В.И. ТИХОНОВ
О ТИМАЛЬНЫИ
ПР СИГНАЛОВ
I.
!

В.И. ТИХОНОВ
ОПТИМАЛЬНЫЙ
ПРИЕМ СИГНАЛОВ
Е
МОСКВА гРАДИОИСВЯЗЬ- 198»

УДК 621.37:621.391
Тихонов В. И. Оптимальный прием сигналов. — М.: Радио н связь, 1983.—
320 с.
Изложены методы синтеза аналоговых и цифровых систем передачи
сообщений различного назначения. При разном объеме априорных сведений о
рассматриваемой ситуации (в частности, о полезных сигналах и помехах) получены и
обсуждены структурные схемы оптимальных систем радиосвязи, радиолокации,
радионавигации и другие, а также приведены количественные показатели
качества их работы. Рассмотрено много содержательных радиотехнических примеров по
обнаружению и различению сигналов, оценке и фильтрации их параметров. В
книге отражено содержание программ-минимума кандидатских экзаменов но
нескольким радиотехническим специальностям.
Для научных работников и аспирантов. Полезна радиоинженерам,
работающим в области радиоэлектроники и связи.
132 рис., библ. 71 назв.
Рецензенты: доктор техн. наук проф. И. Н. Амиантов,
доктор техн. наук проф. Б. Н. Митяшев
Редакция литературы по кибернетике и вычислительной технике
i
Тихонов Василий Иванович
ОПТИМАЛЬНЫЙ ПРИЕМ СИГНАЛОВ
Редактор Т. М. Любимова
Художественный редактор Л. Н. Сильянов
Художник П. М. Богопольский
Технический редактор И. Л. Ткаченко
Корректор Л. А. Буданцева
ИБ № 460
Сдаио в набор 24.04.83 г. Подписано в печать 31.10.83 г.
Т-20055 Формат 60Х90/,6 Бумага типограф. № 2 Гарнитура литературная
Печать высокая Усл. печ. л. 20,0 Усл. кр.-от/г. 20,0 Уч.-изд. л. 20,51 Тираж 9000 экз.
Изд. № 20262 Зак. № 82 Цена 1 р. 90 к.
Издательство «Радио и связь». 101000 Москва, Почтамт, а/я 693
Московская типография Л"° 5 ВГО «Союзучетнздат»
101000 Москва, ул. Кирова, д. 40
2402020000-204
Т 046 (01)-83 6"83
© Издательство «Радио и связь», 1983

ПРЕДИСЛОВИЕ
Одно из основных направлений развития радиотехники в
течение последних 30 лет связано с широким применением методов
математической статистики. Среди радиоспециалистов оно
получило название «оптимальный прием сигналов». Сюда относятся
методы оптимального обнаружения и различения сигналов на
фоне помех, методы оценки неизвестных параметров сигнала и
разрешения нескольких сигналов, а также оптимальная
фильтрация сообщений, содержащихся в принимаемых сигналах.
Оптимальным методам радиоприема посвящено несколько
книг, в том числе и раздел III книги «Статистическая
радиотехника» (Сов. радио, 1966). Содержание данной книги полностью
охватывает проблематику раздела III и включает новые
результаты последнего 20-лет]ия. Книга отличается от ранее изданных
но аналогичной тематике как по содержанию, так и по
методологии изложения материала. Ее следует рассматривать как
продолжение «Статистической радиотехники», изданной в 1982 г.
В основу книги положены материалы лекций, которые в течение
ряда лет читались инженерам и аспирантам.
В книге применена следующая нумерация и система ссылок.
Нумерация рисунков ведется по главам, а формул — по главам
и параграфам.: первая цифра указывает номер главы, вторая—■
номер параграфа и третья — номер формулы в параграфе. Ссылки
на фромулы в пределах одного параграфа даются без указания
номера главы и параграфа. В список литературы включены лишь
литературные источники и работы, использованные при написании
книги.
Глава 4 написана по материалам, представленным по
просьбе автора, Ю. Н. Бакаевым и В. Н. Харисовым. Проф. И. Н. Ами-
антов и Б. Н. Митяшев ознакомились с рукописью и высказали
ряд полезных рекомендаций. При написании книги большую
помощь оказали Л. А. Ершов, В. С. Ефименко, А. И. Папков и
В. Н. Харисов. Всем им выражаю глубокую благодарность.

ВВЕДЕНИЕ
Научно-прикладные работы, связанные с применением
методов математической статистики в радиотехнике, сыграли весьма
прогрессивную роль, так как они вооружили разработчиков
аппаратуры некоторыми общими руководящими принципами,
позволили оценить предельные возможности решения конкретных
задач при определенных условиях и существенно расширили
радиотехническую проблематику.
На возможности продуктивного использования статистических
методов в радиотехнике, по-видимому впервые, непосредственно
указали работы А. Н. Колмогорова (1939 г.) и Н. Винера
<(1942 г.) по синтезу оптимальных линейных фильтров. Первая
фундаментальная работа, посвященная систематическому'
применению методов математической статистики для решения задач
радиосвязи, принадлежит В. А. Котельникову (1946 г.). В ней
был получен ряд практически важных результатов
принципиального характера.
В современных условиях, характеризуемых сложностью задач,
решаемых радиосистемами, и разнообразием помеховой
обстановки, разработка достаточно совершенных систем возможна
лишь на базе современных методов оптимизации (синтеза).
Общую проблему синтеза радиотехнических систем условно можно
подразделить на две частные задачи: выбор «наилучших»
сигналов для достижения требуемого результата с учетом реальной
обстановки и оптимальная обработка (прием) принимаемых
сигналов.
Главная задача приема сигналов сводится к наилучшему
восстановлению полезной информации по сигналу, искаженному при
распространении и принимаемому совместно с помехами. Во
многих практических ситуациях прием сигналов должен
осуществляться при небольших отношениях сигнал-помеха, так как при
ограниченной мощности передатчика сигнал на большой
дальности оказывается слабым. Искажения сигнала и наличие помех
уменьшают вероятность правильного приема переданного
информационного сообщения.
Основную проблему оптимального приема сигналов можно
сформулировать так. Предполагая заранее (априорно)
известными некоторые характеристики передаваемого полезного сигнала,
канала и помех, а также их функциональное взаимодействие,
нужно получить оптимальное приемное или решающее
устройство, которое бы наилучшим образом воспроизводило переданное
4

сообщение или принимало решение с наименьшими ошибками.
Чем больше достоверных априорных сведений, тем легче и
точнее решается сформулированная задача. При очень малом
объеме априорных данных или отсутствии их необходимо
пользоваться методами адаптивного приема.
При синтезе оптимальных приемных устройств исходными
являются два положения: 1) выбор математически продуктивного
критерия оптимальности в соответствии с физическим смыслом и
целевым содержанием решаемой практической задачи; 2) четкая
математическая формулировка задачи, учитывающая все
априорные сведения и позволяющая решить ее в соответствии с
принятым критерием.
Итогом решения задачи синтеза и его конечной целью
являются следующие четыре основных содержательных результата.
1. Структура оптимального приемного устройства
(структурный синтез). В результате синтеза (оптимизации) должен быть
получен оптимальный алгоритм обработки принятого колебания,
реализуемый в виде соответствующих структурных или
функциональных схем.
2. Количественные оценки качества работы (количественный
синтез). После того как получена оптимальная структурная
схема, необходимо определить ее параметры и вычислить
количественные показатели качества работы устройства в соответствии
с принятым критерием.
3. Чувствительность к отклонениям от априорных данных.
В большинстве реальных ситуаций априорные сведения
являются не точными, а ориентировочными. Кроме того, в процессе
эксплуатации могут изменяться внешние условия работы.
Следовательно, на практике вполне возможны отклонения от принятых
априорных данных. Поэтому всегда желательно, чтобы
полученные алгоритмы и количественные характеристики были
нечувствительны к отклонениям от принятых априорных данных.
4. Практическая реализуемость. Конечным этапом синтеза
является решение вопроса о возможности точной или приближенной
реализации полученных результатов при помощи устройств,
которые можно осуществить на практике.
В соответствии с целевым назначением разных
радиотехнических систем и применяемыми математическими методами в
теории оптимального приема сигналов условно можно выделить
несколько направлений: оптимальное обнаружение и различение
сигналов на фоне помех, оценка неизвестных параметров сигнала и
помех, разрешение нескольких сигналов и оптимальная
фильтрация сообщений, содержащихся в принимаемых сигналах. Эти
задачи обычно рассматриваются при разном объеме априорных
сведений о рассматриваемой ситуации (в частности, о полезных
сигналах и помехах).
Различным аспектам проблемы оптимального приема,
сигналов посвящена обширная литература. В дополнение к работам,
5

приведенным в основном списке литературы, можно указать
специальные книги [1—33]. Однако данная книга отличается от ранее
изданных книг по аналогичной тематике как по содержанию, так
и по методике изложения материала.
Оптимальный прием сигналов в радиосвязи, радиолокации и
других системах передачи информации рассматривается
совместно, так как все эти задачи имеют одну и ту же общую базу
решения — математическую статистику (проверка гипотез,
оценивание параметров распределения). Применен единый
статистический подход к решению разнообразных задач. Он основан па
байесовской методологии и теории статистических решений. При
этом обеспечивается возможность учета не только информации,
доставляемой принимаемым колебанием, но и априорных
сведений отосительно сигнала и помех, параметры которых могут
изменяться во времени. В результате получено экономное и
единообразное изложение методов синтеза аналоговых и цифровых
систем приема сообщений различного назначения.
В книге широко используется современная теория марковских
процессов. Этим достигнута доступность и физическая
наглядность изложения материала и сравнительно просто получены
результаты в виде рекуррентных соотношений н дифференциальных
уравнений, которые можно легко реализовать современными
техническими средствами.
Если в ранее изданных книгах неизвестные параметры
сигналов и помех считались, как правило, неизвестными или
случайными величинами, то в данной книге они рассматриваются
также и как случайные процессы. Математической базой синтеза
соответствующих систем является современный аппарат
оптимальной нелинейной фильтрации. Удалось компактно и доходчиво
изложить теорию оптимальной нелинейной фильтрации марковских
процессов и проиллюстрировать продуктивность ее применения
для синтеза разнообразных радиотехнических систем, включая и
адаптивные системы. При этом задачи адаптивного приема
случайных сигналов сведены к несколько усложненным задачам пе-
адаптивного приема, принципиальное решение которых в общем
случае дается теорией нелинейной фильтрации.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Котельников В. А. Теория потенциальной помехоустойчивости. — М.: Гос-
энергоиздат, 1956.— 152 с.
2. Лаутон Ж. Л., Улеибек Г. Е. Пороговые сигналы: Пер. е англ./Под ред.
А. П. Сиверса. — М.: Сов. радио, 1952. — 400 с.
3. Вудворд Ф. М. Теория вероятностей и теория информации с применениями
в радиолокации: Пер. с англ./Под ред. Г. С. Горелика. — М.: Сов. радио,
1955.— 128 с.
4 Амиантов И. Н. Применение теории решений к задачам обнаружения
сигналов и выделения сигналов из шумов. — М.: ВВИА им. Н. Е. Жуковского,
1958. —272 с.
5. Вайнштейн Л. А., Зубаков В. Д. Выделение сигналов на фоне случайных
помех. —М.: Сов. радио, I960.— 448 с.
6

6. Фалькович С. Е. Прием радиолокационных сигналов на фоне флюктуацион-
ных помех. — М.: Сов. радио, 1961. — 312 с.
7. Миддлтон Д. Введение в статистическую теорию связи в 2-х т.: Пер. с
англ./Под ред. Б. Р. Левина. — М.: Сов. радио, 1962. Т. 2. — 832 с.
8 Хелстром К. Статистическая теория обнаружения сигналов: Пер. с англ./Под
ред. Ю. Б. Кобзарева. —М.: ИЛ, 1963. —432 с.
9 Вопросы статистической теории радиолокации в 2-х т./Под ред. Г. П. Тар-
таковского. — М.: Сов. радио, 1963. Т. 1. —424 с; 1964. Т. 2.—1080 с.
30. Тихонов В. И. Статистическая радиотехника. — М.: Сов. радио, 1966.—■
678 с.
11 Фалькович С. Е. Оценка параметров сигнала. — М.: Сов. радио. 1970.—
336 с.
12. Финк Л. М. Теория передачи дискретных сообщений, 2-е изд., перераб. и
доп. —М.: Сов. радио, 1970.— 728 с.
3 3. Теоретические основы радиолокации/Под ред. Я. Д. Ширмана. — М.: Сов.
радио, 1970. —560 с.
14. Витерби Э. Д. Принципы когерентной связи: Пер. с англ./Под ред. Б. Р.
Левина. — М.: Сов. радио, 1970.— 392 с.
15. Амиантов И. Н. Избранные вопросы статистической теории связи. — М.:
Сов. радио, 1971. —416 с.
16. Ван Трис Г. Теория обнаружения, оценок и модуляции в 3-х т.: Пер. с
англ./Под ред. В. И. Тихонова. — М.: Сов. радио, 1972. Т. 1. — 744 с.
17. Теория связи: Пер. с англ./Под ред. Б. Р. Левина. — М.: Связь, 1972.—
392 с.
18. Гуткии Л. С. Теория оптимальных методов радиоприема при флуктуацион-
ных помехах. 2-е ,изд., перераб. и дои. — М.: Сов. радио, 1972. — 448 с.
19. Стратонович Р. Л. Принципы адаптивного приема. — М.: Сов. радио, 1973.—
144 с.
20. Кузьмин С. 3. Основы теории цифровой обработки радиолокационной
информации. — М.: Сов. радио, 1974.— 432 с.
21. Фреикс Л. Теория сигналов. Пер. с англ./Под ред. Д. Е. Вакмана. — М.:
Сов. радио, 1974. — 344 с.
22. Сейдж Э., Меле Дж. Теория оценивания и ее применение в связи и
управлении: Пер. с англ./Под ред. Б. Р. Левина. —М.: Связь, 1976. — 496 с.
23. Левин Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники в 3-х кн.—
М.; Сов. радио, 1976. Кн. 3. —288 с.
24. Тузов Г. И. Статистическая теория приема сложных сигналов. — М.: Сов.
радио, 1977.— 400 с.
25. Репин В. Г., Тартаковский Г. П. Статистический синтез при априорной
неопределенности и адаптация информационных систем. — М.: Сов. радио,
1977. —432 с.
26. Варакин Л. Е. Теория систем сигналов. — М.: Сов. радио, 1978. —304 с.
27. Сикарев А. А., Фалько А. И. Оптимальный прием дискретных сообщений.—
М.: Связь, 1978—328 с.
28. Куликов Е. И., Трифонов А. П. Оценка параметров сигналов на фоне
помех.—М.: Сов. радио, 1978.— 296 с.
29. Сосулин Ю. Г. Теория обнаружения и оценивания стохастических
сигналов. — М.: Сов. радио, 1978.— 320 с.
30. Спилкер Дж. Цифровая спутниковая связь: Пер. с англ./Под ред. В. В.
Маркова.—М.: Связь, 1979.— 592 с.
31. Ярлыков М. С. Применение марковской теории нелинейной фильтрации в
радиотехнике. — М.: Сов. радио, 1980.— 358 с.
32. Ахманов С. А., Дьяков Ю. Е., Чиркин А. С. Введение в статистическую
радиофизику и оптику. — М.: Наука, 1981. — 640 с.
33. Фалькович С. Е., Хомяков Э. Н. Статистическая теория измерительных ра-
дносистем. — М.: Сов. радио, 1981. — 288 с.

Глава 1
ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО РАДИОПРИЕМА
1.1. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ. ХАРАКТЕРИСТИКА СИГНАЛОВ И ПОМЕХ
В радиосвязи, радиолокации и других системах передачи
информации сигнал, предназначенный для передачи полезных
сообщений, в процессе передачи маскируется помехами и
подвергается искажениям. Поэтому даже при самом тщательном
конструктивном выполнении радиотехнических устройств с целью
свести к минимуму влияние помех на выходе радиоприемного
устройства не удается точно воспроизвести переданное сообщение.
Предположим, что в отсутствие помех и искажений сигнала
на выходе приемника точно воспроизводится переданное
сообщение. Тогда при наличии помех и искажениях сигнала сообщение
на выходе того же приемника будет воспроизводиться не точно,
а с искажениями. Приемник, для которого искажения сообщения
в определенном смысле минимальны, называется оптимальным
или идеальным (наилучшим) в этом смысле. В зависимости от
назначения приемника критерии и количественные
характеристики искажений могут быть разными (см. ниже). При выбранном
критерии и заданных условиях приема оптимальный приемник
определяет минимальные искажения сообщения. Этот
минимальный уровень искажений часто называют потенциальной помехой-
устойчивостью.
При заданных условиях радиоприема потенциальная помехо*-
устойчивость не может быть превзойдена реальным
радиоприемником и можно лишь стремиться к ее достижению. Сравнивая
помехоустойчивость реальных приемников с потенциальной
помехоустойчивостью, можно выяснить степень технического
совершенства реальных приемников и возможные резервы повышения
их помехоустойчивости.
Теория оптимального радиоприема позволяет также
определить наилучшие виды передаваемых сигналов. Для этого
следует сравнить значения потенциальной помехоустойчивости при
различных видах сигналов. Сигнал, для которого при заданных
условиях радиоприема получается наибольшая потенциальная
помехоустойчивость, является наилучшим.
Следует заметить, что теория оптимальных методов
радиоприема, давая руководящие принципы при конструировании
радиоаппаратуры и количественные характеристики оптимальных
8

устройств, не исключает творческую инициативу
инженера-разработчика. Достаточно указать, что иногда оптимальные устройства
оказываются практически трудно реализуемыми. Кроме того,
инженер должен стремиться свести к минимуму аппаратурные
ошибки и учесть ряд факторов, не принимавшихся во внимание
при теоретическом рассмотрении.
Решение основных задач теории оптимального радиоприема
базируется на хорошо разработанных методах математической
статистики. Непосредственное применение математической
статистики к решению прикладных задач радиотехники и автоматики
было начато работами А. Н. Колмогорова, Н. Винера, В. А. Ко-
тслышкова и др. в 50-х годах. В последующие годы как у нас,
так и за границей было выполнено много важных исследований
в этой области. Научно-прикладное содержание этих
исследований состоит в решении новых сложных задач, направленных на
совершенствование радиотехнической аппаратуры.
В зависимости от целевого назначения разные системы
передачи информации работают в различных условиях и к ним
предъявляются разные требования. Исходя из этих требований, а также
из методических соображений, для типовых систем условно
можно сформулировать шесть частных задач, рассматриваемых в
теории. Ниже приведен один простой пример, позволяющий
составить представление о характере этих задач и, тем самым, о
содержании настоящей книги. Конкретные условия, при которых в
дальнейшем рассматриваются задачи, указаны ниже.
Пусть на конечном временном интервале [0, Т] принимается
колебание l,(t), являющееся детерминированной функцией от
полезного сигнала s(t, X) и помехи n(t):
t(t)=F(s(t, X), n{t)), 0</<7\ (1.1.1)
Здесь вектором %={h, ..., Xm} обозначены параметры, от
которых зависит сигнал. Если, например, сигналом является
прямоугольный радиоимпульс длительностью тн, который полностью
укладывается на интервале [0, Г], то
Acos[a(t—т) + ф], 0<т</<т + т,,<7\
0, t<x, т + ти<г.
В данном конкретном примере сигнал зависит от пяти
параметров: амплитуды А=м, частоты со = Я,2, начальной фазы <р=Яз,
длительности импульса Ти='А,4 и момента его появления т=А,5
относительно принятого отсчета времени.
Предполагается, что непосредственному наблюдению доступно
только принимаемое колебание |(0- Относительно его до приема
считаются известными следующие априорные сведения: 1) способ
комбинирования сигнала и помехи, т. е. конкретный вид
детерминированной функции F(-), 2) сигнал s(t, X) является
детерминированной и известной функцией аргументов t и. X, 3) известны
все необходимые для решения задачи вероятностные
характеристики векторной случайной величины X и помехи n(t).
9
s(t, X) =

В дальнейшем преимущественно будет рассматриваться
частный вид функции ./•"(•), когда колебание ^(t) представляет собой
сумму сигнала и помехи:
l(t) = 8(t,b) + n(t), 0<*<7\ (1.1.3)
Относительно вероятностных характеристик параметров
сигнала к пока отметим следующее. В принятой модели полезного
сигнала некоторые параметры могут быть заранее (до приема)
известными, а остальные неизвестными. Предварительно известные
вероятностные характеристики части параметров сигнала
составляют априорные сведения относительно полезного сигнала.
Априорные сведения о сигнале могут быть полными (полностью
известна статистика сигнала) или неполными (известна статистика
лишь части параметров сигнала). Ясно, что носителями полезной
информации могут являться только неизвестные' параметры
сигнала.
В дальнейшем интересующие нас параметры сигнала,
называемые информационными (представляющими, существенными),
предполагаются всегда неизвестными, а остальные параметры,
называемые сопровождающими или сопутствующими
(несущественными), все или часть из них известными.
После этих общих замечаний сформулируем основные задачи
теории оптимальных методов радиоприема применительно к
наблюдаемому колебанию (3).
1. Обнаружение сигнала. Пусть неизвестен сам факт наличия
или отсутствия сигнала s(t, k) в принятом колебании £(/)-
С целью формализации задачи запишем принятое колебание (3)
в следующем виде:
i(/) = 8s(f, k) + n(t), 0<f<7\ (1.1.4)
Здесь 6 — случайная величина, могущая принимать лишь два
значения: 6 = 0 (сигнал отсутствует) и 6=1 (сигнал присутствует).
Требуется по принятой конкретной реализации £(г) на интервале
Т решить оптимальным образом, присутствует или отсутствует
сигнал s(t, к). Иначе говоря, требуется оценить значение
дискретного параметра 6. (Основные критерии оптимальности
сформулированы в § 2.1.) Это типичная формулировка задачи
обнаружения сигнала на фоне помехи, которая является весьма
характерной для радиолокации. В результате ее решения должна
быть получена структурная схема оптимального обнаружителя
сигнала и определены его количественные характеристики
(вероятности правильного и ошибочного принятия решения).
2. Различение сигналов. Предположим, что в принятом
колебании %(t) может быть только один из двух сигналов s\(t, X|)
или s2(t, Ла):
l(t) = QSl(t, ^) + (l-e)s2a, K) + n(t), 0<f<7\ (1.1.5)
Случайная величина 9 может принимать только два значения:
0=1 (присутствует сигнал Si(t, h)) с вероятностью pi и 0 = 0
10

(присутствует сигнал s2(t, Я2)) с вероятностью р2= 1—р\. Нужно
110 принятой реализации %(t) вынести оптимальное решение —
присутствует ли сигнал s\{t, k\) или сигнал s2(t, Яг). При
s2(t, Яг)=0 задача различения двух сигналов переходит в задачу
обнаружения. Задачу различения можно сформулировать для
любого параметра сигнала, принимающего два значения (например,
амплитуды, частоты, фазы и т. д.). Эта задача характерна для
разтичных систем передачи бинарных символов и, в частности,
для телеграфии.
Если принятое колебание !•(/) представляет собой сумму
помехи n(t) и одного из нескольких возможных сигналов s\(t, Я1),
^(t, Яг), ..., Sn(t, Яр,), то подобным же образом формулируется
задача различения ц, сигналов. Задача различения нескольких
сигналов является более общей и сложной, чем задача
обнаружения и задача различения двух сигналов. С подобными
задачами приходится сталкиваться в радиосвязи и телеуправлении.
3. Оценка параметров сигнала. Пусть какой-либо параметр
Я; сигнала s(t, Я) является случайной величиной с априорной
плотностью вероятности pP,(Xi). Необходимо с минимальной
погрешностью определить значение этого параметра Яг в принятой
реализации £(/). Это простейшая, но типичная задача одного из
важных разделов теории помехоустойчивости — теории оценки
парг^метров.
Если полезный сигнал зависит от нескольких случайных
параметров, то может быть поставлена задача о совместной оценке
двух и большего числа параметров. Например, применительно к
сигналу (2) можно говорить о совместной оценке времени
появления сигнала т и частоты w.
Задача оценки параметров является характерной для
измерительной техники, радиолокации и радионавигации.Результатом
решения этой задачи являются структурные схемы
соответствующих оптимальных измерительных устройств и предельные
точности измерения параметров сигнала.
4. Фильтрация сообщений. Пусть интересующий нас
параметр Яг- полезного сигнала s(t, Я) зависит от времени и
представляет собой информационное сообщение — случайный процесс
Я,-(/) с известными статистическими характеристиками.
Располагая сведениями о помехе n(t), нужно получить (отфильтровать,
выделить наилучшим образом) оценку Я,-(0 реализации
случайного сообщения Я; (0- содержащейся в наблюдаемой реализации
s(0- Задачи подобного типа рассматриваются в общей теории
фильтрации (гл. 4).
Задача фильтрации переходит в задачу оценки параметра сиг-
тола, если оцениваемый параметр за время наблюдения Т не
успевает существенно измениться. Задача фильтрации является
более общей и сложной, чем задача оценки параметров.
Задачи фильтрации возникают в радиосвязи и телеметрии
(выделение речевого или какого-либо другого сообщения), в
телевидении (выделение телевизионного сообщения), в радиолокации
и

(непрерывное определение дальности и доплеровского смещения
частоты) и т. д. Весьма часто задача фильтрации встречается
совместно с задачей обнаружения сигнала или различения
сигналов.
К числу задач, рассматриваемых в теории оптимального
радиоприема, относятся также разрешение сигналов и
распознавание образов. Укажем кратко содержание этих задач.
Пусть принятое колебание g(/) представляет собой сумму
помехи n(t) и двух возможно налагающихся сигналов Si (/,Xj,Л,2, Х3>
и s2 (t, fa, fa, fa)> зависящих от трех параметров fa, fa, fa:
[l(t)=Q1sl(t, fa, К fa) + 62s2tf, fa, Л,, Я,) + л(/>, t0<t^tQ + T,
(1.1.6)
где независимые случайные величины 6i и 02 могут принимать
значения 0 и 1. Предположим, что параметр fa является
случайным.
В понятие «разрешить» два сигнала можно вкладывать
различный смысл. При возможности одновременного наличия в
принятой реализации %(t) двух сигналов, можно, например, иметь в
виду только раздельное обнаружение сигналов с нужными
показателями или же как раздельное обнаружение, так и
определение значений параметра fa в двух сигналах. Так, если показатели
обнаружения (или оценки параметра fa) второго сигнала
остаются выше допустимых в присутствии случайного первого сигнала,
ю можно говорить, что второй сигнал разрешается в смысле
обнаружения (оценки параметра fa). Если в дополнение к этому
разрешается и первый сигнал при наличии второго, то можно
говорить, что сигналы взаимно разрешаются в смысле обнаружения
(оценки параметра fa).
Задача распознавания образов связана с разработкой
принципов и построением систем, предназначенных для определения
принадлежности данного объекта к одному из заранее
выделенных классов объектов. Под* объектами понимаются различные
предметы, явления, ситуации, процессы, сигналы. Каждый объект
описывается совокупностью основных характеристик (признаков,
свойств) A={fa, ..., fa, ..., fan}, где t'-я координата вектора
Л определяет значение t-й характеристики, и дополнительной
характеристикой в, которая указывает на принадлежность объекта
к некоторому классу (образу). Набор заранее
расклассифицированных объектов, т. е. таких, у' которых известны
характеристики Л и в, используется для обнаружения закономерных связей
между значениями этих характеристик и поэтому называется
обучающей выборкой. Те объекты, у которых характеристика &
неизвестна, образуют контрольную выборку.
Одна из основных задач распознавания образов — выбор
правила (решающей функции), в соответствии с которым по
значению контрольной реализации Л устанавливается ее
принадлежность к одному из образов, т. е. указывается наиболее
правдоподобное значение характеристики в для данного Л. Обычно вы-
12

бор решающей функции производится так, чтобы стоимость
распознающего устройства, его эксплуатации и потерь, связанных с
ошибками распознавания, была минимальной.
Задачу распознавания образов применительно к радиоприему
сигналов можно конкретизировать. Предположим, что известны
пи наблюдений из генеральной совокупности Аи m-i наблюдений
из генеральной совокупности А% и т. д., mv наблюдений Д,, v^
^2. Дана также выборка Х= {х\, ..., хт}. Задача распознавания
образов (или задача классификации) состоит в определении,
какой из генеральных совокупностей Ац, ц=1, v, принадлежит
выборка X. При этом обычно считают, что распределения Рд(-)
совокупностей Лд принадлежат некоторому семейству {р(9, •)}
распределений, зависящих от векторного параметра 6| так что
Ри (") = Р (6д, •), где 6д— неизвестны.
Выше условно указаны шесть основных задач, тесно
связанных между собой. В дальнейшем не все эти задачи будут
рассмотрены одинаково полно. Однако будут приведены
соображения, касающиеся всех перечисленных задач. Отметим, что в
практических ситуациях отдельные задачи должны решаться не
раздельно, а совместно (например, обнаружение сигнала и
фильтрация или оценка его параметров).
Перед тем как приступить к решению перечисленных задач,
укажем основные характеристики рассматриваемых в дальнейшем
сиголов и помех.
Пусть радиосигнал, излучаемый передающей антенной,
является узкополосным:
su(t) = f(t) cos М + гМО]. (1.-1.7)
Это означает, что функции f(t) и я)з(/), отображающие законы
амплитудной и фазовой модуляции, медленно изменяются по
сравнению с колебанием несущей частоты cos at. В этом случае
сигнал sK(t) будет узкополосным: ширина Ам его спектра много
меньше несущей частоты со, т. е. Аа»<^С(о.
При выбранной форме передаваемого сигнала (7) вид
полезного сигнала в месте приема существенно зависит от параметров
канала, по которому он передается. Например, при одном и том
же передаваемом сигнале sK(t) принимаемый сигнал в
радиолокации и в различных системах радиосвязи (наземной,
ионосферной, тропосферной, метеорной, космической и др.) будет
несколько разным.
Не касаясь детального рассмотрения различных каналов
связи, укажем, что вследствие распространения электромагнитных
колебаний через турбулентную среду и изрезанное™ диаграмм
направленности антенн, полезный сигнал в месте приема s(t, X)
во многих случаях можно представить в виде суммы двух
составляющих: детерминированной и случайной, т. е.
s(t, %) = af(t—T)cos[co/-f-T|:#—т)+6] +
-fp (/)/(/—t)cosM+i|>(*—т) — е(0]. (1.1.8)
13

Здесь « и б представляют собой амплитудный коэффициент и
фазовый сдвиг детерминированной составляющей7'сигнала (а и
б — постоянные величины), а В и е— амплитудный множитель и
фазовый сдвиг случайной составляющей. Величина т
характеризует время запаздывания
принимаемого сигнала относительно переданного.
Сигнал (8) можно записать иначе,
в виде узкополосного колебания:
s (/, X) = a (t) f (*—т) cos [ю t + y (t—т) —
-Ф(0Ь (1-1-9)
где a cos ф = a cos б + В cos e,
а sin ф = а sin б + В sin е.
Соотношение между а, ф, а, б, В и
е показано на рис. 1.1. Множитель a (t)
характеризует амплитудные замирания
радиосигнала и ф(/) —фазовый сдвиг по несущей частоте.
Часто принимают, что В и е представляют собой независимые
случайные величины, причем В распределена по закону Рэлея,
а г — равномерно на интервале [—л, я]:
I Р / Р2 n
—-—ехр —
р(В, е)=/2яО *Ч 2D
I 0 при других В, е.
При сделанных предположениях совместная плотность
вероятности случайных величин а и ф определяется формулой
а2 + а2 — 2 а а cos (ф — 6)
2D
О
Рис. 1.1. Соотношение между а,
Ф, а, б, р и б
В^О, —я^е^я,
(1.1.10)
р(а, <р) =
а (
}, а>0, |<р —б|<я,
при других а, ф.
(1.1.11)
Интегрируя (10) по ф и а, получим одномерные плотности
вероятности для случайных величин а и ф:
р(а) = -§-ехр|-
а2+а2
2D
/п
аа
D
а>0, (1.1.12)
Р (<Р) =
1- V'
у cos (ф — 6)
2л
У:
2Я
0>[ycos(cp — б)]е
— — ■yzsin^ (ф-е>
|ф —6| <Л, У = у=г-
(1.1.13)
функция Бессе-
где Ф(х)—интеграл вероятности (2.4.44), 10(х)
ля нулевого порядка от мнимого аргумента [35].
Оказывается, выбранная модель принимаемого сигнала (9)
удовлетворительно описывает флуктуации отраженного сигнала в
радиолокации и замирания во многих системах радиосвязи. В
радиолокации часто полагают а = 0 и ограничиваются рассмотре-
14

нием случая, когда амплитуда отраженного сигнала флуктуирует
по рэлеевскому закону. Результаты экспериментальных
исследований медленных замираний сигналов в радиолиниях,
использующих ионосферное или тропосферное рассеяние, показывают, что
замирания в таких системах приближенно описываются также
законом Рэлея и имеют квазистационарный характер на
временных интервалах порядку нескольких минут. Для систем
радиосвязи, использующих отражение электромагнитных волн от
ионосферы, в (11) следует задаваться конечными значениями величин
а и D, определяемыми экспериментально, так как в таких
системах принимаемый сигнал ^содержит как регулярную
(зеркальную), так и случайную (рассеянную) составляющие.
В дальнейшем при решении отдельных задач теории
оптимального радиоприема будут рассмотрены следующие частные
виды радиосигналов.
1. Сигнал с полностью известными параметрами*'
s(f,*.0) = s(f)=/(f— t0)cosM + i|;(/—т0)-ф0], *o<f<fe + V 0-1.14)
В данном случае все параметры сигнала считаются известными.
В задаче обнаружения остается неизвестным лишь факт наличия
сигнала.
2. Сигнал со случайной начальной фазой
s(t, b) = s(t, ф)=/(/—t0)cos[(d/ + iJ)(/—-To)—ф], *o<*<A) + V
^ (1.1.15)
Все параметры сигнала предполагаются известными, за
исключением начальной фазы ф, которая считается случайной
величиной, равномерно распределенной на интервале [—я, я].
3. Сигнал со случайными амплитудой и начальной фазой
s(t,-h) = s(t, a, <p) = af(t—T)cos[fi>/+i|jtf—т)—<р], /0</^о + ти-
(1.1.16)
Будем предполагать, что а и ф являются независимыми
случайными величинами, причем а распределена по закону Рэлея, а
Ф — равномерно на интервале [—я, я].
4. Если сигнал s(t, X) представляет собой последовательность
(пачку) из нескольких радиоимпульсов, то следует различать
когерентную и некогерентную пачки импульсов. Лачка, в которой
начальная фаза первого импульса случайная, а изменение фазы
от импульса к импульсу является закономерным
(детерминированным), называется когерентной.
5. В гл. 4 будут часто рассматриваться марковские модели
сигналов s(t, X), у которых параметры k=%(t) представляют
собой многокомпонентный марковский процесс. Часть из этих
параметров может быть неслучайной, а иметь постоянные значения.
Отметим, кстати, что радиосигнал со случайными «амплитудой»
*> В дальнейшем известные параметры сигнала, как правило, отмечены
нулевым индексом.
15

a(t) и фазой ф(/)> имеющими плотности вероятности (12) и (13),
можно задать выражениями /
a (t) = [ж2 (0 + t/2 (011'2, tg Ф (t) = у (f/x(t).
Здесь x(t) и y(t) —независимые марковски процессы,
описываемые стохастическими дифференциальными уравнениями:
dx/dt + a x = amx + nx{t), dy/dt + 8 у = $т.у + пу (t),
где а, р, тх, ту — постоянные величины; nx(t) и
ny(t)—взаимонезависимые белые гауссовские шумы с односторонними
спектральными плотностями Nx и Ny= (ша)Мх соответственно.
Определив основные виды сигна/юв, укажем некоторые
характеристики рассматриваемых помеэ^ В различных
радиотехнических устройствах приходится имДь дело с различными видами
помех. Однако во всех случаях'является общим и неизбежным
наличие гауссовского флуктуацйониого шума, обусловленного
естественными причинами, которые принципиально не могут быть
устранены (тепловые и другие шумы окружающего пространства
и собственные шумы радиоприемных устройств). Тепловые шумы
пространства, окружающего приемную антенну, принимаются
антенной вместе с полезным сигналом и складываются с
собственным шумом радиоприемного устройства.
Напомним, что без учета потерь между антенной и
приемником мощность шумов (в полосе пропускания УПЧ) на входе
радиоприемного устройства Рп выражается через коэффициент
шума kn формулой
Pn = kT0Afa(kn + tA-l), (1.1.17)
где &=1,38-10~~23 Дж/град — постоянная Больцмана; Го^ЭОК —
стандартная (комнатная) температура Кельвина (kTo=
= 4-10 Вт/Гц), А/э — эффективная полоса пропускания линейной
части приемника до детектора; t\ = TJT0 — относительная
шумовая температура приемной антенны, имеющей абсолютную
шумовую температуру излучения ТА.
Собственный шум радиоприемника и тепловые шумы
окружающего пространства складываются линейно с полезным сигналом
на входе приемника. Помехи, которые складываются
(суммируются) с сигналом линейно, называются аддитивными помехами.
В литературе значительное внимание уделено решению задач
теории помехоустойчивости для случая, когда принятым
колебанием является сумма (аддитивная смесь) полезного сигнала и
гауссовского шума. Наличие других случайных помех, отличных
от гауссовского шума, существенно усложняет задачу.
К настоящему времени многие конкретные задачи получили
законченные решения для случая приема сигналов на фоне
гауссовского шума. В дальнейшем будут рассмотрены некоторых из этих
задач, причем для простоты будем считать гауссовский шум
белым. Это предположение существенно упрощает математические
вычисления.
16

Итак, в дальнейшем будем предполагать, что полезный
сигнал s(t, X) принимается на фоне аддитивного гауссовского
белого шума n(t) с нулевым математическим ожиданием, т. е.
колебание £,(t), принятое на конечном интервале времени Т,
представляет собой случайный процесс
l(t)^s(t, X) + n{t), O^t^T. (1.1.18)
Здесь белый шум n(t)\uMeer следующие основные
характеристики:
М{«(0} = 0, /?n(/lf «^Л1{л(/1)л(/,)} = 4б('.-'1). (]л-19)
где N — односторонняя спектральная плотность шума; б(х) —
дельта-функция. \
1.2. АПОСТЕРИОРНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ
При решении задач теории оптимального радиоприема ответ
должен быть получен на основе предварительных (априорных)
сведений о колебании, подлежащем приему, и надлежащей
обработки реализации принятого колебания (наблюдаемого
процесса).
Если бы мы не располагали никакими предварительными
сведенной о сигнале (т. е. о его параметрах), то его нельзя было бы
отличить от любой помехи. Наоборот, прием
детерминированного сигнала не доставляет никакой информации: если заранее
известны форма и все параметры полезного сигнала, то его можно
точно воспроизвести на приемной стороне. Поэтому носителями
полезной информации могут являться только неизвестные
параметры сигнала. Априорное знание статистики сигнала может быть
получено на основе предварительного статистического анализа
как самих сообщений, так и радиосигналов, если, конечно, в
прошлом существовал ансамбль ситуаций, аналогичных условиям
данного приема.
С точки зрения степени априорных сведений о сигнале
радиосвязь, телевидение и телеуправление отличаются от
радиолокации и радионавигации. В радиосвязи, телевидении и
телеуправлении, как правило, в большей мере известна априорная
статистика сигнала, чем в радиолокации и радионавигации.
По сравнению лишь с некоторыми априорными сведениями о
принятом колебании, знание наблюдателя об исследуемой
ситуации в результате анализа принятого колебания увеличивается.
Вновь сформированное знание называется апостериорным.
Анализ и обработка принятого колебания £(/) с целью
принятия определенного решения может осуществляться двумя
методами: дискретным и непрерывным.
Если наблюдение производится в отдельные моменты
времени (дискретное наблюдение), то информация о принятых данных
17

будет заключена в случайных величинах ii = £(/i), /., \i = \{ti) ...
..., lm = l(tm), представляющих выборочные значеимя принятого
колебания £(/) в моменты времени t\, ..., ft, ...,/im из интервала
наблюдения Т: lo^t^to + T. Чаще всего дискретные значения |,-
берутся через равноотстоящие моменты времени, т. е. tt—/,-_i =
=A = const, i=l, 2 m. /
Выборочные значения принятого колебания \{t) описываются
совместной плотностью вероятности ps(ii/s2, ..., Ъ,т), а соответ-.
ствующие выборочные значения помехи In(t)—плотностью
вероятности р„(пи п2, ..., пт). У
Предположим пока, что производится дискретное наблюдение
и сигнал s(t, Я) зависит от одного неизвестного непрерывного
параметра Я, имеющего априорную плотность вероятности рр?-(Я).
Все то, что можно узнать о параметре Я после приема колебания
|(0>.заключено в условной плотности вероятности
РрЛЦ=р№ь U,-, U, П-2.1)
называемой апостериорной плотностью вероятности.
Согласно известной теореме умножения вероятностей имеем
Р(К It.--., Im) = />s(il>.... im)p(^lil.-... im) = Ppr(^)p(il.--o Ътп\Ц-
(1.2.2)
Отбрасывая левую часть равенства и учитывая, что pg(£i,...
..., \m) не зависит от интересующего нас параметра X, на
основании формул (1) и (2) можем написать
Pp.(A.) = *Ppt(*)p(Si 5mW. (1-2.3)
где коэффициент k определяется из условия нормировки.
Рассматриваемая как функция от Я, условная плотность
вероятности p(gi, ..., £т|Я) называется функцией правдоподобия. При
фиксированных значениях gi, ..., \m она показывает, насколько
одно возможное значение параметра X «более правдоподобно»,
чем другое. Обозначим функцию правдоподобия через L(k):
Z,(Л) =р&,..., iml*)- 0-2.4)
Тогда формулу (3) можно записать в окончательном виде
Pp.M = kPpr(X)L(X)t (1.2.5)
где k = [$pPr{k)L(k)d\]-1.
Формула (5), по существу, представляет математическую
запись теоремы Байеса. Напомним, что теорема Байеса
показывает, каким образом из априорных данных и результатов опыта
(анализа принятого колебания) формируется апостериорное
знание.
Если параметр X является дискретным и может принимать
только одно из нескольких возможных значений Ль Яг, ..., Xv с ап-
18

риорными вероятностями pPr(ki), i'=l, 2, ..., v, то апостериорные
вероятности этих значений определяются формулой
PP>(h) = kpPr(h)L(*i), /'=1,2,..., v, (1.2.6)
где k =
SPpt(*i)L(X,)
l=\
—1
Формулу (5) можно-обобщить на несколько параметров. Если
сигнал зависит от ц непрерывных параметров %\, Лг, .... Л,м, т. е.
s(t, /ч, ta> .», ^д), то формулу (5) следует записать в виде
Рр$(К--- K) = kPpr(h,---. \)L{lu..., \), (1.2.7)
где ft = [J...JpPr(Alt„.t \lt)LQ^,..., Ъ)1)й'кх...й\]-Х .
Из формул (5), (6) и (7) видно, что при известных априорных
вероятностях или плотностях вероятностей нахождение
апостериорных вероятностей или плотностей вероятностей сводится к
вычислению функций правдоподобия. В том случае, когда принятое
колебание представляет аддитивную смесь сигнала и шума, т. е.
i(Q = s(f, Л) + л(*), *0<ед + 7\ (1.2.8)
и многомерные плотности вероятности шума рп{п\, ..., пт)
известны, функции правдоподобия вычисляются сравнительно просто.
В других же случаях их вычисление представляет весьма
сложную задачу.
В дальнейшем ограничимся рассмотрением того важного, но
частного случая, когда принятое колебание \(t) представляет
собой аддитивную смесь (8) полезного сигнала s(t, X) и гауссов-
ского белого шума n{t). При этом значение спектральной
плотности шума N предполагается известным.
Рассмотрим простейший метод дискретного наблюдения,
когда отсчеты берутся через равноотстоящие моменты времени.
Разобьем интервал времени [/0, ^о+Л равноотстоящими точками
t\, ..., tm, где ti—fj_i=A = const, t=l, 2, ..., т. Обозначим
осреднение за элементарный интервал времени значения колебания
£(0, сигнала s(t, X) и шума n(t) соответственно через
?,= 4- f 1(f) dt, s, (Я) = ~ j' *('. b)dt, л* = 4- l' n^dt
д t-д д <г_д л «,-д
(1.2.9)
Очевидно.,, что
Л| = Б|-МЛ). (1-2.10)
Будем считать, что в выражении для функции правдоподобия (4)
фигурируют указанные осредненные значения %i. При этом
имеется в виду, что в дальнейшем нас будут интересовать малые
значения А и, в частности, предельный случай А-Я).
19

/
Запишем сначала совместную плотность вероятности для
случайных величин щ, i=l, 2, ..., т. Случайные величины щ
являются нормально распределенными и, согласно (ф), имеют
следующие характеристики: /
М {nj =0, Д = М {n2i} = N/2A, М {щ tij}^ 0 при гф\.
Поэтому совместная плотность вероятности /имеет вид
/т
' N \'~Т [ 1 m \
Pn("i».--. птп)=р1(п1)...р1{пт) = [л—\ expj— —2,п2гА •
(1.2.11)
Полагая значение параметра А фиксированным, подставив
значения т из (10) в формулу (4) и учитывая, что якобиан
преобразования от переменных щ к переменным |г равен единице,
получаем формулу для функции правдоподобия параметра А:
L(X)^p(l1,..., 5™1Л) = рп(|1—s^X) 6m—8т(Я)>. (1.2.12)
Таким образом, при указанном дискретном наблюдении
функцию правдоподобия в формуле (5) нужно полагать равной
т
1(А)=(я-^| 'eXpJ__L|[g(/()_s(/f> я,)]»д1 (1.2.13)
Если параметр X является дискретным и принимает несколько
значений Х\, лг, ..., Xv, то в формулу (6) нужно подставлять
функцию правдоподобия при соответствующем значении параметра А*.
Путем аналогичных рассуждений нетрудно убедиться, что для
сигнала, зависящего от нескольких параметров Аь ..., Ац,
функция правдоподобия, входящая в формулу (7), имеет вид
т
(1.2.14)
Рассмотрим теперь случай непрерывного наблюдения. Чтобы
перейти к непрерывному наблюдению, нужно в формулах (11),
(13) и (14) перейти к пределу при Д->0. При этом информация
о случайном процессе £(/) будет заключена в форме реализации,
т. е. в том, какой конкретный вид имеет функция l(t) на
интервале [tQ, t0-\-T). Разумеется, что при непрерывном наблюдении
получаются более точные результаты, чем при дискретном, так как
в случае непрерывного наблюдения используется информация,
содержащаяся во всей реализации \(t)t а не только в отдельных
выборочнвц^значениях |д, ..., %т- При Д->0 плотности вероятности
р% и рп перейдут в соответствующие функционалы плотности ве-
20

роятности, а функция правдоподобия — в функционал
правдоподобия*'. Введем для них следующие обозначения:
р[я(0] = НтАдрп(я1,..., nn), F(\)=-hmL(\), (1.2.15)
д-*о д->-о
где множитель £д зависит только от Д.
Осуществляя предельный переход, получим
p[tt(0]~exp{-^°lftt2(04>
I. In )
F(\)~exp {_J_YrK(0-*C, Wdt
N t
to
(1.2.16)
Это выражение показывает, что «вероятность реализации»
белого шума n(t) зависит только от «энергии реализации» за время
г
наблюдения \n2(t)dt. Наиболее вероятны реализации с малыми
о
энергиями.
Таким образом, при непрерывной обработке формула (5)
принимает следующий окончательный вид:
Pps(X) = bppr(X)F<ft. (1.2.17)
В аналогичном виде можно записать формулу (7):
Pps(K---, \i)=fy>Pr(*i...., V)F(V--« Ю, (1.2.18)
где
F(K--.. K)=exp\-YUf\t(i)-*{t, К,---, К)?**}- О-2-19)
Отметим, что сомножители, стоящие перед экспонентами в
формулах (11), (13) и (14), стремятся к нулю при А-»-0. Этот
результат можно физически объяснить тем, что при наличии
бесконечного множества различных возможных реализаций
непрерывного случайного процесса на временном интервале [t0, to-{-T]
вероятность получения какой-либо одной из возможных
реализаций, естественно, равна нулю. Однако при решении основных
задач оптимального приема приходится оперировать не с самими
функционалами, а с их отношением, в частности с отношением
правдоподобия. Отношение правдоподобия представляет собой
отношение функций (при дискретной обработке) или функционалов
*> Приведем определение функционала. Пусть задан некоторый класс
функций f(x). Если каждой функции j(x), принадлежащей этому классу, по
некоторому, одинаковому для всех функций закону поставлено в соответствие опре»
деленное число, то говорят, что в данном классе функций определен
функционал. Класс функций, на котором определен функционал, называется областью
задания функционала. Примером функционала может служить определенный
интеграл от любой функции f(x), принадлежащей данному классу.
21

(при непрерывной обработке) правдоподобия при наличии и
отсутствии сигнала:
{j m \
-— S lHtt)-s(tt, Х)РД[
1=1
*• Wis (Л Я)^0
L Wis U, А)-О
/(*) =
^WlsU.A^O I * г
!1 m 1
)
f l -V7" 1 (1.2.20)
exp —— [£(0-s(<, *)]**[
exp j —— j l*{t)dt\
to
Конкретные выражения апостериорных плотностей
вероятностей различных параметров радиосигнала для рассматриваемого
случая будут приведены в § 1.5. Укажем, что, кроме
рассматриваемого здесь простейшего примера (прием полезного сигнала на
фойе аддитивного гауссовского белого шума), функционалы
плотности вероятности и правдоподобия можно получить и в других,
более общих случаях (например, при приеме полезного сигнала
на фоне аддитивной гауссовской или марковской помехи,
которую, в принципе, можно сформировать из гауссовского белого
шума) [1].
Функционал плотности вероятности гауссовского случайного
процесса £(г) с нулевым математическим ожиданием и
корреляционной функцией /?j(/i, h) определяется выражением (to = 0)
Р11 (01 ~ ехР
—Lfg(T)0(T)dT
1 0
•
где функция 'О(т) является решением интегрального
Фредгольма 1-го рода:
$Rl(t, т)€
>(x)dx=l{t), 0<*
<7\
(1.2.21)
уравнения
(1.2.22)
о
Для стационарного марковского процесса %(i), заданного
стохастическим дифференциальным уравнением 1-го порядка
5'(0 + ф(|) = л(0, (5'(0=<*5(0/Л). (1-2.23)
где ф(£) —произвольная однозначная функция, n(t) —белый шум
(1.1.19), функционал плотности вероятности дается выражением
Ltl±dt). (1.2.24)
Здесь t/(6) = b(£)<*S. 1т = 1(Т), |о = 6(0), причем $l'2 (t)dt
понимается в смысле суммы Е,-[(£»—£»_i)/A]2A.
22

Рассмотрим гаусеовский марковский процесс £(/) с
экспоненциальной корреляционной функцией R$ (т) =-Dg ехр( — а|т|). Он
определяется линейным стохастическим уравнением
l'(t)+al(t) = n(t). (1.2.25)
Для этого уравнения cp(£)=ag, U = ai,2{t)/2, dy/dc, = a, Dg = jV/4a.
При этом с учетом очевидного равенства
2\l'{t)l{t)dt^l\-ll
о
формула (24) для функционала плотности вероятности
приводится к виду
РШ~«Ф (--Д-)ехр{—4Л5р|К'W + a6(01s*}. (1.2.26)
«Вероятность реализации» гауссовского марковского случайного
процесса (с экспоненциальной корреляционной функцией) зависит
от «энергии реализации процесса и ее производной» за время
наблюдения, а также от значений, которые имеет реализация на
концах интервала наблюдения.
В правой части выражения (26) стоят два сомножителя.
Первый есть нормальная плотность вероятности начального значения
процесса £(0). Такое задание ее обеспечивает стационарный
характер процесса, начиная с момента времени t = 0. Наиболее
существенным является второй сомножитель. В показатель его
входит оператор
L^{d/dt + a). (1.2.27)
Из сопоставления исходного уравнения (25) с (27) следует, что
оператор L определяет те операции, которые нужно произвести
над исходным случайным процессом £(/), чтобы получить белый
шум n(t). В этом смысле оператор L и соответствующий ему
фильтр можно назвать «обеляющим». В данном примере операция
«обеливания» заключается в дифференцировании и сложении
исходного процесса, предварительно умноженного на а.
Спектральная интерпретация обеляющих фильтров будет приведена на
с. 42.
Укажем, что обеляющий оператор L характерен не только для
рассмотренного частного примера (25); он входит в
функционалы плотности вероятности и других гауссовских марковских
процессов. Так, например, для гауссовского процесса %{t),
заданного линейным стохастическим дифференциальным уравнением
2-го порядка
dn(t)/dfi + adl(t)/dt + wll(t)^n(t), (1.2.28)
обеляющий оператор имеет вид
L=*tPfdP + ad/dt + (£. (1.2.29)
23

Рассмотрим теперь на простейшем наглядном примере
процедуру формирования апостериорной плотности вероятности и
выясним качественное влияние на нее отдельных факторов (в
частности, отношения сигнал-шум и априорной плотности
вероятности).
Пусть осуществляется радиолокационное измерение
расстояния до одной неподвижной цели по запаздыванию отраженного
импульсного сигнала. Обозначим излученный радиоимпульс через-
s„(t), а отраженный от цели сигнал, принимаемый приемником,—
через s(t—т). Длительность сигнала s(t—т) равна ти<СТ, где
Т — интервал наблюдения. В случае импульсной радиолокации
под Т можно понимать интервал времени между соседними
излученными импульсами периодической последовательности. Будем
считать, что все параметры сигнала, за исключением временного
запаздывания т, известны. Возможные значения параметра т
заключены внутри интервала [О, Т] с известной априорной
плотностью вероятности ррг(х).
В данном случае назначение приемника-измерителя состоит в
том, чтобы на основе анализа принятого колебания
g(0 = s(*—т) + л(/), 0<^<Г (1.2.30)
определить с минимальной погрешностью величину т.
Вся доступная информация о параметре т дается формулой
Байеса (17), которая применительно к рассматриваемому
случаю принимает вид
P„.(T) = ft/v(T)exp /_-L[[g(fl-s(*-T)]*d/}. (1.2.31)
Упростим это выражение. Для этого распишем показатель
экспоненты:
--SrJGW-stf—г)12Л=—±-fe(i)dt + ±fi(t)s(t-T)dt—^,
N i N 0J N 0J N
(1.2.32)
где через Е обозначена энергия (интеграл от квадрата)
принятого сигнала
E=]$*{t—i)dt. (1.2.33)
о
Если сигнал представляет напряжение, то величина Е равна
энергии, выделяемой на сопротивлении потерь 1 Ом в течение
времени Т.
В правой части равенства (32) первое слагаемое, равное
отношению энергии принятого колебания к спектральной плотности
шума, не содержит информации об интересующем нас параметре
т, так как оно не зависит от т. Поэтому в исходной формуле (31)
24

множитель ехр I — ^{t)dt\ можно включить в постоянную k.
Следовательно, можем написать
Pps (т) - kppr (т) ехр (-E/N) ехр [q(x)\, (1.2.34)
ГДС q(V = -jrlut)s(t-r)dt*K (1.2.35)
Во многих случаях множитель ехр(—E/N) можно также
включить в постоянную к. В данном примере это оправдано тем, что
энергия сигнала не зависит от его запаздывания т, так как по
предположению при всех возможных значениях т сигнал
расположен внутри интервала (О, Т). В других случаях обычно
ограничиваются рассмотрением (сравнением характеристик)
сигналов, обладающих одинаковой энергией. Следовательно, формулу
(34) можно записать так:
Pp.(*) = fypr(T)expfo(T)]. (1.2.36)
Экспоненциальная функция изменяется монотонно в зависимости
от значений своего показателя. Поэтому функция q(x) с
определенной деформацией воспроизводит характер изменения
апостериорной плотности вероятности. Отсюда следует, что при
известной априорной плотности вероятности определение
апостериорной плотности вероятности эквивалентно нахождению
функции q(x).
Таким образом, первый и главный этап при обработке
принятого колебания с целью получения апостериорной плотности
вероятности параметра т состоит в формировании функции q{i),
определенной формулой (35). Эта функция определяет ту
существенную операцию, которую нужно выполнить над принятым
колебанием, чтобы извлечь всю доступную информацию о
параметре т, содержащуюся в реализации £(/). Иначе говоря, функция
^(т) является достаточной статистикой для оценки параметра т.
Как следует из формулы (35), для получения q(x)
необходимо располагать копией сигнала s(t) на приемной стороне. На
рис. 1.2 приведена схема устройства, позволяющего при разных т
получить функцию q{x).
Правая часть формулы (35) с точностью до постоянного
множителя напоминает выражение взаимокорреляционной функции
Рис. 1.2. Упрощенная схема корреляционного
приемника
X
в
—»■
(t-r
/
■)
qm
*> Поскольку спектральная плотность N предполагается постоянной и
известной, то последующие окончательные результаты не изменятся, если
функцию </(т) определить только интегралом, без сомножителя 2/N. Однако при
таком определении функция q(z) будет размерной, в отличие от (35).
25

между l(t) и s(t—т). Поэтому можно сказать, что функция q(x)
характеризует меру «взаимной корреляции» между принятым
колебанием £(/) и полезным сигналом s(t—т). Соответственно
этому устройство, изображенное на рис. 1.2, часто называют
взаимокорреляционным приемником или, для краткости, просто
корреляционным приемником. Такое название сохраняется и в тех
•случаях, когда интересуются любым параметром сигнала /., а не.
только временным запаздыванием т. При этом выражения (34)
л (35) примут вид
Pp. (*) = kppr (X) exp (-£/#) exp \q (Л,)], (1.2.37)
q(l)=-Lh(t)S(t,X)dt. (1.2.38)
Теперь функция q(K) будет характеризовать меру взаимной
коррелированное™ между принятым колебанием £(/) и полезным
сигналом s(t, Я) по параметру К.
Продолжим рассмотрение нашего примера [2]. Пусть априор-
«ая плотность вероятности параметра т равномерна на интервале
наблюдения Т: ррг(х) = \/Т при О^т^Г, и истинное значение
параметра т в принятой реализации §(t) равно то, т. е.
l(t)=s(t-r0) + n(t).
В качестве иллюстрации на рис. 1.3,а изображена реализация
гауссовского шума n(t), на рис. 1.3,6 — частный вид сигнала
s(t—т) и на рис. 1.3,8 — реализация принятого колебания £(/).
Располагая этой реализацией £(/) и зная форму сигнала s(t),
наблюдатель должен определить неизвестное ему положение т0
сигнала в шуме. Как указывалось выше, для этого нужно построить
функцию q(x) путем интегрирования результата перемножения
.£(£) с сигналом s(t—т) при различных значениях т из
интервала (0, Т). На рис. 1.3,г показана функция q(i), а на рис. 1.3,д —
апостериорная плотность вероятности PpS(x). При практических
условиях работы функции q(r) и pps(r) обычно имеют
наибольшее значение в окрестности то- Поэтому в качестве оценки
истинного значения то можно принять то значение т=т, при котором
апостериорная плотность вероятности имеет наибольшее значение
'(пик). Погрешность измерения можно характеризовать шириной
(на определенном уровне) апостериорной плотности вероятности
в окрестности наибольшего пика (см. гл. 3).
Оценка т, как правило, не совпадает с истинным значением
параметра т0(т=т^то). Это объясняется случайным характером
функции q(%) из-за наличия шума. Хотя т0 постоянно, однако
при разных наблюдениях реализации функции q(x) будут
различны. Чем больше шум, тем возможно больше смещение и
расширение апостериорного распределения. При этом увеличивается
погрешность результата измерения
26

Кроме того, увеличение шума связано с появлением ложных
максимумов, сравнимых по величине с полезным пиком,
обусловленным сигналом. Это наглядно иллюстрируется рис. 1.4, на
котором показан характер изменения апостериорной плотности
вероятности в зависимости от отношения сигнал-шум Q0 на входе;
приемника [см. (1.3.9) J.
а)
n(i)
5)
в)
8)
д)
Рис. 1.3. Формирование «взаимокорреляциоиной функции» и апостериорной плот-.
ности вероятности:
о — гауссовский шум; б — полезный сигнал; в — принятое колебание; г—взаи-.
мокорреляционная функция; д— апостериорная плотность вероятности
Если интенсивность шума N очень велика, то сигнал
полностью маскируется шумом. При этом сама функция q(x) будет-
очень малой и в формуле (36) можно положить ехр[</(т)]« 1,
Тогда Pjjs(t) ~/грРг(т). Убеждаемся, что при очень малом
отношении сигнал-шум апостериорная плотность вероятности
совпадает с априорной, которая была принята равномерной. Соответ-
ствующии график приведен на рис. 1.4,а. В данном случае прием
колебания b,(t) не дает дополнительной информации о
параметре т.
При увеличении отношения сигнал-шум в апостериорной
плотности вероятности появляются неравномерности (рис. 1.4,6),
которые затем начинают переходить в явно выраженные пики,
разделенные участками малой вероятности (рис. г.4,в). Когда Qo>lr
начинает выделяться вероятность появления, одного из пикоа
2?

a)
00=1
PPs(t) в окрестности истинного значения т0. При дальнейшем
увеличении Qo растет степень достоверности того, что пик q(x),
обусловленный сигналом, будет выше шумовых пиков. При этом
экспоненциальный множитель в формуле (36) начинает
существенно усиливать неравномерность q(%) и апостериорное распре-
п =п деление «крошится» на отдель-
0 ные явно выраженные пики,
разделенные участками почти
нулевой вероятности (рис. \Л,г, д).
Преобладающим становится пик
в окрестности то и уменьшается
число «конкурирующих» по
величине шумовых пиков. При N-*~0
остается один узкий пик,
расположенный в точке т=то (рис. 1.4,е).
Из приведенных
иллюстративных рисунков видно, что даже
при Qo = 4 имеется два почти
одинаковых пика, один из которых
(шумовой) расположен в
окрестности т'о. При этом неясно,
какой из пиков является ложным, и
за истинное значение параметра
можно принять как то, так и т'о.
В данном случае имеется
неоднозначность в определении то. Эта
неоднозначность устраняется при
дальнейшем увеличении Qo.
Неоднозначность определения
параметра зависит также от
априорной вероятности. Если бы в
рассмотренном примере возмож-
Рис. 1.4. Изменение вида
апостериорной плотности вероятности от
отношения сигнал-шум
ными значениями задержки т являлся подынтервал [О, V], а не
весь интервал [О, Т], где Т'<СТ, то в конкретной ситуации
рис. 1А,г неоднозначность не имела бы места. Иначе говоря,
сужение априорного интервала значений т уменьшает вероятность
появления на этом интервале больших шумовых выбросов. Тем
самым обеспечивается возможность более надежного определения
параметра при меньших значениях Qo- Этот результат имеет
общий характер и справедлив не только для прямоугольной
априорной плотности вероятности. Чем теснее сконцентрирована
априорная плотность вероятности около истинного значения то, тем
точнее и надежнее оценка параметра т. Однако при неравномерной
априорной плотности вероятности наибольшие пики функции
<7(т) и апостериорной плотности вероятности могут не
совпадать. х
28

1.3. КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ ПРИЕМ
!
В § 1.2 отмечалось, что если прием осуществляется на фоне
аддитивного гауссовского шума и полезный сигнал имеет лишь
один неизвестный параметр Я, а все остальные параметры его
точно известны, то наиболее существенная операция, которую
необходимо выполнить над принятым колебанием £(г) для
получения апостериорной вероятности параметра л, состоит в
вычислении корреляционного интеграла (1.2.38). Приемник,
реализующий эту операцию, был назван корреляционным (рис. 1.2). По
функции q(K), характеризующей меру взаимной корреляции
между l(t) и s(t, а), можно однозначно найти апостериорную
плотность вероятности без дополнительного обращения к принятому
колебанию. Но апостериорная плотность вероятности содержит
все сведения, которые можно извлечь из реализации принятого
колебания. В этом смысле можно сказать, что корреляционный
приемник является оптимальным.
Рассмотрим подробнее работу корреляционного приемника, в
частности, найдем основные вероятностные характеристики
«сигнала» и «шума» на выходе его. Хотя все последующие
результаты справедливы для любого параметра сигнала л, однако ради
наглядности рассмотрим прежний пример, когда интересующим
нас параметром является время запаздывания сигнала т.
Пусть истинное значение параметра т в принятой реализации
l(t) равно то, т. е.
l(t) = s(t~x0) + n(t). (1.3.1)
Подставив это выражение g(£) B (1-2.35), функцию q(x) можно
представить в виде суммы двух слагаемых:
<7(т)-?,(т) + ?п(т), (1-3.2)
где
Я' М =-^js(t-T;)s(t-T0) d t, (1.3.3)
N о
dn(t) = ^n(t)s(t-T)dt. (1.3.4)
" о
Функция qs(r), получаемая на выходе корреляционного
приемника, представляет собой «автокорреляционную функцию»
входного полезного сигнала, и ее можно назвать выходным
сигналом или сигнальной функцией. Если в принятом колебании %(t)
полезный сигнал s(t—т0) отсутствует, то сигнальная функция
равна нулю. Функция qn(r), воспроизводимая на выходе приемника
и обусловленная шумом, есть «взаимокорреляционная функция»
между шумом и входным полезным сигналом; ее можно назвать
выходным шумом или шумовой функцией.
Существенное различие между сигнальной и шумовой
функциями состоит в том, что первая при каждом фиксированном зна-
29

Чении т является детерминированной, а вторая — случайной.
Говоря о случайном характере шумовой функции <7п(т), имеем в
виду, что даже при детерминированном сигнале s(t—то)
конкретный вид этой функции из-за шума п(1) будет различным для
разных реализаций (1).
Рассмотрим характер сигнальной и шумовой функций.
Покажем, что сигнальная функция имеет максимум при т = т0, равный
</smaxW = 2£/yv-Q0. (1.3.5)
Действительно, из очевидного неравенства \s(l—то)—s(t—т)]2^0
имеем s2(t—то) +s2(t~т) ^2s(/— t0)s(/—т).
Правая часть этого соотношения при любых т и то не может
превышать значение левой части. Однако при т = то имеет место
знак равенства. Следовательно, произведение 2s (t—t0)s(/—т)
максимально при т = то и равно 2s2(l—то). Полагая в формуле (3)
т = т0, получим (5).
Выясним теперь структуру шумовой функции qn{x).
Формула (4) показывает, что функция <7п(т) получается из гауссовско-
го белого шума путем линейного преобразования. Поэтому
шумовая функция при каждом фиксированном значении т имеет
нормальную плотность вероятности. Согласно (1.1.19) среднее
значение шумовой функции равно нулю:
m{qn^)} = ^rW{n(t)}s(t-T)dt = 0, (1.3.6)
а для дисперсии получим формулу
Л Т Т ос
Dn = M{^(T)} = -jl-^M{/i(f1)n(f2)}s(/1-T)*(/8-T)*1df2-^-.
(1.3.7)
Из формул (5) и (7) видно, что отношение наибольшего
значения сигнальной функции к среднеквадратическому значению
шумовой функции равно:
q,maA*o)/VD~n = VQo=V2ffi. (I.3.8)
Обращает на себя внимание тот факт, что как максимальное
значение сигнальной функции, так и дисперсия шумовой функции
равны одной и той же величине
Q0=2E/N. (1.3.9)
Назовем величину Q0, равную отношению удвоенной энергии
сигнала к спектральной плотности шума, отношением сигнал-шум
по мощности на входе приемника. В дальнейшем убедимся, что
величина Q0 входит во многие соотношения и играет
фундаментальную роль.
Если учитывать мощность шумов радиоприемника по
формуле (1.1.17) и вместо энергии Е ввести импульсную мощность сиг-
30

нала на' входе приемника Ps = E/x», то для Q0 получим
следующую формулу:
ft-f -И-Д-.Г <''ЗЛ0>
Это отношение сигнал-шум практически получается на выходе
согласованного УПЧ (см. § 1.4).
• Для выяснения характера изменения шумовой функции в
зависимости от т найдем корреляционную функцию выходного
шума <7п(т). Воспользовавшись формулами (4) и (1.1.19), получим
4 и
М {qn СЧ) <7я ("Ч)} = -£Г jjM {" (*i) л (У} * (;i—Ti)s (4—ts) dfj cft2 =
" о о
2 T
= — fs(f—Tje^—т2)Л. (1.3.11)
Л/ J
л/
о
Сравнивая подынтегральные выражения в формулах (3) и
(11), замечаем, что они по характеру одинаковы. Следовательно,
корреляционная функция для qn(r) по форме подобна
сигнальной функции <76-(т), т. е. автокорреляционной функции сигнала
на входе. Но корреляционная функция случайного процесса дает
некоторое представление о характере изменения его во времени.
Поэтому можно сказать, что операция образования
взаимокорреляционной функции (1.2.35) сопровождается «выравниванием»
временных структур сигнальной и шумовой функций.
В то время как в принятом колебании .|(7) сигнал s(t) и
белый шум n(t) существенно различаются по характеру изменения
во времени (см. рис. 1.3), сигнал <78(т) и шум qn(t) на выходе
корреляционного приемника становятся подобными друг другу.
Иначе говоря, корреляционный приемник устраняет существенное
различие во временном поведении сигнала и шума.
Не следует думать, что «выравнивание» временных структур
сигнальной и шумовой функций затрудняет обнаружение сигнала
и определение истинного значения его параметра т. Наоборот,
операция образования взаимокорреляционной функции (1.2.35)
обеспечивает по сравнению с другими возможными методами
обработки принятого колебания максимальное пиковое отношение
сигнал-шум.
Практически взаимокорреляционную функцию q (т) для
нескольких фиксированных значений т можно получить при помощи
Устройства, функциональная схема которого изображена на
Рис. 1.5. Линия задержки имеет общую задержку, равную
априорному интервалу Т ожидаемых значений т. От линии задержки
сделаны равномерно отводы; разность в задержках между
соседними отводами равна постоянной величине А. При этом схема
рис. 1.5 позволяет получить на выходе интеграторов, следующих
за перемножителями, значения взаимокорреляционной функции,
соответствующие задержкам n = iA, / = 0, 1, 2, ..., v; vA = 7\
31

Если дополнить многоканальный корреляционный приемник
схемой сравнения, которая выдавала бы номер т подынтервала А,
в котором функция q{xm) имеет наибольшее значение, то все
устройство можно использовать для определения неизвестного
момента появления то импульсного сигнала. При этом точность
измерения будет характеризоваться величиной А. Для импульсных
радиолокационных станций величину А берут приближенно
равной длительности импульса (см. § 3.6, п. 3).
§(*)
5L
гЧ
Линия эадержни
0 А 1А iA(v-t)A
V '
■ 12U
» rt
i t 1
1
——ЧхЬ
* Li
1 '
7]
11
■»А
{
а. ГТ ■■*-
* Jo *
> Гт >
* Jo *
> /-аг >
* Jo *
1 я?"1
h- ./Г -^
f^Tl^l /=Г ^
К 1 V0
1
1
1
1
Рис. 1.5. Функциональная схема взаимокорреляционного приемника для
определения временного положения видеоимпульса
Для произвольного параметра сигнала Я, принимающего
значения из интервала [к', К"], взаимокорреляционную функцию
q(X) (1.2.38) для нескольких фиксированных значений К можно
получить с помощью многока-
s(t-V) sCt-tb)
I
r<rB
u a)
s(t-r0)
r>r0
j£-
, t
s(t-r)
Рис. 1.6. Сигнальная функция для
прямоугольного видеоимпульса
нального корреляционного
приемника (см. рис. 3.2).
Приведем выражения
сигнальных функций (3) для нескольких
видов сигналов.
1. Прямоугольный
видеоимпульс. Пусть принятым сигналом
является прямоугольный
видеоимпульс длительностью аи:
i s(t— т0) = Л при |/—т0|<ти/2,
s(t—т0) = 0 при \t—т0|>ти/2.
(1.3.12)
Под то понимается момент
времени, соответствующий середине
импульса. Рассматривая
раздельно случаи т<то (рис. 1.6,а) и
т>то (рис. 1.6,6), интегрируя в
обоих случаях по заштрихован-
32

ным участкам, где подынтегральное выражение в (3) отлично от
нуля, получим
It—т0|
*(x) = f-(l-
при |т—т0|<ти. (1.3.13)
Сигнальная функция изображена на рис. 1.6,8. Она представляет
собой равнобедренный треугольник с основанием 2ти и
высотой 2Е/М.
'2. Прямоугольный радиоимпульс. Принимаемый сигнал есть
прямоугольный радиоимпульс длительностью ти:
s(t~ x0) = i4sin[<Bo(f—т0) + ф0], \t—т0|<ти/2. (1.3.14)
Если выполнить вычисления по формуле (3) и считать cootn^l,
то, пренебрегая малым слагаемым (интегралом от косинуса
двойной частоты 2щ), получим
Яа(?) = тг" ( 1- |Т~Т" )cosco0(t—t„) при |т—т0|<т„. (1.3.15)
N
I
Сигнальная функция имеет вид косинуса частоты соо, огибающая,
которого определяется выражением (13).
3. Прямоугольный радиоимпульс с линейной частотной
модуляцией. Пусть
s(t—т0) = Лсо8[со0(г—т0) + яц(г—т0)2] при U—t0|<V2, (1.3.16)
где А — постоянная амплитуда (рис. 1.7,а), а частота
изменяется внутри импульса по линейному закону /=/о+М.(^—то).
(рис. 1.7,6). Максимальная девиация частоты от начала до конца
импульса равна /7=р.ти. Вычисления по формуле (3) приводят к
следующему результату:
, . 2 £ sin (я F Д г) / .
<?* От) = ~ 1'
VsW N nFAr \
|Дт|
jcos(o0At, |Ат| = |т—т0Кти.
(1.3.17)
При достаточно больших значениях Ртя^> 1 сомножитель
sin (nFAx)/nFAx изменяется значительно быстрее, чем (1—Лт/ти)*
IsWirFAr)
ч/г
ъ/г
mm
В)
Рис. 1.7. Характеристики прямоугольного радиоимпульса с линейной частотной
модуляцией
2-82 35

Поэтому при небольших значениях At<1/F<Cth справедливо
приближенное выражение
. . 2Е sin (nF А т) . ,» . ^ л о i ™
<78(т)^-- J——i-cos(o0Ax, |Ат|<ти. (1.3.18)
/V яг Дт
Вид огибающей сигнальной функции, соответствующей этому
выражению, изображен на рис. 1.7,в.
Заметим, что ширина главного лепестка сигнальной функции,
характеризующего протяженность сигнала по задержке т на
выходе корреляционного приемника, равна 1/2jF. Она при
указанном выше условии (.Fth^I) значительно меньше длительности
входного сигнала т„. Следовательно, корреляционный приемник
позволяет сузить (сжать) входной сигнал: длинный (по
времени t) входной сигнал преобразуется в узкий (по задержке т)
выходной сигнал. Степень сжатия сигнала в данном случае
определяется величиной .Рти.
4. Фазоманипулированный прямоугольный радиоимпульс.
Предположим, что длительность импульса ти разбита на п временных
подынтервалов одинаковой длины А=ти/о. На i-м подынтервале
(г=1, 2 л) формируется колебание Si(t) =i4tsin (юо^+фг), где
Ai и <рг- — заранее выбранные амплитуды и фазы элементарных
сигналов. Наборы А\, ..., Ап и фь ..., ф„ образуют коды,
которые можно выбрать так, чтобы получить сигнальную функцию с
нужными свойствами. Такие дискретные сигналы принято
называть сложными (составными) сигналами с внутриимпульсной
манипуляцией.
В зависимости от ограничений, наложенных на Л{ и ф,-,
можно получить разные классы сигналов. Например, если все Аг =
= const, a q>i могут принимать лишь два значения (обычно О
и я), то получается класс фазоманипулированных сигналов, часто
называемый классом ФМ импульсов. Сравнительная простота
фазового кодирования и выгоды, связанные с постоянством
амплитуды при генерировании и усилении, обеспечили ФМ импульсам
широкое применение.
Рассмотрим частный пример фазоманипулированного сигнала
(семипозиционный сигнал Баркера с я=7), для которого Л4=Л =
= const, ф, = 0 или я и п = 7. При этом обозначим условно
элементарный радиоимпульс длительностью А с ф{ = 0 через 1, а с
фг = л через —1 (рис. 1.8). Если согласно формуле (3)
перемножить два таких сдвинутых по времени на разные т сигнала
(рис. 1.8,6) и выполнить интегрирование, то получим, что
огибающая сигнальной функции qs(x) имеет вид, изображенный на
рис. 1.8,0. Огибающая сигнальной функции имеет семь лепестков
в виде равнобедренных треугольников с основанием 2А. Главный
лепесток имеет высоту 2nE\IN, где Е\ — энергия элементарного
импульса длительностью А. Высоты шести одинаковых боковых
лепестков равны 2EJN, т. е. в /1=7 раз меньше высоты главного
лепестка. Из сравнения рис. 1.6,в и 1.8,0 следует, что в
результате применения внутриимпульсной фазовой манипуляции выход-

ной сигнал корреляционного приемника будет сжат по времени
в 7 раз.
Два последних примера показывают, что применением
специальных видов внутриимпульсной модуляции или специального
внутриимпульсного кодирования можно получить сравнительно
узкие сигнальные функции. В настоящее время известно много
классов таких сигналов (в частности, сигналы Баркера с
указанными свойствами существуют для /г=3, 4, 5, 7, 11 и 13).
г„/л
1
х г,
\ \ а) \ I I I
I I I I I
1
1
1
1
-1
1
-1
-1
1
-1
-1
1
-1
б)
/Wrf,
Рис. 1.8. Фазоманипулировапный радиоимпульс (а), его условное изображение
(б) и огибающая сигнальной функции (в)
5. Пачка прямоугольных импульсов. Пусть принимаемый сигнал s(t—то)
представляет собой пачку нз п коротких прямоугольных видеоимпульсов с
амплитудой А, длительностью ти и известным периодом следования Т0 (рис. 1.9,а).
А
Г»
f±
О Т0 Тд
-1—<h
J±i
а)
iTn
пТ0 t
r0
ш^
Тц+Гд 2Т0Л-Тд (Л-fJTo+To Г
Рис. 1.9. Пачка прямоугольных видеоимпульсов (а) н сигнальная функция (б)
В каждом периоде время запаздывания То одинаково и может принимать любые
значения в соответствующем временном интервале длительностью Т0) т. е. в
1-м периоде время запаздывания T(=to+(i—-1)7\>, где i'=l, 2, ..., п.
Нетрудно показать, что сигнальная функция
<МТ) = -jf ) s(t-т0) s(t-r)dt
2»
(1.3.19)
35

имеет вид равнобедренных треугольников (рис. 1.9,6), отстоящих друг от
друга на расстоянии Го с основанием 2ти и высотой
Яа (Ъ) = (л — i) 2 EJN, %i = т„ ± (/ - 1) Т0, i = 0, 1, ... , я - 1,
тде Ei—энергия одного импульса. Наибольший пик при т=То имеет высоту
g.ma(rt) = n2E1/N. (1.3.20)
Высота пиков, расположенных симметрично относительно этого главного пика,
постепенно уменьшается, причем разность высот двух соседних пиков
одинакова и равна Aq—2E]/N.
Шумовая функция
2 пТ°
9n(t)=— j" n(t)s(t-x)dt (1.3.21)
/V 0
имеет нулевое среднее значение. Дисперсия ее равна
4 п7"„ пТ„
Dn = П {q2n (t)> = — J j М {я (У я («} a (f, - т) s (f, - т) ^ Л, =
N*
о
= — f s2(/ — т)Л =—У С s2(t — x)dt=n2E1/N. (1.3.22)
# о ^ г=о *г0
Из формул (20) и (22) получаем отношение максимального пика
сигнальной функции к среднеквадратическОму значению шумовой функции
Яз max (т,)/ Vo"n = У я 2 fii/AT. (1.3.23)
Таким образом, если отношение сигнал-шум по напряжению на выходе
корреляционного приемника для одного импульса равна ~\flE\IN, то при
приеме п таких же периодически следующих импульсов это отношение
увеличивается в \^п раз. Этот результат справедлив не только для видеоимпульсов, но н
для пачки из л когерентных радиоимпульсов. Для аналогичной пачки
некогерентных радиоимпульсов отношение сигнал-шум будет меньше.
Поэтому в случае пачки импульсов полезный пик в окрестности т0
как у функции q(x), так и у апостериорной вероятности будет более отчетливо
выделяться на фоне шумовых выбросоз, чем для одного импульса.
За счет увеличения числа импульсов можно добиться требуемого отношения
сигнал-шум на выходе корреляционного приемника. В данном случае увеличение
времени наблюдения (интегрирования) в л раз сопровождается улучшением
отношения сигнал-шум по напряжению в |/я раз. Этот результат можно
практически использовать как для обнаружения периодических импульсных
сигналов на фоне сильных помех, так и при оценке неизвестных параметров. При
этом, в отлнчне от одиночного импульса, здесь решение принимается с
запаздыванием во времени в п раз большим.
Именно в подобных случаях (пачкн импульсов) применяют согласованные
фильтры, реализуемые рециркулятором или гребенчатым фильтром (с. 53).
При практическом использовании корреляционных приемников
возникают осложнения. Как следует из основной формулы (1.2.35),
для формирования взаимокорреляционной функции необходимо на
приемной стороне знать форму 'полезного сигнала s(t, X). В том
36

случае, когда приемное и передающее устройства расположены в
одном месте (радиолокация), в качестве местного (опорного)
сигнала s(t, К) на приемной стороне можно взять колебания
местного гетеродина или импульсы передатчика, задержанные
соответствующей линией задержки. Интенсивность колебаний гетеродина
или импульсов передатчика настолько велика, что мешающими
напряжениями на входе приемника, сопровождающими эти
импульсы, всегда можно пренебречь. Если искажения принимаемого
сигнала малы, то опорное напряжение будет приближенно совладать
по форме с принимаемым сигналом. В данном случае является
важным требование высокой стабильности частоты колебаний
гетеродина (за время обработки интересующей нас пачки импульсов
фаза колебаний гетеродина не должна существенно изменяться).
Сложнее обстоит дело с формированием опорного сигнала s(t, X)
в радиосвязи, когда передающее и приемное устройства
пространственно разнесены. Считая фазовые флуктуации
радиосигнала из-за распространения радиоволн через турбулентную среду
медленными, здесь для формирования опорного сигнала из
принятого колебания обычно применяют специальный канал
синхронизации, основу которого составляют различные варианты фазовой
автоподстройки частоты [15].
1.4. ОПТИМАЛЬНЫЕ И СОГЛАСОВАННЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ФИЛЬТРЫ
Взаимокорреляционную функцию <7(т) между принятым
колебанием |(f) и полезным сигналом s{t), O^t^T, определенную
выражением (1.2.36), можно получить не только при помощи
корреляционного приемника (рис. 1.2), но также и на выходе
согласованного фильтра. Этот результат будет подробно обсужден ниже.
Приведем определения оптимальных и согласованных линейных
фильтров, получим их характеристики и укажем некоторые
свойства [3].
В отличие от линейных фильтров, предназначенных для
оптимальной фильтрации случайных сигналов по критерию минимума
среднего квадрата ошибки, оптимальные и согласованные
линейные фильтры применяются при обнаружении и различении
детерминированных сигналов, причем критерием оптимальности
применения таких фильтров является получение на выходе фильтра
максимально возможного отношения пикового значения сигнала к
среднеквадратическому значению помехи. Выбор такого критерия
оптимальности объясняется тем, что в упомянутых применениях
оптимального или согласованного фильтра основная цель
заключается не в воспроизведении формы сигнала, которая считается
известной, а в наиболее надежной фиксации лишь факта наличия
или отсутствия сигнала в принятом колебании.
Получим выражения комплексной частотной и импульсной
характеристик оптимального фильтра.
Пусть на вход искомого линейного фильтра с комплексной
частотной характеристикой К{']<о) воздействует сумма полностью из-
37

вестного сигнала s(t) и помехи n(t), представляющей собой
стационарный в широком смысле случайный процесс с известной
спектральной плотностью Sn((o):
6(0 = s(0 + n(0, 0<«7\g (1.4.1)
Обозначим полезный сигнал на выходе фильтра через sB(t) и
помеху на выходе через nB(t). Известно, что если на вход
линейной системы с комплексной частотной характеристикой К(')а>)
воздействует сигнал s(t), имеющий комплексный спектр
S(j(o)= ]e(f)eri*Jdt,
то комплексный спектр сигнала на выходе системы определяется
произведением S(jco)/C(jcu), а сам выходной сигнал — выражением
*в(0 = -7~ J5(j(o)/C(j(o)e"»^(o.
(1.4.2)
Спектральная плотность помехи на выходе фильтра определяется
выражением S„(co) |.K(jco) |2. Поэтому дисперсия помехи на выходе
фильтра равна
£>„
2я
JSn(o))|/C(j(o)l2d(o.
(1.4.3)
На основании (2) и (3) получаем выражение для отношения
сигнал-помеха по мощности на выходе фильтра в некоторый
момент времени to:
iUifft)!1
$S(j<B)Ar(jffl)e,(D'« da
ад
2я
(1.4.4)
JS„(co) |/C(jo>)|2d«B
Задача заключается в том, чтобы найти такую функцию /C(jco),
при которой отношение (4) в некоторый момент времени /о
достигает максимума. Эта задача может быть решена методом
вариационного исчисления [4] или же на базе известного неравенства
Шварца — Буняковского. Воспользуемся этим неравенством.
Неравенство Шварца — Буняковского гласит, что если имеются две
произвольные, в общем случае комплексные функции f(x) и g(x), то выполняется
соотношение i
J f*(x)g(x)dx
< J \f(x)\*dx I \g(x)\*dx,
(1.4.5)
причем знак равенства имеет место в том и только в том случае, когда
£(*)=*„/(*), (1.4.6)
где со — некоторая постоянная; f*(x)—функция, комплексно сопряженная f(x).

Запишем неравенство (5) в виде следующего отношения:
j f* (ш) g H d со
j|g(co)|»dce
< j|/(co)|M(o.
Полагая здесь
/* (со) = S (j со) el •<• /J/2rtSn(co), g («>) = К (j co)yXHi
имеем
Q =
1
2я
p(jco)/C(jco)e,(D'»dco
iS„((D) |^(j со)|2dсо
2я_£ Sn(co)
(1.4.7)
Отсюда следует, что максимально возможное значение
отношения сигнал-помеха определяется правой частью этого
соотношения, т. е. величиной
1
2я
7JiMlida.
1 S„(co)
(1.4.8)
Согласно (6) это значение достигается лишь при выполнении
условия
или
К (j со) VSn (со) = с0 S* (j со) е-1» ЧУ^ п Sn(co)
tf(j«)=C-^U->*S
Sn (со)
(1.4.9)
где с — некоторая постоянная; to — момент времени,
соответствующий наибольшему отношению пикового значения сигнала к
среднеквадратичному значению помехи. Зная комплексную частотную
характеристику оптимального фильтра (9), по известной формуле
можно найти импульсную характеристику. Для выяснения
принципиальной возможности реализации полученного оптимального
фильтра необходимо проверить выполнение условия физической
возможности фильтра. Если это условие непосредственно для (9)
не выполняется, то следует воспользоваться методами построения
физически возможных фильтров (см. ниже).
Таким образом, комплексная частотная характеристика
оптимального линейного фильтра определяется формулой (9), а
наибольшее отношение сигнал-помеха — формулой (8).
В некоторых приложениях требуется получить иа выходе фильтра
наибольшее отношение не сигиал-ломеха, а отношение крутизны сигнала к средиеквад-
3»

ратическому значению помехи. Так, например, в радиолокации, радионавигат
ции и телевидении для определения местоположения импульса на оси времени
иногда применяют фильтры, которые должны обеспечивать получение
максимально возможного отношения крутизны сигнала к среднеквадратическому
значению помехи. Назовем такие фильтры оптимальными по крутизне сигнала.
В такой формулировке применима изложенная выше теория оптимальных
фильтров с той лишь разницей, что теперь вместо самого сигнала s(t) нужно
рассматривать его производную по времени s'(t). При этом комплексная
частотная характеристика фильтра, согласованного по крутизне сигнала, будет
определяться формулой
S? (i со)
/fi(J«»-C,-r7-re-Je'.. 0-4.10)
где S*i(jco)—спектральная функция, комплексно сопряженная спектру Si(jco)
производной от сигнала s'(t); C\—некоторая постоянная. Максимально
возможное отношение крутизны сигнала к среднеквадратическому значению помехи
будет равно
1 Т IS,(j со)!2
Q1==— f i-l^LiJ_d(D (1.4.11)
1 2»_i. S„(e>) V
Отметим, что, варьируя спектрами сигнала и помехи S(jco) и S„(co) в
формуле (8), можно прн некоторых дополнительных условиях (например,
постоянство энергии или мощности сигнала и др.), накладываемых на систему, найти
наилучшую форму спектра сигнала (при которой максимизируется Q) и
«наилучшую» спектральную плотность помехи (при которой Q минимизируется). Такой
пример рассмотрен на с. 54.
До сих пор на помеху n(t) не накладывалось никаких
ограничений, кроме стационарности в широком смысле. При этом
принципиальный вопрос об оптимальном характере обработки
принимаемого колебания (1) для решения задач обнаружения сигнала
или различения сигналов, по существу, не затрагивался. Для
произвольной стационарной помехи такая обработка оказывается
неоптимальной. Однако она оптимальна и выходной сигнал дает
достаточную статистику в том важном, но частном случае, когда
помехой n(t) является гауссовский белый шум. Назовем частный вид
оптимального линейного фильтра для этого случая согласованным
линейным фильтром. Иначе говоря, согласованный фильтр —
линейный фильтр, на выходе которого получается максимально
возможное пиковое отношение сигнал-шум при приеме полностью
известного сигнала на фоне гауссовского белого шума.
Применим полученные формулы к данному случаю. Для этого
в формулах (8) — (11) нужно положить Sn(со) =JV/2 = const.
Тогда, например, формулы (8) и (9) примут соответственно вид
Q0=2E/N, (1.4.12)
/C0(j©)=)feS*(j©)e-J«>'., (1.4.13)
40 .

где k — некоторая постоянная, характеризующая усиление
фильтра; Е — энергия сигнала
Е= js2(0^ = ^- J|S(jco)|2dco. (1.4.14)
—со "3t —оо
Запишем спектр входного сигнала и комплексную частотную
характеристику фильтра в виде
S(ju)) = |S(jco)|eJ<p«(<o), /Co(jco) = |Ko(jco)|ei<p(<0). (1.4.15)
Для согласованного фильтра из (13) получим
|/Co(j«>)l = *|S(jfi>)l, Ф(ю)=-(Ф. И+©*.)• 0-4.16)
Видно, что амплитудно-частотная характеристика
согласованного фильтра пропорциональна ампитудно-частотному спектру
входного сигнала (амплитудно-частотная характеристика
«согласована» со спектром сигнала), а фазо-частотная характеристика
равна сумме фазо-частотного спектра сигнала, взятого с обратным
знаком, и фазового спектра задержки (—со/о).
Совпадение формы амплитудно-частотной характеристики
фильтра с амплитудно-частотным спектром сигнала обеспечивает
наилучшее выделение наиболее интенсивных участков спектра
сигнала. Слабые участки спектра сигнала фильтр ослабляет; в
противном случае наряду с ними проходили бы интенсивные
шумы. При этом форма сигнала на выходе фильтра искажается.
Однако это не имеет значения, так как задача фильтра в данном
случае состоит не в точном воспроизведении входного сигнала, а
в формировании наибольшего пика выходного сигнала на фоне
шума. Существенную роль в этом отношении играет
фазо-частотная характеристика фильтра ф (со).
Подставив в (2) частотную характеристику (13), получаем
выражение сигнала на выходе согласованного фильтра
sB(/)=-*- J|S(j©)|,eJB«-'»>d© =
= — П S (j со) |2 cos со (^— /0) d со. (1.4.17)
2я_£
Отсюда видно, что сигнал на выходе согласованного фильтра
определяется только амплитудно-частотным спектром входного
сигнала и не зависит от его фазо-частотного спектра. Последнее
объясняется тем, что взаимные фазовые сдвиги спектральных
составляющих входного сигнала (ря(ш) компенсируются фазо-частот-
ной характеристикой фильтра. Поэтому все гармонические
составляющие одновременно достигают амплитудных значений в
момент времени t = t0 и, складываясь, дают пик выходного
сигнала
SBmax(W = ^JlS(jC0)|2dC0==*£. (1.4.18)
41

Если бы фазо-частотная характеристика фильтра не
компенсировала фазовых сдвигов спектральных составляющих входного
сигнала, то максимумы гармонических составляющих не совпадали
бы во времени, что привело бы к уменьшению или раздроблению
пика выходного сигнала.
Укажем, кстати, что согласованным фильтром (13) можно
воспользоваться и при приеме полностью известного сигнала иа фоне стационарной помехи
с произвольной спектральной плотностью S„((0). Для этого достаточно
формально пропустить принимаемое колебание (1) через дополнительный
линейный фильтр, который преобразует помеху n(t) в белый шум. Фазо-частотная
характеристика фильтра может быть любой, а амплитудно-частотная
характеристика такого дополнительного «обеляющего» фильтра должна иметь вид
| К (J (D)| = ft/ VSTM. (1.4.19)
где ft"—постоянная. На выходе обеляющего фильтра помеха превратится з
белый шум с постоянной спектральной плотностью S„(co) |^(ju>|2 = fe2=const, a
комплексный спектр сигнала будет равен
S(j(o)=FS(ju))/"l/S^(©r.
После этого можно воспользоваться полученными выше формулами. Так,
на основании (13) записываем комплексную частотную характеристику
соответствующего согласованного фильтра
tf0 (j <о) = k S* (j <о) e-'*V УХМ-
Оптимальный фильтр представляет собой последовательное соединение двух
фильтров: обеляющего A"(jcd) и согласованного Ко{]ч>)- Его комплексная
частотная характеристика К('}Ч>) — К(\а>)Ко{'}Ч>) определяется формулой (9).
Пользуясь допустимой свободой выбора фазовой характеристики
обеляющего фильтра, можно попытаться выбрать ее так, чтобы оптимальный фильтр
был физически возможным. Если спектральную плотность помехи S„(co) можно
аппроксимировать рациональной функцией частоты (что практически не огра--
ничительно), то для получения физически возможного оптимального
линейного фильтра часто пользуются известным положением факторизации —
разложением Sn(ft)) на два комплексно сопряженных сомножителя [4,16].
Проиллюстрируем эту методику на частном примере.
Пример 1.4.1. Физически возможный обеляющий линейный фильтр. Пусть
помехой является гауссовский стационарный экспоиенцнальио
коррелированный шум n{t), имеющий рациональную спектральную плотность Sn(a>)*=3
=2a£V(a2+co2), где D — дисперсия шума.
Согласно формуле (19) имеем
| К (ja>) Г = $/Sn (a>)= ft2 (a* + a>*)/2 aD=» (ft/2 a D) (a + J со) (ft/2 о D) (a—ja>).
Таким образом, получаем два равноценных варианта физически возможных
обеляющих фильтров
tfl.2 (jco) = (ft/2a£>) (o± jo>).
Такой обеляющий фильтр встречался ранее; его временные характеристики
определены оператором (1.2.27).
42

Иногда аналогичная методика позволяет получить реализуемые обеляющие
фильтры и для шума с нерациональной спектральной плотностью. Пусть
например, спектральная плотность шума имеет вид
N . 2aD (ЛГ/2)(а2х2 + ш2)
а»+а>2
Sn(<a)= ^г +
2 ' а* + вР
где х2= 1-t-iD/aN. Ha основании формулы (19) имеем
*2 (a2 + со2)
= k
-/ 2 \i/2 а + jco -/ 2 \i/2 o — jffl
1т
(т)'
1 и ' (ЛГ/2) (а2 х2 + о)2) '" V ЛГ у ax+jo»;, \N/ ax —ji
Чтобы линейный фильтр был физически возможным, его комплексная частотная
характеристика не должна иметь полюсов в правой полуплоскости. Поэтому для
получения реализуемых фильтров нужно использовать в знаменателе лишь один
сомножитель с ax+jco. Таким образом, получаем два реализуемых
обеляющих фильтра
_а(х+1)"|
ах + j о»
Импульсная характеристика согласованного фильтра (13)
находится по формуле
1 |/С0(]'о))е1и^со = — jS* (j со) eW-'^d со =
-, ~ / 2 \i/2 a + ja> -/ 2 \ 1/2 г a(x+l)1
\ ЛГ / ax+jco V ЛГ / L ax + ju)J
hod)
2я
2я
= _*_ ?5* (—j со) ei»<*«-« d со = — ? S (j со) ei««'»-» d со.
Учитывая выражение для входного сигнала
I
s(t) = -^~ j5(jco)ei»'dco,
—00
получим
h0{f)=ks(t0—f). (1.4.20)
Следовательно, импульсная характеристика согласованного
фильтра целиком определяется формой сигнала («согласована» с
сигналом).
Чтобы представить себе функцию ho(t), обратимся к рис. 1.10.
На рисунке изображен импульсный сигнал s(t) длительностью т„,
появившийся в момент времени t = xQ. Очевидно, что функция
s(ta+t)
Рис. 1.10. Детерминированный сигнал s(t) и импульсная характеристика Ао(0
согласованного фильтра (£=1)
4а

s(t0 + t) появляется на время t0 раньше, чем сигнал s(t).
Функция же s(U—t) является зеркальным отображением функции
s(t0 + t) относительно оси ординат. Умножив функцию s(tJ-t) на
коэффициент k, получаем импульсную характеристику
согласованного фильтра (20).
Если на вход согласованного фильтра (20) воздействует
принятое колебание
l(t) = s(t,l) + n(t) 0<f<7\ (1.4.21)
то напряжение на выходе согласованного фильтра можно
представить в виде
*)(*) = ]fi0(t—x)l(T)dx = k ]s(t0—t + x,X)l(i)dr =
—оо —оо
= (k N/2) [q0s (t, X) + qon (t, X)\, (1.4.22)
где qos(t, X) и qon(t, X)—сигнальная и шумовая функции
Qosit, *)=-£" ]s(t0-t + x, X)s(x, X0)dx, (1.4.23)
—оо
о оо
Яоп (t, fy = — \s(t0 — t + x, X)n{x)dx.
Из (22) видно, что выходное напряжение согласованного
фильтра представляет собой взаимокорреляционную функцию
между принятым колебанием £(/) и входным полезным
сигналом s(/, X). Следовательно, согласованный фильтр в принципе
выполняет ту же операцию, что и корреляционный приемник; в
этом смысле они эквивалентны. Вопрос о применении
корреляционного приемника или согласованного фильтра в каждом
конкретном случае решается в зависимости от простоты технической
реализации.
Следует отметить, что при одном и том же входном
радиосигнале s(t, X) характер сигнальной и шумовой функций на
выходе корреляционного приемника и согласованного фильтра
различен. Для иллюстрации этого рассмотрим пример.
Пример 1.4.2. Сигнальные и шумовые функции для прямоугольного
радиоимпульса с неизвестной частотой. Получим выражения и изобразим графики
сигнальных и шумовых функций на выходе согласованного фильтра и
корреляционного приемника для прямоугольного радиоимпульса s(t, <o)—Aijcos(o(t—т0),
То^'^То+Ти^Г, у которого известны амплитуда Л0) начало импульса То и его
длительность ти.
На основании формулы (20) записываем импульсную характеристику
согласованного фильтра h0(t)=ks(t0—t, (£>)=kA0cos(x>(to—t—to), причем в данном
случае можно положить /о=то + ти (см. ниже). Поэтому /to(/)=MoCOSu>(TH—t),
°<'<ти. По формуле (23) находим сигнальную функцию на выходе
согласованного фильтра
44

^ о oo
\ <7оз ('.«) = -— f s(x — (t — T0 — T„),(D)s(T,(Oo)tfT =
\ # -oo
\ (2A2 *
5 j cos (o (t — < + т„) cos (o0 (t — т0) d x, т0 < t < т0 + ти,
Л'
2 Л* т°+ти
—— f cos со(т—<+t„)cos о)0(т—T0)dt ,т0+ти</<т0+2ти,
N t-x
, Ц) при других t.
Выполнив вычисления и пренебрегая гармоническим слагаемым суммарной
частоты (ш + Шо), получим
qBS (t, со) ~ Дот cos [со0 (* — т0 — ти) + (Дш/2) (t — т0 — 2ти)] X
«sin [(Дсо/2) (^ — т0)], т0^<<т0 + тИ)
X| sin [(Да/2) (т0+2 ти - *)] ,т„+ти <<< т0+2тИ) (1.4.24)
vO при других <,
где £,=Л20Ти/2 — энергия радиоимпульса; Д<о = со—е>0.
Шумовая функция равна
2Л °°
<7оп (<, со) = —° j я (т) cos о) (т -1 + ти) dx . (1.4.25)
^' —оо
Приведем выражения для сигнальной и шумовой функций на выходе
корреляционного приемника:
2 '
ЯзУ, со) = — f s(t, co)s(T, co0) dt~ (2£/tf)sin [Дю (t — т0)]/Дсоти, (1.4.26)
" т
т0<<<т0 + ти>
1А '
qn (t, со) =—-° j п (т) cos со (т — x„)dx. (1.4.27)
То
На рис. 1.11 изображены сигнальные функции на выходе согласованного
фильтра (24) и корреляционного приемника (26), а на рис. 1.12 — шумовые функции
(25) и (27). Из рисунков виден разный характер этих функций для
согласованного фильтра и корреляционного приемника.
Укажем два основных свойства согласованных фильтров.
1. Среди всех линейных фильтров согласованный фильтр
позволяет получить на выходе максимальное отношение пикового
значения сигнала к среднеквадратическому значению шума,
равное У 2E/'N, причем это значение не зависит от формы сигнала.
Это важное свойство выше было принято за исходное
определение согласованных фильтров. Однако это свойство можно
получить, если принять за определение согласованных фильтров
формулы (13) или (20).
2. Полезный сигнал на выходе согласованного фильтра
совпадает с «корреляционной функцией» входного полезного сигнала,
и корреляционная функция выходного шума имеет вид
«корреляционной функции» входного полезного сигнала.
45

Из (22) и (23) видно, что сигнал sB(t) = (kM/2)q0s(t, IV на
выходе согласованного фильтра с точностью до
постоянного/множителя представляет собой «корреляционную функцию»
вводного полезного сигнала, причем наибольшее значение выходного
сигнала имеет место в точке Я=Ло, t=t0 и равно Т
SBmaxtt>) = fcE. /(1.4.28)
Корреляционная функция выходного шума 1 nB(t) =
= (kN/2)q0n(t, X) легко находится: /
R(t1-t2) = M{nB(t1)nB(t2)}-= J
= k*± ]s{x,%)s{x + h-tb\)dx. (1.4.29)
Рис. 1.11. Сигнальные функции на выходе согласованного фильтра (а) и
корреляционного приемника (б) для входного прямоугольного радиоимпульса s(t) =
=j40cosu)(f—То) длительностью ти
46

Эта формула показывает, что корреляционная функция
выходного шша имеет вид «корреляционной функции» входного сигнала.
Отсюда при ti = t2 получаем дисперсию выходного шума
\ DB=k*NE/2. (1.4.30)
Из формул (28) и (30) находим отношение наибольшего
значения выходного сигнала к среднеквадратическому значению
выходного Шума:
-. »Bn«Ato)/VDB = V2E/N, (1-4.31)
что, как и* следовало ожидать, совпадает с результатом (1.3.8).
Отношение сигнал-шум на выходе согласованного фильтра
можно пересчитать к его входу. Пусть Af3 — эффективная полоса
пропускания согласованного
фильтра (13), равная эффективной
ширине спектра сигнала. Мощность
шума на входе в эффективной
полосе пропускания
согласованного фильтра равна Pn = Nhfv, a
мощность сигнала на входе
фильтра равна Ps = EJxa, где ти — эф-
ЬЧоп(*>*>
а)
\qn(t,&)
Рис. 1.12. Шумовые функции на выходе
согласованного фильтра (а) и
корреляционного приемника (б) для
прямоугольного радиоимпульса длительностью
фективная длительность сигнала. Подставив отдельные величины
в формулу (31), получим
5В max (t0)/VDa = 1/2 А /„ ти PjPn. (1.4.32)
Произведение Д/Эти часто называют базой сигнала. При
заданной энергии сигнала Е и равномерной спектральной
плотности шума N увеличение ти или Л/э порознь не оказывает
непосредственного влияния на отношение сигнал-шум на выходе
согласованного фильтра; это отношение можно увеличить за счет
увеличения базы сигнала.
При практическом конструировании оптимальных и
согласованных линейных фильтров, кроме основных формул (9), (13) и
(20), следует также иметь в виду условия физически возможных
фильтров и условия практической реализуемости фильтров.
Когда условия физической возможности выполняются, задачу
отыскания оптимального или согласованного фильтра в принципе
можно считать решенной.
Если сигнал s(t), с которым должен быть согласован фильтр,
начинается в момент времени т0 и полностью прекращается при
^то+Ти (рис. 1.10), то условие физической возможности для
импульсной характеристики (20) выполняется при to^xo+Гн-
47

Только при этом условии будет использована вся энергия
входного сигнала для формирования наибольшего сигнального/пика
на выходе фильтра в момент времени to. Увеличение to/ сверх
То+Ти, не влияя на величину пика, сдвигает его в сторон^
большего запаздывания, что обычно нежелательно. Поэтому/следует
брать ^о=то+ти. /
Иногда для аппроксимации реальных импульсных (сигналов
используют бесконечно длинные импульсы (гауссовский,
экспоненциальный и др.). В подобных случаях приходится искусственно
брать конечное значение длительности аппроксимирующего
импульса, содержащей основную долю энергии сигнала. J
Если даже согласованный фильтр является физически
возможным, то это не означает, что данный фильтр можно реализовать
практически. Может оказаться, что для построения такого
фильтра требуется слишком много элементов, или же эти элементы
должны обладать практически трудновыполнимыми
характеристиками и т. д.
В тех случаях, когда для сигнала получаются практически
нереализуемые фильтры, можно предложить два пути.
1. Для многих применений целесообразно заранее подбирать
такие сигналы, для которых получаются сравнительно легко
реализуемые фильтры. Иначе говоря, чтобы обеспечить наилучший
общий результат, нужно одновременно заниматься как
построением согласованных фильтров, так и подбором желательных форм
сигналов [3].
2. Если желательная форма сигнала выбрана и для него
согласованный фильтр все же не реализуем, то следует
использовать тот из практически осуществимых фильтров, который
обеспечивает наибольшее отношение сигнал-шум на выходе. (Во
избежание недоразумений отметим, что при использовании
сигналов с внутриимпульсной модуляцией часто специально
применяют несогласованные фильтры для подавления боковых
«лепестков», допуская некоторое уменьшение отношения сигнал-шум.)
Можно показать [35], что отклонение характеристик фильтров
от формул (13) и (20) во многих случаях не сопровождается
значительным уменьшением отношения сигнал-шум. Поэтому без
существенного ухудшения характеристик системы можно
применять вместо строго согласованных фильтров практически легко
■реализуемые фильтры, дающие примерно те же результаты.
Отметим несколько общих результатов. Корреляционные
приемники и согласованные фильтры, по существу, решают одну и
ту же задачу — обеспечивают получение на выходе максимально
возможного пикового отношения сигнал-шум. Однако схемная
реализация корреляционного приема и согласованной фильтрации
оказывается различной. В практических приложениях выбор
корреляционного приема или согласованной фильтрации в основном
определяется простотой реализации.
В § 1.2 указывалось, что корреляционные приемники и,
следовательно, согласованные фильтры являются оптимальными, ког-
48

да прием осуществляется на фоне гауссовского белого шума и
полезный сигнал полностью известен. Конечно, в практических
ситуациях эти условия не выполняются. Из-за причин различной
природы параметры радиосигнала, как правило, являются
случайными величинами или процессами. Однако позже мы
убедимся, что\эти отклонения не исключают использование
корреляционного Приема и согласованных фильтров в качестве важных
элементов ^ устройствах оптимального обнаружения и различения
сигналов, а также в измерителях параметров сигналов.
В заключение рассмотрим два примера.
Пример 1.4.3. Согласованные фильтры для некоторых видов импульсных
сигналов.
1. Согласованный фильтр для прямоугольного видеоимпульса. Пусть
импульс появляется в момент времени ^=0, имеет амплитуду А и длительность ти
(рис. 1.13), т. е.
s(t) = А при 0 «: <<ти, s (/) = 0 при /<0, <> ти.
Спектр такого сигнала равен
S (j ш) = А [' e-JM< dt=—(l- e~'m" ).
о J®
^ити
Полагая t0=ru, по формуле (13) находим комплексную частотную
характеристику согласованного фильтра
kA
Ко U а)= — (1
JC0
—J сот
• е и) .
(1.4.33)
Одна из возможных функциональных схем согласованного фильтра
представлена на рис. 1.13. Он состоит из идеального видеоусилителя с коэффициен-
S/t)
,и -.. 2ги t
\-s3(t)
Рис. 1.13. Согласованный фильтр для прямоугольного видеоимпульса и
напряжения на выходе отдельных элементов
том усиления kA, интегратора, линии задержки на премя ти и вычитающего
устройства. Напряжение с выхода интегратора подается на вычитающее устройство
по двум каналам: непосредственно и через линию задержки. На рисунке
показан характер напряжений на выходе отдельных элементов схемы. На выходе
вычитающего устройства получается треугольный импульс высотой kE и
длительностью 2ти:
«в W
= ие{
U-
,0<<<2ти.
(1.4.34)
49

2. Согласованный фильтр для двух прямоугольных видеоимпульсов. Пусть
сигнал s(t) всюду равен нулю, за исключением двух временных интервалов
ti и т2 (рис. 1.14), где
5 (j со) = г^ (1 - е-)шт') + Р- (1 - e-Jt0T*) q->^^+^
s(l)=A1 при Q<t^r1, s(0=^2 ПРИ ^4-То^^^ + То + т^
Спектр такого сигнала определяется выражением /
]' СО J СО
При /o = Ti + t0+T2 частотная характеристика согласованного фильтра имеет вид
К (,• о>) = —х (1 _ е-'Ю1С-) е-'ю'т»+1С') + —2 (1 - e-Jt0Tj) . (1.4.35)
j со j со
т0+тг
Di^l
Se(t) a
<7 ГУ + Гд + Гг
Рис. 1.14. Согласованный фильтр для двух прямоугольных видеоимпульсов
Один из вариантов функциональной схемы согласованного фильтра
приведен на рис. 1.14. Нетрудно убедиться, что
Sbmax (t0) =kE = k(A\ xx + A\ T2). (1.4.36)
3. Согласованный фильтр для прямоугольного радиоимпульса. Пусть
прямоугольный радиоимпульс имеет вид s(t) =Л cos со0* при 0^/^Ти. Находим его
спектр
5 (]•©) =—
гК<о0-ш)ти _ j
-Нб>о+й))Ти
-1
](ю0 —») j (&><, +со)
По формуле (13) при ?о=Ти находим передаточную функцию согласованного
фильтра
-Jot.,
-1<о.ти
-|шти
]ш0т„
Ко (]' <в) = k п ., ч -,1ч
] К — <в) j(®o + »)
Предположим, что сооти = 2[Ш, где ц — целое число. Тогда
jco
tf0(jco)=M(l-e 1ИТи)ш2 щ2
(1.4.37)
Такую передаточную функцию можно получить при помощи
функциональной схемы рис. 1.15. Первый сомножитель реализуется линией задержки на ти и
вычитающим устройством, а второй сомножитель jco/(co2o—со2) соответствует
передаточной функции идеального колебательного контура (с очень малым
затуханием), которая равна jco/C(co20—со2), где ю20=1/£С— резонансная частота ко-
50

лебательиого контура. На рисунке также изображен характер сигнала на входе
и выходе согласованного фильтра.
4. Согласованный фильтр для ФМ радиоимпульсов. Приведем
функциональную схему согласованного фильтра для семипозициониого ФМ
радиосигнала Баркера (с. 34). Иопользуя условное обозначение такого сигнала (рис. 1.16,а),
Рис. 1.15. Согласованный фильтр для прямоугольного радиоимпульса
по формуле (20) получаем импульсную характеристику согласованного
фильтра (рис. 1.16,6). Такую характеристику позволяет получить устройство,
представленное на рис. 1.17. Оно состоит из широкополосной линии задержки с
семью равноотстоящими отводами (через интервал временной задержки Д),
общего сумматора, к которому часть отводов подключена через инверсные
каскады, а остальные — непосредственно, и линейного фильтра, согласованного с
элементарным прямоугольным радиоимпульсом длительностью Д (см. рис. 1.15).
г„
+
+
+
-
-
+
-
а)
ь
+
-
-
+
+
+
—,
s(t)
ё>
В)
Рис.. 1.16
,, .. ,, ч
Сумматор
s£(t)

Согласованно/ й фильтр
ЧШ
Рис. 1.17
Рис. 1.16. Условное изображение фазомаиипулироваиного сигнала (а) и
импульсная характеристика согласованного фильтра (б)
Рис. 1.17. Согласованный фильтр для ФМ радиоимпульса
Работа схемы поясняется рис. 1.18, на котором показаны этапы
формирования сигнальной функции qs(i). На рис. 1.18,а схематически изображены
сдвинутые во времени (с учетом наличия инверсных каскадов) радиоимпульсы на
входе сумматора. Результат их суммирования представлен иа рис. 1.18,6, а
огибающая результирующего сигнала sB (t) на выходе согласованного фильтра —
иа рис. 1.18,в.
61

5. Согласованный фильтр для пачки радиоимпульсов. Получим
согласованный фильтр для прямоугольной пачки из п периодически следующих
когерентных радиоимпульсов, т. е. сигнала вида
л— 1
s(0 = S Si(<-|iT0),0<f<nTe. (1.4.38)
ц=0
Здесь Si(t), 0^t<T — одиночный радиоимпульс заданной формы с энергией
Ей Та— период следования импульсов.
А-Т*/п
ю
-a(t) „
п-1
z\s(?- — Tb) 0 2А 4Л 6А 8А 10А 12.А
ЧЕНЗЧЗ-1-ЕЬВ-ЕЬ-
+ т
sT(t)
в)
Рис. 1Л8. Формирование сигнала на выходе согласованного фильтра
Спектр такого сигнала равен
пТ„ п-1 (ц+1)Г0
5 (J ю) = j s (0 e-Jt0' Я = 2 1 «1 С -1» 7'o)e-Jt0' Л =
О ц=0 цГ0
= 2 f s*(u) e-)t0("+,i7'») d« = S, (j со) J е-'и^г» ,
ц=0 0 ц=0
rfleS,(j<u) = ] Si(f)e-ib>*d^ — спектр 1-го импульса. Полагая в формуле (13)
о
to=nT0, по спектру пачки импульсов находим частотную характеристику
согласованного фильтра
Ко (] <в) = k Kt (j со) К, (j со), (1.4.39)
п-1
1 — ехр (— jcora Т0)
*i(J ») = S*, (j со) e~j6)T° , ЛГ2 (j со) = 2 e_J6>Vr° = , , . ., ■
^о 1 — ехр (— ] ю Г„)
(1.4.40)
Первый сомножитель в выражении (39) /Ci(jco) есть частотная
характеристика согласованного фильтра для одного радиоимпульса. Частотная
характеристика /G(jco) может быть получена путем суммирования выходных сигналов
равноотстоящих отводов линии задержки на общее время (и—1)Г0. Таким
образом приходим к функциональной схеме согласованного фильтра, представленной
на рис. 1.19.
52

На практике бывает трудно осуществить задержку, равную длительности
пачки. Поэтому часто используют линию задержки на один 'период повторения
Го, ио с обратной связью с выхода на вход (рис. 1.20,а), что обеспечивает
многократное использование линии задержки. Для устранения самовозбуждения
из-за неизбежных нестабильностей коэффициент обратной связи а берут не-
к, (jo)
—»■
1
(п-
-пт„
i 1
1 '
То
«е-
' 1
1
1
1
1 у ,
1 '
/ил
Рис. 1.19. Согласованный
фильтр для пачки
когерентных радиоимпульсов
сколько меньше единицы (а<1). Такие устройства называют рециркуляторами.
Их следует рассматривать как квазиоптимальные фильтры для пачки
импульсов.
1&Z
П
а *-
1 Н
- то ,'
1
6tt 6)Гд
(О б)
Рис. 1.20. Рециркулятор (а) и его амплитудно-частотная характеристика
Нетрудно показать, что импульсная характеристика рециркулятора и
соответствующая ей комплексная частотная характеристика имеют вид
h (0 = 2 <^ 6 (<-цГ0) ./СО со) = 2 а»е-""°г» = (1-ае-)ю:г°)"' .(1.4.41)
Амплитудно-частотная характеристика рециркулятора
IК (j со) I = (1 + а2 — 2 а cos со Г0)-1/2
является периодической функцией частоты и имеет вид гребенки (рис. 1.20,6) с
максимумами, равными 1/(1—а) при частотах f=m/T0, m=0,l,2 В связи с
этим рециркуляторы называют также гребенчатыми фильтрами (такие фильтры
можно получить и при помощи надлежащим образом настроенных
колебательных контуров).
33

Воспользовавшись импульсной характеристикой рециркулятора (41), можно
показать, что отношение наибольшего пика сигнала (в конце последнего
импульса) к дисперсии шума на выходе равно
'2 Е 1+aN
N
sBmax
Vdb
= /2J l+ay/2
V N I—a) K '
(1.4.42)
Наибольшее отношение сигнал-шум на выходе согласованного фильтра для
пачкн когерентных радиоимпульсов определяется формулой (1.3.23). Поэтому
ухудшение отношения сигнал-шум на выходе рециркулятора (по сравнению с
согласованным фильтром) можно характеризовать величиной
5втах . gsmax ( 1 +« \1/2 .. _ „.
-а)/
Р = Ч7^:Ч7Р=
VDB " -\/Dn \n(l
(1.4.43)
Графики зависимости р от а и п приведены на рис. 1.21.
Согласованные фильтры для других видов импульсных сигналов можно
найти в [3,5].
Пример 1.4.4. Оптимальные спектры сигнала и помехи. Выше при
рассмотрении оптимальных линейных фильтров предполагалось, что спектральная
плотность помехи 5п(ы) не зависит от
вида полезного сигнала s(t). В
некоторых случаях это предположение не
выполняется. Укажем два примера.
Пусть обнаружение сигнала
производится на фоне белого шума с
постоянной спектральной плотностью N
и хаотических отражений.
Спектральную плотность отраженного сигнала
иногда можно полагать равной
v|S(jo))|2, где v — коэффициент,
зависящий от дальности до
отражателей и свойств среды, в которой
распространяется полезный сигнал. В
данном примере можно ставить и ре-
f a шать задачу о выборе оптимальной
формы спектра излучаемого сигнала
(вида модуляции), обеспечивающего
при указанной результирующей
помехе наибольшее отношение сигнал-по-
. меха (8) [6].
Приведем здесь решение второго примера [7,8]. Допустим, что одна из
противоборствующих сторон с целью повышения эффективности работы своей
радиотехнической системы стремится максимизировать отношение сигиал-поме-
ха (8), а другая — с целью подавления этой системы применяет умышленную
помеху, спектральная плотность которой Sn (со) выбирается с учетом спектра
сигнала S(jco). Считая спектры сигнала и помехи известными обеим сторонам,
определим, какой спектр S(jco) должен иметь полезный сигнал s(t), чтобы
максимизировать отношение сигиал-помеха на выходе оптимального фильтра, и
какой должна быть спектральная плотность помехи Sn(<o), чтобы это отношение
было минимальным.
.р
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
о,и
0,3
0,2
о,?
О
с
■п=5^-—~Р><\7*\Х\
10^У^ / /\\\|
?£^^^ / \1
50^*^ V
-
i i i ..I
о
1
0,5 0,9 0,7 0,8 0,3
Рис. 1.21. Зависимость уменьшения
отношения сигнал-шум на выходе
рециркулятора от а и я
54

Применим следующий метод решения. Будем искать наилучший спектр
сигнала при наихудшей помехе, т. е. определим S(ja>), который обеспечивает
max min Q. (1.4.44)
S(jco) S„(co)
С этой целью для произвольного сигнала со спектром S(ja>) найдем
спектральную плотность помехи Sn(co), для которой имеет место min Q. Затем, считая,
Sn(co)
что сигнал принимается на фоне наихудшей помехи, найдем из условия (44)
спектр сигнала. Таким образом будет найден наилучший в указанном смысле
снгиал и определено отношение сигнал-помеха, которое можно получить в этом
случае иа выходе оптимального линейного фильтра. При этом будем считать,
что энергия сигнала Е и дисперсия (мощность) помехи Dn фиксированы:
£= — \ \S (jco)i2dco = const, (1.4.45)
2яДсо
Dn= —^ Sn (со) dee = const, (1.4.46)
где Лео — область частот, в пределах которой спектры сигнала н помехи
отличаются от нуля.
Пусть спектр сигнала 5(j<o) известен. Тогда спектральная плотность помехи
выбирается из условия минимума функционала (8)
2nla 5„(co) l
при дополнительном условии (46). На основании правил вариационного
исчисления уравнения, определяющие спектральную плотность помехи, имеют вид
д
dSn
/(5П)=0, ■ (1.4.48)
Ki — постоянный множитель Лагранжа.
Из выражения (48) получим
5n(co) = y=- |S(jco)|,coeAco. (1.4.49)
Следовательно, спектральная плотность «оптимальной» помехи с точностью до
постоянного множителя совпадает с амплитудно-частотным спектром сигнала.
Подставив (49) в (46), находим множитель Лагранжа
Л/К =гЧг! l5(jco)|dco. (1.4.50)
Помеха со спектральной плотностью (49) минимизирует отношение сигнал-
помеха, причем из (47) с учетом (49) и (50) следует, что
- г
|5(jco)|dco . (1.4.51)
55
1
mm Q = ———
s (и) 4ji2D„
Да

Считая теперь, что сигнал принимается иа фойе помехи со спектральной
плотностью (49), спектр сигнала, максимизирующего отношение сигнал-помеха
при дополнительном условии (45), находим из выражений
^/(5) = 0, (1.4.52)
/(5)=^w+ST|5(jCfl)|2' (I-4-53>
где Яг — постоянный множитель Лагранжа. Выражение для
амплитудно-частотного спектра сигнала имеет вид
IS (j со)! = -- Лд- .соеДсо, (1.4.54)
Я,= — (1/2)(Дш/2я£0„)1/2. (1.4.55)
Из (54) видно, что в случае применения оптимальной помехи следует
использовать сигнал с равномерным спектром в заданной полосе частот.
Спектральная плотность оптимальной помехи в этом случае также равномерная. При этом
отношение сигнал-помеха согласно выражениям (51), (54) и (55) будет равно
Е Дсо Ps ти Дсо
max mm Q = - = ,
S(jco) Sn(a) 2nDn Dn 2 я
где Р, — средняя мощность сигнала; ти — длительность сигнала. Выигрыш в
отношении сигнал-помеха иа выходе оптимального фильтра пропорционален
базе сигнала тиДсо/2я.
Отметим, что формирование сигнала конечной длительности со строго
равномерным спектром в задаииой полосе частот невозможно. Однако можно
получить хорошее приближение, используя псевдошумовые сложные сигналы и
сигналы с виутриимпульсной частотной модуляцией с большой базой.
В заключение приведем краткие сведения о согласованном
фильтре для полезного сигнала s(x, у) в виде двумерного
скалярного поля. Пусть регистрируется (например, на экране)
двумерное поле £(х, у), представляющее собой сумму
1{х, y) = s(x, y) + n(x, у), (1.4.56)
где s(x, у) —полезный сигнал; п(х, у) —поле помех.
В качестве поля помех могут фигурировать отражения от
земной или морской поверхности в случае самолетной локации,
отражения от облаков, местных предметов для наземных РЛС,
засветка экрана индикатора от внутренних шумов приемного
тракта. Под сигналом понимаются отражения от интересующего нас
объекта.
Предположим, что сигнальное поле s(x, у) и поле помех
п(х, у) являются гауссовскими и однородными. В этом случае
они могут отличаться только своими математическими
ожиданиями и корреляционными функциями или пространственными
спектрами. Если различие в спектрах существенное, то поле сигнала и
поле помех можно «разделить» линейными двумерными
фильтрами. Процесс линейной фильтрации состоит в таком преобразо-
56

вании спектра пространственных частот суммарного поля (56),
при котором ослабляются составляющие поля помех и
«подчеркиваются» составляющие сигнального поля.
Пространственная фильтрация позволяет улучшить качество
изображения, усилить контраст сигнального изображения,
ослабить мешающий фон и, тем самым, повысить вероятность
обнаружения цели.
В том случае, когда характеристики пространственного
фильтра выбираются в соответствии с одним из критериев
оптимальности, фильтр получается оптимальным. Рассмотрим двумерные
оптимальные фильтры в смысле наибольшего пикового отношения
сигнал-шум на выходе фильтра.
Задача оптимальной двумерной фильтрации формулируется
так же, как и в одномерном случае. Если на вход двумерного
фильтра воздействует аддитивная смесь сигнала и шума (56), то
импульсная характеристика h(x, у) должна быть такой, чтобы
на выходе фильтра в точке с координатами (хо, г/о) было
наибольшее отношение сигнал-шум. В том частном случае, когда поле
шума п(х, у) является гауссовским однородным белым шумом,
оптимальный двумерный линейный фильтр называется согласованным.
Импульсная характеристика такого фильтра определяется
формулой
h0(x, y)=ks(x0—x, y0—y), (1.4.57)
где k — некоторый постоянный коэффициент; Хо, г/о — координаты
точки наблюдения сигнала.
Соответственно двумерная частотная характеристика
согласованного фильтра Ko(]tix, ]иу) будет равна
К0(]их, ]иу)= ] ]h0(x, у)е->(хи*+уиу)с1хс1у.
—00 —ОО
Выполнив несложные преобразования, получим
#о (J "*> j uy) = kS* (j ux, j uy) e~J (*• V*.«,), (1.4.58)
т. е. частотная характеристика двумерного согласованного
фильтра представляет собой функцию, комплексно-сопряженную с
пространственным спектром сигнала S(]ux, ]uv).
Амплитудно-частотная характеристика согласованного двумерного фильтра равна
К0{их, иу)=\Ко(]их, }uy)\=k\S(]Ux, )uy)\, (1.4.59)
а фазовая —
?(«*, "*)=—[ф.(«*. tiy) + x0ux + y0tiy]. (1.4.60)
Формулы (59) и (60) определяют структуру согласованного
фильтра. Видно, что он пропускает только те пространственные
частоты, которые содержатся в полезном сигнале s(x, у), а
фазовый сдвиг исходного сигнала компенсируется таким же
набегом фазы, создаваемым в фильтре. Последнее эквивалентно
тому, что пространственные гармоники, прошедшие через фильтр,
57

складываются в фазе в точке с координатами х0, уо, образуя пик
сигнала.
Рассмотрим принцип построения оптического двумерного
линейного фильтра (рис. 1.22). Двумерный сигнал s(x,y),
замаскированный пространственным шумом п(х, у), представлен в
виде изображения на диапозитиве, помещенном в плоскости Pi.
S№,i/)
Фильтр
S(^)+n(ai,y)
От
лазера
Рис. 1.22. Оптический двумерный линейный фильтр
Диапозитив освещается плоской волной когерентного света.
Линза Л\ в своей фокальной плоскости Р2 формирует
пространственный спектр суммы сигнала и шума. В этой же плоскости
устанавливается линейный двумерный фильтр, представляющий собой
пластинку, прозрачность которой является функцией координат.
Таким образом, фильтрация происходит в плоскости волновых
чисел их, uv. Отфильтрованный сигнал после обратного
преобразования Фурье, осуществляемого с помощью линзы Лг,
воспроизводится в плоскости Р3-
Итак, оптическое устройство, состоящее из собирающей
линзы, слоя однородного пространства и транспаранта с нанесенным
на него двумерным сигналом, при когерентном освещении
выполняет роль двумерного фильтра. Чтобы этот фильтр был
линейным, необходимо сделать апертуру линзы достаточно большой,
а оптические аберации свести к минимуму. Если в плоскости Ръ
установить фильтр, пространственно-частотная характеристика
которого комплексно сопряжена со спектром сигнала s(x,y) в
соответствии с (58), то двумерный фильтр будет согласованным.
Процедура получения комплексно-сопряженного фильтра
сводится к следующему. На фотопластинку, установленную в
плоскости Рч (рис. 1.23), направ-
пР ляются два потока
когерентного света. Один из них
проходит через транспарант
Тр с изображением сиг-
Рис 1.23. Получение двумерного
согласованного фильтра

нала s(x, у) (без шума!) и через линзу Л, так что в плоскости
Pi образуется спектр SQiix, \uv) сигнала. Чтобы получить
функцию, комплексно-сопряженную спектру, служит второй поток
когерентного света от того же источника, который с помощью
призмы Пр направляется на фотопластинку. Считая амплитуду этого
потока единичной, можно записать его как expj (хо"*+#о"у)-
Тогда в плоскости Рг, где установлена фотопластинка,
получается интерференционная картина
S(]ux, iuy) + exv)(x0ux + y0Uy). (1.4.61)
Проэкспонированная фотопластинка зарегистрирует квадрат
модуля выражения (61), т. е.
\S()ux, j M^ + expj^o ux + у0 «</)12=1 4- \S(]ux, }uy)\2 +
-f S* (j ux, j uy) exp [—j fa ux + y0 uy)\ -f
4-SOX, }uu)exp}(x0ux-\-y0uy). (1.4.62)
После проявления фотопластинки получается оптимальный
двумерный фильтр. Из (62) следует, что он представляет собой
голограмму преобразования Фурье от полезного сигнала s(x, у).
Выражение (62) является передаточной функцией двумерного
фильтра. Проанализируем спектр на выходе этого фильтра,
когда на него воздействует спектр S§ суммы полезного сигнала и
шума (56). По формуле (5.1.22) из [35] записываем спектр S4
процесса на выходе фильтра
Sri^St II +S|2 + S5S*exp[-j(x0ux+y0tiy)} +
+ SlSexv\(x0ux+y0uy). (1.4.63)
Видно, что выходной спектр имеет три составляющие. Первое
слагаемое S$|l-fS|2 близко по значению к спектру суммы
s(x, у)+п(х, у) и в плоскости Р2 (рис. 1.22) после обратного
преобразования Фурье дает изображение, подобное входному.
Это изображение расположено на оптической оси фильтра.
Обозначив спектральную плотность шума п(х, у) через 5„, второе
слагаемое SgS*exp[—}{x0ux+yoUy)] можно представить иначе:
St S* exp [—j (х0 их + у0 Uy)} = [(S + Sn) S*] exp [—j (x0 ux+y0 «„)] =
= (SS* + SnS*) exp [-j (x0 ux + y0 uy)]. (1.4.64)
Спектр (64) после обратного преобразования Фурье приводит к
образованию изображения, смещенного относительно оптической
оси фильтра (рис. 1.22). Величина смещения определяется
направлением опорного пучка света в схеме рис. 1.23 при
изготовлении фильтра. Само изображение определяется слагаемыми SS*
и SnS*. Первое из них дает в плоскости Р3 схемы рис. 1.22
пространственную корреляционную функцию полезного сигнала, т. е.
R3(Ax, Ay), а второе — пространственную взаимную
корреляционную функцию сигнала и шума R3n(Ax,Ay). Так как сигнал и шум
некоррелированы, то изображение Rsn(Ax, Ay) будет иметь вид
слабоконтрастного размазанного пятна. Напротив, изображение
59

корреляционной функции самого сигнала будет отчетливым, что
свидетельствует о наличии в двумерном поле g(x, у) полезного
сигнала s(x, у), в соответствии с формой которого изготовлен
согласованный фильтр.
Таким образом, если в нашем распоряжении имеется
транспарант с записью пространственного двумерного поля g(x, у), то
при помощи двумерного оптимального оптического фильтра
можно решить вопрос о наличии или отсутствии в поле Ь,(х, у)
полезного сигнала s(x, у) известной формы. Принятие решения
осуществляется по изображению корреляционной функции на выходе
фильтра (рис. 1.22).
1.5. АПОСТЕРИОРНЫЕ ПЛОТНОСТИ ВЕРОЯТНОСТИ
ПАРАМЕТРОВ РАДИОИМПУЛЬСА
До сих пор затрагивались лишь частные аспекты проблемы
оптимального приема сигналов в идеально упрощенных условиях,
а именно, когда неизвестным и случайным является только один
интересующий нас информационный параметр сигнала
(дискретный 6 при обнаружении и различении сигналов и непрерывный X
при оценке параметров), а остальные параметры сигнала
считались заранее точно известными. Задачи обнаружения и
различения сигналов в такой постановке принято называть простыми. При
этом для решения частных задач нужно знать функционал
(функцию) правдоподобия F(X) =р(Ь,'0\Х) или апостериорную
плотность вероятности р(Х\^0), где через g'0 обозначена реализация
принятого колебания £,(t) на интервале [0, t].
В общем случае полезный сигнал может зависеть от
дискретного параметра 6 и совокупности непрерывных параметров X, т. е.
s(t)=s(t, 6, X). Некоторые из этих параметров (например, 6 и
Xi) являются информационными, а остальные параметры Ля—
сопутствующими. При этом можем написать s(t)~s(t, 6, Xi, Х%),
где X={Xi, X2}. Допустим, что известна априорная совместная
плотность вероятности ppr(Q, X) всех параметров сигнала.
Задачи обнаружения и различения сигналов и задача оценки
параметров сигнала в такой исходной постановке называются сложными
задачами обнаружения и различения сигналов и оценки
параметров.
Различные методы получения апостериорной вероятности
Pps(6) =р(вЦ'о) информационного дискретного параметра 6,
когда задана априорная совместная плотность вероятности ррг(6Д),
будут подробно рассмотрены в § 2.1, а методы получения
отношения правдоподобия в отсутствие априорных сведений о
сопровождающих параметрах приведены в § 2.8. Здесь же без
детализации характера параметров сигнала укажем методику
получения функционала правдоподобия F(Xi) =p(|'0|^i) и
апостериорной плотности вероятности pps{Xi) информационных
параметров Xi сигнала s(t, Xi, Ля), когда задана априорная совместная
60

плотность вероятности ppr(k) = ppr{U, ta) всех параметров
сигнала.
Применяя методику, изложенную в § 1.2, находим функционал
правдоподобия F(k) = p(g'o|k) = p{Vo\U, U). Как указано выше,
для решения различных задач оптимального приема
относительно информационных параметров %\ достаточно знать функционал
правдоподобия или апостериорную плотность вероятности только
информационных параметров Л,ь «Исключение» сопровождающих
параметров fa производим по известным правилам теории
вероятностей:
F(K) = p{%%1)=[p{%%i\K)dK =
л2
= $p(4\Kh)pPr(h)dK 0.5.1)
где
pPr(h) = $Ppr(KK)dK (1-5.2)
л,
Ai и Лг — области возможных изменений параметров ki и Л,2
соответственно;
Pps (К) = \Ррг (К К) Р (ЩК, К) d К (1 -5.3)
Л2
Вычислим апостериорные плотности вероятности некоторых
параметров радиоимпульсов, указанных в § 1.1. Для этого
применим формулу (3), например, к сигналу вида (1.1.16):
s{f) = af{t—T)cos[a* + a|)(*—т)—ф], t0^t^t0 + xa. (1-5.4)
Если вид функций f(t) и \p(t) известен, то сигнал (4) зависит
от пяти параметров: а, т, а, ф и ти. Будем считать эти
параметры постоянными (неизменяющимися за время наблюдения Т) и
взаимонезависимыми, имеющими известные априорные плотности
вероятности. Тогда
ррг (а, т, о, ф, ти) = рРг (а) рРт (т) рРт (ю) рРг (ф) рРт (х^. (1.5.5)
На основании формулы (1.2.18) для апостериорной плотности
вероятности можем написать
рр$(а, т, а, ф, тв)=крРг(а)рРг(т)рРг((л)рРг((р)рРг(тв)х
х^-^т-м-^+^-ыг*}. (1.5.6,
Среди параметров а, т, со, ср и ти некоторые могут быть
заранее известными, а остальные неизвестными (информационными).
Рассмотрим здесь три случая:
1) все параметры сигнала, кроме одного информационного
(представляющего) заранее точно известны;
2) фаза ф является случайной величиной, равномерно
распределенной на интервале [—я, я], а все остальные параметры,
кроме одного, точно известны;
61

3) величины а и ф являются случайными и независимыми,
причем величина а распределена по закону Рэлея вида (1.1.10), а
Ф равномерно на интервале [—я, я].
В дальнейшем будем предполагать выполняющимися два
условия:
Г>ти, ю7>1. (1.5.7)
Независимо от конкретных значений отдельных параметров инте-
грал j" %%(t)dt не зависит от интересующих нас параметров и
*»
/ 1 и+т , \
в формуле (3) множитель ехр Г %2(t)dt) всегда можно
\ N t, J
включить в постоянную k. При выполнении условий (7) и
медленно изменяющихся функциях f(t) и ty(t) (с. 13) справедливо
приближенное равенство
t -1-7* t ■ I T
*J sz{f)dt= °J a*/*(<—r)cos2(at + ip(t—t)— tfi)dt =
to to
= T" I /2(^-x)^ = 5 = c^-, (1.5.8)
где а — эквивалентная длительность сигнала
a=U(Tf2(t—T)dt. (1.5.9)
to
1. Пусть неизвестным является лишь амплитудный
множитель а, а все остальные параметры точно известны: т=то, (й = (йо,
ф = фо. ти=Тио- В данном случае нужно положить
/>рг(т) = 6(т—т0), ррг (а) = 8 (а—а0)» /V (ф) =
= 6(Ф—Фо). /vW = 6(th—ти0). (1.5Л0)
Если подставить выражение (10) в (6) и проинтегрировать
правую часть по известным параметрам, то получим
окончательную формулу для апостериорной вероятности параметра а:
= kppr (a) ехр{--~Y\l(t)-af (t-т)cos(a>0t + г|>(*-т0)-<р0)]2dt\ -
= kppr (а) ехр { -^ + ^Т% (0 / (<-*о) cos {<*0t + q(t-T0)-<tQ)dt\.
*• to *
(1.5.11)
62

Аналогично находятся апостериорные плотности вероятости для
любого другого параметра при известных остальных. Например,
*=kpPr (т) exp J —j'f'fc (t)~aof (<-т) cos (co01+$ (^-т)-ф0)]2dt\ =
{9/r U+T \
-f- \ t(f)f(t-i)cos((*0t + q(t-i)-<t0)dt\; (1.5.12)
f 1 '°+r
pps (a) =kppr (a) exp — I [I (0—Oo / (t—4) cos (© / + i|> (*—
}f2a *0+r
=*Ррг(а>)ехр j— | 6 (*)/(*—r0)cos(ait + ty(t—x0)-
-Фо)Л]. (1.5.13)
В формулах (12) и (13) интеграл от квадрата сигнала включен
в постоянную k, поскольку энергия сигнала считается
фиксированной и известной.
Здесь небольшую внешнюю специфику представляет
апостериорная плотность вероятности для длительности импульса.
Чтобы отразить зависимость сигнала от его длительности, обозначим
полезный сигнал через s(t, т„). При выполнении первого из
условий (7) согласно формуле (1.2.17) имеем
Pps ft») = kppr (xj exp | —j °j f£ (0 — s (t, ти)]2 dt = pPr (ти) x
X expjA Y l(t)s(t,TK)- -L*(t,Tj]dt } =Apw(xJexp[9'(^].
(1.5.14)
Если сигналом является прямоугольный импульс, то сигнальная
функция имеет вид
<7;(х„)=|-( 1- |Тит~Тио1 ),0<ти<2ти0. (1.5.15)
2. Предположим, что фаза ф является случайной и нас
интересует апостериорная плотность вероятности другого
неизвестного параметра (например т). В данном случае имеется два
неизвестных параметра т и ф, причем интерес представляет лишь
информация, содержащаяся в т, безотносительно к истинному
значению ф. При нахождении апостериорной плотности
вероятности информационных параметров сопутствующие параметры
исключаются путем осреднения апостериорной плотности
вероятности по сопровождающим параметрам (вследствие свойства
согласованности плотностей вероятностей).
63

Подставим в формулу (6) априорную плотность вероятности
для фазы
рРг(ф)=1/2я, —я<ф<я, (I.5.I6)
1равую часть по всем возможным
pPs (а, т, со, ти) = kpPT (а) рРт (т) рРг (со) рРт (ти) х
и проинтегрируем правую часть по всем возможным значениям
фазы:
X
- J ехр (--J- ') [I (/) -af (t-x) cos (со t + ф (*-т)-
Я -Я I « t0
-4>)]dt}dtf.
В силу условий (7) это выражение приводится к следующему
виду:
pps(a, t, со, ти) = const pPr (а) рРт (т) рРт (со) рРг (ти) ехр ^ — ^ \ х
Х^- j ехр(^'0Г+Г1(0/(^-т)со5(со^ + г|)а-т)~ф)^Ьф.
Обозначим
Хс(т, со)= 'f* %(t)f (t-T)cos((*t + ip(t-T))dt,
и
Xs (т, со) = YГ Е (0 / (*-т) sin (со f+ 1> (f-т)) Л,
Нетрудно показать, что
^ J ехр 1?^ '^Г6(')/(*—^cos^^ + H» (^ —т) —Ф)Л| £|ф =
(1.5.17)
(1.5.18)
= -^- Г ехр ^Х(т,о))со8(ф+х)
2л-я Lw
d<p=I0
2а
N
Х(т
.») .
где /о (*) — функция Бесселя нулевого порядка от мнимого
аргумента. Поэтому можем окончательно написать
pPS (а, х, со, ти) = const pVr (a) ppr (т) рРт (со) рРт (ти) ехр ( ~^) X
X I,
2_а
X (т, со)
(1.5.19)
Из этой общей формулы можно получить разные частные
результаты. Например, если параметры а и ти точно известны, т. е.
а = а0, ти=Тио, ррг(а) =6 (а—а0), рРг(ти) = 6(ти—тио), то
pps (т, со) = const ррт (т) ррг (со) /0 |ISl X (t, со)] . (1.5.20)
64

Если также известно запаздывание сигнала т=т0, то из (20)
получим апостериорную плотность вероятности для частоты
Г2а0
р^ (<*>) = const/)Рг (со)/0
N
X (т0, со)
(1.5,21)
3. Пусть в апостериорной плотности вероятности (5)
длительность импульса точно известна (ти=тио), а сопутствующие
параметры ф и а распределены соответственно равномерно (16) и
по рэлеевскому закону со средним квадратом M.{a2}=2Da:
pPr (a) = (a/Da) exp (—а2/2 Da), a > 0.
(1.5.22)
Подставив (22) в (19) и интегрируя по всем значениям а,
можем написать
pPS (т, со) = const рРт (т) рРт (со) j ррт (а) ехр — —- /„
аа"
2N
— X (х, со)
N к
da.
Воспользовавшись известным интегралом
7*е-'**/0(рх)Же= — ехр (-£-),/>Х) ,
5 2р \4р I
получим
где
pps (т, со) = constpPT (т) ррр (со) ехр
2/>аХ2(т, ш)
N(aDa + N)
(1.5.23)
j _J_7* / -I .<т*
X2(x,co) = X2 + X2= J °| £(*)£(П/(*-т)/(*'-т)«»[а>* +
+iM*— т)—cof — о|з(Г—i)]dtdt'. (1.5.24)
При известном параметре т=т0 из (23) находим
апостериорную плотность вероятности для частоты
2РаХ*(и0,<о)
Рр»(а) = const pPr (со) ехр
N(aDa + N)
(1.5.25)
Когда отношение сигнал-шум велико (aDa^>N), эта формула
несколько упрощается
2Х2(то,а>)
Pj>s (°>) = const Ррг (а) ехР
аЛ/
(1.5.26)
Предположим, что сигналом s(t) является отрезок
квазигармонического шума вида
s(f) = a(*)cos [со t+ff (t)],0^t^T (1.5.27)
с корреляционной функцией
Rs (т) = М {s (f) s (t + т)} = D e-v I* I Cos сот. (1.5.28)
3—82 65

Можно показать, что в данном случае при'Т»1|7
апостериорная плотность вероятности для частоты определяется формулой
PPS (») = const Ppr (со) exp [^v£ X2T (со)
где
X\ (со) = [ j e-v. I t-i> l Cos ю (t— f) I (t) £ (f) dtdt',
о о
2Z>\l/2
(1.5.29)
Функционалы плотности вероятности и функционалы
правдоподобия при приеме сигналов на фоне гауссовского марковского
шума с различными корреляционными функциями
рассматриваются в § 3.6.
Полученные выше формулы будут использованы в гл. 3 для
определения точности измерения параметров радиоимпульса,
принимаемого на фоне белого шума.
Глава 2
ОБНАРУЖЕНИЕ И РАЗЛИЧЕНИЕ СИГНАЛОВ
2.1. АПОСТЕРИОРНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ ДИСКРЕТНОГО ПАРАМЕТРА.
КРИТЕРИИ ОПТИМАЛЬНОГО ОБНАРУЖЕНИЯ
И РАЗЛИЧЕНИЯ СИГНАЛОВ
1. Различные представления апостериорной вероятности
дискретного параметра. Задачи обнаружения и различения сигналов
являются частным случаем общей задачи различения гипотез,
изложенной в § 4.6 [35]. В данной главе будут рассмотрены
радиотехнические применения теории различения гипотез. Сначала
приведем различные представления апостериорной вероятности двух
возможных значений дискретного параметра, соответствующих
двум гипотезам.
Пусть принятое колебание \{t) представляет собой сумму
Е(0=вв(0 + п(0,0</<7', (2.1.1)
где n(t)—гауссовский белый шум; s(t)—детерминированный
полезный сигнал, полностью расположенный на интервале
наблюдения [О, Т]. Параметр 0 неизвестен и может принимать только
одно из двух значений: 0 = 0 (в принятом колебании сигнал
отсутствует) и 6=1 (в принятом колебании присутствует сигнал).
Что касается априорных сведений о параметре 6, то
возможны два случая: 1) априорные вероятности ррг(0) =/)рг{6 = 0} и
РргО) =PPr{Q— 1} = 1— Ррг(0) отсутствия и наличия сигнала
известны; 2) эти априорные вероятности неизвестны.
66

По принятой конкретной реализации %(t) необходимо
решить оптимальным (в некотором смысле наилучшим) образом,
какое именно значение имеет параметр 6, т. е. присутствует или
нет сигнал. Иначе говоря, нужно найти такой метод обработки
принятого колебания £(0> который позволял бы наилучшим
образом обнаруживать наличие сигнала на фоне шума.
Практическая необходимость решения подобных задач
возникла в связи с широким применением в радиотехнических системах
электронных вычислительных машин. Замена оператора
автоматическими вычислительными устройствами позволяет исключить
элемент субъективности и реализовать оптимальный алгоритм
(правило), следуя которому вычислительное устройство
принимает в определенном смысле наилучшее решение о наличии или
отсутствии цели.
Сформулированная задача обнаружения сигнала, как и
задача различения сигналов, является частным случаем общей задачи
статистической проверки гипотез. Имеются две гипотезы: Я0 и Я].
Гипотеза Но соответствует 0 — 0 (отсутствие полезного сигнала),
а гипотеза Ht — 0=1 (наличие полезного сигнала). По
реализации £,{t), OsS^s^T, в конце интервала наблюдения необходимо
принять решение, какой из возможных исходов имел место в
действительности, т. е. какая из гипотез верна.
Разумеется, что решение не может быть безошибочным,
поскольку шум, а часто и сам полезный сигнал имеют случайный
характер. Поэтому одинаковые по виду реализации
наблюдаемого процесса могут порождаться как одним шумом, так и смесью
сигнала с шумом.
Перед тем, как приступить к решению задачи, необходимо
определить критерий оптимальности. Целесообразность
применения того или иного критерия определяется характером задачи, а
также зависит от того, известны или неизвестны априорные
вероятности Ppr(Hi) И ppr{H0) = l—ppr(Hi).
Критерии, применяемые при обнаружении сигнала и при
различении сигналов, базируются на сравнении с некоторым
порогом h0 отношения правдоподобия (1.2.20):
I:
,.||4=ехр14-1l{t)s(t)dt~\Is*({)dt)*к°- (2Л-2)
F (Sltfo) [N i N 0J J Яо
При l>hu принимается решение о наличии сигнала; если же
/<йо. то констатируется отсутствие сигнала.
В тех случаях, когда априорные вероятности наличия и
отсутствия сигнала известны, можно записать отношение
апостериорных вероятностей:
Pj^^Pr^expn^ms(t)dt_^s2{t)dty^hv (2.1.з)
Pps (П0) Ррг (#о) I Л/ о N О J Н„
Неравенства (2) и (3) оказываются эквивалентными, если пороги
удовлетворяют равенству
h = hoPvT{Hi)IPpAHo). (2.1.4)
3* 67

Значения порогов h0 и /?i определяются применяемым критерием.
Учитывая монотонный характер логарифмической функции и
прологарифмировав обе части неравенства (2), получим
g = ~-]l(t)»(t)dj'k-jr-\-lnh0=h. (2.1.5)
N
N
Из этого выражения видно, что для вынесения решения о
наличии или отсутствии детерминированного сигнала, принимаемого
на фоне белого шума, нужно принятую реализацию £(/)
перемножить с копией полезного сигнала, проинтегрировать
произведение и результат интегрирования в момент времени t = T
сравнить с порогом h. Если этот пороговый уровень превышен, то
принимается решение о наличии сигнала. Если же порог не
превышен, то констатируется отсутствие сигнала. Функциональная
схема приемного устройства, осуществляющего указанные
операции, приведена на рис. 2.1,а.
В § 1.4 было показано, что величину q можно получить как
выходной сигнал согласованного фильтра в момент времени t = T.
Функциональная схема приемного устройства, реализующего
такое представление, изображена на рис. 2.1,6.
.... \s(t)+n(t)
$(t)=\n(t)
-КХ
•ffV-
s(t)
Отсчет
при t=T '
а)
Ч SL Пороговое
устройство
s~q(rj>n
£(# =
n(t)
Согласованный
фильтр
1 nZ Пороговое
\ I истооаство
_ Отсчет
при t-Г
в)
n~q(D<n
s^q>h
n~q<b-
Рис. 2.1. Структурные схемы оптимальных обнаружителей детерминированного
сигнала с использованием корреляционного приемника (а) и согласованного
фильтра (б)
Оптимальные приемники обнаружения сигнала, изображенные
на этих двух рисунках, представляют собой соответственно
корреляционный приемник и согласованный фильтр, дополненные
пороговыми устройствами и синхронизаторами, позволяющими
осуществить сравнение выборки выходного напряжения в момент
времени t — T с пороговым уровнем h. Специально подчеркнем,
что назначение оптимальных приемников обнаружения состоит не
в наилучшем воспроизведении входного полезного сигнала (!),
а в формировании наибольшего пикового отношения сигнал-шум
в момент времени t=T и сравнении выходного напряжения в этот
момент времени с некоторым порогом h.
68

Принятие решений будет сопровождаться ошибками Для
пояснения этого факта на рис. 2.2 приведены четыре реализации
выходного напряжения: первые две изображают шум gn(t) на
выходе корреляционного приемника рис. 2.1,а, а две другие —
сумму сигнала и шума q(t)=q.(t)+qn(t). Пусть установлен
некоторый порог h. Для конкретных реализаций, приведенных на
рисунке, замечаем, что шум в первой реализации в момент
времени t-T не превышает порог. Во второй реализации хотя
полезного сигнала и нет, однако выброс шума превышает порог.
1ретья реализация, несмотря на наличие сигнала, при t = T не
№1
Г
а)
Рис. 2.2. Четыре возможных случая при обнаружении сигнала на фойе шума
69

превышает порог, а в четвертой реализации сумма сигнала и
шума превышает порог. Из четырех случаев в двух (первом и
четвертом) будет принято правильное решение, а в двух (втором и
третьем) — неправильное. Если взять другой порог h, то
описанная ситуация может измениться. Ясно, что порог h
целесообразно выбирать таким, чтобы ошибки были по возможности
наименьшими. Для определения соответствующего правила перейдем
от качественного рассмотрения к количественной оценке ошибок.
Из нашего рассмотрения следует, что при конечном значении
энергии сигнала и наличии случайного шума принятие решения
о наличии или отсутствии сигнала всегда сопровождается
ошибками 'двух видов: 1) несмотря на отсутствие сигнала, шум
превосходит порог и принимается неправильное решение о наличии
сигнала (ошибка 1-го рода); 2) хотя сигнал присутствует, но
пороговый уровень не превышен и принимается ошибочное решение
об отсутствии сигнала (ошибка 2-го рода).
Обозначим условную вероятность ошибки 1-го рода (ее
также называют вероятностью ложной тревоги) через pF = p{H'\H0)
и вероятность ошибки 2-го рода через $ = p(H0\Hi). Для этих
вероятностей можем написать формулы
оо Л
рР = lp(g\H0)dq, p= J piqUIJdq. (2.1.6)
ft —оо
Здесь p(q\IJ0) и p{q\H\)—условные плотности вероятности
выходного напряжения корреляционного приемника или
согласованного фильтра в момент времени 1 = Т в отсутствие и при наличии
полезного сигнала соответственно.
Условная вероятность обнаружения сигнала при условна его
наличия р» (вероятность правильного обнаружения) равна*'
оо
PD=p(H1\HJ=l-£= lp(q\H^dq. (2.1.7)
л
Вероятность общей (суммарной) ошибки находится по
формуле полной вероятности:
00
pe=pPr(Ha)p{H1\H0) + pPr{Hl)p{H0\H1)^pVr{H0)]p{q\Hn)dq +
+ pPrm ] p(q\H,)dq. (2.1.8)
00
До сих пор рассматривался случай детерминированного
сигнала. Предположим, что полезный сигнал зависит от
информационного дискретного параметра 0 и некоторого непрерывного со-
*> В математической статистике вероятность pF называют уровнем
значимости испытания, а вероятность pD ■— мощностью испытания относительно
гипотезы Н[. Если среди всех критериев с фиксированным значением р? данный
критерий имеет наибольшую мощность pD, то он называется наиболее мощным
относительно гипотезы Nt. *
70

путствующего параметра X, т. е. s{t)=s(t, 0, X), а принятое
колебание имеет вид
S(/) = s(f, 9Д) + л(0,0</<7\ (2.1.9)
Пусть задана совместная априорная плотность вероятности
ppr(Q, X). Получим апостериорную вероятность
информационного дискретного параметра pps(6) =р(0|£'о) —условную
вероятность значений параметра в при условии, что мы располагаем
реализацией принятого колебания l(t) на текущем интервале
{О, t).
По условию согласованности плотностей вероятностей имеем
РрЛ9) = Р(9|^) = 1р(9Д1^)^- (2.1.10)
А
На основании теоремы Байеса можем написать
р (9, Щ) =р(Ц\в, Х)рРт (в, Х)/р (£<), (2.1.11)
где р(5'о|6, X)=F(B, X) —функционал правдоподобия.
Действуя далее как и при выводе выражения (1.2.19),
нетрудно убедиться, что
р(Ц\д,Х)/р(Ц)=к«) exp I/f(T, e.tyrfrl , (2.1.12)
где
f(t,B,k) = ±
l(t)s(t,Q,X)~-jsHt,Q,X) |. (2.1.13)
Подставив (12) в (11) и учтя затем очевидное равенство
Рг,гФ,ц=рРГ(трРг(в),
получим
p(Q,X\lt) = k(t)ppr(Q)pPr(X\e)exv^f(T,Q,X)dT} , (2.1.14)
где множитель k(t) находится из условия нормировки
k(t)J^ip(Q)lppr(MQ)exp^f(x,Q,X)dr\dx\~1-
Подставив (14) в (10), получаем окончательное выражение
РРЛв)=р(в|^) =
= k (t) Ррт (в) Г ррг{ Я,|8) exp IJ / (т, 9, X) dx\ dX. (2.1.15)
A 10 J
Если возвратиться к первоначальной формулировке задачи
рассмотрения двух гипотез Н0 и #ь изложенной в гл.4
[35],применительно к наблюдению (1), в котором полезный сигнал
71

s(t, Я) зависит от сопутствующего параметра Я, то функционал
правдоподобия должен вычисляться по формуле
РЩШ,) = J F (Ц\НЪ Я) ррг (%\НД&К (2.1.16)
А
где F{^o\Hi, Я)—задаваемый выражением (1.2.21) функционал
правдоподобия при наличии в наблюдении £(т), О^т^/,
сигнала s(t, Я) с фиксированным значением параметра Я.
Следовательно, функционал правдоподобия (апостериорная
вероятность дискретного параметра) сигнала со случайными
сопутствующими параметрами находится путем осреднения
функционала правдоподобия (апостериорной вероятности) для
данного сигнала, рассматриваемого как детерминированный, с
априорной плотностью вероятности сопутствующих параметров.
Для апостериорной вероятности дискретного параметра 9
можно предложить другое представление, в котором в отличие от
(15) осреднение производится не по априорной плотности
вероятности сопутствующих параметров, а по апостериорной
плотности вероятности р (Я |s'0, 0) [69].
Продифференцируем обе части формулы (15) по времени t.
Воспользовавшись затем выражением (14), получим
at xl «(') а*
Это соотношение на основании известного равенства
можно записать иначе:
4^<9)= If M) + MO]PPS(0). (2-1.17)
at
где обозначено
f(t,Q) = Sf(t,Q,'k)p(Ml!,Q)dK (2.1.18)
А
AW=r^-^T-) = -2 /<*.е)/7р.(в). (2.1.19)
k (г) at 6
Правое равенство в (19) получено путем суммирования обеих
частей равенства (17) по всевозможным значениям дискретного
параметра 6 и использования условия нормировки:
2 f(t,e)pPS(Q)+h(f) =-£-2 рР.(в)-о.
в at e
Решение дифференциального уравнения (17) имеет вид
Pps (в) = К (0 ррг (в) exp { / f (т, 9) dtj . (2.1.20)
72

Действительно, дифференцируя (20) по времени t, имеем
£рр.Р>=
fM) +
1
hit)
dkt (t)
dt
]pPs№-
Из условия нормировки получим
-V^=-I:^,9)Pps(9),
&i (0 dt о
что совпадает с (19).
Таким образом, для апостериорной вероятности
информационного дискретного параметра 0 справедливо представление (20), в
котором осреднение по сопровождающему непрерывному
параметру осуществляется согласно (18), т. е. по текущей апостериорной
плотности вероятности этого параметра р(^|Е'о, 9). Выражение
для этой апостериорной плотности вероятности на основании
очевидного соотношения
Р(Щ, в) =*р (!*)р (9, mtllp (Ц, в) = р (9, Щ)/р (9|£<)
и формулы (14) можно записать в виде
ру%1Ц, 8) =>*,(*, в)р(Я|9)ехр1 jV(x, 9, K)dx\,
где множитель k2{t, 9) находится из условия нормировки
-I
(2.1.21)
М*. е) =
J^(A,|8)exp(^(T, в, K)dx\dl
A lo J
Распишем подробнее выражение (18). С учетом (13) имеем
/(/, 9) = Aj k(t)s(t, 9, Л)--f *»(*, 9, Я)"
N к 2.
p(№,Q)dk =
_2_
N
$(t)s(t, Q)—i-$s*(t, 0, A,)p(X|g*. 6)d*,]- (2-1.22)
одесь
s(*, 9)= Js(/, 8, X)j?(M£<t 8)<U
A
(2.1.23)
представляет собой апостериорное математическое ожидание
сигнала по сопровождающему параметру при фиксированном
значении информационного дискретного параметра 8. Можно показать,
что s(t, 9) есть оптимальная оценка сигнала по критерию
минимума среднего квадрата ошибки при фиксированном значении
дискретного параметра.
Второе слагаемое в правой части равенства (22) можно
представить в виде
Js2(*, в, \)p(X\%,Q)dk= \[s(t, 9, X)-s'(t, е)]3р(Щ. 6)<П +
А А
+ s*(t, Q) = D-(t,Q)+s4t, 9),
(2.1.24)
73

где
D:(t, 9) = J[s(/, 8, X)-s(t, Щ*р(к\Ц, Q)dk
x
— дисперсия оценки сигнала при фиксированном 9.
Подставив (24) в (22), получим
(2.1.25)
fit, 0) =
N
;(0S(/, 9) 1-5*(^ в)
■Dj(f,8). (2.1.26)
При этом формула (20) для апостериорной вероятности лринима
ет вид
2
/W9)=M0/V(9)exp{^J
\D;(r, Q)d%)
о J
6(t)s(t, 9)--i-««(T, 9)
(2.1.27)
Такой способ формирования апостериорной вероятности
дискретного параметра 9 требует получения текущей оценки сигнала по
критерию минимума среднего квадрата ошибки. К этому способу
близко примыкает обобщенный метод максимального
правдоподобия, указанный в § 2.8. Естественно, что представление (27)
информационно эквивалентно представлению (20).
Таким образом, для апостериорной вероятности
информационного дискретного параметра 9 при наличии в полезном сигнале
случайных сопутствующих параметров К справедливы два
представления: (15) и (20) или (27). При последующем рассмотрении
конкретных параметров мы убедимся, что первое представление
(15) приводит к более простым приемным устройствам, чем
второе (20). Однако второе представление (20) имеет большую
область применения. Во-первых, формулы (20) и (27) и их вывод
остаются справедливыми и в случае непрерывного информационного
параметра 6 или дискретного сопровождающего параметра Я. Во-
вторых, формулы (20) и (27) позволяют получить оптимальные
приемные устройства в случаях, когда сопровождающие парамет*
ры изменяются во времени, т. е. X = K(t). В таких случаях
получение текущих оценок сигнала s(t, 9) должно базироваться на
фильтрации сигнала s(t, 9, МО) с учетом характера изменения
МО-
Приведем теперь формулировку трех критериев оптимальности,
которые наиболее часто используются при проектировании и
оценке качества работы радиотехнических систем, предназначенных
для обнаружения сигнала и различения сигналов.
1. Критерий Неймана — Пирсона [9, 10]. Этот критерий
применяется в радиолокации для обнаружения сигнала, когда
априорные вероятности pvr{H{) и ррг{Н0) неизвестны.
Согласно этому критерию оптимальный приемник должен
максимизировать вероятность правильного обнаружения pD при
заданной вероятности ложной тревоги р?. Оптимальный алгоритм сво-
74

дится к формированию отношения правдоподобия (2) или (5),
причем величина порога h в правой части (5) выбирается но заданной
вероятности ложной тревоги /?*■:
оо
pF=\p{q\HQ)dq. (2.1.28)
л
После этого вероятность правильного обнаружения вычисляется по
формуле (7).
Отметим, что термин «вероятность ложной тревоги» обязан
своим происхождением радиолокации. Величина рг здесь
характеризует вероятность такого события, когда сигнала (цели) нет,
однако принимается решение (делается ложная тревога) о наличии
сигнала (цели).
2. Идеальный наблюдатель [11, 12]. Критерий идеального
наблюдателя применяется в системах радиосвязи, когда известны
априорные вероятности ррт{Н\) и ррг(Н0).
Согласно критерию идеального наблюдателя пороговый
уровень устанавливается таким, чтобы вероятность общей ошибки ре
была минимальной и, соответственно, вероятность правильного
решения максимальной. Таким образом, оптимальный характер
идеального наблюдателя состоит в том, что он минимизирует
вероятность суммарной ошибки или, иначе, максимизирует вероятность
правильного решения.
Как показано в § 4.6 [35], оптимальное по критерию
идеального наблюдателя значение порога h\ в формуле (3) равно
единице, т. е. принимается та из гипотез Н\ или #о, для которой больше
апостериорная вероятность. Подставив в (4) и (5) h\ = \,
получаем следующий алгоритм:
Afg(0e(0^J. + in-£e^-=A (2.1.29)
или
2h(t)s(t)dtH^E + M\n Ppr(Ho) . (2.1.30)
0 Н0 Ррт (Hi)
В критерии идеального наблюдателя, в отличие от критерия
Неймана — Пирсона, не делается существенных различий между
вероятностями ошибок первого и второго рода. Такое положение
является оправданным для радиосвязи, так как пропуск какого-
либо символа из-за помех или ошибочная регистрация помехи в
качестве переданного символа примерно равнозначны. Наоборот,
в радиолокации вероятности ошибок рр и р существенно не
равнозначны и ведут к разным последствиям. Так, например, при
ложном обнаружении цели, характеризуемом вероятностью рр,
должен проводиться целый ряд мероприятий системы обороны, в
то время как пропуск цели (вероятность Р) не является сигналом
к какому-либо действию, хотя такой исход может повлечь за собой
весьма серьезные последствия.
75

Кроме лтого, во многих случаях невозможно достаточно
обоснованно задать априорные вероятности, и задача обнаружения в
радиолокации должна решаться без их использования.
3. Последовательный наблюдатель [13]. В двух рассмотренных
выше критериях предполагалось, что принятие решения
осуществляется за фиксированный интервал времени Т. Однако может
оказаться, что решение можно принять за интервал времени,
меньший Т. Этот факт учитывает последовательный наблюдатель.
При последовательном наблюдении производится непрерывный
анализ отношения правдоподобия и сравнение его с двумя
порогами h'=(\—pD)l(\—pF) и h" — pDjpF. Если отношение
правдоподобия меньше h', то принимается решение о наличии только .шума.
Если же отношение ^правдоподобия больше h", то принимается
решение о наличии сигнала. В том случае, когда отношение
правдоподобия находится между нижним уровнем h' и верхним h",.
имеющихся в распоряжении данных недостаточно для принятия
решения, и испытание продолжается. Такая процедура
повторяется до тех пор, пока не будет принято определенное решение.
Последовательный анализ был разработан А. Вальдом .[13].
Преимущество последовательного наблюдателя состоит в том,,
что можно независимо задавать вероятности pF и pD, и он дает
определенную экономию в энергии сигнала или во времени за счет
сравнительно быстрого принятия решения об отсутствии цели.
Однако применение последовательного анализа предполагает более
сложную работу аппаратуры.
В следующих параграфах будут рассмотрены конкретные
применения критериев Неймана—Пирсона и идеального
наблюдателя. Ввиду того, что ряд ра«четов требует громоздких выкладок,
для иллюстрации методики анализа подробно рассматриваются
лишь простейшие случаи, а для более сложных случаев
приводятся окончательные результаты.
Отметим также, что хотя мы рассматриваем обнаружение
сигнала и оценку его параметров раздельно, на практике эти две
задачи обычно решаются совместно. Этот факт непосредственно
следует из формулы (27).
2.2. ОБНАРУЖЕНИЕ СИГНАЛА ПО КРИТЕРИЮ НЕЙМАНА — ПИРСОНА
Рассмотрим задачу обнаружения сигнала на фоне шума по
критерию Неймана — Пирсона раздельно для пяти видов
сигналов: детерминированных (когерентный прием), со случайной и
равномерно распределенной начальной фазой (некогерентный
прием), с «частично известной» фазой (квазикогерентный прием), со
случайными амплитудой и фазой (иекогерентный прием) и пуассо-
новского потока импульсов.
1. Обнаружение детерминированного сигнала. Как следует из
формулы (2.1.5), решение о наличии или отсутствии сигнала долж-
76

но приниматься на основании сравнения с некоторым порогом п
величины
q=-±-\\{t)s(t)dt*h. (2.2.1)
Л/ о'
Структурные схемы оптимального обнаружителя с
использованием корреляционного приемника и согласованного фильтра
приведены на рис. 2.1. Для частного ^примера, когда 'Полезным
сигналом является прямоугольный радиоимпульс длительностью т» = Т,
7s(fH
ю
&(th
5)
Ъ<*>
ft^A
г)
Рис. 2.3. Сигнал q,(t) и шум qn(t) на выходе корреляционного приемника (а, б)
и согласованного фильтра (в,г)
77

на рис. 2.3 изображен характер изменения во времени выходных
колебаний корреляционного приемника и согласованного фильтра,
определяемых соответственно выражениями
q(t) = ~jl (т) s (т)dx, q (i) = k$s(T-x)l(т) dt,
N о о
причем на рис. 2.3, а и б изображены сигнал qs(t) и шум qn(t) на
выходе корреляционного приемника, а на риё. 2.3, в и г — сигнал
и шум на выходе согласованного фильтра. Выходные процессы
существенно отличаются по характеру, однако/наибольшие значения
отношения сигнал-шум в 'Конце импульса, т. е. при t=T (в момент
принятия решения) совпадают.
Вычислим количественные характеристики оптимального
обнаружителя. Пусть детерминированный сигнал присутствует, т. е.
%(t) =s(t) +n(t). Тогда замечаем, что случайная величина
1 = 9i = 4ffs (0 + «(01* W <« (2-2.2)
получается в результате линейного преобразования гауссовского
белого шума. Поэтому она будет иметь нормальную плотность
вероятности P\{q) с математическим ожиданием и дисперсией,
равными:
m1 = M{q1}=2E/N, D1 = M{(q1—m1)*} = 2E/N. (2.2.3)
Рис. 2.4. Нормальные плотности вероятности P\(q) и Po(q) при наличии и
отсутствии сигнала (/?*■ — вероятность ложной тревоги, рв — вероятность
правильного обнаружения)
В отсутствие сигнала %{t)=n{t) и случайная величина
2 т
<7=9о = — \n{t)s(t)dt
(2.2.4)
имеет также нормальную плотность вероятности po(q), причем
и, = МЫ = 0, D0 = rA{q$ = 2E/N. (2.2.5)
Плотности вероятности pi(<7) и ро(?) изображены на рис. 2.4.
78

Согласно критерию Неймана — Пирсона должна задаваться
вероятность ложной тревоги pF, т. е. вероятность превышения
выходным шумом при t= T порогового уровня h:
(2.2.6)
где Ф(х) — интеграф вероятности (2.4.44). При этом вероятность
правильного обнаружения будет равна
ft i
-Ф
y2E/N
IE
N
(2.2.7)
На рис. 2.4 площади, Соответствующие вероятностям pF и pD,
заштрихованы.
Формулы (6) и (7) ^показывают, что вероятность ложной
тревоги Pf, как и вероятность правильного обнаружения pD,
однозначно определяются отаюшением порогового уровня h к пиковой
величине сигнал-шум, равной '\^2E/N. Поэтому по заданной
вероятности ложной тревоги pv однозначно определяется уровень h,
а зная его, находим вероятность правильного обнаружения pD-
Таким образом можно рассчитать кривые обнаружения
сигнала (рис. 2.5). Кривые обнаружения представляют собой
зависимость вероятности правильного обнаружения рп от отношения
сигнал-шум при фиксированной
вероятности ложной тревоги pf-
■Пользуясь кривыми
обнаружения, можно определить пороговый
сигнал. Пороговым называется
сигнал, который при заданной
вероятности ложной тревоги pf можно
обнаружить с требуемой вероятностью
правильного обнаружения.
Пороговый сигнал характеризуется его
энергией (или мощностью).
На основании полученных
результатов можно сделать
следующий фундаментальный вывод.
Возможность обнаружения
детерминированного сигнала при оптимальном приеме с заданными
вероятностями pD и Pf не зависит от формы сигнала и определяется
только пиковым отношением сигнал-шум на выходе
корреляционного приемника или согласованного фильтра, т. е. отношением
энергии сигнала к спектральной плотности шума.
В формулах (6) и (7) вероятности pF и pd выражены через безразмерные
величины. На практике порог устанавливают по дисперсии шума на выходе
приемника. Чтобы ввести дисперсию шума (1.4.30) на выходе рассматриваемого
приемника, запишем формулу (6) иначе:
0,8
0,6
0,4
0,1
О'
4
&/
S ! /
у4/
7 2 3 4 \IZE//V
Рис. 2.5. Кривые обнаружения
детерминированного сигнала
pF = 1 _ ф (Я/
(2.2.8)
79

где H=kNh/2. Пользуясь таблицами интеграла вероятности, по заданной
вероятности ложной тревоги р? находим значение аргумента Я/|/Дв и,
следовательно, при известной дисперсии определяем порог Я.
Отметим, что в реальных условиях радиоприема
детерминированные сигналы, как правило, не встречаются. Поэтому
приведенные результаты следует рассматривать как теоретический
верхний предел (потенциальные возможности) для характеристик
обнаружения. Этот предел не может быть превышен в практических
ситуациях и можно лишь стремиться к его достижению.
Кроме этого, на практике используются/ радиосигналы,
содержащие, помимо информационного дискретного параметра, другие
неизвестные параметры. При этом обнаружение сигнала часто
осуществляется многоканальным приемником, совокупность
каналов которого охватывает допустимый интервал изменения
неизвестных параметров. В подобных случаях при задании
вероятности ложной тревоги необходимо учитывать число каналов и вид
сигнала. /
2. Обнаружение радиосигнала со случайной начальной фазой.
Пусть s(t) представляет собой радиосигнал вида (1.1.16) с
известной безразмерной «амплитудой» а и случайной фазой ф,
распределенной равномерно в интервале [—л, я]. Функционал
правдоподобия при наличии сигнала со случайными параметрами
находится осреднением функционала правдоподобия для полностью
известного сигнала согласно выражению (2.1.16). Проделав эту
операцию и используя рассуждения, которые привели к формуле
(1.5.19), можно показать, что отношение правдоподобия для
радиосигнала (1.1.16) имеет вид
'<»-«*(-£)'.(*Г). <".9)
где положительная величина X определена формулой (1.5.18) и
физически представляет огибающую выходного колебания
согласованного фильтра. При обнаружении нефедингующего сигнала,
содержащего лишь неизвестную начальную фазу, безразмерная
величина а считается постоянной.
Как видно из (1.5:8), величина а— эквивалентная
длительность сигнала. Энергия сигнала равна
Е=а2Еъ Е1 = а/2. (2.2.10)
При а = const отношение правдоподобия (9) можно записать так
I (a) = exp (-E/N) I0 (2aX/N) = const /0 (2aX/N). (2.2.11)
Так как функция Бесселя 1о{х) является монотонной, то
решение о наличии или отсутствии сигнала можно принимать на
основании сравнения с некоторым порогом любой монотонной функции
от огибающей X. Если сравнивать с порогом h саму огибающую
А' (линейный детектор огибающей), то получим следующее
право

вило. Решение о наличии или отсутствии сигнала принимается в
зависимости от выполнения неравенств
Но
(2.2.12)
Структурная схема оптимального «некогерентного» приемника
приведена на рис. 2.6. Он состоит из согласованного фильтра,
линейного детектора огибающей, порогового и синхронизирующего
устройства. Синхронизирующее устройство должно обеспечивать
принятие решения (езятие отсчета выходного напряжения)
именно в момент времени ^ = Т.
Линейный
ветентор
оеис~ающей
Оточет
nput
Пороговое
устройс-.
тво
s-X(T) >h
n~X(T)<h
Т
Рис. 2.6. Структурная схема оптимального некогерентного обнаружителя
радиосигнала со случайной начальной фазой
Схема корреляционного приемника для радиосигнала со
случайной начальной фазой оказывается несколько усложненной. Это
объясняется тем, что, в отличие от согласованного фильтра,
напряжение на выходе коррелятора имеет вид видеосигнала (см. рис.
2.3), из которого затруднительно сформировать величину X.
Поэтому схему корреляционного приемника для радиосигнала со
случайной начальной фазой строят как непосредственную реализацию
выражений (1.5.17) и (1.5.18). Соответствующая схема,
называемая обычно квадратурным приемником, приведена на рис. 2.7. Два
канала квадратурного приемника позволяют получить величины
Л'с и Xs, определенные выражением (1.5.17). Последующее
нелинейное преобразование (1.5.18) выходных колебаний этих
каналов даст значение X.
Г
Хг
не.
Т
f(f-r)ms[u)t + f(t-r)\ (+
x.z
х-*
1
s:
—~КВ.
As 1 1
f(t- r) cos \ы t+ ip ff-rj]
Отсчет
при t-T
x v Пороговое
- J^-*
устройство
3-ХСГ/ >b
n~X(D<h
Рис. 2.7. Структурная схема оптимального корреляционного (квадратурного)
обнаружителя радиосигнала со случайной начальной фазой
Хотя квадратурный приемник вполне реализуем практически,
однако величину X проще можно получить при помощи детектора
огибающей. Согласование этого метода получения X с
корреляционной обработкой сигнала достигается в корреляционно-фильтро-
81

вом методе приема. Возможный вариант схемы корреляционно-
фильтрового приемника для сигнала со случайной начальной
фазой представлен на рис. 2.8. Особенность схемы состоит в том, что
в леремножителе принятое колебание l(t) умножается на
радиосигнал s'(t), сдвинутый тю частоте на величин/ о/ относительно
<:^Js(t)*n(t) . , , , /
${t/ \n(t) нх„„„ , I ..\ЛинеОный\ Г : I
X
Идеальный
колебательный
контур (ы')
u(t)
Пороговое
Линейный
детектор ХШ^1 ,'
огибаю- Vs-/ {/строи.
щей ОтсчеМ шв0
'(t)=f(t-T)m[(a)-a>)t + <p(t-r)] "ри f'f
S~X(Tj>h
П~Х(Ь</7
Рис. 2.8. Оптимальный корреляционно-фильтровой обнаружитель радиосигнала
со случайной начальной фа^он
частоты полезного сигнала. За перемножителем следует
идеальный (с очень малым затуханием) колебательный контур с
резонансной частотой о'; он выполняет роль илтегратора. Колебания с
выхода контура детектируются линейным детектором огибающей,
значение выходного напряжения которого при t = T с точностью до
постоянного коэффициента равно X. На рис. 2.9 изображен
характер напряжений на отдельных элементах схемы, когда на вход
воздействует прямоугольный радиоимпульс s(t).
Кратко поясним работу схемы. Импульсную характеристику
колебательного контура можно представить в виде h(t)=g(t)X
Xcoso)7, где g(t) —огибающая импульсной характеристики. Сиг-
бйЦ
s(t) i
Рис. 2.9. Характер сигналов на элементах схемы корреляционно-фильтрового
приемника
нал на выходе колебательного контура определяется интегралом
свертки
и (О = J h (t—г) I (z) s' (z) dz = \g (t—z) I (z) s' (z) cos со' {t—z) dz.
82

Если затухание контура настолько мало, что в течение времени Т
огибающая g{t) не успевает сколь-нибудь существенно
измениться, т. е. g(0)~g(T), "то
и (t) ~ g (0) Jg (z) s' (z) cos со' (t—z) dz.
0
Ho
s' (z) cos со' (^—z) --= — / (z—t) {cos [со z + ij) (z—t)—со' t] +
+ cos[(w—2cd')z + ^(z—t)+ ©'*]}.
Можно показать, что вторым слагаехмым в фигурных скобках
можно пренебречь. С учетом этого можем написать
и(0~ — g(0)$i(z)f(z—t)cos[coz + ij;(z—т)—a't]dz =
2 о
= const | cos со' £ j£ (z) / (z—т) cos [со z + ^ (г—t)] dz +
+ sin со' t\ I (z) f (z—t) sin [соz + -ф (z—т)] dz 1.
о J
Используя обозначения (1.5.17) и (1.5.18), получаем
и (t) = constX(t) cos [<a't+X (01-
Огибающая X(t) выделяется на выходе линейного детектора
огибающей.
Вычислим количественные характеристики обнаружения.
Предположим, что в 'принятой реализации l,(t) присутствует сигнал
вида (1.1.16), т. е.
E(/) = a/(f—T)co5(of + i|>(f—т) —ф) + л(/). (2.2.13)
Будем пока считать фазу ф постоянной. Ниже мы убедимся, что в
окончательные формулы она не входит. Подставив выражение
(13) для %(t) в формулы (.1.5.17), получим, что при выполнении
условий (1.5.7) случайные величины Хс и Xs являются нормально
распределенными с одинаковыми дисперсиями
DC = DS=D = NEJ2, (2.2.14)
а условные математические ожидания их .соответственно равны
пгс = М {Хс | ф} = a El cos <р, ms = М {Xs |ф} == а Ех sin ф.
Величины Хс и Xs можно считать практически независимыми, так
как взаимокорреляционная функция между ними 'приближенно
равна нулю:
Re(Хе, X.) = -¥-$f*(t-4)sin2[<ut + H>(t-i)]dt~0.
4 о
83

Поэтому 'плотность вероятности р\(х\а) случайной величины Х =
= У X2C+X2S при а = const определятся законом Раиса:
»<**-Жа'{-*Ёг')''{т)-х>й- (2215>
Предположим теперь, что сигнал отсутствует, т. е. %(t)=n(t).
Подставив в формулы (1.5.17) n(t) вместо £(£)> получим, что
независимые гауссовские случайные величины X и Х„ имеют
нулевые математические ожидания и одинаковые дисперсии (14).
Поэтому плотность вероятности ро{х) случайной величины X будет
рэлеевской:
р0(х) = -^—ехр (' — Y х>0. (2.2.16)
ноу ' NE1 *\ NE1 )
Заметим, что для радиосигнала со случайной начальной фазой
безразмерный коэффициент а = const можно считать включенным
в функцию f(t). Это эквивалентно тому, что в формулах (15) и
(16) нужно положить а=1, Е = Е]. Тогда можем окончательно
написать
PM-~^{-^f-)''{~\ *><>. (2.S.17)
P.W=^exp(-^-), *>0. (2.2.18)
В соответствии с критерием Неймана — Пирсона по заданной
вероятности ложной тревоги
pF=[pu(x)dx=[vexv (-JL-)d0 = e J , ft,= * (2.2.19)
il ft. V 2 ; УМЕ/2
определяется пороговый уровень hQ, а затем вычисляется
вероятность правильного обнаружения
PD = ]pi(x)dx = ]vexv(- v2 + 22E/N y^v}/^-)do. (2.2.20)
Вероятность рь является частным значением табулированной
функции [14]
Q(v, u)=---lxexp(—x—±J^\l0(xv)dx. (2.2.21)
Результаты расчетов по формулам (19) и (20) представлены на
рис. 2.10.
Получим структурную схему оптимального
приемника-обнаружителя, базируясь на представлении апостериорной плотности
вероятности в виде (2.1.27). Ради простоты рассмотрим случай,
когда полезный сигнал в принятом колебании (2.1.1) имеет вид
s(t, <р)=Лсоз(й>0/ + ф). (2.2.22)
84

Начальная фаза ф предполагается случайной и равномерно
распределенной в интервале [—я, я]:
РРг(ф) = Ррг(ф1в=1)-=1/2я, — я<ф<я. (2.2.23)
Применительно к данному примеру нужно полагать #О~0 = О,
Я,—6=1, Я = ф.
П /ZE///
Рис. 2.10. Кривые обнаружения для детерминированного сигнала (сплошные),
сигнала со случайной начальной фазой (штриховые) и сигнала со случайными
амплитудой и начальной фазой (штрихпунктирные)
Можно убедиться, что для обнаружения сигнала можно
пользоваться правилом
РрД6 = 0) н.
где h\ — пороговый уровень. После подстановки сюда выражений
для апостериорных вероятностей придем к следующему
алгоритму обнаружения:
где h
_Nhx . 1 /-2
0 Н„
(2.2.24)
js2(x, e=--I)dT + -i-J£>-(x, 0-l)dx.
Выражение для оценки сигнала определяется формулой
(2.1.23): F '
s (t, 0 ■= 1) - fs (t, 0 - 1, Ф) р (ф|£*. 0 - 1) d ф. (2.2.25)
—л
85

Входящая под интеграл апостериорная плотность вероятности
сопутствующего параметра ф находится согласно формуле (2.1.21)
и применительно к рассматриваемому примеру равна
p(<pli<, 0=1) =
2я
ехр
№
\ (т) cos (со0 т + ф) d х
}
Ы -^ еХР I "ЛГ-^ (Т) cos (°°о т + <р) d т | сГ ф
l 2A )
ехр|—*(0cos[q> —ф(/)] \
1А
2я/0 (—*(*)
(2.2.26)
где h{x)—функция Бесселя нулевого 'порядка от мнимого
аргумента,
Xs{t)
X(0 = jAj(Q + X2(0, <p(0 = -arctg
Хо (0 '
(2.2.27)
Xe(0=JEO*)coso0TdT, Xs(0 = JlWsincooTdT. (2.2.28)
о о
При записи выражения (26) опущены гармонические
составляющие удвоенной частоты 2со0-
Подставив (26) в (25), имеем
xexpl— X(t)cos[<p—9(/)]}d9 =
2Л
A cos [w0t -f-ф (t)]
~ 2 я/0 (2 Л* (О МО-я
Л sin [oo0 / + ф (01
2nI„(2AX(t)/N)
Первый интеграл в правой части этого равенства представляет
собой функцию Бесселя 1\ {х) первого порядка от мнимого
аргумента, а второй интеграл равен нулю вследствие нечетности
подынтегральной функции. Поэтому получим
J cos [ф-ф(*)] ехр {-^- X (t) cos [ф-ф(/)]} dф-
? ~ i 2A л
\ sin [ф—ф (0] ехр — X (t) sin [ф—ф (/)] | d ф.
s(f, в = 1) = Л cos [а>0* + ф (*)]£(*(*)),
где
*(*)=л
Можно также показать, что
2Л
iV
/„
2Л
/V
X
Di(t, 6=1) =
Л2
/f(2AX(Q/JV)
/*(2ЛХ(0М)
(2.2.29)
(2.2.30)
(2.2.31)
86

Подставив (29) в (24), приходим к следующему алгоритму
принятия решений:
A Jg (т) cos ko0 т + ф (т)] g (X (т)) d т s* h,
О но
(2.2.32)
причем с учетом (31) h= (NhJ2) +AH/4.
При аналоговой реализации этот алгоритм удобно представить
в несколько измененном виде. Для этого умножим и разделим
подынтегральное выражение на Х(х). Воспользовавшись затем
выражениями (27) и (28), получим окончательный алгоритм
' * н
А \1 (т) [Хс (т) coso)0 т + Xs (т) sinсо0т] X'1 (т) g(X (т)) dx^h. (2.2.33)
о н«
Структурные схемы приемников-обнаружителей, реализующие
алгоритм (33), изображены на рис. 2.11 и 2.12. Нелинейный
элемент на этих схемах должен иметь характеристику
Y(X) = g (X)/X = 1г (2AX/N)/XI0 (2AX/N).
f(t)
X
tin
ХМ)
\W§o>„t
isiitfi^
1
X
X
f
XJt)
1
y(/47xi) J (+Hxh f/ -> zF
Отсчет
rrput=T
Оценна ff
Рис. 2.11. Квадратурный («синхронный») приемник обнаружения радиосигнала
со случайной начальной фазой
Ш
X
Г-1-zF
'Ь/ч- а-г, Отсчет
Оценка $
X
WeaMbf/ый

колебательный нонтур
Y(X)
X

Амплитудный
детектор
огибающей
Рис. 2.12. Синхронный приемник обнаружения радиосигнала со случайной
начальной фазой
Схема приемника рис. 2.И аналогична схеме корреляционного
обнаружителя рис. 2.7, а схема рис. 2.12 аналогична схеме
корреляционно-фильтрового обнаружителя рис. 2.8.
3. Обнаружение сигнала с «частично известной» фазой. Пусть
принимаемое колебание £(/) по-прежнему определяется выраже-
87

нием (2.1.1), в котором полезный сигнал s(t) имеет вид (1.1.16),
причем все параметры сигнала известны, за исключением
начальной фазы ф. Начальная фаза ср считается случайной, имеющей
априорную плотность вероятности Тихонова, т. е.
Р^(Ф)=% * еАсозФ) _я<Ф<я. (2.2.34)
2 я /о (Л)
Такое задание начальной фазы практически соответствует
стационарной оценке неизвестной фазы сигнала на приемной стороне при
помощи фазовой автоподстройки частоты.
Заметим, что описание случайной начальной фазы при помощи
плотности вероятности (34) включает в себя рассмотренные выше
два примера (детерминированного сигнала н сигнала со
случайной начальной фазой) как частные случаи. Это непосредственно
следует из соотношений
lim/v(<p)=-—, —я<ф<я; limpPT (<p) = 8(q>). (2.2.35)
Прием сигнала с точно известной фазой (Л-^-оо) принято
называть когерентным или синхронным, а 'Прием сигнала со
случайной и равномерно распределенной фазой (Л^-0) называют
некогерентным. В промежуточных случаях (конечных значений
параметра Л) прием следует называть квазикогерентным или частично-
когерентным, причем величину А можно назвать параметром
когерентности.
Получим для указанных выше условий оптимальную
структурную схему квазикогерентного приемника-обнаружителя.
Согласно выражению (2.1.9) отношение правдоподобия для
рассматриваемого примера принимает вид
я ( 2 т Е 1
I = Гехр — \l (t) a f (t—x) cos [ю01 + Ц (t—т)—<p] dt pPT (<p)dq>=
= с"ехр(ЛсозФ) / ^gX
_l 2я/0(Л) v\ c Y s Y N )
==£V:T^ ? exp [V(Xe+A)*+Xl cos (<p-x)] d Ф =
2я /0 (Л) _ ^
= еХР(,Тл£/^ 7о (V(Xc+W+X$, (2.2.36)
2а т
где Xc^^-\l(t)f(t~T)cos[a0t + ^(t-T:)]dt,
N о
2а
т
Х° =^r\l(t)f(t-r)sm[w0t + yp(t-x)]dt, (2.2.37)
X = arctg[X,/(Xe + A)].
88

Величины Е, N и Л предполагаются известными. Поэтому
вследствие монотонности функции Бесселя h{x) обнаружение
сигнала можно осуществлять по правилу
Hi
н„
пли по эквивалентному правилу
Нг
X2c + X* + 2AXc^h = h1-A\
О ==
(2.2.38)
(2.2.39)
где порог h согласно критерию Неймана — Пирсона определяется
по заданной вероятности ложной тревоги.
Структурная схема оптимального квазикогерентного
приемника-обнаружителя, реализующего алгоритм (39), изображена на
рис. 2.13. Видно, что оптимальный квазикогерентный
обнаружитель представляет собой линейную комбинацию ранее полученных
2Л
?(«
X
Z/N
t-Tjcasiu>0t+<p(i
'-г;]
1
af(t - т) sin \ы01+f (t- т)\
Z/N
©-©-w^
X
//—> — «*
Решение •
nput-T
Рис. 2.13." Структурная схема оптимального квазикогерентного обнаружителя
сигнала
оптимальных когерентного и некогерентного обнаружителей (рис.
2.1 и 2.7) соответственно с весовыми коэффициентами 2Л и 1.
Ясно, что при Л-»-0 получаем некогерентный обнаружитель (рис. 2.7),
а при Л-э-оо вклад некогерентного обнаружителя становится
пренебрежимо малым и приходим к когерентному обнаружителю
(рис. 2.1). На практике обычно стремятся .получить по
возможности большое значение параметра когерентности Л и поэтому часто
ограничиваются использованием только когерентного приемника-
обнаружителя.
Характеристики квазикогерентного обнаружения вычисляются
таким же .путем, как были получены формулы (19) и (20), и
выражаются через табулированную функцию Q(v, и), определенную
выражением (21) [15].
Считая выполненными условия (1.5.7) и пренебрегая
слагаемыми с удвоенной частотой 2соо, легко показать, что при
справедливости гипотезы Но гауссовские случайные величины Хс и Xs при-
89

ближенно независимы и имеют следующие математические
ожидания и дисперсии:
М {Хс} = М {Xs} = О, М {XI) - М {А*} = 2 EIN.
Случайная величина
описывается законом Раиса. Поэтому вероятность ложной тревоги
выражается интегралом от плотности вероятности Раиса.
При верности гипотезы Н\ условные математические
ожидания и дисперсии случайных величин Хс и Xs равны
тс = М {Хс |ф} = (2 EIN) cos ф, ms = М {Xs |ф} = (2 £/W) sin ф,
Dc = М {(Хс-тс)2|ф) = М {(Х8-т5)21ф} =DS = 2 £/tf.
Условная (при заданном значении ф) плотность вероятности
случайной величины
Л = т]1 = (Хс + Л)2 + Х2
будет также райсовской, но с другими параметрами. Последующее
вычисление безусловной плотности вероятности для t]i сводится к
осреднению по случайной фазе с ллотностью вероятности (34)
[16].
Отметим, кстати, следующий факт. Видно, что характеристики
рассматриваемого оптимального (квазикогерентного)
обнаружителя радиосигнала с «частично известной» фазой зависят от
вероятностных характеристик случайной фазы. Результаты же
предыдущего пункта показывают, что характеристики оптимального
(некогерентного) обнаружителя радиосигнала, имеющего случайную
начальную фазу, равномерно распределенную в интервале ,[—я, я],
не зависят от характера фазы. Случай равномерно
распределенной начальной фазы является исключительным, и по
классификации § 2.8 такое распределение является наименее
предпочтительным. При фиксированных других условиях получаемые при этом
значения вероятности правильного обнаружения определяют
нижнюю границу. При любых других распределениях начальной фазы
радиосигнала вероятность правильного обнаружения не может
быть ниже этой границы.
Продолжим рассмотрение нашего примера. Иногда из-за
простоты реализации применяют схему квазикогерентного
обнаружителя, приведенную на рис. 2.14. Такой приемник называется квази-
когерентым, поскольку в нем опорное напряжение для
перемножителя формируется из принятого колебания при помощи
устройства формирования опорного напряжения (УФОН), в качестве
которого обычно применяется фазовая автоподстройка или обычный
колебательный контур.
Можно показать [15], что такие схемы получаются при
использовании для апостериорной вероятности дискретного
параметра представления (2.1.20).
90

Пусть на вход рассматриваемого обнаружителя воздействует
колебание
l(t) = Qs(t,<?) + n(t),0^t^T.
Здесь s(t, ф)—принимаемый полезный прямоугольный
радиоимпульс длительностью ти со случайной и равномерно
распределенной в интервале [—л, л] начальной фазой ср; n(t) —■ белый гаус-
совский шум; 6 — дискретная случайная величина, принимающая
два значения: 1 и 0.
$(t)
X
г -*•
устройство
s~q(T)>ft_
Отсчет
s0(t,p т*-г
п~?(Г)</г
УФОН\
Рис. 2.14. Вариант схемы автокорреляционного обнаружителя
Пусть опорное напряжение So(t, \p) формируется при помощи
фазовой автоподстройки. Тогда его в стационарном состоянии с
некоторым приближением можно представить в виде
s0 (t, Xp) = « Л cos (ю0 t + q> + q),
где г|> — случайная фазовая ошибка, имеющая плотность
вероятности (34); а—амплитудный множитель.
Согласно критерию Неймана — Пирсона записываем алгоритм
принятия решения
Л(Г) = 5б(/)8о(М>)Л =
о
г //,
= '«0 Е cos ф -f- a A j n (i) cos (ю01 -f- ф + if1) dt з* h,
о я„
где Е=А2хц/2 — энергия радиоимпульса.
Отсюда видно, что при фиксированном значении я|) случайная
величина ц(Т) имеет нормальное распределение с условным
математическим ожиданием М{ц(Т) |if>} = a6£cosif> и дисперсией
A] = a2EN/2. Следовательно, в отсутствие сигнала s(t, ср) в
принятом колебании (0 = 0) плотность вероятности случайной величины
ц(Т) равна
p(r1|0 = O) = -T?L^Texpf - ^
a ~\/nEN
а при наличии сигнала (0 = 1)
р(Л1в = 1) =
aVnEN
ехр
а2 ЯЛ'
(Т1 — ot£cosi|7)a
а4 ЯЛ7
91

В соответствии с критерием Неймана — Пирсона выбираем
порог h срабатывания порогового устройства, исходя из заданного
значения вероятности ложной тревоги:
А = аКМ/2ф(-'>(1- pF),
где Ф^-^(х) — функция, обратная интегралу вероятности (2.4.44).
При этом условная (при заданном значении if>) вероятность
правильного обнаружения pD{^) будет равна
Pd(V)=1 — Ф[Ф(-'Ч1— Pf)—УЪЕШсоъМ-
Отсюда видно, что вероятность правильного обнаружения
зависит от разности фаз принятого и опорного сигналов. При i|> = 0
эта формула переходит в формулу (7) для вероятности
правильного обнаружения детерминированного сигнала на фоне белого
шума.
Если воспользоваться выражением для стационарной
плотности вероятности разности фаз (34), то безусловная вероятность
правильного обнаружения будет определяться выражением
Pd~ J Pz>№)fe(t)^ = l--/- ] ФГФ<-»(1—pf)—
Joo 2П'0 (Л) -Я
~Y2E/N]eA-cos*dy.
Результаты расчетов по этой формуле для вероятности
ложной тревоги pf=10~3 представлены на рис. 2.15. Как и
следовало ожидать, с увеличением
параметра Л, характеризующего
фильтрующие свойства ФЛП,
вероятность правильного
обнаружения увеличивается. Однако
при этом увеличивается
длительность переходного режима
ФАП.
Отметим, что результаты рис.
2.15 позволяют заключить, что
полученные кривые обнаружения
при соответствующем
пересчете будут справедливы и в том
случае, когда в качестве
устройства формирования опорного
сигнала используется колебательный
контур.
4. Обнаружение федингующе-
го радиосигнала. Пусть в
радиосигнале (1.1.16) является
случайной не только фаза ср, но и ам-
0,9
0,8
&,
0,6
0,5
¥
0,1
р^т~ъ
—
15J
V^T— оо III
I ////
f
TTJ I/
/// 17 I /
К/ / I/ /
i 1 /
/1 / / / '
I77F
Ml]
III /
ЦП I /
W\
/T
i
I
I
i
!
! i
i
!
\
"--
V
-"Г
0,75
7-o
I i
' I !
! I
2 3 4 5- ff ? 8 VZE/N
Рис. 2.15. Кривые обнаружения
автокорреляционного обнаружителя
92

плитудный множитель а, причем плотность вероятности для
безразмерной случайной величины а является рэлеевской:
pPr (a) = (a/Da) exp(-a2/2Da), a> 0. (2.2.40)
Как следует из (2.1.16), отношение правдоподобия для
рассматриваемого сигнала можно получить путем осреднения
выражения (9) по случайной величине а. Таким образом, получим
2Dax
00 n
М {/ (а)} ^--\1{а) рит (a) da = ——— ехр
о N -\-а иа
N(N + a Da)
. (2.2.41)
На основании (10) и (40) величина aDa равна осредненной
энергии сигнала:
Е = М {а2} Е, -.: Ех ] a2 pPr (a) da =-- 2DaE1 = aDa . (2.2.42)
о
Поскольку показательная функция является монотонной, то
можно воспользоваться прежним гцэавилом (12) принятия
решения о наличии или отсутствии сигнала в принятой реализации
!(/). Следовательно, в качестве возможных вариантов
оптимальных приемников можно использовать структурные схемы,
приведенные на рис. 2.6, 2.7 и 2.8, т. е. те же схемы, что и для
радиосигнала с известной амплитудой. Поэтому можно сказать, что
критерий Неймана—Пирсона структурно инвариантен к амплитуде
обнаруживаемого радиосигнала со случайной начальной фазой.
Конечно, это не означает, что вероятностные характеристики
обнаружения не зависят от закона распределения амплитуды.
Вычислим характеристики обнаружения для случая рэлеев- ,
ского распределения амплитуды (40). Осреднив выражение (15)
по флуктуирующему амплитудному множителю а с плотностью
вероятности (40), получим рэлеевскую плотность огибающей X
при наличии сигнала:
Pi(х) =1р! (х\а)ррг (a) da = -ехр ( ^——
0J NE1+2DaE\ { NEi+2DaE\l
(2.2.43)
Плотность вероятности огибающей X при наличии одного шума
по-прежнему дается формулой (16).
Кривые обнаружения по критерию Неймана—Пирсона
строятся по известному правилу. По заданной вероятности ложной
тревоги
Pf = 7Ро (х) dx = e-"o/2, h0= -—^=r (2.2.44)
h VNEl/2
определяется пороговый уровень h0 и затем находится вероятность
правильного обнаружения
Pd= J/0i(x)d* = exp
ft
hi
2(\+2DaEllN)]
(2.2.45)
93

Если нужно сравнивать характеристики обнаружения федингу-
ющих и нефедингующих радиосигналов, то естественно
производить такое сравнение для случая, когда средняя энергия федин-
гующего сигнала равна энергии пефедиигующего сигнала. Если
принять амплитудный коэффициент нефедингующего сигнала
а=\, то для этого, как видно из (42), нужно положить Da=l/2.
Тогда формулу (45) можно записать в таком виде
pD-^p\K\+Eim^ (2.2.46)
На рис. 2.10 приведены рассчитанные по формулам (6), (20)
и (46) кривые обнаружения для трех видов сигналов: 1)
детерминированного, 2) радиосигнала со случайной начальной фазой
и 3) радиосигнала со случайными амплитудой и начальной
фазой.
Видно, что при увеличении отношения сигнал-шум все кривые
сначала растут медленно, а затем быстрее. При больших
вероятностях правильного обнаружения кривые для радиосигнала со
случайной начальной фазой и особенно для радиосигнала со
случайными амплитудой и фазой смещены в сторону больших
отношений сигнал-шум. Наоборот, при малых вероятностях
правильного обнаружения (pD^0,2) кривые обнаружения для федингу-
ющего радиосигнала расположены выше соответствующих
кривых для других двух сигналов. Это объясняется тем, что при
равенстве энергий, т. е. при ZDa = 1/2, амплитуда федингующего
сигнала с вероятностью
1 1
j рРт id) da = j 2 a e~a2 da ~ 0,74
о о
будет превышать амплитуду нефедепгующих сигналов (а=\).
Отметим, что если использовать представление апостериорной
плотности вероятности в виде (2.1.27), то получим несколько иную
структурную схему оптимального приемника-обнаружителя
федингующего радиосигнала. Для иллюстрации рассмотрим
прежний радиосигнал (22), считая теперь, что в нем случайна не
только начальная фаза ср, но и «амплитуда» А, причем последняя
распределена по закону Рэлея
р* и>-£ ер (-£).**>■
Запишем сигнал (22) через квадратурные составляющие
s(t, 0= 1,ф) =Л cos(©0^ + <p) --= Хс cos ю0 *—Xssina>0t,
где ХС = А cos ср, XS = A sin ср.
Известно, что совместная плотность вероятности для Хс и Ха
является нормальной:
94

Можно показать, что применительно к данному примеру
формула (2.1.21) принимает вид
р(Хе,Х,\Ц,Э=1) =
1
2яО- (О
ехр
[xc-xc(t)]2 + \xs~xs(t) }2 |
2D; (t)
где
Хс (0 = —;^— J i (т)cos ®о т^т> *s (0 = —-— J i (т) sin ю0 т d т,
No No
D4t)=DsN/(N + Dst).
При этом
s (f, 0 = 1, ф) = Хс (t) cos ю01— Xs (t) sin ю01.
Итоговый алгоритм обнаружения имеет следующий вид:
Hi
(2.2.47)
(2.2.48)
(2.2.49)
j I (т)[Хе (т) cos ю0 т—Xs (т) sin со0 т] d т ^ /г (/), (2.2.50)
причем
ft(o=-f fti+4-j^(T)+^(T)idT+-Tln (! Ds'
Структурная схема оптимального обнаружителя федингующе-
го радиосигнала (22), которая реализует алгоритм (50),
изображена на рис. 2.16.
§Ш
xl
г
'X^rX-s©-
\C0Su)at
hw
1 si.n«y^^-
•xr
/:
\
1
L* ив.-* i
<
'
r*^4T
*XMJ®
Ф-Г-^
Порогобое
устройство'
Оценка
Отсчет
при t=T
Рис. 2Л6. Структурная схема оптимального синхронного приемника
обнаружения федингующего радиосигнала
5. Обнаружение пуассоновских потоков. В оптическом
диапазоне частот полезный сигнал и шум представляют собой пауссо-
новские потоки фотоэлектронов, поступающих на устройство
обнаружения за интервал времени [0, Т]. В отсутствие полезного
сигнала (гипотеза Но) приходящие «фоновые» электроны пред-
95

етавляют собой шум. Их случайное число т часто можно
полагать распределенным по закону Пауссона:
р(/п|Я0)=^"е~т/, m = 0,l,2,...f (2.2.51)
где fhf — среднее число фоновых электронов, поступающих за
время наблюдения [0, Т]. При наличии полезного сигнала (гипотеза
Н\) на устройство обнаружения поступают как фоновые, так и
сигнальные фотоэлектроны. При этом распределение случайного
числа m суммарных фотоэлектронов по-прежнему определяется
законом Пуассона:
p(m|^) = ("/+mfs)m еЧ^+^ , (2.2.52)
где ins — среднее число сигнальных фотоэлектронов, приходящих
за время [0, Т].
Таким образом, законы распределения по двум гипотезам
отличаются только средним значением числа фотоэлектронов,
поступающих на устройство обнаружения. Согласно результатам
§ 4.6 [35] оптимальный обнаружитель должен формировать
отношение правдоподобия и сравнивать его с некоторым порогом.
В данном примере это правило в соответствии с формулами (51)
и (52) принимает вид
^^Т =(^ГехР(-т/^. (2-2-53)
Р(т\Н0) \ щ ) Но
Эквивалентная форма решающего правила получается
логарифмированием обеих частей этого неравенства:
mi _ln^ _ =щ0. (2.2.54)
Н0 ln(mf + ms) — Inm/
Следовательно, принятие решения о наличии или отсутствии
сигнала производится путем сравнения подсчитанного числа
фотоэлектронов т с пороговым значением т0.
Вероятности превышения порога т0 в отсутствие и при
наличии сигнала определяются соответственно формулами
pF = P{m>m0\H0}--= |] &e~mf, (2.2.55)
ро=Р{т>щ\НД = f, Gt + ЪГ e-&f&Jm (2256)
Здесь pF и pd — вероятности ложной тревоги и правильного
обнаружения. __ _
График функции P{m^m0} = f(m0, т) для четырех
фиксированных значений т представлен на рис. 2.17. Определение
вероятностей ложной тревоги и правильного обнаружения по_ этому
графику выполняется следующим образом. Пусть m/ = 5, ms = 5 и
96

Р{т>т0]
1\
10'
10"
10
-5
10
10'
-4
W-7
г -S
У
>
\
'1\
i
\
15
10
15
W
15
т0
Рис. 2.17. Графики для определения вероятностей ложной тревоги и
правильного обнаружения пуассоновских потоков
порог выбран равным /л0=10. Обращаясь к графику для in —
= mf = 5 и т0=Ю, находим, что вероятность ложной тревоги
pF = 3-\0~2. Пользуясь затем кривой, соответствующей fn — inf-\-
+ms=10, при m0=10 получаем вероятность правильного
обнаружения рг> = 0,55.
2.3. ОБНАРУЖЕНИЕ СИГНАЛА ПРИ ДИСКРЕТНОЙ ОБРАБОТКЕ
До сих пор рассматривались примеры обнаружения сигнала
по критерию Неймана—Пирсона в предположении, что
осуществляются непрерывное наблюдение и обработка принятой
реализации l(t) на временном интервале [О, Т]. На практике часто
наблюдение реализации £(/) осуществляется только в конечном
числе точек /,, i = 0, m, из интервала [О, Т], т. е. известно лишь
конечное число значений реализации £» = |(^) (рис. 2.18). Эта
Рис. 2.18. Дискретизация
реализации по времени
m-j^-tnt *
связано, например, с интенсивным внедрением в технику
радиолокации и связи методов цифровой обработки сигналов. При этом
вместо аналоговых устройств оптимальной обработки (таких, как
согласованные фильтры и корреляторы) используются ЦВМ. Из-
вестно, что в ЦВМ можно ввести лишь конечное число значений:
Si, £=0, m, преобразованных в цифровую форму. При этом воз-
4-28 97Г

никает задача оптимальной обработки дискретных наблюдений.
Такая же задача может возникнуть, например, при цифровом
приеме радиосигналов, когда рассматривается выходное
напряжение аналого-цифрового преобразователя, включенного после
низкочастотного фильтра на выходе смесителя.
Проиллюстрируем методику оптимальной дискретной
обработки и сравним результаты, полученные при дискретной и
аналоговой обработке, на следующем частном примере. Пусть
реализация |(0 принятого колебания на интервале [0, Т]
представляет собой либо сумму сигнала и шума (0=1), либо только
шума (6 = 0):
6(0=в8(0 + л(0.0</<7'. (2.3.1)
Сигнал s{t) считается полностью известным, а шум n(t)
предполагается стационарным гауссовским случайным процессом с
нулевым математическим ожиданием и экспоненциальной
корреляционной функцией:
М {п (t)} = 0, М {л (0 п (t + т)} =--Dn e-«\*\. (2.3.2)
Наблюдаются только значения ii = |(/i) в равноотстоящие
моменты времени ti = iA, i—0, m, где А — интервал дискретизации по
времени, пг — Т/А— число подынтервалов дискретизации на
интервале наблюдения [0, Т).
Укажем, что когда шум n(t) является белым,
сформулированная задача лишена физического смысла. В этом случае
информация о полезном сигнале при любом ограниченном числе
отсчетов полностью «теряется» из-за бесконечно большой дисперсии
белого шума.
Известно, что оптимальный алгоритм обнаружения
заключается в сравнении с порогом отношения правдоподобия или его
логарифма
ы(1о,-,и=1" !!^-'М!:'! 9*V (2.3.3)
Р(1о. ... .imle = 0) 9=0
Для записи конкретных выражений фигурирующих здесь
плотностей вероятностей найдем предварительно совместную
плотность вероятности m равноотстоящих временных отсчетов шума
р(п0, Ль ..., Пщ), где m = n(iA), t = 0, m. С этой целью получим
совместную плотность вероятности m вспомогательных случайных
величин
So = "о. £i = «1—Y "о. •» .£« = "«—? "г-1. •». Сга = лт—V "m-i.
где 7 = ехр(—аА).
Поскольку временные отсчеты шума щ гауссовские с
нулевыми математическими ожиданиями, то введенные величины £«
также гауссовские с нулевыми математичекими ожиданиями. Кроме
98

этого, они взаимно некоррелированы. Действительно, при i, } —
= 1, т имеем
М {UI}) = М {(л«—v Л1-1) (" —Y ";-i)} = М {щ tij} — yM {nt rtj-i} —
—у М {tii-г tij} + у2 М {щ-х tij^}.
Согласно (2)
M{ninj}=Dne-«b\{-H =Dny\'-H.
Поэтому
M{£,^}=Dn(Yl'-" —y"-'-1|+1 —Tl/-'+1| + Yl'-'l+2>-
Отсюда получим M{^j}=0 при 1ф\, М{£2*} =Dn(l—y2) при i—j,
a M{£o£t}=0. Следовательно,
р (£0> £lf .., , U = Pl (W Р1 (W - /f I (W = (2 Я D„)-C"+')/2 (1 _f )-m/2 X
X
^[-щ*=?гЬ1-™+Ж*]}-
х exp
Нетрудно проверить, что якобиан преобразования от
переменных £,• к rii равен единице. С учетом этого по известным
правилам находим совместную плотность вероятности временных
отсчетов шума:
р (П0, «1, .- , "т) = (2 Я D„)-C™-')/2 (1 - Y2)-m/2 x
^—^Га-ГК + З («i-Y^-!)2]} . (2.3.4)
Этот результат можно получить формальным обращением
корреляционной матрицы в выражении для многомерной нормальной
плотности вероятности.
Из. записи (t) следует, что я* = |*—0s*, где Si = s(ti) =s(tA).
Поэтому интересующие нас плотности вероятности, входящие в
алгоритм обнаружения (3), равны [1]
1
( 2D„
Р &, - . 6«1в - 0) = (2 nDn)~«4* (1 -v2)-(m-,)/2exp
х (l — y") 5g + S (Ei—vSi-0*
i=l
)•
/0 do,..., Smie = 1) = (2nD„)-'«/2(l -v2)-C™-')/2 exp (-
2Dn(l-v2) *
(2.3.5>
1
X
I 2Dn(l-V*)
m
(l-Y2)(£o-*o)2 +S (S«-YSi-i-S| + Y *!-!)•
X
i=l
} . (2.3.6)
Подставив (5) и (6) в (3), приходим к следующему алгоритму
обнаружения:
1
Dn (1 -V2)
1 9=1
~ ySi-i)\ * h.
Je=o]
(2.3.7)
9»

Получим теперь характеристики обнаружения при дискретной
обработке. Из алгоритма (7) видно, что случайная величина q
является результатом линейной комбинации совместно гауссов-
ских случайных величин £,-. Поэтому плотность вероятности
случайной величины q является нормальной. Математические
ожидания случайной величины q в отсутствие и при наличии сигнала
равны соответственно
m0 = M{<?|e = 0}-:0,m1=M{(/ie = l} =
(l-Y2)£n
(2.3.8)
(l-^sg + Sfo-YV-i)8
Чтобы записать выражения для дисперсий случайной
величины q, предварительно заметим, что из формул (5) и (6) следует,
что случайные величины (£,—vls-i) ПРИ разных i и величина |0
независимы в совокупности и имеют дисперсии
С учетом этого находим
D1^M{q2\& = l}=D0--=M{q*\Q = 0) =
1 Г т
Из формул (8) и (9) видно, что как математическое
ожидание т.] выходного напряжения оптимального обнаружителя при
наличии сигнала, так и дисперсии D\ и Do выходного
напряжения при обеих гипотезах равны одной и той же величине
(2.3.9)
*2_.
U-Y2)^n
O-Y'K + Sfa- Y*i-i)"
(2.3.10)
Эта величина представляет собой отношение мощности сигнала
на выходе оптимального обнаружителя т2\ к мощности
выходного шума D0 = D\:
x = m\IDt.
(2.3.11)
Так как плотности вероятности случайной величины q при
обеих гипотезах нормальные, то для вероятностей ложной
тревоги и правильного обнаружения получаются выражения,
полностью аналогичные формулам (2.2.6) и (2.2.7), относящимся к
случаю непрерывного наблюдения:
Pf= Jp(<7l9 = 0)d</=1
d
pD= Jp{q\Q=\)dq=;\-<b[±--d
(2.3.12)
(2.3.13)
ДОО

Выражения (12) и (13) показывают, что характеристики
обнаружения в рассматриваемом примере полностью определяются
величиной отношения сигнал-шум d. Поэтому при анализе
характеристик обнаружения можно ограничиться рассмотрением только
величины d.
Для сравнения результатов, получаемых при дискретной и
непрерывной обработке, зададимся конкретным детерминированным
сигналом
s(f) —Лcos(co^ + ф)•
В данном случае временные отсчеты сигнала
st = s(i A) = A cos (aiA + ffi) J =6jn (2.3.14)
представляют равноотстоящие выборки из гармонического
колебания с известными амплитудой, частотой и начальной фазой.
Подставив (14) в (10), имеем
Л2 ( т 1
da==„ ,,n cos2<P + S [cos(uHA + <p)-Ycos(co(/-l)A + <p)]2 .
(2.3.15)
Выражение под знаком суммы можно преобразовать:
cos (со i A -f- <р) — у cos (to i A—toA + ф) = cos (со i A + <р) (1 —у cos соА) —
-ysincoAsin (tot А -|-<р) = ]/ 1 + у2— 2-у cos соД cos (со / A-fcp + x),
где
X -- arctg
■у sin соД
— у cos соД
Подстановка этого выражения в (15) дает
+ у2 — 2 у cos соЛ
Dn 1
d2-
COS2 ф + -
2(1-/)
Воспользовавшись известным равенством
т sin тх
т-г 2 cos 2 (со г А + ф + х)
(2.3.16)
у. cos(2u; + p)--= ^^^cos[(m+l)x + &],
^—1 sin v
=1
sin x
окончательно получим
о2 ™ ! ■ + Т2 — 2 т cos соД
d2 = — I cos* ф -
D„ X
2(1 -т»)
sin со Т
sincoA
COS (со (Т + А) +
+ 2(Ф + Х))
\У
(2.3.17)
Видно, что отношение сигнал-шум и, следовательно,
характеристики обнаружения при дискретной обработке зависят как от
параметров сигнала н шума, так и от интервала дискретизации
по времени Д. Чтобы получить простые и наглядные результаты,
характеризующие зависимость от А, рассмотрим частный случай,
когда на интервале наблюдения [0, Т] укладывается целое число
101

dl
полупериодов гармонического колебания, т. е. выполняется
равенство ®T=nk, k=l, 2, 3, ... В этом случае формула (17) при
аА^фл1, 1 = 0, 1, 2, ..., принимает вид
^dL/cos^-J+^-SvcoscoA T_\ (2<ЗЛ8)
Dn\ * 2(1—у") A J V '
Этот результат как приближенный справедлив и при aT^nk,
если на интервале наблюдения берется большое число отсчетов,
т. е. при Г/А^>1.
Очевидно, что в пределе при Д->-0 дискретная обработка
переходит в непрерывную (аналоговую). С целью сравнения
результатов, получаемых при дискретной и непрерывной обработке,
устремим Д->-0 в формуле (18). Применяя для малых я«С1
разложения соэл:7о1—х2/2-\- ..., ехр (х) ~1+*+*2/2+ #--> получим
1= limd» = (-f cos9y+j|-(l+v2)) (2.3.19)
где Е — энергия сигнала; v = co/a — нормированная частота.
Введем отношение
K = d2/^t (2.3.20)
характеризующее потери энергии сигнала при дискретной
обработке. Из (18) и (19) для случая ф = я/2 получим
х=^= 2(l+e-M + 2e-«cosv6) 2
где б = аД— нормированный интервал дискретизации по
времени.
На рис. 2.19,а представлена зависимость к от нормированного
интервала дискретизации б для нескольких значений
нормированной частоты v. При 8-уО дискретная и непрерывная
обработки эквивалентны. При фиксированной частоте v с увеличением
интервала дискретизации б отношение сигнал-шум для
дискретной обработки ухудшается относительно непрерывной обработки.
Увеличение частоты сигнала при постоянном интервале
дискретизации также ухудшает характеристики дискретной обработки
относительно непрерывной. Это наглядно видно из графиков
рис. 2.19,6, на котором изображена зависимость величины
потерь к от нормированной частоты v для нескольких
фиксированных значений б.
Из проведенного рассмотрения можно сделать следующий
вывод. При сравнительно малых интервалах дискретизации по
времени характеристики обнаружения при дискретной обработке
незначительно хуже, чем при аналоговой. Учитывая большие
технические преимущества устройств дискретной обработки, в ряде
случаев целесообразно применять дискретную обработку вместо
аналоговой.
102

to
0,2
x
i'\
\zo
V
10 \
Y
\2
4^
vj£^
■».
к
0,4- 0,8 1,1 1,B 1,0 2,4 <?
в)
/,u
0,8
9,ff
w
0,1
и
— \
L
1
—V-
\l
4
6
1
I
J
6
f'0,5
\ I
V
Рис. 2.19. Потери в
отношении сигнал-шум
при дискретной
обработке
2.4. РАЗЛИЧЕНИЕ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ
Задача обнаружения сигнала на фоне шума является
частным случаем задачи различения двух сигналов. Рассмотрим здесь
задачу различения двух детерминированных сигналов. Так как
для задач различения чаще более обоснованным является
применение критерия идеального наблюдателя, то все рассуждения
будем вести, базируясь именно на этом критерии.
Пусть принятое колебание (наблюдаемый процесс)
представляет собой сумму
l(t) = Qs1(t) + (l-e)Sz(t)+n(t),0^t^T, (2.4.1)
где n(t) — гауссовский белый шум; s\(t) и s2(t)
—детерминированные сигналы. Неизвестный параметр 0 может принимать одно
103

из двух значений: 0=1 (присутствует только сигнала S\(t)) и 0 = 0
(присутствует сигнал S2(t)). Априорные вероятности присутствия
каждого из сигналов предполагаются известными. По принятой
реализации |(i) нужно решить, какое именно значение имеет
параметр 9, т. е. какой из сигналов S\ (t) или Sz(t) присутствует
в реализации. Иначе говоря, ставится задача проверки двух
гипотез: Н0 — в реализации l(t), Q^t^.T, присутствует s2(t), т. е.
0 = 0, и Н] — в реализации присутствует S\(t), т. е. 0=1.
Априорные вероятности каждой из гипотез ррг(Н0) и ррг{Н\) — \—ррг(Но)
считаются известными.
Для апостериорных вероятностей гипотез нетрудно получить
следующие выражения:
Pps (Яi) = kPpT (HJ exp { - £l + A [ g {t) Sl (t) dt j , (2.4.2)
pw(^o) = *Ppr(^o)exp{-^- + ^-jg(0*,(0^} . (2-4.3)
где Et = [ s\ (t) dt, E2 = [ 4 (t) dt. (2.4.4)
о о
В соответствии с критерием идеального наблюдателя
считается, что верна гипотеза II \, если выполняется неравенство
т
Pps (Нл) _ ррг (Ях)
(2-4.5)
Pps (H0) Ррг (Но)
Отсюда получим
q^±lW[Sl(f)-st(t)]dt>\n&^ + Z±=&=h. (2.4.6)
N 0J PprWJ N
Назовем систему передачи двоичных сигналов симметричной,
если для нее выполняются равенства:
Ррг (#i) - Ррг (Я„) -= ^ Ei^Et=E,p (Sl\s2) =/?(*2Fs1), (2.4.7)
где условные вероятности p(s,|sj) определены формулами (15).
Для симметричной системы формула (6) упрощается:
т
Ч = \\ &(*)[М0-М')]Л>А=*0. (2.4.8)
Таким образом, для симметричной системы на основании
критерия идеального наблюдателя получаем следующее правило
различения двух детерминированных сигналов. Принимается
решение о наличии сигнала S\(t), если ^>0; при <?<0 принимается
решение о наличии сигнала S2(t).
На рис. 2.20 приведены две схемы оптимального приемника
для различения двух детерминированных сигналов: с
использованием согласованных фильтров и корреляторов. Первый из них.
104

состоит из двух линейных фильтров, согласованных с сигналами
Si(t) и S2(t) соответственно, вычитающего устройства и
порогового устройства (например, типа электронного реле). Во втором
принятое колебание b,(t) раздельно перемножается с известными
сигналами S\(t) и S2(t), и разностное напряжение с выхода
интеграторов подается на пороговое устройство.
3,~©>©
'*V_NL| Пороговое
S/~©>©
So~
(D>©
устройство
Отсчет Г*
nput=T
Рис. 2.20. Оптимальные схемы для различения двух детерминированных
сигналов с использованием согласованных фильтров (а) и корреляторов (б)
Предположим, что выполняются условия (7). Вычислим
вероятность общей ошибки. Пусть присутствует сигнал S\(t), т. е.
l(t)=Si(t)-\-n(t). Тогда случайная величина
W о
будет иметь нормальную плотность вероятности pt (q) со
следующими характеристиками:
%=МЫ =^(l-^),A = M{(?2}-m2=i^(l-rs). (2.4.10)
Здесь
г*= -ммомо*
(2.4.11)
условно называют коэффициентом взаимной корреляции между
сигналами S\(t) и S2(t).
Если присутствует сигнал s2(/)> T- е- КО =Si(t) +n(t), то
случайная величина
q = q2 = ~ j [s, (/) + n (/)] [Sl (0 -s2 (/)] d*
(2.4.12)
105

имеет нормальную плотность вероятности p%(q) с
характеристиками
яЧ = МЫ = -^(1-г,)>Д8 = М{^}-^=^(1-г,). (2.4.13)
Плотности вероятности p\(q) и рг(^) изображены на рис. 2.21.
Обозначим через p(s\\s2) условную вероятность принять решение
Рнс. 2.21. Нормальные плотности вероятности при наличии одного нз двух
сигналов и условные вероятности ошибок
о наличии сигнала sb когда в действительности присутствует
сигнал S2, и через p(S2\s\) условную вероятность принять решение
о наличии сигнала s2, когда в действительности присутствует
сигнал S]. Очевидно, что вероятность общей ошибки равна
Ре^Ррт (#о) Р («1 \S2) +р„г (Hi) P feilSl).
(2.4.14)
где
P(*ilS2) = J P2(q)dq,p(s2\s1)^= j pAq)dq. (2.4.15)
Подставив в (14) значения априорных вероятностей из (7),
находим вероятность суммарной ошибки
h
1
\Pb{q)dqJr j Pi(q)dq
(2.4.16)
Согласно (8) здесь нужно положить /г = 0. Такое значение h
можно также получить из условия минимума общей ошибки, т. е. из
уравнения dpeJdh = 0. Выполнив вычисления, получим
Рв=1-ф(/4(1~^)
(2.4.17)
Следовательно, при известном отношении сигнал-шум 2E/N
вычисление вероятности полной ошибки для детерминированных
равновероятных сигналов с одинаковыми энергиями сводится к
определению коэффициента взаимной корреляции между
сигналами. Так как интеграл вероятности Ф(х) является монотонно
возрастающей функцией аргумента, то при одинаковом отноше-
106

нии сигнал-шум наибольшей помехоустойчивостью (меньшей
вероятностью ошибки ре) обладают сигналы, для которых
коэффициент взаимной корреляции минимален.
Коэффициент взаимной корреляции rs может изменяться от
— 1 (при S\(t) =— Si(t)) до +1 (когда Si(£)=s2(t)). В том случае,
когда rs = 0, говорят, что сигналы ортогональны. Очевидно, что
одинаковые сигналы (rs=l) невозможно различить и поэтому
ре=1-^-Ф(0) =0,5. Наоборот, если сигналы одинаковы по форме
и противоположны по знаку (rs=—1), то их различить легче, чем
любые другие два сигнала (например, ортогональные).
Сказанное иллюстрируется рис. 2.22, на котором представлены
результаты расчетов по формуле (17).
-1,0 -0,0 а о,о ^s о го ьо ео ie/n
Рис. 2.22. Зависимость вероятности пол- Рис. 2.23. Зависимость вероятно-
ной ошибки ре от коэффициента взаимной сти ошибки от отношения сигнал-
корреляции г, между детерминированными шум для детерминированных сиг-
сигналами налов при AM, ЧМ и ФМ
Кривые, характеризующие зависимость вероятности общей
ошибки ре от отношения сигнал-шум при оптимальных методах
приема детерминированных сигналов, в радиосвязи принято
называть кривыми потенциальной помехоустойчивости. Получим
такие кривые для некоторых видов манипулированных сигналов,
применяемых в цифровой радиосвязи и, в частности, в
радиотелеграфии.
Амплитудная манипуляция (AM). При AM
Sl (t) = Am cos (со * + ф), s2 (t) =0, 0 < /< Т. (2.4.18)
107

В данном случае на основе критерия идеального наблюдателя
нужно решить задачу обнаружения сигнала S\(t) па фоне шума.
Положив в выражениях (9) и (12) s2(0=0. получим, что
плотности вероятности p\{q) и pi{q) величин q\ и <?2 являются
нормальными со следующими средними значениями и
дисперсиями:
т1 = 2 E/N, Dx = 2 E/N, m2 - О, D2 = 2 E/N, Е = А2т Т/2.
Пусть априорные вероятности наличия и отсутствия сигнала
одинаковы и равны 0,5. По формуле (16) записываем выражение
для вероятности суммарной ошибки:
Л"т{^я1и»(-^г)*+
Н-'-^гР1}^
ф1) 1 ,0<f<7\ (2.4.20)
-Фа) J
1/4я£/Л'
Значение оптимального порога h находим из условия dpe/dh =
= 0 или по формуле (6): h = E/N= (т{—т2)/2. Порог
определяется абсциссой точки пересечения плотностей вероятностей р\ (q) и
Pu(q). При таком пороге вероятность ошибки минимальна и
равна
График этой функции представлен на 2.23.
Частотная манипуляция (ЧМ). При ЧМ используются два
гармонических сигнала одинаковой амплитуды и длительности,
имеющие различные несущие частоты:
M*)=4mcos(<iM— <Pi)
МО = Amcos((a2t-
Согласно (11) в данном случае при ф1 = фг имеем
rs = sin (co2—сох) Г/[(со2—(Oj) T].
Коэффициент взаимной корреляции минимален и равен rs~—0,21
при (иг—0)1)7= 1,5л. Однако на практике обычно выполняется
неравенство (сог—coi) 7"^> 1. Поэтому можно положить г,ч = 0, и для
вероятности ошибки из формулы (17) получим
л=1-ф (/-!-)• (2Л21>
Зависимость вероятности ошибки от отношения сигнал-шум
изображена на рис. 2.23.
Отметим, что в зависимости от методов формирования
различают два вида ЧМ радиосигналов: с разрывом и без разрыва
фазы. ЧМ радиосигнал с разрывом фазы получается
поочередным подключением одного из двух независимо работающих
генераторов разных частот в соответствии с бинарной информацион-
108

ной последовательностью. В моменты переключения фазы
колебаний генераторов разных частот, как правило, различны, т. е.
имеет место несовпадение (разрыв) фаз в конце предыдущей и
начале последующей посылок (временных интервалов Т). Такой
сигнал имеет вид (20).
При формировании сигналов без разрыва фазы используется
один генератор, частота колебаний которого изменяется от
интервала 'к интервалу в соответствии с символами информационной
последовательности (например, изменением емкости в контуре
генератора). При этом не происходит изменения фазы на границах
тактовых интервалов Т, т. е. фаза колебаний в начале очередного
тактового интервала совпадает с фазой колебания в конце
предыдущего интервала. ЧМ радиосигнал без разрыва фазы
описывается выражением
51(0 = Лтсо5К(^7) + Фй-ф]|
ft-i
Здесь Фь= 2 ацТ — набег фазы за (k—1) предыдущих
интервалов; со; — значение частоты на t'-м интервале (co; = coi или <о2).
При когерентном приеме каждого из"элементарных сигналов
S\(t) и S2(t) (посимвольный прием) вероятность полной ошибки
для обоих видов ЧМ радиосигналов одинакова и определяется
формулой (21). Поскольку для ЧМ радиосигналов без разрыва
фазы значение информационного символа влияет на фазу
сигнала в последующих интервалах, то эту зависимость можно
использовать для повышения помехоустойчивости по сравнению с
посимвольным приемом (см. рис. 2.24). Например [17], за счет этого
при (а>2—со1)Г = л можно получить вероятность ошибочного
приема ЧМ радиосигналов с непрерывной фазой такую же, как и при
приеме ФМ радиосигналов (см. формулу (23)).
Фазовая манипуляция (ФМ). При фазовой манипуляции
используются сигналы
s1 (t) = Am cos со t
s2 (t) — — Am cos со t
},0<f<7\ (2.4.22)
Для таких сигналов r.s = — 1 и вероятность ошибки согласно (17)
равна
ре^\-ф[УЦ)- (2.4.23)
График этой функции представлен на рис. 2.23.
Сравнивая графики рис. 2.23 для AM, ЧМ и ФМ, видим, что
при одной и той же энергии элементарных сигналов (а не средней
энергии) из трех рассмотренных видов манипуляции наибольшей
потенциальной помехоустойчивостью обладает фазовая
манипуляция и наименьшей — амплитудная.
109

Нами рассмотрен один из простейших примеров теории раз
личения двух сигналов на фоне белого шума. Конечно, практиче
ские ситуации оказываются более сложными. Так, например,
принимаемые полезные сигналы, как правило, не являются
детерминированными, а содержат заранее неизвестные параметры (время
появления, начальную фазу, амплитуду и др.), аддитивный шум
может быть не чисто белым гауссовским [70], соседние сигналы
могут быть вероятностно связанными и т. д.
Смысл рассмотрения оптимального приема
детерминированных сигналов на фоне белого шума состоит в том, что результаты
решения таких задач можно использовать в качестве
своеобразных теоретических «эталонов», позволяющих получить
максимально достижимую (потенциальную) помехоустойчивость.
Результаты оптимальной обработки сигналов с различными
неизвестными параметрами целесообразно сравнивать с соответствующими
результатами, получающимися для аналогичных сигналов с
известными параметрами.
Задача различения двух сигналов со случайной начальной
фазой будет рассмотрена в следующем параграфе. Приведем здесь
некоторые результаты, относящиеся к оптимальному приему двух
детерминированных сигналов с вероятностной зависимостью и
наличию коррелированного гауссовского шума.
Если рассматривать последовательность случайно
чередующихся во времени двух сигналов Si(t) и s2(t), то часто соседние
сигналы оказываются вероятностно
зависимыми. Так, например,
обстоит дело в радиотелеграфии при пе-
гд-'\ | -1._-| [ }■■__.pi^^Sir _■ редаче смыслового текста.
Очевидно, что знание этой вероятностной
зависимости и ее учет при
оптимальном приеме повышают
помехоустойчивость.
Пусть сигналы S\(t) и s2(t)
имеют одинаковую длительность Т,
обладают одинаковой энергией Е и
составленная из них случайная
последовательность представляет собой
простую стационарную однородную
-in~°\—\—— ! ; | (—^^к---- симметричную цепь Маркова.
Априорные вероятности появления
сигналов S](t) и s2(t) в длинной
последовательности одинаковы: рр,(Н0) =
= ррг{Н\) = 1/2 и вероятности пере-
1п~п , ; . . I I , i I I ходов Si(t)-*~s2(t), s2(0-»-si(0
через интервал времени Т также
одинаковы и равны q.
На рис. 2.24 приведены
результаты расчетов вероятности полной
ошибки ре при оптимальном приеме
Ж
- j ; ;_bf>
*
.-Li- - _
-£-L_L_!
i ; : I
i i
1 i -pj=i
—i— ■- - -+--
! ; i i
_!___|_
_!_
(N=0,
| —
...
""T""
1
!
. j ~V —
Lii\\:
LnnM-
Г
,.4-V.J
1 , i i 1
0.5 0,35 0,25 0,15 0,05q
Рис. 2.24. Зависимость
вероятности ошибочного приема
двоичных зависимых ФМ
сигналов
НО

«элементарных» сигналов S\(t) и s2(t) с фазовой манипуляцией
(22) в зависимости от значения q для нескольких отношений
сигнал-шум E/N = A2mTI2N [18]. Из рисунка видно, что при
фиксированном отношении сигнал-шум с изменением вероятностной связи
между соседними элементарными сигналами от независимых (q —
= 0,5') до сильно связанных (<7->-0) вероятность ошибки
уменьшается тем быстрее, чем меньше вероятность перехода от одного
элементарного сигнала последовательности к другому.
Другие методы оптимального приема случайных
последовательностей, сформированных из двоичных элементарных
сигналов, будут кратко рассмотрены в § 2.6.
Приведем некоторые результаты, относящиеся к
оптимальному различению двух детерминированных сигналов на фоне белого
шума n(t) и гауссовской помехи r\(t). Предположим, что нужно
осуществить оптимальное различение двух детерминированных
сигналов Si(t) и S2(t), когда принимаемое колебание, в отличие
от (1), имеет вид
l(t) = Qs1(t) + (l-Q)s2(t) + r](t) + n(t),0^t^T, (2.4.24)
где r\ (t) — гауссовская стационарная помеха, не зависящая от
Si(t) и n(t). Ради простоты получения некоторых количественных
результатов в дальнейшем принято, что помеха r\(t) имеет
нулевое математическое ожидание и корреляционную функцию
экспоненциального вида:
M{r](i)} = 0,R1)(t1,t2) = M{y\(t1)r](t2)}=DriQxp(-a\t2-t1\). (2.4.25)
При решении данного примера воспользуемся ранее
изложенным формальным подходом преобразования гауссовского
стационарного процесса в белый шум при помощи обеляющего
линейного фильтра (см. с. 42). Суммарный процесс r\{t)+n(t)
является гауссовским стационарным со спектральной плотностью
<; (,<л -2aDn | N _ N У2 + и2
•Эгц-n W-a2 + co2+ 2 _~2~'a2 + co2 '
где y = aKl+2p; p = 2D1)/aN— отношение помехи к шуму.
Если пропустить помеху и шум r\(t)-}-n(t) через линейный
фильтр с комплексной частотной характеристикой
Ka»)-^-!---^-.i*(j<o)i2=4t^. (2А26)
то на выходе фильтра будет гауссовский белый шум со
спектральной плотностью N/2. Следовательно, линейный фильтр (26)
является обеляющим. Линейный фильтр с характеристикой (26)
можно легко реализовать в виде двух параллельно соединенных
усилителей: безынерционного усилителя с единичным
коэффициентом усиления и усилителя с интегрирующим звеном и
коэффициентом усиления •— (у—а).
Ш

Напряжение на выходе обеляющего фильтра можно записать
в виде
f (*)=0 £ (0 + (1 -6) £ (0 + п (0, (2.4.27)
тде 5i(/) и 52(/)—выходные напряжения сигналов; n(i)—гаус-
совский белый шум.
Отмстим, что напряжение па выходе линейного
обеляющего фильтра содержит всю информацию относительно
интересующего нас параметра 0, поскольку входное колебание c,(t) всегда
можно однозначно восстановить, пропустив c,(t) через линейный
-фильтр с известной комплексной частотной характеристикой
tf(j(o)=Z±J!!L=l._J^L.
а -)- jco а -(- jw
Задача оптимального различения двух детерминированных
сигналов на фоне белого шума была решена выше. За
обеляющим фильтром оптимальный приемник можно строить в двух
вариантах: в виде корреляторов, опорными напряжениями для
которых теперь являются сигналы Si(t) и s2(t) или же в виде
линейных фильтров, согласованных с сигналами si(t) и s2(t).
Преобразованные сигналы на выходе обеляющего фильтра
определяются выражениями
£(/)= j h(t—x)s,(T)dT, j' = 1,2,
(2.4.28)
где h(t) —импульсная характеристика обеляющего фильтра
н(*) = тг: J /C(j<o)eim<da>=— j f 1 3Lz£ |ei»<d<D =
-1!
(2.4.29)
2 я Л, ' " ' 2n_Jeo\ T + iffl
\S(t)-(y-a)exp(-yt), />0,
10, /<0.
В качестве примера на рис. 2.25 изображена схема
оптимального приемника корреляционного типа для различения
противоположных сигналов Si(t)=—S2(t) при наличии гауссовской
помехи. Копию преобразованного сигнала §i(t) можно, например,
:лолучить пропусканием исходного детерминированного
.Si (t) через обеляющий фильтр.
сигнала
§Ю
i—
*+>
1_
у-а
sf(t)
j it
Оёеляющий ри/гьтр I—
?(t)
t=T
Решение
Offe/гяющии рильтр
Рис. 2.25. Оптимальный приемник различения двух противоположных сигналов
на фоне гауссовской экспоненциально-коррелированной помехи и белого шума
112

Структуре обеляющего фильтра можно дать следующую
важную физическую интерпретацию. Согласно результатам § 4.2
на выходе нижней ветви обеляющего фильтра получается
оптимальная текущая оценка помехи r\(t) на фоне белого шума.
Следовательно, в оптимальном приемнике различения сигналов при
наличии аддитивной гауссовской коррелированной помехи
осуществляется оптимальная фильтрация помехи на фоне белого
шума, ее последующая компенсация (вычитание) из принимаемого
колебания |(0> а затем производится оптимальное различение
искаженных сигналов, полученных в результате этих
преобразований, па фоне белого шума. Можно показать [19, 20], что такая
интерпретация и следующая из нее структура оптимального
приемника различения сигналов имеют общий характер и
справедливы при любом виде сигналов и помех (в том числе и негауссов-
ских помех).
Для получения некоторых количественных результатов
рассмотрим частный пример противоположных сигналов
прямоугольной формы
[Л,0<г<7\
{0,t<0,t>T.
Подставив (29) и (30) в (28), получаем преобразованные
сигналы на выходе обеляющего фильтра
f°.
а
*i(0 = -s2(0 =
(2.4.30)
*i(0 = -*2(0 =4
1
Q-yt
t<o,
0<*<7,
I
-А 1
•—HI—e-vr)e-
v
V(t-T)
t>T.
(2.4.31)
Характер преобразованного сигнала для нескольких значений
отношения помеха-шум р показан на рис. 2.26. Видно, что наличие
помехи приводит к уменьшению сигнала и его искажению тем
большим, чем больше отношение помеха-шум. В начале и в конце
сигнала имеются ярко выраженные пики, причем сигнал отличен
от нуля вне интервала [0, Т].
Для определения вероятности ошибки ре различения двух
сигналов при наличии дополнительной помехи r\(t) можно
воспользоваться формулой (23). Поскольку на выходе обеляющего
фильтра имеется один из двух детерминированных противоположных
сигналов на фоне белого шума, то
pe = l—o(V2E/N), (2.4.32)
где Е — энергия преобразованного сигнала на интервале
наблюдения (—00, Г)
ИЗ

Подставив сюда выражение для сигнала (31), положив Т=>Т
и выполнив интегрирование, для эквивалентного отношения
сигнал-шум получим формулу
-уТ
0= ?jii = f!J:
N N
+ 1 —
1
2уТ
2£
N
У V
1
"1+2р
1 —е
е-2уТ-
у Т
l+2(l + Vl+2p) X
х 1-ехр(-аГУГТ2Й + (J + |/у+^)2 ' ~ ехР (~2аГ V1 + 2р)"
а Т УГ+~2р" 2 аТ У1 + 2р
(2.4.33)
Здесь 2E/N = 2A2T/N — отношение сигнал-шум (в отсутствие
помехи r\(t)).
1Е/Н
1,0
2 f/Г t0~
10'
\
i !
\T~~~
i i
^
i
2/7
70
0
20 ttO BO 80' p
Рис. 2.26. Сигнал на выходе обеляющего Рис. 2.27. Зависимость эквива-
фильтра при входном прямоугольном ви- лентного отношения сигнал-
деоимпульсе шум от отношения помеха-шум
На рис. 2.27 приведены.кривые, иллюстрирующие зависимость
эквивалентного отношения сигнал-шум Q от отношения помеха-
шум р для нескольких значений параметра аТ, который можно
трактовать как отношение ширины спектра помехи а к ширине
спектра сигнала 1/7\ При фиксированном отношении помеха-шум
р увеличение параметра аТ сопровождается существенным
уменьшением эквивалентного отношения сигнал-шум Q.
Зависимость вероятности полной ошибки ре от отношения
сигнал-шум при аГ=1 для нескольких значений отношения
помеха-шум р представлена на рис. 2.28. Кривая, соответствующая
р = 0, характеризует вероятность ошибочного приема в отсутствие
помехи. Естественно, что при увеличении р (допустим, за счет
114

увеличения дисперсии помехи Dn) вероятность ошибки
возрастает. Интересно отметить, что при фиксированной дисперсии
помехи ZV= const вероятность ошибки ре стремится к нулю при
уменьшении уровня белого шума. Действительно, если iV->-0 (p->-oo),
то из (33) следует, что limQ = oo. Поэтому limpe=l— ф(оо) =0.
N-+0 N-+0
Следовательно, различение противоположных детерминированных
сигналов, имеющих конечную энергию, на фоне только гауссовской
коррелированной помехи (в
отсутствие белого шума) оптимальный при- ^$
емник осуществляет безошибочно.
В литературе подобную ситуацию
принято называть сингулярным
(вырожденным) случаем различения ю'1
сигналов.
Такому результату можно дать
следующее наглядное физическое
объяснение. В отсутствие белого
шума принятое колебание b,(t)
представляет собой сумму непрерывного
случайного процесса \)(t) и
разрывного сигнала s;(/). Поскольку
реализации помехи t](t) непрерывны,
то наличие в реализации
наблюдаемого процесса l(t) при / = 0
положительного и при t = T отрицательного
скачков однозначно свидетельствует
о присутствии в £(/) «положитель
Ю'
10
гз
- \
-
\
аТ=1
р'ЮО
\#Г
р-о ;
i
о
15 2.E/N
- v / Рис. 2.28. Зависимость
вероятного» сигнала S\(t). При схемной ности полной ошибки от отно-
реализации эти скачки можно легко шения снгнал-шум для не-
обнаружить дифференцированием скольких отношений помеха-
принятого колебания £(/). ШУМ
До сих пор рассматривались различные аспекты задачи
различения только двух сигналов. Однако на практике часто
встречаются системы (например, телеметрические), в которых
используется несколько различных сигналов s{(t), i=\, 2, 3, ..., m. В
таких системах на каждом временном интервале фиксированной
длительности Т может передаваться один из m сигналов.
Схемы оптимальных приемников для определения по
принятому колебанию %(t), O^t^T, какой из сигналов s{{t) был
передан, являются многоканальными обобщениями
соответствующих схем различения двух сигналов. В качестве примера
получим здесь схему оптимального различения (по критерию
минимума вероятности полной ошибки) m детерминированных
сигналов, принимаемых на фоне белого шума.
Пусть входное колебание имеет вид
t(t) = s,(t) + n(f), 0<г<7\ i^\,m.
(2.4.34)
115

где Si(t) — один из т детерминированных сигналов. Примем, что
все сигналы имеют одинаковую энергию и равные априорные
вероятности появления:
£* = £, pPr(Si)=l/m, i=\, т. (2.4.35)
Полагаем, что в реализации £,(t), 0^.t^.T, присутствует тот
из сигналов, апостериорная вероятность для которого
максимальна, т. е. принят г'-й сигнал, если для всех \Ф1
Pps(sd>pPs(Sj). (2.4.36)
При этом обеспечивается наибольшая вероятность правильного
решения для каждой принятой реализации и, следовательно,
максимальная полная (средняя по реализациям) вероятность
правильного решения. Поэтому алгоритм различения т сигналов^
минимизирующий полную вероятность ошибки, должен
принимать решение о наличии в l(t), O^t^T, того из сигналов, для
которого апостериорная вероятность максимальна.
Выражения апостериорных вероятностей pps(Sj) записываются
аналогично (2) и (3). Подставив их в (36), получим, что
принимается решение о наличии i-го сигнала, если для всех \ф1
выполняется неравенство
ppr (st) exp { --EL + ± ( % [t) Si (t) dt} >
>p/)r(s,-)exp \-AL + ±h(t)s (t)dt\. (2.4.37)
Учитывая условия (35) и логарифмируя обе части
неравенства (37), приходим к следующему окончательному алгоритму
различения нескольких детерминированных сигналов:
принимается решение о наличии в реализации %(l), 0^.t^T, г'-го сигнала,
если для всех \ф1 справедливо соотношение
"« = 4 \\ (0 s, (0 dt > ~ [I (0 Sj (0 dt = и,. (2.4.38)
" О N О
Схема оптимального корреляционного приемника для
различения т детерминированных сигналов, принимаемых на фоне
белого шума, изображена на рис. 2.29. Приемник содержит т
идентичных каналов. В каждом канале определяется
корреляционный интеграл входной реализации l(t) с у'-м сигналом Sj(t),
у'=1, т. В устройстве сравнения определяется канал с
максимальным значением корреляционного интеграла и если это есть
/-й капал, то принимается решение о наличии в реализации £(/),
О^/^Г, сигнала 5г(/). Разумеется, что возможен и фильтровой
вариант реализации алгоритма (38), когда значение
корреляционного интеграла в /-м канале формируется как выходное
напряжение в момент времени t=T согласованного фильтра для
сигнала Sj(t). .
не

Из сравнения схемы оптимального приемника рис. 2.29, пред-,
назначенной для различения т детерминированных сигналов, со
схемами оптимального приема рис. 2.20 для различения двух
детерминированных сигналов следует, что оптимальный приемник
для различения т детерминированных сигналов является
многоканальным обобщением соответствующего приемника для
различения двух детерминированных сигналов. Этот результат имеет
общий характер, он остается в силе и при оптимальном приеме
сигналов со случайными параметрами. ..,
§(t)=
.... +n(t)
lv#
»-
—»»
X
X
■■ -»■
r(t)
>.
r
r
*-
»•
lsz(t)
'—*■
X
>
r
I >
1
1
t
Устройство с,
Решение
Рис. 2.29. Оптимальный корреляционный приемник различения т
детерминированных сигналов
Выражение для вероятности полной ошибки при различении
нескольких сигналов на фоне белого шума легко получается в
частном случае, когда сигналы равновероятны, ортогональны и
имеют одинаковую энергию. Для таких сигналов выполняются
условия (35) и дополнительное условие ортогональности
сигналов
о I 0 при i
(2.4.39)
]■
Обозначим через р(«ь и2, ..., um\si) совместную условную
плотность вероятности выходных напряжений (38) отдельных
каналов оптимального приемника в момент времени t = T при
условии, что во входной реализации £(/) присутствует сигнал Si(t).
В соответствии с описанным алгоритмом работы оптимального
приемника вероятность правильного решения равна
Рп
]dtii j"... ур («!,..., um\si) dux.. .dut^dut-ii.. .dum. (2.4.40)
При приеме детерминированных сигналов на фоне белого гаус-
совского шума случайные величины
117

Uj=—jl(f)Sj(t)dt, /=1, m,
являются совместно гауссовскими и имеют следующие
характеристики:
^-вд-^й-.й'-П-* при !"!•
"о 10 при ]ф1,
Dj =М {{Uj-mjf) =^-ИМ {п (у л W Sj (у s, (у dfi Л, = Qo,
Л о
«I/ = М{(«I—m.) (и,—т,)} = { ^° прИ [=['
Ю при ]ф1.
Следовательно,
/>("i «m|si)-(2nQ0r'"/2expf—^-2 «5)ехрГ—<"'—«->*'
2Qo /У,
(МО
2Qo
(2.4.41)
Подставив (41) в (40), получим
Р„=-^?е-«Ф*-(*+1/г)^
1/2я_о
1 7
= fexp
~т [х~ V^r )1фт"' W dx' (2-4-42)
где Ф(х)—интеграл вероятности. Поскольку все т сигналов
равноправны, то вероятность правильного приема каждого из
сигналов одинакова.
Полная вероятность ошибки при различении равновероятных
сигналов определяется выражением
ре = (1 — рп) ppr fa) + (1 —р22) pPr (s2) + ... + (1 — ртт) pPr (sm) =
Je-^Q-^+Zf )dx-
i=i
1 / m \ 1
= — [m-^Pu ) = l-ptt=l
= 1-
V2n_(
jexp
!-(*-
1/2я.
Фш~' (x)dx. (2.4.43)
Естественно, что эта формула при т — 2 переходит в
формулу (21). Чтобы убедиться в этом, нужно в интеграле
вероятности
Ф(Х):
~|/2я
- К
-t42
dt
(2.4.44)
перейти от t к новой переменной s = t—х, затем в (43) поменять
118

порядок интегрирования по s и х и воспользоваться известным
интегралом. После этого придем к формуле (21).
На рис. 2.30 приведены кривые помехоустойчивости
когерентного приема ортогональных сигналов для т = 2, 4, 16 и 256
[16, 21]. При одинаковых других
условиях увеличение числа
каналов т сопровождается
увеличением вероятности полной ошибки.
Физически это объясняется тем,
что при большем числе каналов
увеличивается вероятность того, что
значение шума на выходе какого-
либо из каналов при t = T
превысит значение выходного напряжения
в канале, принимающем полезный
сигнал совместно с шумом. К
такому же заключению формально
можно прийти на основании
качественного анализа формулы (43).
Подынтегральное выражение в (43)
неотрицательно, причем 0<Ф(лг)<1.
Поэтому с увеличением т значение
интеграла уменьшается, а
вероятность ПОЛНОЙ ОШИбКИ ре ВОЗрЭ-
стает.
Рассмотрим пример применения
формулы (43).
Пример 2.4.1. Когерентный прием ортогональных сигналов [16, 21]. Пусть
в системе связи может передаваться один из двух детерминированных,
равновероятных ортогональных элементарных сигналов S\{t) и s2(t), каждый из
которых имеет одну и ту же мощность Р, постоянную длительность Г и энергию
£=РГ. Обозначим условно элементарные сигналы Si(t) и вг(0 через 0 и 1.
Работа системы связи может осуществляться по-разному.
1. В течение каждого интервала времени Г передается и самостоятельно
принимается один из двух элементарных сигналов: 0 или 1 (поэлементный
прием). Помехоустойчивость оптимального поэлементного приема различных видов
радиосигналов рассмотрена выше; она определяется формулой (17).
2. В течение временного интервала 2Г с энергией 2Е — 2РТ передается один;
из от=4 ортогональных сигналов Su(t) = {Si(t), Sj(t)}, i, /=1,2:
Ю 2D WE/IT
Рис. 2.30. Кривые
помехоустойчивости когерентного приема т
детерминированных
ортогональных сигналов
_1_
2£
, J stl (t) sfti (t) dt =
о И,;
6 u , i = k, j = I.
Приемное устройство принимает решение относительно переданного сигнала-
s,j(/) через временные интервалы 2Г. Структурная схема такой цифровой
системы связи показана на рис. 2.31. Аналогичная задача для случая, когда
элементарные сигналы S\(t) и s2(t) в последовательности зависимы, будет решена;
в § 2.6.
119<

3. В более общем случае по системе связи может передаваться один из т
ортогональных сигналов (составляющих кодовое «слово» или цифру) в течение
времени Т \ogitn, причем энергия каждого сигнала будет равна РТ log2m.
Применительно к данному случаю формула (43) принимает вид
ДС-1 :т— I I \Ф (x)dx.
1
Pe='~Wni
J 1 Г /2PriogamV/2]2]| (.
^\-у[Х-{ N j \Г
(2.4.45)
Можно показать, что для вероятности ошибки справедлива следующая верх-'
няя граница:
ре^(т — I) [1-Ф (У W/N)]. (2.4.46)
При фиксированном т граничные значения приближаются к истинным с
увеличением отношения E/N. Для значений ре(т)^\0-а вероятность ошибки
хорошо аппроксимируется верхней границей (46). При т=2 в (46) имеег место
знак равенства, что следует из формулы (21).
Источник
соаощении
1,0.0,1
00 — s00
01 ~S0i
10 — S10
11 — s„
Sij(t),0<t<ZT f
4
km
D
Приемник,
декодер
10, Of
Решение "
через 2Т
Кодер
Рис. 2.31. Цифровая система связи
На рис. 2.32 приведены результаты численных расчетов по формуле (45).
Выше некоторого значения PT/N вероятность ошибки уменьшается с
увеличением пг; ниже этого значения наблюдается обратный характер поведения
кривых. Интересен предельный результат
Iim ре = \
(2.4.47)
PT/N <1п2.
Следовательно, имеет место пороговый эффект.
Значение Т определяется скоростью передани информации R=l/T. При
использовании ортогональных сигналов для
#<Р/(ЛМп2) (2.4.48)
вероятность ошибки равна нулю. Однако при пг->-°о требуется бесконечно
большая полоса пропускания канала.
Отметим, что результат (48), полученный для ортогональных сигналов,
согласуется с известной теоремой Шеннона. Правая часть неравенства (48)
определяет границу для скорости безошибочной передачи информации любой
системы связи. Эту границу принято называть пропускной способностью канала с
аддитивным белым гауссовским шумом и бесконечной полосой пропускания
Ссс = P/(N In 2) [бит/с].
Следовательно, ортогональные сигналы асимптотически (при
неограниченном возрастании пг) проявляют наилучшие возможные характеристики, так кмк
обеспечивают неискаженную передачу со скоростями, доходящими до
пропускной способности канала связи.
120

Вероятность ошибки (43), т. е. вероятность неправильного приема кодового
слова, можно трактовать как вероятность того, что неправильно принят хотя бы
один из £ = log2m элементарных сигналов, образующих это слово. Сравним этот
результат с поэлементным приемом k последовательных элементарных ФМ
радиосигналов в симметричной когерентной двоичной системе связи, когда вероят-
ff PT/N-
Рис. 2.32. Вероятность ошибки при
оптимальном приеме т
детерминированных ортогональных сигналов
1,0 Ю
РТ/МЩгт
Рис. 2.33. Вероятность ошибочного
приема ортогональных
(кодированных) сигналов (/) и двоичных ФМ
сигналов (2) при 6 = 5
ность ошибки при приеме любого из элементарных сигналов определяется
формулой (23):
рле = I - ф (У2Т/¥) = I - Ф (V2P!(NR)).
Вероятность правильного приема k последовательных элементарных сигналов
равна (1—р;е)* = Ф*( yr2P/(NR)). Следовательно, вероятность ошибочного
приема хотя бы одного из k элементарных сигналов при применении двоичной
когерентной ФМ системы связи равна
pe=l-(l-ple)fe=l_ фЬ(У2РЛЩ)- (2.4.49)
На рис. 2.33 показаны для сравнения вероятности ошибок, вычисленные по
формулам (43) и (49) для k = 5. Видно, что при фиксированных значениях N,
R и рс=10-5 необходимая мощность кодированных ортогональных сигналов
уменьшается приближенно в два раза. Иначе, при фиксированных значениях Р,
N и рв=10-6 применение кодирования дает возможность приблизительно
удвоить скорость передачи данных. С увеличением k отмеченные преимущества
возрастают.
Проиллюстрируем на частном примере методику получения формулы, в
некотором смысле обратной формуле (49), а именно, по вероятности ошибки (43)
121

сигнала, составляющего слово, найдем вероятность ошибки ре элементарного
сигнала, входящего в это слово.
Пример 2.4.2. Вероятность ошибки элементарного сигнала в искаженном
«лове. Пусть для передачи информации (кодовых слов, цифр) используются те
же элементарные сигналы S\(t) и S2(t), что и в предыдущем примере 2.4.1. Если,
например, т=8, то допустимы следующие кодовые слова или цифры:
sj (/)-»■ 000, Sg (0 -*■ 001. S3 (0-*-010, s4' (/)-»-011,
SgW-MOO, Sg(/)->101, s'T (t)->-U0, Sg (/)-»-111.
Формула (43) определяет вероятность ошибки при принятии решения,
какой из ортогональных сигналов s',(/) был передан. Ошибка в определении s't{t)
не обязательно означает, что все элементы (элементарные сигналы) s,(/),
составляющие s'i(t), приняты ошибочно. Зная вероятность ре, определенную
формулами (43) и (45), покажем, что для вероятности ре искажения
элементарного сигнала (цифры, ошибки по разрядам) справедлива формула
ре = рет/[2(т-1)]. (2.4.50)
Допустим, что был передан сигнал s'i(/)->000. Тогда при приеме возможны
только следующие ошибки в элементах (двоичных разрядах):
000} 0 ошибок, 011]
qqj. 101 > ошибки в двух разрядах,
010 > ошибка в одном разряде
100J 111} ошибка в трех разрядах.
Формула (43) показывает, что в случае ортогональных сигналов
вероятность ошибки ре не зависит от того, какой сигнал был передан. Поэтому
равновероятны все (т—1) несовместных искаженных последовательностей s'i(t)
я вероятность появления любой из них равна 1/(т—1). Следовательно, если
имеется ошибка в принятом сигнале s'i(t), то среднее число ошибок в его
элементах равно {1(3)+2(3)+3(1)}/7.
В общем случае, когда кодовые сигналы s'i(t) составлены из £ = log2m
элементарных символов s,(/) среднее число ошибок элементов равно
М {число ошибочных элементов!В} = 2j (_i i ( .
•Фигурирующая здесь сумма равна (m/2)log2m и через В обозначено событие,
■состоящее в том, что сигнал s't(t) принят неверно.
Обозначим через А событие, заключающееся в том, что в неверно принятом
«слове» s'i(/) искажен какой-либо элемент. На основании правила Байеса име-
€М
р{А)р(В\А) = р(В)р{А\В).
Так как р(В\А) = \ и р(В)=ре, то ре=р[А) =р(А\В)ре. Но
,. „, М {числе ошиёвк в элементах \В}
р (А\В) =■- =
число элементов в слове
(т/2) log2ml{m—\) m
loga m 2(т— 1)
Таким образом, получаем интересующую нас формулу
~ре = рет/2(т— 1).
122

2.5. РАЗЛИЧЕНИЕ РАДИОСИГНАЛОВ
СО СЛУЧАЙНЫМИ ФАЗОЙ И АМПЛИТУДОЙ
1. Радиосигналы со случайной начальной фазой. Пусть в
выражении (2.4.1) сигналы Si(t) и s2(t) имеют вид
' St (0 = /, (0 cos (©, t + afc (0-Фг), / = 1, 2, (2.5.1)
где <x>i — несущие частоты; fi(t) и tyi(t)—функции,
отображающие законы амплитудной и фазовой (частотной) модуляции; q>i —
начальные фазы, представляющие собой независимые случайные
величины, распределенные равномерно на интервале [—я, я].
Предполагается, что ширина спектров сигналов Si{t) и s2(0
много меньше их несущих частот и, кроме этого, |о)2—coi|<Co)t-
По критерию идеального наблюдателя нужно решить задачу
различения двух таких радиосигналов со случайными
начальными фазами.
Апостериорные вероятности наличия сигналов Si(t) и s2(t) со
случайными начальными фазами, как следует из (2.1.16),
получаются путем осреднения правых частей выражений (2.4.2) и
(2.4.3) по начальным фазам как сопутствующим (несущественным)
параметрам, т. е. можно написать
Pps (#l) =
-kprAHJe-e*/"— fexp \±-h (f)h (0 cos К t + %(t)-^)dt] d<plt
м _я L" о J
(2.5.2)
Pps (Ho) =
Если ввести обозначения
Xte=]ui)ft(t)cosl^it+b(f)]dt\
dф2•
(2.5.3)
(25.4)
*i.= JE(0/i(Osin[a>,f + iMf)]d/
Xt = VX*e + X*s, (2.5.5)
то из (2) и (З) для апостериорных вероятностей получим
следующие выражения:
Pps W = kpPr (Ях) е-*.'" /„ (2 XJN), (2.5.6)
Pps (H0)=kppr (H0) е-Ы» /„ (2XJN), (2.5.7)
где /о (х) — функция Бесселя нулевого порядка от мнимого
аргумента.
123

Согласно критерию идеального наблюдателя решение о
наличии сигнала st (t) или сигнала S2(t) принимается в
зависимости от выполнения неравенств
PpsWi) _ Ppr(#i)
Pps (#о) Ррг (Я0)
/о (2Х2/ЛГ) н°
ИЛИ
In /0 (2X^-111 /„ (2Х./Л0 Й -^=^
я. N
■In Ррг(Яо) =ft. (2.5.8)
Положительная величина Xj. определенная равенством (5),
равна корню квадратному из суммы квадратов двух нормально
распределенных случайных переменных Xie и Xis. Физически
величина Xt представляет собой значение огибающей суммы
сигнала Si(t) и шума n(t) в момент времени t = T на выходе
согласованного фильтра, имеющего импульсную характеристику
W 1 0 при t<0, t>T.
Величину lnI0(2Xi/N) можно получить в явном виде на выходе
детектора огибающей с законом \х\1о(х).
Структурная схема оптимального приемника для различения
двух радиосигналов с неизвестной начальной фазой представлена
на рис. 2.34. Принятое колебание c,(t) =Si(t)+n(t) воздействует
©>©
Рис. 2.34. Оптимальная схема различения двух радиосигналов со
начальными фазами
случайными
на два согласованных фильтра с импульсными
характеристиками (9). На выходе каждого из фильтров стоят детекторы
огибающей, напряжения детекторов вычитаются, и эта разность в
момент времени t = T воздействует на пороговое устройство с
порогом h. Если напряжение превышает порог /г, то принимается
решение о наличии сигнала sj (t); если же порог не превышен, то
констатируется наличие сигнала 52(О-
Аналогично случаю обнаружения радиосигнала со случайной
начальной фазой (см. § 2.2), можно обосновать корреляционный
и корреляционно-фильтровой варианты оптимальных приемников
различения двух сигналов; структурные схемы их приведены
соответственно на рис. 2.35 и 2.36.
124

Ограничимся в дальнейшем рассмотрением симметричных
каналов, для которых выполняются условия (2.4.7). Для таких
каналов пороговый уровень /г = 0, и решение о наличии
сигналов s\(t) и s2(t) принимается в зависимости от выполнения
неравенств
lnI0(2X1/N)s.lnI0(2X1/N).
(2.5.10)
н^*®
Пороговое

устройство
/
/
Решение
f2_(t)€\M{o>zt+f>)
Рис. 2.35. Оптимальная схема корреляционного приемника для различения двух
сигналов со случайными начальными фазами
Функция Бесселя h(x) является монотонной функцией
аргумента. Поэтому закон детектирования не имеет существенного
значения при различении двух сигналов. Важно лишь, чтобы выход-
*н
8, ft>
S2ft/
+fl(t)
Х> Идеальный
\\нонтур (ы')
Т
X,
*',№)
Решение
f} (t) GOS \(6if-6>') t+ 5& ]
T
X> Идеальный
~\ нонтур (u)'j
".<&)
•*S v/ Пороговое
C+V4s* устрой-
>/ птЯп
ство
Omcvem
nput-T
fz(t) cos [Cfi>2 - a'j t+.^J
Phc. 2.36. Оптимальный корреляционно-фильтровой приемник для различения
двух сигналов со случайными начальными фазами
ное напряжение детектора было монотонной функцией
огибающей Хь Если, например, в оптимальных приемниках (рис. 2.34,
2.35) применить линейные детекторы огибающей, то различение
125

двух сигналов будет производиться на основании сравнения
значений самих огибающих по правилу
Хгйх2. (2.5.11)
Для симметричных каналов формула (2.4.14) принимает вид
P, = ~p(Si\*^ + -Yp{St\s^=p(s1\s^, (2.5.I2)
так как условные вероятности равны друг другу.
Условная вероятность p(s\\s2) есть вероятность исхода,
заключающегося в том, что Xi~>X2 в то время как реализация
принятого колебания £(/) содержит сигнал S2(t), т. е.
^(s1|s2) = P{X1>X2|S2}. (2.5.13)
На плоскости Х\, х% таким исходам соответствует
заштрихованная область (рис. 2.37), расположенная ниже диагонали.
Поэтому
оо xt
^e = P{X1>X2|s2}= \dx1 \р{хъ xz\sz)dxz, (2.5.14)
о о
где р(х\, X2\s2)—совместная плотность вероятности огибающих
на выходе согласованных фильтров при условии, что на входе их
присутствует сигнал S2(t).
Рис. 2.37. Область
интегрирования
Рис. 2.38. Зависимость
вероятности ПОЛНОЙ Ошибки ре ОТ КО-
эффициента взаимной
корреляции ps между радиосигналами
со случайными начальными
фазами
126

Совместную условную плотность вероятности р(#ь x2\s2)
можно получить следующим путем. Положив в выражениях (4) !(/) =
= S2(t)-\-n(t), записываем плотность вероятности совместно гаус-
совских случайных величин Xlc, Xts, Л20 X2s- Затем по известному
правилу нужно от этих случайных величин перейти к новым Х\
и Хг в соответствии с выражениями (5).
Весьма громоздкие вычисления приводят к следующему
окончательному результату:
—-е *»L
1 2£
X
где Q(v, и)
9. = -jV Ъ + Ъ
2 " \ 4 N у
табулированная функция (2.2.21),
0:
(2.5.15)
;p*<i,
ьс = -г JMOMflcosfto—(Djf + iMQ—^(tftdt, } (2.5.16)
о
г
6. = -5-f/i (0 /2 (0 sin [K-co^Z-f^ (0-% (0) Л.
На рис. 2.38 приведены вычисленные по формуле (15)
кривые, характеризующие зависимость вероятности ошибки от
коэффициента взаимной корреляции сигналов ps при нескольких
значениях отношения сигнал-шум. Из кривых видно, что при
заданном отношении сигнал-шум вероятность ошибки минимальна
для ортогональных сигналов (ps = 0), причем согласно известному
свойству Q-функции Q(0, u)=exp(—uz/2) она равна
Л=(1/2)ехр(-£2/Л0, р, = 0. (2.5.15')
Наоборот, для двух сигналов, совпадающих по форме с
точностью до начальной фазы (ps=l), вероятность ошибки всегда
максимальна и равна ре=0,5.
По формулам (2.4.17) и (15) были выполнены расчеты
кривых помехоустойчивости для различных радиосигналов,
применяемых в радиотелеграфии. Ниже кратко указаны основные
результаты вычислений [22].
Амплитудная манипуляция (AM). Если в сигнале (2.4.18)
начальная фаза ф случайна и равномерно распределена, то
вероятность ошибки равна
p.—5-[i+«p(—^л2)-(з(/¥'Л)]' <2-5Л7>
где оптимальный порог h находится из уравнения
hVir):=e^{-Y'^-)-
(2.5.18)
127

Частотная манипуляция (ЧМ). Считая в сигналах (2.4.20)
фазы <pi и фг случайными, получим
1
Ра =
япуК-й^Г
1
(со2 — mt)T
~0[при у(со2 —со1)Г>1.
_2Е_
N
В данном случае формула (15) упрощается:
Учитывая, что Q(0, ы)=ехр(—uz/2), окончательно получим
1 / Е
ре = техр -F
Тональная манипуляция AM—AM. В данном случае имеем
s1(t)— Ат(\ -j-/^ cos Q £) cos (со /—фх) |
>t—Ф2) Г
(2.5.19)
ем
(2.5.20)
,, 0<г<Г
s2 (t) = Лт (1 -f /n2 cos ^ t) cos (со ^—ф2)
Можно показать, что для таких сигналов формула (2.4.17)
принимает вид
Л=1
-(Т^т
2ЕХ (яг,—т2)2
' JV 2 + т^
£1 = ±^т(1+|тГ
(2.5.21)
При фиксированном значении 2EJN эта вероятность будет
минимальной, когда т,\ = 1 и т.2 = 0. При этом
„,= l-o(l/.
1
"12"
2ЕХ
N
(2.5.22)
<*<7\ (2.5.23)
Тональная манипуляция ЧМ—AM. При тональной
манипуляции ЧМ—AM используются сигналы
Sj (t) = Ат (1 -f т cos Qx t) cos (со t—фх)
s2 (^) = Am (1 + m cos Q2 f) cos (со ^—ф2)
энергии которых равны Ег = Е2 — — А„ Т I 1 + — гп2, ] = Е.
В случае детерминированных сигналов полагаем фх = 0 н
пользуемся формулой (2.4.11):
}■"
г,--^{«i С) МО Л-
л2 Т
=-" —-1 (1 + m cos Qx 0 (1 + tn cos Q2 /) cos2 со / df.
£ о
На практике обычно выполняются соотношения T=ki2n/Q{y
co»Qj и ifej —большие целые положительные числа (&i»l).
128

С учетом этих условий после несложных преобразований
получим
/■„=■--2,-(2+ т2).
Подстановка этого значения rs в формулу (2.4.17) дает
ft-'-nl'-r-T-flW <2524>
При т=\ сигналы ЧМ—AM различаются с минимальной
вероятностью ошибки
/>е:--1-ф(/4--7г)' (2-5.25)
Для сигналов (23) со случайными начальными фазами <рг
вычисления по формулам (16) приводят к прежнему результату:
(V--- г, ---2/(2-}- т-).
Вероятность ошибки при т = \ согласно (15) равна
Pe-QP, H)-i-exp(--L.-f-)/0(-l-.^.), (2.5.26)
где
/ J_ li. 3 —V5 ••/ ' 2Е 3 + Т/5
4 ,V 3 V 4 .V 3
Тональная манипуляция ФМ—AM. В данном случае
используются сигналы
*!«)- -4m(l-r/rtcosQ/)cos(«>/—ф,) | о</<Г (2 5 27)
*£ <0 "-"- ^т (1—т COSQ/) COS(u) ^ — ф2) J ^ ^
Энергии сигналов равны Е1--Ег -■—Л™ Г 1 -| т'г\=Е.
Коэффициенты взаимной корреляции г„ и р.,, вычисленные по
формулам (2.4.11) и (16), одинаковы:
/•в-р, -(2 —т2)/(2 + /я2).
Обычно берут ш=1. При этом rs = ps—1/3.
Подставив r.s=l/3 в формулу (2.4.17), получим выражение для
Ре при приеме детерминированных сигналов ФМ—AM:
Вероятность ошибки р,. при приеме сигналов ФМ—AM (m=l)
со случайными начальными фазами определяется формулой
p. = Q(v, „)_-Lexp(--L.^-)/.(-^.-^). (2.5.29)
где
t, _ -./ 1 2£ 3-2Т/2- ы_|/ 1 2£ 3+Wf_
\ А' N ' 3 ' V 4 ' N ' 3
которая получается из (15) путем подстановки р., = 1/3.
5—82 129

Тональная манипуляция AM—ЧМ. При тональной
манипуляции AM—ЧМ используются следующие сигналы:
sx (t) = Ат cos (со / 4- Pi cos Q t—фх)
s2 (/) — Am cos (со t + p2 cos Q t-
<—4>i) \
0«<7\ (2.5.30)
1
Энергии сигналов одинаковы: £1 = /;8 = — A2mt = Е~.П.ри
вычислении коэффициентов взаимной корреляции нужно
воспользоваться известным разложением
оо
cos (л; cos ф) ==/„(*) +2 2 (— l)nJin (x)cos2n<p
и учесть обычно выполняющиеся соотношения: T = 2nk/Q, ©>>Q,
k — большое целое положительное число (&3>1). Получим
следующие результаты:
r. = -MP*-Pi). P.= Uo(P.-Pi)l,
где /о(г)—функция Бесселя нулевого порядка. При достаточно
большой разности индексов модуляции (|р2—Pi 1^1) можно
приближенно принять rs = ps = 0. При этом вероятности ошибок ре
для разных случаев приема сигналов AM—ЧМ будут
определяться соответствующими формулами, полученными ранее для
сигналов ЧМ.
Тональная телеграфия ЧМ—ЧМ. При тональной
манипуляции вида ЧМ—ЧМ используются сигналы
sy (t) = Am cos (со t + p cos Q21 — фх) |
s2(t) ^Am cos (a t + f> cos Q2 t—ф2)| '
энергии которых равны:
0<f<7\
(2.5.31)
Воспользовавшись разложениями
оо
cos (л: cos ф) = J 0 (д;) 4-2 2 (— 1)" Jin (x) cos 2"Ф
п=1
оо
srn(xcasip) = 2yi( — l)nJin+1(x) cos(2n4- 1)Ф
п=0
можно получить следующие выражения для коэффициентов rs
и ps:
Для достаточно больших значений р (практически Р>3) можно
положить rs = ps = 0. При этом вероятности ошибок ре будут
определяться соответствующими формулами, полученными выше для
сигналов ЧМ.
130

Тональная телеграфия ФМ—ЧМ. При тональной телеграфик
ФМ—ЧМ применяются радиосигналы :
st (t) — Ат cos (со t -j- р cos Q t—q>j)
., 0.<*<7\ #.&?32)
s2 (t) = Am cos (to t—pcosQf—<p2)J
Энергии сигналов равны:
£ ! == £ 2 == ~Т~ "/л J = £ •
Коэффициенты гя и ps вычисляются по формулам (2.4.1'1) и (\6J
аналогично тому, как это делалось в двух предыдущих случаях:
rs = J0(2p), Ps=|/0(2p)|. ,
Для достаточно больших р, когда rs = ps = 0, вероятности ошибок
при приеме сигналов ФМ—ЧМ определяются формулами для:
соответствующих сигналов ЧМ.
По формулам (2.4.19), (2.4.21), (2.4.23), (17), (19), (22), (25),
(26), (28) и (29) были выполнены расчеты кривых
помехоустойчивости для указанных выше сигналов, применяемых в
радиотелеграфии. Результаты этих расчетов представлены на рис. 2.39,
причем сплошные кривые относятся к детерминированным
сигналам, а штриховые — к соответствующим сигналам со случайной
начальной фазой.
Эти кривые позволяют количественно сравнить различные
системы радиотелеграфии по помехоустойчивости, указать значения
отношения сигнал-шум, при которых получается заданная
вероятность ошибки, а также оценить проигрыш в помехоустойчивости,
который получается из-за незнания начальной фазы.
Из графиков рис. 2.39 видно, что наименее помехоустойчивой
является система с тональной манипуляцией вида AM—AM. При
приеме детерминированных сигналов наибольшей
помехоустойчивостью обладает фазовая манипуляция. Несмотря на это, на
практике часто применяются также системы с частотной
манипуляцией ввиду более простой технической реализации их.
2. Радиосигналы с «частично известной» фазой. Пусть
принятое колебание определяется выражением (2.4.1), в котором
радиосигналы s\(t) и s2(t) имеют вид (2.5.1), причем ф1=<р2 = ф и
плотность вероятности случайной фазы ср задана формулой
(2.2.34). Поступая аналогично тому, как было получено
выражение (2.2.39), придем к следующему алгоритму различения двух
сигналов:
(X2ic + X2u)-(Xlc+Xi) + 2A:(Xu-~X2c)>h, (2.5.33)
«о
где величины Xic, Xis определены выражением (2.5.4). При
использовании критерия идеального наблюдателя для
симметричного канала связи порог Л = 0.
Структурная схема квазикогерентного приемника различения
двух рассматриваемых сигналов, реализующая алгоритм (33),
изображена на рис. 2.40. Как и в случае обнаружения сигнала,
5* 131

Рис. 2.39. Вероятность полной ошибки для различных систем радиотелеграфии
при приеме на фоне белого шума детерминированных сигналов (сплошные) и
сигналов со случайной начальной фазой (штриховые)
квазикогерентный приемник представляет собой линейную
комбинацию двух приемников: когерентного приемника различения
двух детерминированных сигналов (рис. 2.20) и некогерентного
приемника различения двух сигналов со случайной и равномерно
распределенной начальной фазой (рис. 2.35 и 2.36).
132

Выражение для вероятности полной ошибки ре
квазикогерентного приема весьма громоздко и здесь не приводится [23].
Вероятность ошибки зависит от отношения сигнал-шум 2E/N,
параметра когерентности Л, а также от формы сигналов Si(t) и s2(0
через коэффициенты Ьс и bs, определенные выражением (16).
Результаты расчетов показывают, что наименьшая вероятность
2Л
рХ —
?ш
r
1/N
>■
• *■
>
-Цл%]—
ft(t№n(6>,t+fttt)) 1/N Sp^~
-»x—-
—>
—*•
>■
1/N
—"АЙ
—* А'й
*^ft)cosCw2^+ju2fty
Ux~*
—»■
l/N
>
Y- н0
+
-г* не.—*
1—' 1А
■ а»
>
Pi'C 2.40. Оптимальны» кназикогсрснтный приемник различения двух сигналов
ошибки достигается при использовании сигналов, для которых
/>..■ = 0. Укажем, что при s,(t)=s2(i) (одинаковые сигналы по
обеим гипотезам) b, = E, bs = 0; при S\{t)=— s2(t) (противоположные
сигналы —например, ФМ) Ьс = —Е, Ь., = 0; для ортогональных
сигналов (например, ЧМ) bc = bs = 0.
На рис. 2.41 приведена зависимость вероятности ошибки ре
от параметра когерентности Л для нескольких значений ps = bc/E
при /?., = 0 и фиксированном отношении сигнал-шум 2E/N = 9,6
(такому отношению сигнал-шум соответствует ре= 10~3 приЛ->оо).
Видно, что при малых значениях Л (некогерентный прием)
наименьшую вероятность ошибки имеют ортогональные сигналы.
При Л>2 отрицательно коррелированные сигналы с ростом Л
становятся все более эффективными, чем ортогональные сигналы.
Наилучшими при больших Л являются противоположные
сигналы. Естественно, что значение вероятности ошибки при Л->оо
равно полученной ранее вероятности ошибки (2.4.17) для
детерминированных сигналов. В этом можно убедиться, например, для
случая противоположных сигналов, сравнив асимптотическое
значение ре=10~3 при ps = — 1 со значением ре для фазоманипулиро-
ванных сигналов (рис. 2.23) при 2E/N = 9,6.
133

Рис. 2.41. Помехоустойчивость квазикогерентного приема ортогональных
сигналов
3. Радиосигналы с замираниями. Если принимаемые
радиосигналы имеют вид (1.1.9), то для всех ранее рассмотренных
примеров можно определить оптимальные схемы приемников и
вычислить кривые помехоустойчивости с учетом не только
случайного характера начальных фаз, но и амплитудных замираний
[16, 24]. При рассмотрении замираний следует различать два
предельных случая: быстрые и медленные замирания.
Под быстрыми замираниями понимаются такие, когда
«амплитуда» радиосигнала в течение длительности элементарной
посылки испытывает заметные флуктуации. Медленные замирания
характеризуются тем, что амплитуды двух соседних посылок
практически постоянны, но эти амплитуды изменяются случайным
образом от одной пары посылок к другой.
Учет быстрых замираний требует специального рассмотрения.
Это объясняется тем, что при случайной начальной фазе и
быстро^ меняющейся амплитуде сами радиосигналы представляют
собой отрезки узкополосного шума. В данном случае необходимо
решать специфическую задачу различения двух реализаций узко-
134

полосного шума конечной длительности на фоне белого
шума [25].
Для иллюстрации влияния медленных флуктуации амплитуды
радиосигнала на помехоустойчивость рассмотрим пример, когда
замирания описываются законом Раиса. Пусть принимаемое
колебание по-прежнему имеет вид (2.4.1), причем узкополосные
сигналы Si(t) и s2(t), в отличие от (1), имеют теперь вид
(1.1.8), т. е.
st (t) = a ft (t) cos [щ t + rpt (t) + 6] +
+ p (0/,(*) cos [<M + iM0-e(0L i'=l,2. (2.5.34
Здесь а и б — постоянные и известные величины, а р(/) и е(0 —
стационарные медленно изменяющиеся случайные процессы. Если
принять р(^) и е(/) независимыми, причем p(i) имеет плотность
вероятности Рэлея, а е(0—равномерную плотность вероятности
в интервале [—я, я], то процессы p(/)cose(/) и $(t) s'me(t)
будут гауссовскими, независимыми с нулевыми математическими
ожиданиями и одинаковой дисперсией, которую, как и в формуле
(1.1.10), обозначим через D. Полагая для простоты постоянную
величину фазового сдвига 6 = 0, рассматриваемые сигналы
можно записать в виде
Si (t) = Л (0 ft (t) cos [<ог t + ifo (0] + £ (0 U (0 sin [щ t + Ь (01. « = 1,2,
(2.5.35
где
ti(9 = a + p(/)cose(g, £(O = P(*)sine(0. (2.5.36)
Отметим, что величины r\(t) и t,(t) независимы и имеют
нормальные плотности вероятности, причем их математические
ожидания и дисперсии соответственно равны
;M{nH«,M {&(*)} = 0, D{ti} = D{C}=D. (2.5.37)
Ограничимся в дальнейшем случаем, когда энергии двух
сигналов одинаковы. Тогда согласно (2.4.2) и (2.4.3) выражения для
апостериорных вероятностей при фиксированных значениях р и г
(или т) и £) можно записать в виде
pPs(Hi\y), t,) = kppr(Hi)exp
При осреднении правой части этого выражения по случайным
«параметрам» r\(t) и t,(t) следует иметь в виду, что из-за
медленности их изменения на каждом временном интервале
длительностью Т они являются постоянными величинами. С
использованием обозначений (4) имеем
ppt (Ht) = k ppr (Ht) M {exp -jLfg (t) st (t) dt\ J =
= kpPr(Hi)m{exp^~Xlcr\ + -^-Xtst)}.
135

Учитывая независимость гауссовских случайных величин ц и £ и
используя известную формулу для характеристической функции
с параметрами (37), получим
Pps (ид ="- kpPr (Ht) exp j — — ■
20
jV2
cuV
20
+ *?.
(2.5.38)
Если оба сигнала имеют одинаковую энергию и
равновероятны, т. е. ppr(Hi) =ррГ(Н0), то из соотношения
получаем следующий алгоритм различения сигналов:
аЛМ2
Хи
2D
~Г X\ss;:
X2c + ^Y-rXi. (2.5.39)
aN/ZB
На рис. 2.42 приведена структурная схема оптимального
приемника, реализующего алгоритм (39). Выражение для
вероятности полной ошибки
является весьма сложным и
здесь не приводится [16,
L+ 22, 24].
4. Различение
нескольких ортогональных
сигналов со случайными на-
s, чальными фазами [26].
(+)—*-<<7 Пусть принятое колебй-
§(t)
1
'iaU/ZB
Х-.Г
Tf?(f; CVS ((,J?t+pzW)
Х-ЛГ
ft(t) sin (vzt±p2(t))
Рис. 2.42. Оптимальный
приемник различения двух
радиосигналов, федмнгуюших но закону
Раиса
ние c,(t) представляет собой сумму одного из т возможных
сигналов
*i (!) -"- h (0 cos (to t—фх),..., sm (t) -- fm (t) cos (со t - <pm)
и белого шума n(t):
l(t)- si(t) + n(t), 0</<7\ i=f7m. (2.5.40)
Случайные начальные фазы cp,-, г'=1, т, считаются независимыми
и равномерно распределенными в интервале [—л, л].
Предположим, что для огибающих сигналов выполняется следующее
условие ортогональности:
о ! 0, i ф],
(2.5.41)
136

где Е — одинаковая энергия каждого из сигналов. По принятой
реализации %,(t) на интервале [О, Т] необходимо решить
оптимальным образом, какой из сигналов st(t), ..., sm(t)
присутствует на входе.
По аналогии с формулами (6) и (7) для апостериорной
вероятности наличия сигнала Sj(i) можем написать
т т
Pps (sj) ■-= k pPr (sj) exp I ——
\l*(t)di+\f)(t)dt
Io(Xj),
где
Xj — XjC -f X
4s-
— ^ (t) f j (t) cos a tdt
+
о
Решение о наличии сигнала st(i) принимается на основании
сравнения между собой апостериорных вероятностей, т. е. если
Pps (si) > Pps (Sj), j =- 1, • ■ ■, i— 1, i + 1,..., m, (2.5.42)
то был принят сигнал Si(t). В дополнение к равенству энергий
сигналов примем, что все сигналы равновероятны. Тогда
повторив рассуждения, приведшие к алгоритму (11), получим, что
принимается решение о наличии сигнала Si(t), если
Xt>Xj, /--1,..., /-1, i+l,..., m. (2.5.43)
Величина Xt представляет собой огибающую на выходе
линейного фильтра, согласованного с сигналом Si(t). Поэтому
оптимальный приемник различения m ортогональных сигналов
(рис. 2.43) состоит из m линейных согласованных фильтров с
последующими детекторами огибающих, выходные напряжения
которых сравниваются между собой.
№-
's,(t)
sz(t)
Sm(tJ
"nW
Согласованный
фильтр
для з, (t)
Согласованный
фильтр
для siCtl
Линейный
детентор
огибающей
Линейный
детентор
вгибающей
Согласованный
фильтр
для sm(t)
Линейный
детентор
огибающей
Решение
Рис. 2.43. Оптимальный приемник различения т радиосигналов со случайными
начальными фазами
137

Вероятность правильного решения о наличии в колебании
£(/) сигнала Si(t) равна
рн= JdX.J./.{/,(*!,..., Xm\si)dX1..-dXt_1dXi+l...dXm, (2.5.44)
где р{Х\, ..., Хт\Si) —совместная условная плотность
вероятности случайных величин
xJ={x%+tftY,'=\\±.h(i)fj(t)ct*fi>tdt
+
+
N
fi(t)fj(t)smatdt \
о i
21 1/2
(2.5.45)
при условии, что в принятом колебании £(/) присутствует
сигнал st(t).
Интересующую нас плотность вероятности р{Х\, ..., Xm\si)
можно получить, записав предварительно совместную условную
плотность вероятности p(Xic, Xu, ..., Хтс, Xms\si) случайных
величин XjC, XjS при условии, что принят сигнал Si(t). Эти
случайные величины имеют совместную нормальную плотность
вероятности со следующими характеристиками:
2/
б
ти = М {XJc} = -±-JM {ft it) cos (a>t + щ) + n (t)} f, (t) cos a> /dt ~]
f o,
^(Q0cosq>b / = t,
S2
m,s = M {Xjs} = '■— JM {/* (0 cos (ю / + Ф() + л (0} /у (*) sin и / df ~
М {(*„.—mye) (Xic—mic)} =
= "JiH М <" М п <^> ^ Л) ^C0SCD ^ cosffl '»Л*'Л» ~ { о°
М {(X;s—m,e) (Xis—miB)} =
= 4,ИМ {» &)n W> ^ Ci) /' &> sin ffl 'i sin <° '* <* W*= (Q°' 'Г •'
W* о I 0, гф}\
M {(X*- m,e) (X„- m„)} = -£-/jM {n (/,) л (Q}.
Qo. * = /,
Здесь
^ (^i) ft (4) cos «o fj sin «o fa d^ dti = 0.
Q0 = 2£/JV.
(2.5.46)
138

Следовательно,
Xls,,.., Хтс, ^msl *,) = р(Х,с, Xtt\8i)f]p(XJe. Xjs\Si), (2.5.47)
где
P.(Xic, Xis|Si) =
2nQ(
-exp
P (*/e. */. l*l) = "Т7Г eXP
■^Vo
Перейдя в (47) к полярным координатам по формулам Х,с =
=Х,-cosq>j, Xjg = XjSin<pj, /=1, m, получим
p(Xl,...,Xm\st)--=
--Ий-
Q»
X\
/0(Х()Птг*;еч>
2Q„
(2.5.48)
Подстановка этого выражения в (44) дает
оо
рн= j"*e\p
г l I /=i о
= e-«?«/2 J* (1 — е-*-/2ув_| e-*v2 /0 (^Q0 *) d*. (2.5.4 9
6
Вероятность правильного приема сигнала s;(0 не зависит от его
номера i. Поэтому полная вероятность ошибочного приема равна
р.= 1 § Рч = 1 —егЫЧх(1—е-*ч*)-»-* е-*'/* /„ (|/Q~0x) dx.
т i=i о
(2.5.50)
Нетрудно убедиться, что эта формула при т = 2 переходит в
формулу (15') для вероятности ошибки некогерентного приема
двух ортогональных сигналов. Для этого нужно интеграл в
правой части (50) выразить через Q-функцшо (2.2.21) и затем
воспользоваться ее свойствами: Q(v, 0) = 1, Q(0, «)=exp(—и2/2).
Зависимость вероятности ошибки от отношения PT/N log2 m,
где Р = Е/Т — мощность любого из ортогональных сигналов Si(t),
i=l,m, рассчитанная по формуле (50), представлена на рис. 2.44.
Сравнение результатов, 'полученных по формуле (50) для
некогерентного приема, с соответствующими результатами (2.4.43) для
когерентного приема показывает, что при log2/n>7 разница
между ними пренебрежимо мала. В частности, предельная вероятность
ошибки при m-i-oo совпадает с предельной вероятностью для ко-
139

7,0 Ю
РТ/МЩгт
герентного приема оптимальных
сигналов. Вероятность ошибки элемента
искаженного сигнала по-прежнему
определяется формулой (2.4.50). Если
воспользоваться неравенством
1—Ф(х)<(1/2)ехр(-х2/2), х>0,
то верхнюю границу (2.4.46) для
вероятности ошибки можно записать
иначе:
ре^(т— 1)ехр( — E/2N)/2. (2.5.51)
Рмс. 2.44. Вероятность ошибки при искогереит-
ном приеме ортогональных сигналов
2.6. ОПТИМАЛЬНЫЙ ПРИЕМ ЗАВИСИМЫХ СИГНАЛОВ
Пусть в дискретной системе связи используются два полностью
известных элементарных сигнала S\(t) и s2(t) каждый
длительностью Т. Из этих двух элементарных сигналов по определенному
правилу (коду) могут быть составлены различные кодовые
комбинации (например, при помощи кода Бодо). Назовем для
краткости эти комбинации «словами». Прием таких «слов» можно
осуществить разными методами. Например, можно принимать
решение раздельно о приеме каждого из последовательно следующих
элементарных сигналов S\(t) и s2(t), образующих «слово» (так
называемый поэлементный прием), и затем на основании этих
данных (в соответствии с заранее известным правилом кодирования)
определять принятое «слово». Однако можно поступить иначе:
приняв всю кодовую комбинацию, составляющую «слово», но ней
сразу принимать решение о переданном «слове» (прием «слова» в
целом).
На основании физических соображений можно прийти к
заключению, что если прием производится на фоне белого шума и
всевозможные комбинации элементарных сигналов Si(t) л s2(t) в
слове равновероятны, что предполагает равновероятность и
взаимонезависимость элементарных сигналов st(t) в слове, то оба
указанных метода приема с точки зрения помехоустойчивости
эквивалентны.
Действительно, если каждое слово состоит из m элементарных
двоичных сигналов, то всего будет 2'" различных слов, имеющих
одинаковую априорную вероятность появления ppr=\/2m = 2~m.
Запишем принятое колебание на временном интервале IT в виде
l\t-i)T = {st(t, в,) + л(/), (i—1)7-</<1Г}, i = l, /и,
140

где Sj(t, Qj) =QjSi(t)-\- (1—Qj)s2(t). Дискретный параметр 0,-, i =
— Um, .принимает лишь два значения: 8г = 0 или 8г = 1 с равными
вероятностями, независимо от i.
, Обознач им через "— {0ь •••, 0?> ■•■, 0т} последовательность
значений дискретного параметра, соответствующую какому-либо
конкретному слову. Пусть оптимальный прием осуществляется по
максимуму апостериорной вероятности
pPsm = pPr№pWT\Q) = 2-nf\p(tl{Ll)T\et).
За оценочное значение векторного дискретного «параметра в
принимается значение в* = {0*ь ..., 8**,..., 0*т}, соответствующее
максимуму апостериорной вероятности (функции правдоподобия). Так
как все сомножители в правой части написанного выражения
положительны, то
т
max р (Й'Г | в) .-=Л max р (£<£„ Т \ 0,.).
в* <=• в;
Следовательно, решение о принятом слове принимается на основе
максимально правдоподобных оценок дискретных параметров 8*
на каждом нз m тактовых интервалов, что соответствует
поэлементному приему.
Предположим теперь, что сигналы s^t) и s2(t) в
последовательности статистически связаны и априорно известны
вероятностные характеристики этих связей. В данном случае при приеме в
целом может быть достигнута более высокая помехоустойчивость.
Рассмотрим простейший иллюстративный пример, поясняющий
существо дела [27]. Пусть осуществляется прием
детерминированных ФМ сигналов вида (2.4.22). Статистическая связь между
сигналами S\(t) и s2(i) в последовательности описывается
простой стационарной и симметричной цепью Маркова: априорные
вероятности сигналов S\(l) и s2(l) одинаковы и равны Ppr(si) =
= Ppr{s2) =0,5, заданы вероятности переходов л.ц=Л22 = р, Я]2 =
= n2\ = q—\—р, где л,; — вероятность того, что за сигналом Si(t)
будет следовать сигнал S;(t), i, /=1,2. Предполагается, что на
приемной стороне обеспечивается идеальная синхронизация
(точно известны моменты времени возможной смены сигналов kT,
6 = 0,1,2,...).
Допустим, что из двух сигналов S](t) и s2(() формируются
четыре «слова» Sij(t):
«1,(0-(*(0> °<t<T' i, i=l, 2. (2.6.1)
1Л> \sj(t), Г</<2Г, '
Априорные вероятности передачи этих «слов», очевидно, равны
Ррт (%) = Ррг (h) лп = /?/2. Ррг («га) •--= Ррг (s2) л22 •= /7/2, 2 б 2.
Ррг (Sid ---- Ррг (si) л12 = <7/2. Ррг (s2i) •"= Ррг (s2> л21 ^ <7/2-
■141

Требуется оптимальным образом осуществить прием указанных
четырех «слов».
Таким образом, сформулированная задача есть задача
оптимального различения четырех сигналов Stj(t). При различении этих
■составных сигналов по максимуму логарифма апостериорных
вероятностей в соответствии с (2.4.2) .приходим к следующему
алгоритму: принимается решение о наличии в принятой реализации
%(t) того «слова» Sij(t), для которого
IT
f 2 л 1
In pPs (stJ) = max — Г g (/) si} (t) dt + In pPT (s„) =
i. i \ N 6 J
f 2 T 2 2T 1
= max (-J-JE (0 s, (t) dt + j^jl (t) Sj(t) dt + In /?Pr (*„) j.
Ионользуя запись рассматриваемых сигналов s\(t) и
виде (2.4.22) и введя обозначения
9l = —j!(0 ЛтС08<оШ, Яг = ~-7Г j ШЛтгСОБюШ,
(2.6.3)
s2(0 в
(2.6.4)
алгоритм оптимального различения можно записать иначе:
<7i + <72 + 1П Ррг (sn)
Ыррз{8и) = тм
(2.6.5)
■4i + 4i + lnppr{s21)
■Я\ — ^2 + ln ppr (S22)
Структурная схема оптимального приемника, реализующего
алгоритм (5), приведена на рис. 2.45. В рассматриваемом
конкретном примере оптимальный приемник представляет собой двухка-
нальный корреляционный приемник с добавлением четырех
сумматоров и схемы сравнения, определяющей в моменты времени t =
=2kT, &= 1,2,3,..., наибольшее значение из четырех выходных
сигналов.
№
т ~
S„ ft!
&n(t}
л,
Ш^ГЗгг)
Ц&-
^22
Щ„(^)
X
«о
X,
11
-*
Решение
t=2kT
Рис. 2.45. Структурная схема оптимального приемника различения четырех
составных сигналов
142

Вероятность полной ошибки при работе оптимального
приемника определяется соотношением
2
Р«=1— Л>=1— S PPr{Sij)p(Sij\si}), (2.6.6>
/
(,/=i
где Ро—вероятность правильного приема; p(sa\shi)—условная
вероятность принятия решения о наличии в реализации l(t)
сигнала sn(t), когда в действительности в ней имеется сигнал sui{t)r
k, /=1,2.
Интересующие нас условные вероятности p(Sij\Ski) в
рассматриваемом случае можно записать в следующем виде:
р (srfiij) = j\рг (Xlr Xt\su) dX1 dX2, (2.6.7)
где Q.ij — область интегрирования; р2(^ь ^2|sftz)—условная
совместная плотность вероятности случайных величин
*i=<7i + <7«, Xt = qi—qt. (2.6.8)
Возможность простой записи (7) объясняется тем, что в нашем
примере выходные напряжения всех каналов приемника (см. рис.
2.45) согласно (5) и (2) выражаются через две случайные
величины Х\ и Х2:
Хп = Х1+\п(р/2), Xn^X2 + \n(q,2),
Хг1 = -Хг + \п(д/2), Х22= -X^lnip/2).
(2.6.9)
Области интегрирования Q.,-j в (7) определяются принятым
алгоритмом (5). Например, решение о приеме сигнала s{\(t) будет
принято лишь при совместном выполнении трех неравенств:
Хп> Х12, Хи>Хи, Хп>Хм. (2.6.10)
Отсюда с учетом (9) находим область интегрирования Qif.
Qu = {X1>Xt + y, Хг>-Хш + у, Х^О},
где y = ln(q/p). Пространство реше- ч Л> п
ний, соответствующее различным
сигналам, для случая у>0 показано на
рис. 2.46.
Поясним подробно вычисление
условных совместных вероятностей
P(Sij\sij) на примере /?(su|sn). При
записи выражения для pt(X\, X2|sn)
следует учесть, что при приеме
сигналов на фоне белого гауссовского
шума случайные величины Xi и Х2 (так
Рис. 2.46. Области принятия решений при у^О
(2.6.11)
143

же, как Ц\ и q-i) являются совместно гауссовскими и имеют
следующие характеристики:
M{X1|su}-2Q0, M{X2|su}-0, D{X1\sn}--=D{X2\su}=2Q0,
где
Q0---:2E/N, E--AsmT/2. (2.6.12)
Используя стандартные обозначения для центрированных
случайных величин, убеждаемся, что случайные величины Х\ и Х2 во
всех возможных случаях некоррелнрованы:
М {X? Х°М -М{(^ + </2°) (q°-<® \shl} - М {(q°)*}-
~M{(q°)2} ■ -M{X°X0,} -0. (2.6.13)
Следовательно, Х| и Х2 во всех возможных вариантах независимы.
Поэтому
pt (Хх, X,|s„) ^piX^srfpiXtlsu)
и, в частности,
/>(Xlf X8|sn)
4л(?0
ехр
(Хг-2 (?„)■- +*а
4 0о
(2.6.14)
(2.6.15)
Формула (7) с учетом (11) и (15) принимает вид
/>(*ulsu)-
4л(?0 v
J ехр
(X1-2Q0)a-
4Qo
dX2 ^ exp
-A, ,v
_4Q0
dX2-
После замены переменных
y1 = (X1-2Q0)/VJQ0, y2 =- Х2П/Щ
получим
|/2л (v-2Q0)/( 2Q0
2ф j, +±^JL _,
l/2Qo
(2.6.16)
где Ф(х) —интеграл вероятности. Аналогичным путем найдем
/>(s12|s12) = —: Г
Т/2д . JWo
2ф(у + 1^±1)-1
VWo I
е у2/2 dу. (2.6.17)
Нетрудно показать, что
/> (%>!*22) '"/> («11 М- Р (*2llS2l) = /> (S12lSl2)- (2.6.18)
Поэтому формула (6) для вероятности ошибки упрощается:
Pe^^—pp(sn\su)—qp(sn\s^.
Подставив сюда выражения (16) и (17), получаем окончательную
формулу для вероятности полной ошибки:
1-
к 1
У2я
(V-2Qo)/ V2Q,,
2Ф( х + 1Щ=±\—1
l/2Qo
' dx—
144

V2n-Y2~Q~0
2Ф x +
2Qo + Y •
T/2Q"o
e-^/2dx. (2.6.19)
A
#7"
В двух частных случаях: (7 = 0,5 и (7=1 эта формула
упрощается. Так, в первом случае {p = q = 0,5) имеем 7 = 0. Если при
вычислении вероятностей правильного приема /?(sn|sn) и /?(si2|si2) воз-
пратиться от переменных интегрирования Х{ и Х2 к переменным
q\ и (72 в соответствии с равенствами (8), т. е. положить q] = (Xl +
-{:Х2)/2, (7г= (Х\—Х2)/2, то. получим
ре---1~ФНУОо)-1-Ф2(\/2Ш1). (2.6.20)
Во втором случае ((7=1, /7 = 0) из четырех кодовых комбинаций
остаются только две: s,2(0 и s2i(/), так как комбинации su(() и
^22(0 теперь невозможны. В данном случае 7 = °° и учитывая, что
ф(оо) = 1, получим
Pe---l-<b(VWo). (2.6.21)
Результаты вычислений по формуле (19) методом Монте-Карло
для нескольких значений вероятностей перехода q представлены
на рис. 2.47. При
фиксированном отношении сигнал-шум 0,5 \
Qo = 2E/N с увеличением
вероятности перехода (7>0,5
вероятность ошибки приема
кодовой комбинации, как и
следовало ожидать, уменьшается.
Это уменьшение будет тем
более заметным, чем длиннее
«слова», т. е. чем из большего
числа элементарных сигналов
составлено отдельное слово.
Однако при этом существенно
усложняется схема
оптимального приемника и резко
возрастают трудности вычисления
полной вероятности
ошибочного приема «слов». Для
упрощения в подобных случаях
часто применяют специальные
квазиоптимальные алгоритмы
обработки сигналов [28, 29].
Отметим, что при (7 = 0,5
элементарные сигналы s\(t) и
$2(t) являются независимыми.
Если обозначить полную
вероятность ошибочного приема
одного элементарного сигнала че-'
рез pie, то через нее легко
выразить вероятность ошибки
10'
10'
10
-4
\\\\Ч
\NnS8
~т\\
\ \
\_
Svv-
Wv
\ч
—V
— - -
1=0,5
\к0'5
V444
4\\N
;
л?
\ \\\\
\ \\\\
0,9 ^
\г,о
\ V
ч ч
V
\ 1
\ i
\-—
ч \\Ч
ч чч
\ч
\ 1
о
8 ZE/N
Рис. 2.47. Вгроятпость ошибки при
приеме кодовых комбинаций
детерминированных ФМ сигналов
145

приема кодовых «слов». При q = 0,5 все четыре «слова» согласно
(2) являются априорно равновероятными. Поэтому полная
вероятность ошибочного приема «слов» будет определяться формулой
ре = 1-(1-р1е)2 = /?1е(2-р1е). (2.6.22)
При независимых ФМ сигналах вероятность ошибки р\е дается
формулой (2.4.23) и соответственно
ре=1_ф2(|/2£/Й), (2.6.23)
что совпадает с (20).
На рис. 2.47 штриховой линией изображена кривая,
вычисленная по формуле (22), когда в нее подставлена вероятность
ошибочного приема pie, полученная с учетом статистической связи между
элементарными сигналами в их последовательности для ^ = 0,9
(см. рис. 2.24). В данном случае эта кривая расположена выше
сплошной кривой, соответствующей <7 = 0,9. Отметим, что в нашем
рассмотрении не учитывалась статистическая связь даже между
примыкающими элементарными сигналами двух соседних «слов».
Ее учет и удлинение «слов» дополнительно повышают
помехоустойчивость.
2.7. РАЗЛИЧЕНИЕ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ
ПРИ НАЛИЧИИ ПУАССОНОВСКОЙ ПОМЕХИ
Весьма часто помехи, действующие в канале связи, не
являются гауссовскими. В некоторых случаях помеховую обстановку
(включая и проблему электромагнитной совместимости)
описывают при помощи пуасооновской хаотической импульсной помехи.
Будем здесь под такой помехой r\(t) понимать последовательность
радиоимпульсов с нормированной огибающей h(t), случайными и
взаимонезависимыми амплитудами at, начальными фазами q>i. и
моментами появления импульсов п:
т1(/) = § a,h(t—T,)cos(a>f + q>,),*>0. (2.7.1)
Случайные амплитуды at имеют одну и ту же плотность
вероятности р(а), начальные фазы ф,- равномерно распределены в
интервале [—л, л], моменты появления импульсов представляют собой
пуассоновский поток с интенсивностью v, длительности импульсов
предполагаются значительно меньше фиксированной длительности
Т полезных сигналов. Длительность импульса характеризуется
временным интервалом, содержащим основную долю энергии
импульса помехи.
Рассмотрим задачу различения двух полностью известных
сигналов S\(t) и s2(t), когда они принимаются на фоне белого шума
n(t) и помехи r\{t), т. е. принятое колебание £(/) имеет вид
i(/)=0s1(O + (l-O)s2(/)+Ti(O + n(O,O</<ri (2.7.2)
146

где случайный параметр 8 принимает два значения 0 и 1 с
одинаковыми вероятностями, равными 1/2. Сначала выясним, как
наличие помехи r\(t) влияет на характеристики помехоустойчивости
приемника, оптимального при различении двух
детерминированных сигналов на фоне только белого шума, а затем получим
оптимальный приемник различения двух сигналов при приеме
колебания (2).
Вычислим вероятность .полной ошибки ре корреляционного
приемника рис. 2.20,6, когда в принятом колебании кроме белого
шума имеется также пуассоновская импульсная помеха (1) [30]. Для
симметричной системы алгоритм работы корреляционного
приемника определяется формулой (2.4.8); оп сводится к формированию
величины q и сравнению ее с порогом /i = 0:
q = ±] Z(t)[Sl(t)-s2(t)]dtlkO. (2.7.3)
N 0 s.
Предположим, что присутствует сигнал s,(/). Тогда
</ = ?1=^-И51<')+Л(0 +n{t)\{sx(t)s2{t)\ dt =q\ + q- ,(2-7.4)
где
4l = -Tr)l'i(t) + n(t))lh(t)-St{1)]dt, (2.7.5)
Q'^^r]r\(t)[si(t)s2(t)]dt. (2.7.6)
Выражение (5) полностью совпадает с (2.4.9). Поэтому случайная
величина q\ имеет те же статистические характеристики, что и
случайная величина q\ при приеме сигналов на фоне только белого
шума.
Определим статистические характеристики случайной
величины q"\. Считая, что на интервале наблюдения Т появилось k
импульсов помехи, подставив (1) в (6) и поменяв местами операции
суммирования и интегрирования, имеем
tf = vS°'z" z1 = JA(<-T,)cos((u^ + 9J)[e1(0-s8(0]^- (2-7.7)
N 1=0 0
Вычислим независимые случайные величины z, раздельно для
сигналов с фазовой, частотной и амплитудной манипуляцией. Для
ФМ сигналов (2.4.22)
т
2; = 2Лт|/г (t—т;) cos (со t -f <рг) cos atdt.
о
Пренебрегая слагаемым с удвоенной частотой и считая, что эле-
147

мептарные импульсы помехи значительно короче длительности
сигнала Т, получим
г, =--Лт Д cos <р,, Д = ] h(f)dt. (2.7.8)
— оо
При записи выражения для Д учтено, что для всех t,
отступающих от краев интервала [О, Т] не меньше, чем на длительность
элементарного импульса, .пределы интегрирования можно заменить
на бесконечные. Такое пренебрежение краевыми эффектами тем
оправданнее, чем меньше длительность элементарного импульса
помехи по сравнению с длительностью сигнала.
Зашишем ЧМ сигналы в виде
sAt) ^Am cos (a+ Au>)t \ 0^<т
s2(t) — ^mcos (со — До) t I """ ^
При тех же допущениях, что и выше, имеем
2; --- Ат sin фг j h (t) sin (Доз t -f Дсот,) dt.
- О'-
Пуассоновское распределение числа импульсов помехи
соответствует тому, что моменты появления импульсов т.,- равномерно
распределены в заданном интервале. Поэтому случайный фазовый
сдвиг Дсот,- можно трактовать как случайную величину %,,
равномерно распределенную в интервале [—л, л]. С учетом этого
можем написать
г, = Ат sin ф; \h„ cos %i + hc sin %(] = Am At sin фг sin (x, + x),
где
Д, .-= V h\ + h\ f tgx- ^-, /zc- J h(t)cos Autdt, ft, - \ h(t) x
X sin Дсо W£.
Так как изменение равномерно распределенного аргумента %i на
постоянную величину х не влияет на распределение sin(xi + x). то
окончательно можно записать
Z|=-i4mA,sin9/sinxj, (2.7.9)
где ф( и %,■— независимые случайные величины, равномерно
распределенные в интервале [—л, л].
Для ЛМ сигналов (2.4.18) при тех же допущениях, что и в
предыдущих случаях, получим
г1-^-АтАсощ1. (2.7.10)
Таким образом, случайную величину q"\ можно представить в
виде суммы
148

где £j — независимые, одинаково распределенные случайные
величины, -причем согласно (7) — (10) имеем
( A cosq); для ФМ,
£,= — Лта, { Axsin9,sinxi для ЧМ, (2.7.12)
((1/2) A cosq); для AM.
Запишем выражение характеристической функции 8g»t (jft)
случайной величины q"\ через характеристическую функцию 0g (j#)
случайной величины £;,. В формуле (11) верхний предел
суммирования k есть дискретная случайная величина, распределенная по
закону Пуассона
/?(*) = (vr)*e-v7/*!,* = 0,lf2f...
Поскольку случайные величины £, при разных / = 0, 1, 2,..., k взаи-
уонезависимы, то характеристическая функция для q"\ при
фиксированном k равна Qq'\ (j$|6) =0ftg(jf}). Безусловная
характеристическая функция 0g», (jft) находится осреднением по случайному
числу импульсов k, поступающих на вход приемника в интервале
[0, Т]:
e.(J*)=S Щ(}Ъ)Р(Ь)~ехр(-чТ)ехр\уТв1{]й)]. (2.7.13)
qi k=o
Воспользовавшись характеристиками (2.4.10) гауссовской
случайной величины q\ и учитывая независимость q'\ и q'\,
получаем выражение характеристической функции 09l (JO) для
случайной величины q\ = q'\+q"\:
в,, 0' #) = Mj #) В - (j 0)=exp (-vr)exp[vr 0£ (j f})HX Ь \-Dx W\ .
(2.7.14)
В соответствии с алгоритмом работы приемника (3)
вероятность ошибочного приема сигнала sx(t) определяется формулой
/>(s«|Si)= \ P(?.)4. (2-715>
— оо
где /?(<7i) — плотность вероятности случайной величины <7,.
Подставив сюда p(<7i) в виде преобразования Фурье от (14), имеем
P(*t\Si)= r-e~vT J d(?i j exP
2 л
vTOgO^ + jm^
2 *
e-i'^d*.
(2.7.16)
Изменив здесь порядок интегрирования и воспользовавшись
затем соотношениями (1.19) и (1.29) из [35], получим
/,(*»|*1)=:т—i"e~vr ^ехр
vr0s(jd) + jm1f>-
-D !#2
2 х
14»

В том случае, когда принимается сигнал s2(t), случайная
величина q равна
?=<
4- J I*» W + Л (0 + »(01 l*i (0-*2 (01 dt = q-2 + ц\,
где q'i совпадает со случайной величиной q2, определенной
формулой (2.4.12).
Повторив приведенные выше рассуждения, получим следующее
выражение для вероятности ошибки приема сигнала s2{t):
P{4\s%)^~z~vT \dqt j exp
2я
— )tnl
2 *
vret(j;o)—
(2.7.17)
Вероятность полной ошибки находим по формуле (2.4.16):
1
2-[p(*»l«i)+/>(Sils«)l=-—
— e~vr j exp
2я
vret(jO)~i-^o»
sin «j #
*
dd. (2.7.18)
Аналогичным образом можно получить формулу для полной
вероятности ошибки .при приеме AM сигналов. Она совпадает с (18),
где нужно положить m.\=EIN, DX = 2E/N.
В частном случае отсутствия пуассоновской имнульсной помехи
(v = 0) формула (18) упрощается и приводится к виду
pe = ---jexp
■D^b*
sin m1 ■&
dft =
=1-ф(-ж):=1-ф(/4-(1-г-))' (2-7Л9)
что совпадает с формулой (2.4.17). Рассмотрим противоположный
предельный случай — очень интенсивной импульсной помехи. Для
этого .положим дисперсию амплитуд помеховых импульсов Da->-oo.
Как следует из (12), при этом дисперсия случайных величин £,
также стремится к бесконечности, а характеристическая функция
6j (]Ф)-»-0. Тогда из (18) получим
p<=4-ve-vr?exp(—td^2
= -i-(l_e-V) +
sin я,*,.
a ir —
-ф(|/^.(1-г8))]е-^ . (2.7.20)
Эта формула имеет ясный физический смысл. При мощных
импульсных помехах наличие хотя бы одного помехового импульса
яа интервале [0, Т] приводит к увеличению вероятности ошибки
до значения 1/2. В случае же отсутствия помеховых импульсов
вероятность ошибки определяется формулой (19). Вероятность от-
150

сутствия помехового импульса на интервале [О, Т] равна p{k —
=-0)=ехр(—\Т), а вероятность наличия хотя бы одного импульса
y(k~^\) = 1—ехр(—vT). Эти вероятности непосредственно входят
в формулу (20).
Приведем пример применения формулы (18), когда амплитуды
импульсов ^помехи постоянны: a, = ao = const, i = 0, 1,2,...
Применительно к этому частному случаю формула (18) после несложных
преобразований с использованием выражений (12) приводится к.
следующему виду:
для ФМ сигналов
Pe = -L LJexp{v T[j0(yX)-l]}exp(-^-XAs^-dx; (2.7.21)
2 я J к ^ »v. / ., • ^ \Е ) х
для ЧМ сигналов
Pe=-L—L]exp{vT[Jl(ylX)-\)}exp(-£-xAs^dx; (2.7.22)
2£
для AM сигналов
р. = 4" Ll^P{vT[J0(2yx)-l)}exp(~^xAs^dx. <2J-23>
Здесь Jo(x) —функция Бесселя нулевого порядка; y—a0AlAmT, yt =
= A0&]/AmT. Для экспоненциальных импульсов h(t)=exp(—at}
Yi=T2Y3,T2 = 2fl0/a^mT,Y3 = tl + (Aco/a)2)-'/2.
Результаты расчетов по формулам (21) — (23) на ЭВМ
представлены на рис. 2.48. Видно, что вероятность ошибки монотонно»
возрастает с ростом параметров у и yi- При интенсивных
импульсных помехах разница в помехоустойчивости ФМ и ЛМ сигналов;
становится незначительной. Для ЧМ сигналов вероятность
ошибки сильно зависит от девиации Дсо (рис. 2.49).
Решим теперь задачу синтеза оптимального различения двух,
сигналов по принятому колебанию (2). При этом в дополнение к
ранее принятым допущениям будем предполагать, что импульсы
помехи не перекрываются, имеют малую длительность и следуют
друг за другом редко.
Оптимальное различение двух равновероятных сигналов
базируется на анализе отношения правдоподобия
^MtFKCTIO-ll)*! (27.24>
м{/чи*)|е = о]} s;
где Ml/^fs(^) 16]}—функционал плотности вероятности принятого
колебания, получаемый из функционала плотности вероятности
белого шума с последующим вероятностным осреднением по всем
сопутствующим параметрам. Например,
М{/Ч£(0|6=1]}=*м{ехр _-L([5(0-«i(0-4(*)]'* J. (2.7.25)
151

В нашем случае осреднение нужно производить по следующим
параметрам: случайным амплитудам импульсов помехи а,-,
имеющим одинаковую плотность вероятности р{а), случайным началь-
Рис. 2.48. Вероятность ошибки различения двух детерминированных сигналов
корреляционным приемником при наличии белого шума и пуассоновской
импульсной помехи
ным фазам ср,-, равномерно распределенным в интервале [—я, л],
случайным моментам появления импульсов -ц и случайному числу
импульсов k в интервале [О, Т].
О 0,5 1,0 %
Рис. 2.49. Вероятность ошибки различения двух ЧМ сигналов корреляционным
приемником при наличии белого шума и пуассоиовскон импульсной помехи
152

Получим выражение для M{/7[g(^) |в= 1]}. Для этого запишем
(25) иначе:
М
где
{/4£(*)ie=-l]b-*exp|-~i-J [g(*)-s,(*)]*#} М{^}, (2.7.26)
/\--exp \-L] \2(l(t)~s1(t))2 alh(t--zi)cos{at + tfl)-
( iV 0 i- -0
2 2 aiajh(t —Ti)h(t—tj) cos (at + <p t) cos, (at ±4 j)
df
(2.7.27)
Осредним сначала выражение (27) по случайным начальным
фазам фг. Выделив во втором слагаемом в подынтегральном
выражении члены с одинаковыми и разными индексами, можем написать
М {FiU - mUxv{~] 2 G (0-s, (0) £ а» Л (*-т,) cos (со i + Ф/)-
I I Л о L i--o
— 2 a?h2(t— t^cos^wH <р,)— У £ flj ajA(f—т,)А(^—т;) х
( Й^)
COS ((О / 4- ф;) COS (ft) t 4- фу)
df
fr-Ti
По предположению разные импульсы помехи не перекрываются.
Поэтому третьим слагаемым в подынтегральном выражении
можно пренебречь. Поменяв затем местами операции суммирования и
интегрирования, пренебрегая членами с двойной частотой и
выполнив осреднение по взаимонезавнеимым случайным фазам ф;,
получим
М'^ф-М {п ехр ( -^|) exp {-f ] li(*)-*i(0]x
X aih(t—Ti) cos((o t-\- %)\
--Jlexpf-^/.f^-X.d,)
Ф i-o \ 2Л/ I \ N
(2.7.28)
Здесь h(x) —функция Бесселя нулевого порядка от мнимого
аргумента,
а ~ ] h> (0 dt, Х1 (Tj) - /*?, <т«) + Хь <T*> ,
— эо
Х,с(т,)---= j' \l(t) — Si (t)\ h(t—T,) cos©tdt,
(2.7.29)
X1S(T;)-- ' [£(/) — »i(/)]A(f — T,)sin<»fctf.
Осреднение выражения (27) но случайным моментам
появления пуассоновских импульсов производится с учетом того, что л
153

взаимно независимы при разных i и равномерно распределены в
интервале [О, Т]:
М{^фл=Пехр(-^)^г17о (^-ХЛЪ))*^ (2-7.30)
Применительно к двум частным случаям, когда амплитуды
импульсов постоянны или распределены по закону Рэлея, т. е.
р(а) = 8(а-а0); p(a)^~exp(-aV(2Da)),a^Q, (2.7.31)
осреднение выражения (30) по случайным взаимонезависимым
амплитудам дает следующий результат:
M{/r1}v.x,a=Gt. (2.7.32)
где Gi соответственно равно
Gl = ехр ( -^|) Т ] /о (2f- X, (т)) d т, (2.7.33а)
и1 = — — . — \ ехр
N+aDa T i
2DaX\{T)
d т. (2.7.336)
N(N + aDa)_
Выполнив осреднение выражения (32) по случайному числу
импульсов k в соответствии с законом Пуассона, получаем
окончательное выражение для математического ожидания случайной
величины F\, входящего в правую часть равенства (26):
М{/\}= М{/\}ф.т.а,ь= f G{-^e-v==exp[-vr(l-G1)].(2.7.34)
Выражение для M.{F2} отличается от (34) только тем, что
теперь во все соотношения вместо Х[(т) нужно подставить Х2(т).
Подставив Mf/^} и M{F2} в (26), а затем в (24), и
'прологарифмировав полученное неравенство, получим алгоритм
оптимального различения двух равновероятных сигналов:
N о N
где Ei и Е2 — энергии сигналов Si(t) и s2(t).
При практической реализации приемника выражения (33)
целесообразно представить в виде
G1r=—f!^[X1(l&)),m = —, (2.7.36)
1 /=о а
где
,«-«„(_£)/,(•*,). (2.7.37а)
154

В том случае, когда распределение амплитуд имлульсов помехи
отличается от (31), функция <р(х) определяется формулой
Ф(*) = j expf-^W^*W)da. (2.7.38)
Алгоритм (35) оптимального различения полностью известных
сигналов S\(t) и S2(t) моделируется нелинейным многоканальным
приемником, структурная схема которого представлена на рис,
2.50. Отличие от известного корреляционного приемника (рис.
m
s,(t)
№
1=0
Mt-IA)
cosat
X
X
Г
Jo
r~fh
— W.
h(t-lA)Binot
l=m
vT
>П
s-Jt)
*sf(t)-sz(t)
+ А?Решение Ц*
s2
4ь-
1=0
l=m
vT
>
Рис. 2.50. Структурная схема оптимального приемника различения двух
детерминированных сигналов на фоне белого шума и пуассоновской импульсной
помехи
2.20,6), оптимального для приема сигналов на фоне только
белого шума, заключается в наличии двух каналов, частично
компенсирующих результат воздействия импульсной помехи. Отметим,
что характеристика нелинейного элемента <р(я) определяется
статистикой амплитуд импульсов помехи.
Работоспособность алгоритма (35) проверена методом
статистического моделирования на ЭЦВМ для случая приема ФМ
сигналов (2.4.22) на фоне белого шума и импульсной помехи,
представляющей собой поток прямоугольных радиоимпульсов с рэлеев-
ским распределением амплитуд при следующих значениях
параметров: x„/r = 0,l; 2£/JV = 5,4; m=10; p(0) =p(l) =0,376; р(2) =
= 0,185; р{3) =0,063, где ти — длительность импульсов,
p(k)—вероятность наличия ^-импульсов в интервале [0,7]. Указанные
вероятности числа импульсов близко соответствуют пуассоновскому
распределению с параметром vT~l, если пренебрегать
вероятностью наличия более трех импульсов.
155

На рис. 2.51 приведены полученные зависимости вероятности
ошибочного приема ре от отношения помеха-сигнал VDa/Am для
двух вариантов: обработка входной реализации %(t) производится
синтезированным оптимальным приемником и корреляционным
приемником рис. 2.20,6. При воздействии интенсивных импульсных
помех ( VDa/Am^s 10) применение оптимального приемника
позволяет снизить вероятность ошибочного приема примерно в 3
раза. Чтобы получить ту же
помехоустойчивость при применении
корреляционного приемника, нужно
увеличить энергию полезного сигнала
приблизительно в 15 раз.
Рис. 2.51. Помехоустойчивость
оптимального (сплошная кривая) и корреляционного
(штриховая) приемников различения двух
ФМ сигналов
2.8. ОБ ОБНАРУЖЕНИИ И РАЗЛИЧЕНИИ СИГНАЛОВ
С НЕИЗВЕСТНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
До сих пор при рассмотрении конкретных задач обнаружения
и различения радиосигналов со случайными сопутствующими
параметрами считались известными априорные плотности
вероятности этих параметров. Если эти плотности вероятности правильны,
то полученные там решения оптимальны. Естественно возникает
вопрос, как поступать, если эти плотности вероятности неизвестны
и отсутствуют физические основания для уверенного задания их.
В такой ситуации принципиально возможны три подхода.
1. Нужно выдвинуть гипотезу об априорной плотности
вероятности неизвестных параметров радиосигнала, основываясь на
минимуме располагаемых сведений об изучаемой ситуации, и затем
производить необходимые осреднения с этими априорными
плотностями вероятности. В качестве приближенных априорных
плотностей вероятностей в подобных случаях часто используются
равномерные плотности вероятности в ожидаемом интервале
изменения параметров или другие достаточно «широкие» плотности
вероятности. Следует иметь в виду, что вид априорной плотности
вероятности неизвестных параметров оказывает влияние на
длительность и характер начального, нестационарного режима работы
соответствующих устройств. При разумном задании априорной
плотности вероятности, обеспечивающей устойчивую работу
устройства, окончательные результаты в стационарном режиме работы не
будут зависеть от вида выбранной априорной плотности
вероятности неизвестных параметров сигнала.
2. За значения неизвестных сопутствующих параметров
сигнала принимаются их оценки (например, по минимуму средней
156

квадратической ошибки), полученные с использованием
располагаемых результатов на всем интервале наблюдения.
3. В качестве неизвестных параметров сигнала используются их
текущие оценки и необходимое осреднение выполняется с текущей
апостериорной плотностью вероятности. Методы получения
апостериорной вероятности, в том числе и для изменяющихся во
времени параметров, рассмотрены в гл. 4.
■ При обнаружении и различении сигналов с неизвестными
параметрами возможны следующие частные случаи [16, 46].
1. Допустим, что неизвестные случайные сопутствующие
параметры входят только по гипотезе Ни а по гипотезе Н0 они не
входят. При этом гипотеза Н{ называется сложной, а гипотеза
Но—простой. Если применяется критерий Неймана — Пирсона, то
из формул (2.1.7) и (2.1.28) следует, что в данном случае
вероятность ложной тревоги pF не будет зависеть от случайных
сопутствующих параметров, а вероятность правильного обнаружения
Pd в общем случае будет зависеть от этих параметров. Однако в
некоторых исключительных случаях может оказаться, что при
заданной вероятности pv решение максимизирует вероятность рп
независимо от значений сопутствующих случайных параметров
а. Это решение будет оптимальным для всех значений а и,
следовательно, для любых априорных плотностей вероятностей ррГ(к).
Такое решение называется равномерно наиболее мощным.
2. Если равномерно наиболее мощное решение не существует,
то можно применить другую стратегию проверки гипотез. Пусть
по-прежнему гипотеза Н0 является простой, a Hi—сложной.
Зададимся формально некоторой априорной плотностью вероятности
случайных сопутствующих параметров /?р,-(а) и примем правило
решения, базирующееся на сравнении отношения правдоподобия
с некоторым порогом
f Pi (Si- ... . ImWPpr (*■)<* * _, ^ (281)
Po(li, ... .У ~"~
Здесь pi (|i, ... , lm\ a) — условная плотность вероятности выборок
принятого колебания при фиксированных значениях параметров а
по гипотезе Нх\ р0(^и ... ,с,т)—плотность вероятности выборок
принятого колебания £(/) по гипотезе Но.
Вероятность правильного обнаружения в общем случае будет
зависеть от случайных параметров: Pd = P«(a). При выбранной а>п-
риорной плотности вероятности рргЩ средняя вероятность
правильного обнаружения будет равна
M{pD(b)}-$PD(b)pPr(b)db= $$ />!&, ...,im|A)Ppr(A)dA, (2.8.2)
k k Г,
где Г1!-- область принятия гипотезы Н\. Плотность вероятности
Ррг(а), минимизирующая M{pD(A)} при заданной вероятности
ложной тревоги ру, называется наименее предпочтительным
распределением параметров А. Значение этого распределения
заключается в том, что независимо от истинных значений параметров а
157

{т. е. при любом их априорном распределении) наблюдатель
может быть уверен, что вероятность правильного обнаружения (при
заданной вероятности ложной тревоги) не может быть меньше
значения, определяемого формулой (2), в которую подставлено
наименее .предпочтительное распределение. Получаемое при этом
значение средней вероятности правильного обнаружения является
своеобразной нижней границей.
В некоторых задачах наименее предпочтительное
распределение может быть найдено методом проб. В частности, для
радиосигналов со случайной начальной фазой таким распределением
является равномерное распределение фазы в интервале шириной 2я,
соответствующее наибольшей неизвестности фазы. К такому
заключению физически можно прийти, например, на основании
анализа результатов § 2.2 п. 3. Однако в общем случае найти
наименее предпочтительное распределение, если оно даже и существует,
весьма сложно.
3. Применение различных вариантов адаптивного приема.
Принципиальные основы этого метода будут изложены в § 4.5.
4. Обобщенный метод максимума правдоподобия.
Применительно к различению двух гипотез Н0 и Н\ этот метод состоит в том,
что решение выносится на основании не обычного отношения
правдоподобия (1), а на основании отношения максимальных значений
функций или функционалов правдоподобия по каждой из гипотез:
тахр^ЦЯ,!)
l®=h Т^Г,- <2-8-3>
maxp0 (l\X0)
К
Здесь Х[ — неизвестные сопутствующие параметры по гипотезе
Н\\ ко — аналогичные параметры по гипотезе Яо; l=-{£i, ?2. — ,|m}.
Выражение (3) означает, что предварительно определяются
значения неизвестных сопутствующих параметров Xi = ^i и Хо =
— ко, которые максимизируют функции правдоподобия Pi(l|Xi) и
Ро(%\Хо), а затем эти значения подставляются в отношение
правдоподобия:
1®-рЛ1\КУРо№К)- (2-8.4)
Решение принимается на основе полученного отношения
правдоподобия или любой монотонной функции от него. Отметим, что такое
решение не обязательно является оптимальным.
Таким образом, обобщенный метод максимума правдоподобия
заключается в том, что предварительно отыскиваются
максимально правдоподобные оценки неизвестных сопутствующих
параметров ii и Хо и эти оценки используются в качестве истинных
значений неизвестных сопутствующих параметров. После этого
задача сводится к обнаружению или различению
детерминированных сигналов, в которых вместо истинных значений
сопутствующих параметров фигурируют их оценки. При этом структурные
158

схемы соответствующих приемников будут содержать обычный
взаимокорреляционный приемник, дополненный устройством
оценки неизвестных параметров сигнала (рис. 2.52). Поскольку
предварительное получение хороших оценок требует определенного
времени обработки принятого колебания, то корреляционный
приемник имеет линию задержки. После того, как получены оценки,
№
i 1
Оптиматный
приемник
для sCt,X)
Максимально
правдоподобная
оценна Я и
формирование
s(t,X)
Решающее
устройство
sCt, Л)
Рис. 2.52. Приемник-обнаружитель сигнала с неизвестными параметрами
сигнал с оценочными значениями параметров подается в качестве
спорного колебания на корреляционный приемник. Отметим, что
при адаптивном приеме формирование текущих оценок
сопутствующих параметров сигнала может осуществляться одновременно
с корреляционной обработкой принимаемого колебания. Поэтому
в адаптивном приемнике линия задержки может отсутствовать.
Рассмотрим подробнее задачу обнаружения радиосигнала с
неизвестными параметрами на фоне белого шума по критерию
Неймана— Пирсона [46]. В данном случае гипотезы Я] и Я0 имеют
вид Я,: l(t)=Asin(<ot+<p)+n(t), O^xo^t^T, H0:l(t)=n(t),
причем гипотеза Но является простой и отношение
правдоподобия (3) можно записать
l(l\X)=maxPl(l\X)/p0(l).
(2.8.5)
В порядке возрастающей сложности рассмотрим последовательно
четыре частных случая: 1) неизвестна только начальная фаза
сигнала ф, 2) неизвестны начальная фаза ф и частота со, 3)
неизвестны начальная фаза ф, частота со и амплитуда Л и 4) неизвестны
начальная фаза ф, частота со, амплитуда А и время появления
сигнала т.
При аналоговой обработке принятого колебания £(/)
отношение правдоподобия дается выражением (1.2.20):
Z(gM=exp{-^[[2g(*)«(*,b)-s8(',b)]<tt} =
= ехр
А*гя
2N
ехр
2_А
N
\ l(t) sin (a t + <p)dt
(2.8.6)
159

1. Пусть неизвестна только начальная фаза сигнала <р. Из (6)
видно, что максимально правдоподобная оценка фазы <р
находится из условия получения максимума по ф выражения
г
q (<р, ю) = J I (t) sin (ю t -f- ф) dt = max.
о ф
Отсюда для определения ф получаем уравнение
* т „ т
— sin ф J e (^) sin со fafr f cos ф f £ (/) cos со /Л — О,
имеющее решение
Ф - arctg —
1 | (t) COS (О &М
f g (/) sin шй1
При этом
max q (ф, со) — q(q>, со) --= [ £ (t) sin (со / -J- ф) dt. (2.8.7)
Нетрудно убедиться, что величину q(<f, to) можно также
представить в виде
<7(Ф, со) =■?(©)■
| | (0 sin со /d/
-f
| £ (/) cos со tdt
i/-'
(2.8.8)
Приемник корреляционного типа, реализующий алгоритм (7),
изображен на рис. 2.53. Величина v(«p, со) может быть также
получена при помощи некогерептиого согласованного фильтра, т. е.
линейного фильтра, согласованного с сигналом при произвольной
начальной фазе, и следующего за ним детектора огибающей. Такой
приемник также приведен па рис. 2.53. Представление (8) можно
реализовать при помощи квадратурного приемника. Таким обра-
?(t)
X
Оценка р и
формирование
'JO
Ророговое
устройство
cosfft»^
а)
Р
Согласованный
фильтр
для
произвольной р
Детектор^
огибающей
Пороговое
устройство
оГ)
160
Рис. 2.53. Два варианта
приемника обнаружителя
сигнала с неизвестной фазой:
корреляционного тина (а) и
с согласованным фильтром
(б)

зом мы пришли к приемникам типа рис. 2.7 и 2.8, которые
являются оптимальными обнаружителями сигнала со случайной и
равномерно распределенной начальной фазой на фоне белого шума.
2. Предположим, что в рассматриваемом сигнале неизвестны
начальная фаза и частота. В этом случае нужно функцию q((\\ со),
определенную, например, выражением (8), дополнительно
максимизировать по со. По существу, такая задача будет решена в.
§ 3.3,- п. 6, а также в § 3.8, и. 2. Для оценки частоты можно
использовать пли многоканальный измеритель (рис. 3.13) или
частотную автоподстройку (рис. 3.20).
3. Пусть в сигнале неизвестны начальная фаза, частота и
амплитуда. Как следует из (6), максимально правдоподобная оценка
амплитуды А равна
А = — J'g (/) sin (ш / + q>) d/. (2.8.9)
Ти о
Подставив это значение Л в (6), получим максимальное значение
отношения правдоподобия
/(||ф,со,Л) = ехр j-M \ t (t) sin (a t +у) dtY) ..
Заметим, что согласно выражению (9) оценка амплитуды А =
= 2<7(со)/тм. Отсюда следует, что максимизация отношения
правдоподобия по амплитуде А эквивалентна максимизации функции
д(ш) по частоте со. Поэтому структурная схема приемника для
данного случая будет такой же, как и в предыдущем случае.
4. Допустим, что в рассматриваемом сигнале неизвестны
начальная фаза, частота, амплитуда и время появления. Примем, что
время появления сигнала равновозможно в некотором временном
интервале О^т^Тт*^. В данном примере отношение
правдоподобия для О^т^тт следует записать в виде
/(Цф, со,Дт) = ехр
2/V
exp{^yHE(/)sin[a>(*-T) + 9]dA
Оценки параметров ф, со, А и т должны максимизировать это
выражение. В частности, оценка т = т должна максимизировать
функцию
q((o,x)= ] l(t)sin [co(f—x)-f ф] dt.
Максимально 'правдоподобная оценка амплитуды определяется
выражением
Л = 2<?(со,т)/ти = — j l{t)s\n\®{t—T) + y]dt.
«-82 W

Устройство оценки будет иметь вид многоканального измерителя
.параметров ш и т (с. 171, 201). В качестве испытательной
статистики в задачах обнаружения сигнала можно использовать или
оценку амплитуды Л или функцию ^7 (со, т).
2.9. О ДЛИТЕЛЬНОСТИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ
Рассмотрим применение методов, связанных с достижением границ
марковскими процессами, к оценке длительности последовательной процедуры
обнаружения детерминированного сигнала s(i) на фоне белого шума n(t) [31, 32]. В
.этом случае отношение правдоподобия имеет вид
/(Г)=ехр lj $[2l{t)s{t)-s*(t)]dt j. (2.9.1)
Как указывалось в § 2.1, в соответствии с процедурой последовательных
испытаний Вальда отношение правдоподобия (1) в каждый момент времени
сравнивается с двумя пороговыми величинами:
Л' = (1— Рц> )/(!— PF), h" = pD/pF, (2.9.2)
где рр — вероятность ложной тревоги, рг> — вероятность правильного
обнаружения сигнала. Испытания заканчиваются принятием решения о наличии в
течение времени наблюдения сигнала (гипотеза Н[), если в некоторый момент
времени l(t)^h', или об отсутствии сигнала (гипотеза Н0), если l(i)^h'. При
h'<l(i)<h" испытания продолжаются. Очевидно, что при pF<l/2 имеет место
соотношение h">h'.
Таким образом, время принятия решения при описанной процедуре
последовательного анализа является случайной величиной. Вычислим распределение
длительности процедуры последовательного анализа и моменты. Можно
показать, что среди всех возможных процедур обнаружения сигнала процедура
последовательного анализа минимизирует среднее время, необходимое для
принятия решения при заданных вероятностях р? и рг>.
Рассмотрим случайный процесс
»(/) = 1п/(*) =— | [21(T)s(T)-s2(T)]dT. (2.9.3)
Так как экспонента — монотонная функция, то достижение границ h' или h"
процессом /(/) эквивалентно достижению процессом v(t) границ
r. = lnh', d=\nh". (2.9.4)
Поскольку l(^) представляет собой гауссовский процесс, то v(t) также
■является гауссовски.м процессом. Покажем, что v(t) является виперов-
ским процессом с независимыми приращениями. Действительно,
производная по времени процесса v(t) при наличии сигнала (гипотеза Н{) равна
dv 1
— = — [s»(/) + 2s(/)n(*)l. (2.9.5)
В отсутствие сигнала (гипотеза Н0)
dv 1
— = —-[-«»(*) +2s (*)/»(/)!.■ (2.9.6)
at /V
U62

Стохастические дифференциальные уравнения (5) и (6) определяют неодно»
родный марковский процесс с коэффициентами сноса и диффузии, равными
a(v, t) =-- -±s2(t)/N, b(t) = 2<2(/)/ЛЛ (2.9.7>
Для него справедливо уравнение Фоккера — Планка — Колмогорова
N др д2р _ др
dt ~ dv "*"
s»(0
dv
(2.9.8)
Заменой переменных
т = — f s2 (x) dx
N
(2.9.9)
уравнение (8) приводится к виду
др_
дх
1 fd*p
2 \ &>2
Решением этого уравнения является выражение
dp \
dv J
Р(1',т\ил)
1
Т/2,
лх
ехр
(v — v0 + x'2)2
2т
Отсюда следует, что процесс v(t) является винеровским процессом с
независимыми приращениями и имеет плотность вероятности перехода
[у-х±[т(г)-т(Щ/2\*
2[x(r)-x(t)]
п{у, г\х, i) =■
ехр
{-
-}.«..
9.10)
У2я [т (г)-т (0J
Здесь знак плюс соответствует отсутствию, а минус — наличию сигнала в
принятой реализации !(/).
Таким образом, задача нахождения распределения длительности процедуры
последовательного обнаружения детерминированного сигнала на фоне белого
шума свелась к задаче достижения границ (с, d) нестационарным винеровским
процессом v(t). В [31] показано, что формула (10) справедлива для более
общего случая обнаружения детерминированного сигнала на фоне гауссовских
помех с дробно-рациональной спектральной плотностью. Однако в этом случаз
т(г) определяется более сложным путем.
Заменой переменных (9) плотность вероятности pc,d(t, v0) времени первого
достижения границ (с, d) из начальной точки ч0 сводится к плотности
вероятности gc,d(x, Do) достижения границ (с, d) однородным винеровским процессом.
При этом
pc,i(t, Uo)d/=gc,d(T, v0)dx, c<v0<d. (2.9.11)
Можно показать [33], что для преобразования Лапласа
оо
g*cd(s, v0)= §gc,d(r, Do)exp(—sx)dx
0
от плотности вероятности gc.d(x. Do) справедливо уравнение
dgcd (s,ue)
<Pgc,d(s'v») , 1
: ± —
dv:
e
с граничными условиями
dvn
g*c,d(S, c)=g*c,d(S, d) = l.
sg*c,d(sr sr„> = 0 (2.9.12)
(2.9.13)
163-

В уравнении (12) знак плюс соответствует Hi, знак минус — Я0. Отметим, что
при определении распределения длительности процедуры последовательного
анализа нас интересует время первого достижения границ, (с, d) процессом v(t)
из начального состояния у(0)=0. С учетом этого решение уравнения (12) с
граничными условиями (13) при наличии сигнала в принятой реализации
(гипотеза Н\) имеет вид
*,VS'°) =
*7А*'*) =
sh
sh |c"l/2(s+l/8)J
l(c-d)V2(s+l/8)l
sh [d"|/2(s 4-1/8)]
exp
(2.9.14)
exp I —
sh \(d — c) "1/2 (s+1/8)] \ 2
Здесь'Через g+*c,d(s, 0) обозначено преобразование Лапласа от плотности
вероятности g'+c,<i(T, 0) достижения границы d(d>c) раньше, чем границы с.
Обратное преобразование от (14) дает
1
г=.*(т, 0) = —— exp
т "|/2ят
Хехр{~т
ехр
4d-
^] frf—2n(rf—c)]X
П— — 0О
2
—n(d—с)
(2.9.15)
g~c.d(T, 0) =
1
х~\/2пт
X exp <
4с-
S Г2л(с-
П——оо
2i
-rf)— cl X
—n{c—d)
gc.d(X, 0)=g+c,d(T, 0)+Г"сЖ 0).
Плотности вероятности p+c,d(t, 0) времени принятия решения tfi, p~c,d(U 0)—
принятия решения #о и pc,d(U 0) ■—длительности процедуры последовательного
анализа при наличии сигнала можно найти согласно (11), подставив в (15)
т=т(<) и умножив на dx(t)!dt=2s2(t)jN.
В отсутствие сигнала (гипотеза На) аналогичным образом получим
et'd (*> о)
iQ <s> °) =
sh [c"l/2(s+ l/8)j
sh[(c —d)T/2(s+l/8)
sh[d"]/2(s+ 1/8)1
exP|-T
exp
sh[(d-c) l/2(s+l/8)] V 2
(2.9.16)
Tlo известной плотности вероятности pc,d (t, 0) среднее
последовательного анализа находится по формуле
время процедуры
Ti(c, 0, d)-\tpe.d(t, 0)dt.
о
(2.9.17)
Ш ряде случаев для его нахождении можно также воспользоваться свойством
преобразования Лапласа
d
Ti(c, 0, d)=— lim—- p*c,d(s, 0). (2.9.18)
s->o ds
•Рассмотрим два конкретных примера.
Ш

Пример 2.-9.1. Длительность процедуры последовательного обнаружения
постоянного сигнала. Пусть s(t)=A=const. В этом случае
x{t)=2A4IN, t=Nx/2A2.
Следовательно, средняя длительность процедуры обнаружения равна
Л (с, 0, d)= | трм(т, 0)rft= — ) т8с,ф, 0)rft=- — 1Ш1 .
(2.9.19)
В отсутствие сигнала (Я0) на интервале наблюдения из (16) и (19) после
вычисления предела производной g*c,d(s, 0) получим
N ( ей — 1 _, 1 - ес \
Ti{c,Q,d)=——\c— +rf— . 2.9.20)
А* V ей — ес ed— ес/
Так как согласно (2) и (4) справедливы равенства Pf=(1—ec)/(e<1—ес), 1—а=
= (ed—1)/(ed—ес), то формуле (20) можно придать другой вид:
N
Ti(c, 0, d)=-—[pFd+(\-pF)c]. (2.9.21)
Аналогично, при наличии сигнала (Н[) при помощи (15) и (19) получим
N
Ti(c,0,d) = — [pDd+(l—pD)c]. (2.9.22)
Пример 2.9.2. Длительность процедуры последовательного обнаружения
гармонического сигнала [32]. Пусть
s(t)=Am cos <i>t, ,(2.9.23)
где Ат и <в — известные амплитуда и частота. В данном случае из (9) следует,
что
лт I sin 2 со Л ,„„„,,
^-ir[t+-^r)' (2-9-24)
На практике обычно выполняется условие соЗ>1. При этом из (24) видно,
что средняя длительность последовательного обнаружения гармонического
сигнала на фоне белого шума в первом приближении может быть оценена по
формулам (21) и (22). Чтобы получить более точный результат, обозначим р =
= A2m,jN я заметим, что из (24) следует приближенное равенство
1 / sin 2 со А
^7lT-^r)- (2-9-25)
Для определения средней длительности процедуры последовательного
обнаружения согласно формуле (18) необходимо предварительно найти
преобразование Лапласа от плотности вероятности pc,d{t, 0):
p*cd(s, 0)= \pc,d(t, 0)e-«W~ e P g,,d(T, 0)exp — \dx. (2.9.26)
0 0 \ P 2co у
Имея в виду последующий предельный переход при s-*-0, разложим экспоненту
в ряд Тейлора и сохраним члены только первого порядка малости
f s sin 2 сот \ s sin 2 сот
ехр —.—-— = 1 + +0(s2).
\ р 2со ) ^ р 2со '
165

Подставив это разложение в (26), нз (18) получим
Л(с, 0, d)=lim
s-»-0
dp*c,d(s,0)
+ lim
1
s->.o 4 j cop
Sc.d
ds
s + 2 j со
= lim
s-0
0
-*-*.-It-0
+
p j —- \ p
= Г,(')(с, 0, rf)+7V2>(c, 0, d). (2.9.27)
При записи здесь второго предела было использовано следующее свойство
преобразования Лапласа:
О* J
j e-*Ht)sinu>tdt = — f/*(s_jco)+/*(s + jco)l.
о ^ J
Для первого предела в (27) аналогично (21) и (22) получим
7V'>(c, 0, d)=—■— [pFd+(\— p,)c\
Р
при отсутствии сигнала (Я0) и
(2.9.28>
(2.9.29>
7Y»(c, 0, d) = [pDd+(l— pD)c]
9
при наличии сигнала (//|).
Для второго предела при справедливости гипотезы Н0 и 2<оЗ>1/4 получим
7V2>(c, 0, d) =
1
4 j top
в-<</2
sh с "]/2jco
sh с V — 2'jci
+ e
-c/2
sh (c—d) "1/2JC0 sh (c — d) У— 2jco
shdV2]co
sh d V — 2jco
)■
. sh(d —c)V2jco sh (d—c)V—2jco
При больших значениях со это выражение несколько упрощается:
+
(2.9.30>
+
Г,(«(с, 0, d) = -J—je-4'/2[e-w-2f)/w sin(d-2c) Vco-e-d1^sind Ус7
2 cop [
+ e-^2 [e-<2d-'r) /5" sin(2d_c) "|A7-+- e' "sin c"l/wj|. (2.9.31 >
Из формулы (31) следует, что для больших значений со влияние
вибрационного сомножителя cos со/ в (23) на среднюю длительность процедуры
последовательного анализа очень мало.
При наличии сигнала (Hi) для Г*2»! получается выражение типа (31), »
котором ехр(—d/2) и ехр(—с/2) заменяются на exp(d/2) и ех.р(с/2)
соответственно.
Глава 3
ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛА
3.1. ВВЕДЕНИЕ
Напомним формулировку задачи оценки параметров сигнала
(с. 11). Пусть наблюдаемое (принятое) колебание |(f) представ-
166

ляет собой сумму полезного сигнала s(t, X), зависящего от
нескольких параметров Х={ХЬ Яг,... Дт} и помехи n(t):
&(/) = *(/Д) + л(0,0</<7\ (3.1.1)
Полагаем, что известны все необходимые вероятностные
характеристики помехи n(t) и известна (точно или ориентировочно)
априорная плотность вероятности параметров к. Сами параметры
к на интервале времени [О, Т] являются постоянными
величинами. Располагая реализацией случайного процесса \(t) конечной
длительности Т, требуется оптимальным образом оценить значения
некоторых параметров сигнала в принятой реализации, считая
остальные параметры детерминированными или случайными с
известными вероятностными характеристиками.
Решение сформулированной задачи предполагает
предварительный выбор критерия оптимальности оценки. В результате
решения в соответствии с выбранным критерием оптимальности
должна быть получена структурная схема оптимального
измерителя и найдены основные количественные характеристики оценки
(например, смещение, дисперсия и др.).
Методы решения задачи оценки параметров сигнала
базируются на математической статистике и теории фильтрации. Основные
методы оценки параметров по результатам дискретных
наблюдений (выборке), заимствованные из классической статистики,
непосредственно применимы к решению нашей задачи, если оценку
интересующих нас параметров сигнала производить по
дискретным отсчетам наблюдаемого процесса £(^)> 1=1,2,3,..., /ге.[0, Г].
Если в распоряжении имеются реализации непрерывного
случайного процесса |(0. доставляющего информацию о неизвестных
параметрах, и можно осуществлять их оптимальную обработку
в непрерывном времени, то (по сравнению с дискретной
обработкой) могут быть получены более точные оценки. В этом состоит
одна из основных особенностей приведенной здесь методики
оценки параметров сигнала по сравнению с изложенной в § 4.4 [35].
В настоящей главе рассмотрены оценки параметров сигнала по
максимуму функционала правдоподобия, которые обладают
рядом «хороших» свойств. Возможности аналитической записи
функционалов правдоподобия ограничивают класс помех n(t)
помехами марковского типа, порожденными гауссовским белым шумом.
В последующем рассмотрении принято, что помехой n(t)
является стационарный гауссовский белый шум с характеристиками
(1.1.19). Обобщение результатов на некоторые марковские помехи
можно найти в известных монографиях [1, 16, 34].
Кроме этого, рассмотрение будет ограничено оценкой одного
.или двух параметров сигнала. Сами параметры сигнала
целесообразно разделить па дне группы: энергетические и неэнергетпче-
ские. Энергетическими назовем те параметры, от которых зависит
энергия сигнала Е = Е(Х); в противном случае параметр
называется неэнергетическим. К энергетическим параметрам радиоимпуль-
167

са относятся его «амплитуда» и длительность,, а к
неэнергетическим—время запаздывания, частота и фаза.
Заметим, что если априорная плотность вероятности
оцениваемого параметра почти постоянна на интервале существенного
изменения функционала правдоподобия, то оценка по максимуму
апостериорной плотности вероятности совпадает с оценкой по
максимуму функционала правдоподобия [35]. При качественном
рассмотрении частного примера — оценки временного запаздывания
отраженного сигнала в § 1.2 (рис. 1.4) указывалось иа
возможность неоднозначности оценки. Она обусловлена тем., что при
некоторых условиях положение наибольшего максимума
функционала правдоподобия может существенно отличаться от истинного
значения оцениваемого параметра. Возможность неоднозначности
оценки или, иначе, получения неверной оценки возрастает с
уменьшением отношения сигнал-шум и расширением, интервала
допускаемых значений оцениваемого параметра. При существенной
вероятности неоднозначности оценки сама оценка утрачивает
практический смысл и значение. Количественное исследование
неоднозначности оценки возможно лишь для конкретных примеров и
связано с решением ^весьма сложной задачи определения плотности
вероятности наибольших значений в реализациях случайного
процесса конечной длительности. Чтобы избежать этого, в
последующем принято допущение: отношение сигнал-шум настолько
велико, что неоднозначность оценки практически исключается. При
этом кардинальный вопрос о том, начиная с каких значений
отношения сигнал-шум можно практически пользоваться полученными
результатами, остается открытым. Некоторые количественные
оценки будут приведены в § 3.8, п. 3.
Известно, что исчерпывающее описание информационных
параметров К полезного сигнала дается апостериорной плотностью»
вероятности Pps(i.) =р(Л.|£'о)- Зная ее, можно получить оценку i.
по любому критерию. Когда полезный сигнал зависит не только от
информационных параметров X, но и от случайных
сопутствующих параметров «, т. е. s(t)=s(t, К, а), апостериорную плотность
вероятности информационных параметров можно найти двумя
методами.
1. Если сами сопутствующие параметры не подлежат оценке
и известна совместная априорная плотность вероятности
информационных и сопутствующих параметров рРгСк, а), то
p(k\l$ = k$ р(Ц\Ь,а)р1)г(Х,а)йа^к$ р(Ц\Ка)ррг(Ь\<*)рРг(<*)Л<х
В частном случае, когда информационные и сопутствующие
параметры априорно независимы, т. е. ррГ{к, а) =ррг(Х)рРг(а),
имеем
р(Щ)=--кРрг(1)1р(Ц\Ка)р7,т(а)с1а. (3.1.3)
(о)
168

Такой истод вычисления апостериорной плотности вероятности
информационных параметров (путем осреднения с априорной
плотностью вероятности сопутствующих параметров) широко
использовался в § 1.5. Отметим, что если информационные и
сопутствующие параметры независимы не только априорно, но и
апостериорно, то оценки информационных параметров вообще не будут
зависеть от сопутствующих параметров.
2. Когда требуется оценивать не только информационные, но
и сопутствующие параметры, нужно по обычным правилам
вычислять совместную апостериорную плотность вероятности
информационных и сопутствующих параметров pps(K а)=р(к, а||(о).
Нел и же интерес представляют только информационные
параметры X, то следует воспользоваться условием согласованности
плотностей вероятностей:
р(Ь\1!) = $р(К«\%)<1а=--$Р(к\Ц,а)р(а\11)(1а. (3.1.4)
(•«) (а)
В данном случае производится осреднение с текущей
апостериорной плотностью вероятности сопутствующих параметров. Такой
метод подробно изложен при выводе формулы (2.1.20). Все
приведенные там рассуждения справедливы не только для
дискретного, но и непрерывного информационного 'параметра.
Таким образом, апостериорную плотность вероятности
информационных параметров можно находить двумя эквивалентными
методами: при помощи осреднения с априорной плотностью
вероятности сопутствующих параметров (3) или осреднения с их
текущей апостериорной плотностью вероятности (4). При
рассмотрении конкретных примеров следует применять тот из методов,
который оказывается более простым.
Отметим, что если совместная апостериорная плотность
вероятности- информационных и сопутствующих параметров ррч(Х, а)
нормальная, то апостериорная плотность вероятности
информационных параметров pps(k) будет тоже нормальной. При этом
опенки информационных параметров к по разным критериям
одинаковы и не зависят от характеристик сопутствующих параметров,
хотя информационные и сопутствующие параметры апостериорно
зависимы.
В дальнейшем методом максимума функционала
правдоподобия при указанных выше ограничениях будут получены
структурные схемы оптимальных измерителей отдельных параметров
радиоимпульсов, принимаемых на фоне, в основном, гауссовского
белого шума.
Отметим, что все методы оценки параметров, изложенные в
■§ 4.4 [35], дают соответствующие оптимальные алгоритмы
обработки наблюдаемых данных, но сами по себе не определяют
количественные характеристики получаемых оценок (например,
дисперсии оценок). Для определения количественных характеристик
оценок (в частности, дисперсий) наиболее часто применяют два
подхода: Т) в качестве дисперсий оценок используют нижние границы
169

Pao — Крамера [8, 35, 36] и 2) дисперсии оценок вычисляют путем
последовательных приближений по малому параметру.
1. Если принять соглашение,. что несмещенная и эффективная
оценка интересующего нас параметра существует, то должно
выполняться равенство [35]
— 1п/7(х|Я,) = й(Л)(Х—Л). (3.1.5)
В методе максимального правдоподобия оценка находится
приравниванием этого выражения нулю, т. е. К = К .при fe(A)=#=0.
Следовательно, эффективная оценка является также максимально
правдоподобной. Дисперсия же эффективной оценки определяется
нижней границей Рао — Крамера.
На практике оказывается, что оценка по максимуму
функционала правдоподобия становится асимптотически эффективной при
увеличении отношения сигнал-шум. Более того, при больших
отношениях сигнал-диум апостериорная .плотность вероятности
параметра в большинстве практических случаев близка к
нормальной, и все методы оценки, указанные в [35], дают .приближенно
одинаковые результаты.
2. В следующем параграфе будет изложена методика
определения дисперсий оценок при помощи ^последовательных
приближений по малому параметру, в качестве которого' используется
отношение шум-сигнал. Такая методика имеет то преимущество, что
позволяет (без учета возможной неоднозначности) количественно
оценить влияние конечного значения отношения сигнал-шум на
дисперсии оценок. При этом для больших отношений сигнал-шум
получаются результаты, совпадающие с нижней границей Рао —
Крамера.
3.2. ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛА ПРИ МАЛЫХ ШУМАХ
Рассмотрим вначале методику оценки неэнергетических
параметров сигнала. Вывод будет сделан для оценки двух параметров
полностью известного сигнала. От этого случая без всяких
особенностей можно перейти к любому числу параметров [1, 34]. При
таком выводе удается избежать использования матричного
анализа. Для оценки параметров сигнала со случайной начальной фазой
будут приведены лишь итоговые формулы [1,34].
1. Оценка неэнергетических параметров известного сигнала.
Пусть на интервале времени ,[0, Т] наблюдается сумма сигнала
s(t, %и Хг), зависящего от двух параметров A,i и Я,2, и гауссовского
белого шума n(t):
l(t) = s(t,Xi,K) + n(f). (3.2.1)
Нужно оценить значения параметров h и К2, если априорно
известно, что Я,| принимает одно из значений в интервале i[Vi, А,",],
а Я,2 — в интервале [А/2, Я"2].
170

Отправляясь от записи функционала правдоподобия в виде
(1.2.19) и повторив рассуждения, приведшие к формуле (1.2.37),
нетрудно убедиться, что если параметры Х{ и Я,2 неэнергетическиё
и их априорные распределения в указанных интервалах
равномерные, то функционал правдоподобия представим выражением
F {\ъ l2) = const • exp [q (Klt 12)], (3.2.2)
где
_2_
N
Я{КК) ^-irlt(t)s(t,K,K)dt
(3.2.3)
— логарифм функционала правдоподобия.
Максимально правдоподобной оценкой будет такое значение
совокупности (А,,, К2), которое доставляет максимум логарифму
функционала правдоподобия q(Ku А2). Эти значения должны
удовлетворять системе двух уравнений правдоподобия типа:
dlx
q (Ях, Я2)
(аЛ, , АЛ2)
= 0.
(3.2.4)
(л„л.) дк*
Из выражений (3) и (4) следуют способы получения оценок
параметров сигнала. Одним из возможных способов построения
4{h, h) могла бы быть регистрация (запись) принимаемого
колебания l(t) с последующим перемножением и интегрированием
его, предписываемым (3), для последовательных значений
оцениваемых параметров из области их допустимого изменения. При
этом согласно (4) за оценочные следовало бы взять те значения
Я|, и А2, для которых функция q(ku А2) имеет наибольший пик.
Однако такой способ связан с большими затратами времени и
непрактичен.
Обычно применяют «параллельные» многоканальные
измерители. Структурная схема оптимального измерителя, позволяющего
получить q{h, А2) для пг-п фиксированных значений параметров
(hi, X2j), t'=l, 2, 3, ..., m, /=1, 2, 3, .... /г, приведена на рис. 3.1.
Принимаемое колебание h,(t) перемножается с полезным сигналом
s(t,An,Az1) s(t,An;Az;)
4 I s(t,Af2,AZf) \ s(t,Afm,Azn)
{(t)
X
X
i
Ш&ГГ,*2Г)
ffcaJzf)
—Lxj—^—&"f-^^
-Ob.,**,).
x-~£
Af,Az,
Рис. З.1. Общая структурная схема оптимального измерителя двух параметров
сигнала известной формы
171

s(t, Яь K2) при всевозможных значениях (Хи к2), причем ?и допж-
но находиться в интервале [К'и Г,], а Х2~ в интервале [Г2, Я,"21
затем результат перемножения интегрируется в течение времени
1. Выходные напряжения интеграторов в отдельных каналах
представляют собой величину Nq(ku К2)/2 при конкретных значениях
параметров (кц, taj). Решающее устройство выдает номер канала
(иначе, совокупность величин (Г,, Г2)), в котором значение а
максимально. Число каналов тип зависит от требуемой точности
измерения соответствующего параметра. При фиксированных
интервалах [К 1, K"i] и [к'2, К"2] увеличение чисЛа каналов тип.
имеет смысл лишь до некоторых пределов (см. § 3.8, п. 3).
Схсщ оптимального измерителя легко распространить на
случай любого числа параметров. Так, если неизвестен только один-
параметр, например ки то схема оптимального измерителя
получается, если считать параметр 12 известным и подставить его
точное значение в функцию q(h, К2). Тогда п=\ и q зависит лишь ог
/ч. Соответствующий измеритель изображен на рис. 3.2.
°У>> еПЛО eft4/; ЩХт>
6(0
X
X
-ЧхЬ
г
?&,)
лТ
q(лг)
X:
лт
А*
Рис. 3.2. Общая структурная схема оптимального измерителя одного параметра-
сигнала известной формы
Уравнения правдоподобия можно моделировать не только
указанными «параллельными» многоканальными измерителями,,
но также при помощи «последовательных» следящих измерителей
(см. §§ 3.3, 3.8) и измерителей смешанного типа.
Для отыскания статистических характеристик оиенок %и к2 при
малых шумах воспользуемся методом малого параметра [1].
Введем малый параметр
■Ш
S* «,!„»,) it
V 2Я
Qo112
(3.2.5)
обратно пропорциональный корню квадратному из отношения
сигнал-шум. Тогда функцию q(Ku К2) можно представить в
следующем виде:
о2
я (К *.) = —[ S(K К; Ко, К>)■+ей (V >д]
(3.2:6)
172

Здесь Яю, Яго—истинные значения параметров;
S(K К А10, x20)=YjW. К K)dt\{ [s{t, К, K)s(t, Ко, K)dt
(3.2.7)
— нормированная сигнальная функция на выходе оптимального
корреляционного приемника;
N (К Я2) = {4г К С *ь *Л dtV'^n (t) s (t, kx, К) dt (3.2.8)
\ 2 о /о
— нормированная шумовая функция на выходе оптимального кор1-
реляционного приемника.
При входном сигнале известной формы сигнальная функция
является неслучайной, а шумовая — случайной с нулевым
математическим ожиданием
M{iV(^2)} = 0 (3-2-9)
и корреляционной функцией
2 /г w
М {N(Я1(Я2) #(Я*х, Я*2)} = -f- / js2 (/, Яь X2) d/\ х
т т
X j JM{л&)л('.)}«&, *i, Я2)*(4, k*1,k\)dt1dti--
0 0
= ([«*('. Xlt Я2)^)~"' f s(f, Ях, **)*(*, Л*1,Я,*,)Л = 5(Я1, V, X*!, Я*2).
Из (7) видно, что нормированная сигнальная функция всегда
симметрична относительно своих аргументов (т. е. не меняется при
перестановке аргументов Я] и Яю, Яг и Яго) и имеет максимум
(максимум максиморум) в точке к\=кю, Яг = Яго. Этот результат непо<-
средственно следует из очевидного неравенства
[s(t, ku k2)—s(t, Я10, Я20)]2=в2(г, Я1( k2) + s2(t, Я10) Я20) —
—2s(t, К, k2)s(t, Я10> Я20)>0,
т. е.- 2s(t, къ k2)s(t, Я10) Я20)<52(*, klt k2) + s*(t,
Яю> Я20).
Левая часть этого соотношения при любых ки Яг и Яю, Яго не
может превышать значение правой части. Однако при Я1 = Яю, Яг =
— Яго имеет место знак равенства. Следовательно, произведение
s(/, к\, Яг)5(/, км, Яго) максимально при ki = kw, Яг = Яго.
Б теоретических моделях систем связи параметры сигнала Я] и
Яг в большинстве случаев таковы, что сигнальная функция за-
рйсит от разности своих аргументов и является симметричной
функцией:
S(ku Я2; Я10, Я20) = 5(Я!—Я10, к2—k20) = S(k10—к1х Я^^-Яз). (3.2.10)

Поскольку сигнальная функция в точке (Аю, Аго) имеет максимум,
то
-A-S^-A^, Я2-Я20)|(Л10,Лго) = 0. ' (3.2.11)
о hi
На основании (10) записываем окончательное выражение для
корреляционной функции
М{/^Л)#(**i, Х*2)}=§(Я1-Я*1, А2-А*2). (3.2.12)'
Для краткости последующих записей введем обозначение
[•S]uv a*2) = S(X*1 — А10, А*2—А20). (3.2.13)
В отсутствие шума е = 0 и jV(Ai, Я,г)=0. При этом из (6)
следует, что максимум функции g(Ai, Аг) соответствует максимуму
сигнальной функции, который имеет место при
Aj = А10, А2 = А20.
При малых шумах (е<С1) максимум функции <?(Ai, Аг) может
быть смещен относительно Аю, Аго на небольшую величину.
Поэтому полагаем
К1 = к10 + гХ11 + Е*1п+..., А2 = А20 + еА21 + е2А22+..., (3.2.14)
где Kij соответствует поправке /-го порядка малости для 1-го
параметра. Ограничимся в дальнейшем первым приближением, т. е.
положим
Ai=A10 + eAn, А2=А20 + еА21. (3.2.15)
Обозначим
ЧЛК, K) = &-~q{K К), i=1.2. (3.2.16)
Разложим функции ^(Ai, Аг) в ряд Тейлора в окрестности точки
(А,о, Аго) и ограничимся первым приближением:
; = 1 О К.
(3.2.17)
Из этого соотношения с учетом выражений (4), (6), (15) и (16)
получим систему двух алгебраических уравнений для поправок в
первом приближении:
2<ЛЛ-1=-т*, t'=l, 2, (3.2.18)
где обозначено
'«'ЬттН ■•"«-НпН- ' ''.' = 1.2. (3-2.19)
174

Отметим, что коэффициенты 1ц — неслучайные величины, а /я,- —
случайные.
По известным правилам записываем решение системы
линейных алгебраических уравнений (18):
А,ц'= (mi/22—m2/i2)/A, Ki = {m2Jn — m\h^l^, (3.2.20)
где
Д = Уи/„-./„ У„. (3.2.21)
Для нахождения статистических характеристик поправок Хц,
1 = 1,2 необходимо предварительно вычислить математические
ожидания и корреляцию случайных величин Ш\ и т2.
Воспользовавшись их определением (19), на основании выражений (9) и
(12) получим
М {т,} = -— М {N (Хи К2)} = 0, (3.2.22)
М {mi m.j} =
■fA{N{\, X2)N(K0, *»>}
A2=A20
_д Я,- <3 Я,/0
L dkidkjo _|ц10, A20) L dlidlj J<A10, A20)
гле было использовано очевидное равенство
f(x—«!> = " ^—f(x—хг).
дх dxj
Из равенств (20) с учетом (22) находим математические
ожидания поправок
MW = 0, /=1, 2.
При этом из (15) получим
М{М=Л0, i=l,2. (3.2.24)
Таким образом, оценки параметров Х\ и Х2 в первом приближении
несмещенные (согласно (14) смещение имеет порядок малости не
более, чем е2).
Согласно (14) ошибки оценки равны
ЬХ^^—км^^вХц. (3.2.25)
Для определения статистических характеристик ошибок нужно
сначала вычислить дисперсии и взаимные корреляции поправок
Яп. При этих вычислениях предположим, что вторая производная
d2S/dkidX2 непрерывна в точке (Яю, tao), так что выполняется
равенство
/u=/,i. (3.2.26)
При этом
А =/и/„—/?„. (3.2.27)
175

На основании (20) имеем /
М{Х2,}.-Л-аМ{(т1У28-т,У,а)»}. /
Воспользовавшись соотношениями (23) и равенством (26),
получим /
мед = ~/и/д. /
Аналогичным путем найдем
М{Л11^1} = М{Л1Д11} = У1а/Д. М{^} = -Уп/Л.
Из формулы (25) следует связь между статистическими
характеристиками оценок и поправок:
М{ЛЯгЛ^.} = 82М{ЯаАя}.
Используя полученные выражения для статистических
характеристик поправок, записываем корреляционную матрицу оценок:
Л>2 Aj Яг
-е2/22/Д е2/12/Д
е2У12/А — е2Уи/Л
(3.2.28)
Здесь £>^ —дисперсия оценки параметра kf, R % -} — корреляция
между оценками параметров к\ и kj.
Итак, основные статистические характеристики совместных
оценок двух параметров сипгала, принимаемого на фоне гауссовского
белого шума, в первом приближении определяются формулами
«^22 Г> "М
£>. = i«—. л.
Al Д 2 £'/jV ' li A 2E/N '
% a - /" , (3-2.29)
A' я* A2£//V
где коэффициенты 1ц определены формулой (19) и А — формулой
<27).
В том случае, когда оценивается только один параметр,
например ki, а другой параметр Хг точно известен, все производные по
/.:; равны нулю и система уравнений (18) вырождается в одно
уравнение
АД п= —mi-
Выполнив необходимые вычисления, получим
л. = ! = ! (3.2.30)
(2E/N)Jn (2£//V)[52S/a?i2i]Aio *
Следовательно, дисперсия оценки параметра сигнала обратно
пропорциональна отношению сигнал-шум по мощности и кривизне
нормированной корреляционной функции полезного сигнала по
оцениваемому параметру в ее максимуме.
Укажем, что если при оценке двух параметров сигнала
определить сигнальную функцию выражением
J 76

IE ъ
ЧЛК ^) = "^s (*i. ^2)= vls(^ ^ ^)s(t, ll0, Ко)dt, (3.2.31)
N
n
то элементы корреляционной матрицы ошибок оценки (29)
следует вычислять по формулам
%,= -^2/А. DL = -Jn/A, ЛА;д = /12/А, (3.2.32)
где
" [дксд kj .
. A--/u./8g —/?2. (3.2.33)
Дисперсия оценки одного параметра сигнала определяется
формулой
где
*>х
1
d2 9, (Я)
dA.*
Я„
,(*)=
2£ 5(Я) = ^-[б'(^ X)s(/, Xo)d*.
/V
(3.2.34)
(3.2.35)
Покажем, что корреляционные характеристики oneiroK,
полученных в первом приближении, совпадают с нижними границами,
определяемыми неравенством Рао — Крамера [35].
В рассматриваемом случае функционал правдоподобия
определяется формулой (1.2.19):
г
F (%) =р(Ц\1) = const-ехр
-±$[t(t)s(t, l)r-dt\
где к= {Ки %2,... Д«}—совокупность параметров, подлежащих
оценке. Поэтому
дл,-
In/,(#|X)=-J;j[g(0-S(f, Щ
ds(t, X)
N
dki
dt, i-1, 2,..., s.
(3.2.36)
Отсюда получаем систему из s уравнений правдоподобия
относительно оценок неизвестных параметров X;:
№t)-S(t, щЩ^-dt
i=\, 2,..., s.
= 0,
х. -.-=х
(3.2.37)
Учитывая, что n(t)=l(t)—s(t, Ко), из (36) находим элементы
корреляционной матрицы ошибок (4.3.34) из [35]:
т т
^•=^-1 {ИИУМУ}^^1*!*!
JV2
о о
ds(/, i.) ds(t, i.)
dkj
k-ka
N
die
dt\
(3.2.38)
177

В частности, при t' = / имеем
J и =
_2_
]'
ds{t, X)
dki
dt\
х=х.
/
(3.2.39)
Сравнивая формулы (32) с (4.3.37) из [35], убеждаемся в их
совпадении.
2. Оценка неэнергетических параметров радиосигнала со
случайной начальной фазой. Пусть на интервале времени [О, Т]
принимается сумма вида (1) гауссовского белого шума n(t) и
радиосигнала s(t, к\, X2), начальная фаза ср которого случайна и
равномерно распределена в интервале [—л, л].
Поступая так же, как, например, при получении формулы
(1.5.19), нетрудно показать, что для неэнергетических параметров
Ki и Хг функционал правдоподобия в данном случае будет
определяться выражением
F(klt к2)= const I0(q(klt Я,)), (3.2.40)
где h{x)—функция Бесселя нулевого порядка от мнимого
аргумента,
Я (К К) ■
il(t)s(t, К, K)dt
(3.2.41)
— огибающая (модуль) напряжения на выходе линейного
согласованного фильтра. Применительно к радиосигналу (1.5.4) функция
Q{k\, к2) равна
q(kuk2) = (2/N)X(k1,k2), (3.2.42)
где Х(К[, Яг) определено формулой (1.5.18).
Уравнения правдоподобия, аналогичные (4), теперь .примут вид
дК
Inf(xi' Ma,.A,) =
дХ2
AnFiK к
2MU..A2)-
!i{q(kx, Х2)) ^ dq(Xly Х2)
'o(q(h, Х2)) дХл
h(q(ki, Я2))_ dqjkj, Хг) "
М<7(*1. Я2))
= 0,
Jtfi. А,)
дХ«
= 0.
а,,г2)
Поскольку q(k\, к2)ф0 и функции Бесселя Io{q{ki, к2)) и I\(q{k\,
к2)) также не равны нулю, то уравнения правдоподобия
упрощаются:
дд(к,, Х2)
dXt
. . =0,
а,. я2)
дд (Хл, Х2)
ОХ*
0.
Ui.a,)
(3.2.43)
Отсюда следует, что при оценке неэнергетических параметров
радиосигнала со случайной начальной фазой оптимальной
операцией является образование функции q(k\, к2) согласно выражению
(41) или любой монотонной функции от нее. Функция q{k\, к?)
есть огибающая напряжения на выходе согласованного фильтра.
Поэтому при приеме радиосигнала со случайной начальной фазой
б структурных схемах рис. 3.1 и 3.2 каждый из параллельных ка-
178

налов необходимо дополнить амплитудным детектором
огибающей с произвольной .монотонной характеристикой.
Так же как и при оценке параметров 'полностью известного
сигнала, для больших отношений сигнал-шум характеристики
оценки могут быть найдены в виде соответствующих приближений
но малому параметру. Для этого нужно воспользоваться
представлением оценок в виде (14). Можно показать [1, 34], что и в
данном случае оценки асимптотически несмещенные, а их дисперсии
по-прежнему определяются формулой (32) для двух параметров и
формулой (34) для одного параметра. Однако теперь функция
4s{k\, А,г) должна вычисляться по формуле
т
Qs(K К)'-
_2_
N
$s(t, к10, k20)s{t, klt k2)dt
(3.2.44)
Обычно применяемые на практике радиоимпульсы являются
узкополосными, т. е. их несущая частота ©о значительно
превосходит ширину спектра А©. Для таких сигналов удобно использовать
комплексное представление
s (t, klt k2) = aU (t, ku k2) еи».'+ф) , (3.2.45)
где U(t, Ki, Хг) — комплексная функция, медленно изменяющаяся
по сравнению с высокочастотным гармоническим колебанием
частоты ©о; <р •—начальная фаза.
При использовании такого представления сигнала функцию
(]s(h, ta) можно выразить через комплексную «огибающую»
U(l, ki, к?). Заметим, что в предыдущем рассмотрении принятое
колебание £(/) и полезный сигнал s(t, кю, tao) предполагались
вещественными функциями. Поэтому >при использовании комплекс-
ього представления (45) выражение (44) следует записать в
таком виде:
Я,(КК) = ~
JRe{s(f, kw,k20)}s(t, ku k2)dt\ =
2а2
N
$-$-№& Ко, Лм)е«с.<+ч» +U*(t, kw, >,0)е-!«•.'+♦) ]х
xU(t, klt Я1)е»(«.«-н>> dt
_
n
\u*{t.
"101
kw)U{t,K
k2)dt
(3.2.46)
где звездочкой обозначена комплексно-сопряженная функция.
При вычислении производных, фигурирующих в формулах (32) и
(34), нужно воспользоваться известным равенством
l/(z)l = [/(z)/*(z)]1/2- (3.2.47)
Изложенный выше метод нахождения характеристик оценок
при помощи малого параметра легко обобщается на случай
большего числа параметров, причем эти характеристики могут быть
найдены с большей, чем в первом приближении, точностью. Кро-
179

ме этого, результаты можно обобщить на случай приема сигнала
на фоне коррелированной марковской помехи, порожденной
белым шумом n(t) [1, 34].
3. Оценка энергетического параметра сигнала. Приведенная
выше методика получения характеристик оценки при малых
шумах применима и к энергетическим параметрам сигнала.
Согласно (1.2.8) и (1.2.16) логарифм функционала правдоподобия
энергетического параметра сигнала может быть представлен в виде
где
1
'•№»-т/
1(X)=qs(X) + qn(X),
s(t, X0)s(t, X) X-s4t, X)
?»№ = -£-(>>№«('. *><"•
dt,
(3.2.48)
(3.2.49)
(3.2.50)
Допустив, что функция qs(X) дважды дифференцируема в
точке %=Xq и что отношение сигнал-шум велико (E/N^>\) и
пунктуально следуя затем методике, изложенной в п. 1, получим, что
оценка параметра А, по максимуму функции q(k) в первом
приближении несмещенная с дисперсией
Dt
1
dk*
Л- Ло
(3.2.51)
где функция <?.,(/.) определена выражением (49). Следовательно,
нет существенной разницы между энергетическими и
неэнергетическими параметрами сигнала.
В заключение укажем, что при оценке параметра сигнала X
по максимуму апостериорной плотности вероятности pps(X) =
= kppr(X)F(X), т. е. на основании уравнения максимальной
апостериорной плотности вероятности dpvs(X)ldX\^x=0 (см. § 3.8,
п. 1) или
d in pp„ (Я)
dk х--х
нижняя граница Рао —
дается неравенством [16]
d\nF (Я) d\nppT(X) 1 _q (3.2 52)
dX dX \x=X
Крамера для среднего квадрата ошибки
М {(Х—ХУ) > [—М {d2 In F (X)/dX2)—M {d2 In ppr (X)/dX2}]-\ (3.2.53)
где осреднение производится по результатам наблюдения и
случайному параметру X. Здесь знак равенства имеет место тогда и
только тогда, когда
(Р]прр,(к)/<№= — ц, (3.2.54)
где ц — постоянная величина, независящая от наблюдения и X.
Дважды интегрируя (54), получим
рРз(Х)--=сехр( — цХ2 + с1Х + сг) (3.2.55)
для любых результатов наблюдения и X. Здесь с — постоянная;
С\ и сг — функции результатов наблюдения. Следовательно, что-
180

бы существовала эффективная оценка параметра к
апостериорная плотность вероятности должна быть нормальной при всех
наблюдениях.
3.3. РАЗДЕЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ РАДИОИМПУЛЬСА
Пусть па вход приемного устройства-измерителя поступает
сумма полезного сигнала s(t, К) с неизвестным параметром X,
подлежащим оценке, и гауссовского белого шума n(t):
l(t) = s(t,X) + n(t), 0<*<T. (3.3.1)
В качестве полезного сигнала рассмотрим радиоимпульс вида
s(0 = M0cos[(u* + iH/) + <p] = aSj(0, 0<i<7\ (3.3.2)
где о — несущая частота; ср — начальная фаза; -ф(/)—закон
фазовой модуляции; а= max sa(t) — «амплитуда» сигнала.
В данном рассмотрении удобно определить длительность
сигнала равенством
xn=]f4t)dt, f(t) = sa(t)la. (3.3.3)
о
Для прямоугольного радиоимпульса такое определение
совпадает с обычным определением длительности импульса.
Получим сначала оценки энергетических параметров
радиоимпульса (2): амплитуды а и длительности т„ по максимуму
функционала правдоподобия.
1. Оценка амплитуды детерминированного радиоимпульса.
Считаем, что все параметры сигнала (2), за исключением \ = аг
известны. Согласно (1.2.16) функционал правдоподобия
параметра а в данном случае равен
F(a) = exp{—^$[t(t)-aSl(t)]*dt\ . (3.3.4)
Поэтому уравнение правдоподобия принимает вид
1п/Ча) = ^Ш0-аМО]М0Л = О. (3.3.5)
Л/ v
da N о
Это уравнение имеет решение
lut)Sl(t)dt, E^^s\(t)dt, (3.3.6)
j Т Т
&i
о »
зависящее от £,(t), которое и является оценкой по максимуму
правдоподобия.
Формула (6) вскрывает структуру оптимального приемного и
решающего устройств для оценки неизвестной амплитуды.
.Основной операцией является линейная операция интегрирования
смеси сигнала и шума (1) с весом s^(i). Эту операцию можно
181

выполнить при помощи соответствующего линейного фильтра или
коррелятора (рис. 3.2).
Полагая истинное значение амплитуды равным а0, находим
смещение оценки амплитуды:
М{й} =-^[[ао'9' С) + М{л (0}] МО dt=ao, (3.3.7)
т. е. оценка несмещенная.
Дисперсия оценки определяется выражением
D: = М {(а- а0)2} = -i- f //?„ (4-/х) Sl(y Sl (*8) d*t d/8 = -£-, (3.3.8)
^I 0 0 Ти
так как корреляционная функция белого шума /?„(/г—Л) =
Л'б(/2—/,)/2 и
£х = ( S2 (*) d* = j/2 (0 cos2 [о H- Ф (0 + Ф] d' ~4" 1/2 ^ d/ = V т«-
(3.3.9)
Полученный результат (8) непосредственно следует из формулы
(3.2.34), так как для рассматриваемого примера функция qs(a),
определенная формулой (3.2.35), равна
яЛа) = ^аа0~^-^] s\{t)dt^
= (aa0~^-jf/2(0cos2[(o^ + ^(0 + <P]^~(aa0~|-)^-.
Таким образом, дисперсия оценки амплитуды сигнала с
известными остальными параметрами пропорциональна интенсивности
белого шума и обратно пропорциональна длительности
радиоимпульса.
При однократном измерении параметра X методом
максимального правдоподобия минимальная дисперсия несмещенной
оценки в соответствии с выражением (4.3.24) из [35] определяется
формулой
D£ = —\nl-2-\nF(X) ]1~! . (3.3.10)
д% - 2 J n ти
Из (5) следует, что —— In/7(a) = — ТГJ sf(/)d/ = тг—
да% «
Поэтому
D;=N/Ta. (3.3.11)
На основании сравнения (8) и (11) убеждаемся, что оценка
амплитуды (6) является эффективной.
В качестве характеристики оценки амплитуды часто
рассматривают относительную дисперсию оценки амплитуды
De-/ag = l/(2£/tf), (3.3.12)
182

где E = a2oEi — энергия принятого сигнала. Относительная
дисперсия оценки амплитуды сигнала с известными другими
параметрами обратно пропорциональна удвоенному отношению
энергии сигнала к спектральной плотности шума.
2. Оценка амплитуды радиоимпульса со случайной начальной
фазой. Для сигнала с неизвестной амплитудой и случайной
начальной фазой функционал правдоподобия амплитуды на
основании (1.5.16) имеет вид:
F(a) = const-exp(—aa2/2N) I0(2aX/N), а = тй. (3.3.13)
Приравняв производную от F(a) нулю и учтя при этом, что для
модифицированных функций Бесселя имеет место равенство'
I'o(x)=I\(x), для оценки й получим уравнение
[(—в rJN) /0 (2aXlN) + (2Х/Л0 /х (2а X/N)] e~x»*'/N = 0.
Отсюда находим
а~
IX 1Х (2а X/N)
Ти !0(2aX/N)
(3.3.14)
Множитель I\(x)jIo{x) нелинейно зависит от аргумента и
изменяется монотонно от 0 до 1 при изменении х от 0 до оо, причем
1\ (х)/1о(х)~ 1 при х~>1. Поэтому для больших отношений
сигнал-шум (2aX/N'^>l) справедливо приближенное равенство
а ~ 2Х/т„.
(3.3.15)
Следовательно, при больших отношениях сигнал-шум оценка
амплитуды радиосигнала со случайной начальной фазой линейно
зависит от значения огибающей. Эта зависимость нарушается при
малых отношениях сигнал-шум.
Если воспользоваться асимптотическим представлением
функций Бесселя, то для больших отношений сигнал-шум
апостериорную плотность вероятности (при равномерном априорном
распределении амплитуды в интервале оценок) можно представить в
виде
Pvs (а) = const (
2аХ N-1/2
V N
ехр
/ ти а2
2аХ\
ехр
N
(а—а)*
N
V2nD~
' а
где D - — дисперсия оценки, равная
2D.
(3.3.16)
(3.3.17)
Из сравнения формул (17) и (8) видно, что дисперсии оценок
амплитуды радиоимпульса с известными остальными
параметрами и радиоимпульса со случайной начальной фазой при большом
отношении сигнал-шум (2£/Л^1) одинаковы.
183

3. Оценка длительности детерминированного радиоимпульса.
Вычислим дисперсию оценки длительности Л = ти
радиоимпульса (2) гауссовской формы
/(О
s» (О
= ехр
t—t0
(3.3.18)
где /о—момент времени, соответствующий середине импульса
(0<Cto<T); ти — длительность импульса, рассчитанная по
формуле (3) в предположении, что импульс практически полностью
расположен внутри интервала наблюдения [О, Т].
По формуле (3.2.49) находим сигнальную функцию
т г
?sW = -j
N
s(t, x„)s(t, ти0) -s2(t, ти)
т2[**р\--±№+ъ>)*
■ехр(-
-лт
«Отсюда имеем qs (ти) I =
d т2 и0
и
2^и0
огт,
иО-
это значение в формулу (3.2.34), получим
^/^иО = (4/3)(2£/Л0-1.
Подставив
(3.3.19)
Согласно формуле (19), справедливой при больших
отношениях сигнал-шум, относительная дисперсия оценки длительности
гауссовского радиоимпульса обратно пропорциональна отношению
•сигнал-шум 2E/N.
Получим методом максимума функционала правдоподобия
оценку длительности ти прямоугольного радиоимпульса
s(t, T„) = acos(G>/-fq>), 0<т^<т + т(1<7\
(3.3.20)
где х — известный момент времени, соответствующий началу
импульса; т„ — неизвестная длительность импульса, подлежащая
оценке. Допустим, что ти может с одинаковой вероятностью
принимать одно из значений в интервале [0, Го], причем t-\-Tq<CT.
Пусть Тио — истинное значение длительности импульса в
принятой реализации |(0. т. е. %(t)=s(t, тио)+«(0- Тогда согласно
(1.2.16) функционал правдоподобия (при пренебрежении членами
■с двойной частотой) примет вид
F(TH)=£expj— j
\(t)s(t, ти)-
s2(t, ти)Ы
~6ехр ,^-Ко — |ти—тп0|)+ ]/^о(ти)}, (3.3.21)
184

где
2 т~ти
у(ти)-—— \ n(Ocos(o)i + 9)^.
Т/Л? г
(3.3.22h
Применительно к данному случаю сигнальная функция д.,(ти),
как видно из (1.5.15), в точке ти = тио имеет разрыв первого рода,
и вторая производная от нее в этой точке не существует. Поэтому
для вычисления дисперсии оценки нельзя воспользоваться
формулой (3.2.34).
Как известно, в качестве максимально правдоподобной оцеп-
ки принимается значение параметра т„, максимизирующее
функцию /г(ти) или ее логарифм:
ти = max-1 {In F (т„)} == max-1
'lt(t)-s(t, т„)]«Л =
= max~
т..
I-I
l(t)s(t,xn) l-s*(t, т:
n)]dt\.
Рассмотрим случайный процесс
a2
2Л7
11 (т«) = Qs (ти) + ?„ (тн)
где
<7s (т„)
(тио I Tn тио1)"
2"|/ЛГ
0(*и)
(3.3.23)
(3.3.24)
Л? J
s(/, Ти0)4-(/, Ти)-
**(*, ти)
dt.
__ Е L
" N Т и "°
<7n(T,i) =— \ nn{t)s(t, x„)dt:
■ —- v (ти);
(3.3.25)
(3.3.26)
£ = а2тио/2 — энергия принятого импульса; L = u2/N. Заметим, что
случайный процесс т](ти) является нестационарным гауссовским
процессом с математическим ожиданием */*(ти) и корреляционной
функцией
Ял (t„i, ти2) =- М {<?„ (тн1) v„ (ти2)} = L min (ти„ тП2). (3.3.27)
Процессы <7п(ти) и ^(ти) есть винеровские случайные процессы.
Из (23) и (24) следует, что характеристики оценки т„ будут
определяться поведением максимума траектории марковского
процесса специального вида [37, 38]:
t,(t)^—a\t-t0\+$v(t), fe[0, T0], a=l, p = 2V^/a.
В [35] была получена формула (2.6.217) для плотности
вероятности максимума процесса t,(t) на бесконечном интервале
времени (—оо, оо). Этот результат приближенно применим и к
рассматриваемому случаю, если импульс полностью расположен
185-

внутри интервала наблюдения (0<т+Г0<Г) и среднее квадра-
тическос значение оценки много меньше длительности импульса
(У°хн<х^). При выполнении этих двух условий краевыми
эффектами можно пренебречь. В принятых здесь обозначениях
формулы (2.6.217) и (2.6.218) из [35] примут соответственно вид*)
p(x^^{3e,P(Qo|^_1|)[I_0(4/^f^T|)l-
(3.3.28)
i-o(-fj/Q0fH)J
J
2
О -Л
У«- N •
\r
Ят; = 26/£«=26/(аДО, Dx-Jt10=26/{2E/N)>. (3.3.29)
Отметим две особенности формулы (29). Во-первых,
дисперсия оценки длительности прямоугольного радиоимпульса не
зависит от самой длительности т„. Во-вторых, из сравнения формул
(19) и (29) следует, что зависимости дисперсий оценок
длительности гауссовского и прямоугольного радиоимпульсов от
отношения сигнал-шум качественно различны: в нервом случае
дисперсия обратно пропорциональна отношению сигнал-шум, а во
втором—обратно пропорциональна квадрату отношения сигнал-шум.
10~
10'
10'
аг/М=10
10ъ ZE/N
1
10*
10г
ГО3 т
Рис. 3.3. Зависимость относительной дисперсии оценки длительности
прямоугольного радиоимпульса от отношения сигнал-шум
Рис. 3.4. Зависимость нормированной дисперсии оценки длительности
прямоугольного радиоимпульса от числа каналов '
*' Приведенные результаты принадлежат В. С. Е ф и м е н к о.
186

На рис. 3.3 изображена зависимость относительной
дисперсии оценки длительности прямоугольного радиоимпульса от
отношения сигнал-шум, рассчитанная но формуле (29), а точками
представлены результаты, полученные статистическим
моделированием. Результаты моделирования показывают, что с большой
точностью оценку ти можно считать несмещенной
(математическое ожидание смещения много меньше среднего квадратическо-
го отклонения оценки VD- ). Из рисунка видно, что при
отношении сигнал-шум 2E/N^10 результаты моделирования хорошо-
аппроксимируются аналитической зависимостью (29).
На рис. 3.4 показана рассчитанная зависимость
нормированной дисперсии оценки длительности прямоугольного импульса от
числа каналов т в схеме рис. 3.2. При этом предполагалось, что
отдельные каналы внутри априорного интервала [0, Го]
рассчитаны последовательно на равноотстоящие (на величину Т0//п)
длительности. Видно, что при конечном Т0 увеличением числа
каналов m можно как угодно точно приблизиться к оптимальной
схеме оценки ти. Однако увеличение m является разумным лишь,
до некоторой величины, зависящей от a2/N.
Рассмотрим несколько примеров раздельных оценок неэнер-
• готических параметров радиоимпульса.
4. Дисперсия оценки начальной фазы радиоимпульса.
Вычислим дисперсию оценки начальной фазы ср радиоимпульса (2). По-
формуле (3.2.35) находим функцию <?s(cp):
Qs (ф) = 4 fs2« V)cos f°> * + * W + Ф1 cos tco ' + Ф W + Ч>о] dt «=
Л/ у
^0
IE
~ —-СОб(ф — фв).
N
Отсюда имеем —-
d ф:
2£
N
По формуле (3.2.34) получаем
D~=N/2E. (3.3.30).
Дисперсия оценки начальной фазы обратно пропорциональна
отношению сигнал-шум и не зависит от вида амплитудной и
фазовой модуляции.
Алгоритм работы оптимального измерителя начальной фазы,
следует из уравнения правдоподобия
■lnF(<p)L;=-
Отсюда получим
2 т
-I- fi(t)sa{f)cos[o»t4-*(t) + 4]dt
" О J Ф
= 0.
[| (t) sa (t) sin [<at + $(t) + v]dt = 0
1ST

или ф = —arctg'
, и
' т
$l(t)sa(t) cos [<ut + y(t)]dt
В частности, для радиосигнала без амплитудной и фазовой
модуляции (sa(t)=A, -ф(/) =0) эти уравнения правдоподобия при^
мут соответственно вид
т
jg(*)sin(©f + <p)d* = 0, (3.3.31)
Ф
-arctg -Н-
jl(t) sin (о tdt
jl(t) cos (otdt
(3.3.32)
Операции, предписываемые формулой (32), можно выполнить
при помощи корреляторов (рис. 3.5) или фильтров, согласован-
-ГС71 - гт
- s\ ~~ Jo Г
"t
"
~аусЦ(иг/иг)
a
uz
Рис. З.5. Оптимальный измеритель начальной фазы гармонического сигнала
корреляционного типа
ных с sin at и cos at. Выражение (31) приближенно можно
моделировать фазовой автоподстройкой (рис. 3.6) с переменным
коэффициентом усиления, стремящимся к нулю при /-»-оо. Чтобы
пояснить это, допустим, что аддитивный шум n(t) отсутствует,
т. е. l(t) тъА cos(u)t-\-ф0). Тогда напряжение на выходе
перемножителя приближенно равно
и (t) ~ Лсоэ^ + Фо^п^ + Ф*) =
= (Л/2) sin (ф*-<р0) + (Л/2) sin (2со * + ф* +Фо).
$W
X
1
i
и it)
ФНЧ
utt)
ЛГ
sin(at+f>j
Рис. 3.6. Структурная
схема ФАП для оценки
начальной фазы
гармонического сигнала
188

™ЬатоВпеаЗДтК?? °аб03начена Фаза колебаний подстраиваемого
генератора (ПГ), значение которой в общем случае отличается
от максимально правдоподобной оценки Ф. На выходе сглаживя
ющего фильтра нижних частот (ФНЧ), осуществляющего ве™е
интегрирование, второе слагаемое практически отсутствие? т е
u[t) ~sm(y ~ф0), а при малой разности фаз u(t)~w*— wn От-
Е£ ЧТ0 п?и наличии шУма n(t) ФНЧ сглаживает случайные
колебания напряжения u(t), обусловленные шумом. Напряжение
«(')> пропорциональное фазовой ошибке, воздействуя на ПГ
изменяет фазу генерируемого им гармонического колебания
в'сторону уменьшения фазовой ошибки. Когда и(1) приближается к
нулю, фаза Ф* будет стремиться к Ф. При этом будет
приближенно выполняться уравнение правдоподобия (31)
4. Оценка временного положения видео и радиоимпульса.
Получим оценку временного запаздывания т видеоимпульса
известной формы s(t, T)=af(t~r), 0<t-r<T. Под г буд?^понимать
момент времени, соответствующий средине импульса
Воспользовавшись формулой (1.5.12), записываем функционал
правдоподобия оцениваемого параметра т: циинал
Оценка максимального правдоподобия определяется уравнением
JEW
df(t— т)
dx
dt = 0.
(3.3.33)
Отсюда видно, что в оптимальном измерителе
осуществляется корреляция между принимаемым колебанием и производной
по времени от сигнала известной формы (рис. 3.7). При этом
производная играет роль стробирующей функции. На практике
часто ее аппроксимируют двумя биполярными прямоугольными
импульсами. При помощи таких стробирующих импульсов в еле-
f®k
в)
Рис. 3.7. Пример видеоимпульса (а), его «роизводиой (б) и стробирующих
прямоугольных импульсов (в\
189

дящих дальномерах формируется ошибка слежения, которая
вводится в цепь обратной связи, аналогично тому, как это делается
в фазовой автоподстройке (рис. 3.6).
Вычислим по формуле (3.2.34) дисперсию оценки. В
рассматриваемом примере
<7»(ч) = — И*—4)s(t—i)dt.
N UJ
Приняв, что сигнал равен нулю на концах интервала
наблюдения, и выполнив интегрирование по частям, найдем
d2 gs (т)
d%2
2а2
N
2а2
т=т.
N
lHt-Ч)
d2f(t — x)
dP
dt
df (t — т.)
dt
dt=—-f
Л7 J
N
ds(t — т„)
dt
dt
или
ds(t — t„)
dt
" о о
= -(2E/N)p,
где E— энергия сигнала;
т г Ф(/-т0)12
d// \s2(t—т,)«И =
Если ввести комплексный спектр Z7(jco) сигнала s(t)
F(j'co) =a f/(0e-iw'd^
(3.3.34)
(3.3.35)
(3.3.36)
и воспользоваться известными соотношениями
Е = [s2{t, t)dt = — [\F(](o)\2d(x>,
s(t—T)=af(t—i):
2n
JF(jw)eJ *>('-"*,
то для |S2 можно записать другое выражение, которое обычно
приводится в литературе:
В2 = j(o2|F(j(o)l2d(o/ j|F(jco)|2d(u.
(3.3.37)
Подставив выражение (34) в (3.2.34), получим окончательную
формулу Вудворда [2] для дисперсии оценки временного
положения видеоимпульса
DT--(2£62/A0-1. (3.3.38)
190

Согласно неравенству Рао — Крамера эта формула определяет
оценку снизу для фактического значения дисперсии оценки,
которая асимптотически стремится к этой границе при увеличении
отношения сигнал-шум.
Получим дисперсию оценки временного положения
радиоимпульса прямоугольной формы без внутриимпульсной фазовой
(частотной) модуляции. Напомним, что основная формула (3.2.34)
справедлива в тех случаях, когда сигнальная функция ?s(t)
дважды дифференцируема в окрестности истинного значения то.
Однако для прямоугольного импульса функция ?s(t) при т = то
имеет излом (см. рис. 1.6,в). Поэтому для нее формула (3.2.34)
и, следовательно, формула (38) непосредственно неприменимы.
Это затруднение можно преодолеть двумя способами: 1)
можно воспользоваться методикой, приведшей к формуле (29); 2) на
практике импульсы не бывают идеально прямоугольными, так
как нулевое время нарастания и спада импульса требует
бесконечно широкой полосы пропускания устройства. Дисперсию
оценки временного положения реального «прямоугольного» импульса
можно вычислить по формулам (3.2.34) и (38).
Рассмотрим сначала первый способ. Как и при оценке
длительности прямоугольного импульса, пусть радиоимпульс
полностью расположен в интервале наблюдения [О, Т] и имеет вид
s(t, T)=a/(f—T)cos(<of + q>), 0<t<Z<t + t„<7\ (3.3.39)
Все параметры импульса, кроме момента времени т,
соответствующего его началу, считаются известными, причем /(/) = 1 при
т^/^т+Ти и f (t) =0 при других t.
Максимально правдоподобная оценка т находится из условия
получения максимума функционала правдоподобия или его
логарифма:
т= max-1 {in F (т)} =* max"1! — Г£ (/) i (t, т) dt\. (3.3.40)
x x [ N 0J J
Рассмотрим случайный процесс
a(T) = <7.W + <7»W, (3.3.41)
где
?«<T) = ^- Г*('» ^sit, x)dt=-^--L\T0--c\, (3.3.42)
N £ N
Qn(r) = Y+f"n(t)s(t,i:)dt, L = -£. (3.3.43)
Случайный процесс г\(х) есть гауссовский процесс; он полностью
определяется математическим ожиданием qs{x) и корреляцион
ной функцией
Я„ fa, т.) = М {дп(т,)дп (т.)} = (2E/N)-L\x2-t1 |. (3.3.44)
191

Воспользуемся теперь результатом (29). С этой целью
запишем выражение (23) для оценки длительности импульса
несколько иначе:
ти — max-
—- max-
yf{f|(0—§-СО5((0^ф)
И- т„)
COS ((0 t -
•ф)!}1
dt
— max-1
.v
\l(t)s(t, xn)dt
(3.3.45)
где |(0=-=K0 —(a/2) cos(wf+ ф), s(t, ти) = s(t, т„)—(a/2) cos (orf-}- ф).
Используем прежние обозначения
<7s (ти) = — j Г(f, ти0) s"(f, т„) df =---
2£7
N
jV
1 Tm
(3.3.46)
</n (т„)
2 T
\n(t)s(t, i„)dt,
N
ET=\&(t, t„)dt:
cPT
Случайный процесс
(3.3.47)
(3.3.48)
входягций в (45), является гауссовским с математическим ожи
данием qs{xK) и корреляционной функцией
#n (t„i, ти2) = М {qn (т„) ?„ (ти2)} ■■
1Ат
N
1И2
— Тщ1-
(3.3.49)
Процессы г) (т) и г)(ти), определенные соответственно
выражениями (41) и (48), являются гауссовскими. Гауссовский процесс
определяется заданием математического ожидания и
корреляционной функции. Из сравнения этих характеристик для г)(т) и
т](ти) следует, что два процесса подобны друг друга. Различие
между ними состоит лишь в том, что в формулы (42) и (44)
входят величины Е и L, а в формулы (46) и (49) величины
Ет и L.
На основании формулы (29) дисперсия максимума гауссов-
ского процесса т](ти) не зависит от величины энергии Ет, а
определяется только коэффициентом E:D~X = 26/ZA Поскольку в
формулы (42) и (44) вместо величины L/2 входит L, то дисперсия
192

оценки временного положения прямоугольного радиоимпульса
будет равна [37]
D~ = 26/(2L)2 = 6,5/L2 = 6,5/(a2/yV)2. (3.3.50)
Таким образом, из формул (29) и (50) следует, что дисперсия
оценки временного положения прямоугольного импульса в четыре
раза меньше дисперсии оценки его длительности. Этому
результату можно дать следующее физическое пояснение. При точно
известном начале прямоугольного импульса т оценка его
длительности ти может основываться только на определении среза
импульса. При фиксированной длительности импульса ти для
оценки его временного положения т нужно использовать фронт и срез
импульса. В результате этого оказывается, что D^ = D^. /4.
Можно показать, что дисперсия оценки временного положения
ступенчатого радиосигнала
s(t, t) = F(t—т)сов(ш/ + ф), 0<т<г<Г, (3.3.51)
где F(t—т)—ступенчатая функция (рис. 3.8), содержащая т
скачков в интервале наблюдения [0, Т], определяется формулой
D-: = 26
F(*-tA
i !,«"-*->*
«z
(3.3.52)
5_|~1ч
u»
I
-«-
Рис. З.8. Ступенчатая функция
Применительно к рассмотренному выше случаю оценки
временного положения прямоугольного радиоимпульса в этой формуле
нужно положить т = 2, а0 = а2=0, а{ = а. При этом из (52)
получим (50). Формулой (52) можно воспользоваться для оценки
временного положения псевдошумовых сигналов, а также для
оценки точности тактовой синхронизации при использовании
таких сигналов.
Ясно, что практически никогда не бывает идеально
прямоугольных импульсов и идеального белого шума. Значение формул
(29) и (50) состоит в том, что они являются аппроксимациями
формул точностей оценок длительности и временной задержки
импульса, форма которого близка к прямоугольной, на фоне очень
широкополосного гауссовского шума.
Вычислим D * для видеоимпульса практически
«прямоугольной» формы. Чтобы при этом можно было воспользоваться фор-
7—82 193

мулой (38), в качестве примера практически «прямоугольного»
импульса рассмотрим трапецеидальный импульс s(t, x)=f(t—т),
изображенный на рис. 3.9. Для него сигнальная функция
дается выражением
(т„ + 2тф/3-е2/тф+ |е|3/3т2ф) 0< |е|<тф,
2а2
Ти + Тд
Тф<|е|<ти,
fc(lel) = ~- |ти+тф-|8|+(ти-|е|)3/6т2ф) ти<|8|<ти + тф,
ти + 2тф—|е|3/6т2ф) ти+Тф<|8|<ти+2тф(
'. О, |е|>ти + 2тф,
(3.3.53)
где е = т—то- График сигнальной функции приведен на рис. 3.9.
f(t~v) /'
кт-r^/Z г п-ги/2 kt -ги-гф -ги -Гф О г,р
Ти .?„ + £* V-tn
Рис. 3.9. Трапецеидальный ( ) и прямоугольный ( ) импульсы и
соответствующие им сигнальные функции
В данном примере вторая производная от сигнальной
функции представляет собой пару биполярных дельта-функций:
d*q, (r)ld'fU=Xo = (а/Тф) {б [г_(т0-тф~ти/2)] -б [*—(т0-т./2)] -
-б[^-(т0 + ти/2)] + б[^-(т0 + тф + ти/2)]}.
При этом вычисления по формуле (3.2.34) приводят к
следующему результату:
D; =Тф/(4а2/#). (3.3.54)
Разумеется, что эта формула справедлива при больших
отношениях сигнал-шум и при выполнении условия
У7^«тф. (3.3.55)
На основании формулы (54) можно прийти к заключению, что
определяющее влияние на точность оценки временного
положения импульса, а также на точность оценки его длительности ока-
194

зывают характер фронта
и среза импульса.
Например, нетрудно убедиться,
что дисперсия оценки
временного положения двух
разных импульсов:
трапецеидального и
треугольного с одинаковыми
фронтами (рис. 3.10)
определяется одной и той же
формулой
Яг- = [(2а*/Л0О/тф1 +
+ 1/тф2)]-1. (3.3.56)
5. Оценка временного
положения
радиоимпульса со случайной
начальной фазой. Получим
формулу для дисперсии
оценки временного положения
узкополосного радиопм- -q
пульса со случайной
начальной фазой.
Применительно к данному случаю
сигнальную функцию
(3.2.46) следует записать
в виде
Qs (т) —
4s\ > N
S(t,T)
Рис. 3.10. Трапецеидальный и треугольный
импульсы с одинаковыми фронтами
COS
I'!',!;
\o)0(t-r)-f(t-b+f\
Рис. 3.11. Радиоимпульс
jU*(t—x0)U(t—x)dt
(3.3.57)
где под т по-прежнему понимается момент времени,
соответствующий средние радиоимпульса (рис. 3.11).
С целью упрощения последующих вычислений полезно ввести
нормированные огибающие
aU(t—x) = V2Eu(t-j),ir,^ УЩ,
т г
где j \u(t) \2dt = j \u(t—xo)\2dt=\; Е — энергия сигнала. Тогда
2Е
Я. (т) = ~ |Х (т)|, X(т) = I и* (*-т.,) и (t-x)dt
причем %(х0) = 1-
Обозначим
x'(T)=lxjT)iX,(To)=^
dx
dr
fW^fYW^
т=т0
|T=T0
(3.3.58)
195

Так как |х(т) | = [х(т)Х*(т)]1/2> то первая и вторая производные
от |х(т)| будут равны
^Г= ШИ\[% (Т) **'(Т) + Х*(Т) %'(Т)1'
^ШI = ^_ Re [Х (т) Г' (т) + %' (т) х*' (т)] - —±— [Re Х* (т) х'(*)]2-
*• 1х(т).
Поскольку %(%о) = 1, то
&\%(т)\
dxa
1x00
: Re [х" (t0)J + IX' (T„)l2-[Re x' (т„)]2
Т=То
Вычислим входящие сюда величины
X' К) = -/"«* (*-т0)«' (*-т0) df,
о
X" (т0)= /" «* {t—to) и" (t—x0) dt= — { \W {t-x0)\4t,
о о
где последнее равенство получено интегрированием по частям в
предположении, что функция u(t—to) и ее производная равны
нулю на концах интервала наблюдения, a u'(t—т0) и u"(t—то) —
первая и вторая производные по времени.
Пусть /•'(jo) есть комплексный спектр нормированной
огибающей u(t):
F (j©) = J u(t)e-i"ldt. (3.3.59)
о
Тогда
1 со : оо
и(/—т0)=— j F(io))e^'-^d(x), u'(t— t0)=-L j (oF(j<»)e«»«-^>d<»
X'(T0) = -rL j co|^(jco)|2d(o(x"K)= -^- J (o2|/;'(j(o)l2d(B.
Поскольку х'(то)—чисто мнимая величина, то Rex'(to) =0.
Поэтому
d2ix(r)l
rfx»
-!- 7 ©|F(j©)|«da)T— -^- 7 <B»|F(j©)|«da). (3.3.60)
.2я_о« J 2"_oo
На основании выражений (58) и (60) имеем
1
<Pqs(r)
196
T=T0 I —»
2 я
j (ol/'O'co)!2^
'}
(3.3.61)

Определим ширину спектра нормированной огибающей
радиоимпульса формулой
Р
J wa|F(jffl)|a(l/2n) da-
2 —°»
J a>\F(]a>)\*(l/2n)d(o
I |F(jffl)|a(l/2ji)dco
(3.3.62)
где
2л
J|F(j©)|2d©=| \u(t)\*dt=l.
Из формулы (3.2.34) с учетом (61) и (62) получаем
D.= ( — В2
-1
(3.3.63)
Полученная формула (63) по виду аналогична формуле Вуд-
ворда (38). Однако входящие в них величины В2 различны. Если
в формуле (38) величину В2, определенную выражением (36),
можно трактовать как нормированный второй момент квадрата
модуля спектра сигнала j Z7 (jto) j2 относительно частоты ю = 0, то
в формуле (63) величина В2 есть второй момент квадрата
модуля спектра сигнала относительно средней частоты. Таким
образом, отличие заключается в наличии в формуле (62) второго
члена, обусловленного узкополосным характером радиосигнала и его
случайной фазой.
Вычислим D-для трех радиоимпульсов со случайной
начальной фазой: трапецеидального, гауссовского и
квазипрямоугольного (с гауссовскими фронтом и срезом).
Пусть радиоимпульс имеет вид
s (t, т) = / (t— т) cos (©о t + ф), (3.3.64)
где f(t—т)—трапецеидальный видеоимпульс, изображенный на
рис. 3.9; ф — случайная начальная фаза, равномерно
распределенная в интервале [—я, я]. В данном случае сигнальная функция
равна qs(\s\)/2, где <7s(|e|) дается выражением (53). Выполнив
вычисления согласно формуле (3.2.34), получим
D. =тф/(2 a2/N). (3.3.65)
Если бы огибающая радиоимпульса f(t—т) имела вид трапеции
или треугольника с разными фронтом и срезом (рис. ЗЛО), то
D. = [(aVN) (1/тф1+ 1/тф2)]->. (3.3.66)
Вычисления по формуле (3.2.34) для радиоимпульса гауссов-
ской формы (3.2.45), когда
[/(0=ехр(-2,8*2/т2), (3.3.67)
191

где ти — длительность импульса на уровне 0,5, приводят к
следующему результату:
р« = 2,8/т2 = (пД/)*/1,4,
где Л/— ширина квадрата модуля спектра импульса на уровне
0,5. Поэтому
D. =т2/2,8 (2 E/N) = 1,4/(яД /)2 (2 E/N). (3.3.68)
Видно, что при фиксированной энергии сигнала точность
определения временного положения радиоимпульса повышается с
уменьшением длительности импульса (увеличением крутизны фронта
и среза).
Рассмотрим квазипрямоугольный радиоимпульс вида (64),
огибающая которого задана выражением
(ехр[-(л/2т2ф)(г-т + ти/2)2], t<x-xj2,
f(t—x)=a-{l, x—xa/2<t^x + xj2,
{ ехр[-(я/2т2ф) (t~x-xj2)\ t>x + xa/2.
(3.3.69)
Выражение для сигнальной функции такого импульса
оказывается громоздким и поэтому не приводится. График сигнальной
функции вместе с огибающей радиоимпульса изображен на
рис. 3.12. При больших отношениях сигнал-шум и выполнении
неравенства V~Df <Стф из (3.2.34) получим
D. = (2 тф/л)/(а2/Л0 ?з 0,64 хф/(а2/Ы). (3.3.70)
Дисперсия оценки временного положения квазипрямоугольного
радиоимпульса определяется крутизной фронта и среза и не
зависит от длительности импульса ти.
6. Оценка смещения частоты радиоимпульса. Пусть
принимаемый полезный радиосигнал имеет вид
s(t,Q)=A(t)cosl((x>0 — Q)* + q>],0<f<7\ (3.3.71)
где модулирующее сообщение A(t), частота щ и время
появления импульса предполагаются известными и оценке подлежит
Рис. 3.12. Огибающие радиоимпульсов с гауссовскими ( ) и
прямоугольными ( ) фронтами и соответствующие им сигнальные функции
198

смещение частоты Q. На практике часто оцениваемый параметр
Q представляет собой смещение несущей частоты сигнала из-за
эффекта Доплера.
В данном примере функционал правдоподобия, как следует
из (1.5.18) и (1.5.21), равен
F (О) = р (Ц | Q) = const /0Г2
— X(Q)
N У '
(3.3.72)
где
Х(й) = { J |(0 Л (0 cos (©0—Q)tdt] +
J i(t)A(t)sin((o0—Q)tdt\ 1"
l2i '/2
(3.3.73)
Максимально правдоподобная оценка частоты Q есть частота,
соответствующая максимуму функционала правдоподобия F(Q).
Вследствие монотонного характера функции Бесселя 10(х) это
эквивалентно максимизации аргумента X(Q). Величину X(Q)
можно сформировать путем пропускания принятого колебания
£(0 через линейный фильтр, согласованный с сигналом A (t) cos at,
и детектор огибающей. Для определения частоты Q следует
использовать несколько таких параллельных каналов, линейные
согласованные фильтры в которых, соответствующие разным
частотам, должны перекрывать весь априорный диапазон значений
ожидаемых частот (рис. 3.13). При достаточно большом числе фильт-
$w
—»«
—»■
—*■
A(r-t)ms(<a0-Au»t
A(r-t)ms(o)0-ZAa))t
•
A(7~-tJcos(ag-/rA6>)t
—*■
—>■
—>■
Детеитор
оги&тщей
Детектор
огибающей
Детектор
овивающей
Х(Аа)
Х(2Аы)
Х(кАа)
1
I
1
Xm%(iJa))
Рис. 3.13. Структурная схема оптимального многоканального измерителя
частоты радиосигнала
ров за оценку частоты Q принимается расстройка г'Дю
относительно юо того фильтра, на выходе которого наблюдается наибольшее
напряжение. По-видимому, не имеет смысла выбирать разность
частот Дю между соседними фильтрами много меньше среднего
квадратичного отклонения оценки У D~Q , которое будет
вычислено ниже. На практике часто берут разнос частот между
соседними фильтрами приближенно равным 1/Т или 1/2Г (см. также
§ 3.8 п. 3).
19»

Рассмотрим радиосигнал более общего вида
s (t, Q) = af(t) cos [(co0— Q) t + ty (O + ф], 0< *<T, (3.3.74)
для которого комплексная огибающая равна
U(t,Q) = f(t)eMU)e-iat.
Структурная схема оптимального измерителя частоты Q
такого сигнала остается прежней (рис. 3.13). Отличие состоит лишь
в том, что теперь линейные фильтры должны быть согласованы
с сигналом f(t) cos[((o0—£2) ^+^(01-
По аналогии с (37) для такой огибающей сигнальную
функцию (3.2.46) при а~У~2Ё можно записать в следующем виде:
qs (Q)= 2-§ |Х(Й)|2, %{Q) = I |«(012еН°»-°)'^, (3.3.75)
" о
причем х(^о) = 1.
Поступая так же, как и в предыдущем примере, получаем
^Ш] =Re[X"Wi+ix'(£2o)i2- [R*x'W,
a и* |й=й„
где производные по Q согласно (75) равны
%' (Йо) = J \Пи (01»Л, X" (О») =- {?\" (t)\2dt.
о о
С учетом написанных соотношений получим
*fr(Q) I =_2^а2
dQ* jo=o, iV '
где
а2= J /■|и(01,Л —
о
J t\u(t)\*dt
о
(3.3.76)
Величина а2 есть «второй момент» длительности импульса
относительно среднего времени сигнала, так что а характеризует
протяженность сигнала по оси времени.
По формуле (3.2.34) находим дисперсию оценки частоты f =
= Q/2jt
Dt = ±-D. ,D.= (^-aA~\ (3.3.77)
где величина а2 определена выражением (76).
Если применить формулу (77) к прямоугольному
радиоимпульсу длительностью ти, то получим
D. = 3/(2 E/N) (пти)2, D6 = 12/(2 E/N) т* (3.3.78)
Для радиоимпульса гауссовой формы (67), практически
полностью расположенного в интервале [О, Т], получим
Df = 2,8/(2 E/N) (пти)2 = А //1,4 (2 E/N). (3.3.79)
200

Если фазу ф прямоугольного радиоимпульса (71) считать
известной, то дисперсия оценки частоты будет в четыре раза
меньше значения, даваемого формулой (78):
Df = 3/4 (2 E/N) (яти)2, Dd = 3/(2 E/N) х\ . (3.3.80)
Однако, если рассматривать интервал наблюдения [—7/2,7/2],
имеющий прежнюю длительность 7, но расположенный
симметрично относительно нуля, то как при известной, так и при
случайной, равномерно распределенной начальной фазе
радиосигнала дисперсия оценки частоты будет определяться одной и той же
формулой (78). Такой результат, вероятно, объясняется двумя
факторами. Во-первых, применительно к оценке частоты
сигнальная функция в формуле (3.2.34) растет как интеграл от квадрата
времени. Во-вторых, оценки частоты и начальной фазы в общем
случае коррелированы (см. с. 215).
Для удобства пользования приведем вместе полученные выше
граничные значения Рао—Крамера для дисперсий раздельных
оценок параметров прямоугольного радиоимпульса
s(t) = acos[((o0—Q)t + y], 0<т<г<т + ти<Т, (3.3.81)
принимаемого на фоне белого шума:
D2 = N/xa,D. =26(aVN)-2,D.=6,5(aVN)~2, )
Ти т \ (3.3.82)
D. =(2£/JV)-1,D.=3/(2£/A/)t2
ф ы ■ )
Из формул (68) и (70) следует, что случайная ошибка
измерения временного положения радиоимпульса при фиксированных
других величинах уменьшается с расширением спектра сигнала.
Ошибки измерения смещения частоты, как следует из формул
(78) и (79), всегда уменьшаются при увеличении длительности
импульса. Следовательно, дисперсии раздельных оценок
параметров т и Q зависят от формы полезного сигнала. При этом
возникает вопрос о выборе такой формы сигнала, который
обеспечивал бы высокую точность определения как т, так и Q.
Предельные возможности подобных измерений, а также
соображения о выборе рациональных видов сигналов рассматриваются
в следующих параграфах.
3.4. СОВМЕСТНАЯ ОЦЕНКА ВРЕМЕННОГО ЗАПАЗДЫВАНИЯ
И ЧАСТОТНОГО СДВИГА
Рассмотрим часто встречающийся на практике случай, когда
временное положение т и доплеровский сдвиг частоты Q
оцениваются совместно. Пусть сигнальный радиоимпульс имеет вид
s(t, <Q) = V2Ef {t—т) cos [К—Q) t + y (t—x) +<pl =
= Re[K2~E"C—T)exp[jo)o* + q>],0<*-T<7\ (3.4.1)
201

где Е — энергия исходного сигнала; ф — случайная начальная
фаза, равномерно распределенная в интервале [—я, я]. Во второй
записи сигнала предполагается, что аргумент ty(t—т),
учитывающий наличие фазовой модуляции, включен в нормированную
огибающую u(t—т).
Аналогично (3.2.46) записываем сигнальную функцию
I u*(t—T0,a0)«(f— x,Q)dt , (3.4.2)
qs(x,Q) = ^
N
где то и Qo — истинные значения оцениваемых параметров;
u(t—т, £2) —комплексная огибающая радиоимпульса
и (t—x, Q) = / (t—т) ехр [ — j Q t + j г|з (t— x)]. (3.4.3)
Для измерения параметров т и Q можно использовать схему,
представленную на рис. 3.1, положив Х\=х, X2 = Q. При больших
отношениях сигнал-шум, когда наблюдается один наибольший
пик выходного сигнала, время появления этого пика и фильтр,
в котором он появляется, будут давать совместную оценку
временного запаздывания т и смещения частоты fi. Величину этого
пика можно использовать для оценки амплитуды сигнала.
Согласно общей методике расчета, предписываемой формулой
(3.2.32), для оценки потенциальной точности совместной оценки
т и Q необходимо вычислить вторые производные от сигнальной
функции qs(x, Q) в точке т=т0> Q = Q0- Отметим, что qs(x, Qo)>
рассматриваемая как функция т, совпадает с уже рассмотренной
функцией (3.3.58) при оценке временного положения
радиоимпульса. Аналогично, функция qs(ro, Q) совпадает с функцией
(3.3.75).
Путем вычислений, аналогичных выполненным ранее,
получим
J» =
Э2<75(т,Й)
а-с2
?J?ft2 J
— ~ Р > J2
(т,.о0) N
е2<?л*.й)
ай2
(T0,Q0)
2£ „
а?
N
где величины р и а определены соответственно выражениями
(3.3.62) и (3.3.76). Выражение для /12 имеет вид
]ft^u*(t)dt-t со
(т„,Я„)
где ш и t — средняя частота и средняя длительность
радиоимпульса
г12"
rd2qs{x, Q)
atdQ
2_Е
" N
Re
, (3.4.4)
(О
= — Г (o\F(i<a)\2d<o, t=\ t\u(t)\2dt.
2 я JTO о
Напомним, что F(\(d) есть комплексный спектр (3.3.59)
нормированной огибающей сигнала u(i). Путем надлежащего выбора
начала координат всегда можно сделать (о = ?=0.
Чтобы пояснить смысл первого члена в правой части
равенства (4), рассмотрим сигнал вида f(t)cos[iD0t + ty(t)], где /(/) и
•ф(^) —вещественные функции времени. Тогда
202

В данном случае при ю = !=0 выражение (4) примет вид
т 2Е т>
12 N
г т du(t)
\\t^u*{t)dt
dt
— at, (3.4.5)
где
at={t'^VLfZ(t)dt. (3.4.6)
о dt
Производная dty(t)jdt определяет текущее отклонение частоты
сигнала от значения юо, а интеграл (6) характеризует осреднен-
ное значение произведения этой девиации частоты на время.
Элементы корреляционной матрицы ошибок совместно
эффективных оценок временного положения радиоимпульса т и
смещения частоты Q согласно (3.2.32) равны
D„ = - 7=^-, (3.4.7)
х (2£7Л0.[а2Р2 — (at)2]
О- = .-чо, , (3-4.8)
а (2 E/N) [а2 Р2 - (S<)2] ' v '
R-~= =—. (3.4.9)
г в (2 E/N) [а2 Р2 - {at)2]
Отсюда видно, что при at = 0 ошибки оценок т и Q некорре-
лированы (R~^ = 0). При этом формулы (7) и (8) совпадают
соответственно с формулами (3.3.63) и (3.3.77), полученными при
раздельных оценках г и Q.
Укажем два случая, когда w/ = 0: 1) как видно из (6), это
равенство выполняется в отсутствие угловой модуляции сигнала
(di!p(t)/dt—0); 2) пусть сигнальная функция qs(r, Q) является
четной функцией относительно точки (то, Qo) по т или по Q, т. е.
выполняется одно из двух условий
qs (т—т0, Q) =</. (т0—г, Q), qs (т, Q-Q0) ==?s (т, Оо-ВДЗ.4.10)
При этом Ы=0, так как
а2?5(т,й)
drdQ
Действительно, пусть например qs(r—то, Q)=<7s(to—т, Q). Тогда
ой 9Й
и поэтому выполняется равенство (11). В указанных двух
случаях при совместной оценке временного и частотного сдвигов
радиоимпульса потенциальная точность оценки каждого из
параметров получается такой же, как и в случае оценки его при точно
известном втором параметре.
203
= 0. (3.4.11)
(т„,а„)

Итак, формулы (7) и (8) определяют минимальные значения
дисперсий оценок временного запаздывания и смещения частоты
радиоимпульса. При фиксированном отношении сигнал-шум
точность рассматриваемых оценок можно повысить за счет
увеличения эффективной ширины спектра р и эффективной
длительности а радиоимпульса. Однако эти величины не являются
полностью независимыми. Известно, что при уменьшении длительности
радиоимпульса ширина спектра увеличивается, и наоборот.
Соответственно этому точность оценки частотного сдвига сигнала
можно повысить только за счет понижения точности оценки
временного запаздывания, и наоборот.
Действительно, как следует из формул (7) и (8),
определяющих нижние границы дисперсий оценок, произведение средних
квадратичных значений ошибок при Ы —0 должно удовлетворять
неравенству
w-vu&^t^Y- <з-4л2>
Отсюда видно, что повышения точности совместных оценок
можно достигнуть лишь за счет увеличения энергии сигнала или за
счет увеличения базы сигнала оф (произведения эффективной
длительности сигнала на эффективную ширину его спектра).
Получим теперь для базы сигнала неравенство, которое
получило название соотношения неопределенности. Пусть начало
координат выбрано так, что выполняются равенства
a=_L 7 co|/7(j(o)|2d(o = 0> ~t=\ t\u(t)\2'dt = 0.
2"Л о
Поскольку F(jcj) есть комплексный спектр нормированной
огибающей сигнала u(t), то согласно равенству Парсеваля
1 ОО Т
~ Г \F(\oi)\2da^[ \u(t)\*dt = l. (3.4.13)
2"-« о
С учетом этих соотношений из формул (3.3.62) и (3.3.76) имеем
а2В2= Г t2\u(t)\2dt — I (o2|F(j(o)|2d(o. (3.4.14)
о 2 я -«
В п. 5 (с. 196) были использованы соотношения
-J- j (o2|F(j(o)|2d(o = -x"K)=Jl"'(^-T0)l2^ = Jl«'.(Ol2^.
Поэтому выражение (14) можно записать иначе
а8ра= J t2\u(t)\2dt J \u'{t)\2dt.
о о
Применив неравенство Шварца—Бупяковского, получим
г
2 о2
а2р2>
204
J tu* (t) и' (t)dt
о

Допустим, что комплексная огибающая сигнала имеет вид
u(t)=f(t)exp[)q(t)],
где f(t) и ty(t)—вещественные функции времени, причем
j p(t)dt=\ согласно (13). Проделав примерно те же
вычисления, которые были выполнены при упрощении выражения (4),
получим
а2р2>
Г>(0*Ш.Л
о di
+
о dt
Первое слагаемое в правой части этого неравенства совпадает с
величиной со/, определенной выражением (6), а второе слагаемое
равно 1/4, в чем можно убедиться интегрированием по частям
с учетом указанного выше нормировочного условия на f(t) и
того, что сигнал равен нулю па концах интервала наблюдения
[О, Т]. Таким образом приходим к неравенству а2р2^со/+1/4 или
при (ot = 0
ар > 1/2. (3.4.15)
Полученное соотношение неопределенности показывает, что
сигнал не может одновременно иметь произвольно малую
длительность и произвольно малую ширину спектра.
3.5. ФУНКЦИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ И ВЫБОР ФОРМЫ СИГНАЛА
В § 1.2 было установлено, что для многих задач
оптимального приема сигналов на фоне гауссовского белого шума
достаточной статистикой является функция q, которая, например, в
случае неизвестного временного запаздывания т представляется
суммой (1.3.2): q(т) = qs(т) + qn(т). Здесь qs(x) — полезная часть
выходного сигнала оптимального приемника, зависящая лишь от
полезного сигнала и измеряемого параметра, a qn(r)—шумовая
составляющая выходного сигнала. Там же указывалось, что
влияние <7п(т) проявляется в том, что от одной шумовой
реализации к другой происходит смещение максимума функции q{x),
а при большой интенсивности шума — даже появление ложных
максимумов, приводящих к неоднозначности оценки. Однако при
больших отношениях сигнал-шум определяющее влияние на
точность измерения параметров имеет характер сигнальной функции
qs(r). Аналогично обстоит дело и при совместной оценке
временного запаздывания т и смещения Q круговой частоты, когда
сигнальная функция определяется выражением (3.4.2).
Если требуется синтезировать форму полезного сигнала с
целью достижения требуемых точностей определения т и Q при
заданной интенсивности шума N, то целесообразно вместо
сигнальной функции qs(x, Q) ввести такую функцию, которая не
учитывала бы влияние шума, не зависела от энергии сигнала и
интервала наблюдения.
205

Пусть излучаемый и принимаемый сигналы имеют
соответственно вид
sn(0 = /(0exp[j(oW + ^(0)+<P],
s(t, т, Q) =/(^-т)ехр [j К—Q) t + \ ty (t—x) + <p]. (3.5.I)
Тогда вводят в рассмотрение так называемую функцию
неопределенности
Р(т,Й) =
j У (О V*('—т)е-)я^
j |У(012^, (3.5.2)
где V(t) —комплексная огибающая излучаемого
(зондирующего) сигнала sa(t)
K(*)=f(*)exp[j4>(*)]. (3.5.3)
В прямоугольной системе координат р, т, Q функция
неопределенности р(т, Q) изображается в виде поверхности. На
рис. 3.14 изображена такая поверхность для радиоимпульса с
гауссовской огибающей в отсутствие угловой модуляции.
Поверхность, соответствующую функции неопределенности, называют
поверхностью неопределенности. Геометрическое тело, ограниченное
плоскостью р = 0 и поверхностью неопределенности, называют
телом неопределенности. Поверхности и тела неопределенности
можно построить и для функции р2(т, Q). Форма тела
неопределенности р или р2 определяется только формой сигнала su(t).
/>ъщ
~р~°,1
Рис. 3.14. Пример поверхности и
тела неопределенности
Рис. 3.15. Условное изображение
рельефа тела неопределенности при
помощи градаций уровня
Наряду с изображением тел неопределенности в аксонометрии
можно изображать их рельеф при помощи линий равного уровня
подобно тому, как это делается в топографии. Для тела
неопределенности, изображенного па рис. 3.14, такое представление
дано на рис. 3.15, где на плоскости т, Q нанесены линии равного
206

уровня p = const (или p2 = const). Область р>0,5 (она
зачернена) рассматривается как область «высокой корреляции»
излученного и ожидаемого сигналов. Заштрихованная область,
соответствующая 0,1<Ср-<0,5, считается областью «низкой
корреляции».
Установим два свойства функций и тел неопределенности
[40, 41].
■ 1. Свое наибольшее значение функция неопределенности
принимает в начале координат (при т = Я = 0), т. е.
р(т,О)<р(0,0)=1. (3.5.4)
Доказательство этого утверждения непосредственно следует из
неравенства Шварца—Буняковского:
V—2
p2(T,Q) =
J V (i) V* (t — т) е-м dt
J V(t)V*(t)dt
<r.
< J \V(t)\*dt J \V* (t-x)i* dt ( j ]V(t)\*dt} '-I
2. Объем тела неопределенности р2(т, Q) не зависит от вида
сигнала и равен 2л:
J J p2(T,Q)drdQ = 2K. (3.5.5)
— 00 —00
Действительно,
оо оо / оо \ / оо
J dx J dQl J V(t)V*(t~x)e-iQ'dt\( j V*{t')V(t' —
СЭ —00 \—OO / \ ОС
—T)eiQ''dt' \l(] \V(t)\2dt\2= J dx ] J V{t)V*(t') V*(t—x) x
/ \ — oo / — oo — oo — oo
xV{f—x)dtdf J &Mt'-t) dQ I( ] \V(t)\4tY =
— OO / \— 00 /
oo oo I / oc \
= I \V(f)\*dt J \V(t-x)\*dx / ]' \V(t)\adt)=l.
—oo —oo / \—oo /
Здесь было выполнено интегрирование с дельта-функцией.
Отметим, что при выводе свойства (5) на сигнал не накладывалось
никаких ограничений и поэтому оно справедливо для любого
сигнала.
Соотношение (5) является наиболее общей формулировкой
принципа неопределенности, согласно которому никакие виды
модуляции не могут изменить объема тела неопределенности.
При разных видах модуляции радиосигнала функция
неопределенности может деформироваться, однако при этом должно
оставаться в силе равенство (5).
Существенно, что при постоянном объеме тела
неопределенности, равном 2л, его высота по первому свойству не превышает
207

/
единицы. Поэтому если сжать тело.неопределенности по /си т,
то оно расплывается вдоль оси Q; если же сжать его по ;оси fi,
то оно неизбежно расплывается вдоль оси т. Если требуется,
например, получить узкий пик тела неопределенности в начале
координат, то весь остальной его объем должен быть распределен
по плоскости т, Q в виде серии пиков или в тонком слое на
большой площади.
При решении вопроса о выборе желательной формы сигнала
необходимо учитывать два требования: 1) получение высокой
точности измерения параметров т и Q и отсутствие
неоднозначности оценки; 2) обеспечение высокой разрешающей способности.
Нетрудно убедиться, что для удовлетворения первому
требованию тело неопределенности должно иметь лишь одну
(центральную) область высокой корреляции, и эта область должна быть
как можно меньше. Действительно, для обеспечения высокой
точности определения т и Q необходимо, чтобы даже малые
отклонения этих параметров от начала координат (от истинных
значений) вызывали существенное изменение функции р(т, Q). В
области (т, Q), где р(т, Q) близка к единице, истинные значения
(т, Q) в принципе не могут быть выделены. В связи с этим
область высокой корреляции называется областью
неопределенности. Этой областью и ограничивается потенциальная точность
измерений. Чем меньше область неопределенности, тем выше
точность. Кроме этого ясно, что если в пределах возможных
значений измеряемых параметров оказывается не одна, а несколько
областей высокой корреляции (рис. 3.16), то в определении т и
Q возникает неоднозначность.
Выясним теперь, как вид функции неопределенности влияет
на разрешающую способность измерителей. Под разрешением
обычно понимают свойство системы различать два или несколько
сигналов.
Рис. 3.16. Тело неопределенности Рис. ЗЛ7. К задаче разрешения двух объ-
с несколькими областями вы- ектов
сокой корреляции
20S

Пусть в пространстве имеется два объекта с параметрами
(ть Qi) и (тг, Й2). Обозначим т'=тг—ti, Q' = Q2—Q\. Если
радиосигналы от объектов различаются только значениями
параметров т и Q, то о возможности разрешения можно судить по
функциям неопределенности. При одной и той же функции
неопределенности разрешение „
зависит от отношения сиг-
нал-шум. Р
Когда оба объекта имеют ^ .
одинаковые координаты т и / ~~~~~-~~~~^у
Q (t' = Q' = 0), то они прин- / ■Я(' /*~—-^^
ципиально неразличимы: две / / ^^~А
функции неопределенности V---^^ / //
сливаются в одну. В том У ^"^7^1^ У/
случае, когда относитель- / / ^^~^~^~//'
ным координатам второго ^С^ / /у *^
объекта (т', Q') соответству- ^^~~~:;:^>^1 /у
ет область высокой корре- ^^~:::::::::::^~-^/
ляции первого сигнала, объ- ^"~^3/
екты также неразличимы: Рис. 3.18. Тело неопределенности иде-
точке т/, Q' соответствует ального радиосигнала
максимум как при
наличии, так и в отсутствие второго объекта (рис. 3.17). Отсюда ясно,
что области высокой корреляции являются областями
неопределенности не только с точки зрения невозможности точного
измерения параметров одиночной цели, но и с точки зрения
невозможности (в этой области параметров) отличить один объект от
другого, т. е. с точки зрения разрешения. Таким образом, с точки
зрения разрешения тоже желательно, чтобы область высокой
корреляции была единственной и возможно более узкой.
Следовательно, как для повышения точности оценки
параметров т и Q, так и для улучшения разрешающей способности
идеальным был бы такой радиосигнал, которому соответствовало бы
тело неопределенности, состоящее из одного узкого центрального
пика. Однако принцип неопределенности (свойство 2) не
допускает существования такого тела неопределенности и,
следовательно, радиосигнала. Как указывалось выше, если уж
необходимо иметь единственный узкий пик, то весь остальной объем тела
неопределенности должен быть распределен на плоскости т, Q
тонким слоем на большой площади. Именно таким должен быть
идеальный радиосигнал (рис. 3.18). Однако получение даже
радиосигнала, близкого к идеальному, наталкивается на
технические трудности, связанные с усложнением аппаратуры.
209

3.6. ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛА
НА ФОНЕ КОРРЕЛИРОВАННОГО ШУМА
Пусть принятое колебание g(rf) имеет вид
£(*) = 5(/Д) + л(0,0<*<7,1 (3.6.1)
где Я— параметр сигнала, подлежащий оценке; n{t)—гауссов-
ский шум с нулевым математическим ожиданием и известной
корреляционной функцией
ЯП(<1Л)=М {*&)«(/,)}. (3.6.2)
Задачи оценки параметров сигнала на фоне гауссовского
коррелированного шума могут быть успешно и сравнительно просто
решены путем использования обеляющих фильтров, о которых
говорилось на с. 23. Однако возможен и другой математический
метод рассмотрения указанных задач, который не совсем утратил
своего значения до настоящего времени (в частности,
применительно к двумерным задачам). Ниже кратко излагается этот
подход решения задач оценки параметров сигнала.
Можно показать [1], что функционал плотности вероятности
(1.2.15) для гауссовского шума с корреляционной функцией (2)
определяется выражением
р [п (/)] = С ехр ( 1-{(п (У п (*,) 9П (tj, U) dtx dtt) ,
где функция 0П(Л, fe) является решением интегрального
уравнения
{ru (tlt t)en(tlttjdt=fift-g . (з.б.з)
о
Соответственно функционал правдоподобия имеет вид
F (Я) =р [gJU] =Cexp I--L { [ [I (tj-s (tlt Я)] [g (t2)-s(t2, Я)] х
xQnit^t^d^dQ,
где С — постоянная, не зависящая от Я. Логарифм функционала
правдоподобия равен
\nF (Я) - Щ С—i- f f [g &)-«(/„ Я)] [g (f2)-s(f„ Я)] 6n (/lf f,) d^2.
2 о о
(3.6.4)
Оценка параметра Х методом максимального правдоподобия
находится максимизацией выражения (4). Предварительно запи-
210

шем выражение для производной:
d in F (*) 1 ? J
j j К(/,)-8(/,Д)]еп(/1,/,)^%-^-^1л,+
+ 4" f f IS (^i)-s &. *)] en ft, *.) ^f^- d^i <tt2.
z о о "Л
Если гауссовский шум n(t) стационарен, т. е. Rn(t\, h) =
=Rn{U—U), то функция Qn(ti, t2) зависит только от разности
аргументов: Qn(tu t2\ = Эп(^—t2), причем Qn(ti—t2)=Qn{t2—tl).
В данном случае оба интеграла справа равны друг другу и,
следовательно,
djnip_ = * ^ds&JL{f к) [g{t)_s {f Х)]df dt (3 6 5)
dX J J д%
Введем импульсную характеристику фильтра hx(t),
определив ее выражением
Aa(*i)= (Qn(ti,h)s(tt,X)dta. (3.6.6)
о
Умножив обе части равенства (3) на s(t2, X) и интегрируя
результат по интервалу Т, получим, что характеристика фильтра
должна удовлетворять следующему интегральному уравнению
Фредгольма 1-го рода:
/"*»&, О МО # = *(*!,*<)■ (3-6-7)
о
Дифференцируя выражение (6) по л и подставив результате (5),
получим
^тг^ = /,£^[б(о-*(а)]л. (3.6.8)
о X q дХ
Таким образом, максимально правдоподобная оценка X
параметра % находится из решения уравнения
т dh~ (О
\ ~^Г К (0 - s (t, X)] dt --- 0. (3.6.9)
о дХ
При определении границы Рао — Крамера для дисперсии
оценки!) .в соответствии с формулой (4.3.24) из [35] нужно вычислить
М
х16(«-.й.Х)]^.^л^}.
211

Подставив сюда n(t)=£,(t)—s(t, К) и считая шум n{t)
стационарным, получим
М
— InF (A.)
) о о
dh^tj dh^(t2)
дХ
дХ
dt-, dU
Из (7) имеем
ds (<д, Я)
г ~ 3ftj (О
dt
Поэтому
М
дК
\nF(k)
Н
J о
Tds(t,X) ЭЛх<0
ая
ая
df.
Теперь записываем окончательную формулу для границы Рао
Крамера:
Tds(t.X) ^(у-1
ая ая
Г
L о
(3.6.10)
Укажем, что при оценке методом максимального
правдоподобия нескольких параметров сигнала Х.= {Хь А*, ••■} элементы
корреляционной матрицы ошибок (4.3.34) из [35] следует вычислять
по формуле
1 0J dh dXj
(3.6.11)
В качестве простейшего иллюстративного примера
рассмотрим оценку амплитуды А сигнала s(t, A)=As\(t). Оценка
амплитуды получается путем решения уравнения (9). Пусть k(t)
есть решение уравнения
*1 (У = (*»(/!-W) Л-
Так как согласно (7) As^t^ {/?„&—t)h(t)dt, то h(t)=Ak(t)
о
и dh(t)/dA = k(t). Подставив это выражение в (9), имеем
т т
т \k(t)l(t)dt \h{t)l(t)dt
I k (t) Ц (t) - As, (t)]dt = 0 или A = °- = -± .
о о
Если бы гауссовский шум n(t) был белым, то нужно было бы
положить Rn(ti—t) = (NI2)b{ti—t). Тогда k(t)=2si(t)/N и
приходим к формуле (3.3.6). В данном частном примере оценка на
фоне небелого гауссовского шума получается аналогично оценке
на фоне белого шума, нужно только заменить Si(t) на h(t).
212

Основная трудность при получении оценки (9) на фоне гаус-
совского коррелированного шума связана с нахождением
функции hx{t), т. с. с решением интегрального уравнения (7).
Приведем три конкретных выражения для этой функции [1]:
1) гауссовский белый шум с корреляционной функцией Rn (т) =
= (ВД6(т)
hi(f) = (2/N)s(t,k)\ (3.6.12)
2) стационарный гауссовский низкочастотный шум с
корреляционной функцией Rn (т) = D ехр (—а | т |)
*w 2D
s(t, *,)-
s"(t, X)
а2
+т
i(0, Я)—U'(0, Я,)1вУ)
+
+
D
s(T,k) + — s'(T,K)
8(t-T);
(3.6.13)
3) стационарный гауссовский узкополосный шум с
корреляционной функцией
Я„(т)=£>ехр(—а|т|)
cos©1x-( sinco1|x|
0)2 = 0)2.
■а"
мя=-
Daa>l
——[^(t, b) + (2a?0-a*)s"(t, A,) + св$s(/,*)] +
2£>а0 Wg
{[s" (0, X) + (fflg-ag) s' (0, X) + a00)2 s (0, A.)]8 (0 +
+ \-s'"(T, X)-(o)2_a2)s'(rt Я,) + аоЮ25(Г) ^)]fi(,_r) +
+ [s"(0, Л)-ао*'(0, Я) + о)2в(0, ЭД8'(/) + [-«" (7\ Я,)—
-a0s' (Г, k)-tfs(T, k)]8'(t-T)}, a0 = 2a.
(3.6.14)
Здесь штрихами обозначены производные по времени t. Дельта-
функции и их производные учитывают краевые условия —
значения полезного сигнала и его производных на концах интервала
наблюдения, т. е. в точках £=0 и t = T. Если при всех возможных
значениях параметра К полезный сигнал на концах интервала
наблюдения [0, Т] равен нулю, то коэффициенты при дельта-
функциях и их производных равны нулю.
При приеме на фоне гауссовского стационарного шума n(t)
радиосигнала вида
s(t, Я, ф) = Л(*. fc)cas[a>f + i|j(f, b) + f], (3.6.15)
начальная фаза ср которого случайна и равномерно распределена
в интервале [—я, л], функция правдоподобия может быть
получена, как и в (3.1.3), путем включения фазы ср в число
оцениваемых параметров с последующим осреднением по ней.
Соответственно этому записываем выражение для функции правдоподобия
F{%) = С М, (ехр Г fV ф (О I (t) dt\ \ ,
(3.6.16)
213

где Мф обозначает математическое ожидание по случайной
начальной фазе ф. Функция Лх,,Ф(0 находится в результате
решения интегрального уравнения
[#„(*—т) А*. ф(т)Л = «(*,Х, Ф). (3.6.17)
Рассмотрим пример совместной оценки амплитуды А, фазы ф
и частоты со прямоугольного радиоимпульса s(t,X) —A cos(atf-f^),
0<t<T, Х={А, ф, <а}, принимаемого на фоне гауссовского шума
п(t) с экспоненциальной корреляционной функцией Rn(i) =
= Dexp (—а|т|).
Приняв, что полезный сигнал s(t, X) равен нулю на концах
интервала наблюдения [О, Т] и воспользовавшись формулой (13),
записываем выражение для функции h\(t):
мо=
s(t, Ц-
s" (t, %)
2D
Отсюда находим
д hk (t)
а А
~2D~
1 +
cos(co< + 9).
дА
ЗЛхЮ
дер
«МО
а
2D
аА
д со
2D
а А
~~2D
1 +
1 +
1 +
а )
cos((at-\-(f),
sin(cof+ <
t sin (at ~{-tp).
Подставив эти выражения в уравнение (9) и пренебрегая
гармоническими слагаемыми удвоенной частоты 2ы, получаем
алгоритм совместных оценок:
А~-
\t(f)cas{e>t + 4>)dt,
Ф=— arctg!
|g (О since tdt
о
т
$l(t) cos® tdt
<D =
AT о
JEW
1-I--2L. *sin(a>* + <
2(0
cos (to t + ф)
dt. (3.6.18)
Нижние границы Рао—Крамера для дисперсий несмещенных
совместных оценок параметров сигнала А, ф, со определяются
формулой (4.3.35) из [35], в которой элементы информационной
матрицы Фишера J находятся по формуле (11). При
вычислениях длительность прямоугольного радиоимпульса s(t, X) была
214

J =
AD \
1
со*
принята равной хи = Т. В результате вычислений получим
~q О О
О qA2 qA4j2
О qA2Ta/2 qA4l/3
По известным правилам находим обратную матрицу
П/<7 О О
J->= О 4/^Л2 — 6Д/Лати . (3.6.19)
О — 6/с/Лати 12/дА*т2и ]
По формуле (4.3.35) из [35] записываем выражения для
дисперсий совместных оценок
А я
AD
ати
1
со2
Дс>-
16D
12
аЛ2ти
48 D
со2 ^-1
а2
(3.6.20)
я* 4
aA*ri
1
Из выражения (19) следует, что оценка амплитуды некорре-
лирована с оценками фазы и частоты, а оценки фазы и частоты
сильно коррелированы; взаимная нормированная корреляция
между этими оценками равна
6 _ Уз"
,~\ R (ф, со)
VD~ D~
' ф «О
^■т.уЪ^
■=—0,87.
Из формул (20) можно получить соответствующие
результаты для случая, когда сигнал s(t, X) принимается на фоне не
экспоненциально коррелированного, а белого шума. Для этого
согласно ранее изложенной методике [35] нужно положить <а<Са
и N=4D/a. В результате получим
D|>Wth, D~^4/(2E/N), D^12/(2E/N)tI (3.6.21)
где £=Л2ти/2 — энергия сигнала. Первая и третья из этих
формул совпадают с ранее полученными формулами (3.3.11) и
(3.3.78).
3.7. ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛА
ПРИ ДИСКРЕТНОЙ ОБРАБОТКЕ
Выясним на конкретных примерах ухудшение точностных
характеристик оценок параметров сигнала, когда вместо аналоговой
(непрерывной) обработки принятого колебания применяется
дискретная обработка. Рассмотрим вначале пример совместной
оценки амплитуды А, фазы ф и частоты со прямоугольного
радиоимпульса s(t, X) =А cos((at + (()), %={A, ф, со}, принимаемого на фоне
215

белого шума n(t), так что принятое колебание имеет вид [45]
6(0 = Лсо8(о>* + ф) + п(0, 0<<<7. (3.7.1)
Предполагается, что моменты времени, соответствующие началу и
концу импульса, точно известны и совпадают с границами
интервала наблюдения [О, Т], при этом длительность импульса Ти = Т.
Применительно к данному примеру функция правдоподобия
дается выражением вида (1.2.14):
I(*.)=/>&, U,..., ?Jb) = (it^-m/2exp{--^2 Ri-MWAJ
где |i и Si (Я,) определены выражениями (1.2.9);
/п=[77Д]—целая часть отношения 77 Д. Отсюда находим
lnL(J,)=C+Af; [2£,*,(Ь)-3Ml*, (3-7.2)
где постоянная С не зависит от оцениваемых параметров %.
Согласно (1.2.9) получаем конкретное выражение для Si(k):
1 *t
s,(X) = — f i4cos(a)f + 9)df=i4/iA((B)sin(a)^ + 9—шД/2), (3.7.3)
A ,,-д
где
Лд (со) = sin (со Д/2)/(со А/2). (3.7.4)
Отметим, что функция hA (со) не зависит от результатов
наблюдения и определяется выбранным интервалом А взятия временных
отсчетов.
Таким образом, логарифм функции правдоподобия имеет вид
In L (%) ~ С + МА*Д(т) § g, cos (a> U + ф-соД/2)-
" i=i
— Л2тД2Лд(со)/2ЛЛ (3.7.5)
При записи последнего слагаемого в правой части мы
пренебрегли слагаемым с двойной частотой 2со. Такое упрощение будет
применяться и в дальнейшем.
По известной методике находим оценки максимального
правдоподобия. При фиксированных А и со функция lnL(k) имеет
максимум при таком ср = ср, для которого
д1п!(Ь)/дФ|ф=$ = 0.
Отсюда следует уравнение для ср
sin (ф—со А/2) 2 It cos со tt + cos (ф—соА/2) 2 It sin со tt = 0, (3.7.6)
j=i i=i
решение которого
/ m / m \
Ф = —- arctg 2 h sm' ©A / 2 Si cos i соД + соД/2 (3.7.7)
216

дает алгоритм оценки начальной фазы радиоимпульса.
С учетом равенства (6) получим
max In L(k) = С + 2 A A hA (ш) / (ш)/ЛГ—A* m Л2ЛД (®)/(2N), (3.7.8)
где
Г/ т \2/т
/» = 2iiSin/coA + 2^costcoA
1/2
(3.7.9)
Неотрицательная функция /(со) периодична по © с периодом
(Од =2я/А.
Выше отмечалось, что функция /1д (ю) не зависит от
принятого колебания l(t). Поэтому выражение (8) при фиксированном
А достигает максимума при том значении ©=<в, при котором
максимизируется функция /(ю), т. е. алгоритм оценки частоты
имеет вид
/(и) = глах. (3.7.10)
(О
Следует иметь в виду, что из-за периодичности функции /(о)
оценка частоты неоднозначна. Ясно, что для получения высокой
точности оценки при дискретной обработке радиочастотного
колебания временной интервал А следует брать меньше наименьшего
значения ожидаемого периода радиосигнала. Если это условие
выполнено, то оценочное значение частоты © должно
отыскиваться в интервале частот, ограниченном сверху частотой сод — 2я/Д.
При этом неоднозначность оценки частоты устраняется. С учетом
изложенного можем написать
max In L (Я) - С + 2 A A hA (и) / (©)/#—Л2 т A2 h\ (co)/2JV.
ф, СО
а
Из условия maxlnL(X) = 0 получаем оценку амплитуды
у дА <р, и
A=*2f(a)/mAhA{a). (3.7.11)
Оценим качество полученных оценок (10), (6) и (9)
параметров {А, ф, ю}. Для этого нужно по формуле (4.3.34) из [35]
предварительно вычислить элементы информационной матрицы
Фишера
-"{-ЭД-}-
Воспользовавшись исходным выражением (2), получим
J fly = ■
•'nv
--^{»<a-S£8r-«H*M^
Из (1.2.10) следует, что M{|i}=s,-(k). Поэтому
217

i=JLji-*hM_.-9h2Lt (3.7.12)
^ N fix *\ «4
где Si(k) определено выражением (3).
В результате громоздких вычислений (при обычно
выполняющихся условиях: ти^А, coxh^I и пренебрежении слагаемыми с
удвоенной частотой 2со) получим следующие окончательные
формулы для дисперсий оценок:
2ь> 5.> А-
тнАд» ' (2E/N)hl(n)'
DA > (3.7.13)
где Е = А2хи/2 — энергия сигнала. Дисперсии оценок этих же
параметров сигнала при непрерывной обработке принятого
колебания даются формулами (3.6.21)
Если принять нижние границы дисперсий оценок за их
фактические значения, то из (3.6.21) и (13) имеем
D~ D. D-
—4_ = -2- = -£_ = А2(а>)<1. (3.7.14)
54 5. б-
А <р «о
Как и следовало ожидать, дисперсии оценок параметров
сигнала при дискретной обработке принятого колебания не могут
быть меньше дисперсий оценок при непрерывной обработке. При
/я~ти/ЛЗ>1 мера увеличения дисперсий оценок D% при
дискретной обработке определяется значением параметра юА/2=л:/А, т. е.
зависит от соотношения между периодом взятия временных
отсчетов А и периодом радиосигнала 1//. При /А<1 с уменьшением
А дисперсии оценок D \ уменьшаются и в пределе D а-^а при
Д->0. Дисперсии оценок Ъ \.-*-°° при fA=&, где k — целое число.
Это объясняется тем, что при таких значениях А полезный сигнал
SiCK), как видно из (3), в принятом колебании отсутствует
Ык)=0).
Решим теперь сформулированную выше задачу совместной
оценки параметров к= {А, ф, со} радиоимпульса s(t, к) =А cos((at+
+ <р), когда он принимается на фоне гауссовского шума с
экспоненциальной корреляционной функцией Ru(t) =D ехр(—а|х|).
Воспользуемся полученной ранее совместной плотностью
вероятности (2.3.4) отсчетных значений шума. Подставив в нее Я{ =
= li—Si (к), получим выражение для функции правдоподобия
= (2Я Z))-(-D/2 (l _V2)-m/2 exp j __J__ ^ _f) (|,_So).+
+ |(Sf-YEf-l-*f+VS»-^]}.
218

Здесь v = exp(—аА) и для упрощения записей опущен аргумент у
временных отсчетов сигнала: Si = SiCk). Логарифм функции
правдоподобия равен
1п1(М = С + 2D{ll_y2) {(1—v2)(2ioS0—s2o) +
+ S f2(gf-YEi-i) (*f -V «f-i)-(*J-V *f-i)2l}, (3-7.15)
где постоянная С не зависит от оцениваемых параметров "к.
Упростим это выражение. Из (2.3.10) и (2.3.17) следует, что
т f i
(1—yVo + S(*—YSf-i)1^* (1 —v")cos4 + 4-0-i-Y2-2vcos«)A)X
Г ' ein(Bf cos(a>(T + A) + 2(<p + x))
^-^(1+y2_2Ycos(uA).
Д sin шД
Здесь последнее равенство справедливо при большом числе
отсчетов на интервале наблюдения (т~77Д»1) и (лАфкл, к=\, 2, 3 ...
В дальнейшем эти условия будем считать выполненными. С учетом
очевидных равенств
s,_! = A cos [ю (tt—А) -f ф] = st cos юА -f- A sin (ю^ + ф) sin юД.
8% bs A cos [со (^_j + А) + ф] == «г_! cos юА—A sin (ю ^_х 4- ф) sin юА
преобразуем второе слагаемое:
т mm
2g0sb + 22(Sf-vb-1)(si-YSJ-i)=22 g,5i + 2Y«SS«-iSf-i-
i=l i=l i=l
mm m
-V 2 liSi-i-y S g*-i*« = 2(1 + y2-2ycoscoA)2 g,s,+
[=1 f=l i=0
+v{(£o «о + lm sm) cos coA + Л^шф—lm sin(co *m + ф)] sin «A—Yim sm}~
2(1 +v2 — 2vcosa)A)2gfS(.
При написании последнего равенства учтено, что последнее
слагаемое в фигурных скобках зависит только от начального и
конечного отсчетных значений сигнала и принятого колебания. При
большом числе отсчетов (т~77Д;Э>1) это слагаемое не имеет
определяющего значения. При справедливости
указанных.приближений получим
0(1 -Y2) L£o 4 J
= С + тЩ=%^ Ше[е-* РМ]-±АЛ. (3.7.16)
D (1—у2) I 4 J
где введено дискретное преобразование Фурье от отсчетных
значений
М«>) = —Sbe-,e'A- (3-7Л7)
m 1=0
219

Получим алгоритм оценки параметров К = {Л, ср, со}. При
фиксированных значениях Л и со выражение (16) имеет максимум по <р
при ф = ф. Это значение находится из уравнения
сПпед/<Эф|ф=-=о.
Отсюда ф = arctg[^^iд (со)//гСд (со)] или (f = argFA{(a), причем
max lnL(k)^ С + m'+у2~2усозюА(Л Re [e-J<MFA(co)|ei<p—-Л21=
Ф D (1 — у2) I 4 j
= C + m1+v2-2YCOS<aA Ufa((»)|—i-лЛ.
D(l —y*) \ 4 J
Из уравнения —-maxInL(%)\A==% = 0 находим оценку амплитуды
Л = 21^ (<о)|. При этом
maxlnL(^ = C + m1+v2-2vc0SU)A |FA(co)|2.
Ф.4 W 2£>(1 — у») ДУ ;
Видно, что оценка частоты определяется формулой
со = max =1{( 1 + V2—2v cos соА) | Fa (со) |2}.
Таким образом, алгоритм совместной оценки параметров
радиоимпульса имеет вид
А = 2|Рд(и)|, q> = argFA(0),
co=max-1{(l+v2—2ycoscoA) |FA(co)|2}. (3.7.18)
Определим по формуле (4.3.34) из [35] нижние границы
дисперсий полученных совместных оценок. Для этого нужно
предварительно вычислить элементы корреляционной матрицы Фишера
__ f ЭМпЩ) }
ц. v
При вычислениях целесообразно воспользоваться первым
выражением (16) и учесть, что
М{|,|Х}=8,(Х) = Лсо5(согД + ф), f' = 0, 1,2,..., т.
В результате вычислений при т>1 получим следующее
выражение для корреляционной матрицы Фишера:
J =
A-2 dm О О
О dm drA
О drA dqA2_
a __dL 1 + У*—2ycoscoA
~~~2D' 1 —y2
_т(от+1) ot(ot+1) (ot + 2)
Г" 2 ' 9— 6
220

Нижние границы дисперсий оценок параметров сигнала
определяются диагональными элементами обратной матрицы J-1.
Вычислив их, придем к формулам
д.^ А* _ 2D(1-V»)
л "" dm m(l + va — 2ycoscoA) '
».>-*- = Ш!=Й , 3.7.19)
ф dm Лгт (l + v2 — 2y cos соД)
g > 12 __ 24D(1— v2)
dm» А2 Ла т8 Д2 (1 + v2—2 у cos соД)
Нетрудно убедиться, что для очень малых Д, когда справедливы
приближенные равенства ■у = ехР(—аД)^/1—аД+(аД)2/2, coscoA~
тс 1—(соД)2/2, эти формулы переходят в формулы
(3.6.20),относящиеся к случаю непрерывной обработки принятого колебания.
Если принять нижние границы за фактические значения
дисперсий оценок при непрерывной и дискретной обработке, то
отношение дисперсий оценок будет равно
°А _°* °» _,с_2(1+е-2б-2е-6 cos v б) (3 7.20)
В. 5. 5. 6(1 +v2) (1-е-26)
А ф со
где обозначено б = аД, v = co/a. Графики зависимости отношения и
от различных параметров были приведены на рис. 2.19. Из них
следует, что при малых интервалах дискретизации по времени
точностные характеристики оценок при дискретной обработке
незначительно хуже, чем при аналоговой.
3.8. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
Выше были рассмотрены раздельные и совместные оценки
различных параметров сигнала, принимаемого на фоне «слабого»
белого и гауссовского коррелированного шума, методом максимума
функционала правдоподобия. Были получены структурные схемы
соответствующих измерителей и найдены нижние границы
дисперсий оценок, определяющих предельную точность измерений.
Однако до сих пор, по существу, не затрагивались следующие
практически важные вопросы: 1) какое влияние оказывает
априорная плотность вероятности оцениваемого параметра на
структуру оптимального измерителя и качество оценки или, иначе, какое
различие в оценках по максимуму функционала апостериорной
плотности вероятности и по максимуму функционала
правдоподобия; 2) в каком соотношении находятся оптимальные
многоканальные измерители с часто используемыми на практике
измерителями следящего типа; 3) как можно оценить вероятность
получения неоднозначной оценки и ее влияние на количественные
показатели оптимальных устройств. Ниже с разной степенью
общности и детальности даны ответы на перечисленные вопросы.
1. Совместная оценка частоты и фазы сигнала по максимуму
апостериорной плотности вероятности. Пусть полезный сигнал
221

s(t, Q, ф) =ЛоСоз[(соо + £2)^ + ф] принимается на фоне белого
шума n(t):
Б(/) = 4,со8[(©„ + О)* + ф] + л(0, 0<*<7\ (3.8.1)
где А0 и coo — известные амплитуда и частота, а подлежащие
оценке смещение частоты Q и начальная фаза ф априорно
независимы и имеют плотности вероятности
рРг (Q) = .-*— ехр ( 2§~\,
1/2яОй \ ша I (3.8.2)
''W (') =% , /пч 6ХР lD C°S (Ф—Фо)1. —Л <ф <Я.
2я /0 (и)
Здесь Iq{x) —функция Бесселя нулевого порядка от мнимого
аргумента.
Применительно к данному примеру апостериорная плотность
вероятности интересующих нас параметров о Иф согласно (1.5.6)
равна
k „г й2
Pps (Й, Ф) = —zrt — ехр { 2D— + D cos (ф— ф0) +
(2я)3/2 /о (D) yrDa l гиа
9 Л т 1
+ 4г(&(0со5[(и»,+Й)/ + ф]А} =
# о J
= ^ — ехр{^(Й)со5[ф-уЛЙ)] 2^-1. (3.8.3)
(2л)3/2 /0 (D) |/DQ I ^а J
Здесь
D1 (Q) = {[Хс (Q) + D cos Фо]2 + [X, (Q) +1> sin Фо]2}2, (3.8.4)
Х(0)=—rtig^ig + g'1^, (3.8.5)
Хс (Q) + £> cos ф0
N о lsin(fl>0 + Q)f i
а постоянная А определяется из условия нормировки
оо Я
j JpPe(G. фМф<*0 =
—оо —Я
= , * [/„(D^exp 2^- dQ=l.
|/2nDQ /0(P) _i ° V 7 V ^o /
При совместной оценке параметров Q и ф по критерию
максимума апостериорной плотности вероятности в качестве оценки
принимают те их значения Q и ф, при которых апостериорная
плотность вероятности имеет абсолютный максимум:
(Q, ф) = тах-1{РяЛЙ. Ф)}. (3-8.7)
Q, ф
222

Из анализа выражения (3) следует, что поскольку
показательная функция монотонна и величина Z)i(Q)^0, то при любых Q
апостериорная плотность максимальна по ср при ср=х(й). При
этом процедура отыскания совместной оценки упрощается и
сводится к системе двух уравнений
где
Ф = X (Й). & == max-1 {pps (Q, q>)},
(3.8.8)
2£>„
—=^ exp \dx (Q)-
]/2я£>о/0(О) L
Учитывая монотонный характер показательной функции и то,
что интересующий нас параметр Q входит только в показатель,
система уравнений (8) эквивалентна следующей:
Ф = Х(Й), Q = max-1{Z)1(Q) ^-}. (3.8.9)
Структурная схема одного канала многоканального
приемника-измерителя, реализующего алгоритм (9), изображена на рис.
3.19. В каналах приемника формируются величины A(Q,) —
—i22i/2Da, i=l, m, где частоты й,- берутся из априорного
интервала Q. Совместную оценку дает канал с наибольшим выходным
сигналом.
i/GOSC?
т
х
^ооа[&»в+Й^+рГад]
р(О0
-m°ctg
Хс(П;)+ДС05рд
—^GOS(u)st+Slit)
X
Г
<+H
ДГвСО.
Atf.
пд.4Лрсо*
я
Рис. 3.19. Структурная схема одного канала приемника-измерителя частоты и
фазы
Для получения количественных характеристик совместных
оценок параметров Q и ср (в частности, корреляционной матрицы
ошибок) при малой интенсивности шума можно воспользоваться
методом малого параметра, изложенным в § 3.2. Отличие будет
состоять лишь в том, что теперь согласно формуле (3)
сигнальную функцию qs(Q, ср) следует определить выражением
,2 Т
2А
qs (Q, ф) = _£ J cos [К + Qn) /+Фо] cos [(со0 + Q) f + ф] dt +
iV о
223

Q2 A? I
+ Dcos(9—ф0) sjj- ~—-Jcos[(Q—Й0)/+ф—ф0]Л +
zua N о
+ Dcosfa— ф0) 2D~ =
_ 2£ sin[(Q—Й0)Г+(ф—Фо)] —sin(9—фр)
W * (Й —Qo)?1
+ Осоз(ф-ф0) §-■ (3.8.10)
Выполнив необходимые вычисления, на основании формул
(3.2.32) и (3.2.33) получим
n (2E/N) + D n (2E/N)(T*/3)+Dq1
а Д f A
^(Ж\'Л-+™..Л0+(^+о) -L. (3.8.12)
\ N ) 12 N 3 \ N ) DQ V '
Отметим часто встречающийся факт. Хотя смещение частоты Q и
начальная фаза ср считались априорно независимыми, их
апостериорные оценки оказываются коррелированными.
Из формул (11) можно получить разные частные результаты.
Так, при /)->оо (начальная фаза радиосигнала точно известна)
получим
°^{т-т+1^У' D*=0, ^'"°- (3,8ЛЗ)
Если D-*-0 (начальная фаза радиосигнала случайная и равномерно
распределена), то
2£ г2 , 1 \-i
где
А
а * N 12
D /Л.Л + 1 \Г(ЖуЛ+Ж 'I-1, (3.8.14)
d__W^._H + _L\-1
*a<» I ;v 12 + ^Q j •
При DQ-»-0 (частота радиосигнала известна точно), найдем
Ai=0, D^^+D]-1 , ^Г0. (3.8.15)
Полученная формула (15) для £<р является обобщением
формулы (3.3.30) и совпадает с ней при Z) = 0.
Из (И), (13) и (14) при выполнении неравенств
2 E/N > D, (2 EINY Т* > Dq »
224

получим следующие Приближенные соотношения:
D./IDA ~l,DJ(DA ~4. (3.8.16)
В частности, последнее соотношение останется в силе и в
предельном случае при D = 0, т. е.
ЮЛ /(ЮЛ ~4.
\ a)D=0\ BJD==o
При выполнении указанных условий дисперсия оценки частоты
радиосигнала с равномерно распределенной случайной фазой в
четыре раза больше дисперсии оценки частоты того же
радиосигнала при известной начальной фазе. Различие соотношений (16)
связано с коррелированностью оценок частоты и фазы: при D = 0
они коррелированы, а при D = oo — не коррелированы.
2. Следящий измеритель частоты радиосигнала со случайной
начальной фазой (ЧАП). Пусть требуется оценить смещение
частоты Q .полезного радиосигнала s(t, Q) =ЛоСОз[((Оо + £2)^+ф] по
принятому колебанию (1), причем смещение частоты Q(Q<^o)o) и
начальная фаза ср считаются независимыми и равномерно
распределенными соответственно в интервалах ,[Q', Q"] и [—я, я].
Решение сформулированной задачи было рассмотрено в § 3.3.
При этом был получен оптимальный измеритель в виде
многоканального устройства (см. рис. 3.13). Покажем на данном частном
примере (см. также с. 188), что при больших отношениях сигнал-
шум квазиоптимальную оценку смещения частоты можно
получить при помощи устройства следящего типа — частотной
автоподстройки (ЧАП). Приведенная методика получения измерителя
следящего типа носит общий характер и может быть применена к
раздельным и совместным оценкам других параметров радиосиг*
нала [42, 43].
Пусть колебание (1) наблюдается на текущем интервале
времени (0, t), t^.T. Очевидно, что как оценочное значение
смещения частоты Qt, так и апостериорная плотность вероятности этого
смещения зависят от времени t. Чтобы .получить уравнение
оптимального измерителя в дифференциальной форме, исследуем
изменение апостериорной плотности вероятности pps(t, Q) при
увеличении времени наблюдения t.
Применительно к рассматриваемому примеру в соответствии с
формулой (1.5.21) записываем апостериорную плотность
вероятности
pPt(t,Q)=c(t)I0№*X(t,<i>)\,w = w0 + Q. (3.8.17)
Здесь c(t)—нормировочный коэффициент; X(t, со)—аргумент
функции Бесселя нулевого порядка от мнимого аргумента /0(-).
определяемый выражениями (1.5.17) и (1.'5Л8):
X(tM = lX*e(t,«>) + Xi(t,u)]4*, (3.8.18)
8-82
225

где
Х( «,«.) = (l(x) (TOS(0T) dx. (3.8.19)
Выражение (18) можно записать в виде двухкратного
интеграла:
X {?,*>) =
t t
И
о о
I JE(T)g(T')cos©(T—T')dTdt'
1/2
(3.8.18')
Прологарифмируем обе части равенства (17):
inpps (t, Q) = In /0 (^-° X(*, со) j + Щ c(t).
Беря производную по t, имеем
■2- pPs (t, Й) = [F (/, co0 + Q)-k) pps (t, Q),
Of
где
<F(*,co0 + Q)
/,
(TeX(f.«D.
+ Q)
2Л0- d X (f, co„ + Q) ,
N dt ' ~
(3.8.20)
dc(t)
dt
Ц—°X(/, CD0+Q)
(3.8.21)
так как dl0(x)/dx=I\(x). Коэффициент Я, всегда можно
определить, пользуясь тем, что по условию нормировки
I ~Pp.(t,Q)dQ = -?-] Pps(t,Q)dQ = 0.
Л, dt dtj^
Поэтому в результате интегрирования (20) по Q получим
Я = J F(t, co0 + Q) pps (t, Q) d Q = M {/="(f, co0 + Q)}. (3.8.22)
<—00
В дальнейшем будем предполагать, что отношение сигнал/шум
велико (2E/N^>1). При этом аргумент функций Бесселя в (21)
будет много больше единицы и на основании их
асимптотического представления имеем
42 *)/'•(£*)""•
Естественно ожидать, что при больших отношениях сигнал-шум
оценка будет весьма точной, т. е. апостериорная плотность
вероятности смещения частоты будет тесно сконцентрирована в
небольшой окрестности около оценки. При этом функцию
/Ч*. со0 + Q) ~ 2-£>. ,£-X (*, g>0 + Q)
N at
(3.8.23)
226

можно разложить в ряд Тейлора й окрестности оценки Qt и
ограничиться учетом лишь первых трех членов разложения:
F(t, <o0 + Q)=F (t, <о„ + Ut) + af(/'t°0+Qt) (Q- Q() +
dQt
2 a$
(3.8.2-4)-
При больших отношениях сигнал-шум имеются физические
основания считать, что апостериорная плотность вероятности будет
нормальной (гауссовское приближение):
pP*(t,Q)=
1/2 я Du (t)
exp
(Q —Qt)2
2D.(t)
(3.8.25)
где оценка Qt и ее дисперсия D$ (t) зависят от времени. При
использовании гауссовского приближения в качестве оценки
принимается значение Qt, соответствующее максимуму апостериорной
плотности вероятности. Ясно, что при этом оценка оказывается»'
несмещенной.
Подставив выражения (24) и (25) в (22), иолучим
M{F(t,<u0 + Q)}=F(t,<u0+&t) +-i-D Q*FV.<b + Qt) _ (3826у
1 d&t
Из (25) имеем
at
pp,(t,Q) =
_! *_D (i) i (Q-Qt)dQt , (Q-bt)' d D . ]
\DU (f)dt a w^ Du (t) dt 2 D«fi (t) dt й WJ ~
XpPs(t,Q). (3.8.27>
Подставив (27) в левую часть и (24) в правую часть уравнения.
(20), получим равенство
и. (пч-= ^-
dt
2DU (t) dt a
<* Вл {t)+V-&t)d&t_ + (Q-Qt)> J_D () =
n w Ой (0 <tf 2 Da£ (Q <tt 6 w
=^,a)0 + Qt)-M{F(^,a)0 + Q)} + aF(/'<aB+Qt)(Q-Qf)+-
dQt
+_L. a»f(f.«ni+ud (Q_ ф2
2 aa<
Приравнивая члены при одинаковых степенях (Q—ht) в левой vr
правой частях этого равенства и учитывая при этом соотношение
(26), получим
1Г -D* {t) dF{t,<*[+Ut). jfDu (t) -Л», (0 »'<*-«» +ft> . (3.8.28).
dQt d&t
8* 22Г

Подстановка сюда выражения для F(t, a>o + Qt) из (23) дает
^- J^D. (t) -?- X (t, со„ + Q(),
* N a dutdt
Последнее соотношение можно записать иначе
1 =4oZ7^(^o + 4)-
Da W * ай2,
Таким образом, окончательные уравнения, определяющие
оценку и ее дисперсию, имеют вид:
dt N a dQtdt
1 2Л0 аа
(3.8.29)
= -^-°^Ч;(:^0)о + Й()-
D& W * а ^
Эта система уравнений получена в гауссовском приближении,
справедливом при больших отношениях сигнал-шум. При этом
критерием оптимальности является критерий максимальной
апостериорной плотности вероятности, совпадающий в
рассматриваемом случае (при равномерном априорном распределении) с
критерием максимального правдоподобия. Измеритель, полученный
при этих условиях, назовем квазиоптимальным. Алгоритм его
работы определяется системой уравнений (29). Эту систему
практически можно моделировать по-разному. Приведем один вариант
схемы частотной автоподстройки (ЧАП), получающийся в
результате замены в первом уравнении (29) дифференцирования по Q«
конечной разностью.
Положив (3Q( = 26, первое уравнение (29) примет вид
^- = ^Dfc(0-7[X(*,co0 +Ut + 6)-X(t,a0 + Qt-8)]. (3.8.30)
dt No at
Известно, что величина X(t, со) есть напряжение на выходе
звена, состоящего из идеального колебательного контура с
резонансной частотой со и линейного амплитудного детектора огибающей
(АДО).
Возможный вариант квазиоптимальной схемы оценки
смещения частоты радиосигнала, реализующий алгоритм (30),
представлен на рис. 3.20. Квазиоптимальная схема содержит
частотный дискриминатор (ЧД), но с идеальными колебательными
контурами. Практически это означает, что постоянные времени
контуров должны значительно превышать время Т оценки смещения
частоты. Кроме этого схема имеет специфическую линейную часть,
содержащую усилитель с переменным коэффициентом усиления,
228

идеальные дифференцирующее и интегрирующее звенья, а также
управляющий элемент (Ус*) и 'подстраиваемый генератор (ПГ) с
собственной частотой а>о±а>пр. Не приводя здесь отдельного рас-
#50
X

Колебательный нонтур
НА
АДО
L.

Колебательный нонтур
«пр + О*-^
- л
АДО
I ^ _.
©ТП It
пг
в>^±б>пр
я?
*7
«/Г
'<
#«у
Рис. 3.20. Квазиоптимальная схема оценки смещения частоты радиосигнала
(ЧАП)
смотрения второго уравнения (29), а пользуясь формулой (3.3.78),
записываем выражение для переменного коэффициента усиления
w N8 ® A0t*8
Если для упрощения технической реализации переменный
коэффициент усиления приближенно заменить на некоторый
постоянный, то- операции дифференцирования и интегрирования взаимно
компенсируются и соответствующие им элементы схемы можно
опустить. При этом приходим к типовой схеме ЧАП :[44].
3. О неоднозначности оценки и ее влиянии на характеристики
устройств. Пусть оценке подлежит смещение частоты Q полезного
ЧМ радиосигнала
s (t, Q) = Л cos (со0 + vQ) t,~T/2^t^ T/2,
(3.8.31)
принимаемого на фоне белого шума с односторонней
спектральной плотностью N. Предполагается, что А0 и соо — известные
амплитуда и несущая частота; у— известный коэффициент; Q —
случайная величина, априорная плотность вероятности которой
ppr(Q) является равномерной в интервале (—Y%Dq, Y 3Da ).
При этом плотность вероятности Ppr(Q) имеет диоперсию Da .
Интервал наблюдения выбран симметричным относительно нуля с
той целью, чтобы количественные результаты, которые будут
получены, охватывали случай, когда в радиосигнале (31) имеется
случайная равномерно распределенная начальная фаза (см.с. 201).
229

При равномерном априорном распределении максимально
правдоподобная оценка Q совпадает с оценкой по максимуму
апостериорной плотности вероятности. Для данного примера
логарифм функционала правдоподобия равен
Г/2
lnF(Q) = — f t{t)s(t,Q)dt.
Л/ J.. _
N
(3.8.32)
-Г/2
Как известно, оптимальную оценку можно получить при
помощи нескольких параллельно включенных согласованных фильтров
или при помощи многоканального измерителя корреляционного ти-
па. Для этого разобьем априорный интервал (шириной 2 У 3Dq )
на конечные приращения с шагом А и выполним обработку (32)
для дискретных значений частоты Й (рис. 3.21):
Q1== — >/ЗДв+ (А/2), О^—/ЗАГ + (ЗА/2),™ ,
Йт=-]/ЗЙ+(т-1/2)Д, (3.8.33)
где т= [2]ЛЗРл /А+0,5] — наибольшее целое число, не
превосходящее 2V3Dq /А+0,5. В результате такой предварительной
обработки будут получены т значений. Выбираем наибольшее из
них и принимаем, что истинное значение смещения частоты
находится именно в этом подынтервале.
f(t)
—»■
X
*
*■
*(*, Пт)
X
T
»■
s(t, nk)
—»■
X
*■
T/Z
f(-)ctt
-Vz
т/г
/cm
-т/г
т/г
foot
-г/г
1 °
«8
CO
0 CJ"
8(t,Qf)
s
Рис. 3.21. Структурная схема многоканального измерителя частоты
Для получения окончательной оценки проведем локальную
максимизацию (внутри выбранного подынтервала) согласно
уравнению правдоподобия, которое в общем случае имеет вид:
7 15(0-«(/,о)]^Л
—Г/2
дй
= 0.
(3.8.34)
b=q
230

На рис. 3.22 приведено устройство, моделирующее выражение
(34) и позволяющее определить локальный максимум. Если при
предварительной многоканальной обработке подынтервал был вы-
Ген'ератор
• сианвлов
&& Pest/лировна D
_ для получения нуля
Q
Рис. 3.22. Устройство локальной оценки частоты
бран правильно, то при Г^>2я/о)о окончательную точность оценки
смещения частоты можно аппроксимировать формулой вида
(3.3.78), т. е.
Du = 12/(2 E/N) (у Tf. (3.8.35)
Относительная дисперсия оценки смещения частоты будет
ограничена величиной
б2й = D& IDu = 12/(2 E/N) (у Tf DQ. (3.8.36)
Отсюда видно, что относительную дисперсию оценки частоты
можно сделать сколь угодно малой за счет увеличения у. Однако
формулы (35) и (36) не учитывают влияния у на вероятность
ошибки первоначального определения правильного подынтервала.
При некоторых упрощающих допущениях можно получить
приближенное выражение для этой вероятности [16]. Запишем
выражение для нормированной сигнальной функции
<Ь(Й) =
1
Г/2
j s(t,Q0)s(t,&)dt
_sin[v(Q — Q0) T/2]
_T/2 y(Q—Q0)T/2
где Е=А20Т/2 — энергия сигнала (31); Qo — истинное значение
смещения частоты в принятом сигнале. Видно, что сигнальная
функция обращается в нуль через частотные интервалы 2л/уТ.
Поэтому представляется разумным взять величину А равной
2л/уТ.
Обозначим через ре вероятность выбора неправильного
интервала: Для вычисления этой вероятности используем
аппроксимацию, позволяющую заменить все Q в .первом подынтервале на fii
и т. д. При такой аппроксимации задача сводится к определению
того, какой именно из m ортогональных сигналов с одинаковой
энергией присутствует, причем для больших m
(3.8.37)
231
m ~ 2 |/3Da/A ~ yT ]/3£а/я.

Решение сформулированной задачи дается выражением (2.4.46),
а при больших значениях уТ— выражением (2.5.51):
утУШ/х-1 / _е\ з.8.38)
С увеличением уТУ 3Dq вероятность того, что будет выбран
неправильный подынтервал, возрастает. Эту вероятность иногда
называют вероятностью неоднозначности оценки или аномалии.
Из приведенных результатов можно сделать следующий
фундаментальный вывод. При фиксированных 'значениях E/N и Т
можно увеличить 'у настолько, что локальная ошибка оценки
будет сколь угодно малой, если предварительно был выбран
правильный подынтервал. Однако при увеличении у вероятность того,
что выбран правильный подынтервал стремится к нулю. Таким
образом, при заданном у необходимо некоторое минимальное
значение E/N для обеспечения того, чтобы вероятность пребывания в
ошибочном подынтервале была достаточно мала.
На основании выражения (38) можно предложить следующую
методику расчета измерителя частоты. Считаем, что приемлема
некоторая вероятность ошибки ре, допустим Ро = Ре- Чтобы
минимизировать средний квадрат ошибки, ограничиваемый этим
значением, выберем у так, что (38) выполняется со знаком
равенства. Подставив рс в левую часть (38), пренебрегая для больших
уТ единицей в числителе, разрешив полученное равенство
относительно уТУ Da и подставив результат в (36), получим
82$~9(E/N)-2exp(—E/N)/n?pl (3.8.39)
—2
На рис. 3.23 показана зависимость 6- от отношения сигнал-шум
E/N для двух характерных значений ро.
Неравенство (38) указывает на одно из следствий увеличения
коэффициента у. Другое следствие непосредственно видно из
записи самого радиосигнала (31). Каждое значение Q смещает
частоту передаваемого сигнала с ©о до coo + Y^- Поэтому канал связи
должен иметь необходимую полосу пропускания А/г. Ширина
спектра прямоугольного радиоимпульса (31) приближенно равна
2п/Т рад/с. В качестве максимального смещения частоты сигнала
можно принять величину ±уУ ЗАз . Следовательно, при средней
частоте юо необходимая полоса пропускания канала приближенно
равна
2nAfr~2yyMh+2n/T = (2yT + 2n)/T (3.8.40)
или при уТУ Dq ^>2я
2яА^т^2уТУзШ. (3.8.41)
В практических системах связи допустима вполне
определенная ограниченная полоса частот А/г. Если отношение сигнал-шум
EjN достаточно для обеспечения приемлемой вероятности ошиб-
232

ки ре, то соотношение (41) дает другое ограничение на величину
7 Ее можно увеличивать до тех пор, пока не 'будет занята
допустимая полоса частот Afr. Для оценки достигаемой 'при этом
величины среднего квадрата ошибки нужно в (36) 'подставить
выражение для yVDQ из (41): .
б2. = 18/я2 (E/N) (A U ТУ- (3 -8-42)
Отсюда видно, что средний квадрат ошибки определяется
двумя величинами: отношением сигнал-шум E/N и
AfTT—произведением ширины спектра на длительность передаваемого сигнала.
Величина б72 для нескольких значений \fFT представлена
графически на рис. 3.23. Два семейства ограничительных кривых дают за-
Л*
Ч1
10 s
1ог
1С1
10
-*
Р„
i i i
-10-4
ff/i
А Щ/-
I у -
Wy
У
Пороговое ограничение
\ i i
'; ill
10
еА
МО
Рис. 3.23. Зависимость величины, обратной
относительной дисперсии оценки частоты,
от отношения сигнал — шум при
ограничениях too порогу н ширине полосы
Z 34 56810 W
Рис. 3.24. Зависимость
величины, обратной среднему
квадрату относительной ошибки, от
отношения сигнал—шум
конченную методику построения рассматриваемой ЧМ системы
связи. При малых отношениях сигнал-шум определяющим
является пороговое ограничение (38). По мере увеличения отношения
сигнал-шум поведение наименьшего среднего квадрата ошибки
определяется линией фиксированной вероятности ошибки ро (39)
до тех пор, пока не достигается значение, когда ограничительным
фактором становится допустимая полоса частот. При дальнейшем
возрастании E/N наименьший средний квадрат ошибки будет
следовать линии фиксированного у.
233

Хотя описанный подход, основанный на раздельном
рассмотрении двух видов ошибок, способствует ясному пониманию существа
проблемы и является полезным, однако для сравнения различных
систем предпочтительнее оперировать с одним показателем —
полным средним квадратом ошибки De . При вычислении его следует
иметь в виду, что получаются различные значения ошибок для
двух несовместных возможностей: при правильном и ошибочном
предварительном выборе подынтервала. С учетом этого
обстоятельства для полного среднего квадрата ошибки можем написать
DE = M{(Q—й0)2|нет подынтерв. ошибки} X
хР{нет подынтерв. ошибки}+ M{(Q—й0)2| подынтерв. ошибка }Х
"•" хР{подынтерв. ошибка}. (3.8.43)
Вероятности, входящие в правую часть, равны соответственно 1—
—Ре и ре, где вероятность ошибочного выбора подынтервала ре
определена выражением (38).
Ясно, что равновероятен неверный выбор любого из
подынтервалов. При этом Q и Qo следует рассматривать как независимые
случайные величины, равномерно распределенные в априорном
интервале [—УЗЛа, Y^Dq ] . Поэтому
М {(Q—Q0)2| подынтерв. ошибка } = Щ&2} + М {Й20} = 2 Da.
С учетом этого равенства и выражений (36), (38). получим
окончательную формулу для относительного значения среднего
квадрата ошибки:
62_£l= Ч
8 £>а (yT)*Day2nEjN
i-тгуауп /_jlV
+
l/2nE/N
2уТуЩ^ / __Е_\
+ V2TTETN \ 2N)
Па рис. 3.24 показана зависимость величины бЕ 2 от отношения
сигнал-шум при нескольких значениях параметра уТ J/Dq .
Видно, что в приведенных зависимостях четко наблюдается
пороговый эффект.
Глава 4
ФИЛЬТРАЦИЯ СООБЩЕНИЙ
4.1. ФОРМУЛИРОВКА И ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ФИЛЬТРАЦИИ
1. Формулировка задачи фильтрации. Задача фильтрации в
приложениях является весьма важной и распространенной. В
достаточно общем виде ее можно сформулировать так. Пусть непо-
234

средственному наблюдению доступен случайный процесс £(£),
являющийся детерминированной функцией от полезного сигнала
s[t, %) и некоторой помехи x(t):
l(t) = F(s(t,b(t)),x(t)). (4.1.1)
Полезный сигнал s(t, Х,(0) является функцией t и
многокомпонентного сообщения lk(t) = {Ki(t), Яг(0. —Дп(0}|
представляющего собой векторный случайный 'Процесс.
Предполагаются следующие априорные сведения относительно
наблюдаемого процесса |(0 : 1) известен способ комбинирования
сигнала и помехи, т. е. конкретный вид функции F(-); 2) сигнал
s(t, Ц/)) является известной функцией аргументов t и К; 3)
известны все необходимые вероятностные характеристики
случайного процесса %(t) и помехи x(t).
Располагая этими априорными сведениями, а также доступной
непосредственному наблюдению реализацией случайного процесса
£(/), необходимо для каждого t сформировать апостериорную
вероятность (плотность вероятности) сообщения Ц0-
В большинстве прикладных задач обычно необходима не сама
плотность вероятности, а оценка X*(t), в некотором смысле
наилучшая, например, оценка по максимуму апостериорной
плотности вероятности. Однако отыскание оценок все равно требует в
общем случае предварительного лолучения плотности вероятности.
Поэтому последняя задача продолжает занимать в теории
фильтрации важное место.
Относительно располагаемых реализаций случайного процесса
можно различать два случая: 1) наблюдения фиксированной
длительности Т, когда случайный процесс %(t) задан (известен) на
фиксированном интервале времени '[О, Т]; 2) текущее
наблюдение, когда осуществляется оценка значений процесса %(t) по
текущим наблюдениям £(0 в интервале от 0 до t.
Первый случай встречается в задачах разведки, научного
эксперимента и других: получив данные, мы можем потом
обрабатывать их так долго, как это необходимо. В дальнейшем будет
изучаться преимущественно задача фильтрации в текущем
времени, относящаяся ко второму случаю.
Сформулированная задача построения оценок иногда решается
в несколько более общей постановке, а именно, когда
отыскивается оценка на интервале времени, не совпадающем с интервалом
наблюдения. При наблюдении процесса l(t) на текущем
интервале времени \[0, t] находится оценка ^(t+x). Когда т = 0, имеем
-задачу текущей фильтрации, при т>0 — задачу фильтрации с
упреждением (предсказанием) или задачу экстраполяции, а при %<.
<С0 — задачу фильтрации с запаздыванием или задачу
интерполяции.
Задача фильтрации является важнейшим разделом теории
оптимального радиоприема сигналов. В этих применениях
наблюдаемый случайный процесс l(t) следует трактовать как принимаемое
колебание, случайный процесс — «параметр» %(t)—как полезное
335

(информационное) сообщение или же совокупность полезного
сообщения и других (сопутствующих) параметров, от которых
зависит принятый сигнал s(t, k(t)). Под помехой x{t) можно
понимать собственный шум приемного устройства и другие помехи,
воздействующие на вход приемного устройства.
Фильтрация занимает также весьма существенное место во
многих процедурах автоматического управления. Так, назначение
важного класса автоматических систем, известных под названием
следящих, состоит в том, чтобы они могли с возможно большей
точностью повторять движение, задаваемое некоторым случайным
процессом, наблюдаемым на фоне помех. Например, ось антенны
радиолокационной станции орудийной наводки должна следить за
движением маневрирующей цели и т. д.
Известное различие задач, рассматриваемых в радиотехнике
и автоматическом управлении, состоит обычно только в том, что
задача автоматического слежения возлагается на объект,
имеющий некоторые заданные свойства (заданные моменты инерции,
ограниченную мощность двигателей и др.), тогда как в
радиотехнике подобные ограничения почти не возникают.
В дальнейшем будут рассматриваться в основном
радиотехнические приложения фильтрации. Применительно к ним
конкретизируем задачу фильтрации.
Укажем критерии оптимальности, применяемые в теории
фильтрации. Будем пользоваться точечными оценками, когда
величины, входящие в критерий качества оценки, относятся к
одному рассматриваемому моменту времени t. Поскольку при
фиксированном t случайный процесс вырождается в случайную
величину, то в принципе можно пользоваться всеми критериями теории
оценок параметров [35], например, оценкой по максимуму
апостериорной плотности вероятности, оценкой по минимуму
дисперсии и др. Отметим, что в задачах фильтрации на фиксированном
интервале времени более подходящими могут оказаться критерии,
характеризующие качество воспроизведения рассматриваемой
реализации в целом.
Введем обозначение £'о для реализации l(t), заданной на
интервале [0, t]. Пусть h*(t) есть некоторая оценка, построенная
для момента времени t. Очевидно, что эта оценка будет
случайной величиной (разной для различных реализаций наблюдаемого
процесса) по двум причинам: из-за случайного характера самого
сообщения k(t) и из-за наличия в принимаемом колебании l(t)
помехи x(t). Поэтому за критерий точности имеет смысл принять
среднее (,по множеству реализаций) значение какой-нибудь
функции ошибки. Применим критерий минимума средней квадратиче-
ской ошибки:
e»(Q = M {[*.(*)—b*(012} = rr.in. (4.1.2)
ям о
Здесь вероятностное осреднение нужно производить по
совместному распределению Х'о и |'о.
236

Перепишем (2) в следующем виде:
#(f) = $$(k-kyp(k,l)dXdl, (4.1.3)
п
где р(к, I)—совместная плотность вероятности k(t) и £'<>.
На основании правила умножения вероятностей выражение (3)
можно записать иначе:
z>(t)=l[$(k-X*)*p№)dl]p®dL (4.1.4)
£ А
Очевидно, что для получения минимума е2 достаточно
минимизировать внутренний интеграл
J = l(l-XyP(k\l)dK
А
т. е. обеспечить минимальное значение среднего квадрата ошибки
при каждом наблюдении. Из условия dJ\dV = 0 имеем
J (Я.—l*)p(k\t)dk = 0.
А
Отсюда
k*(f)= $кр(Щ<1к = М{Щ. (4.1.5)
А
Следовательно, оценкой, оптимальной по критерию минимума
среднего квадрата ошибки, является условное математическое
ожидание М{А,|£}, т. е. апостериорное математическое ожидание.
Этот результат встречался ранее [35]. В дальнейшем
оптимальную оценку (апостериорное математическое ожидание X) будем
обозначать X.
Согласно (4) минимум среднего квадрата ошибки равен
«£|» = Нр(БМЕ. (4-1-6)
где
/? = min/ = j(A.—i)2p(k\t)dk (4.1.7)
А» А
— дисперсия апостериорной плотности вероятности параметра А,*).
Априорные сведения о вероятностных характеристиках
интересующего нас случайного сообщения K(t) и помгхи x(t) могут
задаваться в разной форме: или в виде многомерных плотностей
вероятностей или в виде дифференциальных уравнений с заданными
начальными условиями (детерминированными или случайными).
Считаем, что известен способ формирования передаваемого ин-
*> Такое обозначение апостериорной дисперсии объясняется тем, что в
случае многокомпонентного векторного сообщения X(t) роль дисперсии будет
играть корреляционная матрица апостериорных ошибок.
237

формационного сообщения, описываемый заданным
стохастическим дифференциальным уравнением, например, вида
^• = S(t,^) + n0(t)MO)^K (4.1.8)
at
тде nQ(t)—нормальный белый шум с нулевым математическим
■ ожиданием и односторонней спектральной плотностью N0.
Гауссовский белый шум tto(t), из которого формируется
сообщение %(t), будем называть формирующим белым шумом, а
устройство, описываемое уравнением (8), — формирующим
фильтром сообщения.
Наблюдение и обработка принятого колебания %(t) могут
осуществляться двумя методами: в непрерывном и дискретном
времени. При дискретной обработке берутся временные отсчеты |(Л>)»
например, через равноотстоящие промежутки времени /v +1—^v=
-=A = const.
Первые основополагающие результаты по теории линейной
«фильтрации в дискретном времени принадлежат советскому уче-
шому А. Н. Колмогорову [47] (1939 г.), а в непрерывном
времени— американскому ученому Н. Винеру [48] (:1942 г.).
Законченные результаты по теории линейной фильтрации гауссовских
процессов в дискретном и непрерывном времени получили
американские ученые Р. Е. Калман и Р. С. Бьюси [49] (1960, 1961 гг.).
Фундаментальные результаты по теории нелинейной фильтрации
принадлежат советскому ученому Р. Л. Стратоновичу, который,
начиная с 1959 г., разработал теорию нелинейной фильтрации
марковских случайных процессов [15, 50]. Обзор последующих
отечественных работ по фильтрации дан в [71].
В основу последующего рассмотрения фильтрации сообщений в
яепрерывном времени положено уравнение наблюдения вида
l(t)=s(t,K(t)) + n(t), (4.1.9)
тде n(t) —гауссовский белый шум с нулевым математическим
•ожиданием и дельта-функцией корреляции:
М {п (Q) = 0, М {п (^ п (/,)} = (N12) б (/2- /J. (4.1.10)
.Запись (9) означает, что полезный сигнал и шум комбинируются в
гканале аддитивно, т. е. суммируются.
В зависимости от вида уравнения наблюдения (9) и
уравнения сообщения (8) следует различать два класса задач фильтра-
;ции:
1. Линейная фильтрация — уравнения (8) и (9) являются
лилейными относительно "К.
2. Нелинейная фильтрация — уравнение (8) или {9) содержит
.нелинейные функции сообщения X.
В дискретном времени будем считать заданными уравнения
«аблюдения и уравнение сообщения в следующем виде:
!v = S(*v,A<v) + "v, (4.1.11)
^v=g('vA-i) + "ov (4-1.12)
238

Заметим, что если в качестве отправных принять уравнения
(8) и (9), то от них можно перейти к разностным уравнениям
(11) и (12).
Поскольку колебание £(/) воздействует на приемное
устройство непрерывно, то при замене l(t) на |v необходимо учитывать
интегральный эффект за время дискретизации А. Поэтому
корректное в физическом и математическом смыслах рассмотрение
требует оперирования не с мгновенными отсчетами входящих в
уравнение (9) процессов, а с интегралами от них.
Интегрируя обе части уравнения (9) за время от /v-i до t ч ж
деля их (для сохранения размерности) на А, получим, что
эквивалентом уравнения (9) будет равенство (11), в котором
nv=~ [ n(t)dt. (4.1.13)
д 1 1
'V—1
Воспользовавшись указанными выше характеристиками
белого шума n(t), нетрудно убедиться, что «.дискретный» белый шум
гц представляет собой последовательность независимых
нормально распределенных случайных величин с нулевыми
математическими ожиданиями и дисперсиями
А, = N/2 А = const, v = 0,1,2,... (4.1.14)
Переход от стохастического дифференциального уравнения (8)
к разностному уравнению (12) оказывается более сложным. Он
просто осуществляется тогда, когда можно записать 6
квадратурах решение уравнения (8), например, в случае линейного урав"^
нения (8). Простейший пример такого лерехода был приведен в
[35]. Запишем полученный там окончательный результат в
используемых здесь обозначениях. Эквивалентом линейного
стохастического дифференциального уравнения
dl/dt=—aK + ne(i) (4.1.15)
является линейное разностное уравнение
Яу=р^у_1 + л0у. (4.1.16)
Здесь
Р = е-«\л0у= f e~aUv~°nQ(t)dt,y>=:l,2,... (4.1.17)
— независимые нормально распределенные случайные величины с
нулевыми математическими ожиданиями и одинаковыми
дисперсиями
D0v = D[l — exp(—2aA)],D = N0/ia, (4.1.18)
239

где D — априорная дисперсия сообщения в стационарном
состоянии (v->-oo). При малых интервалах дискретизации ^ имеем
P~l— aA,D0v=W0A/2. / (4.1.19)
Уравнения (8) и (9) относятся к частному случаю, когда
имеют дело только со скалярными наблюдениями и/сообщениями. В
более общей форме априорные сведения о наблюдениях и
сообщениях будут задаваться векторными уравнениями:
S(f)=s(f,b) + n(Q, (4.1.20)
<U/df = g (*,*.) +МО/ (4-1.21)
Здесь | — вектор-столбец наблюдений размерности т\ s{t, Я) —
сигнал, являющийся векторной функцией-столбцом размерности
т, непрерывной по всем аргументам; n(t) —вектор-столбец гаус-
совских белых шумов размерности т, имеющих нулевые
математические ожидания и матричную корреляционную функцию
М {п (у пт (4)} = N б (f, — у. (4.1.22)
Матрица N является симметрической, ее элементами являются
деленные на два односторонние спектральные интенсивности
соответствующих компонент (включая взаимные спектральные
.интенсивности). Аналогичный смысл имеют величины,
фигурирующие в уравнении (21): л— вектор-столбец сообщения
размерности га; g(t, л)—векторная функция-столбец размерности га,
непрерывная по всем аргументам; По(0 —вектор-столбец белых
шумов сообщения размерности п с нулевыми математическими
ожиданиями и матричной корреляционной функцией
М {п0 (у п; &)} = N0 б у2-Ъ). (4.1.23)
При дискретном наблюдении аналогами уравнений (20) и (21)
будут разностные векторные уравнения:
lv =s(/v,bv) + nv, (4.1.24)
bv=g(fv,bv-i) + n0v. (4.1.25)
Здесь nv и По v — последовательности векторных случайных
величин, имеющих нулевые математические ожидания и матрицы
корреляционных моментов Vv и 4TV соответственно.
Отметим, что в случае многокомпонентного сообщения k(t)
оптимальная оценка i(t) по апостериорному математическому ожи-
данию доставляет минимум среднему квадрату ошибки каждой из
п
компонент, т. е. сообщает минимум выражению вида 2 сгМ{^-ч-Аг}2,
£; = const >0, которое принято называть обобщенной дисперсией.
Действительно, пусть Я, — вектор размерности п с
компонентами Ль Яг,... Дп. Тогда качество фильтрации можно
характеризовать значением минимальной средней квадратической ошибки
п
где коэффициенты с.г>0.
240
p$)dl=>min, (4.1.26)
я,»

По тем же соображениям, которые приводились при
получении формулы (5), из условия получения минимума по А,ь Ая А,п
имеем п однотипных уравнений
п
или l^jib-tiipiMDdk-O, *=ТЯ
п
Отсюда получаем, что при любом выборе коэффициентов С{>0
оптимальные оценки компонент определяются формулой
К =Я- opt ~1 — $Ьр(Щ)*К f=I7n. (4.1.27)
п
Следовательно, минимум средней квадратическои ошибки (26)
достигается минимизацией средней квадратическои ошибки по
каждой из компонент.
2. Общий метод решения. Перейдем к изложению общего
метода решения задач фильтрации. Запишем для уравнений (11) и
(12) один из вариантов формулы Байеса, который является
исходным для решения задач линейной и нелинейной фильтрации
сообщений.
Допустим, что апостериорная плотность вероятности /?(Xv-i|
5iv_1) для момента времени /v-i найдена. Здесь giv_I обозначает
последовательность наблюдений |ь |2» •••. Iv-i- Найдем
апостериорную плотность вероятности p(Av|gvi) для следующего момента
времени tv. Вычисленное затем по формуле (5) условное
математическое ожидание определит алгоритм формирования оценки А,,
оптимальной по критерию минимума средней квадратическои
ошибки,' а апостериорная дисперсия (7)—точность полученной
оценки.
На основании правила умножения вероятностей для условной
плотности вероятности p(Av, £v |£iv_1) можем записать выражение
Р (К ,& llr1) =Р (^ 1ST1) Р & 1ЕГ1 «*v) =
-/^ИГ'И^Г'.Ы. . (4Л28>
Поскольку в (11) сигнал s(tv, A,v) является детерминированной
функцией аргументов и nv, v = 0,1,2,...,— последовательность
независимых случайных величин, то величина gv 'при
фиксированном Av зависит только от nv и не зависит от предыдущих
значений дискретного шума. Поэтому
/^vlgr'.^^&lM- (4.1,29)
Учитывая, что совокупность случайных величин {£iv_1, £v} есть
просто £vi, можем написать
Р(К\1ГХ'^=Р(^^)- (4Л-30)
241

Из выражения (28) с учетом равенств (29) и (30) /получаем
интересующий нас вариант формулы Байеса:
p(Km=p(K\i\-i)p(iv\K)ipov\ivri); (4Л-31>
Значения сообщения К в /?(sv|£iv_I) не входят и поэтому
сомножитель p-I(£v |£iv_I) можно включить в нормировочную
постоянную с апостериорной плотности вероятности p(Jlp|gvi):
р(К\Щ)~ср(К\1ГЧР&М. (4.1.32)
Условная плотность вероятности р (| v |*-v) в правой части этой
формулы легко находится из уравнения наблюдения (11), а
условную плотность вероятности p(^v|£iv_1) можно найти по
формуле
p(^vl^-1) = T/?(^-1^r1)/?(Xv!^v-i)^v-i • (4.1.33)
•—00
Действительно, на основании условия согласованности плотностей
вероятностей и правила умножения вероятностей имеем:
р (xviir')= [р (К-иКИГ1) ак-1 =
—оо
= ^ p{K-i\lvx-')p{K\K-u\\-l)dK-i.
— 00
Однако при известном A,v-i значение |iv_I не изменяет сведений
о 'Kv. Поэтому
р(К\К-иЩ~1)=Р(К\К-0.
В правой части равенства (33) апостериорная плотность
вероятности р (X,v—I leiv_1) предполагалась известной, а условная плот-
кость вероятности p(K\^v-i) может быть найдена из уравнения
сообщения (12).
При известном начальном распределении р(Аю) формулы (32)
и (33) для рекуррентного вычисления апостериорной плотности
вероятности фильтруемого сообщения совместно с формулой (5)
для формирования H*(t) дают оптимальный алгоритм фильтрации
сообщений и в принципе полностью решают задачу как линейной,
так и нелинейной фильтрации в дискретном времени. Для
векторных наблюдений или сообщений, описываемых уравнениями (24),
(25), аналогами формул (32) и (33) являются
p(K\l1) = cp(K\t\-l)p(h\U), (4.1.34)
p(K\lrl) = ^P(^-^vrl)P(^K-i)dK-u (4.1.35)
а вместо (5) для вычисления вектора оценок X следует
использовать (27). Вывод этих выражений полностью аналогичен
приведенному для скалярного варианта.
Получим общий алгоритм для задачи фильтрации при
наблюдении в непрерывном времени, описываемой уравнениями (20),
242

(21). Уравнение для апостериорной плотности в этом случае
удобно иолучить с использованием приведенных выше результатов для
дискретного времени. Предварительно заметим, что в соответствии
с результатами § 2.6 из [35] случайный процесс 'k(t),
описываемый уравнением (21), является диффузионным марковским
процессом. Плотность вероятности такого процесса определяется
уравнением Фоккера — Планка — Колмогорова, которое в наших
обозначениях имеет вид
l£l^--ii[ai{t'K)Ppr{tM+
+-^S 2 TrjrWouPpr(tA)\ = L{pPr(t,l)} , (4.1.36)
где для оператора Фоккера — Планка — Колмогорова введено
обозначение L{ppr(t, К)}.
Перепишем формулу (34) несколько иначе, чтобы в явном
виде звести зависимость от времени:
р(^_1 + АД||у)=^(^_1 + ДД||у-1)/?(|л;1Х). (4.1.37
Распишем два сомножителя, входящих в правую часть этой
формулы. При этом будем использовать применительно к
уравнениям (20) и (21) процедуру дискретизации (13). Так как nv есть
нормально распределенная векторная случайная величина с
нулевым математическим ожиданием и дисперсионной матрицей
корреляционных моментов N/Д, то на основании уравнения (20),
записанного в дискретном варианте, и выражения для многомерной
нормальной плотности вероятности имеем:
р {U%) = Cl exp { —£-Kv-s (tv, Щ* N-i [|v-s (tv, Ц) A} =
= c1exp[F(^V(>»)]A]. (4.1.38)
Здесь введено обозначение
F(tv,k)=—£-[&v-s(fv,»,)]*N-46v-s(fv,b)]. (4л-39)
Используя приближенное равенства exp (л;) «1 + л;, справедливое
при малых х, и считая временной интервал дискретизации А
малой величиной, можем написать
/>(Svlb)=<a[l+F(fv,b)A + ...]. (4.1.40)
Второй сомножитель р(^-1 + АД) в правой части равенства
(37) по смыслу представляет собой экстраполированную
плотность вероятности сообщения k(/v-i + A) при условии наблюдений
§iv'"!, т. е. при наличии наблюдений только до момента времени
/у-;. Поскольку наблюдения на интервале [t„-u tv] отсутствуют,
то все доступные нам сведения о характере изменения плотности
вероятности на этом интервале заключены в априорном
дифференциальном уравнении сообщения (21). Это означает, что p(t, %\
243

?iv'"1) на интервале [/v-i, tv) удовлетворяет априорному
уравнению (36) с начальным условием p(tv-i, X.|£iv_I) в начале этого
интервала. Поэтому для малых А можем написать
-L [p (fv_, + A, Xlgy-i)-/, (tv-u Щ\~1)] ~L{p (tv-u Л-lSr1)}
или
рЦч-1 + А,к\1Г1)~Р(*ч-*'*'№Г1)+1'{Р(Ь>-** Щ"1))*' (4-1.41)
Подставив (40) и (41) в (37) и ограничиваясь учетом членов
порядка А, имеем
р(*,_, + А,кИр = са[/?(fv_,Д||v-i) + L{p(ty-iДЦу-1)} А +
+/?(^_1ДЦу-1)./^Д).д]. (4.1.42).
Чтобы определить с2, проинтегрируем обе части выражения (42)
по всем возможным значениям К. При этом учтем условие
нормировки плотности вероятности, а также тождество
^{рГг(^-ьМ1Г')}^=0,
которое следует из дифференцирования по времени очевидного
равенства
$PpT(t,K)dK = l.
х
В результате получим, что с точностью до членов порядка малости
А справедливо равенство:
c2 = [\+A$F(tv,X)p (/v-i,blSr')d*']"1-1-M/?('v.*')X
X/^v-bMSr1)^- (4-1.43)
Подставив (43) в (42) и перегруппировав члены, получим
р (fv_, + А, М|р-/> (/v-i, М1Г1) = L (Р Cv-i, ^НГ1)} А +
+ [F (^v, *-)— J ^ (^v, *•)•/» (^v-i, ^ISY-1) d*•] p (^v-ь A-IST-')A- (4Л-44>
Поделив обе части этого выражения на А и переходя к пределу при
Д->-0, получаем уравнение фильтрации в непрерывном времени
&^- = L{p(t,k)) + lF(t,i.)-lF(t,h)p(t,X)dl.]p(t,k), (4.1.45)
at J
где p(t, %\%lo) обозначено через p(t, X) и
^(<Д) = ~16(0-8('Д)]^-Ч1(0-8(^Д)]. (4.1.46)
Это интегродифференциальное уравнение является частным
случаем уравнения фильтрации Стратоновича [15]. Начальное
условие для этого уравнения (45) имеет вид
р(0,к)=ррт(0,Х)=РРго(Ь). (4-1.47)
244

где ppro(X)— априорная плотность вероятности начальной
координаты сообщения Х(0) =Ло.
Таким образом, уравнение Стратоновича (46) при фильтрации
в непрерывном времени и уравнения (32), (33) при фильтрации в-
дискретном времени полностью описывают эволюцию
апостериорной плотности вероятности фильтруемого сообщения X(t).
Апостериорная плотность вероятности содержит всю информацию о Я,(0>-
которую можно извлечь из наблюдений %(t) на интервале (0, t)
и априорных сведений о X(t). Располагая p(t, X), можно найти
другие необходимые характеристики, в частности, условное
математическое ожидание X(t), являющееся оптимальной оценкой?
сообщения по критерию минимума среднеквадратической
погрешности или оценку по критерию максимума апостериорной
плотности вероятности, соответствующую точке максимума p(t, X).
В то же время ввиду сложности непосредственной
практической реализации этих алгоритмов, всегда желательно их
упрощение. Такое упрощение возможно, например, в случае линейной
фильтрации, когда уравнения наблюдения (9), (11) и сообщения
(8), (12) линейны относительно сообщения X.
Отметим, что вовсе не обязательно, чтобы шум наблюдения
n(t) был белым гауссовским. Важно лишь то, чтобы он был
марковским и для него можно было бы записать функционал F(t, X).
Иногда задачу с марковским коррелированным («окрашенным»)
шумом наблюдения n(t) можно свести к рассмотренной выше
путем формального введения обеляющего фильтра (с. 23).
4.2. ЛИНЕЙНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
Рассмотрим частный случай линейной фильтрации, когда
уравнения наблюдения (4.1.11) и сообщения (4.1.12) являются
линейными и заданы в виде скалярных разностных уравнений
£v=tfvXv+«v, (4.2.1)
Xv =pv_i ^v—i + "ov- (4.2.2)
Предполагается, что здесь Hv — H(tv) и pv = P(^v) есть заданные
функции времени.
Начальное значение ^о = л(0) может быть детерминированным
или же быть нормально распределенной случайной величиной.
Согласно (2) все значения Xv получаются в результате линейното
преобразования последовательности независимых нормально
распределенных случайных величин nov. v = 0, 1,2,... Поэтому сама
последовательность Xv, v= 1,2,3,... будет также нормально
распределенной.
Согласно (1) gv есть сумма двух взаимонезависимых
нормально распределенных случайных величин HVXV и nv. Поэтому
совокупности случайных величин giv_1 = {|i, g2, ••-»iv-i} и {Xv~\, £iv-1}
245

являются совместно нормальными. По правилу умножения
вероятностей имеем
р (К-и ЕГ') =Р&Г1) Р (^v-ilir1),
т. е.
Известно, что условные плотности вероятности совместно
нормальных случайных величин являются тоже нормальными.
Поэтому плотность вероятности /?(A,v-i|£iv_I) нормальная. 'К такому же
заключению можно прийти путем последовательного применения
основной формулы Байеса (4.1.31), отправляясь от априорного
распределения p(h), которое было принято нормальным или, при
детерминированном ко, дельтообразным (иначе, нормальным с
нулевой дисперсией).
Следовательно, апостериорная плотность вероятности на (v—
—1)-м шаге является нормальной, т. е. имеет вид
Р (bv-ilSr1) ^exp [-(bv_,-C.,)V2/?v-i], (4-2-3)
где С\ — нормировочная постоянная; Xv-i — условное
математическое ожидание, являющееся оптимальной оценкой; i?v-i —
апостериорная дисперсия. Заметим, что для нормальной плотности
вероятности наивероятнейшее значение случайной величины
совпадает с математическим ожиданием. Поэтому получаемая оценка
будет оптимальной и по критерию максимума апостериорной
плотности вероятности.
Условную плотность вероятности p(Kv\kv-i) находим из
уравнения (2), согласно которому A,v при фиксированном значении
Яу_! представляет собой сумму неслучайного слагаемого pv-i^v-i и
гауссовского шума nov с нулевым математическим ожиданием и
дисперсией D0v . Поэтому
р(К\К-х) = с2е\?[ —(К— p\,-iV-i)V2D0v]. (4.2.4)
Подставив плотности рероятности (3) и (4) в (4.1.33) и
выполнив интегрирование, получим
Р{К 16Г1) =с3ехр[-(К —pv_i V_,)2/2($_,#v_, + Dov)]. (4.2.5)
На основании указанных выше пояснений записываем
выражение условной плотности вероятности
/?(SvlM=c4exp[ — (Sv— #vM2/2Dv]. (4.2.6)
Основная формула (4.1.31) после подстановки в нее выражений
{5) и (6) принимает следующий вид:
р (lv |gfl = г evp ( — Г <Ч—Pv-i ^v-i)a + ^у~Яу У* 1 1 (4.2.7)
I L^P'v-l^v-l+^Ov) 2Dv V
246

Поскольку показатель экспоненциальной функции есть
полином второй степени относительно Xv, то условная плотность
вероятности p(A,v||vi) является нормальной. Согласно методу
математической индукции она будет нормальной при любом v, если
начальное значение %о фиксировано или распределено по
нормальному закону.
Параметры нормального закона (7) — математическое
ожидание 1,и дисперсию R„ — проще всего найти, если стандартное
выражение нормальной плотности вероятности записать в виде
(2яЯ)
ехр
2/?
= с ехр
2R Г
R J
Отсюда видно, что математическое ожидание К есть коэффициент
при X/R, a 1/R — коэффициент при —А,2/2.
Руководствуясь этим замечанием, из (7) получим:
Xv = Pv—1 K-l + #v ( JT- I (iv —Hv Pv-1 A-v-l),
1
1
Ht
(4.2.8>
(4.2.9)
Начальными значениями для уравнений (8), (9) являются
параметры априорной плотности вероятности К0 и Ro.
Уравнение (8) определяет алгоритм формирования
оптимальной оценки, а уравнение (9) — эволюцию апостериорной
дисперсии. Эти уравнения принято называть уравнениями фильтра Кал-
мана. Его схема изображена на рис. 4.1, где через /Cv обозначена
величина
KV = HV(RV/DV). (4.2.10)
Заметим, что в уравнение дисперсии (9) входят только
известные функции времени t; в
отличие от уравнения (8) *
оно не зависит от наблюде- ?v
ния |, содержащего шум.
Поэтому уравнение (9) мо-
Рис. 4.1. Схема фильтра Калмана
9
У
<ч
45
А» I
Z ^**
' ^
J- 'A-ff»-r
*
* *
<
А-п
L
<н
Av-f
рз
■*
1Лу
| Jul
1
\
1
_j
жет быть решено заранее, до начала работы фильтра, вследствие
чего функцию R(tv) и коэффициент K(tv) следует считать
известными функциями времени.
Предположим, что наблюдения отсутствуют, т. е. H(tv)==0.
Тогда апостериорная плотность вероятности совпадает с
априорной и из (8) имеем
^, = pv_A-i- (4.2.11)
247"

Это есть уравнение прогноза Xv по априорным данным; его можно
■было бы получить осреднением обеих частей уравнения (2) по
априорному распределению Я, и га. В данном случае фильтр Кал-
мана вырождается в фильтр, .который обведен на рис. 4.1
штриховой линией. Это есть формирующий фильтр для передаваемого
сообщения (2). Следовательно, априорные сведения о сообщении
«заложены в конструкцию» оптимального фильтра. Этот результат
имеет общий характер.
На входе фильтра Калмана из принимаемого колебания |v
вычитается его предсказуемая часть #vPv-i^v-i. Из этой разности с
весовым коэффициентом К vh из априорных сведений Bv_iA,v_i
формируется оптимальная оценка A,v. Процедура образования оценки
является рекуррентной (т. е. повторяющейся), очень удобной для
реализации на ЦВМ.
Полученный фильтр оказывается нестационарным (с изменяю-
,щимся во времени коэффициентом kv), причем нестационарность
.остается даже в том случае, если величины В, Do, H и D являются
постоянными. Это обусловлено процессом установления дисперсии
Rv. В тех случаях, когда В, Do, Н и D — постоянные величины и
•существует предел Rx= lim Rv, оценку часто формируют в соот-
V-*oo
ветствии с уравнением
lv = $iv_1 + H(-^)av-HfK-1). (4-2.12)
Полученная таким путем оценка, вообще говоря, является
неоптимальной. Однако во многих случаях будет иметь место ее
асимптотическая (при /v->-oo) оптимальность. Фильтр с
постоянными параметрами, реализующий алгоритм (12), называется
стационарным. В практической реализации он много проще
нестационарного.
Укажем, что уравнение оптимальной линейной фильтрации (в)
гюжпо моделировать не только при помощи линейного фильтра с
обратной связью (рис. 4.1), но также и при помощи фильтра
разомкнутого типа. Для этого перепишем (8) в виде:
^ = fCiCi + tfv(Sv/A-)£v, (4.2.13)
где .Pv-i—Pv-i[l —(^v/^v) ^vl- Уравнению (13) соответствует
моделирующий линейный фильтр разомкнутого типа,
изображенный на рис. 4.2.
*».
"»
>
ОС/
Рис. 4.2. Разомкнутая реализация фильтра
Калмана
Отметим, что при линейной фильтрации в уравнение для
дисперсии (9) наблюдение \(t) не входит. При этом из формулы
i4.1.7) следует, что ,. п ,.s
*,.-">{>№>-«• (4-214>
248

Это означает, что средний квадрат ошибки при оптимальной
линейной фильтрации совпадает с апостериорной дисперсией. В
теории нелинейной фильтрации такое совпадение в общем случае не:
имеет места.
Пример 4.2.1. Фильтрация неизвестной постоянной величины. Пусть Я
представляет собой случайную, но постоянную величину. Априорные сведения о ней:
можно задать в виде уравнения
(4.2.15),
Примем,
Пусть
(4.2.16)
К - К-и
являющегося частным случаем уравнения (2) при pv-i = l и /!0v=0.
что начальное значение Х0 нормально распределено с дисперсией Rv0.
iv = 4 + V
причем дисперсия шума nv постоянна и равна D.
Уравнение (16) есть частный вариант уравнения (1) при tfv = l.
Применительно к данному примеру уравнение оптимального фильтра (8) приобретает
вид
4=4-i+</W£v-4-i)-
(4.2.17)
Этот алгоритм моделируется фильтром, схема которого изображена на рис. 4.3.
Он состоит из усилителя с коэффициентом усиления RVID н рециркулятора (на
рисунке он обведен штриховой линией),
являющегося дискретным аналогом
интегратора.
Рис. 4.3. Фильтр Калмана для
постоянной величины
I
1
—»■
н»
>
[—"
1
1
Ъ -
—I ^
1
1"»
1 "
1
!
1 „
1—1
- л
I '
1
1
■^ 1
J
Уравнение (9) для апостериорной дисперсии принимает вид
Аналогично R~lv-i = R-\-2+D-1. Поэтому R-lv=R-1v-2+2D-i.
Продолжая расписывать далее, окончательно получим
Я71 =vD~1 + ^1. (4.2.18).
Этсюда следует, что /?v<Z)/v, т. е. с увеличением числа наблюдений v
апостериорная дисперсия убывает, стремясь в пределе к нулю.
Получим теперь уравнения оптимальной линейной фильтрации в-
непрерывном времени, совершив предельный переход при Д-vO в
уравнениях с дискретным временем. Воспользуемся связью
стохастического дифференциального и разностного уравнений,
описанной в § 4.1. Подставив в (8) значение Dv=D(tv) из (4.1.14) и.
вместо Pv-i =P(*v-0— 1—Aa(/v-i). из выражения вида (4.1.19),
имеем:
Ц,-^ А) —*(*„_,)
-a(*v_1)M'v-i) +
249^

+ Я&-Х + Д) ^^-^{Н^-1 + А)-Я(^_1 + А)х
x(l-Aoc(/v_1))A,(fv_1)}.
Полагая Д-»-0 и отождествляя *v-i с текущим временем, получим
d± = -a(f)i + (2R(t)fN)H(i)[Ut)-H(t)k]. (4.2.I9)
at
Это уравнение определяет алгоритм оптимальной линейной
фильтрации в непрерывном времени и трактуется так же, как и
при фильтрации в дискретном времени. Первое слагаемое в
правой части учитывает априорные данные о фильтруемом
сообщении, а второе — поправку к ним на основе наблюдений. Линейный
фильтр может быть выполнен по схеме с обратной связью или по
разомкнутой схеме.
Как и в дискретном варианте, уравнение (19) нужно
дополнить уравнением для определения дисперсии R(t). Для этого
следует в уравнение (9) подставить Dv и D0v из (4.1.14) и (4.1.19) и,
имея в виду интересующий нас последующий предельный переход
А--*-0, воспользоваться следующими приближенными равенствами:
P2V_! = Р2 tfv-i) ~ [1 -« &-,) А]2 ~1 —2а (*„_,) А,
R (t^+A) ~ R (^v-i)+4г &-*)А-
at
После этого и деления на /?v-i уравнение (9) примет вид:
-1
,—1
={'+Nfcr-2«(44)"
+ 4№«„_,+Д)Я(<„_,)Л.
N
Применяя равенство 1/(1 + дс)~ 1—х, справедливое при малых х,
отсюда получим окончательное уравнение для дисперсии
dR/dt = N0/2— 2aR—(2/N) Я2 R2. (4.2.20)
Спектральная интенсивность No белого шума на входе
фильтра, формирующего сообщение МО. в стационарном состоянии
согласно (4.1.18) просто выражается через дисперсию D самого
сообщения: N0 = 4aD. Поэтому уравнение (20) можно записать в
виде
dR/dt=2aD — 2a R—(2/N)H2R2. (4.2.21)
Уравнения (19) и (21) следует решать при начальном условии
k(0)=£o,R(0)=D.
Отметим, что уравнения (19) и (21) справедливы при
переменных коэффициентах а, Н, N и N0 (или D) и, следовательно,
позволяют решать задачи нестационарной фильтрации.
250

Пример 4.2.2. Фильтрация гауссовского экспоненциально коррелированного
сообщения в канале связи с амплитудной модуляцией. Пусть для передачи
сообщения Я,(0, заданного дифференциальным уравнением (4.1.15), используется,
сигнал с амплитудной модуляцией:
$(/) = X(Osin<Do< + n(f); H(t) sssiiKOo*. (4.2.22}
Допустим, что период синусоидальных колебаний Г0=2л/ш0 удовлетвориет,
как .это обычно бывает на практике, неравенству
7'о«тк=1/а, (4.2.23)
т. е. а<Шо, где тк — время корреляции сообщения А, (г).
Уравнение (21) для данного случая примет вид
dR/dt = 2aD—2aR—(l/N) (1 —cos2ш01) R*. (4.2.24>
Можно убедиться, что решение этого уравнения при t-t-oo не стремнтси ни к
какому определенному пределу, а колеблется около некоторой постоянной
величины из-за наличия в правой части слагаемого, пропорционального cos2o)o£
Однако его влияние при выполнении условия (23) оказывается несущественным
и им можно пренебречь. При этом уравнение (24) упрощается:
dR/dt = 2aD—2a R—(l/N)R2. (4.2.25)
Стационарное решение этого дифференциального уравнения существует и
его легко найти, положив dR/dt= 0. Получим
R = aN(yi+2D/(aN) — l). (4.2.26)
Будем характеризовать качество фильтрации относительной ошибкой
фильтрации fi2A, представляющей собой отношение апостериорной дисперсии к
априорной:
&\ = R/D. (4.2.27)
Для иее из (26) получаем
&1 = ±-(УТТЩ-\), q = -^f- (4-2.28)
Здесь величина q имеет смысл отношения мощности сигнала к мощности шума>
вычисленной в полосе сообщения.
График зависимости б2А от q приведен на рис. 4.4. Как и следовало ожи-
дать, с увеличением отношения сигнал-шум относительная ошибка фильтрации
уменьшается.
Запишем уравнение оценки сообщения (19) применительно к рассматривав»
мому примеру:
dX * R
—- = —аХ + 2—- ll(t)s\n<x>0t — A,sin8сов ^]
dt N
— = — аЯ+ —- [2l'(t) sinш0 t—i (l —cos 2 ш, г)]•
at N
251

При условии (23) роль слагаемого, пропорционального cos2a>0f, как и в
уравнении дисперсии, невелика, н его можно опустить. Тогда имеем
dX f R
— = _аЛ + — [25 (t) sin щ, t—к] =
( # \* R
(4.2.29)
Это уравнение можно моделировать линейным фильтром разомкнутого
типа, схема которого изображена на рнс. 4.5. В данной схеме перемножитель
принято называть синхронным детектором, так как опорный сиглал sin wot,
подводимый к одному из его входов, должен быть синхронным с напряжением не-
47
0,5
45
0,1
■■0,07
■дов
1 Z 510Z050 Z00 $
Рис. 4.4. Зависимость
относительной дисперсии
ошибки фильтрации от
отношения сигнал — шум
I
tm
X
R Л
ZsiUGifft
Г
Рис. 4.5. Разомкнутая схемная реализация
фильтра Калмана
сущего колебания. Таким образом, оптимальная схема фильтрации представляет
•собой сочетание синхронного детектора и интегрирующего фильтра RC
(инерционного эвена) с постоянной времени \/(a+R/N).
Приведем без вывода основные результаты для многомерной
линейной фильтрации. Необходимость многомерной фильтрации
возникает прежде всего в тех случаях, когда сообщение
является многокомпонентным, т. е. когда оно описывается
стохастическим дифференциальным уравнением выше первого порядка, или
же когда наблюдения являются векторными. Поэтому даже
задачу фильтрации скалярного сообщения следует трактовать как
многомерную, если имеется несколько каналов наблюдения
(приема), что на практике встречается довольно часто. Например,
высоту полета самолета можно измерять одновременно
барометрическим измерителем высоты и радиовысотомером. Производя
совместную обработку обоих наблюдений, можно получить
точность, превосходящую точность каждого из измерителей.
Пусть априорные сведения о передаваемых сообщениях
заданы системой стохастических линейных дифференциальных
уравнений
dXc
dt
:an(t)k1 + ai2(t)X2+...+ain(t)K + n0i(l), i=l, 2..., n,
(4.2.30)
252

или, что то же самое, в виде одного векторно-матричного
уравнения
dl/dt = A(t)k + n0(t). (4.2.31)
Здесь "к — вектор-столбец сообщения размерности п; ради
удобства будем записывать его как транспонированный
вектор-строку Х=[К], к2, ..., А,„]т; A{t) — пХп матрица коэффициентов
системы (30); По=[«оь «02. —. «оп]т — вектор-столбец формирующих
белых шумов с нулевыми математическими ожиданиями и
матричной корреляционной функцией
M{n0(0nj(* + T)}:=N06(T),
где N0 — симметрическая матрица деленных пополам
спектральных интенсивностеи, элементы которой могут известным образом
зависеть от времени.
Пусть наблюдается (измеряется) колебание
l(t)=H(t)k(t) + n(t). (4.2.32)
Здесь %(t)—вектор-столбец наблюдений размерности т, где т—
число каналов наблюдения; Н(/)—матрица наблюдений
размерности тХп; п(0—вектор-столбец аддитивных белых шумов
размерности т, причем
М {п (*)} = 0, М {n (t) nT (t + т)} = N (t) б (т),
где N{t)—симметрическая тУ^т матрица спектральных
интенсивностеи, деленных на два.
Система линейной фильтрации, оптимальная по критерию
минимума обобщенной дисперсии, описывается следующими
уравнениями:
dV^ = A>, + RHTN-1(i—Hi), (4.2.33)
dR/d*=AR+RAT— R^N-iHR + No. (4.2.34)
Здесь R — корреляционная матрица ошибок фильтрации.
В задаче многомерной линейной фильтрации в дискретном
времени уравнения сообщения и наблюдения являются частным
случаем уравнений (4.1.24), (4.1.25) и имеют вид
^Pv-A-t + nov, (4.2.35)
|v = Hv*,v + nv. (4.2.36)
Здесь р — пХ" матрица; Hv — mX" матрица; nov и nv —
последовательности векторных случайных величин с нулевыми
математическими ожиданиями и матрицами корреляционных
моментов V у и ^v размерностями лХ" и mXm соответственно.
Уравнение для вектора оценок имеет в этом случае вид
iv = pv_! V! + kv [lv- Hv pv_! iv^], (4.2.37)
где kv = Rv -HV V 71- При этом корреляционная матрица ошибок
удовлетворяет рекуррентному уравнению
R7'= lPv-i Rv-iPv-i + MU^ + HvV^Hv. (4.2.38)
253

Вывод этих уравнений, по существу, ничем не отличается от
проделанного выше вывода для скалярного случая.
Пример 4.2.3. Прием скалярного сообщения по двум параллельным каналам.
Пусть %, как и в примере 1, представляет собой случайную (т. е. постоянную, но
заранее неизвестную) скалярную величину. Априорные сведения о ней в
непрерывном времени запишем в виде
dX/dt = 0. (4.2.39)
Это частный случай уравнения (31) при Л(<)=0 и Яо(/)=0. Пусть имеется два
канала с аддитивными независимыми белыми шумами, по которым
осуществляется прием сообщения:
li=X + nlt 52 = Я,-г-я2. (4.2.40)
В качестве конкретных примеров можно указать: измерение высоты полета
летательного аппарата при помощи барометрического высотомера и радиовысотот
мера, измерение дальности до цели при помощи локатора и дальномерной
навигационной системы н др.
Применительно к данному примеру имеем:
% = Х, Н=[[], % =
N:
Мг/2
О
0 '
#a/2j
(4.2.41)
Однако матрица дисперсий R, как н само сообщение, одномерная R=R. На
основании (41) для матрицы RHTN-1 имеем выражение
RHTN-1 = /?
Уравнение оптимальной фильтрации (33) принимает вид:
^ _Г 2 .. -. . 2
dt
-«[-жь-
Л)
2 21
N, N2\'
в
(£»—£)]•
Ni
(4 .2.42)
Полученному алгоритму соответствует схема фильтра рис. 4.6. Он состоит
из двух устройств сравнения сигналов |i и |г с оценкой сообщения Я,,
устройства образования взвешенной суммы результатов сравнения, усилителя с
коэффициентом R(t) и интегратора. При одном канале измерения уравнение (42)
имело бы вид
dildt = R(2IN1)(%l — i). (4.2.43)
Этому уравнению соответствует часть схемы, обведенная на рис. 4.6 штриховой
линией. Она является полным аналогом устройства рис. 4.3, оптимальным
образом фильтрующего случайную ве-
г 1 личину в дискретном времени.
-^ • ■ Таким образом, прн переходе
от одного канала измерения к двум
параллельным каналам устройство
фильтрации усложняется лишь за
счет добавления к одноканально-
му фильтру устройства,
формирующего взвешенную сумму
принимаемых сигналов. Это усложнение,
Рис. 4.6. Фильтр для приема сообщения по как П0КазаН0 ниже, повышает точ-
двум параллельным каналам ность фильтрации.
254

Согласно (34) записываем уравнение для дисперсии:
dR/dt = — (2/zVi + 2/Wj) R*. (4.2.44)
Решение этого уравнения имеет внд, аналогичный (18):
1IR (0 = {21 Ni + 2/Л/2) / + 1IR (0).
Так как R(0)=D(0), где D(0)—начальное значение априорной дисперсии
сообщения, то решение можно записать иначе:
жо-
Р(0)
l+D(0)[2/Nl + 2/Ni]t
(4.2.45)
Из этой формулы видно, что прн увеличении длительности наблюдения апос.
териорная дисперсия уменьшается и стремится в пределе к нулю. Заметим, что
при одноканальной обработке слагаемое D (0) (2/;V2) / в знаменателе
отсутствовало бы. Поэтому двухкаиальная обработка улучшает качество фильтрации и
сокращает длительность переходного процесса. Можно показать, что при
фильтрации случайного процесса (а не случайной величины) заключение об
уменьшении ошибки фильтрации остается в силе.
Существенно указать на следующий факт: при фильтрации
многокомпонентных процессов точность фильтрации можно повысить, увеличивая общее число
измерений за счет увеличения числа одновременно измеряемых координат. Так,
для определения местоположения движущегося объекта целесообразно
одновременно измерять его положение и скорость (комплексирование радиодальномера
и доплеровского измерителя скорости) или координату и ускорение
(комплексирование дальномера с ннерциальной системой навигации).
Пример 4.2.4. Комплексирование измерителей. Рассмотрим в простейшей
форме задачу комплексировання измерителя координаты движущегося объекта
и измерителя его скорости, считая, что заданы уравнения
d%l/dt = %2, dX2/dt = n0, (4.2.46)
где Xi — координата объекта, Я2 — его скорость, по —• гауссовский белый шум с
нулевым математическим ожиданием н двухсторонней спектральной плотностью
JVo/2.
Эту систему из двух уравнений можно записать в виде одного
стохастического дифференциального уравнения второго порядка
di%i/dt* = na.
Таким уравнением описывается движение тела в среде без трення под действием
возмущающих сил типа белого шума.
Пусть одновременно измеряется как координата объекта, так и его скорость:
|1 = Я,1 + «1, |2 = А,2 + л2. (4.2.47)
Здесь П] и /ij — независимые гауссовскне белые шумы (ошибки измерений),
имеющие двусторонние спектральные интенсивности Ni/2 и Ni/2 соответственно.
Рассматриваемый пример является частным случаем задачи многомерной
линейной фильтрации, решение которой дается уравнениями (33) и (34),
причем для данного примера в них нужно положить
43' Ч
ч
1 О
о 1
о г
о о.
Из.
N0 =
N =
О О
.0 JV0/2j*
Nt/2 О
О /V2/2J
255

Согласно уравнению (33) записываем алгоритм формирования оптимальной
оценки
~- = К + -~ Rn (Ь-Л) + 4" «12 &2 — Ъ) ,
at N1 п2
■~Г = 4" *" &-*i) + 4~ «22 (|2-У • (4-2.48)
Уравнение (34) для взаимных корреляций примет вид:
11 о р р* Ы
dt -2R™~ Nl *" #а *12'
—— = /?22 -—— /?n -Rj.2 ""TT- «J2 «22 . (4.2.49)
dt Ni N2
<iR22 J_p2 _2_p2 . JVjl
dt ~~ Nl Rl2~ N2 *22+ 2 •
Если в этой системе дифференциальных уравнений положить dRuldt=dRi2ldt=
— dR22/dt=0, то получим систему алгебраических квадратных уравнений для
стационарных значений элементов корреляционной матрицы R.
Непосредственной подстановкой можно убедиться, что решение такой
системы имеет вид:
«u=l
1 ^phNj Vl+Vl— 4Л + ]Л —1/1— 4Л
У
2 У 2 1 + УЛ
4Л<1,
(4.2.50)
\уг
rNtN2 Vl/2 + УЛ
I i+Ул ' 4Л>1'
«1а = ^а/2(1+УЛ),
1 1/TUNlV\+yT=ik + V\~yr=4A
-]/-2 j-p^ , 4Л<1,
«22= {
[V-2 1+ул ' 4Л>1'
где A=N22/NoNt. Прн малых шумах в канале скорости Л<1 из (50) следует
Ru»VnTn~2/2, R12 = N2J2, R22 = yWJT2/2. (4.2.51)
Подставив (51) в уравнения (48), получим, что первое уравнение принимает вид
dXldt^YNtJNl (1г — К)+1г- (4-2.52)
Отсюда видно, что при условии Л<1 оценка Я2 в уравнение для Xi не входит,
т. е. фильтрация скорости в отдельном канале не является необходимой для
фильтрации %i\ можно иметь дело непосредственно с измерением £г.
Схема оптимального линейного фильтра для рассматриваемого примера прн
ведена на рис. 4.7. Структуру фильтра можно обосновать эвристическими
соображениями. Координату Х.| можно получить, с одной стороны, интегрированием
наблюдения £г, с другой — осуществляя оптимальную фильтрацию наблюдения
256

s, no схеме, обведенной на рис. 4.6 штриховой линией. Как пояснялось выше,
получаемые результаты нужно просуммировать с некоторыми весами. Один из
интеграторов становится лишним, если суммирование наблюдений первого и
второго каналов произвести до их интегрирования. После его исключения приходим
Рис. 4.7. Фильтрация координаты ?/
движущегося объекта при совмест- *~~;
ном измерении координаты и
скорости
к схеме рис. 4.7. Отметим, что при стремлении шума в канале скорости к нулю
ошибка оценки положения стремится к нулю даже при наличии шума
координатора положения. Если осуществляется только измерение положения, что
можно считать соответствующим очень большому шуму в канале скорости JVi-»-30-
(50) переходит в
X
п.-
->-
1*
*2 ~*7 "I
—*-
Яп = У V^i Л'„-ЛГ,/2, Rlt = -\/h\ N0/2,
R.n --= VVNjfJ-lNo. (4.2.53)
Отсутствию наблюдения но координате соответствует Л'|—>-оо. При этом (50)
переходит в
Я, !-*.«>, R12,= N2;2, R2i*=yN^N~2/2.
Таким образом, наблюдение только в канале скорости приводит к бесконечной
ошибке по координате, в отличие от наблюдения только положения, когда
дисперсии ошибок но координате и скорости (53) конечны.
Отметим, что в принципе возможны разные способы комплек-
сирования (объединения) нескольких наблюдений, содержащих
информацию об одном и том же оцениваемом процессе.
Наиболее часто рассматривают два: 1) «комплексирование по входам» —
производится оптимальная обработка совместно всех
располагаемых наблюдений; 2) «комплексирование по выходам» — из
практических соображений осуществляется оптимальная обработка
отдельных наблюдений раздельно (поканальио) и затем
оптимальным образом объединяются выходные оценки отдельных
измерителей.
Не касаясь сложности практической реализации
соответствующих алгоритмов (что в каждом конкретном случае может
решаться по-разному), можно показать, что оба метода комплекси-
рования равнозначны но дисперсии результирующей оценки. Эти
же результаты остаются в силе при решении задач комплекси-
рования в рамках гауссовского приближения для нелинейных
наблюдений (см. § 4.3). В этом случае проявляется принципиальное
преимущество первого способа, состоящее в том, что он обеспе-
ивает более надежное слежение (с меньшей вероятностью срыва
лежения) за оцениваемым параметром. Это связано с тем, что
в первом способе в каждом канале используется результирующая
оценка с меньшей дисперсией ошибки, чем дисперсии оценок по
каждому отдельному наблюдению. Поэтому вероятность выхода
9-82 257

за линейный участок дискриминационной характеристики (§4.3)',
с которым связан срыв слежения, в первом способе меньше.
Решения некоторых задач линейной фильтрации можно
получить, используя результаты нелинейной фильтрации.
Пример 4.2.5. Фильтрация огибающей и фазы узкополосного процесса [51].
Рассмотрим задачу фильтрации огибающей и фазы узкополосного случайного
процесса s(t)=A(t)cos[u>ot—ф(0]> наблюдаемого на фоне белого гауссовского
шума
| (0 = А (0 cos [со0/ —ф (/)] + п (t). (4.2.54)
Узкополосный случайный процесс s(t) можно представить также в виде
s(t) = Я1 (t) cosco0<-f Я2 {t)sin<x)Bt, (4.2.55)
где ki(t), Я2(0 —квадратурные составляющие.
Будем предполагать, что ki(t) н Яг (0—независимые гауссовские
марковские процессы, описываемые уравнениями
dk1/dt=—ak1 + n01, dk2/dt =—аЯ,2+«02, (4.2.56)
в которых «01 и по2 — независимые гауссовские белые шумы, имеющие
двустороннюю спектральную плотность No/2. При этом из (55) следует, что процесс
s(/) является узкополосным нормальным процессом. Огибающая A (t) и фаза
<f(t) узкополосного процесса связаны с ki(t) н kz(t) формулами
. Я, (t)
А (0 = ТА»! (0+ *»,(<). <P(0 = arctg-^--. (4.2.57)
Огибающая имеет распределение Рэлея, фаза <f{t) распределена
равномерно на интервале (0,2ji). На основе выражений (56) и (57) можно получить
соответствующие дифференциальные уравнения для A(t) и ф(0- Например,
уравнение для A(t) имеет вид
dA/dt=— aA + (N9/4A)+ МО. (4.2.58)
где rio(t) —гауссовский белый шум с двусторонней плотностью Л/о/2.
Задача фильтрации A(t) и (p(t) является задачей нелинейной фильтрации,
так как (f(t) входит в уравнение наблюдения (54) нелинейно, а для A(t)
нелинейным является уравнение сообщения (58). Решение задач в нелинейной
фильтрации существенно сложнее, чем в линейной фильтрации. Поэтому гораздо
удобнее определять апостериорную плотность распределения процесса Ц0 =
t=[ki{t), Я2(0]. которая в получающейся линейной относительно Я задаче
фильтрации является нормальной. После этого, используя формулы связи A(t) и ф(/)
•с Я(/), можно определить апостериорную плотность A(t) н <p(t) и,
следовательно, оптимальные оценки огибающей и фазы по любому критерию.
Решение задачи фильтрации Я( и Я2 дается уравнениями (33), (34), в ко-
•аорых для рассматриваемого примера следует положить
. А =
"—а 0 '
0 —а
. N„ =
Wo/2 0'
. 0 N,12.
. Н (0 = [cos ш0 t sin ш01\, £=£, N= N/2.
258

Если, как в предшествующих рассмотрениях пренебрегать членами; содер>-
жащими'сов 2о>о/ и sin 2о>о/, то уравнения (34) для корреляционной матрицы
ошибок переходят в следующие соотношения:
dR12
^—^—~ -zzz. lAJi г\по ■
dt 22
No
2
1
N Rn
No
2
1
N
Rl2
1
N
«?.-
1
~~ N
R22 —
1
" N
#12
1
" N
Я,2
"22 >
Я,2
Непосредственной подстановкой можно убедиться, что стационарное решение'
этой системы уравнений имеет вид
Яп (оо) =/?22 (оо) = аЛГ (l/l +2D/(aiV) — 0 = Я, Я12 = 0, (4.2.59)
где D = N0/4a — дисперсия процессов Ki(t) и Kz(t). Таким образом, ошибки
оценки Xi(/) и %i(t) независимы, а дисперсии ошибок равны между собой и
совпадают с дисперсией ошибки в примере 2.
Уравнения для оценок следуют из (33) и имеют с учетом (59) вид.
<П,/Л = — а\ +(R IN) [2\(t) cos со,,* —^iL-
d\2;dt = -oi2 + (RIN) [21 (t) sin co„ t — i.2].
Апостериорное распределение 'ki(t) и Яг(0 является нормальным с
математическим ожиданием Xi(t), Я2(/) и корреляционной матрицей R, элементы которой
определяются формулой (59), т. е.
„ . ,, 1 ( ik—Uw [я2—я2(0]^
p{t, A,j, Я2) = г—— ехр '
2яЯ I 2R 2Я )
Применив формулу пересчета плотности вероятности при функциональном
преобразовании (57), получаем апостериорные плотности вероятности для огибающей
и фазы
p(^)=|eXp(-^tdL)/0(f-), (4.2.68)
1 f А* \ Г. 1 ГШ .
PC Ф)=-^-ехр|——Ц1+ |/ —Лсоз(ф—Ф)Х
у=- cos (ф—q>) I expf"^- cos2 (Ф —ф)}}. |ф—ф| <Jr-
ХФ
Здесь А=УЦ (t)+ l\(t) , <P(0=arctg[X,(0/X1(r)]-
Апостериорная плотность вероятности фазы p(t, ф) симметрична1 отнаситель-
но ф(0- Поэтому ф(<) является оптимальной оценкой фазы по критериям
максимума апостериорной плотности вероятности и минимума среднего квадрата
ошибки. Для огибающей это не так. Оценкой по минимуму среднего квадрата
ошибки является апостериорное математическое ожидание А. Апостериорное
распределение огибающей, согласно (60), есть распределение Раиса. В этом
случае оценка имеет вид:
А (О =1/Яя/2^ -у; I; — Л*/(2Я)1,
259

где i/"j(-)—вырожденная гинергеометрическая функция. Для оценки А* по
максимуму апостериорной плотности вероятности аналогичного аналитического
ныражения получить не удается. Иногда в качестве приближенной оценки
огибающей рассматривают также A(t) = у X2i (/)+Х2г(0-
Рис. 4.8 иллюстрирует зависимость ошибок каждой из трех оценок от
ошибки оценки квадратурных составляющих. По оси ординат отложена
нормированная средпеквадратическая дисперсия ошибки оценки
6-"1/М{(Л;-Л)3}/Ол,
где DA = D(2—л/2) -априорная дисперсия огибающей; D — априорная
дисперсия Ai и hz, причем А\--А, Аг = А*, Лз=А. По оси абсцисс отложена V=R/D —
нормированная дисперсия ошибки оценки Xi и Хг. Кривая / соответствует
оценке А, кривая 2 — А* и кривая 3— Л. Разумеется, оценка A(t), являющаяся
оптимальной по критерию минимума среднего квадрата
ашибкн, превосходит по этому критерию два других
типа оценок. Однако при высокой точности оценивания
квадратурных компонентов (К<0,1) все три вида
оценок практически эквивалентны. Если это условие не
выполняется, то использование оценки А* и, особенно, А
приводит к значительному снижению точности
оценивания по сравнению с использованием оценки А. При V~>-1
оценка А имеет срсдпсквадратнческую ошибку, в 2,15
раза превосходящую априорное среднеквадратическое
отклонение огибающей.
Уравнение фильтра Калмана играет
важное значение не только для решения задачи
оптимальной линейной фильтрации, но и в
задачах стохастического оптимального
управления объектами. Для линейных систем с
квадратичным критерием эффективности решение
задачи оптимального управления дается так
называемой теоремой разделения [52].
Рассмотрим систему, описываемую стохастическим векторио-
матрпчпым дифференциальным уравнением, аналогичным (31):
d I (t)ldt ^ А (0 к (t) + В (t) U (t) + nx (/). (4.2.61)
В отличие от (31) гз правую часть входит управляющее
воздействие U(/)—вектор управления размерности р, B(t) —
матрица размерности «ХР- Наблюдается колебание £(/), определяемое
уравнением (32). На основе этого требуется определить в каждый
момент времени /е(0, Т) управляющее воздействие И(/),
которое минимизирует средние потери на интервале, определяемые
выражением
Рис. 4.8. Среднеквад-
ратическая ошибка
оценки амплитуды
М {V (Т) Q0l (T) + №(t)Q1k(t) + VT(f)QiU (01 df}.
о
Матрицы Q0 и Q[ симметричны и неотрицательно определены,
матрица Q2 — симметрична и положительно определена. Допу-
260

стнмые стратегии управления такие, что управляющий сигнал в
момент / есть функция наблюдений вплоть до момента /:{|(т),
те (0, /)}•
На основании теоремы разделения оптимальное управление
определяется формулой [52]
U(0 = —lA(f). (4.2.62)
Здесь L — матрица обратной связи, не зависящая от наблюдения
$(t) и совпадающая с матрицей обратной связи в задаче
детерминированного управления (при л(^)^0); k(t)—оптимальная по
критерию минимума средних квадратов оценка, она получается
на выходе фильтра Калмана, определяемого выражением, вполне
аналогичным (33):
d i/dt = A (t) I + В (t) U + RHT N-1 (I—H k). (4.2.63)
При этом матрица'ковариаций ошибок R получается из
уравнения (34), т. е. наличие управления не сказывается на ошибке
фильтрации.
Теорема разделения позволяет составлять оптимальную
стратегию в задаче управления из двух частей (рис. 4.9): оптималь-
V
—*»
Внешняя
среда
i
i
У
•
Од~ъент
,--
и \п Л
Я
^
>
^.
I
? :
I
1
1
i
Оптимальная
стратег
Фильтр
Налмана
<
1/Я
л
j Линейная \
I оо~ратная_с_вязь_^
Рис. 4.9. Оптимальная лнисГшая система управления
нога фильтра — фильтра Калмана, который вычисляет оценки
состояния по наблюдениям 1(1), п линейной управляющей
обратной спязи.
При этом матрица управляющей обратной связи L
оказывается такой же, какой она получалась бы при точном измерении
состояния системы н может быть найдена решением задачи
детерминированного управления. Фильтр Калмана строится обычным
образом, на основании динамических свойств системы и не
зависит от критерия задачи управления.
Таким образом, теорема разделения обеспечивает связь
между теорией фильтрации и теорией стохастического оптимального
управления.
При практической реализации алгоритмов оптимальной
фильтрации важное значение имеет вопрос о чувствительности
характеристик устройства к отклонению его параметров от
номинальны

ных значений, полученных в результате решения задачи синтеза.
Это связано с тем, что, во-первых, некоторые исходные данные
(например, ширина спектра сообщения, спектральная
интенсивность шума и др.) известны не точно. Во-вторых, они могут
изменяться в процессе работы или от случая к случаю. В-третьих,
иногда не удается точно реализовать расчетные параметры
оптимального фильтра. Во всех подобных ситуациях прежде всего
интересуются влиянием отклонения параметров фильтра от
оптимальных на точность фильтрации сообщения.
Исследование чувствительности алгоритмов к изменению
априорных данных связано с анализом свойств устройства
фильтрации, имеющего оптимальную структуру, но неоптимальные
значения параметров. В полном объеме такой анализ можно
выполнить только в задачах линейной фильтрации.
Соответствующие алгоритмы приведены, например, в [16, с. 645; 53].
Рассмотрим один из простейших примеров, когда уравнение
наблюдения и априорное уравнение сообщения имеют вид:
t(t) = W + n(t), (4.2.64)
dXldt=—ak + n0(t), (4.2.65)
где, как обычно, n0(t) и n(t)—белые гауссовские шумы с
нулевыми математическими ожиданиями и спектральными
плотностями jVo/2 и jV/2. В данном случае алгоритм оптимальной
фильтрации имеет вид
di/dt=—ai + k(£—i). (4.2.66)
Будем считать, что коэффициент усиления к есть постоянное
число. Нетрудно убедиться (см. ниже), что при надлежащем
выборе постоянного коэффициента к стационарное значение
дисперсии ошибки будет таким же, как и в случае, когда к
рассчитывается по формуле k = 2R(t)/No, где R(t) определяется
уравнением Рикатти (4.2.20).
Вычитая (65) из (66) и обозначив z^X—K, найдем, что z
удовлетворяет уравнению
dz/dt= —az—n0 + k(n—z)=—(a+k)z+(kn—n0). (4.2.67)
Отсюда находим дисперсию оценки
Dz ^(k2N + W0)/4 (a + к). (4.2.68)
Ha основании этой формулы можно указать допустимые пределы,
изменения к. Примерный вид зависимости дисперсии оценки or
к изображен на рис. 4.10. Минимальное значение дисперсии
получается при
kopt = a (V\+Nf(a*N0)-1).
Это следует из (68), если приравнять производную dDJdk = 0:
При этом относительная ошибка фильтрации равна
& = Dt/D = (l/2q)(VT+4q— Г). (4.2.69)
262

Здесь £> = ЛУ4а — дисперсия сообщения; q = D/(aN) —отношение
сигнал-шум.
Рассмотрение многомерного варианта линейной фильтрации
выполняется аналогичным путем и принципиальных затруднений
не вызывает, однако сами вычисления усложняются. Кроме это-
#\
1 v У
—i Рис. 4.Ю. Чувствительность дисперсии ошибки
| фильтрации к изменению коэффициента усиления
о , wt^T фильтра
го, в системах высокого порядка должна контролироваться
миграция корней характеристического уравнения системы,
вызванная изменением параметров, так как она может привести к
потере устойчивости системы. В нелинейных задачах использование
изложенного способа затруднено из-за иеинтегрируемости
уравнений. Поэтому здесь основным методом исследования является
метод статистических испытаний.
4.3. НЕЛИНЕЙНАЯ ОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
Задача фильтрации называется нелинейной, если нелинейным
является дифференциальное уравнение, которым описывается
информационное сообщение, или уравнения наблюдения содержат
нелинейные сообщения. Последний случай весьма характерен для
радиотехнических приложений. Так, например, в системах связи
с фазовой или частотной модуляцией выражения для сигналов
на входе приемника можно записать соответственно в виде
l(t) = Asin(<i)Qt + mk(t)) + n(t), (4.3.1)
l{f) = A sin К t + г|) (t)) + n{t). (4.3.2)
Здесь А и <so — амплитуда и несущая частота радиосигнала;
"k(t)—сообщение; ty(t)—случайный процесс, связанный с !k(t)
соотношением dty/dt=\; m — постоянная, имеющая смысл
индекса фазовой модуляции; n(t)—аддитивный белый шум.
Уравнения (I), (2) являются частными случаями уравнения
наблюдения вида
l(t) = s(t,k) + n(t). (4.3.3)
Здесь, как и в {4.1.20), %(t)—вектор наблюдений
размерности m; s(t, *k)—сигнал, описываемый векторной
функцией-столбцом размерности m; n(t)—вектор-столбец гауссовских белых
шумов размерности m с нулевым математическим ожиданием и
матрицей спектральных плотностей N(/).
263

Уравнение сообщения, описывающее параметры X сигнала,
будем рассматривать в виде
dk/dt = g(t,X) + n0(i), (4.3.4)
где, аналогично (3), X— вектор-столбец размерности п\
g{t, X)—вектор-функция, n0(t)—вектор-столбец белых гауссов-
ских шумов сообщения с нулевым математическим ожиданием и
яХ^-матрицей спектральных плотностей N0(/, X).
Согласно результатам § 4.1 для определения оценки X(t)
следует в общем случае определять апостериорную плотность
вероятности p(t, X), которая удовлетворяет уравнению (4.1.45):
dPV,l) =L{p(tf X)} + [F(t, k)-F(t)]o(t, X), (4.3.5)
где
F(t, Ц=—]-l(l(t)-s(t, ЦГН-гу, b)lt(f)-s(t, Ц),
F(t)=$F(t,X)p(t,tydX, (4.3.6)
и L{}—оператор Фоккера—Планка—Колмогорова,
соответствующий уравнению сообщения (4):
L {p (t, X)} = -1 -|- {at (t, X)p (t, Щ +
J_ A ^ d4Nou(t, %)P(t, %)}
^ 2 £,£, dhdki
Заметим, что если N0(/, X) зависит от X, то коэффициент сноса
a(t, X) в общем случае не совпадает с вектором g(^, X) из
уравнения (4) [33]. Оценка X(t) процесса Х(1) по критерию минимума
среднего квадрата ошибки определяется по p(t, X) из
выражения
X^<jsXp{t,X)dX. (4.3.7)
По известной p(t, X) можно определить и оценку процесса X(t)
по другим критериям. Для фильтрации в дискретном времени
решением задачи при наблюдении |v и сообщении XVr задаваемых
выражениями (4.1.24), (4.1.25), является рекуррентный алгоритм
вычисления апостериорной плотности (4.1.34), (4.1.35) совмести»
с формулой (4.1.27) для определения Xv,
В общем случае эти алгоритмы представляют единственно
возможное точное решение задачи фильтрации. Любые другие
неэквивалентные, как в линейной фильтрации, решения учитывают
информацию неполностью, и поэтому по любому критерию
обеспечивают худшие характеристики. В этом проявляется
фундаментальное значение апостериорной плотности вероятности p(t, X),
сосредоточивающей в себе всю имеющуюся па момент времени t
информацию о значении процесса X(i), и, следовательно, в силу/
264

марковского характера процесса к(1), всю информацию о
будущем процесса, т. е. о значениях k(t) при x>t. Поэтому, хотя
задачей фильтрации является определение только оценки \{t),
учет влияния прошлых наблюдений £(т) ИРИ т<£ на
формирование X(t) заставляет определять р{х, к) на всем интервале
0<т</, что и осуществляется путем решения уравнения (5) с
начальным условием (4.1.47).
После получения уравнения Стратоновича (5) задача
фильтрации в практическом плане сводится к отысканию
приближенных решений, имеющих возможно меньшую погрешность, с одной
стороны, и, с другой, допускающих сравнительно простую
техническую реализацию.
К сожалению, уравнение Стратоновича для апостериорной
плотности вероятности представляет собой интегро-дифференци-
алыюе уравнение в частных производных и в общем случае не
имеет точного решения. Исключением является случай
линейной фильтрации, когда сообщение есть гауссовский марковский
:процесс и полезный сигнал s(t,k) зависит линейно от k(t). В этом
случае плотность вероятности является нормальной.
Укажем, однако, что решение интегро-диффереициальпого
уравнения (5) сводится к решению более простого уравнения
дл(t, к)/дt = L{n(t, к)} + F(t, к)л(t, к), (4.3.8)
которое не содержит в правой части интеграла от л(/, к) и
является линейным дифференциальным уравнением в частных
производных. При этом начальное условие сохраняет прежний вид,
т. е. можно полагать л(0, к)=р(0, к)=ро(к).
Решение p(t, к) уравнения (5) определяется при известном
3i(/, к) выражением
p(t, k) = n(t, к) Hn(t, k)dk, (4.3.9)
т. е. отличается от л((, к) только нормировочным множителем.
Действительно, пусть n(t, к) есть решение уравнения (8).
Подставив (9) в (5), получим соотношение
dn(t, к) f.dn(l, к)
dt n(t' ] J dt __ L{n(t, k)} F(t, k)n(t,JJ _
a.
§n(t, k)dk (\n(t, k)d%V §n(t, k)dk \n{t, k)dk
\F(t, k)n(t, k)dk
— -2 n(t, k).
($n(t, k)dkf
Если учесть (8), то оно переходит в тождество
,Эя(<. к) dk_^ ^F^ цп^ k)d^
i dt i
265

которое следует из (8), если проинтегрировать обе части (8) по X
и учесть равенство
\L{p(t, k)dk = 0.
Это равенство вытекает из справедливости условия нормировки
для p(t, к)
-?—\p{t, ,k)d'k--=\jL{p{t,'k)}d,k=--\jL{n{t, k)}dk I \n{t, k)dk== 0.
Существуют различные способы приближенного решения
уравнения (5). Так, например, возможно применение сеточно-разно-
стного метода, который основан на замене производных по t и
к конечными разностями. Однако аппаратурная реализация
оказывается довольно сложной и практически не применима при
размерности вектора больше 2—3.
Другим направлением при решении уравнения (5) является
представление апостериорной плотности вероятности р(1, к) в
виде рядов по семиинвариантам, моментам или квазимоментам.
Однако получающаяся система уравнений для этих
характеристик апостериорного распределения оказывается незамкнутой
бесконечномерной. Практически наибольшее распространение
получил приближенный способ решения уравнения (5), основанный
на аппроксимации р((, к) нормальной плотностью вероятности
(гауссовское приближение). Получаемые при этом алгоритмы
принято называть квазиоптимальными или квазилинейными
алгоритмами фильтрации. Название «квазиоптимальные» оправдывается
тем, что апостериорная плотность вероятности p(t, X) при больших
отношениях сигнал-шум является нормальной. Поэтому
алгоритмы, основанные на гауссовском приближении, являются
оптимальными. Анализ некоторых частных задач показывает, что квази-
оптимальиые алгоритмы имеют удовлетворительные
характеристики и при умеренных отношениях сигнал-шум. В то же время
встречаются задачи, для которых гауссовское приближение
неприменимо. Известно несколько вариантов алгоритма гауссовского
приближения.
Наиболее распространенный квазиоптимальиый
(квазилинейный) алгоритм фильтрации получается следующим образом.
Будем искать приближенное решение уравнения (5) в виде
нормальной плотности вероятности
p{t, l) = c(t)exp^—~[k-i\t)]tR-1(t)[l~l(t))), (4.3.10)
где
c(0 = (2ji)-"/2|R(0|-1/2
— нормированный множитель. Известно, что нормальная
плотность вероятности полиостью определяется вектором
математических ожиданий k(t) и корреляционной матрицей ошибок оценки
R{t), причем в данном случае i(t) является квазиоптимальной
266

оценкой одновременно и по критерию максимума апостериорной
плотности вероятности. Таким образом, приняв за исходную
нормальную апостериорную плотность вероятности (10), удается
свести задачу к получению алгоритмов для определения
квазиоптимальных оценок k(t) и элементов корреляционной матрицы
R(0.
В § 4.2 указывалось, что нормальная апостериорная плотность
вероятности является точным решением уравнения нелинейной
фильтрации (5) при выполнении двух условий:
1. Наблюдаемый полезный сигнал s(t, к) в (3) зависит от
сообщения линейно, т. е.
s(t, ».)=so(0+2!MW)- (4.3.П)
2. Само сообщение k(t) есть гауссовский случайный процесс.
Это означает, что коэффициенты gi(t, к) в (4) являются
линейными функциями от к:
gi(t, b) = S««W^ + Y«, (4-3-12)
а спектральные плотности N^ не зависят от к:
Nt,(t, h)=NtJ(f). (4.3.13)
При этом функция F(t, к) в уравнении (5) будет квадратным
трехчленом относительно к.
Для общего случая разложим функции a.i(t, к), Na(t, к) и F(t, к)
в ряды Тейлора в точке к, добиваясь аналогии с (12) и (13):
■at(t, k)~ai(t, Я) + 3 Z 4h~h)>
(4.3.14)
NtJ(t, k)~Ni}(t, k),
F(i,k)~F(t,k) + j] dF{t'%) (k,-k,) +
t=i д it
При высокой апостериорной точности оценки и достаточно
гладких зависимостях a,(^, к), Nn(t, к) и s(t, к) от к можно
ожидать, что приближения (14) являются удовлетворительной ап-
лроксимацией в пределах малой области возможных значений
•ошибки.
Подстановкой выражений (10) и (14) в исходное уравнение
(5) можно получить дифференциальные уравнения дтя ).(/) и
?г>7

R(/). Предварительно целесообразно поделить левую и правую
части уравнения (5) на p(t, X) и воспользоваться соотношениями:
1 д p(t, k) = JL[inp(t, X)},
p(t, X) dt dt
—Г7Г~-PH. ^)=-^-Unp(i, X)),
P(t, X) О к Oh
. pit, X) =
p(t, X) dkidlj y '
d2 [)n (t }» ! d[lnp(t, X)] _ d[\np(t, X]
д Я,- д kj д kj д ki
Учтя также известное матричное соотношение
4~ IR-401 --R-1 (0 [-£-R(Ol R"1 (0.
at 1 dt J
после приравнивания членов при одинаковых степенях (X—X),
получим уравнения квазиоптималыюй или квазилинейной
фильтрации:
■^-atit, i) + t RuO)^^-' (4-3.15):
at /=1 ok}
d_Ru_= NU(t,X) +% daj{t,X) R £ oal(t,i) R {f
dt 2 д=1 дк^ v-i д\
+ 2 2 Ri»(t)RV](t) dY}{tM] • (4-3.16>
Эту систему дифференциальных уравнений нужно решать при
начальных условиях
х (4.3.17>
я*>(0)= j^,—iao)][^-^(0)]p(o, x)dx,
h
определяемых начальной априорной плотностью вероятности
сообщения.
Векторно-матричная форма записи уравнений (15), (16) имеет
вид
4^-=a(i, fy + RW-F^t, X),
at
-^ = N(t,i) + aj(t, l)R(0 + R(/)• a{(t, X) + R(t)-Ft(t, i)R(t).
at
dR
1
268

Здесь введены обозначения
a(t, X) =
aAt, к)
an(t, к)]
MU Ц-
дк,
, FAt, Ц =
даг (t, к)
дкг
da^jt. к)
дкп
F2(t, *.) =
дап (i, к)
дк}
d2F(t, к)
дк*
d2F(t, к)
3'Aj дк%
dan(t, к)
дкп
d2F(t, к)
дк±д л„
d2F (t, k)
дкхдкп
d2F(t, k)
Отметим, что аппроксимация (14) не является единственно
возможной. Можно предложить алгоритмы гауссовского
приближения, отличные от (15) и (16) (с. 270, 276). Например, они
получаются путем учета в разложениях- (14) большого числа
членов [15]. При этом алгоритмы несколько усложняются, зато
могут обеспечить лучшую точность в некоторых задачах.
Приведенный вывод квазиоптимального алгоритма
фильтрации (15), (16) несколько формален. Исходя из методических
соображений, получим упрощенный квазиоптимальный алгоритм
фильтрации не из основного уравнения (5), а другим, более
простым путем.
Ограничимся частным случаем, когда сообщение X(t)
является одномерным (скалярным) и описывается линейным
стохастическим дифференциальным уравнением (4.1.15), а нелинейным
является только уравнение наблюдений
£(*) = *(*, K) + n(t). (4.3.18)
Предположим, что удалось найти достаточно точную оценку
сообщения X*(t), не обязательно оптимальную. Разложим
функцию s(t, к) в степенной ряд по приращениям (л—К*) и
ограничимся в нем только линейными членами:
s(t, k)~s(t, k*) + ds{t, к*)/дк*(к — К*). (4.3.19)
При этом уравнение наблюдений примет вид
I (t) = S (t, А*) + ~~^ (*-*-*) + П (/),
а л*
(4.3.20)
269

Оно линейно относительно X. Поэтому уравнения (4.1.15) и (20)
в совокупности описывают задачу линейной фильтрации. Правда,
в уравнение (20) входят две новые функции s(t, X*) и
k*ds(t, X*)[dX*, отсутствовавшие в уравнении (4.2.32). Однако
«о предположению оценка X*{t) известна и, следовательно, эти
две функции тоже известны.
Таким образом, если допустимо линейное приближение (19),
то сформулированная задача сводится к задаче линейной
фильтрации, рассмотренной в § 4.2, если принять за новое наблюдение
выражение
to(t)-t(t)-*.(t, X*) + ^|^U*.
Запишем для данного случая уравнение оценки (4.2.19). При
этом учтем, что роль сомножителя H(t) в уравнении (4.2.32) теперь
играет ds(t, Х*)/дХ*. Получим
i*e_aJl + -?-*(/)aS(',X*)
dt N дХ*
-(0—aT*~x
«_«£+-!.*(«*«.>••>
n ex*
щ-в^лЧ-Ц^г fx-x*)
О A*
('
1.3.21)
Пусть оценка X*(t) выбрана оптимальным образом, т. е. \*(t) =
=Л(/). Тогда уравнение (21) принимает следующий вид:
~ = -al+-^-R(t)dS{t' X) ll(t)-s(t, >.)]. (4.3.22)
Это и есть искомое уравнение квазиоптимальной оценки в
задаче нелинейной фильтрации. Если конкретизировать уравнение
для оценки % (15) для рассматриваемого одномерного случая и
подставить в него F(t, к) из (6), можно убедиться, что
результат совпадает с (22).
По сравнению с линейной фильтрацией структура оценки
осталась прежней: в ней используются как априорные сведения,
пак и результаты наблюдений. Однако процедура обработки
теперь ■оказывается более сложной, так как уравнение (22)
относительно X нелинейно.
Чтобы записать уравнение для апостериорной дисперсии,
нужно в уравнении (4.2.20) положить согласно (20) H = ds{(, X)jdX.
Тогда получим
** * 2а R-^
ds(t, X)
дХ
"Я2.
dt 2 N
Конкретизируя для этой задачи уравнение апостериорной
дисперсии (16) в полученном выше на основе уравнения Стратоновича
алгоритме квазиоптимальной фильтрации, имеем
270

dR _ N„ ,„DJ 2^ fIt,ft_„H in J!*(?. *■) r5s(/,»
2a/? + -fp- [g(0-e(/, Я)]-
л 2 ' ^ l ' эх2 I ая.
(473.23)
Полученные уравнения отличаются дополнительным членом в
правой части (23). Если зависимость s(t, %) от К близка к
линейной, го d2s{t, X)/dk2tt0 и отличие отсутствует. Однако и в тех
случаях, когда d2s(t, %)jd'K2 отлична от нуля, отличие обычно
невелико. Действительно, можно представить
l(t)-s(t, %) = s(t, %0)-s(t,i) + n(t)tts'(t, l)(k0-i) + n(t).
Здесь Ко — истинное значение фильтруемого параметра.
При достаточно больших отношениях сигнал-шум ошибка (Ко—Я,)
и шум n(t) в среднем малы по сравнению с сигналом, т. е.
слагаемое [ds(t, X)fdX]2 в фигурных скобках (24) превалирует.
Поэтому в этом случае оба уравнения примерно эквивалентны.
Изложенный приближенный метод решения задачи
фильтрации принято называть методом текущей линеаризации. Его
характерная особенность состоит в том, что коэффициент
линеаризации ds(>t, X)/dX изменяется во времени и зависит от значения
текущей оценки K(t). Для сравнения можно указать, например, что
при линеаризации характеристик электронных ламп или
транзисторов используется, как правило, статическая линеаризация, при
которой коэффициенты разложения нелинейных функций в ряды
представляют собой постоянные величины.
Заметим, что существенное усложнение процедуры
фильтрации относительно линейной в алгоритме текущей линеаризации и
квазиоптимальном алгоритме (15), (16) обусловлено тем, что
теперь в уравнения для дисперсии оценки входит текущая
реализация %(t) и (или) текущая оценка k(t). Поэтому в отличие от
линейной фильтрации его нельзя проинтегрировать заранее, а
необходимо решать совместно с уравнением фильтрации (15) в
текущем времени. Усложнение технической реализации особенна
существенно в многомерных задачах, где вместо п уравнений для
оценки приходится решать в реальном времени дополнительно п2
или, если учитывать симметрию, п(п+\)/2 уравнений (16) для
элементов корреляционной матрицы Rn{t)='Rn{t).
Поэтому часто ограничиваются отысканием приближенных
решений, получаемых путем осреднения зависящих от времени
членов уравнения (16) [15]. Практически это сводится, во-первых,
к использованию метода текущей линеаризации, т. е.
дг F (t, Щд I2 »—(2/N) [ds (t, 1)1 д If, (4.3.24)
и, во-вторых, к тому, что периодические функции времени
заменяются их средними за период значениями. Например, вместо
sin2(o<^ = l/2—l/2cos2co0f берут sin2o)0^»l/2, полагая, что- быстро-
27»

колеблющееся слагаемое (1/2) cos 2co0/ не оказывает
существенного влияния на изменение R{t). Такой прием уже
использовался нами ранее, в частности, при решении уравнения (4.2.24).
Кроме того, выполнив осреднение, для стационарного состояния
следует положить dRi'dt = Q. При этом дифференциальное
уравнение (16) переходит в алгебраическое уравнение.
Пример 4.3.1а. Фазовая автоподстройка частоты. Рассмотрим задачу
синхронизации двух генераторов. Она возникает во многих системах радиосвязи.
Пусть генератор на передающей стороне вырабатывает синусоидальное
колебание s(t, ср) =,4 sin((i>o/-Mf), причем фаза ф(/) есть случайный процесс,
описываемый уравнением
d<f,'dt = n0{t), (4.3.25)
где nn(t)—гаусеовскнй белый шум с указанными ранее характеристиками.
Такое уравнение -является удовлетворительной моделью блужданий фазы
автогенератора при учете тепловых и дробовых шумов элементов его схемы.
На приемную сторону линии связи полезный сигнал поступает в смеси с
шумом п((), так что колебание на входе приемника имеет вид
|(0 = i4sin(co„/-J-9)-f я(<). (4.3.26)
Найдем алгоритм квазиоптимальной фильтрации фазы <р(/) на приемной
стороне.
Уравнение (25) является частным случаем уравнения (4.1.15). Поэтому
согласно (22) имеем
d qp/Л ---- (2IN) /?ф A cos ((,>„ t + ф) [| (О — A sin (co0 t + <?)\.
Слагаемое, содержащее sin 2(ш0^ + ф), как и во втором примере § 4.2 ме играет
существенной роли, н его можно опустить. Тогда получим
d ф/Л = (2IN) R9 КО A cos (G>0 l + i). (4.3.27)
Согласно этому уравнению в составе устройства квазиоптималыюй
фильтрации фазы <р(0 должен быть генератор колебаний A cos(wot + <p), собственной
чистоте <оо которого сообщается управляемое отклонение d(f/dt,
пропорциональное произведению Л соз(сооЛ-ф) на §(0- Систему, которая описывается
уравнением (27), принято называть фазовой автоподстройкой частоты (ФАП). Обыч-
ж> она выполняется (для упрощения) при /?„=const.
Структурная схема ФАП приведена на рис. 4.11. Перемножитель можно
реализовать в виде фазового детектора, а усилитель с размерным коэффициен-
•хи^м гп—*■
Рис. 4.11. Нелинейный фильтр прн
винеровской случайной фазе сигнала
том усиления [Гц/В2] — в виде элемента, преобразующего выходной сигнал
фазового детектора в пропорциональное отклонение частоты генератора (реактив-
272
■х-
■ 1 I iA
■*■ \у> *" '
sosita^s

нал лампа или варикап). Нетрудно убедиться, что напряжение па выходе
фазового детектора имеет составляющую (i42/2)sin(<p—ф), которая, действуя через
элемент, управляющий частотой генератора, уменьшает имеющееся фазовое
рассогласование (ф—ф).
Запишем уравнение для дисперсии при использовании метода текущей
линеаризации. Полагая в (4.2.20) и=0 и H-(t)= A'1 cos2(ш0/ + ф) ^Л2/2, получаем
его is виде
d R9/dt == (JVo/2) — (A*/N) /?£, (4.3.28)
Отсюда при dR ldt — 0 находим стационарное решение
R9 = УЛ/0Л^/2Л2.
Дисперсия фазового рассогласования обратно пропорциональна амплитуде
сигнала синхронизации и растет с увеличением спектральной интенсивности шума
is канале синхронизации и интенсивности фазовых флуктуации генератора. Если
использовать алгоритм квазиоптималыюй фильтрации (15), (16), то уравнение
для оценки по-прежнему имеет вид (27), а уравнение для апостериорной
дисперсии преобразуется
dR4>/dt = (Nl)l'2) — (2/N)ARl^(t) sin[co0 / + ф (<)]. (4.3.29)
Однако, если пренебречь шумом в наблюдении §(0 и положить (f(t)x(f(t), то
(29) становится эквивалентно (28). Учитывая существенное упрощение
алгоритма при использовании независящего от наблюдения уравнения дисперсии
(28), следует отдать предпочтение алгоритму линеаризации (27), (28).
Пример 4.3.2. Оценка частоты гармонического колебания. Пусть требуется
оценить постоянную во времени, но неизвестную частоту гармонического
колебания .?(/, (о) =Л coswi но принятому колебанию (наблюдению)
l(t) = s(t,e>) + n{t). (4.3.30)
Уравнение для частоты можно записать в виде
da;dt = 0. (4.3.31)
Примем, что начальное значение частоты ю = Шо при ^ = 0 является нормально
распределенной случайной величиной с дисперсией D.
Для данного примера уравнение квазиоптималыюй оценки (15) принимает
вид
— = ~?AtR (t) [£ (t) — A cos w t\ sin ы t~
dt N ш
~-у/йв(()? (t) sin ^. (4.3.32)
На основании (4.2.20) записываем уравнение для дисперсии оценки
dRjdt=—(A*/N)t*Rl,
решение которого при начальном условии R(a(0)=D дается выражением
Ra{t) = 3ND/(AiDta + 3N). (4.3.33)
273

Отметим кстати, что эта дисперсия при очень большой априорной дисперсии D
совпадает со значением D*0 (t)=3N/A2t3, которое получается методом
максимального правдоподобия. Квадрат относительной ошибки оценки частоты равен
«£ W = ** (О/О = О + A*Dt*/3N)-
(4.3.34)
§(t)
V
-5
ч
in
—*■
»t
Hit)
>
III
^.
«0
УЭ
<£
*-ь>о
Как и следовало ожидать, дисперсия оценки постоянной частоты стремится к
нулю при увеличении длительности наблюдений.
Структурная схема измерителя частоты, реализующего квазиоптимальиый
алгоритм (32), изображена на рис. 4.12. Он содержит перемиожитель с
коэффициентом пересчета V, усилитель с переменным коэффициентом усиления
K(t)=2AtDa(t)/Nv, управляющий элемент и подстраиваемый генератор.
Методы квазиоптималь-
лой фильтрации,
используемые для приближенного
решения задачи
фильтрации, не имеют строгих
оценок точности. Однако
физически ясно, что точность
Рис. 4.12. Структурная схема квазиоптн- метода должна возрастать
малыюго измерителя частоты с уменьшением уровня
шума в канале связи, так как
при этом возрастает точность оценки % и соответственно
уменьшается (в вероятностном смысле) значение разности (К—Я,).
Поэтому пренебрежение членами высшего порядка малости в
разложении (11), (12) функций g{t, Я.) и s(t, X) становится тогда более
оправданным.
Рассмотрим метод получения квазиоптимальных алгоритмов,
в котором предположения о высокой точности фильтрации, но
крайней мере в явном виде, не используются.
Ограничимся одномерным случаем с уравнением сообщения
вида
dk/dt = g(t, ty + n0(t),
и уравнением наблюдения £,{t)=s(t, K)+n(t), где tio(t) и n(t) —
гауссовские белые шумы с односторонней спектральной
плотностью N0(t) nN(t) сооответственно. Уравнение (5) для
апостериорной плотности вероятности p{t, К) в такой задаче имеет вид
dP(t, к)
dt
digit, X)p{t, %)]
+4-ад
d2p(t, Я)
аяа
ах ■ 4
+ [F(t,K)~F(t)]p(t,k). (4.3.35)
Так же как и для вывода алгоритма (15), (16), будем искать
приближенное решение уравнения (35) в виде (10)
(4.3.36)
однако не будем использовать приближение линеаризации (14).
Умножим обе части (35) на % и проинтегрируем по области воз-
274

можных значений к. Учтем, что в уравнении Стратоновича (35) к
является параметром и не меняется во времени, вследствие чего
левая часть (35) переходит в
•> dt dt J H ' dt
Все уравнение (35) преобразуется при этом в выражение
^j~ = \кЬ{рЦ, k)}dk + j(X—i)F(t,l)p(t,tydk. (4.3.37)
Ьудем считать, что поток вероятности на бесконечности
стремится к нулю [33] — условие, выполняющееся для большинства
приложений. На основе этого справедливо соотношение
= $git,k)p(t,k)dk.
Здесь использована также формула интегрирования по частям.
При тех же условиях применение формулы интегрирования по
частям ко второму слагаемому правой части (36) приводит для
р{1, к), заданной в виде (36), к соотношению
${k-k)F{t, k)p(t, k)dk = R$F(t, k)l±=^p(t, k)dk =
^—R[F(t, k) dp(t' X) dk=R[dF{t' %)p{t, k)dk. (4.3.38)
J dk J dk
С учетом этих соотношений уравнение (37) принимает вид
-dJ^=[sd, ЦрЦ, k)dk + Rld-I^^p(t, k)dk. (4.3.39)
at J J о t.
Уравнение для апостериорной дисперсии R(t) получаем исходя из
тождества
^ = J- Г(Я—kfplt, k)dk = a2 dp{t' Я) dk—2l —. (4.3.40)
dt Л J H v J dt dt '
Подстановка (35), (39) в (40) приводит к выражению
dR 2$(k-k)g(t, к).p(t, k)dk + ^- +
dt
+ \{k-kfFit, k)p(t, k)dk-R-Fit). (4.3.41)
Использование соотношения (38) в обоих интегралах правой
части (41) дает
JB„^2R&£ЬЛрit, к)dk+^-+R2f °2F{t' X) p(t, k)dk. (4.3.42)
dt J д к 2 J д к2
Так как k(t) и Rit) полностью определяют p(t, к), заданную в
виде (36), то уравнение (39), (42) совместно с (36) полное^-^
описывают алгоритм нелинейной фильтрации.

Для общего случая векторных уравнений наблюдения и
сообщения вида (3), (4) применение описанного подхода приводит к
алгоритму фильтрации вида
■1£-=Мр,Ы', Ц} + ± Rl}NiPs{^^-}, (4.3.43)
at ^, i. О Kj i
м- •* i n^i v=i , i- м- v ;
где Mps{-}—осреднение с апостериорной плотностью вида (10).
Уравнения (43), (44) вполне аналогичны уравнениям (15), (16).
Пример 4.3.16. Фазовая автоподстройка частоты. Решим задачу, описанную
в примере 4.3.1а, па основе полученного приближенного алгоритма. Подставляя
g(t, ф) = 0 п s(t, ф) —A sin(шог' + Ф) в (39), получим
йЛ = 1А RI (о Т cos (co0 t+ ф) -L=- ехр ( _ (Ф — Ф)2| d (4.3.45)
dt N ~ -во У2лЯ I 2tf j
Здесь отброшено слагаемое удвоенной частоты.
Используем представление
cos (co01 -}- <р) — cos [<о01~- ф (0] cos [ф-- <р (01 —sin [со0^+ ф (01 sin (ф—Ф)-
Подставляя его в (45) и учитывая известные значения интегралов
1
4»
l/2nR -
j cos x z-x2l2R dx = е~л/2 ,
""if sin* p-*'/2* A-= i
У2яЯ
получаем
-Дт /2
lS = Ld/? e Ф' £(')«»[ со,/+ф (01- (4.3.46)
Л N ф
Аналогично получается уравнение для апостериорной дисперсии
Ж** -Т^^'^^ИЦ'+Ф^) + Nf- (4.3-27)
Отличие (46), (47) от соответствующих уравнений (27), (29) сводится только
к наличию дополнительного множителя ехр{—Ry /2) в членах, содержащих
наблюдение. При малых ошибках /?ф->-0 и ехр{—|/?ф/2}->-1, т. е. отличие между
алгоритмами исчезает.
В общем случае сравнение алгоритма (43), (44) с алгоритмом
(15), (16) показывает их очевидную близость. Легко увидеть, что
алгоритм (43), (44) непосредственно переходит в (15), (16) при
малых ошибках фильтрации R—>-0, т. е. при дельтаобразном
характере апостериорной плотности p(t, К). В то же время, хотя
276

при выводе уравнений (43), (44) не используется предположение
о малой величине ошибки, утверждать, что область применения
полученного приближенного алгоритма значительно шире, чем для
(15), (16), рискованно. Действительно, предположение (10) о том,
что p(t, X) ■—нормальная плотность вероятности, обычно
выполняется при справедливости условий линеаризации (11)—(13),
для которых необходима относительная малость ошибки
фильтрации.
Тем не менее алгоритм (43), (44) заслуживает особого
внимания. Это объясняется следующим результатом,
принадлежащим Р. Л. Стратоновичу. Проведем рассмотрение на частной
задаче фильтрации, когда уравнение для £(/) имеет вид (18),
а сообщением является гауссовский процесс, описываемый
уравнением (4.1.15). Будем рассматривать малое отношение сигнала
к шуму q, которое для этой задачи естественно определить как
отношение энергии Е сигнала за время корреляции тк=1/а
процесса X(t) к спектральной плотности шума N/2
q-=2E/N, £, = HJFV(/1,A)^1.
t
Выделяя отношение сигнала к шуму'в явном виде, запишем
уравнение Стратоновича для этой задачи:
d-~r)-=L{p{t, l)} + q[Fn(t, b)-Fn(t))p(t, %), (4.3.48)
at
где Fn{t, к) не зависит от отношения сигнал-шум
п У ' ' ' q ' Е 2Е '
Будем искать решение уравнения (48) в форме ряда
p(t, %) = p°(t, l) + qpl(t, V + ffV, *)+... (4.3.49)
Подставляя (49) в (48) и приравнивая порознь члены различных
порядков по q, получаем
dt
дрЧ{' Я) =L{p(t, k)} + [Fn(t, l)-jFn(t, Цр°«, >:)dl]p°{t, К),
dt J
(4.3.50)
Из первого уравнения (50) видно, что p°(i, л) является
решением априорного уравнения, т. е. является нормальной плотностью
с некоторыми математическим ожиданием Х0 и дисперсией Ro.
Запишем ее в виде p°(t, X\i0, R0). Рассмотрим теперь
приближение pi(t, K)=p°{t, X)+qp^{t, %). Из (50) имеем
dt
~\Fn(t, %)p*(t, Mh, R0)d%}p«(t, %\X0, R0). (4.3.51)
277

Получим на основе (51) уравнения для математического
ожидания и апостериорной дисперсии R плотности p\{t, К). Повторяя
процедуру, которая использовалась для получения (39), (42),
находим
i-L^aX + gflof дрп«-Ц po{t> X|V R0)dK, (4.3.52)
at J д а
^ = ~2** + -^ + д1*1$—^—рР«. b\h, /?o)dX. (4.3.53)
Уравнения (52), (53) описывают квазиоптимальный фильтр.
Нетрудно понять, что фильтрация только улучшится, если в (52),
(53) заменить ко, Ro "а X, R соответственно. После этого
получаем фильтр
~ = —<A + R[dF{t> X)p«(t, Щ, R)dX, (4.3.54)
dt J д К
~-=~2*R + -^л-Rtf-Щ^р«(t, к\К R)dl. (4.3.55)
Этот фильтр при малых отношениях сигнал-шум q
асимптотически близок к оптимальному. Обобщение результата для
многомерного гауссовского процесса не имеет особенностей. Результат
(54), (55) совпадает с (39), (42) для частного случая гауссов-
■ских процессов.
Таким образом, в задаче нелинейной фильтрации гауссовских
процессов алгоритм (39), (42) или в общем случае (43), (44)
является асимптотически оптимальным как при больших, так и при
малых отношениях сигнал-шум. При средних отношениях сигнал-
шум он может не быть оптимальным, но, по-видимому, останется
достаточно хорошим. Эти свойства алгоритма (43), (44) в
сочетании с относительной простотой реализации заставляют
выделить его по сравнению с другими приближенными алгоритмами
нелинейной фильтрации.
Пример 4.3.3. Квазиоптимальный прием сигналов с частотной модуляцией
(;5]. Пусть полезный сигнал, передаваемый по каналу связи имеет вид
s (/) = Л sin [<й„ / + if (/)], (4.3.56)
где А — известная амплитуда сигнала, соо — средняя частота и
$(t)—случайный процесс, обусловленный полезной модуляцией. Предполагается, что функция
dy/dt = A(i>, (4.3.57)
пропорциональна информационному сообщению h(t). Если в качестве сообщения
принять гауссовский экспоненциально коррелированный процесс (4.1.15), то
можем записать априорное уравнение
d(Aw)/d/= — аДсо+л0(0. (4.3.58)
Пусть принимаемое колебание имеет вид
l(t) = Asin((o0t + ^) + n{t). (4.3.59)
Гауссовские белые шумы n(t) и n0(t) имеют характеристики, указанные ранее.
278

Рассматриваемый пример является частным случаем достаточно общей
задачи, охватываемой системой уравнений (3) и (4), причем из сопоставления
уравнений (57) и (58) с (4) следует, что в нашем случае я=2, gi(t, X)=X2 = A(i),
gz(t, %)=—сЛ2=—аАсо, ЛГоп=ЛГо12=ЛГ021 = 0, JV022 = 'V0/2, a из сравнения (59) с
(3) заключаем, что m=l,F(t X) = F (t, if) = (2 A/N) Ц (r) sin (ш0 t + if) — (1/2) X
ХА sin2(w0/+if)].
На основании (15) записываем уравнения квазиоптнмалыюго приемника:
2
d cp/dt = А со + — Rnl{t)Acos (co0 t + if), (4.3.60)
2
d Aw /dt = — a Aco + "77^21 £ (0 Л cos (co01 + if).
Уравнения (16) для элементов корреляционной матрицы при использовании
приближения текущей линеаризации (24) примут вид:
2 ,
dRn/dt = 2 tfI2 ——/?г, Л2 cos2 (co„ t + if),
JV
2
dR12/dt = —aR12 + R?2— — #„ fl12 <42cos2 (co0/+if), (4.3.61}
dR22/dt = Y — 2a #22 — ^Г ^212Л2 cos2(W° ' + ^ *
Если принять cos2(co<^ + if) ^ 1/2, то решения системы (50) при /-voo будут
сходиться к постоянным величинам, которые можно найти, положив dRuldt —
— dRi2/dl = dR22./dt — Ci. Получаемая при этом система алгебраических уравнений
имеет относительно /?2г следующее положительное решение:
Ям = (а*/2 0 (1 +2PVF—Vl + WVq )VT+W7. (4.3.62)
При записи этой формулы было использовано равенство No=4aD, где D —
дисперсия частотного отклонения, а также следующие обозначения: q =
= Л2/(2аЛ'-)—отношение мощности сигнала к мощности шума в полосе
сообщения, р= ~\/D/a — индекс частотной модуляции. Индекс модуляции влияет ие
только на ошибку фильтрации, но и на ширину спектра сигнала.
Поскольку частотное отклонение Асо прямо пропорционально сообщению Я,
то относительная ошибка фильтрации сообщения, являющаяся основной
характеристикой системы связи, одинакова для них и равна
#22 1
б2= ~ = r2^-(l+2py^-|/l+4pV^)|/l+4py<?. (4.3.63)
Графики зависимости б3 от отношения сигнал-шум q приведены иа рис. 4.13 [15].
Структурная схема квазиоптимальиого приемника, построенного в
соответствии с уравнениями (60), показана на рис. 4.14. Приемник представляет собой
фазовую автоподстройку частоты, в которой управление частотой местного
генератора осуществляется по двум параллельным каналам. Используя известное
правило пересчета параллельных фильтров в последовательные, можно
убедиться, что последовательный фильтр имеет передаточную функцию к(\ +DT\)I(\ +
+ DT2), где D — символ дифференцирования. Такой фильтр принято называть
пропорционально-интегрирующим. Итак, квазиоптималыюй системой фильтрации
гауссовского экспоненциально коррелированного сообщения из частотно-модули-
27Э

potaiinoro сигнала, принимаемого на фоне белого шума, является фазовая авто-
иодстройка, в которой между фазовым детектором и управляющим элементом
включен пропорционально-интегрирующий фильтр.
2 5 10 20 50 200 q
§(t)
X
<£.
+
t»
ч£
CO
О
X
r
I
|-<ij-
, i
i
l
к
1+p7
i
j
>
\a&
I
!
2
L
/
r-
■*
<
-*r-
i
I
¥>ис. 4.15. Зависимость дисперсии Рис. 4.I4. Оптимальный приемник
■ошибки приема при частотной моду- сигналов частотной модуляции
ляшш сигнала от отношения
сигнал — шум
Укажем, что формула (63) справедлива только при достаточно больших
отношениях сигнал-шум q, пока ошибка фильтрации достаточно мала. Известно,
что при среднеквадратнческом значении фазовой ошибки Л/D » = (0,5-Н)
в устройствах типа фазовой автоподстройки частоты наблюдается существенное
расхождение между теоретическими и экспериментальными результатами. Оно
обусловлено явлениями срыва синхронизма. На рис. 4.13 штриховой линией
доказана граница применимости результатов, соответствующая условию D „ =1
С позиций теории следящих систем уравнения оценки (15),
(22) определяют алгоритм системы слежения за параметром K(t).
Наблюдаемый процесс £(/) входит в эти уравнения через
производные от логарифма функционала правдоподобия dF(t, k)ldk,
которые описывают дискриминатор системы слежения.
Дискриминатор является единственным элементом, зависящим от вида
полезного сигнала в уравнении наблюдения (например, от вида
модуляции в канале связи). Априорные сведения о характере
отслеживаемого процесса входят в уравнения оценки через
коэффициенты сноса и определяют вид и параметры низкочастотного
■фильтра системы.
Одной из важнейших характеристик следящей системы,
широко используемой в инженерных приложениях, является
дискриминационная характеристика f(e). Оиа определяется как
среднее по времени процесса на выходе дискриминатора при
фиксированной ошибке е = Ао—л:
f(B) = dF(t, А)/а^_£=е, (4.3.64)
где Ао —истинное значение параметра, а черта сверху означает
операцию осреднения но времени. Обычно дискриминационная ха-
280

рактеристика зависит только от ошибки е, что и отмечено в
обозначении /(e).
Если сигнал и шум являются эргодическимн процессами, то-
среднее по времени можно заменить статистическим средним по-
реализации £(/):
f(z)^M{dF(t,X)/dX\^^J.
Если среднее значение шума равно нулю, то из выражения для
F(t, X) получаем
f(s)--=(2/N)[s(t, X0)-s(t, X)]ds(t, Ц'дЦХа .х=е. (4.3.65>
Для нсэнергетических параметров
f (в) = (2/N)s (t, Х0) ds(t, \)1дЛ|Д1_я-_е.
Если X— случайная фаза сигнала вида (56), как в примере 3, то
f (е) = — (2A2/N) cos (co01 + %) sin(co01 + ip) .= (Aa/N) sin e.
Таким образом, дискриминационная характеристика системы.
ФАП (рис. 4.14) является синусоидальной (рис. 4.15). В
заштрихованной области дискриминационную характеристику можно
считать приближенно линейной функцией. Для линейной
зависимости сигнала s(t, X) от ./. (4.2.32) дискриминационная
характеристика, согласно (65), является строго линейной функцией
/ (е) = [Н (0 X0~H{t) X\ H (0 |Яо_х=с.,_ гИЩ.
При значении дисперсии ошибки D . < 1 рад2 ошибка tit)
<Ф -Ф>
с большой вероятностью лежит в заштрихованной области на оси
е (рис. 4.15), т. е. дискриминационную характеристику допустимо*
считать линейной функцией.
if (в)
Рис. 4.15. Дискриминационная
характеристика
Это обстоятельство можно рассматривать как практический
способ проверки условий справедливости гауссовской
аппроксимации. Действительно, если дискриминационная характеристика
линейна, то согласно (64) функция F(t, X), являющаяся
интегралом от dF(t, X)/dX, в окрестности ло квадратично зависит от л,
что, как отмечалось в начале параграфа, соответствует линейной
зависимости сигнала от X.
281?

В заключение укажем, что для приближенного решения
уравнения (5) можно использовать разные аппроксимации апостериорной
плотности вероятности. В этом направлении представляются
широкие возможности. Иногда применяют полигауссовское
приближение [54—57]: апостериорную плотность вероятности p(t, X)
аппроксимируют взвешенной суммой нескольких нормальных
плотностей вероятностей N(mi(t), Di(t)) с разными
математическими ожиданиями nii(t) и дисперсиями Di(t\
где flj(0 —весовые коэффициенты. Если подставить плотность
вероятности (66) в исходное уравнение (5), разложить
отдельные сомножители в правой части в степенные ряды в окрестности
точки nii(t), как и в методе гауссовской аппроксимации, и затем
приравнять коэффициенты при одинаковых степенях X, %2 и
свободные члены, то окончательно получим замкнутую систему
стохастических дифференциальных уравнений для определения m, (t),
Di(t) и йг(0, i =l7k [55, 57].
Полигауссовское приближение (66) является физически
оправданным для многомодальных апостериорных плотностей
вероятностей, которые встречаются, например, в задачах фильтрации
■случайной временной задержки принимаемого радиосигнала.
4.4. НЕПРЕРЫВНО-ДИСКРЕТНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
Непрерывно-дискретной будем называть фильтрацию, при
которой требуется фильтровать непрерывные процессы, т. е. получать
их оценки в каждый момент непрерывного времени, на основе
введений об их выборочных значениях в дискретном времени.
Такие задачи возникают всегда, когда носителем информации
являются импульсные сигналы, например, в радиолокации илм в им-
лульсных системах связи. Кроме того, они составляют важную
часть алгоритмов цифровой фильтрации. Начнем рассмотрение с
простого случая, описывающего процедуру цифровой фильтрации.
»(t)
•Рис. 4.16. Функциональная схема канала связи с использованием цифровой
фильтрации
Функциональная схема системы связи, ,в которой 'используется
цифровая фильтрация, изображена >на рис. 4.16. Передающая часть
системы и канал связи предполагаются обычными, непрерывными.
Приемная часть начинается с дискретизатора — устройства,
осуществляющего дискретизацию 'принимаемых колебаний по времени
262

(например, через постоянный 'интервал А). Требуется
оптимальным образом синтезировать собственно приемник (после дискре-
тизатора) и получить на выходе его оценку непрерывного
сообщения X{t) [58].
Пусть сообщение описывается векторным уравнением
dX/dt = g(t, ty + Mfl, (4.4.1>
а принятое колебание на выходе дискретизатора имеет вид
6v = s(*v, ^v) + nv, (4.4.2).
где nv — последовательность независимых гауссовских векторных
случайных величин с нулевыми математическими ожиданиями »
корреляционной матрицей
Vv = N(fv)/A. (4.4.3>
Таким образом, для 'Получения оценки сообщения мы
располагаем следующими данными: 1) априорным уравнением
сообщения (1), справедливым для любого t, и 2) уравнением наблюдения
(2), записанным для дискретных моментов времени tv, v=0, 1,2,...
На основании этих сведений нужно сформировать оценку
непрерывного сообщения МО- При этом процедура получения оценки
разбивается на две части: 1) ib дискретные моменты времени ^v*
v = 0, 1, 2, ..., можно сформировать апостериорные оценки, 2) в
интервалах между наблюдениями следует осуществлять
предсказание на основе априорного уравнения сообщения.
Для уяснения существа дела рассмотрим подробно вариант
линейной фильтрации, 'когда уравнения (1) и (2) линейны:
d Л/А = А (О Л + п„ (0, (4.4.4).
lv = Hvkv + nV) (4.4.5>
где Hv —матрица, элементы которой или постоянны, или
известные функции индекса v. Начальные значения компонент вектора
сообщения к(() считаются точно известными или же образуют
совокупность гауссовских случайных величин.
Допустим, что значение JW-i=M^v-i) известно. Тогда
предсказанное значение для kv = h{tv) будет определяться 'выражением
^=0(/v, ;v_,Hv-i + nov (4-4.6>
Здесь Ф(-)—матрица фундаментальных решений (переходная
матрица) уравнения (4), удовлетворяющая однородному
уравнению
d Ф (/, *v-i)Att - А (О Ф (/, *v-i) (4-4-7>
и начальному условию Ф(^-ь *v-i) = l. где I — единичная
матрица;
n0v= fvfo, x)n0(T)iT (4.4.8>
'v-l
283

— последовательность независимых гауссовских векторных
случайных величии, имеющих нулевое математическое ожидание и
корреляционную матрицу
*FV -r-- M {n0v njv} = j V Ф (tv, т) N0 (т) Фт (tv, x) dт. (4.4.9)
'v-1
Выполненный переход от системы уравнений (4) и (5) к
системе (6) и (5) сводит задачу построения апостериорных оценок в
точках отсчета /v к обычной задаче линейной фильтрации в
дискретном 'времени, .которая была изучена в § 4.2.
Рекуррентные уравнения, определяющие эволюцию оценки,
имеют вид
K=<b(t4, fv-^^ + RvHjV^IIv-HvOtfv, *v-i)4-ib (4.4.10)
а уравнения для корреляционной матрицы Rv апостериорного
распределения определяются соотношением
R71 — R71 -t-HJv^'Hv, (4.4.11)
где
Rv = <D(fv, /v-i)Rv-i<l>T('v. ^v-i) + Vv. (4.4.12)
Разностному уравнению (11) можно придать также вид
Rv = Rv-RX (Hv Rv HT + Vvr' Hv Rv. (4.4.13)
Отметим, кстати, что Rv имеет смысл корреляционной матрицы
оценки, предсказанной на шаг вперед по априорному уравнению
сообщения (см. ниже).
Приведенные уравнения с точностью до замены pv-i =
— <b(tv, tv i) совпадают с уравнениями (4.2.37), (4.2.38) и
являются аналогом уравнений линейной фильтрации (4.2.33) и (4.2.34)
для непрерывного времени. Они дают решение первой части
задачи 'Непрерывно-дискретной фильтрации — построение
апостериорных оценок сообщения в моменты наблюдения tv, v = 0, l, 2, ...
Рассмотрим теперь задачу получения оценки в .интервалах
между наблюдениями. Пусть последнее наблюдение производилось в
момент времени tv и была получена оценка /.(/:v), причем знак
« + ■> указывает па то, что наблюдение ;,(/v) было использовано.
Тогда построение оценки -в текущем времени сведется к тому,
чтобы, используя априорное уравнение (■!!, осуществить-предсказание
сообщения на интервале (/v, Iv-,;). Начальным значением при этом
должна служить оценка /.(/>).
Предсказание (экстраполяция) есть частный случай
фильтрации, характеризующийся тем, что наблюдаемые данные
отсутствуют. Поэтому процедуру предсказания, оптимальную в смысле
минимума обобщенной дисперсии ошибки, можно описать
уравнением (4.2.33), если положить в нем H(t) = Q. Тогда получим
di(f)/dt--= A t)i(t). (4.4.14)
284

Начальным значением для 'получения K(t) на (интервале (^v, *v+i)
является оценка k(t+v), получаемая из уравнений (10) и (11).
В отличие от исходного уравнения (4.2.33), уравнение (14) те
содержит корреляционной матрицы Rv- Решение (14) можно
выразить через переходную матрицу
М9 = Ф(*. ty)i(tt).
На основании сказанного выше схему оптимального приемника
можно изобразить в виде, представленном на рис. 4.17. В
соответствии с уравнением (14) предсказание оценки следует
осуществлять нри помощи формирующего фильтра •сообщения,
находящегося в свободном режиме.
?(t) / &
Диснретный
фильтр
Налмана
Формирующий
фильтр
A(t)
Рис. 4.17. Общая структура оптимального приемника цифровой фильтрации
Рассмотрим факторы, влияющие 'на точность
непрерывно-дискретной фильтрации. Во-порвых, па точность влияет шум в канале
связи п(/), что обусловливает погрешность в восстановлении
дискретных отсчетов А,(М- Во-вторых, при восстановлении
сообщения между отсчетами оценка ухудшается за счет ошибок
статистического предсказания, причем физически ясно, что ошибки
растут при t, изменяющемся от tv к /v+i м достигают максимального
значения в конце интер!вала дискретизации.
Чтобы получить выражение для матрицы ошибок, заметим, что
согласно (4) -и (14) сама ошибка .предсказания е(/)=Ц/)—k(t)
удовлетворяет уравнению (4):
de/d/ = A(/)e + n0(/).
Поэтому ее значения в некоторой точке /e(/v-i, tv) ;i в конечной
точке отрезка (/v-i, /v) связаны соотношением (6):
е(/)-Ф(*, tv-l)ev_1+ [ <b(t, x)n0(T)dT.
(4.4.15)
<\-i
Транспонируя (15), найдем
ет (Q-*£_,ФТ(*, *„_!)+ j nl(T)Q>T(t,T)dr. (4.4.16)
На •основании (15) и (16) получаем требуемый результат
R(0 = M[e(08M01 = O(^ tv^)Rv^Or(t,ltv-i) + ^(t)- (4-4.17)
285

Здесь *P(t) дается выражением, аналогичным (9),
¥(/) = / Ф(*. t)N0(t)®t(/, T)dx,
<v-l
a Rv~i 'находится в результате решения разностного уравнения
(11) или (13). В конце интервала дискретизации выражение для
корреляционной матрицы ошибок R{tv) = RVсовпадает с (12).
Пример 4.4.1а. Цифровая фильтрация нормального экспоненциально
коррелированного сообщения в системе связи с амплитудной модуляцией. Пусть, как
и в примере 2 § 4.2, сообщение k(t), заданное уравнением
d l/dt = — ей + «0 (/), (4.4.18)
передается по радиоканалу посредством амплитудной модуляции. Фазу несущих
колебаний в месте приема будем считать известной. Тогда уравнение наблюдения
(2) можно записать
gv = A.vcos(ffl0/v+nv> (4.4.19)
а уравнение (10) для оценки примет вид
\ = ф Vi + Y R*cos ш°^ i^v—ф Vicos ш° *v\ • (4 •4 • 20>
где Ф=ехр(—аД).
Применительно к данному примеру записываем уравнение (11):
#v = (1/(ф* Rv_x + f) + (2 A/N) cos2 ш0 /„_,)-»• (4.4.21)
Входящая сюда величина i|? согласно (9) равна
Ч> = (ЛУ4а) (1 —Ф2) = D (1— Ф2), (4.4.22)
где Л/о — спектральная интенсивность формирующего белого шума; D — дисперсия
сообщения (т. е. удвоенная мощность принятого радиосигнала). Для внутренних
точек интервала (tv , <V4-i) оценка согласно выражению (14) равна
Дисперсия ошибки при этом определяется из (17)
/?(/)=*ve-2a('-<v)+^ fe-2a«-^t =
2 tv
= ^ve-2a('-'v) + D[l-e-2a<<-^)].
В общем случае уравнение (21) ие имеет точного стационарного решения. В
частном случае, когда <ВоД = я и, следовательно, a)o*v-i = I для всех v=I, 2, 3, ....
разностное уравнение (21) допускает постоянное стационарное решение, которое
можно иайти, полагая RV=R y~i=R. Это решение находится из уравнения
д*ф2_}_я(1_ф2) ф_|_л72Д) — (1/2Д)Ш(1— Фа)=0. (4.4.23)
Подставив положительное решение этого квадратного уравнения в (17) при
t = t , для стационарной дисперсии ошибки R цифровой фильтрации получим
286

Приближенное стационарное решение уравнения (21) при (ОоД#я можно
получить, предполагая Шо»а н считая, как и ранее, что среднее по времени
значение cos2wo? ^ 1/2. При этом
R = \(\— 0>a)(D +
Отсюда видно, что
R>D(\-
w^
ф2
ф2
DN/A
(D + /V/A)2
■1
-2<хД
) ~ 2 аД D I 1
■Т-)
+ D(I—Ф2).
(4.4.24)
(4.4.25)
Следовательно, хорошее качество фильтрации (£<£>) можно получить только
в том случае, если величина аД=Д/тк, где тк — время корреляции сообщения
А(/), достаточно мала. Это означает, что в интервале корреляции сообщения
должно укладываться достаточно большое число отсчетов.
Отметим, что формула (24) и, следовательно, неравенство (25) справедливы
при любом отношении сигнал-шум. Однако одним увеличением отношения
сигнал-шум достичь высокого качества непрерывно-дискретной фильтрации нельзя;
нужно, кроме этого, производить дискретизацию с достаточно большой частотой.
Если интервал дискретизации Д устремить к нулю, то на основании выражений
(24) и (3) можно убедиться, что дисперсия ошибки R будет стремиться к
значению ошибки R непрерывной фильтрации, определяемой формулой (4.2.26). При
конечных значениях Д величина R будет всегда больше R. Все отмеченные
факты остаются справедливыми и тогда, когда передаваемые сообщения и
наблюдения многомерны.
Структурная схема оптимального стационарного фильтра, построенного по
уравнению (20) с учетом (18), приведена на рис. 4.18, причем постоянная
времени фильтра равна RC—\/a.
2АРАо
v»+/
ф(г^)
<
Рис. 4.18. Оптимальный приемник цифровой фильтрации
При рассмотрении нелинейной иепрерывно-дискретной
фильтрации ограничимся только тем наиболее часто встречающимся в
радиотехнических задачах случаем, когда передаваемые
сообщения описываются линейным уравнением, а нелинейным является
лишь уравнение наблюдений.
Итак, пусть априорным уравнением сообщения является (4),
а уравнением наблюдения (после дискретизатора) — (2).
Очевидно, что остается га силе переход от непрерывного уравнения (4) к
разностному уравнению (6), необходимому в задаче дискретной
фильтрации, а также процедура предсказания оценки .в
'интервалах между отсчетами и формула (17), определяющая ошибку
фильтрации.
287

Задачу построения апостериорных оценок в тактовых точках,
поскольку она остается нелинейной, 'Приходится решать
приближенными методами, .причем самым шросты-м и достаточно
эффективным является метод текущей линеаризации.
Выполним в уравнении наблюдения (2) разложение функции
s(/v. ^v) в РЯД 'По степеням (7.v—^v), где К — искомая оценка,
ограничимся линейными членами разложения 'и запишем уравнения
для вектора оценок и корреляционной матрицы в получающейся
задаче квазилинейной фильтрации. Уравнению оценок '.можно
придать вид
iv = 0(tv, *„_,) ^v_1+ RvHVT V"1 Hv-s(tv, I,)], (4.4.26)
а уравнение для корреляционной матрицы формально сохранит
прежний вид (11)—((12), однако матрица Hv в них, а также в (26)
будет определяться как [ds/dV].
Согласно уравнению (12) ошибки, вносимые процедурой
дискретизации, остаются прежними. Величина ц.х не зависит от
отношения сигнал-шум, но существенно зависит от частоты
дискретизации и статистических свойств сообщения.
Пример 4.4.2. Цифровая фильтрация экспоненциально коррелированного
сообщения в системе связи с частотной модуляцией. Все исходные данные оставим
такими же, как и в примере 3 § 4.3, а именно: передаваемое сообщение
описывается уравнением (18), наблюдение имеет вид (4.3.59), if(/) задается
уравнениями (4.3.57) и (4.3.58). Нужно вычислить относительную ошибку фильтрации
частотного отклонения, которая совпадает с относительной ошибкой фильтрации
исходного сообщения /.(<).
Имеем
Н
0(V <,-!) =
|^1 = Исо8(ш,/ + 1>);01,
Ф^е-"*
1 (I-<Di)/a
.0 <Di
Б соответствии с уравнением (26) записываем алгоритм формирования
апостериорной квазиоптимальной оценки в тактовых точках
1 ,. 2Д
% = %_, + — (1 - Ф^Ди,,-! + R»YA C0S (Ш° 'v + ^ [£v~
— Asin((o0t4 + ^)l
Abv = Ф, Afflv_, + Rlt — A cos (ш0 tv + %) [\V—A sin (<ne t„ + %)].
Здесь Л' — односторонняя спектральная интенсивность белого шума n(t) в канале
связи; Rn и R>2 — элементы корреляционной матрицы.
В интервалах между тактовыми точками оценка определяется уравнениями
d$/dt = Aw, d(ha>)ldt = — аДш.
Положим в уравнении (13) для корреляционной матрицы Rv :
cos* (o)„ tv + %) ~ 1/2, Rv = Ry_1 = R #
288

Тогда для элементов корреляционной матрицы R получим уравнения, которые
при Д-»-0 совпадают с уравнениями, получающимися из системы (4.3.61) при
dRu/dl = dRi2/dt=dR22/dt = Q. Поэтому па основании (12) с учетом (22) при
достаточно малых Д квадрат относительной ошибки фильтрации сообщения б2д
можно приближенно представить в виде суммы
б2 = 6а + 2аД (аД«1),
где б2 определена формулой (4.3.63).
Обратимся теперь к 'Несколько более сложному случаю
передачи информации с помощью импульсных сигналов.
Функциональная схема системы связи с импульсными сигналами 'изображена
па рис. 4.19. Посылаемые сигналы модулируются значениями не-
Д№у^»
Рис. 4.19. Схема капала связи с импульсной системой связи
прерывного процесса в дискретные моменты времени. Формально
отличие этой ситуации от рассмотренной ранее сводится к
переносу дискретизирующего устройства со входа приемника «а вход
передатчика.
Сообщение описывается, ионпрежнему, векторным уравнением
(1), а принятое колебание на интервале (tv, tv-\) имеет вид
l(t) = s(t, K) + n(t). (4.4.27)
Здесь s((, ^v) — сигнал произвольной формы в непрерывном
времени, зависящий от ^,v — значения процесса %(t) в моменты tv,
v=l, 2, ...; n(t)—гауссовский белый шум. Процедуру получения
оценки K(t) .можно, как и ранее, разбить на две части:
сформировать оценки Хч в дискретные моменты tv и получить на основе
априорных данных экстраполяционную оценку X(t) в интервалах
между наблюдениями. В [59] приведено более строгое решение
рассматриваемой задачи, в частности, доказана справедливость
такого разбиения. Очевидно, что процедура предсказания оценки
в интервалах между точками ^v, v = 0, l, 2, ... остается
справедливой, т. е. определяется уравнением (14) и формулой (17) для
ошибки фильтрации. Таким образом, задача сводится к
фильтрации 'В дискретном времени последовательности A,v, описываемой
априорным уравнением сообщения (4), ио наблюдению отрезков
реализации l(t) при t^(tv, tv+i), для каждого v = 0, 1, 2, ... [1].
Рекуррентное соотношение, определяющее апостериорную
плотность p(^v/Wv+1'> является очевидной модификацией формул
(4.1.32), (4.1.33), описывающих точный алгоритм нелинейной филь-
10-82 269

трашш. В самом деле, единственным отличием, обусловленным
наблюдением отрезка входной реализации ?'v+1, содержащей оиг-
'v
иал s(t, Я„), является .использование не функции правдоподобия
p(|v|Kv), а функционала правдоподобия р(%'*+l \%v). В «тоге
аналогами формул (4.1.34), (4.1.35) являются выражения:
р (к\ i{:+i)=сР (ки1;) р (vtv+i\K),
Р (K\llv) = Sp (Viil'0v) р (К\ Vx) d K-i-
Для одномерного наблюдения вида
l(t)=s(t, K) + n(i), t£E(tv, tv+l), v = 0, 1
функционал правдоподобия запишется в виде
(4.4.28)
(4.4.29)
(4.4.30)
(4.4.31)
Приближенные уравнения для оценок Av можно получить,
прибегнув 'К методу гауссовской аппроксимации. Ограничимся
рассмотрением задачи фильтрации одномерного гауссовского 'процесса,
заданного уравнением (18) с наблюдением (30). Воспользуемся
приемом, который применялся в § 4.3 для вывода уравнений
текущей линеаризации. Разложим функцию s{t, Xv) в степенной ряд
по приращениям (^v —^v-i) относительно точки
экстраполированной оценки ^v-i = ^v-ie~aA
s(^) = s(^A_i) +
ds(t, Vi)
(K—K-i)-\----
При этом функционал правдоподобия (31) можно представить в
виде
'v+l
I 'v
t(t)-s(t, Vi)"
»<'"K^ K4t
(4.4.32)
где С2 включает все сомножители, не зависящие от Av.
Будем искать уравнение для оценки Х^, предполагая для всех
v=0, 1, ... апостериорную плотность /?(^||0'v+i) приближенно
нормальной с математическим ожиданием Xv ,и дисперсией Rv- Тогда
и экстраполированная плотность p(?^JiJv), удовлетворяющая соот-
290

ношению (29), тоже будет нормальной с математическим
ожиданием Ку~\=Кч-1 е_иД н дисперсией /?v-i, которая в соответствии с
(12) равна
^v_1-/?v_1O2 + D(l-02), (4.4.33)
где, «ак и ранее, использовано обозначение ф = е-аД. Подставляя
эти выражения в (28) и 'приравнивая коэффициенты при
одинаковых степенях kv в показателе экспоненты, получаем, аналогично
(4.2.8), (4.2.9), соотношения
iv =uv_, -ф+я, • ± vf [i(t)~s(tX-i)]ds(tjXv-l) dt,
tv dXv—\
1 1 2 *v+'
— = + — f
Ry R^O^ + D (1 — Ф2) N ,J
(4.4.34)
dt. (4.4.35)
В многомерном случае, описываемом уравнениями (4) и (27),
такая же процедура приводит к соотношениям
%v =<D(fv,*v_,)fc¥_1 +RV У №(^-iJ-N-40№(0-s('.£-i)k«-
(4.4.36)
R71 =R7' + T' HTa,Kv_,)-N-'(0-H(/,Xv-i)^. (4.4.37)
Здесь \i(t, ?^,_i)—mXn-матрица производных сигнала с
элементами Hij=dSi(t, Xv-^/дХ^-!, f, N(t) — матрица спектральных ин-
тенсивностей шумов наблюдения, деленных на два; Xv-i — вектор
экстраполированных оценок
^v-l =Ф(А> . ^v-l ) ^v—1 •
Очевидна аналогия выражений (36) и (26), а также (37) с (11).
Отличительной особенностью выражений (36), (37) является
наличие интегрирования в их правой части. Это отражает то
обстоятельство, что весь наблюдаемый в непрерывном времени
отрезок реализации £^+1 .может содержать информацию о lv -
Пример 4.4.16. Фильтрация нормального экспоненциально коррелированного
сообщения в импульсной системе связи с амплитудной модуляцией. Пусть
сообщение k(t), заданное уравнением (18), передается по радиоканалу с помощью
сигналов амплитудной импульсной модуляции (АИМ):
■С\)={ о,
X cosa>0t, t <t<t +ти;
10* 291

Уравнение наблюдения имеет вид (30). Согласно (34) уравнение для оценки
принимает вид
4 = v
2 'v+xh
■Г-1Ф + ^"^ j ИМ— Xv_10coscoo<]coscoo^^
или, учитывая возможность замены cos2 u>ot ^ '
2 '
\, = V^ + *V-
j | (0 cos a^tdt-
JL *
~2
Ч-1Фтн
Уравнение для дисперсии ошибки (35) запишется в виде
l/«v = 1/1 Vi ф2 + D (! ~ ф2)1 + X^N-
Стационарное значение дисперсии ошибки R = Rv = Rv_l
(4.4.38)
(4.4.39)
при этом равно
,-2
Ф
Я=—2-{1 — Ф2)
N
D+~7
l/i + ur
4Ф2
DN/xa
1
(4.4.40)
'н jl- 1— Ф2 (ЛГ/ти+0)*
Структурная схема оптимального стационарного фильтра, построенного согласно
уравнению (38), изображена на рис. 4.20. Заметим, что как структурная схема,
так и выражение (40) для дисперсии ошибки справедливы при любых значениях
тв<Д, в частности при ти = Д. В таком случае R при Д-Я) стремится к
значению дисперсии ошибки непрерывной фильтрации, определяемой формулой
(4.2.26).
?Г0
со
"*т
h>+f
хН^НИ-^-
C056)0t
2
<
>4
1
<1- т~)
-*
I 1
А
I-U
-г-
Mt)
Рис. 4.20. Оптимальный приемник сообщений в импульсной системе связи
В заключение отметим, что термин «непрерывно-дискретная
фильтрация» !И'НОгда применяют к задачам фильтрации дискретно-
непрерывных ^процессов, т. е. векторных 'процессов, у которых часть
компонент описывается диффузионными уравнениями типа (I) и,
следовательно, является непрерывной, а оставшуюся часть
компонент составляют разрывные процессы с дискретным множеством
значений. Такие процессы описывают цифровые сигналы со
случайными параметрами. Задачи фильтрации таких процессов
рассматривались, например, в [60, 61].
4.5. АДАПТИВНЫЙ ПРИЕМ СИГНАЛОВ
При решении задачи обнаружения, оценки и фильтрации
сообщений предполагалось, что статистические характеристики
сигналов 'и помех известны. Однако на практике это часто пе имеет
места. Поэтому исследование чувствительности алгоритмов
приема к отклонениям параметров сигнала от расчетных является важ-
292

ным этапом разработки приемных устройств. Задача исследования
чувствительности алгоритмов фильтрации рассматривалась на
частном примере в § 4.2. Из графика рис. 4.10 следует, что при
малых отклонениях истинных значений параметров от
предполагаемых ухудшение качества приема может оказаться
незначительным. В то же .время большой диапазон неопределенности значений
параметров сигналов и помех 'приводит к недопустимо большим
потерям качества алгоритмов приема. В связи с этим представляет
интерес синтез адаптивных (приспосабливающихся) устройств,
способных принимать информацию в условиях некоторой
неопределенности.
Практически неопределенность всегда можно считать
заключенной в конечном числе 'параметров, которые заранее не
известны. Поэтому далее рассматриваются только задачи с
параметрической неопределенностью. Адаптивные задачи естественно
рассматривать в сравнении с неадаптивными (с полностью
известными вероятностными характеристиками). В предыдущем изложении,
посвященном решению задач с полностью известными
характеристиками, в основном использовался байесовский подход.
Рассмотрение адаптивных задач также будет основываться на этом
подходе [64].
В соответствии с байесовским подходом решение широкого
класса задач сводится к определению апостериорной плотности
вероятностей информационного параметра p(k\%) (или
апостериорной вероятности для дискретного информационного параметра).
При полном статистическом описании сигнала и помехи рЩЪ,)
легко определяется на основании теоремы Байеса.
В задачах фильтрации при дискретном наблюдении
рекуррентный алгоритм определения рСк\%) дается формулой (4.1.31). При
непрерывном наблюдении апостериорная плотность определяется
из уравнения Стратоновича (4.1.45).
На практике задачи, в которых принимаемый сигнал зависит
только от информационного параметра, встречаются довольно
редко. Обычно, кроме информационного параметра X(t), сигнал
зависит от ряда других дополнительных неизвестных параметров
a(t), т. е. наблюдение записывается в виде
t(t)=;s(t,K<*) + n(t). (4.5.1)
По своей физической сути вектор параметров a(t) не является
чем-то принципиально отличным от k(t). Более того, в разных
задачах k(t) и а(/) могут .меняться местами. Например, в
радиосигнале вида
8(<Д,О) = Л(0с08[Шв/ + ф(0]
при фазовой модуляции ср(/) является информационным
параметром: (p(t)=K(t). Неизвестный параметр a(t) в данном случае
представлен амплитудой A(t). При амплитудной модуляции,
наоборот, A(t) является информационным параметром %(t), а фаза
q>(t), если она не полностью известна, составляет a(t).
293

Параметры u(t) называют сопровождающими или
сопутствующими, или неинформационными. Обычно сопровождающие
параметры меняются медленнее, чем информационные. Это
обусловлено тем, что изменение сопутствующих параметров имеет
паразитный характер, мешает приему информации и его стараются
устранить или уменьшить. Напротив, информационные 'параметры
изменяются преднамеренно, чем быстрее они меняются, тем больше
информации передается за фиксированное время. Отмеченная
'медленность изменения сопутствующих параметров не является в то
же время существенной с точки зрения методики решения
адаптивных задач.
Задачи оптимального приема сигналов .вида (1) неоднократно
рассматривались ов предыдущих главах. Обратимся, например, к
задаче обнаружения сигнала со случайной амплитудой и фазой
(§ 2.2), когда
s (t,1, а) = К A cos (<o01 + ф).
Здесь Х=0 или к=\, а={Л, q>}. Адаптивный характер этой задачи
не подчеркивался. В то же время по характеру это типичная
задача адаптации: прием информации к осуществляется в условиях
неопределенности, которая в данном случае сосредоточена в
параметрах сигнала а= {A, q>}. Методику решения подобных задач,
принятую в гл. 2, можно использовать и в общем случае
адаптации.
Эта методика сводится к следующему. Необходимо определить
р(%{%). По свойству согласованности плотностей вероятности
можем записать
p(b\l)=lp(Ku\$da, (4.5.2)
где р(1, а||)—совместная апостериорная плотность вероятности
>,, а (или апостериорная вероятность).
Значение рСк\%) позволяет найти амплитудную оценку
информационного параметра % по любому критерию. В частности,
оценка по критерию минимума среднего квадрата ошибки равна
i=\%p(k\l)d%. (4.5.3)
Таким образом, если определить совместную апостериорную
плотность 'вероятности всех неизвестных параметров, как ипформац:юн-
Определение
р(Л,а\$)
—*■
Определение
Р(Л\£)
—*-
Определение
Л*
Рис. 4.21. Последовательность операций при байесовском адаптивном приеме
ных, так и сопровождающих, то на основании формул (2) н (3)
легко решить задачу определения к. Соответствующая
последовательность операций изображена на рис. 4.21.
294

Заметим, что хотя априори задача определения а не ставилась,
процедура (2) предполагает выделение всей .информации о а,
которая имелась априорно и содержалась в наблюдении %(t). Это
означает, что фактически решение адаптивной задачи (1)
сводится ж решению аналогичной неадаптивной задачи, когда все
параметры сигнала Я, и а являются информационными. Как следствие
этой точки зрения, а и к «а этапе определения р(к, а\%)
эквивалентны. Эта эквивалентность информационных и сопровождающих
параметров является характерной для рассматриваемого
байесовского подхода к задачам адаптации.
Разумеется, принятие процедуры (2) за основу при
определении р(%]%), вообще говоря, не обязательно. Но, во-первых, такая
процедура является оптимальной в том смысле, что при
использовании (2) имеется гарантия, что получающаяся в результате
реализации цепочки операций, изображенных «а рис. 4.21, оценка
А
X является оптимальной, например, по критерию минимума
среднего риска. Во-вторых, за исключением довольно редких случаев,
определение р(^|1) иным путем, неэквивалентным цепочке
операций рис. 4.21, просто невозможно.
Иногда при решении конкретных задач факт извлечения
информации о всех неизвестных параметрах в оптимальных
приемниках не вполне очевиден. Обратимся, например, к
упоминавшейся выше задаче обнаружения сигнала со случайной амплитудой и
фазой на фоне белого шума. Эта задача была решена в § 2.2, где
показано, что оптимальным обнаружителем является некогерент-
ный приемник, схемы которого изображены на рис. 2.6, 2.7, 2.8.
Метод синтеза этого приемника, рассмотренный в § 2.2,
является лишь некоторой модификацией схемы рис. 4.21. Однако из
рассмотрения схемы некогерентного приемника не вполне очевидно,
что в нем осуществляется выделение информации о фазе и
амплитуде сигнала. Это можно пояснить следующим образом.
Рассмотрим оптимальный алгоритм обнаружения (2.2.12):
J I (t) cos <o01 dt
+
j t(t) sin a>0tdt
«*•=!
ft.
J л*
Переписав левую часть в виде
Г6(0{ f^COSft),,^
COS <00 t -f
jK^sincoo^d^
sin (on t
dt =
\ t(t)s(t)dt,
получаем следующую запись для алгоритма обнаружения:
{ 6(08(0**? А.
о д*=о
(4.5.4)
295

Здесь
s(/) =
£ | (tj) cos <o01! d^
cos co0 tf -f
j I (tj sin co0 ^ dti
sin <on * ==
— A cos(co0 f + ф).
'"/[/
£ (t) cos <o0 fdf
+
j g(*)sinco0frtf
Ф = arctg
j | (0 sin co0 tdt
о
г
j I (/) cos cd0 frft
Легко убедиться, что s(t) является максимально правдоподобной
оценкой сигнала s(t) по наблюдению на интервале [0,7]; А —
аналогичной оценкой амплитуды и q> — оценкой фазы
обнаруживаемого сигнала.
Алгоритм (4) совпадает по форме с алгоритмом обнаружения
полностью известного сигнала в белом шуме (2.2.1). Отличие в
том, что вместо копии сигнала 'используется его оценка,
получаемая по принимаемой реализации. Таким образом, в этой
классической задаче неявным образом осуществляется оценивание
сопровождающих параметров сигнала.
Часто в задачах фильтрации сопровождающие параметры яе
входят в явном виде в сигнал, как это 'предполагалось в (4), а
входят в информационное сообщение. Например, пусть
информационный параметр %(t) является случайным процессом,
определяемым уравнением
dX/dt = a(l,a) + n0(f). (4.5.5)
Здесь а(к, а) — коэффициент сноса, зависящий как от
информационного параметра X, так и от неизвестных параметров; rio(t) —
белый шум с нулевым математическим ожиданием (ji0(t))=0 и
корреляционной функцией <,n0(t)n0(t+i;))=No(K а)6(т)/2, т. е.
допускается, что коэффициент диффузии процесса X(t) может
зависеть от информационного параметра % и от неизвестных
параметров а. Например, для гауссовского марковского процесса вида
dWt = —ak + tio(f) (4.5.6)
может быть неопределенным 'параметр <х, совпадающий по смыслу
с шириной спектра процесса МО- Кроме того, интенсивность N0
белого шума также может быть неизвестной. При этом а={а, N0}.
Описанная ранее методика (рис. 4.21) остается справедливой
и в этом случае. Рассматривается совместный процесс {К, а}.
Необходимо определить р(%, а||). Будем считать а постоянной
(векторной) случайной величиной. Постоянная случайная 'величина
является .вырожденным случаем диффузионного марковского процес-
296

са с коэффициентами сноса и диффузии равными <нулю. Это
означает, что уравнение для а, аналогичное (5), .имеет «ид
da/dt^O. (4.5.7)
Есл.и при этом наблюдение осуществляется на фоне белого шума
с интенсивностью N/2 и сигнал s(t, X) не зависит от
сопровождающих параметров а, т. е.
l(t) = s(t,X) + n(t), (4.5.8)
то уравнение для апостериорной плотности вероятности
совместного процесса {X, а} .имеет вид
Ур(''Я"") =Lx{p(t, К «)} + IF(U I)- Г F(t, X)p (t, X,a)dXda] p(t, X,a).
at J
(4.5.9)
Уравнение (9) получено непосредственным использованием
уравнения Стратоновича (4.1.15) к задаче, описываемой выражениями
(5), (7), (8). В (9) использованы обозначения
р(а,«)=р(Ь,а||<), F (*,*)=-£-[б W »(*,&) l-s*{t,X)\ ,
L (oft X a)1- °{a(X,a)p(t,%,*)} ■ 1 Э2 {N0 (X, *)p (t, X, «)}
. XXP[ ' ' '' dX 4 dX*
Отметим, что оператор Факкера—Планка—Колмогорова для
совместного процесса {X, а} совпадает с оператором L^ только
для процесса X(t). Это является следствием того, что
коэффициенты сноса и диффузии для процесса а(/) равны нулю. Кроме этого,
поскольку рассматривается случай, когда сигнал не зависит от
сопутствующих параметров a(t), то и F(t, X) не зависит от a(t).
Определив p(t, X, а) из (9), легко, используя (2), (3), .получить
оценку информационного параметра X.
В общем случае неизвестные сопровождающие параметры
могут входить как в сигнал s(t, X, а), так и в уравнение для
процесса X(t). При этом для определения p(t, X, а) служит уравнение
lP«^L = Lx{p(t,X,a)} + [F(t,%,a)-UF(t,%,<*)p(t,K<z)X
Xp(t,X,a)dXda]p(t,X,a). (4.5.10)
Здесь F(t,X,a) = -|-
t(t)s(t,X,<*)--^s2(t,K<*)
Ничто не мешает рассматривать таким же образом случай
меняющихся во времени сопровождающих параметров. Например,
если считать :их диффузионным марковским процессом, то в
правую часть (10) войдет дополнительно соответствующий оператор
Фоккера — Планка — Колмогорова для a{t).
Очень часто .прием сигнала осуществляется на фоне смеси
белого шума n(t) с помехой x(t) с неполностью известными
характеристиками
l(t) = s(t,X) + x(t) + n(t). (4.5.11)
297

Пусть х(t)—диффузионный марковский процесс вида (5) с
неизвестными параметрами а. Обобщение байесовского подхода
для подобных задач адаптивного приема не представляет труда.
Рассматривается многомерный процесс {к, х, а}. Уравнение для
апостериорной плотности вероятности имеет вид
др«£х'*) = Lx {р (t, К х, а)} + Lx {p (t, К х, а)} +
+ p(t,Kxta)[P(t,X,x)— $F(t,Kx)p{t,Kx,a)dkdxdal (4.5.12)
где Lx{-}—оператор Фоккера—Планка—Колмогорова для
процесса x(t), зависящий от а,
F{t,x>x)=jf{l(t)ls(tA)+x({)]-Yls{t''k)+x{t)]2}-
Возможны дальнейшие обобщения, основанные на комбинациях
описанных .выше задач. Так, до сих пор рассматривались задачи
фильтрации при наблюдении в непрерывном времени с
обязательным наличием белого шума. Бели белый шум отсутствует,
необходимо использовать уравнение Стратоповича более общего
вида, чем (4.1.45), которое приведено в [15, 50]. Если наблюдение
ведется в дискретном 'времени, вместо (9), (10) и (12) нужно
использовать соответствующие рекуррентные соотношения,
получающиеся на основе (4.1.31) и т. д. Важно, что во всех случаях
описанный выше .подход сводит задачу адаптации к решению
обычной задачи нелинейной фильтрации для всех, не только
.информационных, .неизвестных параметров, присутствующих в задаче.
Априорная трудность байесовского подхода. При точном или
приближенном решении уравнений для апостериорной плотности
p(t, X, а) возникает трудность, связанная с необходимостью
задания начального условия р(0, X, а). Понятно, что апостериорная
плотность в нулевой момент времени, когда .наблюдения еще не
производились, совладает с априорной .плотностью вероятностей
параметров Ьо: р(0, X, а)=ррг(Х, а) или, когда X и а априорно
независимы, р(0, X, а)=ррг(Х)ррг(а). Здесь ррг(Х) и ррг(а) —
априорная плотность вероятностей соответственно информационного
и сопутствующих параметров.
Необходимость знания ррг(а) иногда рассматривается как
недостаток указанного выше байесовского подхода к адаптивным
задачам и является причиной встречающегося критического
отношения к нему. На самом деле причину нужно искать глубже—в
обоснованности байесовского подхода в вероятностных задачах
вообще. В приведенных выше рассуждениях сопутствующие
параметры полагались случайными. Правомерен вопрос, насколько это
обосновано. Понятие случайности в теории вероятностей
предполагает определенную закономерность, повторяемость в большом
числе испытаний. В .практических задачах чаще всего не имеется
достаточного объема предварительных экспериментов по
выяснению вероятностного характера неизвестных параметров. Тем не
менее, их 'предполагают случайными и априорные распределения
298

для них задают из физических соображений, используя как
накопленный общетеоретический, так и конкретный для данной
задачи опыт. Успехи в приложениях теории вероятности к различным
практическим задачам, в частности .к задачам статистической
радиотехники, подтверждают правильность такого подхода.
Задачи адаптации не являются исключением. Конечно, чаще
всего к адаптивным относят задачи с 'повышенной априорной
неопределенностью. Однако смысловое содержание байесовского
подхода вовсе не определяется объемом 'имеющихся априорных
знаний. Степень .полноты этих знаний влияет только на
характеристики оценок информационных параметров. Ухудшение качества
приема, связанное с .неопределенностью а, в адаптивных задачах
может оказаться значительным. В ряде случаев оценки (даже
оптимальные) информационных параметров при малом времени
наблюдения настолько плохи, что являются практически
бесполезными. С увеличением времени наблюдения оценки
неинформационных параметров стремятся к истинным значениям а, а качество
оценки информационного параметра улучшается, стремясь к
качеству оценки при полностью известных статистических
характеристиках. Время установления такого процесса является одной из
важных характеристик адаптивных задач.
Обоснованности байесовского подхода способствует также то,
что щри несущественных для практики ограничениях байесовские
правила решения образуют полный класс [62]. Это означает, что
все самые хорошие [(оптимальные) правила принятия решения или
алгоритмы обработки информации обязательно принадлежат к
полному классу, т. е. могут быть получены с помощью
байесовского ^подхода при некоторых априорных плотностях вероятностей
рргЩ и ррг(а). Таким образом, нет необходимости рассматривать
алгоритмы, не являющиеся байесовскими правилами решения, ибо
заведомо существуют некоторые другие (байесовские) алгоритмы,
обладающие лучшими характеристиками.
Указанная выше априорная трудность при синтезе в
адаптивных задачах является существенной прежде всего в теоретическом
отношении, в смысле обоснованности байесовского подхода. При
решении практических задач синтеза существенно облегчает дело
относительная асимптотическая нечувствительность адаптивных
задач к априорной плотности вероятности. Это означает, что
изменение априорной плотности вероятности ррг(о,) начинает мало
влиять на вид апостериорной плотности р(а||) при увеличении
объема наблюдений. Указанную нечувствительность можно
обосновать, исходя из формулы Байеса
р(а\%1=кр(Ц\а)р„(а). (4.5.13)
Здесь р (Е'о| а)—условная плотность вероятности наблюдения при
фиксированном a; k=con si (а). Рис. 4.22 иллюстрирует
соотношение между двумя сомножителями выражения (13).
Подчеркнуто, что при реальных значениях времени
наблюдения t условная плотность вероятности р(Е*о|а) как функция от а
299

в окрестности истинного значения а0 значительно уже априорной
плотности ррг(а). Последнюю естественно задавать медленно и
плавно меняющейся функцией от «, так как какие-то резкие
.изменения ррг(а) предполагают существенное предпочтение одних
значений а другим на основе априорных знаний, что чаще всего не
Рис. 4.22. Соотношение между сомножителями формулы Байеса в задачах адап-
типного приема
выполняется на практике. С другой стороны, для адаптивных задач
характерно соотношение, когда количество информации,
содержащееся в 'Наблюден™ £'о, существенно превышает объем априорной
информации об а. Это находит отражение в том, что плотность
вероятности p(gfo|a), представляющая информацию за счет
наблюдения как функцию а, существенно острее, чем ррг(а). Поэтому
основное влияние на формирование p(a|gf0) оказывает именно
p(|fo|a). Изменения ррг(а) в значительных пределах (пока она
остается медленно меняющейся функцией по сравнению с p(|fQ|a))
незначительно влияют на
р(аИнвариант максимального правдоподобия. Отмеченную
нечувствительность к априорному распределению ррг(а) можно считать
основой распространенности методов решения адаптивных задач,
в которых априорная информация об а полностью игнорируется
[63]. Для обоснования этих методов распишем выражение (2) для
апостериорной плотности вероятности информационного параметра
в виде
р(Щ)= $ p(Ka\l)da= $ p(k\l,a)p(a\l)da. (4.5.14)
о a
Если p(a||) узка, так что ее при интегрировании можно
приближенно принять за дельта-функцию p(a||)»6(a—а*), то из (14)
имеем
р(Щ)жр(Щ,а*). (4.5.15)
Таким образом, апостериорная плотность информационного
параметра в адаптивной задаче с неизвестным а равна апостериорной
плотности информационного параметра в задаче с известным а, в
качестве которого используется оценочное значение а*. Остается-
вопрос о методе вычисления а*.
Для того чтобы не использовать априорную плотность
вероятности ppr(a), считая, например, а неслучайной величиной, вычис-
300

ление а* можно осуществляй! но критерию максимума
правдоподобия
а* = тах-1{р(Ца)}. (4.5.16)
а
Как известно, оценка .максимального правдоподобия обладает
такими свойствами, «ак асимптотическая несмещенность,
эффективность и др.
Различные подходы, не требующие знания априорного
распределения ррГ(а), основываются, по сути дела, па соотношениях (15),
(16), которые выбираются, совместно с (3), в качестве исходных.
В [64] эта методика, альтернативная строго байесовской
методике рис. 4.21, названа «вариант максимального правдоподобия».
В целом ряде случаев она .приводит к хорошим результатам.
Большое количество примеров ее использования в
радиотехнических задачах можно 'найти в [63]. В качестве критики подобного
подхода 'можно отметить следующее.
Во-первых, постановка задачи, в которой предполагается отказ
от использования априорной плотности, хотя >и снимает таким
радикальным образом априорную трудность, но, очевидно, не может
считаться хорошим решением в смысле оптимального
использования всей возможной информации.
Во-вторых, в практике встречаются задачи, где р(а||) не
является дельта-образной. Например, если зависимость s(t, k, а) от а
близка к периодической, то р(а]|) аппроксимируется суммой
дельта-функций
р(cell) да ^ р,б(а—а*),
где 2pi.= l, pi>0. В этих случаях приближение (15)
несправедливо 'И алгоритмы, 'полученные описанным выше методом, могут
оказаться неработоспособными.
И, в-третьих, сами максимально правдоподобные оценки (16)
могут в ряде случаев иметь неудовлетворительные характеристики
■из-за того, что при их получении не используется априорное
распределение для а.
Пример 4.5.1. Обнаружение радиосигнала с неизвестной частотой. Для
примера рассмотрим задачу обнаружения радиосигнала с неизвестной частотой,
наблюдаемого в интервале [О, Т\ на фоне белого шума
I (t) = X A sin (ш0 t + Q t + ф) + п (0. (4.5.17)
Здесь Я=0 или 1; a=Q — неизвестная частота; n(t)—белый гауссовскип шум;
Ф — фаза сигнала, которую будем считать известной.
При известной частоте решением такой задачи является корреляционный
приемник (§ 2.2), выход которого сравнивается с пороговым устронством
(рис. 2.1). Вследствие соотношения (15) в варианте максимального
правдоподобия этот приемник является оптимальным и при неизвестной частоте сигнала,
если использовать вместо нее оценку максимального правдоподобия Q*. Схема
301

такого адаптивного приемника изображена па рис. 4.23. Алгоритм оценки
максимального правдоподобия находится конкретизацией выражения (16):
fi* = max-1{P(^|S)}=max-1{/'(io. *=1|0)+/»(& A,*=0|Q)} =
= тах-1{/7(У|А,= 1, Q)/>(*,= !) +p (?0U = 0, Q)p(X = 0)} =
тах-1{/7(^|Я=1, Q)>.
а
(4.5.18)
В последнем равенстве учтено свойство согласованности вероятности, а также
то обстоятельство, что /7(1'о|^=0, fi)=const(Q). Подставляя в (18) конкретное
выражение для функционала правдоподобия р(£'о|Х=1, Q) из (1.2.19) и
учитывая монотонность экспоненты, получаем
Q*=max-1| jE(f)sin(Q* + <p)«fl J. (4.5.19)
Практической реализацией схемы оценки частоты в соответствии с алгоритмом
(19) может быть, например, многофильтровая схема типа изображенной на
рис. 3.2, где теперь вместо к нужно понимать Q.
$(t)
XW/
Оиенна
9
_г
sin(<u^f+ й*+о)
е*
Рис. 4.23. Схема адаптивного
приемника сигнала с неизвестной
частотой
Поскольку априорная плотность вероятностей частоты в варианте
максимального правдоподобия не учитывается, это означает, что диапазон возможных
значений Q бесконечен. При этом оценка Q*, вычисляемая из (19), при любом
конечном времени наблюдения имеет бесконечную дисперсию. Это можно
понять из следующих соображений. Пусть Q* определяется при помощи
многофильтровой схемы рис. 3.2. Обозначим выходы фильтров
т
xt = j£(Osin(me/ + Q,< + <p)<tt.
где Qj — частота, на которую настроен фильтр. Для Q,-, далеких от истинной
частоты сигнала Qo, xt представляют собой нормальные случайные величины с
характеристиками
NT sin (Q[ — Qj)T
М{хг} = 0, M {*,-*;}= ■
(Qi — Qj)T
(4.5.20)
Рассмотрим только совокупность фильтров, для которых выполняется
соотношение (Q;—Qj)T — ak, k—\, 2, ... и выходы которых, как следует из (20), взаимно
независимы. Вероятность р превышения выходным напряжением хотя бы одного
фильтра из этой совокупности выходного напряжения фильтра, настроенного на
сигнал (Qj = Q0), несомненно меньше вероятности выбора в качестве оценки Q*
положения ложного максимума. С другой стороны, для любого конечного
числа п фильтров из этой совокупности вероятность превышения
302

p=l — (l—Pi)n. (4.5.21)
Здесь /?i — вероятность такого превышения одним фильтром (для всех фильтров
эта вероятность одинакова); п — число рассматриваемых фильтров. Как следует
из (21), при п-+<х> вероятность р стремится к 1 при любых сколь угодно малых
значениях р\, ие равных нулю, т. е. при любых конечных отношениях сигнал-
шум. Таким образом, вероятность выбора в качестве оценки Q* положения
дожного максимума (аномальной ошибки), которая не меньше /?, также
стремится к единице с расширением возможного диапазона неопределенности
частоты. Поскольку положения ложных максимумов распределены равномерно в
диапазоне неопределенности, то дисперсия ошибки неизвестной частоты стремится
к бесконечности вместе с шириной диапазона. Очевидно, характеристики
обнаружителя рис. 4.23 при этом неудовлетворительны. Поэтому для такой
адаптивной задачи методика варианта максимального правдоподобия неприменима.
Выясним роль априорного распределения. При чисто байесовском подходе
к решению задачи примера 1 нужно было бы ввести априорное распределение
ppr(Q). Это распределение стремится к нулю вне некоторого диапазона
возможных значений частоты сигнала. Границы этого диапазона во многих
практических задачах можно оцепить. Например, пусть неопределенность частоты
обусловлена эффектом Доплера. В этом случае Q=(a>olc)vr, где vr — радиальная
скорость передатчика относительно приемника; с —скорость света.
Для vr почти всегда можно указать предельное значение vmax, т. е.
—t,,max<t>r<Cmax. Полагая все значения частоты внутри данного диапазона
равновозможпыми, получаем выражение для априорной плотности вероятности
Ррт (&) =
2 итах «о ' о
Щ Ищах
wo Vmax .. n - Mo Ртах
О, |0| >■
Естественно, гипотеза о равновероятности всех значений скорости внутри
диапазона (—Umax, vmax) является спорной. Полет на предельных скоростях
осуществляется относительно редко. Чаще выдерживается некоторая
оптимальная для данного типа самолета «крейсерская» скорость. В принципе такую
неравнозначность различных значений Q можно учесть соответствующим выбором
Ррг(Я) внутри —ymas<fi<fmax. Однако обычно это менее существенно, чем
выбор диапазона ненулевых значений ррт(И).
Обращаясь вновь к рис. 4.22, применительно к случайной частоте <x=Q,
можно заметить, что априорное распределение /v(&) практически не изменяет
/?(ЯЦ'о) вблизи истинного значения частоты йо. Другими словами, влияние
pPr(Q) на оценку частоты несущественно, если правильно выбран истинный
.максимум апостериорной плотности. В то же время роль ppr(Q) велика, так как
оно подавляет ложные максимумы, возникающие в р(£'о|Я) на частотах,
далеких от Q0. Можно сказать, что выбор ppr(Q)=0 вне некоторого интервала
эквивалентен ограничению п в выражении (21) и уменьшению тем самым
аномальной ошибки (см. § 3.8). Итак, при выборе априорной плотности вероятности
следует максимально использовать всю имеющуюся информацию, например,
стремиться ограничить диапазон возможных значений Q, т. е. область ненулевых
303

значений ppr(Q). В итоге это позволяет значительно улучшить характеристики
адаптивных задач, в частности, уменьшить время, требуемое для
удовлетворительной оценки (захвата) частоты. /
С другой стороны, заметим, что если ошибочно выбрана /pr{Q), равная
нулю при Q = Q0 (Qo лежит вне диапазона (—fimax, fimax)), то согласно (13)
р(£2о|1'о) — О, а, значит, оценка Q* при любой длительности/интервала
наблюдения (0, t) не стремится к £20. Отсюда следует, что при вьгаоре интервала
ненулевых значений рРг(а) нужно проявлять осторожность. (
Рассмотренный пример показывает относительность яйления
нечувствительности адаптивных задач к априорному распределению. /
При практическом решении задачи оценки частоты мйтодом максимума прав-
деподобия всегда рассматривается некоторый конечный диапазон возможных
значений частоты. Поэтому таких вырожденных результатов, какие были
получены применением метода максимального правдоподобия выше, не возникает.
Но ограничение ожидаемых значений частоты некоторой областью — это и есть
учет априорных сведений об а, т. е. неявное использование априорной плотности
Pprftt). Необходимость такого неявного, не следующего из теории, учета ррг(а)
в практических задачах свидетельствует о неполноте и непоследовательности
подходов, основанных на варианте максимального правдоподобия.
Рассмотренная задача обнаружения сигнала с неизвестной
частотой подчеркивает важность для ряда задач учета всей
имеющейся информации при выборе априорной вероятности ррГ"(а).
Часто такая информация присутствует в форме физических
ограничений. Например, амплитуда —величина положительная и в
реальных ситуациях ограниченная. Это же относится к частоте и к
ширине спектра сигнала и т. д. Информация .подобного рода
настолько очевидна, что иногда просто игнорируется, вероятно в
расчете на то, что она учитывается в задаче автоматически.
Например, в [63] при рассмотрении задачи адаптивного обнаружения
сигнала с неизвестной амплитудой, т. е. при наблюдении вида
%(t) = XAcos(a>0t + <fi) + n(t) (4.5.22)
информация о положительности амплитуды не была
использована. В результате оказалось, что рабочие характеристики
полученного адаптивного приемника хуже характеристик обычного
обнаружителя по критерию Неймана—Пирсона, в котором оценка
амплитуды не осуществляется. Этот обнаружитель рассматривался
в § 2.2. Он представляет собой корреляционный приемник с
пороговым устройством на выходе (рис. 2.1). Значение порога
выбирается .из заданного уровня ложной тревоги.
При нашем рассмотрении, с позиций .адаптивного приема,
важно отметить, что приемник рис. 2.1 является оптимальным по
критерию Неймана—Пирсона при любых значениях амплитуды
сигнала. Подчеркнем, что характеристики обнаружения зависят от
амплитуды сигнала (точнее от отношения .сигнал-шум). Однако
при любом значении амплитуды не существует приемника,
который обеспечивает большую, чем приемник рис. 2.1, вероятность
правильного обнаружения при фиксированном уровне ложной
тревоги.
304

Раьномерно наилучшие решающие правила. Наличие
приемника, который является оптимальным для любого значения
неизвестного параметра (амплитуды в данном случае), отражает явление
наличия равномерно наилучших решающих правил [9]. Таким
образом, существуют задачи, в которых сопутствующий параметр
неизвестен, однако его незнание не существенно при выбранном
критерии качества. Последнее очень важно, так как при другом
критерии это незнание в той же задаче может оказаться
существенным. Тогда, в\ отличие от первого случая, этот сопутствующий
параметр а придется определять, а характеристики приема
'информационного параметра окажутся хуже, чем при .известном а.
Например, есл:и 'бы решалась задача .приема сигналов с амплитудной
манипуляцией по критерию минимума суммарной вероятности
ошибки (§ 2.4), то знание амплитуды сигнала в задаче (22)
являлось бы весьма существенным, так как от него зависел бы порог
в оптимальном по этому критерию приемнике, структура которого
совпадает с приемником рис. 2.1 (см. § 2.4).
Другой случай имеем при решении задачи различения
противоположных равновероятных сигналов (§ 2.4), когда наблюдение
имеет вид
t(t) = XAcos((o0t + v) + (\— Ц(—A)cos(<o0t + 4>) + n(t) (4.5.23)
•и используется критерий минимума суммарной вероятности
ошибки. Оптимальный приемник по-прежнему изображен па рис. 2.1,
но порог равен нулю, .причем при любом значении амплитуды. Это
свидетельствует, что .при равновероятных сигналах приемник
рис. 2.1 реализует равномерно наиболее мощное правило
различения противоположных сигналов с неизвестной амплитудой для
критерия минимума вероятности суммарной ошибки.
Существование равномерно наилучших правил решения можно
ожидать в довольно исключительных случаях. Однако сам факт
их наличия делает целесообразной при решении задач синтеза в
условиях априорной неопределенности проверку, является ли
неопределенность параметра а в данной задаче существенной. Если
это не так, т. е. равномерно наилучшее решение существует, то
применение рассмотренного выше байесовского подхода при
произвольном априорном распределении а все равно приведет к
оптимальному приемнику. Однако его структура может оказаться
сложнее, чем возможно с точки зрения технической реализации.
Например, для задачи (23) различения .противоположных
сигналов с неизвестной амплитудой оптимальный адаптивный
приемник, синтезированный стандартным байесовским методом, имеет,
в отличие от рис. 2.1, структуру рис. 4.24. Но при нулевом пороге
умножение на положительное число А* можно опустить, так как
оно не влияет на принятие решения. Таким образом, блок оценки
А является лишним с точки зрения оценки информационного
параметра К.
Обучение и самообучение. В адаптивных задачах различают
«предварительное обучение» и «самообучение». Смысловое содер-
305

жание этих терминов следующее. Самообучение имеет место,
когда неизвестные параметры а определяются одновременнр с
приемом информации о %. Предварительное обучение — когда режиму
приема основной информации предшествует период приема
некоторых сигналов, несущих информацию об а, но не о X/
Во всех предыдущих рассуждениях мы ориентировались на
режим «самообучения», поскольку подразумевали, что в
принимаемой реализация содержатся сведения как об информационном
параметре К, так и об а. Режим «предварительного обучения» не
?(t) |
"1
X— Л
C0S(6)gt + p)
Блои
оценки
А
X-S
$*
Рис. 4.24. Схема адаптивного приемника сигналов с неизвестной амплитудой
имеет особенностей с точки зрения синтеза. В этом случае по
наблюдению реализации, содержащей информацию об а, необходимо
составить уравнение для вычисления апостериорной плотности
вероятности а. Это делается обычным образом. Апостериорная
плотность в 'Конце интервала обучения используется в качестве
априорной для режима приема информации.
Метод гауссовского приближения в задачах адаптивной
фильтрации. До сих пор мы говорили об уравнениях нелинейной
фильтрации вида (9), (10), (12) с выбранными начальными условиями
как о полном решении задачи адаптивной фильтрации. Это
действительно так, есл« иметь в виду только полное извлечение
информации о X. Однако, как отмечалось в § 4.3, уравнения нелинейной
фильтрации в общем случае не имеют аналитического решения и
техническая реализация алгоритмов (9), (10), (12) очень сложна.
Возникает задача получения приближенных алгоритмов решения
уравнений вида (9), (10), (12), которые можно было бы
реализовать аетпаратурно. Для этого естественно обратиться к методу
гауссовского приближения, описанному в § 4.3. Применение этого
метода не имеет особенностей для адаптивных задач.
Рассмотрение проведем на конкретном примере. Пусть
наблюдается процесс
l(t) = %(t) + n(t).
(4.5.24)
Здесь n(t) — гауссо'вский белый шум с известными
математическим ожиданием, равным нулю, и дельта-функцией корреляции
M{n(t)n(t+%)} = (N/2)6(%), X(t) — гауссовский марковский
процесс вида (6), у которого неизвестен коэффициент диффузии N0.
306

Уравнение (7) теперь конкретизируется:
d Njdt = 0. (4.5.25)
Ширину спектра процесса а будем считать известной, поэтому
неопределенность jV0 эквивалентна тезналию дисперсии процесса
D = N0\4a.
Непосредственным применением уравнений гауссовекой
аппроксимации (4.3.15), (4.3.16) с учетам (24), (25) получаем алгоритм
фильтрации векторного процесса {X, N0}:
уравнения для оценок
dildt-^ —aX + Rn(2/N)(l — X), (4.5.26)
dNJdt = RNX (2/N) (1-Х) (4.5.27)
>и уравнения для корреляционной матрицы ошибок
d Ru Idt = (N12) - 2 a Rn- (2/N) R\x, (4.5.28)
dRxNldt^- -(2/N) RXNRU, (4.5.29)
d RNN/dt - - (2/N) R\N_ (4.5.30)
Уравнение (30) можно опустить, так как R,\N не входит ни в
.какое другое уравнение системы.
Начальными условиями для (26) — (30) являются априорные
математические ожидания {Х(0), N0(0)} и корреляционная
матрица априорного распределения R(0) с элементами {/?м(0)> Rkn(0),
Rnn(0)}. Естественно считать, что условное априорлое
распределение ppr(X\N0) симметрично относительно нуля при любом iV0.
Ир ■и этом Л(0)=0 и jRA.iv(0) = 0. Действительно, из симметрии
pPr(X\N0) непосредственно следует соотношение
X(0) = $Xp„r(X\N0)dX = 0, (4.5.31)
используя которое, получаем
Дллг(0) = М {[Х-Х(0)] [No-No(0)\} = П М^о -JV0(0)] X
XpPr(KNo)dXdNo=UMo-No(0)}ppr(No){SXpFr(X\No)dX}dNo=.O,
при любом распределении ppr(No). Формальное решение (26) —
(30) дает оценки X(t) и N0(t) в каждый момент времени.
Заметим, что получающаяся при применении гауссовскошо
'приближения оценка информационного параметра X(t) является
оптимальной по критерию минимума среднего квадрата апостериорного
распределения X. Таким образом, приближенный адаптивный
алгоритм оценки, основанный на применении гауссовекой
аппроксимации, оказывается достаточно простым.
Неработоспособность алгоритмов гауссовского приближения.
В большинстве случаев характеристики адаптивных алгоритмов,
307

/
полученных в гауссовском приближении, близки к оптимальным.
Однако существуют задачи адаптации, для которых ц/именение
гауссовского приближения приводит к неработоспособным
алгоритмам обработки. В частности, это имеет место
для/рассмотренной задачи адаптивной фильтрации процесса с неизвестным
коэффициентом диффузии (24). Действительно, 'Проанализируем
алгоритм (26) — (29). Обратимся к уравнению (29). Начальным
условием для него, как было обосновано выше, является R^n(O) =0.
Нетрудно убедиться, что при этом уравнение (29) имеет решение
•^a,jv(0=0 Для всех ^>0. Однако из (27) следует, что в таком,
случае dN0ldt=0. Отсюда N0(t)=fto(0), т. е. оценка коэффициента
диффузии процесса не 'изменяется в результате наблюдения £,(t)
и остается равной априорной оценке. Ошибка фильтрации при
этом может быть далека от оптимальной.
Таким образом, применение гауссовской аппроксимации в
данном случае приводит к неудовлетворительному адаптивному
алгоритму .(26) — (29).
Если рассмотреть задачу адаптивного приема процесса h(t),
удовлетворяющего уравнению (6), по наблюдению (24) при
неизвестной ширине спектра а, то также окажется, что
соответствующий алгоритм фильтрации, полученный в гауссовском
приближении, дает оценку а, которая не сходится к истинному значению а
при любом времени наблюдения и любом отношении сигнал-шум.
Причина заключается в существенной нелинейности задачи. В
самом деле, априорные уравнения для параметров в
рассматриваемой задаче имеют вид
d %ldt = — а% + п0 (t), d'a/dt = 0.
Компоненты фильтруемого векторного процесса {к, а} входят в
уравнение в виде произведения аХ. Напротив, в задачах линейной
фильтрации, где гауссовская аппроксимация 'является точной, все
компоненты фильтруемого процесса входят только .в виде суммы
(см. (4.3.11), (4.3.12)). Указанная существенная нелинейность
появилась в адаптивной задаче, хотя исходная неадаптивная задача
(при известном а) была строго линейной. Такая ситуация часто
возникает в адаптивных задачах. Это заставляет искать
приближенные методы решения уравнений вида (9), (10), (12), отличные
от гауссовской аппроксимации.
Прежде чем рассматривать один из таких методов, приведем
для примера решение задачи адаптивного приема сигнала с
неизвестной частотой. На этой частной задаче мы сравним
оптимальные и квазиоптимальные (в гауссовском приближении)
адаптивные приемники.
Адаптивное обнаружение радиосигнала с неизвестной частотой
[65]. Пусть на интервале (0, Т) наблюдается смесь сигнала с
шумом
m = Xs(t,<p,Q) + n(t), (4.5.32 )
где n(t) — гауссо'вокий белый шум с нулевым математическим
ожиданием и односторонней спектральной плотностью N.
308

Полезный сигнал имеет вид
s(t,y, Q)=Asin(a0t+Qt + (p),
(4.5.33)
где А и «о—известные величины; ф — случайная фаза,
.равномерно распределенная на интервале [0, 2л); Q — неизвестная частота.
Информационный параметр К принимает два значения к=0 и К=1
с вероятностями ро и р\ (ро + рг=\).
' Требуется в конце интервала .наблюдения получить оценку
параметра X, т. е. произвести обнаружение сигнала. Та« ка'к в
рассматриваемой задаче отсутствует этап предварительного обучения,
т. е. инфортлация о неизвестных параметрах сигнала должна
производиться одновременно с оценкой информационного параметра,
то имеем дело с адаптивной задачей самообучения. Задача
обнаружения сигнала с неизвестной частотой с режимом предваритель-
'ного обучения рассматривад:ась в [65].
В данной задаче a={Q, ф}. Конкретизация уравнения (9) дает
уравнение для смешанной апостериорной плотности вероятностей
Pit, К а):
dp(t, К a)/dt = [F(t, I, a)— j F(t, К a)p(t, К a)dkda]p(t, %, a).
(4.5.34)
Здесь F(t,%,a) = (2A/N)lt(t)s(t,a)—s2(t,<x)].
Уравнение (34) следует дополнить начальными условиями
р (О, %, а) = рх ррг (се) = (1/2 я) рРт {Q)px.
Здесь предполагается априорная независимость параметров и
введена некоторая достаточно гладкая плотность вероятностей
частоты ppr(Q).
Используем представление
p(t,X,a) = p(t,a\X)p(t,X),
(4.5.35)
где p(t, a\X) — апостериорная условная плотность вероятности
вектора а в момент времени t при фиксированном к; p(t, К) —
апостериорная вероятность информационного параметра. Подставляя
(35) в (34) и интегрируя по а обе части уравнения при каждом
Я, получим
dp(t, Я,= !)__ 2
dt N
dp(t, 1 = 0) f_
_ N
l(t)s(t)-
4
dt
Здесь обозначено
l(t)l(t)-^
p(t,b=l)p(t,X = 0), (4.5.36)
p(t,X = l)p(t,X = 0)- (4.5.37)
s{f) = ls(t,a)p(t,alk = l)da
(4.5.38)
— апостериорная условная оценка сигнала, и предполагается, что
соо достаточно высокая частота, так что s2(t, a) «Л2/2.
309

Вместо апостериорных вероятностей удобно рассматривать
логарифм отношения апостериорных вероятностей 2(/) =
= In[/>(f,fc=l)//>(*, Л = 0)].
Из (36), (37) имеем
dz (t)ldt = (2IN) [g(0 s (t) - A2/4].
(4.5.39)
Определение z(T) является основой алгоритма обнаружения
сигнала. Например, по критерию минимума суммарной ошибки
алгоритм обнаружения имеет вид
г (Г) S /г, где Л = 0. (4.5.40)
Алгоритм (40) будет оптимальным и по критерию Неймана—
Пирсона, если выбрать соответствующий порог h.
Подставив (25), (36) и (37) в (34), получим уравнение для
P(t, о|Л,=-1):
dp(t,a\K=l)/dt = (2/N)l(t)[8(t,a)—£(t)]p(t,a\k= 1). (4.5.41)
На рис. 4.25 приведена функциональная схема приемника,
работающего согласно соотношениям (38) — (41), т. е. реализующего
Г
[
№ [
\
i
V
А
S
(t,i
Оценка -
-г
код
1
1
1
$ i -
1
не
1 ' Хз„
Рис. 4.25. Схема адаптивного
обнаружителя сигнала с неизвестной
частотой и фазой
оптимальный адаптивный алгоритм обнаружения. Основными
элементами адаптивного обнаружителя являются: устройство
формирования опорного напряжения s(t) и коррелятор, использующий
оценку сигнала s(t) для получения отношения правдоподобия,
которое подается на 'Пороговое устройство для принятия решения.
Работа приемника в точности соответствует известному оценочно-
корреляционному принципу [60].
Основная трудность реализации алгоритма (38)'—(41)
заключается в уравнении (41). Непосредственной проверкой можно
убедиться, что решение уравнения (41) имеет вид
p(t,a\l^\)
ехр {(2/JV) ]'
l(x)s(x, *)dx \ppr(Q)
2я
j j ехр {(2 IN) J | (т) s (т, «) d x \ ppr(Q) dQ dy
Q 0 I 0
(4.5.42)
Практически его можно как угодно точно реализовать при
помощи .многофильтровой схемы типа рис. 2.1. Однако вместо устрой-
310

ства выбора максимума «а выходе каждого фильтра должны
стоять нелинейные элементы с экспоненциальной характеристикой
в каждом канале и нормировочное устройство. При большом
диапазоне возможных значений частоты требуется значительное число
фильтров, что не всегда удобно.
В качестве блока оценки в адаптивном обнаружителе рис. 4.25
целесообразно использовать 'какой-либо достаточно простой в
реализации квазиоптимальный измеритель. Обратимся ,к измерителю,
оптимальному в тауссовском (приближении. При этом вместо
уравнения (41) можно рассматривать уравнения для оценок &(t), <p(£)
и корреляционной матрицы ошибок оценок R(t), которые легко
получаются конкретизацией уравнений (4.3.15), (4.3.16):
£*Ф/Я = (/?ФФ + ЯфйО—^Е№со5(<М+ ^+ф), (4.5.43)
dU/dt = (#фа + Rqq t)— — I (t) cos (co01 + Ы + <p),
N
dR/dt = R-FtR, (4.5.44)
где
Из (38) при гауссовской аппроксимации плотности вероятности
p(t, a\X=l) получим
s(t)=ls(t,a)p(t,a\X=l)da = Aexp{—R11(t)/2}-sin((o0t +
а
+ & + Ф). (4.5.45)
Здесь введено обозначение ./?п (t) для дисперсии ошибки полной
фазы сигнала Q(t) =соо/ + Ш + <р. Легко показать, что
R11(t) = Rw + RoQt2 + 2R4>Qt. (4.5.46)
Функциональная схема приемника, реализующего
квазиоптимальный адаптивный обнаружитель, блок оценки которого решает
уравнение (43), представлена на рис. 4.26. Приемник вычисляет
корреляцию между принимаемым и опорным колебанием, и
пропорциональное ей напряжение сравнивается с порогом в блоке П
для принятия решения. В качестве опорного используется
напряжение, пропорциональное sin(coo^ + Q/ + <p), которое формируется
в 'блоке оценки. Он представляет собой систему фазовой
автоподстройки частоты 2-го порядка с .переменным'И коэффициентами
усиления Rn(t), определяемыми (46), и R\2(t) = R<s><pi-R<pQt. При
вычислении корреляции более точным оценкам придается
больший вес, что учитывается экспоненциальным коэффициентом
усиления.
Характеристики адаптивного обнаружителя. Адаптивный
оптимальный алгоритм (36), (37), (39), (40) и квазиоптимальный в
311

гауссовском приближении алгоритм (39), (40), (43), (44)
.исследовались методом Монте-Карло на ЭВМ. Полученные
характеристики обнаружения приведены на рис. 4.27—4.31.
На рис. 4.27 оплошными кривыми изображены зависимости
вероятности правильного обнаружения pD оптимальным приемником
(рис. 4.25) от обобщенного
К,
Рис. 4.26. Квазиоптимальный адаптивный
обнаружитель сигнала со случайной фазой
и частотой
параметра -z = toQ (/ —
момент отсчета отношения
правдоподобия,
o2q—дисперсия априорного
распределения частоты Q) и
отношения сигнал-шум 2EjN =
=A2t/N при нескольких
значениях вероятности ложной
тревоги pF. Для сравнения
штриховой линией нанесены
характеристики
оптимального обнаружения полностью
известного сигнала. Видно,
что для получения
одинаковых показателей
оптимальный адаптивный
обнаружитель затрачивает большее
время (либо требуется
большее отношение сигнал-шум).
Можно сказать, что часть
энергии принятого сигнала
расходуется на
самообучение.
На рис. 4.28—4.31 'приведены характеристики
квазиоптимального адаптивного обнаружителя (рис. 4.26). На рис. 4.28
изображены зависимости вероятности правильного обнаружителя pD от
обобщенных параметров T = tuQ и Q\ = A2/'(NoQ) для различных
значений вероятности ложной тревоги рР.
Из .рис. 4.29, на котором представлены графики pn(2E/N),
видно, что отношение сигнал-шум не является исчерпывающей
характеристикой условий работы 'квазиоптимального обнаружителя.
При одном и том же значении 2E/N, чем больше .параметр Qx =
— 2A2j(Nea), тем лучше характеристики обнаружения.
На рис. 4.30 сравниваются характеристики обнаружения
оптимального (штрихпунктирная кривая) и квазиоптимального
(штриховая) алгоритмов. Здесь же для сравнения изображена кривая
(сплошная), соответствующая оптимальному обнаружению
.полностью известного сигнала. Расстояние от этой кривой до двух
других можно трактовать как затраты на самообучение.
Пороговый характер кривой обнаружителя для
квазиоптимального алгоритма можно объяснить тем, что в состав этого
обнаружителя входит 'квазиоштимальный блок оценки (ФАП), которому
присущи явления срыва слежения. В этом случае частота опор-
312

ного напряжения существенно отличается от частоты входного
сигнала .и сигнал не обнаруживается.
На рис. 4.31 сравниваются характеристики ошибки оценки
.полной фазы сигнала, (приведенной к интервалу (—я, л), в оптималь-
Рис. 4.27. Рабочие характеристики Рис. 4.28. Зависимость вероятности
оптимального адаптивного приемника обнаружения квазиоптимального
приемника от обобщенного параметра
ном и квазио'пти.мальном (ФАП) 'блоке оценки. Штриховой линией
нанесены кривые дисперсии ошибки оценки фазы сигнала,
нормированной к дисперсии априорного, равномерного в (—л, я), рас-
0,95
0,9
0,8
0,7
0,5
01
Pjrio-1
/ у< \
м
-ИгС\
ук&
1//
0,-2,5
Qi-10
ifi———
Л?
:r¥'z
10
20 30 40 2E/N
0,98
0,97
0,95
0,9
0,8
о,,
0,5
0,1
I
им
/
///
//
V
г
vui
рг—
У/
/
*
.---"'
-'■ ■
рг=го-1,
Qi-10
2.0
40
00
80 IE/Яд
Рис. 4.29. Зависимость вероятности
обнаружения квазионтимального
приемника от отношения сигнал-шум
Рис. 4.30. Сравнение характеристик
оптимального и квазиоптимального
алгоритмов
пределения, для 'оптимального блока оценки. Сплошными линиями
нанесены соответствующие кривые для квазиоптимального блока
оценки. Ухудшение характеристик в этом случае обусловлено
явлением срыва слежения. Оно же объясняет немонотонный характер
измерения дисперсии ошибки ФАП во времени.
313

врШ
<3fW)
0,5
0,15
-
0,1
0,03
0,0 Z
с
I
\ о \
\\
\ \
v
Ax
^v о
\x
4 ^v *
4
\
4
V
N..
.
\
\
\
Э
<
Az
N0<3a(L
Г2,5
oj J^P00^
о
5 x x^
1,5
• ! T"4
•^.
X
i К i i
' i.
4
t
7 S
т> я
7 t-SQ(0)
Рис. 4.31. Дисперсия ошибки оценки полной фазы сигнала в оптимальном и
квазиоптимальном блоке оценки
Алгоритм «разделения» [66]. Вернемся к вопросу о
приближенных методах решения уравнений адаптивной фильтрации «вида (9),
(10), (12). Для получения одного технически реализуемого
приближенного алгоритма 'представим апостериорную плотность
p(t, К, а) <в виде:
p(t,%,a) = p(t,%\<*)P(t,a). (4.5.47)
Подставив (47) в (9) и интегрируя обе части (9) по К, получим
дрЦ, а)/дt = [Fa(0-\Fn{t)p(t,a)da]p(t,a), (4.5.48)
где Fa (Q = J F (t, X) p(t,k\a)d Я,.
Уравнение (48) имеет решение
/>(*,«) =
exP U/'a(T)dT \Ppr(*)
I exP H Fa^dx \ppri*)d*
a I 0 J
(4.5.49)
В этом можно убедиться непосредственной подстановкой (49) в
314

(48). Уравнение для p(t, Я|а) получается подстановкой (47), (48)
в (9):
p(t, l/a) = Lx{p(t, K\a)} + [F(t, l)-Fa(t)]p(t, l\a). (45.50)
Выражения (49) и (50) являются основой для получения
приближенных 'алгоритмов адаптивной фильтрации. Для этого область
возможных значений параметра а дискретизируется, т. е.
считается, что а может принимать множество значений am, т=1, M из
этой области. Например, если областью возможных значений а
является интервал (0,1), то можно выбрать am = >n/M (рис. 4.32).
А=±_
Рис. 4.32. Дискретизация области М
значений параметра , , , , , i^>» , , , ,
В этом случае необходимо вычислять p(t, а) и p(t, Я|а) только
в конечном числе точек а™. Уравнение (49) переходит при этом
в выражение
ехР П Fam{x)dx \Ppr(*rn)
Р (t, «J = м (4-5.51)
2 ехр И Fam (T)dri pPr (*m)
Для вычисления p(t, X\a) из уравнения (50) применяется метод
гауесовской аппроксимации. Подчеркнем, что гауосовская
аппроксимация применяется не к совместной плотности p(t,X,a), а
только для условной плотности p(t, Я|а) при фиксированном а. В
результате вычисляется Я* (а) и R\ (а) для а = ат, т=\, М. Оценка
К, например по критерию минимума среднего квадрата ошибки,
находится на основании (3), (5), где интегрирование по а
заменяется суммированием:
м „
Я,(0= S М««М',«т)- 4.5.52
Общая структура такого алгоритма изображена на рис. 4.33.
Адаптивный приемник представляет собой многофильтровую
схему, в которой каждый т-й фильтр осуществляет
квазиоптимальную фильтрацию процесса Я(^) в предположении, что вектор
параметров X(t) равен ат- Каждый фильтр настроен на свое
значение параметров помехи. Выходы этих фильтров объединяются
с весами p(t, am), также определяемыми самой схемой. За счет
этого выход фильтра, для которого апостериорная вероятность
больше, берется с большим весом. В пределе, при больших
временах наблюдения t, вероятность p(t, am)->l для фильтра, у
которого ат наиболее близко .к истинному значению а, и p(t, ат)-*-0
для других фильтров. Поэтому при больших временах наблюдения
характеристики адаптивной фильтрации становятся близки к ха-
315

рактеристикам фильтрации при 'полностью известных параметрах
процесса X(t).
В алгоритме «разделения» наглядно видно усложнение
адаптивных приемников по сравнению с приемниками при полностью
'известных 'Характеристиках обрабатываемых процессов. Так,
вместо одного фильтра, настроенного на известное значение параметра
а принимаемого процесса, адаптивный .приемник (рис. 4.33 должен
включать целый набор таких фильтров. Алгоритмы гауссовской
аппроксимации в адаптивных задачах также приводят к
существенно усложненным, по сравнению со случаем известного а,
привод
Фильтр
(для af)
Л (а?)
X
Л (af),/?(«,)
вхр
{f/a/Tjdr
Фильтр
(9ляам)
Л(ам):
R(km)
щ\ FamdT
Шм)
X
-»■ Делители
-|А
Рис. 4.33. Общая структура алгоритма разделения
емникам. Кроме этого, характеристики оценки информационных
параметров в адаптивных алгоритмах уступают соответствующим
характеристикам алгоритмов обработки сигналов с известными
характеристиками и лишь ло прошествии некоторого .времени,
затрачиваемого фактически на оценку неизвестных параметров,
стремятся к ним.
Алгоритмы «разделения» в технической реализации обычно
сложнее алгоритмов, получающихся непосредственным
применением метода гауссовской аппроксимации к уравнениям
адаптивной нелинейной фильтрации типа (9), (10), (12). Поэтому
целесообразно обращаться к ним в условиях, когда алгоритмы
гауссовской аппроксимации оказываются неработоспособными.
Возможны ситуации, когда неработоспособны и алгоритмы «разделения».
Это будет иметь место, если условная апостериорная плотность
вероятности p{t, Х\а) плохо аппроксимируется нормальной
плотностью для X. Однако в целом область применимости алгоритмов
«разделения» существенно шире. Например, для гауссовского
процесса X(t) с неизвестными параметрами строго доказано [67], что
316

характеристики адаптивного алгоритма «разделения» с
вероятностью единица стремятся к характеристикам фильтра, параметры
которого ближе всего к истинным .параметрам процесса X(t).
Отсюда, в частности, следует, что алгоритм «разделен™»
эффективен в рассмотренном выше примере адаптивной фильтрации
.процесса X(t) с неизвестным коэффициентом диффузии NQ «ли
шириной спектра а, где алгоритмы гауссовской аппроксимации
оказались неприемлемыми. Таким образом, главное преимущество
метода разделения — его универсальность. Однако для отдельных
задач адаптации возможны более простые решения [68].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Амиантов И. Н. Избранные вопросы статистической теории связи. — М.: Сов.
радио, 1971. —416 с.
2. Вудворд Ф. М. Теория вероятностей и теория информации с применениями
в радиолокации: Пер. с англ./Под ред. Г. С. Горелика. — М.: Сов. радио,
1955,— 128 с.
3. Турин Г. Л. Согласованные фильтры.— Зарубежная радиоэлектроника, 1961,
№ 3, с. 30—63.
4. Давенпорт В. Б., Рут В. Л. Введение в теорию случайных сигналов и
шумов: Пер. с англ./Под ред. Р. Л. Добрушина. — М.: ИЛ, 1960.— 468 с.
5. Лезии Ю. С. Оптимальные фильтры и накопители импульсных сигналов. —
М.: Сов. радио, 1969.— 446 с.
6. Моляревский Н. М. О выборе оптимальных параметров системы
обнаружения в целом при частотной селекции отраженных сигналов. — Радиотехника,
1966, т. 21, № 12, с. 35—40.
7. Turin G. L. Minimax strategies for matched-filter detection. — IEEE Trans.,
1975, v. COM-23, No. 11, p. 1370—1371.
8. Маригодов В. К. Теоретико-игровая оценка эффективности методов
оптимальной линейной фильтрации и линейного предыскажения и
корректирования.— Изв. вузов СССР. Радиоэлектроника, 1981, т. 24, Л"° 4, с. 107, 108.
9. Крамер Г. Математические методы статистики: Пер. с англ./Под ред.
А. П. Колмогорова. — М.: Мир, 1975. — 648 с.
10. Петерсон В. В., Бердсал Т. Дж., Фокс В. К. Теория обнаружения
сигналов.— В кн.: Теория информации и ее приложения/Под. ред. А. А. Харкеви-
ча. —М.: Физматгиз, 1959, с. 210—274.
11. Котельников В. А. Теория потенциальной помехоустойчивости. — М.: Гос-
энергоиздат, 1956.— 152 с.
12. Лаутон Ж. Л., Уленбек Г. Е. Пороговые сигналы: Пер. с англ./Под ред.
А. П. Сиверса. — М.: Сов. радио, 1952. —400 с.
13. Вальд А. Последовательный анализ: Пер. с англ./Под ред. Б. А.
Севастьянова.—М.: Физматгиз, I960. —328 с.
14. Таблицы распределения Релея—Райса/Л. С. Барк, Л. Н. Болынев, П. И.
Кузнецов, А. П. Черенков. — М.: ВЦ АН СССР, 1964. — 246 с.
15. Тихонов В. И., Кульман Н. К. Нелинейная фильтрация и квазикогерентный
прием сигналов. — М.: Сов. радио, 1975.— 704 с.
16. Ваи Трис Г. Теория обнаружения, оценок и модуляции в 3-х т.: Пер. с
англ.— Т. 1/Под ред. В. И. Тихонова. — М.: Сов. радио, 1972. — 744 с.
17. De Buda R. Coherent demodulation of frequency-shilt keying with low
deviation ialio. — IEEE Trans., 1972, v. COM-20, No. 6, p. 429—435.
18. Амиантов И. Н., Груздев В. В., Петров Е. П. Оптимальное выделение
дискретного марковского параметра сигнала в шуме.— Методы помехоустойчи-
вого приема ЧМ и ФМ сигналов. —М.: Сов. радио, 1972.-е. 195—204.
19. Стратонович Р. Л., Сосулин Ю. Г. Оптимальный прием сигиалов на фоне
негауссовых помех. — Радиотехника и электроника, 1966, т. 11, № 4, с. 497—
507.
317

20. Сосулин Ю. Г. Обнаружение сигналов на фоне произвольных помех и
обеляющие фильтры. — Изв. АН СССР. Техническая кибернетика, 1974, № 1,
с. 188—195.
21. Lindsey W. С, Simon М. К. Telecommunication systems engineering. — New
Jersey; Prentice-Mall, Inc., 1973.-- 574 p.
22. Тихонов В. И., Горяинов В. Т. Помехоустойчивость различных видов
радиотелеграфии. — Вопросы радиоэлектроники. Сер. Техника радиосвязи, 1963,
вып. 5, с. 42—66.
23. Viterbi A. Optimum detection and signal selection for partially coherent binary
communication. — IEEE Trans., 1965, v. IT-11, No. 2, p. 239—246.
2-1. Turin G. L. Error probabilities for binary symmetric ideal reception through
non-selective slow fading and noise. — Proc. IRE., 1958, v. 46, No. 9, p. 1603—
1619.
25. Beilo P. Some results on the problem of discriminating between two gaussi-
an processes.— IRE Trans., 1961, v. IT-7, No. 4, p. 224—233.
26. Амиантов И. Н. Применение теории решений к задачам обнаружения
сигналов и выделения сигналов из шумов. — М.: ВВИА им. Н. Е. Жуковского,
1958. —272 с.
27. Тихонов В. И., Черников А. А. Оптимальный прием кодовых комбинаций
сигналов с марковским информационным параметром. — Изв. вузов СССР.
Радиоэлектроника, 1981, т. 24, № 4, с. 16—20.
28. Форни Дж. Д. Алгоритм Витерби. — ТИИЭР, 1973, т. 61, № 3, с. 12—25.
29. Viterbi A. J., Omura J. К. Principles of digital communication and coding.—
New York: McGraw-Hill Book Co., 1979.— 560 p.
30. Ершов Л. А. Помехоустойчивость когерентных приемников фазовой и
частотной телеграфии при воздействии импульсных помех и белого шума. —
Изв. вузов СССР. Радиоэлектроника, 1979, т. 22, № 8, с. 82—84.
31. Selin I. The sequential estimation and detection of signals in normal noise.—
Information and Control, 1964, v. 7, No. 4, p. 512—534.
32. Selin I. The sequential estimation and detection of signals in normal noise.—
Inloiniation and Control, 1965, v. 8, No. 1, p. 1—35.
33. Тихонов В. И., Миронов М. А. Марковские процессы. — М.: Сов. радио,
1977. — 488 с.
34. Куликов Е. И., Трифонов А. П. Оценка параметров сигналов на фоне
помех.—М.: Сов. радио, 1978.— 296 с.
35. Тихонов В. И. Статистическая радиотехника. — 2-е изд. перераб. и доп.—
М.: Сов. радио, 1982. — 624 с.
36. Рао С. Р. Линейные статистические методы и их применения: Пер с англ./
Под ред. Ю. В. Линника. —М.: Наука, 1968. —548 с.
37. Терентьев А. С. Распределение вероятности временного положения
абсолютного максимума на выходе согласованного фильтра. — Радиотехника и
электроника, 1968, т. 13, .Mb 4, с. 652—657.
38. Трифонов А. П. Прием сигнала с неизвестной длительностью на фоне белого
шума. — Радиотехника и электроника, 1977, т. 22, Мв 1, с. 90—98.
39. Сколник М. Теоретическая точность радиолокационных измерений. —
Зарубежная радиоэлектроника, 1961, Л"° 8, с. 46—58.
40. Кук Ч., Бернфельд М. Радиолокационные сигналы. Теория и применения:
Пер. с англ./Под ред. В. С. Ксльзона. — М.: Сов. радио, 1971. — 568 с.
41. Ширман Я. Д., Манжос В. Н. Теория и техника обработки
радиолокационной информации на фоне помех. — М.: Сов. радио, 1981. — 416 с.
42. Стратонович Р. Л. Оптимальный прием узкополосного сигнала с неизвестной
частотой на фоне шумов. — Радиотехника и электроника, 1961, т. 6, № 7,
с. 1063—1075.
43. Тихонов В. И. Статистическая радиотехника. — М.: Сов. радио, 1966. — 678 с.
44. Харисов В. Н., Ходаковский В. А. Оптимальность системы ЧАП при оценке
частоты радиосигнала на фоне шумов. — Изв. вузов. Радиоэлектроника, 1979,
т. 22, К« 4, с. 104—107.
45. Rife D. С, Boorstyn R. R. Single-tone parameter estimation from discrete-time
observations. — IEEE Trans., v. 1T-20, No. 5, p. 591—598.
46. Wlialen A. D. Detection of signals in noise. — New York, London: Academic
Press, 1971. —412 p.
318

47. Колмогоров А. Н. Интерполирование и экстраполирование стационарных
последовательностей.— Изв. АН СССР. Сер. Матем., 1941, № 5, с. 3—14.
48. Wiener N. Extrapolation, interpolation and smoothing of stationary time
series.—New York: John Wiley, 1949.— 162 p.
49. Калман Р. Е., Бьюси Р. С. Новые результаты в линейной фильтрации и
теория предсказания. — Техническая механика, № 1, 1961, ИЛ, с. 123—141.
50. Стратонович Р. Л. Условные марковские процессы. — М.: МГУ, 1966.—
319 с.
51. Парамонов А. А. Оптимальная фильтрация огибающей узкополосного
случайного процесса. —Радиотехника, 1980, т. 35, № 6, с. 70—73.
52. Острем К. К). Введение в стохастическую теорию управления: Пер. с англ./
Под ред. И. С. Райбмана. —М.: Мир, 1973. —322 с.
53. Сейдж Э., Меле Дж. Теория оценивания и ее применение в связи и
управлении: Пер. с англ./Под ред. Б. Р. Левина. — М.: Связь, 1976. — 496 с.
54. Alspach D. L., Sorenson H. W. Approximation of density function by a Sum
oi Gaussians for nonlinear Bayesian estimation. — First Symp. Nonlinear Est.,
San Diego, 1970, p. 19—31.
55. Sorenson H. W., Alspach D. L. Recursive Bayesian estimation using Gaussian
sums. — Automatica, 1971, v. 7, p. 465—479.
56. Alspach D. L., Sorenson H. W. Nonlinear Bayesian estimation using Gaussian
sum approximations.— IEEE Trans., 1972, v. AC-17, No. 4, p. 439—448.
57. Шахурии А. П. Квазиоптимальные алгоритмы нелинейной фильтрации
диффузионных марковских процессов с использованием гауссовских сумм. — Изв.
вузов СССР. Радиоэлектроника, 1979, т. 22, № 7, с. 79—82.
58. Jazwinski A. H. Stochastic Processes and Filtering Theory. — New York,
London: Academic Press, 1970.— 376 p.
59. Миронов М. А., Смирнов В. А., Харисов В. Н. Оптимальная фильтрация
квантованных по времени непрерывных процессов. — Радиотехника н
электроника, 1980, т. 25, № 11, с. 2349—2359.
60. Стратонович Р. Л., Сосулин Ю. Г. Оптимальное обнаружение марковского
процесса в шуме. — Изв. АН СССР. Техн. кибернетика, 1964, № 6, с. 10—12.
61. Тихонов В. И., Смирнов В. А., Харисов В. Н. Оптимальная фильтрация
дискретно-непрерывных процессов. — Радиотехника и электроника, 1978, т. 23,
Л° 7, с. 1441—1452.
62. Вальд А. Статистические решающие функции. — В кн.: Позиционные игры/
Под ред. Н. Н. Воробьева, И. Н. Врублевской. — М.: Наука, 1967.
63. Репин В. Г., Тартаковский Г. П. Статистический синтез при априорной
неопределенности и адаптация информационных систем. — М.: Сов. радио,
1977. —432 с.
64. Стратонович Р. Л. Принципы адаптивного приема. — М.: Сов. радио, 1973. —
143 с.
65. Тихонов В. И., Ефимеико В. С. Адаптивный прием радиосигналов с
неизвестной частотой. — Радиотехника и электроника, 1979, т. 24, № 4, с. 765—773.
66. Лайииотис Д. Г. Разделение—единый метод построения адаптивных
систем.—ТИИЭР, 1976, т. 64, Кя 8, с. 8—27.
67. Хокс Р. М., Мор Д. Б. Границы качественных показателей при адаптивном
оценивании. —ТИИЭР, 1976, т. 64, № 8, с. 28—36.
68. Первачев С. В., Перов А. И. Многомерный алгоритм скользящего
адаптивного приема. —Автоматика и телемеханика, 1977, № 6, с. 14—18.
69. Гришин Ю. П., Катиков В. М. Совместное обнаружение и оценивание
сигналов.— Зарубежная радиоэлектроника, 1977, № 6, с. 3—25.
70. Горяинов В. Т., Смирнов В. А., Хохлов В. Н. Помехоустойчивость приема
двоичных радиосигналов на фоне коррелированных помех. — Изв. вузов
СССР. Радиоэлектроника, 1972, т. 15, № 9, с. 1077—1087.
71. Тихонов В. И. Развитие теории оптимальной фильтрации сообщений в
СССР. — Радиотехника, 1983, т. 38, № 11, с. 11—27.
319

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Введение 4
ГЛАВА I. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО РАДИОПРИЕМА .... g
1.1. Основные задачи. Характеристика сигналов и помех ... 8
1.2. Апостериорная вероятность 17
1.3. Корреляционный прием 29
1.4. Оптимальные и согласованные линейные фильтры .... 37
1.5. Апостериорные плотности вероятности параметров
радиоимпульса 60
ГЛАВА 2. ОБНАРУЖЕНИЕ И РАЗЛИЧЕНИЕ СИГНАЛОВ gg
2.1. Апостериорные вероятности дискретного параметра. Критерии
оптимального обнаружения и различения сигналов .... 66
2.2. Обнаружение сигнала по критерию Неймана—Пирсона ... 76
2.3. Обнаружение сигнала при дискретной обработке .... 97
2.4. Различение детерминированных сигналов 103
2.5. Различение радиосигналов со случайными фазой и амплитудой 123
2.6. Оптимальный прием зависимых сигналов 140
2.7. Различение детерминированных сигналов при наличии пуассо-
новской помехи 146
2.8. Об обнаружении и различении сигналов с неизвестными
параметрами 156
2.9. О длительности последовательного испытания 162
ГЛАВА 3. ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛА 156
3.1. Введение 166
3.2. Оценки параметров сигнала при малых шумах 170
3.3. Раздельные оценки параметров радиоимпульса 181
3.4. Совместная оценка временного запаздывания и частотного
сдвига 201
3.5. Функция неопределенности и выбора формы сигнала . . . 205
3.6. Оценки параметров сигнала на фоне коррелированного шума 210
3.7. Оценки параметров сигнала при дискретной обработке . . . 215
3.8. Дополнительные сведения 221
ГЛАВА 4. ФИЛЬТРАЦИЯ СООБЩЕНИИ 234
4.1. Формулировка и общее решение задачи фильтрации . . . 234
4.2. Линейная фильтрация 245
4.3. Нелинейная оптимальная фильтрация 263
4.4. Непрерывно-дискретная фильтрация 282
4.5. Адаптивный прием сигналов 292
Список литературы 317