Text
                    Г. КАРСЛОУ и Д. ЕГЕР
ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
ТВЕРДЫХ ТЕЛ
Перевод
со второго английского издания
под редакцией
проф. А. А. ПОМЕРАНЦЕВА
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
МОСКВА 1964


536 К 26 УДК 536.21 CONDUCTION OF HEAT IN SOLIDS By H. S. CARSLAW Emeritus Professor of Mathematics in the University of Sydney and J. C. JAEGER Professor of Geophysics in the Australian National University SECOND EDITION OXFORD At the Clarendon Press ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие редактора русского перевода 7 Из предисловия ко второму изданию 9 Из предисловия к первому изданию 9 Глава I. Общая теория 11 § 1. Введение (И). § 2. Теплопроводность A1). § 3. Тепловой поток через произвольную поверхность A3). § 4. Изотермические поверхности A5). § 5. Теплопроводность изотропных тел A5). § 6. Дифференциальное уравне- уравнение теплопроводности для изотропного твердого тела A7). § 7. Дифферен- Дифференциальное уравнение теплопроводности для движущейся среды B1). § 8. Пре- Преобразование координат B3). § 9. Начальные и граничные условия B5). § 10. Безразмерные параметры C1). § 11. Экспериментальные методы опре- определения теплопроводности C2). § 12. Математическая интерпретация началь- начальных и граничных условий C3). § 13. Родственные дифференциальные уравне- уравнения C4). § 14. Упрощение общей задачи теплопроводности C5). § 15. Задачи, решения которых можно выразить в виде произведения решений более про- простых задач C9). § 16. Единственность решения задачи теплопроводности D1). § 17. Теплопроводность анизотропных твердых тел D3). § 18. Дифференциаль- Дифференциальное уравнение теплопроводности для анизотропных твердых тел D6). § 19. Теплопроводность тонкой кристаллической пластины D8). § 20. Изме- Изменение теплопроводности и вектор теплового потока в анизотропных твердых телах E1). Глава II. Линейный поток тепла. Неограниченное и полуограниченное твердое тело 57 § 1. Введение. Простые решения уравнения для линейного потока тепла E7). § 2. Неограниченное твердое тело. Решение Лапласа E9). § 3. Использова- Использование интегралов Фурье и преобразований Фурье F2). § 4. Полуограниченное тело с начальной температурой f (х) и нулевой температурой поверх- поверхности F4). § 5. Полуограниченное твердое тело. Начальная температура равна нулю. Поверхность находится при температуре <р (t) F7). § 6. Полу- Полуограниченное твердое тело. Температура поверхности является гармониче- гармонической функцией времени G0). § 7. Полуограниченное твердое тело. Тепло- Теплообмен на поверхности в среду с нулевой температурой. Начальная темпе- температура постоянна G5). § 8. Полуограниченное твердое тело. Теплообмен на поверхности в среду с температурой / (t). Начальная температура равна нулю G8). § 9. Полуограниченное тело. Тепловой поток на границе х = 0 является заданной функцией времени. Начальная температура равна нулю G9). § 10. Применение полученных результатов к определению тепло- теплопроводности (82). §11. Полуограниченное твердое тело, внутри которого находится источник тепла (82). § 12. Температура Земли и колебания тем- температуры на ее поверхности (85). § 13. Геотермический градиент и поток тепла (87). § 14. Возраст Земли. Анализ Кельвина (89). § 15. Неограниченное составное твердое тело (91). § 16. Случай зависимости термических харак- характеристик вещества от температуры (92). Глава III. Линейный тепловой поток в твердом теле, ограниченном двумя параллельными плоскостями 97 § 1. Введение (97). § 2. Установившаяся температура (97). § 3. Область 0 < х < I. Границы поддерживаются при нулевой температуре. Начальная температура f (х) (98). § 4. Область 0 < х < I. Начальная температура /(-*)• Границы поддерживаются при постоянной температуре или изолированы A03). § 5. Область 0 < х < I. Температуры границ равны <fi (t) и <р2 (f). Начальная температура f (х) A06). § 6. Пластина с периодически изменяющейся 1*
4 ОГЛАВЛЕНИЕ температурой поверхности A09). § 7. Установившаяся периодически изменяю- изменяющаяся температура в составных пластинах A13). § 8. Пластина с заданным тепловым потоком на ее границе A15). § 9. Область 0 < х < /. Теплообмен на границах в среду с температурой, равной нулю. Начальная температура равна /(х) A17). § 10. Область —I < х < I. На границах jc= ± / происхо- происходит теплообмен со средой нулевой температуры. Начальная темпера- температура f (х) A21). § 11. Частные случаи и численные результаты для пластины с граничным условием третьего рода A23). § 12. Область —I < х < I с ну- нулевой начальной температурой и теплообменом на границах со средой, имею- имеющей температуру <р (t) A27). § 13. Пластина, одна из поверхностей которой соприкасается со слоем идеального проводника или хорошо перемешиваемой жидкости A28). § 14. Пластина с внутренним источником тепла A30). Глава IV. Линейный тепловой поток в стержне 134 § 1. Введение A34). § 2. Дифференциальное уравнение распределения тем- температуры в тонком стержне A34). § 3. Полуограниченныи стержень. Случай установившейся температуры. Метод Форбса A36). § 4. Полуограниченный стержень. Периодически изменяющаяся температура. Метод Ангстрема A37). § 5. Ограниченный стержень, концы которого находятся при фиксированных температурах. Случай установившейся температуры A39). § 6. Стержень переменного сечения с охлаждающимися ребрами. Случаи установившейся температуры A41). § 7. Ограниченный стержень при наличии теплообмена на его поверхности. Случай неустановившейся температуры A44). § 8. Ограниченный стержень с периодически изменяющейся температурой концов. Метод Неймана A47). § 9* Задачи по теплопроводности в движу- движущемся стержне A48). § 10. Уравнение теплопроводности для тонкой про- проволоки, нагреваемой постоянным электрическим током A49). § 11. Устано- Установившаяся температура. Определение коэффициента теплопроводности A51). § 12. Сильно нагретая проволока, по которой протекает электрический ток A54). § 13. Установившийся поток тепла в составной проволоке A56). § 14. Неустановившаяся температура в проволоке, по которой течет элек- электрический ток A57). § 15. Кольцо Фурье A59). Глава V. Поток тепла в теле с прямоугольным сечением 163 § 1. Введение A63). § 2. Неограниченное твердое тело прямоугольного сече- сечения. Установившаяся температура A64). § 3. Установившаяся температура в неограниченном теле прямоугольного сечения 0 < х < а, 0 < у < b A67). § 4. Тонкая пластина с прямоугольным сечением при наличии теплообмена на ее поверхности A70). § 5. Установившаяся температура в теле прямо- прямоугольного сечения — а < х < а, — Ь < у <Ь при наличии источника тепла A71). § 6. Неустановившееся состояние. Решение в виде произведения решений A72). § 7. Неустановившееся состояние. Произвольные начальные и граничные условия A75). Глава VI. Тепловой поток в прямоугольном параллелепипеде 176 § 1. Введение A76). § 2. Установившаяся температура A77). § 3. Двойные и кратные ряды Фурье A80). § 4. Неустановившаяся температура. Решение в виде произведения решений A83). § 5. Определение коэффициента тепло- теплопроводности и экстраполяция кривых охлаждения A85). § 6. Неустановив- Неустановившаяся температура. Тройной ряд Фурье A86). Глава VII. Тепловой поток в неограниченном цилиндре кругового сечения 187 § 1. Введение A87). § 2. Установившаяся температура. Радиальный по- поток A88). § 3. Установившаяся, периодически изменяющаяся температура в круговых цилиндрах A92). § 4. Неограниченный цилиндр. Радиальный по- а ток. Неустановившаяся температура A93). §5. Интегралы J rJn(ar)Jn($r)dr о а и Г г [Jn («г)]2 dr A95). § 6. Неограниченный цилиндр с температурой по- о верхности <р (t) и начальной температурой / (г) A97). § 7. Неограниченный цилиндр с теплообменом на поверхности A99). § 8. Неограниченный цилиндр с постоянным потоком тепла на поверхности B01). § 9. Неограниченный цилиндр с внутренними источниками тепла B02). § 10. Неограниченный полый
ОГЛАВЛЕНИЕ 5 цилиндр. Радиальный поток B03). § 11. Неограниченный цилиндр. Устано- Установившаяся температура. Общий случай B05). § 12. Неограниченный цилиндр. Неустановившаяся температура. Общий случай B07). Глава VIII. Тепловой поток в областях, ограниченных координатными поверхностями цилиндрической системы координат 212 § 1. Введение B12). § 2. Установившееся распределение температур в не- неограниченной и полуограниченной среде, обусловленное подводом тепла через круг B12). § 3. Установившаяся температура в ограниченном и полу- полуограниченном цилиндрах B15). § 4. Неустановившееся состояние. Решения в форме произведений B22). § 5. Определение теплопроводности вещества в форме цилиндра B24). § 6. Ограниченный цилиндр — / < z < /, 0 <; г < а с начальной температурой /(г, 0, z) B25). § 7. Полу ограниченный ци- цилиндр B26). Глава IX. Поток тепла в шаре и конусе 227 § 1. Введение B27). § 2. Установившаяся температура. Радиальный тепловой поток B27). § 3. Шар 0 < г < а с начальной температурой / (г) и темпера- температурой поверхности <р (t) B30). § 4. Шар 0 < г < а. Начальная темпера- температура / (г). На поверхности сферы происходит теплообмен B33). § 5. Опре- Определение коэффициентов теплопроводности плохих проводников B35). § 6. Случай шара, находящегося в контакте с хорошо перемешиваемой жидкостью B36). § 7. Шар с заданным тепловым потоком на поверх- поверхности B38). § 8. Шар 0 < г < я, внутри которого выделяется тепло B38). § 9. Полый шар а <г <Ь B42). § 10. Область, ограниченная изнутри сфе- сферической поверхностью г = я B43). § 11. Шар с начальной температурой / (л 9, <р). Температура поверхности г = а равна нулю B44). § 12. Поверх- Поверхность шара г = а поддерживается при температуре F @, <р) B46). § 13. Часть шара, вырезаемая конусом 0 == 0О. Температура поверхности равна нулю, начальная температура равна /(г, 0, <р) B46). § 14. Температура внутри Земли B48). Глава X. Применение метода источников и стоков к задачам с неуста- неустановившейся температурой 251 § 1. Введение B51). § 2. Мгновенный точечный источник B51). § 3. Мгно- Мгновенные источники; линейный, плоский и поверхностные цилиндрический и сферический источники B54). § 4. Непрерывные и периодические источ- источники B56). § 5. Поверхностный нагрев полуограниченной области B59). § 6. Выделение тепла в неограниченной среде B60). § 7. Движущиеся источ- источники тепла B61). § 8. Дублеты B65). § 9. Метод последовательных волн B67). § 10. Метод изображений. Линейный тепловой поток B67). § 11. Применение метода изображений к двумерным и трехмерным задачам B71). § 12. Обоб- Обобщение метода изображений Зоммерфельдом B73). Глава XI. Изменение физического состояния 276 § 1. Введение B76). § 2. Одномерные случаи плавления и затвердевания. Решение Неймана и его обобщение B77). § 3. Область х > 0 при других граничных условиях B85). § 4. Методы интегрального уравнения. Рассмо- Рассмотрение задач затвердевания, предложенное Лайтфутом B86). § 5. Решения в цилиндрических и сферических координатах B88). § 6. Осесимметричные задачи о замерзании и плавлении B89). Глава XII. Преобразование Лапласа. Задачи для линейного теплового потока 292 § 1. Исторический обзор B92). § 2. Преобразование Лапласа. Основные свойства B93). § 3. Решение уравнения теплопроводности методом преобра- преобразования Лапласа B96). § 4. Полуограниченная область х > 0. Решения, по- получаемые из таблицы изображений B98). § 5. Ограниченная область 0 < х < I. Решения, получаемые из таблицы изображений. Решения для не- небольших значений времени C03). § 6. Ограниченная область 0 < х < I. Применение теоремы обращения C06). § 7. Полу ограниченная область х > 0. Применение теоремы обращения C12). § 8. Составные твердые тела C14). Глава XIII. Преобразование Лапласа. Задачи для цилиндра и шара .... 322 § 1. Введение C22). § 2. Цилиндр кругового сечения 0<г < а с различными граничными условиями C22). § 3. Решения, применимые для малых интер-
6 ОГЛАВЛЕНИЕ валов времени C25). § 4. Полый цилиндр а < г < b C27). § 5. Область огра- ограничена изнутри цилиндром кругового сечения г = д C29). § 6. Решения, применимые при больших значениях времени C34). § 7. Область г > я, ограниченная изнутри круговым цилиндром из идеального проводника C35). § 8. Составная цилиндрическая область C39). § 9. Шар. Радиальный тепло- тепловой поток C41). Глава XIV. Применение функций Грина к решению уравнения тепло- теплопроводности 347 § 1. Введение C47). § 2. Линейный тепловой поток. Полуограниченное твер- твердое тело х>0 C51). § 3. Линейный тепловой поток в области 0 < х < а C53). § 4. Двумерные задачи. Тела с прямоугольным сечением C54). § 5. Прямо- Прямоугольный параллелепипед 0 < х < ау 0 < у < Ь, 0 < z < с C55). § 6. Линей- Линейный тепловой поток. Составные твердые, тела C56). § 7. Шар. Радиальный поток тепла C59). § 8. Цилиндр. Радиальный тепловой поток C61). § 9. По- Полуограниченное твердое тело х > 0. Трехмерные задачи C63). § 10. Область, ограниченная двумя параллельными плоскостями C64). § 11. Полуограничен- Полуограниченное твердое тело г>0с тонкой пленкой на плоскости z = 0 из материала, имеющего значительно большую теплопроводность. В точке @, 0, z') распо- расположен единичный мгновенный источник C67). § 12. Неограниченное состав- составное твердое тело. В точке @, 0, zr) действует мгновенный единичный источ- источник C68). § 13. Области, ограниченные цилиндрической поверхностью г = я C69). § 14. Клин 0 < 0 < б0 C71). § 15. Цилиндрическая область C73). § 16. Области, ограниченные сферической поверхностью г = а C74). § 17. Конус 0<6 < 0О C76). § 18. Непрерывные источники C78). Глава XV. Дальнейшие применения преобразования Лапласа 381 § 1. Введение C81). § 2. Теплопроводность в движущемся теле C81). § 3. Тепловые регенераторы и теплообменники C85). § 4. Тепловой поток в слоистых системах C92). § 5. Установившийся периодический режим C93). § 6. Линейная асимптотика и запаздывание C96). § 7. Выделение тепла C98). § 8. Система автоматического регулирования температуры D01). § 9. Неодно- Неоднородные тела D05). § 10. Нагревание «цепочки» пластин, между которыми происходит теплообмен. Слоистые материалы D07). § 11. Прямое применение метода преобразования Лапласа к двумерным и трехмерным задачам D09). Глава XVI. Установившаяся температура 415 § 1. Введение D15). § 2. Источники и стоки .при установившейся темпера- температуре D15). § 3. Установившийся поток к почти плоской поверхности. Топо- Топографические поправки для геотермического потока D18). § 4. Установив- Установившийся тепловой поток в составном теле D19). § 5. Практические задачи D23). § 6. Использование сопряженных гармонических функций в задачах с уста- установившейся температурой D24). § 7. Приложения этого метода D26). § 8. Установившийся тепловой поток в многоугольнике D33). § 9. Тепловой поток между изотермическими поверхностями* D37). Глава XVII. Интегральные преобразования 445 § 1. Введение D45). § 2. Интегральные преобразования и формулы их обра- обращения D46). § 3. Неустановившийся тепловой поток D48). § 4. Установив- Установившийся тепловой поток D50). § 5. Конечные преобразования D51). § 6. После- Последовательные преобразования D53). Глава XVIII. Численные методы 455 § 1. Введение D55). § 2. Конечные разности D55). § 3. Линейный тепловой поток в неограниченном пространстве D58). § 4. Граничные условия D62). § 5. Выделение тепла, переменная температуропроводность и скрытая теп- теплота D64). § 6. Релаксационные методы D64). ПРИЛОЖЕНИЯ 467 1. Контурные интегралы и проверка решений, полученных при помощи пре- преобразования Лапласа D67). 2. Функция ошибок и родственные функции D70). 3. О функциях Бесселя D77). 4. Корни некоторых трансцендентных уравне- ний D80). 5. Таблица преобразований Лапласа v(p) = Г e~ptv(t)dt D83). о 6. Термические свойства некоторых веществ D86).
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА РУССКОГО ПЕРЕВОДА Книга Карслоу выдержала много изданий. Первоначально — в 1906 г.— она составляла одно целое с другой книгой Карслоу по теории рядов и инте- интегралов Фурье *). Это в известной степени предопределило содержание книги— как первого, так и последующих ее изданий. Настоящая книга пред- представляет собой как бы вторую часть первоначальной, в которой излагается применение математических методов, приведенных в первой части, к соответ- соответствующим задачам теплопроводности. В последующих изданиях A946 и 1959 гг.) число разбираемых задач значительно возросло, но приемы разбора и глубина рассмотрения изменились незначительно. Как отмечают авторы в предисловии к изданию 1946 г., материал книги разобран методами Фурье. В этом и состоит ее главная особенность. После опубликования первого издания книги наступил период интенсив- интенсивного развития методов математической физики. Для характеристики их глу- глубины достаточно упомянуть о ряде фундаментальных трудов, например о книгах Н. Poincare, Theorie de la propagation de la chaleur, Paris, 1895; В. А. Стеклова, Основные задачи математической физики, ч. 1 —1922 г., ч. 2—1923 г., Петербург; Ф. Франка и Р. Мизеса, Дифференциальные и инте- интегральные уравнения математической физики, ч. II, ОНТИ, 1937; Р. Куранта и Д. Гильберта, Методы математической физики, т. I—1933 г., т. II— 1945 г. В указанных трудах разобраны основные вопросы теории теплопровод- теплопроводности, а именно: 1) общие свойства решений задач теплопроводности, 2) обос- обоснование метода разделения переменных, 3) развитие метода источников тепла, 4) теория плавления. Работы редактора перевода по этим вопросам, задуманные как дополне- дополнения к настоящей книге, публикуются отдельно от нее. Следует отметить, что в настоящем издании автор книги существенно изменил свое отношение к операционным методам решения задач теплопро- теплопроводности. В первом издании книги Карслоу характеризует операционный ме- метод Хевисайда следующим образом: «Операционный метод Хевисайда можно назвать своего рода стенографией. Его фэрмулы можно получить с помощью контурных интегралов, которыми мы будем пользоваться на следующих далее страницах. Результаты, которые здесь получаются, сведены в этой главе. Но за выводами формул Хеви- Хевисайда трудно следить, и можно смело сказать, что сам он мало заботится о строгости своих выводов. Действительно строгое обоснование его метода **) *) Н. S. С а г s I a w, Introduction to the theory of Fourier's series and Integrals, Lnd., 1921. .**) Математически строгое обоснование метода Хевисайда дано в работе G. Doetsch, Theorie und Anvendung der Laplace-Transformation, J. Springer, Berlin, 1937. С операционными методами можно ознакомиться по следующим книгам: Г. Деч, Руко- Руководство к практическому применению преобразования Лапласа, Физматгиз, 1960;
8 ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА РУССКОГО ПЕРЕВОДА можно провести, пользуясь контурными интегралами, как показано ниже» *). В последнем издании Карслоу пересмотрел свое отношение к опера- операционным методам. Он их принял в качестве рабочих методов решения задач теплопроводности и изложил — как сами методы, так и их применение — в гла- главах XII, XIII и XV. В 1941 г. Карслоу выпустил специальную книгу по опе- операционному исчислению **). В главе XI «Изменение физического состояния» дается обзор работ по теории плавления. Глава написана Егером недостаточно полно и глубоко. В основном автор изложил в ней работы, вышедшие до 1950 г. После 1950 г. появились работы принципиального характера, в которых а) исследовались общие свойства решений задачи плавления—существования и единственности и б) развивались эффективные методы решения задачи. При этом в общем случае задача плавления рассматривалась нелинейной—в неоднородном веще- веществе, плотность и теплопроводность которого изменяются с температурой. Укажем эти работы: а) 1. Kyner W. Т. An Existence and Uniqueness Theorem for Nonlinear Stephan Problem. 2. Friedman A. Free boundary problem for parabolie equa- equation I. J. of Math. a. Mech., 8, No. 4A959). 3. Sestini G. Rivista Math. Univ. Parma 3, 3—23, 103—130 A952). 4. Дацев А. ДАН СССР, 87, № 3 A952). 5. Рубинштейн Л. И. Серия работ о единственности решения задачи Стефана: ДАН СССР, 77, J* 1, 37—40 A951); 79, № 1, 45—47 A951); 117, № 3, 387—390 A957). 6. Олейник О. А. ДАН СССР, 113, № 6 A957). 7. Douglas J. A uniqueness theorem for the solution of a Stephan Problem, Proc. Am. Math. Soc. 8, 402—408 A957). 8. Evans G. W. II,' Quart. J. AppK Math. 8, 312—319 A950); 9, 185—193 A951). б) 1. Landau X. T. Quart. J. Appl. Math. 8, No. 1 A950). 2. Miran- ker W. L. Quart. J. Appl. Math. 16, 121—130 A958). 3. Citron St. J. Aero- Aerospace Soc. 27, No. 3 A960). 4. Sounders P. J. Am. Rocket Soc. 30, No. 11, 1030—1032 A960). 5. Померанцев A. A. Tp. I Совещания по тепло- и мас- сообмену 1961 г., т. Ill, 1963. Главы I и И и приложения настоящей книги переведены канд. техн. наук Ю. Н. Петровым, главы III — VIII — канд. техн. наук В. М. Ерошенко> главы IX — XVIII — канд. техн. наук М. Г. Морозовым. Редактирование и проверку математического текста перевода книги выполнили Г. И. Басе и Г. А. Шадрин. В. А. Диткин и А. П. Прудников, Интегральные преобразования и операционное исчисление, Фитматгиз, 1961; Б. Ван-дёр-Поль и X. Бреммер, Операционное исчисле- исчисление на основе двухстороннего преобразования Лапласа, ИЛ, 1952; В. А. Диткин и А. П. Прудников, Операционное исчисление по двум переменным и его применения, Физматгиз, 1958; А. В. Лыков, Теория теплопроводности, Гостехиздат, 1952. *) Г. Карслоу, Теория теплопроводности, Гостехиздат, М., 1947. **) Г. Карслоу и Д. Е г е р, Операционные методы в прикладной математике, ИЛ, М., 1948. А. Л. Померанцев
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ Смерть профессора Карслоу заставила меня самостоятельно готовить новое издание настоящей книги. При этом я старался — по возможности сохраняя форму и дух изложения Карслоу — наиболее полно изложить все точные решения и разрешимые задачи теории теплопроводности. Для этого пришлось ввести дополнительно очень много новых решений и значительно расширить изложение ряда вопросов, в частности вопросов генерирования тепла, поверхностного нагрева, плавления и затвердевания. Более подробно рассмотрены также применение теории теплопроводности к геофизике, ани- анизотропные среды, движущиеся среды и вещества с переменными термиче- термическими коэффициентами. Добавлены также новые таблицы и рисунки, где приведены численные данные по наиболее важным проблемам. При этом оказалось, что число литературных ссылок превысило 700. Поскольку невозможно перечислить всю литературу, посвященную вопросам теплопроводности, мне пришлось ограничиться только теми статьями, с кото- которыми я мог ознакомиться лично; однако при этом я пытался дать правильное представление о литературе по всем интересующим нас разделам. В настоящую книгу введены еще две обзорные главы. В одной из них излагается как введение в метод интегральных преобразований, так и связь этого метода с классическим методом Фурье. В другой главе приведен обзор численных методов, получивших в последние годы широкое распространение, и указана связь полученных результатов с точными решениями, изложенными выше в тексте. 1959 г. Л. Егер ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ Книга Карслоу «Введение в теорию рядов Фурье и интегралов Фурье и математическая теория теплопроводности» (Carslaw, Introduction to the Theory of Fourier's Series and Integrals and the Mathematical Theory of the Conduction of Heat) была опубликована в конце 1906 г. В 1920—1921 гг. она была полностью переработана и разделена на два тома. Второй том этого труда под названием «Введение в математическую теорию теплопро- теплопроводности твердых тел» (Carslaw, Introduction to the Mathematical Theory of the Conduction of Heat in Solids)*) был издан в 1921 г. За последние 25 лет было выполнено столько работ как теоретического, так и приклад- прикладного характера, содержащих применение полученных результатов, что книгу, отражающую достижения и успехи в этой области, следует считать новой, а не переработанным изданием старой. В данной книге, призванной заменить *) В русском переводе эта книга вышла в 1947 г. под названием «Теория тепло- теплопроводности» (Гостехиздат, М., 1947). (Прим. ред.)
10 из предисловия к первому изданию изданную ранее, весь материал трактуется в рамках современных математи- математических методов. В частности, в нее включено полное изложение метода пре- преобразования Лапласа и его применение к задачам теплопроводности. Этот метод заменил собой метод использования контурных интегралов, изложен- изложенный в гл. X и XI издания 1921 г. Хотя в принципе эти методы родственны друг другу, первый из них даже проще и глубже. При написании этой книги мы стремились сделать ее по возможности полезной инженерам и физикам, не изменяя ее математической сущности. Так, в ней приводятся подробные решения целого ряда задач практического характера и множество данных в виде таблиц и графиков. Значительно расширено изложение теории систем, применяемых в экспериментальных работах; другие вопросы, представляющие практический интерес, изложены довольно кратко (например, теория авто- автоматической регулировки температуры; до сих пор в книгах математического характера такие вопросы не рассматривались). Можно считать, что первое издание настоящей книги (кроме последних глав) посвящено в основном изложению методов Фурье, рассматриваемых классически. В первых десяти главах нового издания мы придерживались той же схемы. В них точно воспроизведена значительная часть материала, изложенного в главах I — IX старого издания, но обращено большое внима- внимание на вопросы, интересующие инженеров и физиков. В главах XII — XV метод преобразований Лапласа вводится и применяется к более сложным задачам. Прочитав главу XII, читатель увидит, что приме- применение этого метода значительно упрощает решение задач, изложенных в пре- предыдущих главах, и, вероятно, привыкнет пользоваться им. Много интересных решений напечатано петитом; часто они приводятся без доказательств и их можно считать примерами. Все главы снабжены биб- библиографическими ссылками на работы, посвященные как математической тео- теории теплопроводности, так и физическим применениям теории. Мы надеемся, что они послужат полезным введением к литературе. Число таких статей вы- выросло за последнее время настолько, что привести их все невозможно. Г. Карслоу, Д. Егер
ГЛАВА I ОБЩАЯ ТЕОРИЯ § 1. Введение Если различные части тела находятся при различных температурах, то тепло течет от более горячих частей к более холодным. Следует различать три механизма распространения тепла: 1) теплопроводность, в результате которой тепло передается через само вещество; 2) конвекция, в результате которой тепло передается за счет относительного движения частиц нагретого тела, и 3) передача тепла излучением, при котором перенос тепла между про- пространственно разделенными частями тела происходит за счет электромагнит- электромагнитного излучения. В жидкостях и газах конвекция и излучение играют первостепенную роль, тогда как в твердых телах конвекция вообще отсутствует, а излучение обычно пренебрежимо мало. В настоящей книге мы будем рассматривать только теплопроводность и, вообще говоря, твердое тело, хотя при опреде- определенных обстоятельствах полученные результаты остаются справедливыми и для жидкостей или газов. В данной главе излагается общая теория теплопроводности; последую- последующие главы посвящены специальным задачам и методам их решения. § 2. Теплопроводность Можно сказать, что математическая теория теплопроводности основы- основывается на гипотезе, подсказываемой следующим экспериментом. Пусть задано некоторое твердое тело в виде пластины, ограниченное двумя параллельными плоскими поверхностями таких размеров, что при рас- рассмотрении точек, расположенных в середине плоскостей, эти ограничивающие поверхности можно считать бесконечными. Обе поверхности пластины под- поддерживаются при различных температурах, причем разность между ними не должна достигать таких больших значений, при которых может возникнуть какое-либо заметное изменение свойств исследуемого твердого тела. Верх- Верхнюю поверхность пластины можно, например, поддерживать при темпера- температуре тающего льда, помещая на нее толченый лед, а нижнюю — при неко- некоторой постоянной температуре, заставляя поток теплой воды непрерывно обтекать поверхность. Если эти условия сохраняются достаточно долго, то в каждой данной точке температура пластины достигает определенного зна- значения, причем в точках, расположенных в какой-либо плоскости, параллель- параллельной ограничивающим поверхностям пластины, и достаточно удаленных от ее краев, температура будет оставаться одинаковой. Рассмотрим часть пластины, ограниченную воображаемым цилиндром с поперечным сечением S и с осью, перпендикулярной поверхности пластины.
12 ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ [§ 2 Предполагается, что этот цилиндр выделен в середине пластины, и поэтому тепловой поток через его образующие отсутствует. Пусть температура ниж- нижней поверхности равна vQ °C, верхней vx °C (v0 > г^), и пусть толщина пластины равная? см. Результаты экспериментов над различными твердыми телами приво- приводят к гипотезе, что при достижении установившегося температурного состояния количество тепла Q, протекающего за t сек через площадку S пластины, равно где К — константа, зависящая от свойств вещества и называемая коэффи- коэффициентом теплопроводности данного вещества. Другими словами, тепло- тепловой поток между двумя поверхностями пропорционален разности температур между ними. Нельзя считать, что такой вывод доказывается подобными эксперимен- экспериментами; они скорее подсказывают этот закон. Более точной проверкой этого закона служит соответствие экспериментальных данных с расчетными дан- данными, полученными в математической теории, основанной на предположении о справедливости указанного закона. Величина, обратная значению коэффициента теплопроводности, назы- называется удельным термическим сопротивлением вещества. Строго говоря, коэффициент теплопроводности К для данного веще- вещества не остается всегда постоянным, а зависит от температуры. Однако в ограниченном диапазоне температур этим изменением К можно пренебречь» и в обычной математической теории предполагается, что коэффициент тепло- теплопроводности не изменяется с температурой. Более близкое приближение к действительному положению вещей можно получить, полагая К линейной функцией температуры vt т. е. где р мало и для большинства веществ отрицательно. Из выражения B.1) коэффициент теплопроводности получается в виде Отсюда следует размерность коэффициента К и природа единиц, в которых он выражается. В качестве системы единиц, наиболее часто применяемых в физике, используется система СГС; в ней температуру измеряют в градусах Цель- Цельсия (°С), а за единицу тепла принимают калорию, т. е. такое количество тепла, которое требуется для повышения температуры воды ¦) массой в 1 г на 1°С. В этой системе К имеет размерность кал/(сек) (см2)(°С/см). В тех случаях, когда в этой книге даются численные значения, используется указанная система единиц**). *) Опыты показывают, что количество тепла, необходимое для повышения тем- температуры 1 г воды на Г С, не одинаково при различных температурах, и для точного определения калории должна быть установлена температура воды. Обычно за эту температуру принимают 15° С, и такая калория определяется как количество тепла» необходимое для повышения температуры 1 г воды от 14,5 до 15,5° С. **) В октябре I960 г. XI Генеральная конференция по мерам и весам утвердила и рекомендовала всем государствам новую Международную систему единиц (систему СИ), единую для всех областей науки и техники. В СССР она введена в качестве пред- предпочтительной с 1 января 1963 г. Новая система единиц основана на шести основных величинах — длине, массе, времени, температуре, электрическом токе и силе света.
§ 3] ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ 13 В приложении б приведены значения величин (в частности, К), харак- характеризующих термические свойства некоторых типичных веществ, дающие представление о порядке этих величин [1]. Из выражения B.2) следует, что в системах, где единицей тепла является такое его количество, которое вызывает у единицы массы воды увеличение температуры на одну единицу, К имеет размерность l B.3) О так как отношение —- имеет размерность массы. с/0 — vx Если желательно измерять количество тепла работой, необходимой для получения этого количества, то в качестве единиц используют обычно эрг или джоуль. Число джоулей У, соответствующее одной калории, называется механическим эквивалентом тепла. Для определенной выше калории У =4,186. В основном эксперименте, из которого выведено наше определение теплопроводности, предполагалось, что исследуемое твердое тело однородно и что при нагревании какой-либо точки внутри этого тела тепло распро- распространяется одинаково хорошо во всех направлениях. Такие твердые тела называются изотропными, в противоположность кристаллическим и другим анизотропным телам, у которых теплопроводность в одних направлениях больше, чем в других. Существуют также неоднородные твердые тела, в которых условия теплопроводности меняются от точки к точке и, кроме того, в каждой данной точке зависят от направления. § 3. Тепловой поток через произвольную поверхность Количество тепла, передающееся через произвольную поверх- поверхность S в точке Р и рассчитанное на единицу поверхности в еди- единицу времени, называется тепловым потоком *) через данную поверх- поверхность в данной точке и обозначается через /. Сначала мы покажем, что тепловой поток через плоскость в точке Р непрерывно изменяется при изменении положения точки Р, если направле- направление нормали к этой плоскости остается постоянным. Пусть бесконечно малая площадка а> в плоскости, включающая точку Я, служит основанием цилиндра, образующие которого равны-и параллельны отрезку РР' длиной е, где е — бесконечно малая более высокого порядка, чем линейные размеры площадки а> <рис. 1). Пусть /jO) и /2а> — величины тепловых потоков через основания цилиндра, включающие точки Р и Я'. По сравнению с этими потоками тепловой поток В частности, за единицу температуры в ней принят градус Кельвина (°К). Из производных единиц в системе СИ отметим следующие: джоуль (дж)— количество теплоты, эквивалентное работе в 1 дж; дж/кг • град — удельная теплоемкость вещества, для нагревания 1 кг которого на 1 град требуется количество теплоты, равное 1 дж; вт/м • град = дж/м • сек • град — коэффициент теплопроводности вещества, в котором через 1 м2 сечения при градиенте температуры в 1 град/м в 1 сек прохо- проходит количество теплоты в 1 дж. Эти единицы связаны с соответствующими единицами в системе СГС следующим образом: количество теплоты'. 1 кал~ 0,239 дж; 1 дж = 4,1868 кал; удельная теплоемкость: 1 кал/г-град = 2,39-10~4 дж/кг-град; 1 дж/кг-град = = 4,1868 • 103 кал/г • град; коэффициент теплопроводности: 1 кал/см - сек - град = 2,39 • 10 вт/м - град; 1 вт/м • град — 418,68 кал/см • сек • град. (Прим. ред.) *) Численные значения теплового потока обычно даются в кал/см2 • сек.
14 ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ [§ 3 через криволинейную поверхность цилиндра пренебрежимо мал. Приращение количества тепла в цилиндре, таким образом, составит m(Ji — /2). Обозна- Обозначим теперь среднюю температуру вещества в пределах нашего цилиндра через v, расстояние между основаниями цилиндра — через о, а плотность и удельную теплоемкость вещества — соот- соответственно через рис; тогда приращение fp' ^ количества тепла в цилиндре должно рав- равняться следующей величине: '* dv Приравнивая получим обе величины друг другу, Рис. 1. Если а—>0, то выражение в правой части стремится к нулю, и следова- следовательно, /j—>/2. Важно отметить, что приведенная выше аргументация не требует, чтобы термические свойства среды изменялись непрерывно; достаточно того, чтобы они были конечны. Это позволит нам в дальнейшем утверждать, что на поверхности раздела двух сред тепловой поток непрерывен (см. § 9 данной главы). Покажем теперь, что если величины / даны для трех взаимно перпен- перпендикулярных плоскостей, пересекающихся в некоторой точке, то можно определить значение / для любой другой плоскости, проходящей через ту же точку. Рассмотрим элементарный тетраэдр РАВС, три грани которого РВС, РСЛ, РАБ параллельны координатным плоскостям, а перпендикуляр, опу- опущенный из точки Р на грань ЛВС, имеет на- направляющие косинусы (X, [1, v) и длину р (рис. 2). Пусть площадь грани ABC равна А; тогда площади граней РВС, РСЛ и РАВ со- соответственно равны ХД, [аД, vA. Если обозначить величины тепловых по- потоков через элементарные площадки РВС, PC А, РАВ и ABC через f x% frfzn /. то приращение количества тепла в тетраэдре можно записать в виде ' Рис. 2. С другой стороны, если р и с — соответ- соответственно плотность и удельная теплоемкость твердого тела, a v — средняя температура вещества в пределах нашего тетраэдра, то это приращение количества тепла должно равняться следующей величине: 1 л dv Отсюда вытекает, что C.1) Далее, если р стремится к нулю, то правая часть соотношения C.1) также стремится к нулю и /х, /у, /г и / становятся равными потокам тепла,
§ 51 гл. i. общая теория i5 протекающим в точке Р через плоскости, параллельные координатным пло- плоскостям, и через плоскость, включающую точку Я, нормаль к которой имеет направляющие косинусы (Х„ jx, v). Таким образом, мы имеем / = */* + !*/, + */,• C-2) Если в точке Р известны значения трех тепловых потоков fx, /y, fz через плоскости, параллельные координатным плоскостям, то из соотноше- соотношения C.2) можно определить тепловой поток через любую другую плоскость, проходящую через точку Р. Каждой точке Р твердого тела соответствует вектор f, составляющие которого равны fx, /y, fz. Его модуль равен /ш = УЩ+Уг+fl)' (з-з) а направлен он вдоль линии, направляющие косинусы которой равны А 4- А C 4) /m /m /m Такой вектор можно назвать вектором теплового потока в точке Р. Тепловой поток в точке Р через плоскость, нормаль к которой определяется отношениями C.4), как раз и равен fm\ поток в точке Р через плоскость, нормаль к которой образует угол б с направлением, определенным отноше- отношениями C.4), равен /mcos6. § 4. Изотермические поверхности Рассмотрим твердое тело, в котором распределение температур в момент времени t задано соотношением У. г* О- Выберем теперь в этом твердом теле поверхность таким образом, чтобы в какой-либо момент времени температура всех ее точек была одинаковой и равной, скажем, V. Такая поверхность называется изотермической по- поверхностью температуры V; можно считать, что эта поверхность отделяет части тела с температурой, большей V, от частей с меньшей температурой. Мы можем представить себе изотермы, проведенные в данный момент вре- времени для различных температур, отличающихся друг от друга на целые градусы и на доли градуса. Эти изотермические поверхности могут распо- располагаться любым образом, но две такие поверхности не могут пересекаться, так как никакая часть тела не может иметь две температуры одновременно. Таким образом, можно считать, что изотермические поверхности раз- разделяют твердое тело на тонкие слои. § 5. Теплопроводность изотропных тел В дальнейшем, если это не оговорено особо, мы будем рассматривать только изотропные среды, т. е. такие среды, структура и свойства которых в непосредственной близости от какой-либо точки одинаковы "во всех напра- направлениях. Вследствие такой симметрии вектор теплового потока в какой-либо точке должен быть направлен вдоль нормали к изотермической поверхности, проходящей через эту точку, в сторону меньшей температуры. Соотношение между скоростью изменения температуры в направлении нормали к изотерме и вектором теплового потока, имеющим такое же
16 ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ [§ 5 направление, можно вывести из основного эксперимента, описанного в § 2 данной главы. В этом случае изотермы представляют собой плоскости, параллельные поверхностям пластины. Предположим, что изотермы темпе- температур v и v -f- bv распоюжены на расстоянии Ьх друг от друга. Тогда, согласно соотношению B.1), количество тепла, проходящее в единицу вре- времени через единичную площадку в положительном направлении х, равно bv или при 8лг—>0 /, = -*?• • E.1) Обобщим этот результат для любой изотермической поверхности и в качестве основной гипотезы математической теории теплопровод- теплопроводности примем, что величина теплового потока через любую изотер- изотермическую поверхность изнутри наружу (т. е. количество тепла, рассчитанное на единицу площади и единицу времени) равна где К — коэффициент теплопроводности вещества, а символ -т— озна- означает дифференцирование вдоль внешней нормали к поверхности. Приступим теперь к нахождению теплового -потока через любую, не обязательно изотермическую, поверхность в некоторой ее точке Р. Пусть изотерма в точке Р касается плоскости XY; тогда тепловые потоки в точке Р через плоскости, параллельные координатным плоскостям, будут равны ? Пусть теперь нормаль в точке Р к заданной поверхности имеет напра- направляющие косинусы (X, [х, v); тогда, согласно соотношению C.2), тепловой поток через эту поверхность будет равен „ dv „ dv где символ -тгт- означает дифференцирование в направлении (X, ja, v), так как dv > dv . dv . dv dv dv Л Таким образом, величина теплового потока в данной точке через любую поверхность равна где символ -^j- означает дифференцирование в направлении внешней нормали. В частности, тепловые потоки через три плоскости, перпендикулярные координатным осям, соответственно равны /,—*&• /,—«?. /.—*?•• <м> При использовании вектора f* введенного в § 3 настоящей главы, получен- полученные результаты можно представить в виде /= — Kgtadv.
§ 6] ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ 17 § 6. Дифференциальное уравнение теплопроводности для изотропного твердого тела Рассмотрим сначала случай, когда тепло течет через твердое тело, причем внутри тела источники тепла отсутствуют. Температура v в точке Р(х, у у z) является непрерывной функцией х, yt z и t\ как показано в § 3, то же утверждение справедливо и для теплового потока. Выделим в данном твердом теле элемент объема — прямоугольный параллелепипед с центром в точке Р и ребрами длиной 2dxt 2dy и 2dz> параллельными осям координат. Пусть ABCD и A'B'C'D'— грани, перпен- перпендикулярные оси х и отстоящие от центра параллелепипеда соответственно на расстоянии —dx и -\-dx. Тогда количество тепла, поступающее в парал- параллелепипед через грань ABCD, записывается в виде где fx — величина теплового потока в точке Р через плоскость, параллель- параллельную ABCD. Аналогичным образом количество тепла, вытекающее через грань A'B'C'D', равно Тогда приращение количества тепла в параллелепипеде, обусловленное тепловым потоком через эти две грани, равно — Sdxdydz-^-. Точно так же находят аналогичные выражения для приращения коли- количества тепла, обусловленного потоком тепла через остальные пары граней. Суммируя эти выражения, мы получим общее приращение количества тепла в параллелепипеде в виде F.1) где /—вектор, определенный соотношением C.4). Вместе с тем это же увеличение количества тепла в параллелепипеде можно представить в виде Spc^-dxdydz, F.2) где р — плотность, а с — удельная теплоемкость *) (при температуре V) твердого тела. *) Удельная теплоемкость вещества с при температуре v определяется как bQ/bv, где bQ — количество тепла, необходимое для повышения температуры единицы массы вещества в пределах узкой области температур от v до v-\-bv. Теплоемкость зави- зависит как от температуры, так и от способа нагрева; этот последний мы будем считать таким, чтобы деформации были постоянными. В данной книге теплоемкость выра- выражается в единицах #дл/г • г/?дд, причем теплоемкость воды при 15° С равна 1 кал/г*град. Следует отметить, что в определениях удельной теплоемкости имеются значительные расхождения. Так, например, некоторые авторы определяют удельную теплоемкость как отношение количества тепла, повышающего температуру единицы массы вещества на 1° С, к аналогичному количеству тепла для воды. Для твердых тел изменением удельной теплоемкости в зависимости от способа нагрева пренебрегают, и поэтому с можно заменить на ср, т. е. на удельную тепло- теплоемкость при постоянном давлении. К этому вопросу мы вернемся ниже (см. стр. 21). 2 Г. Карслоу, Д. Егер
18 ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ [§ б Приравнивая выражения F.1) и F.2), получаем*) dv (dfx д/у д/2\ Полученное уравнение справедливо для любой точки твердого тела при условии, что в этой точке отсутствует источник тепла. При использовании этого уравнения не требуется, чтобы твердое тело было однородным или изотропным. Уравнение F.3) соответствует уравнению неразрывности в гид- гидродинамике. Для однородного изотропного тела, у которого коэффициент теплопро- теплопроводности не зависит от температуры, fx, fy и fz даются соотношениями E.3)„ и уравнение F.3) приобретает следующий вид: d2v , d2v . d2v Lj^_o ,* а\ где Константу у. Кельвин назвал коэффициентом тепловой диффузии, а Мак- Максвелл— коэффициентом температуропроводности **), так как х харак- характеризует то изменение температуры, происходящее в единице объема вещества, которое обусловлено количеством тепла, протекающим в единицу времени через единичную площадку в слое единичной толщины и при единичной раз- разности температур на его поверхностях. Уравнение F.4) известно как уравнение теплопроводности. В случае установившейся температуры, когда v не изменяется со временем, это урав- уравнение превращается в уравнение Лапласа _9 d2v , d2v . d2v л V2v = -т-т + -3-F+ -5-т = 0. F.6> ОХ2 ду2 OZ2 х^'^г Если в точке Р(х, у, z) твердого тела существует источник тепла, выде- выделяющий в единице объема за единицу времени количество тепла Л(лг, у, z, t)» то в соотношение F.1) следует ввести дополнительный член SAdx dy dz и в случае постоянного К соотношение F.4) принимает вид >. "F.7) % dt К Для установившегося режима, т. е при -^- = 0, уравнение F.7) превра- превращается в уравнение Пуассона. Почти во всех задачах, имеющих точное решение, а также в задачах* рассматриваемых в настоящей книге (если нет специальных указаний), терми- термические характеристики вещества К, р, с считаются постоянными, т. е. не за- зависящими от положения выбранной точки и от температуры тела. Если это не так, то соотношение F. 3) все же остается справедливым, причем при *) В проводниках тепла, например в волокнистых или других материалах с боль- большой пористостью, перенос тепла вследствие излучения может оказаться значительным, что приведет к появлению дополнительного члена в соотношении F.3) [3, 4]. **) Значения коэффициентов температуропроводности для различных веществ при- приведены в приложении 6. Для того чтобы найти размерность этого коэффициента, обо- обозначим размерность теплового потока и температуры соответственно через [О] и [v]^ Тогда размерности [К] = [Q] [L~l] [T~l] [v~1]; [с] = [Q] [M~l] lv"lY» М = 1^1 U~31 и, следовательно, [%] = [L2] [Т~1].
§ б] ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ 19 наличии источника тепла к правой его части добавляют член Л(х, у, z, t), а соотношение F.7) принимает следующий вид: д („ dv \ , д („ dv \ . д („ dv \ . . /с оч )+)+)+А F'8) Если К и Л являются функциями только положения, то при решении уравнения F.8), в принципе, не приходится сталкиваться с большими труд- трудностями, и для тел, в которых термические характеристики имеют разрыв (составные тела), и тел, в которых изменение К с положением подчиняется простому закону, пригоден целый ряд решений. Если же термические свой- свойства зависят от температуры, то ситуация значительно усложняется, так как уравнение становится нелинейным. Таких случаев, связанных с теплопровод- теплопроводностью, исследовано очень мало, что объясняется относительно слабым изме- изменением термических свойств с температурой, а имеющиеся данные по этому вопросу весьма скудны и неточны. Между тем подобные задачи приобре- приобретают все большее значение в тех случаях, когда приходится рассматривать значительные изменения температуры, как, например, при застывании отли- отливок. Кроме того, те же уравнения играют важную роль в теории диффузии, когда имеет место резкое изменение коэффициентов диффузии в зависимости от концентрации (см. [71], гл. IX—XI). Для решений в большинстве случаев были использованы численные методы; несколько общих результатов и слу- случаи, для которых возможно точное решение, будут изложены ниже. I. Термические характеристики изменяются с температурой и не зависят от положения *). В данном случае соотношение F.8) принимает следующий вид: V2 i ( dv V2 i / dv \2 ) /я пч ) +(w) +(w) f. F.9) Как мы видим, это уравнение нелинейно. Соотношению F.8) можно придать более простую форму [5—7], вводя новую переменную V = -^- f Kdv, F.10) е где Ко — значение К при v = 0. Ко и нижний предел интегрирования вводят только для того, чтобы придать величине О размерность температуры и определенное зна- значение. Из соотношения F.10) следует, что **) дО К dv G0 К dv v0 К dv v0 К dv 'Ж=='К0"ЬТ'9 17 =~Ко~~дх'у W=='Ko'W'9 ~оЧ ==~Ko"d7* и соотношение F.8) принимает вид V20_l^- = _-^L, F.11) is где А и х = — выражены через новую переменную 0. Таким образом, при исполь- использовании этой новой переменной сохраняется форма уравнения теплопроводности F.7), но коэффициент температуропроводности х становится зависимым от в. В большинстве случаев изменение х с температурой значительно менее важно, чем аналогичное изменение К и, таким образом, с достаточным приближением можно считать х по- постоянным. Например, для металлов, находящихся при температурах, близких к абсо- абсолютному нулю, как /С, так и с приблизительно пропорциональны абсолютной темпе- температуре. В таких случаях, если А не зависит от vt то уравнение F.11) принимает тот же вид, что и F.7). Для случая постоянной теплопроводности можно сразу же *) Несколько других методов для одномерного случая будет изложено в § 16 гл. II. **) 0 является по существу потенциалом, градиент которого пропорционален тепловому потоку [8].
20 ГЛ. L ОБЩАЯ ТЕОРИЯ [§ 6 получить решение, заменив v на 9, но при этом граничные условия должны опреде- „ dv ляться только v или л -5—; если они записываются в виде on ¦%L + hv = 0, дп ' где h — постоянная, то это замечание не имеет силы. Случай установившегося теплового потока представляет особый интерес, так как при А= const уравнение F.11) превращается в уравнение Пуассона, а при Л = 0 — в уравнение Лапласа. Таким образом, решения задач об установившемся тепловом потоке при теплопроводности, являющейся произвольной функцией температуры, и с граничными условиями для температуры или теплового потока, можно непосред- непосредственно получить из соответствующих решений для случаев постоянной теплопро- теплопроводности. Другую удобную форму уравнения легко получить, вводя переменную W — тепло- теплосодержание единицы массы вещества, измеренное относительно некоторого произ- произвольного нулевого значения температуры. Подставляя W в уравнение F.8), получим dW д tKdv\ д („dv\ д (/rdv\ fil9 [K) + K)+K) + A FЛ2) или, воспользовавшись соотношением F.10), Ь?« <613> где W связано с в каким-то определенным образом. Введение величины W имеет ряд преимуществ при решении задач, в которых учитывается скрытая теплота. II. Источник тепла внутри твердого тела. Случаи, когда внутри твердого тела имеется источник тепла, приобретают все большее и большее значение в технике. Внутри твердого тела тепло может образо- образовываться в результате следующих процессов: а) пропускание электрического тока, б) диэлектрический или индукционный нагрев [9—12]; в) радиоактивный распад ([13, 14]; см. также библиографию к гл. II и IX); г) поглощение излучения *), д) пере- переход механической энергии в тепловую при вязких или пластических деформациях; е) химические реакции ([71], гл. VIII; см. также библиографию к гл. XV настоя- настоящей книги), в том числе ряд самых различных процессов, начиная от гидратации цемента [15—19] **) и кончая созреванием яблок [20]. Во всех случаях, кроме последнего, количество выделяемого тепла в первом приближении не зависит от v\ в более точном приближении оно обычно соответствует формуле A +b F.14) где а и b — постоянные, которые могут иметь любой знак ***). Следует отметить, что уравнение F.7) с величиной А, соответствующей выра- выражению F.14), можно точно решить многими способами (см. § 14 гл. I и § 7 гл. XV). Количество тепла, выделяющегося в результате химической реакции нулевого порядка, обычно рассчитывают по формуле Аррениуса _А А = Аое Т> F.15) *) Например, инфракрасные лучи сильно поглощаются слогм сетчатки глаза и могут повысить ее температуру до величины, вполне достаточной, чтобы повре- повредить глаз. **) В первом приближении количество выделяемого в этом случае тепла можно записать в виде ke~at, причем количество тепла, выделенного 1 г цемента в тече- течение 3 дней, примерно равно 50—100 кал\ это позволяет принимать важнейшие техни- технические решения, в частности при проектировании больших дамб. ***) Как известно, для большинства веществ температурный коэффициент элек- электрического сопротивления положителен и, следовательно, Ь в соотношении F.14) положительно; однако для некоторых материалов, в частности для графита и для расплавленных солей, Ь отрицательно. Значения b оказываются также отрицательными в задачах о диффузии с одновременно протекающей химической реакцией. Помимо этого, соотношение F.14) с отрицательной величиной b служит грубым приближе- приближением для случая тела, отдающего тепло жидкости, циркулирующей в решетчатой системе трубок [21].
§ 7] ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ 21 где Ао и k—постоянные, а Т — абсолютная температура [22—24]. Для реакций более высокого порядка следует использовать аналогичное, но более сложное выражение. В некоторых случаях его находят экспериментально, и оно имеет вид *) А = AQ exp (bv). Для всех описанных выше случаев не существует аналитических решений, и поэтому следует применять численные методы. Выражением F.14) можно пользоваться как самым грубым приближением, но, по-видимому, точные решения очень сильно отли- отличаются от перечисленных приближений. III. Эффекты термического расширения. Уравнение F.3) выведено в предположении, что в результате деформации твердого тела работа не совершается, и поэтому с является удельной теплоемкостью только при постоянной деформации. Если напряжения в твердом теле вызывают деформацию, т. е. совершается работа, то это надо учесть, соответственно изменив уравнение F.3). Если возможно неограниченное расширение при постоянном давле- давлении, то уравнение F.3) все еще имеет силу при условии, что с считают равным ср, т. е. удельной теплоемкости при постоянном давлении. Если же это расширение ограничено, то в уравнении появляются дополнительные члены. Так, в случае напряжений, обу- обусловленных, например, гидростатическим давлением /?, в правую часть уравнения F.3) следует добавить член где Т — абсолютная температура, а— термический коэффициент линейного расшире- расширения, а под с в уравнении F.3) следует понимать ср, т. е. теплоемкость при постоян- постоянном давлении. Общий случай напряжений разобран в работах [28, 29] **). § 7. Дифференциальное уравнение теплопроводности для движущейся среды Рассмотрим сначала твердое тело, движущееся со скоростью, компоненты кото- которой равны иХУ Uy, uz. При вычислении теплового потока через произвольную пло- плоскость к тепловому потоку в неподвижном теле следует добавить член, обусловлен- обусловленный конвекцией, с составляющими pcvux, $cvuyy $cvuz. Тогда компоненты вектора теплового потока можно записать в виде /г = — К -gj + ?CVUX, fy = — К -jj- + fCVUy, /г=—К-?. + ?CVUZ. G.1) Подставив эти величины в уравнение F.3), получим для случая постоянного К и отсутствия источника тепла внутри тела следующее выражение ***): dv . dv , dv . dv _„ Л ,-n. dt ' х дх ' у ду ' z dz y ' Уравнение G.2) можно записать в виде %l—*V*v-0, G.3) где D/Dt обозначает так называемую субстанциональную, или полную, производ- производную [37]. Если внутри твердого тела имеется источник, выделяющий в единице объема в единицу времени количество тепла, равное А, т. е. источник мощностью Д то к правой части уравнения G.3) нужно добавить член —. *) Такое соотношение встречается при решении некоторых химических задач [25], а также в теории теплового пробоя диэлектрика [26—27] (см. также § 7 гл. XV). **) Эффект увеличения потенциальной энергии вследствие сжатия был впервые исследован Дюамелем [30]. ***) Подобное обсуждение применительно к жидкости было проведено Вильсо- Вильсоном [31], который решил ряд интересных задач, связанных с установившимися распре- распределениями температур. Следует также указать на некоторые другие работы [32,33,34]. Известен целый ряд точных решений для случая ламинарного течения вязких жидко- жидкостей, в частности для течения в трубе при пуазейлевском распределении скоро- скоростей [35,36].
22 ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ [§ 7 Следует отметить, что уравнение G.2) можно получить путем преобразования системы координат к системе, движущейся со скоростью {их, иу, uz), в отношении которой справедливо обычное уравнение теплопроводности F.4). Вывод уравнений теплопроводности для случая течения сжимаемой жидкости будет изложен в сокращенном виде, так как эта задача аналогична задаче о тепло- теплопроводности в деформируемом твердом теле [38, 39]. Ясно, что термодинамические н гидродинамические величины, встречающиеся в наших исследованиях, должны быть определены совершенно точно. В дальнейшем мы будем использовать плот- плотность р, абсолютную температуру Т и внутреннюю энергию единицы массы U. Кроме того, мы введем подстрочные индексы, например, примем для координат обозначения xit где / = 1, 2, 3; повторение индексов означает, что нужно производить суммирование; например, в выражении G.4) Ify означает 1ХЬХ -f- 1?г + h^z- Воспользуемся формулой Грина*) [37, 40], согласно которой, если функции ^ (/== 1, 2, 3) и их первые произ- производные внутри замкнутой поверхности «S являются непрерывными функциями jt/, то //•*«-///¦&*¦ где 1[ (/=1, 2, 3) — направляющие косинусы внешней нормали к поверхности, левая часть — двойной интеграл по поверхности «S, а правая часть — тройной интеграл по объему, ограниченному этой поверхностью. Пусть «S — некоторая малая замкнутая поверхность в жидкости, причем объем, ограниченный указанной поверхностью, всегда содержит одни и те же частицы жидкости. Обозначим элемент этой поверхности через dS, а элемент объема, ограни- ограниченного поверхностью «S, через dz. Сохранение массы р^в произвольном элементе объема dz означает, что Dt Как показал Ламб [37], соотношение G.5) приводит к уравнению неразрывности. Пусть Xi — сила, отнесенная к единице массы, Ец— тензор напряжений, а щ — компоненты скорости; тогда уравнение движения для указанного элемента можно записать в виде /=1,2,3, G.6) где поверхностные и объемные интегралы берутся соответственно по всей поверх- поверхности 5 и по всему ограниченному ею объему. Используя соотношения G.4) и G.5), уравнение G.6) можно записать в форме Согласно первому закону термодинамики для указанного элемента получим IfffXlUldx+f IEijUiljdS~ff fihdS> G'8) где /(— компоненты вектора теплового потока на поверхности S, т. е. / K ' 123 G9) При использовании соотношений G.4), G.5) и G.7) уравнение G.8) приобретает следующий вид: *) В русской литературе эту формулу называют формулой Остроградского. Прим. ред.)
§ 8] ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ 23 где eij — компоненты тензора скоростей деформации, т. е. Вц = ~ рЬи + 2{х ( ец - у hjekk) . G.12) Уравнение вязкости дает связь между Ец и ец, а именно Вц = ~ рЬи + 2{х ( ец - у hjekk) . fO при *=?./, еде р — гидростатическое давление, fx — коэффициент вязкости, а Ъу = < . . — ^ 1 при / = j символ Кронекера. Используя G.12) и G.9), можно записать уравнение G.10) в виде ?;)- GЛЗ) совпадающем по форме с уравнением G.3). Первые двд члена в правой части соответствуют теплу, выделяемому вследствие процессов сжатия и трения в жидкости, третий член представляет собой обычную div/. Б левой части G.13) стоит р D , заменяющее величину ?c—jjt b уравнении G.3). Разумеется, можно выполнить дальнейшие преобразования уравнения G.13), основан- основанные на термодинамике; в частности, его можно выразить через энтропию. § 8. Преобразование координат Приведенные выше уравнения можно легко преобразовать к другим системам ортогональных координат *). Наиболее удобными из них являются сферические координаты, в которых положение точки определяется расстоя- расстоянием г от начала координат, широтой б и азимутом ср, а также цилиндри- цилиндрические координаты, в которых положение точки определяется полярными координатами (г, 6) ее проекции на плоскость (лг, у) и координатой z. Эти системы координат являются частными случаями общей системы ортогональных координат, в которой положение точки задается пересечением трех ортогональных поверхностей ? = const, у\ = const, С = const. Покажем теперь, как легче всего осуществить это преобразование. Рассмотрим элемент объема, ограниченный поверхностями k±d?, v\± di\% С ± rfC, и допустим, что A'B'C'D' и ABCD лежат на поверхностях ? ± d{. Пусть уравнение ds2 = X2 d$ -f- [х2 dr? + v rfC2 определяет длину элементарной дуги, соединяющей точки (?, т], С) и C + Q ^ + Q Тогда площадь участка поверхности ?, вырезаемого поверхностями =7] ± d-q и С ± d(> в точке Я(?, у\, С), равна а количество тепла, протекающее через эту площадку в единицу времени, равно где Д — величина теплового потока через поверхность $ в точке Р. *) В настоящей книге мы не будем рассматривать эллиптические координаты. Эллиптический цилиндр рассмотрен в работах Мак-Лахлана [41, 42]. Область, огра- «иченная изнутри эллиптическим цилиндром, рассмотрена в работе Трантера [43]. Вопрос об эллипсоидах изложен в работах [44, 45].
24 ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ [§ 8 Следовательно, количество тепла, втекающее в элемент объема через поверхность ABCD, окончательно равно 4 {^Д_^( а количество тепла, вытекающее через поверхность A'B'C'D', равно Отсюда полный прирост количества тепла в элементе объема, обусло- обусловленный тепловым потоком через эти две поверхности, равен Для остальных поверхностей получим соответственно и — S- Подставляя вместо Д, / , /с их выражения, а именно: К dv , _ К dv _ К dv и приравнивая сумму полученных таким образом выражений величине 8Xp,v dt dri d(,cp -^-, находим » /^ dv \ , d ( v\ ,. dv к Если К — постоянная и, как обычно, мы можем написать, что х = —, то это соотношение принимает следующий вид: Сферические координаты. В этой системе jc = rsin6 coscp, у — г sin Gsincp, z = г cos б и ds2 = dr2 H- r2db2 + г2 sin20 df. Таким образом, уравнение для v принимает следующий вид: L д (cinfi dv dt—гПдгУ dr)^ smO Его можно написать так: dv _ rd*v , 2 dv , 1 д(п ..2Ч dv \ , 1 ' (8-3) где t* = cos0. Цилиндрические координаты. В этой системе х = г cos 6, у = г sin 6
§ 9] ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ 25» и Таким образом, уравнение для v принимает следующий вид: dv х г д ( dv \ , д (I dv \ д ( dv Его можно записать иначе: dv \d2v , 1 dv , 1 d2v § 9. Начальные и граничные условия Прежде чем приступить к математическому рассмотрению задач теории теплопроводности, необходимо сформулировать начальные и граничные усло- условия, которым должна удовлетворять температура. Эти условия определяются? частично непосредственными результатами экспериментов, а частично мате- математической трактовкой гипотез, основанных на этих результатах. Пусть внутри твердого тела температура v является непрерывной функ- функцией х, у, z и t\ пусть ее первая производная по t и первые и вторые про- производные по х, у и z также непрерывны. Указанные предположения не рас- распространяются на границу твердого тела, а также на некоторый момент времени, с которого, как предполагается, начинается поступление тепла. I. Начальные условия. Предполагается, что в некоторый момент времени, принятый нами за на- начало отсчета координаты t, температура по всему телу задана произвольно. Если эта произвольная функция непрерывна, то мы должны найти такое решение задачи, которое по мере приближения t к нулю стремилось бы к за- заданной величине. Другими словами, если начальная температура задана в виде v = f(x, у, z), то наше решение уравнения dv должно быть таким, чтобы для всех точек твердого тела выполнялось условие \im(v) = f(x, у, г). Если начальное распределение температуры разрывно в некоторых точках или на поверхностях, то эти разрывы должны исчезнуть через очень короткое время, и тогда наше решение должно стремиться к задан- заданной величине начальной температуры во всех точках, где распределение непрерывно. II. Граничные условия, или условия на поверхности. Перечислим условия на поверхности, обычно встречающиеся в теории теплопроводности. А. Задана температура на поверхности. В этом случае темпера- температура может быть либо постоянной, либо зависеть от времени, либо от поло- положения, либо, наконец, зависеть и от времени и от положения. Подобный случай граничных условий наиболее прост и уже достаточно хорошо изучен. Следует, однако, отметить, что на практике часто очень трудно задать температуру на поверхности, и поэтому существующие в действительности-
26 ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ [§ 9 условия лучше всего описываются граничными условиями, рассматриваемыми « пункте Г (см. ниже). Б. Отсутствует тепловой поток через поверхность исследуемого тела, т. е. во всех точках поверхности имеет место соотношение dv -О где д/дп обозначает дифференцирование вдоль внешней нормали к поверх- «ости. В. Задан тепловой поток через поверхность. Г. Теплопередача на поверхности линейна или происходит теп- лообмен «излучением» по закону Ньютона, Если тепловой поток через поверхность пропорционален разности тем- лератур между поверхностью и окружающей ее средой, то он равен H(v — v0), (9.1) где v0 — температура среды, Н — константа; тогда граничные условия запи- записываются в виде ^ — *0) = 0. или -*! + *(* —*0) = 0. (9.2) где *=х- (9-3) Если h —> 0 *), то указанные условия обращаются в граничные условия типа Б, если же Л—>оо, то они обращаются в условия типа А. Величина Н была названа внешней, или поверхностной, теплопровод- теплопроводностью, но теперь ее обычно называют коэффициентом поверхностной теплопередачи или теплоотдачи **). Очень часто удобно пользоваться вели- величиной поверхностного термического сопротивления, отнесенного к еди- единице площади, т. е. величиной, обратной Н, /? = —. Если к тому же задан тепловой поток F на поверхности, то выраже- выражение (9.2) примет следующий вид: i) O. (9.4) Соотношение (9.4) совпадает с соотношением (9.2), в котором v0 заменено 77 Это граничное условие называется в классических работах граничным условием при теплообмене излучением (см. соотношение (9.12)). Однако в действительности такое название приводит к некоторому заблуждению, так как, когда речь идет о передаче тепла излучением, тепловой поток про- пропорционален четвертой степени абсолютной температуры; все же, ради крат- краткости, в настоящей книге мы обычно будем определять граничное условие Г как «теплообмен излучением в среду с температурой z;0» вместо громозд- *) Всегда подразумевается, что h > 0; случай h < 0 соответствует наличию источ- источника тепла, причем количество поступающего на поверхность тепла пропорционально ^е температуре. Математические решения для случая h > 0 обычно не действительны для случая h = 0. **) С нашей точки зрения, наиболее подходящим названием величины Н является -«коэффициент теплообмена». В дальнейшем мы всюду будем называть величину Н •коэффициентом теплообмена. (Прим. перев.)
§ 9] ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ 27 кого, но более точного «линейная теплопередача в среду с температурой v0». Иногда это условие называют законом Ньютона, так как закон Ньютона го- говорит, что при охлаждении тела обдувом (т. е. в условиях вынужденной кон- конвекции, см. ниже) количество теряемого тепла выражается соотношением (9.1). Ниже будет кратко изложено несколько различных физических явлений, при которых тепловой поток через граничную поверхность выражается соотношением <9.1). В каждом случае дается несколько численных значений, что позволяет грубо оценить порядок величины Н для практических задач; точные значения И можно найти в работах по теплопередаче [35, 36, 46, 47]. /. Вынужденная конвекция. Экспериментально установлено, что если жидкость {или газ) с температурой v0 быстро движется по поверхности твердого тела, то коли- количество тепла, теряемого с его поверхности, выражается формулой (9,1), причем коэф- коэффициент теплообмена Н зависит от скорости движения и природы жидкости, а также от формы поверхности. Большинство экспериментов было проведено с жидкостью, движущейся внутри трубок с круговым сечением, и с жидкостью, обтекающей цилин- цилиндры с круговым сечением в направлении, перпендикулярном оси цилиндра. На осно- основании полученных результатов были найдены соотношения, приближенно определяемые -степенными законами следующих типов: Для случая турбулентного течения воздуха со скоростью и см/сек внутри трубки диаметром d см находим И = 5,5.10-6и0'8<*-0'2 кал/см2. сек °С; (9.5) для воды в аналогичном случае было получено такое же выражение, но большее в 500—1000 раз. Для случая турбулентного течения воздуха со скоростью а, направленной пер- перпендикулярно оси цилиндра с диаметром сечения d см, находим Н = 8 • 10- 5 i^j) 2 кал/см2 • сек °С; (9.6) для воды эта величина оказывается примерно в 100 раз больше. Очевидно, что во всех случаях потеря тепла с единицы поверхности в единицу времени значительно увеличивается с уменьшением диаметра цилиндра. Для плоской поверхности величина И имеет тот же порядок, что и для цилиндра очень большого диаметра. Зависимость типа (9.1) приближенно справедлива для случая теплопередачи в результате комбинации вынужденной конвекции и испарения. 2. Случай тонкой оболочки из плохо проводящего материала. Очень часто оказывается, что на поверхности тела имеется тонкая пленка плохо проводящих материалов, например окалины (накипи), смазочных масел, окислов. Кроме того, при охлаждении тела газом или жидкостью, текущей по его поверхности, к последней обычно прилипает тонкий слой невозмущенной жидкости, а так как этот слой не движется, то отдаваемое им количество тепла относительно мало. Если теплопроводность указанной пленки толщиной d равна К' и если в каче- качестве первого приближения мы пренебрежем ее теплоемкостью *), то количество тепла, протекающего через эту пленку, отнесенное к единице площади в единицу времени, равно ~(v-v0), (9.7) где v и v0 — температуры на внутренней и наружной стороне пленки соответственно. Это соотношение равносильно граничному условию *-?+4-(v-v<>)=() (9-8) для среды с внутренней стороны пленки. *) Это эквивалентно отбрасыванию члена dv/dt в уравнении теплопроводности; тогда мы имеем случай установившегося течения, для которого справедливо выра- выражение B.1). Было показано [48], что во втором приближении, в котором учитывается теплоемкость пленки, мы получим граничное условие типа (9.14) (см. также § 8 гл. XII).
28 ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ [§ Ниже приводятся значения*) K'/d в единицах СГС и градусах Цельсия для слоев различных веществ разной толщины. Вещество Воздух . . . Вазелин . . . Вода .... Ртуть1) . . . Теплопроводность при разной толщине слоя, d 1 см 0,000053 0,00044 0,00144 0,020 0,1 см 0,00053 0,0044 0,0144 0,20 0,01 см 0,0053 0,044 0,144 2,0 0,001 см 0,053 0,44 1,44 20 1) Слой ртути или амальгаму часто используют для обеспечения хорошего теплового контакта. Типичная толщина пленки накипи равна 0,1 см. Если с внешней стороны пленки не поддерживается температура v0 и про- происходит потеря тепла, величина которой равна произведению Н на разность между v и температурой окружающей среды vu то граничное условие примет вид 1 (9.9) Д. Теплопередача нелинейна. В большинстве практических задач тепловой поток с поверхности не является линейной функцией разности температур между этой поверхностью и окружающей ее средой. Однако для малых диапазонов темпе- температур он может быть аппроксимирован зависимостью типа (9.1). Ниже приведены типичные примеры. /. Излучение черного тела. Твердое тело с абсолютной температурой Т, окру- окруженное черным телом с абсолютной температурой TQt будет терять количество тепла, отнесенное к единице поверхности и в единицу времени, равное оЕ(Т*-Т§, (9.10) где а — постоянная Стефана — Больцмана, а ? — относительная излучательная способ- способность поверхности (степень черноты), т. е. отношение количества тепла, излучаемого указанной поверхностью, к количеству тепла, излучаемого черным телом при той же температуре. Для полированных металлов величина Е меняется от 0,02 до 0,05; для оксидирован- оксидированных металлов она примерно равна 0,6—0,7, для других веществ, например для кра- красок, стекла, бумаги, древесины, она равна 0,7 — 0,9, для копоти, ламповой сажи и т. п. она может достигать 0,98. Подставляя численное значение величины с в (9.10), получим 1,37. Ю-12 Е (Т4 — Г*) кал/см2 • сек. (9.11) Если разность (Т—То) не очень велика, то в первом приближении находим 5,48. Ю-12ЕТ%(Т—Т0), (9.12) а если 70 = 300°, то указанная величина становится равной 1,48 • 10"~4?G*—То). Таким образом, применительно к этому случаю выражение (9.1) с константой И является весьма приближенным, а если Т—То велико, то оно может даже привести к серьезным ошибкам. Известно лишь несколько точных решений задач теплопро- теплопроводности с точным граничным условием типа (9.10) **). *) Обратная величина djK' называется термическим сопротивлением пленки. Примеры использования этой величины см. в § 2 гл. III. **) Егер [49] рассмотрел случай полуограниченного твердого тела с граничным условием (9.11) или (9.13). Манн и Вольф E0] проанализировали общий случай, исполь- использовав интегральные уравнения.
§ 9] ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ 29 В обычных условиях потеря тепла твердым телом обусловлена как конвекцией, так и излучением, и поэтому в коэффициенте Н в выражении (9.1) должны быть учтены оба эти фактора. 2. Естественная конвекция. Когда нагретое твердое тело окружено жидкостью, то более нагретые части жидкости, находящиеся поблизости от тела, стремятся под- подняться вверх и таким образом устанавливаются сети конвекционных токов. Такой процесс называется естественной конвекцией. Экспериментально установлено, что в данном случае количество тепла, теряемое твердым телом (с единицы площади в единицу времени), пропорционально разности температур v — v0 между телом и окружающей жидкостью в степени, приблизительно равной ^ • Например, для поверх- поверхностей толщиной несколько сантиметров потеря тепла в воздух, отнесенная к еди- единице площади в единицу времени, приближенно равна 5. Ю-5 (v — Vof4 кал/см2 . сек. (9.13) Для очень тонких проволок, находящихся в воздухе, эта величина в 20 раз больше. 6 воде те же величины оказываются примерно в 100 раз больше. Для этого случая, так же как и для случая теплопередачи излучением, нельзя, пользуясь выражением (9.13), найти точные решения, и поэтому в выражении (9.1) используется приближенная величина //. Следует отметить, что для тела, находяще- находящегося в воздухе при нормальной температуре, соотношения (9.12) и (9.13) дают вели- величины одинакового порядка и поэтому оба они могут быть использованы в расчетах. Е. Контакт с хорошо перемешиваемой жидкостью или с идеальным проводником. В калориметрии и в других методах измерения, связанных с теплопередачей, часто оказывается, что поверхность твердого тела сопри- соприкасается с жидкостью, перемешиваемой настолько хорошо, что температура жидкости всюду одинакова. Пусть твердое тело имеет теплопроводность К, площадь поверхности 5 и температуру поверхности vt причем v сохраняет постоянное значение на всей поверхности. Пусть, далее, хорошо перемеши- перемешиваемая жидкость, соприкасающаяся с твердым телом, имеет массу М и удель- удельную теплоемкость с', и пусть ее температура равна V. Для общности предпо- предположим, что в жидкость с массой М поступает в единицу времени от внеш- внешнего источника количество тепла Q и что потеря тепла вследствие излучения в среду с температурой vQ (отнесенная к единице площади в единицу вре- времени) составляет Hl(V — vQ). Если bV — увеличение температуры жидкости с массой М за время bt, то мы можем написать Qbt —HX(V — v0) bt — Kbt jj^dS = Mc'bV, т. e. ff^^ V-v0)-Q = 0. (9.14) Если предположить, что с некоторого момента времени />0, темпера- температура поверхности твердого тела равна температуре жидкости (при t — 0 они, разумеется, могут быть не равны), то в дополнение к соотношению (9.14) получим v = V, t>0. (9.15) Если же вместо этого между твердым телом и жидкостью имеет место теплопередача по закону типа Г, то условие (9.15) заменяется другим, а именно K^ + H(v-V) = 0. (9.16) Другие физические условия приводят к граничным условиям типа (9.14); например, для случая, когда поверхность твердого тела соприкасается с хо- хорошо перемешиваемой жидкостью массы Ж, из которой в единицу времени
30 ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ [§ 9 удаляется масса т и замещается той же массой жидкости с температурой -ро> находим МС'ЧГ + К ff^rdS + mc'<y-v0) = 0. (9.17) Такие же граничные условия (9.14), (9.15) и (9.16) имеют место для идеально проводящего твердого тела с массой М. Если неметалл соприка- соприкасается с металлическим проводником со значительно большей теплопровод- теплопроводностью, то последний с достаточно хорошим приближением можно считать идеальным проводником. Такая задача решается значительно проще, чем задача для составной области. Существенная разница между этими граничными условиями и условиями* определенными в пунктах А, Б, В и Г, заключается в появлении члена dVjdt, а в некоторых случаях — члена dv/dt. При использовании классических мето- методов не всегда можно обойтись без их видоизменения, но преобразование Лапласа, изложенное в гл. XII, одинаково пригодно для обоих случаев. В этой главе будут приведены некоторые примеры *). Ж. Поверхность раздела двух сред с различными коэффициен- коэффициентами теплопроводности Кх и К2. Пусть vx и v2— температуры двух сред. В § 3 данной главы было показано, что тепловой поток непрерывен на поверхности раздела двух сред, т. е. что *i4? = *.-&" (9.18) где д/дп означает дифференцирование вдоль нормали к поверхности раздела. Если предположить, что на поверхности раздела температуры обеих сред одинаковы, то в добавление к соотношению (9.18) имеем vx = v2. (9.19) Это предположение справедливо только для очень тесного контакта, как, например, в спаях; во всех других случаях, даже в двух оптически плоских поверхностях, слегка прижатых друг к другу **), теплопередача между двумя средами осуществляется главным образом согласно механизму, изложенному в пунктах Г B) и ДA), т. е. тепловой поток между этими двумя поверх- поверхностями пропорционален разности их температур и, следовательно, ^ -v2). (9.2Q) Для этого случая граничными условиями служат соотношения (9.18) и (9.20)» 3. Контакт вещества с тонкой оболочкой из значительно лучшего провод- пика. Подобная задача встречается прл изучении, например, тонкого металлического листа или проволоки, соприкасающихся с относительно плохим проводником, таким, как грунт, пищевые продукты или изолирующие материалы. Этот случай рассматри- *) Задачи с граничными услозиями этих типов рассматривались в ряде работ [51—61]. Авторы последних четырех работ использовали преобразование Лапласа, остальные — классические методы. В работе [62] рассмотрен случай линейной зави- зависимости количества жидкости от времени. Эти задачи имеют большое значение также и для работ, связанных с диффузией (см. § 4.35 гл. IV книги Крэнка [71] и книгу Бэррера [63]). **) Якоб и Стар [64] измерили величину Н для оптически гладких поверхностей, прижатых друг к другу в вакууме. Когда поверхности просто касаются, величина Н очень мала, и теплопередача осуществляется только вследствие излучения; по мере увеличения давления, прижимающего поверхности, растет и величина И. Например» для серебряных поверхностей при давлении 2 кГ/см2 N = 0,07,
§ 10] ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ 3f вается также в задачах о поверхностной диффузии или о диффузии по границам зере» [65, 66] *). Предполагается, что оболочка настолько тонка, что по всей ее толщине, равной dy температура в любой точке одинакова. Если V — температура в произволь- произвольной точке оболочки, а К\ и %{— соответственно коэффициенты теплопроводности и температуропроводности вещества оболочки, то уравнение теплопроводности для обо- оболочки, выведенное из рассмотрения баланса тепла в элементе ее площади, записы- записывается в виде д& + дт? %, dt dKx дп ~~U' где д/дп — обозначает дифференцирование по направлению внешней нормали к твер- твердому телу, а д/дг и д/д-ц — соответственно по двум перпендикулярным ей напра- направлениям. При идеальном тепловом контакте между оболочкой и твердым телом граничные условия имеют вид (9.21) и v= V. Если же между оболочкой и внутренней (ил» внешней) средой происходит теплопередача по линейному закону, эти условия не- несколько усложняются. Для случая проволоки с радиусом а, расположенной вдоль оси г в твердом теле- (г > а), соотношение (9.21) принимает вид dz* x, dt + aKi dr f922V Если оболочка настолько тонка, что ее теплоемкостью можно пренебречь, то» соотношение (9.21) записывается следующим образом: JL_^-(> (9 23). § 10. Безразмерные параметры Решение задач теплопроводности всегда можно выразить через безраз- безразмерные параметры. Например, рассмотрим уравнение, описывающее линей- линейный тепловой поток, в области — /<а:</ с граничными условиями типа (9.2), а именно: -з \-hv = 0, х = I; -5 /w?=0, jc = — L A0.2) Положение точки х можно определить отношением а время — величиной т: которая, как было показано в § 6 данной главы, является безразмерной величиной. Наконец, вместо h в граничном условии A0.2) тоже можно вос- воспользоваться безразмерной величиной**) L = lh. A0.5) Решения задач, определяемых соотношением A0.Г), с граничными усло- условиями A0.2) всегда можно выразить через три переменные ?, т, L вместо *) Егер [65] рассмотрел случай хорошо проводящей проволоки, а Уипл [66] — слу- случай плоского листа (см. также § И гл. XIV). В работе Уипла» кроме того, приведен вариант вывода соотношения (9.21). **) Величину х иногда называют модулем, или числом, Фурье, a Z. — числом Нус- сельта. При изучении теплопередачи, обусловленной конвекцией, сталкиваются Ил с другими важными параметрами подобного рода.
32 ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ [§11 исходных величин /, х, х, t, h. Подобную замену всегда желательно проде- проделать до выполнения численных расчетов. Впоследствии мы покажем, что для очень многих случаев можно найти специальные формы решений, пригодные для малых, средних и больших величин т. Диапазон величин L и т, с которым приходится встречаться на практике, огромен. При значении х = 0,01 (что соответствует плохому проводнику) для тонких листов с толщиной, не превышающей 1 мм> т становится боль- большим после 1 мин, тогда как для тела с размером Земли т остается малым в течение целых геологических эпох (см. формулу A0.4).—Прим. ред.). Написанное выше дифференциальное уравнение и граничные условия можно выразить через безразмерные переменные. Например, подставив соот- соотношения A0.3), A0.4) и A0.5) в A0.1) и A0.2), получим d2v dv Л * . „ . * /in e\ ^- = 0, —1<с<1, (Ю.б) S^. + Lv = 0, когда 5=1 и ~--Lv = 0, когда $ = —1. A0.7) Эта замена переменных привлекательна с чисто математической точки зрения, так как она приводит к некоторому упрощению математических выкладок. Однако в настоящей книге мы не будем ею пользоваться, ибо ¦физический смысл формул более ясен, если они выражены через исходные физические переменные. § 11. Экспериментальные методы определения теплопроводности Для измерения теплопроводности в прошлом использовалось очень много мето- методов [67—69]. В настоящее время некоторые из них устарели, однако их теория и сейчас представляет интерес, так как они базируются на решениях уравнений тепло- теплопроводности для простых систем, которые часто встречаются в практике. Прежде всего следует отметить, что термические свойства любого материала проявляются в разнообразных сочетаниях; однако если рассматривать их как харак- характеристики материала, то их можно определить из различных экспериментов. Пере- Перечислим основные термические характеристики тел и эксперименты, из которых они определяются: а) коэффициент теплопроводности /С, измеряемый при стационарном режиме эксперимента; б) теплоемкость, отнесенная к единице объема, рс, которую измеряют калориметрическими методами; в) величина (/СрсI/*, измеряемая при перио- периодическом стационарном режиме экспериментов; г) температуропроводность х, изме- измеряемая при нестационарном режиме экспериментов. В действительности большинство экспериментов, проводящихся в нестационарном режиме, в принципе, допускает как определение /С, так и определение %. Мы кратко опишем здесь наиболее распространенные методы и укажем разделы, в которых они рассматриваются. По существу эти методы делятся на те, в которых измерения ведутся в стационарном режиме (методы стационарного режима), при пе- периодическом нагреве и в нестационарном режиме (методы нестационарного режима); далее они подразделяются на методы, применяемые при исследовании плохих про- проводников и при исследовании металлов. /. Методы стационарного режима; плохие проводники. В данном методе следует точно выполнять условия основного эксперимента, изложенного в § 1 на- настоящей главы, причем исследуемый материал должен иметь форму пластинки [70]. В других вариантах метода можно исследовать материал в виде полого цилиндра <см. § 2 гл. VII) или полой сферы (см. § 2 гл. IX). Иногда исследуемый материал, по которому проходит тепло, имеет форму толстого стержня, однако в данном случае теория оказывается более сложной (см. §§ 1, 2 гл. VI и § 3 гл. VIII). 2. Термические методы стационарного режима; металлы. В этом случае обычно используется металлический образец в форме стержня, концы которого под- поддерживают при различных температурах. Полуограниченный стержень рассматри- рассматривается в § 3 гл. IV, а стержень конечной длины — в § 5 гл. IV.
§ 12] ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ 33 3. Электрические методы стационарного режима; металлы. В этом случае металлический образец в виде проволоки нагревают, пропуская через него электри- электрический ток, а его концы поддерживают при заданных температурах (см. § 11 гл. IV и пример IX § 3 гл. VIII). Можно использовать также случай радиального потока тепла в проволоке, нагреваемой электрическим током (см. пример V § 2 гл. VII). 4. Методы стационарного режима; движущиеся жидкости. В этом случае измеряется температура жидкости, движущейся между двумя резервуарами, в кото- которых поддерживается различная температура (см. § 9, гл. IV). 5. Методы периодического нагрева. В этих случаях условия на концах стержня или пластинки изменяются с периодом Т\ по достижении установившегося состояния измеряют температуры в определенных точках образца. Случай полуограниченного стержня рассматривается в § 4 гл. IV, а стержня конечной длины — в § 8 той же главы. Подобный метод используется для определения температуропроводности грунта при температурных колебаниях, вызываемых солнечным нагревом (см, § 12 гл. II). В последнее время эти методы стали играть важную роль в измерениях низких температур; они обладают также тем преимуществом, что в теории относительно сложных систем можно пользоваться методами, разработанными для исследования электрических волноводов (см. § б гл. II). 6. Методы нестационарного режима. В прошлом методы нестационарного режима использовались несколько меньше, чем методы стационарного режима. Их недостаток заключается в трудности установления того, насколько действительные граничные условия в эксперименте согласуются с условиями, постулируемыми тео- теорией. Учесть подобное расхождение (например, когда речь идет о контактном сопро- сопротивлении на границе) очень трудно, а это более важно для указанных методов, чем для методов стационарного режима (см. § 10 гл. II). Вместе с тем методы нестацио- нестационарного режима сами по себе обладают известными преимуществами. Так, некоторые из этих методов пригодны для проведения очень быстрых измерений и для учета малых изменений температуры; кроме того, ряд методов можно использовать «на месте», без доставки образца в лабораторию, что весьма желательно, особенно при исследовании таких материалов, как грунты и горные породы. В большинстве старых методов используется лишь последний участок графика зависимость температуры от времени; при этом решение соответствующего уравнения выражается одним экспоненциальным членом. В § 7 гл. IV, § 5 гл. VI, § 5 гл. VIII и § 5 гл. IX рас- рассматривается случай охлаждения тела простой геометрической формы при линейной теплопередаче с его поверхности. В § 14 гл. IV рассматривается случай нестацио- нестационарной температуры в проволоке, нагреваемой электрическим током. В некоторых случаях используется весь график изменения температуры в точке (см. § 10 гл. II и § 3 гл. III). В последние годы все большее внимание уделяют возможности одновременного определения К и % из одного эксперимента. В одном из таких методов измерялась некоторая величина, которая в конце концов начинала линейно увеличиваться со временем (например, количество тепла, проходящее за время t через пластину, поверхность которой имеет постоянную температуру) и из параметров этой линей- линейной асимптоты определялись /Сих (см. пример II § б гл. XII и § б гл. XV). В дру- другом методе использовался нагревающийся зонд, температура которого в конце концов изменялась линейно относительно \nt (см. § 7 гл. XIII). § 12. Математическая интерпретация начальных и граничных условий При математическом рассмотрении граничные и начальные условия не следует рассматривать как условия, которым температура v обязана удовлетворять на самой поверхности или в момент времени t = 0. Их следует считать предельными условиями. Граничные условия нужно понимать в том смысле, что для фиксированного t > 0 данная комбинация температуры и ее производных стремится к заданной величине при приближении точки к поверхности. Начальные условия следует понимать в том смысле, что для фиксированной точки внутри определенной области температура должна стремиться к заданной величине по мере того, как t стремится к нулю. Для примера рассмотрим задачу, которую можно кратко сформулировать сле- следующим образом. Пусть теплообмен происходит в области 0 < х < I. Темпера- Температура в точке х = 0 поддерживается на нуле для t > 0, а при х = I происходит теплообмен со средой нулевой температуры. Начальная температура твер- твердого тела равна единице. При этом уравнения, которые должны удовлетворяться, 3 Г. Карслоу, Д. Егер
34 ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ [§13 записываются в виде v->0 при .* -> О для фиксированного t > 0; -^--|-/ш->0 при jc->/—0 для фиксированного t > 0; с/ -> 1 при / -> 0 для фиксированного х в области 0 < х < L § 13. Родственные дифференциальные уравнения 3 сущности вся эта книга посвящена решению уравнений div/+Pc-|^ = A A3.1) /= — Kgradv, A3.2) или "-т тг~4 «'•* для областей различных форм с граничными условиями, обычно выраженными через v и /. Величины /(, р и с обычно являются константами, а Л может зависеть от поло- положения или от времени. Запишем несколько обобщений выражения A3.3), а именно: где Uy А и В — константы. Эти выражения уже встречались в §§ 6 и 7 данной главьи Как отмечалось ранее, случаи зависимости термических параметров /С, с и т. п. от v приобретают все большее значение, хотя эти функции все еще плохо изучены для достаточно большого диапазона изменения v. Те же уравнения и те же граничные условия встречаются в целом ряде других, разделов физики, и поэтому в них часто удается использовать многие из приведен- ных здесь решений (с изменением обозначений). Вместе с тем имеется много задач,, имеющих практическое значение, которые мало отличаются от типовых. Некоторые? основные приложения приведенных соотношений будут кратко изложены ниже. I. Диффузия. Это явление подробно рассмотрено в работах Крэнка [71], Бэррера [63] и Джо- ста [72]*). Если С — концентрация диффундирующего вещества, a F—скорость его передачи, то соотношения A3.1) и A3.2) принимают вид divF = — -^ и F = — D grad С. A3.6> Если D — константа, то уравнения диффузии совпадают с уравнениями тепло- теплопроводности при # = x=D и, следовательно, задача упрощается. На поверхности раздела двух сред соотношения (9.18) и (9.19) принимают вид где k — константа, i Итак, результаты, полученные ниже для составной среды, также- можно отнести к этому случаю, соответствующим образом изменив обозначения. Уравнения типов A3.4) и A3.5) используются значительно чаще. Например, они встречаются в задачах диффузии, происходящей одновременно с химической реакцией (см. [7Г] гл. VIII, [7 6]), в исследованиях, связанных с диффузией в биологических тканях [77], в теории консолидации почв [78] и в генетике. Задачи одновременной» диффузия тепла и водяного пара приводят к системе двух дифференциальных уравне- уравнений (см. [71], гл. X III, [79]). *) Много задач, приводящих к уравнению диффузии, рассмотрено в работе Бэб- бита [73]. Целый ряд приложений этого уравнения к физиологии описан в [74, 75].
§ 14J гл- L ОБЩАЯ ТЕОРИЯ 35 II. Диффузия в силовом поле; седиментация. В этих задачах мы получаем уравнение типа *) -i- где U—постоянный вектор. Указанное уравнение по существу представляет собой уравнение теплопроводности A3.5) для движущейся среды. III. Замедление нейтронов. При некоторых предположениях указанная задача сводится к задаче теплопро^ водности [84, 85]; при ее решении обычно пользуются функцией Грина. IV. Вязкое движение. Уравнение теплопроводности встречается в двух родственных, но несколько отличающихся друг от друга задачах. Во-первых, многие задачи одномерного ламинар- ламинарного течения приводят непосредственно к уравнению A3.3) с одной переменной [37]. Во вторых, дифференциальные уравнения, описывающие вихревые движения, являются, уравнениями типа уравнения диффузии [37, 86, 87]. V. Задачи, рассматриваемые в теории электричества. Дифференциальное уравнение для потенциала в безындуктивной линии пере- передачи [88] имеет форму A3.4) с одной пространственной переменной при наличии утечки или форму A3.3) при отсутствии утечки (см. также § 6 гл. II). VI. Течение жидкостей через пористую среду. Дифференциальное уравнение, характеризующее течение сжимаемой жидкости че- через пористую среду [89] **), полностью соответствует уравнению A3.3). Это уравнение » уравнения A3.4) и A3.5) встречаются во многих других задачах этого типа [90, 91]- § 14. Упрощение общей задачи теплопроводности В данном параграфе будет изложено несколько классических методов,, которые приводят общие задачи теплопроводности к более простым. Следует отметить, что при использовании преобразования Лапласа (см. гл. XII—XV) применять их не нужно, так как все задачи решаются одним и тем же спо- способом. I. Условия на поверхности, не зависящие от времена. Предположим, что требуется удовлетворить уравнению V2v-±-^- = A(x, у, г) A4.1) внутри твердого тела при v = f(x. z) в начальный момент и v = <p(x, у, z} на поверхности. Пусть v = u + w% A4.2) где и является функцией только х, у, z и удовлетворяет уравнению V2u = А(х, у, z) внутри твердого тела A4.3) и м=ср(л:, у, z) на его поверхности, A4.4) a w есть некоторая функция х, yf z, t, которая удовлетворяет уравнениям V2w -^- = 0 внутри твердого тела, A4.5) w = f(x, у, z) — и в начальный момент A4.6) и «о> = 0 на поверхности. A4.7) *) В работах [80] — [83] приведено уравнение диффузии ионов в ионосфере» **) В гл. X цитируемой книги [89] приведено множество-решений задач такого типа, в том числе задач для линейного источника и цилиндрических поверхностей раздела.
36 ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ [§ 14 Ясно, что v, заданная выражением A4.2), удовлетворяет всем условиям задачи и, таким образом, решение последней сводится к решению двух задач. Одна соответствует случаю установившейся температуры, а другая—случаю не- неустановившейся температуры при заданной начальной температуре и нулевой температуре на поверхности. Случай линейной теплопередачи с поверхности в среду при постоянной температуре можно упростить подобным же образом. II. Условия на поверхности являются заданными функциями вре- времени. Источники тепла отсутствуют. В данном случае решение можно вывести из решения задачи для по- постоянных условий на поверхности, используя для этой цели теорему Дюа- меля [92], которая формулируется следующим образом. Если v — F(xt у, z, X, t) соответствует температуре в момент времени t в точке {х, у, г) твердого тела, начальная температура ко- торого равна нулю, а температура на поверхности равна ср(лг, у, z, X), то решение задачи в случае начальной температуры, равной нулю, и температуры на поверхности, равной ср(лг, у, z, t), записывается в виде , у, zt X, t — \)d\. Приведем доказательство этой теоремы. Если температура на поверхности равна нулю в промежуток времени от ? = — оо до * — 0 и равна ср (л:, у, z, X) в промежуток от t == 0 до t = t, то можно сказать, что начальная температура равна нулю, а температура на поверхности равна ср(л:, у, z, X) и, следовательно, в момент времени t температура тела v равна следующей величине: v = F(x, у, z, X, t) для t > 0. Таким образом, если температура на поверхности равна нулю в проме- промежуток времени от * =— оо до *=Х и равна ср(лг, у, z, X) в промежуток от ? = Х до t — t, то для ?>Х можем написать v = F(xt у, г. X, t— X). Кроме того, если температура на поверхности равна нулю в промежуток времени от t = — оо до t = l~\-d\ и равна ср(лг, у, z, X) в промежуток от ? = Х-|-Л до t = t, то для ?>Х—(~rfX получим v = F(x, у, z, X, t — 1 — dl). Отсюда следует, что если температура на поверхности равна нулю в промежуток времени от t = — оо до t = Х, равна ср (л:, у, z, X) в проме- промежуток от ?=Х до ? = X-|-dX и равна нулю в промежуток от ?=X-|-dX до t = t, то мы получим v — F(x, у, z, X, t — X) — ^(л:, у, z, X, t — X — rfX), или окончательно д Таким путем, разбивая интервал от ? = 0 до t = t на малые интервалы и затем суммируя полученные результаты, мы находим решение задачи для случая температуры на поверхности, равной ср(х, у, z, t), в виде v = о
§ 14] гл. i. общая теория 37 Соответствующая теорема для случая теплообмена с поверхности по ли- линейному закону формулируется следующим образом. Если v = F(x, у, z, X, t) соответствует температуре в момент времени t в точке (х, у, z) твердого тела, начальная температура которого равна нулю, а на поверхности происходит теплообмен со средой, имеющей температуру ср(лг, у, z, X), то решение задачи в случае начальной температуры, равной нулю, и температуре среди, равной ср (л:, у, z, t), записывается в виде v-= f-^-F(x, у, z, X, t — l)dl. A4.9) о Если температура на поверхности или температура среды, с которой происходит теплообмен, не изменяется от точки к точке, а зависит только от времени, то получаемые результаты можно сформулировать в следующей несколько более простой форме. Если v = F(x, у, z, t) соответствует температуре в момент вре- времени t в точке (х, у, z) твердого тела, начальная температура ко- торого равна нулю, а поверхность поддерживается при температуре, равной единице (или в случае теплообмена поверхности с окружающей средой последняя имеет температуру, равную единице), то решение задачи при условии, что поверхность поддерживается при темпера- температуре <p(t) (или что происходит теплообмен со средой, имеющей тем- температуру ср(?)), записывается в виде v= f9(X)-LF(x, у, z, t — \)d\. A4.10) Это соотношение сразу же получается из приведенного выше, так как F(x, у, z, X, t) принимает более простую форму F(x, у, z, 0?(Х). Возвращаясь снова к общей задаче с переменной температурой на по- поверхности, попытаемся решить уравнение A4.1) при v = f(x, у, z) в на- начальный момент и v = y(x, у, z, t) на поверхности. Ему удовлетворяет функция v = u-\-w, где V'«—1^=Л(х. у, z), A4.11) u = f(x, у, z) в начальный момент, A4.12) и = 0 на поверхности A4.13) <и; = 0 в начальный момент, A4.15) «а; = ср (лг, у, z, t) на поверхности. A4.16) Уравнения для w мы только что разобрали, а уравнение для и мы рас- рассмотрели в примере I. Задачи с другими граничными условиями можно разо- разобрать аналогичным способом.
38 ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ [§ 14 В самом деле, уравнение A4.8) справедливо и в более общих случаях, чем ука- указано выше. Например, рассмотрим дифференциальное уравнение <* >¦ * <>-"?• <Ш7> причем К\У К2у Кг> К4 и рс могут быть функциями х> у, z. Согласно §§ 6 и 17 дан- данной главы это уравнение является уравнением теплопроводности *) для неоднородного анизотропного .твердого тела, в котором в единице объема в единицу времени вы- выделяется количество тепла, равное А (ху у, г, t). Предположим, что граничные условия записываются в виде dv , , dv , , dv , , , ,ч /1il1OY +k+ks-^ + ktV^glx, yt z,t)t A4.18) где ku ..., kA — функции только х, у и z. Предположим также, что начальное усло- условие имеет вид v -><p (jc, у, z) при *->0. A4.19) Теперь пусть F (jc, yy z, X, f) служит решением той же задачи, но при условии, ято A (jc, у, z, t) и g (х, у, z, t) заменены А (ху у, z, \) и g (jc, yt z, X), т. е. зна- значениями этих функций при t = X. Тогда решение **) уравнений A4.17), A4.18) и A4.19) записывается в виде t х/(лг, у, z, 0 = -^-У F(*. У> *, К t-\)d\ = fF{x9y,z,l,t — \)dkt A4.20) т. е. в такой же форме, как и уравнение A4.8) при <р (xt yt z) = 0. Следует добавить, что полученный результат справедлив ив тех случаях, когда термические характе- характеристики среды имеют разрывы. III. Случай, когда справедливо уравнение V2V _ bv _ 1 ^L = а {Ху у, 2)у где b — постоянная, которая может иметь любой знак. При подстановке выражения v=ue-xbt A4.22) уравнение A4.21) принимает вид V2h — JL J^L = exbtA (jc, у, г), A4.23) « его можно рассматривать описанными выше методами. Другим важным случаем, который можно проанализировать даже более простым способом ***), является случай, описываемый уравнением V2t,— fo,__ JLj^.= o, A4.24) где b — постоянная (которая может иметь любой знак), начальная температура равна нулю, а граничные условия соответствуют либо постоянной температуре, либо тепло- *) Член /С4 добавлен для большей общности. Он появляется в тех случаях, когда каждый элемент объема твердого тела теряет в единицу времени количество тепла, пропорциональное его температуре, как, например, в 31 дачах, разобранных в гл. IV, а также в других физических задачах. **) Доказательство, использующее преобразование Лгпласа, приведено в [93]. Его можно распространить на более общие граничные условия (см., например, пункт Д $ 9 данной главы). ***) В работе [94] приведены подробные формулы для плиты, сферы, цилиндра и полуограниченного твердого гела.
$ 15] ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ 39 обмену на поверхности. Тогда, если и является решением для случая Ь = О при тех же граничных условиях, то дифференцированием можно проверить, что t v = *b I е~ш'и (Г) dt' + ue~xbt A4.25) о удовлетворяет уравнению A4.24) и принятым в данной задаче граничным условиям. Таким образом, решения для этого случая можно получить простым интегрированием -полученных выше решений. ¦§ 15. Задачи, решения которых можно выразить в виде произведения решений более простых задач Рассмотрим уравнение теплопроводности для прямоугольного параллелепипеда 01<*1<*1. я2<*2<^2' az<xz<bz. A5.2) Для некоторых важных типов начальных и граничных условий его ре- решением является произведение решений трех задач с одной переменной; таким образом, если последние известны, то можно сразу же написать и ре- решение нашей задачи. Предположим, что vr(xr, t), г=1, 2, 3, служит решением уравнения с граничными условиями arl?;-ter = 0- *r = <*r '>0. A5.4) где аг и рг и т. п. — постоянные, каждая из которых может быть равна «улю (таким образом, включены случаи нулевой начальной температуры и •отсутствия теплового потока на поверхности); пусть начальные условия имеют «вид vr(xr, t) = Vr(xr), t = 0, ar<xr<br A5.6) Тогда решением уравнения A5.1) в области A5.2) при v = Vx (х,) V2 (x2) V3 (*g), когда t = О, A5.7) « при граничных условиях аг-г-^ ^ = 0, хг = аг, />0, г=1, 2, 3, A5.8) = 0, хт = Ьг, />0, г = 1. 2, 3, A5.9) служит v t). A5.10)
40 ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ [§ 15 При подстановке выражения A5.10) в уравнение A5.1) и при исполь- использовании A5.3) получим vo При этом очевидно, что удовлетворяются начальные и граничные условия A5.7), A5.8) и A5.9). Аналогичный результат остается справедливым и для случая комбиниро- комбинированного радиального и осевого потока тепла в сплошном или полом цилиндре* Дифференциальное уравнение (8.5) настоящей главы принимает вид 1 д ( dv \ , d2v I dv /1к 1 iY Vn <15Л1> поскольку мы полагаем, что все величины не зависят от 0. Предположим, что его нужно решить в области a<r<bt zl<z<z2. A5.12) Пусть vl(r, t) служит решением уравнения 1 д ( dvx \ 1 dvx . . л . . . при граничных условиях 1TF — P^i = 0, r = a, t>0. И vl = Vl(r) при ^ = 0. Пусть также v2(z, t) служит решением уравнения t>0' zi<z<z d2v2 I dv2 при граничных условиях «2-^г — feeb = O, z = ¦о = К2 (z) при г = 0. Тогда v = vv(r, t)v2(z, t) является решением уравнения A5.11) в об- области A5.12) при граничных условиях *i-jtr — $iV = 0, r = a, zl<z<z2, t>0, lHi^0' r = d. zx<z<z2, t>0, = 0, z = zv a<r<b, t>0.
$ 16] ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ 4Ъ и при начальном условии v = Vx (г) V2 (z) при t = 0. Такой же прием может быть использован и для других областей, напри- например в случае неограниченного прямого двугранного угла х > 0, у > 0, полу- полуограниченного цилиндра и т. п. Соответствующие примеры будут приведены в § 6 гл. V, § 4 гл. VI и в § 4 гл. VIII. В случае анизотропного твердого* тела с осями, выбранными таким образом, что дифференциальное уравнение имеет форму A8.4) (см. стр. 46), указанный метод остается применимым, если ограничивающие поверхности перпендикулярны осям. Эти результаты имеют практическое значение, так как они позволяют очень легко получать численные значения температур в упомянутых выше твердых телах, если их начальная температура постоянна, а с поверхности, происходит теплообмен в среду с постоянной температурой [95, 96]. § 16. Единственность решения задачи теплопроводности Рассмотрим задачу теплопроводности в конечной замкнутой области при. заданных начальной температуре и температуре на поверхности. Допустим, что имеется два независимых решения vl и v2 уравнений -r^- = xV2<y внутри твердого тела, v = f(x, у, z) внутри твердого тела при ? = П ' Aо.1> v = y(x, у, z, t) на поверхности. Пусть V = vx — v2. Тогда V удовлетворяет уравнениям dV -—- = xV2K внутри твердого тела, V = 0 внутри твердого тела при ? = 0, V = 0 на поверхности. Если уравнения A6.1) имеют единственное решение, то vx^v2, т. е. V^O» Рассмотрим объемный интеграл где интегрирование производится по всему объему твердого тела. Тогда A6.4)- Приняв в формуле Грина (см. соотношение G.4)) дх ' ду dz и полагая, что V удовлетворяет условиям, достаточным для того, чтобы тео- теорема Грина была справедлива (например, непрерывность V и ее первой и второй производных), получим -//'/
42 ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ [§ 16 <где интегрирование производится по всей поверхности и по всему объему твердого тела. Тогда Поскольку на поверхности V равно нулю, первый интеграл обращается .ъ нуль при условии, что dV/дп ограничена на поверхности, и мы получаем -&-=-* J J J 1Ы +Ы +Ы 'Поэтому Если мы можем утверждать, что У=0 при * = 0. A6.7) то из соотношения A6.6) следует, что У<]0 при t > 0. При этом, согласно ;<16.3), мы имеем У=0, и поскольку V непрерывно, то, следовательно, V = 0. Это классическое доказательство единственности решения приводится во многих работах. Было отмечено [97—99], что для выполнения соотношения A6.7) необхо- необходимы дальнейшие допущения, касающиеся V. В самом деле, из условия !/(х, yt z, t)->0 при t—>0 для любых фиксированных х, у, z в иссле- исследуемом объеме не вытекает, что У->0 при ?->0. В качестве простейшей иллюстраци-и этого положения рассмотрим случай одномерной полуограничен- «ой области х > 0. . Рассмотрим функцию _2 *2 V(x, t) = xt 2e ш. A6.8) Она удовлетворяет одномерному уравнению теплопроводности d2V дх2 "" при dV " dt x = Кроме того, V(x, t) = 0 при а: = 0 и сИ V(x, t)—>0 при t—>0 для любого фиксированного х > 0. Таким образом, функция A6.8) удовлетворяет уравнению теплопровод- теплопроводности и обращается в нуль при t = 0 и на границе области, однако она не обращается в нуль тождественно. Физически эту функцию можно предста- представить себе как температуру, обусловленную дублетным источником тепла <см. ниже § 8 гл. X). Она не стремится к нулю равномерно по х при ?-*() >и не ограничена в окрестности л: = 0, ? = 0, например при x==t^2. Интеграл, соответствующий A6.3), записывается в виде оо 2 — — f хЧ"^ dx — ( гс*3 У о >«, следовательно, У->оо, если t—>0. Таким образом, условие A6.7) не выполняется, и в этом случае приведенное выше доказательство единствен- единственности решения теряет силу.
§ 17] ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ 43 Для выполнения условия A6.7) должны быть сделаны дополнительные предположения относительно функции V, исключающие функции, подобные приведенной выше. Очевидно, что условие A6.7) оказывается справедливым, если мы примем, что V равномерно стремится к нулю при t->0 для лг, у, z dV dV dV no всему объему или что каждая из производных -^—, —х—, -->— меньше постоянной Ж, которая не зависит от х, у, z по всему объему и от t в интервале 0 < t ^ t0. Следует отметить, что было все же сделано несколько попыток устано- установления более общих условий, при которых решение единственно; кроме того, доказывалась единственность полученного решения в каждой специальной задаче. Аналогичное рассуждение*) можно применить и к иным граничным условиям, к анизотропной среде **) и к случаю установившейся температуры. Доказать существование решения приведенных выше уравнений еще Труднее, чем доказать единственность решения. Физическая интерпретация этих уравнений требует, чтобы решение существовало. Вопросы математи- математического доказательства таких теорем существования относятся к области чистого анализа. § 17. Теплопроводность анизотропных твердых тел Анизотропные среды ***) представляют значительный интерес для практики. Типичными примерами анизотропного вещества служат кристаллы, встречающиеся в природе некристаллические вещества (например, осадочные горные породы или древесина), а также слоистые материалы (например, используемые в технике транс- трансформаторные сердечники). Для указанных веществ результаты, приведенные в §§ 3 и 4 данной главы, не изменяются, но оказывается недействительным общепринятое положение о том, что направление вектора теплового потока в какой-либо точке нормально к изотерме, проходящей через эту точку. Простейшее основное предположение, обобщающее допущение E.3) для изотропного тела, заключается в том, что каждая компонента вектора теплового потока в точке является линейной функцией компонент темпера- температурного градиента в этой точке, т. е. что dv , „ dv_ , „ dv ду dz dv . _, dv A7.1) dv Величины Krs называют коэффициентами теплопроводности; они являются компонентами тензора второго ранга. Уравнения A7.1) можно решить относительно *) Более подробно этот вопрос обсуждается в ряде книг и статей [40, 100—112]. **) При этом использовались формула Грина G.4) данной главы для ? = Vfx и т. п., и соотношения F.3) и A7.1) той же главы. Кроме того, мы пользовались тем, что 2Ф, определенное выражением B0.3), всегда положительно. ***) Математическая теория теплопроводности кристаллов была впервые разрабо- разработана Дюамелем [113, 114] и Ламе [115] на основе гипотезы о механизме молекуляр- молекулярного излучения. Современной разработкой теории в форме, излагаемой в настоящей книге, мы, по существу, обязаны Стоксу [116]. Более полная аналитическая трактовка теории дана Буссинеском [117]. Вопросы, связанные с физикой кристаллов, подробно излагаются в работе [118]; более краткое, но зато и более современное их рассмотре- рассмотрение можно найти в книге Вустера [119]. Вследствие трудности точного измерения теплопроводности (в частности, теплопроводности кристаллов) даже в настоящее время мы располагаем лишь очень малым количеством достаточно надежных эксперимен- экспериментальных данных, и поэтому до сих пор решено лишь весьма ограниченное число спе- специальных задач.
44 ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ [§ dv n -- - и т. п. В этом случае мы получим — — = R f — — =R dv A7.2) где /?Г5 — коэффициенты сопротивления. Они могут быть записаны в виде определи- определителей, элементами которых служат величины /Сг5. Например, К 2 3^V32 где К31К23 — Къ\Кз /См 42 = К12К, 12А, 33 К2 К, Кзз A7.3) A7.4) A7.5) Аналогичным образом величины Krs можно выразить через Rrs. Следует отметить, что для некоторых задач наиболее употребительна запись через Krs* а Для ДРУГИХ — через Rrs. Если уравнения A7.2) считать основными, то их можно решить относи- относительно fXf /у, /2, выразив последние через -г—, -т—, -^—; получающийся опреде- определитель *\\\ ^<12 ^13 /?21 ^22 ^23 A7.6) #31 #32 #33 равен произведению A/А3) на присоединенный для А (или взаимный) определитель» Согласно общей теореме [120] Д'=4- A7.7) и миноры Д' равны произведению 1/Д на алгебраические дополнения соответствующих миноров А, например ^11^22 ^12^21=—д—• В первую очередь следует отметить, что в выражениях A7.1) знаки fx, fy и /г изменяются, если все компоненты температурного градиента изменяют свои знаки. Иными словами, теплопроводность вещества во взаимно противоположных направ- направлениях одинакова. Для кристаллов с центральной симметрией последнее полО/кение вытекает из соображений симметрии. К этому классу относятся 21 из 32 классов кристаллов. Кристаллы остальных И классов не имеют центра симметрии, и следует считать, что для них уравнение в форме A7.1) подтверждается экспериментами *), которые показали примерное равенство теплопроводности во взаимно противопо- противоположных направлениях. Соотношение в форме A7.1) часто применяют для описания связи между двумя векторами в анизотропной среде. Вследствие симметрии кристаллов его легко упро- упростить, выбрав оси в соответствующих кристаллографических направлениях. Резуль- Результаты, полученные для различных кристаллических систем, приведены ниже; подробное изложение этих вопросов можно найти в § 4 гл. I книги Вустера [119]. *) Эксперименты проводились с двоякопреломляющими кристаллами, например с турмалином. Сначала предполагалось, что результаты экспериментов указывают на существенную разницу в теплопроводности, но впоследствии было установлено, что эта разница очень невелика или вообще отсутствует [121, 122].
§ 17] ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ 45 Триклинная система кристаллов. Упрощение невозможно. Моноклинная система кристаллов. Все классы этой системы имеют либо ось симметрии (такую, что при повороте вокруг нее на 180° кристалл принимает положение, конгруэнтное первоначальному), либо плоскость зеркальной симметрии. Если ось z является осью симметрии или нормальна плоскости зеркальной симмет- симметрии, то коэффициенты теплопроводности образуют следующую схему: Кп Kit 0 Ktx K22 0 A7.9) 0 0 /Сзз Ниже будет показано, что, по-видимому, справедливо также равенство К2\ = /С12» но это не вытекает из соображений симметрии. Ромбическая система. Кристаллы всех классов этой системы имеют либо две перпендикулярные оси симметрии, либо ось симметрии и плоскость сим- симметрии. Если одна из осей координат выбирается вдоль оси симметрии, а другая — вдоль второй оси симметрии или в плоскости симметрии, то схема коэффициентов теплопроводности запишется в виде Кп 0 0 0 К22 0 A7Л0> 0 0 /Сзз Кубическая система. В этом случае возможен циклический обмен осей ромбической системы, и схема коэффициентов теплопроводности примет вид Кп 0 0 0 Кп 0 A7.11) 0 0 Кп Тетрагональная, тригональная и гексагональная системы. Если ось z является осью симметрии третьего, четвертого или шестого порядка, т. е. соответствует поворотам на 90°, 120° или 60°, то мы получим следующую схему коэффициентов теплопроводности: Кп Kit 0 A7.12) Кроме того, в кристаллах некоторых классов этих систем имеется ось симмет- симметрии, перпендикулярная оси zt или соответствующая плоскость симметрии; если ось х выбрана так, что она совпадает с этой осью или лежит в этой плоскости, то в выра- выражении A7.12) /С12 = 0. Существует несколько классов, принадлежащих к таким системам, для которых равенство К\2 нулю вытекает не только из соображений симметрии; однако, как будзт показано ниже, это соотношение, по-видимому, оказы- оказывается справедливым. Все приведенные выше результаты можно вывести из соображений макроско- макроскопической симметрии. Но в действительности, вероятно, можно считать, что Krs в выражениях A7.1) симметричны, т. е. Krss=Ksr для всех г и s. Отсюда следует, что /<12=0 в выражении A7.12) и К2\ = К\2 в выражении A7.9). Во многих разделах физики кристаллов, в которых встречается закон типа A7.1), классическая термодинамика позволяет сделать вывод о симметричности коэффициен- коэффициентов теплопроводности, т. е. о том, что Kr$== KSr В данном случае общее доказа- доказательство такого положения невозможно, и поэтому, чтобы показать симметричность коэффициентов теплопроводности, следует обратиться к эксперименту. По этой при- причине математическая теория обычно развивается без использования предположения о симметрии; рассчитав эффекты асимметрии, их сравнивают с экспериментом (см. § 19 данной главы). Недавно было опубликовано доказательство закона симметрии, основанное на принципе Онзагера о микроскопической обратимости [123—126] *). Кп — К\2 0 Ki2 Кп 0 0 0 /Сзз *) Необходимо отметить, что уравнение теплопроводности (см. A8.1)), которое, по существу, является выражением первого закона термодинамики, содержит вели- величины Krs только в виде (Krs-\-KSr)> и поэтому симметрия последних или отсутствие ее не влияют на выводы из этого уравнения. Эффекты антисимметрии выявляются только при определении направления вектора теплового потока.
46 ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ [§ 1& Часто приходится пользоваться формулами преобразования координат. Предпо- Предположим, что мы хотим перейти к новой системе прямоугольных осей х', у', zr, на- направляющие косинусы которых, отнесенные к старой системе, соответственно равны (Сц, с21, c3i), (с12, с22, с32), (с13» с23, Сзз)- Тогда коэффициенты теплопроводности K\k% отнесенные к системе (х'у у', zr), запишутся в виде з з ^*=2 liWskKrs* A7ЛЗ> Г=1 5=1 тогда как Krs будут выражаться через K'ik следующим образом: 3 3 2 «г а**»- A7Л4> Эти выражения являются законами преобразования для тензора второго ранга (доказательство и приложение изложены в книге Вустера [119]). Те же законы пре- преобразования применимы и для Rrs. Наиболее важным примером некристаллического анизотропного тела является ортотропное твердое тело, которое имеет различные коэффициенты теплопро- теплопроводности К\у К2> Къ в трех взаимно перпендикулярных направлениях. Приняв их за оси Ху у и 2У получим '*—*•&• '»--*•?. '•--*•&• A7Л5> С другой стороны, для таких веществ, как древесина, коэффициенты теплопро- теплопроводности которой Ки Кг и Къ в направлениях г, 0, z системы цилиндрических коор- координат [70] (т. е. в направлении по лучам, кольцам и по оси дерева) неодинаковы, тепловые потоки в указанных направлениях соответственно равны § 18. Дифференциальное уравнение теплопроводности для анизотропных твердых тел Теперь приступим к разработке теории, основанной на общем допущении A7.1). В данном случае остается справедливым уравнение F.3), и, подставляя в него выра- выражения A7.1), мы получим следующее уравнение теплопроводности при условии, что среда однородна и что в ней отсутствуют источники тепла: dv .. d2v . j. d2v , j, d2v . ... , ^ d2v . ^. A8.1) Распространение указанного уравнения на другие случаи производится так же, как и в § б настоящей главы. Рассмотрим теперь квадратичную форму *) Кпх2 + К22У2 + Кзз*2 + («23 + К32) У2 + (Ksi + Kis) zx + (К12 + К21) ху = const. A8.2) Известно, что соотношение A8.2) можно преобразовать к новой системе прямо- прямоугольных координат 6, т), С таким образом, чтобы его левая часть превратилась в сумму квадратов К^2 + К2 + К^ A8.3) Пользуясь теми же переменными, приведем уравнение A8.1) к виду dv .. d2v , .. d2v , .. d2v l1OiK *c-dr = Kl-W + K2-W+K3-dV" <1&4) Эти новые оси называют главными осями теплопроводности, а коэффициенты Ки %2* Къ — главными коэффициентами теплопроводности. Из соотношений *) Ниже будет показано, что /Сц^-0, /С22>-0>
§ 18] ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ АЪ A7.9) — A7.12) следует, что если кристалл обладает осями симметрии, то-они служат также главными осями теплопроводности. Если мы проведем дополнительное преобразование системы координат, а именно положим К у/2 / К \1/2 г г( К\1/2 где К можно выбрать произвольно, то уравнение A8.4) запишется следующим образом: dv К ( d2v d2v d2v\ + + ) т. е. примет тот же вид, что и уравнение F.4) для случая изотропного твердого тела. Итак, это преобразование позволяет свести решение задач для анизотропных твердых тел к решению соответствующих задач для изотропных твердых тел в сле- следующих случаях: когда тело не ограничено, когда оно ограничено плоскостями, перпендикулярными главным осям теплопроводности, и (в случае /B = /Сз) когда тело ограничено плоскостями, перпендикулярными оси 5 и круговыми цилиндрами, ось которых совпадает с осью 6. В большинстве других случаев ограничивающие поверх- поверхности искажаются; например, сечение кругового цилиндра с осью, направленной вдоль одной из главных осей, становится эллиптическим. Для однородных ортотропных твердых тел, для которых справедливо соотно- соотношение A7.15), уравнение теплопроводности имеет вид pc'dr=0' A8J) тогда как для твердых тел с цилиндрической симметрией, т. е. когда справедлива- выражение A7.16), уравнение теплопроводности примет вид dv\ K2 d2v d*v dv J+ + /fpe0 Ниже будет описан ряд важных специальных случаев, для которых дифферен- дифференциальное уравнение сохраняет только одну или две пространственные переменные. I. Температура зависит только от х. Вследствие симметрии этот случай можно свести к случаю потока тепла в по- полуограниченном твердом теле или в пластине с поверхностями, перпендикулярными _, dv dv Л оси ху и с граничными условиями, не зависящими от) и z. Тогда -^— = -^— = 0 и- соотношения A7.1) примут следующий вид: — /"г = ^i 1 3с" * —^y=z^2l'djci —^г ==^31 ~5лГ# A8.9)' Кроме того, дифференциальное уравнение A8.1) преобразуется к виду Таким образом, вся теория, излагаемая в гл. II и III, оказывается правильной для анизотропного твердого тела при условии, что Если для оси х направляющие косинусы относительно главных осей-теплопро- осей-теплопроводности равны /, /и, п, то из выражения A7.13) следует, что Кп = l2Ki + т2К2 + п*Кг. A8.12). После того как найдено v, из A8.9) определяются тепловые потоки /г, /у, /г и тогда оказывается, что вектор теплового потока направлен не по нормали к изотер- изотермам. Эти результаты следуют из общей теории, приводящей к. соотношению B0.15). данной главы.
48 ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ [§ 19 II. Тепло течет только в направлении х. Это имеет место в тонком стержне, ось которого совпадает с осью х. Тогда /y = /2 = 0 и из соотношения A7.2) получим Л/ 0Л«/х. —^-=Л31/Ж. A8.13) Воспользовавшись соотношением F.3), можно записать теперь дифференциаль- дифференциальное уравнение A8.1) в виде 1 d2V dv л ,лолл\ *сж=°- (Ш4) Тогда мы получим уравнение линейного потока тепла, где 1 A8.15) Следует отметить, что /?п не равно -тт—, а определяется соотношением A7.3). Если для оси х направляющие косинусы относительно главных осей равны /, т, п, то из A7.13) мы получим для Rrs выражение Rrs = -— -\~-7r—г"~77~ ПРИ f = $ и ^г5 = 0 при г Ф s. A8.16) Это выражение выводится в общем виде (см. B0.25)). Таким образом, теорией о распространении тепла в стержне, изложенной в гл. IV, можно пользоваться для кристаллических стержней при условии, что величина х определяется соотношением A8.15). III. Температура зависит только от х и у. Это имеет место в случае распространения тепла в неограниченном цилиндре с осью, параллельной оси z, и при граничных условиях, не зависящих от z. Так как dv —т— = 0, то уравнение A8.1) принимает вид и тепловые потоки определяются соотношениями A7.1) при -^— == 0. Следует отме- отметить, что /гфО. Этот случай менее важен, чем случай двумерного течения тепла в тонкой пластине (/2 = 0), который подробно рассматривается в следующем параграфе. § 19. Теплопроводность тонкой кристаллической пластины Двумерный случай проводимости интересен тем, что он иллюстрирует основные черты общего случая; кроме того, в нескольких важных методах определения тепло- теплопроводности используются тонкие кристаллические пластины. В данном параграфе будет рассмотрена общая теория распространения тепла в такой пластине без каких- либо предположений о ее симметрии. Выберем оси хну так, чтобы они лежали в плоскости пластины, т. е. предпо- предположим, что поток тепла в направлении z отсутствует (/2 = 0); тогда выражения A7.2) принимают вид Решая их относительно /х и /у и используя соотношения A7.3), A7.4) и A7.8), получим где #31^13 is' КпКгЪ — ^13^32 /iq о\ ' *12= КГ ' ( } /iq a\
§ 19] ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ 49 Эти четыре величины Кп и т. д. можно назвать коэффициентами теплопровод- теплопроводности для тонкой пластины в плоскости ху\ они сводятся к /Сц и т. д. только тогда, когда одна из величин Кп и Кг\> а также одна из величин /С2з и Кы превращаются в нуль. Подставляя соотношения A9.2) в F.3), мы получаем уравнение теплопроводности при установившемся состоянии Можно записать его и в другом виде, а именно в виде гJ <rt д2ч) rJff Я221?-№2 +Д21)-^ + Ям-|J=0. A9.6) Относя уравнение A9.5) к главным осям ?, г\ (как и в § 18), получим где ATj и /Сз можно назвать главными коэффициентами теплопроводности в пло- плоскости (здесь штрих используется для того, чтобы отличать эти коэффициенты от главных коэффициентов теплопроводности в трехмерном случае (см. § 18), с кото- которыми они могут совпадать в специальных задачах). Компоненты теплового потока, отнесенные к тем же главным осям, должны принять вид так как уравнение теплопроводности A9.7) в этих координатах не содержит члена ¦ g d э сравнивая полученные уравнения с уравнением A9.5), мы видим, что для их удовлетворения сумма коэффициентов при ду/д-ц в соотношении A9.8) и при dv/dt в соотношении A9.9) должна быть равной нулю. К[, К% и А могут быть, в принципе, определены из коэффициентов в соотношениях A9.1) и A9.2). В качестве примера, имеющего большое практическое значение, определим изотермы и линии тока тепла для случая постоянного притока тепла к пластине в начале координат. Напишем соотношения, аналогичные A8.5): () ' ( Тогда уравнение A9.7) примет вид при радиальной симметрии его решение запишется в виде + 714 mln(X + XY 09.12) где т — константа. Подставляя это выражение в соотношения A9.8) и A9.9), получим Общее количество тепла, проходящее через круг радиусом а с центром в начале координат и рассчитанное на единицу толщины пластины, равно Q = f (Д cos 0 + /^ sin 6j a rfO. о 4 Г. Карслоу, Д. Егер
50 ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ [§ Используя выражения A9.13) и считая € = a cos 0, т\ = a sin О, получим A9.14) т. е. находим, что Q не зависит ни от а, ни от А. Подставляя в выражение A9.12) величину /и, определяемую соотношением A9.14), мы получаем установившуюся тем- температуру, обусловленную наличием в начале координат источника тепла мощностью Q. Изотермы образуют семейство эллипсов -Ц- + -V = const. К[ ^ К'2 Направление вектора теплового потока определяется соотношением A9.15) A9.16) Если Л = 0, то он направлен радиально от источника (но не перпендикулярна эквипотенциальным линиям). На рис. 3, а показаны эквипотенциальные линии, а также а) б) Рис. 3. линии тока тепла, т. е. кривые, направление которых в каждой точке совпадает с направлением вектора теплового потока. Если А ф 0, то дифференциальное уравнение линий тока тепла имеет вид A9.17) Решение его записывается следующим образом: -^ A In const. A9.18) Кривые, соответствующие соотношению A9.18), образуют семейство спиралей, которые показаны на рис. 3, б. В плоскости (glt t\x) при К[ = К^ спирали изогональны к окружностям. Следовательно, если так называемый «вращательный> член А не равен нулю, то направление течения тепла от точечного источника в неограниченной пластине будет таким, как показано на рис. 3, б. Если в пластине имеется радиаль- радиальная трещина, то тепло не сможет течь по этим спиралям и, следовательно, между двумя сторонами трещины должна возникать разница температур. Тот факт, что в экспериментах подобного типа не было обнаружено никакого различия температур, указывает, что А мало. Другие методы показали [127], что А составляет менее одной тысячной К\ или АГ2. Эллиптическая форма изотерм (см. соотношение A9.15)) была использована для определения отношения главных коэффициентов теплопроводности —;¦» причем
§ 20] ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ 51 для демонстрации изотерм на поверхность кристаллической пластинки наносилась тонкая пленка воска [128—130]. Для случая линейной теплопередачи между поверхностью пластины и внешней средой при нулевой температуре и теплового потока, равного Hv, уравнение для стационарного режима (которое находят так же, как в § 4 гл. V), написанное относи- относительно главных осей в плоскости, имеет вид где D — толщина пластины. Решением этого уравнения, соответствующим установив- установившемуся потоку тепла от точечного источника, служит A9.20) где /Со — функция Бесселя, определенная в приложении 3. И в этом случае изотермы имеют вид эллипса (см. соотношение A9.15)), и проведенное выше рассуждение остается справедливым. § 20. Изменение теплопроводности и вектор теплового потока в анизотропных твердых телах В анизотропной среде направление вектора теплового потока /т в какой-либо точке, вообще говоря, не совпадает с направлением нормали к изотерме, проходящей „ dv dv через эту точку. Пусть -т— и -^ скорости изменения температуры вдоль нормали к изотерме, проходящей через точку Р и вдоль направления вектора теплового потока в точке Р соответственно. Рассмотрим сначала направление вектора теплового потока в точке Я. Его на- направляющие косинусы имеют вид -й-, -г-- т1 B01> /да J да J тп и, следовательно, используя A7.1), можно написать dv fx dv fy dv fz dv 2Ф ~dm ~~ 7даГ + 7да~ 7 + 7да~ ~5F ~~ ~~ Тда" я §^ ^г^. B0.3) Однородная квадратичная форма B0.3) равна — fm(dv/dm), и из физических сообра- соображений ее величина не зависит от выбора осей. Далее, поскольку производная dv/dm должна быть отрицательной, если /т положительно, форма B0.3) будет положи- положительно определенной. Для этого необходимо, чтобы /<22>0, /Сзз>0. B0.4) Из соотношения B0.2) следует, что . „ dv „ 2Ф /ОЛСЧ /да = —^да^—» где Km = / л ч» * B0.5) dm /Jv\* \dm) Km можно назвать коэффициентом теплопроводности в направлении вектора теплового потока в точке Р. Теперь рассмотрим нормаль к изотерме, проходящей через точку Р. Напра- Направляющие косинусы X, fx, v задаются соотношениями , 1 dv I dv I dv B06)
52 ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ [§ 20 {(?)(?)№)}• Отсюда следует, что dv . dv . dv . dv A /ПЛО. Кроме того, из соотношения C.2) следует, что тепловой поток /л в направлении, перпендикулярном к изотерме в точке Р, записывается в виде fn =* Wx + M-/y + v/2 = — — B0.9) или в виде /„ = —/С„^~, где /<я = __. B0.10) Коэффициент /С/1 можно назвать коэффициентом теплопроводности по нормали к изотерме в точке Р. Величины Кт и Кп, определяемые соотношениями B0.5) и B0.10), не зависят от выбора осей. Теперь посмотрим, каким образом Кп меняется в зависимости от направляющих косинусов (X, fx, v) нормали к изотермической поверхности. Подставляя их величины, определяемые B0.6), в соотношения B0.3) и B0.10), получим Кп = /С, ,Х2 + /<22(х2 -f /<33v2 + (/C23 + Кг2) ^ + (Кы + Кп) vX -f (Kl2 + K2i) X{x. B0.11) Если отложить отрезки kK^2 (где k — константа) в направлении (X, p., v), то геометрическое место их концевых точек Q с координатами х = k\K~ Ч у = kiiK~ Ч * = Ь/С"Vz B0.12) имеет вид эллипсоида + Кгз) *¦* + (*11 + *2i> *У = ^2, B0.13Г с которым мы уже встречались в § 18 (см. соотношение A8.2)). Как можно видеть, в таком эллипсоиде квадрат радиуса-вектора, проведенного в точку эллипсоида, в которой направление нормали к эллипсоиду совпадает с направлением радиуса- вектора, обратно пропорционален коэффициенту теплопроводности по нормали. Так же как и в § 18, можно найти систему прямоугольных координат ?, т), С, относительно которой соотношение B0.13) примет вид К?2 + К2у\2 + /С3С2 = *2, B0.14) где /Сь Къ Кз — главные коэффициенты теплопроводности. Тогда коэффициенты теплопроводности по нормали к изотермам (направляющие косинусы нормали относи- относительно главных осей теплопроводности равны (/, т> п)) окажутся равными ?2/г2, где г — радиус-вектор в направлении (/, /и, п). Другим способом это можно записать следующим образом: Кя = l2Ki + т*К2 + пЩ* B0.15) Обычно при проведении основного эксперимента (см. § 2 настоящей главы) на плоской тонкой пластине кристалла (вырезанной таким образом, что нормаль к нему имеет направляющие косинусы относительно главных осей теплопроводности кристалла, равные /, /и, п) измеряется именно этот коэффициент Кп- Для очень важного специального случая, когда К\ = К2 и п = cos 6 (т. е. для любого направления, образующего угол в с осью симметрии эллипсоида), соотноше- соотношение B0.15) принимает вид Кп = Кх + (Кг — Кх) cos2 в. B0.16) Обратимся теперь к тепловым потокам через плоскости, перпендикулярные глав- главным осям теплопроводности. Если переход из системы jc, у, z (см. соотношение B0.13)) в систему ?, т), С (см. B0.14)) записывается в явном виде, то величины тепловых потоков Д, / , /с через новые координатные плоскости можно получить из соотно- соотношений A7.1) и C.2). Однако и без этого ясно, что новые соотношения для тепловых
§ 20] ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ 53 потоков должны иметь вид dv rdv dv B0.17) так как, повторяя вывод соотношения B0.13) из A7.1), приходим к выражению B0.14), которое состоит из суммы квадратов. Таким образом, при переходе к главным осям теплопроводности в линейной зависимости между тепловыми потоками и производ- производными температуры появляется самое большее шесть независимых коэффициентов. Далее, так же как и в двумерном случае, рассмотренном в § 19 настоящей главы, есть все основания полагать, что так называемые «вращательные» члены А В, С стремятся к нулю, и следовательно, соотношения B0.17) принимают вид Из формулы для перехода к новым осям легко показать, что равенство А = В = С = 0 означает симметрию коэффициентов теплопроводности, т. е. для любой системы прямоугольных осей в формуле A7.1) мы должны считать, что Kl2 = K2i, К2з=К*2, АГз! = Ki3. B0.19) Наконец, определим направление вектора теплового потока и выясним, каким образом изменяется в этом направлении теплопроводность Кт\ ПРИ этом мы пред- предполагаем, что справедливо соотношение B0.19) и, следовательно, тепловой поток определяется соотношениями B0.18). В соотношении B0.14) точка (?, т), С) была выбрана на радиусе-векторе, перпен- перпендикулярном изотерме, проходящей через точку Я, т. е. с г dv dv dv S:i):C==-g!-:i^:ir- Используя этот результат, а также B0.18), получим dv dv dv 6 т) С Kfi /V27) АГзС v Квадрат каждого отношения в соотношении B0.20) равен dv . х dv . , dv +Ч+Л А+А+Л B021) Используя B0.2) и B0.14), получим где OR — радиус-вектор точки с координатами (Х= К& К = АГа^, Z= АГзС). Согласно соотношениям B0.20) направление OR совпадает с направлением вектора теплового потока. Следовательно, теплопроводность Кт в этом направлении равна B0.23) Итак, из соотношения B0.14) следует, что (Х> К, Z) лежит на эллипсоиде ? + ?.+ ** B0.24) Ал *\2 Аз Таким образом, если направление вектора теплового потока относительно глав- главных осей теплопроводности задается направляющими косинусами /, т> л, то тепло- теплопроводность Кт в этом направлении определяется соотношением 4 -1Г + ТГ + 1Г- B025) Km Ai Аг Аз
54 ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ [§ 20 Это и есть теплопроводность, которая обычно измеряется в экспериментах с длин- длинным тонким стержнем, вырезанным в направлении (/, /и, п). Если /С, = /С2, а п = cos 0, то соотношение B0.25) принимает следующий вид *): B026> Эллипсоид, описываемый B0.24), был назван Ламе главным эллипсоидом; иногда его называют термическим эллипсоидом. Он дает геометрическое предста- представление об изменении теплопроводности. Из рассмотрения эллипсоидов, описываемых соотношениями B0.14) и B0.24), можно сделать множество геометрических выводов о свойствах теплопроводности, направлениях вектора теплового потока и нормалей к изотермам. Например, из по- последних трех уравнений B0.20) следует, что если нормаль к изотерме в некоторой точке имеет направление (?, tj, С), то направление вектора теплового потока в ука- указанной точке перпендикулярно плоскости, касательной к эллипсоиду B0.14) в точке (?, •»!, С). С другой стороны, если в некоторой точке известно направление вектора теплового потока (X, К, 2), то нормаль к изотерме, проходящей через указанную точку, перпендикулярна плоскости, касательной к эллипсоиду B0.24) в точке (Х> К, Z). ЛИТЕРАТУРА 1. International Critical Tables, vol. V, McGraw-Hill, 1929. / 2. Birch, Schainer, Spicer, Handbook of Physical Constants, Geol. Soc. of America, Special papers, No. 36 A942). 3. Van derHeld, Appl. Sci. Res. A3, 237—249 A953). 4. Van der Held, Appl. Sci. Res. A4, 77—99 A954). 5. Van Dusen, J. Res. Nat. Bur. Standards 4, 753—756 A930). 6. Eyres, Hartree, Ingham, Jackson, Sarjaut, Wagstaff, Phil. Trans. Roy. Soc A240, 1—58 A946). 7. Kirchhoff, Vorlesungen fiber die Theorie der Warme, 1849. 8. Vernotte, С R. Acad. Sci. 218, 39—41 A944). 9. Curtis, High Frequency Induction Heating, McGraw-Hill, 1944. 10. Brown, Proc. IRE 31, 537—548 A943). 11. M a d dock, J. Sci. Instr. 23, 165—173 A946). 12. Brown, Hoyler, Bierwirth, Radio Frequency Heating, van Nostrand, 1947. 13. Jeffreys, The Earth, Cambridge, ed. 3, p. 276, 1952. 14. Low an, Phys. Rev. 44, 769—775 A933). 15. Proc. Am. Concr. Inst. 31, 113 A934). 16. Proc. Am. Concr. Inst. 34, 89, 105, 117, 477, 497 A937). 17. Temperature, its Measurement and Control in Science and Industry, Am. Inst. Phys., 1941. 18. Davey, Fox, Building Research Technical Paper, No. 15, London, H. M. S. O^ 1933. 19. Ra whouser, J. Am. Concr. Inst. 16, 305 A945). 20. A wbery, Phil. Mag. 4, 629—638 A927). 21. Jaeger, Brit. J. Appl. Phys. 3, 221—222 A952). 22. С г a n k, Nicholson, Proc. Camb. Phil. Soc. 43, 50—67 A947). 23. Nichols, P г e s s о n, J. Appl Phys. 25, 1469—1472 A954). 24. Goheen, J. Math. Phys. 28, 107—116 A949). 25. Rice, J. Chem. Phys. 8, 727 A940). 26. G о о d 1 e t, E d w а г d s, P e г г у, J. Instn. Elect. Engrs 69, 695 A931). 27. Hartree, Mem. Manchr. Lit. Phil. Soc. 80, 85 A935). 28. J e f f г е у s, Proc. Camb. Phil. Soc. 26, 101—106 A930). 29. Lap wood, Month. Not. R. Astr. Soc, Geophys. Suppl. 6, 402—407 A952). 30. D u h a m e 1, J. Ec. polyt., Paris, 15, Can. 25, 1—57 A837). 31. Wilson, Proc. Camb. Phil. Soc. 12, 406—423 A904). 32. В о u s s i n e s q, Theorie analytique de la chaleur, т. II, Gauthier-Villars, 1903. 33. Jef f reys, Phil. Mag., 35, 270—280 A918). 34. Goldstein, Modern Developments in Fluid Dynamics, Oxford, 1938, v. II. (С. Гольдштейн, Современное состояние гидроаэродинамики вязкой жид- жидкости, М., 1948, т. II). 35. G г б b е г, Е г k, G г i g u 1 1, Warmeubertragung, Springer, ed. 3, 1955, p. 179. *) Это соотношение было экспериментально подтверждено Бриджменом [131, 132].
ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ 55 36. Jakob, Heat Transfer, Wiley, 1949, p. 451. (M. Якоб, Вопросы теплопередачи, ИЛ, 1960, перев. с изд. 1957 г.) 37. Lamb, Hydrodynamics, Cambridge, ed. 4, 1916. (Г. Л а м б, Гидродинамика, Гос- техиздат, 1947, перев. с 6-го изд.) 38. S у n g e, Quart. Appl. Math. 13, 271—278 A955). 39. Е с к а г t, Phys. Rev. 58t 267—269 A940). 40. Gours at, Gnirs d'Analyse, Gauthpier-Villars, ed. 3, 1917. (Э. Гурса, Курс математического анализа, ГТТИ, 1933, перев. с 5-го изд.) 41.McLachlan, Phil. Mag. 36, 600 A945). 42. М с L а с h 1 a n, Phil. Mag. 37, 216 A946). 43. Tranter, Quart J. Mech. Appl. Math. 4, 461—465 A951). 44. M a t h i e n, Cours de Physique Mathematique, Paris, 1873, Chap. 8, 9. 45. N i v e n, Phil. Trans. Roy. Soc. 171, 117 A879). 46. Fishenden, Saunders, Heat Transfer (Oxford, 1950). 47. M с A d a m s, Heat Transmission, McGraw-Hill, ed. 2, 1942. (В. Мак-Адаме, Теплопередача, ОНТИ, 1936, перев. с 1-го изд.) 48. Fox, Phil. Mag. 18, 209—227 A934). 49. J a e g е г, Ргос. Camb. Phil. Soc. 46, 634—641 A950). 50. М a n n, W о 1 f, Quart. Appl. Math. 9, 163—184 A951). 51. P e d d i e, Proc. Edin, Math. Soc. 19, 34—35 A901). 52. M а г с h, W e a v e r, Phys. Rev. 31, 1072—1082 A928). 53. Schumann, Phys. Rev. 37, 1508—1515 A931). 54. Peek, Ann. Math. Princeton B) 30, 265 A929). 55. L anger, Tohoku Math. J. 35, 260—275 A932). 56. Low a n, Phil. Mag. 17, 849—854 A934). 57. J a e g e r, J. Proc. Roy. Soc N. S. W. 74, 342—352 A940). 58. J ae g e r, J. Proc. Roy. Soc. N. S. W. 75, 130—139 A941). 59. J a e g e r, Aust. J. Phys. 9, 167—179 A956). 60. В 1 а с k w e 1 1, J. Appl. Phys. 25, 137—144 A954). 61. G a s k e 1 1, Am. J. Math. 64, 447—455 A942). 62. Chao.Weiner, Quart. Appl. Math. 14, 214—217 A956). 63. Barrer, Diffusion in and through Solids, Cambridge, 1941. (P. Бэр pep, Диффу* зия в твердых телах, ИЛ, М., 1948.) 64. J а с о b s, S t а г г, Rev. Sci. Instr. 10, 140 A941). 65. Jaeger, Quart. J. Mech. Appl. Math. 8, 101—106 A955). 66. W h i p p 1 e, Phil. Mag. 45, 1225—1236 A954). 67. I n g e г s о 11, J. Opt Soc. Am. a. Rev. Sci. Instr. 9, 495 A924). 68. Griff it hs, Proc. Phys. Soc. 41, 151 A928). 69. Dictionary of Applied Physics. 70. G г i f f i t h s, К а у e, Proc Roy. Soc. A104, 71 A923). 71. Crank, The Mathematics of Diffusion, Oxford, 1956. 72. Jos t, Diffusion, Academie Press, 1952. 73. Babbitt, Canad. J.» Res. A28, 449—474 A950). 74. Hill, Proc. Roy. Soc. В104, 39—96 A929). 75. Thews, Acta Biotheoretica A10, 105—138 A953). 76. Danckwerts, Trans. Faraday Soc. 47, 1014—1023 A951). 77. Keynes, Proc. Roy. Soc. B142, 359—382 A954). 78. G i b s о n, H e n k e 1, Geotehcnique 4, 6—15 A954). 79. Henry, Proc. Roy. Soc. A171, 215 A939). •80. Riemann-Weber, Die Differential und Integralgleichungen der Mechanik und Physik, ed. Frank, Vieweg, 1927, Bd. 2. (Ф. Франк и Р. Мизес, Дифферен- Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики, ч. II, ОНТИ, 1937.) 81. Furth, Geofis. Рига ё Appl. 31, 80—89 A955). 82. D a v i e s, Proc. Roy. Soc. A200, 100—113 A949). 83. Hulburt, Phys. Rev. B) 31, 1018 A928). 84. M а г s h a k, Rev. Mod. Phys. 19, 185—238 A947). 85. S n e d d о n, Fourier Transforms, McGraw-Hill, 1951. (Снеддон, Преобразова- Преобразование Фурье, ИЛ, М., 1955.) вб. Goldstein, Proc Lond. Math. Soc. 34, 51 A932). 87. М с Е w e n, J. Marine Res. 7, 188—216 П948). 88. С а г s 1 a w, Jaeger, Operational Methods in Applied Mathematics Oxford, ed. 2, 1947, Chap. 9. (Г. К а р с л о у и Д. Е г е р, Операционные методы в прикладной математике, ИЛ, М., 1948, перев. с 1-го изд. 1941 г.) 89. Musk at, The Flow of Homogeneous Fluids through Porous Media, McGraw-Hill, 1937, Chap. 10 90. Rosenhead, Miller, Proc Roy. Soc. A163, 298—317 A937).
56 ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ 91. Hantush, Jacob, Trans. Am. Geophys. Union. 36, 95—112 A955). 92. Memoire sur la methode generate relative au mouvement de la chaleur dans les corps solides plonges dans les mileux dont la temperature varie avec le temps, J. Ec. polyt. Paris 14, Cah. 22, 20 A833). 93. Bartels, Churchill, Bull. Am. Math. Soc. 48, 276 A942). 94. Danckwerts, Trans. Faraday Soc. 47, 1014—1023 A951). 95. Newman, Ind. Eng. Chem. 28, 545 A936). 96. О 1 s о n, S с h u 11 z, Ind. Eng. Chem. 34, 874 A942). 97. Doetsch, Math. Z. 22, 293 A925). 98. Doetsch, Math. Z. 25, 608 A926). 99. Doetsch, Enseign. math. 35, 43 A936). 100. Titchmarsh, Fourier Integrals, Oxford, 1937, pp. 281—283. (Э. Титчмарш, Введение в теорию интегралов Фурье, Гостехиздат, 1948, перев. с 1-го изд.) 101. Тихонов, Математический сборник 42, 199—216 A935). 102. Churchill, Am. J. Math. 61, 651 A939). 103. Mersman, Bull. Am. Math. Soc. 47, 956 A941). 104. Widder, Trans. Am. Math. Soc. 55, 85—95 A944). 105. Widder, Trans. Am. Math. Soc. 75, 510—525 A953). 106. Coop e r, J. Lond. Math. Soc. 25, 173—180 A950). 107. В i г k h о f f, К о t i k, Proc Am. Math. Soc. 5, 162—168 A954). 108. К a m p ё de F ё г i e t, С R. Acad. Sci. 236, 1527—1529 A953). 109. Fulks, Pacific J. Math. 2, 141—145 A952). 110. Fulks, Pacific J. Math. 3, 387—391, 567—583 A953). 111. H а г t m a n, W i n t n e r, Am. J. Math. 72, 367—395 A950). 112. Rayner, Quart. J. Mech. Appl. Math. 6, 385—390 A953). 113. Duhamel, J. Ec. polyt. Paris 13, Cah. 21, 356 A832). 114. Duhamel, J. Ec. polyt. Paris 19, Cah. 32, 155 A848). 115. Lame, Lecons sur la theorie de la chaleur, Paris, 1861. 116. Stokes, Camb. and Dublin Math. J. 6, 215—238 A851). 117. В о u s s i n e s q, Theorie analytique de la chaleur, Paris, 1901. 118. Voigt, Lehrbuch der Krystallphysik, Leipzig, 1910. 119. Wooster, Text-book on Crystal Physics, Cambridge, 1949. 120. В б с h e r, Higher Algebra, Macmillan, 1924. 121. Thomson, Lodge, Phil. Mag. E) 8, 18 A879). 122. Stenger, Wied. An. 22, 522 A884). 123. С г a n d a 11, Physica 21, 251—252 A955). 124. Casimir, Rev. Mod. Phys. 17, 343—350 A945). 125. Onsager, Phys. Rev. 37, 405 A931). 126. Onsager, Phys. Rev. 38, 2265 A931). 127. Voigt, Gott. Nach. 223 A896). 128. S e n а г m о n t, С R. Acad. Sci. 21, 459, 707, 829 A847). 129. Von L a n g, Pogg. Ann. 135, 29 A868). 130. Roentgen, Pogg. Ann. 151, 603 A874). 131 В r i d g m a n, Proc. Am. Acad. Arts. Sci. 61, 101 A925). 132. H u m e - R о t h e г у, The Metalic State, Oxford, 1931, Chap. IV*
ГЛАВА И ЛИНЕЙНЫЙ ПОТОК ТЕПЛА. НЕОГРАНИЧЕННОЕ И ПОЛУОГРАНИЧЕННОЕ ТВЕРДОЕ ТЕЛ© § 1. Введение. Простые решения уравнения для линейного потока тепла В этой главе мы рассмотрим различные задачи, в которых изотерми- изотермические поверхности представляют собой плоскости, параллельные плоско- сти л; = 0, поток тепла линеен и линии тока параллельны оси х. Получаю- Получающиеся результаты применимы и к задаче о потоке тепла вдоль прямолиней- прямолинейного стержня малого поперечного сечения в отсутствие теплообмена на его боковой поверхности. Задачи, в которых это условие не выполняется, рас- рассматриваются в гл. IV. После того как мы найдем решение для неограниченного тела, мы при- приступим к детальному изучению многих важных задач о линейном тепловом потоке в полуограниченном твердом теле, т. е. в твердом теле, которое ограничено плоскостью х = О и простирается до бесконечности в положи- положительном направлении оси л:. Во всех случаях предполагается, что терми- термические характеристики тела во всех его точках одинаковы и не зависят от температуры. Распространение этой задачи на переменные термические харак- характеристики рассматривается в § 16 настоящей главы. Уравнение для линейного потока тепла записывается в виде Сначала укажем ряд простых решений этого уравнения *). В дальнейшем все они будут встречаться во многих местах настоящей книги одновременно с истолкованием их физического смысла. I. Истокообразное решение. Рассмотрим выражение u=f2e"Axt. A.2) Поскольку dt _ * с ш i!fi= * e-& | - c dx2 2^V, ^ 4x3t4, *) Связь между различными решениями уравнения A.1) дается в работе^!]*
58 ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЙ ПОТОК ТЕПЛА [§ 1 выражение A.2) является частным решением уравнения A.1). Для этого решения справедливы следующие соотношения: а—*0 при t—>0 для фиксированного хфО, #—>оо при t—>0 для л; = 0 и оо Г и dx = 2 (icx)Vl при всех t > 0. —оо Таким образом, его можно считать решением, соответствующим случаю выделения количества тепла 2pc(icxI/l с единицы площади в плоскости х = 0 в момент времени / = 0. Ясно, что ряд других решений уравнения A.1) получается дифферен- дифференцированием (или в некоторых случаях интегрированием) выражения A.2) по х или по t. II. Решение в виде функции ошибок. Как мы видим, уравнению A.1) удовлетворяет также х X 1 Х2 i 2(rt)xlt 0 0 Введем обозначение *) X Ф(х) = -ф=- f e-z2db A.3) 6 которым мы в дальнейшем всегда будем пользоваться, и покажем, что дфГ х где А — произвольная постоянная, является решением уравнения A.1). Для «функции ошибок», определенной A.3), справедливы следующие соотношения: ф@) = 0, Ф(оо)=1, Ф(—х) = — Ф(х). A.5) В приложении 2 приведены еще некоторые данные, а также таблицы числовых значений. Мы будем часто пользоваться, кроме того, следующими обозначениями: ф* (jc) = 1 — Ф (а:), A.6) оо i<&*(x) = №*(x) = f <&*$)dt% A.7) X оо i«O*(jc)= J i"-i<$*(l)dl n = 2, 3, 4, ... A.8) X III. .Решения вида tmf\ x .. 1. LD^I/2J Можно доказать, что выражение такого типа удовлетворяет уравне- уравнению A.1), если /(г),служит решением дифференциального уравнения *) Эту функцию иногда обозначают также символом erf. (Прим. ред.)
§ 2] гл. :т. линейный поток тепла 59 Это уравнение совпадает с уравнением A6) приложения 2, и поэтому, если п — целое число, то выражение п\Л\ A.10) служит решением*) уравнения A.1). IV. Решение в виде экспонент. Простое дифференцирование сразу же показывает, что выражение Рехр(хЛ2* ± Ах) A.11) (где Р и А — постоянные), как действительное, так и комплексное, удовле- удовлетворяет уравнению A.1). V. Решение для установившегося состояния. Для случая, когда v не зависит от времени, решение уравнения A.1) записывается в виде Ах-{-В, A.12) где А и В — постоянные. Было показано [6], что выражения A.4), A.11) и A.12) служат (если не считать тривиальных их модификаций, например при замене х на х + а) единственными решениями уравнения A.1), имеющими вид 0 VI. Решение в виде двойного степенного ряда. Легко проверить путем подстановки, что выражение 12х2*2) + а5 (х5 + 20хл;3* + а6 (х6 Н- ЗОха:4^ + 180х2л:^2 + 120x3^3) + .. ., A.13) где а0, av ...—постоянные, удовлетворяет уравнению A.1). VH. Решение, содержащее две произвольные функции времени. Выражение ^ Й " •- AЛ4) где ср и ф — произвольные функции времени, а точки означают дифференци- дифференцирование по t, удовлетворяет уравнению A.1). Для этого решения характерно следующее: если л: = 0, то t/ = cp(?), а -г^- = ф (t). § 2. Неограниченное твердое тело. Решение Лапласа Требуется найти решение уравнения линейного теплового потока A.1) в бесконечной области — сю < х < оо с начальным условием v = f(x) при ? = 0. Обычное формальное рассмотрение этой задачи заключается в следую- следующем: согласно A.2) данной главы 1 1 2 (тс*) является частным интегралом уравнения A.1). *) Рибо [2] и Нордон [3] отмечали, что для всех значений п решениями уравне- уравнения A.9) служат функции Вебера. Эти вопросы, а также ряд других вопросов анало- аналогичного типа рассматриваются Аппелем [4] и Гурса [5].
60 ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЙ ПОТОК ТЕПЛА [§2 Далее, так как уравнение является линейным, то сумма любого числа ча- частных интегралов также является инте- интегралом. Следовательно, функция Рис. 4. Распределение температур в не- неограниченной области, одна часть кото- которой в начальный момент времени имеет постоянную температуру V, а другая часть — нулевую температуру. а) Область | х | < а с начальной температурой, равной V', б) внутренность цилиндра радиусом г=а при начальной температуре v; в) внутрен- внутренность сферы радиусом г*=а при начальной тем- температуре V. Во всех случаях числа на кривых указывают величины xt/a2. (X-XrO v—*ksffW~ ~Ш dx' также удовлетворяет указанному урав- уравнению при условии, что этот интеграл сходится *). Пусть Тогда сю у tz •' оо В пределе, когда ^->0, / \х + 2 Y%t l) = f (x), если эта функ- функция непрерывна; предполагается, что предельное значение этого интеграла дается выражением оо Л=. ff(x)e-Pdl. которое равно f(x). Итак, в момент времени t тем- температура неограниченного твердого тела, имевшего начальную температуру v = f(x), записывается в виде оо Мы можем написать [11] fe-*- *2*2 cos 2bx dx = — «2 и, следовательно, оо cos a (Х' x)dd = ехР г *) Для того чтобы функция v служила решением A.1), необходимо, чтобы этот интеграл, а также интеграл от ее производных сходились равномерно. {Прим. ред.}
§ 2] ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЙ ПОТОК ТЕПЛА 61 Отсюда выражение для v можно записать в форме со оо ¦I I dxr I f{x')cosa(xf — x)e~xaitdat B.2) -оо О которая напоминает форму интеграла Фурье C.2) для f (х). Проведенное выше рассуждение было формальным, и поэтому необходимо рас- рассмотреть условия для f(x), при которых оно справедливо. Было показано [10J, что если функция f (х) ограничена и интегрируема в любом заданном интервале, а инте- оо грал I \f(x')\dx' сходится, то при t->0 функция с/, заданная выражением B.1), — оо имеет предел f(x), если эта функция непрерывна в точке х> или предел ¦о" [/ (х "г" Ф ~г" / (х — ^)], если она имеет в точке х разрыв первого рода. Кроме того, если / (х) непрерывна в интервале [a, fj], то в этом интервале v равномерно стремится к / (х) при t -> 0. На самом деле полученные результаты справедливы и при менее строгих усло- условиях для / (х)У например, если / (х) — любой полином или экспоненциальная функция, т. е. если где К и с — постоянные *). Ниже приводятся некоторые практически важные результаты, полученные на основе уравнения B.1). 1. Если в начальный момент времени область —а < х < а имеет постоянную температуру, равную К, а область | х | > а — нулевую температуру **), то На рис. А, а приведены некоторые численные значения величины v/V, получен- полученные из выражения B.3) при различных значениях параметра rf/a2. Аналогичные результаты, найденные для цилиндра с радиусом поперечного сечения а и сферы радиусом а, находящихся прл постоянной начальной температуре, приведены соот- соответственно на рис. 4, б и 4, в. 2. Если в начальный момент времени область — а < х < а имеет нулевую тем- температуру, а область \х\ > а — температуру, равную V, то -oo<x<oo. B.4) 3. Если в начальный момент времени область \х\ > а имеет нулевую температуру, область а > х > 0 — температуру v = V (а — х)/а и область — а < х < 0 — темпера- температуру v = V (а + хIа> то *) Более общее обсуждение этих вопросов приведено в работах [5] и [7]. **) В работе [8] функция B.3) использована в качестве приближения для тем- температуры в случае, когда плоский слой расплавленной горной породы вторгается в другую породу при нулевой температуре. В этой работе приводятся графики функ- функции B.3) в форме, пригодной для практического применения. Кроме того, в ней используются функции B.9) и B.10) для случая цилиндрических и массивных интру- интрузивных пород, а также выражение D.14) для случая течения лавы по поверхности других пород (см. также [9]). О влиянии теплоты застывания горных пород см. § 2 гл. XI.
62 ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЙ ПОТОК ТЕПЛА J§ 3 4. Если плоскость х = О непроницаема для тепла, то решение принимает форму оо оо ~ I dx' If (xf) cos ax' cos axe'™*' da. B.6) 6 6 6 6 5. Для двумерного и трехмерного случаев решения уравнения B.1) прини- принимают вид оо оо v = -^ f f / (*', У') ехр [- (" "^^^ УJ] djc' rfy'. B.7) —oo —oo oo oo oo v== III f (xf\ у'\ z') ex — ОО — ОО —ОО B.8) 6. Если в начальный момент неограниченный цилиндр | х ] < а, | у | < 6 имеет постоянную температуру V» а окружающая его неограниченная область — нулевую температуру, то f/^L*) /?±*)Jff^) /J±y)l B.9) 7. Если в начальный момент параллелепипед \ х\ < а, \ у\ < b, \ z\ < с имеет постоянную температуру V, а окружающая его неограниченная область — нулевую температуру, то ( ) + ( a+x)\U( *-у (e + *)]. B.10) § 3. Использование интегралов Фурье и преобразований Фурье В § 2 настоящей главы отмечалось, что решение Лапласа может принять форму B.2), которая связывалась с интегралом Фурье для f (х). Указанное решение можно вывести также из интегральной теоремы Фурье. Для этого удобнее всего, по-видимому, использовать преобразование Фурье. Мы приведем здесь краткое изло- изложение данного метода и покажем, как он приводит к решению Лапласа. Согласно интегральной теореме Фурье (см. [11], § 119), если f (х) определена для всех jc, удовлетворяет условиям Дирихле *) в любом конечном интервале и если существует интеграл **) оо f\/(x)\dx, C.1) — ОО оо оо / (х) = 1 f d4 f f(x') cos g (x — x') dx', C.2) TO *) Об условиях Дирихле см. § 93 в книге Карслоу [11]. Они удовлетворяются функцией с конечным числом максимумов, минимумов и разрывов первого рода. **) Это чрезвычайно жесткое условие сильно затрудняет использование инте- интегральной теоремы Фурье в этой форме для практических приложений. Результаты для более широкого класса функций можно получить при использовании обобщенных интегралов Фурье [7] или преобразования Лапласа, причем последнее удобнее всего применять в целом ряде задач, связанных с теплопроводностью.
§ 3] ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЙ ПОТОК ТЕПЛА 6 3 ИЛИ оо оо 1 Г Г /(*) = _ / drz I f(x')tost(x — xf)dx' C.3) — OO —OO во всех точках, в которых f (x) непрерывна, а в точке разрыва первого рода 1 г.. Так как оо оо — оо —оо >) sln г (х - х>) dx' -0> C-4> то из выражений C.3) и C.4) следует, что оо оо f (x)=i f e~iUcd* If (x>)ei%x'dx'- C5) —oo —oo Указанное соотношение является математическим выражением комплексной формы интеграла Фурье. Ее можно записать следующим образом: если оо F (S) = -~ f elwf (x') dx', C.6) — ОО ТО C.7) Здесь функции F(t) и / (х) являются преобразованиями Фурье друг для друга; если одна из них известна, то другая следует из соответствующей формулы C.6) или C.7). Большое практическое значение имеют следующие два случая. Если / (х) — нечетная функция х, то соотношение C.2) принимает вид со оо f(x)=^-j sin Чх ft I f (x') sin х'Ч dx'. C.8) 6 6 Иными словами, выполнение любого из соотношений: оо Fs (?) = |/"|- [ f С*') sin jc'S dx', C.9) 6 оо »]/"^ /* ^,F) sin Ьс Л, C.10) 6 6 подразумевает справедливость другого. Функции Fs(?) и f (х) называются синус- преобразованиями Фурье друг для друга. Если же f (х) — четная функция jc, то выражение C.2) принимает вид оо оо = |- I coslxdt J f(x')<:osx'Zdx. C.11) о о
64 ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЙ ПОТОК ТЕПЛА [§ 4 Иными словами, выполнение любого из соотношений: с» F* (О = |/~ / / (*') c°s x'l dx\ C.12) 6 / <Э cos g* rfg, C.13) о подразумевает справедливость другого. Функции Fc(?) и f(x) называют косинус- преобразованиями Фурье друг для друга. Теперь мы покажем, как соотношения C.6) и C.7) можно формально применить к задаче, поставленной в § 2 настоящей главы, т. е. для решения уравнения d2v I dv 1х1[="Ч~Ж' —<х><х<со, *>0, C.14) при t/ = /(jc), —oo<jc<oo, * = 0. C.15) Отметим, что функция ехр(—&* — rJzH) C.16) удовлетворяет уравнению C.14) при любых значениях g. Примем, что общее решение C.14) и C.15) записывается в виде оо 1 Г v (jc, t) = —— I exp (— ibc — %S20 cp (g) dg. C.17) — CO При * = 0 получим оо / (x) = -|=- У exp (- Их) <t E) d5. — оо Поэтому, согласно выражению C.6), оо <Р(?) = -Т=- [exp{iix')f(x')dx'. Подставляя его *в C.17), получим v(JC> f) = ^г /ехр("хе2'~/U)rfe /(expiixt)f {х)dx' — оо 2^ [/(x')dx' Конечно, для обеспечения строгости нашего анализа необходимо провести даль- дальнейшие рассуждения. В книге Титчмарша [7] рассматривается случай, когда f (х) является экспоненциальной функцией. § 4. Полуограниченное тело с начальной температурой f(x) и нулевой температурой поверхности Пусть твердое тело ограничено плоскостью х = 0 и простирается до бес- бесконечности в положительном направлении оси х, причем его начальная тем- температура задана соотношением v = f(x), а плоскость х = 0 поддерживается при нулевой температуре. Решение такой задачи можно получить из решения, найденного для неограниченного твердого тела.
§ 4] ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЙ ПОТОК ТЕПЛА 65 Пусть исследуемое тело продолжено в отрицательном направлении оси х и пусть его начальная температура в точке —л:/(х/>0) равна —/С*')» а начальная температура в точке xf равна / (х'). При таком распределении температур температура плоскости х = О остается равной нулю. Тогда из соотношения B.1) получим v=—Д=г| ff(x')exp\— 2/™/ F *• о fi-f (- Ясно, что эта величина г; удовлетворяет всем условиям задачи о полу- полуограниченном твердом теле, ограничивающая плоскость которого поддержи- поддерживается при нулевой температуре. Выражение D.1) для температуры можно преобразовать, как и в § 2, следую- следующим образом: оо оо v = y I dx' j f(x')[cosa(x' — x) — cos а (х'-\-х)]е-хаЧ da = 0 6 OO OO = — / dx' I f (x') sin ax'sin axe-xaV da, D.2) о о т. е. в форму, подсказываемую соотношением C.8). Так же как и в § 3 (неограни- (неограниченное тело), этот результат легко получить и в данном случае, используя синус- преобразования Фурье C.9) и C.10). Если начальная температура постоянна и равна V, то соотношение D.1) можно упростить, подставляя xr = x -\- 21 y*t в первую его часть, —во вторую. Тогда мы получим Vxt 2Vxt V I" V- V f 2Vxt Этот интеграл совпадает с A.3) данной главы, и поэтому решение задачи о полуограниченном твердом теле, поверхность которого поддержи- поддерживается при нулевой температуре, а начальная температура равна V, имеет вид D.3) Полученный результат можно вывести непосредственно из выражения A.3), так как из свойств функции ошибок следует, что она удовлетворяет нашему дифференциальному уравнению, а также начальным и граничным условиям. Важно отметить, что в этом случае, т. е. в случае постоянной начальной температуры и нулевой температуры поверхности, полученный результат D.3) 5 Г. Карслоу, Д. Егер
66 ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЙ ПОТОК ТЕПЛА зависит только от одного безразмерного параметра X [§4 D.4) Это позволяет легко сравнивать температуры в различные моменты вре- времени и в различных точках твердых тел, обладающих различной темпера- температуропроводностью. Аналогичные результаты справедливы и для часто ветре- чающихся величин скорости охла- охлаждения и градиента температуры в любой точке. Скорость охлаждения в любой точке записывается в виде 0,6 0,2 J / г / X ^— ч — dv dt Vx -4т D.5> Температурный градиент в лю- любой точке — в виде V --J-7 = г е dv дх Переходя к параметру получим D.6) V dv dv Рис. 5. Графики функции Ф [х/2 У~тЗ] (кри- (кривая /) и функции [х/2 У^уп] ехр [— x2/4tt] (кривая //). dt 2V дх ir^ —^——- 0 X' ' 4%t D.7> D.8> Численные значения этих величин приведены в приложении 2; кроме того* они показаны в виде кривых / и // на рис. 5. Кривая // имеет максимум* равный V* =0,4288 V2 ' D.9> Из соотношения D.7) следует, что для любого вещества время, необ- необходимое для достижения заданной температуры в какой-либо точке тела* пропорционально квадрату расстояния этой точки от поверхности тела. Кроме того, время, необходимое для достижения в данной точке заданной температуры, обратно пропорционально температуропроводности. Например, из рис. 5 или из таблицы приложения 2 следует, что ._!„ при iy*t В серебре, для которого х=1,72, температура достигает указанной величины на глубине 1 см через 0,64 сек\ в висмуте, для которого х = 0,07, это произойдет через 15,7 сек, а в грунте, для которого х== 0,0047, — через^ 234 сек. Для глубины 10 см соответствующие промежутки времени окажутся в 100 раз больше.
§ 5) ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЙ ПОТОК ТЕПЛА 67 Наконец, мы приведем некоторые результаты, имеющие большое значение для практики. Их легко получить из соотношения D.1). 1. Если на границе jc = O поддерживается постоянная температура V, а началь- начальная температура равна нулю, то - ф Т77=- ) = Уф* -7^7=Г • DЛ°) Это легко получить, вычтя из v = V прет х > 0, t > 0, которое является решением дифференциального уравнения теплопроводности, решение D.3) для начальной тем- температуры V и нулевой ^температуры поверхности. ' ' Тепловой поток на поверхности равен *' D.11, причем при t->0 это выражение стремится к бесконечности. 2. Если в начальный момент времени область х > 0 имеет постоянную темпе- температуру V, а область х < 0— нулевую температуру, то — V { 2 1 1 + Ф^=Ч, -со<л:<аэ. D.12) 3. Если в начальный момент времени область х > О имеет температуру V-\-kx, а плоскость х = 0 поддерживается при нулевой температуре, то _ D.13) 4. Если в начальный момент времени область 0 < х < d имеет постоянную тем- температуру V, а область х > d — нулевую температуру, причем для t > 0 поверхность х = 0 сохраняет нулевую температуру, то 1/ = — Ю 2Ф л Ф л Ф -J—— I. D.14) 2 1 2(*)V* 2@/2 2@/2 ) Ф -J—— I 2(*0/2 ) 5. Если в начальный момент времени область а< х < b имеет постоянную тем- температуру V, а области 0<jc<a и х > Ь — нулевую температуру, причем для t > 0 поверхность х — 0 сохраняет нулевую температуру, то — KJ Ф — 4-Ф !— Ф Ф L_— I D.15) 2 I 2 (*)V* 2 (ОV» 2 (х*I/* 2 (iI^ J § 5. Полуограниченное твердое тело. Начальная температура равна нулю. Поверхность находится при температуре ср(О Выше мы видели (см. § 14 гл. I), что из решения для случая постоян- постоянной температуры поверхности можно, пользуясь теоремой Дюамеля, получить решение и для случая переменной температуры поверхности. Для полуограниченного твердого тела, когда v должно удовлетворять уравнениям dv d2v dt — х дх* ' v = 0 при * = 0 и v= 1 при х = 0 решение D.10) принимает вид 2Vxt
68 ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЙ ПОТОК ТЕПЛА [§ 5 Если же dv _ d2v dt ~ * дх2 f v = О при t = О при * = 0, то из соотношения A4.10) гл. I следует, что решение имеет вид t д о оо где В этом случае — г (а:, г — К) = —. ехр — dt V* V 4х(^ —X) J ^ (^ — X)» Следовательно, решение нашей задачи записывается следующим образом: Положив получим со 1^^ ./ У\ 2Vxt Отсюда ясно, что наше решение удовлетворяет дифференциальному уравнению, а также начальным и граничным условиям. Ниже приводятся некоторые специальные случаи, представляющие практический интерес *). 1. <р (t) = Vo (постоянная) при 0 < t < 7\ <р (t) = Vx (постоянная) при t > Т, ^) . 0 < t < Т. E.2) *) Эти результаты проще всего получить при помощи преобразования Лапласа (см. § 4 гл. XII).
§ 5] гл. и. линейный поток тепла 69 2. <р (t) = ktt где k — постоянная *) H(i?MwOir} E-4> т. е. () E-5) Обозначения, используемые в соотношениях E.5), E.7) и E.8), см. в прило- приложении 2. 3. <р (t) = к№, где k — постоянная. {^ }} E.6) т. е. Как будет показано в § 9 настоящей главы, приведенное выражение соответ- соответствует температуре поверхности при постоянном тепловом потоке с этой поверхности. 7 п 4. y{t) = kt , где п — любое положительное целое число (четное или не- нечетное). При использовании выражения E.8) температуру на любой глубине для случая, когда температура поверхности является полиномом от t или от *1уЧ можно записать в виде табулированных функций. Следует отметить, что полиномом от fl* можно пользо- пользоваться при эмпирическом представлении наблюдаемой температуры поверхности, так как член, содержащий ^2, соответствует постоянному тепловому потоку с по- поверхности (см. § 9 данной главы). 5. ср (t) = ext, где X — постоянная (положительная или отрицательная). е'Х ^ Ф* \-4= -УП] +/^Ф* Г—^ + yjt] 1. E.9) L2^ J^ L2^^r JJ v jt] 1. JJ Функции ошибок с комплексным аргументом, используемым в очень важном случае отрицательной X, были совсем недавно затабулированы (см. приложение 2). Решение для положительных значений X используется в гл. IV. Мы можем решить задачу о полуограниченном твердом теле с начальной тем- температурой / (х) и температурой поверхности <р (t)t положив v = u-\-w. Здесь и удовлетворяет уравнению при условии a w — уравнению да dt а и д2и дх2 = 0в начальный : = <р (t) при х = dw d2w F~"X дх2 момент, = 0, *) Линейное увеличение температуры поверхности представляет большой инте- интерес для некоторых практических приложений (см. [12, 13]).
70 ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЙ ПОТОК ТЕПЛА [§ б при условии w = / (х) в начальный момент, w = 0 при л: = 0. Иными словами, а служит решением задачи, рассмотренной выше, a w — решением задачи, приведенной в § 4 данной главы. § 6. Полуограниченное твердое тело. Температура поверхности является гармонической функцией времени Задачи о теплопроводности твердого тела с периодически.изменяющейся температурой на поверхности представляют весьма большой практический интерес. Подобные задачи встречаются в следующих случаях: а) при иссле- исследовании колебаний температуры коры Земли, периодически нагреваемой Солнцем (см. § 12 настоящей главы); б) при работе на различных экспери- экспериментальных установках для определения температуропроводности (см. § 12 настоящей главы, а также §§ 4 и 8 гл. IV); в) при вычислении периодически изменяющихся температур (а следовательно, и соответствующих термических напряжений) в стенках цилиндров паровых машин [14, 15] и двигателей внутреннего сгорания и, наконец, г) в теории автоматических систем регу- регулировки температуры. Если температура на поверхности полуограниченного тела х > 0 задается выражением v = A cos (о>/ — е), а начальная температура равна нулю, то из E.1) следует, что наше решение запишется в виде оо Как мы знаем, и поэтому F.1) можно записать в следующей форме: l -jl <6-2' Второй член в правой части соотношения F.2) соответствует нестацио- нестационарному возмущению *), обусловленному началом колебаний температуры поверхности в момент времени /^0; при достаточно большом t этот член *) В § 7 гл. XII приведена другая форма. Если начальная температура твердого тела равна не нулю, a f (х), то в соотношение F.1) нужно добавить член, соответ- соответствующий решению задачи о полуограниченном твердом теле при заданной начальной температуре и нулевой температуре на поверхности (см. § 4 данной главы); при до- достаточно больших t этот член также должен становиться пренебрежимо малым.
§ 6] ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЙ ПОТОК ТЕПЛА 7\ исчезает. Оставшийся первый член соответствует установившимся колебаниям с периодом —. Прежде чем приступить к дальнейшему обсуждению, при- приведем другой вывод [16, 17], в котором мы будем исходить из дифферен- дифференциального уравнения d2v I dv n /R ~ Будем искать решение уравнения F.3) в виде v = uel «°'-шК F.4) где и — функция только х. Это решение должно иметь период, равный 2тс/о). Подставляя F.4) в F.3), мы находим, что и должно удовлетворять урав- уравнению d2u /<о /с Сч -I—* = — «• F.5) dx2 х v J Уравнение F.5) имеет следующее решение, ограниченное при х—>оо: и = Аехр [-х |/^Г ] = Лехр [-*A +/) ]/"-? ] . Таким образом, решения уравнения F.4) с периодом 2тс/со запишутся в виде v = Ae~k*x cos (Ы — е — k*x) F.6) или v = Ae~k*x sin (o>/ — е — /г*д;), где *=(?)*- F-7) решение, которое при л:==0 соответствует величине Acos(wt — е), имеет вид v = Ae~k*x cos (Ы — Л*д; — е). F.8) Соотношение F.8) представляет температурную волну с волновым числом k* и длиной волны X, которая определяется выражением где п — частота, равная — . Для типичных горных пород, для которых х = 0,01, длина волны при- приблизительно равна 2,7 см при частоте 1 колебание в 1 мин, 1 м при 1 ко- колебании в 1 день и 20 м при 1 колебании в 1 год. Для металлических проводников, для которых х=1, длина волны равна 3,5 см при 1 колеба- колебании в 1 сек и 27 см при 1 колебании в 1 мин, а для металлов при темпе- температуре, близкой к абсолютному нулю, для которых х равно по порядку величины 104, длина волны равна II см при 1000 колебаниях в 1 сек. Эти данные очень важны для измерений методами, основанными на периодическом нагреве. Обычно наблюдения проводят на расстоянии порядка длины волны, что и определяет требуемую частоту. Использование области звуковых частот для металлов при очень низких температурах привело в последнее время к значительному развитию этих методов [18]. Перечислим важнейшие свойства периодической функции температуры е установившемся режиме.
72 ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЙ ПОТОК ТЕПЛА 1. Амплитуда колебаний температуры уменьшается по закону -ххле: jul л — k*X — о * 2х о ^ [§6 F.10) и, следовательно, падает тем быстрее, чем больше со. Если на поверхности тела задать температуру в виде ряда Фурье (см. F.17)), то по мере пере- перемещения внутрь тела более высокие гармоники исчезают чрезвычайно быстро. На расстоянии одной длины волны амплитуда уменьшается в ехр[—2тс] = = 0,0019 раз и, значит, волны очень быстро затухают. Отсюда следует, что для полуограниченного тела 10 данное решение можно исполь- использовать для проводника, тол- толщина которого составляет одну или две длины волны. 2. Фаза температурной волны запаздывает по закону 1 О -as -го Рис. 6. Изменение температур на различных глу- глубинах тела при температуре поверхности, являю- являющейся гармонической функцией времени. k*x = x \~ F.11) Это запаздывание увеличи- увеличивается с возрастанием со. 3. Температурные колеба- колебания (например, положение ма- максимума и минимума темпера- температуры) распространяются внутри твердого тела со скоростью BхсоJ F.12) Из выражений F.10), F.11) и F.12) следует, что для определения тем- температуропроводности х достаточно измерить амплитуды или ф^зы волны на расстоянии х или скорость распространения волны. Тепловой поток F на поверхности исследуемого тела равен следующей величине: FЛЗ) Таким образом, в установившемся режиме температура в полуограни- полуограниченном твердом теле, которое нагревается в результате поступления на его поверхность х = 0 периодически изменяющегося теплового потока Fo cos (Ы — е), выражается в виде v = cos Lt — k*x — e — - [ 4 F.14) Амплитуда данной функции содержит термические параметры в комби- комбинации /Срс, что позволяет измерить эту величину. В соотношение F.8) входят безразмерные параметры х = ш/. F.15)
§ 6] ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЙ ПОТОК ТЕПЛА 73 Следовательно, если мы выберем начальный момени времени так, чтобы 8 = 0, то соотношение F.8) можно записать в виде /($, t) = ?-ScOS(t $). F.16) На рис. 6 приведен график зависимости /(?, т) от т для величин ?, равных 0, -?-, .... -д-. По мере возрастания ? увеличивается как отставание по фазе, так и затухание амплитуды, что отмечалось уже выше. На рис. 7 представлен график зависимости /E, т) от ? для величин х, равных 0, 4г,..., тс- Эти кривые по- о казывают распределение температур по глубине тела в различные моменты вре- времени. Семейства кривых, аналогичных указанным на рис. 6 и 7, часто полу- получаются как результаты экспериментов (см. ссылки в § 12 настоящей главы). Если температура по- поверхности является перио- периодической функцией вре- времени ср (t) с периодом —, то мы можем получить решение нашего уравне- уравнения, разлагая эту функцию в ряд Фурье: Рис. 7. Распределение температур по глубине тела в различные моменты при температуре поверхности, являющейся гармонической функцией времени. ср(t) =AQ-\-Al cos (at — Sj)-f- A2 cosBotf — e2) + ... Используя формулу F.8), получим решение в виде F.17) F.18. при условии, что, как и раньше, мало. В качестве примера рассмотрим случай, когда температура поверхности задается следующим образом: 2гТ = 0, 1, 2, ... 3.19) Тогда я=0
74 ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЙ ПОТОК ТЕПЛА Отсюда следует, что при установившемся состоянии периодически изме- изменяющуюся температуру можно записать в виде 4V \Г\ 1 ехр — л=0 X ГBя L +1)«* F.20) Г . ~\ 2*7- На рис. 8 представлен график зависимости v/V от ? для величин V x7" ' Равных ^; О»^; *'0; ^.0. На графике ясно видно, как по мере О продвижения в глубь твердого тела более высокие гармоники исчезают и «прямоугольная» волна постепенно становится синусои- синусоидальной. Наконец, можно указать на ана- аналогию с теорией передающих ли- линий. Для общности мы рассмотрим стержень с сечением Q при отсутст- отсутствии потерь тепла с боковой поверх- поверхности *). В этом случае темпера- температура v и тепловой поток в стержне/ должны удовлетворять уравнениям ^ dv д/ . .,_ dv Рис. 8. Изменение температур на различных глубинах тела при температуре поверхности, описываемой «прямоугольной» волной. F.21) Эти уравнения совершенно иден- идентичны уравнениям, которым удовле- удовлетворяют потенциал v и ток / в пере- передающей линии с последовательным 1 сопротивлением -т~г и параллельным емкостным сопротивлением Qpc на единицу длины, а также в линии с нулевой индук- индуктивностью и неидеальной изоляцией («подводный кабель»). Теория такой линии в установившемся периодическом режиме хорошо известна и ею можно сразу же воспользоваться. Это означает, что усложненную термическую схему можно описать методами теории электрических цепей. При выбранных нами обозначениях **) последовательный импеданс на единицу длины линии запишется в виде Z= -QJ7-> а шунтирующий адмиттанс — в виде К = /со2рс. Характеристический импеданс линии Zo задается соотношением ZQ=\ — \' = 1 1 F.22) а постоянная распространения 7 — соотношением Величины / и v в любой точке полуограниченной линии получаются из выра- выражений F.23) выра- F.24) *) Случай, когда имеет место теплопередача с поверхности, пропорциональная температуре, аналогичен случаю утечки в подводном кабеле. **) См. любую работу по теории электрических цепей, например книгу Слей- тера [19].
§ 7] ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЙ ПОТОК ТЕПЛА 75 Эти результаты совпадают с полученными нами ранее (см. F.8) и F.13)). Дан- Данный метод был очень подробно разработан Маркусом [20], который использовал ме- методы, развитые в теории волноводов, для исследования влияния изменения попереч- поперечного сечения проводника на температурную волну. § 7. Полуограниченное твердое тело. Теплообмен на поверхности в среду с нулевой температурой. Начальная температура постоянна *) Когда начальная температура постоянна и равна V, уравнения для v имеют вид dv_ d2v dt ~~- * dx2 ' v = V при ? = 0, ' = 0 при л; = 0. Пусть 1 dv T h дх Тогда cp = V при ? = 0, ср = 0 при л: = 0. Поэтому на основании соотношения D.3) мы замечаем, что при х—>оо функция ср (л:, t) имеет предел V. Для определения v мы имеем уравнение их Отсюда, интегрируя это уравнение обычным путем, находим х v = Cehx — hehx fcp(?, t)e~Kdt оо Положив ? = лг + т}, получаем оо v = Cehx + h Г ср(л:-)-7), t)e-h4d*r\. о Однако при л;->оо, ср(лг, t) имеет пределом V и, кроме того, v должно оставаться конечным; поэтому С должно равняться нулю. Следовательно, *) Случай, когда начальная температура является функцией /U). разобран $ 2 гл. XIV. в §
76 ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЙ ПОТОК ТЕПЛА решение нашей задачи запишется в виде [§ 7 = 1™ fe-> лГъ J 2V%T >,-u* du Отсюда .„о 2V 2V7F — e-hri j e-a2 J dt\ f e-u2du 2Vxt CO o4. , V Г Г /и] — (лг + т)I . — a?)da-\— / exp ¦—~т-^—— \dy\ = от/ /* i/ = 4= / exp(-flVg+ /•— 1 0 Положим во втором интеграле тогда X 2V = 2 v = -===- / exp (— a2) da -f- тт^ exp (Aa: + h4t) / exp (— w2) da = 1/ ТС е/ Г Я '] 2V Г 6 Поэтому X+2fixt 2Vxl ут 2VxT j e~u*da— f e-u2da ) GЛ) где Ф(л:) и Ф*(^) — интегралы, определенные в приложении 2. Температура на поверхности твердого тела vn, которую можно получить» положив ^ = 0 в соотношении G.1), записывается в виде _^п = еыф* (Д Y^f). G.2) В приложении 2 приведена краткая таблица значений этой функции. Для больших значений времен величина vJV определяется, согласно выражению E) приложения 2, по приближенной формуле рп _ 1 f 1 ^. 1 | 3 1 п V hV™* \ 2кЫ "^ 4hHH2 '") Таким образом, по истечении значительного времени после начала охла- охлаждения температуру поверхности можно считать равной V G.4) с ошибкой, меньшей, чем V/2A3 (rcx3/3)!/l.
§7] ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЙ ПОТОК ТЕПЛА 77 Для задачи о полуограниченном твердом теле с нулевой начальной температурой, которое нагревается вследствие теплообмена на гра- границе х = 0 со средой, имеющей температуру V, решение записывается в виде Это решение можно выразить в виде функции любых двух из следую- следующих безразмерных параметров: fix. G.6) Любая из выбранных пар обладает своими преимуществами. На рис. 9 представлен график зависимости отношения v/V от lg[*(*O)l/f] для величин x/2Y%t , равных 0; 0,1; ...; 1,5. В § 9 гл. I отмечалось, что граничные условия третьего рода, харак- характеризующиеся теплообменом на границе, имеют место в различных случаях, а именно при теплоотдаче вслед- вследствие вынужденной конвекции или г-° излучения, а также при теплопе- v/v редаче через тонкую поверхно- поверхностную пленку. В первых двух 41 случаях величины h можно полу- получить из формул, аналогичных при- приведенным в § 9 гл. I, и тогда 4t температуру полуограниченного твердого тела в любой его точке и в любой момент времени можно ^ найти из соотношения G.5). Представляет интерес оценить эффект тонкой поверхностной пленки из плохого проводника и сравнить результаты, полученные из соотно- соотношения G.5) для этого случая, с ре- результатами, найденными в предполо- предположении, что поверхность je = O под- поддерживается при температуре V при всех t > 0 (см. § 4 настоящей главы). Граничное условие, требующее по- постоянной температуры на поверхно- поверхности исследуемого тела, использова- 0,2 к /////// у - ^-—1 1 *-— ===== 0.7 0.2 О.Э ОА 0,6 0.7 О,д 0,9 7.0 1. 1 S" Рис. 9. Распределение температур в полу- полуограниченном твердом теле при теплообмене на его поверхности. лось в теории теплопроводности значительно чаще, чем любое другое граничног условие. Однако на практике оно обычно не выполняется, так как, вообще говоря, при х = 0 контакт не идеален, и поэтому температура V на этой поверхности устана- устанавливается не мгновенно. Желательно знать, с какими ошибками нам приходится иметь дело в таком случае. Рассмотрим на твердом теле поверхностные пленки воздуха, вазелина, воды и ртути толщиной 0,001 см\ величины коэффициента теплообмена Н указаны в таблице, приведенной на стр. 28. В качестве твердых тел рассмотрим хороший проводник, серебро (К =1,001, %= 1,716), плохой металлический проводник, висмут (/(= 0,020, ос = 0,0699) и плохой неметаллический проводник, стекло (К =0,0028, % = 0,0058). Пусть х = 1 см во всех трех случаях, а время t выберем равным 0,64 сек, 15,7 сек и 189 сек соответственно; тогда для всех трех твердых тел величина —?=г равна 0 477 2V*t а величина v/V для постоянной температуры поверхности равна 0,5. Ниже приведены величины v/V, найденные по формуле G.5) для различных поверхностных пленок.
78 ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЙ ПОТОК ТЕПЛА [§ 8 Вещество Серебро . . . Висмут . . . Стекло . . . Величины vIV постоянная температура, #»оо 0,5 0,5 0,5 *) См. примечание на воздух, Я = 0,053 РРР стр. 28. контакт под не- небольшим давле нием *), #=0,07 0,029 0,394 0,483 вазе- вазелин, #=0,44 0,145 0,481 0,497 вода, #-1,44 0.295 0.494 0,499 та 0,479 0.500 0,500 Из этой таблички видно, что в случае хорошего проводника с поверхностной пленкой из плохо проводящего материала влияние пленки оказывается весьма замет- заметным; в случае же плохо проводящего твердого тела влияние поверхностной пленки на результаты становится значительно меньше. § 8. Полуограниченное твердое тело. Теплообмен на поверхности в среду с температурой f(t). Начальная температура равна нулю В этом случае температура v должна удовлетворять уравнениям dv_ d2^ dt * dx2 * -т— -+- hv = hf (t) при х = О, v = 0 при ? = 0. Поступая так же, как и в предыдущем параграфе, положим 1 dv Тогда получим следующие уравнения для определения ср: дер д2ср при х = 0, ср = 0 при t = 0. Эти уравнения уже рассматривались в § 5 настоящей главы, и мы ви- ' дели, что Отсюда, так же как и в § 7, имеем (8Л) Представляют интерес следующие специальные случаи. 1. / (t) = А (постоянная), 0 < / < Т, f(t) = B (постоянная), t > Т.
§ 9] гл. и. линейный поток тепла 79 Здесь {^^[^ }. 0<t<T, (8.2) v=A<b*[ *-) + (В — А)Ф*(— X ) — - A exp (hx + h**t) Ф»( —?=- + h V^f ) - ] <>Г. (8.3) 2. Здесь k «-"''•rsin (mt + t — ы'х — Ь) + 22 2х/г /* (q> cos s — %tf2 sin s) (ц cos tfjc -{- h sin "Т~./ (х2а4 + С02)( 0 где .' - /? , a » [i^T] Первый член в соотношении (8.4) представляет собой установившееся периоди- периодическое решение и обладает теми же свойствами, что и решение F.6). § 9. Полуограниченное тело. Тепловой поток на границе х = 0 является заданной функцией времени. Начальная температура равна нулю 7. Тепловой поток Fo (в единицу времени через единицу площади) постоянен. Функция & <9Л) удовлетворяет дифференциальному уравнению, аналогичному уравнению для V, т. е. Воспользовавшись соотношением D.10), мы получим решение уравне- уравнения (9.2) при условии f = F0 (постоянная), х = 0, t > 0, (9.3) в виде Таким образом, используя соотношения (9) и A1) из приложения 2, получим из выражения (9.1) / или (9.6)
80 ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЙ ПОТОК ТЕПЛА [§ 9 или, наконец, Таблица значений функций i<P*(jc) приведена в приложении 2. Темпера- Температура при х = О оказывается равной '"'%\ (9.8) Граничное условие, характеризуемое постоянным тепловым потоком, представляет значительный практический интерес. Оно встречается при гене- генерировании тепла в результате пропускания электрического тока через плоский нагревательный элемент, при выделении тепла вследствие трения; кроме того, оно приближенно выполняется в ранних фазах процесса нагрева печи или помещения. Это граничное условие имеет также большое значение в задачах диффузии. Процесс охлаждения поверхности Земли после захода Солнца в ясную безветренную ночь [21] весьма похож на процесс отдачи тепла при постоянном потоке тепла (в единицу времени через единицу площади), и, следовательно, выражение (9.8) показывает изменение температуры поверх- поверхности Земли после захода Солнца. Приведенные выше результаты применимы также к области —оо < х < оо, когда в плоскости х = 0 тепловой поток равен 2/70. Соответствующие результаты для случая, когда области х > 0 и х < 0 состоят из различных материалов, будут приведены в § 15 данной главы. 2. Начальная температура в области х > 0 равна нулю. На плоскости х = 0 тепловой поток равен f (t). В данном случае Это следует из соотношения (9.5) и из теоремы Дюамеля (см. § 14 гл. I). 3. Начальная температура в области х > 0 равна нулю. В течение некото- некоторого времени Т на плоскости х = 0 тепловой поток поддерживается постоянным и равным Fo. По истечении этого времени поступление тепла прекращается, и граница х = 0 термически изолируется. Если 0 < t < 7\ то температура в момент времени t определяется по формулам (9.6) или (9.7); если же t > 7\ то она равна следующей величине: _ {f - Т)Ч> \Ф* l—rj—^ и-) }. (9.10) Указанная температура будет наблюдаться в опыте, в котором в неограничен- неограниченную среду погружен плоский электронагревательный элемент, выделяющий в единицу времени через единицу площади количество тепла, равное 2F0, и включенный в те- течение времени 7\ а затем выключенный. 4. Начальная температура в области х > 0 равна нулю. В течение некото- некоторого времени Т на плоскости х = 0 тепловой поток *) поддерживается рав- равным Kfrntyt*. По истечении этого времени поступление тепла прекращается и ограничивающая поверхность изолируется. В момент времени t температура *) Это соответствует количеству тепла, которое должно поступать в единицу времени через единицу площади для того, чтобы поддерживать температуру на по- поверхности, равной единице (см. D.11)). Интеграл (9.12) затабулирован в работе [22]. Вопрос о минимальном количестве тепла, которое необходимо для заданного повы- повышения температуры в расчетной точке применительно к методам нагрева, рассмотрен- рассмотренным в пунктах 3 и 4, разобран в [23].
§ 9] ГЛ. П. ЛИНЕЙНЫЙ ПОТОК ТЕПЛА 81 на границе х = 0 будет равна t/=l, 0<t<Tt \ 2 (Т \Т <9Л1> v = — arcsin -—I » *>Г. Эта температура совпадает с температурой поверхности полуограниченного твердого тела для случая, когда его граница х = 0 в течение некоторого времени Т поддерживается при температуре, равной единице, а затем изолируется. Температуру v для любого х при t > Т можно получить из выражения (9.9) в виде определенного интеграла: 1 Г Г х2 1 dx 2 Г v~j expr"i^^"J^(^,)Va=^ / —У t-T) х2 A + и2) 1 da — \Т j / (9.12) 5. Начальная температура в области х > 0 равна нулю. Тепловой поток на плоскости х = 0 для * > 0 равен sin (о>* -f~ e). В данном случае си х.^2 sin ? — о) cos s) cos ц^ ^_хи2/ du Как и прежде, первый член в правой части (9.13) представляет собой устано- установившееся периодическое решение, а второй — неустановившееся. 6. Тепловой поток на плоскости х = 0 записывается в виде ~(±) при = — sino)^ — I— при Тогда периодическая компонента температуры для любого jc в момент времени t равна следующей величине: пК* пDя1) /1= 1 Полученный результат можно рассматривать как некоторое приближение [21] *), описывающее нагревание Солнцем поверхности Земли в равноденствие; первая строка в соотношениях (9.14) соответствует условиям в ночное время, вторая — условиям в дневное время. 7. Начальная температура в области х > 0 равна нулю. При t > 0 тепловой поток внутрь твердого тела равен Fot , где п может равняться —1, 0 или какому-нибудь положительному целому числу. В этом случае 1п+1Ф* Х-ТГ. (9.16) 2 (*O* /С *) В работе [24] получены результаты для любых высот и любых времен года. Егер рассмотрел случай, когда поверхность излучает тепло как абсолютно черное тело [25, 26]. 6 Г. Карслоу, Д. Егер
82 ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЙ ПОТОК ТЕПЛА [§ 1 1 Функция 1пФпх определяется в приложении 2. Температура на поверхности равна <9Л7> § 10. Применение полученных результатов к определению теплопроводности В математической задаче о полуограниченном теле с начальной температурой, равной нулю, и границей х = 0, поддерживаемой при единичной температуре, темпе- температура в момент времени t, согласно D.10), записывается в виде Таким образом, из наблюдения температуры в любой точке хх в момент вре- времени tx можно по таблице функции ошибок (см. приложение 2, табл. 1) определить величину — * , а следовательно, и величину %. Трудность использования этого метода заключается в следующем: обычно конец стержня х = 0 нагревают, омывая его потоком жидкости постоянной температуры; однако эксперименты показали, что он при этом не сразу принимает температуру жидкости. Таким образом, математи- математическое выражение условий эксперимента следует рассматривать только как некоторое приближение [27, 28]. Учитывая приведенные выше соображения (см. стр. 77), можно, по-видимому, считать, что указанное приближение оказывается вполне приемлемым для плохих проводников, но для хороших проводников оно может привести к значи- значительным ошибкам, и в этом случае при организации эксперимента следует принимать специальные меры предосторожности, например значительно увеличивать скорость, с которой жидкость обтекает твердое тело [29]. Было сделано множество попыток избежать подобных трудностей. Кирхгоф и Ганземанн [30, 31] предположили, что температуру при х = 0 можно представить в виде суммы С + <р(О, где С —константа, а <р@ — функция времени, которой можно пренебречь во всех случаях, за исключением случая малых t. Величину С следовало определять из данных о температуре в непосредственной близости от на- нагреваемой границы, не считая ее равной температуре нагревающей жидкости. В одной из модификаций этого метода предполагалось, что температуру поверхности можно представить в виде С A — eat), причем а должно быть велико. В другом методе рассмотрения той же задачи [32—34] исследовалось изменение во времени температуры в двух точках. Действительные условия на границе х = 0 использовались только для получения решения в удобной математической форме. Целый ряд математических решений, приведенных в предыдущих разделах, можно использовать в качестве основы для экспериментальных методов измерения температуропроводности. Так, например, если твердое тело нагревается плоской на- нагревательной спиралью с пренебрежимо малой теплоемкостью или излучением источ- источника с очень высокой температурой, то с некоторым приближением реализуется граничное условие, характеризуемое постоянным тепловым потоком на поверхности. Поэтому можно соответственно преобразовать соотношение (9.6) и найти величину * из двух результатов измерения температуры. Кроме того, можно преобразовать соот- соотношение G.5) так, чтобы по двум наблюдаемым температурам определить как /г, так и х. §11. Полуограниченное твердое тело, внутри которого находится источник тепла Для линейного теплового потока дифференциальное уравнение F.7)» приведенное в гл. I, принимает вид d*v I dv _ А П1 п Здесь А — количество тепла, выделяющееся в единице объема в единицу времени, которое, вообще говоря, зависит от х> t и v. Пока мы рассмотрим
§11] ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЙ ПОТОК ТЕПЛА 83 только случай, когда А не зависит от v. В этом случае *) для решения уравнения A1.1) пригодны следующие три способа: 1) интегрирование исто- истокообразных решений (см. гл. X и XIV); 2) использование преобразования Лапласа (см. гл. XII); 3) приведение уравнения A1.1) к однородной форме путем замены переменной. Первые два способа являются наиболее сильными. Здесь мы просто кратко проиллюстрируем третий способ и приведем ряд результатов, представляющих интерес в связи с тепловыделением в коре Земли, обусловленным радиоактивным распадом (см. §§ 13 и 14 данной главы). Некоторые дополнительные сведения изложены в § 4 гл. XII и в § 7 гл. XV. Следует отметить, что случаи, когда количество выделяющегося в единицу времени тепла является линейной функцией температуры, можно исследовать методами, приведенными в § 14 гл. I и в § 7 гл. XV. Решение для случая зависимости количества выделяющегося в единицу времени тепла от времени можно получить, воспользовавшись теоремой Дюамеля (см. § 14 гл. I) для случая, когда это количество не зависит от времени; поэтому вполне достаточно рассмотреть последнее, хотя не так трудно найти точные решения для простых типов зависимости от времени **). 1. В области #>0 начальная температура равна а-\-Ьх. При ?>0 в единице объема за единицу времени выделяется постоянное количество тепла Ао. Плоскость х = 0 поддерживается при нулевой температуре. Здесь мы должны решить уравнение дх2 х dt ~ К при условиях v= a-\-bx при ? = 0 и v = 0 при jc = O, t > 0. Положив ¦An п « «?*« получим эти уравнения в виде д2и 1 да А . л ¦Ш--Ж-0' х>0' и u = 0 при jc = O, Из соотношения D.1) следует, что ^ К 2К ! 1.2/-W К и, следовательно, + ^) + y e + bx x-^^. A1.2) 2К *) Многочисленные результаты, полученные для полуограниченного твердого тела, пластины, сферы и цилиндра при постоянной скорости выделения тепла и при различных граничных условиях, можно найти в литературе [35—37]. **) Некоторые результаты для случая, когда количество выделяющегося в единицу времени тепла пропорционально t2 , где п = — 1; 0; 1; 2; ..., приведены в § 4 гл. XIL См. также [38].
84 ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЙ ПОТОК ТЕПЛА [§ 11 2. Условия те оке, что и в задаче 1, но количество тепла, выделяющегося * единицу времени на единицу объема, равно А^е'**. В данном случае - ± exp <*«* +«О ^[«»^+—?=¦]}. (И.З) 3. Условия те же, кто и в задаче 1, но тепло выделяется только в слое *) О < х < I. В данном случае при 0<х<1 A1.4) tjc±t\ _ 412ф, 1_х\ | VJ \2V-dl) j \2VxtJ ^±А при х>1. A1.5) Температурный градиент на поверхности х = 0 равен следующей величине: При определении температуры в коре Земли нужно помнить, что тепло вы- выделяется только в поверхностном слое толщиной, меньшей чем 50 км, и следова- следовательно, в A1.5) / мало по сравнению с 2|/^. Поэтому, воспользовавшись теоремой Тейлора, мы можем разложить выражение A1.5) по степеням /. Тогда для темпера- температуры в слоях, расположенных ниже радиоактивного слоя [39], получим **) 2/C Температурный градиент на поверхности приближенно равен — ('/ A1.7) К \ 2\Г* ^ ] ' 4. В области х > 0 начальная температура равна нулю. В области 0 < х < I при t > 0 в единице объема за единицу времени выделяется постоянное количе- количество тепла Ао. На поверхности х = 0 тепловой поток отсутствует. В данном случае *Л* Г / 1±) / 1 + *\ }0 < х < /, A1.9) A^)^) X>L (НЛО) Это также является решением для случая неограниченного твердого тела, в котором тепло выделяется в полосе толщиной 21. 5. В области х > 0 начальная температура и температура на поверхности равны нулю. В области а < х < b при t > 0 количество тепла, выделяющегося *) Случай, когда области 0<jc</ и х > I имеют различные термические кон- константы, рассмотрен в § 8 гл. XII. **) Распространение полученных результатов для случая, когда термические кон- константы изменяются с глубиной, проведено в работах [40, 41].
§ 12] гл. и. линейный поток тепла 85 в единице объема за единицу времени, равно постоянной величине Ло. Темпера- Температурный градиент *) на поверхности равен \ /» Ч | п 6. В области х > О начальная температура равна нулю, а количество тепла, выделяющегося в единицу времени в единице объема, равно Аое~и. При t > О гра- граница х = О поддерживается при нулевой температуре. В данном случае ф /_?_) - А. ,- " ( 1 - Re *"<* КХ77 Ф* Г ^Ц 1 <А*)*1 ) , A1.12) Ф* Г ^Ц 1 <А*)*1 ) 1.2 <**)''« Jj где символ Re означает, что берется действительная часть соответствующей функции7. Вопрос о функции ошибок комплексного аргумента рассматривается в приложении 2. 7. В области х > 0 начальная температура равна а -}- Ьх. При t > 0 в еди- единицу времени выделяется количество тепла, равное Аое~ах. На поверхности *=O тепловой поток отсутствует **) [43, 44]. В данном случае V К* i Ф* + ^А- ехр (а2х^ — ад:) Ф* Га + —^- ехр (A* + <ut) Ф* Га Gi)V« -j ?—I. A1.13) § 12. Температура Земли и колебания температуры на ее поверхности Измерения температуры Земли вблизи ее поверхности производились в течение многих лет на многочисленных метеорологических станциях, рас- расположенных в различных частях света. Полученные результаты показали, что колебания температуры поверхности, вызываемые нагреванием в течение дня и охлаждением в течение ночи, не влияют на температуру Земли на глубине, превышающей 0,9—1,2 м, тогда как годовые изменения, обусловленные охлаждением зимой и нагреванием летом, можно наблюдать на глубине, достигающей 18—21 м. На ббльших глубинах температура остается практи- практически постоянной и не зависит от перемен, происходящих на поверхности Земли. Другими словами, тепловые волны, вызываемые изменением темпера- температуры поверхности, затухают на глубине 18—21 м, и колебания температуры наблюдаются только в самом верхнем слое земной коры. Ряд ученых, начиная с Фурье и Пуассона, использовал периодические колебания температуры Земли вблизи поверхности для определения тепло- теплопроводности горных пород. Приняв поверхность Земли за плоскость х = О с периодически изменяющейся температурой 2n(En), A2.1) получим, воспользовавшись F.18), что температура на глубине х имеет вид оо v = Vo + ^] Vпе-*хУ~*co*{fl,ut — еп— k хпы\ A2.2) *) В работе [42] рассмотрен случай области малой толщины. **) Эта задача возникла в связи с рассмотрением нагрева тела сантиметровыми волнами. См. также [44].
86 ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЙ ПОТОК ТЕПЛА [§ 12 где *•=(?)*• <12-3> Как отмечалось в § б настоящей главы, теория показывает, что каждая отдельная волна распространяется внутрь Земли с неизменным периодом и что амплитуды волн с меньшими периодами уменьшаются значительно быстрее, чем амплитуды волн с ббльшими периодами. Следовательно, периодическое изменение температуры принимает все более и более простую форму по мере продвижения в глубь Земли, причем основная волна с наибольшим периодом достигает наибольшей глубины. Глубина, на которой амплитуда годовых изме- изменений температуры уменьшается в 10 раз, приблизительно в |/ 365= 19 раз больше глубины, на которой во столько же раз уменьшается амплитуда суточных изменений температуры. Этот результат согласуется с приведенным выше положением о том, что годовые и суточные изменения температуры заметны лишь до глубин, равных соответственно 18—21 и 0,9—1,2 м. Классическая работа по использованию этих наблюдений принадлежит Кельвину [45], обработавшему данные Форбса, который в течение 18 лет вел в Эдинбурге измерения. По этим данным была составлена средняя годовая температурная кривая и были определены ее гармонические составляющие. Так, для глубин х1 и х2 были найдены температуры vl и v2 в виде оо оо vi = Vo-+- 21 v'n cos(пЫ — en)9 v2 = Vq + 2 Vn cos (nut — e?). A2.4) /2=1 - /2=1 Сравнивая коэффициенты в соотношениях A2.2) и A2.4), получим ^о = ^о = Vo, Vn = Vne * *» K «, Vn = Vne ">Гя, sn = k X\tin -f- ?/2» en = k x2n + ел. Отсюда Из выражения A2.5) следует, что для оценки х можно воспользоваться как амплитудой, так и фазой любой гармоники. Кельвин нашел, что имеется почти полное соответствие между величинами х, полученными из данных об амплитуде или фазе первой гармоники и, как и следовало ожидать, менее удовлетворительное соответствие при использовании высших гармоник. Эти методы интересны тем, что они позволяют получить среднюю вели- величину температуропроводности почвенного слоя; однако было установлено, что передача тепла в почве является очень сложным процессом, на который сильно влияет присутствие воды *). Добавление воды к сухому грунту вызы- вызывает значительное увеличение теплопроводности; так температуропровод- температуропроводность обычно достигает своей максимальной величины (в 2—3 раза пре- превышающую величину, соответствующую сухому грунту) при влажности 5—10%. В дальнейшем, когда почва периодически прогревается, возникают периоди- периодические колебания ее влажности и температуры. По этой причине теория, основанная на предположении о постоянстве температуропроводности, может дать лишь приближенные результаты. *) Этот вопрос хорошо освещен в [46]. Большое количество результатов, полу- полученных для различных почв, приведено в [47]. Вопрос о влиянии перемещения воды в почве рассмотрен в [48].
§ 13] ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЙ ПОТОК ТЕПЛА 87 Теория, изложенная выше, позволяет получить не абсолютные величины, а лишь колебания температуры на различных глубинах в зависимости от изме- изменений температуры на поверхности. Для нахождения абсолютных величин необходимо знать тепловой поток, поступающий от Солнца, и тепловые потери с поверхности Земли; нужно знать также, каким образом происходит поглощение тепла атмосферой. Последнее особенно трудно оценить из-за наличия в атмосфере водяных паров, которые играют доминирующую роль в этом процессе. Однако Бранту [21, 49] удалось получить кривые для безоблачных дней, хорошо согласующиеся с наблюдениями, предположив, что тепловые потери Земли вследствие излучения днем и ночью одинаковы. Следует указать, что количество тепла, получаемого от Солнца в дневное время, пропорционально косинусу зенитного расстояния Солнца. Средняя температура поверхности Земли определяется только солнечным излучением, причем в данном случае поток тепла, поступающий изнутри Земли (см. сле- следующий параграф), можно считать пренебрежимо малым. § 13. Геотермический градиент и поток тепла Уже на ранних этапах развития горной промышленности было известно, что температура Земли повышается с глубиной, причем расстояние по вер- вертикали между точками, в которых температура отличается на 1°С (иногда это расстояние называют геотермической ступенью), примерно равно 24 м. Иногда в глубоких шахтах температура достигает относительно высоких значений, что приводит к дополнительным трудностям при работе в них. Множество измерений температур, проведенных в глубоких скважинах, показало, что на суше скорость возрастания температуры с глубиной (так называемый геотермический градиент) варьирует в пределах 10—50° С на 1 км. Несколько измерений, проведенных на дне океана, показали, что эта величина примерно равна 40° С на 1 км. Величины, приведенные выше, а также все указываемые ниже данные относятся к областям, удаленным от зон активной вулканической деятельности. В термически активных зонах и вблизи действующих вулканов наблюдаемые температуры значительно выше. Из приводимых ниже расчетов следует, что эти расхождения обусловлены главным образом разницей в теплопроводности горных пород, и если учи- учитывать ее, то результаты наблюдений *) во всех точках Земли (в том числе на дне океана) совместимы с величиной теплового потока, варьирующей в различных областях от 0,6 • 10~6 до 2 • 10~6 кал/'см2 • сек, причем средняя его величина примерно равна 1,2- 10~6 кал/см2 • сек. До сих пор не удава- удавалось обнаружить никакого систематического изменения теплового потока с положением. Для определения теоретической зависимости изменения температуры с глубиной предположим, что теплопроводность К и количество выделяющегося в единицу вре- времени тепла А являются функциями только глубины х. Уравнение установившегося теплового потока записывается в виде 4^-A A3.1) *) Имеющаяся в настоящее время обширная литература по этому вопросу сум- суммируется в работах [50, 51]. Множество ранних данных о температуре, но не о тепло- теплопроводности горных пород приведено в работах [52, 53]. Статьи [54, 55] отражают начало современной практики систематического измерения в буровых скважинах как температур, так и теплопроводностей. В работе [56] приводятся данные об измерениях температур в тоннелях. Эффекты, наблюдаемые в областях вечной мерзлоты, описаны в статьях [57, 58].
88 ГЛ. П. ЛИНЕЙНЫЙ ПОТОК ТЕПЛА [§ 13 Это уравнение примет более простую форму, если мы введем новую переменную ?-. A3.2) о Так как R = — — удельное термическое сопротивление исследуемого твердого тела, то величина S является общим термическим сопротивлением твердого тела, ограни- ограниченного наружной поверхностью и плоскостью, расположенной на глубине х. Из выра- выражения A3.2) следует, что dv „ dv и, таким образом, —рг служит мерой теплового потока. Подставляя A3.3) в выраже- ние A3.1), получим ¦% = -АК. A3.4) /. Случай, когда тепло не выделяется, Л = 0. Интегрируя выражение A3.4), получим где Vo и F — постоянные, которые можно считать температурой поверхности и тепло- тепловым потоком. Таким образом, при отсутствии источника тепла график зависимости v от ? имеет вид прямой; поэтому, если наблюдаемые величины температур предста- представляют в таком виде в соответствии с измеренными коэффициентами теплопроводности, то многие кажущиеся аномалии исчезают. Предполагается, что величина Vo, найден- найденная таким же образом, должна совпадать со средним годовым значением температуры воздуха, однако обычно она выше, что приписывают влиянию испарения. 2. В единицу времени через единицу площади в плоскости 6i поступает количество тепла, равное Q. В данном случае 0<6<6lf | Отсюда следует, что внезапное изменение формы графика зависимости v от 6 обусловлено притоком или оттоком тепла на данной глубине (например, при тече- течении воды). 3. Количество выделяющегося в некоторой области тепла постоянно. Эта может происходить в трех случаях: а) при переносе тепла грунтовыми водами; б) при радиоактивном распаде; в) при химической реакции вблизи рудного тела. В качестве примера рассмотрим случаи трех слоев, для которых К = Ки А = 0 при 0 < х < х{; К=К2, А = А2 при хх < х < х2 и /С= /Сз» А = 0 при х > хъ где К\% /G. Kz* А2 — константы. Тогда Fxx . Fix — х{) А2(х — ххJ j^-\ *-р 1L 2-±——У-, хх<х<х29 Ai Л2 ^Л2 Fx\ 1 ^(*2 —*i) A2{x2 — XjJ , A3.6) , [F — А2 (х2 — х{)] (х — х2) + Кз • *>** Из соотношений A3.4) и A3.6) следует, что график зависимости v от ? вогнут вниз в области, где выделяется тепло. Соотношения типа A3.6), в которых исполь- используется известная величина теплового потока на поверхности F и предполагаемое рас- распределение радиоактивности, часто применяются для оценки температур в земной коре. Это простое рассмотрение значительно изменяется при учете геологических усло- условий, например при наличии эффектов противодавления и денудации (см. § 2 гл. XV), эффектов отклонения от горизонтальной поверхности (см. § 3 гл. XVI), эффектов изменения теплопроводности в поперечном направлении и эффектов изменения темпе-
§ 14] ГЛ. ТТ. ЛИНЕЙНЫЙ ПОТОК ТЕПЛА 89 ратуры на поверхности. В частности, очень заметно выражено влияние последних ледниковых периодов, которое в настоящее время уже тщательно изучено [60]. Про- Простейший случай, из которого вытекает много других, связан с ледниковым периодом, продолжавшимся в течение времени Т, причем в этот период поверхность Земли под- поддерживалась при нулевой температуре, а до и после него температура поверхности была равна Vo. Считая, что ледниковый период закончился в момент времени t = 0, мы предполагаем, что в момент времени t = — Т температура равнялась у = Vo -f- Gx, что соответствовало постоянному геотермическому градиенту G. Отсюда, используя выражения D.10), мы получим для температуры в момент времени t > 0 величину v = Vo + Gx + У0Ф ( — У0Ф I 2-я-) . A3.7) § 14. Возраст Земли. Анализ Кельвина Еще Фурье [60, 61] показал, что, пользуясь измеренной величиной гео- геотермического градиента, можно грубо оценить время, прошедшее с начала остывания Земли, находившейся в расплавленном состоянии. При математиче- математическом анализе этой задачи он, ради упрощения, пренебрегал кривизной земной поверхности и считал коэффициент температуропроводности % постоянной величиной. Поверхность Земли он принимал за плоскость л; = 0 и предпо- предполагал, что на этой поверхности происходит теплообмен со средой, темпера- температура которой равнялась нулю. В начале охлаждения, т. е. в момент вре- времени ? = 0, он считал температуру постоянной и равной v0. Фурье нашел, что для больших значений t температурный градиент вблизи поверхности приблизительно равен vo(Tzxt)~^2, т. е. получил результат, приведенный в § 7 настоящей главы. Кельвин *) решал более простую задачу, считая Землю полуограничен- полуограниченным телом, граница л; = 0 которого поддерживается при нулевой темпера- температуре, а начальная температура везде одинакова и равна vQ. Из соотноше- соотношения D.3) следует, что температура v на глубине х в момент времени t будет равна С! = И0Ф ^Цт-. (ИЛ) и дУ Ур дх ~ Отсюда вытекает, что величина dv/dx при л; = 0, т. е. геотермический градиент G, выражается так же, как и в задаче Фурье, а именно: Q = vo(mt)-\ A4.2) Положив г;0=3900оС (так как эту температуру можно считать температурой плавления горных пород), б = -27бо"' а * = 0,018 (как наиболее приемлемую среднюю величину), Кельвин нашел из выражения A4.2) величину, равную 94-106 лет, для времени, по истечении которого геотермический градиент упадет до своего теперешнего значения, т. е. «возраст» Земли**). Кельвин *) См. [62]. В этой работе Кельвин полностью исключал возможность выделения тепла за счет химической реакции. **) В настоящее время широко распространена другая теория, в которой предпо- предполагается, что Земля образовалась в результате агрегации пылевых частиц, а затем ее температура начала повышаться вследствие давления и радиоактивного распада содержащихся в ней радиоактивных веществ. (Прим. ред.)
90 ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЙ ПОТОК ТЕПЛА [§ 14 признавал, что принятая им начальная температура 3900° С слишком высока, и из более поздних исследований свойств горных пород при высоких темпе- температурах он заключил, что начальную температуру следует считать равной 1200° С [63, 64]. При этом его оценка возраста Земли снижается до значе- значения, немного меньшего чем 107 лет, что мало отличается от величины, най- найденной Кингом [65], который полагал, что у нас нет данных считать возраст Земли большим, чем 24 000 000 лет. Предельные значения возраста Земли, которые Кельвин получил в 1864 г., вызвали большой интерес, поскольку в те годы, так же как и сейчас, геологи считали, что для остывания Земли из расплавленного состояния необходим значительно больший период времени. Они основывали свои аргументы на данных о наблюдаемых процессах и об эффектах стратификации. Вывод Кельвина вызвал обширную дискуссию между физиками и геологами [66, 67], причем полемика закончилась лишь в начале XX века, когда была открыта радиоактивность. Следует, однако, отметить, что задача Кельвина по существу сводится к задаче об охлаждении тонкого поверхностного слоя, поскольку ф B) = 0,995, мы получим, используя приведенные выше численные значе- значения, что по истечении 108 лет температура на глубине 250 км изменится лишь на 0,5% и, следовательно, огромные количества тепла внутри Земли окажутся совершенно незатронутыми. Было отмечено, что если бы физиче- физические условия внутри Земли позволяли использовать ббльшие количества тепла, то для возраста Земли мы получили бы значительно ббльшие вели- величины [68, 69] (см. также § 8 гл. XII). Теперь известно, что в горных породах земной коры тепло выделяется вследствие распада содержащихся в них [50—52, 70—74] радиоактивных веществ. Однако интенсивность выделения тепла при этом оценить довольно трудно ввиду большого расхождения в содержании радиоактивных веществ в образцах горных пород одного и того же типа, а также вследствие разли- различий между горными породами разных типов. Последние из полученных резуль- результатов составляют 6,3 • 10~6; 1,7 • 10~6; 0,04 • 10~6 кал/г в год для гранитных, основных и ультраосновных горных пород соответственно. Данные для оса- осадочных пород сильно варьируют, но величину 2 • 10~6 кал/г в год можно считать наиболее правдоподобной. Распределение радиоактивных материалов по глубине неизвестно, однако можно предположить, что количество их, равное по порядку величины количеству, наблюдаемому на поверхности Земли, должно сосредоточиваться в относительно тонком слое толщиной несколько десятков километров; в противном случае количество выделяюще- выделяющегося тепла было бы больше того, которое можно объяснить наблюдаемой потерей тепла с поверхности Земли. Таким образом, для решения нашей задачи можно прибегнуть к физическим моделям, описанным выше (см. стр. 84, 88). Эти модели часто использовались при обсуждении вопросов о температуре в земной коре и о возможных значениях возраста Земли. В связи с тем, что период полураспада некоторых радиоактивных веществ (в частности, для калия он равен 1,3 • 109 лет) значительно меньше 4 • 109 лет (что считается вероятным значением возраста Земли), возникают дополнитель- дополнительные осложнения, так что при определении интенсивности выделения тепла следует учитывать экспоненциальный характер распада. Уже в 1893 г. было признано, что предположение Кельвина о постоян- постоянной начальной температуре должно быть заменено другим, учитывающим повышение точки плавления с давлением [65, 75]. При этом обычно прини- принимается линейная зависимость (vo-{-bx), где v0 примерно равно 1400°С, a b приблизительно равно Ъ°1км. Данная задача по-прежнему сводится к за-
§ 15] гл. и. линейный поток тепла 91 даче 3 § 11, и, идя этим путем, Джеффриз получил величину возраста Земли, равную 1,6 • 109 лет. В последние годы на смену попыткам вычислить возраст Земли тер- термическими методами пришли попытки вычислить температуры внутри Земли, исходя из ее предполагаемого возраста. Это потребовало рассмотрения задачи о сфере, обсуждение которой приведено в § 14 гл. IX. § 15. Неограниченное составное твердое тело Пусть область х > О состоит из одного вещества (Кг, рх, -*.{), а область х < 0 из другого (/С2. р2. *з). причем граничные условия в плоскости раздела х = 0 совпадают с (9.18) и (9.19) гл. I, т. е. vx = v2, x = 0, t>0 A5.1) и к*ъг=к*тг- х==0't>Ot A5-2) где vx — температура в области х > 0, a v2— температура в области х < 0. Многие задачи подобного типа можно решить, используя решения для полуограниченного твердого тела, приведенные в § 4 данной главы. 1. Начальная температура постоянна и равна в области *>0 величине V, а в области х < 0 она равна нулю. Ищем решения типа x>0, A5.3) 1=у х<0. A5.4) Из § 4 данной главы известно, что эти решения удовлетворяют диф- дифференциальным уравнениям теплопроводности в соответствующих областях. Находим постоянные Av Bv Л2, В2, удовлетворяющие начальным и гранич- граничным условиям. Начальные условия дают а граничные — Ах = А2 и ^1/С1ос1 2 = — В2К2%2 2. Решая эти уравнения и подставляя в A5.3) и A5.4), окончательно получим *) 4 / 2. Начальная температура равна нулю. В плоскости х = 0 при t > 0 через единицу площади в единицу времени поступает количество тепла, равное Fo. В данном случае, исходя из соотношения (9.6) настоящей главы, примем, что *) Другие методы решения см. в [76—78].
92 ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЙ ПОТОК ТЕПЛА [§ 16« Здесь неизвестные постоянные Ft и F2 следует находить из граничных условий при х = 0; тогда мы получим /С, ~ /С2 Отсюда «>,= .:,:. Г.л i** h^W • A5-ю) Случай контактного сопротивления между поверхностями раздела был рассмотрен Шафом [79]. Он различал два случая: а) когда тепло подводится к одной или обеим поверхностям — случай, соответствующий «сухому» трению, и б) когда тепло подво- подводится между поверхностями — случай, соответствующий жидкостному трению или наличию тонкого плоского нагревательного элемента. 3. Условия задачи те же, что и в пункте 1, но в плоскости х = 0 имеется контактное сопротивление, и поэтому вместо соотношения A5.1) ми должны написать /С, .^L+ //<»,--»!) = 0, A5.11) тогда как соотношение A5.2) по-прежнему остается справедливым (см. пункт Ж § 9 гл. I). Поступая точно так же, как и в пункте 1, и учитывая, что при х = 0 мы имеем граничное условие третьего рода, будем искать для данной задачи решения вида: *»» L х_ 0(^J /)]}' <15Л2> (/ \x\ \ - exp (h2x + hW) Ф* y^ + h2 уЦ j , A5.13) где 77 Эти задачи, а также более сложные задачи легче всего решать при помощи пре- преобразования Лапласа (см. гл. XII). § 16. Случай зависимости термических характеристик вещества от температуры В § б гл. I было показано, что если /Сие зависят от температуры, то уравнение линейного потока тепла d дх или d2v d{\x\K) ( dv \2 __ J_ dv_ дх2 dv \ дх) х dt
§ 16] ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЙ ПОТОК ТЕПЛА 93 приводится в результате замены переменной V е f-^-dv A6.3) *1 До О к виду д2в 1 ае где % =—¦ — функция 0. Здесь можно использовать любое из уравнений A6.1), A6.2) и A6:4). Исторически сложилось так, что в первых статьях рассматривались задачи с переменными термическими характеристиками; однако впоследствии, частично из-за возникавших трудностей, частично из-за недостатка данных об изменении термических характеристик с температурой, таким задачам посвящалось очень мало работ. В последнее время благодаря накоплению сведений о термических характеристиках веществ, а также ввиду важности подобных задач в теории диффузии эти проблемы привлекли очень большое внимание. Для их решения обычно следует применять численные методы, но имеются также некоторые чрезвычайно интересные теоретиче- теоретические подходы. Здесь мы подробно рассмотрим лишь те из них, которые важны для задач теплопроводности. Полный разбор остальных методов можно найти в гл. IX книги Крэнка [80]. I. Преооразование Больцмана [81]. Решения ряда важных задач, в которых температуропроводность постоянна, представляют собой функции только от б=.*ГТ. A6.5) Отсюда следует, что необходимо рассмотреть возможность нахождения в такой форме решений уравнения A6.1). Если предположить, что v является функцией только б, то уравнение A6.1) приводится к обычному дифференциальному уравнению а уравнение A6.4) принимает вид *-S-+y?4r=a A6-7) Пригодность выражения A6.5) лимитируется тем, что граничные и начальные условия также должны выражаться только через б. Например, поскольку б->оо при t->0 и jc>0, а 6 = 0 при t > 0 и х = 0, очевидно, что это соотношение применимо в области х > 0 для постоянной начальной температуры и в плоскости х = 0 для постоянной температуры при t > 0. Следует отметить, что употребление термина «преобразование» применительно к соотношению A6.5) нельзя считать правильным, так как при этом предполагается, что при замене переменных в уравнении A6.1), скажем, на б и t, уравнение в частных производных приводится к обычному дифференциальному уравнению A6.6), тогда как на самом деле оно просто преобразуется в уравнение по ?. Смысл данного метода заключается в том, что если начальные и граничные условия, которым удовле- удовлетворяет уравнение A6.1), можно выразить только через б, то решение A6.6), которое удовлетворяет этим условиям, дает решение A6.1) с граничными условиями; при этом полученное решение представляет собой функцию только xt~4* и можно полагать, что оно является единственным. Если х — постоянная величина, то для A6.7) непосредственно получается обыч- обычное решение в = АФ (-5—) = АФ / ^-гг). A6.8) \ 2% I* ] \ 2 (**) / Имеются различные интегралы уравнений A6.6) и A6.7), например ¦-2»-^. A6.9)
94 ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЙ ПОТОК ТЕПЛА [§ 16 для случая, когда с — постоянная величина. Этот интеграл является исходным для численного метода Филипа [82] *). Приближенные решения уравнения A6.6) легко получаются для случаев, при которых К изменяется медленно. Кирхгоф и Ганземан [30] разобрали случай с == со-\-сху и /( = Ko-\-K\V. При этом они искали решение в виде v = i/ (?) и считали, что с{ и К\ малы. II. Преобразование Пика **). Предположим, что ф является функцией х и t, которая удовлетворяет уравнению ^ - Ш A6.10) где fx (ф) и /2 (ф) — функции только ф. Тогда, если v — функция только ф, то урав- уравнение A6.2) принимает вид dv ( dv\2 d(\nK) ,п\а2у /1А11Ч Необходимо также преобразовать граничные условия. Так, если граничными условиями для v служат v = vx = const при Fx (jc, t) = 0 и v = t/2 при /^ (jc, ?) = 0, то граничные условия для ф имеют вид ф=Кь при Fx(x,t) = 0 и ф = V2 при F2 (-^» 0 = 0. Например, для области х > 0, в которой граничными условиями служат v = vx при jc>0, ? = 0 и v= v2 при jc = 0, * > 0, получим, что ф = ехр(— xt~^2) удовле- удовлетворяет уравнению A6.10), а уравнение A6.11) принимает вид и решается с граничными условиями v = с/, при ф = 0 и i/ = t;2 при ф = 1. III. Точные решения для частных случаев. Задачи, в которых термические характеристики являются ступенчатыми функ- функциями температуры [80, 85], можно точно решить методами, изложенными в § 2 гл. XI. Разобраны также задачи, в которых теплопроводности выражаются в виде /Со/A — Щ, /Со/A — Щ2 и /Со/A + 2av + bv2) [80, 86]. IV. Другие методы. Были рассмотрены различные приближенные методы для решения задач, в кото- которых теплопроводности выражаются в виде а -\- bv и ехр (av) [80]. Следует отметить, что самый важный закон в теории диффузии, а именно закон где Т—абсолютная температура, a Do, ?, R — постоянные, еще полностью не про- проанализирован. Был предложен метод последовательных приближений, причем в качестве нуле- нулевого приближения используется случай постоянных термических характеристик, а для получения первого приближения применяется функция Грина [87]. V. Установившееся состояние. В данном случае уравнение A6.1) сводится к обыкновенному уравнению К —г- = const, dx которое можно сразу же проинтегрировать для целого ряда важных специальных случаев. В задачах, в которых К зависит только от v, результаты непосредственно следуют из результатов для постоянного /С, найденных в ряде важных специальных задач как одномерных, так и двух- и трехмерных (см. § 6 гл. I). Были получены графики распределений температур при линейном и радиальном потоке тепла для величин К, выражающихся в виде /<о[1 + /(*О] и ^о [! + /(-*)] [88]. *) О его применении к уравнению A6.1) с дополнительным членом A (v) -p- см. [83]. **) В работе [84] Пик распространил этот метод на трехмерный случай.
ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЙ ПОТОК ТЕПЛА 95 ЛИТЕРАТУРА 1. Gray, Ргос. Roy. Soc. Edin. 45, 230—244 A924—1925). 2. R i b a u d, С. R. Acad. Sci. 226, 140—142, 204—206, 449—451 A948). 3. N or d о n, С R. Acad. Sci. 228, 167—168 A949). 4. A p p e 1 1, J. Math. Pure Appl. 8, 187—216 A892). 5. Goursat, Cours d'Analyse, Gauthier-Villars, ed. 5, vol. 3. (Э. Г у р с а, Курс математического анализа, ОНТИ, ч. III, 1934, перев. с 5-го изд.) 6. Р a t e r s о п, Ргос. Glasgow Math. Ass. 1, 48—52 A952—1953). 7. Titchmarsh, Theory of Fourier Integrals, Oxford, 1937. (Э. Титчмарш, Вве- Введение в теорию интегралов Фурье, Гостехиздат, 1948, перев. с 1-го изд.) 8. L о v e r i n g, Bull. Geol. Soc. Am. 46, 69—93 A935). 9. Lovering, Econ. Geol. Fiftieth Anniv vol., p. 249, 1955. 10. Cars law, Introduction to the Mathematical Theory of the Heat Conduction, Mac- Millan, ed. 2, 1921. (Г. Карслоу, Теория теплопроводности, Гостехиздат, М., 1947.) 11. Cars law, Fourier's Series and Integrals, MacMillan, ed. 3, 1930. 12. W i 11 i a m s о n, A d a m s, Phys. Rev. 14, 99 A919). 13. Taylor, Phil. Trans. Roy. Soc. A215, 1 A915). 14. К i r s с h, Die Bewegung der Warme in den Cylinderwandungen der Dampfmaschine, Leipzig, 1886. 15. Dahl, Trans. ASME 46, 161 A924). 16. Stokes, Scientific Papers, iii, 1. 17. Lam b, Hydrodynamics, ed. 4, § 345. (Г. Лам б, Гидродинамика, Гостехиздат, 1947, перев. с 6-го изд.) 18. Howling, Mendoza, Zimmerman, Ргос. Roy. Soc. A229, 86—109 A955). 19. Slater, Microwave Transmission, McGraw-Hill, 1942. 20. Marcus, Carnegie Institute of Technology, Report, 1953. 21. Brunt, Quart. J. R. Met. Soc. 58, 389 A932). 22. Smith, Aust. J. Phys. 6, 127—130 A953). 23. L a u w e r i e r, Appl. Sci. Res. A4, 142—152 A954). 24. Jaeger, Johnson, Geofis. Рига ё Appl. 24, 104 A953). 25. J a e g e r, Proc. Camb. Phil. Soc. 49, 355—359 A953). 26. Jaeger, Aust. J. Phys. 6, 10—21 A953). 27. Schu 1 z e, Ann. Phys. (N. F.) 66, 207 A898). 28. Schaufelberger, Ann. Phys. D) 7, 589 A902). 29. Fraz.ier, Phys. Rev. 39, 515 A932). 30. Kirchhoff, Hansemann, Ann. Phys. (N. F.) 9, 1 A880). 31. Kirchhoff, Hansemann, Ann. Phys. (N. F.) 13, 406 A881). 32. Gruneisen, Ann. Phys. D), 3, 43 A900). 33. G i e b e, Verh. dtsch. phys. Ges. 60, 1903. 34. Hobson, Diesselhorst, Warmeleitung, Enc. der Math. Wiss., Bd. V, Tl. I, 224—227, 1905. 35. Fox, Phil. Trans. Roy. Soc. A232, 431 A934). 36. P a t e r s о n, Phil. Mag. 32, 384 A941). 37. Pater son, Proc. Glasgow Math. Ass. 1, 164—169 A953). 38. Jaeger, Quart. Appl. Math. 4, 100—103 A946). 39. Jeffreys, Beitr. Geophys. 18, 1 A927). 40. Bui lard, Mon. Not. R. Astr. Soc, Geophys. Suppl. 4, 534 A939). 41. Jeffreys, The Earth, Cambridge, ed. 3, 1952, Chap. X. 42. V a n О r s t r a n d, J. Wash. Acad. Sci. 22, 529 A932). 43. Cook, Brit. J. Appl. Phys. 3, 1—6 A952). 44. Jaeger, Brit. J. Appl. Phys. 3, 221—222 A952). 45. Kelvin, The Reduction of Observations of Underground Temperature. Trans. Roy. Soc. Edin. 22, 405 A861). 46. К е е n, The Physical Properties of the Soil, Rothamsted Monographs on Agricultural Science, 1931, Chap. IX. 47. Patten, Bull. U. S. Dir. Soils No. 59 A909). 48. D e V r i e s, Trans. Int. Congr. Soil. Sci. vol. II, 1950. 49. Lett аи, Trans. Am. Geophys. Union 32, 189—200 A951). 50. Bui lard, The Earth as a Planet, Ed. Kuiper, University of Chicago Press, 1953. 51. Jacobs, Encyclopaedia of Physics, Springer, vol. 47, 1956. 52. Internal Constitution of the Earth, Ed. Gutenberg, Dover, 1951. 53. Temperature, its Measurement anx Control in Science and Industry, Am. Inst. Phys. 1941. 54. Benf iel d, Proc. Roy. Soc. A173, 428—450 A939),
96 ГЛ. ТТ. ЛИНЕЙНЫЙ ПОТОК ТЕПЛА 55. В и 1 1 а г d, Ргос. Roy. Soc. A173, 474—502 A939). 56. Birch, Bull. Geol. Soc. Am. 61, 567—630 A950). 57. Ter z a g h i, J. Boston Soc. Civil Engrs 39, 1—50 A952). 58. M i s e n e r, Trans. Am. Geophys. Union 36, 1055—1060 A955). 59. Birch, Am. J. Sci. 246, 729—760 A948). €0. Fourier, Extrait (Tun Memoire sur le refroidissement du globe terrestre. Bull. Sci. par la Societe philomatique de Paris 1820. 31. Fourier, Oeuvres complete, Paris, 1888, T. II, p. 284. €2. Kelvin, The secular cooling of the Earth, Trans. Roy. Soc. Edin. 23, 157 A864). 63. Kelvin, Nature 59, 438 A895). 64. Ke 1 v i n, Phil. Mag. 47f 66 A899). 65. К i n g, Am. J. ScL 145, 1 A893). 66. Woodward, The mathematical theories of the Earth, Am. Ass. Adv. Sci., Toronto, 1889. 67. Woodward, The century's progress in applied mathematics, Bull. Am. Math. Soc. 6, 147 A900). 68. Perry, Nature 51f 224, 341, 582 A895). 69. H e a v i s i d e, Electromagnetic Theory, 1899, vol. II. 70. Rutherford, Chadwick, Ellis, Radiation from Radioactive Substances, Cambridge, 1930. 71. Holmes, The Age of the Earth, Harper's, 1913. 72. J e f f г е у s, Mon. Not. R. Astr. Soc. Geophys. Supp. 5, 37 A942). 73. Bullard, Mon. Not. R. Astr. Soc. Geophys. Supp. 5, 41 A942). 74. Birch, Nuclear Geology, Ed. Faul, Wiley, 1954, Chap. 5. 75. В а г u s, Phil. Mag. 35, 173 A893). 76. Tranter, Phil. Mag. 28, 579 A939). 77. С a r s 1 a w, Phil. Mag. 30, 414 A940). 78. Churchill, PhiL Mag. 31, 81 A941). 79. S с h a a f, Quart. Appl. Math. 5, 107—111 A947). 80. Crank, The Mathematics of Diffusion, Oxford, 1956. 81. В о 11 z m a n n, Ann. Phys. 53, 959 A894). 82. Philip, Trans. Faraday Soc. 51, 885—892 A955). 83. Philip, Aust. J. Phys. 10, 29—42 A957). 84. Peek, Phys. Rev. 35, 554—561 A930). 85. Crank, Trans. Faraday Soc. 47, 450—461 A951). 86. F u j i t a, Text. Res. J. 22, 757, 823 A952). 87. Hopkins, Proc. Phys. Soc. 50, 703 A938). 88. В ar r e r, Proa Phys. Soc. 58, 321—331 A946).
ГЛАВА III ЛИНЕЙНЫЙ ТЕПЛОВОЙ ПОТОК В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ, ОГРАНИЧЕННОМ ДВУМЯ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ПЛОСКОСТЯМИ § 1. Введение В настоящей главе мы рассмотрим различные задачи о линейном тепло- тепловом потоке в твердом теле, ограниченном двумя параллельными плоскостями (обычно х = 0 и х — 1). Эту область мы будем называть для краткости «пластина 0 < х < fa. Полученные нами результаты применимы также к стержню длиной / с теми же условиями на концах при отсутствии тепло- теплообмена с его поверхности. § 2. Установившаяся температура В случае установившегося потока тепла в пластине толщиной / с коэф- коэффициентом теплопроводности /С. поверхность которой поддерживается при температурах vx и vv дифференциальное уравнение принимает вид d2v 0 1F2 = 0' Отсюда "• = const = V2~~vi # dx Таким образом, тепловой поток в любой точке равен . „ dv К (v2 — v{) Vi — v2 где Л = ?. B.2) Соотношение B.1) по форме полностью совпадает с законом Ома для установившегося электрического тока: тепловой поток / соответствует электрическому току, а разность температур vx — v2 — падению напряжения. Таким образом, R можно назвать термическим сопротивлением пластины. Теперь предположим, что мы имеем составную пластину, состоящую из п пластинок с толщинами 1Х /л и коэффициентами теплопроводно- теплопроводности Кх Кп соответственно. Если пластинки находятся в идеальном тепловом контакте по поверхностям раздела, то изменение температуры между противоположными поверхностями всей составной пластины равно сумме изменений температур в отдельных пластинках, и, так как тепловой поток одинаков в любой точке, эта сумма равна следующей величине: ^ /. B-3) 7 Г. Карслоу, Д. Егер
98 ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЙ ТЕПЛОВОЙ ПОТОК В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ [§ & Это равносильно утверждению, что при идеальном тепловом контакте между отдельными слоями составной пластины ее термическое сопротивле- сопротивление равно сумме термических сопротивлений отдельных слоев. Рассмотрим теперь составную пластину с такими контактными сопроти- сопротивлениями, что тепловой поток между поверхностями последовательных слоев равен произведению Н на разность температур этих поверхностей (см. соот- соотношение (9.20) гл. 1). Здесь 1/Н можно считать термическим сопротивле- сопротивлением контакта, и тогда полное термическое сопротивление составной пла- пластины равно сумме термических сопротивлений отдельных слоев плюс тер- термическое сопротивление контактов между ними. Если коэффициент теплопроводности К является функцией температуры» то наше дифференциальное уравнение принимает вид и, следовательно, остается справедливым соотношение Интегрируя его от vx до v2, т. е. в пределах поверхностных темпера- температур пластины толщиной /, получим _ f Kdv = lf, V\ и, следовательно, (ух — v2) /Сер /= i > B-4) где ^f B.5) представляет собой средний коэффициент теплопроводности для всего диа- диапазона температур в пластине. Таким образом, если коэффициент теплопро- теплопроводности зависит от температуры, то предыдущие результаты остаются справедливыми при замене К на /Сср. § 3. Область 0 < х < U Границы поддерживаются при нулевой температуре. Начальная температура f(x) Задача сводится к решению дифференциального уравнения dt ~ дх2' ^ ^ ' v ' при условиях с = 0 и х=*1 C.2) при * = 0. C.3) Если начальное распределение представляется в виде . . ппх v = Ans\n—j-,
§ 3] ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЙ ТЕПЛОВОЙ ПОТОК В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ 99 то ясно, что выражение v = An sin—y-expl -я—1 будет удовлетворять всем условиям C.1), C.2), C.3) нашей задачи. Предположим, что начальная температура f(x) представляет собой огра- ограниченную функцию, удовлетворяющую условиям Дирихле*) [1] в интер- интервале @, /) и, следовательно, ее можно разложить в ряд ппх где )sin = т f о о Рассмотрим теперь функцию V, определяемую бесконечным рядом ansm —j- exp [^ ^г—J • C.5) п = 1 « Г ъп2п4  Благодаря присутствию множителя ехр ^— этот ряд равномерно сходится **) в любом интервале х при t > 0. Если рассматривать его как функцию /, то мы увидим, что он равномерно сходится при /^>^0>0, где ?0 — некоторое положительное число. Таким образом, в указанных интервалах функция V, определяемая рядом C.5), является непрерывной функцией как от х, так и от t ***). Легко показать, что ряды, полученные почленным дифференцированием ряда C.5) по х и t, также равномерно сходятся в указанных интервалах х и t. Таким образом, они равны производным от v. Следовательно, ъх Г ъп2ъ4 Л Г-еХР[ J2- J dl/ VI ХЛ2^2 flTCJC d2t/ v^ хп2^2 . rnzx Г %/г2я:2П x^ = -^-7^-a»SInnrexPL /Н 1 при ^>0 и 0<л;</. *) Это требование снимается [2], так как было показано, что приводимые ниже результаты справедливы, если функция / (х) является ограниченной и интегрируемой в интервале 0<!jc<; /. **) Так как / (х) является ограниченной функцией, то имеется такое положитель- положительное число М, что | / (х) | < М в интервале 0 < х < I. Отсюда следует, что \ап \ < 2М для всех значений п. Поэтому В таком случае ряд сходится: его члены не зависят от х и t> и мы получаем соответствующие решения. ***) Если считать v функцией двух переменных jc, ty то она является непрерыв- непрерывной функцией от (х, t) в области 0<jc</, *>*a>0 [1]. 7* <2Л1ехр[ —-2^!L]. где
100 ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЙ ТЕПЛОВОЙ ПОТОК В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ [§ 3 Итак, уравнение dv d*v удовлетворяется во всех точках стержня при / > 0 функцией, определяемой рядом C.5). Посмотрим теперь, удовлетворяет ли данная функция граничным и началь- начальным условиям. Рассматриваемый нами ряд равномерно сходится относительно х в интер- интервале 0 ^ х ^ / при t > 0, и поэтому он служит непрерывной функцией х в данном интервале. Таким образом, limz;=0 (т. е. величине суммы ряда при л: = 0) limz;=0 (т. е. величине суммы ряда при лг = /). 1 Следовательно, граничные условия удовлетворены. Что же касается начальных условий, то мы можем воспользоваться обобщением теоремы Абеля [1]. Пусть функция f (х) ограничена и удовлетворяет условиям Дирихле в ин- интервале @, /). Тогда ряд синусов для f(x) tzx I . 2пх . a1sin—-.—\- a2sin— |- сходится и его сумма равна / (л:) в каждой точке между 0 и /, где / (л:) непре- непрерывна; во всех остальных точках эта сумма равна *) -^\f {х -\- 0) -f- / (х — 0I. Из обобщения теоремы Абеля следует, что если v определено рядом C.5), то lim v = lim У. ап sin ^~-ехр Г— —р—1 = / (х) в точках, где функция непрерывна; во всех остальных точках 1 tx/ — I Л\ I х / ,, А\1 Таким образом, мы доказали, что если начальная температура удовлет- удовлетворяет условиям Дирихле, непрерывна в интервале 0 >. х ;> /, а /@) = /(/) = 0, то функция, определяемая C.5)**), удовлетворяет всем условиям нашей задачи. Если начальная температура имеет разрывы непрерывности, то в точках разрыва функция, определяемая C.5), стремится к -g [f(x-\-0)-{-f(x — 0)} при *->0. При сколь угодно малом, но не равном нулю t функция v уже *) Если функция f(x) ограничена и удовлетворяет условиям Дирихле, то она может иметь только разрыв первого рода [1], **) Выражение C.5) можно записать в виде V3fc Т о 1 поскольку ряд под интегралом равномерно сходится (см. [1], § 70).
§ 3] ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЙ ТЕПЛОВОЙ ПОТОК В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ 101 не будет иметь разрыва в указанной точке и кривая температуры будет проходить вблизи точки -к {/С* + 0) + / (jc—0)}. Следует помнить, что физическая задача в том виде, в каком мы сфор- сформулировали ее для разрывного распределения температур на концах стержня или в самом стержне, представляет собой идеализированный случай. В дей- действительности же в начальный момент в стержне не может быть прерывного распределения температуры. Решая физическую задачу, мы должны предпо- предположить, что происходит мгновенное изменение температуры в стержне в момент, когда мы начинаем измерения в непосредственной близости от точки разрыва или от концов стержня (если они являются точками разрыва). Разрыв температур, таким образом, сглаживается. Наше решение поставлен- поставленной математической задачи удовлетворяет приведенным выше условиям и можно считать, что оно соответствует и измененной нами физической задаче. Представляют интерес следующие частные случаи *). /. Пластина 0 < х < I с постоянной начальной температурой, т. е. f (х) = = Vo = const. Тогда 2. Линейное начальное распределение в пластине 0 < х < /, т. е. f (х) = kx. Тогда 2lk v (—О" Г хл2я*П , ппх v=—2d ^—k—exp [—zHsin—• <3-7> Обычно выгоднее использовать результаты, полученные для пластины — I <х <1 (симметричный случай), так как тогда можно непосредственно сравни- сравнивать их с аналогичными результатами для сферы и цилиндра. Кроме того, обычно it х? для малых значений г^% например для -^ < 0,01, такие ряды, как C.6) и C.7), схо- сходятся медленно, но ниже будет показано (см. § 5 гл. XV), что для подобных значе- значений аналогичные ряды с функциями ошибок или их интегралами сходятся быстро. Для удобства упомянутые ряды будут рассмотрены здесь (см. C.9) и C.11)), а их производные мы рассмотрим в § 5 гл. XII. Все результаты, приводимые ниже, спра- справедливы также и для пластины 0 < х < /, если при х = 0 тепловой поток отсутствует, а плоскость х = / поддерживается при температуре, равной нулю. 3. Пластина —I <х <1 с постоянной начальной температурой, равной Vo. Перенося начало координат в выражении C.6) в среднюю точку пластины и заме- заменяя -<?-/ на /, получим или <,= К0- К. V (_d-j?«./<*+Ц'-*) + ф. (&Ltm±±\ I. C.9) Некоторые численные результаты, найденные при решении этой задачи, приведе- приведены на рис. 10, а и 11. Средняя температура с/ср в пластине в момент времени t равна »ср - -gr ^ Bл+1J ехР [~ * 41* % ]' (ЗЛ0) п=0 *) Ряд C.6) можно также выразить через тэта-функции [3].
102 или ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЙ ТЕПЛОВОЙ ПОТОК В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ [§ з C.11) Количество тепла, приходящееся на единицу площади в момент времени t, равно 2/рС1/ср. Данные об этой величине часто используются для определения v/V 0.6 о,г —-^ — ^— 0,4 _J,6 — \ --——. А \\ 1,0 V/V ав 0,6 0,4 0,2 О 0,2 0,4 0,6 0.8 1,0 х/1 а) "доТ^ ОА _ 1.0 ч —. > ^—, ¦' т \ — — Ц2 0,4 Q6 0,6 1tO х/1 б) О 02 6,4 0,6 0,6 1,6 х/1 ) Ц2 6,4 6,6 6,6 1,6 х/1 8) Рис. 10. Распределение температур в пластине 0 < х < I в отсутствие теплового потока при х = 0, нулевой температуре при х = / и раз- различных начальных распределениях температуры. а) Постоянная начальная температура; 6) линейное начальное распределение темпе- температуры V0(l— \x\)/l (см. пункт 4); в) начальное распределение температуры {Vo (/— \х l)//-f const; г) параболическое начальное распределение температуры (см. пункт 5). Числа на кривых указывают xt/l2. коэффициентов температуропроводности [4]. Тепловой поток / на поверхность равен следующей величине: или f к\дУЛ - KV0 /1=0 пЧ21 I C.12) C.13) Это решение было использовано при определении % для составляющих земной коры [5]; кроме того, оно применялось при исследовании металлических стержней; при этом
$ 4] ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЙ ТЕПЛОВОЙ ПОТОК В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ 103 определяли разность температур в стержне между точками х = а и х = Ъ [6]. Точки •а и b были выбраны таким образом, что cos C%a/2l) = cos Cnb/2l). В этом случае второй член ряда, полученный из C.8) для разности температур, обращается в нуль, а третий член ряда, содержащий множитель ехр [—25x7cV/4/2], очень быстро исчезает. 4. Область —I < х < I с начальной температурой Vo(/ — \x\)/l и темпера- температурой поверхности, равной нулю. В этом случае (ИЛИ \х\\ ,Bя C.15) 5. Область — I < х < I с начальной температурой Vo (/2 — х2)/12 и темпера- температурой поверхности, равной нулю . В этом случае _ 32К0 у (-1)" Г *Bп+\упЧЛ {<2п+\)ъх v ^~Zl Bя+1)« еХр[ 4Р JC0S S • (ЗЛ6) «ЛИ ( /Bя+1)/-^\ /Bя+1\ ) 1 V 2^I/2 / V2(^rjje j C.17) ^. Область — I < х < I с начальной температурой Vo cos (tcjc/2/) и темпера- температурой поверхности, равной нулю. В этом случае v=V0 cos -|^ exp |^— ^j-J. C.18) Приведенные выше решения представляют значительный интерес, так как они дают качественное представление о том, как отводится тепло из пластины при задан- заданном начальном распределении температуры. Из соотношения C.5) следует, что в первую очередь исчезают более высокие гармоники в ряде Фурье для / (jc), оста- оставляя основную гармонику, амплитуда которой уменьшается по экспоненциальному закону. Это фактически подтверждается и соотношением C.18). На рис. 10 показано уменьшение температуры для четырех различных начальных распределений темпе- температур, а именно: для постоянного, линейного, «линейное + постоянное» и параболи- параболического распределения. Как мы видим, тепло отводится таким образом, что распре- распределение температур приблизительно косинусоидально. Для случая постоянной на- начальной температуры тепло сначала отводится из области вблизи поверхности; при линейном распределении температур — из области вблизи центра; при «линейном+ -f- постоянном» — как из центра, так и с поверхности. § 4. Область 0 < х < /. Начальная температура f(x). Границы поддерживаются при постоянной температуре или изолированы Если границы поддерживаются при постоянных температурах vx и v2» то мы можем написать v — vx при Jt = O, v = v2 при х = I,
104 гл. ш. линейный тепловой поток в твердом теле [§ 4 и v = f(x) при / = 0. Как и в § 14 гл. I, сведем эту задачу к задаче об установившейся тем- температуре и к задаче, в которой границы поддерживаются при температуре» равной нулю. Пусть где и и w удовлетворяют следующим уравнениям: ¦0 = 0 @ <*</). u = vx при л: = 0, u — v2 при х = / тг—й- «><*«>• w = 0 при х = 0 и х = tp w = f(x) — и при * = 0. Отсюда сразу находим, что и, где как следует из § 3 1 и Таким образом, настоящей главы, оо 1 1 оо 1 к** Г -\vx + {v2-v 1 ХР [ /2 %*п*кЧ l) — }JS / 0 D.1) Наиболее прост и наиболее важен случай области —/ < х < / с у вой начальной температурой и постоянной температурой V на плоскостях х= ± I при t > 0. Решение, которое непосредственно сле- следует из D.1) или C.8), имеет вид /2 = 0 Вводя безразмерные параметры 7 = ^-, 4==^. D.3)
§ 4] ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЙ ТЕПЛОВОЙ ПОТОК В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ можно записать D.2) следующим образом: 105 V тс Zd Bn+l) expL C0S и решение для всех значений х, /, t и х легко получить из семейства кривых в двух измерениях. На рис. 11 изображен ряд графиков зависимости? v/V от (• для различных значений Т. Рис. 11. Распределение температур в различные моменты времени в пластине — / < х < I при нуле- нулевой начальной температуре и температуре поверх- поверхности, равной V. Числа на кривых указывают значения xt/P. На рис. 12 приведены графики для температур в центре*) (jc = O) w средних температур для пластины, цилиндра и сферы. Для случая, когда конец х = 0 изолирован, конец х = 1 поддерживается при темпера- температуре V, а начальная температура равна f(x)f решение получается таким же, как и в §§ 3 и 4 данной главы, но теперь f(x) будет уже выражаться рядом косинусов. Это решение записывается в виде л =0 X 2/(—\)*+*\ Bл+1)* D.5> *) В работе [7] приводятся обширные таблицы численных значений температу»- в центре пластин и сфер.
106 ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЙ ТЕПЛОВОЙ ПОТОК В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ [§5 Некоторые результаты для этого случая были приведены выше (см. стр. 101 — 103). го 44 / VIШ/ \ И Ы и/ W /IV // / / 0.3 0.4 0.6 О.д 1,0 xt/l2 Рис. 12. Распределения средней температуры и температуры в центре для пластины толщи- толщиной 21 (/, //), неограниченного кругового цилиндра диаметром 21 (Illy IV) и сферы диа- диаметром 21 (V, VI). Начальная температура равна нулю, температура по- поверхности равна V. Если начальная температура равна f(x) и оба конца д: 1 изолированы, то решение имеет вид = 0 и § б. Область 0 < х < I. Температуры границ равны ^ (f) и ?2 СО- Начальная температура f(x) В этом случае уравнение имеет следующий вид: при л: = 0, при х = I, v = f(x) при ^ = 0. Следуя общему методу, приведенному в § 14 гл. I, положим где и = 0 при лг = О и х = и = /(х) при ^ = 0
ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЙ ТЕПЛОВОЙ ПОТОК В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ 107 w = yl(t) при л; = 0, w = cp2 (t) при х = /, <и; = 0 при ? = 0. Решение для и (см. § 3 данной главы) записывается в виде -x.n2n2t  . ппх Г ., /ч . ппх Jsiny f{xf)sxn Для определения w мы должны использовать теорему Дюамеля *) (§14 гл. I), при помощи которой решение для случая, когда температуры на поверхности равны <?1(t) и ср2(О» получается из решения, найденного для случая температур на поверхности, равных vx и v2. Если температура всей пластины в момент t = \ равна нулю, а ее концы поддерживаются при температурах cpj (X) и ср2 (X) в интервале от t = X до t = tv то тогда температура в момент времени t определяется соотношением Следовательно, при температурах поверхности концов, равных <?x(t) и ср2(^), получим о где Отсюда J x X / exp ^^ [cp, (X) - (-1)" <p2 (X)] Л. E.1) *) Другой метод изложен в [8].
108 ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЙ ТЕПЛОВОЙ ПОТОК В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ [§ 5 Наконец, окончательно получаем i ъп2п4 E.2) Для области 0 < х < / с начальной температурой f(x), когда на границе л: = 0 отсутствует поток тепла, а на границе х — 1 поддерживается температура ср2(О» решение, получаемое тем же спо- способом, будет иметь вид 2VPvnT * Bв + IJ «* 1 ,-. <2я + 1) *х (Bв + 1) ™ (-1)" Т 2jеХр L 47^ Jcos 2/ j 2/ Х о I л-о / *Р»+^^ tp2(X)</X + //(,0cos <2n + ;)^ dx>\. E.3) о J Приведем ряд решений, представляющих определенную практическую ценность. Они даются для области —/ < х < /, поскольку в таких сим- симметричных случаях легче проводить сравнение с соответствующими резуль- результатами для цилиндра и сферы. 1. Область —/ < х < / с начальной температурой, равной нулю* При />0 границы х=±1 поддерживаются при температуре kt [9, 10]*). В данном случае E.4) 2. Область — / < х < / с начальной температурой, равной нулю. При t > 0 границы х=±1 поддерживаются при температуре V A—е~$*). В данном случае cos / (P/%)Vl (+)[р (+)] 2/ /г=0 при условии, что р не равно ни одному из значений xB/i-f- lJic2/4/2. Реше- Решение C.5) полезно для случая, когда температура границы изменяется быстро» но не мгновенно [И]. 3. Область —/ < х < / с начальной температурой, равной нулю. При />0 границы х=±1 поддерживаются при температуре Ve*'* *) В этих работах приводятся также некоторые численные результаты.
§ 6] гл. ш. линейный тепловой поток в твердом теле В данном случае 109 ch со ( ( 1 4/2 4v/« C0S 2/ § 6. Пластина с периодически изменяющейся температурой поверхности Рассмотрим вначале задачу для пластины — / < х < / с начальной температурой, равной нулю, и температурой поверхности, изменяю- изменяющейся по закону sin(otf + e) при t > 0. Решение, получаемое из E.2) дан- данной главы или из § 6 гл. XII, имеет вид v = A sin (atf -f- s + cp) -f- 4 ' 4 F.1) где ch Л*/ A + *l-f ch 2k*l + cos '*Х )Ч2 Первый член соотношения F.1) представляет собой решение для уста- установившегося периодического состояния, второй член — для неустановившегося состояния. Первый член можно найти из первых основных уравнений при помощи рассуждений, используемых в § 6 гл. II (см. соотношения F.4) — F.6)) для полуограниченного твердого тела. Величины А и ср, представляющие собой амплитуду и фазу установив- установившегося колебания температуры в точке х, являются функциями двух безраз- безразмерных величин х/1 и k*L Характер изменения Л и ср по поперечному сечению пластины для значений k*L равных 0,5, 1,0, 1,5, 2,0, 3,0, 5,0, 10,0 ft/, показан на рис. 13 и 14. Для пластины 0 < х < I с начальной температурой, равной нулю, и грани- границами х = 0 и jc = /, на которых поддерживаются температуры, равные соот- соответственно нулю и sin (cof-f- e), можно написать п (—! s — о/2 cos е) ^ xn2n2t F.5) где sh k*x A + i) sh?*/(l-H) ch 2k*x — cos 2k*x k* определяется соотношением F.4).
ПО ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЙ ТЕПЛОВОЙ ПОТОК В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ [§ 6 Если температуру поверхности можно представить рядом Фурье то решение для установившегося периодического состояния имеет вид 2 m=l em +-cpm), F.8) где А 10 О,в 0,6 0,4 0,2 т и срт определяются из соотношений F.2) и F.3) или—при рас- смотрении второй задачи — из^ соответствующих соотношений* в которых со заменено на дао. Так как в соотношении F.8) амплитуды и фазы Ат и срт определяются при помощи довольно сложных выражений* приведенный выше метод, хотя он остается всегда пригодным, часто неудобен. Приведем те- теперь другой изящный метод ([12], см. также § 8 гл. IV и § 5 гл. XV), где решение выражается в виде тригоно- тригонометрического ряда по л: с ко- коэффициентами, которые яв - ляются функциями., времени. Этот метод, в частности, по- лезен при ""рассмотрении ряда — — — _—. ¦ -^ ^ ——— 0,5 У Зу/ У/ ш /II 1 0,2 0,4 0,6 0,8 1.0 Рис. 13. Изменение амплитуды установившегося колебания температуры в пластине, вызываемое гармоническим изменением температуры поверх- поверхности. простых колебаний темпера- температуры поверхности, которые часто возникают на практике (например, «прямоугольные» и «пилообразные» колебания). В качестве первого примера мы рассмотрим случай установившей- установившейся периодически изменяющейся температуры в пластине 0 < х < /^ когда граница х = 0 поддерэюивается при температуре, равной нулюУ а граница х = I — при температуре ft@ = 0. rT<t<rT+T1, r = rT+Tx<t< (г+1O. 2, F.9> Иными словами, температура V «включена» на время Тх и «выключена» на время (Т — 7\), причем эти циклы повторяются неограниченное число раз. Предположим, что такое колебание температуры поверхности продол- продолжается так долго, что наступает установившееся периодическое состояние и исчезает влияние начальной температуры. Приступим к нахождению темпера- температуры в момент f после начала периода «включения». В соотношении E.2) мы полагаем, что /(*)=== 0, cpj(X) = O и F.10>
§ 6] гл. ш. линейный тепловой поток в твердом теле где 0 < ? < Тг и г — большая величина. Если мы положим то из E.2) данной главы следует, что решение принимает вид -600 -400 -200 -100 \ \ —N^ 2 Тг^ —??_ /_ 0.5 \ \ \ \ \ 0,0 0t8 1tO 0,2 Рис. 14. Изменение фазы установившегося коле- колебания температуры в пластине, вызываемое гар- гармоническим изменением температуры поверх- поверхности. Вводя-величины, определяемые условиями F.9) и F.10), получим t ( Г, Г+Г, [(г-1O+74] (rT+f) \f / / rT X e-« Для больших значений г F.13) принимает вид т\ 1 —-?—-—-^г }• 111? F.11). F.12), F.14),
112 гл. ш. линейный тепловой поток в твердом теле [§ 6 Таким образом, для больших значений времени наше решение запишется -следующим образом: Так как п II л=1 то уравнения F.15) можно представить также в виде 2V V* (—1)л . ппх е*п х —е*" . t ~^"sln— 1— а*г * F17) Аналогичным образом, положив t = rT-\-T^ -\-t", где г — большая ве- величина, найдем Ve'*"* I ?a/|Xcp2(X)dX->V— -.—-—^Y\ • F.18) о ап \* е ) Следовательно, через время t" после начала интервала «выключения» температура равна :sln^, (,19) Эти решения обычно более удобны для численных расчетов, чем ряд Фурье F.8). Кроме того, данный метод оказывается достаточно общим и формулы F.14) <и F.18) непосредственно пригодны для любой задачи, в ко- которой решение для постоянных внешних условий выражается в виде суммы ряда экспонент с показателями (—ant), а решение для внешних условий, задаваемых F.9), можно получить при помощи теоремы Дюамеля. Таким образом, используя результаты §§ 8 и 12 настоящей главы с соответствую- соответствующими значениями ап% легко записать решения задач по теплообмену стержня со средой, имеющей температуру ср2(/), или с подводом тепла, задаваемым функцией <р2(?), и т. д., где ср2(?) определяется из условий F.9). Используя F.14) и F.18) в E.3) данной главы, мы получим следующие решения задачи для случая установившейся, периодически изменяющейся температуры в стержне 0 < х < /, когда на плоскости л: = 0 отсутствует тепловой поток% а на плоскости х = / поддерживается температура <Рг @» определяемая усло- условиями F.9): для интервалов «включения» л=0 -} F.20) и для интервалов «выключения» cos л=0 1 е F.22)
§ 7] ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЙ ТЕПЛОВОЙ ПОТОК В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ ИЗ § 7. Установившаяся периодически изменяющаяся температура в составных пластинах Такие задачи лучше всего решать матричным методом, который обычно используется в теории электрических цепей [13—17]. Сначала рассмотрим периодически изменяющуюся температуру в пластине в обозначениях, принятых в этой теории. Предполагается, что все величины умножены на временнбй множитель ехр (/о)/); мы опускаем его повсюду, и он появляется лишь в конце вычисления, если необходимо выбирать действительные или мнимые части. В каждой точке нас всегда будут интересовать две величины—температура v и тепловой поток /. В этом случае, как и в § 6 гл. II, общее решение, соответствующее установившимся периодически изменяющимся состояниям (как указывалось выше, мы опускаем временной множитель), имеет вид vx = P sh k*x A + /) + Q ch k*x A + /), G.1) fx= — Kk*(\ + /) ch k*x A + 0 — Kk*Q(\ + /) sh k*x A + /), G.2) где *•=(?)*• <7-з> P и Q — (комплексные) константы, a vx и /х — температура и тепловой по- поток в точке х. Пусть v и / — температура и тепловой поток на плоскости лг = О пластины, a vr и /' — соответствующие величины на плоскости х = /. Тогда, если заданы любые две из этих четырех величин, то можно определить Р и Q и, следовательно, оставшиеся две величины из vt v't /, /' легко вы- выразить через первые две. В частности, _ . G.4) где -О ' C = — Kk*(\-\-i)shk*l(l-+-l)t D = chft4(l+/). G.6) Из уравнений G.5) и G.6) следует, что AD — BC=\. G.7) Решая уравнения G.4), получаем v = Dv' — Bf't f = —Cv'+Af. ) G'8) Существенно ново здесь то, что уравнение F.4) можно рассматривать как матричное уравнение G.9) связывающее две матрицы (v\ /') и (vt f) (каждая из двух строк и одного столбца) при помощи следующего простого правила умножения матриц: если ars — элемент г-й строки и 5-го столбца в матрице (ars)t состоящей из т строк и п столбцов, a brs — элемент в матрице (brs), состоящей из п строк и t столбцов, то произведение матриц (ars) и (ЬГ5) представляет собой ма- матрицу (crs) из т строк и t столбцов, причем элемент crs в ряду г и столбце s $ Г. Карслоу, Д. ?гер
114 ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЙ ТЕПЛОВОЙ ПОТОК В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ [§ 7 имеет вид*) crs= IiOrjbjs- G.10) Например, (Ах ВЛ(А2 В2\_(АХА2 + ВХС2 AXB2 + BXD2\ \сх dx)[c2 d2) — [cx ) xa2 + dxc2 cxb2 + dxd2) Предположим теперь, что мы имеем составную пластину, состоящую из п слоев, г-й слой которой характеризуется толщиной /г, коэффициентом теплопроводности Кг, коэффициентом температуропроводности хг и величи- величинами vr, fr и v'r, f'r на его левой и правой поверхностях соответственно. Тогда в случае идеального теплового контакта между плоскостями слоев повторное применение уравнения G.9) дает Сг Dx G.12) где Ar Br и т. д. определяются из формул G.5) и G.6) для отдельных слоев. Умножение матриц в соотношении G.12) можно производить последовательно при помощи формулы G.11). Таким способом можно записать точные фор- формулы для пластины, состоящей из п слоев, но они оказываются исключи- исключительно сложными. Ценность данного метода заключается в том, что он позволяет очень легко получить числовые величины для частных случаев, подставляя численные значения Лг, Вг ..., в G.12) и умножая числовые матрицы. Если между слоями пластины или на поверхностях имеются контактные сопротивления, то их также можно представить в виде матриц и включить в произведения G.12). Например, если контактное сопротивление между пер- первым и вторым слоем равно Rv то или 'v2 J = \0 lA/i Отсюда, например, (M АЛЛ -ЯЛ/А, GЛ5) Конечный результат этих вычислений представляет собой два линейных соотношения, связывающих температуры и тепловые потоки v[t v'n> fv f'n на двух поверхностях составной пластины. Граничные условия дадут еще два соотношения, и поэтому мы сможем найти четыре величины. В случае не- необходимости температуру в пределах любого слоя можно определить из фор- формулы G.1). В качестве простого примера рассмотрим пластину 0 < х < /, в которой на границе лг = О теплообмен отсутствует, а на границе л; = / с термическим сопротивлением R происходит теплообмен со средой, температура которой меняется по закону Vcoswt. Тогда, если vx и /^=0) — температура и тепловой поток при л: = 0, а V и /2 — температура и тепловой поток во *) Следует отметить, что произведение матриц не коммутативно.
§ 8] ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЙ ТЕПЛОВОЙ ПОТОК В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ 115 внешней среде, то из G.14) и G.9) следует, что (v\ — (l -R\(A B\(vl\_(Avl-RCvl \fi)~\0 l)\C D)\0 ) — { Cvx Отсюда Вводя временной множитель ехр(Ш) и беря действительную часть, по- получим решение, которое согласуется с решением A2.7) данной главы. § 8. Пластина с заданным тепловым потоком на ее границе Задачи подобного типа приобретают в технике все большее и большее значение. Они делятся на два типа. В задачах первого типа тепло поступает от плоского подогревателя, погруженного в твердое тело. В этом случае потери тепла на границе отсутствуют и граничное условие точно удовле- удовлетворяется, если теплоемкость подогревателя пренебрежимо мала; в противном случае его можно считать идеальным проводником, как и в § 13 данной главы. В задачах второго типа, которые возникают при индукционном на- нагреве поверхности металла, эта поверхность может выделять тепло, и если постулируется линейный перенос тепла с коэффициентом теплообмена в среду с нулевой температурой, равным Я, то из соотношения (9.4) гл. I следует, что граничное условие запишется в виде — K^ = — F + Hv. (8.1) или + h(v — V) = 0. (8.2) где F — тепловой поток, поступающий через поверхность в твердое тело, a V = F/H. Таким образом, для постоянного Н эта задача сводится к за- задаче о нагревании в результате теплообмена со средой, имеющей темпера- температуру V (см. § 11 данной главы). Ниже приводятся некоторые решения для случая, когда потери тепла с поверхности отсутствуют. Эти решения легче всего получить при помощи методов, изложенных в гл. XII. /. Область О < х < / с начальной температурой, равной нулю. Через плоскости х = 1 тепловой поток внутрь твердого тела по- стоянен и равен Fo. Через плоскость х = 0 тепловой поток отсут- отсутствует [18—23]. В данном случае + 3*2 - /2 2 V (-1>л , (8.3) /2=1 ИЛИ [_«?*]co.*«. v =- /c ,, ,Bn+l)l-x\ |ф. /BB+l)f + x\ | Распределение температуры в (8.3) есть сумма линейной функции вре- времени FQt/pcl и корректирующего фактора, который является функцией вре- времени и положения. График этого корректирующего члена приведен на рис. 15.
116 ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЙ ТЕПЛОВОЙ ПОТОК В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ [§8 2. Область О < х < I с начальной температурой, равной нулю. Через пло- плоскость х*=-1 тепловой поток постоянен и равен Fo. Плоскость х^Ъ поддержи- поддерживается при температуре, равной нулю. В данном случае п-0 >я+1J«ф[ sin" 21 (8.5) иди л=0 5. Тепловой поток задан функцией времени. В этом случае для нахождения решения можно воспользоваться теоремой Дюамеля. Отметим два простых решения Рис. 15. Распределение значений (Kv/Fol) — — (till2) в пластине толщиной / в отсутствие теплового потока при х = 0 и при постоянном тепловом потоке при х = /. Числа на кривых указывают величины х//Я для теплового потока Fot , где /и =— 1, 0, 1, соответственно к следующим: 1 ^-(m+l) ..; уравнения (8.4) и (8.6) сводятся я=0 (8J) I n=0 Bn+lO — . 8)» *) Для случая т — 2 см. [24].
§ 91 ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЙ ТЕПЛОВОЙ ПОТОК В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ 117 § 9. Область 0 < х < /. Теплообмен на границах в среду с температурой, равной нулю. Начальная температура равна f(x) В этом случае наши уравнения имеют следующий вид: 4r = *S @<*<0. (9Л) —-g- + /k; = 0 при д: = 0, (9.2) J*Ljrhv = Q при х = 1 (9.3) и v = f(x) при / = 0. (9.4) Выражение e~XCLtt(Acosax-{-Bsinax) удовлетворяет уравнению (9.1). Оно удовлетворяет также уравнениям (9.2) и (9.3) при условии, что и а (В cos а/ — A sin а/) + h (В sin а/ + A cos а/) = 0. Отсюда A/B = a/h и *g«' = ^F- (9-5) Следовательно, выражение A (cosout-)- — sin out) ?-***' удовлетворяет уравнениям (9.1), (9.2) и (9.3), где А — произвольная кон- константа и a — некоторый, отличный от нуля корень уравнения 2ha Чтобы составить себе представление о совокупности действительных корней*) уравнения (9.5), необходимо лишь отметить, что они соответствуют абсциссам общих точек кривых и n = -jj — -j-t где мы положили а/ = ?. Вторая из этих кривых представляет собой ги-перболу с центром в начале координат и асимптотами Если начертить эту гиперболу и котангенсоиду (рис. 16), то мы увидим, что в каждом из интервалов @, ic), (тс, 2тс), ... лежит положительный корень уравнения, а отрицательные корни по абсолютным величинам равны положи- положительным. Ясно также, что кратных корней нет. Кроме того, очевидно, что уравнение (9.5) не может иметь чисто мнимого корня ibt так как мы должны были бы в этом случае написать что невозможно, поскольку оба члена имеют одинаковый знак. *) Об этих корнях см. § 10 данной главы. Там же приведены и их численные значения.
118 ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЙ ТЕПЛОВОЙ ПОТОК В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ [§9 В конце данного параграфа мы покажем также, что уравнение (9.5) не может иметь комплексных корней вида а ± ib\ следовательно, все его корни действительны. Предположим, что f(x) можно разложить в ряд где Хп = cos апх + — sin апх, а ап — л-й положительный корень уравнения (9.5). Тогда решение нашей задачи будет иметь вид (9.6) (9.7) (9.8) К вопросу о возможности разложения (9.6) и справедливости решения (9.8) мы еще вернемся в § 1 гл. XIV. Если предположить, что такое разло- разложение существует и что этот ряд можно интегрировать почленно, то значения -2п 2п Рис. 16. коэффициентов нетрудно получить тем же способом, каким при аналогичных предположениях находят коэффициенты ряда Фурье. Для этого нам нужно доказать, что J XmXn dx = 0 (тф п) (9.9) Это мы сейчас и сделаем. Так как d2Xm i 3- то / 2 -*l)fxmxnax = f(. = U И (9.10) r)jdx — \X4i X
§ 9] ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЙ ТЕПЛОВОЙ ПОТОК В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ 119 Но k + AAV = 0 при * = и JL + hXr = 0 при х = где г — любое целое положительное число. Тогда о и, если т не равно я, то — *l) f XmXndx = O о i fxmXndx=O. 0 I Чтобы получить величину Г X\dx, напомним, что о Следовательно, i i -1 + / l^-J dx. Jo ./ V dx ) и о Но апХп = ап cos апх + h sin anx и --^~ = — ап sin апл: -f Л cos аядг. Поэтому 2 . . 2 lf X О Но мы видели, что о Следовательно, i 24 / Х\ dx = /D + А2) — [Хп -g 6 Но = 0 при х = ( = 0 при x =
120 ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЙ ТЕПЛОВОЙ ПОТОК В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ [§ 9 Следовательно, при х = 1 при л; = 0. Но а2 х2 4- ( dXn У = а2 -4- Л2* Следовательно, ^2 =: 1 при х = 0 и jc = /. Таким образом, ^ л1 = — 2h Итак, если мы предположим, что разложение в ряд возможно и что ряд можно интегрировать почленно, то J Таким образом *), Если на границах х = 0 и л: = / происходит теплообмен со средо» с температурами vx и v2 соответственно, то данную задачу можно свеет» к разобранной выше, воспользовавшись заменой v== u-\-w. Здесь и — функция только от х, удовлетворяющая уравнениям ¦0 = 0 @ <*</), — -j^ + h{u — vx)= 0 при х = 0 dx так что —z \-h(u — v2) = 0 при x = L Th + 2 *) Во всех рассуждениях предполагается, что h > 0. Если h = 0, т. е. поток тепла через плоскости х = 0 и jc = / отсутствует, то решение (9.12) остается справедливым I 1 Г (см. соотношение D.6) гл. III), если мы добавим к нему член -г / / {х) dx.
§ 10] ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЙ ТЕПЛОВОЙ ПОТОК В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ 121 a w — функция от х и /, удовлетворяющая уравнениям = 0 при * = 0, = 0 при х = 1 и w = f(x) — и при / = 0. Задачи, в которых один конец стержня поддерживается при постоянной температуре, а на втором происходит теплообмен с окружающей средой,, либо задачи, в которых один конец совершенно изолирован, можно рассма- рассматривать тем же способом. Некоторые результаты приводятся в §§ 10 и II настоящей главы. Мы отмечали выше, что уравнение не может иметь комплексных корней вида а ± ib. Если бы это было возможно, то мы получили бы два сопряженных корня а ± ib*. и они дали бы два выражения X = cos ах А sin ах, X' = cos а'х 4- —;- sin a'x, а а где а = а + ib и а' = а — ib. Теперь мы видим, что для любых двух неравных корней уравнения (9.5) о Но это применимо также к X и X', и следовательно, f XX' о Отделяя в X действительную и мнимую части мы должны были бы получить о что невозможно. Итак, мы убедились в том, что уравнение (9.5) имеет только действительные корни- § 10. Область —*< jc </. На границах х= ±1 происходит теплообмен со средой нулевой температуры. Начальная температура f(x) Часто начало координат удобно выбирать в центре исследуемой области, так как тогда яснее выявляется любая симметрия решения. Часто полезно также считать толщину пластины равной 2/, так как тогда. результаты легче сравнивать с результатами для цилиндров и сфер диаметром 2а. По этим.
122 ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЙ ТЕПЛОВОЙ ПОТОК В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ [§ 10 причинам перепишем соответствующим образом выражение (9.12). Оно будет иметь вид Cn COS OLnx-^-dn Sin а„х Г -, ч r IJ* tj у^л^ч J fMlcncosanx + dnsinanx]dx, A0.1) f + tfi + h J где cn = hsinanl + ancosanlt A0.2) dn = h cos anl — an sin осл/, A0.3) a ал — положительные корни уравнения ^ A0.4) Так как уравнение A0.4) эквивалентно (h sin a/ + a cos a/) (/г cos a/ — a sin a/) = 0, A0.5) то его положительные корни ап находят из следующих двух уравнений: atga/ — /г = 0, A0.6) (Ю.7) Из результатов, полученных в § 9 данной главы, следует, что все корни*) уравнений A0.6) и A0.7) являются действительными и простыми. Это, конечно, легко доказать. Некоторые численные их значения приведены в приложении 4. Если ап — корень уравнения A0.6), то dn = 0 и c2n = h2-\-a2n\ если же ап — корень уравнения A0.7), то сп = 0 и d2n = h2-{-a2n. Если f(x)— четная функция от х, то выражение A0.1) принимает вид о V4 -*«2' (Л2 4-«!) cos < где ал — положительные корни уравнения A0.6). Оно является также реше- решением задачи о теплопроводности в области 0 < х < / в отсутствие теплообмена на границе л: = 0, при наличии теплообмена на границе х = 1 со средой, имеющей нулевую температуру, и при начальной тем- температуре, равной f (х)\ это решение легко получить непосредственно при помощи метода, изложенного в § 9 настоящей главы. В данном случае раз- разложение (9.6), приведенное в предыдущем параграфе, принимает вид xdx, A0.9) где ап — положительные корни уравнения A0.6). В частном случае, когда f(x)=l, из A0.9) следует, что *) Все корни уравнения A0.6) действительны, если h > 0; все корни уравнения A0.7) действительны, если lh > — 1 (см. § 4 гл. IX).
§ 11] ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЙ ТЕПЛОВОЙ ПОТОК В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ 123 Аналогичным образом, если f (х)— нечетная функция от х% то выра- выражение A0.1) принимает вид где ап — положительные корни уравнения A0.7). Это выражение является также решением задачи о теплопроводности в области 0 < х < / в том случае, когда при ?>0 на границе х = 0 поддерживается нулевая температура, на границе х = 1 происходит теплообмен со средой, имеющей нулевую температуру, и начальная температура равна f(x). Если f(x) не является ни четной, ни нечетной функцией, то решение имеет вид A0.1) и содержит корни как уравнения A0.6), так и уравнения A0.7). В данном случае подход оказывается аналогичным подходу при исполь- использовании ряда Фурье для представления произвольной функции f(x) в интер- интервале (— /, /) с дальнейшим его выражением в виде ряда косинусов или синусов с учетом четности или нечетности функции f (х). § 11. Частные случаи и численные результаты для пластины с граничным условием третьего рода Это граничное условие характерно для многих задач, имеющих важное практическое значение. Для их решения мы располагаем множеством числовых данных в форме таблиц и графиков. Приведем здесь некоторые из имеющихся результатов, причем для упрощения выразим числовые величины через без- безразмерные параметры L = lh, Г = -^-, -у-. A1.1) Обычно при рассмотрении ограничиваются такими важными величинами, как температура в центре, на поверхности или средняя температура, которые содержат только два параметра L и Т и, следовательно, могут быть выра- выражены в виде семейства кривых. В самом деле, имеется восемь функций *) от L и Т, при помощи которых можно выразить многие результаты подоб- подобного рода. Первые четыре из этих функций имеют вид („.4> 4L2sec<zrt -а„т ,ЛЛ -ч ^ ]e - . A1.5) *) Графики этих функций (их аргументом служит arctg L) для определенных значений 7\ а также некоторые их применения приведены в работе [25]; графики функций 1—/ь 1—/2> 1—/3 показаны на рис. 17—19.
124 ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЙ ТЕПЛОВОЙ ПОТОК В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ [§ U где ал (при я=1, 2, ...) — положительные корни уравнения atgcc = Z,, A1.6) которое в принятых нами обозначениях представляет собой уравнение A0.6), приведенное в предыдущем пара- параграфе. Другие четыре функции, соот- соответствующие корням уравнения A0.7), имеют вид -•-2 -'+2 cp3(Z,, Т) = A1.8) Рис. 17. Функция [1—/,(L, 71)], где fi(Lt T) определяется из A1.2). Показано изменение температуры поверхности пла- пластины толщиной 2/, имеющей начальную темпера- температуру V и охлаждаемой в результате теплообмена со средой нулевой температуры. Числа на кривых указывают значения L=lh. =1+2 12/. (Z, + 1)г Sec Pn „-1 A1.9) A1.10) где р„ (при я=1, 2, ...) — положительные корни уравнения = 0. A1.11) Некоторые значения корней уравнений A1.6) и A1.11) приведены в при- приложении 4. Следует отметить, что при больших значениях Т важны только первые члены приведенных выше рядов. Во многих случаях это оказывается справедливым, если Т > 0,5. При малых значениях Т (скажем, Т < 0,01) ряды сходятся медленно и, пользуясь методом, изложенным ниже (см. § 5 гл. XII), можно вывести другие выражения. Они не приводят к таким простым и точным формулам, как это было в некоторых случаях, рассмотренных ранее. Рассмотрим теперь ряд важных частных задач. /. Область —/ < х < / с постоянной начальной температурой V и теплообменом на ее границах со средой нулевой температуры. Используя здесь A1.1), A1.6), а также соотношение A0.8), получим A1.12) 1A+ Температура поверхности vn = V[\—/i(?. T)], температура в центре vn =. [1 —/2(?» Т)], где /г и /2 определяются из выражений A1.2) и A1.3)*
И] ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЙ ТЕПЛОВОЙ ПОТОК В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ 125 ffo Средняя температура в пластине vcp=V[l—fz(L, 7)]. Количество тепла, отдаваемое пластиной (с обеих поверхностей) за время t, равно Q = 219с [V — *ср] = 2lV9cfz (L, Т). На рис. 17, 18 и 19 изображены графики зависимости vn/V, vJV и (l—Q/2Vlpc) от \gT для различных значений L @,05; 0,1; 0,2; 0,5; 1; 2; 5; 10; оо). Ввиду важности рассматриваемых задач был составлен ряд таблиц и диаграмм с численными значениями этих величин. Были построены графики зависимости \g (v/V) от Т для фикси- фиксированных значений L и х/1 [26, 27]. Эти графики, как правило, предста- представляют собой прямые, что соответ- соответствует случаю, в котором важен только первый член A1.12). Дру- Другие авторы не пытались изучать эти функции для всех значений параметров, а исследовали вели- величины vn, ^ц и Q или vcpt которые определены выше. Грёбер [28; 29] приводит краткие таблицы и гра- графики зависимости этих величин от \g L при определенных значениях Т, или от \gT при определенных зна- значениях L. Шак *) [30] обобщил ре- результаты Грёбера и построил гра- графики зависимости от L в линей- линейном масштабе, придавая L значения /,= 10* (при /t = l, 2, 3, ...)• Были составлены также графики зависимо- 0,8 0.6 0,4 0.2 —^ 1 1 \ \\ Рис. 18. Функция [1 — /2(?, Т)], где /2(L, T) определяется из A1.3). Показано изменение температуры в центре пла- пластины толщиной 2/, имеющей начальную темпера- температуру V и охлаждаемой за счет теплообмена со сре- средой нулевой температуры. Числа на кривых указы- указывают значения L = lh. сти In (Г) от \n(L/K) для определен- определенных значений г;ц, vn и vc? и дана числовая таблица для построения таких графиков [34]. Было приве- приведено множество таблиц с критиче- критическим введением к ним [35] **). Ней- Нейман [33, 37] дает таблицы значений для постоянного и параболического начального распределения температуры. Кроме того, были опубликованы численные результаты, а также решения, пригодные для расчетов [38—42]. 2. Область — I < х < I при наличии на плоскостях х = ± / теплообмена со средой нулевой температуры. Начальная температура а — Ьх2. В данном случае ^ [2La<x2 — 2Ы2 fa2 (L -|- 2) — 2Z.11 cos (anx/l) - a2 r V=Zi ~ 9 Г V, ,9 , ,1 ~ * П • AU3) +L] cosan где ап — корни уравнения A1.6). 5. Область — I < х < I с нулевой начальной температурой нагревается за счет теплообмена со средой с температурой V. Как отмечалось в § 8 данной главы, эта задача сводится к задаче о нагревании пластины постоянным потоком *) Его кривые воспроизведены в работах [31—33]. *) Некоторые из результатов данной работы воспроизводятся в книге Якоба [36].
126 гл. ш. линейный тепловой поток в твердом теле г§ тепла, подводимым к его поверхности, при наличии теплообмена со средой, имеющей нулевую температуру. Искомая температура равна разности между V и температурой, полученной в примере 1. 4. Область О < х < / с нулевой начальной температурой. Через плоскость х = О тепловой поток внутрь твердого тела постоянен и равен Fo; на пло- плоскости х = / происходит теплообмен со средой нулевой температуры *). В данном случае I л=1 — положительные корни уравнения A1.14) A1.6). На плоскости jc = O температура равна (IFo/KL) [/, (L, Т) + Lf3 (L, 71)]; на плоскости х = / она равна (IFO/KL) X X /2 (?» ^)- Количество тепла, прохо- проходящее через единицу площади плоско- плоскости х = / за промежуток времени от * = 0 до t = t, равно (F0l2/%){T — __ [(/. _|_ 2)/2Z.] /4 (L, Т)}. 5. Область 0 < х < I с начальной нулевой температурой. При t > 0 на плоскости х = 0 поддерживается ну- нулевая температура. На плоскости х = / происходит теплообмен со сре- средой, имеющей постоянную темпера- температуру V. В данном случае Рис. 19. Функция [1 — /3(Z., T)], где /3(?, Т) определяется из A1.4). Показано изменение количества тепла Q\, теряе- теряемого единицей поверхности пластины толщиной 2/, имеющей начальную температуру V и охлаждаемой за счет теплообмена со средой нулевой темпера- температуры. Числа на кривых указывают значения ?=/Л. происходит теплообмен со средой нулевой v \-\-L{\—xll) ~ A1.15) где ря (при л= 1, 2, ...) — положи- положительные корни уравнения A1.11). Тем- Температура на плоскости х = / равна [L V/(L + 1)] <Pi (L, ?), а в выражение для количества тепла, поступающего через единицу площади плоскостей х = 0 и х = I за время t, входит соот- соответственно ср4 (L, Т) и срз (^» Т). 6. Область 0 < х < I с нулевой начальной температурой. При t > О температура границы je = O поддер- поддерживается равной V. На границе х=*1 температуры. В данном случае X+L sin фпх/1) -?пт A1.16) где ^ — положительные корни уравнения A1.11). Температура на границе * = / равна 7. Область 0 < х < I с начальной температурой vox/l. При t>0 темпера- температура на границе х =* 0 поддерживается равной нулю; на границе х = / проис- происходит теплообмен со средой, имеющей температуру Vx. В данном случае A1.17) *) Некоторые численные результаты приведены в [43].
§ 12] ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЙ ТЕПЛОВОЙ ПОТОК В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ 127 где ря — положительные корни уравнения A1.11). Это выражение показывает измене» ние температуры на внешней стороне составной пластины при установившихся условиях. Анализируя соответствующее дифференциальное уравнение, легко показать, что изменение температуры выражается формулой A1.15), в которой V заменено на 8. Область — I < х < I с нулевой начальной температурой. При х = / проис- происходит теплообмен со средой с температурой V, а при х = — / — со средой нуле- нулевой температуры. Коэффициенты теплообмена на обеих границах одинаковы. Решение этой задачи получается комбинированием A1.12) и A1.15) пТ + е~"пГ, A1.19) где ап и Ря— положительные корни уравнений A1.6) и A1.11). 9. Область О < х < I с начальной температурой f (x). Граничные условия записываются в виде Z k2 -gj + k2V = О, X = / , где ?i!>0, hi^O, причем они не должны одновременно обращаться в нуль; k2 и h2 также должны удовлетворять этим условиям. Записанные нами гранич- граничные условия включают девять возможных комбинаций нулевой температуры, нулевого теплового потока или теплообмена со средой, имеющей нулевую температуру на любой поверхности. В данном случае § Zn(x')f(x')dx\ A1.21) я=1 О где _ ,..... [2(*2й+*Э]'*(*iP«cosM+ftisin$n п{) {(^Й+*^[/да+Ч)+*л]+*1*,(Ф5 Здесь ря (при п= 1, 2, ...) — положительные корни уравнения (М2Р2 — hxh? sin p/ = р (.kxh2+k2hx) cos p/; если /г1 = /г2==0, то в соотношение A1.21) следует ввести дополнительный член у I f{x')dx'. A1.24) 6 Это является обобщением результата, полученного в § 9 данной главы, на слу- случай различных коэффициентов теплообмена для двух поверхностей. Распространение результатов на случай теплообмена со средой, имеющей различные температуры, производится так же, как и в конце § 9 данной главы. § 12. Область — /<jc</ с нулевой начальной температурой и теплообменом на границах со средой, имеющей температуру ср (/) • Из теоремы Дюамеля (см. § 14 гл. I) следует, что 2. / v = 2y.h У т ^-9 577^ / * я ?(*)<**. A2Л) ^ Л + Ча» + « ) \COSaJ J
128 гл. ш. линейный тепловой поток в твердом теле [§13 где а-п — корни уравнения atgal=h. A2.2) Если температура среды равна Vo при О < t < Т и Vx при t > Т, то искомое решение имеет вид -т-г-в— .к lJr Ь 0 < t < Т A2.3) n=1 [(h2+ *?„) I+ h] cos lan j f , - Г, - У Г* 2Н ^ + < V K°> f ^ C°S '"* , />Г. A2.4) Если температура среди равна V sin (©? -f- e), то решение имеет вид где Мое*ъ = ch co'jc cos <o'jc + / sh a>'jc sin со' х, A2.6) ^ == со' sh (o7 cos o>7 — o/ ch a>7 sin o>7 + Л ch «7 cos ©7 + -f i [со' sh co7 cos co7 + o)' ch ©7 sin ©7 + h sh ©7 sin ©7] A2.7) . A2-8) ?с./ш температура среды равна kt, то решение имеет вид -/'*--20 , 2АА V -»S' cos а„.* где ап — положительные корни уравнения A2.2). § 13. Пластина, одна из поверхностей которой соприкасается со слоем идеального проводника или хорошо перемешиваемой жидкости Если граница х = / пластины находится в идеальном тепловом контакте с мас- массой М' (на единицу площади) хорошо перемешиваемой жидкости (или идеального проводника) с удельной теплоемкостью с', то граничное условие при х = /, как и в (9.14) гл. I, имеет вид g -g-=Q. A3-1) где Q/M' — скорость подвода тепла извне (если он вообще имеет место) на единицу массы жидкости. Предполагается, что тепло из жидкости передается только пластине. При решении таких задач встретятся безразмерные параметры трех типов -*t/l2, lh и xjU В разбираемых ниже примерах 1—6 мы запишем Л = рс/Л*'с'. A3.2) Для ряда простых задач приведем решения, которые можно выразить через корни уравнений F JF atgal = h A3.3) р ctg p/ = — h. A3.4)
§ 13] ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЙ ТЕПЛОВОЙ ПОТОК В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ 129 Численные значения этих решений можно выразить через численные значений функций / и % определенных в § 11 данной главы. В более сложных задачах, в кото- которых рассматривается теплообмен при х*»0 или отвод тепла от жидкости, или кон- контактное сопротивление между твердым телом и жидкостью, появляются дополнитель- дополнительные параметры (см. примеры 7—9). /. Область О < х < I с нулевой начальной температурой. Граница х = 1 твердого тела соприкасается с массой Мг (на единицу площади) хорошо пере- перемешиваемой жидкости с удельной теплоемкостью с' и нулевой начальной тем- температурой. На границе х = 0 тепловой поток отсутствует. Постоянный подвод тепла Q к жидкости. В этом случае решение имеет вид м ** /2C + **)] 2Qh у 2 6A + /A)J М''А ] у 2* 6*A + /A)J М'с'ъА ft cos fy[/(p2 + A2)+A]' где рл — корни уравнения A3.4). 2. Задача, аналогичная 1, но Q = О и начальная температура жидкости равна V. В данном случае 2пУе~%*п'cos 3. Задача, аналогичная 1, но на границе х = 0 поддерживается нулевая тем- температура, a Q — постоянная величина. В данном случае , lan COS aj где а—корни уравнения A3.3). 4. Задача, аналогичная 1, но Q = 0, начальная температура жидкости равна V, а граница х = 0 поддерживается при нулевой температуре. В этом случае 2hVe где ап — корни уравнения A3.3). 5. Задача, аналогичная 1, но Q = 0, начальная температура жидкости равна нулю, а граница х = 0 при t > 0 поддерживается при температуре V. В данном случае 2 . 2(«2„ sin «n-^ где /г определяется из выражения A3.2) и ая — корни уравнения A3.3). 6. Задача, аналогичная 1, но Q = 0, начальная температура жидкости равна нулю, а к границе х = 0 в единицу времени на единицу площади подводится по- постоянное количество тепла Q'. Q'l I hti 1-х h(l — xJ lh V \ + + 21 \ A3.10) я=1 где h определяется из выражения A3.2) и ря — корни уравнения A3.4). 7. Область 0 < х < I с начальной температурой V. На границе х = 0 потери тепла отсутствуют, граница х = 1 соприкасается с массой М' (на единицу пло- площади) хорошо перемешиваемой жидкости с удельной теплоемкостью с'. Коли- Количество тепла, отдаваемого этой жидкостью (в единицу времени) в результате теплообмена, равно произведению величины Н на температуру V. Начальная 9 Г. Карслоу. Д. Егер
130 ГЛ. ITT. ЛИНЕЙНЫЙ ТЕПЛОВОЙ ПОТОК В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ [§ 14 температура жидкости равна нулю. В данном случае -ха2* е п (h — ka2n) cos anx V п/ п ^ A3.11) COS anl где h = Н/К, k = Af'c'/pc, a an — корни уравнения atgal=h— №. A3.12) 8. Задача, аналогичная 7, но начальные температуры как твердого тела, так и жидкости равны нулю. Количество тепла, подводимого на единицу массы жидкости в единицу времени, равно f(t)/M'. В данном случае 2% ^ alcosanxe п Г «& где an — корни уравнения A3.12). 9. Область 0 < x < /; «а границе х = / тепловой поток отсутствует, а гра- граница х = 0 соприкасается с массой М' (на единицу площади) хорошо перемеши- перемешиваемой жидкости с удельной теплоемкостью с'\ к жидкости в единицу времена на единицу массы подводится постоянное количество тепла Q/M'. Предполагает- Предполагается, что температура поверхности твердого тела не равна температуре жидко- жидкости, а между ними происходит теплообмен, величина которого равна произведе- произведению Н на разность температур твердого тела и жидкости *) (см. (9.16) гл. I). В этом случае Kv oi где h = H/K, L = п — п • п ч~ п^ " а ал — корни уравнения <4-*i l«»(l-4-) • О3-14) § 14. Пластина с внутренним источником тепла Если в единицу времени на единицу объема выделяется количество тепла, равное Л, то дифференциальное уравнение имеет вид d2v 1 dv А (Н л^ дх2 % dt ~ К' Наиболее важен случай ^=.40 = const при t > 0, который наблюдается при диэлектрическом нагреве. Распространение на случай зависимости А от места или времени легко выполнить тем же методом, как и в § 14 гл. I и § б гл. XII. Как отмечалось в § б гл. I, в общем случае, когда А является функцией от V, аналитическое решение найти нельзя. В § 7 гл. XV рассмат- рассматривается случай линейной зависимости между А и V. Здесь мы воспользуемся методом, изложенным в § 14 гл. I; можно также применить преобразование Лапласа. *) Другие задачи подобного типа и некоторые численные результаты приведены в работе Егера [44].
§ hi ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЙ ТЕПЛОВОЙ ПОТОК В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ 131 /. Область —/ < х < / с нулевой температурой поверхности*} и нулевой начальной температурой. При t > 0 количество теплаУ выделяемое в единицу времени, же, как в задаче I § 14 гл. I, отметим, что постоянно и равно Ло. Поступая так Ж A4.2) удовлетворяет всем условиям за- задачи; тогда выражение A4.2) слу- служит решением для случая устано- установившейся температуры. Подста- Подставим теперь v = - Ж в уравнение A4.1), причем w должно удовлетворять уравнению дх2 % с граничными условиями х2> = 0 при лг= ± /, и 2/С при A4.4) A4.5) * = 0. A4.6) П4.3) ^ Ц4 Рис. 20. Температура в пластине — I < х < I при данном распределении источников по- постоянной мощности Ао и нулевой темпера- температуре поверхности. Числа на кривых указывают значения xtjl2. Решение уравнения A4.4) при выполнении условий A4.5) и A4.6) было дано в § 3 данной главы. Если использовать все эти соотношения, то выра- выражение A4.3) примет вид v = А012 Ж 1 _?l__32 у (—I)" I2 ъг Za Bл+1K cos - ехр — 4/2 A4.7) и, развивая вывод C.17), мы получим решение для малых значений времени (см. пункт V § 5 гл. XII, где приведен соответствующий результат для выде- —- п ления количества тепла в единицу времени, равного Aotz , причем п может равняться —1, 0 или любому целому положительному числу) в виде v = Apt я=0 A4.8) На рис. 20 приведены некоторые значения v для различных значений %t/P* Следует отметить, что приближенные результаты для случая, когда на поверх- поверхностях происходит теплообмен со средой, имеющей нулевую температуру* легко получить из рис. 20 путем простой замены / на / + (/С/Я). 2. Если количество выделяемого в единицу времени тепла не остается по- стоянным, а равно A(t), то из выражения A4.7) и теоремы Дюамеля (см. стр. 38). *) Случай постоянной температуры поверхности, например при сочетании по- поверхностного и диэлектрического нагрева, рассматривается в работе [45]. 9*
132 ГЛ. III. ЛИНЕЙНЫЙ ТЕПЛОВОЙ ПОТОК В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ [§ 14 следует, что 4 V* (—1)я Bл+1Iсх Г,/ч Г *Bn+lJn2(t — x) | 1АСО8 УЛМ«Ф[^ '>d,\. A4.9) АТ7 2/ 5. Если количество выделяемого в единицу времени тепла является функ- функцией положения А(х)> то i 4/ V Mi Г ъп2п4 HrVl4PJ}^r J w'. A4.10) л=1 Другая форма для случая установившейся температуры имеет вид I 71 X 1) *| f A{t)dl + (x-l) fdti f f I I ( f f f x -f -I -I Задачу о нагревании при помощи вихревых токов можно рассматривать анало- аналогичным образом. В этом случае количество выделяемого в единицу времени тепла пропорционально (ch2px— cos2/ur); здесь р = 2п (fA/aL fi и а — проницаемость и электропроводность вещества соответственно, а /—частота [46]. При очень высоких частотах тепло почти все сосредоточивается близ поверхности и в этом случае можно использовать результаты § 8 данной главы. 4. Область — I < x <1 с нулевой начальной температурой. На границах х = ± / происходит теплообмен со средой, имеющей нулевую температуру. При t > 0 количество выделяемого тепла постоянно и равно Ао. Здесь вместо подста- подстановки A4.3) используем подстановку А° B1 + hi2 — hx2) + wt A4.11) где первый член в правой части уравнения представляет собой решение для случая установившейся температуры. Поступая, как и в пункте 1, и используя соотноше- соотношение A0.8) данной главы, получим 21 + ы* - hx* - 4А* V l°San*e = , A4.12) где ап — положительные корни уравнения atg<x/= h. В обозначениях, принятых в § 11 (см. A1.4) и A1.5)), температуры при х=0 и х = 1 равны соответственно L,T) A0l2f3[L,T] 2KL KL 5. Область 0 < х < I с нулевой начальной температурой. На границе х = 0 при t > 0 поддерживается нулевая температура. На границе х = 1 происходит теплообмен со средой, имеющей нулевую температуру. При t > 0 количество выделяемого тепла постоянно и равно Ао. В данном случае Ао ( B +In) 1х 21 V"^{ l + ih * Г 4А0п у sin апх A — cos «я/) Т"^ ^-in 2. где ап — положительные корни уравнения a ctg la -\- h = 0. Температуру на границе х = 1 можно выразить через <р3 и <р4, определенные в § 11 настоящей главы. 6. Пластина — / < х < I с начальной и поверхностной температурами, рав- равными нулю. При t > 0 количество тепла *), выделяемое в единицу времени, *) Этот результат и соответствующие результаты для радиального потока (см. соотношения (9.2) гл. VII и (8.14) гл. IX) представляют значительный интерес при рассмотрении диффузии радиоактивных газов в геологических материалах [47].
§ 14] ГЛ. ITT. ЛИНЕЙНЫЙ ТЕПЛОВОЙ ПОТОК В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ 133 равно Ае~и* В данном случае ^ xA0 f cos/(ty%)V* ^ 11 с„и 2- 4кД, X1 v ' *Ч «« ^..-r.,... • (Ш4> ЛИТЕРАТУРА 1. Carslaw, Fourier's Series and Integrals, Macmillan, ed. 3, 1930. 2. Carslaw, Introduction to the Mathematical Theory of the Conduction of Heat in Solids, Macmillan, ed. 2, 1921. (Г, Карслоу, Теория теплопроводности, Гостех- издат, М., 1947.) 3. Whittaker, Watson, Modern Analysis, Cambridge, ed. 3, 1920. (Э. У и т т е- к е р, Г. В а т с о н, Курс современного анализа, ПТИ, 1933.) 4. Anderson, Saddington, J. Chem. Soc, 381—386 A949). 5. Ingersoll, Koepp, Phys. Rev. 24, 92 A924). 6. Frazier, Phys. Rev. 39, 515 A932). 7. О 1 s о n, S с h u 11 z, Ind. Eng. Chem. 34, 874 A942). 8. M о 11 i s о n, Messeng. Math. 10, 170—174 A881). 9. Williamson, Adams, Phys. Rev. 14, 99 A919). 10. G u г n e y, L u г i e, Ind. Eng. Chem. 15, 1170 A923). 11. Austin, J. Appl. Phys. 3, 179 A932). 12. Weber, Ann. Phys. 146, 257 A872). 13. Electric Circuits, M. I. T. Staff, Wiley, 1943, p. 452. 14. Van Goreum, Appl. Sci. Res. A2, 272—280 A951). 15. V о d i с k a, Appl. Sci. Res. A5, 108—114 A955). 16. С a quot, С R. Acad. Sci. 222, 486—487 A946). 17. Шкловер, ДАН СССР 45, 106—110 A944). 18. Duf ton, Phil. Mag. 34, 376 A943). 19. Smith, J. Appl. Phys. 12, 638 A941). 20. M а с е у, Proc Phys. Soc. 54, 128 A942). 21. Brown, PhiL Mag. 37, 318—322 A946). 22. Clarke, Kingston, Aust J. Appl. Sci. 1, 172—188 A950). 23. Vernotte, С R. Acad. Sci. 204, 563 A937). 24. Newman, Trans. Am. Inst Chem. Engrs 30, 598 A934). 25. Jaeger, Clarke, PhiL Mag. 38, 504—515 A947). 26. Gurney, Lurie, Ind. Eng. Chem. 15, 1170 A923). 27. M с A d a m s, Heat Transmission, McGraw-Hill, ed. 2, 1942. (В. Мак-Адаме, Тепло- Теплопередача, ОНТИ, 1936; перев. с 1-го изд.) 28. Grober, Z. Ver. dtsch. Ing. 69, 705 A925). 29. Grober, Erk, Grigull, Warmeubertragung, Springer, 1955. 30. Schack, Stahl u. Eisen 50, 1290 A930). 31. Fishenden, Saunders, Heat Transfer, Oxford, 1950. 32. Schack, Goldschmidt, Partridge, Industrial Heat Transfer, Wiley, 1933. 33. Newman, Ind. Eng. Chem. 28, 545 A936). 34. E de, Phil. Mag. 36, 845—891 A945). 35. H e i s 1 e r, Trans. ASME 69, 227—236 A947). 36. Jakob, Heat Transfer, Wiley, 1949, §§ 13—19. (M. Якоб, Вопросы теплопередачи, ИЛ, 1960, перев. с изд. 1957 г.) 37. Newman, Trans. Am. Inst. Chem. Engrs 27, 202 A931). 38. Go 1 d s t e i n, Z. angew. Math. Mech. 12, 234 A932); 14, 158 A934). 39. Pose hi, Z. angew. Math. Mech. 12, 280 A932). 40. Nistler, Z. angew. Math. Mech. 17, 245 A937). 4L McKay, Proc Phys. Soc. 42, 547 A930). 42. Bachmann, Tafeln uber Abkuhlungsvorgange einfacher Кбгрег, Springer, 1938. 43. Newman,Green, Trans. Electrochem. Soc. 66, 345 A934). 44. J aege r, Proc. Camb. Phil. Soc. 41, 43 A945). 45. Nelson, Brit J. Appl. Phys. 3, 79—86 A952). 46. Russell, Alternating Currents, Cambridge, vol. I, p. 197, 1914. 47. Wasserburgin Nuclear Geology, ed. Faul, Wiley, 1954, § 9*5.
ГЛАВА IV ЛИНЕЙНЫЙ ТЕПЛОВОЙ ПОТОК В СТЕРЖНЕ § 1. Введение В настоящей главе мы рассмотрим задачи теплопроводности для стерж- стержней с малым поперечным сечением. Стержень предполагается настолько тон- тонким, что температуру во всех точках его поперечного сечения можно считать одинаковой *). Эта задача сводится, таким образом, к задаче линейного теплового потока, в которой температура определяется временем и расстоя- расстоянием х, измеряемым вдоль стержня. Если теплообмен на поверхности стержня отсутствует, то рассматриваемые здесь задачи становятся идентичными зада- задачам, рассмотренным в гл. III. Существенно новая особенность задач данной главы заключается в следующем: мы предполагаем, что каждый элемент поверхности стержня отдает в результате теплообмена тепло в окружающую среду. Во многих старых и в некоторых новых методах определения тепло- теплопроводности используются экспериментальные устройства такого типа. § 2. Дифференциальное уравнение распределения температуры в тонком стержне Предположим, что стержень имеет постоянную площадь поперечного сечения со, периметр сечения /?, коэффициент теплопроводности К, плотность вещества р, удельную теплоемкость с, коэффициент температуропроводности х и коэффициент теплообмена Н. Предположим далее, что стержень расположен вдоль оси х, и рассмо- рассмотрим элемент объема, ограниченный сечениями, проходящими через х и x-]-dx перпендикулярно оси стержня. Количество тепла, поступающее в этот элемент в единицу времени через сечение, проходящее через точку х, равно 7, dv Аналогичным образом количество тепла, уходящее в единицу времени через сечение, проходящее через точку x-^-dx, равно (-*?-*?*>--)- *) Общий случай преимущественного распространения теплового потока в теле в одном направлении, т. е. при небольших потерях в плоскостях, перпендикулярных данному направлению, рассматривается в работе [1]. Оказывается, что среднее зна- значение температуры вдоль плоскостей, перпендикулярных направлению потока, с хорошим приближением удовлетворяет уравнению вида B.4) следующего параграфа.
§ 2] гл. iv. линейный тепловой поток в стержне 135 Следовательно, приращение количества тепла в элементе объема в еди- единицу времени, обусловленное потоком тепла через оба сечения стержня, равно *) Количество тепла, теряемое в единицу времени вследствие теплообмена боковой поверхности элемента объема со средой, равно H(v — v0) p dx, где v0 — температура среды. Полный прирост количества тепла в единицу времени в элементе объема равен dv , шср -37- dx. Таким образом, i!L = -?i!?-_2^(v_v) B 1) или где -??. = v и -? = х. B.3) Срсо рС v 7 Если на боковой поверхности стержня теплообмен отсутствует, уравне- уравнение теплопроводности принимает вид dv d2v и задачи распределения температур в стержне сводятся к задачам линейного теплового потока, рассмотренным в гл. II и III. При наличии теплообмена со средой, имеющей постоянную температуру, последнюю можно принять за нуль, и тогда наше уравнение запишется сле- следующим образом: Используя подстановку**) (см. стр. 38) v = ue~4t% B.5) B.4) можно свести к виду ди д2и /о я \ Таким образом, наша задача сводится к рассмотренной ранее задаче линейного теплового потока. /. Полу ограниченный стержень х > 0 с нулевой начальной температурой. При t > 0 граница х = 0 поддерживается при постоянной температуре Vo. Здесь функция и должна удовлетворять уравнению B.6), обращаться в нуль при t = О и иметь значение Voevt при х = 0 и t > 0. *) Здесь отбрасываются члены более высокого порядка относительно dx. (Прим. ред.) **) Здесь можно также использовать метод преобразования Лапласа, изложен- изложенный в гл. XII.
136 ГЛ. IV. ЛИНЕЙНЫЙ ТЕПЛОВОЙ ПОТОК В СТЕРЖНЕ [§ 3 Решение этой задачи приведено в § 5 гл. II (см. E.9)); оно имеет вид Отсюда получаем окончательно ^К7] 1^^-[^ К7] B-7) 2. Ограниченный стержень — I < х < I с нулевой начальной температурой. При t > О плоскости х = О и х = I поддерживаются при постоянной темпера- температуре Ко. В данном случае функция и должна удовлетворять уравнению B.6), обра- обращаться в нуль при t = О и иметь значения V^e*1 при х = ± /. Используя решение этой задачи, приведенное в § 5 гл. III (см. E.6)), получим окончательно (-ц-ежр ]-у*-*B»+1>2*2П cos <2*+/1>** • , ¦ B.8) ch/(v/x)V« те ^ Bп+\){\ + [Ы2/Bп + \JпЧ]} Первый член представляет собой решение, соответствующее установившемуся состоянию, которое будет получено непосредственно в § 5 настоящей главы. Если материал стержня неоднороден или его теплопроводность является функцией температуры, то ясно, что уравнение B.1) следует заменить урав- уравнением 1 д (vdv\ Hp ,__ ... dv B9) Если сечение стержня непостоянно, то со и р зависят от х, и анало- аналогичным образом мы получим для стержня с постоянным коэффициентом теплопроводности К соотношение х \ дх ] рс ш v 0/ dt v ' § 3. Полуограниченный стержень. Случай установившейся температуры. Метод Форбса Если в плоскости х = 0 полуограниченного стержня поддерживается постоянная температура VQt то решение уравнения для установившегося теплового потока d2v л xzf-w=0 принимает вид l Это решение можно использовать для стержня конечной длины / при условии, что величина /(v/x)!/l велика. Если рассматриваются стержни из раз- различных металлов с поверхностями, обработанными таким образом, что все они будут иметь одинаковые значения v, то сравнение температур *) различ- различных стержней позволит получить отношения их коэффициентов теплопро- теплопроводности ¦¦). Подобные методы имеют тот недостаток, что они дают только относительные значения коэффициентов теплопроводности; кроме того, трудно обеспечить равенство значений v для различных стержней. *) Если а — коэффициент линейного расширения, то при полном расширении стержня aV0(x/v)^ мы получим другое уравнение для сравнения температур (см. [2]). **) На этой идее основаны методы ряда авторов, описанные в книгах [3—5].
§ 4] ГЛ. IV. ЛИНЕЙНЫЙ ТЕПЛОВОЙ ПОТОК В СТЕРЖНЕ 137 Классические опыты Форбса (см. [3], стр. 98, [4], стр. 454, [5], § 301. [11, 48]) позволили создать интересный метод определения коэффициента теплопроводности одиночного стержня. Пусть один конец полуограниченного стержня поддерживается при постоянной температуре до тех пор, пока тепловой поток в нем не установится. В этом случае количество тепла, протекающее вдоль стержня в единицу времени через сечение, находящееся на расстоянии х от нагреваемого конца, равно —/Со)-^, C.2) где со — площадь поперечного сечения стержня. Эта величина должна рав- равняться всему количеству тепла, теряемому в единицу времени находящейся справа за этим сечением частью стержня, т. е. >ff(v)dx, C.3) где р — периметр сечения стержня и f(v) — количество тепла, теряемое в еди- единицу времени с поверхности стержня, имеющего температуру v. Форбс про- провел две независимые серии экспериментов: в первой серии он численно определял величину dv/dx в выражении C.2) из данных о температуре в ряде точек вдоль стержня; во второй серии экспериментов он определял величину pf(v) в выражении C.3), нагревая другой стержень, подобный первому, до постоянной температуры и затем охлаждая его при тех же условиях; при этом температура стержня измерялась в функции времени; тогда можно найти численное значение pf(v) = — copc-^- как функцию от v. Это позволило оценить численную величину интеграла в выражении C.3). Приравнивая выражения C.2) и C.3), можно получить значение К. Следует отметить, что данный метод носит весьма общий характер и в нем не предполагается, что К или v не зависят от v\ кроме того, в этом методе не используется никакое частное решение уравнения теплопроводности. Таким способом Форбс определил коэффициент теплопро- теплопроводности железа в зависимости от температуры. § 4. Полуограниченный стержень. Периодически изменяющаяся температура. Метод Ангстрема [5—10] В предыдущем параграфе мы показали, как установившееся распреде- распределение температур в длинном металлическом стержне малого поперечного сечения можно использовать для определения коэффициента теплопроводности вещества. Неустановившееся распределение также можно использовать для этой цели, если температура одного из концов стержня периодически меняется, что приводит к распространению по нему тепловых волн. Из на- наблюдений над прохождением этих волн вычисляется коэффициент теплопро- теплопроводности. Ангстрем впервые применил данный метод, и его работа исклю- исключительно интересна как строгостью математических рассуждений, так и новизной экспериментального метода. Позднее Хагстрем [12] рассмотрел ту же задачу, предположив, что коэффициенты теплопроводности и теплообмена зависят от температуры. Нейман и Вебер распространили этот метод на слу- случай короткого стержня, темпеоатура обоих концов которого периодически меняется (см. § 8 данной главы;.
138 ГЛ. IV. ЛИНЕЙНЫЙ ТЕПЛОВОЙ ПОТОК В СТЕРЖНЕ [§ 4 Ангстрем проводил эксперименты на длинных стержнях малого попе- поперечного сечения. Температура конца стержня х = О периодически менялась, так как через равные промежутки времени его попеременно то нагревали потоком пара, то охлаждали потоком холодной воды. По истечении доста- достаточного времени температура в стержне становилась некоторой периодической функцией от х и t, не зависящей от начального распределения температур. Это периодическое распределение температур и исследовал Ангстрем. В экспе- экспериментах Ангстрема учитывается, что стержень отдает тепло в среду с по- постоянной, принимаемой за нуль температурой *). Как и раньше, поперечное сечение стержня считается настолько малым, что температуру по всему сечению можно принять равной температуре в центре. Длина стержня должна быть достаточной для того, чтобы темпе- температурные изменения, происходящие на конце л; = 0, полностью затухали, не достигнув противоположного конца. Таким образом, при математической трактовке задачи можно считать стержень полуограниченным. Ищем периодическое решение уравнения B.4) данной главы в виде v = V(x)ein*'. После его подстановки в B.4) получим для V следующее уравнение: d2V у + into v Q Решение этого уравнения, стремящееся к нулю, когда лг-^оо, имеет вид V = VQexp(-qnx — iq'nx), D.1) где следовательно, Я» = {[* + (v»+ я»ш»УА]/2*}*, q'n = {[- Таким образом, со 2 qx q'x + z\ D.4) я=0 " представляет собой общее периодическое решение уравнения A.1) с перио- периодом 2тс/о>. В опытах Ангстрема период колебания температуры в стержне 2тс/о) составлял 24 мин. По истечении достаточно большого промежутка времени после начала эксперимента измеряли температуры в двух точках х1 и х2 и полученные данные представляли гармоническими рядами оо оо 2 &п cos (П(й* + Рл) и *2j Сп COS (nut-\-fn). п-0 * п-0 Их почленное сравнение с D.4) дает = е«*К В, — ч =lq D.5) *) Если используется изолирующее кольцо, то эту поправку можно исключить.
§ 5] ГЛ. IV. ЛИНЕЙНЫЙ ТЕПЛОВОЙ ПОТОК В СТЕРЖНЕ 139 где l = x2— xv Используя эти результаты в последнем из выражений D.3), получаем О)/2 D'6) Таким образом, коэффициент теплопроводности определяется независимо от коэффициента теплообмена. Изменяя характер поверхности стержня, т. е. изменяя v, мы будем получать одинаковые значения для х. Ангстрем производил такие изменения, и полученные им результаты совпали с резуль- результатами его более ранних экспериментов. Если х известно, то нетрудно найти v. Пусть при л; = 0 температура равна 1 при гТ < t < (г Ч-у) Т и НУЛЮ при [г-\--^\Т <^t <i{r-\-\)Tt где г = 0, 1, 2, ...; тогда установившаяся температура в точке х в момент времени t определяется выражением я=0 где qn и qn — величины, определенные выше, а о = 2тс/7\ Если при х = 0 температура определяется выражением Ао -\- Al cos (Ы -\- е^, то в D.4) остаются лишь первые два члена, и температурные колебания распространяются со скоростью 2 Используя величину q'v определяемую D.3), получим и* и* ~ 4х Т2и2 ' Если и1 и и2 — скорости для периодов Т1 и Г2, то можно исключить v, и мы получим Кинг [13] использовал опыты Ангстрема, причем конец х = 0 прово- проволоки он нагревал проволочной спиралью, по которой протекал ток, пропор- пропорциональный sin-^-otf. § 5. Ограниченный стержень, концы которого находятся при фиксированных температурах. Случай установившейся температуры Если поверхность тела не изолирована от среды, температура которой равна нулю, то уравнение теплопроводности, выраженное через величины, определенные B.3), имеет вид dv __ К d2v Нр dt ср дх2 срсо Наблюдение за установившимся распределением температур в стержне, концы которого поддерживаются при постоянных температурах Vx и V2,
140 ГЛ. IV. ЛИНЕЙНЫЙ ТЕПЛОВОЙ ПОТОК В СТЕРЖНЕ [§ 5 представляет собой один из наиболее ранних методов получения значений коэффициентов теплопроводности различных твердых тел. Положив р,2 = ///7//Ссо, получим уравнения 4j 0 @ <*</). v = Vx при лг = О, z; = V2 при л: = /. Тогда искомое решение запишется в виде где Таким образом, Пусть в точках лгр х2 и лг3 температуры равны vv v2 и г>3 соответ- соответственно, причем Х% Х2 ==г *^2 *^1 ~^ ^" Тогда Отсюда т. е. полученный результат не зависит от V1 и V2. Для двух стержней с одинаковыми периметрами, поперечными сечениями и теплообменом на боко- боковых поверхностях имеем E.2) Это дает метод для сравнения коэффициентов теплопроводности двух веществ [5, 14]. В абсолютных измерениях коэффициента теплопроводности к одному из концов стержня обычно подводят известное количество тепла с помощью нагревательной спирали [15—18]. Из соотношения E.1) следует, что величина теплового потока FQ, посту- поступающего в стержень через плоскость л; = 0, равна fq—k* L^u0 апз • E-3) Величина теплового потока Fv отдаваемого стержням через плоскость = 1, равна fil] Wi^M E.4) ] Потеря тепла через боковую поверхность стержня между плоскостями = 0 и х = 1 равна ^vd. E.5)
§ 6] ГЛ. IV. ЛИНЕЙНЫЙ ТЕПЛОВОЙ ПОТОК В СТЕРЖНЕ 141 На практике jx обычно мало, и поэтому гиперболические функции в E.3), E.4), E.5) можно представить в виде ряда и ограничиться первыми членами этих рядов. В таком случае приближенно можно написать Fo = «?- <уг - V2) +1 К^Ч BV, + V2) E.6) Л) - Fi = i W (V, + V2)- E.7) Подставляя в соотношение E.6) найденные в эксперименте Fo или V2, получим /Си//. Обобщение уравнения E.6), в котором учитывается линей- линейное изменение коэффициента теплопроводности с температурой, приводится в работе [16]. Уравнением E.7) удобно пользоваться для введения поправок на потерю тепла стержнем, например между нагревательной спиралью и термопарой. Лис [15] рассчитал ряд таких поправок, необходимых в подоб- подобных устройствах. В отсутствие потока тепла через плоскость х = 1 мы получим вместо E.1) выражение равУ СПИ/-*) 1 chfx/ Тепловой поток, поступающий в стержень через плоскость х = О, равен следующей величине: Fo = — /Со) \4^т] = vJCuVi th [x/. | их Jo Таким образом, Fl к=- п Это соотношение было использовано при определении К [19]. § 6. Стержень переменного сечения с охлаждающимися ребрами. Случай установившейся температуры Дифференциальные уравнения, приведенные в § 2 настоящей главы, имеют практическое применение в теории тонких ребер, прикрепленных к поверхностям с целью повышения эффективности охлаждения последних посредством теплообмена или вынужденной конвекции [20—28]. Во всех случаях, рассматриваемых в данном параграфе, ребра считают настолько тонкими, что температуру по всей толщине ребра можно принять постоянной; соответствующие задачи для толстых ребер изложены в § 3 гл. V и в § 3 гл. VIII. Здесь мы рассмотрим только случай установившейся температуры. Задачи с неустановившейся температурой можно решить либо непосред- непосредственно, применяя преобразование Лапласа (см. гл. XII), либо используя описанную выше подстановку (см. B.5) данной главы). Вначале мы рассмотрим задачу, уже разобранную в предыдущем пара- параграфе, а затем перейдем к другим случаям. I. Прямоугольное ребро на плоской поверхности. Возьмем плоскую поверхность, совпадающую с плоскостью д: = 0. Рассмотрим ребро, ограниченное областью — jD<z<±D, —сю<<у<оо, 0<х</.
142 ГЛ. IV. ЛИНЕЙНЫЙ ТЕПЛОВОЙ ПОТОК В СТЕРЖНЕ [§ б где D — толщина ребра (малая величина). Предположим, что плоскость х = 0 поддерживается при температуре V и имеет место теплообмен между поверх- поверхностью ребра и средой с нулевой температурой. Тогда, воспользовавшись обозначениями, принятыми в § 2 данной главы, мы получим, что участок ребра единичной длины в направлении у имеет периметр*) р = 2 и площадь o) = D. Таким образом, уравнение B.2) данной главы принимает вид Jg--^ = O, 0<*</, F.1) где <*2=w- (б-2) Это уравнение нужно решать при следующих граничных условиях: v = V, x = 0 F.3) Простое граничное условие F.4) означает, что теплообмен на конце ребра пренебрежимо мал, что обычно выполняется достаточно строго; если же это не так [29], то граничное условие F.4) следует заменить выражением K^ + Hv = 0, x = L F.5) которое выглядит более громоздким, но не вводит новых особенностей. Решение уравнения F.1) с граничными условиями F.3) и F.4) имеет вид ch F6 С инженерной точки зрения наиболее интересной величиной является «эффективность» ребра. Эта величина определяется как отношение коли- количества тепла, теряемого поверхностью ребра в единицу времени, к количе- количеству тепла, которое должно было бы теряться в единицу времени, если бы ребро было удалено и площадь под его основанием отдавала тепло тем же путем. Последняя величина равна HDV на единицу длины и, следовательно, эффективность ребра можно записать в виде С HVchy.(l — x)dx 2 . . /R7 J ЗПЙ = jDth ^ FJ) HDV Пj о II. Сужающееся ребро на плоской поверхности. Пусть стороны ребра сближаются на небольшой угол а, так что площадь участка ребра единичной длины в направлении оси у при х = 0 равна D, а в точке х равна D — 2ах. Тогда, пренебрегая членами, содержащими а2, мы получим для периметра нашего участка /?, равное 2. В этом случае уравнение B.10) настоящей главы при- принимает вид - 0<x<l F-8) и его надо решать с граничными условиями F.3) и F.4). Положив F.9) *) На самом деле /? = 2 + 2D, но, поскольку D <^ 1, мы можем считать, что 2. (Прим. ред.)
§ 6] гл. iv. линейный тепловой поток в стержне 143 мы получим уравнение F.8) в виде '** F.10) Общее решение уравнения F.10) представляет собой линейную комбинацию модифицированных функций Бесселя *) А10 [6 BН/К*2)Ц + Я/Со [S BЯ/*>2)Ч F.11) Постоянные А и В находят из граничных условий F.3) и F.4): ° > F.12) Л/, fa) — Я/С! fa) = 0, J 1 ' где е0 = BHD/K*2L* и g, = [2Я (D — 2а1)/Ка2]Ч*. F.13) Пешая уравнение F.12), получим окончательное решение F.11) в виде лт 10[2Н(Р — 2ах)/К«2]1/>* /о F0) /Ci (Si) + /Co (So) Л F0 ' К ' III. Тонкое кольцевое ребро постоянной толщины на цилиндре радиуса а. Здесь плоскость ребра перпендикулярна оси цилиндра. Толщина ребра D в направлении, параллельном оси цилиндра, мала. Пусть его внешний радиус равен Ь, а тепловой поток с внешней поверхности пренебрежимо мал. Поскольку распростра- распространение тепла происходит исключительно в радиальном направлении, мы можем исполь- использовать дифференциальное уравнение B.10) данной главы, считая, что площадь участка радиусом г равна w = 2nrD и его периметр равен /? = 4тиг. Тогда из B.10) следует это уравнение нужно решать при граничных условиях i/=K, г=я, F.16) -5^ = 0, г = Л. F.17) Общее решение уравнения F.15) имеет вид v = Л/о ((хг) + В Ко (^г), F.18) где <Нтс5-Г- FЛ9) Используя условия F.16) и F.17), определим А и В и в результате получим v= V /о ДО /С. О**) + /Со ((ia) /, В этом случае эффективность ребра равна IV. Тонкое кольцевое ребро переменной толщины на цилиндре радиуса а. В случае линейно сужающегося ребра, рассмотренном в примере II, не суще- существует решения, которое можно было бы выразить при помощи табулированных функций. Простые решения можно найти при двух других законах изменения тол- толщины по радиусу. Если толщина z ребра изменяется обратно пропорционально радиусу, т. е. * = ¦?-. F.22) *) См. приложение 3. Выражения /q (z) — Ix (z\ Kq {z) = — K\ (z) исполь- используются ниже.
144 ГЛ. IV. ЛИНЕЙНЫЙ ТЕПЛОВОЙ ПОТОК В СТЕРЖНЕ [§ 7 то о) = 2тсг2г = 2nD и р = 4ъг, тогда уравнение B.10), приведенное в настоящей главе, принимает вид igl-^rt^O, a<r<b, F.23) где р. определяется F.19). Общее решение уравнения F.23) записывается следующим образом: v = АгЧчЧш (j uA) + Brl'*Klu (у f"). F.24) где А и В можно найти, как и прежде, из граничных условий F.16) и F.17). Если толщина z ребра изменяется обратно пропорционально квадрату радиуса, т. е *=-?-. F.25) то o> = 2rcD/r и /?=4яг; тогда уравнение B.10) принимает вид где fi определяется F.19). Решение уравнения F.26), которое удовлетворяет усло- условиям F.16) и FЛ7), записывается следующим образом: F.27) § 7. Ограниченный41) стержень при наличии теплообмена на его поверхности. Случай неустановившейся температуры Для стержня постоянного поперечного сечения дифференциальное уравнение B.2), приведенное в данной главе, имеет вид dv d2v ,_1Ч -W = %-dxZ-*v' GЛ) где х = /С/рс, * ss Нр/рсщ а температура среды v0, с которой происходит теплообмен, равна нулю. Как и в § 2 этой главы, уравнение G.1) можно решить, заменив v на ие~vt, где и должно удовлетворять уравнению ди д2и ,7 оч W-^lW' G'2) Используя результаты, полученные в гл. III, приведем решения ряда инте- интересных задач. I. Ограниченный стержень 0 < х < I с начальной температурой f (x) и тем- температурами концов 4\(f) и <р2 (t). В этом случае уравнение G.2) следует решать при следующих условиях: * = 0; " = *%(*), д: = 0; «»-*«?,(*), х = 1. G.3) Используя соотношение E.2) гл. III, получим 2 X} Г ъп2ъ4 Л . ппх If-,,., ппх' . , v== 7 2л ехр L ?>J ~Г" I J f (x) sin ~Г~ л=1 t ехр р^- + vl] [Ti (X) - (-1)" <р2 (X)] G.4) *) Полуограниченный стержень рассматривается в [30].
§ 7] ГЛ. IV. ЛИНЕЙНЫЙ ТЕПЛОВОЙ ПОТОК В СТЕРЖНЕ 145 II. Ограниченный стержень 0<х<1 с начальной температурой f(х). На плоскости х = 0 теплообмен отсутствует Температура в плоскости х = / равна <р2 (О- Используя соотношение E.3) гл. III и обозначая ря = Bл+1)те/2/, получим Г 2 VI Г 2 1 Г I/ 9 ч 1 t/ == у ^ ехр [—V/ — f^yt\ cos ря* j *ря (—1)я / ехр [(хр^ + v) X] <Рг (X) <*Х + я«о I о f{x')QQs$nxdx'\. G.5) - f о III. Ограниченный стержень 0<х<1 с начальной температурой f(x) Теплообмен на концах отсутствует. Из соотношения D.6) гл. III следует, что v = у ехр (— v*) у / (д:') dx' + О оо 2 VI Г ъп2п4 "I ппх Г ., /ч ля*' . , Т 2л ехр ["" /*~1cos "Т" / ^ ** *cos ~7— * 1 6 IV. Ограниченный стержень — I < х < I с постоянной начальной темпера- температурой, равной V. На боковой поверхности стержня и на его концах происходит теплообмен со средой нулевой температуры. Из соотношения A1.12) гл. III следует, что 1ки4 где ± ап (при я= 1, 2, ...) служат корнями уравнения V. Ограниченный стержень 0 < х < I с начальной температурой, равной f (x). На боковой поверхности стержня и на его концах происходит теплообмен со средой нулевой температуры. Используя соотношение (9.12) гл. III, получим где Хп ш* cos апх + — sin anx, G.9) П У G.10) и ± ая (при /1=1, 2, •••) служат корнями уравнения GЛ1) Нейман [31] *) показал, что это решение можно использовать при определении зна- значений термических коэффициентов. В его методе необходимо знать температуры v0 и vi при х = 0 и х — /. *) См. также работу [32], в которой рассматривается соотношение между мето- методом Ангстрема и двумя методами Неймана. Следует отметить, что методы, изложенные в этом параграфе, позволяют совершенно не учитывать начальное распределение температуры в стержне. 10 Г. Карслоу, Д. Егер
146 ГЛ. IV. ЛИНЕЙНЫЙ ТЕПЛОВОЙ ПОТОК В СТЕРЖНЕ [§ 7 Из соотношения G.9) следует, что Хп = 1 при х = 0. Кроме того, в § 9 гл. III мы показали, что Х2п = 1 при х = /; определим теперь знак Хп. Используя G.9) и G.11), находим, что при х = 1 но О < а, / < т. < а2/ < 2% < ... Следовательно, Хп = (—l)" при jc = / Таким образом, -^(*>o + *>z)=-V~Pl '+А&-*'+ ..., G.12) 1 , v "P4f+ ..., G.13) где Поскольку р„ увеличивается с увеличением л, для достаточно больших зна- значений t мы получим хорошее приближение, ограничиваясь только первым членом в каждом из этих рядов. Тогда мы получим y<*o + vz> = ^i«"Pl' G.14) и у (Ро ~ v/) = А2е " М* G-15) В своих экспериментах Нейман сначала нагревал один конец стержня пламенем, а затем давал ему охлаждаться за счет теплообмена. Спустя некоторое время он начинал определять v0 ± vt через равные промежутки времени. Эти наблюдения показали, когда температуры начинают следовать приведенному выше закону. Таким способом находят постоянные Pi и р2 и получают два уравнения, из которых можно определить коэффициенты теплопроводности и теплообмена. Однако так как в вели- величины а{ и <х2 входит Л, эти расчеты следует производить путем последовательных приближений и они оказываются довольно сложными. В более простом методе измеряют температуры в средней точке стержня. Как отмечалось в § 10 гл. Ill, alf а3, ... являются корнями уравнения «tg-g-o/^Л, G.16) а а2, а4, ... — корнями уравнения «ctgya/ + A = 0. G.17) Кроме того, при х= -^ I Хп = sec у 1ап для нечетного п и X = 0 для четного п. Таким образом, v 1 = A^e~ l sec-тг-а.{1 Л-А$е~™ sec-77 <*з^-4- ... G.18) ?' 2 2 Итак, из соотношений G.14) и G.18) следует, что для больших значений времени
§ 81 гл. iv. линейный тепловой поток в стержне 147 Отсюда мы найдем ах; затем определим из G.16) и G.17) соответственно h и <х2- Кроме того, из выражений Pi =*«? + * И p2 = xa2 + v определим % и v, после чего можно найти значения /Си//. § 8. Ограниченный стержень с периодически изменяющейся температурой концов. Метод Неймана В своей работе «О теплопроводности железа и нейзильбера» Вебер [33] описал ряд экспериментов, проведенных им по методу, предложенному Нейманом в его лек- лекциях. Идея этого метода та же, что и идея метода Ангстрема (см. § 4 настоящей главы), но в данном случае периодически изменяют температуру обоих концов стержня. Конец А стержня ЛВ поддерживается при температуре vu а конец В— при темпера- температуре v2 в течение интервала времени 0 < t < Т. Затем, от момента t = Т до t = 2Tr конец Л поддерживается при температуре t/2, а конец В — при температуре vx. Этот процесс повторяется неограниченное число раз. Если такое периодическое изменение температур продолжается достаточно долго, то влияние начального распределения температур исчезнет и возникающее установившееся периодическое колебание темпера- температуры можно исследовать методом, изложенным в § 6 гл. III. Температура определяется из приведенного в предыдущем параграфе соотно- соотношения G.4) при / (х) = 0 и условий ср, (t) = vx при 2rT<t< Br + 1) Т, <Pi(*) = i/2 при Br+l)T<t<Br + 2)Tt t;2 при 2rT <t<Br+\)T, 1/, при Br+l)T<t<Br где г равно нулю или любому положительному числу. Назовем интервалы 2rT < t < Br -f-1) T четными периодами, а интервалы Bг + 1) Т < t < Br-\-2) T — нечетными периодами. Затем, как и в § 6 гл. III, мы покажем, что после достаточно длительных колебаний температуры поверхности темпе- температура в момент U отсчитываемый от конца одного из четных периодов, равна оо оо 4хтс VI п 2ппх 2хтс VI 2п-\-1 с. Bп-\-1) ъх v ~~ /2 Vl 2 Za p2n i "• /2 l 2 Zu оо 8хтс , е П /О t* л = 1 l e а в момент t, отсчитываемый от конца одного из нечетных периодов, равна 4*71 .VI л . 2ппх 2хтс ,Т1 2л + 1 , I ** P2n l l *~ P2n+l I oo _ _ t 8 2nnx e 2n /a nv sin—^ Гп-Г' (8*2> P2n l \-\-e 2n где Эти выражения можно упростить при помощи рядов Фурье оо ГТ_ shy A-х) — sh [хл: to ^27 T (8*4) /г=1 10*
148 ГЛ. IV. ЛИНЕЙНЫЙ ТЕПЛОВОЙ ПОТОК В СТЕРЖНЕ [§ 9 2™ \У Bя+1) ,,_ b Sln я=0 гДе Рп — величина, определяемая (8.3), a p.2 = v/x. Таким образом, для четных периодов мы имеем , " _p<tJ . (8-6) /isl и для нечетных периодов \ i ...... . |Л л=1 Из соотношений (8.6) и (8.7) следует, что температура vx^ в средней точке стержня имеет следующее постоянное значение: (8.8) Chyfx/ Отсюда можно получить отношение v/%. Чтобы получить второе соотношение между этими двумя неизвестными, нужно взять разность значений температур в точках * = -?-/ и х=-^1 в любой момент времени. В этих точках члены ряда (выражающего разность температур), в которых п кратно 2 или 3, пропадут, а остав- оставшийся ряд настолько быстро сходится, что можно пренебречь членами, начиная с п = 5. Таким образом, в принятом приближении разность температур в момент времени t от начала одного из периодов равна d = M — Ne-ptt (8.9) где р = v -f- Dхте2//2), а М и N не зависят от t. Пусть разности температур между этими точками в моменты tu t2t (tt -f- fJ), (*2 + P) равны tf j, d2y d'v d'2 соответственно. Тогда и, следовательно, можно найти р. Используя эту величину, а также значение v/%, найденное из выражения (8.8), получим неизвестные v и х. § 9. Задачи по теплопроводности в движущемся стержне*) Пусть стержень, имеющий постоянные площадь поперечного сечения о> и пери- периметр /?, движется в направлении оси х со скоростью U. Предполагается также, что происходит теплообмен стержня со средой, имеющей температуру v0, причем коэф- коэффициент теплообмена равен Н. Искомое дифференциальное уравнение можно получить, как и в § 2 настоящей главы; однако в данном случае, как и в § 7 гл. I, следует добавить член, учитываю- учитывающий теплообмен конвекцией, в виде •?—; тогда уравнение B.2) настоящей главы примет вид d2v U dv v(v — v0) I dv _ft n *) Теплопроводность движущегося цилиндра конечного диаметра рассматривается в § 11 гл. VII.
§ 10] гл. iv. линейный тепловой поток в стержне 149 где х = А и v--2?. (9.2) Ряд задач для движущихся тел, в которых встречается уравнение (9.1), будет рассмотрен в § 2 гл. XV. Здесь мы рассмотрим случай установившейся температуры и теплообмена со средой, имеющей нулевую температуру. В этом случае уравне- уравнение (9.1) принимает вид U Полу ограниченный стержень, движущийся в направлении его продольной оси со скоростью U. Конец х = 0 поддерживается при постоянной темпера- температуре vx. Решение, справедливое как для положительных, так и для отрицательных значений U> имеет вид t/= vx ехр | y—^- }— xy (9.4) 2. Полу ограниченный стержень, движущийся в направлении его продольной оси со скоростью U. Плоскости х = 0 и х = 2/ поддерживаются при постоянных температурах, равных соответственно vx и v2- Искомое решение имеет вид г U B1 — х) 1 ., , Ux . с/о, ч v2exp Цт- }- sh Ьс + v{ ехр -=— sh ZBl — x) v- iir^ . (9.5) где 2) + (Hp/»K)]l/*. (9.6) Был проведен ряд экспериментов [34, 35] с ртутью, в которых она двигалась с постоянной скоростью вдоль трубы, соединяющей два резервуара, поддерживаемые при различных температурах *). Если vt — температура в средней точке х = / трубы, то из (9.5) следует, что 2vt ch с/ = v2 ехр | — ~j-J + vx ехр -^. (9.7) Если vx и v2 подобраны таким образом, что v\ = 0, то соотношение (9.7) принимает вид %- ,-««*. (9.8) Это уравнение не содержит ?, и из него можно прямо найти коэффициент темпе- температуропроводности %. § 10. Уравнение теплопроводности для тонкой проволоки, нагреваемой постоянным электрическим током Распределение температур в тонкой проволоке, по которой течет постоян- постоянный электрический ток, выведено Верде в 1872 г. [38]**). В течение неко- некоторого времени подобный способ нагревания металла применялся мало, несмотря на его очевидные преимущества. Во-первых, электрические измере- измерения можно производить с такой точностью, что в эксперименте становится возможным применять малые разности температур и устранять ошибки, вызы- вызываемые зависимостью электропроводности и теплопроводности от температуры. *) В работе [35] с помощью этого метода рассматривается эффект Томсона; в нее также входит рассмотрение полного уравнения A0.4) данной главы. Неустано- Неустановившееся состояние разобрано в работе Сомерса [36] и — более подробно — в работе Оуэна [371; см. также § 2 гл. XV. **) Для той же цели использовался и переменный ток. Можно назвать несколько важных статей по этому вопросу [39—41]. Последняя из названных работ содержит ценный список литературы; кроме того, в ней учитывается также изменение темпера- температуры по сечению и по длине проволоки (см. также [42]).
150 ГЛ. IV. ЛИНЕЙНЫЙ ТЕПЛОВОЙ ПОТОК В СТЕРЖНЕ [§ 10 Во-вторых, при рассмотрении отношения коэффициентов электро- и тепло- теплопроводности (отношение Видемана — Франца [43]) очень желательно, чтобы обе эти величины определялись в одном и том же эксперименте. Выведем сначала уравнение теплопроводности и покажем, как можно использовать установившееся и неустановившееся распределение температур в такой проволоке для определения коэффициентов электропроводности и теплопроводности металлов. Предположим, как и в § 2 данной главы, что а> — площадь поперечного сечения проволоки, р — периметр сечения и Н — коэффициент теплообмена. Пусть / — ток, измеряемый в амперах*), а о — электропроводность прово- проволоки. Тогда количество тепла, выделяемое на длине dx током /, будет равно Где у = 0,239...—число калорий в джоуле. Этот член следует добавить к правой части уравнения B.2) данной главы, и тогда уравнение теплопро- теплопроводности примет вид где * = -?, v = ^-. A0.2) Некоторые другие факторы, важные для экспериментальной работы, можно принять в расчет без значительного усложнения математической теории. 1. Электрическое сопротивление проводника можно считать линейной функцией температуры—это приближение справедливо для узких температурных интервалов. Если а—температурный коэффициент изменения сопротивления, то мы должны только заменить (у/2/рсо>2с) в уравнении A0.1) на где а0 — электропроводность при нулевой температуре. 2. Тепло выделяется в результате эффекта Томсона, причем количество тепла пропорционально току и градиенту температур; таким образом, к правой части урав- уравнения A0.1) следует добавить член Is dv рсо> дх ' где s — коэффициент Томсона. Этот член учитывает направление тока и обращается в нуль, если для нагревания проволоки пользуются переменным током. Коэффициент Томсона зависит от температуры и может иметь любой знак. Обычно нагрев за счет эффекта Томсона мал, и основное значение этого члена заключается в том, что раз- различные методы измерения 5 основаны на дифференциальном уравнении A0.4). 3. Если стержень движется в направлении своей продольной оси со скоростью ?/, как и в предыдущем параграфе, то к правой части уравнения A0.1) нужно добавить член дх При этих обобщениях уравнение A0.1) принимает вид**) dv ^ К дг%> (ц I 5/ I dv v(Hp aJP ) I Hpv° I jP . A0.4) dt pc dx2 \ ' pco>) dx \ pco> pcoJa0 / ~ pco> ' pcaJc0 ' *) Здесь и далее тепловые величины измеряют в калориях и в единицах СГС, а электрические величины — в практической системе единиц. **) Применение этого уравнения для установившегося состояния при определении эффекта Томсона изложено в [35, 44—47].
§ 11] ГЛ. IV. ЛИНЕЙНЫЙ ТЕПЛОВОЙ ПОТОК В СТЕРЖНЕ 151 Это уравнение линейно относительно v и его можно представить в виде где а, Ьу с, d — постоянные. Уравнения подобного вида встречаются во многих обла- областях математической физики (ср. § 13 гл. I). Их всегда можно решить при помощи простого видоизменения классических методов для случая b = с = d = 0 или при помощи метода преобразования Лапласа, изложенного в гл. XII; преимущество по- последнего заключается в том, что он позволяет «^рассматривать все случаи единооб- единообразно. Если а, Ь, с и d — простые функции от х, то иногда можно найти точное решение. Рассмотрим, наконец, изменение теплопроводности с температурой. Для ограни- ограниченной области температур можно считать справедливым линейный закон /С = /^A + М. (Ю.6) где р — температурный коэффициент теплопроводности (обычно он отрицателен). В этом случае уравнение A0.4) принимает вид Hp pCQJc0 ю Уравнение A0.7) не линейно относительно v и его исследовали только для случая установившегося состояния, т. е. для dvfdt = 0. Если, кроме того, ?/ = 0, то с отсут- отсутствует, и поэтому нет надобности рассматривать его изменение с температурой. В следующем параграфе мы рассмотрим ряд способов определения коэффициента теплопроводности с применением дифференциальных уравнений, приведенных в на- настоящем параграфе. В § 14 данной главы будет рассмотрен случай неустановившегося состояния. § 11. Установившаяся температура. Определение коэффициента теплопроводности I. Определение отношения коэффициентов электро- и теплопро- теплопроводности методом Колърауша. Кольрауш показал, как наблюдения над установившимся температурным состоянием в нагреваемой электрическим током проволоке можно использо- использовать для нахождения отношения коэффициентов электро- и теплопроводности [41, 49—54]. Температуры на концах проволоки поддерживаются возможно более близкими друг к другу. Предполагается, что поверхность непроницаема для тепла и электрический ток / протекает в течение достаточного времени для достижения установившейся температуры. В этом случае уравнение теплопроводности принимает вид Пусть и — электрический потенциал в сечении х. Тогда , du I = 0H —: , dx но dv dv du dx du dx Следовательно, d v 1 du dx охГ du
152 ГЛ. IV. ЛИНЕЙНЫЙ ТЕПЛОВОЙ ПОТОК В СТЕРЖНЕ [§ 11 и d2v _ I2 d2v dx2 o>2a2 "du2 # Отсюда Таким образом, иг 1 >. A1.2) где А и В — константы, определяемые из значений температур на концах. Пусть (av vt), (а2, v2) и (#3, vz) — значения а и v в некоторых трех сечениях xv х2, лг3 проволоки. Из соотношения A1.2) следует, что 2К -у [vx (u2 — Uz) + v2 (аг — аг) + ^з (ui — «2>1 = = («2 — из) (из —а\) (ui — и2>- С11 -3) Если на концах проволоки поддерживаются одинаковые температуры, то распределение температур в проволоке окажется симметричным относи- относительно ее средней точки. Пусть точки хх и лг3 находятся на равных расстоя- расстояниях от средней точки х2 по обе стороны от нее. Тогда Следовательно, из соотношения A1.3) получим 1С 1 р 2 1 2 * 2 Таким образом, мы получили простой метод определения отношения коэффициентов теплопроводности и электропроводности (К/о). Для нахожде- нахождения по этому методу значения К/о необходимо лишь измерить разности тем- температур и потенциалов в двух точках проволоки, причем ток следует регу- регулировать так, чтобы в ней сохранялось установившееся распределение температур. II. Метод Каллендера и аналогичные ему методы. Рассмотрим участок проволоки 0 < х < 2/, концы которого поддержи- поддерживаются при нулевой температуре, а весь участок окружен оболочкой, имею- имеющей нулевую температуру. Проволока нагревается переменным током, и, следовательно, в соотношении A0.4) данной главы член, содержащий dv/dx и обусловленный эффектом Томсона, обращается в нуль. Тогда для случая установившегося состояния соотношение A0.4) из предыдущего параграфа принимает вид = —А. A1.4) U..-V где az = ak -p-. A1-5)
§11] ГЛ. IV. ЛИНЕЙНЫЙ ТЕПЛОВОЙ ПОТОК В СТЕРЖНЕ 155 Уравнение A1.4) следует решать с граничными условиями v = 0 при х = 0 и х = 21. Искомое решение имеет вид v=^rkxBl — х), если а2 = 2 ch а1 (I — х) ) 9 /2 ^ п сЬг1-)' если а* = -а' <0. A1.6) Этими методами проще всего точно измерить изменение электрического сопротивления проволоки, вызываемое нагревом электрическим током. Если о0 — электропроводность при температуре, равной нулю, то сопротивление проволоки при этой температуре запишется в виде Сопротивление проволоки при протекании тока / в установившихся условиях равно 2/ R = -Lj(\+av)dx. A1.8) о Подставляя в это выражение значения v из A1.6), получим ([56, 57]; см. также § 2 гл. VII) (i^L) если а*>0, A1.9) A1.10) A1.11) В методе Каллендера [58] сила тока такова, что о2 = 0, т. е. A1.12) Отсюда следует, что в соотношении A0.4) предыдущего параграфа коэф- коэффициент при v обращается в нуль, т. е. потери тепла с поверхности про- проволоки в результате теплообмена в точности компенсируются увеличением притока тепла, вызванного увеличением сопротивления проволоки с темпера- температурой. При таких условиях К определяется из соотношения A1.10) по данным об известных или измеримых величинах. Один из способов создания условий, соответствующих A1.12), заключается в измерении температуры vt в средней точке проволоки для случая, когда а2 < 0. В длинной проволоке температура в разных точках центрального ее участка почти одинакова, т. е. величина h2 пренебрежимо мала, и уравнение A1.4) можно записать в виде ?W <»л8> Отсюда нетрудно найти величину Нр, и тогда значение / можно выбрать таким, чтобы оно удовлетворяло A1.12). Уравнения A1.9) и A1.11) справедливы для любых значений Я; однако при использовании этих уравнений следует помнить, что Н и К за- зависят от температуры. Зависимость Н от температуры описывается сложной
154 ГЛ. IV. ЛИНЕЙНЫЙ ТЕПЛОВОЙ ПОТОК В СТЕРЖНЕ [§ 12 функцией *), и поэтому приведенными соотношениями практически можно поль- пользоваться лишь тогда, когда температура проволоки мало отличается от темпе- температуры окружающей среды **). Изменение коэффициента теплопроводности с температурой можно иссле- исследовать следующим образом [55]***): если уравнение A0.7) данной главы используется при условии A1.12), то распределение температур в проволоке записывается в виде Решение этого уравнения, для которого v = 0 при л; = 0 и г/= 2/, имеет вид #о* A + у Р") = Jp* B/ — *)/2<А. A1.15) Если vt — температура в средней точке проволоки, а (ПЛ6) представляет собой среднее значение коэффициента теплопроводности про- проволоки для всей области температур от 0 до vv то из A1.15) получим * = <11Л7> § 12. Сильно нагретая проволока, по которой протекает электрический ток Предположение о том, что обусловленная излучением потеря тепла проволокой в окружающую среду пропорциональна разности температур, справедливо лишь для слу- случая, когда эта разность мала: в противном случае следует считать, что потеря тепла элементом проволоки длиной dx в результате излучения по закону черного тела равна H'pi^—Ttydx, A2.1) где Т — абсолютная температура проволоки, То — абсолютная температура окру- окружающей среды и Н' — постоянная ****). *) Потеря тепла за счет излучения в вакуум пропорциональна разности {у4— i/q), и только приближенно ее можно принять пропорциональной v—v0 (подробнее см. следующий параграф). Справедливость выражения вида H(v —t/0) для определения потерь тепла через газовую оболочку, окружающую проволоку, рассмотрена Смо- луховским (см. § 2 гл. VII). **) Кнудсен [59] и Вебер [57] вывели формулу для случая существенного умень- уменьшения Н путем помещения проволоки в высокий вакуум. Здесь можно исходить из соотношения A1.9) и получить приближенную формулу путем разложения в ряд tgal. ***) Существует и другой метод подбора коэффициентов в этом уравнении, обеспечивающий простой вид решения. ****) На самом деле, //' представляет собой произведение постоянной Стефана — Больцмана и множителя, содержащего коэффициенты теплообмена проволоки и окру- окружающей ее среды (см. (9.10) гл. I и [20]). Величина A2.1) представляет собой теоре- теоретическую величину для излучения черного тела; лучшее приближение в случае нагре- нагреваемой проволоки получается при использовании степенного закона того же вида, (Тп— Г$), где п — постоянная, определяемая из эксперимента (см. [61, 62]). В послед- последней из приведенных работ рассматривается изменение по степенному закону электрического сопротивления и коэффициента теплообмена проволоки в зависимости от температуры; в ней обсуждаются также различные случаи, возникающие на прак- практике, например случаи длинных или коротких нитей накала. Первый интеграл урав- уравнения A2.2), соответствующий A2.4), всегда можно найти, если электрическое сопро- сопротивление и коэффициент теплопроводности проволоки изменяются с температурой по степенному закону.
§ 121 гл. iv. линейный тепловой поток в стержне 155 Тогда в случае установившегося состояния соотношение A0.1) данной главы следует заменить соотношением Рассмотрим распределение температур в проволоке длиной 2/, на концах х = 0 и^ = 2/ которой поддерживается абсолютная температура То. Достаточно рассмотреть область 0 < х < I при условии, что Первый интеграл уравнения A2.2) записывается в виде где С — постоянная, JI2 2Н'р 2N'pTi 2JI а=—гг- и Ь = __L + -——. A2.5) Пусть Tt — температура в плоскости х = I. Тогда из A2.3) и A2.4) следует, что Если Т = Т0 при лг = О, то из A2.4) получим х = J in Гг5_ т^__а^т_тМ1/2 * Отсюда, положив х = /, находим неизвестную величину Тг dT '-/¦ A2.7) Потеря тепла на концах проволоки равна ^^НП-ТЪ-Ь^-Т^. A2.8) Оказывается, что решение этой простой задачи нельзя представить элементар- элементарными функциями *). Для полуограниченной проволоки х > 0, при jc->oo d2T/dx2->0. При этих усло- условиях из уравнения A2.2) получаем, что Г->Гт, если Ясно, что в случае длинной проволоки Тт является хорошим приближением для Г/. *) Этот вопрос рассмотрен в работах [63, 64]. В работе [65] приведен график интеграла A2.7). В работе [66] даны некоторые численные результаты, полученные при помощи дифференциальных анализаторов; кроме того, в ней рассматривается влияние электронной эмиссии и изменение коэффициента теплопроводности с темпе- температурой. Этому же вопросу позднее была посвящена серия работ [67], в которых авторы нашли решения уравнений A2.7) и A2.12) в виде рядов, рассмотрели зависи- зависимость тепловых и электрических свойств от температуры и провели сравнение теоре- теоретических данных с экспериментальными.
156 ГЛ. IV. ЛИНЕЙНЫЙ ТЕПЛОВОЙ ПОТОК В СТЕРЖНЕ [§ 1$ При использовании этого приближения A2.8) принимает вид A2.10) Если То мало по сравнению с Тт, то приближенно получим A2.11) Используя выражение A2.9), можно переписать уравнение A2.2) в виде i«)-a 02-12) Приближенное решение для изменения температуры вблизи центра проволоки может быть получено путем подстановки Т' = Тт-Т, A2.13) в результате которой уравнение A2.12) принимает вид - Г'4}=0. (Ш4) Если V мало, то членами, содержащими Г'2 и т. д., можно пренебречь, и это уравнение примет вид -gl-10*7^,7" = 0. A2.15) Его решение, в котором используется величина Т\ при х = /, имеет вид *) Г = Т\ ch {(/ -х) Tm (lOaTjb]. A2.16) § 13. Установившийся поток тепла в составной проволоке Задачи по теплопроводности в составных проволоках представляют известный интерес в связи с теорией термопар и приборов для измерения тока. Здесь мы рас- рассмотрим только установившееся состояние; решения для неустановившегося состояния легко получить, воспользовавшись преобразованием Лапласа (см. гл. XII). Предположим, что участок проволоки 0 < х < а имеет коэффициент теплопро- теплопроводности /ft, плотность рь удельную теплоемкость си коэффициент температуро- температуропроводности %ь температуру vu коэффициент теплообмена Ни площадь поперечного сечения <olf периметр сечения рь р\ = Н^/К^х и коэффициент электропроводности ale Если в проволоке течет ток / а, то Pi = у/2/»^/^, где j — число калорий в 1 дж. Соответствующие величины для участка проволоки а < х < b будут снабжены индексом 2. Если проволока имеет различные площади поперечного сечения в двух выбран- выбранных нами участках, то в месте их соприкосновения мы не будем учитывать концевые эффекты, и граничные условия запишутся в виде vi = v2 A3.1) Йg A3.2) При наличии теплообмена между проволокой и средой, имеющей температуру vOf искомые дифференциальные уравнения (как и A0.1) данной главы) имеют вид d2vx ° < * < а- *<х<Ь. A3.4) Рассмотрим несколько типичных примеров. *) Соотношения такого вида используются в работах [60, 67—70J.
§ 14] ГЛ. IV. ЛИНЕЙНЫЙ ТЕПЛОВОЙ ПОТОК В СТЕРЖНЕ 157 /. Температуры в плоскостях х = 0 и х= b поддерживаются равными соот- соответственно Vx и V2. Теплообмен со средой нулевой температуры. В проволоке В р р 0 й 133 x 2 р у рур роке отсутствует ток. В этом случае при р, = р2 = v0 = 0 решения уравнений A3.3) и A3.4), которые принимают значения Vx и V2 при х = 0 и х = bt имеют вид vx = Vx ch \lxx + Л sh fXjjc, v2 « K2 ch fx2 (? — jc) + В sh fx2 F — at). Граничные условия A3.1) и A3.2) позволяют определить А и В, и мы получим окончательно vx = -j- {^2^2К2 ch fi2 (b — л) sh \lx (a — x) + f*i»i#Ci sh ц2 (^ — a) ch \lx (a — jf)> + ^Ijcf A3.5) где A = fi2a>2 /C2 sh fx,a ch fx2 (^ — a) + fx,o>i /Ci ch \*.xa sh ?х2 (г> — а). A3.6) Для i/2 получится аналогичное выражение. Температура в стыке х = а равна сле- следующей величине: 4 {V>*i sh D (* — «)+ ^2^2(о2/<:2 sh |i,a}. A3.7) 2. Температура в плоскостях х = 0 и х=Ь поддерживается равной нулю. Теплообмен со средой нулевой температуры. По проволоке тенет ток I. Темпе- Температура в стыке х = а равна sh pxa [ch jx2 (b — a) — 1] + p,#Ci»if*2 sh ?x2 (* — a) [ch ji,a — 1]}, A3.8) где А — величина, определяемая A3.6). 5. Температура в плоскости х = 0 поддерживается равной V,. Тепловой поток через плоскость х=Ь отсутствует. Ток в проволоке отсутствует. Теплообмен со средой нулевой температуры. В данном случае „ — Kx«>xpxVxchtL2(b — x) Q V2 = дТ • AЛУ) где ch p., a ch fx2 (b — a) -\- /C2(o2 fx2 sh fi,a sh fx2 (b — a). A3.10) 4. Температура в плоскости х = 0 поддерживается равной нулю. Тепловой поток через плоскость х = b отсутствует. По проволоке течет ток I. Тепло- Теплообмен со средой нулевой температуры. В данном случае t;2^^+ l 1{?m ^chM—1^ Ch^(^4 A3.11) где А' — величина, определяемая A3.10). § 14. Неустановившаяся температура в проволоке, по которой течет электрический ток Наблюдения над неустановившимся температурным полем в проволоке, по которой течет постоянный электрический ток, при наличии теплообмена на ее по- поверхности также использовались для определения тепловых и электрических кон- констант. Ниже приведено исследование, посвященное этому вопросу [41, 71—73]. Мы нашли уравнение теплопроводности A0.1) в виде dv d2v . где Ср Срсо
158 ГЛ. IV. ЛИНЕЙНЫЙ ТЕПЛОВОЙ ПОТОК В СТЕРЖНЕ [$ 14 Пусть температура среды, в которую происходит теплообмен, равна нулю, а начальные и граничные условия имеют вид v = О при t = О @ < х < /) и v = 0 при л; = 0 и х = 1. Чтобы проинтегрировать уравнение теплопроводности, мы, как обычно, сведем задачу к решению двух задач: задачи для установившейся температуры и задачи для неустановившейся температуры. Пусть v = u-\-wt где и — функция, не зависящая от времени и удовлетворяющая уравнениям и = 0 при х—0 и х = /, a w — функция х и t, удовлетворяющая уравнениям dw d2w : X - ^ —Л ад:2 <до = 0 при х = 0 и х = 1, w = — и при ? = 0. Выражение для и получается сразу в виде и —-— и I 1 —"~" ———^^^^——————— I у A4» 1) L sh {л/ J v 7 где — и д = — . Эту функцию можно разложить в ряд по синусам оо . Bп—1)пх При таком значении « сразу же получается решение уравнения для w в виде X ехр Г— vt — t П~72 ^ I • A4.2) Отсюда sh 2-| J- A4.3) Исследуя это решение, мы замечаем, что коэффициенты членов ряда для w быстро уменьшаются и при х = 1/3 или 2//3 второй член этого ряда равен нулю. Следовательно, с хорошим приближением значение v в этих
§ 15] ГЛ. IV. ЛИНЕЙНЫЙ ТЕПЛОВОЙ ПОТОК В СТЕРЖНЕ 159 точках определяется соотношением Г3 -expf-vf —*^]. A4.4) 3 v Пусть vv v2, v3 — температуры в точке x = -gl в моменты времени tv t-\-~> t-\-2x. Тогда из A4.4) получим A4.5) . A4.6) Значение установившейся температуры г;4 в средней точке проволоки равно () A4.7) Из соотношения A4.5) определим величину (v -}- kiz2/P). Подставляя эту величину в A4.6), найдем [л, а затем из A4.7) — величину Ъ. Используя найденные результаты при определении а, Ъ и jjl, найдем значения х, v и а. В исходных опытах Странео проволоку вначале нагревали током до тех пор, пока в ней не достигалось установившееся распределение температур. Если затем ток выключали в момент t = 0, то температура определялась соот- соотношением 4* у/V i sin Г ехР[ ()[() + V] n-\ Метод определения ос, v и а, описанный выше и приводивший нас к соотношениям A4.5), A4.6) и A4.7), остается по-прежнему применимым. Этими результатами можно пользоваться только в тех случаях, когда темпера- температура проволоки незначительно превышает температуру окружающей среды. При высоких температурах проволоки, когда ее тепловые потери определяются излучением по закону четвертых степеней *), уравнение теплопроводности при неустановившемся состоянии, соответствующее уравнению A2.12) данной главы, принимает вид где Т—абсолютная температура проволоки, Тт и а определяются A2.5) и A2.9) данной главы. Можно отметить следующий простой результат: в центре длинной и Т проволоки, где -^—^ пренебрежимо мало, в случае включения тока при t = 0 и при начальной температуре, равной 7*0, температура Т в момент времени t определяется соотношением § 15. Кольцо Фурье Одной из наиболее простых и показательных задач теплопроводности, в которых температура зависит только от одной координаты и от времени, является задача Фурье для кольца. Эта задача особенно интересна еще и потому, что к ней Фурье *) Недавно было проведено детальное рассмотрение данного вопроса. Обсуждался также вопрос о запаздывании наступления установившегося состояния [67, 77]. *
160 ГЛ. TV. ЛИНЕЙНЫЙ ТЕПЛОВОЙ ПОТОК В СТЕРЖНЕ [§ 15 впервые применил свою математическую теорию и для нее результаты математических исследований были сравнены с данными эксперимента [75]. Кольцо представляет собой тело малого поперечного сечения, согнутое по окружности (или по другой замкнутой кривой). Используя обозначения и предположе- предположения, принятые в § 2 настоящей главы, мы видим, что дифференциальное уравнение температурного поля в кольце имеет вид уравнения B.4), а именно: dv d*v /1K1 —™- A5Л) Пусть длина окружности кольца равна 21; тогда, выбрав начало координат в некоторой подходящей точке, мы можем решать уравнение A5.1) в области — / -< х •< /. Поскольку кольцо образует замкнутую кривую, мы не имеем граничных условий при х = ± /, но зато v должно быть периодической функцией х с пери- периодом 2/, т. е. v (лг, 0 = v (х + 2л/, *). л = 1, 2,... A5.2) I. Начальная температура f (х). Теплообмен отсутствует. Предположим, что / (х) можно разложить в ряд Фурье ^l;^ A5.3) л=0 я=1 Тогда Г ъп2п4~\ пъх .V*. Г ъпЧЧ! . mix n ехр L ~\cos ~—*" 2d n exp L—^~Js ~г л=0 я=1 удовлетворяет всем условиям задачи. Это можно доказать так же, как и в § 3 гл. III *). Решение для случая теплообмена легко получить путем подстановки v = ие ~*' в уравнение A5.1). II. Установившаяся температура; плоскости х = ± / поддерживаются при температуре V. В этом случае распределение температур должно быть четной функцией х, которая при х = ± / принимает значение V и удовлетворяет уравнению A5.1) при -? = 0. Тогда решение имеет следующий вид: где f*2 = ^- A5.6) Это выражение можно использовать для сравнения коэффициентов теплопро- теплопроводности [75] двух твердых тел при помощи метода, аналогичного методу, приведен- приведенному в § 5 данной главы. III. Кольцо с установившейся температурой, определяемой A5.5), охлаждаю- охлаждающееся в результате теплообмена со средой нулевой температуры. Положив в уравнении A5.1) v = ue~**, будем искать решение уравнения в виде периодической функции с периодом 2/ и следующим начальным значением: *) Можно также доказать, что в этом случае v и dv/dx непрерывны при jc= ±1 для t > 0, поскольку кольцо замкнуто. При t = 0 они могут не быть непрерывными.
ГЛ. IV. ЛИНЕЙНЫЙ ТЕПЛОВОЙ ПОТОК В СТЕРЖНЕ 161 Используя соотношение A5.4), находим решение в виде t/ = l n=l Соотношение A5.9) можно использовать для определения х и v из данных о темпе- температуре при х = 0 и х = 1 [31, 76]. ЛИТЕРАТУРА 1. Fox, Phil. Mag. 18, 209—227 A934). 2. Todd, J. Sci. Instr. 4, 97 A927). 3. Poynting, Thomson. Text-book of Physics, Heat, ed. 6. 4. Winkelmann, Handbuch der Physik, 2. Aufl., Bd. III. 5. Preston, Theory of Heat, ed. 3. 6. Ann. Physik, Lpz., 114, 513 A861). 7. Ann. Physik, Lpz., 123, 628 A864). 8. PhiL Mag. 25, 130 A863). 9. Phil. Mag. 26, 161 A863). 10. В о s a n q u e t, A r i s, Brit. J. AppL 5, 252—255 A954). H. Griffiths, Proc. Phys. Soc. 41, 151 A928). 12. Hagstrom, Ofvers. Vetensk. Akad. Forh., Stockh. 48, 45, 289, 381 A891). 13. Ki n g, Phys. Rev. 6, 437 A915). 14. J а к о b, E r k, Z. Phys. 35, 670 A926). 15. Lees, Phil. Trans. Roy. Soc. A208, 381 A908). 16. К a n n u 1 u i k, L a b y, Proc. Roy. Soc. A121, 640 A928). 17. В г i d g m a n, Proc. Am. Acad. Arts. Sci. 57, 80 A922). 18. В a r r a 11, W i n t e r, Phil. Mag. 49, 313 A925). 19. Barratt, Proc. Phys. Soc. 26, 347 A914). 20. McAdams, Heat Transmission, McGraw-Hill, ed. 2. (В. М а к - А д а м с, Тепло- Теплопередача, ОНТИ, 1936, перев. с 1-го изд.) 21. Jakob, Heat Transfer, Wiley, 1949. (M. Якоб, Вопросы теплопередачи, ИЛ, 1960, перев. с изд. 1957 г.) 22. Н а г р е г, В г о w n, NACA Rep. No. 158 A922). 23. В i n n i e, Phil. Mag. 2, 449 A926). 24. S с h m i d t, Z. Ver. dtsch. Ing. 70, 885, 947 A926). 25. Buec h e, S с h a u, Arch. Warmew. 17, 67 A936). 26. Gardner, Trans. ASME 67, 621 A945). 27. J a k о b, Trans. ASME 67, 629 A945). 28. Miles, J. Appl. Phys. 23, 372 A952). 29. J a k о b, Phil. Mag. 28, 571 A939). 30. Lo w a n, Quart. Appl. Math. 4, 84—87 A946). 31. Neumann, Ann. Chim. Phys. 66, 183 A862). 32. Glage, Ann. Physik D), 18, 904—940 A905). 33. Weber, Ann. Physik 146, 257 A872). 34. N e 111 e t о n, Proc. Phys. Soc. 22, 278 A910). 35. N e 111 e t о n, Proc. Phys. Soc. 25, 44 A912). 36. Somers, Proc. Phys. Soc. 25, 74 A912). 37. Owen, Proc. Lond. Math. Soc. 23, 238 A925). 38. Verdet, Theorie mecanique de la chaleur, T. II, p. 197, 1872. 39. С г a n z, Z. Math. Phys. 34, 92 A889). 40. E b e 1 i n g, Ann. Physik 27, 391 A908). 41. Weinreich, Z. Math. Phys. 63, 1 A915). 42. Fischer, Z. tech. Phys. 19, 25 A938). 43. Ann. Physik 89, 497 A853). 44. Net t let on, Proc. Phys. Soc. 29, 50 A916). 45. К i n g, Proc. Am. Acad. Arts Sci. 33, 353 A898). 46. Laws, Phil. Mag. 7, 560 A904). 47. Berg, Ann. Physik 32, 477 A910). 48. Forbes, Trans. Roy. Soc. Edin. 23, 133 A864). 49. К о h 1 г a u s с h, S. B. preuss. Akad. Wiss. 714 A899). 50. Kohlrausch, Ann. Physik 1, 132 A900). 51. С z e г m a k, S. B. Akad. Wiss. Wien 103, 1107 A894). 11 i, Карсло>, Д. Ьгер
162 ГЛ. IV. ЛИНЕЙНЫЙ ТЕПЛОВОЙ ПОТОК В СТЕРЖНЕ 52. Duncan, Pap. Dep. Phys. McGill Univ., No. 11 A900). 53. Jaeger, Diesselhorst, Wiss. Abh. phys.-tech. Reichsanst. 3, 269 A900). 54. Meissner, Ann. Physik 47, 1001 A915). 55. O'Day, Phys. Rev. 23, 245 A924). 56. Kannuluik, Proc. Roy. Soc. A131, 320 A931). 57. Weber, Ann. Physik 54, 165 A917). 58. Encyclopaedia Britannica, 11th ed. 59. Knudsen, Ann. Physik 34, 593 A911). 60. Worthing, Phys. Rev. 4, 523 A914). 61. Langmuir, Phys. Rev. 7, 151 A916). 62. L a n g m u i г, Т а у 1 о г, Phys. Rev. 50, 68 A936). 63. Cox, Phys. Rev. 64, 241 A943). 64. В а е г w a 1 d, Phil. Mag. 21, 641 A936). 65. Nagai, J. Phys. Soc. Japan 11, 329—330 A956). 66. В u s h, G о u 1 d, Phys. Rev. 29, 337 A927). 67. Jain, Kris hn an, Proc. Roy. Soc. A222, 167—180 A954); A225, 1—32 A954); A227, 141—154 A955); A229, 439—445 A955). 68. W о г t h i n g, J. Franklin Inst. 194, 597 A922). 69. Stead, J. Instn. Elect Engrs. 58, 107 A920). 70. P г e s с о 11, H i n с k e, Phys. Rev. 31, 130 A928). 71. S t г a neo, R. С Accad. Lincei 7, Sem. ii A898). 72. Schaufelberger, Ann. Physik 7, 589 A902). 73. F i s с h e r, Z. tech. Phys. 19, 105 A938). 74. W i n t e г g e г; s t, Z. angew. Phys. 2, 167 A950). 75. Fourier, Theorie analytique de la chaleur, Chaps. II et IV. 76. Neumann, Phil. Mag. 25, 63 A863).
ГЛАВА V ПОТОК ТЕПЛА В ТЕЛЕ С ПРЯМОУГОЛЬНЫМ СЕЧЕНИЕМ § 1. Введение В последних трех главах мы изучали различные задачи с линейным теп- тепловым потоком. В этих случаях температура зависела только от времени и от одной геометрической координаты. Подобные задачи можно назвать одно- одномерными. Перейдем теперь к рассмотрению случаев, в которых вектор тепло- теплового потока в каждой точке *) параллелен плоскости ху\ тогда при устано- установившейся температуре последняя будет зависеть только от х и у, а в случае неустановившейся — от х, у и t. Такие задачи мы будем называть дву- двумерными. Первой задачей теплопроводности, детально разобранной Фурье, была задача об установившемся распределении температур в бесконечном твердом теле, ограниченном плоскостями х = ± -к- те, у = О, и бесконечно прости- простирающемся в положительном направлении оси у. Граничные поверхности лг=±-о*тс поддерживаются при температуре, равной нулю, а основание у = 0 — при температуре, равной единице. При изучении этой задачи Фурье предложил разложить единицу в интервале —-^ тс < х <утс в РЯД**) — \ cos х — у cos Зл: + у cos 5л: — ... \, а затем рассмотрел вопрос о разложении производной функции в тригоно- тригонометрический ряд и получил выражение, известное теперь как ряд Фурье. Таким образом, он смог найти распределение температур в твердом теле, основание которого поддерживается при температуре v = f(x), где /(л:)—про- /(л:)—произвольная функция дг, а плоскости х= ±-~ те поддерживаются, как и раньше, при нулевой температуре. *) Здесь автор рассматривает распространение тепла в телах, неограниченных в направлении, перпендикулярном плоскости ху. (Прим. ред.) **) Ряд — I cos х —5" cos &* + "с"cos &х — • • •) Для Функции / (jc) можно полу- получить обычным путем, как ряд по косинусам, если !!¦
164 ГЛ. V. ПОТОК ТЕПЛА В ТЕЛЕ С ПРЯМОУГОЛЬНЫМ СЕЧЕНИЕМ [§ 2 § 2. Неограниченное твердое тело прямоугольного сечения. Установившаяся температура Вместо того чтобы брать задачу Фурье в том виде, в каком он ее ре- решает, рассмотрим твердое тело, ограниченное плоскостями л; = 0 и х = 1, которые поддерживаются при нулевой температуре, и плоскостью у = 0, которая поддерживается при температуре v = f(x). Предположим, что функция f(x) ограничена и удовлетворяет условиям Дирихле в интервале (О, /Mil- Уравнения теплопроводности в этом случае имеют вид U | = 0> 0<*<Z; у>0. B.1) при л; = 0, х = 1, B.2) при у = 0, 0<л;</. B.3) Кроме того, lim ^ = 0. у-»оо Начиная с разложения f(x) в ряд по синусам B.4) где B.5) рассмотрим функцию v, определяемую уравнением Так как f(x) — ограниченная функция, интегрируемая в интервале @,/), то из B.5) следует, что \ап\ < 2/1, когда |/(*)| < М в интервале @, I). Кроме того, [^]||^] при у>уо>О. где у0—произвольное положительное число. Ряд сходится, и его члены не зависят от л: и у. Таким образом, ряд B.6), рассматриваемый как функция х, равномерно сходится в любом интервале х, когда у > 0. Если же его рассматривать как функцию у, то он равномерно сходится при у >. у0 > 0. В этих интервалах сходятся также ряды, получаемые из ряда B.6) по- почленным дифференцированием по х и у.
§ 2] ГЛ. V. ПОТОК ТЕПЛА В ТЕЛЕ С ПРЯМОУГОЛЬНЫМ СЕЧЕНИЕМ 165 Таким образом, Следовательно, d2v дх2 d2v ду2 тс2 ^ I2 л п оо I2 ^^ d2v дх2 оо 1 = 1 - + 2апе-™У!1 sin п d2v Q ду2 и ряд B.6) удовлетворяет дифференциальному уравнению B.1). Кроме того, он удовлетворяет граничным условиям на плоскостях х = О и лг = /. Дей- Действительно, ряд B.6) равномерно сходится в интервале 0 <;.*<;/ и его сумма равна нулю, когда л; = 0 и х = 1; поэтому при положительном у предел v при х, стремящемся к этим значениям, равен нулю. Мы предположили, что функция f(x) ограничена и удовлетворяет усло- условиям Дирихле в * нтервале @, /). Отсюда следует, что ряд B.4) сходится и его сумма равна f(x) в каждой точке между 0 и /, в которой f(x) не- непрерывна, и у {/(jc + 0) + / (jc — 0)} во всех других точках. Из рассуж- рассуждений, изложенных в § 73 книги Карслоу [1], следует, что если v опреде- определяется рядом B.6), то lim v = f(x) в тех точках, где функция f (х) непре- у->0 рывна, и равен 2-{/(a: + 0) + /(jc — 0)} во всех других точках. Таким образом, ряд B.6) служит решением нашей задачи; его можно записать в виде B.7) поскольку ряд под интегралом равномерно сходится. Если / (х) равно единице, то решение B.6) принимает вид 2 V 1 — cos /гтс т. е. Г Bп+1)тсу-| sin ехр |^- B/г + 1) /гтсу / ъх -lsin птсл: / 4 т | Г тс (у — ix) I , 1 Г :-Im|exp[- ^? ^j+7exp[- Зтс (у — /jc) In [тс/ (х -4- /у) ] — I \ . = - lm{ In 1С B.8) B.9) B.10) •BЛ1)
1166 ГЛ. V. ПОТОК ТЕПЛА В ТЕЛЕ С ПРЯМОУГОЛЬНЫМ СЕЧЕНИЕМ [§ 2 Сопряженная гармоническая функция *) с B.11), т. е. действительная часть лога- логарифма в B.10), имеет вид Ць , /chm + cos[-=? -lln( Отсюда следует, что линии тока определяются уравнением ch(*; ch(«; они ортогональны изотермам [2] ch (ny/l) +cos (пх/1) __ ch (ny/l) — cos (**//) " consi' sh ¦ const. Соответствующая задача, но при наличии теплообмена с одной или с двух поверх- поверхностей х = 0 и х = / рассматривается, как и в § 3 настоящей главы. Рассмотрим теперь задачу об установившейся температуре в теле с сечением ш виде полосы 0 < л: < /, у > 0 и с граничными условиями v = f(y), x = 0, у>0, B.13) t/ = 0, jc=/, y>0, B.14) t/ = 0, 0 < х < U у = 0. B.15) Здесь мы используем интеграл Фурье C.8), приведенный в гл. II, вместо ряда по синусам, который был использован выше. Отметим, что при любом 5 функция (удовлетворяет дифференциальному уравнению B.1) и граничным условиям B.14) ¦ <2Л!>- Таким образом, интеграл оо j sin $y sh 5 (/ — х) F (?) dl, B.16) о где F (S) — произвольная функция, также удовлетворяет этим условиям. Если, кроме того, B.16) удовлетворяет B.13), то мы получим оо f(y) = § sin Ъу sh UF (I) dl о Отсюда, используя C.9) гл. II, находим sh «/><?) = | 6 Подставляя это значение F (?) в B.16), получим решение нашей задачи в виде оо оо v - I/" sin су *h*?yX) d\ f f (У) sin ly'dy'. B.17) 6 6 *) Определение и свойства сопряженных гармонических функций см. §§ б—9 гл. XVI. Символ Im принят для обозначения мнимой части соответствующего выражения.
3] ГЛ. V. ПОТОК ТЕПЛА В ТЕЛЕ С ПРЯМОУГОЛЬНЫМ СЕЧЕНИЕМ 167 Если мы предположим, что можно изменить порядок интегрирования, то (/)dy' f Sh^lyX) SinЬ Sin*y' dl О 6 1 . пх Г , 6 т. е. cos [«(/ - x)/l] + ch [« (y -f y')/l] \ dy'- BЛ8) Ясно, что задачи при наличии теплообмена на поверхностях у = 0 или х = I можно рассматривать тем же способом (ср. следующий параграф). Однако приве- приведенный выше анализ, из которого следует соотношение B.18), нужно считать фор- формальным и не вполне безупречным; не только изменение порядка интегрирования © B.17), но и применение C.8) гл. II налагает жесткие ограничения на функцию /(у). На самом деле они не необходимы, и более детальное рассмотрение [3] показывает, что B.18) справедливо при условии, что / (у) является функцией экспоненциального вида, т. е. | / (у) \ < Кес' у ', где Кис — положительные постоянные. Два других важных результата можно формально вывести аналогичным образом, «спользуя интеграл Фурье. Рассмотрим тело с сечением в виде неограниченной полосы О < х < /, — оо < у < оо; граничные поверхности х = 0 и х = / поддерживаются при тем- температурах f (x) и нуль соответственно. Тогда установившаяся температура равна 2/ sln I J cos[*(l-x)/l]+cb[n(y-y')/l} Для случая, когда сечение тела имеет вид полуплоскости *) х > О, — оо < у < оо, а граничная поверхность х = 0 поддерживается при темпера- температуре f (у), установившаяся температура равна ^^ B-2°) § 3. Установившаяся температура в неограниченном теле прямоугольного сечения 0<JC<a, Здесь требуется найти решение следующего дифференциального урав- уравнения: -^+-^ = 0, 0<*<а, 0<у<*, C.1) причем граничные условия зависят от рассматриваемой задачи. I. Граничная поверхность у = 0 поддерживается при темпера- температуре f(x), другие поверхности — при нулевой температуре. В данном случае граничные условия запишутся следующим образом: v = f(x), y = 0. 0<*<а, C.2) v = 0, x = a, 0<y<b. C.5) *) Установившаяся температура в полуплоскости ;с>0, — оо<<у<оо ив чет- четверть плоскости х > 0, у > 0 рассматривается в [4].
168 ГЛ. V. ПОТОК ТЕПЛА В ТЕЛЕ С ПРЯМОУГОЛЬНЫМ СЕЧЕНИЕМ [§ 3 Как и в предыдущем параграфе, запишем f(x) в виде ряда по синусам C.6> оо /1=1 где а j f{x')sxn^fdx'. C.7) О Теперь для любого п член вида h (»->>** C.8) удовлетворяет соотношениям C.1), C.3), C.4) и C.5). Таким образом, нам нужно рассмотреть выражение Sl" (^^/Д) sh К* У) **/*] /о ov sh я=1 где ал определяется C.7). Доказательство того, что C.9) удовлетворяет v3.1)—C.5), можно провести точно так же, как и в предыдущем параграфе*)» Если f(x) равно постоянной величине V, то C.9) примет вид sin lBn + 1) пх/а] sh [(b - у) Bя + 1) ж/а] п ш ^ тс Если некоторые другие граничные поверхности тела прямоугольного се- сечения также поддерживаются при заданной температуре, то решение можно получить путем комбинации решений вида C.9). II. Граничная поверхность у = 0 поддерживается при темпера- температуре f(x). Тепловой поток через поверхности у = Ь и лг = О отсут- отсутствует. На поверхности х = а происходит теплообмен со средой ну- нулевой температуры. В данном случае граничные условия имеют вид v = f(x), y = 0. 0<x<a, C.11) ^-=0, y = b. 0<*<a, C.12) »J = 0. jc = O, 0<y<^, C.13) |^-f/w=0, x = a9 0<y<b. C.14> Выражение cos ax ch a (b — у) удовлетворяет C.1), C.13) и C.12) при любом а. Оно также удовлетво- удовлетворяет C.14), если а служит корнем уравнения h. C.15> *) Требуется, чтобы —Ц_-р—,, , было меньше 2e~nnyfat если п больше не- J sh [nnb/a] которого фиксированного п0. Тогда ход доказательства окажется точно таким же, как и в предыдущем параграфе.
§ 3] ГЛ. V. ПОТОК ТЕПЛА В ТЕЛЕ С ПРЯМОУГОЛЬНЫМ СЕЧЕНИЕМ 169> Корни ап этого уравнения при п= 1, 2, ... рассматривались в § 10 гл. III. Если теперь мы предположим, что / (х) можно представить в форме, анало- аналогичной уравнению A0.9) гл. III, то решение нашей задачи примет вид где ал — положительные корни C.15). Если f(x) = V= const, то оно запишется в виде cos « *. ch К F - У)] ^ л Из соображений симметрии следует, что это выражение служит также решением для тела с сечением — a<Jt<a, 0 < у < 2?, когда граничные поверхности у = 0 и у = 2Ь поддерживаются при температуре V, а на поверхностях х = — а и х = а происходит теплообмен. III. Граничная поверхность у = (X поддерживается при температуре f (х). Тепловой поток через поверхность х = 0 отсутствует. На поверхностях х = а и у = Ь происходит теплообмен со средой нулевой температуры. В данном случае граничными условиями служат C.11), C.13), C.14) и -1^ + ^ = 0, y = bt o<x<a. C.18> Выражение cos а х {a ch [а (Ь — у)] -f- h sh [a (b — у)]} удовлетворяет C.1), C.13> и C.18) для всех значений а. Поступая так же, как и в примере II, находим решение в виде где (хп — положительные корни C.15). Если / (х) = V = const, то C.19) принимает вид = 2ДК V COS апХ {ап Ch ап (Ь — у) + h sh ал (^ — у)} Это выражение представляет собой решение для тела с сечением — а < х < а>. 0 < у < by когда плоскость у = 0 поддерживается при постоянной температуре V и имеет место теплообмен на других поверхностях со средой нулевой температуры. Это решение использовалось при изучении распределения температур в охлаждаю- охлаждающих ребрах конечной толщины [5, о]. Соответствующая задача для тонкого ребра* рассмотрена в § 6 гл. IV, а для ребра, имеющего форму прямоугольного парал- параллелепипеда, — в § 2 гл. VI. IV. Граничная поверхность у = 0 поддерживается при температуре / (х% поверхность у = b — при нулевой температуре. Тепловой поток через х = 0 отсут- отсутствует. На поверхности х = а имеет место теплообмен со средой нулевой тем- температуры. В данном случае решение имеет вид — у) 1 где ап — положительные корни уравнения C.15). Если / (х) = V = const, то наше решение примет вид v = 2hV anb
170 ГЛ. V. ПОТОК ТЕПЛА В ТЕЛЕ С ПРЯМОУГОЛЬНЫМ СЕЧЕНИЕМ [§ 4 Это выражение представляет собой решение для тела с сечением — а < х < а, 'О < у < Ь, когда граничная поверхность у = 0 поддерживается при температуре У, у = 6— при нулевой температуре и на поверхностях х=±а имеет место тепло- теплообмен. Если поверхность у = 0 поддерживается при температуре К, у = b — при темпе- температуре У2, а на двух других поверхностях происходит теплообмен со средой нулевой температуры, то решение принимает вид по 'Ух sh ап (Ь — у) -f- V2 sh апу] cos ап х [(ал + ^2) я + /г] cos ana sh anb V. Случай различной теплопроводности в направлениях х и у. Этот случай, который часто встречается в инженерной практике, можно рас- рассматривать путем простого распространения метода, изложенного выше. Предполо- Предположим, что теплопроводность в направлении х в k2 раз больше, чем в направлении у, где k2 — постоянная. Тогда уравнение C.1) заменяется уравнением -й Как и в разобранном выше примере I, член вида sin sh — C.25) а а удовлетворяет C.24) и заменяет C.8), Тогда решение этой задачи, соответствующее C.9), примет вид оо sin(mc*:/a) sh [k (b — у) пп/а] ,3 2g\ пп sh (knnb/a) § 4. Тонкая пластина с прямоугольным сечением при наличии теплообмена на ее поверхности Предположим, что исследуемая пластина лежит в плоскости лгу, причем ее тол- толщина D в направлении оси z настолько мала, что температуру по толщине пластины можно считать постоянной. Пусть Н—коэффициент теплообмена материала пластины, К—его коэффициент теплопроводности, р — плотность и с — удельная теплоемкость. Тогда, как и в § 2 предыдущей главы, дифференциальное уравнение температурного поля в пластине имеет вид d2v d2v pc dv 2H где v0 — температура окружающей среды. В случае установившегося состояния это уравнение для пластины прямоуголь- прямоугольного сечения можно решить методами, изложенными в двух предыдущих параграфах. Например *), рассмотрим установившуюся температуру в пластине с сечением 0<лг<я, 0 < у <Ь при теплообмене на поверхности со средой нулевой темпе- температуры в случае, когда кромка у = 0 поддерживается при температуре f (лг), а другие кромки — при нулевой температуре. Пусть *2=w- D-2) Тогда уравнение D.1) примет вид -г-^- + —\ — k2v = 0, 0 < х < а, 0 < у < b D.3) лри условиях v==f(x), у = 0, 0<х<а, D.4) v = 0, у = bt 0 < х < а, D.5) v = 0, х = 0, 0 < у < Ь, D.6) t/ = 0, x = a, 0<y<h. D.7) *) Другие задачи и методы рассмотрены в статье талкина [7].
§ 5] ГЛ. V. ПОТОК ТЕПЛА В ТЕЛЕ С ПРЯМОУГОЛЬНЫМ СЕЧЕНИЕМ 171 Выражение , пкх и tu Jl2 i л2*2l'/2 л с sin-^-.shF —у)[*2Н—^2—J . "=1,2, ... D.8) удовлетворяет D.3), D.5), D.6) и D.7). Если предположить, как и в предыдущем пара- параграфе, что f (х) можно разложить в ряд JLTS^x, D.9) л = 1 О то решение примет вид 2 у sin (пкх/а) sh (b - у) (k* + вУ/д«)'А с шх п — 1 О § 5. Установившаяся температура в теле прямоугольного сечения —а <лг<а, — Ь <у < 6 при наличии источника тепла Задачи данного типа имеют важное практическое значение *), так как многие виды электрических обмоток можно приближенно рассматривать как цилиндры с пря- прямоугольным сечением [8]. Здесь мы проиллюстрируем применение методов, изложен- изложенных в § 3 настоящей главы. Можно также использовать функцию Грина, как и в § 2 гл. XVI. Во многих задачах подобного вида коэффициенты теплопроводности в напра- направлениях х и у различны и в данном случае мы будем считать их равными К и (K/k2), где k — постоянная. I. Мощность источников тепла в теле прямоугольного сечения равна постоян- постоянной величине Ао\ теплоотдача в среду нулевой температуры через граничные поверхности jc= ±a с поверхностным сопротивлением R на единицу площади и через поверхности у = ±Ь с поверхностным сопротивлением R' на единицу площади. Дифференциальное уравнение имеет вид d*v 1 дЧ Ао - п Ix^ + W W = ~~~K" ( } Выражение ап cos an x ch kyan E.2) удовлетворяет E.1) и граничным условиям при х = ±а, если ая(лз=1,2, ...) являются положительными корнями уравнения Граничные условия при у = ±Ь требуют, чтобы с» ап cos ап х [k~l KR'an sh kban + ch kban] = - aRA0 - A° {а^~ ^ . E.4) *) В работе [9] рассматривается более общая задача о теплопередаче в случае различных поверхностных сопротивлений всех четырех поверхностей и различных температур сред, в которые происходит теплообмен. На практике рост температуры достаточно велик, чтобы изменения теплопроводности и мощности источников с темпера- температурой оказались значительными. Данный метод применим в случае линейной зависи- зависимости мощности от температуры типа Ао A-J-at/). Изменение теплопроводности с температурой можно учесть, вводя вместо v переменную 8 из уравнения F.10), приведенного в гл. I (см. также [10]). В работе [11] рассматривается более сложное граничное условие. Вопрос о • тороидальных катушках с прямоугольным сечением разобран в [12].
172 ГЛ. V. ПОТОК ТЕПЛА В ТЕЛЕ С ПРЯМОУГОЛЬНЫМ СЕЧЕНИЕМ da v = aRA Тогда ап находят из соотношения A0.9) гл. III, и мы получим окончательно А0(а*-х*) 4А Sin aan cos xan ch kyan sh kbaa] ' ' ' II. Мощность источников тепла в теле прямоугольного сечения равна постоянной величине Ао. На граничных поверхностях х = ±я, у = ±Ь поддер- поддерживается нулевая температура _ Ао (а2 — х2) 16Л0л2 V 2/С /С^3 [B/г ch [Bn Bn+\ych[Bn-\-\)nkb/2a] § 6. Неустановившееся состояние. Решение в виде произведения решений В § 15 гл. I отмечалось, что для начальных и граничных условий опре- определенного типа решение задач с несколькими переменными можно записать в виде произведения решений одномерных задач. В двумерном случае началь- начальная температура должна выражаться как произведение f(x)f(y), а гранич- граничными условиями должны служить условия нулевой температуры, нулевого потока или теплообмена со сре- 2.0 \- , дой нулевой температуры. Здесь мы рассмотрим только случай постоянной начальной тем- температуры, являющийся практиче- практически наиболее важным. Решения для случаев нулевой начальной температуры и температуры, рав- равной единице на граничных поверх- поверхностях тела (или теплообмена со средой, имеющей на этих поверх- поверхностях температуру, равную еди- единице), всегда можно получить пу- путем вычитания решений, приво- приводимых ниже, из единицы. I. Прямой угол с сечением в виде квадранта х > 0, у > Q и с начальной температурой* равной единице. Решение для полуограничен- полуограниченного тела х > 0 с начальной тем- температурой, равной единице, и ну- Рис. 21. Изотермы с/= 0,1, 0,2 0,9 для тела с сечением в виде квадранта, с началь- начальной температурой, равной единице, и нулевой температурой поверхности. левой температурой поверхности л; = 0 (см. D.3) гл. II) имеет вид F.1) Следовательно, решение для тела с сечением в виде квадранта х > 0, у > 0, с начальной температурой, равной единице, и нулевой температурой граничной поверхности записывается следующим образом: F.2)
§ 6] ГЛ. V. ПОТОК ТЕПЛА В ТЕЛЕ С ПРЯМОУГОЛЬНЫМ СЕЧЕНИЕМ 173 На рис. 21 показаны изотермы, соответствующие значениям v, равным О, 0.1. 0,2 0,9. Для тела, ограниченного плоскостями, пересекающимися под прямыми углами, решение F.2) приближенно справедливо вблизи любого внешнего угла. Тепловой поток в точке @, у) граничной поверхности равен К ф* УЧШ он меньше теплового потока для полуограниченного твердого тела х > 0 на величину 2 Y ti I' Таким образом, величина потери тепла телом в единицу времени на единицу длины перпендикуляра к ограничивающим плоскостям меньше коли- количества тепла, теряемого полуограниченным твердым телом, на величину F.3) при вычислении интеграла использовалась формула A5) приложения 2. Если тело с сечением х > 0, у > 0 имеет начальную темпера- температуру, равную единице, и на его граничных поверхностях происходит теплообмен со средой нулевой температуры, то температура будет равна . у), F.4) где ср(/г, л:)—величина, определяемая G.1) гл. II, а именно У^у F.5) II. Полуограниченное тело прямоугольного сечения — / < х < /, ))>0 с начальной температурой, равной единице. Если граничные поверхности х = ± I поддерживаются при нулевой тем- температуре, то соответствующее одномерное решение имеет такой же вид, как и C.8) гл. III, т. е. О2 ъЧ 1 ^—J cos V • <6-6> Если же на этих поверхностях происходит теплообмен, то соответ- соответствующее решение имеет такой же вид, как и A1.12) гл. III, т. е. <*. U h) = У .., 2*C0Sa"f Г""', F.7) где ап — положительные корни уравнения a tg а/ = Л. Если на всех граничных поверхностях поддерживается нулевая темпе- температура, то решение имеет вид
174 ГЛ. V. ПОТОК ТЕПЛА В ТЕЛЕ С ПРЯМОУГОЛЬНЫМ СЕЧЕНИЕМ 1§б Если на всех поверхностях происходит теплообмен со средой нулевой температуры, то (xt /, h). F.9) Если на поверхности у = 0 происходит теплообмен со средой нулевой температуры, а поверхности х = ± / поддерживаются при нулевой темпера- температуре, то г; = ср(/г, y)ty(x, I) F.10) и т. д. III. Неограниченное тело прямоугольного сечения —/<#</, — ^<У<^ с начальной температурой, равной единице. В этом случае решения соответствующих одномерных задач определяются из F.6) и F.7). Если все граничные поверхности тела поддерживаются при нулевой тем- температуре, то решение имеет вид v = ty(x, /)ф(у, Ь). F.11) Значения функций ф(х, /) можно найти из рис. 11; тогда легко построить изотермы для любого момента времени. На рис. 22 и 23 изображены изотермы 0.9 Рис. 22. Изотермы v = ОД, 0,2 0,9 для тела с сечением в виде квадрата со стороной 2/, с начальной темпера- температурой, равной единице, и нулевой температурой поверхности: **//* = 0,08. Рис. 23. Изотермы v = 0,1, 0,2 0,9 для тела с сечением в виде прямо- прямоугольника со сторонами 2/, 4/, на- начальной температурой, равной еди- единице, и нулевой температурой по- поверхности: -till2 = 0,08. г; = 0,1, 0,2 0,9 при х///2 = 0,08 для тел с квадратным и прямо- прямоугольным сечением, у которых b = 2L Аналогичным образом, если на граничных поверхностях тела происходит теплообмен со средой нулевой температуры, то решение имеет вид % К). F.12) Как отмечалось в § 15 гл. I, для твердого тела с различными коэф- коэффициентами температуропроводности в направлениях х и у и различными коэф- коэффициентами теплообмена на различных граничных поверхностях, решения по-прежнему можно записать таким же образом.
§ 7] ГЛ. V. ПОТОК ТЕПЛА В ТЕЛЕ С ПРЯМОУГОЛЬНЫМ СЕЧЕНИЕМ 175 § 7. Неустановившееся состояние. Произвольные начальные и граничные условия Как и в § 14 гл. I, общую задачу можно свести к задаче установив-. шейся температуры, какой-то заданной начальной температуры и нулевой, температуры граничной поверхности (или теплообмена со средой нулевой температуры). Если начальная температура представляет собой произведение функций х и у, то, как и выше, решение можно записать в виде произве- произведения; в противном случае следует использовать теорию двойных рядов Фурье и решение примет вид двойного ряда. Этот метод будет детально рассмотрен, для прямоугольного параллелепипеда в §§ 3 и 6 следующей главы. Кроме того, в §§ 4 и 5 гл. XIV мы покажем, что для той же цели можно приме- применить функцию Грина *). Общий обзор применяемых методов приведен в § 1 следующей главы. ЛИТЕРАТУРА 1. Carslaw, Fourier's Series and Integrals Macmillan, ed. 3, 1930. 2. Fourier, Theorie analytique de la chaleur, § 205. 3. Titchmarsh, Fourier Integrals, Oxford, 1937, §10.11. (Э. Т и тч м а р ш, Введе- Введение в теорию интегралов Фурье, Гостехиздат, 1948, перев. с 1-го изд.) 4. К а г u s h, J. Appl. Phys. 23, 492—494 A952). 5. Н а г р е г, В г о w n, NACA Rep. No. 158 A923). 6. A v r a m i, L i 11 1 e, J. Appl. Phys. 13, 255 A942). 7. M a 1 k i n, J. Franklin Inst. 232, 129 A941). 8. Cock r of t, Proc. Camb. Phil. Soc. 22, 759—772 A925). 9. H i g g i n s, Elect. Engng 64, 190—194 A945). 10. J a k о b, Trans. ASME 65, 593—602 A943). 11. Buchholz, Z. angew. Math. Mech. 14, 285—294 A934). 12. Higgins,J. Franklin Inst. 240, 97—112 A945). 13. Low an, Phil. Mag. 24, 410 A937). *) В работе [13] приводится ряд решений, полученных при помощи преобразовав ния Лапласа.
ГЛАВА VI ТЕПЛОВОЙ ПОТОК В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДЕ § 1. Введение Лучше всего исследованы трехмерные задачи теплопроводности для областей, ограниченных координатными поверхностями прямоугольной, цилин- цилиндрической и сферической систем. В случае радиального потока тепла б цилиндрах и сферах решение содержит лишь одну пространственную пере- переменную и время; такие задачи рассматриваются в гл. VII и IX. В настоящей главе и в гл. VIII мы обсудим задачи для прямоугольного параллелепипеда « ограниченного цилиндра, т. е. задачи, в которых приходится рассматривать две или большее число пространственных переменных. Поскольку решения можно найти несколькими различными путями, на данном этапе желательно рассмотреть различные методы и соотношение между ними. 1. Наиболее просты и в то же время наиболее важны для нас задачи, решения которых можно выразить, как и в § 15 гл. I, в виде произведения решений одномерных задач. Основным является случай, когда начальная температура равна единице и температура поверхности равна нулю (или происходит теплообмен со сре- средой нулевой температуры); решив эту задачу, легко найти решение для случая нулевой начальной температуры и температу>ы поверхности, равной единице, а использовав теорему Дюамеля, —pi ш ние для температуры ловерхности, равной ср(О- 2. Используя кратные ряды Фурье или их обобщения, можно исследо- исследовать случай произвольных начальных и поверхностных температур. 3. Использование функции Грина (см. гл. XIV) также позволяет найти полное решение общей задачи для произвольной начальной и поверхностной температур. Для простых случаев, указанных в пункте 1, после некоторого упрощения получается такое же решение. Кроме того, применяя функцию Грина, легко найти решения для случая, когда количество тепла, выделяю- выделяющееся в твердом теле в единицу времени, является заданной функцией поло- положения и времени. 4. Непосредственное применение метода преобразования Лапласа (см. § 11 гл. XV) особенно полезно тогда, когда некоторые из граничных поверхностей поддерживаются при температурах, являющихся простыми функциями времени, const, kt, sin (at и т. д. В таких случаях результаты, найденные методами 2 и 3 (и методом 1, если температура поверхности непостоянна) в виде инте- интегралов, можно получить суммированием частных решений. В настоящей главе мы применим первые два из приведенных выше мето- методов к задачам для прямоугольного параллелепипеда. Кроме того, в § 5 гл. XIV и § 11 гл. XV мы рассмотрим аналогичные задачи другими методами.
§ 2] ГЛ. VI. ТЕПЛОВОЙ ПОТОК В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДЕ 177 Теплопроводность в твердых телах простой геометрической формы, например тел в виде прямоугольного параллелепипеда и ограниченного цилиндра, представляет большой интерес, поскольку такие твердые тела часто встречаются на практике (мясные консервы, ящики с фруктами). В более старых методах определения теплопроводности плохих проводников также использовались образцы в виде куба, сферы и ограниченных цилиндров; описанный выше метод для стержня непригоден, поскольку количество тепла, теряемое в результате теплообмена с поверхности плохо проводящего стержня, может оказаться больше потери тепла вдоль стержня. § 2. Установившаяся температура В настоящем параграфе мы рассмотрим задачи, в которых одни гранич- граничные плоскости твердого тела поддерживаются при постоянной температуре, тогда как на других плоскостях температура равна нулю или же происходит теплообмен со средой нулевой температуры. В более сложных случаях, в которых температуры граничных поверхностей являются заданными функ- функциями положения, можно воспользоваться, как и в § 4 данной главы, теорией двойных рядов Фурье. I. Твердое тело 0 < л; < я, 0 < у < ?, 0 < z < с. Температуры плоскостей х = 0 и х = а постоянны и равны соответственно v1 и v2\ другие плоскости поддерживаются при нулевой температуре. В этом случае дифференциальное уравнение для температуры тела имеет вид Ясно, что выражение vx sh / (а — х) + v2 sh lx mizy nizz ЙГЙ sin-j-sin— B.2) удовлетворяет B.1) при условии, что ?)». B-3) Кроме того, если т и п — целые числа, то B.2) обращается в нуль при у — 0иу = Ьк при z = 0 и z = c. Выражение оо оо \^ V1 л V]Shl(a — xL-v2shlx . mizy . nnz o .ч v=2u lAn.n-J sh/a sin-^s.n— B.4) m =1 /i = l имеет те же свойства; кроме того, оно равно vl при л; = 0 к v2 при х = а, если *) E4-..^ln^L=l. B-5) т — \ л=1 *) Для строгости рассуждений необходимо доказать возможность почленного дифференцирования двойного ряда для v. Это же замечание относится и к другим задачам, разбираемым в данной главе. См. выше, § 3 гл. III и работы [1, 2]. 12 Г. Карслоу, Д. Егер
178 ГЛ. VI. ТЕПЛОВОЙ ПОТОК В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДЕ [§ 2 Далее, разлагая единицу в ряд по синусам в интервале (О, Ь), получим *) 1 — ± V sin[B/7+lOuy/6] 1— «^ 2/7+1 • ^-°' Аналогично 1 _4у sln[By+l)«/c] 2q+l К } Перемножая B.6) и B.7), получим 1-iiV V sin [B/7 + 1) *у/Ь] sin [{2q + 1) nz/e] 9 1 - ъ* Zd Lk B/7+1) B?+1) ' {Z'b) Сравнивая B.8) и B.5), мы видим, что величина Лтп должна равняться нулю, если и /71 и л не являются оба нечетными; в этом' случае величина А должна равняться \6/к2тп. Таким образом, мы можем окончательно запи- записать B.4) в виде „ _ 16 V V К sh / (а - х) + v2 sh lx] sin [B/7 + 1) %y/b] sin [Bq + 1) nz/c] V—~^2uZu Bp+\)Bq+\)shla ' K^} где /2=Bp+l)^ + Bg-M)^ B10) II. Установившаяся температура в твердом теле 0 < х < ау — b < у < Ь, — с < z < с. Температуры плоскостей х = 0 а л: = а поддерживаются при vx и v2 соответственно, а на других происходит теплообмен со средой нулевой тем- температуры. В этом случае граничные условия имеют вид д%) •——^— —— /tt/ —~ Q Выражение г при при при х — и; У = -Ь; г — х) + v2 д%) ~ду~+ V = ~+hv = 0 sh /jc o cos ary cos Э, при при при x — a; y = b; z=c. B.12) B.13) B.14) удовлетворяет уравнению теплопроводности при условии, что ? = 4 + & B-15) Оно удовлетворяет также граничным условиям B.12) и B.13), если аг является корнем уравнения atgab = h, B.16) a $s—корнем уравнения р tg Рс = Л. B.17) Таким образом, решение нашей задачи записывается в виде со оо л »ish/(a — x)-\-v2shlx D ._ 1Ov rs sh la C0S "гУ C0S P^; BЛ8) Г=1 5=1 *) Этот прием в данном случае позволяет избежать использования двойных рядов Фурье. Последние следует применять в тех случаях, когда температуры поверх- поверхности являются произвольными функциями у и z (см. § 3 данной главы). Известно, что ряд B.8) сходится [3].
§ 2] ГЛ. VI. ТЕПЛОВОЙ ПОТОК В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДЕ 179 при этом постоянные Ars должны быть выбраны так, чтобы оо оо 2 2 Ars cos атУ cos $sz = 1. B.19) Далее, если аг и Р5 — положительные корни соответственно B.16) и B.17), то, используя соотношение A0.10) гл. III, получим cos агУ , у cos Перемножая эти выражения, получим V V 4/г2 cos ary cos T T 2 Как и прежде, Л^ в B 18) находят путем сравнения B.19) и B.22). Тогда B.18) окончательно записывается в виде 4ft2 [t>i sh / (д — х) + р2 sh lx\ cos afy cos $sz 2 где / определяется из B.15). Это решение не очень удобно для численного расчета или для определения теплопроводности [4]. III. Установившаяся температура в твердом теле 0 < х < а, — Ь < у < b — с < z < с; плоскость х = 0 поддерживается при постоянной температуре V, а на других плоскостях происходит теплообмен со средой нулевой температуры. В данном случае граничные условия имеют вид B.12) и B.13) и v = V, х == 0; B.24) -jg- + /it/ = O, x = a. B.25) Выражение, соответствующее B.14), имеет вид т. hshl(a — xL-lchl(a — х) о /оос, V hsbal + lchal ~ COS а'У C0S ^ B'26) где / определяется из B.15), а аг и р5 — положительные корни B.16) и B.17). Поступая так же, как и в пункте II, мы получим окончательно 4h2V[hshl(a — x) + lchl(a — x)] cos ary cos Рддг Это выражение является обобщением решения двумерной задачи о коротком охла- охлаждающем ребре (см. C.20) гл. V). IV. Задачи для неограниченного твердого тела прямоугольного сечения рассма- рассматриваются тем же способом (ср. также § 2 гл. V). Например, рассмотрим твердое тело л:>0, — Ь < у <Ь, — с < z < с, причем его плоскость х = 0 поддерживаете^ при температуре V, а на других плоскостях происходит теплообмен со средой нулевой температуры. 12*
180 ГЛ. VI. ТЕПЛОВОЙ ПОТОК В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДЕ [§ 3 В данном случае выражение, соответствующее B.14), имеет вид Ve~lx cos ary cos p^, B.28) и окончательно получим оо оо v=4H*vY У *-" cos ary cos Г = 1 5=1 где ог, $s и / определяются соответственно из B.16), B.17) и B.15). § 3. Двойные и кратные ряды Фурье При обычном формальном рассмотрении (см. [5], § 90) ряда Фурье функции одной переменной / (л:), определенной в интервале (— /, /), предполагается, что / (х) можно разложить в ряд [ап cos -^ + Ьп sin^). C.1) При этом коэффициенты а0, ап, Ьп получаются в результате умножения C.1), соот- соответственно, на единицу, cos (ппх/l) и sin (ппх/1) и почленного интегрирования полу- полученных рядов *). Таким образом, используя выражения i /тпх а ппх , л F тпх ппх , л sin—у— sin—y-dx = 0, / cos—-—cos —j— dx = 0, т ф п, C.2) i /sin m*X cos -^^- dx = 0, C.3) sin—j—\ dx= cos~7— dx = l, m=l, 2, ..., C.4) находим, что bn=-f J f (*') sin irij— d*'- C.5) Эту формальную теорию нетрудно превратить в строгую путем тщательного исследования ряда в правой части уравнения C.1) с коэффициентами, определяе- определяемыми C.5). При этом оказывается, что если f (х) удовлетворяет определенным усло- условиям, например условиям Дирихле (см. [5], § 93), то этот ряд сходится и его сумма равна f (х) в каждой точке интервала, в котором функция /(х) непрерывна, и -j < /C* + O)-{-/(je — 0) > во всех других точках. Формальную теорию двойных и кратных рядов Фурье развивают точно таким же образом. Предположим, что мы имеем функцию / (х, у), определенную в прямоуголь- *) Здесь следует допустить, что ряд C.1) сходится равномерно. (Прим. ред)
§ 3] ГЛ. VI. ТЕПЛОВОЙ ПОТОК В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДЕ 181 нике — а < х < а, — Ь < у < Ь. В этом двумерном случае функции sin sin—т^-; /и=1, 2, ...; л =1,2,... а о , тъх ппу л о л , sin cos ,J ; т= 1, 2, ...; л = 0, 1, ... а 6 cos sin ' ; /и = 0,1,...; л=1, 2, ... а 0 0 4 rf"V C.6) составляют ортогональную систему; они обладают свойствами, аналогичными C.2), C.3) и C.4), т. е. интеграл по прямоугольнику от произведения любых двух различных функций равен нулю, а интегралы от их квадратов равны а ft aft / sin sin —г*- dx dy = / / : -e -ft -a - aft C.7) /• Г Г /илл: . ятеу I2 . . Г Г Г ^^ Л7СУ I2 ^ ^ / / cos sin , dx dy = / / cos cos , dxdy =¦ ab —e —ft -a -ft для m > 1, л > 1. Если л = 0 во втором, /и = 0в третьем или либо /и = 0, либо л = 0 в последнем из этих интегралов, то искомый результат оказывается вдвое больше; если т = л = 0 в последнем интеграле, то его величина равна 4ab. Разложение функции f(x, у), аналогичное C.1), имеет вид оо оо оо оо /(-^. У)== 2а 2а Ат>п*1п—— sin-^-+ 2a 2а ОО ОО ОО ОО VI VI _ тпх ппу ov 2а 2а Вт>п cos ~Гcos ~Т-' C*8) т=0 л=1 т«0 л=0 Чтобы найти коэффициенты ряда, умножим обе части C.8) на одну из функ- функций C.6) и проинтегрируем в пределах от — а до а по л: и от — b до b по у, В этом случае, используя C.7) и учитывая, что все другие двойные интегралы от произведе- произведений функций C.6) обращаются в нуль, находим а ь Am, п = -?ь J J f(x> У) sin —— sin —Z- dx dy; -a -ft a ft ./ 1 Г С ,, ч . тпх Am n — —Г / / / (X* У) Sin COS "'» n ab J J a -a -ft a ft m,n = -ab J J C0S ~^" Sin -a -ft a ft 1 /' Г jt , Ч тПХ П%У J J /O nv >n = ~ri J J f(x* y) cos "~^~cos ь dx dy' C*9) -a -ft Коэффициенты Лт> 0, B^ n, BOf л, Bm 0 равны половине, а 5о,о — одной четвер- четвертой от приведенных выше величин. В основном мы будем рассматривать случай, в котором f(x, у) является нечет- нечетной функцией как х, так и у; тогда все коэффициенты Ат д, В'т п и Втя
182 ГЛ. VI. ТЕПЛОВОЙ ПОТОК В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДЕ [§ 3 обращаются в нуль. Отсюда следует, что *' y) = Zi 1 Am>nsin^Tsin ь~• (ЗЛ0) m=l л=1 где a b Am'n==!ibJ I f(x'>y')sin—a—s\n—^-dxfdy'y C.11) о 6 что аналогично ряду Фурье по синусам. Точно так же, если / (х, у, г) определена в интервалах — а < х < а, —b < у < Ь, — c<z<c и является нечетной функцией х, у и г, то мы получим тройной ряд по синусам оо оо оо А г 1%Х • ^^У , П%2 /О 1ОЧ и т> п тsin ~тг sin "г* * ( J /=rl m=l л=1 где а Ъ с Аи т, п = ? f f f /(.', /, г') sin ^1 sin «yl sin «Hi ^ rf/ rf,'. C.13) 0 0 0 Если / (л:, у, г) — четная функция х, у и г, то тем же способом мы получим ряд по косинусам. Задачи, в которых встречаются кратные ряды Фурье, можно рассматривать и другим способом; мы воспользуемся им в гл. VIII, где нам придется иметь дело с комбинацией рядов Фурье и рядов Фурье — Бесселя. Рассмотрим, например, слу- случай, в котором / (jc, у) является нечетной функцией х и у в интервалах — а < х < а, — Ь < у < Ь. Для любого фиксированного у в интервале — b < у < b, f (x, у) является нечетной функцией х и, следовательно, ее можно разложить в ряд по синусам оо / (*. у) = 2 ««• (у) sin "^ • <ЗЛ4> т = 1 где коэффициенты а ат (у) = 1 //(*', у) sin ^l rf*' C.15) 6 зависят теперь от у. Они являются нечетными функциями у в интервале — b < у < Ь, и следовательно, их можно разложить в ряд ^т,пв\п^, C.16) где 6 0 0 C.17) Таким образом, окончательно находим f . ппу , sin sin —г- где Лш, л — коэффициент, определяемый C.17), что находится в соответствии с C.10) и C.11). Все другие случаи можно рассматривать аналогичным образом. Так же можно поступать и при разложении функции нескольких переменных в ряд по функциям, приведенным в §§ 9, 10 гл. III. Теперь мы можем записать решения задач, приведенных в § 2 данной главы, в которых температуры поверхности являются функциями положения на поверхности.
§ 4] ГЛ. VI. ТЕПЛОВОЙ ПОТОК В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДЕ 183 Возьмем задачу I предыдущего параграфа. Рассмотрим установившуюся тем- температуру в твердом теле О < х < а, 0 < у < Ь, О < z < с, граничная поверхность которого х = 0 поддерживается при температуре f (у, г), а другие поверхности— при нулевой температуре. В этом случае выражение sh / (а — х) . тпу . пт ,« ,ftv X ai sin~irsin— <ЗЛ8> удовлетворяет дифференциальному уравнению нашей задачи, если w+J^)%t-- (ЗЛ9) кроме того, C.18) должно обращаться в нуль на всех поверхностях твердого тела, за исключением х = 0. Далее, если / (у, z) можно представить в виде ряда по синусам (ЗЛО), то реше- решение задачи будет иметь вид C.20) Oil U.I UK, m=l /i = l где b с Amtn=-j— / / / (y't zf) sin m%J sin -^- rf/ dzf. C.21) о о § 4. Неустановившаяся температура. Решение в виде произведения решений Решения ряда важных задач можно записать, как и в § 6 предыдущей главы, используя метод, изложенный в § 15 гл. I, и известные решения одно- одномерных задач. Здесь мы приведем решения для случая начальной темпера- температуры, равной единице, и нулевой температуры поверхности (или теплообмена со средой нулевой температуры). Решения для случая нулевой начальной температуры и температуры поверхности, равной единице (или теплообмена со средой, имеющей температуру, равную единице), получаются путем вычи- вычитания приводимых ниже результатов из единицы. Тогда решения для произ- произвольных температур поверхности следуют из теорем Дюамеля (см. § 14 гл. I). Для анизотропного твердого тела с главными осями теплопроводности, параллельными координатным плоскостям, и различными коэффициентами теплообмена на поверхностях, данный метод по-прежнему остается справед- справедливым. I. Область л:>0, у > 0, 2 > 0 с начальной температурой, рав- равной единице, и нулевой температурой поверхности. * = Ф(^)Ф(^Ы^1 DЛ) Н. Та же область с начальной температурой, равной единице, и теплообменом на поверхности со средой нулевой гпемпературы. Jc)cp(/z, у) ? (Л. *). ' D-2) где ср(/г, х) определяется соотношением F.5) гл. V. III. Область — а < л; < а, — ft<y<ft» 2>0 с начальной темпе- температурой, равной единице, и нулевой температурой поверхности. I X \ \ г> = Ф(лг, а)<Ь(у, ^)Ф(—т^*)» D.3J
184 ГЛ. VI ТЕПЛОВОЙ ПОТОК В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДЕ [§,4 где ii*?Wifi!?i:sbJ&?is-- D-4) л=0 IV. Область —а < л; < а, —b<y<b, —с < z < с с начальной температурой, равной единице, и нулевой температурой поверх- поверхности. i> = <!>(*. a)ty(y, b)^(z, с), D.5) или 2l2 +1) C0S 2а C0S 26 Х ;(-«,.»,<), D.6) где +1 Bт +1J . B/г + 1J1 ' С J" V. Область — а<л:<а, — b <y <b, — c<z<cc начальной тем- температурой, равной единице, и теплообменом на поверхности со сре- средой нулевой температуры [6]. v = ty(x, a, h)ty(y, b, й)фОг. с, /г), D.8) где оо 2 ф(лг, а, /0=У г/ о 2Ч—-f| ^ я D.9) и ал — положительные корни уравнения /z. D.10) VI. Область —а < л; < а, —b<y<b, —с < 2 < с с начальной температурой, равной нулю, и температурой поверхности ср(/). Если ср(?) = К = const, то решение, которое следует из D.6) и D.7), имеет вид °° °° ^ (_-1)'+»я+л B/+1)тслг Bт+\)пу ^ B/ + 1)B/и+1)B/г+1) cos 2a COS 26 А /=0 т-0 л=0 al)m>nO. D.11) В случае температуры поверхности, равной ср(^), мы получим, используя теорему Дюамеля оо оо оо 64у V У «1, ш> п (-1/+т^я B/ + 1) ** Bт v~ тез jU Zu Zu B/ + 1) B/и + 1) Bл f 1) LOS 2а S B/ + 1) B/и + 1) Bл -f- 1) LOS 2а S 2b X t X cos B/1+с1)яг exp [- a,. m> „f ] J exp Jo,, m, „X] <p (X) rfX. D.12)
§ 5] ГЛ. VI. ТЕПЛОВОЙ ПОТОК В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДЕ 185 Если y(t) = kt, мы получим*) /=0 m=0 л=0 Xcos <2/ + ^ cos P" + ')^ cos V*+l>« . D.13) При выводе D.12) и D.13) из D.11) мы получаем один ряд, так как началь- начальная температура равна нулю. Выражение для случая периодического измене- изменения температуры поверхности можно найти из D.12), но конечный его вид не очень удобен для использования. Эти задачи будут еще раз рассмотрены в § 11 гл. XV. § б. Определение коэффициента теплопроводности и экстраполяция кривых охлаждения Решения D.6) и D.8) предыдущего параграфа для прямоугольного парал- параллелепипеда с начальной температурой, равной единице, и температурой по- поверхности, равной нулю (или теплообменом со средой нулевой температуры) позволяют получить исключительно простой метод определения коэффициента температуропроводности плохих проводников. При больших значениях времени ряд D.6) очень быстро сходится и искомая температура с достаточно хорошим приближением определяется пер- первым его членом. Таким образом, если построить график зависимости лога- логарифма температуры в любой точке твердого тела от времени, то в конечном итоге кривая обратится в прямую с наклоном Если измеряется температура в точке (-т#, *з"*' 1FC)' то в соотноше- соотношении D.6) данной главы все члены с /, т и п обращаются в нуль, и в дан- данном случае первый член этого соотношения будет служить достаточно хоро- хорошим приближением. Если твердое тело теряет тепло в результате теплообмена со средой нулевой температуры, то следует определить величины ос и Л. Рассмотрим для простоты куб а = Ь = с; температура в любой его точке при больших значениях времени, т. е. когда кривая \nv = f(t) превращается в прямую, определяется соотношением 8/г2 cos а{ х cos at у COS ахг -Зхоф - 9 V~ [(t + D + f s3е ' (° } f cos3ага ( } Отношение температуры в центре к температуре в любой другой под- подходящей точке определяет аг. Величину h находят из D.10) данной главы, а ш\ — из угла наклона кривой \nv = f(t). Если начальная температура твердого тела постоянна, то знать ее не нужно: ее можно вычислить по зна- значениям а1§ /г, х и данным измерения температуры (или путем нахождения точки пересечения оси t с асимптотой кривой Inv = f(t)). Это является проверкой полученных результатов в тех случаях, когда известна начальная температура; кроме того, появляется возможность вычисления начальной тем- температуры твердого тела, охлаждавшегося в течение некоторого времени в результате теплообмена. *) В работе [7] приводится ряд решений этого вида.
186 ГЛ. VI. ТЕПЛОВОЙ ПОТОК В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДЕ [§ 6 Тот же метод можно использовать и для других тел простой геометри- геометрической формы, например для ограниченных цилиндров (см. § 5 гл. VIII) или сфер (см. § 5 гл. IX). Другой метод обработки наблюдений обсуждается при рассмотрении сферы. § 6. Неустановившаяся температура. Тройной ряд Фурье Если начальную температуру в параллелепипеде нельзя представить в виде произведения функций х, у и z или если граничные условия отличны от условий, рассмотренных в § 15 гл. I, то метод, изложенный в § 4 данной главы, становится непригодным. Поскольку задачу о твердом теле с заданными начальной и поверхно- поверхностной температурами можно свести (см. § 14 гл. I) к задаче об установившейся тем- температуре, рассмотренной в § 2 данной главы, и к задаче с нулевой температурой поверхности, то в этом случае необходимо рассмотреть только область 0 < х < я, 0<y<b,0<z<cc нулевой температурой поверхности и начальной темпера- температурой /(х, у, z). Пусть /(jc, у, z) можно разложить в тройной ряд по синусам (см. C.12) дан- данной главы) f(x, у, z)=2j 2d 2d l'm'nS /=1 m-\ л = 1 где a b с AU«. - = -йг / / / / <¦*'• У.г>)sin *г-sin ^sin ^f dx> dy'dz'- <6-2> и и о Тогда выражение 2 где •U.—^T-r+-?¦+-?). <6-4> удовлетворяет дифференциальному уравнению и обращается в нуль на граничных поверхностях. Таким образом, мы получили соотношение с» с» с» [о л , . 1ъх тпу mzz /с гч — ха/ т пЦ -^U т, п sin sin —h sin » (^) служащее решением нашей задачи. Это решение и соответствующее решение в случае теплообмена на границе *) можно получить, используя функцию Грина (см. § 5 гл. XIV, где рассматривается также задача о прямоугольном параллелепипеде при наличии в нем источника тепла). ЛИТЕРАТУРА I.Moore, On convergence factors in double series and the double Fourier's series, Trans. Am. Math. Soc. 14, 73 A913). 2. Moore, Bull. Am. Math. Soc. 25, 274 A919). 3. Hardy, Proc. Lond. Math. Soc. 6, 410 A908). 4. С h i v e г s, Phil. Mag. 6, 305 A928). 5. Carslaw, Fourier's Series and Integrals, Macmillan, ed. 3, 1930. 6. Berger, Z. angew. Math. Mech.8, 479 A928). 7. Williamson, Adams, Phys. Rev. 14, 99 A919). *) Здесь можно пользоваться также конечным преобразованием Фурье (см. § 5 гл. XVII).
ГЛАВА VII ТЕПЛОВОЙ ПОТОК В НЕОГРАНИЧЕННОМ ЦИЛИНДРЕ КРУГОВОГО СЕЧЕНИЯ § 1. Введение В § 8 гл. I мы видели, что в цилиндрических координатах уравнение теплопроводности имеет вид JL—( dv\ | * d*v д2%) — * dv или dv^ ld2v , 1 dv . 1 d2v . d2v\ dt~%\dr2^~ r dr "Г" r2 d№ "•" dz2)' A '^ Если ось нагреваемого кругового цилиндра совпадает с осью z, а на- начальные и граничные условия не зависят от координат б и zt то температура цилиндра зависит только от г и t, и уравнение теплопроводности сводится к уравнению dv В этом случае тепловой поток перпендикулярен оси цилиндра, а линии тока радиальны. Если начальные и граничные условия не зависят от координаты z, то тепло распространяется в плоскостях, перпендикулярных оси цилиндра, и уравнение теплопроводности принимает вид dv {d2v I dv 1 d2v\ Если начальные и граничные условия не зависят от угла 6, то тепло распространяется в плоскостях, проходящих через ось цилиндра, и уравнение теплопроводности имеет вид dv (d2v I dv 02v В данной главе приводятся решения задач для сплошного и полого цилиндров с различными граничными условиями. Эти решения всегда имеют вид рядов Фурье — Бесселя; решения, пригодные для малых значений %t/a2t находить значительно труднее; мы их будем рассматривать в гл. ХШ еще и потому, что эти решения нельзя представить в простой конечной форме. Задачи для составных цилиндрических областей и для областей, ограниченных изнутри круговым цилиндром, также рассматриваются в гл. ХШ.
188 ГЛ. VII. ТЕПЛОВОЙ ПОТОК В НЕОГРАНИЧЕННОМ ЦИЛИНДРЕ [§ 2 § 2. Установившаяся температура. Радиальный поток Если твердое тело представляет собой полый цилиндр, внутренний и внешний радиусы которого равны соответственно а и Ь, то уравнение A.1) предыдущего параграфа для распределения температур в теле примет вид Общее решение этого уравнения имеет вид v=A + B\nrt B.2) где А и В — постоянные, определяемые из граничных условий при г = а и г = Ь. I. Поверхность г = а поддерживается при температуре vv по- поверхность г = Ь—при температуре vv В этом случае Величина теплового потока на единицу длины равна dv II. Поверхность г = а поддерживается при температуре vv На поверхности г^Ь происходит теплообмен со средой* имеющей тем- пературу v2, и поэтому граничное условие на ней имеет вид В данном случае _ у] [1 + hb In (b/r)] + hbv2 In (r/a) (C) - V~ \ + hb\n(bla) * (Z'°' Величина теплового потока на внешней поверхности цилиндра на еди- единицу его длины равна Если а/г>1, то величина B.6) непрерывно уменьшается с увеличе- увеличением Ь. Если же ah < 1, то B.6) имеет максимум при Ь^-г. Это озна- означает, что при определенных условиях можно увеличить тепловые потери трубы, окружив ее изолирующим материалом [1]. III. Количество тепла, подводимого в единицу времени внутрь цилиндра на единицу его длины, равно постоянной величине Fo. В данном случае тепловой поток через любой цилиндр не зависит от радиуса цилиндра, так как из B.1) следует, что r(dv/dr) постоянно, и мы можем написать F0 = -2*r/C-g-, a<r<b. B.7) Если vl и v2 — температуры при г, равном гг и г2 соответственно, то, интегрируя B.7), получим vx — v2) = FQ In ^J. B.8)
§ 2] ГЛ. VII. ТЕПЛОВОЙ ПОТОК В НЕОГРАНИЧЕННОМ ЦИЛИНДРЕ 189 Справедливость этого соотношения не зависит от способа подвода тгпла и от граничных условий на цилиндрических поверхностях *). Если тепло подводится с помощью проволоки, расположенной вдоль оси цилиндра, с сопротивлением R ом на единицу длины, а сила протекающего по ней тока равна /а, то мы получим где у — число калорий в джоуле. Если коэффициент теплопроводности К зависит от температуры, то соот- соотношение вида B.8) по-прежнему остается справедливым. Соотношение B.7) тоже оказывается справедливым; введем теперь т. е. средний коэффициент теплопроводности для всей области температур от vx до v2\ тогда, интегрируя B.7), получим 2ъКт(V, - v2) = FoIn (^). B.10) IV. Составной полый цилиндр, состоящий из п областей (av а2), (а2, а3), .... (ая, ап+1) с коэффициентами теплопроводности Kv .. .* Кп. Если vv v2 Vn+i — температуры на поверхностях av a2, ..., an+v то многократное использование B.4) показывает, что величина теплового потока, приходящегося на единицу длины системы F, равна — — Г— \n(a2lax) — ••• — \п(ап+1/ап) Следовательно, F к; г=1 Если, кроме того, имеются контактные сопротивления Rv R2 Rn* Rn+i на единицу площади поверхностей av а2, .. ., ап, ап+1, аиои vn+2 — температуры внутри и вне составного цилиндра, то мы получим следующее соотношение: In п+\ г=1 г=1 ) Приведенное выше выражение B.6) представляет собой простой частный случай B.13). V. Выделение тепла в цилиндре. Если количество выделяемого в единицу времени тепла равно постоян- постоянной Ло, то для установившегося радиального потока соотношение F.7) гл. I примет вид Общее решение B.14) имеет вид v=A-\-Blnr — D?). B-15) *) Это соотношение часто использовалось при определении теплопроводности [2-5].
190 ГЛ. VII. ТЕПЛОВОЙ ПОТОК В НЕОГРАНИЧЕННОМ ЦИЛИНДРЕ [§ 2 Для сплошного цилиндра*) член, содержащий In г, выпадает**), и B.15) примет вид где v0 — температура на оси цилиндра. Если поверхность цилиндра г = а поддерживается при нулевой температуре, то если же на поверхности г = а происходит теплообмен со средой нулевой температуры и коэффициентом теплообмена И, то Для полой цилиндрической проволоки, внутренний и внешний радиусы которой соответственно равны а и Ь, а температуры внутренней и внешней поверхностей равны vx и v2, мы получим из B.15) vl — v2 = В In {alb) — (а* -?> А° . B.19) Постоянная В определяется из граничных условий. Если, как это обычно бывает, тепловой поток на внутренней поверхности отсутствует, то можно написать Из B.19) и B.20) следует, что К = 4 ( Соотношения B.16) и B.21) использовались для определения коэффи- коэффициента теплопроводности [9—12]. Рассмотрим изолированную проволоку, в которой изолирующий мате- материал с коэффициентом теплопроводности Кх заполняет область а < г < Ь, окружающую участок проволоки 0 < г < а с коэффициентом теплопровод- теплопроводности /С, причем в этом участке количество тепла, выделяющегося в единицу времени на единицу объема, равно Ао. Если при г = Ь происходит тепло- теплообмен, т. е. *L + hv = 0, г = Ь. то решение, полученное из B.2) и B.16), примет вид <2-231 *) Простейшим является случай нагревания проволоки путем пропускания по ней электрического тока плотностью / а/см2; в данном случае Ло = у/2/а» где а — электропроводность проволоки, ay — число калорий в джоуле. Случай устано- установившейся температуры в проволоке, нагреваемой либо в результате пропускания переменного тока (здесь AQ является функцией г вследствие скин-эффекта), либо за счет индукции, рассматривается в работе [6]. Данная задача совпадает с задачей о нагревании длинной цилиндрической магнитной катушки [7]. Случай индукционного нагрева цилиндра рассматривается в работе [8]. **) В = 0, так как температура любой точки тела конечна. (Прим. ред.)
§ 2] ГЛ. VII. ТЕПЛОВОЙ ПОТОК В НЕОГРАНИЧЕННОМ ЦИЛИНДРЕ 191 Если изменение сопротивления проволоки линейно зависит от температуры, то B.14) заменяется уравнением где р2=а^, B.25) а ос— температурный коэффициент сопротивления. Решение уравнения B.24), которое является конечным при г = 0, имеет вид /1 \ B.26) Если поверхность г = а поддерживается при нулевой температуре, то температура тела в зависимости от г выражается следующим образом *): где J0(z) определяется в приложении 3. Для полого цилиндра а < г < Ь, поверхность которого r = b поддер- поддерживается при нулевой температуре, при отсутствии теплового потока через поверхность г = а температурное поле записывается в виде 1 j 70 (рг) К, (pfl) - Ко (рг) 7, (рд) 1 ] 99R а \ Уо @*) Г, (Ра) — Го (рб) yt (Pa) f * ^°' VI. Методы с использованием горячей проволоки [13]. Для измерения коэффициента теплопроводности газов и плохих провод- проводников **) были использованы различные комбинации B.4) и результатов, полу- полученных методом Каллендера [14, 15]. Как и в пункте II § 11 гл. IV, про- проволоку радиусом а и длиной 2/ нагревают электрическим током и измеряют ее электрическое сопротивление. Кольцевую область а < г < Ь, О < х < 2/, окружающую проволоку, заполняют веществом, коэффициент теплопровод- теплопроводности которого Кх нужно измерить; при этом температуру внешних поверх- поверхностей r — b, а также z = 0 и z = 2l поддерживают равной нулю. Пусть v — температура проволоки в точке х (предполагается, что она постоянна по всему поперечному сечению, как и в § 10 гл. IV), а поток в области 0 < г < b радиален ***); если предположить, кроме того, что на поверхности раздела г — а между проволокой и окружающей средой изме- изменение температуры происходит непрерывно ****), то из B.4) мы находим *) Если а — отрицательная величина (как, например, для графита), то /0 в B.27) следует заменить на /0 [г (—aAJK)^2]- Числовые значения B.27) даны Якобом в работе [56], где а — величина положительная, и в работе [57], где а — величина отрицательная. **) Неустановившееся состояние рассматривается в работе [16] (см. также § 4 гл. XIII). ***) Полная задача с двумя переменными, в которой это предположение не де- делается, рассматривается в § 3 гл. VIII (см. [14]). ****) Как отмечалось в пункте Ж § 9 гл. I, на поверхности раздела двух твердых тел (если только между ними нет очень хорошего контакта), всегда может быть ска- скачок температуры. Как показал Смолуховский [17], при наличии контакта между твер- твердым телом и газом на поверхности имеется скачок температуры, величина которого зависит от температурного градиента (см. также [18]). В случае скачка температуры на поверхности для его учета необходимо изменить B.29).
192 ГЛ. VII. ТЕПЛОВОЙ ПОТОК В НЕОГРАНИЧЕННОМ ЦИЛИНДРЕ [§ 3 потерю тепла проволокой в точке х в виде ¦тш"- <2-29> Тогда дифференциальное уравнение, описывающее распространение тепла в проволоке, будет иметь вид A0.4) гл. IV, но вместо члена Hpv будет стоять B.29). Оно исследуется таким же образом, как и в § 11 гл. IV. § 3. Установившаяся, периодически изменяющаяся температура в круговых цилиндрах [19—22] Как и в § 7 гл. III, ищем решения с периодом 2гс/со, содержащие временной множитель eimt (напомним, что на этот множитель нужно умножить все выражения для температур и потоков и что мы условились всюду пропускать его). Тогда соот- соотношение A.3) данной главы принимает вид Общее его решение записывается следующим образом (ср. соотношение F) при- приложения 3): v = PI0 (*r/V.) + QK0 (kriH C.2) где .-(¦?)*• «"» Поток / определяется уравнением / = - К jp = -/ШV/, (Лг/*) + Kk'ibQKx (knt>). C.4) Функции Бесселя мнимого аргумента в соотношениях C.2) и C.4) выражаются при помощи табулированных функций ber, bei, ker и kei, которые определяются соот- соотношениями (ср. [23]) inln Ыъ) = Ьегя г + ? Ье1я «г, C.5) ГпКп Ы1%) = кегя z +1 keirt г, C.6) причем их числовые значения для любых значений г и k можно считать известными. Предположим теперь, что vx и Fx — величины температуры и теплового потока на поверхности г = аи a v[ и f[ — соответствующие величины на поверхности г = а%. Решая затем C.2) и C.4) при г=аь получим зависимость Р и Q от величин vx и /j. Подставляя найденные значения Р и Q в C.2) и C.4) при г — а2, получим зависи- зависимость v\ и /[ от величин vx и fx в виде _^ (;;)(с:)(;;) где А = ах ki^ [/0 (W/f) Ki (kaxil*) + Ко (WA) /i (kaxi^)l C.8) B = (^\ [/о (Ла,/У«) Ко (W/f) - Ко (&MJ/f) /о (W/2)l. C.9) С = A:^! [/! (WO ATi (*ai/!/0 ~ A^i (W70 /i (Ла,^01. (ЗЛО) D = axkixl* [/0 (Ла^'А) /Ci (WO + Ко (W«) Л (WAI. C.11) ^D — BC = -^. C.12) #2 Для упрощения выкладок используется соотношение B2) приложения 3. Приве- Приведенная выше запись в виде матриц была рассмотрена в § 7 гл. III. Из соотношения
§ 4] ГЛ. VII. ТЕПЛОВОЙ ПОТОК В НЕОГРАНИЧЕННОМ ЦИЛИНДРЕ 193 C.12) следует, что vx и /х можно выразить через v[ и f[ в виде Так же, как и в § 7 гл. III, искомые решения для составных цилиндрических областей можно непосредственно получить, перемножая соответствующие матрицы. Например, если область ах < г < а2 состоит из вещества, характеризуемого величи- величинами Av Bv Сх, DXy определяемыми из C.8) — C.12), а область а2 < г < аг — из другого вещества, характеризуемого величинами Аъ В2, С2, D2, и если между этими двумя веществами вдоль поверхности а2 термическое сопротивление на единицу площади равно R, то U)[ ^ C14) Как отмечалось в § 7 гл. III, общие выражения быстро становятся слишком сложными, но для любых заданных условий можно найти из таблиц численные зна- значения Л, By Су D п выполнить умножение квадратных матриц в соотношении C.14) или эквивалентных им матриц. Граничные условия на внутренней и внешней поверх- поверхностях исследуемого тела позволяют получить два дополнительных соотношения для температур и тепловых потоков на этих поверхностях и, следовательно, мы можем определить все четыре величины. Для области 0<г<я мы должны иметь Q = 0 в C.2), так как КО (?пл/2)->оо при г -> 0. Отсюда следует, что при г = а У» C-15) I0 Для неограниченной области г > Ь в соотношении C.2) Р должно равняться нулю, так как /0 (krl^2)-^co при г->оо. Следовательно, в данном случае при г=6мы можем написать к^к(шЦу § 4. Неограниченный цилиндр. Радиальный поток. Неустановившаяся температура Пусть начальное распределение температур задано в виде v = f(r), и пусть поверхность г = а поддерживается при постоянной температуре, ко- которую можно принять равной нулю *). Уравнения температурного поля записываются в виде v = 0 при г = а и v = f(r) при ? = 0. Если положить v = e-x%HUy где и — функция только г, то мы получим для и уравнение d2u . 1 du которое представляет собой уравнение Бесселя нулевого порядка. *) Если температура поверхности постоянна и равна t/0, то, положив v = v0 -\- w, мы можем свести этот случай к случаю нулевой температуры. 13 Г. Карслоу, Д. Егер
194 ГЛ VII. ТЕПЛОВОЙ ПОТОК В НЕОГРАНИЧЕННОМ ЦИЛИНДРЕ [§ 4 Так как его решение второго рода К0(аг) неограничено при г = 0, то частное решение уравнения теплопроводности, удовлетворяющее нашей задаче, имеет вид v= AJ0(ar) e-xa2t, где J0(x) — функция Бесселя первого рода нулевого порядка*). Чтобы удо- удовлетворить граничному условию, а должно служить корнем уравнения Известно, что это уравнение не имеет комплексных или кратных корней, а имеет бесчисленное множество действительных положительных корней [24) Каждому положительному корню а соответствует отрицательный ко- корень— а. Первые несколько корней приводятся в приложении 4 (см. табл. 3> С = оо). Если функцию /(г) можно разложить в ряд**) ••' D.1) то решением задачи служит ряд ¦то О ,*,-"& D-2) Допустим, что можно произвести такое разложение в ряд и что сам ряд можно интегрировать почленно ***). Тогда, воспользовавшись определенными интегралами, которые мы рассмотрим в следующем параграфе, можно найти коэффициенты этого ряда. Ряд Фурье — Бесселя D.1), представляющий собой разложение функ- функции /(г), можно применить для решения задачи о цилиндре с нулевой тем- температурой поверхности. Если же на его поверхности происходит теплообмен со средой нулевой температуры, то граничное условие должно иметь вид а для того чтобы У0(аг) удовлетворяло заданному условию, а должно служить корнем уравнения У0 (аа) = 0. D.3) В этом случае мы предполагаем, что функцию /(г) можно разложить в ряд D.1), где ап теперь являются корнями D.3). Разложение в такой ряд (ряд Дини) и соответствующие разложения в ряд по функциям Бесселя я-го порядка рассматриваются в книге Ватсона [24]. *) О функциях Бесселя см. приложение 3; см. также [24, 25]. **) Для этого достаточно потребовать, чтобы функция- /(г) была кусочно гладкой. (Прим. ред.) ***) Исследование возможности разложения произвольной функции в ряд по функ- функциям Бесселя можно найти в [24, 26—-30]. Если функцию /(г) можно разложить в ряд D.1), то еще необходимо показать, что D.2) удовлетворяет дифференциальному уравнению и начальным и граничным условиям; иными словами, этот случай полностью аналогичен случаю линейного потока тепла, изложенному в § 3 гл. III [27]. Те же замечания применимы ко всем случаям разложения в ряд по бесселевым функциям, рассмотренным в настоящей и в следую- следующей главах. Процесс доказательства можно провести также на основе метода пре- преобразования Лапласа (см. приложение 1).
§5] ГЛ. VII. ТЕПЛОВОЙ ПОТОК В НЕОГРАНИЧЕННОМ ЦИЛИНДРЕ 195 В следующем параграфе мы найдем основные определенные интегралы, позволяющие нам оценить коэффициенты во всех рядах, которые предста- представляют для нас интерес. Там же будут решены различные задачи по тепло- теплопроводности цилиндра; при этом мы будем исходить из предположения о воз- возможности разложения в ряд и допустимости почленного интегрирования. Все решения можно получить при помощи преобразования Лапласа, как это сде- сделано в гл. XIII, XIV. а а § б. Интегралы *) f rJn («r) Jn @r) dr и J r [Jn (<zr)]* dr о о Пусть u=:Jn(ar) и v = Jn($r). Тогда из уравнения Бесселя получим Тогда du Последнее обращается в нуль при aJn (pa) J'n (ос) — рп (aa) /„ (pa) = О, где Таким образом, если аир являются двумя различными положительными корнями уравнений 1) или 2) или 3) мы получим j'n (аса) + hJn (aa) = О, frJn(*r)Jn$r)dr = O. E.1) Кроме того, поскольку da *) Для сходимости этих интегралов при г = 0 необходимо, чтобы действительная часть л была больше чем —1. В дальнейшем эти интегралы будут применяться в тех случаях, когда л действительно и не меньше нуля. •.-.,. 13*
196 ГЛ. VII. ТЕПЛОВОЙ ПОТОК В НЕОГРАНИЧЕННОМ ЦИЛИНДРЕ [§ 5 можно написать Таким образом, d ( du\2 i о о du2 9 du2 Интегрируя по частям, получим следующее выражение: а 2ос2 У г я2 tfr = [r2 {^J + (а2г2 — /г2) я2]*. Используя соотношение A) приложения 3 при нижнем пределе, находим, что а fr{Jn (ar)P dr = ^^ [aV {J'n (aa)}2 + (aV - я2) {У„ (ая)}2] = О \ = -f- [{J'n (aa)}2 + A - ~) [Ja (aa)}*). В результате получим: 1) если а является корнем*) уравнения Jn(aa) = 0, то а f r [Jn (ar)}2rfr = ?• {/п (aa)}2; E.2) о 2) если а является корнем уравнения j'n(<xa) = 0, то f r {Jn (аг)}Чг = -? A - ^-) {Уя (aa)J; E.3) О 3) если а является корнем уравнения аУя(аа) + /гУя(аа) = О, то / r {Jn (ar)}2 tfr = -^т {^2+ (^2 - /г2)} {Уя (аа)}2. E.4) Наконец, отметим, что из рекуррентной формулы (см. A7) приложения 3) следует Отсюда непосредственно вытекает, что для любого а и п > — 1 г r«+1J.(ar)rfr =1 r«+Ve+1(ar). E.5) О *) Известно, что все корни этого и других уравнений (см. B) и C)) являются действительными и среди них нет кратных [24].
§ 6] ГЛ. VII. ТЕПЛОВОЙ ПОТОК В НЕОГРАНИЧЕННОМ ЦИЛИНДРЕ 197 § 6. Неограниченный цилиндр с температурой поверхности y(f) и начальной температурой /(г) Рассматривая вначале случай начальной температуры, равной /(/*), и температуры поверхности, равной нулю, получим где alt a2, ...—положительные корни уравнения J0(aa) = 0. F.2) Умножим обе части уравнения F.1) на rJQ(anr) и проинтегрируем от 0> до а; тогда, используя соотношения E.1) и E.2) предыдущего параграфа, а именно а / rJ0 (amr) Jo (anr) dr = Ot тфп, о a f r Vo Kr)]2 dr = \ а2 [Л (aan)\2 = ~ a2j\ (<*<*„). 6 где учитывается, что Jq(z) = —Jt(z), находим a An= 2 22 frf(r)J0(r*n)dr. F.3) a Jx (aan) J Следовательно, oo a ' « " 2-''— p F#4) ' = 71 e~<{ TfS Irf ( В случае постоянной начальной температуры, f(r) = V, интеграл в F.4) вычисляется с помощью E.5). В результате имеем Используя еще раз E.5), находим среднюю температуру цилиндра; она равна a оо _j rvdr = _^e *. F.6) 1 л Пусть мы имеем параболическое начальное распределение темпе- температуры, например f(r) = V0 — kr*\ тогда, интегрируя по частям и используя E.5), находим r*J0(ar) dr = ^-Jx (aa) — Ц- 0
198 ГЛ. VII. ТЕПЛОВОЙ ПОТОК В НЕОГРАНИЧЕННОМ ЦИЛИНДРЕ [§б Итак, воспользовавшись этим результатом, мы получим вместо F.4) соотношение F.7) Если начальная температура цилиндра равна нулю и при t > О его поверхность поддерживается при постоянной температуре V, то решение, полученное в результате вычитания F.5) из V, имеет вид F.8) При расчетах удобнее исполь- использовать безразмерные переменные. Поэтому запишем . аося = ря и -^-=Г; F.9) тогда F.8) принимает вид *) v -у = 1 —z У,е г/а Рис. 24. Распределение температур в раз- различные моменты времени в цилиндре радиуса а для случая нулевой начальной температуры и температуры поверхности, равной V. Числа на кривых указывают величины xt/a2. где теперь ±р„(я=1, 2, корни уравнения F.10) ..) — F.11) Первые несколько корней этого уравнения приведены в приложении 4 (табл. 3, при С = оо); первые пятьдесят корней с соответствующими значе- значениями Ji($n) можно найти в [25]. На рис. 24 приведены графики зависимости v/V от г/а (при разных зна- значениях Г), определяемой соотношением F.10). Полученные кривые очень похожи на соответствующие кривые для пластины, показанные на рис. 11; и действительно [32, 33]**), можно найти такие значения T1=x?1/a2 для пластины толщиной 2а, что распределение температуры в цилиндре в момент времени t окажется очень близким к распределению температуры в пластине в момент времени tv Температура на оси цилиндра ***) и зависимость средней температуры цилиндра от Т приведены на рис. 12. Ряд F.10) очень быстро сходится при любых значениях Т (кроме очень малых). Соответствующие решения, пригодные для расчетов при малых Г, приводятся в § 3 гл. XIII. Если начальная температура цилиндра равна нулю, а темпера- температура его поверхности равна ср(/), то решение, полученное методом *) Величины Jo (r$n/a), входящие в F.10), протабулированы в работе [31] до пяти десятичных знаков при п= 1, 2, ..., 10 и (г/а) — от 0 до 1 с шагом @,01). **) То же замечание остается применимым и к задачам с другими граничными условиями. ***) Численные значения для температуры на оси цилиндра приведены в [34].
§ 7] ГЛ. VII. ТЕПЛОВОЙ ПОТОК В НЕОГРАНИЧЕННОМ ЦИЛИНДРЕ 199 Дюамеля (см. § 14 гл. I) из F.8), имеет вид — тгЁ'-*5^/'4"*"»*- F12> /2=1 6 Если начальная температура равна нулю и температура поверхности равна kt, то Если начальная температура равна нулю и температура поверхности равна V sin Ш +е). то + ~~ Zj eXP (—"**&) /24 ^ '—^— ' F-54) Здесь первый член можно считать решением задачи для установившегося перио- периодического состояния, второй — для неустановившегося состояния. Напишем *) I ±\ /0\ zi2 ) = ber z + i bei z = Мо (z) ei% {z) ' F.15) и со' = (й>/%)!/*; тогда первый член решения F.14) примет вид , sin {о>^ -f- e -f- 0q (w'r) —• 6q (й/а)}. F.16) § 7. Неограниченный цилиндр с теплообменом на поверхности В настоящем параграфе мы рассмотрим круговой цилиндр с начальной температурой /(г) и теплообменом на его поверхности со средой. Пусть / (г) = iVo («iO + iVo (а2г) + •... G.1) где ±ccj, ±a2, ...—корни уравнения О. G.2) Все эти корни действительны и просты [24]. Тогда, используя соотно- соотношение E.4) данной главы о получим а fr[J0(*nr)]>dr = J *) Объяснение символов М0(г) и Ь0(гг) и их численные значения приведены в книге Мак-Лахлана [23].
200 ГЛ. YII. ТЕПЛОВОЙ ПОТОК В НЕОГРАНИЧЕННОМ ЦИЛИНДРЕ [§ 7 Для случая / (г) = V = const находим, используя соотношение E.5) дан- данной главы а к ап) У, Для перехода к безразмерным величинам введем следующие обозначения: Тогда можно написать оо где ±р (л=1, 2, ...) — корни уравнения рУ1ф)=ЛУоф). G.7) Таблица значений этих корней приведена в приложении 4. Если начальная температура цилиндра равна нулю и на его поверхности происходит теплообмен со средой, имеющей температуру V, то ? <л 2 ov2ril/ 7 . G.8) Численные значения G.6) и G.8) приведены в ряде работ [35—38] *). Средняя температура цилиндра t/cp определяется соотношением G.9) а теплосодержание, приходящееся на единицу длины цилиндра, равно гся2рС1/ср. Если начальная температура цилиндра равна нулю и на его поверхности происходит теплообмен со средой, имеющей температуру kty то " о2-г где А, Т, рл определяются из G.5) и G.7). Если начальная температура цилиндра равна нулю и на его поверхности происходит теплообмен со средой, имеющей температуру V sin (co*-f-?)> то \ i {(A./*)* /, [a (to./*)'/*] + А/о [а (шМЧ\ ) - 92Т $2„ (а2а> cos е — %.f sin е) Уо (гр_/в) Используя F.15), можно записать первый член G.11) в виде где е0 и "По — сложные выражения, содержащие функции ber и bei **)• *) Приложение к определению поправки на излучение в калориметрии изло- изложено в [39]. **) Численные значения е0 и y]0 приведены в [40].
§8] ГЛ. VII. ТЕПЛОВОЙ ПОТОК В НЕОГРАНИЧЕННОМ ЦИЛИНДРЕ 201 § 8. Неограниченный цилиндр с постоянным потоком тепла на поверхности*) I. Нулевая начальная температура. Постоянный поток тепла Fo внутрь цилиндра. 0 2F0%t Ка (8.2) где ап (#=1, 2, ...) — положительные корни уравнения ^(^ = 0. Некоторые значения функции v — BF0xt/Ka) приведены на рис. 25. Доказательство (8.1) изложено в § 2 гл. XIII. И. Начальная температура f (r). Тепловой поток на поверхности равен нулю. где ап — корни уравнения (8.2). Это соответствует случаю /г, равного нулю, в задаче, рассмотренной в преды- предыдущем параграфе. Однако следует отметить, что условие h = 0 в соотношении G.3) данной главы не приводит к соот- соотношению (8.3) из-за отсутствия пер- первого члена. В § 9 гл. I указывалось, что при граничных условиях вида ц% V4 OJ h всегда предполагается величиной положительной, и поэтому допуще- допущение для таких условий, что h = 0, часто не дает правильного решения задачи, в которой граница непрони- непроницаема для тепла. В данной задаче физический смысл различия заклю- заключается в том, что если h положи- положительно, то конечная температура цилиндра равна нулю независимо от того, насколько малой может быть величина &, тогда как при h = 0 (т. е. при условии, что поверхность непроницаема для тепла) конечная температура цилиндра равна не нулю, а средней величине начальной темпе- температуры. Математически это соответ- соответствует тому, что к нашему соотно- соотношению следует добавить постоянный первый член, аналогичный постоян- постоянному первому члену ряда Фурье по косинусам **). То же остается справедливым и для сферы в отсутствие теплового потока на ее поверхности (см. § 7 гл. IX). & -о. г -0.2 Рис. 25. Температура в цилиндре кругового сечения для случая постоянного потока тепла на поверхности. Числа на кривых указывают величины xt/a2. *) Подобные задачи возникают при рассмотрении индукционного нагрева, а также сушки глины (ср. [41—44]). **) Эта трудность не возникает при использовании метода преобразования Ла- Лапласа, рассматриваемого в гл. XIII, так как в этом случае члены, которые имеются в решении, определяются особыми точками функции комплексного переменного (см. также [24]). В работе [45] постоянный член, соответствующий первому члену» опущен и, таким образом, приведенное в ней решение некорректно.
202 ГЛ. VII. ТЕПЛОВОЙ ПОТОК В НЕОГРАНИЧЕННОМ ЦИЛИНДРЕ [§ 9 § 9. Неограниченный цилиндр с внутренними источниками тепла*) I. Начальная температура и температура поверхности равны нулю. Мощность источников **) при t > 0 равна постоянной величине Ао АК аК J0(ran) 4/, (аап) где <хп — положительные корни уравнения У0(аа) = 0. Некоторые значения температуры приведены на рис. 26. Доказательство (9.1) изложено в § 2 гл. XIII. ав го г/а Рис. 26. Температура в цилиндре кругового сечения для случая постоянного выделения тепла в единицу времени и нулевой температуры поверхности. II. Начальная температура и температура поверхности равны нулю. При t>0 мощность источников равна Aoe~lt. 2 1г (г<хп) 92 где ап — положительные корни уравнения Уо (я°0 = 0. III. Начальная температура равна нулю. При t>0 мощность источников равна постоянной Ао. На поверхности г = а происходит теплообмен со средой нулевой температуры. г*. 2hA0 Уо (гая) (аап) (9.3) где ая — положительные корни уравнения а/, (яа) = hJ0 (aa). •) Эта задача и соответствующая задача для полого цилиндра рассматриваются в [46] в приложении к биологическим проблемам. **) Здесь автор имеет в виду равномерное распределение источников в цилиндре. {Прим. ред.)
§ 10] ГЛ. VII. ТЕПЛОВОЙ ПОТОК В НЕОГРАНИЧЕННОМ ЦИЛИНДРЕ 203 § 10. Неограниченный полый цилиндр. Радиальный поток I. Неограниченный полый цилиндр. Поверхности г = а и r = b поддерживаются при нулевой температуре. Начальная темпера- температура /(г). В этом случае мы имеем Положим v = ue~%aH% где и зависит только от г; тогда для и получим уравнение d2u . 1 du . о п т, е. уравнение Бесселя нулевого порядка. Если область изменения г не включает г = 0, то могут встретиться функции Бесселя второго рода. Рассмотрим функцию Uo(*r) = Jo(*r)Vo(*b) — Jo(*t>)YQ(*r). A0.2) Эта функция обращается в нуль при г = ft. Кроме того, она обращается в нуль и при /* = а, если а служит корнем уравнения J0(aa) K0(aft) —70(oft) К0(аа) = 0. A0.3) Известно, что все корни уравнения A0.3) действительны и просты и что каждому положительному корню а соответствует отрицательный корень — а [25]*). Некоторые значения этих корней приведены в табл. 4 приложе- приложения 4. Сначала найдем интегралы от функций U0(ar), аналогичные соответ- соответствующим интегралам, рассмотренным в § 5 данной главы. Повторяя при- приведенный там анализ для значений u = U0(ar) и v = U0($r), получим ъ = 0, A0.4) f где а и C — два различных корня уравнения A0.3). Кроме того, а Теперь, используя соотношение B0) приложения 3, получим igil = ab [j'o{ab) Y0(ab)— Y'0(ab)M*t>)] = — |. A0.6) = *а [j'o (аа) Ко (aft) — Ко (aa) Jo (aft)]. A0.7) лт-Ь Помимо этого, \ 4^ L ar Jr-a Однако если a служит корнем A0.3), то, например, J0(aa) Y0(aa) Jo(ba) Y0(ba) P- *) В цитируемой работе приводится также формула для вычисления больших корней этого уравнения. Значения корней для Ь/а=\2, 1,5, 2,0 указаны в [47, 48]. См. также [49]."
204 ГЛ. VII. ТЕПЛОВОЙ ПОТОК В НЕОГРАНИЧЕННОМ ЦИЛИНДРЕ [§ 10 Таким образом, A0.7) принимает вид S]=-^-. A0.8) Следовательно, A0.5) можно записать в виде Два других интеграла можно найти почти тем же способом из нашего дифференциального уравнения, используя A0.6) и A0.8). Эти интегралы имеют вид / а b CI0.ll> где a — корень уравнения A0.3). Предположим теперь, что начальную температуру /(/•) можно разло- разложить в ряд / (г) = Аги0 (агг) + A2U0 (а2г) + ..., который можно проинтегрировать почленно; тогда из A0.4) и A0.9) имеем А(аая) AJ А() Т АЫ-АЫ Таким образом, мы приходим к решению нашей задачи в виде У§КЬ1(К) ^"оЫ/гти.Ы*. A0.12) причем суммирование ведется по всем положительным корням уравне- уравнения A0.3). Для случая постоянной начальной температуры f(r) = V мы по- получим, используя A0.8), II. Начальная температура равна /(г), a /i/?# ^>0 поверхности г = а а г = Ь поддерживаются при постоянных температурах vx a v2. В этом случае, имеющем большое практическое значение, мы можем на- написать, как и в § 14 гл. I, где vl\n(b/r)Jt-v2\n(r/a) И0 14v — йвд • (ШЛ4> согласно соотношению B.3) данной главы, представляет собой температуру при установившемся потоке между поверхностями г = а при vx и г = Ь
§ 11] ГЛ. VII. ТЕПЛОВОЙ ПОТОК В НЕОГРАНИЧЕННОМ ЦИЛИНДРЕ 205 при v2, a w определяется A0.12), в котором /(г) заменено на /(г) — и. Используя A0.11), получим искомое решение в виде я = 1 оо {v2Jq (aan) — V\Jq(b*n)} Jo (aan) UQ (ran) ^-xaznt , yx In(b/r) + v2\n (r/a) \n(b/a) A0.15) Ряд других решений для полого цилиндра, выведенных рассмотрен- рассмотренными выше методами, приводится в [50, 51]. При наличии теплообмена или других граничных условий на поверхностях подобные задачи можно рас- рассматривать аналогичным образом, используя соответствующие обобщения цилиндрической функции U0(ar)\ однако эти задачи, вероятно, лучше рас- рассматривать методом преобразований Лапласа, что и будет сделано в § 4 гл. XIII. § 11. Неограниченный цилиндр. Установившаяся температура. Общий случай I. Установившаяся температура в цилиндре 0<;г < а. Температура поверх- поверхности F @, z). Разложим F F, z) в ряд Фурье 21 {?я(*)СО8Лб + фяBГ)81Плв}. (Ц.1) /1 = 0 Запишем теперь интегралы Фурье для уп (г) и фя (г): О = -¦¦- / 6 (И.2) da УЧя(Р)С08а(Р-*)<*р. 6 -оо J Тогда, поскольку выражения In (ar) cos а (Р — z) COS лб и In (ar) COS а (? — z) sin лв <где In (z) определено в приложении 3) представляют собой решения уравнения Лап- Лапласа в цилиндрических координатах, конечные при г = 0, решение нашей задачи имеет вид оо °° +°° оо V=4^ f J$^a\da f я=0 0 ИЛИ / У^^ A1.3) Я=0 -оо Здесь предполагается, что порядок интегрирования можно изменить. Чтобы оценить второй интеграл в A1.3), рассмотрим интеграл A1.4)
206 ГЛ. VII. ТЕПЛОВОЙ ПОТОК В НЕОГРАНИЧЕННОМ ЦИЛИНДРЕ [§ 11 взятый по контуру, содержащему при р > z мнимую ось и большую полуокружность в правой полуплоскости. Подынтегральное выражение имеет полюсы в точках as(s = 1, 2, ...), служащих положительными корнями уравнения Определяя вычеты в этих полюсах, мы получим окончательно f со"а^-^-тШаа—^11е'^~г1уШ' (Ш5> Таким образом, из C) следует оо оо °° ?. A1.6) л s Jn\aas) J Если температура поверхности является функцией только zy например имеет вид f (z), то решение принимает вид "=тХттЭт / *" "Ч/<*+«> + /<*-«> W«. A1.7) 5 = 1 0 где а5 служат положительными корнями уравнения у0 (да) = 0. Например, если /(I 0 то из A1.7) следует, что «=1 (П.8) Л(ras) " a jj, asjx (да,) ' • * ^" _ где мы использовали соотношение оо !2_*jg?._lt ой) 5=1 которое можно получить, положив / = 0в соотношении F.5) данной главы. Соотношение A1.8) можно также получить непосредственно при помощи ме- метода, используемого ниже. II. Установившаяся температура в цилиндре 0<; г < л, движущемся со ско- скоростью U в направлении своей оси. При z < 0 температура поверхности равна единице; при z > 0 она равна нулю. В этом случае, как и в § 7 гл. I, дифференциальное уравнение имеет вид Если мы ищем решение A1.10) вида J0(«r)u(z), то и должно удовлетворять уравнению d2u U du
§ 12] ГЛ. VII. ТЕПЛОВОЙ ПОТОК В НЕОГРАНИЧЕННОМ ЦИЛИНДРЕ 207 Таким образом, если ± as — корни уравнения Jo (аа) = 0, то *<0, (k - Vk2 + 4)]t z<0 A1.11) (где k обозначает ?//2%) удовлетворяют нашему дифференциальному уравнению и граничным условиям. Для нахождения значений as и bs следует воспользоваться ус- условием, требующим непрерывности v и -^— при z=0. Используя A1.9), мы нахо- находим, что из условия непрерывности следует 2 b Следовательно, окончательно имеем При рассмотрении ряда задач этого типа [52, 53] был использован метод, опи- описанный выше, а также метод движущихся источников тепла (ср. гл. X). § 12. Неограниченный цилиндр. Неустановившаяся температура. Общий случай В данном параграфе рассматривается ряд задач для неограниченного цилиндра, в котором поток не радиален. При этом используются разобранные выше методы, а также интегралы, приведенные в § 5 настоящей главы. I. Температура поверхности г = а равна нулю. Начальная температура v = f(r, 0). В данном случае уравнение теплопроводности принимает вид dv / d2v I dv 1 d2v а выражение e~xa2tJn(ar) (An cos nb-±-Bnsln лб) удовлетворяет этому уравнению. Здесь п принимает целые значения, так как температура является периодической функцией от 0 с периодом 2я. Разложим функцию /(г, 0) в ряд Фурье оо / (г, 0) = 2 ^п cos л6 + bn sin л0), п-0 где r, 0) cos л0 ?„ = — Г/(г, 6) sin /гб
208 ГЛ. VII. ТЕПЛОВОЙ ПОТОК В НЕОГРАНИЧЕННОМ ЦИЛИНДРЕ [§ 12 Коэффициенты ат Ьп и а0 являются функциями от г. Разложим каждый из них в ряд функций Бесселя л-го порядка оо «яв ^An.sJnbsr), 5=1 где alt а2, ..., as, ... —положительные корни уравнения Эти корни представлены в виде таблиц для п от 0 до 5 в книге [24]. Тогда мы можем написать а тс ,,l ц8 /* [fir, 6) Уо (V) r dr M, а тс .М) V 2 f Л М2 / / / <Г' 9> C0S а Bn, s = 2ТТ7 v»T / / f (r> 0) sin nQJn (<V) r dr dQ- tzu \J (а п\\ J *J Таким образом, мы получим наше решение в виде оо оо 2 v = 21 21 Dь 5 cos п^ + Вя> 5 Sin Л0) Ул (а5г) ^">**5 . A2:1) 5=1 л = 0 II. Теплообмен на поверхности г=а со средой нулевой температуры. На- Начальная температура v = / (г, 0). Разложим в ряд Фурье функцию /(г, 0), как и в задаче I, / (г» 0) = 21 (ап cos пЬ + bn sin пЪ). я=0 Коэффициенты ая и Ьп являются функциями г. Разложим каждый из них в ряд функций Бесселя л-го порядка где olf a2. ... —положительные корни уравнения Тогда получим А,,=- 2 a * Ап, s = 2/2 а °д, 2U , v18 /" /*/(г, в)cos пв/„(ct,r)гrfrd6, Bn,s = 2B. о "', 2U . . иа /" /* / (Л 9) sin лвУ„ (a,r) г dr db r.a2 (aj + A2 - луа2) {У„ (a,a)}2 ^ j/
§ 12] ГЛ. VII. ТЕПЛОВОЙ ПОТОК В НЕОГРАНИЧЕННОМ ЦИЛИНДРЕ 209 и оо оо _ 2. v = 2 2 (Л*' s cos nb + Bnt s sin nb) Jn (asr) e "* . A2.2) III. Температура поверхности г = а равна нулю. Начальная температура v = / (г, 0, г). В данном случае имеем dv / ^2t; I dv . 1 d2t; . d2v \ dt \ dr2 ' r ^r r2 <^02 d-г2 J и выражение является частным интегралом. Разложим теперь функцию / (г, 6, г) в ряд Фурье оо 2 (tf/i cos nb + Ьп sin л0). л = 0 Коэффициенты ал и ^л являются функциями гиг. Обозначим эти функции че- через Fn (r, z) и G„ (г, г) и разложим их в ряд функций Бесселя, определяемых поло- положительными корнями уравнения Пусть, кроме того, Наконец, выразим функции <рл (г) и фл (г) чеР^з интегралы Фурье 0 -оо оо оо j„ ф) cos atf — 0 —ОО Тогда мы получим наше решение в виде оо оо + фл (р) sin л0] cos а (^ — z) da d$, A2.3) где суммирование по ?х производится по положительным корням уравнения Изменяя порядок интегрирования в A2.3), окончательно получим оо оо " °° +ф(Р)81пяв}^. A2.4) IV. Температура поверхности г=а равна t/ = /7@, гг). Начальная темпера- температура с/ = / (г, 0, г). Как показано в § 14 гл. I и в § 11 гл. VII, этот случай приводится соответ- соответственно к примерам III и I, если положить v=u-\-w. V. Неограниченный цилиндр. Поверхность г=а и плоскости 0 = 0 и 0 = 0О поддерживаются при нулевой температуре. Начальная температура f (г, 0). 14 Г. Карслоу, Д. Егер
210 ГЛ. VII. ТЕПЛОВОЙ ПОТОК В НЕОГРАНИЧЕННОМ ЦИЛИНДРЕ [§ 12 В данном случае можно написать ду___ (д2у I dv I д2у\ dt ~~*{дг2 ^~ г дг ~*~ г2 дЬ2 )' Выражение является частным интегралом этого уравнения. Условия при г=а, 0 = 0 и 0=6О удовлетворяются в том случае, если т — по- положительное целое число, а а — корень уравнения Разложим функцию /(г, 0) в ряд по синусам т Sin- 1 где коэффициенты ат являются функциями г, например Fm (r). Теперь разложим Fm (r) в ряд функций Бесселя, определяемых положитель- положительными корнями уравнения Таким образом, мы получим решение нашей задачи в виде A2.5) а т — \ где, используя соотношение E.2) данной главы, а 0О At, т — 2n f r' здесь суммирование по а производится по положительным корням уравнения Решение для клина со щеками 0 = 0 и 0 = 0О можно получить из написанного выше при я->оо. Если начальная температура равна постоянной*), то A2.5) при- принимает вид sins6mf'^ psK^ /ГЛ(^МГ- A2'6) где 5 = B/г+1)тс/0о и ±ат, да=1, 2, ... служат корнями уравнения Js(aa) = 0. A2.7) ЛИТЕРАТУРА 1. Porter, Martin, Phil. Mag. 20,511 A910). 2. L a m b, W i 1 s о n, Proc. Roy. Soc. A65, 285 A899). 3. Niven, Proc. Roy. Soc. A76, 34 A905). 4. Poo 1 e, Phil. Mag. 24, 45 A912); 27, 58 A914). 5. В г i d g m a n, Proc. Am. Acad. Arts Sci. 57, 80 A922). *) Некоторые численные результаты для данного случая приведены в [54]. За- Задача о полуограниченном цилиндре с этим поперечным сечением рассматривается в [55].
ГЛ. VII. ТЕПЛОВОЙ ПОТОК В НЕОГРАНИЧЕННОМ ЦИЛИНДРЕ 211 6. Strut t, Phil. Mag. 5, 904—914 A928). 7. E m m e r i с h, J. Appl. Phys. 21, 75—80 A950). 8. T h о r n, S i m p s о n, J. Appl. Phys. 24, 297—299 A953). 9. Angel 1, Phys. Rev. 33, 421 A911). 10. Worthing, Phys. Rev. 4, 536 A914). 11. Langmuir, Phys. Rev. 7, 151 A916). 12. Powell, Schofield, Proc. Phys. Soc. 51, 153 A939). 13. Schleiermacher, Wied. Ann. 34, 623 A888); 36, 346 A899). 14. Kannuluik, Martin, Proc. Roy. Soc. A141, 144 A933); 144, 496 A934). 15. Gregory, Archer, Proc. Roy. Soc. A110, 91 A926); Phil. Mag. 3, 931 A927); 15, 301 A933). 16. Fischer, Ann. Physik 34, 669 A939). 17. Smoluchowski, Ann. Physik 64, 101 A898); 35, 983 A911). 18. Gregory, Proc. Roy. Soc. A149, 35 A935). 19. Dahl, Trans. ASME 46, 161—208 A924). 20. Awbery, Phil. Mag. 28, 447 A939). 21. V a n G о г с u m, Appl. ScL Res. A2, 272—280 A951). 22. Vodicka, Appl. Sci. Res. A5, 115—120, 268—272, 327—337 A955). 23. McLachlan, Bessel Functions for Engineers, Oxford, 1934. 24. Watson, Theory of Bessel Functions, Cambridge, ed. 2, 1944 (Г. Ватсон, Тео- Теория бесселевых функций, ИЛ, М., 1949.) 25. Gray, M a t h e w s, Treatise on Bessel Functions, Macmillan, ed. 2, 1922. (Э. Гр э й, Г. Мэттьюз, Функции Бесселя и их применение в физике и механике, ИЛ, М., 1953.) 26. Hob son, Proc. Lond. Math. Soc. 7, 359—388 A909). 27. Moore, Trans. Am. Math. Soc. 10, 391—435 A909); 12, 181—206 A911); 21, 107—156 A920). 28. Young, Proc. Lond. Math. Soc. 18, 163—200 A920). 29. Din i, Serie di Fourier, 1880, pp. 246—269. 30. Ford, Studies in Divergent Series and Summability, 1916, Chap. V. 31. Goodwin, Staton, Quart J. Mech. Appl. Math. 1, 220—224 A948). 32. Jaeger, Proc. Phys. Soc. 56, 197 A944). 33. M а с е у, Proc. Phys. Soc. 54, 128 A942). 34. О 1 s о n, S с h u 11 z, Ing. Eng. Chem. 34, 874—877 A942). 35. G u r n e y, L u r i e, Ind. Eng. Chem. 15, 1170 A923). 36. Schack, Stahl u. Eisen 50, 1290 A930). 37. Newman, Trans. Am. Inst. Chem. Engrs 27, 203 A931), Ind. Eng. Chem. 28, 545—548 A936). 38. H e i s 1 e r, Trans. ASME 69, 227—237 A947). 39. V a s i 1 e f f, J. Appl. Phys. 23, 979—983 A952). 40. Grober, Z. Ven dtsch. Ing. 70, 1266 A926). 41. Mace y, Proc. Phys. Soc. 52, 625 A940); 54, 128 A942). 42. Awbery, Proc. Phys. Soc. 55, 202 A943). 43. Jaeger, Proc. Phys. Soc. 56, 197 A944). 44. Newman, Church, J. Appl. Mech. 2, A — 96 A935). 45. С a r s 1 a w, Introduction to the Mathematical Theory of the Conduction of Heat in Solids, Macmillan, ed. 2, 1921. (Г. Карслоу, Теория теплопроводности, Гостех- издат, М., 1947.) 46. Thews, Acta Biotheoretica A10, 105—138 A953). 47. К а 1 a h n e, Z. Math. Phys. 54, 55 A907). 48. Jahnke — Emde, Funktionen Tafeln, Teubner, ed. 3, 1933. (E. Янке, Ф. Эмде, Таб- Таблицы функций с формулами и кривыми, изд. 3-е, Физматгиз, 1959.) 49. L о w a n, H i 1 1 m a n, J. Math. Phys. 22, 208 A943). 50. М u s k a t, Flow of Homogeneous Fluids, McGraw-Hill, 1937. 51. Musk at, J. Appl. Phys. 5, 71 A934). 52. Wilson, Proc. Camb. Phil. Soc. 12, 406 A904). 53. Owen, Proc. Lond. Math. Soc. 23, 238 A925). 54. J a e ge r, Phil. Mag. 33, 527 A942). 55. С г a g g s, Phil. Mag. 36, 220 A945). 56. J a k о b, Trans. ASME 65, 593—605 A943). 57. Jakob, Trans. ASME 70, 25—30 A948). 14*
ГЛАВА VIII ТЕПЛОВОЙ ПОТОК В ОБЛАСТЯХ, ОГРАНИЧЕННЫХ КООРДИНАТНЫМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ § 1. Введение В настоящей главе мы исследуем ряд задач по теплопроводности для областей, ограниченных координатными поверхностями цилиндрической системы координат, например ограниченный и полуограниченный цилиндры, ограни- ограниченные полые цилиндры и т. д. Для этого используем методы, изложенные в предыдущих главах. Задачи этого типа для областей, ограниченных изнутри цилиндром кругового сечения, можно рассматривать тем же способом, исполь- используя решения, приведенные в § 5 гл. XIII. Кроме того, задачи по теплопроводности цилиндрических областей решаются в §§ 10—15 гл. XIV при помощи функций Грина, а в § 11 гл. XV— при помощи преобразования Лапласа. § 2. Установившееся распределение температур в неограниченной и полуограниченной среде, обусловленное подводом тепла через круг Предположим, что через круг радиуса г (где 0<><а), расположен- расположенный в плоскости 2 = 0, подводится тепло, количество которого в единицу времени зависит только от г. Дифференциальное уравнение теплопроводности ^1?iS- = 0 B.1) z2 дг2 ' гдг удовлетворяется для любого X. Таким образом, B.2) служит решением нашей задачи, если функцию /(X) можно выбрать так, чтобы она удовлетворяла заданным условиям в плоскости z = 0. Для этой цели можно применить интегральную теорему Неймана (см. [1] гл. XIV); однако два наиболее интересных случая описываются хорошо известными интегралами,
§ 2] гл. viii. тепловой поток в ограниченных областях 213 содержащими функции Бесселя [см. [1], § 13.42 и [2]): arc sin —, г > а, Г B.3) О, г>а, 1/Bа)' Г = а' B*4) ! 1/а, г < а. Рассмотрим теперь задачу, в которой круговой диск 0^г<а, лежа- лежащий в плоскости 2 = 0, поддерживается при температуре, равной V. Здесь мы выбираем /{X) в B.2) равной [BV7TC)sinXa]/A. Тогда B.5) представляет собой решение нашей задачи. Согласно B.3) это выражение равно V для z — 0 и г^.а. Оно служит решением задачи и для области z > 0, когда круг 0^г<а, расположенный в плоскости ? = 0, поддержи- поддерживается при температуре V, а тепловой поток через остальную часть пло- плоскости z = 0 отсутствует. Если количество тепла, подводимое к неограниченному твердому телу в единицу времени через единицу площади круга радиуса а, лежащего в плоскости z = 0 (например, плоского круглого нагревательного элемента), равно постоянной величине Q, то условие, которое должно удо- удовлетворяться в плоскости z = 0, имеет вид Таким образом, используя B.2) и B.4), мы получим решение в виде Ха)т^- B-7) Его можно применить к важной задаче полуограниченного твердого тела z > 0 при различных условиях на поверхности последнего *). Задачи анало- аналогичного типа в случае неустановившегося состояния разобраны в § 5 гл. X. I. Температура области z > 0 постоянна и равна V при 0<г<а, z = 0; вне этого круга тепловой поток отсутствует. Из B.5) имеем оо г> = — f e-}*J0(\r)sin\a—, B.8) ТС »/ А. или 2V . i 2a \ B.9) 2V . ( 2а = — arcsmj [(re)f + *) Для других задач подобного типа см. [3, 4J.
214 ГЛ. VIII. ТЕПЛОВОЙ ПОТОК В ОГРАНИЧЕННЫХ ОБЛАСТЯХ [§ 2 Тепловой поток F через круг 0 < г < а равен оо оо F = — 2Ж ГГ-ёг! rdr = 4KVa f Jx(ka)sm\a^ = 4KVa. B.10) 0 lOZJ*=0 6 При этом для вычисления интеграла используется цитированная выше работа (см. [1]). Величину R = V/F можно считать термическим сопротивле- сопротивлением в случае установившегося потока через круг радиуса а в полупростран- полупространство. Из B.10) следует, что *=¦?—аЬ" BЛ1) II. Области z>0 и z <0 с коэффициентами теплопроводности, равными соответственно Кх и К2* и температурами на больших расстояниях от начала координат, равными соответственно 0 и V. Установившийся тепловой поток проходит через круг радиуса а, расположенный в плоскости z = 0. Остальная часть плоскости непроницаема для тепла. Температуры vx и v2 в областях z > 0 и z < 0 находят, как и в при- примере I; они равны соответственно B.13) Эти выражения можно упростить, как и B.8) и (B.9). Термическое сопротивление равно (Л\ + К2I4аКхК2. III. Область z > 0 с постоянным тепловым потоком Q через круг r<a, z = 0 и нулевым потоком через г>а. Воспользовавшись B.7), получим следующее выражение для искомой температуры: оо v = — f e-XzJ^r)Jx{\a)^-. B.14) 6 Средняя температура vcp области 0 < г < а равна [1] v =^ о Так как величина теплового потока через круг радиуса а равна F=na2Q, то из B.15) следует, что ^ 8 B.16) Неустановившееся состояние и соответствующая задача для случая нагрева полосы рассматриваются в § 5 гл. X.
§ 3] ГЛ. VIII. ТЕПЛОВОЙ ПОТОК В ОГРАНИЧЕННЫХ ОБЛАСТЯХ 215 IV. Область z > О с постоянным тепловым потоком Q через круг 0<г<а, z = 0 и нулевой температурой [5]*) в области г>а. оо 6 B.17) V. Термическое сопротивление при переходе в полупространство. Когда тепло или электричество течет через круг радиуса а в полу- полупространство, часто важно знать установившееся термическое (поверхностное) или электрическое сопротивление в полупространстве **). Простейшее прибли- приближение, которое часто используется для малых кругов, заключается в замене круга полусферой радиуса а (иными словами, вещество считается идеальным проводником); при этом поток оказывается радиальным. Тогда, учитывая B.14) гл. IX, мы находим, что термическое сопротивление /?, определяемое как V/F (где V — температура контакта и F — поток через него), равно * <2Л8> Точное значение R в B.11) в случае, когда круг поддерживается при постоянной темпера