АКАДЕМИЯ НАУК СССР
Н.Г.ЧЕБОТАРЕ
СОБРАНИЕ СОЧИНЕНИИ
том первый
ИЗДАТЕЛЬСТВО АКАДЕМИИ НАУК СССР
МОСКВА-ЛЕНИНГРАД
/94 9

Ответственный редактор
н -# орреспон дент АН С
Б. Я. ДЕЛОНЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ
Николай Григорьевич Чеботарев был одним из крупнейших
современных алгебраистов. Работы его о плотностях простых идеалов
и о резольвентах принадлежат к числу наиболее выдающихся алгебраи-
алгебраических работ последних десятилетий.
Николай Григорьевич родился 15 июня 1894 г. Еще в младших
классах гимназии начали обнаруживаться его исключительные математи-
математические -способности. В 1912 г. Н. Г. поступает в Киевский университет.
Эти годы быля годами расцвета алгебраической школы .Д. А.-Граве.
Н. Г. посещает семинары Граве, изучает теорию алгебраических дас.ел,
теорию алгебраических функций и многое, другое; в эти же годы од
делает первую работу — доказывает свою „арифметическую теорему
монодромии" ,0 том, что композицией грудпы инерции образуют всю
группу Галуа. На 1915 и 1916 гоДы Киевский университет в связи
с войной эвакуируется в Саратов; туда, переезжает и Чеботарев.
В Саратове Н. Г. начинает работать над известной задачей Фробе-
ниуса о плотностях простых чисел, принадлежащих к данному классу
подстановок группы Галуа алгебраического поля, решение которой
позже .йросла:вило его имя. г .
В 1916 г, Н, Г. был оставлен при университете для подготовки
к профессорскому званию. Вернувшись в Киев, Н. Г. аанимается мате-
математикой с неослабевающей энергией. Он пишет ряд работ; о поверх-
поверхностях переноса, о. критерии вещественности корней трансцендентных
уравнений, о линиях и телах постоянной ширины, об обратной задаче
Чирнгаузена и т. д. Одновременно Н. Г. сдает магистерские экзамены
и по прочтении, двух пробных лекций избирается приват-доцентом
Киевского университета.
. В 1921 г. Н. Г. переезжает в Одессу. Научная работа Чеботарева,
несмотря на большие материальные трудности, становится в Одессе еще
более интенсивной, чем в Киеве. Летом 1922 г. он доказывает, наконец,
предположение Фробениуса о плотностях.
Эта работа поставила Чеботарева в ряд небольшого числа класси-
классиков теории алгебраических чисел. Она стояла в самом центре тогдаш-
тогдашних интересов и стала поэтому сразу очень широко известной, тем
более что, опираясь на примененный в ней Чеботаревьш метод при-
присоединения полей деления круга, немецкому математику Артину уда-
удалось доказать одну из основных теорем теории поля классов.

ПРЕДИСЛОВИЕ
В 1927 г. Н. Г. переходит в Казанский университет. Научное
творчество Чеботарева не ослабевает, и уже в 1931 г. появляется вто-
вторая его первоклассная работа. Она посвящена теории резольвент, т. е.
вопросу о том, на цепь каких простейших вспомогательных уравнений
может быть сведено решение данного алгебраического уравнения л-ой
степени, каковы числа параметров, от которых зависят коэффициенты
этих вспомогательных уравнений. Этой важной задачей занимались
крупнейшие математики — Клейн, Гильберт и другие, но получили
в ней только частные результаты. Лишь Чеботареву удалось получить
в этой области общую теорему.
В 1932 г. состоялся очередной международный конгресс математи-
математиков в Цюрихе, который совпал со 100-летием со дня смерти гениаль-
гениального французского алгебраиста Звариста Галуа. Признание важности
алгебраических работ Чеботарева было в то время так велико, что пре-
президиум конгресса предложил прочесть обзорный доклад памяти гениаль-
гениального алгебраиста не кому-либо другому, а именно Чеботареву.
В сравнительно недавние годы, во время Отечественной войны,
Н. Г. сделал вторую важную работу по теории резольвент, в которой
он дал для общего случая границу, больше которой должно быть
число параметров хотя бы в одном вспомогательном уравнении цепи.
Чеботарев работал в самых различных областях математики до
последних дней жизни. Приехав в Москву на операциюг оказавшуюся
для него роковой, Н. Г. за несколько дней до того, как лечь в
больницу, выступил с докладом в Московском математическом обще-
обществе о своей последней работе. На 11-й день после операции, 2 июля
1947 г., Н. Г. скончался.
Одновременно с Н. Г. в Казани работал крупный геометр П. А» Ши-
Широков, с которым Н. Г. был тесно связан. Их совместная деятельность
подняла значение Казанского университета как математического центра
до высоты, которой он не достигал со времен Лобачевского.
В 1929 г. Академия Наук СССР избрала Н. Г. своим членом-кор-
членом-корреспондентом, а за работы по теории резольвент Чеботареву была
посмертно присуждена Сталинская премия первой степени.
Николай Григорьевич Чеботарев был человеком высоких нравствен-
нравственных качеств, простым в обращении со всеми> без различия их поло-
положения, отзывчивым и прямым. Сердечность и обаяние его личности
чувствовали все с ним соприкасавшиеся.
В томах I и II помещены все 62 печатные математические работы
Н. Г. Чеботарева. Многие из этих работ были опубликованы Н. Г.
на немецком ^зыке. Все они были переведены на русский язык уче-
учеником Н. Г. Чеботарева, соредактором этого собрания сочинений,
профессором Казанского университета В. В. Морозовым.
Б. Делоне

ЗАДАЧА, ОБРАТНАЯ ЗАДАЧЕ ЧИРНГАУЗЕНА
(Вестник чист, и прикл. знания, I, в. 2 A922), стр. 1—8)
Даны два уравнения одной и той же степени
=0, A)
=0. B)
Требуется узнать, выражается ли рационально корень одного уравне-
уравнения через корень другого, и если выражается, то найти это выражение:
Известно, что в общем эта задача зависит от корня уравнения я!-ой сте-
степени, который должен быть рационадан для того, чтобы задача допускала
решение. Таким образом, для кубического уравнения нужно^оставить
и отыскать рациональный корень в уравнении б-ой степени, для
уравнения 4-ой степени — корень уравнения 24:ой степени. Возникает
вопрос, нельзя ли упростить эту громоздкую задачу или по крайней
мере расчленить ее на несколько более простых приемов.
История вопроса такова. Б. Н. Делоне, занимаясь этой задачей
в применении к кубическим уравнениям, подметил, что построенное
им уравнение 6-ой степени распадается на два кубических уравнения
в том случае, если дискриминанты этих уравнений отличаются лишь
квадратным множителем. Вывод свой Б. Н. основывает на существо-
существовании особых соотношений (сизигий) между инвариантами бинарных
кубических форм. Этот результат не допускает обобщения на урав-
уравнения более высоких степеней, так как теория Эрмита о связи пре-
преобразования Чирнгаузена с инвариантами бинарных форм переходит
для высших степеней в связь с совокупными инвариантами.г Между
тем задача может быть решена, если применить к ней анализ, осно-
основанный на общей теории Галуа. В настоящей статье я и займусь этим
анализом, а затем приложу его к общим уравнениям 3-й 4-й сте-
степени.
§ 1
Будем предполагать уравнения A) и B) неприводимыми. Тогда*
если существует рациональное выражение одного корня уравнения B)
через какой-нибудь из корней уравнения A), например
хг = <*о + «1 xi + а2 х±*Н h ал_1 ххп~1, C)
1 См. Weber. Lhrb. d. Alg., Bd. И, стр. 240.

Н. Г. ЧЕБОТАРЕВ
то, подставляя в это выражение вместо хг остальные корни уравне-
уравнения A), мы получим все корни уравнения B)
*2 = ао + ах Х2+ а2 х\-\ Ь «л-1 *2 п~\
1 • D)
х„ = а0 + OLxxn + «2-*v4 +<xn-ixnn-i.
Для определения п коэффициентов а0, ах, . . . , ал-1 мы получили п
линейных уравнений с определителем, не равным нулю* Такая форму-
формулировка задачи допускает ее решение и в том случае, когда а0,
«!,..., ал_1 не рациональны, и притом не одно, а я!, которые полу-
получатся, если мы будем в равенствах C) и D) производить над х (или
над х) всевозможные подстановки. Н9 коэффициенты <х0, ах,.. ¦, ая_1
можно найти и не умея1 решать уравнений A) и B). Чтобы притти
к удобным для этого формулам, будем умножать уравнения C) и D)
соответственно на хг\ xzl, • . ¦ , хпг A = 0, 1, 2,. .. , п — 1) и склады-
складывать. Тогда, обозначая через Sk сумму Л-тых степеней корней уравне-
ция A), мы придем к уравнениям
Si = пх0 + sx ах -J h 5n-i ая_ь
= Sj а0 + 52 ах + • • • + sn ал-ь
E)
= 5Л_1 а0 + 5Л ах -JЬ
Получилась опять система уравнений с не равным нулю определите-
определителем. Трудность для вычисления представляют только коэффициенты
в левых частях. Чтобы вычислить их, исследуем, к какой группе они
принадлежат в области,А полученной от соединения областей, образо-
образованных корнями уравнений A) и B). Группа Галуа этой области должна
быть делителем группы, образованной подстановками над корнями
X±t Х2, • . . , Хп] Xi, Х2, . . . , Хп> (у)
Эти подстановки мы получим, если над х станем производить подста-
подстановки уравнения B), а над х совершенно независимо подстановки
уравнения- %A); Но чтобы найти коэффициенты а, нет надобности
находить величины F): все коэффициенты в левых частях E) принад-
принадлежат к одной и той же группе довольно высокого порядка. Дейст-
Действительно, если станем одновременно производить над х и X одну и
ту же подстановку, то наши величины не претерпят никаких измене-
изменений. В общем случае, когда оба уравнения A) и B) без аффекта (или
когда мы не знаем их групп), наша группа будет порядка п\ и притом
изоморфна с группой уравнений A) и B). Величины 2лглг, Ъх2х, ... ,
Ъхп~1 х, как принадлежащие к одной и той же группе (буквенно),
1 Под словом область мы будем здесь разуметь понятие, соответствующее тер-
термину Кбгрег — корпус-поле.

ЗАДАЧА, ОБРАТНАЯ ЗАДАЧЕ ЧИРНГАУЗЕНА
должны рационально выражаться лерез какую-нибудь одну, например
через %xx = z. Находить эти выражения придется обычным способом
Лагранжа. Величина же z может быть найдена Как корень некоторого
уравнения я!-ой степени, которое мы получив, если составим симметри-
симметрические функции от величин, сопряженных с z. Для этого нужно
производить подстановки только ндд одной половийой величин F),
например над х. Получатся функции, симметрические относительно х,
с коэффициентами, которые будут симметрическими функциями
от х. Чтобы существовало рациональное преобразование C) — D),
необходимо и достаточно, чтобы функция z была рациональным
числом, т. е. чтобы построенное нами уравнение имело рациональный
корень. Итак, вся задача сводится в существенных чертах к нахож-
нахождению рационального корня в численном уравнений.
§2
Эта последняя задача представляет большие трудности, так как
степень полученного уравнения (я!-ая) очень высока. Чтобы облегчить
задачу, можно вместо г строить уравнения для функций, принадлежа-
принадлежащих к группам более высоких порядков. Тогда степень построенного
уравнения будет равна индексу взятой группы относительно симметриче-
симметрической* Дальнейшим шагом, в решении задачи будет построение уравне-
уравнения, корень которого принадлежит к вновь выбранному райи делителю
первой группы. Его степень будет равна индексу этого делителя
относительно первой группы, так как после нахождения рационального
корня в- первом уравнении мы имеем право считать функции, при-
принадлежащие к первой группе, известными. Таким путем цы сведем
задачу к последовательному решению уравнений более низких степе-
степеней. Неудобство этого метода заключается в том, что коэффициенты
уравнения, корни которого принадлежат к группам высокого порядка,
должны иметь сложное выражение и в общем: случае имеют большие
численные значения, что затрудняет нахождение рациональных
корней.
Задача допускает несравненно более удобный метод решения в том
случае, если группа О уравнения A) (а также группа G уравнения B))
имеет нормальный делитель Н (или, соответственно •//),. Построим
уравнение, корни которого суть функции от х, принадлежащие Н
(», соответственно, уравнение с корнями, принадлежащими Я). Груп-
пой уравнения будет — (соответственно =-). Отсюда следует, что
степень уравнения композиции от них равна индексу (Н, G). Пусть
далее, следующая группа жорданова ряда будет Нх (соответственно Нг).
Построим уравнения, корни которых принадлежат Hl9 Нг. Обозначим
эти корни через z, z. Составим функцию ? = Хг2 и затем все функции,

В. Г. ЧЕБОТАРЕВ
полученные от производства над z подстановок группы ^-. Основные
симметрические функции от этих ? не должны изменяться от под-
становок групп — и -=- и потому рационально выразятся через
найденный нами (рациональный) корень предыдущего уравнения. Для К
получится уравнение степени (Ни Н). Продолжая в том же роде
дальше, мы приведем задачу к последовательному нахождению рацио-
рациональных корней в уравнениях, степени которых составляют ряд индексов
нашей группы G. Получаемые здесь выражения не будут особеннЬ
громоздкими; во всяком случае их легче вычислить, чем в предыду-
предыдущем методе. Впрочем иногда представляе1гся целесообразным комби-
комбинировать оба эти метода, в чем мы убедимся на приведенных ниже
примерах.
Возьмем два кубических уравнения в приведенной форме
G)
(8)
Симметрическая группа 3-ей степени имеет в качестве нормального
делителя знакопеременную группу* Корнем zy принадлежащим к знако-
знакопеременной группе, будет квадратный корень из дискриминанта
VD = К~4р3-27?2. (9)
Поэтому необходимым условием того, чтобы корни уравнений G) и (8)
составляли одну и ту же область, является образование корнями YD
и Yd одной и той же иррациональности, или, что то же, рациональ-
рациональности VDD. Если это условие соблюдается, составим уравнение,
которому удовлетворяют функции
Z1 = Xi Х1 -f- Х% Х% *\- Х$ Х^у
A0)
получающиеся одна из другой при помощи подстановок знакоперемен-
знакопеременной группы, производимых над л (или х). Пусть это будет
*i + P12*+P1z + P, = 0. (И)
Станем вычислять Plf P2, Р3
Pi = — *i (хх + х2+ хг) — х2 (х±+ х2+ Хз) — хъ (хг + х2+ х3)=^0, A2)
S2 = S^2^!2 +2Ъх1х2х1 X2=s2s2+2pp=4pp-+2pp = 6pp, (IS)
4 A4)

3 \ДАЧА, ОБРАТНАЯ ЗАДАЧЕ ЧИРНГАУЗЕНА
S3 = S xfxS + 32 (Х]* х2 + х22 х3 + *32 *i) (xf х2+ x22 х3+ х32 АГхН-
+ leXi^aXs лхл:2 х3. A5)
Выражения в скобках во втором члене правой части удовлетворяют
квадратному уравнению:
?х = л^2 хг + х? х3 + xa*xlt ?2 = хг2 х3 + х?хх + х32х2, A6)
x2 = s1s2-^sa=+3q, ¦ A7)
^2 = S хх* л:2 х3 + 3 л:!2 х22 х32 + S хх3 х23 =
A9)
~ 2
s3s3
A5а)
Р,—4-S,-
Итак, основное уравнение, в котором мы должны искать рациональ-
рациональный корень, имеет следующий вид:
^^г^ (Па)
Какой из двух знаков в последнем члене нужно выбрать, чтобы
получить решение? Заранее на этат вопрос ответить трудно, так как,
как мы сейчас увидим, он аналогичен вопросу, будут ли две заданные
-формы proprie или improprie эквивалентны. Ясно только, что если оба
уравнения A1а) допускают по решению, то существует нетожде-
нетождественный переход одного корня в другой корень того же уравнения,
другими словами, каждое из уравнений A) и B) нормально.
Чтобы исследовать общий случай, обратим внимание на то, что
верхний знак в уравнении A1а) нужно брать в том случае, если
знакопеременная функция (х1-^х2)(х2 — ^3)(^3 — xi) имеет тот , же
знак, что и аналогичная . функция для другого . уравнения:

10 ]Н* Г. ЧЕБ.ОТАРЕВ
(л;г*— х2){х2—xz) {xz—хх). Выразим эту последнюю функцкк) через
первую. Вычтем одно из другого равенства
^i = «о + <*i *i + «2 «кД B2)
B3)
Получим
(хг — *2) = {хх — *2) [ах + а2 (хх + л:2)] = (х± — х2) К — а2 *3). B4)
Отсюда
(хг — х2) (х2 - л:3) (^з~ ^i) =- (^i — *2) (^2 — ^8) (*8 — ^l^N (*i — а2 Xi). B5)
Значит, все зависит от знака Л^(ах — а2дг,). Но
N (ах - а2 jcr) =* а/ + /w*i<х22 + ^а23. B6)
Знак этого выражения мы, конечно, сможем определить уже после
"того, как будут вычислены искомые величины <х.г и а2.
Исследуем еще этот вопрос, рассматривая переход между корнями
в форме дробной линейной подстановки, т. е.
Тогда
Отсюда
Итак, верхний знак будет давать решение тогда и6 только товда,
для формулы B7) будет иметь место ос& — Рт>0. Отсюда вытекает
следующая теорема о групповом!* характере чередования верхнего
и нижнего знаков.
Если три кубических уравненияj(I), (II) и (III) допускают.рациональ-
допускают.рациональный переход друг в друга, то при переходе от (I) к (III) нужно взять
в уравнении (Па) верхний или нижний знак, судя по тому, будут, ли
аналогичные знаки при переходе от (I) к (II) и от (II) к (III) одно-
лтенны (оба верхние или оба нижние) или разноименны.
Последнее исследование показывает также, что в случае верхнего
знака бинарные кубические формы, ^соответствующие уравнениям (I)
и Bj, будут proprie эквивалентны, в случае нижнего — imptoprie
эквивалентны.
Для нахождения коэффициентов «0,, olf <x2 преобразования необхо-
необходимо еще знать величину* и =^ хг2хх + х22 х2 +х^2хг Чтобы выразить

ЗАДАЧА, ОБРАТНАЯ ЗАДАЧЕ ЧИРНГАУЗЕНА 11
ее через г, воспользуемся способом Лагранжа. Обозначая левую часть
уравнения (Па) через
/(*) = (z - гх) (z - z2) (z - 23), C0)
применим для вычисления и известную формулу Лагранжа
., — S«i (*- га) (дг—дг3) _ Az* + Bz +,C ,
Коэффициенты Л, 5, С имеют значения: Л = 0, В = 6др +3qp=9qp,
С = — 6р2 ^ — Зр2^ = — 9р2 q и потому и выразится через г следующим
образом:
Коэффициенты преобразования а0, ах, а2 можно получить из таких
формул:
0= За0— — 2/?а2,
§ 4
Рассмотрим два уравнения 4-ой степени
0, C2)
0. C3)
Построим уравнение, которому удовлетворяет функция
z=-x1x2+jc3xi. C4)
Эта ф) нкция принадлежит к группе 8-го порядка, а потому уравнение
будет кубическим. Вместе с тем вся совокупность zlfz29z^ дринадле-
жит к Vierergruppe, которая является нормальным делителем симме-
симметрической. Нужное нам уравнение выписано, например, в „Основах
высшей алгебры" Д. А. Граве. Полагая в нем р1 = 0, получим
z*-P2Z*-4p4Z-p32 + 4P2pt = 0. C5)
Точно так же для уравнения C3)
??ЯЯРз = 0. C6)
Для того чтобы наша задача была возможна, необходимо, чтобы
существовал рациональный переход между корнями уравнений C5)
и C6). Отыскав его, введем обозначения для следующих величин:
8, C7)
zs, C8)
z32. C9)

12 Н. Г. ЧЕБОТАРЕВ
Обратимся теперь к уравнениям C2) и C3). Составим уравнение,
которому удовлетворяет функция
Тх =*хххх + х2 х2 + хгх3 + х4 х4. D0)
Произведем над х последовательно подстановки Vierergruppe. Полу*
чим величины Тх, Т2> Т3> Г4. Симметрические функции от этих величин
не изменяются от подстановок Vierergruppe и потому могут быть
выражены через ?. Значит, через ? можно выразить коэффициенты
уравнения
_ + П3Г + П4 = 0. D1)
При этом
П4 = - -|- С2 — -^-р2 и — ~-р2 и
16 р22р, + ^-
Поэтому уравнение D1) будет иметь следующий вид:
^А0. D1а)
Для окончательного решения задачи требуется еще выразить
через Т величины б = Ъх^хг и Z = S^3 хг. Опять пользуемся форму-
формулой Лагранжа
где Л-0, В = 8р3р2, С = — Sp22p3 + 32p4p3i D = 8psu— &р3р2 К —
Итак, в выражается через Т следующим образом:
е __ 8 р^ р2 Т* + (- 8 р2Уз + 32 рх ря) Т + (8 р3 и — 8 р3 р2 К — 64 р2 рър4) ( „ ,
4T*-,4(p2p2+X)Tr-Sp3pa K }
Подобным же образом находим выражение для Z — Т,х^хг
„ Ъ2ЛТ-Т2)(Т-Тъ){Т-Ть) _А1Т> + В1Т* + С1Т+Р1
Л = 0, В1 = — 2u — 2p2Z — 4p22p2 + 16р4р2> Сх = — 28р2р3ря>

ЗАДАЧА, ОБРАТНАЯ ЗАДАЧЕ ЧИРНГАУЗЕНА 13
Итак, выражение для Z таково:
+ 40 р2 р4 ~pj + 64 /J
Чтобы получить коэффициенты формул перехода
л; = а0 + aj х + as x2 + л3х3, D4)
необходимо решить следующую систему линейных уравнений:
0= 4а0 — 2/>2а2— 3/»3*3'
Т=. - -2Лв1- . 3^«2 + B/»a2-4/74)a3> D5)
6 = — 2/?2а0 — 3/?3«1 + Bр22 — 4/>4)а2+ 5/?2р3 Оз, •
(-2р23 + 3/;32 +
) «8-

ОБ ОДНОЙ ТЕОРЕМЕ ГИЛЬБЕРТА
UEBER EIN SATZ VON HILBERT
i. ВУАН, 1923, стр. 3—7)
В этой работе я доказываю следующую ?еорему, которую в менее
строгой формулировке доказал Гильберт. г
Пусть дано нормальное поле 2, содержащее /—е корни из еди-
единицы. Выберем в Q t целых чисел
так, чтобы произведение
представляло /-ю степень некоторого числа из Q только тогда, когда
каждое из чисел тх, т2, . . . , mt делится на /. Тогда в 2 найдется
бесконечное множество таких простых идеалов р, что
где Z = e l ; clt c2i . . . , ct — произвольно заданная система чисел из
ряда 0, 1, 2, ...,/— 1 и |—) —обобщенный символ вычета, т. е.
\ р)
-}=Г, если *'=!:' (modp),
где / — порядок идеала р.
(Нужно заметить, что pf — 1 должно делиться на /, так как поле 2
содержит поле 1-х корней из единицы о>(^ и потому порядок каждого
простого идеала из со(?), являющегося делителем р, будет делите-
делителем /).
Доказательство основывается на выводах моей работы „Определе-
„Определение плотности совокупности простых чисел, принадлежащих к задан-
заданному классу подстановок", где показано, что всегда существует бес-
бесконечное множество таких простых чисел, которые принадлежат
к заданному классу подстановок группы данного уравнения. 2
1 Zahlbericht 5, стр. 426, теорема 152.
2 Frobenius. Uber Bezieh. u. s. w. Sitzber., Berl. Akad. 1896.

ОБ ОДНОЙ ТЕОРЕМЕ ГИЛЬБЕРТА 15-
Для,решения вопроса-о существовании простых чисел, принадле-
принадлежащих данному классу подстановок одновременно в нескольких
полях, мы построим нормальное поле, содержащее эти поля, и па-
смотрим, найдется ли в этом последнем поле подстановка, произво-
производящая нужные нам подстановки сради величин заданных полей. При
этом будем иметь в виду, что каждому простому числу соответствует
класс подстановок и его простым идеальным делителям — подстановки
этого класса (цит. выше, конец).
Будем рассматривать в Q только те простые идеалы, для которых
/=1, иными словами — простые идеалы, принадлежащие к единичной
подстановке.
Рассмотрим поле 2(Pd ?2, . . ,, р,), полученное из 2 присоединением
величин
Pi=V4. Р» = K^i Э/=/^«
Если мы будем считать поле 2 областью рациональности, то группа
поля Q (plt р2> ~ " » Р;) будет абел^вдй и состоящей из подстановок,
„переводящих величины {3, в ?/Р|, где ^ — 1-й. корень из единицы. Дос-
Доскажем, что порядок этой группы равен /'. Допустим обратное —
пусть порядок этой группы менее /'. Это значит, что если последо-
последовательно присоединять к полю Q корни уравнений
Z* — ах = 0, z — а2 ==, . . . , гг — а, = 0,
то после присоединения корней одного "из них, последующее уже
окажется приводимым. Пусть первое из таких, становящихся»
приводимыми уравнений будет г1 — а„ = 0. Тогда оно распадется
в 2(Pi» Рг» • * • » Р,) на множители одной и той же степени, которая
может быть только, 1-й, так как / — простое число,
„Итак
**«Ф(Ь, Pi......**_,)¦ О>
С другой стороны, порядок поля ^(Px> Р2> • • • > Pv-i) должен быть
равен /*-\ Обозначим через St ту подстановку между величинами
Pit Рг* :.. > Pv_i> которая переводит pi в ?p/f оставляя неизменными
бстальные величины рр р2, ., . , р._14 р/ + р • . .", Pv_r Тогда группа
поля 2(РХ, ра, . . . , Pv_,) состоит из подстановок типа
5?i о^а с^ — 1
1 • О2 • • • Ot/~1 .
Так как порядок этой группы равен Г"\ то каждый из показателей
5ь 52». - •, 5Р_! должен пробегать все значения из ряда чисел
0, 1, 2, ...,/ — 1 совершенно независимо от других. В частности,
подстановка 5/ сама должна входить в группу поля 2 (рь р2» • • • > Pv- iV
Вследствие этого величина ф(Р1,"р2» • • • » P/-i» W^ Р« + г • * * ' ^- ^

ОБ ОДНОЙ ТЕОРЕМЕ ГИЛЬБЕРТА
UEBER EIN SATZ VON HILBERT
i. ВУАН, 1923, стр. 3—7)
В этой работе я доказываю следующую ?еорему, которую в менее
строгой формулировке доказал Гильберт. г
Пусть дано нормальное поле 2, содержащее /—е корни из еди-
единицы. Выберем в Q t целых чисел
так, чтобы произведение
представляло /-ю степень некоторого числа из Q только тогда, когда
каждое из чисел тх, т2, . . . , mt делится на /. Тогда в 2 найдется
бесконечное множество таких простых идеалов р, что
где Z = e l ; clt c2i . . . , ct — произвольно заданная система чисел из
ряда 0, 1, 2, ...,/— 1 и |—) —обобщенный символ вычета, т. е.
\ р)
-}=Г, если *'=!:' (modp),
где / — порядок идеала р.
(Нужно заметить, что pf — 1 должно делиться на /, так как поле 2
содержит поле 1-х корней из единицы о>(^ и потому порядок каждого
простого идеала из со(?), являющегося делителем р, будет делите-
делителем /).
Доказательство основывается на выводах моей работы „Определе-
„Определение плотности совокупности простых чисел, принадлежащих к задан-
заданному классу подстановок", где показано, что всегда существует бес-
бесконечное множество таких простых чисел, которые принадлежат
к заданному классу подстановок группы данного уравнения. 2
1 Zahlbericht 5, стр. 426, теорема 152.
2 Frobenius. Uber Bezieh. u. s. w. Sitzber., Berl. Akad. 1896.

ОБ ОДНОЙ ТЕОРЕМЕ ГИЛЬБЕРТА 17
Эти простые числа разлагаются в Q на простые идеалы первого по-
порядка, так как подстановки S не изменяют величин из Q. Последние
в норме поля &(р1} Р2, . . . , р,) разлагаются на простые идеалы, из ко-
которых хотя один принадлежит к S. Обозначим такой идеал через В.
Сравнение, характеризующее принадлежность к S, запишется так:
о)Р=^со/5 (mod В),
где со-—произвольная целая величина из нормы поля 2(Рх, р2, . . . , C,).
Беря за о> рх, р2, • . . , р,, мы получим
Р/ ЕЕЕ Г Рх, Р/ ЕЕЕ ^ Р2, . . . , Р/ ЕЕЕ ^ Р, (mod В),
откуда
р/-1^1, Р2р-1 = Г2, . . • , $*~Х = Ф (mod 5).
Заметим, что р — 1 делится на /, так как в нашем случае /=1.
Следовательно
/? — 1 р — i p — 1
ах 1 =?\ а2 z =Га, ...,а, ' =^ (mod 5). F)
Сравнения эти содержат только величины из 2 и потому сохраняют
силу, если ja модуль взять в Q произвольный простой идеал р, деля-
делящийся на В.
Из сравнения F) и сравнения a z = {— j (mod p) получаем
Эти сравнения должны быть равенствами, так как различные /-е
корни из единицы не могут быть сравнимы (modp). Последнее утвер-
утверждение следует из того, что идзал р не входит в дискриминант
уравнения
Следовательно, простой идеал р обладает требуемым свойством и
теорема доказана.
(Доложено
академиком JJ А. Граве
10 ноября 1922 г.;.
2 Н. Г. Чеботарев. Том 1.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ КРОНЕКЕРА — ВЕБЕРА
ОТНОСИТЕЛЬНО АБЕЛЕВЫХ ОБЛАСТЕЙ1
(Матем. сборн. 31 A923), стр. 302—308)
В настоящей статье я предлагаю наиболее краткое и элементарное
из известных мне доказательств знаменитой теоремы Кронекера —
Вебера.
Всякая область с абелевой группой есть область деления круга.
В основу доказательства положены два принципа, уже применяв-
применявшиеся к циклическим областям Вебером,2 но не высказанные до сих
пор в общей форме. Первый принцип основывается на теореме:
От композиции всех групп инерции (Tragheitsgruppen) нормальной
области получается полная группа Галуа области.
Этот принцип является в известном смысле обобщением теоремы
Минковского, представляя в то же время аналогию свойствам группы
монодромии на римановых поверхностях. Ему посвящен § 1.
Второй принцип восходит от Кронекера,3 который ввел понятие
композиции циклических областей. Его идея в применении к про-
произвольным областям намечена и использована мной в статье „Задача,
обратная задаче Чирнгаузена". 4 Здесь он изложен в § 2.
Кроме того, я пользуюсь гензелевским методом /7-адических чисел
правда в скрытой форме, а также методом Футера. 5
Дана произвольная нормальная область К{х). Будем рассматривать
различнее ее подобласти K(z). Поставим себе задачу: найти необхо-
необходимое и достаточное условие для того, чтобы данное простое число
не было критическим в области К (z)> т. е. чтобы в его разложение
на простые идеальные множители внутри K{z) не входили кратные.
Пусть z принадлежит к группе g, а разложение р внутри К (z) таково:
1 Термином «область» я буду обозначать понятие, обозначаемое также терминами
Когрег — поле-корпус.
2 Math. Ann., Bd. 67, 70.
3 Monatsber. Berl. Akad., 1875.
4 Журн. чист, и прикл. знания, т. I, в. 2.
Б Math. Ann., Bd. 75, стр. 190-191.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ КРОНЕКЕРА-ВЕБЕРА
Обозначая через (g) порядок группы gt а через gtil) — группу инерции,
соответствующую входящему в р. простому идеалу Рг. внутри К{х),
мы будем иметь следующие формулы:
где через [g, gt(l)] обозначено пересечение групп g и gt(t) (см.
Bachmann. Zhlth, Bd. V). Из этих формул следует, что rf/=l тогда
и только тогда, когда gt(t)=[g9 gt{i)]> т. е. если gt(t) является дели-
делителем g. Поэтому, для того чтобы р не было критическим числом в
К (z), необходимо и достаточно, чтобы все группы инерции, соответству-
соответствующие идеальным множителям р, входили в группу, к которой принадле-
принадлежит Z.
Сопоставим эти условия для всех критических для К (z) чисел
сразу. В силу теоремы Минковского отсутствие критических чисед
у K{z) возможно только тогда, если К (г) есть область рациональных
чисел, откуда вытекает теорема:
Чтобы алгебраическое число, принадлежащее к нормальной
области K{x)t было рационально, необходимо и достаточно, чтобы
в группу¦, к которой оно принадлежит, входили все группы инерции
области К{х).
Эту теорему можно формулировать так:
От композиции всех групп инерции данной нормальной области
получается ее полная группа Галуа.
§ 2
Даны две нормальные области К\(х) и К (х) п-ой степени, группы
которых G и G изоморфны. Пусть
-^1» ^2, • . • , Хп C)
и
будут сопряженные примитивные величины обеих областей, зануме-
занумерованные так, чтобы группы G и G состояли из подстановок, пере-
перемещающих одинаковые цифры. Исследуем область, в которой лежат
коэффициенты перехода от величин C) к величинам D):
E)
хп = а0 + аххл
Для этого умножим уравнения E) соответственно на хг\ х2\ ..., хп1
/ = 0, 1, 2 , п—1) и сложим. Получим
2*

20
Н. Г. Ч Е Б О Г А Р Е В
V XiXt = 5ха0 + 52 • ах + 53 • а2 + • • • + sn • ал—1»
Т F)
где s и 5-—суммы степеней сопряженных величин, т. е. рациональные
числа. Для п неизвестных а0, а19..., *п-\ получается п линейных
уравнений с определителем, равным дискриминанту величин х. Значит,
коэффициенты перехода <х0, ах,..., art_i рационально выражаются через
J\xi*xi, y^xf-xt,..., J^Xin~~l*Xi* Эти величины являются элементами
/ i i
области К (х, х), группа которой изоморфна или с произведением
G-Gy или с его гёльдеровским дополнением. Они не изменяются от
подстановок типа
/ р Х^ч - . . , Хп \ |-^1> -^2» • • • у Хп \
a, -^a,i • • • > Хасп' \-^ai; -^a,» * • • > *^a/i'
/' r 'y 1—подстановки группы О. Эта группа является
нормальным делителем G-G, в силу чего группа нашей области
перехода изоморфна с делителем ее гёльдеровского дополнения.
Сопряженные с Hxf-xt величины мы получим, если, оставляя величины
ряда C) на месте, мы щюизведем над величинами ряда D) всевозможные
подстаноЁки группы G (или наоборот). Поэтому эта группа изоморфна
или с G, или с ее делителем. Следующая теорема дает ответ на
вопрос, когда имеет место тот или другой случай:
Если области К (х) и /СМишеют общую область, принадлежащую
соответственно в К (х) и К{х) к подгруппам Н и Н групп G и G, то
группа области перехода изоморфна или с И, или с ее делителем.
Не нарушая общности, можно предположить И нормальным дели-
делителем G, так как если в К (х) входят величины, принадлежащие
в К (х) к Н, то войдут и величины, принадлежащие к сопряженным с Н
группам, а также к их пересечению, которое является нормальным
делителем G. Рассмотрим функцию Ф от величины Sx/*Jc/, принадле-
жащую к группе, изоморфной с Я, подстановки которой мы получим,
если, оставляя в?лйчйн>ььC) на месте, мы будем.над величинами D)
производить подстановки группы И (а также наоборот). Величину Ф
можно представить в следующем виде:

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ КРОНЕКЕРА-ВЕБЕРА 2Т
так как величины хг> x3i,.., хп рационально выражаются через х1г
а Зс2, хЗУ... хп — через хг. .Наше предположение позволяет написать:
и н
где А—порядок групп Н и Н. Дадее, по той же причине
Каждая из сумм внутри выражения рационально выражается через
величины z {соответственно z), принадлежащие к группе Н (соответ-
(соответственно И). Поэтому
Но, как величина из области перехода, Ф не изменится, если над
величинами г19 zlf мы применим подстановку типа G). Поэтому
Ф = -I {T(Zl, zx) + Т (г,, г2)+ • • • + Т(гл 5*)}, (8)
где ^ — число величин, сопряженных с гг (или гг). Предположение
нашей теоремы дает начало следующим формулам:
?! = ?(*!), г2 = <р(г2),..., гл = ?(^. (9)
Подставляя их в (8), мы придем к выражению для Ф, симметрическому
относительно гъ z2,..., г*. Это доказывает, что Ф равна рациональной
величине, ч. и т. д.
§ 3
Обратимся теперь к теореме Кронекера — Вебера. Как обычно,,
приведем вопрос к исследованию циклической области К (х) степени
m = luf где / — простое число. Из теоремы § 1 следует, что существует
хоть одно простое число, для идеальных множителей которого группа
инерции будет совпадать с группой Галуа нашей области. Будем
вместе с Вебером называть подобные числа вполне критическими
(total kritisch). Разберем отдельно случаи, когда вполне критическое
простое число отлично от / и совпадает с /.
В первом случае имеет место сравнение
р = 1 (mod/"). A0)
Действительно, в этом случае (/?) = (р/и), где р — простой идеал области
К (х). Область инерции состоит только из рациональных чисел, а потому
всякое целое число области К{х) сравнимо с рациональным числом
по модулю р. Возьмем число Р, делящееся точно на первую степень р.
Пусть s будет одна из первообразных подстановок группы Галуа.

22 Н. Г. ЧЕБОТАРЕВ
sP
Величина -р- взаимно проста с р, а потому сравнима с некоторым
рациональным числом а по модулю р, откуда
sP = aP (modp2). A1)
Применяя эту подстановку т = Iй раз, мы получим
Отсюда, в силу sOT = l: P==~am-P(modp2), или
a«=l (mod/?). A2)
С другой стороны, если бы имело место
аа~в l(modp),
где d-d1~m, dx^>\, то мы имели бы
sdP~P (modp2),
откуда
где b — целое рациональное число, не делящееся на /?. Тогда
Ь {sdP)k = P + 2bPk (mod ok±l),
=^P + dxbPk (mod p**1).
Но ни dl9 ни b не делятся на р, а потому это сравнение несовместимо
с равенством
sdxdp = smp = p
Таким образом, а является первообразным корнем сравнения
хт —1=0 (mod/?),
а потому т должно быть делителем р— 1, ч. и т. д. Построим теперь
лри помощи корня уравнения
ZP-1 + ZP-2 + . . . + Z + 1 = 0 A3)
циклическую область К (у) степени т. Для нее единственным крити-
критическим числом будет г?, которое в силу этого должно быть вполне
критическим.
Покажем, что переход от К{х) к К {у) можно подобрать таким
образом, чтобы в области перехода р не было критическим. Для
этого особым образом подберем в К(х) и К (у) числа Р и Р, деля-
делящиеся точно на первые степени простых идеальных множителей р.
Возьмем первообразный корень g сравнения
хт—1=0 (mod/?*), A4)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ КРОНЕКЕРА-ВЕБЕРА 23
где к — сколь угодно большое число, притом так, чтобы
g = a (mod/?) (см. A2).
Составим выражение
gm-l.p + gm~2tSp + , . . 4-?--S'*-2P + 5m-1P A5)
и возьмем его в качестве Р. Оно тоже делится точно на первую
степень р, так как в силу A1) оно сравнимо по модулю р2 с выражением
(g™-1 + gm~2a + ' • • + gam~2 + am-x)P~mgm-lP (mod p2).
Кроме того,
sP = gP (mod/?*). A6)
Выбирая различные подстановки C), мы сможем выбрать для роли g
любой корень сравнения A4). Выберем подобным же образом подста-
подстановку s и число Р в К (у) так, чтобы имело место
sP = g.~P (mod/?*). A7)
Исследуем по модулю /?* коэффициенты перехода от Р к Р
Р = ао + а1Р+- • • +am_1P*-1. A8)
Рассмотрим норму Р
N {P) = P-SP- • .Sm~lP= I -g- • .gm-l.pm^±pm (mod/?*). A9)
Ho N(P) равна целому рациональному числу, делящемуся точно на
первую степень /?. Поэтому
Р*=±ар (modp*), (a, p) = 1, B0)
и точно так же
Pm==bp (mod/?*), (b, /?)= 1. B1)
Отсюда, обозначая через с корень сравнения
а-л; = й (mod/?*), B2)
мы придем к сравнению
(ao + a1P + - • • +affl>,P«-1f = cP« (mod/?*). B3)
Взяв k^>tn{m — 1), мы придем к сравнениям
ос0еееО, ахт eeelc, *2 = 0,. .., am_!=0 (mod/?*). B4)
Сравнение a^ — ? = 0(mod/?*) может или разлагаться на линейные
множители, и тогда а, будет сравнимо по модулю /?* с рациональным
числом, или иметь неприводимые по модулю р множители, дискрими-
дискриминант которых не делится на /?. Поэтому для уравнения, которому
удовлетворяет а1э число р не будет критическим.

24 Н. Г. ЧЕБОТАРЕВ
Исследуем теперь коэффициенты перехода от х к у (эти величины
выбраны независимо от ?).
В § 2 доказано, что C0, plf ...,Cm_i рационально выражаются через
2*,2j>,...., S*,—'jv B5)
Рассмотрим величину ^лгДу, и выразим в ней х через Р, а у — через Р.
Подставляя вместо Р его выражение A8) и принимая во внимание
сравнения B4), мы придем к сравнению
2 х*уг = ?(«!) (mod;?*).
Это сравнение показывает, что для величин B5) число /* не будет
критическим.
Таким образом, величины области К (х) рационально выражаются
через корень уравнения A3), т. е. через корень из единицы, и через
корень циклического уравнения не выше /n-ой степени, область
которого имеет одним критическим числом меньше, чем К (х) (новых
делителей дискриминант области К{х,у), а тем более области пере-
перехода, иметь не может). Избавившись от всех вполне критических чисел,
мы придем к приводимым уравнениям m-ой степени, т. е. понизим
степень.
§ 4
В случае р = 1 подобный выбор Р невозможен. Я предпочел в этом
случае путь постепенного понижения группы инерции.
Предположим, что мы избавились от всех вполне критических
простых чисел, кроме /. Образуем для К (х) подобласть /-ой степени.
Она входит во все области инерции области К(х), кроме той, что
соответствует числу /, потому что степень каждой из них ниже т = /"•
Поэтому критическим числом для этой подобласти может служить
только /.
Докажем, что существует только одна циклическая область /-ой
степени с единственным критическим числом /. Допустим, что суще-
существуют две различных области подобного типа, и обозначим их через
К {х) и К (у)- Если для области К(х, у) группа инерции /-го порядка,
то и вся область, в силу теоремы § 1, должна быть /-ой степени,
т. е. совпадать и с К (х) и с К (у), и наше утверждение будет дока-
доказано. С другой стороны, если бы группа инерции области К {х, у)
была /2-го порядка, т. е. совпадала с полной группой Галуа, то она
не была бы циклической, так как в нее входят две существенно
различные подгруппы /-го порядка, именно группа, к которой при-
принадлежит К(х), и группа, к которой принадлежит К (у).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ КРОНЕКЕРЛ-ВЕБЕРА 25
Докажем, что при />2 это предположение невозможно. Действи-
Действительно, пусть область К (х, у) имеет группу инерции /2-го порядка,
все подстановки которой /-го порядка. Тогда (/) = (?/а), где S — простой
идеал области. Рассмотрим величину L, делящуюся точно на первую-
степень S. Область раздвоения (Verzweigungskorper), область инерции
и область рациональных чисел здесь совпадают, в силу чего для
каждой подстановки 5 имеет место сравнение
sL = L + a-Lr (mod ?r+1), B6).
где а — целое рациональное число, не делящееся на /. Так как под-
подстановок всего /2— 1, а различных по модулю / чисел только /, то для
некоторых подстановок s и s± должно иметь место
sxL^sL (modSr+1),
или
gL = L (modS'+1), B7).
где a = s1-s~"a. Пусть ч\х и ч\ будут величины, принадлежащие соотйет-
ственно к группам [1, 5,..., s'-1] и [1,а, ..., с'-1]. Вычислим относи-
относительные дифференты области К {х, у) по отношению к областям К (ч)
и К (ъ)- Всякое целое число в К(х, у) может быть представлено
в форме
где k — сколь угодно большое число, откуда ясно, что дифферента
области содержит S в той же степени, что и дифферента числа L.
Дифферента по отношению к К(т\) делится точно на Sr(/~J), а диф-
дифферента по отношению к К (%) во всяком случае делится на ?(г+1)(/~1)#
Отсюда, в силу теоремы о дифферентах (см. Zahlbericht, стр. 209,
теорема 41), следует, что дифферента области /COq) делится на более
высокую степень 2 (или /), чем дифферента области /C(?)i). Но в случае-
/>>2 это невозможно. Действительно, пусть L величина в К(у\)9
делящаяся точно на первую степень простого идеала с в К(у\)У причем
(с) = (I1). Далее, пусть
sL = L + a.Lr (mod cr+1) (a^0(mod /)). B8)
Тогда с входит в дифференту в г{1 — 1)-ой степени. С другой стороны,
составим уравнение
f(x) = xt + X1'Xl-l+- • • +Х, = 0, B9)*
которому удовлетворяет L. Дифферента может быть представлена так:
S = ?Ш = /.L'-i + (/._ 1} >ч1 .L*-* + • • • + Х7_, C0)
(см. Zahlbericht, § 12f стр. 200). Во всех X/, как рациональных числах^
с входит в степенях, кратных /. Поэтому во всех членах выражения*

26 Н. Г. ЧЕБОТАРЕВ
C0) с входит в разных степенях. В силу этого каждый из членов
должен делиться на с1"*'"*. Этот факт дает при рассмотрении первого
члена начало следующему неравенству: I + (I— 1) >- гA — 1), или
7^гт. C1)
Отсюда, при />2, г = 2, т. е. во всякой области рассматриваемого
типа с входит в дифференту в 2A — 1)-ой степени, и одновременное
существование двух областей К Оо) и K(f\i) с различными дифферентами
невозможно. Наше утверждение доказано.
Обратимся опять к нашей области К(х) /и-го порядка. Она будет
иметь вместе с циклической областью К (у), степени /", построенной
при помощи корня уравнения
zia+l — 1=0, C2)
общую подобласть /-ой степени. Из этого вытекает (см. теорему § 2),
что существует область перехода от К(х) к К (у), степень которой
равна /и+1. Задача понижения степени области решена. Продолжая
рассуждать подобным образом, мы найдем выражение величин перво-
первоначальной области через корни из единицы.
Остался неразобранным случай 1 = 2. Существуют три различных
области второй степени с дискриминантом, равным степени двойки:
K(i)y К{.V—2) и К{]Г2)\ все они являются областями деления круга.
Переходя к областям степени 2"(а>1), заметим, что их подобласти
2-й степени всегда вещественны. Это очевидно, если область К(х)
вещественна; в случае мнимой области К (х) подстановка, переводящая
комплексные величины а + ф области в сопряженные комплексные
а — ф, не изменяя рациональных соотношений между величинами,
должна принадлежать к группе области. Эта подстановка — второго
порядка, а потому степень принадлежащей к ней подобласти равна
2й-1. Величины этой подобласти, не изменяясь от перемены знака
при I, должны быть вещественны. Но и—1>1, следовательно,
подобласть 2-й степени подавно вещественна. Значит, в нашей области
подобластью 2-ой степени должна быть /С(}^2). Точно так же
циклическая область 2"-ой степени, являющаяся вещественной под-
подобластью области корней уравнения
! в о, C3)
имеет тоже K(V^) подобластью 2-ой степени. Это позволяет приме-
применить к нашему случаю те же рассуждения, что и в случае нечетного /.
Таким образом, теорема доказана во всех своих частях.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОТНОСТИ СОВОКУПНОСТИ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ,
ПРИНАДЛЕЖАЩИХ К ЗАДАННОМУ КЛАССУ ПОДСТАНОВОК
(Изв. Российской Академии Наук, 17 A923), стр. 205—250)
Представлено на заседании Отделения физико-математических наук
7 марта 1923 г.
Задача, решение которой является целью настоящей работы, была
поставлена Фробениусом [1]. Она состоит в следующем. Дано непри-
неприводимое нормальное уравнение я-ой степени
f(x) = 0, A)
Обозначим область, полученную от присоединения к области ра-
рациональных чисел его корня, через п (х), а через р простой идеал
внутри ?1{х), взаимно простой с дискриминантом уравнения A). То-
Тогда имеют место сравнения
xf = xai, x/ == *«„ ...,х„р = хЛп (mod р), B)
если через xv х2,..., хп обозначить сопряженные корни уравнения A), а
(Sas/12 3 ...n \
является подстановкой над 1,2,3,. ..,/*, которая, как известно, вхо-
входит в группу G уравнения A) [2,1]. Тогда будем говорить, что прос-
простой идеал р принадлежит к подстановке S, а рациональное простое
число р, кратное р, принадлежит к классу подстановок TST-1, где
Т пробегает все подстановки группы G.
Рассмотрим совокупность всех простых чисел, принадлежащих к
этому классу подстановок. Выражение
где сумма распространяется на все простые числа этой совокупности,
носит название плотности совокупности. Наша задача заключается
в определении величины плотности этой совокупности.
Понятие плотности впервые встречается у Дирихле [3], который
доказал, что простые числа равномерно распределяются по классам
сравнений любого модуля ?, взаимно простым с ?, т. е. что плот-

28 Н. Г. ЧЕБОТАРЕВ
ность каждой такой совокупности равна -щ. Исследования Куммера свя-
связывают этот результат с определением плотности совокупности про-
простых чисел, принадлежащих к каждой из подстановок в области:
каких-нибудь корней из единицы ([4]; см. также § 11 моей рабо-
работы). Кронекер [5] нашел величину плотности совокупности простых
чисел, принадлежащих к тождественной подстановке в произвольной
области.
Вопросом о простых числах, принадлежащих к любому классу
подстановок в произвольной области, занялся Фробениус. Скелет
его результата был ему известен еще в 1882 г., и в 101 томе Journ.
f. Math, он публикует групповую часть этой проблемы.
Однако свой результат в полном объеме он опубликовал лишь
после того, как Дедекинд [2] доказал обратную теорему: подста-
подстановка, к которой принадлежит какой-нибудь простой идеал, входит
в группу области. В своем основном мемуаре Фробениус [1], при-
применяя результат Кронекера последовательно к различным делите-
делителям основной области, определяет плотность совокупности простых
чисел, принадлежащих к отделу данной подстановки, т. е. к сово-
совокупности классов, образованных всеми ее первообразными степенями.
Фробениус у, однако, не удалось определить плотностей совокуп-
совокупностей простых чисел, принадлежащих к отдельным классам под-
подстановок, о чем он говорит в своей работе в следующих выражениях:
„Indem man hier fur G der Reihe nach alle cyklischen Untergruppeu
von H setzt, erhalt man eine Reihe von Gleichungen, die aber nicht
ausreichen, urn schliessen zu кбппеп, dass
x j?Q)w) Об)
ist".
И далее: „Wenn es gelange, die Formel A6) zu beweisen, so wurde sich
fur die Dichtigkeit der Primzahlen Px, die der Aten Classe von Substitu-
Substitutionen entsprechen, der einfache Ausdruck:
d*-t-s- A8>
ergeben, es wurde also der Satz geiten:
V, Jeder Classe von Substitutionen der Gruppe H entspreshen unzah-
lig viele rationale Primzahlen. Iher Dichtigkeit ist der Anzahl der ver-
schiedenen Substitutionen der Classe proportional. Oder:
Die Dichtigkeit der Primzahlen, die einer Classe von Substitutionen
entsprechen, ist der Dichtigkeit der Classe gleich".
Этому общему результату Фробениуса не было суждено сыг-
сыграть в науке такой большой роли, какую сыграл результат Гиль-
берта, который был опубликован почти одновременно с фробениусов-

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОТНОСТИ СОВОКУПНОСТИ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ 29
ским и может быть рассматриваем как его частный случай, выражен-
выраженный в несколько видоизмененной форме. Это—теорема Гильберга о
существовании в любой нормальной области, заключающей в себе
/-е корни из единицы, бесчисленного множества простых идеалов с
наперед заданной вычетностью ([6]; см. также главу VI настоящей
работы). Основываясь на этой теореме, Фуртвенглер [7] доказывает
для любой области существование соответствующей ей области
классов (KlassenkCrper). Эта же теорема играет большую роль при
выводе общего закона взаимности [8].
Дальнейшая литература по этому вопросу невелика. В Arch. d.
Math. u. Phys. Bd. 6C), 1904, помещены три небольшие статьи
М. Бауэра, в которых он дает непосредственные приложения фробе-
ниусовского результата к констатированию тождественности или не-
независимости двух областей, а также к выводу характеристического
-свойства областей деления круга. Эти результаты являются частными
случаями теоремы, доказываемой в главе V настоящей работы. Кроме
этих статей, в Протоколах Харьков:кого мат. общ. за 1915 год поме-
помещена статья Б. Н. Делоне [9], который, пользуясь фробениусовским
результатов и законом взаимности Эйзенштейна, доказал (правда, не
для всех случаев) теорему Кронекера—Вебера о том, что все абелевы
области суть области деления круга.
Моя работа построена по следующему плану:
В § 1 я в существенных чертах воспроизвожу исследование Фробе-
ниуса, доделывая все выкладки до конца. В ходе рассуждений я
значительно уклоняюсь от Фробениуса главным образом потому, что
ограничиваюсь рассмотрением неприводимых уравнений, что дает
возможность избежать применения трудных и мало известных теорем
из теории грулп.
В § 2 я обобщаю найденную Куммером [4] связь между прогрес-
прогрессиями и областями деления круга. Вместо прогрессии, я ввожу в рас-
рассмотрение более общее понятие комплекса.
В§ 3 я обобщаю теорему Дирихле о прогрессиях. Именно, я дока-
доказываю существование в любой области бесчисленного множества
простых идеалов, нормы которых лежат в наперед заданных допусти-
допустимых комплексах. Подобные обобщения делались и другими авторами.
Так, Вебер [10] доказывает даже более общую теорему, но высказы-
высказывает ее не вполне отчетливо (именно, расплывчато формулировано
понятие, соответствующее моим допустимым комплексам) и, кроме
того, он предполагает существование области классов (KlassenkCrper),
чего я избегаю, несколько суживая объем результата и вводя понятие
комплексов, допустимых в узком и в широком смысле. При доказа-
доказательстве приходится обобщать результат Дирихле—Минковского (связь
между кратными интегралами и рядами.Дирихле). Гильберт [11] дела-
делает это же самое обобщение и применяет его к теореме, подобной
моей, но только имея fc виду комплексы более частного типа.

30 Н. Г. ЧЕБОТАРЕВ
В § 4 я определяю плотность совокупности простых чисел, принад-
принадлежащих к данному классу подстановок. Для этого я присоединяю*
к нашей области некоторую область деления круга. Тогда, если опре-
определяющее эту последнюю уравнение остается по модулю р непри-
неприводимым, то теорема 12 показывает, что известные уравнения из рас-
распространенной области имеют или не имеют рациональные корни а
зависимости от того, к какому из классов отдела принадлежит р.
Пользуясь результатом § 3; мы отсюда докажем существование в
каждом из классов отдела бесчисленного множества принадлежащих
к нему простых чисел. Для того же, чтобы определить величину их
плотности, я присоединяю не одну область деления круга, а ?, при-
причем k безгранично увеличиваю. Этот прием дает возможность опре-
определить искомую плотность. Однако оценить величину остаточного
члена мне не удалось.
§ 5 посвящен выводу критерия родственности областей. Он содер-
содержит теорему, частные случаи которой рассмотрены в статьях М. Бауэ-
Бауэра и Б. Н. Делоне [9].
Наконец, в § 6 я показываю, что теорема Гильберта [6], притом в более
общей формулировке, может быть легко выведена из результата § 5.
§ 1. Исследование Фробениуса
Возьмем неприводимое нормальное уравнение
и обозначим его корни через х19 х2,..., хп. Тогда справедлива
Теорема 1. Имеют место сравнения
х/еееХь^х/ееех^,. . .1хпР=хап(тойр), Bа)
где р --простое число, не входящее в дискриминант уравнения A)„
р — его простой идеальный множитель в &(х), а
s==(l, 2, 3,...,п\
\av а2, а3, . . . , <znj
подстановка над числами 1, 2, 3, ,,.,л.
Доказательство —см. [1], стр. 691.
Определение 1. В случае, когда имеют место сравнения Bа) г
будем говорить, что простой идеал р принадлежит к подстановке 5»
Теорема 2. Подстановка S входит в группу Галуа G уравне-
уравнения Aа).
Доказательство — см. [1], стр. 696.
Теорема 3. Если р принадлежит к Sy то простой идеал р/Г,
в который р переходит посредством подстановки Т из G, принад-
принадлежит к T~XST.
Доказательство — см.[1], стр. 70.
Определение 2. Совокупность подстановок T~lST, где Т про-
пробегает всю группу G, будем называть классом подстановки S.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОТНОСТИ СОВОКУПНОСТИ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ 31
Так как р является произведением всех различных простых иде-
идеалов, сопряженных с р, то теорема 3 позволяет ввести следующее
новое определение:
Определение 3. В случае, если имеют место сравнения Bа) г
простое число р принадлежит к классу подстановки S.
Теорема 4. Если z величина из п (х), принадлежащая к груп-
группе Н, а
F(z) = 0 D)
неприводимое уравнение, которому она удовлетворяет, то сравнение
/? (z)eee 0 (mod р) E)
имеет рациональные корни тогда и только тогда, когда хоть
одна из подстановок S класса, к которому принадлежит р, вхо-
входит в И, и число этих рациональных корней равно числу входя-
входящих в Н подстановок в ряду TSST^\ если 7\ пробегает все зна-
значения 7\ = 1, Т2> TSi... в разложении
G = H+ T2H+T3H+...
Доказательство —см. [1], § 5, стр. 701.
Определение 4. Под символом Р(s — 1) будем подразумевать
функцию от s, остающуюся конечной при s = L
Теорема 5 (Кронекера). Имеет место формула
= 18^гт + ^E-U, F)
р
где сумма распространяется на все простые числар, a vp обозна-
обозначает число рациональных корней сравнения E).
Доказательство — см. [12].
Определение 5. Под отделом (Abteilung) мы будем понимать
совокупность подстановок 7\S* T~l, где Т пробегает все подстановки
группы G, а / — все числа, не превышающие и взаимно простые с
порядком / подстановки «S.
Определение 6. Совокупность простых чисел, принадлежащих
ко всем классам отдела, будем называть совокупностью, принадле-
принадлежащей к отделу.
Определение 7. Под плотностью совокупности простых чи-
чисел мы будем разуметь значение выражения
lim
где сумма распространяется на все простые числа этой совокупности.
Пусть
= п)

32 Н. Г. ЧЕБОТАРЕВ
будет подстановка порядка Д, входящая в G. Определим плотность
совокупности простых чисел, принадлежащих к отделу Sx.
Введем следующие обозначения:
/х —для порядка подстановки Sx\
Пх —для числа различных подстановок, входящих в класс Sxl
kx —для числа различных классов, входящих в отдел Sx-
Нх — для группы подстановок, входящих в G и перестановочных с Sx\
Их — для группы таких подстановок Т, входящих в G, что подста-
подстановки TSxT~l являются степенями Sx>
Тогда мы сможем притти к следующей
Главной теореме. Плотность совокупности простых чисел,
принадлежащих к отделу Sx, равна ?х • — •
Для доказательства изберем индуктивный путь, доказав тео-
теорему: А) для тождественной подстановки, В) для случая, когда по-
порядок Sx есть простое число, и С) для общего случая в предполо-
предположении, что теорема доказана для тех степеней S$ подстановки Sx,
порядки которых /§ суть настоящие (echte) делители числа/л.
А) Применим формулу F) к уравнению A). Так как оно нормаль-
нормально, то сравнение
f(x) = 0 (mod/;) (8)
имеет рациональные корни тогда и только тогда, когда имеют место
следующие сравнения:
xj == х19 х/ == х2,..., хпр = хп (mod p), (9)
а тогда все корни сравнения (8) рациональны, т. е. vp = п. Формула
F) принимает вид
" = Vzr=i + Fi<s-l>> (io)
Рь
и таким образом плотность нашей совокупности равна —.
В) Рассмотрим теперь ~-ую степень подстановки Sx
fl
S1 = Sxq\
где ^ — какой-нибудь простой делитель Д. Образуем величину ?х,
принадлежащую к группе (S^I (символ EХУ обозначает циклическую
группу, состоящую из степеней S^, и неприводимое уравнение
ФE1)-0, A1)
которому она удовлетворяет. Сравнение
Ф^еееО (mod/?)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОТНОСТИ СОВОКУПНОСТИ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ 8§
имеет, в силу теоремы 4, рациональные корни тогда и только тогда,
когда подстановка класса, к которому принадлежит цростой модуль #,
входит хоть в одну из групп TviSiYTs—1 и их число равно числу
таких групп. Это может иметь место в двух случаях: 1) р принадле-
принадлежит к тождественной подстановке; все — корней рациональны; это
простые числа уже рассмотренного нами типа р0; 2) или р принадле-
принадлежит к одной из первообразных подстановок группы E^)', т. е. к одно-
одному из классов нашего отдела T^^S^T**—1. Из теоремы 4 следует, что
искомое число равно индексу (//,_, (^У). Но так как
то дело сводится к выражению обоих множителей через п,п19д1и
С другой стороны,
Если мы теперь введем на время обозначение (G, Нг) = а, то из раз-
разложения
следует, что для того, чтобы две подстановки из G преобразовали Sx
в одну и ту же подстановку, необходимо и достаточно, чтобы они
входили в одну и ту же сопряженную систему. Это показывает, что
число различных подстановок типа T^S^-1 равно а, т. ё. а = я.
Поэтому
Чтобы определить величину (Нъ //2), заметим, что все <p(<7i) перво-
первообразных степеней подстановки S± образуют кг классов отдела, а
поэтому в каждый из этих классов входит по 5i™ степеней Sv По-
Поэтому из разложения
И1^И1 + Т2И1 + ...
следует, что индекс (Нг, Ил) равен ^-^. Сопоставляя все полученные
результаты, мы видим, что искомое число рациональных корней срав-
сравнения Ф(?*) = 0 (mod р) равно ¦ „fj^ -
Формула F) принимает вид
Ро Рх
Н. Г. Чеботарев. Том 1.

34 Н. Г, ЧЕБОТАРЕВ
если мы через рг будем обозначать простые числа, принадлежащие
к нашему отделу. Пользуясь формулой A0), мы приходим к следую*
щему результату:
где мы совокупность (рг) разбили на совокупности {рп), (р12)....,
принадлежащие к различным классам нашего отдела.
С) Теперь мы в состоянии доказать, что плотность совокупности
kynx
простых чисел, принадлежащих к отделу подстановки S\, равна — ,
если мы будем наше утверждение считать доказанным для тех сте-
степеней S\9 порядок которых /в есть настоящий (echter) делитель
Пусть ?х будет величина из С1(х), принадлежащая к группе (S\Y,
и пусть
= 0 A3)
будет неприводимое уравнение, которому она удовлетворяет. Степень
этого уравнения равна—. Чтобы сравнение
ФEх)=0 (mod p) A4)
имело рациональные корни, необходимо и достаточно, чтобы р при-
принадлежало к одному из отделов, образованных степенями подстановГ;
ки 5х. Рассмотрим простые числа типа р$, принадлежащие к отделу
S*. Порядок 5§ пусть равен /« (пока мы не исключаем случая/s =/x)-
Число рациональных корней сравнения A4) в этом случае равно числу,
таких подстановок Tv в разложении
G = (SxY + Т2 Eх)' + . •. + 7\ EхУ, A5)
fx
которые преобразуют подстановку Ss в одну из ее степеней. Но так
как груцпа (S\)* ввиду соотношения
является делителем Нъ, то искомое число равно индексу
Далее, мы можем, точно так же как в В), доказать, 4jo (//8, H&)
равно ь 8 . Что касается индекса (Из, (S\Y), то он равен
(Я8,

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОТНОСТИ СОВОКУПНОСТИ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ 35
Наконец, прием, примененный нами уже в В), дает для индекса
(//s,Esy) значение ~А~-, откуда следует, что число рациональны*
корней сравнения A4) в нашем случае равно
Щ (Та)
f\n8k8
Формула F) для уравнения A3) принимает поэтому следующий вид:
Но для каждого fs<Cfx имеет место, в силу нашего предположения,
формула
p8 и
Подставляя эту формулу для всевозможных /?§ в A6), мы получим
*V *i — S Irv *
что может быть преобразовано так:
/8//Л
/8<Л
а^--»,? :(л,
откуда мы, в силу известной формулы
2
'а/Л
получаем
и мы приходим к искомому результату.
Этот результат принадлежит Фробениусу. Однако ему йе удалось
доказать, что плотность совокупности простых чисел, принадлежащих
к каждому из классов отдела, равна ~. Решение этой задачи и яб-
ляется целью настоящего сочинения.
§ 2. Области деления круга
Существует целая категория областей, для которых упомянутая
задача решается при помощи известных ранее методов. Это области
деления круга. Не ставя вопроса во ж:ей общности, я рассмотрю
случай, который играет важную роль для дальнейшего.
3*

36 Н. Г. ЧЕБОТАРЕВ
Пусть / будет простое число типа ef + 1, где / — заданное число,
не подчиненное никаким дальнейшим ограничениям. Рассмотрим урав,
нение
л'-1 = 0. B1)
Далее, пусть о будет один из его первообразных корней. Каждый
из е-членных гауссовых периодов
rlo==? + Pf +P2/+ •• • +?(e-l)f,
TQl = Pi + P/+I + ?2f+l + • • • + Р(*-1)/+Ъ
.... B2)
"*)/— 1 = P/ — 1 + P?/ — 1 + P3/- 1 + • • • + P*?/ — Ь
где под р^ мы будем разуметь ^к} а ^—-какой-нибудь первообраз-
первообразный корень сравнения xef= I (mod /), удовлетворяет неприводимому
уравнению /-ой степени
Ф* (У) = 0. B3)
Возьмем теперь какое-нибудь простое число р: Возникает вопрос,
с какой из сопряженных величин т) сравнима степень t]vp по моду-
модулю р. Пусть p = ga{modl). Тогда имеет место следующее сравнение:
= Р^ + P/+v + . . . + P&a-l)/4-v = B4)
^ Pv + a + Р/-И+» "Ь • • " + P(«-l)/+V+a = ^]v + a (mod p),
где значок v + a необходимо привести к его наименьшему вычету по
модулю /. Следовательно, корни сравнения
Ф,ДО = 0 (mod p) B5)
претерпевают при возвышении их в/7-ую степень подстановку (v,v + a)
тогда и только тогда, когда р является членом одной из прогрессий
Подстановку (v,v + a) можно рассматривать как a-ую степень под-
подстановки 5 = (v, v + 1) = @,1, 2,...,/— !)• Введем следующее
Определение 8. Совокупность прогрессий
lx+ga, lx + g«+f,..., lx+g«+i*-lV B6)
назовем комплексом индекса а. Про все числа, представляемые од-
одною из прогрессий B6), будем говорить, что они лежат в комплексе
индекса а.
Тогда результат настоящей главы мы можем выразить в виде еле
дующего предложения:
Главная теорема. Дано неприводимое уравнение B3), кото-
которому удовлетворяет система гауссовых периодов B2). Тогда воз-
возможно таким образом приурочить первообразной подстановке U
из его группы Галуа первообразный корень сравнения ^=

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОТНОСТИ СОВОКУПНОСТИ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ 37
чтобы каждое простое число, принадлежащее к подстановке U*,
лежало в комплексе индекса а.
Следует подчеркнуть, что теорема Дирихле (loc. cit.) позволяет
нам, таким образом, определить плотность совокупности простых чи-
чисел, принадлежащих к каждой заданной подстановке*
§ 3. О распределении норм и простых чисел
по различным комплексам
В настоящей главе я намерен доказать теорему, являющуюся 6
известном смысле обобщением теоремы Дирихле.
Рассмотрим неприводимое уравнение
0, B7)
которое мы здесь не будем предполагать непременно нормальным. Вве-
Введем еще в рассмотрение произвольное нечетное число L=I1k]t2k2- • • • • •/***
и систему таких чисел flff2y - - - >fk, что каждое // является делителем
9(/,х0 <*¦*= 1,2,3,...,#).
Обозначив первообразный корень сравнения
х*( hХ/) = 1 (m0d ф) (/ = 1,2,3,... ,^) B8)
через gt, мы можем представить все взаимно простые с /* классы по
модулю lh в виде системы
(*= 1,2,3,...,*).
Распределим эти классы по комплексам {частичным), называя каж-
каждую систему классов
gt\ gi*'+fi, -.->gi 1^ ft (/=1,2,3, ...,*)
частичным комплексом индекса а/. Индекс а/ будем считать приве-
приведенным по модулю //.
Классы сравнений по модулю L могут быть распределены следую-
следующим образом по полным комплексам:
Определение 9. Дан взаимно простой с L класс Л сравнений
по модулю L. Если А = at (mod /Л"), a at лежит в комплексе индекса
а/ (/=1,2,..., ?), то будем говорить/что А лежит в полном комплекс
се индекса (ах, а2, • • • > а#)- Если мы будем умножать числа из комплекса
индекса (ах, а2,..., а*,) на числа из комплекса индекса ((Зь C2>..., р*), то
будем получать числа, лежащие в комплексе индекса (ах -j- plf
а2+ Рг> • • .,а^+Р^)« Стало быть комплексы образуют абелеву группу
порядка /i*/2* • -/а- В ней роль единицы играет нулевой комплекс
@,0,..., 0).

Н. Г. ЧЕБОТАРЕВ
Вернемся опять к области п (л:), образованной при помощи одного
из корней уравнения B7). Пусть
сох, со2,..., <ол
будут элементы его фундаментального базиса. Тогда каждое целое
число из ?1 (х) может быть представлено так:
(X = С^ -{- ?2 0>2 + , . . + Cn(i)n, B9)
где сг, ?2,. •., Си суть целые рациональные числа, которые называют
координатами числа jju
Если возможно подобрать координатыс19с2,... ,сп для числа у. та-
таким образом, чтобы норма N ([i) лежала в комплексе (ах, а2,..., а^),
то назовем этот комплекс допустимым (в узком смысле), говоря в
то же время про число ^, что оно лежит в комплексе индекса
(#1, а2,.. ., ос*).
Для допустимых комплексов хможно доказать следующую теорему:
Теорема 6. Все допустимые комплексы образуют группу, ко-
которая является делителем группы всех комплексов.
Доказательство. Если N([i) = a и N(v) = b(modZ,), то имеет
место также сравнение N (\iv) = ab (mod L). Если теперь а лежит в
комплексе (аъ а2,..., а^), a b—в комплексе (Рь р2,..., Р^)» то аи лежит в
комплексе (ах + "Clf а2 + р2,..., а* + Ра). Далее, нулевой комплекс до-
допустим, так как сравнение
N([i) = l (modi)
имеет очевидное решение [л=1.
Возьмем теперь определенный допустимый комплекс и рассмотрим
совокупность всех чисел [х, лежащих в этом комплексе. Назовем эту
совокупность совокупностью решений комплекса.
Чтобы ввести понятие числа решений комплекса, необходимо
предварительно условиться в некоторых определениях:
Определение 10. Два целых числа \х и jx' из п(х) будем на-
называть равными по модулю L тогда и только тогда, когда их коор-
координаты а и Ct удовлетворяют сравнениям
a = cj (modi) (/=1,2,..., п).
Из определения фундаментального базиса следует, что эти срав-
сравнения необходимы и достаточны для сравнения (х = [л* (mod/,). Это
утверждение справедливо и тогда, если мы, вместо фундаментального
базиса, положим в основу базис какого-нибудь идеала, взаимно про-
простого с L.
Определение 11. Если для координат ci числа jjl удовдетво-
ряются неравенства
(/=1,2,..., п)у C0)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОТНОСТИ СОВОКУПНОСТИ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ 39
то число [L мы будем называть приведенным по модулю L. Для каж-
каждого целого числа (л из С1(х) можно подобрать равное ему по моду-
модулю L приведенное число \l\ и притом только одно.
Очевидно, что каждый допустимый комплекс имеет лишь конечное
число приведенных решений. Чтобы определить их число для каж-
uofo допустимого комплекса,, докажем следующую теорему:
Теорема 7. Каждый допустимый комплекс имеет одно и то
же число приведенных решений.
Доказательство. Пусть нам задан допустимый комплекс
{<*!, а2,..., cuk) и пусть [а будет одно из его решений. Если числа
Чи Ч» • • • > Ч* C1)
обозначают полную систему решений нулевого комплекса, то числа
C2)
после их приведения по модулю L представят полную систему реше-
решений комплекса (ах, а2,..., а*,). В самом деле: 1) все числа C2) лежат
в комплексе (ах,а2, ... , а*.); 2) все они различны по модулю Ц 3) каж-
каждое число, лежащее в комплексе (ах, а2, ...,аА), должно быть сравнимо
по модулю L с одним из чисел C2).
1) Следует из правила умножения комплексов.
2) Если бы имело место, например, до* = до^ (mod L), то
умножая сравнение на целое алгебраическое число -j-y1 и затем деля на
взаимно простое с L целое рациональное число N {\х)у мы по-
получим rnzEEfij (modZ), что стоит в противоречии с определением си-
системы C1).
3) Пусть [лf будет число, лежащее в комплексе (аа, а2, .„.,<xft).
Тогда число [ir ——[N (рО]ф1~~1 лежит в нулевом комплексе, так
как его норма равна
^'^ (modi).
Поэтому это число должно быть сравнимо с одним из чисел системы
C1). Пусть
^^0^(^-1 = ^ (modi).
Умножая это сравнение на [х, мы придем к сравнению
[л' = [X7|r. (mod L),
что оправдывает утверждение 3). Таким образом, число решений
каждого допустимого комплекса равно v, т. е. оно одинаково для
всех комплексов, и т. д.
, Это число легко определить. В самом деле, обозначим через F
число всех допустимых комплексов. Все приведенные решение всех

40 Н. Г. ЧЕБОТАРЕВ
допустимых комплексов равномерно распределяются по отдельным
допустимым комплексам. Но число всех приведенных решений всех
допустимых комплексов равно числу взаимно простых с L классов
по модулю L внутри Q (х), т. е. равно
4) ( 4)C3)
где ll9 /2,..., lp представляют собой совокупность всех простых идеаль-
идеальных делителей числа L внутри С1(х). Таким образом, число решений
каждого допустимого комплекса равно
u= ^ . C4)
То же число решений мы получим, если, вместо фундаментального
базиса, положим в основу базис какого-нибудь идеала, взаимно прос-
простого с L
Вспомним теперь, что все целые и делящиеся на идеал т, взаимно
простой с L, числа из №(х) могут быть представлены в форме
?Ю>1 + с2ы2 + .., + спып, C5)
где (<*19 со2,..., <о„) — базис идеала т, а с19с2,...усп пробегают все
целые рациональные значения. С другой стороны, все целые и деля-
делящиеся на m числа из ?2 (х), которые, кроме того, лежат в допустимом
комплексе (аь а2,..., аЛ), могут быть представлены в форме одного
из следующих выражений:
<o/ai "V + L {сг<*г + с2о>2 + ... + ся<*п), C6)
где со/' • - •'a*) (/ = 1^2,..., v) обозначает систему приведенных
решений комплекса (o^,^,..., аЛ), в то время как остальные обозна-
обозначения имеют то же значение, что и для C5).
Рассмотрим теперь бесконечный ряд
где сумм? распространяется на все делящиеся наши взаимно простые
с L главные идеалы. Этот ряд вблизи 5 = 1 может быть представлен
так:
Vf * ф(?) g 1 i р/„ п /О7\
*Ш ^глГй^Т + РE)' C7)'
где g имеет следующее независимое от s значение
f)V П -Vn
V- C8>
В этом выражении v обозначает сумму числа вещественных корней
и числа пар сопряженных комплексных корней уравнения B7), R —

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОТНОСТИ СОВОКУПНОСТИ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ 41
регулятор области ?1 (х), w — число корней из единицы внутри Q (х),
Д — дискриминант области Cl(x); P(s—l), как обычно, обозначает
функцию, остающуюся вблизи 5 = 1 конечной.
Проследим путь получения этой формулы,, сообразуясь с обозна-
обозначениями, принятыми у Вебера [13]. В ней коэффициент при
5 —"
1 Т
равен — -ой предела выражения у , при t = оо, где Т означает чис-
число систем целых значений си съ ..., сп, подчиненных неравенствам
| N foWj + С2ОJ + . . . +С„СО„) | < t, C9)
О < It (CxCO! + С2С02 -\ |-^Я"Я)<1, )
О < 5. (СхСЙ! + С,Ш, +.• '.-+Сп<йп)<1, I
f D0)
0< 5v- i (Cjtoj + с2соа Н Нсяыя)<1, )
где функции ? ([х) суть так называемые показатели числа
(А = С1Ы1 + С2Ы2 + • • • + С „"„
и определяются при помощи системы следующих v уравнений:
D1)
из которых только v —-1 независимы. В них 8/ обозначает единицу,
если ?}(*/), т. е. i-ая сопряженная с п(х) область, вещественна, и 2,
если она комплексна. Символы Х/([л) выражают величины S/lg | [а,- | ,
где (X/ — ^ая сопряженная с {л величина. Наконец, 1и, 121>..., /v -i,/ —
система логарифмов от основных единиц области fi(^).
Из формул D1) легко заключить, что функции ?([л) — однородны
и нулевого измерения относительно сис2,...,ся, функция же jV(не-
jV(неоднородна и я-го измерения. Поэтому, если в неравенствах C9) и D0)
мы сделаем, подстановку
С!— z ,С2— ^ , ... ,Сп— ^ ,1 — 1 , DZ)
то они примут вид
I N (^со! + z2o^2 Н + Zn<*n) I -< 1, D3)
0< Ъг (Z1C^1 +Z2CO2 + • • •+ Zn^n)< 1, |
0<5а(г1ОI + г8о)я + ... + гяо)я)<1, I
f D4)
0 -^ ?v — 1 (^iwi 4" Z2(xi2 "f" • • • + Zn^n)

42 Н Г. ЧЕБОТАРЕВ
7"
и нахождение lim -т приведется к нахождению интеграла
распространенного на л-мерное пространство, ограниченное неравен-
неравенствами D3) и D4), который, как известно, равен
N{m)V ±b'
Обратимся теперь к ряду
(«i *k) 1
? 55? • D5)
в котором сумма распространена на все главные идеалы, делящиеся
на тп и, кроме того, лежащие в допустимом комплексе (ах, а2,.. ,,а^).
Числа, соответствующие этим главным идеалам; и только эти числа,
могут быть представлены при помощи v формул C6)» Разобьем сумму
D5) на v частичных сумм, относя каждый идеал а к той из формул
C6), при помощи которой выражается соответствующее ему при-
приведенное число (приведенное в смысле—см. [13], § 193, стр. 708).
Конечно, будем все время иметь в виду, что ассоциированные числа
лежат в одном и том же комплексе. Поэтому коэффициент при j—j
в выражении каждой (/-ой) частичной суммы равен
1,ш^, D6)
где Т, —число систем сис2,..., с„, удовлетворяющих неравенствам
/A»! + Lc^% +¦¦¦+ Lcnun) | <t, D7I
j
*п)<1, I D8)
0<5v-1K(ai> • • •'a*) + Le^ + Lc^% + ... + Lcn<*n)< 1. )
Вводя подстановку
сх = ^,сг = *,...,ся=Цл = 1*г; D9)
мы преобразуем неравенства D7) и D8) так:
\ 1 E0)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОТНОСТИ СОВОКУПНОСТИ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ 43
л г ^ + ZxOh + z2co2 -\ Ь zn<*n )< 1,
E1)
"*/" * + + Hh ) < 1 J
Как мы видим, неравенства E0) и E1) отличаются от неравенств
D3) и D4) только членами
которые при t = oo, т. е. при * = 0, обращаются в нуль. Теорема 30
в цитированной статье Гильберта ([11], стр. 53) доказывает, что эти
члены не влияют ни на величину интеграла
ни на оценку остаточного члена. С другой стороны, нетрудно убе,-
диться [см. подстановку D9% что величина D6) равна
где интеграл имеет прежнее значение. Поэтому каждая из частичных
Сумм имеет вблизи s = 1 выражение
wLn
Чтобы получить выражение для всей суммы D5), мы должны сложить
v подобных сумм. Вспоминая^ что
мы получим
2 1 _ф(?) 2V7Tn VR 1 i. р/с 1\ (^\
CL * ' ^ —
Как мы видим, коэффициент при -^ в каждой из этих сумм в Р раз
меньше, чем в сумме C7).
Выберем теперь в каждом из идеальных классов области п (х) по
одному идеалу т, эзаимно простому с L. Если m для какого-нибудь
класса лежит в допустимом комплексе, то все взаимно простые с L
идеалы этого класса должны лежать в допустимых комплексах; если
же существуют классы,, идеалы которых*лежат в недопустимых комп-
комплексах; то обозначим через К группу тех классов, идеалы которых

44 НГЧЕБОТАРЕЗ
будут лежать в допустимых комплексах; группу же всех классов
будем обозначать через /С. Пусть порядки этих групп будут соответ-
соответственно А и А.
Введем теперь новое определение.
Onpieделение 12. Компл-екс, в котором лежит какой-нибудь
идеал области п (х), будем называть допустимым в широком смысле.
Рассуждения, подобные примененным нами при доказательстве
теоремы 6, убеждают нас в том, что все допустимые в широком смыс-
смысле комплексы образуют абелеву группу, для которой группа допусти-
допустимых в узком смысле комплексов является делителем. Обозначим
первую группу через Л, вторую—через Л. Тогда имеет место
Теорема 8. Гёльдеровские дополнительные группы Г—J и (-д j
однотачно (holoedrisch) изоморфны.
Доказательство. Разложим группу К на сопряженные системы
по подгруппе К.
К=К + кЖ+ kj< + ... + k4K. E3)
Так как классы k2, ?3» • • • >&$ не входят в К, то идеалы каждого из
них лежат в комплексах, не входящих в Л. Пусть а2, а3,..., а^ будут
комплексы, в которых лежат каки^-нибудь идеалы соответственно
из #2> # з> • • • > ?q • Рассмотрим систему
А, а2А, агА>..., а^А. E4)
Каждая из систем aiA исчерпывает все комплексы, в которых лежат
какие бы то ни было взаимно.простые с L идеалы из ki> Действительно*
пусть идеал nt/ из ki лежит в at. В каком комплексе лежит какой-
нибудь другой идеал п/ из ?*? В силу известной теоремы (см., напри-
например, [13], стр. 593, Satz 3) можно найти такой взаимно простой с L
идеал г, чтобы идеал т/г был главным. Тогда и идеал п/г будет
главным. Пусть шгг od [х лежит в комплексе b, ati/toov — в комплексе
с. Оба комплекса, согласно определению А, должны входить в А.
Ноп/оэт?—, а потому щ лежит в комплексе агсЬ~х, который входит
в систему aiA.
Каждая из систем atA исчерпывает все комплексы, в которых
лежат какие бы то ни было взаимно простые с L идеалы из ЬгК* Дей-
Действительно, пусть идеал щ лежит в классе ^, где k — какой-нибудь
класс из/С. Выберем в классе ^ идеал г, лежащий в комплексе Ь,
входящем в Л. Идеалы т1 и щх лежат в классе ku т. е. эквивалентны.
Предыдущее рассуждение позволяет нам заключить, что идеал щх
лежит в комплексе с, входящем в систему агА. Значит, идеал щ
лежит в комплексе cb~x, который тоже входит в систему агА.
С другой стороны, ни одна из систем E4) не можем иметь с какой-

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОТНОСТИ СОВОКУПНОСТИ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ 45
нибудь другой общих элементов. В самом деле, если бы, например,
агА и a,jA имели общие элементы, то комплекс apf1* а с ним и си-
система агА (п]А)~х входили бы в Л, а потому все идеалы из классов
системы kiKikjK) должны были бы лежать в комплексах из Л,
т. е. входить в классы группы К, что противоречит разложению E3).
Таким образом, мы доказали что: 1) системы E4) образуют группу
А, 2) системы E3) и E4) однозначно изоморфны. Это доказывает,
что группы
однозначно изоморфны.
Следствие. Порядок группы Л равен F=Ft). Возьмем теперь
какой-нибудь допустимый в широком смысле комплекс (— alf
—а2,..., — а*). Идеалы, лежащие в нем, входят в h идеальных классов,
образующих одну из систем E3). Выберем в каждом из этих классов
по одному взаимно простому с L идеалу xnt (/=1,2 , Л), и пусть
каждый идеал nt/ лежит в комплексе (р2/, р2.,..., рл.). Тогда комплексы
(— а2 — ри, — Оа — р2/, ..., — <zk— pw) (/ = 1,2,..., А), а с ними и комп-
комплексы (ах + Ри,а2 + р2/,... ,ал + рл/) будут лежать в Л. Поэтому мы
можем применить к ним формулу E2), выбирая в роли базиса (со^
W2> • • - > *>«) базис идеала т(. Таким образом, мы получим
2<ai+31" '"a"+hi)-Nm.s\Nas =
Hi-a \ i) \ )
E5)
= ^4?^уЗ^Т+РE~1) С-1.2,..., К).
где а пробегает все идеалы, входящие в противоположный с т,-
класс и лежащие в комплексе (лг, «2> • • •, **)• Умножим формулу E5) на
= N (m,) + E -
и просуммируем по /. Получим
где теперь а пробегает идеалы всех классов, противоположных с клас-
классами всех nt/. Но это будут вообще все классы, в которые только
могут входить идеалы, лежащие в комплексе (а^а^ ... ,а*).
Преобразуем формулу E6), положив в ней
F

46 Н. Г. ЧЕБОТАРЕВ
Сравнивая полученную формулу с известной формулой
.>. E7,
где а пробегает все взаимно простые с L идеалы, мы получим
^П (а1} . . , , ctk) л л угу* 1
Эта формула справедлива для * всех допустимых в широком смысле
комплексов (л19 <х2, ... , аЛ).
Для группы А возможно найти F различных систем характеров.
Выберем одну из таких систем и введем для каждого характера этой
системы обозначение х(аъ а2> • • • > <*Л)- Между характерами будет иметь
местЬ соотношение
X(«i + Pi, • • • ,*k + р*) =x(«i. ¦-.«*) X(Pi. - ¦ ¦ > Рл)- E9)
Далее, каждому взаимно простому с I идеалу а можно тоже
приурочить характер, беря характер комплекса, в котором лежит
идеал а. Для этих характеров введем обозначение х(а)- Для них бу-
будет иметь место формула
X(a)x(b) = x(ab), F0)
а потому также
Х(а) х(Ь) =
=
N(a)s N{b)s N(ab)s
Умножим теперь каждую из формул E8) на х (ai> a2,..., a^.) и сло-
сложим их. Если мы выбрали систему главных характеров, то придем
опять к формуле E7). Если же выбранная система характеров не
главная, то, в силу известной формулы
2 x(«i,«2,...>«*) = 0, F2)
(а1} ац, . . . ,ak)
мы придем к формуле
или пользуясь вторым обозначением характеров:
^^ l)- F3)
Эту формулу можно, в силу соотношения F0), преобразовать так:
П 1,„ч =Р(Д-1), F4)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОТНОСТИ СОВОКУПНОСТИ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ 47
где цроизведение распространяется на все простые идеалы р области
п(х)У отличные от множителей L (ср., например, [13], стр. 725), Про*
логарифмируем формулу F4) и возьмем от логарифма вещественную
часть (для обозначения вещественных частей от выражений введем
символ pt[...]). При этом могут встретиться два случая: 1) левая часть
F4) цмеет при 5 = 1 предел, отличный от пуля. Тогда вещественная
часть ее логарифма будет тоже типа P(s— 1); 2) левая часть F4)
стремится при 5 = 1 к нулю. Тогда вещественная часть ее логарифма
беспредельно растет по абсолютной величине, оставаясь все время
отрицательной. Этот результат запишем следующим образом:
1 V- У.(Ы2 , 1 V У(*>K , 1 ^ rw^ n
Нетрудно показать [14], что сумма всех сумм, за исключением пер-
первой, при 5 = 1 стремится к конечной величине. Кроме того, сумма
тех членов в цервой сумме, которые соответствуют идеалам порядков
>2, тоже остается при 5=1 конечной, так как для такихvидеалов
N{p) *^-P2> а число идеалов, имеющих одну и ту же норму, не пре-
превышает числа п. Перенося все упомянутые члены внутрь символа
P(s — 1), мы получим
F5)
где v^ означает число идеалов 1-го порядка с нормой /?, а %(р) мь*
пишем вместо х (?)•
Теперь вернемся к обозначению х (ai> a2> • • • >a^) и соединим идеа-
идеалы с одними и теми же характерами. Тогда формула F5) преобразуется
так:
F6)
Подобным же образом может быть преобразована и формула E7)
2 2 -т—^— = ig ,4-1 + ^-1). F7)
Складывая формулу F7) со всеми формулами F6), полученными для
Z7 — 1 возможных систем не главных характеров, мы, в силу того,
сумма
распространенная на все характеры одного' и того же комплекса,
раваа F, если (ах, а2, ..,, а^) нулевой комплекс, и равна нулю для
всех других комплексов, получим
F 2 ¦
' р (о, Л ., о) Р (о. •.., 0)
F8)

П. Г, ЧЕБОТАРЕВ
В формуле F8) можно, идя другим путем, констатировать знак
равенства. Но так как доказательство для общего случая довольно
громоздко, мы проделаем его только для тех случаев, которые пред-
представятся нам необходимыми для дальнейшего.
Этим мы будем заниматься в следующем параграфе. Здесь^же отме-
отметим, что если в формуле F8) имеет место знак равенства, то он будет
иметь место и во всех формулах F6). Действительно, если бы хоть
в одной из них имел место знак <, то после сложения всех формул
F6) и F7) формула F8) получилась бы тоже со знаком <\
В случае знака равенства легко получить
F9)
где сумма распространяется на все простые числа, лежащие в допу-
допустимом в широком смысле комплексе (а19а29. ..,аЛ) (см., например, [3],
стр. 357), и мы приходим к следующей
Главной теореме. Если в формуле F8) имеет места знак ра-
равенства, то совокупность простых чисел первого порядка равномерно
распределяется по всем допустимым в широком смысле комплексам.
§ 4. О плотностях совокупностей простых чисел, принадлежащих
к отдельным классам подстановок
Даны неприводимое нормальное уравнение n-ой степени
/И = 0 G0)
и подстановка /-го порядка
5 = (;tu, xl2t..., xif) (x21, x22,..., ху)... (хеи хеЪ .,., xef) (ef = /г), G1)
входящая в его группу G. Выберем к простых чисел 119 /2, ...,/* вида
fx+ 1, взаимно простых с дискриминантом D уравнения G0) {к — про-
произвольное число, которое мы в дальнейшем будем безгранично уве-
увеличивать), и образуем при помощи кррней уравнений
Ль_1 =о, &—1 =0,...,xIh — 1=0 G2)
к циклических уравнений, каждое степени / (например, при помощи
гауссовых периодов). Дискриминанты этих уравнений суть степени
простых чисел ll9 /2,..., h, а потому области, образованные при по-
помощи их корней, взаимно просты между собой и с О (х) (т. е. не
имеют, кроме рациональных чисел, общих элементов). Выберем затем
из каждого из наших уравнений по одному корню y)v(v = 1, 2,..., k) и
по подстановке ?Д, производящей группу каждого из наших уравне-
уравнений. Далее, рассмотрим область О.{х,у\1утJ,. .в,чЛ). Ее группа одно-
однозначно (holoedrisch) изоморфна с произведением G-{U1)H-{U2I'- • • (?Л)'*.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОТНОСТИ СОВОКУПНОСТИ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ 49
Не вводя для подстановок области Cl (x, t)v ч\2, ..., t\k) новых обозначе-
обозначений, мы будем для них пользоваться символами S-U^Uf*- • -fV*, где
подстановка 5 пробегает группу G, а каждое <xv(v == 1,2,... ,k) при-
принимает значения 0, 1, 2, .;., /— 1. Область Q (x, iq19 тJ,..., т)А) тоже
нормальна, и ее порядок равен n*fk.
Рассмотрим теперь совокупность простых чисел, принадлежащих
к отделу подстановки 5 в п(х). Исследуем, как распределяются про-
простые числа этой совокупности по комплексам, образованным областью
^OQi*^ • • • i^k)- Число этих комплексов равно /*, и каждый комплекс
(<х19 оса,..., cck) соответствует подстановке U^x-U2CCi* • -Uhk в том смысле,
что простое число принадлежит к этой подстановке тогда и только
тогда, когда оно лежит в комплексе (alf a2,..., <x.k) (см. § 2 настоя-
настоящего сочинения, главная теорема).
В основу предстоящего исследования положим следующую
классификацию комплексов:
Определение 13. 1) Те комплексы (а1? а2,... ,ал), в которых
общий наибольший делитель чисел alf a2,... ,а^,/ равен единице (дру-
(другими словами, подстановка иха1-и2**- • •?/*"* f-то порядка),, назовем
первообразными.
2) Числа alf a2, ..., aft, / имеют общий наибольший делитель d (под-
становка Ux *U2 '•••?/* k порядка -^ \ причем 1<^<С/. В этом слу-
случае будем называть комплексы (a^ocg,.. .,ал) особенными.
3) Нулевой комплекс @, 0,..., 0).
Чтобы определить число различных первообразных комплексов,
заметим, что: -1) число комплексов порядка d равно dk, 2) каждый
особенный комплекс {*1,а2,...,<х.к) порядка / можно, деля его инде-
индексы на d9 преобразовать в первообразный комплекс порядка S = ^ .
В силу всего этого имеет место формула
2 Ф (*> = /*¦ G3)
B\f
где мы через ф(/) обозначаем искомое число комплексов, а сумма
в левой части распространяется на все делители 8 числа /. Так как
эта формула справедлива для всех значений /, то, пользуясь обыч-
обычным дедекиндовским приемом обращения, мы получим для ф(/) сле-
следующее выражение:
где ?1>^2» • • • >Яа обозначают систему всех простых делителей числа/.
Если мы возьмем ? настолько большим, чтобы ?-ая степень наимень-
наименьшего из всех простых чисел qlf q2,... ,qa (назовем его Q) была больше,
4 н. Г.Чеботарев. Том 1.

50 Н. Г. ЧЕБОТАРЕВ
чем каждый из биномиальных коэффициентов СД СЛ2,..., Саа^\
то легко убедиться в справедливости следующего неравенства:
G5)
Это неравенство играет в дальнейшем весьма важную роль.
Убедимся в равномерности распределения совокупности простых
чисел, принадлежащих к отделу подстановки 5, по комплексам. Для
этого изберем индуктивный путь. Именно, сначала убедимся в этом
для совокупности простых чисел, принадлежащих, к тождественной
подстановке в п (х). Их общая плотность равна —. Введем следующее
Определение 14. Систему комплексов
(ralfra2,...,rcg,
где (ах, а2,..., aft) какой-нибудь первообразный комплекс, а г пробе-
пробегает значения 0; 1, 2, ..., /— 1, назовем лучом (ось <х2,..., а^).
Если же г пробегает только взаимно простые с / значения из ря-
ряда 0,1,2,...,/—1, то полученную систему комплексов будем назы-
называть первообразной частью луча (ах, а2,..., а^).
Если число (или идеал) лежит в одном из комплексов луча
(«1, «2» • • • > а?)> то будем говорить, что оно лежит в луче (ах, а2,,. ., а*).
Из этого определения вытекают следующие очевидные теоремы:
Теорема 9. Первообразный комплекс не может входить более
чем в один луч.
Теорема 10. Число всех первообразных частей лучей равно
11 л ту- G6)
Ч1
Теорема 11. Чтобы простое число р одновременно принадле-
принадлежало к тождественной подстановке в Q (х) и лежало в первооб-
первообразной чд,сти луча (alf о^,..., аЛ), необходимо и достаточно, чтобы
оно в области Q (х, т^, 7]2,..., v\k) принадлежало к отделу подста-
подстановки Ь?Ла1.?/2а'. ¦•?/***.
Существование же подобных простых чисел непосредственно сле-
следует из результата Фробениуса. С другой стороны, мы можем рас-
рассматривать эти простые числа как нормы идеалов в Q {х), а поэтому
по крайней мере один из комплексов, лежащих в первообразной части
луча (а1э а2,..., а^), допустим в широком смысле. Стало быть, все
эти комплексы допустимы, так как все комплексы луча можно рас-
рассматривать как степени какого-нибудь одного первообразного. Поэтому
здесь роль F играет /*.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОТНОСТИ СОВОКУПНОСТИ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ 51
Чтобы констатировать для нашего случая знак равенства в фор-
формуле F8), заметим, что плотность совокупности простых чисел, при-
принадлежащих к тождественной подстановке в Q (х) и лежащих во
всех fk комплексах, равна — . С другой стороны, совокупность про-
простых чисел, принадлежащих к тождественной подстановке в п(х) и
одновременно лежащих в нулевом комплексе, имеет плотность
1
я/*'
так как эти и только эти простые числа принадлежат к тождествен-
тождественной подстановке в п (х, y]lt тJ, ..., y\k)> а порядок группы этой области
равен
nfk.
Обе плотности относятся, как /*: 1, т. е. F:l, что доказывает, что
в формуле F8) должен быть знак равенства. Таким образом, условия
достаточные для равномерности распределения наших простых чисел
по комплексам, удовлетворены.
Докажем теперь равномерность распределения по комплексам про-
простых чисел, принадлежащих к отделу подстановки G1) /-го порядка,
предполагая, что равномерность доказана для тех ее степеней, поря
док которых меньше /. Тогда будет достаточно доказать равномер-
равномерность распределения простых чисел р, удовлетворяющих тому усло-
условию, что неприводимое уравнение
/>(*)= 0, G7)
корень которого принадлежит к циклической группе (S)\ рассматри-
рассматриваемое как сравнение по модулю р, имеет рациональные корни. Что-
Чтобы провести это доказательство, нужно сперва убедиться в том, что
все комплексы для уравнения G7) допустимы. Это следует уже из
того, что они допустимы для меньшей совокупности простых чисел,
принадлежащих в п (х) к тождественной подстановке. Далее, мы
должны доказать, что в формуле F8) для нашего случая имеет место
знак равенства. Для этого образуем неприводимое уравнение
Ф(С) = 0, G8)
корень которого С принадлежит к группе (Sy в С1(х, %,... ,r}k). Ве-
Величину ? можно рационально выразить через z, %, vJ,... ,т)л, и каж-
каждой сопряженной с z величине будет соответствовать /* сопряжен-
сопряженных с ? величин, которые мы получим, если в выражении ? через
z>t\i> Ча» • • • у^ь будем над величинами %, тгJ,..., r\k производить все-
всевозможные подстановки типа соответственно U^\ U^\ •.., ?Л*А
(av = 0,1,...,/— 1). Если поэтому простое число р лежит в нулевом
комплексе, то каждому рациональному корню3 сравнения
• • > F{z) = 0 (mod p) G9)
4*

52 Н. Г. ЧЕБОТАРЕВ
должны соответствовать fk различных корней сравнения
= 0 (modp). (80)
В этом случае величины %,^2» ••• у'Чк сравнимы с рациональными
числами, а корни сравнения (80) все различны между собой, если
только р не входит в дискриминант уравнения G8). С другой сторо-
стороны, из групповых соображений следует, что z может быть рациональ-
рационально выражено через ?, а поэтому каждому рациональному корню срав-
сравнения (80) соответствует рациональный корень сравнения G9). Если
поэтому мы применим формулу F) к уравнению G7) и к уравнению
G8), то значения vp для простых чисел, лежащих в нулевом комп-
комплексе, во втором случае в fh раз больше, чем в первом, а для дру-
других простых чисел все v во втором случае равны нулю. Это дока-
доказывает, что в нашем случае в формуле F8) имеет место знак равен-
равенства. Таким образом, все условия для равномерности распределения
рассматриваемых простых чисел выполнены, и мы заключаем отсюда»
что плотность совокупности простых чисел, принадлежащих в п (х)
к отделу подстановки 5х /х-го порядка и одновременно лежащих в
одном из комплексов, равна
а плотность совокупности простых чисел, принадлежащих в ?1(х)
к этому же отделу и лежащих во всех первообразных комплексах,
равна
Ф(Д) ^"а
Теперь исследуем распределение простых чисел нашего отдела по
различным его классам. Для этого образуем неприводимое уравнение
= 0, (81)
корень которого ?х принадлежит к циклической группе (Sx'U^-Uc?** • •
•-Uk*ky в Щ*,%,?J> ••• >*)*)> где (ар <х2,... ,<х*) — какой-нибудь пер.
вообразный комплекс. Тогда мы сможем доказать следующую теорему:
Теорема 12. Из трех утверждений:
1°. Простое число р принадлежит в п(х) к классу подста-
подстановки S\.
2°. Простое число р лежит в одном из комплексов
= 1, 2,
Здесь числа гг', г2', . # ., г/ суть корни соответственно сравнений
^ • х = 1 (modД) ({i=l,2f ...,*), (82)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОТНОСТИ СОВОКУПНОСТИ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ 5В
а числа rlt r2, . . ., rt взяты таким образом, чтобы подстановки
X у »>л > ¦ . • > *->Л
принадлежали к классу подстановки Sx (все г^ взаимно просты
с /л, так как порядок подстановки S\ ** должен быть равен /л).
3°. Сравнение
0 (mod/?) (83)
имеет рациональные корни, — каждое является следствием двух
остальных.
А) 3° выводится из 1° и 2° следующим образом. Корня уравнения
(81) рационально выражаются через х, %, тJ, . • ., т^. Пусть
Возвысим это выражение в р-ую степень и станем рассматривать ре-
результат по модулю р, где р один из простых идеальных делителей
р в п(х). Тогда мы увидим, что х в нем претерпевает подстановку S\,
в то время как f}lt у}2, • . ., y\k, в силу 2°, — соответственно подста-
подстановки
(последние можно рассматривать по модулю р, так как &(**),) суть об,
ласти деления круга). Рассмотрим теперь тот корень уравнения (81),
который принадлежит к группе (S^U^U^2 - - - Ukk). Из теоремы
Шёнемана следует, что этот корень сравним с собственной /7-ой сте-
степенью по модулю р и, значит, подавно по модулю некоторого про-
простого идеала в ?1 (л:, т\г, у]2, . . . , чл), а поэтому, в силу обобщенной
теоремы Ферма (см. [13], стр. 618), этот корень сравним по этому мо-
модулю с рациональным числом, которое должно быть корнем сравне-
сравнения (83).
В) Предположим теперь, что удовлетворено условие 3°. Пусть р в
п (х) принадлежит к классу какой-нибудь подстановки S, а в Q(y\l9
тз2, . . ., y}k) — к подстановке /У/1 • /72Р« • • • U^k (другими словами,
р лежит в комплексе (Clf C2, . . ., Р*)). Тогда; как мы убедились, в
Q (x> ^i» ^2» • • • у У}) оно принадлежит к классу подстановки
S-Ui^Uz* . . • ?/*3ft. Но Фробениус доказал ([1], стр. 701), что для
существования рационального корня сравнения (83) необходимо и до-
достаточно, чтобы хоть одна из подстановок
входила в группу, к которой принадлежит ?х, т. е. в

54 Н. Г. ЧЕБОТАРЕВ
Пусть, таким образом,
TST-1 . Uf • Ut ¦ • • U?k = S>* • б^* ¦ {/Л • • • Uf*k ,
где /? — одно из чисел ряда 0, 1,2, . . ., Д —1. Но так как в& и
5 входят только величины х, а в ?Л — только "/jv и все величины х,
TJi» "^2» . . ., *jfc рационально независимы, то должно иметь место
TSr-l = Sx«, и*1 = и**\ Uf* = Uf**, . . ., Uf?k=UkR*k. (84)
Из этого следует, что р лежит в луче (alf a2, . . ., аЛ).
С) Если мы еще предположим, что выполнено условие 1°, т. е.
что S =* Sx, то тогда в группе G должна находиться такая подстанов-
подстановка Т, что TSxT-1 = SxR. Это показывает, что R является одним из
чисел ряда гг, г2, . . ., и. Но ряд гъ г2, . . ., rt может отличаться
от ряда г'„ г2\ . . ., г/ только порядком своих членов. В самом де-
деле, возводя соотношение
в г/'-ую степень, мы получим
или
что показывает, что г/' находится в ряду rlf r2, . . ., г/. Таким обра-
образом, утверждение 2° выполнено.
D) Из 3° и 2°, следует 1°. Действительно, утверждение 2° характе-
характеризует следующие сравнения:
р. = Г|1а. (mod /Л) (/=1, 2, ...,*),
которые вместе с сравнениями
p,= /?a. (mod /х) (*=1,2, ...,*) (см. В)
дают:
(/J-rJa^O (mod Д) (/= 1, 2, . . ., *).
Образуем при помощи этих сравнений следующее:
(/? - г^^л + *2«2 + . . . + Л«Л) = 0 (mod Д).
Подберем Х1У Х2У . . . , Xk так, чтобы Хглг + X2ol2 + . . . + X&k было
взаимно просто с Д, что возможно в силу первообразности комплекса
(«!, а2» ...» ал)- Тогда необходимо, чтобы имело место
/?=/V (mod Д),
откуда S = Г~!5Л Т, т. е. S принадлежит к классу подстановки 5Х#
Итак, теорема доказана во всех .своих частях.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОТНОСТИ СОВОКУПНОСТИ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ 65
Теперь докажем равномерность распределения по допустимым ком-
комплексам таких простых чисел р, что сравнение (83) .имеет рациональ-
рациональные корни. Из предыдущего (см. В) доказательства теоремы A2) ясно,
что для этого уравнения могут быть допустимы только Д компле-
комплексов луча (ах, а2, . . . , а*). С другой стороны, они действительно до-
допустимы, так как группа этих комплексов циклическая, а совокупность
первообразных комплексов из луча (а1э а2, . . ., ал) соответствует
отделу Sx • Uf1 • и%* • • • Ukk в Q(x, у\ъ т]2, . . ., r\k)a Далее, в фор-
формуле F8) имеет место знак равенства. В самом деле, если р лежит в
нулевом комплексе, то левая часть сравнения (83) распадается на ли-
линейные множители, а потому vp = /i-/x*-1 (ведь уравнение (81)
nf\k~l -ой степени). С другой стороны, эти и только эти простые
числа принадлежат к тождественной подстановке в п (х, %, ?j2, . . ., ?\k),
а поэтому плотность их совокупности равна
_J
Таким образом, обе плотности стоят в отношении Д:1. Но это число
играет здесь роль F. Таким образом, равномерность распределения на-
наших простых чисел по комплексам может считаться доказанной.
Рассмотрим теперь те из наших простых чисел, которые лежат в
первообразной части луча (<xlf а2, . . . , а*). Если какое-нибудь из них
принадлежит к классу Sx в С1 (х), то в силу D) оно лежит в Одном
из комплексов
(для краткости мы, вместо (ах, а2, . . ., аА), вводим обозначение (а*)).
Нетрудно видеть, что ряд г1? г2, . . ., rt образует группу относитель-
относительно умножения. Действительно, пусть, например,
г.
Sx = ubUi у ох у = ijSuj ;
тогда
Эта группа является делителем группы всех взаимно простых с Д клас-
классов по модулю Д. Обозначив обе группы соответственно через г и 31,
мы сможем разбить Sft на сопряженные системы по х
Я = г + /?2г + #з* + . • • + #*хг- (85)
Таким образом, классы подстановок Sx> S\RtX ,... ,Sx ** исчерпывают
весь отдел Sx. Приурочим к этим классам значки соответственно

56 Н. Г. ЧЕБОТАРЕВ
1,2,3,. . ., ?х. Вообще около каждого простого числа будем ставить два
значка: первый будет обозначать класс, к которому оно принадлежит,
второй — комплекс, в котором оно лежит. Для простых чисел типов
введем общий символ /?v .
Каждое простое число, принадлежащее к отделу
Sx • Uf* • t/2a • • • Uk«k в й (х, у}1У т]2, . . ., 4jk),
должно принадлежать к одному из следующих типов:
Равномерность распределения этих простых чисел по комплексам мо-
может быть выражена следующей формулой:
(86)
Возьмем в этой формуле в роли (а,) каждый из комплексов (aj), (R2a>i),
. . •, (Rk]*i) и сложим все полученные формулы. При этом заметим,
что: 1) все сопряженные системы (85) после их умножения на Ry. мо-
могут только изменить порядок своего расположения, 2) при этом ни
одна из систем не может остаться не измененной. Поэтому сумма,
получаемая в правой части новой формулы, распространяется на все
такие простые числа, которые принадлежат к отделу S\ в Q (х) и
вместе с тем лежат в kxt = 9 (Д) комплексах (R^a^, образующих перво-
первообразную часть луча (а,). Но так как простые числа, принадлежащие
к отделу Sx в ?1 (х), равномерно распределены по всем /х* компле-
комплексам, то общая плотность рассматриваемой совокупности простых чи-
чисел равн§
ф(Д) , "л
Л* п '
и мы, таким образом, приходим к формуле
2 2 К** = 1т^Ч- 1*тз
где вся сумма в левой части распространяется на все простые числа,
принадлежащие к классу Sx в ii (x) и одновременно лежащие в перво-
первообразной части луча (а/).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОТНОСТИ СОВОКУПНОСТИ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ 57
Образуем теперь формулы, подобные (87), для всех —~- перво-
первообразных частей лучей (см. теорему 10) и сложим их. Этим мы еще
можем не исчерпать всех простых чисел, принадлежащих к классу
5х в &(х), так как еще могут существовать принадлежащие к клас-
классу Sx в Q (х) простые числа, лежащие вместе с тем в нулевом или в
особенных комплексах. Таким образом, выражение в левой части
получаемого уравнения
р
откуда вытекает неравенство
(88)
Возьмем к настолько большим, чтобы удовлетворялось неравен-
неравенство G5). Тогда, вместо (88), мы можем написать
rig~r + P(*-i). (89)
Эта формула дает нам возможность получить искомый результат.
Сперва докажем, что
lira inf p ) ~>^г. (90)
В самом деле, если бы имело место
2л-
Нт inf -E—— ^х_ __
где а>0, то, взяв
мы имели бы
С другой стороны, делая неравенство (88) на lg т и беря от
обеих частей liminf, мы получим
5=1
Несовместимость (91) и (92) доказывает справедливость неравен-
неравенства (90).

58 Н. Г. ЧЕБОТ АР В 5
Неравенства, подобные (90), имеют место для каждого из классов
нашего отдела. Чтобы оценить величину
limsup—^—-j—,
перепишем формулу B0) таким образом: (93)
2*-' _ B*~* 2*~* 2***~
«1
п . ¦ ¦ +
Взяв от обеих частей limsup, мы, в силу очевидного неравенства
liminf(a + p+ . . .)>liminfa + liitiinfp+ . . .
и неравенства (90), примененного ко 2, 3, . . ., ?х-му классу нашего
отдела, получим
Hmsup _^_<^^L_(^+4-+...+^-)=^_- (94)
*?$— l
Сопоставим неравенства (90) и (94)
2а- 2а- п
-^-<lirainf-^—i—< limsup-^—=— <—. (95)
Эти соотношения могут быть справедливы только тогда, когда в них
везде будет иметь место знак равенства. Стало быть
2 а- 2а- 2 а-
lim inf S-—г— - lim sup -^—j— =lim -*¦—=— = -^-, (96)
и искомая плотность найдена.
§ 5. Критерий родственности областей
В этой главе я исследую связь между степенью родства несколь-
нескольких алгебраических областей и разложением определяющих их урав-
уравнений, рассматриваемых как сравнения по простым модулям. До сих
пор были разобраны два следующих частных случая этой задачи:
1) Если одна область является делителем другой, то принадлеж-
принадлежность простого числа к известному классу подстановок во второй

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОТНОСТИ СОВОКУПНОСТИ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ 59
области влечет за собой принадлежность его к вполне определенному
классу в первой. В частности, если простое число принадлежит во
второй области к тождественной подстановке, то в первой оно тоже
принадлежит к тождественной подстановке. Имеет место также об-
обратная теорема, пользуясь которой, Б. Н. Делоне [9] доказал частный
случай известной теоремы Кронекера—Вебера о том, что всякая абе-
лева область есть область деления круга.
2) Две области взаимно просты. Тогда, взяв по произволу из обеих
областей по классу подстановок, можно найти бесчисленное множе-
множество простых чисел, принадлежащих к классам этих подстановок в
соответственных областях. Этот случай рассмотрен М. Бауэром
(loc. cit.).
Рассмотрим самый общий случай. Возьмем две произвольные об-
области o)j и (о2 и составим их нормы, т. е. наименьшие заключающие
их нормальные области: пг и fi2. Образуем их наименьшую общую
область ?2, которая тоже будет нормальна, и пусть ее группа будет G,
а группы, которым принадлежат области,—соответственно Ог и G2.
Известно, что G± и G2 являются нормальными делителями G. Их
гёльдеровские дополнения
изоморфны с группами Галуа внутри областей соответственно Qx
и Q2.
Обозначим пересечение областей пг и С12 через п. Группа /С, к
которой оно принадлежит внутри п, является наименьшей группой,
содержащей группы Gx и G2, и потому, в силу нормальности послед-
последних, может быть выражена как их символическое произведение
К = GXG2.
Внутри каждой из областей пг и Q2 оно принадлежит соответственно
к группам
кг — — и кг — ^
Индексы (G, К), {Нх, Кг), (#2, К2) будут, очевидно, равны одному
и тому же числу у.
Разложим теперь группу G на сопряженные системы по К, груп-
лу Нг по Кг. группу И% по К2
Q=K +KUX +KU2 +... + Щ_р (97)
#1 = Кг + КгУг + KXV2 +... + K1Vj__v (98)
Н2 = К, + K2W± + K2W2 + ... + K2Wj_ v (99)
Подстановки Vi и Wi выберем так, чтобы они соответствовали систе-
системам соответственно GxUi и G2Ui (вспомним определение гёльдеров-
ского дополнения).

60 Н. Г. ЧЕБОТАРЕВ
Ясно, что если простое число р принадлежит в Q к классу подста-
подстановки, входящей в систему KUt, то в fij и Q2 оно будет принадле-
принадлежать к классам подстановок, входящих в системы соответственно
KxVi и K%Wi. Докажем, что если две подстановки Тг и Т2 внутри
&ч и Q2 будут входить в системы соответственно K^i и K^Wn то
можно найти соответствующую им подстановку внутри ?1, входящую
в систему KU%- Достаточно доказать это для систем Klf Кг> К- Что-
Чтобы найти подстановку из К у соответствующую подстановкам 7\ из Кг
и Т2 из /С2, достаточно найти подстановку, соответствующую Тг из Кг
и 1 из /С2, а затем найти подстановку, соответствующую 1 из Кх и
7*2 из /С2. Найдем первое. Для этого достаточно показать, что внутри
?2 существует подстановка, оставляющая величины из ?22 на месте
(т. е. входящая в G2) и производящая над величинами из ?2Х любую
подстановку группы Кг = -q- . Допустим противное, т. е. что подста-
подстановки из G2 производят над величинами из пх не всевозможные под-
подстановки группы Къ а только некоторые, которые должны образо-
образовать группу К и являющуюся делителем группы AV
Рассмотрим величины, принадлежащие внутри ?2 к группе Кг. С од-
одной стороны, они входят в ?21э с другой стороны, не изменяясь в ?2
от подстановок группы G2, они входят в ?22; значит, они входят в
их пересечение ii. Это же невозможно в том случае, если группа К\
является настоящим делителем группы К г* Все это позволяет счи-
считать нашу теорему доказанной.
Если Q2 целиком входит в Qlf то п± = ?2, ?22 = О, К = G2, Къ— I.
Здесь для каждой подстановки в G± мы, в силу разложений (97), (98),
(99), получим вполне определенную подстановку в G2. В частности,
если мы в Gx выбрали тождественную подстановку, то в G2 соответ-
соответствующая подстановка должна быть тоже тождественной.
Если Q2 не входит в п±, то G2 является настоящим делителем
К, К2 содержит не тождественные элементы, а потому существуют
простые числа, принадлежащие в пг к тождественной подстановке,
авA2Гк подстановке, отличной от тождественной. Эта теорема
противоположная предыдущей; следовательно, справедлива и обратная.
Наконец, если ?1г и Q2 взаимно просты, т. е. если ?2 есть область
рациональных чисел, то K=G, K1 = G1, /C2 = G2 (j — 1). В этом
случае в обеих областях можно выбрать подстановки совершенно
независимо.
Если мы имеем дело с большим количеством областей, то иссле-
исследование придется вести следующим образом: сначала надо исследо-
исследовать, подобно предыдущему, какие-нибудь две из заданных областей;
затем взять их общую область вместе с третьей; затем область, за-
заключающую все три области, вместе с четвертой и т. д. В этом случае
более симметричного закона подыскать нельзя. Чтобы убедиться в

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОТНОСТИ СОВОКУПНОСТИ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ 61
этом, достаточно рассмотреть области Q A^2), п (КЗ), Q(j/6). Любые
две из этих областей взаимно просты, и потому подстановки в них
независимы; когда же мы выбрали в обеих областях по подстановке,
то этим мы вполне определили подстановку в третьей области, так
как трзтья область входит делителем в наименьшую область, заклю-
заключающую в себе обе остальные области.
Для разрешения в каждом отдельном случае вопроса, существуют
ли простые числа, одновременно принадлежащие к заданным классам
подстановок в нескольких различных областях, достаточно выяснить,
существует ли в группе области, образованной из этих областей,
подстановка, которая внутри каждой из заданных областей произво-
производит соответствующую заданную подстановку. Вспомним, что каждо-
каждому простому числу соответствует класс подстановок, а каждому про-
простому идеалу —одна определенная подстановка (ср. [1], конец). Этот
принцип более общий, так как здесь не играет никакой роли нор-
нормальность областей.
§ 6. Теорема Гильберта о существовании простых
идеалов с заданной вычетностью
Принцип, высказанный в конце предыдущей главы, позволяет до-
доказать, притом в несколько расширенной формулировке, теорему
Гильберта о существовании бесчисленного множества простых идеа-
идеалов с заданной вычетностью (см. [6], стр. 426, Satz 152).
Дана нормальная область Q, содержащая в себе /-ые корни из
единицы. Пусть а будет целое алгебраическое число из Q, а (з про-
простой идеал, не входящий в а. На основании обобщенной теоремы
Ферма
/4sl (modp), A00)
где f •— порядок идеала р. Но так как Q содержит в себе /-ый ко-
2 ni
рень из единицы Z, = el , то внутри области а>(?) порядок простого
идеального делителя р является делителем /, а потому должно
иметь место сравнение
pf = 1 (mod /),
т. е. pf — 1 должно делиться на /.
Из формулы A00) нетрудно получить
ос ' =!;' (modp), A01)
где с — одно из чисел 0, 1, 2,..., /— 1. Условимся в этом случае в
обозначении Ъс = [~| (см. [6], стр. 365). Теорема, которую я собира-
собираюсь доказать, заключается в следующем.

62 Н. Г. ЧЕБОТАРЕВ
Даны t целых чисел из ii
притом так, что произведение
может только тогда быть 1-ой степенью числа из ?}, е?./ш каждое из
чисел т1} щг, ..., /Я/ делится на I. Зададим по произволу 11-ых кор-
корней из единицы: С1, С% ..., С*. Тогда в Qсуществует бесчисленное
множество таких простых идеалов р, для которых одновременно
имеют место равенства
{} {*} = С*. (Ю2)
Ограничимся рассмотрением простых идеалов первого порядка,
т. е. таких, для которых /= 1; иначе говоря, эти идеалы будут в О.
принадлежать к тождественной подстановке.
Присоединим к Q величины
Считая ?2 областью рациональности, мы получим абелеву область,
группа которой состоит из подстановок, переводящих величины р/ в
S/Pi, где Kt — какой-нибудь корень из единицы. Докажем, что порядок
этой области по отношению к Q равен 1К Допустим противное, т. е.
что порядок ее ниже. Тогда, если мы станем присоединять к Q по-
последовательно корни уравнений
z*_ai = 0, г7 —aa = 0f ..., zl — <*t = 0, (ЮЗ)
то какое-нибудь из этих уравнений должно будет сделаться приво-
приводимым в области, образованной из области Q посредством присоеди-
присоединения к ней корней предыдущих уравнений. Но в силу нормальности
каждого из этих уравнений внутри ?2 уравнение должно распасться
на множители одной и той же степени, которая благодаря тому, что
/ простое число, должна быть первой. Пусть первое из таких урав-
уравнений будет zl—<xv=0. Тогда мы получим
P*' ..-, Pv-i). A04)
С другой стороны, область п (plf p2, ..., Pv-i) должна быть порядка
jv-i относительно Q. Обозначим через Si операцию над рх, р2,..., Pv-i,
заключающуюся в умножении р* на Х> и оставляющую величины
рх, •.., P/-i, p/ + i, ..., pv-i без перемены. Группа Галуа области
Q (^i> Рг» - • • у Pv - О состоит из подстановок типа S^S?*- • -vS^_~ К Для
того чтобы эта группа была порядка /v~!, необходимо, чтобы пока-
показатели ?i, ?2? ..., 5v — 1 пробегали независимо друг от друга все зна-

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОТНОСТИ СОВОКУПНОСТИ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ 6$
чения *0, 1, 2> »..,/ — 1. В частности, все подстановки Si (I =
= 1,2, ..., v — 1) должны входить в группу области. Таким образом,
величина <р($1У .. •, &• _ь ?Р/, р* + ь • •. > Pv-i) будет сопряженной с
Pv> т. е. она должна быть равна Kc$v, где с — какое-нибудь из чисел
О, 1, 2, ..., /—1. Соотношение A04) можно переписать следующим
образом:
Pv = Ао + А^^г + A2pva- 1 + ... + Ai _ i^r },
где Ло, Лх, Л2, ..., А/ _ i —• элементы области ?1 (рх, р2, ..., pv _ 2)-
Тогда
Далее,
^pv * Ао + A^Pv-i + AaC4Pv-1 + ... + Л/ «i^1" Pill,
^ Pv == Ло + AjC, pv- 1 + А2Ч Pv- 1 + . • • + Л/ ~ 1С Pv - 1 .
Из этих равенств легко заключить, что все Л, кроме Ас, равны нулю.
Продолжая рассуждение подобным же образом применительно к
Pv-2, Pv~3> •. • , Р2> Pl>
мы увидим, что наше соотношение должно иметь вид
где Л —элемент области Q. Возведем это соотношение в /-ую сте-
степень. Получим
Возможность такого соотношения исключена при формулировке тео-
теоремы. Поэтому область Q(plf р2> ••*. Р/) должна быгь /-го порядка
относительно Q и ее группа должна состоять нз подстановок типа
где каждая подстановка S§ изменяет Э/ в CPi и оставляет величины
Pi, . . ., Р/ - 1, Р* + ь • • • > Р*
без перемены, а показатели 5j> ^2» •••> ^ пробегают независимо друг
от друга все значения 0, 1, 2, ...,/-— 1. Эти же подстановки должны
входить в группу нормы области Q (р1# р2> ..., р/), т- е. наименьшей
заключающей ее нормальной области, а потому, в силу результата
главы IV, существует бесчисленное множество простых чисел р, при-
принадлежащих к классу подстановки

Н. Г. ЧЕБОТАРЕВ
Эти простые числа внутри Q разлагаются на идеальные множители
первого порядка, так как подстановка S оставляет величины из ?1 без
перемены. Внутри же нормы области Q(px, р2* -••>&) каждое такое
простое число р разобьется на,простые идеалы таким образом, что
хоть один из них, например тс, будет принадлежать к подстановке 5.
Применяя характеризующее принадлежность к *S сравнение к вели-
величинам рх, %, .-., % мы получим ряд сравнений
(V = ?Clp!, p2' = ?fip2, ..., p/> = ?f'p, (mod тс). A05)
Разделив эти сравнения соответственно на рх> ($2, -.. -» Р/, мы будем
иметь
P/^seC*. р/""! = С% ..., p/7"I = ^t (mod*). A06)
Но так как, в силу того что / ** 1, число /?—1 делится на /, мы
можем переписать сравнения A06) так:
/у — 1 р — * р — 1
В сравнениях A07) фигурируют величины из ?2, а потому эти срав-
сравнения будут справедливы и для простого внутри ?2 модуля р, в ко-
который тс входит множителем.
Далее, из сравнения
« ' ={у| (mod*). A08)
и сравнений A07) мы получаем
{у}^Лт)^ ?"• • • •' {т)& ^ (mod «• A09)
Эти сравнения должны быть Ь^аменены равенствами, так как различ-
различные корни из единицы не могут быть сравнимы по модулю р, не
входящему в дискриминант уравнения ?/~~1 + ?/~~2+... + ?+1=0.
Значит, идеалы р удовлетворяют поставленным требованиям, т. е:
теорема доказана.
ЛИТЕРАТУРА
1. Frobenius. Ober Beziehungen u. s. w. Sitzungsber. Berl. Akad., 1896, стр. 689.
2. Dedekind, Zur Theorie der Ideale. Gotf. Nachr., 1894.
3. Dirichjet. Werke, Bd. I, стр. 307, 313, 1837, Vorlesungen uber Zahlentheorie.
4. К и m m e r. Uber die Divisoren a. s. w. Joura. f. Math. 30, 35.
5. Kronecker. Uber Irreducibilital von Gleichungen. Monaisber. Berl. Akad., 1880,
стр. 156.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОТНОСТИ СОВОКУПНОСТИ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ 65
6. D. Hilbert. Zahlbericht, стр. 424 —428.
7. Furtwangler. Allgemeiner Existenzbeweis u. s. w. Math. Ann. 63.
8. Furtwangler. Allgemeine Reziprozitatsgesetze. Math. Ann. 72, 74.
9. B. D e 1 a u п а у. Zur Bestimmung algebraischer Zahlkorper u. s. w. Journ. f. reine
ufld angew. Math. 152, стр. 120.
10. H. Weber. Uber ZahJgruppen u. s. w. Math. Ann. 49.
11. D. Hilbert. Relativquadratischer Zahlkorper. Math. Ann. 51, Satze 30, 31, стр.
53 ел.
12. Landau. Verteilung der Primzahlen in den Idealklassen. Math. Ann. 63, стр. 150.
13. H. Weber. Lehrbuch d. Alg., Bd. II, XXI Abschnitt, стр. 693-735.
14. Lejeune-Dirichlet. Vorles. uber Zahlenth., 4-te Aufl., стр. 358.
5 Н. Г. Чеботарев. To : 1.

ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРЕМЫ МИНКОВСКОГО С ПРИМЕНЕНИЕМ
К ИССЛЕДОВАНИЮ ИДЕАЛЬНЫХ КЛАССОВ ПОЛЯ
(EINE VERALLGEMEINERUNG DES MINKOWSKI' SCHEN SATZES MIT
ANWENDUNG AUF DIE BETRACHTUNG DER KORPERIDEALKLASSEN)
(Журнал научно-исследовательских кафедр в Одессе, № 4 A924), стр. 1—4)
Предлагаемое исследование содержит приложение некоторого
обобщения знаменитой теоремы Минковского о дискриминанте поля
к рассмотрению теоретико-групповой структуры поля классов, по-
позволяющее раскрыть некоторые теоретико-числовые свойства чисел
классов. Я ограничиваюсь здесь только рассмотрением полей деления
круга, однако примененный метод можно обобщить на случай произ-
произвольных полей, что потребует дальнейших исследований в области
теории групп.
§1
Упомянутое обобщение теоремы Минковского состоит в следующем.
Возьмем нормальное поле ?1 и рассмотрим образованные всеми
его элементами а поля п (а).г
Поставим следующую задачу: найти условия, необходимые и
достаточные для того, чтобы данное простое число не было критиче-
критическим, т. е. чтобы разложение его на простые идеалы поля Q (а) не
содержало кратных множителей.
Пусть © — группа, к которой принадлежит а в поле ft, и пусть
— разложение р на простые идеалы в ?2 (а). Обозначим порядок
группы © через (©) и группу инерции, соответствующую в поле О.
простому делителю % идеала р^ через ®/'>. Тогда
где символ [©, ®/z)] обозначает пересечение © и О/').2
Из формулы B) следует, что dx = 1 тогда и только тогда, когда
<&tV) = [®, ®/'>], т. е. если ®/'> есть делитель ©. Следовательно, условие,
1 2 (а) обозначает подполе поля D, порожденное элементом а (Ред.).
2 См. Bachmann. Zahlentheorie, Bd. V.

ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРЕМЫ МИНКОВСКОГО 67
необходимое и достаточное для того, чтобы р не было критическим
числом в ft (а), состоит в том, чтобы все принадлежащие к р группы
инерции были делителями группы, к которой принадлежит а.
Сопоставим эти условия для всех простых чисел. При этом мы
можем ограничиться простыми делителями дискриминанта поля, так
как прочие простые числа, наверное, не будут критическими. Но
вследствие теоремы Минковского ни одно простое число не будет
критическим в ft (а) только тогда, когда а — рациональное. Отсюда
следует теорема:
Алгебраическое число а нормального поля ft будет рациональным
тогда и только тогда, когда все группы инерции поля ft являются
делителями группы, к которой принадлежит а.
Или, если перейти к терминам теории групп:
Все подстановки группы Галуа поля ft получаются посредством
композиции всех групп инерции.
В известном смысле эта теорема является обобщением теоремы
Минковского, так как последняя только констатирует существование
для каждого поля групп инерции, отличных от единичных групп.
Указанная структура группы Галуа с давних пор известна в теории
алгебраических функций и была причиной возникновения понятия
„группы монодромии*. *
§2
Теперь мы можем доказать следующую теорему:
Если поля ft]L и ft2 являются делителями поля 1т-ых корней из
единицы, причем ft2 есть делитель п1У то число классов Aj. поля
С1г делится на число классов А2 поля ft2.
Теорема эта была впервые высказана Куммером и доказана им
для случая jw = 1; Фуртвенглер доказал ее для общего_случая.
Обозначим через пг и п2 порядки ftx и ft2 и пусть ftx и ft2 — со-
соответствующие ?1г и ft2 поля классов. Порядки их равны пхНг и #2А2
соответственно. Докажем сначала следующую лемму:
Лемма. ft2 есть делитель Qx. Для доказательства рассмотрим
наименьшее общее кратное ft2 и ftx. Поле это — относительно-абелево
по отношению к ft2, так как оно является объединением поля ft2,
относительно-абелева по отношению к ft2, и поля Q1# Далее мы
докажем, что оно не разветвляется относительно ft2. Действительно,
порядок группы инерции поля ft2 равен п2. Когда мы присоединяем
к полю ft2 поле ftx, то порядок полученного поля (т. е. ft') превыша-
превышает порядок ft2 не более чем в пх\пг раз, следовательно и порядок
группы инерции поля ft' превышает порядок группы инерции поля ft2
1 Ср. С. Jordan. Traite des substitutions.
ft*

68 Н. Г. ЧЕБОТАРЕВ
не более чем ъпг\п2 раз, т. е. порядок этот ^я2~ = ni- Однако по-
порядок группы инерции поля п± равен пг и, стало быть, утверждение
доказано. Отсюда мы видим, что поле п' относительно Ц будет
относительно-абелевым и неразветвленным и, значит, будет являться
частичным полем классов для Qx. Другими словами, п' есть дели-
делитель Qlf но й2 есть делитель й\ а значит, и п19 что и т. д.
С другой стороны, пересечение ?22 и йх может самое большее со-
совпадать с п2. В самом деле, если предположить, что это поле является
надполем ?22, т0 как часть Qx оно должно быть абсолютно-абелевым
и потому обладать единственной группой инерции. * Но теорема §• 1
гласит, что эта группа должна быть группой Галуа нашего поля.
Тогда порядок ее будет равен порядку поля. Однако поле это есть
делитель Q2 и потому порядок его группы инерции не более чем
п%~порядок группы инерции й2- Итак, порядок пересечения не пре-
превышает п2у что противоречит предположению, что оно содержит ii2
как собственный делитель.
Порядок ?1' равен, следовательно, n2h2~ = n±h2. Но поле это есть
делитель Qlf значит, порядок Qx, т. е. nxhly делится на %A2 и \
делится на h2i что и т. д. 2
§ 3
Теперь мы подробнее исследуем структуру группы инерции поля
классов.-Мы имеем/—^Х^~|(/""!), где Х=1 — ? есть простой идеал
поля Q (С).8 В поле классов Q со будет иметь место соотношение
X~AXA2* • -Аи, где ЛхЛз, ..., Л^ — отличные друг от друга простые
идеалы в поле ?2о>. Пусть St — одна из подстановок группы поля Ocd,
переводящих Лх в Aif и пусть простому идеалу Аг соответствует
группа инерции Тг. Тогда простому идеалу Л,- будет соответствовать
группа инерции St T^^Sf1. Если @ есть группа поля Qco, то вследствие
теоремы § 1 композиция всех групп S; 7\ Si(i=l9 2, ..., h) дает всю
группу ®. Иными словами, не существует такого нормального дели-
делителя @, который содержал бы группу 7\.
1 Ибо: 1) оно имеет единственное критическое простое число /; 2) все группы
инерции, соответствующие простым идеалам—делителям критического простого
числа, сопряжены друг другу; сопряженные же подгруппы абелевой группы
совпадают.
2 В конце этого параграфа следует добавить- «мы предполагаем, что эти поля
нормальны». (Исправление внесено Н. Г. Чеботаревым на стр. 13 «Журнала научно-
исследовательских кафедр в Одессе», № 8—9, 1924. - Ред.).
_2ш
3 Z == е есть 1т-ый корень из единицы.

ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРЕМЫ МИНКОВСКОГО 69
Группа 7\ голоэдрически изоморфна с группой инерции поля ?2(?)
Действительно, пусть tt — одна из подстановок 7\ и ^ — порожден-
порожденная tx подстановка величин Q (?). Так как для любой величины а
ноля ?2«> имеет место сравнение
то для каждой величины C поля Q(S) будет выполняться сравнение
т,р = р (mod Ах),
а значит и сравнение
тхр = р (modX),
поскольку X есть простой идеал поля ?}(?). При этом подстановке
tx t2 соответствует подстановка тх т2 и определенный таким образом
изоморфизм будет голоэдрическим в силу того, что группы инерции
полей Q(?) и Оса имеют одинаковые порядки.
Пусть U — группа порядка и, являющаяся пересечением всех
jtn—1 ц |\
групп S( Tx S;-1 (i = 1, 2, ..., lm), и пусть и1 = -U есть нор-
нормальный делитель группы ©. Пусть группе U принадлежит поле п± coj
порядка hu\ группа которого голоэдрически изоморфна с дополнитель-
дополнительной группой © / U. Группы инерции поля Qx ^ голоэдрически изо-
изоморфны с дополнительными группами St Tt S{~1 / U и, следовательно,
ЦП — 1 ц | \
имеют порядок =uf.
Таким образом, поле Q1o^1 не может иметь с полем ?2(?) пересече-
пересечение, порядка больше, чем и1. Пусть С1г — делитель i2(C)f имеющий
порядок и1 (так как Q(^) — циклическое поле, то Qx вполне опреде-
определяется своим порядком и'). Тогда С1г щ есть поле классов для Q1#
Поле, построенное при помощи полей ?1г <а± и Q (^), будет, следова-
следовательно, иметь порядок !> — / "~ = hlm (I —1), т. е. оказывается
тождественным с полем Qoo. Поэтому поле iico можно рассматривать
как объединение поля п (?) и поля Ох о^, являющегося полем клас-
классов для некоторого делителя Qx поля Q (Q, имеющего порядок и'.
§ 4
Возьмем теперь некоторое подполе поля Q (?), именно поле iix
порядка и. Рассмотрим все его делители и вычислим соответствующие
числа классов. По теореме Фуртвенглера (см. § 2), число классов
каждого подполя является делителем числа классов С1г. Пусть р —
делитель числа классов поля Cllf не являющийся делителем числа
классов ни одного из делителей С1г. Докажем справедливость сравнения
/?= 1 (mod и).

70 Н. Г. ЧЕБОТАРЕВ
Для доказательства рассмотрим частичное поле классов ?2Х сох относи-
относительного порядка р. Его группы инерции Т имеют порядок и. Пере-
Пересечением их может быть только единичная группа; в противном
случае, как мы показали в предыдущем параграфе, нашелся бы дели-
делитель поля Qlf число классов которого делилось бы на р, что про-
противоречит предположению. Далее, как известно, мы можем представить
эти группы как группы перестановок символов, число которых равно
индексу (©, Т). Индекс этот равен -^ = Р- С другой стороны, по от-
отношению к циклическому полю йх поле п^ ^ относительно цикличе-
циклическое и потому его группа @ разрешима, т. е. является делителем
полной метациклической группы порядка р(р—1). Таким образом,
р(р — 1) делится на ри, а следовательно р — 1 —на и, что и т. д.
Отсюда, как тривиальный специальный случай, следует хорошо
известная теорема:
Если дискриминант квадратичного поля есть простое число,
иными словами, когда существует только один род (Geschlecht),
то число классов этого поля нечетное.

ОБ ОБОСНОВАНИИ ТЕОРИИ ИДЕАЛОВ ПО ЗОЛОТАРЕВУ
(Усп. матем. наук 2 A947), в. 6, стр. 52—67)
Теория идеалов была почти одновременно обоснована тремя мате-
математиками: Дедекиндом [7], Кронекером [8] и Золотаревым [1, 10]
Последнее из этих обоснований не получило должного распростране-
распространения, может быть в силу установившегося о нем мнения, как о не
вполне общем. Это мнение справедливо, если мы будем иметь в виду
докторскую диссертацию Золотарева. Действительно, развитая в ней
теория годится только для простых чисел, не входящих в так назы-
называемый индекс поля. У Золотарева имеется еще более поздняя
статья [10], в которой теория идеалов развита при самых общих
предположениях. Теория Золотарева была еще изложена в диссерта-
диссертации Сохоцкого [4] и в работах И. И. Иванова [2,3]. Кроме того,
я изложил ее в 1925 г., и эта статья была перепечатана в американ-
американском журнале [5, 9].
Интерес, который представляет теория Золотарева в настоящее
время, заключается в том, что в ней впервые была развита теория,
получившая в настоящее время название локальной теории идеалов.
Последняя оказалась весьма плодотворной в теории полей классов,
а также в теории алгебраических функций.
Настоящая статья является дополненной редакцией моей казанской
статьи [5].
§ 1. Предварительные сведения
Перечислим без доказательства основные понятия и факты из
теории алгебраических чисел, необходимые для дальнейшего.
Будем называть областью рациональности поле к, под которым
мы будем подразумевать или поле рациональных чисел, или поле
рациональных функций от одной переменной с коэффициентами из
заданного числового поля. Выделим в поле k кольцо целых элемен-
элементов (соответственно— или целых чисел, или полиномов). Определяя
в нем обычным образом понятия делимости и простых элементов,
мы будем иметь теорему об однозначности разложения яелых эле-
элементов на простые множители. Эта однозначность имеет место с точ-
точностью до единиц поля к, под которыми в первом случае мы должны
разуметь +1 и —1, а во втором случае —любые константы.

Н. Г. ЧЕБОТАРЕВ
Обозначим через К поле рациональных функций от корня х
неприводимого уравнения
/(•*) = О A)
степени п с коэффициентами из поля ?. Тогда всякий элемент поля К
может быть представлен в виде полинома степени «<я— 1 от х
с коэффициентами из поля к, и притом единственным образом. При
этом всякий элемент у поля К удовлетворяет уравнению степени п
с коэффициентами из поля ?. Если это уравнение неприводимо, то х,
а также любой элемент поля К могут быть рационально выражены
через j/. В этом случае говорят, что у есть примитивный элемент
поля.
Целым элементом поля К называется элемент, удовлетворяющий
примарному уравнению, т. е. уравнению, у которого коэффициент
при старшей степени есть единица, а остальные коэффициенты суть
целые элементы поля ?. Из леммы Гаусса следует, что корень примар-
ного уравнения является также корнем неприводимого примарного урав-
уравнения. Можно доказать, что совокупность целых элементов поля К
составляет кольцо, т. е- что сумма, разность и произведение целых
элементов являются также целыми элементами.
Имеет место следующий факт: корень уравнения со старшим
коэффициентом единица и остальными коэффициентами, которые
являются целыми элементами, хотя бы иррациональными, тоже
является целым элементом в поле, в которое он входит.
Если п есть степень неприводимого уравнения, которому удовлет-
удовлетворяет примитивный элемент поля К, то в К существует такая система
целых элементов [%, о>2, ..., сол], что всякий целый элемент поля К
выражается в форме
где с19 с2,..., сп—целые элементы поля ?. Система [<ог, о>2, ..., to»
носит название фундаментального базиса поля К-
Если а, р — целые элементы поля /С, то в том случае, если их
частное»а:(з тоже является целым элементом, говорят, что а делится
на р.
Если а и 1/а целые элементы поля К у то а называется единицей.
Чтобы а было единицей п(}ля /С, необходимо и достаточно, чтобы
свободный член уравнения, которому удовлетворяет а, был единицей
поля k.
Можно было бы по аналогии с рациональным полем развить тео-
теорию разложения целых элементов поля К на неразложимые далее
множители, определяя последние с точностью до единицы в качестве
множителя. Однако полученные таким путем разложения определяются
не всегда однозначно. Это и заставило упомянутых авторов создать
теорию идеалов или равносильных с ними понятий.

ОБ ОБОСНОВАНИИ ТЕОРИИ ИДЕАЛОВ ПО ЗОЛОТАРЕВУ 73
§ 2. Теория локальных колец
В основу определения локального кольца положим простой (т. е.
неразложимый на дальнейшие целые множители) целый элемент р
поля к> В случае, когда поле к числовое, р есть простое число; если
же к есть поле функций, р есть полином, неприводимый в задан-
заданном числовом поле. Если последнее алгебраически замкнуто, р есть
линейная функция х — с.
Под локальным кольцом, соответствующим элементу р, мы будем
разуметь совокупность элементов поля к, при представлении которых
в виде несократимых дробей знаменатель последних взаимно прост
с р. Другими словами, элемент локального кольца, или, как мы
в дальнейшем будем говорить, /?-целый элемент, характеризуется
тем, что, умножая его на некоторый взаимно простой с р элемент,
можно превратить его в целый элемент.
Под /ьцелым элементом поля К мы будем разуметь элемент,
удовлетворяющий уравнению, у которого старший коэффициент есть
единица, а остальные суть /ьцелые элементы поля к. Нетрудно^
доказать, что совокупность /ьцелых элементов поля К образует
кольцо, которое мы и будем называть локальным кольцом.
Для дальнейшего необходимо ввести понятие нормы. Нормой
элемента z поля К называется взятый со знаком (—1)л свободный
член уравнения /г-ой степени, которому удовлетворяет z (уравнения,
получаемого описанным в § 1 методом). Норму также можно опреде-
определить, как произведение всех (сопряженных) корней этого уравнения.
Норма обладает следующими свойствами:
1) Норма произведения равна произведению норм
2) Если z лежит в к, то
N{z)=zn-
3) Норма целого элемента делится на этот элемент. В самом деле*
если
П , Л—-1 , I Л Л I _ /л
^ Ч- ^,2^ Ч~ . . -г" ^Z <^ "Т" CL = U,
• 1 • • л—] • п '
ТО
4) Если t произвольный элемент поля к или даже переменная, то
N(t-z)=f{t),
где / (г) = 0 — уравнение, которому удовлетворяет z.
/7-целый элемент поля К может быть также определен как эле-
элемент, который умножением на взаимно простой с р элемент с поля к
может быть преобразован в целый в обычном смысле.

74 Н. Г. ЧЕБОТАРЕВ
Будем говорить, что z р-делится на и, если частное z: и есть
р-целый элемент.
Если N {г) взаимно проста с р, то все целые элементы поля К
/^-делятся на гг. Действительно, тогда достаточно взять в роли взаимно
простого с р элемента с норму N (z). Элемент
си
при целом и всегда целый.
Если z /ьделится на и, то в N(z) множитель р входит в не мень-
меньшей степени, чем в N {и). Действительно, тогда при некотором взаимно
простом с р р-целом элементе с поля k элемент cz:u должен быть
целым. В силу этого его норма
cnN(z)
N(u)
должна быть целым элементом поля ?, откуда следует утверждение.
Если два элемента делятся друг на друга, то мы будем называть
их ^-ассоциированными и с точки зрения ^-делимости не будем считать
различными.
Нашей ближайшей целью является доказательство однозначности
разложения /?-целых элементов поля на неразложимые далее р-мно-
жители. Для этого нам понадобятся следующие леммы:
Лемма 1. Если z и и р-делятся на v, то z-±^u тоже р-делит-
ся на v.
Из этой очевидной леммы вытекает следующая:
Лемма 2. Если z точно р-делится на vx (т. е. не делится
на 1Л+1), а и точно р-делится на v*, то их сумма точно р-делится
на vs, где v есть наименьшее из чисел >s \l Ck=f= \i).
Справедливость этой леммы вытекает из леммы 1.
Будем называть общим наибольшим />-делителем двух элементов
z, и поля К элемент dy на который р-делятся оба заданных элемента
и который вместе с тем обладает тем свойством, что неопределенное
уравнение
z\ + Щ = d
имеет решения в /?-целых элементах поля К-
Чтобы убедиться в существовании общего наибольшего делителя
для каждой пары /ьцелых элементов, докажем следующую основную
теорему Золотарева.
Теорема Золотарева. Если из норм всевозможных элемен-
элементов типа
где и пробегает все целые элементы поля К, в норму элемента z
элемент р входит множителем в наименьшей степени, то ps
р-делится на z.

ОБ ОБОСНОВАНИИ ТЕОРИИ ИДЕАЛОВ ПО ЗОЛОТАРЕВУ 75
Доказательство. Пусть уравнение, которому удовлетворяет г,
таково:
гп + сУп-1гп~1 + с2р^гп~2 + ... + cn_lP\ + cnpx = 0, B)
где clt с2,...,сп — взаимно простые с р элементы поля k. Выберем
среди чисел
X — Хх Х — Х2 X — Х3 *"~ Хя—1 X
наибольшее. Пусть это будет
где г и 5 — взаимно простые целые рациональные числа. Докажем
сначала, что
есть целый элемент. Для этого умножим уравнение B) на
с Я—1 П1А—X
и перепишем его члены в обратном порядке
** = о. C)
Это будет уравнение для к, все коэффициенты которого суть целые
элементы, возможно не входящие в ?, так как [х может иметь дроб-
дробное значение. В самом деле, в силу определения р,
откуда
Лн + р/1 — Х>0 (А=1,2,...,я),
а потому все показатели при р в коэффициентах уравнения C) не
отрицательны. В силу этого 5-ая степень элемента и есть целый
элемент поля К- Тогда, в силу нашего предположения, в нормы
всевозможных элементов
^г-рУ^г- С|Ж*У V (/ = 1,2,3,...,»)
множитель р входит не ниже, чем в Х-ой степени. Но
( i Л

76 Н. Г. ЧЕБОТАРЕВ
откуда следует, что в
множитель р входит по крайней мере в X(s/+1)-oe степени.
Преобразуем это выражение. Для этого введем в рассмотрение
первообразный корень 5/+1-ой степени из единицы
с = esi+1 .
Применим тождество
к двучлену zsi^~cnsipri^
я
откуда
N {zsi^ _ cnsipri^ ) = fl N (z - e^^V7
/=o
где в выражениях норм в правой части с элементами
надо поступать, как с рациональными элементами. Применим к каж-
каждой из этих норм свойство 4) нормы
si ri -f Уч s si rz-Ик
где /(г) == 0 — уравнение, которому удовлетворяет г.
Сначала рассмотрим случай
Каждый член правой части выражения F) делится на степень р,
равную соответственно
" Х + (Л ^ ^ + х G)
Если мы теперь подберем / так, чтобы среди показателей G) не было
равных, то элемент
si

ОБ ОБОСНОВАНИИ ТЕОРИИ ИДЕАЛОВ ПО ЗОЛОТАРЕВУ 77
будет делиться на р в степени, показатель которой равен наимень-
наименьшем} из чисел G). Этого невозможно достичь лишь в том случае,
когда хоть одно из уравнений
удовлетворяется при всяком L Преобразуем это уравнение
(А -*)(г/ + v) - (X* — \h) (si + 1).
Оно удовлетворяется тождественно только в случае, если
(А — #)г = (Ь* —X*)s, ih — k) v = (X* - Хл),
откуда — = -f , или v я - = [х. Этот случай мы разберем отдельно.
Теперь мы можем доказать, что рО- Допустим противное, т. е.
что [a>v. Тогда r>5v, откуда, прибавляя к обеим частям неравенства
по rsi, мы будем иметь
(ri + v), т. е. Р=7
С другой стороны, в силу определения у. существует такое значение
*=/> для которого имеет место
|Л = j? у ИЛИ X =а X/ -f [А/,
откуда, в силу (8),
Правая часть этого неравенства равна одному из показателей G),
и, таким образом, из неравенства (9) вытекает, что выражение F)
при любом } делится на р в меньшей степени, чем Х-ая. В силу
этого произведение E) делится на р в меньшей чем ХE*'+1)-ая сте-
степени. Таким образом, предположение H->v приводит нас к противо-
противоречию, откуда следует
Исключенный нами случай \х == v тоже находится в согласии с по-
полученным неравенством.
Отсюда непосредственно следует, что
—Р
есть целое число поля К, т. е. что /?v р-делится на г, что и т. д.
Примечание. Это трудное доказательство во многих случаях
можно было бы заменить весьма простым. Если мы имеем дело
с числовыми полями, то это можно сделать в случае р^>п, который

78 Н. Г. ЧЕБОТАРЕВ
при каждом п охватывает все простые числа р, кроме конечного
числа. Неохваченные простые числа и есть как раз те, из-за которых
развитая в диссертации Золотарева теория не может считаться вполне
общей. В полях алгебраических функций можно применить простое
доказательство, если числовое поле имеет характеристику нуль.
Нетрудно видеть, что найденный по рецепту теоремы Золотарева
элемент является общим наибольшим р-делителем элементов z и pv.
В самом деле, из теоремы Золотарева следует, что приданных гир'*
можно так подобрать и, чтобы на элемент
z + pv и — v
р-делится pv. Отсюда следует, что на него р-делится и г. Полагая
5=1, т\ = и, мы видим, что элемент v подходит под определение
общего наибольшего делителя элементов z и pv.
Нетрудно распространить это утверждение на общий наибольший
р-делитель двух произвольных целых элементов х, у поля К. Пусть
В силу теоремы Золотарева можно так подобрать и, чтобы
ху' +p^u = v
был р-делителем элемента р\ Вместе с тем из формы этого элемента
следует, что он р-делится на у\ так что его можно представить
в форме ^т^(с', р) = 1. Тогда у р-делится на w. Сокращая наше
равенство на у*[ее', мы будем иметь
хсс} + ус'и = cw,
откуда следует, что элемент w есть общий наибольший р-делитель
элементов х и у. Итак,
Теорема 2. Веяная пара целых элементов поля К имеет
общий наибольший р-делитель, входящий в то же поле К.
§ 3. Разложение элементов на простые множители
в локальных кольцах
Предварительно докажем следующие три леммы, аналогичные тем,
которые лежат в основе элементарной теории делимости.
Лемма 1. Если оф р-делится на у, а а р-взаимно простое у
(т. е. имеет с у общий наибольший р-делитель 1), то р должно
р-делитъея на у.
Доказательство. Если а и [5 р-взаимно цросты, то можно найти
такой элемент е = а + уа, в норму которого р не входит. Тогда,
умножая полученное равенство на целый элемент

ОБ ОБОСНОВАНИИ ТЕОРИИ ИДЕАЛОВ ПО ЗОЛОТАРЕВУ 79
мы получим
§с » аре' + уе' ри.
Но, согласно условию, ^-^ есть при некотором с\ взаимно простом
с р, целый элемент, в силу чего и
есть целый элемент, т. е. р р-делится на у.
Лемма 2. Если а и $ р-взаимно просты су, то и их произве-
произведение оф р-взаимно просто с у.
Доказательство. В силу определения, существуют такие
целые элементы и и v, что нормы элементов
не делятся на р. Перемножая эти равенства, получим
ее' = ар + У (Ри + *v + yuv).
Здесь
N (гг') = N (s) N (е1)
не делится на р, откуда и следует, что ар р-взаимно просто с у.
Лемма 3. Если а р-делится на два р-взаимно простых элемента
р и у, то оно р-делится и на их произведение Ру.
Доказательство. Если а р-делится на р, то при некотором
р-взаимно простом ср элементе с элемент ?а/р — целый. Но
Это произведение р-делится на у, а так как р р-взаимно просто с у,
то, в силу леммы 1, элемент ?а/р должен р-делиться на у, т. е. при
некотором взаимно простом с р элементе с9 элемент
С'са
Py
целый, откуда следует, что а р-делится на Ру.
Назовем р-простым элементом w поля К такой элемент, что вся-
всякий целый элемент поля К или р-делится на те, или р-взаимно прост
с тс. Из этого определения ясно, что р-простой элемент не может
быть представлен в виде произведения двух целых элементов, из
которых ни один не был бы взаимно прост с р (другими словами,
нормы которых не делились бы на /?). Обратно, если тс есть не про-
простой элемент, то существует элемент тсг, который и не р-взаимно
прост с тс и не р-делится на тс. Тогда общий наибольший р-делитель
элементов тс и тс' есть р-делитель элемента тс и не р-ассоциирован
с ним. Их частное есть второй множитель элемента тс, и его норма
делится на р.

80 Н. Г. ЧЕБОТАРЕВ
Предварительно разложим элемент р на/?-простые в поле К мно-
множители и покажем, что их всего конечное число. Будем рассматри-
рассматривать выражения
где [оI? а>2,..., соп] есть фундаментальный базис поля КУ а с19 с2,..., сп—
всевозможные целые элементы поля Ц. Из этой бесконечной совокупно-
совокупности элементов мы откинем элементы, отличающиеся от других элемен-
элементов этой совокупности на кратность р. Другими словами, мы не будем
считать различными элементы, отличающиеся на кратность р. Будем
прибавлять, к каждому элементу совокупности такую кратность /?,
чтобы получался элемент, норма которого делилась бы на возможно
меньшую степень р. Тогда, в силу теоремы Золотарева, каждый
элемент совокупности есть ^-делитель элемента р.
Выберем в этой совокупности элемент, норма которого делится
на наименьшую, хотя и положительную степень р. Заметим, что если
нормы всех элементов совокупности, кроме р, будут р-взаимно просты
с р, то выбранным элементом мы должны считать р. Обозначим через
iTj выбранный таким образом элемент, и пусть его норма точно делится
на fi'Y10 степень р. Докажем, что тг2 есть jp-простой элемент. Пусть
и есть произвольный целый элемент поля К- Если существует эле-
элемент типа TCi + wz;, норма которого не делится на /?, то а /7-взаимно
прост с - тс1# Если-же нормы всех элементов такого рода делятся
на р, то каждая из них должна делиться по крайней мере на pfx
в силу нашего предположения относительно выбора представителей
нашей совокупности, а также выбора тс1. Значит, среди всех элемен-
элементов типа i*! + uv элемент % имеет норму, делящуюся на самую низ-
низкую степень р. Но тогда из теоремы Золотарева следует, что и
/7-делится на ir1# Таким образом, всякий целый элемент поля К или
/ьвзаимно прост с icx, или /^-делится на w^.
Пусть тс/* будет наибольшая степень, на которую ^-делится р.
Целый элемент ср/n^ уже не р-делится на тсх и, следовательно,
/?-взаимно прост с irr
Теперь выберем из элементов нашей совокупности, /?-взаимни
простых с nv тот элемент тг2, в норму которого р входит в наимень-
наименьшей стЬпени. Докажем, что тг2 есть /7-простой элемент. Возьмем
произвольный целый элемент и поля К и рассмотрим всевозможные
элементы тг2 + kxuv. Если среди них нет таких, нормы которых были
бы взаимно просты с р, то во всех этих нормах р будет входить
не в меньшей степени, чем в N (тс2), в силу выбора тс2.
Пусть ir2*» будет наибольшая степень, на которую р-делится эле-
элемент р. В силу леммы 3, р должно /^-делиться на тех'» тг2% так как,
в силу леммы 2, элементы */* и w2e» р-взаимно просты. Элемент
р-взаимно прост и с кг и с тс2.

ОБ ОБОСНОВАНИИ ТЕОРИИ ИДЕАЛОВ ПО ЗОЛОТАРЕВУ .81
с тс1в Далее, выбираем среди тех элементов нашей совокупности,
которые р-взаимно просты и с 1сх и с теа, элемент я3, в норму которого
множитель р входит в возможно меньшей степени, и точно так же
убеждаемся, что ir3 есть р-простой элемент. Продолжая подобный
выбор, мы будем приходить к целым элементам типа
Но норма числителя такого элемента делится точно на рл, а норма
знаменателя по крайней мере на р\ так что должно иметь место
и процесс должен на некотором месте закончиться. Но конец про-
процесса на ?-ом месте означает, что не существует элементов, которые
были бы р-взаимно просты с к19 тс2,..., izk и в то же время нормы
которых делились бы на р. В частности, элемент A) р-взаимно прост
с к19 «а,..., тгл, а потому его норма не делится на р. Но поскольку
норма его числителя точно делится на рп, а норма его знаменателя
точно делится нар , должно иметь место
= n. B)
Точно так же всякий целый элемент поля К, норма которого
делится на р (т. е. не является единицей локального кольца), в силу
доказанного, должен делиться по крайней мере на один изр-простых
элементов wlf тс3>..., тгл. Мы можем разделить его на такие степени
элементов тсх, тг2,..., тел, чтобы частное было р-целым элементом,
норма которого не делилась бы на р. Из этого следует, что
it19 тс2,... , Kk являются единственными р-простыми элементами поля
К- Вместе с тем мы доказали, что любой целый элемент поля К
может быть разложен на р-простые множители, т. е. представлен
в форме
где с — единица нашего локального кольца, т. е. /?-целый элемент,
норма которого не делится на р.
Остается доказать, что всякий целый элемент поля К разлагается
на р-простые множители единственным образом. Пусть мы имеем
Докажем, что тг = п1. Допустим прртивное, и пусть т1 >> я1# Сокра-
Сокращая раванство на тс^, мы придем к равенству, левая часть которого
делится на iclf а правая часть, являясь произведением р-взаимно
простых с умножителей, в силу леммы 2, сама р-взаимно проста с тг1#
6 н. Г. Чеботарев. Том. 1.

82 Н. Г. ЧЕБОТАРЕВ
Противоречие доказывает наше утверждение. Продолжая рассужде-
рассуждение для тс2, гс3,..., тгЛ, мы дсжажем, что
тх ^ ni> т2 = л2,:.., /и* = л*, с «= с1}
что и т. д.
§ 4. Сопоставление различных локальных колец
Станем рассматривать разложения целых элементов поля К на
р-простые множители одновременно по кольцам, соответствующим
всевозможным простым элементам р поля $. Возьмем целый элемент z
и найдем его разложения, соответствующие тем простым элементам,
которые входят множителями в норму N (г) (относительно остальных
простых элементов поля к, порождающих локальные кольца, элемент z
будет играть роль единицы).
Сопоставим с каждым р-простым элементом те символ {простой
дивизор) р, говоря, что z делится на pk тогда и только тогда, если z
^-делится на тс*. Нормой простого дивизора р будем называть степень
элемента р, на которую точно делится норма N (п). Произведение
нескольких простых дивизоров будем называть просто дивизором
(уже не простым).
Если теперь мы напишем произведение всех простых дивизоров,
на которые делится (точно) заданный элемент z поля К, для всех
локальных колец, соответствующих простым делителям нормы N (z)y
то полученный дивизор мы будем называть представлением элемента z
через дивизоры. Нетрудно видеть, что N (z) равно произведению
норм простых дивизоров, входящих в представление элемента z*
Для дальнейшего необходимо доказать три следующие леммы.
Лемма 1. Если а р-делится на р, то в роли целого элемента с
поля k, входящего в выражение целого элемента ?а/р, молено вы-
выбрать некоторый делитель нормы Н (Р).
Доказательство. Пусть к = -у- есть целый элемент. Целым
элементом будет и \i = —у^-. Решаем неопределенное уравнение
(в целых рациональных элементах), где d есть общий наибольший
делитель с и N ф). Элемент d, с одной стороны, есть делитель Af (P),
с другой стороны, будучи делителем с, он взаимно прост с р. Но
целый элемент \X + \lY допускает представление
Лемма 2. Если а р-делйтся на р, каков бы ни был простои
делитель р нормы N (р), то а делится на $ в обычном смысле.

ОБ ОБОСНОВАНИИ ТЕОРИИ ИДЕАЛОВ ПО ЗОЛОТАРЕВУ 8S
Доказательство. Пусть
Тогда, в силу леммы 1, в поле К буДут существовать целые элементы
Л1 ~"
где Ж, (/ = 1, 2, ••-,*) есть делитель jV (Р) //>/*/ и потому взаимно
прост с р.. Элементы М19 М2, • • • , Мк не имеют общего делителя, а
потому неопределенное уравнение
М1Х1 + М2Х2 + . . . + МкХк = 1
имеет решение в целых рациональных элементах. Элемент
является целым элементом поля /(, что доказывает лемму.
Лемма 3. Если а и р р-взаимно просты, где р — любой общий
простой делитель норм N (а) и N ($), то а. и $ взаимно просты
в обычном смысле. Последнее означает, что можно найти такое
целые элементы X и р поля К, что имеет место
аХ + рр. = 1. A)
Доказательство. Пусть plf р2у . . . , pk будет совокупность
всех простых элементов поля k, входящих одновременно в N {си) и
в Л^(Р). В силу нашего условия для каждого / имеет местр
а + ри. = *;. (/ = 1,2, . .., #),
где N {vt) не делится на р.. Умножая эти равенства на v/ == 0 *х в
меняя обозначения, будем иметь
0^2 + ^2 = Л/' (^2),
B)
где 6f и ^ — целые элементы поля /Г* Присоединим сюда еще
ства
где а', р' — некоторые целые элементы поля К. Элементы N
N (v2), •. . , N {vk)> N (к), /V(p) имеют общим наибольшим делителем 1,
а потому неопределенное уравнение
C)

H. Г, ЧЕБОТАРЕВ
имеет решение в целых элементах поля ?. Умножим равенства B)
соответственно на Хи Х2у . . . , Xk, равенства C) на Yv Y2 и сложим
+ Р'К1)-1- , D)
Это равенство является равенством типа A). Лемма доказана.
Теорема 3. Элемент а определяется своим дивизором с точ-
точностью до единицы поля К кал множителя.
Доказательство. Если двум элементам поля К, которые мы
обозначим через аир, соответствует один и тот. же дивизор, то они
должны р-делиться друг на друга (т. е. бытьр-ассоциированы), причем
в роли р может быть взят любой простой делитель элемента
Отсюда и из леммы 2 следует, что они делятся друг на друга обыч-
обычным образом, т. е. что их частное есть единица поля К.
Теорема 4 (теорема о независимости). Если дан дивизор а, а
также целый элемент М поля k, то можно найти такой целый
элемент а поля К, делящийся на а, чтобы норма частного
а :а была взаимно проста с элементом М.
Доказательство. Сначала докажем эту теорему для входящего
в а простого дивизора р. Пусть тс есть /?-простой элемент поля К,
соответствующий простому дивизору ру и пусть
Далее, пусть
М = ртМ,
где М! взаимно прост с р. Тогда элемент
будет удовлетворять условию теоремы, что вытекает из сравнений
(modMf),
Чтобы найти требуемый элемент для всего дивизора а, нужно
составить, такие элементы для каждого из его простых делителей, а
затем перемножить эти элементы.
§ 5. Связь дивизоров с идеалами
Изложенная теория Золотарева может заменить собой теорию
идеалов, созданную Дедекиндом. Более того, оказывается, что обе
теории эквивалентны; другими словами, приятия идеала я дивизора
хотя определены различным образом, но по существу совпадют.
Эго былр впервые доказано. И. И. Ивановым [3]. Я привожу свое,
несколько другое доказательство.

ОБ ОБОСНОВАНИИ ТЕОРИИ ИДЕАЛОа ПО ЗОЛОТАРЕВУ
Напомним определение идеала.
Идеалом называется такая - совокупйость целых элементов поля,
что:
1) сумма и разность двух элементов идеала входят в идеал,
2) произведение элемента идеала на любой целый элемент поля
входит в идеал.
Наряду с идеалами будем рассматривать совокупности целых эле-
элементов поля К, делящихся на введенные в предыдущем параграфе
дивизоры. Поскольку произведениям элементов поля АГ-соответствуют
произведения соответствующих им дивизоров, очевидно, что эти сово-
совокупности являются идеалами. Докажем обратное.
Рассмотрим какой-нибудь идеал а, который пусть будет задан или
базисом, или, в более общем случае, системой входящих в него эле-
элементов, причем предположим, что не существует другого входящего
в а идеала, который содержал бы все элементы системы. Пусть зта
система состоит из элементов
Разложим каждый из них на дивизоры, и пусть общий наибольший
делитель этих дивизоров будет
В этом выражении мы расположили в каждой строке простые диви-
дивизоры, соответствующие одному и тому же простому элементу р по-
поля К* Ясно, что всякий элемент, входящий в идеал alf делится на
дивизор а. Докажем обратное. Пусть некоторый целый элемент г
поля К делится на дивизор а. Рассмотрим отдельно каждый из про-
простых элементов р, рх ,. . . поля ?, входящих в N (а). Пусть р соот-
соответствует первой строке дивизоров в формуле A) и пусть
Р = лгиг + <х2и2 Ч + asus B)
будет элемент из идеала а1э точно делящийся на дивизор
Если бы такого элемента не существовало, то все элементы, входя-
входящие в идеал, получаемый, если в выражении B) а1} и2, . . . , us про-
пробегают всевозможные целые элементы поля К, делились бы на боль-
больший дивизор. Но в силу нашего предположения этот идеал совпадает
с йг. Таким образом, элемент z /^-делится на C
CZ = (txv1 + а2г>2 -\ + а^, C)
где (г,.р) = 1. Для остальных строк формулы A) мы тоже получим

36 Н, Г. ЧЕБОТАРЕВ
аналогичные равенства
c2z = а^ + cl2v22 + • . . + <*.svsV C2)
где (с19 рг) = 1, (г2, /?2) = 1 и т. д.
Элементы /?, />1? • • * являются единственными простыми делите-
делителями элемента D, общего наибольшего делителя норм N^),
N (<х2)» ¦'< N(a,). Поскольку каждая из этих норм входит в идеал
alf это имеет место также относительно D. Входит в идеал а2 и
произведение Dz, в.силу чего имеет место представление
Dz = ol1w1 + ol2w2+ • • • + я9 и>*. D)
Элементы JD, с9 сг, ... имеют общим наибольшим делителем 1, так
как D есть произведение степеней элементов pv а каждый р. взаим-
взаимно прост с одним из сг Отсюда следует, что неопределенное урав-
уравнение
сх + с1х1+ ¦¦• +Dy = l E)
имеет решение в целых элементах поля ?. Умножая каждое из ра-
равенств C,) соответственно на х., D) — на у и складывая, мы, в силу
{5), будем иметь
Z — al(v1x + v11x1-\ Ь wxу) + а2 (v2X + v21 хг Н + w2у) +
Это равенство показывает, что элемент z входит в идеал а19 что и т. д.
Эквивалентность понятий идеала и дивизора позволяет ввести
понятие произведения идеалов при помощи дивизоров, чем дости-
достигается большая простота и естественность теории.
ЛИТЕРАТУРА
J. Е. И. Золотарев. Теория целых комплексных чисел с приложением к интеграль-
интегральному исчислению. СПб., J874. См. также Полное собр. соч., вып. I, Ленинград,
1931, стр. 161-360.
2. И. И. И в а н о в. Целые комплексные числа. СПб., 1891.
3. И. И. Иванов. К теории целых комплексных чисел. Прилож. к 72 тому Зап.
Имп. Акад. Наук, № 9, стр. 1—14, 1893.
4. Ю. С о х о ц к и й. Начало общего наибольшего делителя в применении к теории
делимости алгебраических чисел. СПб., 1893.
5. Н. Г. Чеботарев. Новое обоснование теории идеалов (по Золотареву). Изв.
Каз. ФМО B), 25 A925), стр. 1—14.
6. Ц. Г. Чеботарев. Основы теории Галуа, т. 2. ГТТИ, Л.—М., 1937.
7. Q. Dirihlet. Vorlesungen tiber Zahlentheorie. Herausgegeben von R. Dede-
kind. 4-te Aufl., Braunschweig, 1894, Supplement XI.
8 L Kronecker. Grundzuge einer arithmetischen Theorie der algebraischen Gros-
sen, Journ, f. reine und angew. Math., 92 A881).
9 N. Tschebot aro w. On the foundation of the theory of ideals, Araer. Math.
Monthly.
10^ G* Z ol ot are f f. Sur J,a Jheorie des norabres complexes. Journ. de math, pures
et appL C). 6 A830), стр. 51-84, 129-166.

К ЗАДАЧЕ НАХОЖДЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
С НАПЕРЕД ЗАДАННОЙ ГРУППОЙ
(Изв. КФМО 1 A926), стр. 26-32)
Задача нахождения алгебраических уравнений с наперед заданной
группой Галуа была разрешена впервые в общем виде Гильбертом для
случая симметрических и знакопеременных групп [1]. Его метод представ-
представляет собою скорее «Existenzbeweis», так как основывается на тео-
теореме, что если какое-нибудь алгебраическое урабнение относительно
нескольких переменных неприводимо, то можно для одних из этих
переменных подыскать такие значения, чтобы после подстановки
у равнение, осталось неприводимым относительно остальных перемен-
переменных, в области, составленной из коэффициентов уравнения найден-
найденных значений и еще произвольно заданных величин.
М. Бауэр [2] решил задачу для симметрических групп способом,
действительно выполнимым на практике. Именно, он воспользовался
теоремой Дедекинда [3] о связи между разложением левой части урав-
уравнения на неприводимые по простому модулю множители и циклен-
цикленным составом подстановок его группы Галуа. Его метод построения
был недавно упрощен И. Шуром и О. Перроном [4].
Э. Нётер [5] решила задачу для случая, когда некоторая система
функций, зависящих от заданной группы, имеет так называемый
рациональный базис (о лем будет речь ниже). При этом она тоже
пользуется теоремой Гильберта, т. е. ограничивается «Existeftzbe-
weis'oM».
Цель настоящей статьи — показать, что метод Бауэра допускает
модификацию, благодаря которой он позволяет получить все возмож-
возможные уравнения без аффекта (т. е. с симметрической группой), и что
этот же метод позволяет решить задачу для группы, допускающей
рациональный базис, и даже еще для более общих случаев, причем
построение искомых уравнений выполнимо при помощи конечного
(т. е. которое сразу может быть указано для каждой группы) числа
действий.
Я предпосылаю изложению этого метода доказательство теоремы
Дедекинда, проведенное без помощи теории идеалов. Подобное до-
доказательство было также предложено И. Шуром (не могу указать
места, где оно напечатано).

88 Н. Г. ЧЕБОТАРЕВ
Теорему Дедекинда можно формулировать так. Если неприводи-
неприводимое уравнение степени п
:"-'+•••+/>„_,* + />„ = () A)
разлагается по простому модулю р, не входящему в дискриминант
уравнения A), на к неприводимых множителей
/ (х) = Л (х) ./2 (х\... /, (х) (modp) B)
степеней соответственно пг, п2,..., nk (пг + п2 + ... + пи = п), то в
группе Галуа уравнения A) содержится подстановка цикленного типа
(nlf п2} ..., Пи), т. е. состоящая из циклов порядков пъ п2,..., nk.
Доказательство будет состоять из двух частей. Во-первых, мы
покажем, что подстановка упомянутого типа содержится в группе
Галуа сравнения B). Во-вторых, будет доказано, что можно так за-
занумеровать корни уравнения A) и сравнения B), что группа сравне-
сравнения B) будет делителем группы уравнения A).
1) Предварительно покажем, что корни сравнения B) можно рас-
рассматривать как элемецты поля (=область=корпус=Кбгрег). В случае
неприводимого сравнения это вытекает из теории мнимостей Галуа.
В случае же k > 1 заметим, что все полиномы/х (х)} /2 (х)у • • • , fk {x) раз-
различны по модулю р} так как р взаимно просто с дискриминантом
/равнения A). Далее, корни сравнений /Jxj-O, /2(jc) = O, .,,,
fk(x) = 0 (mod/?) удовлетворяют соответственно сравнениям
xr —x = \j, ЛГ л — и,..., л д; = и \mo\ip), \о)
Полином хр —х9 где N — наименьшее кратное чисел пг,п2,- •-, nk}
делится на все полиномы хР 1— х (i = 1,2,..., к), так как хр — х =
= (х? ~г — 1) х, хр 1 — х == {хрПг~1 — 1) х и pN — 1 делится на /?' — !.
Поэтому если мы обозначим через а один из первообразных корней
сравнена
хр —х===0 (modp), D)
то все корни сравнений f.(x) = Q(mo&p){i = 1,2,.. ¦ ,k) рационально
выразятся через а, т. е. будут элементами поля АТ(<х) мнимостей Га-
Галуа, и при действиях над корнями сравнений f. (x) = 0 (mod p) полу-
получается поле, являющееся, вообще говоря, частью К (а).
Установив это обстоятельство, мы можем цредставить все корни
сравнения B) в виде следующей системы:

К ЗАДАЧЕ НАХОЖДЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ S9
Докажем, что группа Галуа сравнения B) заключает в себе под-
подстановку
(ft Я' ^ 1 / Т) Т)  ** \ / Т) *% К 1 / /> \
V Y V л I I V* V V \ I IV" Y* V*/' I (К I
•*]_, «М , . . . , Л 1 ^ ^A2i Л2> • • • , Л2 ] • • • ^?> ^^> • » • у Л? / • \и/
Действительно, производство этой подстановки равносильно возве-
возведению в /7-ую степень каждого из корней. Возьмем любое соотноше-
соотношение между корнями сравнения B)
П (х19 х2, •.., хп) = 0 (mod p) G)
и возведем в /7-ую степень каждый из корней. Тогда в силу теоремы
Шёнемана
П (х/, х2р ,..., хпр) = [П (хи х29 • • •, хя)]р = 0 (mod/?), (8)
т. е. соотношение не нарушается, ч. и т. д.
2) Постараемся теперь занумеровать корни A) и B) так, чтобы
группа B) была делителем группы A). Чтобы найти группу A), надо
рассмотреть величину
S — ^1 -^l I ^2 *^2 i • • • "г* ^п Л/it
где fut2,... ,^л — неопределенные переменные, и построить непри-
неприводимое уравнение
F {I) = 0, (9)
которому удовлетворяет ?. Этому уравнению будут также удовле-
удовлетворять величины типа
где
/1» 2, 3,...,л
некоторые подстановки. Совокупность всех подстановок A0) и со-
составляет группу Галуа [6].
Таким образом, чтобы узнать, принадлежит ли какая-нибудь под-
подстановка типа A0) к группе Галуа уравнения A), надо образовать
соответствующую ей величину ?. = t1xOk + t2xat+ - • - + tnxan и выра-
выразить рационально 5, через 5, tlf t2i..., tn, что возможно в силу нор-
нормальности (9). Пусть ?z. = <pf(?)* Тогда если подстановка A0) входит
в группу Галуа, то полином F {<?. (и)) должен делиться на F (и); в про-
противном случае он не будет делиться.
Обратимся теперь к сравнению B)» Чтобы найти его группу, со-
составим, действуя с теми же числами, сравнение
A1)
которому, удовлетворяет ? = tx хх +12 х~2 + ... + tnxn. Это сравнение

00 Н, Г, ЧЕ БОТ АРЕВ
-будет иметь те же коэффициенты, что и уравнение (9). Но оно может
и не быть неприводимым по модулю р.
Пусть xt = ф/ (?) (/ = 1,2,. *., п) будут рациональные выражения х
через ?. Как известно, в "знаменателям этих выражений может быть
только дискриминант уравнения (9), т. е. некоторый полином от пе-
переменных tu t2,..., tn, который можно представить в таком виде:
Если бы все его коэффициенты делились«¦ на р, то это означало бы,
что сравнение A1) имеет кратные корни и что поэтому, прибавляя к
его коэффициентам надлежащие кратности р, можно было бы до-
добиться того, чтобы какие-нибудь из его корней были равны между
собой, например
что в силу неопределенности переменных влекло бы за собой
что указывало бы на кратность корней сравнения B).
Итак, в знаменателях выражений ф/E) будут стоять поли-
полиномы, имеющие взаимно простые с р коэффициенты. Если в ка-
качестве % взять один из корней сравнения A1), то величины фг(?) бу-
дут удовлетворять сравнению B) (т. е. полиномы /(Ф/(?)) будут де-
делиться по модулю р на /7E)).
Введем следующую нумерацию корней ~xl9~x2,...,х„: пусть, если
-*/ = Ф/E)» то ^ = ф/(?). Из этих выражений составим функции:
It = tx Хаь
Пусть 5/ = ?/ (?)"(/ = 1,2,..., N) будет полная система корней
нения (9) (N — его степень). Тогда Ь = ?/ (?) (t = 1,2, • • • , N) будут
корнями сравнения A1). Других корней сравнение A1) иметь не мо-
может, так как сравнения Л^-ой степени не могут иметь более N кор-
корней. Из них корнями неприводимого сравнения, которому удовле-
удовлетворяет I, б^&ет, вообще говоря, только часть. Но группа уравнения
A) переводит \ во все величины ?х, 52,... Д^. Группа же сравнения
{2) переводит ? в другие корни неприводимого сравнения, которому
удовлетворяет ?, т. е. в часть величин ряда %1У ?2> • • • > 5дг- Но так как
переход E, Ь) вполне определяет собой подстановку между

К ЗАДЛЧЕ НАХОЖДЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 91
хг, х2, • • •»хп> то группа Галуа сравнения B) при нашем способе ну-
мерации корней является делителем группы Галуа уравнения A), ч.
и т. д.
§ 2
Теорема Дедекинда дает возможлость строить уравнения, в груп-
группу которых входят подстановки заданного цикленного типа.
Пусть нам заданы несколько цикленных типов подстановок и пусть
один из этих типов определяется порядками пг, п2,... ,tik своих цик-
циклов. Возьмем какое-нибудь простое число р (мы наложим на р огра-
ограничения, о которых будет речь ниже) и составим k неприводимых
по модулю р полиномов степеней пг, п2,.. ., п^ Пусть это будут
fi(x)>f* (x)> • • • »AW и пусть их произведение равно
/г (*)Л W ..-/*(¦*) = -*" + *i хП~1 + • • • + Яя-i х + *«• A)
Если теперь коэффициенты какого-нибудь уравнения
F(x) « хп + А1хп~1 + ... + Ап-1Х + Ап = 0 B)
будут удовлетворять сравнениям
Аг = а19 А2 =а2,..., Ап = ап (mod/?),
то группа уравнения B) будет, в силу теоремы Дедекинда, содержать
в своей группе подстановку, состоящую из циклов п1У п2> • • *, Пи-то
порядков.
Если задано несколько (т) цикленных типов, то возьмем столько
же простых чисел р{1),р{2), ...,р(т) и найдем для каждого p(i\ посту-
поступая как при составлении A), коэффициенты axw, a2(i),.. .,ая(/\ а за~
тем найдем полином F (л), коэффициенты которого Аг, А2,..,, Ап удо-
удовлетворяли бы следующим сравнениям:
(m
(mod/?B>), C)
А± = а^\ А2 = а.^\ ...,Ап = an™
Упомянутое нами ограничение для выбора простых чисел pw за-
заключается в следующем. Предположим, что среди показателей
nltn2i.,.}nk встречается /,• равных одному и тому же числу щ. То-
Тогда должно существовать по крайней мере // различных неприводимых
по модулю р полиномов Я/-ой степени. Но число таких полиномов
равно
dx | nt

92 Н. Г. ЧЕБОТАРЕВ
Поэтому должно иметь место неравенство
/|<^-«Г(Я|). D)
Эти неравенства наверное будут удовлетворены, если
Р>п, E)
так как очевидно g(nt) делится на р и потому g(ni)^p и, кроме
того,
§ 3
Изложенный в § 2 прием дает возможность строить уравнения
без аффекта. Для этого нужно взять в качестве заданных подстано-
подстановок цикл /г-го порядка, цикл (п — 1)-го порядка и транспозицию.
В самом деле, группа, содержа.цикл п-го порядка, будет транзитивна
Содержа транспозицию, она должна быть в силу известной теоремы
или симметрической, или импримитивной. Но импримитивная группа
не может содержать цикла {п— 1)-го порядка. Действительно, зануме-
занумеруем корни так, чтобы этот цикл имел вид: A) B3... п). Допустим,
что группа импримитивна, и пусть 1, а2, а3, ..., кт будет ее система
импримитивности, в которой находится* 1. Согласно определению
импримитивности, подстановка A) B3... п) должна перемещать цифры
1, а2> аз> • • •» ат между собой, т. е, содержать циклы порядка </я.
Это противоречие доказывает теорему.
М. Бауэр [2] брал вместо циклов (п — 1)-го порядка циклы по-
порядка р, где р— простое число, причем -^- <С/?<я, а вместо циклов
/г-го порядка применял Эйзенштейнов критерий неприводимости.
Настоящий метод позволяет быть уверенным, что при построении
таблиц уравнений без аффекта ни одно уравнение без аффекта не бу-
будет пропущено, если достаточно" продолжить таблицы. Действительно,
Фробениус [7] доказал теорему, обратную теореме Дедекинда:
Если группа Галуа уравнения A) § 1 содержит подстановку цик-
цикленного типа (nv п2> . .., пи), то существует бесчисленное множество
таких простых чисел р, что соответствующее сравнение B) § 1
распадается на неприводимые по модулю р множители степеней
nl9 /i2,..., nk.
Таким образом, всякое уравнение без аффекта содержит подста-
подстановки трех указанных нами цикленных типов, а потому в силу упо-
упомянутой теоремы существует бесчисленное множество простых мо-
модулей /7, по которым левая часть этого уравнения: 1) остается
неприводимой, 2) разлагается н;а линейную функцию и полином
(п— 1)-ой степени, 3) разлагается на квадратичный полином и п — 2

К ЗАДАЧЕ НАХОЖДЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 93
линейных функций. Поэтому, продвигаясь в построении уравнений
без аффекта, мы рано или поздно придем и к этому уравнению.
§ 4
Задача построения уравнений с наперед заданной (отличной от
симметрической) группой встречает ту трудность, что можно построить
уравнения, в группу которых входили бы подстановки заданных цик-
цикленных типов, но при этом невозможно гарантировать, что в нее не
войдут подстановки цикленных типов, не встречающихся в заданной
группе. Таким образов, задачу можно формулировать так: пусть
р = рA)-р&).. .р(т) будет произведение выбранных нами простых мо-
модулей, и пусть аъ а2, ..., ап — представители классов по модулю Р,
подобранные так, чтобы уравнение
f(x) = хп + агхп-1 + • • • + ал_! х + ап = 0 A)
имело группу, содержащую подстановки заданных цикленных типов.
Пустьz(xv x2i ..,, хп) будет принадлежащая к заданной группе функ-
функция и пусть
F(z) = z* + bxzk~l + • • •+ &*_,z + bh = 0 B)
будет уравнение, которому удовлетворяет г. Коэффициенты bv b2, ..., Ьь
являются целыми рациональными функциями от alt а2, ..., ап. Сравне-
Сравнение
^B1=0 C)
по каждому из модулей /?A), pw, ..., pW и, следовательно, по мо-
модулю их произведения Р должно иметь рациональный корень. Если
мы вместо alt а2, ..., ап возьмем соответственно Аг ==¦ ах + ахР,
^2 = а2+а2^ •••> Ап = ап + апР, то bv b2, • • • , Ьк превратятся
в Bv B2, ..., Bk, которые являются целыми рациональными функ-
функциями от alf a2, ..., ал. Сравнение
F(z) - г* + В^*-1 + ¦ • • + 5*_i z + Вк == 0 (mod P) D)
будет иметь рациональный корень при всех значениях ах, а2, . „., aff.
Мы решили бы главную часть задачи, если бы сумели подобрать
а19 а2, ..., ал так, чтобы уравнение F(z) = 0 имело рациональный
корень.
Могло бы, однако, случиться, что заданная группа имеет подгруппу,
содержащую все цикленные типы заданной группы. В этом случае
мы представим группу, как транзитивную группу подстановок, поря-
порядок которой равен числу переставляемых букв (степени)! Для этого
достаточно обозначить каждый элемент S группы особой буквой as и
принять Т= Г*1' ^' '"' ust \ . Вся подгруппа будет при
таком

94 Н. Г. ЧЕБОТАРЕВ
представлении интранзитивна. В то же время мы введем еще один
простой модуль р(от+1), чтобы при его помощи ввести Эйзенштейнов
критерий неприводимости.
Задача решается очень просто в том случае, когда функции
ах (xv ..., хп), а2 (хг, ..., Хп), ..., ап (xlf ..., хп)\ z (xlf ...,xn) обла-
обладают рациональным базисом, т. е. когда существуют такие рацио-
рациональные функции от них Ci, ^2> •••>?я» через которые рационально вы-
выражаются все функции а19 а2, ..., ап\ z- Задача нахождения таких
функций была решена для случая я=1 Люротом [8]. Кастельнуово
решил задачу для случая п = 2. Но уже для случая п = 3 Энриквес [9]
показал на примере, что эта задача не всегда имеет решение.
Итак, рассмотрим случай, когда ?х, ?2> • • •» ?л найдены. Тогда не-
необходимым и достаточным условием того, что группа уравнения A)
является заданной группой или ее делителем, служит рациональность
величин ?х, ?2, ..., ц„, которые не зависят друг от друга. Вместе
с тем, если мы наметим цикленные типы, характеризующие группу,
и найдем соответствующие им классы av а2, ..., ап по модулю Р,
то сравнение C) должно будет иметь рациональный корень, который
определяет собой класс величины г по модулю Р. Если теперь мы подста-
подставим значения av а2, •.., ап\ z внутри этих классов в выражения
?/(Яц ^2' • • • >flB; -г)(^=1, 2,..., /г), то получим для последних значения
?i» ?2i • • •» ?л> которые, будучи подставлены в выражения а/ (^, ^2,..., ?я);
2(^, ?2» • • •» ^п) (г = 1> 2, ..., /i), дадут для а19 а2,..., ал; г значения,
лежащие внутри первоначально выбранных классов. Вместе с тем эти
значения будут связаны соотношением B), так что они будут давать
решение задачи. Конечно, если в заданной группе будет содержаться
подгруппа, заключающая все циклы группы, то нам придется опять
перейти к нормальному уравнению и применить критерий неприводи-
неприводимости Эйзенштейна.
Э. Нетер [о] решила задачу для этого же случая, но с применением
теоремы Гильберта.
ЛИТЕРАТУРА
1. D. Hilbert. Journ. f. Math. 110.
2. M. Bauer. Math. Ann. 64.
3. Dedekind. Zur Theorie der Ideale. Gott. Nachr., 1894.
4. J. Schur u. O. Perron. Sitzber. Bayer. Akad., 1024.
5. E. Noether. Gleichungen mit vorgeschriebener Gruppe. Math. Ann. 78.
6. Д. А. Граве. Основы алгебры, стр. 554.
7. Frobenius. tlber Beziehungen u. s. w. Berl. Akad., 1896, стр. 689.
8. Liiroth. Beweis eines Satzes iiber rationale Curven. Math. Ann. 9; Net to. Uber
einen Luroth-Gordanschen Satz. Math. Ann. 46; Castelnuovo. Sulla ratio-
nalita delle involution^ piane. Math. Ann. 44.
9. Enriques. Rend. Line, t. 21.

ИССЛЕДОВАНИЯ О ПЛОТНОСТЯХ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ. I
(STUDIEN UBER PRMZAHLENDICTIGKEITEN. I)
О ГРАНИЦАХ, МЕЖДУ КОТОРЫМИ НАВЕРНОЕ ЛЕЖАТ ПРОСТЫЕ ЧИСЛА,
ПРИНАДЛЕЖАЩИЕ К ЗАДАННОМУ ОТДЕЛУ ПОДСТАНОВОК
(Изв. КФМО 2 A927), стр. 14—20)
Доказательство знаменитой теоремы Дирихле [1] о том, что суще-
существует бесконечное множество простых чисел, содержащихся в дан-
данной арифметической прогрессии тх + а, (т, а) = 1, основано на том
фак re, что ряд
2 7
р~а (mod m)
расходится. Поэтому оно не дает возможности судить о границах,
в которых обеспечивается существование таких простых чисел. Этот
пробел был заполнен Кронекером [2] и Мертенсом [3], которые произ-
произвели детальную оценку остаточного члена у всех рядов, встречаю-
встречающихся в доказательстве Дирихле.
Теперь задача Дирихле обобщена следующим образом. Пусть за-
задано нормальное алгебраическое числовое поле & степени п. Если
р — простой идеал, не входящий в дискриминант ноля ffi, to говорят,
что р принадлежат к подстановке S, если для каждого элемента
х поля $ имеет место
xp^x\S (mod p),
где р — делитель простого рационального числа p. S входит в группу
Галуа © поля ff. Говорят также, что р принадлежит к классу под-
подстановок, соответствующему подстановке S, т. е. к совокупности
подстановок вида TST~l, где Т пробегает все подстановки группы ®*
Возникает вопрос, принадлежит ли к заданному классу подстановок
группы & бесконечное множество простых чисел. Кронекер [4] дока-
доказал существований такого Множества для тождественной подстановки;
Фробениус [5] решил этот, вопрос для отдела подстановок, т. е. для
совокупности типа fSvT~l (T пробегает все подстановки группы ©,
v пробегает все числа, простые с порядком S); я полностью решил
этот вопрос [6, 7]; Шрайер [8] существенно упростил изложение.

96 Н. Г. ЧЕБОТАРЕВ
Доказательство этой теоремы основывается на исследовании беско-
бесконечного ряда вида
f N
f
в окрестности 5=1. Против этого доказательства можно выдвинуть
то же возражение, что и против доказательства Дирихле для арифме-
арифметических прогрессий. Восполнить этот пробел и является целью на-
настоящей работы. Для этого я ввожу в обычное доказательство
небольшую модификацию тем, что, следуя методе Кронекера, рас-
рассматриваю конечные ряды вида
В настоящей первой части этой работы я решаю указанную задачу
только для отделов подстановок.
§ 1, Уточнение формулы Кронекера
Пусть задано произвольное алгебраическое числовое поле й- Рас-
Рассмотрим все его простые идеалы р19 Р2> • • • > Рь, нормы которых не
превосходят данного целого положительного числа х. Имеет место
равенство
Na<x
где сп =s 1 или 0, смотря по тому, разлагается а в произведение сте-
степеней простых идеалов с нормой <л; или нет. Соберем теперь все
идеалы с одной и той же нормой m и обозначим число их через f(m).
При этом мы заменим вторую сумму в правой части суммой с
Nu> х
где с = с (х, s) лежит между 0 и 1:
д A-,-')/</» п d-p-v^- П а-
Р <х р* <х рп <х
Для сумматорной функции
5(|л)=/A) + /B) + ...+/(т), C)
которая дает число идеалов с нормой ^т, Вебер [9] дал асимптоти-
асимптотическое выражение
1-JL

исследования о плотностях простых чисел 97
где h есть число классов поля S, g обозначает объем так называемой
норменной поверхности (Normflache), разделенный на число w входя-
входящих в поле ? корней из единицы, |6т|<1 и /? есть величина, опре-
определяемая формой норменной поверхности. Если мы введем в правую
часть B) выражение f {m) = S(m) —S(m — 1), то ее можно преобра-
преобразовать следующим образом:
= ^ Zs '
т>х m т<х
Теперь мы используем формулу D) и введем новую функцию
Но так как имеет место
7 н.Г. Чеботарев. Том 1.

98 Н. Г. ЧЕБОТАРЕВ
то выражение
т<х т т>х т
принимает следующий вид:
где
R{n + 2). F)
Оценим в левой части формулы B) сходящееся при s = 1 беско-
бесконечное произведение
П A _,-*)-/<*¦>. n(i-/>-3*>)-/(pS)--- П (i-p-nTf{pn).
Для этого присоединим к соответствующим множителям также и кри-
критические простые идеалы первой степени. Это произведение предста-
вимо в форме К8, где
//критич
Легко указать верхнюю границу для К
, G)
(8)
где А — дискриминант поля $.
Тогда формула B) примет вид
причем произведение распространяется на простые числа р, содержа-
содержащие простые идеалы первой степени, 0<8<1, 0<г<1, — 1<~6<1
2). (9)
Формула (8) позволит нам определить, какую границу нужно взять
для величины х, чтобы существовало не менее V простых чисел, со-
содержащих простые идеалы р первой степени с нормой ЛА(р
Имеет место формула
П A -/>-*)-'<*>< п A -Р-тп< 2 0?гУ= уп-

исследования о плотностях простых чисел 99
Наше требование будет выполнено, если мы удовлетворим следую-
следующему неравенству:
?г 0-3fO
Но это неравенство будет удовлетворено, если мы возьмем
s — 1 < —- —- и положим
1 - (И)
Легко убедиться, что функция x(s) обладает одним единственным
минимумом в интервале 1 *<s<C 1 ~\ ^ > который, очевидно, дает
наилучшую оценку для х. Наше требование поэтому удовлетворится,
если мы положим
А +КУп
Эта формула может быть зна^тально уточнена, если мы точнее оце-
оценим выражение
Легко убедиться, что это выражение имеет порядок lgl/. Поэтому
позволительно вместо Vn взять, например, B1gl/)", если только V
превосходит некоторую определенную границу. Однако отыскание
этой границы лежит вне рамок настоящей работы.
§ 2. Простые числа, принадлежащие к отделам подстановок
Мы докажем теперь существование простых чисел, принадлежа-
принадлежащих к отделам подстановок. Пусть Ш — нормальное поле n-ой степени
и ? пусть будет подстановка порядка / его группы Галуа. Мы
введем обозначение
[s. <*]= Па-Р-'Г1! A2)
где произведение распространяется на простые числа, принадлежащие
к отделу подстановки Sfld {d/f). Если мы применим формулу (8) ко
всем подполям, принадлежащим ко всем id (id обозначает цикличе-
циклическую группу, порожденную подстановкой Sfld), то получим (ср. [8],
стр. 3, последняя формула)
tld
где U обозначает число сопряженных с & подгрупп группы ©.
7*

100 Н. Г. ЧЕБОТ АР ЕВ
Возвысим каждое из равенств A3) в степень — V-f-j-j и пере-
перемножим все полученные равенства. Получим-
djf d 17^1 Ч л:*-1 ) d\
Нам нужно указать такое значение для х, чтобы в интервале
1, .. ., х находилось по меньшей мере V простых чисел, принадлежа-
принадлежащих к отделу подстановки S. Для этого мы обозначим через d!
(и соотв. d") те делители d числа /, для которых
(и соотв, г=— 1), Тогда нам нужно удовлетворить следующим нера-
неравенствам:
^rfl - -ir-,) - Ad' > g-f^ A - f) для всех d\ A5)
S — 1 \ jq ¦/ S — 1
для всех
(«-!) ¦ A
причем
Мы можем заменить неравенство A7) более точным
где D(/) есть сумма всех делителей /
/=ПС ^(Я-п^'т1- B0)
Мы положим
СЛ/1ХЛ lDV E _ 1}*г (а< 1}. B1)
Тогда неравенства A5) и A6) примут вид
g^ [l - (s - 1)*И7 - -ij.] > Л, для всех d/f, B2)

ИССЛЕДОВАНИЯ О ПЛОТНОСТЯХ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ 101
откуда следует
- для всех d/f. B3)
——f (S — 1) -
Положим
тогда неравенство
1
х > 2 *-* B4)
будет точнее, чем неравенство B2). Поэтому, если мы возьмем
/ ( 1цЛЦ
х = Max \2 ^*dh* J J для всех d/f, B5)
то в интервале \, ... , х наверное содержится V простых чисел, ко-
которые принадлежат к отделу подстановки S.
ЛИТЕРАТУРА
1. Lejeun e-D i r i с h 1 е t. Beweis des Satzes, dass . . . Werke, I, S. 13.
2. Kronecker. Vorlesungen iiber Zahlentheorie. Bearb. von K- Hensel. Lpz.,
1901, стр. 452-492.
3. Mertens. Uber Dirichlet's Beweis des Satzes, dass u. s. w. Sitzber. Wiener
Akad. Bd. 106 A897), Abth На, стр. 254—286.
4. Kronecker. tJber die lrreducibilitat von Gleichungen. Monatsber. Berl. Akad.,
1880, стр. 156.
5. Frobenius. tJber Beziehungen zwischen den Primidealen eines alg. Korpers.
und die Substitutionen seiner Gruppe. Sitzber. Berl. Akad., 1896,
стр. 689—705.
6. H. Чеботарев. Определение плотности совокупности простых чисел, принад-
принадлежащих к заданному классу подстановок. Изв. Росс. А. Н., 1923, стр. 205—250-
(Собр. соч., т. I, стр. 27—65).
7. N. Tschebotareff. Die Bestimmung der Dichtigkeit u. 5. w. Math. Ann. 95,
1925, стр. 191—228.
8. О. Schreier. Uber eine Arbeit von Herrn Tschebotareff. Abh. Math. Senr
Hamb. 5, 1926, стр. 1—6.
9. Weber. Lehrbuch der Algebra. Bd. 2. Braunschw., 1899, стр. 710—716.
10, Mertens. TJber eine zahtentheoretische Function. Sitzber. Wien. Akad. 106,
стр. 779.

ИССЛЕДОВАНИЯ О ПЛОТНОСТЯХ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ. II
(STUDIEN OBER PRIMZAHLENDICHTIGKEITEN И).
О ГРАНИЦАХ, МЕЖДУ КОТОРЫМИ НАВЕРНОЕ ЛЕЖАТ ПРОСТЫЕ ЧИСЛА,
ПРИНАДЛЕЖАЩИЕ К ЗАДАННОМУ КЛАССУ ПОДСТАНОВОК
(Изв. КФМО 3 A927), стр 1-17)
В этой части моего исследования я намерен решить для классов
подстановок ту же задачу, которую в первой части [1] решил для
отделов подстановок. Использованный там метод, состоявший в том,
что я просто давал более точные оценки в формуле Кронекера —
Фробениуса, здесь отказывается служить вследствие того, что встре-
встречающаяся здесь логарифмическая функция многозначна в области
комплексного переменного и оценка ее мнимой части представляет
большие трудности. Поэтому я вынужден первоначально дифферен-
дифференцировать упомяйутую формулу по 5. Это как раз тот самый путь,
которому следовали Кронекер и Мертенс в своих исследованиях об
арифметических прогрессиях (цитированы в I части).
В недавно появившихся работах Артина [2,3] задача о простых чис-
числах, принадлежащих к данному классу подстановок, исследована в дру-
другом направлении; именно, он доказывает регулярность остаточного члена
Рх
в окрестности 5 = 1.
§ 1. Вывод основной формулы
1. Рассмотрим произведение
П {l — i№)N*->r\ A.1)
распространенное на все простые идеалы с нормой <х. Разлагая
каждый его член по степеням Np~s
и производя умножение, мы получим
П {l-x

ИССЛЕДОВАНИЯ О ПЛОТНОСТЯХ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ ЮЗ
где Ср = 1 или = 0, смотря по тому, удовлетворяют ли простые иде-
идеальные множители р идеала m неравенству Nm-^x или нет. Числа
ст, следовательно, независимы от s.
2. Построим логарифмическую производную от B.1) по 5
-s + >, CmX (Mm) \g (Nm) Nm-s
. C.1)
cm X
3. Пусть характеры х (Л/тп) определены классами вычетов mod L
в которых лежат соответствующие нормы Nm. Полагая Nm*=r +
+ Lm((r, L) = l) и вводя вместо х величину (L—l)+Lxt мы преоб-
преобразуем формулу C.1) к виду
2л
^ pvs — X (pv)
v^l pv<L{x+l) F VjK '
1 yf(r+Lm)\g(r+ Lm) yf(r+Lm)\g(r+Lm)
J (r+Lnif C ^ (r+Ltrif
где f (m) есть число идеалов с абсолютной нормой m, a 7(jO есть
число простых идеалов с абсолютной нормой р°.
Под с мы понимаем здесь и в последующем произвольную вели-
величину, лежащую между 0 и 1. Одинаковое обозначение ев различных
местах формулы никоим образом не значит, что эти величины равны
(ср. с обозначениями Ландау О(х) и о(х)). Точно так же 6 будет
обозначать произвольную величину, расположенную между—1 и +1.
§ 2. Преобразование знаменателя правой части основной формулы
4. Сначала преобразуем выражение
2 f(r + Lm) (r + Lm)-* + с %/(г + Lm) (г + Lm)~s. A.2)
Для этого положим
S(r + Lm) = f(r) +f(r + L) + ... +f(r + Lm), B.2)
откуда
f(r + Lm) =*S(r + Lm) — S(r + Lm — l). C.2)

104 Н. Г. ЧЕБОТАРЕВ
Таким образом, S(r + Lm) есть число идеалов, абсолютная норма ко-
которых может быть представлена в виде r + Lx, где 0-^х^т.
5. Теперь обратимся к установленному мной прежде неравенству
[4]. Число главных идеалов с нормой, равной г + Lx (x = 0,l> ...,/га),
равно v (см. [4], стр. 203, формулы C3), C4)), умноженному на число
точек сетки, удовлетворяющих неравенствам
| N К + ^i«i + ^2^2 + ... + Lca<un) | < L {т + 1), D.2)
0 < ?а (tt>ir + LCX<UX + Z,?2CO2 + . . . + Lcn(Hn) < 1
(/=1, 2,..., v\ а=1, 2,..., v-1) E.2)
([4], стр. 206, формулы D7), D8)). Число это равно
([4], стр. 206 и [1], стр. 16, формула D)). Его можно представить еще
так:
i-JL i--I
gLm + QRL nm пу
если взять соответственно большее значение R.
Чтобы получить S (г + Lni), нужно умножить это число еще на
число h „допустимых классов" ([4], стр. 208—209). При этом заметим,
что для различных идеальных классов слагаемые могут иметь раз-
различные значения R. В этом случае мы возьмем за R его максималь-
максимальное Значение. Имеет место
где F есть число норменных вычетов mod L, „допустимых в широ-
широком смысле", <?(L) есть число всех взаимно простых d L вычетов
mod L в поле S.
Таким образом, для S (г + Lm) мы получаем
_ _ j i_ 1 i_ i - JL
о /— i / \ Ф №) L t . л ф (L) пит * **, п *. —,](}-*** п /с о\
F F
где
1"т. G.2)
6. Рассмотрим первую сумму в A.2)
f(r + Lm) __ у 5(г + Lm) — S(r+Lm—\) =

ИССЛЕДОВАНИЯ О ПЛОТНОСТЯХ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ 105
Из F.2) следует
^ f{r+Lm) _
(r+Lm)s
7. Первая сумма равенства (9.2) преобразуется так:
1 11^1
m
?
(г + Цх+\))а
m — i
= f ** ¦
=
(/• + ?«,* /¦ + L {r + L (x+1))'
\ +
L(s — 1
Но имеют место соотношения
1 r+L
A1.2)
х
Подстановка в A0.2) даег
"" "x^J
+ e—_— + ____.
8. Вторая сумма равенства (9.2) дает
'-i[J
1— — Р dz ^ s P dz
r-f Lm ? "" r+^ j
1 i
<
A4.2)

J06 Н. Г. ЧЕБОТАРЕВ
9. Таким образом, выражение (9.2), т, е. первая из сумм в A.2),
принимает вид
L{s— 1
10. Аналогично преобразуется вторая сумма в A.2)
у f(r + Lm) __ -у S(r+Lm) — S (r + Lm—l)
_ у о/
(r + Lmf -Д (r+LmY
S(r+Lx)
Lmf
{
.' (r + Lm + iy
11. Первая из сумм A6.2)
оо
у ( 1 1 \ _ у 1 х
m>v V + ?* (*• + ХжТ1)* ¦* ~ „Л+, (Г + 1мУ (Г + Z.J+T)^
оо
= С dz с х 1 1
c [ c _ J ] | c\g(r
Xv i^ lO ^^ 1^ Л XV ^П^ Xv«v Х>
A7.2)
12. Вторая сумма в A6.2)
'-4-г 1
r+L (m4-l)
13. Подстановка A7.2) и A8.2) в A6.2) дает
V fjr+Lm) = Г J_ , с ylg(r + L) _ су ,
? L(s-l) xs~l L r+L
+ X_cX+iL+eer- A9.2)

ИССЛЕДОВАНИЯ О ПЛОТНОСТЯХ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ 107
14. Подстановка A5.2) и A9.2) в A.2) дает
xs~
_^ + c
_j__^ + cx + , i
_ Y Л с Л i fl/2Y'g(^ + ^) , 2Y . 2T ,
~L(« —1) V ^=IJ+ Г Z hr+T + X'i
B0-2)
где у не зависит от г.
§ 3. Оценка знаменателя правой части основной формулы
15. Мы вскоре увидим, что правую часть основной формулы легко
оценить, если х (г) — главные характеры. В противном же случае возни-
возникает некоторая трудность, состоящая в том, что главный член зна-
знаменателя исчезает. Чтобы преодолеть эту трудность, мы оценим
знаменатель правой части основной формулы.
16. Мы исходим из формулы B.1), которую на основании C.1) и
B0.2) преобразуем к виду
П
pv<L
<1Л>
Те члены левой части, которые соответствуют простым идеалам р,
для которых Np = pv, v^> 1, можно представить в виде Кс ([1], стр. 17).
Отсюда -
p<L(x+l)
где Ат обозначает максимальную среди величин Ат и 2х(г)=^
г
или = 0, смотря по тому> является х ir) главным характером или нет.
17. Так как
ПA - X(P)P-S}-X = A ~P~S)-F (если х(р) =1) или = A -p-*sf~\
г
где S—наименьший показатель, для которого x(ps) = l> то, перемно-

108 Н. Г. ЧЕБОТАРЕВ
жая формулы B.3) для всех характеров, мы получим
П (! - ргТ?7ш П <! - ^~8*)
П {е Г(Йу ^ + ^m}x> C-3>
где все />i = l (modi).
18. Второе из произведений в левой части C.3) можно представить
так (мы выделяем множители, соответствующие критическим числам):
Flip)
П {\-p-s)-~F n (i-p-8*)" 8 =
о критич. р (8>9)
B)' И7 = А«? (^) ° И F . D.3)
Мы обозначим его через
19. Первое же из произведений левой части C.3) распространено
на все те некритические простые числа рх первой степени поля йт
для которых
px^l (modi).
Произведение это мы получим также, если присоединим к ® некото-
некоторое круговое поле. Получившееся поле й* будет относительной сте-
степени F над й (ср. [4], стр. 214—215). Применим к этому полю формулу
B.3), полагая 1-1 и принимая во внимание справедливое для про-
простых чисел Pi соотношение ([4], стр. 215)
7*(Pi) = f(Pi)F. E.3)
Получим
П A -л-p/w = к-* {-?^ (i —i_) + ел*}. F.3)
Сравнивая правые части C.3) и F,3), получим
20. Из формулы G.3) можно получить искомую нижнюю оценку
для основной формулы. Если мы возьмем произвольную систему
характеров Xi?=b т° из G.3) следует

ИССЛЕДОВАНИЯ О ПЛОТНОСТЯХ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ 109
уфи
-
> ^ - <- ^- . (8.3)
21. Теперь выберем для s и х такие значения, для которых
Л* 2F
У е
Тогда из (8.3) получится
1- +
(cp. [4], стр. 217—218), где
^-. A4.3)
22. e есть положительное число < 1, которое точнее еще не опре-
определено. Чтобы определить искомые значения s и х, достаточно взять
A5.3)
LAmf
Если величина s—1 уже определена, то далее положим
§ 4. Преобразование числителя правой части основной формулы
23. Преобразуем теперь выражение
2f(r+Lm)\g(r + Lm) t_ у / (г + Lm) \g {r + Lm)
(r + Lmy +С 2л (r + Lm)* - A.4)
ч ' тух v ' '

110 Н. Г. ЧЕБОТАРЕВ
24. Подстановка F.2) в первую сумму дает:
Ln
(г-
>л / (r -f Lm) \g (r + Lm) ^1 \g (r + Lm)
m<^x
i S(r + Lx)lg(r + L(x+l)) у / Ig (r
L(x+ ]))s ¦
25. Первая из сумм B.4) дает
flg(r+Lm) )g(r+L(m+l))\ у ]g(r+Lm)
(Г (M (r+L{x
(это следует из того, что
х
X *
2, lg (/ + />m) ^ \ 1g{r
1
так как Щ~ при z^e есть монотонно убывающая функция).
r+Lx
\gzdz . c\g{r+L)
Ly (r + L(x+l)y
r+L
__ l г 1 1 1 ]gz Y+Lx i c ^g (r +L)
lg(r+1(^+1)) = 1 / 1 1 1 -I-
C L(r + L(x+l))s-1 L(8-l)*\(r+L)s-1 (r + Lxf-1)
1 f Ig(r+?) lg(r+b;)) ,e\g(r+L) lg{r + L(
(s- 1) ((/- + if-1 (r + X*)*-1 J r+L L(r + L(x
! Л1 \ , eig(r+L) ¦ 1 |lg(r
1 \ , eig(r+L) ¦ 1 |lg(r + X) lg(r+b;) 1 ¦
*-V+ L(l) ti(Sl)l(r+II-1 (/- + L*)*-1/

исследования о плотностях простых чисел ИГ
26. Для второй суммы B.4) получаем
r-f-Z(m-H)
r+L(m+l) r+L{x+))
+(
+L
r+Lm z$+ n L n r+Z
м
dZ +
1 1 J .. 1
п ~~
rl-T S + ±-l r+L *+T
_S x f Jg [Г + L) Jgtr + ^^+1)) |
1
I 1 1 ~n
Q + — -
F.4>
27. Подстановка C.4) и F.4) в B.4) дает
^п f(r + Lm)lg(r + Lm) _ у
up
fr + i fr+I
28. Для второй суммы в A.4) получаем
oo
= 2 S(r +
(r + L(x+ \))s
I
m "
T
/ 1g(r
\ (r +
,„ V '-Tf >8^ + ?m) lg(r
Lir + Lix+l))™
(8-4).

H2 Н. Г. ЧЕБОТАРЕВ
29. Для первой суммы в (8.4) получаем
lg(r+?m)
m
(r + Lm
<lg(r+?(*+l)) = 7 lx{r+Lz) dz c lg
(r+L{x + l))s ) (r+Lzf "*" {r+L(x+l))s *"
x+l
, xlx(r+L(x+\))_ 1 1 1 lg(r+?(< + !))
(/¦ + L(a:+1))'s ^(*— lJ (/-+1(д:+1))'5-1 ^(*—l)(/-+I(^+l)f-1
(9'4)
30. Для второй суммы в (8.4) получаем
m \
|
(Ю.4)
31. Подстановка (9.4) и A0.4) в (8.4) дает
Hs-1) (r
32. Подстановка G.4) и A1.4) в A.4) дает
Y A с \ , Or lR (/" ¦
.л— l ' /^ Го — г
lg (г
lg(r + ?) , n-\

ИССЛЕДОВАНИЯ О ПЛОТНОСТЯХ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ 113
Положим, что
)) ^\K(r+Lx)
Это неравенство выполняется, если
1
г + Ьх^е'=Г[ A3.4)
Кроме того, пусть
5— 1<1.
Тогда A2.4) принимает следующий вид:
V Л с \ 6 Щг+Lx) 4Y+2p ,
[1 J'T' ^~
rfaQ^d jht) A4.4)
где
A5.4)
§ 5. Оценка основной формулы
33. В силу B0.2) и-A4.4) основную формулу можно записать так:
„ x<PO(p)iX
2i pvs~x(pv)
>=l pv<L(x\-l)
A.5)
где
z = Lx,
34. Полагая х главным характером: х(?) = Ъ мы получим
(*~1}
p^-i -^ j Та
8 Н. Г. Чеботарев. Том 1.

114 НГЧЕБОТАРЕВ
Найдем для s и х значения, удовлетворяющие неравенствам
?=!<?' <3-5>
E-1) lgz ^ у е
Эти неравенства не противоречат друг другу и неравенствам (9.3),
A0.3), A1.3), A2.3), A3.4). Чтобы удовлетворить им, следует сначала
взять достаточно малое значение для E — 1) и затем достаточно
большое значение для х. Особого исследования требует только нера-
неравенство D.5). Положим в немX = zs~l и <х = ° т . Тогда
щ>*- G-5>
Левая часть с ростом ? уменьшается, так как
Возьмем вместо G.5) неравенство
Полагая затем ? = (З2, получим lg? = 21gP<Pi откуда j--^>^> а. Для
того чтобы показать, что p>21gP, возьмем
Из неравенств
Г(Р)>0 (прир>1),
следует
/(Р)>0 при р>1, т. е. ^ —р2>0, р2 —21gP>0, ч. и т. д.
В силу (8.5) получаем
^>а при С>Max {а2, 1}. (9.5)
Следовательно, D.5) можно заменить более строгими неравенствами

ИССЛЕДОВАНИЯ О ПЛОТНОСТЯХ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ
115
Если все они удовлетворены, то формула B.5) принимает вид
Pvs-\
35. В случае не главного характера х(г) формула A.5), в силу
A3.3), C.5), D.5) и E.5), преобразуется так:
36. Правая часть формулы A.5) может быть оценена и сверху
§ 6. Простые числа первой степени, лежащие в данной прогрессии
37. Оценим теперь.левую часть основной формулы
р КрИТИЧ.
- J p=2 p -- p J
Вторая сумма не больше чем
оо
2 VX
0-6)
2
критич.
р=ч-
где с есть число критических простых идеалов первой степени.
38. Для первой суммы в A.6) имеет место
2
p<L(x+l)
Р<Цх+\)
ps
Р
7(р)х(рJigp
ps (ps — у
C.6)
Вторая сумма этого выражения может быть представлена так:
Поэтому формула A2.5) может быть записана в таком виде:
E.6)
С*

116 Н. Г. ЧЕБОТАРЕВ
F.6)
39. Для того чтобы выделить в суммах E.6) и F.6) те члены, ко-
которые соответствуют простым числам, лежащим в заданной прогрессии
r + Lx, мы умножаем каждую из формул E.6) на х~Чг)> где х(г) есть
характер, соответствующий этой формуле, затем суммируем по х и
прибавляем еще формулу F.6). Вследствие
^)—"^1 ПРИ r==t(modL) и = 0 при r^t(modL) G.6)
х
мы получим
2 /(р)Ър == 1 i 26g [ е v(F-J> g i
P<L(x+\) PS F(s — 1) ^ F(s — 1) "« —1 W l-s"
jp—r (mod I)
40. Рассмотрим случай нормального поля й- Тогда f(p) =n (или
= 0). Мы хотим знать, в каком интервале <1,х> наверное лежит
V простых чисел рассматриваемого типа. Имеем прежде всего
S Щ^(Р = Мр,р^г(той1))<п%1*-^, (9.6)
где сумма в правой части распространяется на V первых простых
чисел 2, 3, 5,..., если в <l9L(x+ 1)> лежит ровно V простых чи-
чисел типа р = Np, /> = r(modZ,). Но согласно Мертенсу [5],
где pv есть 1/-ое простое число. Поэтому, если мы подчиним s и х
неравенству
J 1 2е 1 y(F—\) _j
]Р* —1 F(s—\) s~\ LR I—e
то мы сможем утверждать, что в интервале <1,/,(л:+ 1)> лежит не
менее V простых чисел вида p = Np, p=E±r(modL).
41. Чтобы удовлетворить неравенству A1.6), достаточно подчинить
s и х неравенствам
S ~
2F \Ъп
A2.6)

ИССЛЕДОВАНИЯ О ПЛОТНОСТЯХ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ И7
е<^-, A3.6)
е ^ LR
1-е - 4vF(F-1)
Значение е, полученное из A3.6) и A4.6), нужно подставить в нера-
неравенства A5.3), A6.3), C.5), E.5), F.5), A0.5) и подчинить х> s полу-
полученным условиям. Если все эти неравенства выполняются, то можно
утверждать, что в интервале <1,?(л;+1)> наверное содержится V
простых чисел типа p = Np, p = r (modL).
§ 7. Простые числа, принадлежащие к классу подстановок
42. Теперь мы хотим отыскать интервал <1,л;>, в котором навер-
наверное лежат V простых чисел, принадлежащих к подстановке 5 /-го
порядка группы Галуа поля Ж. Для этого возьмем некоторое простое
число q = \ (mod/), не критическое в поле ft, и присоединим к полю
S делитель f-ой степени поля q-ых корней из единицы. Пусть г будет
примитивный корень сравнения
х*~1=1 (mod?). A.7)
Если простое число р принадлежит к отделу подстановки SU в ft*
(®* есть поле, полученное указанным присоединением), причем
р еее г (mod q), то можно утверждать, что р принадлежит к классу
S в ft. Здесь U обозначает известным образом отнесенную к числу г
подстановку присоединенного кругового поля (см. [4J, § 2 и теорема 13,
стр. 219). Поэтому для решения нашей задачи достаточно найти про-
простые числа, которые принадлежат в S* к отделу подстановки SU и
лежат в прогрессии г + Lx.
43. Рассмотрим все подполя поля ft*, принадлежащие к различным
подгруппам циклической группы 8 /-го порядка, порожденной сте-
степенями подстановки SU. Здесь F равно /([4], стр. 215). Поэтому фор-
формула (8.6) принимает вид
V л<р (а) V te Р — 1 1
где а есть делитель / ([4], стр. 198, формула A6)). Умножая эту фор-
формулу на ~^(~) и суммируя по всем д//, мы, в силу
2 fx(a) = O при />1 и = 1 при /= 1,
a If

Ш Н. Г. ЧЕБОТАРЕВ
получим
П S— 1
[ Ъ 1 tm{f-l) г Znf(\V&)
C.7)
где сумма слева распространена на те простые числа, принадлежащие
к классу S, которые лежат в прогрессии г + qx.
44. Чтобы найти интервал <1,д:>, наверное содержащий V простых
чисел, принадлежащих к классу 5, достаточно дословно повторить
все рассуждения § 6 (№ 40, 41), так как уравнение C.7) отличается
от уравнения (8.6) только другими значениями постоянных.
ЛИТЕРАТУРА
1. Н. Чеботарев. Исследования о плотностях простых чисел. 1. Изв. КФМО 2.
1927, стр. 14—20. Собр. соч., т. I, стр. 95—101.
2. A. Art in. t)ber eine neue Art von L-Reihen. Abh. Hamb. Sem. 3, стр. 89—108.
3. E. Art in. Beweis des allgemeinen Reziprozitatsgesetzes. Abh. Hamb. Sem. 5, 19j7.
4. H. Чеботарев. Die Bestimmung der Dichtigkeit u. s, w. Math. Ann. 95,
стр. 200—211.
5. Mertens. Uber Dirichlefs Beweis u. s. w. Sitzber. Wien. 106, 1897, Abth. Ha,
стр. 259, формула D).

/7-АДИЧЕСКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
ВТОРОЙ ГЛАВНОЙ ТЕОРЕМЫ ОРЕ
{/7-ADISCHER BEWEIS DES ZWEITEN HAUPTZATZES VON HERRN ORE)
(Acta litt. ac sc. univers. Francisco-Josephinae 4 A928), стр. 56—57).
Совместно с М. Бауэром
(Из переписки Н. Г. Чеботарева и М. Бауэра)
Вторая главная теорема О. Оре [1], дающая возможность разло-
разложения любого простого числа на простые идеалы в произвольном
алгебраическом числовом поле без знания минимального базиса может
быть очень просто доказана с помощью гензелевской теории [2] /?-ади-
ческих чисел. Ход доказательства следующий:
1. Пусть
f(x) = х« + а±х^ + ' • • + ап = 0, A)
а, цел. рац., (/ = 1, 2,..., п), /(со) = О
неприводимое уравнение. Мы хотим разложить рациональное простое
число р на простые идеалы в поле К (<о).
2. Разлагая сначала f(x) на р-адические неприводимые факторы,
получаем наивысшие степени простых идеалов. Если Ф(х)— р-адиче-
ски неприводимый фактор и
ф (х) = хт+ ^от-]+ .-. + ся (р), B)
то
/> = p*q, (p, q)= 1, C)
/ есть степень р, т = fg. D)
Фактор Ф(х) можно заменить обыкновенным полиномом, сравнимым
с Ф по (modpa), где а достаточно велико. Поэтому т можно опреде-
определить посредством конечного числа операций.
3. Известно, что полином Ф (х) в поле {pf—1)-х корней из единицы
разлагается на неприводимые факторы ?--ой степени. С другой сто-
стороны, он не может разлагаться далее ни при каких присоединениях>
<^сли р не является критическим в расширенной области рациональ-
рациональности. В самом деле, р содержит ?*-ую степень простого идеала
(в обозначениях Гензеля ng~p). Поэтому, если мы заключим К(р)
в надполе К (р, а), (ар ~г— 1 = 0), дискриминант которого взаимно прост

120 Н. Г. ЧЕБОТАРЕВ
с 'р, то Ф{х) будет распадаться в неприводимые полиномы точно ^-ой
степени. Но поле К(р,$), фр ~~1—-1=0), удовлетворяет этим условиям.
Таким образом, чтобы найти g, достаточно определить степень дели-
делителей полинома Ф(л:), неприводимых в поле К{р, Р), где р есть при-
примитивный корень из единицы степени {рт—\)> а это достигается путем
конечного числа операций.
Получено
21 июня 1928 года
ЛИТЕРАТУРА
1. О. Ore. tJber den Zusammenhang zwischen u. s. w. II. Math. Ann. 97. стр. 585.
2. К. Hensel. Die Theorie der algebraischen Zahlen. Lpz., 1908.

К ТЕОРИИ ГРУПП ПОЛЯ КЛАССОВ
(ZUR GRUPPENTHEORIE DES KLASSENKORPERS)
(Journ. f. reine und ang. Math. 161 A929), стр. 179—193)
До сих пор определение числа классовх поля в общем случае
производится только посредством трансцендентного выражения. Даже
в простейших случаях аддитивная структура полученных «окончатель-
«окончательных выражений» не позволяет сделать какие-либо высказывания о
простых множителях числа классов. Мне известна только одна отно-
относящаяся сюда теорема, вытекающая из знаменитых гауссовых иссле-
исследований о genera formartirn (здесь я не принимаю во внимание соот-
соотношений между числами классов в различных полях):
Если квадратичное поле содержит только одно критическое
простое число, то число его классов обязательно нечетное. Если,
напротив, существует несколько критических простых чисел, та
число классов этого поля четное и степень двойки, содержащаяся
в этом числе классов, вполне определяется числом критических
простых чисел.
Первое утверждение этой теоремы удивительным образом связано
со следующей теоремой из общей теории чисел, которую можно пони-
понимать, как обобщение теоремы монодромии [1].
Теорема 1. В группе Галуа нормального поляне существует
правильного делителя, содержащего все группы инерции.
Эту теорему [2] можно рассматривать так же как усиление теоремы
Минковского о дискриминанте [3].
В одной из более ранних работ (выше цит., [2]) я приложил
эту теорему к полям деления круга и получил в терминах теории
сравнений некоторые свойства, которыми обладает каждый множитель
числа классов.
В этой работе я намерен предпринять подобное же исследование
для общего нормального поля. Разнородность структур групп Галуа
таких полей не позволяет получить столь же простые результаты.
Группе классов нормального поля я ставлю в соответствие относитель-
относительную группу его поля классов. При этом я рассматриваю только
абсолютные идеальные классы в узком смысле, так что под полем
1 Под «полем» мы понимаем всюду алгебраическое числовое поле.

122 Н. Г. ЧЕБОТАРЕВ
классов следует понимать всегда наиболее широкое относительно-
абелево неразветвленное относительное поле.
Очевидно, что поле классов абсолютно нормально. Разложим его
на частичные поля классов (TeilklassenkSrper), каждое из которых
абсолютно нормально и не допускает дальнейшего разложения на
абсолютно нормальные поля. При этом под «разложением» я понимаю
представление поля в виде композита абсолютно нормальных полей.
Такие поля мы назовем элементарными (абсолютно нормальными)
частичными полями классов. Каждое так построенное частичное поле
классов обладает относительной группой v-членного типа {р*, />*,...,/?**},
так что ему соответствует множитель числа классов р^. Такие частич-
частичные поля классов, а также соответствующие им множители числа
классов мы разобьем на четыре типа и установим особые свойства
для каждого из этих типов. Определение этих типов последует ниже
(см. § 3, опр. 4).
1. Собственные множители числа классов (Eigentliche Klassen-
zahlfaktorenj. Пусть К — нормальное поле и КР — его собственное
элементарное. частичное поле классов относительной степени pv
с относительной группой v-членного типа {/Я*, /?^,..., р^}. Тогда группа
поля К изоморфна с некоторым делителем голоморфа абелевой группы
v-членного типа {p*s /?*\ .. ., р11}.
В частности, если р.= 1, то группа поля К изоморфна с транзи-
транзитивной группой сравнений по модулю^ р целочисленных линейных
однородных подстановок v символов.
Если [х = v = 1 (что может случиться только для циклического
поля К), то имеет место
;?=1 (modg),
где g есть степень поля К-
2. Несобственные множители числа классов (Uneigentliche Klas-
senzahlfaktoren). Если Кр— поле, определенное в 1, которому соот-
етс тву ет несобственный множитель числа классов, то К содержит
нормальное подполе Т(> число классов которого тоже содержит мно-
множитель ръ Соответствующее частичное поле классов Кр над К порож-
порождается присоединением к полю К всего поля КР* В свою очередь,
К содержит такое нормальное подполе К, над которым поле КР не
разветвляется. Группа поля К содержится в голоморфе относительной
группы поля Кр над /С. Случай этот аналогичен случаю I, однако не
является таким же простым, так как относительная группа поля Кр
лад К может не быть абелевой.
3. Центральные множители числа классов (Zentrale Klassenzahl-
faktoren), В этом случае как сами множители числа классов, так и их
степени, входящие в число классов, определяются структурой группы
поля К. Этот тип множителей в циклических полях не встречается.

К ТЕОРИИ ГРУПП ПОЛЯ КЛАССОВ 123
4. Родовые множители числа классов (Geschlechterklassenzahlfak-
toren). В этом случае простые множители р числа классов также
определяются структурой группы доля К (точнее: они суть делители
степени поля /С). Их степени, входящие в число классов, зависят от
числа критических простых идеалов поля К. Этот тип множителей
может встретиться уже в простейших случаях, например в случае
квадратичного поля.
Заданное простое число может входить в различные множители
одного и того же поля.
Я позволю себе выразить мою сердечную благодарность Г. Гассе
за многие важные указания относительно формы изложения, а также
за некоторые замечания по существу работы, а также О. Шрейеру
за улучшение хода доказательства теоретико-групповой теоремы 2.
§ 1. Арифметическая теорема
монодромии
Рассматривая /?-адические разложения чисел данного нормального
поля [4], легко убедиться, что теорема 1 является арифметическим
аналогом теоремы монодромии, так как алгебраическое число а тогда
и только тогда разлагается по дробным степеням р, когда р является
критическим числом для поля R(ol).
Пусть К — нормальное поле. Рассмотрим все его подполя /?(а),
т. е. поля, полученные присоединением содержащихся в К чисел а
к полю рациональных чисел R.
Зададимся таким вопросом: каковы условия, необходимые и доста-
достаточные для того, чтобы данное простое число р не было критическим
в /?(а), т. е. чтобы разложение числа р на простые идеалы поля R (ос)
не содержало кратных множителей?
Пусть ф будет группа, к которой принадлежит число а внутри
поля К, и р — простой идеальный множитель числа р. Группа инерции
% идеала р есть совокупность тех подстановок группы © поля К,
которые оставляют неизменным modulo р функционал ^coj +?2aJ+###
Ь tn<un% где [colf а>2,..., а>л] есть минимальный базис поля К. Для того
чтобы число р не было критическим в R (а), необходимо и достаточно,
чтобы все элементы tx (Qj—?V)+?2 (&2—ДЖ Ь *т(&т—&т*)
были взаимно простыми с р, где [Qlt Q2,..., Qm] есть минимальный
базис поля /?(<х) и S пробегает все те подстановки группы поля /?(<х),
которые действительно изменяют функционал tiu1 + t2u2Ji Vtm^m-
Другими словами, выражение Ьхпг + t2Q2-\ h tmum должно оста-
оставаться абсолютно неизменным при тех подстановках группы ©, кото-
которые не изменяют ^пх + ?2Q24 \- tmum modulo p\ таким образом,
подстановки эти должны содержаться в $. Это значит, что если число
р не критическое, то ? содержит все группы инерции, соответствую-
соответствующие простым идеальным множителям числа р.

124 Н. Г. ЧЕБОТАРЕВ
Обратно, если все упомянутые группы инерции содержатся в
то р не будет критическим в R(ol). В самом деле, тогда ^icox +
Н Ь tn<un = t^ + t^2 H Иг^п (mod р), где <%, сГ2,. .., соя— числа
поля инерции идеала р. Следовательно, если 5 не принадлежит к %г
то t1t^l + t2u>2-\ )- tnv>n не остается неизменным modulo p при подста-
подстановке S, откуда вытекает, что все элементы, а значит и дифферента
поля инерции, взаимно просты с p. A fortiori тоже имеет место и для
подполей /?(а). Но так как группа i§ должна содержать все группы
инерции, сопряженные с ?, то отсюда мы заключаем, что дифферента
поля /?(<х) не содержит никаких идеальных множителей, общих с pf
т. е. что число р не будет критическим в /?(а), что и т. д.
Таким образом условие, необходимое и достаточное для того, чтобы
число р не было критическим в R (а), состоит в том, чтобы все соот-
соответствующие р группы инерции являлись делителями той группы ф,
к которой принадлежит а в ноле /С.
Сопоставим эти условия для всех простых чисел. При этом доста-
достаточно рассмотреть только простые делители дискриминанта поля Кг
так как остальные простые числа наверное не будут критическими.
Теорема Минковского [3] гласит, что все они тогда и только тогда не
будут критическими в R(a), когда а рациональное. Отсюда следует
теорема:
Элемент нормального поля будет рациональным тогда и только
тогда, если все группы инерции поля К являются делителями
группы, к которой принадлежит а.
Принимая во внимание определение группы Галуа, мы получим
теорему 1, которую можно формулировать еще так:
Посредством композиции всех групп инерции нормального поля
К получаются все подстановки его группы Галуа.
Если считать R не полем рациональных чисел, а произвольным
полем, то наши соображения приводят к следующему обобщению
теоремы 1:
Теорема 1а. Композиция всех относительных групп инерции
поля К над R порождает группу, к которой принадлежит наи-
наибольшее неразветвленное относительно R подполе поля К над R.
§ 2. Одна теоретико-групповая теорема
Теорема 2. ПусгАь © — конечная группа и Qlt Q2,... ,Qm система
элементов группы ©,| обладающая следующими свойствами;
a) Посредством композиции элементов Qt получаются все эле^
менты группы ©;
b) Если элемент Q/ (I = 1, 2,..., т) входит в эту систему, то
в нее входят и все сопряженные с ним элементы.
Пусть, далее, ©' будет группа, обладающая следующими свой-
свойствами:

К ТЕОРИИ ГРУПП ПОЛЯ КЛАССОВ 125
1) группа © изоморфна с некоторой факторгруппой ©'/©
группы ©';
2) группа & содержится в центре группы ©';
3) в ©' найдутся такие элементы Qx', Q2',... ,Qm', что при
отображении ©Г/Ф«—^@ классу смежности i§Q/ соответствует
элемент Qt (i = 1, 2,..., яг);
4) порядки Q/ и Q, равны;
5) яс? элементы группы @ (а также ©') выражаются через
Vl > Q2 > • • • > Q/n •
Тогда ©' изоморфна с факторгруппой некоторой определенной
конечной группы, зависящей только от © и выбора элементов
Qi, Q2* • • • у Qm- В частности, группа ©' также конечна.
Доказательство. Пусть элементы © будут Рг = Е, Р2> - -., Рл
(/г порядок ©); они выражаются через Qx, Q2,..., Qm (не однозначно,
но раз навсегда фиксированным образом) так:
Рн = ЪШ (*=Ь2,...,я; а = 1,2,...,/я). A2)
Пусть система определяющих соотношений группы © будет
*P(Q.) = 1 B-2)
или подробнее:
В силу изоморфизма ©<—>©Г/Й каждое из этих соотношений может
быть представлено так:
откуда следует, в силу 2):
Qir -Q21 *—QM'*m=Ht, C.2)
где //з есть элемент группы ф.
Й утверждаю, что композиция элементов 770 дает всю группу ^
Допустим обратное, именно, пусть все Н$ содержатся в правильной,
подгруппе 21 группы ф. В силу 2), 31 есть нормальный делитель группы
&. Тогда факторгруппа ©f/21 порождается элементами Qa" (a = 1, 2,...
- •»> /я), удовлетворяющими соотношениям ^3 (Q/) = 1. Это противо-
противоречит предположению, так как B.2) суть определяющие уравнения
группы ©.
Пусть группа & определена соотношениями
^Йв)-Яр D.2)
(причем

126 Н. Г. ЧЕБОТ А РЕВ
если
<?Га=1), D'2)
^(QJ^<pA-1(Q(I) = WB> E.2)
/«(Qa) Q*/M"' <Q.)-= Qr F-2)
где
/«(QJQ./w-'W-Qr G-2)
Группа © удовлетворяет всем условиям теоремы: 1) и 3) следуют из
D.2), E.2), F.2) и B.2); 2) следует из E.2); 4) из D/2,) D/2) и, нако-
наконец, 5) следует из D.2).
Каждая группа ©', удовлетворяющая условиям теоремы, изоморфна
с некоторой факторгруппой группы ©. В самом деле, при отображен
нии Qa-*Qar вследствие 1), 2), 3), 4), 5) все условия D.2), E.2), F.2)
сохраняют силу.
Следовательно, остается доказать только конечность группы © ~
Для этого положим
^QvLU (8.2)
где у определяется соотношением Qy = QxQpQ^1. Так как Q?=l
всех а и элементы Н перестановочны со всеми Q, тб, возвышая (8.2)
в #-ую степень, Мы получим
^a3 = L (9.2)
Значит элементы Uap имеют конечный порядок, а следовательно
порожденная этими элементами группа U будет также конечна.
Чтобы доказать конечность числа остальных элементов, обозначим
элементы QaU факторгруппы @/11 через 6\, S2,...,Sm. В силу (8.2)
для всех a, р имеет место
а значит и
г> Д! г» 6 ?> •тта г* &
Oa Op Oa =O8.
Посредством повторного применения этих соотношений каждое про-
произведение степеней S* может быть преобразовано к такому виду,
куда каждое 6\- входит как фактор только один раз, конечно с неко-
некоторым показателем. Так как элементы Sa порождают факторгруппу
©/IX и в силу D'.2) имеют конечный порядок, то группа ©/IX оказы-
оказывается конечной, чем и завершается доказательство.
(Здесь в неявной форме использованы идеи В. Дика [5]; способом
изложения доказательства я обязан О. Шрейеру).
Легко видеть, что предпосылки теоремы 2, особенно условия 2),
4) и 5) неизбежны при доказательстве конечности группы ©. Именно,

К ТЕОРИЙ ГРУПП ПОЛЯ КЛАССОВ !2Г
если ig не лежит в центре ©' и если ® есть> например, циклическая
группа т-го порядка, то метациклическая группа ©' степени р и по^
рядка тр, где р есть простое число вида тх + 1, удовлетворяет всем
остальным условиям теоремы 2. Чтобы показать это, возьмем в группе &
Qi, Q2 = Qi2; Qi' = (*, **+D, Q2' = (*, ?2*+l) (mod/?),
где g" есть примитивный корень сравнения хт=1 (mod/?). Совокуп-
ность таких групп, очевидно, бесконечна.
Опуская условие 4), можно взять за <S' (& берется, как выше)
произвольную циклическую группу порядка тп, где п —- произвольное
целое число.
Если же не предполагать справедливость условия 5), то за ®г
(©—как выше) можно взять прямое произведение Ш х ©, где Ш совер-
совершенно произвольная группа.
В качестве примера возьмем симметрическую группу перестановок
из трех элементов. Пусть выбранные порождающие элементы
Qx == B3), Q2 = C1), Q3 = A2) и порождающие подстановки группй ig
a = QifQ2'Qi'Q3', P = Q2'Q3'Q2rQi', Y = Qs'Qi'Qs'Q^. Имеет место:
ос2 = р2 = Y2 = 1, офу = 1^ так что Q есть абелева группа 4-го порядка
и типа {2,2}. ®'=@х?.
Аналогичная задача была решена И. Шуром [6]. Вышеприведен-
Вышеприведенный пример показывает, что наша задача не может рассматриваться
как частный случай задачи Шура.
§ 3. Общие сведения о группах инерции полей классов
Пусть К поле, число классов которого делится на простое число/к
Если /7 = 2, то классы будем понимать в узком смысле, так что
число классов всегда будет равно относительной степени поля клас-
классов (понимаемого; как наибольшее относительно абелево неразвет-
вленное относительное поле).
Введем два следующих вспомогательных понятия:
Определение 1. Нормой поля К называется наименьшее
нормальное поле, содержащее К-
Определение 2. Нормой группы ig, являющейся ^подгруппой
группы ©, называется наименьший нормальный делитель группы ®>
содержащий jg.
Я отмечу две известные теоремы:
Теорема 3. Каждый элемент нормы поля К может быть
выражен через элементы К и сопряженных с К полей {резольвента
Галуа).
Теорема 4. Каждый элемент нормы группы & может быть
выражен через элементы $ и сопряженных с $ групп.
Определение 3. Пусть Sq нормальный делитель группы ©', © =
= ®\/ 1q. Под отображением (Abbildung) некоторой подгруппы Ш груп-
группы &' на © будем понимать совокупность тех смежных классов

128 Н. Г. ЧЕ БОТАРЕВ
представителями которых являются элементы й. Обозначим его
через ftfi/fi.
Теорема 5. Группа ® гомоморфна группе Ш&1& Отношение
порядков групп й и ®§1§ равно порядку пересечения S групп ®
и ©.*
Доказательство. Пусть разложение S по 3 будет
Я = 8 + SS2 + ... + 85V A.3)
Группа 8 отображается в единицу группы ©. Если 5/ и S* отобра-
отображаются в один и тот же элемент группы ©, то SiSJ1 отображается
в 1, т. е. лежит в §, а следовательно и в 3? что противоречит раз-
разложению A.3).
Теорема 6. Норма отображения равна отображению нормы.
Доказательство. 1. Отображение делителя группы есть
делитель ее отображения. 2. Если й — нормальный делитель группы
W, то отображение S есть нормальный делитель &. 3. С другой
стороны, если JS = fg + igS2 + ... + &S* есть нормальный делитель
группы ©, то композит ® групп Se,S2, ...,5V есть нормальный дели-
делитель группы &'. Отображение й совпадает с $ и каждая подгруппа
группы ©', отображение которой есть делитель группы ®, в свою
очередь будет делителем группы S. Действительно, она содержит
только элементы типа Н^ HllS2y..., H^Sv, где Н принадлежит Jg.
Поэтому наименьший нормальный делитель группы ©', содержащий
Ш, отображается в наименьший нормальный делитель группы ®,
содержащий отображение ®, ч. и т. д.
Теорема 7. Пусть К1 есть нормальное поле, &'— его группа
и % — его группа инерции, соответствующая простому идеалу $.
Пусть далее К — нормальное подполе поля К\ принадлежащее
группе ig и © = ©'/§ — его группа. Если р есть простой идеал
поля К, делящийся на $, то группа инерции t идеала р равна
отображению %$ / Sq группы % на ©.
Доказательство. Группа инерции X есть совокупность под-
подстановок S, не изменяющих величины а поля Kf modulo $
Выбрав величину (S в поле К, мы получим
P5==P(mod$) и потому р^ = Р (modp).
Следовательно, группа ?$/$ содержится в t.
Если К/ есть поле инерции идеала 5JJ, то простой идеал поля /С/',
содержащий $, не будет критическим в /С/. То же обстоятельство
очевидно имеет место и для поля Км, принадлежащего группе
в К' (и следовательно 2$/? в /С), так как /G/* есть подполе поля
1 Автор употребляет термин: изоморфный (Ред.).

к теории t^pynn поля классов 129
Но отсюда, в силу теоремы 1/следует, что %SqI$2 содержит группу
инерции t идеала р. Следовательно ?$/$ = t.
Из теорем 6 и 7 следует
Теорема 8. Отображение нормы группы инерции поля К'
на © есть соответствующая норма группы инерции поля К-
Теорема 9. Если поле К относительно неразветвлено над К,
то группа $ взаимно проста с каждой группой инерции поля К'.
Доказательство. Если К* относительно неразветвлено над
К, то порядок каждой группы инерции % поля К% рлвен порядку
соответствующей группы инерции поля К, так как порядок группы
инерции равен показателю степени, в которой соответствующий
простой идеал входит в р. Из теоремы 7 следует, что группа %
изоморфна с ее отображением на ©. Отсюда, согласно теореме 5,
следует, что группы % и ф взаимно просты.
Теоремы 7, 8 и 9 могут быть обобщены на относительные поля, если
принять за область рациональности произвольное поле. Если в этом
случае под «группой инерции» понимать относительную группу инерции
относительно области рациональности и заменить р некоторым прос-
простым идеалом области рациональности, то все наши рассуждения
останутся неизменными.
Сообразно структурам групп ©', %', © мы подразделим частичные
поля классов и соответствующие множители чисел классов на четыре
типа.
Определение 4. Пусть 5ft—наибольшая подгруппа группы ©',
элементы которой перестановочны со всеми элементами ф и Кп—
Принадлежащее группе 5ft поле.
I. Если 5ft = $, то соответствующее элементарное {абсолютно
нормальное) частичное поле классов {а равно и множитель числа
классов р**) назовем собственным (eigentlich).
И. Если 5ft >$ и группа § взаимно проста с композитом 9№
всех относительных групп инерции поля КР относительно Кп, то
КР и р^ назовем несобственными (unelgentlich).
III. Если 5ft > Sq и поле КР {не обязательно элементарное) обла-
дает относительно Кп некоторой относительной группой инерции
%\ норма которой % {относительно 5ft) не взаимно проста с ф, то
назовем поле КР и множитель р'^ центральными.
IV. Если 5ft >Ф и Ш не взаимно проста с &, в то время как
каждая норма % упомянутая в III, взаимно проста с $&, то р**
назовем родовым множителем числа классов (Geschlechterklassen-
zahlfaktor).
Очевидно, что одно и то же простое число р может входить
в различные множители числа классов.
Н. Г. Чеботарев. Том 1.

ГЗО Н. Г. ЧЕбОТАРЕЁ
§ 4. Собственные множители числа классов
В случае 9? = ф каждое преобразование группы $, произведенное
посредством некоторой подстановки группы @^~>©'/?>, производит
действительное перемещение элементов $.
Таким образом, группа © есть делитель голомор-
голоморфа, т. е. группы всех внешних автоморфизмов группы
$. Если © есть а0елева группа v-членного типа {ру
р,... , /?}, то группа © изоморфна с некоторой груп-
группой целочисленных однородных линейных подстано-
подстановок v переменных, взятых по модулю р. Если же
|j.=^=l, то группа © допускает более сложное пред-
представление [7].
Мы исследуем подробнее случай р=1. Всегда
существует абсолютно нормальное подполе поля КУ
иг' относительная группа которого имеет v-членный тип
{ру р,...,/?} (это частичное поле классов может, однако, не быть
собственным). Если это поле собственное, то мы заключаем, что
порядок g групны © есть делитель произведения
Отсюда вытекают ограничения для р и v.
В частности, если v = 1, т. е. поле классов Кр относительной
степени р над К абсолютно нормально, то группа © должна быть
циклической, причем
р=\ (mo&g). B.4j
Следовательно, этот случай встречается только в круговых полях.
Дальнейшее ограничение для р и v вытекает из того, что упомя-
упомянутое представление группы ©, как группы, сравнений по. mod/?,
должно быть нераспадающимся (unzerfallbar) 2 в поле рациональных
вычетов modp. Действительно, если эта группа приводима (reduzibel),2
то найдется (x([a<v) линейно независимых modp целочисленных
линейных функций
Т* ОС/2 ^2 Т~ • • • i QC/V «*v \l ^= 1, Л, . . . у \Ь)у
которые подстановками группы © переводятся друг в друга. Тогда
группа с базисом
1 На всех встречающихся здесь фигурах каждая точка слева означает группу.
На каждой соединяющей эги точки линии верхняя точка обозначает надгруппу,
нижняя —^ подгруппу. Соответствующая точка на правой стороне обозначает поле,
принадлежащее этой группе.
Это графическое представление я ввел по совету Гассе. Ср. Н. Н а s s e. Hohere
Algebra, 2. Berlin, 1927, стр. 103, 122, 123.
2 Эта терминология заимствована из работы J. Schur. Uber die sletige Darstel-
lungen der allgemeinen linearen Gruppe. Sitzber. Berl. Akad., 1928. стр. 100.

к теории гругщ поля классов .131
где Alf А2, . *.,ЛЧ есть базис &, будет нормальным делителем; груд-
пы &, содержащимся в &.
Если группа распадается (вполне приводима), то найдется два
взаимно простых делителя группы ,??, произведение которых воспроиз-
воспроизводит всю группу $> и каждый из которых является нормальным
делителем группы ©'. Поля, принадлежащие к этим группам внутри
Кр абсолютно нормальны, имеют пересечением поле К и компози-
композитом— поле Кр* Существование их опровергается предположением,
что Кр есть элементарное абсолютное нормальное поле. *
Из определения элементарного поля следует, что (при ^ =* 1.) каж-
каждое элементарное поле может быть порождено посредством ^рмпо-
зиции сопряженных полей относительной степени р над К- Это зна-
значит, что группа ? содержит делитель §19 порядка р* ~\ который уже
*не содержит нормальных делителей группы ©'. Если ?> ^АгХгА2^..1Л,х^
(х. = 0,1,..., р — 1; i = 1, 2,..., v), то каждая подгруппа порядка рч ¦*•*1
группы § состоит из элементов вида АХгА2Хш... Asx*>, где !xlf ^2>>...,xv
подчинены некоторому сравнению
тххг + т2х2 + •.. + mvxv = 0 (mod p). C.4)
Пересечение группы фх и сопряженных с ней групп состоит из эле-
элементов того же вида, где х19 х2У..., хн подчинены не более чем g
независимым сравнениям типа C.4). Так как в силу наших 'предполо-
'предположений эта система сравнений должна допускать только тривиальное
решение х. = 0(то& р) (/= 1, 2,... ,v), то отсюда вытекает, что
Допустим, что v = ?\ Тогда левые части сравнений C.4), соответ-
соответствующих всем подстановкам группы ©, должны быть линейно- незави-
независимы (mod/?) > Отсюда следует, что пересечение ^ v- 1 сопряжен-
сопряженных с 4>! групп имеет порядок /?, так как соответствующие ^му
хг, х2У..., х^ удовлетворяют v — 1 независимым сравнениям, типа C.4).
Композит всех сопряженных с f)x групп равен i§> так как соответ-
соответствующие ему х19 х2,... ,xv свободны от всех условий C.4). (ЗамШ
что соответствующие композиту групп Si и $2 величины х19 х2,...,
1 Приводимая группа не должна здесь быть необходимо распадающейся, как это
показал мне О. Шрейер на примере группы порядка /73, определенной * соотноше-
соотношениями
ap = bp^qp = l еле-1-л, еве-^ля*
(ср. О. Holder, Die Gruppen der Ordnungen />3, gq2, pqr, px. Math. Амь 43 {1893>,
стрл 383, строка 10 сверху). с)то свойство обязательно имеет место, если, порядок
©'/$ взаимно прост f p как это следует из формулы Шура/содержащей в знаме-
знаменателе порядок (В' ;§ (J S с h u г. Neue Begrundung der Theorie der Gruppencharalc*
tere. Sitzbei Berl Akad , 1905, стр. 415, строк* З

132 Н* Г. ЧЕБОТАРЕВ
удовлетворяют тем и только тем условиям, которые получаются
линейной комбинацией из условий, соответствующим группам $t
и $20 Таким образом, группа & представима через посредство v-член*
него базиса А19 ^И^Г1, S2A1S2~1,,. •, »^_ ^S"^ , где Ах есть про*
изводящая подстановка группы f^, а 1,5^, S2,... ,5rv__1 суть всевоз-
всевозможные подстановки группы ©¦ Если мы произведем над системой
А\> SxAxSf1,., *9Sv_lA1S^2l одну из подстановок группы ©, то эле-
элементы этой системы претерпят некоторую подстановку, так что группа
& будет представлена как транзитивная группа подстановок v сим-
символов. Но каждая группа подстановок вполне приводима [8] и притом
-обладает неприводимой частью первой степени, соответствующей
тождественному представлению. Остальные составные части будут
также рациональны и, следовательно, представимы посредством цело-
целочисленных матриц (ср. [7], теорема 184, стр. 206). Если мы будем рас-
рассматривать это представление как группу сравнений (mod/?), то она
снова породит всю группу ©, исключая только случай /7 = 2, v = 2 ([7],
стр. 209, теорем^ 187). Поэтому группа $ распадается на два взаимно
простых фактора, каждый из которых является нормальным делите-
делителем группы ($!, что противоречит нашему предположению. Следова-
Следовательно,1
D.4)
Исключение составляет только группа 8-го порядка (Doppelkegel-
gruppe); &=г{Л, В], АВ^ВА, Л2 = ?2=1; &' *= {Л, В, 9}, 02 = 1
6Л6-1 = Л, 656-1 = В А. Здесь p*=%v=g = 2.
Такими представлениями групп полей классов занимался также
Шпайзер ([7], стр. 239),
Для специальных типов групп © можно дать более точные оценки
лисла v.
Одно и то же простое число, при заданном поле К, может, оче-
видно, соответствовать различным элементарным полям классов, ко-
которые могут принадлежать как одному и тому же „типуа, так и раз-
различным «типам». Кроме того, само разложение поля классов на эле-
элементарные поля может быть не однозначным. Таким образом, нера-
неравенство D.4) не может быть рассматриваемо как ограничение для
Степени, в которой простое число р содержится в числе классов
поля УС«
Мы пришли к следующим теоремам.
Теорема 10. Если Кр есть собственное элементарное абсо-
абсолютно нормальное частичное поле классов над К, относительная
группа которого имеет ^-членный тип {р,р>.. • >р], то группа &
поля К изоморфна некоторой неразложимой группе целочислен-
1 См. поправку в конце статьи (Ред.).

К ТЕОРИИ ГРУПП ПОЛЯ КЛАССОВ
133
них однородных линейных подстановок v переменных, рассматри*
ваемой по mod p.
Теорема 11. Если простое число р входит как собственный
фактор первой степени в число классов нормального поля К> то
К есть круговое поле, степень которого есть делитель кисла р — L
Замечание. Предыдущие рассуждения можно [обобщить, взяв
вместо Кр какое-либо неразветвленное над К поле и вместо ф — его
относительную группу Галуа. Тогда группа & должна быть делите-
делителем голоморфа группы ф. В этом случае исследование значительно
усложняется, так как мы до сих пор не знаем никакого аналитического
способа для представления голоморфа произвольной группы.
§ 5. Несобственные множители числа классов
Рассмотрим теперь случай, когда в группе ©' содержатся отлич-
отличные от подстановок $ подстановки, перестановочные со всеми под-
становками группы &. Подстановки эти образуют группу 31, являю-
являющуюся нормальным делителем
группы ©г. Факторгруппа ©г / 31
изоморфна группе внешних
автоморфизмов группы &.
Пусть группе 31 принадле-
принадлежит поле Кп- Построим все
группы инерции поля Кр отно-
относительно Кп* Они порождают
совместно группу ЗК, к кото-
которой, согласно теореме 1а, при-
принадлежит наибольшее нераз-
неразветвленное над Кп подполе Кт
поля КР*
В нашем случае Ш и Sq Фиг- 2
взаимно просты, произведение
Ш х Ф есть прямое произведение и содержится в 31. Поле Кр получается
посредством композиции полей Кт и К, которые принадлежат в поле
Кр к группам Ш и $ и имеют пересечение Kmxh, принадлежащее
в КР к группе Ш х ?. Относительное поле КР над Ктхп распадается
на два взаимно простых относительных поля над Kmxh' 1) Кк~К\
2) поле К ту которое будет абелевым и неразветвленным над /Стхл»
т. е. полем классов. Следовательно, р^ будет множителем числа клас-
классов наиболее узкого поля Km x л- Соответствующая ему группа 31 изо-
изоморфна 31/УН. В самом деле, каждый элемент группы &'/Шх, пере-
перестановочный с каждым элементом группы Эйхф/9Я, соответствует
некоторому элементу 5 группы ©', связанному с каждым элементом
Н группы § соотношением SHS~l =* НМ, где М принадлежит груп-

Н. Г. ЧЕБОТАРЕВ
пе 9Я. Так как SHS~l содержится в § и группа Ш взаимно проста
с ф, то необходимо УИ= 1, т. е. элементы S и Н перестановочны.
Если 3D? х © совпадает с 31, то мы возвращаемся к случаю соб-
собственного множителя. Если же это не так, то мы имеем случай несоб-
несобственного множителя числа классов, причем ЭД = 1. Тогда КР не раз-
разветвляется над Кп- Если при этом группа ?> абелева, то Кр есть поле
классов относительно Кп- Во всяком случае, (&' /31 содержится в голо-
голоморфе труппы 5№, так как в ©' нет не принадлежащих 31 подстановок,
перестановочных со всеми подстановками группы ф, а тем более и
да одной подстановки, перестановочной со всеми подстановками
группы 31>
Здесь вступает в силу «замечание» § 4. Если группа 31 разрешима,
то КР есть башня полей классов (Klassenkorperturra) над Кп [9].
Таким образом, мы приходим к следующей теореме.
Теорема 12. Если КР есть несобственное элементарное абсо-
абсолютно нормальное частичное поле классов над К, то его подполе
Кт х ь, также имеет поле классов
Km, относительная группа кото-
которого изоморфна относительной
группе КР над К. Это поле клас-
классов будет собственным или несоб-
несобственным, смотря по тому, сов-
совпадают или нет введенные в оп-
определении 4 группы 31 и 1х§.
Поле Km, принадлежащее груп-
группе Ш, не разветвлено над Кп*
Группа Галуа поля Кп содержит
ся в голоморфе группы SR/2R.
§ 6. Центральные множители
числа классов
В этом случае в поле КР найдет-
найдется группа инерции X1 относитель*
но 31, норма которой относительно
31 содержит отличный от 1 делитель 1} группы ig. Если I) есть наиболь-
наибольший делитель группы ©, содержащийся в2, то I) является нормальным
делителем как группы 31, так и группы 5?. Группа 1) содержится в
центре группы X и, согласно теореме 9, взаимно проста с X'. Группы
Ф/5 и X Ji) суть нормальные делители группы 31 / f) и притом взаимно
просты, т, е- 91/I) содержит прямое произведение ф/1)Х!?/1). Следо-
Следовательно, группа 3lj V©/^=9i/6 имеет подгруппу Ж&/Ф, изоморфную
грудше X11), т. е. группа %1Ъ изоморфна делителю группы & = ®г / ф.
Разложим 31 по &
31
A.6)

К ТЕОРИИ ГРУПП ПОЛЯ КЛАССОВ 135
К = C1 : Ф) есть порядок некоторой подгруппы ®, т. е. зависит только
от ©. Каждый элемент одного и того же класса смежности разложе-
разложения (L6) переводит %' в одну и ту же групйу, так как Sq содержится
в центре группы 31* Следовательно, число групп, сопряженных
с группой инерции %' (относительно 31), есть делитель порядка груп-
группы @. С другой стороны, так как в силу теорем 7, и 5 группа ?' изо-
изоморфна с соответствующей группой инерции поля К, которая в свою
очередь есть делитель группы ©, то в J1 можно выбрать некоторое
число элементов Q/, Q2',..., Qa\ порождающих всю группу %', при-
причем а будет зависеть только от ©. Порядки элементов Q/ Q2',..., Qaf,
очевидно, равны порядкам тех элементов Qv Q2,..., Qa группы ®,
которые при отображении X* ->?'&/& =2:©/Ф соответствуют элемен-
элементам Qxf, Q2',... ,Qa'. Если мы построим систему сопряженных с по-
последними относительно 31 элементов Qx', Q2\ .. •, Qm*> то т будет также
зависеть только от ©. Композиция же элементов этой системы поро-
порождает всю группу %, так как % есть норма группы ?' относительно 31*
Сопоставляя все эти обстоятельства с условиями теоремы 2 и
взаимно относя друг другу
в теореме 2:
здесь:
©'
мы видим, что все условия теоремы 2 выполнены. (При этом мы не
обращаем внимания на то, что некоторые из элементов Q/ могут
совпадать.) Следовательно, все возможные группы f) полностью опре-
определяются структурой группы ©. Число групп, сопряженных с fj отно-
относительно &', также зависит только от группы @, откуда следует, что
порядок нормы §! группы fj относительно &' зависит только от @.
Рассмотрим теперь поле КР^\ принадлежащее к группе ?х внут-
внутри Кр. Может случиться, что нормализатор 9li/©i элементов ©/©х
будет больше, чем 9г/©1в Тогда КРA) может быть центральным ча-
частичным полем классов над К. Продолжая таким же образом далее,
мы после некоторого, зависящего только от @, числа а шагов {а не
больше, чем число членов главного ряда группы @) придем к
полю Кра\ относительная группа которого ф/?а имеет нормализа-
нормализатор 31а/&а> равный 3la-i/&a. Тогда мы утверждаем, что КР{а) не
является центральным частичным полем классов относительно своей
группы инерции %'а - i ©a/©a (см. теорему 7). В самом деле, если от-
относительной группе %'а -1 по отношению к КР(а~~1) соответствует про-
простой идеал Sga_i поля Кр(а~1\ то содержащему идеал jpe-j просто-
простому идеалу ^а поля КР{а) соответствует относительная группа %а'- Так
как поле КР{а~{) не разветвляется над КР(а\ то, в силу теоремы 7,
группа Х'а изоморфна группе %\a-i) и отнесена ей отображением
Wai $a-\~>3lal §а- ПОЭТОМУ НОрМЭ %а ГруППЫ %'а ОТНОСИТвЛЬНО 31а / &«

136 Н. Г.-ЧЕБОТАРЕВ
равна отображению %а-\§а1%а группы %а-\ на 9ie/&« где %а-г
есть норма 2'a-i относительно 3la -iJ$Qa-i = 3lal$a-i (теорема 8).
Но так как ?tf_i имеет с &1$2а-\ пересечением группу f)a-i, кото-
которая содержится в $Qa, TOjfl-i^/& и $/$д суть взаимно простые
группы, ч. и т. д.
Если мы последовательно возьмем в роли 31 / $& и %&1& все нор-
нормальные делители группы & и для каждой пары групп (&?/$ при
этом должна быть делителем 9?/ig) проведем вышеописанное постро-
построение, относя элементам Q/, Q2',..., Qm' все возможные комбинации
элементов ?/^§ с повторениями (при условии, чтобы сюда с каждым
элементом Q/ входили все его сопряженные относительно 3t I $Q эле-
элементы; верхняя граница числа т зависит только от группы ©), то
таким путем мы исчерпаем все возможные группы f), которые могут
соответствовать центральным частичным полям классов для какой^
нибудь группы 2;'. Отсюда следует
Теорема 13. Все возможные группы $э, соответствующие
центральным множителям числа классов, полностью определяются
структурой группы ©.х
При доказательстве мы не пользовались тем, что КР есть элемен-
элементарное поле. Поэтому мы можем считать, что КР есть полное поле
классов поля К. Если К—наиболее широкое центральное частичное
поле классов над К и/С(а) — наиболее широкое не центральное над К
подполе поля К, то максимальная относительная степень К над К(а)
определяется структурой группы © поля /С. Это замечание имеет
место также и для родовых множителей (§ 7).
Теорема 14. Центральные множители числа классов не встре-
встречаются в циклических полях.
Доказательство. Пусть § лежит в центре 31 и группа 3?/§ —
циклическая. Тогда группа 3? допускает следующее разложение:
где т — порядок группы 31 \ §. Если U = HxSl и К= H2SJ — два эле-
мента группы У1, то
т. е. группа 31 — абелева. Следовательно, 2' = %, что невозможно»
так как, по теореме 9, ?' и ig взаимно просты, в то время как* % и Q
не взаимно просты.
§ 7. Родовые множители числа классов
В,этом случае не существует такой относительной группы инер-
инерции, норма которой (относительно 31) не была бы взаимно простой
1 Очевидно, что число возможных абелевых групп при заданном порядке огра-
ограничено.

К ТЕОРИИ ГРУПП ПОЛЯ КЛАССОВ
137
с & композит же Зй всех относительных групп инерции имеет отлич*
ное от 1 пересечение,&г с группой §. Так как Ж есть нормальный
делитель группы ©', то и $к есть также нормальный делитель.
Пусть %у %',.*., Х(а) будут все нормы групп инерции, взятые
относительно 31 и расположенные в каком-нибудь порядке. Построим
группы Xv %2> • • • у 2Л, где %k = %%'... %{к\к = 1, 2,..., а) есть ком-
композит групп X, %\ ..., ?(*}.
Так как в конце ряда ?0, %1У... расположена группа 2ГО, которая,
согласно вышесказанному, содержит группу фх, то найдется такая
Ж*, которая будет взаимно проста с $1$ в то время как все ?*?(* + 1),
3;^(Аг+2),. .., %k%.(a) уже не будут взаимно просты с Фх (при этом, возмож-
возможно, придется изменить последовательность групп %, %\%",.. \ ,?(а)).
Фиг. 4
Рассмотрим теперь отображения §?ik\%k* %{k+X)%k\%k, -.., %{а) %н\%ь
групп йи2;(*+1),--.,3;(в) на 5R^. Так как ?х и 2^ — взаимно просты,
то, по теореме 5, порядки групп §х и $Qx%kl%k равны. Композит же
%{k+l)%kl%k-%{k+2)%kl%k..*%{a)%kl%k содержит %&kl%k. Следова-
Следовательно, порядок группы &! есть делитель произведения порядков
%{k+l)%kl%k,%{k+2)Zkl%k,...,Z{a)%kl%k, а значит и произведения по-
порядков г***1), ?(Н-2>, . . ej г(а)#
Докажем, что каждая из групп ?(/> (/ = ? + 1,..., а) имеет фактор-
факторгруппу, некоторый делитель которой §/ будет изоморфен с фактором
1)// ^/—1 композиционного ряда группы $, так что, в частности, I|e = §i*
Для этого заметим, что каждая из групп %(i)%kl^k(i = k + 1,.. -,cl)
содержит делитель группы Je^/St*. Пусть для / = ^+1 этот дели-
тель будет l^ + i. Он будет нормальным делителем группы 5Й/Ж*.
Далее, группа Ж(* + 2) Ж* + i / ?* +1 должна содержать делитель группы
%?/H-i / ?*+ь изоморфный с делителем f)/H-2/Wi группы ^/Wi*

138 Н. Г. ЧЕБОТАРЕВ
Продолжая так, мы придем наконец к ^l/W-b так как в противном
случае группа $з± не содержалась бы в %а = 5Ш.
Так как группы ф и г(/) взаимно просты, то отображение t(i) = ?(/)$ \ Q
группы 2(/) на © изоморфно с 2Я. Но, по теореме 8, t<'> есть одна
из норм относительных групп инерции поля К по отношению к /(V
Поэтому группу % можно разложить в цепь факторгрупп, каждый
член которой есть группа, изоморфная с одним из делителей неко-
некоторой факторгруппы группы tw. Порядок же % не может быть
делителем порядка ©, так как группы t^, соответствующие различным
группам ?(/), могут полностью или частично совпадать. Следовательно,
необходимое условие существования родового поля классов состоит
в том, чтобы поле К содержало различные критические простые
идеалы и чтобы группа 3Rig/§t порожденная композицией норм групп
инерции №\ порождалась также композицией правильного подмно-
подмножества t<*+1>, t<*+2>,..., t<*> этих норм. Другими словами, остальные
нормы должны быть излишними для построения полной относительной
группы К над Кт.
Пусть К' есть некоторое поле классов над К и Кнх— поле, при-
принадлежащее в К' к группе $!. Кнх может равным образом быть родо-
родовым полем классов над К (даже центральным полем классов), так
как соответствующее ему поле Кп может быть другим. По тео-
теореме 8, нормы з;(/) групп инерции не изменяются при отображении на
31 / fei- Эти отображения ?(/)^/&i СУТЬ делители соответствующих
норм SC(/)$i/@i относительных групп инерции по отношению к новому
полю Кп- Если Khx — центральное над К поле, то по § 6 мы найдем
подполе Kj[ у которое не будет центральным над К, в то время как
Kh
j^-- будет соответствовать центральному множителю числа классов.
Ну
Обозначим Кьг снова через Кн. Тогда, как группы %{1)$&г \ $г, так и
их композит да$х / SQi будут взаимно просты с 6 / $х. Предположим,
что композит аи групп ?(/) имеет с Je/ifii отличное от единицы пере-
пересечение Ix/^r
Пусть» Xi = Ш%A)%B) - • -2(/) будет группа, которая имеет с ^ пере-
пересечение $!, в то время как aii+i = XiX(l+1) имеет с $х пересечение
Sq2> которое уже будет правильной надгруппой группы i§x. Следова-
Следовательно, !?$:(Ж) / 2/ содержит %1$21S/. Но так как группа 2; ^2 / S/ изо-
изоморфна с $2/^i» a SiI('+I)/2i —с некоторой факторгруппой группы
3R3:(/+I)/9R, то следовательно группа §2/^Й1 изоморфна с делителем
неко_торой_ факторгруппы группы Ша+1)/ж- Далее, рассмотрим
Ж|+13:(/+2)/^4-1 и @з/^2 и т. д. Отсюда, как и выше, мы заключаем,
что группа ^ / & распадается на факторгруппы $2 / glf @3 / €г» • • •» ^)/^v,
каждая из которых изоморфна какому-нибудь делителю некоторой
факторгруппы ЗЙЖ// ЭЯ- С Другой стороны, группа Ж&/ЭД изоморфна

К ТЕОРИИ ГРУПП ПОЛЯ КЛАССОВ 139
с некоторой факторгруппой группы Ж/2//Ж/ = %il%h где %t есть вхо-
входящая в %i относительная группа инерции по отношению к началь-
начальному полю Кп-
Посредством этого способа можно исчерпать все родовые множи-
множители числа классов. Но так как все ?* изоморфны с $?%il$?, которые
можно рассматривать как нормы групп инерции поля К, то отсюда
следует -,
Теорема 15. Общий родовой множитель кисла класбов, т. е.
произведение порядков групп $г, соответствующих родовым полям
классов нормального поля К у есть правильный делитель произведе-
произведения норм всех групп инерции поля К. Каждая из групп $х разла-
разлагается на факторгруппы I)/ так, что каждой из этих фактор-
факторгрупп можно отнести изоморфный с ней делитель tt некоторой
факторгруппы нормы одной из групп инерции, причем различным
t)t соответствуют различные U.
В частности, отсюда следует, что каждый простой делитель родо-
родового множителя входит в степень поля Д\ Величина же общего родо-
родового множителя зависит также и от числа критических простых идеа-
идеалов поля К-
Пример. Поле К (VрхРг'' ф/^)> гДе Pi ~ простые числа вида
4? + 1, имеет родовой множитель 2V~]. Соответствующее частичное
поле классов будет К (Уft, Ур2, • • •» Vp*)\ группа ? (v— 1)-членного
типа {2, 2,...,2}.
Аналогия между числом классов и родом поля алгебраических
функций выступает в этом случае особенно ясно. Именно, род может
быть определен как половина числа независимых путей, ведущих в
некоторую точку римановой поверхности, иными словами, как раз-
разность между числом точек разветвления и числом, необходимым для
построения группы монодромии. В случае гиперэллиптического поля
К {z, V(z — ах) (z — a2)'"(z — a<ip)) существует также аналог поля клас-
классов, именно — относительно неразветвленное поле
К (г, У (г — ах) (г — а2), У(г — ав)(г — аА),..., У (z - a%,-i) (г — а2р))
относительной степени 2р~К
Это поле играет важную роль в проблеме обращения.
Получено
8 декабря 1928 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. С. Jordan. Traite des substitutions. Paris, 1870, стр. 277—279.
2. N. Tschebotarow. Eine Verallgemeinerung des Minkowskischen Satzes usw,
Журн. н.-и. кафедр Одессы, 1, № 4, 1924.
3. H. W e b e r. Lehrbuch der Algebra, 2, 1899, стр. 691, теорема 4.
4. К. Hens el. Theorie der algebraischen Zahlen, Lpz., 1908.

140 Н. Г. ЧЕБОТАРЕВ
5* W. D у с к. Gruppentheoretische Studien. L Math. Ann. 20; О. Ш м и д т. Абстрактная
теория групп. Киев, 1915, стр. 49—51.
6. J. Schur. Uber die Darstellung der endlichen Gruppen usw. Crelle, 127 и 132»
в особенности J32, стр.85.
7. A. Speiser. Die Theorie der Gruppen von endlicher Ordnung, 2. Aufl., Berlin,
1927, стр. 130—131, теоремы A12), (ИЗ).
8. В urn side. Theorie of groups of finite order. 2 ed. Cambridge. 1912, стр. 275;
также О. Шмидт. Абстрактная теория групп, стр. 191.
9. Н. Hasse. Bericht uber neuere usw. Teil I, Klassenkorpertheorie. Jahresbericht
d. D. M.-V. 35, стр. 46—47.
ПОПРАВКА К РАБОТЕ
«К ТЕОРИИ ГРУПП ПОЛЯ КЛАССОВ»
(«Berichtignng- znr Arbeit: «Znr Gmppentheorie des Klassenkorpers»)
(Там же, 164 A931),
Из примера, приведенного Г. Гассе, я усмотрел, что высказанное
на стр. 132, строки 18—20 утверждение: «Поэтому группа ?
распадается на два взаимно простых фактора, каждый из которых
является нормальным делителем группы ©'»— неправильно. В дейст-
действительности можно утверждать только, что некоторая правильная
подгруппа группы Jg распадается на два таких фактора. Именно,
если
Si - A.Sr1 = At + x (г = 1,2,..., v - 1)
(здесь Ai — независимы), то группа с базисом
В1 = АгА2- • -Av, Bt = AtATli (I = % 3,..., v)
распадается на две группы {5Х} и {В2, ...,?^}> обладающие требуемым
свойством. Формула же D.4) остается справедливой, так как в нашем
случае поле КР распадается на два абсолютно нормальных поля, т. е.
не будет элементарным.
Поступило
1 января 1931 г.

ИССЛЕДОВАНИЯ ОБ ОТНОСИТЕЛЬНО АБЕЛЕВЫХ
ЧИСЛОВЫХ ПОЛЯХ
UNTERSUCHUNGEN OBER RELATIV ABELSCHE ZAHLKORPER
(Journ. f. reine und ang. Math. 167 A931), стр. 98—121)
Достигнутые в последнее время успехи в теории относительно-
абелевых числовых полей позволяют глубже исследовать структуру
их абсолютных групп Галуа. Конечная цель этих исследований может
быть формулирована, примерно, следующим образом.
Задача А. Дано поле алгебраических чисел ?, группа которого
есть д и абстрактная группа ©, содержащая такой абелев нормаль-
нормальный делитель ?, что факторгруппа ®lk изоморфна с д. Найти необ-
необходимые и достаточные условия существования для поля k надполя
К, группа которого изоморфна с &.1
Задача эта соприкасается, с одной стороны, с проблемой построения
поля с заданной (в частности, разрешимой) группой, с другой стороны
с вопросами арифметической структуры числовых полей.
Особенно важные результаты для разрешения этой задачи получил
А. Шольц [15—19].2 Его исследования относятся большей частью к
двустепенньШ группам (т. е, группам с абелевой коммутаторгруппой)
и идут в двух направлениях. Во-первых, он провел весьма целесооб-
целесообразную классификацию двустепенных групп [15—16]. Для простейшего
из их классов, названного им диспозиционными группами (Disposi-
tionsgruppe), задача А решается независимо от арифметических свойств
основного поля ?. В дальнейшем он распространяет понятие диспози-
ционной группы на произвольные группы [17]. Во-вторых, он уста-
устанавливает связь м^жду разрешимостью задачи А и арифметическими
свойствами поля k (число классов, распределение основных единиц и
т. д.) для других типов двустепеиных групп и применяет свои идеи
к проблеме башни полей классов [18, 19; 7].
Целью настоящей работы является отыскание наиболее общего
класса относительно-абелевызс групп,3 для которого решение задачи А
1 Слово «изоморфный» я употребляю в смысле «голоэдрически-изоморфный».
2 Цифры в кв« скобках обозначают нумер цитированной работы в указателе
литературы, приведенном в конце статьи.
9 Под таковой я понимаю группу, содержащую абелев нормальный делитель,
если я хочу обратить на последний особое внимание.

142 Н. Г* ЧЕБОТ А РЕВ
не зависит от арифметических свойств основного поля. Группы эти
названы мной шолъцевыми группами, так как они представляют
естественное обобщение введенных Шольцем диспозиционных групп.
Они соответствуют относительно-абелевым полям, не содержащим
никаких относительно-неразветвленных подполей (чисторазветвляю-
щиеся поля, rein verzweigte Кбгрег). Я высказываю предположение,
что структура такой группы вполне определяется структурой норма-
нормализатора 31 некоторой циклической подгруппы нормального делителя
$q и доказываю это предположение для случая, когда 31 есть
прямое произведение нормального делителя ig и некоторой другой
группы.
Далее, я рассматриваю различные типы ведущих идеалов и иссле-
исследую соответствующие им чисторазветвляющиеся частичные поля
классов вместе с их абсолютными группами. Отделить последние
возможно только в особых случаях, для которых я вывожу доста-
достаточные условия. Чтобы отличать различные типы шольцевых групп,
служит некоторый инвариант основного поля, определяемый для каж-
каждого простого числа р. Для того чтобы решить задачу А для задан-
заданной шольцевой группы, необходимо показать, что существует простое
число, для которого этот инвариант принимает заданное значение.
Решить эту задачу мне до сих пор не удалось.
Если чисто разветвляющееся частичное поле классов, соответ-
соответствующее ведущему идеалу, не отделимо, то задача А все-таки может
оказаться разрешимой. Это имеет место в том случае, когда & есть
дуальная группа.
Работа эта содержит некоторые методические особенности, пред-
представляющие, надеюсь, самостоятельный интерес. К ним принадлежит,
например, введение «корпусгруппы» (Korpergruppe), т. е. груцпы,
элементы которой являются относительно-абелевыми полями с неко-
некоторым определенным законом композиции. Введение этого понятия
позволяет рассматривать также группы не нормальных полей. Если же
поле нормально, то соотзетствующая ему корпусгруппа инвариантна
относительно автоморфизмов, соответствующих подстановкам группы
Галуа поля ?.
Связь между корпусгруппой и обыкновенной группой аналогична
геометрическому, закону двойственности.
Даю обзор содержания работы.
Б § 1 я кратко излагаю необходимые для дальнейшего сведения
о методе исследования относительно-абелевых групп, открытом
Шатле [2]. В нем автоморфизмы абелевых групп сопоставляются
с кольцами матриц специального типа Метод этот позволяет глубоко
исследовать природу общих относительно-абелевых групп.
В качестве приложения этого метода я'вывожу в § 2 некоторые
условия, достаточные для того, чтобы фактор («частное»), соответ-
соответствующий каждому прямому фактору группы i§> являющемуся нор-

ИССЛЕДОВАНИЯ ОБ ОТНОСИТЕЛЫЯО-АБОЛЕВЫХ ЧИСЛОВЫХ ПОЛЯХ 143
мальным делителем группы &> был также нормальным делителем ©¦
Здесь я использую данное И. Шуром доказательство [20] полной
цриводимости полуприводимых конечных линейных, групп. Условия
эти полезны в теории чисто разветвляющихся полей*
§ 3 посвящен изложению «закона двойственности». «Координатам»
некоторого элемента группы $q сопоставляются «плоскостные коор-
координаты» подгруппы, индекс которой равен порядку этого элемента.
Сопоставление это достигается тем, что форма, полярная некоторой,
характеристической дли группы Jq квадратичной форме, полагается
сравнимой с нулем. Если соответствующее представление группы ©
в «дуальном пространстве» подобно первоначальному представлению,
то группа & обладает следующим свойством: если й — делитель $Qf
являющийся нормальным делителем группы ©, то существует другой
делитель того же рода, индекс которого равен порядку f. С коорди*
натами дуального пространства можно сопоставить элементы уже упо-
упомянутой корпусгруппы. В частности, если производящие элементы
группы ig одного порядка, то группа дуальна.
В § 4 я ввожу понятие шольцевой группы. Для этих групп харак*
терны следующие «величины»: структура факторгруппы & / Sg9 порядок
наибольшей циклической подгруппы f) группы ig и структура норма-
нормализатора 3J группы I). Я высказываю предположение, что шольцева
группа вполне определяется заданием этих «величин», и доказываю
это предположение в' случае, когда Q есть прямой фактор нормали-
нормализатора 3J.
В§ 5 я интерпретирую понятие корпусгруппы > используя понятие
композиции циклических полей, введенное Кронекером [11]. Затем я
вывожу некоторые простейшие свойства чисто разветвляющихся
полей.
В § 6 я рассматриваю случай, когда ведущий иде)ал есть простой
идеал р основного поля. При этом, если $ имеет степень 1, то абсо-
абсолютная группа нормыг соответствующего чисто разветвляющегося
поля есть диспозиционная группа. Результат этот не зависит от того,
какова абсолютная .группа классов основного поля (см. § 2, второй
критерий). Впрочем, этот случай "уже исследован Шольцем.
Если же степень р больше 1, то мы получаем чисто разветвляю-
разветвляющееся поле, абсолютной группой которого будет шольцева группа.
Перестановочность подстановок групп 5ft и @ можно исследовать при
помощи,простых теоретико-числовых соображений. Характер осталь-
остальных соотношений между производящими элементами групп Ш и %
связан со значениями некоторого специального символа типа гиль-
бертовского символа норменных вычетов. Поэтому решение задачи А
требует разрешения некоторой ноной проблемы плотностей, что мне не
удалось сделать.
Т. е. наименьшего нормального поля, содержащего заданное поде.

144 Н. Т. ЧЕБОТАРЕВ
В § 7 я исследую случай составного ведущего идеала. Я ввожу
«идеальные поля», соответствующие простым идеальным делителям
ведущего идеала. Их я представляю себе как надполя абсолютного
поля классов поля k. Искомое поле будет тогда некоторым подполем
композита («относительного произведения») всех полей, образованных
таким образом.
§ 1. Метод Шатле исследования относительно-абелевых групп
Я изложу здесь основы изящной теории Шатле B),1 которой в по-
последующем мы будем пользоваться.
1. Пусть @ — конечная абелева группа; Alt A2,...,An — ее базис.
Базис этот мы предполагаем максимальным, т. е, порядки Л/ суть сте-
степени простых чисел. Между Л/ могут существовать соотношения;
пусть производящими соотношениями являются
/. = А'11 А2... Апы = Е (i = 1,2,..., п) A.1)
(т. е. всякое соотношение между At есть следствие соотношений
A.1)). Пользуясь терминологией Шатле, мы будем говорить, что матрица
P = (pik) представляет модуль A.1) группы § (tableau, associe au mo-
module A.1) de §).
Если некоторый элемент В = Е, то
откуда следует
*k ^yiPik + УъРгк + ... + ynpnk (* = 1, 2,..., п),
или
(х19 х2,..., хп) = (уг,у2, ... ,уп) Р>
где символ (^lf х2,..., хп) следует рассматривать как однострочную
матрицу. Два элемента группы Q равны тогда и только тогда, если
соответствующие им индексы (хх, х2,... ,хп) и (zlfz2j.. •, zn) связаны
соотношением
(хг, х2,,.., хп) — (zlt z2i..,, Zn) « (л, У2г • •. >Уп) Р> BЛ)
где (ух,у2>... ,уп) есть однострочная целочисленная матрица. Для со-
соотношений типа B.1) мы введем следущее обозначение:
(*!, х2У..., Хп) sees (zlf z2y..., zn) (mod P)f C.1)
2. Под автоморфизмом группы ig мы понимаем переход к новому
базису, для элементов которого остаются справедливыми все соотно-
соотношения A.1). Пусть один из таких автоморфизмов будет
Г. Гассе указал мне, что аналогичная теория была совершенно независимо раз-
развита О. Шрейером [19а].

ИССЛЕДОВАНИЯ ОБ ОТНОСИТЕЛЬНО-АБЕЛЕВЫХ ЧИСЛОВЫХ ПОЛЯХ 145
Тогда должны иметь место соотношения
п
MB») = П В»'г* = П А?*** = fl Л* *'=? (X = 1,2,..., п),
т. е.
2/>**'«' • • - 2px*ftbf) —° (mocl/>) (X e Ь 2,..., л) D.1)
Д;=1 ?=} '
Рассматривая эту строку как строку с нумером к некоторой квадратной
матрицы, мы сможем записать сравнения D.1) в следующей форме:
РТ = вР, E.1)
где T=(tik)y a G —целочисленная матрица. Свойство это характерно
для матрицы Т, соответствующей некоторому автоморфизму [по тер-
терминологии Шатле, матрица Т полуперестановочна (semipermutable) с Р].
Если матрицы Т± и Т2 удовлетворяют уравнению E.1), то ему удовле-
удовлетворяют и матрицы Г1=Ь Т2, Т±Т2. Говорят, что матрицы, удовлетворяю-
удовлетворяющие уравнению E.1), образуют конечную алгебру.
Если Т переводит группу Sq в себя, а не в свою подгруппу, то
автоморфизм Т называется собственным (eigentlich). Чтобы автомор-
автоморфизм Т был собственным, необходимо и достаточно, ч*?обы подста-
подстановка (у) = (х) Т была обратимой. Последнее всегда имеет место, если
определитель | Т\ взаимно прост с порядком группы $ (т. е. с опреде-
определителем \Р\). Все собственные автоморфизмы образуют группу.
3. Пусть Ж — подгруппа группы $ с базисом
В1=Х\Акч* (/=1,2,...,/я; тп<п). F.1)
Если т<Сп, то положим Вт+1 = Вт+2 = .. .= Вп = Е. Пусть производя
щие соотношения группы $ будут
После подстановки вместо Вк их значений из F.1) соотношения эти
становятся следствиями соотношений A.1)
(к = 1, 2, . . ., п),
откуда
или
где R соответствует модулю ®, а Н и Q — целочисленные матрицы
10 Н. Г. Чеботарев. Том

146 Н. Г. Ч Е Б О Т А Р Е В
С другой стороны, Р «делится справа» на R. В самом деле, изве-
известно, что всякая подгруппа абелевой группы изоморфна некоторой
факторгруппе той же группы. Последняя же может быть построена
следующим образом: выбираем снова за производящие элементы А19
А2,...,АЯ, но полагаем, что между ними, кроме соотношений A.1),
имеют место еще некоторые другие, а именно
9. = ЛХЧ42Ч . .Anin= E (i = 1, 2,... , п), G.1)
следствиями которых являются соотношения A.1), т. е.
U = ?iX/1<P2X/2.. • ф/*" (8.1)
или подробнее
гпп\ХЫ
)
л рПд р& Л Pirt__/A Г11 л ri/nX*i (д Гп\ А
Так как эти соотношения представляют тождества относительно At
А2,..., An, то
pik = hirik + Х/2Гг* + . • • + ЪпГпк (i, к = 1, 2,..., п),
или
где Л — целочисленная матрица, что и требовалось доказать.
4. Пусть даны два разложения модуля P:P~QR иР=? Q'R'. Когда
они соответствуют одной и той же подгруппе й группы ig? С одной
стороны, очевидно, что разложение P=Q2'2~~1/?, где 2 — произвольная
унимодулярная матрица (т. е. матрица с определителем ±1) соответ-
соответствует той же подгруппе. Действительно, матрица QS соответствует
другому базису той же подгруппы й, а матрица S-1/? определяет те
же соотношения, что и /?, только лишь в иной форме. С другой сто-
стороны, если R и R' соответствуют одной и той же подгруппе ?, то
модули R и Rf должны совпадать. Иными словами, если zlf z2,... ,zn —
целые, то должны найтись такие целые г/, г2',... ,Zn> что
и обратно, каждой целочисленной системе z^, z2f>... ,гп' должна соот-
соответствовать целочисленная система zv z2,,.. ,zn. Это возможно тогда
и только тогда, если матрицы R(R')-1 и R'R-1 = [^(Z?')]" — цело-
целочисленные. Отсюда следует, что /?(/?')-1 = S — унимодулярная матрица,
т. е.
§ 2. Нормальные делители. Относительные произведения
1. Пусть теперь © — надгруппа группы &, содержащая $ как нор-
нормальный делитель, и которая, таким образом, может быть рассматри-
рассматриваема как группа автоморфизмов группы §. Подстановкам группы Ф

ИССЛЕДОВАНИЯ ОБ ОТНОСИТЕЛЬНО-АБЕЛЕВЫХ ЧИСЛОВЫХ ПОЛЯХ 147
соответствуют матрицы типа Т. Если Я — подгруппа группы $? и одно-
одновременно нормальный делитель группы ©, и /?— матрица модуля Я,
то Т ¦*-- полуперестановочна не только с Р, но и с /?
RT=QR. A.2)
2. Предположим, что & распадается в относительное произведе-
произведение (т. е. в прямое произведение, оба фактора которого являются
нормальными делителями группы & (ср. [15]), причем одним из факто-
факторов является й:
Тогда Р приводится к виду
Р = (А0
[О В
[А 0\
причем матрица 1П -), где Е — единичная матрица соответствующего
(MN
порядка, соответствует модулю $. Если представить Г в форме \п г\
то уравнение A.2) распадется на такие уравнения:
АМ=ХА,
Воспользовавшись тем, что Т определяется с точностью до правого
кратного матрицы Р, можно привести Т к виду
(М N\ _ /0 0\ [А 0\ = (М ЛЛ
[rq) [zo){ob) {oqJ
(матрица Т полуприводима). Принимая же во внимание второй фактор
Stl9 мы сможем представить Т во вполне приведенной форме ( п п).
Если группа Я задана как прямой фактор группы @ и нормальный
делитель группы ©, то тем самым Яь как известно, однозначно не
определяется. Возникает вопрос, нельзя ли в качестве 5?х выбрать
также нормальный делитель группы ©. Мы укажем некоторые необ-
необходимые для этого условия.
3. Для того чтобы группа $х была также нормальным делителем
группы &, необходимо и достаточно, чтобы каждый автоморфизм Т
группы © (который мы предполагаем представленным в полуприведен-
полуприведенной форме) мог быть приведен к виду \ п п)- Таким образом, дело
сводится к задаче изменения В в матрице Р= ( 0 R) так, чтобы все
матрицы Ту образующие полуприведенную группу матриц по модулю
Р, обратились во вполне приведенные. Задача эта разрешена И, Шу-
ром для обыкновенных конечных групп матриц ([20], стр. 415). Именно,
если Г=^ г rJ, то И. Шур преобразует группу матриц посред-
10*

148 Н. Г. ЧЕБОТАРЕВ
ством матрицы вида ( .J, где достаточно положить F = —^>jNsQs_t
s
(я-порядку группы ®/g). Для наших целей необходимо еще> чтобы
матрица F была целочисленной. Но так как мы рассматриваем все
матрицы по модулю Р, то это последнее требование всегда может
быть удовлетворено, если определитель |Р|=Пор. Jg взаимно прост
с п.
4. Условие, выведенное выше, никоим образом не является необ-
необходимым. Чтобы получить другой критерий, представим § как адди-
аддитивную группу (т. е. положим, например, xt~ log At) и будем тракто-
трактовать &/$Q снова как линейную однородную группу подстановок. Рас-
Рассмотрим линейную форму
? = U1X1 + U2X2 + . . . + UnXn
с неопределенными переменными их, иъ ..., иа и обозначим через ?г
форму, в которую переводится ? подстановкой Т. Очевидно, что
квадратичная форма
/7 = 2(?гJ B.2)
г
инвариантна относительно ©Д)- Представим F как сумму независимых
квадратов и будем рассматривать ее по модулю Р. Если F содержит
п независимых квадратов и коэффициенты при них взаимно просты
с |Р|, то легко доказать, что группа вполне приводима ([22], стр. 106,
фундаментальная теорема 99). Необходимое и достаточное условие
для этого состоит в том, чтобы дискриминант D формы F был вза-
взаимно прост с |Р|. Так как дискриминант этот содержит переменные
иХ9 иъ ..., ип, то можно применить способ Гензеля ([10], гл. 10) и фор-
формулировать этот второй критерий так:
Если рх,р2> .•• ,ри — различные простые делители |Р), то должно
быть:
D Ф 0 (modd. ph uxpt — uv a/t - u2,..., u/t — un) (i = 1,2,..., *).
Этот критерий имеет действительное значение только в случае k = 1
(т. е. когда порядок группы $ равен степени простого числа). Он на-
наверное выполняется в случае, если © есть общая диспозиционная
группа [17], т. е. если все ?г независимы по модулю Р.
Если форма F содержит только т<1п независимых квадратов ух2,
У22>-»чУт*> то нормальный делитель §х групп фи®, порожденный
Уг> J>2> • • • >Ут, всегда распадается в относительное произведение. В этом
случае следует рассмотреть $х вместо &.
5. Пример (предложен О. Шрайером, [25], стр. 187).
Пор А «Пор 5= Пор е=/>, А* = А, 5е = АВ = ВА,
& = (Л, 5, 0), $ = (Л, В),

ИССЛЕДОВАНИЯ ОБ ОТНОСИТЕЛЬНО-АВЕЛЕВЫХ ЧИСЛОВЫХ ПОЛЯХ 149
р= ^ I. В этом случае можно рассматривать все матрицы не по
\0 р/
модулю Р, но просто по mod p. Если элементы Л, В соответствуют
переменным х и соотв. у, то автоморфизм 0 представляется в следую*
щем виде:
в : х' = ху у' = х + у.
Отсюда следует
0*: х'=х, у' = *х + у (* = 0, 1,2 р— 1).
F = (ux + vyf + (их + vyJ@ + ... + (их + vyJ@P l=
= (их + vyf + (и + vx + vyJ+ ... + (и + pv — vx + vy)z=
ft.+p(,_l)OT+/^^
Если р>3, то /^^0 (mod/?).
Если p = 3, то /^бд;2 (mod3).
Если /?--^2, то Z7^^ (mod 2).
Во всех случаях группа ig не распадается в относительное произ-
произведение.
§ 3. Дуальные группы
1. Рассмотренный в § 2 класс относительно-абелевых групп, кото-
которые мы назовем регулярными группами, допускает важное обобще-
обобщение, которое и составит содержание этого параграфа.
Определение. Если абелев нормальный делитель ig группы ©
обладает тем свойством, что в нем каждой подгруппе $ порядка s
можно сопоставить такую подгруппу ^индекса s (причемffi-*-*@/ft),
что: 1. Если й3 есть пересечение подгрупп ?х и SE2> то i?3 есть ком"
позит f! и й2, и наоборот; 2. Если $ есть нормальный делитель груп-
группы ®, то и f также; то будем говорить, что группа !q дуальна (от-
(относительно ®).
Если мы присоединим сюда еще условие, чтобы подгруппы f и S
были взаимно просты в том случае, когда ? есть прямой фактор груп-
группы Sq (т. е. его инварианты либо максимальны, либо равны 1), то полу-
получим определение регулярных групп.
2. Геометрические представления послужат нам для установления
одного весьма широкого класса дуальных групп. Каждому элементу
А = A±XlA2Xt...кпх* группы § отнесем вектор с координатами хг,
х2,..., хп. При изменении базиса [Аг, А2,..., Л„] координаты xlt х2,...,
..., х„ этого вектора подвергаются некоторому линейному преобразо-

150 Н. Г. ЧЕБОТАРЕВ
ванию, которое мы будем рассматривать как преобразование коорди-
координат. Таким образом, каждому элементу группы $ относится вектор
аффинного пространства, причем соответствие это не зависит от вы-
выбора системы координат. Точно так же каждой циклической под-
подгруппе группы $ соответствует прямая и вообще каждой подгруппе—
подпространство.
Каждому элементу группы & соответствует некоторое отображение
нашего пространства. Подгруппам группы §, являющимся нормаль-
нормальными делителями группы ©, соответствуют подпространства, остаю-
остающиеся инвариантными при всех таких отображениях.
3. Введем теперь новую систему целых чиселйх, и2,..., ип (так на-
называемые плоскостные координаты или координаты дуального про-
странства), связанных с координатами х19х2,...,хп следующим
образом:
Р~Цхуи) = 0 (modi), A.3)
где Р(х, и) есть билинейная форма, ^ptkXiiik, соответствующая ма-
трице Р (так что Р~г (х,и) — форма,-соответствующая обратной матрице
Р"), и знак = 0(modi) обозначает целочисленность (форма Р~1(х1 и)
не является целочисленной).
Если система чисел (х19 х2,..., хп) пробегает все индексы группы
& то уравнение A.3) удовлетворяется тогда и только тогда, если зна-
значения всех производных **' целые числа. Это означает, что
щ должны удовлетворять следующему условию:
(!*!, И2> . . . , Ия) = {Vl9 V2,..., Vn) P\
где vx, v2,..., vn — целые числа и Р1 — матрица, полученная из Р
транспонированием. Системы эти соответствуют единичному элементу
абелевой группы i§, модуль-матрица которой есть Р'. Группа эта
изоморфна с ig.
4. Если система чисел (х19 х29..., хп) пробегает индексы элементов
некоторой подгруппы ft группы @, то (%, и2,..., ип) пробегает индексы
элементЪв некоторой подгруппы k группы |). Докажем, что подгруп-
подгруппа i? изоморфна с ©/ft. Чтобы избежать длинного счета, возьмем Р
в диагональной форме:
0,...,
р==( 0, л,...,
0,...
Pi Р* рп
и рассмотрим абелево поле К == k (Vrnly ]///г2,..., Vтп), группа кото
f 1
рого изоморфна с §, если в k содержится величина s = expf —

ИССЛЕДОВАНИЯ ОБ ОТНОСИТЕЛЬНО-АБЕЛЕВЫХ ЧИСЛОВЫХ ПОЛЯХ 151
(Р s=Pip2- • -Р*)-1 Элементу А- группы Sq отнесем ту операцию группы
поля К, которая переводит Vmt в tqiYmt Г^=-^-У оставляя инва-
инвариантными остальные радикалы, и совокупность радикалов рассмотрим
как мультипликативную абелеву группу: Bt-^Vmt. Выделяя систему
показателей и19 и2,..., ип, соответствующую некоторой подгруппе k
этой группы радикалов (или лучше: корпусгруппы (KSrpergruppe)), мы
устанавливаем, что поле, образованное элементами $, принадлежит
некоторой подгруппе ® группы ф. Если произвести над величиной
(Mi)"l((l^)Sl. • • {V^tnTn подстановку А = АгХгА2х%. .. Апх», то вели-
величина эта приобретает множитель gW^W'+'^ + ^Vn, Значит, А
принадлежит к ® тогда и только тогда, если имеет место
+ ^2-^2^2 + • • • + qnXnUn^O (modp),
где система чисел (ulf и2,..., ип) пробегает все индексы группы
Уравнение это может быть записано следующим образом
Так как
+ + ... + ^ = 0 (modl).
Р\ Рг Рп
то мы приходим как раз к уравнению A.3). Таким образом, группа
$ изоморфна с группой Галуа поля, образованного элементами й, т. е.
с группой ?/ft.
Так же легко при помощи теории Галуа мы убеждаемся в том, что
условие 1 «определения» выполнено.
5. Условие 2 нашего «определения» не всегда выполняется. Чтобы
обнаружить это, мы исходим из следующих, легко доказываемых
формул, в которых U и V представляют произвольные унимодуляр-
ные подстановки
u), B.3)
P(xfuV)=PV'(x,u). C.3)
Рассмотрим формулу E.2)
РГ = еР. D.3)
1 Мы вводим следующее обозначение: ехр {х) «=» е2т х .

lS2
H, Г. ЧЕБОТАРЕВ
Она гласит, что каждому автоморфизму Т соответствует некоторая
другая унимодулярная подстановка 0, и наоборот. Произведению ТгТ2
соответствует произведение 6^, как эго следует из формулы
Таким образом, подстановки в образуют группу, изоморфную с груп-
группой ©/?. Полагая в B.3), C.3) U=T, У = в'~1> мы получим
Р-1 (хТ, ив1'1) = ТР-Щ-1 (х, и) = Р~1 (х, и).
Это значит, что форма Р{х,и) не изменяется, если произвести над х
подстановку Г и одновременно над # — подстановку в'.
6. Если Т пробегает всю группу &/$, то соответствующая под-
подстановка в' пробегает некоторую унимодулярную линейную одно-
однородную группу, изоморфную с группой ©/.§. При этом, если Р—сим-
Р—симметричная матрица" (что всегда можно предположить), то в', как и
7\ удовлетворяет уравнению D.3). В общем случае обе группы не
будут унимодулярно-подобны. В случае же, когда это имеет место,
мы можем изменить базис группы ф так, чтобы соответствующие
друг другу подстановки Т и в' совпали. Тогда $t и й являются
одновременно нормальными делителями группы ©, т. е. условие 2
«определения» выполняется и группа дуальна.
Заметим, чго рассмотренная нами группа автоморфизмов не всегда
изоморфна с @Д?. Этот случай необходимо имеет место, если группа
© содержит как нормальный делитель некоторую абелеву надгруппу
группы $&. Мы не можем также утверждать здесь, что корпусгруппа
изоморфна с группой ©. Понятие корпусгруппы сходно с Круллевским
понятием обобщенной абелевой группы [На]. Может случиться, что
одной и той же корпусгрулпе соответствуют различные группы ©.
Однако выводы этого параграфа остаются в силе, если под @Д? пони-
понимать группу автоморфизмов группы @, порожденную подстановками
из ©.
7. Пример 1 (см. пример § 2). Пор А = Пор В = Пор Т = р, Ат = А,
^ В А, © = (Л, В, Г), % = {А, В).
0 р)' VI V VI \)9 U \0 1
Полагая S=( 1 п)> получим 7^ = в'. Значит, группа дуальна.
Единственный нетривиальный нормальный делитель (А) группы © со-
соответствует самому себе, так что группа не регулярна.
Пример 2. Пусть Sq — произвольная абелева группа и © — ее
полная группа автоморфизмов. 0' есть автоморфизм группы ie и,
значит, содержится в ©. Группа © дуальна (ср. [2], стр. 165, строка
1 —2 сверху).

ИССЛЕДОВАНИЯ ОБ ОТНОСИТЕЛЬНО-АБЕЛЕВЫХ ЧИСЛОВЫХ ПОЛЯХ }5$
Пример 3. Пусть все производящие элементы группы $ — одного
порядка. Здесь Р — диагональная матрица с одинаковыми элементами,
т. е. перестановочна со всякой матрицей. Из формулы D.3) следует
Представляется весьма вероятным, что все эти группы дуальны.
Пример 4 (сообщен мне в письме А. Шольцем).
ПорЛ=/?2, ПорЯ = р, Ат = АВ = ВА, Вг = В, Пор Т^р
^0 1
Из D.3) мы получаем
Положим ?/ = (а*) и попытаемся удовлетворить уравнению (в' *) =7\
Получим
Значит, матрица U не может быть унимодулярной. С другой сторо-
стороны, эта группа не может быть дуальной, так как & содержит цикли-
циклический нормальный делитель (А), но циклических нормальных дели-
делителей порядка р2 не существует.
§ 4. Шольцевы группы
1. Шольц [15] рассмотрел один особый тип двустепенных групп
названный им диспозиционными группами. Под этим названием он
понимает группы © с абелевым нормальным делителем $ и абелевой
факторгруппой &/§, в которых J§ есть прямое произведение цикли-
циклических групп, получающихся, если над одной из них производить
подстановки из ©, причем любая из этих групп переводится различ-
различными подстановками в одну и ту же сопряженную систему только
тогда, если подстановки эти лежат в одном и том же классе смеж-
смежности ^е?. Таким образом, число сопряженных циклических групп
максимального порядка равно порядку группы ©/?•
Шольц доказал следующие два свойства диспозиционных групп:
1) Диспозиционная группа вполне определена, если известны: группа
&/§ и порядок производящего элемента группы §; 2) Если дано
поле алгебраических чисел с группой &/&, то всегда можно найти
такое его надполе* группа которого будет & (диспозиционное поле).
2. Первую из этих теорем Шольц обобщил A7) на случай, когда
&/!& есть произвольная группа, а $ — прямое произведение произ-
произвольных изоморфных групп. Он назвал (в письме) такие группы
общими диспозиционными группами.

*154 Н. Г. ЧЕБОТАРЕВ
3. Мы хотим обобщить это понятие в другом направлении. Пусть
группа &/$ произвольна, а ? есть прямое произведение циклических
групп: ф = fji х *J х ¦ •. + f)*, которые подстановками группы О пере-
переводятся друг в друга. Каждая группа^- имеет нормализато𠦹*•>$.
Число k сопряженных с $г групп равно индексу (© :3^i) • (^1) пере-
переводится подстановкой S в f)t тогда и только тогда, если S лежит
в /-том классе смежности З?^-. Наконец, предпрложим, что пересече-
пересечение всех 3?i равно $. Такие группы мы назовем шольцевыми группами.
Да будет мне позволено высказать следующее предположение отно-
относительно шольцевых групп.
Предположение. Шольцевая группа вполне определена, если
известны факторгруппа ®/? группы f)/ и группа п1=9111Ъ2х. ^)зХ • • -х *)*•
4. Мне удалось доказать высказанное предположение для того
случая, когда пг является прямым произведением, один из факторов
которого изоморфен с группой f)r Положим щ = 1)г х Щ и пусть
порядок группы Ъг равен т.
Представим @ как регулярную группу подстановок переменных
jc19 х2,... и построим функцию иг = f(x19 x2f...), принадлежащую
к группе тх (fJ x iK х • • • х *)*)• * Применяя к и± подстановки цикли-
циклической группы f)v мы получим п функций
и19 и2..., ип,
которые, при применении к ним подстановок из $tv будут претер-
претерпевать только циклические подстановки. Функция
v1 = u1+ г и2+ ...+ t-«+iun(* = exp(I
при применении к ней подстановок из ^ претерпевает только умно-
умножения на степени s и остается инвариантной при подстановках из
Ш1 х ^2 х^ з х ... х *)*• Значит, функция щп не изменяется при всех
подстановках из 311#
Пусть разложение & на классы смежности по $КХ будет
Применяя к vx подстановки S1 = E, 52,..., Sky мы получим функции
<о19 v2,..., Vk. Их /i-e степени vf, v2n,..., vun инвариантны относи-
относительно & а при применении к ним подстановок из & подвергаются
только подстановкам, образующим представление группы ©/?? в виде
группы подстановок. Представление это является собственным в силу
последнего предположения относительно шольцевых групп.
1 Под этим я понимаю группу, факторгруппа которой относительно f)8 X *K X
X ... X t>? равна nti. Мы имеем право ввести такое определение, так как эта группа
есть делитель 91, а 91 содержит группы ^ и ^ X ^ У. . • • X ^ в качестве нормаль-
нормальных делителей.

ИССЛЕДОВАНИЯ ОБ ОТНОСИТЕЛЬНО-АБЕЛЕВЫХ ЧИСЛОВЫХ ПОЛЯХ 155
Отсюда следует, что функции vx v2,..., Vk при применении
к ним подстановок из ©испытывают только перестановки и умноже-
умножения на степени е. Мы покажем, что в каждом классе смежности
разложения
представители 7* могут быть выбраны так, что относительно них
функциц vlf v2,..., Vk будут подвергаться только перестановкам.
Пусть их — производящая подстановка группы i)v которая переводит
vt в evt и не изменяет остальные функции vt. Тогда подстановка
Uit = sx-{ С/± Sx переводит vK в zv* и не изменяет остальные
Vi{yi = 1, 2,..., k)- Например, если
ТО
Очевидно, что нормированные таким образом подстановки образуют
группу, изоморфную с факторгруппой ($/$. Полная группа & опре-
определяется теперь как мономиалъная группа ([22], стр. 90), причем
ядро ее (Kerngruppe, т. е. максимальная подгруппа, состоящая только
из перестановок переменных) изоморфно с ®/Sq, а подстановками
группы $ переменные vlf v2,..., Vk независимо друг от друга умно-
умножаются на всевозможные комбинации множителей из ряда 1, ?,...,
г". Тем самым группа © определена полностью, что йт. д.
§ 5. Общие сведения о чисто разветвляющихся полях
1. Пусть К — относительно-абелево поле над числовым полем ?.
Будем считать, что оба поля абсолютно нормальны. Пусть © есть
абсолютная группа поля К и $q — относительная группа поля КI к-
ig есть абелева группа и является нормальным делителем группы &-
Пусть, затем, Кг— наибольшее неразветвленное над k подполе поля К;
группу его обозначим через §х. §х будет нормальным делителем
группы @. Здесь мог>т встретиться следующие три случая: 1) % не
является прямым фактором группы $Q; 2) §х есть прямой фактор
группы ?> но нельзя найти такого разложения § = §х х §2> в котором
группа ?2 была бы также нормальным делителем группы ©; 3) можно
найти разложение § = % х §а* в котором группа @2 представляет
нормальный делитель группы @.
2. Оставляя в стороне случай 1), спросим себя, когда может
встретиться случай 2). Группу $ можно представить при посредстве
некоторого базиса. Тогда группа ®/$ допускает представление Г
(возможно, несобственное) в виде линейной однородной группы типа

156 Н. Г. ЧЕБОТ А РЕВ
Шатле, модуль которой будет образован некоторым базисом группы ?.
Порядок ig можно считать равным 1т, где / — простое число. Действи*
тельно, К}к всегда можно разложить в относительное произведение
абсолютно-нормальных относительных полей, относительные степени
которых суть степени простых чисел.
На основании результатов § 2 мы заключаем, что случай 2) может
встретиться только тогда, если порядок Г не взаимно прост с поряд-
порядком ig. Но Г есть факторгруппа группы ®/!д и порядок ig = /т; значит,
случай 2) возможен только тогда, если / входит как фактор и в число
классов и в степень поля k. Исключив эту возможность, мы придем
к случаю 3). Здесь § = $зх X &> причем ^ и ф2 являются нормаль-
нормальными делителями группы ©. Поле К\ k разлагается в относительное
произведение двух полей, одно из которых относительно неразвет-
влено над ?, в то время как другое не содержит никакого подполя,.
относительно неразветвленного над k- В последующем мы ограничимся
рассмотрением только таких относительных полей.
3. Определение. Если относительно-абелево поле К Ik не со-
содержит подполей, относительно неразветвленных над k, то будем
говорить, что поле К \k чисто разветвляющееся (rein verzweigt).
Для чисто разветвляющегося поля можно установить простую
связь между ведущим идеалом f поля K\k и структурой абсолют-
абсолютной группы & поля К- Именно, имеет место
Теорема 1. Пусть Кх — наибольшее чисто разветвляющееся
относительно-абелево надполе поля ?, принадлежащее ведущему
идеалу \х, К — норма Кх и ^х — группа, к которой принадлежит
Кх внутри /С. Если У1~— нормализатор группы $г и 0^ — наиболь-
наибольшая группа, относительно которой идеал \г инвариантен внутри
Л, то имеет место
Доказательство. Если подстановка S группы д = ©/ф пере-
переводит идеал \х в f/, то поле Кх той же подстановкой переводится
в поле К± у принадлежащее к группе S &XS. Kx есть наибольшее
* г S
чисто разветвляющееся поле, принадлежащее ведущему идеалу fi •
Если f1s== fi, т. е. S принадлежит к ®^, то и KXS == Кх, откуда сле-
следует, что S-t^S = $1у т. е., что $S содержится в нормализаторе Э?.
Если же fi5 ф fi, то и К\ не может совпадать с Кх. В самом деле,
если бы Kxs совпадало с KXj то Кх принадлежало, бы как ведущему
идеалу ]х, так и ведущему идеалу ]xsy а следовательно, и их общему
наибольшему делителю, что противоречит определению ведущего
идеала. Теорема доказана.
4. Чтобы более ясно представить последующие рассуждения, рас*
смотрим не саму группу i§, но изоморфную с ней группу Q дуального

ИССЛЕДОВАНИЯ ОБ ОТНОСИТЕЛЬНО-АБЕЛЕВЫХ ЧИСЛОВЫХ ПОЛЯХ 157
пространства, названную нами в § 3.4 корпусгруппой. Способ образова-
образования ее уже описан в § 3.4 для случая, когда поле К есть поле ради-
радикалов; иначе говоря, когда поле к содержит /от-ые корни из единицы.
Ограничение это легко устранить, если вместо умножения радикалов
воспользоваться общим понятием композиции полей, примененным
уже Кронекером [11]. Отнесем каждому циклическому полю /С,
циклическую группу % того же порядка. Если Кг =?(а)и$ — Е+А+
+ ... + Ап~~{, то каждому элементу из 31 отнесем некоторое распо-
расположение сопряженных с а величин. Именно, пусть
Если теперь К2==$ (Р), 93 = ? + В +-.. +Вп~{, то пусть группа
2195 = Е + АВ + ... + Л" В"-1
отнесена полю К = к (т) = k (сф + оИр* + ... + а^ р3"). Это поле
не зависит от выбора величин ос и C внутри их полей, если
только считать эти величины примитивными. В самом деле, поле это
инвариантно внутри К относительно подстановок из §, переводящих
одновременно а в ал* и C в$вк (к = 1, 2,..., п— 1), Группа, образован-
образованная этими подстановками, имеет индекс # относительно S&. Теперь,
если мы хотим фиксировать в этой группе некоторый элемент, то мы
должны поставить вместо у одну из сопряженных с ней величин,
например уАВ
-Чу, г45, уА9ВЛ,...,-гАЯ~-1вЯ~1}.
Точно так же как и в § 3.4, мы можем определить здесь символ
As, где S обозначает автоморфизм группы $. Определенная таким
образом группа автоморфизмов изоморфна с Г.
§ 6. Случай, когда ведущий идеал — простой
1. Пусть f = p, где р — простой идеал поля ?, и пусть / — простое
число, взаимно простое с р. Случай этот рассмотрен уже Шольцем
([15], стр. 348—353), и мы здесь в основном будем следовать ука-
указанному им пути.
Чтобы над полем k существовало чисто разветвляющееся цикли-
циклическое поле относительной степени 1т с ведущим идеалом р (в этом
случае говорят, что р примарно mod lm), достаточно, чтобы р в поле
и I I I \ 1т 1т \
* (ехР |~^гй Ь лГ~ l/i Разлагалось в произведение простых идеа-
лов относительной степени 1 и чтобы имело место сравнение
N(p)^eeI (mod lm). Здесь exp (—) — наивысший содержащийся в к
1-й корень из 1, s/ — основные единицы и р* — /т-е степени идеалов
поля к.

168 Н. Г. ЧЕБОТАРЕВ
2. Если ? содержит /т-ый корень из 1, то есть другой критерий
примарности простого идеала р по mod lm. В случае т = 1 он гласит
следующее ([24], стр. 16): должен существовать такой идеал q, что
pq^aEEEl (mod X'),1 где Х=1—expf-^-J (а называется тогда при-
марным числом). В случае m=f=\ условие примарности в терминал
сравнений доселе не сформулировано явно (ср. [3J и [8]^ стр. 47).
Замечу только, что числа, удовлетворяющие этому условию^ обра-
образуют мультипликативную группу. Это обстоятельство будет полез -
ным в случае составного ведущего идеала.
3. Теперь рассмотрим норму относительно-циклического поля К\
типа, рассмотренного выше. Если мы применим к Кг подстановку
S группы д, то поле это перейдет в поле Kxs с ведущим идеаломр5.
При этом, если подстановка S изменяет идеал р, то поле Kts навер-
наверное отлично от поля Kt; если Же р5=р, то только в некоторых специ-
специальных случаях можно утверждать, что K±s совпадает с Кх. Напри-
Например, если k содержит /т-ый корень из единицы ирс\1 ~ а, тоKxs = Кг
тогда и только тогда, если между ассоциированными с а числами
найдется число, лежащее в поле разложения ki идеала р. Если это
ns
не так то —=? есть степень идеала, норма которого относительно
a
kx равна 1. В частности, если р ^ а, то s является алгебраической
единицей, которая может быть представлена как символическая
(S — 1)-я степень некоторого числа,,не являющего:яединицей. Эгот
случай наверное не имеет места, если наперед известно, что поле k
допускает отделение чисто разветвляющегося /-поля (см. § 5.2).
Тогда справедлива теорема 1.
4. Чтобы исследовать в этом случае структуру абсолютной группы
% относительного поля, будем различать следующие три подслучая:
1) р есть некритический идеал степени 1; 2) р есть некритический
идеал высшей степени; 3) р есть критический идеал.
1) р есть некритический идеал степени 1. Для абелевых групп
@$ = ®/? случай этот рассмотрен Щольцем ,([15],, стр. 348—353). Но
если rpjftina © произвольна, то никаких новых трудностей не воз-
возникает.
Каждому сопряженному с р .простому идеалу соответствует отно-
относительно-циклическое поле относительной степени 1т. Так как сте-
степень р равна 1, то число различных полей этого рода равно^порядку
группы ©/& Обозначим сопряженные с p=Pi простые идеалы через
Pit Рг> • • • > Ря (п ~ Пор. 9) и будем последовательно присоединять
к k соответствующие этим простым идеалам поля К1% К2, • • • > Кп.
Каждое новое присоединение будет увеличивать относительную, сте-
степень поля в 1т раз. .Действительно, в противном случае существо-
1 Знак ?: заменяет слово «ассоциирован».

ИССЛЕДОВАНИЯ ОБ ОТНОСЙТЕЛЬНО-АБЕЛЕВЫХ ЧИСЛОВЫХ ПОЛЯХ 159»
вало бы поле Ki+i, пересекающееся с K%K2...Ki вне k, что невоз*
можно, так как относительные дискриминанты Кг К2 •.. Ki и /G+i
являются произведениями степеней простых идеалов plf р2> •. • ,Pt
и р/+ь то есть взаимно просты, в то время как поле /G+! — чисто раз-
разветвляющееся.
Отсюда следует, что группа © будет /t-членного типа [рт, рт,.. . ,рт]
и что каждый ее базисный элемент может быть переведен.в любой
другой посредством некоторой подстановки группы ®. Шольц [17],
доказал, что подобная группа, которую он назвал общей диспози-
ционной группой, вполне определена, коль скоро заданы & / ig и 1т.
Подчеркнем еще, что в этом случае поля К всегда являются
чисто разветвляющимися, какие бы мы ни выбрали чисто разветвля-
разветвляющиеся поля К±. (Поле К определяется посредством р± только
с точностью до неразветвленного «поля—множителя»; если, например,
Ki—k(y-~)> то можно принять также Ki^bf^r—\ где ?G^-Ляв-
?G^-Лявляется, неразветвленным полем, т. е. абсолютным полем классов.)
Это связано со структурой диспозиционной группы (ср. § 2.4, вто-
второй критерий).
5. Теперь мы перейдем к тому случаю, когда р является кри-
критическим [подслучай 3]. При этом мы воспользуемся понятием кор-
пусгруппы. ПустьЬ будет корпусгруппа поля К, $—циклическая под-
подгруппа, соответствующая циклическому подполю Кг относительной,
степени 1т, 31— нормализатор i) (®>9Z>«@) иЗ^ — нормализатор про-
изводящего элемента группы fy. Докажем» что группа инерции идеала
р содержится в^/^. Для этого рассмотрим группу классов поля ?,
соответствующую полю К±. Так как Кг — чисто разветвляющееся
поле, то каждый из «классов» содержит абсолютные главные идеалы
по соответствующему ему делению на классы. Действительно, в про-
противном случае все абсолютные главные идеалы содержались бы в
одном правильном делителе группы классов поля К±. Если мы будем
понимать последний как единичный элемент нового деления на»
классы, то ему соответствует поле, которое должно быть одновре-
одновременно подполем абсолютного поля классов и поля Klf что исклю-
исключено (ср. [15], стр. 351). Таким образом, мы можем рассматривать
числа поля ? как представителей наших «классов». Умножение числа
на единицы или на 1т-е степени идеалов не изменяет «класса» этого
числа, так как вследствие примарности р имеет место
I I —
в то время как все норменные вычеты (и, в частности, все /от-е сте-
степенные вычеты) образуют единичный элемент нашей группы клас-
классов ([23], стр. 48—-51). Между этими «классами» и подстановками,

160 Н. -Г. ЧЕБОТАРЕВ
относительной группы % поля К1У согласно артиновскому закону вза-
взаимности [1],. существует взаимно однозначное соответствие. Именно,
если а — производящая подстановка этой относительной группы,
Л —любое целое число поля К, то имеет место
=A°(mod q), A.6)
и (у зависит только от «класса», в котором лежит q.
Следовательно, если S является подстановкой из 3?, то а5 совпада-
совпадает с а тогда и только тогда, если простые идеалы q и c\s лежат в одном
и том же «классе». Если, в частности, q ^ со, q^ ^ со*9 — «главные
идеалы», то это свойство может быть формулировано следующим
образом:
со5 / со == п (Q) (mod p), B.6)
тде fi означает некоторое число из поля Klf а п{...) есть символ
относительной нормы. Если S содержится в группе инерции \р иде-
идеала р (точнее, в t p), то для каждого целого числа со поля ? имеет
место
<о**/со = 1 еееяA) (mod p),
откуда следует, что сравнение B.6) безусловно удовлетворяется,
чем доказывается наше утверждение.
6. Обратное не всегда имеет место. Чтобы исследовать этот
вопрос, примем во внимание, что в k можно найти бесчисленное
множество простых идеалов, которые являются абсолютными глав-
главными идеалами и лежат в произвольно заданных классах сравнений
по модулю р [9], Предположим, что 0s = а для всех а; тогда B.6)
имеет место для каждого целого со из ?. Если при > этом всегда
л(?1) = 1 (mod р), то S непременно принадлежит группе инерции
идеала р. Это наверное имеет место только тогда, если р — J не
делится на /. В самом деле, если S есть производящая подстановка
группы разложения идеала р и N (p)=Epf, то, как известно, имеет место
co5 = co^(mod p). C.6)
Из B.6) и C.6) следует
со?- =/*(?}) (mod p).
С другой стороны, co/m = /i(a)). Если (х, у)—-решение диофантова
уравнения
(р-1)х
то
Таким образом, каждое число ш из k лежит в «главном классе»,
что противоречит определению «главного класса». Можно доказать

ИССЛЕДОВАНИЯ ОБ ОТНОСИТЕЛЬНО-АБЕЛЕВЫХ ЧИСЛОВЫХ ПОЛЯХ 161
большее: если Sd есть первая степень подстановки S, перестановоч-
перестановочная с с, то
pd = \ (mod Л).
Чтобы доказать эту формулу, рассмотрим соответствующую простому
идеальному множителю идеала р в поле К\ группу инерции относи-
относительно k19 где #! принадлежит к $1. Так как (/?, /) = 1, то группа \)
должна быть изоморфной некоторому делителю факторгруппы 2/85
(где 85— группа разветвления); следовательно, пор. % / 95 = 0 (mod lm).
Так как ст(=т*) можно рассматривать как подстановку группы
2/35, a S —как подстановку группы 91/95, то по формуле Шпей-
зера ([21], стр. 177, теорема 1) имеет место
о 1 о р О~^"л О С*~~^ С* ^Р " С* d O^ Р^
О T"*J ^—- Т . *3 ОО ~=~ О Т *3 ""^ *Z ¦¦¦ '¦ СТ . »j СТО """^ С7
Так как пор.а = /т, то из перестановочности Sa и а следует
а = ар , т. е. //=1 (mod/OT), ч. и т. д.
Наоборот, если pd =^\ (mod/*1) nfys = р, то as =<т, безразлично,
является ли идеал р критическим, или нет. Действительно, из
со = о/7 (mod p)
следует, что
СО5 /со = б/ ~' ЕЕЕ СО*7"* ^ /t (CO*) (tT10d p),
где ^ = р "~ , а это значит, что — лежит в «главном классе», от-
О)
куда следует, что подстановка Sd перестановочна с с
7. Теперь мы подробнее исследуем случай, когда идеал р не
является критическим (подслучай 2). В поле Кг р является /^-ой сте-
степенью простого идеала $: р ^ $//7\ Здесь fj является группой инер-
инерции, а 9? — группой разложения идеала $. (Так как /Ci не является
абсолютно нормальным полем, то мы не можем образовать абсолют-
абсолютных групп разложения, а лишь группы разложения относительно
поля klf которое принадлежит к 31; их поведение точно соответствует
х-адическим разложениям, открытым Гензелем, которые применимы
и к ненормальным полям). Так как порядок 1т-е группы инерции
взаимно прост с р, то мы имеем так называемый регулярный случай
([10], гл. 8). Здесь мы будем следовать обозначениям Оре, так как
одна из его работ ([13], стр. 657—660) устанавливает (хотя и не в
ir-адическом виде) в явной форме связь между тг-адическими разло-
разложениями и группами разложения.
11 Н. Г. Чеботарев. Том 1.

162 H. F. ЧЕБОТАРЕВ
Прежде всего, мы находим в поле инерции (т. е. в ?) число т,
которое является первообразным корнем сравнения
хр/-г = 1 (modSjT), D.6)
где а может быть выбрано произвольно большим ([13], стр. 657,
теорема 3). Затем находим в поле Кг «простое число» тс (т. е. число,
точно делящееся на первую степень $), которое удовлетворяет дву-
двучленному сравнению
E.6)
при произвольно больших а (A3], стр. 658). Если Z и Т — производя-
производящие подстановки группы разложения и соотв. группы инерции, так
что имеет место
== т*(mod дГ), tcz = тхтг (mod $2) ( )
= т, *ге^А (mod*") (^^
e
то группа разложения состоит из произведений
причем между Z и Т имеют место следующие определяющие соотно-
соотношения
Z =Ta, Te = \, Z TZ = Тр G.6)
([13], стр. 660, теорема 5). При этом //-— 1=а(/? — 1) = 0 (mode).
8. В определяющие соотношения G.6) нашей группы разложения
входит только одна величина, которая не определяется посредством
@/ф и р, именно а. Для того чтобы полностью охарактеризовать
группу разложения 5№, достаточно определить число а сообразно
поведению простого числа р по отношению к полю ?. Сравнение E.6)
показываем что число ±тЛ/? является норменным вычетом некото-
некоторого числа из Кг по модулю любой сколь угодно высокой стелени р.
Этот факт может быть зайисан следующим образом
^2—-) есть введенный Гассе символ норменного вычета
([8], стр. 35, III). В салу его свойства
стр. 2Ь,
\ т • \ "г у \ т /
мы имеем
(9.6)

ИССЛЕДОВАНИЯ ОБ ОТНОСИТЕЛЬНО-АБЕЛЕВЫХ ЧИСЛОВЫХ ПОЛЯХ 163
Так как т является примитивным числом, так что все вычеты по
модулю р могут быть представлены его степенями, то а вполне опре-
определяется из (9.6).
9. Теперь несколько преобразуем формулу (9.6). Положим х = -у ,
р я П1П2. • •liy.R1 (R есть /т-ая степень идеала), П1 ^ пе (П/ делится
точно на первую степень простого делителя р. числа р и не делится
ни на какой другой простой делитель числа /?). Тогда имеет место
формула ([8], стр. 25):
где (~ i есть так называемый символ Артина, который понимается
как такая подстановка относительной группы поля K\lk> которая
переводит целое число А поля Кг по модулю р. в Л (i = 2, 3,..., х).
С другой стороны, легко усмотреть, что двойной знак ±1 в форму-
формуле (9.6) означает, что следует брать —1 для нечетного / и +1 для
/ = 2, Но в обоих случаях (—jt—1) = 1, так как ± 1 лежит в «глав-
«главном классе».
10. Выражение A0.6) принимает значительно более простую форму,
если Кг является обобщенным куммеровским полем ([8], стр. 41 и
след.), т. е. если основное поле k содержит /т-ые корни из единицы.
В этом случае (•—) = (-М = (-4 и из формул (9.6) и A0.6) следует
,кЛа ( пап,~-пх\-1
рг; *v—*—) > AL6)
где (-zr) означает символ Лежандра. Но так как значение символа
Лежандра не меняется при прибавлении к «числителю» кратности plf
то формула A1.6) может быть представлена в двух следующих видах:
т, Кг \а _ ,'ПА- • -Ц, + ЩП,- • -Пх + ¦ ¦ ¦ + ЩЩ. . . Пх
Рг
Т) Kl y wn, - Пх) (п3 -
A2,6)
A3.6)
Формулы эти допускают следующее истолкование. Величины П2,
П3, . .., Пх получаются, если мы производим над Г^ подстановки,
являющиеся представителями смежных "классов в разложении
© = И + WS2 + •.. + MS*.
В частности, если мы сможем выбрать Пх таким образом, чтобы оно
принадлежало к группе 9?, то симметрические функции от Пх, П2;...,ПХ
11*

164 Н. Г. ЧЕБОТ АРЕВ
будут рациональными числами. Следовательно, Пг, П2,..., П* будут
удовлетворять некоторому уравнению с рациональными коэффициен-
коэффициентами
F (у) «у +Ргу«-1 + ¦ • ¦ + Р^У + Рх - 0.
Тогда формулы A2.6), A3.6) мы сможем записать следующим образом:
Выражение F' (Г^) есть дифферента числа П1в
Заметим, что произвол в выборе примитивного числа т влияет на
значение а. С другой стороны, мы изменяем а, если выбираем дру-
другую производящую подстановку Т. Таким образом, для нас важно не
значение числа а, а только максимальная содержащаяся в нем степень /.
11. Если k и р заданы, то мы без труда можем определить число а
по одной из формул, приведенных в пункте 10. Для того же, чтобы
решить задачу Л, важно ответить на следующий вопрос: пусть ? и а
даны. Имеются ли в k примарные идеалы р, которым cooTBeTcfByeT
заданное а. Мне не удалось ответить на этот вопрос. Главная труд-
ность заключается в том, что не удается получить для ( ) такую
формулу, чтобы в числителе символа Лежандра стояло число, не
зависящее от выбора /?. Число F' (П^ не является дифферентой поля,
а дифферентой числа П19 8 (Г^). С другой стороны, очевидно, что
значение ( —^ ) изменяется, если мы изменим а и оставим без изме-
изменения р.
12. Резюмируем теперь содержание этого параграфа. Мы рассмо-
рассмотрели здесь относительно циклические поля, ведущий идеал которых
состоит только из одного простого идеала и нормы которых чисто
разветвляющиеся, и получили следующие результаты.
Если ведущий идеал р является простым идеалом перрой степени,
то груйпа О есть общая диспозиционная группа. Поле К всегда чисто
разветвляющееся.
Если р есть критический идеал и %} $q — его группа инерции,
то 3: содержится в нормализаторе Шг производящего элемента корпус-
группы. Если 5№/§ его группа разложения, то 5№ есть нормализатор
корпусгруппы поля Кг. Если S—производящая подстановка группы
разложения идеала р, то %i (т. е. нормализатор отдельных элементов
и корпусгруппы) есть совокупность подстановок Sd, где показатели
d удовлетворяют сравнению pd=\ (mod/m).
Если идеал р не является критическим, то поле К чисто развет-
разветвляющееся, если р остается главным идеалом также и в поле разложе-

ИССЛЕДОВАНИЯ ОБ ОТНОСИТЕЛЬНО-АБЕЛЕВЫХ ЧИСЛОВЫХ ПОЛЯХ 165
ния. Структура группы разложения идеала р определяется наимень-
наименьшим корнем d сравнения /jd=l (mod/m) и числом а, причем а может
быть определено из уравнения
Pi ) VP2AP3
Когда структура этой группы разложения 8 известна, то группа ©
определяется однозначно, если «предположение» § 4 справедливо.
Это непременно имеет место в случае, если 8 есть прямое произве-
произведение группы инерции и другой циклической группы, т. е. если
р = 1 (mod/m), a=0.
13. Мы оставили неисследованным тот случай, когда все сопря-
сопряженные нормализаторы сопряженных циклических подгрупп группы ф
содержат правильную надгруппу Ш группы ф. Этот случай требует
более подробного исследования. Относящийся сюда простейший
подслучай встречается, если К распадается в относительное произве-
произведение двух полей, одно из которых есть k (как надполе над $lf где
?г принадлежит к ЗД), другое же есть относительно абелево поле
над ?ь относительная группа которого изоморфна с ф. Этот подслу-
подслучай имеет место тогда и только тогда, если группа $ есть прямой
множитель группы Ш.
§ 7. Случай составных ведущих идеалов
1- Мы переходим к исследованию относительно циклических полей
степени 1т, в относительные дискриминанты которых входят несколько
простых идеалов. В целях упрощения предположим, что ведущий
идеал взаимно прост с/. Пусть \ = PtPf "ps. Предположим пока что,
что идеалы pi будут первой степени. Присоединим к основному полю ?
его полное абсолютное /-поле классов ? (т. е. наиболее широкое отно-
относительно неразветвленное абелево надполе, относительная степень
которого есть степень /) или же одно из его подполей, так чтобы
в новом поле все идеалы р/ стали главными [4]. Затем рассмотрим поле
_ ( //я_ *m_ im \
Кг = k\V$\> Kp2>---> VPsJy причем под pt я понимаю здесь просто
ассоциированное с р. число поля ?. Одновременно рассмотрим норму К
этого поля, которую получим, подвергая величины поля К\ автомор-
автоморфизмам, состоящим из подстановок группы Галуа © поля К. Если k
принадлежит в ^ к группе ?, то можно разложить % следующим
образом:
© = ? + ft S2 + • • • + StSn.

166 Н. Г. ЧЕБОТАРЕВ
Группа ®/й смежных классов t*S/ изоморфна с первоначальной
группой (S/&.
Теперь рассмотрим подполе К поля К, радиканды (Radikanden)
которого (состоящие из произведений степеней pxSi, p2Si,..., psSi,i=
= 1, 2, ... , п) ассоциированы с первообразными по модулю 1т числами
из ?. При этом заметим, что автоморфизмы, лежащие в одном и том
же классе смежности разложения A.7) переводят каждый идеал pt
в один и тот же простой идеал, т. е. в число, ассоциированное с рг
Каждый из радикандов, образующих поле К, переходит при этом
непременно э одно и то же число, если мы выберем числа из /С,
соответствующие идеалам рг таким образом, чтобы радиканды поля
К являлись числами из ?. Последнее всегда может быть достигнуто,
так как радиканды поля К образуют мультипликативную абелеву
группу, которая в соответствии с этим имеет базис, состоящий из
независимых элементов. Если провести указанное нормирование
в элементах базиса, то нормируется и вся корпусгруппа. Но легко
может случиться, что некоторые из нормированных таким образом
величин, ассоциированных с сопряженными друг с другом величинами,
не переходят друг в друга при соответствующем автоморфизме, а что
одна переходит в другую, умноженную на некоторую единицу поля k.
(Если мы примем, что идеалы, о которых идет речь, сами не являются
абсолютными главными идеалами поля ?, а становятся главными
идеалами лишь после умножения на /т-ые степени идеалов, то вместо
единиц здесь могут также появиться /т-ые степени идеалов.) Однако,
если К содержит максимальное чисто разветвляющееся подполе (т. е.
если мы имеем случай 3, § 5.1), то этой возможности можно избегнуть.
Рассмотрим теперь группу автоморфизмов поля К, причем не будем
рассматривать как различные автоморфизмы, содержащиеся в одних
и тех же смежных классах tS/. Поле К распадается в относительное
произведение полей, из коих каждое порождается простым идеалом pi
и всеми с ним сопряженными. Пусть, например, одним из этих полей
(jtJ% jttl \ftl \
будет k%^? P\*\ Pi s,... , V рг п/. Его группа будет общей диспо-
im
зиционной группой, так как все поля к \V Pi / (t = I, 2,..., п) имеют
различные относительные дискриминанты и, следовательно, взаимно
просты над к.
Для того чтобы получить абсолютную группу Галуа поля К, заме-
заметим, что К является подполем поля /С. Его корпусгруппа будет
подгруппой корпусгруппы поля /С. Учтем при этом, что эта подгруппа
инвариантна относительно автоморфизмов группы ®/Sq, так как каж-
каждый элемент поля К может принадлежать к К только вместе со всеми
своими сопряженными- Группа поля К, таким образом, изоморфна

ИССЛЕДОВАНИЯ ОБ ОТНОСИТЕЛЬНО-АБЕЛЕВЫХ ЧИСЛОВЫХ ПОЛЯХ 167
некоторой факторгруппе произведения диспозиционных групп. Эта
группа получается следующим образом: сначала нужно образовать
произведение корпусгрупп, о которых идет речь; затем определить
его элементы, соответствующие примарным радикандам, т. е. лежащие
в К- Автоморфизмы этой подгруппы корпусгруппы, порождаемые
группой @ / ф, образуют абсолютную группу поля А\ Это точно имеет
место (ср. § 3.6), так как мы рассматриваем теперь факторгруппу
относительного произведения диспозиционных групп, а каждая диспо-
зиционная группа полностью определяется автоморфизмами своей
корпусгруппы.
Вместо того чтобы рассматривать мультипликативную группу ради-
радикалов, мы можем непосредственно применить разъясненное в пара-
параграфе 5.4 понятие композиции полей, чтобы тем самым избежать
присоединения к основному полю корней из единицы. Однако для
того чтобы с уверенностью провести эту операцию, было бы необхо-
необходимо вычислить дискриминанты, а также ведущие идеалы компони-
руемых полей*
Только что построенное нами поле К должно содержать норму
циклического поля с заданным ведущим идеалом f. Вопрос о том,
совпадает ли эта норма с полем К, может быть легко решен по виду
ведущего идеала f-
2. Пример 1. Основное поле k есть норма кубического поля
без аффекта, f = P1P2» причем рг — простой идеал первой степени и
Знак — 1 должен означать здесь, что левая часть ассоциирована
с примарным по модулю 1т числом. Пусть
& = Е + A2) C6) D5) + A35) B46) + A53) B64) +
+ A4) B3) E6)+A6) B5) C4).
Предположим, что все соотношения эквивалентности (~) между
идеалами р. являются следствиями соотношений
получаемых из PiP2~l применением автоморфизмов группы ©. Пусть
простому идеалу pt соответствует циклическое поле Q относительной
степени /* над ?. Поле К порождается полями СХС^, СЪСА9 C5CQ.
Если представить группу © в мономиальной форме, допуская для
каждого числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 независимо друг от друга умножение
на степени е = ехр ( — i , то мы увидим, что подстановки ( j ?-1.2)'
-1 ^)> ( % -1 *Л не меняют полей СгС2, С8С^У СЬС6. Если взйть
произведения х1х2У x3x4, хъ xG переменных xlf x2, х3, х4, х5, д:6 за новые

168 Н. Г. ЧЕБОТАРЕВ
переменные, то группа ® будет представлена как мономиальная
группа, получающаяся из
©з = Е + A2) + B3) + A3) + A23) + A32),
если умножить числа 1, 2, 3 независимо друг от друга на степени е.
Таким образом, группа ® — шольцева.
Пример 2. Сохраняя предположения примера 1, предположим,
что кроме соотношений ргр2—1, р3р4~ Ь Psp6~* существуют еще
соотношения
Теперь мы должны определить группу, не изменяющую полей
^1^2» ^3^4» Cb^Qj ^iC^Pbf ^zCjPb»
Если мы положим At = ( \ j и будем искать подстановки этой группы
в виде А^А^А^А^А^А^у то получим для х. следующие сравнения:
хг + х2 = 0, х3 + х4 = 0, х5 + х6 = 0, хг + х3 + х5^09
^2 + ^4 + ^6 = 0 (mod/*).
При этом, если (/, 3)=1, то решение соответствует следующим
независимым подстановкам:
А1А2 As Л4, AiA2 Аъ Л6.
Искомая группа есть факторгруппа полной мономиальной группы
относительно группы, порожденной этими подстановками.
Если же / = 3, т = 1, то мы получаем
А.\Аъ Л3 Л4, АгА2 А5 А6, А1А2АгА^ А5 Л6 ,
Пример 3. k является циклическим кубическим полем, f = РгР2(\3
где рх и q3 ~~ простые идеалы первой степени с различными нормами
Р = W (рх) = рхр2р3, q^N К) =
Согласно определению ведущего идеала, имеем
Пусть С. — поле (над г) с ведущим идеалом р., D. — поле сведущим
идеалом qr Поля С. (или соотв. D.) являются сопряженными друг с
другом и порождают совместно по одному абсолютно нормальному
полю. Введем теперь обозначения: А. = ГС/) для первого В. = ( !j
для второго из этих абсолютно нормальных полей. Следует различать
три случая:
А. р и q примарные по модулю 1т числа. Ищем подстановки вида
А^%А2чА^В1УгВ<1у'В3\ оставляющие инвариантными поля
сад,, с2сяд, ас,п„ схс2с3, d}d2d,.

ИССЛЕДОВАНИЯ ОБ ОТНОСИТЕЛЬНО-АБЕЛЕВЫХ ЧИСЛОВЫХ ПОЛЯХ 169
Для показателей получаются следующие сравнения:
= 0, *2 + *<з + У\ = 0^ Хз+Х
которые эквивалентны таким:
Хг^Уи *2^У2, *з^Уз> х1 + х2 + х3^ее0 (mod/m).
Производящими подстановками искомой группы являются:
Группа Галуа поля К есть факторгруппа произведения обеих полных
мономиальных групп относительно группы B.7).
В. Из чисел р и q только одно, например р, примарное. Налицо
имеются только следующие производящие поля:
CADS, C2C3Dlf C3CXD2, СХС2С3. C.7)
Соотношения между показателями х.9 yt таковы:
х1 + х2 + х3 = 0 (mod/OT).
Так же, как и в случае А, они эквивалентны следующим:
*i = yi> x2=y2f x3~y3, Xl + x2 + x3 = 0 (mod/m).
Совпадение этого случая со случаем А показывает, что он невозмо-
невозможен. В самом деле: из существования полей C.7), относительные
дискриминанты которых над k состоят только из множителей, рг с\г
следует существование поля DXD2D3 того же вида.
С. Ни р ни q не являются примарными по модулю 1т. Произво-
Производящие поля поля К суть
СХС2А, C2CSD19 С3СгО2.
Соотношения между показателями х., у. следующие:
-*i + *2 + Уз = °^ ^2 + ^з + Л = 0, х3 + хг + у2 = 0 (mod Г).
Производящими подстановками группы, к которой принадлежит поле
К внутри /С, являются подстановки
3. Теперь допустим, что среди простых идеальных множителей
ведущего идеала f встречаются также простые идеалы более высоких
степеней. Пусть f один из этих простых идеалов. Тогда мы поступаем
подобно тому, как в пункте 1: мы присоединяем к основному полю k
его абсолютное поле классов ?. Затем рассмотрим поле Сг = к

ПО Н. Г. ЧЕБОТАРЕВ
и его норму С. Группа Галуа поля С (в смысле п. 1) не является
диспозиционной группой, но более общей шольцевой группой.
Вид нормализаторов определяется следующим образом: сначала
следует определить группу разложения идеала р в Сг. При этом сле-
следует учитывать, что р даже в ? не может быть простым идеалом.
Для случая составного идеала Оре [12] определил общую группу
разложения как совокупность подстановок, оставляющих этот идеал
инвариантным. Теперь заметим, что группа разложения 8 содержит
группу S (см. п. 1) как подгруппу, так как р является идеалом по-
поля ?, принадлежащего к группе S. Мы разлагаем В по $
3 = Л
и преобразуем f) (т. е. относительную группу поля С Ik) посредством
представителей U± —E, U2, . - . > Un группы 8- При этом мы не счи-
считаем различными поля, отличающиеся друг от друга в смысле компо-
композиции только неразветвленными полями (т. е. имеющие равные отно-
относительные дискриминанты). Таким образом, мы можем определить
наименьший показатель d, для которого Sd перестановочна с подстанов-
подстановками из I) (ср. § 6. 6).
Труднее в этом случае определить число a (Zf = Та). Мы можем
ожидать, что общие группы разложения и инерции имеют более
сложную структуру; кроме того, можно пренебречь неразветвленными
«множителями поля» только в том случае, если речь идет лишь о
структуре корпусгрупп. Но числа а никоим образом не определяются
структурой корпусгрупп.
Получено
17 августа 4931 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. E. Art in. Beweis des allgemeinen Rezipro2itatsgesetzes. Abh. Hamb. Sem. 5 A927),
стр. 353 — 363.
2. A. Chatelet, Les groupes abeliens finis et les modules des points entiers. Paris—
LHle* 1925.
3. Ph. Furtwangler. Uber die Reziprozitatsgesetze fur ungerade Primzablpotenz-
exponenten. Crelle 157 A927), стр. 15 — 25.
4. Ph. Furtwangler. Beweis des Hauptidealsatzes fur die Klassenkorper algebra-
ischer Zahlkorper. Abh. Hamb. Sem. 7 A929), стр. 14 — 36.
5. H. H a s s e. Zwei Existenztheoreme uber aJgebraische Zahlkorper. Math. Ann. 95
A925). стр. 229 — 238.
•6. H. Hasse. Ein weiteres Existenztheorem in der Theorie der algebraischen Zahlkor-
Zahlkorper. Math. Ztschr. 24 A925), стр. 149 — 160.
7. H. Hasse. Bericht iiber neuere Untersuchungen und Probleme aus der Theorie der
algebraischen Zahlkorper I. Jahresber. DMV 35 A926), стр. I —55.
S. H. Hasse. Idem, Teil II. Jahresber. DMV ETganzungsband VI A930).
9. E. Hecke. tJber die Z-Funktionen und der Dirichletschen Primzahlsatz fur einen
beliebigen Zahlkorper. Gott. Nachr., 1917.

ИССЛЕДОВАНИЯ ОБ ОТНОСИТЕЛЬНО-АБЕЛЕВЫХ ЧИСЛОВЫХ ПОЛЯХ 171
10. К. Hens el. Theorie der algebraischen Zahlen. Lpz., 1908.
11. L. Kronecker. Die Composition Abelscher Gleichungen. Sitzungber. Akad.
Berlin, 1882, стр. 1059 — 1064.
lla. W. Krull. Theorie und Anwendung der verallgemeinerten Abelschen Gruppen.
Sitzber. Heid. Akad., 1926, I. Abh.
12. O. Ore. Some Theorems on the Connection between Ideals and Groups of a Ga-
Galois Field. Trans. Amer. Math. Soc. 30 A927), стр. 610 — 620.
13. О. Ore. Abrisz einer arithmetischen Theorie der Galoisschen Korper I. Math.
Ann. 100 A928), стр. 650 —673.
14. F. Pollaczek. Uber die Einheiten relativ-Abelscher Zahlkorper. Math. Ztschr.
39 A929), стр. 520 — 551.
15. A. S с h о 1 z. Uber die Bildung algebraischer Zahlkorper mit auflosbarer Ga?ois-
scher Cruppe. Math. Ztschr. 30 A929), стр. 332 — 356.
16. A. Scholz. Reduktion der Konstruktion von Korpern mit zweistuf»ger (metabel-
scher) Gruppe. Sitzber. Heid. Akad., 1929, 14. Abh.
17. A. Scholz. Ein Beitrag zur Theorie der Zusammensetzung endlicher Gruppen.
Math. Ztschr. 32 A930), стр. 187—189.
18. A. Scholz. Zwei Bemerkungen zum Klassenkorperturm. Crelle 161 A929),
стр. 201 — 207.
19. A. Scholz. Uber das Verhaltnis von Idealklassen und Einheitsgruppe in Abel-
Abelschen Korpern vom Primzahlpotenzgrad. Sifzber. Heid. Akad , 1930, 3. Abh.
19a. O. S с h r e i e r. Uber die Erweiterung von Gruppen II. Abh., Hamb. Sem. 4
A926), стр. 321 —346.
20. I. S с h u r. Neue Begrundung der Theorie der Gruppeircharaktere, Sitzber. Akad.
Berlin, 1905, стр. 406 — 432.
21. A. Speiser. Die Zerlegungsgruppe. CreJle 149 A920), стр. 174—188.
22. A. Speiser. Die Theorie der Gruppen von endlicher Ordnung. «Grundlehren», V,
Berlin, 1923.
23. T. Takagi. Uber eine Theorie des relativ Abel'schen Zahlkorpers. Journ. Coll.
Sc. Imp. Umv. Tokyo 41 A920), Art. 9.
24. T. Takagi. Uber das Reziprozitatsgesetz in einem beliebigen algebraischen
Zahlkorper. Journ. Coll. Sc. Imp. Univ. Tokyo 44 A922), Art. 5.
25. N. T s ch e b о t a r 6 w. Zur Gruppentheorie des Klassenkorpers. Crelle 161 A929),
стр. 179 — 193; Собр. соч., т. I, стр. 121 — 140.

ОБ ОДНОМ ОБОБЩЕНИИ ТЕОРЕМЫ КЛИФФОРДА
(UBER EINE VERALLGEMEINERUNG EINES CLIFFORDSCHEN SATZ ES)
(Rendiconti Circ. Mat. di Palermo 55 A931), стр. 1—11)
Пусть даны поле й алгебраических функций одного переменного и со-
соответствующая абсолютная риманова поверхность [1, 2]. Если мы выбе-
выберем на этой поверхности неограниченную систему точек Р1,Р2,...Рп...г
то нетеровская „теорема о пробелах" [3] говорит, что среди систем
р р р •
найдется ровно р таких, которые не являются системами полюсов
какой-либо функции из й (пробелы).
Здесь р обозначает жанр поля $. В случае, когда все точки Pi
совпадают, можно высказать некоторые определенные [утверждения
относительно расположения пробелов в последовательности A). Для
этого употребляется принцип аддитивных модулей [4].
В общем случае, как кажется, до сих пор не известно ни одного
правила, по которому можно было бы судить, является ли заданное
распределение пробелов в последовательности A) возможным. Одно
из необходимых для этого условий вытекает из известной теоремы
Клиффорда [5], говорящей, что между ? первыми системами после-
последовательности A) (?<2/? — 1) найдется не менее [^-y^l пробелов,
причем если число пробелов равно р-у-]* то либо Р^Г*-^] "^ 1г
либо поле Я гиперэллиптическое.
Настоящая работа имеет целью исследовать, возможно ли дать
оценку для жанра поля ®, если в й дан класс дивизоров, порядок и
измерение которого известны. Я пользуюсь здесь символикой ариф-
арифметической теории алгебраических функций [1, 2, 4, 6]. Результат
гласит: если поле алгебраических функций ® содержит «специаль-
«специальный» класс дивизоров измерения п и порядка т = 2п-{-г — 2 и если
2/1 — г — 4>0, то для жанра р поля ® имеет место неравенство
причем исключается случай пшерэллиптического поля
При г = 0 отсюда получается теорема Клиффорда.

ОБ ОДНОМ ОБОБЩЕНИИ ТЕОРЕМЫ КЛИФФОРДА
173
§ 1
Сначала мы докажем, что если класс дивизоров А ([4], стр. 250)—
специальный (т. е. является делителем класса дифференциалов W),
то его порядок т и измерение п связаны неравенством т^2п — 2.
Допустим обратное. Пусть А — специальный класс измерения
{Л} = /1 и порядка т<^2п — 2. Выберем п—1 произвольных точек
(простых дивизоров) Р19 Р2,..., Pn-i и найдем в классе А дивизоры
91, делящиеся на дивизор Рг-Р2-..., Pi-i- Покажем, что Р17 Р2, ...,РЛ_1
всегда могут быть выбраны так, чтобы существовал только один
дивизор требуемого рода.
Лемма 1. В классе А можно найти такой дивизор 91 =
= Р1-Р2---Рт, что всякий из классов (Р^-Яа,* ••Я«ш_я_1), где ult
а2,..., am-«+i — одна из комбинаций т — п+1 различных чисел ряда
1,2,...,/я, имеет измерение 1.
Доказательство. В силу наших предположений относитель-
относительно A, {j} >0 и теорема Римана—Роха ([4], стр. 304, формула 11) дает
C)
D)
т —
С другой стороны, условие для того, чтобы измерение
(Pi-P2- • -Рщ—л+i) превышало 1, состоит в существовании постоян-
постоянных cl9 c2, ...,cm-n+i, удовлетворяющих условиям
ii (Рт-я+l) = 0,
E)
)= 0,
где
— полная система подинтегральных функций интегралов первого рода
([2], стр. 27). Иными словами, ранг матрицы
F)
.,aP{Pm-n+i)
должен быть менее т — я+1. Неравенство D) позволяет нам пред-
предполагать, что возможно выбрать Pl9P2, .>;Pm-n+i так, что это усло-
условие не будет удовлетворяться. Заметим еще, что т — п+1^п — 1
и потому точки Pi,P2, ...,Рщ-я+1 можно рассматривать как независи-
независимые. Для доказательства леммы закрепим точки Р2, Р3,..., Рт-л-fi и
будем перемещать точку Рг вокруг ее начального положения. Если

174 Н. Г. ЧЕБОТАРЕВ
при этом ранг матрицы F) постоянно остается меньше т — л + 1, то
то же будет иметь место для матрицы
i{qKPi),
G)
где Qte>(P) есть #-тая производная от п (Р) и q — сколько угоднб
большое целое число. Но тогда точка Рг должна быть «точкой
Вейерштрасса» сколь угодно высокого порядка, что невозможно, так
как сумма порядков всех точек Вейерштрасса равна (р — 1)р(р + I)
([2], стр. 34-40; [4], стр. 496).
Обозначим через Q(/)(/ = 1,2, ...,г) все дивизоры типа
,, (8)
где Рг«\ Р2о,..., Р^л+1 - одна из
Г =
(n-l)\(m—n+\)l
комбинаций из ряда Р19 Р2,..., Рт. Предположим, что дивизор QA)
выбран так, что {Q(I)}=1. Тогда все главные миноры матрицы F)
не могут обращаться в нули. Пусть DA) — главный минор, причем
Рассмотрим другой дивизрр QB>. Если {Q{2>} = I, то переходим к
рассмотрению следующего дивизора QC). Если же, напротив, {QB)}> 1,
то присоединим к QW еще (п—I) — (т — п + 1) = 2/1 — т — 2>0
точек из Р19 Р2,..., Рт и фиксируем их. Далее, фиксируем все точки
из QB\ за исключением одной, например РхB), и будем изменять ее
так, чтобы получить {Q<2)}=1. При этом нефиксированные точки
претерпевают некоторые изменения. Покажем, что смещение Р^2)
может быть выбрано настолько малым, что {QA)} остается равным 1.
Для этого заметим следующее. Уравнение {QA)} = 1 говорит, что
каждая точка QA) вполне определена заданием дополнительного
дивизора^ т. е. всех остальных точек 91. Чтобы действительно най-
найти ее, достаточно определить все нули алгебраической функции
где 9lj, 9l2, ...,9rm —некоторая система независимых дивизоров класса
А и $! взаимно просто с щ^. Константы \, Х2,..., Xm_i нужно выбрать
так, чтобы функция A0) обращалась в нуль во всех точках дополни-
or
тельного дивизора qtjz. Поскольку описанный процесс — алгебраиче-
алгебраический, мы заключаем, что точки Q<]) непрерывно зависят от точек допол-
дополнительного дивизора.

ОБ ОДНОМ ОБОБЩЕНИИ ТЕОРЕМЫ КЛИФФОРДА 175-
Теперь подчиним точки дивизора QA) условию {QA)} == 1 я рас-
рассмотрим дополнительный дивизор /?A) порядка п — 1. Выберем в RSX>
некоторую точку и будем перемещать ее, закрепив остальные точки
. Вследствие {QA)} = 1 все точки QA) непрерывно зависят от точек
и потому выбранную точку можно сместить настолько \(ало,
чтобы определитель Z)A) не исчезал (для этого достаточно выбрать
смещение так, чтобы было |DA)' — DA)(< у ). Смещением этим рас-
распорядимся так, чтобы получить {QB)} = 1, где QB) — некоторый диви-
дивизор (т — п + 1)-го порядка, содержащийся в R([K Рассматривай со-
соответствующий QB) неисчезающий определитель DB) и повторяя
проведенное рассуждение, придем к некоторому дивизору /<A), под-
дивизоры (т — п + 1)-го порядка которого все имеют измерение 1.
Переходя затем к новым и новым дивизорам типа R(l), получим,
наконец, некоторый дивизор Щ класса Л, поддивизоры которога
порядка т — п + 1 будут все измерения 1, что и т. д.
Теперь поставим вопрос о существовании в поле ® функций, об-
обладающих следующими полюсами:
1) Pi;
2) Р2 и, может быть, Рг;
3) Р3 и, может быть, Р1ч Ро;
т) Рт и, может быть, Рг,Р2,..., Pm-i;
т+1) Рг2 и, может быть, Р2, Р3,...? Рт;
т + 2) Р22 и, может быть, Рг, Р2, Р3, ..., Рт
и т. д. до бесконечности.
Теорема Нетера гласит, что в этой бесконечной таблице найдется
ровно р систем точек, для которых соответствующие функции не
существуют (пробелы). Это число пробелов мы вычислим еще другим
образом.
Согласно лемме '1: {QA)} = 1, {QA)/?A)} = n, так что разность между
порядком и измерением обоих классов одинакова (=т — п). Если
ввести обозначения
то получим, что
2, {дA)Рл.„+.2Рл-л+з} = 3, ..., {
Отсюда же следует, что в таблице A1) т — п+l первых систем
дают пробелы, а последующие п—1 не дают их. Докажем, что в
таблице A1) вообще не существует пробелов. Для этого возьмем класс
(QA)Pm-n+2)> измерение которого равно 2 и все точки которога
собственные, так как, по лемме 1, все подклассы его имеют
измерение 1. Точно так же будут собственными все точки классов.

176 Н. Г. ЧЕБОТАРЕВ
(Рт-п+ъ> ...,Лл, Рг, ...>РГ)(Г = 1, 2, ...,/д — п + 2), так как в противном
случае один из их подклассов порядка т — п \-\ имел бы измере-
измерение ^-2, что исключено в силу леммы 1. Но тогда после прохождения
Р!,Р2>..., Рт-л+2 в ряде Р1,Р2,...,Рт/Р1,Р2,...>Рт-п+2 уже не может
встретиться новых пробелов. В самом деле, существуют функции с соб-
собственными полюсами Р19 Р2,..., Рот-я4-2, а равным образом и с собственны-
собственными полюсами,Р«_я+з>.-, Рт, Рх, Р2, ..., Рг (г = 1, 2,,.., т — я+2). Произве
дение их дает функцию с собственными полюсами Р19 Р2, ,..,Рт;
Plt...fPr, т. е. (лг +^")-тое место (г == 1,2, ...,ra — /г + 2) таблицы A1)
не дает пробела.
Далее, чтобы убедиться, что точки Pv Р2,. . ., Рг ряда
Р17 •••> Рт/ Pv ••-, Рг не дают пробелов, рассмотрим классы (Р1# Р2... Рт)
и (Рх. Р2... Рг)- Процесс этот можно продолжить без конца, откуда сле-
следует, что только первые т — п + 1 систем таблицы A1) дают пробелы.
Отсюда, на основании нетеровской теоремы о пробелах, заключа-
заключаем, что
т — п + 1 = /7.
Тогда из теоремы Римана—Роха следует, что
т. е. класс А не специальный, что и т. д.
§ 2
Теперь допустим, что
т = 2п — 2 + г и г>0.
Сделаем еще одно предположение.
Предположение. Пусть Q-Pi*P2- • РЛ — дивизор класса Л,
причем {Q} = 1, {QP1}=1 (такой дивизор всегда можно построить).
Если выбрать г+ 2 произвольных точки Р±\ Ра',..., Pr+i из QPV то
среди точек Р2,Р3'--->Рп можно найти такую точку Р*, что в классе
(QPiPi) ({QPiPi) = 2) все точки Рг',Р2',..., Р'г+2 будут собственными
[т. е. не будут являться общими делителями всех дивизоров из
(QPiPi)]' В § 3 мы увидим, в каких случаях это предположение не-
несправедливо.
Вышеупомянутую точку Р/ обозначим через Р2 и рассмотрим ряды
точек
Рл+1,Рл+2,...,Рт; PvP29...,PnlPn+i,...,Pm; Pi,...,/V,... A2)
Пробегая точки Рп+и Рп+ъ ..., Р/я, Plf мы получим m — п + 1 пробелов;
при прохождении же следующих точек Р2,Р3,...,Рп новых пробелов
tie получится, так как
i} = 1, {QP1P2} = 2,..., {QPXP2- • -Р„} = /г.

ОБ ОДНОМ ОБОБЩЕНИИ ТЕОРЕМЫ КЛИФФОРДА 177
Присоединим сюда еще г + 2 точки Pn+i = Р1',Рл+2 = Р2', ...,Рл+г+2 =
=• Р'г+2. Класс (Р3- • -Pn-Pi- - -^'г-ь0) не может иметь измерение 1, так как
порядок его равен п — 2 + (г + 2)-=п+г=т — п + 2. Пусть же Р/ —
первая точка, для которой {Р3- • -Pn-Pi- • -Pi] = 2; тогда присоедине-
присоединение ее к ряду P/z+i, ...,^/тг; Pi, ...,P«;Pif, ...,P'/-i не дает пробела.
Для доказательства этого достаточно показать существование функ-
функции, имеющей полюсами Pn+\,...,PmiPv—>Pn'iPi>-.,Pt\ среди кото-
которых Р{ должен быть полюсом второго порядка. Но в силу нашего
«предположения» Р{ —собственная точка для класса (Рл+i- • -Рт-Р^Р*),
т. е. существует функция, имеющая полюсами точкиРл-и, ...,Рт, Рх, Р2,
причем Р/ действительно является ее полюсом. С другой стороны,
вследствие
{Р3- • -Рп-Рг' - • -Pi} = 2, {Р3- ¦ -Рп-Рг'- • -P'/-i} = 1
то же имеет место и для класса (Р3-* -P^-Pi'- • -Pi1)- Произведение
соответствующих функций обладает требуемым свойством.
Таким образом, доказано, что при прохождении точек Р„+ь • • •. Рт
ряда Р„+1,..., Рт\ Рх,..., Р„/Рп+и ..., Рт первый «не-пробел» встре-
встретится не далее, как на г + 2-ом месте. Если Рпл.Гх — этот первый «не-
«непробел», то вычеркнем точку Рп+гх из ряда Рп+\,.., Рт и рассуждаем,
как выше. Первый «не-пробел» нового ряда встретится опять не далее
как на г + 2-ом месте. Исчерпав таким образом все точки ряда
Рл+ь ... , Рт> мы увидим, что при прохождении точек Рл+.ь ..., Рт
ряда Рл+ь .. • > Рт\ Рц . • •, Рл/Ря+ъ ..., Рт встретится не более г + 1
пробелов.
Во второй половине второго периода (т. е. при прохождении точек
Pi, Р2, • • ¦ з Рп Ряда Рл+ь ,.., Рш; Рх,..., Рп/Рп+и. •., Рп\ Pi, •. •, Рп)
мы не получим ни одного пробела. Это следует из существования
функции, для которой точки Рл+ь .. ., Рт\ Рг,..., Рп действительно
представляют полюсы (мы предполагаем, что класс А — примитивный,
т, е. не обладает несобственными точками)* Таким же образом мы
получаем, что в каждом последующем периоде, и именно в первой
его половине, содержится самое большое г + 1 пробелов.
Выберем наибольшее целое рациональное число ?, удовлетворяю-
удовлетворяющее неравенству
*1Я + (г+1)<2р-1, A3)
*-[»-*=?=*]. A4)
При прохождении Ьт + (г + 1) точек мы получим самое большее
(/и — п + 1)+ (г + ])$ пробелов, как было показано выше. Но послед-
последнее место, на котором могут встретиться пробелы, есть Bр—1)-ое
([2], стр. 33). Отсюда, на основании A4), мы заключаем, что после
km + (r+l) первых точек ряда A2) уже не может встретиться
12 н. Г. Чеботарев. Том 1.

178 Н. Г. ЧЕБОТАРЕВ
пробелов, а,так как общее число пробелов, в силу теоремы Нетера,
равно р, то мы получаем следующее неравенство:.
(m-n+l) + (r + l)>p. A5)
Из уравнения A4) следует
ULSl. A6)
Подставляя это выражение в A5), получаем
Ш-П+1+ 2р~тГ~2 (г+1)>р, A7)
или, вследствие равенства т~2п + г—-2,
Bn~r-4)p<(n + r-l)Bn + r-2)-{r+l)(r+2). A8)
Мы предположим, что
2л — г — 4>0, A9)
иначе наш метод не даст никакой верхней оценки для р. Теперь из
A8) следует
[^±S] B0)
Это и есть искомая оценка для р.
Полагая г = 0, получим
Р<п. ' B1)
Отсюда следует, что т^> 2р — 2. Если А — специальный класс, то
здесь должен иметь место знак равенства, т. е. А должен совпадать
с классом дифференциалов W. Эго дополнение к теореме Клиффорда
было сделано Бертини [7].
§ 3
Перейдем теперь к вопросу о том, когда не выполняется сделан*
ное выше «предположение». Это означает следующее: если Рг\ Р2\ .. •
...,Р'г+2 — определенные точки дивизора QPlf то система всех точек
Р2,..., Рп распадается в г + 2 таких систем, что когда Рй входит
в систему с номером а (а = 1, 2,..., г + 2), то Ра' является несоб-
несобственной точкой для класса (QPiP/), т. е.
Таким образом, если система с номером а содержит ?а точек /Ya),
Л*(а), • • •, Pka(a)> где а = 1, 2,..., г + 2 и2*. = л— Ь и если ввести
а
обозначение
?(а)= Рл{а). Р^ ...Рь (a) fa=l 2 г -4- 2Ъ

ОБ ОДНОМ ОБОБЩЕНИИ ТЕОРЕМЫ КЛИФФОРДА 179
то класс
имеет измерение ka+L Для доказательства обозначим через /?/*> один
из дивизоров класса
Дивизор этот можно считать взаимно простым с Р/а), так как, вслед-
вследствие {QPi} = l, точка Р/а) есть собственная точка для класса
. Тогда класс
содержит следующие дивизоры:
Дивизоры эти линейно независимы, ибо из соотношения
п d с(а) с(а)
^о^- + ^«^+• • • + ^Ла(в)^- - о
а ¦* 1 «а
следует ^ = 0 (/ = 1, 2,..., ?а), так как все входящие в него дивизоры
5(ос)
делятся на Р/а)> за исключением /?/а) —^ . Таким образом,
Но так как порядки классов (^—^ Sw] и (^~тР/а)) разнятся только
на ?а— 1 ([6], стр. 675—676, Satz 5), то в этом соотношении возможен
лишь знак равенства.
Из формул in5~f»S(a)> = ?a + 1' ^Т^тг^8* можно заключить, что
точки Рх(а), Р2(а),..., Рла(а) вполне определяют дивизор -р-у 5<а) внутри
его класса. Варьируя точки a-ой системы Р^а\ Р2(а), • • • ? PkJa)> ПРИ"
том так, чтобы ни один из рассматриваемых классов измерения 1 не
переходил в класс высшего измерения, и закрепив в то же время
остальные системы точек, мы увидим, что при этом могут измениться
только те точки QPlf которые остаются неизменными при вариации
остальных систем. Иными словами: каждая точка QPi как собственная
точка может войти только в один класс
1<№±?(*)\ (<х=1,2.. г + 2).
12*

Г80 Н. Г. ЧЕБОТАРЕВ
Поэтому дивизор QPi распадается на г + 2 дивизора Q(oc) порядка
/а (а = 1, 2,..., г + 2; 2 'а = /л — л + 1), причем
{Q<">S(e)} = *e + l («=1,2,..., г+ 2).
Вычислим для каждого из этих классов величину га == пга — 2ла+2.
Имеем
Так как число слагаемых равно г + 2, то хотя одно из них неположи-
неположительно. Согласно лемме 1, случай отрицательного га невозможен.
Если же га = 0, то «предположение» не может выполняться для
класса (Q(oc) 5(a)). Именно, если бы оно выполнялось, то класс (Q(a)S(a))
совпадал бы с Классом дифференциалов W.1 Тогда класс А не был
бы специальным, что противоречит нашему предположению.
Если «предположение» не выполняется также для класса (Q S ),
то в нем можно найти делитель, для которого г = 0. Продолжая таким
образом, мы придем, наконец, к классу, порядок которого равен
г + 2 == 2. Измерение этого класса равно
1Я-/- + 2 _ 4 __0
2 - 2 ~" Z'
Это может иметь место только в случае гиперэллиптического
поля*
Получено
10 ноября 1929 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Dedekind-Weber. Theorie der alg. Funktionen einer Ver. Journ. f. reme und
ang. Math. 92, 1879, стр. 181—290.
2. H. F. Baker. Abel's Theorem and the allied Theory including the theory of the
theta functions. Cambridge, 1897.
3. M. Norther. Beweis und Erweiterung eines algebraisch-functionen theoretischen
Satzes des Herrn Weierstrass. Journ. f. reine und ang. Math. 97, 1884, стр. 224—229.
Cp, также [2], стр. 80—3L
4. К. Hens el u. G. Lands berg. Theorie der alg. Funktionen einer Var. und
ihre Anwendung. Leipzig, Teubner, 1902.
S* Clifford. On the Classification of Loci. Phil. Trans. Roy. Soc. of London 169,
1878, стр. 663—681; Coll. Papers, 329—831; ср. также F. Severi. Vorlesungen
fiber algebraische Geometrie. Leipzig, Teubner, 1921, стр. 131—133.
6. H. Weber. Lehrbuch der Algebra, Bd. 3. Braunschweig, 1908, стр. 623—707.
7, E. Bert in i. La geometria delle serie lineari sopra una curva secondo il metodo
algebrico. Ann. di Mat., ser. 3. 22, 1894, стр. 36.
1 См. выше, § 2, конец.

ДОПОЛНЕНИЕ К СТАТЬЕ «ОБ ОДНОМ ОБОБЩЕНИИ ТЕОРЕМЫ КЛИФФОРДА» 18J
ДОПОЛНЕНИЕ К СТАТЬЕ
«ОБ ОДНОМ ОБОБЩЕНИИ ТЕОРЕМЫ КЛИФФОРДА»
Статья «Об одном обобщении теоремы Клиффорда» содержит неко*
торые ошибки, замеченные сыном Николая Григорьевича Г. Н. Чебо-
Чеботаревым. Поэтому доказательство было переработано Николаем Гри-
Григорьевичем. Ниже приводится его редакция, помещенная в монографии
«Теория алгебраических функций».
§ 26. Теорема Клиффорда и ее обобщение
Мы уже упоминали, что если дана произвольная последователь-
последовательность точек
Pi, Р2, Р8,---, О)
то мы знаем очень мало о том, на каких местах находятся ее «де-
«дефектные» номера. Однако известно, что, идя от начала последовав
тельности, мы будем по порядку номеров чаще встречать дефектные,
чем не-дефектные, номера. Это правило, конечно, справедливо до тех
пор, пока мы находимся в пределах «специальной» части последова-
последовательности.
Формулируем это правило точнее. Рассмотрим последовательность
классов
(Pi), (PiP2),...,(PiP2---P*). B)
Мы знаем, что i есть дефектный номер последовательности A) тогда
и только тогда,если
Изм (Р1Ря...Р/) = Изм (PiPa — Pw);
в противном же случае мы имеем
Изм (РХР2.. -Рй) = Изм (Р±Р2. • -Рм) + 1.
Таким образом, если среди k первых номеров имеется х дефектных,
то, идя вдоль системы классов B).. мы на х — 1 местах не получим
роста измерения, так что
Изм (Р1РЯ---РЛ) = * —х+ 1.
Теорема Клиффорда состоит в утверждении, что дефектных
номеров не меньше, чем не-дефектных:
*># — х. C)
Клиффорд выражал ее, пользуясь числами, выражающими порядок
и измерение класса
Эти числа выражаются через k и х так:

182 Н. Г, ЧЕБОТАРЕВ
откуда
* = Пор 21, х = Пор 21 — Изм Я + 1.
Подставляя в C), мы получим утверждение Клиффорда в таком
виде:
2Пор21 — 2ИзмЯ + 2>ПорЯ,
т. е*
Пор $> 2 Изм 21 — 2. D)
Но Клиффорд доказал больше: он установил, что в соотношении
4) знак равенства может иметь место только в конце специальной
части последовательности B), т. е. только в том случае, когда
21 = 3», Изм21==р, Пор21=2р —2.
Другими словами, если мы имеем специальный класс 21, у которого
дорядок и измерение связаны соотношением
Пор 21 =2 Изм 21 — 2, E)
то % есть класс дифференциалов 28, откуда
р = Изм 21.
Утверждение Клиффорда дает возможность получить верхнюю гра-
границу для жанра р поля k (х, у), если в нем известен класс 21 дивизо-
дивизоров, удовлетворяющий соотношению E). При этом не требуется, чтобы
класс был специальным: в самом деле, если класс 21 не-специален, то
ограничение для жанра вытекает сразу из теоремы Римана — Роха
р==Пор21 — Изм21+ 1; F)
при существовании соотношения E) это приводит к значению
Р = Изм2Г —1.
Второе утверждение Клиффорда допускает исключение: если k (х,у)
есть гиперэллиптическое поле, причем
Изм (РгР2) = 2,
то, беря в роли A) такую последовательность:
* U ^2> * li * 2' *1> *2*у • • >
мы получим следующие значения для измерений построенных с ее
помощью классов B):
1,2; 2,3; 3,4;...,
так что равенство E) будет выполняться на каждом четном месте-
В дальнейшем мы увидим, что это исключение теоремы Клиффорда
единственное, и во всех остальных случаях теорема Клиффорда спра-
справедлива.

ДОПОЛНЕНИЕ К СТАТЬЕ «ОБ ОДНОМ ОБОБЩЕНИИ ТЕОРЕМЫ КЛИФФОРДА» 183
Теорему Клиффорда можно обобщить, задавшись следующей проб-
проблемой. Даны измерение и порядок некоторого класса 31 в поле k (x, у).
В каком случае мы можем определить жанр поля к{х,у) или, по
крайней мере, указать для него верхнюю границу?
Если класс 91 не-специален, то жанр поля k(x, у) сразу определится
из формулы F). В случае же специального класса надо попрежнему
исключить гиперэллиптическое поле. Тогда, введя обозначения
Изм 21 = п, Пор 91 = /?г, г = т — 2п + 2,
мы, при условии выполнения неравенства
2л — г — 4>0, G)
получим для жанра р следующее ограничение:
где, как в теории чисел, под символом [а] мы будем разуметь наи-
наименьшее целое число, не превышающее a (entier).
Если г = 0, мы получим отсюда теорему Клиффорда:
Теорема 47 (Клиффорда). Между измерением и порядком спе-
специального класса 91 существует неравенство
Пор Я> 2- Изм 91 — 2. (9)
Доказательство. Допустим противное: пусть клас<: 91 имеет
измерение п и порядок т, причем
т<2п — 2. A0)
Не нарушая общности, предположим, что класс 91 собственный;
в противном случае мы сократили бы его на общий дивизор, что
уменьшило бы его порядок и оставило бы неизменным его измерение,
так что неравенство A0) не нарушалось бы.
Возьмем произвольную не-вейерштрассову точку Р и закрепим
в классе 91 (л—1)-ую степень простого дивизора Р. Тогда в классе
% определится по крайней мере один дивизор вида
В силу A0), мы имеем
п — 2^-т — п+ 1,
так что, закрепляя в классе 91 точки Рх, Р2,..., Рт_п+1, мы получим
класс
измерение которого подчинено неравенству
Изм(Р"~1)>я — (т — л+1)>я— (я—2) = 2,

184 Н. Г. ЧЕБОТАРЕВ
так что в поле k (x> у) существует элемент, в представлении которого
через дивизоры знаменатель состоит из дивизора Рп~1. Это, однако,
противоречит тому, что Р не есть точка Вейерштрасса. В самом деле,
мы предположили, что класс 91 специален, откуда
Изм91<Изм28,
т. е.
так что
Изм (Рр")>2.
Получившееся противоречие доказывает теорему.
В дальнейшем нам понадобится следующая простая
Лемма. Если
Изм 21 = п,
то мы можем найти в классе 91 такой дивизор
Q-PxP2~-Pn-u (П)
чтобы имело место
Изм(<2) = 1.
Доказательство. Выберем в качестве Рх простой дивизор, не
входящий в общий делитель класса 91. Тогда, находя в классе 91 все
дивизоры, делящиеся на Рь и сокращая их на Рг («закрепив» РД мы
придем к классу 9li измерения п — 1. Закрепим в нем точку Р2, кото-
которой соответствует простой дивизор, не входящий в общий делитель
класса 91Х. Получим класс 912 измерения п — 2. Продолжая процесс
мы, наконец, придем к классу %п^х измерения 1. Если он порождается
дивизором Q, то в классе 91 лежит дивизор A1), ч. и т. д.
Теорема 48. Пусть измерение п и порядок т специального
класса % поля k (х, у) связаны соотношением
т = 2п — 2 + г, г>0, A2)
причем
2п-т — 4>0. A3)
Кроме тАогОу пусть класс 91 содержит такой дивизор
A=P1Pt-"Pn_2Pn_lQ, A4)
что класс {PXQ) имеет измерение 2 и является собственным.
Тогда жанр р поля k (x, у) удовлетворяет неравенству
Доказательство. В силу предыдущей леммы, в классе 91 можно
найти такой дивизор A4), что H3m(Q)= 1. Тогда
Изм (Р, Q) = 2, Изм (Рг Р* Q) = 3,..., Изм (Рх Р2... Pn-i Q) = л. A6)

ДОПОЛНЕНИЕ К СТАТЬЕ <ОБ ОДНОМ ОБОБЩЕНИИ ТЕОРЕМЫ КЛИФФОРДА» 185
В силу нашего предположения класс (Рх Q) собственный. Кроме того,
из рассуждения при доказательстве предыдущей леммы следует, что
каждую из точек Р19 Р2, •.., Рп-\ можно выбирать произвольно, из-
избегая лишь конечного числа значений. Выберем эти точки так, чтобы
Р1Я2...Ря-1) = 1. A7)
Для этого достаточно выбрать Рг произвольно; Р2— так, чтобы Р2 не
был общим делителем класса (-р- j ; Р8
делителем класса ( б~о~ Ь и т- Д* Тогда
был общим делителем класса (-р- j ; Р8—так, чтобы Р3 не был общим
и теорема Римана — Роха дает
Изм (Рг Р2... Pn-i) = Пор (Рг Р2... Р„_,) - р+ 1 + Изм ( / ) =
= (Л-1)-р+1+(р-Л+1) = 1.
Введем обозначение
Q = Pl'Pi'...P«-*±l
и применим теорему Н е т е р а к последовательности точек, состоящей
из периодически повторяющейся последовательности
На отрезке
1 t * 2 » • • • > *т—п-\-\
первого периода мы, в силу
Изм(<2) = 1,
получим т — п + 1 пробелов. На остальной части первого периода
мы, в силу A6), не получим ни одного пробела.
Рассмотрим отрезок
второго периода. На отрезке
Р2, • • •, Рм-и Рг, • • • , Р'т-п+и Рг A8)
в силу
ИЗМ (Р2) = 1, ИЗМ (Р2 . . . Рл_! Р/ . . . Р^_л+1 Pi) - ИЗМ Я = Л
встречается ровно /г— 1 не-пробелов. В силу A7), эти не-пробелы не
встречаются на первых п — 2 местах. Пусть дивизор
P2...P^iP1t...Pal (а = 1, 2, . .., т - п + 2) A9)
дает не-пробел. Это значит, что в поле к{х,у) существует элемент,
представляемый дивизором со знаменателем^ A9), причем Р« не со-
сокращается с числителем. С другой стороны, в силу того, что класс

186 Н. Г. ЧЕБОТАРЕВ
(QPi) собственный, в поле к{х,у) существует элемент, представляе-
представляемый дивизором со знаменателем QPlf причем ни один из простых
дивизоров знаменателя не сокращается с числителем. Беря произве-
произведение обоих элементов, мы убедимся, что отрезку
Р\ i • ' # » Р Л—Л-fb Р\9 *2> ' ' * > Р/1—1> Р\ 1 • • • > Ра
соответствует не-пробел» Таким образом, на отрезке
Рг у • • . , Р'т—л-f 1» Р\
второго периода встречается по крайней мере п—1 не-пробелов и,
следовательно,
<(т — п + 2) — (я—1) = г+1
пробелов.
Отрезок
¦«2» * ' ' * *&—!
второго периода, в силу A6) и того, что класс 91 собственный, не
дает пробелов. Таким образом, в рассматриваемой периодической
последовательности точек первый период дает т — п+ 1 пробелов, а
каждый из последующих периодов не более г~+ 1 пробелов.
Пусть в нашей последовательности все пробелы закончатся после
к' полных периодов, так что ?-тый период пусть содержит хотя бы
один пробел, а (&+1)-тый вовсе не содержит пробелов. Из теоремы
Нетера следует
B0)
Кроме того, поскольку пробелы могут встречаться не далее чем на
Bр—1)-м месге и в то же время в начале ?-го периода непременно
встретится хотя бы один пробел, мы имеем
(к—1)т+ 1<2р-1. B1)
Подставляя в B0) значения к — 1
^ m '
получим
m (m — n + 1) + Bp — 2) (r + 1) > /яр,
откуда, подставляя
m = 2n+(r-2),
будем иметь
р^ In - (г + 4) '
ИЛИ
откуда и вытекает формула A5).

ДОПОЛНЕНИЕ К СТАТЬЕ «ОБ ОДНОМ ОБОБЩЕНИИ ТЕОРЕМЫ КЛИФФОРДА» 187
Особо отметим случай г = 0, в котором неравенство A5) прини-
принимает вид
р</г.
Отсюда следует
т = 2п~ 2>2р — 2
Если при этом класс 21 специален, то он должен совпадать с SB.
Итак,
Следствие. Если измерение и порядок специального класса 21
связаны соотношением
= 2-Изм21 — 2,
и если 21 содержит собственный класс порядка т — п + 1 и измере-
измерения 2, то 21 есть класс дифференциалов.
Примечание. В ходе доказательства мы предположим, что 21
есть собственный класс. Это предположение не ведет к существен-
существенным ограничениям, так как в противном случае, сокращая класс 21
на общий делитель, мы придем к собственному классу 2Г, тоже спе-
специальному, у которого измерение останется тем же, а порядок и»
следовательно, число г уменьшится. Ограничение для р, наложенное
при помощи формулы A5) для класса 21', более жестко, чем то, ко-
которое мы получили бы, применяя формулу A5) непосредственно к
классу 21.
Перейдем к исследованию случаев, когда сделанное нами предпо-
предположение не выполняется. В этих случаях, выбирая совершенно про-
произвольно точки Ри Р2,..., Рп-1 и определяя в классе 21 дивизор
QP1P2"-Pn-i, мы получим классы
(QPt) (/ = 1,2,...,л-1), B2)
ни один из которых не является собственным.
Пусть класс (QPi) имеет делителем точку Рх\ Она не может быть
общим делителем всех классов B2), так как в противном случае она
была бы общим делителем всех дивизоров линейных семейств
(I = 1,2,...., п - 1). B3)
Но линейными комбинациями этих дивизоров исчерпываются все ди-
дивизоры класса 21. В самом деле, пусть в классе (QPi) содержится
дивизор Rtf не делящийся на Pt(i = 1, 2,... ,п — 1). Тогда в семейст-
семействах B3) можно выделить п дивизоров
Рп---Рп-\ п Pi - - - Рп-1 п , Pi... Pn-l
А К1 T^J
лежащих в классе 21. Они линейно независимы, так как, предположив
между ними линейную зависимость

188 Н. Г. ЧЕБОТАРЕВ
мы из делимости всех слагаемых, кроме Rt 1"'р.п 1 > на Р,- заклю-
заключаем, что
At = 0 (/ = 1,2,..., я— 1).
Если бы Рх' был общим делителем всех классов {QPi), то и Q и все
Ri и, значит, все дивизоры B4) делились бы на Р/. Следовательно,
Рг* был бы общим делителем класса 91.
Пусть А^ Л2,..., ЛЛ представляет собой систему линейно незави-
независимых дивизоров класса 21 и пусть их частным соответствуют эле-
элементы поля к{х,у):
Специализируем А19 А2, Л3 так, чтобы они делились на простые дивизо-
дивизоры Р3, ...,РЛ-ь выбранные так, чтобы при их закреплении в классе
91 получался класс измерения 3. Сократив семейство (А19А29 Л3) на
Р3,..., Рл-1, получим класс измерения 3. Соответствующее ему поле
Hz2iz3) порождается элементами z2fzSi которые пусть связаны урав-
уравнением
?{г»г,) = 0. B5)
Выберем точку Р:, на которую пусть не делится Аг и которая пусть
не соответствует особой точке кривой B5). Пусть ?2, ?3 будут значе-
значения элементов z2, zz в точке Рх. Имеем
Очевидно, что семейство {A2 — X,2Ax,Az — t^Ax) по сокращении при-
приводится к классу измерения 2, который получается из класса 91 после
закрепления точек Р19 Р3,..., Ря-ь В силу нашего предположения
его общий наибольший делитель содержит простые дивизоры, отлич-
отличные от Рх, Р3,..., Рл_1 и, в силу доказанного 'относительно точек Рх
и Р2, отличные от простых дивизоров, входящих одновременно
в Ах> А2, А3. Допустим, что
z2 — %2 и ^з"~^з имеют общими делителями, кроме Р19 еще другие
дивизоры. Но тогда, в силу теоремы 54 (см. ниже), точка (?2>?з)
есть особая точка кривой B5), что мы исключили. Таким образом,
?B2»2з) есть истинное подполе поля ?(х, у).
Более того: оказывается, что все поле k (z2t zs,..., zn) является
истинным подполем поля к(х,у). Для строгого доказательства этого
факта понадобилось бы применение довольно тонких соображений
теории Галуа, а потому мы ограничимся приведением интуитивного
геометрического доказательства. Будем считать z2,23,... >zn коорди-
координатами (/г—1)-мерного пространства. Считая их функциями от хуу>

ДОПОЛНЕНИЕ К СТАТЬЕ «ОБ ОДНОМ ОБОБЩЕНИИ ТЕОРЕМЫ КЛИФФОРДА» 189
которые связаны алгебраическим уравнением, мы получим в этом
пространстве кривую L. Предполагая, что
k{z2,z^...,zn) = k{х,y\
мы должны считать кривую L простой. Это означает, что различным
точкам поля k{x,y) будут соответствовать в общем случае (т. е. за
исключением особых точек) различные точки кривой L. Закрепив
на L п—1 обыкновенных точек Рг.Р2,..., РП-ь мы определим про-
проходящее через них [п— 2)-мерное плоское многообразие, пересека-
пересекающее кривую L в дальнейших точках Р/, Р2', . ¦. , Рл_я+1. Выражаясь
языком, к которому мы привыкли, элемент
где Xlt X2, ...,ХЛ подобраны (с точностью до постоянного множителя
так, чтобы он обращался в нуль в точках Р19Р2> -«• ,Рл-и будет обра=
щаться в нуль еще в точках Р/, Р2',..., POT_n+i.
Если мы предоставим точке Р2 свободно двигаться вдоль кривой L,
то наше плоское многообразие опишет пучок многообразий, точки
пересечения которых *с L опишут двумерное семейство дивизоров
класса 91 с закрепленными точками PlfPz,. ¦ .,Рп-и Согласно предпо-
предположению, кроме точек Рг, Р3,..., Рп-и в этом семействе остаются не-
неподвижными еще некоторые точки. Это означает, что пучок наших
плоских многообразий пересекает кривую L, кроме точек Plt Р3,... ,Рл_ь
еще в нескольких неподвижных точках, одна из которых пусть
будет РД Поскольку они неподвижны, они должны лежать на всех
наших плоских многообразиях, пересечение которых образует (п — 3)-
мерное плоское многообразие, однозначно определяемое точкам
Pi,P3> • • • »Р«-ь Будем называть такие многообразия гиперпрямыми.
Для большей наглядности дальнейшего доказательства предвари-
предварительно проведем его для случая п = 4, который соответствует трех-
трехмерному пространству. Здесь роль (п — 2)-мерных плоских многооб-
многообразий играют плоскости, проходящие через точки Рь Р2,Р3> а роль
гиперпрямых — прямые PXPZ. Дано, что прямая РгР3, где Рг и Р3—•
произвольные точки кривой L, всегда проходит еще через одну точ-
точку кривой L, которую мы будем обозначать через Р3'. Если мы за-
закрепим точку Рг и заставим точку Р3 пробегать кривую L, то полу-
получим конус К (Pi) = Kl9 каждая образующая которого, кроме вершины
Р1У должна пересекать кривую L еще по крайней мере в двух точ-
точках. Докажем, что тогда кривая L лежит в неподвижной плоскости.
Доказательство было бы гораздо проще провести в том случае, если
бы точки Pi,P3, P/ пробегали три различные кривые L^L^L^. Чтобы
притти к этому случаю, возьмем в качестве Lx и L3 произвольные
малые отрезки кривой Z,, не имеющие общих точек, а в качестве
Lx — отрезок, который пробегает точка Р/ пересечения прямой PXPZ

J90 Н. Г. ЧЕБОТАРЕВ
с кривой L, когда Рг пробегает Ll9 а Р3— L3. При этом выберем Ьг
и L3 настолько малыми, чтобы Z,/ не имела общих точек ни с Lt, ни
с L3. Фиксируем точку Рх и заставим Р3 пробегать кривую L3. Пря-
Прямые РгР3 опишут конус К1У на котором будет лежать часть LX1' кри-
кривой Lx\ Переместим точку Рг в положение Р12 на кривой /1. Полу-
Получим другой конус К2, пересекающийся с Z./ по отрезку L12'. Пере-
Перемещение сделаем настолько малым, чтобы отрезки Z,n' и L12r имели
общую часть, которую мы обозначим через L13 . Конусы Ку и К2>
если они различны, пересекаются по кривой L3 и, кроме того, как
алгебраические поверхности, могут иметь общими лишь конечное
число образующих, которые в свою очередь могут пересекаться с
L13 лишь в конечном числе точек. Но, поскольку L13 целиком лежит
на обоих конусах, последние должны совпадать (точнее выражаясь,
должны быть частями одного общего конуса). С другой стороны,
единственным типом конуса, имеющего неопределенную вершину,
является плоскость. Поскольку вершины совпадающих конусов Кг
и К2 различны, оба они представляют собой плоскость. Беря на кри-
кривой L всевозможные отрезки, мы убедимся, что вся кривая лежит
на неподвижной плоскости.
Проведем аналогичное доказательство для (я — 1)-мерного прост-
пространства. Выделим на кривой L достаточно малые и не имеющие
общих частей отрезки Lx и L3. Заставляя точку Рг пробегать отре-
отрезок Z,,, а точки Р3,..., Pn-i — независимо друг от друга отрезок Z,3,
и проводя через Plt Р3,..., Ря_1 гиперпрямые, мы, согласно условию,
каждый раз будем получать по крайней мере еще одно пересечение
гиперпрямой с кривой Ц обозначим одно из них через Я/, и пусть
оно описывает на кривой L отрезок /V- Отрезки Lx и L3 пусть будут
настолько малы, чтобы Z,/ не имел общих частей ни с Ll9 ни с L3.
Фиксируем точку Р1# Тогда наши гиперпрямые опишут неплоское
(п — 2)-мерное многообразие (гиперконус) Klf а точка Р/—лежащий
на Z/ отрезок Z,nf. Сдвигая точку Рх в положение Р12, мы точно та-
таким же образом получим гиперконус К2 и отрезок L\2. Сдвиг Рг и
^12 будем предполагать настолько малым, чтобы отрезки Ln' и L12 име-
имели общую часть. Гиперконусы Кг и К2, если они различны, могут иметь
пересечением только направляющую L3 и конечное число образующих
гиперпрямых, которые отсекут на L±' конечное число точек. Так как,
с другой стороны, они должны отсекать на L^ общую часть отрезков
1ц' и L12\ то гиперконусы Кг и К2 дожны иметь общую (я — 2)-мер-
ную часть. Но, поскольку они имеют разные вершины Рх и Р12, они
должны содержать наименьшее плоское многообразие, проведенное
через Рг и Р12. Произведя достаточное число сдвигов вершины Р19 мы
придем к {п — 2)-мерному плоскому многообразию, проходящему че-
через каждый из получаемых гиперконусов. Но тогда каждый из них
совпадет с этим плоским многообразием. Таким образом, отрезки кривой
L лежат на {п — 2)-мерном плоском многообразии, ч. и т. д. Анали-

ДОПОЛНЕНИЕ К СТАТЬЕ «ОБ ОДНОМ ОБОБЩЕНИИ ТЕОРЕМЫ КЛИФФОРДА» 191
тически это выражается так: элементы z2, z3,.. •, zn связаны линейным
соотношением
с± + c2z2 + c3z3 + ... + сп гп = 0 B6)
С ПОСТОЯННЫМИ Cv С2, • . . , Сп.
Проведенное рассуждение справедливо и для комплексных значе-
значений z2,zr...,zn, поскольку условие их вещественности нигде не было
использовано.
Соотношение B6) показывает, что не все дивизоры Ai9 А2,..., Ая
линейно независимы, т. е. что измерение класса 21 меньше пч Так
как это противоречит нашему предположению, то наше предположение,
что поле k {z2, z3,...,zn) совпадает с k (х,у)> неверно: k (z2, z3i..., .zn)
есть истинное подполе поля k{x,y).
Представим через дивизоры элементы z2,z3,... ,zn внутри поля
k{z2Jz^... ,zn). Ниже (в §35) мы убедимся, что простой дивизор
поля &(z29z3,... ,zn) представляется как произведение одного и того
же числа к простых дивизоров поля ?(х,у). Таким образом, классу
91 в поле k (z2, z3>..., zn) будет соответствовать класс 31', измерение
которого останется тем же, а порядок уменьшится в k раз
, i 171
п =п, т = -?-.
При этом, в силу доказанного, класс 91Г будет удовлетворять сделан-
сделанному нами предположению, так как иначе образованное элементами
г2, z3,... ,zn поле не могло бы совпадать с k (z2,z3,...,zn).
Число г' для класса 2Г равно
r = m-2n + 2= ^
Но так как ?^2, то если мы учтем предположение A3), то получит
откуда, в силу теоремы Клиффорда, следует, что класс 9Г не-специа-
лен. Применяя к нему теорему Риманна — Роха, получим для жанра
р' поля к (z2, z3, ..., zn) величину
р' = Пор Я'- ИзмГ + 1 = "<^ =
В частности, если принять г = 0, как это сделано у Клиффорда, то
Рг = 0,
т. е. поле k {z2, z3,..., zn) уникурсально. Отсюда также следует
Обращаясь опять к § 35, мы выведем отсюда, что относительный
порядок поля к{х,у) над k{z2Jz3,... ,zn) равен 2. Но так как поле

192 Н. Г. ЧЕБОТАРЕВ
^(^^••ч^л) уникурсадьно, то отсюда следует, что к{х,у) есть ги-
гиперэллиптическое поле. В этом состоит известное дополнение к тео-
теореме Клиффорда (например см. F. Severi. Vorlesungen fiber algeb-
raische Geometrie. Ubersetzt von D-r E. Loffler, Lpz. — В., 1921,
стр. 133).
Изложение обобщения теоремы Клиффорда, опубликованное в
моей статье «Uber eine Verallgemeinerung eines CHffordschen Satzes».
Rendic. Circ. Mat. Pal. 55 A931), содержит погрешности. Одна из
основных идей изложенного здесь доказательства геометрической тео-
теоремы принадлежит А. Н. Нордену, сообщившему мне ее устно.

О КВАДРИРУЕМЫХ ЛУНОЧКАХ. I
(OBER QUADRIERBARE KREISBOGENZWE1ECKE)
(Math. Ztschr. 39 A934), стр. 161 — 175)
Посвящается проф. Михаэлю Бауэру к 60-летию со дня рождения,
20 сентября 1*34 г.
Э. Ландау [1] свел проблему квадрируемых луночек к решению
уравнения
где т и п — взаимно простые целые рациональные числа. Он пока-
показал, что в случае т=р (р — простое число) уравнение это разрешимо
в квадратных радикалах только тогда, если р есть так называемое
гауссово простое число, т. е. имеет вид 2*+ 1. Недавно Л. Чакалов[2]
существенно обобщил результат Ландау и показал, что условие это недо-
недостаточно, установив неразрешимость уравнения A) в квадратных
радикалах в случае т = 17, л=1. В другой работе [3] при помощи
весьма остроумного метода он исследовал несколько более общих
случаев уравнения 0), пытаясь доказать предположение Клаузена [4]
о том, что уравнение A) решается в квадратных радикалах только
в следующих случаях:
/n==2 /гс = 3 /я = 3 /гс = 5 /и = 5
п=1 л = 1 л = 2 п= 1 я = 3.
В настоящей работе я решаю задачу для случая т — пее: 0 (mod 2).
При этом я пользуюсь двумя критериями, которые были впервые
применены М. Бауэром [5, 6] для исследования групп Галуа уравнений.
§ 1. Общие алгебраические критерии
1. Первый критерий Бауэра может быть формулирован следующим
образом:
Лемма 1. Если корень уравнения
/М = 0 B)
допускает разложение в р-адический ряд
х = е + ар>, C)
13 н. Г. Чеботарев. Том 1.

194 Н. Г- ЧЕБОТАРЕВ
где р = -у- , (х, X) = 1, то порядок группы этого уравнения делится
на X.
Доказательство. Из теоремы Орэ [7] следует, что в этом
случае поле, образованное корнем уравнения B), содержит простой
идеальный множитель $ числа р, порядок которого е делится на X.
Отсюда мы заключаем, что в нормальном поле К(х19 х2,... ,хп)9 где
х19 x2f ..., хп суть все корни уравнения B), порядок группы инерции,
соответствующий простому идеальному множителю % делится
на X [8]. Но так как группа инерции является делителем группы
Галуа, то лемма доказана.
Следствие. Если уравнение A) решается в квадратных ради-
радикалах, то соответствующие ему, числа должны содержать в зна-
знаменателе только степени двойки.
2. Второй критерий Бауэра можно вывести из следующей знаме-
знаменитой теоремы Дедекянда, если распространить ее на критически
простые числа.
Лемма 2. Если левая часть уравнения B), рассматриваемая
по модулю произвольного простого числа р, разлагается на непри-
неприводимые по модулю р полиномы степеней п19 п2,..., nk, то поря-
порядок его группы Галуа © делится на каждое из чисел п19 п2,..., nk.
Доказательство. Из той же самой теоремы Орэ следует, что
в этом случае существует простой идеальный множитель $ числа р
степень которого / делится на степень nt любого неприводимого по
модулю р множителя f{x). Отсюда мы заключаем, что в нормаль-
нормальном поле К(хг, х29..., хп), где х19 х2, ..., хп представляют все корни
уравнения B), Щ разлагается на простые идеалы, степень которых F
делится на /, а значит, я на п. [8, стр. 499]. Но так как степень F
равна индексу {&:%), где 8 —группа разложения и % — группа
инерции этого простого идеального множителя, то отсюда следует,
что порядок 8 и, значит,, тем более порядок группы Галуа уравне-
уравнения B), делится на пг что и т. д.
Следствие. Для того чтобы уравнение {2) решалось в квадрат-
квадратных радикалах, необходимо, чтобы его левая часть по каждому
простому модулю р распадалась на неприводимые множители,
степени которых есть степени числа 2.
§ 2. Значение показателя р для уравнения луночки
1. Как показал Чакалов, уравнение A) подстановкой eib = х, у = х2
пр»еобразуется в уравнение

О КВАДРИРУЕМЫХ ЛУНОЧКАХ. I 19б
Если т — п — четное число, то это уравнение распадается в следую*
щие уравнения:
_ т—п
«я
-1
у — 1
<5>
\ ' У —L
Если же т — п— нечетное, то сделаем сначала в уравнении D) под-
подстановку у = х2 и положим тх = 2/я, пх = 2л, у ^~ = |/-—¦. Тогда
уравнение D) распадается на уравнения того же самого типа E).
Однако в этом случае числа т1 и пг не являются взаимно простыми,
а имеют наибольшим общим делителем число 2.
Мы ограничимся рассмотрением только одного из. уравнений E)
и запишем "его в форме
\У 2 С/-П = о, F)
Добавив к его корням тривиальный корець у=\.
В последующем мы будем рассматривать уравнение F) как срав-
сравнение по модулям простых .множителей чисел т, п7 т — п и 2.
2. Пусть р — нечетный простой множитель числа т, так что
m = pkml7 (mlf p) = \. Если мы рассмотрим уравнение F) по моду»
лю Vp, то получим сравнение
(ут - 1) = урк - 1 =(ymi - 1)р*=ее0 (mod Vp).
Взяв за первое приближение к решению этого сравнения число е,
удовлетворгяющее уравнению (утх — \)р = 0, мы получим для t сле-
следующие значения:
I. Иррациональный корень из единицы степени тх\ число таких
корней равно (т1 — 1)/?*, если /^ — нечетное, и (m1 — 2)pk, если
тг — четное.
II. рк — кратный корень +1; здесь учитывается также тривиаль-
тривиальный корень +1.
III. рк — кратный корень — 1; здесь учитывается также тривиаль-
тривиальный корень — 1.
Подставив затем в уравнение F)
у ^ s +>арр,
где а — взаимно простое с р число, выпишем в полученном разложе-
разложении только те члены, которые могут быть «наинизшими», т. е. порядки
которых относительно р для некоторых значений р могут быть ниже,
чем порядки всех других членов. При этом заметим, что биномиальные
13*

Я96
Н. Г. ЧЕБОТАРЕВ
коэффициенты С ™ ^ (s</?fe) делится точно йа рк~*, если s делится
точно на р1. Таким образом, получаем
mh\em-p*apkpphp-
Будем различать два случая:
I е — иррациональное число. Тогда, в силу (т, п) = 1 или =2,
гп ~ 1 =^=0, так что порядки членов разложения будут
> */2.
Значения р равны либо
либо
(фиг. 1).
G)
(8)
II. s = 1 (или е = —1, если т и п—-четные). Тогда порядки чле-
членов разложения будут
, к—
Значения р равны либо
-/>"
либо
2x~k
(фиг. 2).
(9)
(Ю)
3. Пусть теперь простое число q делит п, так что n = qkinu
(n^q)—\. Положим в уравнении F) y=bqQ, где b — взаимно простое
с q число:
т—п т—п
= 0.
Порядки членов этого уравнения суть
Ok\ . ftl -\- П ki . ТП — П
, , 2" Н 2~~Р» 2~ + —з—Р-

О КВАДРИРУЕМЫХ ЛУНОЧКАХ. I
Значения р будут
р==0 (фиг. 3). A2)
Если мы возьмем р=0, то b будет корнем сравнения (хп — l) = G
(mod Vя)> так что можно положить у = s-f- aqp (ел = 1) и повторить
все рассуждения д°2. Таким образом, получаем:
. П--3
Фиг. 1
I. Для с^±
II. Для е = ±
Фиг. 2
¦¦¦¦¦/¦
•л
. . п--7
. . к--5
2Х —
Фиг. 3
A3
(И)
A5)
A6)
4. Пусть г — нечетный множитель числа т.—я, так "что т~п
(s, r)= 1. Тогда

198 Н. Г. ЧЕБОТАРЕВ
Подставляя это выражение в уравнение F), получим
т+п
у2 -1
т—п \
Рассмотрим это уравнение по модулю г; тогда
/ rn+п \
\у — 1/ fj>r '"* + l) = 0 (mod r),
Первый множитель у 2 —-1 левой части не имеет по модулю г
кратных корней. Следовательно, к этому множителю можно применить
второй критерий. Чтобы определить степень неприводимого по моду-
т+п
лю г множителя бинома у 2 — 1, заметим, что, по лемме 2, поли-
т+п
ном у — 1 содержит множитель степени / тогда и только тогда,
если он имеет с полиномом уг ~ * — 1 общий делитель. С другой сто-
стороны, два полинома j/x — 1 и у*— 1 имеют наибольший общий делитель
У8 — 1, где S есть общий наибольший делитель чисел X и р.. Вслед-
Вследствие этого мы должны разложить m ^ n на простые множители и для
каждого такого простого множителя тс исследовать, к какому пока-
показателю принадлежит г по модулю тс. Затем мы рассмотрим г по мо-
модулю произведения двух, трех и т. д. множителей числа ^-х—,
Второй множитель yr ts + 1 можно представщъ по модулю г сле-
следующим образом:
(yr *s+ l) = (y*+ l/ * (modг).
Следовательно, можно положить у = s + arQ, где s есть корень
уравнения е* + 1 = 0. Тогда получим
т+п
_ 2 , ., . т + п
@0 .*
Порядки «наинизших» членов суть
ъ...,г\

О КВАДРИРУЕМЫХ ЛУНОЧКАХ, I 199
. Порядок *2 встретится тогда и только тогда, если ея—1=^=0,
т. е. если еф — 1, Коэффициент при г*»+р равен
m-f л \ т—п А m—n
т—п ( m+л
= е2 sa\z 2 +
/и—я „ , да—я
— l
sa {— е- + i + e") = e sa,
т. е. не делится на г.
I. ел — 1 =^= 0. Значения р будут
II. *n—1 == 0. Тогда значения р равны
p —. * (X = 2 3 , ?) A9)
P = t^t • B0)
4 5. Теперь мы перейдем к исследованию уравнения F) по модулю 2.
Здесь нужно различать два случая:
А. т ,и п — нечетные. Тогда 2 не является критическим простым
К( у -~] .
числом в поле К( у -~] . Мы имеем
^У~ (У" — 1) = \У~Т' — 1/ Vj'" — lj (mod 2).
Одно из чисел mZ" я, от~" в силу от ' " + от~" = пг должно быть
<? Ii А Л
четным, другое — нечетным. Предположим, что m'In -^нечетное.
Vfre6u определить степень неприводимого по модулю 2 делителя бинома
т+п
х 2 —1, нужно узнать, к какому показателю принадлежит число 2
по модулю я, где тс—-простой делитель числа т 2 п,
В. т и п—четные. Так как тГ*п должно быть нечетным,, то
одно из чисел т, п делится точно на 2, другое — на высшую степень
числа 2, скажем, на 2х+1(Х>0). Пусть, например, т =
я = 2/fi, где тг, пг — нечетные числа. Тогда
.(у1 —1JХ+1==0 (mod 2),

200
н.
Г. ЧЕБОТАРЕВ
так что 6 разложении у = s + a-2p величина
единицы. Порядки членов разложения левой
М
-1+р, Х+2р,...,Х-
-1+22р,..., 1-j
1 -4- 1 4- Х
е есть /ttj-й корень из
части уравнения F) будут
-2*р,...,2*+]Р,...,
Порядок Х/2 существует только тогда, если еп —
I. ел — 1 ф 0. Значения р будут
-1 '
х
II. ел — 1=0. Значения о будут:
Фиг. 4
х
* -
2 B** — 1)
1 »
(фиг. 4),
B1)
B2)
B3)
B4)
§ 3. Исследование уравнения F) при нечетных m, n
1. Предположим, что уравнение F) имеет делитель степени и
g{y) = 0, B5)
неприводимый в поле к(у—\ Исследуем, при каких условиях это
уравнение решается в квадратных радикалах. Из леммы 1 следует,
что для этого необходимо, чтобы корням его по каждому простому
модулю р соответствовали числа р, содержащие в знаменателях только
степени дройки. Если для какого-либо из его корней р = — , (г, s) =» 1,
то корню этому соответствует s сопряженных корней, которые, как
мы будем говорить, образуют 5-членный корневой цикл первого рода.
Если s есть степень двойки, то соответствующий корневой цикл на-
назовем благоприятным.
Точно так же из леммы 2 мы заключаем следующее. Если g(y)
имеет делитель степени /, неприводимый по модулю р, то будем
говорить, что его корни образуют /"-членный корневой цикл второго
рода. Тогда имеет место
Теорема 1. Для того чтобы уравнение B5) решалось в квад-
квадратных радикалах, необходимо, чтобы его корни по каждому

О КВАДРИРУЕМЫХ ЛУНОЧКАХ. I 20*
простому модулю образовывали только благоприятные циклы,
При этом должно быть
и = 2* + 2"' + ..., B6)
где 2а, 2а, . .. обозначают порядки корневых циклов. Каждому
простому модулю должно соответствовать разложение числа и
типа B6).
2. Пусть т и п — нечетные и р — простой множитель числа т,
так что т = pkml7 (тх,р) = \. Циклы уравнения F) по модулю/>
имеют, в силу G), (8), (9) и A0), порядки
Р 2 >Р>Р 2 ' (/-1,2Х-*)
(мы принимаем во внимание, что простое число р является критичес-
критическим в поле К (у —), так что порядок р1/2 встречается в области ра-
рациональности). Из этих порядков только последний может быть сте-
степенью числа 2, так что только один соответствующий ему корневой
цикл может быть благоприятным. Исследуем, когда он в действитель-
2Х —-» k f k \
ности благоприятен. Тогда число —^г*— (т^^^^) после С0КРа~
щения должно содержать в знаменателе только степень числа 2.
Рассмотрим два случая:
I. X содержит нечетный простой множитель t: X = t\. Тогда
2Х — k _ 2Х — k
2(/>х-1) ~ 2(pXl-l)(/l(/-])+yi(/~2)+- •• + /1 + О
Число /jXi('~1} +pXl(t~2) + . .. +pXl + 1 — нечетно и, при/?>2, больше,
чем * + 2х, а значит тем более больше, чем 2Х — k. Вследствие этого
этот нечетный множитель не сократится с числителем, так что этот
случай не благоприятен.
II. X есть степень числа 2: X = 2". Число 5 можно пред-
2(/>х 1)
ставить следующим образом:
2Х — k 2X — k
- . B7)
Знаменатель состоит из а + 1 множителей, которые также могут со-
содержать нечетные множители. Если по меньшей мере два из этих
множителей не содержат нечетных простых множителей, то
(знак минус встречается только в случае у = 0). Отсюда следует,
что р23 + 1 делится на /^rfcl. Но так как /?23—1 = (р2ГJ&"У — 1

"J02 Н. Г. ЧЕБОТАРЕВ
делится на/>2Т± 1, то 2 = (р2 +1) — (р2 — 1) также делится нар*г ± 1.
Это может быть только в случае
/72Г-1=2, /> = 3, г = 0.
Если р =5 3, то
l)C«"-' + j)...C» + l)C + l)C-l),
в силу
(З2* + 1) = (95 + 1) = 2 (mod 4),
оОС
делится точно на 2а+2. Частное хт— как нечетный множитель зна-
менателя должно быть множителем числа 2Х — ?, откуда следует
или, в силу 2Х —i
о ^ z , ^О;
откуда следует:
Но значение а = 2 не удовлетворяет неравенству B8):
322>22'2+2+1.
Вследствие этого допустимы только значения а == 0, а = 1. Если а = 0,
то Х=1, ? = 1. Если а = 1, то X = 2, ?<!3. Значит, мы имеем здесь
две возможности:
А) /-27, Р = ^; В) />*
1
Если все множители знаменателя в B7) (возможно, кроме одного)
делятся на нечетные простые множители, которые все также содер-
содержатся в числителе, то 2Х — k должно содержать по меньшей мере а
нечетных множителей. Каждый из этих множителей равен по мень-
меньшей мере 3, так что
2Х-*>За.
Так как, с другой стороны, в силу ?!>k имеет место неравенство
2Х — ?<JA= 2a, то мы приходим к неравенству
2а>За,
которое возможно только в случае <х = 0.
III. Х = 1, ?=1. Тогда р= -z-A—77 должно иметь в знаменателе
только степень числа 2. Отсюда следует, что р есть так называемое
гауссово простое число, т. е. имеет форму 2^+1.

О КВАДРИРУЕМЫХ ЛУНОЧКАХ. I 203
v 6, Теперь зададимся вопросом о степени и неприводимого урав-
уравнения B5). Так как благоприятные корневые циклы имеют для р зна-
значения A0), т, е. соответствуют значению е = 1, в то время как срав-
сравнение
ут — 1==е0 (mod p)
содержит /Л-кратный корень у = 1 и уравнение F) имеет тривиаль-
тривиальный корень у= 1, то и не может быть больше чем рк—1. Если, с
другой стороны, k = 1, то р имеет значение 2( ^ , так что степень
неприводимого уравнения, которому удовлетворяет корень, соответ-
соответствующий этому значению р, ло меньшей мере равна р— 1, так как
производящее число области рациональности \/ — имеет относи-
V п
тельно р порядок xj2. Итак, а=р— 1.
Если /? = 3, ? ==,2, то р = —k . Но так как простое число 3
не является критическим, то здесь тоже u^pk—1. Вследствие этого
в этих случаях
и=р*_ 1. B9)
Если же р = 3, k = 3, то из фиг. 2 видно, что соответствующие
значению е = 1 корни образуют один 8-членный цикл и два 9-член-
ных цикла. Следовательно, в благоприятном случае
и = 8. C0)
Формула B9) показывает, что т не может содержать двух раз-
различных простых множителей. В самом деле, если т = рkpxkl. . . , то
откуда следует: р~рх. Если же т делится на 27, то д = 8. Если
Р\ —другой простой множитель т, то 8 = pxkl — 1, т. е. рг*1 = 9; зна-
значит, рх не отличается от р =*= 3. Итак, во всех случаях мы имеем
т^р\ C1)
4.1 Теперь рассмотрим разложение корней по степеням q, где q —
простой множитель числа п. Принадлежащие сюда корневые циклы
подобны jp-корневым циклам; но, кроме того, имеется два —^ член-
членных ^-корневых цикла. Мы будем различать здесь два случая:
' I. Если т—п не является степенью числа 2, то т^п -членные
циклы не благоприятны. Значит благоприятные циклы соответствуют
значению р = ~ * ; вследствие этого u =q l — 1, т. е.р = ^, что

204 Н. Г. ЧЕБОТАРЕВ
невозможно, так как тип взаимно просты. Если рк = 27, и = 8, то
q l = 9, т. е. т и п опять-таки не взаимно просты.
II. т — п — 2s. Корням уравнения B5) соответствуют либо А) зна-
? 2х k
чения р == ± -jf^z— > либо В) как значения р =* ^—— , так и значе-
ния р = Ч .
А. В первом случае либо и = т — п, либо и = m^~n . Еслит Ф27,
то либо п = 1, либо /п— 1 = т~^П , что, в силу п^-1, невозможно.
Если же /я = 27, то или /t = т — а = 19, или п = /я — 2# *=* 11.
1) /I = 1, ?=1, /?=1+25. Уравнение F) распадается по модулю2
следующим образом:
СУ 2 -OCJ'2 -0 = 0 (mod 2).
Так как здесь w = m—1, то в благоприятном случае должны быть
благоприятными все корневые циклы. Мы рассмотрим множитель
p±i
?(у)==2У 2 ~~~1- Он не имеет по модулю 2 кратных корней, так как
полином
=Jf 2(mod2)
в случае р^ 1 (mod 4) взаимно прост с у (у). Известно,1 что каждый
неприводимый по модулю числа 2 полином ?-й степени является
делителем полинома у2* — уи никакого другого полинома типа
угкх—у{к\<Щ). Если бы все неприводимые по модулю 2 делители по-
полинома <р(у) были степени 2W, то наименьший полином типа у21—у, ко-
который делился бы на <р(у), имел бы показатель / вида 2*. Но по-
полином уг% — у = у (у21— 1) тогда и только тогда делится на поли-
полином ф (у) = у2*'1 +1 — 1 (^±2 в 2^"! + 1 \ если 2Z - 1 делится на 25 +1.
Теперь, 22(<у~!) — 1 делится на 2*~1+1. С другой стороны, / не может
быть меньше, чем 2s — 2, так как в этом случае можно было бы
положить / = s(s— 1) + ^ е = 0 или = 1, г<5— 1, Тогда имело бы
место
2'- 1 = 2еE~1)+г - 1 =±2Г - 1 (mod 2s~l + 1),
что исключает делимость 21— 1 на 2s—1, так как 2гнР 1 меньше,,
хСр., например, [8], стр. 99 E6).

О КВАДРИРУЕМЫХ ЛУЛО.ЧКАХ. I 205
Итак, / == 2s — 2. Наше условие требует, чтобы / = 2', С другой
стороны, р = 2s + 1 может быть простым числом только тогда, если
s имеет вид 2а. Значит,
2' = 2.2а —2,
т. е.
2*~1 = 2* — \.
Это уравнение может иметь место только при ^ — 1=0. Тогда мы
получаем
а=1, 5 = 2а = 2, р = 22 + 1=5.
К этому также можно добавить случай р = 3, в котором 25 — 2 = 0.
Все остальные случаи т^р, п= 1 не благоприятны.
2) т = 9, /t=l. Уравнение
Г9 1 г 1
т. е.
х8 + х7 + х* + х5 + A ±3);с4 + х3 + х2 + х + 1 = 0 C2)
является возвратным и посредством преобразования х -\ = z пре-
превращается в уравнение
г4 + zz — Зг2 — 22 + A ±3) = 0. C3)
Если гг, г2> zs. г4 —корни этого уравнения, то величина и = zxz2 + ггг±
удовлетворяет кубическому уравнению
и? + Зи2 + (— 6=F 12) и— 17^39 - 0, C4)
которое имеет рациональные корни тогда и только тогда, если урав-
уравнение C3) [а следовательно, и C2)] решается в квадратных радикалах.
Если в уравнении C4) мы возьмем верхний знак, то это уравнение
имеет рациональный корень и = —4. Отсюда легко вытекает, что
уравнение C3) допускает следующее разложение:
(г* —?г-2)(г2-е2г — 2)=0,
где s = ег' . Значит, этот случай благоприятен, т. е. уравнение C2)
при верхнем знаке решается в квадратных радикалах. Но этому ре-
решению не соответствует никакой луночки, так как все корни z = х +
+ — = 2 cos 6 уравнения C3) мнимы.
При нижнем знаке уравнение C4) не имеет рациональных корней.
3) /71 = 27, л = 19. Здесь мы имеем
(/3-1)(у_1) = 0 (mod 2).
Чтобы узнать, на какие неприводимые по модулю 2 множители распа-
распадается полином у2г — 1 по модулю 2, мы должны найти наименьший

206 Н. Г. ЧЕБОТАРЕВ
показатель /, при котором у^— у делится на у2г — 1. Для этого
необходимо и достаточно, чтобы имело место
У=1 (mod 23).
Легко находим: /= 11. Отсюда мы заключаем, что в этом случае
корневые циклы 2-го рода по модулю 2 имеют степени 1, 1, 1, 1, 1Г
11, 11. Степень и = 8 не может быть составлена из этих степеней.
4) /71 = 27, п =11. Корневые циклы по модулю 3 имеют степени
9, 9, 8, 1, а по модулю 11—степени 8, 10, 8, 1. Уравнение B5) в благо-
благоприятном случае должно иметь степень и = 8. Тогда его корни со-
соответствуют по модулю 11 одному из 8-членных циклов, для которого
значение р или положительно, или отрицательно. Но уравнение F),—-
возвратное; в случае, если корни его множителя g(y) по модулю 11
& / 1 \
имеют положительное значение р, то корни полинома y*g I — ) , ко-
который во всяком случае входит множителем в уравнение F), имеют отри-
отрицательное значение р и, значит, этот полином взаимно прост с g(y)~
Отсюда следует, что уравнение F) содержит два множителя восьмой
степени с коэффициентами из К (у —) - Но это противоречит тому
факту, что корневые циклы уравнения F) по модулю 3 имеют степе-
степени 9, 9, 8, 1. Значит, случай яг = 27, я =11 не благоприятен.
В. В этом случае q должен подчиняться условиям § 2. 3, так что
мы имеем только следующие подслучаи:
1) т = р = 1 + 22", n = q==l + 2*\ Здесь 2*" = 223+ 2sy откуда
следует
s = 23, 22а = 223+2, 2а = 1 + 2*, р = 0, а = 1, р = 5, q = 3.
Этот случай упоминает уже Клаузен (loc. cit.).
2) m = 9, n = 9, 9 — q = 2s. Здесь q = 5, т. е* яг =9, п = 5. Уравне-
Уравнение F) распадается по модулю 2 следующим образом:
-l) = 0 (mod 2).
Полином у1 — 1 распадается по модулю 2 на не приводимые по модулю
2 полиномы степеней 1,3, 3, что противоречит тому факту, что
здесь и = 9 — 1 =8.
3) т = р, /г = 9, 22а+ 1 =23+ 1 +2*, s = 3, а = 2, /7 = 17.
Отсюда следует: т=17, я = 9. Уравнение F) распадается по мрдулю
2 следующим образом:
(У18—1)(У-1) = 0 (mod 2).
Так как 2 принадлежит по модулю 13 к показателю 12, то это урав-
уравнение по модулю 2 распадается на не приводимые по модулю 2 мно-

о квадрирУемых луночках, i 207
жители степеней 12, 1, 1, 1, 1, 1. Это противоречит тому, что здесь
и=17 — 1=16.
4) т = 27, п = д. Здесь 27 - 223 + 1 + 2s, 2* + 223 = 26.
Отсюда следует, в силу 26 = 2 (mod 4), что или s = l9 или 20 = 1.
Оба случая невозможны, так как число 26 — 2 = 24 не является сте-
степенью 2.
5) т=р, л = 27. Здесь 22а + 1 =2* +27, 22а —2*,-26, s=U
22а = 28, что снова невозможно.
В случае В, п может состоять из различных простых множителей-
Это дает нам следующие подслучаи:
6) т=р, ti = gki*g1'g2. ... В этом случае и=р — 1, т. е. уравне-
уравнение B5) охватывает все корневые циклы, которые по модулям q, qlt
^2,... не все благоприятны. Значит, этот случай не благоприятен
7) /n = 3*, n = qki-q1-q2 . . . В этом случае пк^п (наименьшее зна-
значение п есть 5*7 = 35), что противоречит нашим условиям.
Поступило
20 февраля 1933 года
ЛИТЕРАТУРА
1. Е. Land * u. Uber quadrierbare Kreisbogenzweiecke» Sitzber. Berh Math. Ges. 2 A903)
стр. 1 —6.
2. L. Tschakaloff. Beitrag zum Problem der quadrierbaren Kreisbogenzweiecke.
Math. Ztschr. 30 A929), стр. 552 — 559.
3. L. Tschakaloff. Anwendung der Theorie der algebraischen Zahlen usw. C. R.
du Premier Congres des Pays Slaves, Warszawa, 1930, стр. 134 — 139.
4. Clausen. Vier neue mondformige Flachen, deren Inhalt usw. Journ. f. Math.
21 A840), стр. 375-376.
5. M. Bauer. Zur allgemeinen Theorie der algebraischen Grossen. Journ. f. Math.
132 A907), стр. 21 — 32.
6. M. Bauer. Ganzzahlige Gleichungen ohne Affekt. Math. Ann. 64 A907).
7. O. Ore. Newtonsche Polygone in der Theorie der algebraischen Korper. Math. Ann.
99 A928), стр. 99—100, Satz 1.
8. P. Bach ma nn. Zahlentheorie. Bd. 5, Lpz., 1905, стр. 494, 495.

ЗАМЕТКИ ПО АЛГЕБРЕ И ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
(Уч. зап.КГУ, 94, кн. 7, стр. 3-16)
I. О «теореме главных идеалов» в промежуточных полях
Ф. Фуртвенглер (Ph. Furtwangler) доказал «теорему главных идеа-
идеалов* (Hauptidealsatz) для полного поля классов (Klassenkorper), [1].
Э. Артин (Е, Artin) поставил вопрос о том, какие идеалы первона-
первоначального поля ? обращаются в главные внутри частичного поля клас-
классов [2]. Повидимому, эта задача не допускает простого решения и
зависит не только от группы поля k> но также от его арифметических
свойств [3].
В настоящей заметке я предлагаю существенно новую групповую
интерпретацию этой проблемы. Г. Гассе (Н. Hasse) указал мне на
эту проблему и сделал по поводу настоящей заметки ряд ценных
указаний, за что я выражаю ему мою сердечную признательность.
§ 1. Постановка вопроса. В дальнейшем я буду пользоваться
обозначениями цитированной статьи Фуртйенглера [1], если только не
будет оговорено противное.
Пусть k будет первоначальное алгебраическое поле,
Н ¦= [сг, с2,.. . , сп] — его группа идеальных классов, Нг — подгруппа
группы Н. Пусть Кх будет (частичное) поле классов, соответствующее
группе Н19 и К2— полное поле классов поля Кг. Тогда относительное
поле K2jk — нормально. Пусть G будет его группа и Sq та ее под-
подгруппа, к которой принадлежит К19 GI Sq — изоморфна с группой И \ Нг.
Пусть К будет полное поле классов поля ?. Очевидно, что К со-
содержится в АГ2. Пусть К принадлежит внутри К2 к группе L. Так как
все рассматриваемые относительные поля не разветвлены (т. е. их отно-
относительные дискриминанты равны единице), то L является коммутантом
группы G. В самом деле, принадлежащее к L поле Klk является наи-
большим абелевым делителем поля — , а потому L есть наименьший
делитель группы G такого рода, что дополнительная группа G/I
абелева. Группа G/L изоморфна с полной группой идеальных клас-
классов Н.
Пусть Р будет простой идеал поля к, лежащий в идеальном клас-
классе сг и Ръ Р и Р2—-его простые идеальные множители соответст-

ЗАМЕТКИ ПО АЛГЕБРЕ И ТЕОРИИ ЧИСЕЛ '209
аённо внутри Kv К и /С2. Если Р2 принадлежит &нутри —• к' подста-
подстановке А' группы G, то, как известно, имеет место
A2N(P) = A2X (modP2), A)
где Л2 — произвольное взаимно простое с Р целое число прля К2-
Если мы в качестве Д2 возьмем число А из К, то получим
АЩР)^АХ (modP). B)
Но так как Р лежит в идеальном классе сг, то, в силу артиковского
закона взаимности [4] (который мы в дальнейшем будем для краткости
обозначать буквами А. 3. В.), следует, что подстановка X соответ-
соответствует идеальному классу сг при изоморфном сопоставлении элементов
групп у- и /У. Если записать группу Q в виде
G = S* • S2a*... Sna» L (Si *--> a), C)
где ava2t...,an пробегают независимо друг от друга значения от
0 до hx — 1, А2 — 1,..., hn — 1, где hv h2,. w., hn — порядки элементов
Slt S2, \.., Sn, то из наших рассуждений вытекает, что X лежит в
смежном классе S^L, и потому можно принять X = S19 и мы будем
иметь
еЛ251 (mOdP2). D)
Таким образом, если ek есть порядок элемента скНг [т. е. наимень-
наименьший показатель, для которого Ckk содержится в Нг; введем обозна^
чение ek = nop(cftH1)]f то из закона разложений [5] следует
E)
Возвышая обе части сравнения D) в ех-ю степень, мы получим
V^V1" (modP2), F)
а для чисел Аг из Кг даже
** J. F')
Отсюда следует, что Рг лежит внутри Кх в идеальном классе, соот-
соответствующем подстановке $ге1. Но так как, в силу закона разложе-
ния^ имеет место
р^Рг.р^...Р1м =PXG/^, G)
где
о=
14 п. г. Чеботарев. Том 1.

210 Н. Г. ЧЕБОТАРЕВ
где GI Gft обозначает сумму представителей смежных классов раз-
разложения О по $/i» то G лежит внутри Кг в идеальном классе,
соответствующем подстановке
G
^=3^ *'. (8)
Способ записи и рассуждения заимствованы из [1].)
Принимая во внимание, что группу G/ig можно записать так:
-§¦-/»•/,.../», (9)
и что возведение (символическое) Sx в степень fx равносильно воз-
возведению Sx в ег-ю степень в обыкновенном смысле:
(под 5Г мы разумеем Т~г8Т, так что S5 = S), мы можем даже пере-
переписать равенство (8) так:
T! = .SO/*, (8')
если только мы условимся под показателем G/ф разуметь выраже-
выражение (9), причем порядок возведения в степени f19 /2, ...,/л ?не без-
безразличен. Именно, надо всегда начинать с возведения в степень
той /lf которая соответствует циклической группе, содержащей 51в
В общем случае, если < какой-нибудь идеальный класс внутри k
соответствует элементу X группы G/J§, то, чтобы найти тот идеаль-
идеальный класс, в который превращается наш идеальный класс внутри К19
надо разложить G/i§ (абелева группа) в прямое произведение типа (9)
таким образом, чтобы один из циклических множителей содержал
элемент X (из теории абелевых групп известно, что это всегда можно
выполнить). Чтобы получить ту подгруппу группы классов поля К19
которая производится идеалами поля k> надо символически возвести
каждый элемент X группы G в символическую степень G/^б, в пер-
первую очередь возвышая X в степень того циклического множителя,
который содержит X. Это возведение сразу переводит X в элемент
группы Jg, с которой, в силу А. 3. В., сопоставляется группа идеаль-
идеальных классов поля К- Порядок остальных символических возведений
в степени безразличен ввиду того, что Xfl = H есть элемент груп-
группы Jg, а также коммутативности группы G/& из которой следует
SXS2 = H1S2Slf
где S19 S2 входят в G, а Их — в Sq. Отсюда
Это равенство влечет за собой перестановочность всех /,• в показа-
показателе:
Hf'fJ=HfA

ЗАМЕТКИ ПО АЛГЕБРЕ И ТЕОРИИ ЧИСЕЛ 211
Итак, классам поля Kl9 производимым идеалами поля #, соответ-
соответствуют (на основании А, 3. В.) те подстановки группы &, которые
выражаются как произведения символических норм элементов
группы G, т. е.
XGI§. A0)
Из них делаются главными внутри К\ те идеальные классы, которым
соответствуют подстановки X группы О Г вернее, -g-J, удовлетворяю-
удовлетворяющие равенству
Х01§ = \. (И)
§2. Свойства символических норм. Пусть Av Л2,..., Аг будут
элементы базиса абелевой группы ig. Элементы группы -g- можно
рассматривать как автоморфизмы группы ig. Пусть 5—какой-нибудь
из таких автоморфизмов, т. е. элемент из G, который будем считать,
единичным, если он содержится в ig (тогда преобразование с его
помощью будет оставлять элементы группы ig инвариантными). Пусть
/тг-я степень 5 впервые дает элемент из ig; пусть т = т^, где
р — простое число. Тогда элемент s = Smi имеет относительный поря-
порядок р. Рассмотрим сначала автоморфизм s. Вводя обозначение
рассмотрим символические степени
^i у А2 , .. . , Аг,
производящие группу, которую мы будем обозначать так: ^/.
Пусть Ord {At) = ei и пусть е. = е!р в случае, если eg делится
на ру й е. = е.' в противоположном случае. Введем обозначения
Bt = Aie*[ (/-1,2,...,г).
Подгруппа [Вг, В2,..., Вг] есть абелева группа порядка р7" и типа
[1,1,..., 1] (т. е. все ее элементы имеют порядок р). Автоморфизм s
производит над ее элементами однородную линейную подстановку по
модулю р.
Это дает представление s в виде однородной линейной подста-
подстановки по модулю р. Из sp = 1 следует, что все характеристические
числа матрицы, соответствующей этой подстановке, удовлетворяют
сравнению
хр'= 1 (modp),
откуда x=l(mod/?). Поэтому при помощи линейного преобразования
над BlyB2,..., Вг с рациональными (целыми) коэффициентами мы
14*

212
Н. Г. ЧЕБОТАРЕВ
мйжем привести эту матрицу к виду
о; /?„..., о
0,0, ...,Rt
где матрицы Ri,R2,.--,Rt имеют вид
/?.=
1,
о,
о,
х,
1.
о,
о,...
X,...
О,...
,0
,0
,1
(#=1,2,...,
A2)
A3)
и порядки tik<^p< Рассмотрим два случая.
L и<^р. Пусть элементы BlfB2t...,Bu нашей подгруппы претер-
претерпевают под влиянием автоморфизма s подстановку Rx вида A3). Это
означает, что под влиянием автоморфизма s эту подстановку претер-
претерпят показатели х1Ух2,...,хв элемента С = ВгХ1В2х%. . .ВХи. Тогда по-
показатели элемента
могут быть представлены в виде
Докажем, что все элементы матрицы Е + Rx + Rz2 + ... + R/ ~~]
делятся на р. В самом деле, легко проверить путем индукции спра-
справедливость формулы
О, 1, G)Х,...
=1.2,...,р- 1),
A4)
О, О, 0, ... 1
'т биномиальные коэффициенты. Из этой формулы мы
получаем
о,
о, о,
о,
A5)

ЗАМЕТКИ ПО АЛГЕБРЕ И ТЕОРИИ ЧИСЕЛ 213
;если принять обозначение f k ) =» 0 при k*>m. Но сумма
равна коэффициенту при ха в разложении суммы
по степеням л\ Отсюда следует:
!?,(:)-(•'¦)• A6)
Но Г я^_ 1 \ в силу а < # — 1 </; — 1, делится на р, откуда мы заклю-
заключаем, что О в этом случае равно единице. Из этого следует, что
группа & содержится в группе Sqp, т. е. группе, элементы которой
состоят из р-тых степеней элементов группы Q.
II. Некоторые из матриц /?* суть матрицы порядка р. Это означает,
что элементы Bl9 Bxs,..., BxsP ~x независимы друг от друга и могут
быть выбраны в качестве элементов базиса. В самом деле,
X
Э s О D л
'2\
5/ =ВХ-В2"-В3А\ A7)
С
(Р- 1) (/?-2)
— 2 ^р — 1
! = Вг • В2
Так как ХфО(тос1^), то при помощи этих формул можно после-
последовательно выразить В19 В29... ,ВР через В19 Вх,. .. Вхр
Будем обозначать Вг% Bxs,..., ВХР через С, Си .. ., Ср _j. Тогда
т. е.
С «у /- s f^s
о — *-i — • * • — t—p — 1 •
Таким образом, в этом случае каждым р членам базиса группы Jg
соответствует только один элемент в группе Q того же порядка,
так что здесь хотя порядки отдельных элементов группы могут все
и не уменьшаться, но порядок всей группы уменьшится по крайней
мере в рр -х раз.
Перейдем к рассмотрению более общего случая, когда (относитель-
(относительный) порядок автоморфизма 5 есть произвольное составное число

214 Н. Г. ЧЕБОТАРЕВ
т~ргрг* **pv (его множители могут быть и равными). Для этого
т
рассмотрим сначала автоморфизм s = SPl ,
В силу только что доказанного, группа fefl или является делителем &,
или (случай II) содержит только один элемент базиса, не входя-
входящий в &. Кроме того, очевидно, что элементы группы ^ инва-
т
риантны по отношению к автоморфизму 5 = Spl, в силу чего по отно-
отношению к группе $@fi автоморфизм S имеет (относительный) порядок
т!рх. Проделывая этот процесс с автоморфизмом sm!plp\ мы убедим-
убедимся, что элементы базиса группы tQfift содержатся в группе feplPt, за
исключением самое большее или одного элемента, являющегося эле-
элементом базиса первоначальной группы $$, или двух элементов, из
которых один входит в группу $spi, а другой в группу $Qpt. Продол-
Продолжая процесс, мы получим аналогичный результат для общего авто-
автоморфизма S.
Обратим внимание на то, что в том случае, если некоторые из
простых чисел pltp2>--->pv совпадают, символический показатель
в символической норме будет иметь тот же вид, что и f\f2-**fv
Разъясним дело на примере. Пусть 5 имеет (относительный) поря-
порядок р2. Показатель в символической норме имеет вид
I +S + S*+... + Spi-1, A8)
у нас же получится выражение
(I + Sp + S*p + ... + S{p~X)p)(l + S + S2 + ... + S"-1). A9)
Но нетрудно доказать, что оба выражения A8) и A9) даже алгебраи-
алгебраически равны друг другу. Аналогично доказывается общее утвержде-
утверждение.
Если $ совпадает с коммутантом группы G, что соответствует слу-
случаю полного поля классов, то Фуртвенглер [1] доказал, что в этом
случае символическая'норма группы $s есть единичная группа. В общем
случае эта символическая норма зависит от индивидуальных особен-
особенностей двустепенной группы G, в рассмотрение которых я не вхожу
в настоящей заметке.
II. К гильбертовой теореме неприводимости
для многих переменных
Предполагая, что теорема Гильберта доказана для случая одной
переменной, докажем ее для случая многих переменных.
Пусть нам задано абсолютно неприводимое уравнение
/0*1, х2> ...>хт; у19у2,.,., уп) = 0. A)

ЗАМЕТКИ ПО АЛГЕБРЕ И ТЕОРИИ ЧИСЕЛ 215
Требуется доказать, что можно придать переменным хг> х2,... %хт
такие рациональные значения, чтобы получаемое после их подста-
подстановки в A) уравнение было неприводимо относительно yi,y2,-*-,yn
в любом наперед заданном конечном алгебраическом поле К*
Что касается абсолютной неприводимости, то ее не всегда можно
достичь. В виде примера рассмотрим уравнение
V-*if.y.f=Of B)
которое абсолютно неприводимо относительно переменных Х1,у1,у2,
но всегда абсолютно приводимо относительно у1У у2, если мы прида-
придадим хг какое бы то ни было рациональное значение.
Будем считать левую часть уравнения A) полиномом относительно
У\у У2> - - •> Уп> а переменные xlf xv ..., хт будем считать параметрами
включенными в коэффициенты полинома. Если этот полином абсолютно
приводим, то между его коэффициентами имеют место некоторые
соотношения, которые мы будем называть уравнениями (/?). Нетрудно
понять, как получить эти соотношения. Для этого приравняем поли-
полином f(ylfy2>... >Уп) произведению двух полиномов той же степени
относительно каждой из переменных yvy2, ...,^л с неопределенными
к оэффициентами:
/СУи У*> • • • >Уп) = 9(Уи У2>-- ,Уп)$(У1,Уш. <.., Л). C)
Пусть иг, и2,... будут коэффициенты полинома 9 и ^и ^2» • • • — поли-
полинома ф. Приравнивая коэффициенты при различных степенях перемен-
переменных у19у2*-.- уУ* в тождестве C), мы получим систему соотношений
между коэффициентами щ и vt
gi(th,v*> ...;г;1,г/2,...) = 0. ¦ D)
Эта система имеет всегда тривиальное решение, соответствующее
случаю, когда один из полиномов ср, ф равен постоянной величине.
Чтобы получить остальные решения, исключим из системы D) не-
неизвестные т и ^. Получится система соотношений между коэффи-
коэффициентами полинома /, которую мы и назовем системой уравнений(/?).
Так как, в силу нашего предположения, в коэффициенты полинома /
входят переменные хьх2,... ,хт, то уравнения {R) являются уравне-
уравнениями, связывающими эти переменные.
Рассмотрим отдельно два случая:
I. Уравнения (R) не все являются тождествами относительно пере-
переменных х19 x2i..., хт. В этом случае всегда можно найти такую
систему значений для переменных, чтобы не все уравнения (R) удов-
удовлетворялись. Такая система значений делает полином / абсолютно
неприводимым относительно переменных

216 Н. Г. ЧЕБОТАРЕВ
Л. Уравнения (R) являются тождествами относительно переменных
хх х2,..., хт. Так как эти уравнения являются условлями совместимости
уравнений (.4), то в этом случае уравнения D) непременно имеют
решения, отличные от триаиального. Рассматривая поле К[хъ х2,..., х„\
(получаемое присоединением к полю К переменных х1ч л2,.. хт) как
область рациональности, мы получим решения я. и v. системы D) в
некотором алгебраическом относительно К[х1у х2,..., хт] поле (это
следует из того, что число возможных разложений полинома /—-ко-
/—-конечное, с точностью до постоянной величины; последнюю нетрудно
нормировать, например, потребовав, чтобы свободный член полинома
<р равнялся единице) К[хг,х2,..*>хт',и(, v^ которое мы будем назы-
называть полем разложимости полинома /. Выберем в этом поле прими-
примитивную величину z, через которую и через величины хг,х2,..., хт
должны рационально выражаться величины uv v.. Величина z является
непременно иррациональной функцией от хХ)х2,... ,хт. В самом деле,
в противном случае величины и., v. рационально бы выражались через
х19х2,... ,хт, а это означало бы, что полином / разлагался бы на мно-
множители, коэффициенты которых были бы рациональными функциями
отл:ь х2,.. .,хт\ другими словами, полином / (л-ь х2, . ..хт\у19у29. ..,уп)
был бы приводимым относительно переменных xltx2,,.. ,хт; у1у
У2>--•>}!„, чт0 противоречит предположению.
Лемма Гаусса стирает здесь грань между рациональностью и
целой рациональностью коэффициентов.
Пусть
1,х2,...,хт) = 0 E)
абсолютно неприводимый полином, корнем которого является г. Из
иррациональности z следует, что степень полинома F относительно z
должна быть выше первой.
Станем рассматривать одно из неизвестных в уравнении E), на-
например -хщЪ как параметр, который мы включим в коэффициенты
уравнения E). Здесь опять мы должны рассмотреть два случая. Если
уравнение E) абсолютно неприводимо относительно переменных г;
Xit-Xfr ••• 9хт^{, то, поступая, как в I, мы найдем для хт такое чис-
численное значение, при котором F останется абсолютно неприводимым
относительно остальных переменных. В противном случае, поступая,
как в И, обозначим через 5 примитивную величину поля разложимости
полинома F и через
ЫЬ*т)=0 F)
абсолютно неприводимое уравнение, корнем которого является ?.
Опять мы убедимся, что уравнение F) выше первой степени относи-
относительно ?. Поэтому в силу теоремы Гильберта для одной переменной

ЗАМЕТКИ ПО АЛГЕБРЕ И ТЕОРИИ ЧИСЕЛ 2X7'
можно придать переменной х^ такое значение, чтобы уравнение F)
осталось неприводимым относительно 5 внутри заданного поля К.
Пусть К2 будет поле, образованное корнем уравнения F). Тогда (о)
имеет корнями или иррациональные функции от х19х2,... ,хт_1 (если
уравнение E) не имеет линейного множителя), или рациональные
функции, коэффициенты которых принадлежат к полюД^. Эти кЬэффици -
енты воспроизводят все поле К2> так как 5, в силу нашего условия, рацио-
рационально выражается через эти коэффициенты. Но так как коэффи-
коэффициенты уравнения E) принадлежат полю /С, то, беря в качестве
коэффициентов одной из этих рациональных функций сопряженные
по отношению к К величины, мы получим другие корни уравнения
E). Если мы придадим переменным хих2,... ,хт_} какие-нибудь раци-
рациональные значения, то получаемые при этом значения корней урав-
уравнения E) только тогда могут лежать в поле К, если они совпадают
друг с другом, а это может случиться только тогда, если дискри,
минант уравнения E) обращается в нуль. Но этот дискриминант
есть полином D (х1у хъ ..., хт _ л), не обращающийся тождественно
в нуль, так как уравнение E) неприводимо. Если мы в связи с этим
наложим на выбираемое значение хт дополнительное условие, чтобы
его подстановка не обращала D тождественно в нуль (это всегда
возможно, так как этим мы исключаем лишь конечное число значе-
значений хт), и «после этого выберем систему значений *i, *2>. • •, *m _ i >
не обращающих D в нуль, то корень z уравнения F) не будет лежать
в поле К. Отсюда вытекает, что при этих значениях xlfx2,...,xm
полином / останется неприводимым в поле К, что и т. д.
Возвращаясь к случаю, когда уравнение E) осталось абсолютно
неприводимым (или, во всяком случае, не имело линейных относи-
относительно z множителей), мы продолжим наше рассуждение относительно
переменной xm__v а затем xm_v и т. д.
III. К одной теореме Минковского
Г. Минковский доказал теорему:
Дано п вещественных линейных функций
Ух = au*i + ^12*2 + ... + а1пхп + Ьи A)
У2 = 021*1 + 022*2 + . . •+ 02Л*« + К
Уп = 0*1*1 + 0«2*2 + • •. + аппхп + Ьп
от п переменных хххгл •..,*„ с определителем D. Существуют цело-
целочисленные значения х19 х2, х3,..., хп такого рода, что для них
\УгУ,-'-Уп\<~ B)

1218 H. I . ЧЕБОТАРЕВ
для случая /t = 2[6] Р. Ремакдоказал ее справедливость для я==3[7].
Эти доказательства имеют геометрический характер и довольно сложны.
Я намерен здесь предложить два простых результата, относящихся
к этой теореме для произвольного я. Они далеко не доказывают
теоремы Минковского, но, имея весьма простые чисто арифметические
доказательства, может быть, представят некоторый интерес.
§ 1
I. Теорема Минковского справедлива, если предположить, что
отношения чисел ац в каждой строке системы A) рациональны.
Доказательство. Предварительно примем во внимание, что
если теорема доказана для каких-нибудь функций ylfy2, ..., уп, то она
справедлива также для функций c1ylic2y2f --, спуп, где с19 с2,..., сп — со-
совершенно произвольные вещественные числа. Исходя из этого, мы
можем предположить, что все коэффициенты а., суть целые рацио-
рациональные числа.
Пусть ап будет наименьшее по абсолютной величине из чисел
#n>#i2' ••• >ain (этого можно добиться, изменяя нумерацию перемен-
переменных xv x2i.. ., хп). Найдем целые числа q2, q3,..., qn такого рода,
чтобы
\r2\ = \ cL12~ ^ ^
I rn\ = [aln-qnaxl\<±\au\. C)
Тогда
Ух = Яи*1 + {q&n + г2) х2 + .. . + (qnalx + rn) xn + b1==
а) + г2х2+ .. . + гпхп + Ьх.
Сделаем в системе A) замену переменных
*! = ¦*! + q2x2 + . .. + qnxn, z2--=x2,...,zn = хя,
которая обратима в целых числах. Тогда коэффициенты функции уг
уменьшатся по абсолютному значению. Продолжая процесс, мы при-
приведем ух к виду Cjifx. Применяя эти преобразования к у2, затем к уг
и т. д., шл в конце концов приведем систему A) к виду
Уг = ^п% + К
у2 = с21ах + с22а2 + Ъъ
D)
где |D| = |с1лс22...спп 1. Переменные хг,x2t...yxn и и1уи2,...,ип при-
принимают целые значения одновременно.
Найдем для их такое целое значение, чтобы имело место

ЗАМЕТКИ ПО АЛГЕБРЕ И ТЕОРИИ ЧИСЕЛ 219
Подставляя значение и1 в остальные функции у19 подберем и2 так,
чтобы
Продолжая процесс, получим систему таких целых значений
и1г #2»..., ия, чтобы имело место
откуда
что и т. д.
§ 2
II. В общем случае произведение | ylfy2f... ,уп | может быть при
целых значениях хх, х2,..., хп сделано меньше 7\, где X — число, сколь
угодно близкое к ,^я.
Доказательство. Если мы будем придавать xlfx2,...,xn все-
всевозможные целочисленные значения, то произведение \угу2-- -уп'
будет принимать некоторое множество значений. Пусть L — нижний
предел (может быть, недостижимый) этого множества.1 Достаточно
доказать, что
L<\\D\. F)
22
Допустим противное. Выберем'систему целых значений х19 х2>..., хп
для которых значения у1}у2,... ,уп удовлетворяют неравенствам
G)
где е — сколь угодно малое положительное число.
С другой стороны, если %lf 52,... Дл — система произвольных целых
значений, то
Уг (*i + Ъъ *г + ?2, •. •, *п + гя) = (апхг + . . . +а.пхп + Ь.) +
где ^. — значение однородной части функции у((х1У..., хя), соответ-
овующее значениям х. = ?г Согласно определению L, будем иметь
I (Л + %)CV, + Ъ)- • • (Л + 1») I >L. (8)
1 Идея рассмотрения нижнего предела принадлежит Н. Н. Мейману.

220
Н. Г. 4E?OJA РЕВ
Деля (8) на G), получим
Перемножая (9) и A0), получим
л
Введем обозначение
1 —
V
L+г'
L2
L:~\D\ = a",
(9)
В силу произвольности 5i» ?2 ?„ берем в их роли — %l% — ?2>. •.,—• 5„
и тогда получим вместо %, т|2, ..., т\п величины — т\19 — г/2,..., — 7,я
Для них тоже имеет место неравенство (9):
L
A0)
A1)
A2)
так что, в силу нашего предположения, имеет место
A3)
В силу теоремы Минковского об однородных линейных функциях,
можно найти для \х, 52> ..-•?„ такие целые значения, чтобы
A4)
В самом деле, произведение правых частей здесь равно
Выберем из этих систем у\г, тJ,..., т|я, удовлетворяющих неравен-
неравенствам A4), такую, что система 2тI,2тг|2,... , 2т)я уже не будет удов-
летворать A4). Тогда по крайней мере для одного из у. (пусть это
будет %) имеет место
aV2 '
Из A4) следует, что в силу A3),
/ = 2,3, ..., л).
Кроме того, из A4) и A5) следует
2 ^л
A5)
A6)
A7)

ЗАМЕТКИ ПО АЛГЕБРЕ И ТЕОРИИ ЧИСЕЛ 221
Если 1-——2>0, то 1 — -— ^ 1 — 2л» откуда, подставляя в A1)
и пользуясь A6), получим
1 ^ Z,2
Если 1—~Н<0(в этом случае непременно 1—-^<OJ, то
1 У?
откуда, подставляя в A1) и пользуясь A6), получим
2 , ^ L2
Но ни одно из неравенств A8), A9) невозможно, так как их левые
части суть постоянные величины, меньшие единицы, а правые могут
быть сколь угодно близки к единице. Противоречие доказывает не-
недопустимость нашего предположения, что и т. д.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ph. Fu rtwangler. Beweis des Hr upiidealsafzes fur die Klsssenkcrper algebra
ischer Zahlkorper. Abh. Hamb. Sem. 7, 1929, стр. 14—36.
2. E. Artin. Idealklassen in Oberkorper und allgemeines Reziprozitafsgesetz. Abh.
Hamb. Sem. 7, 1929, стр. 46—51.
3. О. T a u s s k у. tlber eine Verscharfung des Hauptidealsatzes fur algebraische Zahl-
Zahlkorper. Journ. f. Math. 168, 1932, стр. 193—210.
4. E. Artin. Beweis des'allgemeinen Reziprozitatsgesetzes. Abh. Hamb. Sem. 5, 1927,
стр. 353—363.
5. H. H a s s e. Bericht uber neuere Untersuchungen und Probleme aus der Theorie
der algebraischen Zahlkorper. Teil I. Jahresber. DMV 35, 1926, стр. 19, теорема4.
6. H. Minkowski. Geometrie des Zahlen. Lpz. 1896.
7. R. R e m a k. Verallgemeinerung eines Minkowski'schen Satzes. Math. Ztschr. 17,
1923, стр. 1—34, 18, 1923, стр. 173—200.

КРАТКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ О ДИСКРИМИНАНТЕ
(KURZER BEWEIS DES DISKRIMINANTENSATZES)
(Acta Arithmetica 1 A935), стр. 78—82)
Цель настоящей заметки — дать новое доказательство теоремы
о дискриминанте, которая, как известно, представляет особые труд-
трудности при изложении арифметической теории идеалов. Это доказа-
доказательство при относительной краткости имеет еще ту особенность,
что оно требует довольно мало знаний из теории идеалов (например,
понятие нормы идеала, как числа классов сравнений, не является
необходимым). Напротив, элементы теории Галуа и первая теорема
Силова предполагаются известными.
Формулируем доказываемую теорему о дискриминанте следующим
образом.
Пусть к — алгебраическое числовое поле, 31 — его кольцо (sein
Ring), которое должно содержать все целые рациональные числа
и [ооц оо2, ..., со„] — базис 81. Дискриминант
Д =
, . . ., S(a>xton)
йлСоД 5 (сОлСО2) , . . . , S
cox, co2,
cox', co2'
, ton<
l-l)
делится на рациональное простое число р тогда и только тогда,
если р есть критическое число относительно й, т. е. если в Sft су-
существует такое число, которое в № не делится на р, в то время
как некоторая его степень делится на р в 31. Здесь со, со', ..., со*"-1*
обозначают алгебраически сопряженные с со величины, а 5(со) =
= со + со' + . .. + соС*-1) — след числа со.
Пусть р — критическое число и а = x1tu1 + ... + x>nton — число из 31 т
степень <xz которого делится на р, в то время как не все Xi = 0(modp).
Сопряженные числа (а'O, (а"O,..., (а*"-1)/ делятся на р, однако не
обязательно в 31, но в сопряженных с 31 кольцах 91', 31", ..., 31(л").
следовательно, также и в нормальном поле К, которое заключает
в себе все поля, сопряженные с ?.
Если Q/; — алгебраические дополнения элементов to/') в опре-
определителе

КРАТКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ О ДИСКРИМИНАНТЕ
22$
colf
0)х ,
<о2'
то
8 =
2 Q/y .(/> - 2 о*/ S *v(/) ** = 2 **
(i = l, 2, ..., rt).
A)
Если /?л>/, то в поле К делятся на р величины
{2
(тойр)
и так как не все Xi = O (mod/?), то 8Р = 0 (modp). Но А = 82 есть
целое рациональное число; следовательно, А = 0 (mod /?), что и т. д.
Теперь предположим, что А делится на р. Число 8 лежит в поле К.
Из 82 = 0(mod/?) мы заключаем, что 8 делится на произведение
JQ =$! ... $т всех различных простых идеалов SJfr, которые в поле К
делят число р. Идегл ?} инвариантен относительно всех подстановок
группы Галуа & поля К- Простые идеалы 5р/ являются сопряженными
между собой, т. е. они переходят друг в друга при помощи подста-
подстановок из группы &. Докажем следующие три леммы:
1. Если 8 делится на &, то систему сравнений
(mod
B)
(/=1,2, ..., /1—1)
можно решить в целых числах поля К, которые не все делятся
на &.1
Пусть
««(')
ооа
такой минор определителя A), который не делится на О, в то
время как все миноры высшего порядка определителя A) делятся на О-
Введем обозначения
U(x,y • • • , lt$i U*f
оо<
</•)
Тогда система чисел ?а = Аа, ..., 5э == Л3,
является искомым решением, для которого
= -4y (остальные 5 = 0)
^0 (mod jQ).
1 См. Е. Landau. Vorlesungen uber Zanlentheorie, Bd. 3. Leipzig, 1927, S. 129.
Satz 822.

224 Н Г ЧЕБОТАРЕВ
Покажем, что систему B) можно удовлетворить целыми рацио-
рациональными Числами, которые не все делятся на /?. Для этого докажем
лемму:
II. Если [?!, ?2, • . -, ?/*] — решение системы B), то решением ее
будет также [^Т, ?27\ ..., ?„7], где Т — любая подстановка группы®.
Рассмотрим сравнения B) как соотношения между величинами
поля К и применим к нигм подстановку Т (О инвариантен относи-
относительно Т), при этом формы <oxWux + • •. + *>л(/) ип перейдут друг в друга
и система B) останется той же самой.
III. Если система
соа(О^а + ... + <оз<0?3 = 0 (mod О) (/-1,2,..., п- 1) C)
имеет решение [?а, ... , 5э]» в котором ?а не делится на D, то она
имеет также решение [г\а, ..., щ], в котором *)« взаимно про-
сто с р.
Пусть Пр П2, ..., Пт —целые числа поля К, которые делятся
соответственно на $х, ^...^/иини на какие другие идеальные мно-
множители числа р. Если, например, ?« делится на $л+ь ..., $т, но не
делится на $х, ..., 5рЛ, и мы положим tv = П2 П3- • • Щ^ (tv = 5v для
А=1), то в решении [та, ..., т3] системы C) та делится на 5р2>
^Рз' • • •» ^Рда» н0 не делится на фх. Если S2, S3, ..., ^ — подстановки
группы ©, которые переводят $х соответственно в $2, $3> • • • * 5Рт,
то число та + та52 + ... + r*Sm взаимно просто с $х, $2, ...-, $т,
а следовательно, и с р. С другой стороны, в силу леммы II, система
[тоЛ, ... , tfiSi] (i = 2, 3, ..., m), а значит, и система [т« + та52 + •. • +
+ ta5m, ...; т3 + т352 + - • • + ^з^т] являются решениями системы C).
Последнее решение удовлетворяет нашему условию.
Пусть
<*ХЩХ + <*1ЮЪ+•..+<*№ = (} (mod D) (/-0, 1, ...,/t-l) D)
— система, имеющая решение,-в когором ?хф0 (mod О), причем г
имеет возможно меньшее значение. В силу леммы III, мы можем пред-
предположить, что ^ в решении [%х, ?2, ..., 5г] системы D) взаимно про-
простое с /». Для г >> 1 система
<o2<^2-f-...a>r<<>?r = 0 (modQ) (г = 0, lf ..., n— 1) E)
не имеет решения, в котором одно или больше чисел ?v^0(mod О).
Действительно, в противном случае мы могли бы, изменив нумерацию
неизвестных, представить систему E) в форме D) с меньшим значе-
значением г. Если теперь мы умножим ?v на ^ ' , то получим решение
[Vv Tfe» • • • i Чп], в котором у\! — N (?i) ¦=— есть целое рациональное число,
взаимно простое с р. Это решение единственное в том смысле, что
каждое другое решение ftx, ц2*> • • •» VI удовлетворяет сравнениям
t)v*=yjv (mod а). В caivfOM деле, в противном случае fo2* —Ча» •••

КРАТКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ О ДИСКРИМИНАНТЕ 225
..., V* — v\r] было бы решением системы E), что вследствие нашего
предположения невозможно.
В частности т^7* = 7^ (mod D) (v = 1, 2, .. ., г) (см. II), где Т — лю-
бяя подстановка из ®. Пусть теперь $q = 1 + S2 + . • • + Sn есть при-
принадлежащая р силовская подгруппа группы ©, т. е. подгруппа
порядка к = р* (s может равняться нулю), индекс которой а = (©:?>)
взаимно прост с р (первая теорема Силова). Существует показатель /,
для которого
t\/= k,v (mod %) (/ = 1,2,..., m)
и, следовательно,
^f=% (modO)
(обобщенная теорема Ферма). Возьмем такое целое рациональное
число q, чтобы / =qf — s было положительным. Тогда
Ч • чЛ • ¦ • 4v^y = ч/'"-*=^ (mod о)-
Левая часть этого сравнения инвариантна относительно ©. Следова-
Следовательно,
7)v = tv (mod О),
причем tv инвариантно относительно ф.
Разложим теперь группу © по подгруппе ф:
В сравнении
axv = xv + tv72 + .. . + tvГа (mod jQ)
правая часть инвариантна относительно всех подстановок из © и
следовательно, есть целое рациональное число. Поэтому мы можем
решение [#%, ат12, ... , аг\г} системы D) заменить решением [аг\ъ х2,...
..., хг]9 в котором пу\1у х2, ..., хг целые рациональные числа, при-
причем (ai\vp) =? I.1
Пусть jQ' делится на р. Число
а = атг^со! + х2оз2 + • • - + Хг саг
делится на О; следовательно, а' делится на р. С другой стороцы, а в коль-
це sJl не делится на /?, так как иначе число — = -^-^ — со-
содержалось бы в SR и имело бы дробную первую координату — , что про-
противоречит предположению, что [<л19 ... ,6>Я] есть базис 31. Тем самым
показано, что р является критическим числом, что и т. д.
Поступило
25 октября 1934 г.
1 Это доказательство заимствовано у Д. Гильберта. См. Ges. Abh., Bd. I Berlin
1932, стр. 135.
15 н. Г. Чеботарев. Том 1.

ЗАДАЧА ИЗ ТЕОРИИ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ
(Сборник памяти академика Д. А. Граве, 1940, стр. 283—290)
(EINE AUFGABE AUS DER ALGEBRAISCHEN ZAHLENTHEORIE)
(Acta Aritou 2 A937), стр. 221—229)
В одной из моих прежних работ [1] я привел вопрос о существо-
существовании некоторых относительно абелевых числовых полей к проблеме
существования /-дримарных простых идеалов р- внутри заданного
нормального алгебраического числового поля ?, для которых символ
степенного вычета
имел бы заданное значение. Здесь
означают сопряженные с р простые идеалы, а '
П/ = р^< (/=1,2,..., *)
— сопряженные друг с другом целые числа поля ?, причем
(Pi*>»•••*>*, q/)=l (*'=1,2, ..., *).
В силу примарности идеала р значение символа A) не зависит от вы-
выбора идеалов q*.
Эта задача казалась мне неразрешимой средствами современных
методов аналитической теории чисел, так как я не мог привести ее
к задаче Фробениуса о существовании простых идеалов, принадле-
принадлежащих ^различным подстановкам группы поля. В настоящее время:
мне удалось решить эту задачу для случая 1 = 2 для мнимых квад-
квадратичных полей ?(J/—т), где т — целое нечетное, лишенное квгд-
ратов число, представимое в форме х2 н- у2-
§ 1
В дальнейшем нам понадобятся формулы, выражающие лежандровы
символы в иррациональных алгебраических числовых полях череа
символы в поле рациональных чисел. Эти формулы были получены
Ф. Фуртвенглером [2] для относительно нормальных полей и Т. Та-
каги [3J—- для общего случая.

ЗАДАЧА ИЗ ТЕОРИИ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ 227
Будем обозначать через {•• •} символ /-го степенного вычета в поде
К, через (•••) — в его делителе ? и через jV(•--) — относительную
норму чисел и идеалов поля К по отношению к ?. Тогда имеет место
равенство
где а — число из ?, a S3 — идеал из К* Далее, имеет место равенство
где Л —число из К и с — идеал из к-
§ 2
Пусть k — поле рациональных чисел и К — мнимое квадратичное
поле:
где т — целое, положительное, нечетное и лишенное квадратов число-
Далее, предположим, что т представимо в форме суммы двух квад-
квадратов:
т = I2 + rf.
Это означает, что каждый простой множитель q{ числа т
m=*qxq%"- q$ D)
удовлетворяет сравнению
qi = \ (mod4) (i=*l, 2 , s). E)
Базис поля К может быть представлен в форме
Условие: число
должно быть нечетным простым числом,—требует выполнения одной
из следующих двух систем сравнений:
а==1 (mod 2), b = 0 (mod 2) G)
или
а = 0 (mod 2), 6 = 1 (mod 2). (8)
В первом случае искомый символ {— 1 может быть
\а +ЬУ — т)
15*

228 Н. Г. ЧЕБОТАРЕВ
преобразован так:
U-bV^Hi}\ [ la |_/ 1а \ =
(9)
Символ Якоби ( —), в силу D), может быть представлен так:
Каждый из символов (— ) имеет значение +1 тогда и только тогда,
V qt J
если сравнение
52 = а (rnody/) A0)
имеет рациональные решения. Но так как
р = а2 (mod qi), A1)
то (— J= + 1 тогда и только тогда, если р есть биквадратичный
вычет по модулю q^ Необходимость этого условия очевидна. С дру-
другой стороны, если
p = \f (mod?/),
то, в силу F), или
a = lx2 (mod?/),
или
а=Е — ?х2 (mod?,).
Оба значения а, в силу
^==1 (mod 4), A2)
являются квадратичными вычетами по модулю ?/. Это означает, что
символ (—) имеет значение +1. Если нам предоставлено выбрать
по произволу класс сравнений по модулю ?/, в котором должно ле-
лежать р, лишь с тем ограничением, что р должно быть квадратичным
р — 1
вычетом по модулю ?/, то мы имеем в своем распоряжении -^—
биквадратичных вычетов и р~ невычетов. Для первых имеет место
+ 1у для вторых (~Ь)=~1т
Обращаясь к случаю (8) и полагая

ЗАДАЧА ИЗ ТЕОРИИ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ 229
будем иметь
Г д ___ ъУ^Тп \ ( 2а \ Г 2 \х + * ^3.^ =
\ а + ЪУ=Ъ ) ~ U2 + "**2 У ~ V*2 + ^2 У \аг )
Подвергнем простое число /? дальнейшему ограничению
p=Etn (mod8). A4)
Тогда оба выражения (9) и A3) приобретают одну и ту же форму
<«>
так что теперь мы можем не различать случаев G) и (8). Таким об-
образом, мы видим, что значение нашего символа
а-ъУ=т\
а + ЪУ^Ъ J
вполне определится, если мы будем знать класс сравнений по моду-
модулю 8 т, в котором лежит р.
§ 3
Особого рассмотрения требует случай, когда К есть гауссово поле:
К=?A). Тогда мы можем нормировать число а + Ы при помо-
помощи единиц ±Ь ±* таким образом, чтобы было
а>0, а = 1 (mod 2), 6 = 0 (mod 2),
и искомый символ может быть преобразован так:
2а \ _ /2а\ _
+ Ы ] ~~ \а* + Ь*) ""
=Г 2 V Д ^ - Г _ 1) ^
\а* + b*J\ a* + b2 ) ~~ у '
Условие примарности
а + Ы
требует, чтобы значения символов
(а — Ы\ [Ъ + ai\
\a + bif' \b—aif
были равны друг другу. Отсюда следует
(а — Ы\ ____ (Ь н- ai\ __ f 2 b \ _ f 2 Ь \
[а + ы) \Ъ — aij ~~ [b ~ a/j "" Va2 + ^/ A7)

230 Н. Г. ЧЕБОТАРЕВ
Стало быть, в силу A6), мы будем иметь
(_АаЪ_\ _ / 2а \ ( 2Ь \ _
откуда получаем
) \а2
Это условие можно также написать так:
р=\ (mod 8). A8)
Если это условие выполняется, то значение искомого символа
1 а , ы |, в силу A6), равно + 1. Таким образом, наша задача допу-
допускает решение в отрицательном смысле.
§4
Вернемся опять к общему случаю § 2. Чтобы найти главные про-
простые идеалы (а + bV— m), удовлетворяющие условию
а - ьУ
bV
= )=«, 09)
достаточно найти рациональные простые числа р = N {а + bV~ m),
подчиненные следующим условиям:
1) р должны разлагаться внутри K(V—т) на два различных про-
простых идеала.
2) р должны быть примарными, т. е. иметь форму 4? + 1- Более
того, они должны удовлетворять условию
р = т (mod 8).
3) р должны быть квадратичными вычетами по модулям qi(i= Ь
2; . . . , s):
(f) + l (/=1,2,.... 5).
4) Обозначая через е/ + 1, или —1 в зависимости от того, есть
ли р биквадратичный вычет или невычет по модулю qt (допуская,
что условие 3) уже выполнено), потребуем, чтобы имело место
т — 1
ЧЧ--.** = (— if""* B0)
где е — заданная величина, равная +1 или — 1.
Условие 1) может быть следующим образом видоизменено на
основании свойств поля классов. В силу определения поля клас-
классов [4], простое число р является нормой главного идеала первой
степени поля К тогда и только тогда, если р является нормой идеала

ЗАДАЧА ИЗ ТЕОРИИ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ 231
первой степени поля ®, где Ж означает поле классов поля К.
Поэтому условие 1) равносильно следующему условию:
1') р должны принадлежать к тождественной подстановке внутри
поля ?.
Условия 2), 3), 4) также могут быть формулированы подобным
же образом. Для этого мы введем в рассмотрение поде К± Ът-ых
корней из единицы. Тогда условия 2), 3), 4) равносильны следующе-
следующему условию:
2') р должны принадлежать внутри поля Кх к определенному
классу подстановок.
Вопрос о существовании бесчисленного множества простых чисел,
принадлежащих внутри двух различных полей й и Кг к заданным
классам подстановок, имеет утвердительный или отрицательный от-
ответ в зависимости от того, вызывают ли обе заданные внутри обоих
полей подстановки одну и ту же или разные подстановки среди ве-
величин пересечения /С2 полей f и /^ [5].
К и а потому и /С2 являются абсолютно абелевыми полями. С другой
стороны, наибольшее абсолютно абелево частичное поле классов квад-
квадратичного поля К = & (V— т) есть поле ? (i, У— qx,Y — Qv • • •»V — 4s)
{6]. Это поле действительно содержится в Кг, а потому
Тождественной подстановке в $, очевидно, соответствует подстанов-
подстановка в /С. Таким образом, остается лишь доказать, что подстановка
в К2> вызванная подстановкой из К1} определенной условиями 2), 3),
4), есть также тождественная подстановка. Условия того, чтобы р внут-
внутри К2 разлагалось на простые идеалы первой степени, состоит в выпол-
выполнении сравнений
Эти условия, за исключением первого, совпадают, в силу лежандрова
закона взаимности, с условием C), а первое из этих условий содер-
содержится в условии 2). Таким образом, существование искомых простых
чисел доказано.
§ 5
Я позволю себе остановиться на тех трудностях, которые связаны с
решением нашей задачи в других случаях. Рассмотрим все типы
мнимых квадратичных полей и проведем для каждого из этих типов
рассуждения, подобные тем, которые мы применили при выводе фор-
формул (9) и A3).
Т. К= k{V — т), т = 1 (mod4). Базисом является
[\,V~m].

232 Н. Г. ЧЕБОТАРЕВ
Формулы (9) и A3) сохраняются в силе
5) «1=1 (mod 2), taO (mod ?)|; B3)
[fts=l (mod 2), а = 2хах, (^,2)= 1].
Но здесь мы должны допустить, что т содержит также простые мно-
множители вида 4? + 3. Пусть убудет один из таких множителей.
Тогда
так что здесь нормирование а>0 существенно. С другой стороны,
сравнение
при ^еееЗ (mod 4) всегда имеет два и только два рациональных ре-
решения. Мы не имеем способа различать, имеет ли при этом сравне-
сравнение
рациональные решения или нет.
Формулу B3) можно записать следующим образом:
p-l s a - 1 9i ]
4
B5)
Здесь каждый множитель
не зависит от выбора знака при а. Но зато он зависит от поведения
числа а по модулю 4, каковое нельзя охарактеризовать никаким
свойством сравнения для числа р.
II. /С — k{ V— т), /гсеееЗ (mod 4). Базисом является
Поэтому целые нечетные числа поля К могут быть представлены
или в виде
-f + 4гу^, B6)
где
а = 1 (mod 2), Ъ = 1 (mod 2),

ЗАДАЧА ИЗ ТЕОРИИ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ 233
или в виде
где либо
либо
а + ЬУ
а = 1 (mod 2),
а еееО (mod 2),
— /я,
й = 0 (mod 2),
*=1 (mod 2).
B7)
B8)
В случае B6) имеем
а ь чГ— ч , / л« +
2 ' 2 г -т ' \ 4
а— 1
Здесь сохраняют свою силу все замечания к случаю I.
Аналогично в случае B7) получим
а + bV^Jk ) \а + bV^ln ) ~ \ &
2 а
mb*
jp— 1 о — 1 jp— 1 s a — 1
) 4 (D 2 (?) (o 4 nci)"^
/= 1
В случае B8) число р не примерно.
III. Случай K — kiV— 3) отличается от случая II тем, что поле
k (}A— 3) содержит нетривиальные единицы
—з
2_
2
Можно было бы ожидать, что здесь условие примарности наложит
на простые числа новые ограничения. Это, однако, не имеет места,
так как
где о) означает простое число поля ?(}/—3).
IV. Случай К = к(V— 2т), ш^ееХ (mod2). Базисом является
Имеем
а=1 (mod 2), b=zzO (mod 2),

234 Н. Г. ЧЕБОТАРЕВ
так как условие примарности
= С a* + 2mb*) =
требует соблюдения сравнения
a2 + 2mb2=l (mod 4).
Отсюда следует
p = a2 + 2mb2=^l (mod 8).
Имеем
j ) а )\ а
а2 — 1 а- 1т-1
Чтобы решить нашу задачу для всех этих случаев, необходимо опре-
определить плотность простых чисел вида
а + bV — т ,
которые удовлетворяли бы условиям
а>0, а = 1 (mod 4).
Для этой цели может оказаться полезным следующий обобщен-
обобщенный L- ряд:
fj, {a* + mb*f
где а пробегает все (положительные и отрицательные) целые числа вида
4?+1, а Ь — все (или соответственно все четные) целые числа в за-
зависимости от типа поля k(Y~ m). Я надеюсь исследовать этот во-
вопрос в дальнейшей работе.
ЛИТЕРАТУРА
1 N. Tschebotarow. Untersuchungen iiber relativ Abelsche Zahlkorper. Journ. f.
reine.und ang. Math. 167, 1932, стр. 98—121; Собр. соч., т. I, стр. 141 — 171.
2. Ph. Furtw angler. Uber die Reziprozitatsgesetze zwischen /-ten Potenzresten in
algebraischen Zahikorpern, wenn / eine ungerade Primzahl bedeutet. Math. Ann.
68, 1904, стр. 24.
3. Т. Takagi. Uber das Reziprozitatsgesetz in einem beliebigen algebraischen Zahl-
Zahlkorper. Journ. of Coll. of Sc. Imp. Univ. Tokjo 44, 1922, стр. 10.
A. H. Hasse. Bericht uber neuere Untersuchungen und Probleme aus der Theorie der
algebraischen Zahlkorper. Teil I: Klassenkorpertheorie. Jber. D. M.-V. 35: 1926,
стр. 4, Definition 1°,
5. N. Tschebotareff. Die Bestimmung der Dichtigkeit einer Menge von Primzahlen,
die zu einer gegebenen Substitutionsklasse gehoren. Math. Ann. 95, 1925, стр. 213.
Собр. соч., т. I, стр. 27—65.
6. N. Tschebotarow. Zur Gruppentheorie des Klassenkorpers. Journ. f. reine und
ang. Math. 161. 1929, стр. 193, Beispiel. Собр. соч., т. I, стр. 121—140.

О ВЫРАЖЕНИИ АБЕЛЕВЫХ ИНТЕГРАЛОВ ЧЕРЕЗ
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
(Усп. матем. наук 2 A947), в. 2, стр. 3 — 20)
В моей статье не предполагается предложить принципиально новые
результаты. Моя цель — дать новые выводы старых результатов Лиу-
вилля, Абеля и Чебышева, выводы которых, в силу своей трудности,
не получили всеобщего распространения, на что следовало бы рас-
рассчитывать в силу важности результатов. Мои выводы основаны на
теории римановых поверхностей и вообще на современной теории
алгебраических функций, которая была создана позднее, чем работы
упомянутых авторов.
§ 1. Форма представления абелевых интегралов через
элементарные функции
I. Будем рассматривать интегралы вида
A)
где и — рациональная функция двух переменных х, у, связанных ал-
алгебраическим соотношением
f(x,y) = 0. B)
Будем называть совокупность рациональных функций от х, у полем
* {ху у). Интегралы же типа A) носят название абелевых интегралов.
Предположим, что интеграл A) выражается через элементарные
функции. Точнее, пусть его можно представить как алгебраическую
{вообще говоря, иррациональную) функцию от ху log wv log w2i..., log wk,
где wl9 w2, ..., wk являются алгебраическими функциями от х:
= Ф(х, logwl9 logw2, ..., logwk). C)
Оказывается, что в этом случае функцией Ф может быть функция
весьма частного вида, как это было в свое время показано Лиувиллем.
Если интеграл A) выражается в логарифмах, то это выражение
может быть представлено в форме
wQ Ц- аг log Wj + ... + ak log wk, D)

236 Н. Г. ЧЕБОТАРЕВ
где w0Jwli.-*twk — некоторые алгебраические функции от х, не обя-
обязательно входящие в поле k(x,у), а а19 а2, ..., ak~ константы.
Доказательство. Предположим, что х, logwx, logw2, ..., logwk
не связаны никаким рациональным сооотношением типа
ф (х, log wlt ..., log wk) = 0, E)
где ф — полином. В противном случае мы бы могли исключить из
выражения C) одну из функций log-on. Дифференцируем равенство
C) по х
и===?Ф_ дФ «i . . , дФ Щ' ()
дх д log © © т
дх д log ©! ©! т д log wk wk ' * '
Получается соотношение типа E). В силу нашего условия, оно должно
быть тождеством относительно log w±, log w2f..., log wh% а потому про-
производная от него по logWv должна быть равна нулю:
д*Ф д*Ф w/д2Ф
' /i lr\rr <гоч г) li .п «VII ft»» ' '
дл д log o>N "^ <? log wt д log o^v wx ~г * д log и;^
(v= 1,2, ...,*),
но это выражение есть полная производная но х от функции
которая, в силу этого, равна постоянной
W^=av (v-1.2 *). G)
При этом соотношения G) являются тождествами относительно log wv
и, следовательно, относительно х: в противном случае они опять
приводили бы к соотношениям типа E).
. Отсюда следует, что в выражение Ф аргументы logze/v входят
линейно с постоянными коэффициентами av, т. е. что Ф имеет фор-
форму D).
II. Можно нормировать выражения D) так, чтобы wQ,w1,...,wk
были функциями из поля k (х, у).
Доказательство. Пусть х, w0, wlf ..., Wk, у порождают поле
k(x,z). Пусть
F(x,y;z) = 0 (8)
будет неприводимое в поле k{xy у) уравнение, которому удовлетво-
удовлетворяет z, и пусть zl9 z2, ..., zh будут его корни, соответствующие опре-
определенным значениям х, у (здесь удобно представить себе их распо-
расположенными на разных листах римановой поверхности). Пусть у
выражается через х, z так:
8 силу неприводимости уравнения (8) в поле к{х,у) полином
9 {х, z) — у, как функция z, делится на F (х, у; z), а потому
у = 9(х, zx) =ф(л:, 2г2) =. • .«у (л:, zh).

О ВЫРАЖЕНИИ АБЕЛЕВЫХ ИНТЕГРАЛОВ ЧЕРЕЗ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ 237
Таким образом, наряду с
и dx = w0 + аг log <wx -\ + aklog wk, (9)
мы будем также иметь
\ttdx - w0M+ax logw1w+ • • • + ak log w?* (p - 1, 2, ..., A), A0)
где под «iv^ мы разумеем функцию, сопряженную с ?e/v: если
wo = <К (х, г),
то
({х-1,2, ...,А).
Суммируя равенства A0), получим
= f2 W> +^ log П WlW +• • •+ -*51og П ^*ы-
{!=.] PL = 1 t^^1
Л /г
Но сумма ^ W10 и произведения JJ ^v(tx) как симметрические функ-
пии от корней уравнения (8) являются элементами поля к{х, у), и
таким образом полученное равенство дает искомое представление
интеграла через элементы поля k (х, у), ч. и т. д.
III. Можно нормировать выражение D) так, чтобы коэффициенты
аг, а2, ..., ak не были связаны линейными соотношениями
а1т1 + а2т2 -\ akmk =0 A1)
с целыми рациональными тх\ т2, ..., mk.
Доказательство. Пусть имеет место A1), причем, например,
тгф0. Тогда выражение D) может быть представлено так:
Вводя для элементов —— новые символы, мы уменьшим на единицу
число членов в выражении D). Продолжая процесс, мы в конце кон-
концов прндем к выражению типа D), для которого соотношений A1)
уже не будет существовать.
IV. Если интеграл A) представлен в нормированной форме D), то
всякая точка, обращающая в нуль или в бесконечность одну (или
несколько) из функций wlf w2, ..., Wk, является логарифмической
точкой интеграла A).
Доказательство. Пусть, например,^ обращается в нуль в
точке А Выберем в качестве х новый элемент поля k{x, у), обраща-

н. Г, ЧЕ БОТ А РЕВ
ющийся в нуль в точке Р, но более ни в одной другой точке, в ко*
торой обращается в нуль элемент w±. Произведя в (9) замену пере-
переменных и затем переходя к сопряженным относительно х значениям
элементов поля k(x, у) и суммируя получаемые таким образом из
A0) равенства, будем иметь
\ dx = 2 wo{il) + аг log J] wi{ll) +''' + akXo% П wkl)'
В силу сделанного относительно х предположения, ТТ w^ представ-
ляется в форме
где тг — целое положительное число. Аналогично представляются и
я
остальные выражения Д W4 но только пи при v > 2 может прини-
мать нулевые и отрицательные значения. Отсюда следует, что A2)
можно представить в таком виде:
п п
dx = 2 даоA1) + {а1т1 + а2т2 + ••• + aktn^ log x +
*
Ovlog<pv(A;). A3)
Коэффициент при log л: в правой части, в силу III, отличен от нуля,
так что правая часть равенства A3) имеет в точке х==0 логарифми-
логарифмическую бесконечность. С другой стороны, если бы \tidx не имел
логарифмической бесконечности в точке х = 0, то ни один из инте-
интегралов \ и^ dx тоже не имел бы ее, так как все эти интегралы на
всей римановой поверхности пробегают одну и ту же совокупность
значений. Отсюда в качестве простых следствий вытекает:
V. Интеграл 1-го рода не может быть выражен через элементар-
элементарные функции.
В самом деле, из IV следует, что его выражение через элемен-
элементарные функции не может содержать логарифмов и потому должно
быть равно функции поля к{х,у). Но функция k{x, у), если она не
есть константа, всегда в каких-нибудь точках обращается в беско-
бесконечность, в то время как интеграл первого рода таковых не имеет.
VI. Если интеграл второго рода может быть выражен через эле-
элементарные функции, то он равен функции поля k{x, у).

О ВЫРАЖЕНИИ АБЕЛЕВЫХ ИНТЕГРАЛОВ ЧЕРЕЗ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ 239
§ 2. О биномиальных дифференциалах
Биномиальными дифференциалами называются дифференциалы вида
xm(x"+l)pdx, A)
где т, п, р — какие-нибудь рациональные числа. Вопрос об их ин-
интегрировании через элементарные функции впервые был окончатель-
окончательно решен Чебышевым [5].
Предварительно заметим, что подстановка
х = г«, B)
где а —общий знаменатель чисел т и /г, приводит дифференциал A)
к такому же виду, но где т, п будут целыми числами.
Известно, что интегрирование дифференциала A) при помощи эле-
элементарных функций возможно в трех следующих случаях:
I. p есть целое число. В самом деле, тогда A) есть рациональная
функция.
II. т* есть целое число. В самом деле, тогда подстановка
приведет дифференциал A) к виду
и после подстановки B) мы придем к случаю I.
III. — \- р есть целое число. В самом деле, дифференциал A)
можно представить в таком виде:
xm + np{l+x~n)pdx. C)
Поступая с этим дифференциалом, как в случае II, мы точно так же
придем к случаю I.
Чебышев [5] показал, что интегрирование этого дифференциала
при помощи элементарных функций возможно только в этих трех
случаях. Для удобства дальнейших рассуждений произведем подста-
подстановку
^ n (z+l)pdz
и, вводя обозначения

240 Н. Г. ЧЕБОТАРЕВ
рассмотрим интеграл
$**+1 Г* Лс, D)
в котором, как мы предположим, ни г, ни 5, ни г -frs не являются
целыми числами (т. е. не подходят под случай I, II, III).
Из легко проверяемых дифференцированием рекуррентных формул
E)
= - (-5 + 1) $*-' (x + irs dx +
F)
мы заключаем, что нахождение интеграла D) приводится к нахожде-
нахождению таких же интегралов, у которых г или 5 увеличены (или умень-
уменьшены) на единицу. Путем достаточного числа таких редукций мы
можем выразить заданный интеграл через алгебраические функции
и интеграл типа D), у- которого
Если при этом
то интеграл D) является интегралом 1-го рода, так как остается ко-
конечным при х = 0, х= — 1, х=оо. В силу V, он не может быть
выражен в конечном виде.
Если
r + s<l,
то интеграл D) остается конечным в точках х = 0 и х = — 1. При
этом вблизи х = 0 при надлежаще подобранной константе интегриро-
интегрирования он разлагается так:
^(х+1ГЛс=г^^|^-2=_^--г + ..., G)
т, е, обращается в нуль с той же скоростью, что ид:1'"'.
Вблизи точки х = оо интеграл D) разлагается так:
(8)
т. е. обращается в бесконечность с той же скоростью, что их1-' s-
Допустим, что D) выражается через элементарные функции. Тогда,
в силу VI, как интеграл 2-го рода, он равен алгебраической функции
от х. Точно так же произведение
Гг(х + IVs dx. (9)

О ВЫРАЖЕНИИ АБЕЛЕВЫХ ИНТЕГРАЛОВ ЧЕРЕЗ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ 241
Но это произведение, в силу (8), при х = оо остается конечным, при
х = 0, в силу G), стремится к нулю, как
а при х = — 1 остается конечным. Таким образом, выражение (9)
остается конечным во всех точках римановой поверхности, что, в силу
обобщенной теоремы Лиувилля, невозможно. Таким образом, инте-
интеграл D) при сделанных предположениях не может быть выражен в
конечном виде, и мы приходим к
Теореме 1 (Чебышева). Интеграл
с рациональными показателями т, п, р выражается через эле-
элементарные функции тогда и только тогда, когда одно из чисел
т+ 1
Р. -7Г~
— целое.
§ 3. О псевдогиперэллиптических интегралах
Выведем результат Абеля [4], касающийся псевдогиперэллиптиче-
псевдогиперэллиптических интегралов, т. е. интегралов вида
выражаемых через элементарные функции. Абель привел нахождение
псевдогиперэллиптических интегралов к вопросу о периодичности
разложения радикала
в непрерывную дробь. Это не может считаться решением вопроса,
так как если после получения сколь угодно большого числа звеньев
непрерывной дрсби периодичность не обнаруживается, то это не га-
гарантирует, что она не обнаружится на последующих звеньях. Окон-
Окончательно этот вопрос был решен Золотаревым [2], который, опираясь
на созданную им теорию «целых комплексных чисел», привел вопрос
к изучению арифметической природы коэффициентов. Впрочем, Золо-
Золотарев ограничился случаем вещественных коэффициентов. Подробное
изложение вопроса содержится в диссертации Пташицкого [3], а ре-
результат Абеля весьма просто изложен в статье Долбни [1].
Интеграл A) как функция от верхнего предела имеет логарифми-
логарифмические бесконечности в обеих точках Plt P2, в которых х обращается
в бесконечность, и более не имеет особых точек. Отсюда следует,
16 н. Г. Чеботарев. Том 1.

242, Н. Г. ЧЕБОТАРЕВ
что в его предполагаемом представлении через элементарные функции
алгебраичес кий член отсутствует. Далее, если считать представление
нормированным, то, в силу IV, каждый член a^logw^ может иметь
нули и бесконечности только в точках Рх, Р2, а потому w* при пред-
представлении через дивизоры выражается так:
где пгч (положительное или отрицательное) — целое число. Отсюда
следует существование показателя ту при котором
рхтг^рт9 C)
Будем считать т возможно меньшим положительным показателем
такого рода. С точки зрения трансцендентной теории алгебраических
функций, это вполне решает вопрос, так как, в силу теоремы Абеля,
соотношение C) равносильно сравнению
=в0 (v=l, 2, ..., р), D)
где Uv(P) — система интегралов 1-го рода, а злак сравнения обозна-
обозначает, что левая часть D) равна целочисленной линейной комбинации
периодов интеграла ич (Р). Это сравнение показывает, что интегралы
л
[ (v=l, 2, ..., р)
должны быть рациональными комбинациями периодов. Конечно, уста-
установить сравнение D) для практического примера представляет собой
весьма трудную задачу'.
Из того, что т есть наименьший положительный показатель, при
котором имеет место C), следует, что все /nv делятся на т
mv =ztnqv (v= 1, 2, ..., к).
Вводя обозначение
мы будем иметь;
Wv = ?*v (v= 1,2,...,*).
Подставляя в равенство B), получим
Т @101 + агЯг + • • • + ЛкЯк) log ? (x,

О ВЫРАЖЕНИИ АБЕЛЕВЫХ ИНТЕГРАЛОВ ЧЕРЕЗ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ 243
• Обозначим коэффициент axqx + a2q2 -\ 1- akqu через а, а функ-
функцию 9 представим в форме
Ф U, /«G)) = р (х) + q (х) УНЩ> E)
где р(х)у q(x)— рациональные функции. Тогда
Меняя знак при J/A? (т. е. переходя к другому листу римановой по-
поверхности), получим
Беря полуразность обоих выражений, будем иметь
p + gVR
Уничтожая дроби в числителе и знаменателе выражения под знаком
логарифма, мы можем считать р(х) и q(x) полиномами, и притом
взаимно простыми.
Обратно, если имеет место C), то при заданном полиноме R(x)
мы можем подобрать полином р-й степени Ь{х) так, чтобы имело
место F). В самом деле, из представления функции 9 через дивизоры
следует, что она есть целая относительно х функция, т. е. корень
квадратного уравнения
Ф2-2/хр+ (/>*-?*/?) = О, G)
коэффициенты которого должны быть полиномами. Итак, 2/? и
р2 — q2R — полиномы. Отсюда р и q2R — полиномы. Но так как, по пред-
положению, R не имеет кратных корней, то и q есть полином. При
этом, в силу сопряженности точек Рг и Р2> уравнению G) удовлет-
удовлетворяют функции, представляемые через дивизоры так:
откуда следует
^ = const.
Нормируя при р (х) и q (x) числовой множитель, мы можем получить
фсг/ = 1 у т. е.
p*{x)-q*{x)R(x)=l. (8)
Дифференцируем правую часть формулы F)
d iл р ~\~ Q*R\ ^ [РЯ — Р Я^ -*^ ~f~ РЯ*^ /п\
— I 1О2[ гг 1 — ¦ zz . (У)
16*

244 Н. Г. ЧЕБОТАРЕВ
С другой стороны, дифференцируя (8)
2pp'-qBq'P+qR') = 0, A0)
мы видим, что рр1 делится на q. Но так как р и q взаимно просты,
то р' делится на q:
p'=qr. A1)
Преобразуя (9) при помощи (8), A0) и A1), будем иметь
dx
4\ ==. = -?
рт-qVRj qYR УR *
Но из (8) видно, что степень р(х) превышает степень q{x) на р + 1
единиц, в силу чего г(х) есть полином р-й степени. Поэтому можно
подобрать полином Ь(х) так, чтобы имело место F).
Итак, задача привелась к решению в полиномах неопределенного
уравнения (8), аналогичного уравнению Пелля в теории чисел. Пока-
Покажем, что уравнение (8) имеет решение тогда и только тогда, если
YH{x) разлагается в периодическую непрерывную дробь (к сожале-
сожалению, в теории полиномов это случается не всегда). В дальнейшем
будем предполагать известной арифметическую теорию непрерывных
дробей. По аналогии с ней, мы можем разлагать в непрерывные дроби
и аналитические функции, допускающие разложения вблизи точки
х = оо. Будем называть степенью функции f{x) и обозначать симво-
символом 8f(x) показатель наивысшей степени ее разложения по убываю-
убывающим степеням х. Имеет место
* (/(*) + ?(*)}< Мах {§/(*), Sg(x)},
Далее, под целой частью \f(x)] функции f(x) мы будем разуметъ
сумму ее членов разложения, имеющих неотрицательные степени.
[/(*)] вполне определяется равенством
*{/(*)-!/(-*)]}< 0. A2)
Разложение функции / (х) в непрерывную дробь производится так.
Определяют целую часть (полином) функции f(x), а затем опреде-
определяют функцию /х (х) равенством
Ясно, что 8/i(*)>0. Затем определяют целую часть а2 функции
/г(х) и функцию /2(л:) равенством

О ВЫРАЖЕНИИ АБЕЛЕВЫХ ИНТЕГРАЛОВ ЧЕРЕЗ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ 245
Продолжая процесс, мы получим для f(x) выражение
для любого п. Здесь аи а2,..., ап — полиномы, а 8/„(л;)>0. Такое
выражение называется непрерывной дробью, прлиномы al7aif ...,an —
ее звеньями, а функции fn(x)— полными частными.
Отрезок непрерывной дроби
* ' * +'¦¦+}¦/ . (И)
приведенный к виду несократимой дроби ~, носит название ее п-й
подходящей дроби. Ее числители и знаменатели могут быть опреде1
ляемы соотношениями
Рп = Рл-i ая + Рл-2, Qn = Qn-i an + Q^2. A5)
Имеет место
Из A5) видно, что
ЪРп>ЪРп-\ > 8Q/i>SQw_i, A7)
поскольку ап — полиномы не ниже 1-й степени (только ах может
быть константой и даже нулем). Очевидно также, что
8Р/1>л-2, Щп>п— 1. A8)
р
Вычислим степень разности f(x) — -Q-. Вычисляя конечную непре-
рывную дробь A3) [с последним звеном fn(x)] по правилу A5), будем
иметь:
Отсюда
а также
Qn~ Qn(Q*f«W + QH-i)'
Отсюда следует, в силу A8),
^|-Bя-1), A9)

246 Н. Г. ЧЕБОТАРЕВ
а также
{§} {fe}-2- <20>
Справедливо и обратное: если для какой-нибудь рациональной дро-
С-Bт —1), B1)
Р
би д имеет место
р
то 5г есть подходящая дробь разложения функции f(x).
р
Чтобы доказать это, разложим ^ в непрерывную дробь:
и определим /„ (х) при помощи равенства
/<*>* +
¦ + ^+ ' , B2)
т. е. /яМ
Q/,
откуда, в силу B1) и
> ~(m ~!) ~(/7г~ 2) = ~Bот~3)>
мы будем иметь
так что второе равенство B3) даст нам
V» (х) > SQn_, + (- 8Q«-i - *Q) — 8Q + B« — 1) = 1.
Из равенства же A3), 8/„(лг)>-1, и того, что as — полиномы, мы по-
постепенно заключаем, что
\а„ + ^4j] = а„, Га„_1 + ~-ц- \ Л = ая_1 и т. д.,
а это показывает, что B2) есть разложение f(x) в непрерывную дробь,
Р
а Q — /г-я подходящая.

О ВЫРАЖЕНИИ АБЕЛЕВЫХ ИНТЕГРАЛОВ ЧЕРЕЗ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ 247
Приложим этот результат к решению р, q уравнения (8). Перепи-
Перепишем его так:
1 B4)
+ qV R(x)
Не может быть, чтобы степени р — qVR(x) и р -\-qYR(xNum оди-
одинаковы, так как тогда они равны нулю и степень их суммы, т. е. 2р,
тоже не превышала бы нуля. Нормируем знак при У R{х) так, чтобы
Представим B4) так:
Если 8#=>rt—1,*то Sp=\m — 1) + (о + 1) = /rc-fp.
Из
следует
откуда
так что из доказанного мы заключаем, что ? есть подходящая дробь
разложения УШх) в непрерывную дробь. Пусть
f-^ + Й. , УШ = а1 + ^.
'-+Т -+^+J-. B5)
а"> а" + fn(x)
Представим /я(х) в форме -^-+ — YRt где а, р, у — полиномы от х.
Из второго равенства B5) имеем.
откуда
Если |^У? (х) есть иррациональная функция, то это равенство
должно быть тождеством относительно j//?(x), так что
1 P~
I B6)
+ Pn->=q^R(x).

248
Н. Г. ЧЕБОТАРЕВ
Умножая первое из равенств на р, второе на — q и складывая, по-
получим
так что тождество (8) равносильно тождеству
При этом, если выполняется (8), то из равенств B6) вытекает, что,
в силу взаимной простоты ряд, дробь ~ равна полиному
i + ± VH{x) = b + (-1)"
Подставляя в B5) выражение для fn(x), где 1/7? (х) предположим
опять разложенным в непрерывную дробь, мы убедимся, что разло-
разложение УЩх) в случае четного п имеет период
[аи (а2, а3,..., ап, b + аг)], B7)
а в случае нечетного п имеет период
[a1,(a%,...9an,b — a1, — a2, ..., — an, — b + ax)\. B8)
Итак, чтобы неопределенное уравнение (8) имело решение в полино-
полиномах, необходимо и достаточно, чтобы YH{x) разлагался в периоди-
периодическую непрерывную дробь одного из типов B7) и B8); другими
словами, чтобы период начинался со 2-го звена.
Докажем, что всякое периодическое разложение 1/7? (я) имеет
именно эту форму. Для этого мы убедимся, что:
1) все/я имеют форму —? , где ал и уп — полиномы, причем у„
in
есть делитель ал2 — R;
2) сопряженные с /„ функции fnf имеют степень <0, начиная с
Чтобы доказать 1), обратим внимание, что /г удовлетворяет 1): из
* +
мы имеем
Пусть fn-\ =dn+ j удовлетворяет 1). Тогда
r 1 1 ^ Yn-1

О ВЫРАЖЕНИИ АБЕЛЕВЫХ ИНТЕГРАЛОВ ЧЕРЕЗ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ 249
При этом, из нашего предположения следует, что /?— aJUi и потому
R — (<хя_1 — anyn-iJ делится на у„_1 . Сокращая выражение для /„ на
у„_1 , мы получим выражение, удовлетворяющее 1), Индукция уста-
установлена.
Для доказательства 2) для п = 1 имеем
Л1-—гт= . откуда *Л'<0.
— у К— ах
Предположим, что 8/^_,<0. Тогда fn_l = an+ 7—, откуда
Но 8 (f'n-i — ап) =» 8ая >0, откуда 8/«' < 0- Индукция установлена-
Равенства
показывают, что ал вполне определяется как целая часть от -у-г.
' п
Таким образом, если непрерывная дробь — периодическая, начиная
с п = п0, т. е. если /Ло = /По+Р, то и fn,-\ =/я. + ^-1 и т. д., вплоть
до /х —fp+ufp^f* так как /=1/Л/?уже не удовлетворяет свой-
свойству 2).
Пусть
Тогда
f'p = -7—
Из bfp < 0 следует, что — ах + ар+\ = [VK\ = <*i> откуда ap+i = 2a.
Таким образом, в дробях B7) и B8) соответственно b = ах и й = — ах.
Сопоставляя все наши выводы, мы приходим к следующему резуль-
результату Абеля:
Теорема 2 (Абеля). Чтобы для данного полинома R(x) сте-
степени 2р + 2 существовал такой полином Ь{х) степени о, что инте-
интеграл
выражается в элементарных функциях, необходимо ц, достаточно,
чтобы YR (х) разлагался в периодическую непрерывную дробь.

250 и. Г. ЧЕБОТАРЕВ
§ 4. О результате Золотарева
В своей докторской диссертации* Золотарев [2] предложил претем,
позволяющий всегда при помощи конечного числа действий опреде-
определить, является ли интеграл
где R {х) — заданный полином 4-й степени, псевдоэллиптическим.
Откладывая упрощенный вывод полного результата Золотарева до
следующей статьи, я ограничусь приведением алгоритма, который
дает критерий для узнавания, является ли интеграл A) псевдоэллип-
псевдоэллиптическим, не доказывая, что после конечного числа действий мы не
пременно придем к одному из этих критериев.
Обратимся к данному формулой D) § 3 критерию псевдоэллиптич*
тюсти интеграла A). В случае р= 1 он имеет вид
тде и (Р) — единственный в этом случае интеграл 1-го рода.
Пусть
R (х) = (х - хг) (х - х2) {х - хв) (х - хА).
Подвергнем х дробной линейной подстановке, переводящей х19 х2, х3, л:4
соответственно в x1l9x2ffxB19x4i'. Точки хг'9хг\хВ9х^ нельзя задать
вполне произвольно, поскольку между ними имеет место соотноше-
соотношение
Полагая
к3 = х, л:4 = х+ dx, х3' = х'у х{ = xf
<5удем из C) иметь
я точно так же (*» — **)d* _ № — xj) dx1
{х — х3) (x — x4) (x' — xs') (x' — xj)
Перемножая эти равенства и извлекая корень, получим
V(X — Xj) (X — Х2) (X — Xz) (X —
х— Х2') (Х9'—ХА'
У (*' - хг') (х' - хъ') {х' - xz') (х' - х/) '
Это формула линейного преобразования эллиптических интегралов.
Положим
*'l V^O ^'oo A;/"

О ВЫРАЖЕНИИ АБЕЛЕВЫХ ИНТЕГРАЛОВ ЧЕРЕЗ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ 251
Из формулы C) получим
я формула D) дает
dx' __ V (хг — х2) (Xs — xA) dx
V x'(\—x')(\—k*x') kVRjx) '
После подстановки x' *=*у2 и использования формулы E) получим
dy __ V {хх — xz) (Xi —
2ГЩх~)
Обозначая это общее отношение через du, будем иметь
у = sn и,
откуда
х' = sn2 и, 1 — х* = сп2 и, 1 — *2л:' = dn2 и.
Найдем значение л:' в точках Рх и Р2, в которых л: == оо. Для этого
положим в формуле C)
x\=U х2г =0, х\ = оо, дг4'=л:', л:4 = оо:
sn « (Я,) = ± /Щ, en «(Pi) - ± /||. (8)
откуда
dn»(P,) = ± Vt^t (/ " ь 2)*
Заметим, что, в силу D), и{Рг) и й(Р2) имеют разные знаки
и{Рг) = -и(Ръ),
так что критерий B) устанавливает соизмеримость с периодами аргу-
аргумента а, которому соответствуют значения sn, en, dn, данные в фор-
формулах (8). Чтобы узнать, имеет ли место эта соизмеримость, мы можем
вычислять по формулам сложения
sn 2и, сп За,...
Если она имеет место, то на некотором шаге нашего процесса мы
должны получить
sn ти = 0.
Золотарев предпочитает удваивать аргумент, пользуясь формулой
удвоения
о 2sn и са a da a /m
8П2Ы= !_^sn^ • (9)

252 Н. Г. ЧЕБОТАРЕВ
Удобнее пользоваться ею так: введем обозначение
АB*и). A0)
Полагая в формуле (9) 2ku вместо и, возводя ее в квадрат и вводя
обозначения A0), будем иметь
- X B*11)] [ 1 - k\ B»iQ]
[1 ?XBu)] l '
Далее, полагая
мы из формулы A1) получим
— a*) (vft* — ца*),
*2 —(za*2J. A2)
Будем различать два случая периодичности:
I. Период т есть нечетное число. Тогда, полагая
где 9 (т) — функция Эйлера, мы получим
25=1 (mod/я),
откуда
л»
Это показывает, что период последовательности ~- — чистый, т е
°k
начинается с первого же члена. Для нас важно установить, когда
этот случай невозможен. Пусть для некоторого k >-1 в числителе или
ak
знаменателе дроби у- появится простой идеальный множитель, взаим-
взаимно простой с 2(xv. Тогда из формул A2) следует, что во всех даль-
дальнейших членах
этот идеал будет непременно входить в числитель, так что чистая
периодичность наверное не будет иметь места.
II. Период т есть четное число: т = 2^т\ где т! — нечетное
число. Тогда, полагая
откуда

О ВЫРАЖЕНИИ АБЕЛЕВЫХ ИНТЕГРАЛОВ ЧЕРЕЗ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ 253
мы будем иметь
ХB* + *я) = АB*я),
т. е. период будет иметь s членов и начинаться с (и.0+ 1)-го члена.
Для этого случая Золотарев вывел критерий; если он не соблю-
соблюдается, то мы будем иметь или случай I, или непсевдоэллиптический
случай. Выведем этот критерий. В этом случае полиномы р (х) и
q (л:) — четной степени. Представим уравнение (8) § 3 так:
Могут встретиться два случай: 1) один из полиномов р + 1 ,р — 1
делится на /с; 2) р + 1 и р — 1 делятся на квадратичные множители
полинома R.
1. Пустьр + 1 делится на /?. Так как/? + 1 и р — 1 взаимно просты,
то
р + 1 = u2R, p-\=v\
где
uv = #.
Отсюда
2 = u2R-v2.
Нормируя при и, v численные множители, мы видим, что урав-
уравнение (8) § 3 удовлетворяется при более низких степенях полиномов,
чем р, q, чего мы не будем предполагать.
2. Пусть
R — R\R^y
причем
#i = С* — *i) (х — х2), R2 = (x — х3) {х - x4),
и пусть
p+l=u2Rlf p-\=v2R2. A3)
Отсюда
2 = u2R1 — v2R2.
Полагая
X = Xlt X2t -^з» *^4>
получим
— v2 (хг) (х1- ха) (хг— хА) = 2;
— -^i) (-^з — *2) = 2;
112 ( Y \ ( Y Y \ ( Y Y \ 9 I
U {X^) [X4 — Xi) \X± — X2) — Z. J
Вместе с тем учтем, что р(х) и q{x) находятся при помощи алгоритма
непрерывных дробей, а потому их коэффициенты рационально вы-
выражаются через коэффициенты полинома R(x). Далее, из формул A3)
следует, что коэффициенты полиномов и(х), v(x) лишь общим мно-
множителем отличаются от рациональных функций от х19 х2, х3, х±, в силу
чего произведения и частные пар выражений и (л:,), v(xt) рационально
выражаются через xlt x2, х3, х±. Имея это в виду и попарно перемножая
и деля формулы A4) друг на друга, мы убедимся, что

264
Н. Г. ЧЕБОТАРЕВ
рационально выражаются через х1,х2Ух3,х1. Если это условие не
соблюдается, т. е. если из трех величин
У{хг — х2) (х3 — хА), У(хг — х,) (х2 — хв), У{хг — х3) (х2 — xj
ни одна или одна рационально выражается через х19 х2, xz, x±, то слу-
чаД II наверное не имеет места. Отсюда следует, что дополнительный
модуль
1/2 __ 1 а2 _= (xi ~ х*) (хг — хз)
К К (Jfi-*a)(*r-^4j
является квадратом рациональной функции от х1У х2У х3, х±.
Если это условие удовлетворяется, Золотарев применяет к интегралу
преобразование Ландена, которое, как известно, преобразует допол-
дополнительный модуль в величину
Далее, Золотарев показывает, что после нескольких преобразований
Ландена мы придем к величине дополнительного модуля, которая уже
не выражается рационально через х19 х2,хЗУх±. Это служит признаком,
что мы имеем или случай I, или непсевдоэллиптический интеграл..
Для различения двух последних случаев мы ииели уже критерий.
Золотарев показывает, что после нескольких указанных нами преобра-
преобразований мы или обнаружим периодичность процесса, или придем
к a,k, делящемуся на простой идеал, не входящий в 2{xv, что исклю-
исключит возможность периодичности.
Все свое исследование Золотарев проводил в предположении, что
коэффициенты полинома R(x) вещественны. Это ограничение суще-
существенно только для преобразования Ландена.
ЛИТЕРАТУРА
1. И. II. Долбня. Новое доказательство теоремы Абеля, относящееся к интегри-
pdx
рованию дифференциалов вида ^— ; р и R — целые функции. Собр. прот.
зас. секции физ.-мат. наук Об-ва естеств. при Каз. ун-те, 6, 1880,' стр. 307—
324.
2. Е. И. Золотарев. Теория целых комплексных чисел с приложением к инте-
интегральному исчислению. Докт. дисс, СПб., 1874. См. также Полное собр. соч.,
в. 1. Л., 1931, стр. 161-360.
3. И. Л. Пташицкий. Об интегрировании в конечном виде эллиптических диф-
дифференциалов., СПб., 1888.
pdx
4. N. Н. Abel. Sur Integration de lalormule differentiae -f^- , R et p etant des fonc-
tions entieres. Journ. f. reine u. ang. Math. 1, 1926, стр. 185—221; Oeuvres
completes. 1, Krisiiania A881), стр. 104—144.
5. P. Tschebycheff. Sur Tintegration des differentielles irrationeres. Journ.de
math, pures et appl. A) 18, 1853, стр. 87—111. Oeuvres, I, St.-Petersbourg, 1899,
стр. 147-168.

ОБ ОДНОЙ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ПРОБЛЕМЕ ГИЛЬБЕРТА. I
(UBEREINALGEBRAISCHES PROBLEM VON HERRN HILBERT. I)
(Math. Ann. 104 A931), стр. 459-471)
Д. Гильберт посвятил недавно изящную работу [1] одному вопросу,
поставленному ранее им самим [2].
Пусть дано алгебраическое уравнение /г-й степени
f (х) = Хп + рхХ»-1 + . . . + />и-1 X + рп = 0 A)
с неограниченно переменными коэффициентами ръ /?2,..., р„.
Требуется найти такое уравнение (резольвенту) п-й степени
?О>) = Уп + П^"-1 + ... + Пл_! у + Пя = 0, B)
чтобы каждый из корней х19 х2,..., хп уравнения A) при подходя-
подходящем выборе значений П1э П2,..., Пл рационально выражался через-
корни уравнения B) (или с помощью злданной рациональной функции
Ф корней х1у х2, ..., хп> принадлежащей данной подгруппе группы Галуа
уравнения A), например с помощью VD, где D— дискриминант урав-
уравнения A)) и функции Пх, П2,..., Пя зависели от возможно меньшего
числа k параметров. При этом plt р2,..., рп следует считать принад-
принадлежащими к области рациональности.
С помощью весьма искусных методов Гильберт нашел для ? сле-
следующие значения:
л = 56789,
k < 1 2 3 4 4.
В этой работе я на дереваюсь дать общее решение этой проблемы^
Для этого я пользуюсь теорией непрерывных групп преобразований
(в последующем обозначаемых кратко н. г. п.). Именно, я ищу ре-
решение проблемы «одевания» конечных групп, т. е. отыскания н. г. п.
с возможно меньшим числом параметров, содержащей данную группу
как делитель [3].
Если мы «оденем» группу Галуа © уравнения A) посредством
н. г. п. Г, то оказывается, что искомое число k равно измерению
наименьшего пространства, в котором можно представить Г так, чтобы
подстановкам © соответствовали нетривиальные (т. е. отличные от
тождественного преобразования) преобразования этого представления.

256 Н, Г. ЧЕБОТАРЕВ
Как пример рассмотрим уравнение пятой степени. Пусть ©—его
знакопеременная группа. Она, как известно, изоморфна с группой
икосаэдра. Но группа^ икосаэдра есть группа наибольшего порядка,
которую можно представить как группу дробных линейных преобра-
преобразований. С другой стороны, каждая н. г. п. одномерного пространства
изоморфна некоторому делителю группы дробных линейных преобра-
преобразований. Это значит, во-первых, что можно найти резольвенту пятой
степени, коэффициенты которой зависят только от одного пара-
параметра. Это обстоятельство хорошо известно [4], и именно оно навело
меня на мысль об указанной зависимости для уравнений произвольной
степени.
Во-вторых, мы заключаем, что никакое общее уравнение высшей
степени не может быть приведено к однопараметрической резольвенте.
В § 1 я исследую вопрос одевания конечных групп посредством
н. г. п. В основном этот вопрос может быть сведен к проблеме
итераций [5, 6]. Я показываю, что всякая группа преобразований
конечного порядка может быть одета с помощью некоторого итера-
итерационного процесса. В частности, если итерируемые преобразования
линейны (что имеет место, например, для группы подстановок), то
можно найти линейную итерационную функцию, так что получение
ее не представляет никаких трудностей.
В § 2 я привожу задачу представления н. г. п. в пространстве
возможно меньшего числа измерений к задаче отыскания определен-
определенных систем импримитивности. Задача эта полностью решена С. Ли
и Ф. Энгелем [7]. Решение требует применения только алгебраи-
алгебраических операций.
В § 3 я решаю поставленную проблему резольвент. Для этого я
одеваю группу Галуа уравнения A) посредством н. г. п. и затем
нахожу описанное в § 2 подпространство. Важно заметить, что все
эти задачи решаются посредством только алгебраических операций.
Но чтобы доказать, что этим способом мы получаем все возможные
решения проблемы, необходимы некоторые условия относительно
голоморфности рассматриваемых функций.
§ 1. Одевание конечных групп посредством н. г. п.
Пусть дана конечная группа ©. Требуется найти такую н. г. п. Г
с возможно меньшим числом параметров, которая содержала бы ©
как делитель. Это значит, что некоторые преобразования группы Г,
соответствующие определенным системам значений Лг, • Л2, •••, As
параметров этой группы (мы будем говорить: точкам А1<А2-— As
параметрического пространства), образуют группу порядка т, изо-
изоморфную группе ©.
В основном задача эта решена Бернсайдом [3] и Ле-Вавассером[8].
Избранный мной путь отличается тем, что я беру за основу не

ОБ ОДНОЙ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ПРОБЛЕМЕ ГИЛЬБЕРТА. I. 257
абстрактные элементы, hq определенные функциональные преобразо-
преобразования. Если» например, дана грурпа подстановок ©, то я рассматри-
рассматриваю ее
подстановки ( iJ 2 ''" *' п I как некоторые линейные пре-
образования переменных xlf х2,..., хп.
Рассмотрим сначала случай, когда группа © циклическая. Пусть
дано преобразование
Х± — J\ уХ^ч-Х^ . . . , Хп),
•%2 == У 2 v^l> *^2» • • • > *^я)> \1)
-^л — у л (*^1> Х2 , . . . ,Хп)*
Требуется найти такую однопараметрическую н. г. п., чтобы преобра^
зования ее при нулевом значении параметра t обращались в тож^
дественное преобразование х% = Xi (i == 1,2,... ,я), а при t= Г— в
преобразование A). Иными словами, мы ищем систему функций
/1 (-^1? *^2> • • • у Xn, t)} jr2 (-^1» -^2^ • • • > «^я» t)>•••> /я \^1> «^2? • • • > *^Я> *)}*
удовлетворяющую следующим условиям:
A. Tix,\^i> х%,..., Хп> и) ==:^C{i.,
Ь. fii.(Xi,y Х%9 ... . , .К/п 1) === Jl3.\^l> Х2> • • • > ^я)»
С. Л (Л (х, *), /2 {х, t),...,fn (х, t), и) =
= Л (-^i» а:2, ..., ^„, ^ + и) ([I = 1,2,..., п).
При этом мы предполагаем, что функции A) —аналитические.
Сначала будем искать неподвижную точку преобразования A),
т. е, такую систему значений хъ х2,.„,,хп, для которой
Xi = /1 (^, Х2, • . . , Хп)у Х2 = /г (-^1> -^2> • • • 9 Xn) у • • 9
Хп = J п \Х\> Х2, , ; . , Л^л}-
При этом мы оставим вне рассмотрения случай, когда преобразова-
преобразования A) не имеют неподвижной точки. В частности, если функции
/и, рациональны, то мы непременно будем иметь нецодвижную точку,
может быть, соответствующую бесконечным значениям xt. Если, на-
например, Xi = оо, то мы введем вместо x-t переменное Zi = — •
Xi
Не нарушая общности выводов, мы можем всегда считать, что
неподвижной будет точка х1 = х2 = ... = хп = 0. Функции A) раз-
развернем в степенные ряды
Xi := пц Х± -f- &i2X2 ~\- . . • "Г din Хп ~г Ощ &\ "(-•••
х2 = а21 хг + а22 х2+ a<in хп + Ь211 хг2+ ...
; . , . . (Г)
Хп = oni хг + а„2 х2 + ... щ+'а„пХ„ + ЬпП хг2 +
Мы ограничимся преобразованиями, для которых точка хг = х2 = ...
= х„ = 0 также является неподвижной точкой Если преобра-
17 н. г. Чеботарев. Том 1.

268 Н, Г. ЧЕБОТАРЕВ
зование (Г) имеет конечный (т-й) порядок, т.< е. его /га-я итерация
дает тождественное преобразование, то определитель матрицы (#/*)
(мы будем говорить: матрицы, отнесенной преобразованию A')) не
равен нулю. Действительно, матрица, отнесенная m-й итерации,
очевидно, будет (а** )т. С другой стороны, она равна
/1 0... 0\
/==( 0 1 - - • О
Кроме того, известно, что характеристическая матрица (а/*) —X/
матрицы конечного порядка (т. е. матрицы, для которой существует
такое целое число т9 что (а** )т = /) имеет только простые элемен-
элементарные делители и потому посредством некоторого линеййого пре-
преобразования может быть приведена в диагональную форму. Поэтому
мы можем подходяще выбранным преобразованием переменных
xlfx2f±* ,, Хп привести преобразование (Г) к виду
A")
п = е„х„ + ...
где ех, е2,..., гп представляют некоторые корни т-й степени из
единицы.
Чтобы действительно получить преобразования н. г. п., введем
еще одну замену переменных. Пусть ?-я итерация преобразования
A") будет
*i = fiik) (*i» х29..., хп\ х2' =/я<*) (х19 х2,..., хп),...,
хп = f{kn\xn х29..., хп). B)
Рассмотрим переменные
C)
= Фд (^i, х2,..., хп).
Легко видеть, что разложения функций B) в ряды начинаются так:
fiw (х„ х2$...9 хп) = е,* л:? + ...
Следовательно, разложения функции C) будут

ОБ ОДНОЙ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ПРОБЛЕМЕ ГИЛЬБЕРТА. I.
Отсюда вытекает, что, обратно, в окрестности точки хх =* х% т
= .. * = хй =в 0 переменные хг, x2J ¦>., хя представляют голоморфные
функции от г19 г2>..., zn.
Производя преобразование A) над функциями C), мы получим
функции Zi, г2',..., Zn, связанные с zl9 z2, •.., zn следующим обра-
образом:
Z,' = ezx = g± (Z), z2' =. e2z2- ** ft (*),... r *«' — е-2Гя = gn (z). D)
Пусть zk~ e m . Очевидно, что преобразование
%r-=e w z* -^(^i,^,...,^, « (#=1,2,...я) E)
удовлетворяет условиям А, В, С. Но условия эти определяют одно-
одночленную н. г. п., содержащую как делитель циклическую группу,
образованную степенями преобразования D).
Чтобы возратиться к исходным переменным, следует разрешить
относительно хх\ х2\ ..., хп* систему уравнений
хг\ х2',..., xnf) =*em <bk (xlf x2,...,Xn) (# = 1,2,..., я)* F)
Как мы видели, это всегда возможно.
Теперь перейдем к случаю, когда группа © не циклическая. Выбе-
Выберем в © систему производящих подстановок Al9 А2,..., As, т. е.
таких подстановок, что каждый элемент & может быть представлен
в виде
Затем найдем соответствующие подстановкам А19 А2, *.., As однопара-
метрические н. г. п. и их инфинитезимальные операторы Х± (/)+
X2(f ),--•> Xs(f). Теперь, .чтобы найти наименьшую н. г. п., содер-
содержащую эти операторы, образуем всевозможные операторы -Xi(f),
{Xi,Xj)f, (Xi9 (Xjy Xi))f и т. д. и выделим среди них линейно
независимые (с постоянными коэффициентами). В нашем случае число
их всегда конечно, так как все рассматриваемые группы линейны,
т. е. являются делителями я2-членной однородной линейной н. г, п.
§ 2. Одна задача из теории н. г. п.
Пусть дана н. г. п.
Г: */=//,(x/fai) (*W = 1,2,..., n; I = 1, 2,..., г). A)
Требуется найти систему из возможно меньшего числа к функций
иг (xlt х2..., хп)у и2 (xlf х2,..., хп\ ..., uk (х13 х2,..., хя), B)
обладающих тем свойством, что функции

260 Н, Г. НЕБОТАРЕВ
зависят только от «х, и2,.. •, и*; аХ9 а2,,.., аг. При этом каждому
преобразованию той конечной группы ©, из которой посредством
одевания ее получена группа Г, должно соответствовать отличное от
тождественного преобразование функций filt #2» • • • > Uk.
Очевидно, что многообразия
их = Cv и2 = С2,..., и* = С*
представляют систему импримитивности группы Г. Обратно, каждой
системе импримитивности группы Г соответствует некоторая система
функций B). Но мы в состоянии определить все системы имприми-
импримитивности группы Г,
Проблема эта была полностью разрешена Ли и Энгелем [7].
Формулировку полученного ими результата приводим дословно:
«Теорема 92. Если в пространстве х19 х2,..., х& дана г-членная
транзитивная группа Gr, то все возможные для этой группы инвари-
инвариантные разбиения пространства найдутся следующим образом.
Сначала нужно найти ту г--5-членную подгруппу группы Gr~S9
которая оставляет инвариантной какую-либо точку Р, не лежащую
ъц на одном инвариантном относительно Gr многообразии. Затем
разыскать все те подгруппы группы Gr, которые содержат Gr-S- Если
Gr-s+h — одна из этих подгрупп, то произвести над Р все преобра-
преобразования группы Gr-s+n, при этом Р займет ooh различных положений,
образующих некоторое А-мерное многообразие М\ если произвести
затем над М все преобразования Gn то М займет oo5-ft различных
положений, определяющих одно из инвариантных относительно Gr
разбиений пространства. Рассматривая таким образом все подгруппы
О/., содержащие Gr-s, получим все инвариантные относительно Gr раз-
разбиения».
Так как все подгруппы некоторой н. г. п. можно найти при по-
мощи алгебраических действий (там же, стр. 208 и последующие,
§56), то щу и2,..., Uk будут алгебраическими функциями переменных
#i* х29 ¦.., х„ по крайней мере в том случае, когда группа Г тран*
датйвна. Если же группа Г интранзитивна, то мы читаем далее
В' книге Ли и Энгеля следующее:
«Теорема 92 показывает, что для транзитивной группы все инва-
инвариантные разбиения можно найти без интеграции, если конечные
уравнения группы известны. То же самое имеет место и для илтран-
зитивных групп, но, чтобы убедиться в этом, нужны довольно длин-
длинные рассуждения, излагать которые здесь было бы нецелесообразно»
Чтобы* разъяснить второе; условие, определим наибольший дели-
делитель Г^ группы Г, оставляющий неизменной каждую из функций
Ыи ДляЧогб чтобы удовлетворить второму условию, мы требуем,
чтобы 1\ не содержало преобразований группы.
В частности, если © — простая группа (что, например, имеет

ОБ ОДНОЙ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ПРОБЛЕМЕ ГИЛЬБЕРТА. I. 261
место, если © —знакопеременная группа и я>4), то условие это.не
создает никаких новых затруднений, Именно, при отображении
(*i, х2,...9хп) на (и1У и2,.,., ип) группа & отображается в одну
из своих факторгрупп, которой может быть либо единичная группа,
либо сама группа ®. В первом случае 1\ содержит всю группу ©.
Это значит, что 1\ может быть взята вместо Т; т, е. что мы одели
® не посредством н. г. п. с наименьшим возможным числом цара-
метров.
Если, напротив, группа & — не простая, например если она со-
содержит нормальный делитель %, то можно расчленить основную
проблему, решая ее отдельно для ? и для
§ 3. Проблема резольвент
Возвратимся теперь к основной проблеме. Рассмотрим корни
х19 х2,..., хп уравнения
lx + Pn = O A)
как независимые переменные. Если коэффициенты уравнения
Ф (у) =у* + nty*-* + ... + Пп^у + Пп = 0 B)
зависят от k параметров, то то же имеет место и для корней уг,
Уъ,...» Уп. Чтобы выразить, что уг рационально выражается через
*i, Ръ р2,--- >Рт Ф, мы полагаем, что:
1) уг есть рациональная функция от хг, х2,... ,хп, принадлежащая
к той подгруппе группы ©, которая не изменяет хг;
2) когда выражение уг{х19 х2, •.., хп) подвергается всем подста-
подстановкам группы @$, то получаются все корни у19 у2,..., уп*
Теорема Лагранжа гласит, что хх и уг взаимно рационально выра-
выражаются друг через друга с помощью коэффициентов р19 р2,... ,рп\ Ф.
Задачу можно обобщить, если отбросить требование рационально-
рациональности функции.
Удобнее рассматривать вместо уг функцию
где tlf t%,..., tn представляют рациональные числа, которые должны
быть выбраны так, чтобы сопряженные с щ функции иъ и2,..., ит
(т. е. функции, получаемые из иг посредством подстановок группы ©)
были все отличны друг от друга. Тогда иг принадлежит к тожде-
тождественной подстановке. С другой стороны, как ylyyv.. • ,ynt так и
функции и1У и21... ит зависят только от k существенных параметров,
иными словами, система иг, и2,...,ит содержит только к функционально
независимых функций.
Пусть А — производящее преобразование 5-го порядка группы &,
производящее над переменными х19 х2,..., хп подстановку S и над

262 Н. Г. ЧЕЙ О ТАР ЕВ
ии и2> ...>ит~- подстановку 2. Отнесем каждому циклу подстановок
S и 2 новую систему функций
= Х1 + Е*2 Н Ь
\-us,
где e = e s , а циклы, о которых идет речь, имеют вид (х19х2, • • • > xs)
и, соответственно, (%^2> • • • ? »*)• Таким образом, мы получаем две
системы функций (zlfz2,..., zn) и [vly v2,..., ^m). А производит сле-
следующее преобразование этих функций:
Vl* = sai vl9 v2* = eai фа, .. ., Vm' = eam -»«, D)
0t — s 27, г2 — s 22,. . . , zn — s гл, \о)
где ax,^,..., am; px, p2,..., рл — некоторые целые рациональные числа.
Нетрудно видеть, что ulf и2,..., ит линейно выражаются через
i>if v2,...,vm, а хг,х2,...9 хп — через zlt z2,..., zn. Следовательно, си-
система (<alt v2, t,.., ^m) содержит ровно k, а система (^i, з:2,..., zn) —
ровно л функционально независимых функций. Пусть vlf v2,.,., Vk —
функционально независимы. Дополним систему (v1}v2t..., vk) с по-
помощью некоторых я — ? переменных системы Zj,^, • • • > 2гя так> чтобы
дополненная система (vl9 v29..., vk\ zk,v...,zn) содержала ровно п
функционально независимых функций.
Возьмем в качестве однопараметрической н. г. п., одевающей
группу A, Л, А2,..., А3-1), следующую группу
2 niak
t
= e s vly v2' =e s v29...9 vk* = e~T~t vki F)
> ' •' >Zn ~~
n
где ^ — параметр этой группы. Из D), E) следует, что преобразование
F), G) обращается в А при t=l.
Из этих уравнений можно найти хх\ х29,.., х„ в виде функций
от х19 х2,..., хп, определяющих искомую однопараметрическую н- г. п.
Поступая таким же образом со всеми производящими преобразования-
преобразованиями группы %9 мы получим н. г. п. Г, одевающую всю группу &.
Система иъи2,... ,ик, очевидно, представляет систему импримитивно-

ОБ ОДНОЙ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ПРОБЛЕМЕ ГИЛЬБЕРТА. I. 263
сти группы Г, Преобразования & осуществляют над иг, и2,...,ит
лодстановки, которые образуют группу, изоморфную с ©, что и т. д.
Обратно, предположим, что н. г. п, Г, одевающая группу Галуа
уравнения A), имеет систему импримитивности
пх = С1У u2 = C2,...,uk = Ск. (8)
При этом ни одна подстановка из ® не должна оставлять инвариант-
инвариантными все функции и1У и2,..., uk. Из § 2 мы заключаем, что все воз-
возможные системы импримитивности могут быть получены алгебраи-
алгебраическими операциями и потому можно считать ult и2,..., ик алгеб-
алгебраическими функциями переменных хъ х2,.. •, хп.
Согласно нащему определению системы импримитивности,,функции
«х,и2,... ,uk должны оставаться инвариантными относительно неко-
некоторой подгруппы 1\ группы Г, факторгруппа которой Г2 содержит
группу, изоморфную &. Переменные и19 и2,..., ик порождают неко-
некоторую н. г. п. Г3, которая, по терминологии О. Шрейера [9], «ло-
«локально изоморфна» с Г2.г
Докажем, что Г3 содержит группу, изоморфную либо с &, либо*
по крайней мере, с ее факторгруппой относительно центра. Для этого
повторим глубокие рассуждения О. Шрейера (см. [9], стр. 20). Пусть
G — подгруппа Г2, переходящая в тождественное преобразование при
отображении Г2 на (и1У и2,... ,uk). Так как Г2 и Г3 — «локально изо-
изоморфны», т. е. имеют одинаковое число параметров, то 6 должна
быть дискретной группой. Выберем в 6 преобразование А и рассмот-
рассмотрим выражение Х~г АХ, где X — преобразование, непрерывно изме-
изменяющееся от 1 и до произвольного преобразования из Г2. Так как
преобразование Х~~х АХ непрерывно зависит от X, в то время как
преобразования 6 дискретны, то при этом Х~х АХ должно оставаться
неизменным. Это показывает, что 6 лежит в центре Г2, что и т. д.
В частности, если © — группа без центра, то 8= I.1
Докажем теперь следующее: если ulf и2,..., uk — некоторая опре-
определенная система ветвей рассматриваемых многозначных функций, то
всякая другая ветвь и/ каждой из этих функций представляет функ-
функцию от %, я2,..., uk.
Пусть полная система интранзитивности группы Г будет
ЧХ = С19 Т2 = С2, ...,Y| = G. (9)
Мы можем предполагать, что Tlf *F2,..., Y/ суть рациональные функ-
функции от х1у х2у ..., хп. С помощью теории исключения можно полу-
получить из (9) связное частичное многообразие Т, на котором группа Г
будет транзитивной.
Пусть ир и/,..., и.(р-1>) — полная система значений (ветвей) функ:
ции щ в точке (хи х2,..., хп) и пусть (х19 х2,... ,хп) описывает на Т
1 Этот абзац добавлен при корректуре в декабре 1930 г.

264 Н. Г. ЧЕБОТАРЕВ
произвольный замкнутый путь. Вследствие полноты ^системы лнтран-
зитивности (9) труппа Г является транзитивной группой на Т. Поэто-
Поэтому каждый путь U на / можно аппроксимировать при помощи замк-
замкнутого полигона, каждая сторона которого является отрезком неко-
некоторой траектории группы Г, т. е. соответствует некоторой последо-
последовательности преобразований группы Г.
Производя над и. шаг за шагом преобразования этой последовав
тельности и считая наш полигон выбранным достаточно близким к Uy
мы получим в конце концов ту ветвь и., которая соответствует обходу
замкнутого, пути U. Но так как ир в силу определения системы им-
импримитивности, переводится преобразованиями Г в функции от
ult и2, t.., ипу то значит #/>> будет функцией от и1у и2У..., ип (j = 0,1,...
Положим
причем рациональные чксла tly t2y..., tk подберем так, чтобы как все
ветви 5, 5',... Д^-1) на Т, так и все ветви функций \А, ?в,..., по-
полученных из ^ преобразованиями А, В,... (А, В,... пробегают все
преобразования ©), были отличны друг от друга. Полином
\(t) = {t-l)(t-V)--.(t-l<p-V) A0)
представляет на Г однозначную функцию переменных х19х21...,х„, t
и одновременно функцию #i,#2t«-•!#*> *• Если произвести над
5Д'>... Д(/>~1} какое-либо преобразование группы ®, отличное от
тождественного, то полученный полином должен быть отличен от
исходного. Следовательно, можно приписать переменной t такое зна-
значение tY> что функция
будет отлична от всех функций vA, vB,..., где А, В,... пробегают
все преобразования группы &.
Уравнения многообразия Т можно представить следующим образом:
*1 0^1» -^2» • • • » «^Л> ^1» ^2> • • • > w) == ^>
Т2 (xlf х2,..., хп, С19 С2>..., Ci) = 0, A1)
i> х2У..., хпу Сг, С2,..., d) = 0.
Пусть v удовлетворяет уравнению
F (v, х1У х2у..., хп) = 0, A2)
где F — рациональная функция от v, xlt x2f..., xn. Исключая посред-
посредством уравнений A1) переменные х1У х2, ..., хг из A2), мы получим
уравнение
F (v7xt+ и ..., Хп, С1У С2, ... , Ci) = 0. A3)

ОБ ОДНОЙ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ПРОБЛЕМЕ ГИЛЬБЕРТА. I. 265
Это уравнение должно удовлетворяться такой функцией гг переменны*
Xt + u • • • I *п, которая на Т совпадает с v, т. е. однозначна на Т. Но
так как в уравнении A3)_на переменные xi+u... 9хн не налагается
никаких ограничений, то v будет повсюду однозначной, т. е. рацио-
рациональной функцией переменных xi + ь ... , х„;
v = v(xt+ i,...,xn, С1У С2,..., Q). A4)
В этом выражении С19 С2,.. •, Q могут входить и иррационально.
Если рассматривать С19 С2,..., С/ как функции от х19 х2,..., хПу опре-
определенные уравнениями A1), то мы должны возвратиться к лервона-
чальной функции v. Если в выражении A4) произвести все преобра-
преобразования Л, В,... группы $, то получится только k функционально
независимых функций. Но так как вследствие определения системы
интранзитивности, функции С19 С2,..., С/, определенные уравнениями
A1J, инвариантны относительно преобразований группы ®, то между
v, vA, vB,... существуют m — k независимых соотношений типа
O(v(xi+U... ,х„,С19. . ,С/), vA
vB (xi+ u...,xn,Cl9..., Q),...) = 0.
Соотношения эти сохраняют силу, если вместо С19 С2, ... , Q подста-
подставить какие-либо числовые значения. Таким образом, мы получаем
рациональную функцию *v{xi-\. ь xi+ 2, • • •, хп)9 сопряженные с которой
функции vA, vB,... отличны друг от друга и образуют систему к
функционально независимых функций. Отсюда, между прочим, сле-
следует, что в & не существует такой отличной от 1 подстановки, ко-
которая не изменяла бы переменных х/+ ь ..., хп- В частности, если © —
знакопеременная группа, то /<С2.
Поле R (х1у ..., хп\ С1} ..., С{) можно представить как поле
Ш (х19... 9хп, 6), где в имеет форму t1Cl + t2C2-] YU Q. в удовлет-
удовлетворяет уравнению, коэффициенты которого суть рациональные функ-
функции от х19..., хп и инвариантны относительно Г. Поэтому число па-
параметров в этом уравнении ^/. Мы назовем его «побочной резоль-
резольвентой». В частности, если & — знакопеременная группа, то побочная
резольвента, самое большее, однопараметрическая. В самом деле, здесь
/ < 2, а если положить хг-\ Ь хп = 0 (чего можно достигнуть ра-
рациональными операциями), то число параметров уменьшится еще на
единицу [10]).
Чтобы получить уравнение, корни которого рационально выра-
выражаются через корни уравнения A) и наоборот, мы построим такую
функцию от v, которая принадлежит той же подгруппе $ группы ®,
что и хг. Для этого достаточно рассмотреть полином
где 1, А, В,... представляют все преобразования группы ®/&9 и при-
придать переменному z подходящее рациональное значение гг. Тогда,

*2бб Н Г. ЧЕБОТАРЕЭ
по теореме Лагранжа, <J>(?i) рационально выражается через хг и на-
наоборот, С другой стороны, коэффициенты уравнения n-й степени
( ($?)) которому удовлетворяет ф(^) и сопряженные с ней ве-
величины,^ зависят только от ? параметров, так как они являются функ-
функциями v, vA% <ив,,.., где 1, А, В, •.. представляют все преобразования
группы & :!д.
Неразрешенным остается вопрос, все ли возможные одевания ко-
конечной группы изоморфны между собой. Поэтому нелегко ответить
да конкретный воярос: не имеет ли уравнение с заданной группой
^-параметрическую резольвенту? Действительно, если одно получен-
полученное нами одевание дает отрицательный ответ, то мы не можем быть
уверены, что всякое другое одевание также даст отрицательный ответ,
Я надеюсь исследовать этот вопрос в последующих работах. Одевания
абстрактных групп, построенные Ле-Вавассером и Бернсайдом (см. выше),
дают вполне определенные решения. Чтобы дать исчерпывающий ответ
на поставленный вопрос, мы должны поступать так: сначала испытаем,
не содержит ли какая-либо из ^-мерных н. г. п. (число их, как известно,
конечно) делитель конечного порядка, изоморфный с ®. Это дости-
достигается следующим образом: представим эту н. г. п., как группу
однородных линейных преобразований, скажем, s переменных. Соглас-
Согласно теореме Жордана, существует только конечное число таких ко-
конечных групп, которые будут факторгруппами относительно центра
для групп, представимых в виде групп однородных линейных преоб-
преобразований 5 переменных. Структура же центра & для нас не интересна,
так как центр есть абелева группа и потому имеет однопараметриче-
скую резольвенту. Теперь мы в состоянии сравнить эти факторгруппы
с факторгруппой & относительно ее центра. Конечно, этот путь прак*
тически очень сложен.
Гильберт поставил также вопрос о последовательности резольвент.
Вопрос этот аналогичен вопросу о натуральных иррациональностях
в теории Галуа. Я исследую этот вопрос в последующих работах.
Получено
16 июня 1930 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. D. Hi I be r t. Uber die Gleichung neunten Grades. Math. Ann. 97, 1926, стр. 243—250.
2. D. Hilb*ert. Mathematische Probleme. Gott. Nachr., 1900, № 13, стр. 280.
3. W, В urn side. On the Continuous Group, that is defined by any gived Group of
Finite Order. Proc. Lond. Math. Soc. 29, 1898, стр. 207—224, 546—565.
4. H. Weber. Lehrbuch der Algebra. I. 1 Aufl., Braunschweig, 1898, стр. 675.
5. L. L e a u. Etude sur les equations fonctionnelles... Toul. Ann. 11, 1897.
6. P. Fatou. Sur l'iteration analytique et les substitutions permutables. Journ. de
math. (9) 2, 1923, стр. 343; (9) 3, 1924, стр. 1.
7. Li е-En gel. Theorie der Transformationsgruppen 1. Leipzig, 1888, стр. 522, Theo-
Theorem 92.
8. R. Le-Vavasseur. Quelques considerations sur les groupes d'ordre fini et les
groupes finis continus. Lyon-Paris, 1904.
9. O. Sohreier. Abstrakte kontinuierliche Gruppen. Abh. Hamb. Sem. 4, 1925,
стр. 15—32,

ОБ ОДНОЙ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ПРОБЛЕМЕ ГИЛЬБЕРТА. II
(OBER EIN ALGEBRAISCHEN PROBLEM VON HERRN HILBERT. II)
(Math, Ann. 105, A931), стр. 240—255)
В ранее появившейся работе под таким же названием [1] я указал
на связь между гильбертовской проблемой резольвент [2] и так назы-
называемым одеванием конечных групп посредством н. г. п. (непрерывных
групп преобразований). Теперь я в состоянии формулировать эту
связь более точно:
Для того чтобы алгебраическое уравнение с группой Галуа ©
обладало k-параметрической резольвентой, необходимо и доста-
достаточно, чтобы среди тех абстрактных н. г. п.у которые содержат
в качестве делителя изоморфную с © группу, нашлась хотя одна
группа Г, имеющая представление в ^-мерном пространстве {короче:
которая была бы «^-группой»).
Для этого я доказываю следующее. Если Г—некоторое представ-
представление ^-группы в пространстве Х(х±, х2, ..., хп), то можно так расши-
расширить это пространство, т. е. ввести такую систему переменных, кова-
риантную относительно Г с системой (х1У х2,..., хп), что в расширенном
пространстве представления группы Г найдутся к функций, образую-
образующих систему импримитивности группы Г (§ 1, теорема 3).
В § 2 я даю способ получения всех неизоморфных о. г.х (одеваю-
(одевающих групп) для простых конечных групп. При этом я могу рассмат-
рассматривать только линейные о. г. для всех линейных однородных пред-
представлений Г (теорема 5). Представления, о которых идет речь, вообще
только «локально изоморфны». (Это важное понятие введено О. Шрейе-
ром [3].) Поэтому они могут содержать не ©, но некоторую группу
©', факторгруппа которой относительно центра изоморфна ©. Группы
©' этого рода являются, по терминологии И. Шура [4], «группами
представлений» группы @. Как доказал Шур, каждая группа имеет
только конечное число групп представлений. Таким образом, для
того чтобы решить вопрос о представимости хотя одной о. г. группы
© в ^-мерном пространстве, необходимо рассмотреть линейные оде-
одевания не только группы ©, но и всех ее групп представлений.
1 Как стало теперь обычным, я употребляю слово «изоморфный» в смысле «одно-
«однозначно изоморфный». Вместо «многозначно изоморфны»» я говорю «гомоморфный».

2*68 Н. Г. ЧЕБОТАРЕВ
В § 3 я доказываю, что уравнение A) тогда и только тогда обла-
обладает ^-параметрической резольвентой, если его группа Галуа &
допускает в качестве о. г. некоторую ^-группу. При этом не исклю-
исключено, что, кроме некоторой ^-параметрической резольвенты придется
разрешать еще некоторую побочную резольвенту, коэффициенты кото-
которой будут инвариантами н. г. п. Г. В частности, если © — знакопере-
знакопеременная группа, то эта побочная резольвента может быть только одно-
параметрической (теорема 7). При этом я опираюсь на тот факт, что
все системы импримитивности некоторой н. г. п. находятся алгебраи-
алгебраическими операциями. Этот результат получен С. Ли м Ф. Энгелем [5]
для случая транзитивных н. г* п. и легко может быть обобщен на
случай интранзитивных н. г. п. Чтобы использовать эти системы
импримитивности, я должен ввести, кроме корней xv х2, ..., х„ урав-
уравнения A), еще некоторые ковариантные величины как координаты
пространства представления группы Г. Тогда к цели приводит преоб-
преобразование (9) § 3.
Проблема наша весьма тесно связана с клейновской «проблемой
форм». Для этой последней Ф. Клейн получил некоторые общие пред-
предложения и подробно рассмотрел случай уравнений пятой, шестой
и седьмой степеней [6]. Существенный прогресс в задаче Клейна был
достигнут Виманом [7], который показал, что знакопеременная группа
подстановок из шести элементов может быть представлена как группа
колинеаций двух переменных. Сложность геометрических соображе-
соображений, используемых этими авторами, воспрепятствовала мне обстоя-
обстоятельно разобрать их работы.
Поставленный Гильбертом вопрос о последовательности резольвент
я надеюсь разрешить в дальнейших работах. Решение ertf зависит от
решения проблемы резольвент для того случая, когда коэффициенты
уравнения A) связаны некоторыми соотношениями- Тогда возможно,
что коэффициенты эти зависят от k параметров, но о. г. группы @
не является Л-группой (ср. замечание 2 в конце § 3).
В заключение я позволю себе выразить мою сердечную благо-
благодарность Э. Картану и' П. А. Широкову за их интерес к этой работе
и некоторые важные указания.
§ 1. Теоретико-групповые теоремы
Теорема 1. Пусть даны две изоморфные н. г. п.
Г в пространстве X(xv х2, ..., хт)
Гх в пространстве Y (yv y2t ¦.., ут).
Возможно расширить пространство (х19 х2> ..., хт) до такого
пространства

ОБ ОДНОЙ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ПРОБЛЕМЕ ГИЛЬБЕРТА. II. 269
-^1 -^i'i Pzl* • • • у хт
(*-1) х (s — 1) x E-1)
что в последнем найдется система таких функций
(/=1,2,...,4
которые будут подвергаться преобразованиям группы Г, дели
каждой из систем лх(/), ^с2(/), ..,, xm{i) (I = 0, 1, 2, ..., 5—1) /ш-
раллельно производить соответствующие преобразования группы Г.
(Для этой теоремы, которую я высказал в качестве предположе-
предположения на Математическом съезде в Харькове в 1930 г., Э. Картан тотчас
же набросал геометрическое доказательство.)
Доказательство. Расширим обе группы Г и 1\ таким образом,
чтобы;
1, Пространства, соответствующие расширенным группам Г и Г2,
были одного измерения.
2. Матрицы || 5// II > элементы которых представляют коэффициенты
инфинитезимальных преобразований групп Г и Tv были ранга г, если
Г и 1\ (а значит, и Г, Тг) г-членные группы^
Это всегда возможно [8]. Тогда группы-Г и Гх подобны ([8], стр.
254—259). Это означает, что координаты пространства Y можно пред*
ставить как функции от координат пространства X, что и т. д.
Теорема 2. Теорема 1 остается справедливой и тогда, когда
Гг изоморфна некоторой факторгруппе группы Г.
Доказательство. На основании теоремы 1 достаточно дока-
доказать теорему для случая, когда 1\ является факторгруппой группы Г.
Итак, пусть Гх = -^-, где Г2 — некоторый нормальный делитель Г.
Расширим пространство группы Г так, чтобы матрица || \ц || группы
Г имела ранг rt а матрица || ?*/' || группы Г2 —ранг г2, причем мы
предполагаем, что группа Гг-членна, а Г2 — лучленна. Для этого
достаточно повторить пространство группы Г г раз ([8], стр. 95—96).
Если ?—размерность пространства X, то группа Г имеет ровной — г,
а группа Г2 —ровно к — гг независимых инвариантов ([8], стр. 174).
Точно так же убеждаемся в том, что всякая r'-членная группа, про-
промежуточная между Г и Г2; имеет ровно k — r* независимых инвариан-
инвариантов.
Пусть полная система независимых инвариантов группы Г2 будет
ги г2, ..., г* ' ([* = ? — г2). A)
Если мы будем производить над zl9 z2, ..., z^ преобразования группы
Г, то получим снова инварианты группы Г2, так как Г2 является

270 Н. Г. Ч Е Б О Т А Р Е 6
нормальным делителем группы- Г. Полученные преобразованные вели-
величины будут функциями от zl9 z2, ...# z». в силу того, что система A)
представляет полную систему инвариантов Г2. Таким образом, мы полу-
получаем некоторое представление & группы Г, в котором преобразования
Г2 представлены тождественным преобразованием.
Допустим, что в Г существуют другие преобразования, представ-
представленные в & тождественным преобразованием* Они образуют г'-член-
ную группу Г, промежуточную между Г и_ Г2. Тогда функции
zx, z2, ..., Zy. все должны быть инвариантами Гг, что противоречит
тому факту, что Гг имеет k — г'<?— г2 независимых инвариантов.
Следовательно^ & есть изоморфное представление группы 1\, и теорема
доказана.
Теорема 3. Если н. г. п. Г имеет представление в k-мерном
пространстве, то некоторое расширение Г"группы Г имеет систему
импримитивности у представляющую /{-мерное семейство многооб-
многообразий.
Доказательство. Пусть Г представлена как н. г. п. в простран-
пространстве (zi, z2, ..., Zk). Построим такое расширение Г группы Г в простран-
пространстве Ху чтобы Zi могли быть представлены как функции координат про-
пространства X, что, по теореме 1, всегда возможно. Эти функции и Обра-
Образуют искомую систему импримитивности, что и требовалось доказать.
Поставим теперь вопрос, является ли данная н. г. п. Г ^-группой?
Если CijS(i, j, 5=1, ..., г) — структурные постоянные группы Г, то
вопрос сводится к определению операторов
W) = 2^?- {i=\, 2, ..., г), B)
удовлетворяющих соотношениям
г
(Xh Xk)= ^ctksXs. C)
s = \
Таким образом, мы приходим к интегрированию дифференциальных
уравнений
(i, *=1, 2, ..., г; *=1, 2, ..., *).
Если система эта интегрируема и полученные операторы Xi{f)
линейно независимы (с постоянными коэффициентами), то получается
истинное представление группы Г. Если же, напротив, Xiif) связаны
соотношениями, то получится представление некоторой факторгруппы
группы Г. Наконец, если система D) не имеет решений, то задача
невозможна.

ОБ ОДНОЙ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ПРОБЛЕМЕ ГИЛЬБЕРТА. II 271
К сожалению, этот практически наиболее удобный путь для реше-
решения нашей задачи не дает никаких указаний на возможность алгебраи-
алгебраического выполнения описанных процессов. Но для этого служит сле-
следующий способ. Возьмем какое-либо представление группы Г, например
ее параметрическую группу (если группа Г не имеет центра, то можно
взять однородную лилейную группу, т. е. такую, которую наверное
можно найти алгебраически; во всяком случае, можно найти алгебраи-
алгебраическое представление группы Г). Затем ищем соответствующую систему
импримитивности для некоторого «повторения» группы Г, что всегда
возможно согласно выше цитированной книге Ли — Энгеля.
§ 2. Проблема одевания
Определение. Н. г. п. Г назовем одевающей группой конечной
группы ©, если
1) Г содержит как делитель изоморфную с © группу;
2) Г не содержит нетривиальных непрерывных подгрупп, обла-
обладающих свойством 1;
3) Г не имеет нетривиальных непрерывных факторгрупп, обла-
обладающих свойством 1.
Мы будем называть одевающую группу кратко: о. г. Нам нужно
показать, что всякая простая группа имеет только конечное число
неизоморфных о. г., являющихся в то же время ^-группами. Сначала
заметим, что всякая о. г. Г простой группы © должна быть простой
н. г. п. Допустим, что Г имеет нетривиальный нормальный делитель
Tv Тогда пересечение ©х групп Г и © будет нормальным делителем
группы ©. Поскольку группа © — простая, то ©х либо совпадаете Г,
либо является единичной группой. В первом случае © содержится
в Г19 что противоречит условию 2 определения. Во втором случае
/rip Р
«отображение» -^ группы © в -р~ есть группа, изоморфная с © [9] и
содержащаяся в -р-, что противоречит условию 3 определения.
Таким образом, группа Г не может иметь центра и потому может
быть представлена как однородная линейная группа ([9], стр. 217, 223).
Представление это Тг будет, по терминологии О. Шрейера [3], только
«локально-изоморфно» с ©. Шрейер показал, что в этом случае обе
н. г. п. Г и 1\ будут факторгруппами одной и той же н. г. п. Г, т. е.
т т
r^-^-g-, Fi«—^тг > где D и /^ — «вполне разрывные» группы, кото-
которые содержатся в центре Г (выше цит. стр. 20, Satz 8 и стр. 30, Satz 11).
Если © содержится в Г, то группа Т содержит группу ©х (может
быть, бесконечную), факторгруппа которой ~-^- изоморфна с ©. При
этом коммутаторгруппа й группы <3t конечна и также содержится

272 Н. Г, ЧЕБОТАРЕВ
в Т ([4], стр. 38, III). Шур назвал такие группы «группами представ-
представления» группы ©. Они характеризуются следующими свойствами:
U Й содержит подгруппу ЗГО, состоящую из инвариантных элементов
?, причем. ~ изоморфна группе ®.
2, Коммутатор ® содержит все элементы 5Ю.
3, Не существует группы ©, порядок которой превышает порядок
® и которая обладает свойствами 1и.2 (там же, стр. 47).
Шур дал также метод для нахождения всех групп представления
группы ©, При этом он доказал, что если © совпадает со своей ком-
мутаторгруппой, что наверное имеет место, если группа © простая,
то существует только одна группа представления группы © (там же,
стр. 38, IV).
Пример. Знакопеременная группа подстановок шести элементов
может быть представлена как группа дробных линейных подстановок
двух переменных. Но ее нельзя представить как однородную линей-
линейную группу от трех переменных. Это возможно только для ее группы
представления, порядок которой равен 3-360=1080 ([7], Anm. 9),
Теперь мы установим некоторые специальные типы о. г. группы ©.
Рассмотрим все линейные однородные представления группы ©, Число
их, как известно, конечно [10].1 Пусть ©х — одно из этих представле-
представлений и А, В, ..., L — какие-либо подстановки переменных х19 ..,, ХП1
порождающие группу ®х. Переменные х1У х21 ..., х„ можно линейно
преобразовать к переменным yl9 у2, ..., vn так, чтобы подстановка А
приняла вид
Уг.' = e**ylt у2' = е™"'у2> ..., у„' = е™«уп, E)
где kv #2> • • • i kn — некоторые радиональные-^роби.
Выберем в качестве производящего преобразования одночленной
одевающей н. г. п. следующее преобразование:
Ух — # Уг> Уг — ^ У г* • • • у Уп — # Уп, v°7
где Mv М2, ..., Мп — произвольные целые числа. Затем возвратимся
к исходным переменным хъ х2, ,.., хп* Полученная одночленная
н. г. п, содержит подстановку Л и ее степени, т. е. является о. г.
той циклической подгруппы группы ©х, которая порождена подстанов-
подстановкой А.
Таким же образом оденем каждую из подстановок В, ..., L. Ком-
Комбинируя полученные о. г., мы найдем некоторую н. г. п., содержа-
содержащую ©х как делитель. Группа эта будет конечной н. г. п., тах как
она является делителем полной, линейной однородной группы в п
переменных. Если мы изменим целые числа Ml9 М2, ..., Мп для каж-
каждой из подстановок Л, В, ..., L и произведем над . одночленными
Степень, представления предполагается заданной.

ОБ ОДНОЙ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ПРОБЛЕМЕ ГИЛЬБЕРТА. II 27Я>
о, г. подстановок В,..., L все преобразования, коммутатявные с Л,
то можно получить другую одевающую группу. Но так как число
неизоморфных подгрупп полной линейной однородной группы для
ограниченного п конечно, то мы можем получить только конечное
чи^ло о. г. Следует заметить, что выбор производящих подстановок
Л, В, .. ., L не имеет значения, так как при другом их выборе полу-
получится та же система о. г,„ ибо имеет место
Теорема 4. Всякая линейная о. г. конечной линейной цикли-
циклической группы всегда может быть посредством линейного преобра-
преобразования приведена к форме F).
Этот результат непосредственно следует из следующей теоремы
И. Шура 111]:
«IX. Каждая матрица F{t), непрерывная относительно веществен-
вещественного переменного t, удовлетворяющая уравнению
и имеющая период 2т:, вполне приводима. Ее неприводимые состав-
составные части имеют форму е^и (v == 0, + 1, ±2, ...)».
Описанным способом мы получим для каждого представления
группы © конечное число различных о. г. Пусть полная система полу-
полученных о. г. будет
1\, Га, ..., Г,. G)
Имеет место
Теорема 5. Система G) исчерпывает все возможные о. г.
группы ©.
Доказательство. Рассмотрим произвольную о. г. Г группы ©,
полагая, что она приведена к виду линейной однородной н. г. п. Г
содержит как делитель некоторую изоморфную с © конечную линей-
линейную однородную группу. Группу эту назовем также ©. Подвергнем
переменные ее пространства представления такому линейному преоб-
преобразованию, чтобы группа © приняла вполне приведенную форму.
Рассмотрим сначала случай, когда группа Г распадается. Возьмем
одну из неприводимых частей этого представления. Пустьу1У ..., уп —
переменные, ей соответствующие. Полагая все переменные, кроме
Уг, Уы • • •» Ушу равными нулю, мы получим некоторую, гомоморфную
с Г, н. г. п. Г в пространстве yv y2, ..., уп* В самом деле, каждому
преобразованию группы Г будет соответствовать некоторое опреде-
определенное преобразование группы f: 5«—>S. Гомоморфизм этот должен
быть изоморфизмом, так как группа Г проста как о. г. простой
группы ©.
Н. г. п. Г содержит как дедитель некоторую однородную линей-
линейную группу Ш, гомоморфную с ©. Так как группа © простая, то гомо-
морфязм этот является изоморфизмом. Рассматривая то преобразова-
преобразование группы ©, которое соответствует, скажем,, преобразованию А
18 н. Г. Чеботарев. Том 1.

274 н. г, члз о т а р е в_ _
группы ©, мы -заключаем, на основании теоремы 4, что оно может
быть приведено в форму F). То же самое относи1ч:я и к преобразо-
преобразованиям В, ..., L, Отсюда следует, что Г содержит все преобразова-
преобразования, порождающие одну из групп G). Преобразования эти должны
порождать всю группу Г, так как иначе в группе Г существовал бы
нетривиальней делитель, изоморфный одной из одевающих группу
© групп системы G). Так как Г «*--^Г является о. г. группы®, то это
противоречит условию 2 определения о. г.
Если группа Г не распадается, то дшжно найти верхнюю границу
для п, так как, по исследованиям Картана, число простых ?-групп
конечно (These, стр. 71, 147).
Теорема 6. Если н. г. л. Гх является k-группой и имеет фактор-
факторгруппу Г, то группа Г, если она проста, также является &-группой.
Доказательство. Производная группа Г2 группы 1\ как дели-
тель 1\ будет k- группой. Так как факторгруппа -~ абелева, то Г2
также содержит Г как факторгруппу. То же самое имеет место для
группы Г3, производной от Г2, и т. д. Продолжая это рассуждение,
мы приходим, наконец, к некоторой группе Г, которая
1) имеет факторгруппу Г,
2) является ?-группой,
3) совпадает со своей производной группой.
Но В. Киллинг [12]х получил такой результат:
«Если r-членная группа совпадает со своей собственной главной
подгруппой (т. е. производной группой) и при этом не распадается, то
можно выбрать г ее независимых инфинитезимальных преобразований
Хг, . . . ; Хг так/чтобы первые гг преобразований Х19 . . . , Хп образо-
образовывали простую группу, в то время как преобразования Хч-и,..., Хг
образовывали бы группу ранга нуль, являющуюся инвариантной
подгруппой для данной r-членной группы».
Если Г распадается в прямое произведение нескольких групп, то
хотя один из неразложимых факторов, скажем Г, должен содержать
как факторгруппу группу Г. С другой стороны, так как Г содержит
как дейитель некоторую группу, изоморфную Г, то группа Г есть
^-группа и из Цитированной теоремы Киллинга следует, что Г содержит
простой делитель, изоморфный группе Т, что и т. д.
§ 3. Проблема резольвент
Теорема 7. Если группа Галуа © уравнения
= о A)
1 Указанием на последнюю работу я обязан Э. Картану, который своими крити-
критическими замечаниями такжб существенно способствовал доказательству теоремы 5-

ОБ ОДНОЙ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ПРОБЛЕМЕ ГИЛЬБЕРТА. II 275
не имеет центра и, рассматриваемая как абстрактная группа,
допускает одевающую группу Г, представимую как н. г. п. в ^-мер-
^-мерном пространстве, то уравнение A) имеет ^-параметрическую
аезольвенту.
Доказательство. Пусть
— корни уравнения A), которые мы рассматриваем как независимые
переменные. Пусть, кроме того, задана н. г, п. Г, содержащая как
делитель группу ©, изоморфную группе Галуа уравнения A). Группа Г
представима в ^-мерном пространстве (zlf z2, . . . , zk).
Мы можем считать, что группа Г не имеет центра. Действительно,
если 1\ — центр Г, то группы 1\ и © взаимно просты, откуда следует,
что, вместо Г, мы можем рассмотреть факторгруппу ^-. Если последняя
имеет центр, то мы повторяем снова ту же редукцию, и т« д.
Таким образом, Г представима как линейная однородная группа
преобразований ([8], стр. 217, 223), В этом представлении группа &
также будет представлена как однородная линейная группа в некото-
некотором пространстве (у1У y2i . . . , ут). Группу подстановок © мы рас-
рассматриваем как однородную линейную группу в пространстве
{х19 х2У . . . , хп).
Мы можем считать, что уравнение A) нормально (уравнение Галуа).
Этого всегда можно добиться, если вместо хг взять величину
^i-^i H '+tnXn- Тогда группа подстановок © является регулярным
представлением группы ©, в которое каждое возможное представле-
представление © входит столько раз, какова степень этого представления [13].
Пространства (х19 х2, . . . , хп) и (ylt у2, . . . , ут) мы можем под-
подвергнуть линейным преобразованиям так, чтобы в преобразованных
пространствах рассматриваемые подстановки наших групп распалцэд>
на неприводимые части, причем эквивалентные неприводимые частя
имели бы одну и ту же форму.
Теперь можно столько раз повторить (расширить) пространство
(х1У Xj, . . . , хп) и так дополнить пространство (УпУ2> • • • > Ут), чтобы
в полученных пространствах рассматриваемые группы совпали. Отсюда
следует, что координаты пространства (у19 у2, . . . , ут) можно пред-
представить как линейные функции от координат расширенного простран-
пространства (хъ х2, . . ., хп). Соответствующее линейное преобразование
переводит линейную н. г. п. расширенного пространства (xlf х2у* .,, хп)
в некоторую линейную группу в пространстве (уъ у2, . . . , ут)- Груп-
Группе Г должна соответствовать некоторая подгруппа Г этой н. г* п. Но
так как связь между расширенным пространством (х19 х2, . „ ., jcn)
и пространством (ylf у2, . . . , ут) не является обратимой, то вообще Г
будет изоморфна некоторой факторгруппе группы Г. ll>t,
18*

276 Н.Т. ЧЕБОТАРЕВ
Заметим, что группа Г представима в ^-мерном пространстве (zx\
?2> • • • у zk) и потому из теоремы 3 следует, что величины (zl9 z2y..., zk)
могут быть представлены как функции координат расширенного про-
пространства (уг, у2, . . . , ут)- Отсюда мы заключаем, что величины
(zx, z2, . . . , zk) могут быть представлены как функции координат
расширенного пространства (хх,.х2, . . . , хп). Следовательно, система
е1; z2, . . . , zk представляет систему импримитивности расширенной
rjpynnbi Г. На основании исследований Ли и Энгеля можно выбрать
в качестве представителей этой системы импримитивности рациональ-
рациональные функции от xt и корней некоторой «побочной резольвенты»
([1], § 2).
Мы хотим специализировать «расширенные» величины. Пусть
(и1,и2г « • • , и<п)—"одно из «повторений» пространства (хг, х2, - - • , хп).
Заменим переменные и19 и2, . . . ; ип новыми переменными: а0; ах,...,
ал-1? которые связаны с иг, и2, . . . , ипи х1} х2, . . . , хп следующими
соотношениями:
% = «о + «1 *i + а2 хх2 -\ + ал„! х^-1,
«2 = ао + «1 *2 + а2 х22 Н Ь ал_х х2п~{, B)
ип= ао + *i*n + а2*л2 Н 1-ViV •
Величины г19 z2, . . . , гк представляют функции от х1у х2, . . . , хп\
u,Xyii2, , , ., ип; vly <v2, . . , и обладают как таковые следующими
свойствами:
Ь Если над переменными
Х\> X2j . . . , Хп>
Ulf U2, . . . , Un,
v1} v2, . . . , vn,
параллельно производить преобразования группы Г; то каждая из
величин гг, z^, * . * , zk переходит в некоторую функцию от гг, г2,..., гл.
2. Если над переменными
ulf и2, . . . , ип,
параллельно производить преобразования S группы 65 (т. е некоторые
-подстановки), то функция
при неопределенных t претерпевает действительное изменение* Иными
словами, если S пробегает все подстановки группы ©, то все величины
Zs—Z C)
отличны от нуля-

ОБ ОДНОЙ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ПРОБЛЕМЕ ГИЛЬБЕРТА. II Щ1
Будем рассматривать гг, z%y . . . , гк как функции от х1У х2, . . . , хл\
а0, ах . . . , ал„х; . . . Обращаясь к формулам B), легко видеть, что
если над хг, . . . , л:л; и17 . . . , ип; vlf . . . параллельно производить
подстановки группы ®> то величины а0; а1? . . . , ая_г; р0, рх, , * ,
остаются инвариантными. С другой стороны, величины C) все отличны
от нуля при неопределенных tv . . . , th; а0, , . . ,<*„_!; р0, ... и, следова-
следовательно, можно придать tl9 . . . , 4; а0, . . . , аЯж1; р0, . . . такие радиональ:
ные числовые значения/чтобы величины C) оставались,отличными от
нуля. Отсюда следует, что величина Z является рациональной функ-
функцией от х1} х2, . . . , хп, принадлежащей к единичной группе. Значит,
каждый из корней хг;х2, • - - , хп уравнения A) рационально выражается
через Z, коэффициенты уравнения A) и величину Ф (ср. [1})» Hq Z
зависит только от & переменных величин гг, . . . , zk. Таким образрм..
величины Z, Zs, . . . удовлетворяют уравнению
z^ + n^-i + .-. + n^z + n^o, Cf)
которое и можно рассматривать как ^-параметрическую резольвенту,
что и т. д.
Замечание 1. Функция Z (xv ...,хп) никоим образом не является
функцией, остающейся функцией от zv z2, . . . , zn, когда над величи-
величинами х19 х2, • • - , хп производятся преобразования группы Г. Чтобы
убедиться в этом, заметим, что величины а0, . . . , осп_г; р0, рх, . . .
остаются инвариантными при преобразованиях группы 65, но не при
преобразованиях группы Г.
Иррациональность 6 зависит от инвариантов расширенной н. г. п. Г.
Но функции zlf . . ., zk можно выбрать так, чтобы они после подста-
подстановки постоянных значений а, C, . . . зависели только от инвариантов
первоначальной н. г. п. Г. Для этого рассмотрим вместо х, щ v, *. .
как независимые переменные величины х, а, C, . . . Заметим при этом,
что переменные а, р, . . . инвариантны относительно преобразований
группы © (но не группы Г). Полную систему инвариантов расширен-
расширенной н. г. п. Г можно представить следующим образом:
?,(*!,'ха, ..*, хя)=щ (/=1,2,..., р\ D)
4V/(Yi, Y2, • • • , Y/) = ^ (/ = 1, 2, . . . , q), E)
ь • • ¦ , Y/) = ^ (/=1,2,..., r—p-q). F)
Здесь величины а, р, •. ."обозначены через ylf y2,. ...j/('5S/l(s — 1))»
/7 есть число инвариантов первоначальной н. г. п. Г, г—число инвари-
инвариантов расширенной н. г. п. Г. -
Воспользовавшись соотношениями D) и E), исключим из функций
zt (х1у.. ., хп; уь . . . , yt) переменные хъ . . . , хр\ уь . .. , уд. Получим
VmW«i,..4 V> г;ь . . ., ^) (i = 1,2, .. .,*). G)

Н, Г. ЧЕБОТАРЕВ
Если положить здесь щ = конст., vt = конст» и рассматривать преоб-
преобразования группы Г в «укороченной» форме, то функции эти сохраняют
свое основное свойство переводиться преобразованиями Г в функцио-
функционально-эквивалентные системы, С другой стороны, если положить
В ЭТИХ фуНКЦИЯХ Д^—КОНСТ,, T/j—КОНСТ., Y?-fi —KQHCT., „ . • , Y/=KOHCTM
то они обращаются в однозначные, т. е. рациональные функции
переменных х^1у . . . , хПУ переходящие в функционально-эквивалент-
функционально-эквивалентные системы, когда над хр+\, .. . , хп производятся преобразования
группы ®. Действительно, если
F{xu х29.. ., хп\ п, . . . , уп г) =0
— уравнение, которому удовлетворяют величины zh то они, очевидно,
удовлетворяют и уравнению
HF(Xis, *2S, • • • , xns; гЛ • • • , ytsi z) = 0,
которое мы получим, рассматривая х1у. . ., хр; уг,.. ., уд как алгебраи-
алгебраические функции переменных хр+и . . . , хп; y^+i , .. ., у и определенные
уравнениями D) и E), и обозначая через S подстановки группы Галуа
образованного ими поля. Тогда, если рассматривать ии . . . уир\
^ъ • • • у vq как величины, принадлежащие некоторому алгебраически-
замкнутому полю коэффициентов, то z представляется как однознач-
однозначная, т. е. рациональная, функция от xp+l9 . •. , хя.
Подстановка 1/,=конст., y^+i—конст., . . . , y/=kohct., очевидно, не
налагает на хи х2, ..., хп никаких ограничений. Если же мы полагаем
д^конст., то хг перестают быть независимыми функциями. Отсюда
следует, что функции G) зависят только от иррациональных функций
переменных ии и, возможно, от числовых иррациональностей.
Вместо этой подстановки мы можем придать в G) величинам y*
подходяще выбранные постоянные значения и получить этим приемом
те же самые функции. Если мы хотим построить функцию Z, исходя
из G) ло коэффициенты соответствующей побочной резольвенты R F)=0
будут зависеть только от р параметров ии . . . , ир. Таким образом,
здесь мqжнo взятьг например, Ъ = ^иг-\ \-tpup, где tu . . , , tp —
подходяще выбранные рациональные числа.
Если уравнение A) не нормальное, то число параметров побочной
резольвенты /?F) = 0 может быть еще снижено. Именно, пусть это
уравнение
I X+PS=Q (V)
. Тогда
*i = <i^i + t2X2+--- + ttXs. (8)
Здесь уже нельзя рассматривать х{ как независимые переменные, ибо
они связаны п~s линейными соотношениями. хг мы всегда можем

ОБ ОДНОЙ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ПРОБЛЕМЕ ГИЛЬБЕРТА. II 279
заменить линейными комбинациями , величин уи у2, . •. , уп таким
образом, чтобы при применении к xt подстановки (8) ylt, . . * ys пере-
переходили соответственно в х19 х%7 . . . ,xxSy a ys+ut* • • ., Уп исчезали.
Теперь мы можем представить систему инвариантов группы Г
следующим образом:
«10>1> • • • > Л5 Л+i. • • • > Л)» #2(>2, • • > Л* -У*+1> • ¦ • * Уп)>
uh (yh,. *. \ л
После подстановки (8) среди эти^ функций только h первых не ста-
становятся постоянными, так что коэффициенты R F) в 0 зависят сащье
большее от А параметров.
С другой стороны, в силу уравнений
и,№,..., ^;>,0,,.,,0)^И/. (8Г)
величину ?s = t1zl'i \-tk гк возможно представить как однозначную
функцию от Xh+1 , ч. . , Xs.г Отсюда следует* что степень транзитив-
транзитивности групцы перестановок © величин Xt не менее,, чем h. Например,
?сли © — знакопеременная группа перестановок величин Xt> тоА<:2.
Ибо, если бы было А^-3, то \ оставалась бы инвариантно^ относцтедьщ)
перестановки (Хъ Х2, Х3), что противоречит тому обстоятельству, что ?
изменяется от каждой перестановки группы ©.
Число параметров в уравнении /?@)=О можно уменьшить еще на
единицу. Именно, заметим* что по самому способу построения о. г.
след от х1 является инвариантом группы Г. Но след Xlf а значит,
и хг, можно рациональными операциями сделать равным нулю. Поэтому
у группы Г остается только один инзариант и в уравнении /?(8)=0 —
один существенный параметр.
Теорема 8. Если уравнение A) имеет /?• параметрическую
резольвенту, то одевающая группа его группы Галуа ©, построен-
построенная в [1], допускает представление в k-мерном пространстве.
Представление это может быть несобственным, но должно содер-
содержать в качестве делителя группу, изоморфную ©.
Доказательство. Пусть
Zx, Z2, . . , Zn (8f)
— корни ^-параметрической резольвенты уравнения A), которое мы
предполагаем нормальным. Величины (8") являются функциями от хг,
х2, . . • , хп, принадлежащими единичной группе. Если производить
над х19 х2, , . , , хп подстановки группы ©, то Zlf Z2, %. ^ Zn будут
подвергаться некоторым подстановкам, образующим группу ©, изоморф-
изоморфную с © и которая отличается от © только другим обозначением
переменных.
(Примечание при корректуре). Так как она однозначна на многообразии (8').

280 Н. Г. ЧЕБОТАРЕВ
Возьмем за независимые переменные Zlf Z2, . . . , Zn и оденем
посредством н. г. п. Г так, как было описано в [1]:
(у = 0,1, ..., я-1; ву = в* ). (9)
Затем используем тот факт, что величины (8") являются корнями
^-нараметрическрй резольвенты, т* е. между цими только ft функцио-
функционально независимы. Будем рассматривать хг, х2, . . . , хп как координаты
точки некоторого пространства /?, считая точки \х19..., хп) и (хх',..., хпг)
совпадающими, если
Zi(x19 ..., хя) = г?(хгг, . , . , xnf) (I = 1, 2, . . . , л).
Пространство это, очевидно, имеет k измерений. Преобразования (9)
определяют в R некоторую н. г. п., которая «локально изоморфна»
с Г и содержит как делитель группу, изоморфную ©, так как, напри-
например, Zx принадлежит к единичной подгруппе группы ©. Теорема доказана.
Замечание 2. При доказательстве этой теоремы существенно, что
каждая система значений параметров этой н. г. п. однозначно опреде-
определяет точку, в которую переходит заданная точка R. Поэтому наша
группа подпадает под шрайеровское топологическое определение [3]
и здесь применима вся теория Шрайера. Если же это условие не
выполнено, то мы можем столкнуться, например, с тем обстоятельством,
что нециклическая группа монодромии алгебраической функции одного
переменного может допускать в качестве о. г. одночленную н. г. п.
Пример: одночленная н. г. п., определенная уравнениями
х +у +z =CV
содержит как делитель симметрическую группу подстановок трех
элементов, которая даже не будет абелевой.
Теоремы 7 и 8 позволяют нам разрешить проблему резольвент
в каждом отдельном случае посредством конечного числа действий.
Для этот о следует одеть группу © данного уравнения способом, опи-
описанным в § 2. Затем отыскать все взаимно простые с © нормальные
делители н. г. п. Г, одевающей группу ©, и построить соответствующие
им факторгруппы. Наконец, нужно исследовать, в каком пространстве
наименьшего числа измерений представима/каждая из этих фактор-
факторгрупп. Для этого нужно достаточно расширить эти факторгруппы
и найти и-х системы импримитивности, что, в силу теоремы 7, делает
возможным и действительное построение резольвенты. Теорема 8 гла-
гласит, что так исчерпываются все возможные способы построения
резольвент.
Поступило
20 ноября 1930 г.

ОБ ОДНОЙ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ПРОБЛЕМЕ ГИЛЬБЕРТА. II 281
ЛИТЕРАТУРА
1. N. Tschebotarow. tlberein algebraisches Problem von Herrn Hilbert. I. Math.
Ann. 104, 1931. Собр. соч., т. I, 255—266.
2. D. Hilbert. Mathematische Probleme. Gott. Nachr., 1900, № 13, стр.280.
3. О. Schreier. Abstrakte kontinuieriiche Gruppen. Abh. Hamb. Sem. 4, 1925,
стр. 15—32.
4. J. Schur. tJber die Darstellung usw. Journ. f. Math. 127, 1904, стр. 20—50.
5. Lie-Engel. Theorie der Transformation<gruppen I. Lpz., 1888, стр. 522, Satz 92.
6. F. Klein. Gesammelte math. Abhandlungen, 2. Berlin, 1922, стр. 255—504; ср.
также R. F г i с k e. Lehrbuch der Algebra, 2. Braunschweig, 1926.
7. Wiman. Math. Ann. 47.
8. L. Bianchi. Lezioni sulla teoria dei gruppi continui di trasformazioni. Pisa, 1918,
стр. 95—96. .>.,*",
9. N. Tschebotarow. Zur Gruppentheorie des Klassenkorpers. Journ. f. Math. 161,
1929, стр. 184, Definition 3, Собр. соч., т. I, стр. 121—140.
10. A. Speiser. Die Theorie der Gruppen von endlicher Ordnung. 1 Aufl., Berlin,
1923, стр. 119, Satz 113.
11. J. Schur. tJber die stetigen Darstellungen der allgemeinen linfcaren Gruppe. Sitzber.
Bed. Akad., 1928, стр. 109, Satz- IX.
12. W. 'Killing. Die Zusammensetzung usw. III. Math. Ann. 34, стр. 57; E. E. Levi.
Sulla struttura dei gruppi finiti e continui. Atli Torino 40, 1905, стр. 424.
13. A. .Speiser. Die Theorie der Gruppen von endlicher Ordnung. Berlin, 1923,
стр. 119, Satz 113.

О КЛЕЙН-ГИЛЬБЕРТОВСКОЙ ПРОБЛЕМЕ РЕЗОЛЬВЕНТ
(OBER DAS KLEIN —HILBERTSCHE RESOLVENTENPROBLEM)
(Изв. КФМО 6 A932—1933), стр. 5—22)
Несколько раньше я опубликовал две статьи [1], в которых изло-
изложил свои результаты, относящиеся к одной алгебраической проблеме,
поставленной Ф, Клейном под названием «проблемы форм» [2] и впо-
впоследствии значительно обобщенной, Д, Гильбертом [3].. Но , так как
мои. работы были написаны in statu nascendi, так что при редактиро-
редактировании их мне самому не все было ясно, а теперь я в состоянии
преодолеть некоторые встречавшиеся там затруднения, то я считаю
целесообразным дать новое систематическое изложение своих резуль-
результатов. При этом я большей частью ограничиваюсь простейшим слу-
случаем, когда группа Галуа проста, хотя некоторые из моих теорем
легко распространяются и на более общие случаи. Однако рассматри-
рассматриваемый случай почти только один является существенным для этой
теории. Эта статья не предполагает предварительного знакомства
с моими прежними работами.
Я подчеркиваю теперь различие двух проблем, из которых первая
проблема, в основном поставленная Клейном, может рассматриваться
как частный случай второй проблемы, поставленной Гильбертом.
1. Проблема Клейна. Дано алгебраическое уравнение
/ (х) = хп + агхп-1 + .. + an-ix + ап = 0, A)
коэффициенты которого мы предполагаем неограниченно переменными.
Требуется найти такое преобразование Чирнгаузена этого уравнения,
чтобы коэффициенты преобразованного уравнения зависели от возмож-
возможно меньшего числа переменных параметров.
Коэффициенты искомого преобразования могут содержать число-
числовые иррациональности и некоторую функцию Ф (х19 л:2,..., хп) от кор-
корней xy,x2f..., хп уравнения A), принадлежащую заданной группе под-
подстановок @$.
Проблему эту можно формулировать в терминах теории полей сле-
следующим образом.
1а. Дано поле k, содержащее п + 1 переменную alt а2,..., ая; Ф,
которые связаны алгебраическим соотношением
F{(hi a2, ...,ал ^

О КЛЕЙН-ГИЛЬБЕРТОВСКОЙ ПРОБЛЕМЕ РЕЗОЛЬВЕНТ 283
Кроме того, задано алгебраическое расширение К этого поля, произ-
производящие величины которого х1% х2, . .», хп связаны с производящими
величинами поля к следующим образом:
^i + х2 + ... + хп == — а1}
где Ф(^1, л:2,. •. >Хп) есть рациональная функция, принадлежащая за-
заданной группе подстановок ©* При этом предполагается, что уравне-
уравнение A) после подстановки B) удовлетворяется тождественно. Тре-
Требуется найти такое подполе ? поля К, что:
1) композит полей й и k есть поле К,
2) степень трансцендентности 5 поля ffi была бы возможно меньше.
Число s мы назовем истинной степенью трансцендентности рас-
расширения К/к*
Последняя формулировка проблемы резольвент Клейна допускает
следующее естественное обобщение:
Ib. Дано произвольное поле к степени трансцендентности п и его
алгебраическое расширение К/к- Требуется найти такое подполе $
поля К возможно меньшей степени трансцендентности s, чтобы поля
$ и к производили все поле /С.
II. Проблема резольвент Гил ьберта. Дано алгебраическое
расширение К/к поля к, имеющее степень трансцендентности п. Тре-
Требуется найти наименьшее целое число s, обладающее следующими
свойствами:
1) существует последовательность алгебраически-трансцендентных
расширений KJk> К2/К1У..., Кт/Кт-\, истинная степень трансцендент-
трансцендентности каждого из которых равна s\
2) поле Km содержит поле /С.
В этой работе я полностью решаю только проблему I—la.
Представляется весьма вероятным, что проблема II не является
тривиальным обобщением проблемы I, т. е» что в некоторых случаях
решение проблемы II дает меньшее значение для s, чем решение
проблемы L
Содержание
§ 1. Теория представлений непрерывных групп преобразований.
§ 2. Конечные и непрерывные группы.
§ 3. Решение проблемы резольвент Клейна.
§ 4. Обращение основной теоремы.

284 Н. Г. ЧЕБОТАРЕВ
§ 1. Теория представлений непрерывных груцп
преобразований
Основой наших исследований будет рассмотрейие непрерывных
групп преобразований (короче: н. г. п.) вида
xi = // (*!, х2,.. *, хп\ аъ а2,..., аг) A.1)
(*=1, 2,...,п).
Две н. г. п. называются локально изоморфными (по Ли: gleich
zusammengesetz), если инфинитезимальные операторы Хг, Х2,.. • ,ХГ
обеих групп могут быть выбраны так, что структурные постоянные
ctj* в соотношениях
(Xh X,) = 2*ЛЪ <'>•> - 1, 2,..., г)
v=l
будут одинаковы для обеих групп.
Две н. г. п. Г и Г называются подобными, если существует такое
преобразование S, которое каждое преобразование А группы Г пере-
переводит в некоторое преобразование А группы Г: «S'MS = Л или
? Г. Подробнее: если
Г: *'=/(*, а),
Г: y
то существует обратимое преобразование
S: x = 9O), j^s
такое, что
Ф~х1/(фО0, а)] =
или
Для простоты мы предполагаем, что параметр а один и тот же
в обеих группах. Вообще же, для того чтобы перевести группу Г
в Г, следует вместе с переменной х преобразовать также и параметр
а. Но группы, которые переводятся друг в друга преобразованием
параметра, мы будем рассматривать как просто совпадающие.
Таким образом, для того чтобы перейти от группы Г к группе Г,
следует заменить в определяющих группу уравнениях переменные х
переменными у с помощью преобразования S.
Рассмотрим также случай, когда преобразование 5 необратимо,
т. е. когда система функций <рг- содержит меньше, чем п, функционально
независимых. В этом случае мы говорим, что представление Г со-
содержит представление Г, или символически: Td Г. Очевидно, что
понятие это транзитивно, т. е. имеет место

О КЛЕЙН-ГИЛЬБЕРТОВСКОЙ ПРОБЛЕМЕ РЕЗОЛЬВЕНТ 285
Т е о р е м а 1. Если Гх z> Г, Г2 z> 1\, то Г2 z> Г.
Пусть Г является параметрической группой какой-либо н. г. п.
<&, а 1\ — произвольное представление группы ©. Тогда имеет место
Теорема 2. Параметрическая группа некоторой н. г. п. содер-
содержит все существующие представления этой группы.
Доказательство. Пусть A.1) будут уравнения н. г. п. I\, a
a/ = ?,(a,ft) (* = 1,2,...,г) - A.2)
— уравнения ее параметрической группы Г. Тогда
ftlf(x,a),b)=*fi(x,tt(a, b)) (i=l,2,...,n). A.3)
Придадим переменным Xt произвольные постоянные значения
Уравнения A.3) показывают, что если мы будем подвергать параметры
а/ преобразованиям #/= 9/ (я> Ь) группы Г, то переменные xt =/*• (х^°\ а)
будут претерпевать преобразования х? =//(.*', Ь) группы Г, что и т. д.
Характерным для параметрической группы является ее свойство
быть просто транзитивной. Это значит, что в ней найдется одно и
только одно преобразование, переводящее одну из двух произвольно
заданных точек в другую. Аналитически свойство это выражается тем,
что порядок группы и размерность ее пространства представления
совпадают и что ее инфинитезимальные операторы не связаны никаким
линейным соотношением типа
?1 (*i, *2> • • • , Х„) Хх (/) + ф2 {Х19 Х2,..., Хп) Х2 {/)+...+
+ 9л (xlf х2, ..., ха) Хп (/) = 0.
Теорему 2 можно доказать, основываясь только на простой тран-
транзитивности параметрической группы. Действительно, пусть Xlt Х2,... ,ХГ
и У 19 У* •. • г У г будут системы инфинитезимальных операторов
двух локально изоморфных групп и первая из них просто транзитивна.
Тогда система
Xitf) + Yi(f) = 0 (*•= 1, 2,. .., г) A.4)
имеет ровно (п+ г) — г = п независимых интегралов Фг, Ф2,..., Фл, где
п — размерность пространства представления (уг, у2,..., уп) первой
группы, В силу транзитивности первой группы, система A.4) не имеет
решений, зависящих только от xif и, значит, якобиан
не исчезает тождественно. Следовательно, систехма конечных ура-
уравнений
Фг - С19 Ф2 = С2, . . . , Фп = СЛ

286 Н. Г. ЧЕБОТАРЕВ
разрешима относительно уг, у2,... гУп> и легко убедиться, что полу-
полученные при этом уравнения
у ^ (П (У У У \ О 1/ (D (У У У ^ О (\ ^\\
определяют искомое преобразование [4].
Отсюда непосредственно следует, что две изоморфные просто тран-
транзитивные н. г. п. подобны.
Пусть Г и 1\ — два представления некоторой н. г. п., причем ГзГ^
Последнее всегда выполняется, если группа Г просто транзитивна.
Если преобразование A.5) переводит Г в 1\, то уравнения
?l{Xl9X2t...9Xr) = Ci (/=1, 2, ...,/•) * A.6)
определяют одну из систем импримитивности группы Г вследствие
того, что всякое преобразование группы Г перейодит переменные
yt в функции от одних только у и Обратно, если уравнения A.6) пред-
представляют систему импримитивности группы Г, то каждое преобразо-
преобразование группы Г переводит уравнения A.6) в уравнения типа
ф/(хг, х2,... ,хп)= сь', причем константы с\ являются функциями
от Ct и параметров а группы Г:
Другими словами, имеют место соотношения
?((/ (х, а)) = ф/ (ф (л:), а) (/==1,2,..., п).
Отсюда следует, что уравнения
Уг = Ф/ (Уп a) (i = 1, 2,..., п)
определяют некоторую изоморфную (или гомоморфную) с Г н. г. п.
Гь которая получается из Г посредством преобразования
Группа эта транзитивна тогда и только тогда, если функции
(?i(x) — функционально независимы. Вычеркивая из системы <?i(x)
те функции, которые зависят от других, мы получим транзитивное
представление (укороченную группу). Обратно, имея транзитивное
представление, можно получить из него некоторое интранзитивное пред-
представление, если дополнить систему переменных yi = ф/(л:1, х2,... ,хп)
некоторой новой системой переменных, инвариантных относительно
преобразований группы Г. Если над полученной таким образом
системой переменных производить самые общие преобразования,
то получится наиболее общее представление, принадлежащее нашей
системе импримитивности. Сказанное позволяет нам рассматривать
только транзитивные представления.
Если представление Г содержит другое представление Гх той же
группы и это последнее не подобно представлению Г, то йеремейные
представления Г^выраженные как функции от переменных представ-
представления Г, определяют левые части уравнений некоторой системы импри-

О КЛЕЙН-ГИЛЬБЕРТОВСКфЙ ПРОБЛЕМЕ РЕЗОЛЬВЕНТ g87
мщгивцости группы. Г., С другой стдрбн]ы»",Ли {[4], стр. 522, теорему92)
нашел следующий наиболее общий способ постррения сцстем импри-
импримитивности транзитивной группы. Следует построить стационарную
группу (Stabilitatsgruppe) Нр произвольной точки Р пространства пред-
представления Г, т. е. совокупность всех тех преобразований группы Т\
которые оставляют неподвижной точку Р. Затем взять произвольную,
лежащую между Т и'Нр группу S (наличие такой группы необходимо
и достаточно для того, чтобы группа Г была импримитивна) и опре-
определить то многообразие, - которое получится, если подвергать точку
Р всем преобразованиям группы 2. Число степеней свободы этой си-
системы импримитивнбсти (t. fc. чис^о функционально независимых среди
левых частей уравнений системы импримитивности; иными словами,
размерность пространства представления укороченной группы Г) равна
индексу группы 2 относительно Г, т. е. разности порядков этих групп.
Представление 1\ будет правильным (treu), т. е. изоморфным с Г тогда
и только тогда, если 2 не содержит никаких нормальных делителей
группы Г, кроме единичной группы.
Если группа Г просто транз'итивна, то стационарная группа Н
совпадает с единичной группой, так что каждой подгруппе группы
Г соответствует содержащееся в Г представление, и наоборот. Пред-
Представление это примитивно тогда и только тогда, если соответствую-
соответствующая ему подгруппа максимальна, т. е. не . содержится ни в какой
подгруппе группы Г, отличной от Г. Если Гг и Г2 — два представ-
представления одной и той же группы, то I\ ZD Г2 тогда и только тогда
если для соответствующих им подгрупп 21э 22 параметрической группы
имеет
где S есть подходяще подобранное преобразование параметрической
группы, а знак < означает, что левая часть является делителем пра-
правой части.
Мы приходим, таким образом, к следующей теореме:
Теорема 3. Н. г. п. Г тогда и только тогда имеет'представ-
имеет'представление в s-мерном пространстве {мы будем говорить короче: является
s-группой), если она имеет подгруппу индекса s, не содержащую
никакого нормального делителя группы, Т, кроме единичной группы.
Представляется вероятным, что всякое представление можно полу-
получить чисто алгебраическими операциями из конечных уравнений пара-
параметрической группы. Мы покаэ&ем* "сначала, что инфинитезимальные
операторы такого представлений" можно получить алгебраически, а
затем докажем, что при известных ограничениях, налагаемых на струк-
ТУРУ группы, то же самоё" "возможно и для ее конечных уравнений.
Чтобы доказать первую часть этого утверждения, достаточно пока-
показать, Ччо все подгруппы данной транзитивной н. г. п. Можно опреде^
лить алгебраически* Ли ([4], стр. 208—210, §. 5) дал следующий .спошб

288 Н. Г. ЧЕБОТАРЕВ
этого определения. Пусть Xlf Х2,...,ХГ будут инфинитезимальные
операторы н, г. п. Г. Ищем такие их линейные комбинации
Yi =» gt\X + gi^Xz + ... + gtrXr (? = 1, 2,..., m), A.7)
которые удовлетворяют соотношениям
(Yh Yj) = 2 V ^ (/, /=!,2,,,,4 (Ь8)
Подставляя в последние Yt из A.7) и пользуясь формулами
г
(у y \ Х^ г v V (i i 19 *Л
^/i/, /\л) — 2л Ч «**'У — ** *>> • • •»*/>
получим
С другой стороны,
Приравнивая коэффициенты при Ху в обеих частях равенства A.8),
получим
Исключая из этой системы постоянные у/;.^ мы, получим для определе-
определения g^ систему алгебраических уравнений. Подставляя решение этой
системы в A.7), найдем искомые инфинитезимальные операторы
Y%, Y2>..., Ут.
Прежде чем переходить к определению конечных уравнений под-
подгруппы, мы докажем одну весьма важную теорему, полученную
Э. Картаном [5], которая позволяет рассматривать множество всех
представлений некоторой н. г. п. как множество в известном смысле
«архимедово».
Теорема 4. Если Т -и 1\ — два произвольных представления
некоторой н. г. п., то найдется такой показатель т, кто Тт z> Г3.
Под степенью Гт представления
г; xi =M*v Х2,.--> *п> аъ Д2> • • • > аг) (/=-1,2,..., т)
мы понимаем представление в л/п-мерном пространстве
•%1, Х%, . • . , Хп9
-*1 f Х% , . . . , Хп ,
любое преобразование которого индуцирует в каждом пространстве
xi{'\ -*2(/)> • • •» Xn{i^ преобразования представления Г с теми же зцаче*
ниями- параметров,^, а2, ...,аг («расширери^ группы»— по Ли).

О КЛЕЙН-ГИЛЬБЕРТОВСКОЙ ПРОБЛЕМЕ РЕЗОЛЬВЕНТ 289
Доказательство. Пусть
i=l, 2 г)
— инфинитезимальные операторы представления Г. Выберем т на-
настолько большим, чтобы ранг матрицы
5„ (х)Л12(х), ... Д1Я(х)-Ли (*'), ...; ..., 51я(*<—»>),
был равен г. Это всегда возможно, так как вследствие независимо-
независимости операторов Х1з Х2, ..., Хг между строчками этой матрицы не
существует линейных соотношений с постоянными коэффициентами.
Затем найдем решения системы
Ух (/) + Хх (f) + */(/)+...+ Х^Ц/) = О,
У г (/) + *«(/) + Jf/ (/)+•••+ Xt(~
, (Я + *гг (/)+••• + ^ w"]} f/) = о,
где Xp(f)= ^ ?я(л:@)^7о» а ^/(/) есть оператор, соответствующий
оператору Ai(/) в представлении Гх, заданном в пространстве
CVi» Учу • • •» Л)- Очевидно, что система эта полная и, значит, имеет
5 + тп — г независимых интегралов. Между этими интегралами най-
найдется ровно тп, — г таких, которые зависят только от переменных
Xj(i)(i = 0, 1, ..., т— l;j = 1, 2,..., п). Остальные же интегралы
можно, следовательно, привести к виду
Уг - 0i (xi> *8, ..., хя<т~»)9 у2 — 62 (хи л*,..., xf-1)), ...,
Тогда формулы
У± = 0i (-^1» ^2. • • -. Хп{я~1?)> У* = 02 (-«II -^я» • • •, ^л(/я~})> • • •»
дадут искомое преобразование, переводящее представление Гт в
представление Гх.
Замечание. Мы нигде не предполагаем, что представление Г3
правильное. Таким образом, можно утверждать, что достаточно высо-
высокая степень любого представления данной н. г. п. & содержит также
представления факторгрупп группы @.
Переходим к доказательству нашего утверждения о возможности
алгебраического нахождения конечных уравнений представления. При
19 н. Г. Чеботарев. Том I.

290 _ Н. Г. ЧЕБОТАРЕВ
этом мы предположим, что группа & полупроста. Это значит, что ©
не содержит отличных от единичной группы разрешимых нормальных
делителей. Тогда ее присоединенная группа Е является правильным
представлением. В силу теоремы 4, достаточно высокая степень груп-
группы Е содержит параметргруппу, и потому мы можем вместо параметр-
группы рассматривать такую степень группы Е. Чтобы алгебраически
получить какую-либо максимальную подгруппу группы ©, мы пред-
предположим, следуя В. Киллингу [6], что искомая подгруппа содержит
такое преобразование,' отличные от нуля характеристические корни
которого все — простые. Картан [7] считает весьма правдоподобным,
что это предположение не содержит никаких действительных огра-
ограничений. Известно, что инфинитезимальные операторы группы Е можно
нормировать таким образом, чтобы некоторые из них — Yu Y2, ..., Yt
{I называется рангом группы ©) — были перестановочны между собой,
в то время как остальные Х1У X2t ..., Xr~i были бы связаны с Yf
соотношениями
(Xlf e% Yx + е2 Y2 + • •. + ег Yt) = (ег со,О) + е2 <»р + .. • +ег <¦>/'>) xt,
где о>/3) представляют отличные от нуля характеристические корни
оператора Yy
Киллинг ([6], стр. 242) показал, что всякая подгруппа $ группы ©г
содержащая, например Yly порождается входящими в нее операторами
Хь Yу Если, кроме того, группа J§ максимальна, то она содержит все
операторы Ylf Y2, . • • f Yv Можно взять за Yx такую линейную комби-
комбинацию Yly К2, ..., Yv чтобы соответствующие ей характеристические
корни были просты, а отношения их рациональны (для этого достаточно
взять в качестве Yx какой-либо из операторов (Ха, Х^), где Ха, Х^ —
операторы, соответствующие корням ша и — ша ([7], стр. 42). Более
того, всю порожденную операторами Yt абелеву груйпу можно по-*
строить из операторов такого рода. С другой стороны, очевидно, что
вся группа ® порождается посредством операторов, отличные от нуля
•характеристические корни котррых просты. Каждый из таких операто-
операторов, взятый за Yl9 можно описанным выше образом заменить посред-
посредством нескольких операторов типа (А'а, Ха')> для каждого из которых
отличные от нуля характеристические корни- просты и находятся в
рациональных отношениях. Таким образом, за операторы, порожда-
порождающие группу ©, можно взять независимые операторы этого типа
Zlf Z2, ..., ZUi Теперь, чтобы найти конечные уравнения группы ?>,
достаточно найти инварианты m-ой степени группы Е. Таковыми будут
решения системы
Z, + Z/ + • • ¦ + 2/«-«) = 0 (/=if2,...f и), A.9)
где пространство (хх, х2, ..., хг) есть пространство представления
присоединенной группы, .а пространства (хг^\ х2м, <. ., <хг^) (i =
= Q, I, .%*„, т— 1) в совокупности содержат параметргруппу. Решения

О КЛЕЙН-ГИЛЬБЕРТОВСКрЙ ПРОБЛЕМЕ РЕЗОЛЬВЕНТ 29*1
.каждого отдельного уравнения системы A.9) суть интегралы одной
из систем линейных однородных дифференциальных уравнений
ОХг = dx2 = . . . = JXr=М (L10)
(/=1,2, ...,и).
Каждая из этих систем имеет простые элементарные делители, и по-
потому интегралы ее могут быть записаны в виде
г? (т—\) — г (
где zt лредставляют некоторые линейные функции от хг Так как
отношения величин щ рациональны, то отсюда посредством исключе-
исключения t получаются алгебраические интегралы. Для получения же
решений всей системы нужно построить такие функции, которые
можно представить как функции от интегралов каждой из систем AЛ0)
для /=. 1, 2, ,.,, и, а это .есть чисто алгебраическая задача* Таким
образом доказана
Теорема 5. Каждая по л у простая s-группа имеет в s-мерном
пространстве алгебраическое представление ([7], стр. 133).
Киллинг и Картан ([7], стр. 151) определили все типы простых
групп и вычислили для каждой из них индекс 5 наибольшей подгруппы*
Результаты их представляются в таком виде.
1° У нимодулярные линейные однородные группы от п переменных
(тип А); г = п2— 1, s ~ п— 1.,
2° Ортогональные группы от п переменных (тип В при нечетном
п и тип D при четном п)\ г = п Т , s = п— 1,
3° Комплексгруппы от п переменных (п — четное), т, е- линейные
однородные группы, которые оставляют инвариантным выражение
Пфаффа
(хх йхг — х2 dxx) + (х3 dx± — х4 dx3) + f- {xn~\ dxn — х„ dxn^\)
4° Тип Е:
1) группа G 78; г= 78, 5 = 16;
. 2) группа' G133; г = 133, 5 = 27;
3) группа G244J r = 248, s = 57.
5° Тип F: Gg2; г = 52, 5 = 15.
6° Тип G: G14; r= 14, 5= 5.
§ 2. Конечные и непрерывные группы
Связь между конечными и непрерывными группами изучалась уже
с давних пор, когда была поставлена следующая задача, приведшая
к весьма замечательным результатам [8, 9]: определить все конечные
подгруппы данной непрерывной группы.
19*

292 Н. Г. ЧЕБОТАРЕВ
Мы займемся следующим обращением этой задачи; определить
все н. г. п., изоморфные с заданной конечной группой.
Так как при этой формулировке задачи мы вынуждены рассмат-
рассматривать бесконечное множество неинтересных для нас решений (напри-
(например, каждая надгруппа любого решения будет тоже решением), то
уточним нашу проблему, назвав ее проблемой отыскания одевающих
групп г (короче — о. г,), причем определим это понятие следующим
образом:
Н, г. п. Г называется о. г, конечной группы ©, если:
1° Г содержит делитель, изоморфный с ®,
2° ни одна из правильных непрерывных подгрупп группы Г не
обладает свойством 1°,
3° ни одна из правильных непрерывных факторгрупп группы Г не
обладает свойством 1°.
В большинстве случаев, когда нам придется искать о. г. для
конечной группы ©, эта последняя будет простой группой. Тогда
справедлива
Теорема 6. Каждая о. г. простой группы © также проста.
Доказательство. Предположим, что о. г. Г группы & содержит
правильный непрерывный нормальный делитель 1\. Подгруппа G груп-
группы Г, изоморфная с ®, имеет с 1\ пересечение Gx, Так как каждая
сопряженная с группой Gx группа S~l Gx 5 содержится в группе
5^1Г15=Г1, то Gx является нормальным делителем группы G.
Последняя проста, и потому либо G — Gu либо Gx = 1. В первом случае
мы приходим к противоречию с условием 2°. Во втором случае среди
элементов иТг факторгруппы Г/Гх (U пробегает элементы группы Г)
содержатся все элементы SFlf где 5 пробегает всю совокупность
элементов группы G. Элементы STX все отличны друг от друга и,
следовательно, образуют группу, изоморфную с G, что противоречит
условию 3°,
Когда мы ищем о. г. данной конечной группы ©, то естественно
определить для каждой о. г. одно из ее представлений, например
представление в виде линейной-однородной группы. Но здесь возникает
некоторое затруднение, так как все представления одной и той же
н* г. п. только локально изоморфны между собой. Поэтому вполне
может случится, что из двух представлений одно будет содержать
группу ®, а другое нет. Вследствие этого мы должны несколько
углубиться в развитую О. Шрейёром [10] теорию локально изоморф-
изоморфных н. г. п.
Если рассматривать элементы каждой н, г, п. как точки соответ-
соответствующего «группового пространства», то локальный изоморфизм
двух н. г. п. означает взаимное соответствие окрестностей единичных
1 В прежних работах я употреблял название «Einkleidungsgruppe» (здесь автор
пользуется термином «Einbettungsgruppe» — Fed.)

О КЛЕЙН-ГИЛЬБЕРТОВСКОЙ ПРОБЛЕМЕ РЕЗОЛЬВЕНТ 293
элементов этих групп. Это однозначное соответствие можно неограни-
неограниченно продолжить аналитически, так как окрестности любых соответ-
соответствующих друг другу точек, лежащих внутри уже отображенных друг
на друга окрестностей, также могут быть взаимно отображены друг
на друга. Однако отсюда можно заключить, что обе группы изоморфны
(в целом) только тогда, если каждое из соответствующих им групповых
пространств односвязно, т. е. если в любом из них каждый замкнутый
путь может быть непрерывно стянут в точку. Если же групповое про-
пространство не односвязно, то, как доказал Шрейер (выше цит.), ему можно
сопоставить некоторое односвязное накрывающее пространство. Соот-
Соответствующая этому пространству группа (называемая накрывающей
группой) обладает тем свойством, что каждая локально изоморфная
с ней группа изоморфна с ее факторгруппой относительно некоторого
нормального делителя А, элементы которого дискретны (это значит,
что для каждого элемента из А можно найти такую его окрестность
внутри группового пространства, которая не содержит других эле-
элементов из А).
Теорема 7 (Шрейера). Если две н. г. п. Г и 1\ локально изомор-
изоморфны и если группа Гх изоморфна группе Г / А, то А лежит в центре
группы Г.
Доказательство. Пусть V — произвольное преобразование
группы Г. Будем непрерывно изменять значения параметров группы Г
таким образом, чтобы соответствующее им преобразование непрерывно
изменялось от тождественного преобразования / до U. Так как А есть
нормальный делитель группы Г, то все преобразования U~l DU (где D
принадлежит к А) содержатся в А. С другой стороны, /-1 DI = D. При
непрерывном изменении параметров преобразования U преобразование
?/~! DU изменяется также непрерывно и потому остается в некоторой
окрестности преобразования D, не содержащей никаких других
преобразований из А. Следовательно, U~l DU = D, и теорема до-
доказана.
Пусть Тг есть о. г. конечной группы © и Г — накрывающая группа
группы 1\. Г может не содержать никакой изоморфной с & подгруппы,
так как при отображении Г на 1\ в изоморфную с группой © подгруппу
Ох может переходить такая группа G, только некоторая факторгруппа
которой G/ Н изоморфна с ©. Здесь Н является делителем А и, сле-
следовательно, содержится в центре группы G.
В частности, если группа © проста, то коммутаторгруппа G' группы
G также содержит в качестве факторгруппы группу, изоморфную с @,
и содержится в Г как делитель. Докажем, что G' совпадает со своей
коммутаторгруппой G". Так как факторгруппа G/Д изоморфна с
группой &, т. е. проста и, следовательно, совпадает со своей комму-
коммутаторгруппой, то каждый элемент s группы G/A можно представить
в виде H^s^"-1^-1. Отсюда следует, что всякий элемент S группы G

Н. Г. ЧЕ Б ОТ А Р ЕВ
может быть представлен в форме
jSr^Sf1, B.1)
D — элемент группы Д. Для того чтобы доказать, что всякий
элемент G' содержится в G", достаточно показать это для элементов
вида SlS2Sl~1S2~1. Если
^2 = As П Sv &i ^«wi ^Г1*
TO
St s2 srl V1 = to Usu sti 6lf-! V1) (D* П 52i sv ^2г^2г
4 П 5i, ^S^S^)~! (D2 П ^ S2j S2r\S2
или, тйк как элементы Dl9 D2 перестановочны со всеми 5,
Si *S2 Si S2 = 111 Su Sij S^ Si]~ |A1 ?2/ Sy ^2/ ^2/
П (Su Si/ Sir Sij1)"^ (П ^ ^2/ s%r sjj у .
Отсюда непосредственно следует, что SxS2Srl &Г1 содержится в G",
что й, требовалось.
Таким образом доказано, что .накрывающая группа группы Тх,
и значит всякая н. г. п., изоморфная с 1\, имеет делитель G', фактор-
факторгруппа которого относительно центра изоморфна с группой & и ком*
мутаторгруппа которой совпадает с самой группой G'.
., Такие группу можно считать частным случаем рассмотренных
И. Шуром [11] групп представления ? группы®, которые он харак-
характеризовал такими свойствами:
. «1. й содержит подгруппу ЗЯ, состоящую из инвариантных элемен-
элементов группы $, причем факторгруппа f/ЭК изоморфна с группой G;
2. Коммутаторгруппа $ содержит все элементы группы ЗИ;
3. Не существует такой группы, которая обладала бы свойствами
1 и 2 и порядок которой. превышал бы порядок группы ft».
И, Шур показывает, что всякая группа & имеет только конечное
$исло неизоморфных групп представления и дает метод для построе-
построения всех групп представления. При этом он доказывает, что если
группа © совпадает со своей коммутаторгруппой, что наверное имеет
место, если группа & простая, то существует только одна группа
представления группы & ([11], стр. 38, IV).
Пример. Знакопеременная группа шестой степени может быть
представлена как группа дробных линейных подстановок от двух

О КЛЕЙН-ГИЛЬБЕРТОВСК-ОЙ ПРОБЛЕМЕ РЕЗОЛЬВЕНТ 295
переменных. Однако ее нельзя представить как однородную линей-
линейную группу от трех переменных. Последнее имеет место впервые
для ее группы представления, порядок которой равец 3.360 [12].
Для того чтобы построить о. г. некоторой конечной группы,
заметим, что всякое представление Г любой простой ц. г. п. может
быть представлено в виде линейной однородной группы. Дри этом
изоморфная с группой & подгруппа этой группы будет представлена
в виде конечной линейной однородной группы. Предположим, что
группа © — приводима, именно, что ее матрицы посредством линей-
линейного преобразования Т приводятся к виду 5 = ( ). Отсюда еще
не следует приводимость группы Т~1 ТТ. Однако если взять какой-
лябо инфинитезимальный оператор X группы Т~гТТ, содержащий
подстановку S, то X (рассматриваемый как матрица) будет переста-
перестановочен с S. Если бы все характеристические корни матрицы S были
простыми, то одно и то же линейное преобразование приводило бы
матрицы X и S одновременно к диагональной форме. Значит, X имеет
вид ( 1 . С другой стороны, если S пробегает систему произво-
\ 0 N }
дящих подстановок группы & (т. е. таких, композиция которых дает
всю группу ©), то система соответствующих им инфинитезимальных
операторов Xi не может содержаться ни в какой правильной подгруппе
группы Т~гТТ. Действительно, в противном случае, в силу условия
2 определения о. г., группа Г не была бы о. г. группы ©< Иначе
говоря, операторы Xt и порожденные ими операторы {Xu Xj) пред-
представляют полную систему инфинитезимальных операторов группы
Т ТТ. Отсюда видно, что группа Г может быть неприводимой только
тогда, если каждая система производящих подстановок группы ©
содержит подстановки с кратными характеристическими корнями.
Это обстоятельство необходимо имеет место, если некоторые неприг
водимые части группы & подобны друг другу. Весьма вероятно, что
характеристические корни могут быть кратными только в этом случае
Общая задача одевания группы © может быть сформулирована
так. Пусть /, Л, В9... — совокупность линейных подстановок, соот-
соответствующих элементам группы ®. Введем обозначение
и пусть Xlt Х2У -.., Хг будут искомые инфияитезимальные операторы
о. г. Г (которую мы считаем линейной однородной группой), Тогда
для каждого А должны иметь место уравнения
г
^ ? (/=1,2,...,г),

296 Н. Г. ЧЕБОТАРЕВ
где аи —неизвестные постоянные. Соответствие А->(а?) дает новое
линейное однородное представление группы ©. Мы назовем его
представлением, «приводимым в узком смысле», если существуют
такие линейные комбинации Ylf Yz,..., Yn операторов Xh которые:
1) образуют подгруппу группы Г (т. е. (Yif Yj) линейно выражаются
через Yt)t
2) подвергаются посредством преобразований А только линейным
подстановкам.
Очевидно, что н. г. п. Г, соответствующая представлению, при-
приводимому в узком смысле, не является о. г. группы ©, так как она
обладает правильной непрерывной подгруппой, содержащей делителем
изоморфную с © группу. Таким образом, наша задача сводится
к отысканию неприводимых в узком смысле систем Xl9 Х2,..., Хг.
Решить эту общую задачу очень трудно. Я даже не могу сказать
до сих пор, соответствует ли каждой конечной группе конечное или
бесконечное число о, г. Но если мы поставим себе задачу определе-
определения для данной простой конечной группы & только тех о. г., которые
имеют представление в пространстве возможно меньшего числа s
измерений, то эту задачу можно решить сравнительно легко. Для
этого следует найти все неприводимые представления как группы ©,
так и ее групп представления. Затем, выбрав правильное представле-
представление g возможно меньшего числа измерений /, следует определить*
является ли g комплексным или вещественным. В первом случае
полная унимодулярная линейная однородная группа /-той степени
и будет искомой о. г., если локально изоморфная с ней группа дроб-
дробных линейных подстановок от (/—1) переменных действительно содер-
содержит делитель, изоморфный с ©. Последнее имеет место тогда, когда
g является представлением группы ©, а не ее группы представления,
Если же группа g вещественна, то она приводится к вещественной
ортогональной группе ([9], стр. 107, теорема 100) и, следовательно*
будет делителем ортогональной группы /-той степени, которая является
(/— 2)-группой. Этот способ с точностью до конечного числа исклю-
исключений является наиболее общим способом построения о. г., имеющих
представления в пространстве возможно меньшего числа измерений.
Действительно, за конечным числом исключений, каждая простая
н. г. п. может быть представлена либо как полная унимодулярная
линейная однородная группа, либо как комплексгруппа, либо, наконец,
как полная ортогональная группа. Но второй случай не представляет
для нас интереса, так как переход от- полной унимодулярной линей-
линейной группы к комплексгруппе не дает снижения числа измерений
наименьшего пространства представления. Изоморфная с ® подгруппа
входит в эти представления либо как линейная однородная, либо как
ортогональная группа. Она будет неприводимой, за исключением того
случая, когда наименьшему значению / соответствует группа пред-
представления, так что ее одевающая группа не содержит изоморфных

О КЛЕЙН-ГИЛЬБЕРТОВСКОЙ ПРОБЛЕМЕ РЕЗОЛЬВЕНТ 297
с & подгрупп. Значение /, соответствующее самой группе ©, будет
в этом случае больше, чем сумма двух (или большего числа) значе-
значений /, соответствующих группам представления. Таким образом,
смотря по тому, является ли комплексным или вещественным пред*
ставление, соответствующее наименьшему значению /, будет либо
s = / — 1, либо s = / — 2.
В частности, если & есть знакопеременная группа от п перемен-
переменных ий>8, то, как доказал А. Виман [13], как группа &, так и ее
группа представления не могут быть представлены как линейные
однородные группы менее чем (п—1)-й степени. С другой стороны
представление группы © как знакопеременной группы подстановок
от п переменных распадается в тождественное представление и веще-
вещественное неприводимое представление (я—1)-й степени. Таким образом,
здесь s=n—3.
Следует еще решить вопрос: не существует ли такой н. г. п. 1\,
которая была бы представима в пространстве меньшего числа изме*
рений, чем данная простая н. г. п. Г, изоморфная с одной из фактор-
факторгрупп группы 1\. Такой случай невозможен. Действительно, Е. Э, Леви
[14] показал, что каждая н. г. п. 1\, имеющая простую факторгруппу
Г, содержит подгруппу, изоморфную с Г. Поэтому, если группа 1\
представима в 5-мерном пространстве, то то же справедливо, очевидно,
и для ее подгрупп и, значит, для факторгруппы Г.
§ 3. Решение проблемы резольвент Клейна
Формулированная во введении задача 1 разрешается следующей
теоремой:
Теорема 8. Если группа Галуа © уравнения
f(x) = х» + агхп-1 + ... + ап-\х + ап = 0 C.1)
простая и, рассматриваемая как абстрактная группа, является
делителем некоторой н. г. п. Г и если Г есть s-группа, то урав-
уравнение C.1) имеет s-параметрическую резольвенту.
Замечание. Нет сомнения, что эта теорема справедлива для всякой
конечной группы ©. Я считаю группу © простой только потому,
что в настоящее время возможность рационального выполнения всех
необходимых операций представляется непосредственно очевидной
только для простых групп*
Сначала мы докажем следующую теорему:
Теорема 9. Уравнение C.1) имеет s-параметрическую резоль-
резольвенту тогда и только тогда, если таковую имеет его резольвента
Галуа
( 1 т = 0. C.2)

298 - Н Г ЧЕБОТАРЕВ
Доказательство. Пусть уравнение C.1) имеет s-параметри*
ческую резольвенту
Л 00 = о, (з.з)
коэффициенты которой суть рациональные функции от alf а2, ...,ал;Ф,
где Ф есть некоторая функция корней хи x2i..., хп уравнения
(ЗЛ), принадлежащая к группе ©. Пусть, кроме того, дано нормаль-
нормальное уравнение C.2) .с неограниченно переменными коэффициентами,
группа которого ($$ — просто транзитивна. Обозначим через Ф функ-
функцию от корней уравнения C.2), принадлежащую к группе ©. Для
построения 5-параметрической резольвенты уравнения C*2) выберем
функцию х(%), принадлежащую к той же группе $, что и корень хг
уравнения (ЗЛ) внутри поля K(xlt х2,...,хп). Коэффициенты уравне-
уравнения п-й степени, которому удовлетворяет х(?), будем рассматривать
как частные значения коэффициентов а* уравнения (ЗЛ). Таким же
образом выразим Ф через Aif Ф. Тогда коэффициенты как резоль-
резольвенты C,3), так к формулы перехода ох (ЗЛ) к C.3) выразятся через
At, Ф* Теперь построим резольвенту Галуа для уравнения C.2)
^W^O. C.4)
Ее можно рассматривать как s-параметрическую резольвенту уравне*
ния C.2), так как. любой корень ? уравнения C.2) рационально выра*
жается через корни уравнения (ЗЛ), которые, в свою очередь, рацио-
рационально выражаются через корни уравнения C.3) и величины
аи а2,...; ап\ Ф, т. е^_через один из корней уравнения C.4) и вели-
величины Аг, А2,,.*,Ат; Ф.
Обратно, если уравнение C.2) имеет s-параметрическую резоль-
резольвенту C.4) и корень хг уравнения (ЗЛ) принадлежит к группе Ф, то
коэффициенты Аи А2,..., Ат\ Ф уравнения C.2) рационально выра-
выражаются через коэффициенты аг, а2,...,ап; Ф уравнения C.1). В этом
случае корни уравнения C.3) принадлежат к группе ф внутри поля
/СG)), гДе Ч™- один из корней уравнения C.4), и, следовательно,
уравнение 'C.3) может рассматриваться как s-параметрическая резоль-
резольвента уравнения (ЗЛ), что и т. д.
Переходим к доказательству теоремы 8. Пусть корни уравнения
C.1), которые мы рассматриваем как независимые переменные, будут
Кроме того, пусть дана н. г. п. Г, содержащая делителем группу
©, изоморфную с группой Галуа © уравнения C 1) (т. е. с той груп-
группой, к которой принадлежит присоединенная нами к полю коэффициен-
коэффициентов функция Ф (х19 х2,..., хп)). Группа Г пусть является s-грушюи,
именно, имеющей представление в пространстве (zl9 z2y..., zs).
Мы можем считать группу Г простой. Действительно, если группа

О КЛЕЙН-ГИЛЬБЕРТОВСКОЙ ПРОБЛЕМЕ РЕЗОЛЬВЕНТ 299
Г имеет правильный нормальный делитель 1\, то либо fl9 либо Г / fi
имеет делителем группу, изоморфную с группой ©. При этом, в силу
теоремы Е. Э. Леви [14], группы эти являются s-группами. Продол-
Продолжая этот процесс, мы придем, наконец, к простой о. г. группы ©,
которая также будет s-группой.
Обозначим через Г то представление, нашей s-группы либо как
полной унимодулярной линейной однородной группы, либо как полной
ортогональной группы, /я-ая степень которого содержит представле-
представление Г (в первом случае,/га = 1). В обоих случаях легко убедиться,
что координаты ги z2,... ,zs пространства представления группы Г
рационально выражаются через координаты соответствующего прост-
пространства группы Г1. • _ • - -
Будем рассматривать группу подстановок & как линейную одно-
однородную группу от переменных xlt х2,..., хп и подвергнем эти пере-
переменные такому линейному преобразованию, чтобы группа. © перешла
во вполне приведенную форму. Затем рассмотрим те составнке части
этого представления, которые являются делителями представления
Гт, Иными словами, ищем такие линейные функции ylt у2,„... ,уи от
переменных хг,' х2, .*. • ,хп, которые будут подвергаться подстановкам,
соответствующим выше упомянутым неприводимым составным частям
группы, ©, если подвергать переменные xlt x2t... ,xn подстановкам
группы ,$. Если уравнение C.1) нормально, то представление <$ регу-
регулярно и, значит, содержит в качестве составных частей все непри-
неприводимые, линейные представления этой группы, притом каждое столько
раз, какова его степень ([9], стр. 119, прим. 14). Если эти неприво-
неприводимые представления входят как делители в Ттв кратностях, высших,
чем в ©, то добавим к системе хл> х2,,..,хп еще дальнейшие парал-
параллельные системы от п переменных и число этих систем обозначим
снова через m
У i" У 2,..., У и,
v (]> „ о) .. v A)
Ух > У2 >••-,?. •
Переменные C.5) мы можем рассматривать как координаты про-
пространства представления группы Гт. Подвергая переменные х19х2,—9хя
подстановкам группы Галуа уравнения C.1) и подвергая все системы
переменных C.5) тем же .самым» подстановкам, мы получим содержа-
содержащийся в этом представлении изоморфный с- группой (В делитель. Так
как Г^гэГ; то-мы- можем найти такие рациональные функции
Zb'z2, ... ,Zs C.6)
отцеременных C.5), которые преобразованиями Гт, а значит, и под-
подстановками &т будут переводиться в фуйкщш'.от zlt z2, *.. ,zs.

300 Н, Г. ЧЕБОТАРЕВ
Первая из систем C*5) состоит из определенных однородных
линейных функций от корней х19 х2,...,хп уравнения C.1). Другие
из систем C.5) мы будем считать такими же функциями от новых
переменных Xj(/), x2v\ ..., xn{i\ так что получим следующую новую
систему переменных
•^1» *^2> • • • » *^Я>
г (О у О) х О)
Преобразуем переменные C.7) следующим образом:
*> (ielf 2,... f m _ !) C.8)
и примем за новые переменные величины
xv х2,..., хп; a0Wf «/О,..., «„_(/> (г = 1, 2, ..., m - 1). C.9)
Очевидно, что переход от C.7) к C.9) осуществляется обратимым
преобразованием. Если теперь производить над системой C.9) под-
подстановки группы ©т,то переменные a0(/), a^,...,»^/) (i = 1, 2,..., т— 1)
не изменяются.
Подставляя в выражение C.6) вместо у№ их значения, вычислен-
вычисленные с помощью формул C.8), мы получим систему 5 функций
2„ z2,...,z, (зло)
от переменных C.9), причем функции эти будут переходить в свои
собственные функции, если производить над переменными
Х\> Хъ,-.-,*п подстановки группы ®, оставляя инвариантными вели-
величины <х/°. Поэтому, если в одной из функций C.10), например Z,
придать величинам а^'> какие-либо рациональные числовые значения
и затем подвергнуть переменные х19 х2,...,хп подстановкам группы
®, то получится система функций
I,?1,?1,...,?-, (ЗЛ1)
функционально зависимых от Zlf Z2,.. •, Z5, т. е. содержащих только
s переменных параметров. Элементарные симметрические функции от
величин C.11) рационально выражаются через alt a2,..., ап; Ф и содер-
содержат также только 5 переменных параметров (иначе говоря, содержат
только 5 функционально независимых величин). Чтобы убедиться
в том, что таким образом мы приходим к s-параметрической резоль-
резольвенте уравнения C.1), достаточно показать, что при подходящем

О КЛЕЙН-ГИЛЬБЕРТОВСКОИ ПРОБЛЕМЕ РЕЗОЛЬВЕНТ 301
выборе функций Z и значений <х/г) величины C.11) отличны друг от
друга.
Допустим, что это не так. Тогда в группе & существует такая
подстановка S, что все разности Z?—Z* исчезают при всех значе-
значениях а7(/). Более того: каждая из функций Z.u, где U — произвольное
преобразование н. г. п, Тт, удовлетворяет уравнению
у US у U п
Z.i —Z/ =0.
Применяя к этому уравнению преобразование LM, получим
Но S не может быть перестановочным со всеми преобразованиями
группы Тт. Следовательно, совокупность преобразований USU~l пред-
представляет такое непрерывное семейство преобразований, которое
содержит 5 и еще отличные от ? преобразования. Композит этого
семейства (т. е. совокупность преобразований, полученных компози-
композицией преобразований вида USlJ-~l) представляет, следовательно,
непрерывную группу, оставляющую инвариантной все функции
Z1? Z2?.. ., Zs* Это противоречит предположению о том, что пред-
представление группы Гт в пространстве C.6) правильное. Если же одна
из разностей Zts — Zt не обращается в нуль тождественно, то воз-
возможно выбрать такие рациональные значения величин а^/>> чтобы все
величины C.11) были отличны друг от друга и представляли, следо-
следовательно, все корни 5-параметрической резольвенты уравнения C.1).
Рассуждения эти должны быть несколько изменены в том случае,
когда не caitfa группа ®, но одна из ее групп представления, например
®, является делителем той линейной однородной н. г, п. Г, степень
которой fm содержит 5-мерное представление. Тогда мы решаем проб-
проблему резольвент для группы (&, построив уравнение
/>(У = 0, C.12)
группа которого есть й и корни рационально выражаются через
корни уравнения C.1). Для этого достаточно рассмотреть уравнение
где d — порядок группы 8f@^-^J, и построить такое подполе
поля K(Q, группа которого изоморфна с ©. Дальнейшие рассуждения
можно повторить без изменения, так как о. г. группы & проста, хотя
® и не является простой. Корни построенной таким образом резоль-
резольвенты принадлежат в поле /СE) не к единичной группе, а к группе S.
Но к той же группе принадлежат и корни уравнения C.1). Следо-
Следовательно, они рационально выражаются через корни резольвенты
и величины аъ а2,.. ., ап; Ф, что и т. д.

302 Н. Г. ЧЕБОТАРЕВ
§ 4. Обращение основной теоремы
Теорема 8, которая, вследствие своего значения для всей теории,
названа основной теоремой, допускает* следующее обращение:
Теорема 10. Если уравнение C.1) имеет s параметрическую
резольвенту, то его группа © имеет в качестве о. г. некоторую
s-zpynny.
Доказательство. Пусть корни ^-параметрической резольвенты
уравнения C.1), которое мы считаем нормальным, будут
Zl9 Z2, ...,Zn. D.1)
Величины D.1) являются такими функциями от корней xlt х2,..., хп
уравнения C.1), каждая из которых принадлежит к единичной группе*
Если производить над х±, х2, ..., хп подстановки группы ©, то вели-
величины D.1) будут подвергаться известным подстановкам, которые
образуют группу ©, изоморфную с ©. Группы © и ® отличаются друг
от друга только различным обозначением переменных.
Рассмотрим сперва величины DЛ) как независимые переменные
и оденем группу © с помощью произвольной н. г. п. Г. Можно
воспользоваться для этого, скажем, линейной однородной группой
от переменных D.1). Еще лучше, если посредством линейного пре-
преобразования величин Zi представить группу © во вполне приведенной
форме и затем одеть одну из ее неприводимых частей посредством
линейной н. г. п.
Затем мы используем тот факт, что величины D.1) представляют
корни 5-параметрической резольвенты, т. е., что между ними суще-
существует ровно s функционально независимых. Будем считать
х1% х2,..., хп координатами точки специального пространства 3R, в
котором оды будем считать две точки (х19 х2,..., хп) и (хг\ х2,..., хп')
совпадающими, если
Zi {xu x2,...,Xn) = Z (хг\ х2\ ..., хп) (/ = 1, 2,..., п). D.2)
Очевидно, что пространство 31 — 5-мерно.
Пусть%теперь преобразования н. г. п. Г будут
Zi =fi (Zx, Z2,..., Zn\ а1У а2у..., ar) (/=1,2, , n). D.3)
Если мы подставим сюда вместо Zi и Z/ функции Z% (x1} х2,..., хп)9
Zi{xt', х2\ ... ,х„'), то полученные уравнения определяют преобразо-
преобразование «индуцированной з пространстве Ш н. г, п. Г, которая будет
содержать делителем группу©. В самом деле, функции Z/ (х^ х2, , хп)
принадлежат ли единичной группе и потому те подстановки над
переменными хг% <х2,..^ ,хп^ которые входят в группу ©, произ-
производит действительно подстановки над функциями Z? и, значит, согласно
определению Ж, соответствуют нетождественным преобразованиям
пространства SR. Теорема доказана. . ,

О КЛЕЙН-ГИЛЬБЕРТёВСКОЙ ПРОБЛЕМЕ РЕЗОЛЬВЕНТ 30&
Замечание. Для доказательства теоремы 10 является суще-
существенным то, что каждая система значений параметров н. г. п. Г одно-
однозначно определяет ту точку, в которую переходит заданная точка
пространства $i. В силу этого группа Г подпадает под шрейеровское
([10], прим. 16) топологическое определение* так что к ней применима
вся теория Шрейера. Если же это условие не выполняется, то можно;
например, столкнуться с таким явлением, что нециклическая группа
монодромии некоторой алгебраической функции имеет в качестве
о. г. одночленную н. г. п. Например: одночленная н. г. п. простран-
пространства (х, у> г), определенная уравнениями
х+у + z = с±1,
содержит делителем симметрическую группу подстановок третьей
степени, которая даже не является абелевой.
Теорема 10 совместно с выше цитированными исследованиями
А. Вимана ([13], прим. 21) делает весьма правдоподобным предполо-
предположение о том, что при /г>-8
п — 5<3.
Для проблемы же Гильберта, как недавно показал А. Виман [15],
имеет место
п — 5>5.
ЛИТЕРАТУРА
1. N. Tschebotarow. Uber ein algebraisches Problem von Herrn Hilberi. I.
Math. Ann. 104, 1931, стр. 459—471; II. Math. Ann. 105, 1931, стр. 240—255.
Собр. соч., т. I, стр. 255—266, 267—281.
2. F. Klein. Gesammelte Math. Abhandlungen, Bd. 2, Berlin, 1922, стр. 255—504-
3. D. Hilbert. Mathematische Probleme. Gott. Nachr., 1900, стр. 253—297;
D. Hilbert. Uber die Gleichung neunten Grades. Math. Ann. 97, 1926*
стр. 243-250.
4. S. Lie. Theorie der Transformationsgruppen. Bd, I, Lpz., 1888 (или 2-te Aufl.,
Lpz., 1930, стр. 337).
5. E. С art an. Sur la structure des groupes infinis. C. R. 135, 1902, стр. 851—854.
6. W. Killing. Bestimmung der grossten Untergruppen von endlichen Transforma-
tionsgruppen. Math. Ann. 30, 1890, стр. 343.
7. E. С art an. Sur la structure des groupes de transformations finis et continus. Paris,
1894 (также Paris, 1933), стр. 148.
8. С. Jordan. Memoire sur les equations differentielles Jineaires a integrate algeb
rique. Journ. f. Math. 84, 1888, стр. 89—215.
9. A. Speiser. Die Theorie der Gruppen von endlicher Ordnung. Berlin, 1923
(также 2 Aufl. Berlin, 1927), стр. 160.
10. О. Schreier. Die Verwandschaft stetiger Gruppen im Grossen. Hamb. Abh. 5,
1926, стр. 233—244.

304 Н, Г, ЧЕБОТАРЕВ
Ц. J. Schur. Uber die Darstellung der endlichen Gruppen durch gebrochene
lineare Substitutionen. Journ. f. Math. 127, 1904, стр. 47.
12. A. Wiman. Ube eine einfache Gruppe von 360 ebenen Collineationen. Math.
Ann. 47, 1896, стр. 531 -556.
13. A. Wiman. Uber die Darstellung der symmetrischen und alternierenden Vertau-
schungsgruppen. . . Math. Ann. 52, 1989, стр. 243—270.
14. E. E. Levi. Sulla struttura dei gruppi finiti e continui, Atti Ace. di Torino 40,
1905, стр. 423-437.
15. A. Wiman. Uber die Anwendung der Tschirnhausentransformation aui die
Reduktion algebraischer Gleichungen. Nova Acta R. Soc. Sc. Uppsaliensis, Vol.
extra ord. ed., 1927.

ПРОБЛЕМА РЕЗОЛЬВЕНТ И КРИТИЧЕСКИЕ
МНОГООБРАЗИЯ
(Изв. АН СССР, серия матем. 7 A943), стр. 123—146)
Работа посвящена проблеме резольвент, т. е. проблеме нахождения
по заданному уравнению, коэффициенты которого зависят от нескольких
независимых параметров, резольвенты, число параметров в коэффициентах
которой было бы возможно меньшим. Автор приводит проблему к иссле-
исследованию критических многообразий в пространстве параметров уравнений.
Настоящая статья посвящена проблеме резольвент, поставленной
Ф. Клейном [3] и значительно подвинутой Д. Гильбертом [1,2].
Она состоит в нахождении такого рационального преобразования
алгебраического уравнения, содержащего переменные параметры,
чтобы преобразованное уравнение содержало возможно меньше неза-
независимых параметров. В то время как Клейн считал коэффициенты
преобразования рациональными или содержащими наперед заданные
иррациональности, Гильберт предполагал их зависящими от корней
вспомогательных уравнений, в свою очередь допускающих резольвенты
с небольшим числом параметров.
Методы, при помощи которых делались попытки решить проб-
проблемы Клейна и Гильберта, тоже существенно различны. Проблема
Клейна была приведена к задаче одевания группы Галуа заданного
уравнения группой Ли, представляемой в пространстве возможно
меньшего числа измерений. Я [5] показал, что уравнение л-ой степени
с неограниченно переменными коэффициентами и знакопеременной
группой Галуа не может быть преобразовано к резольвенте, зависящей
менее чем от п — 3 параметров. Тем самым было обнаружено, что
решение проблемы Клейна существенно отличается от решения про-
проблемы Гильберта.
Для проблемы Гильберта сам Гильберт предложил частный прием,
дающий для п = 5, 6, 7, 8, 9 значений числа параметров в резольвентах,
приводимые в следующей таблице:
5 6 7 8 9
»п
S
12 3 4 4
Виман [7] показал, что при я>9 существуют резольвенты с числом
параметров s-^n — 5. При этом остается невыясненным, являются ли
эти значения s наименьшими из возможных.
20 н. Г. Чеботарев. Том 1.

306 Н. Г. ЧЕБОТАРЕВ
В настоящей статье предлагается новый принцип изучения
резольвент. Этот принцип основан на рассмотрении высших критиче-
критических многообразий в пространствах, образованных параметрами, от
которых зависят коэффициенты заданного уравнения. Я называю
высшим критическим многообразием совокупность точек в пространстве
параметров, в которых несколько корней уравнения совпадают. Для
каждого уравнения можно определить все типы высших критических
многообразий. Если для данного уравнения найдена цепь из s крити-
критических многообразий, из которых каждое содержится в предыдущем
как часть, то при бирациональном преобразовании уравнения эта цепь
переходит в такую же цепь, у которой каждое многообразие имеет
меньшее измерение, чем предыдущее. Это показывает, что уравнение
не может иметь резольвенты менее чем с s параметрами. Это дает
для значения s нижнюю границу (в то время как Гильберт и Виман
дают верхнюю границу), если мы ограничимся рациональными резоль-
резольвентами. Изучение иррациональных резольвент, требующее детального
исследования критических многообразий для относительных полей,
я откладываю до следующей статьи.
Применение этого метода к уравнениям с неограниченно перемен-
переменными коэффициентами и с знакопеременной группой Галуа дает для
нижней границы числа s значения
1!
J'
которые весьма близки к значениям, найденным Гильбертом:
п
s
5 6 7 8 9
2 2 3 3 4
Однако сопоставление обоих значений s для п = 5 показывает, что
применение иррациональных резольвент имеет существенное значение.
Вопрос о том, будет ли найденная нижняя граница для s также
и верхней границей, связан с вопросом о фактическом построении
резольвент при помощи критических многообразий. В настоящее
время я располагаю некоторыми соображениями, делающими весьма
вероятным положительный ответ на этот вопрос. Однако они недо-
недостаточны для того, чтобы делать какое-либо категорическое заключение*
§ 1. Высшие критические многообразия
Дано уравнение
/(*) = *п + аххп~х + • • • + а„ = 0, 0)
коэффициенты которого пусть будут полиномами от некоторого числа
независимых переменных

ПРОБЛЕМА РЕЗОЛЬВЕНТ И КРИТИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ 307
с коэффициентами из поля всех комплексных чисел. Будем пред-
представлять себе эти переменные комплексными координатами точек
пространства U, которое мы будем считать или /я-мерным в ком-
комплексном смысле, или 2/я-мерным в вещественном смысле. Если для
какой-нибудь точки Р пространства U дискриминант D уравнения
1) не обращается в нуль, то корни
уравнения A) определяются в окрестности точки Р как аналитические
функции от т переменных щ, которые могут быть продолжены на
все пространство LJ. Однако такое продолжение не всегда однозначно,
если мы будем производить его по двум различным путям. Более
того, если уравнение A) неприводимо в области рациональных функций
от и1.и2у ...,Ит, то в пространстве U можно найти замкнутый путь
такого рода, что при продолжении вдоль него любой из корней
xltx2,.. .хп переходит в любой другой из этих корней. В самом
деле, если бы при продолжении по всем замкнутым путям корень хг
переходил только в ',
xlyx2,...,xk (k<ri),
то все элементарные симметрические функции от этих корней были
бы однозначными во всем пространстве U. Отсюда следовало бы,
что они рациональны относительно каждой из переменных иг, и2,... иту
взятых в отдельности и, следовательно, от этих переменных в сово-
совокупности. Таким образом, уравнение A) имело бы множитель степени
К«с коэффициентами, рационально зависящими от и1,а2У..., ит.
Совокупность подстановок, получаемых в результате продолжения
корней по всевозможным замкнутым путям пространства U, носит
название группы монодромиа G уравнения A). Не трудно убедиться,
что она совпадает с группой Галуа этого уравнения, если в качестве
области рациональности взять совокупность рациональных функций
от иг,и2,... ит с любыми комплексными коэффициентами.
Всякий замкнутый путь в пространстве U может быть стянут
в точку. Отсюда следует, что в U существуют бесконечно малые
замкнутые пути, при обходе которых корни претерпевают нетожде-
нетождественные подстановки, и притом совокупность последних имеет компо-
композитом всю группу О. Ясно, чго перемещаемые на бесконечно малом
замкнутом пути корни должны быть бесконечно близки, так что такие
пути лежат в окрестностях точек многообразия
D(uvu2y...,um) = 0 B)
где D — дискриминант уравнения A).
Чтобы определить многообразия точек, в окрестностях которых суще-
существуют замкнутые пути, при обходе по которым корни претерпевают
20*

308 Н. Г. ЧЕ БОТ АРЕ В
подстановки заданного цикленного типа (точнее/ заданного класса
элементов группы G), рассмотрим произведение
V\X*X "Т 12Ха% + ..•¦+" ТпХап) — Ф (tlt t2i • • • , In), (о)
S I G
где tlt t2,..., tn — независимые переменные, подстановка
a 2 ... n
&2 • • • a/i
a произведение распространено на все подстановки S группы G.
Коэффициенты формы C), очевидно, суть рациональные функции
от переменных иъ и2,... um.
Запишем подстановку 5 в циклах
5= A, 2,..., (j.x) (p-i + 1,..., ^2) • •.»{v-k-i + 1 ,..., л).
Будем говорить, что точка Р пространства U лежит в многообразии,
соответствующем подстановке Sy если в Р имеют место совпадения:
i
Если многообразие, соответствующее подстановке Т (будем обозна-
обозначать его через Ur), составляет часть многообразия Us
UT с Us,
то будем говорить, что подстановка Т выше подстановки S:
T>S. E)
Для того чтобы имело место E), необходимо и достаточно, чтобы
каждая совокупность корней, составляющих цикл в подстановке S,
целиком входила в один и тот же цикл подстановки Т.
В дальнейшем под U(S) мы будем разуметь многообразие точек
из U, Соответствующих одной из подстановок класса, в котором
содержится S. Будем говорить, что класс (Т) выше класса E), если
в (Т) содержится подстановка, которая выше, чем какая-нибудь подста-
подстановка из (S).
Будем обозначать через Ф$ форму C), в которой мы подчиним
переменные tl912,. .., tn соотношениям
f \ f \ A- f О
'=Dt (в)
= °-
Имеет место

ПРОБЛЕМА РЕЗОЛЬВЕНТ И КРИТИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ 309
Теорема 1. Чтобы точка Р лежала на многообразии ?/($>,
необходимо и достаточно, чтобы для этой точки все коэффициенты
формы Ф.у обращались в нуль.
Доказательство. 1°. Условие необходимо. В самом деле, если
для точки Р имеют место совпадения D), то линейная форма
^1-^1 ~Г ^2*^2 i • • • "Т~ LnXfi
при условиях F) обращается в нуль, так как
tiXx + t2X2 + • • • ~\-tnXn = |
= txXx H h t^-xX^-l — (*
i H -f *ut-l A^-i —
• + tn—\Xn—\ — (tiik—\+1 + • • • + ^«-0 а:л = \ G)
Хъ) + h ^-i (aw-i — ^) +
Если же для точки Р имеют место совладения, соответствующие
какой-нибудь другой подстановке класса (S), то обратится в нуль
какой-нибудь другой множитель выражения C). Таким образом
2° Условие достаточно. В самом деле, если в точке Р имеет место
то при условиях F) равен нулю по крайней мере один из множителей
выражения C). Представив его в форме, подобной G), мы убедимся,
что имеют место совпадения, подобные D). Именно, если обращается
в нуль множитель
*!*«, + t2X*% + • • • + tnXUn = 0,
где
12. .. л
с G,
то таблица совпадений будет иметь вид

310 Н. Г. ЧЕБОТ АРЕ В
т. е. будет соответствовать подстановке
1 2. . . n
<x.1a2. . . осл
откуда следует, что точка Р принадлежит многообразию U(S), что
и требовалось доказать.
В кольце полиномов от ult u2i..., umi рационально выражающихся
через коэффициенты уравнения A), каждому многообразию U(S)
соответствует полиномиальный идеал, представляющий совокупность
полиномов, обращающихся в нуль на многообразии U(S). Обозначим
такой идеал через A(S)> Чтобы узнать, принадлежит ли заданный
полином
h (ult и2,..., ит),
выражающийся через коэффициенты уравнения A), идеалу A^s), выра-
выразим h через корни хг, х2,... ,хп уравнения A), приравняем друг другу
некоторые из них сообразно с таблицей совпадений D) и посмотрим,
обратится ли после этого полином в нуль.
Если переменные иъ щ,..., ит входят в коэффициенты уравнения
A) линейно, то A(S) будет простым идеалом. В самом деле, без нару-
нарушения общности можно предположить, что тогда отдельные перемен-
переменные иъи2,..,ит рационально (и даже линейно) выражаются через
коэффициенты аъ а2,..., ап> Тогда, если произведение полиномов gh при-
принадлежит ЛE), выразим в g id h все переменные u1,u2i...fum через
корни xlf х2,...,хп и приравняем некоторые из них друг другу
сообразно с таблицей совпадений D). Если при этом произведение
gh обратится в нуль, то должен обратится в нуль по крайней мере
один из его множителей, а это и доказывает простоту идеала Л<$).
Заметим, что если мы вместо подстановки S возьмем любую другую
подстановку T~XST того же класса (TaG), то получим тот же
идеал Ар). Это следует из того, что таблица совпадений для подста-
подстановки T~~1ST получается из таблицы совпадений D), если к ней при-
применить подстановку Т. С другой стороны, всякая рациональная функция
от хг, х2,..., хп, рационально выражающаяся через и1у и2,..., ит, не
изменяется, если к ней применить подстановку Т.
§ 2. Группы инерции
Совокупность подстановок между корнями уравнения A), образуемых
при всевозможных бесконечно малых обходах, взятых в окрестности
какой-нибудь точки Р пространства U, мы будем, по аналогии с теорией
алгебраических (вернее, /?-адических) чисел, называть группой инерции
точки Р. Зададимся целью определить группу инерции для точки Р,
лежащей на многообразии U(S)- С одной стороны, ясно, что корни,

ПРОБЛЕМА РЕЗОЛЬВЕНТ И КРИТИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ 311
переходящие друг в друга при обходах в окрестности точки Рщ
должны в точке Р совпадать. Отсюда следует, что всякая подстановка
группы инерции не выше одной из подстановок класса (S). Обратное
справедливо только при некоторых оговорках. Для облегчения исследо-
исследования сначала предположим, что переменные ии пъ ..., ит входят в
коэффициенты ах,а29..., ап линейно. Это, в частности, будет иметь
место, если мы в качестве U станем рассматривать пространство
коэффициентов аХ9 а2,... , ап.
В нашем случае уравнение A) можно переписать в форме
-pm) = 0, (8)
где/?1} /72, .-.,рт — координаты точки Р. Полиномы /0 {x),fx(х), .-.,fm{x)
не имеют общих множителей, так как корни всякого их общего
множителя были бы корнями уравнения A) и вместе с тем не зави-
зависели бы от их% и2, ..., ит, что противоречит неприводимости уравне-
уравнения A).
Предположим, что точка Р лежит на ?/E), но не лежит ни на
одном из более высоких критических многообразий. Тогда полином
/оМ будет иметь постоянные корни, совпадения которых точно
соответствуют таблице D). Обозначая их через bl9 b2,..., bn, мы,
таким образом, будем иметь
причем ни одно из значений
не совпадает ни с одним другим. В силу взаимной простоты полино-
полиномов /о(я), Д (х),..., fm {%) можно подобрать константы сх, съ ..., ст
так, чтобы полином
g(x) = cjx (х) + г2/2 (х) + ... + cjm (х)
был взаимно прост с /0(л-), т. е. не обращался в нуль ни при одном
из значений (9). Произведем над ах, иъ ..., ит линейное преобразо-
преобразование
Тогда уравнение (8) перепишется так:
fo(x) + g{x)vx + Mx)vt + .. .+fM(x)<oM = Q. A0)

312 Н.Г.ЧЕБОТАРЕВ
Переменные vl9 v2i ..., vm в точке Р обращаются в нуль. Полагая
Vt = v9=...=vm = 0, A1)
получим
где знаменатель ?*(х) взаимно прост с числителем, т. е. не обращается
в нуль при vx = 0. Если в этом уравнении мы положим
*i = рЛ A3)
где р > 0 — весьма малое число, а 6 заставим пробегать значения от
0 до 2*, то из теоремы о непрерывности корней алгебраических
уравнений будет следовать, что [хх из корней уравнения A2) будут
весьма близки к Ь19 р-2—•Н— к й2 и т. д. При этом, при полном обходе
значений 6 от 0 до 2тг корни каждой из этих категорий будут цикли-
циклически переходить друг в друга, и, таким образом, все корни претер-
претерпят подстановку того же цикленного типа, что и подстановка S.
Вместе с тем равенства A2) и A3) определяют в пространстве U
весьма малую окружность вокруг точки Р. Таким образом, мы дока-
доказали следующую теорему:
Теорема 2. Группа инерции точки Р содержит подстановку,
циклы которой соответствуют строкам в таблице совпадения
корней, имеющего место для точки Р.
Исследуем, каковы типы низших подстановок, входящих в группу
инерции точки Р. Если в точке Р пересекаются несколько более
низких, чем U(Sy критических многообразий, например многообра-
многообразие ?/($i)» то в любой окрестности точки Р содержится бесчисленное
множество точек, для которых f/E) есть наивысшее из критических
многообразий, на которых они лежат. Из этого, в силу теоремы 2,
следует, что в любой окрестности точки Р существуют пути, при
обходе «то которым корни х19 х2У..., хп претерпевают подстановку,
подобную подстановке Sx. Отсюда мы имеем:
Лемма 1. Группа инерции точки Р содержит подстановки
всех цикленных типов, соответствующих таблицам совпадений
тех критических многообразий, на которых лежит Р.
Справедливо также обратное утверждение. Для доказательства
нам будут необходимы следующие леммы:
Лемма 2. В каждой цепи содержащихся одно в другом крити-
критических многообразий

ПРОБЛЕМА РЕЗОЛЬВЕНТ И КРИТИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ 313
измерение каждого последующего по крайней мере на единицу
меньше, чем измерение предыдущего.
Доказательство. Это следует из того, что, как мы убедились
из § 1, идеал, соответствующий каждому критическому многообра-
многообразию, есть простой идеал. В самом деле, существует теорема (см. Ван-
дер-Варден [6], стр. 63), согласно которой два простых идеала,
из которых один содержится в другом, только тогда имеют одина-
одинаковое измерение, если они совпадают.
Следствие. Самое низшее, т. е. не содержащееся как часть
в другом, критическое многообразие имеет комплексное измерение
Будем рассматривать теперь пространство U как 2/п-мерное веще-
вещественное пространство. Из только что доказанного вытекает, что
низшие критические многообразия имеют измерение <С2#г — 2. Пусть
какая-нибудь точка пространства U, принадлежащая к одному из выс-
высших (может быть, не к самому высшему) критических многообразий U{S)
и вместе с тем не принадлежащая ни к одному из более высоких
критических многообразий,1 имеет в своей окрестности замкнутую
кривую С, при обходе по которой корни xl9 x2f..., хп претерпевают
подстановку S. Проведем через С двумерное многообразие А (натя-
(натянем пленку), которое пусть не пересекается ни с Р, ни с одним из
более высоких, чем самое низшее, критических многообразий. Этого
всегда можно достигнуть путем малых деформаций многообразия Л,
так как, в силу леммы 2, всякое высшее критическое многообразие
имеет вещественное измерение *<2/я — 4. С другой стороны, если 5
не есть тождественная подстановка, то А обязательно пересекает
низшее критическое многообразие. В самом деле, в противном случае,
разбив А на сколь угодно малые площадки, мы могли бы рассматри-
рассматривать контур каждой из этих площадок как замкнутую кривую, нахо-
находящуюся в окрестности некритической точки. Следовательно, при
обходе по каждому из этих контуров корни претерпевают тожде-
тождественную подстановку. Но так как обход по С равносилен совокуп-
совокупности обходов по этим контурам, произведенных в определенном
порядке, то обход по С тоже производил бы среди корней тожде-
тождественную подстановку, что противоречит предположению.
Мы можем предположить многообразие А алгебраическим. Тогда
при помощи малой деформации число его пересечений с критическими
многообразиями можно сделать конечным. Пусть точки этих пересе-
пересечений будут Р1У Р2,..., Pk и пусть обходам вокруг них (по кривым,
лежащим на А) соответствуют низшие подстановки Slf S2,..., Sk.
Очевидно, их можно занумеровать в таком порядке, чтобы имело место
0 о г» о
01 • О 2 * * * *^k — *^ •
1 Последнее условие не играет роли при доказательстве и поэтому в случае
нужды может быть отброшено.

¦314 Н. Г. ЧЕБОТАРЕВ
Отсюда следует
Лемма 3. Все подстановки группы инерции точки Р суть про-
произведения низших подстановок, соответствующих точкам низшего
критического многообразия, находящимся в окрестности точки Р.
Из хода доказательства этой леммы как побочное следствие выте-
вытекает
Лемма 4. Вещественное измерение низшего критического много-
многообразия в точности равно 2т — 2.
Действительно, если бы это измерение было меньше 2т — 2, то
многообразие А после малой деформации не имело бы пересечений
с критическими многообразиями.
Вообще, теперь мы можем уточнить лемму 2. Многообразие U(S\
является пересечением или двух различных низших многообразий,
или двух полей одного и того же многообразия U{Siy В самом деле,
в силу леммы 3, высшая соответствующая ему подстановка есть
произведение низших подстановок, а соответствующие двум низшим
подстановкам многообразия в пересечении образуют высшее крити-
критическое многообразие, измерение которого, таким образом, равно 2т—4.
Продолжая рассуждение, получим следующую лемму:
Лемма 5. В цепи содержащихся одно в другом последователь-
последовательных критических многообразий
вещественное измерение каждого равно соответственно
2т — 2, 2/71 — 4,...,2/я — 2?.
Пусть в группе инерции точки Р содержится подстановка S,
может быть не самая высшая для точки Р. Из леммы 3 следует,
что ее можно представить в виде произведения низших подстановок
S = Si* S2 • • • Sk.
Это означает, что точка Р лежит на пересечении низших критических
многообразий. В силу леммы 5; их пересечение образует критическое
многообразие измерения 2т — 2?. Поэтому в окрестности точки Р
лежит oo2m~~2* точек многообразия U(S), из которых только самое
большее оо2""*"*2 x принадлежит к высшим критическим многообра-
многообразиям. Таким образом, в окрестности точки Р находятся точки, для
которых U{S) есть высшее многообразие, на котором они лежат.
Сопоставляя с теоремой 2, мы приходим к следующей теореме:
Теорема 3. Группа инерции точки Р тогда и только тогда
1 Когда речь идет об алгебраических многообразиях, употребление старинного
обозначения oov придает изложению большую ясность и в то же время не может
привести ни к каким недоразумениям.

ПРОБЛЕМА РЕЗОЛЬВЕНТ И КРИТИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ 315
содержит подстановку S, если в ее окрестности находятся точки,
для которых LJ(S) есть наивысшее критическое многообразие.
Перейдем к рассмотрению более общих случаев. Пусть коэффициенты
¦flit #2, • • • > ап уравнения A)—произвольные полиномы от uv u2tt... ,ит.
Построим пространство А коэффициентов а1% а2, ..., ал, которые мы
будем считать независимыми переменными. Для такого пространства
мы умеем найти и критические многообразия и группы инерции.
Каждой точке пространства U соответствует одна точка простран-
пространства А, и замкнутому пути в пространстве U соответствует замкну-
замкнутый путь в пространстве А. Обратно, каждой точке пространства А
соответствует несколько точек пространства U, причем некоторые из
«их могут быть кратными, в силу чего замкнутому пути в простран-
пространстве А может соответствовать разомкнутый путь в пространстве U.
Другими словами, замкнутому пути в пространстве U может соответ-
соответствовать несколько раз повторенный замкнутый путь в пространстве А.
Точка пространства U является критической только тогда, если
<ей соответствует критическая точка пространства А Однако может
случиться, что критической точке пространства А соответствуют
обыкновенные точки пространства U. Это имеет место в том случае,
если для производства замкнутого пути в окрестности некоторой
точки пространства U мы должны обойти одну из соответствующих
точек пространства А число раз, кратное порядкам каждой из под-
подстановок. Таким образом, числа содержащихся друг в друге крити-
критических многообразий в пространстве U не превышают этих чисел
в пространстве А. Оставляя детальный анализ взаимоотношений
между пространствами U и А до другого случая, замечу, что в про-
пространстве U критическим многообразиям могут соответствовать и не
простые полиномиальные идеалы.
Если параметры ии и2,...,ит коэффициентов уравнения A) под-
подчинены алгебраической зависимости
g{uly u2i ...,ttm) = 0, A4)
то мы должны выделить в пространстве U алгебраическую поверх-
поверхность; определяемую уравнением A4), которую мы и будем считать
параметрическим пространством иг уравнения A). В пространстве Ux
допустимыми замкнутыми путями должны считаться только те, все
точки которых лежат на поверхности A4), и группы инерции крити-
критических точек должны быть определяемы только для таких путей.
Заметим, что в такого рода пространствах LJ1 не имеет места теорема
монодромии: может существовать функция на Ul9 однозначная отно-
относительно всех бесконечно малых замкнутых путей; но не однознач-
однозначная в целом. Классическая (двумерная) теория римановых поверхно-
поверхностей дает примеры таких функций.

316 Н. Г. ЧЕБОТАРЕВ
В некоторых случаях переменные и1} Щ,...,ит независимы, но
вместе с тем задана группа Галуа G уравнения A). Тогда параметри-
параметрическое пространство уравнения A) строится следующим образом.
Составляется функция от корней уравнения A), принадлежащая
к группе G. Обозначим ее через ttm+l. Пусть в поле рациональных
функций от ult и2,..., ит она удовлетворяет неприводимому уравнению
g(ul9u2, ...,ял. ит+1) = 0. A5)
Определим параметрическое пространство U как поверхность A5)
в (т + 1)-мерном пространстве с координатами ии щу... , ит, u>mJrl ¦
Заметим, что если мы будем определять замкнутый путь в про-
пространстве U' с координатами иг, и2,..., ит (проекция пространства U)r
то в пространстве U он будет замкнутым только тогда, если при
его обходе функция ит^1 будет возвращаться к своему исходному
значению; другими словами, если подстановка S, совершаемая корнями
уравнения A) при обходе этого пути, содержится в G. В противном
случае замкнутый обход в U можно представить в виде ^-кратного
обхода в U', где k — наименьший показатель, при котором
SkaG.
§ 3. Проблема резольвент в различных формулировках
Пусть даны два алгебраических уравнения
/(-*) = 0, A6)
0 A7)
одной и той же степени п и с изоморфными группами Галуа G, G,
Будем считать для них областью рациональности композит полей,
образованных коэффициентами, а также функциями от корней урав-
уравнений A6), A7), принадлежащими к группам G, G. Имеет место
Теорема 4. Чтобы корни уравнений A6), A7) находились в
рациональной зависимости
% у, = а0 + а^. + . . . 4- OL^X?'1 (i = 1, 2,. . . , Я), ' A8)
необходимо и достаточно, чтобы уравнение
F{u) = 0, A9)
корнем которого является величина
л—1
и = 2 *k (*i*Vi + *2*Л + •. • + хякуя), B0)
где tlt t29.. ¦, tn — неопределенные переменные {которые мы включим
в область рациональности), имело по крайней мере один рацио-
рациональный корень.

ПРОБЛЕМА РЕЗОЛЬВЕНТ И КРИТИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ 317
Доказательство. Если имеют место зависимости A8), где а0,
ai> • • • у ая-1 ~~ рациональные величины, то, подставляя A8) в B0),
получим для каждой из величин
и* = хгкух + х2ку2 + . . . + хпкуп (* = 0, 1, 2, . . . , п - 1) B1)
выражение
где sm— сумма яг-ых степеней корней уравнения A6), т. е. рацио-
рациональная величина. Из формулы B2) следует, что в этом случае uk ,
а значит и и, суть рациональные величины.
Теперь предположим, что условия теоремы выполнены. Чтобы
составить уравнение A9), которому удовлетворяет и, условимся обо-
обозначать через S и S формально одинаковые подстановки, производимые
соответственно над корнями хг, х2, ..., хп и ylf у2, ..., уп. Произ-
Производя над выражением B0) подстановку S, или, что то же, подстанов-
подстановку S (так как выражение B0) инвариантно относительно подстано-
подстановок SS), мы переведем и в выражение us. Заставляя 6* пробегать
группу Оу получим величины, элементарно симметрические функции
от которых симметричны относительно каждой из систем х1$ х2,... , хп
и Ун Угу •• - ,УП> в СИЛУ чег0 величины
2
к
являются корнями уравнения A9), коэффициенты которого рациональны.
Группа Галуа поля, образованного всеми корнями xv yv есть
подгруппа прямого произведения G x G. В этом поле величина и
принадлежит или к группе, составленной из произведений SS (будем
обозначать ее через GG)y или к ее надгруппе. Однако если уравне-
уравнения A6) и A7) не имеют кратных корней, то не существует подста-
подстановок, отличных от SS, которые оставляли бы инвариантной вели-
величину и, т. е., иначе говоря, все величины uk. В самом деле, пусть
существует такая подстановка SXS2 {S-^^S^. Умножая ее на (SxS^,
получим подстановку
O2Oi = к>3 =р 1,
относительно которой все величины щ будут инвариантны. Полагая
(\ 2... n \
a2... aj '
придем к равенствам
ик - ип8г = х^(ух-уа) + x2k (у2 - yj + --- + xnk (yn -yj =0,
(? = 0,1,..., n— 1).

318 Н. Г. ЧЕБ ОТ АРЕВ
Рассматривая их как систему однородных линейных уравнений отно-
относительно Ук—Уъ с неравным нулю определителем [вандермондов
определитель от корней уравнения A6)], мы получим
Ум-У*к = ° (#=1,2,..., л),
что находится в противоречии с тем, что уравнение A7) не имеет
кратных корней.
Отсюда следует, что величина
принадлежит группе GG. Если уравнение A9) имеет рациональный
корень, то это означает, что группа Галуа поля, образованного кор-
корнями х1У х2,... ,хп и Уи у2,.. •, уп, есть одна из групп, сойряженных
с GG. Меняя нумерацию корней уг, у2,... ,j/n, мы добьемся ее со-
совпадения с GG. Тогда все величины ик будут рациональны. Решая
относительно а0, ах,..., а„_1 систему уравнений B2), мы получим для
а0, а1?..., а„_1 рациональные выражения. Тогда формулы A8) будут
удовлетворять требованиям теоремы, что и требовалось доказать.
Примечание. Если уравнение A7) не имеет кратных корней, то
формулы A8) обратимы. Это следует, например, из теоремы 47 моих
„Основ теории Галуа" [4].
Будем называть преобразуемыми уравнения A6), A7) в том случае,
если между их корнями имеет место рациональная зависимость типа [18].
Проблема резольвент, поставленная в различных формулировках
Клейном [3] и Гильбертом [1, 2], может быть поставлена в следующем
виде, более общем и вместе с тем более просто формулируемом
Дано уравнение, коэффициенты которого зависят от т(^п) пара-
параметров. Требуется найти преобразуемое в него уравнение, коэффи-
коэффициенты которого зависели бы от возможно меньшего числа параметров
(которое мы обозначим через s).
Коэффициенты (или параметры) уравнений A6) и A7) могут и не
зависеть рационально друг от друга. Задача состоит в установлении
между ними таких алгебраических зависимостей, чтобы при этом соблю-
соблюдались два условия:
1) Преобразование A8) должно 'быть обратимым. Мы видели, что
это условие всегда соблюдается, если уравнения A6) и A7) не имеют
кратных корней.
2) Уравнение A9) должно иметь корень, рационлльно зависящий от
коэффициентов уравнений A6) и A7), а также от функций от их кор-
корней, принадлежащих соответственно к группам G и G.
Сравним приведенную формулировку проблемы резольвент с фор-
формулировками, предложенными Клейном и Гильбертом.
Проблема Клейна. По данному уравнению A6) найти такое урав-
уравнение A7), зависящее от возможно меньшего числа s параметров>

ПРОБЛЕМА РЕЗОЛЬВЕНТ И КРИТИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ 319
чтобы между их корнями имели место зависимости типа A8), коэффи-
коэффициенты которых а0, ах,..., ал_1 долкны рационально зависеть от коэф-
коэффициентов уравнения A6).
Как обобщение проблемы Клейна рассматривается допущение зави-
зависимости «о» ai» •••,<*л-1 еще от некоторых наперед заданных иррацио-
нальностей.
Проблема Клейна является более частной, т. е. налагающей больше
требований, по сравнению с проблемой Гильберта.
Проблема Гильберта. По данному уравнению A6) найти такое
уравнение A7) (будем называть его резольвентой), зависящее от воз-
возможно меньшего числа s параметров, чтобы коэффициенты а0, ах,...
..., а„_1 зависимостей A8) между их корнями определялись при помощи
вспомогательного уравнения, которое в свою очередь должно иметь
резольвенту с <!s параметрами; причем коэффициенты зависимостей
между корнями последних опять должны зависеть от корней уравне-
уравнения, допускающего резольвенту с <s параметрами, и т. д» Число
получаемых при этом вспомогательных уравнений должно быть конечно..
Докажем, что проблема Гильберта является частной по сравнению
с формулированной нами проблемой. Достаточно ограничиться слу-
случаем, когда G есть простая группа. В самом деле, если G имеет нор-
нормальный делитель /7, то мы предварительно должны решить проблему
Гильберта для вспомогательного уравнения, группа Галуа которого'
изоморфна с факторгруппой G/H. Затем, считая это уравнение вспо-
вспомогательным и присоединяя его корни к области рациональности,
понизим группу Галуа заданного уравнения до Н. Таким образом, число
s в проблеме Гильберта для уравнений с группой Галуа G равно наи-
наибольшему из чисел s в проблеме Гильберта для уравнений с группами
Галуа Я и G/H.
Предположим, что уравнение A6) с простой группой Галуа G имеет
5-параметрическую резольвенту A7) в смысле Гильберта. Докажем,
что A7) будет также резольвентой и в нашем смысле. Допустим
противное: пусть уравнение A9) не имеет рационального корня, если
считать областью рациональности композит полей коэффициентов урав-
уравнений A6) и A7). В этой области рациональности поле, образованное
корнями уравнений A6) и A7), имеет группой Галуа некоторую под-
подгруппу прямого произведения G x G, которая, таким образом, не содер-
содержится ни в группе GG, образованной подстановками типа SS, ни в однок
из сопряженных с GG групп.
Прежде всего докажем, что группа уравнения A6) не снизится,
если к области рациональности присоединить коэффициенты уравне-
уравнения A7). Действительно, в противном случае это поле содержало бы
натуральную иррациональность, принадлежащую к настоящей подгруппе
G. Ее пересечение со всеми сопряженными подгруппами есть единич-
единичная группа, в силу чего эта иррациональность будет корнем уравнения,.

320 Н. Г. ЧЕБОТАРЕВ
группа Галуа которого изоморфна с G. Таким образом, поле корней
этого уравнения, которое должно быть рассматриваемо как вспомо-
вспомогательное (поле, образованное величинами а0, а2..., ал_ь должно его
содержать), содержит в себе корни исходного уравнения A6). Это
означает, что резольвента для вспомогательного уравнения будет иметь
не меньше параметров, чем резольвента A7), и новое вспомогательное
уравнение опять будет содержать ту же иррациональность и т. д.,
так что процесс никогда не кончится*
Меняя ролями уравнения A6) и A7), мы докажем, что в области
рациональности, образованной коэффициентами уравнений A6) и A7),
группы Галуа обоих этих уравнений изоморфны с G.
Если поля К г, К2, образованные соответственно корнями уравнений
A6) и A7), взаимно просты, т. е. имеют пересечением композит полей
коэффициентов, то группа композита К^К2 изоморфна с GXG. Так
как кроме G и G эта группа не имеет других нормальных делителей,
то группа GG, к которой принадлежит корень уравнения A9), не есть
нормальный делитель группы GXG и, более того, имеет с сопряжен-
сопряженными подгруппами единичную группу в качестве пересечения. В силу
этого группа уравнения A9) изоморфна с Gy^G. Отсюда следует, что
корни уравнений A6) и A7) содержатся в поле корней уравнения A9),
так что последнее, будучи вспомогательным уравнением, имеет не более
простое решение, чем каждое из уравнений A6) и A7).
Пересечение полей Ki и К2 есть нормальное поле, и потому внутри
каждого из полей К19 К2 принадлежит соответственно к нормальным
делителям групп G, G. В силу простоты последних групп это пересе-
пересечение, если оно не есть композит полей коэффициентов, должно со-
совпадать с каждым из полей Klf К2.
Отсюда еще не всегда следует существование рациональной зави-
зависимости типа A8) между корнями уравнений A6) и A7). Именно, она
не имеет места тогда и только тогда, когда G допускает несколько
различных (т. е. не переходящих друг в друга путем изменения по-
порядка цифр) представлений в виде транзитивной группы подстановок
из п цифц, т. е. если G имеет внешние автоморфизмы. Например, это
имеет место, когда G — знакопеременная группа из 6 цифр. Однако и
в этом случае наше утверждение остается в силе. Именно, если урав-
уравнения A6) и A7) таковы, что образованные их корнями поля Кг и К2
совпадают, то можно преобразовать резольвенту A7) так, чтобы после
этого между корнями уравнений A6) и A7) установились рациональ-
рациональные зависимости типа A8). Для этого надо составить уравнение я-ой
степени, корень которого, будучи элементом поля /С2, принадлежал
бы к той же группе внутри поля К1У к которой принадлежит корень
уравнения A6). Построенное таким образом уравнение, являясь пре-
преобразуемым в уравнение A6), в то же время остается s-параметриче-
ским.

ПРОБЛЕМА РЕЗОЛЬВЕНТ И КРИТИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ 321
Вопрос об условиях, при которых обе проблемы эквивалентны,
требует специального исследования.
§ 4. Условия, необходимые для существования
резольвенты
В настоящей статье мы ограничимся случаем, когда область ра-
рациональности резольвенты A7) совпадает с областью рациональности
уравнения A6). Пусть коэффициенты уравнения A6) рационально зави-
зависят от параметров и19 и2,..., ит и пусть s параметров резольвенты A7)
^i> ^2> • • • > vs приведены с и19 п2,..., ит в такое соответствие, что
являются их целыми рациональными функциями. Тогда каждому
замкнутому пути пространства
U(и19 и2,..., ит)
будет соответствовать вполне определенный замкнутый путь простран-
пространства
V(vlt v2,...9vs).
Если при этом первый из путей находится в окрестности какой-нибудь
одной точки (т. е. бесконечно мал), то и второй путь находится в
окрестности определенной точки.
Если при обходе по замкнутому пути С в окрестности точки Р корни
уравнения A6) претерпевают подстановку S, то при обходе по соот-
соответствующему пути с пространства V корни уравнения A7) претерпе-
претерпевают подстановку S, отличающуюся от 5 только другими переставляе-
переставляемыми объектами. В самом деле, пусть рациональный корень уравнения
A9) имеет вид
где
Если бы при обходе пути С корни х19 х2,..., хп претерпевали под-
подстановку
9 =
и при обходе пути С корни ylt y2,.. .,уп претерпевали бы подстановку
У1===(Уг У* •• -Уп
то в силу однозначности функций uk должно быть

322 Н. Г. ЧЕБОТАРЕВ
откуда
VOi — J>y.) + X2k(У* —Учг) Л + xnk{ук—Учп) = 0, B3)
(¦ = 0, 1,..., л-1),
где
(clx aa. . .ал\ __(\ 2 ... я
откуда
т. е.
/осх а2...ос„\ /1 2 ...
2...я\ /1 2... я\ /«! «2...а„\ = ^ /1 2...я\
ip2--.fV Ui«2..- «J \Pi P»...pJ VYiYs-.-T»/'
Но так как путь С проходит по не критическим точкам пространства
U, то определитель системы однородных линейных уравнений B3) на
пути С нигде не обращается в нуль, откуда мы получаем
Уг=У^ У2=Угг>--'>Уп-=Ууп' B4)
С другой стороны, зависимости A8) между корнями уравнений A6) и
A7) предполагаются обратимыми, в силу чего на пути С корни урав-
уравнения A7) также не делаются кратными. Поэтому из равенств B4) мы
имеем
Тх= Ь У2 = 2,... , Y/i = л,
откуда
SX = S.
Мы приходим к теореме:
Теорема 5* Если параметры уравнения A7) — целые рациональ-
рациональные функции от параметров уравнения A6) и оба эти уравнения
преобразуемы друг в друга, то соответственные точки пространств,
образуемых параметрами уравнения A7), имеют группы инерции,
содержащие как подгруппы группы, изоморфные с группами инерции
точек пространства параметров уравнения A6).
Рассмотрим случай, когда параметры и19 и2,..., ит входят в коэф-
коэффициенты уравнения A6) линейно. Пусть уравнение A7) становится
преобразуемым по отношению к уравнению A6), если мы положим
вместо параметров vlf v2,...,vs полиномы: vx = 91 (ui> Щ> • - •, ит}> • • -г
<vs = <fs (и19 щ,..., ит). Из теоремы 5 следует, что точкам критических
многообразий пространства U соответствуют точки критических мно-
многообразий пространства V. Если мы условимся считать допустимыми
замкнутыми путями в пространстве V только те, которым соответ-
соответствуют замкнутые пути в пространстве U, то в силу теоремы 5 группы
инерции соответствующих точек изоморфны.

ПРОБЛЕМА РЕЗОЛЬВЕНТ И КРИТИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ 32
Пусть пространство U содержит цепь из содержащихся друг в
друге критических многообразий
Этим многообразиям пусть в пространстве V соответствуют много-
многообразия
Докажем, что эти многообразия имеют различные измерения. С одной
стороны, ни одна пара соседних многообразий Vit I//4-1 не может со-
совпадать. В самом деле, пусть Р будет точка пространства U, принад-
принадлежащая многообразию U(si+1) * но не принадлежащая никакому более
высокому многообразию. В силу теоремы 3 в ее окрестности содер-
содержатся точки Р' многообразия U(st) , не принадлежащие многообразию
U(Si-^i) и> следовательно, группы инерции которых не совпадают с
группой инерции точки Р (порядок последней выше). Пусть в про-
пространстве V точкам Р, Р' соответствуют точки Q, Qf. При нашем
условии относительно допустимых замкнутых путей из теоремы 5 сле-
следует, что группы инерции точек Q и Q' различны. Обе они лежат
на многообразии Vi, но вместе с тем точка Q лежит на многообра-
многообразии V/+1, а точка Q' нет.
С другой стороны, многообразиям Vi соответствуют простые идеалы
Bi. В самом деле, чтобы узнать, лежит ли полином g(vly v2y..., vs)
в идеале Bv надо выразить переменные vlf t>2,..., 1^ через ulf и2,.. .
..., ит1 которые, в свою очередь, выражаются через корни х19 х.2у ...
• • • > хп уравнения A6). После этого мы должны приравнять друг другу
эти корни сообразно с таблицей совпадений, соответствующей под-
подстановке St. Полином g лежит в идеале Bi тогда и только тогда,
если он после указанных операций обратится в нуль. Из этого кри-
критерия следует, что произведение gh лежит в Bt. Таким образом, Bt
есть простой идеал.
Из этого следует, что все измерения многообразий Vx> V2, • • •, Vq
различны, и так как измерение многообразия Vq не меньше нуля,
то Vx имеет измерение >#— Л- Но так как V1 есть критическое
многообразие, а V содержит не-критические точки, то измерение
пространства V не меньше, чем д, и мы приходим к теореме:
Теорема 6. Если уравнение типа A6) с параметрами, ли-
линейно входящими в коэффициенты, содержит цепь из q критиче-
критических многообразий, из которых каждое последующее содержится
в предыдущем, то всякая рациональная резольвента содержит не
менее q параметров.
Эта теорема дает возможность установить нижнюю границу для
числа параметров резольвенты.
В виде примера рассмотрим самые общие уравнения (т. е. с не-
независимыми переменными в качестве коэффициентов) со знакопере-

324 Н. Г. ЧЕБОТАРЕВ
менной группой Галуа. В этом случае U есть поверхность, опреде-
определяемая в (п + 1)-мерном пространстве а19 а2, ..., ап, z при помощи
уравнения
22 — D (alt a2t ..., ап) = О,
где D — дискриминант уравнения A6). Не трудно убедиться, что каж-
каждому типу четных подстановок в пространстве U соответствует кри-
критическое многообразие. В самом деле, мы всегда имеем возможность
сконструировать уравнение (может быть, приводимое), у которого
группа Галуа состоит из степеней любой четной подстановки S. Эго
уравнение будет частным видом уравнения A6), поскольку у послед-
последнего коэффициенты суть независимые переменные. С другой стороны,
построенное таким образом уравнение непременно будет иметь в своем
параметрическом пространстве (которое получается из U придаванием
некоторым из коэффициентов частных значений) критическое много-
многообразие Us-
Например, если
S= A, 2, .. ., ъ) ([хх + 1, .. ., ца). .. (!!*_, + 1, ..., п),
то в качестве такого частного уравнения можно взять
(** - w±) (х»^ - w2)... (хя "^-1 - wk) - О,
где wlt w2, ... 9 Wk — независимые переменные.
Таким образом, в нашем случае мы получим нижнюю границу для
возможного числа параметров резольвенты уравнения A6), если под-
подсчитаем максимальное число звеньев во всевозможных цепях из чет-
четных подстановок п-ой степени, в которых последующий член выше
предыдущего. Одной из таких цепей может служить
где
Sx = A23), S2 = A2345), ..., Si = A23 ... 2i + 1);
Эта цепь состоит из Г^Ц— 1 звеньев.
Докажем, что в знакопеременной группе п-ой степени не содер-
содержится цепей большей длины, чем Г^— 1. В самом деле, отмечая
в каждой подстановке число содержащихся в ней циклов, включая
в это число и одночленные циклы (инвариантные цифры), заметим,
что для четной подстановки это число имеет ту же четность, что п.
С другой стороны, если, например,
Тг<Г%

ПРОБЛЕМА РЕЗОЛЬВЕНТ И КРИТИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ 325
то подстановка Т2 непременно должна содержать меньшее число цик-
циклов, чем Тх. В силу одинаковой четности эти числа должны отли-
отличаться, по крайней мере, на 2. Поэтому числа циклов в подстановках
цепи
не могут быть меньше, чем соответственно числа
1, 3,5, ..., 2*-1.
Но Тг не может быть ни тождественной подстановкой, ни транспози-
транспозицией, в силу чего
2k-l<n — 2,
откуда
Таким образом, искомая нижняя граница для числа параметров равна
Сопоставим эти значения с теми, которые были получены Гильбер-
Гильбертом [2] для 5<<я*<9:
|5|6|7|8|9
s [по формуле B5)]
s (по Гильберту)
2|2[3|3|4
1I2I3I4I4
Это сопоставление показывает, что при я = 5 введение иррациональ-
иррациональных резольвент на самом деле снижает число параметров. В случаях
п = 6, 7, 9 числа 5, определенные с разных концов, повидимому
дают для числа параметров точные значения. Наконец, случай п = 8
требует дополнительного исследования.
В заключение упомянем о двух основных вопросах, стоящих на
очереди при решении рассматриваемой проблемы:
1) Вопрос об иррациональных резольвентах. Мы только что
видели, что введение иррациональностей в область коэффициентов
уравнения может существенным образом понизить число параметров
в резольвенте. Эти иррациональности должны быть введены так,
чтобы критические многообразия не все оставались неприводимыми.
При этом пространства U и V будут находиться в алгебраической,
но не в рациональной зависимости. Пусть координаты vl9 v2t...,Vs
пространства V определяются из уравнений
?' (»i, щ ,..., ит, О = 0 (/ = 1, 2,..., 5).
Считая областью рациональности совокупность рациональных функций
от иг,и2,...,ит, найдем примитивный элемент
г = ^1^1 + ^2^2 + • • • + Cs Vs

326 Н. Г. ЧЕБОТАРЕВ
поля, образованного элементами %,..., ит\ vx, ..., vs- Пусть
F(u,, «2,..., ит) ?)==0. B6)
Назовем пространством W поверхность, образованную координатами
и19 и2,...ит, 5, которые подчинены уравнению B6). Координаты про-
пространств U и V рационально выражаются через координаты простран-
пространства W. Группами инерции обоих уравнений A6), A7) мы будем
считать совокупности подстановок, испытываемых их корнями при
обходах бесконечно малых замкнутых путей в пространстве W
Последним в пространствах U, V могут соответствовать или простые,
или повторенные по нескольку раз замкнутые пути. Задача состоит
в построении такого пространства W, чтобы благодаря повторению
замкнутых путей в U и V группы инерции, соответствующие различ-
различным критическим многообразиям, пришли к совпадению.
2) Вопрос о верхней границе для числа параметров в резоль-
резольвенте. Если дано пространство U параметров уравнения A6), в ко-
котором критические многообразия образуют цепи длины <!s, то воз-
возникает вопрос о возможности построения ^-параметрической резольвен-
резольвенты. Если Us — высшее критическое многообразие [пространства U, [то
в пространстве V ему должно соответствовать критическое много-
многообразие нулевого измерения. Это указывает путь к фактическому
построению резольвент. Вопрос требует дальнейших исследований.
Поступило
24 /II 1943 года
ЛИТЕРАТУРА
1. D. Hilbert. Mathematische РгоЫегае. Problem 13. Gott. Nachr., 1900, стр. 253—297;
Ges. Abh. 3, стр. 290—329.
2. D. Hilbert. Ueber die Gleichung neunten Grades. Math. Ann. 97, 1927,
стр. 243—250; Ges. Abh. 2, стр,393—400.
3. F. Klein. Ges. math. Abh. 2, стр. 255—504.
4. H. Чеботарев. Основы теории Галуа, I. ОНТИ, 1934.
5. N. Tschebotarow. Ueber das^ Klein-Hilbertsche Resolventenproblem. Изв.
Каз. ф*из.-мат. общ. C), 7, 1934, стр. 5—22. Собр. соч., т. I, стр. 282—304.
6. В. L. van der Waerden. Moderne Algebra. 2. Springer, 1931.
7. A. W i m a n. Ueber die Anwendung der Tschirnhausen—Transformation auf die
Reduktion algebraischer Gleichungen. Nova Acta R. Soc. Sc. Upsal., vol.e. o. e.
1927, стр. 3—8.

ПРОБЛЕМА РЕЗОЛЬВЕНТ
(Юб. сборы. АН СССР, 1947, стр. 80—95)
В истории математики известно немало случаев, когда та или иная
проблема привлекала внимание ученых из эстетических или тео-
теоретических побуждений, и только по истечении многих лет и да-
даже веков обнаруживалось ее практическое значение. Кроме обще-
общеизвестного примера теории вероятностей, можно назвать цикл задач
на построение при помощи циркуля и линейки. Нас может удивить,
с какой настойчивостью древние греки решали делосскую задачу о
нахождении стороны куба с удвоенным объемом, стремясь дать тео-
теоретическое решение при помощи циркуля и линейки для задачи,
которую на практике можно было бы решить точнее, поскольку цир-
циркуль—инструмент, всегда приводящий к неточностям.
У греков этот интерес к теоретическим решениям, возможно, был
связан с их пренебрежительным отношением к практическим зада-
задачам. Но как нам ни чужд образ мыслей древних греков, он сыграл
в истории науки большую положительную роль. Не . говоря уже о
развитой ими строгости логической мысли, давшей возможность впо-
впоследствии поднять на огромную высоту уровень точных наук, самая
постановка теоретически точных задач позволила четко расклассифи-
расклассифицировать задачи, увидеть, какая из них решается какими средствами.
В XIX в. возникли доказательства невозможности решения опре-
определенных задач определенными средствами: деления круга на три
части циркулем и линейкой, представления некоторых интегралов
через элементарные функции и т. п. Этот круг задач в свою очередь
оказался полезным для практики: он дал возможность экономить
труд при решении так называемых серийных задач, на которых
в дальнейшем остановимся подробнее.
Вернемся к задачам на построение циркулем и линейкой. Невоз-
Невозможность решения некоторых из них была доказана при помощи
теории алгебраического решения уравнений, созданной молодым гени-
гениальным математиком Эваристом Галуа [1]. Незадолго до появления
его работ Абель [7] доказал невозможность решения в радикалах
уравнений выше 4-й степени. Галуа же дал способ узнавать относи-
относительно каждого данного уравнения, решается ли оно в радикалах,
или нет. Для этого он сопоставил с каждым уравнением группу

328 Н. Г. Ч Е Б О Т А Р Е В
(получившую в последнее время название группы Галуа), т. е. совокуп-
совокупность подстановок, которые можно производить над его корнями без
нарушения существующих между ними рациональных соотношений *
Оказалось, что вопрос о возможности решить заданное уравнение
в радикалах вполне определяется структурой его группы Галуа. Не
будем описывать тех свойств, которые присущи разрешимым груп-
группам, т. е. группам, которым соответствуют разрешимые в радикалах
уравнения.
Теория Галуа дала возможность также ответить на вопрос, воз-
возможно ли выполнить всякую заданную задачу на построение при по-
помощи циркуля и линейки. Для этого нужно построить уравнение, от
которого зависит искомая для задачи величина, и найти группу этого
уравнения. Чтобы решение было возможно, необходимо и достаточно,
чтобы число подстановок, содержащихся в группе, было степенью
двойки. Идя таким путем, Гаусс еще до Галуа дал «теоретически»
«точное» построение правильного 17-угольника [4]. Таким же путем
была доказана невозможность деления угла на три равные части, а
а также построения стороны куба с удвоенным объемом при помощи
циркуля и линейки.
Введенное Галуа понятие группы играет в современной математике
роль, далеко выходящую за пределы задачи решения уравнений в ра-
радикалах. Наряду с конечными группами подстановок, операции кото-
рых состоят в перестановке некоторого конечного числа предметов,
были введены непрерывные группы, теорию которых создал Ли [5].
Их операции состоят из определенного типа перемещений точек
в пространстве. Для лучшего уяснения этого понятия возьмем гидро-
гидродинамическую аналогию. Представим себе пространство заполненным
жидкостью (или газом), находящейся в непрерывном движении. За-
Запомним положение каждой ее частицы в какой-нибудь определенный
момент времени t0. В каждый момент времени t положение каждой
частицы будет другим. Будем говорить, что расположение частиц
в момент t переводится из их расположения в момент t0 преобразо-
преобразованием нашей непрерывной группы, которое внутри группы опреде-
определяется для каждого момента t. При этом движение жидкости должна
быть установившимся. Это значит, что, совершая подряд два любых
преобразования из одной и той же группы, мы опять придем к пре-
преобразованию той же группы.
Переменная t, значения которой определяют преобразования внутри
группы, называется параметром группы. Наша аналогия предусмат-
предусматривает случай группы с одним параметром; обыкновенно же рассмат-
рассматриваются группы с несколькими параметрами. Так, одна из наиболее
простых групп, преобразования которой определяются перемещениями,
в пространстве твердого тела, есть группа с шестью параметрами^
поскольку положение твердого тела в пространстве определяется
шестью величинами.

ПРОБЛЕМА РЕЗОЛЬВЕНТ 329
Вернемся к вопросу о решении уравнений в радикалах. Казалось
бы, что этот вопрос потерял всякое практическое значение, поскольку
известно, что не всякое уравнение решается в радикалах, а узнать,
решается ли оно, —далеко не легкая задача. Гораздо проще применить
один из хорошо разработанных в настоящее время способов численного
решения уравнений, позволяющих находить корни уравнений любой
степени с любой точностью. Все это совершенно справедливо до тех
пор, пока мы имеем дело с одним уравнением или пока нам изредка
приходится решать разрозненные уравнения. Но современная наука и
техника столкнулись с необходимостью решать громадное числа
уравнений более или менее однородного типа, но с различными чис-
числовыми значениями входящих в него параметров. Лучшим примером,
этому может служить астрономия. Для вычисления элементов орбит
по нескольким наблюдениям астрономам приходится решать уравнения
нескольких определенных типов. Так, для вычисления орбит комет
(с параболическими орбитами) по трем наблюдениям нужно решать
кубические уравнения. Для вычисления орбит планет нужно решать
определенного типа уравнения 8-й степени с входящими в выраже-
выражение коэффициентов данными наблюдений в качестве параметров^
При громадном числе комет и планет (астероидов) астрономам при-
приходится вычислять корни очень большого числа уравнений одинако-
одинакового типа. Очевидно, что составление таблиц для такого рода урав-
уравнений значительно сократит их труд. Для кубических уравнений
астрономы и пользуются особыми таблицами Баркера. Для уравнений
же высших степеней составление таблиц тормозится большим числом
входящих в коэффициенты параметров.
Очень просто составить таблицы каких-нибудь функций от однога
аргумента; подавляющее большинство существующих таблиц принад-
принадлежит именно к этому типу. Таблицы функций от двух аргументов
очень неудобны для пользования. Это знает всякий, пользовавшийся
большими таблицами умножения.
А вот другой пример. Астрономы (равно как и другие вычисли-
вычислители) весьма заинтересованы в том, чтобы по данным log а и log Ь
быстро и просто находить значение log (a + b). Но таблица от двух
аргументов, дающая эти значения, была бы очень неудобна для поль-
пользования. Вычислители вменяют в большую заслугу Гауссу изобрете-
изобретение принципа, в силу которого эта задача решается при помощи таб-
таблицы от одного аргумента.
Этот принцип крайне прост [2,3]: таблица содержит значения вели-
величин log Г 1 -1 j по данным значениям log a—log b — log -у.
Для нахождения значений функций от двух и даже большего
числа аргументов очень полезны методы номографии. Но, чем больше
аргументов, тем сложнее номограмма, тем труднее пользование ек>
и тем менее надежен результат. Таким образом, задача максимального-

330 Н. Г. ЧЕБОТАРЕВ
уменьшения числа параметров, входящих в коэффициенты уравнения,
приобретает большую важность.
Если бы всякое уравнение решалось в радикалах, то упомянутая
задача получила бы идеально простое решение. В самом деле, каж-
каждый радикал есть функция только одного аргумента (если значения
последнего комплексны, то получится функция от двух аргументов;
но, представив аргумент в тригонометрической форме, мы приведем
радикал к функциям от одного аргумента). Если известно выражение
корней уравнения через радикалы, то для вычисления этих корней
достаточно иметь набор таблиц радикалов соответствующих степеней
и производить над получаемыми из них данными вычисления в пре-
пределах четырех арифметических действий.
К сожалению, таких радикальных выражений в природе не суще-
существует. Но их значение для „серийных задач" наводит на такую
мысль: какой смысл искать выражения корней уравнения в радикалах,
т. е. в форме выражений через функции одного аргумента весьма
частного вида, когда мы имеем гораздо больше шансов на успех,
^сли станем отыскивать выражения для корней в форме многократно
повторяемых функций одного аргумента, не задаваясь заранее видом
этих последних?
Такое обобщение задачи вначале имело успех. Оказалось, что
уравнения 5-й степени, которые, как известно, не решаются в ради-
радикалах, тем не менее допускают представление своих корней через
функции от одного аргумента. Это в принципе было известно очень
давно. Чтобы разъяснить это, станем на несколько другую точку зре-
зрения. Если
f(x) = 0 A)
заданное уравнение, а
' B)
любая рациональная функция с рациональными коэффициентами, то
у удовлетворяет уравнению
F(y) = 0 ' C)
той же степени. Это преобразование уравнения носит наавание пре-
преобразования Чирнгаузена. Если нам удастся подобрать функцию B)
так, чтобы соответствующее ей уравнение C) содержало в коэффи-
коэффициентах всего один параметр, то задача будет решена. В самом деле.
из равенства B) определенным образом можно получить рациональ-
рациональное выражение корней х через корни у
D)
С другой стороны, корень у уравнения C) зависит только от одного
параметра, входящего в коэффициенты. Из D) следует, что х выра-
выражается рационально через функцию одного параметра.

ПРОБЛЕМА РЕЗОЛЬВЕНТ 331
Давно известно, что можно подобрать преобразование B) так,
чтобы самое общее уравнение 5-й степени
/ (х) = х* + а^ + а2х* + а3х2 + а^х + а5 = 0 E)
преобразовывалось в уравнение так называемого бринг-жарраровского
вида
Р(у)=Уь + РУ + д = 0. F)
При этом коэффициенты функции B) могут быть не рациональными,
а быть корнями уравнений 2, 3 и 4-й степеней. Но поскольку все
такие уравнения решаются в радикалах, они, следовательно, тоже
выражаются через функции от одного аргумента. С другой стороны,
в коэффициенты уравнения F) входят два параметра р, q; но под-
подстановка
приводит уравнение F) к виду
гъ+ -JL-z+X -0;
в последнем уравнении выражение -5~— является единственным па-
раметром.
Можно дать более простое приведение уравнения E) к однопара-
метрическому виду, если не ограничивать себя бринг-жерраровской
формой. Именно, можно добиться того, чтобы в коэффициенты функ-
функции B) входили только квадратные радикалы. Это сделал впервые
Гальфен [8], пользуясь уравнениями деления аргумента эллиптической
функции на 5. В алгебраической форме эти же результаты были
получены Клейном [11, 15]; его уравнение C) имеет вид
уъ + 15у— Юуу2 + Зу2 - 0, G)
где у — параметр.
Этот результат Клейна связан с очень интересными соображениями
из области теории групп, конечных и непрерывных. Группа Галуа
уравнения E) общего вида есть совокупность всех подстановок его
пяти корней; таких подстановок всего 1-2-3-4-5 = 120. Если же мы
присоединим к области рациональности (т. е. условно будем считать
рациональным) квадратный корень из так называемого дискриминанта
уравнения (о), то группа Галуа понизится: в ней останутся только
четные подстановки, всего числом 60. Эта группа — наименьшая из
неразрешимых групп; она изоморфна (т. е. одинакова по структуре)
группе вращений самого сложного правильного многогранника —
икосаэдра. Представим себе икосаэдр вписанным в шар и будем

332 Н. Г. ЧЕБОТ А РЕ В
считать вращением икосаэдра такой поворот шара вокруг центра, при
котором каждая вершина икосаэдра попадет в положение какой-нибудь
другой из его вершин (или останется на месте). Подсчитаем числа
различных вращений, учитывая, что икосаэдр имеет 12 вершин,
составляющих шесть пар, каждая из которых лежит на одном и том
же диаметре шара, и что вокруг каждой вершины расположено пять
треугольных граней. Можно придать какой-нибудь определенной оси
одно из шести положений; выбрав определенное положение оси,
можно поменять местами обе находящиеся на ней вершины; наконец,
фиксируя обе вершины, можно вращать вокруг них фигуру, придавая
ей пять различных положений. Всего получится 6-2-5 = 60 различных
вращений.
Группа икосаэдра есть наибольшая из конечных групп вращений
шара, поскольку икосаэдр — самый сложный из правильных много
гранников. Другими словами, группа икосаэдра —наибольшая из ко-
конечных подгрупп группы всевозможных вращений шара. Последняя
является непрерывной группой и зависит от трех параметров. Она
изоморфна группе всевозможных дробных линейных преобразований
_ ах+ъ (8)
У ~ сх + d ' {0/
Группа же дробных линейных преобразований является наибольшей
группой из существующих в пространстве одного измерения групп.
Этот факт делал весьма вероятной следующую гипотезу.
Если уравнение A) можно преобразовать в уравнение C), в коэф-
коэффициенты которого входит ? параметров, то его группа Галуа изо-
изоморфна конечной подгруппе некоторой непрерывной группы преобра-
преобразований точек ^-мерного пространства. Справедливо и обратное.
Эта гипотеза в неявном виде содержится в работах Клейна и дру-
других математиков, работавших над проблемой резольвент, или, как она
называлась в ранней стадии своего развития, проблемой форм.
В явном виде мне удалось доказать ее в 1931 г. [12] и привести в бо-
более совершенную форму в 1933 г. [13].
Однако результаты, полученные таким образом для проблемы
Клейна, были весьма неутешительны. Дело в том, что Виман [16]
доказал, что знакопеременная группа степени д>8 не может быть
представлена как однородная линейная группа менее чем от п — 1
переменных. С другой стороны, Картан в своей диссертации выска-
высказал предположение, что все подгруппы максимального числа парамет-
параметров у простых непрерывных групп (о которых только и должна итти
здесь речь) регулярны, т. е. принадлежат к типу подгрупп, допускающих
простое перечисление геометрическим методом, который был открыт
Киллингом и усовершенствован Картаном. Известны все типы про-
простых непрерывных групп: кроме пяти исключительных групп, они
состоят из однородных линейных групп, ортогональных и так назы-

ПРОБЛЕМА РЕЗОЛЬВЕНТ 333
ваемых симплициальных групп от п переменных. Из них только орто-
ортогональные группы содержат подгруппы с числом параметров на п — 2
меньшим, чем самые группы; у групп остальных типов они на п — 1
меньше. Из этого следует, что ортогональные группы могут быть пред-
представлены в пространстве не меньшего числа измерений, чем п — 2.
Таким образом, знакопеременная группа из я>8 цифр является
подгруппой непрерывной группы, представляемой в пространстве
числа измерений не меньшего, чем п — 3. Из этого, в силу приве-
приведенного результата, следует, что уравнение я-ой степени общего
вида, группа Галуа которого после присоединения к области рацио-
рациональности квадратного корня из дискриминанта является знакопере-
знакопеременной группой, имеет резольвенту не менее чем с п—3 параметра-
параметрами. При этом коэффициенты преобразования могут содержать
иррациональности; но их резольвенты не могут содержать более п—3
параметров.
Можно было бы еще надеяться, что гипотеза Картана не верна.
Тогда можно было бы уменьшить число параметров в резольвенте
более чем на три параметра. Однако в 1938 г. мне удалось доказать
правильность гипотезы Картана [14]. Таким образом, в приведенной
постановке Клейна польза от решения проблемы резольвент имеет
очень ограниченный характер.
Вместе с тем Гильберт предложил другую, расширенную формули-
формулировку проблемы резольвент. Она состоит в том, что задается число S
параметров, которые должна содержать резольвента. При этом коэф-
коэффициенты уравнения B) могут не быть рациональными, но уравнения
с рациональными коэффициентами, которым они удовлетворяют, тоже
допускают резольвенты, содержащие не более S параметров. Коэф-
Коэффициенты преобразования корней этих уравнений в корни резольвент,
если они иррациональны, являются корнями уравнений, резольвенты
которых опять содержат не более S параметров, и т. д. Этот процесс
должен содержать конечное число шагов. Ищется наименьшее значе-
значение S, удовлетворяющее этим условиям.
Гильберт опубликовал свою формулировку проблемы резольвент
в 1900 г. как одну из своих знаменитых 23 задач, которые на много
лет определили направление работы математиков [9J. Из них 13-я
задача посвящена проблеме резольвент. Собственно говоря, Гильберт
формулировал более частную задачу: доказать, что для общего
уравнения 7-й степени не существует резольвенты с двумя парамет-
параметрами. В 1926 г. он доказал [10], что для общего уравнения 9-й сте-
лени существует резольвента с четырьмя параметрами. Виман [17]
получили более общий результат: общее уравнение степени п^-Ю
имеет резольвенту с •<(& —5) параметрами. Другие значения числа
параметров в проблеме Гильберта указывают, что проблема резоль-
резольвент в формулировке Гильберта существенно отличается от проблемы
Клейна.

334 Н. Г. ЧЕБОТАРЕВ
При решении своей проблемы Гильберт (и точно так же Виман)
пользовался частными свойствами форм определенных степеней, а
поэтому его методы не могут быть распространены на уравнения
высших степеней. Кроме того, он не задавался целью доказать, что
найденные им значения для S являются наименьшими из возможных.
Таким образом, для решения проблемы резольвент Гильберта не-
недоставало общего принципа. Этот принцип невозможно было извлечь
из сложной формулировки Гильберта. Мне удалось найти его в
1943 г. [6], поставив более общую проблему резольвент. Для
разъяснения сущности этой проблемы пришлось ввести понятие
группы монодромии уравнения, в коэффициенты которого входит не-
некоторое число, скажем* т, параметров. Пусть эти параметры будут
комплексными числами; будем считать их вещественные н мнимые
части декартовыми координатами 2т мерного пространства, каждая то-
точка которого будет, таким образом, соответствовать системе числен-
численных значений параметров. Поэтому каждой точке пространства будет
соответствовать п корней нашего уравнения. Если мы будем непре-
непрерывно двигать точку, то корни тоже будут непрерывно менять значе-
значения. Пусть теперь точка описала в пространстве некоторый замкну-
замкнутый путь. Поскольку она вернулась в исходное положение, корни
в своей совокупности вернутся на свои старые места. Это, однако, не
означает, что каждый из корней вернется в свое старое положение»
В общем случае корни претерпят подстановку. Совокупность подста-
подстановок, испытываемых корнями при пробеге точкой всевозможных
замкнутых путей в пространстве, носит название группы монодромии
уравнения. Можно показать, что группа монодромии есть группа
Галуа уравнения, если в качестве области рациональности взять поле
рациональных функций от параметров. Если уравнение неприводимо,
то его группа монодромии транзитивна. Это значит, что, задав любые
два корня, соответствующие заданной точке пространства, можно
найти такой замкнутый путь, проходящий через эту точку, при обхо-
обходе которого один заданный корень переместится в другой.
В теории аналитических функций доказана так называемая теоре-
теорема монодромии, обычно приводимая для одной независимой перемен-
переменной (т. е. для плоскости); но ее без труда можно распространить на
любое число независимых переменных. Она состоит в том, что если
вообще существуют замкнутые пути, вдоль которых корни уравнения
перемещаются, то существуют точки, в любой окрестности которых
содержатся замкнутые пути, вдоль которых корни испытывают пере-
перемещения. Такого рода точки называются критическими. По аналогии
с теорией алгебраических чисел, будем называть группой инерции
критической точки совокупность подстановок, которые испытывают
корни уравнения при обходе точки по всевозможным замкнутым пу-
путям, расположенным в окрестности критической точки. Тогда теорему
монодромии можно высказать в следующей расширенной формулировке:

ПРОБЛЕМА РЕЗОЛЬВЕНТ 335
Наименьшая группа подстановок, содержащая как подгруппы
все группы инерции, соответствующие всевозможным критическим
точкам 2т-мерного пространства, есть группа монодромии.
В силу непрерывности корней уравнения как функций точки про-
пространства при обходе точкой бшсокечйо малых замкнутых путей
корни могут перемещаться только тогда, когда они бесконечно близки.
Отсюда следует, чго в критических точках некоторые из корней
уравнения должны сливаться. Таким образом, мы получим все много-
многообразие критических точек, если приравняем нулю дискриминант
уравнения как функцию параметров
D{ol1} а2> . . ., ат) = 0. (9>
Не исключена возможность, что некоторые из точек, лежащих на
многообразии (9), не будут критическими.
Для наших целей необходимо более тонкое различение критиче-
критических точек. Если в какой-нибудь критической точке сольется только
два корня уравнения, то единственным возможным перемещением
корней при обходе вблизи этой критической точки будет транспози-
транспозиция, т. е. перемещение двух близких корней. Это будет наиболее
простая из возможных критических точек. Если же в критической точ-
точке сольются три корня или две различные пары корней, то при.
обходе вблизи нее станут возможными различные типы подстановок
между корнями. Чем больше корней сливается в критической точке,,
тем сложнее сама критическая точка, а также соответствующая ей
группа инерции. Для решения проблемы резольвент необходима
знать число различных типов критических точек, входящих в крити-
критическое многообразие. Для различения этих типов нами был предло-
предложен следующий прием. Пусть корни уравнения будут хх, х2, • . ., х„.
Составим выражение
в котором будем считать tu t2, . . . , tn независимыми переменными,,
а произведение распространим на все подстановки
о __
/12 3 • • • п\
руппы монодромии уравнения. Получится форма (однородный поли-
полином) от t19 t2, , . . . , tn, коэффициенты которой, как не меняющиеся
от подстановок группы монодромии, рационально выражаются через
коэффициенты уравнения и, следовательно, через параметры ах,
<*2> • • •, ат- Обозначим эту форму через
U, . . ., tn).
Подставим в нее значения параметров а1; а2, . . . , ат, соответствующие

336 Н. Г. ЧЕБОТАРЕВ
испытуемой критической точке. Чтобы в ней имели место следую-
следующие совпадения корней
(И)
— . . . — Хп-
необходимо и достаточно, чтобы форма A0) обращалась в нуль, если
. положить
*1 + U + . . . +Ъ = 0
**+! + . . . + ^ = 0,
A2)
^Hft_j+1 + . . . + tn = 0.
При этом мы не можем различать равенств (И) от равенств, получае-
получаемых из A1) применением к х19 х2, . . ., х„ любой подстановки груп-
группы монодромии. Таким образом, если ввести обозначение
*-> ~ \X\i Х2у . . . , XfrfyX^+i, . . . , XyJ • • • (Х^к_^\ , . . . , Хп),
то в случае выполнения равенств A1) мы будем говорить, что наша
критическая точка соответствует подстановке S или более высокой
подстановке, если, кроме A1), в ней имеются и другие слияния кор-
корней. Ограничимся случаем, когда параметры л19 ос2, . . ., аот входят
в коэффициенты уравнения линейно. Тогда, если критическая точка
соответствует подстановке 5, то в ее группу инерции входит под-
подстановка S (или подобные ей), а также более низкие подстановки,
т. е. подстановки, которым соответствуют равенства, являющиеся
частью равенств A1).
Таким образом, чтобы узнать, соответствует ли данная критиче-
критическая точка подстановке S (или более высокой), надо к форме Ф при-
применить равенства A2) (например, выражая t^, ^*t> . . ., tn через осталь-
остальные переменные) и проверить, все ли коэффициенты полученной та-
таким образом формы Ф.у обращаются в этой точке в нуль.
Чтобы*выяснить, на какие категории подразделяются критические
точки в данном уравнении, расположим входящие в нее подстановки
по высоте
S1czS2cz ...czSg.
При этом может случиться, что такой цепочкой не исчерпаются все
подстановки группы монодромии. Тогда надо составить всевозможные
цепочки.
Приравняем нулю коэффициенты формы Ф^; получим многообразие
из самых низших критических точек (относительно данной цепочки),
а также из высших, соответствующих подстановкам S2,..., Sq. Затем»
приравняем нулю коэффициенты формы <$>Si. Может случиться, что

ПРОБЛЕМА РЕЗОЛЬВЕНТ 337
мы не получим новых соотношений между параметрами; это будет
означать, что все точки, соответствующие Slf соответствуют более
высокой подстановке S2 или еще выше. Продолжая делать то же
относительно форм Ф.у„ ..., Ф^, мы получим ряд критических много-
многообразий, из которых каждое последующее будет содержаться в предыду-
предыдущем. Каждое из последующих критических многообразий определяется,
как это можно доказать, одним дополнительным уравнением между комп-
комплексными значениями параметров, т. е. двумя уравнениями между
их вещественными и мнимыми частями. Из этого следует, что последо-
последовательные критические многообразия, соответствующие подстановкам
одной цепочки, имеют соответственно измерения 2т— 2, 2/п —4,...,
2т — 2<7х, где qx < q.
Теперь можно формулировать проблему резольвент в более общем
и, как нам кажется, в более естественном виде. Пусть даны два
уравнения одной и той же степени и пусть коэффициенты второго
из них суть функции коэффициентов первого. Тсгда замкнутому
пути в пространстве, соответствующем первому уравнению, будет
соответствовать замкнутый путь в пространстве, соответствующем
второму уравнению. Таким образом, подстановки групп монодромии
обоих уравнений мы приведем в соответствие, носящее характер
изоморфизма: произведению двух подстановок одной группы соответ-
соответствует произведение подстановок соответствующих множителей второй
группы. В частности, критической точке соответствует критическая
точка, причем, ввиду соответствия замкнутых путей в их окрестностях,
будут подобны их группы инерции, в силу чего обе критические
точки должны быть одной и той же высоты. Другими словами, в обоих
пространствах устанавливаются цепочки равной длины подстановок
и критических многообразий, и тогда критической точке, соответ-
соответствующей определенному номеру подстановки, в другом пространстве
соответствует критическая точка, соответствующая подстановке с тем
же номером. При этом учтем, что пространства для обоих уравнений
могут быть различных измерений. Однако из того, что в первом
уравнении существует qx различных категорий критических точек,
следует, что во втором уравнении их должно быть также qv Поэтому,
если мы обозначим через т2 число параметров в коэффициентах
второго уравнения, то
2m2 — 2fr>0,
откуда
w2>?i- A3)
Итак, под резольвентой заданного уравнения мы будем разуметь
уравнение, коэффициенты которого можно поставить в зависимость
от коэффициентов заданного уравнения так, чтобы отдельные корни
одного из уравнений были однозначными аналитическими функциями
отдельных корней другого уравнения, т. е. чтобы при обходе замкнутых
путей в пространствах этих уравнений корни уравнений, при надлежащей
22 ТТ Т ГГр^птягкРи Том 1

338 Н. Г. ЧЕ Б О ТА РЕВ
нумерации, испытывали те же подстановки. При этом может случиться,
что замкнутым путям в одном пространстве будут соответствовать
разомкнутые пути в другом.
Этим не исчерпываются требования, которые мы налагаем на
резольвенту: резольвента должна еще содержать в своих коэффици-
коэффициентах возможно меньшее число параметров. Из наших рассуждений
относительно критических многообразий вытекает, что число пара-
параметров в коэффициентах резольвенты не может быть меньше, чем
максимальная длина цепочки подстановок в группе монодромии
уравнения, причем, конечно, мы должны выкинуть из цепочки те
подстановки, которым не соответствуют критические многообразия,
так что это число в наших обозначениях есть glf а не q. Можно ли
действительно построить резольвенту с qx параметрами для всякого
заданного уравнения, до настоящего времени не удалось решить.
Кроме того, до сих пор не выяснен вопрос, что изменится в полу-
полученных результатах, если освободиться от требования, чтобы параметры
входили в коэффициенты линейно.
Рассмотрим, в виде примера,общееуравнение /г-ой степени, в котором
будем полагать старший коэффициент равным единице, а остальные
считать независимыми переменными. Его группа монодромии есть
симметрическая группа; но, присоединив к области рациональности
квадратный корень из дискриминанта этого уравнения, д.ы снизим
его группу монодромии до знакопеременной группы, которая, как
известно, проста. В знакопеременной группе содержатся следующие
цепочки подстановок:
A 23) с A 2 34 5) сA 2345 67) с=. . . с (l 2 3. . . 2 [?] — (-1)л),
где 2 Mr — (— 1)" есть самое большое нечетное число, не превы-
превышающее л. Длина этой цепочки равна
С другой стороны, в знакопеременной группе не содержится цепочек,
длина которых превышает число A4). В самом деле, отмечая в каж-
каждой подстановке число содержащихся в ней циклов, включая в это
число и одночленные циклы (т. е. инвариантные цифры), заметим, что
для четной подстановки число имеет ту же четность, что и п. С другой
стороны, если, например,
Si a
то подстановка S/+1 непременно содержит меньшее число циклов, чем52.
В силу одинаковой четности эти числа должны отличаться по край-
крайней мере на 2. Поэтому числа циклов в подстановках цепочки
Sh => Sv-i =)...=) S2 з Sx

ПРОБЛЕМА РЕЗОЛЬВЕНТ 339
не могут быть меньше, чем соответственно числа
1,3,5,. . .,2* —1.
Но Sx не может быть ни тождественной подстановкой, ни транспози-
транспозицией, в силу чего
2k — 1 < п — 2,
откуда
Таким образом, искомая нижняя граница для числа параметров резоль-
резольвенты равна
Сопоставим эти значения с теми, которые были получены Гильбертом
для 5< и <9:
п 56789
5 [по формуле A5)] .... 2 2 3 3 4
5 (по Гильберту) 12 3 4 4
Это сопоставление показывает, что при п = 5 введение иррациональ-
иррациональных резольвент в самом деле снижает число параметров. Случай же
п = 8 требует дополнительного исследования. Не исключена возмож-
возможность, что примененный Гильбертом частный прием нахождения ре-
резольвенты не дает минимального числа параметров.
Предложенный способ нахождения числа параметров для резоль-
резольвент дает перспективу к нахождению решения проблемы резольвент
для произвольного п, причем не только для уравнений общего типа,
но также всякого конкретно заданного уравнения, у которого коэф-
коэффициенты являются определенными функциями от параметров.
ЛИТЕРАТУРА
1. Г ал у а, Сочинения. ОНТИ, 1936.
2. Гаусс. Пятизначные логарифмические таблицы. ГТТИ, 1933.
3. Пржевальский. Пятизначные таблицы логарифмов.
4 Чеботарев. Основы теории Галуа. ОНТИ, 1937.
5. Чеботарев. Теория групп Ли. ОНТИ, 1940.
6. Чеботарев. Проблема резольвент и критические многообразия Изв. АН СССР,
серия матем. 1943, т. 7, стр. 123—126; Собр. соч., т. I, стр. 305—326.
7. Abel. Demonstration de Timpossibilile de la resolution algebrique des equations gene-
rales qui passent le quatrieme degre. Journ. f. reine u. angew. Math. 1, 1826;
Oeuvres completes. Christiania. 1881, стр. 66—94.
8. H a 1 p h e n. Traite des fonctions elHptiques. T. 3.
9. Hilbert. Mathematische Probleme. Gott. Nachr. 1900, стр. 253—297; Ges. Abh. 3,
1935, Berlin, стр. 290—329.
10. Hilbert. Ueber die Gleichung neunten Grades. Math. Ana. 97, 1927,
стр. 243-250; Ges. Abh. 2, 1933, Berlin, стр. 393-400.
22*

340 Н. Г. ЧЕ Б ОТ АРЕВ
11. Klein. Ges. Math. Abh. 2, 1922, Berlin, стр. 255—504.
12. Tschebotarow. Ueber ein algebraisches Problem von Herrn Hilbert. I. Math.
Ann. 104, 1931, стр. 459—471; II, 1C5, стр. 240—255; Собр. соч., т. I,
стр. 255—281.
13. Tschebotarow. Ueber das Klein-Hilbertsche Resolventenproblem. Bull. Soc.
Math, de Kasan. 6, 1933, N. 3, стр. 5—22; Собр. соч., т. I, стр. 282—304.
14. Tschebotarow. Ueber irregulare Darstellungen von halbeinfachen Lieschen
Gruppen. Сотр. Math. 6, 1938, стр. 103—117.
15. Weber. Lehrbuch der Algebra, 2. Braunschweig, 1899, стр. 489.
16. W i m a n. Ueber die Darstellung der symmetrischen und alternierenden Vertauschungs-
gruppen usw. Math. Ann. 52, 1899, стр. 243—270.
17. W i m a n. Ueber die Anwendung der Tschirnhausen-Transformation auf die Reduk-
tion algebraischer Gleichungen. Nova Acta R. Sos. Sc. Uppsaliensis, vol. extra
ordin. editum, 1927, стр. 3—8.

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ ПЕРВОГО ТОМА
Абель Н. Г. 235, 211, 249, 327
Артин Э. 102, 203
Бауер М. 29, 87, 119, 193
Бернсайд В. 256, 266
Бертини Е. 178
Вавассер ле 256, 266
Варден ван дер 313
Вебер Г. 18
Виман А. 268, 297, 303, 305, 306, 332,333
Галуа Э. 5, 327
Гальфен Г. 331
Гассе Г. 123, 130, 162, 208
Гаусс К. 72, 121, 328, 329
Гензель К. 119, 123, 161
Гильберт Д. 14, 61, 87, 225, 255, 268,
282, 305, 306, 318, 325, 333, 339
Делоне Б. Н. 5, 29, 30, 59
Дедекинд Р. 28, 71, 87
Дирихле П. 27
Долбня И. П. 241
Дик В. 126
Золотарев Е. И. 71, 241, 250, 253, 254
Иванов И. 71
Кастельнуово Г. 94
Картан Э. 268,274,288, 290, 291,332
Киллинг В. 274, 290, 291, 332
Клаузен 193, 206
Клиффорд В. 172, 181
Клейн Ф. 268, 282, 305, 318, 331
Кронекер П. 18, 28, 71, 95, 157
Крулль В. 152
Куммер 29
Ландау Э. 193
Леви Э. 297, 299
Ли С.256, 260,268, 276, 284, 286, 287,328
Лиувилль Ж. 235
Люрот П. 94
Мертенс Ф. 95
Мейман Н. Н. 219
Минковский Г. 18, 218
Нетер Э. 94
Норден А. П. 192
Оре О. 119, 161, 170
Перрон О. 87
Пташицкий И. Л. 241
Ремак Р. 218
Сохоцкий Ю. 71
Такаги Т. 226
Фробениус Г. 14, 27
Фуртвенглер Ф. 29, 208, 214, 226
Чакалов Л. 193, 194
Чебышев П. Л. 235, 239
Шатле А. 144
Широков П. А. 4, 268
Шольц А. 141, 153, 15«,
Шпайзер А. 161
Шрейер О. 123, 144, 263, 267, 271, 280,
292, 293
Шур И. 87, 130, 131, 267, 272, 294
Энгель Ф. 256, 260, 268, 276
Энриквес Ф. 94

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 3
Задача, обратная задаче Чирнгаузена 5
Об одной теореме Гильберта 14
Доказательство теоремы Кронекера — Вебера относительно абелевых областей. 18
Определение плотности совокупности простых чисел, принадлежащих к задан-
заданному классу подстановок 27
Обобщение теоремы Минковского с применением к исследованию идеальных
классов поля 66
Об обосновании теории идеалов по Золотареву 71
К задаче нахождения алгебраических уравнений с наперед заданной группой . . 87
Исследования о плотностях простых чисел. I. О границах, между которыми
наверное лежат простые числа, принадлежащие к заданному отделу
подстановок * 95
Исследования о плотностях простых чисел. II. О границах, между которыми
наверное лежат простые числа, принадлежащие к заданному классу под-
подстановок 102
/?-адическое доказательство второй главной теоремы Оре 119
К теории групп поля классов 121
Исследования об относительно-абелевых числовых полях 141
Об одном обобщении теоремы Клиффорда .... 172
Дополнение к статье «Об одном обобщении теоремы Клиффорда» 181
О квадрируемых луночках. I 193
Заметки по алгебре и теории чисел 208
Краткое доказательство теоремы о дискриминанте 222
Задача из теории алгебраических чисел 226
О выражении абелевых интегралов через элементарные функции 235
Об одной алгебраической проблеме Гильберта. I 255
Об одной алгебраической проблеме Гильберта. II 267
О клейн-гильбертовской проблеме резольвент 282
Проблема резольвент и критические многообразия 305
Проблема резольвент 327
Именной указатель 341

Печатается по постановлению
Редакционно-издательского совет х
Академии Наук СССР
Редактор издательства А. А. Ерофеев
Технический редактор А. А. Киселева
Корректор В. Е. Посельский
РИСО АН СССР № 3530. А-08745. Издат. № 2057
Тип. заказ №2310. Подп. к печ. 24'1Х 1949 г.
Формат бум. 70X108V16. Печ. л. 21,5+1 вкл.
Уч.-издат. 22. Тираж 2000.
Цена в переплете 22 руб.
2-я тип. Издательства Академии Наук СССР
Москва, Шубинский пер., д. 10