Text
                    В. П. ИСАЧЕНКО,
В. А. ОСИПОВА,
А. С. СУКОМЕЛ
ТЕПЛОПЕРЕДАЧА
ИЗДАНИЕ ТРЕТЬЕ,
ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ
Допущено Министерством высшего и среднего
специального образования СССР в качестве учеб-
ника для энергетических вузов и факультетов

ПРЕДИСЛОВИЕ Настоящая книга предназначена в качестве учебника для теплотех- нических специальностей энергетических вузов и факультетов. Этим определились построение книги, подбор излагаемого материала и ха- /рактер его изложения. Курс «Теплопередача» является базовой дисциплиной для ряда инженерных, прежде всего теплотехнических специальностей. В связи с быстрым развитием теории теплообмена из года в год видоизменяет- ся и совершенствуется учебный курс теплопередачи, читаемый студен- там высших учебных заведений. Объем и уровень курса должны быть достаточны для усвоения ряда специальных дисциплин, решения основ- ных практических задач и осмысленного использования новой инфор- мации по теории теплообмена, появляющейся в научно-технической литературе. В результате изучения теплопередачи студенты должны овладеть ие только теорией, но и методами расчета основных процессов тепло- обмена. Ввиду этого изложение отдельных вопросов теплопередачи, как правило, сопровождается рекомендацией расчетных формул, с помощью которых можно решить основные задачи теплообмена. Однако было бы весьма ошибочным сведение курса теплопередачи к роли сборника простейших расчетных формул. В наше время прак- тика непрестанно выдвигает перед учением о теплообмене новые и раз- нообразные задачи, требуя от инженера умения самостоятельно и твор- чески использовать основные законы и методы теплопередачи. Значи- тельно расширилась возможность прикладного использования теории теплообмена в связи со все более широким внедрением в инженерную практику быстродействующих электронных вычислительных машин Многие задачи, еще недавно решавшиеся только узкими специалистами в области теории теплообмена, могут быть решены в условиях произ- водства. При этом инженер должен достаточно глубоко понимать физи- ческие особенности рассматриваемых процессов и уметь математически описать исследуемое явление. Помимо лекций, изучение курса теплопередачи в вузе сопровож- дается проведением лабораторных занятий и решением задач. Препо- давателями кафедры теоретических основ теплотехники Московского энергетического института написаны специальные учебные пособия, не- обходимые для проведения двух последних видов занятий [Л. 82, 139, 143]. Поэтому в данной книге опущены числовые примеры и подробное рассмотрение экспериментальных методик и установок. По этой же при- чине в книге приведены лишь некоторые справочные таблицы и графи- ки, необходимые для решения задач. Полные данные можно иайти в задачнике [Л.82]. 3
Исаченко В. П. и др. Теплопередача. Учебник для вузов, Изд. 3-е, перераб. и доп. М., «Энергиях», 1975. 488 с. с ил. Перед загл. авт.: В. П. Исаченко, В. А. Осипова. А. С. Сукомел. В книге изложены основы учения о тепло«бмене. Систематически рассматриваются теплопроводность, конвективный теплообмен, тепло- обмен излучением, тепловой и гидромеханический расчеты теплообмен- ных устройств, а также тепло- и массообмен при фазовых и химиче- ских превращениях. Книга написана применительно к программе курса «Теплопере- дача», утвержденной Министерством высшего и среднего специального образования СССР, и предназначена в качестве учебника для студен- тов энергетических специальностей вузов.
ВВЕДЕНИЕ Теплопередача или теплообмен — учение о самопроиз- вольных необратимых процессах распространения теплоты в простран- стве. Под процессом распространения теплоты понимается обмен внут- ренней энергией между отдельными элементами, областями рассматри- ваемой среды. Перенос теплоты осуществляется тремя основными спо- собами: теплопроводностью, конвекцией и тепловым излучением. Теплопроводность представляет собой молекулярный перенос теплоты в телах (или между ними), обусловленный переменностью температуры в рассматриваемом пространстве. Конвекция возможна только в текучей среде. Под конвекцией теплоты понимают процесс ее переноса при перемещении объемов жидкости или газа (текучей среды) в пространстве из области с одной температурой в область с другой. При этом перенос теплоты неразрыв- но связан с переносом самой среды. Тепловое излучение — процесс распространения теплоты с помощью электромагнитных волн, обусловленный только температу- рой и оптическими свойствами излучающего тела; при этом внутренняя энергия тела (среды) переходит в энергию излучения. Процесс превра- щения внутренней энергии вещества в энергию излучения, переноса из- лучения и его поглощения веществом называется теплообменом излу- чением. В природе и технике элементарные процессы распространения теплоты — теплопроводность, конвекция и тепловое излучение — очень часто происходят совместно. Теплопроводность в чистом виде большей частью имеет место лишь в твердых телах. Конвекция теплоты всегда сопровождается теплопроводностью Со- вместный процесс переноса теплоты конвекцией и теплопроводностью называется конвективным теплообменом. В инженерных расчетах часто определяют конвективный теплооб мен между потоками жидкости или газа и поверхностью твердого тела; этот процесс конвективного теплообмена называют конвективной теплоотдачей нли теплоотдачей. Процессы теплопроводности и конвективного теплообмена могут сопровождаться теплообменом излучением. Теплообмен, обусловленный совместным переносом теплоты излучением и теплопроводностью, и зывают радиационно-кондуктивным теплообменом. Если перенос тепло ты осуществляется дополнительно и конвекцией, то такой процесс п .- зывают радиационно-конвективным теплообменом. Иногда радиации но-кондуктивный и радиационно-конвективный перенос теплоты назь вают сложным теплообменом. В технике и в быту часто происходят процессы теплообмена межд'. различными жидкостями, разделенными твердой стенкой. Процесс пере
Теплопередача является сравнительно молодой наукой. Особенно бурно она развивается в последние десятилетия. Большой вклад в раз- витие учения о теплообмене сделан советскими учеными В. М. Кирпи- чевым, М. А. Михеевым, А. А. Гухманом, Г. Н. Кружилиным, С. С. Ку- тателадзе, А. В. Лыковым, А. А. Жукаускасом, Д. А. Лабунцовым, А. И. Леонтьевым, Б. С. Петуховым, В. И. Субботиным, Ю. А. Сурино- вым и многими другими. В книге используется Международная система единиц измерения, сокращенно обозначаемая в русском написании СИ. Система СИ вве- дена в СССР с 1 января 1963 г. как предпочтительная. В третьем издании в книгу внесен ряд изменений и дополнений, учитывающих как новые сведения, полученные за время, прошедшее после предыдущих изданий, так и опыт использования книги в качест- ве учебника. Использована терминология теории теплообмена, рекомен- дованная Комитетом научно-технической терминологии АН СССР и Министерством высшего и среднего специального образования СССР к применению в учебном процессе. В связи с этим изменены некоторые термины, обозначения. В то же время для облегчения пользования кни- гой авторы стремились соблюсти преемственность между старыми и вновь введенными терминами. Название книги оставлено прежним, по- скольку оно не изменилось и в существующих учебных планах. Главы 4—12, 14 и 15 написаны В. П. Исаченко, гл. 13, 16—18 и § 3-12 — В. А. Осиповой, гл. 1—3, 19, 20 — А. С. Сукомелом. При напи- сании книги авторы использовали свой опыт преподавания курса тепло- передачи и опыт акад. М. А. Михеева и проф. Б. С. Петухова, которые многие годы работали на кафедре теоретических основ теплотехники МЭИ и внесли значительный вклад в постановку преподавания и раз- витие этого курса. Создание этой книги во многом явилось результатом того внима- ния, с которым относился лауреат Ленинской и Государственной пре- мий, заслуженный деятель науки и техники РСФСР, доктор техн, наук, проф. М. П. Вукалович к постановке преподавания теплопередачи в Московском энергетическом институте. Авторы весьма признательны доктору техн, наук, проф. Д. А. Ла- бунцову за ценные советы, способствовавшие улучшению книги, и боль- шую редакторскую работу над первым изданием учебника. Авторы признательны также докторам техн, наук В. И. Крутову, А. И. Леонтье- ву и С. А. Скворцову за ряд советов. Много деловых замечаний авторы получили от преподавателей, аспирантов и инженеров кафедры тео- ретических основ теплотехники МЭИ, кафедры теплоэнергетики Сара- товского политехнического института, кафедры инженерной теплофизи- ки Ленинградского политехнического института и др., что помогло в ра- боте над книгой. Авторы будут признательны за все замечания и пожелания, направ- ленные на улучшение книги. Замечания и пожелания просим направ- лять по адресу: 113114, Москва, М-114, Шлюзовая набережная, 10, из- дательство «Энергия». Авторы
дачи теплоты от горячей жидкости к холодной через разделяющую их стенку называется теплопередачей. Теплопередача осуществляется различными элементарными процессами теплопереноса. Парогенери- рующие трубы котельного агрегата, например, получают теплоту от продуктов сгорания топлива в результате радиационно-конвективного теплообмена. Через слой наружного загрязнения, металлическую стен- ку и слой накипи теплота передается теплопроводностью. От внутрен- ней поверхности трубы к омывающей ее жидкости теплота переносится конвективным теплообменом (теплоотдачей). Процессы теплообмена могут происходить в различных средах: чистых веществах и разных смесях, при изменении и без измене- ния агрегатного состояния рабочих сред и т. д. В зависимости от этого теплообмен протекает по-особому и описывается различными уравнениями. Многие процессы переноса теплоты сопровождаются переносом ве- щества. Например, при испарении воды в воздух, помимо теплообмена, имеет место и перенос образовавшегося пара в паровоздушной смеси. В общем случае перенос пара осуществляется как молекулярным, так и конвективным путем. Совместный молекулярный и конвективный пере- нос массы называют конвективным .массообменом. При на- личии массообмена процесс теплообмена усложняется. Теплота допол- нительно может переноситься вместе с массой диффундирующих веществ. В общем случае перенос теплоты в смеси различных веществ может вызываться неоднородным распределением других физических величин, помимо температуры. Например, разность концентрации компонентов смеси приводит к дополнительному молекулярному переносу теплоты (диффузионный термоэффект). Обычно перенос теплоты, обусловленный подобными эффектами, сравнительно невелик и, как правило, им можно пренебречь. При теоретическом исследовании теплообмена приходится вводить некоторые модельные представления о среде, в которой происходят изучаемые процессы. Рассматриваемые газы, жидкости и твердые тела в книге в подавляющем большинстве случаев считаются сплошной сре- дой, т. е. средой, при рассмотрении которой допустимо пренебречь ее дискретным строением. Различают однородные и неоднородные сплошные среды. В первых физические свойства в различных точках одинаковы при одинаковых температуре и давлении, в неоднородных средах — различны. Разли- чают также изотропные и анизотропные сплошные среды. В любой точ- ке изотропной среды физические свойства ее не зависят от выбранного направления, наоборот, в анизотропной среде некоторые свойства в дан- ной точке могут быть функцией направления. Наиболее изучен и часто встречается на практике теплообмен в изотропных средах. Сплошная среда может быть однофазной и многофазной. В одно- фазной среде, состоящей из чистого вещества или из смеси веществ, свойства изменяются в пространстве непрерывно. В многофазной среде, состоящей из ряда однофазных частей, на границах раздела свойства изменяются скачками. Теплообмен в однофазных и многофазных систе- мах протекает по-разному. Изучение как простых, так и более сложных процессов переноса теплоты в различных средах н является задачей курса теплопередачи. 6
Часть первая ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ Глава первая ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ УЧЕНИЯ О ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 1-1. МЕТОДЫ ИЗУЧЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ На основании представлений современной физики явления приро- ды вообще и теплопроводности в частности возможно описать и иссле- довать на основе феноменологического и статистическо- го методов. Метод описания процесса, игнорирующий микроскопическую струк- туру вещества, рассматривающий его как сплошную среду (континуум), называется феноменологическим. Феноменологический метод исследования дает возможность устано- вить некоторые общие соотношения между параметрами, характеризую- щими рассматриваемое явление в целом. Феноменологические законы носят весьма общий характер, а роль конкретной физической сре- ды учитывается коэффициентами, определяемыми непосредственно из опыта. Другой путь изучения физических явлений основан на изучении внутренней структуры вещества. Среда рассматривается как некоторая физическая система, состоящая из большого числа молекул, ионов или электронов с заданными свойствами и законами взаимодействия. Полу- чение макроскопических характеристик по заданным микроскопическим свойствам среды составляет основную задачу такого метода, называе- мого статистическим. Как первый, так и второй метод обладает своими достоинствами и недостатками. Феноменологический метод позволяет сразу установить общие свя- зи между параметрами, характеризующими процесс, и использовать экспериментальные данные, точность которых предопределяет и точ- ность самого метода. В этом достоинства использования феноменологи- ческого подхода при изучении явления. Однако сам факт проведения опытов для выявления характеристи- ки физической среды является одновременно и недостатком метода, так как этим ограничиваются пределы применения феноменологических законов. Кроме того, современный эксперимент очень сложен н зача- стую является дорогостоящим. Статистический метод позволяет получить феноменологические со- отношения на основании заданных свойств микроскопической структуры среды без дополнительного проведения эксперимента — в этом его до- стоинство. Недостатком статистического метода является его сложность, в силу чего получить конечные расчетные соотношения возможно лишь 7
для простейших физических моделей вещества. Кроме того, для реали- зации метода требуется знание ряда параметров, определение которых является предметом исследования специальных разделов физики. В основу исследования процессов теплопроводности положен фено-| менологический метод. Аналитическая теория теплопроводности игно- рирует молекулярное строение вещества и рассматривает вещество как сплошную среду. Такой подход правомерен, если размеры объектов исследования достаточно велики по сравнению с расстояниями эффек- тивного межмолекулярного взаимодействия. 1-2. ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ Явление теплопроводности представляет собой процесс распростра- нения тепловой энергии при непосредственном соприкосновении отдель- ных частиц тела или отдельных тел, имеющих различные температуры. Теплопроводность обусловлена движением микрочастиц вещества. При этом в газах перенос энергии осуществляется путем диффузии молекул и атомов, а в жидкостях и твердых телах-диэлектриках — путем упругих волн. В металлах перенос энергии в основном осуществ- ляется путем диффузии свободных электронов, а роль упругих колеба- ний кристаллической решетки здесь второстепенна. Следует указать, что в жидкостях и газах чистая теплопроводность может быть реализована при выполнении условий, исключающих пере- нос тепла конвекцией. Всякое физическое явление в общем случае сопровождается изме- нением в пространстве и времени существенных для данного явления физических величин. Процесс теплопроводности, как и другие виды теплообмена, может иметь место только при условии, что в различных точках тела (или системы тел) температура неодинакова. В общем слу- чае процесс передачи теплоты теплопроводностью в твердом теле со- провождается изменением температуры как в пространстве, так и во времени. Аналитическое исследование теплопроводности сводится к изучению пространственно-временного изменения температуры, т. е. к нахождению уравнения: t=f(x, у, z, т). (1-1) Уравнение (1-1) представляет математическое выражение темпе- ратурного поля. Таким образом, температурное поле есть совокуп- ность значений температуры во всех точках изучаемого пространства для каждого момента времени. Различают стационарное и нестационарное темпера- турные поля. Уравнение (1-1) является записью наиболее общего вида температурного поля, когда температура изменяется с течением времени и от одной точки к другой. Такое поле отвечает неустановившемуся теплрвому режиму теплопроводности и носит название нестационарного I температурного поля. Если тепловой режим является установившимся, то температура в каждой точке поля с течением времени остается неизменной и такое температурное поле называется стационарным. В этом случае темпера- тура является функцией только координат: t = fdx,y,z); ^-=0. (1-2) 8
Температурное поле, соответствующее уравнениям (1-1) и (1-2), является пространственным, так как температура является функцией трех координат. Если температура есть функция двух координат, то поле называется двухмерным и его запись имеет вид: 1 = К(х,У,^, f = 0. (1-3) Если температура есть функция одной координаты, то поле назы- вается одномерным: f = f,(x.T); f =^-=0. (1-4) Наиболее простой вид имеет уравнение одномерного стационарного температурного поля: . г / v dt n dt dt р. л гх dt dy dz ' ' 1-3. ТЕМПЕРАТУРНЫЙ ГРАДИЕНТ Если соединить точки тела, имеющие одинаковую температуру, по- лучим поверхность равных температур, называемую изотермиче- ской. Итак, изотермической поверхностью называется геометрическое I место точек в температурном поле, имеющих одинаковую температуру. Так как одна и та же точка тела не может одновременно иметь различные температуры, то изотермические поверхности ие пересекают- ся. Они либо оканчиваются на поверхности тела, либо целиком распо- лагаются внутри самого тела. Пересечение изотермических поверхностей плоскостью дает на этой плоскости семейство изотерм. Они обладают теми же свойствами, что и изотермические поверхности, т. е. не пересека- ются, ие обрываются внутри тела, оканчиваются на поверхности, либо целиком располагаются внутри самого тела. На рнс. 1-1 приведены изотермы, температу- ры которых отличаются на Д/. Температура в теле изменяется только в направлениях, пересекающих изотермические Рис. 1-1. Изотермы. поверхности. При этом наибольший перепад температуры на единицу длины происходит в направлении нормали к изотермической поверх- ности. Возрастание температуры в направлении нормали к изотермической поверхности характеризуется градиентом температуры. J Градиент температуры есть вектор, направленный по нормали к изо- термической поверхности в сторону возрастания температуры и числен- но равный производной от температуры по этому направлению, т. е. . , "* dt (1-6) где «о — единичный вектор, нормальный к изотермической поверхности и направленный в сторону возрастания температуры; dt)dn — производ- ная температура по нормали п. Скалярная величина температурного градиента dt.idn не одинакова для различных точек изотермической поверхности. Она больше там, где
расстояние Aw между изотермическими поверхностями меньше. Скаляр- ную величину температурного градиента дЦдп, мы будем также назы- вать температурным градиентом. Величина dtldn в направлении убывания температуры отрица- тельна. Проекции вектора grad t на координатные оси Ох, Оу, Oz будут равны: ferad Ох = cos (zG) =^-; (grad f)y=cos (rG) = : (gradt)2.= cos (G) = (1-7) 1-Д. ТЕПЛОВОЙ ПОТОК. ЗАКОН ФУРЬЕ Необходимым условием распространения теплоты является нерав- номерность распределения температуры в рассматриваемой среде. Та- ким образом, для передачи теплоты теплопроводностью необходимо не- равенство нулю температурного градиента в различных точках тела. Согласно гипотезе Фурье количество теплоты dQ^ Дж, про- ходящее через элемент изотермической поверхности dF за промежуток времени <h, пропорционально температурному градиенту dtldti: dQ = -l.^-dFdt. дп (1-8) Опытным путем установлено, что коэффициент пропорциональности в уравнении (1-8) есть физический параметр вещества. Он характери- зует способность вещества проводить теплоту н называется коэффи- циентом теплопроводности. Количество теплоты, проходящее в единицу времени через единицу площади изотермической поверхности Вт/м2, называется плот- ностью теплового потока. Плотность теплового потока есть вектор, определяемый соотношением ' (1-9) Вектор плотности теплового потока q направлен по нормали к изо- термической поверхности. Его положительное направление совпадает с направлением убывания температуры, так как теплота всегда пере- дается от более горячих частей тела к холодным. Таким образом, век- торы q и grad t лежат на одной прямой, но направлены в противопо- ложные стороны. Это и объясняет наличие знака «минус» в правых частях уравнений (1-9) и (1-8). Линии, касательные к которым совпадают с направлением вектора 4» называются линиями теплового потока. Линии теплового по- тока ортогональны к изотермическим поверхностям (рис. 1-2). 10
Скалярная величина вектора плотности теплового потока q, Вт/м2, будет равна: 9 = -Л^-. (1-10) Многочисленные опыты подтвердили справедливость гипотезы Фурье. Поэтому уравнение (1-8), так же как и уравнение (1-9), явля- ется математической записью основного закона торый формируется следующим образом: плот- ность теплового потока пропорциональна гради- енту температуры. Количество теплоты, проходящее в единицу времени через изотермическую поверхность называется тепловым потоком. Если гра- диент температуры для различных точек изотер- мической поверхности различен, то количество теплоты, которое пройдет через всю изотермиче- скую поверхность в единицу времени, найдется как °LdF, (1-11) F F где dF— элемент изотермической поверхности. Величина Q измеряется в ваттах. Полное количество теплоты Q, Дж, прошедшее за время т через' изотермическую поверхность F, равно: <Э,= -^р dFd*. (1-12) 0 F Количество теплоты, проходящее через элементарную площадку dFh расположенную под углом д к плоскости, касательной к изотерми- ческой поверхности (рис. 1-3), определяется по той же формуле (1-12), если учесть, что qt = qCM^~(1-13) Так как dF—dFtcos ср является проекцией площадки dFt на изо- термическую поверхность, то количество теплоты, протекающее через п элементарную площадку dF\ за время dx, запишется jfl как /• dQ_^ = qidFt dx=^q (dFt cos <p) dx = q dF dx. (1-14} Общее количество теплоты, протекающее за вре- мя т через поверхность Ft Рис. 1-3. К расче- f dFfdx. (1-15) ту теплового no- J d тока. 1 Из уравнения (1-13) следует, что самой большой плотностью тепло- вого потока будет та, которая рассчитана вдоль нормали к изотерми- 11
ческим поверхностям. Если такой поток спроектировать на координат- ные оси Ox, Оу, Oz, то согласно уравнению (1-7) получим: —^у= —Z^-; = (Ы6) Тепловые потоки, выраженные уравнением (1-16), являются состав- ляющими вектора плотности теплового потока: q = iqx + Ж + kqz. (1-17) Из сказанного следует, что для определения количества теплоты, проходящего через какую-либо поверхность твердого тела, необходи- мо знать температурное поле внутри рассматриваемого тела. Нахожде- ние температурного поля и является главной задачей аналитической теории теплопроводности. 1-5. КОЭФФИЦИЕНТ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ Как было сказано, коэффициент теплопроводности является физи- ческим параметром вещества. В общем случае коэффициент теплопро- водности зависит от температуры, давления и рода вещества; в боль- шинстве случаев коэффициент теплопроводности для различных мате- риалов экспериментального определения коэффициента теплопроводно- сти [Л. 122, 139, ИЗ, 190, 193]. Большинство из них основано на изме- рении теплового потока и градиента температур в заданном веществе. 0,0015 0,015 0,15 15 15 150 1500 Рис. 1 -4. Порядок значении коэффициен- тов теплопроводности различных веществ. Коэффициент теплопроводности Z, Вт/(м-К) при этом определяется из соотношения 1= , (1-18) [gradZ| 7 Из уравнения (1-18) следует, что коэффициент теплопроводности численно равен количеству теплоты, которое проходит в единицу вре- мени через единицу изотермической поверхности при температурном градиенте, равном единице. Порядок значений X различных веществ показан на рис. 1-4 [Л. 136, 204]. Результаты измерений X сведены в таблицы [Л. 20, 196], которыми пользуются при расчетах процессов теплопроводности. 12
Так как тела могут иметь различную температуру, а при наличии теплообмена и в самом теле температура будет распределена неравно- мерно, то в первую очередь важно знать зависимость коэффициента теплопроводности от температуры. Опыты показывают, что для многих материалов с достаточной для практики точностью зависимость коэф- фициента теплопроводности от температуры можно принять линейной: X-Xo[l+b(Z—/0)], (1-19) где Хо— значение коэффициента теплопроводности при температуре /о; Ь — постоянная, определяемая опытным путем. а.) Коэффициент теплопроводности газов Согласно кинетической теории перенос теплоты теплопроводностью в газах при обычных давлениях и температурах определяется переносом кинетической энергии молекулярного движения в результате хаотиче- ского движения и столкновения от- дельных молекул газа. При этом ко- эффициент теплопроводности опре- деляется соотношением X—wlcvpl3, (1-20) где w— средняя скорость переме- щения молекул газа; I—средняя длина свободного пробега молекул газа между соударениями; cv~~ теп- лоемкость газа при постоянном объеме; р—-плотность газа. С увеличением давления в рав- ной мере увеличивается р, уменьша- ется длина пробега I и произведение Zp сохраняется постоянным. Поэто- му коэффициент теплопроводности заметно не меняется с изменением давления. Исключение составляют очень малые (меньше 2,66-103 Па) и очень большие (2-109Па) давления. Средняя скорость перемещення молекул газа зависит от темпера- туры: где — универсальная газовая постоянная, равная 8314,2 Дж/ (кмоль К); у. — молекулярная масса газа; Т — температура, К. Теплоемкость газов возрастает Рис 1-5 Коэффициенты теплопроводно- сти газов 1—водяной пар, 2— двуокись угперода, <3 — воздух, 4 — аргон, 5 — кислород, 6 — азот с повышением температуры. Ска- занным объясняется тот факт, что коэффициент теплопроводности для газов с повышением температуры возрастает. Коэффициент теплопроводности X газов лежит в пределах от 0,006 до 0,6 Вт/(м-К). 13
пред- нестрой- На рис. 1-5 представлены результаты измерения коэффициента те- плопроводности различных газов, проведенного Н. Б. Варгафтнком. Средн газов резко отличаются своим высоким коэффициентом те- плопроводности гелий и водород. Коэффициент теплопроводности у них в 5—ю раз больше, чем у других газов [Л. 194]. Это наглядно видно» на рнс. 1-6. Молекулы гелия и водорода обладают малой массой, а сле- довательно, имеют большую среднюю ско- рость перемещения, чем и объясняется их вы- сокий коэффициент теплопроводности. Коэффициенты теплопроводности водяно- го пара и других реальных газов, существен- но отличающихся от идеальных, сильно зави- сят также от давления. Для газовых смесей коэффициент теплопроводности не может быть определен по закону аддитивности, его нужно* определять опытным путем. б) Коэффициент теплопроводности жидкостей Механизм распространения теплоты? в капельных жидкостях можно ставить как перенос энергии путем пых упругих колебаний. Такое теоретическое* представление о механизме передачи тепло- ты в жидкостях, выдвинутое А. С. Предводителевым [Л. 155], было использовано Н. Б. Варгафтнком [Л. 20] для описания опытных дан- ных по теплопроводности различных жидкостей. Для большинства жидкостей теория нашла хорошее подтверждение. На основании этой теории была получена формула для коэффициента теплопроводности следующего вида: г о4'3 Х=А (1-2П. р- где Ср —теплоемкость жидкости при постоянном давлении; р —объем- ная плотность жидкости; р— относительная молекулярная масса. Коэффициент А, пропорциональный скорости распространения упругих волн в жидкости, не зависит от природы жидкости, но зависит от температуры, при этом Аср^const. Так как плотность р жидкости с повышением температуры убыва- ет, то из уравнения (1-21) следует, что для жидкостей с постоянной молекулярной массой (неассоциированные и слабо ассоциированные жидкости) с повышением температуры коэффициент теплопроводности должен уменьшаться. Для жидкостей сильно ассоциированных (вода, спирты и т. д.) в формулу (1-21) нужно ввести коэффициент ассоциа- ции, учитывающий изменение молекулярной массы. Коэффициент ассо- циации также зависит от температуры, и поэтому при различных тем- пературах он может влиять на коэффициент теплопроводности по-раз- ному. Опыты подтверждают, что для большинства жидкостей с повыше- нием температуры коэффициент теплопроводности X убывает, исклю- чение составляют вода и глицерин (рис. 1-7). Коэффициент теплопро- водности капельных жидкостей лежит примерно в пределах от 0,07 до- 0,7 Вт/(м-К). При повышении давления коэффициенты теплопроводности жидко- стей возрастают. 14
з) Коэффициент теплопроводности твердых тел М е т а л л ы и с п л а в ы. В металлах основным передатчиком тепло- ты являются свободные электроны, которые можно уподобить иде- альному одноатомному газу. Передача теплоты при помощи колеба- тельных движений атомов нлн в виде упругих звуковых волн не исключается, но ее доля не- значительна по сравнению с переносом энергии электрон- ным газом. Вследствие движе- ния свободных электронов происходит выравнивание тем- пературы во всех точках на- гревающегося или охлаждаю- щегося металла. Свободные электроны движутся как из областей, более нагретых, в области, менее нагретые, так и в обратном направлении. В первом случае они отдают энергию атомам, во втором отбирают. Так как в металлах носителем тепловой н электри- ческой энергии являются элек- троны, то коэффициенты теп- ло- и электропроводности про- порциональны друг другу. При повышении температуры вследствие усиления тепловых неоднородностей рассеивание электронов увеличивается. Это влечет за собой уменьшение коэффициентов тепло- и элек- тропроводности чистых метал- лов (рис 1-8). При наличии разного рода примесей коэффициент тепло- проводности металлов резко убывает. Последнее можно объяснить увеличением струк- турных неоднородностей, кото- рые приводят к рассеиванию электронов. Так, например, для чистой меди 7.=396 Вт/(мХ ХК), для той же меди со следами мышьяка Х= Рис 1-7. Х(/) различных жидкостей. 1 — вазелиновое масло: 2 — бензол: 3 — ацетон; 4 — касторовое масло 5 — спирт этиловый, 6 — спирт ме- тиловый, 7 —глицерин, 8— вода. Рис. 1-8. Зависимость коэффициента тепло- проводности от температуры для некоторых чистых металлов = 142 Вт/(м-К)- В отличие от чистых металлов коэффициенты теплопроводности сплавов при повышении температуры увеличиваются (рис. 1-9). Твердые тела-диэлектрики (неметаллы). В диэлек- триках с повышением температуры коэффициент теплопроводности ^обычно увеличивается (рис. 1-10). Как правило, для материалов с боль- 15
шей объемной плотностью коэффициент теплопроводности имеет более высокое значение. Он зависит от структуры материала его пористости и влажности. Многие строительные и теплоизоляционные материалы имеют по- ристое строение (кирпич, бетон, асбест, шлак и Др.), и применение 6. 8 10 8 18- X "2-—- ^5 12 200 АйОО -200 Рис. 1-9. ?.(/) различных сплавов. 1 — латунь 18; 2 — латунь 30; 3 — ла- тунь 12: 4 — нихром; 5 — бронза; 6 — марганцовистая бронза; 7 — орудийная бронза: 8— сплав олова и цинка; 9— фосфористая бронза; 10 — белый ме- талл; 11 — константан; 12 — монель-ме- талл: 13—манганин; 14—никелевая сталь; 15 — жидкий сплав олова с цин- ком. риалов. 1 — воздух; 2 — минеральная ш-рсть: 3—шлаковая вата; 4— ньювель; 5 — совелит; 6 — диа- томитовый кирпич; 7 — крас- ный кирпич. 8—шлакобетонный кирпич; 9 — шамотный кирпич. закона Фурье к таким телам является в известной мере условным. Наличие пор в материале не позволяет рассматривать такие тела, как сплошную среду. Условным является также коэффи- циент теплопроводности пористого мате- риала. Эта величина имеет смысл коэф- фициента теплопроводности некоторого однородного тела, через которое при оди- наковой форме, размерах и температу- рах на границах проходит то же количе- ство тепла, что и через данное пористое тело [Л. 208]. Коэффициент теплопроводности по- рошкообразных и пористых тел сильно зависит от их объемной плотности [Л. 197]. Например, при возрастании плотности р от 400 до 800 кг/м3 коэффи- циент теплопроводности асбеста увеличи- вается от 0,105 до 0,248 Вт/(м-К). Такое влияние плотности р на коэффициент теплопроводности объясняется тем, что теплопроводность А заполняющего поры воздуха значительно меньше, чем твер- дых компонентов пористого мате- риала. Эффективный коэффициент тепло- проводности пористых материалов силь- но зависит также от влажности. Для влажного материала коэффициент тепло- проводности значительно больше, чем для сухого и воды в отдельности. Например, для сухого кирпича Х=0,35, для воды ^=0,60, а для влажного кирпича К— «1,0 Вт/(м-К). Этот эффект может быть объяснен конвективным переносом теп- лоты, возникающая благодаря капил- лярному движению воды внутри пористо- го материала и частично тем, что абсорб- ционно связанная характеристики ной водой. Увеличение лопроводности можно объяснить влага имеет другие сравнению со свобод- ПО коэффициента теп- зернистых материалов тем, что с повышением с изменением температуры температуры возрастает теплопроводность среды, заполняющей проме- жутки между зернами, а также увеличивается теплопередача излуче- нием зернистого массива. 16
Коэффициенты теплопроводности строительных н теплоизоляцион- ных материалов имеют значения, лежащие примерно в пределах от 0,023 до 2,9 Вт/(м-К). Материалы с низким значением коэффициента теплопроводности [меньше 0,25 Вт/(м-К)], обычно применяемые для тепловой изоляции, называются теплоизоляционными. 1-6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ Изучение любого физического явления сводится к установлению за- висимости между величинами, характеризующими это явление. Для сложных физических процессов, в которых определяющие величины могут существенно изменяться в пространстве и времени, установить зависимость между этими величинами очень трудно. В этих случаях на помощь приходит метод математической физики, который исходит из того, что ограничивается промежуток времени и из всего пространства рассматривается лишь элементарный объем. Это позволяет в пределах элементарного объема и выбранного малого отрезка времени пренебречь изменением некоторых величин, характеризующих процесс, и сущест- венно упростить зависимость. Выбранные таким образом элементарный объем dv и элементар- ный промежуток времени dx, в пределах которых рассматривается изу- чаемый процесс, с математической точки зрения являются величинами бесконечно малыми, а с физической точки зрения-—величинами еще достаточно большими, чтобы в их пределах можно было игнорировать дискретное строение среды и рассматривать ее как континуум (сплош- ную). Полученная таким образом зависимость является общим диффе- ренциальным уравнением рассматриваемого процесса. Интегрируя диф- ференциальные уравнения, можно получить аналитическую зависимость между величинами для всей области интегрирования и всего рассматри- ваемого промежутка времени. При решении задач, связанных с нахождением температурного по- ля, необходимо иметь дифференциальное уравнение тепло- проводности. Для облегчения вывода этого дифференциального уравнения сде- лаем следующие допущения: тело однородно и изотропно; физические параметры постоянны; деформация рассматриваемого объема, связанная с изменением температуры, является очень малой величиной по сравнению с самим объемом; внутренние источники теплоты в теле, которые в общем случае мо- гут быть заданы как qv=f(x, у, z, т), распределены равномерно. В основу вывода дифференциального уравнения теплопроводности положен закон сохранения энергии, который в рассматриваемом случае может быть сформулирован следующим образом: количество теплоты dQ, введенное в элементарный объем извне за время dx вследствие теп- лопроводности, а также от внутренних источников, равно изменению внутренней энергии или энтальпии вещества (в зависимости от рассмо- трения изохорического или изобарического процесса), содержащегося в элементарном объеме: (1-22) 17 2—S7
где dQi — количество теплоты, Дж, введенное в элементарный объем путем теплопроводности за время dr; dQ%—количество теплоты, кото- рое за время dr выделилось в элементарном объеме dv за счет вну- тренних источников; dQ—изменение внутренней энергии или энтальпии вещества, содержащегося в элементарном объеме dv, за время dr. Для нахождения составляющих уравнения (1-22) выделим в теле эле- ментарный параллелепипед со сторо- нами dx, dy, dz (рис. 1-11). Паралле- лепипед расположен так, чтобы его грани были параллельны соответству- ющим координатным плоскостям. Количество теплоты, которое под- водится к граням элементарного объ- ема за время dr в направлении осей Ох, Оу, Oz, обозначим соответственно dQx, dQv, dQz. Количество теплоты, которое бу- дет отводиться через противополож- ные грани в тех же направлениях, обозначим соответственно c/Qx+dx. Рнс. 1-11. К выводу дифференциаль- ного уравнения теплопроводности. dQy+dy, dQz±dz. Количество теплоты, подведенное к грани dydz в на- правлении оси Ох за время dr, составляет dOx=qxdy dz dr, где qx— проекция плотности теплового потока на направление нормали к ука- занной грани. Количество теплоты, отведенное через противоположную грань элементарного параллелепипеда в направлении оси Ох, запи- шется как dQx+dx—Qx+dxdy dz dr. Разница количеств теплоты, подведенного к элементарному парал- лелепипеду и отведенного от него за время dr в направлении оси Ох, представляет собой количество теплоты dQxi^dQx dQx+ax или dQxi=qxdy dz dr—qx+axdy dz dr. (a) Функция qx+dx является непрерывной в рассматриваемом интервале dx и может быть разложена в ряд Тейлора: л —л । Ду I а2<?* dx* i <7x+rfx — <7x~r дзс ax-[- 2! -f-... Если ограничиться двумя первыми членами ряда, то уравнение (а) запишется в виде dQXi = — —^dxdydz dr. (б) Аналогичным образом можно найтн количество теплоты, подводи- мое к элементарному объему и в направлениях двух других координат- ных осей Оу и Oz. Количество теплоты dQ, подведенное теплопроводностью к рассма- триваемому объему, будет равно: ^ = - (sr+t+s?) ^xdydzd^ (в) 18
С учетом сказанного в общем виде уравнение (1-27) запишется следующим образом: = (1-28) Коэффициент пропорциональности а, м2/с, в уравнении (1-28) назы- вается коэффициентом температуропроводности и явля- ется физическим параметром вещества. Он существен для нестационар- ных тепловых процессов и характеризует скорость изменения темпера- туры. Если коэффициент теплопроводности характеризует способность тел проводить теплоту, то коэффициент температуропроводности являет- ся мерой теплоинерционных свойств тела. Из уравнения (1-28) следует, что изменение температуры во времени dtjdx для любой точки прост- ранства пропорционально величине а. Иначе говоря, скорость измене- ния температуры в любой точке тела 'будет тем больше, чем больше коэффициент температуропроводности а. Поэтому при прочих равных условиях выравнивание температур во всех точках пространства будет происходить быстрее в том теле, которое обладает большим коэффи- циентом температуропроводности. Коэффициент температуропроводно- сти зависит от природы вещества. Например, жидкости и газы обладают большой тепловой инерционностью и, следовательно, малым коэффи- циентом температуропроводности. Металлы обладают малой тепловой инерционностью, так как они имеют большой коэффициент температу- ропроводности. Далее, если система тел не содержит внутренних источ- ников тепла (<7=0), тогда выражение (1-28) принимает форму уравне- ния Фурье: ^- = ov^. 4 (1-29) Если имеются внутренние источники теплоты, но температурное поле соответствует стационарному состоянию, т. е. t=t(x, у, г), то диф- ференциальное уравнение теплопроводности превращается в уравнение- Пуассона: +-^=о. (1-30) <)х2 1 ду2 1 ог2 1 Л ' ' Наконец, для стационарной теплопроводности и отсутствия внутрен- них источников теплоты выражение (1-27) принимает вид уравнения Лапласа: ^+Д+^ = 0- (1-31) дх2 1 Оу2 1 dz2 ' ' Нахождение частных решений этих уравнений в частных производ- ных и некоторых других является основным содержанием теории тепло- проводности. 1-7. УСЛОВИЯ ОДНОЗНАЧНОСТИ ДЛЯ ПРОЦЕССОВ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ Так как дифференциальное уравнение теплопроводности выведено на основе общих законов физики, то оно описывает явление теплопро- водности в самом общем виде. Поэтому можно сказать, что полученное дифференциальное уравнение описывает целый класс явлений тепло- проводности. Чтобы из бесчисленного количества выделить конкретно рассматриваемый процесс и дать его полное математическое описание, к дифференциальному уравнению необходимо присоединить математи- ческое описание всех частных особенностей рассматриваемого процесса. 21
Эти частные особенности, которые совместно с дифференциальным урав- нением дают полное математическое описание конкретного процесса теплопроводности, называются условиями однозначности и л н краевыми условиями. Условия однозначности включают в себя: геометрические условия, характеризующие форму и размеры тела, в которых протекает процесс; физические условия, характеризующие физические свойства среды и тела; временные (начальные) условия, характеризующие распределение температур в изучаемом теле в начальный момент времени; граничные условия, характеризующие взаимодействие рассматри- ваемого тела с окружающей средой. Геометрическими условиями задаются форма и линейные размеры тела, в котором протекает процесс. Физическими условиями задаются физические параметры тела Z, с, р и др. и может быть задан закон распределения внутренних источников теплоты. Начальные условия необходимы при рассмотрении нестацио- нарных процессов и состоят в задании закона распределения темпера- туры внутри тела в начальный момент времени. В общем случае началь- ное условие'аналитически может быть записано следующим образом: при т—О t=f(x, У, г}. (1-32) В случае равномерного распределения температуры в теле началь- ное условие упрощается: при т=0 const. (1-33) Граничные условия могут быть заданы несколькими спо- собами. а) Граничные условия первого р од а. При этом задается распределение температуры на поверхности тела для каждого момента времени: io=f(x, у, z, т), (1-34) где ta—температура на поверхности тела; х, у, Z—координаты поверх- ности тела. В частном случае, когда температура на поверхности является по- стоянной на протяжении всего времени протекания процессов тепло- обмена, уравнение (1-34) упрощается и принимает вид: tc — const. б) Граничные условия второго рода. При этом зада- ются значения теплового потока для каждой точки поверхности тела и любого момента времени. Аналитически это можно представить следующим образом: qn=f(x, у, г, т), (1-35) где qn—плотность теплового потока иа поверхности тела; х, yt z—как и в случае (1-34)—координаты на поверхности тела. В простейшем случае плотность теплового потока по поверхности и во времени остается постоянной: <7п=<7о~ const. (1-36) 22
Такой случай теплообмена имеет место, например, при нагревании различных металлических изделий в высокотемпературных печах. в) Граничные условия третьего рода. При этом зада- ются температура окружающей среды /И! и закон теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой. Граничное условие третьего рода характеризует закон теплообмена между поверхностью и окру- жающей средой в процессе охлаждения и нагревания тела. Для описа- ния процесса теплообмена между поверхностью тела и средой исполь- зуется закон Ньютона—Рихмана. Процесс теплообмена между поверхностью тела и средой относится к очень сложным процессам и зависит от большого количества пара- метров. Подробно эти вопросы будут рассмотрены во второй и третьей частях учебника. Согласно закону Ньютона—Рихмана количество теплоты, отдавае- мое единицей поверхности тела в единицу времени, пропорционально разности температур поверхности тела 7С и окружающей среды <7=а(/с—Ак), (1-37) где а — коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом теплоотдачи, Вт/(м2-К). Коэффициент теплоотдачи характеризует интенсивность теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой. Численно он равен количеству теплоты, отдаваемому (или воспринимаемому) единицей поверхности в единицу времени при разности температур меж- ду поверхностью тела и окружающей средой, равной одному градусу. Согласно закону сохранения энергии количество теплоты, которое отводится с единицы поверхности в единицу времени вследствие тепло- отдачи {уравнение (1-37)], должно равняться теплоте, подводимой к еди- нице поверхности в единицу времени вследствие теплопроводности из внутренних объемов тела [уравнение (1-10) *], т. е. a(te — ts)=— 2^-) , (1-38) -где п— нормаль к поверхности тела; индекс «с» указывает на то, что температура -и градиент относятся к поверхности тела (при п=0). Окончательно граничное условие третьего рода можно записать в виде (эй-) = ' — (I-39) X /с Уравнение (1-39) по существу является частным выражением зако- на сохранения энергии для поверхности тела. Коэффициент теплоотдачи зависит от большого числа факторов. Однако во многих случаях коэффициент теплоотдачи можно считать неизменным, поэтому мы будем в дальнейшем при решении задач тепло- проводности принимать величину а постоянной. г) Граничные условия четвертого р о д а характеризует условия теплообмена системы тел или тела с окружающей средой по закону теплопроводности. Предполагается, что между телами осущест- * Это положение справедливо и для случая обратного направления теплового по- тгока. 23
вляется идеальный контакт (температуры соприкасающихся поверхно- стей одинаковы). В рассматриваемых условиях имеет место равенство тепловых по- токов, проходящих через поверхность соприкосновения: л* (^),=Яг (1-40> В задачах с граничным условием четвертого рода задается отноше- наклона касательных к температурным кривым ние тангенсов угла Рис. 1-12. К граничным условиям четвертого рода. в точке соприкосновения тел или тела и сре- ды 1 * * * (рис. 1-12): ЧХ1..—const. (1-41) tg ¥2 Xi ' ' Так как при совершенном контакте оба тела на поверхности соприкосновения имеют одинаковую температуру, то касательные у по- верхности раздела проходят через одну и ту же точку (рис. 1-12). Дифференциальное уравнение (1-28) со- вместно с условиями однозначности дают пол- ную математическую формулировку конкрет- ной задачи теплопроводности. Поставленная таким образом задача разрешается аналити- ческим, численным или экспериментальным методом. В случае экспериментального решения задач теплопроводно- сти используются методы физического моделирования илн тепловых аналогий (гл. 5 и 6). I лава вторая ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ПРИ СТАЦИОНАРНОМ РЕЖИМЕ 2-1. ПЕРЕДАЧА ТЕПЛОТЫ ЧЕРЕЗ ПЛОСКУЮ СТЕНКУ При установившемся, или стационарном, тепловом режиме темпе- ратура тела во времени остается постоянной, т. е. дЦдх—Ъ. При этом дифференциальное уравнение теплопроводности будет иметь вид: + (2-1) ИЛИ = (2-1') 1 А Если внутренние источники теплоты отсутствуют (?г=0), то урав- нение (2-1) упростится и примет вид: ?Ч=0 (2-2) или ^4.^4.^= О (2-2-) дхг ' t)yz ’ dz8 v v / 1 Граничные условия четвертого рода дают по существу правило сопряжения тем- пературных полей объекта исследования и внешнего тела, в котором тепло передается путем теплопроводности. Для однозначной ‘ формулировки задачи в этом случае, есте- ственно. необходимы дополнительные сведения о протекании процесса во внешнем теле 24
В настоящей главе рассматривается теплопроводность в телах про- стейшей геометрической формы. При этом случаи, когда внутренние источники теплоты отсутствуют (<7®=0) и когда они имеются рассматриваются раздельно. Первым объектом рассмотрения является передача теплоты через плоскую стенку при qv—0. а) Граничные условия первого рода Рассмотрим однородную и изотропную стенку толщиной б с посто- янным коэффициентом теплопроводности %. На наружных поверхностях стенки поддерживают постоянными температуры tci и tC2- При заданных условиях температура будет изме- няться только в направлении, перпендикулярном пло- скости стенки. Если ось Ох направить, как показано на рис. 2-1, то температура в направлении осей Оу и Oz будет оставаться постоянной: _________п д у dz В связи с этим температура будет функцией только одной координаты х и дифференциальное урав- нение теплопроводности для рассматриваемого случая запишется в виде Рис. 2-1. Однород- ная плоская стен- ка. dzt dx* (2-3) Граничные условия в рассматриваемой задаче зададим следующим образом: при Л = о < = при х — В t = fcs. f Уравнение (2-3) и условия (2-4) дают полную математическую фор- мулировку рассматриваемой задачи. В результате решения поставленной задачи должно быть найдено распределение температуры в плоской стенке, т. е. f=f(x), и получена формула для определения количества теплоты, проходящего в единицу времени через стенку. Закон распределения температур по толщине стенки найдется в ре- зультате двойного интегрирования уравнения (2-3). Первое интегрирование дает: (2-5) После второго интегрирования получим: f=Cix+C2. (2-6) Из уравнения (2-6) следует, что при постоянном коэффициенте теп- лопроводности температура в стенке изменяется по линейному закону. Постоянные Ci н 0% в уравнении (2-6) определяются из граничных условий: при х=0 и Сг=/с1; при X — В ^=/са и Ct =-------Zel Т-~. 25
Подставляя значения постоянных Q и С2 в уравнение (2-6), полу- чаем закон распределения температуры в рассматриваемой плоской стейке: t=tu- х. (2-7) Если отсчет избыточной температуры в стенке вести от наименьшей заданной температуры iC2> то уравнение (2-7) можно привести к безраз- мерному виду. Обозначим &t=t—— текущий температурный напор или избы- точная температура; &to=tct—tcz—полный температурный напор или наибольшая избыточная температура. ' После введения этих обозначений уравнение (2-7) запишется сле- дующим образом: Д<=М, —(2-8) ИЛИ М | X Ы, 8 ' Обозначим А</Д<о=в — безразмерный температурный напор или безразмерная избыточная температура; х/б=Х—безразмерная коорди- ната; получим: 0=1— X. (2-8') ’ Уравнение температурного поля (2-8') является универсальным. Его универсальность заключается в том, что распределение температу- ры в стенке можно представить единой прямой в отрезках на осях для любого заданного значения tci, tcz и б (рис. 2-2). В ряде случаев поль- зоваться безразмерными уравнениями весьма удобно. Для определения количества теплоты, про- ходящего через единицу поверхности стенки в единицу времени в направлении оси Ох, вос- пользуемся законом Фурье, согласно которому q =—hdt/dx. Учитывая, что dtjdx—Ci= = (tci—iez) /6, после подстановки значения dtjdx в выражение закона Фурье получим: (2-9) Из уравнения (2-9) следует, что количество теплоты, проходящее через единицу поверхности стенкн в единицу времени, прямо пропорцио- нально коэффициенту теплопроводности X, разности температур на на- ружных поверхностях стенки —^с2 и обратно пропорционально тол- щине стенки б. Следует указать, что тепловой поток определяется не абсолютным значением температур, а их разностью t&—tC2=&tt кото- рую принято называть температурным напором. Отношение Z/ё, Вт/(м2-К) называется тепловой проводимостью стен- ки, а обратная величина 6/Х, м2-К/Вт — тепловым или термическим со- противлением стеики. Последнее представляет собой падение темпера- туры в стенке на единицу плотности теплового потока. Зная плотность ^теплового потока, легко вычислить общее количество теплоты ко- 26 поле температур в пло- ской стенке 0=1—X.
торое передается через поверхность стенкн величиной F за промежуток времени т: Q^—qFt=—-(tn — tCi)Ft. (2-10) Из уравнения (2-9) найдем: if Г‘ После введения этого выражения в уравнение температурного поля (2-7) получим: t = ta-j-x. (2-11) Из уравнения (2-11) следует, что при прочих равных условиях тем- пература в стенке убывает тем быстрее, чем больше плотность тепло- вого потока Выражения (2-7) и (2-9) получены в предположении, что 7=const. В действительности X является переменной величиной. Рассмотрим случай, когда коэффициент теплопроводности являет- ся только функцией температуры: Х=Х(/). Для многих материалов зависимость коэффициента теплопровод- ности от температуры близка к линейной: %—Хо(1 +Й1), где — значение коэффициента теплопроводности при 0°С. На основании закона Фурье <7=- Ло(1 +&Z) (а) Разделяя переменные и интегрируя выражение (а) в пределах от х=0 до х=б в интервале температур от tci до tcz, получаем: р + 6<А1±Ы| {41 _ tra). (б) В выражении (б) множитель (1 + &. ^ .±-^) является' среднеинтегральным значением коэффициента теплопровод- ности, т. е. Яер = -^Р«Л‘ (2‘12> *С2 При этом плотность теплового потока qt иа поверхности пла- стины <7=^&.-42). (2-13) Из уравнения (2-13) следует, что если коэффициент теплопровод- ности % зависит от температуры, то q можно вычислять в предположе- нии, что 7= const, принимая для него среднеинтегральное значение в интервале температур от tci до tez- 27
Интегрируя выражение (а) в пределах от х = 0 до любой текущей координаты х и в интервале температур от tci до t, получаем выраже- ние для температурного поля: *=I2-14) Из этого уравнения следует, что температура в стенке изменяется не линейно, а по кривой. Характер температурной кривой определяется знаком и числовым значением коэффициента Ь. Рассмотрим теплопроводность многослойной плоской стенки, состо- ящей из п однородных слоев. Примем, что контакт между слоями со- вершенный и температура на соприкасающихся поверхностях двух сло- ев одинакова. При стационарном режиме тепловой поток, проходящий через лю- бую изотермическую поверхность неоднородной стенки, один и тот же: dq/dx=G. При заданных температурах на внешних поверхностях такой стен- ки, размерах слоев и соответствующих коэффициентах теплопроводно- сти можно составить систему уравнений: Q = (^С1 ^С2^’ (42 —<с8): Определив температурные напоры из (в) в каждом слое и сложив правые и левые части полученных уравнений, будем иметь: Отсюда плотность теплового потока Величина =Бг/Яг, равная сумме термических сопротивлений всех п слоев, называется полным термическим сопротивлением теплопроводно- сти многослойной стенкн. При сравнении переноса теплоты через многослойную стенку и стенку из однородного материала удобно ввести в рассмотрение эквива- лентный коэффициент теплопроводности Хэкв многослойной стенки. Он равен коэффициенту теплопроводности однородной сгенки, толщина ко- I—п торой Л равна толщине многослойной стенки а термическое сопро- 28
тивление равно термическому сопротивлению рассматриваемой много- слойной стенки, т. е. Отсюда i=n S»« 1=1 (2-16) Из уравнения (2-16) следует, что эквивалентный коэффициент теп- лопроводности Лжи зависит не только от теплофизических свойств сло- ев, но и от их толщины. Температуры на границах соприкосновения двух соседних слоев равны: _ _ а.. *са — *7 * (2-17) Внутри каждого из слоев температура изменяется согласно (2-7) нли (2-14), а для многослойной стенки в целом температурная кривая представляет ломаную линию б) Граничные условия третьего рода (теплопередача) Передача тепла из одной подвижной среды (жидкости илн газа) к другой через разделяющую их однородную или многослойную твер- дую стенку любой формы называется теплопередачей Теплопере- дача включает в себя теплоотдачу от более го- рячей жидкости к стенке, теплопроводность в стенке, теплоотдачу от стенки к более холод- ной подвижной среде. Рассмотрим теплопередачу через однород- ную и многослойную плоские стенки. Пусть плоская однородная стенка имеет тол- щину 6 (рис 2-3) Заданы коэффициенты тепло- проводности стенки X температуры окружающей среды /Ж1 и /Ж2, а также коэффициенты тепло- отдачи си и «г; будем считать, что величины ^«2, «1 и о2 постоянны и не меняются вдоль по- верхности. Это позволяет рассматривать изме- нение температуры жидкостей и стенки только Рис 2-3 Теплопередача через плоскую стенку. в направлении, перпендикулярном плоскости стенкн. 29
При заданных условиях необходимо найти тепловой поток от горя- чей жидкости к холодной и температуры на поверхностях стенки. Плотность теплового потока от горячей жидкости к стенке опреде- ляется уравнением —/ci). (2-18) При стационарном тепловом режиме тот же тепловой поток прой- дет путем теплопроводности через твердую стенку: 9=T-fe-W. (2-19) Тот же тепловой поток передается от второй поверхности стенки к холодной жидкости за счет теплоотдачи: <7 = ci2(^c2 Акг). (2-20) Уравнения (2-18)—(2-20) можно записать в виде Я а А1» _а__. , , Q --- ^С1 ИС2» *7 ~== ^«2* o-Z Сложив равенства (2-21) почленно, получим: / 1 । s । 1 \_____________________. 1 9 ^7 ’ ~ ’ ^7) ~~trJ2' Отсюда плотность теплового потока, Вт/м2, — __________________ tfKi ' Ч~~ 1 6 1 ’ 6Ц X и2 Обозначим: J_+2+J_ =й’ ат а X а2 (2-21) (2-22) (2-23) Эта величина измеряется в Вт/(м2-К). С учетом (2-23) уравнение (2-22) можно записать в виде q=k(tKl—/>„2), Вт/м2. (2-24) Величина k имеет ту же размерность, что и а, и называется коэф- фициентом теплопередачи. Коэффициент теплопередачи k харак- теризует интенсивность передачи теплоты от одной жидкости к другой через разделяющую их стенку и численно равен количеству теплоты, которое передается через единицу поверхности стенки в единицу вре- мени при разности температур между жидкостями в один градус. Величина, обратная коэффициенту теплопередачи, называется полным термическим сопротивлением теплопередачи. Полное термическое сопротивление однослойной стенки запишется: R = ‘ (2-25) k <*i 1 X 1 а2 30
Из (2-25) видно, что полное термическое сопротивление складыва- ется из частных термических сопротивлений 1/сц, бД и 1/аг, причем l/cti~jRi — термическое сопротивление теплоотдачи от горячей жидко- сти к поверхности стенки; б/%=/?с—: термическое сопротивление тепло- проводности стенки; 1/аг=-/?2—-термическое сопротивление теплоотда- чи от поверхности стенки к холодной жидкости. Поскольку общее термическое сопротивление состоит из частных термических сопротивлений, то совершенно очевидно, что в случае мно- гослойной стенки нужно учитывать термическое сопротивление каждого слоя. И если стенка состоит из слоев, то полное термическое сопротив- ление теплопередачи через такую стенку будет равно: или 1=1 Отсюда k =---------------------------. (2-26) 1=1 Плотность теплового потока через многослойную стенку, состоя- щую нз п слоев, будет равна*. q=-------Д--------=*(U-W- (2-27) Уравнение (2-27) для многослойной стенки подобно уравнению (2-24) для однородной плоской стенки. Различие заключается в выра- жениях для коэффициентов теплопередачи k. При сравнении уравнений (2-26) и (2-23) видно, что соотношение (2-23) является частным случа- ем уравнения (2-26), когда п=1. Тепловой поток Q, Вт, через поверхность F твердой стеикн Q=qF=kMF. (2-28) Температуры поверхностей однородной стенки можно найти из уравнений (2-21). Из них следует, что или , , 1 -С2---------------------------- Ч • Из сопоставления уравнений (2-15) и (2-27) следует, что передача теплоты через многослойную стенку при граничных условиях первого рода является частным случаем общего случая передачи теплоты при граничных условиях третьего рода. 31
На основании сказанного температура на границе любых двух сло- ев i и i+1 при граничных условиях третьего рода может быть опреде- лена по уравнению U+1) =U - Q (-^+j -£-)• <2-29) Наряду с уравнением (2-29) для расчета граничных температур применяются и графические методы. Рассмотрим графический метод определения температур на поверх- ностях слоев неоднородной стенки, в основу которого положено свой- ство линейной зависимости температурного напора в стенке от ее тер- мического сопротивления: t-iKi ^Ж2--------------Ц k » или для любого слоя . , _ в* *сг гс(г'+1)'—Q X ' Такая зависимость дает возможность построить фиктивную стенку, в которой толщины слоев будут пропорциональны соответствующим тер- Рис. 2-4. Графический способ определения температур. мическим сопротивлениями, а внешние тер- мические сопротивления теплоотдачи l/«i и I/аг учитываются введением двух услов- ных граничных слоев соответствующей тол- щины. Сущность метода поясним на приме- ре трехслойной стенки. Общее термическое сопротивление те- плопередачи через такую стенку равно*. Отложим на горизонтали отрезки OiAi, Д1Л2, Л2Л3, Л3Л4 и Л4О2, соответственно рав- ные термическим сопротивлениям 1/сц, 62/Х2, бз/Хз и I/аг (рис. 2-4). В точках Oi, Д1, А2, Л3, А4, О2 поставим перпендику- ляры и на О1Л1 и О2К2 отложим в некотором масштабе температуры по- движных сред tmi н /«2. Соединим прямой линией точки Ci и Bz- Отрезки Л1£1, А2Е2, А3Е3 и будут равны искомым температурам /ci, ^с2. Ьз и ^С4- Из подобия треугольников и CiC2Ei следует, что СхСй__С^Ег GC3 1/а, С,В, ИЛИ (2-30) Из отношения (2-30) следует, что CiC2=Aki—tcl, следовательно, отрезок A iEi = О4С4— CiCz—tct- Аиалогичным образом доказывается, что и отрезки АъЕг, А3Е3 и А4Е4 соответственно равны температурам и t^. 32
в) Граничные условия второго и третьего рода Рассмотрим случай, когда при передаче теплоты через однородную и изотропную стенку на одной ее поверхности заданы граничные усло- вия второго рода в виде ?c = const (при х=0); иа другой поверхности за- даны коэффициент теплоотдачи и2 и температура окружающей среды 6кг, т. е. граничные условия третьего рода (рис. 2-5). Внутренние источники в стенке отсутствуют (q^=0). Такая задача сводится к нахождению распре- деления температуры в стейке и температур на ее поверхности. В силу стационарности теплового ре- жима можно записать следующие уравнения: 9<р=аг(42—(2-31) Из уравнений (2-31) следует, что при задан- ном значении qc /с2 = /».2 + 9о -у-; ^1 = ^.2+ <70 f^-+4-)-(2-32) и2 \ а2 •Г- J Если мы имеем многослойную стенку, состоя- щую из п однородных слоев, то температура на ее поверхностях и на границе слоев может быть определена по следующим уравнениям: на внешней правой поверхности ^c(n+i) — ^иса + ^с _ • на внешней левой поверхности ^С1 == itss + Qc на поверхности между слоями m — 1 и m (2-33) Распределение температуры внутри любого слоя найдется по урав- нениям (2-7) или (2-14). 2-2. ПЕРЕДАЧА ТЕПЛОТЫ ЧЕРЕЗ ЦИЛИНДРИЧЕСКУЮ СТЕНКУ (у„=0) а) Граничные условия первого рода Рассмотрим стационарный процесс теплопроводности в цилиндри- ческой стенке (трубе) с внутренним диаметром di=2rt и наружным ди- аметром г/2=2г2 (рис 2-6). На поверхностях стенки заданы постоянные температуры fcl и <са: В заданном интервале температур коэффициент теплопроводности ма- териала стенки Л является постоянной величиной. Необходимо найти распределение температур в цилиндрической стейке и тепловой поток •через нее. 3—87 33
В рассматриваемдм случае дифференциальное уравнение теплопро- водности удобно записать в цилиндрической системе координат: 2, d‘t . 1 dt । i ач . ач л = ----з—Г-?-=0- (2-34) v dr2 1 г dr 1 г2 d^ 1 vz2 ' 1 При этом ось Oz совмещена с осью трубы. При заданных условиях температура изменяется только в радиаль- ном направлении и температурное поле будет одномерным. Поэтому dt п дЧ г , , з— = 0 и з-; = 0. (а) dz dz2 ' ’ Кроме того, так как температуры на наружной и внутренней по- верхностях трубы неизменны, изотермические поверхности являются цилиндрическими, имеющими с трубой общую ось. Тогда температура не должна изменяться также вдоль <р. т. е. С учетом (а) и (б) уравнение (2-34) примет вид: ^-+—^-=0. (2-35) dr2 1 г dr \ / Граничные условия: при r = r, f=fci; 1 (2 36) При г = г2 t~tC2. ) Если решить уравнение, (2-35) совместно с (2-36), получим уравне- ние температурного поля в цилиндрической стенке. Введем новую переменную тогда d2t _du w 1 dt ________________________ и , , d^~~dT' ~T dT~~~T’ 1Г‘ Подставляя (в) и (г) в уравнение (2-35), получаем: ^+±и = 0. (2-37) Интегрируя (2-37), получаем: 1п и+1п г=1п Ci. (д) Потенцируя выражения (д) и переходя к первоначальным пере- менным, получаем: rft=C,^-- (е) После интегрирования получим: f=C1lnr+C2. (2-38) Постоянные С, и С2 можно определить, если в уравнение (2-38) подставить граничные условия: при r = r, Z=fw> отсюда ta = CjlnG-f-C,; 1 при г==г2 /=4а> отсюда 42 = C,lnra+ Сг. ) 34
Решение уравнений (ж) относительно Ct и С„ дает С,= 7Г 111 Подставив значения Ct и С2 в уравнение (2’38), получим: *“ г. t — ici * (^Cl tcs) - In “ ri или d In t=tci - (tci - tC2) ---(2-39) ln 'd7 Полученное выражение представляет собой уравнение логарифми- ческой кривой. То обстоятельство, что распределение температуры в ци- линдрической стенке является криволинейным, можно объяснить сле- дующим. В случае плоской стенки плотность теплового потока q остается одинаковой для всех изотермических поверхностей. По этой причине градиент температуры сохраняет для всех изотермических поверхно- стей постоянную величину. В случае цилиндрической стенки плотность теплового потока через любую изотермическую поверхность зависит от радиуса. • Для нахождения количества теплоты, прохо- дящего через цилиндрическую поверхность вели- чиной F в единицу времени, можно воспользо- ваться законом Фурье: Подставляя в уравнение закона Фурье зна- чение градиента температуры согласно уравне- нию (е), получаем (учитывая, что F=2nrZ): Рис. 2-6. Теплопровод- ность цилиндрической стеики. Q -___ ^сг) . 1 1ПИГ (2-40) здесь Q измеряется в ваттах. Из уравнения (2-40) следует, что количество теплоты, проходящее через цилиндрическую стенку в единицу времени, полностью определя- ется заданными граничными условиями и не зависит от радиуса. Тепловой поток (2-40) может быть отнесен либо к единице длины трубы, либо к единице внутренней или внешней поверхности. При этом расчетные формулы для плотности теплового потока, Вт/м2, прини- мают вид: Q T.d,l = <h Gel — и 1 d' 111 (2-41) 3* 35
(тепловой поток через единицу внутренней поверхности); Q ____п 2Л — *««) (2-42} d2lndT (тепловой поток через единицу наружной поверхности); "(/с1~Хсг)' i2'43) 2Г1п 2Г (поток теплоты, проходящий через единицу длины трубы, Вт/м). Тепловой поток, отнесенный к единице длины трубы, измеряется в Вт/м и называется линейной плотностью теплового пото- ка. Как видно из уравнения (2-43), при неизменном отношении dildi линейная плотность теплового потока не зависит от поверхности цилин- дрической стеики. Плотности теплового потока 71 и qz (отнесенные к внутренней и внешней поверхности) в случае передачи теплоты через трубу неодинаковы, причем всегда qOqz. Последнее ясно видно из уравнений (2-41) и (2-42). Из уравнений (2-41)--(2-43) легко установить связь между вели- чинами 72 и qi. qi=ndlqi=ndzqz. (2-44) В случае, когда коэффициент теплопроводности является функцией температуры вида X(f) =Ло(1 +Ztf), можно показать, что тепловой поток можно вычислить по той же формуле, что и для случая Х=const: . (2-45) При этом следует помнить, что в формуле (2-45) Аср является сред- иеинтегральиым значением коэффициента теплопроводности: #С1 Л‘»=(Ге.-/й) f *С2 Для нахождения температурного поля в случае Х=Х(О =|^о(1+^0 можно воспользоваться уравнением закона Фурье, записанного для ци- линдрической стеики: й=-Л(0 ^-2хг. (2-46) Если разделить переменные и проинтегрировать уравнение (2-46) в пределах от r=ri до г и от t~tci ДО t и найти из полученного интег- рала t, получим выражение для температурного поля следующего вида: Г d / Ci In -s— *=y (2-47> 36
б) Граничные условия третьего рода (теплопередача) Рассмотрим однородную цилиндрическую стенку (трубу) с посто- янным коэффициентом теплопроводности X. Заданы постоянные темпе- ратуры подвижных сред t№i и и постоянные значения коэффициен- тов теплоотдачи на внутренней и наружной поверхностях трубы сц и «2 (рис. 2-7) Необходимо найти qi и tc. Будем полагать, что длина трубы велика по сравнению с толщиной стенки. Тогда трубы можно пренебречь, и при устано- вившемся тепловом режиме количество теплоты, которое будет передаваться от горячей среды к поверхности стенки, про- ходить через стенку и отдаваться от стенки к холодной жидкости, будет одно и то же. Следовательно, можно написать: Qi — Ci)> Л (См Сг) . ®~7Г7 '£1. ’ 2Л 1п а, Ql--OiJIUit (/с2 Лиг) • (2-48) потерями теплоты с торцов Рис. 2-7. Теплопередача через однородную цилиндрическую стен- ку Представим эти уравнения следующим образом: 2/, 1 d, • / ____/ — Лк. 1С1 4С2---- (2-48<) f _/ — 41 । . -« л aEd, Складывая уравнения, входящие в систему (2-48'), получаем тем- пературный напор: — ~ ( Oid| + 2Х +-^)- Отсюда следует: „ _ Ж"б^н<1 ~ ...; , • tx*rfx ЗА n dt Обозначим: k,= 1 , a,d, Т2Л d, агЙг С учетом (2-50) уравнение (2-49) запишется: 91 == (С| Л|'з)- (2-49) (2-50) (2-49') Величина называется линейным коэффициентом тепло- передачи, он измеряется в Вт/ (м • К). Он характеризует иитенсив- 37
«гость передачи теплоты от одной подвижной среды к другой через раз- деляющую их стенку. Значение ki численно равно количеству теплоты, которое проходит через стенку длиной I м в единицу времени от одной •среды к другой при разности температур между ними 1 град. Величина обратная линейному коэффициенту теплопере- дачи, называется линейным термическим сопротивлением теплопередачи. Она равна (2-51) fej txjdi 2Х di v-zdz ' здесь Ri измеряется в м-К/Вт. Отдельные составляющие полного термического сопротивления представляют собой: 1/aidj и 1/«2&— термические сопротивленчя теплоотдачи на соответст- вующих поверхностях, обозначим их соответственно Ru иЯв;^-1п-^~ термическое сопротивление теплопроводности стенки, обозначим его через Ric. Следует отметить, что линейные термические сопротивления тепло- отдачи для трубы определяются не только коэффициентами теплоотда- чи ai и аг, но и соответствующими диаметрами. Если тепловой поток через цилиндрическую стенку отнести к внут- ренней или наружной поверхности стенкн, то получим плотность тепло- вого потока, Вт/м2, отнесенную к единице соответствующей поверхно- -сти трубы: __ Q ____. 41-- И1Н1 Гже!» ;лли 92 = d? ~?Ж2> 01 = М^КГ —tnv&) \ биг), где k^=kijdi и kz—fci/dz. Последнее соотношение устанавливает связь между коэффициен- том теплопередачи при отнесении теплового потока к единице длины дилиндрической стенки и к единице поверхности: Л/=d iki == здесь ki измеряется в Вт/(м • К). Формулы же для и kz, Вт/(м2-К)» в развернутом виде имеют вид: 1 . . ds . di * а, * 2Х 1П di + a2d2 (2-52) 1 dz dz ds I ТГ'йт+йГ111 dT+T? На практике часто встречаются цилиндры, толщина стенок которых мала по сравнению с диаметром. В этом случае при расчетах можно -38
пользоваться упрощенными формулами Для получения таких формул поступим следующим образом. Величину In разложим в ряд: Если отношение dz/dt—И, то такой ряд сходится быстро, и с доста- точной точностью можно ограничиться первым членом ряда: < <^2 _ ( ^2 1 \ __ds --dt __26 ln ~ = где 6 — толщина цилиндрической стенки, м. Подставив полученное значение в уравнение (2-52), получиьк fe. = T- Л г- (2-53> -—। Ctj Л 6^2 Следовательно, если стейка трубы тонкая, то при практические расчетах можно пользоваться формулой Q ~ fatdxl (t }Ki—, (2-54 где k, Вт/(м2-К) взят согласно формуле (2-53), т. е. как для плоской? стенки. При этом, если dz]di<2, погрешность расчета не превышает4%. Для многих технических расчетов ошибка, не превышающая 4%, впол- не допустима Обычно в инженерных расчетах при dzjd^SZ 1,8 пользуют- ся формулой (2-54). Ошибку можно уменьшить, если в качестве расчетной поверхности в (2-54) брать поверхность, со стороны которой а меньше: 1) если ai>>ct2, то dx=dz', 2) если то dx—di- a л di-}— о) если <ц^а2, то ах=-—~—. В случае теплопередачи через многослойную цилиндрическую стен- ку система равенств (2-48') должна быть заменена системой, учитыва- ющей-сопротивление теплопроводности всех слоев: j. / __ Qi 1 ^n+i. Гсп Гс(п+1)— я 2Лп1П dn * 4(n+i ) — <«, =-7- „2йп+1 • (2-55J за»
После сложения равенств (2-55) и решения относительно qi, Вт/м, получим: п (^ио ^я<г) qi = *’S'^rIn^i+d^7 (2-56) ИЛИ Величина ' Ql — tms)- (2-56') a-idi +" S 2?ч 1п dt + М, (2-56") называется полным термическим сопротивлением многослойной цилинд- рической стенки и измеряется в м - К/Вт. Из уравнения (2-55) следует, что f — f £i_ L r«—гж, „ „id] ^са — 2А, (2-57) ^с(г'-н)----л В случае задания граничных условий первого рода их можно рас- сматривать как предельный случай граничных условий третьего рода, когда коэффициенты теплоотдачи на поверхностях <ц и аз устремляют- ся к бесконечности, в силу чего Лк, и <яа становятся равными fci и 1С(я+1). При этих условиях уравнение (2-56) принимает вид: - __ Д (^С1 <п + о) т I—п (2-58) а выражение для расчета температуры на границах между слоями: 4(Z+i> — tc, ’* ln d^1- (2-59) 2-3. КРИТИЧЕСКИЙ ДИАМЕТР ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ СТЕНКИ Рассмотрим влияние изменения наружного диаметра на термиче- ское сопротивление однородной цилиндрической стенки [Л. 173]. Из (2-51) имеем: *'=-^+2РП£+-^Г При постоянных значениях <ц, dt, Л и аз полное термическое со- противление теплопередачи цилиндрической стенки будет зависеть от 40
внешнего диаметра. Из уравнения (2-51) следует, что при этих усло- виях l/aidt=Rii=const. Термическое сопротивление теплопроводности In -у-= Ric с увели- чением d2 будет возрастать, а термическое сопротивление теплоотдачи llazdi=Riz будет уменьшаться. Очевидно, что полное термическое со- противление будет определяться характером изменения составляющих Я;с и Rii. Изменение частных термических со- противлений изображено на рис. 2-8. Для того чтобы выяснить, как будет изме- няться Ri при изменении толщины цилиндри- ческой стенки, исследуем Ri как функцию d2. Возьмем производную от Ri по d2 и прирав- няем нулю: <HRi)___I____L_ —о d (d.)- 2М. «2d% Значение d2 из последнего выражения со- ответствует экстремальной точке кривой Ri= =<j(d2). Исследовав кривую любым из изве- стных способов на максимум н минимум, уви- дим, что в экстремальной точке имеет место минимум. Таким образом, при значении диа- метра rf2=2X/a2 термическое сопротивление Рис 2-8. Зависимость тер- мического сопротивления цилиндрической стенки отс?2- теплопередачи будет минимальным. Значение внешнего диаметра трубы, соответствующего минималь- ному полному термическому сопротивлению теплопередачи, называется критическим диаметром и обозначается dI<p. Рассчитывается он по формуле . .2Л (2-60) При d2<dKp с увеличением d2 полное термическое сопротивление Рис. 2-9. К понятию кри- тического диаметра изо- ляции. теплопередачи снижается, так как увеличение наружной поверхности оказывает на термиче- ское сопротивление большее влияние, чем увели- чение толщины стенки. При с увеличением d% термическое сопротивление теплопередачи возрастает, что ука- зывает на доминирующее влияние толщины стенки. Изложенные соображения необходимо учи- тывать при выборе тепловой изоляции для по- крытия различных цилиндрических аппаратов и трубопроводов. Рассмотрим критический диаметр изоляции, наложенной на трубу (рис. 2-9). Термическое сопротивление теплопередачи для такой трубы запишется: a,d, + 2<ln d, + ln d2 + O.sd., ’ Из уравнения qi=nM/Ri следует, что qi при увеличении внешнего диаметра изоляции ds сначала будет возрастать и при ds=d„I1 будет 41
'Рис. 2-10. - Зависи- мость тепловых по- терь от толщины изо- ляции, наложенной па цилиндрическую стеи- жу. иметь максимум qi. При дальнейшем увеличении внешнего диаметра изоляции qi будет снижаться (рис. 2-10). Выбрав какой-либо теплоизоляционный материал для покрытия ци- линдрической поверхности, прежде всего нужно рассчитать критический диаметр по формуле (2-60) для заданных и аз. Если окажется, что величина г/щ больше наружного диаметра тру- *бы dz, то применение выбранного материала в качестве тепловой изо- ляции нецелесообразно. В области dz<ds<dKpns при увеличении толщины изоляции будет наблю- даться увеличение теплопотерь. Это положение на- глядно иллюстрируется на рис. 2-10. Только при d3=d3a$ тепловые потерн вновь станут такими же, как для первоначального, неизолированного трубо- провода. Следовательно, некоторый слой тепловой изоляции не будет оправдывать своего назначения. Значит, для эффективной работы тепловой изо- ляции необходимо, чтобы dI:IJ n-.=Crf2. Пример. Трубу внешним диаметром <7=20 мм необходимо покрыть тепловой изоляцией. В каче- стве изоляции может быть взят асбест с коэффи- циентом теплопроводности /=0,1 Вт/(м-К), коэф- фициент теплоотдачи во внешнюю среду а2= =5 Вт/(м2-К). Целесообразно ли в данном случае использовать асбест в качестве материала для тепловой изоляции? Критический диаметр изоляции dKpro=-^.=?A!. = 0,04 м = 40 мм. Так как <^2<^крла, асбест в рассматриваемом случае использовать яецелесообр азно. В настоящем параграфе вопрос о критическом диаметре рассмот- рен применительно к круглому цилиндру. Очевидно, что аналогичный эффект будет наблюдаться и в случае тел иной геометрии, у которых внутренняя и внешняя поверхности различны [Л. 77]. Л-4. ПЕРЕДАЧА ТЕПЛОТЫ ЧЕРЕЗ ШАРОВУЮ СТЕНКУ ,и) Граничные условия первого рода Пусть имеется полый шар с радиусами rj и г?, постоянным коэф- фициентом теплопроводности Лис заданными равномерно распреде- ленными температурами поверхностей Ол и ta. Так как в рассматриваемом случае температура измеряется только в направлении радиуса шара, то дифференпиалыюе уравнение тепло- проводности в сферических координатах принимает вид: 2. <Pt . 2 dt - V -----й*=0. * dr2 1 г dr Граничные условия запишутся: при г = г, 1 = tci; при Г = Г2 1=1С2- (2-61) (2-62)
После первого интегрирования уравнения (2-61) получаем: dt —с' dr г1' ' ' Второе интегрирование дает: f=Cs-£-. (2-63), Постоянные интегрирования в уравнении (2-63) определяются из- граничных условий (2-62). При этом получим: С — . /К» с2=Ги—V - (й>- Г» г2 Подставляя значения Ci и Cz в уравнение (2-63), получаем выра- жения для температурного поля в шаровой стенке: Для нахождения количества теплоты, проходящей через шаровую поверхность величиной F в единицу времени, можно воспользоваться законом Фурье: Q = — Я # F = — Я4№; аг аг здесь Q измеряется в ваттах. Если в это выражение подставить значение градиента температуры- dtldr, то получим: Q = = 2АМ = dA дt (2-6б£ у Г1 Гг J di dz Эти уравнения являются расчетными формулами теплопроводности шаровой стенки. Из уравнения (2-64) следует, что при постоянном X температура в шаровой стенке меняется по закону гиперболы. б) Граничные условия третьего рода (теплопередача) При заданных граничных условиях третьего рода кроме п и г2 бу- дут известны £>к1 и ^«2, а также коэффициенты теплоотдачи на поверх- ности шаровой стенки ai и а2. Величины /Ж1, ^«2, «1 и а2 предполагают- ся постоянными во времени, а <xi и а2— и по поверхностям. Поскольку процесс стационарный и полный тепловой поток Q, Вт, будет постоянным для всех изотермических поверхностей, то можно за- писать: Q = a^d21(Z1K1-(cl); Q=--2^, (<о —<С2); Q = aa™d’a(ics — tx2\. dj dz Из этих уравнений следует, что 0=-!--------1('ТГи)1 X----—=кш-м. (2-66) a,d‘t +2Г рЕ d7 43
Величина называется коэффициентом теплопередачи шаровой стенки и измеряет- ся в Вт/К. Обратная величина называется термическим сопротивлением теплопередачи шаровой стен- ки и измеряется в К/Вт. 2-5. ОБОБЩЕННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В ПЛОСКОЙ, ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ И ШАРОВОЙ СТЕНКАХ Для процесса теплопроводности в плоской, цилиндрической и шаро- вой стенках можно предложить обобщенное решение как при постоян- ном коэффициенте теплопроводности %, так и в случае зависимости по- следнего от температуры. Рассмотрим одномерную задачу для всех трех случаев при постоян- ном коэффициенте теплопроводности стенки. При этом зависимость температуры в пространстве для плоской стенки представим как —fi(x), для цилиндрической стенки t=fz(r) и для шаровой стенки t— = fs(r). Если принять, что изотермические поверхности в рассматриваемых телах замкнуты, то температура становится функцией только коорди- наты п, являющейся нормалью к изотермическим поверхностям, тепло- вой поток будет пропорционален градиенту температуры дЦдп, а вели- чина поверхности выразится функцией F=F(n). Замкнутость изотермических поверхностей для цилиндра и шара очевидна, а пластину будем рассматривать как предельный случай за- мкнутой системы, когда п—*~оо. Вследствие замкнутости изотермических поверхностей тепловой по- ток через стенку любого из рассматриваемых тел можно представить как (2-67) Так как Q=const для любой изотермической поверхности, то, раз- деляя переменные в уравнении (2-67) и интегрируя в пределах от n=ni до п=п2 и соответственно от до /С2, получим: q A(4i —40 . (2-68) Jdn nt Видим, что формула (2-68) аналогична ранее полученной для пло- ской стенки: г Х(4.-М . 44
fis При этом Q аналогично плотности теплового потока <7, a J dnJF (п)= П1 =!„*—толщине стенки, которую в дальнейшем условимся называть при- веденной толщиной стенки. Формула (2-68) является общей для опи- сания теплового потока через стенки всех трех геометрических форм. Величина J dnjF (п) зависит только от геометрической формы стенки. а) Для плоской пластины п=х, ni=0 и пъ—Ъ, а F(n) =F~ const, тогда Пц Ъ J F F J F nt О Подставляя полученное значение в уравнение (2-68), приходим к выражению теплового потока Q, Вт, для плоской пластины: q = A р (2-69) б) Для цилиндрической стенки n=r, tii = rt и Пг=гг, а F(n),=F(r)=2nrl, тогда «5 Гл гп3 = Г d(n) Г dr 1 « ъ_ ni J F(n) J 2^Zr “ 2~l n ’ «a r, С учетом полученного значения /”® выражение (2-68) принимает вид: 2riA(tcl— М , (2-70) In--- ~ Г1 в) Для шаровой стеики п=г9 n^-fi и П2~/2, а F(n) ~F(r) =4лг2, тогда »ns__ Г dn f dr 1 [ 1_______________ «1 J F (п) ' J 4яг2 " 4л I rt rs I П1 Г1 ' ' и формула (2-68) применительно к шаровой стенке принимает вид: (^ci /071 х d]. ds Интегрируя выражение (2-67) в пределах от ni до любой текущей координаты и в интервале температур от tCi до t, получаем уравнение для температурного поля: Я1 45
п Обозначая J dzz/F (л) ==/”? последнее уравнение можно записать: «I - Q г» t — f ____ v I . 1 “— 4C1 nt Подставляя в полученное выражение значение теплового потока Q из (2-68), получаем: /=гС1-(^-^) (2-72) 711 Отношение в уравнении (2-72) можно рассматривать как не- которую приведенную безразмерную координату X, которая зависит от геометрической формы стенки. Уравнение (2-72) .можно привести к без- размерному виду: С обозначениями -Л—= 0 (безразмерная температура) и »С1 *с2 уравнение (2-73) принимает вид: 0=1— X. (2-73') Уравнение (2-73) является обобщенным выражением температур- ного поля в безразмерных величинах для всех трех геометрических форм. Приведенная безразмерная координата в уравнении (2-73') вычис- ляется с учетом геометрической формы стенки: для плоской стенки JC=JCn=-J-; (2-74) для цилиндрической стенки In — х=хц =---------—; (2-75) |П7Г для шаровой стенки X = Хш = (2-76) dt <5) Уравнения (2-68) и (2-73') получены при постоянном коэффициен- те теплопроводности стенки. Аналогичным образом можно получить обобщенные зависимости и для случая, когда коэффициент теплопро- водности Л является функцией температуры. 2-6. ПУТИ ИНТЕНСИФИКАЦИИ ТЕПЛОПЕРЕДАЧИ а) Интенсификация теплопередачи путем увеличения коэффициентов теплоотдачи Из уравнения теплопередачи Q = kFM следует, что при заданных размерах стенки и температурах жидкостей величиной, определяющей теплопередачу, является k. Но поскольку 46
теплопередача-—явление сложное, то правильное решение можно най- ти только на основе анализа частных составляющих, характеризующих процесс. Так, например, если мы имеем дело с плоской стенкой, для которой k _L+A+_L о 1 Л а8 (что можно принять для тонких стенок с большим ко- то при 6/Z—>0 эффициентом Л) (2-77) Из уравнения (2-77) следует, что коэффициент теплопередачи не может быть больше самого малого а. При а2—х» k" стремится к сво- ему предельному значению а. При cti—>оо коэффициент теплопередачи стремится к аг- Проследим это на числовых примерах. а) I) а<==40 и а2=5000 Вт/'(м2-К); 2) щ-40 и а2=Ю000 Вт/(м2-К). По формуле (2-77) находим, что коэффициенты теплопередачи бу- дут равны: *>'1=39,7 Вт/(м2-К) и /г'2=39,8 Вт/(м2-К). б) 1) 01=80 Вт/(м2-К) и 02=5000 Вт/(м2-К); 2) «1=200 Вт/(м2-К) и а2=5000 Вт/(м2-К). Для случая (б) находим, что коэффициенты теплопередачи стано- вятся равными: A'i=78,8 Вт/(м2-К) и &'2=192 Вт/(м2-К). Из рассмотренного примера видно, что при «1<Са2 увеличение боль- шего из коэффициентов теплопередачи (а2) практически не дает увели- чения k't. Увеличение меньшего из коэффициентов теплоотдачи (oi) в 2 и 5 раз дает увеличение k' почти во столько же раз. На рис. 2-11 представлена зависимость &'=f(ai, а2) соглас- но формуле (2-77). Из графика следует, что при увеличении at значение k' быстро растет до тех пор, пока ai не сравняется с а2. После того как «1 станет больше «2, рост k' замедляется и при дальнейшем увеличении ai прак- тически прекращается. Следова- тельно, при ai<Ca2 для увеличе- ния k' следует увеличивать сн, т. е. уменьшать большее из термических сопротивлений 1/ai. Иначе говоря, при ai<Ca2 увеличение k' возможно только за счет увеличения щ. Если ai — a2, увеличение коэффициента теплопередачи возможно за счет увеличения любого из а. 47
б) Интенсификация теплопередачи за счет оребрения стенок При передаче теплоты через цилиндрическую стенку термические сопротивления 1/иц/, и l/o&dz определяются не только значениями ко- эффициентов теплоотдачи, но и размерами самих поверхностей. При передаче тепла через шаровую стенку влияние диаметров dj и d2 ока- зывается еще сильнее, что видно из соотношений l/aid2i и l/azcft- От- сюда следует, что если а мало, то термическое сопротивление теплоот- дачи можно уменьшить путем увеличения .соответствующей поверхно- сти. Такой же результат можно получить и для плоской стенки, если одну из поверхностей увеличить путем оребрения. Последнее обстоя- тельство и положено в основу интенсификации теплопередачи за счет оребрения. При этом термические сопротивления станут пропорциональ- ными величинам 1 1 =- И Т—. аЛ а2Тг Следует указать, что при использовании метода оребрения нужно руководствоваться следующими соображениями: если си'^аг, то ореб- рять поверхность со стороны а, следует до тех пор, пока oif< не дости- гает значения «гРг- Дальнейшее увеличение поверхности Ft малоэффек- тивно. Ребристые поверхности изготавливаются или в виде сплошных отливок или отдельных ребер, прикрепленных к поверхности. Строгое аналитическое решение задачи о распространении тепла в ребре связано со значительными трудностями. В основу решения по- этому кладут некоторые допущения, которые позволяют сравнительно простым путем получить нужный результат. Ниже рассмотрим метод решения задач о теплопроводности в ребрах простейших геометрических форм. 2-7. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В СТЕРЖНЕ (РЕБРЕ) ПОСТОЯННОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ а) Дифференциальное уравнение и его решение Ребра в поперечном сечении могут иметь профиль самой различ- ной геометрической конфигурации (прямоугольник, круг, треугольник и другие фигуры, в том числе и неправильной геометрической формы). Рис. 2-12. Перенос теплоты че- рез стержень. Рассмотрим распространение тепла в пря- мом стержне с постоянным поперечным се- чением по длине. Обозначим площадь по- перечного сечения стержня через f к пери- метр через и. Стержень находится в среде с постоянной температурой (в, коэффициент теплоотдачи от поверхности стержня к окру- жающей среде будем считать постоянным для всей поверхности. Будем полагать так- же, что коэффициент теплопроводности материала стержня /. достаточно велик, а поперечное сечение очень мало по срав- нению с его длиной. Последнее дает осно- вание пренебречь изменением температуры в поперечном сечении и считать, что она из- 48
меняется только вдоль оси стержня. Для удобства дальнейших выкла- док отсчет температуры будем вести от /»—const. Отсчитанную та- ким образом избыточную температуру стержня обозначим через -ft. Очевидно, '0'^= t t^, где — температура среды, окружающей стержень; / — текущая тем- пература стержня. ’ Если задана температура основания стержня то избыточная тем- пература стержня (рис. 2-12) будет: '0'1 = /1“-/j=R* На расстоянии х от основания стержня выделим элемент стержня длиной dx. Уравнение теплового баланса для рассматриваемого эле- мента можно записать: Qx Qx+<ix=dQ, (а) где Qx — количество теплоты, входящее в левую грань элемента за еди- ницу времени; Qx+dx — количество теплоты, которое выходит из проти- воположной грани элемента за то Же время; dQ—-количество теплоты, отдаваемое за единицу времени наружной поверхностью элемента окру- жающей его среде. Согласно закону Фурье dx 1 и Q^->. ± f, откуда <2x+dx = Ц V dx. Следовательно, Qx-Q,+ax=4^dx. (б) С другой стороны, согласно закону Ньютона —Рихмана: dQ=ap&udx. (в) Приравнивая (б) и (в), получаем следующее дифференциальное уравнение, описывающее изменение температуры стержня: S=^a = m2&’ * (2-78) где величина т измеряется в 1/м. Из выражения (г) видно, что для ребра, форма и размеры которо- го заданы, при условии постоянства коэффициента теплоотдачи ар по всей поверхности и постоянства % в рассматриваемом интервале темпе- ратур, величина m==const. Тогда общий интеграл для уравнения (2-78) будет: (2-79) Значения постоянных Ci и Сг определяются из граничных условий. Граничные условия могут быть заданы по-разному в зависимости от длины стержня и других факторов. 4—87 49
6) Стержень бесконечной длины В начальном сечении стержня температура поддерживается посто- янной, т. е. при х=0 величина О'—-Оч. Если длина стержня I—>оо, то вся теплота, подводимая к стержню, будет отдана им в окружающую среду и при х—>ос имеем 0,=0. Подстановка граничных условий в уравнение (2-79) дает: при х=0 i&i=Ci~^C2; при х—>оо Cie^^O. Последнее равенство возможно только при Ci=0. Таким образом, Сг=‘О1. Подставляя эти значения постоянных Q и С2 в уравнение (2-79), получаем: e=<Oie-mx. (2-80) Последнее равенство можно записать в виде: 0— Л_ = е-тх5 (2-80') температуры по длине стержня Через основание где © — безразмерная температура, выраженная в долях температуры Оз начального сечения стержня. На рис. 2-13 представлена зависимость безразмерной температуры © от длины стержня при различных значениях параметра m (mi<m2< <m3). t Из рассмотрения рис. 2-13 следует, что безразмерная температура убывает тем сильнее, чем больше множитель т. При х—>оо все кривые асимптотически приближаются к ©=0. Из уравнения m = следует, что величина т пропорциональ- на теплоотдаче с боковой поверхности и обратно пропорциональна — фактору, определяющему передачу теплоты теплопроводностью вдоль стержня. Отсюда следует, что при оребрении нужно выбирать материал для ребер с большим коэффициентом теплопроводности. Последнее приводит к уменьшению т и сохранению боль- ших избыточных температур вдоль стержня. Прн «рА—const величина т возрастает с возраста- нием и/f, что указывает на более эффективную работу ребер с профилями, имеющими меньшее отношение u/f при том же поперечном сечении. Количество теплоты, передаваемое стержнем в окружающую среду, очевидно, будет равнять- ся количеству теплоты, проходящему через его основание. гержня проходит тепловой поток здесь Q измеряется в ваттах. Из уравнения (2-80) находим: (^1=о=_ те'тХ к=’ ==“ т&,‘ Подставляя значение градиента температуры при х=0 в предыду- щее уравнение для теплового потока, получаем формулу, определяю- 50
щую количество теплоты, отданной стержнем в окружающую среду: Q = = (2-81) в) Стержень конечной длины Для стержня конечной длины дифференциальное уравнение (2-78) и его решение (2-79) сохраняет силу, но граничные условия будут дру- гими: при Х = 0 = при x=l -Ч£-Х==“А: или Vdx )s=l X (2-82) где &i -температура на конце стержня; <ч— коэффициент теплоотдачи с торца стержня. При x=Z имеет место равенство количества теплоты, подведенного к торцу стержня за счет теплопроводности и количества теплоты, от- даваемого поверхностью торца в окружающую среду за счет теплоот- дачи. Для определения постоянных Ci и С% в уравнении (2-79) исполь- зуем граничные условия (2-82): при х = 0 =С, 4~CS; при X— ! (= С те™1 — C,me~ml =------------ L . 1 2 Л ‘ (2-82') и &( = С1етг Сае~“'. Из полученных уравнений (2-82) определяем постоянные С, и Са: Подставляя полученные значения Cj и Сг в уравнение (2-79), по- (2-83) Умножив и разделив правую часть уравнения (2-83) на e~ml и про- изведя простые алгебраические преобразования, получим: & = &, -f- -у- "“> — 6*”Ч>-*)] m[cml + «-“] +-у- [«”' — г-’»1] 4* 51
Напомним, что ех^_С~х ех~е-х --3----— ch (х) и --------= sh . С учетом сказанного уравнение (2-83) запишется: ch[m(/-x)]+^-sh [m(/-x)J » = », -------------------------------------(2-83') ch (mi) +^sh (ml) Если теплоотдачей с конца стержня пренебречь, то граничные усло- вия (2-82) можно записать в виде при л: = 0 & = прих=/(^=0. Последнее можно допустить для случая, когда а/ на торце стерж- ня мало, а коэффициент теплопроводности материала % велик и отно- шение аг/%—*0, т. е. можно пренебречь теплоотдачей с торца стержня. Для этих условий в соотношении (2-83') вторые члены числителя и знаменателя правой части обращаются в нуль и уравнение принимает вид: &=&, ; (2-84) 1 ch (ml) ' ' здесь & измеряется в °C. По формулам (2-83') и (2-84) можно вычислить температуру в лю- бом сечении стержня. Обычно доля теплоты, отдаваемой с торца стерж- ня, является величиной малой по сравнению с количеством теплоты, отдаваемым с поверхности ребра, и для практических инженерных рас- четов, как правило, используется формула (2-84). В предельном случае, когда х=1, формула (2-84) принимает вид: & ,—_________ ch (mZ) • Количество теплоты Qp, Вт, отдаваемое поверхностью ребра в окру- жающую среду, будет равно количеству теплоты, подводимому к осно- ванию ребра: Из уравнения (2-84) находим: (= — & пг = — Ь,т th (ml). \dx Jx=0 * ch (ml) 1 ' ' Тогда Qp=?,fmfl)th (ml). (2-85) Подставив т = У в (2-85), получим: Qp = &, th (ml). (2-85' Если длина стержня очень велика, то ch (ml)—>°о, a th(m/)~l. Тогда 0х=;=0 и формула (2-85) превращается в (2-81). 52
2-8. ТЕПЛОПЕРЕДАЧА ЧЕРЕЗ РЕБРИСТУЮ ПЛОСКУЮ СТЕНКУ Необходимо найти тепловой поток через( плоскую ребристую стенку безграничных размеров. Стенка оребрена со стороны меньшего коэффи- циента теплоотдачи (рис. 2-14). Заданы постоянные значения коэффициентов теплоотдачи на не- оребренной поверхности стенки си, гладкой части оребренной поверх- ности ас и на поверхности ребер ар. Заданы геометрические размеры ребер (рис. 2-14) и температуры теплоносителей и t^- Поскольку для ребра то полагаем, что периметр поперечного сечения ребер и=2Ь. Площадь поперечного сечения ребра f=b&. Следовательно, m = yra.pu[Xf== |/2яр/Л8, 1/м. Подставив полученное выражение для т в уравнение (2-85), умножив и разделив на 2/, полу- чим: здесь арб/Z— Bi — безразмерный комплекс, называемый числом Био. Число Bi является важной характеристикой процесса теплопроводности. Оно представляет собой отношение внутреннего термического сопротив- ления теплопроводности к внешнему термическо- му сопротивлению теплоотдачи: Окончательно уравнение для теплового по- тока с поверхности ребра можно записать в виде th Qp= —А---------------(2-86) 4-с® Обозначим: Рис. 2-14. Теплопередача через ребристую стенку. — K2BI эффективности Величина Е называется коэффициентом ребра. Тогда уравнение (2-86) принимает вид: Q^Up&iFpE. Величина E=f стремится к своему максимальному зна- чению, равному единице, при -C |/2Bi — 0 (при заданных геометриче- ских размерах ребра последнее возможно в случае, если К—ьоо, т. е. Bi—И)). Теплота <2С, Вт, отдаваемая гладкой частью оребренной поверхно- сти, Qd=iac®i/?c. 53
Общее количество теплоты: Q = Qp+Q с = ctpfhFpE + Oc'&iFc (а) или Q = cinp'&iEp с, Ер с = Ер-]-Ес. (б) Из сопоставления (а) и (б) следует, что «пр = арЕ + ас - Д. _ (2-87) ГР.С ГР.С Величина аПр, входящая в уравнение (2-87), называется приве- денным коэффициентом теплоотдачи. Это такой усреднен- ный коэффициент теплоотдачи ребристой стенки, который учитывает теплоотдачу поверхности ребра, поверхности гладкой части стенки и эффективность работы ребра. Тогда для передачи теплоты через ребристую стенку можно запи- сать систему уравнений: Q «Л 1 (^Ж1 ^ci)i Q "jT" Uci ^са) Ц, Q «пр (^са Лка) ^Р с* здесь 6' — см. рис. 2-14. Из этих уравнений получаем: Q = —----i-----------. (2-88) " «1Л + Л/, Если тепловой поток отнести к единице оребренной поверхности стенки, то тЗ- = <7р с -ру-----------=ks е -<К2), (2-89) Гр.с 1 ГР-С I °_ гр.с . J ai Л А Л ~«пр где ь____________1_________ pc—J_^b5.4_2L Гр-° । 1 “1 К Fi "Г апр — коэффициент теплопередачи через ребристую стенку при отнесении теплового потока коребренной поверхности, Вт/(м2-К). Если тепловой поток отнести к неоребренной поверхности стенки, то получим: тЯ=91= , Fi(2-90) ai А о-пр Fv с где — коэффициент теплопередачи при отнесении теплового потока к неореб- ренной поверхности стенки. Отношение оребренной поверхности Ерс к гладкой Ft называется коэффициентом оребрения. 54
Влияние оребрения на коэффициент теплопередачи можно пока- зать на следующем примере. Пусть щ = 1000 и аг=20 Вт/(мг-К). Пред- положим, что б'А мало и им можно пренебречь, тогда ---Г"“— 5?— а1 «Пр 1'р.с Для плоской поверхности (коэффициент оребрения Fp.c/Fi равен единице) получим: k\ = —--------г = 20 Вт/(м= К). 1 000 +20“ Если стенка имеет ребра с одной стороны, причем коэффициент Ер.о/Е1=2, то k\ =—-------Ц—j— = 40 Вт/(мг-к). 1 000 +20~ ~2~ Следовательно, при заданных соотношениях коэффициентов тепло- отдачи при оребрении плоской стенки со стороны малого а с коэффи- циентом оребрения Fp_c/Fl=2, передача теплоты увеличивается пример- но в 2 раза. 2-9. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ КРУГЛОГО РЕБРА ПОСТОЯННОЙ ТОЛЩИНЫ Рис. 2-15. Перенос тепло- ты через круглое ребро постоянной толщины. Ребра, имеющие переменное поперечное сечение по высоте, рассчи- тываются значительно сложнее, чем прямые ребра постоянного сечения. Рассмотрим расчет теплопроводности круглого ребра постоянной тол- щины (рис. 215). Круглые ребра применяются при оребрении цилин- дрических поверхностей (труб). Заданы внутренний радиус ребра и, наруж- ный г2, толщина б и коэффициент теплопровод- ности Z. Температура среды Гж=const. Избыточ- ная температура ребра будет: &=/—5к-' Задан постоянный коэффициент теплоотда- чи а на всей поверхности ребра и температура у основании ребра -th. Режим стационарный, и температура изменяется только по высоте ребра. Найдем для этих условий дифференциальное уравнение, которым описывается процесс теплопроводности в ребре. Составим уравнение баланса энергии для кольцевого элемента ребра толщиной dr: Q— Qr+dr=dQ. (2-91) Находя составляющие уравнения (2-91), получаем дифференциаль- ное уравнение вида: . 1 2а . . (2-92) Обозначим 2a/M>=m2, mr=z и l/r=m/z; тогда уравнение (2-82) после подстановки dft/dr=md-(i!dz и d2&/dr2=m2(d2&/dz2) принимает вид: 5-+4йГ-а=°- (2-93) 55
Уравнение (2-93) представляет собой уравнение Бесселя, имеющее общее решение вида 6 = Ci/o(z) -bCa7Co(2), (2-94) где /0(2)--/o(znr)—модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка; Ko(z) =Ко(тг)—модифицированная функция Бессе- ля второго рода нулевого порядка. Эти функции имеют следующие свойства: при г=0 /с,(/zzr) -1 и Ко(тг)—>оо; * при г=оо /Г1(г»г)—>оо и Kofrnr) =0.’ Постоянные и Сг определяются из граничных условий. Если теплоотдачей с торца круглого ребра пренебречь, то расчет- ные формулы будут иметь вид: для текущей температуры в ребре О___О Л> (тг) К, (тг2) + /1 (mr2) К„ (тг) , 1 /0 (mrt)(Kt (тг„) -)- It (тг2) К,, (тг,)’ для температуры на конце ребра О __О Л, ('”Га) К, (тг2) + /, (mra) (mrg). 2 1 Л ("”Т) Kt (тг2) -)- It (тг2) К„ (тг2)’ для количества теплоты Q = — где .___ I, (mr2) Kt ("»’) — /1 (тг,) К, (тг2) ’ 1„ (mi,) Kt (mr2) -f- I, (mr,) K„ (mr,)' (2-95) (2-96) (2-97) При пользовании этими формулами теплоотдача с торца может быть учтена условным увеличением высоты ребра (г2) на половину тол- щины торца. Формулы (2-95) —(2-97) громоздки и мало удобны для техниче- ских расчетов. Поэтому для других ребер постоянного сечения, а также для различных прямых ребер пе- ременного сечения расчет можно свести к методике расчета пря- мых ребер постоянного сечения. При этом количество теплоты, ко- торое будет отдаваться поверхно- стью круглого ребра постоянной толщины, Q'—t'F'q, (2-98) где Q' — количество теплоты, от- даваемое круглым ребром, Вт; F' — поверхность круглого ребг- ра, м2; q- Q/F — количество теп- Рис. 2-16. e'=/(i>2/6i, Г2/Г1) —вспомогатель- ный график для расчета круглых ребер по- стоянной толщины. лоты, отдаваемое в единицу времени единицей поверхности прямого реб- ра, толщина которого равна толщине круглого, а длина равна 1 м; e'~f(62/61, г2/п)—поправочный коэффициент, определяемый по кри- вым рис. 2-16.
Здесь Oz/'O’i — отношение температур на концах ребра, вычислен- ных по формулам для прямого ребра постоянного сечения. Таким образом, вычисляя температуру на конце ребра и плотность теплового потока для прямого ребра и подставляя q и е' в уравнение (2-98), получим значение теплового потока для круглого ребра. 2-10. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ПРЯМОГО РЕБРА ПЕРЕМЕННОГО СЕЧЕНИЯ Рнс. 2-17. Сечеиие ребра минимального веса. h—полная высота v При конструировании систем охлаждения для целого ряда машин, в особенности для летательных аппаратов, приобретает особую важ- ность решение задачи максимального теплообмена при минимальной массе теплообменника. Возникает вопрос о том, какова оптимальная форма сечения ребра, имеющего минимальную массу при заданном тепловом потоке. Ребро с минимальной массой [Л. 209]. Существо вопроса сводится к тому, чтобы каждая часть ребра использовалась с одинаковым эффектом, т. е. плотность теплового потока долж- на оставаться постоянной по всему поперечному сечению ребра. Это значит, что линии теплового по- тока должны быть параллельными оси ребра. При этих условиях температура вдоль линии теплового потока будет изменяться по линейному закону (рис. 2-17). Прн заданной температуре у основания ребра /1 и при температуре вершины ребра, близкой к температуре окружающей среды £ж, в силу одно- мерности задачи для любого сечения ребра можно записать: / —*=« —/ж). (2-99) где х— расстояние по оси ребра от его вершины; ребра. Рассмотрим элемент поверхности ребра на расстоянии х. Пусть этот участок поверхности образует с осью ребра угол <р. Если плот- ность теплового потока вдоль оси ребра равна q, то через рассматри- ваемый элемент поверхности ребра она будет равна ^sintp (рис. 2-17). При этом должно быть справедливо соотношение q sin ф—a(t—/ж), или = — (2-100) Из равенства (2-100) следует, что угол <р является функцией толь- ко х: (2-100') Контур ребра, найденный указанным методом, представляет со- бой дугу окружности с радиусом г, так как sinq>=x/r. Из уравнений (2-100') следует, что r—qhlafti. Доказано, что такой профиль ребра, 57
образованный дугами окружности, обладает минимальной массой. Та- кое ребро и ребро треугольного сечения по массе отличаются очень мало. По технологическим причинам проще изготовить ребра треуголь- ного профиля, поэтому на практике они используются чаще, чем ребра, Z<ef Рис. 2-18. Перенос теплоты че- рез прямое ребро трапециевид- ного сечения. образованные дугой окружности. Ребро треугольного и трапе- циевидного сечения. В практике наш- ли широкое применение прямые ребра как треугольного сечения с острой вершиной, так и с усеченной вершиной — трапециевидные. Пусть заданы размеры трапециевидного ребра (рис. 2-18) и избыточная температу- ра th у его основания. За начало координат целесообразно принять вершину треуголь- ника, направив ось х вдоль оси симметрии ребра. При этом вектор плотности теплово- го потока д будет направлен в сторону, про- тивоположную положительному направлению оси х [Л. 124]. Для такого ребра площадь поперечного сечення f будет функцией только координаты х: f=/6=2/xtgq>. (а) Количество теплоты, которое будет отдаваться в окружающую сре- ду с элемента ребра dx, будет равно: d (б) где а — коэффициент теплоотдачи на поверхности ребра; и — периметр сечения ребра на расстоянии х, который можно выразить как и=21; dx'=dxlcos <р. Произведя дифференцирование выражения (б) с учетом соотноше- ния (а), получим: , 1 d& 1 а л А , , dx2 х dx х Л sin у * После введения новой переменной z= (а/Xsin <j>)x уравнение (в) приобретает вид: au&dx', a 44+—-^--------&=0. (2-101) 1 z az z ' Дифференциальное уравнение (2-101) есть модифицированное урав- нение Бесселя, решение которого имеет вид: & = С1/0(2УТ)+СгКо(2Гг), (2-102) где 7С и Ко — модифицированные функции Бесселя первого и второго рода. Постоянные С, и Сгв уравнении 1(2-102) находятся из граничных условий, которые для рассматриваемого случая запишутся так: при x=xi имеет место O=<h. Если пренебречь потерями тепла с торца ребра, то при х=х2 имеем 0=0'2 н (d-ti/dx) х=х* =0. После определения постоянных С) и С2 получим: для текущей температуры в ребре ft==& /„ (2 УТ) К, (2 УТ) + 7, (2 Vz2) (2 ИГ) 1 7„ (2 Иг,) К, (2 ИГ2) + 7, (2 ИТ) Ко (2 Иг,)/ (2-103) 58
для температуры иа конце ребра а =а 1„ (2 VК, (2 К-?,) + /, (2 Кг2) К„ (2 Кгг) 2 ,/.(2И^)К1(2К7!)+/1(2Ггг)К.(2Гг.)’ (2-104) Тепловой поток можно определить по закону Фурье: =77^—X /х=хх rziSiny Г/. (2 Kzj) К, (2 /, (2 Уг2)К, (2 Kzj) 1. „ /в(2Кг,)К,(2Кгг)-гЛ(2Гг1)К02Гг. J 1 ’ При пользовании этими формулами теплоотдача с торца может быть учтена условным увеличением высоты ребра h на половину тол- щины его торца 62/2. Если ребро имеет треугольное сечение, то в этом случае а следовательно, и г2=0, Л(0)=0 и формулы (2-103) — (2-105) прини- мают вид: & = &, 7»<2^И (2-106) 1 /„2 Кг, ’ 1 ' &2 = &, I 4(2»^,) ’ о.6,&,7 [ /, (2 Кг,) /г-г, sin у /„(2 Кг,) (2-107) (2-108) Максимальный тепловой поток через ребро треугольного сечения данной массы будет иметь место при выполнении равенства А_=1,309^|=. (2-109) Формулы (2-103), (2-104) и (2-105) громоздки и неудобны для практических расчетов. Поэтому расчет ребер переменного сечения мож- но свести к методике расчета прямых ребер постоянного сечения. В этом случае Q"=e"F'^ (2-110) где Q" — количество передавае- мой теплоты в единицу времени; F" — поверхность охлаждения ребра; q=Q!F— плотность тепло- вого потока для прямоугольного ребра, длина, высота и толщина которого равны длине, высоте и толщине суженного ребра; е" = =/('62/6'1, 62/61)—поправочный коэффициент на сужеш-юсть реб- ра; е" определяется по графику Рис 2-19. e"=f('O’/fi'O’i, 62/61) — вспомога- тельный график для расчета ребра трапе- циевидного н треугольного сечений. рис. 2-19. Нижняя кривая (при 62/61= 1) соответствует прямому ребру посто- янного сечения, а верхняя (62/61 = 6) —треугольному ребру. Отношение 62/61 вычисляется по формуле (2-84). Теплоотдача с торца ребра при этом учитывается путем увеличения высоты ребра h на половину толщины торца. 59
^2-11. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ПЛОСКОЙ ПОЛУОГРАНЙЧЕННОЙ ОДНОРОДНОЙ ПЛАСТЙНЫ Рассмотрим плоскую однородную пластину шириной 6 с постоян- ным коэффициентом теплопроводности К н неограниченным размером в направлении оси Оу (рис. 2-20) [Л. 204]. Предполагается, что на поверхностях пластины, определяемых ко- ординатами х—0, х=6 и у—>-оо, температура поддерживается посто- янной и равной h, а вдоль поверхности у=® температура является функцией координаты х, т. е. t=f(x). Предполагается, что пластина относительно тонкая в направлении оси Oz, а поверхности, параллель- ные координатной плоскости хОу, имеют идеальную тепловую изоля- цию. Ввиду этого градиентом температур dtfdz можно пренебречь, и температурное поле такой пластины будет двухмерным. Для двухмерной стационарной задачи без внутренних источников теплоты дифференциальное уравнение теплопроводности запишется: дх* ~ ду* или (2-1П) дх2 1 ду2 1 ' где О — избыточная температура, отсчитанная от ft, т. е. А = /—fb Граничные условия: &___ [0 при л = 0, 8; (0 при у >оо; f(x)—ti=F(x) при у=0. (2-112) Для решения уравнения в частных производных (2-111) восполь- зуемся методом разделения переменных1. Предположим, что 0 = =f(x, у) = <р(х)$(!/) Тогда уравнение (2-111) приводится к виду у" (х)_ Ф" (у) V М * (у) const. (2-113) Правая и левая части уравнения одинаковы и постоянны. Обозна- чим их через —е2. Таким образом, мы получаем два обыкновенных диф- ференциальных уравнения: +е2<р(х) =0; (2-114) Ф"(Л— е2Ф('/)- °. (2-115) Решением дифференциального уравнения (2-114) является функ- ция вида: <р(х) =С\ cos (ex) Н-Сгы'п (ex). (2-116) Согласно (2-79) общее решение уравнения (2-115) будет иметь вид: <t(y)=C1e“'+C,e-'J. (2-117) 1 Более подробно этот метод рассматривается в гл 3 применительно к задачам не- стационарной теплопроводности. 60
Общее решение уравнения (2-111) получим после перемножения уравнений (2-116) и (2-117). Решение (2-116) будет удовлетворять граничному условию &—0 прн х—0, когда <р(х)=0 при х=0, а это возмож- но при С4=0. Условие f>=0 при у—^оо выполняется тогда, когда яр(гу) =0 при у—*-оо5 что возможно лишь при С3=0. Таким образом, решение для (2-111) при- водится к виду ft — Сё~*у sin (ex). Рис. 2-20 Полу- ограииченная шга- Для того чтобы полученное выражение удовлетво- ряло граничным условиям 0=0 при х=6, должно быть sin (ей) =0 или е = пя,/б (где п=1, 2, 3 ...). Каждому значению п соответствует частное ре- шение, а каждому частному решению соответствует стина. свое значение постоянной интегрирования. Общее ре- шение есть сумма частных решений для всех последовательных поло- жительных значений чисел п: (2-118 Полученное решение удовлетворяет и третьему граничному усло- вию, т. е. й—0 при у-—>со. Оставшиеся постоянные Сп определяются из граничных условий •0=F(x) при у=0. При этом F(*)= J] C„sin Л=1 Это равенство есть разложение функции F(x) в ряд Фурье по си- нусам. Коэффициенты ряда Фурье определяются следующим выраже- нием: ь Сп = J F (х) sin х) dx. Окончательное решение для температурного поля рассматриваемой задачи с учетом последнего соотношения можно записать в виде со пкх 5 ‘ sin^-xjF(x)siti0r-*)dx. п-1 О (2-119) Итак, окончательное решение рассмотренной двухмерной задачи после определения постоянных интегрирования представится суммой бесконечного ряда. Аналогичным образом можно получить решение и для сплошного цилиндра при изменении температурного поля в двух измерениях. Окончательное решение, как и для пластины, представится суммой бес- конечного ряда. 61
При решении конкретной задачи вычисляют интеграл в уравнении (2-119), исходя из условий задания температуры. Следующим этапом является вычисление членов ряда в зависимости от условий сходимости и требуемой точности вычислений. Например, если l=/2=const при у=0, то f(x)=t2, a F(x)=t2—ti. Интеграл £ £ ^F(x)sin(jpx^dx= — ^-(4 — t,) (-cos^-л) |=^-(12— f,), o z 0 (/z = 1, 3, 5, 7...). , Подставив этот интеграл в уравнение (2-119), получим: Можно показать, что полученный ряд сходится. Для вычисления изотерм существуют различные методы. Наиболее точным является ме- тод, при котором у принимается в качестве постоянного параметра. По серии кривых, отвечающих постоянному значению у, строят изо- термы. V 2-12. ПОРИСТОЕ ОХЛАЖДЕНИЕ ПЛАСТИНЫ Пористые материалы находят большое применение в таких конст- рукциях, как высокотемпературные теплообменники, турбинные лопат- ки, реактивные сопла и т. д. На практике охлаждение пористых струк- тур достигается нагнетанием жидкости или газа через капилляры твердого тела. Процесс теплообмена в таких пористых системах весьма сложен. При решении задачи предполагается, что вся передача теплоты внутри плоской пластины осуще- ствляется за счет теплопроводности че- рез твердую фазу и что температуры твердого тела и жидкости почти не отли- чаются друг от друга в любой точке по- ристой структуры. Эти предположения существенно упрощают решение задачи [Л. 205]. Рассмотрим показанную на рис. 2-21 плоскую пластину с постоянным коэф- фициентом теплопроводности Хс- Разме- Рис. 2-21. Пористое охлаждение Ры пластины в направлениях у и z вели- плоской пластины. ки и температурное поле внутри пласти- ны можно считать одномерным; послед- нее справедливо и для температуры охлаждающей жидкости, т. е. = t(x) при и ^ж=/ж(х) при —оо^х^О. На поверхности пластины при х = б температура стенки равна tcz- Температура нагнетаемой вдоль оси Ох через пластину жидкости при х—оо равна into. Температуры tc2 н известны. Задан удельный 62
массовый расход охлаждающей жидкости G, кг/(м2-с), теплоемкость СрЖ и теплопроводность которой постоянны. Необходимо найти рас- пределение температуры в такой пористой стенке. Будем рассматривать пористость пластины р как отношение объе- ма пор ко всему объему материала. Для равномерной пористости можно считать, что на единице поверхности, нормальной к направлению пото- ка жидкости, сечение для прохода жидкости f^^p, а сечение твердого скелета, участвующего в теплопроводности, равно /с — 1—f«=l—р. Отме- тим также, что если удельный массовый расход натекающей жидкости равен G, то массовый расход внутри пластины будет равен G[p. Процесс переноса теплоты в таком пористом теле можно предста- вить как теплопроводность самой пластины и теплообмен между твер- дым телом и жидкостью, протекающей через поры пластины. Плотность теплового потока за счет теплопроводности самой пла- стины в сечениях х и x+dx запишется: (И 9x+lIX=-zcA^+jL^(i_p). В условиях стационарного режима изменение теплового потока на участке dx произойдет вследствие теплообмена между твердым телом и протекающей через поры жидкостью, т. е. dQ~Qx~~Qx+dx = GCp^dt или “ ~ Р) + >-с ~ (1 - Р) + Яс Д (1 - Р) dA-=. Следовательно, для области O«g;x«g;6 дифференциальное уравнение запишется: Если обозиачитъ Сстж е М1-Р) °’ то соотношение (а) запишется: (2-121) Аналогичным образом можно получить дифференциальное урав- нение и для области —oo^y-^O: (2-122) где t __^срж ’Ж--"Д “• Общее решение уравнения (2-121) имеет вид: t=Ctea“-\-Cs. Постоянные С1 и С2 определяются из граничных условий: при х=0 t=tel И при Х = б < = <С2- 63
После определения постоянных Ci и С2 получаем для области 0<х<6: «=^+4F^-pJ'-l)- (2-1231 ес —1 Для уравнения (2-122) общее решение имеет вид: - ta = C3e^ + Ct. Это уравнение должно удовлетворять граничным условиям для по- тока жидкости: при х=~оо ^ж = /жо; при х=0 Лк ^=ЛС(1 Из граничных условий находим, что С4=(жо и тогда решение для (2-122) запишется: /ж = и+ (-оо<л<0). (2-124) ес — 1 На основании (2-124) из уравнения (2-123) можно исключить не- известную температуру tcl. При х=0 —£ 6 ^гк =— ^ci —’ ^жо —Н (^С2 ~~ Лио) Подставив это значение fci в уравнение (2-123), получим оконча- тельное выражение для распределения температуры в пористой пласти- не (Ое^Дл^б): 4^4° —е Е° 5* (2-125) Если безразмерную температуру пластины ((—(ко)/((сг—/жо) обо- значить через 0, уравнение (2-125) можно записать в следующем виде: (2-125') Средняя температура в пористой пластине для заданного зпаче- т иия определяемая интегралом 0= 1/8 равна: е =1 (1_е ). (2-126) ГС2- ГЖО ЬС° Если в качестве параметра выбрать ЕГ:6, зависимость (2-125) мож- но представить, как показано на рис. 2-22. Там же для соответствую- щих значений |с6 нанесена средняя температура, вычисленная по урав- нению (2-126). Решение задачи о распределении температур в пористой стенке с испарительным охлаждением при других граничных условиях дано В. П. Исаченко [Л. 55]. При решении задачи предполагалось, что поры малого диаметра равномерно распределены по объему плоской стенки 64
и пронизывают ее в поперечном направлении (рис. 2-23). Расход жид- кости через поры G„,, кг/м2; температуры жидкости и стенки в любом данном сечении одинаковы; физические параметры не зависят от тем- пературы. Уравнения теплопроводности и граничные условия в этом случае имеют вид: <Pt । q. (2-127) dx2 ' / dx ' (2-!28) «Mk-«».) = -*(37-) . (2-129) \ах' J х—Ъ где (кроме обозначений, указанных на рис 2-23) г — теплота парообра- зования; ср№ — теплоемкость жид- кости; аг и аж — коэффициенты теп- лоотдачи на поверхностях стенки, обращенных соответственно к газу и жидкости. Коэффициент теплопроводности 1 в уравнении (2-127) в общем слу- чае должен учитывать теплопровод- ность твердого скелета стенки и охлаждающей жидкости. Для ме- таллических пористых стенок, имею- щих высокий коэффициент теплопро- водности и малый суммарный объ- ем пор, теплопроводностью жидко- сти можно пренебречь. В этом слу- чае, как и в предыдущей задаче, можно принимать X=ZC(1—р). Опустив промежуточные вы- Рис. 2-22. Распределение температуры и средняя температура в пористой пла- стине. кладки, приведем окончательное ре- шение уравнения (2-127) при граничных условиях (2-128) и (2-129): |(С — —1 2-С-----1---------°г । И-1-fe _ (2-130) (1+£.)-(!-А„)<НЬ 1 т ъ 1 1 где <xt ’ Ж «ж ’ Если охлаждение пористой стенки осуществляется без испарения охлаждающей жидкости, т. е. г=0, то уравнение (2-130) принимает вид: Г (1 + *.)-(! -кв}е~^ъ (2-131) 2-13. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ПРИ НАЛИЧИИ ВНУТРЕННИХ ИСТОЧНИКОВ ТЕПЛОТЫ В рассмотренных ранее задачах внутренние источники теплоты от- сутствовали. Однако в ряде случаев внутри объектов исследования могут про- текать процессы, в результате которых будет выделяться или погло- 5—87 65
щаться теплота. Примерами таких процессов могут служить: выде- ление джоулевой теплоты при прохождении электрического тока по проводникам; объемное выделение теплоты в тепловыделяющих элемен- тах атомных реакторов вследствие торможения осколков деления ядер атомного горючего, Рис Пористое охлаждение пластины (граничные условия третьего рода). а также замедления потока нейтронов; выделение или поглощение теплоты при протекании ряда хи- мических реакций и т. д. При исследовании переноса теплоты в таких случаях важно знать интенсивность объемного вы- деления (поглощения) теплоты, которая количест- венно характеризуется мощностью внутренних источников теплоты qv, Вт/м3. Если величина qv по- ложительна, го говорят, что в теле имеются поло- жительные источники теплоты. При отрицательных значениях qv имеются отрицательные источники (стоки) теплоты. В зависимости от особенностей изменения ве- личины qv в пространстве можно говорить о точеч- ных, линейных, поверхностных и объемных источ- никах теплоты. Для стационарного режима при дЦдт—Ъ диф- ференциальное уравнение теплопроводности (1-24) при наличии источников теплоты имеет вид: (2-132V а) Теплопроводность однородной пластины Рассмотрим длинную пластину, толщина которой 26 — величина малая по сравнению с двумя другими размерами. Источники теплоты равномерно распределены по объему и равны const. Заданы коэффи- циенты теплоотдачи а и температура жидкости вдали от пластины причем a—const и — —const. Благодаря равномерному охлаждению температуры обеих поверхностей пластины оди- наковы. При указанных условиях температура пластины будет изменяться только вдоль оси х, направленной нормально к поверхности тела. Тем- пературы на оси пластины и на ее поверхности обозначим соответственно через /о и /с; эти тем- пературы неизвестны (рис. 2-24). Кроме того, необходимо найти распределение температуры в пластине. и количество теплоты, отданное Рис 2-24 Теплопровод- ность плоской пластины при наличии внутренних источников теплоты в окружающую среду. Дифференциальное уравнение (2-132) в рассматриваемом случае упрощается и принимает вид: Граничные условия: при x = имеем d4 dx2 +^=0. (2-133) 66
Поскольку граничные условия для обеих сторон пластины одинако- вы, температурное поле внутри пластины должно быть симметричным относительно плоскости х=0. Теплота с одинаковой интенсивностью от- водится через левую и правую поверхности тела. Одинаково и тепловы- деление в обеих половинах пластины. Это означает, что можно далее рассматривать лишь одну половину пластины, например правую (рис. 2-24), и записать граничные условия для нее в виде Л=0; =0; I } (2-134) Л = 8; = J После интегрирования (2-133) получим: A = (2-135) /=_^+С1л:+Са. (2-136) Постоянные интегрирования и С2 определяются из граничных условий (2-134). При х=0 из уравнения (2-135) получаем Ci=0; при х=6 получаем: — Л (ЗГ)х=г~ — a-Vc— Из (2-135) имеем: /«Х _ V» A=s Л ' Тогда 1с = <ж+‘7о6/«; подставив это выражение в уравнение (2-136), при х — й получим: С __t I <7»в1 —а I 2Л • Подставив значения постоянных С± и С2 в выражение (2-136), най- дем уравнение температурного поля: ^ = l«+^+^[l-(4-)2]- (2-137) В рассматриваемой задаче тепловой поток изменяется вдоль оси х: q q,X. При х=0 и <? = 0 (это следует из условия: при х=0 имеем (dtfdx)x=t>=0). Тепловой поток с единицы поверхности пластины при х=6 q=a = qvb, (2-138) и общее количество теплоты, отданное всей поверхностью в единицу вре- мени (вся поверхность F равна двум боковым поверхностям Fi) Q = qF=qv62Ff. (2-139) Из уравнения (2-137) следует, что температура в плоской стенке в случае симметричной задачи распределяется по параболическому за- кону. Если в уравнении (2-137) положить а->о°, то полученное выраже- ние будет представлять температурное поле для граничных условий пер- вого рода, ибо при а->оо получим а» 67
С учетом сказанного уравнение (2-137) принимает вид: Z=rc+-f-(82-^). (2-140) При этом температура на оси симметрии пластины (х=0) t —t I до— c ' 2Л * а перепад температур между осью симметрии стенки и ее поверхностью = = (2-141) До сих пор мы полагали, что коэффициент теплопроводности мате- риала стенки постоянен. При больших перепадах температур может возникнуть необходимость в учете зависимости коэффициента теплопро- водности от температуры. Часто эта зависимость имеет линейный харак- тер: Х©( 1 +&/). Тогда 9ол:=-Я,(1+6<)^-. (а) Разделяя переменные и интегрируя последнее уравнение, получаем: (6) При х=0 имеем t—h, в этом случае из уравнения (б) следует; с=/0+4/2«- Подставляя найденное значение С в выражение (б) и решая квад- 'ратное уравнение относительно I, получаем следующее, уравнение тем- пературной кривой: '=-4-+/('°+4-у-хг <2-142)' б) Теплопроводность однородного цилиндрического стержня Рассмотрим круглый цилиндр (рис. 2-25), радиус которого мал по сравнению с длиной цилиндра. При этих условиях температура будет изменяться только вдоль радиуса. Внутренние источники теплоты равномерно распределены по объему тела. Заданы температура окружающей среды 1ж = сопв1 и постоянный по всей поверхности коэффициент теплоотдачи. При этих условиях тем- пература во всех точках внешней поверхности цилиндра будет одина- кова. Для цилиндра, как и для пластины, задача будет одномерной и симметричной. Уравнение (2-132) при этом имеет вид: #-+4^=0. (2-143) dr* ‘ г dr 1 Л ' ' Граничные условия: при r = 0 (4Л =0; I ги/Г” (2-! 44) / dt \ о. . , . v J при г = г0 Q-g-j = г(4 — fK). I 68
Необходимо найти уравнение температурного поля и тепловой по- ток, а также значения температур на оси t0 и на поверхности to- Проинтегрируем уравнения (2-143). При этом произведем замену dtldr=u. Тогда уравнение (2-143) запишется: 4“ । “ i _____п dr* г т Л или г du и dr г dr = 0. После интегрирования получим: 2/. г ' или 4+^ = ^. (2-145) После второго интегрирования получим: l = -^+C1lnr + Ci,> (2-146) где С. и С2 определяются из граничных условий (2-144). При г—0 из (2-145) находим, что Ci=0 и при r = r„ (dt[dr)r=sri = — дуГа[2Х. Подставив последнее выражение в граничные условия (2-144), по- лучим: ^ = а(1с —/ж) И / __| / 1с~ 2а Из (2-146) находим С,: /"» ___ / I Qvr0 | tyvrSQ Ь2 — -h -2Г“|—47^- Подставив С, и С, в уравнение (2-146), получим: Z=^ + ^L+^('-%-'-2)- (2-147) Полученное уравнение дает возможность вычислить температуру любой точки цилиндрического стержня. Оно показывает, что распределе- ние температуры в круглом стержне подчиняется параболическому за- кону. Из уравнения (2-147) при г—0 найдется температура на оси ци- линдра: <2-,47ч Плотность теплового потока на поверхности цилиндра: <7 = а(/с-^) = 4Л, (2-148) 69
Полный тепловой поток с поверхности цилиндра. Q—qF = 2кг ol = qvKrJ,. (2-148') Из уравнения (2-148) следхет, что плотность теплового потока за- висит только от производительности внутренних источников и от вели- чины внешней поверхности го, через которую проходит тепловой поток. Пусть теперь заданы граничные условия первого рода, т. е. темпе- ратура поверхности цилиндра tc. Эти условия соответствуют частному случаю предыдущей задачи, если полагать, что коэффициент теплоот- дачи а->оо. При этом, очевидно, /ж=^с- Тогда уравнение (2-147) примет вид: ' (2-149) Температура на оси цилиндра (при г = 0): 4, = 1о + ^. (2-150) Если необходимо учитывать зависимость коэффициента теплопро- водности от температуры, заданную в виде А(/)=ло (1+6Z), то, интегри- руя зависимость -2wl0(l +<*)£, получим: (+4(- = _ '?Л+С. (2-151) Значение постоянной С определяется из граничных условий. При г = 0 имеем t — t„ и С = ф t2„. Подставляя это значение в уравне- ние (2-151) и решая его относительно t, получаем следующую зависи- мость для температурной кривой: (4+4-)-^-- <2-152) в) Теплопроводность цилиндрической стенки Рассмотрим бесконечно длинную цилиндрическую стенку (трубу) с внутренним радиусом rt, наружным г2 и постоянным коэффициентом теплопроводности Л. Внутри этой стенки имеются равномерно распре- деленные источники теплоты производительностью q„. В такой стенке температура будет изменяться только в направле- нии радиуса и процесс теплопроводности будет описываться уравнением (2-143): । 1 Д | <7т л dr2 ' г dr ' А. — °' Интеграл этого уравнения представлен выражением (2-146): Z = ~^+C.lnr + C2. Постоянные интегрирования Ct и С2 в последнем уравнении опреде- ляются из граничных условий. Рассмотрим случаи, когда теплоотдаю- 70
щей поверхностью являются только внутренняя, или только наружная поверхность, или обе поверхности одновременно. а) Теплота отводится только через наружную по- верхность трубы. Будем рассматривать случай, когда заданы гра- ничные условия третьего рода, т. е. температура окружающей среды со стороны наружной поверхности /ие и постоянный коэффициент тепло- отдачи на внешней поверхности трубы (рис. 2-26). При этом граничные условия запишутся следующим образом: при г = г1 <7 = 0 или =0; ( dt \ а , при Г = Гг _ =----------^Кс2—<Ж2). Из уравнения (2-146) получим: dt_____дъг С, dr ~~ 2Л “Г г ’ При r=r. (£)_ = --2г+7Г=0> откуда С, = ^. При г=:г2 из уравнения (2-146) с учетом найденного выражения для Ct получим: <и=-^+^-1пга+Са. (а) С учетом (dr)r=rt= ^-Кс2 —<жг) находим: ‘га Ora-f- а 2ar2' w Приравнивая (а) и (б), находим: с _f 1 ?»г2 г2.___д„г\ 2 *К2~Г 2а -Г 4Л 2а Гг 2Л ШГ2- Подставляя найденные значения С, и С% в уравнение (2-146), полу- чаем выражение для температурного поля: t = U+ [1 - (^-)3] [1 + (тгУ 2 1п^- (^-у]. (2-153) Для внешней теплоотдающей поверхности (при г = г2) *е2 = /»2+^[1-(-^У]. (2-154) Плотность теплового потока на теплоотдающей поверхности най- дется как q = a (tc2 - tKS) =Sf- [ 1 - (-£-)"]. (2-155) Температура на внутренней поверхности стенки найдется из урав- нения (2-153) при подстановке в него значения г=п: =и[1 - (-Я]+^ [1+(Я21п^г- (Я1-(2-156) Пусть теперь заданы граничные условия первого рода, т. е. темпе- ратура теплоотдающей поверхности tci. Эти условия можно рассматри- 71
вать как частный случай данной задачи, когда коэффициент теплоотда- чи на поверхности достаточно велик (а—*оо). Тогда температура жид- кости будет равна температуре поверхности трубы. С учетом сказан- ного уравнение (2-153) принимает вид: <=42 + ^[l + (^)2ln^- (-^)!]. (2-157) Полагая в этом уравнении r=t\ и t~tcu находим падение темпера- туры в стенке: 4,-^=^ [(^y-21ni- 1]. (2-158) б) Теплота отводится только через внутреннюю по- верхность трубы (рис. 2-27). При заданных коэффициенте тепло- Рнс. 2-25. Тепло- проводность одно- родного цилиндри- ческого стержня при наличии вну- тренних источни- ков теплоты. Рис. 2-26. Отвод тепло- ты через наружную по- верхность цилиндриче- ской стенки при наличии внутренних источников теплоты. Рис. 2-27. Отвод теплоты через внутреннюю поверх- ность цилиндрической стен- ки при наличии внутренних источников теплоты. отдачи а на внутренней поверхности и температуре среды tHti гранич- ные условия запишутся: (dt \ а ,, . . =----Г(4> —U): при ,= rs (4)r=r=0. Аналогично предыдущему случаю из этих уравнений определяются постоянные С( и С2 в уравнении (2-146). После определения постоянных й подстановки их в уравнение (2-146) получим: [(тг)'- [2 (2'1591 Перепад температур между средой и теплоотдающей поверхностьк получим, если в уравнение (2-159) подставим значение текущей коор 72
динаты, равное л. Тогда /и-U=^[(^)2- 1]- (2-160) Для случая, когда задана температура теплоотдающей поверхно- сти tcl, что соответствует случаю а—>оо, уравнение (2-159) принимает вид: *=4. + ^ [2 Ш - (-£)’]• (2-161) Полагая в этом уравнении г—н соответственно /=/С2> получаем полный температурный напор в стенке: 42 -4, = ч-£ | 21n ^-+ (i-)2 - 1 ]. (2-162) в) Теплота отводится через вну- треннюю и наружную поверхности. В случае, когда теплота отдается окружающей среде как с внутренней, так н с внешней по- верхности, должен существовать максимум тем- пературы внутри стенки. Изотермическая по- верхность, соответствующая максимальной тем- пературе to, разделяет цилиндрическую стенку на два слои. Во внутреннем слое тепло пере- дается внутрь трубы, во внешнем —• наружу. Максимальное значение температуры соответст- вует условию dt!dr~Q, и следовательно, <у—0. Таким образом, для решения данной задачи можно использовать уже полученные выше соот- ношения. Для этого нужно знать радиус г0 (рис. 2-28), соответствующий максимальной темпера- туре t0. Согласно уравнениям (2-156) и (2-162) максимальные перепады температур во внешнем и внутреннем слоях определяются уравнения- ми: 4-42=^-[(-^)-21п^—1]; (а) 4-4.=^[(Л-)г+21п-£— 1]. (б) Вычитая соответственно левые и правые части двух последних уравнений, получаем: tn - 42(i) °- (^-у+2 In 2 fci] - Это уравнение необходимо решить относительно г©. Решив, полу- 2 _4X{/c1-Zc2) ' о — г ~ » qv 21п — 2 In — г2 Гг /% = (f2s-~ f2,) ~ 4Х (f°‘ ~ 48\ (2-1625 ^ini Рис. 2-28. Теплота вну- тренних источников от- водится через обе по- верхности цилиндриче- ской стенкн. или чим: 73
Подставив вычисленное из уравнения (2-163) значение го в выра- жения (а) и (б), найдем максимальную температуру в рассматривае- мой стенке. Для нахождения распределения температуры во внутреннем слое в уравнение (2-161) подставляются значения текущей координаты г(< <г<г0, а для нахождения распределения температуры во внешнем слое в уравнение (2-157) подставляются значения rl:<r<r?. Если температуры внешних поверхностей цилиндрической стенки tci н foj равны, то уравнение (2-163) упрощается. В этом случае Л = rh~rr\ (2-163') 21ПТГ т. е. г, зависит только от размеров цилиндрической стенки и не зави- сит от тепловых условий. Например, при rz=2 и п=1 г0=1,46. Если температуры поверхностей цилиндрической стенки и /<.2 неизвестны, но известны температуры жидкостей tIKt и tK& внутри и вне трубы н коэффициенты теплоотдачи а, и аз, то для определения го к уравнению (2-163) необходимо добавить уравнения Qh — (^ci ^я<1) 2т/’,, (^сз 2тъГ„ (в) где <?(1=?1-л(г2о—г21); <7гг=<7»л (г^—т2о). Для определения ге нужно решать уравнения (в) совместно с урав- нением (2-163). Глава третья НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 3-1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ В этой главе рассматривается перенос теплоты за счет теплопро- водности при отсутствии внутренних источников теплоты, когда темпе- ратура системы изменяется не только от точки к точке, но и с течением времени Такие процессы теплопроводности, когда поле температуры в теле изменяется не только в пространстве, но и во времени, называют нестационарными. Они имеют место при нагревании (охлаждении) раз- личных заготовок и изделий, производстве стекла, обжиге кирпича, вулканизации резины, пуске н остановке различных теплообменных устройств, энергетических агрегатов и т. д. Среди практических задач нестационарной теплопроводности важ- нейшее значение имеют две группы процессов: а) тело стремится к теп левому равновесию; б) температура тела претерпевает периодические изменения. К первой группе относятся процессы прогрева или охлаждения тел, помещенных в среду с заданным тепловым состоянием, например про- грев болванки в печи, охлаждение металлических брусков и чушек, охлаждение закаливаемой детали и т. п. Ко второй группе относятся процессы в периодически действующих подогревателях, например тепловой процесс регенераторов, насадка 74
которых то нагревается дымовыми газами, то охлаждается воздухом. На рис. 3-1 показан характер кривых, полученных при нагревании однородного твердого тела в среде с постоянной температурой t№. По мере нагрева температура в каждой точке асимптотически приближа- ется к температуре нагревающей среды. Наиболее быстро изменяется температура точек, лежащих вблизи поверхности тела. С увеличением времени прогрева эта разность будет уменьшаться и теоретически через достаточно большой отрезок времени она будет равна нулю. В условиях передачи теплоты через стенку при внезапном измене- нии температуры одного из теплоносителей даваться через стенку: часть ее уйдет на изменение внутренней энергии самой стенки (ее температуры), и только при наступле- нии стационарного процесса вся теплота будет передаваться через стенку от одной жидкости к другой. Приведенные примеры указывают на то, что нестационарные тепловые процессы всегда связаны с изменением внутренней энергии или энтальпии вещества. В настоящей главе будет рассмотрено лишь несколько наиболее важных задач, от- носящихся к процессам, в которых тело стре- мится к тепловому равновесию. Цель такого рассмотрения заключается в том, чтобы показать общие физические особенности такого рода процес- сов, познакомиться с методом решения задачи нестационарной теплопро- водности и получить математические соотношения для практических рас- четов. Для более широкого ознакомления с решениями большого круга задач нестационарной теплопроводности как в случае стремления тем- пературы тела к состоянию равновесия, так и ее периодического изме- нения следует обратиться к монографии А. В. Лыкова [Л. 111] и другой специальной литературе [Л. 67, 132, 204]. 3-2. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПРОЦЕССА Аналитическое описание процесса теплопроводности включает в себя дифференциальное уравнение и условия однозначности. Дифференциальное уравнение теплопроводности при отсутствии внутренних источников теплоты имеет вид: Условия однозначности задаются в виде: физических параметров Z, г, р; формы и геометрических размеров объекта /п, оч I I I • v5"*/ температуры тела в начальный момент времени т = 0 t = t0 — f(x, у, г). Граничные условия могут быть заданы в виде граничных условий третьего рода: 75
Дифференциальное уравнение теплопроводности е условиями однозначности (3-2) дает законченную формулировку рассматриваемой задачи. Решение в отыскании функции t=f (х, у, z,t, a, a, to, Лк, /о, ЛЛ . , In), (3-1) совместно математическую ее заключается (3-3) которая удовлетворяла бы уравнению (3-1) и условиям (3-2). Рассмотрим подробно решение задачи об охлаждении плоской од- нородной стеики и получим для этого случая конкретный вид функции (3-3). Изучив метод решения задачи для пластины, можно понять прин- цип решения задач и для тел другой геометрической конфигурации. 1-3. ОХЛАЖДЕНИЕ (НАГРЕВАНИЕ] НЕОГРАНИЧЕННОЙ ПЛАСТИНЫ Постано вка задачи. Дана пластина толщиной 26. Если тол- щина пластины мала по сравнению с длиной и шириной, то такую пла- стину обычно считают неограниченной. При заданных граничных условиях коэффициент теплоотдачи а одинаков для всех точек поверхности пластины. Изменение температу- —г<г—н Рис. 3-2. К охлаж- дению плоской не- ограниченной пла- стины. При т=0 задано /0=cconst в th- eorist. но поместить на ры происходит только в одном направлении х, в двух других направлениях температура не изменяется (f)tldy=dtld2—O), следовательно, в пространстве за- дача является одномерной. Начальное распределение температуры задано некоторой функцией t(x, 0) = =f(x). Охлаждение происходит в среде с постоянной температурой /ж=сопб1. На обеих поверхностях от- вод теплоты осуществляется прн постоянном во вре- мени коэффициенте теплоотдачи. Отсчет температуры пластины‘для любого момента времени будем вести от температуры окружающей среды, т. е. t—/ж—'О. Так как задача в пространстве одномерная, то дифференциальное уравнение (3-1) принимает вид: Начальные условия: при т=0 0=0<i=f(x)—tx=F(x). (3-5) При заданных условиях охлаждения задача ста- новится симметричной и начало координа'г удоб- осн пластины, как показано на рис. 3-2. При этом гра- ничные условия на оси и на поверхности пластины запишутся так: а] иа оси пластины при х — 0 (туМ =0; ) « “я (3’6) б) на поверхности пластины при х = 8 (gj-) =----J Дифференциальное уравнение (3-4) совместно с начальными (3-5) и граничными (3-6) условиями однозначно формируют поставленную задачу. Решение дифференциального уравнения (3-4) с учетом началь- ных н граничных условий н дает искомое распределение температуры в плоской пластине. Решение дифференциального уравнения (3-4) ищем в виде произ- ведения двух функций, из которых одна является функцией только т, 76
а другая — только х (метод разделения переменных): #=Ф(т, х) = <р(т)ф(х). (3-7) После подстановки последнего выражения в дифференциальное уравнение (3-4) получим: ИЛИ <р'(т)ф(х) = аф"(х)<р(т). В этом уравнении легко разделяются переменные, и его можно за- писать следующим образом: у' О) _ g Ф" (х) ч (9 Ф (*) ’ (3-8) Левая часть уравнения (3-8) есть функция только т, а правая — функция только X. Если зафиксировать аргумент х и менять только т, то при любом его значении левая часть уравнения (3-8) равна постоянной величине, стоящей в правой части, т. е. гр'(т)/гр(т) = const. Аналогично при фикса- ции т и изменении х правая часть уравнения (3-8) для любого значения х должна равняться постоянной левой части, которая зависит только от т, т. е. ф"(х)/ф(х) = const. Так как равенство (3-8) должно иметь место при любых значениях х и т, то обе его части должны быть равны, одной и той же постоянной величине. Обозначим последнюю через в и перепишем соотношение (3-8): 1 а ч' М _ Ф" (х) Ч W Ф (х) = const=е. Заметим, что нетривиальное решение для функции ф(х) получаем не при всех значениях е, а только при : <0. Так как е пока произволь- ная постоянная по численному значению, то полагаем е = —k2. Подстав- ляя это значение для е, получим: I ?'(t) __Ф" (X)__ __ [,2 я ¥(-.) Ф (X) откуда Ч' (т) -1- а!:'Ч (-) = 0; (3-9) ср"(х) + ^(%)=0. (3-10) Постоянная k определяется из граничных условий, а знак минус выбирается из физических соображений. Для тепловых процессов, стре- мящихся к тепловому равновесию, знак может быть только минус. В результате мы получили систему обыкновенных дифференциаль- ных уравнений (3-9) и (3-10), которые легко интегрируются. Уравнению (3-9) удовлетворяет функция <р (т) = C\e'J‘"' . Уравнению (3-10) удовлетворяет функция вида: <р (х) = С2 sin (kx) + С3 cos (kx). Подставляя полученные выражения для ср(-г) и ф(х) в уравнение (3-7), получаем частное решение: ф= [С2 sin (kx) + Cs cos (kx) ] . (3-1 lj 77
Выражение (3-11) удовлетворяет исходному уравнению (3-4) при любых значениях постоянных Ci, С2, Сз и k. Для того чтобы уравнение (3-11) было решением поставленной за- дачи, его нужно подчинить начальным н граничным условиям. Подчи- няя уравнение (3-11) граничным условиям при х=0 находим: =C1e~‘‘k"‘k [Сг cos (kx) — C3'sin (kx)] I = 0, X=0 U=o ИЛИ Czcos (0) —Cz sin (0), откуда Сг=О. Это значит, что частное решение ф(х) = C2Sin (kx) должно быть отброшено как не удовлетворяющее заданным граничным условиям. Если учесть, что Сг=0, и обозначить CiCz=A, то уравнение (3-11) можно записать в виде b=Ae~°k"cos(kx). (3-12) Подчинив частное решение (3-12) граничному условию получим: — Me~°**’sin(fe3)=— -£-A;-“ftl’cos(fc8), (3-13) откуда после простейших преобразований получаем: ctg(fe8) = -g-, Л Рис. 3-3. к решению уравнения (3-14). где a6/X=Bi. Если обозначить йб = р, то последнее выражение можно записать следующим образом: ctgp=p/Bi. (3-14) Из анализа этого тригонометрического уравнения следует, что при каждом значении Bi существует бесконечное множество решений. Наи- более просто уравнение (3-14) можно решить графическим способом. Обозначим левую часть уравне- ния (3-14) через wi=ctg(i, а пра- вую— через i/2=p./Bi. Пересечение ко- тангенсоиды yi с прямой у2 дает нам значение корней характеристического уравнения, т. е. р. (рис. 3-3). Из рис. 3-3 следует, что мы имеем бесконечное множество значений вели- чины р,„, причем каждое последую- щее больше предыдущего: |Ч< |Л2<|13< ... <|1„< ... Важно отметить, что каждому зна- чению числа Bi отвечает своя совокуп- ность корней уравнения (3-14). 78
Таблица 3-1 Значения p-rt для пластины Bi И» Hs Hs BI 6» Hs Иг 0 0,0000 3,1416 6,2832 9,4248 1,0 0,8603 3,4256 6,4373 9,5293 0,001 0,0316 3,1419 6,2833 9,4249 1,5 0,9882 3,5422 6,5097 9,5801 0,002 0,0447 3,1422 6,2835 9,4250 2,0 1,0769 3,6436 6,5783 9,6296 0,004 0,0632 3,1429 6,2838 9,4252 3,0 1,1925 3,8088 6,7040 9,7240 0,006 0,0774 3,1435 6,2841 9,4254 4 4,0 1,2646 3,9352 6,8140 9,8119 0,008 0,0893 3,1441 6,2845 9,4256 5,0 1,3138 4,0336 6,9096 9,8928 0,01 0,0998 3,1448 6,2848 9,4258 6,0 1,3496 4,1116 6,9924 9,9667 0,02 0,1410 3,1479 6,2864 9,4269 7,0 1,3766 4,1746 7,0640 10,0339 0,04 0,1987 3,1543 6,2895 9,4290 8,0 1,3978 4,2264 7,1263 10,0949 0,06 0,2425 3,1606 6,2927 9,4311 9,0 1,4149 4,2694 7,1806 10,1502 0,08 0,2791 3,1668 6,2959 9,4333 10,0 1,4289 4,3058 7,2281 10,2003 0,1 0,3111 3,1731 6,2991 9,4354 15,0 1,4729 4,4255 7,3959 10,3898 0,2 0,4328 3,2039 6,3148 9,4459 20,0 1,4961 4,4915 7,4954 10,5117 0,3 0,5218 3,2341 6,3305 9,4565 30,0 1,5202 4,5615 7,6057 10,6543 0,4 0,5932 3,2636 6,3461 9,4670 40,0 1,5325 4,5979 7,6647 10,7334 0,5 0,6533 3,2923 6,3616 9,4775 50,0 1,5400 4,6202 7,7012 10,7832 0,6 0,7051 3,3204 6,3770 9,4879 60,0 1,5451 4,6353 7,7259 10,8172 0,7 0,7506 3,3477 6,3923 9,4983 80,0 1,5514 4,6543 7,7573 10,8606 0,8 0,7910 3,3744 6,4074 9,5087 100,0 1,5552 4,6658 7,7764 10,8871 0,9 0,8274 3,4003 6,4224 9,5190 co 1,5708 4,7124 7,8540 10,9956 Первые четыре корня уравнения (3-14) щ, Иг, Из и р/, приведены в табл. 3-1 для различных значений числа Bi (от 0 до оо). При Bi—>-оо прямая j/2=ii/Bi совпадает с осью абсцисс и корни уравнения будут равны: п 3 5 . п Рт — 2 * P's — 2 ^"3 — 2 » Р*п — (2/Z 1) g • При Bi—>0 прямая y2=p/Bi совпадает с осью ординат и тангенс угла наклона прямой стремится к бесконечности, при этом корни урав- нения (3-14) равны: щ=0; Ц2=л; ps=2n; р„= (п—1)л, где л=1, 2, 3 ... Для других конечных значений числа Bi величины имеют про- межуточные значения (см. табл. 3-1). Следовательно, каждому найденному значению корня ц будет соот- ветствовать свое частное распределение температуры: &, = A, cos ’ 8“ &2 = Д cos ; (3-15) ал =Л„ COS -у-) e 14" s“ 79
Полученные частные решения (3-15) будут удовлетворять диффе- ренциальному уравнению при любых значениях постоянных Ai, Л 2, ... но ни одно из этих решений не будет соответствовать действи- тельному распределению температуры в начальный момент времени. Однако путем наложения бесконечного числа таких распределений прн соответствующем выборе величин Ап можно воспроизвести любую дей- ствительную температурную зависимость в начальный момент вре- мени. На основании сказанного общее решение можно представить сум- мой бесконечного ряда: а т &= У] е-*1’”’. (3-16) Известно, что если отдельные распределения (3-15) удовлетворяют дифференциальному уравнению (3-4) и граничным условиям (3-6), то и сумма их также удовлетворяет тем же условиям. Постоянная Ап в уравнении (3-16) найдется из начальных условий. Подчинив уравнение (3-16) начальному условию, получим: л~>со = F (х) = £ А„ cos 4) • (3-17) п=1 Уравнение (3-17) есть разложение четной функции в ряд Фурье с заданными параметрами цп, определяемыми характеристическим уравнением (3-14). Для этой последовательности чисел справедлива формула f COS (Уп ХЛcos dx = при п=^т' J К / \ / 1=7^0 при п=т, с помощью которой можно определить все коэффициенты Ап в урав- нении (3-17). Для этого умножим обе части уравнения (3-17) на cos (p„x/6)dx и затем проинтегрируем полученное соотношение по тол- щине пластины. Тогда +8 +8 У F (х) cos 4-) dx=Ап J cos2 -J-) 4/х, (3-18) —Ь —б ибо все остальные слагаемые в правой части, для которых п^=ту обра- щаются в нуль. Интеграл в правой части соотношения (3-18) равен 8 +2p7sinH' Тогда J F W cos -г) dx- С3-1*» Из уравнения (3-19) следует, что Ап является функцией только корня характеристического уравнения и начального распределения тем- пературы. 80
Подставив полученное выражение для постоянной Ап в уравнение (3-16), получим окончательное выражение для температурного поля при охлаждении однородной пластины: к->со Г +6 "1 , ат п— 1 —I J (3-20) Уравнение (3-20) позволяет получить значение температуры в лю- бой точке пластины для любого момента времени т при любом началь- ном распределении температуры ©о. Если в начальный момент времени (т=0) температура в пластине распределена равномерно (рис. 3-2), т. е. i0—<ж=fto=const, то интеграл в уравнении (3-19) равен (йт,26/ц„) sin С учетом сказанного выра- жение для постоянной Л,: принимает вид: Д, == —т2.5|*и" . (3-21) с t4. + sitip.„coslp.„ ' ' Подставляя значение Ап, полученное для случая равномерного рас- пределения температуры в пластине в начальный момент времени, в уравнение (3-20), получаем: п-^оо ' ах а= S е~^ >1=1 Уравнению температурного поля (3-22) целесообразно придать без- размерную форму. Для этого разделим правую и левую части урав- нения (3-22) на до. При этом обозначим: —=>О п' После этих преобразований получим: ах 4-== У —~sin^-----------cos (|1„ 4Л е-|Х°5Г- (3-23' 4J Нп + sm p-я cos |ЛЯ п 6 J v п—1 Входящие в уравнение температурного поля (3-23) величины Dn-, ах х Vjn, Ж’ "F являются безразмерными и имеют следующий смысл: — безразмерная температура; х/6=Х— безразмерная коор- дината; ат/62=Ео — число Фурье, представляющее собой безраз- мерное время; D„ — безразмерный коэффициент. С учетом последних обозначений уравнение (3-23) запишется: е=S cos (и”Х) ехр Fo)- <3-24) П=1 Анализ полученного решения. Так как щ, ц2..............ц„ пред- ставляет собой ряд возрастающих чисел, то чем больше ц, тем меньше 6 —ВТ 81
роль последующего члена ряда по сравнению с предыдущим. Кроме того, чем больше число Fo, тем члены ряда будут убывать быстрее с увеличением номера п. Многочисленные исследования показали, что уже при Fo5=0,3 ряд (3-24) становится настолько быстросходящимся, что распределение тем- пературы достаточно точно описывается первым членом ряда: 0 =----, 2!1п|х'--cos (ц ехр (—(12 Fo). (3-25) (J-! + sin (I, COS |1, "1 r' 1 ' ' ' Ранее обозначено 2sin pi/(p,i+sin pi cos pi) =Di. С учетом этого обозначения уравнение (3-25) можно записать в следующем виде: 0=Dicos (р(Х) ехр (—pAFo). (3-25') Величина Dj является только функцией числа Bi и заранее может быть рассчитана и табулирована. Кроме того, если рассматривать температуру для определенного значения Х=х/6, то и cos (pjX) явля- ется функцией Bi. Конкретно для оси пластины Х=х/6=0 и cos(pi-0) = l, а для поверхности Х=х/6=1 и cos (щ-1) =cosi|jj. Для оси пластины произведение Dt cos (0) обозначим как некото- рую функцию Л'(Bi). Тогда уравнение (3-25) можно записать в сле- дующем виде: <9x=o=W(Bi) ехр (—p2,Fo). (3-26) Для поверхности пластины произведение Di cos pi обозначим как некоторую функцию P(Bi) и уравнение (3-25') запишется так: ®x=i==P(Bi) ехр (—p2fFo). (3-27) Функции IV (Bi) н P(Bi) в уравнениях (3-26) н (3-27) табулирова- ны и для расчета могут быть взяты из справочников [JI. 82, 164, 182]. Кроме того, из уравнений (3-26) н (3-27) следует, что при заданной координате безразмерная температура является только функцией двух безразмерных параметров Bi и Fo: 0x=o=fi(Bi, Fo) и ©x=i=f2(Bi, Fo). Логарифмируя уравнение (3-26), получаем: in0x—o=lnJV(Bi)—-p2iFo. (3-28) Аналогичное уравнение может быть получено после логарифмиро- вания уравнения (3-27). Из уравнения (3-28) следует, что при заданном значении коорди- наты и при заданном Bi натуральный логарифм безразмерной темпе- ратуры линейно зависит от времени. Последнее обстоятельство дает возможность представить для уравнений (3-26) и (3-27) графическое решение (рис. 3-4 и 3-5). Из уравнения (3-24) следует, что в условиях охлаждения (нагре- вания) пластины для любого момента времени при заданных гранич- ных условиях поле температуры имеет вид симметричной кривой с мак- симумом на оси пластины (Х=0). Для каждого последующего момен- та времени будет своя кривая, монотонно убывающая к поверхностям пластины. При этом для любого момента времени касательные к кри- вым в точках Х--±1 проходят через две направляющие точки +А и —А — расположенные на расстоянии ±Х<> от поверхности пластины, Xo=l/Bi (рис. 3-6). 82
Рис 3-4 Зависимость G—/j(Fo, Bi) для середины пластины. Рис 3-5 Зависимость e=/2(Fo, Bi) для поверхности пластины. 6* 83
Для доказательства этого важного свойства рассмотрим темпера- турное поле для произвольного момента времени Fo>0. Умножив граничное условие (3-6) при х=±6 на 6/0о, получим: Записывая последнее выражение в безразмерных величинах, будем иметь: Из рисунка следует, что Сравнивая выражения (а) и (б), получаем: (а) (б) /3-29) 1Сти определяется заданными Рис. 3-6. Изменение температурного поля в плоской неограниченной стен- ке при ее охлаждении Из уравнения (3-29) следует, что расстояние точки А от поверхно- условиями однозначности, которые спра- ведливы для любого момента времени. Следовательно, касательные ко всем температурным кривым в точке пере- сечения с поверхностью пластины и неизменных граничных условиях всег- да будут проходить через точку А. Сказанное справедливо не только для пластины, но и для цилиндра, шара и тел других геометрических форм. Доказанное свойство температур- ных кривых дает возможность опреде- лить характер изменения температуры в теле при заданном значении числа Bi. Рассмотрим при этом три слу- чая. 1. Случай. когда Bi—>оо (практически Bi> 100). Если число то температура поверхности пластины Bi стремится к бесконечности, сразу становится равной температуре окружающей среды, в которую помещена пластина. Последнее видно из уравнения (3-29): при Bi—>оо Хо— l/Bi=0- Это означает, что точка пересечения касательных к темпе- ратурным кривым находится на поверхности пластины. Из Bi = = (6/X)/(l/ct) следует: Bi—*-оо прн заданных физических параметрах и толщине пластины тогда, когда а—*-оо, т. е. когда имеет место очень большая интенсивность отвода теплоты от поверхности. В этих случаях процесс охлаждения определяется физическими свойствами и размера- ми тела. При этом р,п=2(п—1)-тр и тогда коэффициент ряда (3-24): £) — 2sinp.n ____________________ п Р-7» + с°8 Ип sin .'84
2sin^(2n—l)-2~j _ 4(_l)»+i = it Г i Г ” I n(2/;—4 (2n — IJ-g-J-sin (2n - 1)—J cos | (2n — 1)-g-J Общее решение для рассматриваемого случая принимает вид: П=1 Тогда температура на оси пластины (Х=0) [ (¥Н <3-3'> п—1 р2/г— l)-£-Xj=O, и, следовательно, 0Х=1 = О. При X = 1 cos Распределение температуры в пластине при Го>0 показано на - — <Го„. Как было сказано, при рис. 3-7; здесь F01<F02<F03<F04< ... <For;. Как Го^0,3 ряд (3-24) быстро сходится и ошибка не превышает 1%, если отбросить все члены ряда, кроме первого. При этих условиях уравнение (3-31) принимает вид: 0 ехр (3-32) Если уравнение (3-32) прологарифмировать п решить относительно числа Fo, то получим: 4 _ ЭГ 01 Fo = (3-33) Рис. 3-7. Распределе- ние температуры в плоской стенке при ее охлаждении в усло- виях Bi—-»-оо; FO1< <Fo2<Fo3<Fo4. Учитывая, что Fo=ax/62, уравнение можно записать в виде (3-33) (3-33') По формуле (3-33) можно определить время, необходимое для прогрева середины пластины до заданной температуры. 2. Очень малые числа Bi (практически Bi<0,l). Если число Bi мало, то все коэффициенты членов ряда D,t—>0, поскольку теперь рп= (п—1) л, за исключением который равен: 2 sin p-i__________| !*- + sin р, cos ц, 1^ Из выражения Bi= (6/Х)/(1/а) видно, что малые значения числа Bi могут иметь место при малых размерах толщины пластины, при больших значениях коэффициента теплопроводности /. и малых значе- ниях коэффициента теплоотдачи а. Следует заметить, что при малых значениях щ функции tg |ц и sin pt можно заменить через их аргумен- 85
ты, и тогда характеристическое уравнение (3-14) запишется: 1___ Р-1 Bi ’ Учитывая сказанное, уравнение (3 24) можно переписать так: 0=cos (р^Л) ехр [—Fo] «= cos (]/Bi X) exp (—Bi Fo). (3-34) Найдем температуры на оси и на поверхности пластины: при Х—0 0jf^=o=exp (—Bi Fo); (3-35) при Х = \ _ 0 =1 = со s (VBi) ехр (—Bi Fo). (3- 36 Отношение температур на оси и поверхности пластины ех^-0__ ехр(—BiFo) ®Х=1 cos ехР (*—Bi Fo) * Рис. 3-8. Распределе- ние температуры в плоской стенке при ее охлаждении в усло- виях В1—>-0; Foi< <Fo2<Fo3<Fo4. Рис. 3-9. Распределе- ние температуры в плоской стенке при ее охлаждении в уело виях, когда Bi — конечная величина; Foi <Fo2<F оз < Fo<. температура на поверхности пластины незначитель- но отличается от температуры на оси. Это указы- вает на то, что температура по толщине пластины распределяется равномерно и кривая температур остается почти параллельной оси ОХ для любого момента времени (рис. 3-8). Касательные к температурным кривым в точ- ках пересечения их с поверхностью должны пересе- каться с осью абсцисс в бесконечности: при Bi—И) имеем Хо= 1/Bi—>оо. В рассматриваемом случае процесс нагрева и охлаждения тела определяется интенсивностью теплоотдачи на поверхности пластины. Иначе гово- ря, процесс выравнивания температуры в теле про- исходит существенно интенсивнее, чем отвод тепло- ты с поверхности. Задача становится внешней. 3. Число Bi находится в пределах О,l^Bi<100. В рассматриваемом случае рп есть функция Bi, т. е. зависит от толщины пластины. Температурные кривые для любого момента време- ни будут выглядеть, как показано на рис. 3-9. В этом случае интенсивность процесса охлаждения (нагревания) определяется как внутренним, так и внешним термическими сопротивлениями. З-Д. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЛИЧЕСТВА ТЕПЛОТЫ, ОТДАННОГО ПЛАСТИНОЙ В ПРОЦЕССЕ ОХЛАЖДЕНИЯ Количество теплоты Qn, Дж, которое отдает или воспринимает пластина с обеих сторон за вре- мя от т=0 до т—со, должно равняться изменению внутренней энергии пластины за период полного ее охлаждения (нагревания): QP=26foc(io—^). (3-37)
Тогда за любой промежуток времени от т=0 до та или, что то же, от Fo до Fo,, внутренняя энергия пластины изменится на Q = Qn . __Q1 = 25/рс (/„-/„,) (1- или _ Q = Qn(l—6i), (3-38) где 0i= (ti—tHi)/(t0—t-.r.)—средняя безразмерная температура по тол- щине пластины в момент времени tj. Из соотношений (3-37) и (3-38) следует, что расчет количества теплоты, отданного или воспринятого пластиной, сводится к нахожде- нию средней безразмерной температуры в интересующий нас момент времени. Средняя безразмерная температура для слоя пластины от оси симметрии до плоскости X найдется как х 0=ф О 8 соответствии с теоремой о среднем. Если в это выражение подставить под знак интеграла значение в из уравнения (3-24) и проинтегрировать в пределах от нуля до еди- ницы, то получим: 0= V , ----ехр (—|Д,Fo). (3-39) 4J Р-. + 0„ sln cos (S. ' П=1 Подставив в уравнение (3-38) вычисленное по формуле (3-39) зна- чение средней температуры пластины для интересующего нас момента времени, получим количество теплоты, отданное пластиной в окружаю- щую среду за рассматриваемый промежуток времени. При Bi—>оо (практически Bi>100) уравнение (3-39) принимает вид: со (3-40) Если Bi—>0 (практически Bi<0,l), уравнение (3-39) принимает гжд: _ 0=ехр (—BiFo). (3-41) При значениях числа FoJS=0,3 для пластины можно ограничиться первым членом ряда (3-39), тогда 0= а 2s1"2f.-------ехр( 2 Fo) (3.42) р.а1 + 01 SIn 01 cos / х 1 Множитель 2 sin2 pi/(p2i+pi cos |i,sin pi) зависит только от числа Bi и может быть представлен как некоторая функция М(Bi), тогда урав- нение (3-42) запишется: ©=M (Bi) ехр (—р2! Fo). (3-42') Функция М(Bi) может быть заранее рассчитана и представлена в таблицах. Тогда расчет средней температуры будет сводиться к вы- числению экспоненты. 87
3-5. ОХЛАЖДЕНИЕ (НАГРЕВАНИЕ) БЕСКОНЕЧНО ДЛИННОГО ЦИЛИНДРА Цилиндр радиусом г0 отдает тепло окружающей среде через свою боковую поверхность; коэффициент теплоотдачи а во всех точках по- верхности одинаков и остается постоянным на протяжении всего перио- да охлаждения. Температура среды постоянна. В начальный мо- мент времени при т=0 температура является некоторой функцией t(r, O)=f(r). Отсчет температуры цилиндра будем вести, как и в § 3-3, от температуры среды, т. е. I—При этих условиях уравнение теплопроводности принимает вид: (3-43) dt I dr* 1 r dr у ' ' Граничные и начальные условия: при и О=0о= f (г)—t» - F (г); Сформулированную задачу решим с помощью разделения перемен- ных, т. е. О(г, т) =<р(т)ф(г). Подставляя это выражение в уравнение (3-43), получим два обыкновенных дифференциальных уравнения вида <р'(т) +а£2ф(т) =0; (3-44) Г(г)+-Н'(г) + ^(г) = 0. (3-45) Из предыдущего параграфа известно, что уравнение (3-44) имеет решение: (а) Уравнение (3-45) есть уравнение Бесселя, общий интеграл которо- го имеет вид: ф(г) =Сг7о(йг) 4-СзУо(£г), (б) где Ci и Сг — постоянные интегрирования, /(| и Ц — функции Бесселя первого и второго рода нулевого порядка. Так как температура на оси цилиндра (г=0) должна быть конечной величиной, а Ц(0)—>оо, то из физических соображений частное решение уравнения (3-45) не должно содержать бесселеву функцию второго рода и С3 должно быть равно нулю. С учетом сказанного уравнение (б) принимает вид: ф(г) = C2J„(kr). (в) Если обозначить /гг0=ц, тогда частное решение уравнения (3-43) будет иметь вид: 88
Постоянная р в уравнении (3-46) определяется из граничных усло- вий (г=го), решение которых приводит к характеристическому урав- нению •'.(г-)______!L- 7, (р.) Bi ’ здесь .7i([i) —функция Бесселя первого рода первого порядка. Уравнение (3-47) является трансцендентным, и его удобно ре- шать графическим способом, обо- значив: |л/В1=<д; /о(|х)//1(р) =№• Отметим, что у2 обращается в нуль в тех точках, для которых Л (и) В тех точках, в которых функ- ция Л(р,1) обращается в нуль, функ- ция у2 претерпевает разрыв непре- рывности и становится равной ±оо. Функции /о(н) иА(ц) являются пе- риодическими затухающими функ- циями, а кривая у2~Л(ц)/Л(ц) на- поминает котангенсоиду, но с убы- вающим периодом. Функция yi= = p,/Bi графически представляет прямую линию, проходящую через начало координат. Выполнив по- строение, как показано на рис. 3-10, в точках пересечения функции у2 с прямой у± получим значения кор- ней характеристического уравнения (3-47). Из рис. 3-10 следует, что уравнение (3-47) имеет бесчислен- ное множество решений, а сами корни, как и для пластины, представляют ряд возрастающих чисел, т. е. щ<|Л2<рз< ... <р.п, где п=1, 2, 3, ...» оо. Первые четыре корня уравнения (3-47) pi, R, ga и щ приведены в табл. 3-2 для различных значений числа Bi (от 0 до оо). Общее решение будет суммой всех частных решений (3-46): п—со *=Ц ех₽ /1—1 (3-47) (3-48) Постоянная С„ в уравнении (3-48) находится из начальных условий. При т=0 0=0о=/7(г) и уравнение (3-48) принимает вид: п-»оо &0 = F(r) = ^ п=1 (3-49) Видим, что (3-49) представляет собой разложение функции F(r) в ряд Фурье по функциям Бесселя, а для такой последовательности 89
Таблица 3-2 Значения для цилиндра Bi Hi Hi Из и. Hi Hs На И* 0,0 0,0000 3,8317 7,0156 10,1735 2,0 1,5994 4,2910 7,2884 10,3658 0,01 0.1412 3,8343 7,0170 10,1745 3,0 1,7887 4,4634 7,4103 10,4566 0,02 0,1995 3,8369 7,0184 10,1754 4,0 1,9081 4,6018 7,5201 10,5423 0,04 0,2814 3,8421 7,0213 10,1774 5,0 1,9898 4,7131 7,6177 10,6223 0,06 0,3438 3,8473 7,0241 10,1794 6,0 2,0490 4,8033 7,7039 10,6964 0,08 0,3960 3,8525 7,0270 10,1813 7,0 2,0937 4,8772 7,7797 10,7646 0,10 0,4417 3,8577 7,0298 10,1833 8,0 2,1286 4,9384 7,8464 10,8271 0,15 0,5376 3,8706 7,0369 10,1882 9,0 2,1566 4,9897 7,9051 10,8842 0,20 0,6170 3,8835 7,0440 10,1931 10,0 2,1795 5,0332 7,9669 10,9363 0,30 0,7465 3,9091 7,0582 10,2029 15,0 2,2509 5,1773 8,1422 1Ы367 0,40 0,8516 3,9344 7,0723 10,2127 20,0 2,2880 5,2568 8,2534 11,2677 0,50 0,9408 3,9594 7,0864 10,2225 30,0 2,3261 5,3410 8,3771 11,4221 0,60 1,0184 3,9841 7,1004 10,2322 40,0 2,3455 5,3846 8,4432 11,5081 0,70 1,0873 4,0085 7,1143 10,2419 50,0 2,3572 5,4112 8,4840 11,5621 0,80 1,1490 4,0325 7,1282 10,2519 60,0 2,3651 5,4291 8,5116 11,5990 0,90 1,2048 4,0562 7.1421 10,2613 80,0 2,3750 5,4516 8,5466 11,6461 1,0 1,2558 4,0795 7,1558 10,2710 100,0 2,3809 5,4652 8,5678 11,6747 1,5 1,4569 4,1902 7,2233 10,3188 со 2,4048 5,5201 8,6537 11,9309 числа Сп определяются по формуле (3-50) После интегрирования знаменателя получаем: С" = Р.(и„)4-/2. MJ [ rF (г) (р'п 7Г) dr- 6 (3-51) Подставляя полученное выражение для С„ в уравнение (3-48), по- лучаем: П-К» (М+/2. (MJ о (3-52) Уравнение (3-52) справедливо при любом начальном распределе- нии температуры в цилиндре. Если в начальный момент времени (т=0) температура распреде- лена равномерно, т. е. Oo=F(r) =const, то интеграл в уравнении (3-52) Га J Г V» (ft. dr = rA- V. (^- о 90
Для этих условий уравнение температурного поля принимает вид: п->оо ТГ=У> -----z >г Л (V„~'l exp (—(3-53) и H-n [/% (H>) 4- A (н-n)] < r0 J 1 ^nr\J 4 1 n—1 Обозначим: O/Oo=0— безразмерная температура; r/ro—R — без- размерная координата, которая изменяется в пределах at/r2o=Fo— число Фурье для цилиндра. С учетом этих обозначений последнее выражение запишется в виде п->оо е==У! р. [J* щД+’/’-йк и Л(М?)ехр(—p.!nFo). (3-53') п—1 Заметим, что все принципиальные выводы, сделанные при анализе решения для пластины, справедливы и для цилиндра. Из характеристического уравнения (3-47) видно, что корни р„ за- висят только от Bi. Поэтому уравнение температурного поля можно представить в виде обобщенной функции от безразмерных параметров: 0=Г(-^-, = Bi,Fo). (3-54) Если рассматривать значение температуры на оси цилиндра (/?== =0), то уравнение (3-53) запишется следующим образом: На поверхности цилиндра со 0д=1 = 5 |ХП [/.„ (рJ +л, (p.„)] J° №) ехР Fo1- (3-56) л=1 При Bi—>оо (практически Bi> 100) прямая совпадает с осью абсцисс и корни характеристического уравнения не зависят от Bi, а определяются из условий /о(ц) =0. В этом случае процесс охлаждения определяется физическими свойствами тела и его геометрическими размерами. При этом уравнение (3-53) принимает вид: оо 0= V „ , h W?) exp [—|i2„Fo]. (3-57) n=I Если рассматривать охлаждение цилиндра при условии Bi—>0 (практически Bi<0,l), то при разложении функций -Ml1) и Л(р) в сте- пенные ряды они становятся настолько быстросходящимися, что можно ограничиться первыми членами ряда, и тогда p2=2Bi. Действительно, 91
откуда получаем: |i=]/2Bi. Кроме того, коэффициенты всех членов ряда бесконечной суммы (3-53) равны нулю, за исключением коэффициента п __ 2А (Нч) — Н. (а,) + Л, (H1)J ' который равен единице. Уравнение (3-53) для условий Bi—>0 прини- мает вид: 0=Jo(h«R) ехр[—|А1о]. (3-58) На оси цилиндра (Л=0): 6n=o=expi[—p2iFo]. (3-59) На поверхности цилиндра (Д = 1): 0л=1=/о(|и) ехР [—lAFo]. (3-60) В силу того что p.= | 2Bi, как сама функция так и отноше- ние температур па осп и поверхности цилиндра будут стремиться к еди- нице, т. е. _______ ехр [—н21 Fo] ____, , 0S=1 — /„ (и,) ехр [—|i.!, Fo] Последнее указывает на то, что температура по толщине цилиндра распределена равномерно и практически не зависит от радиуса цилинд- ра. Задача становится внешней и протекание процесса определяется условиями охлаждения на поверхности цилиндра. Если Fo^0,25, при вычислении безразмерной температуры 0 мож- но ограничиться первым членом ряда. Допускаемая при этом ошибка не превысит 1%. Тогда безразмерные температуры на оси и поверхно- сти цилиндра могут быть вычислены по формулам: на оси цилиндра 0a=o=Afo(Bi) ехр [—pi2iFo]; (3-61) на поверхности цилиндра 0=/%(Bi) ехр [—|i2iF<i]. (3-62) Функции A?0(Bi) и -Po(Bi) могут быть заранее рассчитаны и сведе- ны в таблицы (см. [Л. 82, 164, 182]). Поскольку в уравнениях (3-61) и (3-62) 0 является функцией только двух безразмерных параметров 0в=о=Ф1(В1, Fo) и 0К_ 1=®2(B1, Fo), то для определения температуры на оси поверхности цилиндра можно построить графики, показанные на рис. 3-11 и 3-12. 3-6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЛИЧЕСТВА ТЕПЛОТЫ, ОТДАННОГО ЦИЛИНДРОМ В ПРОЦЕССЕ ОХЛАЖДЕНИЯ Так же как и для пластины,- количество теплоты Q„, Дж, которое отдается или воспринимается поверхностью цилиндра за время от т=0 Д° т=оо, должно равняться изменению внутренней энергии цилиндра за период полного его охлаждения: Qn=nr2oZpc(fo—гж). (3-63) 92
Рис 3-11 Зависимость 0=Ф>(Ро, Bi) для оси цилиндра. Рис 3 12 Зависимость 0=Ф2'Ро, Bi) для поверхности цилиндра 93
За любой промежуток времени от т=0 до ti внутренняя энергия цилиндра изменится на величину _ Q=Qn(l-©i), (3-64) где по-прежнему, как и для пластины, ZT__ . V1 t 'О е5К Средняя безразмерная температура цилиндра найдется из урав- нения R 1 ё"= ~ ©2W?dR = 2 \(-)RdR 6 о (R изменяется от 0 до 1). Если в это уравнение подставить значение 0 согласно уравнению (3-53) и проинтегрировать в указанных ранее пределах, то получим: СО 6=S ехр 1~^а"101 п—1 или, учитывая, что /о(ц)/Л(ц) = p/Bi, со 2. 0 = S иМр-Т+вЙ ехр Ь!Л Fo1' l3’65) П=1 При расчете средней температуры цилиндра 0 в случае Fo^0,25 также можно ограничиться одним первым членом ряда (3-65): ё= ехР (-р2> Fo>- <3-65') Функцию 4Bi2/[|x2i(Ц21 +Bi2)]”7И(Bi) можно заранее рассчитать для соответствующих значений Bi и свести в таблицы. 3-7. ОХЛАЖДЕНИЕ ШАРА Рассмотрим охлаждение шара в среде с постоянной температурой и с постоянным коэффициентом теплоотдачи а на его поверхности. В начальный момент времени при т=0 все точки шара с радиусом г0 имеют одинаковую температуру to. При заданных условиях температу- ра для любой точки шара будет функцией только времени и радиуса. Требуется найти распределение температуры внутри шара. Если обозначить избыточную температуру для любой точки шара то дифференциальное уравнение теплопроводности шара в сферических координатах запишется: ж— й/)- (З-66) а) Граничные условия: на поверхности шара при г = г0 /йО х _________________ « „ Из условий симметрии задачи в центре шара при г=0 (3-67) (Я--а б) Начальные условия: при т==0 &==&, = *,— для 0<г<г„. 94
Решая уравнение (3-66) методом разделения переменных и подчи- няя полученное решение условиям (3-67), получим1: со 6 = у 2 (sl" - cos М gHHgagL exp [—и2„ Fo]; (3-68) 4J (Ня— sin (!„ cos р.„) p.„R 1 I rn J, n=l здесь G=-e/-e0; R^r}rQ. Постоянная p, в уравнении (3-68) является корнем характеристиче- ского уравнения, которое для шара имеет вид: tgp.=----B1^j . (3-69) Уравнение (3-69) является трансцендентным, имеет бесчисленное множество корней при заданном значении Bi и решается аналогично уравнению (3-14). Значения шести корней уравнения (3-69) для раз- личных Bi приведены в [Л. 111, табл. 6-5]. При Bi—>оо согласно характеристическому уравнению (3-69) р,п •—-ПЗТ, при этом «начальная тепловая амплитуда» уравнения (3-68) __ 2 (sin cos р.п) ___2 /__।1 п Н-п — sin cos ’ С учетом последнего уравнения формула (3-68) принимает вид: со 6= 2(—1)”+* Д;-з1п(/1т:/?)схр[—(нт)2Го]. (3.70) При Bi= 1 согласно уравнению (3-69): Ип= (2п — 1)-^, Dn=2(—l)n+1 -Д, Р-эт и уравнение (3-68) запишется: СО 6=V(-1)"+1^-??S^-exp(-p2nFo). (3-71) Нэт Нэт'" п=1 При малых значениях Bi (ВК0,1) начальные амплитуды (Dn) всех членов ряда (3-68), за исключением первого, стремятся к нулю. Начальная амплитуда первого члена ряда £>i=l, a p2i=3Bi. При этих условиях соотношение (3-68) запишется так: © = exp (—3Bi Fo)- (3-72) K3B1R ’ ' Из анализа уравнения (3-68) следует, что при значениях Fo3=0,25 ряд становится настолько быстросходящимся, что для выражения тем- пературного поля можно ограничиться первым членом ряда: © = 2 (sin р.. —- р., cos р.,) sin(p.R) , F 3 p,t —sin p.i cos p.t p.j7? r \ r-i • \ > Так как pn в уравнении (3-68) зависят только от числа Bi, то урав- нение температурного поля может быть записано в виде ®=F(R, Bi, Fo). (3-74) 1 Подробное решение приведено в монографии А. В. Лыкова [Л. 111]. 95
Для центра шара вв=о=Л(В1, Fo). (3-74') Для поверхности шара eB=I=F2(Bi, Fo). (3-74") Функции, определяемые выражениями (3-74') и (3-74") для различ- ных значений чисел Bi и Fo, представлены иа рис. 3-13 и 3-14. Аналогично, как для пластины и цилиндра, количество теплоты, которое отдается или воспринимается шаром за промежуток времени Рис. 3-14. Зависимость 0=F2(Fo, Bi) для поверхности шара Рис 3-15 Зависимость Q/Qn~F(Fo, Bi) 96
от т=0 до г, найдем по формуле О _ V» 6 (sin р.„ — ц.„ cos р„)г ,J Fb. (3-75) Qu 2j Рч> — sirip„cosjj.„ ' >' 1 ' п—1 В уравнении (3-75) Qn=-^-№cpc((11—(,„) — начальная избыточная внутренняя энергия шара. Из рассмотрения (3-75) следует, что ^=F(Bi, Fo). (3-76) Значения функции (3-76) для различных значений чисел Fo и Bi представлены на рис. 3-15. 3-8. ОХЛАЖДЕНИЕ (НАГРЕВАНИЕ) ТЕЛ КОНЕЧНЫХ РАЗМЕРОВ а) Охлаждение параллелепипеда Рассмотрим охлаждение параллелепипеда в среде с 'постоянной температурой и с постоянным коэффициентом теплоотдачи а на всех его гранях. В начальный момент времени (т=0) все точки параллеле- Рнс. 3-16. К охлаждению параллелепи- педа. пипеда имеют одинаковую темпера- туру to. Параллелепипед с размера- ми 2дхХ26уХ262 является однород- ным и изотропным. Требуется найти распределение температуры в парал- лелепипеде для любого момента времени, а также среднюю темпера- туру, необходимую для определения количества подведенной (отведен- ной) теплоты. Поместим начало координат в * центре параллелепипеда (рис. 3-16). При этом дифференциальное уравнение запишется следующим обра- зом: <7/ (Х, У, Z, 1) 2,. . ----’-=0^4 (х, у, г, г). (3-77) Начальные условия (т=0) t(x, у, z) =6j=const. (3-78) При заданных условиях задача симметрична относительно центра параллелепипеда. Если ввести обозначение -0 = (—(ж, то граничные усло- вия запишутся так: а) для поверхности при т>0 7—ВТ (3-79) 97
б) в центре параллелепипеда при т>0 (3-80) Параллелепипеды, цилиндры конечных размеров и прямоугольные стержни можно рассматривать как тела, образованные пересечением соответственно трех взаимно перпендикулярных неограниченных пла- стин конечной толщины, цилиндра и пластины и двух пластин. Можно доказать, что решение таких задач представляется произ- ведением безразмерных температур для тел неограниченных размеров, в результате пересечения которых образовалось рассматриваемое тело. Как было сказано, параллелепипед образован в результате пере- сечения трех взаимно перпендикулярных безграничных пластин конеч- ной толщины. Следовательно, для него и решение можно представить, как произведение безразмерных температур для трех безграничных пластин: где ___t (х, т) — . 0 = 0^02, Л t) - tjR . (\ Т)-- — f —t ' *0 w £O (3-81) Общее решение (3-81) в развернутом виде запишется следующим образом: (х, у, Z, *t) — /д. __ t (х, t) tjg t (у, *с) tfg t (Z, *t) — Приведенное решение удовлетворяет как дифференциальному урав- нению, так и граничным условиям, описывающим процесс теплопровод- ности в параллелепипеде. Таким образом, решение задачи для рассматриваемого тела конеч- ных размеров свелось к решению задачи для безграничной пластины конечной толщины. Уравнение (3-81) можно представить в виде: Л__г / х ах \ г ( У а$у az\ г f % или 0—Fx(X, Bix, Fox)Fy(Y, Biy, Foy)F2(Z, Biz, Foz). (3-81") Множители в уравнении (3-81) вычисляются по формуле (3-24). Рассмотренный метод известен в теории теплопроводности под на- званием теоремы о перемножении решений. Полученное решение справедливо и для нахождения средней температуры. Средняя безразмерная температура параллелепипеда выражается следующим образом: Q~ t (т) t СОя ^ж t (T)g ^ж ^0 ^Ж ^0 ^Ж ““ или 6=:©ДД. = К (Bi,, Го^ЛДВ^, Fo„)Fz(Biz, Foz). (3-82) 98
В уравнении (3-82) множители находятся по формуле (3-39). За- метим, что теорема о перемножении решений справедлива и в более общем случае, когда коэффициенты теплопроводности различны для различных направлений, коэффициенты теплоотдачи иа гранях разные. б) Охлаждение длинного прямоугольного стержня Однородный стержень охлаждается в среде с постоянной температурой и при постоянном коэффициенте теплоотдачи на его поверхности. В начальный момент вре- мени (т=0) все точки стержня имеют оди- наковую температуру. Поперечное сечение стержня представ- ляет собой прямоугольник размерами 2бжХ Х2б?; (рис. 3-17). Такое тело можно рас- сматривать как результат пересечения двух пластин толщиной 2бж и 26^, условия Рис. 3-17. К охлаждению полу- ограничениого прямоугольного стержня. однозначности для которых такие же, как и для образовавшегося ^стержня. Безразмерное температурное поле для поставленной задачи есть Рис. 3 18. К охлаж- дению цилиндра конечной длины. 0=0 A, (3-82Q тде 0x=^x(^, Bix, Fox) и @y=Fy(Y, Biy, Foz). Множители в уравнении (3-82) вычисляются по формуле (3-24). в) Охлаждение цилиндра конечной длины Однородный цилиндр охлаждается в среде с по- стоянной температурой tm. Коэффициент теплоотдачи а на основаниях цилиндра и его поверхности одина- ков. В начальный момент (т=0) все точки цилиндра имеют одинаковую температуру to. Диаметр цилиндра равен 2го, длина l=2bz (рис. 3-18). Необходимо найти распределение температуры в цилиндре для любого момента времени и среднюю температуру как функ- цию времени для заданных условий однозначности. Конечный цилиндр можно рассматривать как резуль- тат пересечения безграничных цилиндра диаметром 2г0 и пластины толщиной 26z; следовательно, и без- размерную температуру для такого тела можно записать как ИЛИ К» 9 — ifa ^0 ^0 (3-83) _____ г-, / z ах X р / г аг0 ат, \ ((3-83') 0 = Gz6r В уравнении (3-83) множители правой части находятся по форму- лам (3-24) и (3-53), причем в качестве определяющих линейных раз- меров в уравнении (3-24) берется половина высоты цилиндра 7* 99
а в уравнении (3-53) — радиус пилиндра г0- Средняя температура в ци- линдре для любого момента времени 0* (г) —" (г)г ~~ tjR ~~ *о ' ‘»н *о ‘та ‘о tfa ИЛИ 0 = 0z0r = Fz(Biz, Foz) Fr (Bi„ Foz). (3-84) В уравнении (3-84) множители вычисляются по формулам (3-39) и (3-65). 3-9. ЗАВИСИМОСТЬ ПРОЦЕССА ОХЛАЖДЕНИЯ [НАГРЕВАНИЯ] ОТ ФОРМЫ И РАЗМЕРОВ ТЕЛА Скорость процесса распространения теплоты в телах зависит от отношения поверхности тел к их объему. Исследования процессов охлаждения тел указывают на то, что чем больше отношение поверх- ности тела к его объему, тем и скорость протекания процесса будет больше. Сказанное справедливо для любых значений числа Bi и может быть наглядно продемонстрировано на примере охлаждения пластины, Рис. 3-19. Скорость охлаждения в центре для различных тел с одинаковым характерным линейным размером 10. i — безграничная пластина; 2 — квадратная балка бесконечной длины: 3 •— цилиндр бесконечной длины; 4 —куб; 5— цилиндр, длина равна диаметру; 6— шар. длинного цилиндра и шара. При Bi=0 для пластины, цилиндра и шара уравнения температурного поля запишутся соответственно ©Ш1=ехр (—BiFo); ©цил = ехр (—2BiFo); ©ш=ехр (—3BiFo). Из приведенных уравнений следует, что при одинаковом опреде- ляющем размере и прочих равных условиях наибольшая скорость из- менения температуры во времени будет наблюдаться для шара. Если сравнивать отношения поверхности к объему для пластины, пилиндра и шара, то их можно представить как 1:2:3. На рис. 3-19 приведены кривые изменения температуры во времени на оси и в центре тел различной геометрической формы при одинако- вом значении числа Bi. Из рис. 3-19 следует, что для шара скорость охлаждения больше, чем для любого другого тела. Следует по-лгпч. что все сказанное справедливо для тел с одинаковым характерным линейным размером /о- 100
3-10. РЕГУЛЯРНЫЙ РЕЖИМ ОХЛАЖДЕНИЯ [НАГРЕВАНИЯ) ТЕЛ Анализ полученных решений для тел различной геометрической формы показывает, что они имеют одинаковую структуру, т е. пред- ставляют собой сумму бесконечного ряда, члены которого расположены по быстро убывающим экспоненциальным функциям. Например, для безграничной пластины при охлаждении ее в среде с постоянной тем- пературой tm и постоянным коэффициентом теплоотдачи а на ее по- верхностях получено: СО Ctt A.COS е Л=1 В этом уравнении Ап— постоянный коэффициент, свой для каждо- го члена ряда (не зависящий ни от координат, ни от времени), ои найден из начальных условий. Множитель cos (p„x/6) является функцией только координаты х и его можно обозначить Un. Экспонента будет убывать пропорционально времени г. Комплекс ц2„сг/б2 представляет собой постоянное веществен- ное положительное число, которое можно обозначить т„, причем т будет изменяться в зависимости от номера индекса так же, как и р, т. е. mi<m2<m3< ... <тп, (3-85) где л=1. 2, 3 ... С учетом сказанного выражение для пластины можно представить как »= 2 Апипе~т” . (3-86) П=1 Для тел других геометрических форм температурное поле также будет описываться уравнением вида (3-86). Специфика геометрической формы учитывается различным видом одной и той же формы различным на- чальным распределениям температуры будут соответствовать разные совокуп- ности чисел Ап. При малых значениях г от т=0 до т=Г1 распределение температуры вну- три тела и скорость изменения во вре- мени температуры в отдельных точках тела зависят от особенностей началь- ного распределения температур. В этих условиях поле температур в теле бу- дет определяться не только первым, но и последующими членами ряда (3-86). Это первый период охлаждения, множителей Ап и Un- Для тел Рис 3 20 Зависимость In & от време- ни при охлаждении (нагревании) тел. при котором скорость изменения температуры внутри тела зависит от вида начального распределения температуры, называют неупорядоченной стадией процесса охлаждения (нагревания). Благодаря неравенству (3-85) с увеличением времени т последующие члены ряда (3-86) будут быстро убывать, т. е. ряд становится быстросходящимся. 101
Начиная с некоторого момента времени r>Ti начальные условия начинают играть второстепенную роль и процесс полностью опреде- ляется только условиями охлаждения на границе тела и среды, физи- ческими свойствами тела и его геометрической формой и размерами. Температурное поле описывается первым членом ряда (3-86): & = Д6/1е^т*’. (3-87) Это соотношение показывает, что изменение избыточной темпера- туры как в пространстве, так и во времени не зависит от начального распределения температуры. Логарифмируя последнее уравнение и опуская индексы, получаем: 1п й— 1п (Л U) —гт или 1пй ——mr+C(x, у, z). (3-88) Из уравнения (3-88) следует, что натуральный логарифм избыточ- ной температуры для всех точек тела изменяется во времени по линей- ному закону. Графическая зависимость между 1пй и временем будет иметь вид прямой (рис. 3-20). При длительном охлаждении (т—>оо или, что то же, Fo—>оо) все точки тела в конце концов принимают одинаковую температуру, равную (наступило стационарное со- стояние) . Таким образом, весь процесс охлаждения можно разделить на три стадии. Первая стадия (неупорядоченного) режима характеризуется боль- шим влиянием начального распределения температуры, и зависимость между й и т описывается уравнением (3-86). Вторая стадия охлаждения называется регулярным режи- мом, и зависимость между й и г описывается уравнением (3-87). Третья стадия охлаждения соответствует стационарному режиму, когда температура во всех точках тела равна температуре окружаю- щей среды (имеет место тепловое равновесие). Остановимся на более подробном рассмотрении второй стадии охлаждения. После дифференцирования обеих частей уравнения (3-88) по вре- мени получим: — т = const. (3-89) В левой части уравнения (3-89) стоит выражение для относитель- ной скорости изменения температуры, и оно равняется постоянной ве- личине т, не зависящей ни от координат, ни от времени. Величина т измеряется в 1/с и называется темпом охлажде- н и я. При наступлении регулярного режима темп охлаждения не зави- сит ни от координат, ни от времени и является величиной постоянной для всех точек тела. Темп охлаждения, как это следует из уравнения (3-89), характеризует относительную скорость изменения температуры в теле и зависит только от физических свойств тела, процесса охлажде- ния па его поверхности, геометрической формы и размеров тела. Итак, регулярный режим охлаждения (нагревания) тел характери- зуется тем, что изменение температурного поля во времени описывает- ся простой экспонентой и относительная скорость охлаждения т для 102
всех точек тела остается величиной постоянной, не зависящей ни от координат, ни от времени. Если экспериментально определить изменение избыточной темпера- туры О' во времени т и построить зависимость в полулогарифмических координатах, то из рис. 3-20 следует, что темп охлаждения в стадии регулярного режима найдется как Выражение для зависимости темпа охлаждения т от физических свойств тела, его геометрической формы и размеров, а также условий теплообмена на поверхности тела можно найти из анализа теплового баланса. Изменение внутренней энергии тела dQ = — cpV di, (3-90) где с — удельная теплоемкость, Дж/(кг-К); V — объем тела, м3; р — плотность вещества, кг/м3; ft-— средняя по объему избыточная темпе- ратура, °C; т — время, с. С другой стороны, за тот же промежуток времени вся теплота дол- жна быть отведена с поверхности тела в окружающую среду за счет теплоотдачи dQ — wGyF di; * (3-91) здесь а — среднее значение коэффициента теплоотдачи; ft-— средняя температура поверхности тела в данный момент времени: F Приравнивая выражения (3-90) и (3-91), находим: __ аГ т; di cpV f или, если разделить полученное выражение на и учесть, что cpV= = С, Дж/К — полная теплоемкость тела, 1 dbv O.F В левой части этого выражения стоит относительная скорость охлаждения т, 1/с, и если отношение ft’/ftu обозначить через Ч’’, (3-92) можно записать: m = (3.93) Из уравнения (3-93) следует, что относительная скорость охлажде- ния, или, иначе говоря, темп охлаждения m однородного и изотропного тела при конечном значении коэффициента теплоотдачи а пропорцио- нальна коэффициенту теплоотдачи, поверхности тела и обратно пропор- циональна его теплоемкости (первая теорема Кондратьева [Л. 76]). В уравнении (3-93) множитель 4r=ft,/ft называется коэффици- ентом неравномерности распределения температуры в теле и зависит от условий охлаждения на поверхности тела. Для вы- 103 (3-92)
яспення характера зависимости коэффициента Д' от числа Bi, учиты- вающего условия протекания процесса на поверхности, рассмотрим два предельных случая: a) Bi—*0 (п р а кт и ч ес ки Bi<0,l) Как было сказано, эти условия соответствуют внешней задаче, ко- гда распределение температуры в теле зависит от его размеров и фи- зических свойств и, следовательно, усредненные по поверхности и объе- му температуры будут одинаковы: -Оу^б,, (рис. 3-8). Коэффициент не- , равномерности распределения температуры ' Л* г в теле 'К • ЧГ 1. р ———BL б) Bi—>оо (практически Bi>100) —При этих условиях задача становится Рис 3-21 Зависимость внутренней и процесс охлаждения опреде- ляется только размерами тела и его физи- ческими свойствами. В силу большой интенсивности теплообмена температура на поверх- ности тела принимает постоянное значение, равное температуре окру- жающей среды (рис. 3-7). Коэффициент неравномерности распределения температуры Ф=^- = 0. Из сказанного следует, что Д будет изменяться от нуля до единицы (рис. 3-21). При Bi—>оо или, что то же, а—>оо, темп охлаждения m становит- ся прямо пропорциональным коэффициенту температуропроводности те- ла а, м2/с (вторая теорема Кондратьева [Л. 76]): а = (3-94) Коэффициент пропорциональности К зависит только от геометриче- ской формы и размеров тела. Докажем это на примере охлаждения однородной безграничной пластины. Напомним, что откуда (з-эб) Рассмотрим характеристическое уравнение для безграничной пла- стины Ctgfl=<- При Bi—>оо имеем ctg р—>0, а р стремится к своему предельному значению л/2; при Bi—>0 ctg—>оо и р устремляется к нулю. Следовательно, величина р для пластины во всем диапазоне зна- чений чисел Bi изменяется от нуля до своего предельного значения, рав- ного л/2 (рис. 3-22). Для тел другой геометрической формы имеют ме- сто свои пределы изменения величины р. 104
Так как при Bi—(практически Bi>100) при охлаждении бес- конечной однородной пластины можно принять р —л/2, то из уравнения (3-95) получаем: (— \ 2 йг) а- (3'96) Напомним, что для пластины характерным линейным размером является половина ее толщины, т. е. /о=б. Тогда из уравнения (3-96) получаем: \2е) где К — ----коэффициент пропорциональности для безграничной пластины, который определяется только формой и геометрическими размерами. Коэффициенты пропорциональности для тел других геометрических форм {Л. 76]: для шара /<=-т4у-; для параллелепипеда для цилиндра конечной длины На основе теории регулярного режима разработаны различные экс- периментальные методики определения теплофизических характеристик разных материалов [Л. 139, 142]. При определении физических пара- метров тела поступают следующим об- разом. Для определения коэффициента тем- пературопроводности используют а-ка- лориметр, имеющий форму цилиндра или шара. Создают условия, близкие к а—► —>оо, измеряют изменение избыточной температуры во времени и строят зави- симость в полулогарифмических коорди- натах (рис. 3-23). Тогда Рис. 3-22. Зависимость jA=);(Bi). In О, — In V2 m =—---------------- Из уравнения находят коэффициент температуропровод- ности. Для определения коэффициента теплопроводности выбирают ламб- да-калориметр. Обычно калориметр строят в виде шара. Сущность ме- тода заключается в том, что создают условия охлаждения, когда коэф- 105
фициент теплоотдачи а остается конечной величиной, и при этих усло- виях определяется темп охлаждения описанным выше способом. Далее из характеристического уравнения, которое для шара имеет вид 1 _ Р- ctg р. Bi — 1 ’ (3-97) находят коэффициент теплопроводности. Напомним, что для шара характерным линейным размером являет- ся его радиус г0; величина р,=Го Vт/а. Тогда уравнение (3-97) прини- мает вид: Bi-i=-r0/^ctg(r0/ ^); тогда (3-98) здесь X измеряется в Вт/(м-К)- В уравнении (3-98) неизвестная величина а определяется на эта- лонном калориметре, изготовленном из материала с известным коэффи- циентом теплопроводности. Мы рассмотрели метод регулярного теплового режима для условий, когда температура среды постоянная (£ж—const) и который Г. М. Кон- дратьев назвал регулярным режимом первого рода. В последние годы получили развитие и широкое распространение методы регулярного режима для случаев, когда температура среды — линейная функция времени (£ж=£жо+Ьт) и тем- пер ату р а среды — периодическая функция вре- \мени Ijk— tmo+t-m cos лтт (где т — частота коле- баний, tm—амплитуда колебания температуры среды). Эти два случая получили название ме- тодов регулярного режима второго и третьего родов. --------—---------А. В. Лыков в монографии [Л. 111] показал, Рис. 3-23. К определению что Регуляризация кинетики нагревания тела темпа охлаждения т. происходит не только по температурным полям, но и по потокам теплоты. Поэтому при нагрева- нии нет надобности различать регулярные режимы первого, второго и третьего родов. В качестве общего свойства теплового регулярного ре- жима можно принять соотношение -^=т(/я,-/), (3-99) где t — средняя по объему тела температура; — температура среды; т — коэффициент пропорциональности, называемый темпом нагрева- ния (охлаждения). Из соотношения (3-99) следует, что скорость нагревания тела в ста- дии регулярного теплового режима dt/dx пропорциональна разности тем- ператур среды и средней по объему тела, причем коэффициент пропор- циональности т определяется ие только характерными размерами тела, физическими свойствами и условиями теплообмена на поверхности, но 106
и характером изменения температуры среды. С подобным изложением приведенного обобщенного метода можно познакомиться в указанной монографии А. В. Лыкова. Теория регулярного режима может быть применена при решении таких практических задач, как определение времени прогрева (охлаж- дения) тел, определение теплофизических параметров вещества, коэф- фициента теплоотдачи а, коэффициента излучения о и термических со- противлений. Достоинство метода заключается в простоте техники экс- перимента, достаточной точности получаемых результатов и малой продолжительности эксперимента. 3-11. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В настоящее время существует много различных приближенных методов расчета теплопроводности; которые приводят к удовлетвори- тельным для инженерной практики результатам. Приближенные методы решения задач чаще всего применяются в случае, когда точные анали- тические методы расчета затруднительны. Рассмотрим некоторые из этих методов. а) Численный метод Аналитические решения, полученные путем непосредственного инте- грирования дифференциальных уравнений, дают возможность вычислить температуру в любой точке данной системы. В противоположность это- му в основу численного метода положено уравнение в форме конечных разностей, с помощью которого вычисляем температуру в некоторых, заранее выбранных точках данной системы. Это равноценно математи- ческим приемам приближенного интегрирования. Следует отметить, что если получение точного аналитического решения связано с трудностью удовлетворения граничных условий, которые не всегда осуществимы, то при помощи численного метода всегда возможно, по крайней мере приближенно, удовлетворить граничным условиям конкретной задачи. Из численных методов решения задач теплопроводности в настоя- щее время наиболее ценным и широко используемым является метод конечных разностей. Сущность метода заключается в том, что в дифференциальном урав- нении производные искомой функции заменяются приближенными со- отношениями между конечными разностями в отдельных узловых точ- ках температурного поля. В результате такой замены получаем урав- нение в конечных разностях, решение которого сводится к выполнению простых алгебраических операций. Расчетное соотношение приводится к виду, где будущая температура в рассматриваемой узловой точке является функцией времени, настоящей температуры в рассматриваемой точке и настоящей температуры в соседних точках. Такие уравнения составляются для всех узловых точек рассматриваемой области, вклю- чая и граничные. В результате получаем замкнутую систему алгебраиче- ских уравнений. Ввиду однотипности вычислений при решении такой системы представляется широкая возможность для использования сов- ременной вычислительной техники. Для получения расчетных формул при численном интегрировании в настоящее время широко пользуются методом тепловых балансов и математическими операциями при замене в дифференциальных урав- нениях производных функции конечными разностями. 107
В качестве конкретного примера получим расчетную формулу для численного интегрирования одномерной нестационарной задачи методом тепловых балансов. Пусть в этом случае процесс теплопроводности опи- сывается уравнением di _ дЧ dt —а 6xs (3-100) Первым шагом численного метода расчета является разбиение дан- ной системы на соответствующее количество небольших объемов и при- своение номера центральным точкам каждого из этих объемов. Пред- полагается, что термические свойства каждого такого объема сосредото- чены в центральной узловой точке. Передача’ теплоты между узловыми точками осуществляется через условные теплопроводящис стержни. В нестационарном состоянии в каждой узловой точке не только про- исходит подвод или отвод теплоты, но и изменяется внутренняя энергия. !-* -г-н Изменение внутренней энергии зависит от изме- QZf G31 Рис. 3-24. Разбиение и числовая сетка для не- стационарной одномер- ной задачи. нения температуры в узловой точке во времени, от теплоемкости элементарного объема, который она представляет, и плотности вещества. Такой подход к вычислению температуры носит назва- ние метода приближенной численной итерации. Рассмотрим применение метода к расчету температурного поля в плоской стенке [уравне- ние (3-100)]. Для знакомства с применением численного метода к другим задачам теплопро- водности следует обратиться к специальной ли- тературе [Л. 19, 31, 111, 204, 209]. Разбиваем стейку на элементарные объемы V—'6Х6Х1=62 (рис. 3-24). Полагаем, что удель- ная теплоемкость с и коэффициент тепло- проводности X в. пределах элементарного участка постоянны. Оче- видно, количество теплоты, подводимое стержнем к узловой точке, определится по закону Фурье: q=—^(dtldx). Если расстояние 6 доста- точно мало, то можно выразить q через конечные разности, т. е. q— = •—(Х/б)Д^> где М—-разность температур между смежными узловыми точками. Общее количество теплоты, проводимое стержнем за конечное приращение времени Дт, равно: Q = qbriF=— Д/ДтЕ, (3-101) где для одномерной системы проводящая площадь Е=6Х1, м2. Изменение внутренней энергии в рассматриваемой узловой точке за время Дт Г7=срУДЕ=срУ(Е—/), (3-102) где t—-температура в данной узловой точке в момент времени т; t' — температура в момент времени т+Дт; с —удельная теплоемкость; р — плотность вещества; У-—элементарный объем. На основании сказанного уравнение теплового баланса для узловой точки 1 (рис. 3-24) будет иметь вид: Qs,+Qs.=-^-(*',-Q 108
или 4 & - у 6 • i+4 & - 6 •1=v'>-*>)• Решая последнее уравнение относительно неизвестной температу- ры t\, получаем: (3-ЮЗ) \ cPV ) Если учесть, что "klcp^a—коэффициент температуропроводности вещества, и Дта/62=Бо— число Фурье, то уравнение (3-103) при- нимает вид: Г,=Ро[(4+*,+О(4-2)]. (3-104) Уравнение (3-104) является основой численного метода расчета нестационарной теплопроводности. Для расчета температуры t'i по (3-104) необходимо выбрать определенное значение Fo. При этом важ- но помнить, что выбор Fo ограничен условием Fo (3-105) Как показывает анализ, только при этом обеспечивается устойчи- вость уравнения (3-104). Если же принять Fo>V2, т. е. нарушить усло- вие (3-105), то изменение темпера- и —.— —--------------,——г—-Joz. туры в процессе расчета приобре- тает беспорядочный скачкообраз- ный характер и расчет перестает быть верным. Поэтому при выборе промежутков 6 и Ат необходимо за- ботиться о том, чтобы условие (3-105) выполнялось. Если выбрать 6 и Ат из условий Fo=V2, то урав- нение (3-104) принимает вид: f, = h+£s (3106 Формула (3-106) широко ис- пользуется при графическом реше- нии нестационарных задач тепло- проводности. При этом будущая температура данной узловой точки не зависит от ее настоящей. При других значениях Fo урав- нение (3-104) приводит к более сложным результатам: Fo=4-, t\ = И Fo — = " 4 ’ 1 Рис. 3-25. Сравнения численных расчетов с точным решением распределения тем- ператур (Fo—1/4) в плоской стейке. Ли- нии соответствуют аналитическому реше- нии, точки — численному расчету. —+4+О (3-107) (Г,+Г,+24). (3-1С8) 109
Рис, 3-26. Сетка узловых точек для двухмерной нестационарной задачи. Из уравнений (3-106) — (3-108) следует, что уменьшение значений Fo увеличивает число вы- числений и густоту сетки, однако при этом по- вышается точность вычислений. Для случая, когда одна из поверхностей пластины изолирована и на ней не происходит теплообмена, а на другой коэффициент теплоот- дачи а—>оо уже при выборе Fo=*/4 прибли- женный численный метод практически ие отли- чается от точного расчета. Сравнение таких рас- четов приведено на рпс. 3-25 [Л. 204]. Пользуясь, изложенным методом, можно получить исходное уравнение для численного расчета и для других задач нестационарной теплопроводности. В ча- стности, для двухмерной задачи после разбиения тела на элементарные объемы с размерами ячеек Ax=Ai/=6 схема узловых точек будет вы- глядеть, как показано на рис. 3-26. Составляя уравнение теплового баланса для центральной точки, получаем: fr0 = F° р, 4-4 + ^+^*+^ (3-109) где io, ti, fa, ts, i4 — температура в соответствующей узловой точке в мо- мент времени т; fo — температура в центральной точке в момент време- ни т+Дт. Для этой двухмерной задачи промежутки 6 и Дт должны выби- раться из условия Fo<-{- (3-110} аналогично условию (3-105) для одномерной задачи. При значении Fo=4/4 уравнение (3-109) принимает вид: t 0-— При этом будущая темпера- тура узловой точки не зависит от ее настоящей. Для замены производных функции в дифференциальном уравнении разностными отноше- ниями можно воспользоваться математическими операциями. Такой подход не является более строгим, но он дает возможность решать задачи при разнообраз- ных краевых условиях, оценить погрешность перехода от диффе- ренциального уравнения к урав- нению в конечных разностях и более просто провести анализ условий устойчивости и сходимо- сти решения. Получим приближенную за- мену первой и второй производ- Рис. 3-27. к выводу формул для замены первой и второй производной разностными отношениями. 110
ной через разностные отношения некоторой функции t=f(x), где под х можно понимать любую независимую переменную. Прежде всего интервал изменения функции разобьем на одинако- вые участки ба,. Каждая точка будет иметь свою абсциссу, отличающую- ся на величину 6Х, иначе говоря, координату точки хт заменим mf>x (m=l, 2, 3, ...). Отметим на кривой /=/(х) точки A (tm, т6х), В (т—1)6Х) и C(6„J-1, (m-i-l)6a:). Касательная в точке A (tm, тЬ,:) образует угол ат с положитель- ным направлением оси абсцисс, тогда производная функции для рас- сматриваемой точки A (tm, тёх) !fm=tgam. (3-112) Если интервал разбиения бх — величина малая, то с достаточным приближением угол ат можно заменить углами рт или ут (см. рис. 3-27), образованными секущими ВА и АС. При этом производная в точ- ке A (tm, т6х) запишется следующим образом: ,, t__ г, ИЕ ‘ т — tg Pm — (3-113) или СК___ im+1 —tm АК~~ ». t т tg Ym Если угловой коэффициент касательной AD заменить на угловой коэффициент секущей ВС, получим выражение для про- изводной в точке А следующего вида: (3-114) (3-115) Полученные выражения (3-113) — (3-115) равноценны для замены первой производной функции разностными отношени- ями и называются соответствен- но: предыдущее, последующее и симметричное разностные отно- _ „ „ птения Рис Е получению расчетной сетки н h ' составлению уравнений для узловых точек. Если заменить кривую на участке ВС ломаной ВАС, имеющей в точке А два наклона, получим выражение для второй производной функции t=f(x): (3-116) Приведенные формулы (3-114) — (3-116) наиболее часто использу- ются при численном интегрировании уравнений теплопроводности. Используем полученные формулы для преобразования дифференциаль- ного уравнения к конечно-разностной форме. Преобразование проведем на примере одномерной нестационарной задачи теплопроводности без- 111
граничной стенки {уравнение (3-100)]: dt __ ЙЧ йч~а дхг' Так как температура t(x, т) является функцией двух переменных, удобно выбрать прямоугольную сетку. Весь интервал изменения х от 0 до I по осп абсцисс разобьем на одинаковые интервалы бх, а отрезок времени от т=0 до т=-& разделим па равномерные интервалы 8, (рис. 3-28). Восстановленные перпендикуляры к координатным осям в точках деления при пересечении образуют расчетные узловые точки. Тогда температура для узловой точки 1 с координатами х—тбх и т= = Й8Т запишется так: Для точки 2 с координатами x — tr&x и т—(/г-|-1)Гч имеем: ^2--Ф (Л । 1) 8J----tm, для точки 3 с координатами х-|-ф, = (т-|-1)?,, и 1) 8т получим t, — t3 [(пг-ф 1)8„ (k-ф1)8J =/m+I. &+1 и т. д. Заменим в точке 1 (т&х, частные производные в уравнении теп- лопроводности разностными отношениями: Ш *)+*.; (3-И7) + + О-И8) В этих выражениях ei и ез — остаточные члены, учитывающие пе- реход от производных функций к разностным отношениям. Можно по- казать, что эти члены стремятся к нулю при стремлении к нулю интер- валов разбиения бх и бх. Дифференциальное уравнение в конечно-раз- ностной форме запишется следующим образом: &т. ь+. - tm. к) 4-е, = £ . (3-119) Решая уравнение (3-119) относительно будущей температуры tm,k+i в рассматриваемой точке, получаем: ^т, ft-н ' g2^ Km+j, ft ’ I tm-i, ft] ' fi2 ' J tfn. k ~}~ (&£2 ei) (3-120) Очевидно, остаточный член (aes — гх)ч. в уравнении (3-120) будет стремиться к нулю при стремлении к нулю 8,. Следовательно, чем более мелкие интервалы выбраны для сетки узловых точек, тем меньше ошиб- ка перехода от дифференциального уравнения к уравнению в конечных разностях. Ошибки н и е2 можно оценить, воспользовавшись разложе- нием функции t в ряд Тейлора. Отбрасывая остаточный член в уравнении (3-120) и обозначая при- ближенное значение величины через 7„у., получим приближенное решение для будущей температуры в узловой точке (m8x, Ай_): T’m, k+i — (7'n,+I, R-f-7m-i, к) ----1) 'I'tn, к' (3-121) 112
В уравнении (3-121) комплекс а8^82я—Fo имеет смысл числа Фурье для элементарного объема расчетной области, тогда Trn,h+l~Po(Tm+ilk-^Tm—l,k) — (2F0—1) Tm,k- (3-121') Если нам известно распределение температуры в расчетной обла- сти в какой-либо (например, начальный) момент времени, то, поль- зуясь системой уравнений полученного типа, можно рассчитать темпе- ратуру в узловых точках для последующего момента времени т + 8, . Температура в узловых точках, находящихся на границах области инте- грирования, известна из граничных условий. Из уравнения (3-121) следует, что значения расчетных температур зависят от числа Fo, т. е. от способа разбиения пространственно-вре- менной области. Выбирая интервалы разбиения и 8., мы можем получить любое значение числа Fo. Однако, как показывает анализ, решение устойчиво не при любом значении Fo, а следовательно, выбор величин 6Х и 8^ нс произволен. Анализ отклонения числового расчета от точного решения показывает, что устойчивость расчета для рассмат- риваемой одномерной задачи обеспечивается только при том условии, когда в уравнении (3-120') (2Fo—1)<0. (3-122) Выражение (3-122) является основным условием, которое ограни- чивает произвольный выбор интервалов сетки бх и 8Т. Точно такое же условие обеспечения устойчивости численного интегрирования было по- лучено методом тепловых балансов (выражение (3-105)). Нетрудно получить конечно-разностное выражение и для двухмер- ной нестационарной задачи теплопроводности t(x, у, т). Дифферен- циальное уравнение для такой задачи имеет вид: \dt f дЧ . дЧ \ .. дт дх2 * ду2 J v г В этом случае температуре для любой узловой точки должно при- сваиваться три индекса где ту п — индексы координат, k — индекс времени. Разобьем область интегрирования на одинаковые интервалы. Тогда, пользуясь ранее полученными соотношениями, для узловой точ- ки с координатами (тбх, п8у, k\) получим: = Д (tk+' tk ) + <!,; \ ОХ ! О_ V tn, 71 tn, п' 1 К J tn, п 1 -i-tk —2tk )-4-в/ <3‘123> /” дЧ _______ 1 f,k I ,k cyjk \ I m’ 71+1 * m’ n~1 tn, n) ~l~£s’ . Подставляя полученные выражения для производных (без остаточ- ных членов ei, 62, ез) в дифференциальное уравнение (а), получаем при- ближенное выражение для будущей температуры в точке (m6x, nby, k\) : * (T6+I —7 s )=4-(7* -\-Тк — 2Тк ) + О tn, п tn, w ' tn-f-1, п 1 tn— 1, п т.п’ 1 +-£_(Тк -Х-Тк — 2Тк ). (3-124) 1 riy ' tn, п+1 1 tn, п— I т.п' 8-87 113
Полагая бх=бу и решая (3-124) относительно будущей температу- ры в рассматриваемой узловой точке, получаем: ^+1 = ^(Д +1* +Tk +Тк )(^- 1)тк -(3-124') tn, п Ок ' tn+i.n 1 «5— i. « 1 tn, я4-1 1 tn, «— I ' J т.п ' Обозначая, как и в предыдущем случае, =Fo, выражение (3-124') приводим к виду T*+t = Fo (Th -4-Т* -|-Д +Тк ) — (4Fo— l)Tk . tn, п М-Ц, Я 1 ГЛ—1,71 1 tn, п+1 1 tn, 71-1' 4 ' tn, п (3-124”) Нетрудно видеть, что для такой двухмерной задачи решение будет устойчивым только при условии (4Fo—1)<0. '(3-125) Если принять число Fo = l/4, то уравнение (3-124) примет вид: 1 Т& I Т& 1 rpk+1 m+l,n~>~ m—1, п ~Г m, л 4-1 ~Т~ m,n—1 126) Отсюда видно, что будущая температура в рассматриваемой точке не зависит от настоящей в этой точке и определяется настоящими тем- пературами соседних точек. Аналогичные расчетные соотношения для вычисления температур в узловых точках можно получить и для трехмерной задачи. б) Принцип стабильности теплового потока Существует ряд приближенных решений задачи о распространении теплоты в телах произвольной формы. Рассмотрим метод, базирую- щийся на принципе стабильности теплового потока. Если на поверх- ности твердого тела оставить тепловой поток постоянным, но изменить условия охлаждения на небольшом участке поверхности, то это вызовет существенное местное изменение температурного поля. Однако в точ- ках, достаточно удаленных от места возмущения, изменение темпера- турного поля будет ничтожным [Л. 22]. Из сказанного следует, что деформация поверхности тела будет оказывать существенное влияние на температурное поле только в точ- ках, близких к поверхности, а в удаленных от поверхности точках ха- рактер температурного поля будет оставаться неизменным. Используя эти свойства стабильности теплового потока, расчет теплопроводности в телах сложной геометрической конфигурации мож- но свести к расчету процесса нагрева (охлаждения) тел трех класси- ческих форм: одномерной плоской пластины — тело первого класса, длинного круглого цилиндра —тело второго класса н шара — тело третьего класса. При решении задачи прежде всего необходимо рацио- нальным образом определить класс, к которому надо отнести рассматри- ваемое тело. Затем произвести сравнение температурного поля с темпе- ратурным полем основного тела этого класса. Согласно принципу стабильности должно выполняться условие ct(A~—^ж)А ^т=схо(Ао—^жо) Fo diQ, (3-127) где а — среднее по поверхности значение коэффициента теплоотдачи, Вт/(м*К); А — средняя температура поверхности тела, °C; — темпе- ратура окружающей среды, °C; F — поверхность охлаждения, м2; т — время, с. 114
Величина без индекса «О» относится к рассматриваемому телу, а с индексом «О» — к основному телу соответствующего класса. При соблюдении условий (3-127) расчет температурного поля рассматри- ваемого тела можно свести к расчету температурного поля эквивалент- ного основного тела соответствующего класса (пластины, цилиндра, или шара). Последнее предполагает, что внешняя конфигурация тела будет существенно влиять на температурное поле только в точках, близ- ких к поверхности. Температурные поля вдали от поверхности стано- вятся сопоставимыми с температурными полями в основных телах соот- ветствующего класса. Если в уравнении (3-127) обозначить: Д —^со = и при этом принять и d'T. — d'Vo, то уравнение (3-127) принимает вид: aF = oqF^ или а0=а-t^-s=cl4, (3-128) *0 где (3-129) г о Безразмерный множитель А характеризует размер поверхности рассматриваемого тела, выраженный через поверхность основного тела. Величину А называют критерием формы. Уравнение (3-128) выражает количественные требования, которые необходимо выполнить для обеспечения эквивалентности температур- ных полей обоих тел. При расчете температурных полей в формулы для основных тел вместо а подставляется величина ао, вычисленная по уравнению (3-128), и в качестве определяющего линейного размера Zo берется эквивалент- ный размер для тела соответствующего класса. При этом число Bi имеет вид: (3-130) Для тел первого класса: определяющий эквивалентный линейный размер (3-131) где V — объем тела, м3; Fcp— площадь средней плоскости тела, м2; критерий формы А=А, = -Л_, (3-132) где F—площадь одной боковой поверхности стенки, м2. Для тел второго класса: определяющий эквивалентный линейный размер i,=xt=y^-. (3-133) где Fcei — площадь поперечного сечения тела; в» 115
критерий формы Д = Д= Р« (3-134) где р— периметр поперечного сечения рассматриваемого тела, м; ро— периметр поперечного сечения эквивалентного круглого цилиндра, м. Для тел третьего класса определяющий эквивалентный линейный размер /0=Х3=КтГ (3-135) Если в уравнении (3-129) величину поверхности эквивалентного шара выразить через его объем V, равный объему рассматриваемого тела, то критерий формы А=А3=Т7^- 3 °/Зб!Й/2 (3-136) Описанный метод расчета температурных полей дает удовлетвори- тельные результаты при малой и средней интенсивности теплообмена на поверхности тела. При большой интенсивности теплообмена (Bi3>l) вместо уравне- ния (3-128) используют выражение Л0=Л-^-=ЛЛ. (3-137) “б В дальнейшем при выполнении расчета могут, быть использованы ранее полученные формулы. На рис. 3-29 и 3-30 изображены кривые охлаждения для оси Рис 3-29. Кривая охлаждения оси тел второго класса. Bi—»-«>; / — кривая охлаждения бруса квадратного сечения (4s=lJ3); 2—кривая охлаждения основного тела — круглого цилиндра (Л£»1), Рис. 3-30. Кривая охлаждения цен- тра тел третьего класса. Bi—>со; ; — кривая охлаждения куба (Лз=1,24); 2—-кривая охлаждения основно- го тела —шара (43=1)« большой интенсивности (Bi^>l). Сплошные кривые отвечают расчету по методу эквивалентных тел. Нанесенные на рис. 3-29 и 3-30 точки получены на основе точного решения задачи. Совпадение результатов удовлетворительное [Л. 22]. Применимость теории определяется значением критерия А. Точ- ность расчетов возрастает при стремлении критерия А к единице. 116
3-12. ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ МЕТОДОМ АНАЛОГИЙ К числу экспериментальных методов исследования процессов теп- лопроводности относится метод аналогий. В методе аналогий исследование тепловых явлений заменяется изучением аналогичных явлений, так как часто их экспериментальное исследование оказывает- ся проще осуществить, чем непосредственное исследование тепловых процессов. Сходство аналогичных явлений состоит в одинаковом характере протекания всех процессов. Математически аналогичные явления опи- сываются формально одинаковыми дифференциальными уравнениями и условиями однозначности. Однако физическое содержание и размер- ность входящих в них величин различны. Электро тепловая аналогия. Явления теплопроводности и электропроводности описываются следующими уравнениями: d<2 = -2^dfT; (3-138) d/=-a^-dFs, (3-139) где dQ и di— элементарные потоки теплоты и электричества, прошед- шие в единицу времени через площадки dF?, dF-. в направлении норма- лей пт и rts, t п и — температура и электрический потенциал; Z и о — коэффициенты теплопроводности и электропроводности. Применение указанных уравнений к случаю двухмерной задачи при стационарных условиях протекания процессов при независимости физических свойств (X, о) от температуры приводит к следующим диф- ференциальным уравнениям Лапласа: ^+-^-=0; (3-140) (3-141) VA- э Uy з Уравнения для температуры и электрического потенциала имеют одинаковую структуру. Аналогичные явления должны протекать в гео- метрически подобных системах. Граничные условия могут быть заданы различными способами. Допустим, что они задаются в виде следующих уравнений, соответствующих граничным условиям третьего рода (§ 1-6): —Xgrad t—aAt или -, ы Ы t К И — gradu = ^-. (3-142) Для установления количественной связи между аналогичными физическими величинами (аналогами) математические описания приво- дят к безразмерной форме. Для этого в качестве масштаба для темпе- ратурного напора можно принять некоторую величину А£о; для элек- трического потенциала сходственный масштаб будет Д«о; для линейных размеров — сходственные линейные отрезки /т0 и 1^. Индексы «т» и «э» 117
по-прежнему отмечают величины, относящиеся к тепловым и электри- ческим явлениям. Обозначим значения величин, выраженных в относительном мас- штабе, Хт/А)т:—~ Игj *t/^tO==Aj A//A^q — отсюда получаем соотношения Хч == /от-^иг; t/т — 1ст -^т J it — 4>т-^ j =-Л^о©. Аналогичные соотношения имеют место для величин, относящихся к электрическому явлению. После подстановки этих соотношений диф- ференциальные уравнения (3-140) и (3-141) принимают безразмерный вид: f 1д2&\ n d2e I п. /О1Л9х 'от (<М-Т + ЙУ2./-'0 или ~ °’ (3-143) Lu„ f d‘U . d‘U \ n dV d4J „ '!.3(йА'г» + dY‘,j 0 ИЛИ «У%=0- (3-144) Тождественность приведенных уравнений имеет место при любом выборе сходственных масштабов для температуры и электрического потенциала. После приведения к безразмерному виду уравнения, описывающие граничные условия принимают форму: —grad©=-^-; —gradC/=-^-. Эти уравнения тождественно одинаковы, а следовательно, и реше- ния безразмерных дифференциальных уравнений теплопроводности и электропроводности тождественно одинаковы, если выполняется усло- вие £т=13, (3-145) или 'от 'о» Поскольку 1т=7.!а, получим зависимость для выбора линейных размеров электрических моделей явления: 1 __ 7- 'от “ ’ Если loa-1-rth то /;,==7./а. Когда a=const и 7.=const, то Z8=const. При выполнении условия (3-145) безразмернан температура и без- размерное электрическое напряжение в сходственных точках1 систем имеют численно одинаковые значения 0,=С/1 или Д/, ___Д:п. Д'„ До/ ea=tz3 д/2 ИЛИ -7“ = д/в Дп2. д«/ 1 Точки, координаты которых находятся в соотношениях x-»=CiXv, Уъ—Cilfo где- ci — постоянная величина. 118
Отсюда получаем: Д?! Д/2 Д/о . и = const. Л&г Ди2 д«о ' Соотношение (3-146) показывает, что при указанных условиях рас- пределения температуры и электрического потенциала являются подоб- ными, т. е. имеет место аналогия. При исследовании нестационарных процессов для одномерных областей исходные дифференциальные уравнения тепло- и электропро- водности имеют вид: (3-146) dt __ дЧ . dz —a dx\’ да 1 d2u (3-147) (3-148) где — электрическое сопротивление на единицу длины; Сэ— элек- трическаи емкость на единицу длины. Эти величины, как и коэффициент температуропроводности, не должны зависеть от температуры. Из сравнения уравнений (3-147) и (3-148) следует, что аналогия устанавливается, если выполняется условие ___ 1 й ~ R,C,' причем требование (3-145), обусловленное граничными условиями, со- храняет силу и в этом случае. Изменение теплового потока пропорционально изменению тепло- емкости системы и изменению температуры: Лт. - Граничный Источник .электрод /питания Нулевой. ОВД Изменение электрического тока пропорционально емкости и изме- нению напряжения, т. е. выражается аналогичным уравнением: Следовательно, в модели теплоемкости могут быть воспроизведены соответствующими электрическими емкостями. Рассмотрим примеры осуще- ствления приведенных математи- >~2/аг ческих предпосылок на электри- ' -4н- ческих моделях. При разработке электриче- ских моделей, имитирующих про- цессы теплопроводности, приме- няются два способа. В одном спо- собе электрические модели по- вторяют геометрию оригинальной тепловой системы и изготовляют- ся из материала с непрерывной проводимостью. В качестве тако- го материала может применяться как твердое электропроводящее тело, так и жидкий электролит. Модели этой группы называ- ются моделями с непрерывными О Hi ы Ы Ы Ы Рис. 3-31. Электрическая модель угла зда- ния. 119
параметрами процесса. Наряду с ними применяются электрические мо- дели с сосредоточенными параметрами процесса. В них тепловые систе- мы заменяются моделирующими электрическими цепями. Свойства ис- следуемой системы сосредоточиваются в отдельных узловых точках, расположенных вдоль электрических цепей. Электрические модели с со- средоточенными параметрами применяются для наиболее сложных явлений. Для изготовления моделей с непрерывными параметрами исполь- зуются тонкие листовые электропроводящие материалы или электро- проводящие слои, нанесенные на стеклянные или какие-либо другие пластинки, из которых вырезается плоский образец, воспроизводящий геометрию исследуемой тепловой области. На рис. 3-31 показана модель угла степы здания, состоящей из двух слоев разной толщины, характеризующихся разными коэффициентами теплопроводности. Электрическая модель также должна иметь разную- толщину слоев и разную их поле Температурное здания. Рис 3-32 внутри угла электропроводность. Если, например, теп- лопроводность внутреннего слоя меньше, чем внешнего, то тогда его электриче- ское сопротивление соответственно уве- личивается за счет отверстий, сделанных в этом слое, или за счет применения электропроводящих листов с большим удельным электрическим сопротивлени- ем. Отсутствие контактного сопротивле- ния между слоями воспроизводится плот- ным их соединением. Постоянство элек- трических свойств проводящего листа обеспечивается применением соответст- вующих материалов. Термические сопротивления тепло- отдачи на поверхностях исследуемой системы учитываются путем добавления к электрической тепловой модели дополнительных слоев Z^^Xi/ai и ?32=Wa-2- Поскольку обычно предпосылками являются условия const и а=const, то и дополни- тельные слои должны иметь постоянные толщины. Питание модели производится путем подвода электрического тока к граничным электро- дам от аккумуляторной батареи. Согласно аналогии напряжение в любой точке электрической моде- ли соответствует температуре в той же точке тепловой системы Для измерения напряжения используется контактный зонд с нулевым при- бором. Отсчет может быть произведен от напряжения в какой-нибудь точке. Этим нулевым напряжением может быть, например, его величи- на во внутреннем электроде. Температурное поле внутри угла, получен- ное на описанной электрической модели, представлено на рис 3-32. На нем нанесены изотермы, которые в модели были имитированы экви- потенциальными линиями. Получить указанное распределение температуры непосредственны- ми измерениями температур весьма затруднительно. Такие измерения потребовали бы закладки значительного количества термопар, наличие которых существенно изменило бы действительное распределение тем- пературы. Кроме того, этот путь отличается значительной трудоем- костью. 120
Рассмотрим электрическую модель с сосредоточенными парамет- рами, осуществляемую в виде моделирующей электрической цепи. В этом случае исследуемая тепловая область делится па ряд элемен- тарных объемов. Тем самым исходные дифференциальные уравнения и уравнения, описывающие условия однозначности, заменяются урав- нениями в конечных разностях. Соответствующая моделирующая элек- трическая цепь представляется в виде отдельных электрических сопро- тивлений, имитирующих свойства элементов тепловой области. Таким образом, тепловая область, разделенная на несколько эле- ментарных объемов, заменяется электрическим контуром, состоящим из соответствующих сосредото- ченных параметров цепи, которые соединяются последовательно. На рис. 3-33 показана прово- лочная модель-аналог турбинной лопатки. Проволочная модель выполняется в виде квадратной сетки в определенном масштабе. В качестве проволоки может быть использован калиброванный рео- статный провод диаметром 0,4— 0,5 мм. Проволочная сетка пред- варительно натягивается на шаб- лон, имеющий форму турбинной лопатки, а потом соединяется то- чечной сваркой в местах пересе- чения проволоки. Значения элек- трических сопротивлений подби- раются так, чтобы они соответст- вовали термическим сопротивле- ниям элементов моделируемой тепловой системы, т. е. лопатки. Граничные термические со- противления воспроизводятся с Рис. 3-33. Проволочная модель турбинной лопатки. помощью проволочных со против- Рис> 3.34 Температурное поле ленип а в и Аг- Собирающие в турбинной лопатке. шнны имитируют постоянные температуры газа tT и охлаждающей воды tB, циркулирующей в каналах. Потенциалы в этих шинах соответствуют необходимым значениям температур газа и воды. Соединительные провода СП долж- ны иметь пренебрежимо малое электрическое сопротивление. Питание моделирующей цепи производится через делитель напряжения Д от аккумуляторной батареи Б. Для измерения напряжения в любой точке электрической цепи используются контактный зонд и потенциометр П. На рис. 3-34 показано полученное распределение температуры по сечению турбинной лопатки. Рассмотрим случай теплопроводности при нестационарном режиме. На рис. 3-35 в качестве примера показана стена, состоящая из двух слоев, выполненных из различного материала. Одна сторона стены теплоизолирована. В начальный момент времени температура в стене распределена равномерно. Затем стена мгновенно подвергается воз- действию среды с другой температурой, не изменяющейся далее во вре- мени. Требуется воспроизвести это тепловое явление в виде моделирую- 121
щей электрической цепи. Для этого каждый слой стены можно разбить на два слоя. Внутренние термические сопротивления стены тогда пред- ставляются в виде четырех сопротивлений: р -___ , п ________ . р _______ $3 . р ______ _ — 2Л1 * Т2 — 2Л2 * Атз 2Л3 ’ Т4 2Л4 * Эти сопротивления моделируются электрическими сопротивле- ниями: Рт1=Рэ1> Рт2 = Ря2; ^Т3 = ^эз; ^t4 = ^?34- Теплоемкости отдельных слоев стены воспроизводятся электриче- скими емкостями Сл и С2 конденсаторов. Термическое сопротивление поверхности моделируется внешним электрическим сопротивлением Ra. В результате тепловая система заменяется электрическим конту- ром с последовательно соединенными сопротивлениями и параллельно включенными емкостями (рис. 3-35, внизу) . Рис 3-35 Двухслойная пло- ская стенка и ее электрическая модель Начальное тепловое состояние исследу- емой системы воспроизводится разомкну- тым контуром. Последующие состояния мо- делируются приложением напряжения к за- жимам контура и для произвольных момен- тов времени будут соответствовать значе- ниям температуры в гом же масштабе в сходственных точках стенки. В настоящее время электрическое мо- делирование получило большое развитие. Появился ряд установок, предназначенных для решения различных физических задач; эти установки носят характер счетно-реша- ющих устройств. В некоторых из них при- меняются специальные нелинейные сопротивления, позволяюшие моде- лировать не только граничные условия с конвективным переносом тепла от поверхности, но на случай, когда наряду с конвективной теплоотда- чей имеют место и другие виды теплообмена (тепловое излучение). Примером таких установок у и ас в стране является электроинтегратор' Гутенмахера. Гидротепловая аналогия может быть также использована для исследования как стационарных, так и нестационарных процессов теплопроводности. В этом случае используется сходство законов рас- пространения теплоты и движения жидкости. В качестве моделей могут быть использованы как модели с непрерывными параметрами, так и модели с сосредоточенными параметрами, т. е. в виде моделирующих гидравлических цепей. В последнем случае вместо параметров исход- ного теплового процесса в моделирующей цепи применяются сосредото- ченные параметры в виде гидравлических сопротивлений и емкостей. Рассмотрим пример использования этой аналогии для исследова- ния нестационарного температурного поля в бесконечной плоской стен- ке при заданных ее размерах и теплофизических свойствах, при произ- вольном распределении температуры по ее сечению в начальный мо- мент времени и при граничных условиях, заданных значениями^ температур среды и t)KZ и коэффициентами теплоотдачи «1 и а2. При 122
'построении гидравлической модели используется формальное сходство уравнения для плотности теплового потока с уравнением, выражающим расход жидкости при ламинарном движе- нии (Re^Re™) V=A/:/Rr, где А/г— гидравлический напор в метрах столба жидкости; Rr— гид- равлическое сопротивление. Поскольку сопоставляемые явления изменяются во времени, то следует учесть изменение количеств теплоты и жидкости во времени: dQ=C,-^dV, dV=fT^-dv, здесь Ст — теплоемкость системы; гидравлического канала; Q-—коли- чество теплоты, Дж; V — количест- во жидкости, м3. Из сравнения уравнений следу- ет, что аналогом q является расход жидкости V; аналогом температур- ного напора А/ —гидравлический напор Д/г; аналогом теплоемкости исследуемой системы является ги- дравлическая емкость; аналогом термического сопротивления RT — гидравлическое сопротивление Rr в гидравлической модели. Построим гидравлическую цепь. Примем для простоты все масштабы для гидрав- лической модели и теплового явле- ния одинаковыми- Разбиваем стен- г—.площадь поперечного сечения ку на конечное число слоев, иапри* Рис< 3.35. Многослойная плоская стен- мер, на четыре (рис. 3-36). Заменим ка и ее гидравлическая модель, каждый слой сосудом, сечеиие кото- рого должно соответствовать теплоемкости отдельных слоев стенки: Дг1 — fi; Ст2 — fz', Сцз-^fs’f C-tb — f&. Термическое сопротивление 6,Ai=RTf каждого слоя стенки заме- няется соответствующим гидравлическим сопротивлением: Rt2=Ri2; Rt3=Rfs; Rt4=Rt4- Эти гидравлические сопротивления осуществляют с помощью капилляров, соединяющих между собой сосуды-емкости, заполняемые жидкостью. Уровни жидкости в сосудах должны соответствовать рас- пределению температуры в стенке в начальный момент времени: hz=tz\ hs—ts', h^=t^ Условия теплообмена на поверхности стеики воспроизводятся с по- мощью сосудов постоянного уровня (СПУ1, СПУ2). Уровень жидкости 123
в них соответствует температурам окружающей среды по одну и дру- гую стороны стенки. Если температуры среды заданы постоянными, то и уровни жидкости в этих сосудах должны поддерживаться постоян- ными. Термические сопротивления теплоотдачи имитируются гидравли- ческим сопротивлением капилляров Ral и присоединенных к основ- ным капиллярам, воспроизводящим внешние слои исследуемой стенки. На каждом капилляре установлены краны. В начальный момент вре- мени все краны закрыты. Уровень жидкости в сосудах воспроизводит начальное распределение.температуры в стенке. Затем все краны мгно- венно открываются и производится запись изменения уровней жидкости в сосудах через заданные промежутки времени. Можно сделать фото- снимки положения уровней для различных моментов времени. Вели- чина уровней будет характеризовать числовое значение температуры по отдельным слоям стенки. Чем больше слоев, тем точнее воспроизво- дится распределение температуры по сечению стенки. Если масштабы для гидравлической модели и теплового явления различны, то переход от модели к исследуемому процессу осуществля- ется посредством масштабных преобразований. Для этого исходные математические описания должны быть приведены к безразмерному виду описанным выше методом. Гидротепловая аналогия была положена в основу разработки так называемого гидроингегратора В. С. Лукьянова, позволяющего решать не только одномерные, но и двух-, и трехмерные задачи теплопровод- ности.
Часть вторая КОНВЕКТИВНЫЙ ТЕПЛООБМЕН В ОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ Глава четвертая ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ УЧЕНИЯ О КОНВЕКТИВНОМ ТЕПЛООБМЕНЕ 4-1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Понятие конвективного теплообмена охватывает процесс теплооб- мена при движении жидкости или газа. При этом перенос теплоты осу- ществляется одновременно конвекцией и теплопроводностью. Под кон- векцией теплоты понимают перенос теплоты при перемещении макро- частиц жидкости или газа в пространстве из области с одной температурой в область с другой. Конвекция возможна только в теку- чей среде, здесь перенос теплоты неразрывно связан с переносом самой среды. Если в единицу времени через единицу контрольной поверхности нормально к ней проходит масса жидкости pay, кг/(м2-с), где w — ско- рость, р — плотность жидкости, то вместе с ней переносится энтальпия, Дж/(м2-с): <7мнв = р™- (4-1) Конвекция теплоты всегда сопровождается теплопроводностью, так как при движении жидкости или газа неизбежно происходит сопри- косновение отдельных частиц, имеющих различные температуры. В ре- зультате конвективный теплообмен описывают уравнением 9 = 9-™+^™= —AVt+Pffi’i- (4-2) Здесь q является локальным (местным) значением плотности теп- лового потока за счет конвективного теплообмена. Первый член правой части уравнения (4-2) описывает перенос теплоты теплопроводностью, второй — конвекцией. Конвективный теплообмен между потоками жидкости или газа и поверхностью соприкасающегося с иим тела называется конвектив- ной теплоотдачей или теплоотдачей. Очень часто в инже- нерных расчетах определяют теплоотдачу; при этом знание конвектив- ного теплообмена внутри жидкой среды может представить косвенный интерес, поскольку перенос теплоты внутри жидкости отражается и на теплоотдаче. При расчетах теплоотдачи используют закон Ньютона — Рихмана: dQc~a(tc—FK)dF. (4-3) Согласно закону Ньютона'—Рихмаиа тепловой поток dQc, Вт, от жидкости к элементу поверхности соприкасающегося тела dF (или от 125
(4-4) dF к жидкости) прямо пропорционален dF и разности температур Д/ = /с—где tc — температура поверхности тела, — температура окружающей жидкой или газообразной среды. Разность температур tc—t-.к называют температурным напором. Коэффициент пропорциональности а, входящий в уравнение (4-3), называется коэффициентом теплоотдачи. Он учитывает конкретные условия процесса теплоотдачи, влияющие на его интенсивность. Согласно уравнению (4-3) == 4QC___________ “ (4 - Л») dt ~~~ te — Это тождество следует рассматривать как определение коэффи- циента теплоотдачи, который измеряется в Бт/(м2- К). Таким образом, коэффициент теплоотдачи есть плотность теплового потока qc на границе жидкости (газа) и соприкасающегося тела, отне- сенная к разности температур поверхности этого тела и окружающей среды. В общем случае коэффициент теплоотдачи переменен по поверхно- сти F. Если а и А/ не изменяются по F, то закон Ньютона — Рихмана может быть записан следующим образом: <2с = а(/с—t^F. Коэффициент теплоотдачи зависит от большого количества факто- ров. В общем случае а является функцией формы и размеров тела, ре- жима движения, скорости и температуры жидкости, физических па- раметров жидкости и других величин. По-разному протекает про- цесс теплоотдачи в зависимости от природы возникновения движения жидкости. Чтобы привести жидкость в движение, к ней необходимо при- ложить силу. Силы, действующие на какой-либо элемент жидкости, можно разделить на массовые (или объемные) и поверхност- ные. Массовыми называют силы, приложенные ко всем частицам жид- кости и обусловленные внешними силовыми полями (например, грави- тационным или электрическим). Поверхностные силы возникают вслед- ствие действия окружающей жидкости или твердых тел; они приложены к поверхности контрольного объема жидкости. Такими силами являют- ся силы внешнего давления и силы трения. - Различают свободную и вынужденную конвекцию. В пер- вом случае движение в рассматриваемом объеме жидкости возникает за счет неоднородности в нем массовых сил. Если жидкость с неодно- родным распределением температуры, и, как следствие, с неоднород- ным распределением плотности, находится в поле земного тяготения, может возникнуть свободное гравитационное движение. В дальнейшем в основном будет рассматриваться гравитационная свободная конвек- ция, вызванная неоднородностью температурного поля. Вынужденное движение рассматриваемого объема жидкости про- исходит под действием внешних поверхностных сил, приложенных иа его границах^ за счет предварительно сообщенной кинетической энер- гии (например, за счет работы насоса, вентилятора, ветра). Как выну- жденное рассматривается и течение изучаемого объема жидкости под действием однородного в нем поля массовых сил. Иллюстрацией по- следнего может являться течение изотермической пленки жидкости по стенке под действием сил тяжести. 126
Вынужденное движение в общем случае может сопровождаться свободным движением. Относительное влияние последнего тем больше, чем больше разница температур отдельных частиц среды и чем меньше скорость вынужденного движения. При больших скоростях вынужден- ного движения влияние свободной конвекции становится пренебрежимо малым. В дальнейшем в основном будут рассмотрены стационарные про- цессы течения и теплоотдачи. Условием стационарности является неиз- менность во времени скорости и температуры в любой точке жидкости (газа). 4-2. ФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЖИДКОСТИ В зависимости от физических свойств жидкостей (газов) процесс теплообмена может протекать различно и своеобразно. Особенно боль- шое влияние оказывают коэффициент теплопроводности X, удельная теплоемкость ср, плотность р, коэффициент температуропроводности а, уже использовавшиеся при рассмотрении теплопроводности, и коэффи- циент вязкости ц. Для каждого вещества эти величины имеют опреде- ленные значения и являются функцией параметров состояния (темпера- туры и давления, прежде всего температуры). Особенно существенные изменения физических свойств могут иметь место в околокритической области термодинамических состояний и в области очень низких тем- ператур. В книге в основном рассматриваются процессы при монотонных и не слишком значительных изменениях физических свойств определен- ного вещества. Теплообмен в околокритической области будет рассмот- рен особо. При теоретическом анализе конвективного теплообмена для про- стоты и наглядности выводов в основном будем полагать, что физиче- ские свойства жидкости (газа) постоянны в исследуемом интервале температур. Все реальные жидкости обладают вязкостью; между частицами или слоями, движущимися с различными скоростями, всегда возникает сила внутреннего трения, противодействующая движению. Согласно закону Ньютона эта касательная сила s, Па (отнесенная к единице поверхности), которая действует в любой точке потока в плоскости, ориентированной по течению, пропорциональна изменению скорости в направлении нормали к этой плоскости: (4-5) Коэффициент [1 называется динамическим коэффициен- том вязкости или просто коэффициентом вязкости; его единица измерения Н-с/м2. При dwfdn=\ численно s=p. В уравнении гидродинамики и теплопередачи часто входит отно- шение вязкости р к плотности р, называемое кинематическим коэффициентом вязкости и обозначаемое буквой v, м'-/с: v=g/p. 127
Коэффициенты р и v являются физическими параметрами. Они существенно зависят от температуры 1. У капельных жидкостей вязкость почти не зависит от давления, но значительно уменьшается при повышении температуры. Типичный ха- рактер функции для капельных жидкостей представлен на рис. 4-1. У газов р увеличивается при повышении температуры (рис. 4-2). При увеличении давления коэффициент вязкости газов также увеличи- вается, ио слабо [Л. 29]. Кинематическая вязкость капельных жидкостей уменьшается при повышении температуры почти в такой же степени, как и р, так как плотность р слабо зависит от температуры. Напротив, у газов, плот- ность которых при повышении температуры сильно уменьшается, кине- Рьс 4-1 Зависимость динамического коэффициента вязкости воды от тем- пературы. Рис. 4-2. Зависимость динамического и кине- матического коэффициентов вязкости воздуха от температуры при давлении р—760 мм рт. ст. матическая вязкость при увеличении температуры быстро повышается. При течении жидкости или газа, обладающих вязкостью, наличие внут- реннего трения приводит к процессу диссипации (рассеяния) энергии. Существо процесса диссипации состоит в том, что часть кинетической энергии движущейся жидкости необратимо переходит в теплоту и вызывает нагревание жидкости. Если вязкость жидкости или ее скорость невелики, то нагревание будет незначительным. В дальнейшем в основном будут рассматриваться процессы, для которых выделяемая теплота трения незначительна и ею можно пре- небречь. На теплоотдачу оказывает влияние сжимаемость жидкостей. Изотермической сжимаемостью или коэффициентом сжатия тела при const называют величину (4‘6) представляющую собой относительное изменение плотности вещества при изменении давления. 1 Некоторые жидкости не подчиняются закону Ньютона (4-5). Если попытаться описать вязкие свойства этих жидкостей с помощью уравнения (4-5), то оказывается, что коэффициент вязкости не только является функцией состояния вещества, ио зависит и от параметров процесса — от изменения скорости и температуры. Такие жидкости на- зывают «неныотоновскими» 128
Для капельных жидкостей изотермическая сжимаемость чрезвы- чайно мала. Так, например, для воды в—5-10~В * 10 Па-1, т. е. повышение давления на 1 бар вызывает относительное изменение плотности на 1/20 000. То же самое имеет место и для других капельных жидкостей, что позволяет пренебречь для них изотермической сжимаемостью. Для воздуха в нормальном состоянии 8=10-5 Па-1. Таким образом, сжимаемость воздуха в 20 000 раз больше сжимаемости воды. Анало- гичное соотношение имеет место и для других газов. Однако главным является не способность газа сжиматься, а то, насколько он в действительности сжимается в рассматриваемом тече- нии. Для значительного сжатия газа необходимо значительное измене- ние давления. Если при движении газа возникают разности давления, небольшие по сравнению с его абсолютным давлением, то изменения объема получаются малыми, и такие потоки газа в первом приближе- нии можно считать несжимаемыми. Значительные изменения давления возникают при больших скоро- стях течения. При этом нужно учитывать теплоту трения и сжимаемость газа. В результате теплоотдача при больших скоростях имеет ряд осо- бенностей, неучет которых может привести к существенным ошибкам. В дальнейшем в основном будет рассматриваться теплоотдача несжимаемой жидкости. При этом слово «жидкость» будет употреблять- ся как собирательное понятие и для жидкостей, и для газов. Тепло- отдача сжимаемого газа будет рассмотрена отдельно. Между сжимаемыми и несжимаемыми течениями газа нет резкой границы. Обычно считают, что если скорость газа меньше четвертой части скорости звука, то к газам допустимо применять законы движе- ния и теплоотдачи, полученные для несжимаемой жидкости. Помимо изотермической сжимаемости для конвективного теплооб- мена большое значение имеет тепловое расширение жидко- сти. Последнее характеризуется температурным коэффициентом объемного расширения, определяемым уравнением (р—const) (4-7) Согласно определению температурный коэффициент объемного расширения р, К-1, представляет собой относительное изменение объе- ма при изменении температуры на один градус (при постоянном дав- лении) . Для жидкостей температурный коэффициент объемного расшире- ния сравнительно мал (исключение составляет область вблизи термо- динамической критической точки). Для некоторых жидкостей, например для воды при /<4°С, коэффициент р может иметь отрицательное зна- чение. Для идеального газа температурный коэффициент объемного рас- ширения есть величина, обратная абсолютной температуре газа, В неравномерно нагретой жидкости вследствие теплового расшире- ния возникает неоднородное поле плотности, что в конечном итоге мо- жет привести к свободному движению. 9—&7 129
4-3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ КОНВЕКТИВНОГО ТЕПЛООБМЕНА (ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ КОНВЕКТИВНОГО ТЕПЛООБМЕНА) Из уравнения (4-2) q = — 2.yt-\-pwi следует, что плотность теплового потока в любой точке жидкости для каждого момента времени однозначно определяется, если известны поля температур, удельной энтальпии и скорости. Связь между температурой и ентальпией может быть установлена следующим образом. Для реальной жидкости i=i(T, р), и согласно- понятию о полном дифференциале Отсюда г р Из дифференциальных уравнений термодинамики и из определе- ния температурного коэффициента объемного расширения следует, что \др Jt р L ‘ р )р\ р 1 н Для многих задач в предположении о несжимаемости жидкости. (p=const) с достаточной степенью точности можно принять (dildp)T—О, т. е. пользоваться соотношением, справедливым для термодинамически, идеального газа: di—CpdT и i = J CpdT. Приведенные здесь уравнения позволяют установить связь между полем температур и полем энтальпии. Чтобы аналитически найти поля температур (энтальпии) и скоростей и определить q, необходимо рас- Рис. 4-3. К выводу диффе- ренциального уравнения энергии. полагать соответствующими уравнениями. Уравнение энергии. Выведем диф- ференциальное уравнение, описывающее тем- пературное поле в движущейся жидкости. При; выводе будем полагать, что жидкость одно- родна и изотропна, ее физические параметры постоянны, энергия деформации мала по срав- нению с изменением внутренней энергии. Выделим в потоке жидкости неподвиж- ный относительно координатной системы эле- ментарный параллелепипед (рис. 4-3) с реб- рами dx, dy и dz. Через грани параллелепипе- да теплота переносится теплопроводностью и конвекцией; в общем случае в рассматривае- мом объеме может выделяться теплота внутренними источниками за счет энергии, внешней по отношению к рассматриваемой жидкости. Вывод уравнения энергии, соответствующего принятым здесь усло- виям, уже рассматривался в § 1-6. Было получено уравнение (1-25): P-57=—div^+?«’ 130
где и;,, п— й<7«_Цл'Л|_Ц'5<7г Согласно уравнению (4-2) проекции плотности теплового потока q на координатные оси Ох, Оу и Oz равны: <7х= — Л^+раМ. ?>/ = — Я-^+рш,,; и <?2 = — Z^-+ptt>zi. (4-8) Подставляя значений qx, qy и дг в уравнение (1-25), можно полу- чить: di . / дЧ I дЧ \ дЧ\ ( di . di , di \ p-3—— Я ТТГ ) — Р wx-^—-t~Wv 3 J— ” dx dx2 1 dy2 1 dz2 I r x dx y dy * z dz у _ M I йк11> I йк1» Для несжимаемых жидкостей p=const [см. уравнение (4-20)] div.2_4^+^4^p=0. dx ‘ dy 1 dz Тогда di । di I di . di A f det . d4 । d4 \ . qv n. -s—r^x 3——ГйУгз—=—’ I г+зг-г + згт )“Г. (4-9) dx * dx 1 y dy ' Zdz p I dx2 * dy2 dz2 J * p 7 или, если i = j CpdT, т dt I dt . di I dt ( d4 d4 . дЧ \ । qv /я in\ -x—т~йУх з~~*T“ —=-d ( 3 г? ~r’'i 2 д 2 ) (4-10) ' dx * x Ox 1 y dy * z dz ^dx2 1 dy2 1 dz2 J 1 pc? v ' Последнее уравнение, как и уравнение (4-9), является искомым уравнением энергии, описывающим распределение температур внутри движущейся жидкости. Многочлен, стоящий в левой части уравнения (4-10), представляет собой полную производную от температуры по времени. Действительно, если t=t(x, х, у, z), то на основании понятия о полной производной имеем: dt _ dt dt dx I dt dy > dt dz dx dx * dx dx * dy dx ' dz dx ’ где dx dy dz dx dx dx имеют смысл составляющих скорости wx, wy и wz. Здесь dt{dx характеризует изменение температуры во времени в какой-либо точке жидкости, т. е. является локальным изменением t; член dt 1 dt 1 di к йУх 3—-4-wv 3—г ~а~ 4 г dx * у ду ‘ z dz характеризует изменение температуры при переходе от точки к точке, т. е. является конвективным изменением t. Применяя обозначение д2/ । дЧ d2t _ 2t йгг — 131
уравнение энергии можно записать в Форме dt dt =OV^+^. v 1 рс» (4-10') Рис. 4-4. К выводу диф- ференциального уравне- ния движения жидкости Если wx=Wy=wz=0, уравнение энергии переходит в уравнение теплопроводности. При стационарных процессах конвективного теплообмена dt[dx=Q. Уравнение (4-10) еше более упрощается, если температура изменяется только по одной или двум координатам. В случае стационарного одно- мерного температурного поля все производные^ по т, у и z равны нулю. Как следует из уравнения (4-10), темпера- турное поле в движущейся жидкости зависит от составляющих скорости wx, wy и wz. Чтобы сде- лать систему уравнений замкнутой, необходимо добавить уравнения, которые бы описывали из- менение скорости во времени и пространстве. Такими уравнениями являются дифференциаль- ные уравнения движения. Уравнения движения. Вывод диффе- ренциального уравнения движения вязкой жид- кости требует громоздких математических вы- кладок. В связи с этим будет дан упрощенный вывод этого уравнения для случая одномерного течения несжимаемой жидкости [Л. 124]. Этот вывод не является строгим, его основное достоинство заключается в на- глядности. Для трехмерного движения уравнение будет приведено без вывода. Уравнения движения подробно рассматриваются в курсах гид- родинамики и монографиях по теплопередаче, например в [Л. 202]. Выделим в потоке вязкой жидкости элементарный объем с разме- рами ребер dx, dy и dz (рис. 4-4). Скорость в потоке изменяется только в направлении оси у, закон изменения скорости произволен. Вывод уравнения движения основан на втором закона Ньютона: сила равна массе, умноженной на ускорение. Силы, действующие на рассматриваемый элемент жидкости, мож- но разделить на массовые (или объемные) и поверхностные. Массовые силы характеризуют вектором F, мг/с, значение которого равно отно- шению силы, действующей на данную частицу, к массе этой частицы. Если учитывается только сила тяжести, то F—g, где g-—ускорение свободного падения. Мы в дальнейшем будем учитывать только силу тяжести. Значение поверхностных сил равно отношению силы, дейст- вующей на элемент поверхности, к величине площади этого элемента. К поверхностным силам относятся силы трения и силы давления Таким образом, на рассматриваемый элемент жидкости действуют три силы: сила тяжести, равнодействующая сил давления и равнодей- ствующая сил трения. Найдем проекции этих сил на ось Ох. Силы тяжести dfx приложена в центре тяжести элемента. Ее про- екция на ось Ох равна произведению проекции ускорения свободного падения gx на массу элемента: df 1=рё^л. 132
-(р+^йл’) Равнодействующая сила давления df2 определяется следующим образом. Если на верхней грани элемента давление жидкости равно р, то на площадку dydz действует сила р dy dz. На нижней грани давление с точностью до второго члена разложе- ния в ряд Тейлора равно dx, и на эту грань действует сила dydz. Здесь знак минус указывает на то, что эта сила дей- ствует против направления движения жидкости. Равнодействующая сил давления равна их алгебраической сумме: df а — — ~ do. 12 dx Равнодействующая сил трения dfs определяется из следующих соображений. Так как скорость изменяется только в направлении оси Оу, то сила трения возникает на боковых гранях элемента жидкости (рис. 4-4). Около левой грани скорость движения частиц жидкости меньше, чем в самом элементе, поэтому здесь в сечении у сила трения направлена против движения и равна sdxdz. Около правой грани, наоборот, скорость движения частиц жидкости больше, чем в самом элементе, поэтому здесь в сечении y + dy сила трения направлена в сторону движения. Равнодействующая этих сил равна алгебраиче- ской сумме: df3 — ^s-}-~dy^ dx dz — sdxdz=^dv. Подставляя s = p(dwx/dy), получаем Суммируя dfi, df2 и dfs, получаем проекцию на ось Ох равнодейст- вующей всех сил, приложенных к объему: (а) Согласно второму закону механики эта равнодействующая равна произведению массы элемента иа его ускорение dwxfdr и учитывает силы инерции: (б) Приравнивая правые части уравнений (а) и (б) и производя со- кращения, окончательно имеем уравнение движения вдоль оси Ох: dw- dp I p-3r = Pgx-sr+F-^. Описание движения жидкости усложняется, если скорость изменя- ется по трем направлениям. В общем случае трехмерного движения несжимаемой жидкости с постоянными физическими параметрами ско- ростное поле описывается тремя уравнениями движения, каждое соот- 133
ветственно в проекциях сил на оси Ох, Оу и Ог: для оси Ох nd^__ ер । „ ^d‘wx । . Р dz —ех • дх2 Т дуг Т дгг ). для оси Оу для оси Ог Bp , fd‘-J:z | ег№г । дгтг \ р dz P^z dz (Эх2 dif ' dz2 )' (4-11) (4-12) (4-13) Уравнения (4-11) — (4-13) называют уравнениями Навье — Стокса Все слагаемые уравнений (4-11)—(4-13) имеют размерность силы, от- несенной к единице объема. В общем случае составляющие скорости wx. w„ и wz изменяются во времени и в пространстве. Член, стоящий в левой части уравнений (4-11) — (4-13), представляет собой полную производную от скорости по времени. На основании понятия о полной производной имеем: dwx dwx I dwx t dwx । dwx ,A . ... ex dx ’ dx 1 y dy 1 dz ’ Аналогично и для других осей: dwv__dwxi । c^Wy * dWjt ] dwji >« •r-, dz dx 1 x dx 1 y dy 1 x dz * v 7 dtt\ dw„ । dw„ I dwx । dw* ,л dx dx * T dx 1 y dy 1 dz v ’ n dvux du'n dw„ Производные и характеризуют изменение скорости во времени в какой-либо точке жидкости, т. е характеризуют локальное изменение скорости; остальные три члена, стоящие в правых частях уравнений, характеризуют изменение скорости при переходе от точки к точке. Используя векторную форму записи, уравнения (4-11) — (4-13) можно написать в виде p^-=pg —VP + w2®- (4-17) Уравнение движений (4-17) получено без учета зависимости физи- ческих параметров жидкости от температуры. В частности, не учтена зависимость плотности от температуры В то же время свободное дви- жение жидкости определяется разностью плотностей холодных и нагре- тых частиц жидкости Ограничимся приближенным учетом переменности плотностиа. Используем для этого температурный коэффициент объемного расши- рения р Будем полагать, что в заданном интервале температур р явля- ется постоянной величиной, не зависящей от температуры. Это условие лучше выполняется для газов и хуже для капельных жидкостей. 1 В общем случае при const необходимо учитывать и энергию деформации. 134
4) граничных условий, характеризующих особенности про- текания процесса на границах жидкой среды. В последних должны быть заданы граничные значения зависимых (искомых) переменных или их производных. Например, для любого момента времени задаются распределение температур или тепловых потоков по поверхности тела (в простейшем случае tD — const или qc = =—Ъ(д1/дп)п=л—const), распределение температур и скоростей жид- кости на входе в канал или на большом удалении от рассматриваемой поверхности теплообмена, значения скорости на стенке и т. д. Очевид- но, в зависимости от вида задания граничных и других условий резуль- таты решения (интегрирования), представляемые в виде формул или числовых значений, могут быть различны. Система дифференциальных уравнений в совокупности с условия- ми однозначности представляет собой математическую формулировку краевой задачи. Задание распределений /с(т, хс, Ус, zc) и <7с(т, хс, ус, г,), где х,., Ус, Хс — координаты поверхности тела, часто затруднительно, так как tc и ус в общем случае зависят от процессов теплообмена в стенке и по другую ее сторону. Строго говоря, в этом случае тепловые гранич- ные условия нельзя назначить заранее, так как они являются сложной функцией совокупности всех отдельных процессов теплообмена. Необ- ходимо к системе дифференциальных уравнений рассматриваемого процесса конвективного теплообмена присоединить дифференциальные уравнения, описывающие процесс теплопроводности в стейке и процесс конвективного теплообмена по другую ее сторону, и задать условия сопряжения. Для непрерывных полей условия сопряжения могут быть заданы в виде равенства температур на поверхности соприкосновения сред, а в случае отсутствия на непроницаемой границе раздела тепловыделе- ния за счет внутренних источников — в виде равенства тепловых пото- ков, описываемых законом Фурье. Для сопряженной задачи дифференциальные уравнения и условия однозначности, описывающие процессы теплообмена в смежных сре- дах, и условия сопряжения можно трактовать как граничные условия. Конечно, в этом случае граничные условия будут очень сложны. Реше- ния задач конвективного теплообмена большей частью получают с по- мощью наперед заданных граничных условий. Физический анализ процессов конвективного теплообмена показы- вает, что в ряде случаев математическая формулировка задачи может быть упрощена без внесения существенных погрешностей. Например, математическая формулировка может быть упрощена при использова- нии понятия пограничного слоя, рассматриваемого в следующем па- раграфе. В результате могут быть получены математически точные решения. Сложность процессов конвективного теплообмена заставляет при его изучении особенно широко использовать методы экспериментально- го исследования. В результате эксперимента получают синтезирован- ные сведения о процессе, влияние отдельных факторов не всегда легко выделить. Эти трудности помогает преодолевать теория подобия, рас- смотренная в гл. 5. Основой теории подобия является математическая формулировка краевой задачи. В ряде случаев для исследования процесса конвективного теплооб- мена используется его аналогия с процессами другой физической при- 137
роды Аналогия устанавливается на основе математического описания этих процессов. Внедрение электронной вычислительной техники привело к более широкому использованию численных методов расчета. Многие задачи, не поддающиеся точному решению, могут быть рассчитаны с помощью ЭЦВМ И в этом случае исходной для расчета является математиче- ская формулировка задачи в виде дифференциальных уравнении и условий однозначности. 4-4. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЙ И ТЕПЛОВОЙ ПОГРАНИЧНЫЕ СЛОИ Для инженерной практики особый интерес представляет теплооб- мен между жидкостью и омываемым ею телом. Рассмотрим особенно- сти течения и переноса теплоты в пристенном слое жидкости. Условия «пр ил ил а ни я». В настоящее время в гидродинамике вязкой жидкости получила признание гипотеза о том, что частицы жид- кости, непосредственно прилегающие к твердому телу, адсорбируются последним, как бы прилипают к его поверхности, т е их скорость рав- на скорости тела (а если тело неподвижно, то нулю). Этот слой «прилипшей» жидкости нужно рассматривать как беско- нечно тонкий слой. Гипотеза о равенстве нулю скоростей жидкости на стенке нашла косвенное подтверждение в хорошем согласии с опытом результатов многочисленных теоретических работ, в основу которых она была положена. Равенство нулю скорости жидкости на стенке выполняется до тех пор, пока газ можно считать сплошной средой. По мере увеличения разрежения ослабляется взаимодействие газа со стенкой и разрежен- ный газ вблизи стенки начинает проскальзывать. Степень разрежения потока характеризуют значением параметра Кнудсена 1/1о, представляющего собой отношение средней длины сво- бодного пробега молекул газа I к характерному размеру твердого тела 1а (например, диаметру трубы или проволоки). Если примерно Z/Zo>O,OOl, то газ уже нельзя рассматривать как сплошную среду, для которой выполняется условие прилипания. При значениях параметра Кнудсена, примерно больших 10, газ должен рассматриваться как свободный молекулярный поток. Его вза- имодействие с твердым телом описывается на основе законов кинетиче- ской теории газов. При значениях параметра Кнудсена, заключенных между 0,001 и 10, разреженный газ не может рассматриваться ни как полностью сплошная, ни как полностью свободномолекулярная среда. Для этой области чисел Кнудсена разрабатываются свои методы расчета течения и теплообмена. Мы будем рассматривать в основном сплошные среды и исходить из равенства нулю скорости исчезающе тонкого слоя жидкости, непо- средственно прилегающего к поверхности твердого тела. Уравнение теплоотдачи. Так как у поверхности твердого тела имеется тонкий слой неподвижной жидкости, из уравнения (4-2) следует, что плотность теплового потока на стенке (теплоотдача) мо- жет быть определена по уравнению Фурье <?с=—M^/dn)„=o, (4-21) где п— нормаль к поверхности тела. 138
Таким образом, если известно температурное поле, qc можно вы- числить, не обращаясь к закону Ньютона — Рихмана: <7е = сс(^е—tw) - (4-21') При необходимости по известному температурному полю можно определить и коэффициент теплоотдачи. Из уравнений (4-21) и (4-21') следует, что а —----• (4-22) Ъ — Ъ \ dnjn=e ' Будем называть это уравнение уравнением теплоотдачи. Из условия равенства нулю относительной скорости жидкости на поверхности тела следуют и другие важные для расчетной практики вы- воды, облегчающие нахождение поля темпера- тур, и, следовательно, определение qc и а. Гидродинамический погранич- ный слой. Рассмотрим продольное обтекание плоской поверхности тела безграничным пото- ком жидкости. Скорость и температура набегаю- щего потока постоянны и равны соответственно w0 и tG. При соприкосновении частиц жидкости с поверхностью тела они «прилипают» к ней. В результате в области около пластины вслед- ствие действия сил вязкости образуется тонкий слой заторможенной жидкости, в пределах кото- Рис. 4-6. Изменение ско- рости в гидродинамиче- ском пограничном слое. рого скорость изменяется от нуля на поверхно- сти тела до скорости невозмущенного потока (вдали от тела). Этот слой заторможенной жидкости получил название гидродинамического пограничного слоя. Теория гидродинамического пограничного слоя впер- вые дана Л. Прандтлем (1904 г.). Чем больше расстояние х от передней кромки пластины, тем тол- ще пограничный слой, так как влияние вязкости по мере движения жидкости вдоль тела все дальше проникает в иевозмущенный поток. Эта особенность пограничного слоя иллюстрируется рис. 4-6, иа кото- ром представлены распределения скорости при различных значениях х. Для течения жидкости внутри пограничного слоя справедливо усло- вие dwJdy=^=Q, вне пограничного слоя и на его внешней границе: dwJdy=0 и wx=wc. Понятия «толщина пограничного слоя» и «внешняя граница погра- ничного слоя» довольно условны, так как резкого перехода от погра- ничного слоя к течению вне слоя нет. Скорость в пограничном слое по мере увеличения у асимптотически стремится к w0. Поэтому под толщиной пограничного слоя 6 подразумевается такое расстояние от стенки, на котором скорость будет отличаться от скоро- сти потока вдали от тела на определенную заранее заданную малую величину 1 (например на 1%): при у=6 wx=(l—s)wo. Таким образом, при омывании тела поток жидкости как бы разде- ляется на две части: на п о г р а н и ч н ы й с л о й и на внешни й по- т о к. Во внешнем потоке преобладают силы инерции, вязкостные силы здесь не проявляются. Напротив, в пограничном слое силы вязкости и инерционные силы соизмеримы. 139
Тогда можно написать следующую систему дифференциальных урав- нений, описывающих стационарное поле скоростей при омывании плос- кой пластины, бесконечной в направлении оси Oz. Уравнения движе- ния: =v (-533-+V; ~ т a, _L^p /4.94ч Wl dx dy dx* • dy* J f dy' Уравнение сплошности И-25) Рассмотрим возможности упрощения для пограничного слоя запи- санной системы дифференциальных уравнений и наметим границы справедливости упрощенной записи. Ввиду малости толщины пограничного слоя принимают, что попе- рек него давление не изменяется, т. е. др]ду=О. При омывании плоской поверхности неограниченным потоком, когда во внешнем течении ско- рость постоянна и равна w<>, из уравнения Бернулли const следует, что во внешнем потоке не изменяется и давление. Тогда dp/dx=Q (такое течение в гидродинамике часто называют «безградиентным те- чением»), Условия др/ду=® для пограничного слоя и др(дх=й для внешнего течения приводят к выводу, что производная др/дх равна ну- лю и в обл’асти пограничного слоя (в рассматриваемом случае). Скорость wx изменяется от нуля до w0, порядок величины wx оценим как Шо. Для продольной координаты возьмем масштаб I. Тогда (О — обозначение порядка данной величины) ото»"_п (VI, \ < I У Согласно уравнению сплошности (4-25) порядок производных dwjdx и dvijdy одинаков. Отсюда где 6 — порядок поперечной координаты у для пограничного слоя. По- рядок величины wv при этом может быть оценен как Wy — O Оценим отдельные члены инерционной (конвективной) и вязкост- ной частей уравнения движения в проекциях на ось Ох: v 14^0 fv—V v dx* v dx dx V p У v^.=v/.^-=ofv^-Y dy2 dy dy \ ° / MO
Из оценки следует, что порядок отдельных слагаемых инерционной части одинаков и равен w^l. Отношение вязкостных членов дает: „ fwjp д „ / ег\ <Vw,Jr,y‘ v ) \i2 )' rr * , 1 dzwx _ dzwx „ Для пограничного слоя 8 << /, отсюда > ~дх^' П0СлеДнеи произ- водной можно пренебречь. Тогда уравнение движения в проекциях на ось Ох может быть записано в следующем виде: dwK . (Pin* (4-26) Порядок левой части этого уравнения равен О правой О (v . Приравнивая, получаем: О (=г>» (• 5) “ т-0 (yt здесь Re^WoVv — число Рейнольдса, характеризующее соотношение сил инерции и сил вязкости. Если Re 1, то > 1 (8 > I). В этом случае по сути дела нет раз- деления потока на две области, все пространство жидкости у тела охва- чено действием сил вязкости. Если Re^l, то 6<;Z, т. е. у поверхности тела образуется сравни- тельно тонкий слой подторможенной жидкости, для которого ,в первом приближении справедливы сделанные нами упрощения. Таким образом, теория пограничного слоя приобретает характер метода упрощения Ма- тематической формулировки краевой задачи и связанной с этим воз- можности решения. Оценим порядок величин, входящих в уравнение движения в про- екциях на ось Оу. Получим, учитывая уравнение (4-27), что члены dwy дх dwy dsWy Wy и V у ду дуй _ iwzn 8 \ ~ Zwsn 1 ” \ dzwv имеют величину порядка О — J =О fа член v-^/ = = о(—______ к 1 Re^Re )’ Таким образом, члены уравнения движения в проекциях на ось Оу малы по сравнению с членами уравнения (4-23). Для пограничного слоя уравнение (4-24) можно опустить. Тогда для плоского безгради- ентного стационарного течения вязкой жидкости в пограничном слое у плоской поверхности можно записать: (4-28) | 8wy дх ”4" ду (4-29) 141
Здесь две зависимые переменные: юх и wy. Правую часть уравнения (4-28) можно записать в виде где s — напряжение трения в пло- Рис 4-7. Изменение темпе- ратуры в тепловом погра- ничном слое. ривая теплоотдачу при скости, параллельной плоскости xz. Тепловой пограничный слой. Аналогично понятию гидро- динамического пограничного слоя Г. Н. Кружилиным было введено по- нятие теплового пограничного слоя (рис. 4-7). Тепловой пограничный слой — это слой жидкости у стенки, в преде- лах которого температура изменяется от зна- чения, равного температуре стенки, до значе- ния, равного температуре жидкости вдали от тела. Для области внутри теплового погра- ничного слоя справедливо условие dtldy=j=ft, а на внешней границе и вне его1 dt]dy=Q и t=t0. Таким образом, все изменение темпера- туры жидкости сосредоточивается в сравни- тельно тонком слое, непосредственно приле- гающем к поверхности тела. В гл. 7, рассмат- бтекапии плоской поверхности неограниченным потоком жидкости, мы выясним условие, при котором выполняется неравенство где k — толщина теплового пограничного слоя. Тол- щины гидродинамического и теплового пограничных слоев 6 и k в об- щем случае не совпадают — это зависит от рода жидкости и некоторых параметров процесса течения и теплообмена. Будем полагать, что они одного порядка: 0(6). Ввиду малости толщины теплового гранично- го слоя можно пренебречь теплопроводностью вдоль слоя по сравнению1 с поперечным переносом теплоты, т. е. положить дЧ л ( № и- /А = О I л-т- < -з-г» так как /г < г). dx2 I dx2 ду2 ’ J Тогда для рассматриваемого случая уравнение энергии примет вид df . dt дЧ . ол. Xdx * у ду дуг ' f Учитывая, что qy——h(dtldy) и, следовательно, X (д2//сй/2) =—dqyldy„ правую часть уравнения (4-30) можно представить в виде Чтобы замкнуть задачу, к уравнению (4-30) необходимо добавить уравнение движения (4-28) и уравнение сплошности (4-29). Напомним, что система дифференциальных уравнений (4-28), (4-29) и (4-30) получена для стационарного безградиентного омывания плоской поверхности жидкостью с постоянными физическими свойства- ми; в жидкости отсутствуют внутренние источники теплоты, выделение тепла трения пренебрежимо мало Заметим, что при принятых здесь условиях поле скоростей не зависит от поля температур. Своеобразно строится пограничный слой в случае свободного теп- лового течения, вызванного разностью плотностей более и менее на- гретых частиц жидкости Данное ранее определение пограничных слоев остается справедливым и для свободного движения. Однако во многих 1 Точнее, при y=k £=(!—е)^0, где е<С1, так как температура t должна асимпто тнчески стремиться к значению t0 142
Рис. 4-8 Гидродина- мический и тепловой пограничные слои при свободном движении. случаях скорость вдали от тела, у которого возникло свободное движе- ние, равна нулю. На рис. 4-8 приведено примерное распределение тем- ператур п скоростей в определенном сечении свободного потока у горя- чего тела. В данном случае толщины теплового н гидродинамического слоев также могут не совпадать. При свободном тепловом движении (wo=O) в дифференциальном уравнении движения (4-28) должен быть учтен член g’fKh В этом случае поле скоростей неразрывно связано с полем температур (теплообменом). Форма и размеры поверхности теплообмена существенно влияют на теплоотдачу. В зависимо- сти от этих факторов может резко меняться харак- тер обтекания поверхности, по-иному строится по- граничный слой. В технике имеется большое мно- гообразие поверхностей нагрева. Каждая такая поверхность создает специфические условия дви- жения и теплоотдачи. Известно, что имеются два основных режима течения жидкости: ламинарный и турбулентный. При ламинарном режиме частицы жидкости дви- жутся без перемешивания, слоисто; при турбулент- ном— неупорядоченно, хаотически, направление и величина скорости отдельных частиц беспрестанно меняются Эти режимы течения наблюдаются и в пограничном слое. При малых значениях х тече- ние в пограничном слое может быть ламинарным. По мере увеличения х толщина пограничного слоя возрастает, слой делается неустойчивым и течение в пограничном слое становится турбулентным. Как будет показано в дальнейшем, теплоотдача существенно зави- сит от режима течения. Полученная нами система дифференциальных уравнений (4-28) — (4-30) описывает теплообмен только в ламинарном пограничном слое. м/с иг 4-5. ТУРБУЛЕНТНЫЙ ПЕРЕНОС ТЕПЛОТЫ И КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ Турбулентное течение существенно отличается от ламинарного. На рис. 4-9 показана осциллограмма колебаний скорости в определенной неподвижной точке турбулентного потока, имеющего неизменную сред- нюю скорость течения. Мгно- венная скорость пульсирует около некоторого среднего во времени значения. Помимо по- казанного иа графике рис. 4-9 изменения абсолютной вели- чины w происходит еще и из- менение направления мгновен- ной скорости. Отклонение мгно- венной скорости w от с редней во времени w называют пульса- Рис 4-9 Изменение скорости w и температу- ры t в неподвижной точке турбулентного по- тока циями скорости или пульсационными скоростями w'. При этом w—w-Y-w'. Таким образом, турбулентное движение состоит как бы из регулярного течения, описываемого осредненными значениями скоро- стей, и из наложенного на него хаотического пульсационного течения. 143
При пульсациях скорости происходит перенос механической энер- гии. Если в потоке имеет место разность температур, то пульсации ско- рости приводят и к переносу теплоты, вследствие чего возникают пуль- сации температуры (рис. 4-9). Температура в определенной неподвиж- ной точке турбулентного потока колеблется около некоторого среднего во времени значения t. Пульсация температуры связана с t и t урав- нением + Таким образом, турбулентное течение, строго говоря, является не- стационарным процессом^ однако если осредненные во времени скоро- сти и температуры w и t не изменяются, то такое движение и связан- ный с ним перенос теплоты можно рассматривать как стационарные (квазистациоиарные) процессы. При этом интервал времени осредне- ния должен быть достаточно большим по сравнению с периодом пуль- сации, но в то же время достаточно малым по сравнению с каким-либо характерным для осреднениого движения интервалом времени, чтобы учесть возмож- ные изменения средних скоростей и темпе- ратур во времени. Будем в дальнейшем полагать, что средние значения актуальных величин w, t получены как среднеинге- гральные. В общем случае пульсации скорости и температуры приводят к пульсациям дав- ления и физических свойств. Рис. 4-10. Мгновенное значение скорости в плоском турбулент- вом потоке. Полагают, что выведенные в § 4-3 дифференциальные уравнения конвективного теплообмена справедливы для отдельных струек пульса- ционного движения. Эти уравнения можно записать в осредненных зна- чениях скорости и температуры, если произвести замену t = t + tf, wx= = й?ж + ^,гс, wv = wy-\-w'y и т. д. Произведя некоторые преобразования и выдвинув дополнительные гипотезы, можно получить систему диффе- ренциальных уравнений, описывающих в первом приближении осред- ненное турбулентное течение и теплообмен. В достаточно строгой по- становке этот вопрос до конца не разрешен. Мы прежде всего рассмотрим качественную сторону явлений пере- носа энергии в турбулентном потоке. На основе этого рассмотрения за- пишем ряд соотношений, необходимых для решения простейших задач. Пусть в некоторый момент времени x+dx скорость в фиксирован- ной точке (малой области) турбулентного потока имеет компоненты wx и wy (рис. 4-10). Температура жидкости в этой точке равна t. Услов- ную контрольную поверхность АА расположим близко к рассматривае- мой точке и параллельно плоскости xz. За dx через единицу поверхно- сти АА проходит масса р&у»//т, кг/м2. При этом, в частности, в направ- лении оси Оу переносится количество движения относительно оси Ох, равное pz^w^dr и соответственно энтальпия pWyidx^pcpwytdx (пола- гаем, что р и ср постоянны). В следующие моменты времени компоненты скорости могут быть другими. Среднеинтегральное значение энтальпии qy, Дж/(м2-с), пере- носимое в направлении оси Оу за единицу времени через единицу кон- трольной поверхности, будет равно: qy — у QCpWyt dx —- pCpWyt. (4-31) 144
Величину pCpWvt можно представить в виде <7И = PCpWyt = рср (вд, + W'y) (?+/') = РСр (Wyl + wyt' + W'yt + W'yf) = = pCpWyt + pcpw'yt'. (4-32) Здесь использованы свойства среднеинтегрального осреднения т+Дт f (4-33)' X меняющихся во времени величин <р и ф (например, wx и t): <р+ф=<р+ф, (рф = <рф, <р=ф. (4-34) В дальнейшем понадобится и свойство dy dy dt/ “dt/ вытекающее из (4-33) ввиду возможности изменения последовательно- сти операций интегрирования по т и дифференцирования по у. Предпола- гается при этом, что интервал осреднения Дт выбран согласно ранее названным условиям. Действительно, осредняя <р=<р+<р', получаем: ? = ? + ?' = ?+?• Отсюда следует, что <р'=0. Заметим, что <f'2=#0, что следует из уравнения <р'2= (<р—<р)2 (тривиальный случай <р=<р=О исключаем). Среднеинтегральное значение количества движения относительно оси Ох, переносимое в направлении Оу за единицу времени через еди- ницу поверхности, можно получить аналогично получению уравнения (4-32). В результате 14-Дх 5=-д^ J ptaxteivdi:==(wIw!, = pie>1ai!,-|_ pw'x^'v- (4-35) Аналогичные выражения в общем случае можно получить для пере- носа количества движения относительно любых координатных осей в на- правлении осей Ох, Оу и Oz. Таким образом, согласно уравнениям (4-32) и (4-35) конвективный перенос складывается из двух составляющих: из осредненного и из пульсационного (турбулентного) переноса. Обозначим: ?s,T^?T=pCpg|'Z. (4-36) ^ху,т=^т= pw'xwfy. (4-37) В общем случае и sT не равны нулю. Больше того, в определен- ных областях турбулентного потока, омывающего твердое тело, <1т и sT могут принимать большие значения. Рассмотрим течение около стенки, но на некотором удалении от нее. Для простоты предположим, что осредненные значения скорости и температуры изменяются только в направлении оси Оу (рис. 4-11). Предположим, что за счет пульсаций w'y из слоя в слой у2 переносит- ся энтальпия cpt (yi), где I (yi) — осреднениое значение температуры при y=yi. Плоскости yi и у2 параллельны плоскости хг. 10—87 145
дит к передаче энтальпии ном течении эта передача Рис, 4-11. К выводу формул осредненного турбулентного пе- реноса теплоты и количества движения. Разность энтальпий —J(4fe)] будем считать переносимой теп- лотой на отрезке у%—У1=1'. На длине Г пульсация как бы ие распадает- ся, не диссипирует. Распад пульсационного движения при у = у2 приво- слою у2- В рассматриваемом квазистационар- порождает пульсацию температуры в слое уъ [температура t(y$ фиксирована]. И так далее. Иногда проводят аналогию между I' и длиной свободного пробега молекул (от соударения до соударения). Как следствие этой аналогии величину Г называют дли- ной пути смешения. Аналогично про- стейшим представлениям о молекулярном движении объем жидкости как бы переме- щается на расстояние I', при этом вместе с массой жидкости осуществляется пере- нос, в частности, энтальпии. Аналогия меж- ду молекулярным и турбулентным движе- ниями достаточна условна. Ее достоинство заключается в наглядности. Заметим, что по смыслу турбулентного движения длина пути смешения V не должна быть постоянной величи- ной. Можно говорить о вероятностном (статистическом) значении I'. Разность р(гд)—t(yz)] можно представить следующим образом: t (Vi) — (у2) =1 (yt) —Т(у. + lf) = t (t/J — t (y^ — .,dt_____________________________ dy 2 dys ~~ dy Тогда для турбулентного (пульсационного) переноса теплоты мож- но написать: = pcjjw'y [t (у,) —7 (у2)1 = — pCpW'yZ' (4-38) Исходя из предположений, аналогичных сделанным ранее, турбулент- ный перенос по у количества движения относительно оси Ох можно описать уравнением sT= — pw'y [ai* (х.) — wx fe)] = pw'yl' • (4-39) Таким образом, величины qT и sT пропорциональны производным dt/dy и dw.,Jdy. Учитывая этот важный вывод, запишем как определения следующие уравнения: Qt = — Рсре« = - Ат (4-40) И = (4-41) здесь Ат, Цт — соответственно коэффициенты турбулентного переноса теп- лоты и количества движения; eq=Xt/pcp> es=jxt/p — соответственно ки- нематические коэффициенты турбулентного переноса теплоты и количе- ства движения. Размерности этих коэффициентов соответствуют раз- мерностям аналогичных коэффициентов Л, р, a, v, учитывающих молеку- лярный перенос теплоты и количества движения. 146
Коэффициенты и рт не являются физическими параметрами сре- ды. Они зависят, как это следует из уравнений (4-40), (4-41) и (4-36), (4-37), от параметров процесса и, следовательно, могут изменяться в рас- сматриваемом пространстве. Теплота и количество движения в направлении оси Оу переносятся также и молекулярным механизмом. В результате можно написать: и <Zw=-(*+4)-^ (4-42) S4,= (l*+l4)^- ' (4-43) Сплошная твердая стенка непроницаема для поперечных пульсаций w'v, следовательно, при (/=0 ’будет w'v=0. Отсюда следует, что непо- средственно на стенке лт=0 и цт=0. Вдали от стенки коэффициенты турбулентного переноса и рт могут во много раз превышать соответ- ственно Хи ц; для этой области, напротив, можно полагать, что л=0 и р=0 (точнее: рт2>р). Как следует из (4-32) и (4-35), при записи уравнений в осреднен- ных значениях скорости и температуры необходимо учитывать и турбу- лентный (пульсационный) перенос теплоты и количества движения. Для турбулентного пограничного слоя при принятых ранее ограничениях (см. § 4-4) уравнения энергии (4-30), движения (4-28) и сплошности (4-29) могут быть записаны в следующем виде: (— dt . — dt \ d . dt I. (— dwx I — \ d [ , , , dwx I. p V£’*"3x' ' w“ ~dy~) ~~dy + M J ’ , dwv__„ dx T dy (4-44) (4-45) (4-46) Здесь учтено, что турбулентный перенос в направлении оси Ох мно- го меньше турбулентного переноса в направлении Оу, так как 6<С/ и k<^l, где I — длина пластины. Полагают, что и Хт зависят от тех же факторов (переменных), от которых зависят поля осредненных скорости и температуры. Для замы- кания системы дифференциальных уравнений необходимо добавить уравнения, характеризующие связь цт и Хт с этими переменными. Предложено много способов, позволяющих в первом приближении замкнуть систему дифференциальных уравнений для турбулентного те- чения, но мы рассмотрим лишь простейший. Из уравнения (4-37) $Т=’—pw'xw'y и уравнения (4-39) для одномерного турбулентного переноса —ГЧ7 dwx следует, что w'x=l' dy 10* 147
Примем, что выполняется пропорциональность Тогда Включая коэффициент пропорциональности во вновь вводимую ве- личину /.из (4-37) имеем 5 s’=p/2(w)2- (4-47) Величину I часто также называют длиной пути смешения, хотя она только пропорциональна I'. В последнее время I предпочитают называть масштабом турбулентности. Полагают, что I характеризует внутреннюю геометрическую структуру турбулентного потока, некоторый средний размер турбулентно перемещающихся масс жидкости. При фиксированном значении производной dwx!dy касательное напряжение турбулентного трения sT пропорционально I2. Сравнивая уравнения (4-39) и (4-47), получаем: (4-48) Подставляя последнее значение в уравнение (4-38), имеем: *=-^1^14- Формулы (4-47) и (4-49) предложены Л. Прандтлем. В пристенной области турбулентного течения масштаб турбулентности (как и турбу- лентный перенос количества движения и теплоты) должен уменьшаться по мере приближения к стенке из-за воздействия последней. Согласно Прандтлю 1—v.y. (4-50) Как показывают измерения и расчеты, в пристенной области тур- булентного течения (но в области, где молекулярным трением можно пренебречь) безразмерную величину v. можно считать равной 0,4. Таким образом, в первом приближении задача замкнута, значения es и Ед (или 7-т и рт) определены: (Ф51) [сравнить формулы (4-40), (4-41) и (4-47), (4-49)]. Формула (4-51) показывает, что существует аналогия между пере- носом количества движения и теплоты. Формальная аналогия, следую- щая из (4-51), отражает концепцию, согласно которой одни и те же объемы жидкости, участвуя в пульсационном движении, переносят одно- временно количество движения и теплоту и не взаимодействуют на пути 1 Чтобы правильно определить знак sT, формулу (4-47) следует записать в виде „|da>„ Id®. T~pZ I dy I dy Знак s-i определяется знаком производной dwxfdy. (4-47') 148
Г с окружающей средой. На самом деле при переносе, например, тепло- ты может происходить теплообмен. Пульсационный перенос количества движения может быть связан с диссипацией механической энергии из-за вязкости жидкости. Все это заставляет вносить коррективы в ранее опи- санную теорию, в частности, вводить для описания переноса количества движения и теплоты различные значения I. Несмотря на определенную незавершенность описанной здесь тео- рии, она может давать приемлемые для практики результаты. Теории турбулентного переноса энергии и вещества посвящена об- ширная литература. Для углубления знаний в этой области можно вос- пользоваться книгами (Л. 90, 92, 109, 192, 202]. Глава пятая ПОДОБИЕ И МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ КОНВЕКТИВНОГО ТЕПЛООБМЕНА 5-1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ Конвективный теплообмен описывается системой дифференциальных уравнений и условиями однозначности с большим количеством перемен- ных. Попытки аналитического решения полной системы уравнений на- талкиваются на серьезные трудности. Поэтому большое значение при- обретает экспериментальный путь исследования. С помощью экспери- мента для определенных значений аргументов можно получить числовые значения искомых переменных и затем подобрать уравнения, описываю- щие результаты опытов. Однако при изучении столь сложного процесса, как конвективный теплообмен, не всегда легко проводить и опытное ис- следование. Для исследования влияния на процесс какой-либо одной величины остальные нужно сохранять неизменными, что не всегда возможно или затруднительно из-за большого количества переменных. Кроме того, при этом нужно быть уверенным, что результаты, получаемые с помощью какой-либо конкретной установки (модели), можно перенести и на дру- гие аналогичные процессы (образец). Эти трудности помогает разрешить теория подобия. С помощью теории подобия размерные физические ве- личины можно объединить в безразмерные комплексы, причем так, что число комплексов будет меньше числа величин, из которых составлены эти комплексы. Полученные безразмерные комплексы можно рассма- тривать как новые переменные. При введении в уравнения безразмерных комплексов число величин под знаком искомой функции формально сокращается, что упрощает исследование физических процессов. Кроме того, новые безразмерные переменные отражают влияние не только отдельных факторов, но и их совокупности, что позволяет легче определить физические связи в ис- следуемом процессе. Теория подобия устанавливает также условия, при которых резуль- таты лабораторных исследований можно распространить на другие явле- ния, подобные рассматриваемому. Ввиду этого теория подобия прежде всего является теоретической базой эксперимента, но не только. Теория подобия является важным подспорьем теоретических исследований. Хотя методами теории подобия вид искомой функции не может быть опреде- 149
лен, эта теория облегчает в ряде случаев анализ процесса и описание полученных результатов. Теория подобия развивалась в основном благодаря трудам совет- ских ученых. В области теории подобия хорошо известны работы А. А. Гухмана, М. В. Кирпичева, М. А. Михеева, Л. С. Эйгенсона, П. К. Конакова, Б. С. Петухова и др. [Л. 33, 34, 69, 70, 71, 143, 207]. Для практического использования выводов теории подобия необхо- димо уметь приводить к безразмерному виду математические описания изучаемых процессов. Имеется несколько методов выполнения этой операции. Мы вос- пользуемся одним из них — методом масштабных преобразований. 5-2. ПРИВЕДЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФОРМУЛИРОВКИ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ К ЗАПИСИ В БЕЗРАЗМЕРНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ Пусть поверхность твердого тела омывается несжимаемой жидко- стью, температура и скорость которой вдали от тела постоянны и равны соответственно to и Wq. Размер тела 1$ задан. Температура поверхности тела равна tc. Для определенности примем, что tc>to. Будем полагать, что физические парамет- ры жидкости постоянны (учтем только подъем- ную силу, возникающую в результате зависимо- сти плотности от температуры). Теплота трения не учитывается. Рассматриваемый процесс явля- ется стационарным. Расположим оси координат так, как пока- зано на рис. 5-1. Для простоты примем, что Оу нормальна к поверхности тела, а ось Ох правлена вдоль тела и вертикальна. При этом gx=g, а проекции вектора сил жести (или подъемной силы) на оси Оу и будут равны нулю (gy=gz=ty. Размер тела вдоль оси Oz намного боль- ше 1о. При принятых условиях поля температур и скоростей можно описать дифференциальными уравнениями в приближении пограничного Учтем дополнительно подъемную силу pgpO, считая вязкостным членом pt(d2ww/di/2). Введем также обо- где t — температура жидкости (заметим, что dt=d$, Рис. 5-1. К постановке краевой задачи конвек- тивного теплообмена. ОСЬ на- тя- OZ слоя (см. § 4-4). ее соизмеримой с значение €=£—А», так как to—const). Уравнение энергии уравнение движения дх 1 у ду dyz 1 61 уравнение сплошности dw№ । dwy___n дх ' ду 15С
Напишем граничные условия: 1) Вдали от тела (г/ = оо) & = »(1=0; и>х = а)„; вд, = 0. 2) На поверхности тела (у=0, —т со) Э —8css/c — Z0 = const; wx = wy = wz = 0. (a) В уравнениях и условиях однозначности можно различить три вида величин: независимые переменные-— это координаты х, у. зависимые переменные — это ф, wx и wy\ зависимые пере- менные однозначно определяются значениями независимых переменных, если заданы величины, входящие в условия однозначности; постоянные величины — это Wo, tOi Фс, v, a, gp и др.; они задаются условиями однозначности и для определенной задачи являют- ся постоянными, не зависящими от других переменных; от задачи к за- даче они могут меняться; постоянными эти величины называют потому, что они не являются функцией независимых переменных. Таким образом, искомые зависимые переменные Ф, wx и wy зависят от большого числа величии: они являются функцией независимых пере- менных и постоянных величин, входящих в условия однозначности. Величины, содержащиеся в уравнениях и условиях однозначности, можно сгруппировать в комплексы. Число безразмерных комплексов бу- дет меньше числа размерных величин. Для приведения к безразмерному виду выберем масштабы приведе- ния. В качестве масштабов удобно принять постоянные величины, вхо- дящие в условия однозначности. Для линейных величин выберем какой- либо характерный размер, например длину поверхности теплообмена /о, для скорости wOf для температуры а%- Обозначим безразмерные величины: Тогда х = 10Х, у = l0Y, wx=w0WXf wy — w0Wyf & = Подставим в уравнения значения величин согласно равенствам (в). Преобразуем уравнение энергии. Так как, например, д [с>(асе)~|_ ас д2& ду2~д (l0Y) p(UOj то в результате подстановки равенств (в) после умножения левой и правой частей уравнения энергии на 12о/а будем иметь: ([W д® । ijy д® \ — д2® ~ + дУ / № ’ " Аналогично преобразуем и уравнение движения. После подстановки равенства (в) в уравнение движения умножим его на 151
В результате получим: v \ дХ J dY J dYz vw0 Сделаем следующее преобразование комплекса, входящего в послед- нее уравнение: ёЯ<А Q __ у л *«’О V2 WDl0 Учитывая эти преобразования, окончательно получаем: — (It7x7ПГ + -7- е- (5-2) v * дХ 1 v dY ] 6Y* 1 v2 w,/„ ' После преобразования уравнения сплошности получим: w„ /'riW, ДУЛ_ I, "Г dYJ~ U или, так как wajl,, не равно нулю, ^г+^г=°- (5-3) Приводя к безразмерному виду граничные условия, получаем: 1) вдали от тела (У=оо) 0=0о=О, Гх=1, И7и=0; 2) на поверхности тела (У=0, O^X^I) (г) 0=©с=1, «^=1^=0. Из условий (г) следует, что, несмотря на то что величины Шо, h-, to и др., входящие в размерные граничные условия, могут иметь раз- личные числовые значения, каждая из безразмерных величин ©о, ©е и др. имеет в рассматриваемом случае вполне конкретное числовое значение. Как следует из § 4-4, при известном температурном поле коэффи- циент теплоотдачи может бьиъ определен по уравнению ' X Г<» \ Приводя к записи в безразмерных переменных, получаем: "Л____________________________/д» \ Л- \dYjY=<t- (5-4) Безразмерный комплекс afo/Л полностью определяется производной (д0/дУ)г=о. 5-3. БЕЗРАЗМЕРНЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ (ЧИСЛА ПОДОБИЯ) И УРАВНЕНИЯ ПОДОБИЯ Помимо безразмерных величин 0, Wx, Wv и безразмерных коорди- нат, составленных из однородных физических величин, в уравнения вхо- дят также безразмерные комплексы, состоящие из разнородных физи- ческих величин: Л ’ v ’ а ’ v2 * 152
Этим комплексам, называемым числами подобия, присвоены имена ученых, внесших значительный вклад в развитие гидродинамики или теплопередачи. Первый из этих безразмерных комплексов обозначают Nu^i- (5-5) и называют числом Нуссельта или безразмерным коэффициентом теплоотдачи. Число Нуссельта характеризует теплообмен на границе/ стенка — жидкость; это следует из уравнений (4-3) и (5-1). В задачах конвективного теплообмена число Nu обычно является искомой величи- ной, поскольку в него входит определяемая величина а. Несмотря на внешнее сходство с числом Био, рассмотренным при изучении теплопроводности, число Нуссельта существенно отличается • от него. В числ<\Врвходит коэффициент теплопроводности твердого те- ла; в число Nu — коэффициент теплопроводности жидкости. Кроме того, в число Био коэффициент теплоотдачи вводится как величина, заданная в условиях однозначности, мы же рассматриваем коэффициент теплоот- дачи, входящий в Nu, как величину искомую. Безразмерный комплекс Re==^4 (5-6) называют числом Рейнольдса. Оно характеризует соотношение сил* инерции и сил вязкости. Действительно, число Рейнольдса будет полу- чено, если член уравнения движения, учитывающий инерционные силы, разделить на член, учитывающий в этом уравнении силы трения: Wx dwjdx, w\/l0 WKdWx/dX _ w0l0 WxdWx/dX vdzw№/dy2 dzWx/dY2 v d2WK/dY2 По существу такую же операцию мы проделали в § 5-2 при приве- дении уравнения движения к безразмерному виду. Число Рейнольдса является важной характеристикой как изотерми- ческого, так и неизотермического процессов течения жидкости. Третий безразмерный комплекс обозначают ре=Л^А. (5-7) и называют числом Пекле. Его можно преобразовать следующим об- • разом: здесь числитель характеризует теплоту, переносимую конвекцией, а зна- - менатель — теплоту, переносимую теплопроводностью. По существу мы получили ранее число Пекле путем деления кон- вективного члена уравнения па член, учитывающий перенос теплоты теплопроводностью. Безразмерный комплекс Grs «ВД1 (5-8) 153
9 называют числом Грасгофа. Оно характеризует подъемную силу, воз- никающую в жидкости вследствие разности плотностей. Так как при выводе уравнения движения (4-18) было принято, что р°~р-, вме- Ро сто Gr можно написать его более общую модификацию — число Архи- меда: Ar=S^- (5-9) р. В случае однородном среды при условии р = const число Архимеда идентично числу Gr. Используя введенные обозначения, систему безразмерных диффе- ренциальных уравнении можно записать в следующем виде: Nu=—(00/6 У) г=0; . (5-10) Ре + (5-11) Re + 0+ (5-12) ^+^=0. (5-13) Система безразмерных дифференциальных уравнений и безразмер- ных условий однозначности (г) (см. § 5-2) представляет собой матема- тическую формулировку задачи. Безразмерные величины ®, Wx, Wy, X, Y, Nu, Re, Pe, Gr можно рас- сматривать как новые переменные. Их можно разделить на три группы: независимые переменные — это безразмерные координаты X, У; зависимые переменные —это Nu, 0, 1ГХ, U”y; онн однозначно определяются значениями независимых переменных при определенных значениях величии, входящих в условия однозначности; постоянные величины — это Ре, Re, Gr; они заданы условиями однозначности и для конкретной задачи являются постоянными [действи- тельно, как следует из (5-6) — (5-8), числа Ре, Re и Gr состоят только из величин, входящих в условия задачи]. В результате можно написать: Nu=/i(Ac, Ус, Ре, Re, Gr); (5-14) 0=f2(X, У, Ре, Re, Gr); (5-15) 'Wx=k(X, У, Pe, Re, Gr); (5-16) ITV=/4(A, У, Pe, Re, Gr). (5-17) Уравнениявида (5-14) — (5-17) называют уравнениями подо- б и я. Здесь Ас, Ус — уравнение (5-14)—соответствуют поверхности теп- лоотдачи (стенки). Нахождение а (или Nu) для точек пространства, не лежащих на поверхности стенки, не имеет смысла. В рассматриваемой задаче Ус = 0. Если в уравнении движения учесть член — А, то в результате приведения к безразмерной записи появился бы и член А = лА> * (Eu Re). р5г;0 дл дл ypa?s0 v j ол ' ’ 154
Безразмерный комплекс Eu = -4- (5-18) называют числом Эйлера. Это число характеризует соотношение сил» давления и сил инерции. В уравнения конвективного теплообмена зави- симая переменная Ей входит только под знаком производной. Следова- тельно, для рассматриваемой нами несжимаемой жидкости с постоян- ными физическими параметрами существенно не абсолютное значение давления, а его изменение1 *. Поэтому число Эйлера обычно представляют в виде где ро — какое-либо фиксированное значение давления, например давле- ние на входе в канал. Это давление может быть неизвестной величиной. Для многих процессов течения и теплоотдачи существен не только размер Iq. но и некоторые другие характерные размеры. Например, при движении жидкости в прямой гладкой трубе харак- терными размерами являются диаметр и длина трубы; если труба изог- нута, то дополнительным характерным размером является радиус кри- визны трубы. При течении жидкости в шероховатых трубах представ- ляют интерес размеры, оценивающие высоту неровностей и их концен- трацию на поверхности теплообмена. Все необходимые размеры Zo, h, 12 и т. д. должны быть заданы в условиях задачи. В этом случае под знаком функции в уравнениях (5-14) — (5-17) должны быть величины = Ц = и т. д. 1О t0 Очевидно, внесение в этом случае под знак функции величин L2, ..., Ln является необходимым. Во всех случаях список безразмерных величин должен соответствовать математической формулировке задачи. Произвольное же исключение или введение под знак функции новых переменных безусловно недопустимо. Любая подобного рода операция должна быть обоснована. Очевидно, при неизменной математической формулировке задачи новые безразмерные величины могут быть получены соответствующим комбинированием старых безразмерных величин, однако при этом число переменных под знаком функции не должно измениться. Число Ре, полученное при приведении к безразмерному виду урав- нения энергии, можно представить как произведение двух безразмерных переменных: Pe = RePr = ^—. (5-19) v а 4 Безразмерная величина Pr=v/c представляет собой новую перемен- ную, называемую числом Прандтля. Число Прандтля целиком со-» ставлено из физических параметров, и поэтому и само является физи- ческим параметром. Его можно записать и в виде Рг=—(5-20) > • а 7. 4 ’ зависимость плотности от давле- величина давления. 1 В случае сжимаемых течений нужно учитывать ния; в этом случае представляет интерес абсолютная 155
Числу Прандтля можно придать определенный физический смысл. Уравнение энергии (4-30) dt , ‘ dt dzt х дх 1 у ду ду* и уравнение движения (4-28) dwx , dw~ d*wx x dx 1 y dy dy* по записи аналогичны. При a=v расчетные поля температур и скоро- ла Прандтля трансфор- маторного масла в зави- симости от температуры. Рис. 5-3. Изменение чи- сла Прандтля воды в за- висимости от температу- ры в интервале темпера- тур от 0 до 300°С. газов число Рг имеет стей будут подобны, если только аналогичны и условия однозначности. Условию a —v соответ- ствует равенство Рг=1. Таким образом, при оп- ределенных. условиях числу Прандтля может быть придан смысл меры подобия полей темпе- ратур и скоростей. Числа Рг капельных жидкостей сильно зависят от температуры, причем для большинст- ва жидкостей эта зависимость в основном ана- логична зависимости вязкости р.(0» так как теп- лоемкость ср и коэффициент теплопроводности к зависят от температуры более слабо. Как прави- ло, при увеличении температуры число Рг резко уменьшается (рис. 5-2). Зависимость числа Рг воды от температуры на линии насыщения при- ведена на рис. 5-3. Значения числа Рг для воды при температурах от 0 до 180°С сильно умень- шаются с ростом температуры (от 13,7 до 1), что связано с резким уменьшением вязкости воды и ростом X в этой области температур. Тепло- емкость при этом очень мало зависит от тем- пературы. При температурах от 130 до 310°С значе- ния числа Рг для воды очень незначительно' изменяются и близки к единице. Характер зави- симости Рг от температуры. резко изменяется только при давлениях и температурах, близ- ких к критическим. Теплообмен в околокрити- ческой области будет рассмотрен особо. Число Рг газов практически не зависит ни от температуры, ни от давления и для тайного газа является величиной постоянной, определяемой атомностью газа. В соответствии с кинетической теорией следующие значения: Для одноатомных газов...................0,67 Для двухатомных газов........... ... 0,72 Для трехатомных газов...................0,8 Для четырехатомных и более газов .... 1 Действительные значения числа Рг реальных газов несколько отли- чаются от указанных значений. Числа Рг тяжелых и щелочных жидких металлов, применяе- мых в качестве теплоносителей, изменяются в пределах Рг«0,005 т-0,05.. 156
Малые значения числа Рг жидких металлов объясняются высокой теп- лопроводностью последних. В зависимости от значения числа Рг жидкости делят на три группы: жидкости с числами Рг>С1 (жидкие металлы), теплоносители с Рг» 1 (неметаллические капельные жидкости при больших температурах и га- зы), жидкости с числами Рг>1 (неметаллические капельные жидкости). Учитывая, что Pe=RePr, уравнения подобия (5-14)—(5-17) можно записать в виде Nu = Fi(Xc, Ус, Re, Рг, Gr); (5-21) @=F2(A; У, Re, Рг, Gr); (5-22) 1Ух=Р3(Х, У, Re, Рг, Gr); (5-23) Wy^F^X, У, Re, Pr, Gr). (5-24) Исходя из уравнений (5-14) — (5-17) и (5-21) —(5-24), безразмер- ные переменные можно разделить на два вида: определяемые— что числа, в которые входят искомые зависи- мые переменные; в рассматриваемом случае зависимыми являются а, О', wx и Wy, следовательно, определяемыми являются Nu, ®, Wx и Wy; определяющие — это числа, целиком составленные из незави- симых переменных и постоянных величин, входящих в условия однознач- ности; в рассматриваемом случае определяющими являются X, У, Re, Рг (или Ре) и Gr. Числа подобия, составленные из наперед заданных параметров (по- стоянных) математического описания процесса, называют также кри- териями подобия. 5-4. УСЛОВИЯ ПОДОБИЯ ФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ Полученная система безразмерных дифференциальных уравнений (5-10) —(5-13), так же как и исходная система размерных уравнений, описывает бесконечное множество конкретных процессов конвективного теплообмена. Уравнения будут справедливы для любого процесса тепло- отдачи между твердым телом и несжимаемой жидкостью, удовлетворяю- щего данной формулировке задачи. Таким образом, записанная ранее система дифференциальных безразмерных уравнений описывает сово- купность физических процессов, характеризующихся одинаковым меха- низмом. С теплопроводностью мы познакомились в первой части курса. Диф- ференциальное уравнение теплопроводности \2t—0 описывает бесчислен- ное множество конкретных процессов, принадлежащих к одному и тому же классу. Общность этих процессов определяется одинаковым механиз- мом процесса распространения тепла. Однако известны и другие диффе- ренциальные уравнения, аналогичные по форме записи уравнению тепло- проводности, например уравнение электрического потенциала (см. § 3-12). Если для температуры и электрического потенциала ввести оди- наковые обозначения, то оба уравнения по своему внешнему виду не будут отличаться друг от друга. Однако, хотя по форме записи оба уравнения совпадают, физическое содержание входящих в эти уравне- ния величин различно. Те явления природы, которые описываются оди- наковыми по форме записи дифференциальными уравнениями, но раз- личны по своему физическому содержанию, называются аналогич- ными. 157
Дифференциальные уравнения отражают наиболее общие черты явлений и не учитывают частные, количественные особенности. Такими особенностями являются форма и размеры системы, в которой протекает физический процесс; к частным особенностям относятся также физиче- ские свойства рабочих тел, участвующих в процессе, условия протекания процесса на границах системы и др. Частные особенности различных явлений одного и того же класса определяются с помощью условий однозначности. Проведенный анализ системы безразмерных дифференциальных уравнений и условий однозначности делает более понятными общие условия подобия физических процессов, сформулированные ниже в виде трех правил: 1. Подобные процессы должны быть качественно одинаковыми, т. е. они должны иметь одинаковую физическую природу и описываться оди- наковыми по форме записи дифференциальными уравнениями. 2. Условия однозначности подобных процессов должны быть оди- наковыми во всем, кроме числовых значений размерных постоянных, содержащихся в этих условиях. 3. Одноименные определяющие безразмерные переменные подобных процессов должны иметь одинаковое числовое значение. Сформулированные условия являются определением подобия физи- ческих процессов. Первое условие говорит, что подобные процессы должны относиться к одному и тому же классу физических явлений. Помимо одинаковой физической природы подобные процессы должны характеризоваться одинаковыми по записи дифференциальными уравнениями. Во многих задачах конвективного теплообмена при вынужденном движении можно пренебречь силами тяжести. Очевидно, равенство сил тяжести нулю меняет механизм и математическую запись рассматривае- мого процесса. При рассмотрении свободного движения в большом объе- ме можно пренебречь градиентом давления в жидкости. Исключение градиента давления из уравнения движения приводит к иной записи уравнения, меняется класс рассматриваемого явления. Таким образом, подобные процессы должны быть процессами кон- вективного теплообмена, характеризующимися одинаковой природой, одинаковыми действующими силами. Отдельные разновидности процес- сов конвективного теплообмена могут описываться различными диффе- ренциальными уравнениями (хотя бы они и были частными случаями более общих уравнений), и в этом случае они будут принадлежать к различным классам явлений. Изменение исходных дифференциальных уравнений в общем случае приводит к изменению системы безразмерных переменных, существен- ных для изучаемого процесса. Второе условие подобия требует, чтобы условия однозначности по- добных процессов были одинаковыми во всем, кроме числовых значений постоянных, содержащихся в этих условиях1. Таким образом, запись размерных условий однозначности подобных процессов в общем виде (буквенном) должна быть идентична. При этом конкретные значения скорости набегающего потока Wo, температура 1 В частном случае равенства числовых значении размерных постоянных, содер- жащихся в условиях однозначности, имеем тождественные процессы (если выполняются прочие условия подобия). 158
стенки tc и т. д. могут иметь различные числовые значения. Из сравне- ния граничных условий (а) и (г) (см. § 5-2) видно, что несмотря па раз- личные значения w0, /о, tc и др., безразмерные граничные условия будут одинаковыми для всех этих процессов. Из первого и второго условий подобия следует, что подобные про- цессы должны описываться одинаковыми (тождественными) безразмер- ными дифференциальными уравнениями и безразмерными граничными условиями. В безразмерной форме математическая формулировка рассматри- ваемых подобных процессов одна и та же. Следовательно, рассматривае- мые подобные процессы описываются единой формулой, например Nu=/i(Xc, Re, Рг) или в=/г(А, Y, Re, Рг) и т. д.; функция /1 будет одна и та же для всех подобных процессов. То же са- мое можно сказать и о функции f2 и т. д. Если система безразмерных уравнений и граничных условий достаточно сложна, то при нахождении функций ft и f2 могут встретиться значительные математические труд- ности. Однако можно утверждать *, что эти функции существуют. При соблюдении первых двух условий подобия исследуемые про- цессы будут зависеть от одних и тех же безразмерных переменных. Этот вывод неизбежно вытекает из того, что подобные процессы описыва- ются тождественными безразмерными уравнениями и граничными условиями. Первых двух условий недостаточно для установления физического подобия. Нужно добавить условие, что одноименные определяющие без- размерные переменные подобных процессов должны иметь одинаковое числовое значение1 2 т. е. A'=idem, F=idem, Re = idem, Pr = idem, Gr=idem и т. п. Так как подобные процессы характеризуются одинаковыми функ- циями ft, f2 и т. д. и численно равными определяющими переменными, то определяемые одноименные переменные подобных процессов также будут иметь одинаковые значения, т. е. Nu = idem, 0 = idem, B^—idem, )P„=idem и т. д. Предположим, что рассматривается система размерных дифферен- циальных уравнений совместно с размерными граничными условиями. Решение уравнений дало бы определенную формулу. Для примера мож- но взять решения задач теплопроводности, рассмотренные ранее. Под- становка конкретных числовых значений аргументов Л, 6 и А) в формулу q= (А/6)&t дала бы определенное числовое значение зависимой перемен- ной q. Очевидно, при одних и тех же значениях А, б и А) все процессы теплопроводности, описываемые этой формулой, будут тождественны — это будет один и тот же процесс. Иное дело, когда формула представлена в безразмерных перемен- ных. Неизменность каждой в отдельности из определяющих величин X У, Ре, Рг и Gr, например, в уравнении в=[(Х, У, Re, Рг, Gr) дает одно и то же значение безразмерной температуры 6= (t—tc)/(tc—tc), однако 1 Предполагается, что задача сформулирована точно. 2 idem — тот же самый. 159
размерные значения температур жидкости и стенки могут быть различ- ны. Одинаковым значениям будет соответствовать множество различ- ных по своим размерным температурным параметрам физических процессов. Только в частном случае может иметь место тождество процессов. Три условия подобия составляют содержание теоремы Кирничева— Гухмана (1931 г.). Как следует из изложенного, помимо выполнения первых двух условий подобия для подобия нужно еще, чтобы одноименные опреде- ляющие безразмерные переменные были численно равны. При этом для подобия процессов в целом достаточно, чтобы были численно рав- ны одноименные определяющие переменные, составленные из постоян- ных величин, заданных в условиях однозначности. Например, подобие двух процессов теплообмена при течении жидкости в трубах будет иметь место, если будут выполнены первые два условия подобия и бу- дут численно равны одноименные определяющие переменные, состав- ленные только из заданных параметров математического описания про- цесса (постоянных). Процессы в целом будут подобны. В то же время локальные (точечные) значения искомых переменных необходимо рас- сматривать в точках, характеризующихся равенством одноименных без- размерных координат1. Таким образом, критериями подобия по существу являются определяющие безразмерные переменные, составленные из постоянных величин не являющихся функцией независимых переменных). Как следует из изложенного в этой главе, теорию подобия можно рассматривать как учение о характерных для каждого процесса обоб- щенных безразмерных переменных. Замена размерных переменных обоб- щенными является основной чертой теории подобия. Мы рассмотрели условия подобия физических процессов на приме- ре конвективного теплообмена несжимаемой жидкости в приближения пограничного слоя. Очевидно, условия подобия справедливы не только для рассмотренного частного процесса, но и для других процессов. Безразмерные переменные можно получить для любого физического явления. Для этого необходимо иметь полное математическое описание рассматриваемого процесса. Знание математического описания является необходимой предпосылкой теории подобия. Сформулированные ранее условия подобия можно использовать для установления аналогии двух физических разнородных процессов. Для этого в первом условии подобия необходимо потребовать только формальной тождественности дифференциальных уравнений. Таким об- разом, понятие подобия можно распространить на физически неодно- родные (аналогичные) процессы. 5-5. СЛЕДСТВИЯ ИЗ УСЛОВИЙ ПОДОБИЯ Пусть имеются два подобных процесса конвективного теплообмена, например, при течении жидкости в каналах произвольного поперечного сечения. Обозначим один процесс буквой А, другой — буквой Б. Масштабами линейных размеров выберем какой-либо размер кана- лов, например, их высоты Ла и &б. Тогда у ___V ________ 7 _ _ гА A”V za-Aa * В случае нестационарных процессов должно иметь место и равенство безразмер- ных времен, например равенство чисел Фурье 160
и у ЬХБ у _________________________ Уб 7 ____ гБ б“*б ’ Б““^’ Б“ V Будем рассматривать процессы А и Б в точках, характеризующихся равенствами: ХА=*Б. УА = Гв и 2a = Ze. (5-25) Точки, удовлетворяющие этим равенствам, называются сходст- венны м и. Для сходственных точек справедливы следующие соотношения: ЛА ЛА ЛА ХК ХВ_^ = Л-БС<’ Ук~Ув^ Уг,С‘< Za ZBC‘’ здесь cl = htjh.l,. Если равенства (5-25) вып, лняются для двух подобных процессов, то, очевидно, для сходственных точек должны выполняться и равенства ^А=^хБ ИЛИ “Ixa4a = £BxE/“'0B. где woa и 'ш>0Б—значения скорости, заданные условиями однозначности; это может быть, например, скорость иа входе соответственно в каналы А и Б. Из последнего равенства следует, что т. е. в любых сходственных точках подобных процессов отношение ско- ростей есть величина постоянная. Аналогично можно написать: а& ^А ^А — —^-тР- = С = — =const, x=- = c„ = const и т. д. “В >Б ЛБ “ tl В • Таким образом, если процессы А и Б подобны, то любая физиче- ская величина <р в данной точке процесса А пропорциональна соответ- ствующей величине в сходственной точке процесса Б, т. е. Va=cvVb. (5-26) Коэффициенты пропорциональности называют константами по- добия. Они безразмерны; в общем случае не равны единице, не зависят ни от координат, ни от времени и различны для всех величин, имеющих различный физический смысл. Если все константы подобия равны едини- це, то процессы являются тождественными. Предположим, что подобным процессам Л и Б подобен также про- цесс В. Тогда можно записать: причем и crv в общем случае ие равны. Таким образом, подобные процессы можно рассматривать как один и тот же процесс, но взятый в различном масштабе, причем масштабы разноименных величин могут быть неодинаковыми. Выбор констант подобия ие может быть произведен произвольно. Покажем это на примере. 81—87 161
Для двух подобных процессов А и Б вынужденной конвекции спра- ведливо условие ReA = ReB, где R и R А VA Б VB _ Одноименные величины, входящие в ReA и ReB, связаны между со- бой с помощью констант подобия: ^ОА = ^^ОБ’ ^ОА = С^0Б И VA = £’vVB‘ Подставив эти равенства в Кед, получим: R А С VE Cv Б ИЛИ ^еА _ewcl__„ ReB — cv ' Это и есть условие, ограничивающее произвольный выбор констант Cw, ci и cv. Аналогично 5-6. МЕТОД РАЗМЕРНОСТЕЙ Необходимой предпосылкой теории подобия является математиче- ское описание изучаемого процесса в виде дифференциальных (или ин- тегродифференциальных) уравнений и условий однозначности. Из математической формулировки задачи следует перечень суще- ственных для рассматриваемого процесса физических величин. Если пе- речень установлен, то выявление чисел подобия может быть произведено методом анализа размерностей. Иногда список размерных величин устанавливают интуитивно, без строгой формулировки краевой задачи. В этом случае возможны ошибки. Подробно теория размерностей рассматривается в специальной ли- тературе, например в [Л. 15, 33, 159]. Мы ограничимся рассмотрением некоторых выводов, следующих из анализа размерностей и имеющих интерес для практического использования обобщенных переменных. Можно различать два вида физических величин: первичные (ос- новные) и вторичные (производные). Первичные величины характеризуют какое-либо физическое явление непосредственно, без связи с другими величинами. Вторичными явля- ются величины, которые выражаются через первичные согласно опреде- лениям или физическим законам. Так, иапример, если длина и время являются первичными величинами, т. е. если длину нельзя выразить через время (и наоборот), то скорость, представляющая собой по опре- делению отношение длины ко времени, является вторичной, производной величиной. Выбор первичных величин, вообще говоря, произволен. В системе СИ за первичные выбраны длина (£), масса (7И), время (Т), темпера- 162
тура (0), сила тока (/), сила света (7); здесь L, М, Т, 0, I и J — симво- лы соответствующих первичных величин. Известны и другие системы первичных величин, используемых или предложенных к использованию. Например, Гауссом было предложено использовать в качестве первич- ных величин длину, массу и время; остальные мыслимые величины дол- жны быть производными. При выборе первичных величин большое зна- чение имеет вопрос об удобстве их применения. Символическое выражение производной величины через основные (первичные) называется размерностью. О размерности можно го- ворить только применительно к определенной системе первичных вели- чин. Размерность можно представить в виде степенной формулы. При- менительно к системе СИ формула размерности имеет вид: [<Р] = ЬП1МП*ТП^1П‘Г<, (5-27) где [<р]—'Производная единица измерения; Пг — действительные числа. Размерность вторичной величины относительно данной первичной i мо- жет быть охарактеризована значением показателя степени tit при этой первичной величине. Поэтому безразмерные числа часто называют ве- личинами с нулевой размерностью, так как для них все показатели степени в формуле размерности (5-27) равны нулю. Согласно формуле (5-27) размерность первичной величины можно принять равной единице (берется относительно себя). Помимо размерности физические величины характеризуются число- выми значениями. Числовые значения первичных величин получают пу- тем прямого измерения, т. е. путем сопоставления измеряемой величины с некоторой величиной той же физической природы, выбранной в каче- стве стандарта и называемой единицей измерения. Выбор единиц изме- рения первичных величин (основных единиц измерения) произволен и определяется вопросами удобства их использования. Числовое значение вторичной величины определяется косвенным пу- тем, его находят по числовым значениям первичных величин. От выбора единиц измерения первичных величин зависят численные значения как первичных, так и вторичных величин. От выбора основных единиц из- мерения не зависят только численные значения безразмерных величин (величин с нулевой размерностью). Выбор перечня первичных величин и их единиц измерения является необходимым и основным шагом на пути создания системы единиц из- мерения. Рассмотрим пример использования метода размерностей. Опреде- лим безразмерные переменные, соответствующие математической фор- мулировке задачи, приведенной в § 5-1. Из этой задачи следует, что У, йс, lo, ®0, V, a, gp). (а) В списке величин, существенных для рассматриваемого процесса, представлено девять переменных (п=9). В рассматриваемом нами при- мере использованы три первичные величины системы единиц измере- ния СИ: длина, время, температура (&=3). Пользуясь возможностью произвольного выбора основных единиц измерения, разделим переменные, входящие в уравнение (а), на две группы; на величины с независимой размерностью (основные) и на ве- личины с зависимой размерностью (производные). Мы как бы создаем новую систему единиц измерения (специально для рассматриваемой sa- il* 163
дачи). Первый шаг на этом пути — выбор перечня первичных величин (величин с независимой размерностью). За величины с независимой размерностью выберем постоянные [Z0] = L, i[Oc]=0 и [v]=L2T Число величин с независимой размерностью соответствует числу первичных величин системы СИ, используемых в рассматриваемом при- мере (Л = 3). Размерность остальных величии выразим через [Zo], fOc] и [v] соглас- но формуле размерности: [х]=[4>], М ВД, [О]=[Ос], [wo] = =[/о]Г-’ =№ Ы, =[v], fe₽]=Meri7’-2=PoHvH0]-‘. Назначим единицы измерения величин с независимой размерностью. За основные единицы измерения в данном случае удобно 'выбрать чис- ловые значения постоянных /о, и v, заданные в условиях однознач- ности. Новые числовые значения физических величин х', -О' и др. полу- чают путем сравнения с новым стандартом, т. е. x'=x/Zo, '0'=,0/'0с и т. д. Физический процесс не зависит от выбора единиц измерения, поэтому уравнение (а) должно сохранить свою структуру при различных значе- ниях масштабов пересчета. В новых числовых значениях переменных уравнение (а) может быть записано следующим образом: _5__ с ( х _у_ » a g|i Ч _ ®0 ' \ ’ С ’ ’ I, ’ al^1' V ’ » ’ ’ Здесь все величины-комплексы являются безразмерными. Величины Ос/Йс, W4, v/v, равные единице, могут быть выведены из-под знака функции. Используем обозначения чисел подобия, введенные в § 5-2. Тогда 0=/(Х, У, Ре, Pr, Gr). (б) Аналогичный результат ранее был получен методом масштабных преобразований — формула (5-22). Согласно (4-22) в данном случае авс / дв Ч т. е. комплекс аО<У7.=<7с//. зависит от тех же переменных, что и О. Тогда, так как [-^] = eL-I = l»c][M’1 и = =^=№1. получаем, что число Nu зависит от тех же безразмерных величин, что и 0 — см. уравнение (б). Из сравнений (а) и (б) следует, что при переходе к безразмерным величинам число переменных формально сократилось от девяти до ше- сти. Этот вывод соответствует так называемой зт-теореме. Согласно л-теореме физическое уравнение, содержащее раз- мерных величин, из которых k^l величин имеют независимую размер- 164
ность, после приведения к безразмерному виду будет содержать п—k безразмерных величин. Метод масштабных преобразований, использованный в § 5-1, не показывает, сколько безразмерных переменных мы должны получить. Число безразмерных переменных указывает п-теорема. Ошибка в опре- делении числа безразмерных переменных, актуальных для рассматривае- мого процесса, может привести к серьезным ошибкам при описании экспериментальных данных в виде уравнений подобия. В заключение отметим следующее обстоятельство. Математическая формулировка задачи, приведенная в § 5-1, записана для ламинарного пограничного слоя, так как не учтены коэффициенты турбулентного пе- реноса теплоты и количества движения. Полагают, что и зависят от тех же величин, от которых зависят поля осредиениых скоростей и температуры. Тогда согласно теории размерностей полученная система чисел подобия справедлива и для турбулентного течения. Конечно, вхо- дящие в числа подобия значения температур и скоростей уже будут осредненными во времени. 5-7, МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ КОНВЕКТИВНОГО ТЕПЛООБМЕНА При моделировании изучение процесса в образце заменяется иссле- дованием этого же процесса на модели. Очевидно, процесс в модели должен быть осуществлен так, чтобы результаты его изучения можно было перенести на образец. Условия моделирования, т. е. условия, ко- торым должна удовлетворять модель и протекающий в ней процесс, дает теория подобия. Если процесс в модели будет подобен процессу в об- разце, то результаты исследования на модели могут быть применены к образцу. Моделирование по существу включает в себя две самостоятельные задачи. Во-первых, в модели необходимо осуществить процесс, подоб- ный процессу, происходящему в образце, и, во-вторых, выполнить на модели все требуемые измерения и наблюдения. Мы рассматриваем пер- вую задачу. Техника измерений н наблюдений описывается в специаль- ной литературе [Л. 70, 139, 143 и др.). Чтобы процессы в модели и образце были подобны, необходимо осуществить сформулированные ра- нее условия подобия. Первое условие подобия говорит, что моделировать следует каче- ственно одинаковые процессы, т. е. процессы, имеющие одинаковую физическую природу и описываемые одинаковыми дифференциальными уравнениями. Второе условие подобия требует, чтобы условия однозначности по- добных процессов (в образце и модели) были одинаковы во всем, кроме числовых значений постоянных, содержащихся в этих условиях. Условия однозначности для стационарных пропессов состоят: 1) из геометрических условии, характеризующих форму и размеры тела, в котором протекает процесс; 2) из физических условий, характеризующих физические свойства рассматриваемой среды; 3) из граничны хусловий, характеризующих особенности про- текания процесса на границах жидкости. Таким образом, необходимо осуществить геометрическое подобие образца и модели. Все размеры образца и модели, существенные для 165
процесса конвективного теплообмена, должны быть связаны между со- бой соотношением /обр=ч4юд. т. е. модель должна быть построена как точная копия образца, уменьшенная в q раз. Конечно, копироваться должна не внешняя форма образца, а внутренняя конфигурация кана- лов, по которым движутся газы или жидкости. Обычно геометрическое подобие осуществить нетрудно. Следует только иметь в виду, что изменение геометрических размеров не должно привести к качественному изменению процесса в модели и, следова- тельно, к нарушению первого условия подобия. Например, газ нельзя считать сплошной, средой и применять для исследования его течения и теплообмена используемые нами дифференциальные уравнения конвек- тивного теплообмена, если параметр Кнудсена Г//о достаточно велик (см. § 4-4). При течении газа в трубе за характерный размер 10 может быть принят диаметр d. Если средняя длина свободного пробега моле- кул I будет примерно больше 0,001d, то такое течение газа по своим свойствам отклоняется от течения сплошной среды. Если физические параметры постоянны, как это было принято ра- нее прн выводе дифференциальных уравнений конвективного теплооб- мена, то выполнение подобия физических условий особых трудностей не представляет. Однородные физические параметры в модели и образце должны быть также связаны соответствующим масштабом преобразо- вания с^. При этом, если физические свойства жидкости в образце и модели одни и те же, сф=Е Сложнее обстоит дело, если физические параметры переменны и эта переменность проявляется в исследуемом процессе. Этот вопрос бу- дет рассмотрен несколько позже. При моделировании необходимо также осуществить подобие процес- сов на границах исследуемой жидкости. Чаще всего это условие огра- ничивается требованием подобия условий входа жидкости в образец и модель (чтобы обеспечить подобное распределение скоростей на вхо- де) и требованием подобия температурных полей на входе в аппарате и на поверхности тел, участвующих <в теплообмене. Подобия условий входа жидкости можно достичь путем устройства входного участка мо- дели геометрически подобным входному участку образца. Если темпе- ратура жидкости на входе в образец не* меняется по сечению канала, условие подобия температурных полей на входе выдержать нетрудно. Для этого достаточно, чтобы в канале, подводящем жидкость или газ к модели, не было теплообмена. Если же температурное поле на входе имеет сложный характер, то осуществить в модели такое распределение температур труднее. Реа- лизация подобия температурных полей на поверхности теплообмена ча- сто также представляет определенные трудности. В этом случае вопрос о точном осуществлении граничных условий становится предметом осо- бых забот экспериментатора. Третье условие подобия требует, чтобы одноименные критерии по- добных процессов имели одинаковые значения. При этом определяемые одноименные безразмерные переменные подобных процессов также бу- дут иметь одинаковые значения. Конвективная теплоотдача существенно зависит от характера дви- жения жидкости или газа. При вынужденном движении картина течения в первую очередь зависит от числа Рейнольдса. Поэтому при модели- 166
ровании должно быть осуществлено равенство чисел Рейнольдса на входе в образец и модель: мод^оыод ^'сОзР^ОЗбР • ''мод '*'обр Отсюда скорость жидкости на входе в модель должна быть равна: Положим, что в модели и образце протекает одна и та же жидкость; тогда, если не учитывать различия температур жидкости, vMoa/vo6P=1- Пусть модель построена в масштабе 1/10, тогда /обр/4юд=Ю. Следова- тельно, Wq мод = 1 OWo обр. Это значит, что для удовлетворения равенства критериев Рейнольд- са в рассматриваемом случае скорость жидкости в модели надо увели- чивать во столько раз, во сколько уменьшены геометрические размеры модели. Очевидно, помимо равенства критериев Рейнольдса должно быть осуществлено и равенство других критериев подобия. В частности, дол- жно выполняться условие Р Г мод = Рг обр. Последнее условие, принципиально допуская возможность замены одной жидкости другой, по существу серьезно ограничивает такую опе- рацию. Так, например, вода только при температурах примерно от 150 до 300 °C (и, следовательно, при давлениях, больших 5-105 Па) имеет значения чисел Прандтля, близкие к числам Прандтля газов. Чтобы мо- делировать несжимаемые газовые течения водой, в модели приходилось бы поддерживать слишком высокое давление. Замена одной рабочей жидкости другой еще более усложняется ввиду переменности физических параметров. Чтобы учесть влияние пе- ременности физических параметров, необходимо изменить систему диф- ференциальных уравнений конвективного теплообмена, полученную ра- нее. При выводе уравнений переменные значения физических пара- метров нельзя выносить из-под знака производных. Кроме того, к основ- ной системе дифференциальных уравнений нужно присоединить уравне- ния вида н=Ы0. и p=Mt), описывающие изменение физических параметров в зависимости от тем- пературы 4. Согласно первому условию подобия эти уравнения, записанные в безразмерном виде, должны быть тождественными для одноименных параметров. Только в этом случае можно говорить о точном подобии. При этом физические параметры будут изменяться в рассматриваемом пространстве, т. е. будут зависеть от координат (при нестационарном процессе и от времени) и, следовательно, являться зависимыми пере- менными. Теория не дает какого-либо общего единообразного уравнения, опи- сывающего изменение данного физического параметра в зависимости от температуры и пригодного для всех жидкостей, используемых в на- стоящее время в технике. Такие уравнения имеются в лучшем случае для отдельных групп теплоносителей, рассматриваемых в определенном интервале изменения температур. 1 В некоторых задачах приходится учитывать и зависимость физических парамет- ров от давления. 167
Это обстоятельство накладывает серьезное ограничение на возмож- ность точного моделирования, так как выполнить точное подобие процес- сов конвективного теплообмена в широком интервале изменения рода жидкости и температурных параметров процесса не представляется воз-_^». можным. В частности, это приводит к тому, что при точном моделиро- вании возможность замены газа капельной жидкостью практически исключается из-за неподобия полей физических параметров в образце (газ) и модели (капельная жидкость). Таким образом, выполнение точного подобия процессов конвектив- ного теплообмена и, следовательно, проведение точного моделирования . этих процессов часто наталкивается на непреодолимые трудности. В связи с этим возникает необходимость в разработке методов при- ближенного моделирования. Одной из возможностей приближенного моделирования является проявление так называемой автомодельности процесса относитель- » но какого-либо критерия. Говорят, что определяемая величина автомо- дельна относительно критерия подобия, если она не зависит от него. Если процесс автомоделей относительно какого-либо критерия подо- бия, то при моделировании отпадает необходимость соблюдать равен- ство этого критерия для образца и модели. Явление автомодельности дает возможность упрощения дифферен- циальных уравнений и условий однозначности. Члены уравнений (или условий однозначности), учитывающие факторы, относительно которых процесс оказывается автомодельным, могут быть опущены или видоиз- менены. Ввиду трудности точного моделирования на практике часто исполь- зуется приближенный метод локального теплового модели- рования. Особенность этого метода заключается в том, что подобие процессов стараются осуществить лишь в том месте, где производится исследование теплоотдачи. Например, если изучается теплоотдача при омывании жидкостью пучка труб, то в опытах в теплообмене может участвовать только одна из труб. Остальные трубы служат только для придания модели формы, подобной образцу. Данные о теплоотдаче по- лучают из измерений, проведенных на единичной трубе. Предполагается, что теплоотдача испытуемой трубы в основном зависит от характера ее омывания, определяемого расположением си- стемы труб, а не тепловыми условиями. Метод локального моделирования сравнительно прост и в ряде слу- чаев позволяет получать достаточно точные результаты. Следует, од- нако, учитывать, что необоснованное применение метода локального теплового моделирования может привести и к значительным ошибкам. Глава шестая ОБЩИЕ ВОПРОСЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЯ И РАСЧЕТА КОНВЕКТИВНОЙ ТЕПЛООТДАЧИ 6-1. МЕСТНЫЙ КОЭФФИЦИЕНТ ТЕПЛООТДАЧИ Местный (локальный) коэффициент теплоотдачи определяется по уравнению (4-4) dQG________ (С — &F С ' 4к 168
Значения qc и tc берутся для элемента поверхности dF. Выбор же расчетной температуры законом Ньютона—-Рихмана не предопреде- лен. В общем случае конвективного теплообмена температура жидко- сти переменна в рассматриваемом пространстве. Появляется необходи- мость в договоренности о том, какое значение температуры жидкости выбирается за расчетное, т. е. вводимое в закон Ньютона —Рихмана. В существующей практике даже для одной и той же задачи за расчетную могут быть приняты различные значения температуры. Например, при течении жидкости в трубах за расчетную прини- мают среднюю в рассматриваемом сечении темпе- ратуру жидкости t и температуру жидкости на Дходе в трубу гвх. В зависимости от выбора рас- четной температуры жидкости числовые значения а могут быть различны, различны и законы изме- I т д Рис. 6-1. Распределе- ние температуры и скорости жидкости по сечению капала. нения а вдоль трубы. В книге за расчетную в основном будет приниматься средняя в дан- ном сечении трубы температура жидкости. При рассмотрении обтекания тела неограниченным потоком за расчетную будет приниматься темпе- ратура жидкости за пределами теплового пограничного слоя. 6-2. СРЕДНЯЯ ПО СЕЧЕНИЮ ПОТОКА ТЕМПЕРАТУРА ЖИДКОСТИ В общем случае температура и скорость жидкости переменны по сечению потока. Возможное распределение t и wx в определенном се- чении трубы показано на рис. 6-1. Выделим в поперечном сечении канала элементарную площадку df. Массовый расход жидкости через df равен dG=pwxdf, кг/с. Количество теплоты, переносимое конвекцией в единицу времени через df, будет равно: dQx=pwxidf. Интегрируя по всему сечению, получаем количество теплоты, про- носимое в единицу времени через данное сечение с координатой х: f, = J pwJdf. (а) О Выберем среднее значение удельной энтальпии i так, чтобы выпол- нялось равенство __ fo _ Qx = ‘ ^pwxdf = iG. (б) О Из уравнений (а) и (б) следует, что fo J df 1 С df. (6-1) J О о Определенная по уравнению (6-1) средняя энтальпия называется среднемассовой по сечению энтальпией потока. Соответствующая ей 169
температура t является среднемассовой по сечению температурой потока. Если изменением р и ср можно пренебречь, то уравнение (6-1) пе- реходит в следующее: fo 7=-Л (6-2) о где V=G/p-—объемный расход жидкости, м3/с. Если по сечению потока также и скорость постоянна, то формула осред- нения принимает вид: Рис. 6-2. Экспериментальное опреде- ление средней массовой температуры жидкости Для экспериментального опреде- ления среднемассовой температуры в канале устанавливают перемеши- вающее устройство. За смесителем температура выравнивается, и среДпемассовую температуру можно опре- делить путем измерения в точке (рис. 6-2). Б-3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕПЛОВОГО ПОТОКА ПО БАЛАНСУ ЭНЕРГИИ ЖИДКОСТИ Рассмотрим ламинарное течение несжимаемой жидкости в плоской щели, высота которой 2h намного меньше ширины Ь. Будем полагать, что поля энтальпии и скорости симметричны относительно плоскости xz (рис. 6-3). Симметрии распределения эн- тальпии и скорости соответствует и сим- метрия поля температуры. Из симметрич- ности задачи следует также, что при у = 0 составляющие вектора плотности теплово- го потока —"kdtldy и — pWyi равны нулю. Составляющие q в областях (О, + Л) и (0. —h) имеют соответственно разные знаки, но одинаковы по модулю при том же значении |#|. Плоскость xz является адиабатической поверхностью. У Рис. 6-3 К определению тепло- вого потока по балансу энер- гии жидкости. Принятые условия позволяют также пренебречь производными по Z (рассматриваем так называемое «плоское течение»). В рассматриваемом случае уравнение энергии принимает вид: (dt . di , -г— 4- wy дх 1 ж дх 1 у qv Прибавив к левой части yi(dwjdx-\~dwy/dy) =0, получим: dt < di . -dwx , di । dwy _________ d _d / ? d/ \ । + + +p< dy dx {^dxj'dy (/- dy ) +9’'’ или p lr+4 =йТ (z It)+йГ (z wj + 170
Умножим левую и правую части последнего уравнения на dy и про- интегрируем в пределах от у = 0 до y=h- 0 0 о ==<[б1' (Л1г)£/!/ + УйГ \<hdv- ООО (6-4) Третий интеграл левой части равен нулю, так как при y=h имеем юв=0 ввиду непроницаемости стенки, при г/=0 юв=0 ввиду симметрии полей. Вычислим второй интеграл правой части уравнения (6-4): Так как т, х и у являются независимыми переменными, последова- тельность операций дифференцирования по т и х и интегрирования по у может быть изменена. В результате можно написать: [h h ь 57 Jp»dJ' + ^' — dlJ~~ j" ^dy oj б о - (6-5) Умножим и разделим правую часть на периметр и^Ъ. Учитывая, что элемент площади поперечного сечения df равен b*dyt последнее уравнение можно записать в виде йГ ( ₽1' df + f df 0 0 о (6-6) здесь /о — полная площадь поперечного сечения, соответствующая рас- четному периметру и. Уравнение (6-6) в отличие от (6-5) справедливо для каналов любо- го поперечного сечения, постоянного по длине. Первый член правой части учитывает аккумуляцию теплоты в нестационарном процессе, второй —• аксиальный перепое теплоты конвекцией и теплопровод- ностью, третий — выделение теплоты внутренними источниками. Тепловой поток, проходящий через стенки трубы длиной I, опреде~ ляется следующим образом: г Qc=^qciidx. > (6-7) б Если qv = 0, | nwj | > IZ и процесс стационарен, имеем нз урав- I иу I нэння (6-6): ! Ь \ 1 Id с . ,, | 1 dQ, *=--Б-Ш -#• 4 б 7 171
Тогда t Qc _ У udx = Qx=o Qx=i (rG)x=0 (1G)x_j о или, поскольку G = const, Qc = G (ix=0—ix=i) Если cp=const, то последнее уравнение может быть записано дующем виде: Qc = Gcp (ix=o tx~i) • Для местной плотности теплового потока: _____________________________Gcr <U 9с— « dx ' Уравнения (6-8) и (6-9) широко используются в расчетной тике. Они справедливы только для сравнительно простых процессов. В более общем случае применяют уравнения (6-6) и (6-7). Заметим, что применимость уравнения (6-8) и (6-9) не ограничивается требова- нием постоянства поперечного сечения. Уравнение (6-8) справедливо и для турбулентного течения. (6-8) в сле- (6-9) (6-10) прак- 6-4. ИЗМЕРЕНИЕ ПЛОТНОСТИ ТЕПЛОВОГО ПОТОКА, ТЕМПЕРАТУР ЖИДКОСТИ И СТЕНКИ ПО ДЛИНЕ ТРУБЫ Найдем распределение среднемассовой по сечению температуры жидкости t вдоль длины трубы (знак осреднения опущен). Полагаем, что распределения <х=а(х) и tc = tc(x) известны. Согласно (6-10) для элемента трубы длиной dx можно написать: дс (х) и dx=а (х) i[/<; (х) —t\u dx = Gcpdt, (6-11) где по условию G, ср и и не зависят от продольной координаты х, от- считываемой по-прежнему от начала трубы. Уравнение (6-11) предста- вим в виде ^-+f(x)t=g(x); f(x)^^, g(x)^f(x)fc(x). (бА Используем метод вариации произвольной постоянной с(х) Лагранжа), согласно которому решение ищем в виде t — c(x) exp — J f(x)dx о (метод (6-13) Подставив значение t согласно (6-13) в уравнение (6-12), получим: <^-c(x)f(x)exv + с (х) f vx) exp f(x)dx l=g(x) или после сокращений Г31 ^^=g(x)exp Н f(x)dx 172
Разделив переменные и проинтегрировав в пределах от х=0 до х, имеем: c(x) = Jg(x)exp dx -L с (0); здесь с(0)—значение произвольной постоянной при х=0. После под- становки с(х) в уравнение (6-13): (х Vх Г х с + J & ехР I f f W dx | ехР I - f f (х) dx • о to JJ L 6 Обозначим температуру жидкости иа входе в трубу /(0) через 4- При х=0 из последнего уравнения следует, что 4= г о с 10) + f g(x)exp ( о Подставляя значение с(0), получаем: Здесь обозначено t = t0 + J g (+) e* (x) dx о e~v w. = (x)dx= ^£^dx, g(x) = c^^tc(x). 0 0 (6-14) (6-15) Рассмотрим некоторые частные случаи уравнения (6-14). Пусть tc = const. Учитывая, что х 0 ^-)==л4 и ?(0)=р(x)dx=0, Ч-Л' 1 J 0 0 получим из уравнения (6-14): х tc-^^f^t^^dx о ф (*) 1 4+4 J е9 Wd? W = [4 +4 (е9 w - 1)] «=4+ (4-4) . о -* Обозначая О—t—tc (и, следовательно, Ф0=А)—tc, где 6о—началь- •ный температурный напор), полученный результат можно записать сле- дующим образом: & * & = w = &0 ехр Г - dxl. (6-16) L b J 173
Уравнение (6-16) описывает изменение по длине трубы как средне- массовой по сечению температуры жидкости, так и температурного напора (при tc=const). Если и a—const, то ч>(л)=1^ал‘=(^--х=Ал- о Изменение температуры жидкости (температурного напора), соот- ветствующее условиям tc=const и a=const, показано на рис. 6-4. Рис. 6-4. Изменение темпе- ратурного напора О вдоль трубы при tc=consl и «= — const. иия (6-10) следует, что Если решена задача нахождения зависи- мости t(x) при заданных о(х) и то из закона Ньютона — Рихмана можно легко оп- ределить и распределение ?с(х). В частном случае a=const и tc= const имеем: qc(x) =a(tc—^(х)]=—а&——Мг>е~Ах. Изменение qc аналогично изменению тем- пературы жидкости, изображенному на рис. 6-4. Если известны или предварительно най- дены зависимости а(х) и дс(х), то из уравне- dt = -~qc(x)dx ИЛИ t х о В результате средпемассовая по сечению трубы температура жид- кости описывается уравнением < = + qc(x)dx. (6-17) о В частном случае qc~const из (6-17) следует, что т. е. температура жидкости изменяется по длине трубы линейно. Если и a=const, то из закона Ньютона—Рихмана имеем: t с (х) — t (х) = = const, т. е. температурный напор пе изменяется по длине трубы. Поскольку при <7e = const температура t является линейной функ- цией х, линейно изменяется и /с- В более общем случае, когда a=a(x) и ?с=4с(х)> из закона Ньютона—Рихмана н уравнения (6-17) получаем: ^=^W+^ = ^+^+^pc(x)dx. (6-19) О 174
£-5. ОСРЕДНЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ТЕПЛООТДАЧИ И ТЕМПЕРАТУРНОГО НАПОРА Для расчета теплопередачи часто необходимо знать среднее по по- верхности значение коэффициента теплоотдачи. Среднее значение а определяют согласно закону Ньютона—-Рихмана: —__ Qe а = —=-=- MF дг (6-20) Вычисляя средние значения плотности теплового потока qc и тем- пературного напора А/ как среднеинтегральные, формулу (6-20) можно записать в виде р 1 С с __ р~ I <7с dF i «ы dF —= (6’2,) Д- [ Ы dF f М dF ‘ J ° здесь FG— поверхность осреднения. Если а изменяется только вдоль одной координатной оси, то х0 JaAf dx »=^----------. (6-21') J ht dx о Среднее значение коэффициента теплоотдачи часто определяют как среднеинтегральное: /?о х0 а = ^- J а dF или а = 3- J а dx. (6-22) о о Осреднение по формулам (6-21) и (6-22) может дать различные результаты. В некоторых случаях разница достигает многих десятков процентов. Если At=i/C—t-M = const, то формула (6-21) переходит в (6-22) и по- следнее уравнение может рассматриваться как частный случай уравне» ния (6-21). В настоящее время в теплопередаче при At Theorist используются как первый, так и второй методы осреднения. Предпочтительнее исполь- зовать первый — согласно уравнению (6-21). При Л/Theorist использо- вание среднепнтегрального значения коэффициента теплоотдачи приво- дит к необходимости введения в расчет специально подобранного сред- него температурного напора; только в этом случае можно получить правильное значение теплового потока. В дальнейшем средние значения а и Nu (как и других величин) будут отмечены горизонтальной чертой над буквенным символом. Если произведено осреднение коэффициента теплоотдачи по всей рассматриваемой поверхности, то а не будет зависеть от координат. Если же осреднение произведено на отдельных участках поверхности, то 175
такие средние значения в общем случае могут изменяться от участка к участку. Уравнения, полученные в предыдущем параграфе, принципиально позволяют вычислить средиеинтегральный температурный напор Fo MdF или — (6-23) ^0 J *0 J 0 0 необходимый для расчета по уравнению (6-21). Однако в общем слу- чае вычисление среднеинтегрального напора практически может пред- ставить очень серьезные трудности (особенно при экспериментальном определении средних коэффициентов теплоотдачи). Поэтому часто средние коэффициенты теплоотдачи определяют по уравнению (6-20), но в расчет вводят среднеарифметический Я = (6-24) или среднелогарифмический Ы, — Д(2 д/" =--------ь1Г |пдГ2 (6-25) температурные напоры (здесь Д/i и Д/г соответственно местный темпе ратурный напор в начале и в конце участка осреднения). Средние тем- пературные напоры Д/а и Д/л являются частными случаями среднеин- тегрального температурного напора, в общем случае использование Д/а и Д/л является условностью. Получим формулу (6-25). Пусть /с = const. При этом местный тем- пературный напор определяется уравнением (6-16). Тогда Д/=&=фу&«/л = ф J&oexp о о (6-26) где f(x)=a(x)u/Gcp. Вводя среднеинтегральное значение коэффициен- та теплоотдачи на участке 0—х, можно написать х = Тх=^ f(x)dx. о Подставляя это значение в уравнение (6-26) и интегрируя, «слу- чаем: Из уравнения & — exp (— fх) следует, что Подставляя эти значения в уравнение для О, получаем: а ---г —-—гт— In A/i/Afs 176
Таким образом, среднелогарнфмнческнй температурный напор соот- ветствует среднеинтегральному при условии, что tc = const и коэффи- циент теплоотдачи осреднен по уравнению (6-22) (или a=const). Оста- ются в силе п другие ограничения, принятые при получении формулы (6-10) или (6-J6). _ Сравним Ata и А/л- На рисунке 6-5 заштрихованы площадки, соот- ветствующие экспоненциальному и линейному законам изменения тем- пературы жидкости вдоль поверхности при tc = const. Заштрихованная поверхность пропорциональна соответственно Ata или А/л. Из сравнения следует, что Д;а>Д<л. • Если Afe/Ati>0,5, то с точностью, достаточной для большинства теплотехнических расчетов, средний температурный напор At.., соответ- ствует среднеарифметическому Ata (различие меньше 4%). Как следует из изложенного в данном параграфе, числовые значе- ния а могут зависеть от метода определения и, в частности, от выбора расчетного значения At. При получении а следует указывать, каким образом определено это значение. К сожалению, подобного рода све- дения не всегда приводятся в публикациях. Если, например, погрешность экспериментального определения а превышает возможную неточность, связанную с неопределенностью At, то отмеченная неопределенность не имеет значения. 6-6. ПОЛУЧЕНИЕ ЭМПИРИЧЕСКИХ ФОРМУЛ Приведенные в предыдущих параграфах формулы используются при первичной обработке результатов измерений процесса теплообмена. Прежде чем обрабатывать опытные данные в числах подобия, нуж- но установить, от каких чисел зависит определяемое значение. Для это- го можно воспользоваться методом, описанным ранее. Составляется система дифференциальных уравнений, опи- сывающих экспериментально изучаемый процесс, и формулируются условия одно- значности. Затем математическое описание процесса приводится к безразмерному ви- ду. Предположим, было получено, что Nu=f(Re, Рг). По данным измерений подсчитываются значения Re и Рг и соответствующие им зна- чения Nu. Зависимость между числами по- добия обычно представляется в виде степен- ных функций, например: Nu=c Re71?!™, Рис. 6-5. Сравнение средиело- гарифмического и среднеариф- метического температурных на- поров. где с, п, т являются постоянными безразмерными числами. Такого рода зависимости применимы лишь в тех пределах измене- ния аргумента, в которых подтверждены опытом. Предположим, что число Nu зависит только от Re (или что опыты проводились с теплоносителем, число Прандтля которого является по- стоянной величиной). В этом случае Nu=cRen. Логарифмируя последнее уравнение, получаем: lgNu=lgc+zilgRe. 12—87 177
Обозначая IgNu через У, 1g Re через X п Igc через А, можно на- писать: Y-A+nX. Последнее выражение является уравнением прямой липни. Показа- тель степени п представляет собой тангенс угла наклона прямой к оси абсцисс. Следовательно, значение п можно определить с помощью гра- фического представления опытных данных в координатах lg Nu — =f(lgRe) (рис. 6-6). Показатель степени п равен: n=-tg<p = a/6. Постояииая с определяется из уравнения c=Nu/Ren, которому удовлетворяет любая точка прямой. Проверкой применимости степенной зависимости является тот факт, что в логарифмических координатах все точки укладываются па прямую. Если же опытные точки располагаются по кривой, то эту кри- вую обычно заменяют ломаной. Для отдельных ' участков такой кривой значения сип различны. jr ' В случае, если искомая величина Nu является jr cl функцией двух аргументов, например Nu =f (Re, Рг), на графике получается семейство прямых; второй $ аргумент берется в качестве параметра (рис. 6-7). igfte Тогда по одной из прямых определяют показатель Рис 6-6 К установ- лению зависимости вида Nu=cRe*. Рнс 6-7 К установле- нию зависимости ви- да Nu=cReT1Pr’n. при числе Рейнольдса, а затем опытные данные представляют на графике в виде зависимости lg(Nu/Ren) =f(lgPr). Из последнего графика опре- деляют показатель степени т при критерии Пранд- тля, а затем по уравнению c=Nu/(RenPr™) опре- деляют значение коэффициента с. Для обработки опытных данных используются электронные вычислительные машины. Основы- ваясь на математической статистике, постоянные с, п, т и т. д. можно найти расчетным путем. Су- ществуют специальные стандартные программы расчета на ЭЦВМ, облегчающие работу исследо- вателя. В последнее время все шире используется полуэмпирический метод получения формул. Зави- симость между безразмерными переменными представляется в виде функции, получаемой предварительно с точностью до постоянных из аналитического рассмотрения задачи. Постоянные определяются с по- мощью опытных данных. Такой путь получения формул является пред- почтительным по сравнению с эмпирическим. Определяющий размер. В числа подобия входит характер- ный размер 1о. Теория подобия не определяет однозначно, какой размер должен быть принят за определяющий, з. е. за тот размер, который бу- дет принят как масштаб линейных размеров. Если в условиях однознач- ности заданы несколько размеров, за определяющий обычно принимают тот, который в большей степени отвечает физическому существу про- цесса. Остальные размеры входят в уравнение подобия в виде симплек- сов Li = h/lo, L2—I2II0 и т. д. В ряде случаев за определяющий линейный размер принимается комбинация разнородных физических величин, входящих в условия од- 178
нозначности. Такая комбинация имеет размерность линейной величины и пропорциональна какому-либо линейному размеру. Определяющая температура. В числа подобия входят фи- зические параметры жидкости. При получении безразмерных перемен- ных физические свойства часто считают постоянными. В действитель- ности, поскольку температура жидкости переменна, изменяются и значе- ния ее физических свойств. Поэтому при обработке опытных данных по теплообмену важным является также вопрос выбора так называемой определяющей температуры, по которой определяются значения физи- ческих параметров, входящих в числа подобия. Экспериментальные и теоретические работы показывают, что нет такой универсальной определяющей температуры, выбором которой автоматически учитывалась бы зависимость теплоотдачи от изменения физических параметров. Поэтому в настоящее время преобладает точка зрения, в соответствии с которой за определяющую следует принимать такую температуру, которая в технических расчетах бывает задана или легко может быть вычислена. При расчетах определяющие температуру и линейный размер не- обходимо выбирать точно так же, как это сделано при получении фор- мулы. Неучет этого обстоятельства может привести к значительным ошибкам. Глава седьмая ТЕПЛООТДАЧА ПРИ ВЫНУЖДЕННОМ ПРОДОЛЬНОМ ОМЫВАНИИ ПЛОСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ Для простоты будем полагать, что плоская поверхность омывается потоком несжимаемой жидкости, скорость и температура которой за пределами гидродинамического и теплового пограничных слоев посто- янны и равны соответственно w0 и Поток направлен вдоль пластины, температура поверхности тела во времени не изменяется. Внутренние источники теплоты в жидкости отсутствуют, теплота трения пренебрежимо мала. 7-1. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ В гл. 4 была предложена упрощенная запись дифференциального уравнения энергии для теплового пограничного слоя (4-30). Учитывая, что qy~—Wtjdy и, следовательно, W4/dyz——dqjdy, уравнение (4-30) представим в виде C-D Проинтегрируем это уравнение в пределах от у=0 до у=°о. Напом- ним, что за пределами пограничного слоя производные, входящие в уравнение (7-1), равны нулю по определению (см. § 4-4). Поэтому увеличение верхнего предела от k до оо не дает изменения интеграла. Интегрирование правой части уравнения дает: (а) о здесь учтено, что (9»)i₽eo = —Л =0 (§ 4-4). 12* 179
Прежде чем взять интеграл от левой части уравнения (7-1), из уравнения сплошности (4-29) выразим wy. Из (4-29) имеем: dwv —— dy, & дх s учитывая, что при т/=0 сС',, = О в силу непроницаемости стенки, получим: = (7-2) О Подставляя значение в (7-1) и интегрируя левую часть, по- лучае м: со со со / р \ f (wx ^dy=Jwx ^dy-dy. (б) о о о 'о ' Второй интеграл правой части последнего уравнения можно взять по частям. Формула интегрирования по частям: ь ъ ь J и dv = uv | — J v du. а а а Тогда т- о 'о 1 б 'о ' о 'о со со со со (в) б ООО Подставим выражение (в) в уравнение (б). Поскольку пределы интегрирования не зависят от х, последовательность операций диффе- ренцирования по х и интегрирования по у может быть изменена. Учи- тывая последнее, получаем: О о со со = — [Ш4 — 01^=—w^ — tydy. (г) о о Приравнивая (а) и (г) и переходя от предела интегрирования оо к пределу k, получаем следующее интегродифференциальное уравнение: k ^^Wx(t,-f)dy==^. (1-3) о Это уравнение называют интегральным уравнением теп- лового потока для теплового пограничного слоя. Здесь интеграл левой части и qB являются функциями только х. При прибли- женных расчетах функциями wx=wx(y) и t=t(y) часто задаются, исхо- дя из накопленного опыта. Следует отметить, что левая часть уравне- ния (7-3) достаточно нечувствительна (устойчива) к некоторым неточ- ностям выбора распределений wx{y) и t(y). Если известны распреде- 180
ленпя скорости и температуры, то с помощью уравнения (7-3) можно определить k=k(x). Пример такого решения будет показан в следую- щем параграфе. Уравнение движения в проекциях па ось Ох для рассматриваемого здесь течения было записано в приближении пограничного слоя в гл. 4 — см. уравнение (4-28). Учитывая, что s = р (da-jdy), представим уравнение (4-28) в следующей записи: (7-4) Из сравнения уравнений (7-1) и (7-4) следует их полная анало- гия. Отсюда при интегрировании (7-4) в пределах от у~0 до у=^<х> (или б), выполняя аналогичные преобразования, получим и аналогич- ные результаты. Интегральное уравнение импульсов для гидроди- намического пограничного слоя запишем в следующем виде: ё j" (w„ — wx) dy=-Й-. (7-5) 0 Здесь sc— касательное напряжение трения при y—Q, т. е. на поверхно- сти стенки. Интегральные уравнения теплового и гидродинамического погра- ничного слоев (7-3) и (7*5) справедливы при выполнении ранее приня- тых условий. В более общем случае усложняются и соответствующие ему интегральные уравнения. Придадим физический смысл ин- тегралам, стоящим в левых частях уравнений (7-3) и (7-5). С помощью двух сечений, отстоящих друг от друга на расстоянии dx, выделим в тепло- вом пограничном слое бесконечно ма- лый объем (рис. 7-1). Плоскости, ограничивающие выделенный объем параллельно плоскости чертежа, нахо- дятся друг от друга на расстоянии, рис< y.j получению интегрального условно принимаемом за единицу, уравнения теплового потока. Аналогичное выделение контрольного объема предполагается и для гидродинамического пограничного слоя. Массовый равход жидкости в определенном сечении пограничного слоя и изменение этого расхода на единице длины будут соответствен- но равны: 5 (или k) S (или k) G(.x) = f pwxdy и f fwxdy. J U-Л UA' 1 0 0 Вместе с массой переносится количество движения 1(х) и энталь- пия Q(x). Изменения J и Q на единице длины определяются соответст- венно уравнениями 8 k dJ d f 2 « dQ d f , , b b 181
Эти изменения связаны с приходом количества движения J'(x) в энтальпии Q'(x) через внешнюю границу пограничных слоев (z/=6> y=k) вместе с массой жидкости, вовлекаемой в течение в пограничном слое (рис. 7-1): 8 k dJ' d С . dQ' d С . , б б Кроме того, изменения / и Q обусловлены вязким сопротивлением' трения и тепловым потоком на поверхности стенки sc и ус. Тогда уравнения (7-3) и (7-5) могут быть записаны соответственно в следующем виде: dQ' dQ ___ dJr dJ ___ u dx dx ' 9e и dx ~~~S c* Интегральное уравнение теплового потока (7-3) впервые получено Г. Н. Кружилиным, а уравнение импульсов (7-5) —Т. Карманом. Эти уравнения пригодны и для турбулентного пограничного слоя, если под. wx и t подразумевать осредненные во времени значения скорости и тем- пературы. Напомним, что на твердой непроницаемой стенке (^=0) должны выполняться равенства Хт=0 и рт=0, что и учтено при получе- нии уравнений (7-3) и (7-5). 7-2. ТЕПЛООТДАЧА ПРИ ЛАМИНАРНОМ ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ Для расчета теплоотдачи при ламинарном пограничном слое ис- пользуем уравнение (7-3). Чтобы рассчитать теплоотдачу, необходимо- знать распределение скорости в слое. Распределение скорости в лами- нарном пограничном слое по форме близко к параболе. Кривую рас- пределения скорости удобно описать уравнением кубической параболы wx=a+by+cy2+dy3. (а) Уравнение распределения скорости должно удовлетворять гранич- ным условиям. При у=0 выполняется wx=0 (условие «прилипания»)1; полагаем также, что (d2wx/dif) у=п=0. Кроме того, на внешней границе пограничного слоя (у=&) wx=Wo и (dwx/dy)&=i —0. Условие (dzwx/dy2)y^o=O следует из дифференциального уравнения движения (4-28), если полагать, что непосредственно у стенки в жид- кости актуальны только силы вязкости (т. е. силами инерции можно пренебречь). Уравнение (а) будет удовлетворять перечисленным граничным условиям, если а = 0, с=0 и d=— 4-2J-. Распределение скорости при этом примет вид: ^=4(1)-4-(£)’• (б> При распределении скорости согласно (б) из интегрального урав- нения импульсов (7-5) можно получить, что толщина гидродинамиче- ского пограничного слоя определяется выражением KI-=4’64/f- <7-6> 182
Формула (7-6) показывает, что б меняется пропорционально кор- ню квадратному из расстояния от переднего края пластины до данной точки. Этой формуле можно придать безразмерный вид: & _ 4.64 _ 4,64 х V V Rex 7’ Примем, что температура поверхности тела /с не зависит от х, т. е. tc — const. Для удобства температуру жидкости будем отсчитывать от tc. Обозначим: <&=t—tc, fy)=to—tc, где to — температура жидкости за пределами теплового пограничного слоя. При этом граничные условия оказываются аналогичными ранее принятым условиям для гидродинамического пограничного слоя. Действительно, при z/=0 имеем Ф=0. Кроме того, (dtydy)у^а = =const и (д2$/ду2)у==о=0, если учесть, что в жидкости, непосредственно прилегающей к плоской стенке, теплота переносится по у только тепло- проводностью. На внешней границе теплового слоя (y—k) справедливы условия О = Оо = const и (dtydy)y==k=^- В результате получаем, что распределение температуры описывает- ся уравнением, аналогичным по форме записи уравнению распределе- ния скорости: Из (в) следует, что db ___________________________1,5% l,5fr0 2< dy ' k k3 У ’ m (г) \,dl> ) у=л k k ' Вычислим интеграл уравнения теплового потока (7-3), интегрируя в пределах теплового пограничного слоя от у = 0 до y=k. Предваритель- но примем, что k<^&. В этом случае интегрирование в пределах от &—Q до y~k является интегрированием в пределах и теплового, и гид- родинамического слоев. Если распространить интегрирование на случай 6<А, то это озна- чало бы, что в пределах теплового пограничного слоя имеют место два закона распределения скоростей: при у<& — согласно уравнению (б) и при — согласно условию wx‘=wq=const. Интегрирование дает: k k k J xt„ — f)wxdy = j(&„— ^')wxdy=»„w j"[l — C5 0r) + W (4) ‘J ['= (1) -«/. (I)-] W [A Так как fe<6, то а поэтому второй член в скобках в правой части равенства мал по сравнению с первым и им можно пренебречь. 183
Подставив значение интеграла и значение (cH>ldy)v=,!s согласно (г> в (7-3), получим: 20“ лГ (Р8)= ПГ а "pF или 1^Г^(^^+2^)=а- где р = А78. Исходя из аналогии уравнений теплового и динамического погра- ничных слоев при аналогичности принятых нами распределений скоро- сти и температуры (б) и (в), можно полагать, что толщины теплового и динамического слоев k и 6 зависят от х одинаково и их отношение равно посюянной величине1 * *, не являющейся функцией х. Тогда dp/dx= =0 и вместо предыдущего уравнения получаем: I 03^ йё ТсГ ш«₽6лГ=а- Из уравнения (7-6) следует, что ,, d8_140 v ах 13 Wf, ‘ Подставляя это значение в предыдущее уравнение и полагая, что получаем, что Такой же результат дают и более точные решения. Подставляя значение 6 согласно (7-7) в уравнение (7-8), полу- чаем: где Rea:=wox/v. Для капельных жидкостей, как правило, Рг>1 и, следовательно, k^t>, т. е выполняется условие, принятое при интегрировании уравне- ния теплового потока. Число Прандтля газов изменяется в пределах примерно от 0,6 до 1; в частности, для воздуха Рг~0,7 в большом интервале температур. При этом 7>6, однако разница в толщинах теплового и гидродинамического слоев невелика. Например, при Рг= =0,6 имеем 7=1,18 6. Опыт показывает, что указанным различием k и 6 практически можно пренебречь. Для жидких металлов 7s>6, для них полученные результаты не- пригодны. 1 Это утверждение справедливо, если ие только гидродинамический, но и тепловой слой развивается с самого начала пластины (х=0), т е. в начальной части пластины нет иеобогреваемого участка 184
Определим коэффициент теплоотдачи. Опуская знак минус, из урав- нений (4-22) и (г) получаем: — A А —А А а~ »« 2 (7-Ю) Следовательно, коэффициент теплоотдачи обратно пропорционален толщине пограничного слоя. Уравнение (7-10) можно привести к безразмерному виду. Для этого умножим левую и правую части на х/Х и подставим значение k согласно (7-9). Получим: Nux = 0,33 рФ?; (7-11) здесь Nux= —— =Nu{A; Rex=-J-=-J- — = Re{a; Pr=v/a; I — длина пластины вдоль потока. Уравнение (7-11) можно записать следующим образом: Nul = 0,33AT_<1'5Re°,5Pr1/3. (7-12) Отсюда следует, что Nut=aX~°’5 или а=сх~°’5. (д) Величины £Z = 0,33Re^’5Pr1/3 и с = аМ~°>\ содержащие коэффициент пропорциональности 0,33, скорость Wo, длину пластины I и физические параметры X, v и а, от х не зависят. Согласно (д) при х=0 коэффициент теплоотдачи бесконечно велик, при увеличении х он принимает конечные и постоянно уменьшающиеся значения (рис. 7-2). Такой характер изме- нения а объясняется тем, что температур- ный иапор йо=h—tc не изменяется вдоль пластины, в то время как температурный градиент на стенке непрерывно уменьшает- ся с ростом х-—см. уравнения (г) и (7-9). Формула (7-11) получена при условии, что температура поверхности пластины по- стоянна, физические параметры жидкости Рис 7-2 Изменение коэффи- циента теплоотдачи вдоль пла- стины при ламинарном погра- ничном слое не зависят от температуры и в начале пла- стины нет пеобогреваемого участка. Как показывают опыт и теория, неучет этих фактов может привести к значительным ошибкам. Зависимость теплоотдачи от изменения физиче- ских параметров жидкости. Уравнение (7-9) получено при усло- вии, что все физические параметры постоянны. На самом деле физиче- ские параметры зависят от температуры. Большей частью физические параметры, входящие в уравнение (7-11) и (7-12), в том числе и Рг, выбирают по температуре набегаю- щего потока fo- Зависимости физических параметров от температуры неодинаковы у различных жидкостей. В результате коэффипиент тепло- отдачи капельных жидкостей зависит от рода жидкости, ее температу- ры, направления теплового потока и температурного напора. Влияние указанных факторов на теплоотдачу является следствием переменности температуры в тепловом пограничном слое и соответст- вующего изменения физических параметров, являющихся функциями 185
температуры. Особенно существенное влияние оказывает изменение вязкости. Численные расчеты полей скорости и температуры с учетом пере- менной вязкости показывают, что изменение вязкости капельной жидко- сти сказывается на распределении w и t. При одном и том же темпе- ратурном напоре распределения скорости различны в зависимости от направления теплового потока. На рис. 7-3 показано распределение температур —tc) в определенном сечении по- граничного слоя при одинако- вых значениях чисел Re и Рг внешнего потока. При охлаждении жидко- сти ее температура у стенки меньше, чем при нагревании, и, следовательно, вязкость больше. В результате увеличе- ния вязкости происходит за- медление течения. Подобие по- лей температур и скоростей нарушается. Аналогичные расчеты для газа (воздуха) с учетом пере- менности всех физических па- безразмерных скоростей Wx=wx/w0 и Рис 7-3. Изменение скорости (а) и температу- ры (б) при нагревании и охлаждении капель- ном жидкости. 1 — нагревание; 2 — охлаждение; 3 — изотермическое течение. раметров показывают, что поля температур и скоростей изменяются слабо. Отличие дает только расчет для высоких температур стенки и больших температурных напоров. При этом распределение скоростей в случае нагревания газа будет качественно подобным кривой 2 (рис. 7-3,д), так как коэффициенты вязкости капельных жидкостей и газов по-разному зависят от температуры (см. рис. 4-1 и 4-2). Чтобы учесть влияние переменности физических параметров, необ- ходимо изменить систему дифференциальных уравнений конвективного теплообмена. При выводе уравнений переменные значения физических параметров нельзя выносить из-под знака производной. Кроме того, к основной системе дифференциальных уравнений нужно присоединить уравнения вида X=fi(O, p.=h(t), C„=f3(t), P=h(t), описываюшие изменения физических параметров в зависимости от тем- пературы. С достаточной степенью точности можно полагать, что физические параметры газов изменяются по простым степенным уравнениям вида т}=т}1(7'/Г)эт, где Tli — значение параметра при температуре 7\, а п — постоянная величина для определенного физического параметра в не- котором интервале температур. В этом случае переменность физических параметров можно учесть введением в уравнение подобия аргумента 0с~Тс/Го, где То-—темпера- тура газа вдали от стенки или средняя температура газа в канале К, а Тс — температура поверхности стенки. Отношение Гс/Г0 называется температурным фактором. Опытным путем обнаружено, что при охлаждении газа или его на- гревании с малыми температурными напорами теплоотдача практиче- ски не зависит от температурного фактора, если физические параметры 186
выбираются по температуре внешнего потока. Теплоотдача нагревае- мого газа существенно зависит от температурного фактора при темпе- ратурных напорах порядка сотен градусов. Физические параметры капельных жидкостей более сложно и по- разному зависят от температуры. В настоящее время теория еще не может дать какого-либо общего, единообразного учета влияния пере- менности физических параметров на теплоотдачу капельных жидкостей. Опытным путем установлено, что зависимость теплоотдачи капель- ных жидкостей от направления теплового потока и температурного напора можно приближенно учитывать путем введения в уравнение подобия дополнительного множителя (Рг^/Ргс)0,25, где индексы «ж» и «с» обозначают, что соответствующие значения числа Рг выбираются по температуре жидкости вдали от тела и по температуре стенки. Эта поправка прежде всего учитывает влияние на теплообмен изменения вязкости жидкости. Множитель (Ргж/Ргс)0,25 был предложен М. А. Михеевым. Позже было показано, что для некоторых конкретных условий значение пока- зателя степени п при Ргж/Ргс должно быть переменным, однако поправ- ка (Ргж/Ргс)п не сильно отличается от предложенной М. А. Михеевым. При нагревании жидкости Pr«/Prc>l, при охлаждении Ргж/Ргс<1. Отношение Ргж/Ргс при течении определенной капельной жидкости тем больше отличается от единицы, чем больше температурный напор. Если Фо—>0, то (Ргж/Ргс)—>1. При заданном qc, как следует из уравнения ^с=а(^о—0, температурный иапор будет очень мал, если а очень велик. В этом случае можно принять, что (Ргж/Ргс)~1- На газы поправка (Ргж/Ргс)0’25 не распространяется. По-особому протекает теплообмен при состоянии жидкости, близ- ком к критическому. В этом случае поправка (Ргж/Ргс)°125 не может быть использована. Ряд авторов учитывает влияние переменности физических парамет- ров путем введения в уравнение подобия симплексов Хж/Хс, Цж/цс и CpmfCpc, где индексы «ж» и «с» обозначают, что соответствующие пара- метры выбираются по температуре жидкости вдали от тела или по тем- пературе стенки. Зависимость теплоотдачи от изменения темпера- туры поверхности по ее длин е. Изменение tc по длине пласти- ны может существенно сказаться па теплоотдаче. В результате пере- менности температуры стенки изменяется распределение температур в тепловом пограничном слое, изменяется его толщина и значение гра- диента температур в жидкости у поверхности тела. Коэффициент тепло- отдачи в определенном месте пластины зависит от развития погранич- ного слоя на предыдущем участке, в том числе и от изменения темпера- туры стенкн на этих участках. Этот эффект усложняется переменностью физических параметров жидкости. Во многих случаях изменение температуры поверхности или тем- пературного напора можно описать степенным законом $с(х)=Ахт, (7-13) где Фс(х)=£с(х)—to; to—const; tc(x) — местное значение температуры поверхности; А и т — постоянные, не зависящие от х. При т—0 fi^A — tc—f0=const, что соответствует рассмотренной задаче при tc—const. 187
Теплоотдача неизотермической пластины изучалась рядом исследо- вателей [Л. 46, 97, 108 и др.]. Анализ этих работ показывает, что при возрастании т толщина теплового пограничного слоя уменьшается. Теплоотдача при этом возрастает. Влияние продольного градиента температуры поверхности можно учесть соотношением теплоотдачи пластины с переменной (т#=0) и постоянной (т=0) температурой поверхности; обозначим это отноше- ние через е: NUx (т^О) , »т hT » е “ Nux (m=0) E Nu«(">=»)- Значения e определялись аналитически и для частных величин про- верялись экспериментально; они приведены в табл. 7-1 [Л. 46] Таблица 7-1 Зависимость при Рг>1 т —0,25 O(fc=const) 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 (<7c=const) 0,8 1,0 2,0 е 0,655 1 1,09 1,17 1,25 1,30 1,36 1,52 1,60 1,98 Влияние необогреваемого начального участка. В этом случае имеет место неодновременное развитие гидродинамиче- ского и теплового пограничного слоев, что влияет на коэффициент те- плоотдачи. Наличие поверхности, не участвующей в теплообмене, соот- ветствует особому случаю изменения температуры поверхности пласти- ны по ее длине. Обширные экспериментальные исследования влияния необогревае- мого начального участка на теплоотдачу были выполнены И. И. Жюгж- дой и А. А. Жукаускасом [Л. 46]. В этих опытах отношение длины начального необогреваемого участка х0 к полной длине I изменялось от 0,425 до 0,86. При этом числа Рг изменялись от 0,7 до 510 (воздух, вода, трансформаторное масло) и Re^ai— от 3 до 3-104 (рис. 7-4). Для расчета местных коэффициентов теплоотдачи пластины при ламинарном пограничном слое и наличии необогреваемого участка было получено уравнение Nu}K Я1 = 0,33sRe°’* РЛ33(Prffi/Prc)°>as; (7-14) здесь в числа подобия подставляется координата xi~x—xq, отсчитывае- мая от начала обогреваемого участка. Физические параметры выбира- ются по температуре набегающего потока to, что отмечено индексом «ж» (исключение составляет значение числа Ргс, выбираемое по тем- пературе стенки в данном сечении). Определим средний коэффициент теплоотдачи при Хо—0: cx-0’sAxm dx 2с т + 1 _ о m + 1 « ~ FT “ ЛЛх=1 Ът + 1' i Ах™ dx о 188
Рис. 7-4. Местная теплоотдача при ламинарном пограничном слое и наличии иеобогре- ваемого начального участка, т=0,4 (е=1,30). Прн т=0 (fc=const) получаем, что а=2а (а берется при х=/). В случае const m=0,5 и а=1,5а. Рассчитывая среднюю теплоотда- чу, Рт0 следует оценивать по средней температуре стенки. Для линейного закона изменения температурного напора величина е оказывается зависящей от х. В этом случае нарушается зависимость вида а^х-0-5. На рис. 7-5 приведены результаты расчета Д. А. Лабунцова [Л. 46, 97] для’значений 6= + 1 и Ь =—0,25. Здесь I — полная длина пластины, значение 6=0 соответствует изотермической поверхности стенки. Кривые 1 показывают изменение местных коэффи- циентов теплоотдачи. Кривые 2 и J дают изменение средних ко- эффициентов при осреднении по формулам (6-22) и (6-21). Нара- станию температурного напора по длине (6>0) соответствует более высокие значения а, уменьшению (6<с0) —более низкие. При осреднении по (6-21) числовое значение а мало зави- сит от переменности температу- ры стенки н близко к значению среднего коэффициента теплоот- дачи в случае tc — const. Этот вывод относится как к линейно- Рис. 7-5. Теплоотдача неизотермической пластины прн линейном изменении темпера- турного напора. I — местные коэффициенты теплоотдачи; 2 — осреднение по формуле (6-21); 3— осреднение по формуле (6-22). му, так и к степенному закону изменения температуры стенки (температурного напора). 189
7-3. ПЕРЕХОД ЛАМИНАРНОГО ТЕЧЕНИЯ в ТУРБУЛЕНТНОЕ Переход ламинарного течения в турбулентное происходит на не- котором участке (рис. 7-6). Течение на этом участке имеет нестабиль- ный характер и называется переходным. Законы теплообмена при ламинарном и турбулентном режимах различны, поэтому определение их границ имеет большое значение. О режиме течения судят по критическим значениям числа Рей- нольдса ReK₽1 __ W0XKpi Рек₽2 где х — продольная координата, отсчитываемая от передней кромки поверхности. Зная ReKPi и ReKp2, можно рассчитать значения xKPi и хкр2, кУ Рис 7-6 Схема пограничного слоя / — ламинарный пограничный слой; 2 — переходная область. 3 — турбулентный по- граничный слой. 4 — вязкий (ламинарный) подслой определяющие соответственно начало разрушения ламинарного слоя и по- явление устойчивого турбулентного течения. Опыты показывают, что пе- реход к турбулентному течению мо- жет иметь место при значениях ReKp= = woxlip/v примерно от 104 до 4-106. Координаты хкр1 и хкр2 зависят от ряда факторов Па переход влияют такие харак- теристики внешнего потока, как сте- пень (интенсивность) турбулентности, масштаб турбулентности, частота пуль- саций. При ускорении потока (др/дх<0, конфузорное течение) переход затягивается, при замедлении (<2р/дх>0, диффузорное течение) — наступает при меньших значениях х (или Rex). Помимо параметров внешнего потока на переход из ламинарной формы течения в турбулентную влияют параметры, в той или иной степени связанные с омываемым телом. Значения Re«pi и ReJ{P2 зависят от интенсивности теплообмена, от волнистости, шероховатости омывае- мой поверхности, удобообтекаемости передней кромки пластины, виб- рации тела. Некоторые факторы взаимосвязаны. На рис. 7-7 представлена зависимость критических чисел Рейнольд- са от степени турбулентности набегающего потока Ти, определяемой выражением Тп = И з + w'2 > Wo и г?0УН₽2 где w \ w* — средние во времени квадраты трех составляющих пуль- саций скорости; w0 — скорость внешнего потока. При сравнительно малых значениях Ти переход не зависит от сте- пени турбулентности внешнего потока, а определяется характеристика- ми самого ламинарного слоя (его устойчивостью). Увеличение Ти при- водит к уменьшению ReKP. На практике сечение перехода можно определить, в частности, по изменению распределения осредненной во времени скорости wx(y). При турбулентном течении wx резко увеличивается вблизи стенки; на 190
удалении от нее wx(y) становится более выровненной. Выравнивание объясняется турбулентным переносом количества движения. Данные о критических числах Рейнольдса в основном получены в опытах с воздухом. Если Тн<0,1%, значение нижнего критического числа Рейнольдса ReKpi не зависит от степени турбулентности набегаю- щего потока и для изотермического течения равно 3,1-10° [Л. 51, 52]. По данным Л. М. Зысиной-Моложен для случая продольного без- градиептного омывания пластины воздушным потоком зависимость ReKpi от Тп и температурного фактора Тс/Т0 может быть описана урав- нением ReKpi=3,l-10«MTu)ip(rc/ro); здесь ср(Ти) = 1 при Ти<0,12%; ф=0,23Ти~“0-7, если Ти — 0,12—1,0%; при Tu>l,0%; cp=0,23Tu-1’76. Функция ф определяется уравнением ф — = (Tc/Го)-2’3, где Тс, То — соответственно температуры стенки и набе- гающего потока. , ' Такое существенное влияние температурного фактора объясняется увеличением вязкости газа с увеличением температуры и, как следст- вие, замедлением течения у стенки с ростом Тс/Т0 (рис. 7-3). Замедле- ние течения у стенки при неизмен- ной скорости на удалении способ- ствует потере устойчивости потока, появлению дополнительного движе- ния, направленного поперек основ- ного течения вдоль пластины. По данным [Л. 52] ReKP2~ Рис. 7-7. Значения Rebpi н РеКр2 в зави- симости от степени турбулентности на- бегающего на пластину потока. »l,4ReKpi при Ти<0,1% и ReKp2~ ~l,6ReKpi при Tu>0,6% (изотерми- ческое безградиентное течение вдоль пластины). Течение в переходной области не является стабильным. Турбулент- ность появляется в некоторой части пограничного слоя, затем турбу- лентно текущая жидкость уносится потоком. Смена ламинарных и тур- булентных состояний течения происходит через неравномерные проме- жутки времени. Такое перемежающееся течение характеризуют коэф- фициентом перемежаемости со. Коэффициент перемежаемости указывает, какую долю некоторого промежутка времени в опреде- ленной области жидкости существует турбулентное течение. Следова- тельно, коэффициент со=1 означает, что течение все время турбулент- ное, а коэффициент со=0 показывает, что течение все время ламинар- ное. Таким образом, граничные значения xKpi и хнр2 приобретают характер осредненных во времени значений. Большое количество влияющих факторов и отсутствие сведений о значении Ти в промышленных установках затрудняют точное опреде- ление сечений перехода. Поэтому в расчетной практике отрезок Дх= =хкр2—ХкР1 часто заменяют точкой, а критическое значение Re оцени- вают приближенно по данным опытов. При достаточно удобообтекае- мой передней кромке пластины можно принять, что RCjkP1 ~ R6kP2 ~ ROkP 105. 191
1-4. ТЕПЛООТДАЧА ПРИ ТУРБУЛЕНТНОМ ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ Перенос теплоты и количества движения поперек турбулентного пограничного слоя может быть описан уравнениями (4-42) и (4-43): — (2 2Т) — (Я + P^psg) S = (^+K)% = ^+₽eS)> Запишем]эти уравнения в следующем виде: здесь через Ргт обозначено отношение E„/ef;. Величину Ргт называют турбулентным числом Прандтля. Как по- казано в § 4-5, кинематические коэффициенты турбулентного переноса теплоты и количества движения sQ и в8 зависят от параметров процесса турбулентного течения. Вследствие этого в общем случае турбулентное число Прандтля также может являться параметром процесса. С учетом (7-15) и (7-16) дифференциальные уравнения энергии (4-44) и движе- ния (4-45) для турбулентного пограничного слоя примут вид: (7-17) (7-18) Если Pr=l (а=у) и Ргт=1, то уравнения (7-17) и (7-18) становят- ся идентичными. В этом случае при идентичных граничных условиях поля температуры -О и скорости wx будут подобны. Чтобы проинтегрировать уравнения (7-17) и (7-18), необходимо иметь сведения о коэффициентах турбулентного переноса теплоты и количества движения. Можно воспользоваться интегродифференциаль- ными уравнениями (7-3) и (7-5), но для этого необходимо знать, в ча- стности, распределения скорости и температуры в турбулентном потоке. Для создания совершенных расчетных формул необходимо сочета- ние теоретических и экспериментальных методов исследования, позво- ляющих проникнуть в механизм турбулентного переноса теплоты и ко- личества движения при различных условиях течения. Для определения профиля осредненной скорости воспользуемся уравнениями (4-47) и (4-50): Отсюда причем отдельные части этого уравнения имеют размерность скорости. Предположим, что касательное напряжение турбулентного течения пе изменяется по г/, т. е. '|/sT/P=]^£c/P = const. Обозначим |/^/р че- .192
рез w* и назовем динамической скоростью. Тогда dwx w* ЛУ ИД = КУ —£ИУЖ = ---- * а dy к у И ®х=^-1пу+с. (7-19) Уравнение (7-19) выражает так называемое л о га р и ф м ич е с к о е распределение осредненной скорости турбулентно- го течения в пристенной области. Определим постоян- ную с согласно условию гсж(О)=О. Из уравнения (7-19) следует, что при у—>0 —со, т. е. получаем абсурдный результат. Необходимо учесть силы вязкости, которые должны быть велики непосредственно у стенки. Слой жидкости у стенки, в котором преобла- дают силы вязкости и который является составной частью турбулент- ного пограничного слоя, называют вязким подслоем (или лами- нарным подслоем). Учитывая только силы вязкости, уравнение движе- ния можно записать в виде cPwx!dyi= 0, ...откуда следует, что dwx/dy= = const=с, и wx=ciy+c2, т. е. в вязком" подслое имеет место линейное изменение скорости. Таким образом, в данном случае s—sc=tidwx/dy = = const. Отсюда: Sc==fl v=pt“*2’ (7-20) здесь бп — толщина вязкого подслоя; wr=wx(fiII')—скорость на внеш- ней границе вязкого подслоя. Из (7-20) следует, что Определим постоянную интегрирования с в уравнении (7-19) из условия, что при у=бп=тшг/ш2,, к^—йМбп) = шг. Получим: Подставляя значение с в (7-19), после некоторых преобразований (учитываем, что разность логарифмов равна логарифму частного): с7-21) Формулу (7-21) называют универсальным логарифмиче- ским распределением осредненной скорости в пристенной области турбулентного потока. Здесь w*y 1 t 10- м и 71= —-------In — . v w* х w* Формула (7-21) неоднократно сопоставлялась с опытными данны- ми при различных значениях у* (исключая очень малые значения у* внутри вязкого подслоя). Результаты сопоставления можно отразить, в частности, графиком рис. 7-8. Кривая 1 соответствует линейному изменению скорости в вязком подслое: wx=w*y* = ^y=-^y. (7-22) < 3—17 193
Рис 7-8 Распределение безразмерной скорости по толщине турбулентного пограничного слоя 1 — изменение скорости согласно уравнению (7-22), 2 —изменение скорости согласно уравнению (7 23), -1—опыты с воздухом, Z-— с водой. О — с трансформаторным маслом Кривая 2 отражает логарифмическое распределение осредненной скорости в пристенной турбулентной части пограничного слоя. В этой области ^=5,616^ + 4,9. (7-23) Пересечению кривых 1 и 2 соответствует значение y^ = w^ylx, при- мерно равное 12 Отсюда можно оценить расчетную толщину вязкого подслоя оп 12 Л-= 12v J/Д-' (7-24) При больших значениях ул распределение скоростей отклоняется От логарифмического. Опыты показывают сложность движения в турбулентном слое — рис. 7-9. Вязкий подслой не имеет строго ламинарного течения вдоль стенки. Пульсации, особенно крупномасштабные (низкочастотные), проникают в вязкий подслой, где их течение регламентируется вязкими силами. Движение в вязком подслое, вообще говоря, является нестаци- онарным, граница подслоя четко не определена. Внешняя граница вязкого подслоя является мощным генератором пульсационного движения. Наиболее высокая интенсивность турбулент- ности наблюдается в пристенной турбулентной области. Если, напри- 194
мер, степень турбулентности во внешнем потоке может составлять до- ли процента, то в пристенной области она может достигать нескольких десятков процентов. Пристенная область составляет примерно 20% толщины пограничного слоя (толщина вязкого подслоя на один-два порядка меньше). Течение во внешней области пограничного слоя, со- ставляющей примерно 80% его толщины, зависит, в частности, от тече- ния во внешнем потоке. Внешняя граница турбулентного пограничного слоя непрерывно пульсирует. Это связано с периодическим проникновением масс жидко- сти внешнего потока, где степень турбу- лентности может быть невысока, во внешнюю область пограничного слоя. Такое взаимодействие пограничного слоя с внешним потоком приводит к образо- ванию области перемежаемого течения. Аналогично вязкому подслою непо- средственно у стенки можно выделить тепловой подслой. Он характери- зуется преобладанием переноса теплоты теплопроводностью над турбулентным Pile 7-9 Схема строения турбу- лентного пограничного слоя А ~~ внешняя область: Б — пристенная область (/ — вязкий подслой, II — про- межуточный слой); на рисунке масшта- бы толщины смещены. переносом. Совпадение толщин вязкого подслоя бп и теплового kn имеет место при Рг = 1. При Рг>1 имеем, что /гп<бп- Последнее неравенство равносильно утверждению, что в части вязкого подслоя от y~kn до теплота переносится не только теплопроводностью, но и пульса- циями. Пульсации, проникающие в вязкий подслой, оказываются суще- ственными для теплового переноса, но не дают значительного вклада в перенос количества движения по сравнению с молекулярным вязкост- ным переносом. Такой характер те- чения в особенности должен про- являться для очень вязких жидко- стей (Рг»1). В предельном случае Рг<С1 должна иметь место обратная кар- тина. Для малотеплопроводных очень вязких сред, какими являются жид- кости с большими числами Рг= — цСр/К, тепловой подслой является основным термическим сопротивле- нием. Ввиду интенсивного турбулент- ного переноса толщины теплового Рпс 10 Зависимость <q в формуле (7-26) от числа Праидтля. и динамического пограничных слоев k и 6 практически совпадают. При турбулентном течении толщина слоя 6 больше, чем при ламинарном. Это объясняется влиянием турбулент- ной вязкости. Поскольку в тепловом подслое перенос теплоты определяется теп- лопроводностью, изменение температуры по его толщине описывается уравнением прямой (как для плоской стенки, § 2-1). >з* 195
Распределение температуры ib подслое может быть представлено следующим образом: 6=р%; С-25) здесь 6=&/&*; &в = 9е/рс,да»- Распределение температуры в зоне логарифмического распределе- ния скорости можно описать логарифмическим законом: е=^1п«.+с,,(Рг). (7-26) Величина cq является функцией числа Прандтля (рис. 7-10); она учитывает изменение температуры, связанное с неравенством толщин подслоев kn и 6ц. Знание распределений скорости и температуры позволяет рассчи- тать теплоотдачу с помощью интегральных уравнений теплового пото- ка и импульса, полученных в § 7-1. Чтобы избежать громоздких выкла- док, связанных с использованием интегральных уравнений, воспользу- емся упрощенным выводом. Будем при этом полагать, что Рг^1, но отличие числа Прандтля от единицы не слишком велико. Исходя из линейного распределения скорости вязкого и теплового подслоев можно написать: wr _ HL sc — Iх §п и ~k^‘ Значения sc и qK не изменяются по толщинам них уравнений следует: и температуры, для 6п и Лд. Из послед- (7-27) на внешней границе с |J. Ws kn • здесь -Or = Zr—tc; tr— температура при y—kn, т. е. теплового подслоя; соответственно wr—скорость при у = 6п; tc — фик- сированная температура поверхности стенки. Для турбулентной части пограничного слоя молекулярный перенос теплоты и количества .црижения можно не учитывать. Будем полагать также, что здесь Ргт=1 (е«=ее). В этом случае распределение осред- ненпых скорости и температуры будут идентичны. Тогда из уравнений (7-15) и (7-16) следует, что в турбулентной части пограничного слоя „ — е с дГ/д« Поскольку 6п<^6, и k, последнее уравнение запишем в виде qt[ — srcp __ . (7-28) На границе теплового подслоя y=kn нет разрыва в величине теп- лового потока. Поэтому значения q, выраженные согласно уравнениям (7-27) и (7-28), можно приравнять. Пренебрежем при этом возможным различием касательного напряжения трения £ в уравнениях (7-27) и (7-28). Это различие обусловлено тем, что в общем случае вблизи стен- ки Ргт^ 1 (так как Решим уравнения (7-27) и (7-28) относительно разностей темпе-‘ ратур: 196
(7-29) шг = 6п Примем, что отношение сывается уравнением (7-8), теплового и динамического течения: (7-30) Суммируя эти уравнения, получаем: Г । I <%!г ® ° С ScCp | ' X №0 И Согласно уравнению (7-24) 12v/w*, отсюда “—=12^—12 толщин теплового и вязкого подслоев опи- полученным ранее для отношения толщины пограничных слоев в случае ламинарного (7-31) Подставляя в (7-29) (7-30) и (7-31) и решая j/Pr* значения а.*г и Лп/бп согласно уравнениям уравнение (7-29) относительно qc, получаем: (7-32) Для характеристики касательного напряжения трения на стенке sc используют коэффициент трения с/, равный по определению с>=^- (7-33) Подставив в (7-32) значение sc = c7-pw2o/2 и поделив левую и пра- вую части уравнения (7-32) на pcpwG(tG—tc), будем иметь- 31 —. а ____cf/% (Рг2/3 — 1) pcpw„ (7-34) Комплекс а/рСрс£’о безразмерен, его называют числом Стантона и обозначают символом St Число Стантона можно выразить через чис- ла Nu, Re и Рг- St=-i^-=-^-. (7-35) Re Рг ' 7 При Рг=1 уравнение (7-34) упрощается и принимает вид: St=-^-. (7-36) Последнее уравнение является математическим выражением анало- гии переноса теплоты и количества движения при Рг=1 и Ргт=1. Эта аналогия впервые показана О. Рейнольдсом (1874 г.). Формула (7-36) достаточно хорошо ’описывает теплоотдачу газов при небольших темпе- ратурных напорах. Величина Ргт изменятся по толщине пограничного слоя. По дан- ным [Л. 47] в области/ где выполняются логарифмические законы распределения скорости и температуры, турбулентное число Прандтлч равно примерно 0,8 (опыты с воздухом, водой и трансформаторным маслом). Учет этого обстоятельства приводит к формуле St =------------------------ (7-37) 0,S3+12.5 Кс,/'2(Рг2/3—1) 197
В этом уравнении по сравнению с формулой (7-34) несколько изме- нены некоторые постоянные. На рис. 7-11 дано сравнение формулы (7-37) с опытными данными при различных числах Прандтля. При использовании формулы (7-37) для расчета теплоотдачи ка- пельных жидкостей рекомендуется умножить полученное значение чис- Рис 7-11 Теплоотдача пластины при турбулентном пограничном слое. X — воздух. А — вода; О — трансформаторное масло. ла St на поправку (Ргш/Ргс)п, где приближенно п=0,25. Уточненные показатели степени п можно взять из рис. 7-12 [Л. 47]. При течении Рис. 7-12 Влияние переменности физических свойств капельной жидкости на теплоотда- чу при турбулентном пограничном слое. Sf0 — по формуле (7-37). воздуха вводится поправка (Те1Тс)т, где тм0,25 в случае нагревания потока газа (7'с>7'<|). Формула (7-36) St = -^-, 198
справедливая при Рг=1, может быть распространена на случай Рг>1 с помощью экспериментально определенной функции f(Pr) = Рг°-43, вво- димой в уравнение (7-36) как множитель. Используя формулу Прандтля 0,0592 (7-38) и вводя поправку (Ргж/Ргс)0'25, получаем широко распространенную в расчетной практике формулу Мижх = 0,0296Re“’® Рг“;'!;! (Рг„/Ргс)с-=5. (7-39) За определяющую принята температура жидкости вдали от тела to (за исключением Ргс, выбираемого по tc). Определяющим размером является координата х, отсчитываемая от начала участка теплообмена. Эти рекомендации относятся как к формуле (7-39), так и к формуле (7-37). Согласно формуле (7-39) а=сх~0’2. Средиеинтегральное значение а при этом равно а= l,25ajc=j. Если вся пластина занята турбулентным слоем (в случае высокой степени турбулентности набегающего потока, яеудобообтекаемости пе- редней кромки и т. п.), то изменение коэффициента теплоотдачи вдоль пластины имеет вид, изображенный на рис. 7-13 (кривая 1). При на- личии на передней части пластины ламинарного пограничного слоя коэффициент теплоотдачи изменяется по бо- лее сложному закону (рис. 7-13, кривая 2). В этом случае среднюю теплоотдачу необхо- димо рассчитывать отдельно для участков с различными режимами течения. Область переходного течения Ах=х1ф1— —хКр2 не всегда может быть определена доста- точно точно. Поэтому в расчетах часто пола- гают, что переход из ламинарной формы те- чения в турбулентную происходит при опре- деленном значении х, т. е. заменяют отрезок Ах точкой. При развитом вынужденном турбулент- ном течении теплоотдача, как правило, не за- висит от числа Грасгофа (исключением мо- жет являться околокритическая область). Формулы, определяющие теплоотдачу пластины, могут быть использованы также Рис 7-13. Изменение коэф- фициента теплоотдачи вдоль пластины. полностью турбулентное те- чение в пограничном слое; 2— смешанное течение (с — лами- нарное течение, б — переходное, в — турбулентное). для расчета теплоотдачи при внешнем про- дольном омывании одиночного цилиндра, если его диаметр существенно больше толщины пограничного слоя. Более глубоко с теорией тепло- обмена при турбулентном течении в пограничном слое можно ознако- миться с помощью специальной литературы {Л. 47, 90, 92, 109, 192, 202]. 199
Глава восьмая ТЕПЛООТДАЧА ПРИ ВЫНУЖДЕННОМ ТЕЧЕНИИ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ 8-1. ОСОБЕННОСТИ ДВИЖЕНИЯ И ТЕПЛООБМЕНА В ТРУБАХ Процесс теплоотдачи при течении жидкости в трубах является бо- лее сложным по сравнению с процессом теплоотдачи при омывании поверхности неограниченным потоком. Жидкость, текущая вдали от пластины, не испытывает влияния процессов, происходящих у стенки. Поперечное сечение трубы имеет конечные размеры. В результате, на- чиная с некоторого расстояния от входа, жидкость по всему попереч- ному сечению трубы испытывает тормозящее действие сил вязкости, происходит изменение температуры жидкости как по сечению, так и по длине канала. Все это сказывается на теплоотдаче. В дальнейшем основное внимание уделим рассмотрению течения и теплобомена в гладких прямых трубах с неизменным по длине круглым поперечным сечением. Как и раньше, не будем учитывать диссипацию механической энергии. В жидкости отсутствуют внутренние источники теплоты. Течение жидкости может быть ламинарным и турбулентным. О ре- жиме течения в трубах судят по значению числа Рейнольдса где w — средняя скорость жидкости; d—-внутренний диаметр трубы. Если Re<ReKP —2000, то течение является ламинарным. Значение ReKpi—2000 является нижним критическим значением числа Рейнольдса. При Re>2000 поток посте единичного возмущения уже не возвращается к ламинарному режиму течения. Развитое турбулентное течение в технических трубах устанавливается при Re>ReKp2~ Ю4. Течение при Re=2-103<-104 назы- вают переходным. Ему соответствует и переходный режим теплоотдачи. Если жидкость поступает в тру- бу из большого объема и стенки тру- бы на входе несколько закруглены, Рнс 8-1 Стабилизация распределе- ния скорости при движении жидкости в трубе. распределение скорости в начальном сечении считают равномерным (рис. 8-1). При движении у стенок образуется гидродинамический пограничный слой, толщина которо- го постепенно нарастает. В достаточно длинных трубах на некотором расстоянии от входа пограничный слой заполняет все поперечное сече- ние. При постоянных физических свойствах жидкости после заполнения устанавливается постоянное распределение скорости, характерное для данного режима течения. Расстояние, отсчитываемое от входа до сечения, соответствующего слиянию пограничного слоя, называется длиной гидродинамиче- ского начального участка или участком гидродинамической стабилизации. 200
Стабилизированное течение (х>/н) не зависит от распределения скорости на входе (х—0), но распределение скорости как при х</в, так и при может зависеть от процесса теплообмена. Гидродинамический начальный участок наблюдается как при лами- нарном, так и при турбулентном течении. Однако при Re>ReKpi течение в начальном участке может развиваться своеобразно. В передней части трубы может существовать ламинар- ная форма течения. Образующийся ламинарный пограничный слой при достижении критической толщины пе- реходит в турбулентный. Толщина по- следнего быстро растет, пока не запол- нит все течение трубы. Зона началь- ного участка в месте изменения ре- жима течения характеризуется пере- межаемостью движения. Изменение режима течения может произойти и за пределами начального гидродина- мического участка. При Re^5-104 практически с са- мого начала развивается турбулент- ный пограничный слой. Если жидкость в трубу, имеющую острую кромку на входе, то в начале трубы обра- зуются вихри, приводящие к быстрому разрушению ламинарного по- ледслоу б) Рис. 8-2. Распределение скорости по сечению трубы при стабилизирован- ном ламинарном (а) и турбулент- ном (б) течении жидкости. втекает из большого объема Турбулентное яврох граничного слоя. Длина гидродинамического начального участка и его доли, занятые соответственно ламинарным и турбулентным пограничным слоями, за- висят от числа Re, степени турбулентности потока на входе и ряда дру- гих факторов. Многие факторы взаимосвязаны. Если поток гидродинамически стабилизирован (х>/и), скорости по сечению потока при ламинарном изотермическом движении распреде- ляются по параболе (рис. 8-2,а): Wx—^манс [1 —" ('ЛАс)2] , где го-—радиус трубы; wMaKc — скорость на оси трубы (при г=0). Средняя скорость при этом равна половине максимальной: wx— = 0,5№манс- При турбулентном движении почти все сечение трубы заполнено турбулентно текущей жидкостью. У стенки же образуется вязкий под- слой. При больших числах Re толщина подслоя составляет ничтожную часть диаметра трубы. Несмотря на это, для малотеплопроводных сред вязкий подслой является основным термическим сопротивлением. При стабилизированном турбулентном течении жидкости в трубах распределение скорости по поперечному сечению имеет вид усеченной параболы (рис. 8-2,6). Максимальная скорость по-прежиему на оси трубы. Наиболее резко скорость изменяется вблизи стенки. Распределение скоростей в турбулентной части потока (см. § 7-4) можно описать с помощью универсального логарифмического зако- на (7-21) =—+i; 201
Рис. 8-3 Распределение скорости в круглой трубе при различных числах Рейнольдса здесь ааж=|/rsc/p; y* = w*ylv, y = r„— г (рис. 8-2). Согласно данным ря- да исследований для турбулентного ядра (у* J3 30) и=0,4 и ч=5,5; для промежуточной между турбулентным ядром и вязким подслоем области (j/»s=54-30) 1/х=5,0 и т]=3,05. В пределах вязкого подслоя (у*~0-:-5) принимается линейное изменение скорости: = или wx=^-y. Напряжение трения на стенке есть функция числа Рейнольдса. Отсюда появляется зависимость распределения скорости по сечению от Re. Чем больше число Рейнольдса, тем резче изменяется скорость вблизи стенки и менее резко — в центральной части потока, т. е. эпюра скорости становится более заполненной (рис. 8-3). В результате отно- шение средней по сечению трубы скорости к максимальной (г=0) бу- дет зависеть от числа Рейнольдса. Экспериментально получено, что эта величина изменяется слабо и равна 0,8—0,9. Приведенные сведения о распределении скорости в турбулентном потоке прежде всего соответствуют изотермическим течениям или тече- ниям с практически не проявляющейся переменностью физических свойств жидкости. 202
По мере движения жидкости вдоль трубы наблюдается прогрев или охлаждение пристенных слоев, если температура жидкости отлична от температуры трубы. В начале трубы центральное ядро жидкости еще имеет температуру, равную температуре на входе, это ядро в теп- измснеиие температуры сосредоточивается лообмене не участвует, вес в пристенном слое. Таким образом, у поверхности rpv- бы в ее начальной част об- разуется тепловой погра- ничный слой, толщина ко- торого по мере удаления от входа увеличивается. На не- котором расстоянии от вхо- да, р'авном /нт, тепловой пограничный слой заполняет все сечеиие трубы; в дальнейшем вся жидкость участвует в теплообме- не, причем интенсивность теплообмена уже не зависит от распределения Рис 8 4 Изменение распределения температуры при движении жидкости в трубе скорости и температуры па входе. Участок трубы длиной /пт, называют начальным тепловым участком или участком термической стабилизации. Если при х>/Нт закон задания гранич- ных условий на стенке не изменяется, то такой теплообмен называют стабилизирован- ным. В отличие от эпюр скорости эпюры тем- ператур при х>/нт даже в случае постоянных физических свойств жидкости не остаются не- измененными (рис. 8-4). Существенное измене- ние граничных условий может привести к эф- фекту, подобному эффекту формирования нового теплового пограничного слоя (напри- мер, при резком увеличении тепловой нагруз- ки, при возмущении потока каким-либо мест- ным препятствием). В случае постоянных физических свойств жидкости и при простейших граничных усло- виях (например, tc — const, qc = const) коэффи- циент теплоотдачи при стабилизированном теплообмене является величиной постоянной (рис. 8-5). Производная (дЦдгХ=г ок темпе- Рис 8-5 Изменение местно- го и среднего коэффициен- тов теплоотдачи по длине трубы а — неизменный режим течения, б — смешанное течение. ратурный напор O=t—tc, где I— среднемассовая по сечению темпера- тура жидкости, при tr:=const убывают вдоль трубы с одинаковой ско- ростью, если х>/„ т (или остаются постоянными при 7,= const). На начальном участке производная (д//<Эг)г=Го убывает гораздо быстрее температурного напора. В результате, как следует из уравне- ния теплоотдачи Л [dt \ а & Lr \ на участке термической стабилизации а резко падает и при стабилизи- рованном теплообмене становится постоянной величиной (рис. 8-5,о). Если на начальном участке изменяется режим течения, то измене- ние коэффициента теплоотдачи по длине трубы будет иным, например 203
как на рис. 8-5,6. Коэффициент теплоотдачи уменьшается на участке ламинарного течения и растет при его разрушении. Затем происходит стабилизация теплообмена при турбулентном течении. Длина начального теплового участка зависит от большого коли- чества факторов, например от коэффициента теплопроводности жидко- сти, наличия гидродинамической стабилизации, числа Рейнольдса, распределения температур на входе и т. п. Теория показывает, что при ламинарном течении жидкости с по- стоянными физическими параметрами и однородной температурой на входе в случае tc= const 0,0551>с а и в случае qc = const ^=0,07 Ре. а Эти уравнения соответствуют предварительно гидродинамически стабилизированному течению. При ламинарном течении число Рейнольдса может достигать ве- личины примерно 2000. При этом для газов, у которых Рг ~ 1 (напом- ним, что Pe=RePr) расчетная длина начального теплового участка достигает примерно ста диаметров. У очень вязких жидкостей (PrJs>l) значение /н.т может изменяться от нескольких сотен до нескольких де- сятков тысяч диаметров. В последнем случае теплообмен практически всегда происходит в пределах начального участка. Согласно многочисленным опытным данным при турбулентном течении /кт= (10-е 15)d. Определим средний коэффициент теплоотдачи трубы, если />/п.т, где I — длина трубы. Пусть на участке 00<Zn.T а=а(х) = ап.т, а <i=<i«>=const. Тогда при г Za.T I o-Lt dy “и. Л f J А/ dx Интегралы в пределах от 0 до /н.т могут быть представлены дующим образом: Zh.t _ _ 5г.т __ г/л.”-^н.т^н.т--®н.т^^н.т^н.т И ---Д^н_т/н.т. о о (а) сле- Подставляя значения интегралов в уравнение (а), получаем: а 204
•или ttH.T где (8-1) у(0= ' -- С = Л^Я.Т^Н.Т J Д/ , Д/„ т— соответственно средние температурные напоры на участках Л,.?. 0 и (0, /„ т). Если — то <p(Z) » (Z — Z,,.T)/ZHT. Подставляя в уравнение (8-1) это значение функции <j>(Z), получаем: (8’2) “со ' \ ат I Из этого уравнения следует, что в_длинных трубах (Z^>ZHT) а—> —>а„, т. с. при больших I значения и и практически совпадают. Например, если аЯт/асо=1,3, то с точностью до 3% средний коэффи- циент теплоотдачи yi будет равен локальному при Z=1OZh.t = Zh.t. Длина трубы Zn.T, при которой с достаточной степенью точности можно полагать, что средний коэффициент теплоотдачи а равен коэф- фициенту теплоотдачи при стабилизированном теплообмене а™, обычно используется в практических расчетах средней теплоотдачи. Очевидно, 2„.т является условной расчетной величиной, числовое значение кото- рой зависит или от точности аналитического расчета, пли от точности экспериментальных данных. В связи с переменностью физических параметров при ламинарном течении (Re<2000) могут иметь место два режима неизотермиЧеского движения: вязкостный и вязкостно-гравитационный. Законы теплоотдачи для этих двух режимов различны. В вязкостно-гравитационном течении силы вязкости и подъемные силы соизмеримы. Вязкостный режим имеет место при преобладании сил вязкости над подъемными силами, т. е. он соответствует течению вязких жидко- стей при отсутствии влияния естественной конвекции. По сравнению с вязкостно-гравитационным вязкостный режим тем более вероятен, чем меньше диаметр трубы, чем больше вязкость жид- кости и чем меньше температурный напор. При вязкостном режиме распределение скорости по сечению трубы отклоняется от параболического, так как вследствие изменения тем- пературы по сечению изменяется и вязкость. При этом распределение скоростей зависит от того, имело ли место нагревание или охлаждение жидкостей (рис. 8-6). При одной и той же средней по сечению темпе- ратуре в случае нагревания жидкости ее температура у стенки будет больше, чем при охлаждении. Чем больше температура капельной жид- кости, тем меньше ее вязкость. В результате при нагревании жидкости скорость вблизи стенки больше, чем при охлаждении, и теплоотдача увеличивается. 205
Рис. 8-6. Распреде- ление скорости по сечению трубы при вязкостном тече- нии капельных жидкостей. 1 — изотермическое течение. 2 — охлаж- дение жидкости; 3 — нагревание жидко- сти С аналогичным явлением мы познакомились при рассмотрении теплоотдачи плоской стенки, омываемой потоком капельной жидкости. При течении капельной жидкости коэффициент теплоотдачи будет больше при нагревании, чем при охлаждении; различие увеличится при возрастании температурного напора. При вязкостно-гравитационном режиме, помимо влияния изменения вязкости, распределение скоростей в сильной мере зависит от интенсивности и направле- ния токов естественной конвекции, обусловленных разностью плотностей менее и более нагретых частиц жидкости. При отсутствии вынужденного движения и определенном изменении температуры распределение скоростей при естественной конвекции жидкости име- ет вид, изображенный на рис. 4-8. В зависимости от взаимного направления вынуж- денного и свободного движения можно различать три случая: направления естественного и вынужденного дви- жения совпадают; направления свободного и вынужденного движе- ния взаимно перпендикулярны; направления свободного и вынужденного движе- ния взаимно противоположны. Первый случай имеет место при нагревании жид- кости и ее движении в вертикальной трубе снизу вверх или при охлаждении жидкости и ее движении в вер- тикальной трубе сверху вниз. При этом под влиянием естественной конвекции скорости жидкости у стенки возрастают (рис. 8-7), эпюра скоростей может иметь, два максимума. Второй случай соответствует взаимно перпенди- кулярному направлению вынужденной и естественной конвекции, он наблюдается в горизонтальных трубах. В поперечном сечении трубы под влиянием естествен- ной конвекции возникает поперечная циркуляция жид- кости. При нагревании жидкости у стенки возникают восходящие токи и нисходящие — в середине трубы; при охлаждении — наоборот (рис. 8-8). В результате жидкость движется как бы по винтовой линии. За счет лучшего перемешивания жидкости теплоотдача в среднем увеличивается. При прочих равных усло- виях она будет больше, чем при совпадении вынуж- денного и свободного движения. Третий случай, соответствующий взаимно проти- воположному направлению вынужденной и естест- венной конвекции, имеет место при нагревании жидкости и ее движении в вертикальной трубе сверху вниз и охлаж- дении жидкости и ее движении снизу вверх. При этом скорость жидкости у стенки под влиянием токов естественной конвекции, направ- ленных в противоположную сторону, уменьшается. В некоторых случаях у стенки может образоваться возвратное, или вихревое, движение жид- кости (рис. 8-9). В этом случае коэффициенты теплоотдачи практически 206 Рис. 8-7. Распреде- ление скорости по сечеиию трубы при совпадении на- правлений вынуж- денного и свобод- ного движений. 1 — суммарная кри- вая; 2 — за счет вы- нужденного движе- ния; 3 — за счет сво- бодного движения.
равны коэффициентам теплоотдачи, определенным по уравнению для тур- булентного течения жидкости [Л. 144]. Течение имеет свои особенности, если теплообмен неравномерен по пе- риметру канала или имеет место толь- ко на одной его стороне. Так, напри- мер, если плоский (щелевидный) ка- нал расположен горизонтально и про- изводится односторонний нагрев сни- зу, то возмущения потока за счет есте- ственной конвекции будут значитель- ны, при нагреве же сверху —слабы. Таким образом, в неизотермиче- ских условиях строго ламинарного движения, т. е. параллельно-струйча- того с параболическим распреде- лением скоростей, может не быть. Рис 8-8 Поперечная циркуляция в горизонтальной трубе при вынуж- денном и свободном, движении жидко- сти а — нагревание жидкости, б — охлаждение ЖИДКОСТИ Сложность и многообразие процессов течения и теплообмена в тру- бах позволяет выделить громадное число конкретных задач, различаю- Рис 8-9 Распре- деление скорости по сечению трубы прн взаимно про- тивоположных на- правлениях вы- нужденного и сво- бодного движений. 1 — суммарная кри- вая, 2 — за счет вы- нужденного движе- ния. 3 — за счет сво- бодного движения щихся исходными дифференциальными уравнениями и условиями однозначности. Многие из этих задач ре- шены. Решение наиболее полно поставленных задач из-за их сложности не может быть получено с доста- точной точностью или неосуществимо. Применение электронных вычислительных машин позволяет дове- сти решение задач до получения числовых значений искомых переменных. Однако и в этом случае иногда остаются неопределенными области выполнения полу- ченных значений на практике. Например, машинный расчет вязкостно-гравитационного течения может не показать, при каких условиях это течение переходит в турбулентное (критическое число Рейнольдса при этом может несколько измениться). В результате в учении о конвективном теплообме- не в настоящее время велико значение эксперимен- тальных исследований. При экспериментальном иссле- довании нахождение связей между отдельными пере- менными также представляет сложную задачу, кото- рая в общем случае не может быть разрешена вполне приемлемо без помощи теории (хотя бы ограничен- ной). Поэтому органическое слияние расчетно-аналитических и экспери- ментальных исследований дает в настоящее время наиболее достовер- ные универсальные результаты. 8-2. ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ТЕПЛООТДАЧИ ДЛЯ СТАБИЛИЗИРОВАННОГО ТЕПЛООБМЕНА Рассмотрим приближенный метод определения коэффициентов теп- лоотдачи при гидродинамически и термически стабилизированном те- чении жидкости в прямой круглой трубе. Будем полагать, что жидкость несжимаема, ее физические параме- тры постоянна, теплотой трения можно пренебречь, внутренние источ- ники тепла отсутствуют. 207
Уравнение энергии для осесимметричного стационарного потока можно записать следующим образом: / dt . dt \ _ (d*t , I dt _x_d2t \ PCP [Wr — = x ^+— Уравнение записано в цилиндрических координатах: здесь г — те- кущий радиус; х~продольная координата, направленная по оси трубы в сторону движения жидкости. Будем полагать, что перенос теплоты теплопроводностью в ра- диальном направлении много больше, чем в осевом. Тогда членом дЧ[дх2 можно пренебречь. Кроме того, wr=0. Учтем, что в турбулент- ном потоке теплота переносится не только теплопроводностью, ио и пу- тем турбулентных пульсаций. Уравнение энергии при этом может быть записано в следующем виде: d Г/ч I - \ । д* ИГ Iг -Э7-]=fC^r здесь коэффициент турбулентного переноса теплоты; t и wx— осредненные во времени местные значения температуры и ско- рости турбулентного потока. Назначим граничное условие qc—const. Как было показано в гл. 6„ при 7с=const Qc л -7F-='7^— == COnst. dF Gcp Для круглой трубы (dF = 2тсг0сЫ , __^Qc (А? £ж) . dx pcpwxr0 pc^xr0 здесь tK — среднемассовая температура жидкости в данном сечении; wX'—средняя скорость в этом же сечении; г0 — радиус трубы. В рассматриваемых условиях средняя температура жидкости будет линейной функцией х. При a=const по линейному закону изменяется не только tm, но и температура стенки: Qc л. т tc — tK = const. При неизменных физических свойствах местная температура жид- кости изменяется вдоль трубы также по линейному закону. Отсюда следует: dt dx ----—= const. Подставляя значение dt/dx в уравнение энергии, получаем: или -£г1 (Z + R 1 = 29ЛГ где Wx=Wxlwx и R—r/r0 — соответственно безразмерные скорость и ра- диус. 208
Разделяя переменные и интегрируя в пределах от 0 до R и от 0 до ('/.~\'/.r)RdtldR, получаем: к (Z + JQ R ~=2<7Л j' WXR dR. 6 Отсюда следует, что о Среднемассовая температура жидкости при постоянных сг и р опре- деляется уравнением tK=-=r- \wjdf. J Так как для круглой трубы f=№ и df=d(vrs) = 2itrdr, то 2 r20Wx J 0 Найдем этот интеграл по частям, стям: Обозначим --^ywxRdR. о Формула интегрирования по ча~ | vdu. 6 t—u и dv = WxRdR или R v=\WxRdR. 6 Тогда /ж =2 t к = 2 kc|U7xRdR — dt (б'. Интеграл j" WxRdR может быть преобразован следующим образом: 2тг 2wKr:ril О Подставляя полученное значение интеграла в (б), получаем- — i £ \ = tc — 2 f f WXR dR I df. 14—37 2С1
После подстановки сюда значения dt согласно уравнению (а), можно написать: Отсюда следует: М4-7„) .. 2^СГО где PrT=es/eg — турбулентное число Прантдля. Согласно определению А __!____ Nud Используя последнее обозначение, можно написать следующее интегральное уравнение теплоотдачи для стабилизированного теплооб- мена: / е у , j' W,RdR I ’ = 2 [ ----1— dR. (8-3) Уравнение (8-3) было получено Лайоном. Оно пригодно как для турбулентного, так и Для ламинарного течения. Если известно распре- деление скоростей wx(r), то с помощью уравнения (8-3) можно рассчи- тать коэффициенты теплоотдачи. Для ламинарного течения %т—0 и уравнение (8-3) упрощается: 1 / я \2 О '0 / (8-3') Аналитические методы расчета теплообмена при течении жидкости в трубах, в том числе и с переменными свойствами, рассматриваются в [Л. 46, 47, 144]. В-3. ТЕПЛООТДАЧА ПРИ ТЕЧЕНИИ ЖИДКОСТИ В ГЛАДКИХ ТРУБАХ КРУГЛОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ А. Теплоотдача при ламинарном режиме Теплоотдача при гидродинамически и термически стабилизирован- ном течении жидкости может быть рассчитана по формуле (8-3'). При гидродинамически стабилизированном ламинарном течении жидкости с неизменными физическими свойствами wx=2wx[l—(г/г0)2] или ^=2(1—7?2), где Wx==wx/wx и R=r/rQ. 210
Подставляя в уравнение (8-3) значение согласно последней формуле и интегрируя, получаем: 1 к -12 ^ = 2\2(l — Rz)RdR =jL. 0 0 Отсюда следует, что Nud^4r = 4'36' Таким образом, прн стабилизированной теплоотдаче критерий Нус- се льта постоянен и равен 4,36. Это значение получено при условии qc—const. При tc=const тео- рия дает, что Nu<i=3,66. Значения Nu получены для параболического распределения скоростей. Такое распределение будет иметь место при неизменных физических параметрах жидкости, в частности при исче- зающе малых температурных напорах, поэтому расхождение получен- ного результата с опытными данными может быть очень велико. Кроме того, рассмотренная нами теория не учитывает теплообмен в начальном участке трубы. Течение и теплообмен у входа в трубу близки к таким же процес- сам у продольно омываемой пластины, рассмотренным в гл. 7, так как в начале трубы толщины пограничных слоев малы по сравнению с по- перечными размерами канала. В связи с этим теплоотдача вблизи входа в трубу с достаточной степенью точности может быть описана уравнениями для продольно-обтекаемой пластины. По мере удаления от входа ввиду большего влияния стеснения потока закономерности процесса изменяются. При аналитических расчетах учет переменности физических пара- метров в совокупности с учетом других влияющих факторов требует сложной и трудоемкой работы. Поэтому в настоящее время практиче- ские расчеты предпочитают вести с помощью сравнительно простых эмпирических формул. Рассмотрим результаты некоторых эксперимен- тальных работ. Для случая qc = const в [Л. 114], проведенной в Энергетическом институте им. Г. М. Кржижановского, предложена для расчета местных коэффициентов теплоотдачи при вязкостном течении в начальном теп- ловом участке следующая формула: («) .=0,33Re°-sfe) М w (Р^.ч/Ргых )“-ss (x/d)”-1. (8-4) Здесь в качестве определяющего размера принято расстояние рас- сматриваемого сечения от начала трубы, а в качестве определяющей температуры — средняя в данном сечении температура жидкости (зна- чение Ргс(х) выбирается по местному значению температуры стенки). Согласно формуле (8-4) а—сх~°л, где с — величина, не зависящая от х. Осредняя коэффициенты теплоотдачи по формуле (6-21), получа- ем, что а= 1,4ох_(. В экспериментах [Л. 114] теплообмен имел место с начала трубы (теплоотдача измерялась, начиная с x/d=2), относительная длина тру- бы составляла l/d^2\6, где I — длина трубы, a d—внутренний диа- метр. Формула (8-4) близка к формуле для продольно-омываемой пла- стины. Полагают, что комплекс (x/d)0’1 учитывает влияние кривизны канала и стеснение потока стенками трубы. 14* 211
Если длина трубы больше длины начального теплового участка и теплообмен имеет место с начала трубы, средние коэффициенты тепло- отдачи при вязкостном течении могут быть определены по уравнению [Л. 144] Nu=l,55 (Ре4)1'3 (8-5) Здесь средний коэффициент теплоотдачи отнесен к среднему лога- рифмическому температурному напору. Физические свойства жидкости, входящие в Nu и Ре, а также значение выбираются по температуре t=tc—A4i/2 (значение р,с берется по средней температуре стенки). Определяющим размером, вводимым в Nu и Ре, является внутренний диаметр трубы. Величина ег представляет собой поправку на гидродинамический начальный участок, формирующийся одновременно с начальным терми- ческим участком; поправка в? может быть вычислена по формуле ег = 0,10(Л—су1'’ / А _|_2,5 J—Щ, \Re d J I \ 1 Re d J' справедливой при p^--^-<6 0,l, 11ли взята из графика рис. 8-10. Опреде- ляющие величины те же, что и для критериев Nu и Ре. Если в начале трубы имеется необогреваемый участок длиной k< <4.т, то приближенно можно пользоваться формулой (8-5), подставив в выражение™ вместо / сумму k>+l. Если то следует при- нимать 8z= 1. Уравнение (8-5) получено при ^--^-<0,01 н 0,07 1500. Учет влияния вязкости с помощью отношения (р.с/рж)~°'14 справедлив для капельных жидкостей и непригоден для газов. Формула (8-5) может быть использована при постоянной или слабо изменяющейся по длине температуре стенки. Согласно (Л. 144] при GrPr>-8-105 имеет место вяз- костно-гравитационный режим. Здесь Gr=g0A4f3/v2; Д£= = | (tc—4)|; to — температура жидкости па входе в трубу; физические параметры, входя- щие в GrPr, выбираются по температуре £=0,5(4+4)- Рис. 8-10. Теплоотдача на гидродинамическом начальном участке круглой трубы при лами- нарном течении и tc=const. При вязкостно-гравитационном режиме коэффициенты теплоотдачи больше определяемых по формулам (8-4) и (8-5). В результате влияния естественной конвекции коэффициент теплоотдачи при определенных условиях может увеличиться в 5 раз. Учет влияния естественной конвекции при различных положениях трубы в сочетании с различными условиями ее нагревания и охлажде- ния является достаточно трудной задачей. Сравнительно небольшие различия граничных условий часто приводят к существенно разным 212
результатам экспериментов, что затрудняет получение обобщенных за- висимостей, справедливых для всех случаев вязкостно-гравитационного режима. Приближенная оценка среднего коэффициента теплоотдачи при вязкостно-гравитационном режиме может быть произведена по форму- ле [Л. 125]: Nu^ = 0,15Re°f Рг°’33Х X (Сгж,Ргж)<’д(Ргж/Ргс)|1'25Д (8-6) Здесь в виде определяющей принята средняя температура жидко- сти в трубе. Определяющим размером является внутренний диаметр трубы. Коэффициент с/ учитывает изменение среднего коэффициента теплоотдачи по длине трубы. Если l/d>50, то е;=1. 1[ри l/d<z50 по- правку е; можно приближенно оценить с помощью табл. 8-1 [Л. 124]. Таблица 8-1 Значения et при ламинарном режиме Ifd I 2 5 10 15 20 30 40 50 1,90 1,70 1,44 1,28 1,18 1,13 1,05 1,02 1 Обширные исследования теплоотдачи при вязкостном и вязкостно- гравитационном режимах были проведены Б. С. Петуховым, Е. А. Крас- нощековым, Л. Д. Нольде и др. [Л. 123, 149, 150, 151 и др.]. В экспери- ментах, проведенных с водой при ?c=const, получено [Л. 151], что вследствие свободной конвекции температура стенки горизонтальной трубы может существенно изменяться по периметру; в условиях нагре- ва жидкости на верхней образующей она значительно выше, чем на нижней. В случае необходимости проведения тщательных расчетов теплоотдачи при вязкостно-гравитационном течении следует обратить- ся к цитированным работам. Б. Теплоотдача при турбулентном режиме Ранее при рассмотрении турбулентного пограничного слоя было получено [формула (7-32)]: g ___________secp Ко _________ Примем для течения в трубе, что Wq=w и ta— t, где w и t—соот- ветственно средние по сечению скорость и температура жидкости. При безотрывном течении, когда гидравлическое сопротивление определяется силами трения, величину sc можно найти, зная коэффи- циент гидравлического сопротивления £ для стабилизированного те- чения. Разность давления в двух поперечных сечениях трубы 1 и 2 &р = =pi—р2 (рис. 8-11) при стабилизированном течении идет на преодоле- ние трения на стенках (в начальном участке еще дополнительно на перестройку потока). Тогда &pf=scF, 213
где f — площадь поперечного сечения трубы; F — поверхность трубы между сечениями 1 и 2. Согласно закону Дарси Тогда Для круглой трубы _L±=_L d f 4 • Отсюда sc=-t-P“j3- О Подставив последнее соотношение в уравнение (7-32) и разделив левую и правую части этого уравнения на pcpw(t—te), получим: Е/8 st === a=______________- ___________ pcpa» 1 + 12 Kg/8 (Rr2'3 — 1) Напомним, что число Стантона St можно представить следующим образом: (8-8) st- Nu RePr ' Если Pr = 1, то вместо (8-8) имеем: St = -|- или Nu=-|-RePr. О о (8-9) Б. С. Петуховым и В. В. Кирилловым [Л. 147] была предложена формула g Ргж Nu,,.,, =-----------7=—----------et, (8-10) I .07-1-12.7 t g/8 (Pr2'3 — I) ’ где несколько уточнены постоянные, входящие в уравнение. Здесь в( = = (p»/uc)"; п=0,11 при нагревании капельной жидкости и я=0,25 при ее охлаждении*. Формула (8-10) дает значения коэффиииентов г теплоотдачи при стабилизированном теплообмене, р и За определяющую приняты либо средняя по сече- * 2 и нию (при расчете местных коэффициентов теплоот- I, дачи), либо средняя в трубе (при расчете средних t I „ 1 коэффициентов теплоотдачи) температура жидко- г. „,, сти. Исключение составляет коэффициент динами- Рис. 8-11. К выводу .. - г г ч ~ уравнения (8-7) ческой вязкости рс, выбираемый по температуре стенки. За определяющий размер взят внутренний диаметр трубы. Формула (8-10) пригодна для расчета теплоотдачи раз- личных жидкостей при Рг7; О,7. На основе уравнения (8-9) можно получить расчетную формулу для PlSsl, если ввести в (8-9) экспериментально определенную функцию 1 При расчете теплоотдачи по формуле (8-10) коэффициент гидравлического сопро- тивления трения t рекомендуется определять по уравнению Г К. Фнлонснко. Е— = l/(l,821gRe„i.a—1,64)2. 214
f(Рг) =0,91 Р1».« Для определения коэффициента гидравлического со- противления используем формулу Я = 0,184 Re/'2 . Тогда, вводя дополнительно поправку е<= (Ргя1/Ргс)°'25 на перемен- ность физических свойств капельных жидкостей, получим формулу, предложенную М. А. Михеевым [Л. 125]: №„„=0,021 Re°J Рг°'43(Ргк/Ргс)°-25. (8-11) Формула описывает среднюю теплоотдачу в прямых гладких тру- бах при (//с!) >50. За определяющую здесь принята средняя темпера- тура жидкости в трубе, а за определяющий размер — внутренний диа- метр. Число Рг0 выбирается по средней температуре поверхности стенки. Для расчета местных коэффициентов теплоотдачи при турбулент- ном течении газа в прямой гладкой трубе А. С. Сукомелом и др. [Л. 131] была получена формула (я) „ = 0,022 Re’-^Pr^. (8-12) За определяющую здесь принята средняя в данном сечении темпе- ратура газа, а за определяющий размер — внутренний диаметр трубы. Величина е; является поправкой па изменение коэффициента теплоот- дачи в начальном термическом участке. При (х/с!)^15 имеем е;~1. При (x/rf)<15 и турбулентном течении с самого начала трубы соглас- но [Л. 131] поправочный коэффициент е< можно определить по фор- муле ei=l,38i(x/d)-e’12. (8-13) Как следует из последнего уравнения, на начальном участке ко- эффициент теплоотдачи по мере увеличения х уменьшается. При расчете по формулам (8-10) и (8-11) средней теплоотдачи ко- ротких труб (IJd) «с 50) полученные значения Nu необходимо умножить на поправку Ei=ia/aoo, где — коэффициент теплоотдачи при (l/d)—>- •—>оо [практически (l/d) >50]. Как отмечалось в § 8-1, длины начальных гидродинамического и теплового участков зависят \от ряда факторов, например, от числа Рей- нольдса, степени турбулентности потока на входе, начального распре- деления скорости, тепловых граничных условий и т. п. От этих же факторов зависят и поправочные коэффициенты е; и ei. Поэтому исполь- зуемые в настоящее время в расчетной практике значения поправочных коэффициентов не являются универсальными и отражают специфику опытных исследований, в результате которых они были получены. Чем меньше l/d (или x/d), тем больше может быть различие поправочных коэффициентов и тем больше может быть ошибка расчета. Значение поправки Е;=и/аоо может быть определено по уравнению (8-1). Если конкретных сведений об условиях протекания процесса не- достаточно, то можно воспользоваться более простой формулой (8-2). Используя уравнение (8-13), для оценки е; можно получить следующую формулу: — 2 4=^1 + -^-; (8-14) 215
здесь I — длина участка осреднения, отсчитываемая от входного сече- ния трубы. Коэффициент теплоотдачи может зависеть от переменности темпе- ратуры стенки по длине трубы. При турбулентном течении неизотер- мичность поверхности стенки сравнительно слабо сказывается на тепло- отдаче. В случае теплообмена газа при больших температурных напорах коэффициенты теплоотдачи могут отличаться от вычисленных по урав- нениям (8-10) — (8-12) [на газы поправки типа (Ргж/Ргс)п и (цж’/рс)” не распространяются]. Изменение теплоотдачи обычно учитывают вве- дением в правую часть уравнений (8-7) — (8-9) функции ](0С), где 0Г = = Тс1ТкС, Тс — средняя или местная температура стенки, К, в зависимо- сти от того, рассчитывается средний нли местный коэффициент теплоот- дачи; Т„:— соответственно средпемассовая в трубе илн в данном сече- нии температура газа, К. На рис. 8-12 представлены некоторые результаты измерения мест- ной теплоотдачи газа в случае его нагревания (0С> 1) и охлаждения (0с<1). При охлаждении одно- и двухатомных газов теплоотдача практически не зависит от температурного фактора, если физические параметры выбирать по Тж. По данным [Л. 3, 145] эта независимость имеет место до <Эс = 0,08. Теплоотдача охлаждаемых многоатомных га- зов несколько снижается с увеличением температурного напора. При нагревании газов теплоотдача существенно зависит от 0О (рис. 8-12). В заключение отметим, что из уравнений (8-11) и (8-12) следует, что a~w°’s, т. е. при турбулентном течении коэффициент теплоотдачи зависит от скорости более существенно, чем при ламинарном режиме. Из уравнения (8-12) следует также, что при (x/d)>15 a~d-4l’z, т. е. чем меньше диаметр трубы, тем больше коэффициент теплоотдачи. 216
В. Теплоотдача при переходном режиме При числах Рейнольдса примерно от 2-103 до 104 теплоотдача за- висит от очень большого количества факторов, трудно поддающихся учету. Переходный режим характеризуется перемежаемостью течения (см. § 7-3). На рис. 8-13 для конкретных условий приведена зависи- мость коэффициента перемежаемости оз от относительного расстояния от входа в трубу для различных чисел Рейнольдса. При постоянном числе Рейнольдса коэффициент перемежаемости возрастает с увеличе- нием расстояния от входа в трубу; коэффициент перемежаемости воз- Рис 8-13 Зависи- мость коэффициента перемежаемости а от относительного рас- стояния x/d и числа Рейнольдса растает и с увеличением числа Рейнольдса. Таким образом, чем больше число Рейнольдса, тем на меньшей длине трубы может преобладать ламинарный режим течения. В общем случае в начальной части трубы можно выделить погра- ничный слой с ламинарным, переходным и турбулентным режимами течения. Переход, от ламинарного течения к турбулентному может про- исходить в ядре потока и в пограничном слое не одновременно. Из опытов следует, что при ламинарном течении в пограничном слое дви- жение в ядре потока может иметь ярко выраженный турбулентный характер. Чем больше степень турбулентности на входе в трубу, тем меньше длина ламинарного пограничного слоя [Л. 174]. Наличие наряду с вынужденным свободного движения может су- щественно изменить протекание процесса. Сложный характер течения в переходной области чисел Рейнольдса затрудняет количественное описание процесса теплообмена. Обобщенные методики расчета тепло- обмена в переходной области отсутствуют. Приближенная оценка наи- большего и наименьшего значений коэффициента теплоотдачи может быть произведена соответственно по формулам для турбулентного и вязкостного течений. 8-4. ТЕПЛООТДАЧА ПРИ ТЕЧЕНИИ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ НЕКРУГЛОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ, В ИЗОГНУТЫХ И ШЕРОХОВАТЫХ ТРУБАХ А. Теплоотдача в трубах некруглого поперечного сечения В настоящее время наиболее хорошо изучена теплоотдача в круг- лых трубах. Расчет теплоотдачи в трубах некруглого поперечного сече- ния часто сводят к определению той же величины в некоторой эквива- лентной трубе круглого поперечного сечения с диаметром d,ra=^=^-, (8-15) 217
где j— поперечное живое сечение трубы; Р — смоченный периметр по- перечного сечения. Эквивалентный или гидравлический диаметр dSKB представляет собой, таким образом, учетверенное отношение объема жидкости V, находящейся в трубе, к поверхности F. Для круглых труб d0KB=d. Метод расчета теплоотдачи с помощью докв является приближен- ным. Точные границы возможности применения этого метода не уста- новлены. Однако, как показывают некоторые экспериментальные иссле- дования, во многих случаях такой приближенный расчет дает удовлет- ворительные результаты. По рекомендациям М. А. Михеева [Л. 124] при турбулентном движении жидкости расчет теплоотдачи в каналах прямоугольного (отношение сторон а/b = 1 -: 40) и треугольного сечений и при продольном омывании пучка труб можно производить с помощью эквивалентного диаметра. Согласно [Л. 136] этот метод расчета непригоден при ламинарном течении и при течении расплавленных металлов. По данным [Л. 61] средние коэффициенты теплоотдачи на внут- ренней стенке при турбулентном течении газов и капельных жидкостей в каналах кольцевого поперечного сечения можно рассчитать по урав- нению ML, =0,017Re°-® Prc-’(Pr,K/[>r,y JS (d,/d,)°.18. (8-16) уКл7ак0 Ж2вкв !К Здесь определяющей является средняя температура жидкости в трубе (исключая Ргс), определяющий размер <4кв=^2—dt. Особенно- сти теплообмена в кольцевых каналах учитываются множителем (dz/di)0,18» где di — внутренний диаметр