Л. ]'. Л0ЙДЯНСКШ1
MEXAHPIKA
ЖИДКОСТРТ if ГАЗА

Пред в е
1Прл е к-ьдо jiCi
в \1 20
шемат к а сп ашн н среды
пред aa ения д фференц а ьны пе р в вп
н рэ ны 1 | ы
Б Аревы f Б о[Л рема ч и иц »
вно ь в чрево р к
цню век ра о ьо j ва вакщеы} р D Теореь а

и равновесия ci
нерагрынностн Уравнения динамит в нанрыжения?
§ 13 Тепчоныс лв еиия в жидкостях и raiat Зэкон саярзв
энергии н jfjnHeHHL ввлвнса энер1ии
§ П OCnnii )равнсн>|Н (авиовеспого состояния жидкости и
чеььие 1>ирм}лы 'пмдартная атмосфера
% 18 Равновесие несжимаем'и жидкости Уравнение п вес^н
раздела Равновесие вращающеит лидюсти
i, Ш Давлеииетиел!!! 11есл.нчаеионжидьостнна ппаер'ногтр ■
Я.ИДЮ.ТН. ( пучэй вращай щенся жадности
инт<"гра о 1 еренос
2> Чйтерсгч fopMi ai
24 Teopeiw uS шменен
ноегь внутренних i
.5. Теорема Ьериуччи и
пси ч-щномарнич Ьч
а i\ Одномерный но
21 (Хпнпън-рное теннис
веч дань сшг > к,, t
нов с pai.lH„ , лач-ы ,
и инритичс^ой оперли I
^итерона ifopiua }r^n«e
..охранении пинии 4eiap ч
01] UHIW4 движении идешь
о* идеальной жидкости
S 2S Расароиранснис н.псер

и в до в р bjhodui
р бе переменно о сеч и
; Лавдля Дв икен о
сжкмаемой жядк стн
& дь Теор ма К в на Ла р хла Бе в хревое j
ж н е П е ш ал ctopo e
§ 6 1н ал И р н&а —h ш ур вн н б во вр
н ш Т орем Ье н Неко оры о щ в ва й зв
Fe цнркул п очно ф у ц нь 6 ал я ьр
ц вдРа
8 4 Пригеде в н ны ко рд а Б ц j щион
с ьк Зада а Жуков но о 6 ofi в ре гла
6-1 Плоен е дв жен е с о ръвом рун Р рыано
а ню пг екзш е ж m с сквоз о в р п
D Ж н й Г п а плы Ы4 бело рывгю об е
ад ней 1ром про|> л Ф м ла и ь ц н
6 4 Тео ма Жу ов к о о под еино с ле рыла Tic
подъе ной с ы о )гла а ани. К ффпц н подъ ми и
& U. Применение метода комплексны! ппрсменных к вывод]

\ IT Пространственн е оезвихрсвое днншение
50 Зрто "на 1.ЙЫ р на не ныс ь ордин ci в про ]-ан
н вные аиф^еренц а ьные операт ры п ля в нр ни
ных ьоорд штах

s 61 П шц П циполя. Непрерывное
чн Ньютонов потенциал.
П 392
. . ... 399
403
§ И 4 Д стацконарпаю потоки
румегавде и iiee тело.

1> й П н D / п

§
&

ПРЕДИСЛОВИЕ
н>- 1фет«Щ\ет н
Ь наш-
1 О^ТН И
пТ'Т-п
Г ешения
вр нч т
газа л
LTeop"
г много
причиной впреч
Во i
мры 1
ПП1 ИМШ
а ширь
Отч
гВирДЫК
а удовп
те 11-но
■ктнто
и- оГщи\ фа н
HjpOJlpi
1П фи.1
"110W
1Ч-Ч.1 01
1ие ло
твор ние I
г.аддШ др]
pa^noofipi
HTBQp^I
J-inKHHS
гпецнатаирошшньг
"ни5 апачи ipit
ii примент taM№
iBTjpa L -шцаш
я } нп\ 1гр)дненнй явтгеп.я
iridic OUi
if" npi.J№
1 -Д IJB 1LH
методов i
1Л1 illOLTIl
i =т дан а
ода чругой стороны ы
причеи'
■р на г:
га ii, ai
'НИИ ГИДр<_ирОДИН!
ш нчи
\pi под mi
п сгенчаи
■^ программ а
с дрьгих втучов
че' аинрой >
ця of инже
; ра шо\аран.
ПрИПШ ДЧ!
гнишичци
иопЧпьшскч
рациона ima
имви: i epeu преподаванием о
а его адэчу i_epi
а спадания у \ ащего^я лравн и
т от -ии\ т х
руки muTiLpj l
UUTb OIOpBIHHUM
виши i ] aliuti о pa
j\ ойтаст^Н upnioii
lire приложений г
и тр 5 и канавдв
(IHtOt ™lPOJ
ix вгл>иь
поюбцость
, НТО ГЮШЦВ.
шь [еэретич!
ЗНО,>р^цЯ 11
--пня тории.
оощей дчя 1
,ТенРк
гсга
:чро
1 гьи
hvpc
Tih
идроа'родинаияки
1Л\ ПИШ1СЯ В
^hBOJb ьоторые

f, ш piti и пз П| oii^anr Это направлен
о овей 1,-paBtifiiAA J i] щ кроше гш
, ,Р иие h итшлыо! прибил щ
, hi ipn двякениях i ооишими i о] осп
дин,
В 1-й
/мчиЧ
л е ij-
Пн ai
1 HOt
ГЬНОМ 1
ми рские яет
4»piOi г две <
ишрипго га-п
ниилпи up чо
.ТИ Э1 ЧЕНТ1В
W аепи
по тр5и
ii^nl"
теории
-рчэдинамшесмго ;
ipXTHiiiiin ]дач! о
и ртсттро тран ни в
тин ran 1 яв hhhv
! ры lOBoro прочит
тн
1Н)
га ,
В С!
11
сом ^ерши
арного двн
"г^™™"
!ер зтювэм
тш парал
э I- нмчет^и !ый i анп i аци Щ|.н1ч и нг тли пнлрн ч ipu [.J
II f ОВПЫС ip Ь i П1И«ЩЦЯ1П)» Т«-Э] (Ю ПР)¥П НТН0Г1 I tl
pa и iuio inn i ) [ jb ii i peiin Binp ipinvmi p >t ini
го солротиЕчеяия отд иного прд^ич и щк^итя в решетке 1 лава
11 швэепя нчтоар мсм г тичьих ь торит шгранич югл стоя вопро
jb Tipb iPHTHDrO движения в iPW4 и чец -а .етж а та! А"
л анипвэлцщрщи в од родной и этршном пр ^^ нтти otoi-e
1ть курсы, почти целиной лосзищ!
й гидроаэродинамики. Цель помете

H4HHEHHlWd't,UlIimJ ИОННЗИЭЙЕОЗ HHlHHEEd a 0134V 1 miff Я F 1 14
EHEdj,3 ЕПТЕИ 'ХПНЭ1.Л ХШШЭИОЭ ViairP-LEUOffSWOL ХИ П1ГВПШ1 HOHSBLM И
вниляипеь 'V 'Э вятигйоэ ojohil-bhhsj oj» 'олмзяояАж '3 'Н *>и 1Е1ШР
0HUH3O ШИНеЯОТГЛГЭЭИ МГЩ№ЭХЕ[.ЭНЕ6 П Edaii'JIG BtfdBHOB^ G ШИЭВВЧТ
OJoaiWiUgdaisu 'ичатииловти BifBiefbOJ Knotted BdeiroJEL'o, аочэа
XASD UHHSMtUIOdli CH ЛЕЯ '<UBEEH01J FltJOJh 'HOI D Ю1ЭЕЬ0ШЛЕ1Х BJldshO
аиноиэШШи £r

§ 1. Предмет механики жидкости я газа. Основные свойства
„макромодели" жидкости и газа'
и подвижность
Успех научнпг" Hi
пин играшшич. Biopocrciiei ну i р j ь Tai инленер изучающий
нскотор го механизма илдст сна-тала рассматривать отдель
нье веиья =того мс^эшпмз как айсиютао твердые* теп опредетит
ин-лшичеи jio картину дви/кеиия мо-анимна и действие сил в нем
i6lo iHTHJlt твердости* нет-ен j ict hi } рмлл а ] ри некл ры\
итвиях и macTHJHi гь При этих рясчртя ещ придется вост. ть
ванными на рассыотр нии р(.ачтых твердых тч г ак ипошных не
прерывны■. обраюваиий подчинякгдик я зщ она» теории упругости
| ти лластлности исновны э"]еМ|-нтврныс законы ыаьрэмеханики
твердого тела гршшыаеми^ в i ча^-ичес* 18 TPipHi» ьак я kiTOpue
фундамента ггные допущения мипт быть t К шн дру!ич нрио и
ВТОДИТ И уЧСНИС ЕН\Т[ tHHf I MHkplCTr )!• 1\рЫ Т Па ЧЬЪККТЛ \ И1СЛНШ
Ва 1ИИ ЯВЛЯЮТСЯ ТИШЬ „ВН ПНИ " ДВНЧч НИЯ КС тОр If ЕреДПНЕ. ГСЯ ИЗЫ'-
и Ннеи в аимно О j ain гго ени .макроге i" ити и\ flecj орлатнши
и\ и га^оосра яых i[ji п взаимодействие с твердыми типами
Оставтяя в t тренда B"inpic о „wniit стр kijpe" реатьи й л ил. ости
пи га J 1 с о том \joth рекой теппивои двкнч-нин дискреты^
шш кинетической теорки А ид| Ог.ти и г (1 „мир механика' кцдчпеш
и газа И1ТТ01Ь vn в Hd ie тяе hjbhU\ вонч длпущени i "акокмер
ностн, rub д нньтс ич (лчтшличешич юл рчлении ьитгичсъкой геи
ркн, a rai ас не оторые о ЕЫтные факти

14
о
1>

ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ МЕХАНИКИ ЖИДКОСТИ И ГЛЗЛ 15
скорости сселяй* часг.ц um отсутствует
Ьаь ЕС оре б^дет выяснено указанньи дв\} осн вны\ свойств
нзкрсм.щсчи жнд1 псти ичи ram — непрерывно ти и тьои по
'двилскоста — достаточно чтобы установить эсновнь с ир-ишення
Утэ шенин sthv ураннекий и приведение ич к амкнутой форме
ттрсбув.1 HtkrropHi дапьнш ши\ ка ественных и i опичЕетвспшч
допущении соответствующих тем или другим бо iee специфически}
фн^ичесьим евгяетрам лидюни и im
Дт решения бпьшичетва своих зада гидрадэро и г» эдиначи
рииенякт стро1И° математически приемы hhiki] и; jbthui ochubhi
ди^еренциаи-ньч \равнении при ji/raiiOB ichhoII системе грани hi
и на TifHtJc Условий и-1И другие зквнватентн! е им математике
мртп in (mi ример bCH^opMHJe г браленис В „адачах nioCKJrJ да
ie |Нй ндна-1ьн)1 ьид ислк| Д я ктчения суммарны! чарактерист
HCnCiL/n 1тся плис иищис roieuj механики, ак reipeMi i щи ci
II UJMi-HrJB ЬОЛНЧЁ'ГВ ДВН-f НИЯ 9Н рГИИ И ДР Одна О ;и|Ы1ЫЛ 40.
-пчгекоЛ мс аники и математнчес! ой фишт стопь
ч«1 Д1Я развития механики iBcj-AJro т па но и ш
.ся успгаьи нсев дихт эмпирически грц »ов
Ч ,П11 ЧМПИрИ 1ССки\ тетрий Я IXTpiCIIHII ТОГ.
играют о дсльни опытные фчьты Так it i мни i
ш для ею 1 о\рнэ ра нтаюше ся на)ни, к
да- в вогросая двиасшп ia апыЫ (Гц и ij ] 1
маемой ЖИД1 ости где к lacCimcchaa Ге риз давно узк?
■ф^Т-ТЧЬ
1I\ бгщ ir
е трепан!'
Ч ГО Т] 1
стрэг}*. эстановк\ dij(a4 и чрезвы а до п fin; ие и острыми
и и* ринония еэвр меннап гидр ззэуолинамш i лп
Je запросы 1р1ктети прим ия т ралли ные сп цифн ь
ie при мы в jatrKJC и нчпри гр э лгрпгядри apjJ
гии <ЭГД<\) азпяпющие вы Не CHH^ckipoe ны\ uoj
1=й Н 1Ю ГО

4
н
р
И Н
р нд
4 inoxa Зил ра Бер и Г и а д мн а
в \Х в

-h \одрм nro rpiv iari lbj mi i id hiy ирглиц hi ни гение iipiiwi
ULH1HLJE Я d HI 41 I Hi in l 14lIH>l AHiJflU ill 1Ы ПЦ ршом JH
plUIpOCTp 1HPHII-* P П| рВГМ По II l^illll- ^ \,\l\ Я Б |>Н\ Ч III И-l s
|"и ты иэчр'-мчнной фор i пнгив uli Ttup ны Бирн лш (нагишшаен
1Г( ^Hli-p Oi-рВЫИ ВВЧ В ГИДРИД IIЛ III t 11-1кГ* ПинлгИс ДЭВЛ--НИЯ|
г hi с ш-пть !тг> wee ерш ip™= пр ,я водите н- ы-п п и орштями
■ /ум штормя onj^hJcT nuBcpiBiiLib TP4I (ьъреш idiuj — roi^u
Ш 11. l\ mLJIJlLe- JUlI, И) ИНДШЛ! В 1» |Ч llBp IJCfriOM рун
ВептиН p\u.i ий \чгаыи И L Лл ihlicjh i 1ТП -17о„1 соврр
J киик Эйлера и Ei|.i\i!i uki, ь t-oiooiu^ 1 Д14 \\Ш долетит

1Чно И1(>бретк!| необходимые приборы (нщртш"р ,ihc4i1i
средам свой .штмепт-ий обишй принцип, и поныне носящий lji О или.
.Парадокс" Далгмйера, о котором уж? неоднократно был'1 ре'" выше
веском его определении. „Странны!! парадом., ни ык-некие мггорою
иейшео развитие аналиткчсским метод?" гидродинамики.
Следующий 3ta:i истории механики жидкости и rasa, относящийся
кости, в частности, решение" такик чядяч ее, ь'як плоское и
пространственное безвихревое дкнжеШ'е, струйное разрывное движение.
вихревое движение, волновое движение тяжелой жидкости, с другой -
!эрождениеы цву\ новых раздел он, имеющих особое значение для
современной гидроаэродинамики: динамики папкой жидкости и
газовой динамики.
Простейшим и наиболее глубоко и всесторонне изученным мучаем
интегрирования уравнении Эйлера для несминаемой ;кид к ости является
так называемое безвихревое движение с (потенциалом скоростей.
в 1781 г. первый нашел те динамические условия, при выполнении
i! вторых будет суще сгнивать безвихревое движение с поте и пиалой
скоростей. Теорема Лагргнжа, лежащая я основе Bi.eli 1еории
безвихревого le'ieumi и оправдывающая практическое применена теории
пыла в 1815 г. более сгросо доказана Киши (1Г8И—18=571.

П П p
Н F A
1 "pt

5. Современный этап развития межапики жидкости
и rj I njHiiJA .( ui чи Ti ав> чвннпч им t л >pnt hi iuim i
Чр .ЛМН} III И l»l U DH ГРД TPLpiill 11 I li Fiitll J ТЗ-Ы 3JMe-WT.4 ][H
Cmxo.. эпредрпрщм re цчшш дир| >ляшн вхплщеЛ в форычгу
jKyfOBtfOrO ДОЛГО -МНШ1П W ЧэроцинЛЧШ OK BLLm 4HIW IlOki
в ымом юнце 1Ч0Ч г С А Чттыпш \ кипи, и .пи hj шин ч pjj

t 111 г Н Е
в t n p
(mini i
It h. к в ь

ч р Д 1 u щ.
Г рыт J ь
t P Г
н о я f W

В l'Ui r
иравп-нив 1--JF
В,,Г\дГ' ничто'
h [111 Tip 1И
H-tfitirno 1
imn ртзма\а
Tp\anOLTH и д
H Ь jIuhibu,
Панако нн 4*i
ими ни ieuf
i i [очного раз
( Л Чаи шгин обобщи.i свои замечательные фориу.|
щи кры-н и да.и.нейшьщ широко развитого и yrJiy6.iei
il i их up филей, отвечающих современным ]ре1н)вньия]
г v ьры и скоростного самолета.
пи нщр в 1911) г. С. А. Чаплыгин пришел к вткш
iiiiran up десавлениям о вихревой системе крыла коне'
ji[- пиювные формулы подъемной силы и индуктщ
:ч-шп Примерн» в ю ж время (начиная с 1912 i
.nit coijjji свою вИхреиую теорию пиши, содерлыишу
lii iii вихревою теорию крыла конечного размах
1ИИ lpbjld. KJHelllCru pa HilJ 510 Д.!") ВЭЗМОЛНОЦ
ишм припщ гп приорнтгт 1 очдшич нощнй теории кры
ш\а нечеток азриднкачи^ 1 ПраиД! ш ото жи
ниигеин!- p<i«
1 11 С дна и др^ги
ipiWj Ч 11Ш.1 1-ори
BpeiM ВК!ДВИН,1Ы< И
r'tHiT^r^
\1 I ^u^uiY
пр^ин; I unpen» ich
ч тод Чаплыгина hii i
ЯП utuwe форчмы
1 - аи ргвог , цни н ш
И Г 1.ЩИН Прндч
»«шт рэ рКЬтал
гжаврапии^. « Ь (и-ишш* М \ Чаирешьена
прчдоъивиил L \crif чи т грим нять в тюрви
Ь. tiyhOB КИЧ И С \ MjinUiHHHM П1СЛГЛО
применения в рэ otj\ Ч ^ п1вр1нгьсва
X \ lldBpeHTb^B ^ щ ада а о ^ Шлющемся
1 нЙ1 ры 1Л-Пе[ еИеННОПНирт\тящии Л И Седов
iHiH и MiM ни ltikrBj!uiHH\ на ирцишитыи
Ч И С h.jp 1ля mtn-MaraieuoB изтпа-нив
иыа lujniei lhuiu переменит 0 i- иеСЧсД ванн*.
]П11)|1И1И. ИИ ..ТТЛ рЛПИТИП теории 1П01НОГ0
и нач1гоИ раоигами Чиньцша
или! trpfirue решение .адат эй ятдивившемся
ппне ърым и о 4.ГО кпечанин!. \ \ Тирол
ILLJ.HJ. ini 1) чпеншилш in ipii и и U'Liia

.je
a i alhho i. urdtM (повременно п гиоши i в J 421 г. галамсливыН
t вети ни mpijhhc 4 А Фридмн Ь CBOi-й. tnamcft классическом,
в свет в P2J г А \ Фрщща! да! исчерпывающее систематическое
i прение (,н iRriEJ nai нов двилтия ci ишрм")ГО га->а и, В частности,
imicI pHJT в | д_у vd ри наличии днчж"| j прито! л тепл<1 от Солн№

Гоиршиш иис я>
1 11 MtlbWeee,— If"
L ч.ар-иинными ви- pu
ПсоПгппо счедлет п-
lud =к.п рачснтачьны
tptwu iom< n» и мсрр
in го-ннт непро, ,ш]
r,i>rtoi n чиачн нр\л
H Ь A^nELHiit В
цЛТ^ - 4MmiraiVHc.p!
jпинающихся i ораблсп
H Г hf] inn Hit e
- Hip iBHlCrell (HiepOiLllBil ILK
1ИЯЧИ П fOpMH СПТТр |THD4H!HH
\ определений cnnpnTHDieiiHfi .' n>
и i рлимя фринпюнн,m иг
iсорит Р-ниит Д И Мчиьч
гнет чтрп пришлю к троил in
мпшееьоИ и фирмаiLHOit ги>ри
Ч1Н irpJIplrft ПО С mpilWI-HH
Г ЧУЖИТЬ OLH.BHHII рл.ЬТО.Д<.1
грг> нием вшдлхэп явшгсч яш
1 1Ь"'> 1 в свое" pjonrt и с
.»1) -
entesa l
фИН LI
ft L lit
и Рэнм
in 1907
«М.Ч1
Ы pMf
первые реШиткИчп встпи m тип л ipenim причитинш жидягки
" 1гр1ничног1 спои к 1Я1 iicrtnicM 1лщ подшрр ьдеп.1 шогочие циннии
ирсулентюго Пограничною стоя i пеел -- по иишнВ теории Tvpi't if н i
iIiilt» преде ыгпят иекчычптл чьими iiHippie рабп]ы П Е Kiin\
u-W 'I Г 1о(Ц»Ж\п>о 4 Л Мечьнитз и К К Ф. иш^ и»
ип п ЮЧ(гач и прострчнетвеннгчл нминтрш Ч и i [Ишатноч,
ипциничнои чию в нест [пиемии лидинти птниешпш -=i к и prim
I) Ч —1^40 i j uii lenpuu плфанщнщоппя t е* ямаит iv n i npatTH
еНг» м-т. чи гчечен и pi тгпиц\ ирЧ! чаЛ1|Ш-1 Н \1ци
т™Чи„ „ д,,.,,,,- ре-пчыаш L"i>reien Ч№ пи яви: и д.1 м >
ПЦЧЛДИ _Яр\5-*НЫ ИЦ1 II1F1HIH Р 41 m ufllcIH bet ПрШПН eHle
pic i тн ног] ihii ihiii и l ют цеиб\ mi ше д п inp Д1_ч~нпя нрефт
ш го еопротвд иния v рын и фючсЛглм пчпн ia Lonpi типения к iji
1 lib*- рЧЧ-ТЫ ра ЧНЧНЫ\ UptliHbT1 МГ\<ЩН 1\ПВ С> I pl Tlipi р И ЛР I

pvu и ан б д а 1 к й орп
.В \ \ <1ЦЦ Н
tp д ана П Ь к
aj fe p о
в р н

ф
; ровер rt
= L0 - » |*0 Л, г„: g = о (_Л-!0; Г,
Счысл рассмотрения ni
лении вопросу об изменяв
к более ириеточу— ч&иенг
уровня на другую.
Вол],нем какую-нибудь
Эта поверх гост: делит нс<
>верх>10Стей урошш i
■юсти скалярной вели1
нин1 рр при переводе
одну поверхность ур
пространство hj дпс
Термины jtii, конечно.
поверхность уровня иреасгав.
координат, го при виборс d
^_^_ e(*'■''■*■
1 Буква М шишчшчески i

) направленную
;i> — внутренней нор
Проледем (рш ] j дг
поверхности vpOBH:
'■ i. направление внешней нормали к
■ таеляет направлена:: наибольшего и./.
'я сравнению с любым друга а напрев;
Рассмотрим (рнс. 1) несколько
= = С, о = £.", -f = С" к т. д. П[К
■алярнов функции

р л p у
af О
P —и р н ро тр
Г и
яр о
* Мера одвороднп поня в чавн м аправл нии и в данной
° е Гралиен каллрно о поля дифференц альнь ензор
векторного почя как мерь яеодиоролно тн почя

брани
пиров
410M npOlUBOJHJH
малярной u кекг ipHjH ф^шций m илтрзвл
рассматривание щтиБадные вырдлощн. чс|>сз ни и ipi 1
дчннщшН ншр о сНкс лифф peii!mpoi4!i4ii С фи нче i ul I
LHnidH ,>r orji hbh\ lunpiBieimrt г присггпнчв» in ri v
iil и npi nudpiHHurn HinpjBnemw
вещ ине проичрэчной ч априпй функции по Hinpiu шции вн
н 1рмчли к повер\]Ш1ли \рзвня а данное тош е it тпр'вл нн
внршнея иирма in disi eei тир нл-ываитсп радвьпта« i JJ
jivuhunKn ofii-кти rca uiimo-пм „rati j nrn n > определен!
inp
upon
1 41
H|>
1«1
Г It 1
rapHi
10

i (рис. 4):
4L = | srad > | cos (G) = (grad «J, = :
| риисиг скалярной функции
злн чтой функции в данной
д'.нном направлении—-проазаа
•ie& градиента нч
рассматриваете напразлекие.
Из формулы (Ю) сразу
sun Выражения проекций гра-
аплнет черу нецднородности
Мера неоднородности поля
алйрнай функции по этому
к ^mt+m^m
/(ё)'-^МёГ
~V®TWfW
Yrm~wum'

'*-,+^+**»-&
*fv ||ЧЛ IP = XP
■ ^ЧОДфшГ OilHtfOL S>L К(1гф II] ИДГИП U *rl" '.r) fl
Y НОЧНПр В 111 ПИ O'Oli
loJdHpO'rt jdw j 3udu ia
latfjHKJiodu ijiuHdwifFii

Сравнивая (18) с (16), видим, 'iro, в огличие от скалярного поля,
где мерой неоднородности служит совокупности тр?х величин 4^-,
~-, -jp, мерой неоднородности в длиной тси,е векторного поля
:;" "п
Отд ны

индексы компонентов переставлены, например Тщ-^-Т, i —1
вектора на сопряжении!! тензор, i. с, 7а = аГ Если тинир ши
четриче», то Та=аТ, и формулы проекции щшишедеиий /ч сивпл
дакл с (201.
как эго имеет меси) и и механике твердого и лпр i Ги течч прндчен
и ['Одно к раню иметь дело С примерами различны! leH-tupua Под [еркнем
влжниЯ для дальнейшего факт, хотя отдельные к >ппг н^нгы г н ipi 1,1'Ч
и зависят Of выбора направления осей координи в upoi.Tpaiii.iiie *
х ар а кт ер туе i определенное физические сиой^гво ir>HhpWHJr noiii
о (1И), придем к вывод), что мерой неоднородности (изм<
векторного воля служит дифференциальный тензор л
i;iii чифферешиальний тензор поли буквой D и. полагая
пх
°я
»:
-ч-:
- Ту
о 14!
Dc„
D«»
(m.
-г
-£
-£
"••-тУ |
»-=ъ |
<> (-2(1) .1 (2!1:
1 т 4 е остр
JHW } рм\

ии черсч V некоторый yr.ionmJh вектор с и роек пнями:
'.-£■ '.-л-- '■',*■' (и>
пер^тор днффгрстшровлния.
(«rad^-V^-^ а др.
,ство flOl no (23; можно прел
:чятрииат]» гпершш" (иф рч^нштищиш ш нппр iPieiiHin 1, кяь
— V (27)
■«хи диффере
О ИЛ1Г ТСНЗОрН
о V д
то
W
в л 44 и в
^ " 1
) в у, молно дифференциальй;
я роизведение двуч векторов;
/" --Va,
(?а)„^¥А--^>- « т.д.
g--.(l.tja_IM.

гри помощи [30) и
-0-V)>-(I.V, + l,V, + (,7J.
я параметрам о, й, с, г
-,i уравнения движения
■кjда уже нетрудно на
я проекции вектора с
Г"" "Ж-

•—{',>. --; л.
.-.(jr. j.. »; I),

52
жидкости за время dt, ■
нений траектории
\dt, dy=~vdt, i<z^:v6t\
трех обыкновении1; диффереи
и траектории ММ'М'М"'..., проходящих через одну и iy же ючлу М.
Для построения линии тока фиксируем время и проводим вектор V
скорости точки М, откладываем на нем малый отрезок AtMt,
через точку .М, проводим вектор скорости Vx, соответствующий

* J> рока
т рвала Ер и
оре
Р
V
ГТГ,
в *"
1 О ]
1
о ре о И И
; н ji at и
X» корос \
Ее ж г е
if р
■ ч и И, 1

л Дуги трчектории, Оудет рав
vCL
(<№)*„.= Г ^ 7lVrf(=(V-V)Vd(.
моги ускорения будет:
dv {dv)„, — (dvi .„ aw
Форму
В проекциях на оси дскартоныч конрдииат будем
>'.-|-5+"£-+'£ —
"У
Прои
' (суС
индивидуально i частицы ере
субстанциональными нрои:-
и (33), вычисляя полные производные по
>ль траектории
■аыции) по формулам (40), яаа-
шдивидуалъными, или, иногда,
\ и ь oio re, (33) и формулам (40) ускорение
it i ш АЮщ'г ся мерой неоднородности скоростного
lie D при с i та чипа (матрица) составляющих Teinopa
п '" <!£ —

и форы) лу ускорения в форме
V (390
Р >1
f~f+v-s..a,-5* ! ™-Ч*

>> + 'Si и*
рассматриваем»!! кучка Ж
ueitTOpiioil фор^с
V = V„ h"JX(r — iy,

де (u(f>jf. niu »,.) —векгор угловоИ скорое!
„шнаковий д.|я bccs почек ie.ia (рис. 7), т
■ора-рядиуса г (я, >■, г) точек тем и.щ от не:
олшса О, j V0 |яй, «„, «ъ) —
*":-¥%■
i, ttiuiumeepOiAM движением), и 2) де-
ющую поле CKJpocieH движущемся жид -
твердого тел,!, т.щ что будем кчегь:
в (4S) шк-иоч^ет в себе проекции Et..r, ■
^твердом движении, определяемые формул
$, <еящ скорости деформационно] о двяже!

«,»- (й),1*-'>>- i (E+S3- t"-A' ^ тё+с). <»-*»'• 1
ом roi V (иногда
-> вектор, одинаковый
^^-^.
■.-—s-s I
«^т "ещ""имволом ,
,;
гвердош гий. с.1ед
или „ротацией" сь
;url V). В рассмотрс
тела виьрь скорое
Вгктор виъря (50) можно рассматривать как некотор; ю
рмшиа.тьную операцию, произведенную над векторной фуж
ной функцией, образующей ноле. Так, например, в общей i
уамие „отиютльностн силового поля F(FX,F„F^
) равенств:
dFt dFy dF? dFs <)Fy dFx
7у = шдГ' ~dz~~5x' ~dx~~6j'

§ 10| СКОРОСТНОЕ ПОЛЕ В ОКРЕСТНОСТИ ДАННОЙ ТОЧ ;У1 59
Для облегчения запоминании выражении проекции иикря скорости В
нлн проекции вектора угловой скорости ю можно предложить
следующие простые символические формулы:
ни пр и р о р в в орно о и в д
Чго касается вектора скорости деформационного движения V^.,
то его, согласно (44) и введенному ранее правилу умножения №.*ктор;т
па тУнэор [| 7, равенства (20) и f'2J)J, \ЮШнО представить в форме
V,,,-(r-r„)S, (53)
называемый тензором скоростей деформации. Аналогичной таблицей
определяется в кинематике упругого гела гпенюр деформаций" S,
если под a, v, w понимать не проекции скорое™ я малые
перемещения упр}гой среды, Между этичи двумя тензорами существует
S=Sdt, (ЪБ)
где dt — элемент времени, в течение hOropojo произошли малые пере-
Теиэор скоростей деформаций так ».е. ьан. и трняор деформаций,
симметричен. Так называется тетпор, компоненты которого в
таблице симметричны относительно главной ди.тгонали. т. е. Sxy= i^,
^бг"=^ед, ^ги^^сг; из девяти компонент симметричного тензора

v-i,-i(£+§?)
'
Т"
Д»1«01в И
координаты
ККЯ,К tbC-ptJ
4
ИДКОС1И как
. Л —>о
топок Л1„
^
-(
Л1
-•
ердо! о
, -И3
гон или половинам скоростей ско-
тенай углов между этими ст-
Дейстнигслоно, рассмотрим в
данный момент времени г три бес-
вектора: Л1„Л1,, Af0Afa и /VyWj.
(рис S.I с началом в ючке М„.
(концы этик ыеьторон) /Wj, Л?3 и
Л-Ijj, следуя деформационном} полю
скоростей, которое сейчас только
аыс чод(!Ж(Ч1ин М\. Л1э, All; ™ч-
le.'ra. останется на прежнем чссте
-ИДд.,, О, 0), jMs(0, jij,, 0), ,И3(0,
координаты (к моменту t-\-tft), coi.'iau
,«3(i-v, = I), J'— уЛ=у2,
.«6^ — ^ — 0, т>_л = 0.

x, = t> - .,„(0, y„ 0,Л„|(-^ J f-)uy,dl,
„ _ y, + <.,» (o, y„ o, it _ л + i g)oJ, л - л [ i x (|г\ л],
г._0 f и.,ч(р, Л, (ИЛ- \{i£-i ~\y,1l.
Л = г, + =,,»(0, 0. , J Л _ г, + (д_ ,, Л - ,, [l + (Jf J, «].
Составим геиерь, например, скорость относите иного удлинения
Офгша |И0/И1' что ЛУД". с гочтюстыл до in ял их высших порядков:
и.щ, используя известную связь косинуса угла между двумя напра-
л малы\- высшего порядка, равными:

S ТЕОРИИ II
г--. i-;^ia-- Ы(£-э.*
6) ал л направления МаМ.
£-i(£+SU £-■ *-ilS-.£b
i» if
§ II Скорость оСъечного ра ш рен я ж д сти Интегрлльн
преч авд ни диффгрен наньных on раторов поля О новнь
тегра ьнь е формулы
ы н ш в с он н пр ран е в про р н в
налы dwoi вр е ие d Т да ( Ь дае
dvV — -J- «
В да пше пр и ся i

ак как о<1ъен А'В'СП являйся общей ча
альный и следующий моменты. ПрокеЛ'
it объему ABCD нормали п, и п, и
нутреннюю пормаль nIf а также
отмени векторы скоростей V, и У3всече-
ияч dat и Jo,. Тогда будет имен.-
обьея Л/1'В'Й — (Ь,-/!,^
— rfo,. Vjdi.cos-.V.'nl) —
=-— l^cosOCnj^.rfi,,
объем DD'C'C = dsa. fta =
и, следовательно,
_!_ +
Т"
г'С
-
с
г\>
= J ^,<*==J Vcos(y~a)dv = j[ n-Vd*.
i объема'
(6!)
Согласно (58), полупи» теперь следуида
вление днвергешы скорости:
divV = Нщ -L С и.Л= Нш

ий в себе гочк}, н которой определи
ny.no поверхность Да стя|иваечся в :
"=йчечая, чго выражение
з dlv V; при стремле
координации параллелепипед (рие
с i пенни поверх по сип j й интеграл в V
по всем шести граням (эги яиачени
+ (v \-%Ьу)ЬхЬ-*ЬхЬ*-\-
~\~\w h^^l^AV — IBДj:ij;-|-б- и. nuc. nop. .
moo выражение дивергенции скорости в прямо-
4-»v = Ji+¥4

<П> V^V V
jLmax Дифф1рснци-^1Ени шкрщя к ir pui-ii м in mi imimf
sioii фчп цирй и ипрсдниеч!! ф Ф« "1<" (Ь2| u (bi) i \л
ii\ in лжв null п говорить niiif "-ТИ ооье шоп расширен
I *.*-!. ■
diva= lim ^ I anrfs= lim ~ J п-а<й. (62'j
Выражение дивергенции вектора а в декартовых при но угольных
координатах будет, аналогично (64), иметь вид:
dl«—тУ+??+&- (»»)
Приведенным ранке вувод формулы (вЗ) почти буквально можно
повторить для ааеиевта объема я любой (.истемс крияолинейиых
координат (полярных, цилиндрических, сферических и др.) и получить,
таким образом, выражение дивергенции лйктпра-функции в криво-
Ич формулы [Ь2') легко выводится важная для дальнейшего инге-
грцльная формула, нперяые указанная в 1831 i. знаменитым руссн,им
лмдемикпм М. В. Остроградским (1S0J — 1861).
Разобьем любоII конечный объем ■: ш большое число малых
объемов Дт; обозначим поверхность, ограничивающую т, череа а,
a At — через Да.

KvKwdoai
IhAL'OU 'KOEEtfno KHMBJ, *4Kj(h 3 BOIMJ.BdgO 'ЕНТГИЙОЧ
: еккАо йен 'taEdiu usifh uoduia чей >iei 'i А~нэч.дс>
Ю ifi<JjD.iHTT gnHn.aq.go кмоншэо 'iv нмлдо jheen
d 'хгшэеда.-э «wBir экклэ liowsEBHdiEMD-iEij о .%oj.6ou !ачзъдо
К ШОНЖЭКЭ BIT HJOOILXdsnoil ЭЖ flOl 4 OIMffilttJoH ИЭННЭЙАДПИ
.'пв 'аокэтдо shl-bh ей ннсо илйкквяиииищЦо 'илэонхйэаои ч чквге
ввпшэкп EKadn эч; oj и 'и*№нх(1аиоп рэтвьинвй1 я tf отгон пу
idauoa эп етючро олмеч hhoUojo оэ almiredJ ш эшмшгё эоаоч
О 1ЭЭ1\И ULSOHHHliSlJjraH fc'ffi Н Е БИПНнАф-бО^ЯЭЯ EKEJ ЛЕИ ЯЕ1
тдо ХН1-ВН хнн¥ээоэ \лтг иеПинкс! i интуи о" эшиея 'aoirEdJ
шлэкэсв ээя иэакхвйноэ онииеев 'вяэю цэтпво.тэ 'эикЛэ я
'-V ■ *Х — --V * MP £ - ор в ■ п J" £
'IV s + iyBAIpsaE/JTS-ll j
I'l.gu oJoiLdEJ.4JH0L-6 umf члчии и-^гЧу -(,ГУ) онзви-J

t О д
J J K=o.(o,») + «,=™in v)+a.o,(o -)|*_
- I I 11—+- v-\'
Если положить а —V p hj ф р ЬЬ
жидкости сквозь замкнут в р в
скорое гь уве.ипения объ л,
ло скорость увеличения в дн
|"n-ad0= [v-arft. (67,
ветствует дифференциальный оператор в объемном.
Из формулы (В 6) можно вывести одно, необходимое дли д^-.ьнеи-
lueio равенство, если применить ее к произвольному, но однородному
векторному по.то постоянного и о величине и направлению вектора а..
Г n-adi = 0,
или, вынося постоянный лектор а за знак интеграла,
j nda = 0.
Члсто геометрическое доказательство этой формулы можно лайти,
например, в ранее указанном руководстве по векторному
исчислению Н. Е. Кочила (нзд, 1434 г., стр, 49). В геометрической трактовке
формула (6S) представляет предельную форму теоремы о равенстве
нулю геометрической суммы векторов, представляющих площади
гранен замкнутого многогранника.

Рассмотрим в по;
объем Дт (рис. 11) с
нымк поверхностями
выведенным формулам (0J) и (66).
ею двумя с
сигельни друга на расстоянии da,
мали п, проледениоп через
точку М первой поверхности уровня.
Рассмотрим поверхностчиЯ инте-
Этог интеграл ио*ет р д и
тов, рассчитанных по п. д -\- d p
трала по боковой поверх и щ
J п'.РА'г_д<р/+П|<р \-d£dn)(f-\-d}) + J ■>*' —
_&#,<* + « (п<*/ + Jn'A),
а ль. Jh тат , что по боковое кши'рмшети расотатрива
о иъ в pd H^fca постоянным; с другой сгоройы, причем
т ж ер\ ти формул* (68), получим
-и +*lH-<V}+ /п'А-о,
i' =-grad<p/d/j = gmdad-..

мои, образованные ич объема &.-
функции э. и просуммируем -чгя р
тей бесконе'
Справа буде
орпи в силу
%li
...юс,
S"
Отсюда сраз) полу i
оное интегральное i
ые, огно
объвшы
ii'o do'.
„"
й интегра
;-"■
.а,А_
"ЙЕ
Л, бу
5i.,d.
Лг
оторис раицчси об ьгм
giarju = liin т- пз rfo iG(
и путей, совершен]
примененному лли
нергендин, выведем в гору ю
гральи>ю формулу
Г nip da =. J gi,id o d-.. (7(
-j rot V, малый цилиндр с осью, и^Тыллелькс
РВДиусои г, высотой *, обьемом и iNmrpsHOCii,
равными it и Дз (рис. 12). Сосгапш повврхнос

\н(.1_шыи интеграл сведется к i
Замечая, далее, что па боковой поверхности цилиндра вектор
иметь с точностью до малых высших порядков:
J nXV ,h = <аг J Л ds = 2%r'h*> = re
с равенство:
>tv_ m, > f «xv*,
ft flft
p н i A
иитегрировани
Ado/ luh 1(7
A, A [
f по тюнер™
Ч Я ЭТОТ)
h ординэ н и
1') Т п
ости паратвч
пхрппппчш сем не и
в деьари1внх \ юрдин;
епил-да А>деч umlff- в .
| nXaib-f-flX'M-IXlV'-ll»*)}^»--^-
-[('х£)+0х$+('х£)Ь^ + -

Отсюда но формуле (72). переходя к пределу, Лужей ичет!.
«•-iXgJ+JXjj-l »X^J.
по правилам проектирования i
("la),
I ]риемом, аналогичным ранее
тральных формул для
дивергенции к градиента; ня равенства (72)
эму при выводе и
Интегральные формулы (66), Рис
(70) и (74) 6удут играть важ-
а также и в некоторых кинематических вопросах.
ости или га.ча, совершая свое госгупательное движение в пространстве,
ciipepuBihO при Этом деформируется и поворачивается, как идно целое,
экруг мгновенной оси, направление kotO|io!i совпадает с вихрем ско-
оеги; угловая скорость мшовечшнгц поворота равна половине
величин вихря скорости Чтобк лучше представить себе эту бесконечную

Вектор о» = т7 rot V представляет mi нопеипую ут.товую скорость
некоторого воображаемого твердого [ела, которое образовало!,., бы
при мгновенном -,атя ер Джанни рассиьтркяаемчга жидкого Элсиенгар-
iioio объема.
Можно дагь еще другою интерпретацию вен гора }Г.ювой скорости
жидкого объе.ча. В любой точке деформационного скоростного поли

Пров
ой т
Для
иЧ)еву
едк вихревые
инин чер
образуем элементарную в
епые трубки об
их ревой труб/.
о трубку_ (рис.
трубки ко
и одинаков для
droit теор
15) в по.
;и эамкнуюг
ш трубку; а
го размера.
элементарного
пометном, выражаемым
оягок вихря
Всех сечении
ас смотрим с
с любого вектора
вектора
трубки.
а и отсе
при-
ечную
ем от
ней дну ми произвола
объем ■:; боковую поверхность вихревой трубки, ограничанную
контурами этих сечений, обозначим черев о(1|к. Тогда, применяя к
выделенному объему трубки интегральную формулу Остроградского (66),
f\rota)„ ifa-j- f([ota)B'rfo-

Обозначим через п нормаль к поверхностям сечений а, а оа,
направленную в сторону вектора вихря, т. с. внутрь объема для
сечения Oj и наряжу — д.та за; тогда найдем
/ (rol •)„ Л _J"(,ot .)„,». (75)
чго и доказывает Вторую теорему Гельмгольпа, проформ у ли нов энную
дня любого век горного поля.
Полагая:
а —V, rota^rotV-^S. |roiV — w.
полушм j и др о динамическую форм; равенства 175]:
JQad,-co*ti H,B /..<*. = «*.*. (76,
Hi раиелств (76) m,^,^ следующем гпйрпдинамиъскан ibopinv-
лировКс второй теоремы Гсльмгольщ!: по.кок вихря скорости сквозь
сечение вихрений трубки одинаков в данный, цемент времени для
всех сечений трубки, или иначе: поток угловой скорости сквозь
сечение, вихревой трубки одинаков Л данный мо tetim времени дли
Доказанная георема ишобретаст особенно простои и наглядный
смысл, если ее применить к элементарной вихревой трубке. 6 этом
трубки, и, в силу малости плошгдей этих сечени'1 dsi и Л8, аапи-
Отсюти счедув!, что в меньше.» по площади сенеиаа трубки
угловая скорость вращения больше, и наоборот.
Одинаковость потока вихра векторл сквозь ."iofjoe сечение вихре-

яхревоИ труйчи и и
-/<»,.),.
пи г поток вихря скорости
/= f(rotV)„rfe= ftj.rfa. (.77)
В некоторых курс, is пол интенсивное г ь
тхревой трубки cKopociHoi'o hi
скторя угловой (
} 13 Выражение интенсивности вихрений трубки через цирку
ляиию вектора по контуру охватывающему трубк) Теорема
i циркуляции скорости во времени
.ни TiK и И! и ви\рь ui 1роСти не поддается
иснвно^тью вихревой тр\бш и р^прглелениш

=^ f я„Л = f (flj.iit+a^rfy-j-a.rf.z). ("a)
3 совпадают, циркуляци:
py будет обозначаться т:
Г (а) = ф а ■ dr = ф лр rfj
рассмотрим некоторый
(рис. 18) и прпгаедеи чер
щуюСя на этот контур. Ь д
например, выпуклую и i и
выберем произвольно з п
роду откладыил-i, и и;
иости. Выбрав положит

причем поверхностный интеграл распространяется н,т полную
ноегь цилиндра,
Проектируя обе «пеги этого равенсгва на нормаль
еиночу (.Ho^LTRy тройного произведения
п. (и'X а)-.-(п X ■"),
1 нормаль переписать
а),= Ь™ Ё-Г«-(пХ»'>*.

вой поверхности цилшшра, причем дль заштрихованного на рисунке
(nXn')do = (nXn')A^^=Arfr,
тогда н,|йдем (е ~ иалля величина, стремящаяся к ujvuo при уыеш.те-
(rola)„ — ^^a-rfr-ft-be,
Рис. 20. ал большое число малых площадок Да про-
та<гай площадки равенство (КО), просуммируем обе -твсти эти s.
рвперст но в&гм площадкам. Будем иметь
Первая сумма в ираиоИ части равенствj приводится к контурному
интегралу по замкнутому контуру С, так как слагаемые суммы,
подсчитанные для отрезка контура, но которому граничат две смежные

Переходя к пределу upt
He-iHo большом
/(»|,),л-(=-л. (82) W'/QSCBOO'/'
rtfinu.'i:,rit>e соопишениь (82р -C^--L_J^
показывает, что та<>И!<"; й-
)Л_ую поверхность /чщрн
цаа вектора, по контуру
результат, представляют
сводить определение ип-
чхря вех-
тшомкну-
'и ГУРУ,
трубку

й срьчы, рассмофим
у важную
рему об
днрку™
щемуся
KOlllVpV
Ркчи
шправчс
дли л
нный
1альнейшего тсо-
1й
эле*
и по движу -
■"Т>" .а;ид-
1ри>-. 23),
■hi которой
IB(V)=JV-Er,
буж
:илу перемещении
деформации контура (коннс
рис 23 тивное изменение), так и и.!-
не стационарности но.та (.totiaj
е изменение). Определим индивидуальную производную по вре.че
j£.„_fv.„_r„(*,.
Второй интеграл легко npeo6pi3
:ясия операций производной по i
.амегить, что порядок;
i дифференцирования
Лействительн р
О: о отрезка ([■ d
момент Г J- (/(. Пере

векторного ■ieiHpex\i04!>HiiKJ Л1ЛЬЛ1,Л1 cpaiy ^ледуе!
\ dt+Ъг^ dbr = Яг -\-<V -\-bV)dt,
д(У) = Г4В(У) - fv-SV = rAn(V) I I

ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ
СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
причем предполагается, что при стремлении объема 4- к nj.no гочка М
о распре-
■Ю';ке /И.
среды, В kiwihoij скек fijirti'iioci , предегав-чн'?^ цспптороИ
функцией координат и Epevem:
:> = ?(* у- г, 'i
ст.щионарпим, так и нестаиионарньш
иметь дело с удельным несом, определяемым как предел отношении

v, гаек or o pa спредере
рами (от гречесьо! о с,
Темп. ГС
'5
_»
U, 142
0,137
0,132
10
0 157
1.2Э ; 1,24
20
o.iai
1,20
«
1Д2
СО
»
1,06
so
"'
0,39
100
0,0%
0,94
р = 0,125 = !

1 p I P \ 1 Г Tl J И И
p>J II П I 1) ЛЯ <■ В В
Ь .Mid hi kp U L i

вместе с шеи служила, бы для определения напряжении ря и зачи
самости от заданного орта п площадки.
дифференцирования. Ути величины не представляли скалярного и
векторного полей, но выражались простыми (Ьорыулэми (10) и Г23)
как произведения оры на вектор градиента скалярного ноля или
дифференциальный тензор векторного поля. Последние две величиш
нгкторнос и тензорное поля. Докажем, что и напряжении .можно
выразить как произведения орти и нор ноли площадки а
некоторого тензора, предстаелнющего однозначную функцию- точек лро-
Г
Ра
(рис
КООрД

i дйклртойич K'jopJrtiia'r
tHiiii p, p p -fit тин ito npi
p i iiii й шщс L ppa umpat вини )
и ф-ui ojiiii-HTHpuBiHl пчиныды
-щит н iLt г шприкечии при

г X р„ Л„ = ', X Ри <йл -J- г, X р„ rf°, - гэ X рг *,-
-чи по (8) г
г X р„ = г, X РЛ + г, X РЛ + га X рг«,
гХ Р„ =г X РА + 'Х РД + гX рл;
С ошибкой тем меньшей, чем меньше рлптерм i panel!, мол
считать, 4Ю напряжения распределяются по грамм равномерно.
граней, г. е. на пересечениях медиан с(
циями точки Л' на координатные iuoci
г- -г, = .*1. r--ra—>'i, г — г3 =
riih чгп 11 ре д е л дун И' с равенство псрспиоываен н я т
тяJ X Рл +yi:ii X Pff 4- '«Л X Р, =
i нормам, n б>лет нормалью и дчн ню
i равенство (13) перегодит в с
1Хр„-г J X рй 4- k X P.'

коордичаг, получи
lUiiOhi, mi "f> h 411 нищ <• ktHin i/pj го"ч=нны\ i м* Wi
Uniink in no, mia h!«p t 1,'hi'i i ip» и iimn(atiit n\6vti
собич, /.nthn En mine иh i-i \x-i\ «и + нп iipnt ,pv\ иф и
Ьчдрч т.ч.
« 8), тер™.'
asit
Z
э
!на"
при -* ;
; <u ^
«XV™
™
""'" '"
:ss",'i'°£
л
]аз1
I"'
'■::
™"
tf.n^'
ОСИ Е И
'Гпрсд";

с неразрывное™ !
'юрчуяе (13) и исп
срщлч (59') $ П
чо>.сно полу-
1:
1[|фферсчиИ1к№анне, получич ею Е1Гел1.гд>,ие\т\-

ида. р в н р д : 11 интегральным, выра-
ш в ифференцаальны-м, связн-
rmh н р в д r данной точке. Примером
\, 1 u I 1 Ф ] г; i жни. уравнение сохранения
массы (19) и в дифференциальной форме —(IS)."
Переход 01 интегрального вида уравнения к дифференциальному
совершается одним из следующих двух приемом: делением обси^ частей
уравнения h,i величину ойьема с последующим стягиванием объема
объемному и приращиванием нодинтегрального выражения нулк1
вследствие произвольности объема. Оба эти приема f,WM только что приме-
ОиюкноЯ особенностью дифференциальной формы уравнений лнпа-
стан(1йК)Т п.ютности распределения массы, объемных и поверхностных
сил и т. п.. а не сами величины, относящиеся к элементарному или
Обратный переход 01 дифференциальной Формы к интС|ральной
совершается умножением на элемент объема и интегрированием по
Интегральная форма имеет преимущества перед
дифференциальной, если входящие е уравнение величины претерпевают
внутри среди разрывы непрерывности В этом случае диффереи-
простнапстве, заполненном лидкой средой, в ю время как илгец'аль-
Лаиеняя в уравнении (Щ индивидуальную про и-йодную по времени
ог плогиосги известим ее иыражсЕТисч чергч -точильную и копвгь-
швную протводннс [§ 9. формула 141)]. поручим:
%+V ?radv+od,vV~.>. (20)
di l>V( = V gradr. f- JivV,
)илерohM) предста
5H-d„(.V)_r, (21)
и декарювых координатах:

* i ^V/x"
г I -I т.Ч I t, -J т '25>
лропад
Чт l pa па п ] [eipd.i, стоящий к npjuoii
части (241 в ъ й I p) част интегральной фор-
) р д Д)и вы
I '-I -
/—-/*-

!•**-! i
[к.л.^чп 14) исргпишеи тш^>ж,сп,ь„1 m^vv, ,i урдннещи (241
J р,,й.-/.,,р,Л-, J»,p,fcJ-/.i,,tf=,
1р.'—.ГЙГ+|Н-£К 'Ю
Подставляя в (24) з^ачиний i
фйрмулам (25) и (27], и перенося нее члены в одну сторону, п
гралытй форме:
'ft' ЙРЛ,
-37—W-^'11^"
\С ., rf— , ,
то же уравнение п дифференциальной форме

f+-»-r-£i-
°f§+«£
•"й+«'"й--
? + %+£■
p.*,-.,», i[«
■ мзмы к кекншром ,
-быма е Опнноп моя
r.ropj поверено
i ii, h само;
."брлнного в длиной ■
рсдо, чоле.0 было 6,

предо ab ля
формы стя
;нлчную Rei.
:анисящую
ложени поверхности не -.или.
поверхнос.
В ieOp
1'очно
ЕЕ
объемного
вектор i
Mcryi1
13иедез
мчепин й:
веденные
;Г"Ь
овер\пО'
'быТсл
пнем б у;
I ^.neayi
шсти Р ;
: к ну.1*
•л образую
ричеслва и
норную функцию
'М секторное цс
напряжением п.
ичину помещенного п поле
я и,-ш дру^ i
i главный .
или объем*
гтпнх г-л
уч.», когда
■ координат данной точкн
кл-сиы координат, ни ог
к которой были |фи-
1ныВ некгор, Иными сло-
о^'щюи^дение^гапр?-
„тгла" (заряд, шгнигпаи
гкгор си.н.1, действующей
lo" (заряд, массу).
ктороа поверх»
приложенные
стных сил, приведенный
напряжения для поверх-
к вибр'шпочу эчементу
1 яри чи.ш'(ии поверхностных сил ибъем-
ло\': равно нули
ощую дифференциальную
) предела
> Аа, как
всегда, стягивает
операцию под тензором
представлении (при стрс-
СИ к AJHIIDt ТОЧКЕ про-
-|,р»
if. H р рЯ/Ь

Если гешорное пале однородно, то зектор диваргенпни повсюду будег
riaseu нулю. Обратное заключение, конечно, не имеет места: ш
равенства нулю дивергенции теняорд в некоторой облапи еще не следует
генция /чен.юра напряженности определяем вектор интенсивности
объемного действия пошрхностных сил в данной точке потока
Произведение вектора. VAvP на элемент объема dz ласт главны!! вектоп
■-ui'iii'Hr tt~. а интеграл
JDivPdx
J"DivP,/r = f p„rfe = j nPiin.
сообщение формул и Остр ограда: ого [(66) гл IJ.
Задаваясь той или другой координатной формой элементарно! о
объема Д", можно по формуле (31) Цайги координатное Представление
некюра DivP. Так, например, примем чя Дт декартов прнмиу! опьный
параллелепипед to сторои'ии Да-, Ду, Д.', тогда, поступая аналогично
гому, как это уже неоднократно дела.юа, в градидутцей главе
(например, в § И), будем ичега:
IP-
5£1Я) 0рЯ) . д<Ь.Р>
дх I d>■ "Г дг ''
■тиости, при n^-i, n=^j и 11 = k
iP = Pte, JP = p,. W.-p,.
в декартовой сисгвие координат;
й1>.« ЙР;(
D,vP —-i--^
dz

<■»").=-*£"-, '£■-!--£• |
■ура R lekjpTOBwx координат*! [формула (fi.V) i л. I):
это 'Тисго BhdiEHi'Ci Действительно, и формуле дивер-
г координат нектары рг, ps, pt напряжения, приложенных
1Скчй вектор; в формуле jhe дивергенции яеи-
горя div а под знаком проичвпдпш
пцоекшй вектора a, a div а прел
Полученные форчуль
1Де справа coiii дронте Денис условное bpi го] j onepiTOp* V
с проекциями ^. ^, ^ ш 1енн(.'р Р. Применят фпрщ ни (J0) гд, I
умножении вектор,! на тензор, без труда состапи i up л i пин j -,') Div P
iia оси координат; зли целей «поминания, нармм .. ф^м^аой (?>4),
аожио предложить еще формулу (ЛЗ). легко ининннаилшкия по своей
внешней аналогия с формулой дивергенции вектора
(з= jVFa* (Jj)
i- —fF-rDivf

Br—awn
(ОТО рЫН
Объем"
■op-радиус ц
шГ"НТр"*
bill mnvijja-i
ентро
хинй.
| г X f,V rf- = ( г X ;.F Л |- | г х Р„ Л, ('i7)
1рны\ объемов Л н ]■ ющадоч do,
ft-J^X|.Vft|-JrX;.~*+JrXVi7;(f^.
сгра"Е в правой части этого равенства обращается в нуль
J, последний интеграл равен нулю по условию сохрани
«ига жидкости (15), так чго будем ичеп :
/ (г X Р„> dr. = [ г X (ятр, + яЛ + «,pj Л =
куда по формулам i,;d6) счедует:
Ггх '•'==- ГГ^гхрз!' ■ '''гУ|у | й(гхр;'],/-_
+ /1 (к X Р.) + (£ X р,) + (| X р.. | ,Л

+ J IQ X P.) + (J X P.) + (k X PJI A. (39)
формулами (38) и (Щ, можем переписать осноиное vpaBHeime моисн-
niu (37) и виде:
f / ^V ^Рд- ЙРи ''Ра'1
Jrx(P-,r pr—^-^-^ja-
- / !(i X p„) + a X p„) + (k X Ps)] Л. НО)
(t x p*i -i- av p i+1 ь x p.i=о
ища иь Ml— KMPiiijpniro i ij jxpi TLnn ii принят нрешд\щер
teHiili \ г nni i шний ги прии i nine ie .ремп ion hicju r к jHe-nraim
.некие Нг-ирсривиш щи {. ил н 1я цви пении в нтлряАенияч
'И. HHhlHII h *im>OLIH И1И ГА1\ liOBCpvHJLlllUUH II М 1С U1ВЫ П Ц
-.. ApMLll
p шенчч e .пришв лвиг^ниэ жииити ити rJiJ -mi* динэ

.„J ( I-tJ -J v i J,

ict) '"'/■ — lArfi *ip —л ■ j'> — f -^ —r'v) y '■

,/Q ^,ZLd*'

(} Об ц равн и раин и н о н я л
Ран фрПртн рмр
ф р н м ф а
р — — к р =Р л
гонентч иаппяжрнип pam u нулю:
Р»Пт:=П*Р*г1 Р^'"Л*> РЛ8"-11^-

напряженности Р при '_
гкартовазг о
ную едишщу. в чем Легко убедился, проделан о
Чтобы вывести уравнении равновесия средь1,
-юго покоя, рассмотрим уравнения движении, частным случаем которыэ
при равенстве нулю асе* скоростей должны являться уравнения равна
Уравнение н^-раврывност (22) сведется при аточ к перло чу уело-
%-"■
УрЕвкения в напряжениях (20)
Моющую сисгеч} оеяопнкг >'рштриий р,

(41), (;>).) и HHi^paibuolt форчуле (,711) i , 1:
r,F=RT1d,), (57)
ira приводили no (liV)
ti к
p
I M 5 П

x \ dy i>i J ~ Л Иг их I L\ ox ily I
I-= —n,a(] П, ioiF^O.
41 ~ Г-
FXsradri =
,,,1Г=-П F_ - raJII
?la apompK/ih» и !l„ преч

Система уравнений (157), как v-равнешй" в полных дифференциалах,
нами f ир, уравнение (59) — гакже одно уравнение с двучя неизвес!-
иыми '. и Т. Чтобы сделать систему уравнений равновесии оиредслен-
обыцво уравнением Клапейрона:
?г-ЯЛ, (1,4)
ратуртл:
> = >. <Т) т)
-■ = V(p). ffihj
я = со„5; pW
1 характерной точке покоящегося газа,
вдача свидится, таким обра.юм, К решению уравнений (57) и (50)
res или иных дополнительных связях менаду теркодиндмическими
■ними р.ръТ.
с'гапав.чнваяс!. ,|ишь на случае баротроптго равновесия гллл
— pgiadn— grJd^. (6е))
ведем в jiaccMO грснис функцию давлении
^•>=Ш

цидиеш к по (70} равен:
П р п р в ия
и а в т р в f R р
— „ tl; — g d*l
i snOi uhhoi e w.i iduMtiHot /п. ю (единица объем и
grad II -г grad § —= О,
jiii равновесии среды во веек точках ее выпил-
П + #-соп>1. (71)
о страши рассмотрим приближенные уравнении
направляя ось г вертикально вверх и помещай мчало координат
на уровне миря, будем име-п. (?л— некоторая высота над уровнем
..-.р.):
п-»(»-»,1.
,,о..,ш"(6в) т„: " ""'"'
ЛВПОЮТ ГОГССфгрт
'{.лоиие приближенного равповесия атмосферы между nyi-

i известны ниц
Фи^ чу 73) или (7
и разбигь l'Cl uniepj
leruib Л , , и.
в е пературу Т' н<
нояыи 1на"ением ;/', вычисленным по (73) m равенства
fJ.4ST„/|i«,0,
Ч'+Й-)
Т.(| 1.1,^,7,, ,_,!з

R - 29,27
улу (71) is таком} пи
При технических расчета пользуются обычно так называемой
стандартной атмосферой, согласно которой в нианих слоях
атмосферы — в тропосфере (0 < z < II км)—-температуру принимают
падающей ог значения l.^C вблизи уровня моря на 6,5JC на \&л.-
дый километр, а даилеше на уровне чорн —pauiiiJM ТбО мм pi. с г.
В стратосфере (г > 11 км) температура считается одинаковой и рав-
я R для сухого воздуха равна J0.27p
Интегрирование этой системы уравнение

аоиабатачесь
на уропне mi:
6 pace чоф млн ич одноразмерном с-чу'
При адиабаш-шостц процесса
:1|ределе,|ИЮ гемиерагуры,
- <**[?+Т,-^П).
\ сил. Уравнение равнооешя но (57 j будет
P^isdn = gcadp

В рхм СГП pj" ЛЯ Ди liHFU )Д HI ГВОрЯГЬ 1ШВ[Г1
Зычно, атмосферное,!, через ра; т >гла пигплщя hhjii i ui |ципл
ГОЧКу НА ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ ГИОЙОДпиЙ nilP^PAiltli, III HdlfMUl
l — P.+ ll ->•„ + " РМ
е p'=f — /)„. будем называв ctao г ни. « ндо/и-епш Tjhw дч^
Иегов давления жидкости па гею нпыто ottjli ая шгри\ п «[ьэо
"Ц'СЯ формулой
p = V, f78')
>ниман под р превышение давления в жндки1_ти над а шиферным
явлением на свободной поверхности.
Поверхностью раэлем — свободной uostpxnicmbw жилкпсги —
тумгг гортоптальная плоскость z =. сопь! ш вч"й этой пг

Тан, например, .свободная повер\ность гяжелоп жидкости, вращаю-
ейся (рис. 27) вокруг верти калькой осп Ог, имрйплешгоН вверх,
г лет ине1Ь уравнение
ги, а'тлнячм черь; г0 координата точки пересечсчия поверхиш ги

вращения цилиндр,,, ,, е. к

1. jpasywie um
я бы сфгра. За
-'•([JiT-4)- "
Геодезические измерения приводят к величине в Ива раза большей Та»

R ■= - J" ар te, I. = - J" г X np rfo (i
причем поверхность о, нообще .овори. ne.saMhH}ia. И чаемо* с.чу=
тяжелой жидкости, мнении давление ;> ргп выражение" (78'), получ!
R=—г/п*Л, L*—[JrX»2*. P
СКУЮ СИКИКу, ГО I
. .ющади з. Равенство (89) показывает, чго ьлавный вектор сил да-
яления жидкости ни любую плоскую площадку, пак угодна накло-
нчщую к горизонту, равен ао величине весу цилиндрического столба
жидкости, имеющего своим основанием площадку, а высотой —
глубину центра тяжести площадки jjoo свободной поверхностью
жидкости.

.«— ,/г
со свободной riuBe|ixiiiinhnl, iki-Ox'-uo перпендикуляр} ь оси Оу'
jv«-iJV'<<°. <;«--( J л *

R = _ J"iyj<fr = — f gr&upd'.. (92)
лий жидкоегй имеем, свисло уравнению Эйлера (57i.
= W, (93)
R = - Jffi^--0. (94)
i (!54) показываем чо главный вектор сил давления
жадности на поверхность погруженного в нее тела ранен по зели-
чане весу жидкости в объеме тела а направлен в сторону,
противоположную силе веса. Эго — классический .)ако,1 Архимеда. Сил; R
иногда назниакп архимедикой ил:1 гидростатической подъемной еи-
заставлть его всплыть. Тяжелое (ело, побуженное и лидьооь, „теряет"
и-ти, 1'рименля илвьсгнун> фпрмулу вемориою анализ
приносящую п ДЛ1ШОМ конкретном случае h pjeeriLiBv
го!(рг| - — rXe'ad/J,
totr==0,
поручим
L = -JrXsradpdT,

20 ОСНОВНЫЕ 1РДВШ
Замечая еще, что в ei. тор -рал ну с гц центра тяжести Ц в
jro ойьсиа равен
^=(7^'
L=- ^/rp/;dt:XG=-raXG.= rj,XR. (Э6)
sekeiopa R сы.г давления жидкости на погруженной в нее тело
проходит черел центр тяжести Ц (рис. 30) вытесненного телом
р „ сти гг()ггужсн1щп)ТВррдог(1 тела <?
inpoM
rT
Hip
EipV
например
и Ц. Пнгр
ЧШЮрОДПнК 1 11 р
ТЛЛ1СГИ
',»■■'»
fijan
рлого т т
'м'м'
я ним
"Тп
ст
гн
г»
et) HLTLUiemiolt L лшц olti h in lie т ir ' i гнтр
.a Hi однои вертим IH l пенгрси |Я»и_ти 1Чш при

Hipoit и центром
Пара сил (R. О),
1ля равновесие, а
ело, будет иметь
р настоящем слу-
rad/,_ p^FJd II | f.;r ^air pg + paV; (97)
R=- —/ЖЛ —j'p-V^ = -0-|)»,r'tt.T, [Щ
ъихтоянию от оси вращения до центра гя^или вит t !енн >ю юьсча /£
'.-4j-
i еще до-

в объеме тела на квадрат угловой скорости вращения и крапавшее
расстояние от оси до центра тяжести вытесненного объема жидкости.
Полученный результат можно положить в основу объяснении
многих явлений и прежде всего описания процесса цетприфугировани-х,
будем считать однородным и полностью погруженным. Тогда,
прикладывая к такому, вращающемуся вместе с жидкостью, гелу
центробежную силу, равную (Л?— масса тела)
F = ,Йшэг* = poi'Ti^,
и учитывая нес этого тела G — Mg, можем судить об относительном
ранновесин re.ia в жидкости по разности векторов приложенных к нему
сил: веса О и центробежной силы F, с одной стороны, и архимедовых
нодьемной и центростремительной сил — с другой; эта разность равна:
= Г — р](в— ^г )-
holtl ирашигщим.» bi eLie i тилиегью тет j ботьць- п шшгнли
лгтюгти р то г1ьн- ieia о>Д}т тонуть во вращаюшейр-я жндьели
ui вращ ния Так например u Mat iut )йны ценг]и^)га\ icpin
э ipa^onaameroLF mjiH пп-цр i rhHi i« глр\ «зирттьзл и нпани1ти

ДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА.
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ
§ 20 Идеальная жидкость Основные уравнения
наличия внут^гнн о т ени-г — вя ло т/ <, ти гз пс
Пршь
'коопи
ОтСКМ
1НЯ
эиуи
Рщ
/V
и.Ш'НК
="=
„=РпЧХ,
„ ™
' К кЗОрЛИНЛНЫЧ 1
™« "Г""'
;>„J( = fW »«.
ie равенств (10) i.
,иш ша
."=/>Л
т. ГГ. будем
Vfl
ичс

костях в газах, приводящего, с одной стороны, к непрерывности полей
физических велм'шн и, с другой, к наличию трепня и теплопроводности.
Отвлекаясь в схсче идеальной жидкости от количественной стороны
влиянии внутреннего молекулярного обмена, проявляющейся н виде
l ро у ли it ин — ч j. е/ь BHOUtfpCu.lt еде 1 1,ая-ри.ичргк i\ setuiih

5- + (V.V)V-P^4Br.<lp, (5')

Уравнения (5), (5') и 6 пр ст bw рл вы <|ор }р*в
Вектор! Ц1Ябр\ щ |, равой а и р вн

•льной жидкости г лшранэгеый фор*
-4-(**i--)-ii[(Syb-J-

Уравнениям ЭИлсрн чшкво придать иной, полсгный дли дальнейших
гшводои, вид, ^кашшыа впервые казанским профессором И, С. Гро-
мека (1851—1889), Для выводя згого уравнения выделим в левой
а м \j)dH4ciHd Эйлера (5') ич иыражения конвективного ускорения
п >rt ншм1ып п часть. Вспомним легко проверяемую по проекциям общую
фор>\1\ нею opuorn анализа
grid fa b) = (b ■ V) а +(а ■ V) b -L b X iot a-- a X rat b
giad (-£) -= (V ■ V) V + V X rot V.
Пользуюсь этим общим векторным соотношением, придадим уравнению
Эйлера (5') форму уравнения Громека
y + S»d(-f) + *rtVXV-F —Ipad,.. (S)
Для дальнейшего наибольший интерес тфедстаилис i елучай, ыцда
объемные силы имею! потенциал П и движение баротропно. т. е.

™-Jnfr
-gr^d p ■= grad Ji1 f9)
г Громекл (8) переедет в следующее:
J|-J-Eiid(iJ + S' I j[) + ro,VXV — u (111)
.-2-+:'+n.
(12)
гин среты и iiorCHUHj.ibiius энергий силовых iio.ieil г>(н,ем-
!я и!Л давлений и собственно объемных сил. ДОжно било
чриведенной к единице массы, полной механической знер-
ину t не с кдует смешивать с раже- bbcichhoK лагранже-
1,10) j
~ -j graiIF- + Qx V = 0,
И форме
шег чисю hiiHi'iamut iku ri шчшш V и !2 = rai V с динамическими
характеристик 1Чи lhtihlk mien 11 и Э\ Перепвчыв,!» это уравнение
" фогг-к

иных и поверхностных сил,
го равенства представляет поте
■якое поле сьоростей ыижкт бы
адеаш.ной жидкости под деисты
а только удовлетворяющее равенству
roi(£ + flxv) = 0,
at (S X V) = 0.
Раскрывай дифференциальную операцию виуця or векторного i
ie-деппя по np.iRHiy векторного анализа:
rot [1! X V) = (V ■ V)U—(U.V)V + SdivV — VdivQ

ypanrts-ния блротропною р ] ц
финского преимуществ* Гр I ~> f у
ч:1с-. баротройного твижен р 1
di
,7-rlV-V)V-F — gnJ^
i нроекци»*., я н
ШИЧМ Ml
1 FLIPkT
«KULni и
LO\piHT
i) пниЯ
е ip-нии *
гтегр.л I
1"ь ШрНгЮ
^pH"HJ~"iH*
трещи f-т
BJI4,*""L
В HJlLihU II
овррат. hho
KV iJHlpIlj,
^('р|'л,Т+т)Л-.Г''Г^*-|/.п-¥Л+]",ЛЛ. (И)

свершенного газа К> — -уде..л,|
dq^J^df + pdv,
и применить уравнение Клапейрона
Jh-K+r-f-
откуда и ^Jiejvei формула (17)
Пользуясь формулой (17), можно значше'шно упростить ныражение
окопа (.охранении чикрши (] В), сс-чи выразить отнесенную к единице
чяссм внутреннюю энергию JctT газд через таь насыпаемое тепло-
содержание (лцёлышв) h.ih, как- еще khuiih говоря!, тепловую
функцию i^Jrpr по 11?) так:
Jr,T— hpT~RT^JcpT— ■£• = ; — £. (U')
После этого уравнение (16) чожег быть записано в виде
j-J'l;f)*+J'/"ft-
J[-4,(Pv)+^(£.)|ft=J[_ai,(,v)-rS-f^]ft =
-f[—dii(pVl+ffi + V.!i«1P+p4vVJ*:-)'|f*.

IIian будем щ в" н ни f ravpa-
±fp(l -_]rf — | PF W +|^- -j (18)
b'uiopoK обычный ириечоч поручим и дифференциал ы«'ю форму
i прииепется к рлпенстнаи:
S + V^-»'"+}(l + V't»1''J + J«

^(1-S)_J,J.
горой точки адиабат.
Действителыю. иораписьваи (22) п вч,!,,
./<■„ Ji„ и У dp
V /■«-^■т-.1да1™~
будни плен., ,1иф(1ч-р,'ндир\'п (22'j no *ыв.1енич
i<oropoe nocii1 ин1егр1]ров.1Ния и приводит к 1,2

iidin.Hp4Ln/i ттеч гештопр лицикти ши i\4tH тп ьлннч Само
«mo pi'\wecTLT jro pcjiLiiue дшщп явиются н-адил dm
-U ИМЯ И Н IUJriTpOnil4tl.KHlIli hi VUIU р! М^ГрИВЧ1Ы_Н В iU-TL IHt
Jdq-=Jc, UTAr pdv = Л, dT ~\-pd (yW Л, dT — ^d.,

a--*-*,'»®.
; 22 Э л еров пред авл ние наивен
6 ино ин рала П р но в г
н р н в вер н

Введем ионяше о переносе физической величины сквозь замкнутую
или разомкнутую поверхность о. Boii.ueH R пространстве,
заполненном движущейся средой, элемешдрпую площадку ds с ортом норма™ п,
направленным R положительного сторону площадки. Проичш'дение
■I)V„ds физической величины Ф. безразлично скалярной, векторной
ели тензорной, на секундный расход среды сквозь тпощадк* do uiipe-
де |иет перенос величины Ф сквозь п лошадь у th, aniijerpiM I ibV^ih —
iiipv голичестш! движения fV, получич нрктор переносе количества
движения сквозь поверхность ;, равный интегралу pWtldi.
у среды J"pV„i
noAin рассматривал, как перевод inOiHOcm p 'терез
el«
( + <« н
ь интегр;
Фа ■ об
zH
.е измене
н I Л
в н
11е,.но„,ч,,ьн11Чу „ момеш / обьеи;
J *rf(_ J ФЛ.
[лов, в силу непрерывности Ф, ничье
rcnifro порядка нринстена ь разнос!
ьгм ГС'П'П- ф, .ийьем АЛ'й'Д.
и сократить интеграл но ofiiiiein дли
шосги (27_| объема А'ОСВ' Й,"ко»
ние интеграла, pacnpo^ijui'ieiinui о н
Ф,^»,Л,-4Л.*,-Ф,1-„Л, | l,/„t

(11.../*'Н'ф1'.л-
Oltl ni>rep\noLT
ИНДИВИД^ №Ш1
sj""*=4/
•1 форчуле НОСИ
.-t играни
l irpeau.ii
<w- /,
1!(,,.„ии.-
Г1ПЗ №
.',"« !J,
объем иитегри-
ваться при рас-
ассчатриваемого
(Л))
области нходлого и выходного сечений элементарной трубт.
го же касается объема трубки А'ОСВ', общего для нач
смешенного положении движущегося объема ЛПСВ и га.
.его Т|ри вычислении приращедия объемного интегралЗ, to
гогп объема величина Ф может ндлтенн i n п ироизволыми,
->й" поверхностью, поится поверхности разрыва непрер!

)ьй (.ьаюч
pa рын{ ю
«™п'в»п^
> " 1.твеннм'
I переходе l
LC1H П pu h
н,!7°ош,
"'Те^еТ1"'
пдций чирзны norep\nui.TH на другую
шоиг^ть кроме i г>» it I -'a noiiepx-
и id тно не Liflntidei in н-рольнок
lei j пен то па \ ijlH ii 1Де расход
1'аеГЛ™ермпт,о иЛ] '"^ ИП"
ипвдч нарагриК нын'ш лпрм\иы (jy|
га ф( р т la ic\.i_hlipt LLrif силу и
^ 23 Эйлерова фирма танонов
гспрсмы количеств д

г <-/
-J
.1 I »r+J << -

J „Г -,- —J Т -,
J" -J ■'-
lot i и V направлен гл
Ч',>0), то..™»., ,
I nttympb объема,
гор V направлен внутрь обь
т иптегрг
сторону, ..„
внутрь объема.
Равс
некоторый .
вектора объе.
выделенному объему, ,._..„.
си.г давления, приложекны.
жения через зту поверхность, ншгра
еденного внутрь объема, равна нулю.
Применим ранснс-LRO (ifil к объему эзе
равна Vj, плотность р;, давление р., орт внешней нормали II
2) *f«9. глс' соответственно, скорость p.ir
ние ра и Bin внешней нормали щ. Тогда
постного интеграла сил давлении иптегр;
трубки овш, и замечая что перенос киличес
поверхность трубки равен нулю, no-i}4mi:
JpFdT— J"padv -pfiidal—p^i^U3i-\-i,lV1\1,Us—p1V^\,id-
шя из обшего поверх-
боивои поверхности
сквозь боковую

I F | . | | „ f -+
чля элементарно!! трубки тока.-
/(rXsF)rfx —Jfrxnrfds —(л-т-о.УЙг,
-fp1 + ?,V^r1X"Irf'J = «, (*4>

^ 24| 1п)и:м1 in. iu4t.Hi:nHB кншзжмздоК энергии 143
§ 24. Теорема об изменении кинетической энергии. Работа
и мощность внутренних сил. Эйлерова форма уравнении
изменения кинетической энергии
Теорема об изменении ь и нет к1 ie спой энергии индивидуального
жидкого обт.гча должна, i.i;, известно m теоретической механики,
фпрчу.шромагьси iaic „производная по времени от кинетической энер-
(обьемньи и поверхностных) и внутренних сит". Отсюда следует
£ Г ■'-£<*= |>-Vtfr_ \'pn Vrfo + fpV(sA-
_, |' [>F ■ V Л - )' di\ (pV) Л + j рЛ'(в Л. (45)
к- jV,„ представляет отнесенную к единице массы мощность шутрен-
Г o.V„ rfr — Г fdiv (p\) — V - grad p] rfi = Г р div V A. (46)
■\„ = ^-divV, (171
или по jpiEiieHMio нерачршшосш ПК) i.'j. II:
У rf</— Jcf dI-\-pdv = J^dl-: pd(—'j.
Резудма* этот чижно бы.ш ожидать заранее, так кап уравне-
"' (-1S) легко выводится как следствии уравнения сохранения мер-
ш (16) и уравнении пезього начала. Лействителыю, переписав

уравнение (.охранения энергии и первого
-", fi(u.T-¥)*= fpF-ул— f ,1>.(,Л0Л^ ftJq*
jl \;lr,Td-- С^л— |"р;>~(~)л
^J^*=J,r.v^-fdi,tf4ft+J„|(I|*.
.Можно было 6i.T и наоборот
:HOBh-BKirCh hj законе и сохранении энергии движущегося газа. В этои
luevie .'юкон сохранения энергии представляет переое начала тер.чо-
тамики, примененное к движущемуся ?aiy, ra.it как уравнение
изменим кинетической энергии явпяетси проспит елеИсткаем уриннений
le стационарное) движении уравнение (45) шужни иереписагп и иидс
j"FF-Vdi— |'рп-Vds-1- f^divVrfT— U-^ V4d5 = (l, «8)
гкуза следует формулировка теоремы об изменении кинетической
1ергии в эйлеровеч представлении: rptt стационарно и движении
Реальной жидкости или :я.чя г-у.мча мощностей объемных ctu a
ощнытей внешних а внутренние сил давлений, сложлннап <- пе-
iHOcojt кинетической энергии ему mm движущегося объема, равна
1 теч же соображений, что и при выводе теоремы количеств движения:
-Uwip,|'N
(ышт поверхностей к ним,

uF \dx-\- (pdivVrf- '-
+ ftWi-T^- |'(р" + Р}т)^ = °. '50)
ft fi p ч Б р p и
н p ai fi p p aj
Hvct, hpi iropaa идеал я к ды ть и i а д действие
ние fiipirp шие движение f> 1к" «f Д^Е с Bii Тогда
V giiilb= 1 -^- radh) = l>

Отдеи
да'трех
HUP L
fn"/'
ной тоне Р«.
Ьерщити л,>"
тыдносям и. га
,аг врав,
нарншо ji
1АГ1РЧ
E;
охраняет т
xpem.
.1» ПСГ
Ыс ili.ll ^
РПГГИЛИ
tOHUpHO V
-.ипоянную
;ia (Hi r ■
.1 Зейыии
ччн П1.
™H"
(5dpi. 1Щ
;к
W
е. гачану
il- 1ЯШГ
pwe л
[1 фирм}
«г:
к.тационарн(.
1ГН(1
Ji
, '«pi
411 (t l
E т.
еикые к едн
и! 1л юм Ь
rkv тчремы
moaphtnopuu
.иженин ьразз
ii • gradE = 9 (-§-. ffrad El = Q^ = 0,
e Й — дифференпиал Луги нихревой линии. Отсюда сразу следует,

fiXV-O,
gradi: —О,
1 е. полная .чехачачест» чиергия сохраняет ооио и то на' знаЧ'
Равенство [54) выполняется в следующих двух сл\'мях:
1) И ^tj — движение безвихревое; подробном*- рассмотрению э-
ЗД№йШе10 с,,„|ая бт

эря'шнаются вокру!
л. приходится иметь дели при pa^LMDri нии ти
1зынаемых свободных вихрей, сходящих с поверхности крыта коне
>го размаха.
Рассмотрим "астные случаи георемы Верну лли отнкящиесн
отдельным, простейшим баритропическим процессам: 11 несж идем )щ
жжению, 2| изотермическому движению и Я) ад jfanneioMj
следовательно, по предыдущему, и нзэнтропичесю i чвинчлшо
Довольствуясь случаен наличия
(я пега и направляя пертикадыто
— д! =
Тогда тгорема Вернул л и причг-
ил coust обозначает, сохранение г
лхревой лиши):
™^=
.Л
г следующий проп
т-"=Ы-т+*
I npHRtTlHl I 1СПИ.ИЧе1-1ЛЙ |р|рМ'Лир>В
ы гидрави iti-l я вьсипа равна! tvич
чс/./.о / и hwriupho. рысит сохраняет
\ pjLil 1И1Ы1ЧЯ РОД1^[(В(,В И Др )

§ 26]
жущен а урявне-
(Si
Ikpm -пйн [ред^тавтнюшии давлк! ие и
метрическим н торо i вторе \—а ipoimmi и t
ром, сумму их — пошык нторок
В этом ел) iae т DpcJ F<_dhi4ih{ Siprpn и].1'юттак. лри еула-
ционарном движении uOtaibaoa нес симаечои жидкости в
отсутствии объем»! а си wihuu нипор раенпи у и не скоростного и
пьезометрического соъраняия свип в ычину моль Л'пбой линии
тока пли вихреоои гинии
Пм U3o,Ki/4ui /он ды1 ■• ,t ежи леыог м^а j'T — const,
£=coastV 4 «кип |ця ении $ по Г.) п II равна (.индекс О
-?."t
(34)
1- + ^1»1_'г'. (б«>
Уравнение (58) несжимаемого (хота, бчть чолет, и изотермического)
Цэиженип нельзя рассматривать как частный случай уравнений (59)
предположений ? -= const и 7" = const по уравнению Клапейрона следо-
"ало бы и р —const, что привело бы к постоянству скорости дви-
Рассчотрим, наконец, адиабатическое, а следовательно, ка& было
^очазано в § 21, и изэнтропическое движение идеального газа
.■>-= const, pp'* = const). В этом важном для практики случае, если
1гвлс'!ься от действия объемных сил, тсореча Берчу.чли приведет
к соотношению:
5--S'„con>. (61)

^-Н = ^ + ЛРГ= const, (02)
ю-' ранее выведенному ил закон,! сохранения здергии vpsm-
0).
с другой сгоропьг. функцию давления § "о уравнению
р'" Г -т, * P'V*,' ^ к-^-\
—.-"iff1-©"1"]- (И|
:ледуюшее тш раж rime теоремы Периуллиг
происходишь
Гш'иГи^гако!
f.0 И /„ 3 ЭТО
писать уравн!
зыОранной г
■1, адиабата1
ой an набат и1
SHHi/[6'i) 3 ,
iOkj совершенно произвольно точке линии
■осп. и температура принимают значения ра,
la чожно представать некоторое
воображаешь Гего''^т°р^жм^е^т^ал1ы ™0*
!ески заторможенного газа. Используя bij-

lepaiype и энтропии. Условие несжи
, температуры и скорости но все*
кия булут цриближатц.и к ipopMjnav

ОДНОМЕРНЬ ЮТОК ИДЕАПЬНОИ ЖИДКОСТИ
бОир В А И.ИМЖ
1н ари нр в иные равн н С р р про р
определенной, ш?оо.\<
если движение йаротргган
баланса энергии—л общ(
£+>>-»• !
систему
■гапейрона и уравнение

-'—[,- - - + 1

В системе уравнении (5) перо «к-иные и' и о' зкогуг бить легко
рлде.чепь:. Дифференцируй обе части первого уравнения сиСлСчы (5)
по времени /, а второго по х, умножля после этого обе части второго
уравнения т iitt и яычиши еш почленно и-i первого, получим:
р' = р—Ра = (-£) (?—Гъ) = 4?,
Одномерное волнппые уравнения (S), (6') или (6°) инлитгся
классическими уравнениями математической физики. К такого рода
уравнениям [финогитт рогаснис задачи о пролольнмх и крутильных
колебаниях ynp>ioio стержня и др. Общее решение каждого из этих,
уравнений, как известно, можно представит!, в виде суммы двух
произвольных функций:
/,(* — *A+M'-i-°A

? = x I v
Нов J» ось координат O'V движется поступи тел i.ho п CTopotjy
положительного направления сирой оси Ол со скоростью eni ючно так
,кй oci. <К"Е" движется поступательно в сторону отрицательного
направления оси Ох с той же скоройью <1ц.
Функция /,(Е1 в подвижной системе ОТ представляет некоторое,
holih или давления. Эти фиксированная форма одномерного
возмущения (например. Синусоида или ддчая какаи-нийудь непрерывная
пенни, как одно целое, влол|. положительно го направлении неподвижной
пси (ix со скоростью я0. Аналогично этому, функция/а (;"),
характеризующая определенное, не 1ависягги"е от времени распределение
аозчущепии в подвижной системе Cfi", предезаиляе! вторую
фиксированную форм; ВОЗМУЩЕНИЯ. ОТЛИЧ]1у1(1, ПОобгЦР ГОВОрИ. НО CHIMMJ' КИТ;'
le.ibHyra сторону неподвижной оси Ov с wli же скор ос те, hi aa.
Об;чая для об"еих форм спорость распространения одномерных
.«алых возмущений а ш'поденжроц сжимаемое саеде и0 опрете-
Y(f)
Vim тст [ оршлеч ttnot e I 1да ни I и шп lepei та дпмения
Пер-теи;тн I в phi' н I or j Ои мипДо/м/ч ячнь» ч пт что fijiit
[. ри4> ctopoimw j*vm
Lr>\paH<JFOT 1В1ЙВИД и Рее гр-дидмцие рыеоц i OlIjuulh ифаведлн
виаи ri in [од chopoeijp pjuipuu ранения ^mi а шегда. подрч^учевать

— iWi С* — M = — ar>aj'
ита в дифферент» 1ьни(1 форме еще та
(8')
'- (8). приводящее к следующему выражению скорости и';
* в дифференциглыюй фприе:

6 а и
Он О
р гг р
нкнй П
н * ы р

равновесных качений /
пения звука которая с г
скорость распростри-
■+»-/(fr,+(gfr-
Up Л
irntT^ tm
к Ти"!г
распристр
И Р
еннсч
IMIcTB
а ^ины
""«»<,
У, ^0 HTj ичрвт
иХга "вРГ<\.1'1
сжатия и июлр it
"" т"1 "'при
0 Hi" Hffl'"'^
ер 1 J
Причти
opoimi
§ 27 Изотермическая и адиабатическая скорости звука „Кон\
возмущений" ори сверхзвуковом движении источника возмущения
Числи М н его связь с >глом конуса возмущения
С юрис ь лв\ы, согПчст 4°Р )\is (J зависит 5т ".араьтсрч jipo
фОПН 1сТВ прОП (Л*
предположением

;мами l конечной скоростью распространении малых иозмущений
■1, чго вес равно, с конечной скоростью распространения звука.
Принимая процесс распространения звука изотермическим и вспо-
H<iii, что »ри изотермическом процессе (опусчаеи значок .нуль")
'-<■■>. £-=-'-
зоиесс рас
аЪиабаттеская скорость звука равна
Фор ml |К>] пьлг вп-ррьг^ вита нч Нычиноч я форинт (111—
и iiiiariiTHHHniTH прицеп! р(спр01_трчнени5 зшм 13 шшишее pj tMa
пин юш hilhho люИ .иыгы га instill [.Kfipni.ru, fjkj h dffi
пенни, ч пи нр1Г1,0(ти нныр^ччп при то а ир1нты> зь\ки
Нриле.шн Лорммп Ь i мкщ она ntnurmm и Г<1Р1.н(.ттт <П) н вше
Отвода следует, что скс
свойств газа. Замечая, ч
через молекулярный вес
а =. I./ ш<^ г *
1 = 28,8fi; g
о ^20,1/Г .

3 SO ДН 1СРНЫЙ ПОТОЛ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ
в час н-ic-r при "' = 273 <0°C) скорость зиука
332 #гк I рпсгь jb ка в воздушной атмосфер!' i
над л овне i оря Применяя „стандартную атмосфер} ", получим
табл. 4 1_(андартнь 4" короетей зиуьа, в зависимости от иысшы над
уровнеу орч
н„
и
V
34,
оЗ
3
з ь
И км
5
°
Г°К
0
4S
«1
fa
5
i
t}
ф рн ив
р р в вн
Р в
я i
пр р
в yap стро ран н в к
прямо н йн и разно рн о ны
* Ч И НИ (в Н П Н R Прн
при
рд н О
коро я pa tip
о Р
е о р
Ф ри
г латф up Тан б ндродинаш о д М. <Ц

щ 27] скорость .дакл; чЦ(.Ло M ]GI
.jactb гфгрл радиуса r = af {рис. 34 о).
рглпнп играть ролг. центра образований ноьыч сферически* волн. Чтобы
движение clepz'Syi.'Otlss <zi'-uh
Рис. 33.
ч'1йти ойтасть возмущенной среды в случае сверхзвукового движения
времени t, и найдем огиваюшук- всех такт сфер к моменту t*=t.
Заметан, 'iio в полент / центр расша1]>и1мсчов сферы будет занимать
112 осц х положение х = uf, а радиус сферы, кап легко сообразить,
(л-вУ+у + ^-ав!*"—$■ (l-i)
1тобь[ найги огибающую этою семейства ефкр с параметром t, соста-

(x utiu = a?(t — t) (111)
и „рыщущего урапиешя (15) И! урав».-ш« (К.) го.гушч
; f_n(irf--f).
с вершиной в точке A, осмо симметрии О.х и углом рлогворп i,
}ЛОБлетворяюшим равенству

Формулы (ВО) при лринягоч обозначении nepciiamj гея
тярнап ti рнголя о р
f н а н ра пр нч ч н р
щ пр д ав ел

Hj пис. ii и 3S
§ Ч Рас про ранение непрерывных возмушени венечной
н н в о \jpd4 ер с к Образование разрь вно
ударнон вопнь
р р ранении

■r-
-r-
игорое уравнение системы (1)
< чиду
a (1) перейдет в следующую:

) функцию #,
(25)
J(»+") + (« + «)^(9-r«)-0.
£(!-«) к—«)ж(»-")-°-
уравнений ('27) иредсгаил!
pocibio и —а, и по второй
уравнении от величины 5? —и
скоростью а — а, Разенсизо
/•Vorcsjjffl) НУ"Ю ^тих индивидуальны*
производных говириг о со-
Ш19<и-я храйен„и величины £4-U
r точке, движущейся со ско-
Получелный результат
имеет сл(.Л1'ющий геометри-
р с Зд ческиА смысл. Рассмотрим
csMeflLiiio (С,) (рис. 36) кривых, определяемое ддфйер
уравнелигм

РАСПРОСТРАНЕНИЕ КОНЕЧНЫХ ВОЗМУЩЬНИЙ 167
Дрйстнител!>ннй вид этих кривых определи
,шя системы (1). так как сира™ crai иеюш
и в(* ') оша-тывно однако, что « »<»
даны значения а и в в этой точке.
№ уравнений (27) ледуе-r, что-
I) н* кртшх семейства (С,)

ШШ0МШ1НЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОЙ ЖИД
л (ри^. 37). В частном случае могут быть ч
при ( = 0, и=ц0(х), р = р0(л).
На щрезке ЛЛ; характеристики (С,) i
равенство
стороны, на игрезке Л^В вдыктериешки \C^i,
Э>,0— иА,=$(Рх) — "В-

П лорял ично т]к же tmlc клгние <> Греч о i инке £В,С пз
роьнноч in шаченини упобы^ юэффпцдаиг ir мрит pi тага [Г \
и не Ь в \apikT р 1ст пси С J D in ihe f наяде 1 «а ения иа и
нам тить дачьнеСшне на! ращения характеристик построить тищ
соразои трр\г ihHm t|4,S и и пргдьш\ си\ i ij сделать значе
щи я я р р тпчьс 1i ^ на ч личным гриемэм v + нп Оыч > наьти та
енга миги гонах 4 В2 и т д Задались длыгода п п-м
дс ени<.ы i ривоЧ Ci| в то kJi 4 В С и т д наНдеч }kaiaiiH.ii
I 1ТЫ.П IT" Ip ф(1 JHIIIIHIPC IX 1р«"\ га ЧШЧ.НН1 Н"Н НС ШЫЧ £\ 11,
ЦИ! Н И f BLkOIL ^ГОДН 6j И КИ£ ДрП к Др у ТО kaS НТО I, ИГЛ |Е £)
р ' р ' по'чо полное решение системы уравнений, }до-
щ v заданному начальному распределению неиз-
заьлгочается важные пршцишпл
щ р рнстик'.'
Б астиоч случае одномерного г
и или (27) чагаисрисгдан |С,1 и fC2l в i
роли ппги ости |\, г) ичр1 т ipocrort йшзн чл.ьдн
и— 1 и перпенднк! парные ь чгон иен jiulhivTH трич'м вптои.ости,
деп-кчцейся вниз по течению Cj к<>ро пи и —j-ii, сохранит свое
енин ..«.теын (V)
г предпо1ага!ь дриа^-нис ri a Oapoip пным а льон евнзи
Ми «им
oihj подрсСно и огпю изнггеио г

170 одномерный поток идеальной жидкости [гл. iv
И (23), функция 5" определила как функция '• ш l от ношения
1Де но (22) а является также сданной функцией 5. Примем, например,
рассматриваемое одномерное движение па адиабатическое и изэнтро-
,1 следовательно, по (22) нолучнч:
"-|/"4?:(™)'~'-""(й * ■ <зз)
a no 12S)
Эю 1раппение мткно по m ti-щщ ч> грл-тппап, tab условие
LLXpaHerfMJ порт.™ и а П. i (J г » чеппдг 1ьно и щотносги с в пер-
нендим ччрной j. OtH (Л nmauC н двш» >u •'iki i. axouniHOft ско-
По (3*) и IHjJ чеыти снорпч- ъ к^ у юна
,-«.(Ap_.,-l=i„. (W

r\Aei называть простой волной. Спорость
[ nj.ni.Tr В волны я неподвижном пространств,
не следует (.чешивагь с аСсолюыой скоростью и
1ет tar a rro (37):

п
волну В"С" п область возмущенного (р, р), более плотного газа;
вот почему ударная волна иа'шя„ется движущимся скачком уплот-
Предноложим теперь, что поршень, двигавшийся равномерно слепа
направо с некоторой скоростью и и гиампяй перед собой газ с
давлением р и плотностью р, мгновенно уменьшал свою скорость или
истанонался. Тогда перед поршнем образовалось бы разрежение,
которое такте стало бы распространяться направо вдоль трубы. Легко
сообранигь, мо е этом случае разрыв непрерывности элементов
не может oi-урцествитьсп и ударной волны разрежения не
образуется. В самом деле, з непосредственной близости от поршня (рис. ЗЭ)

И31
< УПЛОТНЕНИЯ
фропг ойдас!
73
l т«>шшия (r>4i.i П\ 1лдег оъе,> жать распростраш
решения, соответ1тв>к.Щ1.и \ <илм i puBuil AD При этом склон D/1
1рис u9tf, в) б^дл.т спцовитт^т все >олее п иолее пологим. Область
перехода газа от бичь1ии\ i rrmi ^rell ь muimiiiui гидрт растя™наться,
рассыпаться; разрыва непрерывности—„ударной ви.тны разрежения"—
ЗЬ
alz^Ei
1 Обращениями IT^pi (ifilm > uwee ipti иному н
"Г1 хранения \дариои полни пкаткл
§ 29. Стоячая уларная волна или скачс
Ударная адиабата
Iiab •, н.0 \ьа 3JBinoLb в юинг предыд\щ го параграфа, \ адрнм
Рчзрыщ непрерыЕ
оора-

174
ильной я
п
11.1Л Ь Ш-р.ТНП ТП рЧгиНИрШ (рЖ. -I'll ШП1ТШ1рИЧк1ЧЙ1 ТрМ^У
>дгновенн< * уторопи внрп и -цктнгнлр ttopovrii 1 продин лет
двщагии равномерно i. з-mfi uiupultu" Во шп jct Boiipoi t-м ир"И
пйдет передав движения поршнл нах^дяше ци перед ним ri"j
. ьп IH параметра in do=mv
iro ttcroi-гь pauipiCTpa
Одномерное дв *е е а а в p ue я
как при про^оАД н и дар й в ы
намичсские iiapas р г J н сч ,
чета удобнее ш. at си ан нарн
рассматриваемое дп е с в
н I e о р<
Поэт uy fpar

полной. Тогда ударная
будем раи;мпгрирать
проясней груби имеете с ударной
к бн остановленной, а дви-
ирсдыдущеиу будем нааывать
газ в ноноч рассмотрении уже не неподвижен,
шлотнення слева направо (рис. 41) со скорости
движется со скоростью К3=-~А—■ V. Давлет
рагура в этой галилееной системе сохраняют с
Нтобы найти связь межд> V',, pt, ?,, '1\ а V,,, р2, ;-2, 7"8, воегтоль-
jjesitH стационарностью потока \\ применим к нему теоремы со\ра-
|||ння массы, количества движения и энергии в форме Эйлера. Согласно
соображениям, приведенным в конце § 23, эйлерова формы этих
теорем могут быть применимы и в случае налитая в потоке
поверхностей разрыв.! (например, скаика \ плотпеиия). Следует только выбрать
„контрольную поверхность' так. тюбы те ее части, на которых
нормальная составляющая скорости огли'Ша от пуля, не совпали и не
пересеклись с поверхностью разрыва.
Выберем за контрольную поверхность совокупность боковой поверх-
пос1и цилиндрической трубы и двух равных между собою по площади
нормальных сечении si и cs |рис. 41). Поверхность разрыва
пересекает только ту часть контрольно'! поверхности, где Va = 0. В силу
и аа по.'1я скорости и других величин однородны.
Закон сохранения массы, согласно (32) гл. [II, лает после сокра-
"^\ — р^г
т)

ОДНОМЕРНЫЙ ПОТПК WIF 4Л1.Й0Й
aii.iH сохранении энергии (37) г
'. уравнений (П9). (Щ, (41) i.i
j равенство (41) заменяв гея с it дующим:
образом, составлена система трех уравнений: (ЗУ), (40)
и сначала снизь между давлениями и ллогиостячи до и за
■тиготкения, исключив и1 рассмотрения скорости I', и fa,
|, [огласио (.1У). перепишем уравнение изменения количеств

Гюгонно (43) преде га-
ойкшо называют j<Ai/>-
По.л'чснныйрсауль о I I 1 * *> В
'rai на первой езгляд рис 42
противоречит
доказанному в предыдущей главе положению об изэнтрошиности аэ
в отличие от рассмотренного paiiee непрерывного вдоль сруйки ti
-Кения, в настоящее параграфе ратс.чатр1иае1сн разрывное п\
" " величин « некотором сечении гру&
Отсюдт. следуй!
хождение идеи.
илзптропическа
недавни-я перехпдпи
показаны для сравнения графиыг диух .инаОат
нгизэнчропической, ударной адиабаты. Как bv
i nPH Pa/Pi > 1 ударная адиалата располагаете

дратгюй скобке lit
единицы, логарифм
;2>.sv
рном и а Свя

ш. вспомнив определение адйабат»г1=а>'ой скорогти звука (1J):
Фоояуда (17) дает непосредственное выражение местной скорости
шука и некотором сечении одномерного стационарного потока «рез
-.корысти частиц потока п этой сечении. Критической скоростью газа
шзьж.егсп ткая .тп сытность ti'- при котором скорость patnpo-
•mpamHiin заука по отношению к движущемуся газу равна абсо-
V = a=:a\ получим:
у:йя, iliohioilK и температура в „критическом"
a- = YkRT-'. (5П1
джснпе с aiuJioiичньгы ьыраженичм скорости звука
:0 = ]/ ЙК7,,.
\. р-=(ттт)' 1р°

шчгния скорости i те«псратуры /о
по lh при ч J4 и итнишении т. ригич!
1 «с ipanuHeihUt. )гя!гная
Сзпг.но |311 и (52| при прохождении
гния сохраняется лише т untpimvpi
Уравнения эчергии (47) и |481. приме
fe Рг М-1 .,
*_1 р.™ 2(4-1) "
Определяя ни последних двух урависщ
ставлян их значении в уравнение (53), почушм номе гтросгыч
преобразовании равенство:
откуда н силу неракенс[Ва V,-р Vs сразу ьчедуег:
VlV^u*'. (5*)
Из уравнения неразрывности (39) и условия ра>р, нытекает, что
скорость до скачка всегда больше, чем спорость после скачка
(V. > 1-я). Равенство (34) уточине г этчт результнт я показывает, что
V, > a*, a V'a<o*; иными словами, перед cwkoh уплотнении газ
движется со скоростью Польше критической, а за скачком — меньше
критической. Можно доказать также, что перед сьячком газ движется
со сверхзвуковой скоростью, за скачком — с дозвуковой скоростью,
т. е., что имеют место неравенства:
V,>et. Vs<aa, (55)

. Для ■
8....Я.,е«с.в.о„ос„С.ь»о Vl « VS. док,™ феОу-
ше неравенства (55J.
я (41), можно выразить изменения давления, плотности и т<
газа при прохождении его черед скачок уплотнения
&р = р%~р„ &p — fo~:■,: дг—г2 —у,
Имеем по (40) и (39):
V=ft —л = р,^ —p,^-h^ — h\\v„
или. пользj iioi> формулой (54):
bp = ftV\ — [„(!'-=- р11/,:|/1 — -^-"i.
Аналогично найдем ни 139J я (64,1.
^=h_h=r£_?I_^_ft-r,(lL_
"№> (41) и (54).
А„(Г,-7'1)^1(1/,!_^)= Il(i _-!!},
2JcP k V*/
Пчюльвуя ранее нриняше обозначения чисад М:
M,_i, », = i!,
' (J9), («J
литературы
(56)
lj, ФП
(58)
лько что выведенных формулах (56), (57) и (о8) квадрат
скорости as через его выражение (-18); тогда после

4,_-^-„tf,'i ' \
(A—I)" Ггг, Mj/1 Ш; '
= »g="r,M.|',.y;|_U.
i нее puccvarpn-
iw бо.-и.ше будут
При сень бО,1Ыни\ инкакиниисгал [М, > 1) фор-иулч [59) могут
ь:пь зячеиеии следующими оолее прост?™ прийлижвннычц (асимлто-

Г " Р
'-^-.-ТП^-м.
ji-m^-k)

(6J)
1ио (43), выра-
|Л_1_(£ +
■ uo.'iv-'icHrioi о виралсния скорое
Приведем ia6 i. E> 'пиленных jhj'IuhhII относител!,
i-тотнсннй |-J3.t vmpjeoK волной, распространяющейся в
вдухе (ft =-1,4) при J5°C (Г = 288°) и нормальном
шчегия'б. V и перепада ■и-иш.татур.
l///'i U?:?i
lil
iPC
J
0 и г«
i
1-
,„,
Й
v„
i-,,'4
4,/B
-
5 a 40
7 750
'"*'
Vu/J
1«1i
L'SSJ
1145
энтроии-:ности:) процесса. В действи
iinepaTypax, как указаниые в i;ohi
ссеянне энергии, в частности Тепле
э 8 корне изменит п«о картину :
еланы дли распрос сранения плоской
арной волне интенсивное! [. будет puji

ьочмущекий (скорое1ь 1нуяа в гида примерно в '1V9 рнла больше чечв
i яе -■!(, — псиеряниан CKopoCib щ.ды, * —скоронь распросгранении
ударной волны, равнач
,_№+^)--.
Здесь р0 и ft — плотное^ и модуль snpyrac и оа» Д и —рядиус
и толщина стенки труба, £ — модель упр}го ти и рнпа трубы.
газа. Измерение скоростей и давлений г- до a сверчзн1ковых

ш ранение <evnepaiy]n,i инэитропически тагориожсн-
-в-а(1- *^±ма)"'. (67)
и1Э|[Троиичоской адиабаты к сравнения Клапейрона.
*-''*Г- —(ir
.,^?(l ] А^м»)'-1. .70
Формулы ibbj, ((№ и (70) являют^ основными то !•& х рлсче:;1
чшомерних течений raja.
И; фо/шулга (70) ,лщ1\чм. чк) при .чндченичх чйрлл М, ченини
"«мо Ч в движуще
-4s Гфевосходи.и 10;0, число М должно быть меньше О,И. а эю
«ответствует d случае воздуха при нормальных >слоаиях верхней
1'Р'Иицс лощетимых скоростей 50 м сек. Следует йэыетить, что даже
"Ри скорости в 100 v сек ошибка не превосходит 4°,'0.
Легко также кидеп-., что при малых значениях числа М формула (в9|
,,epi vi\iHi s обичтю формулу Бсрнглли (58^ г,т 111 дл:| несжимаемого

188
и.за. Действиимьно, pa-i.iar.ui при малик М правую -idCib (60) в ряд,
чли, замечая еще, чго по определен!*-о числа М и лдинбитическоИ
СКОРОСТИ 3BJRJ
,м'
мае
сГ|
. В
И
рис
> Ф
рог
лес,ки1
VOW ,ЕЧ
'"™
.ЩКОСГЧ
LU СКОРОСТЬЮ
ПОЧТИ
НЕ
орчул:
■TS
"га"»
и (63),
рясчп

в § 30;
Т!0 =- Т^
(W
-*(*Г
2 ' '
е Клапейрона
I равенств (72) и {73) apvi iw й
Чтобы полаять искомые отношения д.ш.гении и плотностей
'ропшсски за, орчоже иного газа .ча и перед сказкой угтло'п
остается подставить выражения (.72) н (74) н равенство (71);
"i phc. 4d представшей iрафик этого
(*'" 1,4); на том же графике показано ежа'
"Ри рапных !AL. Кап видно ил графика, ч*.
гающе->о епздуха, тем меньшее давление

нзэнтропачеасого торможьния ta.ia, прошедшеги -tepe'i скачок
уплотнении Прячкня этого яниекия была ьь'ишегде раньш?— в /.кичке
уплотнения инеем, мести необратимое превращение механической
энергии я тепловую, вследствие чего полил» механическая энер| ин,
в заюрдакешюм галс сносящаяся к энергии давлении, становится
Рис. 43.
значениях рачности h\\- 1. ПрплЗралуеи рлвеимио (75) следующим

T^f'^,---. (750
•2k (Mj — I)3
и, например, при пяошше:™ (""Простг srj-кя на HI0,
б)дег равна U,0()I5.
MfniHd поклпа п,. -. m такова же. величина приращен»
;u.№iiieiiiiii энтропии, являющей с и не^ой njieapai пении ч
энергии [] тепло (потерь не и & ей ч с скоп энергии). С э |Ой
глал1 чтр допустимо, гаь" как изэнтропическс>е торможен"!
предыдущему
^-^тЧФ V--S-P
Отсюда с велует валпый обмй
imtmit приводят и ничтожным
рассматривай, как илэнтрояпческй!
J':t равенства |J4) ла со наКти т;

к и М перед iM4i с i Ч»-и
Д03В1Ь ЕОЙ LtOpjl
иеспреде .1
ИГ } » С") при кл-преДеинж рс те Ч,
in воздуха lfe=l,4) равной 0,378.
Приводим табч. о значении М_, и отопления давлений р$!р
перед скачкой и ишервале наибчтсг \ потребительных чначс
Pi'fl
!«
as
--,
!Ь
!'н
...
*
К
0,577
PvPx
,,»
Ж
М.
55
М,
X"
Л'Л
4.У70
5,480
7.400
Рассмотрим в качестве примера простейшую схему
реактивного двигателя (ВРД1 без компрессора (рис. 44), уст
на самолете, который летит in высоте Hi со сверхзвуковой екорастью
V, > я^Й! — скорость звука на высоте Hj. Обозначим давление
воздуха па высоте Н1 через р^; давление н камере юрения (/(. Г.) р,
будет значительно превышать данление р1У так ик в камере горе-
-•южем считат'. pj = P;lh- Л-in улучшения сгорания горючего и
повышения к. п. д. двигателя важно иметь в камере горении, по возможности,
Оолее высокое давление. Подсчитаем это давление Сначала в нредпо-
и процесса входа внешнего полдуха тзнгу-i рь ВРД-

изэнтропически злторчоженно
7,9 Pl -;2,те ища,
= 1 будет по фзфичу

был бы горазло более слабым. Ни пример, при И. = 1,2 что на высот?
И,= 10000 м соответствует по МСА скорости do'O я/сек, т. е.
около 1300 км/час, по (75') разница чежду давлением изэптропи-
ческй. затормошенного воздуча в камере ropeima и дюлением воздуха,
прошедшего сквозь ска™ок уплотнение малой интенсивности не
превзошла бы 1,5%.
Наоборот, при полете с большими значениями числа М, вредное
влияние скачка уплотнения сильно увеличив <егся. Как згч следует

изчер
г iu
i Г1Я I
■ ae С.
И <Г И
1ня cf.opci.rrl дай
raav |]им^няв-т i
С ip-n.Tfb.HK
Л И ЧЫЕЫ НПЕ dii*
if овуга II вер^н cti
LTiriHPLI 1ГС >1ВС|
дення гла и и двнлешп тела во
j йыг н-мерите1ьные гр^Гьи (ич
ГР5 1ЫЧ11, Л.Н1ВНЯ ИТ. Я pj 1Ш
,е i Та набегает на и ui |>\б н
MlHItttHi ITHipCTHP D {рис Vl()
-. гр\0кн с pjl лепным на ней
.) 6 При нщ-тикчщ И к нирущии
стня 5 ст HrtHhi тр\<*и D ( ш Ht
-К.Ч прсвед нн
т трубки один;
Т=А?, б>ло"
тиой трубки;

»^f^»r
ф<(.1
Они
Тнр
■И ф.1
.>».
■пор га
(1 JJM
■р i\ IP
|S(1) T
п з
p..
рл
Г
^z\
~v
t'j
Р-НГЧ1 И'М<Т)И1
Л IT. и V-p
i 7 j Tdtui
п (ширим ер
, ^±=1 vi;
-1Ж77
tjte, оготюрку. При достаточно больших,
М на сферической лонерхносТЯ

а._а..ш_ v_
На рис- 4(i приводiu ел график функциональной L
- и М. '[Л" иозчух.1 1^ — 1.4)

"преде чав вели ин\ ра по лскаыщо
измеритеч ной тр\Йки а р напри iep при г
канала по котором! двилет я газ найд.-1 л
трубе переменного i
гом будет ctaiaim я ■
i стсд^ющеЧ \пртценн1
будем пренебреги- и
ли т ш vmpi а лр
а б>дем тишь учлть.ва
, р, р Г и лр в ярттс
„jithh Я f ничей
№ по ительны" гл!
^енеш и ие Шины
,) to Lee иь пещ,
гь и„ченени,. tpiew
ИИ(Х.ТИ Т кОГрДП!
'Я piLbl ПЛ ЩЧД
t Отпч law о
BJJ.1 II \Д В ЛИ.ТИО
otoj. n од| омерньШ
и направчениг сь]
i J \ и феде нпшсИ
11 троны в [) грн
ie н0—средняя uippi чь в HtkOfopou начальни
тюбэм сечьнии тр!бы о рр^гно гропэрционалгн
"дьост 1 по тр,гн ттереЧ'-ннпгс е [ения в ti
а) ^рчипеште Эйтерл
fi) №ав!Еецир лерязрь'вноспг

Вспоминая опредеченне мерной скорости м>>ка
„* = *£
d,.
.среняшем ур.чвнеши Эйлера (831 и Bruv:
„(i-,i = _I^.rf;, = _..„^. ,85)
Состяв.ган Л01 арифмический дифферснщиз от обсии частей равеи-
Lina (841. получим:
Исключай — из уравнений (85) и (86), найдем"

крапленое, л* М ^ 1 и </( = !> F или.
' """" — A03BVkOEi)C (ПИ IBCpl В II
Переходя к более детаи пищ л-^чешн еднопершт)
собою термодинамически!* iijpjiieipti n i и thupiLii- цц
Причсч яа основную, нШри up i_bj*i mi tn М и ! Чго
уравнение ьпой мячи ноз-ли* 1 равнение
KM da da
элучаемое логарифмический дифференцирована
М = —,
jрлвненич Кчрмул.чи и форме (47):
■j- — 5ГГ"]""- collsr>
Jrotoe носи дифференцировании дай
Подставляя чю чначецие — в (88). полу-гам
f_(, i ^-«"Jt-
Срлвцивач эю уравнение г }равпением (87)

нетрудно проинтегрировать и подучи
Ж" " , ..«г;!». ,
чения играет критической

-ЧЧ
;И^(. h ^*)Г
■i равепстт. (90, и (91) пру
ставтгво и удойном параметрическом виде, причем роль параметра
грубы А (л), определим М [х) по (90), л татем и искомые р (х), о (х)
т. гм 1I0(Bi).
Из уравнения неразрывности или со\рансниа массы (84) следует,
что при наличии п одномерном потоке критического сечения А* будет
1 (30), ,№„;
График наки1импсги У от М дли вотчуча (к =1.4) приведем на
В качестве первого примера приложения выведенные формул
рассмотрим классическую 3WW4v об изэпгропическом истечении газа из
резерву jj\i (кот:;н1 очань большой вчесгичосги.
Предположим сначала, что сопло, и-; которого нроисходиг
истечете гры га m в котле, где газ, в силу бо.'п.чюи вметтичостя^отла, -леткет
рассиа,рил,;т1.^ wci, loLomuailcsi (ы = 0, М^О), через р, р, Т, М —
соотвргстпующке ii.ip.iHeipi.i в пггаочноч сьчеиии, площадь которого

m — риА = ^ыМв —. p*a'Afi -= 1/ £/>''f,M«,
и и. ii,i основан™ формул (52):
мЦх|тГ*"'у^№№- <94>
I [ри заданных параметрам газа в котле и геометрической фирме
сопла секупдпня массовый рдсход гяза m является функцией только
чесла М к выходном сечении, определяемой выражением R (М) н
формуле (93). Что ктслется в-луодпото числа М, то оно, в силу принятой
наперед лдиабатичнисти и иаэнтропичности потока, определяется чя-
дйчиен лявлгния пч выходе р, сот пено известной формуле (69):
i-ri + ifiM-f^.
уляии (94) и (U5), „еиш исследо-
1то расхода истечения т в функции
пря р'^-р* совпадает практически

— ™-(т!тГ "1*№,1в,П-
i
1
T\
\
\i
>-tt-vtW?f4?'b-<£!

,rpL')M>4 прямой -£$'-- 1-

"... \ *=!<■.-V e=t'-.-V ftt». !■*"
из Koriipui следует, что маьсииально возможная скорость истечения,
т*к же как и критическая скоросг;,, записи! то.чько in природы газа
ч его температуря о ко гае, т. с. температуры изэнтрог.нчески затор-

и 1> «

ue jравнения noi-тапленник мдачи joiiij лсичии.. есл
что промок тепла не мог нарушить баланса массы
■г движения, т. е. при прохождении газом участка подогрев
(10J)
Oilhhw, деля одно равенство па друюе, по.'Ц чи\т искомую cnn.ib
'■±F1T- c»«.i,|
г/^-~-|
™~л'™,г™ "i^Z",m """* """
-.^■-T^fA
",/■ + '.J-1 Mi m,/i 'Ц-Ч rs
- -;r« -'—sp-l/i
(101)
ивающкч
(102)
?', ' Л ' J-
1 — *M;
] — ftM j'

'2Ш
OnnObiFPlIUH ПОТОК ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ fl-.T, IV
се остальные терчочтаивяичежне параметры. Наконец.
ая н М, л температуру Т3, лстко ц-айгеч и ihopocn. 111a ia
у i rpeuj.
входящую во вторую расчетную ijiojjwy.ij (102).
вычислив производную
видим, что функция f(M) ичееп максимум npvt M — 1, и ^гог
максимум равен
отвод —ускоряет. Так,
например, при rl0='i4OJK
и ,Mj = 0,5 увеличение ичшрапуры на 20!'/,, приводит к возрастанию
числа -М да -нинепия М9 = 0.Ь. При той же начальной температуре
Одномерное течение гизд в 1.вязи с mhoi о шеченными ^ о
приложения™ к pacieTy реактивные двигателей и другие газовых аппаратов
представляет в настоящее время едва ли не самый разработанный
ра.шел современной .механики газа, Личерагура в itok области весьма
обширна и разнообразна.

БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ.
ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
§ 35. Сохранение циркуляции скорости в потом, идеальной
1еорема Кельвина и Jlai ранта Б(.)ни\ревое
Потенциал скорэстеп
бо.чу замкнутому жидкому контуру сохраняет свое значение
Эта теорема легко доказывается при помощи изложении li \\ конце ^ IS
киненатач^'кой тесречы Кслышна об изменении но времени циркуляции
^оростк. Согласно этой теореме, индивидуальная производная по
чрр.кян, о/а циркуляции скорости равна циркуляции ускорении:
~ | (V ■ 1г) = £ (V • 1г).
подставим и нрав; hi часть выражение ускорена
Шипению Эйлера (5) гл. III, которое я случае no rem
иьгх сил и бярогропиости движения можег быть пер
V^-gradill-r-S');
~§ (V ■ Sr) = — §&*& (ПИ- ■?) • 5г = — f S

р н г
Р в
IP
пн ipi_
Пред,
п п JH д
'vif'ir
.■орого жидк
ДРУГОЙ №
В силу произвол!
в рассматриваемом
9io чрезвычайно
ко второй теореме —
тропно движущейся
[п [ н в е»ен"
i рс ц a 9 ей t
1 Н ЦНГ П И <
.peMi Ь панна Кпп
Ы)ИТ>р\ pdBHd t\M«
НН\ ЗГИ I ЮНГЛрг 1 N
чтг пГи принч1ы
j„o,Ur,,_,
ч форм анионное дви;кс
у.-л-ит времени
j>otvj.*. = c
jHocth выбора велит
., (2) ,»-,м=т, ,,«
днижущемся объеме
rotV = 0.
-теореме Легран
г под действием oSst
г Д)
™
Г р е о
' ь ятый ед 1 Д)ги
ipi 1 П бфО-риШЮСГИ
(Ц
;г завихренность (rat V = 0),
).
I;
copei
(2)
и ориентации
поверхности момент времени
(а)
иы Кельвина приводит
шах некоторой баро-
•х сил с однозначным

p
i

ЩЫ HI .рДПННТ -С
V -^- i>Tjd и,
.-и лряцоугочиюК
I fiei
деь
г) — при стационарном
■з(х, у, г; !) — при не
И)
артоад!, сис-n-w иоор.
iiuh по времена и координат
Потенциал скоростей ими,

t^t'—t
■;(M)~ ?(M„), (6j
следует выражение дня псленщшла в любоИ точке А!
:тира скорое ги V или его проекций и, v;
1+1 1-1
шг я p-t in к г>с ни ptBon двил ешш и 1 пи отирл
нл тр 1ы (pHL 41 Прозтин в згич ^ i\ iai ин
|0 HUHT р\ Г РНПЧЬПП\ ИИ lineHtlfil 14 НЭД1ЦШИ
т mm I ю аиынтмпрЛ р ttl I "imp Г ,
ШГХГКЧц I" Тр\0> ' ИНГ РП I ГОЛШЩ] В ПрЛПОЙ
|§ 1't I Л Г P3F Н HHTt-HLUPHdl ГИ ВЦ peDOll TpVUIH
f V ,г_Г

окажется равнкч
-?№„)+Г.
ВыЯдн ил точки Л]с и BdHB за контур т
ную кривую ("но показанную на рисунке). чеа
HHxpeRyio Трубку, вернемся н гочку .1fu i
Таким Образом, сели и области безБихре
Jee-гся о!'ДеЛ1,иая вихревая трубка, -ю нот
ешшй через скорости по формуле ij), 01 р
от формы кривой, вдоль кот

■s-;:
я дополнительные
>есги поверхность ■
/Р^
«шю
<;\
™ч"° Так- шпр
/
iSKAi
J
-«-' '•>">■ »Г
*ss;=™
/
J

, Интеграл Лагранжа— Кошм уравнении безвихревого
Теорема Бернуллн. Неноторые общие свойства
безвихревого движения идеальной
в одкосвязной области
Б случае ос з вихре веч о лви/tis
Эйлера в форме Грочека (13) гл. II):
а ■
--J И ПрО(.ТГ^НС1
бтач иаиь вмкто (Э) рютс™,-
«пторог приводи: к выражению пгрвогп интеграла у;
4|--^- + *-|-П = /г(ч,
где Flf) — ттроивпо-ii-
ны* условии. Полун
Лагранжа— Коти.
Интеграл Ла| ран*
жения идеальной: жи.
''""
■а —Кош
СКОСТИ 1
™с
и р.гвепство П1] превращаете
„[чиы., Их уже лк
2 "
и Hipaei г
■акую же
), ГИ-
J а обычн
ff-j-ll = <
ь в§ 25
Н(11)°
< теори
роль,
■const.
г»е сое
:опз'.
гл. III,
'S
как
IETO.ll.
при
вают ишпегролоя
теорема Вернулли
ж Бсртмл-.
(12)
безвихревом дви-
, будет иметь одно и
всех точках движущейся жидкости, а не только
вдо-т линий гока, вихревых -'пений п поверхностей уровня межани-
чгской энергии.

§ 3fiJ КНТ1ГГАЛ ЛЛГРлМЖ*— KODIvt И ТГОРЕМЛ ЕГРНУЛЛИ 219
7> + -^ —court. 02')
обьечних сил получим:
ж+т^+т-^ <ш
чрй наличии сил веса добавляется еще член П--*£г:
В клчгстпс первого ур-1нн(Ч1нн мт,м,:ч ylianiieiiHe сохранения массы
кокпое по формуле
di>f (PV) = divfp giad =) = f?a? _|_ <,rad p . „^d
ГД( символ VJ озна-uei oncpiiup .laa.'iata
Гпвокунпосги уракнгниИ (Hi и (1G) дмссте с уравнением еснчк
(16)

fi чьзоватъсн непосредственно уравне-
-февога движении не приходится.
ее представит безвихревое движение
В случае неизвестные функции разде-
1 (16) превращается в уравнение-
,та скоростей
> из равенства (14), которое можно
H+(t)'-i (*;]-И <■"
ir^2"J !^Ч-^')--\']Л=,,] V iVrft-Ь-^- | |iVj=rfi. (19)
Первый интеграл справа раее.г
fv-iV^ = f grad + - iV(ft
dlvi^a) — ipdlva + gradf-a (201
j^ei быть преобразован так.

-*/»
Гса * Гя н
Замечая, что пи (17) второй time
t/-fe*

§ П G р ил жиможд
Пн р ф кП нфцй
V-» — —г-\ = 0 (22)
ран Li н о н я п :им, однородным
бон П Мир \а, Я ЭСТОЯТ1, ИЗ уСДО-

„=.££ -v„msb,„, w_g.= vBema„, (24,
iMi' 'J» —угод между Виктором екирисги V„ и осью О ж.
Такш о рода задача представляет классическую задачу Неймана,
мощного метода решения этой чалачи — метооа теории функций
Из уравнения неразрывноеiи
dh'v-fe+l;-0 <25>
liUTCKaei, что всегда мо
а тождество. Функции *(дг, у) имеет простой гидродинамический
гл. В самом дело, плпипн-ч дифференциальное уравнение линии
а |ф,,р.нула (34) гл. М
~dx-\- Ц-dy — il.^-U.
мктил следует1, чго функция } сохраняв»
линий тона. Функции i(xry) i
'■и1'! называется функцией mi
проведем в плоскости точения контур Л10М, (рис. 54) i
секУВДны« объемный расход Q (отнесенный, ьонечпо, к еди>
ь исправлении, перпендикулярном

Q - { 1'„Ъ- f(.**,-*-o*№- {\ul- •*.
Q^ M^f"-y" 77")=- I ^ = -WAVi — H'l4 = 'ii~'b Vs)
•tep'3 s/лбранны: точки.
7 Ж.
дикуляры к dioii
координатной пло<
, обраЗОИЛНнуи*
Юка н плосьости хОу. а образующих — иерден-
С|и хОу и отстоящими друг от друга да рас-

гока равно секунчиочу ооъечному
трубки тока, обрaiманной зп.И
й тока и выбращюй произвольно пулевой линией.
)лоставим выражении проекций скорости через поте1шиал ско-
» (5) предыдущего парадрафа, киюрне в случае плоского дви-
г друга ф)нк-
i г не iiiiijLirt ф\и чигН Ot\\ гв.рем1нны\ (координат ж, у), а фуцк-
raimia /am (]лщ ния i иш гшчолшм точки Ж С координатой г,
чроизв! чна1 иг н в е лой iohi к в t-aoio очередг> должш быт
hi нией точно но linn-linn гоч1 н т о киорлинаты г, \
1 1 input гкния ди! $ р111цирования в плоскости. 1-Ь
«чи например >твер*ддть равенств) произьодио!
Ф г 1Енн I. -^- производит! по напр т.в гениям деисгвит
■*/. _ d; ... d,_

приравнивая, согласно равенству (32), друг ДР}1> правые части
:их равенств, получим те же выражения условий Коши —- Римаина (30),
Отсюда сразу слсдуе., чго, огде.гияв любой функции комплексного
итенциан скоростей f (х, у) и функцию том <!> (.v,j>) некоторого
поского безвихревого движения:
»<*.л-«- '■■ -/<-->. 'hj)-» «. /и
Приравнивая функцию ?(-^,.у) различным
• I*. У)-с;
эгласно (27), представит семейство .гиний тика.
Легко убедиться, чтй итоплтенциальные линии и линии г,
заи.мно Ортогональны, т. е. пересекакпен под пряным углом.
гого достаточно начислять скалярное произведение межд} орта.
п' Hopuj.ieil к рассматриваемым линиям в любой v^^
^..^,-£.=4-
х у н jj рннн рд ;
ро н ны н н ? = ни и а Ф
вя р о р н рЕ
в да р о он рд к а и
ждд я рыйвзядрн Дным вопрос к

где контурный интеграл берется но злмьнутм} контуру М11М1М1М6- Зам
что криволинейное инте^ра™ по uvptjy-ам контура .«„.«, и Л^Л^. по опр
делению плоского движения, взаимно сократятся и мо по той же прнчш
вдоль всего отрезка Л1^1и будет Аг = \, 3 вдоль отрезка -М/С соотве
:твенио, А, - С„ получим по (35) при h = 1:

снсиому apryniiiiiiy. По осковчояу свойству ф/нкпни ка\.
1 (301, сраз; слсл\гет:
■а (харш,
n't координате равна сопряЖ'
[ скорости а н v опрглглятс
ныл знаком i
характеристической фун
координате
•HibiuaiCji физической п.
oanipagxi скорости или
38. Построение ноле?
функции. Простей
Були: сдаваться н
риженш|м такое задание
Г- Линейнля фун
Остняинаи ft йед ущерба
граф
(рис
«■",
кого
6уд
кди
д"»
координат 'iJC
носкости jr0.y,
5В) к
""
УНЛ
сиогри
в у>
уже
Нл
~"",
pocieHLi
^L-cid
-«4
„р»т«»
iii'E
■•идогрофо,
с. .еомефич
;торов citop
~ГсЕ
п юскисть
этой пло-
ofi характеристической
Ими ныр.чж
вияни для
г плоским безвихревым
*, где а и Ь
ТЬ фОСЛ) 0
-комплекс -
аддитивная

7-K-xtf*=|V„|< ".--
, • r -IKjKco.i-Isi».)*. (40)
4 " +»»«•"» ™,
'C = — I'd^+^O^ —
c„v™ ._!>, a-^I, „,.„.„:
при ,™(1 - -| v0|jr, f — I V0|j.,
при s = -| f = \V^\y, -4- [V'0|j.
потенциалы скоростей и функции тока оё/юропннх
С и JJ.
будет стремился к бесконечности при z^cc, если л > J, и к нулю
при л<1; случай н=1 уоке рассмотрен в 1J.
Введем полярные координаты, положив

роль нулевой :ih
им, изображенный на
рш 58. При дальлей-
ui.tj-возрастании в угот
11зопотенциальнь]в
1 ^f.a^r
по шшешугого hj jro

Бс-льшип интерес для дальнейшего прежтатмнет случаи >!■—— 1.
Уравнение линий тока будет
верпутой ттп «рел идущему па я ■ Оба
(.счеМсгна окружностей нзаиыно орто-
Оппч-им еще случаи га = - с характеристической функцией
лучше всего полупить тдк. Перепишем уравнение, определяющее
характеристическую функцию, в виде
J>=2t». Рис. №.
Исключая парачетр '■?, пилучилг семейстн!) «ajufio.i

По общему свойству С"
] иоиоротчл! линий гона н
4..-*L-HrL
3°. Ло^рифмичРСкзи функция / —Л1пг.
Предположим сначала, что А—-«Исгвнтелли!
g = re«, получим
опогенциальныши линиями— орта опальные к ним окружности
: (рис. (Не). Картина линии ток
^
Х '/
4 V---/ у
'ФЧеленных по оси Ог). Чтобы найти пяродшимическое значения
коэФфицигн№ А, введем и рассмотрение мощность или
интенсивность источника q, определив эту величину как секундный объемный

,-^vy ;.,|£|^м.|1|_а
1 иювимся ti.ipuav с ииочншшч pat сма грива] j> сток, (лла'шыщийм
лини! направлением стрелок гм типичх гока (рис. 61<Я. Тогда в общем
случае будем ИМ( гь ^а|>я (герпетическую функцию Для расположенного
в начале координат i
V^-L>v-
1
Р с 6
причем верхние знан. относится
к источнику, нижний — к стоку;
п определение пеличини <?, считая q
и отрицательным-—в случае стока.
Пусть теперь Л — чисто ыннчая
величина, рапная Bi, где В— уже
действительнан ве.тилкна,
Комплексному потенциалу
/-В и
* р е н J а о Г>дет
а ать а же е кривы!
г-^' I* -||—' -I"

В ^BHUiMdciH от iianpan.-j
ieu, случаи комплексное коэффициента при
1(1К(Л+1.)!.<,

На
upoi rmi графич
рост
"i?.
?:s
лучи
прие
ос гей
Е V,
-И"
It
1' =
и I/j.
= &
-Р,
iS
Vi +
:fii cywve
векторов
Действи-
_!_&==
+ ^г.
о,
nepers
кя линий
Рассмотрим (рис. 63) дие i.a
гаемых потоков: -^ ■fi + ^i " *з- т'а+^а. ^Р«
некоторым углом, ири-теч предположи», что jta линии тока
проведены таи, чтобы' расходы жидкости скйоп трубки тока Ныли
одинаковы, т. е. .16, =- йЛ3; пгыода, конечно, но следует, что рассто-
равш! межд\ сплою Можно лишь утверждать, чю, если jM.Vj J_ Vt
и AW'_|_ V,. к,
МЫ, ■\V%\ = MN'-\Vi\.

;{Hj nOClPOrilHL 1|Т>ОСТ|_НШИ\ tlll'IKii ЧЧ'ЧРНИ» %.
С друюй croporiu, гт.'ющадг. малого Hipa-i.'iu.iorpaMj MM M\A
вил одному ил стелутгцич равных чсяад) собои, нырашевий:
Дл?: - .Тш' = мы' ■ ли),.
ДШ': , Vi | = ДШ,: | l/.j |,
-144 Li'-элег 'ii,i (1Трсч1-и ММ' И ММ1 г н''|.оюрои масштабе
jpimur itop >с1и ии j 1ечвнг£111Шв перемещения ЧИШ1 аги-мых.
пиа чип ПР(.:-дя диэтс miL 1/If, mpплстграча MM UiWi, no
,4im в him *e мл, шип hl i.ih.ihi, и н-трл-i,_Hae ^ыфпсги К итн
1l ОеНГАрИОГО П p full HJH ■. 10ДНИГ0 ДЕ.НА H irf OrpUiU] И Ui RUetlX
In им i ьра^ч nap if axjAtiuhi тггнчи ten у чинш! тпьч
о ^ naiarap tux Др г па дрлга дошники npotru i проведением
luimtiKil ie ijHrapHbiv nJpi i ie пирам щ найдем cein\ шний iuki
[I ПППрИЛИЯ CPTlli ГННИН T l> i i IHrdl tbli ДВИ* l НИИ ^Д(.1ПеГВ ipnill
!h pin !j4 приводится пистрпент гинк I nu. i в i.i\Jae вихре
Ч.11ЛИИ1 м 1д\ iip\[]inini ( 1ШШ1МИ iru вихряi подобраны
и и t,H piiv лы i *дл п«ыш[ &f\ n uuumu i р>лн<н.тямп
jii piBLju i ]д,г tjtuu и пдинашьы с picxuww leMl in ih
гит жидкость из источника и никакого движения ьс произойдет.
ним иначе- устремив ft к нулю, одновременно будем уве.ти-
> ч до бесконечности таи, Чтоби проикнесение шяцносги ^ на

Тогда комплексны II потенциал у приобретет следующее предел!,-
Такой поток был уже разобран в предыдущем пункте, его линии
уока и изаиогеициальные линии показаны вл рис. 59.
П^ сдельны!) ипраз двух бескочг н dih но ы\ к — источ-
ашшмн, а величину т (она мож<.г быт а тал ггет ой, так и
огрицател!-нпй)— vovt нчгом Ьппо%ч

эбы пайги уравнений ceiiefltiiw лиши т
\раенение линий iokj
13ыйирля произвольную .
и оси Ох (рас. 65).

и внутри
круглого
:оросп> Vcr.,\ угот погон имеет чичп-юкскый потенциал
(бластг, представляет к.фтииу ючяшя, образуемого иахо-
начале координат диполей с моментом m внутри круга
IIому потоку соогиетствует комплекс
—т£{'+г) 1'1»«-
Остановимся не сколы-, о подробнее ш первом потоке. Найдем
распределение сьоростеп. Имееч, но предыдущему:
[ДицатуИ г. Определил, например, расщк
ир\ обтекаемого цилиндра. Для эт<
ли сом контура цилиндра и осью О

Ит эюй формулы следует, что при плоском безвихревом ооте-
гивер>ности распределяются по закону синуса. В темка^ Л а Б раэ-
г.оюьа, где скорость движении оОралиетм в нуль, называют кршпи-
чесьими мочками потока. При направлении движения, уназдннои
Скорость на dos рхности ничиндтм ггрлиимас г свое маьсимальное
Иногда приходится иметь дело с ойтскадяем цилиндра плосьо-
■лрапельпии потоком, скорост-» которого V,_-, направлена под екко-
Ьиражсние комплексного потенциала (4и) легко получить и,!
равенства (.-Ml, если кркчти и рассмотрение дополнительную и.то-
CKOCI' г', действительная ось ьоторой наклонена к действительной
ч^и попгасти г ьод углом '1^. Тогда в плоскости г' скорость на
■йгскснечности будет представляться деиствителнюи величиной | V^\,
жем правильность формулы (46):

Ойратичсн теперь к рассм
распределения давленый по .
■jm при бе:Ц1илрсвом
связано с велилнни'1 игорости ' V формулой bepuvi.iu |§ 3(5, ранен-
с1и> (!2'П:
„ i -14' -„,„,.
' "|" а
КонСгЛИту определим из условия на бесконечноеш Гр.пзвр.нцаеися
к обозначении) | V\ => 1/]
тогда будем иметь, ико,гя безразмерный коэффициент йаялгния р:
НОЧИ ЧИПЩЩр! НИ 1К1ДЯП1.Я UU CUim Ш1" РН р "• HUl jXiL ieHW
«■■lb MiHhini ic4 /i шлирки-р лмоъф»рное при щид\ьк- щгтцвщра
в мродннамк CLhJii трч^с i тр.лг!!|л ч--и лш |1атр.41кирг иных
нлппрч IU vmiTKi iJ_ "_" >{.ети tu я ъривач iiui iopi. r I ри
или дта 0- br^r'J
3: cat pa ценна mm laiitptKiii e [[лд.пр-д-тенич дапига нь «oJ
nisep~»idat№ jt, т op< тии.Иц]и > I иг p В лгич1М<и ги oi hsi отиры!
iлютея иь pa he-i\ ферлш 1"риг>]1 р inpc-Д-'ямпп 4iв ieнин i/ n Я
на pm. ЬЬ) ни лиг и Go u г in н an i iii peiinfiknh i-pnRin /

примерно HJ И^-^Ь4° i
Л" 50° SO' № 150° Ш"
теш rptHin в Anil inii пограничный слой не выдсржшмет
[.пш\ оитеипкл Ои вт in подрожи б\лет рассказано в глава
л Д1Я ппичьия дсй(.ш1ие'1ьнь4\ оигеканий. На рис. 67 при-
»ри и ра феде 1е|чя тавч-шп по поверхности дкук „хорошо
'Ч1гх LMMMtipiHHU\ пролижи Жж овского- Один профнлг,
omutHTi ]ЩН1 ionium^ ~=iV, другой у —40%- Как

V,
4
—
~-
i _
-1
_J
_L
II pif4l.T(( pjLLI
Зср\нОСтИ r jlttS
.T.HJ1IT Г,
w 0Ц '
ШЫЙ
I npDMJdfi
Й ЦИЛИНДР
I ( кр>*11ИЩ Я Ш1Л1ШДР )l IIJ.MX.rl }Qie
II ПрИД^Т F Ip\ruBUt UIipK, TlIlHOHHOe
^OLCUHpk\ ПЯЦИЛШЫЧ OOie!UFffl<_H ЦИ1ИШЦМ
;\m pj4.ujipHfljcMf e in peTinfci ue otire^a

циркуляционное течение.
HO-vJ,: + ?)^„,.
го при Г > 0 соответствует направлению циркуляционного
Определим соггрижеыную скороси.
■>и, что то же, квадратное уравнение
j циркуляции возчожце.' три типа обте-
Циркуляция ;
^Y™1;
достаточно илш-а, а именно
Г > 4т:о К».
пл знаком радикала будет сг

второй bopeiii
-/s
сражение, которое получим ci
[ескую точку А (ряс. С8я), лслн
ia -loH же оси внутри цилиндра.
общу
1Ч«>11.'
К) Орти
)чки А а В п01идак
циркуляции
iwV,„
'~ ~ 1 " ~ 16BJVi"~ 4eV„ '
нагу— мнимую част:.:
"" "бс""">1
it в одну, рас-
Положение критически* точек А и В показано на рис. 68е. При
дальнейшем уменьшения циркуляции Г точки Лий будут
раздвигаться, стремясь дшчть 1вуи предельные положения ]и диаметре круга
при Г = 0,

ДИТ
upl
"■PI
0%
т
411
'иШто^Т
того ци-индра l
ич
Пу
тавпШ пн то
цншшдр
р>1 Ь
Ч1Л Ifгр
Б LBH
и направчен
Л
г
|индрпм скорости
ого oorei ашп цшиндра и чи in циркуляционного
щпиндра ск гоаы>аются 1 снил от цилиндра —

IBM 1.НИ' ill] ПИДНО И ЦГ HIOIhO ГН ШИШ! rnl-Д НИ ШПННДроМ
R = — \гп-> #.,= —£/.с> zd Rs= — \p4m.d
На Konwpe Kpvra. согласно (49):
Sine ля i ин егр^л но яамкнугоыу контур) or ыосгонныйИ t
ltIbmi щей л RitHiis С, как лрхимг'гпв* сила и однородном по

Я^-^-f sin2-,* —j-,1^1'
iiukh иилиндри-
яечра силу, пви-
^ 0 Прим н ни рав 1ине и оря на Б цирку л f
рку яц пп б ип ц ра и пластинки.
3 а Ж к в еаирш

.га» |гл. v
Урависии (t-mncmrai™ „оотшй
*_«« 01')
ii4 переход лг декарювык координат х, у ь эллиптическим коор-
натам : ч- В саччч дзле отделяя л ргвськте (51') действительную
мнимую части, будем нмйь.
л- -(-<>--- сек (£ + (<!) = с "fitcosii f к^чми),
* = fdi;c03i), I
(5 Г)
< *■ предал) щими э.1-
sp it с sin p. Рассчо-
X-^djP-t), (02')
Рис GS. где -4 и 7 — " + (?— действи-
« 1 г1 = ЛсйГ(;-«)-. i(i —р)],
* i) = ,i,
|рной линией). Чтобы F
выражение сопряженной ско
"--IK.I.'

откуда пилу чаем
ii'..i--*-=4«-'--"-'"-
причем постоянная к молет бить, по предыдущему, выра*ева через
полуоси обтекаемого э-мипса по одной ил следующих формул:
е- = сЪ1+1йя = 2-± A = {a+t»\V^\.
ittpttreapu »tf" выражение комплексною потенциала ^(г)
т » i 1">ьно и по-п-пв-ич функцию тгжа и потенциал скоростей,
,-ю /))|1-.|с1,(8-»)™(,-й,

того переитеч первое из уравнений (53) я виде
■/_ =- (а - Ь) | У„ | (i.h I ch ; — si] т sti',)
ju второю найдеч
ch-.-f. .Hi - |/^T,
ог,ч »УДе« «ч>
■I - <н 411'» I (т 'И - l^fr - ' sh 1' l54)
ci,l_th(. --if) =.!(,-.« + ,—.j),
л,_!К» + ,В .'г,-»-,--),
-|Ч!:Чr2-^'-^*-|'гi::::7*,' ",г'>
_,_«_,о,Г?^Д 155')
1Лс u,„ в.. - проекции V„ ря мм [гопрдиият

/ли-",',
.i раисн
(5У)
было 0:j убедиться и непосредственно, строи л
гоК формуле.

Г га С в и н
; |f | 1 =
ЭТИ Д 11Ш
)фо(^ные d
.НИИ + ИДКОИ
((Ирт \ Ь(,00
г [iiKitmni-
1ИЧ Ви1ф}Г Я
г f —
1. > ОТН >Щ НИИ.
11 FtlKpM ЧВ1Г
м'Тонпвд^м
■тлнгла ф^нмг»
h
к pa№it
Г] аЧЧИП!.
. к «.яру
и^отётга
■11
rev (,1),
i Tihoe
\Тшп
■s*"bi-k"»'j-)-&'iT+V>-Z;-
-£Ч(^^"Ы=-^ЧРГг.]
т. е. рлвенявв (42).
Чжто ииркуляционний ;[1№>н ROhp>r пластинки (* — 0, a = if)
йуДЕт иметь ют же комплексный потенциал, что и эллиптический
цялигдр, для которого пласт ингс.1 служи t фокусным расстоянием.

на верхней noneptuoi
ЕЗ-
= d D = R epnen-
к ней. Циркуляция скорости "о этому замкнутому контуру

циркуляции.
гиипость непрерывного п\ распределения, мричодящуЕОСя на бдииицу
длины отрезка FP'.
Непрерывное распределение вихрей вдоль иемнорой линии при
плоском движении [в пространстве этому соответствует распределение
прямолинейных шгхпепмч нитей на цилиндрической попеохностн) обра-
Ич ciunannoi о вшпе елгдуг г, чш чисм циркуляционное
движение (57) вокруг некоторого эллиптического цилиндра (в
частности -пластинки) эквивалентно потоку, образованному вихревым
с.тем, расположенным вдоль линии, соединяющей фокусы 3.i.iHilca,
пртем плогност1. распределения вихрей в слое определяется фор-
му.^й (58).
Суммарная интенсивность вихревого моя будет рЯвн.1

Полыуясь прои:Ш1>.к1ч в вьборк „наложенной" циркуляции Г,
можем подобрать ее так, 4iofiu ciiupocib па зад ной (по направлению
обтекания) кромке пластинки F ста^а Конечной. Дтя итого, очевидно,
Г 2яад. 2r.c\Va,\ si
"——VS <»>
едн И 1р.чм F
приведет ь о.рыш
a npe-
тт ripji^Htc будет сказано u § 42.
туиняя тайный 4liocok" Профиля.
,l_n HO arj KpOMfy 4JKJ:

sr?°Si
"J •-1=5
6, ..„сто цигчлящюином потока воВД1 дмоикок (pHt. 76):
I/S1=
<,»-»„>,

тГ^Щ^Ж

йШ^
'Mr
;/?,
g^s^-

<- гт—
Возьмем теперь ту часть линий том, на которой /-5(?)< 1. По (SB) буди
' [ (71
решения задач нельзя назван, „прямым", так как он пе дает возможное^

-;ss-:i~""™r'"=" ™=;;г'- "r™°*
-iSfesr^1
-V-/?,'
Долее, нл той же ^нии тпка при 0<^-= I, согласно (64). Иуда,
<ы раве,!
<>f
3™лет<
атТ+эгс.т^'у)-! Y\ V 1-+, ^=-0. (72')
-ie-.,=™.).=r(2+4).
Т1фыс шпегрчрукл
Урапиенне свободной линии тока будет
I

щи ©•-rb
\А\
(( Шг
щ
■^!г,\
• С- + 2 ~J,F
^= 2 2 ~ 2 2
wvpr
-f^b/'-l-')^--,--^
'-^'[■n'v
Ъ-А

I "v y f
IHSssScisi?
общем случае обтекании пчастинки шири

щттшт
еекой. ОСщий вид
гььог уравнсвгс (fib)
is I - , sin i) 4. |/,.-*» (u>. 2i-; en: 2+),
^ = *-»4.

представляется отрицатет
=^5Е1ЕН~
М '[-"-=-
. ; !
дифференциальны! уравнений
■ 1 ,
2 1+(М_,—'
Ьрнв fiA. Д[т = 0, л = _(д4-1)1 по каште-л-пой
и ти линий тока я>О Ал алогичное едет1

i pcdepeyapa сквозь отверстие АВ
ширины 2<а |-l) = 2^+lj hai видки 1з рицика, струя при выходе из
огверегил «пишете*, причем hu^Juiuhcht ^тая стр)и равен
ШШШЁШШШШ

в физической
iuiti jth \равненим mm
1 IонсЬоркнык omoip
Оснпвнля кдсп ч тода
проще,
Искомый
неиного С
предполагается,
и приводи! к равенству
в других случая?
<<*) тече
к рейульта; исключения
равенств:
х-х 1/(01-1* (0,1
«-/В, 1
[Ёкоторых случаях это исключение
-?(*).
V определите)
: сопряженная
а резудыате
равенств:
#аг^

к'контуру С (рнс. S5) части плоскосш и н Ч1я и Сч,ьонечн.) ^Дл
.тершую точку г~оо, на йнешнк.н по тношенис г кснгур\ f *
круга радиуса а, части плоскости С, гак же со вклв чи нем тики ",= зо
Для того чтобы idi:oe Отображение Пыли озйнлло-иднизничным, неоо-
М1ДИМС1, как швсстно, norpi бовагн, чтобы бесконечно удаленная точка
Ь-,
Ке сохранялось направление нег on 1-ой припой.
s сво;р.>Г| и hj бесконечности I
., что но первому равенству (76)
^чаиначентно требованию, чтобы коэффициент кохгформного рреобра-
ЗДЧШия a бесконечно удаленное точке т „ бы.1 дгйатит'мной и
положительной величиной
-/' И > о,
^|_»„.|i'-!,
1У~Г

In. v
'. известен
и будет ранен, но (Щ и (4S):
-« (7r + V ^)+ —l»r (77)
ффп,
'J - 1

t, 4aj ПРЯМАЯ ЛЩАЧА ■ЕОРИН ПЛОСКО] О ДВИЖЕНИЯ 273
гочмЖ нд mulIS hpn ih и при Tjfi <kl ни в пичнне hi направ! нии око
p(JLrii in бесыше-ш'ои ^чрсшчьи-и во ном ны три уi данные на
ml [ Д| |жна п»-|"-тсЬ411> l одно!) i.T фчны поверхности крыла на др\
д |я ьа*яиг hpbii muni прчфип l исгрий члнсй ьроыкий Lyme
Принятие посТ}Ллга Аъкивькши—Чаплыпма пизВоллег однозначно
определить величину Пйркулнпии 1', наложение которой приводит к
безбрачной форме обтекания с конечной скоростью на ладней острой

Для определения этой цирк у,-и
формного u i обряжения внешней и
области физической п тасности г и
часть вспомогательной плоскости i,. Ilycjь угловой точке а на про,
филе С соответствует некоторая точы В" на окружности круга С*.
.Чги точки являются особыми точками преобразования, гак как и них
нарушается основное сеойгпто конфор иного преобразования—сохра-
9Tf) будет фут
(79)
оординаты точек Я л В*, М—некото-
В и ft" окружности произволь-
•-жа через [; и %* у,.т, образе
;, Тогда предыдущее равенство
" и об,

Имея преобразующую функцию (7% молем теперь
у- - (¥),.. ,л = ШЦ ■ (f i ^= я- ■ :# t^;
или, пь'числни производную по (70)j
Согласно гипотезе Чаплыгина, скорость Fa доллпа бкть конечна,
последний jhe сомножитель, поскольку £<;:, обращаемся ы нуль;
следовательно, гес произведение равно нулю Огсюда внтекает
важное заключение: если задняя острая кромка является точкой
плавного отекания струй с конечной скоростью, то соответствующая
Из этого условии найдем циркуляцию Г, если, иегто.тьзуя |77|.
напишем, 'no скорость в точке Я'-' рання кулю:
V„ = |VM|.e«*,
где sL — полярный угол точки В*, а — радиус круга (У, '1» — у
лучим
откуда паftte'.г
Г^-1пятя| |^| .- ^ ',
или. пере\лдч т ним j e ьньи функций г: тригонометрическим,
1- 1г „ |I,[»L,(.„-»J-
'=э>й так ин. iianpar ление скорости на бе с конечно cm параллельно
Лй"ии, j диита щгя ьр^ииские гочки А' и В"; в этой случае
" < 0, т н1ч<-* шил ди чини должна соответствовав, вихрю.

врлшкмиечу жидкость и
п перопишсч форчулу (80) к виде:
Г= 4т«1й„|1'л|м1ы (81)
Шв-рне,! no mm тенит ь данном* щи им при]лт ah чтооы
И б" начцАеИия цир ччяции (Г= И чднят кроша ока ч ни. тс 1КОЙ
РЯ.ЧОИ hK IpHL 8i«) НЧТТрЭР! НИ СЧОГЧКТИ HJ I ПОЛ ЧНОСТИ LUOT
/k чко u"aua\K с профи чем
10Б»*рН>Б ПрО^ИТЬ
аапи i Щфцчяижй опре
Острый \ги1 а мелд\ иапра
j и направлен lew ин-нирьщя-
apjrm оищепринятнч «,/ui/n.i(v i. утер awta ппредеisfчьи: мак
His неад-у нщравчени^ч скоргсгн на jeiuHPHHOiin и „>ордачи"
i-рыла -мдаваечымц рюткпрлчпшш ш и.
Ф ртп
г £ рг}т (41) югорЯ
г i i-po iu f ыта 1С ж II щагногч it, да струи 1>ирмулы
-сидесг am ли cm an га ъ чи Ш] j л i ни fkmap
) ouTti чнич maL-nHfii ивггтдаст с нчправтени»' J самой
Ttfip ти-лский rm 1Г!ЬИ J rmutii \rny N^ скорости
ости с tLiio Or Ъ j оч i. \4Jf ттр и лодя опСраженке
iimh Jc на i-p\r радщы j it tjj и ics j" ^он-веде
.дс jem п рсИти к ипюпр.щш четодч ьон"|)ирИНЫ>. отобра-
.ывеДеч ojuni" выражения г лппго иенора и чпчеша СИЛ

H h Ж' чвииН и
иприии itu ь hi pi 1>нр\*а nitMi ipinuDutl пр)фнл
■ принпипиаипи пичис i-на точно при п imoiilh рас ie
ШЦ1.Х1Н в лограни шоп не и 1И при лОМнИ
течтниго п,пяи шп о» ofiiiKM \ipii т ре п'тепн
КОВСКОГО ^ПОД
скопараялсльно*
тскс. Предлагав
же векторное i
j Жу-
Л
ы Жу-
данной ее автором. !
Применим icopeMj ноличеин движения в форме Эйлера [§ 23,
формула (38)] к объему жидкости, лак л юч синим у между поверхностью
обтекаемого коигурл С (рис. Я9) и проведанной в удалении от
контура С окружнос.ью itjjvra Г, с ценiром в точке О и радиусом г.
Пренебрегая об'^мптш бичами, булеч иметь, заменяя н формуле (38) § 23,

§ 43] 1Е0РЕМЛ ЖУКОВСКОГО О ПОДЪЕМНОЙ СИЛЕ КРЫЛА 279
1. П В
R-f о
R

пне скороС|и н рапенство (82'),
R--^pVLfnds + p ('(V„.V')iids-r|p('v»,ods —
— pV„ fy„<fc —p fv V»„ds — f, fv'viete.
По предыдущему [гд. I, формула (G8)], первый интеграл равен
»"лю; пропадает также 'тгиертыи щгтегрзл, так как при огсутстии
:точников—стокоа и несжимаемости лидьосги полный расход жид-
Рассмотрнч совокупность второго и пятого интегралов:
f [(V^-V'Jn — V'V^\dt= J[|V^- V')n — (V^-n)V'lrfs
1Я ТРОЙНОГО DeitTOpQOrO
f V., X (n X V) ds,
f V^X in X V„)rfi = Vt„XJ »*X V^l,
*jieL гвенпо равный пулю, чолушч
J"v=aX(uXVjrfi--^V„X f ftXVrfi.
"1акии образом, будем
R^pV^X dXV*T-ff I l7'n(fe — p V V»/.
-r.x,

) О 1 ОДЪЕМНОЙ L 1 КРЫЛ". 281
■а проекция Г,
ipn MJ)
Г Г I's'i (iTvi А, = J" rLos(n t)Js = Г l\ i
инт гргчьныс ф\нн
1 рч интегрировал
B_pV.xr, (84)
.я яик криволинейный интеграл
Г-fnXVJ (SS)
pi-тора равна
i как>к! порот направле
вн трь вы нар\ж\ -шюснте'пло n""Li пеги lepTej а. Есл
нат равнине иоюда njimpi при huioprtj Г > 0, эт
цчн i.np,[L „нлрлшенаем нкр у гашш' — пгн m общи
лгишт-ч \ ни в mplh .равт", впнтГ lerwi Hafiia
в hunjpi Hd н jh-кн в ктир Г Тл ^ 1Й на фаичеиие цир
тпр Г нзпрючн вп\1 ь чертей a i t.ma R—вверх; эт
и niMvщ ь cL™ веьтир скороди V , нивернрь tia 9f
протвополо/кыу!' цирку тации

Таким u(ipj»>4 приходим ь ьчач.и hi.j. ift форм\ 1нров> е теоремы
потока, тек^щгы <и шьростьп 1„ л п = I ик ще-i конт\р с цир
куляцаей Г, вы; im,i тся г>орн\ ни
R =■ Г 1 «Г,
нщ.ат наъ чаши. > ш ш i пч ч t w шрУ, пов*рч ч на
И И р^
В общем случае подъемная сила, согласно (87), оказывается
пропорциональной плотности жидкости, квадрат;' скорости набегающего
потока и синусу угла атаки.
Введен коэффициент подьечнон силы как сношение подъемной
шли R к скоростЕюи) naiuipy набегающею noroKd -g-pV» и длине
хорды. Обычно ось Ох направляют по скорости Vc, тогда подъемная
или Rr Вот почему коэффициент подъемной силы в нашей литера-
;. Жук-иского.

§ 43) ТЕОРЕМА ЖУКОПСКОГО О ПОДЪЕМНОЙ СИЛЕ КРЫЛА
туре принято обозначать через С,(, а коэффициент сопротивл
При этом обозначении будем ичеть (Л — хорда):
* L р | 7„ |= Ь b
Г„ = Jc sin a.
и* пр^дцав» ид но i на в i_hi
н" от'ГГ'^Л.^ти пидо1
ПИЛЬНЫХ }ГЧПВ| рчс П*1е
иие«в + ^ 1«фС1и,еиии]03ф
д
4^ V
/
/
fsmz^b» I э%
с (.трою rnnnpq леи а, так как нл ^среднем снлрци Kpdc
.1 оргх 1ь ибращдеi lh в Йгскпнечноси,, чго нарушат вдпре-
икн>11 lb: и nepnt ишкулирная направлении:

гем имен.. ],ак и в предыдущей параграфе, поражение главного
/,, = -фпроек. <тХ«)Р^=^&{хпу— ynx)\V\*ds.
, (рте. 41): _ '.„
1огла предыдущие формулы силы и момента приищутся к виду.
Д = ДЯ, + ,У?(, = —|-^| |/prf*.
Заменим в эти1: формулах
lF| = =!-Ve-.«=s-ti7I;"';
е (£ор.иу.*ы Чаплыгина, выражающие сопряженный
Вспоминая, что по предыдущему
V ^-^,
перепишем форму-пы Чаплыгина еще в таком виде:

|гл
-EL ■
Сонрижгкнля cKopocib V — -T является голоморфной функцией
;скоЙ плоское г. Следовательно, интегралы (90) можно вычислять
з любому контуру, считывающему контур С, в частности по окруж-
юти круга С. Вместе С теч функция V(г) = |^ может Оытъ на
гам контуро (?' и во всей внешней по оiношению к нечу области
сложена в ряа но отрицателы
ко,ороч ,
<орость BJ
Остальные
турного и
l?=tf£=,flH-? + £- •■
свободны!* член представляй., оче
бесконечности:
(г0-(Й^-«-Й«.
; члены, каь. швес.но, могут Оыгь
итерирования по формулам:
ая = '^„ '«Ц^
ки.шо, сопря»
найдены при п.
-1йг.
(91)
.енкую
(91')
Значения iTiii jo ффи иннтсе згвисят от вида функц!
от \лра тер] соте ji ня . ро]ипя и от его формы Просто
Ь Э4Ь4ИШ1 HI ilj Он Л )ЗЬ.ВП_тСЯ рЯВНЫЧ
т. е. клиент только от циркуляции скорости вокруг профиля.
Покажем, что сила и момент при обтекании произвольного
профиля зависит лишь от первых трех коэффициентов разделения (91):
a0l о, и «а. Дли si ого подставим в выражений (90) разложений (91),
г dj = ( ^г, при л = 1,
J ^ I 0, при пф\,
будем иметь:
,.$(...+^+...)*=,

Используя пыраагения (91') и (91") мерных двух коэффициентов а0
«=—Фк»г, ]
1 (92)
Ц = — top д. ч. {it'^a^. )
В первой ич этих формут нетрудно укнагь формулу Жуконскт о.
Величина подъемной силы равна | R | = р| V„ | Г; множигель (—:)
показывает, что направление комплексною вектора R можно получии,
чошроюм комплексного векгора V,„ ни 911° в ciOpoHy,
противоположную „почоагительному направлению циркуляции". Исиольчун нолу-
■ ениое раньше выражение циркуляции (81), будем иметь:
ft--=4rF»„0| 1/W|V '"»sinfSft- -()„) =
о н в ин ф
9 Пд »
н н *но н ф
| а и
Г ффни. н ял 1
Сравнивай чю разложение с рядом (91i, получим:
л, = — | Аг>_, = - -^ ЛI К, | sin ».
Находим по (92):
Rr + «;, = — if (a,, + й>„) Г -= ,™„Г - (оа^Г,
ИЛИ ,[0 (61)
Rx = — 1к?св%, Д„ = 2ярса^»^.
Момент £0 по пторой иэ формул (92) будет равен:

Переходя oi проекции сьоросги u^,, vj: к их внрижешям через
модуль скорости и yroji а.аьи 0 = 8^, окончательно получим:
Имея выражение проекций подъемной силы и момента относительно
почки О, можем найти уравнение ланий действия равнодействующей.
Обозначим через х и у текущие координаты точки на линии действия
равнодействующей; югдц уравнение чтои линии буде[
xR9— yRx = LD,
или, исполняя предыдущие иыраления и произведя очевидные слкра-
Р"с 93. ,па ае длины от
передней кромки, |фичеи,
ьак rioK^3UBjei последняя форыу-ia, положение Центра давления не
зависит ни or скорости набегающего потока, ни qi угла атаки.
В воля в рассмотрение коэффициенг момента
будем иметь при малых углах атаки (япа-^я, cosa = i):

Итересно отииигь, что это ее
через коэффициент —— и —j^- a e
4 В раж ни н и ав ння по i
р фф 1Ш ы нф рмн ражен Ф
Р Н , , „ , т
ь ф Пар б а
г=/1Г) = „,„.-.+ ,„1 + ^1 + ^+ .... (S4)
Mm. "',)> *'i ■■■ — некоторые комлжксные коэффициенты, Тигда
сопряженной скорости V б;Деы iineiu вырэженж
-+drA + (Z,*—"'-)ir-i

■крнвая п д р
ц[...'+4+»,.»^-»1»'"~н--
Раскрывая п д р н р н
обратятся в нуль, тгад>чим:
чего выражение момента (92) примет вид;
Подставим сюда вцр.и.-ичше (ЯШ ииркт.чнции С. Cuoiki'TlihjiOii
безотрывному обтеканию чадиея [ ромки, тогда вьфажеицр \iomci
приведется г: виду;
i„- —Лср д. -i.[20/^«i(J| V^l^rtol^ —U + 'w.MorVil,
и.1И, производя ча\юн\;
V„-\V.,\ ,—-, smC-lJ-J-I,". "J _,-'!■ ■ - > J
I,_-2„, I I д [ - I
И V Г1°&ИЭЕ

Я^ггоад]^f д. Ч.(е--(°_1)=_47т0т;оаЦ/,|еял53
Уравнение линии дейсглим равнодействующей Oiflei йке
так что урапнм>ие линии ги'йптош перепишется f
Найдем о?ибающую линий действия р,1внодейс i в1
Ьудем иметь cncifuj рая. нств:
-vMy-Pi-j)"
разным углам атаки, представ.шег парабол;, названную С А
Чаплыгиным параболой устойчивости и,и парада tuu четоцентрон.'
яры-а моноплана. Собр. соч., т. II,

расположение парабочы устойчивости относительно профиля показано
на рис. 93. Фокус крылд служит фикусоч параболы, директрнсса ее
протодит параллельно оси О'к па расстоянии
_у=^28=—Д. .|.(№(0)=М ч. Щ
На дироктрнссе нахиди1Ся точка О", с комплексной координатой
з0„ = и!0; эта характерная точка профиля, называемая конформным
центром. HMeei наравне с фокусом важное значение в теории крылл,
особенно и гсориа нестационарного ть-иж! ни?.
Дня пос|рпени* линии дейакия равнодействующей нет
необходимое ги .троить параболу устойчивости. Известно, чю всяьу,о параболу
можно поп роить как огибающую перпендикуляром, восстановленных
П
п и игроыш шипи д I* шп Р1ЕНПЧИ i пшчпеи прстводитс 1 ti(.i

46 Ч н у ОН],р Н О р А Н Я ЛО
пр ф я а ьр П азов н /к к Чап
Т р i,
гак что но рипиу об\ол\ ovpymhomi 10 ~_ sis 2т) loo i и<; rt i вует
лбоП]!ой обход отрезка Z7"/", спраиа ешлсчо и слсан направо. О'.туж-

.бузование (98)
в о к ; р л
к пр

(M'l
(49')

РИС}НК«
контур
мйВпц и -jfOM рпвепиве действительные и м
pjrot' ещронм, (сидинив T04KJ М С центром
к нидпо ш чертежа (3 —утл м^кду линией И
(ii \ окружностей и осью 0*£),

tt у я h I
\ Л L
1 /

I Т д я 1

i0 Зчглк.Ц-п!'».'!.»»,.-
--2x.,.l|K,|-..
Жутоет.
. uwt
С ,0<.ОС
»о-Ч,-,»™, (9У)|:
J^^^lb^J > 3 = 2~^-
,„,«,,, ™»сл ,ВДии„« ;. В0,..« ,о,
с™<+~".
г = м+«':;
,,ю яо »«« «шц>ш- .'Г"
s"-tt)*'--"""-f^
—*(2-й-
ПОП)
■к;=,н

сти г и профи.'.ь с yi лом на
и профили показан на рис. ЭЙ.
1ч, нго наклон крииой £^(о)
TlIJlOH ДУЖКИ
рифили
[Г.|фИЛН
яопаю, например, полуют.,, прпя полусумму ординат _у, -=/*, (_c) и
Л'г ■= f"3 (л) верхней я нижней поверхностей заданного крылового
профиля
.У = |(У1 I >sl=i^i(-*)-r^Wi-
Задана об обтекании л>й!ЬН м.ыой hoi'hjiOcth потоком, тбегаю-
'Кич hi дужку под небольшим углом атаки, может бит* сравнительно
скоростью V с, образуюше
ала, т. II. Оборонгиа, 193

у —

— и*' = UcaF' {X) ■ — !Jj,.
ill) СИН1 iHpHui r> \pJBHtHira
к-гсион тнпн коши л прав
1 -V ттт^ lW
гдг/(г)— ограниченная голоморфная пне отречкд ЛВ и lirieiamin.i
выполнится условия Ъ"(с) = 0, К(с)^н,0 бечотршнпго обтемши;
?адней кромки (г = с). 11а передней кромке (г = -<) скорой
в общг« случае обращается в бесконечность.
представление функции /(г) через ее значения на контуре:
ipH'ieM и верхней части разреза 4S \ корня следует бр-iгь чич пл
/и - 1^Ш К й-™'. й! - - ■ / ЩК '•)- ''»'■ «J.
шшшшт^^в-

f PI - V'jzrc f"- ® — 'v- ®1 -=' /"г=Т1**(;»- to- l'1I;
погл.1, согласно (104), (lOG) я граничному условию (102), i*i«-i при-
ptna р:!т?енстви f]05) к ввд>:
i» и _ _.J, 1Щ. /' !Ц?Р= /Я* 007,
7гедстявляющему искомое выражение возмущенной сопряженной
скорости. Нозвращалсь \; полная скорости V к 1амечая, что в силу
V(z) = V«,-f V* <^-j =
»>-- 4?' I' If №-',J^-!"«.

£,=.-^1 Ve[»fJ„ + 2f | V'„|» J ^'ЙУ?=?Л
В случае л.,даишга F'(S)^0, и равенства (109) приводят к
1тнын уже формулаu ft Ю'июнью до 'I „ в первой степени;
3due'iusi, что, i<)i лаено опюьныи допущениям теории тонкой ;
и общем случае функция Г' (Е) чредставлнег малую величину ti
порядка, «то и Ч(„, нидич, mo rtT является Re личиной второго ii<
При 1
i «,, и /.„
■in Rs и 1(, определяют влш
Н*-л.(:-
И\ формул. И ПРИНЯТОМ ПОПАЛИ

Прирашип
oven г отосигелыга фоьлсл будет равен
йнрлжошя li„ и L0. д.'ы iijpaQoJiii'iecKoS дужки ничем не отли-
нотсн Oi аналогичных формул для ciaGo moiiiyioti дужки крути.
:о и не удивит е л l.iki, iai< как с выбранной степенью точности урая-
fiiiif 0]1Жк.а круга совпадает с уравнением параболической, дужка.
тоОг* в эточ убедиться, перепишем уравнений дуги круга (^ Щ
innh (t . -= - -I совпадает с панрапткчтем прямой проведенное
:pe.i вершину дужки и .вдпиио кринку. Эго снобеiво у круговой
ужки г.охраметея при лгобпх погнутостях.
Распределение скорое гей по шнкрчненш цжьи ми*н i uti in
1ЧЖСН производиться по лшесшич ф!>рм им шли j дтя ттреДеи
<х значений интеграла Коти. >
'Си., например. П. И Смирил. Ьч> ьичиеи mitl пт> Ы| т И
«Tesiijjar, 1941. tip. 252—253. Несколько подн Инее о и ii-r,irEenniF\
"егралах йудет сказано в гл. VII.

Опуская 1фомежутГ) je ши кладки.' приведем лишь окончательную
Jiop4y;rj распределения скоростей в ciyiie параболического отрезка-
й-|1',| Ь'|1'.|[$-("-+|+5)/^]'
направленном biio.ii, корды АЯ дужки, ode- острых иромки будут
точками безотрывно!о об]екания с конечными скоростями. Такое
обтекание дужка называют обтеканием с безударным входом. Подъемная
сила в этпч случае буД(Т рашм
1 е. егдиет ироиорцяоиальноя оччюонельной вогнутоС|И дулки.
Дейсткител1.но, при зттт чпяченин 'Jo., Формула скоростей принимает
4Ь О р ен б кан я рыло и проф

09
п

Л (pilC. „,) .CpL, JT„ >„
5/ \
eco
к Л1Й .почти-круга-^в плосвостр
в полярных координатах и гфедстаог.еяие -ioi-арифиа отношения рачиуса-Б
тара (у О х радию Wa " в юте рада Фурье
"-«»+ il(«»ti«« + i

^^•=ЩВШ:
а+'Т 1-й
г'.Гк+ТР+У. г'_,4,-1)4-/

фсобразуеыого крылового контура К относительно точек !■ л /■' и улачноы

™p"
ннм*[ ™
МЛ ОД II
snsst:™
'SSE.iSn.S
;;ь;г
=:%£г=
. ...„„„.'„„„l ..;
oS.™"^ •Sfi
.. ,.™,„щ'„. ,
i yie опреаелены
—■'•:££.

314 ПЛОСКОЕ И-.НВИМ'КВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДИОСШ Гг.Ч. V
част, получим <.лсгсму двух действительных равенств:
л, (9) = ^ [.< [Ь) | t (2* - - [)) j = l4 - 2л cnS -I V «* "« "«■
"^^° ™**=я ^ ^™г=-"^:=-:е^м
(Ш'|
(IIS

-т"+".' +--i'— ""■•
'.ra-jU'1-!'')'

4) Обоб [ение теоречь Жуковского на случаи плоской
ч ъ, к | н д ь ui
я. и pj и п че нл и р н зывае тс
д аз н п в ени р т. л щ о ш
д тар и ре в ор т ния на ов

V*V^
ф«]»1 Ш Л-«п
1 с piiLTH L И
Of* [lliv
1 I ,Ш
г^',:
ИМ |ри
СИЧ, „е dtBDunn»
snpoirL най^гакщс
, ,1К|„р и.ВД.,1
V^i^ ^ Il.nnhJ „ ueLk,№IHULTH Перед priori Ы1
J<n!^ :t,,v"m>„s™°..s™1™ p"„™"™"
pcnl pa н
V \ — ^(t.V^Va — R^

нфавлеянас ю перпендикуляру к этим сечениям; величины
t • V, = t ■ V2
-чгния трубки тока. (— Ri главный вектор сил давления профиля
Пред по л 1 га я пото ( бечвичрепыи и применяя теорему Берну л.ш,
Pi-p.—ltv!-?rvl-.\nv;-vli,
idHOCTi, квадратов скоростей как скялйрмое
просторов скоростей на их ранюеть,
Р, —Pi =■ у Р (V, -j- V,1 iVs— V,).
Введен Дне характерные д.т рЛгекчнин рзтйтгп скочостн: среднюю
£ек,порнуо с if о роить
V, =~(V, -| Va)
и прорость девиации потока
v„ = v, —v,,
Pi — /)a=r<V„, ■ V;,
i-V^t-Va=«t-V„„ t- Vj=--f -(Va — V,) = 0,
R = p(V,p[-V,j)t —f.(V„,-tjVrJ.
пр^дсши mwiueii илвесиюе разложение днойипго векторного проичпе-
R = fV„ xaxv((i. (H9)
r = iXVJ=tXV2-tXV, (119')
1>авен по величине циркуляции скорости по замкнутому контуру, охва-
тьтаюи^лу один, профиль. Действительно, оба сектора справа имеют
vtiUHiiKOBbtt направления (пц>пендикупя;шо плоскости чертежа), таи
I - 11 * X Va | — 'tXV,|[_|b l/.sinlCv,)-*- ¥2ы{С%)\ =
= 1(1/, cos (СVj) — МяпЩ<СШ

с другой сгоропи, вычисляя циркуляцию по замкнутому контуру вокруг
профиля, например но обводу контрольной поверхности, в
управлении, указанном на рис. 100 отдельными стрелкаян, заметим, чти
слагаемые циркуляции, рассчитанные но отрезкам линий тока, в силу
I =|flVos(Cvj — iVscos(a^.J|.
R = (,V„,Xr, (119°)
В силу взаимной перпендикулярности V„, и Г найдем величину
главного вектора в впде:
R — pVmC (120)
аналогичном форму.че Жуковского (86) § 13. Вектор R направлен пер-
пеищикулирпо средней векторной скорости Vm, играющей при обгека-
иин решетки профилей ту "«не роль, чго скорость па бесконечности
лить как непоередстненчо построением произведения (119) по заданным
направлениям 1. V,,, и \й, так н путем использования noKOpoi.i ьек-
торй Vm ни 90° в сторону, n]x>iiimiin)Jir»iajyjo „ пои о in hi ель ному
направлению циркуляции-.
Введение срелней векторной скорости Vm представляет большое
удобство для сравнения подъемных шл Крыловых профилей:
одиночных и в решетке. Сопоставима обтекание профилей огной и той же
лидкостмо при равенстве скорости на бесконечности Vj—н случае
единичною профили и средней векторной скорости Vm— при обтека-
й = й,,и,!«,.Ж11 = Г|,1и,:Гинв.
Замечая, что, в сил}' равенства
t ■ V„ = t ■ Va - t ■ V, —- 0,
вектор 1 перпендикулярен к Vd (вектор Vi: следи нате л глю, ич^ег то
же направление, что и ось решетки), а иектор I X Vs перпендикулярен
к плоскости течения, т- е. и к V„„ молем переписать равенство (120)
R^[>tVmV,t.
Это ска.тярпое равенство, так ж^ как а векторное равенство (1 !9),
имес! то преимущество, что указывает в ннной форые зависимость
(прямую пропорциональность) главного вектора R от плотности
жидкости, шага решетки и двух характерных скоростей — средне»
векторной и скорости деииации потока решеткой.

l.iкия образом icoptMa Жуковского обобщаете» h.i случай Oei-
iicposiiUHr в Ti'-Орему для одиночного профиля. При l-ioo
циркуляция Г стремится к циркуляции вок!ш одиночного профиля, слгдом-
р р пун 1

.
Д va = o"
^j3^
«нш=
г j n
_^i
111
,-в идаш ДНЕН10 При больши*
"""'■'"'" """Ml- /»•*"'
вгр[еокщ) 4 в нсдзеи! вышедшей

^ 49J TEUfhMA ЖУКОВСКОГО ДЛЯ ПЛОСКОЙ РЬШЕТКИ <Ш
[ sun jpa) и II L Кочяиа ' В атой ьратьой uj iwtm цифлиг* и.

ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА

«•-'Ч£-"(£ + £У'-^-'*%=а-
-+«•'-»•• -^[(ЙУ+ШП-
Уравнения (5| представляет сложное н_лин<.1!нос дифференциальное
уравнение второю порядка а часпшч производи их опгасительно
неизвестной функции <з(х, у), вопрос об интегрируемости KOi'Opoio (фи
Как что уже было искано в гл. TV при рассмотрения одномерного
iKCi.iHHOiiajiiioiii движения, попытаемся линеаризировать уравнение (j'i.
сделав предположение, чш в рассматриваемом движении поле сноро-
cicft. плотностей, давлений И др чало оглвлаегся от некоторою одно-
Быйир<ш ос:, х параллельной эточ\' олноодном)" потоку, будо]
н\ квадратами и up отце лен ними.
В этом предположения будем ичпь имеет (Гц следующее
линейное уравиепне:

Из уравнении неразрывности (2) следует, что существует i
функцией тока, иго
чаемого газа разобьем функцию тока Л, анатогичн |Э) ня $
стаугащую отклонению действительного пот ha jt инертного
-{V. + S) .V. | -!-,
е второго порядка:
Освободичсн r первом из Этих равенств он р\ вырачив ем) через
добавочную скорость и'', соыасда формуле Бернулли, переписанной,

i этого равенства
1 - Д4„ ду ' I
Определим воз иущспая, а'. V', р', '/
1Лнородньг!1 поток со скоростью V-л,
НачЕки с рассмотрения дозвукового п
■означим через ша ярличину:
, вносимые шердои стень-<
отокя, при котором М^ <

I'm Il>2
■цеквд lBy\ if»! ЦЧ11ИЙ <
-Aul-Klyl.
-r-JjXlxir'n.j^O.
-,«„„,, _^ l4in-[j:(i—vu^iiti-f.v-i- . i= l'a,s im ■[*.

Отношения добавочных скоростей я (.нечаемом
!зе раины:
^Г= i/i--^
Таким образом, .1ННИН тока при М„ —О выпрямляю пи скорее,
гм при больших М„ (рис, 103).
Определим распределение давления дозвукового потока на аолни-
ьоторыИ а c.iyijie чинеариэирои,!
^"ГТ^ТТ"*"^"1 Е^,

jll 'IHЗАВИЗИРОВАННЫЙ ГАЗОВЫЙ IIOTOh 3J1
Подстанция 5io значение р' в форм}лу (22), наядсч обще? выр,ь
евие коэффициента давлении /? в линеаризированной теории
Коэффициент давления по поверхности обтекаемой стенка расте'
t числим Мл по заыону
ГЬрейдгм к рассмотрению сверхзвукового потока (,ЧЯ> 11. Вводи
этом случае обозначение
уравнение имеет, как
'Л и Л—символы произвольных функций)
<■■•=/,(«—Й+/,(*+"А
ii сч Jiti-ко убедиться поостоН подстановкой.
Рассмотрим решение, соответствующее первому слагаемому

приставляет второе (емейство характерам
уравнения.
Уравнение' (1 o'J — -пшенное уравнение с
смиренной я § 2к r.'i IV нелинейной онтелн, (27). определи
а простой лонечний форме. Вспоминая ранее изложенные cgoI
характеристик, убеждаемся, что и н настоящем частном сл)чае,
распределение ирактеристи
u'(x — 4V) -"'('-,). *'(*- «vj = o'(Cii
о'= ,4 Si,l[7 (*-*>)].
Тогда ич перил о грагшчио.-о уелопия fiy;
жончатс-пьным pcsv,i>
К^С= 1
■s ETIJ--— o>w].

Г (2'i) Прежде
«ИНК ЛИНИЙ (pill.
f эффидЕепг зт
«-

Д34
значений (рис- 105) но серадине
п ючкс перегиба синусоиды, и миним
(* = *).
Формулы (23') и (26) чожно персга
1^ < 1),
(М„ > 1), I
~VK,-i '
§ 52. Тонкое крыли в линеаризированном до- и сверхзвуковом
потокам. Влияние сжимаемости газа на коэффициент пи съемной
силы в дозвуковой погоне. Коэффициенты подъемной силы
о сопротивления при сверхзвуковом потоке
и CRepvBjTiOBUM пито»ом тонкого чапи нагнутого i рыла при налах
Начнем с домуьового чб1Ъ\шяя Ойрлич прежде E^tro вннчание
нл следующее свойство \-равне1гий (10) и (15; есчи в зги\ уравнениях
от ipryveiitoti х н _у Перейти к новым переиенньш:
• =,х. -п= Vl — Mty, (29)

тем не отличающийся от соответстующих уравнений для погснщ
В результате преобразования (И 9) отрезки, параллельные оси
глнутся d плоскости {т( неизменными, OTptii.ll же, параллель
4х ' от, Оу }
; (14), (29) н (31). щзлучим для ернв
•"-*=?-7^-

тнушйний, как „суммарно?" (по по-
псрным r более широком диапазоне
гецие (31). Hi рис. 106 приведены для
0J 8,6 V W W
о формуле (36) и эксперик*

Замечая, что обшее решение задачи об об;екяиии тонкого профиля
сверкав) ковыч потопом складывается им двух функций;
ироиелеи че[кя тчки верхней поверхности -«ракгсрисгиии первого
Аа р в н ы
Р
н р р
ь<
/<"
)
причем отрицательный знак cooiiiercr-Bjei ||0лОя.И]е.'1ьн.о.чу липу
Найдеги к^^ффиииен!ы согпкпиьления £„ и подъемнол силы cg-
Инеем для элемента почерхнопц крыла rfs следующее выражение
Проекций №■ чявл^иии;
i/R„= pds - sin 'l = ptly- p~ ■ dv = ph' (x)dx.
dii„ p Л cos 1 = ~f) dx

С\ «ни]>\'я д.щ' верхней и нижней поверхностей, полу щц
t'^C-
SiC^ + ^WI^-t^I'-,.
Pj3H0Ctl j тич. Af-i, т 114 л S и 4 зна
примем ii \ ijui pimriLib |]'"1ИН1Г3Л—v п л * t
ii!hc —h прп тпм игниппнш n" «i*hi в вы p нн
4 *___
1 ^~^~ ' 1
j им*.]* i [m^v*,
П ф p

п 1

росши, то нелинейные я фи шч сетей iTJioiThot'TTi (x,y) уравнения газо-
нпиятся и плоскости „годсирафл скорости" («i, И)
ду'
udx-Yvdy = d<>, ]
пторое уравнение м /=У — 3 и lku
(и- widix-l-iyi^dv+i&dy.

I Формуле юэнтропичесного движения
^_(u-i^l.4-)'-',
ую г, продифференцируем пгрвое ypaDiieim? (42) п
w и результаты пычтем груг ит друга, тогда, и ■
то^учач
i(;
,°rz
paus
irar
_ 1
га'ча
+ i*
&
■ww"
+ <«
1 4"-U-
«--i-
;°™T™"«'
ЙЙ9

Заменяя r форму.in Бериулли (i,i. ]V)
,1 ПО НУ
ilepenpeciauM дифферешцфованмем и вычитание" уравнений lh-
1 ггчы (4й) мпжно получить раздельные урлрненип для = и 4, причем
■-'|'и траипенвя иуду! линейными уравнениями второго порядка d
частные тфотпочны*.. Так. например, у^виенне для функции тока ''/
;i-,-^«]+~U;-s-

[m ертт
'1 [Я p III НИЯ
^ lH+ —£
iVlUU ^ЕН?™"1'"
={Hi"
- + (!-V
«'"fpHHT И1
LTpWlH/H. 0
npaiBML-t I
)% -" <47l
11ш\ННооте^нийрИгТ|
p J LLM (Прению ttpyiOll
Чапчыгпвл (4ijj fm< i.t i hl iaEHiHuiiti ш решение tt " unit} in прр чсш}ю ),
pa иную
>л i/m ] »_»-' i s
W>f
(>-4Й»Г I
'V;
tl^VZ^TleZ»
С А. Хр'истИано'ви
x скоростях. Труды ЦД] 1
E И. М. Юрьсп. Ойт
ости потока Прикл. мате,
:?;=;■
и. Обтеки
1, «ып. 181,
екание т,рм
j м механ..
™в£
141(1, ,1 1
т. XI, в
авотмС Л. Чат
гйгоч щи, болы
■аюи. Г.. Л. X р и
трсфиля пои док]
ып. I, 194?
здат." 1949.

i К предсгавляет следующую функцию /:
К- —-~irn-- РП
и Л | га
Ь ______
. ,н™ i кп,:.v;Ti, л-ж"™™ ГШ™."

34В
гакю rnfc.. 7 „шчеиНИ }'К -и- вошуи (* _ 1,4).
с аналогичной системой сравнении графа (j, ft) для
несжимаемой жидкости (>, = 01 (., показывает, что
i!i = ifi., — (S3')

,-,г.^гшц«ы И1 (Щ при л,-0.

нии тр ' it а-им \ЧЧ) iiartKd равенств (33| тточвотяет
:маяи reipnu пткюго Hi сломаем jri поггьа |1айтц
ч-иишг ч, , ни ышшны» п -гл в и ju-ouh f7, В)
™- н' ч^е, чг„ к в фи и и >л тписьостн гече-
И) цгогтит т. В paiifL niiiiipiванных paliurai
ВиЗИНЬЭЮЩШ при STJ4 HIMlHfHIMi В П1Тр1-)НОЙ йЧЯ ГЧавНОГ'1 Об-
•I и-яя тдн И i-piMKH пр|фит нирштапип и другие итнопщиия
nil внприы imp, iuti тх-мпваии
В ДЛЬИ1-Й1П"М ь пирян е npjii tiirisrD приСи лгчич ivA1* i ipe
jpirSTi ниян и pj нмней mcaj\ 4 piiuB прпфичрй в ри ичеС*И1
/■га — Г.„
^■тй)"-£г-
>в-М^Г£

? таблице I, определим связь межд} р и рт при помощи i
'Тричсскях формул (56) и (57), чго и дает искомое решение.
На рис. 109 н ПО прел ста я.'1С ни рассчитанные по первому
шлкниго Христиаиович,! (формулы (56) и (57)] мочограммц (

ш
itiii
Ь
Ш1и
•^t-
-I
TJrrr\7\VI ! I iTl
it.

На рис. 1IJ9 чана номад-рамт пери, i
пни (рааргжгндй), на рис. ПО —(лршитчьныч дарчентй Пересчет
по 5>тич номогракмэм /7„, в /)„., при nmmn M„ hl юскнияет
труда.
Как показывают номограммы, нляякт *.ли neii lih гл t hj
распределение коэффициента давления и церии и ирш 411 + 1ЧИИ 1.1 * UBirtcfi e yse-
абсол
а Моо картина раатредел
ля. кривые распределения п,ав.т
i ралдвигаротся. ограничивай hi
тестиенно, вочрасмет цирку.|>
лренное нрибли
юго тому, котор

Лтшерим 1!.|И1Шия числа М^ на распределение коэффициента
давления могу г служить кринке, показанные па рис. 112, отиоснидеса
ь аер'гиеЧ поверхности некоюрот крылового профиля.
51 И. Л ? в к н с о ц Аэродинамика Сольник cwp-хтей. Оборот из, 19-18,

■■(и--" и ■:) w>

2I'„ 2M„,

J-

г t 1'jut "гнетить
при ри = — U 6 ь
и. ни npifflnoni при
§ 5i Критическое mhljio jW а его определение но ыданкому
распределению лавтення в неомшаемом обтеьаннн Поведение
коэффипиента подъемкой силы и момента при
около и .^критические значениях чисча ,>!
-пиши прпфич
Чи1 14 М В Hdfill
и чнтрпттш тм (при Ч _ 1
ИПМ.1Н и А. Е Пакет. Bet,

ropoti определим коэффициет
?-^-^~о-
Р= Рит, М0 = М,.г. М =. 1,
Ф.,Гмяа ff.61 и связи с_эгш i,L преде1ав,|яе1 ирлоичикою ише-
cu, isk Kift пересчет с (рв,омм iu (Я™),^ ни форами иеришо
рийлиич'ння в этом случае недопустим; действительно, при М„ = Мьр
точке, где /;,.,,. = (/>(1Jli)y]l:l. скорость гача ранца скороси звука,
Приводит более удобный для практики график (рис. По),1 поэво-
ашщий о1ределя1Ь критическое число М,^ по 14 .чанному г
71:о1нав, раегчитянночу по обтеклнию профили не сжимаем и и
». v, ; «S).
.1лит;нвае1131 .. .фи переходе через крнти
щи им>1сняс[С Вблизи тчо минимума да
п НКАП. вьш 21, 1913. t

§ 5b Решетка профи теи в huqlkom .юкритичечгоч потоке
сжимаемого газа Ооойщение тепртш А\ковского
F 4; -Iе! |Н1> ВИВеЛ II П 1»ЩеПИ II р IJ * I IftHin II JL
ШОП LU* Н?(ИИргвМШи О hJlHJOBDH npnfllHHl lit\ Ilpl НИ JH

V,, = V2 —V,.
Но гаорече IiepiiY.-inu i.ia алиабат^чо.
'ГТ-('-й

^ 56 Решетит проф tie! ]

Rck:or> Й нл ((сновании (139) принимает -HJ'tea.
R-=(/■,— ^it — Pl{t.V)V„, (fiJS'j
'-■w V„ ооозиладег р.щег введенной ветюр 1еии,ишй ^лскчкнии)
I'KopoiM-ii noioK.1 решеткой
V,, = V2 — Vj. (70,

гче Я преде ин л мет скорость потока, отнесенною к критической
скорости: ___
]то с точностью до величин >4 ичгш иссто i риб~ижшюе равенство
^--^^1)p.|l-V.J-[1-i^T],„ll.V,1. (73)

p.- 4-i£Trt->4>-5§FnT«+'.,H ■■ ]■
R= \ \

МЛЕИ0ГО rAJ1 (ГЛ. V,
t обеим 1астш (6Э) по равному шиестку Pi (t VJ. будем «меть:
Pi* ■ ГУ, -нV.) =- (Ft +fa), t ■ V,),
i. килим, -"го с выбранной пепелмо шчности р„
млиекя точно, ес.1и заменить адиабату (изэшропу)
флмую в ючьс (ft. ^). а удельной объем принять
■'-£=
-,.(,-
,.,(■-
»' -,-тт-
_
^-г
4(^^)^^Г^+К^|

-m-$>
P, — Рз = "J- Ы (И! — v'i> = f mVj» ' Va-
» - ■•- (V. ■ V,l t -,-.« № -V,) V, - ;>,, -X (I. V,
^MiSSS
Ш
чсзду средней арнфм!

-+ - — +
~

/„(<»' —^--mk. + Mw).
Составляя дискриминант ■."равнснда (SO)
У'Зедикся, что уравнение (SU) будет иметь действительнее решг
ючько в сверлзвуновом потоке при выполнении условия
Vj~a am M>i.
О каждой точке сверхзвукового цоюь.а мол>но укаямь два се
^сствукн^их сопряженным кирпям квадратного уравнения (80j

направлении (будем их в дальнейшем называть гхарак»1срисжиче-
схилт"), вдоль каждою из которых функции una должны
согласно (77) и (78), удовлетворять соотношению
■ft, *{*-&>_ W-*)
Ураииеиие фб) может быть проиккерировано в конечно!
(что и будет сдела! о в дальнейшем), так как местной скорость
ирсдслав.ае: и'-ШеСигую функцию скорости Дпи*сння У=Уи'-
Таким образом, совершенно .ада.'гогичтю случаю пелипеаризирол;
Семейства (CJ и |С3'| интегрл.нлшк крииыч ^рациенин (HI),
нетстнукицие наличии) ра.шых знаков ттгрел радикалом, образуют
характеристики в п.тоскости (х, у), а величины т1 и jn.2. опреде-
.тсмыс ii'm же \ряшк-!1Ийя (81), 1фС1Сгав,тяют угловые коэффииичии
KacaiejhHHk к характеристикам И'Ш vapanmepi
Иудея называть для определенности ьрш
диАфеташиальчоыу уравнению (St) l положи
'%-^тЛ

Характеристические направлении и плоскостях (.V, >| и \и, V) как
jio сразу следует из (S'i'), связаны между собой очеоиднывд соотно-

)равнении характеристик Н, а
Н3 в плоскости (а, и) K'jk уже ранее было указано, ураннеиие (Щ
может бить проинтегрировано в общем случае. Для j прошения
интегрирования уравнении (8.1) нгрсИдсм о^ проекций скорости и и V
к величине сьорости V a jr.'ij 0, образованному вектором скорости
Имеем, соыасно (ЬЗ'1 и рис. 120.
ощ,— ^'== ct^''+«).

Приведен в мча уравнении замен>:
da = d V • cos 9 — V sin') do,
dv = dV- sin 'J + I^cos 6 d9;
[slnfj-Uctg(fi--«)cost)]rfl'+[tos'J —ugfO-H«)siiifJ] l/dU.-n,
откуда попе простых приведении найдем-
d'|-^ctLT3.^ = 0. ,851
Вводи, но (84), число М, перепишем уравнение (85) л виде:
dfj = jL/Ma—1'-^-, (86')
или, совершая переход от числа М. = — к чиоу ). s_ — ни ртее
К '"Hi"

Переходя по обычные форчул.ич о^ргтнх тригонометрических
функций от арктангенсов к apKCHiivcaM, приведем выражение s(i)
ччегш itu -\)) при ; —1 (Зрлщрпя в п ь
1 ре;к-аявле i основнл- i рмораипвчнне {50) в ме-щ ^гатиаксвича
Задавая ра„та)Ш1Р -hi енш и н. шннпй в ф( ])ч\ tt (111 пм\чим
LcvieiiL 1на \apiKTcpntiHk Я, и Я в щхилги гмдэгрэфч I ') щи ) Ц
beipa?4e|)jun иироегь * ченяе ьи и upeztLiii 1 ) J/ F3T'
тетл грлниш прегеинчлег нркнческии a opiLri. l =Д i р1яэя—
преде !ЬН>ю ьпи.и\1,пы1) н u upocit V„„ при h iTLpoli д.ш ение
в дя hi нцентри1и1ли ьр\ лн it" ; — 1 и л =- |/ f мил еч
am чнигг все npocrpaHvTPo це» ц ними teftjit ривы\ (ЙЬ| П i-
трпбННЙ 1ЦПИТ mi 1 UBIeT ЧГО JTH рИВНе npMlMBlIFFir ^Г1_иН
*.-нн™л f *, >S npjH-в.
НИИ Не ОШГПВЛИЕи
iPdJjH 1еСКИ\ ipHi"M)B IJ
повороте cuqtxiHjKOBoro потока вокруг
1гла О (рис. 121) на jro.'i ').' Как станет
не нарушая общности, можно пред пол ai ать,
■а от примой ОСГ) — звуковик (I =-- I, 4 = 0);
о потока после повороы на yro.i И, сайт-

0'
"^
\
(Ш)
30,04
42,34
45,42
48,30
50,93
53,46
58,16
n \ m;su
U 1 62,49
14 ; 64,52
15 : 6(5,53
If, , 68,47
17 70,33
27
72, IS
73, ЭЗ
79 20
su.tw
82,55
84,20
85,81
87 42
.-
-.
m
34Д6
33,51
32,8(1
32,10
31,45
30,8(1
30,13
24.58
M
1,084
1,332
I, .366
1435
] ,470
1.505
1.608
1.611
1744
1,779
i|sst>
1,884
1,918
2,625
>■ \plj'„
1.068
1,107
1,173
1,201
] .253
1,322
1,314
1,366
1.387
1.407
1,428
1.448
1,467
1,486
1,541
U92
1,609
1,525
1,611
0,477
0,440
0,401
0,381
0,345
6,320
0.2Ш
0.284
6,270
0,221
0,210
0,130
0,183
0,173
0,170
0,153
0.123
6°
28
29
30
32
33
,14
35
30
38
40
11
42
43
44
45
4
48
49
50
52
53
12332
89,02
90,58
95.18
96,68
98 20
99,67
101,13
101,02
105,46
106,88
108,30
111,11
112,51
113,89
II'i.27
118,03
118,00
12071
122,07
123.41
12-1,74
126.03
210,32
28,98
23,42
26,82
25,33
24.42
23.38
23,54
23,12
22.70
22,29
21,49
20'?3
20,37
20,00
19,61
19,29
18,03
18,59
18.26
17,37
0,000
M
2,062
2,008
2.135
2.314
2,296
2,339
2,422
2,550
2,595
2,(540
2.6S9
2,734
2.S26
2.873
2.320
2,368
3.W1
3,074
3,131
' PlPv
1,657 0,116
1,673 0,110
1.688 0,104
1,720 ' 0,092
1,735'0.086
1,752'0,080
1,767 0,075
1,781 0,071
1,824 ■ 0.058
1,837
1,851
1,864
l'S9J
1,903
1,917
0,054
0 051
0,047
0,044
0,041
0,038
0.036
1,928 0,033
1,939 :0,031
1,951 :0,029
1,963'0,027
1,97.il 0,025
1,987 0.023
3,188 | 1,999 !<j;021
3,250
CO
2,012 0.019
2,457
0,000
r^l/>
- J + )-._i+|/T£f """(/V v^V

зы
37й
Применял известную тепреыу сложении арксинусов
1 убедиться, что сумма дкух гкхтидгнп членов я равенстве (ЬЬ')

"''V'-vi^ii/Wb-
i (иволиюще, гццхдс.игь yro.r а чиьлу L^opOLibii1 и шни(.И позчу-
Ш1'ния ко тайному yr.iv с линии вотмушепия с перпендикуляром
ь направлению Hd'ia.ihHoi'i hoiukj Пи фириу.и.' (№ найдол связь
па следующий интерес! in It физический факг Согла.-но (87) и (86*1,

r.iawo (Кб"), при этом так:
возможному углу отклономия струи. 6vteT образоыыкат!,, coi.miho (ЯЧ),
i невинны угли и скоросг
11 предполагать, что iia )
< бьы и(ерхзвукошч, чж

n t^r- меньше прямого, Так как при поинроге погона сксфосп
о Ч, уменьшаются г i )гоч иг tw имшт /J= ire sin ,у- должен
R ГрРЧу ЛИ
выпаду -
ч ОГ„ ока
/ /'
,H»;r„.,(Pi, "1B1
метров дчи женин д
Анализ прохо >м<?-
члсьсл от соответствуй
делалось в гл. IV, применим
/ /
^7
%J^"-
Рис. 124,
шых уравнения №
я обозначать в дальнейшем кидс-v
дин обозначения составляющей скорости
индекс п — для нормальной составляющей скорп.
Выбирая контрольную поверхность так,
буцев иметь:

гверхзеукооой поток внутри тупого угла
акону сохранения массы;
6) по чакону количеств движении в проекции на
h поверхности раздела;
и) но гпму же закону ii проекции на норчаль к imsi
й + Л-^+рХ..
г) на основании закона сохранения энергии:
к- j(4,-i-i'i)='.4 ilvh+vL).
Hi л:а1!Неннй пп, „а" и ,6" сразу выте?
V,, = V;2 = Vt,
и сравнивая тл. л.д
ito уравнения лсч
давлении р„ р, я ь
ударная (нннзянтро
:нс \ равней
■2",tf ?/£>/£!
jh кчигь npprf'
miHitiffl о 1 Д
го и np.i прямом
1 rat. At
ории npi
",'12'J"!,
U Ii HOC it
Ч.ЧЧКС
ЛрЧРН^ННЧ ПП „i"
с ураенсилпчи пр
■ Uii^a *пди1 цщг
этэ — и-исстная \»
нибудь адиа^атнчес
отсюда сразу следует также, что:

■аняютья температура а <
•тропически заторможенная
тельной скорости 1'„, а за критическую скорость i
i. что. condtHO рис 124:
V. V|Sjii,'i, V.in^ liSin^ — fll )
ViV.,s{n^smli—1)-—a-i— *_ J-I'fiW?,

Переидем ищс ооьгишм о^р.ном
- -g- sin ^osfftg (,? — «) ^-sin^. (98)
о и Pai адн,
^•Ш^-^ГЬ
По.чмонанис фирмучами (48), (°Л) и (I01J ipc-бует стопных
вычищений, дли нлбежанич которых предложены различное графический
прием и. Рекомендуем номограмму, ' позвочянмиую no аадашшчу
числу М, до скачкл и yi лу цоиорои ир>и '' определять угол [i
юке за скаком. Помним пользование номограммой ш схеме (рис. 125),
i « жирной линией показан/: одна hi кривых зависимости р от М:

при 0 = 90, Выбираем на верхней горизоцгалымЭ шпале точку М^.Ч,,,,
соотвстсгвующую начальному состоянию потока до скачка, и проводим
через эту точку вертикальную прямую до пересечения с кривой,
представ .тающей зависимость |5 or M,, Получаем в пересечении две
и Э-- р0| отсчитываемые, как показывают стрелки, по левой верти-
р
1
-.-,
\Ш ы
т-«,
— ».»,
V J'1-»'-' —
\
г\^ ■
1
)'
в
кап, И ш а е н п рал ы а а лв пари а II М Mi
fi-1 и —) ьот ры j ьно н йг на пр l й верти а ьно i 11 каче
и п Ч i ор в тал йшк —) I ) ааьны дв ^и а
стрелками), то врн
лется система значеклй Эо >
рчбочеИ", точке номограммы.

J&l СВЕРХЗВУКОВОЙ ПОТОК ВНУТРИ ГУ|
Рач.члривп ном irpdMin Гон,. поцробш

,i>^
*Ж

: Flow and SliocH

ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ
% ЪО Ортогональные криволинейные координат в пространстве
Основные дифференциальные операторы поля в к;
РИ1 .
Пок
i
^
,р «ИМ
1П И 1]
т i пр
иылент.
подроби
HRi 1>р11ЬГ>11Ш 1ШЫ\ рДИНП
<ш и в pLcrpaHLTFe тре\ и че^ш
1 CQOiiieici'BMeM с координатами х
У 'У (Як 'h, la), I
остами 01сылаен к курсу Н. Е. Коч
ензоркиго исчисления ШТИ, 1934, ст
„V, =■
;?£ss:

388
Изменяй (рис. 132) одн> ил криволнтеитшч координат у( и
принял постоянными остальные две, получим некоторую кривую линию
я пространств, называемую координатной линией (qt). 'lepej каждую
lO'iKy M пространства мои;ио пронести, такни образом, при коорди-
влена по касательной к со-
oi'BftTcriiyiomeMv 1 одографу, а и результате деления вектор.! п.) его
модуль получим вектор единичной длины, т. е. орг.
Введем так называемые ковеифщаенмы Ля.че-
'Н&--/©+£;+&;= «
тогда иредыдур'.аи форчул дни е ,ед\нчдее выражение ортов коор-
Дифференциал д>ги ds( координатной линии (i/(j равен модулю
Ч1СТМ0Г0 дифференциала вектора-радиуса по apiyuemy (/,;

сн фф ни я рди н х 1 ufi правел
ар ч нп да
/ _. i „ _f_ Ц iq -{- I iq + jq
рдинатн при! рд umoT
рд а ой \л [ ] а и .
П ны [ н * ни ди h t>ep u inD n 2HBJ ны
ч нры о рд н е п n i ки
rf a 3d H&H d q I
da3 = <fe, d*s ~ //,Я2 d?1 d72, I
,i гакже и выражение для элемента оОъема:
Л = rfs, rfsa rf?a = Я.ЯЛз <ty, rf(79 d<jj.
Б ,(u iu.ni!pti<ieLhnu (рис. ИЗ) свстсмс ьоординат (г", -, г), <
к tmepuwacou (г. г. 9):
я^-^:, //. = ,■-, Hs=-i;
- ^-J — r-^-j-is^rf^-l ^si^'X^-f-^tW (7)
-rkdsrf*, da, = dr*<i*, d,„ = r*dBdr; 1
= га ач Ь <fe ,/li. d5[ = л J' rfD. rf3j - r sir, 0 dr rfs; (8)
= гк rfr3 dt dz = >* sin [I dr ds ttn. I

Ни тикделению градиента скалярной фунчшш б>дем иметь:
которую проще всего пив ест и, применял известное или
интегральна Определение дивергенции

ЭЛИПЕИНЫБ у
391
с составляющих вихри no напрлкяе-
urtsiM осей и гоп!не1сгвую[Цик элементарных площадок известную
георему Сюксэ (гл. (j о спти между интенсиплостью ви^рп вектора
и циркуляцией вектора ио элементарному контуру, охнятывающе-му
мюрлинатигю плпнмдк) (исправление o6xon.ii показано п'релками jui
],,»- 132):
автаюпо
;ol,,a,ia
■да lok
операто
коорди
■*, например iot,,a:
-=i<»i, a HiH,dqld,i.i =
=\ds' i-K*^ * -Sr^j
1 "(«„ iftiJ 1
о (a„ //, if?,) й (a
din d4i
ащаи на dq^dq^ и повторяя то *е вычисление для лруги
1 jtl(«7,Ws) д(аъН$\
1 Гй{Я/дН,) б^Н,)!
1 Гд^НД й^//,)!
ю .-/A — HlH! | ^ „^ J"
(11
пользуясь (ID) и (У), напишем еще общее ниражени
<i Ллпласа в любой ортогональной системе криаолигтей
ач:
V^s = div grad <e -=.
//i//..W4[^i\ M d?J Г i?gaV Я. (W <iq,\ llu 64i)\- У'П
Приведем в заключение формулы градиента, дивергенции, вихри
и оператора Лапласа в наиболее употребительных цилиндрических
Л сферических координатах:

d) цилиндрические координ
6) itpqmu^ue координат*
Az,
■S), , *., , -(-*
& fi ГТ p H p p
p а н к
П p

d]l g;rad ip — VsrD II
riMil L UTUDHnil Lhupn(.TI> \ 10ГДЭ ГРЛНИЧНЫНН
6} }Глонис на бесконечности

Следоватедмю, пот<нция„ i
■Г-^«х '. 4V+^--
6х, by и Oz.
е очевидному условии ьсиря
У-
юда получим:
«.р^теи ь
'(^CQS5 1
FvTF
4rrs = Q.
JO.,KH]10TOI
той c
с«Э
in У
а.„ко
учае
?cr
hopoi
ИТЫ
««en
>T). (16)
™Г!Г
ю источник;
шйся в теории протяжения, электро(
■ике и др.
3°. Поток диполя получим, испс
гия Лапласа (15) наложение частных
решали по абсолютной величине ыощно-
ми -Q.
Расположим сюк (рис. 131) в точке А
с вектором-радиусом -Ш = г, образующим у|ол Ь i няпрявл
пряной ЛЦ будем иметт:
я 0_., _£.

I,]], Q. Л4' = /Я (коночная и
iHLhiisa» ,jojенциэ.ч слорштеМ '
'1)_
'"и формулами (I
j рассматривают
t-1 p а и с т и е. Предположим, что пиугри nei
непрерывно распределены источники [стоки)
rah, что на единицу объема гтрчвдштся
мощность q. Величина q, преде гавляrowan
функции координат точек и объеме i,
"грает роль объемной плотности
распределения источников (д > 0) а,,и ™п.
«о« (д < 0). Элементу <У5ъгма d
%лет соответствовать источи*
стч (/Л, и потенциал спорт
и л^бой точке М пространства

источник в гг>чкс Л с гекугцсИ ючкоК пространства .И. Польнуяи,
в гочке Л'/ от непрерывно распределенных в <уу!.рме - источников
119)
Подчеркнем, -но интегрирование про вводится ira мчи
элементарным объемам, образующим обьнм т. ь е. ио исрокнныч координата»
1очки Л, в то время как точка :И является фиксированной, в которой
определяется потенциал скоростей. Ьсди ойоличить 'icped (о, й, с)
декдртовн координаты точки А, а через (.v, _у, г)—координаты точки М,
jи фор«>яу (19) можно переписать явно так:

'.НИКОВ (§ 11), МОЖС6
id?, divV —Vab:
V* —
векгора CKopoci
i непрерывн
Любой TO'jFi
(201
i« (19)
u (19)
поверя-
скоро-

юли, приводите! оси на ъ \ щ
ЮГ.1.СЯО (IB) ЕПЦ18-), 8. д р
!де IJ (рис. \Ш) — jio-i между внешней норма'шт п повериюаи о и
веьтором-рааи^соч r = /Af |екуцгй ючки Л] о томительно точки Л,
взятой на поверхности.
Полный погешшал скорое i ей иг всей гтокрьпой диполями nouepx-

Б —-С р П
dtvA = U.
е (.23), если истоми и и, основную формулу в
rot rot A — graildiv A — VaA,
V*A ^ — Q.
о уравнение как векюриый аналш уравнения
вставить решение ¥равнсння (25) в форме в
(19):
е г — радиус-вектор теьущей j очки шия
htj объема т.
Согласно (24), для вектора скорости V и

4
Истоилуя Лормулу векторного анализа
ктором, гак цто rol [rfr) = tl.
-i j'giad(L)xdr. (.2S)
дам'" Г„™к.°
Первый пу rs> злклзочле-
( знаком и: пег рала
5«h(ij_
риводщ к ццродкнами
-нетизча формулы Баи
построении ни.и а
ни в ченосрщэтве.п
= — ^gradr = --?f.
4»S™, «■
v-5rl'--T--
lOpocreil вокруг заданной
te упростить диумя pas-
Ю« ШЧИС.К.Ш. 1ТШ»-
' 7 = —^
ieCTHuh is теории ч.че.ктро-
129)
FcJHp.iWMOijttn.a-Jt.'.ift'WfflepKyiofkopocTbrfV. образованную
(„индуцированную", как принято говорить) и то'ии' Af ^йчептом вихревой
пяти ilr. то можно в чес го (29) hj чихать:

Чтобы проиллюстрировать ^аменеиие фоому.ш (291. определим
ii>ct?., шщуцнроваипую и различных точках пространства пряно ли-
я» отрезком ЛВ оихревой нити с циркуляцией Г (рис. 1,18),
Замечая, что асе ллемситы прямолинейного ни-vps 6} дут в дацниЛ
io перпендикуляру к плоскости, lipoise-
.tHiiofi через отрезок ЛВ и to'ikj Л1,
сторону вращения, создаваемого вичрем'1.
»=^J
ТЙГ((°ва+г
в форму.»; ПО) а = ?-=(), по:;
:ога лишения формулу скорое г
ЭЙ прямолинейной вихрепои тгит
п путь преобраэов

;„,„-/„.
*)Ле* ^„тъ. ьмегк, (2Й).

- I -I
" oq\ } {■

зе неизвестно проекции скорости на оси
пывается функцией тока.
Потении !л скоростей а связлн с фуню!
IhH, (i<j5 ' I
1 Si
Я. dq> il-ill, дсц ' J
-уженные .lepes 9, согласно (13) и (3), и через t cor л.
Простейшим примером сущестоопашга функции тока служ1
Рассчотриносегим-жгариадое относительно оси Ог длила
■дуег существования фу пиши
сферической системе координа
мметив, что, и силу сделанного предполс
;ги движении, члчны с V, нроиад>т, 0>дем и
ниа проекции скорости через функцию тока
а) в цилиндрической системе координат:

Введенная уравнениями (34) или (34') ф)нкции
поисками, знало, ичнь,ИИ функции юка r плоской д
V,, = Я, ^1, V'e. = Ht ^f-. V,. = Яs ^
ю (34') найдем!
(*?.
Следователей, вдоль линии тоьа ф = const,
В случае ранее рассмотренного осесимметричткп о движения жид-
|,ости по меридионалшым плоскостям (е = corst) раиенсии <j — urns'
представят некоторые поверхности, icotopue можно было бы
образовать вращением линий тока вокруг оси Ог. Эш поверхности нящвяют
шверхкостями тока; на самой оси Ог можно положить ф = О,
тогда значения if буду! определять объемный расход жидкости через
любое ортогональное к otu Ог сечение трубки тока, ограниченной
длиной поверхностью тока
Етв°™Ць^
v - ' р("А,> а'ВД1
I ГП '(. " Н,ИЬ L ^ Й?з J'

ШЙД.М llAHbLffllO T.lkJ П ClilJ'i HfiCKO-lbMIS РЯН1Л. paCCMljip^HHrtX
чростеИшич движений. Для этого используем фор^лы (36) и (37).
Г. Однородный прямолинейный поток со скоростью V,
параллельной ом Ог.
В цилиндрической систем? координат ичссч:
"ou система координат
crpHpoRiHirc э'ой системы ypai
6 = -JrVr'5insB.
"12Г-«.Г

jjft ки найти ини;i рал
1Ы, обращающийся в пуль ири
64 Обтеьан е сфе| ь Давлен е одно одного стаи попарного
ыто Пара тик Дачи бсра
ского обтекания
н и п дн и о Зтгинир сферы,
j р льнч и ри,к]>, оси Ог, со
?-|vcor»SlQ»e^1^sl1i*e-f-'.l.'o^-!-^)»lnle. (41)
Нулевая поверхности тока
разбивлетея на. уравне^ке иоагр\ности сферы:

l- u —радну'- (.форы.
гароетью Va,
,-(£)V,
о найдем рлсчределс
Сразу видно, чго на поверх но сто офергл (' = о) ]
основное граничное условие непроницаемости чкердоЬ Cicf
V,. = V, _= О,
поток ит дипо.1х, представляюип'й еозмущснш однородного
1 сферой:

Ci>opOLih вознущени». как видно из последних равеиив, быстро
убывают с удалением от штущаютщ* то,кж (.феры. Уйынлш. nweei
порядок обратной пропорциональности кубу расстояния.
Распределение скорости по поверхности сферы xapjuitpiuyeTM
Сравнивая ,1 i pci)i таг lo 4i нем <» >Tei шн ip,r ion цилиндра
LpbiaicTi.n а доводя iidH djhiiv u 1Вия да* in nw-irbntt плп
(HiriH при др гич — пни mm 1 одт л нее irA -mm и, 4p(if>HLe
us которой следует выражение коэффициента давления:
ф
t

Приведем общее доказательство парадокса Даламбера для слу-
и пространственного безвихревого ой i акания конечного по ра мерам
та проияво.!ыюй формы. Для этого олрсделим прежде нсего порядок
ыпанин скоростей возмущения однородного потока некотором огра-
■leiuiHM накинутой поверхностью с ге.там (рис. 141) при удалении
Разобьем потенциал в об1гкапин тела на потенциал однородного
■fir. ., 4)=-*й*(., 1,
U*-ȣ)]-

равенства след}е1
ао решений лого уравнения оуд>1 вч.одии.
отрицательные Степени переменною г;
К (г) -= с»,
о констант} положить равной я (я-j-1).
целых отрицательных значениях чисел
возмущении vf должен убывать с ростом г,
*;;", *=i, 2,...«,,
причем функции Хк(г, М)— us шчывают сферическими функциями —
должны удовлетворять уравнению в частных производных:
йэт??+=ж(*',§)+'<*-')*- »•
ченияч 0^г1^=^, иуде г Ji"L —const, что соответствует простейшему
частному решению -, нредсiавлнющему не что иное, как иавест-
fc —2 уравнение имеет решении const ■ cos О, что приводит к потен-
шалу скоростей диполя.
представить как сушчу частных решений:
?,_j».) = £+ 2«iJ!. (45')
Докажем, что постоянная С равна нулю, Для этого овд'жим обге-
чаемое тело сферой Са большого радиуса г0 и, предполагая, что между
поверхностью тела = и поверхностям сферы с0 не-
стоков, напишем условие равенства нулю суммарного расхода
сквозь поверхность а0:
|V;,b,-/«л,--|-/,ч- V-A. f*l(1, о,
Замечая еще, что
rf3(J = ^ sin Grinds,

-2 'Г */*.(...)»»«_».
5'„ VA'8^)
и, следовательно, дейсиздтельно при больших г скорости возмущения
имеют порядок
После згого уже нетрудно доказан, и парллокс Да.чанбера,
Применим теорему к о.ч и'] ест на движения п форме Эйлера к объему жидкое ш,
заключенному между контрольными поверхностями о и «о* Судки иметь,
обозначая через F главный векгпр сил давлении, действующих со сто-
-joV.,y<l^-fpi
При отсутствии вихрей в рассматриваемом i
ведлива теорема Вернул-тн, д пощан формулу (
paciHi
руа
Подставляя это выражение и предыдущее раш
F = —pV«f yBrfo0 —f>] V„V'(i30-f
= — 9 I VKV'do0-rP I lV=-V')nde,,+ -|- f y/Snrfo0,

и

fum-
».
н
и
и
"™
,>-,'(,,
д» ..обо» ™..и Я
У =='
, фор,.™ (2, I, 60
-/(ёГ-(Й
-»-/(£)'+
^,г:"н»;
«j
*(«
(«1
+
-Г
¥
им"
*-*(«„ о,).
. JJCO!..
'.■■);
ко Н.1Й1И коэффициент Лкч
э'-^й'+е)1.
0-/®!+(й/-
Ч(Й)'-''»1. «■!■
:""" ™-™1
£$"&--
Д-1'Vl
ПО.ЧН
р.
Им
00
-'ФУ
44 и
Рис 143
нш>е осесимме
ричпое
екание меридионально
распределение
же при
поросг

удвоенной ckoj
!Гнс /■"!?„ gt).
^.агоГГоюУ
ЙН
л. га токч F
6qJ ' Ci,
i""*"»» (47J суще.
адссишетричного двимею
Выбирай, например,
]финелинейных координат
будем иматч: W,-,—1, Д,
приведется к- простому ви
ГТнтегрировя
l.4 «„(Ч-ши
[еяегнительно,
пщряст урявне
Af^
я штрич д
va (47) и
же кнорд
'й + ;
-."/-с
ic'i '<4S).°
ш
™"
ii
^
ч up
x;
io Ciu bi
u)-z
T,Z2
'Ц£™,
£)=<
.■»!-
фу'нкИШ
:и, расе
диффер
В ^рлшк
(47) В
иы pin
7'tZ<r-
шГ^вГ.
;(?,. ?^»"л
[писанным уравнением
м- ьоординаш (/■*, г),
1,
Cfll
латрввая
(ОД
i пцрдиила\
г) функция.
иин удонле-

1акв.ч .tfpasi™, iitm чрии^дкая от ?0 (д) i
Задавать вад™ ф;акини
on (44) !
т г. потребуем, нобы
киординаг (г=0), uJiH'isvi
здкосге, име.и беюни^нун. скоросл.
и (г —> — ее) и нулевую скорость в н;и

[\'i
,и г —— со и к шюскости хОу при г-t-O.
»(i'i«IM,,|.) k/otI.^mj-.
if'—-».

^<rt'>-£tjjsj,',£',"-'<r-"»
n]i jiyaopou и других л.
/-,(*) =0,55-; 0,10 |ф

§ 66] ПРОДОЛЪНОГ- ОБТЕКАШР ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ 4l9
fib Осесимметри'шое продотьное обтеьание тел вращения.
Сличай эллипсоида вращения
(fia 14"« шэышч 1- мерилиоипьны^ пючпшх (/■-, г) эллапта-
[вспсмншь ф рч\ ju pi ) § 4CI гп V]
где величина с предетав,шст рассюяние фокусов семейства
координатных линий — софокусцых эллипсов и гипербол — от начала координат.
Положим;
eh % = \, созт1 = [1,
— 1<р.<-|-1;
тогда связь межд> координатами (г*, г) и (1, ]j) б>дег иметь вид:

ОирЕДМИВ ГТрОИЗВ
(4b), коэффициенты Ляме.
ъ-УШЬШ-'У1^
р.е нетрудно сисмише, к осшжнге диффере

и (.и-iy нр лап пси мости / и ii будет следовать что камы» и* частей
равенства должна Пыть постоянной, которую можно ныбира п. сонер
шенно произвольно. Полагая эту постоянную раиной и (я-|- 1), где я —
■ело, получим для определении L и М дш
уравнений второго порядка лежандрова, типа:
£[Е1-^|+*<-' Ч^о- |
1) функции Лежандрл 1-го рои, п частное
Лвжандра Р„ (*), определяемые равенствами
Р01Х)= 1, Р,(Г>=1, P2I.V|=^-|JA2— [
Ps(x)~^i5S — 3x). .
и реккурептным соотношением ч.ш и j'телепня попеч;
(и-; IJ^h (*1 = |2и-|- !> ^V-Ч — Ш'я-, <J
^,Jrt=|-'il,4±f-i~i,l>-^-^- ---^V
(и -1- 11 Q„ , i*) = (2я+ 1) хрв,^ — nQ„^{x),
тстн при i3tiKOHP4H0 возрастающем аргументе, функшю *.е

422
ограничена. Принимая вс
щенного движения {т. е
потока со скоростью,
стремиться к нулю при
отрезка оси Ог<-с<г-
в виде суммы потенциал!
родного потока, набегаю!
равной Кя и направлен!!
• (>, Р) - cV, [ 1 Л,,0, « Р„ W + ^] i (55)
чдесь А„ — неопределенные коэффициенты, значение которых аанисит
от формы обтекаемого тела.
Для определения коэффициентов Ап найдем прежде всего вырнже-
пие функции токи ■}.
По общим формулам (Щ § 63 и (53') будеч иметь:
:г<1новки разложения (35):
Переписывая второг равенство в виде
и полагая коэффициент Alt = 0, подставим под внаь суммы
выражение для Рп и< основного дифференциального уравнения функций
Лежа на ра Г54')

Интегрируя по [1, получим окончательное выражение для Лунк-
Проиллюстрируем иетод простейшим примеров. Рассмотрим
обтекание эл.[ийС0ида вращения, меридиональное сечение ьоторого имеег
ур^иетпем
Полагая и уравнении (57) .'!„ = 0 при л> 1 и /. — Ло> подучич:
:^)Т=_?п?г=^'

Этому выражеки
э осям Ог и Or", bi-дем иметь, согласно (33), уринксние элтипса
= i. /iS_i = »
iO=--v,«L.s--i
Для проверки чожно. пОл№
при с _ П f -+ 0, « -> г,
,с г и 6 - сфсричесьяс коорди н.п ь,. ПроИ=
!ыралснию (43J.

*,^-;, убеДИЧСН, ЧГО HJ ЛОВерХНОСТИ iJIJIHl
соты f, ■= 0; эти и ескхгвс-нно, так как координатные линии (X)
перпендикулярна к поверхности эллипсоида и условие V, — 0
эквивалентно уставим равенства нулю нормальной к поперхпости соста-
в.чяющей скорости. Распределение скоростей по поверхности
эллипсоида определится равенством-
§ 67 Поперечное обтекание тел вращения Пример
эллипсоида вращения
ШрлЯ"! l придотьныи oi тс катим гш врлч(-ния njpi i ini hf-tM
io olH (psii. I Hal пр^Дл-Тавлят интерес и пиперинов иПгеишм?
члчи i поп р (4i i <f,n ката m w й/a пения
В эТОн ciV4Je \*e не пот г^гсл оачгамстршн .m движение
равн-ние limiLj Jiip дпрмщ-" п-ченщил и'Ч.оые! бмет v

е криволинейных координа
U^hi'^ZHi-J^^
i.\<* чЭД+^-чЕЬьЛт+пЫ^н» «
фу ню
фунт
(ft-
ПрО ИЗВОЛЬ!
■|. реши
рня поел
ник чтщ и урлвиения в виде произведения
• -.V(», WI7(.);
сдигс выражение в уравнение (5Н) и раз:
переменных, получим скстечу ypaBt
lbs _ ,)^|-j- й-|([--;^)^| fca ,г /8~^ g А'-О.
Пециое уравнение vwan решение
Л —И <Ч>5/ж-1-Я ante,
>рое, если положить Л — 1(л)М(;0 и разделить переменные л
гичио тому, пак это ранее было сделано в уравнении (54), мой
гь прииедени к системе уравнений:
(«и Лежандра:1

i 67|
KiMiiiHipya эти ф\ hi ции гак чтобы выражсннг потении
П чим г J ici" выражении погенциап! иьо^оСтен
t%
Kill
,-
го ня теп tnHoiuuji койка со скоростью hj бесконеч-
HanpaB4°HHjf lap тлет но оси Оя ("рис. 147(f).
я в TOibho чт вь веденной общей формуле но i енциа.и:
1„( = 0 -i 0~Л„3=... =0,
Впи=Ь„, =И„2— . .. =0,
Anl = cVJ~n,
ojii 1.гиуясь решением, содержащич coss. и, кроме гтич>,
- ф июшЛ, i^h «
= гт tos e = с sh £ sin i, lose = суТ^Л У"ГЛ^соч с,
целующее выражение потенциала скоростей поперечно hj6V-
> скоростью V„,
cos г^Д C„(?i (X) Л1. («•) + ^» )/ТТЗГТ V'bV cos s.
зуя определение присоединенных функций JIcaaHapj (61)),

в jumijiuu A tiu.iaeiw заданной функцией ;i, согласно уравнению кон-
ирон 1 видные -^-. -£ от выражения (61), й)деч имел.
в ami и дифференциальных урявнскнй функций J'„ и Q„
получим после простых приведений

"«-%*" £?ftl.
Имей и виду, что а представляет заданную функцию от ;■-,
перепишем граничное условие а околчателыюй фпрме так:
Рассмотрим поперечное обтекание эллипсоида вращения а = л„,
продольное осесимыегричное обтекание которого было рассмотрено
н предыдущем параграфе.
В атом civiae граничное jсловце (63) можно выполнить, положив
Сп=0 при й> 1; тогда будем иметь (/>, = ji):
ijrki-да. согласно ранее приведепному выражению Q, I». стедует:
2 *» __ I a ),„ + !
Шпочким, что эдес| *(,= -, гп;р с — эксцентрикиlki эллипса,
приставляющего меридиональное сечение эллипсоида. Потенциал
(.колочен рассматриваемого ттоперечного ойгекаиия эллипсоида вращение
лажнпо (61):

3 П
П и
ИЗЛОЯч-нНЫН вир ДЫДЧЦиХ ПДрагр^фЧЛ II ШЛНМ ШфПЦсОиЮВную ИД Ю
sjoio при'пил HHiJiii iiii тоца принлд яе » ни гп Я М Сер ирийс! ukv '
Кяь jihe пи ш \ncMiH4ii рчнл основным загр!дпением в решении
HdAi'ill НВЛЯ к< ОПр Ц 11.НИГ I |ЭффиДИеНГОП 1Я ;фН пр[1Д01ЬН.га И
и (1, опр^Д!.'iinirr ы 1> >р т\ [ итлр_ г i ернлион,! {Н<он iziii.Mi.Thi тем
циа.1а а ороч It С1>ня иочлчя imi. да kupuu-ili ptPfHtrnm
A = cri|j-I i e рт иоршныч ршее i И и<м интеимы ■пчши.оид,!
i. i и l ретин np=we m-*u Bonpfii. и Eh" ope шин кшия hj и н ишр
15 4^ n ^ I 3J.K1HM что ^loh^ku \ j. пшенного in iiimuima врзщенш
н \гдчгсч тлрединч upe ij lu динзнтнги mi irepLCt инйй h«i
с сет.едИН(.Н i] ckj
кпрдшыт iei оли.ь
чрчвчечие i- ihrypd 6yj

tj 68J OKlbKAHHL ТЫ ВРиЦЫШН ЬО 1Ы110Г0 УДиШГИНИ
пягощечу фокуса. Рассматривай знания функций Q„ (,.) н
.тать немного пречышлящи* единШ), убедимся, что iipii
е,=,„4-,.. f»--i + !..
они С?„ и -jj8 в первом приближении не .Ши(.Я1 or
Основное граничное условие (57) продольного обтекая
приближении будет, согласно (ее), иметь вид:
Ш
IOC Ml 04 HU
(6Ь)
и поправки.
ия в пе]щом
„,. V И SQ,
шрым фиы,ировлинг.г
«tp, при /»_5 ««it

Аналогичным m li'm решается вопрос о погпчх.чноги пбгекапии
Удлинённого тела вращения. Пци плавкости контура координата ',
изменяется вдоль всего контура ик*1 плакно и нрелеъа or l+^^n,
до 1 -|--, Ет„, при эточ [1 остается и пределах -+- I; тлкгт обраюи.
тельно мала. Отсюда следует, что величина
имеет порядок единицы.
Рассматривая граничное условно (631, видни, 4io стоящая г кп.п-
1)4 гной скобке слева величина
Тднии оор!зоч в i вадратпой и йье в левой ч-iCm равенства (63)
первый гдпгччеи имнет fii иты\ I порядок -тэ , агорой — 111 —-
Из ичиведеннсп рисул ati ш следит. чи> iw iiiiner-xiiociH
удлиненного тета граничил 1Д <. мало точное граничное условие гтопе-
В первом приближении обе задачи — продольно] о и поперечного
обтекания— решаются одновременно и (равнитсльно легким путем.

М б й р м РРЫрр
Если зад
*«J in-pe;
Г1ПИ ф!Н
d HU L
1 Tu i
^■i-s_J
3^7 №!.
ГЛ^^Т/Лшм
щири Чачетга п т'hi»
Р^"<™„ riT 'JHttJH
d^m Auua\n Ir t rt*
«J 1
, Vr"-v-
£HsZ"
'i:i£\B:
чипа олеине
1" ^J[0 Tf1 H
нГзЧ'ене^'нт.
.у
piipvia оЧтекаелого тела
ный° SS"c"j3
n=ii|:b
=граг'™™е'Г.Ги1у2
^пШ.сЬ,,^
I Я £j6jh[I-ihi Куре й»|>оди

I-dHbiOT'"
вне отрезки ( — c<z'<<;) выраж.
\m¥—v„v.t
ifc^-.W^*.

репишеи предыдущее имеграйыюе уравнение в виде
qt.t,) = 2*cVa,^AnPaWe) (74)

poctpahciвенное бьдвигрпшв движение
ода разложение неизвестной функции в форме
■' iP „P (О. пр.**-.
0-л#^*'-|2М!±». „,„»=„,
""-■""-""Ч-ЙТЕ^- и
".-0="-^.

тсосгь 437
| 70. Обшии случай движения твердого тела сквозь несжимаемую
д юкид Орд ни а а р Главн н
в к ор ный х в ил д в ния п а и
- V, + «л, + V, + ., (у; - =•„! +
+ .,, (--я, — х*1 + ., (и, —jr«J. (78)

«-->"■•-".• *r="»-

врчнатепьным двил нити опр л.-тЯТ1Я Кль. решения уравнения Дастаса,
1Д0В1ете«рягошиь им 1* граничным \l-iibhm (ttO| Hi iijaepxчисти тела о,
Пер Идеи т церь i [ язысклним г 1авноги ppi mpj и главного момента
движущ iXn Tin инлтрь не iropjfl н гадвилгной феры очень бо.ть-
ипго ради\1Я r0 L поягр^поа ю ■- и прим Ним геореиу количеств
jjbeMe г че вд\ nnmrmiriraui з и Ofrirfmni через К векгор
нын pl<top hji niBi ния ж iiio tj ai nneip чо гь тела э и через
R —пабчый иекг ф 1.1 дав кн at 1рл i лекныч и ан; ь поверхности з0;
Вектор R' найдем по формуле
фунышя /Ч*)в
получим:
. -I. .W

40 or
P
-Г —-I + '
f)T
-*— -I - -1 -T-l - I
=--F£/<™<fc + P5-J<Mi0rt\(-LpJv.VAo.
Подстанлня полученные выражении R' и /)/ в paueuciuo (811,
получим посте очевидных сокращений:
Замечая, что поверхность сфррн з0 возрастает с удалением от
начала координат кап г-, а подинтегральная функция убывает как —j-,
заключим о стремлении второго интеграла к ну-тю и в пределе ври
г0=со найдем окончательно:
Аналогичные рассуждения приводят ьвыражению главного момента
сил |давления:
L-p^JVxn*. (84)
Действующие со стороны жидкости на тет ии R и момент I
можно интерпретировать как секундные и н*н пня шч-эторых „при
соединенных' к движущемуся телу колач •noj i uoviitmj i
отчества движения.
Обозначим через К" и Q* главный вп ip и пчвный м мчи
количеств движений самого твердого тела \ -lepe F и М — павный
вектор и главный момент внешних сил, лр 1лоД"нны\ ь телу почто

р ючшеств пы*с ит примененным ъ. твердому телу, будем ичеть:
■jFlQ'-r |*(г 'ЩЛ -»
f рдв 1 п»аи ст.тещ ^равнепнЧ дин кесгач твердого Teia r аид
dt r dt m'
!нйиея что дни ненне те-л а .ьидюсти происходит -аь как будто
главном^ Ескторл количеств двия^вдл его К* оэагодаря наточив.
о'мявдеиой тетом жидкости присоединиioll oo6aroinoi отчество
j = _p[?(rxn)^.
(85) можно переписать в форме
(К +В) F ±<$ +Г) = М
ne v д ж н я
§71 Коэффициенты
Присоединенная к
Им 14 Обо Н >
ОНО С ОрОСтИ 1
а-9 о-
B^« °,
„ПП КО!
;н яр
"?J ^0
ne c^^0cmBrP'ds0^Jte-"lavl' "°™
;диненньх масс" Свойство сниметри i
екая энерг я Определение „присоедя
ьно дв *1щегося цил нара шара и
и в т рон пр ти п к j те г V,
в 1 те ш isj ы е ч h op
рздку та
qs шя t Ш(, q а ¥(

Аналогично положим:
В новых обозначениях выражение потенциала скорости (79) иуде::
ОГ jmpMU njPHPMiOLTH П. II UK Uk nO piHrf Доказанное ?,
(Ч ирем.-нн не OBiiLni
flFirikf. tniif Jihi hlht-i ш l iiLipiieiiHU „лриилдинотьп. kOJiH
I'CiBaujuai'His niniiPLrB льнл^шш -и.р^з обоощешше сьоригти дь,
Я1 хинины I, игр!юг pi it. ahspnaniiimx иоэфФльаснтов, „ирнсиеди-
К*г = / V. dm - J К -L ш,г - ад) dm' =,
где .У= н z„ —координаты ценим тяжести тела; отсюда в нови*
дВо.шячешя* следует:

Проекция на ось Ох суммы количеств движения К" и
-присоединенного" кочичества движения будет равна'
*;+я1_1л.,+)ц><,+1,л.+1иь+/,Л-|-
11Иенгн /ц „грич-тчшняк гея я янернипнньк кочффициеНи-М р выра
в общем ci\ т догилняпт леш олап-тв^ющи" в вирчя ljiiih npith
инериипннык койф^ил нгн ;vS пуы що называют \гч ^фициентлчи
обладают свойством симметрии, т. е. не зависит щ порядка
индексов. Чтобы эго докапать, состоим применительно к
рассматриваемому объему ■= следующее известное соотношение;
J ?(VV ^ = / Ъ div (grad щ) й-. -
= J*div((p(grad'-pt)dT— fgradfj .grad 9, Л.
индексов; топы получим общую формулу:
= ("div^sjr^dffi^rfT— j" div Kgr.iu>f) Л.
Замечая !то в сип гармони ности фушщин <р( и at интеграл слеш
iijpamaeTca в ii,t и применят в праяои части формулу Остроград-
Примем во внимание, как и раньше, что итеграл справа, при
удалении поверхности сферы оп на бесконечность, стремится к нулю

\'st ичееi порядок -у, -2£ — порядок -j-); тогда буж
fV'-l -
- -J J div (о яяЛ а) А - J° ЛЬ а- _
—т.1''£*-| */'£<-■
и вновь Замечая, что при удалении поверхности а0 на бесконетнг
вюрой интегра.1 обратится в нуль, получим аналог известной уже
-, и „»♦„,„ СИ)-^- .. —
Подставим сюда ра-ложенне потенциала скоростей ■
составных дишнениН и,? тогд^ перемножая суммы, найде:
выражение кинетической энергии возмущеиного движения
через скорости тепа и „присоединенные массы":

J- J V dm - i [я* («! + •! + >»й + 2*\ (»„,,— «.,.,) -1-
_ ) + " • (
-"/'
жидм>С1и в объеме цилиндр*), ipitXiUHU
«.—^- -*„£».»—»4?

.чи.м Пи t+ ) if s>4
ДКфс,»,™..™™ ,ра,™ д.ажм. ш.ра вуяе,:
?-Я. + Л,-
равнением прямоли
к в н в д кение шара я жидкости можно рас-
[- с щее в пустоте, etjm lO.ibSta к кассе шара
о я ь«>" массу, равную половине массы жид-
Me пира
а лщ о в ъ »е движущегося тела мала по сравне-
д )ш oi тела (например, снаряд или самолет
пр иед н нн и массой" можно пренебрегать. Б другие

.... -J.,
гьлгя-таг JX™,so>"" ~"~™ ™"" °"™"*g

Ограниченномь ООъсч: янгоишей кни|и не п >зьо.1И п vTjh вшься
на treuiuTi мыс еппгтгьш ierp hi лЛ1 омго н ImaiiuuHapwu дни ения
крыла, созданной [-пятен С \ Чаплыгина и t-rom блестяще в
дальнейшем развитой в pajora M В кешыша, Л\ А Таврен гы. в i и
Л И Седов*, я т 1ы.е на Tmnpncai дииамго t гнгчко ■> и npoci] ан-
ственноги дьи*енйя тверд ни ieu ы im,ei(in наел it ной нанимаемой
ЖИДКОСТИ При Н51ИЧИИ ..ВОЛоДНОЙ nOB^piHU^ril ПОСТ ДНЯИ О ] 1Э1ТЬ
исобешю об]зана своич рлицр*точ п юккм wcl едиванияы
II Е kj4HH4 "MB ксллыша н '1 11 I сдова *

Рис. 148. P я м и
«рыла несущей аихремй линией, представле й гр —
оси Oz. <t „свободные кихри" расположим в плоскости хОг в виде
}хоаятни* в бесконечность лучен, параллельных оси Ох (рве. Н9).

Рассмотрим подроб-
сечсння, которая распо-
пересечения несущей -
i№4ml mi (рис I II)
ip">j>HitT i с ^еченто, не^шег, „ трипсин нн
i i го тпоп-ич то 3d ига ] рыл и прои-^дима.
Л-а/1 епнк на 6tiii.inetH чпи Vn R 11\ iat hptu j

Ч' <•'"-' нчду/ tpit

р ТЯ \ \
On

1 I I
н того ра-чкч ттршчшо нг (ш-
Р|[С 152 о нличнн е- та и ппр рчпчн ьрым
«i р Шъ\ I ч ой Jth поперечные
HOPiJ ННОН Ы J3J] ПИНЛИ [ с Ipl " CCll 1 р 1 Et*p ИКНИ II IIHjK
hi nepvm-й г u рч! о .--^
пг i tutu |нг г» ш и г р\нсй п рхнг тн со.-шаеген рщре-
нплячи ррыпа i |еч ли. ьчэф| тис т i hi иной силы нрнлЗ
о oijphh ip FnjiimnopeHi отрыр* гграшмког пня с поверхности
ip и j-пь 1 пере иы\ iutnB ув пи шлется

§ 73, Основные формулы теории „несущей линии", „Пил; к иная
:корость" и „индуктивный угол". Прямая задача определен] я
подъемной силы в индуктивного conpoi ал ния по аданпом
ра нр де енн щгркуляш
а = 90, 3=0, r = dT = ^r<«r A = U — г].
Принимая во внимание направление элечетмрной индуцироиадипй
коросш rfV, no оси О'У инич, будем иметь [dvt < (I при 4т<0,
Р Ф Р

456 ПРОСТРАНСТВЕННО? КПВИХР1 Bf)t ДИИЖиШЕ |гЛ. VII
обращается в бесконечное п>. Формула (9Ь) определен скорости бе*-
вихревого потока .чишь eospj'- данного „изолированного вихря",
г. е. при гфЕ Сообразно с огам и интеграл (99) t-лйдует понимать
е специальном смысле и вычислять особым оОралом, исключая при
интегрировании точку z~ ". Разобьем д.чя згого интеграл (99) на два
интеграла, взятые соответственно ,т интериалан (» > 0): — /-^--
0_s и г-^-в<^<г. н« заключающим внутри «бя ,очку С = г,
которая ос-ается в интерзале (г—■г<С<г-|-5), расположенном
между приняшми интервалами ин парирования. Значение интеграла (99),
определенное как предел:
.lm.[*.fe^ .fS-i-т]- с»)
•ой частью интеграла (99).'
■ и представляет onpi деленную функ-
пига iil(z), если, например, функции™ удовлетворяв! а промежутке
-/<С</так нашваемому условию'Лишним:
i©,„,-(a.j---'i'.-=.f
не я и а — некоторые at»
Если, например, jt = «
»(»),

>'•""'»
о (S7),
EOF'HH „НЕСУЩЕЙ ЛИНИИ"
озволяющис по з<цишюму jp-ш
айти подъемную силу и индук
/Я1Г rfj sin 2, ^ р КаГ (г) а, ((г,
И,„]' dz cos а< ^ р ^ИГ (z) <*г,
и "а V
STrf
, «К X. ПО (101) С ,0„»С
_v.lTP3-v„,
иьфаисения элеиенмрных сил:
1гЙл = -рГ(г-)^(г)^,
Интегрируя Э1и дифференциальные выражения вдоль всего отрезка
.сущей Jihiihh (—l^S-2 -Sit), получим формулы индуктивного сопро-
целения и подъемкой силы крыла:
. формул
«.-i/'r<W'g^,
;лечиеч циркуляции в виде т
Г (9) = 4 К„ / 2 Л, я» А (104)
с переменной но размаху координатой 2 равенством:
jr=-icosO, 1

Если распределение циркуляции симметрии
координат (г —0, » = -j), ™ должно Сыть
4 = 44 = 4 = .. .
Ры и та п 4 прои впдн ^ -мыи iup.bi.4t .чыю с (104')
= г osв б д ч
У '
«.ID—".2»и.^т, d«)

§ 73] OCHODlUJE *[)№лЫ ТЕОРИЯ „НЕСУЩЕЙ ЛИВИИ* 459
Определим нодъемк>ю силV. Ичссч по агорой ич формул (102|
= 4р1^/У.4„ I siajjOsiiifldd.
Но по известному uhiUcikv op mi ihm.ii.hoi; i и сииуаш кратиыч цуг-
{ | 0 при и > 1,
; вирлц.
i mj,;,ui
НОБ рпП
PUplKP]
й ИЫ
"1Ы
"дТподт!
/?, = ■*■
:.'!?.
Н Я.НМК.И
^йс"" " "
Т~ |2Л 4i
/ 11-Л.ГНЦЦ ЦНрЬ} 1 Ц1
Л Ютпр( Р IIMHV-IO Т
сипы 1Ш6) mkii nit
гп рт чтл г^ ипгч""
:асс такое окон-
(10BJ
<«' (Ю-1);
напомни коэффициент
ляемый итноше-
с .!? —площадь крыла в плане. Подставляя сюда выражение (108),
Л) чим:
cs = ^U,, (109)

= :.Vt(2ty V «V\ f sili/il sill mfl dl.
Замечая, что по свойству ортогональности функций синуса
I smr(9slnMrfFi=J a '
уКТИВНЫЧСОнрОТИ
Эллиптическое распределение циркуляции, Связ
коэффициентами индуктивного сопротивления и
ной силы. Осноиное уравнение теории крыла и
фициентов /1„. Отсюда срачу вытекает пажпое следствие: индукщии-
нуля подъемной /.иле (/1 Ы)\ будет минимальным, если sec
коэффициенты е разложении циркуляции, кроме первого, равна нулю.
Это, согласно раненстну (104), соответствует распределению цирку-
Г = 4К„Ы1«цв (Д„ = А.--=. . . . = [)), (Ш)
или, в(1зчр,ицаж.ь v переменной г но (104*):
I' = 4VwM1|/ri —(у)'- ОН')
дя?+?-!-

h^.,
И-! эти* формул, кежду гро^ии-, видки. 4io с во.1рм.т
маха при заданной максимальной циркуляции андукт
pocm/i а угол скоса стремятся р нулю, кнк sto и д<
при переходе к крылу бесконечного разлив.

геометрически незакручгтннм или плоским; кршто с ттостоян
размах; действительным углом атаки называют аэродянт
незакрученны, и
Геометрически не закрученное крыло с ■> глиптический :
делением циркуляции будет и аэрооииамически незекру*
Докажем теперь, чго геометрически незакрученчос криле с
тическим распределением циркуляции и одинаковыми ш
размаху аэродинамическими характеристиками сечений
эллиптическую форму в плане
Для доказательства 1вяэкем прение iicero коэффициент пол
силы отдельного ссчевни с' с соответствующим ему значепи*
куляции Г (г). По leopemt Жуковского будем nveih дли е
дти-ня крыл,! \Ь — хорда'):
pv«r — cJ—^b,
I фКМ fpHll ! H11W upfjiUffllc I ipimitllfltM
1ет прппорциэначьна проюв^Днцш V jr

apii-TLpH \iihuj4 форму нричпвич
мого крьпа пк чгп f Ф " ^P" IJ
ешя циркуляции.
дъечпой силы и
« =
ыстро падает мыванвем коэффициента ттпд*ьлн)н шлы
г Я I рчы в niinp Рведе I ijiraiiwrnp
2 п4

54 npOci PJ
Тогда, Новгород т..
!еыми соображениями.
Все эл вопроси, так »е как и в л пр
r(I) = -i-Uo(z)*(2)v>,-^ri(=) . „[ о
~Т^ГбТ. Г „ р о „, с „ Е( о, ДЭродиИами«, скорое,
ц г()
( 19)

i -I

ГЛАВА VIII
ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА
в! 73 Bin трение! греыие и теплопроводность и жидкостях
и ]аза\ Законы Ньютона я Фурье Влияние тьчператлры
на коэффициента вязкости и тепиопроводпости Число о
НьютонJ >.ф >рчл
е температура

шэ фвтатаи ,fi. i,
СуЩ=СгР\В I ■ I 111 Ш MIt *1Ш0<.ТИ Kik 11 ilpllILp Гш
:;оторпто г phi I n .ченич |i — 1- 20 си ; ;= j 10. ■
ВЯ1Е.'
; росюм r-wnquT> рн Тан.
-
>7^S
■m
i
■12,20 J
.33,10 I
•
10.ВЭ
8,48
21-
7.7S
«.

1
441
л.
от
51||"
iim

ср — коэффициент шыо емкости г;цц при иштоиннои давлении),
leCKHV СВОЙСТВ (nTOMUOCIJl) rJ^S. Теоретически Hl'JEMHUHJ о \1оЖС Г бы П.

P 0 \,

* = *'фц-г/'ss + Pi3>+*"JlvV-| *'
Р -JpJ+li'ip^ + ^-i-^^ + fi'divV |-//"-|6. 17')
равенства i7''l, Оу.цслт иьсть:
Рз1-^+Рз9-= 2Н^ V-T-W^. + Hjj-bpja)- d*"divV-j-№",
.1.ЧИ, [.оперший приведение подобный. -j.icHoh:
(I — ■ii'KAi —/-'ss —P»si) = № + 3S"J J" V + 3*'". ,S)
Предположим теперь, iro рас сбагриваемая среда шходитси а ноли*,
и гидроггатшя irj 11 <j 17), с ране г рашой
Ри '" "а:-; A*33 = " я/>о.
(1 d*')p0=dSw.
UllL.
Око*
1РЯЖ1?
ie Jim
нХи '
f =
скороп
= ai»i'
иенс^ ,Ь) .грного мри
ей деформаций 5Ч'Д!Т и\и
[i(P:i + P!. + /W--i
,1- -1-j.drvVJ^ (9)
■.чаеч наиболее тфск'юе лополнигр-п.пое допущение, чю вреднее
«mutecKoe трех нормальных напряжений представляем das-
в данной точке. Олтч,-.т шип допущении заключается и яич-
-j{Pi--rlh!-\-fixi) ""*" пбуякй'
е/ии и температуры определенно!!, ч i,-iyiiat coBepissi

■\(Pn~P!!l-rPil)
/> = 2i.i- —fp + l^divVje.
лрифмгтичешое трек норм
1344. стр 16--47.

7 +ТЕГ.' "1" IT-'
v -v„ ! «хг
1 -1„_ -п.*
~лг»
in
'lV ] - ',&
■ + т

npeoopJJODJU лнллотичным образом остальные дна )рлтеНШ1, будем
iijifei'L следующую сиосму уравнений и стерпи" «кого чвижсния иесжи-
11 п 1 я о пр в pAtu e и pcj ltjeiiHHM дяфферснпиршы-

оторое в случае несжимаемом жидкости (div V -в fit нерепи^ыни'
V^v — — rot rot V,
удеч имен, ыць тщую никторвдо форму юго ;i,e vpJ,*rieqiiK (
,^r =|5F -;Tradp— iK-otrotV. i
К выведенным динамическим урашкчпгям присоединяется ;равЧ(
пхранетшя мг.сси (иди уравнение пгразръгонОО'Ш (21) гл. 11
±L.\-?a<vV~ % |-d,vfpV)-0.
счучГе^^иГ^о'ти 'X.cxarUa и^ц, нм,сн, Л> т?РС,,ше
Предварите in но начолим:
fV^2j*.SV — i'/i --|'idn VlgV^i'J.W — I'/i-^y-idivV V
-IV
ы^^-1^1^
г гмклшчив но посчед|[сиу выражению, чю
.S'V^iiV.VlV '-^.fnadl-^j;
другой CTopouii. по ишестнок .Ьорчуме чглч^рного
(V - Г| V = ^rad(~'i — V X rot V,
S'V =grod (-^-j —4 V X ™tV.
Произведем i nil в vравнении (45j гл. ll замену:
JcJ = JcpT—RT^i -■£-.
и-, Г48) i r 11:

То1Да уравнение баланса энергии лримег пил:
' %. U— ^y) = '-F V + dtv [ji grad (Vй)—|aV X ">t V -
-?V-~.iVdiv vl-г о i(£■) -L div(^K™J г j
о согласно сравнения! (16)
дР ^
ле простые приведений поучим i
J,^:i+4)=.?F.v + | +
, div |r grad (l'J) - '«vXrotV |pVdnV i ^-%m]i\.
В дальнейшем удово и,ствугмся рассмотрением пршмиц^п
'iV -ri--.v.=™ii<-^i.
Уравнение баланса энергии (17) в сде.инныи: предположения1: отсуг-
очним o6i.euiii.ix ,-ил (F 0) и егавджаркоси ,'^ .= о) грииет гдоб-
ныи для дальнейших применений пид:
Jiv|;.v(i+f;-l.(;„d('i-+^_
- u.rniVXV-!--jiiVtl^vl = 0 tlS)

-» :7j
В этом
Если
Кллпейр!
Ki.rap».-
II \P1UHI
u„„„,
уравнени
«mm. i,
■mi, HI ■
"
!Zl"
?рсписа
f
jwpv
ii
,U.1*,1,„H
1L ipaPH
• -^„Г —
w . . на
.Т. it),'
^
ii гршичньс LinpiiH -mi и ' > ал <i im в li о И о0щ|.»
f ышри. > \ltobihix t rnie.Tii пит ii imn и еннгк и рсшс
mi i» ipjHhHH.j' \1лпвий pa^'uij-HiJcH
;,r:; .•"г.'Г'г:,0.',',;:

f HHb.pt
S Поия е и подиСи г дрод ь
;зразмеркые равней я движен я вязы
а^а Уел в л подобия
! любых двух сходственных точках "not
тй безразмерные отношения величин к
.от. Иначе /опорн дл>. подобны ягл
1 i-iсштабами беличий
Выделим ii данном щи mm характерны!
i Ipvrro. ш1реде:ги'01пич «нленис величш.

-[ E( *)-
ire\ равенств ты
2 дх + ■._ I',
^ -■• -^5,,'rotVXV - -5- V dtv V11

i %, I — вскоюрме характерные дли данного движении ве
■шается но ниени известного гидродинамика XIX в.. ко
рый впервые ввел н рассмотрел чгу величину, числом Рейночт.
(KpaiKo. „число R"|. Вэюдяич'с в предыдущие уравнения число
оболычии 4i.|>ei «о- и будем uii.ibi.i.in. „числом R на Г,еа
гюсти" или ,чистом R набегающего потока- Даже, .«мета*
деформации oftyrcfEyiOi и движение вилкой жидкое!
С аналогичным движением идса.ТмюИ иидкосчи. Си-д^ительн.
бесконечности- можно примени и, гззидинамические формулы,
ценные ране,: в г.ч IV и VI для реального гла. Будеч, в част
+ £№ + ■£,' "Г^*^

, i I s Г..,'««
_^=iMi^rotVXV-^-Vd^Vl]-0
н ч р р
я в к й в af р р
J 1) 1, OUT П р Л
Пдо нрир р д и
рнн б рн
Бъ н i. и р р нниь. d ы
опджн пнцр
н о о не и щп одсрд
ОР 00 р Я И О Л Б О Ц
лявпр и р п одоб | а. рны

из ..триеры аилеиы [21 ( urai
Л рН ]\ Гр1ЩЧН J
ncpiTipe илгегар

нл^ ьои р ое
Г V P P

i л ачип арного рож им J
, сохрачян j го всюду
Предыдущая система равенств с
-iS-^J-£-
а предсгаилясг фмхчцию голы(0 от X w у-
ои кнорнииат apw от друга

&■!&(' -?.-&
трубы p<umvi'a о Суде
>т форм).чы 1.21') и (2-1'). скорости п
.шшито
фамилии
Из |
.кои Ф>бы р
*L™™
определении
аенрелелв
гвп'зь каш
Chopocie
ЮТСЯ ill
(ллярны
Я Ш')
J КЙКОВУ Э-1Л1ШТ1
с ■ipyfij.H (18-10
определим мм
weiAoro пара-
илу нращгнвя.
П^зейля" по
|.).
СИИВТЫН'!,) ,10
Опреислим renepi
мых труб и Связь ж
длины груби Сове,
круглой грубы.
Q-- | К,.2тг'Л-'

и, -иг- int I! инйи при lajKn.ipiMi i
-MHEilt Гнч<ц ipmnpiiHiHntK n-ptnw
прагнп ггропирцт nil и к нф^ипи-'п
«*. | I »л,
<>=--„,„„ -лл I \\\ — \'-—:f\ii\'dy'-
.ем имен, но l25j
«-i
иго скорое.,,»,- t,„
,
:~,г™;г:,:
"*».«-v™"+Vi
„,,-„ (М, o„,*m„
>-^-^~.
„2:"3— г.,

ииен(ы сопротшпсння''. Чтоб;, определить коэффициенты опр
чия X или ■■, и рассматриваешь конкретном t.'i} чли тачииарно
жгнии и круглоИ труб!., «меним II (2'Jj V ото выражениям
<редпюм или накслмалшуга скорости но (27'') пи (27"). Пчс
ВвеаеЧ и рассмотрение слетуючпи чна ,числл РсЗном|.дса'':
34 . 4
X/ ■*="5^- |30)
И-1 этих формул целует, что коэффициента ишротиклеини /.
(Ставленные без рази ери не сопротивления или ш-репчды давлений
трубе, калию ген функциями соответствующего числа Рейнольдса К-

4 (2,4) „ ,32), гак
4 v.-unm движения

а кр}глоИ Ди-ihh рщрцтГ iP\ ixpiB
l^i лпьнг-
1 hiTerji'ipvi и'Нчен ffiinfe iiei
H Up p И D R
P Д p О В
н ндр "^ П м р

ioлучим ливру скоростей
i iaiiA.1 бормулы пасчоли и средней скорости:
--•^44;

§ НО. Обтеканне шара при очень в а ы значениях числа
Рейн о ль деа. Формула сопрот вле я шара по Стоксу
it ее обобщен я
51

представляют окружи
заключим" о?" наличии"
как вихр,, вектора
Бспочщып помечу
вектора в сфери^скс
остк в
';В1Х
напрая-i
£-'
1ннне в
ПЛОСКОСТЯХ,
сфсричесьта1
ен по КДСЯ1
Э, Q-U(,
конце § 60
ме коордиыа
перпен
> систем
. Q, рк
СЛ1.110Й
', в).
вираж*
i, Пуде:
дннулярных оси Ох,
у координат (г, г, 1),
лючля в это обозна^
к вихревой линии,
*ия компонент внхря
я иметь:
к, повторял ту же операпдю:
ют, (гот й) — 0, го!, (rol Q] ~ 0,
lot, (rot О) - -1 i (л ,01,0) - i i <Ю1,5) -
'T? + I[*»l«a»»°>]-».
решение которого 0 (г, (!) можно пока подчинить лишь одному
граничному условию:
Q-.0 при г-* со. (36')
Р^ыскив^а решение уранненин (36) в виде пронаведения двух
функции R (г) и Й (0), каждая из которых зависит лишь от одной
lie ременной, и подставляя значение
и уравнение (36), получим:

задачи период!
а первое уравн
лето видегь.
творяющее уел
ГГ.'™"™
1™
решение- Залетим, ч!Ч|
в (В) — чц1 в.
стемы превращается в
что единственное решение эп
■>иии обращении в ну л» Щм г ~
ту чере:
Обращаясь rencph
скорости V, и V( (coci
пользуясь выражением
в сферических коорда
Q^,A±^L
ВИХрЯ ChOpOLHI u! 4 РЧ
1агач V,. и 1 ««ют
-JLifJW_lJ_=.lj
подберем ее ик.
>го уравнения, уд
• со, iijAei -^^ .
р II К1 П| ВН
ГН4 h \ TiP™
ичмегри [ и ei
VpJHltim |V| I. ■
Р «ч в ф рл
J;
и 2) уравнение несжигаемое ги в сферически координатах (при VE=. 0):
Сисгему уравнений (38) и (39) надо решить при граничных ус.и>-
нри г = а, Vr = 0, Vs = 0, l
привоз, Vr=F„co5ll, Vrj = —KodnS.}
i грани 'Hfcie >словня, (Зудеч и
(40)
v^Cv.-l Ё$««в, v,=(-Va,-i- 2тг)йпв. (4')

Дкз — ^^+зщг'-'^о.
иу проиялпльнигш величины г будеи hhctf
а, = Л, Xj + 2).i —0,
й;__ 1х, = --[,4,
>1:
ft —ft)i^ + 2»;-0. J
да однородная система имеет решения, ,,
, пщ к =
""•""•" "
2 — (1— А) (2 — ft) = 0.
Пг>звратцаяС1, теперь к (41), составляем общие выражения скоро-
^-(K. + -f + £)"»«,
лдчиняя которые граш'шыч условиям (40), получим следующие два
равнения для ii предел синя коэффициента А и Ъй:
4+-я-=-1'-.

Выделим из полученных иыражений составляющие скорости на
ечности 1/^cosd и —V„Sinf), полушч составляющие „с«о|
>зиущЁ1Шя" шаром безграничной ^язкой жидкости
- I - )] I + ' )1
мрдината\:
- |i —Ц - (и sin Ь) _ 3|ittVq
по Iфелыдуiii;cjh v- коэффт

Отметки нчкшлрыь мрамсриые jtiu ш i обти-чнти mapi ря
1фН1Ш
рч предел
] иггр >т
рл-Ш и
.1 рз т- .;
1 ОТ ЬПрп
1 Пр Ч
ш
„(u.hI»>_i
-/-<
.-Э-1-с
По:
еем
i — ллкстная *
'«.* P(V-V)V
(~ 1нак пропи;
o|(V
■о//.»
но р
рач
V)V| -Л
<>12 fi
14еч коэффициент пропорциопа;
о безразмерных величин г.а и
Из приведенного соотношплп
л Roj. Количеа вешая сторона

1>лнт мерой tplBHHrcTF н I р п.
lShOcTH В рйЧЛШТрит Ml M ДЫШ
Переходя б форм\ т- <4Э) Ог .
и теория Озееца — Гольдш
-г-^+4-к-
етра R„
5Й,+ -
о (43') раз-
(43")
формул С П.1ЫТИ1ЛЧИ J
значении числя Rffl,
(43') И (43"), прито
в-
1>В
Стоке
гх
Очесн
они.
цы пишго, чю формул} Сгокса
^нь чалых значений чисел РеИпо
«мкие шарики к масле и др.).
ечя хорошо изучены стационарное

V
5
серба та.
\ w.
m
[
г i
жидкости вихре
одной и №й же
И, /)-, ,„.»,
и момент <-j- (if;
бесконечно мальи
щи К мл очредед
формированное П'
limb, -1т0 вихревая
Hd разрушается.
ца: в движущейси
шг линии гохраияюпия.
жидкой линии (рис. 15S):
1 времени / и ill, II) —
пусть (/, i) представляет
', соответствующую век-
Ср.ичт-j между собою
1! „жидкий", т.е. состоя-
енных члепт жидкости,
его перемещенное н де-
пложение M'M'V (при бес-
мал их ВЫСШИХ ТТОр ИД КО В
lamrcsi прямолинейными). Имеем из пектор-
ка MM^M':
m'm[ =
no >C«
MMl
= ЛШ, j-Af.^i' —
,вию (А-лрои™
= '",
тм\
)льный бесконечно малый
ж,л11=[У4(ха-т)У]сГ|
MM,— itt-{-Vdif+X(U.V)VrfC — Vrft—A[S + (Q.V)Vrft].
Вспомним теперь указанное еще в гл. Ш уравнение (13) Гель»
1Лъца —Фридмана, которое в случае несжимаемой жидкости приш
ает упрошенную форму:
^ = (Q-V)V. (4.
Тогда 1федыдущее равенство принимает вид:

дока.™
\II 11\ i
при pa»! !
ip^Md 0
:щптри i
1 ЛИД*Г)С
В5ЛВ I CI
кое >*«
=EHUP ЛИНИИ П ИЛКАЛЬНОЙ И ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ 505
заст iPipeMV Гстьмгоппа тчк как элрлрнт жидком
>h 1 jiiaci^n напрас 1С1!ныч по вектор Q' иреаставляга
чнын -а вречч d( вемор 12
А \ Фридманом itj случаи ъ.жимаеж.ги гача '
Т1П рь ТЛ At Р" р Р\« ЛИНИЮ (/, /) р Не L АН Ч «"МОЙ,
I ol 11 Пре а- ис го выведем и 1л\ i- рячкой на.ли
ювпое динiии сии- vpaBiieim- (16 ) § 77 и ттр-дполо
нам по п III iipeopanBiHii-
(V - Ч) V = g:ad Pj-) + Q X V.
I Orда будем иметь уравнение:
.^.+?nd('Jlj + QXV=. — g-radir — igradp — vrotQ,
кпгорос после проведении над обеими tro 'нсгячш операции rot да
rat^ + «.i(flXVj —vrorrotll.
Сели использовать формулу (жидкоегг. иеикичлема)
rol(UXV) = |V-V)i! — (Q-7)V
)лу'(ни следующее обобщение уравнении Гельм1
^-|-(V-V)ii —{Q-V)V = -iio
пи, собирая первые члены в общий сичвол ин
^=-(fi.V)V-*rolrolQ.
1 Д. А. Фридмав, Опыты гидромеханики ежи,
нидуальной пронч-

lph-sImih finirfliimoMudii ВЕНианич"! » kd-liii
НИ! i ir т (| = j Ни najn jii-rok tfniiiLFhi
sdn isiuiiimipd lactr) 1 hjJ hs м
HigUk hJi ihsi aiiHUHii-oniiiiLd Finn
ИДЭ 1РЧ ипогья \
i:™=^-
пыипиффЕ.м «u.Pa
<;tfl'=C10j;oJ
Oil- шии: |И) ,
чая тп к-чш'наь(1^
IM И l.JOH4U[(E|UH]
id\ ,
-
7
1 шиЧфф,
ШЧ ЦОШ1
:э)Гип hompj в э!па (gfl кипииэйлг-
isi — Я л!Р рыё -= & ioj toi
юилмйоф юцэигнинмчиШ jnciC дэнес! alto g

пр лешщв круге
Разница
фущшр^с
И £> = 0 VpJSHl ПН
эг ргвквний dfiiHp
ПДИНЯ1- РП Л
рЛИ.Митр-'НИИ ТОрО И LlinilJOhdj Ь7сР lipOUfCCl H)JO
DepemiutM п^нгвн^е jj.*bh«hho (45'| в pi oi-pmir
*+(v i)0_(a.v)v+.v«!
i прошводная от ,.ьпр > ти в
мира Q перпииим прногп пто
-i в потарны* коорлшыгнх '^ — OJ

при t = a и r*>n, y=o
г граничном условии (( irnifioe)
Т,ри л*^о=, У = 0.
Уравнение (46|, коюрое можег бы it- еще переписано
[ироко папертного уравнения теории распространения теттл!
Я1 \ilr*2~* т* flr*)'
' 11 форме
(46')
и легко убедиться простой подстановкой этого выражении в }рав-
ц величину А, вое пользуемся теоремой Сгокса и напишем, тю
)6ин momckj времени ни те не и я но с тт. вихрении трубьи радиус.1 Н
!°-
раона циркуляции скорости по окруж
V ■ 2*г*
Будем иметь:
, сравнивая с начальным распределением скоростей
при 1 = 0 К=-Д?1
ь окончательные форм;.ч.ь

ИИ В ИДЕЛЛЫЮЙ И ВЯЗКОЙ
асоростей
«).
> 0) шло безвитр выл
[рэстрлнстве urHOBcHHj lj никла .мвихр» imn р.кпрмд
р й преде га вляс^н 'ыстро jfuia эщей t во рас аниеи р
1 (47 ) Зави1.р<.нность в1>
[ вре пш а в точ с [ЭьодяшеИ!.
I КрИЙЫМ 1рНРСДСННЬШ
Кривые рипредекни
эченты вречши нривед

I ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГА,!! [l-л. Vltl
OOpjTiiM PHciBf вппиали m -гот
JlHIIMH t
ный н1)нр,п л™*гние l те phiiim
npiv-ш aij ъ-т j к.) еш мне
шче^йи ,лерпя рк<_ ишеи-н пр=
врчща,н.ь в |рпи
§ 82 Одномерное прямолинейное
Ж£Ж
сте г урялпенкямн
St2."SS!T5-„'^ii
^Z„ Г."?.™ ,„.ш..
=лтл^:™"'
•К<+-?ЬА(4н4£)1-
эт353*Зает:НйЯ

SJ S2i ^ямолйнеЙ
fw eiue cu flue pat нсп
.ее нз biHCiHj ти кпрг и
елн1М сравнении t через
.„(^l£l.-)-g_

512 ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГЛЗА [l'l. VIII
а\ "° и\ = (fc — 1)н* {к— |)М* '
Определим корни числителя в лравоП часто, чтобы узнать, цри ьлаян.
йноченик* ц нроиэводкак от сцорости обращается в нуль, для этого решим
^t±M*F~(l ; АМЙЙ+1 + ^-1^ = 0.
Корни атого уравнения Оудут:
" (* т-1) MJ ' " ~~

"-izk/"-51
1027 Ь. 328—330.

ЖКДКГПМ -irpm Iiel-OTl pnll MtlllJHllL 111 прРГрЛЦаН.ШСЙ|_Я (,11Ш-1_ИШ1р\ Н
теИся! в rcnio Чт>ы mini 10™ п meiirtui nMpfA nil v it vfmi
иоъсч1 jnutkOLiji г огршичеш-и ч и вер ночь*1
Jl jtiij _ | f V* I |p„ Vd - | , /-
ЗДШ \< lip^^tJfH ГИШЧИН\ ЛНИ-СНИОИ I НИНИЦ ПИ.И ЯШШ.Ч!
исех tHMpiHW лгЕертичшл UH aniuiii4Utiii ивтешы ill
и силы ipenii iiiiurp iiiiiimii ifirMHUTH an imi kii ннлррчср un imv
IflrOTfefJI . rp.JLtpe.^MJ.
Преобразуя ло:и'чснн\,о фпрч*ду ичвесгинм v,hf iro nptl» lymsij
обрати, тык*
- j:,F.Vd-n- J n-P\dz + J 'W„ift =
■ CfiF-VrfrJ- ] <1iv(PV)dr-(- fji.V,„dL.
■:, по.тучич те же выра-
С другой стороны, умножая екаларни nfir ч<
тел V. будеы ичегь:
!-"-"i = ?i{9)-'r-" + V-IX'f

§ S3]
получим искомое выражгние ,\\а в
f„V,„ — V ■ Div Р — di\ (ЛV). (54)
Выр^ив цр,,вую часть черет ш^рговы компонент пуодищич к нес
пик троп и тензороч, проводам следующее упрощение (координаты
х. у, г именин н* kv xa. х6):
V-DivP — djv(PV)^-N] ^(DivP], —V jL (pV),—
-i/'i'': -J?1^(?1"W-
Последняя двийн^ч ninii епи RinoMiniTh. принятое и гл. I
обозначение диффереиииаэьнпго тенадр* D f = -?—S-. представляет инвариантную
iOMranamm компонент ив опов / и D\
2 Р п=Р-П, (55)
S-iffi+^i4(«-

Тогда будем иметь (Pl} — Pjt);
Легко сообразить, что, н силу jcjiobhii атисичметричностн
попедшш сумма равна нулю:
р. А^ 2 ЛИ^=°-
Такну обрачои, вместо {54) получим
pL\'{u = — p.S^— S P<Aj'
т ? птт ценная я единице оотиш иощнсчпо ен\ттини\ not
пведьнию тстоп напряп иии и н'<ю[ и о:ю ш. : и in p vt
чение дчл эюбого течения in iijttih ifl ljii-ды не анничо иг г то
iiie тензорной единицы Р из тензор
.лучм (£(J = 0 при / -Ь /, £„ ■= 1):
РЛ',„ --auS^I-p^ivV + ljudivVV-- (57)
Ро терт сч гаеиоир ii V лзт^ i ни лт при шмо ними
1сния hi f а^ширсние raia (bi.ii пиит § 4) Нил нь t- ibj Lia
пв1нн\и I чет работы гич вялости зн |рнке и ргкня!

-K*+S)'+*(£+£)"+t&-i|;']- 13g'>
mm ть f- форм [>ммн bEiipimi, ш-рпп в несжимаемой
^ги р^нно in Ht !ip д< \.рлнй i FibMKi rfiiikuin rii потерь энергии
ном) ч- ю biipili irai [форм! и |4")1 t) l^l ' опасно (53). ypat-
или, иодстаъдия явш« шр.ъкешы J ли ,? Мюриу,ы (4dj гл. Щ в Л',„
по 157),
^(/e.n = VdlvfXeradO-pdivV-| 2^~4|.(divV)^. (59)
ела Ренночъдса Основные лрчвнения теории ламинарнс
пограмишого чзоя

OTUiOiTH ш-игрениоси i и [.ь. n_lij opiMiin II ив >3i nfnit-U погря
IIя W<1 -»Г I npi ИЗВ |ДПЫе 1ТШ11М " piMIIUh--] Т[Г ПШМИ Н lD]R.pt-II

( )
н
Е

icpui перпешшм тарш , nnpii flou» ipini принят! a 41i_mia0
KOUpUU Д|П*1Н 11ЫИ, НЛ1Я"Н 1 liaimiillflffll ipiFHHIIft TKUfdHUH
Тс ле щюкипя и ь u i r v Пр wnuiu пошл tthhi noetp\
принт orri ч LKrpoLiL hj ГЛ.ПЦ ro ie ma 'j D-pniPHHd mine
<Укт1 мг j^to пипце-шьн и H>p\di шми i iv» рышик icia ичоро
1ТЯМЛ Б 1Г1НК( И 1Г01 pi НИЧКОМ i JL Ь Ull, НСПрОИИП 1^. WILT Я ПОВсрТНОСГИ
icw шшьречные i прост tu ле маш ни LpiBK нив» t ггр|)Я'и>ным[1
LKfipoLTTlII HI llOrif-pL UILlf Tl.UIcprJ Г1ЛЯ 11(1 LplШ3^| 111В l прПИЧИШМП
Желт Liiiei hi одним rj.d4iu e пни diu hpiiLU,* продщшыч и
ПпПГрв1НЫ\ POOnricIt lipirjtTLl 11я П (ЛИНИХ ИПНЧ^ 1М[)1]'ЙМЛ.ШТДб
\ пымышин «an l гглщиний и нрани iim uiniiipi ьи ратании
тепмишч Ш11ЦИН1 и ihbiiihh i ijuhiuu шпини ih. и hojh при
aarii.1 очрсдсинн к> пни. ри mm hmu понч-*» kiniuid Эти
1ЮНИТИ) НМСНЧ WILL I II U. US УНЫ11 tMUt I 1 11 \dpdl ifflu ПИ И ЯОрЧДЫ
Tai иаприм p mi иплтиннй tiripinn nirrn in гт i т но innpi \
пиит r") li( я uepeiLb jiLb i in pjiiinir-h bonpi't apdi lepe ч знания

При принятом условии стационарности уравнения плоского
движения при отсутствии объемных сил приводят к з.ткнугой системе
^'равнений [нспомшп. систему (14) § 77]:

ВЯЗКОЙ V
иннлеч, р, к, л, i, |i. х, у, р—безразмерные ксличшш,
$ предыдущего ь1зффн-
г.,4, >К • к. н -пК'

an Hd л Fh v ва ь н
hJeh и э о ш а в н d о d ad
-[(ЯЬ*Ы-о-']"£17-Н-
i-IG-j-S")*"-*"^-
-l(^-Jf)w-«-fl?4-
'eH?,(i):M^)f^t-
-(f<)??|H-if--^i?f+^
:иии»наиЬС Asians o'Xaoiiirsjfs -иаии кэгХр eeioj

безразмерных величин и к\ )°з].азмерньи пр
Обращаясь прежде ни ь jespaaiifi н ц
следует произвольные пок^ чкштчГы ] V i
i,oc;ic: чс\0 ич первого >р1нпс[пя <_и>.течы i_>
ntW— - + 4iJ-
ii шнрЛиичпо.м слое совершенно исчезнем илияние вязкости. Бибиран
r двух предыдущих равенствах константы рашшчи единицам
положив, =:тоб]>1 уцовлетпорят]. обоим р-шенсшач-
v—^li -0/-Ц1. 1
iK' l ' "- '-I „п
сьоростей и пограничной мое: с возрастанием ре&нольдсова числа
поперечные размеры а скорости а пограничном слое изменяются
обратно пропорциональна корню квадратному из рейнольдсова числа.
Обращаясь ко nropowv уравнению системы (ЪО'), легко Убедимся,
что, в силу (61),
&-о(± m

идьосгь движется и„оСласги меньше, о .ыиленичнийласть
больниц iiptunua иод'шрпыживаялцеги и.еияния перепада давлений.
оток бнл шеалеи и скорость iia яоеерю-шс vn кри-ia не равня-

-'■s(H¥»--,l-"5'' + '-T"i*')-

пин плоского стационарною ламинарного пограничною с шч и сжимае-
Бсзразмериая плотноси, р в зим системе, 1ак же как и вяэьоси. и.,
чиыполагаюгся функциями Г. Пренебрегай, наконец, в случае малых
i-срепадов температур влиянием температуры на плотность и вязкость,
i е. полагай I. — ], ;i — I, т[0.|учны vnpomcKiiyso систему уравнении:

рлгуры, если и:: иерпых дву? уравнений ун>с предварительно (inprr
виде, iu они примут иид (для размеримх печипмк сохранены тс
Н Н Н Н Л ри
р в н Т н [ц. р пр
и переходи к безра^ериочу коэффициент давлений р и безразмерной
ChOpijLiw и координнтс, дли ипюрнх сохраним го *е обо значение,
зелм ±>го выражение fit ipwwpKOii сроияиодной деления
ур j л нений пограничного поя, вменим в них давление на
. функцию U(ж).

? Go.'iet удобно, гак как функции U(x> и
. -"
r^
~rt t
^^s-
~-~-—
-'
я необходимости )довлегворени

i ченю [ iiiH ь | AB е. д up прнб
>аы ныл t в
n|. j 1 * >0 и-—О, к — О, I
I - I- I
с j в 1 т в пределение масштаба пог
,=Tsr 1 ^ "°п """1С'°"°с""/~ж~1гШ£-
Отсюда сразу следует, что искомые безразмерные функции и и -о долгий
навигеть пе просто or безразмерных координат ж и у, а от такой их
ыомбинаяая, 'it'jOh при возвращении к размерным координатам выпа-
Оала пеличиш /. IjkoU комбинацией будет;
„,-.fly:yl\ ,--Х7/{уЦ/х). (69)

Тоьга, врпди новый аргумент -ц ——=7=". будем нмегм
Ияе« „к,„ щшш .л. ■>,:
Вытас,,.. (штрш о„™, дажяоиу, ,«, ,к
If-T^wg Т7Г"'™'
Й - 7 '*"w Й " ~ "Г it""w " - ^ ''"' »■
" ~_1т=~ГР?''(',)'_,'**'(',)£~"
при -я = 0, ?=0. '=='11
при т) = со с _ 2. J
Уравнение (71) и гр.ши^гме условия (7Г), благодаря испольаояя-
гю безразмерных величин, приведены к чис го численному ииду. не

p.iu i реле ire iw трения по поперчи
Эы форЧ>Ла (хг>.1 и.™
сродственно близки.1 k i
>№■
е.^0 и при л:^/ in con6p;ii

.«-|.™>WV
- nzscbicht an ein
d M«chamk Bd f-, II. S. ms.

irobo пцофн.т. скоростяй I
lime y = % от стеики, где продольная размерная скорость и
например, на один процент отличается от скорости нненшет
Vac, то но табл. 14 наПиеч приблизительно
н " д Ф
S* = J(l—j?-)rfj. = l,72I /т^-,
— —0,564 ■(/"—.
, об i.я сияющий нроиежожде-
I'. 1'^/(У.-.|*
видно, что Е-Ь|ражснн,1я в безразмерных причинах правая 'jacTi,
представляет -лигрихоианную на рис. 167 площадь, заключенную между
кривой ск рос-теп, „осью ординат" и одмоМ «=1'„; величина чтои
пчощади 11 72) пало (аиисит or ошибки, которая будет сделана, если
,]итегриро1и не гроюволшо до hOiifiioH абсциссы, равной, [«пример,

9 (COllSt) — 1.011 St ■ I'm-
[lCjitmjmcMj a a -j n,i ytl выражения чср<м

ji-wn

mw^
'(?•„-/„) =
-^-J4%-l/C- (%-K ^=sWK <*
И WlJ
J 1т"(ч)Г^ J"[£
1 E. Pohlhausen, Zeitschi. Jur An(jew. 4atli. unJ Mechamk, Bd. I, 19Ё1,

e
-1
! Ч-
„ i „ i
ПЧ РЧ
М|
640 |
66'1 ,
SR7
«*,*7
0 6(1
0,664
70
15.0
л,
12а
1А7
0 6М у'в
1,26
1,61
., ,г-- f^,^2
Щ 46 Ламлнарнь й пограни шый слой при с
6 ) к »1 н и гну уранн
П р Н Н о. При
ki Hi границе анишою
£. = №».
й J п г cri пример
V — с/™
.ЮЩ.т.к». »,«..»
«1сти уравнении
vropon размерная
ускоренного {т
а пограгичпого ел
скор
.-0)
(
п. Глет
I Mi S K^.^c^^SJ'S.la'S,?"'' '

СЛКПЕИНОЙ SAICOH СКОРОЮ
#-w
И аднноч случ
■ричй. U силу
Ml ПГ1
л ли чбишщии
ioe ffl
(77')
R
В Л
B4ioo
<£+•
Йн
<eeu мае
.V
VI
tmiiMiu
■L при'п.
й7
ШТаб!
= '•
™ р 1
ое^ра
врем
— nw*
= 0.
К =
-, У.
II 1.Ш Й
„т-рнл
-'+&.(
f
7!'
~/9^-
ipiBHiimR Г
? 1Грнш1°оет
-ид,)-.-/^ ■ ),
-[udy-ffftyi '~)Jy = * ' J/fcl*!-* > v(* (s°)

»-/=+г». ч-^5"'
,„.„., .,.,. ■„ ««ad (71"), «>) > (SI i ™y..:
♦ -V^-^m j
— -^ЗГ^^.ф^^^и.да], j
. связано с размерными координлтаии х. _у сгютногп.чгиеч:

>'-j('-^)*. =• --j -г-н -w-
j'-j ii- vu-n-\ 9—1^1' fS-.
»••.- j .i-(on-*4iii'«-)Aj---»i?)> -J
Вчогящче сюда rav^nira Л ф) и /Л=!, ljbhu.*:
Л(Э) = / |1-'I>' ivl rfi. R\h = \ *'|;1|1-Ф'^1!й,

ч
0,0
од
0.2
ад
o!s
u,fi
0,7
0,8
0,9
1.0
1.2
1.4
1,0
1,8
2,0
22
■м
2,0
3,0
42
3.1
3,1,
4,0
4,2
4,4
6,2
о,е
0,0
0,2
0,1988
0,0000
0,0010
0,0040
0,0089
0,0248
0,0358
0,0487
0,0036
0,0803
0,0991
0,1423
0,1927
0,2498
0,3l20
«.3802
0.4509
0,5230
0,6635
0,7278
0,8158
0.8304
0.9132
0,5399
0,9598
0.9904
0,6945
0,99№
0,9992
0.999К
0,999а
l.oooo
—0,19
О^-О,,^^.,
0
0,0000 0.0000 (1,0000 0,01)00 0,0000 0,0000
0,0095 | 0,0137 0,0198 0,0246 0 0324 ,0,0469
0,0209 0.0298 ; 0,0-1 П 0.0307 , 0,0059 ! 0,0939
0,1
0,2
0.0000 0,0000
0,0532 O0677
0,1154
0,0313 , 0.0467 0,0643 ' 0,0781 0,1003 0 140В 0,1715
0,0401, 0.00J9 0,0889 0.1069 .0,1356 0.1876 0,2265
0.0665 0.0868 0.1151 0,137Uj0.171S 0,2342 0,2803
9.0855 0,1094 01427 0,1084'0,2086 0,2806
0.1063 10,1338 0,1719 10,2010 , 0,2466 s 0,336b
0 .553 ■ 0,1874
0,1594 JOJIU)
0.2364 L,2791
02991 0,3463
0,3666 0,4170
0.4372 04806
0,5095
0,5814
0,6,509
0,7754
0,8273
E
0,9710
0,9822
0,9893
0,202310,2347 0,2649 0 3720
0,2341 0,2694 0,3237 o'4iB7
0,2671 1 0,3050 0,3628 1 ц'даб
0,3362 0,3734 0,441o | o'sio3
0,4083 0 4534
0,-1820 0,5284
0,6555 1 0.6016
0,Mi2l 0,6269 0,0712
0,1334
0,1970
0,2584
0.3177
0,3328 0 3747
0,3839 0,4294
0,43-45 0,4816
0,4815 0,5312
0,0135 0,6640
0,5194'0Ю44 0.69О7 0,7383
0-6948 0№: o,7583 O^Oll
o-eeen o.7oio-o,si6o|o,852s
0,6327 0,6944 0,73:4 0,7396
0,6995 0,7661 0,7027 0,8398
0,7605 03107 0,8-122 0,3817
O.BHb'oB65''i 0.8836
O.S607 0.8959; 0,9108
0,9286
0,9515
0,9t>81
0,9499:0,9016
0,9o69 0.9752
0,9789 0,9S4ij
0,9153
0,9413
0 863310,9019 0,9200
0,9011 0,9315 ! 0,9500
0,9306 0,9537 9,9612
0 9529 0,9697 0 9792
0,9691 1 0,9808 0.9873
0.9607 , 0,9604 i 0.9883 ; 0.9У24
0,9746 o,9880 \ 0,99311 0.9967
0,984] ' 0,9929 0.9901 0,9976
0.9904,0 90=9 0,9978 0,9987
O,987i;o,9907 0,9944 ,'0 007Я 10.9968 0,9993
0,9876 0,9924 [0,9946 0,9969 j Q£Q88 | 0,9994 0,9996
0,9927
0,9958 . 0,0059
0,9966 0,9978
0.99SI 0.99*8
0,9990 0,9994
0,9957 , 0,9970 0,99331 ода4 , 0ДО7 10,9998
0.9988 0,9992 '0 999b 0,9999 0,9999
0,9994 0,9596 0,9998 0 9999
0,9997 ,0,999a, 0,9999
0,9995 0.9997' 0,9959 0,9999 | 1
0,9997 .0,9999 0,99991 j ,
0,9999 ' 0'тЧ
I : I i i I
...
0,00110
0,0700
0,1490
0,2189
0Л495
0,5212
0,6190
0.7033
0,8326
0,8791
0,9151
0.9421
0,9617
0,9754
00847
0,9903
0,9946
О.У970
0,5984
О.У991
0.9955
0,9997
0,9999
0,9999

функции Ф' (|
0,4
«
icnoc опии
1 1<Ы Л Ш)3
0 11)4 НЛП
0 1 0 401
4413 0 4( 0
1*4 1 0 5 t
0 Ч.т4с О г434
М)с (Н.344
IIWP klr-41
Db< Г (14 4
Jji7 0 if I
j (0 они
\*Л 1*2
Q9B2 0)14
J 9J* 4 0 I
( -)54 0 94У,
J444; (И м
jjsa
I
(I 14-2
0 2-H
0 f" =41
til
0 Si4
ОЧЧ2
о Tsa
0-4*1
I
n_ 4
1 )4IS
0411)
0 "40Г
1 SI 14
0 s"4'
( II 4
0 К 44
on
0 J444
0 3J
1 -ЮЭч
<У>!Ш
I
]'1|"
"H j
1)4 14
1 T5U
14*
(I'tjbJ
0'
1 41]
J Л
о Ю1ь
^
012
0 4
134 5
0r I
РЧиО
0 £2*1
J "3
14411
0 4"
0, 411
(JQJJ
(i r*n
I
o'-r
1)4.4
TO'.
о no
0 vi-i
0 ~5
0 < ]
и i iso
0 Ж
II 44 14
II^JJ 1
-./
ou ю о к»
Jl^ 01 1)
0 ' 411 (| ()b
) НЧ
)!T14
11-bU
0"«J
16 1
14 Г
jO.ll
jr«
J1«I4
0 3-F4
1 JJ4
ft 9414
I4JI4
U (IJ!)
041 2
0 5o3-
0 7"o2
ЦчЭДЧ
IU444
1
OH
1)1
04
00
Ob
04
10
1.
11
Il-
IH
3,0
3J
lb
зи
12
4,8
5,0
5,2
5,4
5,G
ад
02
0,4

. найдены численным интегрированием по tjI.!. 16 ф\н,с-
>~
—0,1988
—0,19
—U, 16
-olio
о,оо
0,10
0.20
""
2,359
2.007
1,871
1.703
1,597
],ФН
1,217
1080
0,984
^
0,577
0,568
0,552
0.539
0,515
0,470
0,435
„«
,.,.;'"
(1 |
о.«™> I „зо 1
о,ияв 1 о
0.1285 0
0,1905 0
0,2395 0
0,3191 1
0.4896 ]
0.5870 1
0,5869 2
00 ,
20 1
30
00
лт
0,911
11.853
0.S04
0,7114
0,599
0,fi48
0,507
0,544
0,198
В|в>
0.38Й
0,367
0,350
0,336
0,312
ь;ж
0 276
0.25U
0,231
Ф" (0)
0,77.18
0,0277
0,996
1,120
J ,2326
1,336
1,521
1.687
'."=-в(Р)1/"-(,;Г^'„,>
»". ™> "Р" "■ — ' С — ») °в" -™"'
(••*).„- я <Ц)Л~-
Сл\Ч1й /и = 1 и ]1*ет прпг той фи„и
а пО]равншои tio,- в1 гаш и.ч и гт
ьритшес^ой точ! е ирь u ([/=ril
Согч^нг! форМ| tan (SI | при т ,
648 у —,

ПЛЕННОЙ 31КОН СКОРОСТИ б
'.-Ka-.=^WL.=^F'
Безразмерна!
Примечателен факт, что uj
«коне убывании скорости
величина Ф''(0) становится равной нулю. При stov
иа поверхности напала (х > 0, у ~ 0) 1ренис обр
и будет вышмннтьси условие начала отрыва:
ш„-
Рассматриваемый частый случая (р = — 0,1988) представляет
предельное безотрывное движение жидкости в пограничном слое. При
р< — 0,1988 пограничный слой уле не может существовать и
заменится попятно движущейся -к«костьч), а предыдущее решение поте-
и. степенным распределением скорости во внешнем погоне
представляет своеобразный практический интерес Вобирая .""
степени т (или 3) различные убыв^кнш
т = — 0,1)9U4, мы тем самым рассыагрив
происходящие я различных сечениях пограничного слоя Ш криле: вблизи
ния М(т = 0, f = 0) и. наконец, 'точки отрыва S(m~— 0,0904,
4 = -0 1Э81*! Д'й дальнейшего однако, вэжно поняте, что |'ас-
1 параграфе к iacv тч lemiB соответств) ет
Финн ном Lioe при ]>а sii шы\ на ishhhs r при-

..очаии* иновь CejpasMepnjio течперат1р>
м (С5), переписанному и форме:
ев йв 1 а'
eipajMtpiiu* *р1Вненлд
при >'=tl 8=-0, 1
при у = га 1 = 1. !
ич ,,... as
l-l/^fix^^t"
Г(^-^«Ф(;)В'(О = 0.
t['0=-°- -- -. <ЯВ<)
со значениями Ф" (0), вчяшчи по ранее приведенной табл. 17.

3 87. Ламинарный пограничный слои в общем счучае задания
.корости внешнего потока Применение равнении импульсов
для приближенного расчета лая и н арного пограничного слоя
Cunauw fob),
PUIKM Ч1>4.
ции, сравнения в
НИН |S01, OIHUB4H
\pJBHcniiH {1>Ч) илигерми timni чала
но перепнсгг в размерят форме и
, о» л. „ д" _ // db л- <*" 1
7г+£-ц 1
ie ЛДЛ.НИЯ L\\) Idb HCMHOJOl! Ifpum
i ldLTHbI\ ГрО[13ВОДНЫ\ ("pi) He МОШ
, рицгн -
luhHbi с вы m. line muh юроны st i ато пчнн H mciiatr ъ\ъ (я
шфоые щи тичечо!" рнмеиенш. по [\ и m i ри1 шинные мете ;ы
^ентия ичпчыщ i 14 приняпо em нлынп
шванной (.нстшн из второго; тогда будем имен,:
&iw-*+fr*,u—а гт—>% — ■%■
i A, rage and V. Falkner ARC Ц 8 М № НОЙ (143П.
См. также „Современное сосгоянис гидрог^роднияцики вяакои лидкошГ,
i II, ИЛ, Мосьвл, IMS. стр. 313.
а Обзор четпдпл ятого род,, см. Л. Г. _Лийииц i-mi и Аэродинамика
'■ait гнцроаэродинаники вязкой жидкости", г. 1. ИЛ, ]943.

Проинтегрир
иара[рафак> ia
при у^ъ „-*/(*),
вменяются приближенными;
при j, = ij(x) u--U(x):
Проил>оди в том или другом иредтгоде
рование, будем иметь:
равнении по у в пределах
била речь и предыдущих
гремления'(*,.)•) к-f/(*):
~5у-*а'
&="-
)жении указанное интсгрн-
+ -E.I fl-'—rt* |sj|„„ •
пользуем граничные условия и заметич, что при существовании
гегралл с бесконечным верхним пределом будет;
jko мк же в случа* переменною конечною верхнего пре^елл Ь (х):
/ £lut'J-"l'v=ii «№-ч«.-|«(и-«)1,'~-
'1.1КИМ образом, оулем ичет*:
AJ .(и-.)Ф+^. J' Ц/-*)*-,^^. (90)
Введем условные „толщины" пограничного слоя: .толщину во-
-/(■-о-)*

§ S7j ЛАМИНАРНЫЙ |[0ГРЛ[ШЧШ1Й СЛОЙ В OEliiR"- ti,'iy4*F 551
*■'-/ тИ1—&)*•
■Ф...-Т-
Уравнение (ЭШ лреобразпвьшется к виду
A-(lPl-^-\-U~b-^^f (90')
и»|, после рас Klin inn нрощиодиоя,
Л jr -#■ PI!
се'-'ениямп пограничного слои че^
адние этих уравнений.
В 1421 1. Карман и Полы-ауле^ пред .тол
интегрирования уравнении ламинарного погра
з следующем. Заменим неизвестные действ
стей и {х, у) в еечеЕшях пограничного с
четвертой степени
77 ~ ~~ё Г — 2 ' TV ~ ! ~ь/
i. параметром )., равным
Лет i(o проверить, мо jto семеисгво профилей скорости >
гворяет ранее указанным '-рйничным условиям:
пРи_у-0 и = 0, ,[ри^ = й ,r = t/, |^=i)

■Ч.и > = U
: прямой -— = I (|ри у = 5 иыло Hiopoi о порядка. Р.усматривая паря-
эгу иеичвестиуы ппрсделигь, пользуясь уравнением импульсов (91). /(ли
i выражения '<■''-' и 8** и вычислить аги „толщины"; простое ингегри-
-j- = 0,3000 — 0,008333л,
■21 = 0,1173 — 0,00105Ьл — 0,0.
*-*$,..-£;

пример! em лшиенения к продопыюму пбтлканим плиаинки
>ы слупо / =0, тик как £7 — l/^, t/' = 0: подставляя -шачепия:
■%83|/-£Ц S' (),Зг^-1,75|/^-,
d |I7,^, ilRttr, )/ -
==[l=|I'==i
,.k д»™г-ан сссл Лх&.ттаг
■',ё""Е^Г-»Л"?, ло,.„„ ли ггср , ххху,
Э, 1M2.

П дпи ж ч е ви профиле!! скорост
ж н о он яяан ф ti ш
а пара р ин А, определенную равен^шо» (52').
по уя ф кц д 1, что ]|0(?6ще;
!е Я*, й** в Л — нечогорш функции к, ^висящие от вида функ-
Подставляя эти значения 3*. Й** и -т% в уравнение импульсов (91),
аул, шюш, )ра.,и„.е (93), с ,.■ лишь р„,ш„,.«,
?№ =
-^м ,.
/
ИЫС i
уравне
^»
f0q>b n jMMOI,
-*Я"' н Г
J''
-.
г(Ч-
£-
¥
■£'
d Д1
ш*
JMII
Л
£
й(М
,е 'ЮВ
*|i-
соотн*
At')-
фепиСЕ
\-tp-
~U-
■£
к-
2
иг 1 ■
«[(ИИ
• + №
ми:
. „„ '
'11,
С1И 41010 уравнении ш -jj, получим обыкновенное
уравнение первого порядка
функции:

J 87) ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ R ОЙЩШ СЛУЧАЕ 555
1 ким осразол параметр /
могат1" ин)к> величин} ь iilk но
П-повашшм по том) ле а он\ чю и л, н ижц щии в качестве
upjkieptijf длины „готщин) потери им ivibM" о *
^мечая 1то равенства (941 можно рассматрива ь кап парамсгри
tciivio свн1ь ме>№ F-я Т ерез парамегр * а глр-шетр i вира ы ты
е(.е у при пом-чаи первого из уравнений (44) гудлд npMnoiarirb
что > iilK4» ено и ПОЕ1ЮД1 заменен! своим выранешем тсрп /
Перс исывая Р в виде
и вводя обозначения:
Щ I
>(£)L.'\ <37>
'«-»""*="■ J&-V-
"</)=•&.
пояу.|.к такое ^№ш
/*ш =
Приведенный вывод
входящей в него ф\нкц
Сравнение ^чjj полис
I ILL,В (91) И1Я(Ч1 |, И,
■ дл* функции F(f):
= 2,tf)~-2V+ H{f)]t
)(.мнения (45) и о1ще
ИИ f|f| ]lt004JKO ОЮ,
ав1нг новый ынтод с i
i ™""L'r„°;i'™;,'™"
7-*(£■/;■
.« „pan,,,-,™, футшоп „д.ого /,

такл вязкой и
i Напряжение трения может бить представлено
-(^-{§
t/ — яда
епени апроксими-
<, если вернуться
т. urn«г<я
-1мея в виду, что
течении в иогра-
ачеетве апрокси-
+,ч,_гГ-+«,(1 {;•',

d три коэффипиеьгга а
. X) i-раннчньш услоии
Первые два ялэии jrae и шестиы нам по предыдущем), а
постыднее легко визе цитсяиз основных дифференциальных уравнений (89)
дифференцированием первого ит щи по у и последующей заменой у=-0.
коэффициенты а, аа и а^ при этом выразятся через параметр )
- *<>v V
■ определению условной толщи
ты погранично!
гься равенство'
откуда следует, что ^=0. Тогда ич уравнения (93) при С =
вытекает. ^ ^ ^ ^^ + Я*) —4 (я — 1>Ш*8
«*<*) + <«-1)*М = , rffl** , 1 ,„ =

чго дает уравнение связи между i. Л, « п {i:
£_!Л1£.Ш** + Ш*. (99)
Потребуем, чтобы Ge-фаздерная величина Ф" (0), заданная
формулой (KG) и лредставленная на оспоиаиии приближенного профиля (98)
и равенства (99) в форме:
бича равва помещенным в табл. 17 точным значениям Ф"(0).
Используем слсчукиаие очевидные выражения И*, Я** и 1> через Л и а:
"*-•?■= jo-?)'(fl — ^T-ifr-ifa-
H"_^=j = (l-,)i(f)-
и пользуясь еше формулами (08'), попытаемся иодобрль иьут снизь
.между и и >, чтобы желательное совпадение точных (табл. 17) и при-
Т а блица 19

i функций *, Н и F
/
-01Ш
—I)i&
—Oflu
-оо_
ел
0141
о IK)
«л
«О
5й
'<"
«Г
'
II 111
0 02
0 0"
0(14
1107
008
nosi
z (Л
0271)
иът
™,
2,55
2,28
'•(/)
ft07
-»
I ипч-кнн Ь (0) olviu i
я „ОН/ +4
На pin lb'1 unommti кривой nfhi
1рн рз1ли iiiii\ i u ^peir
^раьн nut (ЧЦ и (!Ч) п
шкейн.й и,я и (.1W) "^JU 1_>0
в'таб.П Ю LB ЦЧнГ-ИЧЧ I-'"
ния i ), b И И Т a F
If), H\f\ и Flf) „адашыс
ри«ч«« (Я7) н (97'). Эти
згункшш приведены в rali.i. 2U.
Большое удобство для щмк-
вляег ют факт, чго функции
СОТ i
Как
я ве
покалывают
(ЮО)
лчина Ф"(0)
Г
1..
-
"—
__
.
_
;е; га = 0,44, Л- 5,75
Благодаря этому уравнение (15) №
£-«£+<£-»£;/.

SfiO ДИНЛЧИК\ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГЛЗЯ [п. VPtl
имеющим интеграл
Если при ж f - О U= О, го из условия конечности /при * = О
счедует С = 0, и окончательное решение будет иметь нид:
^--jj^-jWl*"1*: (101)
При желании можно последовательно учитывать ошибку,
получающуюся при замене P[f) линейной функцией, однако пр.иаически
совершенно достаточно пользоваться формулой (101).
; (/) =0.441 -5,18/.
-&-D+-J-(i—«)]""¥■

I (>) = US' If, - 2iA (f>) R (i) + 2« (?) Ф" ((,)
i H. fc. Кочни и Л I. Лиицяис1Ч1И.О6од|10И11р|1б.|1Г*енноч «crow
l-JCieia имвириою пограничного fin*. Доклады АН СССР, т XXXVI.

Ш). HifiM F{j).
}
-0 0G81
--0
-0
-0
-0
-0
-0
о
f
Ofi
05
04
03
02
01
oo
01
C(/)
0,0000
0,0(54
0,130
0,155
0.17a
0,200
0,221
0,24»
ff
4
3
3
2
2
2
2
2
2
Та б ли.
■ы
(
1 <
0
772 1 (
7!5 (
54ft (
HI l| (
и
Hi
|Н
'-'"
(U74
»„,
2,43
г„,
от
UJ83
11.023
-0,07-1
V
^№->(Е)Л.
лечкя f{x) необходимо иметь значения U [х), которые
к правило, вычислять приближенно чо графику U(x),
[очность резулыатов; юдчеркнвм, что для разыска-
i U'(х) не трейуетсч
т^
i\ Society, Sim, A, >

I'M-tff/M !-'<*),
нтся имен, дело с безразмерными
гни черточками сверчу:
^— = (/(*), .г — -— (V, —-скорость на бесконечное!и г — хорда);
при 41 ом (5>дем иметь следующие формулы:
/' г'т»-!'"*""'*!*- «■..-—■
')-'" -HI/M]!-Й,
ЙД=
««-0.

§ 89 Чаиинарнь по рани иьн слой на пластинке, продольно
б каемой ежи» аеь ь м азом при больших скоростях. Случай
линсГной лавненмо т ьоэффипиента вязкости от температуры
( -1)
Р рп и и а применения уравнении (Ы) pJ.c-
а и щ. ня ы ?р|1змсрпи\ ветчинах система |63>
■'" дх +''" Ну — ду \1 Оу) дх ■ ду ~ "■
р« § - v* ^ +1* -1) «^ 1>" ^ + f"£) -
■" r>x~T f" (Sv fly I/ (i)»,-1, й* ' ду ' |
жидкости Преобразование J го оиределяегеи системой PJhwictb в j"
■иериьге пеличина*
где /Jn и f,(,—давление и плошонь в адиайаташ сьл и нзэнтропиче
Ш'орми.кенног.1 внешнем потоке.
Испо.[Ьяуя в (105) BMeciO p„ и о, величины ;)|П и eOJ, будем им
■ч = J р rfy-

оифферен-
+ £v£='T5- ("»>
"'""'■S+W+^-^-'lf)-
n (,0S) приведу ic» к виду
'# 'г ">', — J?1' дт\.!'
" " Si' ■" " — ae j (in
^_L<*_ П J
111, сокращая обе части на f- а леполыуя обозначение (109) я после)
dl . "Hi 1 0 (.„ , д1~, . , ,,,,-, „ ,^в\а , ,

Г -
]
при :=u ш=о, o' = o, i
при С -~ ct ■;' ^ 2. |

Граничные условия д.'т безразмерно
быть [йэнообразны. Если задана посго
безразмерная температура Т,г, то граничн
>ргвцчнии l iiei-р 1Л1>кимв хэра^гйрнниш параметрами:
этих уравнена!*, jaapeniiesoE iniu 1рани щых ycv
и граничных условий (7Г) задаim о логра^ичн
егрируя второе уравнение
-,(*-i)№.Vi + £
.-2»/|,-с)Г</[.-(.;.„'

fe — liM„ft(0) tl21J
фатурач:
.,-.»! - ; s Э(0)(й UMi], ()22)
Тогда .iciLioaHHjK, С н общем ..лъча* наличии теплоотдачи
t i.oaepxHOCiw пластинки можно чреде' am i ь. согласно (1201 и (121).
~JV(Cil^".
Прол.на,™шр\ем полученное резулыаш Прежде всего легко
убедится, что 1фи Мш->-0 соотношение HIS) в переменно» г. Товп<1дет
< ранее выведенной форчу.чпй (74) ;
■'- jVm-

дзет p-iuip л-игние т^-лтнри^р н погнан ннги l^ol нт гтпчшке
ьиг и в шяниеч иитемлцц i rat u 4. J n^HtOperm нечьчя i \д^и
HpeMinirm по ф\шщп 1(,| jtjSi чиротн! ди рлличных
-_U h II S 10 1(1 1 j
) р I я Тгп»рь к форте |U I ВИ1ИМ ire на npeflL ли в
дчч l 1ч и — 1 pi. uui ia [чи jS измореi ии ть*мпе| Jivpu ачпвог.)
Т-—Г —7 п ьер\ж и i р1дл1но г jir-iae юй тим ri f«nni гаки
J i №. Н

Для того чтобы определить коэффициент тепло01Дачи пластинки,
имеющей тешгерагтру 7"= Ти, вычислим размерную производную от
ЦТ
температуры по норчали к пл.гстннке -—- на поверхности шыстчки.
Ичеем, переходя к разхерным величинам-
1<роме того, и случае пластш.ки, по формуле Ктанеирои.
OfipJinawCn к вопросу о сопротивлении илас-.инки. найдем сначала
напряжение гренич тн. Ичеем, переходи к размерным величинам:
причем ="(0) имей] го же значение, что и несжим.геыом газц и равно
по предыдущему (§ S5) а*(0) = 1,328. Итак, если при /2=1 кон-

-„ .,0,332 ]/ ltaJ" M -
l'1
imqiivnp. Лкффйречци-
C,.„ ,„„»> ; и ylfx mpcuMTC. i.r.iF...« tuirauuitHioi-
itiiiiniiiii

I ,—
.«V-A;
чия скорости в координат** i iff», .у с — - j «
Случав OlCyrctBHM ТеПЛЬОТДачИ С TKlKL'pXilOCT.1

§ 90. Ламинарный ] ограни чн и июи на пласт шке при любом
законе ивязк между вязкостью и температурой и при гисле с = 1.
Обтекчние нрыювого профния потоком большие скоростей
Отпадем л 1 п т L t u ас м | гему уран
княй И вщедпоожс я I i д в щ ь. чешис = 0,72
1.1Я в зл) л вч ян т 1 н л » ь гл в местной
стелен in п ре ли av прель и щего nip граф пг — . и
разные и проводя cojfuain.PHiisi:

~2 W' ) ~ T"

= 11 Г,17
юГ'тсти'оЗО)'1'"-'; будем11тетьЛиг.™(.ч10 (°12г"; уршне°не
J ^ = — 2,
du*
aijpe
•, ads= — 2гр-
"--#/'

F н 1> ры 1ГИ
^/тК'-З-К

r«i(. = l) 579
№,-"S(r_VJ"-'('-*)""''" "3S1
t.._.
*4f
P??1
TT+1
ТПГПГ^Г-
^1

ТУРБУ FH НОЕ ДВ ЛЕН Е
9 П р рн ж н рб н
Кри и р и
<t

В =- 22ГЮ
ийяпарш го мри pj дги не ш i i ni,n(j ив-i ич punpi-a it пнем
lOpi^CrcIf 1! Г J ir 11 S JU 1Ш г1 4 crijpilTW'T HI Я Po Lie 1CM был

нкрегном
■л распределен"™ U(x)
:нпннего потока можно
■ям (101) и (ЮЗ) ггре-
'.таич установить ф>нк-
■орпны, и безраччерноя
, «-=Г"Й. (1)

вори-ч о „точке ncpi'x

е размерн ск ро~гь
гтоаер н р a rh
Д тн те но
н. / /
я р нн » р а
ы J T 4
г р (р
пр т ч рн
рот I) т г вер н
1
$
\
„\
\
*
1,'
^
Н'
рг
sD
£в
§г
i
'i
/
//
.
j
OS
^
1

^№ал?'?г^7: :-".:-■"-■:

Рнс. 182. такие значение числа Рей-
pr.ro происходит резкое }иеш,шенне сопротивления уа четыре-пять
раз). Величина К; силыю зависит от степени турбулентной и
набегающего потока. На рис. 1S2 приводим кривые c„(Rj для тара,
на рисунке пимегпены тики, те учасни кривых сопротивления, где
происходит указанное резкое падение сопротивления Разним! межач'
[ько отчетлива, что по значению Rb можно судитч оЗ ин-
вели-шны Rs
lypDyjiei
!. Чтобы уточнит], (Шредели
R=-Ri при cx = Q,Z.
Tpjfju, чей ченее турбулентен в ней не
тем выше величина Rt> достигаемая пои измерении»; сопротИял
шара в этой трубе. Так, кривая V (Rx =='2701)0(1') еоответгтнуег oni

и грубс, в ьоторой средние ошлпиешт hi нипенш
DijiM'iaEOiсп ат среанеЧ скорости пототя не &
чрииля / (Rj,— 1250001 соошегмвует потоку ,
ми. ваш
1 прччи
1 ъ npt.H
я1 го- /л" 'л" № ton* кв
Рис. 183.
It метил .писашы гт. рГ! И11шми
UltMHn ЛЛр O^JlJllllH 1 К ]dLLUOipt^I
"м* 1иР1льР1Г|'Г'р ' ГП ijTViu.'Vtni
г ди-ien™ Н и г, м отрынл тщи
w° ;ет°
ролшычн
м ps-ii шг
.Г^'н
"IH;
ИЧНОГО С1
;
tLI- >li
г;:
т«
,t
6'
LpVUbl
ОО™"
',:;:
пи, pm

з.гснин „кризиса обтекашн", основанное
!!i представлении о переходе пограничного слоя из ламинарного
состоящи в турбулентное, прекрасно подтверждается применение» искусствен-

Приводим для иллюстрации (рщ.. I8G) кривую роста г,/т„ с чи-

[гиги -пви^рчдаЧ пни и пиашчвд, но, Пегчч щии, ьд ш ш гр"Ш ш 'I
с юя, илицын Bjiillr .лчти \ гиПцИБ и i4MiiHdp,H, пьит^ Jiwn i
-.!« n>ThC.Timi iTM^Kint LpiBHHieiLiw иы oiiiiiji.. uui W u Д»вгшн
Я.гонптк>1(, прикипи Т«се uptfludu leime xnp пни [шд)иерл ulil
C7fi^biuj;pH с*.Ш1Л югр1мм >Й _*, "lpmiiTpiipnBiHmjii ириипроч, нЛ\.идя
Рис. 187.
ЦК kil i.LLHUl rpiTOl * F ТЛЧМ! HJ t) J < И ОТ HUl И1 3 > *. H ilHT
nptubiiHduiimi 1 I11 i « нч.ш Д1 iLa ккцигпиграима 7) типична т,
ripimili.BHt.i iiLEiii [ij pa гмы ' сше pa модиерлцаи i itoiiAt
„Аэродиначиьв" (под редакцией Дюрэида!, т. VI, Обор™,in, ]!

регистрируя во вроче
I, v, та—-осреднтяые во времени скорости, а и', г/, w' —
1иИ действительны* скоростей от осреднении*, которые будем
пульгационнычи скороаями и.|и, короче, пульсациями.
жении пульсации очень малы по сравнению со средними скоростями
патока и чго величины осредненных скоростей мало зависят от
способа осреднения. Услотшмм обозначать черточкой, поставленной
щд величиной, среднее ее значение, определенное, кгк' о(5ьпное ище-
гральное среднее
..«-J-/,(.,,

и йулет функцией только коорзишп, так что, если й с
одну пульсирующую функцию времени и координат
'3), получим ['[«рта сверху аяначает операцию осреднения
проведенную на.
ЕСЛИ ТА'рбуЛ!
» В).
mj/4
чение производной
ИЗЯОДИОЙ ОТ срС
ДНИ
ем выражением, стоящим под этой чертой!:
5^*4. (61
ое движение не квазистнщюнарно, то равенство (6)
прокат!' как домлнпгслькое свойство осредпе-
■ осрсдшния (У) сраз\- uiejjijt, что среднее зна-
ог некоторой функции по Координате равно нро-
о имчония функции по ioi' же координате
i-iiT •<*,,,*.-)* = + £ .<*,
mi сна осредн1 ния ' >) lboB гвами мо*но поту шь дпффсрен-
, уравнении oqieiH'HHiio дви!ения не кичаеч'й -мщкосчи.
дтя этой не ]и rhobh^bj lhcisms 11 J I ri \Ш ъравнений

59Я ттриглентное динжЕние [гл. и
проекпи-f скорости. Замы.им и iins a, i/ у. w ]ч 1,м^с;щми на ОСреД-
iseiniue ".I nv.iiiCaiWOHHhK- скорости ('/) тогда по Оптрсч.плеяии^ оттерл-
ни» ГЛ) м |Gj 6\-д8М имен,:
Уравнение (9') йозвст бшь после этого liepenncaiio в форме:
$ |£+£+*£=-!£+"«-£-"-^-

§+:£-=S+s#~4£-"-'-£-£-^
шфферендад.и.ныч уравнений 0rp,-3™™№> цтления (ура^елии Р^И
— s-!,r'"+ s'-'-'ifsl-i-') '-^i-f?»').
p(#-i»I+"l+»S-
--'|i !-^л i-^-vj-t-^-JV-;!,--,;?;?).
f'f + »f+ "§-!-§ i =
S + I + g-o.
-Р + 2>'£-\-П" *-»"'

[гл. «
причем дополнительные турбулентные напряжения обраауни, -чх
I —{.a" —pu'v' —а

1 1ГОичеи
ирнилга
PbipjAfHH
.!=■ =
м"р г'опш LTrn'
1,Ч1|_,
мшпрногп 1
и навря-
(IS)
При \д|1рнни in ченш вечичннг -1 О-пнь пнстрп nmpjcracr,
rijXWH flj ie Лилнпп\ 3Fi4iHnH о KiiropUi 6u'ii речь ранее li свята
этим п нти iinnLhu\ h ттгте ш.ьлго до гонко оиыл нхпосрад-
^гвеыи [1рщкгаиш\ hi к it-сняр тр он 1 ол но пренебрегав, вязкими
ШпряА ния и ип qiiHHeiram L ijpfi 1еишы (и в Д4 ii>hlftnk.il зтии
ННЖШОЧ Придется Г .-EbJUB-lrbUI П .LTTBHHn
П|)дч1рьши чп( FhiCH13aHHoi. imшк-ни- и всем ир синамет воа-

§ 94] дв„
Разобьем'
и предыдущей
(16')
птренняп

vctorhh удовлетворяют
"- ЧУ -JJ- + B, u-riufy -Л) + 0, (17)
и при этом длина интервала / окалывается линейной функцией
;=у|^,01 (it)
Здесь А, В, С, D, ytIav нею1гг.ые иттанш Динами ex к им
следствием такого подобия будет civikhtl t4 °>у ю ^ мшо a i онде § 78,
мого как отношение напрлж Hiii тр ння | ига гиреп-щн нг-пгнкя) к
характерному скоростному нш р\
По предыдущему отсюда седо,
11од<_тавляя в вы
^ = сом-У (.у ->0)W4'0'->'0'l*u-»=coiist-0'—Л1^. I
7 = const -P'-2^— л)8 ■ jpr^js--const. |
Сравним эти выражения с легко непосредственно выводимый
распределением напряжения трения в плоской трубе. Для ^того применил
теорему количеств движения к объему жидкости, заключенному между
двумя линиями тока, находящимися на расстояниям у и 'ih — у or
нижней схенки трубы, и днучя сечениями труби, расстояние между
которыми /-; будем имет..:
ip-2(k — yf = 2-..L
Деля это равенств почленно на чааний его пяд ици у = 0, т. е.
Сравнивая (20) с (19), убеждаемся, чъ
делением скоростей |17) можно полвзоват(
значений у, "шачителию меньших Й, но в
удалении от стенки, где влияние вязких ч

фи ошп! iOl№ пробита •.три тч tt и чпрон^ i rmo i iircibHBi \ \u _, 0
i"< Оi ве m mm / они ijej пито 4 итеи ноя При -аточ форщ 1Д нэпря
-flajJ
при т)Р \ieiim it ги.рнкшивл|Ии и njm спи ииении юч-n i u плми
парном движении Ьечишш / тракттч-Д Ппидтис» i л*, п ipuy hMil

v,~
,J, иисеютйИ i
1 ChO]X)CTE.I0
'рируекн и д,
-7-2i»
)
-1 —
v • -%
]f'f (210
И1мЧш.кп. корост, HO fie ию.нт-
какол-то коккрегкой точви; в сил}
дииа.шче^кий ашроаяыо. Уравне-
izt первый интеграл:
) '-i + C. (24)
iTjieSyeii, чтоби
™'(23) " (24)',
1 т 1 - г)-
■W1—j-)-&-v't-s-
ь. Сборню ■

|A-i)
i-l'
На рис. 189 ппиводшси сравн
ni« гсорсттгскоп кривой (26) щ
л--=0,40 с экспериментальными to
каин, полненными Никурадзе в кр
тлой цилиндрическом трубе и шир
ком диапазоне iHJVtfHiifi чисел Гей
полиса (от R=1.10» до R.
=^ 3240 ■ 103), построенных но сред
ней скорости в труие и ?е .wim-Tp
Как в
ггнфиь
1епри
^1
1 i~
П"
г-
ft
Шн
п [
- --
i_
1 Г,
Л\Ж-
Лкх
-Итг
JILii*
^
п
4
-4
£
ь_.
о й' аг аз ил « « цг с
Тогда йудеи име

>сле hutci рировання:
Пряменим формулы (26) и (27*) длн круглых цилиндрических труб,
штая h рлиным радиусу грубы а.
Опрел ел им среднюю скорость в трубе a.v кап
r = iJ'",2"("--W*'-

Эта формул
лой трубе, при
уменьшается с
рейнольдсиил <
1,3 при мал
'ZjolJ,Z
^3 000 000).
Отсюда еле;
при турбулевт
чей (рис. 191
лягается юразз
а свази >
не. 190.
V
котором
ростом
(R-
расио-
говорят, 1ораздо более
1>
<Ч
Ч
L
И
''/
f
/
-
/
■й*«-
р"*^
/\
'
/
. R
У
r4 щ>
:",::''','",'•
■ „.„
1
i
-!"
0-го
i
,

it продольной ifop.cra как гили > иа pm. 14i, ли up >и индоле при
туроуиентнпч рслимр двннсннл р Tpvue имгюг горл-до иччс шсикий
ropao.it ti при HiiimpuiM, urn со .твелтаует uu.n>uie\ri Э1ичеиш.
1ачшарноп> гркния на пен!-- Чи*ии ь |р\">)ч i рио шжснин upej-
ПОЛП*Я1| nil LBU ll.ir.lb F Гр\(1( рЭ-HjILFЯ КЯ HI ЛР <flpi* Tt рнЫС
ь«ги niVHefipe/иичо пало и Ji . ригг-'н. чнь ft in.ft rut шилснж
ншборт целиком опред^пви.я стами отжили а чпеиы предси
L 1НКЧЦИ-- RpOjn-llTHOc TpeHHt НИ1ТГ.ЬНЫ £ TUHHf Л Г}рй1Л=НТН0Г'
Ц11Я Г Tplft k piH I ВР.ДСННЫМ прРТСТАВНЯИ. ■ U ll'HIHipHOM mi pi
счое опрьдвтпось nh спичи рлзтктп и дщевип № и инирин >н
■pfi\ чентннм тгрштным
1урС}л^111Пп ii.iiрани.
*НШ№Ш

<nfl скорости i), = y y",
P HP
П
пприК'ЛЯЯ t, и ntKriio'idrf его из \2i), оудиМ «иен
туральных тогарифчпв к дес
....2.303. yv„ | _ 2ДЙ.

На рис. 192 приводится сводка результатов ранее пл гированиых
опытов Никурадзе, проведенных d широком диапазоне реЯпольдсовыч
чисел и обработанных в координатах и = — , ij-=log^L. K.ik это
следует из графика, эксперимента.! 1.ные |0чки вполне удовл€твори-
ii коэффициента формулы (30), н^(!де\ яков —
Невозможность чисто теоретическою <ш
делает изложенную теорию турбулентною u p
эмпирической
Располагая формулами распределения ск
толщины ламинарного подслоя и гкнрпепи i н
легко выведем и искомые формулы сопооги
Напомним, что, аналогично тому, ктк эг
.1аяинярв01Ч| движения в груоах (§ 79), зад
нию зависимости коэффициентов сопротнвл

Согласно {Щ *) 79, шдалыуя величину оь .=,/ -^ , оЧдем имс,
— "р- j~ (32')
Для получен 4 p о a in бой
скоростей (31) Г Pi1 ы р по\ощ
чен ч к 1 с н и о п я и о up- г
I 1СНЯЛ рн Рр Л ПЯ "р р 1 П Г Я1
I » И V Р МП Ч А )1
-=--т — -г f 1 (33;
j/^l = 5,7S loe-f^p • 1Г~ ! 'Г 5.* '-
-5,761ok(r»|/"|) + 5,C.
Будем имен, окончательный вид формула еопротивления:
-if = /l,log(R,„V^)^-fi'. (34)
ждается гышишиямии, как об этом можно заключить ю рассыо-
iрения ip.i4№a Ha j,nL 193. Пряная / проведена при Л'-^3,77,
В' -=4 "5 прямей 2 — при А' = 3,90; Й' = 4,16.
Переписывая \66\ в тоягдестпепной форме

и ИСОльэта (2М) и (32), получим.
-1= .= С1о;> (S V7) 4- U, (35)
■^T-21osfRVA)-r0-b. 05')
; =0,0032-; ~^~< t3S)
близость которой к эксперименту илаюсгрируется сплошной криво!!
на рис. 194. На. том те рисуиье Щнктпром приведена д.т сравнения
прямая, coo i ветствуюда- ширпко кою теаусмой и гидравлике форму че
юимснимооъ hoiopol, как иоьазин.1„1 рис. !*}4. огпаничена jhj'ic-
нинин R^IO5,

^] К и Hli Н я 1лДУИХ .НУ]. Sib
i d в trnJi в е-дующш! путь расчем vcra-
J е р чатадиъ j д еьн ч к.ш Рейнольды R ^ -^-;
Рис. ]SW.
oc-ie iTOfO orr;wAf липья no (3fi,l коаффициещ ишро] явления Л .i «геи
перепад дрилеция ip на чаданноч участке rpyfii.i дчины /.
Оцределиь do полученной величине i/i перепад на учаси.е д.шиои
юлонину радикса грубы, найдем:

нервно ю Hj n a
1 ^
|1
|-
\
-х
1
^
V
\
It
Jff
>
-
IfS
-
«.
1
1
X
4-
i
» 3,8 \в V «.«
1Шн(>обра,-;ныч пракпиеских формул мя опроч.с'Рния сопрогигслсттР
применяемы1: в техник,- труб.
Насколько идеализируя н имеете с тем обобщая понятие
шероховатости, представим ссСе, чтп чнугрешгая поперхяоеп. трлйы покрыта
бугорками, uulkuuhmh пня креп примерно одинакового размера. Обо-
нтчим через к высоту бугорки шерохочатости d графически, среднюю
дюганой шероховатостью, а отношение высоты бугорка /; к радиусу
грубы а—относительной шероховатостью. R дальнейшем
предполагается, что относительная шероховатое^ срэынте.и-.но невелика
(от 0,2 до 5%).
Рассмотрение гшшчны> для труб с jKii тиной , iepmiLioH1' шеро-
хо»лч)С'Гьк) чвд'перичеталт.ны* кривых сопротивления, показании!: »а
рис. 195, приводит t, следующим заключениям (на кривых рис. 19п

iiapawrp ириилт! ntumtHi пбр-тмл Пгпгч.щ,--11,н0й if «pj
r i npiiBuii > = —— ьопршинчсни^ гпньил ip и HJnSopor
Гфядка £—5n кривы.- mnpoiHijii нна inpt-i,-] J* кя i ьрн
i пуСииой чамитрвиго iiojL ни
I. ttMdTII Ир\ Ч НИ Itfllli ряпМиТрИИ ЧИ.ЮШ1" IpU l ft iJil
1 Б корыт шерпм hikiliii i nfiokn noip *енн о яшшарииП ппд
m» \k ***' о l нал и nit sti,v ' \ горн in in iiajnmde м ншфнгхги
ппд Лия причем G г >рм ofiiei imili lei л^ырпр д ви р опрааовлтн
(1./1ЯЫИ /Jl'LiiM 1ЙИ.НИЯ1 Ь 1Г1М <_1ЛЧ1 HIT HUHMli pi ННЦЫ М ЛД
гпадкиИ и шерочггатпН Tp,6imi и m римтп.п I tr фсрммы an
icHHJii p litrai pinui тр\Чм тлщиш jh тип фнп Dia 1<>а iuppi
к.(0.О032 + О,2211Г0,а')
и ранее, заключим, чти птнпситсльр

графе теории, и rypfiy.ieiifiioM ятре течения, безотносительно к при-
филь скоростей i'27''i и looiholiichbc (2И), будем иметь при у — '*.
'*■■!!»!_—_"■'■- = 11ц !L ^ 6,75 log i.
реж^ил. развитой шеро^ова
ш от Относительное шероховатости в рассматриваемом пред
'('«Ti")-'

3". В при нешуточном (вгиаром) режиме
порядок, 'го и б!, отношение "„.'ptfi должно i
гтисла —г^, иь :о приход Hi си принт1.
(■Й-У-/(£•• *^
Hj цис 1% приведен гоафик фтмши /./-^—l no ohutjm Ни-
/.Й->ч(*,+«

6 20 ТУРБУЛЕНТНО!* ДВИЖЕНИЕ
Как видно ич ipa(jiHhd (рис. 1%). перний режим имеет
I раииц,! so шолаюспи использовании форму.ч ичадмч ipyfi .1.1
A'1"11
~тттт<
' Щ^Я-
|.'^
^
<t 0
i
S Л
в
/
«s^
0
г
1 1 1 1
'ЭДВддед^
:=;|Г
MtUww
н
о
г г
**,
-*-
,
'Ч-т*
f г,в i
Яругой [ipea н д д pjc ц^роищыткх труо
графкк} рис. 19 в
что приведет к следующей оценке границы области развитой шеро-
>' Н(О,0Ч324-0.22]Г{_*'!!')

Таким образам, каждому лнлчению реИнольдсова '.исла cooL'ueiciuyKiT
определенные границы относительной шероховатости, в -;оторых можно
"ir+" ay ' dx Т - &• \ (41)
где -- обозначу. <iCJre,if.Ho? напряжение гренин челду струями
о срс дленною учения, причем ■; заключает в себе как турбулентное,
шк и обычное, вшкос гное трепне.

— A.In — | i.5-2..,lnl-__ I+B.j-
-«..(H-ft-!A 8-Щ. ,47)
il„2,Sl„(-f .^t| + 5,5 2.51.1'R, . J-.-Jt) + 8,5.

0|феделян отсюда R5 и подставляя в равенство ('171. найдем i
между —г- и Л**:
2,5- 12.5 ^
выражении натуральны*
-7Ц=?--.,7Л1оеК''-3,7о1ог(1-5У^мТК >•>"■ («)

624 ТУРБУЛЕНТНО* ШИЖЕ1ШЕ |ГЛ IX
Ни" ^ !Щ~ = °>(Wha5 R*" "■ \ ^ = ~^~У
R- ■"''■ = -i - 0,00655 Кх + С. (52)
Предположим ciuvd.-M, lid лачш^.рчии учасю., пренебрежимо мал
и турбулентный cjiob устанавливаете!! прямо с перепней кромки пла-
ИИ1Щ, Тогта при .т=0 ''v"s — 0 или, чю гее равно, при R^ = 0,
V. М. F j I k и с г, Aireiau bngmeeiuig, Match, 1911

При таком предположении fij-дем имен.:
К-5 = 0,0Ш]#. (53)
БочТфЩЛЯИ, ОТ реИнилШ-ОВЫХ .И1С1 R И Рг Ь ЩЩВНе И)Те]Ш
- ^oniM-^i х (Hi
LTrtt-VTif функцию реиног[ЬЧЧ1В1 '«ill Rj,
TomiMHj i и^и ишписа t ryp.n п нтноч погршичним cine ал шн
наркиш l1" is n mitijiHi толщин i п iiepn mini л^и so pic-aii про
НРГИТРНИС L форМ}.|Ш1 Фи1КНСр4,
г ЭМПИрИЛ;1.Н\Ю фпрМНУ
С убывнигеч раИнольдсон.1 чис.-ы величи
гэег; некоторые авторы принимают Я =1,4
Oil редел иа R**, по (51) и (53) найдем:
0.0131 R*f ' —0,0131 -0,0153 5 R, ' ,
«1 формулу местного коэффициента трения
<:,,= 0,0263 RVV*. (56)
ii.o получить и выражение полного коэффициента

JU

Имеем:
llpTl 60ЛЫИИХ R 4TJ I рЯ.\;,1П OCiKO ОТХОДИТ ОТ ЭКСНСПИЧГЧТИ.'
щюфиля скоростей II селениях ищ-раыичкого слал, ;<ютт
Степенному профитю скоростей в труfie, приводящему ь
мянугой формуле сопротивленец Блязиус? л • - 0,3164 R
1 Современное состояние гидроаэродиначики викой жидкое

ТУРБУЛЕНТНОЕ
И СЧИСЧ ГТрИ В— lOOOOO
[ |щ равен Г, ш =0 0111*1 г
1 ли R име м ( гт ,, = () 005 ■
:пр1чц) е
h лффици ]
пример»! е
Н
11 U
турл
ЬДС-i JIJ рЗЧПИШ
•л гп iTia
[1\ Г-Н
минарным ^.ппеи
ы tlii члганар
про iifB л s-нии es.
'шиГиной'р^
придпшп ппвы
ч-кди чн-нитечтиА \ iin* тшиш^ноги погрчничноги чип о>
1_;пмиривиь tuiip ним нит грепв 1 UMHinpHii о и г\р> j пенти in v J
ь >в npH4i4 luirruiumeiffl (ачитрноги ^ чачи hWk i гто фи]>м\
гтсречопд величины через Rr* и ft', будем HMeib ни (5i>):
RSJ"''" —Р;'" — (\t)07()5 (R^ — K,,J, (hO)
R? — 0,fi04V'R^ (№
He останавливаясь н. п,эосгыч диалях, укажем чго у,ет влияния
величины Г^ на полное сопротивление гыасгилн приводит к
переходным кривым, показанным на оис. I0S жирными пунктирными .ншииш!
Для ра-ыичпызс аэродинамических труп или других искусственных
изменения -шачении караке-фа КЕ,- Величина R„., определяется, И1.
Щего потока, шероховатое ■ и ниверхчпеги вбли.та передней кромки и
других причин.

Пользуясь ранее выведенным (уравнение 19l'l S) iSi] интегральным
соотношением (уравнением импульсов)
^-|-^(2 + Я> 5" 1в1>
величин турбулентного пограничного слоя на крыловом прмфнйс
малой относительной толщины ir вогнутости при дйижснии его с ка-

(, а н Haed в ь н d 11 Hd н vn и й и и в
ОН ПН If» UM (Ы HP Г dn ( Н Hbljd^
1^9) /[Н (№ + !) + «; — £] — , к1и + IJ — (/Ы
зинэмгнЕоро онавааа шгнищЛл isl-it л1
■Л.Л)»-^-/)^-;|и.а)о1(.>8'1«-г1]
:1!Шгаиа*<Ы олэтплтгпглЛи и лэкузн
(191 T/(H+S)+^(..S)0

5 96]
Е и
R" = :ct>)f^)f_,,
т. е. яв.тае1си ве.шчиной oopaiHo пропорщгапа;ыю(!
фищгекту трения на тнмстинс. обобщим лтот рез
турбулентного пограничною с.юя, повджкп, чю
даях f <шД функции О (R*") соепадаьт с таковым
°iR">=(fj,_,
прмае.к R'' берется действительное для крылоного профиш
Пользуясь для иросгогы paiiCHCTROM (51), бул^ч men, hl
выражение л-тя функций GIH'*):
G(R*"1-- 153,2 R*-*''1;
под4еры1ем em: раз, что гмько форма ф^шшии G(K**-j ьз
закона сопротисления для пластины, аргумент же R** предпола
тпитым для соответствующего сечении пограничного слон нг в.
триваемом крылоио.ч профиле
Приняв для определения функции 0(R**) pukl'Uliri> (t>7|
чип для m|R'"l no (64) постоянную величину:

,,о фу™. F[f) Г,„„ р«н„;
r t'i+i'V
,№ >)_,
В ина 4 0 м ч п инята равной //= 1,4—-для срав-
н ч ы г и чшдм и Я_ 1,Я—для большие
[ о н ь в н р пыдущего параграфа]. Tolaj величина,
к к енная в р раной чист (68), будет иметь
значен е а е д а!. 1 7-т-4,8. Функции) (68) можно
заменит к о раз н лнн й ю функцию;
F ^a — bf, (6У)
мшарпый участок на поверхности
м, то будеч иметь просто;
/М-Пгрг/и'-ЧИ*. <т>
наличие ламинарного участка в ин
сражение чта / несколько уели»

здесь Ut, IT, и /, представляют значения U, (Г и / в ючке-
переходя x—=xt, причем /, вычисляется по формуле (62)-
Окончательно fiyne4 ivni:
Согласно принятому уж= ранее длн плачены yci вин wj ш
лэшшарного и турбулентного пограничного слоя, вел и ша R, * л
Пильчуясь формулами (70) или (72), найдем /(I по ч 4trn
о(62), поручим о-Есдумщес крапление дли oupeue Ь \)
S*-f (a:)):
,урбу
R**G («**)==-- 153,2 R"
-**%,/■<-
И.ЦИИ ПТ t ВЬЧ.ОМ |»М>™И
иенш Д1Л dron гхта^я npi*-
ьрьт проилии зчсмеатарних
■ интерес опредетенн тспще
величины, слоящий и скобках, гиж.мьщагат граница значена
различных лначешях рейнольдсока числа нагекани»: первое i

Д. П. Мел I hi к о в, Т сП т hthi e трение hi кГыпе i ого раС1ет суча

те|
/
-ПГ,
—1
—0
/л
4(1
С
IS'J
1,34
1,28
77
ОЛЗ
7
т
77
1,07
/
Г
//
1,10
1,ш
1,26
1,35
1,48

тф _ <А±д> ькд) _ р _, ж + (1 + ,л) Яо7?(/^ (7в0
= -4,(KK(7)-H + 5.22/?Cftj7. (77)
в случае »,е турбнеитюю «он. принимая во виимщпе, что С ~ I, получим:
hff) = !^Д ~(л - [3,167 + bier -1 ,mif))7-
= ^f|7)-f3,l67+l,657?(7)]7. <78)

Полагав /„ — -2, будем иметь для Tjp6yieimioro пограничного своя

100 Профильное сопрот влен е рь а Разложение проф чь
иго сопротивлен а на сопрот те не р н и с протнвлен е
4 р нч v т
р t"
пр
р
Пр *
Г «
t н
Е
Г 1
р е
Р
I
р не
пр о
и н pi
I
"
л
Р
4н
рьт
пр -]и
в
р н н
ф
I
п р
■
р
Р в
р
ия
п t
но р
ро пр вл и по в С он j

В СЛ)Ч1Р 6t
ДапэчОера
Дл:
убе
Гло
Дл'
Fc-
11 случая г»
[ Г ЛОЧШ1ИМ
!№11 ipeKOl О
примере si.
4 peilHUlbfl
|„ ( Ы PJLUJ>
ии кр»иы щ
НТеЛЬНО, рЧ(
ние
Kdrrrmm rt
'ДеЧеНИР д.
l-алтои A!
-HilJIOU IU
тгрмюстй i
ofireh^HFia
Jii ШШ OCI
.еча
pi Пион u
дачи l_.ro-1
^Ме"я1НЫ.
t „fHidim i
Kj.no Над
,ДНТ К Нпру
крыта
ими
LHCUI
a& ,1
..ко
njiiei
ИНОГО
ПрОтИБЧВНГИ
OO.L.
ipil
HHU И
грыя
HI 1
■ P-jTM
шени
k I1JH
.1 mpi
"Ля.
i j dike
«in 6t
ЮЧ Д
fpur
1 IbHOl
размера беэгрл-
шара
'п.тво
в то'
.dtl-vp
pie н.
Tipn
i Tin
-г рк
ммй pja
Лч1 теч..
погршич
.н-чтн
гонит Д 1РР-Н
"^екнш
Hdnepen piCnpi-ДеПеНИ ДавгтРНИН И 1И t.1- IpOlTLft ВО ЕНеШН-М ПОГОИе
ПК как aio p-H-npeieiemfp зшниг ч рльин i хтни н it lih
[jidkirpoB оОт&ашй (например, in puvfBnui. и i щфхнисш При ги
■кич! urin Течо пСте! aei.a без <_рыв н и р Иноидп вы ик-чч доит.-
диапазон* ю прене'-релепи" о ратным вч1тлни1_м пограничного цпя
па рашредет-ние д .клеши) л скор it-и bi внешнем niytie о titj
чго ооратн. р вчипшр погрш.гшиги ия
1 й наи и lee toilT пшример вочиэи хви-
лочеэно верп гь<_я к piLiMorppimn painpe
.иг it три ih mi ьры-про! профкчю nipa
1\чи hi гпгнадцатилр цент-дом прпфитг
IhpeLTHI I1J ЕОЧИ'Н \В0_ТИк_1 1ИШТ, |.Л,1и
■v* шиной i риь И го на сорт щтпептном
обратное влипни, п граничного ьлол hi Енешний нопр в \Лу at
Пчожо обгРч^еыы*. iei Д ы илч (.трчции .лого фа] i, доеттннно
, кривые уленредрченнн дав рения по tp гаищ пилиндрз.
п.
л
п.
. _ST "б«Гш!Г
|граннчног<1 i юл 1де
""с этоГи ни ^рьш
лО-Ий дав Чечни по
ИНЫХ HI pHL 07 1 1
|.перименг1чьные точ
юфИ1е 0Я1ПВИ.Н. и

(
ад 4
т и 0,3 а* о,5
эуде
|И,Ч
трч!
рив
тпр
III
тре.1
Рис. 1ЭЭ.
неве ,иы> и jlw>bh e Hi ,ение в ооще
нни иис т с противлени трения Дпя erpn
ро ,ь l р.1 1 h ie-хич да! ения i e ве
я анаяшпии HeHhiiP Ш |iu 141 i з-а
JC ав uv lth зффин енил ip |» i н
ТИВЧсНИЯ I реНИЯ РИА ШММрЦИ |НЫ\ )Оф!
ит и it 1 тпин ни Н чигр j ри.
1Ш 1 1эЭД|ЦЦИКН!Ы TIJ* l)t IbHLl ) i. Пр Шик
я мираи^м flrta ашая кртиьачьныч!
\ l оэеЬфициепП-ии профи/ьного претив чем
трения определяет ьо-ффиниент i прот гачения д
ни?
диаграммы соспвпешюй при фш ир вашюм
II |щ ЬНОМ С ф1
шроцрнтнпг про
d L .J JTibi НИН
анн дня равнения
^Щ* '1J ld Hri н
19J 11 d ,. iTIj
1Я и ищрптивчения
ш рихачи разцлть
1 и еопр тиваения
влеяий Расою тре
чшле Рейнольде i

-- — = 4 - 1иЧ, иригю
ной го-пшны ирофи.и
ении трении при пере)
принято во внимание,
С1Ъ и скорость б без-
ыть припягы иоетояи-

li I04KL M L ЮПрДММЯЮЙ у Пудгг J>JBJ1IV
Ж-!'.- | (J ~=7})dy
На поверхчости обгекаемош г ела (у — 0) i
ною безвихревого — общая нулевая линия job
поверхности крыла смегцекич лейктвитолг.ину ™™
На границе погранично, о слоя |^у —= В l acini
(4Ш ),. = ,= | [1— ^Jrfy.
-/(i-£)^-
m
«Р
HJ
Пг>-
■""'
pai-ври
*е
Дп*
пит
'«я?
1и ;р
Фй«
jl Ithl
иреди
p. jj l'i !'
у it i/ d, i<,
V la и яп
im Пиенниц
ОЧ1 Affll ЧГ(
l рыловпги про

UT ЮД1 Lpjd) 1ЛСД)и JIO piLLMlTpilDir-MLIil II nLHinmLliMH
ЯЕИК.ЩИЙ1.Я йшрерывны I up' Ди Uieuiu-vi внешнего по i ищи
грлничпп i Lid m tuiwtm jirvitHami о ч inimmb noipi.it
•r^"\:::;:ur^:^
ж^мом движении:. иуде, ржно:

Ud фланце noipjuHiiHino ачон (у _-о) ,1Ш' -. 0. и обе линии тоь
овиалуг. При углублении и тираничный слой иеличнна ММ' буД1
трастам, а ышбражчемые чинил тока олияеспявася. Когда, иконе.
■или, линия гона воображаемого безинхревого потока
г поверхности н.. рл стояние
с"»ч..-/(' -%)w-
НИК1 Д1ИЛ НИЛ
юиу рипредки-
—U:-
1 чсре-J внешнюю LrO грашшл
Г EH) Три ГЮГрШ
.41. При ^ ч
) грашшл
.к дверггюшиии Дей
i .и*1.ний тгрингпня, ншрпч.р f п pR" i прмпшанчи p. oipi лечение

§ 1011 г
при рилетк пертго пр лил кия таипиш тегрегиче ю ря<. ip< n
1<-вИс Си р чей в лип пД| fp мкн гро|ч к провр денно ,нип
гртут 3kCTpdHjTHp\t ЩЦ1 ро^П^еД^ЛСЫ!!- I рЛгЛЁЙ С «OpMlBOt it
1рпмни г p<ri i n тор!и
деИ Teoj. ти ic ос рд гтрсдете
[Ш р |аспреДе1ь ic тпщим
Dtp\H LIH КриЛ1»
}> рч\ п пррдп I иен
ВЛ..НИ Тр Н!П
U le TeOptMJ
ripHnf kpLTir P

рыменяя к отрезку труоки iokj между <
тигельном И иоображаемоч потоках теорему количеств движения
. форм* Эйлера в нроеь-ции на ось х, направленную по скорости
Hall пя дчй
А' — О,
С ^fcty — J f.u>dy !(„.
3 пил р^енсша* /4 ofSoaia.jiei егшротивление крылового нро-
ироекцию н* utb л главного вскшра сил давлении, приложенных {как
■чжязяио на рис. 202 стрелками! к боковой поверхности выделенного
объема трубкл. ра, Ug— плотность i. просол..нуга скорость в потен-

,..-i',|f,iS- f;a-,ly+R„ «, = 0.
'' £ = '—]!>- ^"y-l-^/y-
Как было указано в конце § til. сопротивление давлений ичображеп-
ч некоторому конечному upeJle.ij 5™ толщиной £2 (nouiii
физического определения величины 5'--) будет равно
Я, liu. (V^-^rfj- - И* ft,„- (oU(l-„
те рл и V„ —iiJioiHocib и скоробь поюы на бесконечности.
Обобщая рннсе введенное для случая несжимаемой жидкости понятие о m.i-
щине потери шшулыа, (.охраним -.ии 1ерчин и для мырчжетга, прел-
Тогда, обозначая чер&ч Л хорлу профиля. и.н 1>аненсща (83) найден
потери импульса ни бесконечное™:
формула, необходимая дли дальнейшие вывод .о Ил т
посредегпенное определение 3\, нн тсОретичеи [< ни -
провести нельзя. Общепринятый сейчас ПриГлш-еьны

ней кромки крылового профили, ось у—нормально К ней.
Подобно тому как ^то уже делллось рани- с уравнениями дви-
£<'""> + ;£ WW-!" зг~0'
вычтем почленно Периос уравнение из второго и проинтегрируем обе
части таким путем полученного pjk^ilci на
i-[,,(/;~«)]-|Lp»ro_«)j + fu-p.)g—|
за гелом представляет tui же пограничный
i х .раницах его [у-= A-h ита ^г со) соответ-
= U равны мелму собою л, KpciMi* того. i = .l),
i после интегрирование:
^ | р.,!-.)*.

используя вновь ранее принятие обозначении для тол г л
сравнения иишуль
Разделим обе части этого уравнения на 5** и проинтегрируем его
Впедегч обозначение H = 8*,S*' и, -йчени,| под лианой интеграла
положим, например,
,,,(f)=,n(M)-'(H,+H4>in®- (R7)
Равенство (Ь7) чожгт быть, таким образом, приведено к виду
Фирмула (Ь9) упрощается н случае изогерми'.есяоги движения
;гого и слабо изогнукло крылового профиля про-
\гпл\ атаки, когда продольный перепад давление

отпости равна единице, в чем легко убедиться, шшная u = U—u'
выражениях 8" и 8*" и пренебрегая в достаточной удалении
задней Чрочьи ьркла второЧ и смртимн си^еияии na.ioB до-
С—)*
i 1ртшя не (_,дет pai
ли^чт
г:
4. IS4S
s 5,ср~".:

задаваясь [■мшегрическичи параметрами крылочо™ профиля и
to-jrh перехода, можно легко определить ьоэффиши нтч
ПрОфНЛЬНОГО СОпрОГКЬЛеНИЯ КрЫЛа При 4,,1'ШОМ реЙ.ЮЛВДСОЭОЧ ЧИС.1С
чабегагашего iu него потока. Эти сетки, составленные спервя для
случая обтекании профилей несжимаемой л'идкостмо |М = 01, были
в дтльнеНшеч обобщены и для различные значений ^исел .4. Соот-
ie'i'Ci'avHiLiiME» дтнипе молшо иаИти в еигциачьн^х справочниках и
курсах аэродинамического pacjera. L

ую ивтерей «а,,орв. Таким овразом, исконъш главна!!
R = 4,(l1=,-V'Ut J ('<f Vl0a)(V_,„ -V,,„)- p't.
v > (t ■ v.) v„ ^ ;,'t ~ pi
■ 3™B_CK_nro' нэт?р1
=r,rarrP™
i См. цитированные выше наши работа

-J -rl
*-«~^.(TO"<
.„_^_-,&П£|"

р я про pa

Установим прелде всего форы>л> д,т
iyi>6y лентою фения - Дчя *шя цели не
слоях, что и при движении в rp) fie (§ 04)
BL-fi рассматриваемых сочлен подходи! но
ял рис. 204. В сечении MtA1^ скорое™
непрерывна ггерем>дш or иекшорого зна-
родном потоке. |ак, в струе, pacnpocipj-
нлющейся г к ноль отопляющую
безграничное пространство неподвижную жидкое п..
максимальную скорость //„, на иси струи
в точье А13 играет э темен iapii<ia струйка
iia оси симметрии струи). В случ1с
аэроскорость иу соответствуй! минимальной
скорости не возмущенного внешни» потока.
Пооизщл.ая |i па крл^ ннт< рп;ьп
пел
елг.ной еосг
ользуем иноно
s
<Иг
V.
IB 1ЯЕОЩ
> же
1
. у-
^у
и "/
^4
—j
Рис. 20-1
Ш1ИЮ тела, a u
набегаюшего н..
И,Лта обращает
/
-- 1%
тевд
я в „
рн оюч л;юра скирисн^. цо |*нл иметь в рас сил гриадечо:*
1ле точку перегиба, mc -(,7i = fJ, н ,!р!шепение формулы |il
к прямой линии поле иду й иск точен иен ой лае
к краям интерна ла. Такой характер эпюра скоросг
т:тъ осредненныр движения с отде.гьчых слот

«тг Ь"
iltHI:

658 ТУРБУЛЕНТНО!* ДВИЖЕНИЕ |ГЛ I
Задача преде laa.wTCa вначале неопределенной, ппсьотьиу пап ере.
скорости на оси сгруи ам\х). Эча нсопредс пенноеть исчезает, есл.
челду собою кривых
^-/{£}-=/№ (10<-
где под £(.*;) понимался некоторая условная (к -юм же смыс-че, Kai
„TiuiiUHiid" пограничного стоя) ширина струи, а Ч1 = ;г— новы!
Подставим эти выражения в первое уравнение (103'j, госда нос,
эостых приведений получим:
+ °"12-[/'й)/ч/'«ач-ч/«/'(^-*^/"(1). (Ю-
Введем ь р<и.(.чО'р<ни
Функция г--(п1 связае
ф(л, _у). Действительно,
пять 4(Л, |)) = 0.
е функци
^(1) =
■а проегь
по пирс-.
HJ /■'(if,, 1,0-ЮЖИ
Г/(ч)<Ч
(108)
™^т;™с!?г^г
-,jady= uj> j/fn) rfr, = u„fiF{Ti).

J,/(i)ihi-V-fM=4'"ft)-'r(ii),
тан что уравнение (107) может быть переписано и виде
Замечая, что, а силу одинакоиосги давления во всей области теч
ния, проекция на ось Ох вектора количества движения, прот
сквозь любое сечение струн, должна быть одна и та же, полу!
; У0 предетаолпет з
формулы 1,106|, ил
Дифференцируя о
силу чет уронен.
jp«"tfj- = court =./„.
аданное количество движения струн при
ишд = const.
бе част эюго раненспна но \, получим:
2^^i + 4,~ = 0,
и? (104) перепишется окончательно в пил

[гл. к
Найдя закон ш puu сгруи * и [113) — осеней
скорости ит> м я огтр д н кон изменения коэффициента
турбулентного р ни 4 u n 4 и только 'ira указанным
4 = ft й= = onst \G. (104')
Коэффициент гурбуленгжно обмену не нзменямсь но сечению сгруи,
возрастает пропорционально корню квадратному m расстояния сечения
до источника струи.
Основное дифференциальное уравнение (111) приводится к виду;
F'*-\-FF">=~'~F"'
непосредственно два раза гтроин
f" — тгС™)'.
(114)
хегрировнно.
f—ff^ + Cr. + C,.
Постоянные интегрирования Си С, найдем из очеви
ных условий:
при >i=0 F" = 0, I
при т| -= 0 Г' .= 1. |
выражающих: чн) ось струи принята за нулевую лш
в силу симметрии проиттюдная -g- обращается па оси
вдоль оси и = ит, Уравнение (115i при этом перехолит
грируемое уравнение
F' = \ — ^.f3,
которое, при принятых граничных условиях (П6), инее
Отсюда получаем
" 2у • Vi, •
(115)
(118)
ЯК, ТОК1, „0
в нуль и чти
г решение:

« 102)
или, переходя к гиперболическим функциям.
Отсюда находим продольною соединяющую скорости и.
'"И ¥'.■<)
—.«•-'{?/h) |Ш>
и поперечную составляющую тс
■ —'Tf'SKsh' М-'Чч)]-
-i«.-£fw i «.-ь-wm-''mj-
Чтобы сравнить георатические формулы с опытными материалами,
обозначим черет 1 т<1кое значение у, при котором я =-у «,„, iOiAJ
из равенства
будет следовать:
1=- - — 0.88, ]• = 1,76 V'Sejc.
При эглм равенсгио (118) может быть переписки r еиде:
e~«„ch- = (o,88-£}. (120)
На рис. 206 соответствующая кривая показана пунктиром.
Совпадение этой теоретической кривой с опытными точками' вполне
удовлетворительное. При 13ком сравнении неизвестные константы с и к
входят в определение яеличины У.
1 FOrthmann, Ingenieui Archiv, о (1934), S. 42—54.

Пользуясь формулой HIS), можно вычислить массовый расход
д!;ости >iejie3 любое сечение струи, расположенное на расстоянии х
источника струи
= Р«М* [^ W11"- Р«и* - 2}/^ -2 = 4 j/"A Р*»*> (Ш)
откуда по (ПО') и (112) следует, ч
Q = con \^~
т. е, что расход жидкоеш сквозь р р е рн ,
сечения от источники струи, при х= У= lip щ
рис. 21)5. Струя целиком coctohi л. д д ы
( )
:
i
-!
i
i
" i
_i
! i
■ч
i
11
-15 -2.4 -I,; -1,0 -St5 0 fiS"
Рис. 206.
ксальныл на первый бзгдит. фак г равенства нулю расхода жадности
jepc3 бееьонецно roiiiijio щель при конечном количестве движении
ное при уменьшении ширины щели. Сракчика» \\2\) или (122) l (104'),
видим, что ласход Q нзменнетси но тому aje икону, как н
коэффициент турбулентного обчен^ А.
Рассмотренное явление увлечении crpyef щ ж д
лежит в основе работы рлзнообраяныч водя шны пар
bwx hscdcoi!. на.-шиаемых инжёх горами и эй м Ь в пп
малым расходом.

и Hen.fOTepMH^e1KHV lij yl i_ i
широкой популярное^ ю ич-л^д
§ 103. Турбулентный с
оЭтекасмым телом
Тормозящее втшни т-*ча nj i
И 1- jTUpDIJ П| THL> ДИГ HLTl* ИЯие
вания 1 Н А^рачовша Сводку
ч рипьн й in. монографии '
лед за ойтсьасмыи плои
tut лр гня важная лт\чч т Срии
смгтрением пюи эТ ''ада и причли
l дит i in in im .npjBiia" в -■пюре
глубин,,
(па рис
207 я
обычном для теории пограничного Слоя
он) продольная скорость поисюду равна
Разложим iio-чс скоростей в следе на две
лстей V'u. ocnonnoro потока, набегающего Hi
ift (.i|( uL)T выражающие подтормаживающее
u= V„ — и,, 1

эзмущений и получить следующие линеари.)ирова
; формулу (83), получим:
- J"(V„ — и) dv = const = »'.

где а1Ш — N акси], чпыпч пр лс ши скор с ь в
Подставляя о ч днее внра* н с в сйвн н 1 t
Отчод,
Замена
обменч Пi
КкимТб!
Отпод
Г1 и h \fb
*im 2> = со
я шпп эшивнпй формуле
[)4| р рд^матпираемо f (.луча-
4 = fyuT — ит\
J ~ —W 124)
х vmi«ihk* or «.,* кпенк-м
nst. (129)
; коэффициента турбулентного
; следа будем иметь:
= *У>"1п1, С3»)
го обмана А во всгй удаленной от тела области слгда.
»,-*-£-■
■опя. (129')
л ciejiyer, чю линеаризированные уравнения (124) воз.чу-
щения к турбулентном Следе за чмюм совпаду! с аналогичными уран-
нениями для ламинарного i-леда, бели заменить коэффициент
турбулентного обмена Л в« обычный коэффициент молекулярной вязкости у..
Граничнме условия как для турбулентного, га* и дли ламинарного
„р*у = 0 ^ = 0,1
ty '} (131)
при ji = J_co й,=0.)
Уравнениям (Ш) и гр,
рить простей!
в стержне, фу

I 103J ТУРБУЛЕНТНЫЙ СЛГЛ
Послушная С может быть выражена через задание
в равенство (126). Будем иметь:
Простое выполнение квадратура приводит к резуль
~~ 2~\~~г.?А К„'
— О наНлеч вирикгние
по ->акпн\ опратноН прпппрпиошлывкли юрню кнадрашииу к<
расстояния (.ечения гледа до тепа onpa»i ютдегп стп Гпгпчгно (129),
условная ширина следя Ь " iibn.it it* up шпунта иной триш
квадратному я- абсциссы *
Разыскав выражение для и, и ппльэ\ясь вторым \равнением
системы (1J4), найдем поперечную (ьиргчль
Mi ы п и R. Ч
авторов Р И рд Ш н д

) ДН И рб Н В

«(
_ I— н —
;^U^™r,bfe
д ф
* Р издрог-
1. 5с, 1937, № 4

Sfi
Эту ве-u»
SJH
!?.\1™.:
FiO i
нздратный ко,
( ж F
я
\~ \~

I (НО)
Откуда сраау слодуе! искомый запон сохранения.
Л — JF (л, t)r<<ir=consl= | I (r,0)r*dr. (141)
■J/fr.O'4
Входящий в эго соотношение ннтегрлл имеет раакерцость длины в пятой
степени. Если вместо величины L, определенной равенством (138), ввести
в рассмотрение, новый масштаб турбулентное ш L*, данный
<-" = { jf(r, t)r*dr]'\ (142)
то равенство (И1) заменится простым: соотношением
вырал »и
Ч/ои.и к
енн и ь
L чра
вляст teof
нения pi
1нн лаин щ'Н
^ mB«,DU ,
единиц.- мае ы
Hfl/ff-ЯМ г» г
JO а uo«,i,n«
НЯК.Щ-Щ1Я EJ в
яЛршц* *Ч"
рои <м innr
тепи ь Ш1дъ
в'^Гло^Т
равнение (1,9) »
спрсстранени»
a t4jit\ ин.
ГСЧсен ве и
Т-Р1ЫИК «,
I Н бЩ^
;3'™
1'НЛЭ В ПЯ
j во и щеш
ОВ Г"1 1 и
инетичеа JH
fm /i i i
* IP") icm
*r 1H4CCTTi >
'U'm*.
терном Il|
ш в фJ[иe л>ыя
, ч,дш.,с на™
JH,™ П 1Ы ,
inHotmti ч 1
|\Л OlOOcHH И11:
i„j.t™ ut анап
f„TP ИСТВР ■ П
l Си., например, А. ReoiTcp и Г. Cere, Дифференциальны о
уравнения в часты* производных математической физики, ч. 1, Госиздат, 1933,
стр. 227.

уравнение (139; <•-
)равнсИнмНС13а™
*-/—»,&
Итаь, ичеем
Пол агам зде
Разделив оС
ц,1гнт коррелят»
После этою
48 У2*
/",Г'°~ 4Я"Г2^"(?^7"
о. г = 0, получим, coi.iaciio (13Ь>, ссцгютпй ;
1 иитсясивности турбулентное™
~~Ъ У2* (if)4' '
>« части 1.\Щ toOTdfieiiii-iiHO bj (14S), onpci.p
/(г.0 = ^-Г^.
(145)
""" УбЫВ"-
(I4G)
п..ч коэфгри-
(147)
см масштаб
;-/,„.«-/.-
Согласно (143) и (146), таков же и порядок возрастания масштаба i*:
/.* = У4Ь ("2F (Л". (148')
,=J^,/^.^.
щШШШШШШжШ»

mmmm
^ifr^S^^™™^™"'"™'"5'*"^"™"1
iepa /
нсмоб-оре \ Mi»
■sii

ГГ\Г
-U.
ЛЛЛЛсА^-! jli|l|!l|-

шшшш
г —
S-
---
\k
i
-
\-
-
V
;
j :
! M=V
; '
\^-А
и'-го > *с
\^
:h
-Л^
i
i
А
И
~
\
J
^
:
/
j
-
\
м-з'.
\1
1 М---Г
ч-L-
z
-
d
ченле (137) коэффициента корреляции
1 См. только что цитированию статью Е. М. Минского, стр. '*00—39l.
4.3'

lis
,
зи
Jf>7
WO
'И,
.3,
з
3
ф01
0
(fti,
ср'л
ер,у«
•!
«+-^--
-^
—fit*
IV-
""!"'
i . ..
! -"
-?=7
1 rif
.,
?
„.»
111).
Л„
hi PP
Tim.
Knpp
(W H2]|

1,0
!,5
2,0
2,5
Начальное чиспо М<
3,0 3,5
W
'',5
5,0
5,5
Отношение давлении
1,0
1,5
2,0
2,5 3,0 3,5 k,8
начальное число Mt
Номограмма для расчета косого скачка.
\5
5,0
55
Злк, 1841. Л. Г. ЛоншшсклСи