и ни один смежный класс не содержит
элементов, более коротких, чем g, то длины элементов g и
могут отличаться самое большее на 1, так как g^U^
¥(gs)s~1 £Ug. Таким образом, символ 5, являющийся значимым
сомножителем (лемма 7.2.4), есть центральный значимый сомно-
сомножитель, так как в слове u-gsy(gs) он находится между двумя
словами с разностью длин, равной, самое большее, 1.
Мы можем теперь доказать обращение леммы 7.2.6 и основной
теоремы.
118 Гл. 7. Свободные группы
Теорема 7.2.3. Пусть G — шрейеровская система в свобс
ной группе F, порожденной множеством S свободных обр
зующихУ и ср(Л) — функция, определенная для аргументов ei
h — gs*, s=±l, g£G, s£St со следующими свойствами:
р£)е
2) если gs* £ G, то ср (gs*) = gs6;
3)
Тогда множество элементов и = gsy (gs) 1 Ф 1 предеmd
^ляет собой систему свободных образующих некоторой по\
группы U группы F, а шрейеровская система является
этом множеством представителей левых смежных класс
группы J7 по подгруппе U.
Доказательство. Введем общее обозначение v =
При условиях теоремы выполняются утверждения лемм 7.2.$
7.2.4 и 7.2.5, так как в их доказательствах были использован^
лишь свойства A) — C) функции ср. Из леммы 7,2.5 вытекает, чт|
элементы вида u = gsy(gs)~l Ф 1 являются свободными образую^
щими некоторой подгруппы U группы Fm
Чтобы показать, что шрейеровская система G представляв
собой систему представителей левых смежных классов по под
группе U, определим функцию Ф(/) для любого слова / н
множеством" S [} S~\ Пусть
/ = #i#2 • • • at* a^S [} S , /= 1 ,...,£•
Положим ho=\9
sj \ г 1 /
Легко доказываются следующие основные свойства функции Ф (/)i
1) Ф(ах ... а£а/+1 ... at) = Ф(ах .... ais^s~6ai+l .. . at).
По определению, элементы hi% /=1, ..., tt принадлежат он
стеме G. Следовательно, подсчитывая значения правой части,
следовательно получаем hit ^(h^) и <f[<f(hls*)s~*) = hi в с
свойства C). Процесс вычисления значений функции Ф одинако
для обеих сторон равенства и, следовательно, приводит к одном
и тому же результату. Таким образом, значения функции Ф(
одинаковы для любой пары слов, представляющих один и тот
элемент группы F.
Действительно, если g== ах ... at — редуцированное слово^
равное элементу из системы G, то любое слово, являющееся нача-^
лом слова g, опять принадлежит системе Сив силу свойства B)|
А, = *1... at (/=1. ..., t). • \
7.2. Подгруппы свободных групп. Метод Шрейера 119
3)
В самом деле, пусть / = /1/2, /i = ^i ... ai% f2=ai+1 ... at.
Тогда значение ht = Ф (fx) принадлежит множеству 6, откуда
ф(^.) = /г/. Поэтому при вычислении значения Ф(к1/2) мы полу-
получаем сначала элемент hit а далее элементы, равные соответственно
элементам А/+к..., ^=Ф(/1/2).
4) Ф (gs*) = ср (gs*).
Из определения функции Ф мы имеем Ф (g$B) == ср (Ф (g) 5е), но
ведь <&(g) = g. значит Ф (g&) = ср (£Se).
5) Ф^срС^Г1]^!.
Это свойство вытекает из следующей цепочки равенств:
ф [gs*y (gs*)~l] = Ф [Ф (gs*) cp (g-56)] = , ' Р
= Ф [ср (^) . ср (^f)] = Ф A) = 1.
6) Если /£(/, то Ф(/)=1.
Доказательство получается из повторного применил свойств C)
и E).
7) Если Ф (/) = £, то
В очевидном равенстве / =
.. . {ht-\athTl) ht каждый элемент hi-\aihjl = gs\ (g$*) £ £/,
/ = 1,...,/, где А, = Ф (/) = g. В частности, если Фд(/) = 1,
то f£U.
8) Если gt Ф gj, то элементы gt и g*y. лежат в разных смеж-
смежных классах по подгруппе U.
В противном случае gt = wgj, где w£Ut откуда gt = ^(gt) =
= Ф [ Ф (W) gj ] = Ф (gj) = gy.
Таким образом, мы показали, .что все смежные классы U~
различны и содержат все элементы свободной группы F. При
доказательстве теоремы 7.2.3 мы доказали даже более сильное
утверждение. Сформулируем его в виде теоремы.
Теорема 7.2.4. Пусть даны шрейеровская система G и
функция cp(ge), определенная в теореме 7.2.3. Этих данных
достаточно, чтобы решить вопрос, принадлежит ли произ-
произвольный элемент f подгруппе £/, определяемой системой G и
функцией ср, или нет.
Доказательство. Мы можем выразить значение Ф (/) через
элементы системы G и функцию ср и воспользоваться признаком, что
ф (/) = 1 тогда и только тогда, когда / £ U. Так как функция ср
и система G определяют подгруппу О столь недвусмысленным
образом, мы будем считать, что функция ср и система G пред-
представляют подгруппу [/, и говорить, что U = U[G, cp(g"s)8] есть
стандартное представление подгруппы U. •
120 Гл. 7. Свободные группы *
Здесь, естественно, возникают два вопроса:
1) Как связаны между собой различные стандартные предста-
представления одной и той же группы? "
2) Сколько подгрупп можно представить через данную шрейе»
ровскую систему?
Мы последовательно ответим на оба вопроса.
Теорема 7.2.5. Подгруппы U1 = Ul[Gv ^(gs*)] и U2 =
— U2[G2, ^(^Г5*)] совпадают тогда и только тогда, когда суще-
существует такое взаимно однозначное соответствие g1^tg*
(включая \<^-\) между шрейеровскими системами Gx и О2,
что из g1<^g2 вытекает ^i(glst)^^2(g2sB) при любом ss.
Доказательство. Если U1 = U2 = U, то каждый смежный,
класс по подгруппе U имеет по представителю из G1 и G2. Таким
образом, если Ug1 = Ug2, то ясно, что соответствие gl<£g2,.
включая 1<^1, взаимно однозначно. Поскольку элементы gls* и
g2s* лежат в одном смежном классе» имеет место равенство
<fl(gls*) = y2ig2s*).
Обратно, пусть дано . взаимно однозначное, соответствие g1 <^ g2
(включая 1<^1), влекущее за собой ^(g1se)<^^2(g2se). Тогда для
любого аргумента / имеет место соответствие &i(f)<^&2(f)>
в частности, равенство Фг (/) = 1 выполняется тогда и только
тогда, когда Ф2(/)=1. Но последнее означает, что подгруппы
Ux и U2 состоят из одних и тех же элементов / и, следовательно, 1
совпадают. Более того, индукцией по длине слова g1 можно дока- ]
зать, что Ug1 = Ug2. I
Прежде чем отвечать на второй вопрос, мы отметим несколько 1
свойств функции ср. Отображения tz(s) : g->y(gs) и n(s~l): g-> 1
—>^>(gs~1) для всех g£G и некоторого фиксированного образую- >
щего элемента s переводят множество G в себя. В силу свой- |
ства C) функции ср произведения tz(s)ik(s~1) и ik(s~1)ik(s) оба J
равны единице. Поэтому отображения tz(s) и ^(s) являются.
подстановками (взаимно однозначными отображениями); при этом
они взаимно обратны друг к другу. Кроме того, в силу свой-
свойства B) некоторые значения функции ср обязательно зависят от
системы G, но не зависят от подгруппы U. Пусть снова обра-
образующий элемент s фиксирован, а элемент g £ G произволен. Мно-
Множество элементов g мож^о разбить следующим образом на два
класса С (s) и С* (s):
g£C(s) тогда и только тогда, когда gs£G;
g£C*(s) тогда и только тогда, когда gs^G.
Пусть N (s) — мощность класса С (s), a M (s) — мощность
класса С* (s). Тогда
7.2. Подгруппы свободных групп. Метод Шрейера 121
где N — мощность множества О. Аналогично определяем
) тогда и только тогда, когда gs~l£G,
1) тогда и только тогда, когда gs~l^G;
при этом N (s~l)— мощность множества C(s~l), M(s~l)— мощ-
мощность множества С*^). Снова имеем
Если теперь элементы gt и gy таковы, что gis = gj, т. е. gjS~1=gl,
то gi£C(s) и gj£C(s~l). Этим устанавливается взаимно одно-
однозначное соответствие между множествами C(s) и С (s*1), поэтому
Если число N конечно, то отсюда следует, что
Если же N бесконечно, последнее равенство ^может оказаться
неверным для произвольной шрейеровской системы. Например,
возьмем шрейеровскую систему 1, s, s2 sl Для нее
M(s)=\t M(s~l) = 0. С другой стороны, если функция ср суще-
существует для данной шрейеровской системы G, то отображение tc(s)
переводит множество C(s) в множество C(s~l) и, будучи под-
подстановкой, также отображает множество C*(s) в множество C*'(s).
Следовательно, равенство M(s)=M(s~l) является необходимым
условием существования функции ср.
Теорема 7.2.6. Пусть G — такая шрейеровская система,
что M(s) = M(s~l) для любого образующего s. Тогда можно
указать функцию ср (gse)y обладающую следующими тремя свой-
свойствами:
1) элемент y(gsB) принадлежит системе G;
2) если gs*£G, то y(gs*) = gsB;
3) ср[ср(^M-е] = ^.
Для фиксированного s функцию ср в самом общем виде
можно определить следующим* образом'.
а) cp(g?s) = g"s» если элемент gs принадлежит О;
б) если элемент gs не принадлежит системе О, то зна-
значения cp(gs) выбираем произвольно, но так, чтобы отображе-
отображение п (s): g—> ср (gs) было взаимно однозначным на множестве G;
в) определив значения ср (gs) для всех элементов g£G,
определяем значения y(gs~l) так, чтобы отображение
^(s'1): g-^^(gs~1) было подстановкой, обратной к k(s).
Доказательство. Если для любого образующего 5 имеет
место равенство M(s) = M(s~1) на О, то теорема не только
утверждает существование y(gsB), но также описывает наиболее
общий метод построения такой функции, если только сформули-
122 Гл. 7. Свободные группы
рованное определение законно. Поэтому мы должны доказать!
законность конструкции. Для данного образующего элемента
очевидно, имеем:
1) элемент y(gs) принадлежит множеству О;
2) если элемент gs принадлежит О, то y(gs) = gs.
Если для некоторого элемента gt имеем gts = gj £ О, то положим^
4(gts) = gj% где gJ.s"l = gl. Тогда соответствие g->y(gs) отобра-J
жает класс C(s) на класс C(s"l):< Оставшиеся М (s) элементов #1
системы G должны быть отображены на оставшиеся М (s) элемен-*|
тов g. Так как М (s) = M (s)» то возможно взаимно однозначное
отображение g<^g' множества С* (s) на множество С* (s'1). Мы пола-
полагаем gf = y(gs). Тогда соответствие тс (s): g <£ cp (gs) есть подста-
подстановка, отображающая класс С(s) на класс С^) и класс С* (s) на
класс С* (я), тс (s) — подстановка, и, следовательно, если опре-
определить отображение ^(s'1): g^t^(gs'1) как обратное к отобра-
отображению тс (s), мы получим значения ^(gs'1). Ясно, что элементы
fCS") принадлежат множеству G. Кроме того, так ^ак подста-
подстановка тс(s) отображает множество С(s) .на С(s), выполняется
следующее свойство: .
3) если элемент gs~1£Gy то y(gs~1) = gs~1.
Таким образом, свойства A) и B) имеют место для любого
элемента g£ G при фиксированном s или s. Наконец, свойство
C) <p[cp(gse)s~e] = g имеет место, так как подстановки tc(s) и
tc^s) взаимно обратны.
В теоремах 7.2.5 и 7.2.6 подстановки тс (s) играли главную
роль. Если g—axa2 ... at, то подстановка тс(а1)тс(а2) . .. n(at)
переводит 1 в элемент gy и, следовательно, подстановки тс (s)
порождают группу, транзитивную на множестве G. Как мы сей-
сейчас докажем, уже одни эти подстановки однозначно определяют
подгруппу U.
Теорема 7.2.7. Пусть F — свободная группа на множе-
множестве S свободных образующих, каждому символу s£S со-
соответствует одна подстановка tc,(s) на множестве симво-
символов 1, у2,..., у.,..., и группа, порожденная подстановками тс (s),
транзитивна на этом множестве символов. Каждому эле-
элементу f из группы /\ где f' = аха2 ... av поставим в соот-
соответствие подстановку тс(/J= тс(а{)тс(а2) ... K(at). Тогда та-
такие элементы /, для которых подстановки тс(/) не переме-
перемещают 1, образуют подгруппу U. Если gx = 1, g2, . . ., gt, ... —
некоторая шрейеровская система представителей левых смеж-
смежных классов по подгруппе U, мы можГем отождествить слова gt
с символами yt, считая, что gi^ty^ если подстановка тс(^)
переводит 1 в yt. Тогда подстановки тс (s) на множестве сим*
волов yt подобны описанным в теоремах 7.2.5 и 7.2.6 подста-
подстановкам k(s) на множестве элементов gt*
7.2. Подгруппы свободных групп. Метод Шрейера 123
Доказательство. Ясно, что элементы /, которым соответст-
соответствуют подстановки тс(/), оставляющие на месте 1, образуют под-
подгруппу U группы F. Согласно теореме 5.3.1, мы можем рас-
рассматривать подстановки тс(/) как представление группы F мно-
множеством смежных классов по подгруппе (J, заменяя 1 подгруп-
подгруппой U, а символы уь — соответствующими левыми смежными
классами по подгруппе U. Отсюда следует, что каждый символ yt
однозначно соответствует некоторому левому смежному классу Ugi$
для которого подстановка тс(^.) отображает 1 в yt. При таком
представлении подстановка тс (s) переводит смежный класс Ug
в смежный класс Ugs, или, что то же, Uy(gs). Так, если мы
заменяем смежный класс Ugi его представителем *glt подста-
подстановка тс (s) совпадает с подстановкой тс (s) из теорем 7.2.5 и 7.2.6;
этим мы установили подобие исходной группы подстановок на
символах yt с группой подстановок на шрейеровской системе G.
Для подгруппы U конечного индекса в свободной группе с ко-
конечным числом образующих мы можем указать несколько точных
значений для числа образующих подгруппы U и для суммы их
длин.
Теорема 7.2.8. Пусть M=U [G, cp(g-se)] — подгруппа конеч-
конечного индекса п свободной групйы FТ с г свободными образую-
образующими sv s2 sr. Тогда:
1) подгруппа U имеет 1+^(г—1) свободных образующих;
2) если L-сумма длин элементов шрейеровской системы G,
то сумма длин свободных образующих и — gsy(gs)~lфl под-
подгруппы U равна K = BL-\-ri)r — 2L.
Доказательство. Мы уже доказывали, что множествф'сво-
бодных образующих подгруппы U состоит из элементов Л
которые не равны единице. Более того, по лемме 7.2.3 эле-
элементы uia лли не допускают сокращений, или равны единице.
Отсюда ,
так как при фиксированном sa элементы cp(g*/5fl) суть некоторая
перестановка элементов gt. Следовательно, до сокращения мы
имеем пг образующих и1а общей длины rBL-\-ri). Из этих двух
чисел мы должны вычесть соответственно число элементов uia,
равных единице, и длины L (gt) -f- L (sa) -)- L (giSa) этих элементов.
Когда элемент uia равен единице? Слова gt, sa и y(giSa) со-
сокращению не поддаются. Значит, сокращение должно допускать
их произведение, но, в силу леммы 7.2.3; и/а=1 тогда и только
124 Гл. 7. Свободные группы
тогда, когда sa сокращается с gt или с y(giSa) . В первом слу'-j]
1 }
чае gt оканчивается символом s^1, g. = gjSa}y где элемент
не редуцируется. Во втором случае элемент ср (giSa) — gk
чается символом sa> и тогда gk = gsa. Таким образом, для
ного символа sa число элементов uiat равных единице, равной
числу элементов из О, оканчивающихся на sa или s~lt Но ка-|
ждый элемент g£G, кроме g=\9 оканчивается некоторым сим- i
1 ^
g£, р g9 р
волом sa или s~1y а поэтому учитывается точно один раз в этом^
процессе. Следовательно, всего существует п—1 элементов uiat'\
равных единице, и, значит, свободных образующих подгруппы Ь\
всего пг —^п — 1) = /г (г — 1) + L Теперь подсчитаем сумму их-
длин. Во-первых, если g. = gjSa1, то y(g.sa)= gj> и потому\
L(gi) + L(sa) + L[<?(gisa)]==2L(gi)==2L(gjSa1). Во-вторых, если"
gisa = £k> T0 L(gi)Jt-L(sa)-{~L[^(gisa)] = 2L(gisa). Таким об-
образом, при данном sa в слове uia=\ мы посчитали дважды ^
длину каждого элемента g, оканчивающегося на sa или s^1. Сле-;г
довательно, для всех sa мы дважды посчитали в словах uia=\y
длину каждого элемента g, кроме g=l. Но Z,(l) = 0, и потому,5
если вычесть точно 2Z,, то получим, что общая длина свобод- й
ных образующих подгруппы U равна BL-\-n)r — 2L.
Наконец, применяя теорему 7.2.7, мы можем указать ре-
рекуррентную формулу для числа подгрупп индекса тг в группе Fr.
Теорема 7.2.9. Число Nntr подгрупп индекса п в группе FT
рекуррентно выражается так: Nhr=l,
2
i =1
Доказательство. Равенство Nltr=\ просто означает, что
группа Fr является единственной подгруппой индекса 1.
Зададим г подстановок Р1 Рг на символах 1, х2 хпЛ
Вообще говоря, эти подстановки не порождают транзитивную
группу на всех этих символах. Введем в рассмотрение область
транзитивности, содержащую символ 1. Пусть она состоит из
символов 1, b2 bt. Оставив в стороне остальные буквы хУ
мы можем рассматривать ^(s^ ^(sr), как подстановки на
символах 1, bv ..., bt. Согласно теореме 7.2.7, они вполне
определяют одну-единственную подгруппу индекса t. Остав-
Оставшиеся п — t символов могут переставляться подстановками
Р1 тРг [{п — t)\]r различными способами. Кроме того, если
мы заменим символы 1, b2 bt любым другим набором сим-
символов 1, с2 сг й допустим, что оставшиеся n — t символов
могут переставляться кйк угодно, то мы придем к той же самой
7.3. Свободные образующие подгрупп. Метод Нильсена 125
подгруппе индекса t. Таким образом, с одной и той же подгруп-
подгруппой индекса t ассоциируются
(л—1)(л —2)...(я — *+1)[(л — t)\]r = (n— 1)![(Я — *)[
различных наборов подстановок Рг РГ. Следовательно,
где (п\)г — это число всех возможных подстановок Рх Рг
соответствующих подгруппе определенного индекса. Выделяя в по-
полученной сумме последнее слагаемое и деля на (п—1)!, мы по-
получаем искомую рекурсивную формулу.
•
7.3. Свободные образующие подгрупп свободных групп.
Метод Нильсена
В предыдущем параграфе для изучения Свойств подгруппы U
свободной группы F рассматривались смежные классы по под-
подгруппе U в группе F. В этом параграфе мы будем непосред-
непосредственно оперировать с элементами подгруппы U.
Пусть A={at)—семейство элементов свободной группы /\
где индекс / пробегает множество индексов /. Предположим, что
множество А состоит из свободных образующих группы, кото-
которую оно порождает. Последнюю мы обозначим через [А]. Если
элемент /£[Л], то через LA(f) мы обозначим длину редуциро-
редуцированного слова / в символах at и а[ .
Пусть X—множество свободных образующих свободной
группы F. Мы будем говорить, что множество А элементов
группы F обладает свойством Нильсена по отношению к мно-
множеству свободных образующих X в том и только в Том случае,
если
1) А[\А~1 = § (л — множество элементов вида а, где
а£А),
2) для а, Ъ £ A U А х из неравенства Lx (ab) < Lx (а) следует
Ъ=а~\ .
3) для a, by c£A\JA~l из неравенства Lx{abc)^Lx{a) —
— Lx (b) -J-Lx (с) следует, что или Ь = а~1У или b = c~l.
Теорема 7.3.1. Если множество А обладает свойством
Нильсена по отношению к множеству X свободных образую-
образующих группы F, то оно состоит из свободных образующих
подгруппы [А], которую оно порождает. Свойство Нильсена
эквивалентно существованию центральных значимых сомно-
сомножителей в множестве А.
Доказательство. Достаточно доказать, что свойство Нильсена
эквивалентно существованию -центральных .значимых помножите-
126 Гл. 7. Свободные группы
лей, так как по теореме 7.2.2 отсюда будет следовать, что мне
жество А состоит из свободных образующих подгруппы [А].
Предположим, что множество А обладает свойством Нильсена
Тогда в силу свойства 2), если Ьфа~1, Lx(ab)^Lx(c
и Lx(b-la-l)^Lx(b~l), откуда Lx(ab)^>Lx(b). Если бы пр|
редуцировании слова ab более половины одного сомножителя!
скажем ЬУ сократилось с а, мы бы имели a — uv1, b = l
Ц(Р) > Lx (w) и Lx{ab) = Lx (aw) < Lx (и) + Lx (v) = Lx (a).' Ho ^
этого случиться не может, .и при редуцировании слова ab сокра^!
щается, самое большее, половина ^слова а (или Ь). Следовательно^
для элемента нечетной длины его центральный член можно рас
сматривать как значимый сомножитель. Если элемент b четно!
длины, возможно, его перцдя половина v сократится при перем|
ножении а и Ъ при Ьфа~1. Если бы также и вторая половина
слова b сократилась при редуцировании слова .#£ при Ьфс~г> '
мы бы имели a = uv~l, b = vw, c — w~lz и Lx(abc) = Lx(u^<
^ Lx (и) -\- Lx (z) = LX (a) — Lx (b) -f- Lx (с), что противоречит
третьему требованию свойства Нильсена, Следовательно, ни одна|
из половин слова b (ни v, ни w) не может сократиться ни в ка^"
ком произведении, ц поэтому один из центральных членов слова"
можно взять в качестве центрального значимого сомножителя^
Таким образом, из свойства Нильсена следует существование^!
центральных значимых сомножителей.
Обратно, если для множества А(А()А~1 = о) центральные^
значимые сомножители существуют, то в слове ab, самое большее^!
половина слова b сокращается с частью слова а такой же длины;
при Ьфау поэтому верно неравенство Lx(ab)^ Lx{a)-\-Lx(b)—>*
^— Lx (b) = Lx (а), удовлетворяющее второму требованию *
свойства Нильсена. Далее, в произведении abc при Ьфа~1, Ьфс~1\
сокращение между а и b и между b и с прекращается, не до-
доходя до. значимого сомножителя слова Ъ\ поэтому Lx (abc) > Lx (a) -f- \
-j-Lx(b)~{-Lx(cy—2Lx(b)y т. е. третье требование свойства Ниль-
Нильсена выполнено. Нетрудно доказать, что одно лишь это третье -1
требование эквивалентно существованию значимых сомножителей/1
Задавшись словом Ь, возьмем в качестве афЬ элемент, кото-
который сокращает наибольшее число членов слова b при умноже- 1
нии а на Ь, а в качестве элемента сфЬ~г возьмем элемент, ко-
который сокращает справа наибольшее число членов слова b при |
умножении Ъ на с. Третье требование утверждает, что не все *j
члены слова b сокращаются, и любой оставшийся член может \
быть выбран в качестве значащего сомножителя для b. |
Теорема 7.3.2. Рассматривается конечное множество В /|
элементов р1э ..., фт в свободной группе F с данным мно- 1
7.3. Свободные образующие подгрупп. Метод Нильсена 127
жеством X свободных образующих. Утверждается, что ко-
нечным числом шагов следующих трех типов:
1° вычеркивание тех p/f которые равны 1,
2° замена р/ элементом рг\
3° замена Ру элементом р$у, i=fcj,
мы можем перейти от множества В к другому множеству
A: olv . .., ал, п^.т, такому, что оно порождает ту же самую
подгруппу, что и В, и обладает свойством Нильсена по отно-
отношению к множеству X. Следовательно, множество А есть си-
система свободных образующих для подгруппы [А] = [В].
Доказательство. Легко видеть, что любая замена описанного
типа переводит множество в другое множество, порождающее,
ту же самую подгруппу. Первый тип изменения уменьшает число
элементов, а второй и третий — оставляет его без изменения. За-
Заметим, что, комбинируя преобразования типов 2° и 3°, можно
заменить* элемент р^ элементом $$} или РуРг, е=±1, т}=±1,
и оставить все другие элементы из В неизменными.
Если два элемента из В равны или взаимно обратны, то мы
можем хуяут из них заменить единицей, а затем эту единицу вы-
вычеркнуть. Эта операция уменьшает количество элементов (^; сле-
следовательно, она не может применяться более чем т раз. Если
при a, b^BUB, 'Ьфа~1, мы имеем Lx(ab) < Lx(a), то Ьфа,
так как всегда Lx(a2)> Lx(a). В этом случае мы можем заме*
нить элемент р = аг словом ab и тем самым уменьшить сумму
длин элементов $t. Число подобных преобразований конечно. По-
Поэтому конечным числом шагов можно достигнуть выполнения усло-
условий A) и B) свойства Нильсена. Труднее удовлетворить третьему
требованию свойства Нильсена.
Независимо от того, бесконечно множество X или нет, мно-
множество К тех. образующих из X, которые встречаются в записи
элементов множества В, безусловно, конечно. Упорядочим эле-
элементы группы F, порожденные множеством К, по длине; для слов
одинаковой длины установим произвольный фиксированный поря-
порядок. Число элементов заданной длины конечно. Следовательно,
при указанном порядке любой элемент имеет только конечное,
число предшествующих.
Если слово р имеет четную длину 2&, запишем его в виде
Р =r Y&1, где каждое из слов j и 8 имеет длину k. Если
то 8=£^. Так как p~1 = 8-j'~1, то, заменяя в случае необходимо-
необходимости р на р", мы всегда можем достигнуть того, чтобы в опре-
определенном порядке первая часть слова предшествовала второй.
Если pi = i8 и ру = &г, мы заменяем р^ словом p^ = Y£. Ана-
128 Гл. 7. Свободные группы
логично, если рл = <к/8~1, мы заменяем §k словом fiffij'1 = W4~l,
Следовательно, если р/ = ^8", то мы можем преобразовать эле-
элементы р так, чтобы никакой элемент р, отличный от р^, не .на-
.начинался со слова 8 или не кончался словом 8 \ Так как мы при!
этом заменяем некоторые члены 8 другими членами у той же
длины, но предшествующими первым в установленном порядке,
то указанный процесс оборвется через конечное число шагов.
Важно отметить, что если мы начинаем с кратчайшего слова
четной длины, а затем преобразуем все более и более длинные
слова четной длины, то процесс оборвется через конечное число ^|
шагов. Действительно, оперируя с элементами р^ равной длины,
мы последовательно заменяем первую половину слова предшест-,
вующими словами, и, таким образом, процесс обрывается через
конечное число шагов. Действуя над элементами р большей длины, Щ
чем длина слова pf- == 7^ а, мы не встретим слов, начинающихся
со слова 8 и оканчивающихся словом 8". Естественно, если на
некотором этапе нарушается или условие ЛГ|Л~1 = 0, или усло-
условие Lx (ab) ^ Lx (а)У то мы делаем подходящее преобразование,
либо уменьшая число элементов/^, либо уменьшая их совокупную
длину, а затем вновь переходник замене половин слов, которые
не изменяют ни числа слов р, ни их совокупной длины. Этот
процесс оборвется после конечного числа шагов, после чего мы
получим множество А элементов av ,. ., ап, п^.т. Утверждается,
что множество А обладает* свойством Нильсена по отношению
к системе свободных образующих X. Требования А(\А~1 = 0
и Lx(ab)^<Lx(a), при Ьфа~1, а, Ь£А[)А~1, конечно, выпол-
выполняются, так как в противном случае мы могли бы уменьшить ч
или число, или Совокупную длину слов р^. Рассмотрим теперь
произведение abc, где Ьфа, ЬфС1. Если элемент b нечетной
длины 2k-\-\t то, самое большее, k первых членов слова b со-
сократятся со словом а и, самое большее, k последних членов
слова b сократятся со словом с; поэтбму справедливо неравенство
Lx (abc) > Lx (a) — Lx (b) -f- Lx (с). Если слово b четной длины,
то оно имеет вид yS" или Sy, причем при установленной выше
упорядоченности у предшествует слову 8. Так как второе требо-
требование выполняется, не более половины слова b сокращается с а
и не более половины с с. Но или слово а не оканчивается сло-
словом 8 \ или слово с не начинается с 8, а потому половина слова b
(или 8, или 8) полностью не может сократиться; таким образом,
само слово b не может полностью, сократиться, откуда и следует
неравенство Lx (abc) > Lx (a) — Lx (b) -f- Lx (с), доказывающее
третье требование свойства Нильсена для множества Л.
7.3. Свободные образующие подгрупп. Метод Нильсена 129
Теорема 7.3.3. Две свободные группы изоморфны тогда
и только тогда, когда они имеют равномощные системы сво*
водных образующих. Свободная группа FT с конечным числом г
образующих свободно порождается произвольным множеством
из г элементов, порождающим эту группу.
Доказательство. Пусть Fx и FY—свободные группы с мно-
множествами свободных образующих X и У соответственно.
Если множества X и У имеют одинаковую мощность, то су-
существует взаимно однозначное соответствие между элементами
множеств X и К, которое может быть продолжено до взаимно
однозначного соответствия между группами Fx и FY> которое,
очевидно, является изоморфизмом.
Обратно, предположим, что группы Fx и FY изоморфны.
Тогда эти группы имеют равное количество подгрупп индекса 2.
Любая подгруппа индекса 2 является ядром гомоморфизма на
группу порядка 2. Такой гомоморфизм однозначно определяется
множеством образующих, отображаемых в единицу. Итак, число
подгрупп индекса 2 свободной группы Fz на множестве Z свобод-
свободных образующих равно числу непустых подмножеств множества Z.
Это число несчетно, если множество Z бесконечно, и равно 2Г— 1,
если Z конечно и состоит из г элементов. Таким образом, если
свободные группы Fx и FY изоморфны, то отсюда следует, что
множества X и У или оба бесконечны, или оба конечны, причем
в последнем случае состоят из равного числа элементов. Если же
X и У бесконечны, то группы Fx и FY имеют те же мощности,
что и множества X и У соответственно. Но так как группы Fx
и FY равномощны, множества X и У также равномощны.
Предположим теперь, что свободная группа Fr на множестве
X: xv х2 хТ порождается также элементами р15 р2 ..., рг.
Тогда, согласно теореме 7.3.2, после конечного числа преобразо-
преобразований вида 1°, 2°, 3° множества рр р2 рг мы получим систему
свободных образующих av ..., а5> s<>, группы Fr Но тогда
имеет место равенство s = r, и поэтому ни одно преобразование
типа 1° не было использовано.
Легко убедиться непосредственно в следующем. Пусть мно-
множество В переходит в множество В1 с помощью преобразований
типа 2°, 3°. Тогда, если В состоит из свободных образующих,
тем же свойством обладает и В'', и обратно. Следовательно,
так как множество^ аг — система свободных образующих
группы Fr, то и элементы pif р2 рг— свободные образующие
группы Fr.
Этим теорема доказана. Но можно точнее охарактеризовать
множество элементов alt a2, .. ., ar. Для элементов af. выпол-
выполняется свойство Нильсена и поэтому они обладают центральными
значимыми сомножителями (теорема 7.3.1). Кроме того, для
9 М. Холл
130 Гл. 7. Свободные группы
каждого элемента xi(i=\ г) имеем хь = ^х ... ^т, где каждый
элемент у совпадает или с некоторым ait или с некоторым af1»
причем 1£{1+1ф\ш Произведение элементов •j>/ в сокращенном
виде содержит все центральные сомножители. Значит, произведе-
произведение состоит только из одного множителя 7» совпадающего с xt.
Таким образом, xt равен или ау., или а/1. Следовательно, если
мы будем дальше применять преобразования второго типа, мно-
множество aj ar совпадет с множеством хх хГ с точностью
до порядка следования. Таким образом, мы знаем, опять-таки
с точностью до порядка следования, как получить произвольное
множество свободных образующих §х Рг группы Fr из
элементов xv ...,лгг. А это значит, что мы знаем автоморфизмы
группы Fr
Теорема 7.3.4. Все автоморфизмы свободной группы FT
с конечным множеством X: xv x2 хТ свободных обра-
зующих порождаются следующими автоморфизмами:
1) Рц : xt->Xj, Xjr->xit xk->xk, кфь, j;
2) Vl:xi-->xT\ Xj->xJt j^i;
3) WtJ : Xj'-> xtxJt i Ф j, x^> xk, k Ф jt
где числа ЬФ] независимо друг от друга пробегают значе-
значения 1 г.
Доказательство. Ясно, что каждое из этих отображений
определяет автоморфизм группы^/7,., так как оно переводит мно-
множество X в множество из г элементов, которые снова порождают
группу FТ. Мы должны показать, что любой автоморфизм группы
FT является произведением автоморфизмов, указанных в форму-
формулировке теоремы. Как уже было доказано выше, в наиболее
общей форме автоморфизм группы FT получается заменой мно-
множества X:xv ..., хт множеством образующих В: рр ..., [Зг,
причем множество В получается из множества X конечным числом
преобразований:
B = BV B2y ..., BN_lt BN — Xy
где множество Bt получается из Bi+1 преобразованием типа 2°
или 3° (см. теорему 7.2.3) при i=l N — 2, а переход от
Bn-\ k &n осуществляется подстановкой множества X и, следо-
следовательно, может быть представлен как произведение транспозиций
Рц (см- § 5-4)- Таким образом, каждый из переходов от В1+1
к Blt i= I N—2, оказывается или автоморфизмом типа Vp
или автоморфизмом вида Wц, заданным на множестве элемен-
элементов Bi+1. Мы должны доказать, что эти автоморфизмы могут
быть представлены в виде произведений автоморфизмов Vi и Wtj>
заданных на множестве X.
7.3. Свободные образующие подгрупп. Метод Нильсена 131
Пусть
Y:yv .... уг
Z:xx zr
W:wx wr*
— три множества свободных образующих группы Fr, где
1) ^ = у-1, Zj = yp }ф1
или
2) 2Гу == у^Уу, zk — yk> Ьф]
и
3) w = z~lt w =z, пф m
771 ttl ft ft
ИЛИ
4) wn — zmzn, wt = zv гфп.
Здесь переходы Y в Z и Z в W суть автоморфизмы типов Vt
или №/у.. Мы должны доказать, что автоморфизмы C) и D) можно
представить в виде произведения автоморфизмов типа Vt и W'Vj на
множестве Y. Для этого нужно рассмотреть несколько сравни-
сравнительно простых случаев. Мы рассмотрим только два наиболее
трудных.
Пусть даны отображения B) Zj = ytyj и C) wm = z^ll при>
m = j. Мы должны выразить автоморфизм C), отображающий
элемент ytyy- в элемент yj1yjl и оставляющий на месте yk, если
кф]. Это отображение эквивалентно преобразованию, при кото-
котором элемент уу переходит в элемент yjlyjlyjl* а все остальные
элементы из Y переходят в себя. Но такое преобразование является
произведением следующих отображений:
Рассмотрим второй случай. Пусть мы имеем отображения B)
Zj = ytyj и D) wn — zmzn при m = j, n = L Здесь автоморфизм D)
заменяет Zj = ytyj элементом у^, a zt = yt — элементом у^у^
причем остальные элементы zk = yk остаются на месте. Но это
преобразование совпадает с отображением
Но это отображение равно произведению W7/(y)Wji(y)Wij(y)t
так как при этом
132 Гл. 7. Свободные группы
Следовательно, любой автоморфизм типа Vt или Wц на множе-
множестве Z может быть выражен в виде произведения тех же типов
автоморфизмов на множестве У. Теперь мы можем закончить до-П
казательство теоремы индукцией по N. Предположим по индук-
ции, что замена BN_2 множеством Вх есть произведение автомор-
автоморфизмов типов Vt и Wtj на множестве BN_2. Принимая BN_X
в качестве К, a BN_2 в качестве Z, мы сможем выразить отобра-
отображение BN_2 на Вх через произведение автоморфизмов типов Vi
и Wy на множестве BN_V Отображение BN_1 на BN_2 есть авто-
автоморфизм того же типа на множестве BN__V Следовательно, за-
замена BN__1 множеством Вг есть произведение автоморфизмов
типов Vt и Wtj на множестве BN__V Кроме того, эти автомор-
автоморфизмы тех же типов на множестве X, так как BN_1 есть просто
перестановка множества X. Таким образом, теорема доказана.
Если множество А обладает свойством Нильсена по отноше-
отношению к системе свободных образующих X группы Fx, то множе-
множество А можно рассматривать с различных точек зрения как „ мини-
минимальное" множество образующих подгруппы [А].
Теорема 7.3.5. Если множество А обладает свойством
Нильсена по отношению к Jt и
f=ala2...at, at\
то
Lx{f)>Lx(at ... aj). l<i<CJ<*.
Более того, если множество X конечно и элементы из мно-
множества А упорядочены по длинам av а2, .. ., аг, . . ., а рр р2, .. .
..., fjj, ... — любое другое множество свободных образующих
подгруппы [А], также упорядоченное по длинам, то
МР„)>М««). я=1. 2
Доказательство. В слове /== ага2 ... at каждый элемент at
имеет центральный сомножитель, который не сокращается при ре-
редуцировании слова /. Следовательно, в редуцированном предста-
представлении элемента / останутся, по меньшей мере, первая половина
слова av центральные сомножители слов а2, ..., at_x и вторая
половина слова at, т. е. Lx(f)^-^Lx{al) + t — 2 + уLx(at).
При редуцировании слова аха2 ... ^t-\at сокращению между реду-
редуцированной формой слова ах ... at_x и at подлежат k членов
слава at_x и k членов слова at, где k <C у ^x(at-i)* ^^.^x(at)*
так как центральные сомножители не сокращаются. Таким обра-
Упражнения 133
зом, Lx(f) = Lx(a1 ... at_x)-{-Lx(at) — 2k. Ho 2k^Lx(at), от-
откуда Lx(ax ... at)^>Lx(ax ... at_x). Аналогично Lx(ax )
^ Lx (a2... а,). Повторяя эти рассуждения, получаем L
Если множество ЛГ конечно, существует только конечное число
элементов данной длины, и" поэтому, записывая элементы множе-
множества А в порядке возрастания длин, мы сможем исчерпать все
множество А. Пусть av а2, .. ., а^, ... — элементы множества Л,
упорядоченные по возрастанию длин, а рр ..., ^, ...—другое
множество образующих, упорядоченное аналогичным образом.
Пусть pj(a) Рл(°0 — выражения первых п элементов §t через
свободные образующие at £ Л, и пусть ar — последний среди af
элемент, встречающийся в этих выражениях. Утверждается, что
г^>п. Предположим обратное, т. е. что г < п. Тогда по модулю
коммутатора К подгруппы [А] мы имеем
gjssajn ..'. a*" (mod/С),
Рл = a* ... a*"' (mod К).
При г<д обязательно существуют1) целые числа uv ..., ип, не
все равные нулю, но такие, что
йя = 0.
Но тогда p"i ... P^G^» г^е числа мр ..., ип не все равны
нулю, а это противоречит утверждению, что элементы ^ обра-
образуют систему свободных образующих подгруппы [А]. Итак, г^п.
Пусть элемент аг действительно встречается в слове ру(а) при не-
некотором j^Cn. Тогда, как доказано в первой части теоремы,
Lx(Py)>Lx(ar). Но ^(РЯ)>^(РУ) и Lx(ar)^Lx(an), так как
г > п. Поэтому Lx (рл) > Lx (ал).
Упражнения
1. Пусть F — свободная группа, порожденная символами хну. По-
Показать, что вполне характеристическая подгруппа группы Т7, содержащая
элемент х2уху~1, совпадает с группой F или имеет в ней индекс 9.
2. Пусть F — свободная группа с двумя образующими. Найти все ее
подгруппы индекса 3.
^Биркгоф и Маклейн [1], стр.48. См. в § 9.2 о свойствах
коммутатора подгруппы.
134 Гл. 7. Свободные группы
3. Пусть F — свободная группа, порожденная элементами я, b и с.
Найти множество свободных образующих подгруппы индекса 8, порожден-
порожденной квадратами всех элементов группы F.
4. Пусть Аи A2i ..., Ат — элементы свободной группы, данные в ре-
редуцированной' форме, ни один из которых не равен единице, и такие, что
АХА2 ... Ат = 1. Показать, что для некоторого / слово At полностью со-
соAAA
кращается в произведении ixii+v
5. Дано редуцированное слово g = аха2 ... at =f= 1 в свободной
группе^/7. Показать, что F имеет подгруппу И индекса *+1, не содер-
содержащую элемента g. (Указание: выбрать следующие представители
смежных классов по Н\ 1, alt аха2> ..., аха2 ... а^)
6. Показать, что если g = g (xlt ..., хг) есть некоторое слово от
образующих хь ..., хп не являющееся единицей „в свободной группе,
порожденной свободными образующими хг, ..., хп то существует неко-
некоторая конечная группа G, порожденная элементами х{, ..., хп в кото-
которой g не является единицей (см. упр. 5 этой главы и упр. 1 к гл. 5).
Глава 8
СТРУКТУРЫ И КОМПОЗИЦИОННЫЕ РЯДЫ
8.1. Частично упорядоченные множества
Определение. Частично упорядоченным множеством назы-
называется такое множество 5, в котором для некоторых пар
элементов а и b определено такое отношение а^Ь (читается
„а содержит Ьи), что:
Р1. а за;
Р2. Если а^Ь и Ь^сУ то йЗс;
РЗ. Если а^Ь и Ь^а, то а = Ь.
Определение. Верхней гранью подмножества Т частично
упорядоченного множества S называется элемент x£S, такой,
что х is t для любого элемента t из Т. Аналогично нижняя
грань подмножества Т—это такой элемент у£S, что t^y
для любого элемента t из Т.
Определение. Наименьшая верхняя грань (н. в. г.) подмно-
подмножества Т частично упорядоченного множества S есть эле-
элемент хУ обладающий следующими двумя свойствами:
1) х есть верхняя грань множества Т,
2) если z — любая верхняя грань множества Т, то z^2. x.
Аналогично наибольшая нижняя грань (н. н. г.) подмноже-
подмножества Т есть элемент у, обладающий следующими двумя свой-
свойствами:
1) у есть нижняя грань множества Ту
2) если z — любая нижняя грань для Т,тоу^э z.
Вообще говоря, подмножество Т не обязательно имеет наимень-
наименьшую верхнюю грань или наибольшую нижнюю грань. Но если Т
обладает наименьшей верхней гранью х> то она единственна, так
как, по определению, две наименьшие верхние грани должны
содержать друг друга, а значит (РЗ) должны совпадать. То же
можно сказать о наибольшей нижней грани.
Если частично упорядоченное множество 5 также обладает
свойством *
Р4: для любой пары элементов а и Ъ имеет место либо
аЗ^, либо Ъ э а, то мы говорим, что S есть просто упоря-
упорядоченное множество, или цепь.
Иногда вместо а 3 b мы будем писать b Як а. Мы будем писать
y если а^зЬ, но афЬ. baa равносильно azDb. Введем еще
136 Гл. 8. Структуры и композиционные ряды
одно полезное обозначение а > Ь (читается „а покрывает Ьи)>
которое означает, что из отношений az^b и а ^ х ^ b вытекает,
что или х — а, или x — b. b < а означает то же, что аУ>Ь.
Пример. Пусть 5 — множество элементов а, Ь, с, d, е, f с от-
отношениями включения, указанными на диаграмме; х ^ у, если
точка х расположена выше у и эти
точки соединены. Здесь подмножество,
состоящее из элементов cud, не
имеет верхней грани. Оно имеет две
нижние грани (а и Ь), но ни одной
наибольшей нижней грани.
8.2. Структуры
Определение. Структурой будем
Рис. 3. Частично упорядо- называть частично упорядоченное
Генное множество. множество, в котором каждая пара
элементов а и b обладает наимень-
наименьшей верхней гранью, называемой также объединением а\}Ь,
и наибольшей нижней гранью, или пересечением а{\Ь.
Так как каждый из элементов a (J b и а П Ъ определяется одно-
однозначно, объединение и пересечение — вполне определенные бинар-
бинарные операции в структуре.
Теорема 8.2.1. В структуре выполняются следующие за-
законы:
LI. x{\x = x, х\}х = х. Идемпотентность.
L2. х (]у = у()х, x\J У = у[] х. Коммутативность.
L3. x{\(y[\z) = (x{\y){\z,
х U (У U г) = (х U У) U z. Ассоциативность.
L4. х [\(x\J У) = х, х U (х П У) = х. Закон поглощения.
Доказательство. Законы LI, L2, L4 непосредственно выте-
вытекают из определений н. в. г. и н. н. г. Докажем свойство L3.
Положим y[)z = u, x(]u = w. Здесь w есть нижняя грань эле-
элементов х и и, 2l значит, и элементов xt у и z. Но любая ниж-
нижняя грань х, у и z содержится в и, а. значит, и в пересечении
х flu = w. Поэтому w оказывается н. н. г. элементов х, у и z.
Аналогично (л: П у) П z есть н. н. г. элементов л:, у и £, откуда
следует, что х П (У П z) = (х П у) П %• Подобным же образом ка-
каждый из элементов л: (J (у U zj и (л: (J у) (J z является н. в. г. элемен-
элементов хУ у и z.
Теорема 8.2.2. Законы LI—L4 вполне характеризуют
структуру.
Доказательство. Во всякой системе, удовлетворяющей зако-
законам LI—L4, равенство х(]у = у имеет место в том и только
8.2. Структуры 137
в том случае, если х[]у = х- Если мы в такой системе введем
отношение включения, положив х ^ у тогда и только тогда, ко-
когда х П У — У> то эта система окажется частично упорядоченным
множеством относительно так введенного отношения включения.
Действительно, из равенства а(]а = а вытекает свойство Р1. Если
af]b = b и b(\c = ct то а[]с = а(](Ь(]с) = (а(]Ь)(\с = Ь(]с-= с,
что означает выполнение требования Р2. Если a(]b = b и
Ь()а = а, то а = Ь, так как a(]b = b(]a, т. е. требование РЗ
также удовлетворено. Таким образом, при таком определении вклю-
включения наша система является частично упорядоченным множеством.
Далее, а Л {а Л Ь) = {а Л а) Л Ъ = а Л Ъ и ft Л (а Л ft) = а Л ft, от-
откуда элемент а Л ft есть нижняя грань элементов а и Ь. Но если
«за; и Ь^х, то а(]х = х и ftn*^*» откуда (а Л ft) Л х =
= я П (* Л *) = аГ\х = х, следовательно, а Л ft есть н. н. г. элемен-
элементов а и ft. Аналогично, если у=эаиу=эЬ,тоа{)У = унЬ{)У:=У>
откуда у = (a (J ft) U У- Отсюда получаем, что a (J ft не только верх-
верхняя грань, но и наименьшая верхняя грань для а и ft.
Некоторые структуры обладают другими свойствами. Здесь
мы укажем те из них, которые нам понадобятся.
Определение. Говорят, что структура Lx изоморфна струк-
структуре L2, если существует взаимно однозначное соответствие
xi^>yi между элементами хь из Lx и yt из L2, такое, что
XiOxj^ty^yj и лг,и^ч±У*иУу.
Определение. Структура L называется полной, если лю-
любое ее подмножество имеет наибольшую нижнюю грань и
наименьшую верхнюю грань.
Если множество всех элементов структуры L обладает наи-
наименьшей верхней гранью, то она называется единичным элемен-
элементом, если же она обладает наибольшей нижней гранью, она на-
называется нулевым элементом.
Определение. Структура L называется дистрибутивной,
если в ней выполняется свойство
Dl. a[\(b\}c) = (a[\b)\}(a[\T).
Определение. Структура L называется модулярной1), если
в ней выполняется свойство
М. Если а^Ь, то а Л (ft \Jc) = b U (а Л с).
Говорят, что структура или, более'обще, частично упорядочен-
упорядоченное множество, удовлетворяет условию минимальности, если
любая убывающая цепь ах zd a2 ^э аъ zd ... обрывается после ко-
конечного числа шагов, и условию максимальности, если любая
возрастающая цепь аха а2а ага ... обрывается после конечного
числа шагов.
1) Модулярные структуры называются также дедекиндовыми струк-
структурами.
138 Гл. 8. Структуры и композиционные ряды
Определение. В структуре L конечная цепь х = х0 з хх \
^5 ... ZDxd — y называется максимальной, если xt > xi+1 npw
i — О, 1, ... , d — 1, т. е. х = х0 > х1 > ... > xd = у. Число d
называется ее длиной.
Определение. Элемент х структуры L имеет конечную |
размерность d (обозначается d (х)), если структура L имеет ;|
нулевой элемент О, любая цепь от х до нуля конечна и d—|
длина самой длинной максимальной цепи от х до 0. )
8.3. Модулярные и полумодулярные структуры
В любой структуре множество таких элементов х, что а Э ,
3a;3J. есть подструктура, называемая частным а/b. Частные
a\}bjb и а/а П Ъ называются перспективными друг другу. Если
частное ai\bi перспективно частному ai+l/bi+1 при /== 1, ... , п—1,
то мы говорим, что частное ах/Ъх проектито част-
ному ап/Ъп.
Теорема 8.3.1. В модулярной структуре пер-
перспективные частные изоморфны.
Доказательство. Пусть a\Jb/b и а/а(\Ь—пер-
а/а(\Ь—перспективные частные в модулярной структуре. Для
любого элемента х из а/а (] b определяем элемент
у (х) — х U Ь. Для любого элемента у из a U ЩЬ опре-
деляем элемент х (у) = у (] а. Первое отображение пе-
переводит элементы частного а/а П b в элементы част-
Р и с. 4. Пер- ного а у ць^ а ВТОрОе отображает a\]b/b в а/а f| b.
СПч\™е!е Если *€ФГ\Ь, то x[y(x)]=(xUb)ua. По-
скольку а ^э х> мы можем применить модулярный
закон a(](x\J b) = x\J(tt(]b) = х в силу того, что х ^эа(\Ь.
Следовательно, х [у (х) ] = х. Аналогично, если y£a[)b/b, по-
получаем у[х(у)] = у. Таким образом, отображения х—>у(х) и
у—>х(у) есть взаимно однозначные и взаимно обратные отображе-
отображения двух рассматриваемых частных друг на друга. Кроме того,
это соответствие сохраняет операции пересечения и объединения.
Действительно, для элементов хх и х2 из частного а/а f| b имеем
у (хг U х2) = (хг U x2) U * = (хх U Ь) U (x2 U b)=y(xl) U У (а:2). Далее,
■^i = х (У!), л:2 = х (у2), откуда^! П а:2 = * (у^ П а: (у2) = (уг (]а) (]
П (У2 П а) = У1 П у2" П « = * (У1 П У2). А теперь у (хг (] х2) =
= У [^ (У1 П У2) ] = У1 П У2 = У (хг) П У (х2). Итак, обе операции
сохраняются при отображении х—>у(х). Из того, что соответствие
однозначно, следует, что операции сохраняются также при отобра-
отображении у—>х(у). Это можно было бы проверить и непосредственно
вполне аналогичным образом.
Следствие 8.3.1. В модулярной структуре проективные
частные изоморфны.
8.3. Модулярные и полу модулярные структуры 139
Теорема 8.3.2. Если в модулярной структуре элемент х
имеет конечную размерность d(x), то все максимальные цепи
от х до 0 имеют одну и ту же длину.
Доказательство будем- вести индукцией по числу d (x). Если
d(je)=l, то х > 0 — единственная цепь от х до 0. Пусть
х = х0 > хх > ... > x'd = 0 — одна максимальная цепь от х до 0,
а х = уо> уг> ... > ys = 0 — другая. Если yl=xv то, по пред-
предположению индукции, максимальные цепи, начиная с хх и ylf
имеют одну и ту же длину d—1, откуда 5—\=d — 1, т. е.
s = d. Если хг ф yv то положим z2= х1{]у1. Тогда частные х\хх
и y\\zv xfyx и x2jz2 попарно перспективны. Но частные х/хг и
х/уг не имеют промежуточных элементов, поэтому хг > 22, yi>£2-
Так как все максимальные цепи от хг до 0 имеют длину d — 1,
все максимальные цепи от z2 до 0 имеют длину d — 2. Следова-
Следовательно, цепь от ух через z2 к 0 имеет длину
d—1, а теперь по индукции мы заключаем, что JF.
такую же длину имеет цепь уг > у2 > ... >0. Следо- х / \ v
вательно, цепь * = уо>у1> ... >yiS=0 имеет ;!\ /\"i
длину d = s.
В качестве следствия из этой теоремы мы по-
получаем, что условие Жордана — Дедекинда для цепей
имеет место в модулярных структурах.
Условие Жордана — Дедекинда для цепей. Все . \i''
конечные максимальные цепи между двумя эле- О
ментами имеют одинаковую длину. Рис. 5.
Если azDb, мы можем взять элемент Ь в качестве Условие
.. . Жордана —
нулевого элемента в структуре а/о и применить Дедекинда.
предыдущую теорему.
В модулярной структуре размерность подчинена важному со-
соотношению.
Теорема 8.3.3. В структуре, в которой все элементы
имеют конечную размерность, соотношение
'2\
имеет место тогда и только тогда, когда структура
модулярна.
Доказательство. В модулярной структуре частные х [} yjx
и У/я П У изоморфны. Длина максимальной .конечной цепи каждой
из этих подструктур соответственно равна d (х [} у) — d (x) и
с!(у)—d(x{\y). Но из изоморфизма следует, что эти числа равны,
откуда мы имеем
Обратно, пусть имеет место равенство (М). Пусть А з В\
рассмотрим выражения А П (В (J С) и В U (А П С). Выписываем
140 Гл. 8. Структуры и композиционные ряды
последовательно такие включения:
В[)(А1\С)£АП(В1)С).
Теперь, чтобы показать равенство В (J (A (J С) = А П (В (J С),
достаточно^ используя равенство (М), показать равенство соответ-
соответствующих размерностей:
= d[A(\(Bl)C)].
Следовательно, A[\(B\jC) = B\J(A[\C), и модулярность струк-
структуры доказана.
С помощью отношения покрытия А > В можно определить
два свойства полумодулярности, которые выполняются в неко-
некоторых структурах.
Определение. Нижняя полумодулярность. Структура назы-
называется нижне полу модулярной, если из включений А > В и
А>С (ВфС) следует, что В>В(]С и С>ВГ)С.
Верхняя полумодулярность. Структура называется верхне
полумодулярной, если из включений А<В и А<С(ВфС)
следует, что В<В[)С и С <В[)С.
Ясно, что эти два вида полумодулярности дуальны друг другу
и в силу теоремы 8.3.1 являются следствиями свойства моду-
модулярности. Мы покажем, что структура конечной размерности
со свойствами нижней и верхней полумодулярности модулярна.
Теорема 8.3.4. Если в полу модулярной структуре L Л 3 В
и существует конечная максимальная цепь между А и В,
то все конечные максимальные цепи между А и В имеют
равную длину.
Доказательство в основном совпадает с доказательством
теоремы 8.3.2. Пусть L — нижне полумодулярная структура. Если
8.3. Модулярные и полу модулярные структуры 141
существует максимальная цепь длины один между Л и Б, то
А > В и других целей от Л до Б не существует. Проведем
индукцию по длине максимальной цепи между Л и Б. Предполо-
Предположим, что
А=А0>А1>А2>... > ЛГ = Б
— максимальная цепь длины г от Л до Б, причем теорема верна
для цепей, имеющих длину, меньшую чем г. Пусть
А=ио>иг>и2>...>из=В
— другая максимальная цепь от Л до В. Тогда, если 1/г = Av
максимальная цепь от Аг = Ux до Б, по предположению индукции,
должна иметь длину г— 1, и теорема доказана. Если же иг Ф Av
то в силу нижней полумодулярности
Аг>иг{\ Av иг>иг{\ Аг.
Обозначив Ul(]Al—V2, мы получим следующие цепи:
А=А0 > Аг> Л2> ... > АГ=В,
A=AQ> AX>V2 > ...>Vm = B,
A=UQ>U1>V2>...>Vm = B,
A = UO>U1>U2>...>US = B.
По предположению индукциичдлины цепей от Л1 до В равны, т. е.
m — r, следовательно, первые две цепи имеют равные длины. Вторая
и третья имеют длину /и, а по предположению индукции длины
цепей от Ux до Б равны, откуда m — s. Следовательно, все четыре
цепи имеют одну и ту же длину, и теорема доказана для нижне
полумодулярных структур. Дуальные рассуждения приводят к тому
же результату для верхне полумодулярных структур.
Из этой теоремы видно, что в полумодулярной структуре раз-
размерность d(A) элемента Л—это длина всех максимальных це-
цепей между Л и нулевым элементом 0. В конечномерных полу-
полумодулярных структурах размерности элементов связаны ле-
равенствами.
Теорема 8.3.5. Пусть L — структура конечной размерности.
Если она верхне полумодулярна, то A) d(X[)Y)-{-
-f- d (X П Y) ^ d (X) -\-d(Y). Если же она нижне полу моду-
лярна, то B) d(X[)Y) + d(X()Y)^>d(X) + d(Y). Обратно, из
неравенства A) следует верхняя полумодулярность, но из B)
нижняя полумодулярность не следует.
Доказательство. В силу теоремы 8.3.4, если структура L
полумодулярна и если RzdS, to d(R)—d(S) — длина максималь-
максимальной цепи между R и 5, так как все максимальные цепи от нуле-
нулевого элемента до R имеют одинаковую длину. Поэтому размер-
142 Гл. 8. Структуры и композиционные ряды
ность элемента R равна длине максимальной цепи от R до нуля,
содержащей элемент S. Мы используем этот факт в доказательстве.
Пусть L — верхне полумодулярная структура. Условимся
писать А^Ву если А = В или АУ>В (читается: „Л, самое
большее, покрывает Ви). Если теперь
... <Vn=Y,
то мы утверждаем, что U^Vj^ Ui^l[}VJ и Ut U Vy> Ut [}Vj-i
для всех t= 1 щ j=\ п. Будем это доказывать
индукцией по / + у. Наименьшее значение для /+/ равно 2; для
этого значения утверждение следует из верхней полумодулярности:
Далее, Ui U Vy = (^/ U Vy-i) U (^*-i U^y). а, по предположению
индукции, {/, U Vy»! > £//«! U VJmml и (/^! U V; > f/^! U V^lf следо-
следовательно, в силу верхней полумодулярности Ut \jVj ^ ^ U ^y_j и
^/иУу^ t^j-ill Vy» что и требовалось доказать. Отсюда, учиты-
учитывая, что Vn = У при j = n, мы получаем
Таким образом, длина максимальной цепи от Y до ^U У не
Превосходит а^. Но, как мы установили ранее, это означает, что
d(X[) Y) — d(Y)^m = d(X) — d(X(\ К).
откуда следует неравенство A) для верхне полумодулярной
структуры. В силу дуальности неравенство B) имеет место в нижне
полумодулярной структуре. Этим доказано прямое утверждение
теоремы.
Лемма 8.3.1. Если в структуре конечной размерности имеет
место неравенство A), то из Uy>V следует, 4mvd(U)=d(V)-\-\.
Доказательство. Пусть 0 = Uo < Ux < U2 < ... < Ut_x <
<r (Jt= U — максимальная цепь от 0 до U. Между 0 и Ut не
существует цепи длины, большей чем /, так как в противном
случае мы могли бы построить ^более длинную цепь между 0 и U.
Следовательно, d(U) = t и t/((//) = / при * = 0, 1 t—1.
Далее, так как U > V, имеем, d (U) ^ d (V)-\- 1, и поэтому
t—\^d(V). Выберем 1/у так, чтобы Uj^Vt f/y+1 ф V (такое J
среди чисел 0, 1 t—\ должно найтись). Тогда Uj+l[]V= U,
UJ+l fi V = Ur В силу неравенства A) d (UJ+l [} V) +d(UJ+1 (] V)
<rf(V) + rf(£/y+i). откуда/+y<rf(lO+y+lf или *-l<d(
а значит, d(V) = t—U d(U) = t = d(V)-\-l.
8.4. Главные и композиционные рйды ,143
Теперь, учитывая эту лемму и неравенство A), предположим,
что Л<Б, Л<С и ВфС. Тогда А=В[\Cyd(B)~d(A)-\-l,
d (C)=d (А)-\-1. Применяем неравенство A): d (В [} C)-\-d (В П С) <
<fi?(B) + d(C), откуда d(B[)C)<Cd(A)-\-2. Но В[)С фВ, С,
поэтому d (В U С) = d (В) + 1 = d (С) + 1, откуда В U С > В,
/? у С > С, т. е. структура L верхне полумодулярна. Так как
понятие размерности d(X) элемента X определяется как длина
максимальной цепи от 0 до X и принцип двойственности к нему
неприменим, из неравенства B) не следует, что структура L
нижне полумодулярна. Пятиэлементная структура с элементами
О, Т, Ах\ BlaB2i такими, что Ах П Вг= Л1ПВ2=0, ^U^i^
= A1\JB2=T9 удовлетворяет неравенству B), но не является
нижне полумодулярной.
Теорема 8.3.6. Структура конечной размерности модулярна
тогда и только тогда, когда она одновременно нижне и верхне
полумодулярна.
Доказательство. Мы уже видели, что из модулярности сле-
следуют оба вида полумодулярности. Но если имеют место свойства
верхней и нижней полумодулярности, то в силу теоремы 8.3.5
мы имеем, что d{X\}Y)-^rd(X{\Y) = d(X)-\-d(X)i а согласно
теореме 8.3.3 это свойство равносильно модулярности.
Теорема 8.3.7. Подгруппы конечной р-группы образуют нижне
полумодулярную структуру.
Доказательство. Объединение и пересечение подгрупп,
определенные в § 1.4, действительно удовлетворяют аксиомам
структуры, причем отношением порядка является включение.
Если А > В, А > С, где Л, В, С — подгруппы конечной /?-группы,
то В та С являются максимальными подгруппами группы А и по
теореме 4.3.2 имеют индекс р. Согласно теореме 1.5.5 о нера-
неравенствах для индексов, значения \В \ В[\С\ и [С : В(\С] не прево-
превосходят р,'г значит, равны 1 или р. Таким образом, если ВфС,
то В> В[\С и С > В[\С.
8.4. Главные и композиционные ряды
Мы применим теперь совокупность результатов предшествую-
предшествующих параграфов к исследованию структуры подгрупп произвольных
групп. Рассмотрим цепочку подгрупп группы G:
G = A0^Al^A2^... зл„, (8.4.1)
где каждая подгруппа At—нормальный делитель в подгруппе
^-i» что мы обозначим так:
v i=\ п. (8.4.2)
144 Гл. 8. Структуры и композиционные ряды
Группы At называются субинвариантными в группе G, а цепочка
(8.4.1) называется нормальным рядом, или нормальной цепоч-
цепочкой 1).
Цепочке подгрупп (8.4.1) мы ставим в соответствие последо-
последовательность фактор-групп
At_JAt, i=l п. (8.4.3)
Если каждая подгруппа At инвариантна в группе О, мы назы-
называем ряд (8.4.1) инвариантным рядом, или инвариантной цепью.
Если At<]At_v i=l пУ то отсюда еще не следует, что
At <] G, и поэтому требования инвариантности ряда сильнее, чем
требования (8.4.2). Нормальный ряд, в котором каждый член А{
является максимальной инвариантной подгруппой группы О, со-
содержащейся в At_v будем называть главным. Нормальный ряд,
в котором каждый член Аг является максимальной инвариантной
подгруппой в At_v будем называть композиционным. В терминах
теории структур, если включения в ряду (8.4.1) являются покры-
покрытиями, инвариантный ряд называется главным, а нормальный —
композиционным. Можно дополнительно требовать, чтобы группы
At были допустимы относительно- некоторого множества опера-
операторов Q.
Мы сможем интерпретировать общие теоремы о модулярных
структурах или как теоремы о подгруппах, или как георемы
об отношениях конгруэнтности на лупах, или, более обще,
как теоремы об отношениях конгруэнтности в алгебре2), пере-
перестановочных с операциями алгебры. Основной теоремой, ко-
которая позволит нам получить самый сильный результат о груп-
группах, является теорема 2.4.1. Теоретико-структурные теоремы
при этом опираются на модулярный закон, и это проявляется
в алгебрах различными способами. Таким образом, при раз-
различных предположениях относительно алгебр из одной и той же
теоремы о структурах получаются различные теоремы. Для тео-
теории подгрупп нам понадобится вспомогательная теорема о моду-
модулярности. Будем говорить, что подгруппы А и В группы G пере-
перестановочны, если АВ = ВА. Легко проверить^ что в этом случае
A U В = АВ = В А и множество В А = АВ является цодгруппой.
Из теоремы 2.3.3 следует, что лодгруппы А и В перестановочны,
если одна из них инвариантна; очевидно, вполне достаточно их
инвариантности в группе А [} В.
1) Автор называет инвариантный ряд нормальным. Переводчик пред-
предпочел пользоваться терминологией, принятой в советской алгебраической
литературе. — Прим. перев.
2) Алгебры понимаются здесь в смысле Г. Биркгофа, т. е. как мно-
множество М, на котором задана некоторая совокупность многолистных
v функций со значениями в М. — Прим. перев:
8.4. Главные и композиционные ряды 145
Теорема 8.4.1. Пусть А, В, С — подгруппы группы G, причем
А 3 В. Тогда для того, чтобы имело место равенство
А П (В U С) = В U (А П С), достаточно, чтобы подгруппы В и С
были перестановочны.
Доказательство. Как отмечалось в доказательстве теоремы
8.2.5, из включения Aid В следует, что
Достаточно доказать обратное включение. Элемент из группы
А П (В U С), являясь одновременно элементом подгрупп А и В (J С,
имеет вид а = Ьс, где а£А, Ь£В, с£С. При этом, так как
В и С перестановочны, все элементы из В[)С записываются
в виде be. Отсюда с = Ъ~~}а £ Л, так как В с: А. Поэтому с £ А f] С,
следовательно, йс^ВиО^ПО- Таким образом, ЛЛ(В1)С)£
£ В U (Л П С), и теорема доказана. Она справедлива также для
подлуп лупы с обратными элементами, где перестановочность В и С
означает В U С = ВС. Для заключения, что Ъ~ха — b~l (be) = с, тре-
требуется только выполнение закона о существовании обратного эле-
элемента,
Теорема 8.4.2. (Теорема об уплотнении *).) Пусть U = Aozd
^ Ах ^ ... ^An = V и 1/ = В0ЭВ1Э. . .^Bm = V — dee конеч-
конечные цепи от U doV в модулярной структуре. Тогда можно уплот-
уплотнить обе цепочки дополнительными элементами А._х — At 0=>
Э>»мЭ... =At.m=Al, i=\ /г, и Bj^ = BJt0^BJtl^
3 .. . Bjtn = Bj, j = 1 w, яшя;, чтобы факторы Aifj_1/Ai)j
и Bjii_l/Bjfi были проективны.
Доказательство. Положим Aif j = Ai \j (А^х П Bj), B^ . =
= Bj[)(Bj_l()Ai), i—l п; j=\ т. Здесь фактор
Ai,j-JAi}j перспективен фактору
Vi П Sy-i/(^-i П By) U 04/ П В,_х), (8.4.4)
так как из включения Bj ^Bj_x мы получаем
(Лг_, П Яу_,) UAU (Л-i П By) = A U (Vi П В/-,)- (8-4.5)
!) Оригинальная теорема Жордана — Гёльдера была расширена и
обобщена целым рядом авторов. Она была доказана Жорданом [1] и Гёль-
дером [1]. Обобщения для групп с операторами были установлены Э. Нё-
тер [1] и В. Круллем [1,2]. Теорема об уплотнении была доказана Шрейе-
ром [4] и Цассенхаузом [1]. Теоретико-структурная формулировка, данная
здесь, является модификацией формулировки Орэ [2]. Обобщение на ча-
частично упорядоченные множества было сделано Орэ [1] и Маклейном [3].
10 М. Холл
146 Гл. 8. Структуры и композиционные ряды
Кроме этого, применяя свойство модулярности, получаем, что
(Л^ П В^г) П [At U (Л^ П В;)) =
= (Л,м П Яу) U (^ П #y_i)-
Аналогично, фактор Bj^^JBj^ перспективен фактору (8.4.4), и тео
рема доказана.
Эта теорема вместе с ее доказательством справедлива для
нормальных рядов произвольной группы G, причем, если О—?
группа с областью операторов 2, то в качестве подгрупп рассмат-
рассматриваются только допустимые подгруппы. Сюда естественным обра
зом относится случай группы без операторов, т. е. случай, когда
область операторов Q состоит из«одного тождественного оператора
Теорема 8.4.3. (Т?орёма об уплотнении для групп.^
Пусть G — группа с областью операторов 2, и пусть 0 =
= ^2^5... ЭАП = -Н и О = В0^В1^ .. . ^Вт = Н
два нормальных ряда допустимых подгрупп от G до Н. Тогдш
можно уплотнить оба ряда дополнительными допустимыми
суб инвариантными группами:
А-1 = Аио 3 Aitl э .. • 3 Аит = Ai% i = 1, ..., /г,
и
Bj_i = BJt 0^BJtl^ ... 3 Bj>n = Bj, j = 1, ..., mt ,
так, чтобы фактор-группы
были операторно изоморфны.
Доказательство. В силу теоремы 2.4.1 перспективные (еле
довательно, и проективные) фактор-группы допустимых подгрупп
операторно изоморфны. Следовательно, чтобы показать,. что до
казательство теоремы 8.4.2 применимо и в данном случае, мы
должны установить, что в факторах XjY, фигурирующих в дока
зательстве, К <] X и что применение модулярного закона в выра
жении (8.4.6) законно. Так как объединение и пересечение до
пустимых подгрупп — допустимые подгруппы, то все подгруппЫ|
встречающиеся в доказательстве, допустимы. Далее, группа Aitj=*
= Ai[)(Ai_l()Bj) инвариантна в группе AifJ_l = Ai[}(Ai_1[]Bj_1)
так как каждая из групп Аь и Ai_l{\Bj трансформируется в себя
элементами подгруппы Аь_х П #у-г Аналогично BjU <| Bjti_
Группы Ai^1(\Bj и At[]Bj^v а следовательно, и их объединение
являются нормальными делителями в группе Ai_l{)Bj__l, откуда
фактор (8.4.4) является фактор-группой. Так как группа А( инва-г|
риантна в A(__lt в выражении (8.4.6) А{ перестановочна с лю- |
8.5. Прямые разложения 147
бой подгруппой из Л;_! и, в частности, с подгруппой Л£-1 По-
Последовательно, по теореме 8.4.1, к выражению (8.4.6) можно
применить модулярный закон. Таким образом, теорема доказана.
В главных или композиционных рядах (для группы с опера-
операторами или без операторов) дальнейшие уплотнения невозможны,
а потому в качестве следствия из теоремы об уплотнении полу-
получается следующая
Теорема 8.4.4. (Теорема Жордана — Гёльдера.) Если 0 =
^zAqZdA^. . .z>An?==H uG^Bq-^B^. .. эйт = Н — два глав-
главных (или композиционных) ряда группы G с областью операто-
операторов 2, то т = п и фактор-группы Ai_x\Ai операторно изоморфны
фактор-группам Bj^JBj в некотором порядке.
Равенство т — п является, конечно, следствием взаимно одно-
однозначного соответствия между фактор-группами, отличными от еди-
единичных.
В случае инвариантных рядов все подгруппы, будучи инва-
инвариантными, допустимы относительно всех внутренних автоморфиз-
автоморфизмов х—>а~хха, и мы можем включить все внутренние автомор-
автоморфизмы в область операторов^. Изоморфизм, сохраняющийся при
всех внутренних автоморфизмах, называется центральным, Та-
Таким образом, следствием из теоремы об уплотнении является
следующая
Теорема 8.4.5. В уплотнениях инвариантных рядов соот-
соответствующие фактор-группы центрально изоморфны.
Если теперь соответствие-л;—>(x)ol есть центральный автомор-
автоморфизм групды, то
а (х) оса = (аха) а = ((а) а) (л:) а (а) а,
откуда элемент (а)оса"\ перестановочен с любым (х)а и, следо-
следовательно, принадлежит центру Z группы. Поэтому для любого
центрального автоморфизма а и для любого элемента а из группы
имеем (a)a=az; здесь z — элемент центра, зависящий от а.
Обратно, как легко видеть, автоморфизм такого вида является
центральным.
8.5. Прямые разложения
Предположим, что в модулярной структуре имеются т
элементов Ах Ат таких, что для элементов Л/=Л1и ...
• •. U Аь_х U Ai+l U . .. U Am (i—\ т) выполняются отно-
отношения At ПЛ/ = 0 (/=1 т). Тогда мы буде^ говорить, что
элемент А=А1[) ... U Ат является прямым объединением эле-
элементов Аг Ат, и будем записывать его в виде
А = АгХА2Х ... ХАт. (8.5.1)
10*
148 Гл. 8. Структуры и композиционные ряды
Для групп это имеет место, если А есть прямое произведение!
подгрупп Av ..., Am.
Теорема 8.5.1. (Теорема Орэ.) Пусть L — любая модулярная'
структура конечной размерности. Если некоторый элемент Т
структуры L имеет два разложения Т= Ах X • • • X Ли» ^—
= Вх X • • • X Вп>' г&е А и Bj далее неразложимы в прямое
объединение, то т = п, а элементы At и Bj попарно проек-
тивны.
Доказательство. Мы покажем, что любой элемент At (ска-
(скажем, Aj) можно заменить некоторым проективным ему элементом
Bj, т. е. T=AlXA2X...XAm = BJXA2X...XAm. Это
и будет основной частью нашего доказательства. Заменив Ах эле-
элементом В.у мы затем во втором разложении заменяем А2 элемен-
элементом Bk и т. д. В процессе замен никогда не будем пользо-
пользоваться элементом Bj дважды, так как это противоречило бы
требованию, что пересечение любой компоненты с объединением
остальных равно нулю. Элементов Bj должно быть достаточно,
чтобы заменить все компоненты At, причем ясно, что в силу вклю-
включений Bj cz Т лишних элементов Bj не должно быть. Поэтому
т=п. Напомнив, что Ai = Al[} ... [} Ai__l[] Ai+l[] ••• U Am%
1=1 т, и Щ = ВХ\] ... U^-iU^+iU ... UBn, j =
= 1, ..., п, проведем основное доказательство индукцией по раз-
размерности элемента Г, исходя из того, что для размерности 1 утвер-
утверждение тривиально.
Случай 1. Ах (J Bj = Ах \}Bj = Т для некоторого /.
Тогда
= d (Bj) + d(A1[] Bj) > d (Bj),
и аналогично d(Bj)^>d(A1). Поэтому d(A1)=:d(Bj). Таким обра-
образом, d (Аг П Bj) = d (Ax П Bj) — 0 и, следовательно, Т— Ах X Bj =
= Ax X Bj, т. е. элементы Ах и Bj можно заменять друг другом.
Случай 2. Пусть Ax\}BjdT для некоторого j (скажем, для
У=1). Введем обозначения Dh= Ax\]Bh, Qh = Dh(]Blt h —
= 1 /г. Если D1 = A1[}Bl^Bv то Dl^B1\jB] = Tt что
противоречит условию. Следовательно, Q2 = DX П В1аВ1 и d(Qj)<
< d (Вг). Элемент Т является прямым объединением элементов Bj\
поэтому объединение элементов Qh также является прямым, по-
поскольку Qh С Bh, h—1 п.
п
Положим С= \\ Qh. Поскольку элементы Т и С являются
прямыми объединениями, причем Qx a Bv d (T) = d (Вг) -{- ...
8.5. Прямые разложения 149
. . . -\-d (Вп)У имеем
... +d(Qn) <d(T). . (8.5.2)
Так как элемент С строго содержится в Т, мы можем предпо-
предположить, согласно индукции по размерности, что теорема верна
для С.
Положим Ur=:Ql[y ... и Qr. Мы хотим показать, что Ur =
= Mrf]Nr где Mr = B1U ... \)Br, Nr = D1f] ... flDr При-
Применяем опять индукцию. При г = 1 , это верно, так как тогда
иг = Qv а, по определению, Ul==Bl(] Dr Предположим, что
Uj = Mj{\ Nj. Тогда UJ+l = Uj [} QJ+l = (Mj П Nj) U (Bj+1 П Dy+1),
где Dy.+1 ^ Bj+l ^ Л1;. з УИу П A^y Согласно модулярному закону,
f/y+1=D;+1n[(^n^)Ufi/+1].3AecbBy+1c^EDA, A=2 у,
откуда Bj+l^Nj. Наконец, t/,+1 = D.+1 П [Nj П (Ду+1 U Afy)] =
= A^;+i П ^y+i- Доказательство по индукции закончено. При
r = n Mr=T, откуда
C = Q1{] ... UQn = Dl[]D2f] ... П^ЗЛ, (8.5.3)
где последнее включение справедливо, так как Dh id Av h =
= 1 п. Учитывая, что С :э Av применяем модулярный за-
закон (С[]А1)[}А1=С[\(А1[}Л1) = СПТ=С. Используя ириви-
альное равенство С П ^i П ^ = 0, получаем
C = i41X(CflA) = QiX ... XQ«. (8.5.4)
По предположению индукции, теорема верна для элемен-
элемента С, и поэтому Ах можно заменить некоторой неразложи-
неразложимой компонентой одного из элементов Qh (скажем, компонен-
компонентой E^Qh). В силу этой, заменяемости d(E) = d(A1). Кроме
того, так как С =/: X (£ П А)> мы получаем 0 = /: {)С П Л1==
= Е П Av Следовательно, d (Е [} Ах) = d (E)-\-d(A1) = d (Аг) +
-|- d(A^) = d(T), г. потому Т= Ах U Е = Е X Av Кроме того,
E^Qh = (AlUBh)f]Bh^_Bh и E(\(AlnBJ = E(]Al = 0. Далее,
Е U {Ах п Вл) = Вл П (£ U Аг) = Bh П Г= Вл, откуда
Вл = £Х(АПЯл). (8.5.5)
Но по предположению элемент Bh неразл,ожим# a d (Е) = d (Ах) > 0.
Значит, Bh — E и Л1П5л = 0. Отсюда получаем
Т= AlXAl = BhX Av (8.5.6)
Кроме этого, Bh = E с: QA cz Дл, следовательно, #А = Q^ ==
= Hi U #&) Л ^л- Таким образом, Bh^A1\J Bh, и поэтому
156 Гл. 8. Структуры и композиционные ряды
:э Bh U Bh = Т. Так как d (AJ = d (Bh)> получаем равенств^
Следовательно,
T=A1XBh, (8.5.7)
и в итоге компоненты Аг и Bh взаимозаменяемы, причем
так как Ах{] Bh=T, в то время как Ах\] ВХФ Т.
Случай 3. Al\J Bj=T для всех /, но Al\jBjCiT для всех j.
Это единственная возможность, не охватываемая случаями 1 и 2.
Поменяв ролями Ai и Bj, мы применим случай 2, и тогда произ-
произвольную компоненту Bj (скажем, Вп) можно заменить на некото
рую компоненту А{ (но не Аг)9 которую при соответствующей
нумерации можно взять как элемент Ат. Тогда
=ВпХАт. (8.5.8)
При этом соответствие z -> (z U Am) f| Am является проекцией ча-
частного Вп/0 на Ат/0, которое, согласно следствию из теоремы
8.3.1, оказывается структурным изоморфизмом. Следовательно-,-
полагая Bj*=(Bj [} Am) f| Ат, у—1, ..., п—1, мы в силу изо-
изоморфизма получаем
Ат=АгХ..-Х Ат-х = Вг*Х ... X Вп_*. (8.5.9) |
По предположению индукции, теорема верна для Ат. Поэтому!
элемент А1 заменим некоторым Ву*(например, В\) в разложении Ат. 1
Тогда Вх U Ат = (В, [} Ат) П (Л"„ U Ат) = [{Вх U Ат) (] Ат] U Ат = |
=В\ U Ат. Следовательно, Вх [} Ai = (Bi* [} A2 U • .. U Am-\) |J Am=^ |
= (Аг U A^ U ... U Am_1) U Ат=Т, так как элемент В* заменяет Аг |
в разложении Ат. Но здесь Ах \] Вх = Г= Bj (J Лр а потому можно I
применить результат случая 1. Итак, компоненты Ах и Вх взаимо- :|
заменяемы. Отметим, что случай 3 в действительности не ветре-|
чается, а во всех случаях для данной компоненты Ах существует J
такая компонента В,, что Ах и Bj взаимозаменяемы. |
В применении к группам получается следующая j
Теорема 8.5.2. (Теорема Веддербарна — Ремака — Шмидта1).)!
Пусть G — группа, инвариантные подгруппы которой образуют |
]) Первое доказательство этой теоремы принадлежит Веддербарну [1]. {
Ремак [1, 2] восполнил пробел в нем, О. Ю. Шмидт обобщил эту тео- I
рему на группы с операторами. Теорема 8.5.1 для структур была дока- 1
зана Орэ [1], ее доказательство, изложенное здесь, взято у Биркгофа [1], ^
но несколько изменено. !
8.6. Композиционные ряды в группах 151
структуру конечной размерности. Если группа G двумя спо-
способами представима как прямое произведение неразложимых
подгрупп
О=АгХ ...XAm.
G = BlX ... ХВп.
fjio m = n и любая подгруппа At может быть заменена некоторой
подгруппой^ В-г причем подгруппы At и Bj центрально изо-
изоморфны. Эта теорема справедлива также для групп с опера-
операторами и для отношений конгруэнтности луп со свойством
обращения.
Доказательство. Так как уже установлено, что инвариант-
инвариантные подгруппы образуют модулярную структуру, нам нужно только
убедиться, что в случае групп прямое объединение элементов
структуры является прямым произведением подгрупп. При разло-
разложениях G = Аг X А{ = Bj X At подгруппы At и Bj перспективны
фактор-группе G\Ai и, следовательно, проективны. Таким обра-
образом, существует центральный изоморфизм между Аь и Bj, кото-
который превращается в центральный автоморфизм группы О, если
отображать подгруппу At на себя. Следовательно, соответствую-
соответствующие элементы из подгрупп At и Bj отличаются друг от друга
сомножителем, принадлежащим центру группы О.
»
8.6. Композиционные ряды в группах
Пусть G = Aoz^A1zd ... эЛл = Я- композиционный ряд
между G и подгруппой Н. По определению, Ai+1 является макси-
максимальным нормальным делителем группы Аь. Следовательно, фак-
фактор-группа А([А1+1 проста, так как ее нормальному делителю
соответствовал бы нормальный делитель группы At, содержащий
А1+1 (теорема 2.3.4). Таким образом, если группа AJAi+1 абелева,
то она не содержит даже собственных подгрупп и, следовательно,
является конечной группой простого порядка. Между^ главными
и композиционными рядами существует отношение, устанавливае-
устанавливаемое следующей теоремой.
Теорема 8.6.1. Пусть Н — такая инвариантная подгруппа
группы О, что между G и И существует композиционный
ряд. Тогда между G и Н существует главный ряд
причем любая фактор-группа BiJBi+l является прямым про-
произведением конечного числа изоморфных простых групп. Об*
ратно, если такой ряд существует и фактор-группы BJBi+1
являются прямым произведением конечного числа изоморфных
152 Гл. 8. Структуры и композиционные ряды
простых групп, то существует композиционный ряд между О
и Н.
Доказательство. Любой нормальный ряд от С до Я может ,|
быть уплотнен до композиционного. Поэтому любой нормальный I
ряд от О до Н обязательно короче композиционного ряда и,
следовательно, имеет конечную длину. Таким образом, между Q
и Н существует главный ряд
Далее применяем индукцию по т. Если*/я=1, то группа G/H
проста, и теорема доказана. Предположим теперь, что каждая из ]
групп В0/Вл, ..., Вт_с1\Вт_х является прямым произведением ко- \
нечного числа изоморфных простых групп. Достаточно доказать, :J
что группа Вт^1/Вт есть прямое произведение конечного числа i
изоморфных простых групп.
Любая инвариантная подгруппа группы Bhl_l/Bm соответствует
инвариантной подгруппе группы Вт_^ содержащей Вт. Следова- $
тельно, существует минимальная инвариантная подгруппа К/Вт>
где К з Bmt и подгруппа К инвариантна в группе Вт__х. Если <
K = Bm_v то группа Вт_1/Вт проста и доказывать больше не-
нечего. Рассмотрим теперь подгруппы Kj, сопряженные с К во всей )
группе С. Kj^Bm_v так как подгруппа Вт_х инвариантна в О.
Более того, так как трансформирование элементом из G индуци-
индуцирует автоморфизм группы Bm__v любая подгруппа Kj инвариантна
в Bm_v Далее, группа \jKj инвариантна в группе О, так как •;
j
трансформирование элементом из G просто переставляет группы Kj
между собой. Следовательно, [\Kj — Bm_v так как не существует
инвариантных подгрупп .труппы G между Вщ_х и Вт. Пусть
ждая из подгрупп Uj = K\\i ... [}Kj инвариантна в группе Вт_х j
и, кроме того, содержит предшествующую подгруппу Uj_v Так ^
как между G и Вт существует композиционный ряд, включаю- ч
щий Bm_v то подгрупп Uj только конечное число, и, следовательно, *\
для некоторого конечного j получаем, что Вт_х = Кх\} ... [)Kj. ^
Подгруппа Кь, не содержащаяся в объединении остальных таких
подгрупп, имеет пересечение с этим объединением, совпадающее
с Вт> так как каждая подгруппа Kj является минимальной инва-
инвариантной подгруппой группы Bm_v содержащей Вт. Следова-
Следовательно, пренебрегая подгруппами Kj, содержащимися в объедине-
объединении остальных, мы получаем Вт^1/Вт = К1/Вт[] ... []KS/Bm,
где каждая подгруппа К-ь\Вт инвариантна в группе Вт__1/Вт
и пересекает объединение остальных по единице. Тогда в силу
8.6. Композиционные ряды в группах 153
теоремы 3.2.2 группа Вт_1/Вт является прямым произведением
подгрупп Ki/Bm> ..., KJBm. Если бы подгруппа К1/Вт имела
собственный нормальный делитель, то последний был бы нормаль-
нормальным делителем в группе Вт_1/Вт, так как она была бы инвари-
инвариантной в группе KJBm и остальные прямые сомножители лежали
бы в нормализаторе этой подгруппы. Но по йостроению Кх\Вт —
минимальная инвариантная подгруппа, поэтому Кх\Вт — простая
группа, и фактор-группа Вт_1/Вт является прямым произведением 5
изоморфных простых групп.
Чтобы убедиться в истинности утверждения, обратного дока-
доказанному, достаточно заметить, что ряд Вта К с U2a Uzc ...
... с: Вт__х является частью композиционного ряда, так как каждая
его фактор-группа проста.
Теорема 8.6.21)'. Пересечение двух суб инвариантных под-
подгрупп группы G есть суб инвариантная подгруппа. Объединение
и пересечение двух подгрупп, встречающихся в композицион-
композиционном ряду, являются членами некоторого композиционного ряда.
Доказательство. Пусть А и В — две субинвариантные под-
подгруппы группы G. По определению, существуют два ряда вида
A=Ar<]Ar_l<\ ... <A<0,
B = Ba<]Ba_l<\ ... <\Вг<]0.
Тогда в ряду А = АТ :э Ат П Вг :э ... 3 Ат f| Bs = А П В каждая
подгруппа или равна предшествующей, или инвариантна 'в ней
(теорема 2.4.1). Отсюда получаем
ЛПЯ<Св<Св-1< ... <\Сг<\Аг<\ ... <ЗАг<\0.
где Сь — различные члены предыдущего ряда. Поэтому подгруппа
А П В субинвариантна.
Предположим теперь, что оба исходных ряда являются компо-
композиционными. Если Вх Ф Av то О = А1[}В1, так как и Bv и Ах —
максимальные нормальные делители в G. Подгруппа Ах П Вх инва-
инвариантна в G, причем группа AJAl[\B1 изоморфна группе QjBv
а значит, проста. Поэтому Аг[\Вг — максимальная инвариантная
подгруппа в Аг. Здесь или Ах [\ Вх— А2, или подгруппы Ах П Вх и А2
являются максимальными инвариантными подгруппами в группе Av
откуда Аг = А2 U (Аг fl ^i) и А2 П Вх = А2 П (Аг П В{), а, значит, группа
A2lA2 П В\ = А11А1 П ^i = О/Вг проста. При этом А1 fl BJA2 П Вх ^
~АХ{\ А2. Продолжая этот процесс, мы придем к тому, что или
A=Ar=Ar[\Bv или ЛГП^!<|^Г, и группа Аг/Аг[\ Вг ^G/B
проста. Мы получаем композиционные ряды ^
') Эти результаты принадлежат Виландту [2].
154 Г4- 8. Структуры и композиционные ряды
аналогичные исходным, но с меньшим числом членов, следуюи
за Bv Повторив эти построения для В2 в роли Вх и т. д.,
в итоге получим композиционный ряд между G п А(\В.
Намного труднее доказывается, что объединение двух компо*
зиционных групп (так мы будем называть подгруппы, встречаю-!
щиеся в композиционных рядах) будет снова композиционной^
группой. Применим индукцию по длинам г и s двух композицион-;
ных рядов от А= Ar vl B = BS д,о G. Точнее говоря, мы приме-:
ним индукцию по г -\-s, исходя из того, что теорема верна при
г -f-s—2, так как А1[]В1 — инвариантная подгруппа группы G.
Нам понадобится
Лемма 8.6.1. Если С — композиционная подгруппа группы О,
которая строго содержит композиционную группу А, то'
между G и А существует композиционный ряд, включающий <
подгруппу С, и, следовательно, длина композиционного ряда:*
от G до С меньше длины композиционного ряда от G до А.
Действительно, если
— какие-либо композиционные ряды между G и С, G п А, то, $
повторяя вышеприведенное построение, мы получаем ряд *
в котором все различные члены составляют композиционный ряд
от G до АТ и длина которого, значит, равна г. Отсюда г > t.
По предположению индукции, Ar_1\jBs и Ar[]Bs_1 — компо- *
зиционные подгруппы группы О. Если Ат_х U Bs — собственная
подгруппа в G, то Ат и Bs — композиционные подгруппы
в Ar_1[]Bs с длинами г' < г и s' < 5 (в силу леммы). Тогда по
индукции Ar\jBs — композиционная подгруппа в Ar^1[}Bs и,
следовательно, в G. Таким образом, предположим, что
Лг-1 U BS=Q. Если опять Ar\jBs-i — собственная подгруппа
в О, то доказательство проводится, как и выше. Таким образом,
мы можем предположить также, что Ar\]Bs_l = G. He ограни-
ограничивая общности, будем считать, что г^.s. Если ff£Bs, то
b Arb <] b Ar_i b<^\ ... <3 b Аф <] i4j <] G,
где b"lAlb=A1, так как подгруппа А1 инвариантна. Если теперь
Ь~1АгЬфАт, то Ат и b~lArb — композиционные группы в Av и
в обоих случаях длина их рядов равна г—1. Следовательно, по
индукции А*— Ат\] b~lArb — композиционная группа в Av причем ti
длина цепи от Ах до Л* меньше г — 1. Поэтому опять, по пред- '\
положению индукции, Bs\j А*—композиционная группа. Но А
Упражнения - 155
g у А* = BSU АГ = В[) А. Таким образом, мы можем считать,
что группа Ат трансформируется в себя любым элементом из Bs.
Но Ат трансформируется в себя также любым элементом под-
подгруппы Ar_v Поэтому группа Ат инвариантна в группе
A _iU BS = G. Так как Ат инвариантна в G, мы можем ее взять
в Г качестве Av Но тогда В [} А = Bs U Ax <\ Bs_x []А1<\...
.. . <! В\ U А <3 О, так как подгруппы Bt и Ах трансформируются
в себя группой BimmV а кроме того, ясно, что Av будучи под-
подгруппой группы Bt U Av трансформирует ее в себя. Следовательно,
В{ U Ax <3 -S/—1 U А- Таким образом, подгруппа В\]А, будучи
субинвариантной подгруппой группы О, содержащей подгруппу А
в композиционном ряду, также является композиционной группой.
Упражнения
1. Пусть порядок группы G равен prqs. Пусть группа G имеет
два композиционных ряда:
1 с Ах с А2 с ... с Ат а Аг+Х с ... с Ar+S = G
и
где порядок подгруппы Аг равен ргу а порядок подгруппы Bs равен qs.
Показать, что G есть прямое произведение подгрупп Аг и Bs.
2. Обобщая результат упражнения 1, показать, что если G — конеч-
конечная группа и если для любого простого числа /?, делящего порядок
группы С/, существует композиционный ряд группы G, одним из членов
которого является силовская подгруппа S (р), то группа G есть прямое
произведение своих силовских подгрупп.
3. Показать, что автоморфизм прямого произведения конечного числа
неабелевых простых групп переставляет сомножители.
4. Пусть группа G с конечным числом образующих имеет точно одну
максимальную подгруппу А. Показать, что G порождается любым эле-
элементом, не .принадлежащим А Показать, что G — циклическая группа
порядка рп (р — простое число).
5. Пусть группа G с конечным числом образующих имеет точно две
максимальные подгруппы А и В, причем [G : А] = р, [G : В] = q, где р
и q — различные простые числа. Показать, что группа G циклическая
группа порядка plqJ- (Указание: показать, что подгруппа А П В инва-
инвариантна и что группа G/A[)B циклична.)
6. Пусть G — такая конечная группа, что размерность структуры
L (G) равна 2. Показать, что если порядок группы G свободен от квад-
квадратов, то по меньшей мере, одна силовская подгруппа инвариантна.
Вывести отсюда, что порядок G равен р2 или pq, где р и q — простые
числа.
Глава 9
ТЕОРЕМА ФРОБЕНИУСА. РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ
9. 1. Теорема Фробениуса
Теорема 9.1.1, в первоначальной форме принадлежащая Фробе-
ниусу [2], по своей природе существенно отлична от других
результатов теории групп. В этой теореме говорится не о под-
подгруппах, гомоморфизмах или представлениях подстановками,,
а о числе решений некоторого уравнения в конечной группе.
Теорема была значительно обобщена Ф. Холлом [3], который
обобщил как изучаемое уравнение, так и формулировку о свой-
свойствах его решения. Но здесь мы изложим только небольшое
обобщение первоначальной теоремы.
Теорема 9.1.1. Если G — группа порядка g и С—класс,
состоящий из h сопряженных элементов, то число решений
уравнения хп — с, где элемент с пробегает класс С, кратно
(Ал. g).
Доказательство. Обозначим через А(К, п) множество тех
элементов группы О, /г-е^ степени которых принадлежат множе-
множеству К. Через а (К» п) обозначим число элементов множества'
Л (К, п). При g=\, (hnt 1)=1, и утверждение теоремы три-*
виально; при п=\ число решений равно h = (h, g). Доказатель-
Доказательство проведем по индукции, предполагая, что теорема верна для
п1 < п или gf < g.
Если cf = u"lcu и хп = с, то (и 1хи)п = с/. Этим устано-
установлено взаимно однозначное соответствие между решениями уравне-
уравнения для элемента с и для произвольного элемента, сопряженного
с ним. Таким образом, a(Ct n) = h-a(cf n). Если хп = с, то
х~1сх = х~1(хп)х = хп — ct т. е. решения уравнения хп — С
лежат в нормализаторе Nc элемента с, состоящем, в силу теоремы
1.6.1, из g/h элементов. Следовательно, если /г > 1, то теорема
верна для подгруппы Nc и число а(с, п) кратно числу (/г, gjh)> |
откуда а(С, n) = h • а (с, п) кратно h (/г, g/h) = (hn, g), и теорема"!
для этого случая доказана. |
Пусть теперь й=1. Если n=^nxnv (nv /г2) = 1, пг > 1, |
/г2> 1, и если D — A(Ct /г2), то Л (С, n)=A(D, nx)y причем D }
состоит из полных классов сопряженных элементов группы G. По >|
предположению индукции, число (nv g) делит а (С, п) и аналогично j
(#2» g) делит а (С, /г). Но тогда, так как числа (nv g) и (л2, g) J
9.1. Теорема Фробениуса 157
взаимно простые, их произведение (nv g) (я2, g) = (пхп2, g) = (/г, g)
делит а (С, /г), и теорема для этого случая также доказана.
Мы можем предположить теперь, что п = ре, где р — простое
число. Если р делит порядок и элемента с, то порядок элемента
х из Л (с, п) равен пи. Тогда точно п элементов циклической
подгруппы, порожденной элементом хь принадлежат множеству
А(с, п), и все они порождают одну и ту же подгруппу. Поэтому
а (с, п) делится на п.
Предположим, наконец, что число п = ре взаимно просто с
порядком и элемента с. Так как h=\, то с принадлежит центру
группы G.h Элементы центра, порядки которых не делятся на р,
образуют абелеву группу В, порядок Ъ которой также не де-
делится на р.
Пусть теперь сх и с2 — два элемента из В. Так как pfb>
уравнение cl = c2yn имеет в В единственное решение у. Но т$гда,
если xn — cv (xy)n = c2, и поэтому числа а (с, п) равны для
любых элементов с£В. Наконец, по формуле
£ = 2Ja(C. n) + ba(c, n)
пересчитываются g элементов группы G в зависимости от того,
в какой класс сопряженных элементов попадает /г-я степень ка-
каждого элемента; при этом учитываются сперва классы, не содер-
содержащиеся в В, а затем (одноэлементные) классы из В. Для этого
последнего случая число элементов для каждого отдельного
класса повторяется Ъ раз. Число (/г, g) делит каждое из слагаемых
а (С, п) или по предположению индукции, или в силу проведен-
проведенной части доказательства. Далее, так как число (/г, g) делит g*
и взаимно просто с Ьь (/г, g) делит а (с, п), и теорема полностью
доказана.
Если с — единица группы О, то h =1, и мы получаем перво-
первоначальную форму теоремы Фробениуса. В этом случае xg = 1
для всех элементов группы, и поэтому если (/г, g) = m> то из
равенства хп = 1 следует, что хт = 1.
Теорема 9.1.2. Если п делит порядок группы О, то число
решений уравнения хп=\ в группе G кратно п.
Заметим, что единица всегда удовлетворяет уравнению такого
типа, следовательно, количество его решений не равно нулю и
потому не меньше п.
В связи с этой теоремой существует следующее интересное
предположение.
Если п делит порядок группы G и число решений уравне-
уравнения хп— 1 равно точно п, то эти решения образуют нормаль-
нормальный делитель группы О.
158 Гл. 9. Теорема Фробениуса. Разрешимые группы
Отметим, что если группа G содержит подгруппу Н порядка щ
то элементы этой подгруппы являются решениями такого ура|
нения. Более того, если хп=\, то для произвольного z имее$
(z"lxz)n= 1, следовательно, Н — инвариантная подгруппа. Ш
этому задача состоит в доказательстве того, что п решений таког
уравнения образуют подгруппу Н. То, что п делит порядо!
группы G существенно, так как по теореме Лагранжа порядок
подгруппы делит порядок группы. Например, уравнение хА
имеет точно 4 решения в симметрической группе третьей степени
имеющей порядок 6, но эти решения подгруппу не образуют.
9.2. Разрешимые группы
Элемент л:^^ группы G называется коммутатором эле-
элементов х и у и обозначается (х, у). Коммутаторы более высоко
степени определяются рекуррентно по правилу (хг xn-v xn)z:4
((xv . . . xn_l), xn). Это так называемые простые коммута*
торы. Вообще элементы, которые могут быть получены в резуль
тате последовательного коммутирования, называются сложнымг
коммутаторами, например ((at b), (с, dy ё)). Определим рекур
рентно вес со коммутатора, полагая, что веса элементов g группы
равны 1, o)(g)=l, а со (л;, у) = о> (х)-\-ы(у). Таким образом,
вес элемента, являющегося коммутатором, зависит от формы
мутатора, в которой он записан, но не от самого этого элемент^
Согласно определению, (л:, у) = 1 тогда и только тогд^
когда ух = ху. Таким образом, все коммутаторы группы G равнй
1 тогда и только тогда, когда G — абелева группа. Таким
зом, можно считать, что коммутаторы указывают, в какой стЫ
пени рассматриваемая группа отличается от абелевой. Подгрупп!
G' группы О, порожденная всеми коммутаторами л:"^"^
называется коммутантом группы, или производной подгруппоЩ
Ясно, что G1 — вполне характеристическая подгруппа.
Теорема 9.2.1. Фактор-группа GJG' — абелева. Если К
такая инвариантная подгруппа группы О, что фактор-группщ
G/K абелева, то K^G'.
Доказательство. Пусть при отображении О->О/О/ =
х—>и, y-+v, где и и v — произвольные элементы группы Н. Тог,
x~ly~lxy-+u~lv~luv. Но x~1y~1xy£G/, откуда х~1у~1ху—> 1
= u~lv~luv9 следовательно, uv = vut и группа G\Gf — абелева^]
Предположим теперь, что фактор-группа G/K абелева. Еслщ
при отображении G-+G/K х-^и, y-+v, где х, y£G, т<§
x~ly~lxy—>u~lv~luv=\. Таким образом, произвольный комму^
татор х~ху~1ху принадлежит подгруппе /С, а потому K^G'.
Определение. Группа G называется разрешимой, если
почка G^Gf id G" ^ ... 3 G{t) 3 ♦.., где каждая подгруппа
Разрешимые группы 159
является коммутантом предыдущей, обрывается после конеч-
конечного числа шагов на единичной подгруппе {например, 0^ = 1).
По теореме 9.2.1, каждая фактор-группа G(l)/G{i+1) абелева.
Заметим, что из равенства O(f) = G(/+1) следуют равенства О(/) = О(;)
для всех j ^ L Поэтому в цепочке коммутантов разрешимой группы
все включения до GW == 1 строгие. ~v
Теорема 9.2.2. Любая подгруппа и фактор-группа разре-
разрешимой группы разрешима.
Доказательство. Пусть Н—подгруппа разрешимой группы G.
Тогда, по определению, Н' с Gf\ так как подгруппа Н' поро-
порождена всеми коммутаторами элементов из //, a G1 — всеми комму-
коммутаторами элементов из G. Отсюда Н" с: G" и т. д. Но GW = 1,
значит, и //(*) = 1, т.е. подгруппа Н разрешима, причем Н^
может быть единичной подгруппой для некоторого / < е.
Если Q = G/K, рассмотрим гомоморфизм G —> Q. Тогда любой
коммутатор в группе Q является образом коммутатора элементов
из О, откуда G'->Q' и т. д. Наконец, (Ю-><?<*), откуда. Q<*> = 1,
так как О(^) = 1, причем опять Q^l) может быть единичной под-
подгруппой для некоторого / < е.
Теорема 9.2.3 1). Группа О конечного порядка разрешима
тогда и только тогда, когда фактор-группы композиционного
ряда группы G — циклические простого порядка.
Доказательство. Пусть G= AqzdAxzd ... ^>Ar— 1 —ком-
—композиционный ряд, где каждая фактор-группа Ai_l/Ai(i=\t . .., г)—
циклическая группа простого порядка. В силу теоремы 9.2.1, A^G',
так как фактор-группа GjAx абелева. Далее аналогично: А2 id А\ :э
5G;/ и т. д. Наконец, Лг:э(/(г), откуда О(Г) = 1, т. е. группа G
разрешима.
Обратно, пусть конечная группа G разрешима. Так как группа
GjGf абелева, в ряду GzdG'zdG"zd ... idO^) = 1 существует
максимальная инвариантная подгруппа Ах з Gf. Так как группа
G/A1 простая и абелева, она — циклическая группа простого по-
порядка. Аналогично, так как труппа А1 разрешима, она содержит
максимальную инвариантную подгруппу Л2, причем фактор-группа
АМг — циклическая группа также простого порядка. Продолжая
это построение, мы получаем ряд G = A^zdA1zd ... 1эЛг=1
с циклическими фактор-группами A^JA^ порядки которых про-
просты. Следовательно, этот ряд композиционный.
1) Исторически это свойство композиционного ряда было первым
определением разрешимости, но это определение неприменимо к беско-
бесконечным группам. В теории Галуа доказывается, что полиномиальное
Уравнение /(лг) = О разрешимо в радикалах тогда и только тогда, когда
его группа Галуа разрешима.
1
160 Гл. 9. Теорема Фробениуса. Разрешимые группы
Теорема 9.2.4. В главном ряду О = 0г
разрешимой конечной группы G фактор-группы C-t_x\Ci%
= 1, ..., 5, являются элементарными абелевыми группами.]
Доказательство. По теореме 8.6.1 Ci_x\Cl есть прямое;
произведение изоморфных между собой простых групп. По тео-
теореме 9.2.2 эти простые группы разрешимы, а следовательно,*|
цикличны и имеют простой порядок. Таким образом,
является прямым произведением циклических групп одного и того;
же простого порядка /?, т. е. элементарной абелевой группой.
Обратно, если группа О обладает таким главным рядом, то в силу
абелевости его фактор-групп, G— разрешимая группа. Порядку
cv ..., cs групп C0/Cv ..., С5_г/С3 соответственно называются!
главными факторами группы G и, как показано, являются степе-
степенями простых чисел. Ясно, что для фактор-группы G/K главные
факторы образуют подмножество главных факторов всей группы G,
так как существуют главные ряды группы G, содержащие инва-
инвариантную подгруппу К. Для подгруппы Н группы О различные
члены ряда
составляют нормальный ряд для Я, который или сам является
главным, или допускает уплотнение до главного ряда для Я.
Отсюда следует, что главные факторы для Н являются делите-
делителями главных факторов для G, так как группа H[\Ci_l/H(]Cl
изоморфна некоторой подгруппе группы C^-JC^
Теорема 9.2.5. Следующие два свойства группы G эквива-
эквивалентны свойству разрешимости:
1) группа G обладает конечным инвариантным рядом
О = Ао ^ Аг ^ А2 => ... ЭЛ5=1,
в котором все фактор-группы Ai_l/Ai(i=\ s) абелевы\
2) группа G обладает конечным нормальным рядом
G = B0^B1^B2^ ... ^ Bt = \,
в котором все фактор-группы Bl_1[Bi(i= 1, .. ., t) абелеви.
Доказательство. Если группа G разрешима, то ряд из ей
коммутантов '
G •=> Gr =э G" zd .. . => 0<г> = 1 |
А
является конечным инвариантным рядом, в котором фактор-груп- j
пы G (*~1)/О(/) абелевы при /= 1 г, откуда следует свойство \
A) и тем более свойство B). Остается показать, что из свойства ]
B) следует разрешимость. Если G = jB0=2£i=3 ••• 3^=1
9.3. Обобщенные силрвские теоремы для разрешимых групп 161
нормальный ряд с абелевыми фактор-группами B^JBi при
/=1 t, то в силу абелевости группы G/B1 = BJBl имеем
Вх Э G'. Аналогично, если Bt_x з О**), то В1 з B/i_1 Э G(/). По-
Поэтому 1=^dO^h G^ = 1, т. е. группа G разрешима.
Следствие 9.2.1. Группа G разрешима, если она обладает
такой инвариантной подгруппой Н, что Н и G/H— разреши-
разрешимые группы.
Если G/H = AJH э ... ^А^/Н^Н/НиН^В^ ... =
3 ^-1 =3 1 —ряды, удовлетворяющие свойству B) групп G/Ни Н
соответственно, то ряд G3^5 ... ^Аг_г 13 Я :э ^3 ... 3
5 Sj_i ^2 1 удовлетворяет свойству B) группы G.
9.3. Обобщенные силовские теоремы
для разрешимых групп
Силовская подгруппа конечной группы обладает тем свойством,
что ее порядок т = ра взаимно прост с ее индексом /г. Ф. Холл
[1] показал, что теоремы Силова обобщаются в случае разреши-
разрешимых групп для таких подгрупп, порядок которых т взаимно
прост с их индексом п\ при этом не требуется, чтобы порядок
т подгруппы обязательно был степенью простого числа.
Теорема 9.3.1. Пусть G—разрешимая группа: порядка тп
при (т,п)—\. Тогда
1) G обладает по меньшей мере одной подгруппой по-
порядка т\
2) любые две подгруппы порядка т сопряжены;
3) любая подгруппа, порядок тг которой делит т, содер-
содержится в подгруппе порядка т\
4) число hm подгрупп порядка т может быть предста-
представлено как произведение сомножителей, каждый из которых,
во-первых, сравним с 1 по модулю некоторого простого дели-
делителя числа т и, во-вторых, является степенью простого
числа, делящего один из главных факторов группы G.
Доказательство. Отметим, что для т= ра свойства A) и C)
составляют содержание первой теоремы Силова (теорема 4.2.1),
свойство B) — это вторая теорема Силова, а свойство D)—утвер-
D)—утверждение более сильное, чем третья теорема Силова.
Доказательство будем вести индукцией по порядку группы G.
Теорема очевидна, если порядок G равен степени простого числа.
В доказательстве будет существенно использована теорем-а 8.3.3
о строении главных рядов группы G, а также теорема 2.3.4
о строении фактор-групп.
Случай 1. Группа G обладает собственной инвариантной
подгруппой Н порядка тгпг и индекса т%п%, где т^=
п = пгп2 и пх < п.
11 М. Холл
162 Гл. 9. Теорема Фробениуса. Разрешимые группы
Свойство A). Группа G/H в силу предположения индукции1
содержит подгруппу порядка mv которой соответствует под-
подгруппа D группы G порядка mnv D по индукции содержит под-;
группу порядка т. •)
Свойство B). Если М и М! — две подгруппы порядка т,'■
то порядки подгрупп М{)Н = МН и Mf\}H=MfH делят число
тхт2- mYnv так как М\}Н/Н~М/М{\Н (теорема 2.4.1). Так
как порядок этих подгрупп также делит тп, то он делит и тпг.
Но он, кроме того, кратен т и nv Следовательно, порядки под-
подгрупп М U Н и Mf U Н равны тпх = т1п1т2, а потому М (J Н/Н
и Mf\}HjH — подгруппы группы G/H порядка т2, которые, по
предположению индукции, сопряжены. Если элемент а* группы G/H
трансформирует Mf (J Н/Н в М (J Н/Н и а* — образ а £ G при
гомоморфизме G—>G/H, то образом а~1(М'\}Н)а является
М U Н/Н; другими словами,^ (М' (J Н) а = М (J //. Здесь подгруп-
подгруппы a~lMfa и М имеют порядок т и содержатся в подгруппе М (J Н.
В силу предположения индукции они сопряжены. Следовательно,
подгруппы М и М1 сопряжены в группе О.
Свойство C). Если Мх — подгруппа порядка т', где т!
делит т> то порядок группы Мг (J Н/Н делит т2, и, следова-
следовательно, последняя подгруппа содержится в подгруппе порядка т2
группы G/H. Таким образом, Мх содержится в соответствую-
соответствующей подгруппе порядка тпх группы О, и опять в силу предпо-
предположения индукции подгруппа Мг содержится в нодгруппе по-
порядка т.
Свойство D). Будем исходить из доказательства свойства B).
Число hm подгрупп, сопряженных с подгруппой М порядка mt
равно произведению hm2 (числа подгрупп порядка т2 группы G/H)
и числа подгрупп, сопряженных с Ж в группе М[) Н = D. При
этом главные факторы подгруппы D делят главные факторы
группы О, а главные факторы для G/H составляют подмножество
совокупности главных факторов для О. Таким образом, hm есть
произведение двух сомножителей, каждый из которых в силу
предположения индукции обладает свойством D), что доказывает
это свойство и для hm.
Порядок наименьшей инвариантной подгруппы К главного ряда
равен ра, где р — простое число. Группа К удовлетворяет тре-
требованиям, сформулированным для подгруппы //, кроме того слу-i
чая, когда п = ра. Таким образом, мы можем считать, что по-
порядок любого минимального нормального делителя равен ра.
Но этот нормальный делитель является силовской подгруппой
порядка /Л поэтому существует только один такой нормальный
делитель.
Случай 2. Группа G содержит единственный минимальный
нормальный делитель К порядка п — ра.
9.3. Обобщенные силовские теоремы для разрешимых групп 163
Свойство A). Пусть L — минимальный нормальный дели-
делитель, строго содержащий К. Тогда порядок группы ЦК равен qb,
где дфр- Пусть Q — силовская подгруппа группы L порядка qb,
и пусть Ж—нормализатор подгруппы Qb О. Рассмотрим М [\К= Т.
Т—инвариантная подгруппа группы Ж, которая, будучи подгруп-
подгруппой группы /С, является элементарной абелевой /^-группой. Любой
элемент из Т перестановочен с любым элементом из Q, так как
коммутатор любого элемента из Q и любого элемента из Т при-
принадлежит подгруппе 7nQ=l. Следовательно, Т содержится
в центре С подгруппы Z,, который, являясь характеристической
подгруппой в Z,, инвариантен во всей группе G. Так как К -—един-
-—единственная минимальная инвариантная подгруппа, то или С = К,
или С=1. Если С = К, то L = KXQ и Q — инвариантна в G,
что противоречит единственности пбдгруппы К. Следовательно,
Т=С = 1. Таким образом, Q совпадает со своим нормализато-
нормализатором в L, и число подгрупп в Z,, сопряженных с Q, равно ин-
индексу Q в L, т. е. п=ра. Любая подгруппа, сопряженная с Q
во всей группе G, содержится в L, так как L — нормальный де-
делитель. Итак, Q имеет #=*= ра сопряженных подгрупп в О, и,
следовательно, индекс подгруппы Ж в О равен п = ра, а ее по-
порядок равен т.
Свойства B) и D). Нормализаторы всех ра сопряженных
с Q подгрупп сопряжены и различны. Таким образом, мы имеем ра
сопряженных подгрупп порядка т. Кроме того, ра=== 1 (mod#),
так как ра—это число силовских подгрупп порядка qb в группе L.
Если теперь NV — любая подгруппа порядка т, то порядок под-
подгруппы Mf U L делится на т и /г, откуда М [)L — G. Так как
G/L = Mf\Mr [\L> порядок подгруппы Mr [\L равен qbt и, следо-
следовательно, она сопряжена с Q. Кроме того, M'[\L — инвариантная
подгруппа в ЛГ, откуда Mf — нормализатор некоторой подгруппы,
сопряженной с Q. Таким образом, уже найденные ра сопряжен-
сопряженных подгрупп порядка т исчерпывают всю совокупность под-
подгрупп порядка т. Этим доказаны свойства B) и D).
Свойство C). Пусть NV — подгруппа порядка m'jm. Если
порядок М равен т, то порядок подгруппы М П (Mr (J К) = М*
равен mf и в силу свойства B) группы Mf (J К подгруппа М* со-
сопряжена с М'. Следовательно, М' содержится в подгруппе, сопря-
сопряженной с М. Этим свойство C) доказано.
Приведенные выше свойства разрешимых групп обычно нару-
нарушаются в простых группах. Простая группа порядка 60 (знако-
(знакопеременная группа пятой степени) не содержит подгрупп порядка 15,
а потому свойство A) нарушается; она содержит подгруппу по-
порядка 6, порожденную подстановками A23) и A2) D5), которая
не содержится в подгруппе порядка 12; таким образом, здесь
нарушается свойство C). Наконец, число силовских подгрупп
11*
164 Гл. 9. Теорема Фробениуса. Разрешимые группы
порядка 5 равно 6, но так как 6 = 2-3, свойство D) также не'
выполняется. Группа автоморфизмов элементарной абелевой^.
группы А порядка 8 — простая группа G порядка 168. G пере-/|
ставляет транзитивно семь подгрупп группы А порядка 2, а также!
семь подгрупп порядка 4. Следовательно, группа G обладает 1
двумя различными множествами сопряженных подгрупп индекса 7ч|]
и порядка 24, поэтому нарушается свойство B).
В действительности первое свойство теоремы 9.3.1 характери-
характеризует разрешимые группы. Для доказательства этого факта нам
понадобится следующая теорема, которая будет доказана в главе 16
как теорема 16.8.7.
Теорема 9.3.2. (Теорема Бернсайда.) Группа порядка paqb%%
где р и q — простые числа, разрешима.
Предполагая, что эта теорема доказана, мы можем характе-
характеризовать разрешимые группы свойством A). В группе G порядка g
под р-дополнением мы понимаем подгруппу Sp, индекс которой р6
является наивысшей степенью числа р, делящей порядок g
группы О.
Первое свойство доказанной теоремы утверждает, в частности,
существование р-дополнений в разрешимых группах. С помощью
теоремы Бернсайда мы докажем обратное утверждение.
Теорема 9.3.3. Если группа G содержит р-дополнение для
любого простого р, делящего ее порядок, то G—разрешимая'
группа.
Доказательство. Пусть порядок группы G равен g = Pil.-.perr,
где pt—простые числа. Если Нх и Н2 — подгруппы индексов
реЛ и рр соответственно, то индекс подгруппы Н12 = Нг[)Н2 ра-
равен р*1р% так как индексы реЛ и peJ взаимно просты (тео- 2
рема 1.5.6). Пересечение Н12 с р^-дополнением опять в силу
теоремы 1.5.6 имеет индекс pe,lpeJpebfc. Продолжая этот процесс, I
мы можем найти подгруппу порядка т и индекса /г, где (т, п)= 1,
которая является пересечением р-дополнений для простых р, де- |
лящих п. Таким образом, существования р-дополнений достаточно
для доказательства существования подгруппы порядка т, взаимно
простого с индексом п, и тем самым для доказательства свой-
свойства A).
Предположим, что теорема верна для групп, порядки которых
меньше g, и докажем теорему индукцией по g. В группе по- |
рядка ра индекс любой максимальной подгруппы равен р, причем |
эта подгруппа инвариантна (следствие 4.1.2), а, следовательно, |
группа порядка ра разрешима. В силу принятой беа доказатель- \
ства теоремы Бернсайда группа порядка paqb разрешима. Поэтому \
мы можем ограничиться рассмотрением случаев, когда порядок |
9.4. Дальнейшие результаты о разрешимых группах 165
группы О делится по меньшей мере на три различных простых
числа. Группа О содержит подгруппу Я порядка paqb = m,
взаимно простого с индексом /г,, причем р и q — различные про-
простые числа, делящие п. Подгруппа Я, будучи разрешимой груп-
группой, содержит наименьшую инвариантную подгруппу /С, являю-
являющуюся, согласно теореме 9.2.4, элементарной абелевой группой,
порядок которой равен степени простого числа, например р1.
Тогда К содержится в силовской подгруппе Р с: Я cz G порядка ра.
При этом (/-дополнение L* в группе О содержит силовскую под-
подгруппу Р*, сопряженную с подгруппой Р в G. Следовательно,
трансформирование некоторым элементом из G отображает L* на
некоторое g-дополнение L, содержащее Р. Значит, L з Р и ЯзР,
а рассмотрение порядков показывает, что L[\H = P, L[) H=G
и даже LH = Gt так как множество LH содержит g различных
элементов. Таким образом, каждый смежный класс по подгруппе L
содержит один элемент из Я, и, следовательно, все подгруппы,
сопряженные с L, получаются трансформированием элементами
h £ Я. Но h Lh^K, так как в силу инвариантности К в Я
h~1Kh = K. Поэтому пересечение М всех подгрупп, сопряженных
с L, — собственная подгруппа группы G, так как /CczMczZ,; оно
к тому же является нормальным делителем, так как М — пере-
пересечение полного класса взаимно сопряженных подгрупп.
Итак, О содержит собственную инвариантную подгруппу М.
Если Sp — /^-дополнение в группе G, то Sp fl M — р-дополнение
в УИ, a S'P\}MIM — р'дополнение в фактор-группе GjM. Следо-
Следовательно, группы М и GjM обладают /^-дополнениями и, в силу
предположения индукции, разрешимы. Отсюда следует разреши-
разрешимость группы G.
9.4. Дальнейшие результаты о разрешимых группах
Теорема 9.4.1. Если G—разрешимая группа порядка g и
п — такой делитель g> что уравнение хп=1 имеет точно п
решений, то эти решения образуют инвариантную подгруппу
группы G.
Доказательство. Теорема верна, если g — простое число.
Предположим, что она также верна для разрешимых групп по-
порядков, меньших g. Будучи разрешимой группой, О содержит
минимальную инвариантную подгруппу /С, которая является эле-
элементарной абелевой группой порядка р1. Рассмотрим два случая:
р делит п и р не делит п.
Случай 1. р делит п.
Тогда порядок каждого элемента подгруппы К равен р и, сле-
следовательно, все элементы являются решениями уравнения хп=\.
166 Гл. 9. Теорема Фробениуса. Разрешимые группы
Пусть n=pJnv g=psgv Порядок фактор-группы G/K равен p^-'g^;
он делится на u = p}~lnv если />*, и на u = nv если j < L
Поэтому в группе G/K найдутся ku элементов г, таких, что zu = 1.
Если теперь х— такой элемент из группы G, что х отображается
в z при гомоморфизме О—>О//С, то хи£К, так как zu=l.
Отсюда хир=1, но up делит /г. Поэтому лг"=1 для любого
такого элемента х. Эти элементы х составляют ku смежных клас-
классов по К в группе G/K. Следовательно, существует по меньшей
мере kup1 элементов х группы G, удовлетворяющих уравнению
хп=\. Но если j < i, то up1 — собственное кратное ц/г, т. е. при
этом предположении получается больше, чем /г, решений уравнения
xtt=l, что по условию невозможно. Следовательно, j^-i, up1 = n
и существует не менее kn решений. Отсюда k = 1 и уравнение
zu —\ имеет точно и решений в группе G/K. Согласно предпо-
предположению индукции, эти и решений образуют инвариантную под-
подгруппу Н/К группы О//С, ее полный прообраз Н в группе G
является инвариантной подгруппой порядка upl = n, элементы кото-
которой составляют как раз п решений уравнения хп=\.
Случай 2. р не делит п.
В этом случае п делит порядок группы G/K и существует kn
решений уравнения zn=\ в фактор-группе G/K. Если y£G
и y->z при естественном гомоморфизме, то уп£К и упр—\.
Следовательно, в группе О имеются kn смежных классов по /С,
состоящих из элементов у, для которых урп=1. Мы утверждаем,
что каждый смежный класс Ку дает точно одно решение уравне-
уравнения хп=\. Пусть Куг и Ку2 — различные смежные классы по К,
причем yx->zv у2~>'г2» %ХФ z2. При этом yPn=l, yPn=lt сле-
следовательно, элементы ур = хг и ур=х2 являются решениями урав-
уравнения /=1 в группе О. Если yP = yPt то zp = zp. Но zf=U
~«—1 и (р, л)=1, откуда zx = zv что противоречит нашему
допущению. Следовательно, если уравнение zn = 1 имеет kn реше-
решений в группе G/K, то уравнение хп = 1 имеет не менее kn
решений в группе О. Отсюда k=l, и в силу предположения
индукции G/K содержит инвариантную подгруппу U/K порядка п.
Соответствующая подгруппа U группы G имеет порядок р1п. Но,
будучи разрешимой группой, U содержит /^-дополнение //порядка п.
Таким образом, п элементов подгруппы Н—это п решений урав-
уравнения xn==U и так как трансформирование произвольным эле-
элементом из О переставляет эти решения между собой, то Н—нор-
Н—нормальный делитель в О.
Теорема 9.4.2. Если две соседние фактор-группы производ-
производного ряда Gr id G" zsG'" 7D ... группы О цикличны, то вторая
из них — единичная группа.
9.4. Дальнейшие результаты о разрешимых группах 167
Доказательство. Будем считать, что G'" — 1 и фактор-
факторгруппы G'\G" и G"\Qr" цикличны. Покажем, что G".= 1. Пусть Ь —
образующий элемент группы G". G является нормализатором под-
подгруппы G"', а фактор-группа GjZb, где Zb— централизатор G",
изоморфна группе автоморфизмов циклической группы и потому
абелева. Следовательно, Zb^*G'. Но тогда G" содержится в центре
подгруппы Gr. Gr получается присоединением к G" одного эле-
элемента. Следовательно, подгруппа О/ абелева, откуда G"=l, что
и требовалось доказать.
Группа О называется метациклической, если группы G/G'
и Gf циклические. Тогда G" = 1, и метациклическая группа G
имеет производный ряд длины 2 (т. е. является двуступенчатой
метациклической группой). В силу теоремы 9.4.2 не существует
трехступенчатых метациклмческих групп.
Теорема 9.4.3. Если силовские подгруппы конечной группы G
порядка g все цикличны, то О — метациклическая группа,
порожденная двумя элементами а и b с определяющими отно-
отношениями:
ат=1У Ъп=\, b~xab = ar,
mn = g, [(r—1), пт]=1,
гп = 1 (mod m).
Обратно, группа, заданная этими определяющими отноше-
отношениями, обладает только циклическими силовскими подгруппами.
Доказательство. Сначала нужно показать, что группа G раз-
разрешима. Пусть g = p\i ... pess, px < р2 < ... < ps, где р.—простые
числа. Покажем, что для т = Р^'р6/^1 - .. ре/, fj < e. уравне-
уравнение хт— 1 имеет точно т решений. При m = g это, безусловно,
верно. Следовательно, достаточно проверить, что если уравнение
хтр = 1 имеет точно тр решений и р — наименьшее простое число,
делящее тр, то уравнение хт== 1 имеет точно т решений. Так
как силовская р-подгруппа циклична, то, обозначая через р*+1
наивысшую степень р, делящую рт, получаем, что в группе G
существуют элементы порядка р*+1. Поэтому не все решения
уравнения хтр — 1 являются решениями уравнения хт=\. Следо-
Следовательно, km решений последнего уравнения в силу теоремы 9.1.2
составляют некоторое собственное подмножество множества реше-
решений уравнения хтр= 1, и потому 1 ^ k < р. Элемент, удовлетво-
удовлетворяющий уравнению хтр=1, но не удовлетворяющий уравнению
xmz=z\, имеет порядок t, который делится точно на степень pf+l
простого числа р. Существует ср(^I) элементов, порождающих
1) ср (t) — функция Эйлера, (ср (t) — число классов вычетов по модулю tt
взаимно простых с t.) — Прим. перев.
168 Гл. 9. Теорема Фробениуса. Разрешимые группы
ту же циклическую группу, порядок которой делится точно
на //+1. Далее, так как t делится на p*+l, cp(Y) делится на р— К
Следовательно, рт — km = (p—k)m — число элементов, удовлетво-
удовлетворяющих уравнению хрт=\, но не удовлетворяющих уравнению
хт=1, — делится на р—1. Поскольку р — наименьшее простое
число, делящее т, р—1 взаимно просто с т. Таким образом,
р—1 делит р — k, а так как 1<^£<р, это возможно только
в случае &=1, т. е. когда уравнение хт— 1 имеет точно т
решений. В частности, последнее утверждение справедливо, когда
т = ре*. Но существует силовская подгруппа этого порядка,
которая, следовательно, инвариантна в О. Она циклична и потому,
конечно, разрешима.
Мы доказали, что группа G с циклическими силовскими под-
подгруппами обладает инвариантной подгруппой Н. Но в таком случае
группы Н и G/H также содержат только циклические силовские
подгруппы. Можно предположить по индукции, что Н и GJH —
разрешимые группы и, следовательно, что G — также разрешимая
группа, так как группа простого порядка разрешима.
Абелева группа, силовские подгруппы которой цикличны, сама
циклична. Следовательно, в ряду G id Gf id G" id ... фактор-
факторгруппы цикличны и, следовательно, в силу теоремы 9.4.2, Gnг — К
Если G'= 1, то G—циклическая группа, и этот случай отпадает,
если считать, что Ь=\, г= 1, л= 1, m = g. Поэтому допустим,
что Gr Ф 1, а — образующий элемент подгруппы G', ат=\.
Пусть Ъ — элемент из смежного класса Grb, порождающего цикли-
циклическую фактор-группу G/G'. Тогда элементы а и Ь порождают
группу О и b~lab — ar, где гф\, так как G1 — инвариантная
подгруппа. Если бы г было равно 1, группа G была бы абелевой
и тем самым — циклической, что противоречит предположению.
Если порядок группы GjGf равен л, то Ь~Па^п = artl = а, откуда
гп = 1 (mod т). Любой элемент из G может быть представлен
в виде Ь'а\ поэтому коммутатор (baav, №а1) может быть пред-
представлен как произведение коммутаторов вида (ak, &'), которые
в свою очередь являются степенями коммутатора аГхЪ lab = ar~l.
Следовательно, элемент аг порождает подгруппу G1\ и потому
(г—1, т)=\. Далее, элемент bn£G' является степенью а*
элемента а, которая перестановочна с Ь, откуда аг1 — а*> но
так как (г—1, т)=\, то j = 0, т. е. Ьп=\. Если бы
числа тип имели общим делителем простое число р, то эле-
элементы ат1р и Ьп1р порождали бы нециклическую подгруппу по-
порядка р2, но это противоречит условию, что все силовские под-
подгруппы циклические. Поэтому (т, /г)=1. Этим доказано прямое
утверждение теоремы.
Упражнения 169
Докажем обратное утверждение. Пусть числа т, п, г и g
удовлетворяют отношениям, указанным в теореме. Тогда отобра-
отображение а->аг в силу сравнения rn = I (mod m) является автомор-
автоморфизмом циклической группы, порожденной элементом а, порядок
которого делит /г. Теперь тп элементов вида Ь*аК где индексы j и i
рассматриваются соответственно по модулям /гит, образуют
группу относительно закона умножения Val • bka* = b*+kah, где
h = irk-\-t. Выполнение ассоциативного закона и существование
обратных элементов можно проверить. Итак, мы имеем группу
порядка g — mn с определяющими отношениями ат=\, bn—l,
Ь lab = аг, причем отметим, что закон умножения является след-
следствием этих определяющих отношений. В этой группе любой ком-
коммутатор является степенью коммутатора а ХЪ ab = аТ~ , откуда
в силу равенства (г—1, m)=l подгруппа G' порождается эле-
элементом а. Так как (т, п)=\, любая силовская подгруппа сопря-
сопряжена с подгруппой {а} или подгруппой {Ь} и поэтому также
циклична. .
Следствие 9.4.1. Любая группа G порядка, свободного от
квадратов, — метациклическая группа типа, указанного в тео-
теореме 9.4.3.
Это следует из того, что все силовские подгруппы ^меют
простые порядки, т. е. они цикличны.
Упражнения
1. Пусть порядок конечной группы G делится на 12 и уравнение
х12 =£ 1 имеет точно 12 решений в G. Показать, что эти решения образуют
инвариантную подгруппу.
2. Пусть порядок группы G равен ppq, где р и q — различные простые
числа. ^Показать, что в таком случае одна из силовских подгрупп инва-
инвариантна, а группа G разрешима.
3. Пусть порядок группы G равен p2qrt где /?, q и г — различные
простые числа. Показать, что в таком случае или G — разрешимая груп-
группа, или G — знакопеременная группа Аъ порядка 60. (Использовать тео-
теорему 14.3.1 и ее следствие.)
4. Пусть уравнение хп = 1 имеет точно т решений хх = 1, х2, ..., хт
в группе G. Показать, что /C={^i» ..., хт} — инвариантная подгруппа,
ее элементы представимы в виде произведения х22х%3 ... х^1 и порядок
подгруппы К не превосходит (т — 1)л.
Глава 10
СВЕРХРАЗРЕШИМЫЕ И НИЛЬПОТЕНТНЫЕ ГРУППЫ
10.1. Определения
Существуют еще два групповых свойства, качественно более
сильных, чем разрешимость. Это сверхразрешимость и нильпо-
нильпотентность.
Определение. Группа G сверхразрешима, если она обладает
конечным инвариантным рядом G = Ло 13 Ах id ... D^r=l,
в котором каждая фактор-группа Ai_l/Ai циклична.
Определение. Группа G нилъпотентна, если она обладает
конечным инвариантным рядом G — Ао з Ах Э А2 3 • . . ^5 АТ — 1,
в котором каждая фактор-группа Аг_х\Аь содержится в центре
группы G/At.
Так как в обоих случаях группы Ai_x\Ai абелевы, из сверх-
сверхразрешимости и нильпотентности следует разрешимость группы G.
Заметим, что в сверхразрешимой группе G Л/_1={^/_1, А(], где
bt_x — любой элемент из At_v отображаемый1) в образующий
элемент циклической группы А^А^ и, следовательно, G — группа
с конечным числом образующих. Так как класс нильпотентных
групп включает все абелевы группы, то ясно, что нильпотентная
группа не обязательно допускает конечное число образующих.^
Бэр [12] определяет сверхразрешимость в более общем смысле:
группа G сверхразрешима, если любой гомоморфный образ
группы О содержит циклическую инвариантную подгруппу. Он по-
показал, что это определение эквивалентно нашему для групп
с конечным числом образующих. Но группы, сверхразрешимые
в его более общем смысле, не обладают, вообще говоря, свойст-
свойствами, которые будут доказаны в этой главе.
10.2. Нижний и верхний центральные ряды
Будем, как и прежде, обозначать коммутатор х~1у~1ху через
(л:, у). Если А и В — подгруппы, то (Л, В) — это группа, поро-
порожденная всеми коммутаторами (а, Ь)у где а£ А, Ь^В. Мы опреде-
определили простой коммутатор следующим образом:
1) При естественном гомоморфизме. — Прим. ред.
10.2. Нижний а верхний центральные ряды 171
Аналогичное определение введем для подгрупп Аг \-\> ^п-
(А 4,-1. Лп) = {{Ах Ап_х)9 Ап).
Для удобства обозначим х~1ах через ах. Выпишем ряд важных
тождеств для сложных коммутаторов:
(у, *) = (*. У)"'* A0.2.1.1)
(ху, *) = (*, г)у(у, *) = (*, г)(х, г, у) (у, г), A0.2.1.2)
'(х, уг) = (х, г)(х, y)z = (x, z)(x, у)(х, у, г\ A0.2.1.3)
(х, у, z)y(y, z~\ x)z(z, лг1, y)x=\, A0.2.1.4)
> z> x)(z> х> У) =
. х)(г, у)х(х, у)(х, гУ(у, z)x(x, z)(z, x)>. A0.2.1.5)
Они непосредственно вытекают из определения коммутатора.
Определим ряд подгрупп группы G следующими формулами:
ГЛ (<?)={(*! xk)}
для произвольных xt^G.
Так как (ylf y2 yft+1) = [(ylf y2), у3, ..., yft4l], то для
всех k справедливы включения Tk+l(G) ^Vk(G). Очевидно, что
Tk(G) — вполне характеристическая подгруппа группы О. Ряд
о = г1(О)эг2(О)аг3(О)а...
называется нижним центральным рядом группы G.
Теорема 10.2.1. ГЛ+1(О) = (ГЛ(О), О).
Доказательство. Так как (уг yftf yft+1)=( (уг yk), yft+1),
то включение Tk+l(O) с (ГЛ(О), G) очевидно. Чтобы доказать
обратное включение, воспользуемся равенствами A0.2.1). Положим
в A0.2.1.2) х = (аг ak), у = (аг л^), z—ak+1. Тогда
1=A, ak+l) = (av . _, ak, ak+iy((ax akj~\ ak+^). Отсюда
получаем ((аг ak) \ ak+^)£Tk+l(G)t так как остальные члены
принадлежат Ffe+1 (G). Подгруппа (Tk (G), G) порождается элементами
вида (ага2 . . . ип, g)9 где ui = (al ak) или ui = (a1 «a)-
Как мы показали, (ui9 g)^k+\(O). Полной индукцией по п пока-
покажем, что (ага2 . . . ип, g)^k+l(Q). Для этого положим в A0.2.1.2)
х = ихи2 . .. un_v у = ип, z = g. Тогда получим («!.. .ип_хипУ g) =
= (иг . . . un_v g)Un(un, g). По предположению индукции элемент
в правой части принадлежит подгруппеFfe+1(G), откуда (Tk(G)9 G)c
сГй+1(О), и теорема доказана. Из нее вытекает важное следствие.
Следствие 10.2.1. Группа Vk(G)/Vk+l(G) содержится в центре
фактор-группы G/rA+1(G).
172 Гл. 10. Сверхразрешимые и нильпотентные группы !
Мы можем также определить верхний центральный ряд
группы О:
где подгруппа Zi+l(O) определяется условием Zi+1(G)/Zi(G) —
центр группы G/Z((G). Так как центр группы — характеристи-
характеристическая (но не обязательно вполне характеристическая) подгруппа,
подгруппа Zt характеристична в группе G. Следующая теорема
оправдывает термины верхний и нижний центральные ряды.
Ряд G = А1 :э А2 :э Аг :э . .. 5 Аг+1 = 1, каждая фактор-
факторгруппа AJAi+l которого лежит в центре группы G/Ai+V назы-
называется центральным рядом.
Теорема 10.2.2. Пусть O = Al^A2SAz^ ... 3 Ar+1 = 1 —
центральный ряд группы О. Тогда Л^-ЭГДО), /=1, 2, ...
..., г+1 в V^z/(°)- 7 = 0. 1 г.
Доказательство. Имеем Ах = О = Тг (О). Предположим,
Л^.зГДО). Так как фактор-группа Ai/Ai+l принадлежит центру
группы G/Ai+V справедливо включение (Alt G) с Al+V Но тогда
F/+1 (G) = (I\ (О), G) с (Д., G) с Л/+1. Этим доказано, что
A^Y^G) для всех /. Предположим теперь, что Ar+l_tc Zt(G)
для некоторого /. Тогда грз^ппа Т= G/Zi (G) есть гомоморфный
образ группы U=G/Ar+l_t с ядром Zi(G)/Ar+l_i. Группа
АТ_-Ь\АТЛЛ_1 содержится в центре группы (Jt откуда следует, что
гомоморфный образ подгруппы Ar_i/Ar+l__i должен лежать в
центре группы Т. Но этим образом является подгруппа Ar_t (J Zt/Ziy
в то время как центр группы Т есть Zi+lIZt. Следовательно,
Ar-i ^ Ar_i U Zt^Zi+v Теорема доказана индукцией по L
Следствие 10.2.2. В нильпотентной группе G нижний и
верхний центральные ряды имеют одну и ту же конечную
длину с.
Действительно, если существует конечный центральный ряд
длины г, to из теоремы следует, что длины нижнего и верхнего
центральных рядов не превосходят г. А так как между членами
этих рядов имеет место почленное включение, длины их равны.
Их общая длина с называется классом нильпотентной группы.
Нильпотентная группа класса 1 — это абелева группа.
Теорема 10.2.3. Если группа G порождается элементами
хх хг, то фактор-группа Yk(G)/Vk+l(G) порождается
простыми коммутаторами (yv у2» • * •» Ук) то& ^k+i (Ф» г^е
yt — некоторые из элементов хх хГ причем не обяза-
обязательно различные.
Следствие 10.2.3. Если группа G порождается г элемен-
элементами, то фактор-группа rk(G)/Vk+1(G) порождается не более
чем rk элементами.
10.2. Нижний и верхний центральные ряды 173
Доказательство проведем индукцией по к. При k— 1 теорема
очевидна. Пусть она верна для k — 1. Подгруппа Yk (G) порождается
всеми коммутаторами C = (av ..., ak_v ak), где a^G. Далее
имеемС = ((а1 #£-i)» ak) и (аг ak_l)£rk__l(G), откуда,
в силу предположения индукции, (ах ak-i) = a\la*£ • • • u*nw> гДе
е/ = ±1. их ип— коммутаторы вида (yt У&-1)» причем
у.— это некоторые из элементов Xj и w£rfe(G). Поэтому
С = (л^«22 • • • a%nw> ak)' Применяем соотношение A0.2.1.2).
Но аъ = хЬ ... jcV, y|.=±1 и tt.fF откуда повторным при-
R l] lm J I К 1
менением соотношений A0.2.1.2) и A0.2.1.3) мы получаем, что
элемент С по модулю Ffe+1 является произведением коммутаторов
вида (я у Л ЛГ/5)- Кроме того, из тех же соотношений следует,
что (ие, хп) = (и, A;)eifl(modrfe+1(G)), следовательно, фактор-группа
ГЛ(G)/rfe+1 (G) порождается коммутаторами вида (м, л:) modVk+l(G)
или (yj Уй-i» AT/ft^) modrfe+1 (О), что и требовалось доказать.
Заметим, что мы не пользовались конечностью числа г.
Непосредственным следствием доказанной теоремы является
следующая теорема, устанавливающая связь между нильпотентными
и сверхразрешимыми группами.
Теорема 10.2.4. Нильпотентная группа с конечным числом
образующих сверхразрешима.
Доказательство. Пусть G — нильпотентная группа с конечным
числом образующих. Пусть
0 = ^@K^@)=) ... =>ГС(О)=)ГС+1(О)=1
— ее нижний центральный ряд. Поскольку TC(G) — абелева под-
подгруппа с конечным числом образующих, она представима как
прямое произведение т циклических групп, где т — некоторое
натуральное число. Так как FC(G) принадлежит центру группы G,
каждая ее подгруппа инвариантна в G. Следовательно, существует
ряд Yc+l=\c{al}c{av а2}с . .. cz{av а2 ат) =i Г, (G)
инвариантных подгрупп группы G с циклическими факторами.
Аналогично мы можем построить ряд инвариантных подгрупп
между Vi+l(G) и Г^(G) с циклическими факторами. В итоге полу-
получается ряд для группы G, который характеризует сверхразреши-
сверхразрешимость группы.
174 Гл. 10. Сверхразрешимые и нильпотентные группы
Следствие 10.2.4. Нилъпотеншная группа с конечным числом
образующих удовлетворяет условию максимальности.
Группа G удовлетворяет условию максимальности, если любая
возрастающая цепочка ее подгрупп имеет конечную длину. Это
условие эквивалентно требованию, чтобы группа G и любая ее'
подгруппа обладали конечной системой образующих. Как будет
показано в теореме 10.5.1, любая подгруппа сверхразрешимой
группы сверхразрешима, а потому имеет конечную систему обра-
образующих. Соответствующее утверждение для разрешимых групп
не выполняется. Так, если F— свободная группа с двумя обра-
образующими а и Ъ, то фактор-группа F\F" разрешима, но подгруппа
FfjF" имеет бесконечно много образующих вида a~lb~JalbJ.
10.3. Теория нилыютентных групп
Если группа G нильпотентна класса с, то любой коммутатор
(аг ас+г) Равен единице, и, обратно, если любой коммутатор
вида (аг ас+\) равен единице, то класс нильпотентности груп-
группы G не превосходит с. Будем говорить, что группа G обладает
свойством ниль-с1), если (ах ас+1)=1 для всех at£G.
Теорема 10.3.1. Если группа G обладает свойством
ниль-с, то любая подгруппа и фактор-группа группы G обла-
обладают свойством ниль-с.
Доказательство. Если G ниль-с, то тем более для под-
подгруппы Н все коммутаторы (аг #r+i)» гДе п&Н, равны 1,
следовательно, подгруппа Н ниль-с. Если Т—гомоморфный
образ группы G, то каждый коммутатор (Ьг Ьс+г)> где */€ ^»
является гомоморфным образом некоторого коммутатора (ах ас+\)
из группы G, а следовательно, равен единице, откуда группа
Т—ниль-£ группа.
Следующая теорема относится к нильпотентным инвариантным
подгруппам группы G, которая сама не обязательно нильпо-
нильпотентна.
Теорема 10.3.2. Если Н и К—инвариантные подгруппы
группы G, причем Н—ниль-с группа, а К — ниль-d группа,
то подгруппа Н\)К=НК — наль-{с-\-й).
Доказательство. Подгруппа Ym{HK) порождается всеми ком-
коммутаторами вида (uv и2 ит)У где и^НК, т. е. ui = hikit
hi^LHl kt£K. Мы утверждаем, что элемент (uv u2 ит) является
произведением коммутаторов вида w = (vly v2 vm), где
каждый элемент vt принадлежит либо Я, либо /С. Для т=* 1 это
очевидно. Пусть это верно для т — 1. Тогда, применяя равенство
1) Или является ниль-с группой. — Прим. ред.
10.3. Теория нильпотентных групп 175
A0.2.1.3) и пользуясь инвариантностью подгрупп Н и К, получаем
(«1 «m-l- «ni)==(«'l«'a •••«*. W =
= К • • • Wr km)(wkim ■ ■ ■ W1m- hmm) =
VI"*" t* m) V 1 /' /и/'
Аналогично, применяя соотношение A0.2.1.2), получаем
(Wx ... Wt, ^w) = (^i» ^m)^2 '" Wt(!®2 • • • ^» ^m) —
Продолжая это разложение, мы получим представление коммута-
коммутатора (иг am-v um) B виДе произведения элементов типов
(wt h^m) и (w, kf$), которые имеют вид (vx vm), где t^—эле-
t^—элемент или из НУ или из К. Наше утверждение доказано полной
индукцией. Мы показали, что подгруппа Tc+d+l(HK) порождается
коммутаторами (vx vc+d+l)t где vt — элемент из Н или /С.
Но (^i vt-v vt) = {vi Vi)^^! vt-i)vr Если
(vv ..., ^-i)G^(^) и vt£K> то' в СИЛУ инвариантности под-
подгруппы ГДЯ) в группе НК> (vx ^N^/(^)» а если ^/6^»
то (vv ..., vt)£I\+l(H). Следовательно, если среди элементок
vx vc+d+\ есть c~t~l элементов из Я, то (ух vc+d+i)£
^ГС+1(Я)=1, т. е. (г>! i;c+d+1)=l; если нет, то среди
них есть не менее d-f-1 элементов из К, а тогда (vl9 ...
. .., vc+d+l) £ Vd+l (К) = 1. В обоих случаях (vlf ..., ^+d+1) = 1,
откуда группа Н[)К = НК обладает свойством иияъ-(с~{-d).
Теорема 10.3.3. Если группа G — нилъ-с группа, Н=Н0 —
произвольная подгруппа и Hi+1 — нормализатор подгруппы Н(
в О, то HC = G.
Доказательство. Ясно, что ^dZ0==1. Докажем по ин-
индукции, что Нт ^ Zm для всех т. Предположим, что Ht з Zt.
Тогда, согласно определению Zi+1, для любого элемента zi+1£
^Zi+1 и любого g(-G мы имеем zr^1g-1zl+lg = zi£Zr откуда
приg~l — hi^Htполучаем zr^lhlzi+l = zihi^Hr и, следовательно,
Zi+l содержится в нормализаторе подгруппы Hv откуда Hi+l 1Э Zi+l>
что доказывает индуктивное уадерждение.
Теперь из то*го, что ZC = G, следует требуемое равенство
НС = О.
Следствие 10.3.1. Любая собственная подгруппа нильпо-
тентной группы является собственной подгруппой своего нор-
нормализатора.
176 Гл. 10. Сверхразрешимые .и нильпотентные группы
Следствие 10.3.2. Любая максимальная подгруппа нильпо-
шенпгной группы инвариантна, имеет простой индекс и со-
содержит производную группу.
Пусть М — максимальная подгруппа нильпотентной группы О.
Так как нормализатор NQ(M) строго содержит М, имеем Nq(M) = G
или М <] G. Далее, в силу максимальности М фактор-группа G/M
не содержит собственных подгрупп, т. е. она циклическая группа
простого порядка. Поэтому индекс подгруппы Ж прост, а производ-
производная группа G' содержится в М, так как фактор-группа G/M абелева.
Следствие 10.3.3. Если G — нилъпотентная группа и Н —
такая подгруппа, что G = GfH, то H=G.
Допустим, что не выполняется утверждение следствия: Н Ф О.
Тогда в силу теоремы при Н=Н0 и Hi+l = HtZi+1 мы бы имели,
что каждая подгруппа Ht инвариантна в Hi+1. Если Hj ^=0, но
HJ+1 = G, то Hj — собственная инвариантная подгруппа, причем
фактор-группа GfHj абелева, откуда Н* 5 Gf. Но тогда HGf с
g; Hp' = Н]ФО, что противоречит условию. Итак, H=G, что
и требовалось доказать. Заметим, что при доказательстве не пона-
понадобилось предположения о том, что О содержит максимальные
подгруппы.
Теорема 10.3.4. Конечные р-группы нильпотентны. Конечная
группа нильпотентна тогда и только тогда, когда она пред-
ставима как прямое произведение своих силовских подгрупп.
Доказательство. По теореме 4.3.1 любая конечная /?-группа
Р имеет нетривиальный центр. Следовательно, верхний централь-
центральный ряд группы Р обрывается на всей группе Р, т. е. эта группа
нильпотентна. Отсюда следует нильпотентность прямого произве-
произведения конечных /?-групп. Пусть теперь G — конечная нильпотент-
ная группа, Р — силовская jo-подгруппа группы О. Тогда норма-
нормализатор NG(P) совпадает со своим собственным нормализатором
(теорема 4.2.4), а в силу следствия 10.3.1, NG(P) = G, т. е. P<\G.
Так как каждая силовская подгруппа группы G инвариантна в ней,
то G представйма как прямое произведение своих силовских под-
подгрупп.
Следствие 10.3.4. (Виландт.) Конечная группа нильпотентна
тогда и только тогда, когда все ее максимальные подгруппы
инвариантны.
В самом деле, согласно следствию 10.3.2 из теоремы 10.3.3,
максимальные подгруппы нильпоГентной группы инвариантны.
С другой стороны, в силу теоремы 4.2.4 нормализатор NG (P)
силовской подгруппы Р не может содержаться в собственной ин-
инвариантной подгруппе группы О. Следовательно, если максималь-
максимальные подгруппы инвариантны, то, P<\G и G представйма как пря-
прямое произведение своих силовских подгрупп.
10.4, Подгруппа Фраттини 177
Теорема 10.3.5. Если X, У и Z— подгруппы группы G и
К—инвариантная подгруппа, содержащая (X, К, Z) и (Z, X, К),
то К содержит также (К, Z, X).
Доказательство. Из соотношения A0.2.1.4) имеем
*1
(*. у, *) = ((*. X, У1L*)-1 ((У
откуда и следует требуемое включение.
Теорема 10.3.6. Если Н = Н0 !3 #х =5 tf 2 :э ... —ряд таких
инвариантных подгрупп группы О, что (Ht__v L) cz Ht для
всех i и некоторой подгруппы L, то (Hit Г, (Z,)) с Hi+j.
Следствие 10.3.6. (ГДО), Гу(О)) с T/+y(G).
Доказательство. Проведем индукцию по у, начиная с у=1.
Пусть (Я/э Гу__! (L)) £ Я/+у_! для любого /. Тогда по индукции
(Z,, Я^ Гу_1A))с(Я,+1, r;-1(L))E///+; и (Я,, Г^С/,), L) S
^(Hi+j_v L)czHl+j. Так как (Гу.^/,), L) — Tj(L)y то, применяя
теорему 10.3.5, мы получаем
что и требовалось доказать.
10.4. Подгруппа Фраттини
Пусть О — произвольная группа. Подгруппа Ф группы О, на-
называемая подгруппой Фраттини, определяется следующим образом:
ф = G Q М> где М пробегает множество всех максимальных под-
м
групп группы О, если группа G обладает таковыми. Следова-
Следовательно, Ф = G тогда и только тогда, когда G не содержит мак-
максимальных подгрупп. Так как любой автоморфизм группы G
переставляет максимальные подгруппы между собой, то ясно, что
подгруппа Фраттини является характеристической подгруппой.
Интересна связь подгруппы Фраттини группы G с множеством
образующих элементов группы G. Подгруппа Ф состоит из эле-
элементов группы О, которые являются янеобразующими элемен-
элементами" для G в следующем смысле.
Определение. Говорят, что элемент х группы G является
необразующим для-G, если из равенства О = {Г, х), где Т—
произвольное множество в О, следует равенство G = {T).
Отметим, что здесь требуется выполнение равенства {Г, х} = {Т)
для любого подмножества Г, для которого {71, x} = G. Напри-
Например, если G=tM, то ясно, что 1—необразующий элемент.
. Теорема 10.4.1. Если группа G отлична от единичной, то
ее подгруппа Фраттини состоит из всех необразующих эле-
элементов группы G.
12 М. Холл
178 Гл. 10. Сверхразрешимые и нильпотентные группы
Доказательство. Пусть х £ О. Если существует максималь-
максимальная подгруппа М, которая не содержит хъ то группа {Ж, л:}
строго содержит Ж, откуда в силу максимальности подгруппы М
имеем {М, x} = G, но {М} = М Ф О. Таким образом, необразую-
необразующие элементы группы О содержатся во всех максимальных под-
подгруппах, а потому и в группе Ф = О Q М. Нам остается показать
м
обратное: если и £ Ф, то элемент и является необразующим для G.
По условию, Gф\t значит, 1—необразующий элемент.
Предположим, что G = {Т, и}, где Т—некоторое подмноже-
подмножество в О. Покажем, что предположение {T}—H=^G приводит
к противоречию. Элемент и не содержится в //, так как в про-
противном случае //—{//, и] 13 {7, а) = О. Итак, и(^Н. Тогда, по
лемме Цорна, существует подгруппа К ^5 Н, максимальная по от-
отношению к свойству и(^К. Следовательно, {/С, и) 3 {Т, u) = G,
откуда {/С, и) =0. Но в силу нашего выбора подгруппы К любая
подгруппа, строго содержащая /С, должна содержать элемент и.
Следовательно, К—М — максимальная подгруппа, не содержа-
содержащая и, что противоречит условию ^^Ф = 0^Л1. Итак, {Т} — О.
м
Любой элемент а £ Ф является необразующим для О.
Теорема 10.4.2. Подгруппа Фраттини конечной группы
нильпотентна.
Доказательство. Пусть G — конечная группа и Ф — ее под-
подгруппа Фраттини. Пусть Р — силовская р-подгруппа группы Ф;
последняя как характеристическая подгруппа группы G инвариантна
в ней. Поэтому все подгруппы, сопряженные с Р в О, содержатся
в Ф; так как они являются силовскими jo-подгруппами группы Ф,
то они сопряжены в Ф. Таким образом, подгруппа Р имеет
столько же сопряженных подгрупп в Ф, сколько и во всей
группе О, и поэтому [О : NG(P)] = [Ф : ЫФ(Р)]. Но [О : ЫФ(Р)] =
= [О : Ф][Ф : Ni,(P)] = [O:Na(P)][Na(P):Ni>(P)]. откуда [О:Ф] =
= [Na(P): №&(/>)]. Заметив, что ЫФ(Р) = NQ(P) fl Ф, и применяя
теорему 1.5.5 о неравенствах для индексов, получаем [NG(P)\J
U Ф : Ф] > [NG (Р): NG(P) П Ф] = [О : Ф]. Отсюда NG(P) [} Ф = О.
Подгруппа Ф состоит из конечного числа необразующих элемен-
элементов; следовательно, G={NG(P), Ф} = {NG(P)} = NQ(P). По-
Поэтому Р<] О и тем более Р<]Ф. Таким образом, любая силовская
/7-подгруппа инвариантна в Ф. Поэтому Ф — прямое произведение
своих силовских подгрупп и тем самым Ф — нильпотентная группа.
Теорема 10.4.3. Подгруппа Фраттини нильпотентной
группы содержит производную группу.
Доказательство. Согласно следствию 10.3.3, если группа G
нильпотентна и G — HG', то О==Я. Это означает, что элементы
10.5. С верх разрешимые группы 179
подгруппы О' могут быть вычеркнуты из любого множества обра-
образующих группы О, следовательно, Ф 3 G'.
Для конечных групп имеет место обратное утверждение.
Теорема 10.4.4. (Виландт.) Если подгруппа Фраттани ко-
конечной группы G содержит производную подгруппу G\ то
группа G нилъпотентна.
Доказательство. Пусть Р — силовская подгруппа группы G.
Если NG(P) = H =j(=G, то подгруппа Я содержится в некоторой
максимальной подгруппе М группы G. Тогда М 3 Ф и по усло-
условию Ф Э G'. Так как фактор-группа GjGf абелева, М — нормаль-
нормальный делитель в О. С другой стороны, в силу теоремы 4.2.4,
так как M5iVo(P), подгруппа М совпадает со своим нормали-
нормализатором. Мы пришли к противоречию. Следовательно, NG(P) = G.
Так как все силовские р-подгруппы группы G инвариантны,
О является их прямым произведением и, следовательно, нильпо-
тентной группой.
10.5. Сверхразрешимые группы
Теорема 10.5.1. Подгруппа и фактор-группа сверхразреши-
сверхразрешимой группы сверхразрешимы.
Доказательство. Пусть G — сверхразрешимая группа и
G = Aozd Axzd A2id ... zd Ar— I—инвариантный—ряд с цикличе-
циклическими факторами A^JA^ Тогда гомоморфные образы Bt под-
подгрупп At в фактор-группе G/K—T образуют инвариантный ряд
Т= Во 3 В\ 2 В2 2 ... 3 Вг =з= 1. Отсюда, исключив все по-
повторения, получаем инвариантный ряд с циклическими факто-
факторами, так как гомоморфный образ циклической группы является
или циклической или единичной группой. Для подгруппы Н со-
составим ряд
Н = С0^Сг^С2^ ... 2СГ=1,
где Ct = H[\ Л.. Для любого / подгруппа ЯП At инвариантна в Я,
а в силу теоремы 2.4.1, CijCi+x^= H$\At\H fl Ai+1gz
~ Ai+l U (Я П A^jAi+l. Но последняя фактор-группа содержится
в циклической группе Ai/Ai+V откуда следует, что она или
циклическая, или единичная. Таким образом, фактор-группа
Ci/Ci+i или циклическая, или единичная, следовательно, подгруппа Я
сверхразрешима.
Следствие 10.6.1. Сверхразрешимые группы удовлетворяют
условию максимальности.
Сверхразрешимая группа имеет конечную систему образую-
образующих. То же самое справедливо дли любой ее подгруппы (тео-
(теорема L0.5.1). Отсюда вытекает выполнение условия макси-
максимальности.
12*
180 Гл. 10. Сверхразрешимые и нильпотентные группы
Теорема 10.5.2. Сверхразрешимая группа G обладает^
инвариантным рядом G — B0ZDB1ZDB2ZD...zDBk—l, все факЛ
тор-группы B{_l/Bi которого являются или бесконечными^
циклическими группами, или циклическими группами простых
порядков.
Доказательство. Пусть G = A0zdA1zdA2zd... ZDAr= 1—ин-
1—инвариантный ряд группы G с циклическими фактор-группами.
Если порядок фактор-группы А> xfAj конечен и равен
PiP2 ... ps, где pv p2 ps — простые (но не обязательно!
различные) числа, то группа Aj^JAj содержит по одной цикли-f
ческой подгруппе порядков рх, рхр2 Pi - - - Ps-i* и все эти:|
подгруппы являются характеристическими. Следовательно, 5—1*1
соответствующих подгрупп между Aj__x и Aj инвариантны •
в группе G, а соответствующие фактор-группы цикличны и имеют j
простые порядки. Проделав подобные уплотнения исходного ряда
во всех тех случаях, когда порядки фактор-групп Aj^JAj ко- \
нечны, мы получим инвариантный ряд, в котором каждая фактор- )
группа — циклическая группа бесконечного или простого порядка.
Эту теорему можно усилить, так как можно упорядочить
простые факторы по величинам соответствующих простых чисел.
- Теорема 10.5.3. Сверхразрешимая группа G обладает ин-
инвариантным рядом G =C0zdC1zdC2id ... zDCk= 1, у которого
циклические факторы имеют или бесконечный, или простой
конечный порядок, а если факторы Ci_ml/Ci и CtjCi+l имеютг
соответственно простые ^порядки рг и pi+lt то Pi^.pi+y
Доказательство. Рассмотрим ряд O = BqzdB1zdB2zd ...
. . . ZDBk= 1 (см. теорему 10.5.2). Если порядки факторов Bi_l\Bi
и Bi/Bi+l — простые числа q и р соответственно, причем q > pt
то порядок фактор-группы Bl_l/Bi+l равен pq, где р < q. Эта
фактор-группа содержит характеристическую подгруппу порядка qt
полный прообраз которой Вь инвариантен в группе G. Если
в последнем ряду заменить Bt на Bi, то порядки факторов
Bi-i/Bi и Bi/Bi+i будут равны соответственно р и q. Продол-
Продолжая этот процесс, не изменяющий длину инвариантного ряда, мы
в итоге получим ряд, простые порядки факторов которого упо-
упорядочены по величине, что и требовалось доказать.
Следствие 10.5.2. Если G — конечная сверхразрешимая группа
порядка рхр2 .. . рГ, где рх <^ р2 <; ... -^ рТ— простые числа,
то она обладает главным рядом G=AozdA1zd ... zdAt=\,
в котором порядок фактора Ai_x\Ai равен pt.
Теорема 10.5.4. Производная группа сверхразрешимой группы
нильпотентна.
Доказательство. Пусть G — Ао гэ Ах id . . . id Ar = 1 — инва-
инвариантный ряд с циклическими фактор-группами ^i-\l^^
10.5. Сверхразрешимые группы 181
Положим Hi = Or(]Ai. Тогда G' = H0 з Н1 ^ ... 3 Нг= 1 —
инвариантный ряд, различные члены Кг которого составляют
ряд О' = К0 id Ki .. . id /C5= 1 с циклическими факторами. Дока-
Докажем, что этот ряд—центральный для группы G'. Любая под-
подгруппа Кь будет пересечением инвариантных подгрупп группы О,
следовательно, Ki<]G. Поэтому циклическая подгруппа K^JKi
содержится в группе GjKt в качестве инвариантной подгруппы,
а трансформирование элементом из G индуцирует автоморфизм
циклической группы K^JK^ Автоморфизмы циклической группы
образуют абелеву группу, а поэтому два элемента из группы
GjKi индуцируют перестановочные автоморфизмы группы K^JK^
Но тогда коммутатор любых двух элементов л:"^^^ индуци-
индуцирует тождественный автоморфизм группы K^JK^ Но это озна-
означает, что подгруппа K^JKi лежит в центре группы GfjK^ Этим
доказано, что ряд из подгрупп Kt является центральным для G'
и что G' — нильпотентная группа.
Существует очень интересное свойство рядов произвольных
подгрупп сверхразрешимой группы. Будем говорить, что под-
подгруппа #2 имеет индекс оо1 в подгруппе Hv если Нг=^Н2ах9
* х
где а— некоторый элемент, а х пробегает все целые числа
от —оо до -f-°°- Так, если Aj<C]Aj_l и Aj^JAj— бесконеч-
бесконечная циклическая группа, то индекс подгруппы^Лу в группе Aj_x
равен оо1,. так как в качестве элемента а мы можем взять любой
элемент из смежного класса по подгруппе Л-, являющегося обра-
образующим элементом циклической группы Aj^JAj. Но подгруппа Н2
может иметь индекс оо1 в Нх и в том случае, когда Н2 — неин-
неинвариантная подгруппа в Нг.
Теорема 10.5.5. В сверхразрешимой группе G любая цепь
подгрупп G = Мо id Мг zd M2 z> ... id Ms = 1 может быть
уплотнена подгруппами Mi_1 = Mit0ZD Ml1zd ... zd Mitt=Mit
t = t(i), /=1 5, так что индекс подгруппы Miyj в под-
подгруппе Mtyj_1 равен или простому числу, или оо1.
Доказательство. Так как подгруппа Мг сверхразрешима,
достаточно показать, что можно произвести такое уплртнение
промежутка между О = Мо и Mv Проделав такие же построе-
построения последовательно для Мг Ms_lt мы получим требуемое
уплотнение всего ряда.
Пусть G — Ао zd Ax id A2 id . .. id Аг = 1 — инвариантный ряд
группы G с циклическими фактор-группами простых или беско-
бесконечных порядков. Ясно, что М1'5 Аг=\, но Alj ф AQ = G.
Следовательно, для некоторого числа / из последовательности
1 г имеем Мг i? At> но Мг ф At_v Рассмотрим два случая:
1) порядок фактор-группы Ai__l/At прост, 2) Al_mJAi — бесконеч-
бесконечная циклическая группа.
182 Гл. 10. Сверхразрешимые и нилыготентные группы
Случай 1. Порядок фактор-группы Al_ljAi прост. В
случае Л^рЖ^Л^^ Аь. Так как индекс подгруппы At g
Ai__1 прост, между At и At_x не существует подгрупп. Следова-
тельно, M1(]Ai_1 = At. Если Al_l = ^Aiax, л: = 0 р—U
х А
то Мг[) Ai_1 = MlAi_1== М*ги Ali=2^i^ * = 0, 1, ..., р—\}\
X ^
так как Мх содержит подгруппу At и ар£ At, но fl^ At. Здесь
индекс подгруппы Мх в группе М\ равен простому числу
и Mi^A--!-
Случай 2. Ai_JAi— бесконечная циклическая группа. И здесь!
At_x id Ml П Ai__1 zd Л;. Так как любая подгруппа группы At_x\A^
характеристична, подгруппа A^fl^-i инвариантна в G. Если
M1[\Ai_1== At и Ai-i = ^jAiax, то положим Alt = AIX U ^_х =
X
= Ж1Л/_1 = 2 Мгах, откуда индекс М1 в м\ равен оо1, так '
как Жх содержит подгруппу Ati но не содержит степеней эле-
элемента а. Если же МгС\ Ai_l^> Ait то, так как любая подгруппа
бесконечной циклической группы имеет конечный индекс, индекс
подгруппы M1[]Ai_1 в группе Ai__l также конечен. Таким обра-
образом, в наш инвариантный ряд мы можем вставить подгруппы 1
между Аь_х и M1()Ai_l так, что индекс каждой подгруппы I
в ближайшей содержащей ее подгруппе простой, и, как в слу- |
чае 1, находим подгруппу- М\, в которой индекс подгруппы Мг 4
прост. Повторяя эту конструкцию, мы находим ряд М1а Mia i
а МТ с ... с М^\ в котором индекс каждой подгруппы в по- \
следующей прост и М^ ^ At^v 1
Продолжив это построение, мы через конечное число шагов J
достигнем группы М^ Э \ = О, т. е. осуществим требуемое к
уплотнение интервала между G и Mv Как уже отмечалось, 1
такими же построениями достигается уплотнение всего ряда. |
Интересную форму принимает эта теорема для конечных групп. |
Теорема 1015.6. В конечной сверхразрешимой группе G все *
максимальные цепочки подгрупп имеют одну и ту же длину, |
равную г, где г — число простых делителей {не обязательно \
различных) порядка группы G.
Доказательство, Согласно предыдущей теореме, в максималь-
максимальной цепочке индекс любой подгруппы в содержащей ее под- ;
группе — простое число, а потому длина максимальной цепочки
равна г.
Следствие 10.5.1. Любая максимальная подгруппа конеч-
конечной сверхразрешимой группы имеет простой индекс.
10.5. Сверхразрешимые группы 183
Замечательный факт, впервые доказанный Хуппертом [1], со-
состоит в том, что обратное утверждение также верно. Для его
доказательства нам понадобятся некоторые из теорем теории
представлений групп, которые будут доказаны в главе 16. Сейчас
мы докажем одну неопубликованную теорему Филипа Холла.
Теорема 10.5.7. (Ф. Холл.) Пусть G— конечная группа со
свойством (М): все максимальные подгруппы группы G имеют
индекс р или /?2, где р — простое число. Тогда группа G
разрешима.
Доказательство будем проводить индукцией по порядку
группы G. Пусть р — наибольшее простое число, которое делит
этот порядок, 5 — силовская /7-подгруппа группы О, N—ее
нормализаторе G. Если N — G, то 5<]О и фактор-группа обла-
обладает свойством (М), откуда по предположению индукции
группа G/S разрешима. При этом 5 — /?-группа, следовательно,
группа G разрешима. Если же NcG, то выбираем максималь-
максимальную подгруппу Н группы О, содержащую N. N— нормализатор
группы 5 как в группе О, так и в подгруппе Н. Поэтому, при-
применяя третью теорему Силова, получаем [G : N] = 1 -Jrk1p,
[Н: N] = 1 -f- k\p. Это числа силовских /?-подгрупп в группах О
и Н соответственно. Отсюда [G : Н] = 1 -f- kp. Но по условию
[G:H]=q или #2, где q — некоторое простое число, причем
ясно, что q < /?, k > 0. Итак, kp = q2—1—(# + !)(#—1)> но
Р ^ Я +1», откуда p = q-\-\. Последнее возможно только при
р = 3, q = 2. Тогда порядок группы G равен 2Й3&. Отсюда и из
теоремы 16.8.7 следует, что группа G разрешима.
Теорема 10.5.8. (Хупперт) Пусть G — конечная группа со
свойством (М1): все ее максимальные подгруппы имеют
простые индексы. Тогда группа G сверхразрешима.
Доказательство. Предположим, ^чтсГ теорема не верна. Рас-
Рассмотрим группу G наименьшего порядка, обладающую свой-
свойством (М1) и не сверхразрешимую. Тогда в силу теоремы 10.5.7
группа G разрешима. Пусть N — минимальная инвариантная под-
подгруппа группы G порядка /?а, где р — простое число. Согласно
свойству минимальности группы О, фактор-группа GjN сверх-
сверхразрешима, так что среди главных факторов группы G только
группа N не является цикличной. Отсюда заключаем, что N—един-
N—единственная минимальная инвариантная подгруппа. Пусть HjN—мини-
HjN—минимальная инвариантная подгруппа группы G/N. Рассмотрим два случая:
1) [Н : N] — р, B) [Н : N\ = q, где р и q — простые числа, р ф q.
В первом случае группа Н абелева, так как в противном случае
мы бы имели \dHrdNb где Нг — нормальный делитель в G.
Так как а > 1, подгруппа Н не может содержать элементов по-
порядка р2\ в противном случае подгруппа N содержала бы характе-
характеристическую подгруппу группы Н порядка р. Как и выше, заклю-
184 Гл. 10. Сверхразрешимые и нильпотентные группы
чаем, что тогда N — не минимальный нормальный делитель. Итак,
И—элементарная абелева группа.
Теперь группа G естественным образом может быть пред-
представлена как группа автоморфизмов группы Я, т. е. как группа ?
линейных преобразований по модулю/? степени a-f-1 (так как
порядок Н равен /?a+1). Пусть К—множество всех таких элемен-
элементов я £ О, что для всех х£Н имеет место а~1ха — хт, где
щ = т(а) не зависит от х\ пусть/, — централизатор подгруппы Н з
в группе О. Тогда K/L содержится в центре группы G/L. Кроме
того, К строго содержится в О, так как N — единственная мини- |
мальная инвариантная подгруппа группы О, между тем как все j
подгруппы группы И инвариантны в К. Пусть М/К—минималь-
М/К—минимальная инвариантная подгруппа в О//С. Если [М : К] = р, то
группа M/L— прямое произведение подгруппы K/L, порядок
которой взаимно прост с р и которая содержится в центре
группы G/L, и подгруппа {L9 a)/L порядка /?, причем подгруппа $
Мх = {L, а} инвариантна в G. Так как взаимный коммутант
(N, L)=l и [Мх: L] = р, то N содержит отличный от единицы
элемент из центра группы Mv Но центр группы Мх — нормаль- \
ный делитель в О. Поэтому в силу минимальности подгруппы N :
она содержится в центре группы Мг и (Mv N)=\. Если
H—{N, b}, то группа (//, М{) имеет порядок, равный /?, и по- 4
рождается элементом (a, b) = c £N, с Ф 1. Эта группа инвариантна 5
в G, но это противоречит предположению, что подгруппа TV—мини-
TV—минимальная инвариантная подгруппа.
Поэтому [M:K] = q (q — простое число, отличное от /?), и
тем самым порядок фактор-группы M/L взаимно прост с р. По ^
теореме о полной приводимости (теорема 16.3.1) отсюда следует,
что Н = N X Р* где Р — инвариантная подгруппа порядка р в Ж.
Подгруппы, сопряженные с Р в О, —нормальные делители поряд-
порядка р в Му а их объединение Q — инвариантная подгруппа в G.^
Так как N — единственная минимальная инвариантная подгруппа^
группы G и Q Ф N, отсюда следует, что Q — H. Так как под- *"]
группа Р не содержится в N, ни одна сопряженная с Р подгруппа |
не содержится в N. Пусть P={b}t где Ьр—\. Если Pt — про- -
извольная подгруппа, сопряженная с Р и отличная от нее, то
РР{ П Af = /?, где подгруппа R имеет порядок /?, так как [Н: Af] = р. ^
Порождающий элемент с подгруппы Р1 можно выбрать так, чтобы
Pi=[c)y R={bc). Так как Р, Pt и R — инвариантные под-
подгруппы в My отсюда следует, что для любого элемента a £ М
имеем a~lba = bm, a~lca = cnt .а^1(Ьс)а = (Ьс)К Но тогда
(ЬсУ = Ьтсп и t — m = n. Но Pt — произвольная сопряженная с Р :|
подгруппа, следовательно, для любого х£Н имеем а~1ха = хт, |
где т = т(а) не зависит от х.. Поэтому М £ К, т. е. мы-1
пришли к противоречию. Таким образом, случай A) невозможен. |
Упражнения 185
Случай B) можно отбросить сразу. Если число [H:N] = q
отлично от /?, то пусть Q — силовская ^-подгруппа группы Н,
а Т—нормализатор группы Q в О. Любая подгруппа, сопряжен-
сопряженная с Q в группе О, содержится в Я и, следовательно, сопряжена
с Q в N. Поэтому G = NT. Тогда N(\T инвариантна в G.
Но ГфМ, так как в противном случае мы бы имели 7=0,
т. е. Q<\G. Следовательно, N П Т = 1, [О : Т] = ра. Но Т— макси-
максимальная подгруппа группы О, так как в случае Гс^сО мы бы
имели \clTx{\NclN, где подгруппа 7\nAf инвариантна в О»
Таким образом, группа G содержит максимальную подгруппу не-
простого индекса, что противоречит условию.
Упражнения
1. Пусть № = № (G) — группа внутренних автоморфизмов группы Gr
а № — группа внутренних автоморфизмов группы 1^п~1\ Показать, что
если для некоторого п группа /^ равна единичной группе, то груп-
группа G нильпотентна.
2. Пусть G — группа, удовлетворяющая условию максимальности.
Показать, что группа G сверхразрешима, если группа A (G) автомор-
автоморфизмов группы 43 сверхразрешима.
3. Пусть а и b — элементы нильпотентной группы G, причем
ат = Ьп = 1 и (т, п) = 1. Пусть w = a~lb~lab. Показать, что если
w^Ti(G)t то wm£Ti+x(G\ wn£Ti+!((/), откуда w £ Г/+, (G). Следова-
Следовательно, w = 1 и ab = 6<2.
4. Доказать утверждение, обратное утверждению упр. 2 гл. 8, т. е.
если G — конечная нильпотентная группа и если/?!, p2,.-->Ps — ПР°~
извольно упорядоченная последовательность простых чисел, произведение
которых равно порядку группы G, то группа G обладает композицион-
композиционным рядом G = Aoz>Al з ... zdAs = 1 с факторами Ai-xlAi поряд-
порядков pt.
5. Пусть G — /?-группа, для которой Г3 (G) = 1. Показать, что если рт
есть наивысший порядок элемента группы G/T2 (G), то ни один элемент
из группы Г2 (G) не имеет порядка большего, чем рт.
n,
Глава 11
БАЗИСНЫЕ КОММУТАТОРЫ
11.1. Собирательный1) процесс
Рассмотрим формальные слова, или цепочки, bxb2 ... Ъ1
где каждый символ Ъ представляет одну из букв xv x2, ..
Определим также формальные коммутаторы Cj и их веса о» (cj)
следующим образом:
1) £. = xt, i=l, ..., г — коммутаторы веса 1, т. е. о»(xt) = 1,
2) если сь и Cj — коммутаторы, то и ck==(ci, cj)—комму-
cj)—коммутатор И О) (Ck) = О) (Ct) -f- О) (Cj).
Отметим, что, согласно этому определению, существует только
конечное число формальных коммутаторов заданного веса. Упоря-
Упорядочим коммутаторы, располагая сначала ci = xt, i=l, ..., г, а
затем все остальные коммутаторы в порядке возрастания их весов,
причем порядок среди коммутаторов одного и того же веса
произволен.
Будем говорить, что слово ct ... Ci , составленное из ком-
коммутаторов, собрано, если ix ^ i2^C • • • ^ *#mj T* е- если комму-
коммутаторы расположены в порядке возрастания индексов слева
направо2). Произвольное слово из коммутаторов
Ci . . . Ci Ci . . . Ci A1.1.1)
содержит, вообще говоря, собранную часть c-t ... ct , где
,
h ^C • • • ^ 1т и im^ */• j = т-\-1 ^. и несобранную часть
d .. . Ci , где 1т+1 уже не наименьший из индексов ij,
j—m-\-l п. Собранная часть слова ^ "-Cin пУста> если
только ix — не наименьший из индексов.
Определим собирательный процесс для слов из коммута-
коммутаторов. Пусть си — коммутатор с наименьшим индексом в несоб-
несобранной части слова, и пусть Ci. — cu—первое вхождение са
1) В оригинале „collecting". Термин должен указывать на тот факт,
что слова Жданного вида возникают в результате действия некоторого
алгоритма, названного „собирательным процессом". — Прим. ред.
2) Предполагается, конечно, что индексы коммутаторов являются
порядковыми номерами коммутаторов в вышеопределенном упорядоче-
упорядочении. — Прим. ред.
11.1 Собирательный процесс 187
в несобранную часть. Заменим тогда слово
словом
При этом коммутатор С[. сдвинется на одно место влево и по-
появится новый коммутатор (а._ , £;.), который по весу больше,
чем Ci..
Таким образом, и после указанного преобразования сь. оста-
останется коммутатором с наименьшим индексом в несобранной части.
После конечного числа таких шагов коммутатор ci займет
(w+l)-e место и станет элементом собранной части. Так опре-
определенный собирательный процесс, вообще говоря, не будет обры-
обрываться, так как на каждом шаге вводится новый коммутатор.
Пусть хг хт—образующие элементы группы F (мы
будем в основном рассматривать случай, когда группа F — сво-
свободная группа с образующими xv х2, ..., хт), и пусть {и, v) —
= u~1v~luvt тогда
и мы видим, что собирательный процесс не изменяет элемент
группы, представленный словом. При нашем определении соби-
собирательный процесс применим не ко всем словам, а только к так
называемым положительным словам, т. е. к словам, составлен-
составленным из букв хь и не содержащим букв вида xjl. Ниже мы
освободимся от этого ^граничения.
В ходе собирательного процесса, примененного к положи-
положительным словам, возникают не любые коммутаторы. Так, напри-
например, коммутатор (х2, л^) может возникнуть, а коммутатор (xv x2)
возникнуть не может, так как буква хг собирается до х2. Ком-
Коммутаторы, которые действительно могут возникнуть в собира-
собирательном процессе, называются базисными. Дадим формальное
определение базисных коммутаторов группы F с образующими
Х1> Х2 ХГ
Определение базисных коммутаторов
1) ci=xi, l=U ..., г— базисные коммутаторы веса один,
<*(*/)= 1.
2) Пусть базисные коммутаторы весов, меньших п, уже опре-
определены. Тогда базисными коммутаторами веса п являются ком-
коммутаторы ck = (ct, Cj), где
a) ct и Cj — базисные коммутаторы и оо {cj) -f- оо (Cj) = п;
b) cty> cf, а если ct = (cS9 cj), то Cj^>ct.
188 Гл. 11. Базисные коммутаторы
3) Коммутаторы веса п следуют за коммутаторами вес<
меньших /г, и между собой они упорядочены произвольным об-.;
разом. Базисные коммутаторы считаем пронумерованными так^
что они упорядочены по индексам.
Заметим, что если коммутаторы упорядочены по весам,
в остальном — произвольным образом, то собирательный процесс.1
примененный к положительным словам, дает только базисные^
коммутаторы. Например, при замене
мы собираем cv до си, откуда сц > cv, а если cu — (cs, ct), то|
это означает, что буква ct собиралась до cv> откуда cv^>ct.
Мы покажем сейчас, что по модулю Vk+l(F), где Vk+l(F)—!|
(£-}-1)-й член нижнего центрального ряда группы F, обозначаем |
мый также Fk+l (k — любое число), произвольный элемент м
жет быть представлен в виде
/ = ^142 ... cettmodFk+1, A1.1.4):
где сх ct — базисные коммутаторы весов 1, 2 k.
В ходе собирательного процесса имеем
vu=uv(v, и), A1.1.5I
где ut v и (v, и) — базисные коммутаторы. Мы должны также
рассмотреть выражения vu~l, v^u и v~lu. При этом va~l = |
= u~lv(v> и), г. из соотношения A0.2.1.3) имеем ;ij
\=(v, uu~l) = (v, u~l)(v, u)(v, и, и'1), A1.1.6) |
откуда
(v, u~l) = (v, и, u~l)~l(v, и)'1.
Аналогично
(v, ut u~l) = (v, u, u, u~l)~l (v, u, u)~l.
Положив vQ = v и vM = (vt, и), получим
= v2vA ... VsXVzlvTl (mod Fk+i). A1.1.7)
Если здесь коммутатор vl = (vy и) базисный, то и v2, vs, ...—
также базисные коммутаторы. По модулю Fk+l мы можем пре-
пренебречь коммутатором (vs, u~l), если индекс 5 настолько велик,
что вес этого коммутатора не меньше £ + 1. Следовательно,
в качестве элементарного этапа собирательного процесса мы до-
допускаем следующую замену:
vu~l=== u~lv • v2vA ... v^v-fy'1 (mod Fk+l). A1.1.8)
11.2. Формула Витта. Теорема о базисе 189
Аналогично, v~1u = uv~1(v~l, и), и из равенства A0.2.1.2) полу-
чаем \=(vvlt u) = (yt u)(v, и, v~~l)(v~l, и), откуда, полагая
<г,г=(г>, a), wt+1 = (wt, v), имеем
V"lu^uv"lw2wA ... w~lw-1 (mod Fk+1). A1.1.9)
Имеет место тождество v~lu~l=u~l (uvu~l)~\ а изA1.1.8) получаем
uvu'1 = v - v2v4 ... v^lv^lv~l(mouFk+l)f A1.1.10)
откуда
v~1W1^ Wlvxvzvb ... v~lv-lv~l (mod/^+j). A1.1.11)
Повторное применение замен A1.1.5, 8, 9, 11) приводит к записи
A1.1.4) произвольного элемента / группы F в виде слова из
базисных коммутаторов.
Если F — свободная группа с образующими xv х2 хг,
то, как мы покажем в § 11.2, при заданной нумерации базис-
базисных коммутаторов запись A1,.1.4) единственна. В частности,
базисные коммутаторы веса к образуют свободный базис фактор-
факторгруппы FkjFk+v являющейся, следовательно, свободной абелевой
группой. Это обстоятельство, конечно, оправдывает термин ба-
базисный в применении к этим коммутаторам.
11.2. Формула Витта. Теорема о базисе
Предположим, нам дана последовательность базисных комму-
коммутаторов сг, с2 состоящих из образующих xv x2 хт.
Назовем произведение базисных коммутаторов
cixci2...ct8 A1.2.1)
базисным, есци слово A1.2.1) собрано, т. е. если ix <^ /2^ • • • ^ (у
Для произведения коммутаторов р= аха2 ... ап произвольного
вида мы Определим понятие веса со (/?): to (р) = to (аг) +...-+-
-\- о) (ап). Собирательный процесс изменяет вес произведения. Мы
определим сейчас аналогичный процесс — процесс заключения
в скобки, не меняющий веса произведения. Если и, v и {и, v) —
базисные коммутаторы, то слово ... wo ... заменяется на
.. . (и, v) ... в отличие от собирательного процесса, где
слово ... uv ... заменяется произведением ... vu(uy v) ....
Теорема 11.2.1. Число базисных произведений веса п, соста-
составленных из образующих xv ..., хг, равно гп.
Доказательство. Для всех k=l, 2, ... определим семей-
семейство Pk = p(g) всех произведений аха2 ... at веса п (где at—ба-
at—базисные коммутаторы) вида
• <!Ф ... С1НЧ ••• CV A1.2.2)
190 Гл. 11. Базисные коммутаторы
где et^>0, ix > k, i2 ^^-^» и Для каждого коммутатора
Ci. = (cu, cv) коммутатор cv предшествует ck. Таким образом,
Pk можно рассматривать как семейство слов, в которых комму-
коммутаторы сг ck_l собраны, a ck еще не собраны. Обозначим
число таких произведений семейства Pk через \Pk |. Ясно, что Рг —
семейство всех произведений п образующих х(, откуда | Рг | = гп.
Можно установить взаимно однозначное соответствие между элемен-
элементами семейств Pk и Pk+V Действительно, если с\i ... ce^ct ... Ci —
произведение из семейства Pk, то коммутатор с-г следует за ck
и, хотя в произведении могут встречаться цепочки коммута-
коммутаторов ck в несобранной части, каждой такой цепочке непосред-
непосредственно предшествует коммутатор су, где у > £. Ко всем подоб-
подобным цепочкам
cyck • • • ckcw> У>к> W>k,
применим операции заключения в скобки, заменив их выраже-
выражениями (((су, ck), ck), ..., ck) cw, и так как при условии су = (си, cv),
k > v, то вновь возникающий коммутатор будет опять базисным
и будет следовать за ck. Указанное преобразование дает одно-
однозначно определенное произведение из семейства Pk+i- Обратно,
если в произведении из семейства Pk+i убрать все скобки,
заключающие коммутатор ck, то мы получим однозначно опреде-
определенное произведение из семейства Pk. Следовательно, | РЛ | = | Pk+l \,
откуда для любого k имеем | Pk [= \ Рг \ = г11. Но при доста-
достаточно большом k семейство Pk состоит из всех базисных произ-
произведений веса п. Этим теорема доказана.
С помощью теоремы 11.2.1 можно найти число базисных ком-
коммутаторов веса /г, и, даже более того, можно найти число базис-
базисных коммутаторов с заданными весами относительно каждого
образующего. Определим вес ы((с)У i=\, 2,,..., г, следующим
образом: о>£ (xt) = 1, о>£ (л:;.) = 0, i Ф j, г. далее по правилу
а)Д(сц, cv)] = о)£(си) + о>/(cv). Пусть Мг(п) — число базисных ком-
коммутаторов веса п от г образующих хг, х2, ..., хп и пусть
М(пг, п2 пг) — число таких коммутаторов с, что 0)^^) = ^^,
/=1, 2 г, причем n = nl-\-n2-\- ... -\-пг Тогда имеет
место следующая теорема.
Теорема 11.2.2. (Теорема Витта.)
A1.2.3)
d/n
11.2. Формула Витта. Теорема о базисе 191
Здесь [х (т)— функция Мёбиуса, определенная на множестве на-
натуральных чисел следующим образом: jxA) ==—1— 1; дляи=р*1 ... pef,
где pv ..., ps — различные простые числа, [х(/г) = 0, если хоть
один показатель степени е(У> 1, а \^(ргр2 ... Ps) = (—1/-
Доказательство. Согласно теореме 11.2.1, число базисных
произведений равно гп. Это приводит к следующему формальному
тождеству для степенных рядов от переменной z:
п=1
Процесс расстановки скобок оставляет веса о>£ (/ = 1 г)
неизменными. Число слов W от образующих х1% ..., хТ с весом
(i).(W) = ni равно, очевидно,
п\
Отсюда вытекает формальное тождество для рядов от перемен-
переменных zv ..., zy.
1—-гп— ...
(V-'M.(П.2.6)
Витт [2] исходил из указанных тождеств, переходил к логариф-
логарифмам и применял формулу обращения Мёбиуса для доказательства
формул теоремы. Здесь же мы воспользуемся несколько видо-
видоизмененным результатом Мейера-Вундерли [1], доказав его ана-
аналогично теореме 11.2.1, и выведем из него формулу Витта.
Слово ах ... ап будем называть циклическим, если считать,
что аг следует за апУ ь а^2 ... ап, а2 ... anav . . .г апаг ... ап_1 —
записи одного и того же слова. Циклическое слово С длины п
может быть получено в результате повторения подслова из d
букв njd раз, где d — некоторый делитель п. Тогда мы будем
говорить, что С — циклические слова периода d. Каждому цикли-
циклическому слову соответствует единственный наименьший период,
который в свою очередь однозначно определяет некоторое цикли-
циклическое слово длины d.
Лемма 11.2.1. Между базисными коммутаторами веса п
и циклическими словами длины и периода п имеет место
взаимно однозначное соответствие. Оно осуществляется под-
подходящей расстановкой скобок в циклическом слове.
Доказательство. Пусть ага2 ... ап — циклическое слово
длины п. Циклические слова веса п образуют семейство Cl = Ck*
если они вида Ci Ct ... а , где ci. — базисные коммутаторы, и
adax ... ad ... аг ...
192 Гл. 11. Базисные коммутаторы
для любого a. = cw, если cw = (cu> cv), то v < ky при-
причем или A) /1 = /2= ... =is (включая случай s=l), или1
B) ix fy^-& и некоторый индекс ^ > &. Если имеет место'4
случай A), то слово принадлежит, по определению, также семей- *?
ству Ck+V если же налицо случай B), то мы берем каждую
циклическую подпоследовательность (если таковые существуют) \
вида cw, ck, . . ., ck, cp w > ky t > k, и расставляем скобки еле- i
дующим образом: ***
((••• ((*«. ck), ..., ck)ct.
Получается вполне определенное циклическое слово из семей-
семейства Ck+1. Обратно, удалив из какого-либо слова семейства Ck+l
все скобки, заключающие ck, получаем определенное слово
из семейства Ck. Таким образом, установлено существование
однозначного соответствия между словами семейства Ck+l и семей-
семейства Ск для произвольного k. Если же k достаточно велико,
то коммутатор ck имеет вес, больший /г, и случай B) невоз-
невозможен. Следовательно, в итоге процесс расстановки скобок пре-
прекращается и получается циклическое слово, для которого имеет
место случай A). Это слово будет или базисным коммутатором
веса /г, или последовательностью 5 = n/d тождественных базисных
коммутаторов веса d. Расстановка скобок, при помощи которой
осуществляется переход от семейства Ck к семейству Сл+1> охва-
охватывает один коммутатор cw и некоторое число коммутаторов ck.
Следовательно, каждая такая расстановка скобок осуществляется
только внутри одного периода и в точности повторяется во всех
остальных процессах. При всем этом число периодов в слове
остается неизменным. Следовательно, расстановка скобок во всех
циклических словах длины (и периода) п дает все базисные ком-
коммутаторы веса Пу а в случае d | n дает все базисные коммутаторы
веса d, повторенные n/d раз каждый, так как все они являются
членами семейства Ck при достаточно большом k. Приведенные
рассуждения доказывают утверждение леммы и даже несколько
больше.
Сколько существует циклических слов длины и периода п?
Циклическое слово длины п и периода d, где d \ п> дает точно d
обыкновенных1) слов длины п:
аг... adax с... ad ... аг .. . ad
а2 ... а^ ... ах ... айах
1) То есть нециклических. — Прим. ред.
11.2. Формула Витта. Теорема о базисе 193
Таким образом, rn = ^dMr(d), так как число циклических слов
d/n
длины и периода d равно Mr(d) и каждому из гп обыкновенных
слов соответствует вполне определенный период d. Из тождества
.A1.2.7)
Чп
можно найти Mr(d), пользуясь формулой обращения Мёбиуса1):
если
/00 = 2 *(<*). (П.2.8)
d\n
то
>=2>(т)
d\n
Отсюда
d\n
ИЛИ
Mr(tt)=-^^(J~V, A1.2.10)
т. е. получим формулу Витта.
Число обыкновенных слов W, таких, что <al(W) = ni9 где
пх-\- ... -\-пг=п, равно
п\
Это приводит к формуле
—. = У. dM[—j-, —т-> ..., -4-). (П.2.И)
v пх\ ... nr\ AU \ а а а ) v 7
Здесь d пробегает все делители числа no = (nv ..., дг). При-
Применяя формулу обращения Мёбиуса, мы получаем вторую фор-
формулу ^итта:
~ ' (П.2.12)
Рассмотрим свободное ассоциативное кольцо /? с целочислен-
целочисленными коэффициентами и с г образующими xv х2, .... хг
1) Харди и Райт [1], стр. 235 (см. также X а с с е Г., Лекции по теории
чисел, ИЛ, М., 1953, стр. ЪЪ. — Прим. перев.).
13 М. Холл
194
Гл. 11. Базисные коммутаторы
Элементы степени m образуют свободную абелеву группу Rmi
с базисом, состоящим из rm произведений вида Xi ... xt
В этом кольце R мы следующим образом определяем коммутатор J
[и, v]:
[a, v] = uv — vu. A1.2.13) i
Формальные свойства расстановки скобок для коммутаторов кольца^
те же, что и для коммутаторов групп. Мы покажем, что в дей-
действительности существует очень тесная связь между групповыми
и кольцевыми коммутаторами, которая впервые была установлена
Магнусом [1].
Теорема 11.2.3. Базисные произведения степени т образуют Ц
аддитивный базис группы Rm.
Следствие 11.2.1. Базисные коммутаторы степени т ли--]
нейно независимы.
Доказательство. Так как, согласно теореме 11.2.1, число -|
базисных произведений степени т равно rm, т. е. числу базисных
элементов группы /?т, то достаточно показать, что любой эле- ,*
мент из Rm может быть представлен как линейная комбинация
базисных произведений с целыми коэффициентами. Так как семей-
семейство Р^ = РХ образует базис, состоящий из гт произведений
jc/ ... xi , и так как для достаточно большого k семейство Pk
состоит из базисных произведений, то достаточно выразить эле-
элементы из Pk в виде линейных комбинаций с целыми коэффициент
тами элементов из Pk+V Для этого нам понадобится одно тожде-
тождество. Для упрощения записи введем обозначения:
[ . . . [и, v], v . . . ], v\ = [и, v v] = [su, Vs],
если число букв v равно 5.
Необходимое нам тождество выглядит так:
uvs = vsu-{~y,(s)vs-jlJut v*\. A1.2.14)
При 5=1 оно сводится к uv = vu+ [#, v). Предположив выпол-
выполнимость A1.2.14) для 5, при помощи тождества
[Ы, v>]v=[J+1u, vJ+l]-{-v[J'u, vj] A1.2.15)
легко показать справедливость равенства A1.2.14) для 5+1.
Для этого нужно умножить A1.2.14) справа на vt применить
соотношение A1.2.15) и собрать подобные члены.
Если элемент из Pk содержит подпоследовательность вида
.. . uck . . . ckw ... и, w Ф ck, где коммутатор а больше ком-
11.2. Формула Ватта. Теорема о базисе 195
мутатора ck, который встречается здесь 5 раз, то мы применяем
тождество A1,2.14), полагая и=*=и, v=ck. При этом получаются
произведения или принадлежащие семейству Pk+V или семейству Pk
с меньшим числом коммутаторов ck, или содержащие коммута-
коммутаторы ck ближе к началу слова. В результате многократного при-
применения тождества A1.2.14) произведение из Pk представится
в виде линейной комбинации с целыми коэффициентами элемен-
элементов из Pk+V Теорема доказана.
Присоединим теперь к кольцу R единицу 1 и будем рассма-
рассматривать целые рациональные числа как элементы степени нуль.
Их совокупность обозначим через Ro. Образуем в R фактор-
кольцо R по двустороннему идеалу, порожденному всеми членами,
степени которых не меньше /г+1. Тогда
R = Ro + Ri+ ••• +ДЯ- A1.2.16)
В R элементы вида 1+2, где 2^/^ + ... +/?„. образуют
группу G, так как в силу равенства zn+1 = 0 имеем
!)V. A1.2.17)
Если 1+2^= 1+ят + ят+1+ . . . +я„, где tij £ Rj для
У=з=/7i, . . ., л и итФ0, то мы говорим, что ит— старший
член1) элемента 1+2. Старший член .1 равен 0.
Лемма 11.2.2. Пусть и, v=fc\ —элементы группы G со стар-
шами членами us и vt степеней s и t соответственно. Стар-
шими членами элементов иГх и v~x являются элементы —us
и —vt. Если s<t, то старший член элемента uv есть us.
Если t<Cs, то старший член uv равен vt. Если t^=s и
я^ + 'У^О, то старший член произведения равен us-\~vt.
Если кольцевой коммутатор [us, vt] не равен нулю, то он
является старшим членом группового коммутатора {и, v).
Доказательство. Пусть u—l-\-a, v=l-{-b, u~l=l-{-a',
Тогда
а + а' + ааг = 0, ааг = а'а.
, а = «5+ ... +«я, b = vt-\- ... +vn,
uv = 1 + а + b + ab.
Из этих соотношений сразу получаются утверждения леммы
о старших членах элементов и, v~l и uv. Используя эти же
соотношения, получаем
(и, v) ^ u^v-1 uv ==(!-{-а') (I-{-&)({-{-а) (\+Ь) =
= 1 + ab — Ъа + аа'Ъ — ЪЪ'а + Ъ'аЪ + a'b'a + a'b'db.
1) В смысле принятого ранее порядка. — Прим. ред.
13*
196 Гл. 11. Базиснйе коммутаторы
откуда
(#, v)=l-\-[us, vt] + слагаемые более высокой степени. A1.2.18]
Лемма доказана.
Пусть cv с2> ... — последовательность базисных коммутаторов
свободной группы F, порожденной элементами ylt .. ., уг, и пуст^
dv dv ...—кольцевые коммутаторы в кольце /?, получающиеа
заменой уг ут на хг хг Кроме того, пусть ct — послед
ний коммутатор веса п. Тогда существует соответствие межд$
коммутаторами ct и dt в кольце /?, устанавливаемое следующей
леммой.
Лемма 11.2.3. При соответствии yt-> I -\-xit i= 1, 2 г
определяющем отображение группы F на группу О, пусти
'. Тогда старший член элемента gt равей
,( ) .
Доказательство. Так как У/->1+^, i=l г, т|
старший член элемента g.= l-\-xi естьх хь при /=1 г|
Доказательство проведем методом полной индукции. Есл1|
cw = (cu, cv)> w^t, то, по предположению индукции, старши
член элемента gu равен du, а элемента gv равен dv. Следова
тельно, по лемме 11.2.2 старший член коммутатора (gu, gL
равен [du, dv], если последний коммутатор не равен нулю. Будуч:
базисным коммутатором, он на самом деле не равен нулю, каз
это показывает следствие из теоремы 11.2.3. Итак, старший чле
коммутатора gw = (gu. gv) равен [du, dv]=dw, что и требовав
лось доказать.
Теорема 11.2.4. (Теорема о базисе.I) Если F — свободная
группа сю свободными образующими yv ..., уг и если в неко4
торой последовательности базисных коммутаторов cv c2, ...
..., ct — все базисные коммутаторы весов 1, 2, ..., п, та
произвольный элемент f группы F однозначно представим
в виде А
f*=c\ic\*-... cett(modFn+l). A1.
Базисные коммутаторы веса п образуют базис свободной
абелевой группы Fn/Fn+l.
Доказательство. Сначала докажем второе утверждение. Пусть?
cs ct — базисные коммутаторы веса п. Согласно лемме 11.2.3,
при отображении, определенном соответствиями
У,-» 1+*, = &. *=1 г, A1.2.20)j
группы F на кольцо /?, старшие члены коммутаторов cs, .. .,
будут соответствующими кольцевыми коммутаторами ds> .... dt$i
О См. М. Холл [6]. . \
11.2. Формула Витта. Теорема о базисе • 197
являющимися кольцевыми базисными коммутаторами степени п.
В силу следствия из теоремы 11.2.3 коммутаторы ds .. . dt
линейно независимы, а по лемме 11.2.2 старший член произве-
произведения ce$s ... cet* равен esds-\- ... -\-etdt. Он не равен нулю,
если только не все числа es et равны нулю. Следовательно,
коммутаторы cs, . .., ct являются независимыми элементами фак-
фактор-группы FJFn+l и, следовательно, образуют базис, так как
мы уже знаем из равенства A1.1.4), что любой элемент фактор-
факторгруппы FJFn+l можно представить как произведение cs ... ct.
Существование по меньшей мере одного представления для эле-
элемента / в виде A1.2.19) установлено соотношением A1.1.4).
Покажем единственность этого представления. Действительно,
если бы имело место равенство
<*| ... #=ac*i ... chtt(modFn+1), A1.2.21)
где hi = et, i=\ j—1, но Н^Фе-г и если бы вес Cj был
равен • kt то это привело бы к зависимости между базисными
коммутаторами веса k по модулю Fk+l. Но этого не может быть,
следовательно, представление A1.2.19) однозначно. Теорема дока-
доказана.
Глава 12
ТЕОРИЯ /J-ГРУПП. РЕГУЛЯРНЫЕ /^-ГРУППЫ
12.1. Элементарные результаты
В гл. 4 и 10 были установлены следующие элементарные свой-
свойства конечной р-группы Р:
1) центр Z группы Р отличен от единицы (теорема 4.3.1);
2) собственная подгруппа И группы Р не совпадает со своим
нормализатором (теорема 4.3.3);
3) если порядок группы Р равен pnt то любая максимальная
подгруппа М имеет порядок рп~1 и инвариантна в Р (теорема
4.3.2);
4) инвариантная подгруппа порядка р группы Р содержится
в центре группы Р (теорема 4.3.4);
5) группа Р сверхразрешима (теоремы 10.3.4 и 10.2.4);
6) группа Р нильпотентна (теорема 10.3.4).
12.2. Теорема Бернсайда о базисе. Автоморфизмы /7-групп
Пусть Р—группа порядка рп. Пересечение всех ее максималь-
максимальных подгрупп — характеристическая подгруппа D группы Р (под-
(подгруппа Фраттини группы Р). Следовательно, при естественном
гомоморфизме P->P/D образующие элементы группы Р отобра-
отображаются в образующие элементы фактор-группы P/D. Обратное
утверждение также выполняется. Оно составляет содержание тео-
теоремы Бернсайда о базисе.
Теорема 12.2.1. (Теорема Бернсайда о базисе.) Пусть D —
пересечение максимальных подгрупп р-группы Р. Тогда фак-
фактор-группа P/D = А — элементарная абелева группа. Если
порядок группы А равен //, то любое множество образующих
элементов zx ~zs группы Р содержит подмножество из г^
элементов хх хг, также порождающих группу Р. При
отображении Р->А элементы хх хТ отображаются
в базис ах аТ группы А. Обратно, любое множество г
элементов группы Я, отображаемое при Р->А на базис
групцы АУ является системой образующих группы Р.
Доказательство. Если М — максимальная подгруппа группы Р,
то индекс ее равен р и она инвариантна. Поэтому фактор-группа
12.2. Теорема Бернсайда о базисе. Автоморфизмы р-групп 199
Р/Ж — циклическая группа порядка р. Следовательно, р-е сте-
степени любого элемента из Р и все коммутаторы содержатся в под-
подгруппе М. Таким образом, пересечение D всех максимальных
подгрупп содержит любую р-ю степень и любой коммутатор.
Поэтому фактор-группа P/D=A является элементарной абелевой
группой. Если ее порядок равен рг, то любой ее базис состоит
из г элементов av ..., аг. Если bv ..., bs—элементы, поро-
порождающие- группу Л, то мы можем найти базис этой группы, уда-
удаляя из множества bx bs элементы, равные 1, а также эле-
элементы bv принадлежащие подгруппе, порождаемой элементами
Ьъ ...» bt_v Итак, s^> г, и множество b1 bs содержит под-
подмножество, являющееся базисом группы Л.
Предположим теперь, что элементы zv ..., zs порождают
группу Р. Пусть при отображении P->P/D= А образами эле-
элементов zt являются элементы Ьь (/=1, ..., s). Тогда множество
элементов Ьъ . . ., bs порождает группу А и поэтому содержит
подмножество av ..., аг являющееся базисом группы А. Пусть
тогда .х1з ..., хГ— те из элементов zr, ..., zs, которые отобра-
отображаются в элементы ах аг Теорема будет доказана, если мы
покажем, что*множество xv .. ., хг элементов группы Р порождает
ее. Пусть Н={хъ ..., хг). Если НфР, то подгруппа Н со-
содержится в некоторой максимальной подгруппе М группы Р. Но
тогда при отображении P->P/D = А мы имеем Н->MD/D^,
cyVI/D = B, где В — подгруппа порядка рг~1 группы Л. Но это
противоречит тому, что Н= {хг хг}->{а1 аг} = А.
Следовательно, Н=Р, т. е. элементы' xv ..., хт порождают
группу Р.
С помощью этой теоремы мы можем получить некоторые све-
сведения о группе автоморфизмов А(Р) группы Р. Базис аъ ..., ат
группы P/D можно выбрать Ь(рг) = (рг— 1)(//—р) . . . (рг—рг~~)
различными способами. Действительно, первый элемент ах может
быть любым из рг— 1 элементов группы Л, отличных от единицы.
После того как уже выбраны элементы av .. ., ait в качестве
следующего базисного элемента а1+1 можно выбрать любой из
рт—р1 элементов, не содержащихся в подгруппе, порржденной
элементами ах аь. Таким образом, существует 6(//) базисов
группы Л, и каждое отображение фиксированного базиса аъ ...
. . ., ат на любой другой базис Ьх Ьт дает автоморфизм группы
Л. Но так как любой автоморфизм отображает ах ат на
некоторый другой базис, то существует точно 8 (//) автоморфизмов
группы Л.
Существует т$чно рт Кп~т) Ь(рг) последовательностей X —
= {хх хг), порождающих группу Р. Действительно, при
отображении xi->ah /=1 г, последовательность X пере-
переходит в базис группы Л; последний может быть выбран 6(//)
200 Гл. 12. Теория р-групп. Регулярные р-группы
различными способами, а для каждого элемента а{ любой из рп~-
элементов смежного класса по D, отображаемого в а1з ыоже.%!
быть выбран в качестве xt. Любой автоморфизм группы Р £>то-^
бражает последовательности X друг в друга. Следовательно,]
группу А(Р) автоморфизмов группы Р можно рассматривать
группу подстановок на множестве последовательностей X. Н<|
А (Р) действует регулярно на множестве последовательностей X,]
так как автоморфизм, отображающий некоторое множество Хнг себя,*
определяет тождественное отображение на множестве элементов xi$k
а следовательно, и на всей группе Р, т. е. является тождествен-!
ным автоморфизмом. Таким образом, множество последовательно-1
стей X распадается на области транзитивности, в каждой из kotq-<
рых k множеств, где k—порядок группы А (Р). Итак, рг (п~г) 0 (//) =й
= kt. Здесь число t можно рассматривать, как число существенное
различных способов порождения группы Р г элементами. Будем^
говорить, что два. семейства Х=(хг хг) и Y = (y1 угI
порождают группу Р одинаковым образом, если из любого от-
отношения w(x1 хт)=\ следует отношение w(yx Уг)= М
и обратно.
Пусть А1(Р) — инвариантная подгруппа группы А(Р), индуци-~
рующая тождественный автоморфизм в фактор-группе P/D. Эт<
автоморфизмы переставляют регулярно рг (п~г) порождающих се-
семейств Х—(хг хг), которые отображаются в один и тот жву
базис аг, ...', аГ группы А при гомоморфизме P->P/D = Л. Та-^
ким образом, порядок подгруппы АХ(Р) делит рг(п~г). Сформу-^
лируем эти результаты Ф. Холла [2] в виде теоремы.
Теорема 12.2.2. Пусть Р— группа порядка рп, D — пересече-,
пае максимальных подгрупп группы Р, и пусть [Р: D]=pre]
Тогда порядок группы А(Р) автоморфизмов группы Р делит
рг(п~г) б(//). Порядок группы АХ(Р) автоморфизмов, индуци-
индуцирующих тождественный автоморфизм в группе P/D, делит
12.3. Собирательная формула
■Пусть О — группа, порожденная элементами аъ а2, .-.., аг.
Мы выведем формулу для выражения {а1 а2 . . . аТ)п через ба-
базисные коммутаторы элементов av a2 аГ. Можно считать,
что О — свободная группа, порожденная элементами ах ат\
тогда искомая формула тем более будет справедлива в любой
группе, порожденной г элементами.
Напомним определение базисных коммутаторов, данное в § 11.1,
причем установим для них более точное отношение порядка:
1) аъ ..., аг — коммутаторы веса один, просто упорядоченные
следующим образом: ах < а2 < ... < ат\
12.3. Собирательная формула 201
2) если базисные коммутаторы весов, меньших п, уже опре-
определены и просто упорядочены, то (л:, у)— базисный коммутатор
веса п тогда и только тогда, когда
а) л: и у— базисные коммутаторы, причем
<*>(*) + <■> (у) = я,
б) х>у,
в) если х = (а^ v), то y^>v\
3) коммутаторы веса п следуют за всеми коммутаторами весов,
меньших п\ для коммутаторов одинакового веса (xv у{)<С(х2, y2),
если Ух<у2 или если уг=:у2, но хг < х2.
Рассмотрим тождество
(аха2... аг)я = а1A)а2A) ... аг{\)ах{2) а2B) ... агB) ... аг(п),
A2.3.1)
где мы пронумеровали образующие at слева направо числами
в скобках от 1 до п, чтобы различать все различные вхождения
буквы аь. Так как по определению коммутатора SR = RS(S, /?),
мы можем правую часть равенства A2.3.1) заменить другим рав-
равным ему выражением, в котором вместо некоторой пары SR по-
последовательных (Елекентов стоит произведение RS(S, /?). Эта замена
сдвигает элемент R ближе к началу слова, причем появляется
коммутатор E, /?). Последовательным выполнением таких замен
мы можем^ сдвинуть любую букву как угодно близко к началу
слова. Мы будем преобразовывать A2.3.1) в следующем порядке.
Сдвигаем alB) влево до тех пор, пока эта буква не займет место
сразу после ах(\), затем сдвигаем alC) влево до тех пор, пока
эта буква не окажется непосредственно за агB), и т. д. до тех
пор, пока в начале слова не будут собраны все буквы a1(i)t
i = \, 2 п. Этим заканчивается первый этап собирательного
процесса. После этого мы таким же образом собираем буквы а2 (i),
i—l я, справа за буквами a1(i)t i=\ п.
Опишем собирательный процесс более точно. После /-го этапа
имеем выражение
(ага2 ... аг)п = сеУ2* ... ceARxR2 ... Rt, A2.3.2)
где съ с2 ct — первые i базисных коммутаторов, a Rv ...
..., Rt — базисные коммутаторы, следующие за ct. Если
Rjlt Rj2 Rjs~^~те из базисных коммутаторов /?1 Rt
(выписанные по порядку их следования), которые равны с1+1, то
мы сначала сдвигаем Rjx на место, непосредственно следующее за
элементом сеЛ, затем Rj2, Rjz и, наконец, Rjs, так что ei+l = s,
и тождество A2.3.2) принимает вид
(ага2 ... ar)n = c[^ ... ceJ+^R\ ... ЯГк. A2.3.3)
202 Гл. 12. Теория р-групп. Регулярные р-группы
Это был (/+1)-й этап собирательного процесса. В слове A2.3.2)
назовем с6^ ... сеЛ собранной частью, a Rx ... Rt — несобранной.
Но для оправдания приведенного выше описания мы должны пока-
показать, что при таком процессе в каждой формуле могут возникнуть
только базисные коммутаторы. Исходная формула A2.3.1) пред-
представляет собой нулевой этап и содержит только образующие а1ь
являющиеся базисными коммутаторами веса один. Предположим
по индукции, что на /-м этапе преобразований несобранная часть
/?! ... Rt содержит только базисные коммутаторы, следующие
за сь. В процессе собирания коммутаторов Rjx Rj , равных
ci+v мы вводим только коммутаторы вида (Cj, ci+l ci+\)>
где j"^i-\-2. Такие коммутаторы являются базисными, так как
если Cj = (cr, cs), то коммутатор Cj возник на s-ом этапе, когда
собирались коммутаторы cs, откуда s < i-\- 1, и поэтому cs < ci+l.
Таким образом, коммутатор (Cj, ci+1) базисный, и, следовательно,
(Cjt ci+1 ci+i) — также базисный коммутатор.
Мы уже пометили в формуле A2.3.1) вхождения образующих аь
метками j: at(j), j=\ п. Пусть коммутатор R веса wx
име^т уже метку (\г X^j), а коммутатор 5 веса w2 — метку
(Рч> ..., {^«ш2); сопоставим тогда коммутатору (/?, S) метку
(кг lWl, р.! \iW2). Вычисление показателей ех et, ei+l
в формуле A2.3.3) может быть осуществлено с помощью опре-
определенных нами меток. При этом ei+1 — s есть число несобранных
коммутаторов, равных ci+v на /-ом этапе, т. е. это число вхо-
вхождений коммутатора ci+l на /-ом этапе. Пусть ci+l = (cr, cs)\
тогда коммутатор ci+l возникал всякий раз, когда собирались
коммутаторы, равные cs, причем с{^ появлялся, когда вхождение
коммутатора сг предшествовало вхождению cs в несобранной части
слова. Следовательно, мы должны также учитывать условия пред-.
шествования вхождения коммутатора сГ вхождению cs, когда оба
они встречаются в несобранной части.
На нулевом этапе присутствуют только коммутаторы веса один,
и для любого индекса Х=1 п существует элемент ак(\).
При этом элемент ak(k) предшествует элементу as(p) на нулевом
этапе при k>s, если X < р,, а при к < 5, если Х^р,. Итак,
в терминах меток на нулевом этапе мы имеем следующие условия
существования и предшествования:
E°k[ak(l)], если метка X существует (условие пустое),
Р%1аг(^) предшествует as(p)]
X < [х, если г >
ДЛЯ Г <
12.3. Собирательная формула 203
Пусть \ Хт— множество целых чисел; рассмотрим условия
типа \ <С \* \^C^u- Всякие условия, получающиеся с помощью
логического сложения и умножения из условий подобных нера-
неравенств, будем называть условиями (L). Покажем, что условия Elk
существования коммутатора ck с меткой (Xj Хт) на /-ом этапе
являются условиями (L) для чисел \г Хт, а условия пред-
предшествования Plrs коммутатора сТ коммутатору cs в несобранной
части на /-ом этапе являются условиями (L) для чисел Хх Хт,
\ix pQ, если (Хр . . ., Xm)—метка коммутатора сг а (j^ pq)—
метка коммутатора cs. Как мы заметили, на нулевом этапе условия
существования и предшествования были условиями (L). Докажем
по индукции, что это верно на любом этапе. Пусть утверждение
верно для /-го этапа. Чтобы показать его истинность для (i-f-l)-ro
этапа, сравним тождества A2.3.2) и A2.3.3). Для Rj\ = Rji = •••
... — Rj = ci+l мы собирали сначала Rjlt затем Rj2 и, нако-
наконец, Rj . На каждом шаге мы производили замену SR на RS(S, R).
При этом любые коммутаторы, существовавшие на /-ом этапе и
отличные от ci+v сохраняются также на (/-}-1)-ом этапе в том же
порядке. Таким образом, для таких коммутаторов
pi + l pi .. pi + l r>i
Следовательно, нам нужно только рассмотреть условия существо-
существования коммутаторов ck, возникающих на (г —|— 1)-ом этапе, и пред-
предшествования Prt1, где или один из коммутаторов cr cs, или оба
возникли^ на рассматриваемом этапе. Коммутатор, возникший на
(/-(-1)-ом этапе, имеет вид ck — (Cj, RUl ^«m)> где ^u. = ci+l.
Он был получен перестановкой RUl с Cj, затем RU2 с возникшим
при этом коммутатором и т. д., пока, наконец, мы не поменяли
местами Ram с коммутатором (су., RUl ^Mm_i)- ПРИ этом все
коммутаторы RUl Ra равны ci+v Eck+l — логическое произ-
произведение условий существования коммутаторов с^ RUx, ..., Ru
на /-ом этапе и условий предшествования, согласно которым на
г-ом этапе коммутаторы cjy RUl Rum расположены именно в
рассматриваемом порядке. Таким образом, Ek+ —условие (L) для
метки коммутатора. ck. На (/-j-l)~0M этапе коммутатор (S, R) воз-
возникает в произведении SR = RS(S, R) непосредственно за эле-
элементом 5, но перед всеми коммутаторами, следующими за 5. Мы
должны найти условие предшествования Р£/\ где cr = Cjl или
cr = (Ch> #«i Ram) И Cs = Cj7 ИЛИ Cs = (ch, RVl, ..., RVJ,
Если Cj^Cj2, то Ptnl = P)ij2. Если же Cjl = Cj2, то условие Plr^1
зависит от коммутаторов Ra., Rv.. Пусть е — наибольшее целое
т
204 Гл. 12. Теория р-групп. Регулярные р-группы
число, такое, что RUl = RVl Ru = Rv • Тогда ст предше-
предшествует cs, если или A) ш = е и не существует коммутатора Ra
(в этом случае cs есть коммутатор от коммутатора сг)У или B)
коммутатор Rv предшествует Ra . Тогда Plrtl — логическая
сумма условий предшествования1), которые поэтому являются
также условиями (L) для меток коммутатора сГ и cs.
Лемма 12.3.1. Число последовательностей \х Хт
0<^<^), удовлетворяющих данным условиям (L), выра-
выражается в виде полинома от п: Ьгп-{~-Ь2пМ -\- . .. -\-Ьтп(т\
где nW — n(n—1) ... (п — / + 1)//1, a bt — числа, определяемые
данным условием (L), но не зависящие от п.
Доказательство. Разобьем индексы 1 т на непересе-
непересекающиеся множества Sv S2 St. Выберем t чисел vx < v2 < ...
... <vt^.n. Если в некоторой последовательности \v Х2 \т
имеет место Xj==vi для j£St, то тем самым определено упоря-
упорядочение чисел X. по величине. Для любого возможного выбора
чисел Xt существует вполне определенный порядок указанного
типа 2). Число возможных выборов vx < v2 < ... < vt ^ п равно п^\
так как оно просто равно числу сочетаний из п по t. При подоб-
подобном упорядочении чисел \ 3) или все последовательности \х \т
данного типа упорядочения удовлетворяют условиям (L), или ни
одна из них не удовлетворяет этим условиям. Следовательно, число
последовательностей \ Хт, удовлетворяющих данным усло-
условиям (L), есть полином Ьгп-\-Ь2п№-\- . . . -\-Ьтп<тК где bt — число
возможных упорядочений с t различными значениями, удовлетворяю-
удовлетворяющими условиям .(L), и, очевидно, числа bt зависят от этих условий,
но не от п.
Например, если числа \v X2, Х3 удовлетворяют условиям (L)
Хх < Х2, Х3^Х2, то возможны следующие упорядочения, удовле-
удовлетворяющие условиям (L):
1) Х1 = ^1, Х2 = Х3 = <у2, vt<v2,
2) Х1 = Х3 = х/1, X2 = i;2> vx<vv
3) X1 = ^1, X3 = i;2, l2 = vv vx<v2<vv
4) Хз = ^1§ X1 = i;2, X2 = i;3, vx < v2 < %
а число последовательностей Хг, Х2, Х3, удовлетворяющих усло-
условиям (L), равно 2/гB)-(--2дC)~
Мы уже показали, что показатель степени et коммутатора ct
в тождестве A2.3.2) равен числу коммутаторов, равных сь в не-
1) Для этапов, предшествующих (/ + 1)-му. — Прим. перев.
2) Для подходящего разбиения Sv 52, ..., St и чисел vx<v2< ...
... < vt < п. — Прим. ред.
3) При фиксированном разбиении Sb S2, ..., St н всевозможных вы-
выборах vx < v2 < ... <vt*Cn. — Прим. ред.
12.4. Регулярные р-группы 205
собранной части слова на (i—1)-0м этапе, и что это число можно
охарактеризовать как число последовательностей Хх Хт> удо-
удовлетворяющих определенным условиям (L), где т — вес коммута-
коммутатора с{. Таким образом, в лемме 12.3.1 говорится об этих пока-
показателях степени. Сформулируем полученные результаты в виде
теоремы.
Теорема 12.3.1. Произведение (ага2.. .аг)п представило в виде
аг)" = а\а\ ... an//+V ... ce.iRx ... Rr где cr+1
с
выписанные в принятом порядке базисные коммутаторы эле-
элементов ах аГ, a Rx ... Rt — базисные коммутаторы,
также выписанные здесь в некотором порядке, причем ct<CRv
При 1 <; j < I е} = Ьгп + b2nW + ... + Ътп№, где т — вес ком-
коммутатора Cj, a bv Ь2> ..., Ьт — неотрицательные целые числа,
зависящие только от Cj и не зависящие от п. Здесь п№ —
= п(п — 1) ... (я — ft-f l)/ftl
Отсюда легко вывести важное следствие для случая, когда
G —р-группа класса нильпотентности, меньшего р. Собрав все ком-
коммутаторы весов, меньших ру мы сведем несобранную часть к еди-
единице. Более того, при h — р* все показатели степени кратны /t,
так как п^\ i^Cp — 1, есть биномиальный коэффициент, в чи-
числителе которого встречается сомножитель /t, а сомножители зна-
знаменателя не превосходят р — 1.
Следствие 12.3.1. Если р-группа Р имеет класс нильпо-
нильпотентности, меньший, чем р, то при п = ра
(ага2 ... аг)п = а\ап2 ... anTS\Sl ... 5?,
где Sv S2 St — элементы, принадлежащие коммутанту
подгруппы, порожденной элементами ах, а2 аг
12.4. Регулярнее /ьгруппы
Будем называть р-группу Р регулярной, если для любых двух
элементов а и Ь и любого п — ра имеет место равенство
(ab)n = anbnSi ...Si A2.4.1)
где Sv .... St — подходящие элементы коммутанта группы, поро-
порожденной элементами а и Ь. Следующие утверждения легко полу-
получаются из этого определения и следствия из теоремы 12.3.1:
1) любая р-группа, класс нильпотентности которой меньше р,
регулярна;
2) любая р-группа, порядок которой не больше рр, регулярна;
3) группа Р регулярна, если любая подгруппа, порожденная
двумя ее элементами, регулярна;
4) любая подгруппа и фактор-группа регулярной группы ре-
регулярна.
206 Гл. 12. Теория р-групп. Регулярные р-группы
' Для любого р существует нерегулярная группа порядка рр+1±
а именно силовская подгруппа 5 симметрической группы 5Р2 сте-~
пени р2. Эта группа порождается двумя элементами порядка р м\
содержит элементы порядка р2. Как будет показано, такое явление|
невозможно в регулярной группе.
Теорема 12.4.1. В регулярной р-группе при п = р* имеет
место тождество anbn = (ab)nSi=(abS2)n, где Sx и S2 — эле-)
менты из коммутанта Н2(а, Ь) группы Н(а, Ь)У порожденной)
элементами а и Ь.
Повторным применением этой теоремы получаем
Следствие 12.4.1. В регулярной р-группе при п—р* спра
ведливы равенства а^а" .. . а? =* (ага2 ... arS2)n = (аг ... аТ)п S\
где 5j, S2£H2(alf ..., ur).
Доказательство. В абелевой группе теорема и следствие j
справедливы, причем 51 = 52=1. Для доказательства теоремы^
для произвольной подгруппы Н применим индукцию. Предполо-
Предположим, что для любой собственной подгруппы группы Н теорема
и ее следствие верны. Заметим, что если группа Н порождается J
элементами ах аг то ее коммутант Н2(аг аг) является 1
ее собственной подгруппой. Из тождества A2.4.1) сразу следует,;;
что
>Г* ... Sin. A2.4.2)
По предположению индукции 5ГЛ'... S\n = Sn> где ^2
Но если Я=Я(а, Ь) — неабелева группа, то {Я2, ab\—соб- |
ственная подгруппа группы //, откуда по индукции (ab)nSn= J
= (abS2)n. Действительно, из теоремы Бернсайда о базисе следует, j
что если фактор-группа Н/Н2 циклическая, то группа Н также \
циклическая. Таким образом, теорема справедлива для группы Н, t
если эта теорема и ее следствие верны для любой собственной j
подгруппы группы Н. Применяя теорему г — 1 раз к произве- ^
дению а^а^ ...#", получаем ^
а\ ... а*г = (аЛ ... а)п
а*а\
где Sx Sr_1£H2. Применяя к подгруппе Н2 следствие, по- ;
лучаем а^а^ ... аг} = (а1а2 ... aYSn, а применяя теорему, полу-
получаем (ага2 . . . arfSn = {аха2 ... 'aJSf. , [
Теорема 12.4.2. Конечная р-группа Р регулярна тогда и 1
только тогда, когда для любых элементов а, Ь£Р имеет
место равенство
Pt> PP (L2.4.3) \
где S — элемент коммутанта группы, порожденной элемен-
элементами а и Ь.
12.4. Регулярные р-группы 207
Доказательство. Условие A2.4.3), конечно, выполняется
в регулярной /?-группе; это частный случай теоремы 12.4.1. До-
Докажем обратное утверждение: из условия A2.4.3) вытекает условие
{at b). A2.4.4)
Для этого сначала покажем по ^индукции справедливость равенств
аРаР... aPr = (aia2 ... ^^ = (^а2 ... arS2)p, A2.4.5)
где Sv S2£H2(av ..., аг). Если Н—абелева группа, то эти
равенства, конечно, выполняются при 51 = 52=1. Если равен-
равенство A2.4.5) выполняется для любой собственной подгруппы
группы Я, то, применяя соотношение A2.4.3) г—1 раз, полу-
получаем а\а\ ... аРг — (аха2 ... яг)р^ ... up_v где их иг1£Н2.
По предположению индукции ирх ... ^_1 = 5^. Но элементы
Ъ—аха2 ... аТ и Sx порождают собственную подгруппу группы Я,
откуда (аха2 .. . ar)pSPi = (ax ... arS2)p, и тождество A2.4.5) уста-
установлено. ,
Лемма 12.4.1. Если справедливо соотношение A2.4.3), то
х~ру-ЪхРуР = SP, где S — элемент коммутанта группы {х, у}.
Доказательство:
откуда
Х~Ру-рхРуР= $2Р(УХУР
но, кроме того,
(у, х)~р(х, y)p = (x~ly~lxy)pSp = (x, y)pS%t
следовательно,
Отсюда следует,ЧггО любой коммутатор элементов а^, ар2, ..,
..., aPf является р-й степенью некоторого элемента коммутанта
группы {ах аг}.
Из A2.4.3) имеем
apV2 = {apbp)pSpx = [{ab)pSp2\PS\ = (abfS^SpzSpu A2.4.6)
где Sj — элемент коммутанта группы {ар, bp}t a 53 — элемент
коммутанта группы {(ab)p> S^}. В силу леммы оба эти элемента
208 Гл. 12. Теория р-групп. Регулярные р-группы
являются /?-ми степенями элементов коммутанта группы {а,
откуда |
a"b? = {abfS?SfsT. A2А.7Ц
т. е. соотношение A2.4.4) справедливо при п = р2. Аналогичные*
рассуждения с применением леммы дают возможность доказать^
справедливость соотношения A2.4.4) для n = pa+l, в предполо-1
женин, что оно верно для /г=/?а, т. е. закончить доказательство,^
соотношения A2.4.4) по индукции. *
Теорема 12.4.3. Если Р — регулярная р-группа ип=ра, то\
1) из (ап, Ь)=\ следует (a, Ь)п=\, и обратно;
2) если (ant b)=\t то (а, Ьп)=\;
3) коммутатор 5, содержащий элемент и, имеет порядок?
не превосходящий порядка элемента и по модулю Z, где Z —
центр группы Р\
4) порядок произведения аха2 ... аГ не больше порядка каж-
каждого из элементов av а2, ..., аГ 1).
Доказательство. В абелевой группе первые три свойства
тривиальны, а выполнимость четвертого легко проверяется. Для
доказательства по индукции предположим, что теорема верна для
всех собственных подгрупп неабелевой группы Р. Применяя тож-
тождество A2.4.4) к равенству
— П.— 1 П. / —1\Л/Г— 1 . \П / -1,-1 ,\П
aba b — (a ) (b ab) =(a b ab)
где s — элемент коммутанта группы К (a, bab)
чаем
(ant b) = (a. b)nsnlt
Если теперь (ап, b) = 1, то порядок а в фактор-группе по центру Z 1)
группы Н(а, Ь) не больше /г, откуда в силу свойства C) в собствен-
собственной подгруппе AT (a, b~~lab) группы Н(а, й) при и = а любой комму-
коммутатор из подгруппы К включает элемент а, и его порядок не
больше п. Элемент sx в равенстве A2.4.9) равен произведению ком-
коммутаторов из подгруппы /С, и в силу свойства D) для подгруппы К
порядок элемента sx не больше п. Таким образом, если (ant b)=\,
то в A2.4.9) ^= 1, откуда (а, Ь)п= 1. Обратно, если (а, Ь)п= 1,
то в подгруппе К = К(а, a~~lb~lab) = K (а, и), где и = (а, Ь),
порядок элемента и в P/Zl) (Z — центр подгруппы К) не пре-
превосходит й, ив каждом коммутаторе встречается элемент и. Тогда
в силу свойства C) подгруппы К все коммутаторы этой подгруппы
имеют порядок, не превосходящий /г, откуда, используя свойство D)
и
S ,
A2.
4.8)
b), полу-
A2.
4.9)
1) Здесь и дальше под порядком элемента а£Р в фактор-группе PfZ
следует, конечно, понимать порядок класса смежности Р по Z, содержа-
содержащего а. — Прим. ред.
12.5. Некоторые специальные р-группы. Группы Гамильтона 209
коммутанта К2 группы /С, получаем, что порядок элемента sx не
больше п.
Таким образом, из условия (а, Ь)п=\ следует, что s«=l,
откуда (ап, Ь)=\. Этим установлено свойство A) группы Р, из
которого' сразу следует свойство B). Свойство C) получается по-
повторным применением свойства A). Если порядок элемента и
в PjZ, где Z — центр группы Р, равен я, то тем более (ип, v)=\,
откуда (#, v)n—\. Полагая х = (и, v)t получаем лгл=1, откуда
(*. У)Л=1.
Осталось доказать свойство D) для группы Р. Если ап—\,
Ьп = \у то в силу свойства C) порядок любого коммутатора,
в котором встречается элемент а или Ъ, не превосходит п. Следо-
Следовательно, элемент Sx из равенства A2.4.4) равен произведению
коммутаторов, порядки которых не превосходят п\ применяя
свойство D) для собственной подгруппы Р', получаем, что порядок
элемента Sx не больше, чем п. Следовательно, 5/i = l, и поэтому
(а£)л=1. Таким образом, порядок произведения двух сомножи-
сомножителей не превосходит порядка каждого из сомножителей, откуда
повторным применением этого свойства легко получить аналогичное
утверждение для г сомножителей.
Теорема 12.4.4. Если ап — Ьп при п = ра, то (аЬ~1)п=\, и
обратно.
Доказательство. Согласно свойству C) из теоремы 12.4.3,
порядки всех коммутаторов группы Н(а, Ь) не превосходят п.
Следовательно, из равенств 1 = anb~~n =-{ab~l)nsn\ имеем 5^=1,
откуда (ab~l)n=l. Обратно, пусть anb"n = (ab~l)nsnlt (ab'1)n=\
и Я(а, b) = H(a, ab~l). Тогда из свойства C) для элемента
u=ab~l получаем sn\=l, откуда ап = Ьп.
Теорема 12.4.5. В регулярной р-группе Р элементы вида ара,
где а£Р, образуют характеристическую подгруппу Са(Р),
а элементы, порядки которых не превышают ра,—характе-
ра,—характеристическую подгруппу Са(Р).
Доказательство. При п=*р* соотношение anbn = (abS2)n
теоремы 12.4.1. показывает, что множество Са(Р) является под-
подгруппой, которая, конечно, характеристична и даже вполне харак-
характеристична. Свойство D) теоремы 12.4.3 говорит о том, что
элементы, порядки которых не больше ра, образуют подгруппу,
являющуюся вполне характеристической.
12.6. Некоторые специальные /ьгруппы. Группы Гамильтона
Теорема 12.5.1. Группы порядка рп, обладающие цикличе-
циклической подгруппой индекса р, могут быть только следующих
типов:
14 М. Холл
210 Гл. 12. Теория р-групп. Регулярные р-группы
Абеле вы,
\, циклические:
/г>2:
2) арП=1. bp=U Ъа = аЪ.
Неабелевы,
р нечетно, п^>3:
3) арп~1=\, Ьр=\, Ьа = а
р = 2, /г>3:
4) обобщенная группа кватернионов:
а*п-1=\, Ь2 = а2П-\ ba = a~lb;
р = 2. /г>3:
5) группа диэдра;
а*п-1=\, Ь2=\, ba = a'lb.
р = 2, /г>4:
6) а*п-1=\, *2=1, Ьа = а1+2П-\
р = 2. /г>4:
7) а2"^, ft2=lf'fta = a-i>+2«-2fte
Доказательство. Абелева группа порядка рп, обладающая эле-
элементом порядка р", содержит базисный элемент порядка рп~1 или рл.
Следовательно, теорема доказана для упомянутых абелевых групп.
Рассмотрим теперь неабелевы группы порядка рп с элементом
порядка р"-1. Пусть сначала число р нечетно. Если а77 =1,
то подгруппа [а], имеющая индекс р, инвариантна, откуда при
Ь(£{а) имеем bab = ar, где г ф 1 (modp"), так как рассматри-
рассматриваемая группа неабелева. Индукцией по / легко установить, что
blab~l = ar\ так как (bab~ ) =bab~~ = ar при любом у, и;
в частности, для У = г имеем b2ab~2 = b{bab~l)b~l = baTb~l = ar2.
Общий случай blab~l = ar легко получить при помощи индукции.
Так как ЬР£ {а}, имеем bPab~p = a, откуда гр == 1 (mod pn-}).
Так как р — нечетное число, отсюда следует, что г = 1 -f-
^-kpn~2(mod р"), где ^^O(modp), так как г ^ 1 (mod pn~l).
Положим Ь1 = Ь\ где / определяется из сравнения ik ^ 1 (mod p).
Тогда r/ = (l+^p")' = l+^"'2=l+/?'2(mod^)- С^-
довательно, biabTl = blab~l = аг* = а1+рП . Обозначим 1 -f-pn~2
через /г. Тогда (aJbif = а*Ь\а*Ь\1ь\ = aj {1+h) bf, откуда индукцией
выводим, что (aibiy = aJ'Tbl где 7=1+^+ ... +Л/". При
12.5. Некоторые специальные р-группы. Группы Гамильтона 211
t = p имеем 1+А+ ••• + hp~l = Р + рп~2 [1 + 2 + •••
... +СР—1I —P-h/1"^—O^s/^modp'2-1), так как /? не-
нечетно. Таким образом, (a*bi)p = aJpbp. Это соотношение можно
было бы вывести также из собирательной формулы. Теперь
^ = аи £ {а}, где я = pv, так как порядок элемента Ьх не равен /?"
и так как группа не циклична. Если мы положим b2 = a~vbx, то
bP = (a-vbl)p=a-vpbpl = a-pvapv=l и b2ab^ - a'vbxabxlav =
= аГ^а17 я^ = а1+р . Таким образом, элементы а и &2 удовле-
удовлетворяют отношениям теоремы в случае 3 для неабелевой группы
с нечетным р.
Пусть теперь р=2. Найдем неабелевы группы порядка 2",
содержащие элемент порядка 2я. Пусть а2 = 1, £(£{#}•
Тогда bab~x = a\ где r2= I (mod2")) r ф 1 (пм^"). Это
дает три значения г (mod 2я): г=*— 1, г=1 +2"~2> >*=— 1+2".
Пусть ^2=acaw^{a}. Тогда, так как b(b2)b~l = b2, мы имеем
aWT=aw, следовательно, число w подчинено условию wr =в
=ее* w (mod 2"). Для г = —1 находим—w==i2>(mod2/l~1), откуда
aws=l иличаи)=а2П~2. Таким образом, случаю г — —1 соот-
соответствует обобщенная группа кватернионов или группа диэдра
(типы 4 и б) соответственно. При п — 3, как мы выяснили в § 4.4,
это единственные группы.
Пусть теперь п ^-4 и ba = arb, где г = 1 +2rt~2. Для эле-
элемента b2=^aw условие w = ^(mod 2я) означает, что 2/l~2^==
= 0(mod2/|-1), т. е. что w-^u2wx — четное число. Определим
число j из сравнения j(I -\-2n~*)-\-wl ^0 (mod2/I~2). Тогда для
ftlC=a^ имеем ft?= aJ(baJ)b = а^а+г11-1) ^2^ а2 [у A+2«-3)+^] =
==а2'1 = 1. Следовательно, bxa = al+2n~2bv т. е. элементы аи
Ьх удовлетворяют соотношениям типа 6. Наконец, если п ^-4,
ba = arb, где г = —1-)-2я~2, то для элемента b2=aw условие
^==r^(mod2"-1) означает, что (—2+ 2")^ = 0(mod2/z-1)»
откуда ^===0(mod2rt"-2). Таким образом, &2=1 или Ь2=а2П~2.
Если Ь2=а2П~2, то, полагая bx = ab, получим b\ = a(ba)b =
= а(а~1+2П~2)Ь2 = а2П~2а2П~2 = 1. Таким образом, элементы а и b
или а и Ьх удовлетворяют требованиям типа 7.
То, что соотношения теоремы 12.5.1 определяют группы,
легко проверяется при помощи теоремы 6.5.1 во всех случаях,
кроме случая обобщенной группы кватернионов. В случае же
обобщенной группы кватернионов это проверяется или непосред-
непосредственно, или же с помощью теоремы 15.3.1.
Теорема 12.5.2. р-группа, содержащая только одну под-
подгруппу порядка р, является циклической или обобщенной
группой кватернионов.
14*
212 Гл. 12. Теория р-групп. Регулярные р-группы
Доказательство. Пусть Р — группа порядка /Л содержащая
только одну подгруппу порядка р. Докажем индукцией по /г,
что Р или циклическая группа, или обобщенная группа кватер-
кватернионов. При д=1 это очевидно. Пусть сначала число р нечетно.
Тогда по предположению индукции подгруппа Рг индекса р ци-
циклическая, откуда в силу теоремы 12.5.1 следует, что Р — группа
одного из типов 1, 2 или 3 для нечетного /?, но группы типов 2
и 3 содержат больше одной подгруппы порядка р. Следовательно,
Р — циклическая группа. Если при /? —2 группа Р содержит
циклическую подгруппу Рх индекса 2, то, согласно теореме 12.5.1,
группа Р принадлежит одному из типов 1—7 при р=2, при-
причем группы каждого из этих типов, кроме циклической группы
и обобщенной группы кватернионов, содержат больше одной под-
подгруппы порядка 2. Таким образом, Р — или циклическая группа,
или обобщенная группа кватернионов.
Осталось рассмотреть случай, когда по предположению индук-
индукции каждая подгруппа Рг индекса 2 является обобщенной груп-
группой кватернионов. Покажем, что такого положения быть не мо-
может. Здесь д^>4. Пусть сперва п = А и Q — обобщенная группа
кватернионов индекса 2, а с — элемент, не принадлежащий Q.
Подгруппа Q определяется отношениями #4 = #4=1, а2 = Ь2ь
ba — a~lb, a P = Q-\-Qc. Элемент с, порядок которого равен
степени числа 2, должен трансформировать в себя по меньшей
мере одну из трех подгрупп порядка 4 группы Q: {a}t {b} и \ab).
Не ограничивая общности, можно считать, что этой подгруппой
является {а}. Тогда с~хас = а или с~1ас==а~1. Если cac = at
то {а, с}—абелева подгруппа индекса 2, что противоречит усло-
условию. Если же c~lac = a~lt то (cb) a(cb)= а, и {a, cb}—абе-
cb}—абелева подгруппа индекса 2, что опять противоречит условию. Та-
Таким образом, случай п=А отпадает.
Пусть, наконец, п ^5 и<Рх— подгруппа индекса 2, являю-
являющаяся обобщенной группой кватернионов. Тогда Рг определяется
отношениями of = 1, Ь2 = я2", ba = a~lb, а Р^Р^/у.
Пусть {а}—единственная подгруппа группы Рг порядка 2Л,
причем все элементы группы Plt не принадлежащие подгруппе [а],
имеют порядок 4. Таким образом, с~1ас = аг и c2=alb или
с2 = а\ Если с2=а*Ь, то с'2ас2 = а'1 и г2 = — 1 (mod 2W),
что невозможно. Если с2 —а1; то {а, с}—подгруппа индекса 2,
являющаяся по предположению обобщенной группой кватернионов.
Тогда с~1ас = а~1 и (cb)~l a(cb) = a, т. е. {cb, а}—абелева
подгруппа индекса 2, что противоречит условию. Этим завер-
завершается доказательство теоремы 12.5.2.
Теовема 12.5.3. Группа порядка /Л содержащая только
одну подгруппу порядка рт, где 1 < т < п, — циклическая.
12.5. Некоторые специальные р-группы. Группы Гамильтона 213
Доказательство. Если т=п—1, то группа Р порядка рп
с единственной подгруппой порядка рп~х порождается любым эле-
элементом х, не принадлежащим этой подгруппе, так как Подгруппа {х}
не содержится в этой единственной максимальной подгруппе, откуда
{#}=/>, т. е. Р — циклическая группа. Этим теорема доказана
для наименьшего показателя степени я=3, удовлетворяющего
условиям теоремы, и для произвольного п, если т — п — 1.
Продолжим доказательство индукцией по п. При т = п — 1 тео-
теорема уже доказана. Поэтому считаем, что т < п—1.
Пусть Рг — единственная подгруппа порядка рт, и пусть Рг
содержится в максимальной подгруппе А порядка рп~х. Так как
1 < т < п—1, то по индукции группа Л — циклическая, и по-
поэтому Pv как ее подгруппа, —также циклическая группа. Любая
подгруппа порядка р или р2 содержится в подгруппе порядка рт,
так как т^2, а потому содержится и в Рг. Но подгруппа Plt
являясь циклической, содержит единственную подгруппу порядка р
и единственную подгруппу порядка р2. Таким образом, группа Р
содержит единственную подгруппу порядка р и единственную
подгруппу порядка р2. По теореме 12.5.2, Р—циклическая группа
или обобщенная группа кватернионов. Но последняя содержит
больше одной подгруппы порядка 4. Следовательно, Я—цикли-
Я—циклическая группа.
То, что любая подгруппа абелевой группы инвариантна, оче-
очевидно. Однако группа кватернионов представляет собой пример
неабелевой группы, в которой любая подгруппа инвариантна.
Будем называть группу Н группой Гамильтона, если она неабе-
лева и содержит только инвариантные подгруппы.
Теорема 12.5.4. Группа Гамильтона представйма как пря-
прямое произведение группы кватернионов, абелевой группы, каж-
каждый элемент которой конечного нечетного порядка, и абеле-
абелевой группы показателя два.
Доказйтельство. Пусть а и Ъ — два элемента из группы Га-
Гамильтона Н. Тогда с = {a, b) = (a~lb~la) b = bs = a (p~lab) = aT,
так как подгруппы {а} и {&} инвариантны. Заметим, что отсюда
следует перестановочность коммутатора с с элементами а и Ъ.
В силу тождеств A0.2.1)
(а2, Ь) = (а. Ь){а. b, a) (a, b)=(a, b)(c, a) (a, ft) = (a, bJ,
а по индукции отсюда легко получить, что
{а1, Ь) = (а, Ь)* = с*.
Если элементы а и b не перестановочны, то с = аг Ф \ н, по-
полагая i = r или / = — г (в зависимости от того, какое из этих
чисел положительно), получаем, что коммутатор (а1, Ь) равен
214 Гл. 12. Теория р-групп. Регулярные р-группы
или (с, ft), или (С1, ft). В обоих случаях он равен 1, так как
элементы с и Ь перестановочны: (а\ Ь) — 1 =(а, ЬI = с1. Сле-
Следовательно, €1=1, откуда ап=1, bst=^l. Поэтому два непере-
неперестановочных элемента группы Н имеют конечные порядки. Если
элемент х из Н перестановочен с а и ft, то элемент ха не пе-;
рестановочен с ft; поэтому ха, а значит, и х имеют конечный
порядок. Таким образом, порядок любого элемента груниы Н
конечен.
Пусть а и ft — неперестановочные элементы из //, причем
aN—l, bM=U где N и М — минимальные из чисел, для кото-
которых эти условия выполняются. Если р — произвольный простой
делитель числа N, то в силу минимальности N элемент ар пере-
перестановочен с by т. е. {ар, b) = (a, b)p=l. Аналогичное утвер-
утверждение справедливо для любого простого числа, которое делит М.
Так как с — (а, Ь) Ф 1, существует только» одно простое число,
которое делит М и Л/, откуда М^=рт, N=pn. Таким образом,
ар =1, Ър =1, с=*(а, ft), ср= 1,-где в силу симметрии можно
считать, что п ^> т. Далее, так как с £ {а) и с £ {ft}, то с — а*рП~1 =
= bkpm~\ где у, *^0(modp).
'В группе {a, ft} группа {с} является коммутантом и, кроме
того, содержится в центре. Следовательно, здесь все коммутаторы*
веса которых больше двух, равны единице. Выведем по индукции
формулу
При i=l она верна. Далее,
(ab)i+1 = (аЬУ ab = aV (ft, аI ^~^2 ab =
= а1аЬ1ф\ a) ft (ft, a)*<**-№ =
= ai+lbt+l(b, а)'<*-1)/2.
Доказанная формула справедлива для любой группы {a, ft}, при
условии, что коммутатор (a, ft) содержится в ее центре. Эта фор-
формула также вытекает из собирательной формулы.
Если b1 = atlbfii где а = — jpn~m, то {а, Ьг] = {a, ft}, откуда
следует, что элемент Ьг не^перестановочен с а. Поэтому в силу
выбора элемента ft порядок Ьх не меньше порядка элемента ft.
Только что установленная формула дает
ЬР = (aabk)p = aupbkp (ft\ a"
12.5. Некоторые специальные р-группы. Группы Гамильтона 215
откуда ftf-^a-'^-V^V*'"-'^^^ Здесь
f)pm ф. 1, но так как ср=1, последняя формула может выпол-
выполняться только при р = 2у п = 2. Таким образом, элементы аиЬ
связаны соотношениями a2 = b2 = a~1b~1ab = с, с2=1, т. е.
{а, Ь\ — группа кватернионов. Итак, любая неабелева подгруппа
группы Н содержит группу кватернионов.
Покажем теперь, что группа Н является объединением группы
кватернионов Q, заданной отношениями а4 = #4=1, а2 = Ь2,
Ьа = а~1Ьу и ее централизатора Z. Если элемент jc из Я не пе-
перестановочен с элементом а, то х~1ах = а и элемент xb пере-
перестановочен с а. Аналогично, если элемент х (или xb) не пере-
перестановочен с by то элемент ха (или xba) перестановочен с Ь.
Следовательно, один из элементов х, xb, xa, xba содержится
в подгруппе Z. Поэтому H=Q\]Z = QZ. Покажем, что под-
подгруппа Z не содержит элементов порядка 4. Действительно, если
#4=1, x£Z, то (а, Ьх)Ф1. Но так как (bx)*—U имеем
a'1 (bx) a == (bx)~l, откуда a~xbax = b~1x~l. Следовательно,
х2=1. Так как подгруппа Z не содержит элементов порядка 4,
она не содержат группу кватернионов, откуда следует, что Z —
абелева группа, причем Z()Q—{a2}. Согласно лемме Цорна,
существует максимальная подгруппа Zx группы Z, не содержа-
содержащая а2. Теперь легко убедиться в том, что Z = Z1-|-Z1a2, H =
= Q X Z1# Подгруппа Zx представйма как прямое произведение
абелевой группы ^£/, состоящей из элементов нечетных порядков,
и абелевой группы V показателя 2, так как Zl не содержит эле-
элементов порядка 4. Таким образом, H=Qy^UY^V.
Обратно, группа Q X U X V является группой Гамильтона,
причем подгруппа Q неабелева. Достаточно показать, что любая
циклическая подгруппа [quv] инвариантна. Подгруппы U и V
лежат в центре Q X U X V. Поэтому нам нужно только показать,
что элементы а и b .трансформируют подгруппу {quv) в себя.
Действительно, a~l (quv)a~qluv, где /=1 или 3. Порядок п
элемента и нечетен, а порядок элемента v равен 2. Следовательно,
сравнения г = / (mod 4) иг=1 (mod n) разрешимы и a (quv) a =
= (quv)r. Теорема доказана.
Глава 13
ПРОДОЛЖЕНИЕ ТЕОРИИ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП
13.1. Аддитивные группы. Группы по модулю 1
Групповую операцию произвольной группы можно считать 1
сложением. Общепринято записывать абелевы группы аддитивно,
что особенно удобно в случае групп с операторами. Кроме т.ого,
ряд групп возникает естественным образом как группы сложения
общеизвестных систем объектов. Две из них мы здесь рассмот-
рассмотрим. Это аддитивная группа рациональных чисел, которую мы
обозначим через г+, и аддитивная группа действительных чисел,
которую мы обозначим через R+.
В случае аддитивной записи групповой операции мы соответ-
соответственно изменим терминологию, т. е. будем говорить о суммах
элементов, декартовых и прямых суммах и т. д.
Циклическая группа в аддитивной записи состоит из всех це-
целых кратных па образующего элемента а. Группы г+ и R+ обе
без кручения, так как из равенства па = О следует, что а = 0.
В бесконечной циклической группе, порожденной элементом а,
нет элемента хУ для которого 2х — а. Так как для любого эле-
элемента а из г+ элемент х, удовлетворяющий уравнению 2х = а,
существует, то группа г+ не циклична. Однако по своим свой-
свойствам она близка к циклической группе. Любое конечное множе-
множество элементов группы г+ порождает циклическую группу. Именно
это свойство мы будем иметь в виду, говоря, что группа г+ ло-
локально циклическая или что это группа ранга один. Вообще
будем говорить, что абелева группа имеет ранг k, если любая
подгруппа, порожденная конечным числом элементов, обладает
также системой образующих не более, чем из k элементов, при-
причем некоторая подгруппа, порожденная конечным множеством
элементов, обладает минимальной системой образующих точно из
k элементов.
Теорема 13.1.1. Аддитивная группа рациональных чисел г+
локально циклична.
Доказательство. Рассмотрим подгруппу группы г+, порож-
порожденную конечным множеством элементов ах\Ъ1% ..., at\bt. Ее эле- ,
ментами являются числа вида m1al/bl + ... -\-mtat\bv где mv ... '
..., mt—любые целые числа. Такое число можно представить
в виде (т^афч. . .bt-\- ... -+- mtatbx.. .#f_i)/#i#2-• •**• Легко про-
13.2. Характеры абелевых групп. Двойственность абелевых групп 217
верить, что числители образуют аддитивную подгруппу аддитивной
группы целых чисел, которая циклична. Следовательно, рассматри-
рассматриваемые числители образуют циклическую подгруппу, состоящую из
всех целых кратных некоторого целого числа w. Таким образом,
наша подгруппа состоит из всех чисел вида nw/bfa.. .bt, т. е.
является циклической группой.
В группе R+ целые числа образуют подгруппу, которая, как
и все подгруппы абелевой группы, инвариантна. В соответствующей
фактор-группе все числа, отличающиеся друг от друга на целое число,
отождествлены. Поэтому мы называем эту фактор-группу группой
R+ (mod 1). Аналогично группе г+ соответствует фактор-группа
r+(modl), являющаяся, конечно, подгруппой группы /?+(modl).
Группа r+(modl) периодична, так как для рационального
числа ajb {а и b—целые) имеем &(#/#) = 0 (mod 1). По теореме
3.2.3 группа r+(modl) представима как прямая сумма своих си-
ловских подгрупп S(p)i которые мы будем обозначать Z^p™).
Подгруппа Ztp™) порождается бесконечным множеством 1//?,
I//?2, ..., 1/р\ ...(modi). Элемент из Z(pco) имеет вид т/рп,
где (т, р)=\. Он порождает циклическую группу {1/рп}- Сле-
Следовательно, Произвольная подгруппа группы Z(/?°°) или конечна,
или содержит бесконечно много элементов множества l/p, 1//?2, .. .
. .., 1///, ... (mod 1) и потому совпадает со всей группой Zip00).
Таким образом, Z(p°°) — бесконечная группу все собственные
подгруппы которой — конечные циклические группы.
13.2. Характеры абелевых групп.
Двойственность абелевых групп
Пусть Л—произвольная абелева группа. Характером ^группы Л
называется гомоморфизм этой группы в группу /?+(modl). При
этом
• X(fll)+X(fl2) = X(fll+«2) ДЛЯ ВСеХ al> a2<ZA- A3.2.1)
Здесь сложение al-\-a2 — это сложение в группе Л, а сложение
значений характеров x(ai)+X(a2)—это сложение в группе /?+(mod 1).
Определим также сложение характеров. Если ^i и Х2 — Два ха-
характера группы Л, то, по определению,
ХзО) = Х1<» + Х2(я) Для всех а£А. A3.2.2)
Тогда отображение £3 также является характером группы Л, так
как
= Xi (*i) + Xi (я2) + X2 (*i) + X2 (я2) =
= Xl (*l) +X2 («l) + Xl («2> + X2 («2> =
)- A3.2.3)
218 Гл. 13. Продолжение теории абелевых групп
Характер Хг называется суммой характеров Х\ и Х2:
Легко проверить, что при таком определении сложения характе-
характеров они образуют аддитивную группу Л*, нулевым элементом ,
которой является характер, отображающий все элементы группы Л*
в нуль.
Теорема 13.2.1. Группа характеров А* конечной абелевой
группы А изоморфна группе А.
Доказательство. Для любого гомоморфизма справедливо ра-
равенство х@) = 0. Следовательно, для элемента а конечного по-
порядка т мы имеем т% (а) = х (та) = X @)= 0- Поэтому число
X (#) может принимать только одно из значений 0, 1/т (т — \)/т.
Очевидно, что для конечной абелевой группы характер полностью ч
определяется его действием на базисные элементы. Пусть
at\i=\ г) — базис группы Л, причем порядок элемента at
равен п1ь а порядок группы Л равен п~пхп2.. ,пг. Так как х(ад
может принимать не более ni значений, существует не более
п = пгп2.. .пг различных характеров группы Л. Однако легко
заметить, что их ровно п. Действительно, если положить j^/(a/) =
= l/nt и Xi(aj) = Q> если i Ф у, то можно показать, что для
любого 1=1, ..., г этим определяется характер и что соответ-
соответствие at<^Xi является изоморфизмом между группами, Л и Л*.
Заметим, однако, что изоморфизм между Л и Л* не определен
однозначно, а зависит от выбора базиса группы Л.
Следующая теорема справедлива для абелевой группы произ- |
вольного порядка, конечного или бесконечного. i
Теорема 13.2,2. Пусть Н—подгруппа абелевой группы Л. f
Тогда группа тех характеров группы Л, для которых x(h) = Q |
при любом h£H, изоморфна группе характеров фактор-груп- |
пы А/Н. . 3
Доказательство. Если характер отображает в нуль любой |
элементчиз Я, то он переводит все элементы из смежного класса \
Н-{~х в одно и то же число. Сопоставляя этрму смежному J
классу это общее для всех его элементов значение из R+ (mod 1), Ц
мы получим, как легко видеть, характер фактор-группы А/Н. ?
Обратно, произведение двух гомоморфизмов Л—> А/Н и А/Н-> ;
—> R+(modl) дает характер группы Л, при котором произволь-
произвольный элемент из подгруппы Н отображается сперва в нуль фак- ;
тор-группы Л/Я, а затем в нуль группы R+ (mod 1).
Следствие 13.2.1. Если а — отличный от нуля элемент ^
конечной абелевой группы Л, то существует такой харак-
характер х группы Л, что х (#) Ф 0.
Действительно, если бы это было не так, то любой характер
группы А был бы характером фактор-группы А/{а) и, согла- .
13.2. Характеры абелевых групп. Двойственность абелевых групп 219
сно теореме 13.2.1, группа Л* была бы изоморфна и группе. Л,
й группе А/{а}, что невозможно, так как порядок фактор-груп-
фактор-группы А/{а} меньше порядка группы А. '
Двойственностью между группами А и В называется взаимно
однозначное соответствие Н^К между подгруппами Я группы А
и подгруппами К группы В, которое меняет знак включения на
обратный, т. е. если Hx^Ki и Н2~^К2, то из включения Hxz^H2
следует включение К1аК2, и наоборот. Существует естественная
двойственность между конечной абелевой группой Л и ее груп-
группой характеров Л*, как показывает следующая теорема.
Теорема 13.2.3. Между конечной абелевой группой А и
группой ее характеров Л* существует следующая двойствен-
двойственность H^tK: данной подгруппе Я группы А соответствует
подгруппа К группы Л*, состоящая из всех характеров, для
которых xW = 0 для любого элемента /г£Я; данной под-
группе К группы Л* соответствует подгруппа Я, состоящая
аз всех элементов группы Л, для которых % (h) = О для лю-
любого характера х£/С. Группа А двойственна себе.
Доказательство. Каждой подгруппе Я группы А поставим
в соответствие цодгруппу Я* группы Л*, состоящую из всех таких
характеров /, что }£(Л) = 0 для любого элемента /г£Я. Если
И1ФН2 — две различные подгруппы группы Л, то одна из них
(скажем, Нх) содержит элемент Ь, не содержащийся в другой.
Тогда, в „силу теоремы 13.2.2, Я* — группа характеров фактор-
факторгруппы А/Н2, и, согласно следствик) 13.2.1, существует такой
характер х£Я*, что х(^)=£0. Следовательно, Н*ХФ Н*2. Так как
группы А и А* конечны и изоморфны, отсюда следует, что ото-
отображение Н->Н* является взаимно однозначным соответствием
между подгруппами групп Л и Л* и, в частности, что любая под-
подгруппа К группы Л* совпадает с подгруппой Я*, соответствующей
некоторой вполне определенной подгруппе Я группы Л. Если
Hl^tKl = H* и Н21±К2=Н*Т то из включения HxzdH2 следует
К1аК2, так как из равенства ^(/г) = 0 для любого элемента h£Hl
следует, что ^(/г) = 0 для любого элемента h£ H2aHl. Анало-
Аналогично из того, что KxclK2, следует включение Нх1эН2. Таким
образом, соответствие, установленное этой теоремой, является
двойственностью между группами Л и Л*. Двойственность группы Л
себе следует из изоморфизма групп А и Л*.
Теорема 13.2.4. Периодическая абелева группа с конечными
силовскими подгруппами двойственна себе.
Доказательство. Пусть Л — периодическая абелева группа
с конечными силовскими подгруппами S(p). Тогда группа S(p)t
будучи конечной абелевой группой, двойственна себе. Положим
й
й
у где через Ийр обозначена подгруппа, соответствующая
220 Гл. 13. Продолжение теории абелевых групп
подгруппе Нр группы S(p) при некотором дуальном отображении j
Если теперь И — произвольная подгруппа группыЛ, то Н — пряма
сумма своих силовских подгрупп Нр. Тогда полагаем #d = 2
р
Как легко проверить, соответствие Н->Н является двойственность^
группы А. Заметим, что эти рассуждения не проходят для пря
мых сумм любых конечных абелевых групп. Действительно, така|
прямая сумма может содержать подгруппы, не являющиеся прямо!
суммой подгрупп слагаемых. Как было показано Бэром [6],
левы группы, двойственные себе, исчерпываются группами, о ко!
торых идет речь в теореме.
13.3. Полные группы
Аддитивная абелёва группа А называется полной 1), если дл
любого элемента а £ А и любого целого числа п существует та
кой элемент х £ Л, что пх = а.
Теорема 13.3.1. Полная группа является прямым слагай
мым любой содержащей ее абелевой группы А.
Доказательство. Пусть абелева группа А содержит полнук
подгруппу D. Мы должны установить существование такой под|
группы В, что
Л = О©£, т. е. D(]B = 0 и D\JB=A. (
Для доказательства этого удббно воспользоваться леммой Цорна|
о которой шла речь в § 1.8. Если U1dJ2<^U^c: ... —возра-^
стающая цепь таких подгрупп группы Л, что D{\ U( = 0,
подгруппа U = М Ut также обладает свойством D П U = 0.
довательно, согласно лемме Цорна, группа А содержит максй||
мальную подгруппу К со свойством K()D = 0. Утверждается, чт
подгруппа К является искомой группой В. Для доказательств!
достаточно проверить, что К\} D= А. Пусть л:—элемент группы
не принадлежащий подгруппе К U D. Тогда в силу свойств!
максимальности подгруппы К подгруппа {х}[}К имеет ненулевс
пересечение с D. Следовательно, для некоторого неотрицательного
целого числа п и элемента k£K имеем nx-\-k = d£D, йф~
Здесь пфО, так как D[)K—0. Кроме того, пФ\, так
в противном случае мы бы имели, что x£K[)D. Так как D-
полная группа, то d = ndx для некоторого dl^Dt откуда|
п{х — d{) = — k. Полагая хг —х — dv находим, что xl^
так как в противном случае x£K[]D. Элементы из подгруппы|
К[){х\} имеют вид тхг-{-ку 0<яг</г. Отсюда опять в у^
1) Автор пользуется термином „divisible group" — „группа с
нием\ — Прим. перев.
13.4. Сервантные подгруппы 221
максимальности подгруппы К подгруппы {хг} [)К и В имеют общий
ненулевой элемент nlxl-\-k1 — d = n1d2, где пх < п, d, d2aD.
Далее» при х2 = хх — d2 имеем пгх2 —— ki£.K и x2^K\}D, так
как в противном случае xl^K[}D. Продолжив этот процесс,
мы дойдем до nt=l. Тогда xit xi_l хг и х окажутся
элементами из подгруппы K\]D, что противоречит условию. Итак,
КцВ — А, и теорема доказана. "^
В книге Капланского [I]1) можно найти доказательство того
факта, что любая полная группа прёдставима как прямая сумма
групп, изоморфных группе г+, или групп Z(p°°).
13.4. Сервантные подгруппы
Будем говорить, что Н—сервантная подгруппа абелевой
группы Л, если для произвольного целого п и h£H из суще-
существования элемента х£АУ для которого nx = h£H, следует
существование элемента hx £H, такого, что nhx = h. Таким образом,
определяющим свойством сервантной подгруппы является свойство
относительной полноты: деление в подгруппе Н возможно, если
оно возможно во всей'группе. Полная Группа, конечно, является
сервантной. пбдгруппой любой абелевой группы, которая ее содержит.
Прямое слагаемое группы также является сервантной подгруппой.
Хотя полные группы всегда бесконечны, существуют сервантные
подгруппы конечных групп, и поэтому это понятие полезно при
изучении конечных групп.
Периодическая подгруппа2) абелевой группы является сервант-
сервантной, так как решение уравнения пх = Н, где. h — элемент конеч-
конечного порядка, должно быть также элементом конечного порядка.
Объединение возрастающей цепочки сервантных подгрупп — опять
сервантная подгруппа, так как произвольный элемент h этого
объединения является элементом одной из групп цепи, и потому
уравнение nx = h имеет решение в подгруппе, являющейся объ-
объединением групп цепи.
Теорема 13.4.1 показывает, что в очень многих случаях сер-
сервантная подгруппа является прямым слагаемым. \
Теорема 13.4.1. Пусть А—абелева группа, Н—ее сервантная
подгруппа и фактор-группа А/Н представала как прямая
сумма циклических групп. Тогда подгруппа Н является пря-
прямым слагаемым группы А.
Доказательство. Сначала докажем лемму.
Лемма 13.4.1. Если Н—сервантная подгруппа группы А
и у £ А/Ну то существует элемент х£А, порядок которого
1) См. также Курош [2], гл VII. —Aрим. ред.
2) Подразумевается максимальная периодическая подгруппа, т. е.
совокупность всех элементов конечного порядка. —Прим. ред.
222 Гл. 13. Продолжение теории абелевых групп
равен порядку элемента у и образом которого при гомомор-
гомоморфизме А-> А/Н служит у.
Действительно, если у—элемент бесконечного порядка, то любой
элемент, являющийся его прообразом, будет искомым. Если же пу = О
и и —> у, то пи -> 0 и nu = h£H. Но тогда, в силу основного свойства
подгруппы Я, h = nhv hx^H. Пусть х — и— hv Тогда х->у и
пх = п(и—Л1) = пи — nhx = h—/z = 0, что и требовалось доказать.
Теперь теорема доказывается довольно просто. Пусть группа
А/Н—прямая сумма циклических групп, порожденных базисными
элементами yt, /£/. Выберем в группе А такие элементы xit
что xi->yi, причем порядки элементов xt равны порядкам соот-
соответствующих yt. Это возможно в силу леммы. Пусть К — под-
подгруппа, порожденная элементами xt. Если соотношение п-1хх-1х -+-
+ • • • -\-rii Xi = /2 £ Я имеет место в группе А, то в фактор-груп-
пе А/Н имеем П[ yi -\- .. . -\-П[ yi = О, а так как yt — базисные
элементы группы А/Н, отсюда следует, что n-L yi = .. . = щ yi = 0.
Но в силу равенства порядков элементов хь и yt это означает,
что П[ Х[ == ... == /г/ л:/ = 0, т. е. /г = 0. Следовательно,
К(]Н=0. Кроме того, К[) Н= А, так как подгруппа К содержит
по одному элементу из каждого смежного класса группы А по
подгруппе Я. Таким образом, Л = Я©/С и теорема доказана.
13.5. Общие замечания
Для более детального изучения абелевых групп читателю реко-
рекомендуется монография Капланского [1] и книга Куроша [2].
В книге Капланского особенно полезен обзор литературы.
Теорема 3.2.3 сводит в общем случае изучение периодических
групп к изучению примарных групп. Одним из главных результатов
для примарных групп является теорема Ульма, которая вполне
описывает счетные примарные абелевы группы с помощью неко-
некоторой системы кардинальных чисел — так называемых „инвариан-
„инвариантов Ульма".
Прямая сумма бесконечных циклических групп называется
свободной абелевой группой. Любая абелева группа с г образую-
образующими является гомоморфным образом свободной абелевой группы
с г образующими. Любая подгруппа прямой суммы циклических
групп есть прямая сумма циклических групп и, в частности, подгруппа
свободной абелевой группы есть снова свободная абелева группа.
Как отмечалось в § 13.3, любая полная группа является пря-
прямой суммой групп, изоморфных группе г+ или группам типа Z(pco)
для различных р. Произвольную абелеву группу можно погрузить
в полную группу, и поэтому, в определенном смысле, изучение
абелевых групп сводится к изучений подгрупп полных групп.
13.5. Общие замечания 223
Так, группа без кручения (т. е. апериодическая) ранга 1 является
подгруппой группы г+.
Абелева группа, содержащая элементы как конечного, так и
бесконечного порядка, называется смешанной. Как показывают
примеры, смешанная группа не всегда представима в виде пря-
прямой суммы периодической подгруппы и группы без кручения. Но
поскольку периодическая подгруппа сервантна, теорема 13.4.1
часто дает возможность разложить смешанную группу в прямую
сумму периодической части и некоторой другой группы.
Глава 14
МОНОМИАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И ПЕРЕМЕЩЕНИЕ
14.1. Мономиальные подстановки
Рассмотрим множество 5 символов uv ..., ип> которые раз-^
решается умножать слева на элементы группы Н по следующим
правилам:
1 «, = «,. - "A4.1.1)
где 1 — единица группы Я, и
hx (h2uj) — (hxh2) ut.
Мономиальной подстановкой М называется отображение вида
tti—>hijUjti=\, ..., п, у = у(/), где ut-+Uj — подстановка мно-
множества 5. Произведение двух отображений Мг и М2 опреде-
определяется так: если Мх — отображение ul->hijUj и М2 — отображе-
отображение Uj-+hjkuk, то МгМ2 есть отображение ui-^(hijh^uk. При |
таком определении эти отображения образуют группу, единицей!
которой является отображение ui-^ut. рели сопоставить отобра- :
жению Мг: ui-^hijUj матрицу (/г^), в которой /-я строка и у-й 1
столбец состоят из нулей, кроме места G, у), где стоит элемент htj, :%
то умножению отображений будет соответствовать обычное пере- I
множёние соответствующих матриц. " I
В . группе М всех мономиальных подстановок отображения i
ui->hiiui образуют инвариантную подгруппу D, а фактор-группа M/D |
изоморфна симметрической группе степени п. Более обще, пусть ^
G — подгруппа группы М. Если g из группы G является отобра- ■
жением ui->hijUjt то g-+g* : ut-+Uj — гомоморфизм группы G
на некоторую группу подстановок, ядром которого является под-
подгруппа GflD.
Будем говорить, что группа G мономиальных подстановок i
транзитивна, если соответствующая группа подстановок транзи-
тивна. *
Теорема 14.1. Пусть группа G содержит подгруппу К
и G = K-\-Kx2-\- ... -\-Кхп. Пусть также К->Н—гомо- л
морфизм подгруппы К на группу Н. Тогда транзитивное мо-
номиальное представление группы G над группой Н осущест- s
вляется следующим образом: для элемента g£G пусть
= kuxj> *'=1 я» У=У(О» ^//€^» пусть также Нц —
14 Л. Мономиальные подстановки Т2Ъ
образ элемента кц при гомоморфизме К->Н, тогда отобра-
отображение тс(£): ai->hljUj является транзитивным мономиальным
представлением группы G над группой Н. Обратно, любое
транзитивное мономиальное представление есть или пред-
представление подобного типа, или сопряженное такому представ-
представлению относительно группы D.
Доказательство. Пусть G = К-{-Кх2-\- ... -\-Кхп — разло-
разложение группы G по подгруппе К, и пусть /С—>•#—гомоморфизм
группы К на группу Н. Пусть gx и ^2^-два произвольных эле-
элемента группы G. Если xig1 = kiJxJ и Xjg2^=kJsxs, то xi(g1g2) =
= ktjkjsxs, откуда видно, что для соответствующих мономиаль-
ных подстановок справедливо равенство тс (gxg2) = тс (gx) тс (g2),
т. е. имеем представление группы G (конечно, не обязательно
точное). Соответствующая группа подстановок является группой
подстановок левых смежных классов, исследованной в § 5.3, ко-
которая, конечно, транзитивна.
Обратно, рассмотрим произвольное транзитивное мономиаль-
мономиальное представление R группы G, т. е. для любого элемента g£G
имеем g —> тс (g): ut ~> h^-Uj. Выберем одну букву иг и рассмот-
рассмотрим все такие элементы &£G, что тс(&): их—>huul при hu£H.
Они образуют подгруппу К. В силу транзитивности представле-
представления R для каждого 1 = 2, .. ., п существует такой элемент xt,
что тс(л^): u1->hliui. Теперь легко видеть, что
G = K + Kx2+ ... +Кхп. A4.1.2)
Если R трансформируем элементом d: иг->uv . .., ui-^h\iUi,
то при представлении d Rd имеем d !тс(х^d : иг—>ut. Рассмот-
Рассмотрим представление R* = d~~1Rd. Если при k£K отображение тс(&)
переводит их в huv то %(^хг1кхЛ переводит ut в /шу., и обратно.
Таким образом, каждый элемент h, на который происходит умно-
умножение при представлении /?*, участвует в представлении под-
подгруппы К. Эти элементы h могут составить собственную под-
подгруппу Нг исходной группы Н. Однако если тс(&) переводит цг
в huv то отображение k—>h является гомоморфизмом К на Hv
Более того, если тс(^) переводит ut в h^Uj, то тс {xtgxjl) пере-
переводит их в hytij, откуда xtgxjl = k^-^K и отображение ktj~>
—>htj является гомоморфизмом группы К на Hv
Заметим попутно, что замена представителей левых смежных
классов группы G по подгруппе К приводит к другому мономи-
альному представлению, сопряженному с первым относительно
группы D.
15 М. Холл
226
Гл. 14. Мономиальные представления и перемещение
14.2. Перемещение
Пусть имеем мономиальное представление R группы G на|
группой Я:
где число п конечно. Тогда, как легко заметить, отображений
-^ A4.2.21
является гомоморфизмом группы О в фактор-группу Я/Я', ^
Я' — коммутант группы Я. Рассмотрим частный случай, когда Н=КЦ
A4.2.3|
Если ср (г) = л:;. для z = ^дгу-, ^ £ /С, то
) — Д
f~1
и отображение VQ + K(g) является гомоморфизмом группы Qj.
в группу К\К''- Этот гомоморфизм называется перемещением-
(по-английски: transfer; по-немецки: Verlagerung) группы Ол
в группу /С. Если Я—гомоморфный образ группы /С то отобра-
отображение A4.2.2) является гомоморфным отображением образа пере-?
мещения, так как при гомоморфизме К->Н фактор-группа К/Кг
отображается на И\НГ {К' — вполне характеристическая подгруппа
группы К). Основные свойства перемещения дает теорема 14.2.1*
Теорема 14.2.1.
1) Отображение g->VG_>K(g) является гомоморфизмом О |
в фактор-группу К\КГ-
2) Перемещение VQ^K(g) не зависит от выбора предста-
представителей хг
3) Если О=)АГзГ, то VG^ т№ = ^к + т I
Доказательство. Как уже отмечалось, первое свойство яв-
является следствием теории мономиальных представлений. Однако мы
докажем все три свойства, исходя прямо из определения переме- J
щения A4.2.4). Относительно первого свойства заметим, что если У
*ig\ = kijxj (l = ! я), Xjg2 = kjsxs U = 1, ..., п)У то
где ks =
14.3. Теорема Бернсайда 227
Докажем второе свойство. Пусть представители смежных клас-
классов первой и второй систем связаны соотношением x*=aixi
и Xig=ki]xj- Тогда x]g = atxtg = atkifxj = аькИа]1х). При пер-
пер. it
у2+ ... +Тут.
Тогда
вом выборе представителей V(g) = JJ^y mod/С7, а при втором
V (g) « Ц {aAjaJ1) ^ЦагЦки-ЦаТ1^Ц ktj mod К'.
Установим, наконец, третье свойство.
Пусть
О = К + Кх2+ ... +Кхп,
A4.2.5)
A4.2.6)
Пусть теперь для g*^O xtg = k^Xj и уг&/;. = ttjrsys. Таким
образом, yrxig = tijrsysxr Отсюда VG+r(g) *^U_tiJrs mod Г и
'. Далее, У^> г(*у) —П V
Следовательно,
Заметим, что так как перемещение К на Т отображает Кг в еди-
единицу, имеет смысл говорить о перемещении VG + K{g) в Г, не-
несмотря на то, что речь идет об элементе фактор-группы KjK',
а не самой группы /С.
14.3. Теорема Бернсайда
Теорема 14.3.1. Если силовская подгруппа Р конечной
группы G содержится в центре своего нормализатора, то группа
G обладает таким нормальным делителем И, что s качестве
представителей смежных классов по Н можно выбрать эле-
элементы группы Р.
Доказательство. Сначала докажем следующую лемму.
15*
228 Гл. 14. Мономиальные представления и перемещение ' ;
Лемма 14.3.1. Если два множества К± и К2 инвариантны
в силовской подгруппе Р группы G и сопряжены в G, то они.
сопряжены и в подгруппе NG(P).
Действительно, пусть х~1Кгх = К2, x£G. Так как множество/С^
инвариантно в Р, то множество К2 = х~1Кгх инвариантно в х~1Рх —
= Q. Таким образом, подгруппы Р и Q содержатся в нормализа-
нормализаторе множества К2 и, следовательно, являясь силовскими подгруп*
пами, сопряжены в NG(K2).. Итак, y~1Qy = Pi где у — такой эле-
элемент, что у'1 К2у = /С2- Поэтому при z — xy имеем z~1Pz = Pt
z~lKlz = K2i и лемма доказана. V
Теперь перейдем к доказательству теоремы. Так как под-.
группа Р содержится в центре нормализатора NQ(P), P — абе-
лева группа и Р'=1. Рассмотрим перемещение VQj^p. Пусть
и £ Р, вычислим VQ ^ р(и). Для этого возьмем в качестве пред-
представителей смежных классов по Р элементы вида xt, xtu xtur~l,
где xtur £ Pxt и xtu* ^Pxt при /<r. При этом xtuJ~l - и • (xiu^)~1=
= х1и*и~*х7х= 1 для j < г и xtur~x • и • (xiur)~1 = xturxjl. Сле-
Следовательно, для каждого цикла длины г в представлении эле-
элемента и подстановкой множества левых смежных классов по Р
в произведении для перемещения VQ^p(u) встречается член
xtuTXTly а остальные члены равны единице. Таким образом,
Vg->/>(#) = TT х{аТ*х7х. Далее, элемент хьигх71^Р сопряжен с иг
в группе G, а так как Р — абелева группа, оба элемента инва-
инвариантны в Р. Для y(zNG(P), по лемме, х1игхт1==у~1игу. По
условию, подгруппа Р содержится в центре своего нормализатора,
откуда y~lary = ur. Следовательно, VG -> р (и) = JJ ит = ип, где
n = [G:P] — сумма длин всех циклов. Поскольку Р—силовская
подгруппа порядка, скажем, ps, отсюда ясно, что р / n = [G : Р].
Таким образом, при перемещении G на подгруппу Р последняя
изоморфно отображается на себя и VQ^ p(G)—P, так как, очевидно,
VG P{G) содержится в Р. Ядром этого гомоморфизма является
группа Н индекса ps в группе G и порядка n = [G:P]. Следо-
Следовательно, Н — инвариантная подгруппа индекса ps, и поэтому
элементы из Р могут быть выбраны в качестве представителей
смежных классов по Н.
Следствие 14.3.1. Порядок конечной простой группы или
делится на 12, или же, если р — наименьшее простое число,
делящее п, делится на /?3.
Доказательство. Пусть р — наименьшее простое число, ко-
которое делит порядок простой группы G. Предположим, что силов-
силовская /?-подгруппа Р имеет порядок р или р2 и, следовательно,
абелева. Тогда по доказанной теореме, если только нормализа-
14.4 Теоремы Ф. Холла, Грюна и Виландта 229
тор NQ(P) не индуцирует нетривиального автоморфизма под-
подгруппы Я, группа G обладает фактор-группой, изоморфной под-
подгруппе Р. Если порядок подгруппы Р равен р, то порядок ее
группы автоморфизмов равен р—1, т. е. меньше р. Если под-
подгруппа Р циклическая порядка р2, то порядок ее группы авто-
автоморфизмов равен р(р— 1), а если она не циклическая порядка р2У
то этот порядок равен (р2—р)(р2—1)=Р(р—1J(р-г-1).
Ни одно из этих чисел не делится на простое число, которое
больше р, если р нечетно, так как р -)- 1 = 2 [(/?-+-1)/2], и, сле-
следовательно, нормализатор NG(P) индуцирует в Р только тожде-
тождественный автоморфизм. Если же р = 2, то в последнем случае
р-|— 1 ===== 3, и нормализатор NG(P) может индуцировать в Р ав-
автоморфизм порядка 3; но тогда порядок нормализатора NQ(P)
делится на 12.
14.4. Теоремы Ф. Холла, Грюна и Виландта
Основная цель данного параграфа — установить связь между
силовскими /^-подгруппами группы G и фактор-группами О/Л,
порядок которых равен степени числа р.
Для формулировок и доказательств нам понадобятся понятия
сильной и слабой замкнутости.
Определение. Пусть И—подгруппа группы G, а В— под-
подгруппа Н. Будем говорить, что подгруппа В сильно замкнута
в И (по отношению к G), если Н{\Вхс^В, где Вх— х~гВх,
а х—любой элемент из G, и слабо замкнута в Я, если из
включения BxczH следует, что Вх—В.
Говорят, что группа G р-нормальна, если центр Z силов-
ской р-подгруппы Р является центром любой другой силовской
р-подгруппы Рг, которая его содержит. Это свойство — частный
случай слабой замкнутости; оно равносильно требованию слабой
замкнутости центра Z группы Р в группе Р относительно G.
Действительно, предположим, что группа G /^-нормальна. Пусть
x£G — такой элемент, что Zxc.P. Тогда Z с Р1 = Р*~1.
В силу р-нормальности группы G получим, что Z — центр под-
подгруппы Рг. Но тогда Zx -^ центр подгруппы Р$ = Р, откуда Zx = Z
и поэтому центр Z слабо замкнут в Р. Обратно, предположим,
что центр Z слабо замкнут в подгруппе Р и что ZczPv где Рг —
Другая силовская /^-подгруппа. Тогда для некоторого элемента
я£О имеем Pf = P. Поэтому Zxc.P, В силу условия слабой
замкнутости Z = ZX. Но если Zx — центр подгруппы Pv то Zf —
центр подгруппы Р%—Р. Следовательно, Z\ = Z = Zx% и Z = ZX —
центр подгруппы Pv т. е. группа G р-нормальна.
Ясно, что из сильной замкнутости следует слабая замкнутость.
Слабо замкнутая подгруппа В группы Н инвариантна в Н. Под-
230 Гл. 14. Мономиальные представления и перемещение
группа группы Я, порожденная всеми элементами, являющим^
решениями некоторого уравнения xk=\, слабо замкнута, а
эти решения образуют подгруппу X, то последняя сильно замкн;
в Н. Последнее свойство выполняется, если р-группа Н peryjj
лярна, а также при некоторых других условиях.
В дальнейшем иногда будем писать V(g) вместо VQj>.H(g)
Если
G =±= Н + Нх2 + ... + fixn,
то
,g) ~l mod/г.
Можно заменить сравнения по модулю Нг сравнениями по мо-|
дулю Яо, где Ио — произвольная подгруппа группы Н, содержа
щая Я7, так что фактор-группа Н/Но абелева. Встречающиеся
ниже сравнения берутся по модулю Но.
Для элемента g £ G и чисел / = 1, 0 о 0, п определяем числа i*
из условия xtgxig £#. Тогда при фиксированном g соответствие*
i~>ig—подстановка n(g) транзитивного представления группы
подстановками левых смежных классов по подгруппе Z/1). Так]
образом, имеем
Подстановка ic(^) разлагается на ряд циклов, включая цикльг;
длины 1, соответствующие буквам, остающимся на месте. Выбе-j
рем по одному символу из каждого цикла и обозначим множество]
выбранных символов через CH(g). Если i£CH(g), то пусть rt — I
порядок цикла, в котором встречается символ /. Тогда
гг = п,
т. е. сумма длин всех циклов равна п.
Лемма 14.4.1.
£CH(
где x{grt x~l~ наименьшая степень элемента xtgxrlt содержи
жащаяся в подгруппе Н.
Доказательство. В подстановке it(g) цикл, начинающийся*;
символом i, состоит из символов /, ig ig , различных)
между собой; в качестве представителей соответствующих смеж- 1
') В дальнейшем автор пользуется также обозначением ig вместо ig.—
Прим. ред. s
14.4. Теоремы Ф. Холла, Грюна и Виландта 231
ных классов по Н можно взять элементы xt, xtg, ..., xtgri~l-
Тогда все сомножители перемещения V(g), соответствующие циклу
с элементом *', образуют произведение
потому что ср(xtgs) == xtgs, 5=1, ..., rt—1, у(х$г1) = xt. Так
как х^^пхь при 5<r/s элемент xtgr^xt\ является наименьшей
степенью произведения xtgxj , которая принадлежит Н.
Будем называть произведение всех циклов длины один диаго-
диагональным сомножителем d(g) перемещения V(g*) и записывать
сг1 (mod#0).
Здесь так же, как и для V (g), произведение d(g) по модулю Но
не зависит от порядка сомножителей и выбора представителей хь'
смежных классов.
Лемма 14.4.2; Если и и v — сопряженные элементы группы G,
то d(a) = d{v)u d(wl)=:[d(u)]'\
Доказательство. Пусть v = t~lut. Тогда равенство iu =
равносильно равенству ltv = it, откуда, по определению,
i — ivi i- in
i = iu.
Действительно, элементы xitt~~lxjl и xfxJt лежат в Я и взаимно
обратны. Кроме этого, равенство I = ш равносильно равенству
i = iu, откуда
Для элемента h ^ Н определим функцию d* (h) = hxd (/г).
Тогда, по лемме 14.4.2, h==d(h)[d* (Л)] =sd(h)d*(h~l) и
d(hr)===d(xihrXi'1), и поэтому, если xthTxJl £ Я, имеем
xthr xjl = d (/гг) fi?* (д:гЛ""гА:Г1) ^hrd* (hT) d* (x th~~r xjl)\
и, наконец, применяя лемму 14.4.1, получаем лемму.
Лемма 14.4.3. Ес/ш h£H, то
эАя. П d*{hi)d*(xih~~rix7l).
н
232
Гл. 14. Мономиальные представления и перемещение
Следствие 14.4.1. Если d*(h)£H0 для всех h£H> то для лщ
б ого элемента /г£Н справедливо равенство V (h) = hn.
Пусть р — простое число, Oj — некоторая конечная группу
a G = ир (Oj) — группа, порожденная всеми элементами из О
порядки которых взаимно просты с р. Таким образом, GJG
максимальная р-фактор-группа группы Gv Пусть Рг — силовска:
р-подгруппа группы Gv Ыг — ее нормализатор, а Нг—произ
вольная подгруппа группы Gv содержащая Nv Положим Р = Р1 f| Q
а Рг/Р = Д^1/Д^ = Я1/Я= GJG. Подгруппа G вполне характери
стична в Gv P — силовская р-подгруппа группы О, подгруппа
содержится в нормализаторе груш
Рг и О, а следовательно, и в нор
мализаторе подгруппы PX{]G = P.
Далее, up(G) — G, так как под-
подгруппа G порождается элементами/!
порядки которых взаимно просты с /?.|
Однако не исключена возможность,
что ир(Н)аН. Предположим, что
последнее действительно имеет место/
Тогда ир (Я) — вполне характеристик
ческая подгруппа группы Я, а Я
инвариантна в Нх. Так как HJH — 1
/?-группа, очевидно, что ир(Н
= ир (Нг). Положим
Нг)[)ир(Н) =
\ Нх)ир{Н),
где Нр — подгруппа, порожденная \
/?-ми степенями элементов из Я,.!
а (Я, Нг) — подгруппа, порожденная коммутаторами (h, /^), h£H,
hx^Hv Так как все три подгруппы Яр, (Я, Я^ и ир(Н) инва-
инвариантны в Я, то их объединение совпадает с их произведением.
Так как ир(Н) — ир(Нх), фактор-группа Нх1ир{Н) является р-груп-
пой и потому нильпотентна. Таким образом, фактор-группа
(Я, Hx)jup(H) строго содержится в группе Н/ир(Н). Более того,]
так как подгруппа Нр содержится в любой такой подгруппе 7,1
что Hz>Tzd(H, Н^и^Н) при [Я: Т\ = /?, то в случае ир{Н)аН \
подгруппа Яо также является собственной инвариантной подгруппой j
группы Я и фактор-группа Н/Но есть р-группа. Рассмотрим еле- )
дующую задачу: какие элементы подгруппы Р надо присое-^
динить к Яо, чтобы получить группу Я?
Лемма 14.4.4. Группа Я порождается подгруппой Яо и,
множеством всех элементов вида d*(u), u£P.
Рис. 6. Теорема Ф. Холла.
14.4. Теоремы Ф. Холла, Грюна и Виландта 233
Доказательство. Как и прежде, имеем
' + ... -+-Нхп,
d(u)=== Д x^xr1 (mod Яо),
i = ш
d*(u)==u-ld(u)(mo<iH0).
В силу включений Яо ^э (Я, Я^ ^ (Я, Я) = Я' фактор-группа H/HQ
абелева. Так как u^PciH, очевидно, все элементы d*(u) при-
принадлежат Я. Таким образом, К= {d*(u)\u £Р} (J Яо с Я. Чтобы
доказать обратное включение Я с; К, воспользуемся тем обстоя-
обстоятельством, что, в виду абелевости р-группы H/HQi V(w)=\ (modH0)
для любого элемента w£G, порядок которого взаимно прост с р.
Но по построению группа О порождается этими элементами, откуда
V (и) == 1 (mod Яо) для любого и £ О. Тогда тем более V(u)£K
для любого и £ Р. Отсюда, согласно лемме 14.4.3, для #£Рцолучаем
V (и) =ип ТТ «К "'О d* ( хм~'1хТ1).
где d*\ut)^K по определению, v = xtu lx"iX — элемент из Я,
порядок которого равен степени р. Следовательно, y~lvy£P для
некоторого у^Я, откуда d*(v) = v~ld(v) = x~ld(y~lvy) (лемма
14.4.2). Поэтому
d* (v) =ez v~1y~1vyd* (y~lvy) = (v, у) d* (y^vy).
Но, по определению, (v> y)£H'c:H0 и d*(y~lvy)£K, откуда
d* (v) = rf* (лг^'^лгГ1) ^ /С. Отсюда следует для а £ P: я" = V (л) £ /С.
Но (/г, /?)=1, и любой элемент из Р является /г-й степенью
некоторого элемента из Р. Таким образом, Рс/(, а так как
Я/Яо—р-группа, а Р — силовская р-подгруппа группы Я, по-
получаем Я = Яои Р сг /С. Итак, Н = К, и лемма доказана.
Так как О <] Olf Н = Нг{]0 и ОиЯ1 = <31, можно взять
в качестве представителей левых смежных классов группы Ох
по Я! представителей левых смежных классов группы G по Я:
Gj = Я14-#1.х;2+ ... -\-Нгхп. Следовательно, записывая Gj как
сумму двойных смежных классов по Нх и Pj/получаем
где 1, ^, .... ts—некоторые из элементов 1, х2, ..., хп. Пусть
7zt (/ == 1, ..., s) — транзитивные представления группы Рг под-
подстановками смежных классов по Hv из которых состоит двойной
смежный класс HltiPv Степень подстановок izl больше единицы,
так как в противном случае HltiP1 = H1tit откуда tiP\tJl с Яь
234 Гл. 14. Мономиальные представления и перемещение
но тогда, по теореме Силова, tiP\tJx = у~~1Р\у для некоторог
элемента у£Нх. Поэтому yti£Nl(^ Hv откуда tt^Hx, что пр
тиворечит выбору элемента tt. Таким образом, представление
группы Рх не тождественно, и его ядро Kt строго содержит<Ц
в Pv причем фактор-группа РХ(КЬ точно представляется подста
новками т^. Так как Px/Ki— /?-группа, ее центр не равен единиц!
Следовательно, мы можем выбрать элемент z^Px так, чтобы пол
становка тсД^) имела порядок р и содержалась в центр!
группы ^i(Pi), т. е. была перестановочна с любой подстанов^
кой ^i(u) для и£Рх. Любой элемент из центра-^транзитивной
группы подстановок, оставляющий на месте один символ, дей^
ствует тождественно и на всех других символах. Поэтому подста!
новка тсД^) не оставляет на месте ни одного смежного класса
по Нх и состоит исключительно из циклов длины р. Для любогс
элемента и£Р с Рх подстановка щ{и) перестановочна с п((
и поэтому, если подстановка тс. (и) отображает в себя некоторый
смежный класс, скажем, HxXj+v содержащийся в двойном смеж-*
ном классе HxttPv она должна также оставлять на месте классь
HxXj+x HxXj+p того цикла подстановки nt (zt)t которому!
принадлежит класс HxXj+x. Следовательно, для и С п
d (и) ^ а • JJ dj (и) (mod Яо),
где I
dj (и) = hxh2 ... hp j\
и
*7_i k=\ /?,
a Xj+l, ..., Xj+P> как и выше,—представители смежных классов^
из цикла подстановки ^(^) для некоторого i. Здесь элемент^
и=\-и-\~х является единственным сомножителем произведе-i
ния d(u), принадлежащим подгруппе Нг. Заметим также, что при1,
xj+kuxjlk=hk€Hi> xj+k€Q> и€Р> имеем hk€G> откуда^
hki^H1[]G = Я, и поэтому эти элементы действительно входят;
сомножителями в произведение d(u). Из равенства d*(u) — u~xd(a)
следует, что
Отсюда и из леммы 14.4.4 сразу же вытекает
Лемма 14.4.5. Группа Н порождается подгруппой HQ и эле-€%
ментами dj(u), u£P. |
Рассмотрим подробнее один из элементов dj (и), положив для |
удобства wfc = Xj+k, &=1, ..., р. Имеем
14.4. Теоремы Ф. Холла, Грюна и Виландта 235
где индексы берутся по модулю р. Поэтому <^kZi = yfcwk+'v где
уЛ£#1- Кроме того, wkuw-1 — hk, dJ(u) = h1 . .. hp. Теперь
wu
Но Угб^Л» a ht£H. В силу этого, а также в силу включения
(Я^ Я) с Яо справедливо сравнение
W* (и, **) Wfe x s hklhk-i (mod Яо).
Но подгруппа Я инвариантна в Pv откуда-(я, zj)^P, и поэтому
для ul = (u, zt) диагональные сомножители в произведении tf^)
из смежных классов Hwk, k—\ р, равны /^/^^(rnod^).
к == 1, .. ., /?. Таким образом, из сравнений wkiiw~l = hk(modHX
k = 1, ..., д, получаем wk (и, Zi)wul ^ hklhk-\ (modЯo),
/г=1, ..., р. Теперь при и = и0 имеем ut = (ut zt), u2 = (uv zt)
и, рекуррентно, us+1 — (us, z(). Мы видели, что если wkuswl
~/гЪ5(modЯ0), /г = 1, ..., р, то
wkus+iWkl = hk-shklsss hk+i,5(modЯо).
Следовательно, применяя индукцию по 5, получаем
Здесь показателями степени являются биномиальные коэффициенты,
взятые с чередующимися знаками. Из свойств биномиальных коэф-
коэффициентов и из включения Нр cz Яо следует, что
wkaP-\wkl — ^i^2 ••• hp=Bdj (и) (mod Яо).
Таким образом,
1
= wk(u. zt. ....
где и£Р, zt£Pv Обозначим ер(и, zt) = (u, zt, .... 2:£), тогда из
леммы 14.4.5 следует, что группа Я может быть получена присоедине-
присоединением к группе Яо определенных элементов из Я вида xj+kep(u> zi) xjlk
(для всех и £ Р), т. е. присоединением определенных диагональ-
диагональных сомножителей элементов е (и, zt) для l=\ s и всех
236 Гл. 14. Мономиальные представления и перемещение
и£Р. Так как эти сомножители — элементы группы Н% порядки
которых равны степени р, а Р—силовская /7-подгруппа группы
то мы можем трансформировать их элементами из И так, чтобь
они попали в Р. По модулю Но трансформация не изменит ^
элементы, так как фактор-группа Н/Но абелева. Этим доказан^
наша основная теорема.
Теорема 14.4.1. (Ф. Холл.) Пусть Gx— конечная группа^
Рх — ее силовская р-подгруппа, Nx —нормализатор подгруппы РХМ
а Нх — подгруппа, содержащая Nx. Пусть G == ир (Gx) — под*
группа, порожденная всеми элементами групгтг Gv порядки
которых взаимно просты с р\ положим H—G{\ Нх, N = G (] x
P=G(\PX. Тогда up(Hx) = up(H), и если ир(Н)фН, т<Й
НО = НР(Нх, Н)ир{Н) — собственная подгруппа группы И, при-Щ
чем последняя может быть получена присоединением к ^
определенных элементов из Н, сопряженных с элементами1,
P^i ^
ер(и, zi) = (u, zt, ..., zt), где и£Р и zt, i=\ sy
менты из Рг. Пусть
— разложение группы Gx в сумму двойных смежных классов)
по подгруппам Нх и Pv и пусть %t, i—l s, — транзи-J^
тивные представления подгруппы Рх на смежных классах \
по Нх, из которых состоит двойной смежный класс HxttPx
Тогда степени представлений тс^ не равны единице и можно> j
выбрать элемент zt так, 4mo6b^<Ki(zi) была подстановкой /го-,;
рядка р, принадлежащей центру группы яД/^).
Следствие 14.4.2. Если ер(и, z)=l для всех и, z£Px, то
ир (Nx) = N=up (Gj) (]NX и Gx/up (Gx)=Nx/up (Nx). В частности, |
это имеет место, если класс нильпотентности подгруппы Рг
меньше /?. ^
Здесь мы считали, что Нх — Nx и, значит, H=N. ;
Пусть Qx — слабо замкнутая подгруппа группы Рх. Тогда, как ;
мы уже отмечали, подгруппа Qx инвариантна в нормализаторе Nx :
группы Рх, и поэтому мы можем взять нормализатор подгруппы Qx j
в качестве подгруппы Нх ^ Nx. Тогда предыдущая теорема является
уточнением теоремы Виландта [3].
Теорема 14.4.2. (Холл — Виландт.) Пусть Рх — силовская
р-подгруппа группы Gx и Qx — слабо замкнутая подгруппа
группы Рх. Пусть Nx — нормализатор подгруппы Рх, а Нг—* <
нормализатор подгруппы Qx. Тогда каждое из условий
1) ер(и, z)=\ для в$ех и£Рх и всех z£Qx,
2) ер_х(и, z)=l для всех и, z£Qv
14.4. Теоремы Ф. Холла, Грюна и Виландта 237
3) Qi£Zp_x(Px), где Zp_x(Px) — (p— 1)-й центр группы Pv
дает равенство up(Hx) = H=ap(Gx)[\Hv откуда в свою оче-
очередь вытекает, что Gl/up(Gl) = Hllup(Hl).
Доказательство. Как и в доказательстве теоремы 14.4.1,
пусть Кь — ядро представления wt группы Рх на смежных классах
по Нх из двойного класса HxttPx. Предположим, если это воз-
возможно, что Qx с Kt. Тогда HltiQl = Hlti и tiQ\tJl С Нх. Следо-
Следовательно, tiQitJ1 — /^-подгруппа группы Нх, и существует такой
элемент y^Hv что y~ltiQ\tJly с Pv где Рх— силовская р-пол-
группа, также содержащаяся в Нх. В силу слабой замкнутости Qx
это означает, что y~ltiQxtJly = Qi, а поэтому y~ltt£ Hv так как
Их — нормализатор подгруппы Qx и tt£Hv что невозможно. Итак,
Qx с£ Kt. Подгруппа Qx инвариантна в Plf и поэтому образ ее
в группе PJKt является инвариантной подгруппой и должен, сле-
следовательно, содержать элементы ее центра. Поэтому мы можем
выбрать требуемые элементы z-t в подгруппе Qx. Это дает первое
условие. Заметим, что в этом условии было бы достаточно взять
а£Р' = PiftG, но, вообще говоря,фнам заранее не известно, какая
из подгрупп группы Рг совпадает с Р. Из третьего условия
следует первое, так как если Qi^Zp^1(P1), то z£Zp_l(Pl) и
(и. z)€Zp_2(Pl),(utz,z)€Zp_s ep(utz) = (u,z. ..., z) = \.
Так как ep(ut z)^=ep_l(uv z), где ul=^(ut z) и ux£Qv если u£Pt
то, следовательно, первое условие вытекает также из второго.
Следствие 14.4.3. Пусть Qx — характеристическая под-
подгруппа группы Рх. Если она не слабо замкнута в Рх, то су-
существует другая силовская р-подгруппа Р2, которая содержит
подгруппу Qv но в которой Qx не инвариантна. Этот случай
имеет место, если Qx удовлетворяет одному из условий A),
B), C) теоремы, а группы G1/wp(G1) и Я1/^р(Я1) не изоморфны.
Доказательство. Так как подгруппа Qx характеристична в Pv
то Qj инвариантна в Nv Следовательно, нормализатор Nx содер-
содержится в нормализаторе подгруппы Qv Если Qx не слабо замкнута
в Pv то x~lQxx с Рг для некоторого элемента х, но д:"^^ ф Qx.
Если бы подгруппа д:"^^ была инвариантна в Pv то в силу
леммы 14.3.1 подгруппы Qx и x~lQxx были бы взаимно сопряжены
в группе Nx, что невозможно. Следовательно, подгруппа x~lQxx
содержится в группе Рх, но не инвариантна в ней, и поэтому под-
подгруппа Qx содержится в Р2 = xPxx~lt но также не инвариантна
в ней. Если подгруппа Qx удовлетворяет одному из условий A),
B), C) теоремы, то теорема может быть неверной только в слу-
случае, если подгруппа Qx не слабо замкнута в Рх.
Следующие теоремы несколько проще, чем предыдущие.
238 Гл. 14. Мономиальные представления и перемещения .
I
Теорема 14.4.3. Пусть Р — силовская р-подгруппа группы G, 1
С — коммутант группы G. Тогда
Доказательство. Так как VG->p(G) — гомоморфизм группы G
в /?-группу Р/Р\ то любой элемент, порядок которого взаимно Jj
прост с /?, отображается в единицу. Так как G порождается под-
подгруппой Р и силовскими подгруппами, принадлежащими другим
простым числам, то V(G) = V(P). Пусть
По лемме 14.4.1 для и£Р
, V(u)= П urt(urirxTl)(modP')
i£CP(u)
V{u)=. Л \fii = un (mod GO-
Следовательно, так как (п, р)=\, V(u)ф\ (mod GO, если и
u^G'. Но так как группа V(G) абелева, V(GO=1. Следова-
Следовательно, ядро гомоморфизма P->Vq-+ р(Р) равно точно PflG',
и поэтому Vg-> p(G)^PIP (]G\
Теорема 14.4.4. (Первая теорема Грюна [1].) Пусть Р—си-
Р—силовская р-подгруппа группы G. Тогда VG ->p(G)^P/P*, где v
Р* = [Р П No (Р)] U (Р П z-Wz\
Доказательство. Из теоремы 14.4.3 мы знаем, что V
^P/P(]G'. По построению группа Р* является объединением
подгрупп, содержащихся в группе Р fl G', откуда Р* с Р f| G'.
Покажем, что PflG'czP*. Для этого достаточно доказать, что
любой элемент и из группы Р fl G' содержится также в Р*. Это
доказательство проведем индукцией по порядку элемента и. Оче-
Очевидно, что 1 £ Р*. Пусть
— разложение группы G в сумму двойных смежных классов по Р.
Пусть u£P[\G'. Тогда, по лемме 14.4.1,
14А. Теоремы Ф. Холла, Грюна и Виландта 239
причем произведение элементов, соответствующих смежному
классу РуР, равно
k
где vx=l9 vk£P, 2l 2Г£ —У» если класс РуР состоит из р1
k
левых смежных классов по Р. При исследовании сомножителя^^
мы различаем два случая: 1) t^\ в //; 2) £ = 0, //=1,
Случай 1. В этом случае
w == уир у-l (mod yP'y~х).
Значению vx = 1 в произведении w соответствует сомножитель
то уир*у~г£Р. Но и w£P, по-
поyuv у
этому
и тем
более
а
так как
yuptyl (mod Р П уР'у
^ у«р у~l (mod P*).
Так как «^РП^7, то ' V(w)= I (modР7), откуда
^l(modP0. Но тогда элемент yuply~lt так как он принадле-
принадлежит Р, содержится в я.фе РП^7, а так как /> 1, его порядок
меньше порядка элементам, откуда в силу предположения индук-
индукции yuply~l £ Р*. Также в^сцлу индукции upt^P*9 откуда
w = yupty- !=ы/ (mod P*).
Случай 2. Здесь РуР = Ру и потому PySAfG(P); имеем
^ ^ у^У"! = ^ [mod NG (P)]
откуда w=bu (mod P*). Следовательно, во всех случаях
Wj==upJ (mod Р*),
где ^ — сомножитель в произведении V (и) для смежного класса
PyjP, который содержит p*j левых смежных классов по Р. По-
Поэтому
= un (mod Р*)>
где n = [G:P] — число, взаимно простое с р. Но V(u)===.\ для
и€РПО', т. е. V(u)£P'sP*. Таким образом, tf"=l(modP*)
и, следовательно, w^P*, что и требовалось доказать..
Теорема 14.4.5. (Вторая теорема Грюна.) Если группа G
р-нормальна, то наибольшая абелева р-группа, являющаяся
■ I
240 Гл. 14: Мономиальные представления и перемещение
фактор-группой группы G, изоморфна такой же фактор-
факторгруппе для, нормализатора центра силовской р-подгруппы*
Доказательство. Пусть Р— силовская /7-по^группа группы G,
Z— ее центр. Пусть G' (p) ^ G'— такая наименьшая инвариант-
инвариантная подгруппа группы G, что фактор{гр}Aща GJG'(р) — абелева
/7-группа. Тогда G — G' (р) [} Р, так как гГо^ядок подгруппы G' (р)
должен делиться на все степени рр, т. е. p^\(G : \) для всех
простых чисел pit отличных от р. Положим G* = P\JG\ тогда
G/(/;)UG* = G. G*nG/(/7) = G/, так как фактор-группа G^jG'
содержит только р-элементы, а фактор-группа G\p)/G' содержит
только элементы, порядки которых взаимно просты с р. По теореме
2.4.1, G/G' (р) ^ G*/G' ^ Р/Р П G'. Пусть N — нормализатор Р,
а Я— нормализатор центра Z подгруппы Р. Так как Z — характери-
характеристическая подгруппа вР.ЯзЛ/. Если теперь Н' (р)—такая наимень-
наименьшая инвариантная подгруппа в Ht что Н/Н'(р) — абелева /7-группа,
то, как и для группы G, HjH' {p)g^PjP[\H'. Следовательно,
чтобы доказать нашу теорему, мы должны установить равенство
р n G' = Р П Н'. Очевидно, что ОзЯ.-СзЯ', откуда Р П G' з
3 Р П ^« Достаточно доказать, следовательно, включение в дру-
другую сторону: Р ()Н' ^э P()G'. В силу первой теоремы Грюна
р П G' = (Р П
Так как H^dN, Р (]Н' zd Р ПЛГ- Мы должны показать также,
что Р П Н' з Р п X' хРгх для любого х ^ G. Обозначим Р П ^~ !P7JC
через М. Тогда Z S Nq(M) и x^Zx с Nq(M)9 так как x^Zx —
центр подгруппы х~гРх. При этом подгруппа Z содержится
в силовской подгруппе R группы NG(M), a x~lZx — в силов-
силовской подгруппе S той же группы. Следовательно, для некоторого
элемента y^No(M) подгруппы Z и y~lx~lZxy лежат в одной
и той же силовской подгруппе Q группы G, содержащей /?.
В силу свойства /?-нормальности подгрупп, Z и y~lx~lZxy
являются центром группы Q, т. е. они совпадают. Таким образом,
Z = y'1x'lZxy и, значит, xy = h£NG(Z) = H. Но y£NG(M),
откуда
М = у'1 My = y~lPy П у~1х~1Р'ху = у'1Ру П h~xP'h E Я7.
Таким образом, Ж = Pfl x~lP'x £ Pfl Я7, и теорема доказана.
Теорема Ф. Холла дает возможность улучшить также и вто-
вторую теорему Грюна, отбросив требование абелевости.
Теорема 14.4.6. (Холл — Грюн.) Если группа G р-нормалъна,
то наибольшая фактор-группа группы G, являющаяся р-груп-
пой, изоморфна такой же фактор-группе для нормализатора
центра силовской р-подгруппы.
14.4. Теоремы Ф. Холла, Грюна и Виландта 241
Доказательство. Пусть в обозначениях теоремы 14.4.2 Gx—
наша группа G, Рх — силовская р-подгруппа, Q1 — центр под-
подгруппы Pv Нх — нормализатор центра Qv Тогда р-нормаль-
ность группы Gv как отмечалось, означает, что подгруппа QY
слабо замкнута в Pv Так как Ql===:Z(P1), третье условие тео-
теоремы 14.4.2 выполняется и, следовательно, Gljup{G^'^:Hllup{Hl).
Это максимальные фактор-группы, являющиеся р-группами; тем
самым теорема доказана.
Мы можем также уточнить теорему Бернсайда. При каких
условиях силовская р-подгруппа Р группы G изоморфна фак-
фактор-группе группы G? Иначе говоря, когда имеет место изо-
изоморфизм G/up(G)g^P? Предположим, что это свойство выпол-
выполняется. Пусть up(G) = B\ тогда подгруппа В состоит из всех
элементов, порядки которых взаимно просты с р. При этом
BflP—\t B[j P= BP = G. Если Q — произвольная подгруппа
группы Р, то „В U Q = BQ — подгруппа, содержащая Q и все эле-
элементы, порядки которых взаимно просты с р. Подгруппа В инва-
инвариантна в группе BQ. Положим W = Nbq(Q)- Тогда пересечение
W(]B состоит, из элементов группы W, порядки' которых не де-
делятся на р. Ясно, что W (]B <]W и что Q <] W. Но тогда W =
— (W fl^)XQ- Следовательно, любой элемент, порядок кото-
которого взаимно прост ери который перестановочен с подгруп-
подгруппой Q, перестановочен почленно с каждым ее элементом.
Это свойство, ^являющeecя, как мы только что показали, след-
следствием изоморфизма G/«p(G) = P, также и достаточно для этого
изоморфизма» В этом и состоит усиление теоремы Бернсайда
(теоремы 14.3.1).
Теорема 14.4.7. Группа G обладает фактор-группой G/up(G),
изоморфной силовской р-подгруппе Р, тогда и только тогда,
когда для любой подгруппы Q группы Р элемент, порядок ко-
которого взаимно прост ери который перестановочен с под-
подгруппой Q в целом, перестановочен с ней поэлементно.
Доказательство. Применим индукцию по порядку группы G;
утверждение очевидно, если G = P. Покажем, что группа G
р-нормальна. Пусть Z—центр группы Р. Согласно следствию
из теоремы 14.4.2, если группа G не р-нормальна, то центр Z
содержится в другой силовской р-группе Р2, но не инвариантен
в ней. Тогда по теореме 4.2.5 существует подгруппа Q группы Р,
перестановочная в целом, но не перестановочная поэлементно
с некоторым элементом, порядок которого взаимно прост с р.
Это противоречит условию. Поэтому группа G р-нормальна. Со-
Согласно теореме 14.4.6, Gjup{G)^Hjup{H), где Н—нормализатор
Дентра Z. Если И—собственная подгруппа G, то по индукции
Н/(Н)Р, и теорема доказана.
16 М. Холл
242 Гл. 14, Мономиальные представления и перемещение
Поэтому рассмотрим случай, когда G = Н и, следовательно]
Z <\G. Если группа G/Z содержит /7-группу Q/Z, которая пере«
становочна в целом, но не поэлементно с элементом, порядо
которого взаимно лрост с р, то это же самое справедливо для
полного прообраза Q. Поэтому наше условие справедливо дл!
G/Z, и, следовательно, группа G/Z обладает такой инвариантно!
подгруппой K/Z, что соответствующая фактор-группа изоморфн,
группе P/Z. Так как подгруппа К содержится в нормализатора
центра Z и порядок группы K/Z взаимно прост с /?, подгруппа К\
содержится также и в централизаторе центра Z. Следовательно^
К = Zy^Kv где порядок подгруппы Кх не делится на /?. Но под*^
группа Кх = ир (К) = tip (G) состоит исключительно из элементов|
порядки которых взаимно просты с р. Итак, Glup(G) = Pt
и требовалось доказать.
Глава 15
РАСШИРЕНИЯ ГРУПП И КОГОМОЛОГИЯ В ГРУППАХ
15.1. Композиция инвариантной подгруппы и фактор-группы
Вообще говоря, всякая группа G, содержащая заданную
группу U в качестве подгруппы, называется расширением
группы U. Расширения групп были обстоятельно изучены Рей-
Рейнольдом Бэром [11]. Здесь мы ограничимся случаями, когда
группа U инвариантна в группе G.
Отто Шрейер [1,2] первый рассмотрел проблему построения
всех групп G с заданными инвариантной подгруппой N и фактор-
факторгруппой H^Q/N. Всегда существует, по меньшей мере одна
такая группа, так как прямое произведение А/иЯ обладает этим
свойством.
Предположим сперва, что подобная группа G нам дана, и
изучим ее подробно. Элементы фактор-группы H^G/N будем
обозначать символами 1, и, v w. Каждый элемент х£Н
соответствует смежному классу группы G по N. Выберем пред-
представитель х смежного класса xNt соответствующего элементу х,
причем условимся в качестве представителя класса N выбирать
всегда единицу 1 группы G. Тогда
Q = N-\-ltN+ vN + ... +wN, A5.1.1)
и при любом выборе представителей и при гомоморфизме G-+H
имеем
п-+и, H£G, и£Н. A5.1.2)
Тогда отображение
а^и^оп^а",, A5.1.3)
где a£N, является автоморфизмом подгруппы N\ так как N —
инвариантная подгруппа. Кроме того,
и • v = uv(u, v), A5.1.4)
где (и, v)£N, так как при гомоморфизме G—>H, u-+u, v->v.
Множество всех элементов (ut v), определенных равенствами
A5.1.4), назовем системой факторов. Таким образом, строение
группы G зависит от следующих четырех данных:
1) инвариантной подгруппы N,
16*
244 Гл. 15. Расширения групп и когомология в группах
2) фактор-группы Я,
3) автоморфизмов подгруппы N: a<^aut a£N, и£1
4) системы факторов (и, v)£N, и, v£H. \
Необходимо подчеркнуть, что, вообще говоря, автоморфизмы
и система факторов, определенные равенствами A5.1.3) и A5.1.4),!
зависят от выбора представителя и смежного класса uN,
ветствующего элементу и£Н.
Автоморфизмы и система факторов должны удовлетворять!
определенным условиям. Трансформируя элемент a£N> получаем*;
(au)v = (u, v)'l(auv)(ut v). A5.1.5)?
j
Так как в группе G (uv)w — u(vw)t то *
4
(uv)w = [uv(u, v)]w = uv • w(uy v)w = uvw(uv, w)(u, v)u
также
и (vw) = и [vw (v, w)) = uvw (u, vw) (v, w).
Отсюда следует
(uv, w)(u, v)w — (u, vw)(v, w). A6.1.6)-
Для произведения двух элементов иа и vb группы G имеем
(иа) (vb) = uvavb = uv(u, v) avbi
т. е.
(ua)(vb) — uv(u, v)avb. A5.1.7)
To, что представителем N является единица, согласно A5.1.4) дает
(а, 1)= 1 =A, v) A5.1.8)
для всех и, v£H.
Обратно, свойства A5.1.5) и A5.1.6) автоморфизмов и системы
факторов обеспечивают существование группы G с инвариантной
подгруппой N и фактор-группой G/N^H. Действительно, введем
символы иа, u£Ht a£Nt составляющие множество G. В нем
определим бинарную операцию умножения следующим образом:
v)avb. A5.1.9I
Используя A5.1.5) и A5.J.6), легко показать, что это умножение Ч
ассоциативно. Действительно, .J
__ _ __ I
(иа • vb) - wc = uv (и, v) avb • we = uvw (uv, w) (u, v)w (av)w bwc = i
= uvw (uv, w)(u, v)w(v, w)~lavw(v, w |
= uvw(u, vw)avw(vt w)bwc—
= ua • vw (v, w) bwc =
= ua • (vb • we).
15.1. Композиция инвариантной подгруппы и фактор-группы 245
Удобно (однако, как читатель может проверить, не обязательно)
принять, кроме соотношений A5.1.5) и 015.1.6), также равенство
A, 1)=1 ь A5.1.10)
как частный случай равенства A5.1.8). Если в соотношении A5Л .5)
мы полагаем u = v=\ и применяем тождество A5.1.10), то
получаем (а1У = а1, а так как а1 = с — произвольный элемент
из группы N, получим, что cl = c для всех c£N. Теперь в ра-
равенстве A5.1.6) полагаем u = v=\. Тогда 1 ===== A, l)w = (l, w).
Аналогично из равенств v = w=l находим (иУ 1)= 1, 1 • 1 • we =
= w(\, w)c — wc и иа-\*\ = и(и, \)а = иа, поэтому элемент
1 • 1 является единицей системы G. Так как a~^-aw— автомор-
автоморфизм группы TV, существует такой элемент d£N, что dw =
= (w~~lt w)~l с'1 для данных с £ N и w£H. Следовательно, для
любого элемента we £ G справедливо равенство w~~1d • we =
= 1 (w~lt w)dwc = 1 • 1, т. е. любой элемент из G обладает
левым обратным. Таким образом, G — группа. Правило умноже-
умножения A5.1.9) в .этой группе таково, что отображение
~па->и A5.1.11)
является гомоморфизмом группы G на Я, ядро которого состоит
из всех элементов вида 1а. Так как
Га-Тй = ГA, l)ab=labt
то соответствие 1а ^ а — изоморфизм между этим ядром и груп-
группой N. Так как и\ • \а = и(и, \)а = иа, можно взять элементы
и=.и\ в качестве представителей смежных классов по TV и рас-
рассматривать элемент иа как произведение и на а. Сформулируем
полученные результаты в виде теоремы.
Теорема 15.1.1. (Шрейер.) Пусть дана группа G, содержа-
содержащая нормальный делитель TV, и пусть Н — фактор-группа G/N.
Если выбрать представители и в классах uN —>u£H, причем
1 = 1, то тем самым будут определены автоморфизмы и си-
система факторов, удовлетворяющие следующим тождествам:
(auf = (u, v)~\auv)(u, v), а, (и, v)£N] и, v£H\
(uv, w)(uy v)w = (u, vw)(v, w)\ A, 1)=1.
Обратно, если для каждого элемента и^Н задан авто-
автоморфизм а"^аи группы N и для этих автоморфизмов и си-
системы факторов [(ut v)£N], и, v£H, выписанные выше соот-
соотношения справедливы, то элементы иа, и£Н, a£N с законом
246 Гл. 15. Расширения групп и когомология в группах
умножения иа • vb = uv (и, v)avb образуют группу G с
антной подгруппой N и фактор-группой G/N, изоморфной Я.'
Если не требовать, чтобы выполнялось равенство A, 1)= 1,1
то теорема еще остается справедливой, если в качестве единицы <
группы О взять элемент 1A, I)".
Единственное расширение G, определенное группами N и Я,
автоморфизмами а^аи и системой факторов (ut v)t будем обозна- |
чать E[N. Я, аи, (и, v)].
Если изменить систему представителей смежных классов по ЛГ
в G, положив
й = й<х(й), и£Н, ol(u)£N, A5.1.12)
где 1 = 1 = 1, т. е. аA)=1, то получим новые автоморфизмы;;
a^attl = u-lau=ea(u)~latt<i(u) A5.1.13I
и новую систему факторов (и, vI, для которой
и • v — uol(u) vol (v) = uv (u, v) a (u)v a (v) =
= uv(ut v)l — uvaL(uv)(u, vI. A5.1.14)
Определение. Два расширения
Ег=:Е(М, Я, a", (a, v)] и E2 = E[Nt Я, аи\ (a, vI]
называются эквивалентными, если их автоморфизмы и си- j
стемы факторов связаны соотношениями
(и, v)l — a(uv) (и, v) a (u)v а (v),
где си (и) — функция на элементах и£Н со значениями в N>
причем а A) = 1. Эквивалентность двух расширений будем
обозначать так: E[N, Я, а", (и, v)]>—E[N, Я, aul, (и, v)l]t
Отношение эквивалентности расширений Е2 и Ех сводится к изме-
изменению системы представителей смежных классов по N в той же,
самой группе О, и поэтому ясно, что это в обычном смысле
этого слова эквивалентность, т. е. она обладает свойством сим-
симметричности, рефлексивности и транзитивности.
Если представители и смежных классов по N могут быть
выбраны так, что _
~uv=uv, A5.1.15)
т. е. (м, г;I— 1 !), то они образуют группу, изоморфную группе Я.
Эти группы можно отождествить. В этом случае говорят, что4
1) Тождественно для всех и и хк — Прим. ред. »
15.2. Центральные расширения 247
G — расщепляемое расширение группы N, или, что О — полу-
полупрямое произведение групп N и Н.
Теорема 15.1.2. Расширение G=E[N, #, а", (и, v)] группы N
расщепляемо тогда и только тогда, когда можно найти та-
такую функцию a(u)£N, u£H, что
(ut v) а (u)v а (v) = а (uv)
для всех и, г> £ //.
Доказательство. Если представители смежных классов вы-
выбраны так, что G = E(N, Н, aut (ut v)] — расщепляемое расши-
расширение N, то (и, v)l—\ и, полагая и = иа(и), имеем
(и, v)ol(u)vol(v)^=ol(uv). A5.1.16)
Обратно, если существует такая функция а(й), что тождество
A5.1.16) справедливо, то из условия aul ==си(и)"г аиса(и) опреде-
определяем автоморфизмы аа\ соответствующие представителям и = иа(и).
Теперь расширение E[Nt H, а, (и, г;I] = О существует и экви-
эквивалентно расширению, для которого (ut vI = 1 для всех utv£H.
Следовательно,* оно расщепляемо.
15.2. Центральные расширения
Предположим, что все факторы (и, v) расширения группы Л
при помощи группы Н лежат в центре В группы А. В этом слу-
случае говорят, что расширение Е[А, //, аи, (ut v)] — централь-
центральное расширение группы А при помощи группы Н. Так, если
А — абелева группа, то В= А и все расширения группы А — цен-
центральные расширения.
Для центральных расширений соотношение A5.1.5) принимает
вид
(a*f = auv. A5.2.1)
Из этого равенства следует, что автоморфизмы a<tau группы А
образуют группу, гомоморфную Н. Пусть ^ — один из гомомор-
гомоморфизмов группы Н в группу автоморфизмов группы А. Если заме-
заменить систему представителей и при помощи функции си (и) со зна-
значениями из центра В, то автоморфизмы при этом не изменятся.
Следовательно, для таких расширений эти автоморфизмы не изме-
изменяются при переходе к другой системе представителей смежных
классов по N и образуют группу, гомоморфную Я, (Следуя
Бэру [1], будем называть их //-^-расширениями.) Этим закон-
закончено рассмотрение условий A5.1.5) для случая центральных рас-
расширений, и нам нужно только рассмотреть условия A5.1.6);
(uvt w)(u, v)w = (u, vw)(y, w). A5.2.2)
248 Гл. 15. Расширения групп и когомология в группах
Для эквивалентного расширения
(и, v)l = a(uv)~l(u. v) ol(u)v a(v)9 A5.2.3)
где ol(u)£B.
Если системы факторов (й, v)x и (й, vJ удовлетворяют требо-
требованию A5.2.2), то элементы (й, v)s, определяемые как произве-
произведения .
(«, г>K = («. v)i(«. vJ. й, v£Ht < A5.2.4)
также удовлетворяют требованию A5.2.2) и образуют систему
факторов, определяющую некоторое //-^-расширение группы А.
При таком определении произведения систем факторов существует
единичный элемент, а именно система факторов, состоящая из эле-
элементов (й, v)= 1, и обратный элемент — система факторов, состоя-
состоящая из элементов (й, v)~l. Более того, для эквивалентных систем
факторов (й, v)*—■(#, v)x и (и, vf2—-(и, vH имеем (й, v)*(u, v)*—'
— (й, ^(й, vJ. Следовательно, совокупность всех систем фактороз
Я-^-расширений группы А образует абелеву группу, даже если
отождествлять эквивалентные системы факторов. Эту абелеву группу
с отождествленными эквивалентными элементами будем называть
группой расширений.
Если группа Н конечна, определим функцию
/(*)=П(«. »)• A5.2.5)
а
Перемножая равенства A5.2.2) для всех й^Я, получаем
, w)'\ A5.2.6)
где п — порядок группы Н. Отсюда в силу формулы A5.2.3)
имеем, что
(v, w)n=\. A5.2.7)
Если т — число, кратное порядку любого элемента из В, то
также
(v9 w)m= 1, A5.2.8)
так как (й, v)£B. Итак, доказана следующая теорема:
Теорема 15.2.1. Порядок любого элемента группы расши-
расширений делит порядок группы И, а также наименьшее общее
кратное порядков элементов группы В.
Следствие 15.2.1. Если т и п — взаимно простые числа,
то все Н-1-расширения группы А эквивалентны полупрямому
произведению А на Н.
Эту теорему мы используем при доказательстве теоремы 15.2.2
о расширениях, не обязательно центральных.
15.3. Циклические расширения 249
Теорема 15.2.2. Пусть G— группа конечного порядка тп,
содержащая инвариантную подгруппу К порядка т и обладаю-
обладающая фактор-группой H — GjK порядка п, причем числа тип
взаимно просты. Тогда расширение G группы К расщепляемо.
Доказательство. Достаточно показать, что группа G обла-
обладает подгруппой порядка п. Применим индукцию по т. Теорема
тривиальна при т=\. Пусть т> 1 и р — простое число, кото-
которое делит т. Все силовские подгруппы Sp группы G содер-
содержатся в /С, так как К — инвариантная подгруппа, содержащая по
меньшей мере одну силовскую подгруппу Sp, а все силовские
/?-подгруппы сопряжены. Таким образом, число силовских под-
подгрупп Sp в группе G равно их числу в группе К. Значит, в силу
теоремы 1.6.1, [G : NG (Sp)]=[K: NK(Sp)l откуда [NG (Sp): NK(Sp)]^
— [О : К] = п, где Nq (Sp) и N# (Sp) — нормализаторы под-
подгруппы Sp соответственно в группах G и /С При этом, конечно,
Nk (Sp) = Nq (Sp) П К у и по теореме 2.4.1 NK(Sp)— инвариантная
подгруппа в Nq (Sp). Если Nq (Sp) — собственная подгруппа
группы G, то по предположению индукции она содержит под-
подгруппу порядка п.
Поэтому мы можем предположить, что G = Ng(Sp) и, следо-
следовательно, К= N/f (Sp). Если Sp — собственная подгруппа группы /С,
то по индукции группа G содержит подгруппу порядка [G:Sp],
изоморфную фактор-группе G/Sp, и, таким образом, подгруппу,
изоморфную группе G//C, порядка я, что доказывает теорему в этом
случае. Следовательно, осталось рассмотреть случай, когда K=^Sp.
Если г^гапа jSp абелева, то G — ее центральное расширение, и
в силу_1$ледствия из теоремы 15.2.1 G — расщепляемое расшире-
расширение группы Sp, и теорема доказана. Если группа Sp не абелева,
то ее центр Z является .собственной характеристической подгруп-
подгруппой, которая, следовательно, инвариантна в группе G. Теперь
в силу предположения индукции группа G/Z содержит подгруппу
U/Z порядка п. Но Z — инвариантная подгруппа индекса п в под-
подгруппе U группы G, следовательно (опять по индукции) под-
подгруппа U содержит подгруппу порядка п, и теорема полностью
доказана. *
15.3 Циклические расширения
Пусть Н—циклическая группа конечного порядка т, поро-
порожденная элементом х. Пусть
1, х, х2 хт'1 . A5.3.1)
— ее элементы. В расширении G группы N при помощи группы Н
выберем в качестве представителя смежного класса по N, соот-
соответствующего элементу х, некоторый элемент х и возьмем в ка-
250 Гл. 15. Расширения групп и когомология в группах
честве представителей классов, соответствующих элементам х2, . . #'^|
..., хт~19 элементы х2, ..., хт~1 соответственно. Тогда
G = N-\-Nx-\- ..
При этом
хт = (х, х " A5.3.3J
где а — некоторый элемент из N. Отсюда для автоморфизм^
а*£ах группы N следует
а*т = а.-1аа, а£ЛЛ A5.3.4)^
Кроме того, из тождества
следует, что
а* = а. A5.3.6)
Покажем, что соотношения A5.3.4) и A5.3.6) полностью опре-
определяют расширение группы N при помощи Н.
Теорема 15.3.1. Пусть Н—циклическая группа конечного
порядка т. Тогда расширение G группы N при помощи группы И
существует тогда и только тогда, когда существует авто-
автоморфизм а~^ах группы N и элемент cl£N такие, что A) ?
т-я степень этого автоморфизма является внутренним авто-
автоморфизмом группы N с элементом а в качестве трансформи-
трансформирующего элемента, и B) этот автоморфизм на элемент а
действует тождественно.
Доказательство. Как мы уже показали, если искомое расши-,;
рение существует, то автоморфизм а<^а* и элемент а удовле- |
творяют условиям A5.3.4) и A5.3.6). Теперь нужно доказать, Л
что соотношений A5.3.4) и A5.3.6) достаточно для построения \
расширения. Группа //состоит из элементов х1, / — 0, 1 т—1. f
Определим автоморфизмы группы N и систему факторов следующим г
образом:
ах° = а, а*1= а^)* , 1=1 т — 2, A5.3.7)
(х1, xJ)=\, если /+у<^— 1. A5.3.8.1)
) = а, если т</+У- A5.3.8.2)
Легко проверить, что для них соотношения A5.1.5) и A5.1.6)
выполняются, а, следовательно, по теореме 15.1.1 расширение
вполне определено.
Если Н—циклическая группа бесконечного порядка, можно
положить (хК л:у) = 1 для всех / и /; а что касается автомор-
физма а^ах, то оказывается, что в этом случае на него, «е
накладываются никакие ограничения. Это означает, что х1 = х1
для всех /.
15.4. Определяющие отношения и расширения 251
15.4. Определяющие отношения и расширения
В предыдущем параграфе мы видели, что в случае цикли-
циклической группы Н условия существования расширения группы N
очень просты. Это соответствует простым определяющим отноше-
отношениям в группе Я. В этом параграфе мы увидим, как условия
существования расширения при помощи некоторой группы Н
зависят от определяющих отношений группы Н в самом общем
случае. •
Пусть группа Н с образующими элементами х, у, z, . ..
задана определяющими отношениями:
срДл;, yt zt ...)=1, 1=1, 2 г.
Можно считать, что каждый элемент /г£// представлен опреде-
определенным словом h = h(x, yt z, ...) от образующих и обратных
к ним элементов. Если G — расширение группы N при помощи //,
то можно выбрать в качестве представителей смежных классов
по N соответствующие слова от х, у, z, ... так, чтобы при
гомоморфизме G —> Н
х->х, h(x, у, . ./)->А(лг, у, ...). A5.4.2)
Пусть теперь Fx — свободная группа с образующими х, у, z, . ..,
соответствующими образующим х, у, zt ... групяы //. Тогда
имеем гомоморфизмы
х->х->х, .
у->у->у. A5.4.3)
которые отображают __
ч A5.4.4)
где Н—подгруппа группы О, порожденная элементами х, у,
z, . .. и, следовательно, содержащая по меньшей мере тщ одному
элементу из каждого смежного класса по N. Следовательно,
G —Н[) ЛЛ Поэтому если F2 — свободная группа, гомоморфным
образом которой является группа N, то мы можем образовать
свободную группу F — Z7! U F2 и определить гомоморфизмы
* Fl->H->Ht A5.4.5)
F2->N->\.
Любой элемент h £ Н индуцирует автоморфизм в группе N:
~h~lah = a!\ ~h^Ht a£N. A5.4.6)
252 Гл. 15. Расширения групп и когомология в группах
При отображении FX->H мы имеем Н = FJW, где W — наимень-у/|
шая инвариантная подгруппа, содержащая элементы срДх, у, . . .).Л
Следовательно, при отображении Н->Н элементы срДлг, у, ...)
переходят в единицу. Таким образом,
?/(*. У. ...) = ^6^.V A5.4.7)
В свободной группе F имеет место тождество
ихи2 ... «г = ^2 ... zs,
если и и 2: — такие слова, для которых приведенные слова совпа-*
дают. При гомоморфизме F на О любое тождество сохраняется и
подгруппы W и F2 отображаются в N. Так, из любого тождества I
относительно слов из инвариантной подгруппы, порожденной под- ;|
группами W и F2, при помощи соотношений A5.4.6) и A5.4.7) •
получаются условия, налагаемые на элементы а,- и автоморфизмы i
а <^ аЛ, которые можно интерпретировать как условия существо-
вания расширения О группы N при помощи Н. Так как эле-
мент av~luv принадлежит* пересечению N f| H, то он является
образом в группе О элемента из W, т. е. произведением элементов,
сопряженных с элементами вида срДдг, у, . . .) = а,.. Следовательно,
любой фактора (и, v) = av~1uv является образом в Н некоторого
элемента из W, и если u==hl(xt у, ...), v = h2(x, у, . . .),
uv = h3(x, у, ...)» то фактор (и, v) является образом элемента
А3(х. У, ...ГЧ(х. У, ...)Аз(х. У, ...) A5.4.8)
из Г.
Условиями теоремы 15.1.1 являются тождества в свободной
группе F, выраженные как условия, налагаемые на систему факторов
и автоморфизмы согласно A5.4.6) и A5.4.7). Так, соотноше-
соотношение A5.1.5)
(au)v = (u, vTl(auv)(u. v)
есть лишь видоизменение тождества
гГ1 {и аи)v = (uv~xuv)~~l (uv~lauv)(uv~luv) A5.4.9)
при помощи равенства A5.4.6) и замены элементов из W эле-
элементами из N. Аналогично соотношение A5.1.6)
(uv, teO(tf> v)w = (ut vw)(v, w)
есть лишь видоизмененное тождество
(uvw~luvw) w~l (av~1av)w = (avw~luvw) (vw~lvw). A5.4.10)
15.5. Групповые кольца и центральные расширения 253
Таким образом, условия существования расширения группы N при
помощи группы Н являются лишь видоизменениями тождеств
в группе F. Отметим, что определяющие отношения группы А/
в оба условия не входят. Эти условия можно рассматривать как
данные для нахождения элементов ol^N и автоморфизмов группы N,
соответствующих определяющим отношениям группы Н. Оба эти
условия становятся тривиальными, если Н — свободная группа,
так как тогда в любом случае мы можем выбрать представители
так, чтобы uv = uv, т. е. чтобы факторы были равны единице, и
даже потребовать, чтобы автоморфизмы составляли группу.
На практике бывает трудно найти тождества в группе F,
соответствующие условиям существования расширения. В следую-
следующем параграфе мы найдем их для центральных расширений
группы N при помощи группы Н.
15.5. Групповые кольца и центральные расширения ')
Рассмотрим центральное расширение группы N с центром С
при помощи конечной группы Н. Предположим, как и в § 15.2,
что автоморфизмы удовлетворяют соотношению
(au)v = auv. A5.5.1)
Мы условились, что факторы (a, v) — av~1av принадлежат С.
Согласно лемме 7.2.2 (для правых смежных классов), эти эле-
элементы порождают такую подгруппу Т группы //, что Н/Т=Н.
Но если
у, ...) = 1 A5.5.2)
— определяющие отношения группы Я, то
срДх, у, ...) = а,.£С, A5.5.3)
так как очевидно, что элементы а( принадлежат подгруппе 7,
порожденной элементами из С. -
Если г и s — эндоморфизмы группы С, то мы можем опреде-
определить эндоморфизм г + 5, положив
aras = ar+s. A5.5.4)
Таким образом, в силу A5.5.1) и A5.5.4) групповое кольцо Н*
группы И можно рассматривать как кольцо операторов группы С.
При этом групповое кольцо Н* состоит из элементов вида
cxhx+ ... +cnhn. A5.5.5)
!) См. М. Холл [1].
254
Гл. 15. Расширения групп и когомология в группах
где hx htl — элементы из Я, а сх сп — целые чис
Сложение элементов из Я* производится покомпонентно, а
жение определяется умножением в Я: hthg= hk и подчиняв
обоим дистрибутивным законам. Легко проверить, что Я* — асс|
циативное кольцо и что его единицей является единица группы
Будем говорить, что абелева группа А с кольцом операт
ров Я* операторно свободна, если она обладает таким базие
ах, а2 аг что любой элемент из А имеет вид
* = *>*'...<'. z.ZH*. A5.5|
и такое представление единственно. Так, из а = 1 следует,
Теорема 15.5.1. Единственным расширением О оператор
свободной группы А при помощи конечной группы Я являег
полупрямое произведение А на Я.
Доказательство. Произвольный элемент (? группы А од»
значно записывается в виде
Если z~cnhx-\- ... +cinhn, /=lt ..., г, то положим .
... а
rj
Тогда при t — hv h2, ..'., hn элемент b имеет единственное пре
ставление
Ц; ty. t = hx hn. A5
A5.5,1
Для системы факторов получаем теперь
' (и. гО = П("' Ъ
и тождество A5.1.6) в силу однозначности представления A5.5.?
принимает вид
(uv, w\ t)(u, v\ tw~l) — (u, vw\ t)(vt щ t). A5.54
Если мы теперь положим и = и Д(й» *~ » О для всех tt
то, пользуясь равенством A5.5.9), можно проверить, что
uv = uv. A5.5.K
Таким образом, новые представители образуют группу, a G —
прямое произведение групп Л и Я.
15.6. Групповые кольца и центральные расширения 255
Согласно результатам §15.4, условиями существования централь-
центрального расширения группы N при помощи группы Н являются усло-
условия A5.5.1) и условия вида
^ ^Н\ A5.5.11)
где <fi(x, у, ...) = а/) как и в равенстве A5.5.3). Теперь пред-
предположим, что N — операторно свободная группа. Мы знаем тогда,
что значения а^= 1, 1 = 1 г, удовлетворяют равенству A5.5.11),
а все другие решения (этого равенства) получаются другим выбо-
выбором представителей в смежных классах. Если положить х = %х,
ужа*г\у, ...,что ср£(Sjc, т)у, .. .)«= 1. Используя равенство^
аг = Ъг, a£Nt A5.5.12)
получаем
^ у, ...)№ ..■■ A5.5.13)
Таким образом^ элементы af = tfrf* ... также удовлетворяют
условию A6.5.11), так как эти значения получены изменением
представителей в полупрямом произведении. Выбирая £, т], ...
в качестве независимых базисных элементов группы TV, получаем
следующие соотношения в кольце #*:
2ед = 0' 2уА = ° '=1 г- A5.5.14)
Элементы xt, y[t ... кольца //* легко определить из соотноше-
соотношений ср^ (лг, у, . ..)=1, определяющих группу Н, пользуясь тож-
тождеством A5.5.12). Следовательно, элементы ut в равенстве A5.5.11)
не произвольны, а подчинены условиям A5.5.14). Если мы сумеем
доказать обратное утверждение, что элементы ui% удовлетворяющие
условиям A5.5.14), обращают в тождества соотношения A5.5.11),
то мы тем самым сведем изучение условий A5.5.11) к решению
Уравнений A5.5.14). Дадим доказательство этого факта с помощью
метода Магнуса [2].
Теорема 15.5.2. Для данных групп Н и N условия суще-
существования центрального расширения группы N при помощи Н
следующие: 1) автоморфизмы a^tah, соответствующие эле-
элементам из Я, удовлетворяют условию A5.5.1), 2) существуют
элементы ait принадлежащие центру С группы N, дл^шото-
Рых <р* (#. у, . . .) = <*;,/= 1, ..., г, где yt (jc, у, ...)== 1 — опре-
определяющие отношения группы Н, и 3) элементы 0Lt обладают
свойством A5.5.11), где ut — элементы, удовлетворяющие ра-
равенствам A5.5.14) в кольце Н*.
256 Гл. 15. Расширения групп и когомология в группах
Доказательство. Ранее нами уже установлены все утверж,
ния теоремы, кроме последнего, что любое множество элем
тов ut, удовлетворяющих уравнениям A5.5.14), обладает cbqj
ством A5.5.11).
Рассмотрим (как и в § 15.4) свободную группу Fv порождены
элементами х, у, ...; пусть H=F1/W, где W — наимень
инвариантная подгруппа, содержащая элементы срДх, у, . ..). Пус
W— производная подгруппа группы W. Тогда W'— инвариант]
подгруппа группы Fv так как она является характеристическс^
подгруппой инвариантной подгруппы W. Фактор-группа Т= Fxf
обладает следующими свойствами: A) она порождается элемент
тами jc, у, .. .; B) она содержит такую инвариантную подгрупп^
V = Wf/W, что 7/1/ = //, и C) группа V абелева. Наконец, ясно\
что любая группа с этими свойствами является гомоморфны*
образом группы 71, так как любая такая группа должна быт$
гомоморфным образом группы Fv и при этом элементы под*
группы Wr отображаются в единицу. Для доказательства теорем*^
мы воспользуемся леммой, доказательство которой приведем
доказательства теоремы.
Лемма 15.5.1. Пусть даны матрицы вида I ] , где
L — линейная форма от некоторого числа переменных с ко эф
фициентами из //*, которые умножаются согласно следующему
правилу:
0\ fh2 0\ / А, А, О
Тогда элементам х, у, ... соответствуют матрицы видш
х = I ),..., и эти матрицы порождают группу, изоморф*
ную группе T=F1/W\
/1 0\
Заметим, что, так как матрицы ( порождают аддитив-;
\L I/ j
ную и тем самым абелеву группу, эта группа является, во всякому
случае, гомоморфным образом группы Т.
При центральном расширении Н — гомоморфный образ ТА
Следовательно, если соотношение j
?/(jcf у, ...р= 1, и&Н*. A5.5.15I
имеет место в группе 71, то соответствующее равенство A5.5.1 Ж
выполняется в группе //.
15.5. Групповые кольца и центральные расширения 257
Предположим, что лемма уже доказана. Тогда мы имеем в Т
элементы подгруппы V следующего вида:
у, ...)=( , /=1 г, A5.5.16)
\Li> V
где Lt — линейная форма от переменных tx, tyi ... с коэффи-
коэффициентами из кольца //*. Присоединим к подгруппе V элементы
/1, 0\ /1, 0\
'-U ■)• Н',. .)••- A5517)
где t^ t^f ... — новые переменные. Пусть а имеет то же значе-
значение, как и выше (и£Н), тогда
Таким образом, присоединив элементы вида A5.5.17) к подгруппеУ",
мы присоединили тем самым операторно свободную группу. Далее,
\hx + tx. 1/
A5.5.19)
После этого получаем «р£Eх, ту, ...) в виде A5.5.16), при этом
в Lt tx заменяется на t^x-\-tx и т. д. Следовательно, из тождества
?i(U. ЧУ. • • •) = «Pi (*. У. • • •) 5**4"' • • • A5.5.20)
и линейности формы Lt получаем
U 0 о5-5'-21)
Поэтому если равенства A5.5.14) имеют место, то
2/ = °- A5.5.22)
2
Так как здесь ^ — символы, не связанные никакими соотношениями,
отсюда следует, что
2/,Л = 0 A5.5.23)
при любых аргументах линейных форм Lv Применяя это соотно-
соотношение к элементам A5.5.16), получаем
Ц?|(Я У. ...)в/=1- A5.5.24)
17 М. Холл
258 . Гл. 15. Расширения групп и когомология в группах
Так как это равенство справедливо в группе Т, оно справедлив!
также в //, и, следовательно, мы показали, что JJa"*=l в группе
как только имеют место равенства A5.5.14) в Н*. Следовательно?-
соотношение A5.5.11) является следствием соотношений A5.5.14'
что и завершает доказательство теоремы. Осталось только доказа*
сформулированную выше лемму.
Доказательство леммы. Предположим, что в фактор-груп
Н= FJW представители смежных классов по подгруппе W выбран]
так, что каждый из них является первым в своем классе относи-
относительно некоторого лексикографического упорядочения элемента
свободной группы Fv Тогда этот лексикографический порядок
можно перенести на группу Н: если h = h(x, у, . . .) — первый1!
элемент смежного класса Wh, то будем считать h = h(x, у, ...)£/$
каноническим представлением элемента /г. Таким образом, однеи
и то же слово может употребляться и для представления элемент^
из Н и для соответствующего представления смежного класса!
по W. Мы можем, следовательно, говорить о длине элемента из
как о длине его канонического представления. Рассмотрим теперь'
отображения
- /*, 0\ - /у, О
vjc» V vy
где х, у — образующие группы //, и правило умножения матриц
имеет вид
/*!• 0\/Л2, 0\_/ hxhv 0\
Здесь hv Л2^//, a Lv L2 — линейные формы от символов tx, ty, . . .
с коэффициентами из кольца Я*. Как отмечалось выше, группа /С,
порожденная этими матрицами, является, во всяком случае, гомо*
морфным образом группы 71, так как отображение I ' )
очевидно, является гомоморфизмом К на //, и ядро этого гомо-*^
морфизма состоит из элементов вида i 1, которые образуют^
аддитивную абелеву группу.
Согласно теореме 7.3.6, W — свободная подгруппа группы Ft
со свободными образующими сг.
М
где х — образующий группы Fv i
1) В смысле лексикографического порядка. — Прим. ред. _ )
15.5. Групповые кольца и центральные расширения .259
Более того, по лемме 7.2.3 слово h^ не может кончаться
сомножителем х, а слово hy — сомножителем х. Группа W
порождается всеми коммутаторами элементов Су, а фактор-группа
WjWr — свободная абелева группа с базисом Сц по модулю W.
Если мы сможем показать, что элементы с^, соответствующие
элементам htxhj1, независимы в группе /С, то из предыдущих
утверждений мы получим, что К — точное представление группы
T=FX/Wf. При отображении FX-*>H имеем с у—>1, bl->hi,
и х—>х. Поэтому в группе Н hiX = hj. Пусть теперь
h
Г
0\ - /*. 0
l
0
\
Тогда
г-1
A5.5.26)
1\ 1/
так как htx = hj в группе Я.
Мы должны подробнее рассмотреть линейную форму L(ht)9
входящую в матрицу, соответствующую элементу ht. Пусть
Положим q(a) = ta, если а = д: — образующий элемент, и q(a) =
== — ta-\at если а~г==л: — образующий элемент. Если /г =
= а1а2 о. о аг — произвольное слово, где каждый элемент at — это
один из элементов х, у, ... или х~19 у", ..•, то имеем
\L(h). I/
где
A5.5.27)
здесь h = ^^2 • • • аг'
Это выражение для L(h) устанавливается индукцией по г
при помощи правила перемножения матриц; Отметим, что из
17*
260 Гл. 15. Расширения групп и когомология в группах [
формулы A5.5.27) вытекает следующее тождество:
L(h)h~l = q(ai)ail + q(ai)a,2laTl + > .. + ? (ar) ar~ V-i ... af1. •
A5.5.28)/;
Если элемент h представлен в канонической форме, то q (а,.) умно- (
жается здесь на элемент, обратный произведению а1а2 . . . al% \
который в силу шрейеровского свойства представителей смежных
классов по W тоже представлен в каноническом виде. Таким
образом, в качестве базиса группового кольца Н* удобно брать
обратные элементы от канонических представлений элементов
группы Я.
Каждому образующему Су группы W однозначно соответствуют
некоторые элементы /г- и х. Поэтому мы можем сопоставить
j 1
элементу с у произведение txhj . Это выражение можно охаракте-
охарактеризовать тем, что слово hj представлено канонически, а слово hjX~~l,
хоть и является редуцированным словом, не имеет канонического
вида, так как равно каноническому представлению элемента ht.
Но в A5.5.23) линейная форма L{hi)hJl + txhjl = L(hj) hj1
не содержит других членов этого типа. Действительно, в силу
свойств A5.5.25) другие слагаемые в произведении L{ht)hJl
или L(hj)hJl имеют вид q(ak)aul ... аг1, где аг .. . ak — на-
начальный отрезок слова ht или hj, и поэтому в силу шрейеровского
свойства, слов h слово аг . . . ak само является каноническим пред-
представлением некоторого элемента h. Если ak = у — образующий
элемент, то q{ak)auX . •. п\1 = tyy~l . . . af1 = tyh~lt где слово h
кончается элементом * у, так что слово hy~l редуцировано. Но
если ak = y~l> где у — образующий элемент, то q^a\a~l ... а~1 =
= — ty • ап-1 ... й\Х = — tyh~l> где слово hy~1 = ах . .. ak запи-
записано в каноническом виде. Таким образом, слагаемое txhjl—един-
txhjl—единственный член такого типа в линейной форме, сопоставляемой
элементу Су, причем различным элементам вида Су соответствуют
различные такие члены. Следовательно, линейные формы L (Су)
линейно независимы, и элементы Су порождают свободную абелеву
группу, которая, конечно, изоморфна группе W/W. Поэтому
группа /С, порожденная матрицами, соответствующими элемен-
элементам jc, у является точным представлением группы Т= FJWft
и лемма доказана. J
16.6. Двойные модули 1
Пусть Q — произвольная мультипликативная группа и А—двои- 3
ной 2-модуль, т. е. аддитивная абелева группа, удовлетворяющая \
следующим условиям: i
15.7. Коцепи, кограницы и группы когомологий 261
1) группа 2 является одновременно группой левых и правых
операторов, так что \а и а\ — однозначно определенные элементы
из А для а£ А, ££ &;
2) дистрибутивность:
откуда
_-^а = 6(— a), —аБ = (— а) Б,
' 50 = 06 = 0;
3) \а=а\ = а, где 1—единица группы Q;
. 4) ассоциативность: £G]а)=(£т]) (а), (£а) tj = E (anj), (а?) tj = а
Эти условия должны выполняться для любых элементов а, av
£А и 6, т]£ 2.
По существу, двойной Q-модуль— это то же самое, что адди-
аддитивная абелева группа с элементами (£, г\) группы Q X 2 в качестве
дистрибутивных операторов.
В приложениях часто случается, что операторы из группы
действуют тривиально с одной стороны, например, слева. Это
означает, что \а = а для всех £££J и а £ Л. В этом случае мы
просто не будем учитывать левосторонние операторы. В таком
случае назовем операторы односторонними.
Пусть, например, А — инвариантная абелева подгруппа некото-
некоторой группы G, a Q = О/А. Если % = Ащ, то элемент и^1аи^ зависит
только от а и £, но не от выбора представителя и^. Поэтому мы
можем записать, что cfi = u^lau^. Это пример группы односторон-
односторонних операторов, причем группа А записана также мультипликативно.
В теории же когомологий удобнее пользоваться аддитивной записью
группы Л.
15.7. Коцепи, кограницы и группы когомологий1)
Пусть А — двойной Q-модуль. Определим группу Сп ==СЛ(Л, Q)
как аддитивную группу всех функций f от п переменных, пробе-
пробегающих независимо друг от друга множество Q, со значениями
в Л, причем
Бя) = 0, A5.7.1)
если хоть один из аргументов \t равен 1. Элементы группы Сп
называются п-мерными коцепями. С°=Л, по определению, и
0-мерной коцепью является просто произвольный элемент из А.
1) См. Эйленберг, Маклейн [1, 2] и Маклейн [2] (см. также Боревич
и Фаддеев [\\.*-Прим. перев.).
262.
Гл. 15. Расширения групп и когомология в группах
Пограничный оператор 8 отображает каждую группу
п+Х
в следующую группу Сп+Х по правилу:
+ 2 (-1)
Si Ъ-дЪ A5.7.2I
Здесь f£Cn и, очевидно, 8/£Cn+1. Отображение /—>8/ является
гомоморфизмом по отношению к операции сложения. Действи-
Действительно полезными в теории групп оказываются только случаи
я —0, 1, 2. В этих случаях оператор 8 кограницы определяется
следующими формулами:
(8/) (£) = £/ — /? = Еа — аЕ, так как / = а £ Л,
№Ч)+/($)Ч. A5.7.3)
tq, С) = £/ (ч, С) — в
Теорема 15.7.1. Ясл» / — произвольная коцепь, то 82/ = 0.
Доказательство. Пусть /£СЛ"~2. Тогда bf£Cn~l0 Поэтому,
когда мы, пользуясь определениями, выражаем (82/)(£lf £2 ^л)
как сумму значений 8/, то получаем п •+■ 1 слагаемых с чередую-
чередующимися знаками:
«0 — ^1 + %— ••• -К— 1)п*п-
Каждый элемент щ в свою очередь представляется знакоперемен-
знакопеременной суммой п значений функции /:
4- •••
Следовательно,
.2(
S(
где числа / и j пробегают значения от 1 до п. Но, как легко
проверить, uij = Uji для всех / и /, и указанная выше сумма
равна нулю.
Если /£Сп и 8/ = 0, то элемент / называется п-мерным
коциклом. Эти коциклы образуют ядро Zn = Zn(A, Q) гомомор-
гомоморфизма группы Сп в Ся+1, индуцируемого отображением 8.
• Если / £ Сп и существует такой элемент g^Cn~lt что bg = f>
то элемент / называется п-мерной кограницей. Эти кограницы
составляют образ Вп = Вп(А> Q) группы Сп~г при отображении 8.
По определению, £°==0.
/57. Коцепи, кограницы и группы когомологии 263
Согласно теореме, каждая кограница есть коцикл, так что
Вп с Zn для всех п. Фактор-группа ZnjBn называется п-мерной
группой когомологии двойного 2-модуля А и обозначается
При определении коцепей /(^, ..., 1п) мы наложили на них
требование A5.7.1), согласно которому коцепь равна нулю, если
хоть один из аргументов равен единице. Во многих случаях такое
ограничение желательно, как, например, в применении к фактор-
системам, о которых шла речь выше. Назовем такие коцепи нор-
нормализованными. Если же ограничение A5.7.1) не вводится, гово-
говорят о ненормализованных коцепях. Теорема 15.7.1 справедлива,
конечно, в обоих случаях, так как в ней ограничение 15.7.1 не
использовалось. По сути же различение нормализованных и ненор-
ненормализованных коцепей вводится исключительно для удобства, так
как мы покажем, что группы когомологии любой размерности для
ненормализованных коцепей изоморфны соответствующим группам
для нормализованных.
Теорема J5.7.2. Группы когомологии Нп(А, Q) любой раз-
размерности п для ненормализованных коцепей изоморфны соот-
соответствующим группам для нормализованных коцепей.
Доказательство. Обозначим группы нормализованных коце-
коцепей, кограницы и коциклы размерности п соответственно через
Сп, Вп, Zn, а для ненормализованного случая—через С/П, В'п\ Z'n.
Для п = 0 и п=\ легко проверить, что В° = В'° = 0,
Z0 = Z'° и В1 = В'1, Z1 = Z'1, откуда группы Я0 (Л, Q) и Я1 (Л, 2)
в обоих случаях одни и те же. При этом только надо проверить,
что при /(E)£Zxl ?/Сч) — /(Ь]) + / (О Ч = 0, откуда, полагая
£ = т]=1, находим /A) = 0, т. е. функция /(£) нормализована,
и поэтому Z/l = Zl. л
Предположим теперь, что п > 1. Ясно, что BnczB'n и Zn^ZfH.
Поэтому класс когомологии для Сп, т. е. смежный класс по Вп
в группе Сп соответствует одному единственному классу когомо-
когомологии для С/Л, именно классу по подгруппе В/П> который его
содержит. Это соответствие является, конечно, гомоморфизмом
группы Hn(At Q) в группу Н'? (A, Q). Чтобы установить изо-
изоморфизм., мы должны показать, что это взаимно однозначные
соответствия на всю группу Я/Л (Л, Q). Для этого нам понадо-
понадобятся две леммы'. Будем говорить, что две коцепи когомологичны,
если их разность есть кограница. Так, два коцикла когомологичны,
если они принадлежат одному классу когомологии.
Лемма 15.7 Л. Любой ненормализованный коцикл кого мо ло-
логичен нормализованному коциклу.
264 Гл. 15. Расширения групп и когомология в группах
Лемма 15.7.2. Если кограница некоторой коцепи нормали- |
зована, то она является кограницей некоторой нормализо-
нормализованной коцепи.
Доказательство лемм. Будем говорить, что коцепь f(xv ...
..., хп) /-нормализована, / = 0, ..., я, когда она обращается
в нуль, как только один из первых / аргументов равен единице.
0-нормализованная коцепь — это ненормализованная коцепь из С/П,
а ^-нормализованная цепь — это нормализованная коцепь из*Сп.
Для коцепи f(x1 xn) определим рекуррентно следующие
коцепи:
/ = /0, f.+l = f. — bgi+lt / = 0, .... п— 1, A5.7.4)
где
се (лг v ^ ( 1 Ч' i ( v viv v \
6/ + lVXl ХП-\) V I) J i\Xx X}, 1, Xi + V ..., Xn_!).
A5.7.5)
Заметим, что коцепи / = /0 и fn отличаются на кограницу и
что в силу равенства bfi = bfi+l коцепи / = /0, /г /л обла-
обладают одной и той же кограницей 8/.
Лемма 15.7.3. Если кограница 8/ нормализована, то ко-
коцепь ft 1-нормализована.
Этим будут доказаны обе предыдущие леммы. Действительно, 1
отсюда следует лемма 15.7.1, так как для ненормализованного *
коцикла / имеем 8/ = 0. Следовательно, 8/, как (л+ 1)-мерная «
коцепь, нормализована тривиально, откуда, согласно лемме, ко-
коцепь /л, когомологичная коцепи /0==/, является нормализован- $
ным коциклом. Отсюда же следует лемма 15.7.2. Действительно,
если g = 8/ £ Cn+l — нормализованная кограница, то g = 8/0 = ...
.. . = 8/л и, согласно лемме, коцепь /л нормализована.
Докажем лемму 15.7.3 индукцией по /. Для /==0 утвержде-
утверждение очевидно. Пусть лемма верна для /. Докажем, что она верна
для /+ 1, т. е. что
fi+i(xv ..., xit I, xi+2 *л) = 0. A5.7.6)
Из определения A5.7.4) функции fi+1 имеем
= //(АГ1 xi> I» Xi+2 Хп)
2, . . * , Xft I, X 1\П) . . . , »
15.8. Применение когомологии к теории расширений 265
rl. xi+2
n-l
4-. 2 0(—
•••• **• Ь *i+2 *я-1)*л- A5.7.7)
Так как по индукции коцепь // /-нормализована, коцепь gi+l
вида A5.7.5) также /-нормализована. Это означает, что в сумме
A5.7.7) второе слагаемое с множителем хг слева и сумма по j
от 1 до /—1 равны нулю. Следующие два слагаемых взаимно
уничтожаются. Заменив в оставшихся слагаемых коцепи gi+l их
значениями A5.7.5), получаем
— fi(xl* •••» xi* 1» xl+2 Xn)\
n-l
l)t+J fl{*\ ^.1.1, Xl+2.
aaa9 Xi% 1§ 1§ Xi+2 xn_x)xn. A5.7.8)
Но по условию коцепь 8/^ = 8/ нормализована, откуда
/+1i xit 1, 1, xi+z, .... xn) = 0. A5.7.9)
По предположению индукции, коцепь f. /-нормализована, поэтому
правая часть равенства A5.7.8) состоит из всех не равных нулю
слагаемых выражения A5.7.9), разложенного в сумму по опреде-
определению оператора 8. Таким образом,
fi+i(xv x2, .... xl9 I, xi+v .... хп) = 0. A5.7.10)
Этим по индукции доказана лемма 15.7.3, из которой, как мы
видели, следуют леммы 15.7.1 и 15.7.2, а из них — теорема.
15.8. Применение когомологии к теории расширений
Пусть А — инвариантная абелева подгруппа некоторой группы О
и Q — G/A — фактор-группа О по А. Если смежный класс Ащ=
= £—элемент из 2, то при а£А произведение и~1аи^ зависит
только от а и £ и не зависит от выбора представителя щ смеж-
смежного класса £. Поэтому равенство и~хаи^=а\ имеет вполне опре-
определенный смысл. Таким образом, Q является группой правых опе-
операторов группы Л, причем будем полагать, что элементы группы 2
266 Гл. 15. Расширения групп и когомология в группах
слевй действуют тривиально. Предположим, что группа А — адди- . J
тивная группу с фиксированной группой операторов 2, и положим Щ
для системы факторов f(ut v) = (u, v), тогда условия A5.2.2)
перепишутся в виде
f(uv> w)-\-f(u, v)w — f(ut vw)-\-f(v, w). A5.8.1)
Переставим слагаемые следующим образом:
f(v, w) — f(uv, w)-\-f(u, vw) — f(u, v)w — 0. A6.8.2)
Тогда видно, что система факторов представляет собой коцикл раз-
мерности два, Из соотношения A5.2.3) получаем следующее уело-
вие эквивалентности двух систем факторов /(и, v) и fx(u, v):
/i(«. *) = /(«. v)+ f(v) — f(ttv)-^f(tt)v9 A5.8.3)
т. е. коцепи fx и / отличаются на кограницу f (v) — f(uv)-\-
-\-f(u)v. Напомним, что группа операторов Q действует слева
тождественно. Итак, группа расширений является второй группой
когомологий Я2 (Л, S). Сформулируем этот результат в виде теоремы.
Теорема 15.8.1. Группа расширений абелевой группы А при
помощи группы Q есть вторая группа когомологий Я2 (Л, &)/
где
1) группа Q действует на А слева тривиально;
2) справа группа & действует на А как группа автомор-
автоморфизмов;
3) системы факторов f(u, v) являются коциклами из Z2;
4) эквивалентные системы факторов отличаются на ког-
кограницы из В2.
Выбор единицы в качестве представителя смежного класса А
группы^ G по подгруппе А приводит к нормализации коцикла
f(u, v):f(l, 1) = 0. Полагая u — v=\ в соотношении A5.8.1),
получаем
/A, «0 + /A. l)te/ —/(I, w) + /(l, w), A5.8.4)
откуда
/A, w) = 0. A5.8.5)
Аналогично, полагая ^ = ^=1, получаем
/A, 1) — /(«, 1) + /(«. 1) — /(«. 1) = 0, A5.8.6)
откуда
/(«, 1) = 0; A5.8.7)
последнее означает, что мы имеем дело с нормализованными ко-
коциклами. - |
Докажем одну общую теорему о когомологий, включающую !{
теорему 15.2.1 как частный случай. ~>\
/5.5. Применение когомологии к теории расширений 267
Пусть Q — конечная группа порядка т. Тогда для каждого
п > О можно определить аддитивный гомоморфизм о, отображаю-
отображающий С" в Сп~1 по формуле
(о/)(*2 *я) = 2*~7(*. *2. •••> **)• A5.8.8)
£2
Ясно, что здесь f£Cn и of£Cn~~l, Положим g = of и распишем
выражение 8
здесь везде суммирование проводится по всем х ^ Q.
Рассмотрим (8/)(х, хх, .... ха):
Теперь, используя формулу A5.8.10), вычисляем
==mf(x1 хп) —
. *i *«-i)]*«; A5.8-9)
— f(x-xv х2 *„)
+ /(ДГ, Xj-JCjj *„)
+ • • • /С -f
*»-!*„) +
*, хп_!)х„. A5.8.10)
A5.8.11)
В сумме S = ^ix-lf(xx1, х2 хп) положим y = xxv Тогда
2. х2 хп) = хга/(х7, .... х„\
268 Гл. 15. Расширения групп и когомология в группах
так как при фиксированном хх £ 2 элемент у пробегает всю
группу 2. Поэтому равенство A5.8.11) эквивалентно следующему:
о(8/) = mf — b(af). A5.8.12)
Таким образом, справедлива
Теорема 15.8.2. Если f£Cn, то о(8/) + 8(о/) = mf.
Следствие 15.8.1. Если f£Zn, то mf£Bn.
Действительно, /£Zn равносильно тому, что 8/= 0, поэтому
mf — кограница для о/. Отсюда делаем следующий вывод. Если
порядок группы 2 равен т, то порядок любого элемента
группы когомологий Hn = Zn/Bn делит т. Теперь теорема 15.2.1
получается как следствие при п = 2.
Известен дальнейший результат о системах факторов, принад-
принадлежащий Гашюцу [1], а в более общей форме — Экману [1]. Он
относится к когомологий группы 2 и подгруппы В. Предположим,
что В — подгруппа конечного индекса т в группе 2. Тогда
2 = В- l+£s2+ ... +Bsm, sx=l. A5.8.13)
Если av a2, ...» ап — элементы из Q, то будем писать 5^ = 5^
а черта над элементом, как обычно, будет означать, что берется
представитель соответствующего ему смежного класса. Кроме
этого, введем обозначения
slla2 — si2 Sl, n-\an — Sin-
Определим перемещение T(f(ax ап)) элемента f (av a2, ...
. . ., ап)£Сп следующей формулой:
т
Т(/(п1 an))=%STlf(WTl' Siia2ST2 St,n-ianSTn)Stn-
A5.8.14)
Заметим, что во всех случаях s. y.^y^f/^^» откуда для эле-
элемента f£Cn(At Q) перемещение Tf содержится в подгруппе
ОС" (А. В) 2.
Теорема 15.8.3. (Теорема Гашюца.) Если f (аг an)£Zn
и В — подгруппа группы 2 индекса т, то
Tf (а, an)==mf (ах ап) (mod B%
Следствие 15.8.2. Класс когомологий перемещения не зави-
зависит от выбора представителей смежных классов st в разло-
разложении A5.8.13).
15.8. Применение когомологии к теории расширений 269
Доказательство теоремы. Рассмотрим сумму
т
— 2
+ '•" 4-
2
m
, a,.
+ B
В этой сумме каждое слагаемое равно нулю, так как /^Zn,
поэтому 8/ = 0. Распишем каждую слагаемую здесь кограницу и
просуммируем в каждой из п-\-\ строк все члены кограниц по I
от 1 до т. Тогда первые члены первой строки дадут сумму
Strewn1 ■'<.,мвл1)»,.=г/(в. %)■■ A5-8-16>
Последние члены последней строки образуют сумму
= — mf(ax an). A5.8.17)
Так как ^Г/-Г ^t,/-1а;5Г/^^а; ' 5Г/' С/+0-ые члены j-й и
(У+1)"й строк взаимно уничтожаются при j=\ п. Возьмем
теперь первые ] членов (У+1)-й строки и члены У+ 2, ...
..., п + 2 У-й строки:
m
(_iyai2/(a2 ar sj}. st}aiif+lsr)+v ...)stn+
m
m
af_v sT<)_v s^^.jsr}, ...)8Ы +
+
«1 «;_!■ ^V-l- ^.У-А^Г/. •••)^»-.V
A5.8.18)
270
Гл. 15. Расширения групп и когомология в группах
Если для аргументов щ un-v мы определим функцию
t-1
по формуле
2
06.8.19)
где ot = ^ и рекуррентно ait-=:<sut_luti то слагаемые суммы A5.8.18)
являются кограницами (—1)^(8/?у)(а1 ап), так как при сум-
суммировании по / элементы $tj или 5/j;-1 могут служить в качестве at.
Если у пробегает значения от 1 до п, то кограницы (—l)J (bFj)
(av'...tan) охватывают все слагаемые суммы A5.8.15), кроме
уничтожающихся и входящих в суммы A5.8.16) и A5.8.17). Этим
теорема доказана.
Теоретико-групповой формой теоремы Гашюца является
Теорема 15.8.4. (Теорема Гашюца.) Пусть F=z[(u> v)\,
и, v£H, (ut v)£ А— система факторов Н-у^расширения абеле-
абелевой группы Л при помощи конечной группы //. Пусть В — под-
подгруппа группы Н индекса т и
Тогда
(и, v)n
Здесь аргументы sflSfl*1 и SjUVSjUV1, конечно, элементы из
подгруппы В,
Следствие 15.8.3. Если (дг, у)= 1 для х, у£В, то (и, v)m— 1.
Существует еще много следствий этой теоремы, но особенно
полезно следствие, связывающее //-^-расширения группы А и
5(р)-х-расширения группы Л, где S(p) — силовская р-подгруппа
группы //. Пусть порядок Н равен п = рет, а порядок подгруппы
S(p) равен ре. Пусть Е=Е(Н)—группа //-^-расширений группы Л,
определенная в § 15.2. Каждый ее элемент —это класс эквива-
эквивалентных систем факторов Pi[(ut'v)j\. По теореме 15.2.1 порядок
любого элемента из Е делит п. Поэтому Е — периодическая абелева
группа, являющаяся прямым произведением своих силавских под-
подгрупп Е(р).
Теорема 15.8.5. Силовская р-подгруппа Е(р) группы
Е = Е(Н) Н-^-расширений аб елевой группы А при помощи
конечной группы Н изоморфна группе Ер S (р)--^-расширений,
получающихся в результате ограничений систем факторов
F = [(и, v)] Н-^-расширений группы А на аргументы (х, у),
где xty£S(p), a S(p) — силовская р-подгруппа группы //.
15.8. Применение когомологии к теории расширений ■ 271
Доказательство. Определим/^-эквивалентность (и^)~^(и, v)x
систем факторов F = [(u, v)] для //-^-расширений группы А Две
системы факторов р-эквивалентны, если при ограничении аргумен-
аргументов х, y(zS(p) для возникающих 5(р)-х-расширений имеет место
Нетрудно заметить, что это истинная эквивалентность. Пусть
Ех — подгруппа группы Е, состоящая из тех систем факторов
F =$=)[(и, v)]t для которых (х, у)—1 при х, y£S(p). Тогда эле-
элементы группы Е соответствуют р-эквивалентным системам факторов
в том и только в том случае, когда они принадлежат одному и
тому же смежному классу по Ег. Следовательно, фактор-группа Е/Ег
изоморфна группе Ер для 5(р)-^-расширений, получаемых при рас-
рассмотрении систем факторов F [(и, у)] для значений аргументов х, у
только из группы S{p). Так как S(p)— подгруппа группы В, то,
согласно следствию из теоремы Гашюца, порядок любого элемента
из Ег делит индекс т подгруппы 5(р); следовательно, по тео-
теореме 15.2.1 мы получаем, что порядок любого элемента группы £L
делит ре. Так как (ре, т) = 1, отсюда вытекает, что группа Ер
и силовская. /^-подгруппа Е(р) группы Е изоморфны фактор-
факторгруппе EjEx и, следовательно, изоморфны друг другу. Этим тео-
теорема доказана.
Теорема 15.8.6. Н-^-расширение группы А расщепляемо
тогда и только тогда, когда для каждого простого числа р,
делящего порядок группы Н, расщепляется расширение для
силовской р-подгруппы S(p) группы Н.
Доказательство. Очевидно, что из расщепляемости расшире-
расширения группы А при помощи Н следует расщепляемость расшире-
расширения А при помощи S(p). Докажем обратное. Пусть F[(ut v)] —
система факторов, определяющая Я-х-расширение. По условию
(и, v) — {tl, v)x, где (хш y)i=l Для х, y£S(p).-B силу следствия
(и, v)m~(u, v)™—'1, где п = рет. Но это должно иметь место
для любого р, которое делит п. Различные числа т, для которых
(и, v)m—'1, взаимно просты, и поэтому (и, t;)~l, т. е. расши-
расширение группы А при помощи Н расщепляется.
Глава 16
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП
16.1. Общие замечания
Будем называть представлением группы G любой гомомор-
гомоморфизм а группы О в некоторую группу W. Особую ценность
имеют представления группы G в такие группы W, в которых
удобно производить вычисления. Так, представления группы О
подстановками, рассмотренные в главе 5, являются гомоморфиз-
гомоморфизмами группы G в симметрическую группу Sn.
Вместо симметрической группы мы можем рассматривать эндо-
эндоморфизмы векторного пространства V над полем F. Эти эндомор-
эндоморфизмы образуют группу, которая в случае векторного пространства V
конечной размерности п над полем F называется полной линей-
ной группой GLn(F). Она может быть задана также, как группа
невырожденных квадратных матриц степени п над полем F. Здесь
мы рассмотрим представления группы G линейными преобразова-
преобразованиями. При таком представлении можно рассматривать элементы
из группы G как операторы векторного пространства V. Тогда
подпространства пространства V, отображаемые в себя линейными
преобразованиями, соответствующими элементам группы G,
являются инвариантными подпространствами или, если рассматри-
рассматривать V как аддитивную группу с операторами из F и G, допу-
допустимыми подгруппами N.
Множество всех эндоморфизмов векторного пространства V
образует кольцо. Поэтому от линейного представления группы G
над V можно перейти, если ввести операции сложения и умноже-
умножения элементов группы G на скаляры из поля /\ к линейному
представлению группового кольца RQ группы G над полем F,
а в любой допустимой относительно RQ подгруппе N группы V
реализуется представление как кольца RQ, так и группы G. По-
Поэтому неудивительно, что существует тесная связь между разло-
разложением группового кольца RQ и разложением линейных предста-
представлений. Исторически теория представлений групп и структурная
теория колец развивались отдельно, и только в сравнительно не-
недавнее время была осознана тесная связь между этими двумя
теориями.
16.2. Матричные представления. Характеры
273
16.2. Матричные представления. Характеры1)
Определение, Матричным представлением степени п группы G
называется такая функция р на группе G со значениями
в линейной группе GLn(F) для некоторого поля F, что
р(ху) = р(х)р(у) для всех х, у£О.
Заметим, что, согласно этому определению, р(х) — невыро-
невырожденная матрица, а отображение х—>р(х) — гомоморфизм группы О
в rpynrty)GLn(F). Поэтому p(l) = /w— единичная матрица п X я»
и р(лг"г) = [pW]"* Ядро К гомоморфизма х—>р(х) является
инвариантной подгруппой группы G, и матрицы р(х) дают точ-
точное представление группы G/K. Представление точно только в слу-
случае, когда ядро К — единичная подгруппа.
Определение. Характер х представления р — это следующая
функция на группе G:
Характеры элементов группы являются числами из поля F.
Если представление имеет степень 1, то Х = Р-
Будем говорить, что два представления р и р* эквивалентны,
если существует* такая невырожденная матрица S£GLn(F)t что
р* (x)=^S~1p(x)S для любого x£G. Если S — любая невырож-
невырожденная матрица из группы GLn(F) и р(х) — некоторое предста-
представление группы G, то S~* p(x)S — также представление р^ группы G.
Действительно, если рассматривать р(х), x£G, как группу ли-
линейных преобразований векторного пространства V над полем F
с базисом uv u2 ип и если
1 К]
и2
.«я.
О
vl
Уп
то 5 lp(x)S = p*(x), a;£G, — группа тех же линейных преоб-
преобразований пространства V\ но в базисе vx, .. ., vn.
Лемма 16i2.1. Характер является функцией класса сопря-
сопряженных элементов, т. е. характеры сопряженных элемен-
элементов равны.
1) Свойства матриц, определителей и полной линейной группы, кото-
которые здесь используются, можно найти в книге Биркгофа и Маклейна [1],
гл. 6, § 9 (см. также К у р о ш А. Г., Курс высшей алгебры, изд. 5, 1956;
Мальцев А. И., Основы линейной алгебры, изд. 2, М. — Л., 1956. —
Ярам перев.).
18 М. Холл
274 Гл. 16. Представления групп . ц
Лемма 16.2.2. Эквивалентные представления имеют pae+i
ные характеры. 1
Действительно, если А — матрица п X /г, то, по определению,!
ее характеристический многочлен равен / (X) = | А — X/1 =51
= (—1)п [Хл — ajX""-)- . .. -f-(—1)л ап], где коэффициент ах ра-1
вен следу матрицы Л, а^следСД) и ап=>\А\ — определитель^
матрицы А. , Если теперь Т—невырожденная матрица,
\T~1AT—U\ = \T~\A — \I)T\==\T~l\.\A — \I\.\T\ = \A — .^t. „
Таким образом, матрицы А и Т~1АТ имеют один и тот же ха-|
рактеристический многочлен и тем более один и тот же след«|
Поэтому матрицы р(у~1ху)*= р(у)"" р(х) р(у) и р(д:) имеют рав-^
ные следы, т. е. х(У~1хУ) = Х(х)- Значит, действительно, харак
тер является функцией класса сопряженных элементов. Анало
гично матрицы p*(x) = S~l p(x)S и р(дг) имеют равные следы
и поэтому эквивалентные представления обладают равными ха
рактерами.
Напомним, что векторное пространство V (шш „линейное про
странство") над полем F определяется следующими законами:
в нем задано бинарное сложение: для a, C£V, а + Р6^»
в нем задано умножение на скаляр: col£V, где c£F, a^V
Эти операции подченены следующим условиям: ,
VI) V — абелева группа по сложению,
V2) с(а-\-$) = са-{-с§, (сЦ-с')<х = с<х-\-с'<х>
V3) {ccf) a = с (с7а), 1 а = а.
Здесь a, p^V, с, c'£F, 1—единица поля F.
Векторы их иг пространства V называются линейно не*
зависимыми, если из равенства
следует, что ах = . .. = аг = 0. Если, кроме того, каждый вен;
тор и £ V представим в виде -
u = blul-\rb2u2-)-...-+-bnun, bt^Ft ;
то uvu2 un образуют базис пространства V. Если про*-
странство V имеет базис, то все его базисы состоят из одного I
того же числа векторов; это число называется размерностью вен\
торного пространства.
Определим F-G-модуль М как векторное пространство V
полем F с элементами группы G в качестве операторов, приче!
'i
2) u (glg2) - (eft) g2> u e K. gv Si 6
л t
3) a • 1 = tt, u £ V, 1 — единица группы G,
4) {au)g=a(ug), a£F, u£V, g£G. J
Будем также называть М модулем представления группы О. li
16.2. Матричные представления. Характеры
275
Операторным гомоморфизмом одного F-G-модуля Мх в дру-
другой F- G-модуль М2 называется такое отображение Mx—> M2, что
1) если ul->vl и u2->v2, то «х-f-и2~>г^ + v2%
2) если и->v и b£F, to bu->bv,
3) если м->г> и g"£G, то ug->vg.
Операторный изоморфизм между модулями М^ и Af2 -*- это вза-
взаимно однозначный операторный гомоморфизм Мх на М2.
Пусть иг ип — базис модуля М над полем F; если для
п
x£G положить V—>vxt v£V, причем ut->utx= 2 aijuj> T0
мы получаем представление р(х) = (ау), i, у==1 п, группы G
относительно модуля М. Обратно, если р — представление группы О
относительно векторного пространства V с базисом их @и
если р(х)=зе(аф = [ау(х)], то полагаем ч
i — 1 п,
utx = 2 а>ц
для люб'ого элемента х из G. Тогда, так как рA) = /л и р(ху) =
=р(дг)р (у), векторное пространство V становится F- G-модулем Ж.
Таким образом, F-G-модуль размерности п определяет предста-
представление группы G степени я, и наоборот.
Теорема 16.1.1. Два F-G-модуля Мг и М2 определяют эк-
эквивалентные представления группы G тогда и только тогда,
когда они операторно изоморфны.
Доказательство. Пусть даны два эквивалентных представле-
представления группы G: • ,
и S~lp(x)S9 x£G.
Если p(x) — latj(x)]t x£G, то это означает, что в векторном
пространстве V с базисом их ип определено действие опера-
операторов из группы G и ul->uix = ^jaij(x)Uj. Как мы уже отме-
отмечали, то же еамое линейное преобразование соответствует предста-
представлению р*(х) = 5""хр (a:) S, x£G, относительно базиса vv..., vn, где
«1
«2
.«я.
v2
Если 5 = (s^), то эквивалентные представления р(д:) и р*(дг) опе-
операторно изоморфны относительно отображения w^"^^5//^;» i===
1....,л. Обратно, пусть два F-G-модуля
18*
х и Л12 операторно
276
Гл. 16. Представления групп
изоморфны. Будучи изоморфными как векторные пространства,
модули Мх и М2 имеют равные размерности. Пусть их ип—;
базис модуля Mv который при операторном изоморфизме отобра-
отображается в базис vx vn модуля М2. При ui->vi имеем u^-^v^.
При таком выборе базисов в модулях Мх и М2 реализуются
одинаковые представления, так как если
u}x =
l=L
то
VtX = 2 aij
/ = 1 П •
Таким образом, эквивалентные представления р(дг) и р*(лг) соот-
соответствуют операторному изоморфизму модулей представления.
16.3. Теорема о полной приводимости
Предположим, что модуль представления М имеет4 подмо- |
дуль Mlt также являющийся модулем представления. Тогда выбе- ^
рем базис их иг подмодуля Мг и дополним его элементами \
иг+1 ип до базиса модуля М. Говорят, что соответствующее 1
представление р приводимо; в базисе иг ип оно имеет вид i
Р(х) = \
а(х)
Цх)
О
х(х)
где а и т — представления группы G степеней г и п — г соот- %
ветственно. Представление о соответствует F-0-модулю Мх с ба- j
зисом их иг Что касается т, то это — представление в базисе 1
Мг-{-иг+1 М1-\-ип фактор-модуля M/Mv Вообще если
— цепь подмодулей и мы выбрали базис модуля М, соответствую- \
щий этой цепи, то соответствующее представление р прини- \
мает вид
f
Р2(х)
О
16.3. Теорема о полной приводимости 277
где pi(x) — представление, соответствующее определенному базису
фактор-модуля MJMt_v а именно базису Mi_l-{-Uj, где и> про-
пробегает базисные векторы, принадлежащие Mit но не принадлежа-
принадлежащие Mt_v Для характеров, очевидно, справедливо равенство
Если мы выберем максимальную цепь, т. е. цепь, не допуска-
допускающую дальнейших уплотнений, то фактор-модули MJM^X не
имеют собственных подмодулей представления, и представления-р/$
которые в них реализуются, называются неприводимыми. Оче-
Очевидным следствием отсюда является
Лемма 16.3.1. Любой характер является суммой неприво-
неприводимых характеров.
Лемма 16.3.2. Неприводимые представления^оь опреде-
определяются однозначно с точностью до порядка следования и
операторного изоморфизма.
Лемма 16.3.2 следует из теоремы Жордана — Гёльдера.
Если модуль представления М обладает подмодулем предста-
представления Мг, то может случиться, что существует дополнительный
подмодуль представления М2> т. е. такой, что модуль М — пря-
прямая сумма М = М± © М2. В этом случае модуль М2, очевидно,
операторно изоморфен модулю M/Mlt а представление р (х) имеет
вид
Pi 0*0
О
о
Обратно, если представление р(х) может быть представлено в та-
такой форме, когда по главной диагонали стоят квадратные блоки,
то модуль М является прямой суммой подмодулей Л12 и М% пред-
представления р(х). В этом случае мы говорим, что представление
вполне приводимо1). Не всякое приводимое представление вполне
приводимо. Например, представление
бесконечной циклической группы, порожденной элементом Ь, при-
приводимо, но если бы оно было вполне приводимо, то оно сопоста-
сопоставляло бы каждому элементу единичную матрицу, так как здесь
•) В советской литературе такие представления называются „разло-
„разложимыми", а „вполне приводимыми" называются представления, кото-
которые разлагаются в прямую сумму неприводимых представлений. — Прим.
перев.
278
Гл. 16. Представления групп
Pi Ф1)= ?2 Ф1)= ^- Но матрица
не сопряжена с единиц
ной. Поэтому полная приводимость здесь невозможна.
Тем не менее существует важный класс представлений, для кс
торых из приводимости следует полная приводимость.
Теорема 16.3.1. (Теорема о полной приводимости.) Приводив
мое представление конечной группы G над полем F, харак*
теристика которого не делит порядок группы G, вполне npaj
водимо.
Доказательство. Пусть Ж— модуль представления группы
над полем F и Мх — подмодуль представления. Дополним б
зис ult...tur подмодуля Мх до базиса модуля Ж элементами
иг+1 ип> составляющими базис подпространства N, которое,;
вообще говоря, не является подмодулем представления. Тог/
для х £ G имеем
(*) О
Теперь М = Mx-\-Nt откуда для элемента и£М получаем одно-?
значное представление
u = ul-\-v,
Отображение v\:u-*>v идемпотентно и линейно. Если g—поря-1
док группы G, то положим
8десь и->и' = Ж — линейное отображение. Для определения ото- ,
бражения С необходимо производить деление на число gt а это;?
действительно возможно, так' как, согласно нашему предположе-ij
нию, группа О имеет конечный порядок gt не делящийся на xa-v
рактеристику поля F. -
Если y£G, положим г = у~гх для x£G. Тогда .
так как z одновременно с х пробегает все элементы группы G. По-j
этому М2 = ЖС — модуль представления. Покажем, что Ж=Ж1фЖ
Для этого мы должны показать, что любой элемент и£М пред-:|
ставим в виде и = щ -(- и2, щ £ Mv и2 £ М2 и что это представле- Ц
ние единственно, т. е. что из равенства 0 = их + Щ следует, что |
их «г и2 = 0. Для произвольного элемента и £ Ж имеем
16.3. Теорема о полной приводимости
279
где и(,=
здесь и— и£ = — У>(их—
так как
ахх l = u. Но их — uxr\ = (ux)x£ Mv откуда и — u^ = ux^Mv
Итак, и = их-\-и2, где ux^Mlt u2£M2. Если теперь w£Mv то
wx£Mv wxr\=:Ot откуда wi = 0. Таким образом, для любого
элемента и£М имеем (и — иС)С = О, т. е. иС2=*иС. Следова-
Следовательно, если их + и2 = 0, то и£> + и<£, = 0, откуда 0 -f- и£> = и2 = О,
а значит, и w1 = 0. Поэтому представление вполне приводимо.
Второе доказательство — с помощью матриц. Пусть мы
имеем представление
' а(х) I О
Ь(х)
где o(x) и т(л:) — представления степеней г и /г-
венно. Постараемся найти такую матрицу
5 =
где jx не зависит от х, что
-г соответст-
для всех элементов х £ G. Ясно, что если удастся найти мат-
матрицу S, то она будет невырождена и даст нам эквивалентное
представление
которое будет вполне приводимо.
Задача сводится к нахождению прямоугольной
матрицы {а, не зависящей от х и такой, что
для всех х£ G.
Из р (ух) = р (у) р (х) имеем
280 ' Гл. 16. Представления групп
откуда ♦
е (х) = т ого е (ух) — т (y-i) e (у) а (Х)
Полагая теперь
- ^=jSт (у-1) 9 (у)=jSт (ЛГ у ~1} е (ух)
находим, что д(х) = — т(л:)[х-|~[ха(л:). Таким образом, найдена
искомая матрица [х, а следовательно, и трансформирующая мат-
матрица 5, которая приводит к вполне приводимому представлению р* (х).
Повторным применением этой теоремы получаем следующий
основной результат.
Теорема 16.3.2. Любое представление конечной группы G
над полем F, характеристика которого не делит порядок
группы G, разлагается в прямую сумму неприводимых пред-
представлений.
Следствие 16.3.1. Представления конечной группы G над
полем F, характеристика которого взаимно проста с поряд-
порядком группы О, эквивалентны тогда и только тогда, когда
они разлагаются в прямую сумму одних и тех же неприво-
неприводимых представлений, каждое из которых участвует в обеих |
суммах одинаковое число раз. |
Для вполне приводимого представления р мы можем записать tj
p=Pi©p2® •••ер*.
где р; — неприводимые представления. Порядок слагаемых здесь 1
несущественен, так как мы можем переставить элементы соответст- ]
вующего базиса модуля представления М так, чтобы слагаемые р/
переставились произвольным образом. Ясно, что представлениям р^
соответствуют композиционные факторы модуля М> рассматривае-
рассматриваемого как аддитивная группа с операторами из поля F и группы 0. \
По теореме Жордана — Гёльдера эти композиционные факторы \
определяются однозначно с точностью до порядка следования и |
операторного изоморфизма. В силу теоремы 16.1.1 операторный ,
изоморфизм неприводимого представления означает эквивалент- 1
ность. Таким образом, говоря в формулировке следствия „одни ;
и те же неприводимые представления", мы не различаем эквива- 1
лентные представления.
16.4. Полупростые групповые кольца и обыкновенные представления 281
16.4. Полупростые групповые кольца1)
и обыкновенные представления
Для произвольной группы О и поля F можно построить груп-
групповое кольцо RQ следующим образом:
1) Rq — векторное пространство над полем F с элемен-
элементами gi^G в качестве базиса;
2) перемножаются элементы из RQ по правилу
2 */& • 2 bjgj = 2 afijgij.
где gij = gigj^G.
Нетрудно показать, что RG — ассоциативное кольцо с единицей
1.1 = 1, являющейся произведением единицы поля F и нейтраль-
нейтрального элемента группы G. Ясно, что RQ можно рассматривать как
модуль представления группы G, если элементы из G действуют
на элементы из RQ путем умножения справа. Если порядок
группы G равен /г, то, взяв элементы gi gn группы G
в качестве базиса модуля представления /?0, получаем представление
I, j=\ л, x£G,
где Ху=\, если gtx = gj, и Ху = 0 в остальных случаях. Мы
узнаем известное нам уже правое регулярное представление
группы G, которое в качестве группы подстановок определялось
подстановками
п(х) = [ I, x£G,
\gi* • • • en*/
а здесь записано в матричном виде.
Лемма 16.4.1. При правом регулярном представлении р(лг)
группы G порядка п имеем ^A) = /г, ^(^*) = 0, g=f=\.
Действительно, р(х) = (Ху). где Ху=1. если gtx = gj, и
xif = 0 в остальных случаях; поэтому z(jc) = 2% Если х=\,
то gt\ =gj = gi и xit=l, /=1, 2 л, откуда ^A)=/г. Если же
x = g=f= 1, то а:^ = 0, так как равенство giX = gt не имеет места
ни для какого g*^ если хф\.
Почти все результаты, которые будут получены ниже, отно-
относятся к представлениям конечной группы G над полем F, характе-
характеристика которого не делит порядок группы G. Такие представления
мы будем называть обыкновенными представлениями. Предста-
Представления конечной группы G над полем F, характеристика которого
]) Кольцом автор часто называет также и алгебру над полем.-
Прим. пере в.
282 Гл. 16. Представления групп
делит порядок группы О, называются модулярными представ
ниями. Свойства модулярных представлений отличны от свойе|
обыкновенных представлений, и, конечно, можно ожидать, "
представления бесконечных групп во многом отличаются от пре,
ставлений конечных групп.
Кольцо R называется регулярным, если для любого элемент
u£R существует такой элемент х £ /?, что ихи = и. Регулярн
кольцо конечной размерности над полем F называется полупростыл^
Элемент ефО такой, что е2=е, называют идемпотентом.
Теорема 16.4. L Групповое кольцо RQ конечной группы
над полем F является полупростым тогда и только тогда\
когда характеристика поля F не делит порядок группы О\
п Доказательство. Пусть О — группа конечного порядка g\
Если характеристика поля F делит g и хх xg—элементы
группы О, то рассмотрим в кольце RQ элемент и = хх~\~ ... +**|
Для него xtu = uxt = и. Следовательно, для элемента х = ахх{ -\- ..|
... -{-agxg мы имеем их = (ах-\- ... -\-ag)ut откуда ихи
— (ai+ • • • -\-ag)gu = Q=f= и. Следовательно, кольцо RQ не полу-^
простое.
Предположим теперь, что g не делится на характеристику;;
поля F. Докажем, что кольцо RQ полупростое, а также ряд дру-
других свойств кольца /?0. Пусть с^ — произвольный правый идеаЛ^
кольца RQ. Тогда аг — подмодуль представления модуля /?0, и,1
обратно, подмодули представления являются правыми идеалами»!
По теореме о полной приводимости
где а2 — другой правый идеал. Тогда \=а1-\-а2, ax£(tv
и это представление единственно. Но тогда равенство ах = а^-\-а2а
также справедливо. С другой стороны, а1 = а1 + 0, откуда вслед
ствие однозначности представления элемента ах в виде суммы^
элементов из аг и а2 получаем a* = av а2а1 = 0. Таким образом,|
ах = е — идемпотент, и, следовательно, а2 = 1 — е также идемпо-
тент. Таким образом, для x£RQ мы имеем х = ех-\-(\—e)xti\
где ex£ftv Обратно, если y^uv то у = еу-]-(\—e)y = y-\-Q'i
в силу однозначности представления. Следовательно, для у 6 ai i
справедливо равенство еу = у. Таким образом, ui^— главный правый Ч
идеал eRG, порожденный идемпотентом е, и потому любой правый |
идеал кольца RG является главным правым идеалом, порожденным |
некоторым идемпотентом. В частности, для любого элемента и \
существует такой идемпотент е, что uRQ — eRQ. Следовательно, ]
для некоторого х имеем их = е, а для некоторого у имеем еу = и, j
еи = е2у = еу = и. Поэтому и = е&= ихи, откуда следует регу- ;
лярность кольца /?о. ,\
16.4. Полупростые групповые кольца и обыкновенные представления 283
Теорема 16.4.2. Регулярное кольцо R конечной размерности
над полем F обладает единицей, а любой правый (левый) идеал
является главным идеалом, порожденным некоторым идемпо-
тентом. Любой двусторонний идеал является главным идеа-
идеалом* порожденным идемпотентом из центра кольца R.
Доказательство. Пусть R— регулярное кольцо конечной
размерности над полем F. Если и — произвольный элемент, то
в силу регулярности существует такой элемент х, что ихи = и.
Тогда для элемента е = их имеем равенства е2= ихих = их = е>
для f=xu — равенства /2= хихи = хи = /. Кроме того, и =
=:uxu = eu = uf, откуда eR = uR, Ru=Rf. Таким образом,
главные правые или левые идеалы порождаются идемпотентами.
Рассмотрим теперь произвольный левый идеал а. Если а Ф О, то
в этом идеале содержится некоторый идемпотент ег Ф О, причем
Rex с а. Предположим, что а Ф Rev Тогда существует такой эле-
элемент jc£a, что x(£Rev Он равен
(x — хе{),
где а:4 = хех £ Reb и элемент
ATg — X — «^^2
обладает свойством
Пусть / — такой идемпотент, что Rx2=Rf. Тогда f = wx2>
fe1 = wx2ex = 0. Положим e2 = e1-\-f — exf. Здесь ete2 — ev
fe2 — f. Отсюда
4 = (ei + / — e\f) 4 = 4 + f — *if = *2>
т. e. e2 — идемпотент, принадлежащий идеалу a. Идеал Re2 со-
содержит элементы ех и /, поэтому он содержит идеал Re1 и эле-
элемент x(^Rev Следовательно, размерность Re2 больше размер-
размерности Rev Продолжим процесс построения идемпотентов е3» £$> • • •»
содержащихся в а и таких, что размерность идеала Ret больше
размерности предыдущего идеала, до тех пор, пока не достигнем
такого идемпотента et что a —Re. Этим доказано, что любой
левый идеал является главным левым идеалом, порожденным не-
некоторым идемпотентом. Аналогичные рассуждения показывают,
что любой правый идеал является главным правым идеалом, по-
порожденным некоторым идемпотентом. Если x£eR> то для неко-
некоторого w x = ew и ех =± e2w = ew = х, т. е. е — это левая
единица для элементов из eR. Аналогично для x£Rf верно со-
соотношение xf = x. Но само кольцо R одновременно является
284 Гл. 16. Представления групп
и левым, и правым идеалом. Поэтому существуют такие идем*]
потенты е и /, что R — eR = /?/. Тогда е/ = / = еиех — хе =
откуда £=1 служит единицей для R.
Произведения произвольных элементов на идемпотент е из!
центра кольца R будут, конечно, образовывать двусторонний^
идеал. Мы покажем, что, обратно, произвольный двусторонний^
идеал а есть главный идеал идемпотента центра. Для порождаю-
порождающих идемпотентов мы имеем а = eR = Rf. Следовательно, ef =;
= f = e n*a = eR = Re. Теперь для произвольного x£R мы j
имеем ех £ а, откуда ех = ехе. Аналогично хе £ а, откуда хе = ехеЛ
Таким образом, ех = хе, и потому е принадлежит центру кольца R.
Назовем кольцо R простым, если оно полупростое и не со-]
держит двусторонних идеалов, отличных от 0 и R. Прямую сумму^
правых идеалов мы будем обозначать ф, а прямую сумму дву-|
сторонних идеалов — значком Щ. 4
Теорема 16.4.3. Полупростое кольцо R есть прямая сумма л
/? = /?! Щ #2 Щ ... Е5 Rs простых колец. Простые кольца Rt 4
определяются однозначно с точностью до порядка следования.;!
Доказательство. Пусть RY — минимальный двусторонний i
идеал кольца R. Тогда Rl—главный идеал, порожденный не-4
которым идемпотентом ег из центра кольца R. Для x£R, след,о-:!
вательно, имеет место разложение х = хег-\-х(I—ег). Поэтому^
R=i Rl£g Rv где Rl состоит из всех элементов вида х A—ег)9 *
ег — единица идеала Rv ех= 1 —ех — единица Rv Для х, у £ /?rj
и z, w^Rl имеем (х-^z)-\-(y-\-w) = (x-\-y)-\-(z-\-w) и|
(x-\-z)(y-\-w) = xy-{-zw, так как zy = zex{\—^))/ = 0и ана- 1
логично xw = 0. Таким образом, в прямой сумме /?j Щ RY сложе- ?
ние и умножение производятся покомпонентно. Поэтому, в част- ^
ности, из регулярности кольца R следует регулярность подколец,|
Rl и Rv Далее, пусть R2 — минимальный двусторонний идеал!
кольца Rv Тогда находим, что R1 = R2 Ш #2. Продолжив этот|
процесс, мы получаем |
где 1 =el-\-e2-\- ... +^5» и элементы et, l=\ 5, являются !
идемпотентами из центра кольца R, причем etej = Q, если 1ф].
Элементы
где X:, У/fc/vt» складываются и перемножаются следующим образом: j
1
16.4. Полупростые групповые кольца и обыкновенные представления 285
Поэтому, обратно, прямая сумма простых колец R над одним
и тем же полем F регулярна и, следовательно, является полупростым
кольцом. Если теперь а — любой двусторонний идеал в /?, то он
является главным идеалом, порожденным идемпотеитом е из центра
кольца. Тогда
е = еге-\-е2е-\- ... +ese,
где ete Ф О для некоторого L Но, если идеал а минимальный, и
при этом имело бы место неравенство ete Ф et, то главный идеал,
порожденный элементом еье, строго содержался бы в Rt> а если бы
имело место неравенство ete Ф е, то он бы строго содержался
в а. Следовательно, ete = et — е, т. е. а = Rt. Этим доказана
однозначность разложения кольца в прямую сумму.
Теорема 16.4.4. Любое обыкновенное неприводимое пред-
представление конечной группы G эквивалентно представлению,
которое реализуется в некотором минимальном правом идеале
кольца RG- Два минимальных правых идеала кольца Rg дают
эквивалентные представления тогда и только тогда, когда
они принадлежат одному и тому же простому слагаемому
кольца /?о-
Доказательство. Отметим, что произвольное представление р
группы G индуцирует представление кольца* RG, так как для
любого элемента h= 2 ахх> a*€^» *€^, кольца RG мы можем
x£G
определить представление
Р (Л) = 2 <**?(*)•
Эквивалентные представления группы G дают эквивалентные пред-
представления кольца RG> и обратно.
Регулярное преставление группы G — это представление в
F-G-модуле RG. Он разлагается в прямую сумму
где 1 == е1-\-е2-\- . . . +£/» а еь — ортогональные идемпотенты,
т. е. £.£;. = 0, если i ф j\ etRQ'—минимальные правые идеалы.
Пусть теперь р(х) — обыкновенное неприводимое представле-
представление группы G, а тем самым и кольца RG. Пусть М — неприводи-
неприводимый F-G-модуль представления р. Тогда М=М • \=M(el-\-. . .-\-et).
Следовательно, для некоторого еь\ МеьФ0. Пусть т—: такой век-
вектор из М, что теьФ§. Тогда те^оФ0 — модуль представления
группы G, отличный от нуля и содержащийся в М. Так как мо-
модуль М неприводим, то M = metRG. Соответствие
286 Гл. 16. Представления групп J
взаимно однозначно, так как элементы etht для которых melh-= 0$i
образуют правый идеал, строго содержащийся в etRG и, следовав
тельно, равный нулю. Это соответствие является операторным изо4
морфизмом между модулем представления М и модулем, предста-|
вления etRQt и поэтому, согласно теореме 16.1.1, представление!
р(х) эквивалентно представлению, реализующемуся в минимальном^
правом идеале etRQ. \\
В каком случае два минимальных правых идеала определяют!
эквивалентные представления? Минимальный правый идеал должен\
содержаться в одном из минимальных двусторонних идеалов. Пусть^
— разложение кольца RQ в сумму простых идеалов, т. е. мини-1
мальных двусторонних идеалов. При этом l=el-\-e2-\- ... -f-£5t
где et — ортогональные идемпотенты из центра. i
Предположим, что enRG и ei2RQ — два минимальных правыхЦ
идеала из одного и того же простого идеала Rt. Тогда все ко-]
нечные суммы вида uleilvl-\- ... -\rumei\vm> гДе uk> vk^^G* обРа*|
зуют двусторонний идеал, а так как элемент et (en) et = еп Ф (У|
принадлежит этому идеалу, то он совпадает с Rt. Следовательно»!
для подходящих элементов ut и vi
= e
i2.
Так как e2i2 = ei2, то для некоторого j имеем
Но тогда enVjRQ Ф О, а так как это правый идеал, содержащийся^
в минимальном идеале enRQ, то ^i\VjRG = enRQ. Аналогично"
e,otiienViRrr = ei<>Rn- Следовательно, при «до = £/9и, имеем wenRn-
== ei2RQ. Значит, для h £ RG имеем соответствие wenh Z^. ei2fi*k
т. е. правые идеалы eaRQ и ei2RQ операторно изоморфны, а по**
этому соответствующие представления эквивалентны. Этим показано*1
что минимальные правые идеалы из одного и того же простого^
идеала дают то же самое представление.
Предположим теперь, что enRQ-n c^Rq — минимальные правые^
идеалы из простых идеалов Rt и /?у, i Ф j. Если рассматривать^
представление в идеале enRG, то мы получаем следующие ото-*
бражения соответственно для еь и е^:
et: en h-> enhet = eixeth = enh,
ej : enh -> enhej = enejh = 0,
откуда p (et) = U и p (ej) = 0. Аналогично в идеале e^RQ элементу $
соответствует нуль, ^а ej соответствует единица. Следовательно*
эти представления неэквивалентны.
16.5 Абсолютно неприводимые представления 287
Мы находим разложение кольца RQ в прямую сумму простых
идеалов, с помощью ортогональных идемпотентов из центра Z
кольца RQ. Что можно сказать о центре кольца /?0? На этот во-
вопрос отвечает следующая теорема.
Теорема 16.4.5. Элементы вида СЛ = ха-\- ... -\-xik, где
хп* - • •'» хш образуют класс сопряженных элементов группы G,
составляют базис центра кольца RQ.
Доказательство. Если С/ = д:п+ ••• "hxih* где спРава за*
писана сумма элементов некоторого класса сопряженных элемен-
элементов группы G, то y~lCiy — Ci для y£Gt так как трансформиро-
трансформирование просто переставляет слагаемые суммы С{ между собой.
Так как элемент Ct перестановочен с любым элементом y£G, он
перестановочен с любым элементом из кольца RQ, т. е. принад-
принадлежит его центру. Обратно, если элемент и принадлежит центру
кольца RQ и и-= 2 ахх> то для У£б мы имеем у~1иу =
х£О
= и = 2 ахУ1хУ* Поэтому в сумме для элемента и сопряжен*-
x£G
ные элементы имеют равные коэффициенты, откуда следует, что
и есть линейная комбинация элементов Сь.
16.5. Абсолютно неприводимые представления.
Структура простых колец
Мы уже видели, что все неприводимые представления оказы-
оказываются компонентами регулярного представления R(G) группы О.
Поэтому нахождение всех таких представлений сводится к на-
нахождению всех неприводимых составных частей представления R (G),
или, что то же самое, к отысканию минимальных правых идеалов
группового кольца /?0. j
Неприводимость представления — понятие относительное, оно
зависит от основного поля. Так, если G — циклическая группа
порядка 3 с элементами 1, х, х2 над полем рациональных чисел,
групповое кольцо RQ обладает разложением RQ = Rx Щ /?2. При
этом \=ex-\-ev где
О _ 1 + х + х2 _ 2 — х — х2
ех— з ' е2— §
— идемпотенты; ег — базис для Rv a e2, e2x — базис для R2. Этому
базису соответствует представление
1
0
0
0
0
—1
0
1
—1
288
Гл. 16. Представления групп
т. е. идеалам Rx и R2 соответствуют неприводимые представлений
степеней 1 и 2 соответственно. Но если мы расширим пс
радиональных чисел, присоединив к нему кубический корень
единицы в = (—1-f-l/"—3)/2, то неприводимое представление RJ
степени 2 станет приводимым. В базисе
где е2 + еъ = е2, имеем
/1. О, 0\
p(jc)= 0, е2, 0 1, е3=1.
\0, О, J
Ясно, что дальнейшее расширение основного поля не приведет
к дальнейшему выделению неприводимых составных частей пред- |
ставления р(х).
Представление р степени п называется абсолютно неприво*
димым, если оно остается неприводимым при любом расширении
поля F. Очевидно, если представление р приводимо над полем
Р(*)=1
/о(х)
0
0 \
<*)Г
где все х ^ G, о (х) — матрица порядка s, а х (а:) — матрица по-
рядка п — s, то р(^), h£RQt рассматриваемая как алгебра над К,
имеет размерность не большую, чем s2-\-(n — sJ < п2. Следова-
тельно, если р(^), h£R0, как алгебра над F, имеет размерность,
равную п2, то представление р абсолютно неприводимо над F. Мы
покажем, что при подходящем алгебраическом расширении основ-
ного поля F любое обыкновенное представление разложится в прямую
сумму неприводимых представлений, причем неприводимое пред-
ставление степени п реализуется в алгебре размерности п2 над
соответствующим полем.
Теорема 16.5.1. Алгебра с делением D конечной размер'
ности над полем F будет только тогда алгеброй с делением
над всеми алгебраическими расширениями поля F, когда раз-
мерность D над F равна 1, т. е. если D = F.
Доказательство. Пусть uv .... ип—базис алгебры D над
полем F. Мы можем выбрать элемент их=1 в качестве единицы
кольца D. Если /г>1, рассмотрим последовательность ! = «!,
|
16.5. Абсолютно неприводимые представления 289
и2, и\, . . ., anv Эти элементы линейно зависимы над полем F,
«£ + ^-1+ ... + ar = 0, a^F,
где не все at равны нулю. Если присоединим к F корни alf ... ar
многочлена f(x) = jtr4i-a1Jtr~1-|- • • • +яг> то получим (и2—a^). ..
... (и2— arWj) = 0. Следовательно, над этим алгебраическим рас-
расширением поля F разности и2— atux являются делителями нуля.
Поэтому D остается алгеброй с делением над всеми алгебраи-
алгебраическими расширениями поля F только в случае /г == 1, т. е. когда
D = F.
Теорема 16.5.2. Простое кольцо R есть полное матричное
кольцо над алгеброй с делением D, содержащейся в R.
Доказательство. Пусть enR—минимальный правый идеал
кольца R, еп — идемпоФент. Тогда 1—еп — также идемпотент и
R = euR 0A — еп) R. Если e2R — минимальный правый идеал
кольца A — en)R и е2 — идемпотент, то A—еп)е2=е2, откуда
епе2 = 0. Элемент е22 —е2 — е2еи также идемпотент, e22R = e2R
и епе22 = 0, е22еи = 0. Тогда /? = enR 0 e22R ^ A — en — e22)R.
Пусть мы уже нашли такие ортогональные идемпс^енты elv .. ., еш
что ejjR, у==1 /, — минимальные правые идеалы и R =
= enR@e22R® ... ®euR@(l — en— ... —*„) Д. Тогда опре-
определим ei+l как такой идемпотент, что ei+lR — минимальный пра-
правый идеал в кольце A — еп — ... — еи) R. Тогда ei+l — A — ^п—
— • • - — *и) ei+i> 0ТКУДа енем = еп A — ^и — ... — еи) ем =0,
У=1, ..., /. Если положить et+hi+l = ei+l(\ — en— ... —еи)9
то мы получим идемпотент el+hl+l, ортогональный к идемпотен-
там еп еи и такой, что ei+lft+lR = ei+lR. Продолжая это
построение, мы находим, что
где еи — ортогональные идемпотенты, £ц + £22+ ••• ~Ьenn = 1»
а euR—минимальные правые идеалы.
Лемма 16.5.1. euRejj=fc0, где /, у = 1. ..., /г.
Доказательство. Все конечные суммы 2 akeuvk образуют
k
двусторонний идеал, содержащий идемпотент еи Ф 0. Поэтому этот
идеал совпадает со всем кольцом R. Значит, для подходящих эле-
элементов uk, vk имеем 2 ukeuvk — еЦ' или 2 ukenvkejj = ejj- Следо-
Следовательно, для некоторого v
eHvejj Ф 0.
Лемма 16.5.2. euReu — алгебра с делением Dr
Доказательство. Ясно, что множество euReti замкнуто отно-
относительно операций сложения и умножения, т, е. является
L9 М. Холл
290 Гл. 16. Представления групп
подкольцом кольца R, единицей которого является идемпотент
Поэтому достаточно указать элементы, обратные к элементам^!
отличным от 0. Если еихеиФ0, то eaxeuR — правый идеал, оущ
личный от нуля, содержащийся в минимальном правом идеале enf
и поэтому совпадающий с ним. Следовательно, для некоторого
элемента у имеем еихеиу = еи: или еихеи- еиуеи = еи. Таки
образом, элемент eityeu является обратным к элементу е
в кольце euRew которое, следовательно, является кольцом с де-*|
лением. Обозначим его через Dt. j
Выберем для / = 2, ..., п элементы епЬеиФ0 и положим^
enbeu = eu. Тогда _ j
^п^п ==:: еиеи = еи-
Здесь enRSeenRt откуда euR = enR. Поэтому для некоторого у]
= 2 п
Отсюда еиепеиеп = е\х == еп, поэтому епеи Ф 0. Но (епеиJ =
= епеи — идемпотент в кольце euRgii9 откуда епеи = еи — еди-
единица, являющаяся единственным ненулевым идемпотентом в кольце
с делением. Положим теперь епеу^=е^ при Ьф]. Тогда е^е^к =
=^n^jeneik=enen^k=eneik==eik- Аналогично ецеы=ецеИеиьеы=Ъ
при j Ф k. Таким образом, для п2 единиц etj мы установили сле-
следующее правило умножения:
т. е. единицы ец перемножаются точно так же, как матрицы
£у = (««)• «/у=Ь ^ = 0' если (г. 8)ФЦ, У); /, У=1 я.
Теперь для кольца с делением Dl^=enRen определяем кольцо D,
состоящее из элементов
d = dx + e2ldxel2 + .. / + enldxelnt
где dx£Dv Легко убедиться в том, что кольцо D изоморфно
кольцу Dt и, значит, также является алгеброй с делением. При
этом изоморфизме единице еп кольца Dx соответствует ^ii"\~e22-\-
-}- ... -\-епп= 1—единица кольца D, а также кольца R. Для d£D
имеем ецй = еайхеХ] = йец.
Наконец, для произвольного элемента х £ R получаем
%еихе„. но
= euxejj = епеихепеу = enaie\j
16.5. Абсолютно неприводимые представления 291
для некоторого элемента ux£Dv откуда для u£D имеем xtj =
==гие^— etjU. Этим завершается доказательство теоремы. Мы по-
показали, что простое кольцо R может быть представлено в явном
виде как кольцо матриц порядка п над алгеброй с делением D,
единица которой совпадает с единицей кольца R.
Теорема. 16.5.3. Если RQ— полупростое групповое кольцо над
полем F, то существует алгебраическое расширение F* поля F,
над которым кольцо RQ распадается в прямую сумму полных
матричных колец над полем F*. В качестве расширения F*
можно выбрать конечное алгебраическое расширение поля F.
Доказательство. Кольцо RQ является полупростым над полем F
тогда и только тогда, когда характеристика поля не делит порядок
группы G. Это свойство будет сохраняться, если поле F з'аменить
его алгебраическим расширением F*. Если в разложении кольца RQ
над полем F в прямую сумму простых колец Rx Щ R2 Щ ... Щ/?5
существует некоторое простое кольцо /?#, соответствующая алгебра
с делением D которого не совпадает с полем /\ то алгебра D
при некотором алгебраическом расширении F* поля F пере-
перестает быть алгеброй с делением. При этом расширении разло-
разложение кольца RQ претерпевает одно из следующих изменений:
A) увеличивается (но, конечно, не уменьшается) число идем-
потентов центра кольца /?, и, таким образом/некоторое простое
кольцо дальше распадается в прямую сумму нескольких простых
колец; или B) в простом кольце R содержится тело D* меньшей
размерности, а кольцо R представляется как большее матричное
кольцо над телом D*. Оба эти изменения возможны. Первый
случай мы наблюдали, когда находили представления группы по-
порядка 3. Второй возникает в кольце Rq группы кватернионов Q
над полем рациональных чисел F. Кольцо Rq над полем F — это
прямая сумма четырех простых колец размерности 1 и одного —
размерности 4. Последнее является алгеброй с делением (алгеброй
кватернионов). Если присоединить комплексное число I к полю F,
то алгебра с делением превращается в алгебру матриц порядка 2
над полем N комплексных рациональных чисел.
В любом из этих случаев алгебраическое замыкание F поля F
является полем, над которым любая простая алгебра Rk, являю-
являющаяся слагаемым для RQt есть матричное кольцо над полем F,
Матричные единицы е\, простых колец Rk можно представить
через элементы х группы G, а любое поле F*t содержащее все
возникающие при этом коэффициенты, таково, что Rk — полные
матричные алгебры над полем F*. Последнее, разумеется, является
конечным расширением поля F.
Теорема 16.5.4. Центр полной матричной алгебры Rk над
полем F состоит из скалярных кратных единицы алгебры Rk
19*
292 Гл. 16. Представления групп
являющейся единичной матрицей. Базис центра прямой суммы
матричных колец R = Rx +- ... +/?г над полем F составляют
г единиц колец Rx Rr.
Доказательство. Пусть Rk — полная матричная алгебра над
полем F. Предположим, что элемент
х = 2. *//«*/. л/у^Л
находится в центре алгебры Rk. Из условия ersx = xers находим
Поэтому asj = 0 при j Ф s и ass = arft откуда х = ап(еп-\~.. .
... -\-епп) = ап • 1, и, наоборот, все элементы такого вида
содержатся в центре алгебры Rk. Если
то центр алгебры /? — прямая сумма центров алгебр Rk. Поэтому
базис центра кольца R состоит из г единиц алгебр Rk.
Мы получили уже ряд результатов, связывающих представле-
представления группы G с полупростыми групповыми алгебрами RG. Под-
Подведем итог.
Теорема 16.5.5. Любое неприводимое обыкновенное предста-
представление конечной группы G является компонентой правого ре-
регулярного представления R(G). Число неэквивалентных абсо-
абсолютно неприводимых представлений равно числу классов
сопряженных элементов группы G. Если рх рг—различные
абсолютно неприводимые представления степеней пх пг
соответственно, то степень представления pt равна п2. над
полем F и pt встречается щ раз в представлении R{G). Един-
Единственными матрицами, перестановочными с представлением
Pi(x), x£G, являются скалярные кратные единицы. Если g—.
порядок группы G, то g— п2х-\-п\-\- ... -\-п2Т%
Доказательство. По теореме 16.4.4 любое неприводимое
обыкновенное представление эквивалентно представлению в не-
некотором минимальном' правом идеале алгебры RQ и в этом смысле
является компонентой представления R (G). Число неэквивалентных
неприводимых представлений равно числу простых идеалов в RQ.
Над полем F или над его расширением Z7* центр кольца Ra
обладает базисом из г идемпотентов, а само RQ по теореме.
16.5.4 — прямая сумма г полных матричных алгебр. Но в силу
теоремы 16.4.5 базис центра кольца RQ состоит из сумм Ct эле-
элементов классов сопряженных элементов группы G. Поэтому г —
число классов сопряженных элементов группы G. Над полем F*
16.6. Соотношения между обыкновенными характерами 293
минимальный правый идеал, содержащийся в подкольце Rit имеет
вид enR. Если же Rt — полная алгебра матриц порядка nt, то
этот идеал имеет базис elv £12, ..., ег . ^Соответствующее пред-
представление р; имеет степень nt. Представление алгебры RQt инду-
индуцированное представлением p/f является точным представлением
простой алгебры R., а остальные простые алгебры отображаются
в нуль, так как, согласно теореме 16.4.4, р/(ву.) = О, если ej —
единица подалгебры Rj, j Ф L Таким образом, Pi(RQ) — полная
матричная алгебра размерности, nj над полем Z7*, конечно, абсо-
абсолютно неприводимая, так как дальнейшее разложение было бы
возможно только в случае, если бы это представление было мень-
меньшей степени над полем Z7*. Далее, единственными матрицами по-
порядка nt, перестановочными с каждой матрицей рДдг), x£Gt
являются скалярные кратные единичной матрицы. Наконец, так
как каждое кольцо Rt имеет базис из n2t элементов, их прямая
сумма обладает базисом, состоящим из п2х-\- ....-}-/^ элементов.
Но кольцо RQ имеет также базис, состоящий из g элементов
группы G. Следовательно,
* = «?+... +я».
Rt является прямой суммой #; минимальных правых идеалов enR, .. .
...» enn-R* и поэтому представление р^ встречается в предста-
представлении R(G) точно пь раз.
16.6. Соотношения между обыкновенными характерами
В предыдущем параграфе исследовались представления группы
О, которые определялись строением алгебры RQ и тем фактом,
что представление группы G индуцирует представление алгебры RQ.
В этом параграфе мы рассмотрим соотношения между характе-
характерами xW» х€^- Они более тесно связаны с самой группой G,
чем с алгеброй RQ. В этом параграфе будем рассматривать только
представления над полем, характеристика которого взаимно проста
с порядком группы.
Теорема 16.6.1. Пусть Л и В — два F-G-модуля. Если модуль
А размерности т определяет представление р(дг), x£G, а мо-
модуль В размерности п определяет представление о(х), то
аддитивная группа операторных гомоморфизмов модуля А
в В рзоморфна аддитивной группе всех матриц а размер-
размерности тУ^п, таких, что p(x)a==ao(x), x£G.
Следствие 16.6.1. Кольцо операторных эндоморфизмов мо-
модуля А в себя изоморфно алгебре матриц а порядка mt таких,
что р (х) а = ар (х).
294
Гл. 16. Представления групп
Доказательство. Пусть их ит — базис модуля А
vx vn — базис модуля В. Тогда каждое линейное отображе^
ние модуля А в модуль В определяется заданием образов эле
ментов базиса. Пусть
... +alnva9
и пусть (x = (atj)t i—\ т\ j=\ п. Эти линейные!
отображения образуют аддитивную группу, изоморфную аддитив--|
ной группе матриц а. Если, кроме того, эти линейные отображен
ния являются операторными гомоморфизмами, то из соответствия,
u-*v следует, что ux->vx для всех x£G. Это означает, что |
а а
отображения и-*их —> (vx) и и—> v->vx совпадают, откуда
) а = аа (л:),
Если модуль А отображается в себя, то такие отображения
называются эндоморфизмами. Если а и р -г- два операторных
эндоморфизма, то имеем
р (х) (ар) = [р (х) а] р = [ар (*)] р = (ар) р (х),
и, таким образом, алгебра матриц а со свойством р (л;) а == ар (х)
изоморфна алгебре операторных эндоморфизмов модуля А.
Теорема 16.6.2 справедлива для любых 2-модулей, где 2 —
произвольное множество операторов, но нас интересуют главным
образом F-G-моцупи.
Теорема 16.6.2. (Лемма Шура.) Если А и В — два неприво-
неприводимых Q-модуля, то они либо операторно изоморфны, либо
единственным операторным гомоморфизмом А в В является
нулевой гомоморфизм. Если модуль А неприводим, то любой
его операторный эндоморфизм, не равный тождественно нулю,
является операторным изоморфизмом.
Доказательство. Пусть u£At v£Bt со £2. Если тогда для
некоторого и£ А операторный гомоморфизм отображает и в v=f=0,
то исо->гпо для всех со £2. При этом uQ—подмодуль модуля А,
а так как модуль А неприводим, uQ = А. Таким образом,*
А = #2->г>2=£0, откуда A->vQ — B. Это отображение должно,
быть взаимно однозначным, так как в противном случае ненуле-
ненулевые элементы модуля Л, отображаемые в нуль, образуют 2-под-
модуль модуля Л, что противоречит его непроводимости. Сле-
Следовательно, 1 это отображение — изоморфизм. Поэтому, в частно-
частности, любой операторный эндоморфизм модуля Л в себя есть one*
раторный изоморфизм.
16.6. Соотношения между обыкновенными характерами 295
Теорема 16.6.3. Если р и о — два неприводимых неэквива-
неэквивалентных представления конечной группы G степеней тип
соответственно и £— любая матрица размерности #г X я» то
Доказательство. Пусть а = 2р(У)£°(У~1)- Тогда для х£ G,
= ао (лг).
Поэтому в силу теорем 16.6.1 и 16.6.2, а также в силу непри-
неприводимости и неэквивалентности представлений р и о, a = 0. Заме-
Заметим, что эти теоремы справедливы для представлений группы G
над произвольным полем.
Если fi(y) и /2(у) — две произвольные функции на группе G
со значениями в поле F (предполагаем, что характеристика поля F
не делит порядок группы G), то симметричным билинейным
скалярным произведением называется число
Учитывая, что у'1 пробегает всю группу G, когда у пробегает
всю группу G, легко проверить следующие свойства:
1) (fv /2) = (Л. Л).
2) (/1 + /2. /a) = (/i. /з) + (Л. /3).
3) (afvfd = a(fv /2), a£F.
Предположим теперь, что р(х) и а(х) — неприводимые неэквива-
неэквивалентные представления. Если в теореме 16.6.3 положить % — erst
где ers — матрица размерности ту^п с единицей на месте (г, s)
и нулями на всех остальных местах, то мы находим матрицу
a = (ay). где ау = 2р/г(у)°^(У)- ПРИ этом
Так как, согласно теоремам 16.6.1 и 16.6.2, а = 0, справедливы
равенства (pir, o^.)==0. Мы можем показать даже больше.
296 Гл. 16. Представления групп
Теорема 16.6.4. Если р и о — неэквивалентные неприводщ
мые представления конечной группы G, то симметрически
билинейное скалярное произведение (pir, asj) = 0 при любьи
индексах Л г, s, j. Если р — абсолютно неприводимое д
ставление степени п, то (р/г, р5у) = 0, если 1Ф] ила
в оставшемся случае (рг;., pj.) = — при любых индексах i и J
Доказательство. Первую часть теоремы мы уже доказали;
Теперь рассмотрим абсолютно неприводимое представление р ст£,
пени п группы G. Если £ — произвольная матрица порядка п, то"
как и прежде,
где а — такая матрица, что р (х) а == ар (х) для всех значений х£
Следовательно, по теореме 16.5.5 матрица а представима, ка!
скалярное кратное единичной матрицы, a = X/w, где скаляр X за
висит от матрицы £. Если £ = ers, то соответствующее значение )
обозначим через Хг5. Тогда ХГД7 = (pir, psj). Но (p/r, psj) = (psj, pir)
поэтому \rsbij = \jibsr = O, если только ЬФ] и г =£s, в то врем;
как (р^, pji) = 'kll = (pji1 p.j) = \jj. Следовательно, ХП = Х22=..
. . . =ХЛЛ = Х. Таким образом,
пк = 2 Хуу =
у. У
откуда Х=1/я. Теорема доказана. Заметим, что из равенств
п\= 1 следует, что степень п не делится на характеристик]
поля F.
Эти результаты переносятся на характеры.
Теорема 16.6.5. Если х» Ф — различные неприводимые ха-
рактеры, то (^, <|>) = 0. Если. % — абсолютно неприводимы1
характер, то (^, у) = 1.
Доказательство. Если ^ и ф — неприводимые характерь
представлений р и о, то х(У) = 2р«(У)« Ф = 3°уу(У) для
Так как скалярное произведение билинейно, то
16.6. Соотношения между обыкновенными характерами 297
поскольку каждое слагаемое равно нулю. Пусть теперь % — абсо-
абсолютно неприводимый характер представления р степени п. Тогда
(Х> X) =
что и требовалось доказать.
Следствие 16.6.2. Для единичного представления 2х (*)—§"•
x£G
Для любого другого неприводимого представления 2x(JC) = 0*
x£G "
Действительно, jm(x)=l для любого х при единичном пред-
представлении, откуда 2х(-*0 —£*• Н° если X — характер любого
х£О
другого неприводимого представления, то обозначим через ф ха-
характер единичного представления. Тогда (%, ф) = 0, откуда
Теорема 16.6.6. Если х и Ф—характеры и x =
ф = 2 #/Х/» г^г Хг» ^== Ь . .., Л — абсолютно неприводимые
характеры, то (%, ф) = 2 afii- Чтобы характер ср ^wл абсо-
абсолютно неприводимым над полем F, характеристика которого
равна нулю, необходимо и достаточно, чтобы (ср, ср) = 1.
Доказательство. Эта теорема получается как следствие из
теоремы 16.6.5, если применить свойство билинейности скалярного
произведения. Если ?==2СЛ» т0 коэффициенты сь — неотрица-
неотрица2 \
фф
тельные целые числа, а если (ср, ср) = 2 с\ = 1» то в поле ха-
характеристики нуль один из коэффициентов сь равен 1, а все
остальные — нулю.
Теорема 16.6.7. Все абсолютно неприводимые представления
абелевой группы G одномерны.
Доказательство. Так как группа О абелева, каждый элемент
представляет собой класс сопряженных элементов, и поэтому,
если g — порядок группы G, то существует g абсолютно непри-
неприводимых представлений степеней nlt n2, ..., ng4 где g = n*-\-
+ п\ -\- ... + п21 откуда пг = п2 = . . . = ng = 1. При этом для
любого представления р степени 1 мы имеем x(-*0 —Р(-*0> т- е-
абсолютно неприводимые представления задаются характерами
и являются по сути характерами абелевой группы, рассмотренной
в гл. 13.
Теорема 16.6.8. Пусть х — элемент порядка т из группы G,
и пусть р(х) — ее представление степени п. Тогда, присоеди-
присоединяя, если нужно, корни степени т из единицы к полю /\ по-
получаем, что матрица р (х) подобна диагональной матрице,
298 Гл. 16. Представления групп
элементами которой являются корни степени т из единиц*
Если - F—поле комплексных чисел, то %(x~1)
черта означает комплексное сопряжение.
1
Доказательство. Матрицы 1, р(х) pOv™) представляй
циклическую группу С порядка т. Но степень абсолютно непрай
водимых представлений о(дг) группы С равна единице. Пуст
а(х) = (Ь), тогда Ьт=\> так как 1 = хт, т. е. Ъ есть коренй
степени т из единицы. Легко проверить, что в алгебре Rc эле!
менты вида (l/m)(l -\-(qx-\-ы2х2-\- ... -\-ыт~1хт~1), где со npcnj
бегает все корни степени т из единицы, являются идемпотентам»
порождающими неприводимые представления. Следовательно, npij
присоединении корней степени т из единицы к полю F (харак|
теристика которого, конечно, не делит т) представление р(А?|
группы С вполне приводимо, и матрица р(х) подобна диагональ-!
ной матрице с элементами Ьх Ьп на главной диагонал
где bt — корень степени т из единицы. Следовательно, х(х)~-
= Ьх-\- ... -\-Ьп. Тогда р(х~1) подобна диагональной матрице|
с элементами b\l Ьп1 на главной диагонали и (l)
bil-{- ... -{-bn1. Если же F — поле комплексных чисел, тс
обратным элементом к любому корню из единицы является ком?|
плексно сопряженное число Ь^1 = Ъ^ и поэтому ^(дг"'1) =
Пусть р — произвольное представление группы G. Для
дого элемента x£G определяем представление р(х) = р(лг-1) А
где Т означает транспонирование матрицы. Тогда
Представление р называется контраградиентным по отношений!
к представлению р.
Предположим, что L — модуль представления р с базисов*!
их ип над полем F. Пусть L — другое пространство над по-?
лем F с базисом vx vn. Определяем скалярное произведение и»&
элементов и = ахих -f- . .. -\-апип £ L и v = bxvx + . . . + bnvn £ Li
Это скалярное произведение является билинейной функцией на мно*|
жестве (L, Z), определяемой равенствами utVj = 8^.
Мы превратим vv v2 vn в базис для представления р,]
положив
VtX = 2 ?ij (х) vj = 2 Рп (Х~Х) Vj-
I J
16.6. Соотношения между обыкновенными характерами 299
Тогда
щх . Vjx = 2 ?ik
k,s
, k
так как р(х) p(x~l) = In. Таким образом, их • vx — u • v для
всех элементов u£L, v£L и х£0, т. е. скалярное произведе-
произведение сохраняется, если на оба сомножителя подействовать одним
и тем же элементом группы О. Для каждого подпространства М'
пространства L определим подпространство М пространства L%
состоящее из всех таких элементов u£L, что u-v = 0 для
всех v£Mr. Тогда 6\т.Мг -\-6\m М = п и установленное соответ-
соответствие является дуальным соответствием между подпространствами
пространств L и L, Если Мг — подмодуль представления в L
и v£M', то для х£0 также vx~l(^AV. Поэтому vx~l • и = 0
и v-ux = 0 для всех v£M't а£М, откуда их£М, т. е. М —
также подмодуль представления. Поэтому, в частности, модуль L
неприводим то/Да и только тогда, когда неприводим модуль L.
Если р — абсолютно неприводимое представление степени п над
полем F (реализуется в пространстве размерности п2), степень
представления.р над полем F также равна п (реализуется в про-
пространстве размерности /г2), т. е. р — абсолютно неприводимое
представление.
Из определения следует, что р = р. Если представления р и о
эквивалентны, то
для некоторой матрицы 5 и всех х £ О. Транспонируем левую
и правую части:
т. е, представления р и о эквивалентны.
Пусть г-—число классов сопряженных элементов группы G,
a pj, ..., pr — абсолютно неприводимые представления группы О
над полем /\ где рг — единичное представление /соответствующее
идемпотенту (\/gJх\ Р\(х)=1, х£О. Тогда р2 === ра рг —
те же самые представления, взятые в другом порядке. Аналогично
Пусть Cj Сг — классы сопряженных элементов, группы О, где
Cj = 1 — класс, состоящий только из единицы. Элементы, обрат-
обратные элементам класса Ct, образуют другой класс С/. Поэтому
300 Гл. 16. Представления групп
Ci=Clf . .., Сг — те же самые классы, но взятые в другом
порядке
Если х(х) — характер представления р(х), то обозначим xa-j
рактер представления р(х) через х(х)- Здесь х(х) — слеД Р(x)i7J
тогда
^(jc)—след p(jc~1) = след р(л;") = ^
Как отмечалось в теореме 16.6.8, в поле комплексных чисел ■
где черта означает комплексное сопряжение. Та- ]
Доказательство. Согласно теореме 16.6.5,
Но х (х)= X (.У)» если элементы х и у принадлежат одному
классу Ct (тогда и элементы х~1 и у принадлежат одному
классу C'i). у6(х~1) = хь(х), следовательно, при х£Сь наша ис-
исходная сумма содержит ht членов, равных ХД/- Поэтому
г
/ l
или
a-, ab*
ким образом, наше обозначение согласуется с обозначением ком- j
плексной сопряженности над полем комплексных чисел. Заметим,
что над этим полем равенство р^=р справедливо только в слу-
случае, когда все характерьц^ (х) представления р — действительные
числа.
Обозначим через х? абсолютно неприводимый характер неко-
некоторого элемента из класса Ct при представлении pfl, через ht —
число элементов класса Ct. т. е. индекс нормализатора некото- •)
рого элемента х £ Сь. Если порядок этого нормализатора равен gi%
то gtht = g.
Теорема 16.6.9. Для абсолютно неприводимых характеров
группы G справедливы соотношения ортогональности:
• 16.6. Соотношения между обыкновенными характерами 301
А это значит, что для матрицы M = (mai), a,/=I г, где
tnal = xf» матрица
М' = (rib), /, # = 1 г,
где
такова, что ММ7 = /г, т. е. Mf — обратная матрица для матрицы М.
Но тогда М'М = 1Г, откуда
г
а это и есть вторая формула, которую требовалось доказать.
Изучение структуры групповой алгебры дает возможность
установить дальнейшие соотношения для характеров. Пусть
Ло = /?i ЕВ ... ЕВ #flB3 ... Ш Rr
— разложение алгебры Rg в прямую сумму простых алгебр, и
пусть ef., L j=\ п, — матричные единицы алгебры Ra и
еа = е^х-\-^22 + • • • Н"епп — еДинииа алгебры Ra. Неприводимое
представление pfl = pfl, соответствующее Ra, эквивалентно пред-
представлению в минимальном правом идеале алгебры Ra. Пусть этим
правым идеалом будет идеал e^R с базисом e<*v e%2 е*п%
Тогда г
j
Пусть теперь х = хг-\- ... +^fl+ ... +^г» где xa£Ra, при-
причем
Если
Ъ
мы имеем e*tx = е^еах = ^.ха и
Но по определению представления
Следовательно, х*. = р?.(х) во всех случаях, и поэтому
302 Гл. 16. Представления групп
Будем писать С*,= 2 jc, употребляя одну и ту же букву для обовд
6С
значения класса и суммы его элементов, рассматриваемой как ^
мент алгебры /?G. Такое обозначение не приведет к недоразуме-1
нию. Тогда Cv С2, ..., Сг образуют базис центра Zq алгебры /?<?♦;!
Пусть
i
где C%£Ra. Тогда, так как С% — элемент центра алгебры Ra,
является скалярным кратным единицы еа, т. е. С%— и%еа- Но
i
след р« (С%) = 2 след pfl (*),
%
откуда naiik= hkx%9 где па — степень представления ра# Поэтому4
откуда
Таблица умножения для базиса Сх Сг центра Z(R0) еле* |
дующая:
где над полем F характеристики нуль ctjk — неотрицательные це-
целые числа, так как произведение Cfij^CjCt не содержит отри-
отрицательных членов.
Так как RQ разлагается в прямую сумму простых алгебр R^ •
компоненты Cf удовлетворяют тем же самым соотношениям, что-;
и Ct. Поэтому справедлива
Теорема 16.6.10.
r*af>a />о jn,a "Ч(П /ofl ■•
U^Cy = Су L*i = j£j CijkL*k, п = i , . . . , Г у
k \
a=l
na
При доказательстве теоремы 16.6.4 мы установили, что пк=\*:
где п==па — степень абсолютно неприводимого представления.
Поэтому деление на па в равенствах теоремы 16.6.10 допустимо. |
Определим тензорное произведение L X М двух про- J
странств L и М над полем F следующим образом. Если uv ... j
..., ит — базис пространства L, a vv ..., vn — базис про- }
16.6. Соотношения между обыкновенными характерами 303
странства М, то L X М — линейное пространство над полем F
с базисом utVj, /=l, ..., m\ у=1, ..., п. Если
то произведение от = 2 atbjUtVj определено как элемент про-
пространства L X М. Можно проверить, что замена базиса про-
пространства L или М соответствует замене базиса произведения
L X М. Если L есть F-G-модуль представления р группы G,
а Л4 есть F-G-модуль представления о группы G, то можно
определить кронекеровское произведение р X о представлений р
и о как следующее представление группы О в модуле L X М: >
(uv) х = (и х) (vx), u'£L9 v£M, x£G.
Если представление рх эквивалентно р, а ах эквивалентно о, то
представление рх X Q\ эквивалентно представлению р X °» так как
замена базисов пространств L и М ведет к замене базиса про-
пространства L X М.
Теорема 16.6.11. Если р и о — представления группы О
с характерами % и ф соответственно и если <р — характер
представления р X о, то ср (jc) = ^ (jc) ф (л:) /гр# любом x£G.
Доказательство. Если ^^ = 2 Р^у (x) tfy» 1=1, .... #*,
/ = 1 п, то
S
Но
откуда
=2. р« (*) °л (*)=[S ри w] [2
Из определений тензорного и кронекеровского произведений
видно, цто они коммутативны и ассоциативны. Поэтому, если pfl
и р6 — абсолютно неприводимые представления группы G, то
Ра X ?ь = ?Ь X Pfl = 2 SW Pc>
с
где g-fl&c — неотрицательные цельге^Рисла, а сумма означает раз-
разложение представления pfl X Р& в прямую сумму неприводимых
представлений рс, каждое из которых имеет кратность gabC. Ана-
Аналогичная формула справедлива для характеров. Мы сформулируем
этот факт в виде следующей теоремы.
304
Гл. 16. Представления групп
Теорема 16.6.12. Для абсолютно неприводимых характе-
характеров группы G имеет место соотношение
с
где gabc~ неотрицательные целые числа, образующие таблицу
умножения некоторой коммутативной и ассоциативной
алгебры.
Подытожим то, что мы узнали об отношениях характеров.
Пусть Сг = 1, С2, .. ., Сг — классы сопряженных элементов
группы G; Pi = 1 (единичное представление), р2 рг — абсо-
абсолютно неприводимые представления и ха. — характер элемента из
класса Ct в представлении pfl:
cx...ct...cr
Pi
х\.-.
XI ■■■
xl
XI
XI
• • • Л.Г
. . . Уг
а
При этом пусть ht — порядок класса Ct и gihl = g. Установлены
следующие соотношения для характеров:
1) из разных строк V —1—-— ЬаЬ,
2) из разных столбцов 2 X°i)Cj — ^iSi,
3) внутри одной строки ~—L-± = 2j clik ,
k
4) внутри одного столбца xa{lbt = 2 gabД/.
Здесь cCjk и gabc — неотрицательные целые числа, являющиеся
элементами таблицы умножения коммутативных и ассоциативных
алгебр.
Всякое представление группы G группой подстановок ir(G)
можно рассматривать также как матричное представление. Дей-
Действительно, если
16.6. Соотношения между обыкновенными характерами 305
при x£G, то мы можем рассматривать это как представление р
относительно базиса uv ..., ип, причем
Тогда х(х) — это число символов uit оставляемых на месте под-
подстановкой %(х).
Теорема 16.6.13. Если tc(G)— представление подстановками
группы G порядка g, то 2 X(x) = kg* г^е & — число обла-
х£О
стей транзитивности. При этом если рассматривать это
представление как матричное, то оно содержит точно k
единичных представлений.
Доказательство. Пусть nv п2, ..., nk — числа элементов
в каждой из k областей транзитивности. Тогда индекс под-
подгруппы Hjt оставляющей на месте символ #у из у-й области
транзитивности, равен /г;-, а порядок этой группы — g/nj. Следо-
Следовательно, символ aj остается на месте g/nj раз под действием
всех элементов группы G. Поэтому хоть один символ у-й обла-
области транзитивности остается на месте tij • g/fij — g раз, а, значит,
число случаев, когда не сдвигается хоть один из символов k областей
транзитивности, равно kg, т. е. 2 Y (#) = &£". Если у —
a — сумма абсолютно неприводимых характеров, то
= m\g согласно следствию из теоремы 16.6.5. Следова-
тельно, наше представление содержит единичное представление
ml = k раз.
Теорема 16.6.14. Если ^ — характер транзитивной группы
подстановок G, то ^jy?{x) = tg, где t — число областей
х£О
транзитивности подгруппы Я, оставляющей на месте один
символ; t равно также числу двойных смежных классов НхН
группы G по Н.
Доказательство. Пусть G — транзитивная группа подстановок
символов 1, 2, .... п и Нь — подгруппа, оставляющая на месте
символ i (i=\ п). Можно считать, что H = HV так как
все подгруппы Ht сопряжены. Пусть ii — порядок группы Н.
Тогда в силу предыдущей теоремы
2 х (*)='*•
Пррсуммируем это равенство по I:
20 М. Холл
306 Гл. 16. -Представления групп
Слева для каждой подгруппы Нь. содержащей элемент х, слага
мое х(х) встречается один раз. Но элемент х оставляет
месте х(х) букв и поэтому содержится в хМ различных пол
группах Ht (это число равно нулю, если элемент х переставляв
все буквы). Значит,
Легко видеть, что число t равно числу двойных смежных клас-
классов НхН группы G. Действительно, пусть G = Н-f- Hx2 -f- .
... -\-Нхп, где Н — подгруппа, оставляющая на месте 1, и хь
= A, /, ...), / = 2, .... /г. Если HxiH=HxjH9 Toxi = hlxj
hv h2£H. Здесь элемент /г2 отображает / в i, откуда символы
и j содержатся в одной области транзитивности группы Hi
Обратно, если i и j — символы из одной области транзитивности^
группы //, то некоторый элемент h2£H отображает
в /, а элемент Xjh2 переводит 1 в i% откуда Xjh2
т. е. xt = h^Xjh2 и HxtH— HxjH. Итак, любой двойной к лас
по Н—это один из классов Нх(Н. Следовательно, в группе
существует точно столько двойных классов НхН, сколько обла--
стей транзитивности в группе //.
Теорема 16.6.15. Каждое дважды транзитивное предста
вление группы О подстановками над полем комплексных чисел
есть сумма тождественного и некоторого абсолютно непри-
неприводимого представлений.
Доказательство. Для дважды транзитивного представлениЯг|
имеем -$
так как подгруппа //, оставляющая на месте символ 1, обладает^
точно двумя областями транзитивности: 1 и остальные символы.!!
Так как число х(х) Действительное, то %
Если X — ^ZjcaXa — сумма абсолютно неприводимых характеров, то!
\ — У ГУ г уа(
1 — Za \ Za caL v-
х V а
|
в силу соотношений ортогональности. Поэтому 2jCa=2t откуда^
а *
^=1 (как уже известно) и еще только одно са—1. .;
16.7. Импримитивные представления 307
16.7. Импримитивные представления
Пусть модуль представления М группы О распадается в пря-
прямую сумму подпространств Mv М2, .... Мп, на которых это
представление транзитивно, но импримитивно. Это означает
следующее:
1) для любых подпространств Mt и Mj существует такой эле-
элемент x£Gt что Mtx = Mj'f
2) для каждого подпространства Mt и каждого элемента х £ G
существует такое подпространство Mjt что Mtx — Mj. Первое
требование — это свойство транзитивности, а второе — свойство
импримитивности.
Зафиксируем подпространство Mv, Множество всех таких х,
что Щх = Mv непусто, так как, конечно, содержит элемент
х=\, и, как легко видеть, оно образует подгруппу И группы G.
Тогда для любого элемента
поэтому Мг — модуль представления группы Н. Если bt £ G —такой
элемент, что
то элементы х, такие, что Мхх = Mlt образуют смежный класс Hbt.
Таким образом» мы имеем
где
Ml{hbi) = Mv t=\ /г.
Этим мы установили связь между подпространствами Mt и смеж-
смежными классами по подгруппе Я. Если элемент х такой, что
то
т. е.
откуда bixbil£H, или х — элемент подгруппы bi1Hbt. Наконец,
если '
то
Пусть pj — представление группы Н относительно базиса vv ...
..., vm подпространства Mv Тогда элементы vxbit ..., vmbt
20*
308 Гл. 16. Представления групп
образуют базис подпространства Mt. В таком случае для про
вольного элемента х £ G имеем
Мгх = Mjx Mtx = Mj , Мпх = Mj .
Здесь Mjl Mj —перестановка подмодулей Mv ...,
так как, подействовав на них элементом а:, мы должны полу
чить опять Мх Мп. Если Mtx = Mj (j = ji)f то х(
или bixbj1 = hij£H. Следовательно, в базисе vkbt, k=l9
подпространства Mt
Другими словами, эта часть представления полностью определена
представлением элементов h^ в подмодуле Мг:
Отсюда
(A)). t, j=\ л,
Тогда определяем представление
а также, очевидно,
при условии, что рх (у) = 0 при у(^Н. Здесь матрица р(х) со-
состоит из п2 матриц порядка т и имеет порядок тп. Таким,
образом, любое представление, транзитивное и импримитивное на
подпространствах Mv .... Мп, определяется представлением рх
подгруппы Н индекса п в группе G. Обратное также верно.
Пусть р2 — произвольное представление подгруппы Я, где
причем р1(у) = О, если у(^Н. Применяя поблочное умножение $
матриц, получаем
р (х) р (у) = (pi (bixbj1)) (Pl (bkyb7l)) =
Таким образом, р(дг) — представление группы G.
Теорема 16.7.1. Если рг — представление степени т под-
подгруппы Н группы G uG = Н-\- НЬ2 + ..
'. У = 1 л,
16.7. Импримитивные представления 309
при условии, что рх(у) == 0 для у(^Н, является представле-
представлением степени тп группы G на модуле М, который содержат
подмодули Mv M2 Мп, отвечающие соответственно
смежным классам И, НЬ2 Н^п- Р — транзитивное и им-
примитивное представление на Mv.... Мп. Обратно, всякое
представление, транзитивное и импримитивное на подмо-
подмодулях некоторого модуля, является представлением такого
типа.
Доказательство. Если их ит итп — базис модуля
представления р, то uv ..., ит — базис представления рх группы Н
и um(i-i)+j — Ujb(, /—1 п. Отсюда следует, что модуль М
с базисом иг итп обладает подмодулями Мг Мп, на
которых представление р транзитивно и импримитивно. Будем го-
говорить, что представление р группы G индуцировано представле-
представлением pj группы Н.
Следствие 16.7.1. Представление р группы G, индуцирован-
индуцированное представлением рг подгруппы Н, не зависит от выбора
представителей смежных классов группы G по подгруппе Н.
t Это следует из того, что замена этих представителей не из-
изменяет подпространств Mlt ..., Мп, а только изменяет их базисы.
Теорема 16.7.2. Пусть ^ — характер представления р
группы G, индуцированного представлением рг подгруппы Я,
характер которого равен fa. Пусть х — элемент класса Сj со-
сопряженных элементов группы G, состоящего из hj элементов.
Пусть, наконец, g = gihi, где g—порядок группы G, и h —
порядок группы Н. Тогда
= Т S
Доказательство. i(x)— 2 Xi(^/-^^Г1)» причем
если w^H. Тогда i = 1
так как для всех элементов у из класса Hbt значения Х\(.УХУ~1)
равны Xi(bix^1)- К°гДа У пробегает группу О, элемент уху^1
пробегает класс Су и принимает значение z£Cf точно gj раз.
Таким образом,
2
что и требовалось доказать.
Теорема 16.7.3. (Теорема взаимности.) Пусть р и рг — соот-
соответственно абсолютно неприводимые представления группы G
310 Гл. 16. Представления групп
и подгруппы Н над полем характеристики нуль. Тогда npedi
ставление рх столько раз содержится в представлении not
группы Ht индуцированном представлением1) р, сколько
представление р содержится в представлении р* группы G+
индуцированном представлением рх.
Доказательство. Пусть х = Ха— характер представления
и 5^ = ^ — характер представления рх\ %* — характер р*, х*^!
= 2W&X*» гДе ХЬ — неприводимые характеры группы О. Пусть!
для характера представления подгруппы Н, индуцированного-
представлением р, ^ = Xй = 2 ndtdu где Xd\ — неприводимый ха-
d * '
рактер группы Я. Здесь представление р содержится в пред-
представлении р* та раз, а кратность, с которой pj входит в ограни-
ограничение р на И, равна пс. В силу предыдущей теоремы
Здесь мы придерживаемся соглашения, что сумма по пустому
множеству индексов равна нулю. Умножим это равенство на yj
и просуммируем по /. Тогда получим
откуда, используя соотношения ортогональности в группе О
и в подгруппе Я, получаем
d,J
и теорема доказана.
16.8. Некоторые применения теории характеров
В этом параграфе мы будем иметь дело только с полем F
комплексных чисел, хотя читателю будет ясно, что ряд установлен-
установленных результатов сохраняется и для произвольного поля, характе-
характеристика которого не делит порядок рассматриваемой группы G.
х) Представлением подгруппы, индуцированным представлением
группы, называется представление группы, если его рассматривать только
на этой подгруппе. — Прим. перев.
16.8. Некоторые применения теории характеров 311
Нам понадобятся некоторые факты из теории алгебраических
чисел1). Число б называется алгебраическим, если оно является
корнем уравнения
где av . . ., ап — рациональные числа. Число б называется целым
алгебраическим, если оно является корнем полинома, коэффициенты
которого ах ап — целые рациональные числа.
Теорема 16.8.1. Если рациональное число — целое алгебраи-
алгебраическое, то оно — целое рациональное.
Доказательство. Пусть Q = r/s — несократимое рациональное
число, удовлетворяющее уравнению
где ах ап — целые числа. Тогда
-2 + ... -f ansn~l).
Поэтому любое простое число, которое делит s, должно делить
также гп, а значит, и г. Этого не может случиться, если rjs — не-
несократимая дробь и 5 Ф 1. Следовательно, 5 = 1, т. е. 0 = г — целое
рациональное число.
Теорема 16.8.2. Алгебраические числа образуют поле. Сумма
и произведение двух целых алгебраических чисел есть целое
алгебраическое число.
Доказательство. Пусть 0, ср— алгебраические числа, удо-
удовлетворяющие уравнениям х?1-\-а^*1-\- ... -j-an = O и
xm-\-blxm"l-{- ... -\-bm = 0 соответственно. Пусть
vij = Qi<fji / = 0, 1, ..., п— 1; j = 0 т— 1.
Тогда
Qvij = vl+ltj для i = 0t ..., п — 2
и
dvn_hJ = — axvn_bj— ... — anvOtj.
Аналогично
— Vu ; + 1 для J = 0 Ш — 2
1) Эти факты содержатся у Биркгофа и Маклейна [1], стр. 410—422
(см. также Гекке Э., Лекции по теории алгебраических чисел, ГИТТЛ,
1940. — Прим. перев.).
"Л
312
Гл. 16. Представления групп
Лемма 16.8.1. Если ух, ..., yN — числа, не все равные
и z — такое число, что
2У1 = ИааиУ1' t=l N,
где atj—рациональные числа, то z—алгебраическое число.
Если числа а^ целые, то z — целое алгебраческое число.
Доказательство. Условия теоремы представляют собой
систему линейных уравнений
• • • + а2кУм = О,
относительно yv ..., yN, имеющую вполне определенное ненуле-
ненулевое решение yv ..., yN. Следовательно, определитель этой системы
равен нулю:
алл — z а10 ... alN
*12
^21
а
22 "
aNN — Z
= 0,
т. е.
где рь—целочисленные полиномы от аь. Поэтому, при рациональ-
рациональных значениях а-ф z — алгебраическое число, а при целых а^
z—целое алгебраическое число.
Используем эту лемму для доказательства теоремы. Тривиаль-
Тривиальные случаи, когда б или ср — нуль, мы исключаем. В качестве
чисел ух yN возьмем числа vtj, которые не все равны нулю,
так как vO0=l. В качестве z возьмем б-{-ср или бср. Коэффи-
Коэффициенты atj по лемме являются целочисленными полиномами от
ах ап и Ьх Ьт. Поэтому z = 6 -|~<р и z= бср — алгебрам--;
ческие числа, а если ах ап и Ъх Ьт — целые, то б + ср
и бср—целые алгебраические числа. Таким образом, сумма и,
произведение алгебраических чисел являются алгебраическими
числами, сумма и произведение целых алгебраических чисел—.
снова целые алгебраические числа. Наконец, если 0 Ф 0 — алгебраи-
алгебраическое число, удовлетворяющее уравнению zn-\-axzn~l-\- .. .
... -\-ап = 0, то мы можем считать, что апФ0, так как в про-
противном случае мы могли бы этого добиться, разделив многочлен ,.|
на подходящую степень z. Тогда
16.8. Некоторые применения теории характеров 313
.— уравнение, корнем которого является число -*-. Кроме этого,
очевидно, что число — б удовлетворяет уравнению zn—a1zn"+ . ..
... +(—1)пап = 0. Итак, алгебраические числа образуют поле,
а целые алгебраические — область целостности1).
Теорема 16.8.3. Любой характер х(х) является целым
алгебраическим числом. Числа hfl§\na из теоремы 16.6.10 —
также целые алгебраические.
Доказательство. Корень т-й степени из единицы удовлетво-
удовлетворяет уравнению хт — 1=0 и поэтому является целым алгебраи-
алгебраическим числом. По теореме 16.6.8 любой характер х(х) есть
сумма корней из единицы. Поэтому х(х) — целое алгебраическое
число. Так как коэффициенты ctjk в теореме 16.6.10 — целые
числа, мы можем применить лемму 16.8.1, взяв числа
= 7J?, /= 1. ..., Г,
в качестве ух yN и любое из них — в качестве z. Отсюда
заключаем, что r\f—целые алгебраические числа.
Теорема 16.8.4. Степени па абсолютно неприводимых пред-
представлений конечной группы являются делителями порядка g
группы О.
Доказательство. Одно из соотношений ортогональности дает
Положив gihi=^gi получаем
или
na l па
i — 1
Слева записана сумма произведений целых алгебраических чисел.
Следовательно, g\na — также целое алгебраическое число, а так
как это рациональное число, то оно должно быть целым рацио-
рациональным числом. Таким образом, па делит g.
^Для дальнейшего применения теории алгебраических чисел нам
необходимы некоторые сведения о симметрических функциях.
1) То есть коммутативное кольцо без делителей нуля. — Прим. ред.
314
Гл. 16. Представления групп
Раскрыв скобки
(z — Xl) ..
получаем
в произведении
• (г — xn)=zn — E,z"-l +
*i = 2*,. .
П2 — *J xixj>
г? 'у
Г Ad 1>\ 12 1Г>
Ясно, что £*! £"л остаются неизменными при любых переста-
новках букв хх хп. Et называются элементарными симмет^
рическими функциями от переменных xv .... хп. Полином^
Р(хх хп) над полем F называется симметрической функцией,'
если он не изменяется при всех подстановках из симметрической
группы подстановок элементов хх хп. '-[
• Теорема 16.8.5. Любая симметрическая функция Р{х1 хп)Щ
может быть записана в виде полинома Q(EV .,., Еп) от эле- ^
ментарных симметрических функций Ег, .... Еп, коэффициент |
тами которого являются целочисленные полиномы от коэф-
коэффициентов полинома Р.
Доказательство. Если Р—симметрический полином, то для
каждого / = 0, 1, ... сумма членов 1-Я степени — также симмет- |
рическая функция. Теорема очевидна для полинома Р степени 1, '|
так как все симметрические функции в этом случае имеют вид cEv
c£F. Кроме того, Р есть сумма симметрических полиномов,
каждый из которых определяется одним из своих членов вида
с(хг ... xr)a(xr+l ... xr+sf .. . (хи+1 ... xu+v)\ где показатели
степени подчинены неравенствам а > b > ... > t. Поэтому тео-
теорему достаточно доказать для симметрических форм вида
^г+1
^и+\
X
иЛ-vf
где а > b > ... У> t. Будем применять индукцию, во-первых, по
степени полинома /С, во-вторых, по а и, в-третьих, по числу г.
Если аргументы xlt xv .. . , хп встречаются в каждом члене, мы
выносим симметрическую функцию Еп за скобки. В скобках
остается симметрический полином более низкой степени. Поэтому
мы можем считать, что u-\-v < п. Если а= 1, то К — Ег В про-
противном случае рассмотрим произведение *
• • • (хи+1 • • • "
16.8. Некоторые применения теории характеров 315
где Ег • /С* = К + дополнительные члены. Но как /С*, так и сумма
дополнительных членов — симметрические полиномы. Этим теорема
доказана.
Полином наименьшей степени с рациональными коэффициентами,
корнем которого является алгебраическое число б, называется
минимальным полиномом для числа 6. Минимальный полином
делит любой полином h(x) с рациональными коэффициентами,
корнем которого является число 0. Если теперь
/(*) = (* —в,)(* — в2) ... (х- РЛ), ■
где 0 = 0{, то числа, 02 Ьп называются сопряженными с б:
Числа, сопряженные с 0, также обращают в нуль любой много-
многочлен, корнем которого является число 0. Следовательно, если
6 — целое алгебраическое число, то они также являются целыми
алгебраическими; поэтому коэффициенты минимального полинома
для целого алгебраического 0, являясь элементарными симметри-
симметрическими функциями от 0j Ъп,—также целые алгебраические,
а значит, и целые рациональные числа.
При изучении представлений мы обычно имеем дело с корнями
из единицы. Примитивными корнями степени m из единицы являются
числа со = expBir//w) и о)-' при (j\m)=l. Они удовлетворяют
уравнению хт—1=0, но не удовлетворяют никакому уравнению
хг — 1=0 при 0 < г < т. Остальные корни степени т из еди-
единицы являются корнями уравнения xd—1=0, где d пробегает
все делители числа т. Разделив многочлен хт — 1 на его сомножи-
сомножители, обшие со всеми многочленами xd—1, d < m, мы получаем
полином f(x) с рациональными коэффициентами, корнями которого
являются примитивные корни степени т из единицы, и только
они. Следовательно,
-«'). и. =1.
и f(x) — многочлен с целыми рациональными коэффициентами
степени ср(т), где ср — функция Эйлера. Многочлен f (х) непри-
неприводим, но это доказывается с помощью более глубоких результатов
об алгебраических числах, которые нам не понадобятся. Здесь нам
нужен только тот факт, что симметрические функции примитивных
кораей степени т являются целыми рациональными числами.
Теорема 16.8.6. Пусть ра—абсолютно неприводимое пред-
представление степени п групйы G, обладающей таким классом
сопряженных элементов Ct, что (ht, л)=1. Тогда или A)
316 Гл. 16. Представления групп
уа = 0, или B) ^ = #(о, где со — корень из единицы, причем*
образ Ct содержится в центре ра. ,:
Доказательство. Для данного элемента х£С( мы можем
преобразовать представление ра так, что матрица ра(х) примет
диагональный вид. Если все п характеристических корней мат-
матрицы ра(х) равны, скажем, некоторому корню со степени т иа
единицы, то
их — элемент центра ра. Это случай B) в формулировке теоремы.
Теперь мы должны доказать, что при выполнении условий теоремы
в случае, когда не все характеристические корни элемента х равны
между собой, хМ —О- В этом случае х имеет порядок пС<
уа — ^ (х) = о/1 -f- • • • + и*6*1 и I xf I < п> так как числа оЛ не все
имеют одинаковые аргументы. Здесь
— целое алгебраическое число; так как (ht, n)=lt существуют
такие целые числа г и 5, что rhi-\-sn= 1. Следовательно,
— целое алгебраическое число. При этом
/1+ ••• +^п
п п
J
Заменяя со сопряженными числами со7, получаем полином
коэффициенты которого — симметрические функции от сопряжен-
сопряженных корней и, следовательно, рациональные числа. Так, сопряжен-
сопряженные с £ числа находятся среди чисел вида
П
и поэтому для любого числа £1\ сопряженного с £, | £(f) | ^ 1, и |
любое такое сопряженное число является целым алгебраическим. |
|£| = j£A)| < 1, и поэтому UA) . .. 4{s)\ < 1, где £A) ^5>_Все 1
16.8. Некоторые применения теории характеров 317
числа, сопряженные с £. Это произведение должно быть целым
рациональным числом, значит оно равно нулю. Таким образом,
£A) ... ^ = 0. Следовательно, по меньшей мере один из сомножи-
сомножителей равен нулю. Но с нулем сопряжен только нуль. Поэтому
£ = £A) = 0, т. е.
«-4-0.
откуда х? —» что и требовалось доказать.
Теорема 16.8.71). A) Если число ht элементов в классе Ct
группы G равно степени простого числа, то G — не простая
группа. Точнее, существует гомоморфный образ группы G,
в котором образы элементов класса Сь содержатся в центре.
B) Группы порядка paqb, где р и q — простые числа, разре-
разрешимы.
Доказательство. A) Пусть пх— 1, п2 пТ — степени абсо-
абсолютно неприводимых представлений группы G. Пусть ht— ps —
число элементов в классе Сь. Для регулярного представления
группы G ^(л;) = 0 для x£Cit так как хф\. Пусть
— разложение регулярного представления. Здесь п$\ = 1. Что
касается остальных слагаемых при условии р\па, то по теореме 16.8.6
или ^? = 0, или образ класса Сь содержится в центре гомоморф-
гомоморфного образа ра(О). Но если бы /^ = 0, когда р\ па, мы бы имели
где а—целое алгебраическое число. Это значило бы, что
— A//?) — целое алгебраическое число, что невозможно. Следова-
Следовательно, для некоторого ра образ класса Сь содержится в центре
образа pa(G).
B) Пусть G —группа порядка paqb. Для доказательства при-
применим индукцию по порядку групп. /?-группы, как известно,
разрешимы. Элемент из центра силовской ^-подгруппы или содер-
содержится в центре группы G, или же число его сопряженных эле-
элементов равно степени числа р. В обоих случаях группа G обладает
собственной инвариантной подгруппой Н. Тогда, по предположению
индукции, группы Н и GJH разрешимы, откуда, в силу предполо-
предположения тцукции, следует разрешимость группы G.
В. Бернсайд [2], стр. 322—323.
318
Гл. 16. Представления групп
Теорема 16.8,8. (Теорема Фробениуса.) Если О — транзита
пая группа подстановок степени п, каждая подстановка
торой, отличная от единицы, оставляет на месте не 6oj
одного символа, то те подстановки из группы G, который
переставляют все символы, образуют вместе с единично^
подстановкой инвариантную подгруппу порядка п.
Доказательство. Пусть G— указанная в условии теоремь
группа подстановок символов 1, 2 п, и пусть Нь — под!
группа, оставляющая на месте символ I. Тогда по условию Нь [\ Н* =
при I Ф]. Если порядок подгруппы Н=^НХ равен h, то порядкв
всех подгрупп Hi равны h, а общее число элементов х Ф 1 вс
всех подгруппах Нь равно (h—l)n. [G : Н] = п, так что поря*!
nh. Остается еще точно п подстановок,
п — 1 подстановок, переставляющих вс
док группы G равен
именно единичная и
символы.
Пусть ф — абсолютно неприводимый характер группы Я,
t|/ — индуцированный характер группы О. Группу G можно paos
сматривать как представление самой себя, и в этом смысле он
имеет характер 0Х = ф^, где фх — единичный характер подгруппы Щ
По теореме 16.6.13, 6Х есть сумма единичного характера группы
и некоторого другого характера, скажем, 0. Обозначим через
характер регулярного представления группы О. Положим co=rG—hb:\
Наша теорема будет доказана, если мы докажем, что со — харак ^
тер группы G. Действительно, в следующей таблице для харак^
теров пусть х Ф\ — произвольный элемент любой из под-*|
групп Ht а у — произвольная подстановка, переставляющая все
буквы:
1 х у
¥
0
@
тп,
n — U
nh,
h,
0,
0,
0,
0
— 1
0
h
Здесь, как уже известно, <|/, 0, rQ — характеры. Если со — х
рактер, то, так как соA) = /г, со — характер представления ст
пени /г. Так как со (у) = /г, со (х) = 0, то любой элемент
отличный от х, представляется единицей. Следовательно;?
со — представление группы G с ядром, состоящим только из ед;
ницы и всех элементов у, переставляющих все символы. Поэтом^
единица и все элементы у образуют инвариантную подгрупп)!
группы G. ц
Докажем теперь, что со — характер. Пусть 5 — число классов^
сопряженных элементов группы Н и фа, а=1, ...,$,—-;
16.9. Унитарные и ортогональные представления 319
абсолютно неприводимые характеры степеней та. Тогда
S
'я =2 «А-
а = 1
Но rQ = (rH)f и h = ^m2a. Следовательно,
«> = 2 »«[(<!>") — жв9].
Поэтому достаточно доказать, что ф'— тЬ—характер группы О
при любых значениях ф—фа, т = та.*
Вычислим скалярное произведение
(ф'_т0, <|/_ те) = (<|/, ф/)_2/?г(ф/, 0L-т2@, 0).
Учитывая, что g* = /г/г, из таблицы для характеров получаем
НО
2 Ф(*) <!>(*) = а.
^Я
откуда
Аналогично из той же таблицы находим, что (<|/, Ь) = т(п— 1)//г
@, в) = [(я— lJ-h(^— 1)]/яА = (я— 1)//г.
Отсюда
(фг — тв, ф7 — тв)=1.
Но ф' — т0 есть, во всяком случае, линейная комбинация харак-
характеров с целыми коэффициентами ф' — тд = 2 саХа> откУДа
(У — тЪ, у—тЪ) = %с2а.
Si .—»
са = 1. Поэтому существует точно один коэф-
коэффициент cfl=±l, а все остальные равны нулю. Таким образом,
у — тВ= ±фа. Но (Y — тЪ)(\) = т > 0, откуда фг — тЬ = фа —
характер группы G. Поэтому со — характер группы G, и теорема
доказана.
16.9. Унитарные и ортогональные представления
Произвольной матрице А порядка п
Л = (аф, /, 7=1, ..., /г, A6.9.1)
соответ<^ует билинейная форма В (у, х):
x) = 2iaijyixJt it 7=1 п/ A6.9.2)
1
320 Гл. 16. Представления групп I
причем это соответствие, конечно, обратимо. Нас интересует^ \
каким образом изменяется матрица А при линейном преобразова- \
нии аргументов Xj и у(. Пусть
Xj = 2 cjkx'k> Л * = Ь .... л, 1
k A6.9.Ъу
Тогда i
В (у, х) = В'(у', jc')= 2 dtoavc/*yX- A6.9.4I
Отсюда видно, что билинейной форме B!(y't а:') соответствует!
матрица |
Далее нас будут интересовать не самые общие билинейные
формы, а только определенного частного вида. В этом пара*1
графе будем брать коэффициенты из поля комплексных чисел?!
Если
аи = Ъу, /. У=1, .... л, A6.9.6I
где a{j — число, комплексно сопряженное с atp то мы называещ
матрицу А эрмитовой. Ей соответствует билинейная эрмитоЩ
ва форма Н(х, х):
Н(Х, X) = 2 пц^Х,. CLji = Яц. U=l Я-. A6.9.]
i, j
Заметим, что в эрмитовой форме или эрмитовой матрице коз
фициенты пц = а и — действительные числа. Действительная эрми^
това матрица является симметрической матрицей и соответствуем
действительной квадратичной форме Q(x)\
-л
afi = aiJt i, У=1, ..., /г. A6.9.6
Невырожденные линейные, преобразования, относительно котор
эрмитова (или квадратичная) форма инвариантна, очевидно.^об
зуют группу. Разумеется, при этом сопряженные значения xt п
вергаются преобразованию, сопряженному к преобразованию
ментов xv
Определение. Матрица U, для которой
UTIU=I, , A
называется унитарной матрицей.
16.9. Унитарные и ортогональные представления 321
Определение. Матраца V, удовлетворяющая условию
VTIV = L A6.9.10)
называется ортогональной. . .
Очевидно, что унитарные и ортогональные матрицы невыро-
невырождены и что они образуют группы. Унитарные матрицы образуют
группу линейных преобразований, оставляющих инвариантной
форму хгхг-\- ... -\-хпхп, а ортогональные матрицы образуют
группу линейных преобразований, оставляющих инвариантной
9 9
форму Xi-f- ... -\-хп. Действительные унитарные матрицы орто-
ортогональны, однако существуют также ортогональные матрицы, не
являющиеся действительными; например
Но здесь, говоря об ортогональных матрицах, мы будем иметь
в виду действительные матрицы.
Представление p(g) группы О называется унитарным, если
все матрицы ?(§"),'§"£ О, унитарны, или ортогональным, если
все матрицы p(g*), g£G, ортогональны.
Теорема 16.9.1. Любое представление конечной группы над
полем комплексных (действительных) чисел эквивалентно
унитарному {ортогональному) представлению.
Доказательство. Если в эрмитовой форме
Н(х, x) = ^aijxixj, aJi = aip * A6.9.12)
переменные x-t принимают комплексные значения, то Н принимает
действительные значения, так как все слагаемые можно сгруппи-
сгруппировать парами
ajixJxi + ацхьх} = ayXjXi + апхьх]9 A6.9.13)
являющимися суммами комплексного числа и комплексно сопря-
сопряженного к нему. Диагональные члены aiixixi действительны.
Будем говорить, что Н{х, х) — положительно определенная
форма, если ее значения всегда положительны, кроме случая
равенства всех аргументов нулю, когда значение формы равно
нулю. Очевидно, что свойство быть положительно определенной
формой сохраняется при невырожденном преобразовании перемен-
переменных. Примером положительно определенной формы от п перемен-
переменных является форма .
/(х, х)='х1х1 + .. . +хпхя, A6.9.14)
которой соответствует единичная матрица. 1{х, х) — положительно
определенная форма, так как каждое слагаемое XjXj положительно,
если только Х;ФО, /=1, ..., п.
21 М. Холл
322 Гл. 16. Представления групп
Лемма 16.9.1. Положительно определенная эрмитова форма 1
Н(х, х) от п переменных может быть приведена к eudyi
Заметим, что для положительно определенной формы *
диагональные коэффициенты аТТ положительны. Действительно,
в противном случае при arr^.Q, полагая хг=*\, Xj = 0, ]фг%в
мы бы имели Н(х, х) = агг^ 0, что противоречит свойству
положительной определенности. Теперь в форме
Н•==. 51 а-х-х- а-'=-~а- i /=1 п A6 9 15)**
преобразуем переменные следующим образом;
л» ' A6.9.16)
Такое преобразование допустимо, так как ап — действительное
положительное число. Тогда легко подсчитать, что
#=£;*;+2 V^*y. t* J'=2 "' A6.9.17) ■
где сумма — положительно определенная форма от переменных
ху ••'• хп* к К0Т0Р°й снова можно применить аналогичное пре-
преобразование переменных. Продолжая этот процесс, мы7 в конце
концов приведем форму И к виду
Н=х1х1-\- ... +хпхп. A6.9,18)
Этим лемма доказана. Заметим, что если бы мы исходили из
действительной квадратичной формы Q, то путем таких же замен1
переменных мы привели бы форму Q к виду
Пусть теперь p(g*), g£G, —комплексное представление сте-
степени п конечной группы G, и пусть ^ = 1, g2, ..., gt — эле-
элементы группы G. Тогда
Д16.9.19)
й эрмито-
вой форме, так как каждое слагаемое в отдельности соответствует
i
— матрица, соответствующая положительно определенной эрмито- :;
'• . 16.10. Несколько примеров представлений групп Ш%
положительно определенной форме. Поэтому для любого эле-
элемента
t
р (gf Щ (g) = g P (g)T ? (ft)r P (ft) P (g) =
= 2 Rfti)rp(ft*)= 2 Rft)rp(ft)=-^. . A6.9.20)
i l 1
Следовательно, М соответствует положительно определенной
товой форме Н, инвариантной при преобразованиях р(#), g£H.
При преобразовании переменных
У=1, ..., п, A6.9.21)
форма Н принимает вид л?^--}- ... -\-х'пх'п = !(&', xf) и соот-
соответственно
A6.9.22)
— представление, эквивалентное p(g-) и являющееся унитарным,
что и требовалось доказать.
Можно проделать то же самое в матричной форме. Имеем
CTMC^I, AlrsC^C; A6.9.23)
для любого элемента g £ О
~T*Mt A6.9.24)
или
~?(g)TC~~lTC~lp(g)^C~lTC~\ A6.9.25)
Фткуда
(Clp(g)C)TC"lp(g)C ***/. A6.9.28)
Поэтому представление р' (g)*B*C~lp(g)C унитарно.
16.10. Несколько примеров представлений групп
Начнем с интересного для физиков примера представления
бесконечной матричной группы другой матричной группой. Уни-
Унитарные и унимодулярные матрицы второго порядка имеют вид
(-?, £)• A6Л0Л>
21*
324
Гл. 16. Представления групп
где а и р — произвольные комплексные числа, подчиненные только
условию aa-f-PP=l. Группа £/2 всех таких матриц — это групп
линейных преобразований:
см/
A6.10.2I
оставляющих инвариантной форму uu-\-vv. С помощью комплекс-'
ных переменных и и v можно определить три действительные
Переменные: •
xi = uv -\-vut
При этом
х2 — -г (uv — vu)t
х* = ии — vv.
\ + х\ = (аи
A6.10.3) <
A6.10.4)
Линейное преобразование A6.10.2), примененное к A6.10.3), индуци-
индуцирует действительное линейное преобразование переменных xv x2, jc3,
принадлежащее в силу равенства A6.10.4) действительной орто-
ортогональной группе О3. Выпишем это линейное преобразование:
* (a2+a2p2p2}
A6.10.5) 1
Таким образом, мы получили представление р, выражаемое фор-
формулами A6.10.5), группы U2 матрицами трехмерной ортогональ-
ортогональной группы О3. Это представление не точно; два элемента ото-
/1. 0\ /—1, 0\
бражаются в один: матрицы (п,)и( п — 1 / ГРУППЫ ^1
представляются, единицей группы О3. Образом группы U2 при
этом представлении является группа собственных вращений (группа
матриц с определителем -\- 1). При этом прообраз в £/2 некото-
некоторой группы О собственных вращений известен как „удвоенная
16.10. Несколько примеров представлений групп
325
группа* 2G1). Группа 2G является расширением подгруппы по-
порядка 2 из центра с помощью фактор-группы, изоморфной группе G.
Паули [1] обнаружил, что если физической системе S сопо-
сопоставлена некоторая подгруппа К группы О3, то волновой функции
электронного спина системы S соответствует удвоенная группа 2/С.
Наряду с A6.10.5) существует другая формула, устанавливаю-
устанавливающая явную связь между группой U2 и ее представлением матрицами
из О3. Пусть дано собственное вращение евклидова трехмерного про-
пространства (т. е. элемент группы О3),
пусть ОТ—прямая пересечения
координатной плоскости XOY и
ее образа X'OY'. Тогда (см.
рис. 7), если ср — угол Х'ОТ9
ф_уГол ХОТ к 6—угол ZOZ',
мы можем найти соответствую-
соответствующий элемент группы U2 в виде
A6.10.1), полагая
а == cos -£- ехр м г ^ т J,
A6.10.6)
Рис. 7. Поворот в трехмерном
пространстве.
Эти формулы верны также и в слу-
случае совпадения плоскостей XOY
и X'OY' (т. е. для случая вращения вокруг оси Z), если считать,
что 6 = 0, ср = О, а ф — угол вращения вокруг оси Z.
Группа собственных вращений правильного тетраэдра может
быть точно представлена группой подстановок его четырех вер-
вершин. Для каждой вершины существует подгруппа, не двигающая
эту вершину и вращающая три вершины противоположной грани.
Это подгруппа порядка 3. Симметрия, фиксирующая две вершины
и переставляющая другие две вершины, есть зеркальное отобра-
отображение относительно плоскости и не является собственным враще-
вращением, .так как она меняет ориентацию. Таким образом, группа
собственных вращений тетраэдра состоит из 12 элементов и изо-
изоморфна знакопеременной группе Л4. Выпишем ее классы сопря-
сопряженных элементов:
2 = A2)C4), A3) B4), A4) B3),
3 = A23), A42), A34), B43),
4 = A32), A24), A43), B34).
A6.10.7)
•) Автор называет эту подгруппу .double group' — удвоенная
группа. — Прим. перев.
326
Гл. 16. Представления групп
Таблица умножения этих классов имеет вид
1 / ~==' i 1=~ /* ^" —= 1> 2, о, 4,
Сг = ЗС, + 2С2,
^Сз = ь3С2 = Зь3,
С2С4 = Cf2 = ЗС4>
П 6.10.8L
Будем искать теперь идемпотенты центра Z группового кольца,
образующие ортогональный базис для Z. Это те и только те
идемпотенты е, для которых eZ—минимальный идеал кольца Z.
Поэтому процесс нахождения таких идемпотентов можно рассмат-J
ривать как разложение кольца Z в прямую сумму (двусторонних)
идеалов. В частности, любой собственный делитель нуля дает:
идеал центра Z, отличный от нуля. Таким образом, находя соб-
собственные делители нуля в двусторонних идеалах, мы тем самым
находим еще меньшие двусторонние идеалы и, наконец, минималь-
минимальные идеалы, а уже отсюда — ортогональные идемпотенты. Пусть
/—идемпотент центра Z. Если /C; = af/ для любого класса Ct>
то /Z — минимальный идеал в Z, а / — один из ортогональных"
идемпотентов. Если же для некоторого класса С произведение /С
линейно не зависит от /, то пусть s — такое наименьшее целое
число, что элементы fCJ, j = 0, ..., s—1, линейно независимы,
a fCs зависит от них. Тогда f(Cs-\-а^ -\- ... -{-as) = 0.
Присоединим к полю, из которого берутся коэффициенты, если
необходимо, корень многочлена xs-\-axxs-1-\- ... -f-as. Если
и — такой корень, то /(С—и) — собственный делитель нуля
идеала /Z, позволяющий указать еще меньший двусторонний
идеал. Это общее построение и применяется при изучении группы
вращений тетраэдра. -
Для любой группы G порядка g сумма всех ее элементов,
деленная на g, есть идемпотент е, которому соответствует мини-
минимальный идеал центра Z. Этот идемпотент соответствует единич-
единичному представлению группы G. В нашем примере е = ех =
= (А + ^2 + ^3-}—С4)/12. Отметим, что из тождеств A6.10.8) сле-
следует равенство
С\ — 2С2 — ЪСХ = (С2 — ЗСО (р2-\-Сх) = 0. A6.10.9)
Отсюда ясно, что С2 — ЪСг и С2-\-С1 — собственные делители
нуля. Далее находим, что (С2 — 3C2)Z — минимальный идеал и
16.10. Несколько примеров представлений групп 327
чт0 ^2 = (ЗС1 — С2)/4 — идемпотент, порождающий этот минималь-
минимальный идеал, причем е1е2 = е2е1 = 0. Образуем теперь идемпотент
/ = 1 — в\ — ^2- который должен служить единицей для дополне-
дополнения к exZ ф e2Z в центре Z. Действительно, идеал /Z имеет раз-
размерность 2 и f ==es-\-e4, где еъ и £4 — остальные ортогональные
идемпотенты базиса центра Z. Теперь находим:
/С2 = 3/, A6.10.10)
/С8 = (--4С, - 4С2 + 8С3 -- 4C4V12,
/С4 = (- 4С, - 4С2 - 4С3 + 8С4)/12.
При этом идеал /Z должен иметь размерность 2. Отметим, что
/С4 + /С8 + 4/ = 0. A6.10.11)
откуда видно, что /Z имеет размерность 2. Справедливо также
следующее соотношение:
^б) = 0. A6.10.12)
Если присоединить к полю рациональных чисел комплексный ку-
кубический корень из единицы со = (—1 -|-|/"з*)/2, то равенство
A6.10.12) примет вид
/(С3 — 4со) (С3— 4оJ) = 0. A6.10.13)
Поэтому главные идеалы, порожденные элементами /(С3—4со)
и /(С3—4оJ), содержатся в главном идеале /Z. В A6.10.14)
первый из этих элементов отличается на скалярный множитель
от идемпотента ег, а второй — от е4:
A6.10.14)
Пользуясь этими выражениями минимальных ортогональных идем-
потентов через классы сопряженных элементов, можно легко по-
получить таблицу для характеров, и обратно. Непосредственно перед
теоремой 16.6.10 мы установили соотношение
S- A6.10.15)
328
Гл. 16. Представления групп
Умножим это равенство на у* и просуммируем по k:
A6-ю.К
a, k
Если правую часть сначала просуммировать по k, а затем, npil
меняя соотношение ортогональности
%hk*kX£ = babg- A6.10.li
k
просуммировать по а, то все члены будут равны нулю, кром||
членов, для которых>а = £. Тогда A6.10.16) можно записать
A6.10.U
Это мы запишем в форме
eh = -
Так как мы знаем, что характер класса, состоящего из единицы^
равен степени представления уЬ = пь, коэффициент при Сг в вы*
ражении A6.10.19) равен n2bjg. Этим определяется число пь, и мь
можем затем использовать равенство A6.10.19) для определен^
остальных характеров.
Используя соотношение A6.10.19) и равенства A6.10.14) для
группы вращений тетраэдра, мы можем выписать таблицу характе-
характеров для нее:
Pl
Р2
Рз
Р4
1
3
1
1'
1
—1
1
1
1
0
0J
О)
1
0
О)
О)
A6.10.20)$
Обратно, используя таблицу характеров A6.10.20), мы могли б\
с помощью формул A6.10.19) определить минимальные ортого-1
нальные идемпотенты A6.10.14). ^
Три неприводимых представления степени один рг, р3 и p4ij
можно, конечно, найти прямо из таблицы характеров.
По теореме 16.6.15 представление группы вращений тетрад
эдра АА есть сумма единичного представления и неприводимого'!
представления, которое, являясь представлением степени 3»^
должно совпадать с р2. Подстановка из Л4 над переменными xv \
х2, х3 и хА оставляет на месте линейную форму *1-Ь*2-г-*з+*4 i
и переводит в себя дополнительное пространство, натянутое на.'
16.10. Несколько примеров представлений групп
329
ух = хх — хА, У2 — Х2 — ха> Уг — хг — ха* Подстановка A2) C4)
представляет собой следующее линейное преобразование:
хг =
A6.10.21)
X'
а для yv у2, уг— преобразование
Таким обоазом,
Аналогично
Уз
р2[A2)C4)]=
/о, 1, o^
р2[A23)}=( 0, 0, 1
1. О, 0>
A6.10.22)
A6.10.23)
A6.10.24)
Так как подстановки A2) C4) и A23) порождают всю группу Л4,
мы, таким образом, нашли представление всей этой группы. Это
не есть ортогональная форма для представления р2, но она может
быть получена из следующего примера, так как группа вращений
тетраэдра является подгруппой группы вращений октаэдра.
Группа симметрии куба была рассмотрена
в примере 2 главы 1. Собственные вращения
куба образуют группу G24 порядка 24, порож-
порождаемую элементами
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
2, 3, 4, 1, 6, 7, 8, 5
= A234) E678)
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
1, 4, 8, 5, 2, 3, 7, 6
= A) B45) G) C86).
/
/
Z
/
Рис. 8. Симметрии
куба.
Группа О24 является также группой симметрии правильного окта-
октаэдра, вершинами которого служат центры всех граней данного
куба. Таким образом, группу О24 можно также рассматривать как
группу подстановок шести граней куба, соответствующих шести
330
Гл. 16. Представления групп
вершинам вписанного октаэдра. Выберем шесть букв, соответ-
соответствующих шести вершинам вписанного октаэдра, каждую из ко* •
торых укажем вместе с ее трехмерными координатами.
Буквы
Ха
Грани куба
1234
1256
1458
5678
3478
2367
Вершины октаэдра
@,
. @,
(-1.
@,
@,
A.
0,
1,
0,
0,
-1,
0,
1)
0)
0)
-1)
0)
0)
Тогда ci = (x1)(x4)(x2x6x5x3)i b ^{x^^x^ix^x^x^). Выпишем \
каждый из 24 элементов группы О24 как подстановку букв хь и
как мономиальное линейное преобразование координат л;, у, z9 *
которому соответствует подстановка вершин октаэдра.
Класс
Si
g\
S2
ёз
- Si
£5
£б
«7
gb
«9
1 «10
«12
«13
«14
«16
«16
Подстановка
\Х\Х4) \Х2) \Х§) \X^Xq)
(x^ix^ixjixs)
(хг)(х4)(х2х6хйхд
(хх)(х4)(х2хгх5х6)
(*2)(*5)(*1*6*4*з)
(хг)(х6)(х1х2х4х5)
\ 3^ ^ о' ^ 1 о 4 2/
(х1Х2)(х3х6)(х4х6)
(хгх3)(х2х5)(хАхе)
(Х^Х4) (X2Xq) (X3X5)
(x^^ix^^ix^o)
(хгх$) (^2*^4) (^з-^б)
(XjATg) (^2-^5) (-^З^)
X,
X,
— х,
— х,
X,
— у»
У»
Z,
— z,
X,
X,
— х,
— z,
У>
— у.
— х,
Z,
У»
у.
— у.
У»
— у.
X,
— х,
У»
У>
— z,
Z,
Z,
— у*
х,
— х,
— гш
— у.
Z
Z
z-
— Z
— Z
Z
Z
— X
X
У
— у
У
— X
— Z
— Z
— у
X
1
\
1
• i
1
1
■ 1
■'!
1
1
"i
16.10. Несколько примеров представлений групп
331
§\% (Х1Х2Хо) (х 3X4X5)
gl9 (хгхгх2) (хАх6х5)
g2l
g22
гхБх6) (x2x3xa)
г,
z,
у,
у,
z,
z,
у,
у,
—х, у
jc, у
z, —x
—z, —x
jc, — у
— x, — у
z, x
—z, x
Мы можем отобразить четные подстановки группы О24 (т. е. под-
подстановки из Классов Cv С2, С5) в -|— 1, а нечетные (т. е. подста-
подстановки из классов С3, С4) — в —1. Получаем, кроме единичного
представления, еще одно представление степени один. Так как
степени nt неприводимых представлений удовлетворяют соотно-
соотношению
^ + ^2+Я3 + Я4 + Я5 = 24' A6.10.25)
при
= /г2==1 находим, что числа /г3, п4, пъ равны 2, 3, 3.
3
Трехмерное представление в пространстве (х, у, z), соответствую-
соответствующее подстановкам вершин октаэдра, имеет следующие характеры:
A6.10.26)
A6.10.27)
Вообще говоря, если
— сумма неприводимых представлений pfl, то для i-ro класса
имеем
х. = 2с ха A6.10.28)
и в силу отношений ортогональности
A6.10.29)
Так как для нашего представления степени 3 из A6.10.26) выте-
вытекает, что
2^ = 24, A6.10.30)
то отсюда следует, что 2^=1. Поэтому наше представление
а
(которое мы обозначим через р4) неприводимо. Заметим, что пред-
332
Гл. 16. Представления групп
ставление р4 ортогональна, и так как четные подстановки (эле
менты классов Cv С2, С5) образуют подгруппу, изоморфнуи
группе тетраэдра, мы получаем ортогональное представление ^
пени 3, которое мы хотели получить при рассмотрении предыду|
щего примера.
Мы имеем теперь частичную таблицу характеров:
hx=\
3 1 П 1 Г* 1^ |
Pi
Р2
Рз
Р4
Р5
1
1
2
3
3
1 1
1 ~~~~ У-
У2 Уз
-1 1
A6.10.31^
Уа
— 1
Отношениями ортогональности при этом являются равенства.
1-4- 1-U „2,1, ,2 о A6.10.32I
1 -f- I -f~ У2 + 1 + Z2 = о.
первое из которых — соотношение для первого и второго столб^
цов таблицы, а второе — только для второго столбца. Решениями^
этой системы являются пары у2 = 2, z2 = — 1 и у2 = — 22/13,
£2 = 19/i3- Так как у2 есть сумма двух квадратных корней из еди-:
ницы у2 = ± 1 ± 1, первое решение системы у2 = 2 и ^2 = — 1
истинно.
Соотношения ортогональности для третьего и первого столбцов
и для третьего и второго соответственно дают:
A6.10.33)
Из этой системы уравнений получаем, что у3 = 0, 23 = —1. По-
Подобным образом мы можем найти остальные неизвестные таблицы,
которая окончательно примет вид
Pi
Р2
Рз
Р4
Р5
1
1
2
со.
3
1
1
2 -
— 1
1
— 1
0
1
— 1
1
— 1
0
— 1
1
1
1
— 1
0
0
A6.10.34)
16.10. Несколько примеров представлений групп
333
Представление р степени 8 группы G24 как группы подстановок
вершин куба имеет следующие характеры:
г с г с
8 0 0 0
A6.10.35)
Зная эти характеры, мы можем найти разложение представле-
представления р, так как при
Р = 2сарс.
" A6.10.36)
2f
из соотношений ортогональности получаем, что
= ^,. (i6.io.37)
т. е. получаем кратность сь> с которой каждое неприводимое
представление рь встречается в представлении р. Таким путем из
таблицы A6.10.35) мы находим, что
Р = р! + р2 + ?4 + Р5- A6.10.38)
Мы можем использовать это равенство, чтобы отсюда найти
в явном виде представление р5. Используя формулы A6.10.19) и
таблицу характеров A6.10.34), находим
е5 = (ЪС1 — С2 — С3+С4)/4. A6.10.39)
Представление р группы G24 является также представлением груп-
группового кольца RG. Мы находим следующее выражение для р(еъ):
3
— 1
— 1
— 1
I
3
— 1
3
—1
—1
—1
—1
—1
3
—1
3
1 1
1 1
—1
t 1
—1
3
—1
3
—1
—1
—1
—1
3
—1
3
—1
—1
—1
—1
—1
—1
3
—1
3
—1
—1
-^1 3
—1
—1
—1
—1
3
—1
—1
1
—1
3
A6.10.40)
@
Выбрав элементы xi = @, ..., 1 0), / = 1 8, в каче-
качестве базиса модуля М представления р, мы получим, что строки
матрицы р(е5) порождают подмодуль Ме5, имеющий, конечно,
размерность 3. Мы можем взять первые три строки rv rv r3
334 Гл. 16. Представления групп
в качестве его базиса. Однако удобнее выбрать в качестве базис-
базисных векторов векторы, пропорциональные векторам a*i + a*3.
» Г2~Г3» а именн0
УI = Xl — X2 "Г XS — XA "I" X5 — X6 -f~ X7 — XS>
«i _, ** \ v v* v* v* v* 1 v* I v Mfi 1П 4П
Vn ■* л i j *^o л о 4 5 6 I 7 I 8' \lv/.lVJ.ill
., ^ y. у _l ^ y. _l у I у. у.
В этом базисе вычисляем, что
У\> У* У Л
A6.10.42)
'У\> Уъ> Уъ
чУ2» Уз* У1
Таким образом, р5 — мономиальное ортогональное представление
группы G24, определяемое равенствами A6.10.42). Но р5(О24) не
является группой собственных вращений, так как детерминант
матрицы р5(#) равен —1. Представление, эквивалентное р5, можно
получить из представления р4, умножая матрицы, соответствующие
элементам классов С3 и С4, на —1, т. е. представление р5 экви-
эквивалентно кронекеровскому произведению представлений р4 и р2.
Представление р3 не является точным, и ядро его порядка 4
состоит из единицы и элементов класса С2. Это представление
порождается элементами
'0, 1\ / 0, Г
A6.10.43)
—1.
0,
0,
0, 1,
0, 0,
1, 0,
0,
0, -
1,
°\
1
0/
0
-1
0
—-
При представлении р4 группы G24 как группы собственных
вращений мы имеем
/0,-1, 0\ / 0,-1, 0\
0,0 1, p4(ft) = ( 0, 0,11. A6.10.44)
\0, 0, 1/ \— 1, 0, 0/
Поэтому p4(G24) есть подгруппа группы О3. Используя формулы
A6.10.5), отображающие группу U2 на О3, находим, что
\—и 0
16.10. Несколько примеров представлений групп 335
Группа D = 2G24 состоит из восьми классов сопряженных элемен-
элементов. Вообще в группе 2G классу Ct из группы О соответствует
класс сопряженных элементов группы 2G либо с удвоенным ко-
количеством элементов по сравнению с Ct, либо он распадается на
два класса Ct и Ct = — Cit в каждом из которых столько же
элементов, сколько и в классе Ct группы G.
Следуя Бетэ [1], мы можем выписать элементы группы D,
выражая их через следующие четыре матрицы:
/1, 0\ /0, 1\ /О, —Л
A6.10.46)
Выпишем элементы группы D по классам:
£=[1],
Я = [—П.
С2 = ± [— *"<**. — foy> — ioz],
~' ТГ1
С3 = — Сз»
_ + Г"'*"»*11») -f(a«±^) -И«х±«уI
Так как группа G24 есть гомоморфный образ группы D, любое
неприводимое представление группы G24 является также неприво-
неприводимым представлением для D. Группа D обладает, однако, еще
тремя неприводимыми представлениями, являющимися точными.
Вот они:
/ /г г it
Е R С% Сз Сз С$ С5 C5
Рб 2 —2 0 У~2 —/2 0 1—1
м г- _ A6.10.48)
р7 2 —2 0 —/2 1/2 0 1—1
р. 4 — 4 0 0 0 0—1.0
Глава 17
СВОБОДНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ И СВОБОДНЫЕ
ПРОИЗВЕДЕНИЯ С ОБЪЕДИНЕННЫМИ ПОДГРУППАМИ
17.1. Определение свободного произведения
Пусть Gt — множество групп, где /£/, / — вполне упорядо^Ц
* -А
ченное множество. Определим свободное произведение " Ц Gj i
групп Gt аналогично тому, как определялась свободная группа!
с данными образующими.
Рассмотрим слова (или цепочки)
аха2 ... at, . A
которые или пусты (пустое слово обозначается через 1), или со- 1
стоят из элементов аь, принадлежащих некоторым группам Gj. J
Для этих слов определяем отношения элементарной эквивалент- I
кости. Слово
аха2 . .. flf-i^/flf+i . • • Я/
эквивалентно слову ах . . . а^га1+1
которой группы Gj. Слово
ага2 . .. а^ар
эквивалентно слову ах ... al_la"iai
at, если at — единица не-
...at (E2) |
.. av если элементы at и \
ai+l принадлежат одной и той же группе
и если atai+l ='
Очевидно, что эти отношения элементарной эквивалентности
являются симметричными. Будем говорить, что два слова х
и у эквивалентны, если существует конечная последовательность
хх = х, х2, хг хп = у, члены которой xt и xi+l элемен-
элементарно эквивалентны при 1=1 п—1. Все эквивалентные
слова образуют класс.
Слово аха2 . . . at называется редуцированным, или приведен-
приведенным, если оно пустое или если A) ни один элемент at не равен
единице своей группы Gj и B) элементы at и ai+1 принадлежат
разным группам Gj при У—1 t—1.
1) В оригинале „amalgamated products". — Прим. ред.
17.1. Определение свободного произведения 337
Как и в § 7.1, мы можем определить ^-процесс для слова
f = аха2 ... at, полагая
W0=l.
Wx=l9 если аг— единица своей группы,
Wl = al в противном случае.
Если слово Wt уже имеет редуцированный вид ЬгЬ2 ... bs> то
полагаем
1) Wi+1 = bt ... bsai+v если а1+1 — элемент, не равный еди-
единице своей группы и не содержащийся в той же группе, что и
элемент bs,
2) Wi+l-=bl ... bs, если al+1 — единица своей группы,
3) Wl+1 = b1 .... bs_v если bs и a/4.i — элементы одной группы
H*A+i = 1. * • -
4) U^/+1 = 6Х ... bs^xbSt если bs и а^+1 — элементы одной
группы и bsai+l = bs Ф 1.
Как и в § 7.1, можно показать, что слово W(f) = Wt является
редуцированным, причем W-процесс приводит к одному и тому же
результату для элементарно эквивалентных слов и, следовательно,
для целого класса эквивалентных слов. Отсюда следует существо-
существование единственного приведенного слова в каждом классе. Если
слово /==а1 ... at редуцировано, назовем число t его длиной.
Мы можем теперь определить произведение классов эквива-
эквивалентных слов, полагая
l/i][/2] = l/i/a]. A7.1.2)
Следуя доказательству теоремы 7.1.1, можно показать, что это
произведение не зависит от выбора представителей перемножаемых
классов. Это произведение ассоциативно, и множество классов
эквивалентных слов образует при этом умножении группу, еди-
единицей которой является класс, содержащий пустое слово. Эта
*
группа и есть свободное произведение J\Gi групп Qv i£I. За-
Заметим, что, согласно (Е1), единица каждой группы Ot эквива-
эквивалентна пустому слову 1. Поэтому в дальнейшем мы не будем
различать все эти единицы. Элементы различных групп, отличные
от единицы, являются неэквивалентными редуцированными сло-
словами и поэтому не отождествляются.
Теорема 17.1.1. Пусть G — группа, порождаемая подгруп-
подгруппами Ht, /^/, где подгруппы Hi изоморфны соответствующим
группам Gt. Тогда группа G является гомоморфным образом
свободного произведения Q = jj Gt.
Доказательство. Как и при доказательстве теоремы 7.1.2
рассмотрим элемент аха2 ... at • группы Q. Поставим в соответ-
22 М. Холл
338 Гл. 17. Свободные произведения 1
ствие этому элементу произведение bxb2 ... bt£Q, где bt — эле«1
мент подгруппы Hj, соответствующий при изоморфизме элементу aj
группы Qj. Тогда эквивалентные слова отображаются в один и'
тот же элемент группы О. Это отображ'ение группы Q на группу О
сохраняет произведение и, следовательно, является гомоморфизмом.
17.2. Свободные произведения с объединенной подгруппой
Пусть задано множество групп Ot, /£/. Предположим^ что
каждая группа Gt содержит подгруппу Ut и что все подгруппы Ut
изоморфны некоторой группе U, причем зафиксирован вполне
определенный изоморфизм между подгруппой Ul и группой U.
Мы хотим построить наиболее общую группу, порожденную груп-
группами Qt, в которой все группы Ut отождествлены друг с другом
и составляют подгруппу О1, изоморфную группе U. Ясно, что этой
группой является образ свободного произведения групп 0^, если
отождествить все элементы ut £ Ut, Uj £ Uj, соответствующие прц
заданных изоморфизмах групп Ut, Uj с группой U одному и
тому же элементу u£U. Конечно, такая группа должна суще*
ствовать, однако совсем не ясно, как происходят отождествления
в свободном произведении групп на основе этих основных отож-
отождествлений. В частности, не исключена возможность, что при
этом произойдет отождествление всех элементов с единицей.
В действительности же этого случиться не может, и фактически
это отождествление распространяется только на элементы под-
подгрупп Ut.
Мы построим группу, порождаемую группами Gi с отождест-
отождествленными подгруппами Ut. Ее и будем называть свободным про-
произведением групп Qt с объединенной подгруппой U'. Рассмотрим
слова ага2 ... at, где каждое at — элемент некоторой группы 0;-.
Определим отношения элементарной эквивалентности.
(Е1) Если at=l, то слово
ага2 . . . а^арм .. . at
эквивалентно слову аха2 . . . cit_lai+1 ... at.
(Е2) Если at и ai+l — элементы группы Qj и aiat+l = a*£Gj,
то слово
аха2 . .. арм . . . at
эквивалентно слову ага2 ... а* . .. аг
(ЕЗ) Если at — ut — элемент подгруппы Uj с Gj и bt =
= uk£Uk — элемент, образ которого в группе.U при изомор-
изоморфизме между Uk и U совпадает с образом элемента иь при
17.2. Свободное произведение с объединенной подгруппой 339
изоморфизме между U\ и U, то слово
а\ • • • ai-\aiai+\ • • • at
эквивалентно слову ах ... cii_lbiai+l ... av
Определим теперь эквивалентность слов. Слова хну экви-
эквивалентны, если существует такая конечная последовательность
слов х == хх хп = у, что слова xt и xi+l элементарно экви-
эквивалентны при / = 1, ..., п—1. Классы эквивалентных слов
образуют группу относительно умножения [f][g] — [fg]- Как и
в теореме 7.1.1, это произведение вполне определено. Построенная
группа Т и есть свободное произведение групп Ot с объединенной
подгруппой U. Или, кратко, Т есть амальгамированное произве-
произведение групп Gt. Но пока мы ничего не знаем о строении группы Т.
Для его изучения нам понадобится каноническая запись элемен-
элементов из^ Т.
Определим каноническую запись слов вида / = ах а2 ... av
где flj£G/, после чего будет необходимо показать, что все экви-
эквивалентные слова имеют одну и ту же каноническую запись. Тем
самым будет показано, что она действительно является канони-
канонической записью элементов группы Т.
В каждой группе Qt, i£It выберем представителей хш левых
смежных классов по подгруппе Ut, причем в качестве предста-
представителя класса Ut всегда будем выбирать единицу, а остальные
представители выберем произвольно. Пусть
inr t£I. A7.2.1)
В силу элементарной эквивалентности (Е1) пустое слово играет
роль единицы группы Т и каждой группы Gt, а в силу эквива-
эквивалентности (ЕЗ) мы можем отождествить все подгруппы U-v i £ /,
с группой U. После этого A7.2.1) можно переписать так:
n, i£I. A7.2.2)
Поэтому любой элемент gi£Qt может быть записан в виде
gi — u или g.z^uz, u£Ut г = хшФ\. A7.2.3)
Для амальгамированного произведения удобно несколько видо-
видоизменить обычное определение длины слова. По определению
полагаем, что 1(аоаг ... at) = tt если ao£U, и 1{ах ... at)~t>
если ах (£ U. Другими словами, мы не считаем первую букву,
если она обозначает элемент из подгруппы U.
Будем говорить, что запись элемента группы Т каноническая,
если она имеет вид
/ = uzxz2 ... zt,
22*
340 Гл. 17. Свободные произведения .
где u£U, 2l'Zp j=\ t,—представители х1кф\ смежна
классов из A7.2.2), причем элементы Zj и Zj+V j=\ t—j
принадлежат различным группам Gt.
Теорема 17.2.1. В свободном произведении групп Gt с общ
диненной подгруппой U каждый класс эквивалентных еле
содержит одно-единственное слово в канонической запис
f = uzxz2... zt, где u£U, a zt> i=\ t>—представь
тели xjk Ф 1 смежных классов групп Gt no подгруппе
причем элементы zt и zi+l, i=\, ..., t—1, принадлежав
различным группам G;..
Доказательство этой теоремы аналогично доказательств!
леммы* из § 7.1. Из-за недостатка места мы его опустим. Боле
глубокое рассмотрение этого вопроса содержится в работа
X. Неймана [1, 2].
17.3. Теорема Куроша
Курош1) показал, что любая подгруппа свободного произве
дения есть опять свободное произведение. Мы докажем здесь эт<
результат. Аналогичное утверждение для подгрупп свободного^
произведения с объединенной подгруппой не имеет места. Еслй^
U — амальгамированная подгруппа, то в случае, когда числё|
групп Gt больше двух, мы можем выбрать подгруппы Ht групп J
которые совершенно произвольно пересекаются с подгруппой q
Тогда подгруппы Нь будут объединяться разными способами, щ
мы получаем так называемые обобщенные амальгамированные1!
произведения. Здесь возникает ряд затруднений, и теория в на-^
стоящее время еще не завершена.
Теорема 17.3.1. (Теорема Куроша.) Всякая подгруппа Нф\
свободного произведения
опять является свободным произведением
H=F*i{xilUJxj,
-1/
где F* — свободная группа, а каждая из подгрупп Xj UjXj—I
подгруппа, сопряженная с подгруппой Uj одного из свободных^
сомножителей Av группы G.
Доказательство. Элементы свободных сомножителей группы О
можно вполне упорядочить: первым элементом будем считать еди- ;
1) А. Курош [1]. Излагаемое здесь доказательство принадлежит Ц
автору [6]. . - J
'*4
17.3. Теорема Куроша 341
ницу, затем упорядочиваем сами свободные сомножители и,
наконец, внутри каждого сомножителя упорядочиваем элементы,
не равные единице. Определим основанный на этом порядке лек-
лексикографический порядок элементов группы G. Пусть
. g = ага2 ... at
— приведенное представление элемента g£G- Пустым произве-
произведением является единица; при g Ф 1 каждая буква at Ф 1 при-
принадлежит одному из свободных сомножителей Av% и ни одна пара
соседних элементов ait ai+l (г—1, .... t—1) не принадлежит
одной и той же группе Av. Длина l(g) элемента g, по опреде-
определению, равна нулю для g==\ и числу t букв в приведенном
представлении для gф\. Тогда лексикографический порядок эле-
элементов группы G определим следующим образом:
1) более короткое слово предшествует более длинному;
2) слова равной длины сравниваются побуквенно, начиная
с первой буквы. Если первые члены не равны, то меньший
из них определяет предшествующее слово; если же первые члены
равны, то переходим к сравнению вторых и т. д.
Очевидно, что это полная упорядоченность элементов группы G.
Определим теперь другой, полулексикографический порядок
элементов группы G. Для этого представим элемент g четной
длины t=2r в виде g — afy~lt где 1(а) — 1ф) = г, а элемент g
нечетной длины t == 2s -f-1 —в виде g = <ias+$~lt тщ / (а) = / (р) = 5.
Полулексикографический порядок элементов определяется:
1) по длине слова g\
2) при равных четных длинах элементы g — afy сравниваются
по лексикографическому порядку слов а, а в случае их равен-
равенства— по лексикографическому порядку слов Р;
3) при равных нечетных длинах элементы g = uas+$~ » как
и в предыдущем случае, сравниваются сначала по а, а затем по р.
Если же подслова аир равны у сравниваемых слов, то сравни-
сравниваются элементы as+v
Доказательство того основного факта, что подгруппа Н
группы G является свободным произведением, будет состоять
в выборе при помощи полу лексикографического порядка такого
подмножества К элементов группы Я, что A) множество К поро-
порождает подгруппу Н, и B) множество К порождает свободное
произведение
^Г[*7Ч*/' A7.3.1)
где F* — свободная группа, Uj — подгруппа некоторого свобод-
свободного сомножителя Av группы G.
342 Гл. 17. Свободные произведения
Пусть множество К состоит из всех таких элементов k ф
что A) k£H и B) k не принадлежит группе, порожденной эле|[
ментами из Н, предшествующими элементу k в полулексикогра1!!
фическом порядке.
Так как Нф\> первый элемент h Ф 1 подгруппы Н принад^
лежит множеству /С которое, следовательно, не пусто. РассмоД
трим группу |/С|, порожденную множеством К. Очевидно, \К\ ^ НА
Если бы \К\ фН, то существовал бы такой первый элемент /г£
что /г(£|/С|. Этот элемент h не принадлежит множеству К щ
поэтому является произведением элементов ht, предшествующих Ц\
и принадлежащих подгруппе Н. Но эти элементы ht принадлежат*
подгруппе |/С|, и поэтому элемент /г, будучи произведением этих
также принадлежит группе \К\- Итак, |/С|=Я, и первая часть
утверждения доказана. ;
Будем пользоваться знаком <^как для обозначения числовых
неравенств, так и для обозначения лексикографического и полу-;^
лексикографического порядка. Из контекста будет ясно, в каком
смысле этот знак употребляется: полулексикографический порядок
относится к целым словам, а лексикографический — к начальной
или конечной части слова. Записывая элемент иф\ в виде и = о,$~г
или и — аа$~1, мы не можем получить равенство ос = C для слов
четной длины, так как oca^^^l. Для слов нечетной длины равен-
равенство а = р возможно; элементы группы Н вида aaa для фикси-
фиксированного а и а, принадлежащего некоторой определенной
группе Ayi вместе с единицей образуют подгруппу a/fa, сопря-
сопряженную с подгруппой В с Av. Назовем элементы вида aaa
трансформами. Расширим множество К до более объемлющего
множества Т, состоящего из К и для каждого а и Av из транс-
трансформ ая^а, а1 £ Av, порожденных трансформами aaa, а £ Av,
принадлежащими множеству К. Следовательно, множество Т состоит
из элементов подгруппы //, которые не порождаются предшествую-
предшествующими им элементами, и трансформ a^a, порождаемых пред-
предшествующими трансформами того же вида.
Элемент h£H можно записать в виде
h = u1u2 . . . uv A7.3.2) %
где ut^T или и^Т (множество обратных элементов из Т): \
Более того, мы можем считать, что в* A7.3.2), во-первых, $|
иьи1+1Ф\ A=\, ..., t—1) и, во-вторых, никакие два соседних «\
элемента ut, ui+1 не принадлежат одной и той же сопряженной |
подгруппе olBol, где В с Av. При этих условиях мы будем :$
говорить, что выражение их . . . ut полуприведено. *
Доказательство теоремы можно будет легко закончить, как '*
только мы покажем, что никакое непустое полуприведенное слово
17.3. Теорема Куроша 343
не равно единице. Действительно, тогда отсюда получим, что
элементы из множества К, не являющиеся трансформами, поро-
порождают свободную группу F и что Н совпадает со свобод-
свободным произведением группы F и сопряженных подгрупп afta,
B^AV.
Если и — элемент из К и и~1Фи, то и<^и~1, так как
а — (и)", и элемент и~1 не может предшествовать элементу и.
Далее, если и Ф v — элементы из /С, то элемент w = и Vх
(е} т|= ± 1) следует и за и, и за v, так как любые два эле-
элемента из и, v, w порождают третий, но в силу выбора множе-
множества К ни один из элементов и и v не порождается предшествую-
предшествующими элементами. Эти два принципа лежат в основе изучения
умножения элементов из множеств Т и Г. В процессе приве-
приведения элемента ага2 . . . ат группы О, где каждый сомножитель а{
принадлежит одной из перемножаемых групп, будем говорить, что
элементы аь и ai+l объединяются в а\, если они принадлежат
одному и тому же свободному сомножителю Av и а.а.+1 = а1. Ф 1,
и будем говорить, что они сокращаются, если aiai+1 = \.
Лемма 17.3.1. Если и~-а§~~1 или аа$~~1£Т, причем а Ф р,
то а < р.
Доказательство. Так как р Ф а, то и£К. Если р < а, то
мы имели бы, что и < и. Таким образом, элементы из Т могут
быть трех типов:
1) 1{и) — четное число, # = ар !, а < р, w^/C~;
2) /(и) — нечетное число, й = аар"~1, а < р, w^/C;
3) / (w) — нечетное число, и = спаса — элемент, порожденный
трансформами того же вида из множества К.
Лемма 17.3.2. Если элементы ифу принадлежат множе-
множеству Т и не содержатся в одной и той же подгруппе ctBct,
a w — любой из элементов и Vх, v^u'{г, ч\= ±1), то элемент w
следует за и и v в полулексикографическом порядке. Отсюда
вытекают следующие ограничения на сокращения и объедине-
объединения в произведении w:
1) если и=аф~1, §.не сокращается, а а сокращается, то
буква, соседняя с р, не объединяется1)',
2) если и-=сиа$~1, а < р, а и а не сокращаются, а р сокра-
сокращается, то а не объединяется;
3) если и — ааа" ^аВа, то а и а не сокращаются,
1) В случае объединения даже одной буквы из р с буквой из v
длина w будет меньше, чем длина v, что противоречит утверждению
леммы. — Прим. ред.
344 Г4. П. Свободные произведения,
а если при этом vyi = cnalGt a> al£Av,moa1 — первый элемен
в смежном классе Ва *).
Доказательство. Пусть из двух.¥ различных элементов и и
множества Т первый предшествует второму, и < v. Если эле
мент w не следует ни за и, ни за V, то w < v. При это
случай w — v исключается сразу, так как отсюда следовало быи|
что 1) #—1, что невозможно, или 2) u — v2, или 3) # = г>~~2%'
Если элемент v — трансформа, то его квадрат или равен единице,,
или есть опять трансформа; если же v — не трансформа, то;
/ (v2) > / (у). В обоих случаях равенства u = v2, u = v~2 невоз^
можны.
Так как любые два из элементов и, v, w порождают третий,^*
этим третьим должен быть элемент w, если v£K. Поэтому нам/"|
нужно только рассмотреть случай, когда элемент г/ = ааа~~1£
£ аВа"^ — трансформа. Так как и^-аВса~1 и и < v, мы имеем
также отношение и < -у*, где v*—любая трансформа из группы
аВа~}. Поэтому если в произведении и и v = aaa~l сокращение
распространяется только на а (или на а), то то же самое про- '
исходит при перемножении и и некоторого элемента v* — aa*a~l (
результатом которого является произведение w* = uev* или v*uef %
где w* < v*. Последнее же отношение противоречит тому, что
г>*£/С Поэтому сокращению между и и г/ = ааа~1 подлежит а-
целиком, и, кроме того, центральный член а или сокращается,
или объединяется. Таким образом, ие = аа"а~1, где элемент а"
объединяется или сокращается с а. Так как и <С v = ааа, имеем
/(о)</(а) или же /(о) = /(а) и и = аа//~1а~1, о < а. В обоих
случаях элементы и и а(а"~1а*а")а~1 предшествуют элементу
гг* = аа*а~1£/С и порождают его. Тем самым получено противо-
противоречие. Таким образом, во всех случаях мы приходим к противо-
противоречию, предположив, что w < v. Поэтому элемент w следует ;1
за и и V.
Как следствие того факта, что все восемь произведений i
и iPtt следуют за и и v, получаем ограничения на сокращения '%
и объединения, перечисленные в теореме. Эти ограничения явно
говорят о том, что сокращается не более половины каждого
из слов и и v и что в тех случаях, когда сокращение и объеди-
объединение заменяют начальный (или конечный) отрезок другим отрез-,
ком той же длины, результатом является более поздний элемент 5
при введенном порядке.
*) Действительно, если бы для некоторого а* £ В а*ах < а1 в лексико-
лексикографическом порядке, то для и* = оа*а"~х £ Т имели бы w* = w*^t/iri =
= аа*а~1аа1а = aa*ah < aala = v\ что противоречит утверждению лем-
леммы. — Прим. ред.
17.3. Теорема Куроша 345
Лемма 17.3.3. Для произведения иги2 ... ut, где и^ТЦТ 1
A=1 t), utui+l Ф\ (/ = 1, ..., t — 1) и соседние элементы
ut и и1+1 не содержатся в одной группе аВа (В с Av)t при-
приведенная запись имеет следующие окончания:
1) р", если ut — a!fl%
2) ft'a, если Mt = {tf>~iy ,
3) a*p-1, если ut = aa$~l, a < p,
4) a""^, если ut = (cta$~1) , a < p,
5) a*a"i
5* б случае Т) и а* в случае .5) — или буквы, непо-
непосредственно предшествующие в произведении uv или объеди-
объединения с аналогичными буквами произведения ut_x\ элемент а*
в случае 3) может объединять сомножители ufmmX и ut_2»
Доказательство этой леммы проведем индукцией по t. При
t=l лемма очевидна. При t = 2 результаты вытекают непосред-
непосредственно из леммы 17.3.2, если дополнительно учесть, что в выра-
выражении и = ар~1 или аар сокращение и2 не может полностью
р р
сократить а или р. При переходе от t к £+1 мы только при-
применяем лемму 17.3.2 к каждому из пяти случаев нашей леммы
и к каждой из пяти возможностей для ut+v, используя при этом
только одно дополнительное свойство, не являющееся прямым
следствием леммы 17.3.2. Это свойство состоит в следующем.
Может случиться, что иt = спаса, а сокращается й а объединяется
с ut^l = oa/^1cL и аналогично с ut+l = cta/% Тогда по лемме 17.3.2
а' и а" являются первыми элементами' в своем смежном классе
Ва1 и Ва" соответственно. Если бы a'~laa" =\t то это озна-
означало бы, что элементы а1 и а" принадлежат одному смежному
классу, т. е. означало бы, что а' = а", а=1, ut=l, что невоз-
невозможно. Поэтому а!7хаа" Ф\, приведенная запись произведения
ut_xutut+l имеет вид а(а/~1аа")\. Это единственный случай, когда
объединение может включать три последовательных члена из полу-
полуприведенного произведения ихи2 ... ит.
Установив возможные окончания приведенного представления
для полуприведенных произведений h = ихи2 ... uv мы установили
тем более, что h Ф 1, т.е. что Н есть свободное произведение
бесконечных циклических групп, порожденных элементами afT1
и aa^p"^ < Р), и подгрупп ctBct, сопряженных с подгруппами В
свободных сомножителей Л^-группы О.
Глава 18
ПРОБЛЕМА БЕРНСАЙДА
18.1. Постановка проблемы
В 1902 году Бернсайд [1] писал: „Еще не решенным вопросом
теории дискретных групп является вопрос о том, может ли быть |
порядок группы бесконечным, в то время как порядок любого ее
элемента конечен". Он имел в виду, разумеется, группы с конечным
числом образующих. Этот вопрос остается нерешенным и в на-*}|
стоящее время1). Бернсайд рассматривал этот вопрос при некото-
некоторых ограничениях, а именно он предполагал, что данная группа
обладает конечным числом образующих и что порядки ее элемен-
элементов ограничены в совокупности.
Если группа О порождается г элементами и п — наименьшее
общее кратное порядков ее элементов, то проблема ставится так:
является ли группа G конечной? Эта проблема известна как про-
проблема Бернсайда. Если х1У . . ., хт— образующие элементы группы
В(п, г) с отношениями gn—l для любого элемента g£B(n, r),
то эта группа называется группой Бернсайда порядка пег обра-
образующими2). Очевидно, что любая группа с г образующими и эле-
элементами, порядки которых делят п, является гомоморфным обра-
образом группы В(п, г). Таким образом, проблема Бернсайда сводится
к вопросу: какие из групп В(п, г) конечны?
Если/7,.—свободная группа, порожденная элементами xv . . ., хг>>
и N—ее вполне характеристическая подгруппа, порожденная всеми
элементами вида zn, z£Fr то В(п, r) = Fr/N.
18.2. Проблема Бернсайда для п = 2 и п = 3
Если Каждый элемент группы G, кроме единицы, имеет поря-
порядок 2, то из равенств х2=\, у2=\, (хуJ=1 получаем, что
хуху=\, ху — у~1х~1 = ух, т.е. О — абелева группа. Таким
образом, группа Бернсайда В B, г), порожденная элементами
xlf ..., хг, является абелевой группой порядка 2Г с базисом ^
xv ..., хг. Тем самым вопрос решен для п = 2. j
1) П. С. Новиковым получено в 1959 г. отрицательное решение про- 1
блемы Бернсайда. — Прим. ред. - ~^
2) П. С. Новиковым было доказано, что для л!>72 существует бес- 5
конечная группа с конечным числом образующих, порядок каждого эле-
элемента которой является делителем п. — Прим. ред.
18.2. Проблема Бернсайда для п = 2 и п = 3 347
Если # = 3, легко показать, что группа £C, г) конечна. До-
Докажем это индукцией по г. Группа £C, 1) циклическая порядка 3.
Предположим, что порядок группы Bh = BEt К) равен Зт(Л). Вос-
Воспользуемся соотношением
уху=х~1у-1х~1, A8.2.1)
которое получается из равенства (хуK= 1. Группа Bh+l получается
присоединением нового образующего элемента z к группе Bh%
Поэтому элементы группы Bh+l имеют вид
g = u1z±lu2z±l ... z±lun, A8.2.2)
где tii£Bh. Покажем, что элемент g можно представить как произ-
произведение, в которое элемент z входит не более двух раз. Если
в произведении A8.2.2) два последовательных вхождения эле-
элемента z имеют одинаковые показатели степени, то, применяя соот-
соотношение A8.2.1), получаем zutz = urlz^1url или z~lu.z~l =
= u~xzu~l\ таким образом, число вхождений элемента z умень-
уменьшено на единицу. Итак, элемент g может быть представлен в виде
A8.2.2), где показатели элемента 2, равные -j-1 и —1, чере-
чередуются. Если теперь представление элемента g имеет три вхо-
вхождения элемента z, то преобразуем его следующим образом:
g = uxzu2 • z~lub • z . .. = uxzu2z • zu3z . . . =
= u1u-l.z-1u-lu-*z-1u-i ...,
сокращая число вхождений z на единицу. Если g = ulz~1u2zusz~1t
поступаем аналогичным образом. Итак, элемент g можно предста-
представить как произведение только с двумя вхождениями образующего z.
При этом ulz^1u2zub = uxz^xu2z^lz"xuz = uxu2xzu-xz~luv Таким
образом, любой элемент группы Bh+l может быть представлен
одним из следующих выражений:
uxzu2,
__, A8.2.3.)
uxz luv v J
Следовательно, группа Bh+l состоит самое большее из
3w + 2- 32m + 33m< 33m+1 элементов; поэтому m(h-\- 1)< ЪтAг),
откуда т(г) < Зг~\ т. е. группа £C, г) имеет порядок не больше
З3 . В своей первой работе Бернсайд, используя более сложные
методы, получил более точную оценку т(г)^2г — 1. Мы докажем
сейчас точное равенство ^(О = (о) + (о)~-|~г» полученное
Леви и Ван дер Варденом [1].
348
Гл. 18. Проблема Бернсайда
Применяя трижды равенство A8.2.1) к выражению x~1yxzx~
получаем формулу
x~lyxzx~l = (х~1ух~г) (x^1zx) =
• = У1 (xy~lz~lx) z~l = y~lzyx~lzyz~l. A8.2,
Как частный случай формулы A8.2.4) при z = y получаем, что;
х~1ухух~1 = ух~1у,
откуда
Таким образом, любой элемент у перестановочен с любым своз
сопряженным элементом х~1ух. Следовательно, элемент у nepi
становочен с коммутатором у~гх~гух, откуда в обозначениях ;
мутаторов получаем **
(у, х. у)=1. A8.2.
Отсюда же получаем
Теперь мы имеем
= (yt х) = (х, у)'1.
)'
= ((х. у)'\ х) = (х. у, х)'1=
). A8.2.7J
A8.2.8|
Рассмотрим теперь элемент (а, с, Ь) 1 = # l(c~la~lcaba~lc~l)i
и применим формулу A8.2.4) к произведению в скобках, полагав!
х = с, у = а~*, z = пЬп~~1'.
(а, с, Ь)~] = Ь~1(а-аЬа~1а~1с~[аЬа~1а~1аЬ~1а~1)ас —
= b~la~lbac~laba~lb~lc = (а, Ь, с).«
Кроме этого, мы знаем, что (а, с, b)~l— ((а, с), b) — (c, а, Ь).
Таким образом, *
(a, b, c) = (c, a, b) = (b, с, а),
_i A8.2.9)
(а, с, Ь) =(а, Ь, с).
Теперь мы можем показать, что любой коммутатор веса четыре.
равен единице. Для этого рассмотрим сначала сложный коммута- ;1
тор (а, Ь\ с, d)\ используя тождества A8.2.9), получаем
(а, Ь; (с, d)) — ((c, d), a, b) = ((c, dt а), Ь) = (а, с, d, b) =
= (а, с, bt d)~1 = ((a, b, c)~l, d)~ =(a, bt ct d). j
18.2. Проблема Бернсайда для п = 2 и п = 3 349
Но, кроме этого, (ct d\ a, b) = ((a, b), с, d) = (a, b, с, d). Поэтому
(а, Ь\ с, d) = (c, d\ а, #) = (а, Ь\ с, d)""\ откуда
(а, Ь\ с, d) = (a9 b> с, d)=l. A8.2.10)
Как видно из предыдущих соотношений, коммутатор веса три
равен единице, если в нем два элемента совпадают. При трех раз-
различных образующих элементах в силу тождеств A8.2.9) комму-
коммутатор веса три можно представить в виде (л;£, х^ xk), где i < j < k,
или как обратный элемент для этого элемента. Согласно равен-
равенству A8.2.10), коммутаторы веса три содержатся в центре, и ком-
коммутант абелев. Следовательно, любой элемент группы БC, г)
представим в виде
g = x*1 ... xa/(xv x2)b» ... (x.XjpJ ... (*,, xj. xk)eV*. A8.2.11)
где i < j для коммутатора {xt, xj), i < j < k для (хр jc;., xk),
а показатели степени равны 0, 1 или 2. Общее число таких вы-
выражений равно Зт(г), где т (г) = г -f-f ) + ( ) — число сочета-
сочетаний из г образующих xv лг2, ..., хТ по 1, по 2 и по 3 элемента.
Поэтому порядок группы Бернсайда £C, г) не превосходит Зт^;
этот порядок равен точно Зт(г), если только элементы вида A8.2.11)
с некоторыми показателями степени, не равными нулю, не равны
единице. Действительно, если два различных выражения gx и g%
представляют один и тот же элемент группы #C, г), то они пред-
представляют один и тот же элемент также и в любом гомоморфном
образе группы £C, г) и, в частности, в элементарной абелевой
группе порядка Зг, откуда следует, что показатели степени at,
i—1 г, должны совпадать. Так как коммутант абелев, эле-
элемент £*== g\g2l = 1 с некоторыми показателями степени Ь^ или cv^
отличными от нуля по модулю 3, представлял бы единицу, если бы
различные выражения gx и g2 представляли один и тот же эле-
элемент. Рассматривая равенство g = 1 как соотношение в группе
£C, г), находим, что оно остается верным, если добавить еще
соотношения xs—\t s Ф i, j, k. Поэтому чтобы показать, что
порядок группы #C, г) равен Зт , достаточно установить, что
порядок группы £C, 3) равен З7.
Для построения группы В C, 3) как группы порядка З7 при-
применим полупрямое произведение, рассмотренное в теоремах 6.5.1
и 6.5.2. Пусть
С5 = (дг, z), Ce = (y, z), C7 = (*, у, z). A8.2.12)
350 Гл. 18. Проблема Бернсайда
______ ^
Сначала строим элементарную абелеву группу А — {С4, С5, Сб, С7Щ
порядок которой равен З4. Затем присоединяем к ней элемент CJ
при помощи соотношений
Сз = 1, Сз С4С3 = С4С7, Сз С5С3 = C5,
Сз СбСз = С6, Сз С7С3 = С7. A8.2.13|
Согласно теоремам 6.5.1 и 6.5.2, группа В={А, С3} имеет пог|
рядок З5 и является расширением группы А при помощи цикли
ческой группы {С3}. Чтобы этот вывод обосновать, нужно только!
проверить, что при соотношениях A8.2.13) трансформирование^
элементом С3 индуцирует автоморфизм порядка 3 группы Л. Далее»*
аналогичным способом расширяем группу В элементом С2 до|
группы Н—{В, С2} порядка З6, используя при этом соотношений!
„==1, С-»2 ЬзЬ2 === ^3^6 , L>2 L/4^2 = L/4,
С2С5С2 = С5С7-1> C^CeC^Ce, С21С7С2 = С7. A8.2.14)|
Наконец, расширяем группу Я элементом С! до группы G = [Cv #} i
порядка З7 при помощи соотношений
С\ = 1, С\ С2С1 = С2С4 ,. С\ С$С\ = С3С5 ,
Cf1C7Ci = C7. A8.2.15I
При таких соотношениях класс нильпотентности группы О равен я
3 и имеет место формула
Полагая P = z и считая Q произвольным элементом из группы А
получаем, что показатель1) группы В равен 3. Это же утвер- 3
ждение можно доказать для группы Я, а затем для О. Таким
образом, группа G = i3C, 3) имеет порядок З7. Как мы уже.
отмечали, отсюда следует общее утверждение теоремы.
Теорема 18.2.1. Порядок группы Бернсайда £C, г) равен Ъм .
где ^(О = г + (о ) + (з)' Элемент группы В(Ъ> г) однозначнФ М
представим в виде A8.2.11).
18.3. Конечность группы #D, г)
В своей статье Бернсайд показал, что порядок группы В D, Ц
не больше 212. Санову [Ц удалось доказать, что группа ВD, г)
l) To есть наименьшее общее кратное порядков всех элементов
группы В.-—Прим. перев.
18.3. Конечность группы ВD, г) 351
конечна при. любом г. Порядок ее точно не известен, однако
установлено, что порядок группы В D, 2) равен точно 212.
Теорема 18.3.1. Группы £D, г) конечны.
Доказательство. Пусть Н — произвольная конечная группа,
порядки элементов которой делят число 4. Мы хотим показать,
что, присоединяя к Н некоторый элемент четвертой степени Ь и
потребовав, чтобы четвертые степени элементов расширенной
группы G = H[}{b] были равны 1, мы получим вновь конечную
группу G. Осуществим присоединение такого элемента Ь к группе Н
в два этапа: сначала, присоединив элемент Ь2 к группе Я, получим
группу Нх — Н[) {b2}, а затем, присоединив элемент b к группе Hv
получим группу G = #j U {Ь} =Н[} {Ь}. Каждое из этих двух
расширений таково, что мы присоединяем элемент, квадрат кото-
которого принадлежит расширяемой группе. Поэтому достаточно пока-
показать, что, присоединяя к конечной группе Н элемент х, такой, что
х2£#, и полагая 24=1 для z£H[){x}, мы получаем конечную
группу Я U {х}.
Любой элемент g группы Яи {х}, где х2£Н, имеет вид
A8.3.1)
Из соотношения (x/zL = 1 мы получаем
xhx = h'lx'lh'lx~lh'1 = h'lx (x W) xh~l = h'lxhxh'\
A8.3.2)
где h*£H. Таким образом, не увеличивая длины п слова A8.3.1),
мы можем при помощи соотношения A8.3.2) придать ему сле-
следующую форму:
hixh2 .. . xhi-ihTlxh*iXh7lhi + iX . . . xhn. A8.3.3)
Если в слове A8.3.1) некоторый элемент hj равен единице при
2^У^д — 1, то мы можем уменьшить длину слова, полагая
x2 = h£H. Можно также использовать несколько раз равен-
равенство A8.3.2), чтобы заменить несколько элементов hj единицей.
Санов заметил, что, последовательно применяя соотноше-
соотношение A8.3.2), можно hi_l заменить произведением hi-\hjl, затем
ht_2 — произведением hi-2{hi-\hjl) =hi-2hihjl\ и т. д. Таким
способом можно заменить элемент h2 любым из элементов /г2,
, h2h4hs\ /гг/ц/г^/й, . . ., h<ih± .. . W Л
• . • h2Sh2s+i • • • fh • Если хоть один из этих элементов равен
единице, можно уменьшить длину слова g. Если же порядок
группы И равен М и #^> Al-j-2, то или одно из этих выражений
352 Гл. 18. Проблема Бернсайда
равно единице, или среди них есть равные, скажем, h2 ... h2rh2\x ...
—1 — 1 i 1
. . . h = h2 .. . h2r ... h2sh2s+i • • * U2~r+i ... ЛГ . откуда /г2г+2 .. .
. .. /&2s/&2s+i/&2r+3= 1. Но это не что иное, как одно из произве-
дений, которым можно заменить элемент /г2г+2. Аналогично если
повторяется произведение h2h\ . . . h2rh2r\-i . .. /г^1, то элемент h2r+i \
можно заменить произведением, равным единице. Во всех случаях, ;j
М 2
если п^2>М-\-2, мы можем уменьшить длину слова g. Следова- |
тельно, любой элемент g можно представить словом длины |
/г^Л4-|~1. Поэтому порядок группы Н[}{х} равен самое боль- з
шее Мм+\ \
18.4. Ослабленная проблема Бернсайда. Теоремы Ф. Холла
и Г. Хигмэна. Конечность группы /?F, г)
Более слабой формой проблемы Бернсайда является следующее i
утверждение; доказательство этого утверждения известно в лите- *
ратуре как ослабленная проблема Бернсайда. 'j
~Rn: Для любого натурального числа г существует такое \
целое число Ьп> г, что любая конечная группа показателя п,
порожденная г элементами, имеет порядок не больше bn% r. j
Если для некоторого п утверждение Rn справедливо, то этим j
не исключается возможность существования бесконечной группы
показателя пег образующими. Но если утверждение Rn верно,
то существует наибольшая конечная группа R(n, г) показателя л
с г образующими. Действительно, каждая конечная группа показа-^
теля п, порожденная г элементами, изоморфна фактор-группе FrjNit
где Fr — свободная группа с г образующими, a Ni — некоторая»
инвариантная подгруппа, содержащая все элементы, являющиес
я-ми степенями элементов группы Fr. Если утверждение Rn истинно^
то существует только конечное число таких инвариантных под-f
групп Nit а их пересечение N есть инвариантная подгруппа конеч*1
ного индекса, причем фактор-группа Ft/N=R(n,r) являе
конечной группой показателя я, обладающей г образующими
такой, что все другие группы являются ее гомоморфными образам
Пусть О — группа с нижним центральным рядом
Предположим, что QS = GS+V Тогда в силу свойств нижних це
тральных рядов QS = GS+1= ... =Gs+i= .... Если группа
нильпотентна, то Qs+i=\t откуда G5=l. Так как конечна
группа О показателя п = р*> где р — простое число, нильпотентр
то для нее из равенства Gs = Gs+l следует, что 0^=1. Г
положим теперь, что показатель группы О равен р* и О по{
ждается г элементами. Тогда каждая фактор-группа OJGl+l являет^
18.4. Ослабленная проблема Бернсайда 353
конечной абелевой группой. Если мы сумеем показать, что для
любой такой группы О существует такое число s = s(p', г), что
OS = GS+V то ослабленная проблема Бернсайда будет решена
для показателя п = рК
Применяя собирательный процесс (теорема 12.3.1) к эле-
элементу (ху)п, мы установили, что
(jcy)II = jcV<l(II)... ca/n). A8.4.2)
Здесь показатель степени аь(п) равен
(!)A8'4-3)
где т — вес коммутатора ct.
Если коммутатор ct имеет вид
ci = \y. x x). A8.4.4)
то показатель степени a^ri) равен числу таких множеств индексов
jv j2 js+i коммутатора
(у,, х, , xf. ..., xt ). A8.4.5)
\ J\ '2 }Ъ JS+l'
ЧТО
С п. A8.4.6)
Это число возможных выборов s~\-l различных чисел из после-
последовательности 1, 2 п равно [ ).
Если число п = р простое, то показатели степени коммутато-
коммутаторов, веса которых не превосходят р—1, все кратны р, так как
биномиальные коэффициенты I J при 1 <^ i ^ р — 1 кратны /?.
Но для коммутатора
\у. х х) A8.4.7)
показатель степени I 1 = 1. Поэтому в группе О показателя р
мы имеем
\ = (ху)р=\у, х, х jcj vY ... vt. A8.4.8)
где vv v2 vt—коммутаторы, веса которых не меньше р,
а в коммутаторах веса р элемент у участвует не менее двух раз.
23 М. Холл
354
Гл. 18. Проблема Бернсайда
Отсюда получаем следующие отношения в группе Ор по мс
дулю Gp+l:
T) \ (mod Gp+lyt
vs
A8.4.9|
здесь vx vs — коммутаторы веса р от х и у, причем вес в
не меньше 1 и не больше, чем р—1. Из формул A0.2.1) мы п<
лучаем, что в любой группе
(иК vJ) = (u, v)iJ (modGm+1), A8.4.10|
если вес коммутатора (w, v) равен т. Пользуясь этим сравнением,^
мы находим, что если в некотором коммутаторе Vy из произве-
произведения A8.4.9) вес в х точно равен г, то замена элемента х
его степенью х1 ведет к замене коммутатора Vj его степенью vl.r^
Полагая здесь поочередно /=1, 2 р—1 и перемножая
соответствия, мы'получаем соотношение
Г + 2Г + 3ГН- ... ^(p—iy-sotmodp) A8.4.11I
для показателя степени коммутатора Vj, где l^r^p — 2. Для,?
главного же члена \у, х х) имеем г = р — 1 и /г=з 1
Поэтому соответствующее произведение принимает вид
, х х) = 1
(mod О
откуда
р+1
у,
A8.4.12I
A8.4.13)*
Последнее соотношение было основным при исследовании ослаб-
ослабленной проблемы Бернсайда для групп с показателем р, ще
р — простое число. Исходя из этого соотношения, Кострикин [1]
решил ослабленную проблему Бернсайда для группы показателя б 1
с двумя образующими. Он же показал, что Gl3 = Gu и что группа
если она конечна, имеет порядок не больше 534.
Ослабленная проблема Бернсайда изучалась рядом авторов, ^1
при этом часто оказывалось удобным рассматривать сопоставлен-^щ
ное группе лиево кольцо, которое мы сейчас рассмотрим. '""
В ассоциативном кольце R определим лиево произведение [х, у], ^j
полагая
[х, у] = Ху — ух. A8.4.14)
Тогда относительно сложения- в кольце R и лиева произведения
элементы кольца R образуют лиево кольцо L. Лиево кольцо
удовлетворяет следующим аксиомам:
18.4. Ослабленная проблема Бернсайда 355
L0. Сложение x-f-y и лиево произведение {х, у]— вполне
определенные операции.
L1. Относительно сложения L — абелева группа с нуле-
нулевым элементом 0.
L2. [х + у, г] = [х. г]+[у. *].
[х, y-\-z] = [x, y]-\-[x\ z].
L3. [х, х] = 0.
L4. Цх, у], *]-И1у. z), х] + Цг. х\, у! = 0.
Легко проверить, что произведение [х, у], определенное равен-
равенством A8.4.14), удовлетворяет этим требованиям.
Из соотношений L2 и L3 получается, что
> у]-Ну. х] +
у] = [*. У]+[У> х), A8.4.15)
откуда
[у, х] = —[х, у]. A8.4.16)
Если кольцо R порождается элементами хг хг, то элемен-
элементами, полученными из хг хг путем сложения, и лиевыми
произведениями [х, у] не исчерпывается все ассоциативное кольцо/?.
Элементы, порождаемые лиевыми произведениями, называются лие-
лиевыми элементами. Так, х\ — не лиев элемент, а х^х2 — 2х1х2х1-(~
~\- х2х\ = хг (хгх2 — х2хг) — (xtx2 — х2хх) хг — лиев элемент. В
силу соотношений в кольце R может, конечно, случиться, что
элемент х\ равен некоторому лиеву элементу.
Мы можем взять законы L0, LI, L2, L3, L4 в качестве опре-
определения лиева кольца L. Г. Биркгоф [1] и Е. Витт [1] показали,
что всякое лиево кольцо L может быть представлено как кольцо
элементов Ли соответствующим образом подобранного ассоциатив-
ассоциативного кольца /?. Этот важный результат, однако, здесь нам не
понадобится.
Пусть
О = О!ЭО2ЭО3Э ... ЭОЯ=... A8.4.17)
— нижний центральный ряд группы G. Лиево кольцо L, сопо-
сопоставленное группе О, строится следующим образом:
1) L есть декартова сумма аддитивно записанных фактор-
факторгрупп GJGi+v и сложение в этой декартовой сумме определяет
сложение в L;
2) элементы фактор-группы OilOi+\ считаются однородными
степени i\
3) лиево произведение однородного элемента А степени i и
однородного элемента В степени j — это групповой коммута-
коммутатор (Л, Б), взятый по модулю Oi+j+1\
356 Гл. 18. Проблема Бернсайда
4) лиево произведение произвольных элементов из L опреде*
ляется предыдущим правилом и дистрибутивным законом.
Мы не будем здесь доказывать, что эти правила действительно
определяют лиево кольцо. Заметим только, что закон L2 соответ-,
ствует тождествам A0.2.1.2) и A0.2.1.3) для коммутаторов, а закон L4
соответствует тождеству A0.2.1.5). Можно переформулировать
результаты из § 11.2, чтобы показать, что кольцо Ли, соответ-
соответствующее свободной группе с г образующими, является свободным
кольцом Ли с г образующими, если в нем рассматривать только
конечные суммы. Для доказательства того, что эти правила опре-
определяют кольцо Ли, можно воспользоваться несколько видоизменен-
видоизмененными методами из § 11.2.
В кольце Ли L для упрощения записи будем обозначать произ-
произведение [xv x2] через xv x2, а произведение [xv ..., xn_v xn]
через хг ... хп_гхп. Следующая теорема принадлежит Грехэму
Хигмэну [1].
Теорема 18.4.1. В ассоциированном кольце Ли группы пока-
показателя р (р — простое число) выполняется соотношение
Доказательство. Соотношение A8.4.13) справедливо в группе О I
показателя р. Его мы перепишем в виде
[у, х, ..., х) = сгс2 ... ci% A8.4.18)
где сг, с2 ct — коммутаторы от х и у, веса которых не меньше
/?+1, и, конечно, веса ^-1 от у.
Пусть теперь х = хгх2 ... хр_г. Применяя формулы A0.2.1),
преобразуем равенство A8.4.18) так, чтобы слева оставались
только коммутаторы с различными компонентами xL. Тогда получим
<*1<*2 ■••*,. A8.4.19)
где подстановка а пробегает в некотором порядке все (р—1)!
подстановок чисел 1,2 р— 1, a dv d2 ds — коммута-
коммутаторы положительного веса от у. Каждый из них или A) общего
веса не . меньше /?+1 от элементов у, хх xP-v или
B) обшего веса р от yt xv ... , xp_v но некоторые Xj в нем не
встречаются. Мы можем предположить теперь, что каждый ком-
мутатор dt имеет положительный вес относительно каждого из
аргументов у, хх хр-\- Это доказывается полной индукцией.
Действительно, предположим, что это утверждение справедлиао
для любого коммутатора dt и аргументов у, xv ... , -XTy-i- Вводи,
если нужно, дальнейшие коммутаторы, мы, очевидно, можем пред-
предположить, что коммутаторы di% в которых не участвует аргументу,
18.4. Ослабленная проблема Бернсайда 357
составляют начальный отрезок dx . .. dt произведения. Полагая
jcy- ===== 1 • мы находим, что dx ... dt—\, т. е. это произведение
можно опустить. Поэтому мы можем считать, что dt — коммута-
коммутаторы положительных весов относительно каждого из аргументов
у, xv . . . , Хр-\ и общего веса р~-\~ 1. Коммутаторы, имеющие вес р
и не зависящие от некоторого Xj, которые, может быть, встреча-
встречались в исходном произведении, были исключены на некотором
этапе описанного процесса. Но это в терминах кольца Ли L, со-
сопоставленного группе, означает, что если у, xv х2, ... , хр_х —
однородные элементы какого угодно веса, то мы имеем
2У*1а*2а ••• *(р-1)а = 0. A8.4.20)
а
Но A8.4.20) — тождество в кольце L, справедливое для однород-
однородных элементов у, хг, ... , хр. Так как оно линейно относительно
каждого аргумента, это тождество должно выполняться для любых
аргументов. Поэтому при хх = х2= ... = xp_l = x и при про-
произвольном у тождество A8.4.20) принимает вид
(р— 1)! ухр~1 = 0, A8.4.21)
а так как характеристика кольца L равна, очевидно, р9 отсюда
имеем
yxp-l = Q, A8.4.22)
что и требовалось доказать.
Используя соотношение ух4 = 0 в кольце Ли L характеристики 5
(точнее, характеристики, взаимно простой с 2 и 3), Г. Хигмэн [1]
показал, что если кольцо L порождается г элементами, то в нем
произведения, в которых сумма показателей степеней всех сомно-
сомножителей не меньше Nr, равны нулю; здесь М—некоторое на-
натуральное число, не зависящее от г. Нетрудно показать, что он
доказал свое утверждение для N=25, однако им выдвинута
гипотеза, что с помощью дальнейших выкладок возможно доказать
тот же результат для N = 9; по всей вероятности, это еще не
наилучший возможный результат.
В очень важной работе Ф. Холл и Г. Хигмэн [1] среди других
вопросов рассмотрели связь ослабленной проблемы Бернсайда для
любого показателя с той же проблемой для показателей, равных
степени простого числа. При этом необходимо ограничиться конеч-
конечными разрешимыми группами. Тогда предположение, более слабое,
чем Rn, состоит в следующем:
Sn: Для любого натурального числа г существует такое
целое число ЪПуТ, что любая конечная разрешимая группа по-
показателя п, порождаемая г элементами, имеет порядок
не больше ЬП)Г.
358
Гл. 18. Проблема Бернсайда
Сформулируем результат Холла и Хигмэна в виде теоремы. Ц
Теорема 18.4.2. Если п = ре^ Ре22 ... /А и если утвержде-
утверждения S елистинны при /= 1 s, то утверждение Sn также
истинно.
Мы здесь не будем доказывать эту теорему, так как доказа- *
тельство опирается на ряд громоздких и сложных вспомогатель-
вспомогательных результатов. Так как конечная группа порядка ра qb разрешима
(теорема 16.8.7), утверждения Rn и Sn совпадают, когда п делится
не больше чем на два простых числа. Но так как известно, что
группы Бернсайда ВB, г), £.C, г) и ВD, г) конечны, а Г. Хигмэн
установил, что утверждение R5 истинно, теорема 18.4.2 устанав-
устанавливает истинность утверждений /?6, /?12, /?10, /?15, R20, а также 530
и 560. Воодушевленный этими результатами, автор показал, что
группы В F, г) конечны; набросок доказательства этого результата
будет дан ниже.
Мы изложим сейчас лишь небольшую часть результатов
Ф. Холла и Г. Хигмэна и укажем направления дальнейших результа-
результатов.
Назовем группу //-группой, где р — простое число, если ее
порядок не делится на р, и, как обычно, /?-группой, если ее по-
порядок равен степени числа р.
Определение. Конечная группа G называется р-разрешимой,
если она обладает инвариантным рядом
\=V0(=:Vl(=: ..; aVn = G, A8.4.23)
в котором каждая фактор-группа Vi+lIVt является либо
р-группой, либо рг-группой.
Заметим, что, согласно теореме 9.2.4, конечная разрешимая
группа G р-разрешима при любом простом р. Определим для
р-разрешимой группы G верхний р-ряд
1 = р с N czP-idN-idPoCZ . . . czPf ^ М == G A8.4.24)
рекуррентно: подгруппа Nk находится из условия, что NkjPk —
наибольшая инвариантная //-подгруппа группы G/Pk, a Pk+i — из
условия, что Pk+i/Nk—наибольшая инвариантная /?-подгруппа
группы GjNk. Наименьшее число /, такое, что Nl = G, назовем
/7-длиной группы G, обозначив ее 1р или /p(G). Легко видеть,
что 1Р есть наименьшее число р-фактор-групп в любых нормаль-
нормальных рядах группы G типа A8.4.23), в которых любой фактор
V^+1/V^ — либо /?-группа, либо р'-группа.
Целью упомянутой выше работы Ф. Холла и Хигмэна является
установление связи между /?-длиной /?-разрешимой группы G и
свойствами силовских /?-подгрупп S(p) группы G. Пусть, в част-
частности, рер — показатель подгруппы 5(/?), т. е. н.о.к. порядков
/5.4. Ослабленная проблема Бернсайда 359
элементов группы S(p). Тогда показателем группы G, т. е. наимень-
наименьшим общим кратным п порядков элементов из G, является число
п = \\ рер. Основные теоремы Ф. Холла и Хигмэна справедливы
р
для нечетных простых чисел р, причем эти результаты слегка
отличаются для простых чисел Ферма вида р = 2п-\- 1 и для осталь-
остальных простых чисел. Следующая теорема имеет отношение к про-
проблеме Бернсайда. Из нее теорема 18.4.2 легко получается как
частный случай.
Теорема 18.4.3. Если G— р-разрешимая группа, где р—не-
р—нечетное простое число, то
1) ер^*1р, если р не есть простое число Ферма\
2) ер ^ \-j tlp + 1) , если р — простое число Ферма.
Пусть п = р^р^*. .. ре£. Если число п четно, мы можем счи-
считать, что р1==2, и доказывать утверждение Sn индукцией по s,
полагая, что утверждение Sm истинно для т = ре^ре22 ... р^-11*
По теореме 18.4.3, ps — длина конечной разрешимой группы G
показателя п не превосходит 2es :l — lp ^ 2es. Если группа G
порождается г элементами, то из утверждения Sm следует, что
порядок группы GjPt ограничен числом bmt r, и поэтому (согласно
следствию из теоремы 7.2.2) подгруппа Рг также имеет ограни-
ограниченное число образующих, скажем rv Тогда из утверждения 5
pss
получаем, что порядок группы PiINl_1 ограничен так же, как и
число образующих подгруппы JMt_v Продолжая рассуждения та-
такого рода, приходим к выводу, что порядки фактор-групп MJPt
и PJNi-i ограничены некоторыми числами bmt k или Ь es откуда,
р >k
так как / ^ 2es> получаем верхнюю грань для порядка группы G.
Теорема 18.4.4. Если
— верхний р-ряд конечной р-разрешимой группы G, то под-
подгруппа Pi/Nq содержит свой централизатор в группе G/No.
Следствие 18.4.1. Подгруппа Рх содержит свой централиза-
централизатор в группе G.
Доказательство следствия. Если х — элемент централизатора
подгруппы Рг в группе G, то в группе G/No элемент xNJN0
принадлежит централизатору подгруппы PJNq. Поэтому в силу
теоремы элемент xNJN0 содержится в подгруппе PJNq. Это
означает, что в группе G смежный класс xN0 содержится в Pv
откуда x£Pv
Доказательство теоремы. В группе G1 = GIN0 не суще-
существует инвариантной р'-подгруппы, так как NQ — наибольшая
360 Гл. 18. Проблема Бернсайда
инвариантная //-подгруппа груцпы G. Подгруппа Pl=P1/N0 групп
Gj является ее наибольшей инвариантной р-подгруппой (по построе^
нию). Пусть Z — централизатор подгруппы Рг группы Ov Пред*
положим, что утверждение теоремы ложно, т. е. что Z <£
Тогда Z — инвариантная подгруппа группы Gls и поэтому Z[}P1=^
= ZPX— инвариантная подгруппа в группе Gv Так как, по пред-
предположению, ZP1zdPv пусть М — такая минимальная инвариантная!
подгруппа группы Gv что Ргс:М с ZPV Тогда фактор-группа;!
М/Рг не может быть /^-группой, так как Рг — максимальная ин- ч
вариантная р-подгруппа группы Gv Следовательно, М/Рг — р'-под- у
группа, так как группа G р-разрешима. Но тогда порядки под- ?
групп Рг и М/Рх взаимно просты, и по теореме 15.2.2 расшире- i
ние подгруппы Рг расщепляется, т. е. M = KPV где Kf]Pi=\ ■
и подгруппа К изоморфна фактор-группе MjPv Так как К £ ZPV \
трансформирование группы Рг элементом у из К индуцирует
внутренний автоморфизм группы Pv а так как порядки групп К I
и Рг взаимно просты, этот автоморфизм может быть только
тождественным. Следовательно, М есть прямое произведение под-
подгрупп К и Pv M = Ky^Pv Но тогда подгруппа /С, будучи \
характеристической подгруппой группы Ж, инвариантна в группе Gv '*
что противоречит тому, что в группе Gj нет инвариантных р'-под-
групп. Таким образом, предположение, что Z cj: Pv приводит к прб-
тиворечию, и теорема доказана.
Следующая теорема существенно уточняет результат предыдущей, j
Теорема 18.4.5. Если G — р-разрешимая группа с верхним,
р-рядом \
и если F/No—подгруппа Фраттини группы PJNq, то авто-
морфизмы группы PJF, индуцируемые трансформированием
элементами из G, дают точное представление группы G/Pv
Доказательство. Группа F/Mo является пересечением макси-
максимальных подгрупп /?-группы PJN0, а группа PJF, согласно тео-
теореме 12.2.1, есть элементарная абелева /?-группа. Так как под-
подгруппа F/No содержит коммутант группы PiJN0, любой элемент
из группы Рх индуцирует при трансформировании тождественный
автоморфизм группы PJF. Поэтому множество элементов группы G,
индуцирующих тождественный автоморфизм группы PJF, состав-
составляет инвариантную подгруппу К, причем К ^. Рг. Покажем, что
строгое включение KzdPx ведет к противоречию, т. е. что К = Pv
и поэтому группа О/Рх точно представляется внутренними авто-
автоморфизмами группы PJF. Если /СзРр то фактор-группа К/Рх
^ 18.4. Ослабленная проблема Бернсайда 361
не есть /?-группа, так как по построению Р\/Мо — максимальная
инвариантная /?-подгруппа группы G/No. Тогда К содержит элемент
х (£ Pv порядок которого взаимно прост с р\ этот элемент х
индуцирует при трансформировании тождественный автоморфизм
группы PJF. Но, согласно теореме 12.2.2, автоморфизм /?-группы
PJNq, действующий тождественно на группе P^F, имеет поря-
порядок ра. Тогда, так как порядок элемента х взаимно прост с /?, х
индуцирует тождественный автоморфизм в группе PiJN0\ в силу
теоремы 18.4.4 это означает, что x£Pv а это противоречит на-
нашему выбору элемента х. Таким образом, включение KzdP1 при-
приводит к противоречию. Поэтому /С = Р1, и теорема доказана.
Согласно теореме 18.4.5, мы располагаем точным представле-
представлением группы GjPl некоторыми автоморфизмами элементарной
абелевой /?-группы PJF. При этом G/P1 — /?-разрешимая группа
и lp (G/PJ = lp{G) — 1. Далее, по определению, фактор-группа Ь/Рг
не содержит инвариантных /?-подгрупп. Остальная часть рассма-
рассматриваемой работы Ф. Холла и Хигмэна состоит в изучении свойств
представления группы GjPx автоморфизмами группы PJF, т. е.
фактически представления линейными преобразованиями вектор-
векторного пространства над полем из р элементов. GjP± является р-
разрешимой группой, не содержащей инвариантных /?-подгрупп.
Дальнейшая теория зависит от того, что можно сказать о таких
группах, которые допускают точное представление над полем
характеристики р. Эти исследования проводятся индукцией по р-
длине, использующей равенство lp (G) = lp (G/P^ -f-1 •
Обратимся к конечным группам G показателя 6, чтобы изучить
строение групп Бернсайда В F, г) и установить их конечность.
Теорема 18.4.6. В конечной группе G показателя 6 12(G)^, 1
и /3(О)<1.
Доказательство. Конечная группа G показателя 6 имеет по-
порядок 2аЪь и потому разрешима. В верхнем 2-ряду для группы G
фактор-группа PJNq является 2-группой, содержащей свой центра-
централизатор в G/No. Но так как показатель группы G равен 6, по-
показатель силовской 2-подгруппы группы G равен 2, и, значит, она
является элементарной абелевой группой. Следовательно, силовская
2-подгруппа группы G/No содержится в централизаторе подгруппы
PJNq группы G/No и тем самым содержится в Pi/N0. Поэтому
группа PilM0 совпадает с силовской 2-подгруппой группы G/Nq,
откуда /2(G)=1, и верхний 2-ряд группы G имеет вид
1 =PQ с NQczP1 с Мг = G, A8.4.25)
где iV0/P0 — 3-группа, Рг/М0 — 2-группа и М1/Р1 — 3-группа.
Так как A8.4.25) — инвариантный ряд для группы G, имеющий
не больше двух факторов, являющихся 3-группами, очевидно, что
362
Гл. 18. Проблема Бернсайда
h (^) ^ 2- Предположение /3 (G) = 2 приводит к тому, что группа i
содержит элемент порядка 9. Но это противоречит тому,
показатель группы G равен 6. Отсюда получаем, что /3(О)
Верхний 3-ряд имеет вид
1 = Ао с Bocz^cz^cz Л2с B2 = Gt A8.4.26$
где Во/Ао, В1/А1 и В2\А2 — 2-группы, a ^j/Z^ и А2[Вг — 3-группый
Заметим, что
\= BJBocz AJB.czBJB.cz А2/В0 с G/Bo A8.4.27)
— верхний 2-ряд для группы G/Bo, а так как ее 2-длина рави
единице, то A2 = B2=G. По теореме 18.4.4 2-группа B1fAt
совпадает со своим централизатором в группе А2/Аг. Поэтому
в группе А2/Ах элемент х имеет порядок 3, то в подгруппе В1/А1
существует элемент и порядка 2, не перестановочный с элемен-
элементом х. Если
U — Ul% X UXX — U2, X U2X — И3» AО.Ъ.4О}Ъ
абеле-
то хи3х== uv так как хг= 1. Положим у = у1 = и1и2 и у2
Так как элементы uv u2, uz принадлежат элементарной
вой 2-группе, то иъих ^= (цхи2) (и2и^ = уху2. Поэтому в rpynnej
С—{х, yv y2) выполняются соотношения
= у\
= у\=
= у2,
= У1У2-
A8.4.29)^
Так как элемент х не перестановочен с uv и2фиг, поэтому^*
уг = ихи2Ф\. Далее, равенство у2 = ух означало бы, что х~1у2х = \
и 1 = ^2 = ^. Поэтому ^^^i» и» как ВИДНО из соотношений^
A8.4.29), порядок группы С равен 12; следовательно, в действи-j
тельности она изоморфна знакопеременной группе степени 4.
Согласно теореме 18.4.5, если F/Bo — подгруппа Фраттини группы^
AJBq, то группа G/A1 точно представима трансформированиями^
элементарной абелевой 3-группы AJF. В частности, группа С
точно представляется трансформированиями группы AJF = W. '
Если записать группу W аддитивно, то трансформирование ее эле* ^
ментом z группы О/Аг можно представить как действие оператора
справа. При этом областью операторов на группе W является не
только группа С, но и групповое кольцо С*. Операторы из С*, '
отображающие любой элемент группы W в нуль, как легко про-
верить, образуют двусторонний идеал кольца С*. Будем считать,
что группа С задана образующими х и у = ух и определяющими
отношениями
х3=1, y2=U (ху)*=\. A8.4.30)
, 18.4. Ослабленная, проблема Бернсайда 363
Тогда двусторонний идеал кольца С*, содержащий элемент
\-\-x-\-x2, также содержит элемент
•+-ху(\-\-х-\-х2)ух2 = 2 — 2у. A8.4.31)
Если бы для любого элемента w£W выполнялось соотношение
w{\ ~{-х-\-х2) = 0, то из равенства A8.4.31) мы получили бы,
что w B — 2у) = О, а так как элементы группы W имеют поря-
порядок 3, это значило бы, что wy — w для любого w£W. Но в этом
случае элемент у не представляется точно трансформированием
группы W^AJF, что противоречит теореме 18.4.5. Таким обра-
образом, для некоторого элемента w£W мы имеем w(\-\-х-\-х2)Ф0.
В мультипликативной записи это означает, что для представителя х
смежного класса хА\, являющегося элементом х группы A2F,
имеем
w(x-1wx)(xwx2)^l1 A8.4.32)
или
(wx-lfx*^\\ A8.4.33)
здесь х3 и (-шхK — элементы группы W, не равные единице
одновременно в силу неравенства A8.4.33). Поэтому или х, или
wx — элемент порядка 9. Таким образом, из равенства /3(О)=2
следует существование элемента порядка 9, но это противоречит
тому, что показатель группы G равен 6. Следовательно, /3(О)<1 1.
и теорема доказана.
Опираясь на теорему 18.4.6, мы можем точно определить
порядок наибольшей конечной группы показателя 6, порожденной
г элементами.
Теорема 18.4.7. Порядок группы /?F,г) равен
2«36 + B)+(з)э A8.4.34)
где
—1JГ.
Доказательство. Пусть Fr — свободная группа с г образую-
образующими. Если S — подгруппа, порожденная квадратами элементов
группы Fr, то Fr/S — элементарная абелева группа порядка 2Г.
Следовательно, в силу теоремы 7.2.8, S есть свободная группа
с Ь= 1 +(г— 1) • 2Г образующими. Вполне * характеристическая
подгруппа Т группы 5, порожденная кубами элементов группы 5,
такова, что S/7^BC, b)\ и поэтому индекс подгруппы Т
в группе 5 равен 3 + ^ 2 ^ 3 К При этом Fr/T— конечная группа
показателя 6, так как при g£Fr, g2£S и (gK£7\ Аналогично
1
364 Гл. 18. Проблема Бернсайда
3
Ь \ / Ь
\ / Ь \
/ \ з /
группа Fr обладает подгруппой С индекса 3 ^2/ чз/^ порожден--^
ной кубами элементов из Fr Согласно теореме 7.2.8, подгруппа С
имеет а = 1 -f-(r—1)-3 ^2' ^3' свободных образующих. Индекс ■{
вполне характеристической подгруппы D, порождаемой квадратами
элементов из группы С, равен 2а, Пусть теперь X=D(]T.
Fr/X— конечная группа показателя 6, так как подгруппы D и Т
содержат элементы g6, где g—любой элемент из Fr Нетрудно
убедиться в том, что верхний 2-ряд группы FTjX имеет вид
1 =X/Xc:DIXc:CIXc:FrIX, A8.4.35) .
а верхний 3-ряд— .*
1 *== X/Xcz T/XczS/XdFr/X. A8.4.36) j
Группа C/D изоморфна силовской 2-подгруппе группы /%/ЛГ* i
a S/T— силовской 3-подгруппе, откуда порядок группы Fr/X J
равен числу A8.4.34).
Пусть О — произвольная конечная группа показателя 6, поро-
порожденная г элементами. Если
1 = Ро S NQ С Рг с N, = G A8.4.37)
— верхний 3-ряд группы О, то порядок фактор-группы Л^//^
превосходит 2Г; поэтому подгруппа Рг порождается не более чем
Ь элементами, откуда группа PJNq, изоморфная силовской 3-под-
3-подгруппе группы О, имеет порядок не больше 3 Vr^ / V з /# дна.
логично порядок группы О делится не более чем на 2а.
Так как доказательство конечности группы Бернсайда В F, г)
содержит большие вычисления, то из-за недостатка места мы не
будем здесь излагать его полностью. Оно не использует пре-
предыдущие результаты и указывает степень 2, которая делит
порядок группы £F, г), однако, чтобы получить степень 3,
необходимо применить теорему 18.4.7. Доказательство состоит
в том, что группа G с конечным числом образующих показателя 6
имеет 2-длину, равную единице, а потому в силу конечности
групп В B, г) и ВC, г) группа О сама конечна. Доказательство
последнего факта равносильно доказательству тогд, что существует
инвариантная цепь
OdMdM'dI, A8.4.38) *
1
в которой G/M — конечная 3-группа, М\М! — конечная 2-группа,
а Мг — подгруппа с конечным числом образующих показателя 3,
которая поэтому конечна. Основная трудность состоит в доказа- J
тельстве того, что показатель подгруппы Мг равен 3. " j
Теорема 18.4.8. Группа G показателя 6, порожденная -ч
г элементами, конечна. 1
18.4. Ослабленная проблема Бернсайда 365
Следствие 18.4.2. Порядок группы В F, г)равен числу A8.4.34).
Лемма 18.4.1. Кубы элементов группы О порождают инва-
инвариантную подгруппу М, индекс которой не превосходит
Лемма 18.4.2. Подгруппа М порождается конечным числом
элементов порядка 2. Индекс коммутанта М' группы М
в самой группе М равен степени двойки] Мг порождается
конечным числом элементов вида abab, где а2 = Ь2—\.
Лемма 18.4.3. Если группа Н порождается элементами
хг хп и если показатель любой ее подгруппы, порожден-
порожденной четырьмя из этих образующих, равен 3, то и показатель
самой группы И равен 3.
Лемма 18.4.4. Если H={at Ь, с, d) — группа показателя 6,
а показатели подгрупп {а, Ь, с), {а,Ь>й}, [а, с, d) и [Ь, с, d)
равны 3, то и показатель группы Н равен 3.
Лемма 18.4.5. Если показатель группы Н= [х, а, Ь) равен 6
и если х2=\, аг = Ьг=\, xax = a~l, xbx — b~l, то показа-
показатель подгруппы {а, Ь) равен 3.
Это самая трудная лемма, доказывается она при помощи слож-
сложных преобразований соотношений для элементов группы Я.
Лемма 18.4.6. Если Н={х,а,Ь) — группа показателя 6
и если х2=\, а3 = &3=1, xax=-a~lt xbx = b, то показа-
показатель подгруппы [а, Ь) равен 3.
Лемма 18.4.7. Если группа Н={х, a, bt с) показателя 6
и если х2— 1, а3 = &3= с3= 1, хах = а~~\ xbx = b~l, xcx = с,
то показатель подгруппы {а, Ь, с) равен 3.
Лемма 18.4.8. Если Н={х, at}, i=l п, —группа
показателя 6 и если х2=1, аг. — \, xatx = arlt i=\ п,
то показатель подгруппы {аь\, i=\ п, равен 3.
Как нетрудно заметить, эта лемма следует из лемм 18.4.3,
18.4.4 и 18.4.7.
Лемма 18.4.9. Если Я={а, Ь, с)—группй показателя 6 и
если а2 = Ь2 = с2=\, то Нг — подгруппа показателя 3.
Лемма 18.4.10. Если показатель группы H—{at b, с, d)
равен 6 и a2 = b2 — c2==d2=l, то показатель подгруппы
{abab, cdcd) равен 3.
Лемма 18.4.11. Если показатель группы Н= [а, Ь, с, d, e, /}
равен 6 и a2 = b2 = c2 = d2 = e2 — f2— 1, то показатель под-
подгруппы {abab, cdcd, efef) равен 3.
Лемма 18.4.12. Подгруппа М! показателя 3 конечна. Следо-
Следовательно, конечна и группа О.
Последняя лемма является прямым следствием лемм 18.4.2,
18.4.3, 18.4.4 и 18.4.11.
Глава 19
СТРУКТУРЫ ПОДГРУПП
19.1. Общие свойства
Подгруппы произвольной группы G можно рассматривать как!
элементы структуры L(O) относительно операций объединения и*
пересечения. Любая циклическая группа простого порядка обладаетi
только подгруппой, совпадающей со всей группой, и единичной,
подгруппой; поэтому все такие циклические группы обладают
одной и той же структурой подгрупп, состоящей просто из двух-
двухэлементной цепи. Мы уже показали в теореме 1.5.4, что верно -
и обратное: группа, не имеющая истинных подгрупп, состоит-
только из единицы или является конечной циклической группой
простого порядка. Отметим также, что неабелева группа порядка pq,
где p<q, p/q—1, и элементарная абелева группа порядка q2
обе имеют одинаковые структуры подгрупп, состоящие из еди-
единицы, q-{-\ подгрупп простого порядка и всей группы; при этом
пересечение любой пары истинных подгрупп равно единичной под-
подгруппе, а их объединение — всей группе^
Таким образом, хотя группа О определяет структуру L(G),
однозначно, вообще говоря, одной и той же структуре L(G) может
соответствовать несколько групп G. Нетрудно построить примеры
структур L, не являющихся структурами подгрупп никакой группы.
Но многие группы G определяются однозначно структурой /,((/),
например это верно для знакопеременной и симметрической групп
степени 4. Возможно даже, что, за исключением нескольких
групп сравнительно простого строения, структура L(G) определяет
группу О однозначно.
В терминах теории структур структура L(G) является полной
в том смысле, что существуют бесконечные пересечения и объеди-
объединения ее элементов. Действительно, множество элементов, принад-
принадлежащих всем подгруппам произвольного семейства подгрупп,
образует подгруппу, которая и является пересечением этих под-
подгрупп; аналогично множество всех конечных произведений элемен-
элементов некоторого семейства подгрупп составляет группу, являющуюся
объединением этого семейства подгрупп.
Для дальнейшего изучения структуры подгрупп отсылаем чита-
читателя к монографии Судзуки [1].
19.2. лЬкально циклические группы и дистрибутивные структуры 367
19.2. Локально циклические группы
и дистрибутивные структуры
В структуре оба дистрибутивных закона
D2. a
эквивалентны друг другу. Покажем, что из D1 следует D2.
Используя D1, получаем
(a U Ь) П {a U с) = [(а [}Ь)Па][)Ца[}Ь)Пс] =
= а[I(аПс)[)(РПс)] =
т. е. получаем закон D2. Аналогично показывается, что из D2
следует D1. Выполнение дистрибутивного закона является очень
сильным требованием для структур. Мы докажем сейчас, что для
групп G условие дистрибутивности структуры L(Q) является очень
сильным и что из него следует, что группа G локально цикли-
циклическая.
Определение. Группа О называется локально циклической,
если любое конечное множество ее элементов порождает
циклическую группу. (Ср. с § 13.1.)
Так как элемент конечного порядка, отличный от единицы,
вместе с элементом бесконечного порядка не могут порождать
циклическую группу, то в локально циклической группе все
отличные от единицы элементы одновременно или бесконечного
порядка, или все имеют конечные порядки. Аддитивная группа
рациональных чисел R+ — локально циклическая группа без кру-
кручения, а группа /?+ по модулю 1 — локально циклическая перио-
периодическая группа. Нетрудно показать, что произвольная локально
циклическая группа является подгруппой одной из этих двух групп.
Теорема 19.2.1. Структура L(G) дистрибутивна тогда и
только тогда, когда G — локально циклическая группа.
Доказательство. Пусть G — локально циклическая группа, и
пусть Л, В и С — три ее подгруппы. Докажем свойство D1.
Вообще
откуда U = A{\(B\JC)^A(]B. Далее,
откуда [/=ЛП(#иС)^ЛПС. В итоге
U = АП(В[}С)^(А{\В)[}(А{\С).
368 Гл. 19. Структуры подгрупп
Осталось доказать обратное включение
и = АП(В[)С)с(АПВ)[)(АПС) = У..
Рассмотрим произвольный элемент g£U. Он имеет вид
так как В (J С = ВС в силу абелевости группы О. Поскольку
группа О локально циклическая, элементы Ъ и с порождают
циклическую группу {и}, ur = b, us = c, а так как для некоторых
тип Ьтсп — и, то отсюда следует, что urm+sn=u. Тогда
a = bc = ur+s; x = ur(r+s) = ar = br+sqA{\B и y=us(r+s> =
=za8 = cr+s^A(]C. Поэтому а = ur+s=umr(r+s)+ns(r+s) = хтуп
есть элемент (А()В)[)(А(]С), что и требовалось доказать. Итак,
доказано равенство
для любых подгрупп локально циклической группы.
Докажем обратное утверждение. Пусть структура L(O) дистри-
дистрибутивна, т. е. обладает свойствами D1 и D2. Докажем, что
группа О локально циклическая. Пусть Ъ и с — два произвольных
элемента группы О, пусть также а = Ьс,
А={а], В={Ь], С = {с}.
Тогда, так как а £ В (J С, мы имеем
Группы А П В и А П С как подгруппы циклических групп ци-
цикл ичны; пусть
АГ)В={и}> A(]C={v}9
где при соответствующих показателях степени
Здесь элементы и и v как степени элемента а перестановочны;
так как Л={й}1){^}. то для а £ А мы имеем равенство а —
= urvs = vsur. Но а = Ьс, следовательно, bc = urvs = byrcws =
= cwsbyT. Поэтому bl'yr = cws-\ откуда c~ws+l = byT~l или v'*c =
= urb~l. Поэтому cb = vsur =urys = bc, т. е. элементы b яс
перестановочны, и группа О абелева.
Группа О не может одновременно содержать элемент аф\
конечного порядка и элемент Ь бесконечного порядка. Действи-
Действительно, в противном случае элемент c = ab также имеет беско-
бесконечный порядок. Тогда {а} = {a} (]({b\ U {<?})• так как a = b~lc,
и в то же время ({а} П {*}) U ({а} П {<?}) = 0) U A)= 1ф{а), так
как бесконечные циклические группы {Ь\ и {с}, не содержащие
19.3. Теорема Ивасава 369
не равных единице элементов конечного порядка, пересекаются
с подгруппой {а} по единичной подгруппе. Таким образом, до-
достаточно рассмотреть только два случая: первый, когда группа G
без кручения, и второй, когда группа О периодическая. В каж-
каждом из этих случаев, если два элемента не порождают цикли-
циклическую группу, согласно основной теореме об абелевых группах,
они порождают прямое произведение двух циклических групп,
скажем, {Ь} и {с\. Тогда в первом случае при а = Ьс, Л={а}9
В={Ь) и С—{с} мы получаем, что А= А{\(В\}С), между тем
как (ЛП£)и(ЛПС) = A)иA)==A). т. е. свойство D1 не вы-
выполняется. В периодическом случае если порядки элементов Ъ
и с взаимно просты, то {Ь} [} {с} = {be}> т. е. они действительно
порождают циклическую группу. Однако прямое произведение
двух циклических групп \Ъ\ и {с}, порядки которых имеют общий
делитель, скажем, простое число /?, не имеет дистрибутивной
структуры подгрупп, так как для элементов Ьг£{Ь} и с1£{с)
порядка р и al = blcl свойство D1 нарушается при А={а1],
B={bx] и С={сг]. Таким образом, чтобы дистрибутивный за-
закон имел место, необходимо, чтобы любые два элемента порож-
порождали циклическую группу. Но если два любых элемента порождают
циклическую группу, то отсюда сразу следует, что любое ко-
конечное число элементов порождает циклическую группу, т. е.
что группа О локально циклическая. Теорема доказана.
19.3. Теорема Ивасава
Композиционные (или главные) ряды, как показано в § 8.5,
обладают тем свойством, что все они имеют одну и ту же длину.
Это свойство является следствием модулярности структуры ин-
инвариантных подгрупп и слабой формы модулярности для компози-
композиционных рядов. Однако, вообще говоря, максимальные цепи про-
произвольных подгрупп могут иметь разную длину. Из теоремы 10.5.5
следует, что в конечной сверхразрешимой группе все максималь-
максимальные цепи подгрупп имеют одну и ту же длину. Следующая теорема
Ивасава [1] показывает, что обратное утверждение также верно.
Теорема 19.3.1. Максимальные цепи подгрупп конечной
группы О имеют равные длины тогда и только тогда, когда
группа О сверхразрешима.
Доказательство. Как отмечалось выше, теорема 10.5.5 по-
показывает, что в сверхразрешимой группе G все максимальные
цепи подгрупп имеют одинаковую длину, равную числу простых
чисел, которые делят порядок группы G (с учетом повторений).
Если группа G обладает тем свойством, что все ее макси-
максимальные цепи подгрупп имеют одинаковую длину, то мы будем
в дальнейшем говорить, что она обладает эквицепным свойством.
24 М. Холл
370
Гл. 19. Структуры подгрупп
Очевидно, что это свойство выполняется также для подгрущ
и фактор-групп т[аких групп. Пусть G — конечная группа с
вицепным свойством. Так как группа, структурой подгрупп
торой является цепь длины один, есть циклическая группа пр
стого порядка, т. е. сверхразрешимая группа, то, применяя индукци
по длине максимальных цепей, предположим, что все истинны^
подгруппы и фактор-группы группы G сверхразрешимы.
Нам понадобится лемма о сверхразрешимых группах.
Лемма 19.3.1. Пусть G— конечная сверхразрешимая группй]
порядка п = щр2 ... рт, где рх < р2 < ... < рт. Тогда группа^
G обладает главным рядом
где Ki/Ki-i — группа порядка pm_/+1, /=1 т.
Эта лемма является следствием из теоремы 10.6.2.
Следующий и самый трудный шаг доказательства состоит
в том, чтобы установить существование инвариантной подгруппы
группы О.
Лемма 19.3.2. Если G — конечная группа, порядок которой!
делится на простое число р, то или A) она р-нормалъна,
или B) группа G обладает р-подгруппой Р, инвариантной
в одной силовской подгруппе Sx(p), но неинвариантной в дру~\
гой силовской подгруппе S2(p). v -
Доказательство. Напомним, что группа О, по определению*
р-нормальна, если центр Z одной силовской подгруппы Sx{p) яв-
является центром любой другой силовской подгруппы S2(p)t в ко-
торой он содержится. Поэтому если группа О не р-нормальна,
то центр Z некоторой силовской подгруппы Sx(p) содержится;
в другой силовской подгруппе *S2(p), но не является ее центром.^
В этом случае, как мы покажем, выполняется вторая альтерна-J
тива леммы. В качестве подгруппы Р возьмем Z и докажем,;^
что подгруппа Z неинвариантна в группе S2(p). Предположим проЧ
тивное, т. е. что Z инвариантна в 52(р). Тогда подгруппы 5х(р)
и 52(р) содержатся в нормализаторе N = NQ(Z) и, будучи его|
силовскими подгруппами, сопряжены в N, т. е. для некоторого*
x£N, x"S1(p)x = S2(p). Так как Z— центр группы S1(p)i то
центром для S2(p) = x~151(p)x является подгруппа x~1Zx — Z,
так как x£NQ{Z). Это противоречит допущению, что Z не есть *
центр группы S2(p). Этим лемма доказана. Заметим, что в до-
доказательстве применялась теорема Бернсайда 4.2.5.
Пусть теперь порядок группы О равен п^=регхре^ ... р^, где
Pi < Ръ < ••• <Рг — простые числа. Применяем лемму 19.3.2 для
наименьшего простого числа pv которое делит п. Покажем, что
для группы G вторая альтернатива леммы исключена. Действи-
19.3. Теорема Ивасава 371
тельно, в силу теоремы 4.2.5 существует t^O^odp^ рггрупп
hv h2 hv инвариантных в их объединении Я и сопряженных
в нормализаторе N=NQ(H) подгруппы Я группы О. Если Я—
инвариантная подгруппа в G, то мы имеем инвариантную под-
подгруппу, т. е. то, что искали. Если же N — собственная подгруппа
группы О, то, по предположению индукции, она сверхразрешима.
Применяя лемму 19.3.1 к подгруппе N, находим, что она со-
содержит инвариантную подгруппу Q, индекс которой в N равен
наивысшей степени числа р1% делящей порядок подгруппы N. Но
тогда Q и Я— инвариантные подгруппы в N, и так как Q{]H= 1
(Я—р1 -подгруппа), то <2иЯ=С?ХЯ. Таким образом, под-
подгруппа Q перестановочна с любым элементом из Я, и поэтому
нормализатор подгруппы hx содержит Q и не может иметь ин-
индекса t, взаимно простого с pv Итак, мы показали, что вторая
альтернатива осуществиться не может, если N — собственная под-
подгруппа. Строго говоря, мы доказали только, что вторая альтер-
альтернатива не имеет места только для случая, когда N — собствен-
собственная подгруппа. Но когда закончим наше доказательство и покажем,
что группа G сверхразрешима, то вышеприведенная аргументация
будет применима и к случаю N=0.
Рассмотрим теперь первую альтернативу, а именно что О есть
^-нормальная группа. Пусть Z — центр силовской подгруппы S1(p1)
и К = No (Z). Если K = Q, то Z — собственная инвариантная
подгруппа группы G, которую мы и искали. Поэтому предполо-
предположим, что К есть собственная подгруппа группы G, которая, по
предположению индукции, сверхразрешима. Тогда, применяя лемму
19.3.1 к подгруппе К, получаем, что К содержит инвариантную
подгруппу W индекса pv а, так как фактор-группа K/W— ци-
циклическая группа порядка pv W з f('t и группа К имеет нетри-
нетривиальный гомоморфный образ, являющийся абелевой рггруппой,
который мы обозначим через К/К' (рг). Но, согласно теореме 14.4.5,
так как группа О Pj-нормальна, фактор-группа Q/G'ipJ изоморфна
группе К/К'(р{)\ таким образом, О'(рх) — собственная инвариант-
инвариантная подгруппа. Показав, что во всех случаях группа О обладает
собственной инвариантной подгруппой, и учитывая, что, по пред-
предположению индукции, инвариантная подгруппа и соответствующая
фактор-группа сверхразрешимы, мы заключаем, что группа О раз-
разрешима.
Пусть порядок группы G равен п — ре^р\2 ... ре/, рх < р2 <
< .. . < рг. Доказав разрешимость G, мы теперь знаем, что все макси-
максимальные цепи имеют длину т, где т — ех -\-^е2 -f-. . . -\-ev и что лю-
любое отношение покрытия Л>Б обладает тем свойством, что [А : В] —
простое число. Пусть S(pr) — силовская подгруппа порядка perrt
и пусть 1 czAl cz А2а . .. аАе =S(pr) аВхс: .. . аВт__е =
24*
372
Гл. 19. Структуры подгрупп
= G — максимальная цепь, начинающаяся максимальной цепью
группы S(pr). Покажем, что S(pr) — нормальный делитель в О.
Индекс [B1:S(pr)] есть некоторое простое число Pj<Cpr Так как
число подгрупп, сопряженных с S(pr) в Bv должно делить pj и
иметь вид \-\-kpr в силу третьей теоремы Силова, оно равно 1,
и поэтому S(pr)<]£i. Аналогично, если мы уже показали, что
S()]£ то число подгрупп, сопряженных с S(pr) в группе
Bi+V во-первых, имеет вид 1 -\-kpr и, во-вторых, делит ин-
индекс [Bi+1:Bt] = Pj<Pr Поэтому S(pT)<]Bi+v Продолжив до
конца эти рассуждения, получим, что S(pr) — нормальный дели-
делитель в О. Будучи разрешимой, группа G обладает силовским до-
дополнением С подгруппы S(pr) порядка ре* ... pe/_il (теорема 9.3.1).
Пусть Z — центр подгруппы S(pr). Являясь характеристической
подгруппой группы 5(рг), центр Z — инвариантная подгруппа
группы О. Поэтому C\J Z — CZ= U. В группе U максимальная
цепь подгруппы С может быть продолжена до максимальной це-
цепочки для U, причем так, что для подгруппы V, покрывающей
С, [V : С] = рг. Аналогично тому, как доказывалось, что S(pr) <] G,
можно установить, что подгруппа V обладает инвариантной под-
подгруппой R порядка рт. R содержится в подгруппе Z, являющейся
единственной силовской рг-подгруппой группы U. Подгруппа С
принадлежит нормализатору подгруппы R; S(pr) также принад-
принадлежит ему, так как R содержится в центре подгруппы S(pr). Сле-
Следовательно, R <] О. Так как группа G содержит инвариантную
подгруппу R простого порядка рг и, по предположению ин-
индукции, фактор-группа G/R сверхразрешима, группа G сверх-
сверхразрешима. Доказательство теоремы окончено.
Глава 20
ТЕОРИЯ ГРУПП И ПРОЕКТИВНЫЕ ПЛОСКОСТИ
20.1. Аксиомы
Проективная плоскость — это множество точек, определен-
определенные подмножества которого называются прямыми и которое удо-
удовлетворяет следующим аксиомам:
Р1. Две произвольные различные точки лежат на одной
и только на одной прямой.
Р2. Две произвольные различные прямые пересекаются в од-
одной и только одной точке.
РЗ. Существуют четыре точка, никакие три из которых
не лежат на одной прямой.
Однозначно определенную прямую &, содержащую две различ-
различные точки А к В, будем называть прямой, соединяющей точки
Л и Б. Однозначно определенную точку Я, лежащую одновре-
одновременно на двух различных прямых k и t, будем называть пересе-
пересечением прямых k и t.
Пусть Av A2, Л3, А4 — четыре точки, никакие три из кото-
которых не лежат на одной прямой (существование такой четверки
точек обеспечивается аксиомой РЗ). Этим точкам соответствуют
шесть различных прямых, соединяющих их попарно:
Lj: АгА2Вг,
L5: Л2Л4£2,
Здесь Bv В2, Въ — точки пересечения этих прямых. Из того, что
все шесть прямых различны, легко получается, что все точки Bv
В2, Б3 различны и все они отличны от точек At.
Лемма 20.1.1. Каждая прямая содержит не менее трех
точек.
Доказательство. Каждая из прямых Lx L6, указанных
выше, содержит по меньшей мере три точки. Если произвольная
прямая L не содержит Av то она пересекается с прямыми Lv L2>
L3 в трех различных точках. Если L не содержит Л2, то она
374
Гл. 20. Теория групп и проективные плоскости
пересекает прямые Lv L4, L5 в трех различных точках. Если же!
прямая L содержит и Av и А2, то L = LV но прямая Lx содер-J
жит, во всяком случае, три точки Av А2, В1.
Лемма 20.1.2. Существуют четыре прямые, никакие mpiti
из которых не содержат общей точки.
Доказательство. Такими прямыми являются, как мы видели^
прямые Lv L2, L5, L6.
Если поменять местами слова „точка" и „прямая", „содержать*!
и „лежать на", то аксиома Р1 заменяется аксиомой Р2, и наоборот,!
а аксиома РЗ — леммой 20.1.2, и наоборот. Так мы приходим|
к принципу двойственности, точный смысл которого заключается
в следующем. Если тс— некоторая проективная плоскость, то су*
шествует плоскость тс*, двойственная первой. Она строится сле-1
дующим образом.
Пусть {Pt}—множество точек плоскости тс, a [kj\—мно-
[kj\—множество прямых на плоскости тс. Тогда плоскость тс* состоит
прямых {/?;}, находящихся во взаимно однозначном соответствии!
с точками {Pt} плоскости тс, и из точек {Kj}, находящихся во.|»
взаимно однозначном соответствии с прямыми {kj} плоскости й
При этом если Pt£kj в плоскости тс, то мы считаем, что Kj^^
в плоскости тс*, где точка Kj соответствует прямой ky a pt -~Щ
прямая, соответствующая точке Pt. Ясно, что из выполнимости!
аксиом проективной плоскости для некоторого множества точек ?
следует справедливость этих аксиом для множества тс*. Далее,?!
плоскостью, двойственной к тс*, является плоскость тс, т. е. (тс*)*^= тс^|
Следовательно, меняя местами понятия точки и прямой и 3a-f
меняя знак включения обратным, мы любое утверждение о п
скости тс превращаем в утверждение о двойственной ей плоскости
тс*. Это и есть принцип двойственности. В частности, из пр
ципа двойственности следует, что если некоторое утверждение
справедливо для произвольной проективной плоскости тс, то двои-
ственное ему утверждение также справедливо. Так, применив прин-Г
цип двойственности к лемме 20.1.1, получаем лемму.
Лемма 20.1.3. Каждая точка принадлежит самое менъ-
шее трем прямым.
Читатель без труда убедится в том, что аксиомы PI, P2, РЗ
проективной плоскости эквивалентны аксиомам проективной гео-
геометрии, приведенным в книге Веблена и Юнга „Проективная гео-"
метрия).
Предположим, что некоторая прямая Lx проективной плоскости -
тс содержит конечное число точек, а именно /г —)— 1, где, в силу
леммы 20.1.1, /г>2. Согласно аксиоме РЗ, существует по мень-_
шей мере две точки, скажем, Р3 и ^4» не лежащие на прямой Lv
1) Веблен, Юнг [1], т. I, стр. 16—18.
' J 20.1. Аксиомы ч 375
Пусть прямая Я3Р4 пересекает Lx в точке Bv и пусть Plt Р2—
две другие точки прямой Lv Тогда прямые РгР$ и Р2Р4 пере-
пересекаются в новой точке В2, не лежащей ни на Lv ни на РгР2.
Если Р— произвольная точка, не лежащая на Lv то, соединяя Р
с п -j-1 точками прямой Llt мы получаем лг —f~ 1 прямых, прохо-
проходящих через Я, причем никакая другая прямая точку Р не со-
содержит, так как всякая прямая, проходящая через Р, должна пе-
пересекать Lv В частности, п-\~\ прямых проходят через каждую
из точек Р3, Р4 и В2. Так как через точку Р проходят только
/i + l прямых, они пересекают произвольную прямую L, не со-
содержащую Р, в д-f-l точках, причем других точек прямая L не
содержит. Поэтому произвольная прямая L плоскости тс содержит
ровно п -f-1 точек, так как по крайней мере одна из точек Р3,
Р4, В2 не лежит на прямой L. Кроме того, через произвольную
точку Р плоскости тс проходит /г —|— 1 прямых, а именно прямые,
соединяющие точку Р с д-f-l точками некоторой прямой Z,, не
содержащей точку Р. Этим мы доказали основную часть сле-
следующей теоремы.
Теорема 20.1.1. Пусть п^>2— произвольное целое число.
Следующие свойства проективной плоскости эквивалентны:
1) некоторая прямая содержит точно д-f-l точек\
2) некоторая точка принадлежит точно п-\-\ прямым;
3) каждая прямая содержит точно д-f-l точек;
4) каждая точка лежит точно на /г-f-l прямых;
5) в плоскости тс ровно п2-\-п-\-\ точек;
6) в плоскости п ровно /z2-f-^+l прямых.
Доказательство. Мы уже показали, что из A) следуют
свойства B), C) и D). Докажем свойство E), исходя из A).
Пусть Ро — некоторая точка плоскости тс, и пусть Lv .... Ln+1 —
/г + 1 прямых, проходящих через Ро. Эти прямые содержат все
точки плоскости тс, причем каждая цз них содержит Ро и /г дру-
других точек. Ро — единственная точка, принадлежащая любым двум
из прямых Lx Ln+V Следовательно, плоскость тс содержит
1 —J— (лг —J— 1) лг. = /г2 —J— лг- —J— 1 точек. Установим теперь свойство F).
Пусть Lo — некоторая прямая плоскости тс, и пусть Рг P^+i —
п-\-\ точек этой прямой. Каждая из этих точек лежит на Lo и
на п других прямых. Таким способом мы получаем все прямые
плоскости тс; их, следовательно, 1 -\-(п-\- \)п = п2-\-п-\- 1. Итак,,
из свойства A) вытекают все остальные. В силу двойственности
из B) также следуют все остальные свойства. Очевидно, что иа
C) следует A), а из D) — B). Если справедливо утверждение E)
и некоторая прямая состоит из m-f-1 точек, где т — натураль-
натуральное число, то плоскость тс состоит из т2-\~т-\- 1 == лг2 —|— лг —J— 1
точек, откуда т = п, т. е. из E) следует A). Аналогично из F)
следует B).
376 Гл. 20. Теория групп и проективные плоскости
20.2. Коллинеаций и теорема Дезарга1)
Говорят, что плоскость пг изоморфна плоскости тс2, если су-
существует взаимно однозначное соответствие P1^tP2 = (P1)a между
точками {Pj} плоскости TCj и точками {Р2} плоскости тс2 и вза-
взаимно однозначное соответствие k1^tk2 — (k1)$ между прямыми
{&j} плоскости пг и прямыми {k2} плоскости тс2 такие, что из
отношения Рг£кг следует отношение (Рг) a £ (kj р. Очевидно,
что каждое из соответствий аир вполне определяет другое, и
взаимно однозначное соответствие P1'^t(P1)a точек определяет изо-
изоморфизм плоскостей, если из того, что три точки Pv Qv Rx пло-
плоскости тсЛ лежат на одной прямой, следует, что точки (Я^сс,
(QiYjoi и (R^a также лежат на одной прямой. Аналогично взаимно
однозначное соответствие р прямых определяет изоморфизм, если
любая тройка пересекающихся в одной точке прямых отображается
на тройку прямых, также пересекающихся в одной точке. Можно
было бы определить гомоморфизм плоскостей как однозначное
(но не взаимно однозначное) соответствие между точками и пря-
прямыми, сохраняющее отношение инцидентности, но для плоскостей
это не такое важное понятие, как для других объектов.
Изоморфизм а плоскости тс на себя называется коллинеацией.
Коллинеаций плоскости образуют группу.
Плоскость TCj, которую можно погрузить в трехмерное про-
пространство Ег, всегда обладает большим числом коллинеаций. Пусть
тс2— другая плоскость в пространстве Ег, и пусть L — прямая
пересечения плоскостей TCj и тс2. Выберем две произвольные точки
Рг и Р2 пространства £» не принадлежащие ни тср ни тс2. Опре-
Определим перспективную коллинеацию плоскостей TCj и тс2 с цен-
центром Р1 как отображение произвольной точки Q плоскости tcj
в точку R плоскости тс2, где R — точка пересечения плоскости ти2
с прямой PjQ, и будем записывать
Q—+R. B0.2.1)
При этом PjQ/? — прямая, Q£tuj, /?£tu2. Перспективная колли-
неация B0.2.1) определяет изоморфное отображение плоскости т:г
на тс2, так как, если Мг — прямая на плоскости wv плоскость тс3,
содержащая Мг и Pv пересекает тс2 по прямой Ж2, и потому пер-
перспективная коллинеация отображает точки прямой Мх в точки
прямой Ж2. Далее, любая точка прямой L отображается на себя,
так как L — прямая пересечения >к1 и тс2. Перспективная колли-
коллинеация плоскости тс2 на плоскость tuj с центром Р2
R-^>S B0.2.2)
2) Об используемых здесь свойствах трехмерных пространств см.
Веблен и Юнг [1], стр. 20—25.
, 20.2. Коллинеации и теорема Дезарга 37?
также является изоморфизмом тс2 Ha TCi» отображающим все точки
прямой L на себя. Последовательное применение этих двух пер-
перспективных коллинеации
Q—+ R-^S B0.2.3)
является коллинеацией а плоскости nv оставляющей на месте все
точки прямой L. Пусть далее О — точка пересечения прямой Р^2
с плоскостью тих и Т—точка пересечения РХР2 с плоскостью тс2.
Тогда
0Zl>T-^>0, B0.2.4)
т. е. РХР2ОТ—прямая, откуда (О)а = О. Далее, пусть k — не-
некоторая прямая, проходящая через точку О. Если прямая к про-
проходит через некоторую точку Q, то точка R [см. отображение
B0.2..3)] принадлежит плоскости тс4, содержащей пересекающиеся
прямые k и Р1Р2ОТ, откуда точка S в B0.2.3) также лежит
в плоскости тс4 и, следовательно, на прямой &. Таким образом,
соответствие а отображает любую прямую, проходящую через
точку О, в себя. Такая коллинеация называется перспективной
и иногда перспективой. Прямая L, все точки которой остаются
на месте под действием коллинеации а, называется осью перспек-
перспективы, а точка О называется центром перспективной коллинеации,
если любая проходящая через
нее прямая отображается на С3 В3А3 L
себя. Центр О может лежать,
а может и не лежать на пря-
прямой L. Чтобы различать эти два
случая, перспективу будем на-
называть элацией, если центр О
лежит на оси L, и гомологией,
если О не лежит на оси L.
Сущность перспективной кол-
линеации видна из рис. 9.
Пусть а — перспективная Р и с. 9. Теорема Дезарга.
коллинеация с центром О и
осью L, и пусть Аг —точка на плоскости ти, не лежащая на прямой L
и отличная от О. Тогда точка (А1)а = А2 должна находиться на
прямой OAV Теперь в нашем распоряжении О, L, Ах и Л2, при-
причем точки О, Аг, А2 лежат на одной прямой и ни одна из точек
Av A2 не лежит на прямой L и не совпадает с О. Утверждаем,
что центром О, осью L и отображением (А1)а — А2 коллинеация а
вполне определена. Действительно, пусть Вг — произвольная точка
плоскости ти, не лежащая на прямых ОАХА2 и L. Пусть АгВг
пересекает L в точке С3. Тогда (В^а лежит на прямой OBV
Кроме того, в силу коллинеарности точек Av Bv C3, точки
378
Гл. 20. Теория групп и проективные плоскости
= А2, (Вг)си и (С3)а = С3 также должны быть коллинеар^
ными. Поэтому точка (Вх)а должна лежать одновременно на пря|
мых ОВХ и С8Л2, откуда точка (В1)а=яВ2 является пересечение!!
прямых ОВХ и С3Л2. Таким образом, условием (Л1)а = Л2 обра$
произвольной точки Bv не лежащей на ОАХА2, однозначно
делен. В свою очередь условием (Вх)си*=жВ2 образы точек пря?|
мой ОАгА2 однозначно определены.
Пусть теперь Сх — точка, не лежащая ни на прямой ОА]
ни на прямой ОВХВ2, и прямая ВХСХ пересекает L в точке
а АгСх — в точке 53. Тогда точка (Сх)а = С2 определяется как
пересечение прямых А2В3 и ОСХ. Но, так как точки Вх, Сь
лежат на одной прямой, точки {В{) а = В2, (Сг) а = С2 и (Л3) а = .
также лежат на одной прямой. Выполняя описанное построение!!
мы получаем фигуру, называемую конфигурацией Дезарга. Утвер-^j
ждение о существовании этой конфигурации называется теоремо^
Дезарга. Будем говорить, что треугольники АХВХСХ и А2В2Сщ
перспективны относительно центра О, если соответствующий!
вершины лежат на прямой, проходящей через точку О, т. е. еслц|
ОАХА2, ОВХВ2 и ОСХС2 — прямые. Треугольники перспективны!
относительно оси L, если соответствующие стороны пересекаются
в точках прямой L. ■
Теорема 20.2.1. (Теорема Дезарга.) Если два треугольника]^
АХВ1СХ и А2В2С2 перспективны относительно центра О, тё%
соответствующие стороны АХВХ и А2В2, ЛХСХ и А2С2, В^
В2С2 пересекаются в точках С3, Б3 и Л3, лежащих на
мой L.
Выполнимость теоремы Дезарга на плоскости тс равносильна^
существованию всевозможных перспективных коллинеаций в
Это видно из следующей теоремы.
Теорема 20.2.2. Пусть на плоскости ти дана некоторая прщ
мая Lttточка О и две точки Av A2, отличные от О, не
щие на L и такие, что ОАХА2 — прямая. Тогда существует
не более одной перспективной коллинеаций а плоскости Щ
с центром О, осью L и такой, что (Ах)а = А2. Если пло-
плоскость тс может быть погружена в трехмерное простран-Ц
ство, то такая перспективная коллинеация существует в
ствительности.
Доказательство, Как мы видели, задание центра О, оси L «3
отображения (А1)а = А2 при условии, что точки О, Ах, А2 лежатЦ
на одной прямой, однозначно определяет перспективную колли-||
неацию а. Следовательно, существует не более одной такой кол->|
линеации. Предположим теперь, что плоскость тс можно погрузить jf
в трехмерное пространство Еъ. Выберем в пространстве Еъ пло- <*$
скость тс2, пересекающуюся с тс по прямой L, и выберем некото-
некоторую точку Рх пространства Е3, не лежащую в плоскостях тс и тг2.
20.2. Коллинеации и теорема Дезарга
379
рг
Рис. 10. Перспективность.
Соединим Рх с О. Пусть прямая РХО пересекает плоскость тс2
в точке Т (рис. 10).
Если АХРХ пересекает тс2 в точке Q, то Q и А2 лежат в пло-
плоскости тс3 прямых ОРХ и ОАХА2. тс3 — плоскость рисунка. Поэтому
A2Q пересекает ОРХ в точке Р2. Р2 не лежит в плоскости тс2, так
как в противном случае она совпадала бы с Г и точка А2 совпа-
совпадала бы с точкой X пересечения прямых ОАХА2 и L, что проти-
противоречит тому, что, по предполо-
предположению, точка А2 не принадлежит
прямой L. Аналогично, так как
точки А2 и О различны, точка Р2
не лежит в плоскости тс1# Как мы
теперь видим, прямая L является
осью, а точка О — центром пер-
перспективной коллинеации а
Рх Р»
тс —^ тс2 —^ тс,
Р р ^ ^2
причем Ах—1~>Q—2">A2. Поэтому
Л2 = (Л1)а, и искомая коллинеа-
ция действительно существует.
Теорема 20.2.3. Теорема Дезарга справедлива в плоскости тс
тогда и только тогда, когда в плоскости тс все возможные
перспективные коллинеации существуют.
Следствие 20.2.1. Теорема Дезарга справедлива в любой
плоскости тс, которую можно погрузить в проективное трех-
трехмерное пространство.
Доказательство. Если докажем теорему, то следствие будет
вытекать из предыдущей теоремы. Поэтому докажем лишь эту
теорему.
Предположим сначала, что все возможные перспективные кол-
коллинеации плоскости тс существуют. Рассмотрим два таких тре-
треугольника АХВХСХ и А2В2С2, что три прямые АХА2, ВХВ2 и СХС2
пересекаются в точке О (см. рис. 9). Пусть прямые АХВХ и А2В2
пересекаются в точке С3, а прямые АХСХ и Л2С2 — в точке Б3.
Прямую, соединяющую точки Б3 и С3, обозначим через L. Тогда,
по нашему предположению, существует перспективная коллинеа-
ция а с центром О, осью L и такая, что (Ах)а=А2. Тогда по
построению (Вх)а = В2 и (Сх)а = С2. Пусть прямая ВХСХ пересе-
пересекается с L в точке Л3. Тогда точки (Вх) а = Б2, (Сх) а = С2 и
(Л3)а= Л3 лежат на одной прямой, откуда Л3, точка пересечения
прямых ВХСХ и Б2С2, лежит на прямой L, как и точки Б3, С3.
Этим справедливость теоремы Дезарга установлена.
Обратно, предположим теперь, что теорема Деаарга имеет
место в плоскости тс. Пусть L — прямая, О, Av A2 — различные
380 Гл. 20. Теория групп и проективные плоскости *
. _ _ ^
точки одной прямой, причем точки Аг и А2 не лежат на прямой L 2
(хотя L может проходить через О). Определим отображение а]
точек плоскости тс и покажем, что это коллинеация. При этом^
будем обращаться к рис. 9, иллюстрирующему теорему Дезарга. 1
Для любой точки X прямой L полагаем (Х)а = Х; кроме того, \
пусть (О) а —О и (А1)а — А2. Если точка Вг не лежит на пря- )
мых L и OAXAV то пусть прямая АгВг пересекает L в точке С3. '
Если Л2С3 пересекает ОВХ в точке В2, то полагаем (Вг)а — В2.
Этим определяется отображение а для всех точек плоскости тс, ч
кроме точек прямой ОАХА2. Далее, если А1С1 пересекает L
в точке £3 и если ^2^з пересекает ОСг в точке С2, то полагаем
С2 = (С1)а. Если ОЛ15 ОВХ и ОСХ — различные прямые, то тре- ,
угольники АгВгСг и А2В2С2 перспективны относительно центра О,
и, согласно теореме Дезарга, соответствующие стороны пересе-
пересекаются в точках одной прямой. Но точки С3 и Въ принадлежат
прямой L, откуда прямые ВгСг и В2С2 пересекаются в точке Л3 J
прямой L. Если бы мы исходили из отображения (Вг) р = В2, то
мы бы определили точку (СХ)Р как пересечение прямых В2АЪ и
OCV Но это точка С2, и, следовательно, мы получаем равенства
(С1)а = (С1)ф=С2 как вывод или из условия (Л1)а = Л2, или из
условия (Вг)$ — В2. Таким образом, отображения аир совпадают
на всех таких прямых ОСгС2, для которых они определены. Но
отображение а определено на всех прямых ОВХВ2, ар — на всех
прямых ОАХА2. Таким образом, отображение а определено для
всех точек плоскости тс.
Снова обращаемся к рис. 9. Пусть (A^cl=A2, k — произ-
произвольная прямая, не проходящая ни через О, ни через Аг. Пусть k
пересекает L в точке Л3, и пусть Вг, Сх — две другие точки пря-
прямой k. Пусть также {В^)а = В2, {С^)а = С2 и (Л3)а=Л3. Тогда,
применяя теорему Дезарга к треугольникам А1В1С1 и А2В2С2, мы
получаем, что точки В2, С2 и Л3 лежат на одной прямой. Это
обстоятельство говорит нам о том, что отображение а переводит
точки Сх прямой k = АгВг в точки прямой АЪВ2, за исключением,
возможно, случая, когда Сг — точка пересечения прямых АгВг и
ОАгА2. Но если C1 — Dl — пересечение прямых ВХАЪ и ОАХА2,
то из равенств (Вг) а = (Вх) ф = В2 мы определяем образ (Dx) p = D2
как пересечение D2 прямых АЪВ2 и ОАгА2. Следовательно, ото-
отображение а переводит все точки прямой k в точки прямой АгВ2.
Понятно, что оно переводит прямую L в себя так же, как и пря-
прямые, проходящие через точку О. Поэтому отображение а является
искомой коллинеацией.
На самом деле мы доказали несколько более точный резуль-
результат, чем теорема 20.2.3. Сформулируем его как теорему.
Теорема 20.2.4. Плоскость тс обладает всеми возможными
перспективными коллинеациями с данным центром О и дан-
20.3. Введение координат
381
ной осью L тогда и только тогда, когда справедлива теорема
Дезарга для всех треугольников, перспективных относительно
точки О и таких, что две пары соответствующих сторон
пересекаются на прямой L {отсюда следует, что и точка
пересечения третьей пары соответствующих сторон нахо-
находится на прямой L).
Не всякая плоскость ти может быть погружена в трехмерное
пространство, а также возможны случаи, когда теорема 20.2.4
применима только для некоторого ограниченного числа осей L и
центров О.
20.3. Введение координат
Пусть тс— произвольная проективная плоскость; X, У, О, / —
четыре точки, никакие три из которых не лежат на одной прямой.
Назовем прямую XY беско-
бесконечно удаленной прямой Ь^*
а прямую 01— прямой у = х.
На прямой 01 приписываем
координаты @, 0) точке О,
A, 1) точке / и единствен-
единственную координату A) точке С
пересечения прямых 01 и XY.
Другим точкам прямой 01 при-
писываем координаты {b, b)t
где Ь — символы, различные
для различных точек. Пусть
теперь Р—-точка, не принадле-
принадлежащая прямой Loo, и пусть ХР
01 b
О(о,о)
Рис. 11. Введение координат.
пересекает 01 в точке (ft, b)t
a YP — в точке (я, а). Тогда
приписываем точке Р коорди-
координаты {а, Ь). По этому правилу точкам прямой 01 приписываются
прежние координаты. Пусть прямая, соединяющая точки @, 0)
и A, т), пересекает L в некоторой точке М. Припишем точке М
единственную координату (т), которую можно представлять себе
как характеризующую наклон. Итак, мы приписали координаты
каждой точке плоскости, кроме точки К. Ей мы приписываем
в качестве координаты символ (сю).
Воспользуемся прямыми, отмеченными на рис. 11, для опреде-
определения алгебраических операций на системе координат. Эта алге-
алгебраическая система будет так называемым тернарным кольцом,
и для любой прямой плоскости тс, кроме L^ получим уравнение,
выражаемое в терминах операций этого тернарного кольца. Если
(х, у) — конечная точка прямой О/, то х = у, и поэтому равен-
382
Гл. 20. Теория групп и проективные плоскости
ство у = х мы считаем уравнением прямой 01. Прямая, прохо-1
дящая через точку Y и отличная от Loo» имеет то свойство, чтО|
все ее конечные точки (х, у) имеют одну и ту же координату хм
скажем х = с\ это равенство будем считать уравнением этойЦ
прямой.
Если (х, у)—конечная точка прямой, соединяющей точки С=A)|
и (О, Ь), то мы определяем бинарную операцию сложения, полага
B0.3.1
Будем называть равенство B0.3.1) уравнением этой прямой.
(х, у) — конечная точка прямой, соединяющей О@, 0) и (/»),'
определим бинарную операцию умножения, полагая
у = хт, B0.3.2);,
и рассмотрим это равенство как уравнение последней прямой./j
В общем случае произвольная прямая, не проходящая через точку Y*
пересекает Loo в некоторой точке (т) и OY — в некоторой точке*;!
@,- Ь). Если Q = (x, у) — произвольная точка этой прямой, то мы|
определяем тернарную операцию
у = х • т о Ь.
B0.3.3I
Это равенство принимаем за уравнение этой прямой. Сложение и i
умножение, введенные выше, являются частными" случаями тернар-3
ной операции, и мы видим, что
B0.3.4I
B0.3.5),
хт = х • то 0.
Элементы 0 и 1 обладают известными свойствами:
От = тО = 0,
\т — т\ =т.
Плоскость тс можно представить как тернарное кольцо /?, тер-
тернарная операция которого обладает определенными свойствами, и
обратно, тернарное кольцо с такими же свойствами однозначно
определяет плоскость. Сформулируем этот факт как основную
теорему о тернарных кольцах.
Теорема 20.3.1. Произвольный выбор четырех точек X, К,
О, /, никакие три из которых не лежат на одной прямой
плоскости тс, определяет тернарное кольцо R. Среди элемен-
элементов этого кольца есть нуль 0 и единица 1 Ф 0. Тернарная
операция х * mob удовлетворяет следующим требованиям:
20.3. Введение координат 383
II. О • щос = а • Оос = с.
Т2. 1 • moO=zm- I oO = m.
ТЗ. При заданных а, гп, с существует точно только один
такой элемент z, что а • т о z = с.
Т4. Если mlf т2(т1фт2I bv b2— данные элементы, то
существует такой единственный элемент х, что
х • тх о Ъх = х • т2 о Ь2.
Т5. Если заданы элементы av а2(а1фа2I cv с2, то суще-
существует такая единственная пара элементов т, Ь, что
ах • т о Ъ = сх и а2 • т о b =*= с2.
Доказательство. Выбрав четыре точки X, К, О, /, никакие
три из которых не лежат на одной прямой плоскости it, мы обра-
образуем тернарное кольцо с операцией х - mob так, как это дела-
делалось Jbime. Свойства Т1 и Т2 немедленно следуют из определе-
определения. Свойство ТЗ означает, что прямая, соединяющая точки (т)
и (а, с), пересекает OY во вполне определенной точке @, z).
Смысл требования Т4 заключается в том, что две прямые у =
= х • mxobx и y = x-m2ob2 с различными направлениями тх
и т2 пересекаются в одной-единственной конечной точке. Требо-
Требование Т5 говорит о том, что если (av сг) и (а2, с2) — две конеч-
конечные точки при аг Ф а2, то существует одна-единственная прямая
у=^х • то Ь, проходящая через эти две точки.
Обратно, пусть R — тернарное кольцо со свойствами Т1—Т5.
Образуем конечные точки (а, Ь) и бесконечные точки (т) и (оо),
где a, b, m — все возможные элементы кольца R. Прямую Loo
определяем как множество всех бесконечных точек (ти), (оо) и
никаких других. Все точки (с, у) при фиксированном с и точка (оо)
образуют прямую х = с. Точка (/и) и такие точки (х, у), что
у = х • т о Ь при фиксированных элементах т и Ь, образуют пря-
прямую у = х • т о Ь. Проверка того, что полученная система точек
и прямых составляет проективную плоскость, требует рассмотре-
рассмотрения нескольких случаев, но конечным следствием аксиом рассма-
рассматриваемого кольца, как нетрудно заметить, является то, что две
различные точки лежат на одной-единственной прямой, а две раз-
различные прямые пересекаются в одной-единственной точке. Кроме
того, четыре точки (со), @), @, 0) и A, 1) таковы, что никакие
три из них не лежат на одной прямой. Так как проверки этих
утверждений аналогичны, мы сделаем только одну из них. Рас-
Рассмотрим две различные прямые у = х-/»о^ и у = х - mob2. Обе
они содержат единственную бесконечную точку (т). Если бы они
содержали также общую конечную точку (а, с), то мы бы имели
а - mobx = c = а • т<>Ь2, что противоречит аксиоме ТЗ, так как
h Ф Ь2.
384 Гл. 20. Теория групп и проективные плоскости
20.4. Системы Веблена — Веддербарна.
Системы Холла
Исследуем свойства плоскостей с определенными группами,4]
коллинеаций и свяжем эти свойства с тернарными кольцами, опре-\
деляющими координаты.
Лемма 20.4.1. Коллинеация проективной плоскостип,
вляющая на месте каждую из точек двух различных прямых,
является тождественной коллинеацией.
Доказательство. Пусть коллинеация а оставляет на месте все
точки прямых Lx и L2, пересекающихся в точке Q. Пусть Р—про-
Р—произвольная точка плоскости тс, не лежащая ни на Lv ни на L2.
Выберем на прямой Lx две точки R и S, отличные от Q. Пусть
прямая PR пересекает L2 в точке Г, а прямая PS пересекает L2 \
в точке U. Тогда /?, S, Г, U остаются на месте при коллинеа- "
ции а, и, следовательно, прямые RT и SU инвариантны относи-
относительно коллинеаций а. Поэтому точка их пересечения Р под
действием а также остается на месте. Значит, не только точки
прямых Lx и L2, но и произвольная, точка Р, не лежащая на Lx
и L2, остается на месте при а. Поэтому а — тождественная колли-
коллинеация.
Лемма 20.4.2. Коллинеация проективной плоскости, инду-
индуцирующая тождество на некоторой прямой и оставляющая
на месте две точки, не лежащие на ней, — тождественная
коллинеация.
Доказательство. Пусть а — коллинеация, оставляющая на
месте точки прямой L и две точки Рх и Р2, не лежащие на L.
Пусть Р — произвольная точка плоскости, не принадлежащая ни
прямой L, ни прямой РгР2. Пусть РгР пересекает L в точке Qu
а Р2Р пересекает L в точке Q2. Так как точка Р не лежит на J
прямых РгР2 и L, прямые PXPQX и P2PQ2 различны. Так как |
Pv Qv P2, Q2 — различные точки, оставляемые на месте колли-
коллинеацией а, прямые PXQX и P2Q2 при действии а отображаются на
себя, значит, их пересечение Р при а также остается на месте.
Поэтому а действует тождественно в каждой точке прямой L
и в каждой точке, находящейся вне прямой РгР2. Следовательно,
а отображает в себя точки прямой L и некоторой другой прямой,
скажем PXQV проходящей через Pv но отличной от РгР2. При-
Применяя лемму 20.4.1, получаем, что а — тождественная коллинеация.
Таким образом, коллинеация, индуцирующая тождество на
некоторой прямой, может оставлять неподвижной не более одной
точки вне этой прямой.
Теорема 20.4.1. Пусть а — коллинеация плоскости, оста-
оставляющая на месте некоторую прямую L и все точки на L.
Тогда существует такая точка С, что а оставляет на месте
.^ 20А. Системы Веблена — Веддербарна Системы Холла 385
точку С и любую прямую, проходящую через С. Если колли-
коллинеация а не тождественна, то она не оставляет на месте
ни одной точки и прямой, кроме указанных. Двойственное
предложение-, если некоторая коллинеация а оставляет на
месте некоторую точку С и все прямые, проходящие через
нее, то существует такая прямая L, что а оставляет на
месте все точки прямой L. Если при этом а — нетождест-
нетождественная коллинеация, то она не оставляет на месте никаких
других точек и прямых.
Доказательство. Пусть а Ф 1 — коллинеация плоскости тс,
оставляющая на месте каждую точку прямой L. Тогда, согласно
лемме 20.4.2, а оставляет на месте не более одной точки, не
лежащей на прямой L. Предположим сначала, что а оставляет на
месте одну точку С вне прямой L. Тогда произвольная прямая,
проходящая через С, пересекает L в некоторой точке Q, отличной
от С, и, так как точки С и Q остаются неподвижными при а,
прямая CQ отображается при а в себя. Поэтому любая прямая,
проходящая через С, отображается на себя коллинеацией а.
Если бы существовала прямая L2, инвариантная относительно а
и отличная otL и прямых, проходящих через точку С, то любая точка
прямой L2 как пересечение L2 и некоторой прямой, проходящей через
точку С, оставалась бы неподвижной при а, и тогда в силу леммы 20.4.1
коллинеация а была бы тождественной. Аналогично в силу леммы 20.4.2
не существует других точек, инвариантных относительно а.
Предположим теперь, что а оставляет неподвижными только
точки прямой L. Пусть Р — точка вне прямой L. Тогда точка Ра,
образ точки Р при а, отлична от Р и находится вне прямой L.
Поэтому прямая М = РРа пересекает L в точке С, отличной как
от Р, так и от Pol. Следовательно, М = РСп Mol = РаСа = РаС.
Но точки Р, Ра, С лежат на одной прямой, и поэтому М = Ма.
Таким образом, любая точка Р, находящаяся вне L, лежит на
некоторой инвариантной относительно а прямой М. Кроме того,
такая точка Р не может находиться на двух различных непод-
неподвижных прямых, так как тогда она сама была бы инвариантной
относительно а. Если теперь М = PC — одна неподвижная отно-
относительно а прямая, рассмотрим некоторую точку Q вне прямых L
и М. Точка fy также принадлежит одной вполне определенной
прямой N, инвариантной относительно а. Поэтому пересечение
прямых М и N — неподвижная точка, а, по предположению, все не-
неподвижные точки лежат на прямой L. Следовательно, точка пере-
пересечения С прямых М п N принадлежит прямой L. Тогда каждая
неподвижная относительно а прямая проходит через точку С.
Произвольная прямая /С, проходящая через С и отличная от L,
содержит точку, скажем, R вне прямой L. С другой стороны,
R лежит на некоторой неподвижной относительно а прямой,
25 М. Холл
386 Гл. 20. Теория групп и проективные плоскости
проходящей через точку С, и, следовательно, эта неподвижная прямая >|
совпадает с /?С = /С. Таким образом, любая прямая, проходящая
через точку С, при отображении а остается неподвижной. Если бы
при этом опять-таки существовали неподвижные элементы, отлич-
отличные от прямой L, ее точек, точки С и проходящих через нее:;
прямых, то в силу лемм 20.4.1 и 20.4.2 коллинеация а была бы
тождественной. Остальные утверждения теоремы справедливы!
в силу принципа двойственности.
Коллинеации, о которых шла речь в этой теореме,—это
перспективные коллинеации, рассмотренные в § 20.2. Они назы-
называются иногда центральными коллинеацаями. Если хотят под-
подчеркнуть, что коллинеация имеет центр С и ось L, то говорят
о C-L коллинесщии. Очевидно, что все коллинеации с центром С
и осью L образуют группу. Как и в § 20.2, мы называем колли-
неацию элацией, если центр С лежит на оси L, и гомологией,
если центр С не лежит на L. \
Лемма 20.4.3. Центральная коллинеация а полностью опре-
определяется ее центром С, осью L 'и парой соответственных 1
точек Р и Ра, причем точка Р лежит вне L и отлична от С, \
а точки Р, Ра и С должны лежать на одной прямой. <
Доказательство. Если бы существовали две коллинеации ах \
и а2 с центром С, осью L и такие, что Ра1 = Ра2, то коллинеа-
ция а^1 оставляла бы неподвижными точки прямой L, центр С 'J,
и точку Р, откуда, согласно теореме 20.4.1, ^а = 1, т. е. а1 = а2.
Лемма доказана.
Теорема 20.4.2. Произведение двух элаций с общей осью L,
но различными центрами С1 и С2 является элацией с осью L
и центром С3, отличным как от Cv так и от С2.
Доказательство. Пусть ах — элация, имеющая центр Сх на
оси Z,, а а2 — элация, имеющая центр С2 Ф Сг также на оси L. Тогда
ага2 — коллинеация, оставляющая неподвижными все точки пря-
прямой L. По теореме 20.4.1 а1а2 = а3 — центральная коллинеа-
коллинеация с осью L. Чтобы убедиться в том, что а3 — элация, мы должны
показать, что а3 не оставляет на месте ни одной точки плоскости,
лежащей вне L. Если Ра3 = Р, где Р — точка, лежащая
вне /,, то PcXj = Ах*1, причем точки Cv P, Рах лежат
на одной прямой, так \ же как и точки С2, Р, Рос'1. Но в силу
равенства Ра1 = Ра~1 эти две прямые совпадают, значит, и их
пересечения с прямой L совпадают, т. е. С1 — С2, а это противо-
речит условию. Следовательно» коллинеация а3 = аха2 оставляет
неподвижными только точки прямой L, значит, это элация, центр
которой С3 лежит на оси L. Если бы С3 = Сг, то элация
а2 = а~1а3 имела бы центр Cv что противоречит условию. По-
Поэтому СЪФ Cv и аналогично С3 ф С2.
20.4. Системы Веблена — Веддербарна. Системы Холла 387
. j ____ ___ _ ______ .
Рассмотрим группу 0 = 0 (С, L) C-L центральных коллинеа-
ций. Если РфС и P(fcL, тодля любого a£G точки С, Р* Pol
лежат на одной прямой. Если для любой точки Q прямой СР
при ($ФС, Q(^L, существует такой элемент a£G, что Pa = Q,
то мы говорим, что плоскость ти C-L транзитивна. Это озна-
означает, что все возможные C-L коллинеации действительно суще-
существуют. Утверждение, что плоскость ти C-L транзитивна, означает
также, что для некоторой прямой Ж, отличной от L и проходя-
проходящей через С, C-L коллинеации переставляют транзитивно все
точки прямой Ж, кроме точки С и точки пересечения прямых М
и L. Это утверждение справедливо для произвольной прямой М,
отличной от L и содержащей точку С.
Согласно теореме 20.4.2, все элации, имеющие общую ось L,
образуют группу G(L), называемую группой трансляций с осью L.
Теорема 20.4.3. (Бэр [10].) Если для двух различных цен-
центров Сг и С2 на оси L группы элаций G(CV L) и G(C2,L) не
являются единичными, то полная группа трансляций G(L) абе-
лева. Кроме того, все отличные от единичного, элементы
группы G(L) имеют или A) бесконечный порядок, или B) один
и тот же простой порядок р.
Доказательство. Пусть ах и а2 — элементы, отличные от
единичных, из групп G(CV L) и G(C2, L) соответственно.
Пусть Р — произвольная точка вне прямой L. Тогда в нашем
распоряжении следующие прямые:
Lx: СхРРаь L2: С2РЯа2,
Lxol2 : СхРа2Р (а^), L2olx : C2PolxP (a2ax)!).
Точки С2, Рах и (Рах) а2 = Р (аха2) лежат на одной прямой, и точки
Cv Pol2, (Pa2) ax = P (a2ax) также лежат на одной прямой. Следо-
Следовательно, пересечением различных прямых С2Рах и С^Ра2 является
точка PCa^), а также точка" P(a2a1). Отсюда Р (ага2) ^= Р (а2аг)
для произвольной точки P(j^L. Поэтому a1a2 = a2a1, т. е. произ-
произвольный элемент olx^G{Cv L) перестановочен с любым элемен-
элементом а2 каждой группы G (C2, L) при С2 Ф Сг. Пусть EХ Ф 1 — дру-
другой элемент группы G(CV L). Тогда Р^--- элация, имеющая
центр С3 Ф Сь С2. Поэтому элемент аг перестановочен с элемен-
элементом Pja2, а так как элемент аг перестановочен с а2, то ах пере-
перестановочен с Pj. Итак, любой элемент &\ф\ группы G(CV L) пере-
перестановочен с любым элементом группы G (L). Поэтому G (L) — абе-
лева группа. Как показывают примеры, группа G(CV L) может и
1) Здесь Рсиь Ра2, Р (аха2), Р (а2ах) — образы ТОЧКИ.Р при аи а2, a:a2t a2ax
ветственно. — Прим. ред.
соответственно. — Прим. ре*
25:
388 Гл. 20. Теория групп и проективные плоскости
не быть абелевой, если любая другая группа G(Cit L) является
единичной группой при Ct £ L.
Если порядок каждого элемента группы G(L) бесконечен,
имеем случай A). Если же группа G (L) содержит элементы конеч-
конечного порядка, то существует элемент простого порядка, скажем
аг £ G (Cv L), of = 1. Теперь при а2 Ф 1 £ G (С2, L), С2 ф Cv имеем
аха2 = а3 £ G (С3, L), C3 =£ Cv C2. Тогда элемент (а^у* = а£ = а^
принадлежит группам G(C2, L) и G(C3, L), а значит, равен еди-
единице. Поэтому а£=1. Аналогично из а£=1 следует равенство
рр= 1 для любого рх£ G(CV L). Итак, любой элемент группы G(L),
кроме единицы, в этом случае имеет порядок р.
Теорема 20.4.4. Если плоскость ти Сг-Ь транзитивна и C2-L
транзитивна, гдеСг Ф С2 — центры на оси L, то плоскость ти C-L
транзитивна при любом центре C£L.
Доказательство. Выберем прямую М Ф L, проходящую через
точку СфСь С2. Пусть Р и Q — две произвольные точки этой
прямой, отличные от С. Пусть прямые РСг и QC2 пересекаются
в точке S. Выбираем теперь такой элемент аг £ G (Cv L), что
Pa<1 = S, и такой элемент a2£G(C2, L), 4ToSa2 = Q. В силу Сг-Ь
и C2-L транзитивности такие аг и а2 существуют. Тогда ага2 = а3 —
элация, имеющая ось L и такая, что точки Я, Pa3 = Q и С лежат
на одной прямой. Следовательно,
a3£G(C, L) и плоскость те C-L
транзитивна.
Следствие 20.4.1. Если пло-
плоскость тс Cj-L и C2-L транзи-
транзитивна, причем СхфС2 — точки
на L, то группа G (L) содержит
все возможные элации, центры
которых лежат на оси L.
Если плоскость тс C-L транзи-
транзитивна при любом центре С £ Z,, то тс
называется плоскостью трансля-
трансляций относительно оси L.
Каков смысл элаций в терми-
Р и с. 12. Теорема линейности. нах свойств тернарного кольца,
определяющего систему координат
плоскости тс? Рассмотрим сначала случай, когда плоскость тс C-L
транзитивна при любом выборе точки С на оси L. Выберем
ось L в качестве прямой Loo, а центр С — в качестве точки
К = (оо).
Теорема 20.4.5. Плоскость Y-L^ транзитивна тогда и
только тогда, когда для соответствующего тернарного
кольца /?, определяющего систему координат, имеем
^ 20А. Системы Веблена — Веддербарна, Системы Холла 389
1) а • то Ъ = am 4-ft,
2) по сложению тернарное кольцо R образует группу.
Доказательство. Предположим, что плоскость тс Y-L^ тран-
зитивна. Выберем YQV (см. рис. 12) в качестве прямой х = О,
V = @, 0), Q = @, ft), Х=@), 71=A), iW = (m). При этом пря-
прямая MQ задается уравнением у = х • т о Ь. Выбираем точку
Я = (а, a-mob) на прямой MQ. Тогда VM — прямая у = хт,
TQ — прямая у = х-\-Ь, а прямая YP определяется равенством х = а.
В таком случае точка U пересечения прямых YP и VM имеет
координаты U = (at am). Проводим прямую UX, заданную уравне-
уравнением у —am. UX пересекает прямую VT, определяемую равен-
равенством у = х, в точке W = (am, am). Тогда прямая YW с уравне-
уравнением х = am пересекает прямую QT с уравнением у = х -\- b в точке
Л = (ш, ат-\-Ь). Если теперь верно, что. точки Я, /?, X
лежат на одной прямой, то из того, что у = ат-{-Ь — уравнение
прямой RX, и из того, что Я = (а, a-mob), мы получаем
а • то Ь = ат-\~Ь. Следовательно, мы должны теперь показать, что
точки Я, /?, X лежат на одной прямой. По условию плоскость тс
K-Lqo транзитивна. Пусть р — K-Lqo коллинеация, оставляющая
неподвижными все точки прямой L^, все прямые, проходящие
через точку К, и действующая на прямой аг = О, проходящей через
точку К, так что Vp = Q, т. е. @, 0)^ = @, Ь). Тогда р оста-
оставляет неподвижными прямые YPU (х = а), К/?№ (л: = am).
Более того, (УМ) р = QM, (FT) p = QT. Поэтому U$ = P, W$ = /?
и, конечно, Хр = X Но точки G, VT, X лежат на прямой у = am.
Следовательно, точки t/p, U^p, Хр, т. е. точки Я, ^, X лежат на
прямой у = хт-\~Ь. Отсюда Я—это точка (a, am~\-b) и
а • то b — am~\~b. Этим первая часть теоремы доказана.
Каково действие коллинеации *р, определяемой равенством
@, 0)Р = @, &), на произвольную точку (а, с)? Это нетрудно вы-
выяснить из следующих соотношений:
у = л; -> у =
(с, с)->(с,
у = С-> у — С-\-Ь,
х = а-> х = а,
(a, c)->(a, c+ft).
Итак, если @, 0)Р = @, ft), то
Если теперь 8—Y-Loo коллинеация, определяемая равенством
@, 0)8 = @, d)t
390
Гл. 20. Теория групп и проективные плоскости
то находим, что
(и, v)b=:(u, v + d).
Для произведения C8 вычисляем
@, О)(Р8)=[(О. O)PJ8 = (O. ft)8 = @. b+d).
Следовательно, в общем случае (а, с)($Ъ) = [а, c-\-(b-\-d)\. Но
[(а, с)Р] Ъ = (а, с-\-Ь)Ь = [a, {c-\-b)-\-d\. Поэтому сложение
подчиняется ассоциативному закону
Поскольку сложение на плоскости всегда обладает нулем и
удовлетворяет аксиомам лупы, отсюда следует, что сложение под-
подчиняется аксиомам группы. Этим доказано свойство B).
Обратно, предположим, что тернарное кольцо R плоскости тс
удовлетворяет требованиям:
1) а • mob = am-\-b,
2) по сложению тернарное кольцо является группой.
Для произвольного b £ R определяем отображение C == р (Ь)
для точек:
(оо)-»(оо).
(а,
, с-\-Ь)
и для прямых:
х = а—> х = а,
у = хт ~{-t-s>y = xm + (t -f- b).
Это коллинеация, так как если точка (а, с) лежит на прямой
у = xm-\~tt то c = am-\-t; откуда
т. е. точка (а, с + ft) лежит на прямой у = xm -4-(^-(~ft). Легко
проверить, что остальные определяющие свойства коллинеации
имеют место для отображения р. Но это Y-L^ коллинеация,
отображающая @, 0) в @, ft), причем элемент ft выбран произ-
произвольно. Следовательно, плоскость тс Y-Loo транзитивна.
Докажем соответствующую теорему для плоскостей трансля-
трансляций.
Теорема 20.4.6. Плоскость % является плоскостью тран-
трансляций относительно прямой L^ тогда и только тогда,
когда соответствующее тернарное кольцо образует систему
Веб лена — Беддербарна. Это означает следующее:
^ 20.4. Системы Веблена — Веддербарна Системы Холла 391
1) по сложению это тернарное кольцо — абёлева группа,
2) по умножению отличные от нуля элементы образуют
лупу,
3) (a-\-b)m — am-\-bm,
4) если гфэ, уравнение xr = xs-\-t имеет единственное
решение х,
5) а • т o^ = aw + ft.
Доказательство. По теореме 20.4.4 плоскость тс является
плоскостью трансляций относительно оси Loo, если она K-Loo тран-
зитивна и X-Lqq транзитивна. Как нам уже известно из теоремы
20.4.5, а • mob = am-\-b, а по сложению тернарное кольцо обра-
образует группу. При доказательстве теоремы 20.4.5 мы показали
существование элации CF) для любого b£R, отображающего
произвольную точку (а, с) в точку (а, с-\-Ь). Согласно теореме
20.4.$, полная группа трансляций абелева, откуда
и поэтому (а, c-\-b-\-d) = {a, c+d + #), откуда b-\-d = d-]-b,
т. е. сложение в кольце R абелево, и свойство A) установлено.
Пусть b — произвольный элемент из /?. Рассмотрим элацию
с центром X, отображающую @, 0) в (Ь, 0). Тогда последова-
последовательно находим:
@, 0)-^(»,0),
у = ат->у = am,
(a, am)->(a-\-b, am).
Далее, так как @, 0)->F,170), то
у = хт ->у — хт — Ьт.
Но теперь, поскольку точка (a, am) лежит на прямой у=хт,
точка (a+fr, am) лежит на прямой у = хт — Ьт, откуда
ат = (а-]-Ь)т — Ьт,
т. е. am-\-bm = (a-\-b)m. Этим доказано дистрибутивное свой-
свойство C).
Плоскость по умножению — всегда лупа, а свойство D) озна-
означает, что при г Ф s прямые у = хг и y = xs-\-t пересекаются
в одной-единственной конечной точке.
392 Гл. 20. Теория групп и проективные плоскости
Система элементов с бинарными операциями сложения и ум-
умножения, подчиненными требованиям A), B), C) и D), называется
системой Веблена — Веддербарна, так как впервые была рассмотрена
в работе [1] этих авторов.
Докажем обратное утверждение, что любая система Веблена —-
Веддербарна R может служить системой координат плоскости
трансляций с осью L^. В качестве точек выбираем A) конечные
точки (а, Ь), где а и b— произвольные элементы из R, B) бес-
бесконечные точки (т), где m(~R, и C) точку К = (оо). В качестве
прямых выбираем A) L^, состоящую из точек (пг) и (оо), B) пря-
прямые х = с, содержащие точку (оо) и все точки вида (с, d), и C)
прямые у = xm-\-b, содержащие точки (пг) и все точки вида
(a, am-^-b), где a£R. Теперь непосредственно проверяется, что
существует одна-единственная прямая, соединяющая две любые
различные точки, существует одна-единственная точка, лежащая
на двух различных прямых, и что никакие три из четырех точек
(О, 0), A, 1), (оо) и @) не лежат на одной прямой. Эта проверка
состоит в рассмотрении нескольких случаев, причем условие D)
йам необходимо, чтобы показать, что прямые у = хг-\-Ьиу~
= xs-{-c при гфэ пересекаются в одной конечной точке. *}
Для плоскости Веблена — Веддербарна легко проверить, что
отображение (х, у)->(х-{-г, у + s) для конечных точек является
коллинеацией при любых г и s, оставляющей на месте все точки
прямой Loo, а для конечных прямых оно определяет следующее
отображение: х = с->х = г-{-с, y — xm-]~b-+y — xm— rm-\-
-\-s-\-b. Если s — rt, то эта коллинеация является элацией с осью
Loo и центром (t). Следовательно, плоскость Веблена — Веддербарна
есть плоскость трансляций относительно оси Loo.
Произвольное тело является, конечно, системой Веблена — Вед-
Веддербарна, даже если не требовать, чтобы оно было ассоциативным.
Система Веблена — Веддербарна, в которой умножение ассоциативно,
называется почта-полем. Оно будет рассмотрено позднее. Сле-
Следует отметить, что неизоморфные системы Веблена — Веддербарна
могут быть системами координат одной и той же проективной
плоскости. Это будет показано в § 20.9. Действительно, если
изменить выбор точек X и Y на прямой Loo, Для которой тс—
плоскость трансляций, то соответствующее тернарное кольцо
снова будет в силу теоремы 20.4.6 системой Веблена — Веддербарна,
но не все такие системы должны быть изоморфными. .
Легко построить класс систем Веблена — Веддербарна, известных
как системы Холла [2]. Рассмотрим такое поле F, что сущест-
существует полином х2 — rx — s, неприводимый над полем F. Тогда мы
можем построить систему Веблена — Веддербарна J над полем F.
Теорема 20.4.7. Пусть F — поле, над которым квадрат-
квадратный полином f(x) = x2 — rx — 5 неприводим. Тогда множество
-^ 20.4. Системы Веблена — Веддербарна. Системы Холла 393
элементов a-\-ub, a, b£Ft составляет систему J Веблена —
Веддербарна относительно следующих операций:
2) при c£F полагаем (a-\-ub) с = ас-\-ифс),
3) для z — a-\-ub, где a, b£F, b Ф 0, и w = c -\-zdt с, d£F,
полагаем
wz — ds-\-z(c-\- dr) = ас ■+- ad r -\-ds~\-u(bc~\- bdr).
При так определенных операциях J—система Веблена —
Веддербарна, удовлетворяющая закону дистрибутивности
{х -\- у) z = xz ~\- yz. Элементы c(^F обладают свойством
сх=хс, с(ху) — (сх)у = (хс)у. Кроме того, любой элемент
z(£F является корнем уравнения z2 — rz — 5 = 0.
Доказательство. Сложение вполне определено, причем по
сложению J — абелева группа. Умножение также вполне опреде-
определено, однако есть два существенно различных правила умножения
ху\ правило B) для у = с £ F и правило C) для y = z(j:F. Дист-
Дистрибутивный закон (х-\- у) z = xz-\-yz выполняется, так как умно-
умножение производится по правилу B),'если z£F, и по правилу C),
если z^F, но дистрибутивность имеет место в обоих этих случаях.
Заметим, что из правила C) при z^F получается равенство
z2 = rz-{~s, я при c£F получается cz = zc. Очевидно, что сх ==
= хс при с, x£F. Единица 1 поля F является единицей системы J.
Чтобы убедиться в том, что система по умножению — лупа, мы
должны показать, что в соотношении xy = v любая пара элемен-
элементов х, у, v,t из которых все отличны от нулевого, однозначно
определяет третий. Элементы х и у определяют элемент v = ху
однозначно, что следует из правила B), если y£F, и из правила
C), если ytj^F, причем, если хФО, уФО, то п v Ф0, что сразу
вытекает из правила C) при b Ф 0 и s фО. При данных уФО и
vфO или правило B), или правило C) однозначно определяет
такой элемент х ф 0, что ху = v.
Положение немного усложняется, если заданы элементы х Ф 0
и vФ§. Пусть х = a-^\-ub, v = c-\~ud при а, Ь, с, d£F. Если
ad — Ьс = О, то существует один-единственный элемент /фО,
f£F, такой, что af = с и bf = dt откуда xf = v. Это и есть
единственный элемент из поля F, удовлетворяющий этому соотно-
соотношению. Предположим теперь, что ad — ЬсФО. Если бы удалось
представить у в виде у — У\-\-иу2, где yv y2Q.F, у2ф0> то мы
бы имели х = (а — Ьуху2Х)-\-у{Ьу21), xy — sby^1 -\-у(а — Ьуху2Х-\-
-\-rby2~1) и v — (c — dyxy2X)-\-y{dy2l\ Требование xy = v дает
394
Гл. 20. Теория групп и проективные плоскости
следующие соотношения:
ау2 — byx=d — rb,
су2 — dyl =sb. . ,
Так как fid— ЬсфО, эта система относительно уг и у2 имеет
единственное решение, причем у2 = (d2 — rbd — sb2) / (ad — Ьс)щЛ4
Здесь у2 Ф О, так как в силу неприводимости полинома x2 — rx — *
над полем F мы не можем получить равенство d2 — rbd.— sb2 =
при d и b из поля F, отличных от нуля. Полученные значение *
для у1 и у2 определяют такой элемент y(^F, что xy — v. Таким
образом, отличные от нуля элементы системы / образуют лупу, ^j
Чтобы показать, что при шфп уравнение хт = хп-\- v имеет
единственное решение, достаточно найти одно решение, так как <,
если бы существовало два решения хг и х2, то мы получили бьг
равенство (хг—х2) т = (хг — х2) п, противоречащее свойству лупы.
Найти же такое решение при mtn£F нетрудно. Предположим *
поэтому, что m(j^F. (Если m£F, но ti&F, то вместо уравнения
хт = xn-\-v рассматриваем уравнение хп = хт — v.) Тогда
можно выразить п и v через т. Пусть n — c£F, v = vx-\-nw2
(vvv2£F). Если х = х1-\-тх2, то находим систему уравнений
являющуюся разрешимой, так как в силу неприводимости поли-
полинома х2 — гх — ^ определитель с2 — г с—s не равен нулю. На-
Наконец, если п = а-\-тЬ, v = vl-{-mv2 и если мы положим х =
= хх-\-тх2, то —axl-\-(a2b~1 — ab~lr — b~ls-\-s) x2 = vl (I —
— b) xx -f- ax2 = v2.
При этом определитель равен —b~l [a2—ra(\—b) — s(l —bJ],
он отличен от нуля, так как b Ф 0, а полином х2—.гх — s не-
неприводим. Следовательно, одно решение существует, и уравнение
хт = xn-\-v имеет единственное решение х. Таким образом, J —
система Веблена — Веддербарна.
20.5. Муфанговы и дезарговы плоскости
В предыдущем параграфе было показано, что для произволь-
произвольной плоскости система Веблена — Веддербарна может быть выбрана
в качестве системы координат в том и только в том случае,
когда она является плоскостью трансляций по отношению к не-
некоторой прямой, обозначенной через L^. Но что можно сказать
о плоскости и о ее системе координат, если эта плоскость яв-
является плоскостью трансляций по отношению к нескольким прямым?
В этом параграфе мы дадим ответ на этот вопрос.
Л
~^ 20,5. Муфанговы и дезарговы плоскости 395
Теорема 20.5.1. Если тс—плоскость трансляций относи-
относительно двух прямых, пересекающихся в точке Q, то эта плос-
плоскость является плоскостью трансляций относительно любой
прямой пучка прямых, проходящих через точку Q.
Следствие 20.5.1. Если к — плоскость трансляций относи-
относительно трех прямых, не пересекающихся в одной точке, то
она является плоскостью трансляций относительно каждой
прямой.
Доказательство. Следствие непосредственно вытекает из тео-
теоремы, так как множество прямых, содержащее вместе с любой
парой прямых пучок с центром в точке их переселения, состоит
из всех прямых плоскости, если оно содержит три прямые, не
пересекающиеся в одной точке.
Предположим, что Ьг и L2— две прямые, пересекающиеся в точке
У, и что тс— плоскость трансляций относительно прямых Lx и L2.
Пусть £3— третья прямая, проходящая через точку У, и пусть
С — произвольная точка прямой L3, отличная от У. Пусть, далее,
RCS — произвольная прямая, содержащая точку С и пересекающая
Lj в точке R, a L2 в точке S. Тогда существует элация а,
имеющая ось Lx и центр R и отображающая S в С, a L2 в L3.
Так как плоскость тс обладает всеми элациями, осью которых
является L2, а центром — точка S, то построение, использованное
при доказательстве теоремы линейности (рис. 12), верно во все^с
случаях, когда точка S является дентром, а прямая L2 — осью.
Коллинеация а отображает все эти построения на такие же по-
построения с центром С и осью L3. Поэтому плоскость тс обладает
всевозможными элациями, имеющими центр С и ось Lz. Так как
это рассуждение справедливо для любой точки прямой L3, от"
личной от У, то, в силу следствия из теоремы 20.4.4, тс есть плос-
плоскость трансляций с осью Z,3.
Теорема 20.5.2. Плоскость тс является плоскостью тран-
трансляций для любой прямой, проходящей через точку К = (оо),
в том и только в том случае, если A) ее конечные прямые
задаются линейными уравнениями х = с и у = хт-\-Ь и B)
координаты подчиняются следующим требованиям'.
2.1) по сложению они образуют абелеву группу,
2.2) Ц
2.3) a
2.4) каждый элемент афО обладает таким обратным
элементом а~1, что аа = 1 = а~1а,
2.5) a
Доказательство. Предположим, что тс — плоскость трансля-
трансляций для любой прямой, проходящей через точку У = (оо). Среди
этих прямых находится прямая L^. Поэтому, согласно теореме
396 Гл. 20. Теория групп и проективные плоскости
20.4.6, условия линейности A) выполняются и координаты образуют
систему Веблена — Веддербарна. Значит, и условия B.1) и B.2)
выполняются. Докажем остальные три свойства.
Рассмотрим элацию, центр которой — точка К = (оо), а ось —
прямая х = 0 и которая отображает точку @) в точку (пг). При
этом все точки @, Ь) остаются неподвижными так же, как и пря-
прямые Lqo и х — с. Последовательно находим:
@)-»(«).
@, Ь)->@, Ь),
y=:b->y=xm-{-b,
х = а->х = а,
(a, b)->(a, am-\-b).
Этим определяется отображение для любой конечной точки. В част-
частности, A, t)->(\, m ~{-t) и @, 0)->@, 0), откуда y = xt->y —
= x(m-{-t). Но (a, at)->(a, am-\-at), a точка (a, at) лежит на
прямой y=.xt. Поэтому точка {a, am-\-af) лежит на прямой
y = jc(m + 0» откуда следует дистрибутивный закон B.3):
am -\-at — a(m-{-1).
Теперь рассмотрим элацию, имеющую центр @, 0), ось х = 0
и отображающую @) в точку (—1—а, 0). Для нее получаем,
что @, 1+а)->@, 1+#), откуда у=1-)-л->у = л: +
Далее,
@)->(— 1— а, 0),
@, b + ab)->@, b + ab)%
откуда y = b-\-ab~>y = xb-{~b-\~ab. Теперь имеем
у= 1-{-а->у — х-\-\-{-а,
откуда A, \-\-a)->{d, d-\-\-\-a), если а Ф 0; при этом
flf(l+a) = rf+
Далее,
(со) -> (со),
откуда х = 1 -> х = d.
Теперь получаем
у = х {b + ab) -> у = х (b + ab),
откуда A, b-±-ab)-+(d, d[b-\-ab])> где
20.5. Муфанговы и дезарговы плоскости 397
Предположим теперь, что не только а Ф О, но и (—1 —а, 0)=^=
=£@, 0), т. е. что аф— 1. Для такого элемента а существует та-
такой элемент d, что d(\ -~{-a) — d-{- 1 -\-а и d (ft -\- ab) = db +
-\-b~\-ab для произвольного b. Полагая d = u-\-\ и применяя
дистрибутивные законы, находим, что аа=\ и u(ab) = b. Не-
Непосредственно из дистрибутивных законов находим, что при а==—1
эти соотношения сохраняются, когда и = —1. Так как для и Ф 0
существует такой элемент v, что va = 1 и v(ua) = a, то находим,
что v = a. Следовательно, и — а~1, и мы получаем свойство B.4)
аа~1 = а~1а=\ и свойство B.5) a~l (ab)~b.
Обратно, предположим, что условия A) и B) для координат
плоскости т: выполняются. Согласно теореме 20.4.6, тс — плоскость
трансляций относительно прямой L^. Так как справедлива тео-
теорема 20.5.1, достаточно показать, что плоскость тс обладает кол-
лйнеацией, отображающей прямую L^ на некоторую другую пря-
прямую, проходящую через точку К = (оо). Такой коллинеацией яв-
является следующее отображение:
(оо)-»(оо),
@. ft)-»@,6).
(c.d)-*l(l-\-c-*)-\ (l+c)"V], сф0,—\.
Loo —» X = 1,
х = —1 ->Loo,
), сфО, —1,
у = хт -f- ft -» у = х (m — ft) -f- ft.
Чтобы это доказать, необходимо установить сохранение отношений
инцидентности при этом отображении и, в частности, надо дока-
доказать, что если точка (с, d) лежит на прямой у = xm-f-ft, то
образ этой точки принадлежит образу этой прямой. Доказательство
последнего факта сводится к доказательству тождества
Оно следует из условий теоремы и из следующих тождеств:
A + с)'1 (cm) = A + с-1)""*,
Докажем, следуя Бруку [1], еще одно тождество, вытекающее
из условий теоремы. Пусть
[у ''
398 Гл. 20. Теория групп и проективные плоскости
где уФ 0, уФ — 2. Умножив это равенство на y-{-z~l, полу-**
-ОЙ
чим
Значит, t=\, а элементы^ х — (у + 2 l) l и y(zy)-\-y взаимно!
обратны. Тогда для любого х имеем
-iy1] [(y(zy)) x + yx] = х.
Положим
Тогда
(У + z~l) w = (У -+-Z-1) [z (yx) + x] — y[z (ух)] — ух=
Следовательно, w = x. Сравнивая выражения для w и х, полу-
получаем тождество Муфанг [1]:
ly(zy)]x = y[z(yx)]. (М)
Это тождество, очевидно, сохраняется и для исключенных значе-
значений у — О, у = — z~l и, следовательно, верно без ограничений
для переменных. В частности, тождество Муфанг при z = 1 дает \<
левый альтернативный закон: ]
(уу)х = у(ух). (LA)
Если плоскость является плоскостью трансляций относительно
любой прямой, то она называется плоскостью Муфанг, по имени
Руфь Муфанг [1], впервые изучавшей ее.
Теорема 20.5.3. Плоскость муфангова в том. и только ,
в том случае, если любое тернарное кольцо A) линейно а B)
является альтернативным телом, т. е. обладает следующими
свойствами:
2.1) по сложению тернарное кольцо — абелева группа,
2.2) (a-\-b)m = am-\-bm,
2.4) любой элемент а Ф 0 имеет обратный а, такой, что
2.5) a
2.6) (ba)a~l = b;
кроме того, выполняются альтернативные законы:
2.7) a(ab) = (aa)b, (ba)a = b(aa).
20.5. Муфанговы и дезарговы плоскости 399
Доказательство. Из теоремы 20.5.2 получаем свойство A),
а такжесвойства B.1)—B.5). Достаточно доказать свойство B.6),
так как очевидно, что правый альтернативный закон фа) а = Ь (аа)
вытекает из B.6) точно также, как левый альтернативный закон —
из свойства B.5).
Рассмотрим элацию, осью которой служит прямая х = 0,
а центром — точка @, 0) и которая переводит точку К = (оо)
в точку @;—1). Последовательно получаем
(оо)->@, — 1),
A,0)->A,0),
откуда
(оо)->@, —1), .
(а, О)-*(а, 0);
отсюда
х = а -> у = ха~1 — 1,
х— 1 _^v — х 1
у = хA — ab)->y = x(l —ab).
Поэтому
A,1 — аЬ)->[(аЬУ\ (ab)~l — \\.
Кроме того,
0->0,
откуда
х /7_>\) ХП~1 1
И/ U/ ^ V ——- Л/ LL 1 .
у = х (а~1 — Ь) -> у = х (а~~1 — Ь),
и потому
(а, 1 — аЬ)->ф~~1> b~la~1 — 1).
Так как @)->@), мы получаем у=\—ab->y = b~la~l—1.
Сравнивая образы прямой у=\—ab, мы находим, что (ab) =
— b~la~l. Отсюда, учитывая равенство b~l = а(а~1 Ь~г)> полу«
чаем
Ь — ф) — [a(a~1b~1)]~] =(a~1b~l)~l a~l — фа)а.
Этим доказано свойство B.6).
Мы сейчас показали, что в муфанговой плоскости координат
удовлетворяют аксиомам альтернативного тела. Обратно, пусть
нам дано альтернативное тело. Строим плоскость с соответствую-
соответствующей ему системой координат. В си#у теоремы 20.5.2, получается
400 Гл. 20. Теория групп и проективные плоскости
плоскость трансляций относительно любой прямой, проходящей
через точку К = (оо). Поэтому, согласно теореме 20.5.1 и след-
следствию из нее, отсюда будет вытекать, что эта плоскость является
плоскостью трансляций относительно любой прямой, если мы
сможем указать коллинеацию, не оставляющую неподвижной
точку К = (оо). Такой коллинеацией является следующее отобра-
отображение:
(a, bO=Z(b, а),
(О)^(оо).
у = хт-{-Ь7^у = хт~1 — Ьт, т ф 0.
Этим завершается доказательство теоремы. Здесь уместно сделать
несколько замечаний.
Справедливы более сильные утверждения, чем только что дока-
доказанные, однако их доказательство требует более глубоких резуль-
результатов об альтернативных кольцах, чем те, которые здесь можно
изложить. Установлено, что плоскость трансляций относительно
двух различных прямых является плоскостью Муфанг, т. е. пло-
плоскостью трансляций относительно любой прямой. На алгебраи-
алгебраическом, языке это означает, что свойство B.6) (^а) а — Ь является
следствием предыдущих. Ни одно простое доказательство этого
факта автору не известно. Как мы видели, левый альтернативный
закон х (ху) •■= (хх) у следует из свойства B.5). Клейнфельд [2]
и Л. А. Скорняков [2] показали, что для альтернативного тела
характеристики, отличной от 2, из этого закона следует также
и правый альтернативный закон (ух) х == у (хх). Это вообще
неверно для тела характеристики 2, однако, налагая более сильное
условие Муфанг [y(zy)]x — y[z(ух)], которое, как мы показали,
следует из B.5), Сан Суси [1] показал, что и при характеристике,
равной 2, правый альтернативный закон вытекает из левого. Брук
и Клейнфельд [1] изучали альтернативные тела R и пришли
к замечательному результату, что такое кольцо R или ассаци-
ативно, или является алгеброй особого вида над своим центром,
являющимся полем F. А именно R является алгеброй Кэли—Дик-
Кэли—Диксона (Cayley — Dickson) над F с восемью базисными элементами,
причем каждый элемент, не принадлежащий полю F, порождает
квадратичное поле над F, а любая пара элементов (не содержа-
содержащихся в одном и том же квадратичном расширении поля F)
порождает алгебру кватернионов. Эти тонкие результаты помогли
им показать, что в муфанговой плоскости любое тернарное кольцо
не только является альтернативным телом, но и является одним
и тем же альтернативным телом. Для полного ознакомления со
20.5. Муфанговы и дезарговы плоскости 401
всеми^этими результатами, кроме результата Сан Суси, отсылаем
читателя к книге Пиккерта [1].
Теорема 20.5.4. Следующие свойства плоскости ти экви-
эквивалентны:
1) плоскость тс X-OY транзитивна, т. е. тс обладает всеми
гомологиями, центром которых служит точка Х—@),
а осью — прямая х = 0;-
2) для тернарного кольца плоскости тс, определенной
четырьмя точками X, К, О, /, имеем
2.1) х • mob = xm-\-b,
2.2) умножение удовлетворяет аксиомам группы.
Доказательство. Пусть для плоскости тс справедливо свой-
свойство A). Рассмотрим гомологию, ось которой—прямая х = 0,
а центр —точка ^=@) и на прямой L^ (m)—>A). Тогда имеем
@, 0)->@. 0),
откуда
Но
откуда
Так как
то
и
откуда
А так как
получаем
у — хт ->у = х.
у = am —>y = am,
(a, am)~>(am, am).
(оо)->(оо),
^ = а —>• х = am
у — с —>• у — с,
(а, с)->(ат, с).
@, ft)->@, ft). (m)->(l).
y = x-mo^_>y = x + ft
Следовательно, если точка (а, с) лежит на прямой у = х • m о ft,
то точка *(*ш» с) лежит на прямой у = х-\-Ь. Таким образом,
из равенства с = а • mo ft следует, что c = am-f-ft, откуда полу-
получается условие линейности B.1) а • т о ft= am-f-ft.
Гомология, заданная отображением (т)->A), переводит точку
(а, 1) в точку (am, 1) и, в частности, A, 1)->(т, 1). Если умно-
умножить эту гомологию на другую, определенную условием (я)->A),
то получим отображения A, 1)->(т, \)->(тп, 1) и (а, 1)->
->(ат, 1)—>{{ат)п, 1).
Но произведение должно быть гомологией, для которой (тп)->(\),
откуда (а, \)->(а(тп), 1), и поэтому (ат)п= а(тп), т, е. для
умножения справедлив ассоциативный закон. Но^так как по умно-
умножению тернарное кольцо есть лупа, отсюда следует, что оно
является даже группой.
26 М. Холл
402 Гл. 20. Теория групп а проективные плоскости
Предположим теперь, что выполняется условие B). Следующей
отображение при фиксированном m фО является гомологией пло-.i
скости тс:
(оо)->(оо),
(a, b)->(am, b),
х = a->x=amt
Заставляя параметр т пробегать все отличные от нуля значения, мы *
получаем все гомологии с центром X— @) и осью х = 0. Поэтому J
из условия B) следует условие A).
Теорема 20.5.5. ЕсЛи в плоскости тс справедливы следую-
щие утверждения, являющиеся частными случаями теоремы
Дезарга:
1) теорема линейности для всякой тройки осей, не пере* «
секающихся в одной точке,
2) общая теорема для одной оси и одного центра, не I
лежащего на этой оси,
то в качестве системы координат для плоскости тс можно
выбрать ассоциативное тело. В этом случае теорема Дезарга
справедлива на всей плоскости тс. Группа коллинеаций пло» ^
скости тс транзитивна на четырехугольниках, а любое тер-4
парное кольцо плоскости тс изоморфно одному и тому же i
телу.
Доказательство. Согласно условию, мы можем применить,
теоремы 20.5.3 и 20.5.4 и находим, что для некоторого четы--j
рехугольника XYOI, определяющего тернарное кольцо плоско- ^
сти тс, имеет место равенство x-mob = xm-\-b и координатыМ
образуют ассоциативное тело. Очевидно, что если существует.,
коллинеация плоскости тс, отображающая точки- Xv Yv Ov Ix}
одного четырехугольника в соответствующие точки Xv K2, O2, /j^
другого, то соответствующие им тернарные кольца изоморфны, j
Докажем сначала, что если в качестве координат плоскости тс;;
относительно четырехугольника X1Y1OlIl выбраны элементы ассо- ,
циативного тела D, то коллинеаций плоскости тс транзитивны j
на четырехугольниках, откуда следует, что любому четырехуголь- и
нику соответствует координатное кольцо, изоморфное D. В силу
теоремы 20.5.3, тс — плоскость трансляций относительно любой j
прямой, лежащей в этой плоскости. Если ЛВС — произвольный
треугольник, то существует элация с осью АВ, оставляющая
20.6. Теорема Веддербарна и теорема Лртина — Цорна 403
неподвижными точки Л, Б и отображающая С в произвольную
точку С, которая не лежит на прямой АВ.- Сначала применим
это утверждение к произвольному четырехугольнику X2Y2O2I2.
При подходящем выборе таких элаций мы находим коллинеацию,
отображающую Х2 в Хх, Y2 в Yx и О2 в Ог. Точка /2 не лежит
ни на одной из сторон треугольника Х2У2О2> и поэтому отно-
относительно системы координат Хх Yx O1 /j она является конечной
точкой I2 = (a,b)t причем а Ф 0 и #=£0. Следующая колл^неа-
ция "оставляет неподвижными точки X, Y, О и отображает /2 в //.
(х,
(
(оо)->(оо),
(rn)->(amb~1),
Таким образом, все тернарные кольца изоморфны некоторому
ассоциативному телу D, а плоскость тс на четырехугольниках
транзитивна.
Осталось только показать, что на всей плоскости тс справед-
справедлива теорема Дезарга. Если центр лежит на оси, эта теорема,
конечно, верна, так как в этом случае плоскость тс обладает всеми
возможными элациями. Предположим теперь, что центр О не лежит
на оси, которую мы обозначим через Loo- Покажем, что плоскость тс
обладает всеми гомологиями с центром О и осью Loo. При фик-
фиксированном элементе а Ф 0 следующее отображение является такой
гомологией:
(оо)->(оо),
(с, d)-+(ac, ad),
Loo ^ Lqq,
х = с —> х = ас,
у = xm -\- b -> у = xrn + ab.
Если . параметр а пробегает все отличные от нуля значения, мы
получаем всевозможные соответствия, имеющие центр О и ось Loo.
20.6. Теорема Веддербарна и теорема Артина — Цорна
Напомним те свойства конечных полей (полей Галуа), которые
нам понадобятся. Доказательства этих свойств можно найти
в книге Ван дер Вардена [1] (ч. 1, гл. V, § 37).
26*
404 Гл. 20. Теория групп и проективные плоскости
1) Число элементов конечного поля равно степени простого
числа. Для каждой такой степени рг существует конечное полеч
GF(pr), состоящее из рт элементов, причем оно единственно
с точностью до изоморфизма.
2) Любой элемент х поля GF(pr) удовлетворяет уравнению
хр =х. Мультипликативная группа F*(pr), состоящая из рт—1
элементов поля GF(pr), отличных от нуля, циклична. Всякий
образующий элемент этой циклической группы называется перво*
образным корнем. i'
3) Поле GF(pr) можно представить как поле классов вычетов
полиномов Р(х) с коэффициентами из простого поля Fp харак-
характеристики р по модулю неприводимого полинома f (х) степени г
над полем Fp или как поле классов вычетов кольца целочислен-
целочисленных полиномов по модулю идеала (p,f(x)).
4) Автоморфизмы поля GF(pr) образуют циклическую группу
порядка г, порожденную автоморфизмом z —> a (z) = zp.
Теорема 20.6.1. (Теорема Веддербарна.) Конечное тело R
коммутативно а поэтому является конечным полем GF(pr).
Доказательство. Излагаемое здесь доказательство принадле-
принадлежит Витту [1]. Единица тела R порождает простое подполе тела/?,
которое должно быть конечным полем Fp, где р — некоторое
простое число. Пусть тело R обладает базисом хг= 1, х2, . . ., хг
из г элементов над Fр. Тогда R состоит точно из рТ элементов.
Центр Z тела R состоит из всех таких элементов z£R, что
zx = xz для любого x£R. Центр Z— коммутативное подтело
тела /?, и поэтому Z— конечное поле. Пусть Z состоит из q = ps
элементов. Покажем, что центр Z совпадает со всем R. Тело R
является векторным пространством над Z; если базис R над Z
состоит из t элементов, то тело R состоит из qb = pst = pr эле-
элементов. При этом t=\, если R=Z. Нормализатор Nx произ-
произвольного элемента х £ R есть подтело, содержащее центр Z.
Поэтому тело Nx состоит из qd элементов, но так как R — век-
векторное пространство над Nx, то d\t. Следовательно, в мультипли-
мультипликативной группе /?*, состоящей из рт — 1 = qt — 1 отличных от
нуля элементов тела /?, произвольный элемент x(£Z обладает
нормализатором порядка qd — 1, где d делит t и d < t. Исходя
из этого, для порядка группы R* получаем
?'-1=?-1 + 2(?'—!)/(/-!). B0.6.1)
где q — 1 — число элементов центра, а каждое из последующих
слагаемых (qt— l)/(?rf— 1)» где d/t, d <Ct, — это число элементов
в соответствующем классе сопряженных элементов.
В § 16.8 мы показали, что полином f(x) = x*—1 обладает
сомножителем k(x) с целыми коэффициентами, а именно &(х)=
20.6. Теорема Веддербарна и теорема Лртина — Цорна 405
=^JX (х — w*)* где w — некоторый первообразный корень сте-
степени t из единицы, a w* при /=1, . .., t, где (j, t)=l, — все
первообразные корни степени t из единицы. Поэтому если djt,
d<Ct, то х*—\=k(x)(xd—l)r(x), так как k{x) не содержит
ни одного сомножителя полинома xd—1. При этом г(х) содер-
содержит все остальные сомножители полинома х*— 1, если они имеются.
Поэтому (х*—l)/(xd—\) = k(x)r(x). При x—q имеем k(q) =
= II (Я — w*)> а так как ^; ^ 1—комплексный корень из
единицы, то \q — wJ\ > #— 1. Следовательно, k{q) — целое число,
абсолютная величина которого больше q— 1. Поэтому если t > 1,
то целое число k(q) делит каждое слагаемое из B0.6.1), кроме
q—1. Но тогда k(q) делит и q — 1, что невозможно, так как
\Ь(Я)\ > Ч — 1- Поэтому £= 1, т. е. Z = R. Значит, тело R ком-
коммутативно и является конечным полем.
Теорема 20.6.2. (Артин — Цорн.) !) Конечное альтернативное
тело является полем Галуа GF(pr).
Доказательство. Изложим сначала элементы теории альтер-
альтернативных колец. Альтернативным кольцом R называется система
с двумя бинарными операциями — сложением и . умножением со
следующими свойствами: A) по сложению эта система — абелева
группа, B) выполняются оба дистрибутивных закона и C) умно-
умножение подчиняется двум ослабленным ассоциативным законам:
(хх)у = х(ху), у(хх) = (ух)х. B0.6.2)
Кольцо (альтернативное) R называется телом (альтернативным), если
все его ненулевые элементы образуют лупу по умножению. Как от-
отмечалось в предыдущем параграфе, координатная система муфан-
говой плоскости образует альтернативное тело,'в котором вместо
B0.6.2) выполняются свойства
аа — а~1а= 1,
причем, как мы показали, из свойств B0.6.3) вытекают свойства
B0.6.2).
Для произвольного кольца со свойствами дистрибутивности
определим два объекта, а именно ассоциатор (х, у, г) и комму-
коммутатор (х, у), следующим образом:
(ху) — ху — ух.
См. Цорн [1].
406
Гл. 20. Теория групп и проективные плоскости
Очевидно, ассоциатор тождественно равен нулю в любом ассоциа-
ассоциативном кольце, а коммутатор тождественно равен нулю в комму^
тативном кольце. И ассоциатор, и коммутатор линейны по каж*?
дому аргументу. Соотношения B0.6.2) можно теперь переписать^
в виде
(х, х, у) = 0, (у, х, х) = 0. B0.6.3)
Из линейности ассоциатора получаем
= (*, у,
= (*. У»
z) =
*. 2. у)
B0.6.6);!
= (х, х,
= (Х, у, 2)+(у, X, 2).
Отсюда получается, что
(х, у, z) = — (x, z, у) = (*, *, у) =
2) +(у, у, 2) =
—(г, у, а:) =
= -(y, х,
B0.6.7),
т. е. ассоциатор (х, у, z) под действием четных подстановок сим-,
метрической группы подстановок букв х, у, z не изменяется,
а под действием нечетных подстановок меняет знак на обратный.
Именно благодаря этому свойству эти кольца названы альтерна-
альтернативными (знакопеременными). Из B0.6.7) немедленно получаем
(х, у, х) = — (х, х, у) = 0, откуда
(ху)х = х(ух). B0.6.8) -1
Закон вB0.6.8) называется рефлексивным законом.
Функция h (Xj хп) от элементов кольца и со значениями
в нем называется кососимметрической, если A) она линейна по-
повеем своим аргументам и B) обращается в нуль, как только зна-
значения какой-нибудь пары аргументов совпадают. Заметим, что из
кососимметричности следует свойство альтернативности и что ас-
ассоциатор и коммутатор кососимметричны в альтернативном кольце.
Сейчас мы выведем несколько соотношений для альтернативного
кольца, причем для доказательства теоремы нам понадобятся лишь
некоторые из них, однако и остальные представляют некоторый
интерес. Следующее тождество справедливо в любом дистрибу-
дистрибутивном кольце:
(WX, У, Z) — (W,
X, yz) =
, X, у) 2.
B0.6.9)
- 20.6. Теорема Веддербарна и теорема Артина — Цорна 407
Определим функцию /(да, х, у, z) следующим образом:
/(да, л:, у, z) = (wx, у, z) — х(да, у, z) — (х, у, г) да. B0.6.10)
Лемма 20.6.1. В любом альтернативном кольце R функ-
функция /(да, х, у, z)> определенная равенством B0.6.10), кососим-
метрична и удовлетворяет следующим тождествам:
3/(да, х, yt г) = (да, (х, yt z)) — (х, (у, z, да)) +
+ (у. (г, да, *)) — (*. (w. х, у)), B0.6.11)
f(w, х, у, z) = ((w, x), у, я)-К(у. яг), да, х). B0.6.12)
Доказательство. Применяя соотношения B0.6.7), перепишем
тождество B0.6.9) в виде -
(wx, у, z)—(xy, z, w)-\-(yz, w, x) = w(x, у, z)-\-(w\ х, у) z.
B0.6.13)
Вместо члена (wx, у, z) подставляем его выражение через функ-
функцию fy получаемое из B0.6.10), и аналогично поступаем с осталь-
остальными слагаемыми левой части равенства B0.6.13). Тогда
f(w, х, у, z) — /(х, у, г, «0 + /(У» z, w, x) — F(x, у, z, w),
B0.6.14)
где ^(х, у, z, w) -1- правая часть равенства B0.6.11), меняющая
поэтому знак при циклической перестановке аргументов. Поэтому
из B0.6.14) имеем
Q = F(w, х, у, z)-\rF(x, у, z, w) = f(w, х, у, z)-\-f(z, w, x, у)
и, следовательно,
f(w, х, у, z) = — f(z, w, х, у). B0.6.15)
Следовательно, функция / меняет знак при циклической переста-
перестановке ее аргументов и, согласно B0.6.10), при перестановке двух
ее последних аргументов, а значит, и при перестановке двух лю-
любых аргументов. Так как /(х, х, у, z) = Q, функция / кососим-
метрична. В частности, соотношение B0.6.14) сводится к тожде-
тождеству B0.6.11). Вычитая из B0.6.9) результат перемены местами
аргументов w и х, получаем
. х), у, z) = — (да, (х, у, £)) + (*. (у, z, да)) + 2/(да, х, у, z).
Аналогичными преобразованиями правая часть равенства B0.6.12)
при помощи тождества B0.6.11) сводится к левой части.
408 Гл. 20. Теория групп и проективные плоскости
Лемма 20.6.2. Для любых элементов х, у, z альтернатив-
альтернативного кольца имеем тождества
(х\ у, z) = x(xt у, z)-\-(x, у, z)x, B0.6.16)
(х, ху, z) = (x, у, xz) = (x, у, z)x, B0.6.17)
(х, ух, z) = (x, у, zx) = x(x, у, z) B0.6.18)
и так называемые тождества Муфанг:
B0.6.19)
B0.6.20)
Доказательство. Тождество B0.6.16) получаем из равенства
f(x, х, у, z) = 0. Соотношения B0.6.17) вытекают из того, что
f(x, у, z, х) = 0 и /(*, z, xt y) = 0", a B0.6.18) —из равенств
/(у, х, х, z) = 0 и f(z, х, х\ у) = 0. Докажем B0.6.19), при-
применяя тождества B0.6.18):
(ху)(zx) = х(уBх)) + (х, у,
= х(у(zx)) + x(у, z, x) = x((yz)х\
Первое из равенств B0.6.20) с помощью свойств B0.6.17) полу-
получается следующим образом:
х. z) =
у, xz) — (x,%xy, z) = x(y(xz))r
второе же получается аналогично с помощью соотношений B0.6.18).
Теперь мы сможем показать, что для тела законы B0.6.3)
следуют из соотношений B0.6.2). Пусть дан элемент а Ф 0. Тогда
существует такой элемент и, что аи=\. Отсюда а = (аи)а =
= а(иа), и, значит, иа=\. Поэтому мы можем записать и = а",
причем а~1а = аа~1 =\. Для произвольных ненулевых элементов
а и b определим третий элемент с из соотношения b = a~lc.
Тогда, применяя первое равенство B0.6.20), получаем
а-1 (ab) = а (а (а~Ч)) = ((а'га) а'1) с = (\a~l) c = a~lc = b.
Аналогично равенство (ba)a~l = b получается из второго соотно-
соотношения B0.6.20).
Теперь мы имеем более чем достаточно сведений об альтер-
альтернативных кольцах, чтобы доказать теорему Артина — Цорна/Пусть
R — конечное альтернативное кольцо. Достаточно показать, что
конечное альтернативное тело Rv порождаемое двумя элементами
b и с, ассоциативно. В самом деле, если это так, то, согласно
теореме Веддербарна, Rx — конечное поле, порождаемое одним
единственным элементом d. Поэтому если R порождается элемен-
20.6. Теорема Веддербарна и теорема Артина — Цорна 409
тами bv b2, ..., bs, то пара образующих bv b2 порождает конеч-
конечное поле, обладающее единственным образующим сх. Тогда. R
порождается элементами cv bv . . ., bs. Повторяя этот процесс
несколько раз, мы сведем число образующих кольца R до еди-
единицы, а, значит, кольцо R ассоциативно и является полем GF(pr).
Рассмотрим подкольцо Rv порожденное элементами b и с.
Оно конечно и не содержит делителей нуля. Пусть ах, . . ., at —
элементы подкольца Rv отличные от нуля. Тогда для произволь-
произвольного элемента x£Rx произведения хах, ..., xat все различны,
так как Rx не содержит делителей нуля. Поэтому эти произведе-
произведения — не что иное, как элементы av а2, . . ., av взятые в неко-
некотором порядке. Следовательно, для некоторого элемента, скажем
av имеем хах = х, откуда ах — \—единица кольца R. Далее,
для некоторого at имеем xat= 1, откуда a. = jt"~1. Следовательно,
Rx— тело. Каждый элемент из Rx есть сумма одночленов вида
(хх . . . xr)(xr+l . . . хп), где каждый сомножитель xt равен или Ь,
или с, причем скобки могут расставляться всеми возможными
способами. Так как справедливы оба дистрибутивных закона, ум-
умножение ассоциативно в Rx тогда и только тогда, когда ассоциа-
ассоциативно умножение одночленов. Чтобы это показать, определим
рекуррентно одночлен с нормальной расстановкой скобок:
B0.6.21)
[Хх ... Хп] — [Aq ... Хп_х\ Хп.
Если удастся показать, что одночлен с произвольной расстановкой
скобок равен некоторому одночлену с нормальной расстановкой
скобок, то отсюда сразу будет следовать ассоциативность, так
как тогда
([*1 • • • хг\ [уг ... ys]) [гг ... zt] = [хг ... хгух ... yszx ... zt] =
= [*i • • - xr] ([yx ... ys] [zx ... zt\).
Тот факт, что всякий одночлен равен одночлену с нормальной
расстановкой скобок с теми же сомножителями, следующими друг
за другом в том же порядке, мы докажем методом полной индук-
индукции по длине одночлена. Из соотношений B0.6.5) и B0.6.7) сле-
следует, что это верно для одночленов от элементов b и с длины
3, так как один из этих двух элементов должен повториться.
Поэтому
хх (x2xz) = (ххх2) *3 = [ххх2хг]. B0.6.22)
Мы должны теперь показать, что
[их ... ит\ \vx... vs\ = [ux... urvx . . . vs]. B0.6.23)
410
Гл. 20. Теория групп и проективные плоскости
применяя индукцию по числу м = г4~^» а при фиксированном п—*Щ
по s. При s=l утверждение справедливо в силу определен
ния B0.6.21). Предположим, что s>l, v1 = vs=b или v1==si
= vs = c. Тогда во втором тождестве B0.6.20) z[x(yx)] = [(zx)y]x <
полагаем
= [иг
ur], v1 = vs= х и [v2 ..
меняя предположение индукции, получаем
[иг ... ит\ [xv2 . . . vs_xx] = {([иг ... иг] х) [^2
= [иг
urvxv2
s-\\ = У и' ПРИ" >
vs_{\} х —
Vi^J' B0.6.24)
и утверждение B0.6.23) доказано при vx = vs. Предположим те-
теперь, что v1фvs•i пусть, например,- юг = Ь, vs — c; aT равно либо
ft, либо с. Если ur = b, то полагаем
х = [иг ... иг_г], ur = b, vx = b, [v2
vs] =
Тогда /(х, b, b, y) = Q = (xb, b, у) — b(x, b, y) — (x, b, b)y.\
Здесь (x, ft, ft)=0, а, по предположению индукции, элементы хг:
ft, у ассоциативны, откуда (х, ft, ^ = 0. Следовательно, (xft, ft, y) =
•= 0, т. е. (xb) (by) = [(xb) ft] .у, откуда
[bv2 ... vs] = ([иг ... иг_г] ftft) [v2
B0.6.25)
где последнее равенство получено в силу предположения индук-
индукции по s.
Аналогично, если иг = с, полагаем
Теперь /(х, с, z, c) = Q = (xc, z, с) — с(х, z, с)—(с, z, c)x.
Здесь (с, zt с) = 0, а (х, г, с) = 0, по предположению индукции.
Отсюда (хс, г, с) = 0, а это дает (xc)(zc) = [(xc) z] с, откуда
= [«!... вг-!вг^1 • '. • Xf^iXfJ. B0.6.26)
Равенствами B0.6.24)—B0.6.26) доказано для всех случаев равен-
равенство B0.6.23). Этим доказана ассоциативность кольца,/?! и закон-
закончено доказательство теоремы.
20.7. Дважды транзитивные группы
и почти-поля
Определенный класс групп тесно связан с проективными пло-
плоскостями. Это класс дважды ' транзитивных групп подстановок,
в которых только тождественная подстановка оставляет на месте два
20.7. Дважды транзитивные группы и почти-поля 411
символа. Мы будем налагать на эти группы добавочное условие,
которое, вообще говоря, не является необходимым, но которое
понадобится для нашего доказательства. Это условие составляет
пункт C) или C') следующей теоремы.
Теорема 20.7.1. Пусть О — такая группа подстановок сим-
символов с0, сг £/i-i» что
1) она дважды транзитивна,
2) только единица оставляет неподвижными два символа,
3) существует не более одной подстановки, отображаю-
отображающей элемент ct в с;- и переставляющей все символы, или
У) число п конечно.
Тогда единичная подстановка и подстановки группы G,
переставляющие все символы, образуют транзитивную инва-
инвариантную абелеву подгруппу А. Группа G изоморфна группе
линейных преобразований х->хт-\-Ь некоторого почти-поля К.
Обратно, группа линейных преобразований х->хт-\-Ь, т Ф0,
почти-поля К изоморфна группе, обладающей свойствами A),
B), причем линейные преобразования можно рассматривать
как подстановки элементов почти-поля К. Если при т Ф 0, 1
уравнение xm~{-b = x всегда имеет решение,0то выполняется
условие C), и прямые х = с и у = хт-\-Ъ являются конеч-
конечными прямыми плоскости, координатами которой служат
(ее с \
группы G, рассматриваемая как подстановка элементов из /С,
соответствует прямой плоскости тс, состоящей из точек
(С., </.), / = 0. 1 п— 1.
Доказательство. Докажем сначала чисто теоретико-группо-
теоретико-групповую часть теоремы, т. е. что подстановки группы G, переста-
переставляющие все символы, вместе с единичной подстановкой образуют
транзитивную инвариантную абелеву подгруппу. Для этого дока-
докажем ряд лемм.
Лемма 20.7.1. В группе G существует один и только один
элемент порядка 2, отображающий друг в друга два опреде-
определенных символа i и }.
Так как группа G дважды транзитивна, то один такой эле-
элемент g должен найтись. Элемент g2, оставляя на месте два сим-
символа, равен единице. Если h — другой элемент с такими же свой-
свойствами, как и g, то элемент gti~l оставляет неподвижными два
символа, откуда gh~1 = \, т. е. g = h.
Лемма 20.7.2. Все элементы порядка 2 лежат в одном
и том же классе сопряженных элементов.
Любой элемент порядка 2 оставляет на месте не более одного
символа. Если п = 2, то такой элемент только один. При
412 Гл. 20. Теория групп и проективные плоскости
элементы g и h порядка 2 должны лереставлять некоторый сим-
символ i, g = (i,j) .... h — (t,k)... . Для элемента х вида д: =
" " ) группы G имеем x~lgx = (/, k) ... = h. Если неко-
i k . .. J
торый элемент порядка 2 оставляет на месте некоторый символ,
то и все другие элементы порядка 2 обладают этим свойством.
Теперь мы можем выделить два случая:
Случай 1. Элементы порядка 2 переставляют все символы.
Случай 2. Любой элемент порядка 2 оставляет неподвижным
один символ.
Лемма 20.7.3. В случае 2 существует один-единственный
элемент порядка 2, оставляющий данный символ на месте.
Пусть, как и прежде, элемент g = (i,j)%.. трансформи-
трансформируется в h = G, k) ... элементом х = ( ' ' ' ). Если оба эле-
V k . . . /
мента g и h действуют тождественно на один и тот же символ s,
то элемент х также должен действовать тождественно на s, т. е.
элемент х Ф 1 оставляет неподвижными два символа / и s, что
противоречит условию B). Если элемент g оставляет на месте
символ 5, то путем трансформирования элемента g произвольным
элементом, отображающим и/, можно найти элемент порядка 2,
оставляющий неподвижным символ t.
Заметим, что из этой леммы следует, что элемент g =
= (it j)(s) . . . лежит в центре подгруппы Hs элементов, остав-
оставляющих на месте символ 5.
Лемма 20.7.4. Произведение двух различных элементов
порядка 2 группы G есть подстановка, переставляющая все
символы.
Пусть £2=1, h2=\ и g ф h. Предположим, что произве-
произведение gh оставляет на месте символ I. В силу леммы 20.7.3 эле-
элементы g и h не могут оба оставлять на месте символ i, а значит,
ни один из них не обладает этим свойством. Но тогда g = (i, j) . ..,
h = (j, i) . . . и gh = @ (J) . . . = 1, откуда g= h, что противо-
противоречит условию. Значит, элемент gh перемещает все символы.
Лемма 20.7.5. В группе G существует один-единственный
элемент, переставляющий все символы и отображающий неко-
некоторый данный символ i в другой данный символ j Ф I.
В случае 1 таким элементом является элемент g = (i, j) . .. .
В случае 2 выберем два элемента: g = (/)... порядка 2 и /г =
= (/, У)... . Тогда, согласно лемме 20.7.4, подстановка gh ото-
отображает i в j и перемещает все символы. Значит, по крайней мере
один такой элемент существует. Но в силу условия C) найдется
не более одного такого элемента. Заметим, что лемма 20.7.5 вы-
вытекает из условия C0- Так как группа G дважды транзитивна
20.7. Дважды транзитивные группы и почти-поля 413
относительно п символов, индекс подгруппы, оставляющей на
месте символ с0, равен п, причем эта подгруппа Но транзитивна
относительно остальных п — 1 символов, а так как только еди-
единица вставляет на месте два символа, порядок подгруппы Но ра-
равен п—1. Таким образом, порядок группы G равен п(п—1).
Тогда элементы, отображающие i в j, образуют левый смежный
класс по подгруппе Ht всех элементов, действующих тождественно
на символ L Поэтому существует точно п—1 элементов, ото-
отображающих I в j. Для данной тройки символов /, у, k в группе G
существует благодаря свойству двукратной транзитивности эле-
мент g — [ 1, причем такой элемент единственен, так как
\J я .. . /
только единица группы О оставляет неподвижными два символа.
Для данных / и j существуют точно п — 2 возможности выбора
символа k, а элементов, отображающих i в у, всего п—1. Сле-
Следовательно, один-единственный элемент отображает i в j и пере-
перемещает все символы.
Лемма 20.7.6. В случае 1 любой элемент, переставляющий
все символы, имеет порядок 2, причем все такие элементы
вместе с единицей образуют инвариантную абелеву под-
подгруппу.
Понятно, что g = (i, j) .. .—один и, следовательно, единст-
единственный элемент, переставляющий все символы и отображающий i
в j. Если g-2=l, /г2=1, то при g = h имеем gh=\, в то
время как при g+h элемент gh порядка 2, (ghJ=l, перестав-
переставляет все символы, откуда hg = gh. Поэтому элементы порядка 2
вместе с единицей образуют абелеву группу А. В силу леммы
20.7.2 подгруппа А инвариантна. Этим лемма доказана.
Лемма 20.7.7. В случае 2 данный элемент g, перестав-
переставляющий все символы, можно представить в виде произведе-
произведения g==ab двух элементов порядка 2, причем один из со-
сомножителей можно выбрать произвольно.
Пусть а2= 1, где а — элемент, оставляющий на месте символ /,
и g—элемент, отображающий / в j. Выбираем элемент Ь —
= (i, j) .. ., тогда 62= 1 и g — ab, так как элемент ab перестав-
переставляет все символы и отображает i в j. Аналогично предположим,
что-заданы элементы g и Ъ, причем Ь имеет порядок 2 и остав-
оставляет неподвижным символ &. Если элемент g отображает i в k,
то при a — (i, k) ... мы имеем g==^ab.
Лемма 20.7.8. В случае 2 произведение аЬс трех элементов
порядка 2 имеет снова порядок 2, при этом abc = cba.
Если а = Ь, лемма очевидна. Если b Ф а, то ab = g = dct где
в силу леммы 20.7.7 d2=l. Тогда abc — dc2 = d. Так как
d = d~l, то abc— c~1b~1a~1 = cba.
414
Гл. 20. Теория групп и проективные плоскости
Лемма 20.7.9. В случае 2 элементы, переставляющие
символы, вместе с единицей образуют инвариантную абелев
подгруппу.
Пусть элементы g и h переставляют все символы. Со-
Согласно леммам 20.7.4 и 20.7.7, g = ab, h = cd, где а, Ь, с, d —
элементы порядка 2. Полагая h — eb при е2= 1, получаем gh~l—
— ае, откуда при е = а имеем gh~l = \, а при а Ф е элемент
gh~l переставляет все символы. Следовательно, элементы, пере-
переставляющие все символы, вместе с единицей образуют подгруппу А
Применяя лемму 20.7.8, получаем gh = (abc) d = (cba)d =
= с (bad) = с (dab) = hg. Это значит, что подгруппа А абелева.
Так как элемент, сопряженный с элементом, переставляющим все
символы, также обладает этим свойством, подгруппа А инвариантна.
Мы сейчас построим алгебраическую систему 5, состоящую
из символов с0, сг сп-г> переставляемых подстановками из
группы G. Один символ этой системы назовем нулем, а другой —
единицей. Пусть, например, со = О, сг=1. В системе S опреде-
определим сложение:
у = х + Ь B0.7.1)
тогда и только тогда, когда в подгруппе А содержится подста-.
новка
'0 ... , х ../
B0.7.2)
у...
В системе S определим умножение:
у = хт
B0.7.3)
тогда и только тогда, когда в подгруппе //0, оставляющей на
месте 0, содержится подстановка
0 1,
х
у
B0.7.4)
Определение сложения правомерно, так как в подгруппе А есть
только один элемент, отображающий 0 в Ь. Умножение на т Ф 0
также вполне определено, так как в подгруппе Но есть только
один элемент, отображающий 1 в т. Если в подгруппе А содер-
содержатся подстановки
'0
B0.7.5)
а, .... у
0 а
b с z
20.7. Дважды транзитивные группы и почта-поля 415
то
... х .. Л
г h B0.7.6)
Из определения сложения получаем
откуда
(х + а) + b = х + {а + ft), B0.7.8)
т. е. имеет место ассоциативный закон сложения. Очевидно, нейт-
нейтральным элементом для сложения является подстановка
'0 .. . , 1 ... х .,
А°-\0 ... , 1 ... х
при этом выполняются равенства
х + 0 = 04-* = *. B0.7.9)
/0... а..Л
Кроме того, если для символа и Аи = 1 I, то а-\-
-{-# = 0 и и = — а. !Далее, так как А — абелева группа, пусть
КАъ = АъАа = Ас* тогда
B0.7.10)
т. е. сложение коммутативно. Таким образом, сложение подчи-
подчиняется аксиомам абелевой группы. Более того, соответствие
а^±Ад является изоморфизмом абелевых групп S и А.
Аналогичным образом можно показать, рассматривая подста-
подстановки из подгруппы Яо, что ненулевые элементы системы S обра-
образуют мультипликативную группу. Для нуля имеем 0 • m = 0; кроме
этого, положим т-0 = 0 и 0-0 = 0. Пусть теперь g — произ-
произвольная подстановка из группы О. Если @)g*=ft, то положим
gi==SAb'1' Тогда элемент g^ оставляет 0 на месте и, значит,
принадлежит подгруппе Яо, скажем gx = Mm. Теперь
g=MmAb. B0.7.11)
Если (x)g = y, то
{x)g = y=xm-\-bi пгфО. ш B0.7.12)
Представление B0.7.11) единственно, так как единица — единст-
единственный элемент, принадлежащий подгруппам А и Яо, поэтому
подстановки из группы G должны быть линейными преобразова-
преобразованиями B0.7Л2) системы S:
тфО. B0.7.13)
416 Гл. 20. Теория групп и проективные плоскости
Отметим следующие соотношения:
MmMt = Mm,
М-1 AM -А B0'7Л4)
Первое соотношение очевидно, а второе вытекает из того, что
подстановка M^1A1Mm переставляет все символы и 0 отображает
в т, т. е. совпадает с Лт. Далее получаем
MTlAmMt=Amt, B0.7.15)
или, в терминах преобразований системы 5,
(хГ1 -f- m) t = х -f- mt. B0.7.16)
Полагая в последнем равенстве х = yt, получим дистрибутивный
закон
(у + т) t = yt + mt. B0.7.17)
Итак, система 5 по сложению — абелева группа, ее элементы,
отличные от нуля, образуют мультипликативную группу, и выпол-
выполняется правый дистрибутивный закон B0.7.17). Поэтому система
5 — почти-поле, а элементы группы G — линейные преобразова-
преобразования S. Согласно законам почти-поля, отображения
х->хт-\-Ь, тфО, B0.7.18)
обладают тем свойством, что последовательное выполнение двух
отображений а : х->хт1-\-Ь1 и C : х —>хт2-\-Ь2 совпадает с отоб-
отображением
ар : x->x{mlm2)-\-blm2-\-b2. B0.7.19)
Обратно, предположим, что задано некоторое почти-поле 5.
Линейные преобразования B0.7.18) почти-поля 5 образуют муль-
мультипликативную группу G с законом умножения B0.7.19). Пусть
г и s (r^s) — два различных элемента из S. Тогда отображение
g: x->x(r — s) + s B0.7.20)
— такой элемент группы G, что @)g* = s и (\)g = r. Следова-
Следовательно, группа G дважды транзитивна. Элемент из G, оставляю-
оставляющий на месте какие-либо два символа, сопряжен с элементом,
оставляющим на месте символы 0 и 1. Но если отображение
х—>хт-$-Ь тождественно в нуле и в единице, то мы последо-
последовательно находим, что # = 0, /ю=1, т. е. что это отображение
тождественно. Следовательно, тождественное отображение является
единственным отображением, оставляющим на месте два символа.
Преобразование х->х-\-(с — Ь) переставляет все символы и ото-
отображает данный элемент b в данный элемент с. Если уравнение
20.7. Дважды транзитивные группы и почти-поля 417
xm-\-b = х при тФО, 1 всегда имеет решение, то единственными
преобразованиями, переставляющими все символы, являются преоб-
преобразования вида x->x-\-t, а среди последних только преобра-
преобразование х->х-\-(с — Ь) отображает заданный элемент Ъ в задан-
заданный элемент <г, т. е. условие C) теоремы 20.7.1 выполнено. Но
тогда одно из уравнений (xm-\-b)r = xr, xs-{-t — хг всегда
имеет решение (причем единственное), а это и означает, что
системк 5, рассматриваемая как система Веблена—Веддербарна,
является системой координат плоскости, конечными прямыми ко-
которой являются прямые х = с и у = хт~{-Ь. Этим завершается
доказательство теоремы.
Как уже отмечалось, условие C) автоматически выполняется,
если G— конечная группа подстановок. Поэтому нахождение всех
конечных дважды транзитивных групп подстановок, в которых
только единичная подстановка оставляет на месте два символа,
эквивалентно нахождению всех конечных почти-полей. Последняя
задача была решена Цассенхаузом [2]. Рассмотрим ее решение.
Пусть К — конечное почти-поле. Если мультипликативная группа
почти-поля К абелева, то в К выполняются оба дистрибутивных
закона, т. е. К — поле Галуа GF(pr). Поэтому этот случай в даль-
дальнейшем мы исключаем и будем предполагать, что умножение в К
некоммутативно. Тогда левый дистрибутивный закон в К не может
иметь места, так как в противном случае, согласно теореме Вед-
Веддербарна, почти-поле К было бы конечным ассоциативным телом,
а значит, и конечным полем GF(pr). В дальнейшем мы будем
пользоваться следующими обозначениями предыдущей теоремы:
К — конечное почти-поле, состоящее из п элементов, G — дважды
транзитивная группа степени я, в которой только единичная подста-
подстановка оставляет на месте два символа. G является группой ли-
линейных преобразований
g: x-+xm-\-b, тфО. B0.7.21)
А — инвариантная абелева подгруппа группы G, состоящая из еди-
единицы и всех подстановок, переставляющих все п символов.
Н0 = М — подгруппа всех подстановок, оставляющих на месте
символ 0. Подгруппа Л изоморфна аддитивной группе почти-поля К,
а подгруппа М — мультипликативной группе /С*, состоящей из
п—1 ненулевых элементов почти-поля К.
Лемма 20.7.К1. Пусть А — элементарная абелева группа и
п = рг,,где р — простое число. Отличные от 1 элементы
группы А сопряжены между собой при помощи элементов из М.
А — абелева группа, причем, согласно B0.7.14), Ат =
= М^АхМт. Значит, все элементы группы Л, за исключением
единицы, сопряжены между собой при помощи элементов из М.
27 М. Холл
418 'Гл. 20. Теория групп и проективные плоскости
Но так как группа А должна содержать элемент простого по-
порядка, например р, то порядок всех отличных от единицы эле-
элементов группы А равен р. Поэтому группа А — элементарная абе-
лева. Так как она регулярна и ее порядок равен п, то п = рг.
Лемма 20.7.К2. Элементы группы М являются автомор-
автоморфизмами группы А, и каждый автоморфизм из Ж, отличный
от тождественного, оставляет на месте только элемент О
почти-поля К.
Элементы из Ж — это подстановки вида а —> am элементов
из /С, а каждая из них, кроме тождественной, является автомор=
физмом аддитивной группы Л, действующим тождественно только
на элемент 0.
Лемма 20.7.КЗ. Если числа q и s простые, то подгруппы
группы Ж порядков q2 и qs цикличны.
Заметим сначала следующее: если (хх xk) — цикл подста-
подстановки Мт, то ххт = х2, х2т — х3, .... xkm — xv откуда
(хх -(-...-(- xk) т = хх -\- . . . -(- xk, т. е. если тФ 1, то хх + . . .
. . . -\-xk = 0. Предположим теперь, что группа Ж обладает
нециклической подгруппой W порядка q2. Тогда W — прямое
произведение двух групп порядка q. Пусть W порождается эле-
элементами х и у. Рассмотрим некоторую область транзитивности
группы W, состоящую, конечно, из q2 символов. Тогда элементы
х и у имеют вид
х = (аха2 .. . aq)(aq+x .. . a2q) ... (aq2_q+l ... aq2),
у = (ax aq+x a2q+x ... aq2.q+x) ... (at aq+i .... aq2-q+i)
Элемент лгу7' обладает следующей областью транзитивности, со-
содержащей ах:
{ах a2+jq Q>3+2jq •••» aq+j (q-l) q>'
Учитывая замечание о циклах, получаем
^ = 0. B0.7.22)
^ ^ •• +«<■-*+! = 0. B0.7.23)
Суммируя равенства B0.7.22) по У = 0, 1 q—1 и прибав-
прибавляя равенство B0.7.23), замечаем, что каждое at Ф ах встречается
в точности один раз, а ах встречается (q~{-\) раз. Следовательно»
0. B0.7.24)
Суммируя элементы всех циклов подстановки х, получаем
0! + a2+ ••• +^а=0, B0.7.25)
откуда ^
qax = 0. B0.7.26)
20.7. Дважды транзитивные группы и почти-поля 419
Но порядок группы М равен п— 1 = рГ— 1, значит, числа q н р
взаимно просты. Поэтому из B0.7.26) получаем ах = 0, что не-
невозможно. Следовательно, группа М не может содержать неци-
нециклической подгруппы порядка q2.
Аналогично если М содержит нециклическую группу W по-
порядка qs, где q < s, то последняя порождается элементами хну,
удовлетворяющими соотношениям
^ xs = 1, у« = 1. q/s — l.
B0.7.27)
Так как М — регулярная группа, подгруппа W обладает областью
транзитивности, содержащей qs символов. W содержит одну под-
подгруппу порядка s и s подгрупп, порядка q. Выберем в каждой
из этих подгрупп по одному циклу, содержащему данный сим-
символ ах:
i. b2l
Каждый из qs символов, кроме ax, встречается в этих циклах
только один раз, а символ ах встречается s-f-1 раз. Но сумма
всех #s букв равна нулю, так как эти циклы, взятые вместе,
образуют, некоторую подстановку х. Отсюда следует, что saj = 0,
а так как s/pr—1, то ах = 0, что противоречит условию. Зна-
Значит, группа М не содержит нециклической подгруппы порядка qs.
Лемма 20.7.К4. Силовская подгруппа группы М нечетного
порядка цпклачна. Силовская 2-подгруппа группы Мциклачна
или же является обобщенной группой кватернионов.
Как было показано (теорема 12.5.2), р-группа Р циклична,
если р Ф 2 и если группа Р не содержит нециклических под-
подгрупп порядка р2. При р = 2 группа Р или циклична, или является
обобщенной группой кватернионов.
Предположим, что группа М содержит такую циклическую
подгруппу С, что фактор-группа М/С также циклична. Согласно
лемме 20.7.К4 и теореме 9.4.3, группа М обладает этим свой-
свойством, если она не содержит силовской 2-подгруппы, изоморфной
обобщенной группе кватернионов; группа М обладает этим свой-
свойством, даже если она является прямым произведением обобщенной
группы кватернионов и группы нечетного порядка. Теорема 20.7.2
указывает все конечные почти-поля /С, группа М которых обла-
обладает этим свойством. Цассенхауз показал, что существует еще
27*
420 Гл. 20. Теория групп и проективные плоскости
точно семь других конечных почти-полей; ниже мы их перечи-
перечислим. Доказательство этого факта читатель может найти в статье
Цассенхауза [2].
Теорема 20.7.2. Пусть q = ph, где р — простое число,
и пусть v — такое целое число, что все его простые дели-
делители делят число q—1 и v^Q(mo<i 4), если q = 3 (mad 4).
Тогда для r — hv мы можем следующим образом построить
почти-поле /С, состоящее из п = рг элементов, исходя из поля
Галуа GF(pT).
1) Элементами почти-поля К являются элементы поля
GF(pr):
2) Сложение? в К производится по тому же правилу, что
и в поле GF(pr).
3) Произведение wou в почти-поле К определяется в тер-
терминах произведения х-у поля GF(pr) следующим образом:
пусть z — фиксированный первообразный корень поля GF(pr);
если u = z*v+J, то сравнением qt^\-\-j(q—\)[modv(q—1)]
однозначно определяется натуральное число i no модулю v.
Тогда произведение w о и определяем так:
4) Центром почти-поля К является подполе GF(q). Любое
почти-поле К из п= рг элементов можно построить описан-
описанным выше способом из поля GF(pT), если почти-поле К обла-
обладает тем свойством, что его мультипликативная группа М
содержит такую инвариантную ' циклическую подгруппу С,
что фактор-группа М/С также циклична.
Кроме описанных в этой теореме конечных почти-полей, как
показал Цассенхауз, существует еще ровно семь других. Все они
состоят из р2 элементов. Чтобы их определить, достаточно задать
образующие элементы мультипликативной группы М как матрич-
матричные преобразования аддитивной группы с двумя образующими.
Выпишем их в таком же порядке, как они выписаны у Цассен-
хауза:
'О —1\ / 1 —2N
1 О
[=;МB, 3);
'О —1\ / 1 5\ /4 О
И. «=11». А = {х J. *Н_5 _
20.8. Конечные плоскости. Теорема Брука — Райзера 421
/О —
ш. — т». л = ^
О —
V. Я=. ^
5);
16
М^МB, 5)Х(О;
_ 2 —f° ~l\ —f 9 15\ (A °\
\тИ^ЖB, 5)X(Q.
Здесь группа Ж B,3) в случае I имеет порядок 24; группа
Ж B, 5) в случае V имеет порядок 120, а группа G3 в случае III
имеет порядок 48. Группа Ж B, 5) обладает центром Z порядка 2,
а фактор-группа Ж B, 5)/Z является простой группой порядка 60.
20.8. Конечные плоскости.
Теорема Брука — Райзера
Как мы показали выше, конечная проективная плоскость по-
порядка l) n обладает следующими свойствами:
1) она содержит всего п2-\-п-\~\ прямых,
2) она содержит п2-\~п-\~\ точек,
3) каждая из ее прямых состоит из (п-\~\) точек,
4) каждая точка принадлежит (лг —|— 1) прямым, ,
5) через две различные точки проходит одна и только одна
прямая,
6) две различные прямые пересекаются в одной и только одной
точке.
1) Под порядком конечной проективной плоскости автор понимает
число точек каждой прямой плоскости (двойственное понятие — число пря-
прямых, пересекающихся в одной точке), уменьшенное на единицу. — Прим.
перевь
422 Гл. 20. Теория групп и проективные плоскости
При доказательстве того факта, что некоторая система
является конечной проективной плоскостью, полезно помнить,
что некоторая система „точек" и „прямых", удовлетворяющая
части из перечисленных выше свойств, есть конечная плоскость
порядка п, удовлетворяющая также и остальным свойствам.
Теорема 20.8.1. Система точек и прямых, удовлетворяющая
условиям A), C), E), или, двойственно, условиям B), D), F),
является конечной плоскостью порядка п, обладающей и
остальными тремя свойствами.
Доказательство. Предположим, что система удовлетворяет
условиям A), C), E). Пусть точка Р{ лежит на т{ прямых.
Тогда точка Р1 соединена с п другими точками на каждой из mt
прямых. С другой стороны, в силу свойства -E) других точек
в этой системе нет. Значит, она состоит из \-\-пть точек.
Отсюда следует, что число т = т1 не зависит от выбора точки Pt.
Учитывая инцидентности точек и прямых, находим
так как, с4 одной стороны, на каждой из п2-{~п-\~\ прямых
содержится по лг —|— 1 точек, а, с другой стороны, через каждую
из \-\~mn точек проходят т прямых. Отсюда т = п-{-1, и
свойства B), D) установлены. В силу свойства E) не существует
двух различных • прямых, пересекающихся более чем в одной
точке. Чтобы убедиться в справедливости утверждения F), доста-
достаточно показать, что точка пересечения двух прямых существует
всегда. Точка Р данной прямой L лежит на п других прямых, и
это справедливо для каждой из лг —|— 1 точек прямой L. Таким
образом, прямая L пересекается с п(п-\-1) = п2-\-п другими
прямыми, но, кроме них, других прямых не существует. Следова-
Следовательно, свойство F) справедливо. Итак, из свойств A), C), E)
следуют остальные. В силу принципа двойственности, наоборот,
из свойств B), D), F) получаются свойства A), C), E).
Следствие 20.8.1. Для конечной системы Веб лена — Вед-
дербарна условие D) теоремы 20.4.6, т. е. что при г Ф s
уравнение xr — xs-]-t имеет единственное решение, является
следствием остальных условий.
Действительно, не пользуясь условием D), мы убеждаемся, что
для такой системы свойства A), C), E) имеют место.
Оказывается, что не для любого натурального п существуют
конечные плоскости порядка п. Если верна одна гипотеза, выска-
высказанная Эйлером, то не существует плоскостей порядка п, где
п =з 2 (mod 4), пф2. В 1900 году Тарри [1] методом проб и
ошибок показал, что плоскости порядка 6 не существует. Для
любой степени п = рг простого числа р существует поле GF(pr)
и, значит, по теореме 20.5.5 существует дезаргова плоскость
20.8. Конечные плоскости. Теорема Брука — Райзера 423
порядка рг. Существуют системы Холла порядков р2\ и
при р2Г Ф 4 им соответствуют недезарговы плоскости. Почти-
полям также соответствуют недезарговы плоскости. Альберт [1]
указал, как строить неассоциативные тела, состоящие из рт эле-
элементов при р Ф 2 и г > 2. Им, конечно, в силу теоремы 20.4.6
соответствуют недезарговы плоскости таких же порядков. Мы
дадим простое построение Альберта для степеней /?г, где р ф 2,
г нечетно и больше единицы.
Теорема 20.8.2. (Альберт.) Пусть р — нечетное простое
число, г — нечетное число, большее единицы. Тогда, исходя из
поля Галуа GF(pr), можно построить неассоциативное
тело N', состоящее из рТ элементов.
Доказательство. Сначала определим новое произведение (х, у)
элементов поля GF(pr), где р ф 2 и число г>1 нечетно, по
правилу
(х, у)=^(ХуР+хРу). B0.8.1)
Так как отображение х->хр является автоморфизмом поля GF (рг),
нетрудно убедиться в том, что так определенное умножение
удовлетворяет дистрибутивным законам. Покажем, что если х Ф 0
и у ф 0, то (х, у) Ф 0. Предположим противное, т. е. что
(х, у) = 0 при х Ф 0, у Ф 0. Тогда находим, что
ххур = — хру9 B0.8.2)
откуда
уР-1 = — хр-1. B0.8.3)
Так как числа р и г нечетны, число т = (рг—1)/(р—1) также
нечетно. Возводя обе части равенства B0.8.3) в степень т,
получаем
1=урГ-1 = — хрГ-1=—1, B0.8.4)
что противоречит условию р ф 2. Итак, если х Ф 0, у ф 0, то
(х, у) Ф 0. Так как наша система конечна и не содержит дели-
делителей нуля, она должна быть квазигруппой. При этом для дан-
данного элемента х Ф 0 существует единственный элемент и ф 0,
такой, что
* = («, 1) = ^(и + ир). B0.8.5)
Теперь определим взаимно однозначное отображение а:
х->ха = я, B0.8.6)
если и и х удовлетворяют условию B0.8.5).
Определим, далее, систему D, элементами которой являются
элементы поля Галуа GF(pT). Сложение в ней определяется ело-
424 . Гл. 20. Теория групп и проективные плоскости
жением в этом поле, а умножение х о у определяется следующим
образом: ,
хоу = (ха, усе); B0.8.7) |
здесь произведение в правой части определяется формулой B0.8.1),
а отображение а — B0.8.6). Единица 1 поля GF(pr) остается
единицей и в системе D, так как проверка показывает, что
хо\==\ох = 'х. B0.8.8)
Умножение в системе D коммутативно, но неассоциативно.
Альберт показал, что умножение степеней элемента, не принад-
принадлежащего простому полю Fp, неассоциативно.
Изложенные методы позволяют построить недезарговы пло-
плоскости порядков рг для всех г^>2 и рФ2, а также порядков 2Г,
где г — четное число и /*^4. Было доказано, что существует
только одна дезаргова плоскость каждого из порядков 2, 3, 4, 5,
7, 8. Известны другие конечные плоскости, в частности плоскости
Хьюгеса, которые будут рассмотрены ниже. Однако не было по-
построено ни одной конечной плоскости, порядок которой отличен
от простого числа или его степени.
Кроме изолированного результата Тарри о несуществовании
плоскости порядка 6, не было- известно никаких ограничений на
порядки плоскостей до 1949 года, когда Брук и Райзер [1] доказали
следующую основную теорему.
Теорема 20.8.3. Если л=з1, 2(mod.4) и п нельзя предста-
представать в виде суммы квадратов двух целых чис&л, т. е. в виде
п=.а2~-\-Ь2, то плоскостей порядка п не существует.
Доказательство. Здесь приводится упрощенное доказатель-
доказательство этой теоремы, полученное из первоначального благодаря
использованию методов Чоула и Райзера [1]. Пусть N = п2-\-п-\- 1.
Сопоставим символам xt (i = 1, . . ., N) точки Pt (/ = 1, .. ., N)
плоскости тс порядка п. Пусть L;. (y = l, ..., N) — прямые пло-
плоскости тс. Определим числа инцидентности а у следующим образом:
аи=и если Pt^Lr
atJ = 0. если P^L,. t.j=l.....N. B°'8'9)
Матрица А инцидентности плоскости тс определяется как матрица
A=^(aij), U У=1, .... N. B0.8.10)
Матрица инцидентности А подчиняется следующим основным со-
соотношениям:
ААТ=АТА = п1 + 8, B0.8.11)
где / — единичная матрица, a S — матрица, состоящая только из
единиц.
20.8. Конечные плоскости. Теорема Брука — Райзера 425
Пусть ЛАТ = С. Если C = (crs), то
N
е«=2 V^' B0.8.12)
Здесь сгг— п-\-\, так как точка Рт лежит точно на п-\-\ пря-
прямой и так как из чисел аг;. (j= 1 N) точно п-\-\ равны 1,
а остальные равны 0. Далее, при r^s имеем crs=\, так как
arjuSj = 0, если только оба сомножителя arj. и asj не равны еди-
единице. Но равенство аг; = а5;. = 1 означает, что прямая L;. содер-
содержит как точку Рг, так и точку Ps. Но данные точки Рг и Ps
определяют одну-единственную прямую L;-, проходящую через
них. Значит, crr = n-{-\1 crs—\ при г Ф s. Поэтому ААТ =
= nf-^S. Аналогичные рассуждения показывают, что АТА = nI-\-S.
Соотношение AATz=nI-{-S можно истолковать в терминах
квадратичных форм. Прямой Lj сопоставляем линейную форму,
которую также обозначим через L;*.
N
L=2fl»^. J = l N- B0.8.13)
t = i J
Тогда
+ ... +^J. B0.8.14)
Это тождество действительно имеет место, так как в сумме L;.,
j=\ N, каждое слагаемое хг встречается с коэффициен-
коэффициентом 1 точно л-f-l раз, вследствие того что каждая точка лежит
точно на п-\-\ прямых. Каждое слагаемое вида 2xrxs встречается
в сумме Li+ ... -\-L?n только один раз, так как существует
ровно одна прямая Ly, содержащая точки Рт и Ps. Этим доказано
тождество B0.8.14). Предположим теперь, что пзе\, 2 (mod 4).
Тогда N — n2-\-n-\- 1^3(mod4). Заметим, что равенство B0.8.14)
можно переписать в виде
+ ... +xNy. B0.8.15)
В этом легко убедиться, заметив, что коэффициент при х\ в пра-
правой части равенства B0.8.15) равен (N—1 )/п = п -\~ 1. Произ-
Произведем замену переменных в равенстве B0.8.15), положив
426 Гл. 20. Теория групп и проективные плоскости
При этом переменные хь можно рационально выразить через yt.
Теперь* перепишем B0.8.15) в виде
у2+ ... +пу%. B0.8.17)
Применяем теорему Лагранжа о том, что любое натуральное
число можно представить в виде суммы квадратов четырех целых
чисел *). Имеем
+в2( B0.8.18)
а также знаменитое тождество Лагранжа:
Как видно из преобразований B0.8.19), величины zt, zl+v zi+2>
zi+3 рационально выражаются через y/f y/+1, y/+2, у/+3. Учитывая,
что A/r^3(mod4), и применяя тождества B0.8.18) и B0.8.19)
к равенству B0.8.17), получаем
Ц+.. . + L% = z\ + z\+ ... +z%_2 + n(zlr_l + z%). B0.8.20)
Заметим, что первоначально каждое из выражений Lj, J == 1 TV,
была линейной формой от переменных xt с рациональными (факти-
(фактически с целыми) коэффициентами, а поэтому они являются линей-
линейными формами с рациональными коэффициентами от перемен-
переменных у;, а значит, и от независимых переменных zx zN. Так
как равенство B0.8.20) является тождеством относительно пере-
переменных zt, оно останется справедливым, если некоторые из пере-
переменных zt специализировать как линейные комбинации остальных.
Пусть
N. B0.8.21)
Положим L1 = zv если ЬХФ\ и Lx = — zv если ^ = 1. При такой
специализации zx можно представить в виде линейной комбина-
комбинации от z2, . .., Zn с рациональными коэффициентами. Тогда
L\ — z\, и при нашей специализации zx получаем
Ll-\- ... +L2N = z\+ ... +z2N-2-\-n(z2N-1 + z2N). B0.8.22)
1) Доказательство этой теоремы можно найти, например, в книге
И. В. Арнольда „Теория чисел", Госучпедгиз, М., 1939. — Прим. перее.
20.8. Конечные плоскости. Теорема Брука — Райзера 427
Продолжая таким образом, получаем последовательно L2= ±22,
. . ., LN_2= ± zN_2 и выражаем линейно переменные z2, ..., zN_2
через последующие переменные. Наконец, получим
£ + L% = п (г%-г + г%). B0.8.23)
где LN_X u*LN — линейные формы от независимых переменных
zN_x и zN с рациональными коэффициентами. Придадим перемен-
переменным £yy-i и 2jy значения, равные целым положительным числам,
кратным общему знаменателю коэффициентов формы LN_X
и формы LN. Тогда в равенстве B0.8.23) будут фигурировать
только целые числа. Целое число п, являясь частным двух целых
3чисел, каждое из которых есть сумма двух квадратов в силу из^
вестного результата из теории чисел!), само представймо в виде
суммы двух квадратов. Теперь мы имеем
B0.8.24)
и теорема доказана. Существует частичное обращение этой тео-
теоремы.
Теорема 20.8.4. Если л = 0, 3(mod 4) или л=1, 2 (mod 4)
а2-\-Ь2, то существуют линейные формы L;., / = 1, . . ., N,
от xv . . ., xN с рациональными коэффициентами, такие,
что
Существует также квадратная рациональная матрица Л
порядка N, обладающая свойством ЛЛТ = ATA = nI~{-S.
Доказательство. Если м^О, 3(mod 4), мы можем, исполь-
используя равенства B0.8.18) и B0.8.19), привести соотношение B0.8.17)
к виду
? 2l & B0.8.25)
откуда видно, что линейные формы Li = zi1 конечно, удовлетво-
удовлетворяют теореме. Если я=1, 2 (mod 4) и п — а2-\-Ь2, мы можем
использовать тождество
B0.8.26)
вместо тождества B0.8.19), чтобы привести соотношение B0.8.17)
к виду B0.8.25). Если
h = 2 bifxit У=1 N9 B0.8.27)
2) См., например, Арнольд И. В., Теория чисел, Госучпедгиз, М„
1939. — Прим. пере в.
428 Гл. 20. Теория групп и проективные плоскости
— найденные линейные формы, то, полагая А = (#.,), /, j = 1, ...., Л/",
мы получаем
AAT = nI-+-S, B0.8.28)
однако, вообще говоря, АТА Ф nl + «S. Труднее показать, что
при условиях этой теоремы существует рациональная матрица Ау
удовлетворяющая обоим соотношениям ААГ = nI~{-S== АГА. Это
и даже несколько большее было показано Холлом и Райзером[1].
20.9. Коллинеации в конечных плоскостях
Если коллинеация а плоскости тс оставляет на месте две точки,
то она оставляет, также на месте прямую, соединяющую их; ана-
аналогично если коллинеация а не двигает две прямые, то она
оставляет неподвижной также точку их пересечения. Следовательно,
если коллинеация а оставляет на месте некоторый четырехуголь-
четырехугольник, то а отображает на себя некоторую собственную подплоскость,
плоскости тс. Следующая теорема дает некоторые сведения о воз-
возможных порядках подплоскостей.
Теорема 20.9.1. (Брук.) Если плоскость тс порядка п обла-
обладает подплосксстью тс* порядка т, то п = т2 или п^т2-\-т.
Доказательство. Пусть L — прямая подплоскости тс*, а Р—точка
прямой L, не принадлежащая тс*. Тогда т-\ 1 точек плоскости тс*
лежат на прямой L, а т2 точек этой же плоскости не лежат на
прямой L. Соединяя точку Р с каждой из этих т2 точек пло-
плоскости тс*, не принадлежащих L, мы получаем т2 прямых, про-
проходящих через точку Я, причем все они различны, так как если бы
две такие прямые совпадали, то эта прямая К содержала бы две
различные точки подплоскости тс* и, значит, принадлежала бы под-
подплоскости тс*. Но тогда точка Р как точка пересечения прямых К
и L была бы точкой подплоскости тс*, что противоречит пред-
предположению. Итак, через точку Р проходит не менее т2-\-\ пря-
прямых, а именно прямая L и т2 других прямых, соединяющих
точку Р с точками плоскости тс*. Следовательно, так как через
точку Я проходит п-\-\ прямая, п^-т2. Если пфт\ должна
существовать по крайней мере еще одна прямая Lv проходящая
через точку Я, но не проходящая ни через одну точку под-
подплоскости тс*. Рассмотрим теперь точки пересечения прямой Lx
с т2-\-т-^-\ прямыми плоскости тс*. Если бы какие-нибудь две
из этих точек пересечения совпали, то эта точка принадлежала бы
подплоскости тс*, что невозможно. Следовательно, прямая Lx
содержит не менее т2-\-т-\-\ точек. Поэтому п^-т2-\-т.
Нетрудно перечислить все подмножества S плоскости, которые
вместе с любой парой точек содержат соединяющую их прямую
и которые вместе с любой парой прямых содержат их пересечение.
20.9. Коллинеации в конечных плоскостях 429
Во-первых, если множество S содержит четыре точки, никакие
три из которых не лежат на одной прямой, то множество S яв-
является подплоскостью. Остальные такие подмножества называются
вырожденными подплоскостями. Вот они:
1) пустое множество;
2) единственная точка Я и, возможно, одна или несколько
прямых, проходящих через точку Я;
3) единственная прямая L и, возможно, одна или несколько
точе,к, лежащих на прямой L\
4) единственная точка Р и единственная прямая L, не про-
проходящая чере'з точку Я;
5) вершины и стороны треугольника;
6) прямая L, точка Я на ней, одна или несколько точек на
прямой L и одна или несколько прямых, проходящих через
точку Я;
7) прямая L, содержащая три или более точек, отдельная
ToWa Я, не лежащая на прямой L, и прямые, соединяющие точку Я
с точками прямой L.
Коллинеация а является подстановкой множества точек и под-
подстановкой множества прямых плоскости тс. Пусть Я — подстановка
множества точек, a Q — подстановка множества прямых. Обе эти
подстановки запишем как квадратные матрицы порядка N. Здесь,
как обычно, iV=M2 + M + l. Обозначим,
B0-9Л)
где р..= \, если Я/а = Я;., и д^=\, если Q.a = Qj, a в осталь-
остальных случаях p.j = Q, qt~0. Тогда
P-*AQ=A, B0.9.2)
где А = (ау) — матрица инцидентности плоскости тс. Обратно, если
существуют мономиальные матрицы Я и Q, состоящие из нулей и
единиц, подчиненные условию B0.9.2), то они определяют колли-
неацию плоскости тс.
' Теорема 20.9.2. (Паркер [1].) Подстановка Я множества
точек а подстановка Q множества прямых для произволь-
произвольной коллинеации подобны как подстановки.
Следствие 20.9.1. (Бэр.) Коллинеация оставляет на месте
равное число точек и прямых.
Доказательство. Так как
ААГ= ATA = nI + S, B0.9.3)
то
JnN-\ B0.9.4)
430 Гл. 20. Теория групп и проективные плоскости
откуда видно, что матрица А невырожденная. Теперь равен-
равенство B0.9.2) принимает вид
B0.9.5)
т. е. матрицы Р и Q подобны. Поэтому матрицы Р и Q, рас-
рассматриваемые как представления некоторой циклической группы,
обладают одними и теми же неприводимыми составляющими.
Однако, приводя цикл (#х хг) длины г любой из этих под-
подстановок, мы находим, что характерами этих неприводимых со-
составляющих являются 1, С, С2 С, где С — первообразный
корень степени г из единицы. Но это означает, что корень сте-
степени m из единицы является характером подстановки Р кратно-
кратности ат, где ат — число циклов подстановки Р, длина которых
кратна т. Так как эти кратности ат одинаковы для подстановок Р
и Q, отсюда следует, что подстановки Р и Q имеют одинаковое
число циклов каждой длины т. Поэтому Р и Q подобны как под-
подстановки. В частности, отсюда получается следствие, в котором
утверждается, что подстановки Р и Q имеют одинаковое число
циклов длины 1, т. е. имеют одинаковое число элементов, оста-
оставляемых ими на месте.
Теорема 20.9.3. (Паркер.) Группа колланеаций G плоскости тс,
рассматриваемая как группа подстановок множества точек
плоскости т: и как группа подстановок множества прямых
плоскости тс, обладает одним и тем же числом областей
транзитивности t
Доказательство. Пусть группа G имеет порядок g. Она пред-
представляется группой подстановок Gx множества точек и группой
подстановок G2 множества прямых, причем, согласно равен-
равенству B0.9.5), эти представления эквивалентны. Пусть Xv Х2~~ха"
рактеры этих представлений, тогда
Sxi(*)= 2 &>(*)• B0.9.6)
x£G x£Q
Но, согласно теореме 16.6.13,
где kx — число областей транзитивности группы Gx и k2—число
областей транзитивности группы G2: Поэтому kx = k2l и теорема
доказана. Хотя, как видно из предыдущей теоремы, каждая от-
отдельно взятая подстановка группы Gx подобна соответствующей
подстановке из группы G2, в целом неверно, что группы Gj и О2
подобны как группы подстановок. Например, в дезарговой пло-
плоскости группа всех коллинеаций, отображающих точку Ро в себя,
не оставляет неподвижной ни одной прямой.
20.9. Коллинеации в конечных плоскостях 431
Теорема 20.9.4. Группа коллинеации дезарговой пло-
плоскости тс порядка п — рг имеет порядок
1) (л2 + л) п2(п — IJ.
Доказательство. В плоскости тс число упорядоченных четве-
четверок точек Pv Р2, Я3, Я4 равно (я2-)-#-+- 1)(л2-f~Л)л2(Л—IJ»
так как в качестве точки Рг можно выбрать любую юп2-\-п-\- 1 то-
точек, в качестве Я2 —любую из оставшихся точек, в качестве Р3 —
любую из п2 точек, не принадлежащих прямой РгР2, и в каче-
качестве Р4—любую из (п—IJ точек, не лежащих ни» на одной из
прямых РгР2, Р\Р& -^VY ^ СИЛУ теоремы 20.5.5 группа колли-
коллинеации G плоскости тс транзитивна на четырехугольниках. Под-
Подгруппа группы G, отображающая в себя четырехугольник XYOI,
является группой автоморфизмов поля Галуа GF(pr), служащего
системой координат плоскости тс, а она, как отмечалось в § 20.6,
имеет порядок г.
Теорема 20.9.5. (Зингер [1].) Дезаргова плоскость тс по-
• рядка п обладает коллинеацией а порядка N = п2-\-п-\-\,
циклической и на множестве точек, и на множестве прямых.
Доказательство. Пусть п — рг. Тогда на плоскости тс можно
ввести координаты при помощи поля GF(pr) = F. Плоскость тс
удобно представить в однородных координатах. Точка Р задается
координатами
P = (kxlt\xv\x£, B0.9.8)
где xv jc2, хъ — фиксированные элементы из поля /\ не все рав-
равные нулю, а X пробегает все ненулевые элементы из поля F.
Аналогично прямая L задается координатами
L=[ulV., tf#, titf.]. B0.9.9)
где uv u2, иъ — фиксированные элементы из /\ не все равные
нулю, а [х пробегает все ненулевые элементы поля/7. P^L тогда
и только тогда, когда
х гаг + х2и2 + *зйз = °- B0-9-10)
Так как F — поле, отношение инцидентности B0.9.10) не зависит
от выбора * значения X в B0.9.8) и значения [х »в B0.9.9). Одно-
Однородные координаты отождествляются с неоднородными следующим
образом:
(оо) = @. К 0),
(т) = (Х, \т, 0),
(a, b) = (ka, M, X), B0.9.11)
А» = [0. 0, ц].
(х=с) = [\ь, 0, —qj.],
432 Гл. 20. Теория групп и проективные плоскости
Без труда проверяется, что представление плоскости тс однород-
однородными координатами согласуется с представлением неоднородными
координатами. Поле GF (р3г) = Fx можно рассматривать как
кубическое расширение поля F = GF (//), и если w—первообраз-
w—первообразный корень поля Fv то любой элемент х поля Fx обладает
единственным представлением в виде
х = хх + x2w + x3w2, xc£F. B0.9.12)
Следовательно, если х Ф 0, Х^/7, X Ф 0, то элементы \х поля Fx
соответствуют точкам (kxle Xjt2, Хд:3) плоскости тс. Но в поле Рг
порядок элемента w равен р'3г—1=я3—1. Элементами поля F
являются решения в поле Fx уравнения
хРг=х, B0.9.13)
откуда для x£F, хФО, учитывая, что рг = п, получаем
хп'1 = \. B0.9.14)
Таким образом, множество F* (ненулевых элементов поля F) со-
состоит из элементов единственной подгруппы порядка п — 1 ци-
циклической группы [w] порядка пъ—1. Следовательно, группа F*
состоит из элементов
wNit N=n2 + n+\. , B0.9.15)
Поэтому элементы wa и wv представляют одну и ту же точку
плоскости тс тогда и только тогда, когда
u=v(modN). B0.9.16)
Следовательно, отображение а
x->xw, B0.9.17)
определенное для элементов поля Fv является циклической подста-
подстановкой степени 7V множества точек плоскости тс. Если Рг =
^=(хьх2,хг) и P2 = (yv y2, уг) — две различные точки, то, как
нетрудно проверить, координаты точек прямой РХР2 задаются
следующим образом:
з). B0.9.18)
где \г и Х2 — произвольные элементы поля Z7, не равные одно-
одновременно нулю. Следовательно, если wl = хг + x2w + хг12J,
wi— y^-^y^jf-ygsP^ то координаты точек прямой РХР2 одно-
однозначно определяются величинами
B0.9.19)
.20.9. Коллинеации в конечных плоскостях • 433
Тогда отображение x->xw переводит точки B0.9.19) прямой
в точки
\xwi+1-+-l2wJ+\ B0.9.20)
поиналлежащие прямой, соединяющей точки Рхси и Р2а. Следо-
Следовательно, отображение а есть коллинеация плоскости тс, действую-
действующая на множестве точек как цикл длины N. Нетрудно заметить
(например, с помощью теоремы 20.9.2), что а есть также цикл
длины N на множестве прямых плоскости тс.
Можно указать грубую верхнюю оценку порядка группы G
коллинеации плоскости тс порядка п. Упорядоченная четверка
точек Рг, Р2, Р3, Р4 имеет не более М—(п2-]-п-\-\) (п2-\-п) п2(п — \J
образов. Подгруппа Нх индекса <^ М, отображающая четверку
Рг, Р2, Р3, ^4 в се^я, отображает также на себя подплоскрсть тс1§
порождаемую этими точками. Если подплоскость тсх имеет поря-
порядок пгь то подгруппа Нх переставляет п — тх точек на каждой
прямой плоскости тс, не являющихся точками подплоскости тс1#
Подгруппа #2 индекса ^ п — пгх группы Hv оставляющая на
месте одну из этих точек, отображает в себя большую подпло-
подплоскость тс2 порядка т2, где в силу теоремы 20.9.2 w2>- т\л
Мы получаем, таким образом, убывающую цепочку подгрупп
HxzdH^p .. ,zdHs= \, в которой подгруппа Ht отображает на
себя подплоскость порядка mit причем т1+1 ^ tnf и \Hi : Н., Л< п.
Отсюда 5 <С log2 я, и порядок группы G не больше nsM. Порядки
групп коллинеации известных недезарговых плоскостей не пре-
превосходят порядков групп коллинеации дезарговых плоскостей
того же порядка, и кажется, что это имеет место всегда.
Две следующие теоремы показывают, что если в некотором
смысле группа коллинеации конечной плоскости достаточно ве-
велика, то эта плоскость дезаргова.
Теорема 20.9.6. (Глисон [1].) Если для любой пари Р, L
точки Р и содержащей ее прямой L конечной плоскости тс
группа элаций G(P, L) нетривиальна, то плоскость тс дезаргова.
Доказательство. Согласно теореме 20.4.3, если две группы
элаций G(PV L) и G(P2, L), где Рг и Р2 — различные точки пря-
прямой L, нетривиальны, т. е. не являются единичными группами, то
все элации с осью L образуют абелеву группу, в которой все
элементы, отличные от 1, имеют один и тот же простой поря-
порядок р. В силу принципа двойственности, если группы G(P, Lx)
и G(P, L2) нетривиальны, где Lx и L2 — различные прямые, пере-
пересекающиеся в точке Р, то все элации с центром Р образуют абелеву
группу, состоящую из элементов простого порядка р. Следовательно,
при условиях настоящей теоремы любая группа элаций G (P, L)
является элементарной абелевой группой, порядок которой равен
простому числу р или его степени.
28 М. Холл
434 Гл. 20. Теория групп и проективные плоскости
Лемма 20.9.1. Пусть Н —группа подстановок некоторого
конечного множества S, причем такая, что для некоторого
простого числа р и каждого элемента x£S существует эле-
мент порядка р из группы Я, оставляющий на месте только
этот элемент х множества S. Тогда группа Н тран-
зитивна.
Доказательство. Рассмотрим область транзитивности Sx мно-
множества S относительно группы Н. Для х £ Sx существует элемент
группы Н порядка р, оставляющий неподвижным х и разбиваю-
разбивающий все остальные символы на циклы длины р. Следовательно,
число элементов в области Sx сравнимо с 1 по модулю р, & число
элементов в другой области транзитивности S2 (если она суще-
существует) кратно р. Но тогда, выбрав некоторый элемент у £ S2,
аналогичными рассуждениями получаем, что число элементов обла-
области транзитивности Sx кратно р. Полученное противоречие пока-
показывает, что множество S содержит одну область транзитивности,
т. е. что группа Н транзитивна.
Лемма 20.9.2. Пусть для прямой L конечной плоскости тс
и для всех точек Pt прямой L группы элаций G (Pt, L) имеют
один и тот же порядок h > 1. Тогда тс — плоскость трансля-
трансляций относительно прямой L.
Доказательство. Пусть плоскость тс имеет порядок п. Пере-
Пересечение любых двух из п-\-\ групп G(Pt, L), каждая из кото-
которых имеет порядок /г, состоит из единичной подгруппы, а объ-
объединение этих п-{-\ групп образует группу трансляций T(L).
Следовательно, порядок группы T(L) равен t = (n-{- 1)(/г — 1) + 1.
Так как только единица группы T(L) может оставлять неподвиж-
неподвижной точку, не принадлежащую прямой L, группа T(L) переста-
переставляет п2 точек таким образом, что каждая область транзитивности
состоит из t точек, откуда t делит я2, т. е.
п2 = tm = [(n + 1) {h — 1) + 11 rn. B0.9.21)
Но /г > 1, поэтому т<^п. С другой стороны, рассматривая ра-
равенство B0.9.21) по модулю /i-f-1, имеем
- B0.9.22)
Но из соотношений т= \(то&п-{-\) и т < п следует, что т= 1,
t = n2, т. е. группа T(L) транзитивна на п2* точках плоскости тс,
не принадлежащих прямой Z, и поэтому тс — плоскость трансля-
трансляций относительно прямой L.
Теперь мы в состоянии доказать нашу теорему. Зафиксируем
прямую L плоскости тс. Для каждой точки P£L группа эла-
элаций G(P, Ж), где М Ф L — другая прямая, проходящая через
точку Я, содержит элемент порядка р, оставляющий .на месте
точку Р и отображающий прямую L на себя, причем так, чтоР-—
20.9. Коллинеации в конечных плоскостях 435
единственная точка прямой L, остающаяся неподвижной. Следо-
Следовательно, в силу леммы 20.9.1 группа G(L) всех коллинеации,
оставляющих прямую L инвариантной, транзитивна на множестве
точек прямой L. Отсюда теперь следует, что для п +1 точек Pt
прямой L все группы элаций G(Pt, L), являясь хопряженными
относительно группы G (L), имеют один и тот же порядок h. Со-
Согласно лемме 20.9.2, отсюда следует, что тс— плоскость трансляций
относительно прямой L. Но L— произвольная прямая плоскости тс.
Значит, тс — плоскость трансляций относительно любой прямой L.
Поэтому, согласно теореме 20.5.3, системой координат плоскости тс
может служить альтернативное тело. По теореме 2.0.6.2 конечное
альтернативное тело является полем. Поэтому плоскость тс дезаргова.
Глисон [1] использовал эту теорему для изучения конечных
плоскостей Фано (Fano). Конфигурация Фано состоит из семи то-
точек и семи прямых, образующих конечную плоскость порядка 2.
Под плоскостью Фано понимается плоскость, в которой диагональ-
диагональные точки любого четырехугольника лежат на одной прямой, или,
что то же самое, плоскость, в которой любой четырехсторонник
порождает конфигурацию Фано. Глисон показал, что любая ко-
конечная плоскость Фано дезаргова и является конечной плоскостью
над полем GF(p2), Из-за недостатка места мы не можем дока-
доказать здесь этот очень интересный результат.
Б^дем называть коллинеацию порядка 2 инволюцией.
Теорема 20.9.7. (Бэр.) Пусть а — инволюция проективной
плоскости порядка п. Тогда или A) п = т2 и точки и пря-
прямые, инвариантные относительно а, образуют подплоскость
порядка т, или B) а — центральная коллинеация. В случае
B), если п нечетно, то а— гомология, а если п четно, то
а — элация.
Доказательство. Покажем сначала, что каждая точка лежит
на некоторой прямой, инвариантной относительно а. Если точка Р
не остается на месте под действием а, то Ра Ф Р и коллинеация а
оставляет неподвижной прямую РРа, являющуюся поэтому иско-
искомой. Если же Р — неподвижная точка, соединяем ее с другой
точкой Q. Может случиться, что прямая L = PQ неподвижна.
Если нет, предположим, что Qa ф Q, Qa(fcPQ, и пусть La = PQ(x.
Если затем R — третья точка на прямой L, то Ra £ La. Тогда инволю-
инволюция а отображает прямые QaR и QRa друг в друга. Значит, точка
их пересечения S — вторая неподвижная точка, отличная от Р.
В этом случае PS—искомая неподвижная прямая, проходящая
через точку Я. В силу принципа двойственности любая прямая
проходит через инвариантную относительно а точку.
Прямая, соединяющая две инвариантные точки, также инва-
инвариантна относительно а, а пересечение двух инвариантных пря-
прямых— инвариантная точка. Поэтому если существует четверка
28*
436 Гл. 20. Теория групп и проективные плоскости
инвариантных точек, никакие три из которых не лежат на одной
прямой, то инвариантные относительно а элементы плоскости тс
образуют собственную подплоскость тсх. Предположим, что мы
имеем этот случай и что порядок подплоскости tcj равен т* Тогда,
по теореме 20.9.1, п^-т2, однако из доказательства этой тео-
теоремы видно, что в случае я>т2 .существует прямая плоскости тс,
не проходящая ни чефез одну точку подплоскости тсх. Но, как мы
показали, любая прямая плоскости тс содержит инвариантную от-
относительно а точку. Следовательно, п не больше т2, откуда
п — т2. Этим завершается рассмотрение случая A) нашей теоремы.
Предположим теперь, что не существует четверки инвариант-
инвариантных точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой.
Что представляет из себя тогда конфигурация точек, инвариант-
инвариантных относительно а? Покажем сначала, что существует прямая,
содержащая три такие точки. Пусть прямая Lx содержит инва-
инвариантную точку Рг. Выберем прямую L2, не проходящую через
точку Рг. Прямая L2 содержит инвариантную точку Р2 ф Р\- Мы
имеем теперь две инвариантные точки Pv P2 и соединяющую их
инвариантную прямую L Выберем на прямой L третью точку Q.
Если Q — инвариантная точка, то L — искомая прямая. Если же
Q — неинвариантная точка, то некоторая прямая L3, проходящая
через точку Q, содержит некоторую точку Р3» не принадлежащую
прямой L. Мы имеем теперь треугольник с инвариантными вер-
вершинами Pv P2, Я3« Рассмотрим прямую L4, не проходящую ни
через одну из точек Рг, Р2, Ръ. Прямая L4 содержит некоторую
инвариантную точку Р4. Если точка РА не лежит ни на одной из
прямых РгР2, Р\Р& ^2^3» то Pv Pv ^з» ^4 — четверка инвариантных
точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, но
эта ситуация относится к уже рассмотренному случаю A). Сле-
Следовательно, точка РА лежит на одной из этих трех прямых, яв-
являющейся искомой прямой, содержащей три инвариантные точки.
Теперь в нашем распоряжении прямая Z,, содержащая три ин-
инвариантные точки Рг, Р2, Ръ. Если бы имелось более одной не-
неподвижной точки, не принадлежащей прямой L, то существовала бы
четверка инвариантных точек, никакие три из которых не лежат
на одной прямой, но эту возможность мы включили в случай A).
Поэтому вне прямой L или есть только одна неподвижная точка Я,
или нет ни одной. Рассмотрим теперь произвольную точку Pt £ L.
Черкез точку Pt проходит некоторая прямая /С, отличная от L,
а если существует инвариантная точка P£L, то прямая К отлич-
отлична от прямой PPt. Прямая К содержит одну инвариантную точку,
но по построению не содержит инвариантных точек, лежащих вне
прямой Л. Следовательно, неподвижной точкой прямой К является
точка Pt, откуда следует, что любая точка Pt прямой L инвари-
инвариантна. Так как инволюция а оставляет на месте каждую точку
20.9. Коллинеации в конечных плоскостях 437
прямой L, то а — центральная коллинеация с осью L, что и тре-
требовалось для доказательства утверждения B). Вне прямой L ле-
лежат п2 точек гаюскости тс, а порядок коллинеации а равен 2. Сле-
Следовательно, если п нечетно, инволюция а оставляет на месте не-
некоторую точку вне прямой L, т. е. является гомологией. Если же
п четно, а оставляет на месте четное число точек, не лежащих
на прямой L, и поэтому оставляет на месте не менее двух таких
точек, если оставляет хоть одну. Следовательно, в этом случае
инволюция а не оставляет неподвижной ни одной точки вне пря-
прямой L и является поэтому элацией. Этим доказательство теоремы
закончено.
Следующая теорема является небольшим уточнением теоремы
Острома [1], дополнительно предполагавшего, что п нечетно.
Теорема 20.9.8. (Остром.) Если группа коллинеации конеч-
конечной проективной плоскости тс, порядок которой п не явля-
является квадратом, дважды транзитивна на множестве точек
плоскости тс, то плоскость тс дезаргова.
Доказательство. Пусть G — группа коллинеации плоскости тс.
По условию группа О дважды транзитивна на множестве N=
= п2-\-п-\-\ точек плоскости тс. Так как число N(N—1) де-
делит порядок группы G, эта группа содержит элемент порядка 2,
т. е. инволюцию а. Так как п не является квадратом некоторого
числа, то в силу теоремы 20.9.7 отсюда следует, что а — эладия,
если п четно, и что а — гомология, если п нечетно.
Лемма 20.9.3. Группа G содержит элацию.
Доказательство. Если п четно, инволюция а является эла-
элацией. Поэтому^йостаточно рассмотреть лишь случай, когда п не-
нечетно. Рассмотрим инволюцию а, являющуюся гомологией. Пусть
точка Р— ее центр, прямая L — ее ось. Пусть А — точка на пря-
прямой L, Аг Ф Р — точка вне прямой L. Тогда в группе О сущест-
существует элемент о, отображающий Р в Р, А в Аг. В таком слу-
случае р = а~1ао — инволюция с центром. Р и с осью /С, проходящей
через точку А1 и поэтому отличной от L. Поэтому ар — централь-
центральная коллинеация, так как она оставляет неподвижными все пря-
прямые, проходящие через точку Р. Если коллинеация р = аC остав-
оставляет на месте некоторую прямую 7, не содержащую точку Р,
положим Тх = 7а. Тогда элемент E должен также отображать
друг в друга прямые Т и Тъ а если Тф Тъ отображение р дол-
должно оставлять на месте прямые Т и Tv откуда, согласно тео-
теореме 20.4.1, р=1 и а = р, что невозможно, так как а и E — ин-
инволюции с разными осями. Но если Т= Тг, то Т—ось инволюции а,
а также инволюции р, что опять-таки невозможно, так как инво-
инволюции аир имеют разные оси. Итак, коллинеация р не остав-
оставляет на месте ни одной прямой, не проходящей через точку Р,
и является, следовательно, элацией. Этим лемма доказана.
29 М. Холл
438 Гл. 20. Теория групп и проективные плоскости
Мы можем теперь рассмотреть элацию р с центром Р и осью L.
Пусть Pt — произвольная другая точка прямой L. Тогда в группе G
существует элемент а, отображающий друг в друга точки Р и Pt
и, следовательно, отображающий прямую L на себя. Поэтому
группа G(L) коллинеаций, оставляющих на месте прямую L тран-
зитивна на множестве точек прямой L, и поэтому для всех то-
точек Рь прямой L группы элаций G (Pt, L) имеют один и тот же
порядок h, причем /г>1, так как р — элация, обладающая цент-
центром Р и осью L. В силу леммы 20.9.2 к теореме 20.9.6, тс —
плоскость трансляций относительно оси L. Но так как группа G
дважды транзитивна на множестве точек, то любые две точки
прямой L могут быть отображены подходящим элементом из G
в две точки любой другой прямой /С. Следовательно, тс — также
плоскость трансляций относительно прямой К и потому — муфан-
гова плоскость. Но, как было показано при доказательстве
теоремы 20.9.6, это означает, что плоскость тс дезаргова.
В еще неопубликованной работе А. Вагнера (A. Wagner) пока-
показывается, что теорема 20.9.8 справедлива без всяких ограничений
на п.
Хьюгес [3] обобщил понятие матрицы инцидентности плоскости.
Если даны плоскость тс и группа G коллинеаций этой плоскости,
то элементами этой матрицы являются элементы группового
кольца G* группы G, причем групповое кольцо G* берется над/
кольцом Целых чисел или над полем, характеристика которого
не делит порядок группы G. Для такой матрицы могут быть по-
получены аналоги уравнений инцидентности B0.9.3). Напомним, что,
согласно теореме 20.9.3, число областей транзитивности на мно-
множестве прямых относительно всех элементов группы G равно
числу областей транзитивности на множестве точек. Обозначим
это число через w и выпишем употребляемые нами обозначения:
тс — данная проективная плоскость порядка п,
G — группа коллинеаций плоскости тс, порядок ко-
которой равен gt
p.t i= 1, ..., wt —фиксированный представитель /-й области
транзитивности множества точек,
X., J = 1, ..., wt — фиксированный представитель у'-й области
. транзитивности множества прямых,
Нь — подгруппа группы G, оставляющая непо-
неподвижной точку Рь и имеющая порядок hv
Tj — подгруппа группы G, оставляющая непо-
неподвижной прямую Lj и имеющая порядок tj,
Dtj = [х | х £ G, Ptx £ Lj} — множество элементов dj,
группы G,
20.9. Коллинеации в конечных плоскостях 439
.— 2*. x£Dii% B0.9.23)
2
= (8/у). Л У = 1 «i, — матрица над О*,
(8*у)Г. /, У = 1 «I, — матрица над О*,
т;. = 2 х, х £ Гу, уг = 1, . . ., w,
т=2 *. * 6 °»
5 — матрица порядка «i, каждый элемент которой равен f.
Нам понадобятся также следующие диагональные матрицы;
= диаг.(Р1, р2 Pw). B0.9.24)
Заметим, что знание множеств D^ таких элементов х группы G,
что Ptx£Ljt полностью определяет отношения инцидентности пло-
плоскости тс, так как любая точка плоскости тс может быть запи-
записана как образ Р^и некоторой точки P.li=\1 ..., wt при ото-
отображении а £ G и аналогично любая прямая представйма как
образ LjV. При этом Ptu £ LjV тогда и только тогда, когда
Piitv~l£bj или uv~l£Dij. Следовательно, задание матрицы *D
полностью определяет плоскость тс. Если G — единичная группа,
то D — матрица инцидентности Л плоскости тс.
Теорема 20.9.9. Если тс — плоскость порядка п и G —
группа коллинеации плоскости тс порядка g, то матрица
коллинеации D обладает следующими свойствами:
DC2D'=:nP-+-S.
D'C1D = nL-±-S9
DC2S = (п + 1) S. B0.9.25)
Доказательство. Первое равенство мы докажем, вычисляя
элементы матрицы U = DC2D', причем вычислим сначала элементы
главной диагонали, а затем — остальные. Если U = (uns)l rt s —
= 1. ...э w* то имеем
'-^IL. {20.9.26)
29*
440 Гл. 20. Теория групп и проективные плоскости
В сумме B0.9.26) у'-е слагаемое равно
B0.9.27)
Заметим, что для x£Drj полный двойной смежный класс HrxTj
содержится в Drj-. Рассмотрим левые смежные классы по под-
подгруппе Нг группы G:
G = tfr + tfrx2 + ... +HrxVf.vrhr = g. B0.9.28)
Для произвольного элемента h£HT справедливо, в силу включе-
включения HryczDrp соотношение xy~1 = h, или x = hy, где элемент
y£Drj произвольный, a x£Drj — подходящим образом выбран-
выбранный элемент. Следовательно, для данного элемента h£Hr суще-
существуют drj таких возможных пар x,y£Drj, что xy~l = h. По-
Поэтому в сумме B0.9.26) коэффициент при h равен ^drj/tj. Но
drj — число таких элементов х, что Prx£Lj, или Pr£L.x~l. Для
x£Drj число различных прямых в множестве LjX равно drj/tj.
Но точка Рт принадлежит ровно л -f-1 прямым, следовательно,
B0.9.29)
Поэтому в сумме B0.9.26) коэффициент при h£Hr равен п-\-\.
Рассмотрим теперь уравнение ху'1 =z, z£Hr. Далее Pr, PTz —
различные точки, лежащие, следовательно, на вполне определен-
определенной прямой Lmvt где индекс m и смежный класс Tmv однозначно
определены. Если для некоторого j x£Drj и y£Drj, то точки
Ргу и Przy = Prx лежат на прямой Lmvy. Но Pry£Lj, Prx£Lj
и Ргх Ф Рту. Следовательно, Lmvy = Ljt откуда j = m, vy£ Tm.
Поэтому в сумме B0.9.26) элемент z возникает только в сла-
слагаемом с j = mt при этом если х, y£Drmt то xy = z для лю-
любого элемента y£Drm, так что Ьтуг = Lmv = PrPrz и элемент
x£Drm определяется равенством x = zy. Но элементы у таковы,
что у принадлежит смежному классу Tmv и принимает ровно
tm значений. Следовательно, в сумме B0.9.26) коэффициент при z
равен tjtm=\. Таким образом, в сумме B0.9.26) коэффициент
при h£Hr равен я+1, а при z£Hr равен 1. Этим мы установили
равенство элементов на главной диагонали у матриц DC2Dr и
nP-\-S. Для недиагональных элементов матрицы U = DC2D'
мы имеем
w Ь -Ь*
^JT' B0.9.30)
20.9. Коллинеации в конечных плоскостях 441
причем у'-е слагаемое имеет вид
x£Drf.y€Dsi. B0.9.31)
Теперь для произвольного элемента z£G точки Prz и Ps раз-
различны и полностью определяют соединяющую их прямую Lmvt
где индекс m и смежный класс Tmv определены однозначно. Если
xy~l=z, где для некоторого j x£Drj, y£DSJ., то точки Ргх =
= Przy и Psy лежат на прямой Lmvy. Но точки РтхфР8у ле-
лежат на прямой Lj. Следовательно, L. = Lmvy, откуда j — m и
Ljy = Lmv = PrPsz. Но эти элементы у таковы, что у'1 при-
принадлежит смежному классу Tmv и принимает ровно tm значений.
При этом для любого элемента y~l£Tmv имеем Lmvy = Lm и
Przy £ Lm, откуда х = zy £ Drm. Следовательно, в сумме яГ5 коэф-
коэффициент при любом г равен tmjtm= 1, и поэтому яг>у = 2'г' ^б^»
т. е. urs = ^t что и требовалось для доказательства первого из
соотношений B0.9.25).
Второе из соотношений B0.9.25) двойственно первому, и его
доказательство можно провести аналогичным образом.
Вычисляя элементы матрицы DC2S = V = (vrs), находим
но,*согласно равенству B0.9.29), это равно (^+ОТ- Этим про-
проверено третье соотношение, четвертое же двойственно третьему
и доказывается аналогично.
Исходя из соотношений B0.9.25), Хьюгес получил ограниче-
ограничения для возможных коллинеации плоскости, аналогичные ограни-
ограничениям теоремы Брука — Райзера. Доказательство их основано (как
и оригинальное доказательство Брука—Райзера) на глубоких ре-
результатах Хассе — Минковского о рациональной эквивалентности
квадратичных форм. В частности, он получил следующий результат.
Теорема 20.9.10. (Хьюгес.) Пусть ти — плоскость порядка п,
для которого выполнены условия Брука—Райзера, G — неко-
некоторая группа коллинеации плоскости ти нечетного простого
порядка р, и пусть число п точек, инвариантных относи-
относительно G, четно. Тогда для существования такой коллинеа-
коллинеанеобходимо, чтобы уравнение
имело целочисленное ненулевое решение х, у, z.
Такой же результат справедлив для группы коллинеации G не-
нечетного порядка g (не обязательно простого), если все элементы
Г1>уппы G, кроме 1, переставляют те же самые точки.
442 Гл. 20. Теория групп и проективные плоскости
Теорема Хьюгеса, подобно теореме Брука — Райзера, отрицает
существование определенных коллинеаций, но она, разумеется, не
гарантирует существование коллинеаций, удовлетворяющих этим
условиям.
Основное содержание следующей теоремы состоит в том, что
если плоскость тс обладает некоторой группой G коллинеаций, то
эта плоскость должна обладать еще другими коллинеациями опре-
определенного типа. При этом предположим, что группа G имеет про-
простое строение. Точнее, мы будем предполагать, что группа G тран-
зитивна и регулярна на множестве всех N = п2 -(- п -J- 1 точек
плоскости тс и что группа G абелева. Этот результат был впервые
получен Холлом 43] Для группы G порядка N, переставляющей
циклически N точек плоскости тс. Брук [1] обобщил его на случай
транзитивной и регулярной группы G, но должен был предпо-
предположить вдобавок, что группа G абелева, для того чтобы получить
тот же результат. Гофман [1] получил аналогичный результат,
предположив, что группа G переставляет циклически п2—1 точек
плоскости тс, не принадлежащих прямой Loo и отличных от начала
координат.
Предположим, что мы имеем абелеву группу G коллинеаций
плоскости тс порядка п, являющуюся транзитивной и регулярной
на N точках плоскости тс. Тогда, если Р — инвариантная точка,
плоскости тс, любая точка имеет единственное представление вида
Pxt x£G. Если целое число t взаимно ^просто с N, то отобра-
отображение х->х* для всех x£G, очевидно, является автоморфизмом
группы G. Если, далее, для любого элемента х £ G отображение
рх->Рх* — коллинеация плоскости тс, то число t назовем мно-
множителем плоскости тс. Очевидно, что множители образуют муль-
мультипликативную группу по модулю N.
Теорема 20.9.11. Если плоскость тс порядка п обладает
абелево.й группой коллинеаций G, являющейся транзитивной
и регулярной на множестве всех N точек плоскости тс, то
любое простое число р, делящее п, является множителем
плоскости тс.
Доказательство. При наших предположениях множество то-
точек, как и множество прямых, состоит из одной-единственной
области транзитивности относительно коллинеаций группы G. По-
Поэтому можно выбрать *в множестве точек один представитель Р =
= Р1, а в множестве прямых один представитель L = LV и если
Dn=[xv х2 хп+1), *,€О, то Рхь (/=1. .... я+1) —
точки прямой Lv Тогда хги xn+iu> и£@>—элементы
группы G. При этом ЕУ = Ъп, D = 8*i;
и> B0.9.33)
20.9. Коллинеации в конечных плоскостях 443
Матрицы Сг и С2 в этом случае равны единичной. Первые два из
соотношений B0.9.25) принимают вид
DD' = D'D = n- 1-И. B0.9.34)
Последние два из соотношений B0.9.25) указывают только на то,
что суммы Ои D' состоят из п-\-\ слагаемых. Чтобы доказать,
что отображение Рх —> Рхр — коллинеация плоскости тс, достаточно
убедиться в том, что точки Рхр, РхР ^хп+г лежат на одной
прямой. Для этого мы должны показать, что для некоторого эле-
элемента и £ О
D(p) = xf+ ... +*£+1 = (*1-Ь ... +*„+!)«. B0.9.35)
так как произвольная прямая Lu состоит из точек Рхги, Рх2и, ...
..., Рхп+1и. Обратно, если справедливо равенство B0.9.35), то
Pxpt ..., Рхр+1— точки прямой Lu, откуда вообще следует, что
P{xxv)p P(xn+1v)p— точки прямой Luvp, и поэтому отобра-
отображение Рх->Рхр — коллинеация, а простое число р — множитель
плоскости тс.' Для доказательства этой теоремы мы будем рассма-
рассматривать групповое кольцо G* группы О над кольцом целых чисел.
Тогда G* по модулю р — это групповое кольцо О* с коэффи-
коэффициентами по модулю р. Имеем
.. .+xn+1)p=Dp(modp), B0.9.36)
так как мультиномиальные коэффициенты делятся на р и так как
группа О абелева. Предположение абелевости группы О исполь-
используется здесь, а также в соотношении (xtv)p= xPvp, и утвержде-
утверждении, что отображение х->хр является автоморфизмом группы О.
Заметим, что так как р\п и N = /t2-f-/t+1, справедливо равен-
равенство (р, N)=\. Так как р\п, из равенства B0.9.34) получаем
DD' = ^ (mod p). B0.9.37)
Отсюда, умножая на Dp~l, получаем, что
. D(P)D' = Dp~\ = (п + 1)Р"Т = т (mod p). B0.9.38)
Следовательно, из равенства B0.9.36) получается сравнение
DWD' = т (mod p). ■ B0.9.39)
Отсюда
D(/7)D/ = T4-p/?, B0.9.40)
где (и это существенно для нашего доказательства) коэффициенты
в выражении R при элементах группы — неотрицательные целые
числа, так как в произведении D(p)D' все коэффициенты неотри-
неотрицательны ив силу сравнения B0.9.38) каждый член а^,
444 Гл. 20. Теория групп и проективные плоскости
обладает коэффициентом at = 1 (mod/?), at^0. Итак, a^l и
{at—I/)p — неотрицательный целый коэффициент при элементе ut
в выражении R. Далее, отображение х-+х~1, х £ G, является
автоморфизмом группы G, определяющим, следовательно, авто-
автоморфизм Ji->h\ /z£G*, группового кольца G*; при этом авто-
автоморфизме D->D'. Применив этот автоморфизм к B0.9.40), по-
получаем
(p) B0.9.41)
Кроме этого, отображение х->хр является автоморфизмом группы О,
определяющим автоморфизм h-*h(p) группового кольца G*. При-
Применяя этот автоморфизм к равенству B0.9.34), получаем
DWD'iP) = п • 1 +Т- B0.9.42)
Произведение левых частей равенств B0.9.34) и B0.9.42) равно
произведению левых частей равенств B0.9.40) и B0.9.41). Поэтому
равны соответствующие произведения правых частей:
(л. 1+тJ = (т+^)(т + /?/?0. B0.9.43)
Применив к равенству B0.9.40) гомоморфизм группового кольца G*
в кольцо целых чисел, определяемый отображениями х-> 1, х £G,
получаем
B0.9.44)
где /?A) — обрай элемента R при этом гомоморфизме. Отсюда
pR(\) = n, я также pRf {\) = n. Но в групповом кольце G* имеет
место равенство pR^ = pR(l)^ = n^. Используя его для упро-
упрощения равенства B0.9.43), находим
Л2. 1=(рЯ)(рЯ'). B0.9.45)
Но так как суммы pR и pRf имеют неотрицательные коэффи-
коэффициенты, последнее равенство невозможно, если в сумме pR най-
найдется более одного ненулевого члена. Следовательно, pR = bu для
некоторого целого числа b и элемента #£G. Но b = pR(\) = n,
откуда pR=nu. Подставляя это в B0.9.40), имеем
= i + nu. B0.9.46)
Умножая на D и применяя соотношение B0.9.34), находим
D(P) (n + Т) = (п 4-1) Т Ч- п Du. B0.9.47)
20.9. Колланеации в конечных плоскостях 445
Отсюда
D(p) = Du, B0.9.48)
а это и есть соотношение B0.9.35), которое мы искали. Этим
теорема доказана.
Чтобы показать силу этой теоремы, рассмотрим плоскость
порядка 8 с группой коллинеаций порядка 73, которая, конечно,
циклична. Точки можно представить как вычеты по модулю 73.
Число 2 — множитель плоскости. Если av ..., а9— точки неко-
некоторой прямой, то 2аг, ..., 2а9 — точки ах —|—s #9~4~5' взя"
тые в некотором порядке (при подходящем 5). Тогда точки
аг — 5, ..., а9 — 5 лежат на прямой, оставляемой на месте мно-
множителем 2. Если один из вычетов равен 1, то множитель 2 дает
полное множество точек прямой 1, 2, 4, 8, 16, 32, 37, 55, 64
(mod 73). Любое другое множество, оставляемое на месте множи-
множителем 2, отличается от этого постоянным сомножителем и дает
ту же самую плоскость. Эта плоскость дезаргова.
Хьюгес получил дальнейший результат, который одновременно
и более частный, и более тонкий, чем теорема 20.9.10.
Теорема 20.9.12. Плоскость тс порядка п, где п = 2 (mod 4),
п > 2, не имеет инволюций.
Доказательство. Пусть плоскость тс порядка п, где п =
==2 (mod 4), п > 2, обладает инволюцией Ъ. Тогда по теореме
20.9.7, коллинеаиия Ъ является элацией, так как число п четно и
не равно квадрату целого числа. Пусть М — ось, а С£ М — центр
элации Ъ, и пусть Q. (/=1, ..., п) — остальные точки прямой Ж,
a Kt A= 1 п)—остальные прямые, проходящие через точку С.
Положим n = 2mt где число т нечетно. Множество из п2 пря-
прямых, не содержащих точку С, можно разбить на п2/2 = 2т2 пар
прямых, отображаемых друг в друга инволюцией #. Из каждой
такой пары прямых выберем одну прямую Lt, i = 1 2m2.
Подобным образом множество из п точек прямой Kt, отличных
от точки С, можно разбить на п/2 = т пар, отображаемых друг
в друга инволюцией Ь. Из каждой такой пары точек выберем
одну точку Ру, /=1 п/2 = т. Определим теперь числа ин-
инцидентности ajji
#^=-(-1, если Ру£Ьк,
а?/=—1. если P/y*eZ,fe, B0.9.49)
akij = 0 во всех других случаях.
Лемма 20.9.3. ~~ '
k
Лемма 20.9.4. 2а?/я& = 0, если (i, j)=£(s,t).
k
446- Гл. 20. Теория групп и проективные плоскости
Доказательство леммы 20.9.3. Точка Ptj лежит или на п
прямых Lk, или на п прямых Lkb, откуда сразу следует требуемое
соотношение.
Доказательство леммы 20.9.4. Если i = s, )фг, то точки
Ру и Ptjb все лежат на прямой Kt и никакие две из них
не лежат на другой прямой, откуда следует, что рассматри-
рассматриваемая сумма равна нулю. Если 1Ф$, пусть РуР^ = Ьдх, P(jPstb =
= Lry, где коллинеации хну равны 1 или Ъ. Теперь г Фя> так
как если г = q и х = у, то прямая Lqx = Lry содержит точки Pst
и Pstb, являющиеся различными точками прямой Ks, что невозможно.
Если же r = q и x = ybt то прямая Lqx = Lryb содержит различ-
различные точки Рц и РцЬ, лежащие на прямой Kit что также невоз-
невозможно. Итак, г Фд. Но тогда а^ = а^, а^а^ = +1 и аТц =
== — а%> аЬ ast = — ^ • Поэтому ненулевых слагаемых, равных -\- 1,
в сумме леммы 20.9.4 ровно столько, сколько слагаемых, рав-
равных — 1. Следовательно, вся сумма равна нулю, и лемма 20.9.4
доказана.
Составим теперь из чисел инцидентности а\. квадратную ма-
матрицу порядка 2т2:
А = (а*?.\ ij — номер строки, k — номер столбца, B0.9.50)
обладающую, согласно нашим леммам, свойством
ААт=п1. B0.9.51)
Определим теперь числа bik:
m '
bik = ^jakij, i=\ n\ k=\. .... 2m2. B0.9.52)
Любое число blk равно + 1 или — 1, так как каждая прямая Lk
пересекает прямую Kt в единственной точке Рь- или Р^Ь, и по-
поэтому только одно из чисел а*, отлично от нуля. Матрица В с п
строками и 2пг2 столбцами
B = (bik)9 i=l п; Л=1. ..... 2т2, B0.9.53)
обладает тем свойством, что ее первая строка равна сумме
первых m строк матрицы Л, ее вторая строка равна сумме вто-
вторых m строк матрицы Л и т. д. Так как, согласно B0.9.51),
произведение различных строк матрицы А равно нулю, это же
свойство справедливо и для строк матрицы В. Столбцы матрицы В
можно умножить на -(-1 или на — 1» не изменив их скалярного
20.9. Коллинеации в конечных плоскостях
447
произведения. Мы так домножим столбцы матрицы £, чтобы пер-
первая строка ее состояла только из единиц со знаком -f-. Так как
п > 2, матрица В имеет не менее трех строк; после соответствую-
соответствующей перестановки столбцов матрицы В первые ее три строки
примут вид
B0.9.54)
+ 1.
+ 1. ....
+ 1
. ..
+ 1
+ 1
•
+ 1..
-1...
.+1
.,+1
+ 1.
— 1,....
+ 1,...,
— 1
+ 1
•
— 1,..
-1...
, +1
., —1
]
t
Так как скалярные произведения второй и третьей строк с первой
равны нулю, мы имеем r-f-s = £-f-«, r-\-t = s-\-u. При этом
r-{-s-\-t-\-u = 2rn2. Поэтому
r-\-s = t-\-u = m?, r-+-t = s-+-u = m2, B0.9.55)
откуда
u = rt s = t = m2 — r. B0.9.56)
Так как скалярное произведение второй и третьей строк также
равно нулю, r-\-u — s-{-t — гп2, откуда
2r = m2. B0.9.57)
•
Но это противоречит условию п = 2 (mod 4), п = 2mt где число пг
нечетно. Следовательно, плоскость ти не имеет инволюций, и тео-
теорема доказана. Этот результат можно также получить из соотно-
соотношений B0.9.25) путем соответствующей перенумерации элементов
кольца G* и гомоморфного отображения G* в кольцо целых чисел,
при котором 1—>1, Ь->—1.
Пример недезарговой плоскости порядка 9 был найден Вебле-
ном и Веддербарном [1]. Как показал Хьюгес [2], этот пример
является частным случаем бесконечной серии плоскостей такого
рода. Пусть q — pr — степень нечетного простого числа р. Тогда,
как мы показали, существует почти-поле К порядка q2t
центром Z которого является поле GF(q)=GF (рг). Плоскости
Хьюгеса имеют порядок q2.
Определение плоскостей Хьюгеса. Пусть Р — это множество
троек P=(xk, yk, zk)t где х, у, z — фиксированные элементы
из /С, не все равные нулю, a k =£0 — произвольный элемент из К.
Теорема Зингера 20.9.5 дает нам отображение
B0.9.58)
448 Гл. 20. Теория групп и проективные плоскости
(atj£ Z), такое, что отображение
(x.y.z) = P->PA = (aux. ...,...,..., a^z) B0.9.59)
является коллинеацией а порядка m = q2-\-q-{-\ дезарговой пло-
плоскости порядка q с координатами из поля Z. Плоскость Хьюгеса
получается распространением коллинеации а на точки с коорди-
координатами из почти-поля /С.
Определим основные прямые Lt уравнениями
x+ty + z = Q9 B0.9.60)
где или t=\, или f|Z, а в остальном t — произвольный элемент
из К. Число основных прямых равно 1+(<72— Я) = Я2 — <7+1-
Определим теперь отношение инцидентности: P = (xk, yk, zk)£Lt
тогда и только тогда, когда тройка чисел х, у, z является
решением уравнения B0.9.60). В силу ассоциативности умноже-
умножения в почти-поле К и правого дистрибутивного закона из
B0.9.60), мы также имеем
Q = (x+ty + z)k = xk + t(yk)+zk, B0.9.61)
т. е. отношение инцидентности P^Lt не зависит от представления
точки Я, удовлетворяющей B0.9.60). Далее, формально опре-
определяем прямые Ltal, / = 0 m—1. При этом
1 = 0 ш— 1, B0.9.62)
тогда и только тогда, когда ^t
Точки прямой Ltil не обязательно удовлетворяют линейному
уравнению. Чтобы найти точки прямой Lt, мы можем в соотно-
соотношении B0.9.60) выбрать числа х и у произвольным образом
(но только так, чтобы оба не были одновременно равны нулю) и
определить z. Отсюда получается qA—1 троек чисел, из которых
q2 — 1 представляют одну и ту же точку. Поэтому прямая Lt состоит из
q2-{- 1 = п-\- 1 различных точек. Следовательно, прямая Ltal также
содержит п-\- 1,точек. Мы имеем всего (q2 — q-\- l)(q2-\-q ■+-1) =
= ЯАЛ~Я2-\-1 =я2~|-~#+1 прямых, на каждой из которых
п-{-\ точек. Всего же точек п2 -{- п -)- 1 • Поэтому, чтобы пока-
показать, что это проективная плоскость, достаточно показать, что
любые две прямые пересекаются в одной" точке. Отображение
Р->РЛ взаимнооднозначно и имеет порядок m = q2-\-q-\-1.
Если [P)s — множество точек основной прямой Ls, то прямая
Lsol1 состоит из множества точек [P}sAl, а прямая Lp)— из мно-
множества точек \P)tAK Теперь, чтобы показать, что прямые tsal
20.9. Коллинеации в конечных плоскостях 449
и Lpl пересекаются в одной-единственной точке, достаточно пока-
показать, что прямые Ls и Lp?~i = Liv!> (где показатель степени h
берется по модулю т) пересекаются в одной точке.
Пусть Р = (х, у, z)— точка прямой Ltah. Тогда PA~h — точка
прямой Lt, и обратно. Если теперь
(х, у, z)A~h = (bux-{-b12y+b13z,
b2lx + Ь22у + b2bz, Ь31х + ЬЪ2у + *зз*)- B0.9.63)
то условие принадлежности точки Р(х, у, z) прямой ~Ltah выра-
выражается соотношением
фпх + bX2y + b13z) +1 (b2lx + Ь22у + b23z)
= 0. B0.9.64)
Если же точка (х, ^, z) лежит на прямой Ls, то
Q. B0.9.65)
Мы должны теперь показать, что с точностью до правого сомно-
сомножителя k система уравнений B0.9.64) и B0.9.65) имеет един-
единственное решение (х, у, z). Из равенства B0.9.65) находим выра-
выражение для х, подставляем это значение в B0.9.64) и получаем
u%-+-az-{-t(vy-+-bz)=:0, B0.9.66)
где
v ■= b™ — Ь0Л st
B0.9.67)
Заметим, что a, b£Z, но, вообще говоря, ut v^Z. Чтобы решить
уравнение B0.9.66), рассмотрим три случая.
Случай 1. ЬФО. Уравнение B0.9.66) теперь можно пере-
переписать в виде
(b'1 a+t) (vy + bz) 4- (и — b~lav) у = (X B0.9.68)
так как элементы а и Ь принадлежат центру Z. Если бы оба
коэффициента ba-\-t и u-*-b~lav были равны нулю, то мы
бы имели t£Z, t=\, a-^-b = 0 и u-{-v — Q. Но тогда из равенства
#4-^=0 мы бы получили, что
*• B0.9.69)
450 Гл. 20. Теория групп и проективные плоскости
откуда s£Z, т. е. s= 1, а из равенства а~{-Ь = 0 мы бы имели
»1з + ^23 + *зз = *п + »я + »3i- B0.9.70)
Но при 5=1 и t=\ это означает, что уравнения B0.9.64) и
B0.9.65) представляют одну и ту же прямую дезарговой пло-
плоскости тиг над полем GF(q). Но это невозможно, если не имеет
ateCTo LS = LV Ltai = Lv так как матрица А порядка
m = q2 -\- q -)- 1 определяет коллинеацию плоскости ти1ш Итак,
хотя бы один из коэффициентов в соотношении B0.9.68) не равен
нулю. Так, если b~l a-\-t Ф 0, то произвольное значение у опре-
определяет vy-\-bz однозначно, а так как Ь Ф 0, у однозначно опре-
определяет z. Если же Ъ~х а -|~ t = 0, то и — b~l av Ф 0. Тогда у = 0,
откуда z — произвольное число. Таким образом, у и z опреде-
определяются однозначно с точностью до правого сомножителя, а х
определяется однозначно через у и z из уравнения B0.9.65).
Таким образом, система уравнений B0.9.64) и B0.9.65) удовлет-
удовлетворяется единственной точкой (xk, yk, zk).. Это и есть искомый
результат в случае 1.
Случай 2. # = 0, аФО. Теперь уравнение B0.9.66) при-
принимает вид
z = 0. B0.9.71)
Так как аФО, система уравнений B0.9.71) и B0.9.65) удовлет-
удовлетворяется единственной точкой (xk, yk, zk).
Случай 3. £ = 0, а = 0. Теперь
^ *м- B0.9.72)
^23 — ^21"
Нетрудно заметить, что точка P = (k, 0, —k) удовлетворяет
уравнениям B0.9.66) и B0.9.65). Кроме того, учитывая соотноше-
соотношение B0.9.63), из равенств B0.9.72) мы видим, что
PA~h=(k, (),—k)A~h = (bn — blz)(k, 0, —k) = P, B0.9.73)
где bu — #13 ф 0, так как преобразование A~h невырожденное.
Но так как отображение Ан оставляет неподвижной точку Р
плоскости тир то /г =■= 0 (mod m) и поэтому Ltah = Lf: Итак, задача
свелась к нахождению точки пересечения двух прямых Ls и Lu
где, конечно, s ф{. Эти прямые определяются уравнениями
x-\-sy-\-z = Q и x-j\-ty-\-z = Ql откуда видно, что точка
Р ===(&, 0, —k) — единственная точка, принадлежащая обеим этим
прямым. Таким образом, в каждом случае любые две различные
прямые имеют единственную точку пересечения. Этим мы дока-
доказали, что они образуют проективную плоскость. Сформулируем
полученный результат в виде теоремы. г'
20.9. Коллинеации в конечных плоскостях 451
Теорема 20.9.13. (Хьюгес.) Пусть К—почти-поле, состоя-
состоящее из q2 элементов с центром Z = OF (q), где q = pr, p — про-
хтое нечетное число; А — отображение вида B0.9.58) порядка
Я2 + Я ■+" 1» определяющее коллинеацию дезарговой плоскости
порядка q. Тогда прямые Ltal, содержащие точки РА1 в смысле
инцидентностей B0.9.60) и B0.9.61), образуют проективную
плоскость т: порядка q2.
Хьюгес показал, что если почти-поле К не является полем
FG(q2), то плоскость тс не только недезаргова, но даже не
является плоскостью Веблена — Веддербарна относительно какой-
либо системы координат.
ЛИТЕРАТУРА
Альберт (Albert A. A.)
[1] On nonassociative division algebras, Trans. Amer. Math. Soc 72
A952), 296-309.
Бернсайд (Burnside W.)
[1] On an unsettled question in the theory of discontinuous groups,
Quart. J. Pure and Appl. Math., 33 A902), 230—238.
[2] Theory of Groups of Finite Order, Cambridge Univ. Press, 2nd
ed., 1911.
Бете (Bet he H. A.)
[1] Termaufspaltung in Kristallen, Ann. Phys., E), 3 A929), 133—208.
BHpKroc}>(BirkhoffG.)
[1] Lattice Theory, Colloquium publications, Amer. Math. Soc, vol.
XXV, rev. ed., 1948; русский перевод: Б и р к г о ф Г., Теория
структур, ИЛ, М., 1952.
Биркгоф, Маклейн (Birkhoff G., MacLane S.)
[1] A Survey of Modern Algebra, Macmillan Co., rev. ed., 1953.
Брук (Bruck R. H.)
[1] Difference sets in a finite group, Trans. Amer. Math. Soc, 78
A955), 464—481.
Брук, Клейнфельд (Bruck R. H., Kleinfeld E.)
[1] The structure of alternative division rings, Proc. Amer. Math. Soc.,
2 A951), 878—890.
Брук, Райзер (Bruck R. H., Ryser H. J.)
[1] The non-existence of certain finite projective planes, Can. J. Math.,
1 A949), 88—93.
Бэр (В а е г R.)
[1] Erweiterung von Gfuppen und ihrer Isomorphismen, Math. Zeit., 38
A934), 375—416.
[2] The decomposition of enumerable primary Abelian groups into di-
direct summands, Quart. J. Math., 6 A935), 217—221.
[3] The decomposition of Abelian groups into direct summands, Quart.
J. Math., 6 A935), 222—232.
[4] Types of elements and the characteristic subgroups^of Abelian
groups, Proc. London Math. Soc, 39 A935), 481—514/
[5] The subgroup of elements of finite order of an Abelian group, Ann.
Math., 37 A936), 766—781.
[61 Dualism in Abelian groups, Bull. Amer. Math. Soc, 43 A937),
121—124.
[7] Duality and commutativity of groups, Duke Math. J., 5 A939),
824—838.
[8] The significance of the system of subgroups for the structure of
a goup, Amer% J. Math., 61 A939), 1—44.
[9] Abelian groups that are direct summands of every containing Abe-
Abelian group, Bull. Amer. Math. Soc, 46 A940), 800—806.
Литература 453
[10] Homogeneity of projective planes, Amer. J. Math,, 64 A942),
137—152.
[Ill Ktessffieation der Gruppenerweiterungen, J. reine angew. Math.,
187 A949), 75-94.
[12] Supersoluble groups, Proc. Amer. Math. Soc, 6 A955), 16—32.
Ван дер Варден (van der Waerden B. L.)
[1] Moderne Algebra, 2nd ed., Berlin, 1940; русский перевод: Ван
дер Варден Б. Л., Современная алгебра, Гостехиздат, ч. I,
1947; ч. II, 1948.
Веблен, Веддербарн (Veblen О., Wedderburn J. Н. М.)
[1] Non-Desarguesian and non-Pascalian geometries, Trans. Amer.
Math. Soc, 8 A907), 379—388.
Веблен, Юнг (Weblen О., Young J. W.)
[1] Pro]ective geometry, vol. 1, Ginn and Co., 1910.
Веддербарн (Wedderburn J. H. M.)
[1] On the direct product in the theory of finite groups, Ann. Math.,
10 A909), 173—176.
Виландт (Wielandt H.)
[1] Abschatzungen fur den Grad einer Permutationsgruppe von vor-
geschriebenem Transitivitatsgrad, Schrlften Math. Sem. and Inst.
far angew. Math, der Univ. Berlin, 2 A934), 151—174.
[2] Eine Verallgemeinerung der invarianten Untergruppen, Math. Zeit
45 A939), 209—244.
[3] p-Sylowgruppen und /7-Faktorgruppen, J. reine angew. Math., 182
A940), 180—183.
Витт (Witt E.)
* [1] Ober die Kommutativitit^endlicher Schiefkorper, Abh. Math. Sem.
Hamburg, 8 A931), 413.
[2] Treue Darstellung Liescher Ringe, J. reine angew. Math., Yll
A937), 152—160.
Гашюц (Gaschutz\Y.)
[1] Zur Erweiterungstheorie der endlichen Gruppen, /. reine angew.
Math., 190 A952), 93—107.
Гёльдер (Holder O.)
[1] Zuriickfuhrung einer beliebigen algebraischen Gleichung auf eine
Kette von Gleichungen, Math. Ann., 34 A889), 26—56.
Г лис он (Gleason A. M.)
[1] Finite Fanao planes, Amer. J. Math., 78 A956), 797—807.
Гофман (Hoffman A. J.)
[1] Cyclic affine planes, Can. J. Math., 4 A952), 295—301.
Грюн (Grtin O.)
[1] Beitrage zur Gruppentheorie I, /. reine angew. Math., 174 A935),
1—14.
Жордан (Jordan C.)
[1] Commentaire sur Galois, Math. Ann., 1 A869), 141—160.
[2] Recherches sur les substitutions, /. Math. Pures Appl. B), 17
A872), 351—363.
Зингер (Singer J.)
[1] A theorem in finite projective geometry and some applications to
number theory, Trans. Amer. Math. Soc, 43 A938), 377—385.
Ивасава (Iwasawa K.)
[1] Ober die endlichen Gruppen und die Verbande ihrer Untergrup-
Untergruppen, У. Univ. Tokyo, 43 A941), 171—199.
Капланский (Kaplansky I.)
[1] Infinite Abelian Groups, Univ. Michigan Press, 1954.
30 M. Холл
454 Литература
Клейнфельд (Kleinfeld E.)
[1] Alternative division rings of characteristic 2, Proc. Nat. Acad.
Scl. USA, 37 A951), 818—820.
[2] Right alternative rings, Proc. Amer. Math. Soc, 4 A953), 939—944.
Крулль (Krull W.)
[11 Ober verallgemeinerte endliche Abelsche Gruppen, Math. Zeit.t
23 A925), 161—196.
[2] TJieorie und Anwendung der verallgemeinerten Abelschen Grup-
pen, Sitz. Heidelberg. Akad. Wiss. A926), 1—32.
Курош А. Г.
[11 Die Untergruppen der freien Produkte von' beliebigen Gruppen,
Math. Ann., 109 A934), 647—660.
Л ев и (Levi F. W.)
[1] Ober die Untergruppen der freien Gruppen, Math. Zeit., 32 A930),
315—318.
Леви, Ван дер Варден (Levi F. W., van der Waerden B. L.)
[11 Ober eine besondere Klasse von Gruppen, Abh. Math. Sem. Ham-
Hamburg, 9 A933), 154—158.
Магнус (Magnus W.)
[1] Ober Beziehungen zwischen huheren Kommutatoren, /. reine^angew.
Math., 177 A937), 105—115.
[2] On a theorem of Marschall Hall, Ann. Math., 40 A939), 764—768.
13] A connection between the Bakef-Hausdorff formula and a problem of
Burnside, Ann. Math., 58 A950), 111—126.
Маклейн (MacLane S.)
[1] A conjecture of Ore ou chains in partially ordered sets, Bull.
Amer. Math. Soc, 49 A943), 567—568.
[21 Cohomology theory in abstract groups, HI, Ann. Math., 50 A949),
736—761.
Манн (Mann H. B.)
[11 On certain systems which are almost groups, Bull. Amer. Math.
Soc, 50 A944), 879—881.
M e й е р-В ундерли (Meie r-W u n d e r 1 i H.)
[11 Note on a basis for higher commutators, Commentarll Math. HeU
- vetid, 16 A951), 1—5.
Миллер (Miller G. A.)
[1] Limits of the degree of transitivity of substitution groups, Bull.
Amer. Math. Soc, 22 A915), 68—71.
Муфанг (Moufang R.)
[1] Alternativkorper und der Satz vom vollstundigen Vierseit, Abh.
Math. Sem. Hamburg, 9 A933), 207—222.
Нейман Б. (Neumann В. Н.)
[11 Die Automorphismengruppe der freien Gruppen, Math. Ann., 107
A932), 367—386.
[21 On the number of generators of a free product, J. London Math.
Soc, 18 A943), 12-20.
Нейман Г. (Neumann H.)
[11 Generalized free products with amalgamated subgroups I, Amer.
J. Math., 70 A948), 590—625.
[2] Generalized free products with amalgamated subgroups II, Amer.
J. Math., 71 A949), 491—540.
Нётер (Noether E.)
[1] Hyperkomplexe Ztfhlen und Darstellungstheorie, Math. Zeit., 30
A929), 641—692.
Литература 455
Нильсен (Nielsen J.)
[1] От Regnig med ikke-kommutative Faktorer og dens Anvendelse
i Gruppeteorien, Mat. Tidsskrift, В A921), 77—94.
Орэ (Ore О.)
[1] Direct Decompositions, Duke Math. J., 2 A936), 581—596.
[2] On the theorem cf Jordan —Holder, Trans. Amer. Math. Soc, 41
A937), 266—275.
[3] Chains in partially ordered sets, Bull. Amer. Math. Soc, 49 A943),
558—566.
Остром (О strom Т. G.)
[1] Double transitivity in finite projective planes, Can J. Math., 8 A956),
563—567.
Паркер (Parker E. T.)
[11 On collineations of symmetric designs, Proc. Amer. Math. Soc, 8
A957), 350-351.
Паули (Pauli W.)
[11 Zur Quantenmechanik der Magnetischen Elektrons, Zeit. Phys., 43
A927), 601—623. -
П и к к е р т (Р i с k e r t G.)
[1] Projektive Ebenen, Springer, 1955.
Прюфер (Prufer H.)
[1] Theorie der abelschen Gruppen I, Math. Zeit, 20 A924), 165—187.
[2] Theorie der abelschen Gruppen II, Math. Zeit, 22 A925), 222—249.
P e м а к (Remak R.)
[1] Ober die Zerlegung der endlichen Gruppen in direkte unzerlegbare
Faktoren, /. reine angew. Math., 139 A911), 293—308.
[2] Ober die Zerlegung der endlichen Gruppen In direkte unzerleg-
unzerlegbare Faktoren, /. reine angew. Math., 153 A923), 131—140.
Сан Су с и (San Soucie R. L.)
[1] Right alternative division rings of characteristic two, Proc Amer.
Math. Soc, 6 A955), 291—296.
Судзуки (Suzuki M.)
[1] Structure of a group and the structure of its lattice of subgroups,
Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, 10, 1956,
Springer, Berlin; русский перевод: Судзуки М., Строение
группы и строение структуры ее подгрупп, ИЛ, М., 1960.
Тарри (Tarry G.)
[1] Le probleme des 36 officiers, С. R. Assoc. Ft. Av. Sci., 1900,
122—123; 1901, 170—203.
Ульм (Ulm H.)
[1] Zur Theorie der abzahlbar unendlichen abelschen Gruppen, Math.
Ann., 107 A933), 774—803.
Федерер, Джонсон (Federer H., Johnsson B.)
[1] Some properties of free groups, Trans. Amer. Math. Soc, 68
A950), 1-27.
Фробениус (Frobenius G.)
[1] Ober auflosbare Gruppen, IV B@r(f Sitz. A901), 1223—1225.
[2] Ober einen Fundamentalsatz der Oruppeatheorie, Berl. Sitz. A903),
987—991.
Харди, Райт (Hardy G. H., Wright E. M.)
[1] An Introduction to the Theory oi Nambers, Clarendon Press, Ox-
Oxford, 1938.
Хигмэн (Higman G.)
[11 On finite groups of exponent five, Proc. Camb. Philos. Soc, 52
A956), 381—390.
30*
456 Литература
Хирш (Hirsch К. А.)
[11 On infinite soluble groups, Proc. London Math. Soc B), 44
A938), 53-60.
[2] On infinite soluble groups И, там же, 44 A938), 336—344.
[3] On infinite soluble groups, Ш, там же, 49 A946), 184—194.
Холиоке (Holyoke Т. С.)
[1] On the structure of multiply transitive permutation groups, Amer. J.
Math., 74 A952), 787—796.
Холл M. (Hall M., Jr.)
[1] Group rings and extensions, Ann. Math., 39 A938), 220—234.
[2] Projective planes, Trans. Amer. Math. Soc, 54 A943), 229—277;
Correction, Trans. Amer. Math. Soc, 65 A949), 473—474.
[3] Cyclic projective planes, Duke Math. J., 14 A947), 1079—1090.
[4] Coset representation in free groups, Trans. Amer. Math. Soc, 67
A949), 421—432.
[5] Subgroups of finite index in free groups, Can. J. Math., 1 A949),
187—190.
[6] A basis for free Lie rings and higher commutators in free groups,
Proc Amer. Math. Soc, 1 A950), 575—581.
Subgroups of free products, Pacific J. Math., 3 A953), 115—120.
On a theorem of Jordan, Pacific J. Math., 4 A954), 219—226.
Solution of the Burnside problem for exponent 6, Proc Nat. Acad.
Sci. USA, 43 A957), 751—753.
Холл М, Радо (Hall M. Jr., Rado T.)
[1] On Schreier systems in free groups, Trans. Amer. Math. Soc, 64
A948), 386—408.
Холл М., Райзер (Hall M. Jr., Ryser H. J.)
[1] Normal completions of incidence matrices, Amer. J. Math., 76
A954), 581—589.
Холл Ф. (Hall Ph.)
[1] A note on soluble groups, J. London Math. Soc, 3 A928),
98—105.
[2] A contribution to the theory of groups of prime-power order, Proc.
London Math. Soc, 36 A933), 29—95.
[3] On a Theorem of Frobenius, Proc. London Math. Soc, 40 A936),
468—501.
Холл Ф, Хигмэн (Hall Ph., Higman G.)
[1] The /?-length of a /^-soluble group, and reduction theorems for
Burnside's problem, Proc London Math. Soc. C), 7 A956), 1—42.
Хупперт (Huppert B.)
[1] Normalteiler und maximale Untergruppen endlicher Gruppen, Math.
Zeit, 60 A954), 409—434.
Хьюгес (Hughes D. R.)
[11 Regular collineation groups, Proc Amer. Math. Soc, 8 A957),
r 159—164.
[2J A class of nbn-Desarguesian projective planes, Can. J. Math., 9
A957), 378—388.
[3] Generalized incidence matrices over group algebras, ///. J. Math.,
1 A957), 545—551.
[4] Collineations and generalized incidence matrices, Trans. Amer.
Math. Soc, 86 A957), 284—296.
Цассенхауз (Zassenhaus H.)
[1] Zum Satz von Jordan-Hulder-Schreier, Abh. Math. Sem. Hamburg,
10 A934), 106—108.
[2] Ober endliche Fastkorper, Abh. Math. Sem. Hamburg, 11 A936),
187—220.
Дополнение к литературе 457
Цорн (Zorn M.)
[1] Theorie der alternativen Ringe, Abh. Math. Sent. Hamburg, 8
A931), 123—147.
Ч о у л а, Р а й з e p (C h о w 1 a S., R у s er H. J.)
[1] Combinatorial problems, Can. J. Math., 2 A950), 93—99.
Шмидт О. Ю.
[1] Ober die Zerlegung endlicher Gruppen in direkte unzerlegbare
Faktoren, Изв. Киевского ун-та, A912), 1—6.
Шрей ер (Schreier О.)
]11 Ober die Erweiterung von Gruppen, I, Monats. Math, und Phys.,
34 A926), 165-180.
[2] Ober die Erweiterung von Gruppen, II, Abh. Math. Sem. Hamburg,
4 A926), 321—346.
[3] Die Untergruppen der freien Gruppen, Abh. Math. Sem. Hamburg,
5 A927), 161-183.
[4] Ober den Jordan — Holderschen Satz, Abh. Math. Sem. Hamburg,
6 A928), 300—302.
Эйленберг, Маклейн (Eilenberg S., MacLaneS.)
[1] Cohomology theory in abstract groups I, Ann. Math., 48 A947),
51—78.
[2] Cohomology theory in abstract groups II, Ann. Math., 48 A947),
'326—341.
Экман (Eckmann B.)
[1] Cohomology of groups and transfer, Ann. Math., 58 A953),
481—493.
ДОПОЛНЕНИЕ К ЛИТЕРАТУРЕ
Дополнительно к литературе английского оригинала здесь приводятся
названия ряда книг и обзорных статей по теории групп на русском
языке, а также небольшое число советских оригинальных работ, примы-
примыкающих по своей тематиюе к разделам теории групп, трактуемым в книге.
Более полную библиографию советской литературы по теории групп
можно найти в „Теории групп" А. Г. Куроша [1] (особенно изд. 2) и
в сборнике „Математика в СССР за 40 лет" [3].
КНИГИ И ОБЗОРНЫЕ СТАТЬИ
К у р о ш А. Г.
[1] Теория групп, изд. 1, Гостехиздат, М., 1944, изд. 2, 1953.
[2] Алгебра II (Группы, кольца, структуры), Сборник „ Математика
в СССР за 30 лет", Гостехиздат, М., 1948, стр. 106—133.
Курош А. Г., Глушков В. М.
[3] Общая алгебра, Сборник „Математика в СССР за 40 лет",
том 1, Физматгиз, М., 1959, стр. 151—200.
Курош А. Г., Черников С. Н.
[4] Разрешимые и нильпотентные группы, УМН, 2, № 3 A947),
18—59.
Плоткин Б. И.
[5] Обобщенно разрешимые и обобщенно нильпотентные группы,
УМН, 13, № 4 A958), 89—172.
П о н т р я г и н Л. С.
[6] Непрерывные группы, изд. 2, Гостехиздат, М., 1954.
Черников С. Н.
[7] Условия конечности в общей теории групп, УМН, 14, № 5 A969),
45—96.
Шмидт О. Ю.
[8] Абстрактная теория групп, изд. 2, Гостехиздат, М., 1933.
458 Дополнение к литературе
К ПРОБЛЕМЕ БЕРНСАЙДА И К ТЕОРИИ Р-ГРУПП
(ГЛАВЫ 12 и 18)
Кемхадзе Ш. С.
[1] К определению регулярных /?-групп, УМН, 7, № 6A952), 193—196.
Кострикин А. И.
[2] Решение ослабленной проблемы Бернсайда для показателя 5,
Изв. АН СССР, сер. матем., 19 A955), 233—244.
[3] О связях между периодическими группами и кольцами Ли, Изв.
АН СССР, сер. матем., 21 A957), 289—310.
. [4],Кольца Ли, удовлетворяющие условию Энгеля, Изв. АН СССР,
21 A957), 515—540.
[5] О локальной нильпотентности колец Ли, удовлетворяющих усло-
условию Энгеля, ДАН СССР, 118 A958), 1074—1077.
[6] О проблеме Бернсайда, ДАН СССР, 119 A958), 1081—1084.
Новиков П. С.
[7] О периодических группах, ДАН СССР, 127 A959), 749—752.
Санов И. Н.
[8] Решение проблемы Бернсайда для показателя 4, Учен, зап. Ле-
нингр. унив., сер. матем., 10 A940), 166—170.
[9] О нроблеме Бернсайда, ДАН СССР, 57 A947), 759—761.
[101 Применение колец Ли к теории периодических /?-групп, УМН,
4, № 3 A949), 180.
[11] О некоторой системе соотношений в периодических группах
с периодом степенью простого числа, Изв. АН СССР, сер. ма-
матем., 15 A951), 477—502.
[12] Установление связи между периодическими группами с перио-
периодом простым числом и кольцами Ли, Изв. АН СССР, сер. ма-
матем., 16 A952), 23—58.
К СТРОЕНИЮ СТРУКТУРЫ ПОДГРУПП ГРУППЫ
(ГЛАВЫ 8 и 19)
Кенторович П. Г., Плоткин Б. И.
A] Структуры с аддитивным базисом, Машем, сб., 35 G7) A954),
187—192.
Курош А. Г.
[2] Теория Жордана — Гёльдера в произвольных структурах, Сбор-
Сборник памяти акад. Граве A940), ПО—116.
[3] Изоморфизмы прямых разложений, Изв. АН СССР, сер. матем.,
часть I, 7 A943), 185—202; часть И, 10 A946), 42—47.
ПекелисД. С.
[4] О группах с изоморфными структурами подгрупп, Матема-
Математика, I A957), 180—194.
Петропавловская Р. В.
[5] Об определяемости группы структурой ее подгрупп, Матем.
сб., 29 G1) A951), 63-78.
[6] Ассоциативные системы, структурно изоморфные группе, Ве-
Вестник Ленингр. унив., сер. матем., часть I, 13 A9о6), 5—26;
часть II, 19 A956), 80—99.
Садовский Л. Е.
[7] О структурных изоморфизмах свободных групп и свободных про-
произведений, Матем. сб., 14 A944), 155—173.
[8] О структурных изоморфизмах свободных произведений групп,
Матем. сб., 21 A947), 63—82.
[91 Структура подгрупп нильпотентной группы без кручения, УМН,
12, № 3 A957), 201—204. .
Дополнение к литературе ' 459
[101 Структурные изоморфизмы свободной метабелевой группы, Ма-
Машем, сб., 42 A557), 445—460.
Узко в А. И. 1
[11] О теореме Jordan — Holder, Машем, сб., 4 A938), 31—43.
К ТЕОРИИ КОГОМОЛОГИЙ В ГРУППАХ (ГЛАВА 15)
Боревич 3. И., Фаддеев Д. К.
[1] Теория гомологии в группах, Вестник Ленингр. у нив., сер. ма-
тем., часть 1,'7 A956), 3—39; часть И, 7 A959), 72—87.
Фаддеев Д. К.
[2] К теории гомологии в группах, Изв* АН СССР, сер. матем.,
16 A952), 17—22.
[3] Об одной теореме теории гомологии в группах, ДАН СССР,
92 A953), 703—705.
[41 К теории гомологии для конечных групп операторов, Изв. АН
СССР, сер. матем., 19 A955), 193—200.
ОБОБЩЕНИЯ ТЕОРЕМ СИЛОВА И РАЗРЕШИМЫЕ
ГРУППЫ (ГЛАВА 9)
Гольберг П. А.
[1] Холловские базы некоторых классов групп, Сибирский матем.
журнал, \ (I960), 14—44.
Казачков Б. В.
[2] О теоремах типа Силова для конечных групп, Учен. зап. Том-
Томского пед. инст., 8 A951), 228—232.
[3] О теоремах типа Силова, ДАН СССР, 80 A951), 5—7.
Чунихин С. А.
[4] Факторизация конечных групп, Машем, сб., 39 (81) A956),
465—490.
[5] П-факторизация • конечных групп, Матем. сб., 43 (85) A957),
49—66.
[6] Комплексы неспециальных подгрупп и /^-нильпотентность конеч-
конечных групп, ДАН СССР, 118 A958) 654—656.
ПРОЕКТИВНЫЕ ПЛОСКОСТИ (ГЛАВА 20)
Аргунов Б. И.
[1] Конфигурационные постулаты в проективных плоскостях и их
алгебраические эквиваленты, Вестник Моск. унив., I A948),
47—51.
[21 Конфигурационные постулаты и их алгебраические эквиваленты,
Матем. сб., 26 F8) A950), 425—456.
Копейкина Л. И. (Головина)
[3] Свободные разложения проективных плоскостей, Изв. АН СССР,
сер. матем., 9 A945), 495—526.
Скорняков Л. А.
[4] Натуральные тела веблен — веддербарновой проективной пло-
плоскости, Изв. АН СССР, сер. матем., 13 A949), 447—472.
[5] Альтернативные тела, Укр. машем журн., I A950), 70—85.
Правоальтернативные тела, Изв. АН СССР, сер. матем., 15
A951), 177—184.
Проективные плоскости, УМН, 6, № 6 A951), 112—154.
Кф D М б 30 G2) A952) 7378
[5]
[6]
Г8
р , , (),
Конфигурация Do, Машем сб., 30 G2) A952), 73—78.
Топологические проективные плоскости, Труды Моск. матем.
общ., 3 A954), 347—373.
УКАЗАТЕЛЬ СПЕЦИАЛЬНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
Некоторые символы, использованные в этой книге, стандартны. На-
Например, А з В, А содержит В\ AzdB, А строго содержит В\ Ад: Bt
А содержится в В; A cz В, А строго содержится в В; а £ А, а принад-
принадлежит множеству А\ а\Ь, а делит b\ a = 6(mod m), а сравнимо с b по
модулю т. Общепринято перечеркивать символ для обозначеня отрицания
соответствующего отношения. Например, р / s обозначает, что р не де-
делит s; у (£G обозначает, что у не принадлежит G.
а:Х->у или у == (х)а — отображение или гомоморфизм
а:х^1у — взаимно однозначное отображение или изо-
изоморфизм
о о 1 I—подстановка
Н\}К — объединение
Н[\К — пересечение
{К} — группа, порожденная множеством К
[G : Н] — индекс Н в G
NH (S) — нормализатор S в Н
Сн (S) — централизатор S в Н
Н =GjT\ Н—фактор-группа G по Т
go. — образ g при действии оператора а
А X В — прямое произведение
— декартово произведение
•••> хп) — Цикл подстановки
А ^ В — А изоморфно В
G \Н—сплетение G и Н
[х] — наибольшее целое число, не превосходящее х
fr^g — / эквивалентно g
gi\gi — представитель смежного класса элемента /
а > Ь\ а покрывает Ь
i^x\ At — нормальный делитель А^х
у) =zx~ly-lxy — коммутатор
i, ..., хп„ъ хп) — простой коммутатор
Ф = Ф (G) — подгруппа Фраттини гр уппы G
Указатель специальных обозначений 461
li (m) — функция Мёбиуса
r+1 R+ — аддитивные группы рациональных и действи-
действительных чисел
Z (/р°) — определенная абелева группа
1 (а) — характер
Vq -> к (8)> или ^ (S) — перенос элемента g
(и, v) — фактор из системы факторов
х — представитель смежного класса
• © — прямая сумма правых идеалов
• Щ — прямая сумма двусторонних идеалов
(/i. /2) — симметрическое билинейное скалярное произ-
произведение
JJ —свободное произведение
[х, у] — лиево произведение
р
Q —> R — перспективная коллинеация
х-mob — тернарная операция
(•*> У у ^ — ассоциатор
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абелева группа 45
Абсолютно) неприводимое представ-
представление 287
Автоморфизмы 39, 100—107
— абелевых групп 102
— свободных групп 130
Аксиома выбора 28
Алгебраическое число 311
Алфавитный порядок 341
Альтернативное тело 398
Артина — Цорна теорема 405
Ассоциативные законы 11, 14, 136
Главный ряд 144
Голоморф 403
Гомология 377
Гомоморфизмы 19, 37, 38
Грань верхняя и нижняя 135
Группа без кручения 46
Группа диэдра 29
Группа расширений 248
Группы определения 14—16
Группы порядка ра qb 317
Группы порядков р, р2, pq, р3 60—63
Грюна теоремы 238, 239
Базис 47
Базисные коммутаторы 187
Бернсайда основная теорема 198
— проблема 346—365
— теоремы 57, 164, 227
Бертрана постулат 81
Бесконечные группы (замечания
о них) 26—29
Брука — Райзера теорема 424
Веблена — Веддербарна система 390
Веддербарна — Ремака — Шмидта
теорема 150
Веддербарна теорема 404
Верхний центральный ряд 172
Верхняя грань 135
Верхняя полумодулярность 140
Взаимности теорема 309
Виландта теорема 236
Витта формулы 190
Внешние автоморфизмы 101
Внутренние автоморфизмы 101
Вполне характеристическая под-
подгруппа 41
Гамильтона группы 213
Гашюца теорема 268
Геометрии конечные 421
Дважды транзитивная группа 411
Двойная группа 325
Двойной модуль 261
Двойной смежный класс 25
Двойственность 219, 374
Дезаргова плоскость 402
Дезарга теорема 378
Декартово произведение 43
Дистрибутивная структура 137
Дистрибутивные законы 11
Допустимая подгруппа 40
Единица 11, 14
Единичный элемент структуры 137
,Жордана — Гёльдера теорема 147
Жордана — Дедекинда цепь 139
Ж —Д условие 139
Жордана теорема 87
Замкнутости законы 11
Знакопеременная группа 72
Значимый сомножитель 115
Ивасава теорема 369
Идемпотент 282
Предметный указатель
463
Идемпотентности законы 136
Изоморфизм 18
Импримитивное представление 307
Импримитивность 77
Инварианты абелевой группы 51
Инволюция 435
Индекс подгруппы 21
Интранзитивные группы 76,
Квазигруппа 17
Кватернионов группа 33
Класс нильпотентности группы 172
Класс сопряженных элементов 24
Когомология 263
Кограница 262
Коллинеация 376
Кольцо 11
Кольцо Ли 354
Коммутант группы 158
Коммутативные законы 11, 136
Коммутатор 158
Комплекс 20
Композиционный ряд 144
Координаты 381
Коцепь 262
Кратная транзитивность 68, 81
Кронекерово произведение 303
Куроша теорема 340
Кэли теорема 19
Лагранжа теорема 11
Локальное свойство 26
Локально циклические группы 216,
367
Лупа 17
Максимальная подгруппа 28
Максимальности условие 25, 174
Матье группы 95
Метациклические группы 167
Минимальности условие 26
Модулярная структура 137
Модуль представления 274
Мономиальные подстановки 225
Муфангова плоскость 398
Наибольшая нижняя грань 135
Наименьшая верхняя грань 135
Неприводимые представления 277
Нечетная подстановка 72
Нижний центральный ряд 171
Нижняя грань 135
Нижняя полумодулярность 140
Нильпотентный 170
Нильсена свойство 125
Ниль-с 174
Нормализатор 24
Нормальное произведение 104—106
Нормальный делитель 36
Нормальный ряд 144
Нулевой элемент структуры 137
Нуль И
Обобщенные силовские теоремы 161
Образ 12
Обратный элемент 11, 14
Обыкновенное представление 281
Объединение подгрупп 20
Оператор 39
Операторный гомоморфизм 275
Операторный изоморфизм 40
Определяющие отношения 47
Ортогональное представление 321
Ортогональности соотношения 300
Орэ теорема 145
Остаточное свойство 26
Отображение 12
Перемещение 226
Пересечение подгрупп 2©
Перестановочные подгруппы 144
Перспективность 377
Перспективные частные 138
Поглощения законы 136
Подгруппа 18
Подпрямое произведение 76
Подстановка 13
Подстановок группы 65—W
Поле 12
— конечное 403
Полная структура 137
Полное упорядочение 27
Полные группы 220
Полугруппа 17
Полумодулярная структура 140
Полупростое кольцо 282
Полупрямое произведение 104
Порядок группы 21
Порядок элемента 22
Почти-поле 392, 410
Представитель смежного класса 21
Представление групп матрицами 273
подстановками 68—72
Приводимое представление 276
Примитивная группа 77
Проективные плоскости 373—452
464
Предметный указатель
Проективные частные 138
Производная группа 158
Простая группа 36
Простое кольцо 289
Простое упорядочение 17
Простой коммутатор 158
Просто упорядоченное множество
135
Противоположный элемент 11
Прямое объединение 147
Прямое произведение 43
Размерность структуры 138
Разрешимая группа 158
Расширение групп 243—271
Регулярная р-группа 205
Регулярное кольцо 282
Регулярное представление 19
Редуцированное слово 108
Сверхразрешимая группа 170, 369
Свободная абелева группа 222
Свободное произведение 336
Свободное произведение с объеди-
объединенной подгруппой 338
Свободные группы 111—133
Сервантные подгруппы 221
Силовская подгруппа 56
Силовские теоремы 55—56
Симметрическая группа 72
Система факторов 243
Слово 108, 186
Сложный коммутатор 158
Смежный класс 20
Собирательный процесс 186, 201
Совершенная группа 104
Сопряженные элементы 23
Сопряженные подгруппы 24
Соседние слова 108
Спин электрона 325
Сплетение 96
Стандартное представление 119
Степень представления 272
Структура 136
Структура подгрупп 366—372
Субинвариантный 144
Тело 289
Тензорное произведение 302
Теорема о полной приводимости
178
Транзитивная группа 67
Транзитивное множество 67
Трансфинитная индукция 27
Унитарное представление 319—323
Фактор-группа 38
Фраттини подгруппа 177
Фробениуса теоремы 156, 318
Характеристическая подгруппа 41
Характеры 273, 293—307
Холла системы 392
Холла Филиппа теоремы 161, 183,
Холла — Хигмена теоремы 358
Хупперта теорема 183
Хьюгеса плоскости 447
Центр 24
Центральная коллинеация 377
Центральное расширение 247
Центральный изоморфизм 147
Центральный ряд 172
Централизатор 24
Цепь 135
Цепочка 108, 186
Цикл 65
Циклическая группа 22, 45
Цорна теорема 405
Цорна лемма 27 *
Частичное упорядочение 27
Частично упорядоченное множество
135
Частные 138
Четырежды транзитивные группы 93
Четная подстановка 72
Шрейера система 111
Шура лемма 294
Эквивалентные представления 274
Элация 377
Элементарная абелева группа 51
Эндоморфизм 39
Эрмитовы формы 320
р-группа 56, 198—215
р-дополнение 164
р-нормальный 229
р-разрешимый 358
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода 5
Предисловие . : 9
Глава 1. Введение И
1.1. Алгебраические законы 11
1.2. Отображения 12
1.3. Определения группы и некоторых сходных систем .... 14
1.4. Подгруппы, изоморфизмы, гомоморфизмы 18
1.5. Смежные классы. Теорема Лагранжа. Циклические группы
Индексы -. . . 20
1.6. Сопряженные элементы и классы 23
1.7» Двойные смежные классы 24
1.8. Замечания о бесконечных группах 26
1.9. Примеры групп 29
Упражнения 34
Глава 2. Инвариантные подгруппы и гомоморфизмы 36
2.1. Инвариантные подгруппы 36
2.2. Ядро гомоморфизма ^37
2.3. Фактор-группы 37
2.4. Операторы 39
2.5. Прямые и декартовы произведения . . . . k 42
Упражнения 44
Глава 3. Элементарная теория абелевых групп . 45
3.1. Определение абелевой группы. Циклические группы ... 45
3.2. Некоторые структурные теоремы для абелевых групп . . 46
3.3. Конечные абелевы группы. Инварианты 50
Упражнения 53
Глава 4. Теоремы Силова 54
4.1. Ложность обращения теоремы Лагранжа 54
4.2. Три теоремы Силова 55
4.3. Конечные /?-группы 58
4.4. Группы порядков р, р2% pq, р3 60
Упражнения 63
466 Оглавление
Глава 5. Группы подстановок 65
5.1. Циклы 65
5.2. Транзитивность 67
5.3. Представления группы подстановками 68
5.4. Знакопеременная группа Ап 72
5.5. Интранзитивные группы. Подпрямые произведения .... 75
5.6. Примитивные группы 77
5.7. Кратно-транзитивные группы 81
5.8. О теореме Жордана . * 86
5.9. Сплетение. Силовские подгруппы симметрических групп 96
Упражнения 98
Глава 6. Автоморфизмы 100
6.1. Автоморфизмы алгебраических систем 100
6.2. Автоморфизмы групп. Внутренние автоморфизмы .... 100
6.3. Голоморф группы * 102
6.4. Совершенные группы 104
6.5. Нормальные, или полупрямые, произведения 104
Упражнения 106
Глава 7. Свободные группы 108
7.1. Определение свободной группы 108
7.2. Подгруппы свободных групп. Метод Шрейера 111
7.3. Свободные образующие подгрупп свободных групп. Метод
Нильсена ' 125
Упражнения 133
Глава 8. Структуры и композиционные ряды 135
8.1. Частично упорядоченные множества 135
8.2. Структуры 136
8.3. Модулярные и полу модулярные структуры 138
8.4. Главные и композиционные ряды 143
8.5. Прямые разложения 147
8.6. Композиционные ряды в группах 151
Упражнения • 155
Глава 9. Теорема Фробениуса. Разрешимые группы 156
9.1. Теорема Фробениуса 156
9.2. Разрешимые группы 158
9.3. Обобщенные силовские теоремы для разрешимых групп . 161
9.4. Дальнейшие результаты о разрешимых группах 165
Упражнения 169
Глава 10. Сверхразрешимые и нильпотентные группы .... 170
10.1. Определения 170
10.2. Нижний и верхний центральные ряды 170
Оглавление 467
10.3. Теория нильпотентных групп 174
10.4. Подгруппа Фраттини 177
10.5. Сверхразрешимые группы 179
Упражнения 185
Глава 11. Базисные коммутаторы 186
11.1. Собирательный процесс 186
11.2. Формула Витта. Теорема о базисе 189
Глава 12. Теория р-групп. Регулярные р-группы 198
12.1. Элементарные результаты 198
12.2. Теорема Бернсайда о базисе. Автоморфизмы /?-групп . . '198
12.3. Собирательная формула 200
12.4. Регулярные /?-группы 205
12.5. Некоторые специальные р-группы. Группы Гамильтона . . 209
Глава 13. Продолжение теории абелевых групп 216
13.1. Аддитивные группы. Группы по модулю 1 216
13.2 Характеры абелевых групп. Двойственность абелевых
групп 217
13.3. Полные группы . * 220
13.4. Сервантные подгруппы 221
13.5. Общие замечания 222
Глава 14. Мономиальные представления и перемещение . . . 224
14.1. Мономиальные подстановки 224
14.2. Перемещение 226
14.3. Теорема Бернсайда . . . .% 227
14.4. Теоремы Ф. Холла, Грюна и Виландта 229
Глава 15. Расширения групп и когомология в группах. ... 243
15.1. Композиция инвариантной подгруппы и фактор-группы 243
15.2. Центральные расширения , 247
15.3. Циклические расширения 249
15.4. Определяющие отношения и расширения 251
15.5. Групповые кольца и центральные расширения 253
15.6. Двойные модули * 260
15.7. Коцепи, кограницы и группы когомологий 261
15.8. Применение когомологий к теории расширений 26&
Глава 16. Представления групп 272
16.1. Общие замечания 272
16.2. Матричные представления. Характеры 273
16.3. Теорема о полной приводимости 276
16.4. Полупростые групповые кольца и обыкновенные пред-
представления л 281
16.5. Абсолютно неприводимые представления. Структура про-
простых колец 287
468 Оглавление
16.6. Соотношения между обыкновенными характерами .... 293
16.7. Импримитивные представления . 307
16.8. Некоторые применения теории характеров 310
16.9. Унитарные и ортогональные представления 319
16.10. Несколько примеров представлений групп 323
Глава 17. Свободные произведения и свободные произведения
с объединенными подгруппами 336
17.1. Определение свободного произведения 336
17.2. Свободные произведения с объединенной подгруппой . . 338
17.3. Теорема Куроша 340
Глава 18. Проблема Бернсайда 346
18.1. Постановка проблемы 346
18.2. Проблема Бернсайда для п = 2ип = 3 346
18.3. Конечность группы В D, г) \ 350
18.4. Ограниченная проблема Бернсайда. Теоремы Ф. Холла и
Г. Хигмена. Конечность группы В F, г) 352
Глава 19. Структуры подгрупп 366
19.1. Общие свойства 366
19.2. Локально циклические группы и дистрибутивные струк-
структуры 367
19.3. Теорема Ивасава 369
Глава 20. Теория групп и проективные плоскости 373
20.1. Аксиомы 373
20.2. Коллинеации и теорема Дезарга 376
20.3. Введение координат 381
20.4. Системы Веблена — Веддербарна. Системы Холла .... 384
20.5. My фангов ы и дезарговы плоскости 394
20.6. Теорема Веддербарна и теорема Артина — Цорна .... 403
20.7. Дважды транзитивные группы и почти-поля 410
20.8. Конечные плоскости. Теорема Брука — Райзера 421
20.9. Коллинеации в конечных плоскостях .* 428
Литература 452
Дополнения к литературе 457
Указатель специальных обозначений 460
Предметный указатель 462
М. Холл
ТЕОРИЯ ГРУПП
Редактор В. В. Гольдберг. Художник В. Я. Зшкин.
Художественный редактор В. И. Шаповалов.
Технический редактор А. Д. Хомяков. Корректор И. Я. Максимова.
Сдано в производство 12/Х 1961 г. Подписано к печати 31/V 1962 г. Бумага 60x907,6=
= 14,6 бум, л., 29,2 печ. л. Уч.-изд. л. 27,9. Изд. № 1/0178. Цена 2 р. 15 к. Зак. 2888
~~~ ИЗДАТЕЛЬСТВО ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва, 1-й Рижский пер., 2
Типография № 2 им. Евг. Соколовой УПП Ленсовнархоза.
Ленинград, Измайловский пр., 29