Механика жидкости и газа - Ярошенко Ю.Г., Швыдкий В.С., Носков А.С., Гордон Я.М., Шаврин В.С.

Author: Ярошенко Ю.Г. Швыдкий В.С. Носков А.С. Гордон Я.М. Шаврин В.С.
Tags: механика газов аэродинамика физика плазмы механика физика гидромеханика трубопроводы механика жидкостей и газа учебное пособие
ISBN: 5-94628-040-6
Year: 2003
Similar
Вычислительные методы для инженеров
Динамика и регулирование гидропневмосистем
Вычислительные Методы для инженеров
Вычислительные методы в динамике жидкостей. Том 2. Методы расчета различных течений
Text
                    Механика
жидкости
и газа
2-е издание, переработанное и дополненное
Под научной редакцией
доктора технических наук,
профессора B.C. Швыдкого
Рекомендовано Министерством образования
Российской Федерации в качестве учебного пособия
для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по направлениям подготовки
бакалавров 550550 и дипломированных
специалистов651300 -Металлургия
и по образовательной программе
110300 «Теплофизика, автоматизация
и экология промышленных печей» •*!' :''
МОСКВА
ИКЦ «АКАДЕМКНИГА»
2003

УДК 533
ББК 22.253
М55
Авторы:
B.C. Швыдкий, Ю.Г. Ярошенко, Я.М. Гордон,
B.C. Шаврин, АС. Носков
Механика жидкости и газа: Учебное пособие для вузов. 2-е изд.,
перераб. и доп./Под ред. B.C. Швыдкого.— М.: ИКЦ «Академкнига»,
2003.- 464 с.
ISBN 5-94628-040-6
Рассматриваются вопросы современной гидромеханики. Приведены методы
описания общих уравнений движения, а также примеры использования описанных
методов для решения задач теплофизики и теплоэнергетики металлургического
производства. Освещены прикладные аспекты механики сплошных сред.
Учебное пособие предназначено для студентов металлургических вузов,
обучающихся по специальности «Теплофизика, автоматизация и экология
промышленных печей», и может быть полезно студентам и аспирантам
металлургических, энергетических, химико-технологических факультетов и вузов.
ISBN 5-94628-040-6 О B.C. Швыдкий, Ю.Г. Ярошенко,
Я.М. Гордон, B.C. Шаврин,
А.С. Носков, 2003
© ИКЦ «Академкнига», 2003

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 7
Введение 10
Условные обозначения 17
Глава I
СВОЙСТВАЖВДКОСТИИГАЗА 19
1. Давление, плотность и вес единицы объема 21
2. Классификация режимов и течений движения жидкости
и газа 25
3. Поверхностное натяжение, скорость распространения
звука 31
Глава II
РАВНОВЕСИЕ (СТАТИКА) ЖИДКОСТИ И ГАЗА 34
1. Напряжения в жидкостях, находящихся в равновесии.... 34
2. Дифференциальные уравнения равновесия (уравнения
гидростатики Эйлера) 36
3. Равновесие в поле сил тяжести 38
4. Силы давления жидкости на твердые поверхности 42
Глава III
КИНЕМАТИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА 47
1. Две формы описания движения сплошной среды 47
2. Линии тока и траектории 50
3. Уравнение неразрывности 52
4. Функции тока для двухмерных течений несжимаемой
жидкости 55
5. Вихревое и безвихревое движения 58
6. Потенциал скорости и его связь с функцией тока 60
7. Основная теорема кинематики 70
Глава IV
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ И ГАЗА 73
1. Напряжения и деформации 73
2. Соотношения между напряжениями и скоростями
деформаций для ньютоновских жидкостей 76

4 Оглавление
3. Уравнения баланса импульса 79
4. Уравнения Навье—Стокса 82
5. Примеры решения уравнений Навье—Стокса 86
6. Уравнение (теорема) Бернулли 98
Глава V
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОДОБИЯ И РА31МЕРНОСТИ 112
1. Подобие физических явлений 113
2. Анализ размерностей и П-теорема 118
3. Числа гидрогазодинамического подобия 123
4. Моделирование движения жидкости и газа 130
5. Приближенное подобие и моделирование 137
Глава VI
ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ 141
1. Возникновение турбулентности 143
2. Скорость, энергия и условия неразрывности при
турбулентном течении 147
3. Турбулентные касательные напряжения и турбулентная
вязкость 150
4. Уравнение Рейнольдса и сопутствующие уравнения 154
5. Простые алгебраические модели 161
6. Модели с одним обыкновенным дифференциальным
уравнением и модели с одним уравнением переноса 175
7. Модели с двумя уравнениями 179
8. Другие методы расчета турбулентности 184
Глава VII
ТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ И ГАЗА В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ 186
1. Общие свойства двухмерного пограничного слоя 187
2. Уравнения движения в пограничном слое. Характерные
толщины пограничного слоя 189
3. Решение Блазиуса для ламинарного пограничного слоя.
Другие решения 195
4. Отрыв пограничного слоя 212
5. Приближенные методы анализа установившихся
пограничных слоев 216
Глава VIII
ПОТЕРИ ЭНЕРГИИ ПРИ ДВИЖЕНИИ ЖИДКОСТИ И ГАЗА 226
1. Потери энергии на трение 227
2. Потери энергии на местные сопротивления 232

Ржавление 5
3. Сопротивления, обусловленные действием геометрического
давления 248
4. Расчет гидравлического сопротивления трубопроводов .. 249
Глава IX
ИСТЕЧЕНИЕ ГАЗОВ ИЗ ОТВЕРСТИЙ И СОПЕЛ 258
1. Истечение несжимаемого газа 258
2. Истечение газа под высоким давлением 261
Глава X
ТУРБУЛЕНТНЫЕ ГАЗОВЫЕ СТРУИ 282
1. Основные свойства турбулентных струй 283
2. Динамика затопленной струи 285
3. Развитие турбулентной струи в спутном или встречном
потоке 293
4. Соударение двух струй в неограниченном пространстве .. 305
5. Полуограниченные турбулентные струйные течения 307
6. Ограниченные турбулентные струйные течения 316
Глава XI
СТРУЙНЫЙ ИНЖЕКТОР 323
1. Сущность инжекции 324
2. Уравнение инжекции 326
3. Условия работоспособности инжектора и его оптимальные
размеры 330
4. Конструктивные параметры инжектора и составление
его характеристики 332
Глава XII
ОСОБЕННОСТИ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА В ПЕЧАХ И УСТРОЙСТВА,
ПРИВОДЯЩИЕ ЕГО В ДВИЖЕНИЕ 339
1. Распределение потоков газа в боровах и каналах в условиях
неизотермического течения 341
2. Устройство и работа вентиляторов 351
3. Дымовые трубы. Работа и расчет 362
4. Особенности расчета движения жидкости и газа в слоевых
металлургических печах и установках 366
Глава XIII
ДВУХФАЗНЫЕ ТЕЧЕНИЯ В ТРУБАХ И КАНАЛАХ 377
1. Характеристики двухфазных потоков 377
2. Модель гомогенного течения 382

6 Оглавление
3. Модель раздельного течения 389
4. Модель потока дрейфа 394
5. Системы жидкость—газ 399
Глава XIV
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ В МЕХАНИКЕ ЖИДКОСТИ И ГАЗА 415
1. Переменные завихренность и функция тока 418
2. Первичные переменные для нестационарных течений ... 446
3. Первичные переменные для стационарных течений 452
Рекомендуемый библиографический список 458
Предметный указатель 459

ПРЕДИСЛОВИЕ
Современного инженера-металлурга трудно представить без
знаний основ гидрогазомеханики, необходимых для решения задач
расчета и проектирования различных газосмесительных устройств,
дымовых труб, горелок и форсунок, теплообменных аппаратов.
Отмеченное послужило основанием к введению дисциплины
«Механика жидкости и газа» в качестве базовой в системе образования
инженера-металлурга.
Важность изучения закономерностей механики жидкости и газа
для металлургов можно продемонстрировать историческим
примером. Первая теория конструирования металлургических печей,
основные принципы которой сформулированы и опубликованы
русским инженером и ученым В.Е. Грум-Гржимайло в 1905—1911 гг.,
была названа гидравлической. Главный постулат, определяющий
сущность этой теории, сводится к положению: «...движение
пламени есть огненная река...». Отсюда и следствие — движение
горючих газов в печах должно подчиняться законам гидравлики.
Поэтому при создании печей необходимо широко использовать
законы газомеханики. Данный вывод гидравлической теории
печей, по существу, сохранил свое значение и к настоящему времени.
И сегодня существуют металлургические и другие промышленные
печи, тепловые агрегаты и установки различного
технологического назначения, эффективность работы которых в значительной
мере определяется организацией и условиями движения
газообразного теплоносителя.
Материал учебного пособия базируется на требованиях
Государственных образовательных стандартов Министерства образования
РФ по специальности 110300 «Теплофизика, автоматизация и
экология промышленных печей» и направлениям 651300
(дипломированные специалисты) и 550550 (бакалавры) — «Металлургия».
В настоящем пособии с учетом последних достижений науки
в области механики сплошных сред излагаются вопросы механики
жидкости и газа, ориентированные на анализ технологических
процессов черной и цветной металлургии. Основная цель, которую
преследовали авторы при написании пособия, состояла в отборе

8 Предисловие
и методическом представлении материала, раскрывающего
физику процессов движения газов в системах, характерных для
современных металлургических технологий. Базой для этого послужили
основные законы статики, кинематики и динамики жидкости и
газа, а также различные современные модели течения жидкости и газа
в пограничном слое, модели возникновения турбулентности,
модели истечения газа из отверстий и сопел в изотермических и
неизотермических условиях и др.
Наряду с овладением методами решения и анализа уравнений
движения газа и уравнений пограничного слоя материал пособия
позволяет выработать у студентов умение и навыки в
использовании теоретических основ дисциплины для конструирования
элементов металлургических тепловых агрегатов, а также для
постановки, проведения и анализа инженерного эксперимента.
Для данного издания учебного пособия «Механика жидкости
и газа» наиболее характерны следующие основные особенности:
1. Предлагаемое издание полностью соответствует типовой
программе дисциплины того же названия.
2. В пособии представлен материал, раскрывающий
физическую природу и закономерности движения двухфазных потоков
в трубах и каналах, что продиктовано развитием новых
направлений в металлургии. Этот материал обычно используется при анализе
многих промышленных, в том числе металлургических,
технологий от подачи пылеугольного топлива к тепловым и
технологическим агрегатам до транспорта пыли.
3. Специальная глава посвящена численным методам решения
инженерных задач и применению современной вычислительной
техники для установления особенностей движения газообразных
и жидких сред с учетом специфики конструкций промышленных
агрегатов и систем, обеспечивающих подачу и отвод этих сред.
4. Подавляющее большинство теоретических положений и
выводов проиллюстрировано примерами их приложений к
практическим задачам, что должно способствовать лучшему пониманию
и усвоению различных разделов курса «Механика жидкости и газа».
Авторы полагают, что в представленном виде учебное пособие
обеспечит студентам подготовку, достаточную для освоения
дисциплин металлургического цикла и анализа режимов работы
технологических агрегатов.
В работе над пособием авторы широко использовали опыт
чтения лекций, проведения лабораторных и расчетно-аналитических
занятий, а также опыт подготовки и издания учебных и
учебно-методических материалов по дисциплине «Механика жидкости и газа»,
который они приобрели в Уральском государственном техниче-

Предисловие 9
ском университете — УПИ * (УГТУ—УПИ). В методическом
представлении учебного материала нашел отражение и опыт
преподавателей соответствующих кафедр Московского государственного
института стали и сплавов (технологического университета),
Сибирского государственного индустриального университета,
Национальной металлургической академии Украины и др., излагающих
вопросы механики жидкости и газа в соответствующих дисциплинах.
Содержание учебного пособия в целом и отдельные его главы
неоднократно обсуждались коллективом кафедры «Теплофизика
и информатика в металлургии» УГТУ—УПИ, на семинарах в
Новокузнецке и Екатеринбурге. В ходе обсуждений были высказаны
замечания и советы; практически все пожелания учтены в
окончательной редакции.
Рукопись пособия была подготовлена преподавателями УГТУ—
УПИ: заслуженным работником высшей школы РФ проф., докт.
техн. наук B.C. Швыдким, заслуженным деятелем науки и техники
СССР проф., докт. техн. наук Ю.Г. Ярошенко, проф., докт. техн. наук
Я.М. Гордоном, доц., канд. техн. наук B.C. Шавриным, проф., докт.
техн. наук А.С. Носковым. В настоящее время Я.М. Гордон работает
в канадской инженерно-консалтинговой компании «Hatch
Associates», являясь специалистом в области металлургии чугуна и стали.
Авторы выражают искреннюю благодарность своим коллегам
по педагогической работе, а также рецензентам — проф., докт.
техн. наук Ю.М. Кузнецову (зав. лабораторией ОАО «НИИ
металлургической теплотехники», г. Екатеринбург), проф., докт. техн.
наук В.Е. Щерба (зав. кафедрой Омского государственного
технического университета) — за внимательный просмотр всех
материалов и высказанные ими предложения и замечания, во многом
определившие успешную подготовку рукописи.
Учебное пособие предназначено для студентов
металлургических специальностей; однако студенты, магистранты и аспиранты,
обучающиеся по другим специальностям и направлениям, найдут
в нем материалы, необходимые им для решения учебных,
прикладных и исследовательских задач.
После выхода пособия в свет не прекратится работа авторов над
совершенствованием курса «Механика жидкости и газа», поэтому
они будут признательны за советы, замечания и пожелания
читателей, которые следует направлять по адресу: Россия 620002, г.
Екатеринбург, ул. Мира 19. Уральский государственный технический
университет — УПИ, кафедра «Теплофизика и информатика в
металлургии».
* Уральский политехнический институт.

ВВЕДЕНИЕ
Механика жидкости и газа представляет собой дисциплину,
которая рассматривает природу и закономерности движения
газообразных и жидких сред, являясь частью механики сплошной
среды. Она сформировалась в последнее время как самостоятельный
раздел теоретической механики, объединив достижения
гидромеханики (гидравлики), газовой динамики и аэромеханики.
Наиболее богата история гидравлики как науки. Ее истоки
уходят в глубины тысячелетий. И это не случайно, если иметь в виду
роль использования воды в жизни человека. На ранних стадиях
цивилизации при возникновении земледелия вода применялась
для орошения. Естественно, чтобы обеспечить подачу воды на
поля, необходимо было уметь строить механизмы для подъема
воды, уметь распределить воду по системам каналов.
Археологи располагают данными о существовании
оросительных систем и устройств для подачи воды в Китае за 5000 лет до
н. э. В Древнем Египте культура земледелия была весьма высокой,
что в значительной степени объяснялось хорошо налаженным
орошением полей. Поэтому можно считать, что строители
орошаемых систем владели элементарными сведениями о явлениях
движения воды и состоянии ее при равновесии. Подобного рода
сведения были необходимы в периоды зарождения и развития
мореплавания, при строительстве водопроводов и устройств для
них. История Древнего мира приводит немало примеров
оригинальных систем водоснабжения и сегодня поражающих
воображение своим совершенством. Их сооружение стимулировало идеи
механики жидкости и газов. Основной гидродинамической
проблемой того времени, как отмечает Л.Г. Лойцянский, явилось
выяснение сущности взаимодействия между движущимся твердым
телом и окружающей его средой — водой или воздухом — при
плавании или полете. Сегодня каждый школьник знает, что при
движении лодки, самолета вода и воздух оказывают сопротивление
их движению, и тем большее, чем выше их скорость. В античные

Введение 11
времена господствовали иные представления. Так, Аристотель
C84—322 гг. до н. э.) утверждал, что ядро может лететь только под
действием воздуха, смыкающегося за ним и толкающего ядро
вперед. Тем самым отвергалась возможность полета снаряда в пустоте
из-за отсутствия толкающей силы воздуха. Потребовались десятки
столетий, усилия многих ученых, чтобы изменить эти
представления, раскрыть природу подобного рода взаимодействий.
Рождение научной дисциплины гидравлики, точнее —
гидростатики, обычно связывают с именем Архимеда B87—212 гг. до н. э.).
Закон Архимеда, приведенный в трактате «О плавающих телах»
B50 г. до н. э.), не претерпел практически никаких уточнений
и до сих пор является одним из основных законов гидростатики.
В металлургической теплотехнике этот закон лежит в основе
методики расчета дымовых труб, некоторых видов гидравлических
сопротивлений.
В истории цивилизации Средние века характеризуются
застоем в развитии наук и даже некоторым регрессом, обусловленным
влиянием церкви. В полной мере это относится и к механике
жидкости и газа.
Второе рождение гидравлики как науки связано с именем
гениального итальянского ученого эпохи Возрождения Леонардо да
Винчи A452—1519 гг.). Проповедуя учение о том, что опыт и
математика являются основанием всякой научной системы, он много
сделал в борьбе против средневековой схоластики, совершил ряд
очень важных открытий в самых разнообразных областях техники,
физики. Его исследования по изучению принципов работы
гидравлического пресса, принципов полета, истечению жидкости
через отверстия, вопросов движения воды в каналах и через
водосливы, по существу, положили начало экспериментальной
гидравлике. Поэтому Леонардо да Винчи справедливо признан
основоположником механики жидкости.
Дальнейшее развитие гидравлики продолжили всемирно
известные ученые того времени. Голландский инженер, математик
С Стивен A548—1620 гг.) сумел определить гидростатическое
давление на плоскую фигуру и дать объяснение «гидростатического
парадокса». Г. Галилей A564—1642 гг.) показал, что
гидравлическое сопротивление зависит от скорости и плотности жидкой среды;
оно возрастает с увеличением этих параметров. В результате работ
Б. Кастелли A577—1644 гг.) гидравлика обогатилась принципом
неразрывности. Существенны заслуги Э. Торричелли A608—1647 гг.).
Ему удалось сформулировать закон истечения жидкости из
отверстия и предложить формулу для определения скорости истечения.

12 Введение
Эта формула применяется и сейчас при анализе тепловой работы
металлургических печей для оценки количества выбивающихся
газов из рабочего пространства печей. Изобретенный Э. Торри-
челли ртутный барометр используется в механике жидкости и газа
и поныне. Широко известен вклад Б. Паскаля A623—1662 гг.). Ему
принадлежит формулировка закона, носящего его имя: давление
на поверхности жидкости, произведенное внешними силами,
передается в ней без изменения величины по всем направлениям.
Гениальный английский ученый И. Ньютон A643—1727 гг.) в
своем главном труде «Математические начала натуральной
философии» A687 г.) не только обосновал законы механики, но и привел
приближенное описание законов внутреннего трения, дал
теоретический вывод квадратичного закона сопротивления при движении
тел, установил закон динамического подобия. Законы внутреннего
трения, подобия применяются и сегодня при исследовании
теоретических и прикладных вопросов механики жидкости и газа во многих
отраслях знаний, в том числе и в металлургической теплотехнике.
Теоретический фундамент современной механики жидкости
создан работами, выполненными академиками Российской
академии наук Л. Эйлером A707-1783 гг.) и Д. Бернулли A700-1782 гг.).
Перу первого принадлежит трактат «Общие принципы движения
жидкости» A755 г.), в котором впервые выведены
дифференциальные уравнения равновесия и движения идеальной жидкости
и дано общее их решение, расширено понятие давления для
движущейся жидкости, введено понятие потенциала скорости,
высказаны новые взгляды на природу обтекания тел. Развитие механики
жидкости трудно представить без работы Д. Бернулли
«Гидродинамика» A738 г.). Закон, которому присвоено его имя,
устанавливал связь между давлением уровня и скоростью движения тяжелой
жидкости при установившемся движении. Этот закон является
фундаментальным в гидродинамике. Кстати, следует отметить, что
термин «гидродинамика» впервые был введен Д. Бернулли.
В это же время появились работы гениального русского
ученого М.В. Ломоносова A711—1765 гг.) «Рассуждения о твердости
и жидкости тела» A760 г.), «О вольном движении воздуха, в
рудниках примеченном» A742 г.), в которых он, в частности,
предложил теорию тяги дымовой трубы, дал расчет естественной
вентиляции шахт. М.В. Ломоносов много внимания уделял изучению
воздушных течений, вопросам метеорологии. Им созданы
метеорологические приборы, проект и модель летательного аппарата для
исследования атмосферы. Эти работы великого ученого
способствовали развитию механики газа.

Введение 13
В кратком очерке трудно рассказать о заслугах Ж. Д'Аламбера
(рассмотрел равновесие и движение жидкости), Ж. Лагранжа (ввел
понятие функции тока), П. Лапласа (создал особую теорию волн
на поверхности жидкости) и других ученых.
Наряду с теоретическими работами в середине и конце XVIII в.
развивалось техническое направление механики жидкости.
Работы этого направления были связаны с практическими задачами
развивающейся промышленности, которые можно было решать
в то время только экспериментальным путем. В результате усилий
многих ученых и инженеров — А. Пито A695-1771 гг.), А. Шези
A718-1798 гг.), Ж. Борда A733-1799 гг.), Г. Дарси A803-1858 гг.),
Д. Вентури A746—1822 гг.) и др. — были получены эмпирические
формулы, позволяющие вести расчеты по определению скорости
движения (А. Шези), потерь напора жидкости в трубе при ее
равномерном безнапорном движении (А. Шези), потерь напора при
внезапном расширении потока (Ж. Борда), гидравлических
сопротивлений в трубах и каналах (Г. Дарси). Благодаря этим работам
гидромеханика обогатилась новой измерительной аппаратурой:
пьезометрами, трубками Пито, различными расходомерами и
главное — новыми идеями применения моделей для изучения
гидравлических явлений в целях проектирования гидротехнических
устройств и сооружений, а также идеями применения теории для
построения приближенных зависимостей с эмпирическими
коэффициентами.
В XIX в. теоретические и экспериментальные исследования по
механике жидкости были сосредоточены на ключевых проблемах
развития этой отрасли науки, таких, как: изучение общих законов
сопротивления движению вязких жидкостей, изучение природы
турбулентности, исследование движения потока в трубах, каналах,
через водосливы, движения жидкости через пористые среды,
разработка принципов подобия и теории размерностей и т. п. В этот
период были созданы два новых раздела механики идеальной
жидкости, рассматривающие вихревое и волновое движение.
Особенно значительные заслуги в разработке идей вихревого движения
принадлежат русским ученым И.С. Громеку A851—1889 гг.) и
Н.Е. Жуковскому A847—1921 гг.). Н.Е. Жуковскому также
принадлежат ставшие классическими работы по исследованию
гидравлического удара.
Французским ученым Л. Навье A785—1836 гг.) й английским
ученым Г. Стоксом A819—1903 гг.) были заложены основы учения
о движении вязкой жидкости: полученное ими
дифференциальное уравнение пространственного движения вязкой жидкости

14 Введение
(уравнение Навье—Стокса) и сегодня широко используется для
решения многих теоретических и прикладных задач во всех
областях техники, в том числе и металлургии.
Существенный вклад в раскрытие природы влияния вязкости
на сопротивление при движении потоков в каналах и трубах внесли
Г. Стоке, Г. Хаген A810-1869 гг.), Ж. Пуазейль A799-1869 гг.).
Последний, будучи врачом, заинтересовался гидродинамикой в
связи с изучением движения крови по сосудам. Заслуга Г. Хагена
A839 г.) — в установлении двух режимов течения вязкой
жидкости — ламинарного и турбулентного.
Особая роль в формировании механики жидкости
принадлежит английскому ученому О. Рейнольдсу A842—1912 гг.). Им
определены условия перехода ламинарного движения в турбулентное,
много сделано для развития теории турбулентности, для
установления принципов гидродинамического подобия, которые и в
настоящее время применяются при гидро- и аэродинамическом
моделировании различных устройств, включая металлургические
печи и элементы их оборудования (горелки, трубопроводы,
теплообменники и др.).
Наряду с гидромеханикой в XIX в. развивалась и газовая
механика, фундамент которой был заложен еще работами И. Ньютона,
П. Лапласа. Активная деятельность ученых и инженеров
проявилась при решении задач, связанных с созданием паровых турбин,
особенно в конце века, когда возрос интерес к воздухоплаванию.
Общепризнана роль Н.Е. Жуковского, которого по праву
называют основателем теоретической, технической и экспериментальной
аэродинамики. Он обосновал теорему о подъемной силе, создал
теорию воздушного винта, рассчитал серию профилей крыльев,
построил аэродинамические лаборатории. Эти и другие работы не
только подвели научную базу для анализа и расчета летательных
аппаратов, но и оказали большое влияние на смежные области
науки и техники: судостроение, вентиляцию и пр. Рядом с именем
Н.Е. Жуковского следует поставить имя Д.И. Менделеева A834—
1907 гг.), фундаментальный труд которого «О сопротивлении
жидкостей и о воздухоплавании» A880 г.) стал руководством для тех,
кто занимался кораблестроением, воздухоплаванием и баллистикой;
а также имя К.Э. Циолковского A857—1935 гг.), установившего
основные формулы реактивного движения снаряда с переменной
массой (первая работа по космической аэродинамике) и создавшего
первую аэродинамическую трубу для определения сопротивления тел.
Из работ в области механики жидкости и газа начала XX в.
следует выделить работы, связанные с движением жидкости в
пограничном слое, который образуется вблизи поверхности тела и ока-

Введение 15
зывает существенное влияние не только на величину
сопротивления, но и на характер движения сред около твердых поверхностей.
Среди фундаментальных работ этого направления должны быть
названы работы Л. Прандтля A875—1953 гг.), создавшего основы
современной теории пограничного слоя и предложившего
уравнения, описывающие природу движения жидкости в нем, а также
работы Т. Кармана A881—1963 гг.), разработавшего
приближенный метод расчета характеристик пограничного слоя (толщины,
распределения скоростей и пр.). Эти и более поздние их труды
способствовали развитию теории турбулентности. Заметим, что
турбулентные потоки наиболее характерны для подавляющего
большинства промышленных процессов с применением жидкости
и газа. Отсюда и внимание, которое уделяется проблемам
турбулентности; от их решения во многом зависят степень
совершенства и технико-экономические показатели процессов.
Гидродинамика, газовая динамика, аэродинамика,
объединенные общим понятием «механика жидкости и газа», бурно
развиваются в последние десятилетия, что в первую очередь определяется
темпами научно-технического развития. Не претендуя на полноту
анализа, отметим, что к тем традиционным проблемам, которые
решались ранее, XX век выдвинул новые. Это проблемы,
связанные с изучением сопротивления при сверхзвуковых и
гиперзвуковых скоростях потока; с анализом вопросов движения
разреженных газов, плазмы, движения сред, осложненных процессами
тепло- и массобмена и воздействием на них электрических,
магнитных, акустических полей и др. Сюда же примыкают
вопросы движения многокомпонентных сред, неустановившегося
движения жидкости (газа), углубление представлений о
турбулентности, о распространении затопленных струй и образовании следа за
движущимися телами и многие другие. Над решением этих
проблем работали академики Л.И. Седов, М.Д. Миллионщиков, В.В. Стру-
минский, А.Н. Колмогоров, П.Я. Полубаринова-Кочина, Л.С. Лей-
бензон, ученый Л.Г. Лойцянский и продолжают работать их
многочисленные ученики в нашей стране. За рубежом известны работы
Г. Шлихтинга, Д.Б. Сполдинга, Дж. Батчелора и др. Для решения
проблем широко используются все методы научного исследования:
математическое моделирование с помощью современных ЭВМ и АВМ,
постановка эксперимента на различных моделях и натурных
образцах. Естественно, что продолжают совершенствоваться и сами
методы исследования, как аналитические, так и экспериментальные.
Краткая историческая справка дает представление о развитии
механики жидкости и газа как науки и ее некоторых направлений.
Для металлургов гидрогазодинамика открывает законы и пути

\Ь Введение
интенсификации процессов производства металлов. Достижения в
науке широко внедряются и в пирометаллургию и
гидрометаллургию на всех стадиях подготовки шихты, выплавки металла,
получения готовой продукции, решения экологических задач.
Действительно, в условиях металлургических заводов, а также проектных
и научно-исследовательских институтов черной и цветной
металлургии инженеру приходится решать специфические задачи,
связанные с конструированием, расчетом, исследованием и наладкой
работы фурм доменных и других шахтных печей и продувочных
фурм, используемых в процессах производства черных и цветных
металлов; газогорелочных устройств низкого и высокого давления;
мазутных и газомазутных форсунок низкого и высокого давления;
дымовых и воздушных трасс всех видов печных агрегатов;
дымососов, инжекторов и дымовых труб для нагревательных и плавильных
печей; газосмесительных установок инжекционного типа;
теплообменников регенеративного и рекуперативного типов; факельных
процессов, совершающихся в печах; газоочистных устройств,
расположенных за плавильными и нагревательными печами, конверторами.
Перечень подобных задач можно значительно увеличить, но
уже из приведенного видно, что в настоящее время трудно
представить себе грамотного инженера-металлурга без знаний хотя бы
основ гидрогазодинамики. Поэтому в вузах в курсах по тепловым
процессам предусмотрены разделы механики газов.
Самостоятельная дисциплина «Механика жидкости и газа» по специальности
«Теплотехника, автоматизация и экология промышленных печей»
является базовой; ее материалы служат логической основой
практически для всех специальных дисциплин, и более всего для
таких, как «Тепломассоперенос», «Общая теория тепловой работы
печей», «Теплофизика металлургических процессов»,
«Теоретические основы процессов и аппаратов очистки газов» и др. В связи
с этим общая задача освоения данной дисциплины состоит в
изучении законов и закономерностей современной
гидрогазодинамики и приложений их к анализу работы металлургических печей
и агрегатов. Более конкретно цели изучения данной дисциплины
заключаются в усвоении физических основ явлений механики
жидкости и газа, в овладении математическим аппаратом теории
сплошной среды, в приобретении навыков решения, анализа
уравнений движения жидкости (газа) и пограничного слоя, а также
навыков постановки, проведения и анализа инженерного
эксперимента. Кроме того, цель освоения знаний по данной дисциплине —
выработка у студентов умения проведения необходимых расчетов
по определению гидравлических сопротивлений трасс, их
элементов, характеристик дымовых труб, вентиляторов, эжекторов и др.

Условные обозначения
17
УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
а — ускорение
с — скорость звука
с,> сг — Удельные
теплоемкости
Ci — коэффициент подобия
(пересчета)
d, D — диаметр
Ev — модуль упругости
Ет — интенсивность
турбулентности
F— сила поверхностного
натяжения
F.9 S. — площадь сечения
G— вес
g — ускорение силы тяжести
при свободном падении
/— количество движения,
импульс
J — газодинамическая
функция
Н — полная высота
h — текущий уровень,
высота
к — показатель адиабаты
L — характерная длина
/ — длина
А/, т — масса, массовый расход
Р — сила давления,
безразмерное давление
р — давление
Q, V— объемный расход, объем
q — газодинамическая
функция, модуль
скорости
R — газовая постоянная
г — радиус
S — поверхность
S3 — площадь эквивалентного
отверстия
Т — температура
t — время
^ У, W— компоненты
безразмерной скорости
v, и, w — компоненты скорости
X, Y, Z, х, у, z — безразмерные
и размерные координаты
Z — газодинамическая
функция
а — угол
а0 — коэффициент коррекции
Буссинеска
осэ -— коэффициент
кинетической энергии
(Кориолиса)
р. — коэффициент расширения
у — вес единицы объема
8 — характерная толщина
пограничного слоя
А — шероховатость
е — порозность,
газодинамическая функция,
коэффициент сжатия струи
? — коэффициент
гидравлического
сопротивления, завихренность
ц — коэффициент
динамической молекулярной
вязкости, к.п.д.
устройства
Э — краевой угол
смачивания; толщина потери
импульса,
газодинамическая функция
X — коэффициент трения,
критерий скорости
ji — коэффициент расхода
v — коэффициент
кинематической
молекулярной вязкости
к — газодинамическая
функция
р — плотность
а, т — напряжения
Ф — потенциал скорости
\|/ — функция тока,
комплексный потенциал
со — вектор вихря скорости,
кратность инжекции

18 Условные обозначения
Аг = , Рокр ~ Р — число Архимеда
v2 р
Ей = Ар I (р V2) — число Эйлера
Fr = V2 /(gd) — число Фруда
«3 пг пг
Gr = ?—• ^- — число Грасгофа
v Т
Но = Vt I d — число гомохронности
M+ = V I с — число Маха
Re = р VLI х\ — число Рейнольдса
Sh = VI (ad) — число Струхала
Те = V2 /(срТ*) — тепловое число

Глава I
СВОЙСТВА ЖИДКОСТИ И ГАЗА
Обычная классификация разделяет вещества по агрегатному
состоянию на твердые, жидкие и газообразные. Из курса физики
хорошо известны отличительные особенности этих фазовых
состояний. В гидродинамике жидкостями называют вещества,
находящиеся как в жидком, так и в газообразном состоянии.
Характерная особенность, которая позволяет объединить капельные
жидкости, газы и пары общим понятием «жидкость», заключается
в легкоподвижности частиц указанных веществ, их способности
легко изменять форму под действием незначительных сил. В
отличие от твердых тел жидкости легко принимают форму того сосуда,
в котором они находятся, могут течь под влиянием собственного
веса, а также если для этого создаются условия. Эта общая
специфическая особенность получила название текучести; она и
послужила основой для развития понятий динамики жидкости.
Жидкости и газы состоят из дискретно расположенных и
непрерывно движущихся молекул. Для определения и анализа
явлений, связанных с поведением жидкостей, в механике жидкостей
«отвлекаются» от дискретной молекулярной структуры и
рассматривают некоторую модель жидкости, обладающую свойствами
сплошной среды (континуум). Это означает, что все размеры в
объеме жидкости считаются большими по сравнению с
молекулярными расстояниями и жидкость в объеме находится без каких-
либо пустот.
Представления о сплошности жидкой среды облегчают
изучение закономерностей гидроаэромеханики, позволяют оценивать
свойства и параметры жидкостей зависимостями от времени и
координат. Эти допущения сохраняют свою справедливость для
подавляющего большинства рассматриваемых явлений и должны
быть исключены при анализе состояния внутримолекулярного
пространства, движения молекул, а также в тех случаях, когда
нарушается сплошность среды в системах, состоящих из нескольких
фаз (форсунки, барботажные явления и др.).

20
Глава I. Свойства жидкости и газа
Таблица 1.1. Производные единицы Международной
Величина
Объемный расход
Массовый расход
Скорость
Ускорение
Сила
Давление, напряжение,
модуль упругости
Плотность
Удельный вес
Динамическая вязкость
Кинематическая вязкость
Работа, энергия
Мощность
Удельная газовая
постоянная
Поверхностное натяжение
Размерность
кубический метр в секунду
килограмм в секунду
метр в секунду
метр на секунду в квадрате
ньютон
паскаль (ньютон на
квадратный метр)
килограмм на кубический метр
ньютон на кубический метр
паскаль — секунда (ньютон —
секунда на квадратный метр)
квадратный метр в секунду
джоуль (ньютон на метр)
ватт
джоуль на килограмм градус
джоуль на квадратный метр
системы
Обозначение
М3/С
кг/с
м/с
м/с2
н
Па (Н/м2)
кг/м3
Н/м3
Па с
(Н • с/м2)
М2/С
Дж (Н • м)
Вт
Дж/(кгК)
Дж/м2
Подразделение жидкостей на два главных класса —
сжимаемые и несжимаемые — моЗкет быть по типу их реакции на
изменение давления. Все газы и пары сильно сжимаемы. Капельные
жидкости сжимаемы лишь в небольшой степени. Они способны под
влиянием текучести изменять форму, что отличает их от твердых
тел, и в отличие от газов с трудом изменяют свой объем. Газы же
способны в определенных условиях изменять и свою форму, и
объем. Необходимо подчеркнуть, что в случае, когда параметры
состояния газа практически не меняются, его поведение при
движении не отличается от поведения капельной жидкости. В этих
условиях газ, как и жидкость, может рассматриваться как
несжимаемая среда.
Довольно часто в гидрогазодинамике малосжимаемые
жидкости называют капельными, сжимаемые — газами (парами), а
обобщенное понятие «жидкость» относят к средам, обладающим
свойствами текучести.
Определяя понятия свойств жидкостей, следует подчеркнуть,
что в качестве основной системы единиц измерения используется

1. Давление, плотность и вес единицы объема 21
СИ, в которой базовыми единицами являются единица длины —
метр, м; единица массы — килограмм, кг; единица времени —
секунда, с; единица температуры — градус Кельвина, К. Эти
единицы участвуют в формировании других, которые широко
применяются в механике жидкостей и газов. В табл. 1.1 приведены наиболее
часто употребляемые производные единицы.
1. ДАВЛЕНИЕ, ПЛОТНОСТЬ И ВЕС
ЕДИНИЦЫ ОБЪЕМА
Из физики известно, что давление — это сила, отнесенная
к единице площади. В механике жидкости и газов это
определение сохраняется, но нуждается в некоторых разъяснениях.
Все силы, которые действуют на ограниченный объем
жидкости, могут быть разделены на внутренние и внешние. Внутренние
силы (например, вязкость) определяются силами взаимодействия
отдельных частиц внутри рассматриваемого объема. Внешние силы
включают в себя объемные, которые равномерно распределены по
объему однородной жидкости (например, сила тяжести), и
поверхностные, которые воздействуют на поверхности, ограничивающие
объем жидкости (например, силы реакции стенок сосуда на
жидкость).
Если выделить некоторый объем жидкости и рассматривать его
как свободное тело, то система сил, действующих на этот объем,
включает поверхностные силы, действующие на каждый элемент
поверхности, ограничивающий этот объем. В общем случае
поверхностная сила имеет составляющие — перпендикулярную и
параллельную поверхности жидкости. Перпендикулярная составляющая,
приходящаяся на единицу площади, называется нормальным
напряжением. В случае напряжения сжатия его называют давлением.
Давление — скалярная величина, а сила, связанная с данным
давлением — р, действующим на единицу площади dS, равна pdS
и имеет направление нормали к единичной площади dS. Таким
образом, в точке, находящейся внутри объема (массы) жидкости,
направление силы давления зависит от ориентации плоскости
в пространстве или «сечения» через точку.
Давление измеряется по отношению к абсолютной нулевой
величине (абсолютное давление) или относительно атмосферного
давления в месте измерения. Если избыточное давление больше
нуля, то оно положительное. Если оно отрицательное (ризб < 0), то
его называют разрежением или вакуумом. Исходя из определения,
размерность давления — Н / м2, или Па.

22 Глава L Свойства жидкости и газа
В технике также используются и другие единицы. Так, под
физической (нормальной) атмосферой понимают давление,
соответствующее нормальному, атмосферному на уровне моря. Принято
считать, что оно равно давлению столба ртути высотой 760 мм.
Связь с другими единицами такова: 760 мм рт. ст. = 101 325 Н/м2.
Одна техническая атмосфера характеризуется давлением, равным
(округленно) 100 000 Н/м2.
В металлургической теплотехнике часто сталкиваются с
небольшими давлениями и разрежениями, которые измеряются в мм вод. ст.
Единицу такого давления можно представить, если 1 л воды
разлить на плоскую поверхность в 1 м2. При этом на поверхности
будет создано давление столбом воды в 1 мм; тогда 1 мм вод. ст. =
= 9,81 Н/м2- 10 Н/м2.
Плотностью р называют отношение массы вещества,
заключенного в объеме, к величине этого объема, т. е. р = m/V.
Это определение относится к однородным средам. Для
неоднородных жидкостей величина р, найденная по этой формуле,
будет характеризовать лишь среднюю плотность.
Довольно часто, особенно при решении практических задач
механики жидкостей и газов, используют представление о весе
единицы объема Y, определяя его как отношение веса вещества,
заключенного в объеме, к величине этого объема, т. е. у = G/V .
Вес определяется гравитационным полем. В земном поле
тяготения — это сила тяжести, действующая на данную массу в
данном месте, которая в противоположность плотности зависит от
гравитационного поля. Плотность вещества и его вес единицы
объема связаны соотношением у = pg, в котором g — ускорение
силы тяжести при свободном падении. Для средних широт
величина g принимается равной 9,81 м/с2.
Данные о р и у некоторых жидкостей и газов приведены
в табл. 1.2. Следует подчеркнуть, что плотность и вес единицы
объема жидкостей и особенно газов существенно зависят от
давления и температуры. Под действием давления объем жидкости
меняется. Это свойство называется сжимаемостью. Количественно
сжимаемость оценивается коэффициентом объемного сжатия % ,
который представляет собой относительное изменение объема
жидкости на единицу изменения давления, т. е. рк = -А V /(V0Ap),
где Vo — первоначальный объем жидкости, AV — уменьшение
объема жидкости при увеличении давления на величину Ар.
Величину, обратную коэффициенту объемного сжатия, называют
объемным модулем упругости. Таким образом, Еу = 1 / $у.

/. Давление, плотность и вес единицы объема
23
Таблица 1.2. Характеристики некоторых жидкостей и
Среда
Вода
(пресная)
Спирт
Ртуть
Нефть
Мазут
Чугун
Воздух
(сухой)
Водород
Кислород
Азот
Оксид
углерода
Диоксид
углерода
Водяной
пар
Метан
Примечание.
Р»
кг/м3
998
790
13 456
860-
930
890-
910
7200
1,205
0,085
1,353
1,183
1,183
1,871
0,749
0,666
Ъ
Н/м3
9790
8050
133 331
8770-
9580
9070-
9280
68 650
11,821
0,834
13,273
11,605
11,605
18,355
7,348
6,533
Характеристики
t = 1200 °С; для мазута т| и v -
Л,
ДжДкгх
хК)
—
—
—
—
—
—
290
4160
260
298
298
189
462
520
даны при
- при / =
л-ю6,
Пас
1004
1190
—
1,07-
15,1
4,7
—
18,10
8,86
20,34
17,20
17,20
14,84
12,78
10,96
[/> = 0,1
80 °С
v-106,
м2/с
1,006
0,015
—
0,800-
1,40
0,430
—
15,02
104,24
15,03
14,54
14,54
7,94
17,06
16,46
МПа, г =
ДжДкгх
хК)
—
—
—
—
—
—
122
75
138
107
102
250
673
198
газов
а,
Дж/м2
73,0
22,5
490
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
20 °С; для чугунг
с,
м/с
—
—
—
—
—
—
315
377
299
318
350
269
415
418
i — при
Для капельных жидкостей величина рк находится в пределах
C ~ 7,4) • 10~9 Па, т. е. является довольно незначительной, что
позволяет пренебречь в ряде инженерных расчетов явлением
сжимаемости.
По-иному ведут себя газы. Их сжимаемость зависит от
характера процесса изменения состояния. Для обычных газов, таких,
как кислород, при изотермическом процессе Ev = />абс, а при
адиабатном Ev = kpa6c, где к = ср/су — отношение удельных тепло-
емкостей при постоянном давлении и объеме.
Для атмосферного воздуха коэффициент объемного сжатия при
изотермическом процессе составляет примерно 10~5 Па, что на
четыре порядка превышает сжимаемость жидкостей, поэтому
пренебрегать явлением сжимаемости в газах при изменении давления нельзя.

24 Глава I. Свойства жидкости и газа
Расширение капельных жидкостей происходит при их нагреве.
Оно оценивается коэффициентом температурного расширения Р,,
который представляет собой относительное увеличение объема
жидкости при увеличении температуры на 1 К:
Р,=A/К0)-ДК/Д7\
Коэффициент температурного расширения для воды равен
15- 10~5 (при / = 4°С), для мазута, нефти и трансформаторного
масла - 0,705 • 10'5 (при / = 0...100 °С).
Для газов, находящихся под постоянным давлением,
коэффициент температурного расширения не зависит от состава газов
и равен 3,66 • 10~3, т. е. в десятки и сотни раз больше, чем для
жидкостей.
При одновременном увеличении давления и температуры
сжимаемость жидкостей и газов несколько уменьшается, что
объясняется противоположным воздействием на объем жидкости (газа)
давления и температуры.
Из изложенного следует, чтор и у капельных жидкостей
практически не зависят от давления (рк мало). Эти характеристики
для жидкостей изменяются по закону
Р,=Ро/Р + Р/(Г-ЗД у, =Уо/[1 + Р,(Г-:Го)].
Для газов зависимость плотности, веса единицы объема от
давления и температуры может быть установлена на основе уравнения
состояния идеального газа Менделеева—Клапейрона (р/р) = RT .
Значение удельной газовой постоянной R определяется,
исходя из нормальных физических условий для газа, когда Т = 273 К,
р= 101 325 Па и ро = тмол/22,4. Здесь тмол — масса I моля газа.
По физическому смыслу R характеризует работу, совершаемую 1 кг
газа при его расширении от нагревания на 1 К при постоянном
давлении. Если подобную работу отнести к 1 молю газа, то она
окажется одинаковой для всех газов и Ro - 8314 Дж/(моль • К). Эту
величину газовой постоянной называют универсальной.
Представление об удельных газовых постоянных для некоторых газов
можно получить по данным табл. 1.2. Поведение реальных газов при
обычных температурах также подчиняется уравнению
Менделеева—Клапейрона. Отклонения могут быть заметными, если газ
сильно сжат или охлажден. Способность жидкостей и газов
изменять под действием температуры плотность и удельный вес
широко используется в металлургической теплотехнике при транспорте
продуктов сгорания с помощью дымовых труб, при организации
водяного охлаждения элементов металлургических печей,
равномерного теплообмена в рекуператорах и регенераторах и т. д.

2. Классификация режимов и течений движения жидкости и газа 25
2. КЛАССИФИКАЦИЯ РЕЖИМОВ И ТЕЧЕНИЙ
ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ И ГАЗА
При анализе задач гидрогазодинамики широко используется
понятие «идеальная жидкость». Среда такого рода представляет
собой гипотетическую жидкость, наделенную особыми
свойствами, главным из которых является абсолютная подвижность или,
другими словами, отсутствие вязкости. Кроме того, идеальная
жидкость не способна расширяться или сжиматься под
действием изменения температуры, а также абсолютно не способна
сопротивляться разрыву под влиянием внешних или массовых
сил. При движении такой жидкости, например в закрытом
прямом канале, в сечении, перпендикулярном направлению
движения, формируется поле равных скоростей в любой точке
сечения. Поток жидкости с подобным полем получил название
стержневого.
Введение понятия идеальной жидкости облегчает решения
некоторых задач, однако полученные при этом выводы
корректируются с учетом свойств реальной жидкости.
Важнейшим свойством реальной жидкости (газа), во многом
определяющим явления, наблюдаемые при ее движении, является
вязкость. Оно проявляется благодаря подвижности молекул и
приводит к относительному перемещению смежных объемов, которое
называют простым сдвигом. Это движение можно представить
следующим образом. Выделим в движущейся жидкости плоскости,
которые, будучи параллельными некоторому элементу
поверхности, скользят друг над другом как жесткие. В силу теплового
движения одиночных или связанных групп молекул, носящего
беспорядочный характер, возможен случайный переход молекул (или их
групп) через элемент поверхности. Другими словами, между
выделенными плоскостями будет происходить обмен количеством
движения. Этот процесс при различии скоростей рассматриваемых
плоскостей вызывает появление касательных составляющих
напряжения, за счет которых разности скоростей по обе стороны
элемента поверхности будут сглаживаться. Сглаживание в свою
очередь приведет к уменьшению неравномерности в распределении
скоростей движения. Таким образом, в процессе переноса
количества движения (импульса) из одной плоскости движущейся
жидкости в другую возникает внутреннее трение, препятствующее
деформации жидкости. Жидкость, в которой развиваются явления
внутреннего трения, в отличие от идеальной получила название
реальной, или вязкой.

26 Глава 1. Свойства жидкости и газа
Молекулярный перенос количества движения (импульса)
через элемент поверхности обычно зависит от распределения
скорости жидкости и определяется локальным градиентом скорости, а не
самой скоростью.
Рассмотрим двухмерное параллельноструйное течение со
сдвигом (рис. 1.1), описываемое скоростью и, величина которой
зависит только от расстояния, отсчитываемого вдоль
перпендикулярного направления у . В этом случае касательное напряжение хух
и градиент скорости du / dy (скорость угловой деформации)
связаны простой зависимостью, впервые установленной И. Ньютоном:
xyx=4(du/dy).
Коэффициент пропорциональности т| назван коэффициентом
динамической молекулярной вязкости^ потому что он представляет
зависимость между силой и движением жидкости. Его размерность
содержит величину — единицу силы, Па • с = Н • с/м2.
Жидкости, для которых справедлив закон Ньютона,
называются ньютоновскими. Такие жидкости обладают свойством
динамической вязкости независимо от конкретного характера движения,
претерпеваемого жидкостью. Наиболее распространенные
жидкости, такие как вода, спирт, являются ньютоновскими. Жидкости
с переменным коэффициентом пропорциональности между
напряжением и скоростью деформации называются ненъютоновски-
ми. Жидкостями такого типа являются мазуты вблизи
температуры застывания, бетоны и др. Опытным путем установлено, что
неньютоновские жидкости могут начать двигаться только после
того, как касательные напряжения достигнут определенной
величины т0 — начального напряжения сдвига. При напряжениях,
меньших начальных, эти жидкости не текут, а испытывают только
упругие деформации.
у
^-^"
I.I. Схема параллельноструйного
течения в жидкости вдоль плоской
поверхности

2. Классификация режимов и течений движения жидкости и газа
27
Рис. 1.2. Схема связи между касательными
напряжениями и градиентом скорости для
жидкостей: / — ньютоновской; 2, 3, 4 —
неньютоновских
В общем случае т0 может зависеть от длительности интервала,
в течение которого действует напряжение, от величины
напряжения и других факторов. Важно отметить, что в неньютоновских
жидкостях сила трения возникает при стремлении этих жидкостей
прийти в движение, хотя сами жидкости находятся еще в
состоянии покоя.
Рис. 1.2 иллюстрирует зависимости между касательными
напряжениями и градиентами скоростей для рассматриваемых
жидкостей, которые описываются выражением
Для ньютоновских жидкостей величина Л зависит только от
состояния жидкости и поэтому является одним из ее параметров.
Зависимость Л от давления для жидкостей, большинства газов
и паров пренебрежимо мала, пока давление не слишком велико.
Вязкость же всех жидкостей уменьшается при увеличении
температуры, а вязкость всех газов, наоборот, увеличивается. Эти
различия во влиянии температуры являются следствием различий в
молекулярном строении жидкостей и газов. Считают, что в жидком
состоянии имеется относительно стабильная структура, в пределах
которой молекулы колеблются относительно положения раЪнове-
сия. С ростом температуры в жидкости ослабевают взаимодействия
между молекулами, уменьшаются размеры связанных групп
молекул за счет более интенсивного возбуждения отдельных
молекул, в результате чего ослабевает жесткость связей и облегчается
смешение отдельных слоев. В конечном итоге, это проявляется
в уменьшении вязкости, улучшении текучести и, как следствие,
ведет к снижению сопротивления деформации жидкости с ростом
ее (жидкости) температуры. У газов с повышением температуры
увеличиваются поступательное движение (тепловая активность)
молекул и обмен количеством движения между слоями. Эти
причины приводят к росту вязкости и сопротивлению деформации.

28 Глава I. Свойства жидкости и газа
В уравнениях динамики жидкости часто появляется отношение
Л / р, которое получило название коэффициента кинематической
молекулярной вязкости v, м2/с. В отличие от коэффициента
динамической молекулярной вязкости размерность этой величины
включает только кинематические единицы. Таким образом, v = т|/р .
Размерность коэффициента v подобна размерностям
коэффициентов диффузии и температуропроводности. Поэтому если
коэффициент диффузии определяет скорость переноса вещества,
а коэффициент температуропроводности — скорость
распространения теплоты, то коэффициент кинематической молекулярной
вязкости характеризует ускорение частиц под влиянием сил
вязкости. Для реальных жидкостей и газов в основе всех этих явлений
лежит процесс внутреннего обмена количеством движения
(импульсом), благодаря чему обеспечивается непрерывность полей тех
или иных физических параметров в них.
Для капельных жидкостей коэффициент кинематической
молекулярной вязкости практически не зависит от давления, а для
газов он с ростом давления падает. Зависимость величины v от
температуры аналогична таковой для коэффициента
динамической молекулярной вязкости, только для газов эта связь
проявляется сильнее. Значения т| и v для некоторых жидкостей и газов
можно найти в табл. 1.2. Зависимость величины Ц газов от их
абсолютной температуры описывается формулой Сатерленда
где г|0 — динамический коэффициент вязкости данного газа при
Г= 273 К; сц — постоянная, зависящая от природы газа; Т —
абсолютная температура газа, К.
Подсчет v смеси газов может быть осуществлен по формуле
vCM = 100/ [(V] I v,) + (v21 v2) +... + (vn I v„)],
где vl9 v2, ..., vn — объемное содержание компонентов газовой
смеси, %; a v,, v2, ..., vn — их коэффициенты кинематической
молекулярной вязкости. Точную .величину вязкости смеси газов
или жидкостей можно найти только экспериментальным путем.
В последнее время, правда, предпринимаются попытки
использовать достижения современной физики для теоретической оценки
этих характеристик.
В зависимости от относительной значимости сил вязкости
и инерции характер движения вязкой жидкости, ограниченной тем
или иным образом твердыми стенками, и распределение скоростей

2. Классификация режимов и течений движения жидкости и газа 29
и давлений сильно различаются. Это обстоятельство служит
основой двух важнейших принципов в классификации типов течений
и их аналитическом исследовании. Один из них опирается на
различие между ламинарными и турбулентными течениями — двумя
возможными режимами; другой — на различие между ползущими
течениями и течениями с пограничным слоем, являющимися
крайними случаями проявления эффекта вязкости.
Существование двух режимов движения жидкости было
обнаружено экспериментально еще в 1839 г. Г. Гаген обратил
внимание на тот факт, что характер течения в цилиндрической трубе
изменяется, когда скорость достигает определенного предела. Он
обнаружил также, что при скоростях, меньших этого предела,
вытекающая струя гладкая, как твердый стеклянный стержень, но
когда скорость превышает этот предел, поверхность струи
приобретает возмущения и течение кажется происходящим «рывками».
Таким образом были обнаружены свидетельства существования
двух различных видов движения жидкости — их назвали
ламинарным (слоистым) и турбулентным (вихревым) режимами.
В 1883 г. О. Рейнольде очень наглядно доказал существование
этих режимов движения жидкости и предложил критерий
(который назван его именем) для определения вида движения в тех или
иных условиях. Он вводил тонкую струйку краски в воду,
вытекающую из большого бака в стеклянную трубку. При малых
скоростях течения по трубке окрашенная струйка оставалась
прямолинейной (в виде «прожилки» в потоке), показывая, что движение
воды носит параллельноструйный (слоистый) характер. Скорости
смежных слоев не были одинаковы, но никакого
макроскопического перемещения поперек слоев не происходило. Этот
простейший случай течения представляет ламинарное движение. Как
только скорость течения превышала некоторое критическое значение,
окрашенная струйка краски распадалась на нерегулярные вихри
и при дальнейшем увеличении скорости распространялась по
всему поперечному сечению трубки. Такое поперечное
перемешивание в потоке является признаком турбулентного течения.
В случае ламинарного течения смежные слои жидкости,
движущиеся относительно друг друга, могут быть и изогнутыми, хотя
движение жидкости происходит без макроскопического
перемешивания. Этот режим течения имеет место в тех случаях, когда
вязкие касательные напряжения, обусловленные молекулярным
обменом количества движения между слоями жидкости,
оказывают преобладающее влияние на течение.
Для турбулентного течения типичны беспорядочное,
флуктуирующее движение жидких частиц и соответствующий характер их

30 Глава I. Свойства жидкости и газа
траекторий. Макроскопическое перемешивание происходит как
поперек, так и в направлении основного течения. Такой режим
движения имеет место, когда силы вязкого трения оказываются
второстепенными в сравнении с силами инерции в формировании течения.
Можно сформулировать критерий для установления условий
существования ламинарного движения, исходя из того, что этому
режиму должна быть свойственна относительно большая роль сил
вязкого трения при второстепенном значении инерционных сил,
обусловленных ускорениями частиц. Отношение этих сил
определяет безразмерный комплекс — число Рейнольдса: Re =pVL/i\9
где К— скорость, рассчитанная по расходу потока жидкости (газа)
и поперечному сечению потока. Из отмеченного следует, что
случаю ламинарного движения должны соответствовать относительно
малые числа Рейнольдса, которые не должны превышать
определенного критического значения. Если они превосходят
критическое значение, то ламинарное движение становится
неустойчивым и может возникнуть турбулентность. Значение критического
числа Рейнольдса зависит от геометрии потока и характерных
величин, используемых при его определении. В частности, для
прямых закрытых каналов и труб оно равно 2300. Здесь также следует
отметить, что и ламинарное, и турбулентное движения
обусловлены влиянием вязкости и что ни то, ни другое не имело бы места
при отсутствии вязкости.
Когда число Рейнольдса стремится к нулю и, следовательно,
можно полностью пренебречь инерционными силами, имеет
место предельный случай ламинарного движения. При этом
соотношение между градиентами давления, массовыми силами и
распределением скоростей определяется только «передачей» касательных
напряжений от твердых границ внутрь потока. Представление о
таком движении дает фильтрация жидкости через слой
мелкозернистой среды из твердых частиц или падение легких частиц в очень
вязкой жидкости. Для таких движений характерно то, что
относительно большие силы вязкости оказывают основное влияние во
всем пространстве, занятом жидкой средой. В силу указанных
обстоятельств подобные движения названы ползущими
(деформационными) течениями.
С увеличением скорости потока, его инерционных сил или при
снижении вязкости характерные признаки ползущего течения
концентрируются в узком слое, примыкающем к стенке (границе
области движения). При этом в движущейся жидкости
формируются две зоны: пограничный слой и ядро потока. В пограничном
слое скорость жидкости изменяется от нуля на твердых стенках
из-за отсутствия «скольжения» (эффект прилипания) до некоторой

3. Поверхностное натяжение, скорость распространения звука 31^
величины, зависящей главным образом от расхода потока и
геометрии области движения. Характерным для этого относительно
тонкого, прилегающего к стенке слоя является наличие вблизи
стенки довольно больших градиентов скорости и значительных по
величине касательных напряжений, обусловленных влиянием
молекулярной вязкости. Вне этого слоя градиенты скорости весьма
незначительны, а касательные напряжения становятся малыми.
В формировании течения жидкости в пограничном слое влияние
сил вязкости соизмеримо с влиянием инерционных сил. Вне этого
слоя (в ядре потока) течение будет испытывать лишь
незначительное влияние сил вязкости и будет определяться в основном
силами инерции, давления и тяжести, действие которых в
определенной степени зависит от формы твердых границ. Необходимо
отметить, что жидкость и в пограничном слое, и в ядре потока
может находиться как в режиме ламинарного, так и в режиме
турбулентного движения.
Далее, классифицируют течения на стационарные и
нестационарные. Отличительной чертой первых является то, что поля
скоростей для них, а также для других физических величин не
изменяются во времени. Если это условие не соблюдается, то течения
нестационарны.
Наблюдая за движением жидкости в трубе, соединенной с
резервуаром значительной емкости, можно прийти к выводу, что
поле скоростей в поперечном сечении трубы формируется
постепенно. По экспериментальным данным, для жидкости,
движущейся в турбулентном режиме, требуется прямой участок трубы
постоянного сечения, равный 25—50 ее диаметрам, чтобы поля
скоростей стали подобны. Этот участок назван начальным, или
участком гидродинамической стабилизации. В пределах этого участка
течение неустановившееся; поля скоростей в двух соседних
поперечных сечениях трубы отличаются друг от друга. Только за
пределами начального участка течение становится
установившимся, и его часто называют гидродинамически стабилизированным,
вкладывая в это понятие стабильность, неизменяемость
распределения скоростей в движущемся потоке.
3. ПОВЕРХНОСТНОЕ НАТЯЖЕНИЕ,
СКОРОСТЬ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ЗВУКА
Энергия поверхностных молекул жидкости отличается от
энергии молекул, расположенных в объеме и окруженных со всех
сторон такими же молекулами. Для оценки состояния молекул
у поверхности раздела (твердой или жидкой) вводится понятие

32 Глава I. Свойства жидкости и газа
\ у" i'i ' 1 Ч
Рис. 1.3. Примеры смачивающей (а) и несмачиваю-
щей (б) твердую поверхность жидкостей
а 6
«поверхностная энергия». Величина этой энергии — Эп —
пропорциональна площади поверхности раздела /, т. е. Эп = с/.
Входящий в это уравнение коэффициент
пропорциональности а получил название коэффициента поверхностного натяжения.
Его величина зависит от природы соприкасающихся сред, степени
чистоты жидкости и ее температуры. Коэффициент а можно
представить отношением о = -///, в котором F — сила
поверхностного натяжения; / — длина линии, ограничивающей
поверхность раздела. Из определений вытекает, что а имеет размерность
либо энергии на единицу площади (Дж/м2), либо силы на единицу
длины (Н/м). Данные о поверхностном натяжении для границы
раздела жидкость—газ некоторых часто встречающихся в
металлургии жидкостей приведены в табл. 1.2. При повышении
температуры величина а снижается, а в критической точке перехода
жидкости в пар устремляется к нулю.
Существуют вещества, названные поверхностно-активными
(ПАВ), которые, будучи добавленными к жидкости в очень
незначительных количествах, существенно снижают силы
поверхностного натяжения.
Данные о поверхностном натяжении на границе раздела
жидкость—газ используются при анализе и расчете распыления
жидкостей с помощью форсунок и других устройств.
В жидкостных приборах для измерения давлений и
разрежений возникает система из трех фаз— твердая стенка, жидкость
и газ (рис. 1.3). В этой системе между твердой стенкой и
поверхностью жидкости образуется краевой угол смачивания 9,
величина которого не зависит ни от формы твердых поверхностей, ни от
действия силы тяжести. Главными факторами, определяющими
значение 0, являются поверхностные натяжения на границах
соприкасающихся сред. При 0 < 90° жидкость смачивает твердую
поверхность, образуется вогнутый мениск, и жидкость в капилляре
поднимается. Такого рода явления можно наблюдать в
обезжиренных стеклянных трубках, заполненных водой. При 0 > 90° жидкость

3. Поверхностное натяжение, скорость распространения звука 33
теряет способность смачивать твердые поверхности, мениск такой
жидкости выпуклый. Увеличение краевого угла смачивания
произойдет, если в стеклянной трубке заменить воду ртутью.
Характеристики смачивания приобретают большое значение
при организации процессов улавливания пылей.
Скорость звука (с) есть скорость распространения малых
возмущений давления в неограниченном объеме вещества или в
объеме вещества, ограниченном абсолютно жесткими стенками. Она
зависит от состояния и свойств этого вещества. Таким образом,
для каждого термодинамического состояния вещества существует
определенная скорость звука с, которую можно определить из
следующего соотношения: с = yjdp / dp .
Величины давления р и плотности Р для газов связаны
уравнением состояния, что позволяет получить выражение для скорости
звука в газах в виде функций одной переменной — температуры
с = yfkRT , т. е. скорость распространения звука в данном газе
пропорциональна корню квадратному абсолютной температуры.
Данные о скоростях звука для некоторых газов приведены в табл. 1.2.
Важность этой характеристики проявляется при расчетах
процессов истечения.
3-3546

Глава II
РАВНОВЕСИЕ (СТАТИКА) ЖИДКОСТИ И ГАЗА
Равновесие жидкости может иметь место либо в случае, когда
она находится в состоянии покоя, либо в случае, когда она
движется подобно твердому телу с одинаковой скоростью во всех
точках объема. Равновесие является результатом действия силового
поля, в которое помещена жидкость, и связей, налагаемых на
границах объема жидкости, и в равной степени проявляется как для
идеальных, так и для реальных жидких сред. Распределение
давления в объеме жидкости (и удельного веса, если жидкость
сжимаема или ее удельный вес непостоянен) зависит от характера
силового поля. Важными примерами силовых полей являются поле
силы тяжести и поле центробежной силы. Связи,
обусловливающие равновесие, включают нормальные давления на
ограничивающих жестких поверхностях и силы поверхностного натяжения.
1. НАПРЯЖЕНИЯ В ЖИДКОСТЯХ,
НАХОДЯЩИХСЯ В РАВНОВЕСИИ
Когда жидкость подвергается воздействию внешних сил, в ее
объеме возникают внутренние напряжения. Для доказательства
этого предположим, что внутри некоторого объема жидкости
сделан разрез (рис. 2.1). Чтобы избежать скольжения или разделения
жидкости по поверхности разреза, необходимо приложить к ней
некоторую силу. Эта сила, в общем случае, будет направлена под
углом к поверхности разреза, имея, таким образом, как
нормальную, так и касательную составляющие. Их значения,
отнесенные к единице площади поверхности разреза, называют
нормальными напряжениями растяжения или сжатия и касательными
напряжениями.
Очевидно, что величина напряжений зависит от ориентации
поверхности разреза, откуда следует, что должна существовать
определенная зависимость между этими напряжениями на про-

/. Напряжения в жидкостях, находящихся в рановесии
35
Рис. 2.1. Схема внутренних напряжений в
жидкости
извольно ориентированных площадках,
проходящих через заданную точку в жидкости.
Однако в жидкостях, находящихся в
равновесии, касательные напряжения не могут
существовать, поскольку отсутствуют внутренние
градиенты скорости.
Рассмотрим элементарный объем
жидкости призматической формы (рис. 2.2).
Предположим, что этот объем находится в равновесии,
причем поверхностные силы,
обусловливающие напряжения, уравновешиваются внешними силами,
пропорциональными объему или массе (т. е. объемными или массовыми
силами). Уравнения равновесия по направлениям координатных
осей jc и z таковы:
]Г Fx = 0 или
-Gxdydz + Gndsdy cos a = 0;
= и или
-Gzdxdy + Gndsdy sin a - (l/2)pgdxdydz = 0.
На рис. 2.2 легко заметить, что cosa = dz/ds, sina = dx/ds,
тогда вместо записанных только что уравнений получим
-Gxdydz + Gndydz - 0;
-Gzdxdy + Gndxdy - A / 2)pgdxdydz = 0.
Сокращая на общие множители, находим
-gx +Gn =0; -a, +aw -(l/2)p#fe = 0.
Устремим объем к нулю, т. е. будем стягивать его к точке. Тогда
последним слагаемым второго уравнения можно пренебречь (оно
стремится к нулю) и получим gx =Gz=Gn.
Переориентировав объем жидкости
в пространстве, можно показать, что
о у = Gn, и поэтому
Рис. 2.2. Схема напряжений в точке при
равновесии

36 Глава II. Равновесие (статика) жидкости и газа
Таким образом, нормальное напряжение в любой точке
жидкости, находящейся в равновесии, не зависит от направления; оно
является скалярной величиной. Напряжение растяжения с есть
давление с обратным знаком, т.е. с = ~~р.
Если жидкость не находится в равновесии, то нормальные
напряжения в точке неодинаковы и зависят от направления. Однако
в этом случае можно использовать понятие «среднее нормальное
напряжение», которое в состоянии равновесия равно найденной
выше величине.
2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ
(УРАВНЕНИЯ ГИДРОСТАТИКИ ЭЙЛЕРА)
Хотя величина нормального напряжения, а следовательно
и давления, при равновесии не зависит от ориентации площади
действия (разреза), в различных точках жидкости в общем случае
она может быть различной. Иными словами, давление, или, как
его еще называют, гидростатическое давление, есть функция
координат, т. е.
P = f(x9y,z). B.2)
Расположим внутри покоящейся жидкости около
произвольной точки О прямоугольную систему координат так, чтобы ось Oz
получила направление вертикально вверх. Выделим в жидкости
элемент в форме параллелепипеда с ребрами dx, dy, dz,
параллельными осям координат, и напишем условия его равновесия под
действием шести сил давления на его грани и равнодействующей
объемных (массовых) сил (рис. 2.3).
Уравнения равновесия выделенного объема имеют вид
Рис, 2.3. Равновесие под действием
сил давления на грани
параллелепипеда и равнодействующей объемных
(массовых) сил

2. Дифференциальные уравнения равновесия (уравнения гидростатики Эйлера) 37
Уравнение ]? Fy = 0 выражает действие следующих сил: силы
давления на левую грань dPy = pdxdz, где р — гидростатическое
давление среднее для данной грани; силы давления на правую
грань dP'y = p'dxdz и проекции объемной силы на ось у
Qy = Ypdxdydz , где У— проекция на ось у ускорения,
соответствующего силе Qy .
Выделенный объем достаточно мал. Это позволяет считать, что
давление внутри него по любой координате изменяется линейно.
Тогда, разлагая р' (вблизи у = 0) в ряд Тейлора и ограничиваясь
линейными слагаемыми ряда, получим р' = р + (др/ dy)dy.
Таким образом,
/; = pdxdz- [p + (dp/dy)dy]dxdz + Ypdxdydz = 0,
или, после преобразований и деления на dxdydz,
|? 0. B.3)
ду
Получив по аналогии два других уравнения, будем иметь
следующую систему уравнений равновесия (Эйлера):
= 0,
р = 09 B.4)
-dp/dz + pZ = 0.
Умножая первое уравнение этой системы на dx, второе — на
dy, третье — на dz и складывая их, получим
?Ldx + ^dy + ^-dz = p(Xdx + Ydy + Zdz). B.5)
дх ду dz
Левая часть выражения B.5) представляет собой полный
дифференциал dp. Поэтому можно записать
dp = p(Xdx + Ydy + Zdz). B.6)
Это — основное дифференциальное уравнение статики
жидкостей и газов.
Если силы и плотность есть такие функции х, у и z, что правая
часть выражения B.6) не представляет собой полного
дифференциала, то равновесие жидкости невозможно. Таким образом, не
при всяких условиях в отношении сил и плотности жидкость
может находиться в равновесии.

38 Глава II Равновесие (статика) жидкости и газа
Для несжимаемой жидкости (р = const) правая часть уравнения
B.6) будет полным дифференциалом при выполнении равенств
дх ду OZ
Функция U, определяемая таким образом, называется силовой,
а ее величина с обратным знаком — потенциалом. Тогда уравнение
B.6) можно представить в виде dp = p dlf> а условие равновесия
сформулировать следующим образом: несжимаемая жидкость может
находиться в равновесии, если приложенные к ней силы имеют потенциал.
Если жидкость (газ) сжимаема, но имеет постоянную
температуру, то плотность является функцией только давления, т. е.
Р = f(p) • Тогда уравнение B.6) имеет вид
Xdx +
f(p)
Обозначая через Р интеграл левой части последнего
уравнения, получим выражение
аналогичное предыдущему, и с таким же выводом: для того чтобы
жидкость находилась в покое, приложенные к ней силы должны иметь
потенциал.
Совершенно очевидно, что если в объеме жидкости есть
какое-то поле температур, т. е. в разных точках объема температуры
различны, то равновесие жидкости невозможно, так как в ней
возникает перемещение горячих и холодных масс.
Поверхность, во всех точках которой давление постоянно,
называется поверхностью уровня. Описать эту поверхность можно
уравнением B.6) при dp = 0. Следует отметить, что две разные
поверхности уровня не пересекаются между собой.
3. РАВНОВЕСИЕ В ПОЛЕ СИЛ ТЯЖЕСТИ
Довольно часто жидкости и газы находятся в равновесии под
влиянием сил тяжести. Для анализа этого состояния необходимо
проинтегрировать основное дифференциальное уравнение
гидростатики B.6), содержащее две неизвестные функции р и р. Чтобы
осуществить эту операцию, нужно еще одно уравнение. Таким может
быть, в частности, уравнение р = const, справедливое для
несжимаемых (однородных) жидкостей, или уравнение состояния для газа.
Основное уравнение равновесия неподвижной массы жидкости
для данного случая может быть найдено, если иметь в виду, что
в качестве объемной силы выступает сила тяжести, а ускорение
этой силы соответствует ускорению свободного падения g = 9,81 м/с2.

3. Равновесие в поле сил тяжести 39
Направим ось координат Oz вертикально вверх. Тогда
значения проекций ускорения силы тяжести будут равны Х=0, У= О,
Z= -g, а уравнение B.6) примет вид
dp = -pgdz. B.7а)
Если полагать, что свободная поверхность имеет координату z0
и на этой поверхности внешнее давление равно р0 (в частном
случае это давление может быть равно атмосферному рт), то,
интегрируя уравнение B.7а) в пределах от z0 до z и от р0 до р при
условии р = const, получим
Р = А) + Р?(*о - Z) = Ро + y(z0 - z). B.8)
Полученное выражение B.8) является основным уравнением
равновесия несжимаемой жидкости в поле сил тяжести. Оно
служит математическим выражением закона Паскаля, из которого
следует: всякое увеличение внешнего давления, осуществляемое
в замкнутой системе, будет передаваться всем точкам жидкости
одинаково по всем направлениям. Действительно, абсолютное
давление в какой-либо точке жидкости равно сумме внешнего
давления и давления, оказываемого столбом жидкости над этой точкой.
Уравнение B.8) может быть записано в единицах длины:
L+z=P*l+z -я - const. B.9)
У У
Тогда z к z0 можно трактовать как высоты расположения
точек, а слагаемое р/у, имеющее также размерность высоты, как
гидростатическую высоту, зависящую от величины
гидростатического давления.
Плотность газообразных сред зависит от давления и
температуры, поэтому интегрирование B.7а) для них должно
проводиться с учетом этого обстоятельства. Используя уравнение
Менделеева—Клапейрона р = p/(RT) совместно с B.7а), получим
dP - с dz
Р RT{z)
или после интегрирования, учитывая, что при z = Zq Р = Ро>
[1] B10)
Эта формула называется барометрической. Зная зависимость
температуры от высоты, с помощью выражения B.10) можно
найти изменение давления с высотой.

40 Глава II. Равновесие (статика) жидкости и газа
Если считать, что атмосфера находится в изотермическом
равновесии (Г= const), то из барометрической формулы B.10)
следует экспоненциальный закон убывания давления с высотой
B.11)
В ограниченном диапазоне высот (до 11 км) часто принимают,
что температура с высотой в атмосфере убывает по линейному
закону Т = T0-bz. В этом случае из B.11) имеем
р/Ро=(Т/То)*/(т. B.12)
При анализе тепловой работы металлургических печей и
теплотехнических агрегатов не приходится сталкиваться с большими
значениями высоты атмосферы или слоя газа. В настоящее время
максимальные высоты дымовых труб теплотехнических установок
не превышают 400-450 м, обычно они намного ниже. В связи
с этим возникает вопрос о возможности использования в расчетах
более простого соотношения B.8) вместо точного уравнения B.12)
и о допускаемой при этом погрешности в определении давления.
Сопоставление результатов расчетов по уравнениям B.8), B.11)
и B.12), выполненных при одинаковых условиях, показало, что
наибольшая погрешность соотношения B.8) в диапазоне
указанных выше высот не превышает по абсолютной величине
0,5%.Поэтому в практических расчетах для определения величины
давления по высоте атмосферы обычно рекомендуют использовать
выражение B.8).
В инженерной практике имеют дело не с абсолютными
давлениями газа, а с относительными, т. е. с разностью абсолютных
давлений газа и атмосферного воздуха. Запишем уравнение B.8) для
газа и атмосферного воздуха, полагая уровень отсчета одинаковым:
Чтобы получить относительное давление, вычтем почленно
уравнение B.14) из уравнения B.13): рГ- рв= g(pB -рг)г.
Обозначая а - А = лст> получим Аст = g(pB - pr)z или
Аст=(Ув-УгЬ BЛ5)
Абсолютная величина относительного давления Аст в
значительной степени определяется разностью плотностей (или
удельных весов) газа и атмосферного воздуха. При нормальных условиях

3. Равновесие в поле сил тяжести
рв0= 1,293 кг/м3, а р^ определяется составом газа. Учет влияния
температуры на плотность проводится в соответствии с
уравнением Гей-Люссака:
Р/ = роA + р/) = 273р0 /(/ + 273). B.16)
Плоскость, соответствующая ACT = 0, называется нейтральной.
Выше нее (Лст > 0) имеет место избыточное давление, под
влиянием которого может происходить выбивание горячих газов из
рабочего пространства печи, что приводит к нерациональным
потерям теплоты и усложняет процесс ее обслуживания. Ниже
нейтральной плоскости (Аст < 0) в условиях разрежения холодный
атмосферный воздух может попадать в печь и вызывать
охлаждение, а в некоторых случаях и окисление нагреваемого металла.
Тепловую работу металлургических печей стремятся организовать
так, чтобы свести к минимуму оба процесса: и выбивание, и
подсос холодного воздуха. Этого достигают, поддерживая
относительное давление печных газов равным ± 0 на уровне порогов
рабочих окон. Другими словами, нормальные условия работы
печи обеспечиваются, когда нейтральная плоскость
относительного давления находится на уровне рабочих окон. Давления,
отличные от нуля на этом уровне, особенно более 20—50 Па,
являются недопустимыми, так как приводят к необходимости
повышения расхода топлива.
Отметим, что по физическому содержанию Аст соответствует
геометрическому давлению газа деом.
Представление о нейтральной плоскости позволяет
качественно проанализировать газодинамическую работу агрегата в любых
условиях.
Пример 2.1. Требуется найти распределение статического
(относительного) давления по высоте рабочего пространства печи при
выключенном отоплении и отключенной тяге. Нейтральная плоскость ± 0
находится на уровне 1 м от пода. Плотность продуктов сгорания при
нормальных условиях составляет 1,29 кг/м3. СхвхМа печи, ее размеры и
параметры газовых сред представлены на рис. 2.4. Оценить изменение
распределения давления при открытии шибера и при включении горелок.
Вычислим плотности газа и воздуха. В соответствии с уравнением
Гей-Люссака
рг = 1,29/A + 1000/273) = 0,276 кг/м3;
рв = 1,293/A + 20/273) = 1,20 кг/м3.
Определим давление газа (избыточное) под сводом печи и в нижней
плоскости борова (см. уравнение B.15)), не забывая о том, что отсчет

42
Глава II. Равновесие (статика) жидкости и газа
4
1000eC
+0
20°C
T"j
/ I i
ill
! 1 I
1 j
i
1
i
Рис. 2.4. Схема каналов печи (к примеру 2.1)
значений z. проводится от нейтральной плоскости:
под сводом (z =: +3 м)
Лст = 9,81 A,20 - 0,276) 3 = 27,20 Па;
в нижней плоскости борова (z = ~4 м)
Лст = 9,81 A,20 - 0,276) (-4) = -36,26 Па;
на поду печи (z = — 1 м)
h^ = 9,81 A,20 - 0,276) (-1) = -9,06 Па.
Строим график относительных давлений (см. рис. 2.4), на котором
сплошной линией показано распределение относительных давлений при
указанном на схеме положении нейтральной плоскости. Если приоткрыть
шибер, то давление в печи уменьшится, нейтральная плоскость
переместится вверх и распределение давления изобразится пунктирной прямой.
Если шибер закрыть и включить газовую горелку, то давление в печи
повысится, распределение давления представится штрихпунктирной
прямой. Во всех случаях угол наклона прямых остается неизменным (если
сохраняется постоянной температура газа).
4. СИЛЫ ДАВЛЕНИЯ ЖИДКОСТИ
НА ТВЕРДЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
Действие сил гидростатического давления, распределенного по
поверхности, может быть заменено действием одной
сосредоточенной силы — их равнодействующей, приложенной в точке,
называемой центром давления.
Пусть п — единичный вектор нормали к элементарной
поверхности dS,ap — давление на этой поверхности. Тогда элементарная
сила давления составит
dP=pndS, B.17)

4. Силы давления жидкости на твердые поверхности
43
а полная сила давления на всю поверхность S
P=jpndS
s
или, с учетом соотношения B.5),
<2Л7а>
Рассмотрим сначала простейший случай — давление жидкости
на плоское дно сосуда произвольной формы с площадью
основания So (рис. 2.5).
Если высоту столба жидкости обозначить через h = Zq ~ Z, то из
выражения B.17а) получим
р = J dP = j (Pq + pgh) ndS = (р0 + pgh) n50,
s0 s0
так как входящие под знак интеграла р0 и pgh — величины
постоянные.
Последний результат показывает, что независимо от формы
сосуда, заполненного жидкостью, и формы его дна сила
гидростатического давления будет одинаковой при условиях:
В этом и состоит сущность гидростатического парадокса. В данном
случае точка приложения равнодействующей силы давления
совпадает с центром тяжести дна сосуда с площадью основания SQ.
В том случае, когда плоская поверхность S наклонена к
горизонту под углом а (рис. 2.6), направление нормали в каждой
точке поверхности остается неизменным (n = const), но
локальное давление является функцией глубины погружения точки, так
как h = у sin a.
Тогда
Р = n\pdS = nj(p0 + pgysina)dS. B.18)
s s
Рис. 2.5. К выводу условий
гидростатического парадокса

44
Глава II. Равновесие (статика) жидкости и газа
Рис. 2.6. Схема для определения
силы неравномерно
распределенного давления, действующего на
плоскую поверхность
Абсолютная величина силы Р складывается из двух
составляющих:
s
где РВИ — сила внешнего давления, равномерно распределенного
по поверхности 5, и ее линия действия проходит через центр масс
этой площадки. Сила Рвс — сила давления веса, распределенного
неравномерно, причем можно записать
Рвс = pg sin a \y dS = pg sin а /,
s
где J = jydS — статический момент поверхности Sотносительно
s
оси х. Поскольку / = ycS, где ус — координата центра масс S, то
получим
Рвс = pg sin a /= pg sin а Zq S = pg/rc& B.19)
Таким образом,
P = P0S+pghcS, B.19a)
т. е. полную силу давления жидкости на плоскую стенку можно
трактовать как сумму сил давления и веса. Последняя сила,
согласно выражению B.19), равна произведению S на давление
в центре масс этой площадки.
Линия действия силы Рвс проходит через центр давления D.
Для определения его координат используем теорему о равенстве
момента равнодействующей и суммы моментов составляющих:
гохРвс= lrxnpBCdS, B.20)
s
где г^иг- радиус-векторы соответственно точки D и текущей
точки поверхности S; ръс = pgh — давление веса жидкости в
текущей точке.

4. Силы давления жидкости на твердые поверхности 45
Проектируя B.20) на оси координат плоскости дс—у, получим
S S
откуда, учитывая формулу B.19), а также то, что Ръс = gph = pgy x
х sin а, находим
jxydS jy2dS
^ ^ B2l)
В принципе, учитывая, что dS= dxdy, и зная геометрические
параметры поверхности S, нетрудно найти координаты центра
давления по B.19). Однако для наглядности воспользуемся теоремой
о параллельном переносе осей, согласно которой,
J xydS = xcycS + Jxy; J y2dS = y2cS + /,,
s s
где хс и ус — координаты центра масс площадки в системе
координат ху\ Jx.y.— центробежный момент инерции площадки S
относительно осей координат х' и у\ проходящих через центр
масс площадки S параллельно осям jc и у; Jx,— момент инерции
площадки S относительно оси jc '.
Окончательно
Вторая формула B.21а) показывает, что центр давления
находится ниже центра тяжести, так как величина Jx, /(ycS) всегда
положительная. Расстояние CD называют эксцентриситетом е = Jx,/(ycS).
Наконец, отметим, что в общем случае криволинейной
поверхности преобразования соотношения B.19) приводят к
математической формулировке закона Архимеда.
Пример 2.2. Продукты сгорания в печи имеют в среднем температуру
/г=1090°С и плотность при нормальных условиях, равную 1,25 кг/м3.
Температура наружного воздуха 20 °С, давление 760 мм рт. ст. = 101 325 Па.
Определить силу, действующую на заслонку печи площадью 5=1,5x1,5 =
= 2,25 м2, если удаление продуктов сгорания из печи осуществляется
дымовой трубой, имеющей высоту Н = 30 м.
Вычислим плотности газа и воздуха:
рг = 1,25/A + 1090/273) = 0,25 кг/м3;
рв = 1,293/A + 20/273) = 1,20 кг/м3.
Так как нейтральная плоскость соответствует выходу продуктов сгорания
из дымовой трубы, то распределение давления газа будет описываться

46 Глава II Равновесие (статика) жидкости и газа
выражениями (z отсчитывается от нейтральной плоскости)
Следовательно, результирующая сила, действующая на заслонку при
ее полном закрытии, будет равна
= 9,81 A,20 - 0,25) 30 • 2,25 = 629,07 Н.
Такое давление заслонка испытывает за счет разности давлений
окружающего воздуха и создаваемого дымовой трубой.

Глава HI
КИНЕМАТИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА
Часть механики, в которой рассматриваются общие свойства
движения тел без выяснения причин его возникновения,
называется кинематикой. В кинематике жидкостей и газов изучается
положение частиц жидкости и газа в пространстве в зависимости от
времени. По образному выражению Н.Е. Жуковского, кинематика
есть геометрия движения.
В кинематике жидкости и газа смысл слова «точка» должен
быть строго уяснен, так как оно может относиться либо к «точке»
пространства, либо к «точке» сплошной среды. Во избежание
недоразумений слово «точка» будет использоваться исключительно для
обозначения места в неподвижном пространстве. Слово «частица»
будет означать малый элемент объема или «материальную точку»
сплошной среды. Короче говоря, точка есть место в пространстве,
а частица — малая часть материального континуума.
Термины «движение» и «течение» используются при описании
мгновенного или непрерывного изменения конфигурации сплошной
среды, причем последний из них означает непрерывное движение.
Различные частицы движущейся жидкости обычно имеют
разные скорости и ускорения, поэтому поле течения должно
описываться скоростями и ускорениями частиц в различных точках во
всем пространстве, занятом жидкостью. Как скорости, так и
ускорения являются векторными величинами и обозначаются
соответственно v и а. В декартовых координатах их компоненты х, у и z
обозначаются через и, v, w и ах, ау, az. В общем случае v и а
являются функциями времени и координат пространства.
1. ДВЕ ФОРМЫ ОПИСАНИЯ ДВИЖЕНИЯ
СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
В общем случае движение тела можно описать четырьмя
способами. В механике жидкости и газа используются два из них:
отсчетный и пространственный.

48 Глава Ш. Кинематика жидкости и газа
В середине XVIII в. Л. Эйлер ввел описание, которое в
гидродинамике называется лагранжевым. Это частный случай отсчетного
описания, при котором движущаяся жидкость представляется в
виде набора бесконечно большого количества «материальных точек» —
частиц жидкости, причем в качестве «метки» каждой данной
частицы используются декартовы координаты ее положения в
момент времени / = 0. Это означает, что в некоторый произвольный
момент времени, условно принятый за нуль, задаются координаты
каждой частицы а, Ь, с и после этого следят за движением этой
частицы в потоке. Положение частицы в любой момент времени
(движение) определяется системой уравнений вида
= f{(a,b,c,t);
= f2(ayb,cyt); C.1)
Соответствующие скорости и ускорения:
C.2)
az=(d2z/dt2\. C.3)
При этом необходимо сохранять неизменными начальные
координаты а, Ь, с.
Совершенно очевидно, что выбор меток произволен и
существенные результаты не зависят от выбора начального момента
времени. Поэтому отсчетных (лагранжевых) описаний
движущегося потока может быть множество.
Такое описание весьма удобно в теоретических исследованиях,
связанных с обоснованием и развитием принципов механики.
Довольно часто лагранжево описание используют при разработке
численных схем анализа задач механики жидкости и газа. Однако
в инженерной практике оно практически не используется в силу
крайней громоздкости при решении конкретных задач.
При пространственном описании внимание сосредоточено на
области пространства, занимаемой потоком жидкости в данный
момент. Это описание, введенное Д'Аламбером, в гидродинамике
называют эйлеровым. При этом наблюдают за тем, что происходит
в фиксированной области пространства по мере того, как идет
время. Это описание представляется идеально подходящим для
изучения жидкостей и газов, где зачастую быстро
деформирующаяся масса приходит неизвестно откуда в рассматриваемый объем

1. Две формы описания движения сплошной среды 49
и уходит неизвестно куда, так что предпочтительнее
рассматривать то, что происходит в этом объеме.
Таким образом, в эйлеровом описании в качестве
независимых переменных используются координаты точки х, у, z и
время /. Очевидно, имеется лишь одно пространственное описание
данного движения, в то время как отсчетных описаний
бесконечно много.
Основное различие между этими двумя способами описания
состоит в том, что в лагранжевом описании координаты частиц
представляются как функции времени, в то время как в эйлеровом
описании скорости потока в различных точках определяются как
функции времени. Поэтому в эйлеровом описании координаты х,
у, z являются независимыми переменными, в то время как в
лагранжевом описании они взаимозависимы.
Эйлерово поле скорости выражается в виде
v = их + vj + wk, C.4)
где и =fx (х, у, z, 0; v =/2 (х, у, z, t)\ w = /3 (х, у, z, t); i, j, k —
единичные векторы, направленные вдоль осей х, у и ь
Любое изменение компонент скорости в окрестности
некоторой точки определяется всеми четырьмя аргументами: х, у, z и /.
Так, например, изменение х-компоненты скорости по правилу
дифференцирования функции многих аргументов будет:
, Ъи ,. ди , ди , ди ,
аи = —dt + —dx + —-dy + — dz,
at ox oy az
поскольку данная частица смещается на небольшое расстояние
в окрестности указанной точки за время dt. Компоненты
перемещений не являются независимыми и равны: dx = udt, dy = vdt
и dz= wdt.
Подставляя эти величины в вышеприведенное выражение,
получаем
du ди ди ди ди ,~ ^ч
— = —+ и —+ V— + w—. C.5)
dt dt Эх ду dz
Это уравнение является полной или субстанциональной
производной, представляющей быстроту изменения скорости частицы
жидкости, занимающей определенную точку в пространстве в
определенный момент времени.
Можно выделить локальное изменение скорости как функцию
времени du/dt и ее конвективное изменение, связанное с
движением частицы в пространстве и(ди/дх) +v(du/dy) + w(du/dz).

50 Глава Ш. Кинематика жидкости и газа
Любые другие свойства жидкости или ее движения могут
рассматриваться подобным же образом. Так, быстрота изменения
плотности частицы сжимаемой жидкости
dp/dt = Эр/ЭГ + и (др/дх) + v(dp/dy) + w (Эр/Э*).
Подобные соотношения определяют компоненты ускорения,
соответствующие координатным осям:
ах = du/dt = du/dt + и(Эи/Эх)+ v(du/dy) + w(du/dz);
ay = dv/dt = dv/dt + u(dv/dx) + v(dv/dy) + w(dv/dz); C.6)
az = dw/dt = ЭмуЭ/ + wCw/9jc)+ v(dw/dy) + ЦЭиуЭ^).
В векторной форме имеем
a = axi + a j + fl k,
или
a = dv/Л = Э v/Э/ + (v • V) v, C.7)
где векторный дифференциальный оператор в декартовых
координатах V = iC/3x) + jC/3j;) + kC/a^).
Если все локальные ускорения равны нулю, движение
является стационарным. Скорость может изменяться от точки к точке
пространства, но в фиксированной точке она постоянна во времени.
Если все конвективные ускорения равны нулю, движение
является равномерным. Равенство нулю конвективных ускорений
соответствует параллельному течению, что можно заключить из
анализа предыдущих уравнений.
2. ЛИНИИ ТОКА И ТРАЕКТОРИИ
Линия тока есть воображаемая линия, являющаяся
геометрическим местом точек в пространстве, в которых векторы
скорости в данный момент времени направлены по касательной к этой
линии, поэтому линии тока указывают направление движения
в каждой точке вдоль этой линии в данный момент времени
(рис. 3.1).
Трубка тока, или элементарная струйка, есть малая
воображаемая трубка или канал, ограниченный линиями тока. При
стационарном движении линии тока остаются неподвижными по
отношению к системе отсчета. Для такого движения они
представляют собой траектории движущихся частиц. При
нестационарном движении частицы жидкости не будут оставаться на
одних и тех же линиях тока, и, следовательно, траектории и линии

2. Линии тока и траектории
51
Рис. 3.1. Линии тока и траектории: а — мгновенная линия тока; б —
траектория частицы
тока в этом случае не совпадают. На рис. 3.1, б для
нестационарного течения показаны линии тока и траектория. На схеме
приведены векторы скорости для частиц а, Ь, с, лежащих на линии тока
в момент времени tx, последовательные положения частицы а на
ее траектории в моменты времени t2 и t3.
Траектории удобно определять по распределению скорости, так
как скорость — производная по времени от координат.
Параметрические уравнения траектории частицы являются решениями
системы дифференциальных уравнений dr/dt = v или dx/dt = w,
dy/dt = v, dz/dt = w, где dr = idx + \dy + kdz, г — радиус-вектор
точки на траектории. Необходимые граничные условия можно
получить, выбрав в качестве исходной конфигурацию потока в
какой-то момент /0.
В случае плоского двухмерного течения можно получить
дифференциальное уравнение линии тока, написав, что при течении
в плоскости ху и = dx/dt, и = dy/dt, откуда следует, что dx/u = dy/v.
Для трехмерного поля течения система уравнений линии тока
в декартовых координатах имеет вид dx/u = dy/v = dz/w или
vdx = udy, wdx = udz, wdy = wfe. C.8)
Как следует из определения, линия тока есть такая линия,
в каждой точке которой нормальная составляющая скорости
равна нулю, т. е. через линию тока нет перетекания. Таким образом,
между двумя произвольными линиями тока количество
протекающей жидкости постоянно. Поэтому для несжимаемой жидкости
в местах, где линии тока сближаются, скорость увеличивается и,
наоборот, там, где они расходятся, скорость уменьшается.
В общем случае через любую точку движущейся среды в
данный момент времени можно провести лишь одну линию тока.
Однако в некоторых особых точках это правило нарушается.
Существуют два типа особых точек: критические и источники (стоки).

52 Глава III. Кинематика жидкости и газа
В них линии тока пересекаются, следовательно, вектор скорости
должен иметь разные направления, что при конечном значении
скорости невозможно. Поэтому в особых точках величина
скорости либо равна нулю (критические точки), либо бесконечности
(источники и стоки).
Важную роль в кинематике жидкости и газа играет понятие
«поток вектора скорости» Q — интеграл по поверхности S,
ограничивающей объем жидкости, от произведения вектора скорости на
нормаль к данной поверхности (или от проекции скорости на
нормаль) в каждой точке, т. е.
Q = J v • ndS = J vn dS = J (ududz + vdxdz + wdxdy).
s s s
Поток вектора скорости физически представляет собой
объемный секундный расход жидкости (газа) через поверхность S.
Размерность потока вектора скорости [Q] = [v][S] = м3/с.
Если поверхность S замкнута, то при отсутствии внутри
поверхности источников и стоков поток вектора скорости
При наличии источника QHCT =j>\ndS = \яж^У > 0, а при
s у
наличии стока QC1 =j>\ndS = jqCTdV< 0, где <7ист и qcT — мощ-
S V
ность источников и стоков.
3. УРАВНЕНИЕ НЕРАЗРЫВНОСТИ
Принцип сохранения массы жидкости для любой
определенной системы следующий:
чистый приток массы жидкости в систему =
= приращению массы жидкости системы.
Рассмотрим элементарный контрольный объем AxAyAz в
форме параллелепипеда внутри некоторой области течения, в которой
отсутствуют источники (стоки) массы, а плотность и скорость
являются функциями пространственных координат и времени
(рис. 3.2). Вычислим чистый приток массы в этот объем.
По определению, поток массы равен произведению массовой
скорости на сечение площадки, нормальной к скорости.

3. Уравнение неразрывности
53
Тогда в выделенный объем втекает следующее количество жидкости:
AyAz,
(ри)х AyAz + (pv)y AyAz
а вытекает
Таким образом, изменение массы жидкости в объеме
параллелепипеда составляет
(ри)х AyAz + (pv)y AyAz + (pw)z AyAz - pw + — (ри) Дх AyAz-
-\pv- — (pv)Ay\ AxAz-\pw + — (pw)Az\ AxAy =
L °У Jy L oz ]z
= -\^(PU) + J~(PV) + |"(PW) АхАуДг = -V(pv)АхА^Аг. C.9)
Здесь использовано разложение потока вытекающей массы
в ряд Тейлора с точностью до линейных слагаемых, когда
Приращение массы жидкости в выделенном объеме
— (pAxAyAz) = -? Ах AyAz.
of at
C.10)
Здесь bxAyAz не зависит от времени, так как контрольный
объем неподвижен. Приравняв уравнения C.9) и C.10), после
сокращения на Ах AyAz получаем
C.11)
Рис. 3.2. Схема для вывода уравнения
неразрывности

54Глава III. Кинематика жидкости и газа
или
Произведение оператора V на вектор массовой скорости pv
есть величина скалярная и называется дивергенцией скорости
div(pv). Она характеризует скорость относительного изменения
элементарной массы жидкости, т. е. равна отношению массового
расхода жидкости через поверхность S объема К к величине этого
объема при стремлении последнего к нулю.
Используя правило дифференцирования произведения и
учитывая, что
dp Эр Эр Эр Эр Эр л
dt Э/ Эх ду dz Э/
уравнение C.11) можно переписать в виде
^ (v) = 0. C.12)
Если р не зависит от времени, то Эр/Э/ = 0, и вместо
уравнения C.11) имеем
div(pv) = ^(p«) + |;(pv) + ^(pH') = O. C.13)
Такое движение называют изохорическим. Если р не зависит
и от координат, то
div(v) = — + —+ T- = 0. C.14)
Эх ду dz
Это обычная форма уравнений неразрывности для
установившихся и неустановившихся течений несжимаемой жидкости. Отражая
закон сохранения массы, уравнение неразрывности C.14) имеет
относительно простой физический смысл — расход несжимаемой
жидкости через выделенный объем является постоянной
величиной или суммарное изменение расхода жидкости в выделенном
объеме по трем координатным направлениям равно нулю. Этот
закон соблюдается всегда, когда сплошность потока не
нарушается. Подставляя уравнение C.14) в C.12), можно получить для
несжимаемой жидкости и другое условие:
ф/Э/ = Эр/Э/ + г/(Эр/Эх)+1;(Эр/Э^) + м;(Эр/Эг) = 0. C.15)
Уравнения C.11) и C.12) называются соответственно эйлеровой
и лагранжевой формами уравнения неразрывности. Можно
считать,, что лагранжева форма записана в системе отсчета, по
отношению к которой частица неподвижна.

4. Функции тока для двухмерных течений несжимаемой жидкости 55
Векторная форма записи уравнений C.11) и C.12) справедлива
для любой системы координат. В цилиндрической системе
координат (г, 8, z) уравнение неразрывности имеет вид
а в сферических координатах (г, в, ср)
4(prV) + (p%sin9) + ^(p^) = 0. C.17)
dt г2 дгуУ r) sineaev в ' sine9v ф'
Для случая одномерного движения, при котором параметры
потока изменяются лишь вдоль какой-то одной координаты
(например, х), уравнение C.11) принимает вид
Эр Э
В случае установившегося течения данное выражение еще
более упрощается, т. е. д(ри)/дх = 0. Интегрируя это соотношение от
сечения потока 1 (площадь поперечного сечения F,) до сечения 2
(площадь поперечного сечения F2), получим
piulFl = p2u2F2 = const. C.18)
Это уравнение неразрывности для трубки тока. Оно
выполняется и для движения жидкости в трубах и каналах, однако для
них локальную скорость и необходимо заменить средней
расходной скоростью потока V. Тогда оно будет характеризовать
постоянство массового расхода жидкости для любого сечения
трубопровода. Уравнение C.18) можно использовать для расчета объемных
расходов потока. Для несжимаемых жидкостей при р = const это
уравнение еще более упрощается, т. е.
VXFX = V2F2 = VjF, = const. C.19)
Уравнение неразрывности C.19) указывает, что как массовый,
так и объемный расход постоянен, и если сечение трубопровода
увеличивается, то средняя расходная скорость потока падает.
4. ФУНКЦИИ ТОКА ДЛЯ ДВУХМЕРНЫХ ТЕЧЕНИЙ
НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
Легко заметить, что уравнение неразрывности содержит четыре
неизвестных: плотность р и три компоненты скорости и, v и w.
Следовательно, одного уравнения неразрывности для описания

56 Глава HI. Кинематика жидкости и газа
течения недостаточно. Однако в случаях, когда течение жидкости
может рассматриваться как двухмерное, на основе уравнения
неразрывности может быть установлена интересная и полезная
связь между расположением линий тока и распределением
скоростей и расходов в поле течения.
Ограничимся случаем несжимаемой жидкости. Для
плоскопараллельного течения уравнение неразрывности принимает вид
|^ = 0. C.20)
Эх ду
Введем функцию тока ц/(х, у), записав
ду Эх
Тогда уравнение C.20) тождественно удовлетворяется, так как
о
дхду дудх
Уравнение линии тока для плоскопараллельного течения
имеет вид
и dy - v dx = 0.
Используя выражения C.21), находим, что вдоль линии тока
ду дх
Поскольку дифференциал *Л|/ = 0, то вдоль линии тока \|/ = const.
Выражения C.20—3.22) подтверждают, что dy является полным,
а его интеграл (\|/2 — у,), взятый по кривой, соединяющей две
точки, определяется только значениями функции тока в крайних
точках (и не зависит от положения кривой). Из этого следует одно
полезное свойство функции тока, которое можно вывести,
рассматривая две смежные линии тока, разделенные расстоянием An,
как показано на рис. 3.3.
Из закона сохранения массы для несжимаемой жидкости
следует, что поток массы через An должен быть равен сумме потоков
через Дх и Ду и поэтому
|v| dn = udy - vdx, C.23)
где |v| = yfu2 + v2 — модуль вектора скорости.
Используя выражения C.21), находим
\v\dn = ^-dy + ^dx = dv. C.24)

4. Функции тока для двухмерных течений несжимаемой жидкости 57
Рис. 3.3. Схема для вывода соотношения
между функцией тока и расходом
Следовательно, разность значений \|/ на двух смежных линиях
тока равна объемному расходу потока между ними,
приходящемуся на единицу ширины течения. Правило знаков указано
формулами C.23) и C.24). Если \|/ увеличивается в направлении оси .у,
как показано на рис. 3.3, то течение направлено в сторону
положительных значений х, т. е. слева направо.
Для осесимметричного течения линии тока в любой
радиальной плоскости, проходящей через ось симметрии, лежат на
поверхностях тока, расположенных концентрически относительно
оси. Как и для плоскопараллельного течения, эти линии тока
могут быть представлены в двух координатах, что также дает
возможность ввести единственную функцию тока (известную как
функция тока Стокса). Для описания общего трехмерного течения
необходимы три координаты. В этом случае можно ввести пару
функций этих координат, которым в пространстве будут
соответствовать два семейства взаимно пересекающихся поверхностей
тока, линии пересечения которых и будут линиями тока.
Таким образом, в случае трехмерного течения функция тока
уже не является скалярной, так как для ее определения
необходимо задание уравнений поверхностей. В этом случае вместо
соотношений C.21) используют векторную функцию у(х, у, z), которая
связана со скоростью потока равенством
v = V х у = rot \j/, C.25)
или в декартовой системе координат:
ду bz dz Эх Эх
Вводимая выражением C.25) функция называется векторным
потенциалом, а векторное произведение дифференциального
оператора V и векторного потенциала у (или любого другого
вектора) — ротором данного вектора.
При решении практических задач в случае плоского
двухмерного течения обычно в качестве граничных условий задают значение

58 Глава III. Кинематика жидкости и газа
\|/ = 0 на одной границе потока и \|/ = Q на другой, где Q — полный
расход среды.
Пример 3.1. Ввести функцию тока для случая установившегося
обтекания сферы потоком сжимаемой жидкости (газа). Скорости потока не
зависят от координаты <р, т. е. течение осесимметрично.
Поскольку функция тока должна превращать уравнение
неразрывности в тождество, то скорости, дифференцируемые по какой-то
координате, должны выражаться через производные функции тока по
противоположной координате. Для установившегося осесимметричного
движения уравнение C.17) принимает вид
_—(pr2vr) + (pi>e sin 9) = 0. C.27)
Чтобы получить выражения, отличающиеся только знаком, и
учитывая, что г не зависит от 9, находим
1 Э\|/
Ув~ prsine дг'
5. ВИХРЕВОЕ И БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЯ
Рассмотрим вращение элементарного объема жидкости,
вызванное деформациями, возникающими в процессе движения, под
действием приложенных сил.
Угловая скорость вращения элемента жидкости АхАу
относительно оси z может быть выражена через компоненты скорости и
и v и их производные по х и у, как показано на рис. 3.4. Считая
положительным по знаку вращение против часовой стрелки,
находим, что скорость вращения для стороны Ах равна
v + (dv/dx)Ax-v _ dv
Ах ~Эх'
Рис. 3.4, Схема для расчета вращения
элементарного объема

5. Вихревое и безвихревое движения 59
Для стороны Ду (вращение по часовой стрелке)
-\и + {ди/ду)Ау-и] _ ди
Ау ду
Полная угловая скорость вращения элемента жидкости
относительно оси z является средним арифметическим скоростей
вращения его сторон Ах и Ау , т. е.
Подобным же образом найдем
"z'2[dx dy\'
Результирующий вектор угловой скорости вращения
со = icox + jo&j, + kcoz =
= ^rotv= ^Vxv C.28)
называется вектором вихря скорости. Он характеризует вращение
элементарного объема среды как абсолютно твердого тела с
угловой скоростью
(? $ 01/2. C.29)
Такое движение называется вихревым. Вектор rot v, вдвое
больший вектора вихря скорости, называется вектором завихренности
или просто завихренностью ?. Компонентами завихренности
являются \9 ц и ?; каждый из них равен удвоенной величине
соответствующей компоненты угловой скорости вращения.
Если завихренность обращается в нуль во всех точках потока,
то поле скоростей движущейся среды и само течение называют
безвихревым. Поскольку вектор равен нулю в том случае, когда
равны нулю все его компоненты, то математическим выражением
отсутствия завихренности движения будут соотношения rot v = 0.
В декартовой системе координат они имеют вид
ди _ dv # ди _ dw m dv _ dw
ду дх dz дх dz ду

60 Глава HI. Кинематика жидкости и газа
В общем случае источником завихренности в металлургических
печах является поверхность разрыва скорости, т. е. такая
поверхность, по обе стороны которой скорости потока резко
различаются по величине. Чаще всего такие поверхности образуются при
обтекании тел с острыми кромками (прямоугольные или
шестиугольные заготовки в нагревательных печах и т. п.). Здесь на
поверхности разрыва скорости развиваются очень большие силы трения,
что приводит к заворачиванию струек в виде вихрей. В кормовой
части шара или цилиндра, обтекаемого потоком, скорость
которого превышает некоторое предельное значение, создается область
пониженного давления, сопровождающаяся образованием вихрей.
Следует обратить внимание на то обстоятельство, что частицы,
попавшие в вихревую область, долгое время находятся в ней,
поэтому в потоке горячих газов вихревая область имеет пониженную
температуру. Из этого не следует, что вихревые области всегда
являются вредными или нежелательными. Во многих случаях,
практически важных, они полезны и даже необходимы. Так, например,
при истечении жидкости в среду другой плотности (так
называемое затопленное истечение) на границе струи и среды также
образуется поверхность разрыва непрерывной функции скорости. Эта
поверхность распадается с образованием вихрей, что способствует
хорошему перемешиванию струи и среды.
Некоторые условия и закономерности вихреобразования будут
рассмотрены далее при исследовании пограничных слоев. Сейчас
отметим только, что вихри обязательно образуются при
преодолении потоком местных сопротивлений, например при резком
изменении направления потока, его поперечного сечения и т. д.
Вихри, как правило, не образуются внутри области движения.
Они либо вносятся в нее потоком, либо возникают на границах
течения, непроницаемых для жидкости. Поэтому, хотя в
металлургических печах имеется довольно много источников
вихреобразования, области вихревого движения, как правило,
сконцентрированы в местах ввода и вывода газового потока или на его границах.
В основной области течения, или, как еще говорят, в ядре потока,
движение можно считать безвихревым.
6. ПОТЕНЦИАЛ СКОРОСТИ
И ЕГО СВЯЗЬ С ФУНКЦИЕЙ ТОКА
Ранее безвихревое течение было определено как движение, в
котором компоненты угловой скорости равны нулю, поэтому
rotv = Vxv = 0n справедливы равенства C.30).

6. Потенциал скорости и его связь с функцией тока 61
С другой стороны, если ср (х, y,zj) является некоторой
скалярной функцией, имеющей непрерывные первую и вторую
производные, то из векторного анализа известно, что rot (grad ф) = V х (Уф) = 0.
В этом можно убедиться, если проделать необходимые операции
дифференцирования. Поэтому при безвихревом движении должна
существовать скалярная функция ф, градиент которой равен
вектору скорости v. Принято считать положительным то направление
течения, в котором эта скалярная функция уменьшается:
v = -V<p (*,;;,*, Г). C.31)
Поскольку отрицательный градиент ср равен вектору скорости,
функция ф называется потенциалом скорости, а безвихревое
течение часто называется потенциальным течением, В состоянии
безвихревого движения могут быть как сжимаемые, так и
несжимаемые жидкости, и функция потенциала скорости будет
существовать в каждом из этих случаев.
Для течения несжимаемой жидкости, согласно уравнению
неразрывности, V • v = Эй / дх + dv / ду + dw / dz = 0. Следовательно,
V • (-Уф) = -V • (Уф) = -У2ф = 0. C.32)
Полученное уравнение является уравнением Лапласа, а
дифференциальный оператор У2 называется лапласианом и в
декартовых координатах имеет вид
V>9-?? + Jr? + ir?«O! C.33)
Эх ду dz
в цилиндрических, координатах
^ ^? . C.34)
^ + ? 0.
г2 Э62 dz2
Для двухмерного безвихревого течения несжимаемой
жидкости потенциал скорости ф и функция тока \|/ находятся в
определенной связи. Представляя выражение C.31) в проекциях на оси
декартовых координат, находим
Эф Эф /о осч
и = -г21; w = —г31. C.35)
Эх ду
Принимая во внимание выражения C.21), получаем
Эф_ Эу. Эф_Э\|/ ,
ду дх дх ду
Эти уравнения известны как условия Коши—Римана. Подставив
их в уравнение, выражающее отсутствие завихренности rot v = 0,

62 Глава III. Кинематика жидкости и газа
или для случая двухмерного движения ди/ду -dv/дх = 0,
находим, что
^ + Ц = 0, C.37)
Эх ду1
т. е. функция тока также удовлетворяет уравнению Лапласа.
Для двухмерного течения уравнение C.33) принимает вид,
аналогичный уравнению C.37). Таким образом, если течение
безвихревое, то обе функции (тока и потенциала скорости) являются
решениями уравнения Лапласа. В теории функций комплексного
переменного такие функции называются гармоническими или
аналитическими. В силу этого можно ввести комплексный потенциал
Ф(^) = <p(x,y) + i\\f(x,y), который будет аналитической функцией
комплексного переменного z = х + /у, а его производная d^/dz
определяет комплексную скорость d0/d z = —и + iv.
Следовательно, для изучения плоских безвихревых движений
несжимаемой жидкости можно широко пользоваться методами
теории функций комплексного переменного. При этом
комплексному потенциалу определенного вида соответствует некоторое
движение жидкости и, наоборот, каждое движение может быть
представлено некоторым комплексным потенциалом. Соответственно
можно поставить две задачи: 1) по заданному комплексному
потенциалу построить движение, т. е. найти ф, ц/, поле скоростей;
2) зная границы области движения и значение скорости на входе
в область, найти соответствующий комплексный потенциал, а
затем решить первую задачу. Практический интерес представляет
главным образом вторая задача, но в силу значительной сложное-,
ти ее решения в книге она рассматриваться не будет.
Поскольку ф и \|/ удовлетворяют уравнению Лапласа, то
функция тока и потенциал скорости могут взаимозаменяться. Кроме
того, если уравнение Лапласа является линейным, то
потенциальное течение может быть построено путем суперпозиции
(наложения) нескольких функций тока. В результате можно показать, что
Рис. 3.5. Гидродинамическая сетка
движения

6. Потенциал скорости и его связь с функцией тока
63
Рис. 3.6. Схема графического построения
гидродинамической сетки (пояснения
см. в тексте)
линии постоянных значений ф и \|/ образуют ортогональную сетку,
называемую иногда гидродинамической сеткой (рис.3.5).
Из уравнения линий тока получаем
dy I v
*l=^|V=const=-.
Вдоль линий постоянного потенциала скорости dtp = 0, значит
Отсюда
dy
Эх ду
Эф/Эх
l(p=const
Таким образом, угловые коэффициенты пересекающихся
линий (ф = const и \|/ = const) — обратные величины, что и является
признаком их ортогональности (перпендикулярности).
Любая линия тока может быть представлена как твердая стенка,
так как течение сквозь нее невозможно. Аналитическое решение
уравнения Лапласа для сложных граничных поверхностей
представляет большие трудности, поэтому в этих случаях решение
может быть получено графически — путем построения сетки
криволинейных квадратов. Сущность этого метода состоит в следующем.
Для любого двухмерного случая, когда нет отрыва потока от
границ, непроницаемые границы представляют собой предельные
линии тока, поэтому линии равного потенциала
(эквипотенциальные линии) должны образовывать с такими границами прямые
углы, как и со всеми линиями тока. Построение сетки течения
можно начать с нанесения семейства линий тока 1 (рис. 3.6),
используя границы в качестве «ориентиров». Следует располагать
линии тока так, чтобы элементарные расходы (приращения
расхода) между каждой парой соседних линий тока были одними и теми
же. Это можно сделать, начав построение из тех областей, где
скорости должны быть одинаковыми, а поэтому интервалы между
смежными линиями тока — равными. Затем надо нанести
семейство ортогональных эквипотенциальных линий 2, что следует делать,

64
Глава III. Кинематика жидкости и газа
начав с областей наибольшего искривления течения (в примере
течения, показанного на рис. 3.6 и характеризующего отвод
продуктов горения через канал из рабочего пространства печи, такая
область расположена у места с наибольшей кривизной стенки).
Эквипотенциальные линии следует стараться располагать так,
чтобы, пересекаясь с линиями тока, они образовали ячейки в виде
криволинейных квадратов. Для этого в каждой такой ячейке сетки
течения интервалы между линиями тока (An) и
эквипотенциальными линиями (As) должны быть примерно равны. Чтобы
получить приемлемую точность в зонах большой кривизны,
необходимо разбивать сетку в таких зонах на более мелкие ячейки, проводя
дополнительные линии тока и эквипотенциальные линии.
В процессе графического построения оба семейства линий
сетки течения следует поочередно выправлять, чтобы получить с
приемлемой степенью точности ортогональную сетку с
криволинейными квадратными ячейками. Результат полезно проверить, проводя
диагональные линии 3 через все квадраты в обоих направлениях.
Как известно, скорость между линиями тока обратно
пропорциональна расстоянию между ними (An). Градиент потенциала
обратно пропорционален интервалу (As) между
эквипотенциальными линиями. Таким образом, скорость v в некоторой точке
выражается через скорость v0 в другой точке следующим образом:
v = v0An01 An = v0As01 As = Aq / As, где Aq — расход жидкости между
соседними линиями тока. Таким образом, эта формула вполне
согласуется с тем утверждением теории потенциального течения,
согласно которому скорости пропорциональна градиенту потенциала.
'<'-'}?. Л Рассмотрим двухмерное течение,
линии тока которого изображены на
рис. 3.7. Жидкость приближается к
плоскости у = 0 в направлении,
противоположном у, в углу она делает поворот
и удаляется в направлении х. Такая
картина течения обычно имеет место
при резком изменении направления
движения потока в боровах и каналах
металлургических печей.
Рис. 3.7. Линии тока для двухмерного пек
тенциального течения вблизи угла при уД:
1 - 11; 2 - 9; 3 - 7; 4 - 5; 5 - 3; 6 - 1

6. Потенциал скорости и его связь с функцией тока 65
Из определения двухмерного течения следует, что и=и(х, у);
v = v(x,y)9 w = 0. Найдем потенциал скорости и распределение
скорости для соответствующего потенциального течения.
Прежде чем приступать к описанию движения жидкости во
всей этой полубесконечной области, ограничимся
рассмотрением области в непосредственной близости от угла, где потенциал
скорости ф можно разложить в ряд Тейлора вблизи начала
координат:
В качестве граничных условий потребуем, чтобы оси координат
были непроницаемы для потока, т. е. и = -Эф / Эх = 0 при х = О
и v = -Эф / ду = 0 при у = 0.
Это приводит к упрощению уравнения C.38)
ф(о>о) „(о,о)
Уравнение Лапласа должно быть повсюду справедливым, в
частности, в начале координат, поэтому
!^-ф@,0) = -iL9@,0) = k = const.
ду оХ
Поскольку потенциал скорости определяется с точностью до
произвольной постоянной и v = -grad (ф + С) = -Уф, то примем,
что ф@,0) = 0. Тогда уравнение C.38) можно представить в виде
..., C.39)
где к — временно неопределенная постоянная.
Соответствующими компонентами скорости будут
+ ... C.40)
+ ... C.41)
Чтобы отчетливо представить себе полученные результаты,
полезно рассчитать функцию тока и построить линии тока. Из
соотношений C.21) имеем и=Э\|//Эу и у = — Э\|//Эх Уравнения
5-3546

66 Глава III. Кинематика жидкости и газа
C.40), C.41) и C.21) позволяют с помощью линейного
интегрирования определить функцию тока как
C.42)
При интегрировании полагаем, что оси координат совпадают
с нулевой линией тока или, более точно, у = 0 при х = у = 0.
Линии тока, соответствующие разным значениям \|/Д,
показаны на рис. 3.7.
Первые слагаемые ряда потенциала скорости C.38) не в
состоянии описать действительное поведение течения на больших
расстояниях от его начала. Из уравнений C.40) и C.41) следует, что
значение скорости пропорционально расстоянию от начала
течения |v| = k |г|, поэтому поле течения не ограничено сверху. Это
подтверждает предположение, сделанное ранее при разложении
потенциала скорости в ряд Тейлора, о том, что полученные
уравнения описывают потенциальное течение в окрестности угла. По
той же причине (скорость потока на бесконечности
неограниченно велика) не представляется возможным определить в рамках
кинематики и постоянную к. Действительно, как следует из
соотношения C.42), эта постоянная характеризует объем потока
(расход), который при г -> °° также стремится к бесконечности, что
не соответствует физике течения.
Таким образом, рассмотренный метод решения (разложение ср
в ряд Тейлора вблизи начала координат) подразумевает, что
первые два слагаемых уравнения C.38) не могут дать единственного
решения потенциального течения для этого примера.
Действительно, нетрудно подобрать другое решение уравнения Лапласа,
удовлетворяющее сформулированным выше граничным условиям,
например выражение ф = -5ехр(х2 -y2)cosBxy). Преимуществом
этого решения для потенциального течения в окрестности угла
является то, что оно описывает течение вблизи критической точки
на плоскости у = 0, когда жидкость, приближающаяся к плоскости
в направлении, противоположном положительному направлению
у, отклоняется плоскостью у = 0, а затем движется в
положительном и отрицательном направлениях х. Это течение можно
интерпретировать как набегание струи на преграду — случай течения,
получивший в последнее время распространение в
металлургической практике в связи с методами струйного нагрева металла.
Несмотря на отмеченные выше недостатки потенциального
решения, оно имеет большую ценность для анализа процессов
теплообмена между потоком жидкости (газа) и твердой поверхностью

6. Потенциал скорости и его связь с функцией тока 67
(металлом или огнеупорной кладкой данной геометрии), так как
величина теплового потока определяется, главным образом, полем
скорости потока вблизи поверхности. Кроме того, данное решение
можно рассматривать как первое приближение к более строгому
решению, которое получают в процессе итерационного уточнения.
Как уже отмечалось ранее, в состоянии безвихревого движения
могут быть сжимаемые и несжимаемые жидкости.. Приведенные
выше соотношения характеризуют поток постоянной плотности.
Для течения сжимаемой жидкости (газа) уравнение C.31) остается
справедливым, хотя поля потенциала течения и функции тока
более не описываются уравнением Лапласа. В данном случае
уравнение для потенциала находится путем подстановки выражения
C.31) в уравнение неразрывности C.11):
_Э_| Эф|_л И 43)
Ы ' дх[гдх)' ду{гду)' dz( dz) '
а уравнение для функции тока — путем подстановки в выражение
ди/дх — dv/ду = О соотношений, полученных из уравнения
неразрывности для изохорического движения C.13), когда
1 Эф 1 Эф Э A Эф^ Э A Эф^\ л ,1 лл\
и = —- и v = -, то— —- +— —- =0. C.44)
р ау р Эх дх[р дх ] ау[р ду )
V у \ J
Для установившегося течения слагаемое Эр / Э/ в уравнении C.43)
равно нулю.
Нетрудно заметить, что уравнения C.43) и C.44) не могут быть
решены в рамках кинематики движения, так как р в соответствии
с уравнением состояния определяется температурой и давлением,
т. е. термодинамическими и динамическими (силовыми)
величинами. Следовательно, для решения задач по отысканию полей
скоростей и давлений должны быть использованы уравнения
движения жидкости, характеризующие закон сохранения импульса
(количества движения) потока.
Пример 3.2. Исследуем закономерности потенциального течения,
описываемого выражением ф = —ехр(х2 — у1) cosBxy). Поскольку процедура
анализа подробно описана выше, то здесь мы просто приведем результат
решения данной задачи в рамках пакета Maple 7.
Г> phi:=-exp(xA2-yA2)*cosB*x*y);
Г> V:=-diff(phi,x),
L U = 2хе^х ' cos Bху) - 2е" У ' sin Bxy) у

68
Глава Ш. Кинематика жидкости и газа
V:=-diff(phi,y);
[Х2Л\ (Х2 V2\
V = -2уек ' cos Bху) - 2е[ ' sin Bху) х
q:=sqrt(lT2+VA2);
cos
^sinBjcv)jc
simplify(%);
x)+diff(V,y);
p> diff(U,
psi:=int(U,y);
Ix2-y2)
1 + tan (xy)
В рамках данного пакета легко выполняются операции
дифференцирования и интегрирования. Следует обратить внимание на то
обстоятельство, что здесь выполнена проверка на соответствие исследуемой функции
уравнению Лапласа (шестая команда сверху). Только после такой проверки
можно выполнять дальнейшее исследование задачи. Это исследование
состоит в построении линий тока процесса \|/ (рис. 3.8, 3.9), а также
распределения модуля скорости потока в пристенном пространстве q (рис. 3.10).
*> with(plots):
Warning, the name changecoods has been redefined
> contourplot (exp(xA2-yA2)*sinB*x*y), x=-3...3, y=0...0.5, grid=[15,15],
contours=[0.05,0.1,0.2,0.4,0.6,0.8,1,2,4,8,10,12], numpoints=4000);
0,4;
0,3
0,2;
0,1:
Рис. З.8. Распределение линий тока
при потенциальном обтекании
прямого угла
0
0,5 1 1,5 2 2,5
х

6. Потенциал скорости и его связь с функцией тока
69
> conto^lot(exp(xA2-yA2)*abs(sinB*x*y)), x=-2.5...2.5, y=0...0.5, grid=
15,15], contours=[0.05,0.1,0.2,0.4,0.6,0.8,1,2,4,8,10,12], numpoints=4000);
Рис. 3.9. Распределение линий
тока при набегании плоской
потенциальной струи на плоскость
(значения функции тока на
кривых изменяются так же, как и на
рис. 3.8)
-2 -1
> a:=diff(psi,y);
а = -ч
1 + tan (xyf
1 + tan (xyf
В данном случае (использование пакета Maple 7) привлекает
возможность проверки преобразований. Именно с целью проверки
правильности решения и задана последняя команда (а:=...). Учитывая известное
тригонометрическое соотношение
cos2(xy) — sin2(xy)
приходим к выводу о правильности исследуемого решения в
ограниченной области пространства (|х( < 3, у < 0,5).
> simplify(%)
е((*-'Хх+'й Bу tan (ху) - х + tan (xyf x)
1 + tan (xyf
\> сотоиф1ои2*5ЯЛ(ехрB*(хЛ2-уЛ2)*(хЛ2+уЛ2))), х=-1.5...1.5, grid=[15,15],
lcontours=[0.05,0.1,0.2,0.4,0.6,0.8,1,1.5], numpoints=4000);

70
Глава III. Кинематика жидкости и газа
Рис. 3.10. Линии равного значения
модуля скорости потока q при
набегании плоской потенциальной струи
на плоскость l—q: 1 — 0,05; 2—0,1;
3- 0,2; 4 - 0,4; 5 - 0,6; 6 - 0,8;.
7- 1,0;*- 1,5
Данный пример с максимальной наглядностью иллюстрирует
преимущества инженерной работы с использованием распространенных мате-
хматических пакетов и систем. Как можно видеть из изложенного выше,
данные пакеты (системы) избавляют инженера от выполнения не
свойственных ему математических операций и позволяют сконцентрировать свое
внимание именно на физических аспектах процесса.
7. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА КИНЕМАТИКИ
Из теоретической механики известно, что скорость любой
точки М твердого тела определяется геометрической суммой скорости
поступательного движения вместе с некоторым полюсом 0 и
скорости вращения вокруг мгновенной оси, проходящей через полюс 0:
v = v0 + со х г, C.45)
где со — угловая скорость вращения; г — радиус-вектор точки М.
Аналогичная теорема — основная теорема кинематики — имеет
место и для скорости движения жидких элементарных объемов.
Она гласит: скорость движения v любой тонки жидкой частицы
складывается из скорости квазитвердого движения v, и скорости
деформации уд:
V = V, + Уд.
Скорость квазитвердого движения, как следует из формулы
C.45), в свою очередь, складывается из поступательной скорости
и скорости вращения.
Пусть в некоторой точке Мо с координатами jc0, y0, Zq
компоненты скорости будут иметь значения uQ, vQ, w0. Используя
разложение в ряд Тейлора, можно найти компоненты скорости в точке

7. Основная теорема кинематики
71
М(х, у, z), расположенной в окрестности точки Л/о. С точностью до
величин первого порядка малости они будут равны
и = и0 + х,
C.46)
где xl=zx — xa,yl=y — y0,zi
уравнении C.46) величину
получим
= Z~ ?„• Прибавляя и вычитая в первом
I ox U *~\ dy ox L 21 dz ох \\
\(Ъи
l
l(dv
l
C.47)
Для дальнейших преобразований введем следующие обозначения:
1(ди ЭмЛ l(dv dw}
Тогда уравнение C.47) примет вид
и = щ + (ю^, - &zyx) + (euxl+e2lyl+e3lzl),
C.48)
а остальные два уравнения C.46) после аналогичных
преобразований можно записать в виде
v = у0 + (о)гх, - ю,г,) + (e2ix{ )
w = w0 + ((оху{ - (oyxt) + (е3,х
Поскольку г = Ц + j y} + k zv то
ю^г, - со^, = (юх г)х; согх, -
юху, - аус, =(а>хг)г.
e}3z,).
, = (сох г),;
C.49)

72
Глава III. Кинематика жидкости и газа
Введем функцию скорости деформации F, равную
F ^A + + е
Тогда
Используя выражения C.49) и C.50), окончательно получим
или, в векторном виде,
)z+
coxr + grad F,
где v0 — скорость поступательного движения; со х г — скорость
вращательного движения вокруг мгновенного центра тяжести со
скоростью со; grad jF— скорость чистой деформации.
Скорость деформации жидкой частицы в точке М можно
выразить через тензор скоростей деформаций
Е =
с компонентами
dXj дХ; V
C.51)
C.52)
где /, j = 1, 2, 3; хЛ = х\ х2 = у] хъ = ь
В дальнейшем будет показано, что диагональные элементы
матрицы тензора скоростей деформации еи характеризуют скорость
относительного удлинения (сжатия) жидких отрезков, внедиаго-
нальные элементы е.. — скорости перекосов элементарного объема
(угловую деформацию), а сумма еп + е22 + еъъ — относительное
изменение объема в единицу времени.

Глава IV
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ И ГАЗА
Динамические уравнения, описывающие движение жидкости
и газа, по существу, связаны с реакцией определенной части или
массы среды на приложенные к ней внешние воздействия. Они
являются следствием применения к бесконечно малому элементу
сплошной среды уравнения сохранения импульса (или количества
движения) и определяющего уравнения, выделяющего жидкость
или газ из общего класса сплошных сред. Однако особенности
«жидкости» (деформация даже под воздействием бесконечно малой
нагрузки) налагают на закономерности механики определенные
ограничения, и эти ограничения требуют специального изучения.
1. НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ
Если на тело действует система внешних сил, то компоненты
напряжений, действующих по шести граням элементарного
объема внутри тела с размерами сторон Ах, Ay, Az, могут быть
представлены так, как показано на рис. 4.1. Полное напряжение на
У h
Рис. 4.1. Схема напряжений в элементарном объеме

74 Глава IV. Уравнения движения жидкости и газа
элементарной площадке, перпендикулярной оси х, может быть
выражено через нормальное напряжение ох и два взаимно
ортогональных компонента касательного напряжения х^, и xxz.
Индекс при нормальном напряжении указывает направление
действия напряжения. Первый из индексов касательного напряжения
означает направление нормали к площадке, на которую оно
действует, а второй — направление его действия. Компонента
напряжения считается положительной, если положительно направленный
компонент силы действует на положительно ориентированную
площадку или отрицательно направленный компонент силы
действует на отрицательно ориентированную площадку.
Для общего описания напряженного состояния тела требуется
девять скалярных величин — по одному нормальному и двум
касательным напряжениям на каждой из трех взаимно ортогональных
площадок. Поскольку касательные напряжения, индексы которых
отличаются только порядком, равны между собой: х^ = хух;
xyz = т^; xxz = х^ , то общее напряжение сводится к шести
скалярным компонентам.
В математическом плане величины напряжений определяются
теми физическими определениями, которые мы рассматривали
ранее, анализируя статику жидкости, а именно:
,¦ А/; ,. AF AF.
ах = km —-; х^ = km —-; xxz = km —- и т# п. D.1)
В этих определениях AFx, AFy, AFz — компоненты вектора силы AF,
действующей на элементарную площадку ASx.
Рассмотрим теперь компоненты деформации элемента под
действием приложенных напряжений (рис. 4.2).
Деформированное состояние любой непрерывной среды —
упругого твердого тела, жидкости или газа — может быть выражено
через компоненты деформаций удлинения и сдвига (или
линейных и угловых деформаций). От этих величин, в свою очередь,
можно перейти к скоростям линейных и угловых деформаций.
Дифференциальные соотношения для деформаций могут быть
выведены путем рассмотрения бесконечно малых деформаций
элемента сплошной среды следующим образом.
Рассмотрим малый элемент ОАВС недеформированного тела,
лежащий в плоскости ху, как показано на рис. 4.2. Под действием
системы внешних сил элемент принимает форму О'А'В'С. Если
координаты точки О перед деформацией были х, у, z, то после
деформации они становятся равными х+?, у +ц, z+t^.

7. Напряжения и деформации
75
х
Рис. 4.2. Напряжения и деформации (в двухмерном случае)
Относительная линейная деформация (по определению) равна
изменению длины стороны элемента, деленному на первоначальную
длину. Для обозначения относительной линейной деформации
используется символ е с индексом, который обозначает направление
деформации. Поэтому для точки О для направления jc имеем
Дх
О'С-ОС
ОС
Д*
{(Ах - Q + R + (%/ах)Ах]} - Ах
Эх
Повторяя эту операцию для двух других направлений,
получаем три относительные линейные деформации (деформации
удлинения):
* Эх
ду
dz
D.2)
Линейная деформация считается положительной, если элемент
при деформации удлиняется.
Деформация сдвига определяется как изменение угла между
двумя первоначально перпендикулярными элементарными площадками.
Деформация сдвига обозначается символом у с двумя индексами,
обозначающими направление ортогональных осей в плоскости
деформации. Так, для плоскости ху на рис 4.2 имеем
Y*, =
J Эх

76 Глава IV. Уравнения движения жидкости и газа
Повторяя ту же операцию для двух других направлений,
получаем три деформации сдвига (угловые деформации):
В вышеприведенных соотношениях смещение точки
(например, точки О) при деформации может быть представлено через
вектор смещения 8 = К; + jr| + k?. В этих обозначениях изменение
объема при деформации, отнесенное к величине первоначального
объема, известное как объемная деформация (или объемное
расширение), составит
D.4)
или, с учетом выражений D.2),
е = |1 + |П + |? = У8. D.5)
Эх ду dz
2. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ НАПРЯЖЕНИЯМИ
И СКОРОСТЯМИ ДЕФОРМАЦИЙ
ДЛЯ НЬЮТОНОВСКИХ ЖИДКОСТЕЙ
Ранее уже отмечалось, что напряжение в ньютоновских
жидкостях зависит от скорости изменения деформации во времени,
а не от самой деформации, как это имеет место для твердых тел.
Коэффициент пропорциональности между напряжениями и
скоростями деформации был назван коэффициентом молекулярной
динамической вязкости ц.
Очевидно, указанная зависимость будет иметь различный вид
для нормальных и касательных напряжений. Естественно
предполагать, что нормальные напряжения пропорциональны скорости
линейной деформации, в то время как касательные напряжения
должны быть пропорциональны скорости деформации сдвига.
Таким образом, учитывая, что линейная деформация по оси х
вызывается не только напряжением сх, но и другими
нормальными напряжениями, можно записать
Здесь а — так называемое среднее нормальное напряжение;
оно равно среднему арифметическому трех нормальных напряжений

2. Соотношения между напряжениями и скоростями деформаций 77
o = ±(ox + oy + oz). D.7)
Выражение D.6) представляет собой опытное соотношение
(экспериментальный закон Стокса). Перепишем его в несколько
иной форме:
Слагаемое dejdt представляет собой скорость линейной
деформации и, как это видно из выражения D.2), равно
дЦ_ди_
Величина Эе/Э/ выражает скорость объемной деформации
элемента жидкости. Тогда из формулы D.5)
После подстановки выражений D.9) и D.10) в
соотношение D.8) видим, что нормальное напряжение оказывается равным
ах = о + 2Л|^-|л^у). D.11)
Касательные напряжения, как уже отмечалось, должны быть
пропорциональны скорости деформации сдвига, т. е.
dt 'dt{dx ду
D
Теперь остается только ввести понятие давления р при его
применении в динамике вязкой жидкости. Обычно давление в
жидкости отождествляют с термодинамическим давлением (т. е. с величиной
давления /?, фигурирующей в уравнениях термодинамического
состояния вещества). Возникает вопрос, в каком соотношении
находятся термодинамическое давление и среднее нормальное
напряжение а. Этот вопрос может быть решен по-разному в двух случаях.
В первом случае используют предположение, которое
подтверждается экспериментами с несжимаемыми жидкостями, о том, что
вязкие эффекты могут быть представлены полностью через коэффициент
вязкости т|, связывающий касательные напряжения и скорости

78 Глава IV, Уравнения движения жидкости и газа
угловой деформации. Это — случай полной аналогии с
уравнениями для упругих твердых тел, и мы принимаем
5 = -Р = з (°* + су + °«)- D13>
Отрицательный знак берется для того, чтобы давление было
положительной величиной в сжатой жидкости. Можно полагать,
что выражение D.13) применимо как к несжимаемым жидкостям,
так и в других случаях с нулевой объемной деформацией.
Второй вариант решения поставленного вопроса заключается
в том, чтобы использовать экспериментальные данные об
эффектах, сопутствующих объемной деформации в случае сжимаемых
капельных жидкостей и газов. Чтобы дать объяснение этим
эффектам, а в выражении D.11) можно представить как сумму
термодинамического давления р и некоторого слагаемого,
содержащего второй коэффициент вязкости. Для изотропной среды эту
сумму можно записать так:
g = -/> + ti'(Vv), D.14)
где г|' — второй коэффициент вязкости, связанный
исключительно с объемной деформацией. Таким образом,
Считается, что последнее слагаемое правой части D.15) важно
только в случаях, когда скорость изменения объема (V • v)
становится очень большой. Однако это заключение не имеет под собой
твердого обоснования. В литературе опубликованы два обзора,
посвященных выражениям D.11) и D.15), авторы которых делают
вывод, что почти все экспериментальные измерения на
сегодняшний день указывают на соизмеримость первого и второго
коэффициентов вязкости, а для многих жидкостей ц' по значению на
порядок больше, чем т|. Тем не менее в инженерных расчетах
принимают, что термодинамическое давление равно среднему
значению нормальных напряжений.
Следовательно, при данных допущениях соотношения между
напряжениями и скоростями деформации можно представить для
нормальных напряжений в виде
+ 2 — --<
Р ^дх 3
^fii(Vv); D.16)
ay j
dw 2
— --

3. Уравнения баланса импульса 79
в то время как касательные напряжения пропорциональны
скорости деформации сдвига (угловой деформации):
Эй ди_
Эх ду
D.17)
(dw ди
Соотношения D.16) и D.17) называются определяющими
уравнениями ньютоновской жидкости. Иногда их называют
реологическими соотношениями, хотя последнее определение нельзя
признать точным.
Соотношения D.16) показывают, что, вообще говоря,
нормальное напряжение в том или ином направлении не равно среднему
из трех взаимно ортогональных нормальных напряжений в точке,
если только вязкие эффекты не равны нулю или если жидкость не
находится в покое.
В случае движения невязкой (идеальной) жидкости (г\ = О,
р = const)
То же самое справедливо для любой жидкости, находящейся в
состоянии равновесия, о котором говорилось выше.
Следует отметить, что хотя величина р фигурирует как в
соотношениях D.16), так и в соотношении D.18), физический смысл
ее различен. В определяющем уравнении сжимаемой жидкости под
р понимается термодинамическое давление, в то время как для
несжимаемых жидкостей термодинамическое давление —
величина неопределимая, поскольку термодинамическое уравнение
состояния не может быть разрешено относительно давления. В этом
случае р необходимо рассматривать как среднее давление —
самостоятельную неизвестную механической природы.
3. УРАВНЕНИЯ БАЛАНСА ИМПУЛЬСА
При записи уравнения баланса импульса (количества
движения) следует выбрать систему, к которой применяют принцип
сохранения этой величины. Система может иметь конечные размеры,

80 Глава IV. Уравнения движения жидкости и газа
и в этом случае получают интегральные уравнения баланса.
Однако особенно удобная форма этих уравнений получается в том
случае, когда в качестве такой системы выбирают малый объем,
окружающий рассматриваемую точку сплошной среды.
Уравнения баланса тогда записывают в дифференциальной форме.
Принцип сохранения импульса может быть схематично
записан в виде
(чистый приток импульса в систему) +
+ (сумма всех поверхностных сил, действующих на систему) + D 19)
+ (сумма всех объемных сил, действующих на систему) =
= (скорость возрастания импульса системы).
Более привычной является формулировка этого принципа
(закона): произведение массы тела на его ускорение равно сумме всех
сил, действующих на тело, т. е.
Как указывалось выше, на элементарный объем
(параллелепипед) жидкости действуют гравитационные силы, три компоненты
нормальных напряжений сД и шесть компонентов касательных
напряжений т,.Д. Учитывая соглашение об индексах
компонентов касательных напряжений, находим, что в направлении оси jc
действуют следующие из них: %ух, хух, х^, т^. Первые две величины
действуют на площадку, нормаль к которой совпадает с
направлением оси у, т. е. на площадку dxdz> вторые две — на площадку dxdy.
Выразим напряжения со штрихами через таковые без штрихов,
используя для этого разложение функции в ряд Тейлора по
направлению изменения. Например, касательное напряжение,
действующее на площадку dxdy, изменяется в направлении оси z от
V ДО <,.
Следовательно,
oZ
Аналогично
Для других напряжений имеем
Эс. , , Эа„ до
. , , Эа„ до. ,
7 ' °у = °у + ~Э)Г У' °< = С< +~д^ Z'

J. Уравнения баланса импульса
Теперь легко составить баланс сил, действующих на ось х:
= pgxdxdydz - oxdydz + (fx dydz - i^dxdz + i'yxdxdz - x^
= pgxdxdydz - o^tfe +1 ax + —^ \dydz -
- t^dxdy +1 x^ + —^- dbtrfy = paxdxdydz. D.20)
После упрощений, разделив это выражение на объем
параллелепипеда, получим уравнение
Подобным же образом для направлений у и z находим
уравнения баланса импульса, записанные в декартовой системе
координат: ^
D.22)
= paz.
В инженерной практике при анализе одномерного
установившегося течения (движения в трубах и каналах) часто вместо
уравнения D.22) используют уравнение импульсов Эйлера, согласно
которому приращение количества движения системы
материальных точек на каком-либо элементарном перемещении равно
импульсу всех внешних сил, действовавших на точки системы за
время этого перемещения:
m(V2 - Vx) = P + Т + G + Rt, D.23)
где V — скорость потока; Р, Т — главные векторы нормальных
и касательных сил, приложенных к элементарным площадкам
контрольной поверхности со стороны частиц окружающей среды; G —
главный вектор массовых сил; RT— реакция твердых тел, если
таковые имеются, с которыми соприкасается контрольная поверхность;
индексы 1 и 2 обозначают начальный и конечный момент
интервала времени At или левое и правое сечение контрольного объема.

82 Глава IV. Уравнения движения жидкости и газа
В общем случае P = jpdS, T=\xdS, где /?,х — давление
s s
и касательное напряжение, а интегралы берутся по участкам
контрольной поверхности, соприкасающимся с окружающей средой.
4. УРАВНЕНИЯ НАВЬЕ-СТОКСА
Уравнения D.21), D.22) являются достаточно общими и при-
ложимы к любым жидкостям, находящимся под воздействием
гравитационных массовых сил. Чтобы получить уравнение движения
ньютоновских жидкостей, необходимо использовать уравнения
D.16), D.17). Подставляя их для нормальных и касательных
напряжений в систему D.21), D.22), после элементарных
преобразований получаем
du
dw
D-24>
Эта система представляет собой уравнения движения
сжимаемой жидкости с переменной вязкостью. При решении задач
динамики жидкости их необходимо дополнять уравнением
неразрывности либо в форме C.11), либо в эквивалентной форме
уравнения C.12).
Поскольку в сжимаемой жидкости неизвестными являются не
только скорость и давление, но и такие физические свойства, как
плотность и вязкость, то для замкнутости системы уравнений
необходимо ввести еще два соотношения: термодинамическое уравнение

4. Уравнения Навье—Стокса 83
состояния и связь вязкости с температурой. Если изменение
температуры потока невелико, то выполняется предположение о
постоянной вязкости, которую определяют для средней температуры
жидкости. В этом случае для сжимаемой жидкости из первого
уравнения системы D.24) имеем
du dp _ д2и 2 Э
dp (д2и д2и д2и) (д2и Э2и Э2мЛ 2 Э /V7 ч
Предпоследнее слагаемое первой части, переписав иначе:
2и d2v d2w) д (ди
J4
можно получить выражения уравнений Навье—Стокса, записанные
в декартовых координатах для сжимаемой жидкости с постоянной
вязкостью:
др (д2и д2и д2и] 1 Э m ч du
р8+ц1+ + ц^) р'
Вводя дифференциальный оператор Лапласа V2 и вычисляя
ускорение в соответствии с выражением C.7), находим, что
уравнения D.25) в векторной форме примут вид
+ (vV)vl pgVp + ^Vv + ^V(Vv). D.26)
Для несжимаемой жидкости V • v = 0, поэтому уравнение D.26)
упрощается:
р fc + (v • V) vj = pg - Vp + л V2 v. D.27)
Уравнение D.27) впервые было выведено в 1845 г. Г. Стоксом
и названо его именем.

84 Глава IV. Уравнения движения жидкости и газа
Для невязкой жидкости (л = 0) после деления уравнения D.27)
на р получим уравнение движения Эйлера
— + (v • V) v = g - V/? / p. D.28)
Обозначив высоту положения точки А, отсчитываемую в
вертикальном направлении, представим компоненты ускорения силы
тяжести:
ЭА. =_ ЭА. = _ ЭА
х дх' у ду' z dz9
ИЛИ
g = -gVA.
В частном случае, если оси декартовой системы координат
расположены так, что А и г совпадают, то gx = gy = 0; gz= -g. Знак
минус появляется здесь потому, что сила тяжести направлена в
сторону отрицательных значений А.
Для удобства использования выпишем уравнения Навье—Сто-
кса для несжимаемой жидкости в декартовых координатах,
подставив компоненты ускорений в соответствии с уравнением C.6):
Эй ди ди ди _ ЭА 1 др Х\(д2и д2и д2и\
1 Эр T\(d2V Э2У d2v\ /л «>q\
^l + -i + + ; D.29)
рЭу р^Эх2 djr dz J
dv dv dv dv ЭА
— + w— + u— + w— = ~g-
dt dx dy dz by
dw dw dw dw Э
В случае течения несжимаемой жидкости под действием силы
тяжести и изотермических условий движения в уравнениях
движения имеются всего четыре зависимые переменные: и, и, w и р,
подлежащие определению. Следовательно, трех уравнений
движения и уравнения неразрывности достаточно, чтобы получить
решение при заданных граничных условиях. Неизвестные
величины, входящие в указанную систему уравнений, должны
удовлетворять как кинематическим, так и физическим граничным условиям.
Кинематические условия заключаются в том, что скорости,
нормальные к любой твердой поверхности или стенке, должны быть
равны скорости этой стенки (в частности, равны нулю, если
стенка неподвижна). Физическое условие является следствием
свойства любой реальной жидкости (которая может рассматриваться

4. Уравнения Навье—Стокса 85
как континуум) «прилипать» к твердой поверхности. Результатом
этого является условие прилипания для касательных компонент
скорости на стенке. Следовательно, как нормальные, так и
касательные компоненты относительной скорости (скорость, отсчитываемая
относительно стенки) обращаются в нуль на поверхности стенки.
Общее решение уравнений Навье—Стокса, которые являются
нелинейными дифференциальными уравнениями второго
порядка в частных производных, до сих пор еще не найдено. Однако
можно получить много частных решений, вводя различные
упрощения. Одна из основных целей первичного курса механики
жидкости — развить «чутье» к выбору надлежащего приближения для
решений той или иной инженерной задачи.
Во многих случаях удобно применять не декартову, а другие
координатные системы. Так, например, анализ осесимметричного
течения в круглых трубах целесообразно проводить на основе
следующих уравнений, записанных в цилиндрической системе
координат (г, z) для компонент скорости vr и 1>г:
p riL+i; -IiL+у П? \ = pg -^ + ii~A +—f ; D.30)
В рабочем пространстве металлургических печей, в особенности
при факельном способе отопления, движение газов носит
преимущественно вихревой характер, поэтому целесообразно
преобразовать уравнения Навье—Стокса таким образом, чтобы они
непосредственно включали характеристики завихренности потока.
Рассмотрим с этих позиций левую часть первого уравнения
системы D.29)
ди ди ди ди ди (ди dv\ (ди ЗиЛ ди
х dt Эх ду dz bt \ду дх) [dz дх) дх
dv dW dU 1 Э / 2 2 24/W \
+иЭ^ + И;э7=э7+2^(И +V +") + 2И,-<,сог).
Здесь использованы соотношения для компонент вектора вихря
скорости со.

86 Глава IV. Уравнения движения жидкости и газа
Второе слагаемое правой части этого выражения представляет
собой производную модуля вектора скорости q, а последнее —
проекцию на ось х векторного произведения ротора скорости и
вектора скорости потока, т. е.
2 (w(oy - исог) = (rot v х \)х.
Тогда в векторной форме можно записать
a = -^ + rotvxv + -grad (q2)-
ot 2
Подставив это выражение в уравнение D.26), находим
P?-V/?4^V2v + |tiA(V.v). D.31)
+ rotvxv + v
Аналогично для уравнений Навье—Стокса получаем, что
^ + rotvxv + vU + itf2+g/*)=vV2v. D.32)
dt (^p 2 J
Эти уравнения называются уравнениями Навье—Стокса в фор-
ме Громека—Лэмба.
5. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
НАВЬЕ-СТОКСА
Хотя решение уравнений Навье—Стокса, взятых в общем виде,
получить и нелегко, тем не менее имеется большое число
различных задач динамики вязкой жидкости, в которых некоторые
члены этих уравнений пренебрежимо малы или равны нулю.
Примерами таких задач могут служить случаи анализа закономерностей
установившегося ламинарного течения несжимаемой,жидкости
в щелях и каналах постоянного поперечного сечения.
Характерные особенности такого рода течений — стационарность и
равномерность (параллельноструйчатость), вследствие чего как
локальные, так и конвективные ускорения жидкости оказываются
равными нулю. Это обстоятельство (равенство нулю ускорения
потока) существенно упрощает математическое описание
движения, трансформируя уравнения Навье—Стокса в линейные
дифференциальные уравнения, которые можно решить аналитически.
Ламинарное течение менаду параллельными пластинами.
Рассмотрим двухмерное установившееся ламинарное течение
несжимаемой жидкости между параллельными пластинами в случае, когда
верхняя пластина движется со скоростью U в направлении оси х
по отношению к нижней пластине (рис. 4.3).

5. Примеры решения уравнений Навье—Стокса
87
Рис. 4.3. Схема течения между
параллельными пластинами (в щели)
U
Пусть ось z перпендикулярна пластинам. Для двухмерного
течения можно предположить, что скорость v и все производные по
у равны нулю. Примем ось z совпадающей с вертикальным
направлением А, тогда в уравнениях D.29) ЭА/Эх = 0, a dh/dz =1. При
параллельном движении, направленном вдоль оси х, скорость w
равна нулю. Из уравнения неразрывности следует, что Эй/Эх = О
при всех х, поэтому д2и /Эх2 = 0, т. е. и является функцией только г.
При этих условиях уравнения движения для направлений х и z
принимают вид
-рэ^э?" = (); D33)
D.34)
Из уравнения D.34) легко найти
D.35)
Согласно выражению D.35), др/дх =Э/(х)/Эх, т. е. не зависит от z
и, следовательно, может быть записано как dp/dx. С учетом этого
уравнения выражение D.33) можно дважды проинтегрировать по z
и получить (dp/dx)(z2/2) = ци + Cxz + C2. Используя фаничное
условие и = 0 при z = 0, находим, что С2 = 0; так как и = f/при ^ = а, то
следовательно,
2r\
D.36)
Если dp/dx = 0, то течение называется течением Куэтта и
распределение скоростей имеет вид и— U z/a. Это выражение
является теоретической основой создания ряда приборов, позволяющих
измерить вязкость жидкости.

88 Глава IV. Уравнения движения жидкости и газа
Если U= О, получаем параллельноструйное течение Пуазейля,
и распределение скоростей является параболическим, т. е.
M = _?i^fl_ll D.37)
2т| dx { а)
а максимальное значение скорости достигается при z —a /2 и
составляет величину wmax = -(a2 /Svi)(dp/dx).
Средняя скорость потока
J«fcf?1)*lf#- ,4.38)
F aJ0 2i\dxJ0 у a) I2r\dx
тогда коэффициент усреднения скорости кх = V /итях =2/3.
Средняя скорость потока К является основной величиной,
используемой в технических расчетах. Это связано с тем, что расход
потока Q обычно измеряется специальными
контрольно-измерительными приборами, а геометрические размеры канала известны
заранее. Следует подчеркнуть, однако, что при использовании
средней расходной скорости в расчетах могут быть допущены
весьма серьезные ошибки, поэтому к результатам таких расчетов
следует относиться с осторожностью.
Например, при использовании средней скорости для
вычисления кинетической энергии потока находим
где М — массовый расход потока.
С другой стороны, действительная кинетическая энергия
потока
1 ° 1 аъ(йрЯ\ з(. г
a1 (dpi
iW DJ9)
т. е. действительная кинетическая энергия больше.
Отношение действительной кинетической энергии потока к
кинетической энергии, рассчитанной по средней скорости, обозначается через аэ
и называется коэффициентом кинетической энергии, или
коэффициентом Кориолиса. Для данного случая осэ = Е/Еср= 3456/2240 = 1,543.
Аналогично обстоит дело с вычислением количества движения
потока. Используя для расчета этой величины среднюю скорость V,

5. Примеры решения уравнений Навье—Стокса 89
находим
В то же время действительное значение импульса равно
Отношение количества движения потока к количеству
движения, рассчитанному по средней скорости, обозначается а0 и
называется коррективом количества движения, или коэффициентом Бус-
синеска. Для течения в щели а0 = / / /ср = 144/120 = 1,2.
Таким образом, при вычислении интегральных характеристик
движущейся жидкости с использованием среднерасходной
скорости потока для получения правильного результата следует
учитывать соответствующие коррективы (ссэ или а0).
При выполнении инженерных расчетов часто бывает удобно
выражать количество движения и кинетическую энергию потока
через скорость на его оси итах или и^, так как последнюю можно
легко найти экспериментально. Чтобы интегральные
характеристики течения при этом соответствовали действительному
профилю скорости, обычно вводят коэффициенты усреднения скоростей.
Так, при вычислении импульса потока используют коэффициент
усреднения к2 =и/иось9 где условная средняя скорость и
находится из соотношения / = MwOCb/:2 = Ми, т. е. п = / / М. Раскрывая
содержание М (М = pa V) и используя D.38) и D.40), для движения
в щели находим
_= pa5(dp/dx) 12ц = a2 dp
U 120л2 paa2(dp/dx) 10r\dx'
тогда
и _a2(dp/dx) 8л _ftp
2 ~^~ ГМ
Можно заметить, что значение и находится в промежутке
между Ки и^, а коэффициент к2 связан с коэффициентом Буссинес-
ка а0 соотношением о^ =к2/кх.
Третий коэффициент усреднения скорости вводится при
расчете кинетической энергии потока соотношениями къ =и/иосъ\
Е = 1/2 Ми^к2 и однозначно выражается через коэффициент Ко-
риолиса аэ = к] /к2. В данном случае къ = ^аэк2 = B/3)^/1,543 =
= 0,828, а условная скорость и = —(a2/9,66)(dp/dx).

90 Глава IV. Уравнения движения жидкости и газа
Найдем касательные напряжения, действующие в потоке.
В общем случае двухмерного движения х^= y\[(du/bz) + (dw/dx)], но
w = 0, поэтому
* %dz 2dx\
Таким образом, касательное напряжение вдоль координаты z
изменяется по линейному закону. Максимального значения оно
достигает на стенках, т. е. т0 = —0,5a(dp/dx).
Используя уравнение D.38), можно выразить касательное
напряжение на стенках через среднюю скорость потока. В самом
деле, -dp/dx = 12/(я2К), тогда т0 = (а/2)[12ц/(а2У)] = 6ц/(аУ).
Отношение касательного напряжения на стенке к
кинетической энергии потока, рассчитанной по средней скорости,
обозначается cf и называется локальным или местным коэффициентом
трения.
Для данного случая — течения щели:
6лК 2 12 12
a pV2 рУа/ц Яещ
где Яещ =
В технической литературе преимущественное распространение
получил другой коэффициент, характеризующий трение в
движущемся потоке жидкости и газа. Он называется гидравлическим
коэффициентом трения и вводится соотношением Ар = X(L/d)(p К2/2),
где L — длина канала, a d — характерный размер канала. Для
движения жидкости в щели (между параллельными пластинами)
таким размером является ширина щели а.
Таким образом, коэффициент X характеризует уменьшение
(потери) давления в результате трения потока о стенки канала, а также
внутреннего трения, выраженное в долях от кинетической
энергии единицы объема потока, рассчитанной по его средней
скорости, и приходящееся на единицу длины канала с характерным
размером, равным единице.
Для случая движения жидкости между параллельными
пластинами dp/dx = —Ap/L. Используя полученные ранее результаты,
находим
dp/dx \2цУ 2 24Пгг 24 _
pF2/2 a2 pV2 pVa Rem f'
Ламинарное течение в круглой трубе постоянного диаметра.
Распределение скоростей для такого течения можно получить из уравнения

5. Примеры решения уравнений Навье—Стокса
91
движения в цилиндрических координатах D.30). Если направить
ось z вдоль оси трубы, то при параллельноструйном движении иг
всюду будет равной нулю. Компонента скорости vz и ее
производные не зависят от z (согласно уравнению неразрывности). В
рассматриваемом случае ось z, совпадающая с осью трубы, может
иметь произвольное направление и ее не следует смешивать с
вертикальными направлениями А. Из уравнений D.30) получим
D.41)
Также можно показать, что первый член в выражении D.41) не
зависит от г, тогда, введя обозначение Р = р + yh и дважды
интегрируя уравнение D.41) по г при граничных условиях г=0,
dvz /dr— 0, г = r0, vz = 0, найдем
ч2"
dP
D.42)
или, учитывая, что для трубы длиной L -(dP/d z) = (Ро — PL)/L,
Vz =
1- —
D.42а)
Таким образом, распределение скорости представляет собой
уравнение параболоида вращения. При г = О
 АТ> D.43)
4r| dz 4т| L
Объемный расход потока Q
2л г0
Q = J jvzrdrdQ =
)r° ¦ D.44)
о о
Уравнение D.44) часто называют законом Пуазейля.
Средняя расходная скорость потока
К = -Ц- = ~5_ — = -vzmx> D-45>
т. е. А:, = 0,5.
Найдем коэффициенты Кориолиса и Буссинеска, используя

92
Глава IV. Уравнения движения жидкости и газа
среднюю скорость,
С другой стороны,
Следовательно, аэ = 1024/512 = 2; а0 = 64/48 = 1,33.
Коэффициенты осреднения кг = а/, = D • 1)/C • 2) = 2/3 = 0,67;
К = 4a)m = BI/2/2 = 0,707.
Касательное напряжение, действующее в направлении сил оси z,
\z='
(УЪ/_ \sks- ¦ ОС/—
С -L Ь_ I — П —
поскольку vr= 0. Тогда уравнение D.41) можно записать в виде
A/r) d(rxrz/dr) = —dP/dz, откуда хгг = —(r/2)(dP/dz), т. е.
касательное напряжение изменяется линейно по радиусу.
На стенке трубы снова имеем максимальное касательное
напряжение х0 = {—rJ1)(dPldz) или, выражая dP/dz через среднюю
скорость, получим
- _го8т1„
Г
'о
Локальный коэффициент трения для течения в трубе:
т0 4цУ 2 = 8л = 16 = 16
рК2/2
r0
= = =
pK2 pVr0 pVD/ц Re
rae/) = 2ro;ReT = pro/Ti.
Гидравлический коэффициент трения
АР D
~ L РК2/2
2D = 64л = 64 = .
(D/2JpV2 pVD Re °f
Аналогичным образом решаются и другие задачи по
определению характеристик течения при ламинарном движении. Следует

5. Примеры решения уравнений Навье—Стокса
93
отметить, что аналитическому решению подлежат относительно
простые задачи, характеризующиеся отсутствием конвективных
ускорений потока. Число таких задач весьма ограниченно,
поэтому основным методом решения задач газодинамики в настоящее
время является численный метод (конечно-разностный или
аналогичный ему). Ниже мы приведем аналитическое решение
задачи нестационарного ламинарного течения среды в трубе
постоянного диаметра (начало течения в трубе) и пример использования
численного метода (метода конечных элементов) для решения
конкретной задачи.
Начало течения жидкости в трубе. Пусть в длинной трубе
кругового поперечного сечения жидкость находится в покое. В
момент времени / = 0 на концах трубы создается разность давлений,
которая затем поддерживается неизменной. Эта разность
давлений немедленно порождает градиент давления —d(p + yh)/dz во
всей жидкости, и жидкость приходит в движение. Течение все еще
ламинарное, поэтому конвективные ускорения по-прежнему
равны нулю, однако появляется локальное ускорение dv/dt.
Следовательно, уравнение движения, которому удовлетворяет скорость uz
вдоль оси трубы, имеет вид
дг
D.46)
Здесь, как и ранее, величина d(p + yh)/dz постоянна; обозначим ее
через G.
Граничные и начальные условия задачи можно записать
следующим образом:
vz = О при г = г0 для всех /,
vz = О при / = О для 0 < г < г0.
Мы уже знаем, каким будет профиль скорости в
установившемся режиме, а именно:
ч2"
Поэтому целесообразно искать не саму функцию скорости потока
при нестационарном течении vz(r9 /), а лишь поправку на
нестационарность. В связи с этим введем новую переменную
Ч2"
_
4л

94
Глава IV. Уравнения движения жидкости и газа
или
Тогда
vAr,t) = -W-
rlG
<- —
' дг
4ц
дг
1- ^
r
dr\ dr
dr[ dr
dW r2G
ц
Наконец,
D.47)
Так как dvjdt = —dlV/dt, то с учетом D.47) вместо уравнения
D.46) получаем
D.48)
где v = т|/р. Краевые условия в новых переменных принимают вид
г = r0, W— 0 для любых /;
Воспользуемся для решения уравнения D.48) методом
разделения переменных. Представим искомую функцию W(rJ) в виде
произведения двух функций
r, t) = R(r)
D.49)
где первая зависит лишь от радиуса, а вторая — от времени.
Подставив пробное решение D.49) в уравнение D.48), находим
dr J
или
1 dT(t)
vT(t) dt
1 1 dT dR(r)]
R(r)rdr[ dr |
Это равенство может выполняться лишь в том случае, когда
обе его части по отдельности равны одному и тому же постоянному

5. Примеры решения уравнений Навъе—Стокса
95
числу; обозначим его через —ц2. Тогда единое уравнение D.48)
распадается на два обыкновенных дифференциальных уравнения
1 d Г dR(r)l
\r—— \ =
rdry dr \
dTjt)
dt
или
D.50)
d2R(r) 1 dR{r)
dr r dr
Решение уравнения D.50) легко находится:
dT(t) .
T(t)
, lnT(t) = -v
lnC,
где С — постоянная интегрирования.
Уравнение D.51) известно из курса высшей математики как
уравнение Бесселя; его решение
где D — постоянная интегрирования, a J0(x) — функция Бесселя
первого рода нулевого порядка. Используя граничное условие
г=г0, И^=0 или г= г0, Дго) = О, получаем характеристическое
уравнение для отыскания ц:
Это уравнение имеет бесчисленное множество корней; ниже
представлены первые 10 из них. Последующие корни можно
найти по соотношению 5я+1 = 8Л + я.
п 1
5я 2,4048
п 6
б ....18,0711
2
5,5201
7
21,2116
3
8,6537
8
24,3525
4
11,7915
9
27,4935
5
14,9309
10
30,6346
Таким образом, общее решение уравнения D.48) имеет вид
W{r,t) =
в. f 1ехр(-62й Ц\
Здесь Ля = CDn. При / = 0 согласно начальному условию имеем
1- U-

96
Глава IV. Уравнения движения жидкости и газа
Это ряд Фурье—Бесселя. Его коэффициенты равны
4Л
8
53Я/,(8Й)
Тогда окончательное распределение скорости потока
D.52)
Распределение скорости по поперечному сечению трубы,
рассчитанное по этому уравнению, представлено на рис. 4.4.
Средняя по поперечному сечению скорость потока (средне-
расходная скорость) определяется выражением
D.53)
1-81 Fexp \-*l
Изменение этой скорости, выраженной в долях от максимального
значения установившегося профиля, во времени представлено
на рис. 4.5. Можно видеть, что стабилизированный режим
течения устанавливается уже при и//г02 > 1.
Как следует из формул,
а также данных рисунков,
вначале вся жидкость имеет
ускорение az = -G/p. Однако по
мере того как скорость
возрастает, тормозящее влияние
стенок распространяется все
дальше внутрь жидкости. Цент-
vz(r,t)
1
0,8
5
"з
2
1
V
ч
ч
0,6
0,4 ^п^-
0,2
ральная часть потока, скорость
которой возрастает во времени
как —Gt/p, сужается до тех пор,
пока при / порядка 2f
0,2 0,4 0,6 0,8 1г//о
Рис. 4.4. Течение на начальном
участке круглой трубы: 7— itf/r02 >1;
2- 0,05; J- ОД; 4-0,2; 5 -0,4;
6-0,75; 7-10

5. Примеры решения уравнений Навье—Стокса
97
Рис. 4.5. Изменение
относительной среднерасходной скорости во
времени
0,5
0,47
0,44
0,41
0,38
0,35
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 \vt/r\
Xl = 2,04048, влияние стенки не распространится на всю жидкость
и скорость на оси трубы не перестанет расти.
Представляет интерес оценка этого характерного времени. При
комнатной температуре для чистого сухого воздуха и для чистой
воды имеем соответственно и = 0,15 • 10~4 м2/с и v = 1,004 • 10~6м2/с
Если радиус трубы равен 0,1 м, то для воздуха
i.jfl-2
= 115,3с = 1,92 мин,
>* =
для воды
'* =
0,15-КГ4-5,783063
1 ¦ КГ2
1,004 КГ6-5,783063
= 1722,3 с =28,7 мин.
До сих пор все решения описывали безвихревое движение
среды. Как уже отмечалось ранее, в состоянии вихревого движения
могут находиться как ламинарные, так и турбулентные потоки.
Поскольку образование вихрей предполагает нарушение
сплошности потока, то совершенно ясно, что задачи описания вихревого
течения могут быть решены только численно. На рис. 4.6
представлены результаты такого решения, полученного методом
конечных элементов, для случая ламинарного движения жидкости
в канале переменной формы (размеры канала показаны на рисунке).
4м
2м
Рис. 4.6. Ламинарный поток в расширяющемся канале
7-3546

98 Глава IV. Уравнения движения жидкости и газа
На рис. 4.6 четко видна зона отрыва потока от границ канала,
а также зона образования вихрей. Конечно, это чисто качественная
иллюстрация; подробная количественная информация дается
другими формами численного решения, которые мы здесь не приводим.
6. УРАВНЕНИЕ (ТЕОРЕМА) БЕРНУЛЛИ
Рассмотренные выше решения уравнения Навье—Стокса
позволили установить закономерности ламинарного течения. Вместе
с тем имеется возможность на их основе выявить такие
особенности движения жидкости и газа, которые сохраняются при любом
режиме течения. Эти особенности связаны с законом сохранения
энергии потока и, следовательно, остаются справедливыми
независимо от конкретных условий движения жидкости и газа. Их
анализ позволяет получить дополнительно информацию о потоке, не
прибегая к детальному решению указанных уравнений. Примером
такого анализа может служить вывод уравнения, являющегося
математической формулировкой теоремы, известной как теорема
Бернулли.
Уравнение Бернулли для безвихревого течения. Если условия
безвихревого движения
Эи Эи. ди dw # dw dv
;
подставить в уравнение Навье—Стокса для несжимаемой
жидкости, то получим следующую систему уравнений:
(ди ди ди диЛ
[ dt дх ду dz )
dt дх дх дх
Удх dx+ll[dx[dxydx{dyydx(dz
при

6. Уравнение (теорема) Бернулли 99
Преобразуя выражение D.55), находим
2 v2 w2)\ Э д (ди dv
[ +
Тогда, согласно уравнению неразрывности
_ ди dv dw Л
ду ду dz
получаем
(ди д М21 Э , , ч
или
<4-56)
Для установившегося течения Эм / Э/ + Эй / dt + Эw / 3f = 0.
Вводя понятие функции Бернулли
Я = /> + рН- + уА, D.57)
умножая первое уравнение системы D.56) на dx, второе — на dy,
третье — на dz и складывая их, находим, что
дВ , дВ , дВ . ,п Л
— dx + —dy + —dz = dB = 0.
Эх ду dz
Отсюда получаем
В = р + р | v|2/ 2 + уА = const, D.58)
где р — статическое давление; р |v|2/ 2 — динамическое, или
скоростное давление; уА — геометрическое давление.
Уравнение D.58) составляет содержание теоремы Бернулли,
которая гласит: полное давление потока при стационарном
безвихревом движении жидкости, равное сумме статического, скоростного
и геометрического давлений, сохраняет свою величину во всей области

100 Глава IV. Уравнения движения жидкости и газа
движения. Обычно в литературе теорему Бернулли формулируют
по-иному. Разделив соотношение D.58) на вес единицы объема у,
имеем
- = # = ^ + М + A = const. D.59)
У у 2g
Отдельные слагаемые равенства D.59) имеют размерности длины
и называются соответственно: р/у— пьезометрической
(статической), |v|2/Bg) — скоростной (динамической) и Л — нивелирной
(геометрической) высотами; сумма этих высот Н называется
гидравлической высотой, или полным напором.
Выражение D.59) приводит к классической формулировке
теоремы Бернулли: при стационарном безвихревом движении
несжимаемой жидкости гидравлическая высота, равная сумме
пьезометрической, скоростной и геометрической высот, сохраняет постоянное
значение во всей области течения.
Сумма статического и геометрического напоров р/у + h
представляет собой потенциальную энергию жидкости весом 1 Н/м3,
а динамический напор |v|2 /Bg) — кинетическую энергию. Таким
образом, уравнение Бернулли является разновидностью закона
сохранения энергии, утверждающего, что сумма потенциальной
и кинетической энергий в процессе движения не изменяется.
Заметим, что при выводе уравнения Бернулли D.58) были
сделаны предположения, что жидкость является несжимаемой, а
течение — установившимся и безвихревым. Пока они выполняются
результат применим как к вязким, так и невязким жидкостям.
Единственное требование, предъявляемое к вязкости, состоит в том,
чтобы она была постоянной. Нет необходимости в каких-либо
дополнительных предположениях, так как «вязкие» члены
исключаются из-за того, что V • v = 0. Для вязких жидкостей градиенты
скорости всегда вызывают появление вязких напряжений, и
имеется всего лишь несколько специальных случаев, которые
совместимы с предположением о безвихревом течении. С другой
стороны, в первоначальном безвихревом течении (таком, например,
которое начинается из состояния покоя) вязкость вызывает
распространение завихренности, течение становится вихревым и
полный напор Н изменяется от точки к точке в поле течения.
Если на частицы жидкости действуют только сила тяжести
и давление (т. е. жидкость предполагается невязкой), то
безвихревое движение никогда не может стать вихревым. Грубо можно
считать, что течения, близкие к безвихревым, возникают в реальных
жидкостях, если главными силами, под действием которых
происходит движение, являются силы давления и тяготения.

6. Уравнение (теорема) Бернуши 101
С другой стороны, движение жидкости, вызываемое действием
касательных напряжений трения, должно быть вихревым, так как
эти напряжения возникают в вязкой жидкости лишь при наличии
поперечных градиентов скорости.
Современные достижения в механике жидкости связаны в
значительной степени с выяснением роли вязкости. Очевидно, что
предположение о том, что движение является безвихревым,
приводит к важным упрощениям в уравнениях движения. Это
допущение дает значительные преимущества при анализе большого числа
задач в гидродинамике, в которых вихревые характеристики
являются второстепенными. В некоторых других случаях можно считать,
что вихревое движение «сосредоточено» в тонком пограничном слое,
в то время как течение вне этого слоя может рассматриваться как
безвихревое. Этот тип течений будет детально разобран ниже.
Уравнение Бернулли для течения без трения. Выше уравнение
Бернулли было получено из уравнений Навье—Стокса для случая
безвихревого течения несжимаемой жидкости. Однако оно может
быть получено и в иных предположениях. Если пренебречь
эффектами трения (вязкостью) в уравнениях Навье—Стокса и
проинтегрировать уравнение Эйлера D.28) вдоль линии тока, то получим
следующее выражение, справедливое и для вихревого движения:
-g\Vhdr-\-Vpdr= \— dr+ f[(v-V)v]A. D.60)
Здесь dr — радиус-вектор точки на линии тока.
Интегрирование слагаемых левой части уравнения D.60) можно выполнить,
используя векторное соотношение Vr| • dr = ch\, где ti — любая
однозначная скалярная функция координат. Тогда выражение D.60)
можно переписать в виде
+ f^rfr+ f[(vV)v]dr + C(/) 0, D.61)
p J dt J
где C(t) — постоянная интегрирования. Второе слагаемое правой
части D.60) интегрируем, с учетом того, что
[(v • V)v] • dr = dt • [(v • V) v] = v • [(dr • V) v],
а также, что
поэтому

102 Глава IV. Уравнения движения жидкости и газа
Теперь выражение D.61) можно представить в виде
D.62)
Для установившегося течения Эу/Э/ = 0, а С = const. В этом
случае получаем важное соотношение, выполняющееся вдоль
линии тока и применимое также и к сжимаемой жидкости:
- + l|v|2+gA = const. D.63)
> 2
Это уравнение можно проинтегрировать, если жидкость баротроп-
на, т. е. если плотность ее может быть выражена как функция
давления.
Для несжимаемой жидкости плотность р является константой.
При этом после деления выражения D.63) на g получаем
р Ivl2 ,
21+ U_ + A = const. D.64)
Уравнение D.64) является уравнением Бернулли для
установившегося течения несжимаемой жидкости при отсутствии сил
трения. Постоянная С будет изменяться от одной линии тока к другой
в вихревом течении и будет постоянна во всем поле безвихревого
течения.
Заметим, что при внешнем сходстве уравнений D.59) и D.64)
между ними имеется существенное различие. Первое из
указанных уравнений справедливо для всего поля течения, если только
движение является безвихревым. Второе справедливо для любого
течения, но лишь вдоль линии тока.
Воспользовавшись значением средней расходной скорости
V= Q/F, для потока с конечным поперечным сечением уравнению
Бернулли можно придать вид
d V2
?- + осэ ?— + h = const. D.65)
Y 2g
На самом деле теорема Бернулли не означает ничего большего,
чем подтверждение сохранения энергии. Она настолько важна и
настолько проста, что целесообразно еще раз получить ее другим,
более наглядным способом.
Пусть пучок линий тока образует трубку тока (рис. 4.7, а).
Поскольку стенки трубки образуются линиями тока, то жидкость
через них не протекает. Обозначим площадь поперечного сечения

6. Уравнение (теорема) Бернуми
103
Рис. 4.7. Схема движения жидкости в трубке тока
на одном конце трубки через F{ , скорость жидкости — |v,|,
плотность — р,, а потенциальную энергию — ф,. Соответствующие
значения на другом конце трубки обозначим через Fv |v2|, р2 и ф2.
После короткого интервала времени At жидкость на одном конце
передвинется на расстояние \у{\ At, а жидкость на другом конце —
на расстояние |v21 At (см. рис. 4.7, б). Закон сохранения массы
требует, чтобы масса, которая вошла через Fv была равна массе,
которая вышла через Fr Изменение масс в этих двух концах должно
быть одинаковым, т. е.
Вычислим теперь работу, произведенную давлением в
жидкости. Работа, проведенная по перемещению жидкости, входящей со
стороны сечения Fv равна рх Fx|v,| д/, а в сечении F2— p2 F2\v2\ At •
Следовательно, полная работа, произведенная над жидкостью,
заключенной между Fx и Fv будет A^i|vi| А/"" А^Ы Д*> что
должно быть равно возрастанию энергии массы жидкости А/и, при
прохождении от Fxno F2 Другими словами,
-?,), D.67)
где Ех — энергия единицы массы жидкости в сечении Fx а Е2 —
энергия единицы массы в сечении F2
Энергию единицы массы жидкости можно записать в виде
Е = l/2|v|2 +<р + ы, где |v|2/2 — кинетическая энергия единицы
массы; ф = gh — потенциальная энергия; и — дополнительный
член, представляющий внутреннюю энергию массы жидкости.
Внутренняя энергия может соответствовать, например, тепловой
энергии сжимаемой жидкости или химической энергии. Все эти
величины могут изменяться от точки к точке. Воспользовавшись

104 Глава IV. Уравнения движения жидкости и газа
выражением для энергии, из уравнения D.67) получим
2\At 1 . |2 1, ,2
Так как Am = p F\\\ At, поэтому
А ^Ь|2 ^ Ы2 «2- D.67а)
р1 z p2 z
Выражение D.67) является еще одной формой уравнения Бер-
нулли, в которой появляется дополнительное слагаемое,
представляющее собой внутреннюю энергию. Если жидкость несжимаема,
то внутренняя энергия с обеих сторон одна и та же, и мы снова
убеждаемся в справедливости уравнения D.64) вдоль любой
линии тока.
Уравнение D.67) (при и = const) связывает статическое,
динамическое и геометрическое давления для всех точек одной и той
же трубки тока (струйки): сумма всех этих давлений должна быть
вдоль всей струйки постоянной. Увеличение или уменьшение
скорости, а поэтому и динамического давления в одном сечении
трубки тока по сравнению с другими сопровождается при
горизонтальном движении соответствующим уменьшением статического
давления. Если жидкость движется по горизонтальной трубе,
имеющей местное сужение (рис. 4.8), то согласно уравнению
неразрывности C.19) скорость в суженном сечении //-//больше, чем
в сечении /—/; следовательно, статическое давление в сечении
//—//должно быть меньше, чем в сечении /—/, т. е. при движении
жидкости в сужающемся участке трубы (конфузоре) динамическое
давление непрерывно возрастает, а статическое — уменьшается.
Характеризуя данную ситуацию, обычно говорят, что имеет место
переход статического давления в динамическое.
При перемещении потока от сечения II—IIк сечению III—III
скорость жидкости уменьшается, а статическое давление
возрастает (переход динамического давления в статическое). Поскольку
движущей силой горизонтальных течений является градиент
Рис. 4.8. Схема изменения статиче-
— ского давления при сужении и
расширении канала

6. Уравнение (теорема) Бернулли 105
давления, а при движении в расширяющейся трубе {диффузоре)
статическое давление по ходу потока возрастает, то в данном
случае весьма вероятно нарушение сплошности потока (отрыв его от
стенок канала).
Необходимо обратить внимание на то обстоятельство, что во
всех случаях вышеприведенного анализа условия на границе
потока не принимались во внимание. Полностью игнорировалась
также возможность изменения конфигурации потока. Все это, вместе
взятое, приводит к тому, что уравнение Бернулли становится
верным лишь для ограниченных объемов жидкости, достаточно
удаленных от границ течения (внешних или внутренних).
Чтобы расширить область применения уравнения Бернулли,
в технической литературе его используют в виде
р + — аэр V2 + pgh + Арп = const, D.68)
где Арп — потери давления в канале на преодоление сил трения
и различного рода других сопротивлений (так называемых
местных сопротивлений).
Выражение D.68) содержит абсолютное давление движущейся
среды. При исследовании работы металлургических печей и
агрегатов обычно используют контрольно-измерительные приборы,
которые дают показания не самого давления, а его отклонения от
атмосферного, т.е. относительного давления. Преобразуем
поэтому уравнение D.68) к виду, содержащему относительное давление.
Зависимость давления атмосферного воздуха от высоты
(расстояния) до поверхности земли, согласно уравнению B.8), имеет
вид рв = р0- pBgh. Прибавим и вычтем это выражение к левой
части уравнения D.68). После преобразований имеем
аР^2 + (Рр)?А + АА, = const -/>0 = const.
Обычно в технике предпочитают отсчитывать h сверху вниз.
Поэтому, изменяя знак у третьего слагаемого предыдущего
выражения, окончательно находим, что
р + — ссэр V2 - (рв - p)gh + Арп = const, D.69)
где р — относительное давление.
Необходимо отметить, что уравнение Бернулли в форме
уравнений D.69) или D.67) справедливо для изотермических условий.
Если температура жидкости по длине канала изменяется, то целе-

106
Глава IV, Уравнения движения жидкости и газа
сообразно использовать уравнение Бернулли в дифференциальной
форме:
l2 0. D.70)
Уравнения D.68)—D.70) показывают, что при горизонтальном
движении жидкости (геометрическое давление равно нулю) в
канале постоянного поперечного сечения (динамическое давление
неизменно) компенсация потерь давления на преодоление сил трения
и местных сопротивлений происходит за счет статического
давления. Заметим, что этот факт остается верным и в общем случае.
Рассмотрим теперь некоторые простые примеры, в которых
уравнение Бернулли позволяет сразу установить основные
характеристики потока. В силу приближенности уравнения Бернулли,
не содержащего слагаемого, характеризующего потери, результаты
этого рассмотрения, по необходимости, также носят
приближенный (качественный) характер. В ряде случаев делаются
специальные оговорки.
Истечение из отверстий. Рассмотрим истечение жидкости через
трубку, присоединенную к отверстию в стенке большого
резервуара (рис. 4.9). Высота положения уровня свободной поверхности
над центром отверстия Но постоянна. Пунктирные линии внутри
трубки указывают границы заметного влияния вязкости. Жидкость
у стенки должна иметь нулевую скорость, в то время как в
центральной части (ядре) течения скорость постоянна по сечению.
Если бы трубка была длинной, то зона действия вязкости
распространялась бы до осевой линии и более не выполнилось бы
предположение о пренебрежимо малом влиянии трения. Внутри
резервуара и в ядре потока в трубке течение определяется в
основном только действием сил давления и тяжести. Градиенты
скорости и действие сил вязкости здесь пренебрежимо малы. В связи
с этим, а также из-за того, что течение начинается из состояния
покоя, движение жидкости в этой области является безвихревым.
i
I.
\tttttf
-
Рис. 4.9. Схема истечения через
короткую трубку

6. Уравнение (теорема) Бернуми 107
Следовательно, мы можем использовать уравнение Бернулли либо
в форме D.59), либо в форме D.64). Написав уравнение Бернулли
для центральной линии тока между точками 0 и 1 и пренебрегая
скоростями в резервуаре, получаем
^ + /^+0 = ^ + /*,+^!. D.71)
Y У 2g
Если с целью упрощения принять окружающее атмосферное
давление рЯТ = 0, то давление на выходе из трубы рх= рат=0. В
точке 0 имеется лишь гидростатическое давление (скоростями в
резервуаре можно пренебречь), поэтому р0 = уН0, и равенство D.71)
принимает вид V2/ 2g = Но. При й0 = А, получаем формулу Тор-
ричелли
Ух=^2ёЩ. D.72)
Задача кажется простой, тем не менее определить полный
расход потока в трубе не представляется возможным, если не
пренебречь толщиной зоны влияния вязкости, тогда
nD2
D.73)
Точность этой формулы зависит от длины трубки L.
Отклонение (отличие) действительного расхода от
рассчитанного по выражению D.73) объясняется двумя факторами.
Во-первых, даже при короткой трубке (насадке), когда можно
пренебречь потерями напора на трение, существуют потери
другого вида (на местное сопротивление), которые изменяют величину
скорости, найденную по формуле Торричелли. Поэтому в эту
формулу обычно вводится поправка, называемая коэффициентом
скорости ф. При учете указанной поправки скорость истечения будет
Гх=ъ12ёЩ. D.74)
Величина ср изменяется в пределах 0,94 + 0,99 и может быть
найдена в справочниках по гидравлике.
Во-вторых, площадь поперечного сечения трубки не равна
площади поперечного сечения струи. Векторы скоростей частиц
жидкости в тот момент, когда струя вырывается из отверстия, не
параллельны друг другу, а имеют компонент, направленный к центру
потока, т.е. струя сужается. Пройдя небольшое расстояние, струя
перестает сжиматься, и частицы вновь движутся параллельно друг
другу. Таким образом, полный поток равен произведению скорости
на площадь именно в том месте, где сжатие струи прекратилось.

108
Глава IV. Уравнения движения жидкости и газа
На самом деле, если имеется круглое выходное отверстие с
острыми краями, то сечение струи сокращается до 62% площади
отверстия. Уменьшение эффективной площади выходного отверстия для
различных форм выходных труб разное, а его экспериментальное
значение можно найти в таблице коэффициентов сжатия
{истечения) в справочниках.
Таким образом, если коэффициент сжатия струи определить
как е = Fc/ F, где Fc — площадь поперечного сечения струи в
самом узком ее сечении, F — площадь отверстия, то для расхода
потока вместо формулы D.73) получаем
D.75)
Обычно произведение двух коэффициентов заменяют одним
коэффициентом расхода \i = eq>. Для разных типов выходных труб
ц изменяется от 0,5 до 0,98.
Измерение скорости с помощью трубки скоростного напора. Если
вязкость жидкости мала, то уравнение D.59) можно использовать
для вычисления скорости по давлению, измеренному в так
называемой «критической» точке (точке «торможения», или точке
нулевой скорости) на затупленном носике трубки зонда полного
напора, находящейся в установившемся потоке (рис. 4.10). В этой
точке, находящейся в центре затупленной оконечности зонда,
скорость потока обращается в нуль. В последующих точках по
поверхности трубки скорость будет расти и затем вновь падать, достигнув
на некотором удалении от носика скорости на бесконечности, т. е.
скорости, которая была бы в этом месте при отсутствии трубки.
i
i -"
О
2
I
J
\Рг J
V//////Y//.
ч_
Ф
, I
к 3d J_ 8...9б _
Г
X
Рис. 4.10. Трубка Пито—Прандтля

6. Уравнение (теорема) Бернулли
109
V
Рис. 4.11. Схема измерений трубкой Пито
3?
Уравнение Бернулли для двух сечений 1—1 к О—О нулевой
линии тока будет иметь вид
д+!?+ h
Р 2 ]
Поскольку Vo = 0 и h{ = Ао, то скорость
1 =
D.76)
Полное давление р0 может быть определено в случае, если
в критической точке проделать отверстие и тонкой трубочкой
соединить его с микроманометром. Давление рх определяют с
помощью щели или нескольких отверстий, размещенных в сечении
2 —2, в котором величина скорости из-за подтормаживающего
влияния ножки трубки равна скорости Vv Из уравнения Бернулли,
записанного для сечений 1—1 и 2—2 (см. рис. 4.10), видно, что
Р2 = рг Отверстия в сечении 2—2 часто называют статическими.
Можно давление рг измерить и отдельной трубкой, расположив ее
плотно в сечении измерения полного напора со стенкой канала.
Впервые трубки для измерения скорости потока воды в р. Сене
были применены в 1732 г. французским ученым Анри Пито. Он
показал, что обычная стеклянная трубка, опущенная в поток
(рис. 4.11), позволяет определить полный напор и величину
скорости. Поэтому часто трубки, имеющие одно отверстие, называют
трубками Пито. Трубки с отверстием в критической точке и
статическими отверстиями называют трубками Пито—Прандтля.
Гидродинамическое воздействие потока. Уравнение Бернулли дает
возможность не только определить среднюю (или локальную)
скорость по результатам измерения давлений. Возможно и решение
обратной задачи, т. е. оценка силового воздействия потока на
расположенные в нем твердые тела по данным о полях скоростей.
Задачи такого рода часто возникают при изучении вопросов пыле-
газоочистки, например, акустической коагуляции, движения
частиц шихты в шлаке и стали и т. п.

по
Глава IV. Уравнения движения жидкости и газа
Рис. 4.12. Схема течения между полуци-
О\ линдрическими поверхностями
Рассмотрим в качестве примера систему, состоящую из двух
полуцилиндрических поверхностей длиной 1=0,5 Rn радиусом R,
которая продувается потоком газа, имеющим в наиболее узком
сечении скорость Vm (рис. 4.12). Очевидно, что вследствие
переменной площади сечения для прохода газа скорость его при
прохождении снизу вверх будет изменяться. При этом, согласно
уравнению Бернулли, будет изменяться и давление, достигая минимума
в сечении, соответствующем максимальной скорости. Поскольку
на внешней стороне поверхностей давление неизменно и равно
давлению в невозмущенном потоке, то возникает сила,
способствующая сближению поверхностей. В том, что это действительно
так, легко убедиться на простом опыте, расположив параллельно
два листка бумаги и сильно подув между ними.
Определим закономерности изменения скорости потока и его
давления при движении газа снизу вверх. Как следует из рис. 4.12,
поперечный размер сечения для прохода газа изменяется от
величины 00\ = 2R+ R/4 = 2,257? на входе в систему до значения 0,25jR
в самом узком месте. Текущее значение этой величины составляет
l,125-cos ф).
Из уравнения неразрывности следует, что Vaax = Vmax0,25R,
откуда скорость газа в любом сечении а —я,
у _ *тах 1
аах =
8 1,125-coscp'
Тогда скорость во входном сечении А -А1 (при <р = я / 2)
составляет Vo= Vmdx/9.
Уравнение Бернулли, записанное для сечений А-Ах и a-av
дает
р-р

6. Уравнение (теорема) Бернулли
111
Элементарная сила, действующая на бесконечно узкую
полоску цилиндрической поверхности IRdip в направлении,
параллельном линии центров O — Ov равна
dP = [ра - p)lR cosфdip
или
1
1
A,125- cos q>y A,125)
cos ф dq>.
Интегрирование этого выражения в предположении, что поток
симметричен относительно O—Ov приводит к выражению
р __
2V2
128
я/2
г COS ipdip r
{ A,125 - cos ФJ~ I A,125)
cos ф dip
- cosipdip
откуда
DJ7)
Аналогичным образом решаются и другие подобные задачи.
Изложенный в данной главе материал является теоретической
основой большинства методик расчета потерь давления (напора)
в элементах металлургических печей и системах трубопроводов
и боровов. Однако при сложной геометрии области движения
жидкости и газа получить аналитическое решение приведенных выше
уравнений не представляется возможным и в этом случае
приходится использовать численные методы решения или физическое
моделирование.

Глава V
ОСНОВЫ ТЕОРИИ
ПОДОБИЯ И РАЗМЕРНОСТИ
Изучение динамически подобных течений жидкости является
основой для теории моделирования, проектирования
экспериментальных установок и согласования экспериментальных данных.
При решении многих задач механики газов приходится опираться
на большой объем экспериментальной информации. Из
уравнений движения жидкости удается получить лишь ограниченное
число точных аналитических решений, а многие важные задачи
вообще не могут быть рассмотрены аналитически в предположениях
о невязком безвихревом течении. К тому же изучение физических
процессов на действующих производственных агрегатах во многих
случаях наталкивается на определенные, подчас непреодолимые
трудности. Во-первых, не на каждом производственном агрегате
имеется возможность достаточно точно измерять необходимые
параметры; во-вторых, превращение действующего агрегата в
объект для исследований связано с потерей производственного
времени, что не всегда желательно. Наконец, бывает так, что
проведение исследований на действующем агрегате просто невозможно
или по условиям техники безопасности, или по другим причинам.
Поэтому изучение процессов проводят на моделях.
^Моделирование представляет собой замену изучения процесса
в натуре изучением процесса на модели. Размеры модели, по
сравнению с размерами самого оригинала, в зависимости от
обстоятельств могут быть большими и меньшими. В металлургической
практике моделирования процессов, происходящих в доменных,
мартеновских и других печах, проводятся на относительно малых
моделях. Главной целью моделирования является выдача
необходимых ответов и рекомендаций по результатам опытов на моделях.
Для этого надо уметь правильно смоделировать процесс и
правильно обобщить полученные результаты. Решить эти задачи
можно с помощью теории подобия и размерности.
Наконец, еще одно преимущество концепций динамического
подобия связано с численными решениями задач газодинамики.

1. Подобие физических явлений ИЗ
Как правило, результаты решения получают в форме таблиц
числовых значений. В силу многопараметричности задач механики
жидкости таблицы получаются многомерными и крайне
неудобными для анализа. В то же время использование свойств
динамически подобных течений позволяет представить искомое решение
в виде функции от небольшого числа безразмерных комплексов.
1. ПОДОБИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ
Идея о наличии подобия физических явлений возникла на базе
геометрического подобия. В строгом смысле геометрическое
подобие означает, что отношения всех соответствующих длин в двух
системах должны быть одинаковыми. Поэтому, если в
направлении осей координат х, у и z выбраны некоторые длины и
рассматриваемые две системы обозначены индексами «м» и «н», то
условие геометрического подобия приобретает вид
Здесь CL — коэффициент подобия, или, что одно и то же,
коэффициент пересчета масштабов, зная который, можно получить
любой размер в одной системе по сходственному размеру в другой.
Следствием точного геометрического подобия является то, что
соотношение площадей и объемов в двух системах может быть
выражено соответственно как квадрат и куб отношения длин, т. е.
_гз
(xyz)H L
В некоторых случаях возникает необходимость в отступлении
от точного геометрического подобия, особенно в случае
моделирования слоевых агрегатов, когда размер частиц слоя мал по
сравнению с размерами аппарата. Тогда для таких моделей вводят
дополнительные соотношения
¦^м _ Ум _ ^м _ п ЛЛ Аи __ г*
— — ¦—~~ — ^/ *^ ~~"~""" — R'
Хн Ун ^н **н
Физическое (динамическое) подобие можно рассматривать как
обобщение геометрического подобия. Основной принцип такого
подобия формулируется как требование того, чтобы в двух системах
с геометрически подобными границами течения были
геометрически подобны в соответствующие моменты времени. Поэтому все
индивидуальные силы, действующие на соответствующие элементы

114 Глава V. Основы теории подобия и размерности
жидкой среды, должны быть в одном и том же отношении в этих
двух системах. Индивидуальные силы, действующие на элемент
жидкости, могут быть либо объемными, как, например, сила
тяжести в гравитационном поле, либо поверхностными,
возникающими из-за градиента давления, вязких касательных напряжений
или поверхностного натяжения. Результирующие силы или силы
инерции в таких двух системах должны подчиняться тому же
самому отношению, что и любая из индивидуальных сил. Из
требования одинаковости масштабного отношения для этих сил
следует, что силовые многоугольники для соответствующих элементов
среды должны быть геометрически подобны.
В изложенном обсуждении динамического подобия
подразумевалось использование отношений (масштабов) длин, времен,
масс и сил для двух течений. Важно заметить, что в рамках
ньютоновской механики нельзя независимо выбирать больше, чем три
из этих четырех отношений. Это утверждение можно доказать,
написав требование, чтобы обе системы удовлетворяли второму
закону Ньютона:
Разделив одно уравнение на другое, устанавливаем связь,
которая должна существовать между отношением сил, масс и
ускорений:
CF=CmCa, E.1)
ИЛИ
С С
bpL = l. E.1а)
Отношение ускорений может быть выражено также через
кинематические отношения для длин и времен
Тогда имеем
г г Г7?7"" Р ;
Уравнение E.2) представляет собой основное соотношение
между масштабами длин, времен, масс и сил. Оно показывает, что
константы подобия не могут выбираться произвольно. Поскольку
величины F, т, и и t связаны между собой уравнением Ньютона,
то коэффициенты (константы) подобия также оказываются
находящимися в определенной связи, что подтверждается выражением E.2).

1. Подобие физических явлений 115
Выражение CFCt /(CmCu), равное 1, называется индикатором
подобия, а уравнение E.2) — обусловливающим подобие
равенством или условием подобия. Очевидно, что существуют только
такие подобные явления, константы подобия которых
подчиняются условиям подобия E.2). Подобных явлений с иными
константами подобия реально не существует.
Равенство E.2) представляет собой математическое выражение
первой теоремы подобия, которая гласит: у подобных явлений
индикаторы подобия равны единице.
Подставим в выражение E.2) вместо коэффициентов подобия
их значения
С — м • С — м • С — ^м . п _ Чм
F ~~ f ' '"" 7~' т " 7Г~' u "" 77"'
гн tH т^ ин
Тогда после несложных преобразований можно записать
т. е. комплекс Ft /(mu) одинаков для всех подобных между собой
явлений. Он называется инвариантом подобия, или числом
подобия, и первая теорема может быть сформулирована так: у подобных
явлений числа подобия тождественны:
Ft
К = — = idem (одно и то же). E.3)
ти
Это число подобия названо начальными буквами имени
Ньютона Ne.
Для того чтобы более надежным и общим путем определить
как необходимые, так и достаточные условия динамического
подобия, целесообразно рассмотреть уравнения движения,
выведенные в главе IV и представляющие собой развернутую запись
второго закона Ньютона. Они отличаются от исходного
положения выполненного здесь анализа (уравнения E.1)) тем, что
индивидуальные поверхностные и объемные силы выступают в
уравнении движения жидкой среды в виде отдельных членов. Условия,
при которых достигается динамическое подобие двух течений,
получаются в результате записи уравнений движения в
безразмерной форме и приравнивания числовых коэффициентов в обеих
системах.
Рассмотрим с этих позиций движение несжимаемой жидкости
с постоянной вязкостью в поле силы тяжести. Условия
динамического подобия двух течений можно получить, записав уравнения

116 Глава V. Основы теории подобия и размерности
Навье—Стокса в безразмерной форме. Возьмем первое из
уравнений Навье—Стокса для несжимаемой жидкости
ди ди ди ди dh 1 Эр ц(д2и д2и ЭиМ /с ,ч
dt дх дх dz дх р дх р{дх2 ду1 dz )
Выберем некоторые характерные величины длины L и
скорости потока Vo (например, длину печи и скорость истечения
газовоздушной смеси из сопла горелки) и введем систему
безразмерных величин, определенных следующим образом:
= z/L, H = h/L;
U = u/V0, V = v/V0,
p = const, r| = const.
E.5)
Если подставить выражения E.5) в уравнение E.4), то
получится уравнение
( }
Разделим каждое слагаемое уравнения E.6) на Fo2 /Z. Эта
величина имеет размерность силы инерции, приходящейся на
единицу массы, поскольку она представляет собой размерный
коэффициент при инерционных членах уравнения. Получаем
дХ dY dZ
E.7)
V2 дХ dX[pVQ
В левой части уравнения E.7) последние три слагаемых,
определяющих конвективное ускорение потока, полностью
безразмерны. Но размерности всех слагаемых физических уравнений
должны быть одинаковыми. Отсюда следует, что каждый из четырех
комплексов, входящих в уравнение E.7), должен быть
безразмерным, т. е. являться инвариантом подобия.
Анализ содержания инвариантов (чисел) подобия, указанных
выше, показывает, что они существенно различаются как в фи-

/. Подобие физических явлений 117
зическом, так и в математическом планах. Комплексы ^
и л/(р V0L) состоят из величин, которые определяют геометрию и
физические свойства исследуемой системы, т. е. они являются ее
параметрами. Для условий данной системы эти комплексы постоянны;
при переходе к другой системе они могут измениться. В решении
дифференциального уравнения E.7) комплексы gL/V^ и г|/(рК01)
стоят в правой части, выступая в качестве параметров и определяя
значения искомой величины. По этой причине числа подобия,
соответствующие данным комплексам, называются определяющими.
Комплекс Vot / L также является определяющим. Однако он
отличается от вышерассмотренных тем, что включает
независимую переменную — время /. По сути, Vot / L характеризует
безразмерное время Г = t/t0, где в качестве масштаба выступает время
прохождения жидкостью характерного размера L с характерной
скоростью Vo: (tQ = L/Vo). Число подобия VQt/L не является
параметром; это аргумент задачи.
Наконец, комплекс р/(р Vq ) включает давление, которое
подлежит определению либо путем решения дифференциального
уравнения, либо в эксперименте. Иными словами, р/(р Vq )
представляет собой искомую функцию; это определяемое число
подобия, или безразмерное давление.
Первая теорема подобия не учитывает различий между
числами подобия; она лишь требует, чтобы для подобных явлений они
были тождественны в двух системах. Это означает, что при
экспериментальных исследованиях измерять следует лишь те величины,
которые входят в числа подобия.
Ничего не говорит первая теорема подобия и о количестве чисел
подобия. В принципе, при наличии дифференциального уравнения,
описывающего явление, все числа подобия получаются
автоматически при преобразовании этого уравнения и условий
однозначности к безразмерному виду. Однако интерес представляют не столько
сами числа подобия, сколько соотношения между ними, т. е. решение
(интеграл) дифференциального уравнения, а это решение в задачах
механики жидкости и газа удается получить крайне редко. Кроме
того, при изучении новых явлений их математическое описание
может либо вовсе отсутствовать, либо быть весьма несовершенным.
Возможность представления интеграла (решения)
дифференциального уравнения как функции от числа подобия этого уравнения
или, как еще говорят, в виде критериального уравнения и составляет
содержание второй теоремы подобия. Эту теорему называют П-тео-
ремой Бэкингема, хотя в действительности она является
результатом работы многих исследователей.

118 Глава V. Основы теории подобия и размерности
2. АНАЛИЗ РАЗМЕРНОСТЕЙ И П-ТЕОРЕМА
Закономерности того или иного физического явления
описываются определяющим уравнением, связывающим между собой
величины, существенные для процесса (уравнения связи).
Характерные для механики жидкости и газа величины с указанием их
единиц измерения (размерности) представлены в табл. 1.1 главы I.
Анализ этой таблицы показывает, что с точки зрения
размерности все величины, существенные для процесса, подразделяются
на две группы.
К первой группе относятся величины, имеющие
первообразные, неповторяющиеся размерности. Из них нельзя скомпоновать
безразмерные комплексы. Сюда относятся масса, длина, время,
температура. Их размерности называют первичными (базовыми).
Ко второй группе относятся величины, имеющие
производные, комбинированные размерности, компонующиеся из
размерностей первообразных величин. Это площадь, объем, скорость,
ускорение, количество движения, сила и т. д. Именно наличие
величин второй группы позволяет компоновать безразмерные
комплексы — числа подобия.
Течение каждого процесса характеризуется определенным
числом физических параметров первой и второй группы: Xv Xv Xv ...,
X., размерности которых могут быть выражены через к базовых
единиц измерения, так что / > к. В их составе всегда имеется
параметр, который требуется определить. Этот параметр — функция.
Все остальные в количестве (/— 1), будучи независимыми
переменными, являются аргументами. Из них компонуются
определяющие числа подобия, количество которых, в силу независимости
действия различных факторов, должно быть равно числу
физических явлений, сопровождающих данный процесс. Среди
определяющих параметров, или, что одно и то же, среди определяющих
размерностей, в количестве (/— 1) имеются такие, при отсутствии
которых не могут произойти сами физические явления, они
составляют главную причину происходящего, и потому эти
параметры и их размерности являются первопричинными. Например, при
отсутствии силы тяготения не может произойти свободное
падение тела, а при отсутствии у жидкостей и газов вязких свойств не
может состояться вязкое трение. Каждый из первопричинных
аргументов обеспечивает появление разности потенциалов,
необходимой для протекания процесса. Так, сила земного тяготения
вызывает различие в запасе потенциальной энергии тела,
находящегося на разных расстояниях от центра Земли, а наличие у жидкостей
и газов вязких свойств приводит к появлению разности скоростей

2 Анализ размерностей и П-теорема
119
в поперечном сечении потока. Таким образом, количество
определяющих чисел подобия должно быть равно числу первопричин-
ных аргументов или числу первопричинных размерностей. Так как
масса, пространство, время, температура и другие субстанции сами
по себе, при отсутствии разности потенциалов, не могут служить
причиной для протекания процессов, то число первопричинных
размерностей или число первопричинных аргументов mQ должно
быть равно общему количеству определяющих параметров (/— 1)
за вычетом базовых размерностей, характерных для данного
процесса, т. е. т0 = / — к — 1. При том общее число безразмерных
комплексов, характеризующих процесс, равняется
т = тп + 1 = i— к.
E.8)
Выражение E.8) отражает сущность П-теоремы Бэкингема,
которая может быть сформулирована следующим образом: если
течение процесса характеризуется i-м числом размерных параметров
первой и второй группы и описывается уравнением
/(X1,X2,X3,...,Jr/) = 0, E.9)
то при переходе от размерных характеристик к безразмерным
числам (критериям) количество переменных становится меньше на
число участвующих в процессе базовых размерностей, т. е.
Ф(П1,П2,П3,...,П/.,) = 0. E.10)
Для доказательства теоремы Бэкингема примем в качестве
базовых размерностей *1,*2>—»?*• Пусть размерности параметров
Xl>X2,—9Xi выражаются следующим образом:
-*1 z2
[Х,]«
E.11)
Произведение, составленное из степеней вторичных
размерностей, равно произведению базовых размерностей в
соответствующих степенях, т. е.
X? ¦ X? ¦ X?... X? = z? ¦ z? ¦ zf... z?, E.12)
где
X, =а,л,+р1«2+ ...
Хг = «2«i + Рг«2 + ... + W/ E 1

у2п3 +... + щщ = 0
/ =0
120 Глава V. Основы теории подобия и размерности
Наложим на уравнение E.12) условие нулевой размерности,
т- е- Xi = X2 = ••• = Хк - 0- Тогда получим систему, состоящую из
линейных уравнений
E.14)
Обратим внимание на то, что число линейных уравнений E.14)
равно числу участвующих в процессе базовых размерностей.
Система E.14), состоящая из & линейных уравнений,
позволяет определить к неизвестных чисел п из их общего количества /".
Эти неизвестные числа п, будучи выражены через остаток чисел
(/ - к), могут быть исключены из расчета, а соответствующие им
размерные параметры, приобретя новые показатели степени,
вольются в безразмерные комплексы, число которых равно (/ - к).
Это, собственно, и требовалось показать относительно теоремы
Бэкингема.
Пример 5.1. Рассмотрим использование этой теоремы на примере
установившего, стабилизированного ламинарного течения ньютоновской
жидкости в круглой трубе, которое подробно анализировалось в гл. IV.
Допустим, что уравнение для перепада давления неизвестно. Чтобы
определить вид уравнения, применим анализ размерностей. Если считать, что
перепад давления Ар является функцией средней расходной скорости V,
длины трубы /, ее диаметра d, плотности р и вязкости л, то можно
написать:
</,К,л,р) = 0. E.15)
Выпишем размерности величин, входящих в это соотношение:
[Ар] = ML\~\ [/] = L\ [d] = L; [V] = It;
Из рассмотрения размерностей всех шести параметров уравнения
E.15) следует, что минимальное число первичных размерностей, из
которых образованы все остальные размерности, равно трем. Это размерности
массы, длины и времени. Общее число параметров, существенных для
процесса, / = 6. Поэтому в данном конкретном случае число
безразмерных параметров, характеризующих явление, m = i-k =6-3 = 3 .
Составим в соответствии с выражением E.12) произведение степеней
параметров и наложим на него условие нулевой размерности
(АрУЧ'^ъу^р = A/°LV E.16)
или

2. Анализ размерностей и П -теорема 121
Отсюда в соответствии с системой уравнений E.13) получаем
л, + п5 + п6 = О
E.17)
-пх +п2 + п3 + п4- п5-3п6 =0
-2пх - п4 - п5 = О
Разрешая эту систему относительно показателей пъ, п4 и п6, находим
«4 = -2/1, - я5,
пв = -л, - л5.
Следовательно, имеем
или
Безразмерные комплексы Л/?/(рК2) и pK(i/r| уже были получены
ранее путем приведения уравнения движения к безразмерному виду; это
числа подобия. Отношение однородных величин I / d называется
симплексом; оно характеризует геометрию системы.
Таким образом, оказывается возможным, используя анализ
размерностей, находить числа подобия, не имея математического
описания физического явления, а лишь зная, от каких параметров оно
зависит. В этом большое значение метода анализа размерностей.
С другой стороны, в некоторых случаях анализ размерностей
может привести к неверным заключениям:
1. Можно ошибиться, не включив в анализ величину,
существенную для процесса.
2. В математическом описании физического процесса
встречаются размерные постоянные величины. Их трудно обнаружить при
подборе величин для анализа размерностей.
3. Величины нулевой размерности выпадают из контроля
анализа размерностей.
4. В анализ размерности могут быть ошибочно включены
величины, не относящиеся к рассматриваемому явлению.
5. На основе анализа размерностей невозможно провести
разделение величин одинаковой размерности, но имеющих
различный физический смысл в математическом описании явления.
6. Анализ размерностей не учитывает условия однозначности
(краевые условия).

122 Глава V. Основы теории подобия и размерности
Все эти ошибки невозможны в случае использования теории
подобия при анализе математического описания
(дифференциальных уравнений) физического явления. В этом состоит
несомненное превосходство такого анализа перед анализом размерностей.
Уравнения задачи представляют собой точное количественное
выражение принятой физической модели исследуемого явления.
Обработка этих уравнений с помощью аппарата теории подобия
позволяет найти числа подобия в виде комплексов величин,
объединенных в одно целое именно теми связями, которые заложены
уже в самой модели процесса и в неявной форме выражены в
уравнениях. Если применение теории подобия возможно, то ей
несомненно следует отдать предпочтение ввиду того, что ее результаты
существенно надежнее, а аппарат несколько проще. Кроме того,
в рамках теории подобия выясняется физический смысл чисел
подобия.
Однако если математическое описание процесса (явления)
неизвестно, то из двух методов остается только один — анализ
размерностей. При его использовании следует помнить, что нельзя
быть полностью уверенным в результатах анализа и необходимо
искать их подтверждение путем опытной или теоретической
проверки.
Пример 5.2. Определить с помощью метода анализа размерностей
характер зависимости скорости V падения шара диаметром d и
плотностью р, происходящего под действием силы тяжести в неограниченном
пространстве, заполненном жидкостью, плотность которой р, и вязкость т|,.
Запишем искомую связь в форме
Таким образом, имеется 6 величин существенных для процесса. В
соответствии с П-теоремой это обстоятельство должно привести при
изотермических условиях к выявлению т = 6 — 3 = 3 чисел подобия. Найдем
эти числа.
Сформируем из величин, существенных для процесса, произведение
степеней и наложим на него условие нулевой размерности
П = K"*</'*(p - P.Pg'W = A/°LV. (а)
Подставим вместо параметров их размерности
П = (Lx'T VHML'^g^tfrp = M°L°x0,
что дает систему уравнений
п{ + п2 - Ъпг + л4 - Зл?5 - п6 = О
п3 +... + я5 + п6 = 0
л, +... + 2/г4 +... + /?6 =0

3. Числа гидрогазодинамического подобия 123
Решая эту систему относительно л3,я4 и Л6> находим
л,=-2л4-л6; п2 = п4-п6; п5=-п3-п6.
Следовательно, вместо (а) можно записать
или, что эквивалентно,
Полученная зависимость раскрывает с большей определенностью
связь скорости падения шара в неограниченном пространстве с другими
параметрами этого явления.
3. ЧИСЛА ГВДРОГАЗОДИНАМИЧЕСКОГО ПОДОБИЯ
Вернемся к рассмотрению данных, приведенных в табл. 1.2. Из
общего числа параметров этой таблицы отберем те, которые,
характеризуя движение жидкостей и газов, не обладают свойством
повторяемости. Например, если выбрана плотность р и ускорение
земного тяготения g, то нет смысла избирать в качестве
определяющего параметра удельный вес у, так как он равен у = pg;
аналогично нет необходимости вводить в расчет коэффициент
кинематической вязкости, потому что т| = vp.
Рассмотрим падение статического давления Ар / А/,
наблюдаемое в трубе и в других каналах в результате сопротивления,
которое оказывают твердые поверхности движению жидкостей и газов.
В общем случае можно написать
^ = /(ц9рЛУ9&а>,сРЛ). E.19)
Здесь 7\ — характерная температура газового потока, К; а со —
частота смены физических явлений, 1/с.
Из E.19) следует, что общее число размерных параметров,
характеризующих движение жидкостей и газов, / = 9, а число
базовых размерностей k = 4. Согласно П-теореме, количество чисел
подобия должно составлять: т = 9 - 4 = 5.
Для определения конкретного вида этих чисел составим
комбинацию параметров по уравнению E.12) и наложим на него
условие нулевой размерности:
П = (^1' Tf*pn>dn*Vn5gn<>(o'*cPn*T.'19 = М0/?т°Г0. E.20)

124 Глава V. Основы теории подобия и размерности
Теперь подставим в уравнение E.20) вместо параметров их
размерности:
П = [MZrV2] [Л/rV1] [ML-'f [If [It] x
x[li-2f [r1] [L2x~2T-]f [7-f . E.21)
В соответствии с уравнениями E.14) из написанного
выражения E.21) получаем систему линейных уравнений
я, + п2 + щ +... = 0
-2л, -п2 -Ъщ +пА + п5 +... + я6 +... + 2^8 + ... = 0
-2л, -п2 -... + п5 -2п6 -п7 -2я8 + ... = 0
-w8 + гц = 0
E.22)
Система E.22), состоящая из четырех линейных уравнений,
позволяет определить четыре неизвестных числа п, которые,
будучи выражены через остаток чисел в количестве 9 — 4 = 5, могут
быть исключены из расчета. В дальнейшем расчете должны
остаться показатель степени л, при функции Ap/Al и показатели
степеней при первопричинных аргументах, которыми в данном
случае являются коэффициент динамической вязкости ц,
характеризующий явление вязкого трения, постоянная земного
ускорения g , характеризующая влияние поля земного тяготения,
частота смены физических явлений со, описывающая поведение потока
во времени, и температура 71, определяющая тепловое состояние
вещества. Словом, в дальнейшем расчете должны остаться
показатели nv nv n6, n7 и пг Исключению из расчета подлежат nv n4,
я5, пг Решив систему уравнений относительно этих показателей,
получим
п3 = -я, -щ,
п4 =n{-n2+n6 + nj9
п5 = -2л, - щ - 2п6 - гц - 2я9,
Подставляя эти значения показателей в исходное уравнение
E.20), имеем
м
\ п2-п1-п2^т-П2+%+п7у-2п1-п2-2п6-п7-2п9 п

3. Числа гидрогазодинамического подобия 125
Сгруппировав члены с одинаковыми показателями степени, получаем
-bJLAA {SK\\V I fill fi—Г Г523)
pF2A/J { Ц ) [gd ) {(od) [cpT.J v ;
Решив уравнение E.23) относительно числа A/?/(pF2) и
положив А/ = /, с точностью до постоянной По = П"Л|, имеем
^„MsKLf(rif(I-f(XLf E.24)
Рассмотрим каждое из чисел подобия в отдельности с
принятыми для них названиями:
1. Число Эйлера:
*»-*> . E.25)
Здесь в числителе стоит разность сил статического давления,
отнесенная к единице поперечного сечения потока, а в знаменателе —
количество движения pV2, проходящее через единицу
поперечного сечения потока, характеризующее его силу инерции.
Таким образом, число Эйлера представляет собой отношение
разности сил статического давления к силе инерции.
2. Число Рейнольдса:
!3U?^ E.26)
Числитель этого выражения содержит силу инерции потока, а
знаменатель — силу вязкого трения. Следовательно, число
Рейнольдса является отношением силы инерции к силе вязкого трения.
3. Число Фруда: 2
Fr = ^-. E.27)
Присутствие в знаменателе числа Фруда постоянной земного
ускорения g показывает, что это число должно характеризовать
влияние на процесс силы земного тяготения. Квадрат скорости, будучи
выражен через запас потенциальной энергии 1 кг вещества, равен
V2 = 2gz, где z — высота, на которую способен подняться 1 кг
вещества, полностью реализуя начальный запас кинетической
энергии на преодоление силы земного тяготения. Подставив это
значение V2 в число Фруда, получаем
. E28)

126 Глава V. Основы теории подобия и размерности
следовательно, число Фруда есть безразмерная высота, на которую
способна подняться единица массы протекающей среды, реализуя
начальный запас энергии движения на преодоление силы земного
тяготения.
4. Число Струхала:
Sh = ?- E.29)
характеризует нестационарные потоки, у которых скорость
движения дискретно изменяется во времени с частотой со. Таким
образом, число Струхала является безразмерной частотой смены
физических явлений. Если эти события не наблюдаются и течение
носит установившийся характер, то число Sh преобразуется в свой
аналог —- число гомохронности (одновременности событий):
Но = -^. E.30)
а
5. Последнее по смыслу должно быть названо тепловым числом:
Те~- E.31)
В числителе этого выражения стоит удвоенное значение
энергии движения 1 кг газа, а знаменатель является его удельным
теплосодержанием / = срТ+. Таким образом, число Те характеризует
соотношение между кинетической энергией единицы массы
потока и ее тепловой характеристикой. Связь между скоростью
движения и температурой присуща только газам, у несжимаемых
жидкостей такая зависимость отсутствует. При движении газов наряду
с пространственным переносом вещества осуществляется перенос
звуковых волн. Скорость распространения звука в газе
определяется по формуле
c2 = k? = kRT. E.32)
Р
Имея в виду, что газовая постоянная R = cp-cy и к = сР / су ,
выражение для числа Те с помощью уравнения газового состояния
можно преобразовать к виду
? E.33)
Отношение скорости движения газа в данной точке к скорости
распространения звука в той же точке называют числом Маха, так что
^ E.34)

3. Числа гидрогазодинамического подобия 127
Тепловое число и число Маха обладают свойствами
взаимозаменяемости, но первое является более общим, чем второе, так как
оно характеризует подобие потоков разнородных газов, в то время
как число Маха формулирует подобие потока только одного и того
же газа.
Безразмерные комплексы Eu, Re, Fr, Sh, Те имеют в своем
составе скорость V и, следовательно, обладают свойством
взаимозаменяемости — их можно умножать и делить друг на друга,
получая новые числа. Проделав такую операцию с числами Re и Fr,
можно получить
Re2/Fr = g</3/v2=Ga. E 35)
Число, стоящее в правой части E.35), называют числом Галилея,
При движении жидкостей и газов по трубам и закрытым
каналам постоянная земного ускорения g принимается такой, как
в пустоте, g = gQ =9,81 м/с2. При свободном движении жидкости
или газа с плотностью Р в пространстве, затопленном другой
жидкостью или другим газом с плотностью рокр > р, постоянная
земного ускорения определяется по выражению
? = ?о??^. E36)
Р
Подставив это значение постоянной земного ускорения в
формулу числа Галилея, получим безразмерный комплекс,
называемый числом Архимеда:
Ar = (g0rf3/v2)(pOKp-p)/p. E.37)
Если такое же значение ускорения подставить в число Фруда,
то получим его аналог для свободного движения газа в
окружающей среде:
2[] E.38)
Для одного и того же газа, имеющего разные температуры (Т > Токр),
(Рокр -Р)/Р = (Т- Токр)/Токр. E.39)
Подставив этот результат в E.37), получаем безразмерный
комплекс, называемый числом Грасгофа:
Gr = (god>/ v2)[(T - Токр)/Т]. E.40)
Числа Аг, Fr*, Gr используются для описания свободного
движения газа в среде другого газа.
Необходимо отметить, что конечной целью теории подобия и
анализа размерностей является определение структуры безразмерных

128 Глава V. Основы теории подобия и размерности
комплексов, характеризующих процесс. Вид критериального
уравнения для искомой переменной средствами теории подобия и
анализа размерностей не определяется — это исключено
принципиально. Окончательный ответ может быть получен только как результат
аналитического или численного решения, эксперимента или
привлечения дополнительных физических соображений.
В инженерной практике широкое распространение получили
критериальные уравнения степенного вида (типа E.24)). Эта
форма представления является вполне произвольной и не допускает
никакого теоретического обоснования. Появление ее в анализе
размерностей объясняется тем обстоятельством, что безразмерный
комплекс можно скомпоновать в общем случае лишь из
произведения степеней параметров (величин), существенных для процесса.
В физическом плане критериальное уравнение степенного вида
означает, что первопричинные аргументы действуют на искомую
функцию последовательно, один за другим. В отдельных случаях
такая ситуация может оказаться верной, но даже и тогда
использование степенных зависимостей приводит к погрешностям в
оценке влияния той или иной величины на итоговое решение
(интеграл) дифференциального уравнения процесса. В этом легко
убедиться, используя методы теории подобия и анализа
размерностей для обобщения решения задачи о ламинарном течении
жидкости в щели (между параллельными пластинами). Как было
показано в предыдущей главе, математическое описание (модель)
вышеуказанного течения для случая, когда обе пластины
неподвижны, может быть представлено следующей системой уравнений:
др _ д2и др _
Эх^Э?"' 3x~C°nS' E.41)
z = 0, w = 0; z = a, w = 0.
Вводя безразмерные величины (симплексы) соотношениями
Х = х/а; Z = z/a; U = u/V0; P = p/p0, E.42)
где Vo и р0 — масштабные (базовые) значения скорости потока и его
давления (например, средняя расходная скорость и давление во
входном сечении щели), преобразуем систему E.41) к виду
E.41а)
Z = 1, U = 0.

3. Числа гидрогазодинамического подобия 129
Здесь La = poa/(r\Vo) —инвариант струйчатого течения, так
называемое число Лагранжа. Оно характеризует отношение сил
давления к силам вязкости.
Согласно второй теореме подобия решение системы E.41а)
должно иметь вид
U = f(Lz,dP/dX,Z). E.43)
Здесь все величины постоянны, кроме Z. Опыт или
аналитическое решение должны определить распределение скорости поперек
потока, от Z = 0 до Z = 1.
В данном простом случае конкретный вид функции E.43)
устанавливается путем аналитического решения. Поскольку
дР/дХ = const, то, интегрируя дважды d2U/dZ2 и используя
граничные условия (см. гл. IV), получаем
U = -1 La (дР I ЭХ) Z{\ - Z). E.44)
Воспользуемся теперь для отыскания вида функции E.43)
методами анализа размерностей. В соответствии с физическим
содержанием задачи закономерности течения в щели описываются
следующей функцией: fx (и, Vo, р0, др / Эх, r|, a, z) = 0, содержащей
/ = 7 величин, существенных для процесса. Среди них к = 3
относятся к базовым (первичным), т.е. количество безразмерных
компонентов и симплексов в данной задаче т = / - & = 4.
Составим произведение степеней величин, существенных для
процесса, и наложим на него условия нулевой размерности
или
Отсюда получаем систему уравнений для отыскания
показателей степени щ :
я, + п2 - пъ - 2я4 - п5 + п6 + п7 = 0;
л, + п2 + 2я3 + 2л4 + щ +... = 0; E.45)
пъ + п4 + п5 + ... = 0.
Решая ее относительно п2, пъ и п6, находим
п2 = -я, + л5;
Таким образом, имеем
9-3546

130 Глава V. Основы теории подобия и размерности
или
U = U0Laa>(dP/dX)aiZa\ E.46)
Сопоставление уравнений E.44) и E.46) показывает, что
анализ размерностей правильно раскрывает зависимость
безразмерной скорости U от La и ЭР / дХ (показатели степени я, и а2 равны
единице), однако распределение скорости поперек потока
описывает с большой погрешностью. При любом значении аъ величина
Z°3 не может описать параболический профиль скорости Z(l - Z)
с максимальным значением при Z = 1 / 2.
Рассмотренный пример связан с относительно простым
физическим явлением. В более общем случае движения жидкости
и газа, сопровождающегося процессами тепломассообмена,
использование степенных зависимостей может привести (и приводит)
к ошибочным заключениям, так как в решениях уравнений
математических моделей этих процессов числа подобия и симплексы
являются аргументами тригонометрических, показательных и
других сложных функций (например, в задачах нестационарной
теплопроводности) .
Отмеченное выше не означает, что критериальные
зависимости степенного вида непригодны во всех случаях. Это не так. Они
хорошо описывают зависимость интегральных показателей
процесса (например, потери давления на трение) от определяющих
чисел подобия и симплексов. Необходимо лишь помнить, что
степенные зависимости не всеобъемлющи и что в каждом
конкретном случае вид критериальной зависимости следует подбирать,
исходя из требования наилучшего согласования ее с
экспериментальными данными.
4. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ
ЖИДКОСТИ И ГАЗА
Моделированием называют воспроизведение какого-либо
явления на модели. Процесс моделирования можно подразделить на
три части: а) создание модели, подобной образцу; б) проведение
опытов на модели; в) обработка опытных данных с целью
получения конкретной функциональной связи между числами подобия.
Основная цель моделирования состоит в обобщении
экспериментальных результатов и распространении их на все явления,
подобные данному.
Из изложенного следует, что первым (предварительным)
этапом моделирования является доказательство динамического
подобия явлений, протекающих на изучаемом объекте (натуре) и будущей

4. Моделирование движения жидкости и газа 131
модели. Только при обеспечении такого подобия создается
возможность перенесения результатов экспериментов, полученных на
модели, на натурный объект.
Первые две теоремы подобия недостаточны для
динамического подобия явлений, они лишь характеризуют общие свойства
процессов, подобие которых уже доказано. Поэтому вернемся к
уравнению E.7) и попытаемся выявить необходимые и достаточные
условия динамического подобия.
Перепишем уравнение E.7) с учетом обозначения чисел
подобия, данных ранее:
ьи ТТьи т/эи и/ди
1 дН ЭЕи t I dzU t dAU | d*U
FvdX dX+Re\dX2+dY2+dZ2 \
Аналогичный вид имеют проекции уравнения движения на другие
оси координат.
Уравнение E.47) справедливо для широкого класса явлений,
имеющих одинаковую физическую природу,— ламинарных
течений несжимаемой жидкости. Если эти явления протекают в
геометрически подобных системах, то класс явлений сужается до
группы ламинарных течений в геометрически подобных объектах.
Конкретное явление выделяется из указанной группы путем
наложения на общее решение уравнений движения типа E.47) условий
однозначности (граничных условий). Эти условия, будучи
записанными в безразмерном виде, должны быть подобными для всех
подобных явлений.
Однако в решения уравнения E.47)
U = fl(Ho,X,Y,Z,Re9Fr,Sl,S2...);
Eu = /2(Ho,Z,7,Z,Re,Fr,5'1,5'2...); E.48)
где SX,S2 и т. д. — симплексы или комплексы, составленные из
параметров условий однозначности, помимо безразмерных
времени Но и координат X, Y, Z, входят числа подобия Re и Fr,
включающие постоянные величины, характеризующие данную
систему. Как уже отмечалось ранее, это параметры решения. Если для
двух систем Re и Fr численно одинаковы, то решения E.48) для
этих систем одинаковы. Следовательно, все поля физических
величин, характеризующих явление (?/, V, IV, Ей), в безразмерном

132 Глава V. Основы теории подобия и размерности
виде одинаковы для двух систем; поля размерных величин
находятся в сходственных точках в сходственные моменты времени
в одном и том же числовом отношении. А это и есть необходимое
и достаточное условие подобия двух явлений.
Рассмотренное выше составляет содержание третьей теоремы
подобия, которая гласит: подобны те явления, которые происходят
в геометрически подобных системах, подчиняются одним и тем же
уравнениям связи, имеют подобные условия однозначности и
одинаковые определяющие числа подобия, составленные из параметров систем.
Таким образом, для условий ламинарного течения
несжимаемой жидкости необходимым и достаточным условием подобия
явлений в модели и в объекте является равенство чисел Re и Fr, т. е.
ReM = ReH, FrM = FrH. E.49)
Поскольку динамическое подобие подразумевает и
кинематическое подобие, то масштаб времени при неустановившемся
движении, а следовательно, и все ускорения должны быть
установлены, исходя из равенств чисел Fr и Re для модели и натуры.
В частных случаях один из безразмерных комплексов может быть
несущественным или даже не иметь никакого отношения к
рассматриваемой задаче, как будет видно из дальнейшего.
В уравнениях движения изменение давления вызывается
комбинацией динамических воздействий, порождаемых ускорением,
вязкостью и силой тяжести. Практически во всех
металлургических печах движение газов вынужденное и протекает с заметными
скоростями. В этих условиях влияние силы тяжести вызывает
просто гидростатическое распределение давления, которое
оказывается как бы наложенным на переменное давление, обусловленное
другими воздействиями. Очевидно, в данном случае давление
может быть представлено в виде суммы
Р = Pd + Ps* E-5°)
где Ps = Pa+yh = const, a pd — составляющая, отвечающая
«динамическим» воздействиям. Подставляя р = pd + const - уй в
уравнение Навье—Стокса для несжимаемой жидкости и исключая
гравитационное слагаемое, получим уравнение движения в
следующем виде:
где Eud = pd/(pV02).

4. Моделирование движения жидкости и газа 133
Таким образом, для динамического подобия двух
геометрически подобных течений требуется равенство лишь чисел Рейнольдса.
В этом случае можно определить «масштабы» скорости, времени, силы
и другие величины.
Для двух систем, обозначенных индексами «м» и «н», можно
записать равенство чисел Рейнольдса в виде
Рм^Ом^м / Лм = Рн^Он^ / Лн-
Отсюда отношение скоростей
С:т1/(СрС,) = Су/С,. E.52)
Масштаб времени получим, записав, что
C, = CL/CV= Cf\ /Сц = С\ /Cv. E.53)
Из подстановки выражения E.52) в безразмерное уравнение
Ньютона E.2) получаем
CF=C2JCr E.54)
Заметим, что при осуществлении подобия по числу
Рейнольдса имеются два независимых пути (или две «степени свободы»)
для достижения динамического подобия. Они заключаются в
следующем: 1) в выборе геометрического масштаба CL (т. е.
физических размеров модели); 2) в выборе жидкости для одной из систем
(модели), если жидкость в другой системе (натуре) уже задана.
Последний путь определяет отношения свойств жидкостей Cv и Ср.
Любая измеримая величина в одной системе, которая может быть
выражена через силу, длину и время, может быть определена и в
другой. Например, отношение давлений жидкости принимает вид
Ср = CF /Cs =Cf/C2L= Cl /(CpC2L). E.55)
Масштаб модели обычно выбирается, исходя из практических
возможностей исследователя, например 1: 5, 1: 10 и т. д. При этом
модель, помимо геометрического подобия образцу (натуре), должна
обеспечивать подобие условий входа потока в систему и выхода из нее.
Для правильного понимания предположим, что CL = 1:10
и моделирование проводится с помощью того же газа, что и на
образце (Cv = 1); тогда Су = 10. Это означает, что скорость движения
газа на модели должна быть в 10 раз больше, чем на образце.
Обычно скорость движения газа на образце изменяется в определенных
пределах, например от 2 до 8 м/с. Тогда предел изменения скоростей
на модели должен составлять 20—80 м/с. Масштабы времени и
давления при этом определяются лишь масштабом модели и составляют

134 Глава V. Основы теории подобия и размерности
С, = 1:100 и Ср = 100, т. е. явление в модели протекает в 100 раз
быстрее, чем в объекте, и характеризуется в 100 раз большими
давлениями. Если моделирование проводится с помощью другого
газа, то константы подобия (масштабы) равны
CV=10Cv, C,=l/A00Cv), Ср = 100 C4CV.
После изготовления модели приступают ко второй части
процесса моделирования: проведению опытов на модели. Они
представляют собой последовательные серии экспериментальных
исследований, в которых изменяются по возможности в широких пределах
масштабные (базовые) скорости VQ, физические свойства газа р и Ц,
а также другие параметры системы (модели) и измеряются искомые
величины. Поскольку величины, определяющие явление,
измеряются с той или иной погрешностью, то каждый опыт повторяют
несколько раз. Чем больше число опытов, выполненных при
данном наборе параметров системы (как говорят, при данном режиме),
тем меньше погрешность итогового критериального уравнения.
Необходимо подчеркнуть, что в процессе проведения
экспериментов следует изменять все величины, входящие в
определяющие числа подобия и в безразмерные комплексы (симплексы),
составленные из параметров условий однозначности. Это очень
важно, так как в ряде учебников и научных монографий
ошибочно указывается, что теория подобия сокращает необходимое
количество опытов, поскольку, например, число Рейнольдса можно
изменять в широких пределах, варьируя лишь базовую скорость
потока. Действительно, таким путем также можно получить
критериальное уравнение, однако оно будет статистически
недостоверно в отношении влияния величин, не подвергшихся
варьированию в процессе опытов.
Результаты экспериментов компонуются в определяемые и
определяющие числа подобия и в таком безразмерном виде наносятся
на координатное поле зависимости определяемого числа от
определяющего. Затем, используя специальные математические методы
(например, метод наименьших квадратов), подбирают
аналитическое выражение кривой, описывающей экспериментальные точки
с минимально возможной погрешностью. Это выражение и будет
искомой критериальной зависимостью. Отметим, что полученная
таким образом зависимость справедлива лишь для тех наборов
значений определяющих чисел подобия, которые находятся в
пределах их интервалов варьирования, используемых при выполнении
экспериментов. За пределами указанных интервалов результаты
расчетов по критериальному уравнению могут оказаться и
верными, однако в общем случае надежность таких результатов невелика.

4. Моделирование движения жидкости и газа 135
Наиболее просто выполняется обработка экспериментальных
данных в случае критериальных уравнений степенного вида
(именно этим и объясняется широкое распространение последних).
Если, например, изучаются потери давления при движении газа
в трубах и каналах и в качестве критериального уравнения
выбрана зависимость
2=Еи = пЛке", E.56)
то единственными величинами, которые необходимо отыскать из
экспериментов, являются показатель степени п и коэффициент
пропорциональности По. Чтобы найти их, перепишем уравнение
E.56) в виде Ей /(/ / d) = По Re" и прологарифмируем. Получаем
^ E.57)
или в общем виде У = А + пХ .
Потребуем, чтобы среднеквадратическое отклонение
обобщающей прямой от экспериментальных значений для всех опытов
было минимальным, т. е. потребуем выполнения условия
=min
где i — номер единичного опыта, am — количество опытов.
Отсюда получаем систему уравнений для отыскания Аи п:
dSy I dn = 2?Xi(A + nX., - Y,) = 0,
или
i i < / /
решениями которой являются выражения
n = ¦

136 Глава V. Основы теории подобия и размерности
Наконец, по известному А находим По =10л. Это значение,
так же как и значение показателя степени я, справедливо внутри
пределов симплекса / / d и Re, используемых в опытах.
Рассмотренный случай моделирования имеет характерные
особенности, сводящиеся к следующему. Из уравнения E.47)
вытекает, что закономерности вынужденного движения несжимаемой
жидкости определяются числами подобия Fr и Re. Однако в силу
относительно больших скоростей A/Fr пренебрежимо малая
величина) влиянием числа Фруда на процесс можно пренебречь.
Произвольное изменение физических свойств среды, размеров
системы, скорости течения (число Рейнольдса сохраняет
постоянное значение) оставляет явление себе подобным, если только при
этом не происходит выхода за пределы области достаточно
больших значений Fr. В этих условиях принято говорить, что процесс
обладает свойством автомоделъности по числу Фруда, т. е. является
автомодельным по Fr (число Фруда вырождается).
Моделирование движения газов только по одному числу
Рейнольдса заведомо предполагает автомодельность процесса по числу
Фруда и тепловому числу Те. Для того чтобы быть убежденным
в правильности полученных результатов, необходимо выполнить
опытную проверку влияния этих двух чисел. Действительно,
влияние числа Фруда проявляется при относительно небольших
скоростях движения газа, когда газ можно рассматривать в качестве
несжимаемого, а число Те проявляет свое влияние при больших
скоростях, соизмеримых со скоростью распространения звука в
газе. По этим признакам можно решить, с помощью какого числа
следует корректировать опытные данные. Скорости движения
газов в печах и их элементах весьма далеки от звуковых, поэтому
при моделировании печных процессов по числу Рейнольдса в
основном требуется корректировка по числу Фруда.
При соизмеримом влиянии чисел Fr и Re на процесс условия
подобия запишутся следующим образом:
vL /№) = vl /(8LHy, РмкОм4, /лм = рЛ„4 / v
Из равенства чисел Рейнольдса для константы подобия
(масштаба) скорости следует Cv =Cn/(CpCL) = Cv /CL, а из равенства
чисел Фруда Cv = yjC[. Так как масштаб скорости по обоим числам
должен быть одним и тем же, то отсюда вытекает соотношение
CL = C2J\ E.58)
т. е. масштаб модели определяется масштабом коэффициента
кинематической вязкости. Если в качестве рабочего газа на модели

5. Приближенное подобие и моделирование 137
избрать тот же самый газ, что и в реальности Cv = 1, то
возможность моделирования полностью исключается, так как CL = 1.
Поэтому в этом случае опыты необходимо проводить на самом
образце.
Моделирование возможно при CL < L и Cv < 1 . Это означает,
что моделирование должно проводиться на газе или жидкости,
имеющими меньший коэффициент кинематической вязкости, чем
в реальности. Возможности выбора такого газа или жидкости, как
правило, ограниченны, поэтому и свобода выбора масштаба
модели тоже ограниченна. Например, если в пределе располагать газом,
имеющим Cv= 0,08944 (водород), то масштаб модели не может
быть меньше, чем 1 :5. Подставив значение CL в любое из
чисел подобия, записанных в переходных масштабах, имеем: Cv =
= СУ3 = ^/0,08944 = 0,4472 , откуда видно, что масштаб скорости
получается меньше единицы.
Возможен и другой способ моделирования по числам Фруда
и Рейнольдса. Записывая уравнение E.58) в виде CL = (Сп /СрJ/3
и учитывая, что у обычных газов, например воздуха, коэффициент
молекулярной динамической вязкости зависит от температуры и не
зависит от давления, для двух потоков при одинаковых
температурах получим CL =1/Ср2/3. Изменяя базовое давление в модели,
можно получить различные значения ее масштаба.
Общий случай точного моделирования по всем числам
подобия, определяющим явление, т. е. при выполнении условий
Re = idem, Те = idem, практически невозможен. Единственный
выход в случае необходимости проведения опытов при количестве
определяющих чисел подобия больше двух — приближенное
моделирование.
5. ПРИБЛИЖЕННОЕ ПОДОБИЕ
И МОДЕЛИРОВАНИЕ
На основании третьей теоремы подобия сделан вывод о том,
что подобие двух явлений гарантировано, если обеспечивается
равенство всех определяющих чисел подобия для модели и
исследуемого объекта. Однако выполнение условий этой теоремы в
полном объеме на практике часто бывает невозможным. В связи
с этим возникает вопрос, какое практическое значение имеют
результаты экспериментов на модели, если при моделировании были
соблюдены не все требования теории подобия. Другими словами,
следует ли действительно (не только в принципе, но и фактически)
считать выполнение всех этих требований строго обязательным.

138 Глава V. Основы теории подобия и размерности
Очевидно, однозначный отрицательный ответ на первый или
положительный — на второй заданные вопросы можно дать лишь
в том случае, когда все определяющие числа подобия оказывают
равносильное влияние на ход процесса.
Вместе с тем рассмотренные выше примеры моделирования по
числам Re и Fr показывают, что число подобия, которое в
определенных условиях (при определенных значениях параметров)
оказывает решающее влияние на ход процесса, в других условиях (при
других значениях параметров) полностью теряет это влияние,
вырождается. Свойство автомодельности присуще любому числу
подобия, не только числу Fr.
Как проявляется свойство автомодельности в математическом
смысле? Все числа подобия, существенные для процесса,
являются параметрами критериальных уравнений, причем степень
влияния каждого из них на процесс соответствует их относительной
значимости в данных уравнениях. Поэтому если моделирование
проводилось без учета автомодельности процесса по какому-то
числу подобия, а в действительности автомодельность имела
место, то после обработки результатов экспериментов это число
попросту не войдет в результирующее критериальное уравнение.
Точно такое же уравнение было бы получено, если бы данное число
подобия исключили из анализа сразу.
Из изложенного следуют два вывода. Во-первых, выполнение
условий теории подобия в отношении чисел подобия, по которым
процесс автомоделей, необязательно. Во-вторых, поскольку
эксперименты всегда выполняются с некоторой (иногда весьма
существенной) погрешностью, а отчетливо выраженных границ
областей, в которых те или иные числа подобия вырождены, не
существует, то вопрос об автомодельности процесса по какому-то
числу подобия — это, по сути дела, соглашения о требуемой
степени точности моделирования.
Эти выводы имеют принципиальное значение. Они
показывают, что между существующим и несуществующим подобием
явлений нет четкой границы. Как отметил А.А. Гухман, неподобие
переходит в подобие (и подобие — в неподобие) через
промежуточную форму, которую правильно определить как приближенное
подобие. Моделирование процесса на основе приближенного
подобия тогда можно назвать приближенным моделированием.
На практике приближенное моделирование осуществляется
следующим образом. Полагают, что по тем или иным числам
подобия процесс автомоделей, и проводят опыты. Если это
предположение соответствует действительности, то условия точного

5. Приближенное подобие и моделирование 139
подобия соблюдаются и для любой сходственной точки области
движения скорость потока в модели связана со скоростью потока
в образце равенством им = Сиин. Коэффициент подобия Си — по-
•стоянное число, которое определяется заранее (до проведения
опыта) по значениям базовых (масштабных) скоростей Си = FOm / VOii.
Если же на самом деле автомодельность процесса по выбранному
числу подобия не имеет места, то им ф Сиин. В этом случае можно
записать, что
"м = С>н + Аим , или Дим = им -Сиин .
Величина Аим является количественной мерой степени
приближенности подобия. Она характеризует ту ошибку, которая
допускается при определении им в предположении точного подобия
явлений. Наряду с этой абсолютной мерой введем относительную
меру неподобия
е = Аим/им=1-Сиин/им, E.59)
которую назовем степенью искажения. Очевидно, что до тех пор,
пока г не превзойдет ошибки опытов, обнаружить отклонение от
точного подобия путем сопоставления экспериментальных
значений ии и ин вообще невозможно. Следовательно, во всех тех
случаях, когда степень искажения находится в пределах
погрешности опыта, приближенное подобие фактически тождественно
точному.
Рассмотрим теперь погрешность, допускаемую при
перенесении результатов моделирования на образец. В соответствии с
выражением E.59) фактическое значение скорости в реальном
объекте определяется соотношением ин = имA-г)/Си. Однако
в расчетах будет принято другое значение «' = ии / Си, так как
предполагалось точное подобие явлений. Тогда абсолютная ошибка,
обусловленная приближенным характером моделирования,
составит Дин = и'н - wH = гим I Си, а относительная — Аин / ин = г /A - г).
Если ? — малая величина, то последнее выражение можно
переписать в виде Аин I ин = е + е2 +....
Таким образом, с точностью до е2 относительная ошибка в
определении величин, относящихся к образцу, равна степени
искажения, характеризующей модель. Зная степень искажения, можно
с достаточной полнотой оценить качество результатов,
получаемых в условиях приближенного моделирования.
Основным затруднением, которое приходится преодолевать
при выполнении приближенного моделирования, является
установление е. Определить степень искажения без постановки
специальных опытов в большинстве случаев невозможно. Эти опыты

140 Глава V. Основы теории подобия и размерности
часто бывают весьма трудоемкими и требуют использования
сложной аппаратуры, однако они необходимы, так как в противном
случае (без знания е) моделирование вообще теряет смысл.
Необходимо заметить, что методики оценочных опытов всегда
специфичны и основаны на сопоставлении (синхронизации) картин
течения в образце и модели, т. е. предусматривают обязательное
проведение отдельных исследований непосредственно на
реальном объекте.
В настоящее время в связи с широким распространением
электронных вычислительных машин все большее значение
приобретает математическое моделирование. Оно возможно лишь в том
случае, когда имеется достаточно разработанное физически
обоснованное математическое описание процесса (как правило, в
форме дифференциальных уравнений в частных производных).
Однако если такое описание имеется и адаптировано к реальному
объекту путем сопоставления результатов расчета с
экспериментальными данными, то возможности математического
моделирования (и его надежность) поистине огромны. Отметим, в
частности, что оно не встречает затруднений при выполнении всех
требований теории подобия. Отсутствие или недостаточная
полнота математического описания процесса в принципе не
исключает возможности использования математического моделирования,
так как на основе анализа имеющихся экспериментальных данных
всегда можно развить математическую модель объекта и затем
последовательно улучшать ее, сравнивая расчетные и
экспериментальные результаты и внося в модель необходимые уточнения.

Глава VI
ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ
Состояние движения жидкости, называемое турбулентностью,
возникает в результате распада упорядоченного ламинарного
течения. Этот распад сопровождается появлением в потоке особых
вихреобразований («турбулентных вихрей»), распространение
которых приводит к «заражению» течения нерегулярными флуктуа-
ционными движениями. При соответствующих условиях
турбулентность становится квазиустойчивым состоянием движения.
Вряд ли имеет смысл доказывать важность учета турбулентных
аспектов движения газов (жидкостей), поскольку практически
в любом теплотехническом агрегате движение продуктов сгорания
именно турбулентное. Однако нельзя не отметить тот факт, что
понятие турбулентность часто употребляют весьма вольным
образом. Так, любое сложное вихревое или неустановившееся
движение называют турбулентным потоком, хотя любое движение,
которое можно описать как периодическое или которое представляет
собой до некоторой степени правильную вихревую модель, не
является турбулентным потоком, каким бы сложным оно ни было.
Уже это замечание свидетельствует о сложности не только
описания, но даже определения понятия турбулентное течение. В этом
плане трудно отделаться от искушения привести классическое
высказывание Г. Л амба, датированное 1932 г., которое является
актуальным и поныне: «Я старый человек и, когда после смерти
попаду на небеса, то спрошу у Всевышнего две вещи: что такое
квантовая электродинамика и что такое турбулентность. В
отношении первого я настроен более оптимистично!»
Тейлор и Карман определили турбулентность как
«нерегулярное движение, которое, как правило, возникает в жидкости или
газе при обтекании ими твердой поверхности или даже в случае
соприкосновения или перемешивания потоков одной и той же
природы». Более определенно высказался И.О. Хинце в своей
классической работе «Турбулентность»: «Турбулентное течение
жидкости есть форма нерегулярного движения, в котором параметры

142 Глава VI. Турбулентное движение
потока изменяются случайным образом во времени и
пространстве вокруг некоторых своих средних значений». Вот этот
момент — случайность и хаотичность кинематических характеристик
потока — является основополагающим в инженерных теориях
турбулентности. Здесь специально подчеркнута множественность
описания данного природного явления (теории), чтобы показать,
что понимание закономерностей турбулентного движения
жидкости и газа столь же далеко от завершения, как и во времена Г. Ламба.
Количество цитат о турбулентности можно множить до
бесконечности. В отношении инженерных приложений все эти цитаты
делятся на две группы. Во-первых, утверждается, что
турбулентность — это чисто вероятностное (статистическое) явление и как
каждое случайное явление определяется закономерностями
случайных процессов (стохастически). Во-вторых, высказывается
убеждение, что множественность инженерных теорий
турбулентности обусловлена нашим непониманием этого явления (или
процесса?), и стоит, наконец, разобраться в механизме
возникновения и развития турбулентности, как сразу будет разработана
строгая теория, обладающая внутренним единством.
Следует отметить, что последние достижения синергетики,
убедительно доказавшие возникновение структур самоорганизации
в турбулентном потоке, нанесли чувствительный удар по гипотезе
стохастичности турбулентности как явления. Это обстоятельство
стимулировало продвижение инженеров к пониманию (и,
главное, восприятию) того, что, во-первых, для этого явления
(турбулентности) не существует единого универсального определения
и, во-вторых, что имеющиеся определения в достаточной степени
несовместимы между собой, чтобы призвать нас к осторожности
в применении их при изучении некоторых типов движения,
называемого турбулентным. Очевидно, что чем глубже мы вникаем в
какое-либо явление, тем более сложным оно представляется нам,
и в случаях исключительно сложных явлений (как, например,
турбулентность) есть лишь один путь к практическому описанию:
допустить существование некоторых ограничений, в пределах
которых возможно изучение этих явлений. Как заметил известный
специалист по гидроэродинамике окружающей среды Р. Скорер:
«Жизнь слишком коротка, чтобы тратить ее на учет бесконечных
деталей течения в некотором частном случае, и любой, кто
занимается этим, не имеет уверенности ни в том, что следующий случай
окажется таким же, ни в том, что его занятия кого-либо заинтересуют».
Возвращаясь к основной задаче нашего курса, заметим, что
с инженерной точки зрения все вышесказанное означает лишь

/. Возникновение турбулентности 143
одно: гораздо целесообразнее каждый класс (группу)
турбулентных течений описывать отдельной (пусть упрощенной) теорией,
обеспечивающей приемлемую точность расчетов, нежели тратить
силы на приспособление некой общей, но недостаточно
проверенной теории к простому случаю. В контексте этого заключения
для инженера основополагающим является тот факт, что
существует некоторое осредненное движение с добавленными к нему
пульсациями. Среднее движение описывается полностью, а о флук-
туациях мы имеем только статистическую информацию.
Следовательно, элемент выбора состоит в том, что мы должны решить,
как именно провести описание (и оценку) флуктуации. В
результате турбулентность (флуктуационная часть процесса) выступает не
как ясно очерченное объективное свойство движения, а как объект,
произвольно определяемый по нашему усмотрению. Различные
способы такого «подхода» и составляют содержание этой главы.
1. ВОЗНИКНОВЕНИЕ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
Одним из первоисточников турбулентности, порождающим
упомянутые выше вихри, являются поверхности разрыва
скорости, т. е. такие области, где имеется резкий скачок скорости между
прилегающими слоями жидкости. Примеры такого рода: течения
за острыми выступами, за кромками неудобообтекаемых тел, а
также в зонах отрыва пограничных слоев. У поверхности разрыва
скорости имеется «склонность» к образованию волн, которые
возникают на таких поверхностях либо от случайных внешних причин,
либо от случайных возмущений, вносимых самой жидкостью. Эти
волны неустойчивы и стремятся расти по амплитуде.
Данное явление имеет простое классическое объяснение.
Изобразим линии тока для волны, которая сносится со средней
скоростью движения прилегающих слоев жидкости (рис. 6.1).
Используя уравнение Бернулли вдоль каждой трубки тока
-— + pgh + p = const,
можно сделать вывод, что повышение давления наблюдается с
вогнутой стороны каждого гребня, или каждой впадины волны, где
имеется уменьшение скорости, а понижение давления — с
выпуклой стороны. Следовательно, волнистая поверхность неустойчива,
и налицо тенденция к дальнейшему развитию волнообразных
возмущений, затем к их «свертыванию» и последующему распаду
поверхности на отдельные вихри. В некотором ограниченном

144
Глава VI. Турбулентное движение
Рис. 6.1. Схема распада поверхности
разрыва скорости
диапазоне скоростей эти вихреобразования могут сохранять свою
индивидуальность. Чаще всего, однако, они вырождаются в
случайные флуктуации.
Турбулентность генерируется также и в таких течениях со
сдвигом, где имеется градиент скорости, но без резкого разрыва.
Эксперимент Рейнольдса со струйкой краски в стеклянной трубе,
описанной ранее, является примером течения со сдвигом, которое
теряет устойчивость и становится турбулентным. Как и в случае
поверхности разрыва скорости, в обычном течении со сдвигом
также имеется тенденция к появлению возмущений. В связи с этим
возникает вопрос, будут ли возмущения нарастать или затухать.
Было предложено несколько схем механизма неустойчивости.
Одна из них, в отношении которой эксперименты и теория в
значительной степени согласуются, сводится к рассмотрению
возмущений как совокупности малых колебаний. Эти колебания
имеют место в некотором диапазоне частот и, накладываясь на
основное поле течения, могут им селективно усиливаться. Данная
теория малых возмущений (известная как теория Тол мина— Шлих-
тинга) приводит к заключению, что при числах Рейнольдса ниже
некоторого критического значения все возмущения будут затухать;
при числах Рейнольдса выше этого критического значения
возмущения определенных частот будут усиливаться, а
остальные — затухать.
Существующие теории устойчивости предполагают, что
неустойчивость наступает одновременно во всей области течения, где
достигнуты критические условия. Так, для двухмерного
пограничного слоя на плоской поверхности состояние неустойчивости
должно было бы наступить по всей длине некоторой линии,
перпендикулярной направлению течения (рис. 6.2, а).

1. Возникновение турбулентности 145
Однако, судя по последним экспериментальным данным, в
действительности это не так. Турбулентные возмущения появляются
сначала в ограниченных зонах или «пятнах» внутри жидкости. Эти
пятна растут по мере того, как они сносятся вниз по потоку,
вторгаясь в ламинарно текущую жидкость, пока отдельные пятна не
сольются между собой (рис. 6.2, б).
Таким образом, возникновение турбулентности трехмерно по
своему существу. Аналогичная картина имеет место, очевидно, и в
круглых трубах, где переход от ламинарного течения к
турбулентному начинается с возникновения турбулентности у стенок трубы.
Ясно, что разрушение окрашенной струйки, которое наблюдается
в опыте Рейнольдса, является следствием роста таких пятен.
Механизм возникновения пятен турбулентности к настоящему
времени еще не выяснен; можно предполагать лишь, что он связан,
по-видимому, с теми процессами, которые происходят, когда
малые возмущения (рост которых предсказывается теорией малых
возмущений) становятся большими. Одна из точек зрения состоит
в том, что возмущения, первоначально двухмерные,
превращаются в ярко выраженные трехмерные вихревые структуры, а затем —
в турбулентные пятна. Другая точка зрения заключается в том, что
уже основное возмущение является трехмерным и что при этом
порождаются вихри с подковообразной осью, которые становятся
неустойчивыми и воспринимаются как турбулентные пятна.
В заключение отметим, что изложенное выше является лишь
первым приближением к реальности. На современном этапе
развития гидродинамики происходит определенное
переосмысливание накопленных знаний. Так, к удивлению экспериментаторов
последних лет, движения, которые слагают турбулентный хаос,
оказались настолько детерминированными (даже периодическими),
что возникает вопрос о правомерности приемов статистического
осреднения всего ансамбля движений в целом. Более того,
оказались несправедливыми и некоторые традиционные представления,
а
Рис. 6.2. Схема развития турбулентности: а — по теории Толмина—Шлих-
тинга; б — по современным воззрениям

146 Глава VL Турбулентное движение
положенные в основу многочисленных технических приложений,
таких как, например, гипотеза о существовании вязкого подслоя
(см. ниже), в котором «тонут» шероховатости стенок каналов. На
самом деле прилегающий к стенке ламинарный слой при
«обтекании» шероховатости сам теряет устойчивость и превращается
в турбулентный вихрь (или сгусток), постепенно продвигающийся
поперек потока. Множество таких сгустков создает, в конце
концов, турбулентное «ядро» потока.
Сегодня почти всем ясно, что классическая континуальная
(иначе феноменологическая) модель, использующая в своей основе
идею Ж. Буссинеска A877 г.) о вихревой вязкости, оказывается
недостаточной даже при ее нелинейном обобщении по
Колмогорову— Прандтлю (см. ниже) или же согласно многим
последующим модификациям. В ряде известных случаев определяемая
таким путем эффективная вязкость оказалась даже отрицательной.
Обратим также внимание на то обстоятельство, что глобальным
внешним параметром, определяющим турбулизацию потока,
является шероховатость обтекаемого тела. Более того, шероховатость
неявным образом присутствует в существующей
феноменологической теории; как обнаружил Т. Карман, константа в
реологических (вязких) связях в ряде простых потоков неплохо коррелирует
с мерой шероховатости. Этот вывод Кармана означает следующее:
реология турбулизированной жидкости как континуума помнит
породившую ее шероховатость (или, иначе, начальные
возмущения потока). Однако, чтобы описать процесс турбулизации хотя
бы грубо, необходимо в явном виде задавать соответствующие
граничные условия, что невозможно в действительности. Иными
словами, фактический механизм турбулентности имеет слабое
отношение к потребностям инженерных расчетов. Более конкретно,
для инженера реальные свойства среды не представляют интереса,
если он не может рассчитать их элементарным способом. Вообще
для инженерных приложений типична ситуация, когда реальная
среда заменяется условной, единственным пересечением которой
с реальной является одинаковость гидравлического
сопротивления и/или плотности теплового потока.
Сказанное выше не означает, что инженер не заинтересован в
исследованиях турбулентности. Напротив, наша постоянная
неспособность дать точные и надежные результаты расчетов служит
серьезным препятствием для технического прогресса при
проектировании теплотехнических агрегатов, энергетических установок
и т. п. Именно поэтому в данной главе рассматриваются
проверенные методы, использование которых позволяет хоть в какой-то
степени решить вышеуказанную проблему.

2. Скорость, энергия и условия неразрывности при турбулентном течении 147
2. СКОРОСТЬ, ЭНЕРГИЯ И УСЛОВИЯ НЕРАЗРЫВНОСТИ
ПРИ ТУРБУЛЕНТНОМ ТЕЧЕНИИ
Как следует из изложенного выше, пулъсационная (флуктуаци-
онная) часть кинематических характеристик турбулентного течения
в инженерном плане имеет характер случайного процесса. Ввиду
этого допустимо предположение, что ее можно описать
некоторым набором статистических характеристик. Для этой цели
удобно представить мгновенную скорость среды равной сумме ее ос-
редненного значения V и пульсационной составляющей V. Так,
для координатных направлений х, у, z запишем
?/ = ! J udx, F.2)
и аналогично для F, W. Здесь tQ должно быть велико по
сравнению с временным масштабом турбулентности. Так как
флуктуации имеют как положительный, так и отрицательный знак, то
среднее от ?Г _ хщ/2
U' = 7 J ?/'</т^0. F.3)
О *-/0/2
Важным статистическим параметром является
среднеквадратичное значение флуктуации, которое при описании турбулентности
называют интенсивностью. Для компонента скорости по оси х
среднеквадратичное значение (интенсивность) флуктуации
определяется так:
т+м/2 I1/2
1 У
~ | (Ufdx . F.4)
/О т-/о/2
WT =
Аналогично определяются интенсивности флуктуации для двух
других компонент скорости.
Средняя кинетическая энергия турбулентности, приходящаяся
на единицу массы,
F.5)
пропорциональна сумме квадратов интенсивностей флуктуации
отдельных компонентов скорости. Очевидно, что чем больше эта
величина, тем больше степень возмущения внешнего течения.

148 Глава VI. Турбулентное движение
Между случайными величинами существует корреляция, если
они некоторым образом связаны между собой. В первом
приближении можно считать, что степень корреляции изменяется от
полной («абсолютное» соответствие одного события другому) до
нулевой (полная независимость). Наибольший интерес представляет,
прежде всего, степень взаимосвязанности флуктуации скорости
U\ V и W, которая описывается выражениями вида
?ГК' = - J U'V'dx. F.6)
*° T-/Q/2
Для течения с градиентом скорости (со сдвигом) в плоскости ху
корреляция U' V отлична от нуля и, как будет показано ниже,
связана с величиной касательного напряжения.
Важнейшим прибором для измерения турбулентных
флуктуации скорости является термоанемометр. Существует множество
разновидностей конструкций термоанемометров, а также
работающих с ними в комплексе измерительных приборов. Заметим,
однако, что при любом конструктивном оформлении принцип
действия данного прибора основан на измерении электрического
сопротивления металлической проволочки при пропускании через
нее электрического тока (или падения на ней напряжения),
которое связано с изменением ее температуры. В простейшем
термоанемометре очень тонкая платиновая проволочка (нить),
закрепленная между двумя иглами-держателями, нагревается электрическим
током, причем специальная электронная схема поддерживает
постоянным либо ток, либо падение напряжения на нити. При
введении нити термоанемометра в поток движущейся жидкости (или
газа) температура нити уменьшается. Охлаждение нити зависит от
скорости потока и может быть зарегистрировано либо как
изменение падения напряжения на нити (если ток постоянен), либо как
изменение тока (если напряжение постоянно). Чем меньше
диаметр и теплоемкость нити, тем быстрее она реагирует на
изменения скорости. Особенностью термоанемометра является
изменение его чувствительности с изменением ориентации проволочки
по отношению к направлению скорости набегающего потока. Это
позволяет, помещая две (или более) различным образом
ориентированные нити в одной «точке» потока, одновременно измерять
две (или более) компоненты скорости потока. Дальнейшая
обработка электрического сигнала на выходе прибора с целью получения
осредненной скорости, среднеквадратичного значения и
корреляций может выполняться автоматически с помощью специальных
электронных приборов.

2. Скорость, энергия и условия неразрывности при турбулентном течении 149
Естественно, для турбулентного течения, так же как и для
ламинарного, должно удовлетворяться условие неразрывности. Для
несжимаемой жидкости дивергенция скорости равна нулю.
Используя F.1), имеем
A(tf + ?/') + JL(F + K') + — (W + 1V') = O, F.7)
Эх v ' Эу v ' dz v ;
или
дХ + ЭГ + 3Z + ЭХ + ЭГ + 3Z
Выполняя осреднение и учитывая, что
т+/0/2
If
/0 T/
и Э?/7Эх + ЭК7Эу + dW/dz = 0 в силу F.3), получаем
^i. + ^l- + ^l_ = O, F.8)
Эх ду dz
а также
+ + = 0. F.9)
Эх ду dz
Таким образом, как осредненные, так и флуктуационные
значения скорости турбулентного потока должны по отдельности
удовлетворять уравнению неразрывности.
Рассмотренные выше соотношения предполагали
несжимаемость жидкости. В общем случае течений сжимаемого газа или
смесей газов процедура осреднения, очевидно, будет несколько
иной. Рассмотрим этот вопрос подробнее.
Пусть имеются две несвязанные величины / и q. В
соответствии с правилами, использованными ранее, для них справедливы
соотношения
~7у? _ о ~fo _  , f • п — ~f±~n (f% \(\Л
Также ясно, что если /' = 0, то осреднение произведения двух
флуктуирующих величин дает обычно отличное от нуля значение,
т. е. f'qr ф 0. И на самом деле среднеквадратичная величина
корреляций пульсации скорости известна как интенсивность
турбулентности (см. F.4)).
При рассмотрении течений сжимаемого газа осреднение
выполняется с использованием весовой функции, в качестве которой

150 Глава VI. Турбулентное движение
выступает плотность_газа^р. При этом осредненные величины
определяются как / s р/ / р , т. е.
T = pT/p
и т. д. Отметим, что так осредняются лишь компоненты скорости
и тепловые переменные. Плотность и давление осредняются
прежним образом.
Чтобы не путать два способа осреднения, в уравнениях
движения сжимаемых потоков пульсационную составляющую
переменной обозначают двумя штрихами, т. е.
и = п + и", у = у + у" ит,д.
Отметим, кстати, что в этом способе осреднения эквивалентом
соотношения F.3) является выражение
_
т. е. в общем случае /" ф 0. Ниже, простоты ради, будет
использован первый способ осреднения.
3. ТУРБУЛЕНТНЫЕ КАСАТЕЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
И ТУРБУЛЕНТНАЯ ВЯЗКОСТЬ
Сопротивление движению при ламинарном течении растет
прямо пропорционально росту скорости. Это было показано ранее
на примере установившегося равномерного течения в круглой трубе,
где d(p + yh)/ dz ~ V, причем ось z совпадает с осью трубы, а V—
средняя по сечению скорость. Эту зависимость можно изобразить
прямой линией с наклоном 45° в линейном и в логарифмическом
масштабах осей координат (рис. 6.3). Когда развивается
турбулентность, то наблюдается сначала резкий скачок сопротивления, а
затем с ростом скорости оно растет быстрее, чем для ламинарного
I
Рис. 6.3. Зависимость перепада давления от
скорости при ламинарном G) и турбулентном
B) течениях

3. Турбулентные касательные напряжения и турбулентная вязкость 151
течения. Скачок может достигать 100% или более. Последующий
рост сопротивления соответствует зависимости d(p + yh)/ dz ~ V",
где п — около 2. Так как d(p + yh)/dz пропорциональна
касательному напряжению, оказывающему сопротивление движению,
то становится очевидным, что при равных расходах ттур > хлам.
Один из первых исследователей турбулентности Ж. Буссинеск
выразил факт увеличения касательных напряжений при
турбулентном течении, введя понятие турбулентной («вихревой») вязкости,
зависящей от состояния турбулентного движения. Он написал для
простого двухмерного случая
dU t dU_ Fn)
тур dy T dy '
где U — осредненная местная скорость, определяемая
выражением F.2); т| — динамическая молекулярная вязкость (свойство
жидкости); г|т — некоторая динамическая турбулентная («вихревая»)
вязкость, зависящая от состояния турбулентного движения.
Слагаемое x\dU I dy выражает вязкое напряжение, вычислен-
ное_по градиенту скорости осредненного движения. Слагаемое
i\TdU /dy выражает дополнительное напряжение, связанное с
турбулентностью. Для ламинарного течения турбулентная вязкость
равна нулю. Для турбулентного течения г|т становится намного
больше, чем молекулярная вязкость Л, так что обычно слагаемым
r\dU I dy можно пренебречь. Кроме того, величина т|т переменна
по пространству, занятому текущей жидкостью, так как она
зависит от состояния течения, в то время как х\ является свойством
только самой жидкости. Подобно динамической молекулярной
вязкости динамическая вихревая вязкость имеет размерность Па • с
или кг/(м • с). Разделив ее на плотность р, получаем
кинематическую вязкость е = г|т /р, имеющую размерность м2/с.
Физическая модель, объясняющая добавочный вклад
турбулентности в величины сопротивления и касательного напряжения,
основывается на рассмотрении пульсационного обмена
количеством движения между частицами при их флуктуационном
движении. Рассмотрим течение со сдвигом, представленное на рис. 6.4.
Жидкость в двух соприкасающихся слоях движется с различными
осредненными скоростями щ и Щ. Если некоторый объем
жидкости, имеющий меньшую скорость, переносится пульсацион-
ной составляющей U' из нижнего слоя в верхний, то его скорость
в направлении течения оказывается меньшей, чем скорость
(осредненная) окружающей жидкости в верхнем слое, причем разность
скоростей равна -U'. В результате взаимодействия с окружающей

152 Глава VI. Турбулентное движение
жидкостью, движущейся быстрее, рассматриваемый объем
приобретает ускорение и его количество движения увеличивается. Но
это увеличение происходит за счет того, что у верхнего слоя
отнимается соответствующее количество движения, т. е. для этого слоя
переместившийся объем является «тормозом».
Секундный поток массы при перемещении частиц из нижнего
слоя в верхний может быть выражен как р V. Умножение на -?/'
дает величину дополнительного сопротивления -р?/У или, при
осреднении по времени,
-рггГ'. F.12)
Если частица жидкости перемещается из верхнего слоя в
нижний, то пульсация скорости вдоль оси у отрицательна и
секундный поток массы равен -р V. Отрицательная пульсация -К'
приводит к появлению в нижнем слое положительной пульсации вдоль
оси jc. Таким образом, и в этом случае изменение количества дви-
жения в направлении течения составит после осреднения -pU' V.
Замена слагаемого i\rdU / dy в F.11) выражением F.12)
позволяет получать для двухмерного равномерного течения
i = x\dU/dy-pU'V. F.13)
Для полностью развитого турбулентного течения
т = -р?ГГ. F.14)
Выражение F.14) показывает, почему сопротивление при
турбулентном течении возрастает приблизительно пропорционально
квадрату скорости: если каждый из компонентов пульсационной
скорости возрастает пропорционально средней скорости, то
дополнительные напряжения растут пропорционально квадрату
средней скорости.
Аналогичным образом может быть получен турбулентный
компонент нормального напряжения в направлении течения
F.15)
и другие подобные соотношения.
Чтобы иметь количественное представление о значении интен-
сивностей, корреляций и турбулентных касательных напряжений,
рассмотрим некоторые результаты экспериментов, выполненных
с помощью термоанемометра. На рис. 6.5, а показаны результаты
измерения турбулентных пульсаций в воздушном потоке в канале
прямоугольного поперечного сечения шириной 1 м и высотой
24,4 см. Здесь изображено распределение осредненной скорости U по

3. Турбулентные касательные напряжения и турбулентная вязкость
У ¦
U2
153
Рис. 6.4. Перенос количества движения
турбулентными пульсациями скорости
см2/с2
v
0,4 0,8 2у/Н
а
0,4 0,8 2у/Н
б
U
Рис. 6.5. Изменение турбулентных пульсаций скорости (а) и
корреляции (б) в прямоугольном канале (по Райхардту)
ширине канала в его среднем горизонтальном сечении. Виден
типичный профиль скоростей турбулентного течения с крутым
возрастанием скорости около стенок и довольно равномерным
распределением в середине. Максимальная скорость течения
составляла U= 100 см/с. На том же рисунке показано изменение
по ширине канала осредненных значений yJ(WJ и ^ДК^
продольной и поперечной пульсаций. В то время как поперечная
пульсация изменяется по ширине канала сравнительно мало и
составляет в среднем около 4% от U, продольная пульсация имеет в
непосредственной близости от стенок резко выраженный
максимум, равный 0,13 U. Ход кривых указывает на то, что в
непосредственной близости от стенок пульсационные скорости
уменьшаются, а на самой стенке — равны нулю (условия прилипания).
Далее на рис. 6.5,6 изображено изменение по ширине канала
корреляции -J7' V\ пропорциональной с точностью до множителя р

154 Глава VI. Турбулентное движение
турбулентному касательному напряжению. В середине канала, как
это и должно быть из соображений симметрии, -U' V равно нулю.
Максимум лежит вблизи стенок и показывает, что здесь
турбулентное трение достигает наибольшего значения. На рис. 6.5, б
штрихами отмечена также кривая т/р, показывающая, как изменяется
касательное напряжение, вычисленное по распределению
давления независимо от измерения пульсации. На большей части
ширины канала кривые -U' V и т/р почти совпадают. Это
обстоятельство показывает, что в середине канала полное касательное
напряжение определяется только турбулентным трением. В
непосредственной близости от стенок кривые -U'V и т/р отходят
одна от другой. Кривая -U'V' имеет на стенке нулевую ординату,
так как на стенке турбулентные пульсации исчезают. Разность
ординат обеих кривых -U'Г и т/р дает величину ламинарного
трения. Наконец, на рис. 6.5, б изображено также изменение
коэффициента корреляции ^ между продольной и поперечной
пульсациями в одной и той же точке. Этот коэффициент
корреляции определялся по формуле
U'V
Самое большое его значение достигает *р = —0,45.
Все эти результаты иллюстрируют важность и значимость
корреляции скорости в инженерном плане. Однако они ничего не
говорят о том, откуда эти корреляции появляются и как они
связаны с закономерностями движения газов (жидкостей). На практике
мы знаем, что турбулентные течения не испытывают препятствий
в своем развитии, однако теоретически развитое турбулентное
течение существовать не может, так как оно соответствует
неравновесному термодинамическому состоянию. И это не единственный
парадокс турбулентного течения, поскольку из уравнений Навье—
Стокса при тщательном анализе вытекают такие выводы, которые
вряд ли предусматривали первооткрыватели.
4. УРАВНЕНИЕ РЕЙНОЛЬДСА
И СОПУТСТВУЮЩИЕ УРАВНЕНИЯ
Уравнения Навье—Стокса есть конкретизация второго закона
Ньютона для движущихся сред, т. е. они в некоторой степени
являются иллюстрацией универсального закона сохранения. Это
обстоятельство означает, что в общем случае закономерности сохранения

4. Уравнение Рейнольдса и сопутствующие уравнения 155
количества движения жидкости или, более определенно,
уравнения Навье—Стокса справедливы в равной степени как для
ламинарного, так и для турбулентного течения. Однако сложность
турбулентного течения и, главное, совершенно случайный характер
пульсационных составляющих кинематических характеристик
потока не позволяют получить хоть в какой-то мере строгое решение
этих уравнений при заданных граничных условиях. Тем не менее
можно утверждать, что если особенности турбулентного движения
конкретизировать специально, то уравнения Навье—Стокса будут
в состоянии описать закономерности такого режима течения.
Подставим в уравнения движения несжимаемой жидкости с
постоянной вязкостью соотношения F.1), учитывая при этом, что
в турбулентном потоке пульсирует не только скорость, но и
давление потока. Тогда вместо уравнения движения Навье—Стокса в
проекции на ось х
ди ди ди д
получим
(^ Э/ dt
дх " Эх дх дх ду
+ v + v+w
ду ду ду dz
дх дх
Выполним следующие преобразования
и,ъи' | ьи'У иЖ х
д д д
х Г f w и | и
дх ду dz дх дх ду ду
t dU'W bW J{U'f x dU'V t dU'W ,(ЫГ t dV' | dW'
d d д д d \ д д
dz dz дх ду dz \ дх ду dz )
F17)
Эх ду dz
Осредним по времени уравнение F.16) с учетом F.17). При этом
учтем, что U' = V = W = 0 в силу соотношения F.3), а р = const

156
Глава VI. Турбулентное движение
и, следовательно, может быть внесена под знак производной.
Тогда получим
F.18)
Аналогичный вид имеют уравнения по координатам у и ъ
Уравнения типа F.18) называются уравнениями Рейнольдса.
Легко видеть, что уравнения движения, записанные
применительно к турбулентному течению, отличаются от обычных
уравнений Навье—Стокса лишь наличием в правой части дополнительных
слагаемых, характеризующих турбулентную вязкость (сравните эти
слагаемые с выражениями F.12) и F.15)). Полная матрица
компонентов турбулентных (рейнольдсовых) напряжений имеет вид
-ptf'K' -pU'W
/\2
-р(И -
-pWU' -pW'V -p(W?
Таким образом, имеем три уравнения движения с семью
неизвестными. Если учесть еще два уравнения неразрывности, то для
получения замкнутой системы недостает двух соотношений.
Фактически описание еще более осложняется, так как входящие
в F.18) корреляции пульсационных составляющих скорости
выступают обычно в качестве самостоятельных величин, требующих
определения. Как бы там ни было, получается незамкнутая система
уравнений, и, следовательно, эта система решена быть не может.
Турбулентность изучают уже около ста лет: первые научные
результаты начали появляться в 80-х годах XIX в. Этой проблеме
посвятили свои усилия выдающиеся ученые, ею и сегодня
занимаются многочисленные научные коллективы. И, несмотря на это,
здесь еще очень и очень много предстоит сделать.
При решении практических задач приходится для замыкания
системы уравнений турбулентного движения использовать
дополнительные соотношения, которые либо выводятся из опыта, либо
(что бывает чаще) обосновываются здравым смыслом и
рассуждениями. Поистине поразительно то обстоятельство, что построенные

4. Уравнение Рейнольдса и сопутствующие уравнения 157
таким путем полуэмпирические модели турбулентности дают
хорошие результаты. Одна из таких теорий, нашедшая широкое
распространение в инженерной практике,— теория Прандтля, будет
рассмотрена ниже.
Прежде чем перейти к выводу дополнительных соотношений,
необходимых для замыкания уравнений Рейнольдса, выявим те
общие свойства турбулентных течений, которые из данных
уравнений следуют. С этой целью рассмотрим установившееся
турбулентное движение жидкости (газа) между двумя параллельными
неподвижными бесконечными пластинами, расположенными на
расстоянии а друг от друга (в щели). Точно так же, как и в случае
ламинарного течения, можно показать, что перепад давления
потока есть величина постоянная и что все кинематические
характеристики течения зависят лишь от координаты у, направленной
перпендикулярно плоскости пластины. Тогда уравнения
Рейнольдса существенно упрощаются и принимают вид
F.19а,
Интегрирование F.19а) при граничных условиях
у = 0, К' = 0, Р = РО{Х)
дает
2 F.20)
откуда следует, что, во-первых, др/дх не зависит от х (этот факт
отмечался ранее) и, во-вторых, что давление потока в
перпендикулярном к течению направлении не остается (в отличие от
ламинарного движения) постоянным, даже если пренебречь влиянием
на р силы тяжести. Сопоставление формулы F.20) с данными
рис. 6.5 показывает, что профиль давления имеет М-образный вид,
хотя разность между наибольшим и наименьшим значениями р
и не столь существенна.
Интегрируя уравнение F.19), для др/дх = const получаем
^-Л^-р^Р-йу + С, F.21)
где С — постоянная интегрирования. На стенке щели (при у = 0) V =
= U' = 0, а dU/ду ф 0. Согласно соотношению F.12), Л (dU/dy)yQ = х0,

158 Глава VI. Турбулентное движение
т. е. касательному напряжению потока на стенке. Тогда вместо
выражения F.21) можно записать
(^/) F.22)
Таким образом, и в турбулентном потоке касательное
напряжение линейно убывает в поперечном направлении от
максимального значения т0 на стенке до нуля на оси потока, так как в
соответствии с данными рис. 6.5 на оси потока UV = 0 (хотя
yj(U'J, -у (К'J и отличны от нуля). Отметим также, что т0
определяется исключительно изменением осредненной скорости
потока и не зависит от пульсационных составляющих. __
Поскольку на оси потока т = О, то перепад давления др/дх
можно выразить через касательное напряжение на стенке:
др/дх = -то/(я/2). Тогда соотношение F.22) принимает вид
F.22а)
Аналогичное уравнение можно записать для турбулентного
течения в круглой трубе радиусом rQ:
т/то=1- y/ro=r/rO9 F.226)
где г = го-у.
Описанные общие свойства турбулентного течения хорошо
согласуются с экспериментальными данными, представленными
на рис. 6.5, свидетельствуя тем самым о соответствии
(адекватности) уравнений Рейнольдса физической картине процесса. Это
обстоятельство, а также то, что полуэмпирические модели не
позволяют описать детали турбулентного движения, служит
стимулом для поиска более совершенных в физическом и
математическом планах теорий турбулентности, основывающихся в своих
построениях на минимальное количество экспериментальной
информации. Эти теории, называемые статистическими, широко
используются в физике атмосферы, авиации и космонавтике, но их
пока еще трудно приспособить для анализа теплотехнических задач.
В связи с этим, рассмотрим те результаты, которые вытекают
из уравнений Навье—Стокса и Рейнольдса. Основное затруднение
при решении уравнений Рейнольдса состоит в неопределенности
корреляций пульсационных составляющих (напряжений
Рейнольдса). Их нужно, как уже отмечалось ранее, выразить каким-то
образом через параметры осредненного течения. В этом и состоит
проблема замыкания.
В принципе, используя уравнения Навье—Стокса и
Рейнольдса, нетрудно получить уравнения для парных корреляций.

4. Уравнение Рейнолъдса и сопутствующие уравнения 159
Не останавливаясь на деталях преобразований, сразу приведем
конечные выражения для случая двухмерного течения:
{uf + u{Uf + v(uf + wf+wv
р Эх Эх
ду
F.23)
и аналогичное уравнение для (F') :
** тт'1/> , 77 о tt'iz' , i7
UV+U — U'V'+V— U'V' =
dt дх ду
ду рдх
/+/(П2 v
fFy+/+/(П vu(v)
р Эу р Эх р Эу Эх ду
F.24)
х Эх ду д
Можно видеть, что в результате этих преобразований,
позволивших получить уравнения для (?/') , UV и (V) , появились
добавочные тройные (неизвестные) корреляции типа (U'f V
и т. п. Их появление обусловлено (как и в случае уравнений Рей-
нольдса) преобразованиями конвективных слагаемых уравнения
сохранения импульса. Физически это означает, что турбулентность
генерируется и поддерживается осредненным движением. Но
поскольку кажущиеся (рейнольдсовы) напряжения связаны с
увеличением потерь энергии потока при течении (см. выше), то они,
тем самым, являются одновременно и дополнительным диссипа-
тивным механизмом. Однако эти тройные корреляции не
определены в рамках уравнений F.23), F.24): в этом состоит проблема
решения задачи замыкания. Из уравнений Навье—Стокса с учетом
соотношений F.18), F.23) и F.24) можно получить выражения,
описывающие изменения в потоке тройных корреляций, но они

160 Глава VI. Турбулентное движение
обязательно будут содержать четверные и т. д. В любом случае на
каком-то этапе мы будем вынуждены оборвать цепочку уравнений
и для замыкания системы прибегнуть к эмпирическим
соотношениям.
Необходимо особо подчеркнуть, что вышеописанные
преобразования не имеют под собой прочного физического обоснования
и их следует рассматривать не более как математические
манипуляции. Именно по этой причине физический смысл отдельных
слагаемых уравнений F.23) и F.24) неясен до сих пор. С другой
стороны, эти преобразования выполняются над уравнениями
Навье—Стокса, физическое содержание слагаемых которых
совершенно прозрачно. По этой причине и выражения F.23), F.24)
включают слагаемые, присущие исходным уравнениям:
конвективный и вязкостный («диффузионный») переносы корреляций пуль-
сационных составляющих компонент скорости, генерацию и
диссипацию турбулентных характеристик. Например, из уравнений
Навье—Стокса, Рейнольдса F.23) и F.24) можно получить
следующее уравнение для переноса кинетической энергии
турбулентности ET=T(trf+ (i^
где Е^ — пульсация кинетической энергии турбулентности.
Левая часть уравнения F.25) характеризует локальное
изменение и конвективный перенос энергии турбулентности осредненным
течением. Первые два слагаемых правой части отражают диффузию
Ет за счет молекулярного механизма (вязкая диффузия) и
вследствие турбулентного перемешивания (турбулентная диффузия).
Эти же слагаемые показывают, что существенную роль в
диффузионном переносе Ет играет градиент пульсаций давления.
Последующие третье, четвертое и пятое слагаемые представляют
собой произведения пульсационных составляющих скорости на

5. Простые алгебраические модели
касательные напряжения, обусловленные осредненными
характеристиками течения. Но так как корреляция есть ни что иное, как
турбулентные напряжения, то эти слагаемые можно трактовать как
работу осредненного движения по порождению (генерации)
турбулентности. И, наконец, последнее слагаемое характеризует
диссипацию кинетической энергии турбулентности, обусловленную
работой сил молекулярной вязкости.
Несколько ниже мы используем уравнение F.25). Сейчас же
отметим, что, несмотря на наличие физического содержания
слагаемых этого уравнения, оно в данной форме решено быть не
может, так как выражения типа U'E'T представляют собой тройные
корреляции и, следовательно, нуждаются в какой-то модели
аппроксимации.
5. ПРОСТЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
.Алгебраические модели восходят к Буссинеску, который более
чем 100 лет тому назад A877 г.) выдвинул предположение (см. выше),
что сдвиговые напряжения связаны со скоростью средней угловой
деформации через кажущуюся (эффективную) турбулентную (или
«вихревую») вязкость. Для тензора рейнольдсовых напряжений
общего вида с девятью компонентами это дает
; g |5,(^diw + pET), F.26)
где индексы i,j пробегают значения 1, 2, 3; щ = и, щ = v, и3 = w,
хх = х, х2= у, х> = С 8,у — символ Кронекера (8,у = 1 при / = j
и 8/у = 0 при / * j), а знак осреднения над компонентами
скорости в целях упрощения записи в дальнейшем опускается.
По аналогии с кинетической теорией газов можно ожидать,
что турбулентная вязкость г|т с достаточной точностью
описывается выражением
r\r = pVTL, F.27)
где VT и L — характерные масштабы скорости и длины
турбулентности соответственно. Очевидно, что проблема описания
турбулентности и состоит в том, как оценить VT и L.
Гипотеза пути смешения Прандтля. Рассмотрим еще раз
качественно явления, наблюдаемые в турбулентном потоке, омывающем
плоскую поверхность (стенку) (рис. 6.6). В области,
непосредственно прилегающей к стенке, движение жидкости преимущественно
ламинарное и скорость круто возрастает. Несколько далее от стенки
П-3546

162 Глава VI. Турбулентное движение
течение становится нестационарным, и, наконец, достигается
область, где весь поток вовлечен в турбулентное движение. В
тщательных экспериментальных исследованиях было установлено, что
ламинарная область не является полностью невозмущенной.
Прилегающие к стенке сравнительно крупные элементы жидкости,
имеющие низкую скорость, периодически отрываются от
поверхности и движутся примерно по показанной на рис. 6.6 траектории.
Попадая в развитую турбулентную область, они разрушаются, что
приводит к характерной картине диссипации турбулентности.
Механизм этого явления, как уже отмечалось, еще не понят, но,
вероятно, он связан с неустойчивостью жидкости в ламинарной
области. Ясно также, что элемент жидкости, оторвавшийся от
поверхности, замещается жидкостью с большой энергией,
подтекающей из удаленной от поверхности области. По-видимому, именно
эта жидкость приносит энергию, необходимую для отрыва
жидкого элемента от поверхности. Во всяком случае, в ядре потока
турбулентность генерируется и поддерживается элементами
жидкости, пришедшими от стенки.
Показанные на рис. 6.6 явления происходят сравнительно
близко от стенки. Вполне вероятно, что осредненная по времени
местная скорость в этой области зависит главным образом от условий
в данной точке и ее ближайшей окрестности и существенно не
зависит, например, от расстояния до противоположной стенки
трубы или от формы ее поперечного сечения. Поэтому
величинами, от которых может зависеть осредненная по времени скорость
и которые (самое главное) могут быть измерены в эксперименте,
являются: расстояние от стенки у, касательное напряжение на
стенке т0, кинематическая вязкость v и плотность р, т. е.
U = / (j>,T0,v,p)
или __
() 0. F.28)
Конкретный вид функциональной зависимости F.28) пока
остается неизвестным. Однако на основании материалов
предыдущей главы можно предположить, что осредненная скорость
определяется не каждой из перечисленных величин порознь, а
некоторой их совокупностью (впредь над обозначением скорости знак
осреднения не ставится, так как мгновенные значения скорости
далее не используются).
Составим из величин, существенных для процесса,
произведение сомножителей с соответствующими степенями и наложим на

5. Простые алгебраические модели
163
1
и
оо/э
Рис. 6.6. Схема турбулентного течения около стенки: / - ламинарная
область; 2 — область развитой турбулентности; 3 — отброс турбулентного
комка от стенки
него условие нулевой размерности
или
(LX I jL IML X I (L X J 1Mb J = M L X .
Отсюда в соответствии с E.14) получаем систему уравнений
я, + п2 - я3 + 2я4 - Зл5 = 0;
Я| + ... + Zflj + Я^ + ... = U,
F.29)
Решая ее относительно я, и «2, находим
1 1
Тогда вместо F.29) можно записать
П =
U
^7р
или
и
J
f
F.30)
где yxo/p называют динамической скоростью и обозначают ?/,. Для
сокращения записи безразмерные группы в уравнении F.24)
обозначают U+ и у+; U+ — это безразмерная скорость, а у* —
безразмерное расстояние от стенки. Таким образом,
F.31)
F.32)
>, y+=yCf./v
U+=f{y+).

164 Глава VI. Турбулентное движение
Если учтены все существенные переменные, то уравнение
F.32) показывает, что при измерении профиля скорости в
турбулентном потоке в широком диапазоне расходов в трубе (или в
турбулентном пограничном слое на внешней поверхности тела)
опытные данные в координатах ?7+, у+ должны ложиться на одну общую
кривую независимо от диаметра трубы и свойств жидкости.
Для чисто ламинарного течения можно легко показать, что
уравнение F.32) действительно справедливо. В самом деле, в этом
случае касательное напряжение в любой точке движущейся
жидкости равно
(ди Эу
и так как производная dv/dx мала, то
х = ц(ди/ду)
или
x/p = v(du/dy).
Ранее было получено (см. гл. IV), что при стабилизированном
течении в трубе касательные напряжения изменяются линейно от
т0 на стенке до нуля на оси трубы. Однако в узкой пристенной
области касательное напряжение незначительно отличается от х0.
Следовательно, в этой области
хо/р = vdu/dy или du+ = dy+.
Проинтегрировав эту зависимость при граничном условии: «+ = О,
у+ = 0, находим
и* = у\ F.33)
Для турбулентного течения изменяется только вид функции
U+ = /(д>+). Следует ожидать, что в области, непосредственно
прилегающей к стенке, уравнение F.33) справедливо и при
турбулентном течении.
Общий характер турбулентного профиля скорости в области,
удаленной от стенки, можно определить с помощью теории пути
смешения Прандтля. Несмотря на то что эта теория использует
довольно грубую модель турбулентного обмена импульсов, она все
же проливает некоторый свет на действительный характер
переноса в турбулентных течениях.
Л. Прандтль предложил следующий механизм турбулентного
течения. В турбулентном потоке возникают жидкие объемы, каждый
из которых обладает собственной скоростью и движется на
протяжении некоторого расстояния как в продольном, так и в поперечном

5. Простые алгебраические модели
165
направлении в виде неразрывного целого с сохранением х —
составляющей своего импульса. Предположим, что один такой
жидкий объем, возникший в слое ух-1 и обладающий скоростью
U(yx - /), перемещается на расстояние /в направлении,
перпендикулярном главному течению (рис. 6.7). Назовем расстояние /,
следуя Прандтлю, путем смешения. Если рассматриваемый жидкий
объем сохраняет jc — составляющую своего импульса, то в новом
слое он будет иметь меньшую скорость, чем окружающая его
новая среда. Разность между новой и старой скоростями будет равна
Ащ = u(yl)-u(yl-l)~l(du/dy)r
Последнее выражение получается в результате разложения
скорости и (у, - /) в ряд Тейлора и отбрасывания всех членов порядка
выше первого. При таком поперечном течении V > 0.
Аналогичным образом, жидкий объем, попадающий в слой у{ из слоя ух + /,
имеет в новом месте большую скорость, чем окружающая его
среда. Разность скоростей составляет
причем теперь V < 0. Каждую из разностей скоростей Ащ и Аи2,
вызванных поперечным движением, можно понимать как
турбулентную пульсацию скорости в слое у{. Следовательно, осреднен-
ное по времени значение абсолютной величины этой пульсации
будет
] ± ) F.34)
Это соотношение позволяет дать пути смешения / следующее
физическое толкование: путь смешения представляет собой то
расстояние в поперечном направлении течения, которое частица
жидкости, двигаясь со средней скоростью своего первоначального слоя,
должна пройти для того, чтобы разность ее скорости и скорости
течения в новом месте стала равной осредненному значению
абсолютной величины продольной пульсации турбулентного течения. Путь
Рис. 6.7. Схема пути смешения
1

166 Глава VI. Турбулентное движение
смешения в известной мере аналогичен пути свободного пробега
молекул в кинетической теории газов, с той только разницей, что
там происходят микроскопические движения молекул, а здесь —
макроскопические движения турбулентных масс.
Возникновение пульсации скорости в поперечном
направлении Прандтль трактовал следующим образом. Два жидких объема,
один из слоя у{ - /, а другой из слоя ух + /, попадают в слой ух
и располагаются в нем один за другим так, что более «быстрый
объем» оказывается позади более «медленного». В таком случае
оба объема сталкиваются со скоростью 2U' и получают при этом
боковое отклонение, в результате чего возникает поперечное
движение, направленное в обе стороны от слоя ух. Если же впереди
оказывается более «быстрый» объем, то они удаляются один от
другого со скоростью 2J7'. В этом случае образующееся между
обоими объемами промежуточное пространство заполняется
окружающей жидкостью, вследствие чего возникает поперечное движение,
направленное с обеих сторон к слою у{. Из этих рассуждений
следует, что величина поперечной скорости V имеет тот же
порядок, что и величина продольной скорости U', и поэтому можно
написать, что
|F"'| = const Щ = const • / (dU/dy). F.34a)
Согласно соотношению Ж. Буссинеска F.13),
- = (v + e)—. F.13а)
Р dy
С другой стороны, для развитого турбулентного потока в
двухмерном случае имеем
е = -U'V. F.14а)
Р dy
Используя F.34) и F.34а), после ввода констант в неизвестную
пока постоянную /вместо F.14а) получим
и
/2 ¦ 'А
dy
Примем, что вблизи стенки длина пути смешения
пропорциональна расстоянию у от стенки, т. е. / = ку, где к есть безразмерная
постоянная, которая должна быть определена из опыта. Данная
гипотеза вполне уместна, поскольку на стенке турбулентное
касательное напряжение равно нулю, так как здесь пульсационное
движение исчезает.

5. Простые алгебраические модели 167
Тогда для турбулентного касательного напряжения получаем
следующую формулу:
1 = к2у2{—) . F.35)
Р \ Ф )
В этом уравнении х изменяется от максимального значения х0
на стенке до нуля в ядре течения (при стабилизированном
течении в круглой трубе — у оси трубы). В области, не слишком
удаленной от стенки, где происходит основное изменение
скорости, х мало отличается от значения на стенке х0. Следовательно,
приближенно можно записать
Tjp = k2y2(dU/dyf; dU/dy =
Вводя и+ и у*9 имеем
du+/dy+ =
или
F.36)
Таким образом, если основные предпосылки рассмотренной
модели турбулентного переноса импульса справедливы, можно
ожидать, что измеренные турбулентные профили скорости в
координатах и\ у* образуют единую универсальную кривую —
логарифмическую в большей части поперечного сечения потока и
приближающуюся к линейной в пристенной области. Подобные
зависимости действительно были установлены экспериментально.
Верхний предел применимости закона F.36) определяется в
основном относительным расстоянием от стенки у/Ъ » гДе П°Д
величиной 5 понимается толщина пограничного слоя, о котором
говорилось в разд. 1. В области, где выполняется уравнение F.36), могут
быть выделены отдельные зоны (схема Никурадзе—Мартинелли):
1. Ламинарный подслой. Здесь коэффициент кинематической
вихревой вязкости пренебрежимо мал по сравнению с v
(практически полагают е = 0). Поэтому закономерности течения
описываются уравнениями ламинарного движения. Ламинарный
подслой простирается в среднем на расстояние д>+ = 5, профиль
скорости жидкости в нем описывается уравнением F.33).
2. Переходная зона (зона перемежаемости). В слое 5 < У* < 30 -5-70
ламинарное течение теряет устойчивость, но и турбулентность еще
полностью не установилась. Часть времени жидкость находится
в состоянии ламинарного движения, часть — в состоянии
турбулентного. Доля времени, в течение которого поток турбулентен,

168 Глава VI. Турбулентное движение
от всего времени наблюдения называется перемежаемостью и
обозначается через О.. Для этого слоя профиль скорости описывается
выражением
и+ = 5,01п>>+-3,05, F.37)
т. е. здесь коэффициенты уравнения F.36) равны: к = 0,2; С= —3,05.
Отметим, что в переходной зоне влияние молекулярной вязкости
на закономерности течения соизмеримо с влиянием вихревой
вязкости (е =* v).
3. Турбулентная зона. За пределами зоны перемежаемости
влияние молекулярной вязкости на характеристики потока полностью
исчезает. С большой степенью точности можно считать, что здесь
v ~ 0. Как и в предыдущей зоне, профиль скорости описывается
уравнением F.36), но с несколько другими коэффициентами
w+=2,51nj/++5,5. F.38)
Видно, что для турбулентной зоны к = 0,4; С= 5,5.
Таким образом, согласно трехслойной схеме функция г,
фигурирующая в уравнении Ж. Буссинеска F.14а), не является
непрерывной, и профиль скорости и+ имеет излом. В этом и состоят
недостатки данной схемы, однако в ней отчетливо выступает
механизм переноса импульса в каждой зоне.
Напомним, что уравнение F.36) получено в приближении
постоянства касательного напряжения (хях0).и нельзя ожидать, что
оно будет справедливо для области вблизи оси трубы, где
касательное напряжение стремится к нулю. Поэтому несколько
неожиданным является хорошее соответствие измеренных профилей
скорости логарифмическому по всему сечению вплоть до оси трубы.
Причина этого обстоятельства, как показал Т. Карман, заключается
в том, что допущение Л. Прандтля т = т0 вместо верного равенства
F.226) скомпенсировалось принятием линейной зависимости для
пути смешения / = ку (по Карману / = ky^jl - у/г0). Опыт и
интуиция Прандтля сделали то, что не могла сделать в его время теория.
Возвращаясь к выражению F.27), отметим, что в соответствии
с моделью Прандтля
F.39)
причем произведение 1\д1//ду\ можно интерпретировать как
характерную скорость турбулентности VT. Для трехмерных
сдвиговых слоев формула Прандтля F.39) записывается обычно в виде
в
ду \ду

5. Простые алгебраические модели 169
В этом выражении турбулентная вязкость рассматривается как
скаляр. Такой подход дает правильные результаты главным
образом для пристенных течений. Между тем, как нетрудно заметить,
при этом в действительности рассчитывается поведение среды с
другим материальным соотношением (свойством), которая имеет
такое же гидравлическое сопротивление, что и реальная среда. Тем
не менее в ряде случаев модель Прандтля оказывается полностью
несостоятельной.
Пример 6.1. Определить на основе модели Прандтля соотношение
между турбулентной и молекулярной составляющими кинематической
вязкости.
Запишем F.39) в виде
или М
F.40)
В первоначальной теории Прандтля Г = ку+. С другой стороны, из
F.38) находим: dU+/dy* =\/(ку*уСледовательно, e/v = ку+9 т.е.
турбулентная вязкость в буферной и турбулентной зонах линейно нарастает по
мере удаления от стенки.
Другие модели. Основная проблема использования модели
Прандтля состоит в определении пути смешения /. Вычисление /
в теории пути смешения зависит от типа рассматриваемого
течения: пограничный слой, струя, след и т. д. Для пристенных
течений (внутренних или внешних) хорошие результаты дает оценка
по формуле Ван Дриста
/,=»>[ 1-ехр(-//А+)] , F.41)
где % = 0,39 + 0,41 — универсальная постоянная Кармана (к в
модели Прандтля), а демпфирующая константа А+ = 26. При у->0
ехр(-/УА+)-> 1 — у*/А+9 т.е. 1,/у_0-> z^//B6v),тогда как по
Прандтлю / изменяется линейно.
Используя соотношения F.13а), F.40) и F.41), а также
допуская, что х = х0 по всей толщине пограничного слоя, придем к
следующему уравнению профиля осредненной скорости:
и* = 2/ |1 + ^1 + 4Z2 (у-J [1 - ехр(-//А+)]21 dy\ F.42)
Эта формула дает хорошее совпадение с опытом от стенки до
внешней границы пограничного слоя, т. е. вообще устраняет
деление турбулентного пограничного слоя на отдельные зоны. Однако

170 Глава VI. Турбулентное движение
для внешних областей потока, когда значение (., рассчитанное по
F.41), впервые превосходит
/0 = Cfr F.43)
/ принимается равным /0. Здесь С = 0,089, а 8 — толщина
пограничного слоя. Для учета влияния переменных свойств жидкости,
градиентов давления, вдува, шероховатости поверхности и т. д.
сделаны многочисленные поправки к экспоненциальной функции
Ван Дриста. Однако, как ясно из сравнения экспериментальных
данных с результатами расчетов, все эти поправки «работают»
больше на здравый смысл, чем на наше понимание
турбулентности. В качестве одного из примеров таких поправок приведем
соотношение, полученное Райхардтом для трубы радиуса г0 на
основании экспериментальных данных,
Ф = к (ro76)[l - (r/roJ][l + 2 (r/r0J], F.44)
где r0+ = [/„ ro/v. Интегрирование уравнения F.14а) с
использованием выражений F.36), F.44), линейного профиля,
определяемого формулой F.226), и значений к= 0,4 и С= 5,5 позволяет
получить следующее выражение для профиля скорости в турбулентном
ядре потока:
и+ =5,5 + 2,5 1п|1,5у+ 1^\Х F.45)
L l + 2(/)J
Это уравнение прекрасно согласуется с опытными данными по
всему турбулентному ядру течения вплоть до оси трубы. Наклон
профиля скорости, описываемого уравнением F.45), у оси трубы
равен нулю. В пределах ламинарного подслоя F.45) не
выполняется, и при у+ < 5 необходимо использовать соотношение F.33).
Стоит отметить, что при малых числах Рейнольдса, т. е. при
зарождении турбулентного пограничного слоя, размеры как
внутренней, так и внешней области стремятся к нулю и следует
ожидать неприятностей при применении модели турбулентности,
использующей выражения F.42) и F.43). Трудности возникают
оттого, что малые 5, имеющие место при зарождении
турбулентного пограничного слоя, вызывают переключение на модель
внешней части, прежде чем демпфирующий эффект позволит развиться
полностью турбулентной области модели закона стенки. Это
приводит к занижению величины касательного напряжения на стенке.
Можно добиться хорошего соответствия результатов расчета
с экспериментальными данными при малых числах Рейнольдса

5. Простые алгебраические модели ГП
путем простого запаздывания переключения с модели внутренней
части слоя F.42) на модель внешней части F.43) до тех пор, пока
>>+<50. Если у+ = 50//5< 0,089, то в модификации нет
необходимости. Если, с другой стороны, соотношение F.42) дает
//8 > 0,089, то длина пути смешения становится постоянной во
внешней части, рассчитываемой по F.42) при у* = 50. Такая
простая модификация дает линейно-логарифмический профиль
скорости, что согласуется с измерениями.
Для расчета турбулентной вязкости во внешней части слоя как
альтернативу расчету по соотношению F.43) часто используют
другой подход. Клаузер предложил пользоваться формулой
ЛТВнеш=<*Р^|4 F'46)
В этом выражении а — коэффициент, учитывающий
эффекты перемежаемости при малых числах Рейнольдса, рассчитанных
по локальной толщине потери импульса 9. Себеси и Смит
рекомендуют для отыскания а следующую формулу:
где
= Ree/425-l, где11ев=[/е/у, e = J^|l--^W
При Ree > 5000 величина а приобретает практически
постоянное значение, равное a « 0,0168.
Параметр 8* — толщина вытеснения, определяемая с
помощью выражения
а = o,O168-^-, F.46a)
П = 0,55[l -exp(-0,243Vz -0,298Z)];
В приведенных выше формулах индекс °° характеризует
параметры ядра потока (набегающего течения).
Это обсуждение алгебраических моделей для пристенных
течений ни в коей мере не является исчерпывающим. За истекшие
годы было предложено множество слегка отличающихся друг от
друга алгебраических моделей (схемы Альтшуля, Дайсслера, Спол-
динга, Патанкара и др.). Было выполнено сравнение одиннадцати
из них на примерах турбулентных течений в трубах с
теплообменом. Оказалось, что ни одна из них не дает лучших результатов,
нежели описанная выше модель длины пути смешения с
демпфирующей функцией Ван Дриста.

172 Глава VI. Турбулентное движение
Чуть меньше информации имеется об алгебраических моделях
турбулентности для свободных сдвиговых течений. Эта категория
течений более трудна для расчета, чем пристенные пограничные
слои. На начальном участке круглой струи может использоваться
формула Прандтля длины пути смешения F.39), где /
определяется выражением
/ = 0,07628ш, F.47)
здесь Ът — ширина зоны смешения. Эта модель уже не работает,
когда сдвиговые слои сливаются, и в этой точке необходим
переход к модели формы струи:
(^max ~ ^min ) F.48)
ИЛИ
E = 2Lt\y -Ulydy, F.49)
a у
которая обеспечивает хорошее соответствие с экспериментальными
данными для круглых соосных струй. Выражение F.49) есть
модификация модели, предложенной Прандтлем для струй. В F.48),
F.49) а — радиус отверстия; Q — функция перемежаемости:
[1, если 0<у/у]/2 <0,8;
п = \ у F.50)
[@,5Г, если y/yl/2>0,8,
где Z = (у/У[/2 -0,8)f ; F— функция отношения вскорости
потока к скорости истечения из отверстия, задаваемая выражением
/* = 0,015 A + 2,1 ЗУ?2). Координата у измеряется от оси струи, и
Уу2 — расстояние от оси струи до точки, в которой скорость
убывает до значения, равного средней величине от скорости на оси
струи и скорости внешнего течения.
Закон дефицита скорости. В инженерной теории
турбулентности кроме уравнения F.38) имеется еще одно универсальное
соотношение, сущность которого в следующем.
Предположим, что, хотя логарифмический профиль скорости
и получен в предположении х = х0, его все же можно применять
на больших расстояниях, вплоть до оси трубы. Тогда, учитывая,
что при у = г0 (на оси трубы) U = UOCb, получим
Вычитая из этого выражения уравнение F.38), найдем
изменение скорости — дефицит скорости (по сравнению с максимально

5. Простые алгебраические модели 173
возможной С^ось), вызванное потерями энергии турбулентного
потока на трение:
или
(?7^-{/)/?/, = 5,75 lg(ro/y). F.51)
Это и есть закон дефицита скорости. Эксперименты
показывают, что соотношение F.51) не выполняется в ламинарном
подслое, но частично перекрывает ту турбулентную зону, где
применимо также выражение F.38). Ценность закона дефицита скорости
состоит в том, что он действительно универсален, т. е.
выполняется при любом числе Рейнольдса как для гладких, так и для
шероховатых стенок.
Любое выражение, описывающее распределение осредненной
скорости в турбулентном потоке, одновременно определяет
локальный коэффициент трения cf . В самом деле, масштабная
(динамическая) скорость равна U* = 7WP • С ДРУ1** стороны,
т0 = cfpU2/2, где U — скорость в ядре потока. Объединив эти два
соотношения, получим
fc F.52)
Использование выражения F.52) для анализа пристенной
турбулентности будет рассмотрено ниже.
Пример 6.2. Вывести соотношение между гидравлическим
коэффициентом трения X и динамической скоростью U+.
Согласно определению для трубы длиной L и диаметром d = 2г0
d
где V — средняя расходная скорость потока. Изменение давления вдоль
потока однозначно выражается при любом режиме течения через
касательное напряжение на стенке (см., например, F.22)): Ap/L = 2xo/ro.
В свою очередь, т0 = cfp U2/2.
Следовательно,
2т0 2r0 _*cfpU2/2_
6
F5
Для движения в круглой трубе скорость ядра потока — это скорость
жидкости на оси трубы 1/осъ. Тогда
2 F.53а)

174 Глава VI. Турбулентное движение
Подставив теперь в F.53а) соотношение F.52), получим требуемое
уравнение
F.54)
Пример 6.3. Показать, что гидравлический коэффициент трения при
турбулентном течении в гладких трубах определяется лишь значением
числа Рейнольдса.
Используем для решения задачи формулу F.54) и закон дефицита
скорости F.51). Интегрируя F.51) по радиусу трубы (г = г0 - у), находим
jV 1= "ось ~
или после подстановки мось из уравнения F.38)
"ось = «J2,5 lnC/ygV) + 5,5],
окончательно имеем
F=w.[2,51n(r0w./v) + 1,75]. (а)
Выражение (а) содержит незначительную погрешность, вызванную
тем, что F.51) не выполняется в ламинарном подслое.
Величину roujv в (а) можно представить как произведение числа
Рейнольдса, рассчитанного по средней расходной скорости V и диаметру
трубы d= 2r0, на выражение, зависящее от X и вытекающее из
уравнения F.54),
rou. = I Vd и,
v 2 v V
Подставив это соотношение и выражение (а) в формулу F.54),
получим
X = 8 [2,5 In (ReV5l) - 2,51п(Ф/2) +1,75]" ,
откуда
Если учесть теперь, что в ламинарном подслое закон дефицита
скорости не «срабатывает», и уточнить величину коэффициентов, то будем
иметь следующую зависимость:
1 / у/к = 2,0 lg(Re>/>:) - 0,8. F.55)
Закон, выражаемый этим уравнением, называется универсальным
законом сопротивления Прандтля для гладких труб. Он проверен опытами
И. Никурадзе вплоть до чисел Рейнольдса 3,4 • 106 и дает прекрасное
совпадение с измерениями. В соответствии с условиями своего вывода закон
F.55) может быть экстраполирован до произвольно больших чисел
Рейнольдса, поэтому нет необходимости проводить новые измерения.

6. Модели с одним ОДУ и одним уравнением переноса 175
6. МОДЕЛИ С ОДНИМ ОБЫКНОВЕННЫМ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЕМ
И МОДЕЛИ С ОДНИМ УРАВНЕНИЕМ ПЕРЕНОСА
Моделью с одним обыкновенным дифференциальным
уравнением называют такую модель, в которой один из параметров
турбулентности (F, / или сама т|т) в направлении основного потока
находят из решения обыкновенного дифференциального уравнения.
Это уравнение, конечно, одномерное и полуэмпирическое.
В настоящее время имеется более десятка моделей с одним
обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ). В
качестве примера рассмотрим модель, разработанную Плетчером для
пристенных пограничных слоев. Для внутренней части
пограничного слоя длина пути смешения определяется выражением F.41),
а для внешней части эта длина принимается равной
/0 = 0,12Z,
где L имеет смысл толщины пограничного слоя и определяется из
решения ОДУ. Для сдвиговых слоев постоянной толщины за L
принимается толщина 8 сдвигового слоя. При изменении 8 в
направлении потока L будет отставать от 8, причем характер этого
отставания будет определяться временем релаксации крупных
турбулентных вихрей, которое считается равным Ъ/пх, где пх —
характерная турбулентная скорость. Если далее принять, что скорость
жидкости во внешней части пограничного слоя равна U^, то
расстояние в направлении течения, которое поток проходит°за время
релаксации, есть V = CL UJ>/UX. Тогда уравнение для изменения может
быть записано в предположении, что L релаксирует к 8 по закону
dL/dx=(b-L)/L\
Эта модель была распространена на свободные сдвиговые
течения, при этом 8 интерпретируется как расстояние между точкой
максимума сдвигового напряжения (ттах) и внешней границей
течения, а 11^ заменяется продольной скоростью, осредненной по
сдвиговому слою. Оптимальная оценка их, по-видимому, не
найдена. Выражение их = (Z,/8)w»c успехом применяется для течений
вдоль твердых поверхностей, тогда как их = >/тгпах / рст оказалось
вполне удовлетворительным для свободных сдвиговых течений.
В окончательном виде ОДУ для переноса L в случае пристенных
пограничных слоев и смешивающихся сдвиговых слоев в
кольцевых каналах можно записать в виде

176 Глава VI. Турбулентное движение
Очевидный недостаток алгебраических моделей турбулентной
вязкости, а также большинства моделей с одним ОДУ, в которых
К в выражении tit = p VTl оценивается по формуле V1 = l\du/dj\>
заключается в том, что г|т = 0 всюду, где \du/d^\ = 0. Это означает, что
г|т будет нулем на оси трубы (или канала любого другого
поперечного сечения), в областях перемешивания пристенной струи с
основным потоком, при истечении через круглое отверстие и т. п.
Измерения, да и здравый смысл, говорят о том, что г|т * 0 в
условиях, когда \du/dj\ = 0. Модели длины пути смешения можно
подкорректировать, чтобы преодолеть и это их слабое место, но этот
их принципиальный недостаток побуждает к поискам других
методов определения г|т. Справедливости ради следует отметить, что
указанный недостаток теории длины пути смешения не является
решающим, так как в инженерных приложениях напряжения Рей-
нольдса бывают малыми, когда \du/dj\ = 0.
В 40-х годах XX в. А.Н. Колмогоров и Л. Прандтль
предположили, что в формуле г|т = р Vr I скорость VT пропорциональна
корню квадратному из кинетической энергии турбулентности ЕТ (это
вытекает из соображений размерности). Тогда турбулентную
вязкость можно оценивать как
Лт = СЕр1Е^ F.57)
и г|т уже не обращается в нуль, когда ди/ду = 0. Кинетическая
энергия Ет — величина, доступная измерениям, и ее легко
интерпретировать с физической точки зрения, но как ее рассчитывать без
измерений?
Естественный ответ на данный вопрос будет таким: у нас уже
имеется уравнение F.25) для описания изменения Ет; необходимо
аппроксимировать каким-то образом не поддающиеся
непосредственному вычислению слагаемые этого уравнения. Напомним,
что для такой аппроксимации (замыкания системы) не имеется
строго физического обоснования, вследствие чего она в
определенной мере произвольна и неоднозначна.
Прежде всего необходимо выразить через осредненные
параметры потока следующие корреляции:
и\р'/р + Щ) и П/>7р + ?т'). F.58)
Эти корреляции включают пульсации давления и тройные
корреляции флуктуации скорости. Можно достаточно строго
показать, что слагаемые, содержащие пульсации давления,
характеризуют перераспределение энергии турбулентности, генерируемой
осредненным потоком. Они не оказывают влияния на величину

6. Модели с одним ОДУ и одним уравнением переноса 177
Ет, а лишь перераспределяют энергию между различными
составляющими тензора напряжений Рейнольдса. Следовательно, в
совокупности выражения F.58) могут приводить лишь к
перераспределению энергии в пространстве, т. е. являются слагаемыми
диффузионного типа. Это обстоятельство позволяет выразить F.58)
через компоненты градиента кинетической энергии турбулентности:
где Ргте — число Прандтля для кинетической энергии
турбулентности («1).
Аппроксимацию слагаемых уравнения F.25), описывающих
генерацию турбулентности, можно выполнить, используя гипотезу
Буссинеска. В самом деле, для несжимаемой жидкости div v = О,
и из выражения F.26) находим
-U'U' =
-FF = 2е(Э VI Ъу) - B / 3)ЕТ.
С учетом этих результатов можно записать
Последнее слагаемое правой части уравнения F.59)
представляет собой скорость диссипации кинетической энергии
турбулентности и обозначается ег Оно характеризует влияние вязкой
диссипации на структуру напряжений Рейнольдса. Обычно предполагается,
что даже при больших числах турбулентной кинетической
энергии вследствие наличия нелинейных слагаемых в уравнениях На-
вье—Стокса (или Рейнольдса) уменьшение вязкости
компенсируется уменьшением масштаба наименьших вихрей в турбулентном
потоке. При больших числах Рейнольдса вихри, в которых
происходит диссипация кинетической энергии, существенно меньше
вихрей, непосредственно получающих энергию от основного течения,
и можно предположить, что статистические характеристики
мелкомасштабных вихрей не зависят от геометрии основного потока.
Следовательно, при больших числах Рейнольдса можно предложить

178 Глава VI. Турбулентное движение
следующую оценку диссштативных слагаемых, основанную на
соображениях теории размерностей:
z = CDE?»/l. F.60)
Заметим, что здесь параметр / необходимо задавать
алгебраической формулой, a CD « 0,164, если / считать обычной длиной пути
смешения.
Таким образом, использование аппроксимаций F.58)—F.60)
приводит к уравнению переноса кинетической энергии
турбулентности, имеющему вид
dt дх ду дх
+
*
Это модельное уравнение справедливо только для полностью
развитых турбулентных течений, т. е. вдали от демпфирующего
влияния стенки. Для типичных пристенных течений это означает,
что у* должно быть больше 30. Для задания внутренних граничных
условий для Ег часто используют пристенные функции (этот
подход будет рассмотрен ниже). Другой способ задания внутренних
граничных условий для Ег основан на известном
экспериментальном наблюдении, что вблизи стенки конвекция и диффузия Ет
обычно малы. Поэтому генерация и диссипация Ет
уравновешивают друг друга, и можно показать, что модель F.61) сведется при
этих условиях к модели длины пути смешения F.39). В области,
где диффузией и конвекцией Ет можно пренебречь, в качестве
внутреннего граничного условия для Ет используют выражение
Ет(х,Ус) = «Ус)/(РСо2/3)> F-62)
где ус — координата точки внутри области, где, как ожидается,
справедливо логарифмическое распределение скорости F.36).
Если же у < ус, то можно использовать алгебраическую модель типа
модели Прандтля с усовершенствованием Ван Дриста.
Модель с одним уравнением обеспечивает получение
удовлетворительных результатов при решении отдельных типов задач
турбулентного движения. В целом, однако, качество большинства
моделей с одним уравнением оставляет желать лучшего даже в тех
немногочисленных случаях, когда применение этих моделей дает
лучшие результаты по сравнению с расчетами по алгебраическим

7. Модели с двумя уравнениями 179
моделям. Причина этого может быть в том, что для большинства
течений, представляющих практический интерес, правильное
задание величины характерной длины / дает больший эффект, чем
изменение скорости турбулентности VT.
При переходе от модели длины пути смешения к модели с
одним уравнением принципиальный шаг вперед состоял в том, что
последняя допускает изменение параметра в объеме потока,
описываемого уравнением модели, т. е. дает поле турбулентной
вязкости. В моделях с одним уравнением характерная длина /
по-прежнему задается алгебраическим выражением и зависит лишь от
локальных параметров течения. Однако исследователи
турбулентности интуитивно чувствовали, что масштаб длины в
турбулентных моделях также должен зависеть и от предыстории потока, а не
только от локальных условий. Очевидный способ учесть более
сложную зависимость / от картины течения заключается в том,
чтобы записать уравнение переноса для изменения /. Если в
систему добавляется ОДУ типа F.56), то результирующую модель можно
назвать моделью с одним ОДУ и одним уравнением переноса. Такого
рода модели использовались для расчета отрывных турбулентных
пограничных слоев в задачах внешнего обтекания, для течений
в круглых каналах с теплопередачей, для плоских и круглых струй.
7. МОДЕЛИ С ДВУМЯ УРАВНЕНИЯМИ
Когда для масштаба длины получают уравнение в частных
производных, то такую модель часто называют моделью
турбулентности с двумя уравнениями. Эта модель является вариантом модели
Колмогорова—Прандтля, в которой в качестве зависимой
переменной в дополнительном уравнении переноса используется
скорость диссипации кинетической энергии турбулентности
е, = QET3/2/le , где / — масштаб диссипации и С — постоянная.
Тогда турбулентная вязкость выражается через е, следующим
Д,,Ч F.63)
Из уравнений Навье—Стокса с учетом уравнений Рейнольдса
может быть получено точное уравнение для скорости диссипации
энергии турбулентности е,, которое после аппроксимации
корреляций, не поддающихся расчету, образует второе уравнение так
называемой (ЕТ — е,)-модели [(К— е)-модели] турбулентности.
Помимо соотношения F.63), в случае плоских или осесимметрич-
ных потоков при больших числах Рейнольдса эта модель включает
следующие два уравнения переноса (для несжимаемой жидкости):

180 Глава VI. Турбулентное движение
дх ду дх\[ Ргте Эх
F.64)
^F4 + C,^-C2^, F.65)
где п = 0 для плоского течения ил=1 для осесимметричного, Рге —
число Прандтля для скорости диссипации, G определяется
выражением F.59), а С, Cj и С2 — эмпирические константы.
Константы, фигурирующие в (?т - г,)-модели, определяются
путем сопоставления результатов расчетов определенных тестовых
задач с экспериментальными данными (такая процедура
называется калибровкой модели). Для широкого класса течений,
представляющих интерес в инженерной практике, вариации
коэффициентов оказались незначительными: Сц = 0,09; С. = 1,0; Ргте = 0,9 +1,0;
Рг?= 1,22-1,30; С, = 1,44+1,55; С2= 1,92+2,0. При решении
новых задач рекомендуется выполнять расчеты, начиная с типовых
значений констант (Сл = 0,09; С;=1,44; С2=1,92; Ргте=1,0;
Рге= 1,3; Ргт = 0,9), а затем, накапливая экспериментальные
данные, постепенно уточнять их.
Уравнения F.64), F.65) непригодны для течений вблизи
стенки, т. е. внутри вязкого подслоя. Ситуация обстоит точно так же,
как и в случае уравнения для кинетической энергии
турбулентности F.61). Поэтому простейшим вариантом модификации модели,
позволяющим исследовать область течения в непосредственной
близости от стенки, является ее (модели) сращивание с моделью
длины пути смешения при у+ < 30. Тогда граничные условия для г{
в точке у = ус определяются выражением
F.66)
где ус — та же самая точка, что и в граничном условии F.62) для Ег
При у < ус профиль скорости вычисляется по уравнению F.36),
а профиль температуры — по аналогичному уравнению
(Тст - Т)/Т. = A/Х*) 1п(ад/у) + Вл, F.67)

7. Модели с двумя уравнениями Ш
где Гст— температура стенки; хл = 0,38^-0,41; Bh = 9,0(Рг/Ргт - 1)х
х(Ргт/РгI/4. Напомним, что в пределах ламинарного подслоя (у+ < 5)
логарифмический профиль переходит в линейный и+ = у+ и Т + —
= (Гст — Т)/Т. = у+. Здесь Г, = q^/ipcu.) — динамическая
температура, а <7СТ — плотность теплового потока на стенке.
Альтернативный подход заключается в модификации самой
(Ет — е,)-модели и ее коэффициентов. Вблизи стенки локальное
число Рейнольдса мало, и, следовательно, применение
эмпирических зависимостей, соответствующих течениям с большими
числами Рейнольдса, становится неоправданным. Так как по мере
приближения к стенке масштаб турбулентности уменьшается, то
прежде всего в уравнения необходимо включать дополнительные
диссипативные механизмы, описывающие молекулярный перенос.
Необходимо изменить также и модели турбулентности
(аппроксимацию отдельных слагаемых точных уравнений), так как
некоторые постоянные теперь должны быть функциями локального
числа Рейнольдса, определяемого как ReT= ре/ц или ReT = рЕ*/(цг^.
Более определенно, при небольших числах Рейнольдса
функциями становятся
C4(ReT) = 0,09 ехр[-2,5/( I + ReT/50)], F.68)
C2(ReT) = 2,0 [1,0 - exp(-ReT2)]. F.69)
Значения всех других постоянных в (Ет — г,)-модели остаются
неизменными.
Для анализа в непосредственной близости от стенки из правой
части уравнения F.64) вычитается слагаемое
F.70)
которое характеризует изменение скорости диссипации
кинетической энергии турбулентности (при этом считается, что на
стенке е{ = 0), а из правой части уравнения F.65) вычитают величину
с целью уточнения изменения е, в пристенной области.
Выражение F.70) вводится в основном для упрощения граничных
условий для ?,, так как в случае однородных граничных условий на
стенке решение уравнения для ?, существенно упрощается.
Расчеты по уравнениям (Ет — ?,)-модели с рассмотренными
выше изменениями для ряда течений с небольшими числами
Рейнольдса показали эффективность данного подхода. При
выполнении расчетов профиль средней скорости рекомендуется сращивать

182 Глава VI. Турбулентное движение
в окрестности стенки с ламинарным решением (для у+< 5), а не
с логарифмическим профилем скорости Прандтля.
Стоит, наверное, упомянуть основные недостатки моделей
с двумя уравнениями. Первый заключается в том, что они
являются моделями турбулентной вязкости, основанными на гипотезе Бус-
синеска F.26). Только в них т|т есть функция полевого типа, тогда
как в алгебраических моделях т|т — локальная функция. Если
гипотеза Буссинеска оказывается несправедливой, то даже
применение моделей с двумя уравнениями обречено на неудачу. Правда,
такие модели калибруются на основе тестовых задач, так что они
гарантируют приблизительно правильное определение
переносимых количеств импульса, теплоты и т. п. Если построенные таким
образом модели содержат все существенные механизмы,
обеспечивают условия сохранения массы, импульса и энергии и
гарантируют, что положительные величины остаются положительными
и выполняются различные точные неравенства, то можно ожидать,
что решение будет находиться в приближенном соответствии с
реальной действительностью. Здесь снова (выражаясь нестрого)
создается среда с другим материальным соотношением, обладающая
теми же характеристиками сопротивления и теплопередачи, что
и турбулентность при определенных стандартных условиях.
Второй недостаток заключается в необходимости
моделирования различных слагаемых точных уравнений переноса, особенно
слагаемых с тройными корреляциями, и диссипативных
слагаемых. И дело не столько в самой аппроксимации, сколько в ее
эклектичности: здесь и полустрогий анализ, и гипотеза
Буссинеска, и теория размерностей. Впрочем, этот недостаток присущ всем
моделям замыкания высокого порядка, и остается лишь надеяться,
что эти модели могут быть усовершенствованы за счет более
эффективных методов аппроксимации входящих в уравнение слагаемых.
Пример 6.4. Выполнить анализ изменения характеристик свободного
сдвигового потока — осесимметричной затопленной струи несжимаемой
жидкости (рис. 6.8).
Вводя понятие эффективной кинематической вязкости v^ = v + e,
уравнение Рейнольдса в проекции на ось х можно записать следующим
образом (для установившегося течения):
JTdU „dU I dp д( dU\ \д( ЭО
Для затопленных струй др/дх = 0. Учитывая также, что ширина струи
много меньше ее длины (подробнее см. гл. X), и объединяя левую часть

7. Модели с двумя уравнениями
183
Рис. 6.8. Схема струи на начальном G), переходном B) и основном C)
участках
уравнения с уравнением неразрывности
ъи 1
получаем для струи
dU2 I BjrUV) _ 1 Э ( ЪУ\
(а)
Проинтегрируем (а) по поперечному сечению струи, используя
граничные условия: г= О, К= 0, ^= U^ dU/dr = 0; r-»oo, ?/-> 0, dU/dr-^ 0.
В итоге находим, что в любой точке вдоль потока
dx
(б)
Аналогичный анализ уравнений переноса F.65) для неподвижной
окружающей среды дает
(в)
(г)

184 Глава VI. Турбулентное движение
Уравнения (б)-(г) свидетельствуют о том, что величины (/(;
Ет(х,г)/Егось(х) и е1(дс,г)/е1 жь(х) являются автомодельными, т. е. зависят от
единственной безразмерной переменной § = г/Ь(х). Тогда (б)-(г) сводятся
к уравнениям
?(**-)>* F.7D
а, ±.{ЪгижьЕтжь) = СцагЕ^кьи1ь/г, жь - а352е, „,.; F.72)
^(^„сьг, ж.) = С1С^5Е,осьимъ-С2а6Ь^жъ/Егось, F.73)
где ак, к = 1, 2,...,6, являются константами, вычисленными по формулам
вида
\
О
Из уравнения (а) для г = 0, где К= 0 и dU/dr = 0, находим
Задавая теперь пробные функции 5 ~ jc'", ?/ось - х*, ?тось ~ л:7" и е, тсь ~ хя,
нетрудно получить, что / = 1, Л= — 1, m = —2, /7 = —4, т. е. осесимметрич-
ная турбулентная затопленная струя в области развитой турбулентности
расширяется линейно, скорость на ее оси убывает по гиперболическому
закону, аналогично, но более резко убывают ?тось и е, ось.
8. ДРУГИЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ТУРБУЛЕНТНОСТИ
Рассмотренные выше модели турбулентности имеют
наибольшее распространение в инженерной практике. Однако по мере
развития вычислительной техники и ее распространенности на
передний план выдвигаются и другие модели, бывшие ранее
слишком трудоемкими.
Первой из таких моделей можно назвать модель рейнольдсовых
напряжений, в которой гипотеза Буссинеска не используется, т. е.
не используется понятие турбулентной вязкости. Здесь, например,
для случая несжимаемой жидкости
а компоненты тензора напряжений Рейнольдса выступают в
качестве самостоятельных переменных и описываются собственными
уравнениями переноса [см. уравнения F.23)—F.25)]. При этом,

8. Другие методы расчета турбулентности 185
конечно, тройные корреляции аппроксимируются более простыми
соотношениями и неявно используются идеи Колмогорова—Пранд-
тля. Помимо уравнений Рейнольдса, такие модели в простейшем
случае двухмерного движения в пограничном слое требуют по
меньшей мере трех уравнений, а для течений, в которых
нормальные напряжения велики, даже пяти. Например, в одной из
моделей рейнольдсовых напряжений решаются пять уравнений
относительно TFV\ (УУ, (К7I, (Wf и ег
Вторую группу моделей составляют модели спектральной
теории турбулентности. Здесь все параметры течения (скорости,
давления, температуры, пульсационные составляющие и т.д.)
рассматриваются как характеристики случайных процессов. Выполняя
преобразование Фурье этих величин и их корреляций, можно
получить энергетические спектры турбулентного потока по частотам
и волновым числам. Поскольку частота или волновое число
соответствуют определенному масштабу турбулентных вихрей, то,
изучая энергетические спектры реальных течений, можно выявить
взаимодействие вихрей различных масштабов и тем самым все
параметры потока. В ряде случаев спектры турбулентности
являются типовыми, что позволяет выводить корреляционные
спектральные уравнения и решать их. Особенно удобны спектральные
методы для описания турбулентных потоков при наличии в
жидкости дисперсных частиц твердого вещества (или капель в газе).
И, наконец, упомянем многообещающую модель, известную
под названием модели крупных вихрей. В этой модели параметры
крупномасштабных вихрей определяют, исходя из основных
принципов синергетики, как для детерминированного трехмерного
нестационарного движения. Такое моделирование турбулентности
используется для аппроксимации эффектов турбулентности,
масштаб которых меньше некоторых заранее заданных размеров.
Расчеты по таким моделям весьма перспективны, но в настоящее время
их стоимость слишком велика, чтобы они могли быть
инструментом при инженерных расчетах.

Глава VII
ТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ И ГАЗА
В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ
Одной из наиболее важных практических задач механики
жидкости и газа является определение сопротивления, оказываемого
потоку элементами металлургических печей и нагреваемыми
изделиями, коэффициентов тепло- и массообмена между движущимся
газом, поверхностью металла и ограждений рабочего пространства
печей и т. д. Во всех этих случаях, как указывалось в предыдущих
главах, основное влияние на величину соответствующего
коэффициента оказывает гидродинамическая обстановка в
непосредственной близости от твердой границы потока, в так называемом
пограничном слое. Поскольку рассчитать детали течения в этой области
на основе решения уравнений Навье—Стокса не представляется
возможным (в силу нелинейности и сложности последних), то
возникает необходимость в каких-то других теориях, одной из
которых и является теория пограничного слоя.
Теория пограничного слоя была разработана немецким
инженером и математиком Л. Прандтлем в 1904 г. Это одно из наиболее
значительных открытий в истории механики жидкости; оно
позволило понять многие кажущиеся парадоксы в поведении
реальной жидкости. Теория пограничного слоя открывает путь к
решению многих проблем, слишком сложных для того, чтобы их можно
было разрешить на основе уравнений Навье—Стокса. В настоящее
время широко используется «сшивка» решений: характеристики
ядра потока находятся из решения задачи потенциального течения,
а для учета особенностей пристенного движения применяется
теория пограничного слоя. Течение в пограничном слое может быть
двухмерным или трехмерным. Векторы скорости двухмерных слоев
расположены в параллельных плоскостях. Векторы скорости
трехмерных слоев в некоторых случаях могут быть компланарными для
каждой нормали к поверхности тела, но расходящимися (или
сходящимися) вдоль поверхности тела с поперечной кривизной,
меняющейся по длине, например, при омывании газом свода
нагревательных и мартеновских печей (рис. 7.1).

1. Общие свойства двухмерного пограничного слоя 187
а б
Рис. 7.1. Схема трехмерных пограничных слоев: а - локально
двухмерного; б — существенно трехмерного
В общем случае трехмерного слоя векторы скорости даже для
данной нормали к поверхности тела не являются компланарными
и соответствующий профиль скорости имеет скос. Многие
практические случаи течения в пограничном слое являются
двухмерными и могут быть рассмотрены с помощью сравнительно
простых по форме уравнений движения, приведенных ниже; они
приемлемы, если кривизна стенки в направлении течения
невелика. Трехмерные слои встречаются значительно чаще, однако
простые уравнения движения в пограничном слое в данном случае не
могут быть сформулированы. Как правило, для их получения
приходится использовать полную систему уравнений Навье—Стокса.
В данной главе рассматриваются решения для простейшего случая
двухмерного пограничного слоя. Двухмерный случай имеет
большое практическое значение, и, кроме того, он удобен для
иллюстрации некоторых общих свойств течений в пограничном слое,
а также для получения (где это возможно) точных соотношений
между толщиной слоя, касательным напряжением, свойствами
жидкости и другими характеристиками.
1. ОБЩИЕ СВОЙСТВА
ДВУХМЕРНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
Рассмотрим течение над пластиной, показанное на рис. 7.2.
Пусть х измеряется от передней кромки пластины; Ux — скорость
течения вне пограничного слоя (скорость ядра потока).
Экспериментально обнаружено, что толщина пограничного слоя 5 зависит
от переменных Uv p, ц и расстояния х, отсчитываемого вдоль
пластины. Качественно зависимость выражается так: 8 возрастает с
увеличением х и т| и уменьшением р и Щ 8 убывает с уменьшением х
и 11 и увеличением р и Ur
В зависимости от режима движения набегающего потока
пограничный слой имеет различную структуру. Если поток ламинарен,

188 Глава VIL Течение жидкости и газа в пограничном слое
1
.IL.
X
Ц_ __ Рис. 7.2. Схема двухмерного погранич-
^ НОГО СЛОЯ
то с большой степенью вероятности можно ожидать, что
ламинарным будет и пограничный слой. При турбулентном характере
движения потока в пограничном слое течение вблизи передней
кромки ламинарное, а вдали от нее вниз по течению — турбулентное.
Между областями ламинарного и полностью развитого
турбулентного течения имеется переходная область, параметры которой
зависят от степени турбулизации потока, шероховатости
поверхности пластины и от числа Рейнольдса.
Экспериментальные исследования показали, что для
ламинарных пограничных слоев связь между величинами 8, ?/,, р, г\ и х
выражается функцией
/) = x/Re°/9 G.1)
где Rex — число Рейнольдса. Толщина пограничного слоя на
расстоянии / от передней кромки плоской пластины составит
. G.2)
Значение коэффициентов пропорциональности для выражений
G.1) и G.2) в случае течения при С/, = const будет получено
несколько ниже.
Числа Рейнольдса Rex и Re, особенно полезны при описании
и сопоставлении свойств пограничных слоев. Еще одной
полезной формой этого числа является
G.3)
Из сопоставления этого соотношения с выражением G.1) следует,
что Re6 ~ Re°/.
Для двухмерного пограничного слоя касательное напряжение
т = л [(Эй / ду) + (dv I Эх)] » цди I ду. Заметим, что для заданных Uv
р, г\ величина Rex изменяется пропорционально х, а толщина 8
возрастает пропорционально Vx . Следовательно, ди/ду и
касательное напряжение на границе с возрастанием х убывают.
Движущаяся вдоль пластины частица проходит расстояние х за
время t - x/Uv тогда из выражения G.1) можно заключить, что

2. Уравнения движения в пограничном слое. Характерные толщины 189
8 ~ у/(ц I p)t = >/v7. Это уравнение применимо к движению,
начинающемуся из состояния покоя, следовательно, в начальный
период пограничный слой возрастает как корень квадратный от
времени.
Характеристики турбулентных пограничных слоев определяются
теми же параметрами и числом Рейнольдса Re^, хотя показатель
степени отличается от 0,5. Он существенно зависит от Rex и от типа
уравнения, выбранного для описания профиля осредненной скорости.
2. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ.
ХАРАКТЕРНЫЕ ТОЛЩИНЫ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
Прандтль показал, как можно упростить уравнение Навье—
Стокса, проведя сравнительную оценку порядка величин входящих
в них членов, используя при этом основные представления о
пограничном слое. Рассмотрим результаты, полученные им для
двухмерного течения вдоль плоской пластины или слабо искривленной
поверхности. Запишем уравнения Навье—Стокса, представленные
в безразмерной форме, опустив влияние сил тяжести:
dU dU удЦ_ = _<Ям 1 (d2U } d2U.
Э#о+ дХ* ЭУ" Э* +ReW2+372 ; G.4)
1 11 80A/80) 1 82A + 1/82) '
dV , цЪУ { уЪУ = ЭЕи ^ 1 д2У
дН0 дХ dY dY Re a*2 dY2' G.5)
60 1-80 601 1/80
Для уравнения неразрывности имеем
Во-первых, отметим, что пограничный слой является тонким и
имеет малую кривизну и внутри этого слоя x»}';«»v; ди/ду » ди/дх;
Ър/Ъу — малб. Безразмерная толщина пограничного слоя 50 = Ъ/L
предполагается малой по отношению к единице: 80«: 1. Исходя из
этого, введем «шкалу» порядков величин
«g, 80, 1, 1/80, I/eg- G.6)
Для обозначения порядка величины используем символ ~ О.
Тогда с помощью «шкалы» G.6) представим относительные
величины расстояний и скоростей следующим образом:
U- 0A); 7~О(80). G.7)

190 Глава VIL Течение жидкости и газа в пограничном слое
Для того чтобы течение имело четко выраженную структуру,
в уравнении неразрывности должны сохраниться оба слагаемых.
Поскольку dU/dX~ 0A), то из этого требования вытекает, что
и dV/dY~ 0A). Отсюда следует, что V- О(80), Э 2U/dX2 будет
оставаться ~O(i), в то время как d2V/dY2 станет ~ОA/52). Иными
словами, дифференцирование по Y увеличивает порядок
величины, а дифференцирование по X не изменяет его. Для того чтобы
исключить случай больших ускорений, предположим, что Э?//ЭНо
и дЕ\х/дХ имеют тот же порядок, что и UdU/dX, тогда Но ~ 0A)
и Ей-0A).
Теперь для каждого из слагаемых уравнений G.4) и G.5)
можно установить порядок величины (порядки величин показаны под
соответствующими слагаемыми). При этом заметим следующее.
Как видно из первого уравнения, для того чтобы удовлетворить
постулату теории пограничного слоя, согласно которому внутри
слоя вязкие силы должны быть сравнимы с силами инерции,
число Рейнольдса должно быть весьма большим, т. е. иметь
максимально возможный порядок величины 1/802. Из второго уравнения
следует, что слагаемое dEu/dY, вообще говоря, отличное от нуля,
вместе с тем на порядок больше всех остальных слагаемых. Но это
означает, что в теории пограничного слоя др/ду = 0, т. е. давление
потока в направлении, перпендикулярном поверхности, остается
неизменным.
Опуская в уравнении G.4) все слагаемые, порядок которых
меньше единицы, и возвращаясь к размерным выражениям,
получим уравнения Прандтля для двухмерного пограничного слоя:
ди ди ди _ 1 др д2и и П ~.
dt Эх ду р Эх ду2'
— + — = 0. G.9)
Эх ду
Они должны удовлетворять следующим граничным условиям:
Отметим, что пренебрежение одним из учитывающих
напряжение слагаемых высшего порядка д{\ди/дх)/дх имеет вполне
определенную физическую интерпретацию. Такое упрощение
допускает то, что движение в пограничном слое не зависит от
условий ниже по течению; следовательно, его поведение можно

2. Уравнения движения в пограничном слое. Характерные толщины 191
рассчитать с помощью одного интегрирования вдоль потока, при
котором учитывается «история» течения, а не его «будущее».
На внешней границе пограничного слоя (в ядре потока), как
уже отмечалось выше, влиянием сил вязкости можно пренебречь
и закономерности движения должны хорошо соответствовать
картине потенциального течения. Учитывая также, что давление р
постоянно по сечению пограничного слоя и поэтому равно давлению
во внешнем потоке, где и = ?/,(х), v = 0 (это условие является неточным,
так как из уравнения G.9) следует, что при у -» ©о v = —|(Э Ul/dx)dy * 0.
Данный источник погрешности теории пограничного слоя не
приводит к заметному изменению профиля скорости и и в
особенности к ошибкам в определении интегральных характеристик
течения). Таким образом, можно записать
1*44 G.11)
дх
тогда уравнение G.8) будет иметь вид
ди ди ди dUx ТТ dUx д2и /П ,~ч
dt Эх ду dt дх ду
Полученные выше уравнения пограничного слоя можно
применять к задаче обтекания криволинейной поверхности
двухмерным потоком. В этом случае (х, у) надо рассматривать как
соответствующую систему криволинейных координат, образованных
границей тела и кривыми, параллельными ей, а также нормалями
к этой границе (см. рис. 7.3). На кривизну поверхности
необходимо наложить следующие ограничения: радиус кривизны должен
быть большим по сравнению с толщиной пограничного слоя и
должны отсутствовать резкие изменения кривизны, какие имеют место
на углах тел.
Пример 7.1. Простейшим примером трехмерного пограничного слоя
является слой в вязком потоке, обтекающем тело вращения, когда
невозмущенный поток параллелен оси тела (осесимметричен). Поскольку
необходимо рассматривать только два компонента вектора скорости, то эту
задачу легко преобразовать в соответствующую для двухмерного течения.
В этом случае уравнение G.12) остается верным, если под (х, у)
понимать локальные координаты (рис. 7.3). Однако уравнение неразрывности
G.9) изменится, так как в нем должна найти отражение геометрия
обтекаемой поверхности. Для тела вращения имеется один дополнительный
параметр — локальный радиус вращения го(х). Рассматривая уравнение
баланса массы жидкости, получим
(d/dx) К(х)] + (д/Эу) К(х)] = 0.

192
Глава VII. Течение жидкости и газа в пограничном слое
Рис. 7.3. Схема пограничного слоя на
криволинейной стенке (поверхности
вращения)
Это уравнение неразрывности можно тождественно удовлетворить,
если функцию тока определить соотношениями
иго(х) = Э\|/ / ду, иго(х) = -Э\|/ / Эх.
Уравнения пограничного слоя G.9) и G.10) справедливы как
для ламинарного, так и для турбулентного течений. Однако
применительно к последнему случаю целесообразно записать их в
виде, учитывающем статистический характер компонентов скорости
и давления потока. Указанную форму записи уравнений
турбулентного пограничного слоя можно получить либо путем подстановки
мгновенных значений u,v,pn последующего осреднения, либо из
уравнений Рейнольдса, выполняя анализ значимости отдельных
слагаемых аналогично тому, как это было сделано выше. Используя
любой из этих способов, находим для несжимаемой жидкости (газа)
'Эй _Эи "\ Эр Эх п п,
дх ду I дх ду
где касательное напряжение в плоскости ху
, дп -гк
x = p(v-—uv).
ду
G.14)
G.15)
Помимо законов сохранения массы G.14) и количества
движения (осредненного) G.13) в турбулентном пограничном слое
должен выполняться закон сохранения интенсивности
турбулентности (см. гл. VI):
/-дЕТ _Э?ТЧ ди о dQ
дх ду ду ду
G.16)
где

2. Уравнения движения в пограничном слое. Характерные толщины 193
G18)
Последние два слагаемых уравнения G.16) характеризуют
диссипацию кинетической энергии турбулентности, т. е. ее переход
в тепловую энергию, которая рассеивается в окружающую среду.
Заметим, что в этом уравнении фигурируют все три пульсацион-
ные составляющие скорости потока, так как турбулентность
является, по существу, трехмерным явлением.
Уравнения пограничного слоя G.13), G.14) и G.16) следует
решать таким образом, чтобы удовлетворились граничные условия
у = 0, и = 0, v = О, (и? = (vJ = (wY = 0; G.19)
у _» оо, п -> Ux{x), (иУ -> 0, (vf -> 0, (w'Y -> 0. G.20)
Нетрудно заметить, что количество неизвестных,
содержащихся в этих уравнениях, больше числа уравнений. Поэтому для
решения этих уравнений необходимо сделать дополнительные
предположения. В частности, прежде всего необходимо найти
распределение средней скорости п(х9у) в пограничном слое и
принять некоторые гипотезы относительно величин ЕТ, u'v\ S и Q.
Толщина пограничного слоя 5 не может быть установлена
точно, так как точка, отделяющая пограничный слой от зоны с
пренебрежимо малым влиянием вязкости, не является отчетливо
выраженной. Поэтому обычно определяют 5 как расстояние от стенки
до точки, где скорость отличается от скорости внешнего потока на
некоторую долю последней (обычно на 1%).
Как уже отмечалось выше, уменьшение скорости в
пограничном слое вызывает «дефицит» потока массы вблизи границы по
сравнению с потоком массы, который прошел бы через ту же
самую зону при отсутствии пограничного слоя. Это положение
иллюстрируется на рис. 7.4. Согласно уравнению неразрывности, этот
«дефицит» потока массы эквивалентен смещению («вытеснению»)
линии тока на внешней границе пограничного слоя на определенную
13-3546

194
Глава VIL Течение жидкости и газа в пограничном слое
U
0,99U .
jlJ
Рис. 7.4, Схема для определения толщины
вытеснения (заштрихованная площадь равна
Л
= j(U-u)dy
величину, известную как толщина вытеснения 8* и определяемую
равенствами
j G.21)
или
=](l-JL)dy,
G.22)
где А > 8. Эти уравнения показывают, что 8* представляет собой
толщину воображаемого слоя жидкости, движущегося со
скоростью Uv поток массы в котором равен «дефициту» потока массы.
Толщина вытеснения может быть определена со значительно
большей точностью, чем полная толщина 8.
Замедление течения внутри пограничного слоя вызывает
соответствующее уменьшение потока импульса (или количества
движения). Определим толщину потери импульса 0 как толщину
воображаемого слоя жидкости, движущегося со скоростью ?/,, поток
импульса в котором равен «дефициту», вызванному замедлением
потока у стенки. Поток импульса равен
G.23)
G.24)
Толщины вытеснения и потери импульса характеризуют как
ламинарный, так и турбулентный пограничные слои. Необходимо
только при расчетах турбулентного течения в выражениях G.21),
G.23) компонент скорости и заменить на и . Кроме того, при
анализе турбулентного пограничного слоя полезно понятие толщины
потери энергии:
откуда может быть найдена толщина потери импульса
dy.
G.25)

3. Решение Блазиуса для ламинарного пограничного слоя. Другие решения 195
Решение уравнений ламинарного пограничного слоя не
вызывает затруднений при использовании численных методов анализа.
Решение уравнений турбулентного пограничного слоя для
произвольного изменения давления в ядре потока остается до сих пор
весьма затруднительным даже после того, как сделаны какие-то
произвольные предположения относительно турбулентного
касательного напряжения и других величин. Обычно, учитывая
структуру пограничного слоя (см. гл. VI), граничные условия на
поверхности тела G.19) заменяют следующими:
lim(du/dy) = uj(ku), v = 09 ET=(uJkl0)\ G.26)
где к = 0,4; а к10 = 0,56. Обе эти постоянные определены из
эксперимента. В настоящее время их считают универсальными
постоянными.
Турбулентное напряжение трения может быть взято из теории
пути смешения (см. гл. VI). Согласно более позднему
предположению Прандтля, коэффициент турбулентного обмена количеством
движения (вихревая кинематическая вязкость) пропорционален
результирующей пульсационной скорости:
G.27)
Далее Прандтль принимает, что Q = -d(kglE*/2)/dy, S = cE]/2l,
где / — характеристическая длина. Около стенки / = ку. В этом случае
/ идентична пути смешения. Следовательно, вблизи стенки имеем
логарифмический профиль средней скорости. Постоянные kv kq
и с могут быть определены из условий на внешней границе вязкого
(ламинарного) подслоя. Как правило, их находят экспериментально.
3. РЕШЕНИЕ БЛАЗИУСА ДЛЯ ЛАМИНАРНОГО
ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ. ДРУГИЕ РЕШЕНИЯ
В случае установившегося ламинарного течения вдоль плоской
пластины Ц = const, др/дх=0 и уравнения G.8), G.9) сведутся
к уравнениям пограничного слоя Прандтля
ди ди д2и ди ди л /п лоч
и —+17— = v ; — + — = 0, G.28)
Эх ду ду2' дх ду ' v }
где выполняются граничные условия: на стенке у = 0, и = v = 0;
вне пограничного слоя у -> ©о, и -> Uv
Предположим, что профили скорости вдоль пластины подобны
при каждом х (автомодельны), тогда, согласно Блазиусу, u/Ux = F(y/S),

196 Глава VII. Течение жидкости и газа в пограничном слое
и = UxF(y/b), где функция F(y/S) — одна для всех х. Используем
теперь функциональное соотношение G.1) и предположим, что
у 15 ~ у Re!/2/ х = rii. Введем функцию тока соотношениями
и = d\\f /ду, v = -Э\|//Эх. Из первого из этих равенств имеем
f(r\x). G.29)
Подставив это выражение в первое уравнение G.28) (второе
уравнение функция тока удовлетворяет тождественно), для
отдельных слагаемых получим
г(Чу, |^ /(л,)
^ vjc ду2 vx
Тогда уравнение движения в пограничном слое G.28) сводится
к обыкновенному дифференциальному уравнению
#" + 2/"' = 0, G.30)
где / = /01,); f = -f-; f" = ^X'> //// = :тт-
dy\x с!ц2 dvil
Граничные условия в новых переменных принимают вид
Л, =0, Д0) = 0, /'@) = 0; G.31)
Т1,=~, /'(«>) = Ь G.32)
В настоящее время такие уравнения, как G.30), решают
преимущественно на ЭВМ. Блазиус получил решение этого
уравнения в виде разложения в степенной ряд в окрестности rij = 0. Этот
метод хорошо известен из курса высшей математики, поэтому
используем его для решения задачи.
Разложим неизвестную функцию/(т|,) — искомое решение —
в ряд по т|1 вблизи точки r|j = О:
Из граничных условий G.31) имеем /@) = /'@) = 0, и первые два
коэффициента разложения равны нулю. Далее из уравнения G.30)
при т|, = 0 получаем /@)/"@) + 2/w@) = 2/w@) = 0 , откуда после
интегрирования находим /"@) = const = а.

3. Решение Блазиуса для ламинарного пограничного слоя. Другие решения 197
Продифференцируем выражение G.30) по rji и устремим rii
к нулю, тогда f'@)f"@) + Д0)/'"@) + 2/IV@) = 0. Учитывая
полученные ранее результаты, находим /IV@) = 0 . Еще раз повторив
эту операцию, имеем (/"(О)J +2/v@) = 0 или /v@) =-1/2я2.
Описанная процедура продолжается до желаемой точности
разложения. Если ограничиться разложением /Oil) до двенадцатого
члена ряда включительно, то можно записать
Заметим, что это выражение удовлетворяет условиям /@) = /'(О) = 0.
Константа а должна быть получена из граничного условия
G.32). Блазиус нашел ее, объединив разложение G.34) с
асимптотическим решением. Константа а может быть также оценена
путем численного решения (интегрирования) уравнения G.30),
причем разложение G.34) используется в качестве начального
приближения для различных пробных значений /"@) = я.
Обратная процедура заключается в подстановке выражения G.34) для/
в уравнение G.30), что формально приводит к линейному
дифференциальному уравнению относительно /", имеющему решение
(Til)], G.35)
и А = j"(O) = a.
** о
Условие для а записывается в виде
/'(<») = a J exp [-x(rii)] dt\x = 1. G.36)
о
Выполнив действия в интеграле, определяющем т(т|,), получим
а , а2г? 11 л3л? 375 а4х\12
23!Л| 46!+ 89! 1612!
G*37)
Чтобы решить G.36) относительно а, необходимо вычислить
интеграл, а для этого нужно выразить дифференциал е1ц] через
решение G.35), т. е. через х. Известно, что если имеется ряд
у = ах + Ьх2 + сх3 + dx4 + ex5 + ... , (а ф 0),
то коэффициенты обратного ряда
х=Ау+Ву2+ Су3 + Dy4 + ?y5 + ...

9g Глава VII. Течение жидкости и газа в пограничном слое
будут равны
Л = -, В = --^9 С = \BЬ2-ас), D = \Eabc-a2d-5b3),
а а а а
Е = —^Fa2bd + 2>a2c2 +14 ЬА -аъе- 21 ab2c) и т.д.
с?
Сопоставляя выражение G.37) с общим представлением
«прямого» ряда у(х)> видим, что у - т, а х - оп3/B-3!). Тогда ряд G.37)
можно переписать в виде
Х = *~20* +1680* 928Х +К' X = Yv/
Следовательно, А = 1, В = —, С = -^7^77^ ^ = ,^^> и
ратный» ряд будет
v-
Х
23!"Х+20Х 8400Х 369600
откуда находим
. _^^ i
8400 369600
Используя разложения второго сомножителя в ряд Тейлора,
окончательно получаем
1 1 -2 , 23 з 6653 4 ^
89 100 5239080000
Дифференцируя это выражение и подставляя его в уравнение
G.36), получаем условие для определения а:
2/3A+ +
v 15 180 89100 5239080000;
Этот интефал вычисляется либо аналитически (например, в
рамках пакета Maple), либо численно одним из приближенных методов.
Получаем
1 -2/3/1 JL_j!_ 23 т3 86489 т4 .,
1+15 180 + 89100 5239080000"
= 0,679986^^ = 2,732462.

3, Решение Блазиуса для ламинарного пограничного слоя. Другие решения 199
Тогда /"@) = а = 0,332093.
Располагая выражением для /(t|i) , нетрудно рассчитать все
параметры течения. Результаты вычислений для распределения
продольной и поперечной компонентов скорости приведены в табл. 7.1,
из которой видно, что компонент скорости и очень быстро
стремится к своему асимптотическому значению ?/,. Одновременно с этим
наклон ди I Ъу стремится к нулю. Интересно отметить, что на
внешней границе пограничного слоя компонент скорости и конечен,—
факт, которого следовало ожидать из уравнения неразрывности и
который вытекает из понятия толщины вытеснения. Заметим также,
что вязкость v предполагается независимой от переменных
интегрирования, т. е. подразумеваются изотермические условия течения.
По полученным профилям скорости можно оценить толщину
пограничного слоя 8 = 5x/ReJ/2 при и /U{ = 0,992. Отметим, что
это согласуется с формой соотношения G.1). Если использовать
выражения G.21) и G.23), то толщина вытеснения и толщина
потери импульса будут равны (в качестве верхнего предела
интегрирования можно взять любое т|,, начиная с которого ди/ду = 0):
G.38)
где
=8,4-5;
Таблица 7.1. Решение для установившегося ламинарного
пограничного слоя на плоской пластине
при нулевом градиенте давления в потоке
0
1
2
3
4
5
6
7,2
7,8
8,4
и
0
0,3298
0,6298
0,8462
0,9555
0,9916
0,9990
0,99996
1,00000
1,00000
/м
0
0,16557
0,65003
1,39682
2,30576
3,28329
4,27964
5,47925
6,07923
6,67923
¦0- Re
и, *
0
0,0821
0,3048
0,5708
0,7581
0,8374
0,8572
0,8604
0,8604
0,8604
Эй /Эх
Re'^UJx
0,3321
0,3230
0,2668
0,1614
0,0642
0,0159
0,00240
0,00013
0,00002
0,00000

200 Глава VIL Течение жидкости и газа в пограничном слое
2. G.39)
Для местного касательного напряжения на стенке, которое
определяется значением производной ди /Ъу на стенке,
полученное решение дает
Л ~~~* „ 1/2 U, 0,6642 U? /п ЛГк,
\ 0 7
Тогда коэффициент местного касательного напряжения
(локальный коэффициент трения), определяемый соотношением
xo=cfpU/2, оказывается равным cf = 0,6642 /Rej/2. Подставив
соотношение для толщины пограничного слоя в эту формулу,
получим
^=3,321^. G.41)
Обращает на себя внимание то обстоятельство, что толщина
потери импульса 9 и локальный коэффициент трения cf
совпадают с точностью до текущей координаты пограничного слоя jc, или,
более точно, между ними существует соотношение в = cfx. Такая
связь, как станет ясно из дальнейшего, вообще справедлива для
ламинарного пограничного слоя.
Полное сопротивление одной стороны пластины шириной Ъ
равно
\ L
D = b\xo(x)dx = l^94Lbl. G.42)
Используя соотношение D = Cfp UfS / 2 , где площадь
поверхности S = b • /, получаем
Cf= 1,3284 /Re?'5. G.43)
Все вышеприведенные теоретические результаты получены в
предположении, что уравнения пограничного слоя справедливы
при всех значениях х. Эксперименты показывают, что в
непосредственной близости от передней кромки пластины имеет место
зона, в которой полученные теоретические результаты не будут
точны, так как величина 8 здесь не является малой в сравнении с х.
Влияние этого обстоятельства на профили скорости и местные
касательные напряжения становится заметным при Rex<2-104.
Измерения профилей скоростей при больших числах Рейнольдса
свидетельствуют о хорошем согласии между теорией и экспери-

3. Решение Блазиуса для ламинарного пограничного слоя. Другие решения 201
ментом. Отметим также малую погрешность при определении
толщины пограничного слоя.
Коэффициент местного напряжения cf может быть определен
непосредственно измерениями силы, действующей на малую
изолированную площадку поверхности стенки. Он может быть также
вычислен по измеренным градиентам скорости около стенки на
основе зависимости касательного напряжения для двухмерного
пограничного слоя. Эксперименты, выполненные при больших
числах Рейнольдса, показывают, что в обоих случаях полученные
теоретические скорости и местные касательные напряжения очень
хорошо согласуются с экспериментальными данными,
свидетельствуя тем самым о точности теории как в математическом, так
и физическом смысле.
Поскольку полное сопротивление представляет собой
интеграл от местных касательных напряжений, вычисленных по всей
площади пластины, то теоретический коэффициент,
определяемый формулой G.33), всегда будет содержать некоторую
погрешность. Однако эта погрешность будет меньшей, чем погрешность
определения локального коэффициента трения, так как операция
интегрирования сглаживает (выравнивает) отклонения
результатов теоретического расчета от экспериментальных данных. Как
показывает сравнение результатов вычислений по формуле G.33)
с экспериментальными данными, эта погрешность становится
пренебрежимо малой при Rex > 104.
При анализе пограничных слоев используют понятие форм-па-
раметра Н = Ь*/ 8. Как следует из решения Блазиуса, эта
величина для ламинарного пограничного слоя не зависит от Rex, т. е.
при любой скорости внешнего течения для всех жидкостей она
постоянна и Н= 1,721/0,6642 = 2,59, если только в потоке
отсутствует градиент давления.
При достаточно высоких числах Рейнольдса ламинарный
пограничный слой становится неустойчивым. Малые возмущения
усиливаются, что обусловливает переход к пограничному
турбулентному слою.
Экспериментально установлено, что ламинарный пограничный
слой на плоской пластине при отсутствии продольного перепада
давления (?/, = const) устойчив при числах Рейнольдса, меньших
8 • 104. В инженерных расчетах, если не имеется другой
информации (здесь пока незаменимы надежные опытные данные,
полученные в рабочих условиях), обычно принимают, что переход от
ламинарного пограничного слоя к турбулентному происходит
в диапазоне Re от 2 • 105 до 5 • 105.

202 Глава VII Течение жидкости и газа в пограничном слое
Критерий перехода можно выразить и через величину
толщины потери импульса. Предположим, что при обтекании плоской
пластины потоком с ([/, = const) Rex крит = (Uxx)/v = 3 • 105. Для
рассматриваемого случая 0 = 0,664^/vjc/f/, . Исключая из
последних двух соотношений х, получаем ReeKpHT = (Ufi)/v =360.
Это соотношение является местным критерием перехода от
ламинарного пограничного слоя к турбулентному независимо от
предыстории пограничного слоя. Интересно отметить, что если
для ламинарного течения в круглой трубе вычислить значения
числа Ree, у которого в качестве характерной скорости
используется скорость на оси трубы, а в качестве характерного размера
толщина потери импульса, то значению ReKpHT =2000, основанному
на средней скорости и диаметре трубы, соответствует Ree крит = 360.
Таким образом, с этой точки зрения предложенный критерий
удовлетворителен.
Турбулентный аналог течения Блазиуса можно построить, либо
допуская развитие ламинарного пограничного слоя до его
самопроизвольного (спонтанного) перехода в турбулентный, либо
путем искусственно вызванного перехода под действием сетки или
других турбулизаторов. Однако при решении уравнений
турбулентного пограничного слоя возникают два препятствия к
применению метода анализа, развитого Блазиусом. Во-первых, уравнение
количества движения содержит дополнительную зависимую
переменную — турбулентное напряжение и, во-вторых, неизвестен
автомодельный профиль скорости для пограничного слоя, так как
в ламинарной и турбулентной областях течения роль
молекулярной вязкости существенно различна. Эту роль нельзя оценить одним
параметром v, как это делалось для случая ламинарных течений.
Для слоя с постоянным давлением эти трудности
несущественны, так как многие полезные результаты могут быть получены
путем введения упрощений другого вида. В турбулентном потоке
в трубе наибольшее изменение скорости имеет место в
пристенном слое; это справедливо и для рассматриваемого пограничного
слоя. Следовательно, можно распространить профиль скорости
пристенного слоя на внешнее течение, компенсируя это
искусственное допущение соответствующей модификацией эмпирических
констант в окончательных зависимостях.
Рассмотрим с этих позиций универсальный логарифмический
профиль скорости. Запишем его уравнение в виде
МЫЫ. G-44)
U\ Ux [к [Ь v ) J

3. Решение Блазиуса для ламинарного пограничного слоя. Другие решения 203
Допустим, что при у = 5 и = ?/,. Тогда
Учитывая эти равенства, на основании определения G.22)
находим
Аналогичным образом, используя равенства G.44), G.45) и
определение G.24), получаем
??
тогда форм-параметр
[]? <7-48>
Этот результат согласуется с приведенным ранее заключением,
что автомодельное развитие турбулентного пограничного слоя
невозможно, за исключением предельного случая очень высоких
чисел Рейнольдса, когда cf очень мало. Типичным является
медленное уменьшение Н по мере развития слоя и уменьшения cf.
Фактически это не очень точная оценка форм-параметра, но она
показывает, что изменение Н в зависимости от cf существенно;
//= 1,55 +1,2 для сг= 2 • 10 +2,5 • 10~3. Заметим, что эти
результаты применимы для случаев гладкой и шероховатой стенок, так как
они не зависят от постоянной С выражения G.44).
Применяя логарифмический закон для внешней границы
пограничного слоя, получаем
где Re8 = 1/,8/v.
Т. Карман, первым использовавший такой подход, предложил
формулу
= 1,8 ln(Re8^) + 3,6, G.49)

204 Глава VIL Течение жидкости и газа в пограничном слое
которая соответствует эффективным значениям 1 Дэ = 2,55 и Сэ = 6,0.
Из нее видно, что локальный коэффициент трения для гладких
поверхностей есть функция только числа Рейнольдса.
Однако в формуле G.49) cf не выражается в явном виде. Кроме
того, толщину 6, а поэтому и Re8 трудно определить с достаточной
степенью точности.
Толщина пограничного слоя зависит от расстояния х,
измеряемого от передней кромки поверхности, и является функцией Re^.
Предполагая, что пограничный слой турбулентен от самой
передней кромки, Карман преобразовал соотношение G.49) и
вычислил константы из прямых измерений местного касательного
напряжения на стенке, получив
= l,81n(ReJcc/) + l,7. G.49а)
Эта формула достаточно точна, но и в ней cf не выражается
в явном виде. Поэтому Шлихтинг сначала выполнил по
уравнению G.49а) множество расчетов, затем аппроксимировал их
формулой, в которой с, уже выражено явно:
9= 1/B igRe,- 0,65L
Заметим, что этому выражению соответствует суммарный
коэффициент сопротивления пластины шириной Ь и длиной /,
определяемый по формуле
В литературе можно найти и другие выражения для локального
коэффициента трения. Наиболее часто в технических расчетах
используют соотношения, основанные на так называемых степенных
законах для профиля скорости и характеристики трения:
u/Ux={y/b)x/n G.50)
и
c—qRe-"', G.51)
причем п = 2р— 1.
Подставляя выражение G.50) в уравнения G.21) и G.23), после
интегрирования получим
S1,J_ и в= п
8 л + 1 8 (я + 1)(й + 2)' v ' '
откуда
Н=\ + 2/п. G.53)

3. Решение Блазиуса для ламинарного пограничного слоя. Другие решения 205
Сопоставление уравнений G.48) и G.53) приводит к зависимости
показывающую, что п — п(х) увеличивается вдоль слоя. Для cf,
изменяющегося в диапазоне от 0,01 до 0,0025, получаются значения
/1 = 4 + 9, р = 3 + 5и Н= 1,215 -^1,547. В настоящее время значения
коэффициентов, наиболее точно описывающих
экспериментальные данные в диапазоне 5 • 105 < Re, < 107, приняты в зависимостях
с7= 0,059/Rey5 = 0,0256/ReJ/4 = 0,046/Rej/4
c/=0,074/Re)/5.
Заметим, что значению п = 7 соответствует следующая
закономерность изменения толщины турбулентного пограничного слоя:
8 = 0,37*/Re]/5,
т. е. 5 увеличивается пропорционально х4/\ в то время как толщина
ламинарного пограничного слоя увеличивается пропорционально х|/2.
Характеристики пограничного слоя, омывающего шероховатую
стенку, можно найти описанным выше способом на основе закона
дефицита скорости. Для плоских и слабо искривленных
поверхностей он имеет вид
(U{ -и)/и. =-5,61g(j;/8) + 2,5 при j>/8<0,15;
(Ux -и)/и* = -8,61g(y/8) при у/8 > 0,15.
Уравнения для cf применимы в случае, когда пограничный
слой турбулентен почти с самого начала пластины. Поскольку на
передней части пластины всегда имеется ламинарный участок, то
действительное сопротивление трения оказывается меньше
определяемого по указанным уравнениям. Согласно Прандтлю, в
переходной области справедливо выражение
cf =c*f - const/Re^.,
где c*f — коэффициент трения, определяемый уравнениями G.49)—
G.51), a const отыскивается экспериментально. В частности, для
Rev< 107 const =1700.
Слои с неравномерным внешним течением. Решение Блазиуса
является вариантом общего решения, соответствующего
потенциальному потоку вне пограничного слоя. Всякий раз, когда потенциальный

206
Глава VII. Течение жидкости и газа в пограничном слое
поток вне пограничного слоя имеет вид Uoxm или с U^e™ с
положительным а, профили скорости в ламинарном пограничном слое
при различных значениях х геометрически подобны. Для примера
рассмотрим случай, когда Ul(x) = UQxm. Это симметричный
потенциальный поток, омывающий клин с углом при вершине яр,
где р = 2/я/(/я+1). Если т > 0, то поток ускоряется и вершина
клина х = 0 является точкой торможения. В случае т = 0 получаем
равномерный поток, омывающий плоскую пластину, т. е. случай
т = 0 соответствует решению, полученному выше. В случае
замедленного потока с т < 0 окрестности точки х = 0 должны быть
исключены из рассмотрения. В общем случае уравнение Прандтля
преобразуется с помощью соотношений
G.54)
Подстановка этих выражений в соотношения, связывающие
компоненты скорости с функцией тока, и в уравнения Прандтля
дает обыкновенное дифференциальное уравнение
/"' + #" + Р[1-(Я2] = 0, G.55)
известное как уравнение Фолкнера и Скэн. Граничные условия
и = v = 0 при у = 0 и и/С/, -» 1 при у -» ©о принимают вид
: /40) = 0, /'(<*>) = 1. G.56)
Хартри численно проинтегрировал уравнение G.55) и нашел
единственное решение для р > 0, т > 0; некоторые результаты
этого решения показаны на рис. 7.5. При 0 > р > —0,1988 решения не
являются единственными, если только /" @) не выбрано так,
чтобы /4°°) наиболее быстро стремилось к единице. При р = —0,1988
величина /" @) = 0, так что (Эн/Эу)>!=0= 0 при всех значениях х.
-4 3 2 1
0,8 u/U
Рис. 7.5. Профили скорости в ламинарном
пограничном слое при обтекании клина, когда
р равно: 1 - -0,1988; 2 - 0; 3 - 1/2; 4-Х

3. Решение Блазиуса для ламинарного пограничного слоя. Другие решения 207
При р < —0,1988 нет действительных решений уравнений G.55)
и G.56), при которых бы и экспоненциально стремилось к Ux
и и/С/, < 1 при 0 < у < °°.
Случай, когда р = 1, т = 1, т. е. случай двухмерного потока,
натекающего на плоскую пластину по нормали к ней, характеризует
течение в окрестности точки торможения на поверхности малой
кривизны. Случай р = 1/2, т = 1/3, т. е. двухмерного потока,
омывающего клин с углом при вершине я/2, интересен, поскольку
уравнение G.55) при р = 1/2 может быть преобразовано в
уравнение для осесимметричного потока в окрестности точки
торможения на теле вращения.
Недостатком метода Блазиуса является необходимость
рассмотрения большого числа членов ряда для очень многих профилей
тел, представляющих практический интерес. Поэтому разработано
множество других совершенных методов, лишенных этого
недостатка. Со многими из них можно познакомиться по
превосходной монографии Г. Шлихтинга (Теория пограничного слоя. М.:
Наука, 1974,586 с).
Замечание. Весьма удобным средством решения краевых задач,
подобных уравнению Фолкнера и Скэн, является распространенный ныне
пакет Mathcad. В его составе имеется специальная команда sbval,
позволяющая отыскать недостающие для сведения исходной краевой задачи
к задаче Коши граничные условия. После установления этих условий
можно использовать стандартный численный метод Рунге—Кутты,
команда реализации которого также имеется в составе пакета.
Данная команда имеет шесть аргументов:
sbval(v, xl, x2, D, load, score).
Здесь:
v — вектор начальных приближений для искомых недостающих
начальных условий в начальной точке xl исследуемой области;
load(xl, у) — векторозначная функция, возвращающая значения
граничных условий в точке xl. Эта функция включает п элементов, где п —
порядок дифференциального уравнения;
score(x2, у) — количество элементов этой функции равно числу
элементов вектора v. Каждый элемент содержит разность между граничным
значением, заданным в конечной точке х2 исследуемой области, и
значением решения в этой точке. Вектор score показывает, насколько значения
найденного решения в точке х2 близки к значениям, заданным в этой
точке граничными условиями. Значение 0 для любого элемента указывает
на полное совпадение между заданным граничным условием и тем
значением, которое возвращается функцией sbval;
D(x, у) — функция, возвращающая значения в виде вектора из п
элементов, отображающих первые производные искомой функции.

208
Глава VII. Течение жидкости и газа в пограничном слое
Пример 7.2. Решить уравнение G.55) для случая р = —0,1988.
1. Уравнение Фолкнера и Скэн имеет третий порядок.
Следовательно, для сведения краевой задачи G.55), G.56) недостает одного
граничного условия, а именно /" @).
Ниже на рис. 7.6 представлена последовательность поиска этого
условия и последующего решения задачи Коши в рамках пакета Mathcad.
Четко видно, что с погрешностью, не превышающей двух единиц пятого
знака после запятой, функция sbval правильно определила недостающее
граничное условие (должен быть 0).
2. Решение уравнения Фолкнера—Скэн.
р := —0.1988
vlo:=O.O
load(xl,vl) :=
Го ^
D(x,y) :=
У1
У2
-Р[1-(У1J]-Уо-У2>
score(x2,y) :=yl - 1.0
w := sbval(v,0,6.5,D,load,score) w = @.00001492)
wl := 0.000000000
f 0 ^
ic :=
0
W := rkfixed(ic,0,6.5,400,D)
i:=0.. last(W<0>)
Теперь рассмотрим пограничный слой на цилиндрическом теле
произвольного поперечного сечения, обтекаемого двухмерным
потоком, направление которого перпендикулярно оси тела. Для
описания течения около цилиндра требуется представить функцию
U{(x) в общем виде. Как и раньше, хи у — локальные координаты
h
Ч
4,5
?г 3,5
2,5
'l у^ Рис. 7.6. Решение уравнения Фолк-
0>5К 1 J. .L J I неРа и Скэн Для р = -0,1988
f
^^—
j
/
0,2
0,4 0,6
u/UQ
0,8

3. Решение Блазиуса для ламинарного пограничного слоя. Другие решения 209
по касательной и нормали к поверхности тела. В этой задаче
скорость потенциального течения около тела с затупленной передней
кромкой представляется в виде степенного ряда
U](x) = ^a]x", G.57)
критическая точка в этом случае имеет координаты х = у = 0. Для
тела, симметричного относительно направления движения
набегающего потока, скорость U{ является нечетной функцией х, т. е.
Ux{x) = алх + аъхъ + а5х5 + ...,
а известные коэффициенты av ay.. зависят от формы тела.
Следовательно,
= а\х + 4а{а3х + Fя, а5 + щ)
р Эх ох
Л. G.58)
Функцию тока \|/(x, у) для течения в пограничном слое можно
записать в виде
К], G.59)
Ценность этого метода заключается в том, что^ можно записать
через функции, которые не зависят от at, т. е. могут быть
вычислены раз и навсегда. Решение уравнений пограничного слоя для
любого заданного тела тогда записывается через уже известные
табулированные функции. Таблицы некоторых из них приведены
в уже упоминавшейся работе Г. Шлихтинга.
Чтобы применить метод Блазиуса к потоку около кругового
цилиндра радиуса г0, запишем
[* 'f?t+if?T-...l
ЗЦ/oJ 51(г0
, G.61)
так что
ах =
5!/Ь5
и т. д.
2C/q 2U0
го ' °3 3!г03'
Составляющая и (х, у) скорости в пограничном слое из
уравнения G.59) записывается в виде
Л /./ *т I Л I /./ О I Л I /./
T-zi ~Ч7 Т Л +717 /s -•••
3! 1г„
5! r0
G.62)

210
Глава VII. Течение жидкости и газа в пограничном слое
4 3 2 1
Рис. 7.7. Профили скорости в ламинарном
пограничном слое на круговом цилиндре при
угле <р, град: I — 110; 2 — 90; 3 — 60; 4 — 0
0,8 и/Щ
Она представлена графически на рис. 7.7 для различных углов
Ф = х/г0, измеряемых от критической точки. Если выражение G.62)
поставить в условие {Ъи/ду)^ = 0, то в зависимости от числа
учитываемых членов ряда G.61) получим либо значение <р5= 109,5°
(при четырех членах ряда), либо ф9 = 108,8° (при шести членах
ряда). Оба эти значения хорошо согласуются с
экспериментальными данными, и можно заключить, что применительно к этой
задаче метод Блазиуса дает достаточно точное значение скорости
в пограничном слое. Касательное напряжение х0, вычисленное
по данным, полученным на основе уравнения G.62), исчезает
при ф = 0иф = ф5и возрастает до максимума при ф«57°, где
Определение по длине пограничного слоя координаты, в
которой касательное напряжение на стенке становится равным нулю,
представляет огромный интерес, так как она непосредственно
связана с понятием отрыва пограничного слоя.
Пример 7.3. В рассмотренных выше задачах одно из граничных
условий состояло в том, что нормальный к поверхности тела компонент
скорости на самой поверхности был равен нулю, т. е. v0 = 0. Во многих
технических устройствах это условие не выполняется. Например, в
различных типах горелок и форсунок металлургических печей
осуществляется вдув через проницаемую поверхность вторичного потока либо для
защиты ее от разрушающего воздействия высокотемпературного главного
потока, либо для обеспечения лучшего перемешивания топлива и
воздуха. Другим примером может служить отсос пограничного слоя через
пористую стенку для предотвращения его отрыва вследствие
положительного (обратного) перепада давления. В общем случае переменной скорости
потенциального ядра потока исходным для анализа рассматриваемой
задачи является уравнение G.55). Новое граничное условие по vQ = 0 можно
найти следующим образом.

3. Решение Блазиуса для ламинарного пограничного слоя. Другие решения 211
Из уравнений для потенциального потока и G.54) следует, что
Ux{x) = Uox-,
тогда
Но при у = 0 т|| = 0иу = у0. Следовательно,
Решая это уравнение относительно /@), находим
~ ч!/2
Совершенно очевидно, что при произвольном изменении v0 задачу
можно решить лишь численно. Если положить /@) = const, то методом
разложения искомого решения в ряд по #п1 можно получить семейство
автомодельных решений. Однако в этом случае v{) будет изменяться вдоль
поверхности в соответствии с выражением
,, л!/2
±±ипу\ const- x(w"l)/2.
Ниже представлены некоторые решения уравнения G.55) для случая
?/,(.х) = const (т = 0 — обтекание плоской поверхности):
-2,500 -0,750 -0,250 0
3,663 1,336 0,740 0,470
0,250 0,375 0,500 0,619
0,233 0,133 0,051 0
/ X
На рис. 7.8 показаны профили скорости для трех значений (ц/ф^
—0,750; 0 и 0,500. Можно видеть, что при отсосе поток «поджимается»
к стенке, а при вдуве — напротив, отталкивается от нее.
Еще более наглядно различие в поведении потока при отсосе и вдуве
газа иллюстрирует распределение линий тока вблизи стенки
(вертикальная координата на рис. 7.9; по горизонтали откладывается расстояние по
толщине пограничного слоя в м).

212
Глава VII. Течение жидкости и газа в пограничном слое
ч
3
3
ч
1,5
oj
/
.1 —
, "
N.
2
/
/
i
/
/
/
Рис. 7.8. Профили скорости в
ламинарном пограничном слое: 1 —
при отсосе газа; 2— в
невозмущенном потоке; 3 — при вдуве газа
О 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 u/U0
\
\
\\
Л\
V
V
0,027 0 04 0,054 0,067 0;
2,5
2
1,5
1,0
0,5
О 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 0,03 0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 0,03
а б
Рис. 7.9. Распределение линий тока в ламинарном пограничном слое при
отсосе (а) и вдуве (б) части газа через проницаемую горизонтальную
стенку длиной 3 м (скорость невозмущенного потока Uo = 5 м/с)
Решение уравнений турбулентного пограничного слоя для
произвольного градиента давления все еще представляет собой
трудную задачу. В инженерной практике ее решают с использованием
интегральной теоремы импульсов, приближенно удовлетворяя
уравнениям пограничного слоя.
4. ОТРЫВ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
Кривизна границы в направлении течения влечет за собой
появление перепада давления как вдоль течения, так и в нормальном
направлении к стенке. Однако если кривизна не очень велика,
а пограничный слой очень тонок, то изменение давления по
нормали к стенке др/ду обычно имеет второстепенное значение. Поэтому

4. Отрыв пограничного слоя
213
в большинстве случаев давление считается постоянным поперек
слоя даже для искривленных границ. С другой стороны, даже очень
малые перепады в направлении движения могут изменить течение
во всем пограничном слое. Роль изменения давления в
направлении течения др/дх можно выявить из уравнений Прандтля G.8)
с помощью следующих качественных рассуждений.
Запишем это уравнение для границы течения. Учитывая, что
здесь при ^ = 0, м = 0ии = 0, получаем
G.63)
так что кривизна профиля скорости в окрестности стенки
определяется только перепадом давления. Пусть др/дх < 0 (перепад
давлений направлен по течению — прямой перепад), тогда д2и/ду2 < 0
при у = 0 и, поскольку профиль скорости монотонный, то д2и/ду2 < 0
для всех у. Графически этот вывод представлен на рис. 7.10.
Если течение в пограничном слое имеет место в области, где
др/дх > 0 (обратный перепад), то д2и/ду2 > 0 при у = 0. Однако и в
этом случае около внешней границы пограничного слоя д2и/ду2 < 0
при у « 8. Следовательно, всегда при др/дх > 0 в профиле скорости
будет появляться точка перегиба. Графически это иллюстрирует
рис. 7.11.
Потери энергии и количества движения жидкостью,
примыкающей к границе, вследствие воздействия касательных напряжений
У к
и ди/ду
Рис. 7.10. Схема профиля скорости при dp/dx < 0
ди/ду
Рис. 7.11. Схема профиля скорости при dp/dx > 0
д2и/ду2

214 Глава VII. Течение жидкости и газа в пограничном слое
Рис. 7.12. Схема пограничного слоя
вблизи точки отрыва
приводят к прогрессирующему замедлению потока и к утолщению
пограничного слоя, как показано на рис. 7.12. Если жидкость
движется в области возрастающего давления, когда др/Ъх > О, то поток
все более замедляется и в конце концов останавливается;
пограничный слой отрывается от поверхности и выносит вихри внутрь
потока. В точке отрыва касательное напряжение становится
равным нулю, т. е.
&/дH = 0. G.64)
За точкой отрыва градиент давления вызывает медленное
обратное течение (см. рис. 7.12), которое отделено от оторвавшегося
пограничного слоя линией тока, причем последняя подходит к
поверхности тела под некоторым углом. Из соотношения G.11),
записанного для установившегося течения UfiUJdx) = —A/р)(Э/?/Эх),
видно, что появление положительного градиента давления
зависит от ?/j(;c). Следовательно, отрыва пограничного слоя надо
ожидать в потоке около тела с конечной положительной кривизной
(например, как круговой цилиндр) или при течении в трубе или
в канале увеличивающегося поперечного сечения. Отрыв
пограничного слоя имеет место при решении уравнения G.55), когда
Р = —0,1988, а также при омывании кругового цилиндра, где точка
отрыва определяется координатой ср5= 110°.
Таким образом, предположение о том, что ниже по потоку за
точкой отрыва вязкие эффекты ограничены областью, толщина
которой пренебрежимо мала при Re -> «>, уже несправедливо.
Вычисления, основанные на гипотезе о потенциальном потоке за
пределами у = 5, справедливы только для х < jc5, где xs — точка
отрыва пограничного слоя, в которой удовлетворяется уравнение
G.64). Положение точки xs зависит от значения числа Рейнольдса,
однако решение уравнений пограничного слоя совместно с
уравнением G.64) позволяет определить только предельное значение xs
при Re -> оо.
Благодаря утолщению за точкой отрыва области, где
существенны вязкие эффекты, и вследствие образования ниже по течению
завихренного следа общее сопротивление сильно возрастает. Только
часть этого сопротивления обусловлена вязким сопротивлением,

4. Отрыв пограничного слоя 215
определяемым из уравнения для касательного напряжения для
двухмерного пограничного слоя.
Таким образом, теория пограничного слоя имеет дело с
расчетом характеристик присоединенных пограничных слоев, начиная
от передней кромки до точки отрыва х = xs. Методы расчета
в окрестности точки отрыва все еще остаются ненадежными.
Пример 7.4. Следует определить условия замедления при
симметричном потенциальном потоке, омывающем клин с углом при вершине fta,
где р = 2т/(т + 1), а т — показатель степени при х, когда Щх) = Црст9
отрыв пограничного слоя при всех значениях х имеет место при C = —0,1988.
Нетрудно определить, что этому значению р соответствует т < —0,0904,
т. е. не столь уж и существенные замедления потока. В самом деле, для
отношения Ux (x)/U0 имеем следующие значения:
х 0,1 0,25 0,50 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0
U,(x)/U0 1,2314 1,1335 1,0647 1,0 0,9640 0,9393 0,9205 0,9054
Однако изменение продольного перепада давления, который в
данном случае положителен, при больших значениях Uo может оказаться
весьма значительным. В этом нетрудно убедиться, если воспользоваться
уравнением G.11) для установившегося течения и записать
0,904
В общем случае координату точки отрыва пограничного слоя xs
можно легко оценить из соотношения, предложенного Твейтсом:
G.65,
U \Xs)
Если теперь подставить в это выражение соотношение для
скорости потенциального течения на клине Ul (х) = Uoxm, то в
результате вычислений получим, что 0,20 = — ms/Ems+ 1), откуда
величина ms, соответствующая точке отрыва поверхностного слоя,
равна -0,1 (точное значение: ms = -0,0904).
Пример 7.5. Используя уравнение G.65), определить координату
точки отрыва пограничного слоя для замедленного потока U\ (x) = U0- kx .
Проведя вычисления, находим
(U0-kxsf

216 Глава VII. Течение жидкости и газа в пограничном слое
откуда
U\ =1,1404 и xs=0,l23\U{)/k.
kx
Подставив теперь значение xs в выражение для скорости,
потенциального течения, находим, что пограничный слой отрывается, когда
Ux(x) = 0,8769 ?/0 (точное решение: Ux(x) = 0,880^.
Для предотвращения явления отрыва пограничного слоя,
помимо уже упоминавшегося отсоса части пограничного слоя, можно
использовать профилирование канала (обтекаемой поверхности).
5. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА
УСТАНОВИВШИХСЯ ПОГРАНИЧНЫХ СЛОЕВ
Точные решения уравнений пограничного слоя,
рассмотренные выше, позволяют выявить большую часть элементов
структуры пристенной области потока. Во многих случаях такой
подробной информации не требуется, а нужно лишь оценить значение
той или иной характеристики течения.
Отрыв пограничного слоя вызывает существенное увеличение
сопротивления, называемого профильным, в основном вследствие
завихренности или турбулентного следа за телом, а также
вследствие изменения распределения давления по поверхности тела.
Несмотря на то что профильное сопротивление по величине
намного больше вязкого, его очень трудно рассчитать. В этих
условиях точное решение уравнений пограничного слоя имеет
второстепенное значение. Гораздо важнее суметь точно определить точку
отрыва пограничного слоя, чтобы задержать или даже полностью
предотвратить отрыв путем оптимизации профиля тела или канала.
Для конструкторских разработок требуются более быстрые методы
расчета, чем методы, рассмотренные выше, несмотря на то, что это
быстродействие достигалось ценой понижения точности расчета.
Для получения приближенных методов расчета характеристик
пограничного слоя необходимо отказаться от требования, чтобы
дифференциальные уравнения пограничного слоя удовлетворялись
бы для каждой «частицы» жидкости. Достаточно ограничиться,
во-первых, выполнением граничных условий и контурных связей
на стенке и при переходе к внешнему течению и, во-вторых,
выполнением только суммарного соотношения, получаемого из
дифференциальных уравнений пограничного слоя как некоторое
среднее по толщине слоя.

5. Приближенные методы анализа установившихся пограничных слоев 217
Выведем это соотношение сначала для простейшего случая
установившегося течения вдоль плоской поверхности, когда др/дх = О
(U— const). Для этого проинтегрируем уравнение G.8) по толщине
пограничного слоя:
U ди ди\ ц \д2
Рассмотрим правую часта этого выражения. Поскольку Л =
= const, то
Но на внешней границе пограничного слоя ди/ду = 0. С другой
стороны, известно, что касательное напряжение на стенке равно
r\jjTdy = -x0. G.67)
Запишем теперь второе слагаемое левой части уравнения G.66)
в виде
г ди , \duv , г Эй , /П CQ.
\v — dy=\—-dy-\u — dy. G.68)
Jo Ъу { ду { ду
Здесь использовано соотношение
ди v ди ди
—- = v — + и—.
ду ду ду
Первое слагаемое в правой части уравнения G.68) легко
интегрируется, т. е.
]^(uv)h-(uv)<)=Ulvh> G.69)
так как на внешней границе пограничного слоя и = U], v = vh, а на
стенке и = v = 0.
Для определения величины vh, а также для преобразования
второго слагаемого правой части выражения G.68) воспользуемся
уравнением неразрывности ди/ду = -ди/Эх, тогда

218 Глава VIL Течение жидкости и газа в пограничном оюе
Таким образом, приходим к интегральному уравнению
импульсов, содержащему касательное напряжение на стенке т0:
При установившемся движении, как уже отмечалось выше, при
отсутствии продольного перепада давления др/дх = 0, скорость
внешнего течения ?/, = const и, следовательно, может быть
внесена не только под знак интеграла, но и под знак производной, т. е.
уравнение G.72) может быть записано в виде
{ Эх У J Эх У р
или h
A X G.73)
р
Учитывая выражение G.23), окончательно получим, что
i/124^ = —, G.74)
dx p
где 0 — толщина потери импульса.
Этому уравнению можно придать другой вид. Если учесть, что
коэффициент местного сопротивления трения связан с касательным
напряжением на стенке т0 и скоростью внешнего течения Ux
соотношением
с = to
то получим cf = 2dQ/dx.
Для неустановившегося движения и Эр/Эх * О течение вне
пограничного слоя, где влияние вязкости пренебрежимо мало,
описывается уравнением Эйлера G.12), а уравнение пограничного слоя
имеет вид G.13). Интегрируя последнее уравнение по толщине
пограничного слоя, находим
т(ди ди ди\ , cldUi TT dll} Т[д2и\ ,
I н и — + v—\dv = I —- + U*—L -|—L //у Г7 75^
{[dt дх ду)' l[dt l дх рду2)* У' }
Поскольку ди /dt и dUv/dt не зависят от у , то с учетом
уравнений G.67)—G.71) можно записать

5. Приближенные методы анализа установившихся пограничных слоев 219
Запишем третье слагаемое левой части этого выражения в виде
dy = \-rdx
так как duUl /дх = udUl/dx + Ul ди /дх и С/,,Э(/,/Эл:независятоту.
Следовательно, имееи,
d/o дх о дх о
или, с учетом выражений G.21) и G.23),
Интегральное уравнение импульсов впервые было выведено
Т. Карманом. Уравнения G.73), G.74) и их обобщение —
выражение G.77) — часто называются интегральными уравнениями
(теоремами) импульсов Кармана.
Заметим, что при выполнении оценки порядка величин,
сделанной при выводе уравнений Прандтля G.8), а следовательно,
и интегрального уравнения импульсов G.77), вклад турбулентных
флуктуации не учитывался. Тем не менее интегральное уравнение
импульсов G.77) используется как при ламинарном движении, так
и при турбулентном. Это допустимо до тех пор, пока поток
количества движения, обусловленный турбулентностью, мал по
сравнению с потоком количества движения, обусловленным
скоростями осредненного течения. При несоблюдении данного условия
следует пользоваться более точным выражением, полученным из
уравнений турбулентного пограничного слоя:
Полагают, что последнее слагаемое левой части этого уравнения
может быть существенным вблизи точки отрыва.
Необходимо отметить, что интегральные уравнения
пограничного слоя (интегральные уравнения импульсов) сами по себе
являются точными, хотя бы в рамках теории пограничного слоя.
Приближенный характер решений этих уравнений обусловлен
способом их применения.

220 Глава VII. Течение жидкости и газа в пограничном слое
Рассмотрим общий случай установившегося движения в
пограничном слое. Перепишем уравнение G.77) следующим образом:
, G.78)
1 dx v > l dx p '
или
U*—+B + H)eU{ ^ = ^L. G.79)
rfx dx p
Если выбрать для распределения скоростей необходимое
выражение и с его помощью вычислить толщину вытеснения,
толщину потери импульсов и касательное напряжение на стенке, то
получим из уравнения G.78) обыкновенное дифференциальное
уравнение для определения толщины пограничного слоя. С целью
выбора необходимого выражения для профиля скорости введем
вместо размерного расстояния у от стенки безразмерное
расстояние г\] —у/Ъ(х). Предположим также, что относительная скорость
и /U] является функцией г\г Далее, с учетом граничных условий
для распределения скоростей и функция/^) = u/Ux должна
исчезать на стенке (т|, = 0) и должна быть равна 1 для больших
значений х\у Хотя все точные решения уравнений пограничного слоя
показывают, что переход пограничного слоя в потенциальное
течение происходит асимптотически (при ц] -> ©о), тем не менее для
приближенного решения целесообразно провести смыкание
пограничного слоя с потенциальным течением на конечном
расстоянии от стенки, следовательно, ввести в расчет конечную толщину
пограничного слоя 8(jc).
В общем случае, когда вдоль обтекаемой стенки имеется
градиент давления, следует предусмотреть, что профили скоростей
могут быть как без точки перегиба (прямой перепад давления), так
и с точкой перегиба (обратный перепад). Далее, для того чтобы
приближенный расчет мог дать также положение точки отрыва,
необходимо предусмотреть выполнение условия (ди/ду) =0 = 0,
т.е. возможность существования профиля скорости, имеющего на
стенке касательную, совпадающую с нормалью к стенке.
Преимущество интегрального метода состоит в том, что
окончательное решение незначительно зависит от формы профиля
скорости. Обычно профиль выбирают так, чтобы можно было
удовлетворить как можно большему числу граничных условий.
Пусть течение в пограничном слое стационарно и,
следовательно, dU{/ dx = 0 (dp / dx - 0). Тогда, учитывая равенство т0 =
= rjj (ди/ду) ;=0, из уравнения G.79) получим уравнение G.74) в виде

5. Приближенные методы анализа установившихся пограничных слоев 221
Выберем профиль скорости в виде кубической параболы
и = ах + а2у + а3у2 + а4у3. G.81)
Согласно условию прилипания при у = 0 и = 0, отсюда ах = 0.
Далее, из выражения G.63) следует, что при др/дх - 0 (д2и/ду2) =
= 0. Тогда (д2и/ду2) = 2а3 + 6л4^=0 =0, т. е. я3 = 0 , и вместо
уравнения G.81) можно записать
и = а2у + а4у3. G.82)
Для отыскания двух коэффициентов имеем два условия: у = 5,
и = Ux и Э*//Эу = 0. Используя их, получаем: я2 = 36^ /B8) и аА =
= -?/, / B83). Следовательно,
ZI(ZY G.83)
U 25 2 ^ S
Подставив в выражение G.83) уравнение G.23), находим
э]-2 5-
Таким образом, вместо уравнения G.80) имеем
= (l4O/l3)(y\/pUl)dx.
Интегрируя это уравнение при граничном условии 6 = 0 при х = 0,
получаем 82 / 2 = A40 /13) (трс / р Ux) или
8 = 4f64^0i*/ptfi) = 4,64х/ЯеУ2. G.84)
Сопоставив это уравнение и уравнение для толщины
пограничного слоя, находим, что интегральный метод дает ошибку в
определении 8, равную 7,2%.
Располагая значением 8, вычисляем т0 = @,646/Rey2)pC/!2 /2,
т. е. cf = 0,646 / ReJ/2, что всего лишь на 2,7% отличается от
решения Блазиуса.
В табл. 7.2 приведены результаты решения уравнения G.80) для
различных приближений профилей скоростей — от линейного до
синусоидального. Линейная функция удовлетворяет лишь услови-
ям/@) = 0 и/A) = 1; кубическая функция — дополнительно двум
условиям //'A) = 0 и /'"@) = 0; функция четвертой степени —
условию /w(l) = 0. Функция sin (лт|,/2) удовлетворяет тем же

222
Глава VII. Течение жидкости и газа в пограничном слое
Таблица 7,2. Результаты приближенного расчета пограничного слоя
плоской пластины, обтекаемой в продольном направлении
u/Vx -/(л,)
Л,
2п1-2т113 + г}14
sin (тгп,/2)
Точное решение
3,464
4,641
5,836
4,795
5,000
6*(Re,)'/y*
1,732
1,740
1,751
1,743
1,721
0(ReA)l/2/x
или cf(RexY'2
0,577
0,646
0,685
0,655
0,664
1,155
1,293
1,371
1,310
1,328
Я = 6*/6
3,00
2,69
2,56
2,66
2,59
граничным условиям, что и полином четвертой степени, за
исключением условия /'"(I) = 0- Можно видеть, что полиномы третьей
и четвертой степеней, а также функция sin (tzx\J2) дают для
касательного напряжения на стенке значения, отличающиеся от
результатов точного решения не более чем на 3%, что следует
рассматривать как вполне хороший результат. Значения толщины
вытеснения 5*, даваемые указанными приближениями, также
удовлетворительно совпадают с точными значениями.
Переходя к анализу турбулентного пограничного слоя,
отметим, что наиболее простое решение задачи можно получить, если
использовать степенную форму универсального профиля скорости,
а не логарифмическую, более приемлемую в других отношениях.
Уже отмечалось, что степенной профиль с показателем 1/7 вполне
удовлетворительно аппроксимирует опытные данные в диапазоне
у+ = и*у /v примерно от 30 до 500 при Re^ = 5 • 105 -*-107. Если
необходимы данные для больших значений у+, то используют
другие степени. Закон 1/7 степени имеет вид
w+=8,74O>+)I/7 ^ u/u.=S,74(u.y/v)W7.
Полагая, что при у = 8 и = Ux, и решая последнее уравнение
относительно х0 (и, = у/х0 /р ), получаем
х= 0,0228
G.85)
Подставляя выражение закона 1/7 степени в уравнения G.21),
G.23), после интегрирования находим 8*/8 = 0,125, 0/5 = 0,097,
откуда #=6*/0= 1,29, и касательное напряжение в уравнении
G.85) можно выразить через толщину потери импульса:
xo=O,O128pi7l2(eC/1/vr1/4.
G.86)

5. Приближенные методы анализа установившихся пограничных слоев 223
Тогда вместо уравнения G.74) запишем Ql/4dQ/dx = 0,0l28(v/ ЦI'4.
Если турбулентный слой развивается от передней кромки
пластины, то граничное условие имеет вид 9 = 0 при х = 0.
Следовательно,
или
6/x = 0,037[v/(t/1 х)]1/3 =0,037 /Re!/3. G.87)
Вычисление других характеристик пограничного слоя с
использованием вышеприведенных данных не вызывает затруднений.
Произвольное изменение скорости внешнего течения. Вернемся
к общему случаю решения уравнения G.79). Умножив его на
e/(v f/j) и записав вместо т0 его значение тКЭи/Эу)^, придадим
выражению G.79) безразмерную форму, т. е.
Эы/Э^. G.88)
v dx v dx Ux
Для упрощения алгебраических выкладок введем еще один
параметр пограничного слоя — динамическую толщину 8Д = ^/(ди/ду)^.
Кроме того, обозначим Г = 9/5д. Тогда уравнение G.88) примет вид
G89)
где X = {&/v)(dUJdx).
Анализ точных решений уравнений пограничного слоя
показал, что функция F(X) хорошо аппроксимируется линейной
зависимостью ДХ) = а — ЬХ, причем, по данным Твейтса, а = 0,45
и b = 6. После подстановки этого соотношения в G.89),
перегруппировки слагаемых и объединения производных получим
уравнение d(Q2Ui) = avU*~]dx , интегрируя которое по х и учитывая при
этом, что одна из величин (9 или ?/,) при х = 0 должна быть равна
нулю, находим
]
о
Приняв указанные Твейтсом значения а и 6, окончательно
получим ?ft
Щ\*] G.90)
Интересно, что при Ux = const из этого выражения вытекает:
6 = 0,67jt/Rex1/2, что лишь на 0,9% превышает точное значение.

224
Таблица
V
7.3.
dV{
dx
Глава
Функции,
н
VII. Течение жидкости и газа
используемые с уравнением
в пограничном слое
G.90)
-0,082
-0,080
-0,070
-0,060
-0,040
-0,024
0
0,016
0,048
0,080
0,120
0,250
0
0,039
0,089
0,113
0,153
0,182
0,220
0,244
0,291
0,333
0,382
0,500
3,70
отрыв пограничного слоя
3,58
3,17
2,99
2,81
2,71
2,60
плоская пластина
2,55
2,44
2,34
критическая точка
(приближенно)
2,23
2,00
Определив по уравнению G.90) толщину потери импульса,
можно вычислить местный параметр А, и затем с помощью табл. 7.3,
составленной на основании точных решений уравнений
пограничного слоя, вычислить динамическую толщину, местное
касательное напряжение и локальный коэффициент трения.
В литературе можно найти более точные методы расчета
ламинарного пограничного слоя, которые следует использовать лишь
при необходимости особо точных решений. Для инженерного
анализа достаточно точности уравнения G.90).
Если использовать степенной профиль скорости, то можно
получить решение уравнения движения турбулентного
пограничного слоя при произвольном изменении скорости внешнего
течения. В этом случае форм-параметр определяется по выражению
//= 1 + 2/п. При п = 7 он сохраняет постоянное значение 1,29 и
остается в силе уравнение G.86). Такой метод расчета можно
использовать лишь для течений с отрицательными градиентами давления —
прямой перепад при движении жидкости (газа) с ускорением,
например, при истечении через сопла. При положительных
градиентах давления (обратный перепад) он практически бесполезен. Для
течений с положительными градиентами давления разработаны

5. Приближенные методы анализа установившихся пограничных слоев 225
более точные методы, но они связаны с громоздкими
вычислениями и здесь не рассматриваются.
Подставив в уравнение G.79) Н= 1,29 и х0 из выражения G.86),
получим
r
t3.vwn
dx Ux dx y v
Это уравнение можно преобразовать к виду
Интегрируя это уравнение при граничном условии, согласно
которому при х= О одна из величин (9 или ?/,) равна нулю, и
решая его относительно 0, получаем
j' G.91)
Определив зависимость 0 от х по соотношениям G.52), можно
найти 8, 5* и cf.
В настоящее время по теории пограничного слоя имеется
весьма обширная научная и учебная литература. Рассмотренные в
данной главе результаты служат введением в более строгую и точную
теорию и дают возможность самостоятельного изучения
публикаций. Они важны как в отношении разработки методов расчета
сопротивления потока (коэффициентов трения), так и (что не
менее важно) процессов переноса теплоты и массы с точки зрения
описания гидродинамической обстановки и последующего
решения задач тепломассообмена.
15-3546

Глава VIII
ПОТЕРИ ЭНЕРГИИ
ПРИ ДВИЖЕНИИ ЖИДКОСТИ И ГАЗА
При движении реальных жидкостей и газов по трубам,
каналам, элементам металлургических печей, элементам оборудования,
обслуживающим печи и т. п., вследствие трения и по другим
причинам некоторая часть механической энергии потока необратимо
превращается в тепловую. Другими словами, наблюдается
диссипация энергии, в результате чего уменьшается полное давление
движущейся среды, при этом часть тепловой энергии рассеивается
в окружающем пространстве, а часть остается в потоке, изменяя
его внутреннюю энергию. Эта безвозвратно потерянная часть
энергии для какого-либо участка системы характеризует
гидравлические потери или гидравлическое сопротивление. В общем случае
потери энергии при движении жидкости и газа рассчитываются по
формуле
22, (8.1)
в которой коэффициент С, является коэффициентом
гидравлического сопротивления. По своему физическому смыслу ? —
коэффициент пропорциональности между кинетической энергией потока
и потерянной энергией. Поэтому его определяют как отношение
потерянной энергии к кинетической, т. е.
(8.2)
Обычно кинетическую энергию потока, оцениваемую
скоростным (динамическим) давлением, определяют по среднерасходной
скорости среды в сечении до гидравлического сопротивления. Из
этого правила исключаются случаи движения жидкости и газа при
внезапном сужении потока (вход воздуха во всасывающий
патрубок вентилятора из атмосферы и т. п.); для них выбирают сечение
после гидравлического сопротивления. В редких случаях
коэффициенты гидравлического сопротивления могут быть найдены
теоретическим путем; обычно они определяются экспериментально.
Коэффициент ? всегда положителен. Значение С, > 1,0 не должно
вызывать удивления, так как израсходованная на преодоление сил

1. Потери энергии на трение 227
сопротивления кинетическая энергия восстанавливается за счет
потенциальной энергии (статического давления), особенно четко
это наблюдается при V— const. Однако в реальных условиях
встречаются участки, для которых в силу условного расчета АрпоТ
приобретает отрицательное значение. По определению А/?пот
представляет собой разность полных давлений на данном участке между
сечениями 1 и 2, т. е.
АР™ = Рпош\ - Аюлн2 = (/>ст1 + Дин! ) - (Лт2 + Рдин2 ) • (8«3)
Из анализа этого выражения следует, что Арпот < О может быть
тогда, когда на данном участке появляются дополнительные,
внешние силы по отношению к данному потоку. Такого рода явления
наблюдаются в ответвленном потоке, для которого при
определенных углах отбора и соотношениях скоростей основного и
ответвленного потоков величина % может достигать 2,0.
Потери энергии при движении жидкости и газа обычно
подразделяются на потери на трение, потери на местные
сопротивления — в виде сужающих и расширяющих устройств, поворотов,
слияний и разделения потоков, задвижек, клапанов и т. п.
Энергия потока в некоторых случаях может также расходоваться на
преодоление действия геометрического давления.
1. ПОТЕРИ ЭНЕРГИИ НА ТРЕНИЕ
Физическая сущность потерь энергии на трение при
ламинарном и турбулентном режимах течения рассмотрена выше. Для их
расчета используется формула (8.1), в которой величина
гидравлического сопротивления для случая потерь на трение C,w зависит от
длины трубопровода L, его гидравлического диаметра с1и
коэффициента трения X, т. е.
С1Р=АХ/Л (8.4)
Введение понятия гидравлического диаметра позволяет
использовать приведенное выражение для каналов и труб любого
сечения — круглого, квадратного, треугольного, кольцевого и пр.
Учет формы сечения трубопровода проводится расчетом по
формуле d = AS/ П, где S — площадь сечения канала, а П — его
смоченный периметр. Для круглых труб гидравлический диаметр
совпадает с геометрическим диаметром. Трубы квадратного
сечения имеют d, равный стороне квадрата. Гидравлический
диаметр трубы кольцевого сечения зависит от значений наружного
и внутреннего диаметров кольца. Для трубопровода такой формы

228 Глава VIII. Потери энергии при движении жидкости и газа
Главная сложность расчета потерь на трение связана с
выбором X. В общем случае коэффициент трения определяется по
величине числа Рейнольдса и шероховатости стенок трубопровода А.
Последняя может быть идеальной и технической. В обоих случаях
она оценивается отношением высоты бугорков 5 к диаметру
трубопровода d. При идеальной шероховатости высоты всех бугорков
одинаковы и по длине трубопровода, и по его периметру. Для
реальных труб и закрытых каналов подобное условие не соблюдается.
Трубы с нулевой шероховатостью можно назвать гладкими.
Для круглых труб и ламинарного режима (Re < 2300)
X = 64/Re. (8.5)
Эта формула, носящая имя Пуазейля, предполагает строго
параболическое распределение скоростей. Ее теоретический вывод
(см. гл. IV) для условий течения в круглой трубе постоянного
диаметра хорошо согласуется с экспериментом. Для других случаев
поперечного сечения канала может быть использована более
общая формула
X = l6y/klRe, ' (8.6)
в которой коэффициенты v|/ и к{ характеризуют форму потока и
особенности поля скоростей. Для круглых труб и переходного
режима (Re < 105) применима формула Блазиуса
k = 0,316Re^25. (8.7)
Для таких же труб в турбулентном режиме A05 < Re < 108)
используется формула Никурадзе
X = 0,0032 + 0,221 Re'237. (8.8)
Формулы (8.5), (8.7) и (8.8) справедливы для гладких труб и
стабилизированного потока. Им присвоены соответственно имена
Пуазейля, Блазиуса и Никурадзе в честь заслуг этих ученых в
развитии соответствующих разделов гидрогазодинамики. Указанные
формулы дают представление о минимально возможных
коэффициентах трения.
Для труб с идеальной шероховатостью сведения о значениях
коэффициента трения можно получить из анализа опытных
данных, приведенных на рис. 8.1, известном как диаграмма Никурадзе.
Прежде всего следует подчеркнуть, что в области ламинарного
режима (режим /) шероховатые трубы ведут себя как гладкие, так
как срывов, завихрений при движении потока не происходит из-за
значительного влияния сил вязкости. Для них X = /1(Re). Для
режима // (переходного) величина коэффициента трения зависит

1. Потери энергии на трение
229
lg A00X)
1,0
0,8
0,6
0,4
П 1
Режим II
\ ^
i \ i t t
\
.—
Режим III
\
\
\
\
2,6 3,0 3,4 3,8 4,2 4,6 5,0 5,4 lgRe
Рис. 8.1. Зависимость коэффициента трения от характеристик режима
движения и шероховатости для труб с идеальной шероховатостью
от числа Re и от значения относительной шероховатости, т. е.
X = /2 (Re,А). Объяснение приведенных на рис. 8.1 зависимостей
может быть получено из сопоставления высот бугорков
шероховатости и толщины пограничного слоя. Пока 6СЛ > 8 шероховатые
трубы становятся подобными гладким, с ростом Re уменьшается
толщина пограничного слоя, вершины бугорков обнажаются, при
этом создаются условия дополнительного образования вихрей. Чем
выше бугорки, тем раньше происходит отрыв экспериментальной
кривой от линии Блазиуса. Для режима /// коэффициент трения
определяется только значением относительной шероховатости, т. е.
он не зависит от числа Рейнольдса — А, = /3(Д). Такая
зависимость возможна при высокой турбулентности потока, когда
дополнительное вихреобразование у бугорков практически не
меняет уровня турбулентности.
Если подставить значения X в уравнение (8.4) и далее в (8.1),
то после преобразования окажется, что потери на трение в
области ламинарного режима пропорциональны скорости в первой
степени, а в области развитого турбулентного режима —
автомодельного — пропорциональны квадрату скорости. Поэтому режим ///
(см. рис. 8.1) получил название квадратичного.
Значения коэффициентов трения для труб с неравномерной
шероховатостью могут быть найдены только по
экспериментальным данным, обработанным по типу диаграммы Никурадзе. Пример

230
Глава VII 1. Потери энергии при движении жидкости и газа
такой диаграммы, построенной Л.Л. Самолейко, приведен на
рис. 8.2, а значения шероховатости различных труб — в табл. 8.1.
В металлургической практике движение газов по трубам может
происходить в условиях переменных температур газов и давлений.
Все это влияет на величину потерь н& трение между двумя
рассматриваемыми сечениями. В первом приближении учесть
влияние этих факторов можно, допустив, что и температура, и
давление по трубопроводу или его отдельному участку изменяются
линейно. С помощью уравнения Менделеева—Клапейрона можно
получить соотношения для вычисления скорости потока VpT и
плотности _газа ррТ. Для любых средних температур и давлений
vPj =voPot/pTo'> РРт =Ро/?7о//7о7'> » которых индекс «ноль»
указывает на то, что соответствующие величины должны быть
определены при нормальных условиях. Подстановка этих
соотношений в расчетную формулу (8.1) дает
= (XL/d)(p0V02/2)(p0T/pT0),
(8,9)
из анализа которой следует, что при транспорте газа под
повышенным давлением потери на трение уменьшаются. Этим
выводом пользуются при организации далшего газоснабжения.
При значительных потерях энерщи на трение, например при
подаче воздуха или пара для распыливашя жидкого топлива в
форсунках высокого давления, среднее давление в трубопроводе будет
2,8
5,2 5,6 lgRe
Рис. 8.2. Зависимость коэффициента тремия от характеристик режима
движения и шероховатости для труб с неравномерной шероховатостью

1. Потери энергии на трение
231
Таблица 8Л. Значения шероховатости различных труб
Разновидность труб
Трубы:
из меди, латуни,
свинца, стекла
из алюминия
Стальные трубы:
цельнотянутые:
новые
после
эксплуатации
сварные:
новые
после
эксплуатации
Чугунные трубы:
новые
бывшие в
эксплуатации
сильно
корродированные
5,
0,0015
0,015
0,02-
0,20-
0,04-
0,10-
0,25-
мм
*0,01
*0,06
г 0,07
ь0,50
5-0,10
г 0,15
-0,42
0,50*1.50
Ло
Магистральные газопроводы
после эксплуатации:
одного года
многих лет
3,0
0,12
0,
50
Разновидность труб
Теплофикационные
трубопроводы:
с незначительной
коррозией
с умеренной
коррозией
Бетонные трубы:
средняя
шероховатость
грубая
шероховатость
Асбоцементные трубы:
новые
после эксплуатации
Железобетонные трубы
Кирпичная кладка:
покрытая глазурью,
шлаком
на цементном
растворе
1 5, мм
0,10*0,20
0,30 * 0,70
1,5
3,0
0,05*0,1
0,60
0,5
0,45 * 30,0
0,8 * 6,0
Р = (Рст\ +Pcti)/2> гДе Pal и Реп характеризуют давление газа
в начале и конце трубопровода или на его участке.
Очевидно, что в условиях движения газа под повышенным
давлением доля динамического давления по отношению к полному
составляет незначительную величину, которой можно пренебречь.
Тогда можно принять, что величина потерь на трение
Умножая обе части на сумму ры + р„2 и преобразуя, получим
Вычитая из обеих частей р^ , получим формулу, по которой
можно определить потери на трение, располагая данными о необ-

232 Глава VI1L Потери энергии при движении жидкости и газа
ходимом давлении в конце трубопровода (у форсунки, горелки)
высокого давления:
)() f-Pcx2. (8.10)
Если же известно начальное давление газа, то формула для расчета
потерь на трение приобретает вид
ApTp=PcTi-pCT2 = Реп -[/&. -(XL/d)(p0V02/2)Bp0T/T0)f$. (8.11)
Используя результаты расчетов по этим формулам, находят
либо начальное, либо конечное давление газа, которое
обеспечивало бы нормальную работу соответствующих устройств.
Для расчета потерь на трение первоначально определяют
принадлежность к режиму течения (число Re) и, если требуется,
характеристики шероховатости, а затем по графикам (рис. 8.1 и 8.2)
отыскивают коэффициент трения, величину которого и
используют в оценке Др^ по соответствующим формулам.
2. ПОТЕРИ ЭНЕРГИИ
НА МЕСТНЫЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ
Потери энергии на местные сопротивления обусловлены
влиянием одного или нескольких одновременно действующих
факторов: изменением скорости движения потоков, изменением формы
и размеров сечения канала по пути движения потока, изменением
направления движения потока. Под их влиянием поток теряет
свою механическую энергию при ускорении или замедлении
движения. Энергия в значительных количествах теряется в результате
отрыва потока от ограничивающих его стенок и возникающих при
этом устойчивых вторичных течений. Конечно, на местных
сопротивлениях некоторое количество энергии теряется за счет
трения потока о стенки, однако в общем балансе потерянной энергии
доля этих потерь незначительна. Ее обычно не рассчитывают, так
как при экспериментальном определении коэффициентов
местных сопротивлений учитывают и потери на трение. Расчет потерь
энергии на местные сопротивления проводят по формуле (8.1)
с учетом тех особенностей определения р V2/ 2, которые были
отмечены в начале данной главы.
Рассмотрим некоторые наиболее характерные виды местных
сопротивлений.
Внезапное расширение. Простейшим случаем расширения
потока является резкое увеличение поперечного сечения, показанное

2. Потери энергии на местные сопротивления
233
Рис. 8.3. Схема течения при внезапном расширении потока
на рис. 8.3. Угол расширения при наличии отрыва потока имеет
первостепенное значение. Наиболее типичным является угол,
равный 90°.
При выходе потока из канала малого диаметра в канал
большего диаметра отрыв потока от стенки происходит по причинам,
обусловленным геометрией системы. Далее в канале с большим
поперечным сечением из-за различия скоростей на оси потока
и его границе (стенке) формируются зоны, в которых перепад
давления по сечению потока между его границей и осью может быть
положительным и отрицательным. В первом случае поток под
влиянием перепада давления прижимается к стенке, тем самым
создаются условия, препятствующие отрыву потока от стенки. Отрыв
происходит, если отрицательный перепад давления (давление
у стенки больше, чем на оси) достигнет определенной величины,
способной вызвать у стенки вторичные, обратные течения. Эта
зона обычно формируется на участке расширения /р. На следующем
участкевосстановления /в наблюдается зона положительного
перепада давления; в пределах этой зоны происходит стабилизация
потока, в результате чего эпюра скоростей приобретает
характерный для данного режима вид.
Таким образом, картина течения при внезапном расширении
представляется следующей: турбулентный поток под действием
поперечной составляющей скорости начинает постепенно
расширяться и на некотором пути достигает стенок канала. Между
потоком и стенкой образуется вихревая зона, которая и является
главной причиной потерь энергии движения. Макрочастицы вихревой
зоны дискретно обновляются за счет массообмена с ядром потока.
Потеряв свою скорость в пристенной области, макрочастицы
приобретают ее вновь при входе в поток. Происходит обычная
картина массообмена турбулентного ядра потока с пограничным слоем
с той только разницей, что при переходе из узкого канала в широкий

234 Глава VIII. Потери энергии при движении жидкости и газа
пограничный слой разрастается в целую вихревую зону. На пути
/р + /в толщина вихревой зоны постепенно уменьшается до
размеров обычного пограничного слоя. В конце этого пути
пограничный слой вновь стабилизируется и в дальнейшем не изменяется.
Опыт показывает, что перестройка пограничного слоя и профиля
скоростей от стабилизированного состояния в узком канале до
такого же состояния в широком канале происходит на пути
/р + /в = (8 +12)D2, где D2 — диаметр широкого канала.
Расчет потерь давления несжимаемого потока при внезапном
расширении проводится с помощью уравнения Бернулли,
уравнения импульсов Эйлера и уравнения неразрывности. Для простоты
расчетов вначале положим, что в сечениях 7 и 2 скорости
распределены равномерно, так что кх = 1.
Пользуясь приведенным выше на основе уравнения Бернулли
определением потерь энергии при движении потока жидкости или
газа можно после несложных преобразований записать
(8.12)
Разность статических давлений целесообразно связать с
изменением количества движения потока, для чего следует
воспользоваться теоремой импульсов Эйлера: приращение количества
движения потока равно импульсу всех сил, действующих на поток
в пределах выделенного объема. Тогда, рассматривая поток,
заключенный между сечениями 7 и 2, и пренебрегая касательными
напряжениями (поток не касается стенок канала), получим
(mV2-mVl)dt = (pcl]-pcr2)S2dt. (8.13)
Имея в виду, что т = р Q, а по уравнению неразрывности
Q = VXS{ = V2S2, получим
и далее:
PC!i-pcr2=pVt2(Si/S2)[{V2/Vl)-l]. (8.15)
Преобразования после подстановки в уравнение (8.12)
приведут к выражению
АР1Н„=[1-E1/52)]2(р^/2). (8.16)
Из сопоставления (8.1) и (8.16) можно получить формулу

2. Потери энергии на местные сопротивления
235
которая названа формулой Борда—Карно. Она определяет долю
теряемого при внезапном расширении потока начального
динамического давления, т. е. ?вр по смыслу является коэффициентом
потерь энергии. Данные эксперимента с точностью до нескольких
процентов согласуются с результатами расчетов по формуле (8.17).
Это означает, что потери на трение на границах в зоне отрыва
действительно малы в сравнении с потерями, происходящими
вследствие генерации турбулентности и диссипации энергии при
расширении струи.
С учетом неравномерного распределения скоростей потери
энергии для данного местного сопротивления получаются больше
рассчитанных по формуле Борда—Карно, что хорошо видно из
анализа выражения для коэффициента Св.Р:
СР = (о, -1)[1 - (Sx /52)] + [1 - (S, /S2)]2, (8.18)
в котором аэ определяется профилем скоростей на входном
участке потока. При <хэ = 1 (равномерное распределение скоростей)
выражение (8.18) обращается в формулу Борда—Карно.
Диффузоры. Устройства, предназначенные для плавного
расширения потока (рис. 8.4), получили название диффузоров. С
помощью этих устройств удается преобразовать кинетическую
энергию потока в потенциальную энергию (статическое давление). Для
создания конического диффузора с минимальными потерями
энергии требуется выбрать такой угол расширения, который был
бы достаточно мал для предотвращения отрыва потока от стенок
и достаточно велик для быстрого перехода к более низким
скоростям, к более высокому статическому давлению. В этом случае
можно ожидать минимума потерь. Экспериментальные данные
подтверждают это положение (рис. 8.5) и указывают на то, что
оптимальный угол расширения зависит от распределения
скоростей на входе в диффузор и лежит в пределах от 3 до 4°.
Потери давления в диффузоре также зависят и от других
факторов, главными из которых являются начальное динамическое
Рис. 8.4. Схема диффузора и его основные параметры

236
Глава VIII. Потери энергии при движении жидкости и газа
Рис. 8.5. Зависимость потерь энергии
от угла расширения диффузора при
DJD2 = 0,5 для воды G) и воздуха B)
15 30 45 60 75 а
давление потока, степень расширения диффузоров SJ S{, профиль
скоростей в начальном сечении диффузора, степень
шероховатости стенок диффузора.
При увеличении начального динамического давления, угла
расширения диффузора, степени его расширения потери давления
в диффузоре возрастают. Значительное влияние на потери
давления в диффузоре оказывает профиль скоростей в начальном
сечении. Чем менее плотен начальный профиль скоростей, т. е. чем
меньше коэффициент осреднения скорости к{ в начальном
сечении, тем больше потери давления в диффузоре.
Ввиду отсутствия достаточно достоверных теоретических
решений потери давления в диффузоре определяются на базе
экспериментальных данных. Анализ показывает, что при углах
раскрытия диффузора ос>4° потерями на трение в диффузоре можно
пренебречь. Тогда потери энергии в диффузоре определяются
только потерями энергии в результате расширения потока.
В основе эмпирического расчета потерь энергии лежит
формула Борда—Карно. Предполагается, что коэффициент данного
местного сопротивления пропорционален ?R n, т. е.
Эв.р !
*эдиф Фр^эв
(8.19)
где фр — коэффициент смягчения потерь давления в диффузоре,
который, по данным И.Е. Идельчика, для конических и плоских
диффузоров при а < 20° определяется как
15, (8.20)
где f(k{) — поправочный множитель, зависящий от первого
коэффициента осреднения скоростей в начальном сечении (при к1 = 1
/(&,) = 1, при уменьшении кх функция /(&,) возрастает). За счет
неравномерного распределения скоростей при а ~ 3°
коэффициент местного сопротивления может возрасти в 2 раза.

2. Потери энергии на местные сопротивления 237
Работа диффузора, как и всякого преобразователя одного вида
энергии в другой, оценивается также коэффициентом полезного
действия. К.п.д. диффузора представляет собой отношение
приращения статического давления в диффузоре к динамическому
давлению входящего в диффузор потока. Если пренебречь потерями
на трение, то
[2][-E1/52)]2« (8.21)
Исследование этого выражения на максимум показывает, что г|тах
достигается при E, / S2) = <рр / A + фр), при этом
Лта*=1/(! + %)• (8-22)
Для диффузоров с углом расширения 4° к.п.д. находится в
пределах 0,85-0,90.
В заводских условиях наиболее часто встречаются диффузоры,
у которых соотношение площадей S2 к S] достигает 4, а длина
составляет 7 Д . Конструктивно такой диффузор
удовлетворительно вписывается в заводские сети, хотя его ц оказывается ниже
максимального. Для достижения r|max следует увеличивать длину
диффузора до A0 -15)/),. Установка таких длинных диффузоров
не всегда возможна.
Характеристики диффузора с большим углом расширения
могут быть улучшены путем отвода жидкости со стенок диффузора
отсасыванием. Постоянный отвод от стенок жидкости,
обладающей малым количеством движения, предотвращает отрыв
пограничного слоя от стенок, так как именно эта жидкость первая
начинает двигаться в обратном направлении.
Другой метод улучшения характеристик диффузоров —
применение внутренних тонких разделительных стенок, которые
устанавливаются таким образом, что создают в диффузоре центральный
и несколько кольцевых потоков с малыми углами расширения.
Экспериментальные исследования показали, что устойчивость
потока достигается в том случае, когда длина разделительных стенок
меньше конической части диффузора. Существуют и другие
способы, препятствующие отрыву потока и тем самым
способствующие уменьшению потерь в диффузоре. К ним относятся сдув
пограничного слоя, установка направляющих лопаток, применение
криволинейных стенок, устройство ступенчатого диффузора и др.
Внезапное сужение. На рис. 8.6, а показана картина течения
потока при внезапном сужении. Здесь важно отметить, что поток при
входе в трубу меньшего диаметра сужается по инерции. В сечении
с—с, отстоящем от начала трубы на расстоянии 0,4D2, площадь

238
Глава VIII. Потери энергии при движении жидкости и газа
поперечного сечения потока достигает минимального значения.
Затем поток расширяется и на пути ~ 6/J приобретает
стабильный профиль скорости, который в дальнейшем не изменяется.
Если предположить, что все потери энергии имеют место в зоне
расширения потока, то для определения коэффициента местного
сопротивления в этой зоне между сечениями с и 2 можно
получить формулу, подобную формуле Борда—Карно:
Свс=[A/е)-1]2, (8.23)
где е — коэффициент сжатия струи, для расчета которого
экспериментально найдена зависимость от соотношения площадей 5, и S2:
е = 0,62 + 0,38E2/5'1K. (8.24)
В пределе, когда Sx очень велико по сравнению с S2, возникает
сопротивление, характерное для входа в трубу из неограниченного
пространства. Характер течения для него показан на рис. 8.6, б.
Величина сопротивления движению будет определяться
относительной толщиной стенки 8/D2 и относительной длиной трубы
b/D2 до стенки, в которую она заделана. Наибольшее значение
коэффициента местного сопротивления, равное 1,0, наблюдается
Рис. 8.6. Схема течений: а — при внезапном сужении потока; б — при
входе в прямую трубу из неограниченного пространства

2. Потери энергии на местные сопротивления 239
б
Рис. 8.7. Схемы конического {а) и фигурного (б) конфузоров
при (b/D2) = °° и острой кромке трубы F /D2) = 0 . При утолщении
входной кромки, а также при заделке трубы заподлицо со стенкой
значение ?вс уменьшается до 0,5. Закругление входных кромок
эффективно снижает коэффициент местного сопротивления до
0,05 и менее.
Конфузоры. Целью постановки плавно сужающихся каналов —
конфузоров — является стремление уменьшить потери энергии при
изменении сечения канала. На рис. 8.7 показаны два типа
конфузоров — конический и фигурный. Первый прост в изготовлении,
но, как это видно на рисунке, должен иметь значительные
габариты; второй сложнее в изготовлении, но зато имеет меньшую
длину. Конфузор, подобно диффузору, является преобразователем
одного вида энергии в другой, в данном случае потенциальной
(энергии давления) в кинетическую (энергию движения). Как и в
диффузоре, в конфузоре происходит деформация начального
профиля скоростей, но в отличие от диффузора, где плотность
профиля скоростей по ходу деформации уменьшается, в конфузоре
плотность профиля скоростей увеличивается, поэтому отрывное
течение полностью исключается. В конфузорах переход от
ламинарного режима к турбулентному происходит при значительно
бблыдих числах Рейнольдса, чем в трубах постоянного сечения.
Так, при угле конфузорности около 8° критическое число
Рейнольдса оказывается примерно в 6 раз больше, чем в трубах.
Конфузор стабилизирует течение, выравнивая профиль скоростей в
пределе до равномерно распределенного.
Потери энергии в конфузоре как разновидности местного
сопротивления складываются из потерь на деформацию потока
и потерь на трение. Доля первых в общем балансе потерь при углах
сужения конического диффузора -30°, когда отсутствуют признаки
образования вихревой зоны, ничтожно мала. Поэтому потери
энергии в конфузоре связаны главным образом с потерями на
трение. В связи с этим формула для определения ?конф может быть
найдена на основании следующих соображений. При движении
потока в конфузоре прирост силы динамического давления равен
отрицательному приращению силы статического давления плюс

240 Глава У111. Потери энергии при движении жидкости и газа
сила статического давления, компенсирующая действие силы
трения, т. е. / 2 \
sd (осэр V 12) = -s dp + т0П dx, (8.25)
где s — текущее значение площади поперечного сечения конфузора;
П — его периметр, т0 — касательное напряжение на границе
потока со стенкой. Заметим, что уравнение (8.25) отвечает
содержанию обобщенного уравнения Бернулли, имея несколько иную
форму записи.
Для конического и плоского конфузоров из простых
геометрических соображений следует, что
Tldx = ds/sina. (8.26)
Касательное напряжение на границе потока со стенкой
т0 = 0,5\|/ЦрК2/2) = 0,25\|ApQ2/*2. (8.27)
Здесь \|/ — коэффициент формы поперечного сечения конфузора,
равный 2 для круглого канала и 1 — для плоского.
Разделив обе части уравнения (8.25) на р и s и заменив в нем
Tldx по формуле (8.26) и т0 — по формуле (8.27), получим
После интегрирования этого выражения в пределах от 5, до S2
при постоянстве X и после преобразований будем иметь
(8.28)
При расчете конфузоров коэффициент трения X определяется
по параметрам подводящей трубы.
Повороты. Изменение направления потоков независимо от
формы поперечного сечения канала осуществляется либо в канале,
изогнутом под прямым углом, либо в криволинейном канале, либо в
составном, контур которого состоит из отрезков прямой.
Распространенность этого вида аэродинамического сопротивления требует
более подробного анализа явлений, сопровождающих течение.
Наиболее четко они проявляются при рассмотрении движения
идеальной жидкости с равномерным начальным распределением скорости
по сечению потока при его повороте на 90° (рис. 8.8). Частицы
жидкости, перемещающиеся по криволинейным траекториям,
находятся под воздействием центробежных сил инерции. Поэтому на
любой элементарный объем жидкости будет воздействовать сила
dFn=(V2/r)dm, (8.29)
где dm = pep/* dr.

2. Потери энергии на местные сопротивления
241
Давление, вызванное этой силой,
= — = pV2(dr/r).
/•Ф
(8.30)
Движение идеальной жидкости предполагает отсутствие потерь
на трение, благодаря чему полная энергия движущегося потока
будет неизменной по всей длине трубы на повороте.
Следовательно, изхменение давления может происходить за счет изменения
скорости. Это положение отражено уравнением Бернулли,
записанным в дифференциальной форме:
dp = -pVdV. (8.31)
Подставив значение dp из уравнения (8.30), можно получить
дифференциальное уравнение
-pV2(dr/r) = pVdV. (8.32)
Интеграл этого уравнения(Vr = const) показывает, что при
движении по криволинейному каналу скорости частиц жидкости
убывают с увеличением радиуса по гиперболическому закону.
Вследствие этого давление у внутренней стенки становится
меньше, чем у внешней.
Отсюда ясно, что если перед поворотом скорости и давления
жидкости были одинаковы по всему поперечному сечению
канала, то при повороте потока картина существенно изменяется.
У внешней стенки поворота скорость потока уменьшается, а его
давление возрастает, т. е. возникает зона обратного перепада
Рис. 8.8. Схемы течений при повороте в каналах прямоугольного (д, в)
и круглого (б) сечений

242 Глава VIII. Потери энергии при движении жидкости и газа
давления. У внутренней стенки дело обстоит по-другому. При
входе потока в поворот его скорость увеличивается, а давление
падает; возникает зона прямого перепада давления. После поворота
величины скоростей и давлений постепенно восстанавливаются
до первоначальных значений, при этом у внешней стенки поток
ускоряется, а у внутренней — замедляется. Поэтому зона обратного
перепада на внутренней стенке формируется уже после поворота.
Подобные явления развиваются и при течении реальной
жидкости, однако они осложняются тем, что в зонах обратного
перепада In IIпроисходит отрыв пограничного слоя от стенки с
образованием вихревых областей (см. рис. 8.8). В этих областях теряется
значительная часть энергии движущегося потока.
Еще одним источником потерь энергии при движении
реальной жидкости являются вторичные токи (см. рис. 8.8), которые
связаны с поперечным перетеканием жидкости под влиянием
возникающего перепада давления между внутренней и внешней
стенками поворота. Отметим, что такие токи не зависят от формы
сечения потока. Они развиваются в каналах круглого, квадратного
и прямоугольного сечений, хотя для последнего характер их
развития будет зависеть от соотношения размеров сечения. Благодаря
наложению на повороте вторичных течений на основное они
приобретают симметрично-винтовой характер.
Таким образом, потери при повороте складываются из потерь,
обусловленных отрывом потока от стенок, развитием вторичных
потоков и потерь на трение. Наибольшую относительную
величину имеют потери в вихревых областях, наименьшую — потери на
трение. Отсюда следует, что для уменьшения потерь при повороте
прежде всего необходимо устранять зоны отрыва потока или
существенно сокращать их размеры. Затем следует стремиться
к уменьшению интенсивности вторичных потоков, и только
тогда, когда резервы в этих направлениях исчерпаны, необходимо
заботиться об уменьшении шероховатости стен поворота.
В общем случае коэффициент местного сопротивления ?пов
при повороте потока зависит от формы поперечного сечения, угла
поворота, отношения площадей поперечного сечения канала до
поворота и после него, радиусов закругления и т. д. Поэтому
теоретическое определение ?пов представляет большие трудности.
Как правило, формулы коэффициента местного сопротивления
при повороте потока выводят на основании экспериментальных
данных.
Обработка экспериментальных данных для внезапного
поворота (простое или острое колено) приводит к таким результатам:

2. Потери энергии на местные сопротивления 243
у квадратных труб с сильно развитой шероховатостью Спов = 1*28,
у гладких — 1,16, у круглых — 1,25. Как видно, различия в
значениях коэффициента сопротивления получаются не столь
значительными.
При уменьшении угла поворота Ф происходит уменьшение
объема зоны отрыва и вместе с ней уменьшаются потери энергии,
которые в этом случае вычисляются по формуле, предложенной
И.Д. Семикиным:
(8.33)
Если поворот потока совмещается с переходом к другому
сечению, то в зависимости от того, сужаться или расширяться будет
поток, сопротивление колена будет различным. В самом деле, если
поворот потока происходит одновременно с переходом к каналу
меньшего поперечного сечения, то потери напора будут меньше,
чем в случае колена постоянного сечения. Причина здесь в том,
что при повороте с «поджатием» потока скорости у внутренней
стенки уменьшаются (после прохождения колена) в гораздо
меньшей степени (или совсем не уменьшаются), чем в колене
постоянного сечения. В силу этого область обратного перепада давления
на внутренней стенке существенно сокращается, а может и
вообще исчезнуть. При повороте с расширением наблюдается обратная
картина: скорость у внутренней стенки после прохождения колена
замедляется сильнее, чем в канале постоянного поперечного
сечения. Поэтому область обратного перепада давления, а
следовательно, и потери напора резко возрастают.
Существенное влияние на коэффициент сопротивления
оказывает закругление стенок поворота, что видно из
экспериментальных данных, приведенных на рис. 8.9; они свидетельствуют
о том, что закругление внутренней стенки более эффективно, чем
внешней. Это и понятно, ибо при прямоугольной внутренней
стенке имеет место бесконечный разрыв конвективного ускорения
{V = (const/г) -> ©о при г -» 0), что приводит к очень сильному
вихреобразованию. Увеличение радиуса закругления внешней
стенки в этом случае практически ничего не изменяет. Более того,
начиная с некоторого значения г / Ьх, ?пов увеличивается, так как
при неизменном положении внутренней стенки увеличение г / Ьх
внешней эквивалентно уменьшению площади поперечного сечения.
Наконец, отметим влияние направляющих лопаток на потери
энергии при повороте. Прежде всего укажем, что установка
лопаток имеет смысл лишь в том случае, когда безразмерный радиус
закругления по габаритным соображениям не может быть больше
единицы, т.е. (r/h[)<l. В этом случае в зависимости от типа

244
Глава VllL Потери энергии при движении жидкости и газа
Рис. 8.9. Зависимость коэффициента
сопротивления поворота от
относительного радиуса закругления внутренней
и внешней стенок для условий: 7 — ^ = 0,
г2 - var; 2 — г{ — var = 0
лопаток удается уменьшить общее сопротивление при повороте на
72—87%. В случае же, когда г / Ьх > 1, постановка лопаток и любое
изменение формы колена не могут привести к сколько-нибудь
значительному снижению потерь, потому что любые
направляющие лопатки, поставленные в колено, увеличивают
сопротивление трения. Снижение потерь энергии при установке лопаток
происходит за счет создания дополнительного сопротивления потоку.
Лопатки замедляют поток у внутренней стенки поворота, что
способствует в силу постоянства секундного расхода ускорению
потока у внешней стенки. И хотя при установке направляющих
лопаток в колене потери на трение увеличиваются, размеры зон
обратного перепада давления при этом резко уменьшаются.
Уменьшаются и суммарные потери энергии.
Внешнее обтекание пучка труб. Пучки труб при поперечном их
обтекании используются в металлургической теплотехнике как
элементы рекуперативных теплообменных аппаратов.
Коэффициент сопротивления пучка в общем случае зависит от
расположения труб в нем (рис. 8.10), количества рядов труб в пучке, режима
течения среды, угла атаки (набегания) среды на пучок и других
параметров. Если число Re рассчитывать по диаметру, скорости
газа в просветах между трубами, а свойства газа определять при
температуре стенки, то для Re > 4 • 104 коэффициент
сопротивления собственно пучка при углах атаки 90° может быть найден
следующим образом.
Для коридорного пучка труб:
^; (8.34)

2 Потери энергии на местные сопротивления
245
для шахматного пучка труб:
Сшахм = @,8-0,9Ккор, (8.35)
где к{ =0,028(?0/280) , к2 = [F0/280) -1] ; п — число рядов труб
вдоль канала, в котором установлен пучок; s — продольное
расстояние между осями труб; 80 — полуширина поперечного просвета
между трубами; Ьо — поперечное расстояние между осями
соседних рядов труб; ?уд — потери энергии на удар при выходе из
последнего ряда труб.
Ниже приведен поправочный коэффициент, на который
необходимо умножить ? при Re < 4 • 104
Re-104 0,4 0,6 0,8 1,0 2,0 3,0
Коридорный 1,41 1,31 1,25 1,21 1,10 1,02
Шахматный 1,70 1,52 1,43 1,37 1,18 1,08
При других углах набегания на пучок — 60°, 45°, 30° — его
сопротивление соответственно уменьшается на 14—18%, 43—46%,
66—70%. Меньшие значения относятся к шахматным пучкам,
большие — к коридорным.
Регенеративные насадки. В металлургии регенеративные
теплообменники изготавливаются из обычного или специального
огнеупорного кирпича, способного выдерживать требуемые
температурные режимы. Возможные схемы укладки кирпичей в насадке
показаны на рис. 8.11. Сопротивление насадки любого типа под-
считывается по общепринятой формуле (8.1), в которой
Vотражает скорость газа в насадке и рассчитывается по ее живому
сечению. Коэффициент сопротивления насадки Каупера определяется
по формуле (8.3), так как ее элемент представляет собой
сплошной канал квадратного сечения. Для насадок других типов, как
показали исследования, выполненные во Всероссийском НИИ
Рис. 8.10. Расположение труб в пучке: а — коридорное; б — шахматное

246
Глава VIII. Потери энергии при движении жидкости и газа
Рис. 8.11. Схемы укладки кирпичей в регенеративных насадках: а —
Каупера; б — Сименса коридорная; в — Петерсена; г — брусковая
металлургической теплотехники, коэффициенты сопротивления
могут быть представлены в общем виде уравнением
(8.36)
для любого числа рядов кирпичей по ходу газа в насадке /я.
Числовые значения величин А и п в зависимости от геометрических
параметров насадки приведены в табл. 8.2. Необходимо заметить,
что для реальных конструкций регенеративных теплообменников
Таблица 8.2. Характеристики регенеративных насадок и данные
для расчета их аэродинамических сопротивлений
Тип
насадок
Размер
кирпича, мм
Размер
ячейки,
мм
Расстояние
между рядами
по глубине
насадки, мм
Коридорная
Шахматная
Брусковая
Петерсена I
Петерсена II
230x113x65
230x113x65
230x113x65
230x113x65
230x65x65
185хНЗх
х F5 -*- 20)
185хИЗх
165x165
120x120
50x50
120х 120
120x120
120x120
120x120
113
113
113
113
65
73
33
0,272
0,300
0,434
0,788
0,116
0,174
0,105
-0,07
-0,06
-0,05
-0,03
-0,02
-0,05
-0,04

2. Потери энергии на местные сопротивления 247
аэродинамическое сопротивление на входе в насадку и выходе из
нее по сравнению с общим сопротивлением насадки
незначительно, что позволяет пренебречь им.
Как правило, аэродинамическое сопротивление насадки
является определяющим при выборе параметров насадки: размера
ячеек, высоты, поперечного сечения и др., когда испытывается
недостаток в мощности дутьевых средств. В противном случае эти
параметры выбираются из конструктивных соображений по
результатам расчета теплообмена и пр. При этом данные о потерях
энергии в насадке необходимы для правильного выбора
вентилятора и дымососа или дымовой трубы.
Сопротивление слоя. Данные о сопротивлении слоя
необходимы при анализе движения газов и расплавов в слоевых
металлургических печах и установках: доменных печах, конвейерных
обжиговых машинах, воздухонагревателях с кусковой или шариковой
насадкой, шахтных печах для обжига руд, известняка и т. п. Эти
печи и установки работают в режиме плотного слоя, характерная
особенность которого заключается в том, что куски, частицы в нем
постоянно соприкасаются между собой, хотя через него и
продувается газ. Аэродинамические характеристики как моно-, так
и полидисперсного плотного слоя являются экспериментальными
величинами. При обработке экспериментальных данных
используют одну из двух совершенно равноправных теоретических схем
движения газа в слое:
1 —- капиллярную модель (течение в условиях внутренней
задачи), которая представляет собой систему каналов с развитой
шероховатостью. За счет шероховатости поток газа турбулизуется при
значительно меньших числах Re, чем это наблюдается в прямых
каналах и трубах;
2 — модель ансамбля частиц (течение в условиях внешней
задачи), в которой течение газа рассматривается как обтекание
отдельных элементов (кусков, частиц) слоя. При этом
предполагается, что турбулизация является следствием развития
последовательных процессов сужения и расширения струй газа в
межкусковых пространствах.
Выбор той или иной модели отражается на значении
определяющего размера как характеристики слоя. Для первой модели
таким размером будет гидравлический диаметр канала dT, а для
второй — диаметр куска, частицы dK. Независимо от типа модели
сопротивление слоя рассчитывается по формуле, аналогичной (8.1):
Apnm = ^aiPVi2/2, (8.37)

248 Глава VIIL Потери энергии при движении жидкости и газа
в которой для первой модели (Viг = V) соответствует истинной
скорости газа в каналах слоя, а для второй (Vtf = КОк) соответствует
условной скорости газа, рассчитываемой по объемному расходу
газа и всей площади поперечного сечения слоя. Естественно, что
числовые значения ?сл в зависимости от выбора модели будут
разными, хотя итоговые данные по сопротивлению слоя для одних
и тех же условий будут всегда одинаковыми. Это является
следствием условностей в обработке экспериментальных результатов
по продувке плотного слоя.
Исторически сложилось так, что в металлургии большее
распространение получила модель ансамбля частиц. Поэтому
приводимые ниже формулы относятся к этой модели, для которой
Ьсл.к ~ Лсл.к
где Н — высота слоя; г — порозность — доля свободного объема
по отношению к объему, занятому слоем; Ф — коэффициент
формы кусков, частиц, определяемый как отношение поверхности
шара Fm , имеющего тот же объем, что и данный кусок, к
поверхности куска FK , т. е. Ф = Fm / FK; Хслк — общий коэффициент
сопротивления слоя, отражающий влияние всех источников
аэродинамических потерь энергии.
Для полидисперсного слоя значение Х^к может быть найдено
из выражения
[ ]/eM, (8.39)
где Re = р У01сФс1к /[г\ A - ew)]; ек — порозность фракции с
наименьшим размером кусков; гт— порозность смеси. Сопротивление
полидисперсного слоя обычно выше сопротивления слоя,
состоящего из частиц одного размера. Поэтому одним из главных путей
улучшения аэродинамических характеристик шихты является
отсев мелочи, загрузка в печь шихт одинаковых фракций.
3. СОПРОТИВЛЕНИЯ, ОБУСЛОВЛЕННЫЕ
ДЕЙСТВИЕМ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО ДАВЛЕНИЯ
При работе металлургических печей и других тепловых
агрегатов встречаются с движением горячего газа, который обладает
стремлением подниматься в окружающем его атмосферном
воздухе из-за различия плотностей газа и воздуха. Возникающее при
этом в вертикальных и наклонных каналах геометрическое давление

4. Расчет гидравлического сопротивления трубопроводов
249
Рис. 8.12. Возможные случаи движения
газа в металлургических печах: а — вверх;
б — вниз
Рг
Рг
может быть подсчитано, как это принято в металлургической
теплотехнике, по формуле
A/>reoM=#g(pa-pr), (8.40)
в которой ра характеризует плотность окружающей среды, а
высота отсчитывается сверху вниз.
В практике работы металлургических печей могут встречаться
два возможных случая действия геометрического давления. Если
поток газа движется вверх (рис. 8.12, а) и рг < ра, то
геометрическое давление способствует перемещению потока. С точки зрения
сопротивлений движению газа следует рассматривать
геометрическое давление в данном случае как отрицательное сопротивление,
которое способствует уменьшению общих гидравлических потерь.
Если же поток газа движется вниз (рис. 8.12, б) и рг < ра, то
геометрическое давление препятствует движению потока и потому
выступает как гидравлическое сопротивление потока.
Таким образом, геометрическое давление формирует
гидравлическое сопротивление в зависимости от направления движения
потока горячего газа. Его величина определяется вертикальным
размером каналов, температурой и составом газа и не зависит от
условий движения газа — скорости, поперечных размеров канала и т. п.
При движении горячих газов горизонтально (Я = 0) или
движении газов той же плотности, что и окружающая атмосфера
(рг = ра), в любом направлении геометрическое давление не
приводит к возникновению дополнительных положительных или
отрицательных сопротивлений, так как в этих случаях оно
становится равным нулю.
4. РАСЧЕТ ГВДРАВЛИЧЕСКОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ
ТРУБОПРОВОДОВ
В металлургическом производстве широко применяются
трубопроводы для транспортировки жидкостей, газов, различных
пульп и смесей. Существующие водопроводные, газопроводные,
мазутопроводные, кислородные и прочие сети можно разделить

250 Глава VIII. Потери энергии при движении жидкости и газа
на два типа: магистральные трубопроводы, подающие ту или иную
среду от источника до потребителя на большие расстояния, и
разветвленные сети труб, обеспечивающие распределение этой среды
непосредственно потребителям.
К разряду трубопроводов относятся и разнообразные системы
боровов и дымоходов, служащие для эвакуации продуктов горения
из рабочего пространства металлургических печей в дымовую трубу.
Форма поперечного сечения таких боровов может быть
различной, однако выделять их из класса труб не следует, так как
формулы, полученные для круглых труб, справедливы для каналов
любого сечения, если использовать понятие гидравлического диаметра.
Все трубопроводы, не имеющие ответвлений, называются
простыми, даже если они состоят из участков разного диаметра. Сети
труб с разветвленными и параллельными участками получили
название сложных трубопроводов.
В общем случае при расчетах трубопроводов приходится иметь
дело с решением трех задач. В первой из них для заданного
расположения трубопроводов, длины и диаметра труб требуется
определить перепад давлений Ар, необходимый для пропускания
заданного расхода среды Q. Вторая задача — обратная первой. В ней
требуется определить расход Q, если известен перепад давлений
Ар. В третьей ставится задача определения диаметра d, если все
остальные параметры трубопровода известны.
Простые трубопроводы. Методика расчета гидравлического
сопротивления базируется на установленных ранее фактах: энергия
движущейся среды расходуется на компенсацию потерь энергии
на трение, местные сопротивления и на преодоление действия
геометрического давления. В простом трубопроводе все источники
потерь расположены последовательно, поэтому общее
гидравлическое сопротивление такого трубопровода может быть представлено
их алгебраической суммой, т. е.
Aft = IАЛР + X Aft* ± 14/>геом. (8-41)
При решении первой задачи все параметры трубопровода
известны; задан и расход среды. В связи с этим известными
являются и скорости, по которым рассчитываются числа Рейнольдса,
коэффициенты трения, коэффициенты сопротивлений, если они
зависят от скорости, и по формуле (8.41) находится сумма всех
сопротивлений, определяющая требуемый перепад давлений.
Вторая задача, как правило, не имеет однозначного решения,
так как коэффициенты Xi, а иногда и ?, являются функциями
числа Рейнольдса, а оно, в свою очередь, определяется расходом

4. Расчет гидравлического сопротивления трубопроводов 251
среды. Поэтому обычно используют метод последовательных
приближений.
Третья задача в общем случае также однозначно не решается,
так как в одном уравнении типа (8.41) неизвестными являются все
диаметры участков трубопровода. Если же участок один и имеет
длину Z, то возможно графическое решение, сущность которого
заключается в следующем. Задаются рядом значений диаметров
трубопровода dx, d2,..., dn; для каждого di решают вторую задачу
и строят зависимость Q = f(d). Поскольку расход среды Q задан,
то, используя построенный график, можно найти искомый
диаметр d. При п участках длиной Ц и диаметром d. третью задачу
можно решить, если задать дополнительно п — 1 соотношение.
Обычно на практике в качестве таких соотношений служат
условия, выражающие требования минимальной стоимости
трубопровода. При этом получается типичная задача оптимизации:
спроектировать трубопровод, состоящий из п участков длиной Ц таким
образом, чтобы при заданном расходе Q потери энергии не
превышали Apj., а затраты на его сооружение и эксплуатацию были
наименьшими. Методы решений таких задач выходят за рамки
данного курса.
Сложные трубопроводы. В условиях производства приходится
сталкиваться с большим разнообразием типов сложных
трубопроводов. Однако почти все из них можно свести к сочетанию в тех
или иных пропорциях трех типов сетей: параллельного соединения,
кольцевого трубопровода и простой разветвленной сети.
Параллельное соединение (рис. 8.13) — это такая
система, когда трубопровод в одной точке (например, А) разветвляется
на п участков длиной Ц и диаметром di каждый, которые затем
в другой точке (В) снова сливаются в один канал. В общем случае
диаметры трубопровода до разветвления и после слияния могут
быть различными.
Характерной особенностью параллельного соединения
трубопроводов является то, что все ветви его начинаются в одном и том
же сечении А при давлении рА и заканчиваются в сечении В при
давлении рв. Поэтому потери энергии на каждой параллельной
Рис. 8.13. Схема параллельного
соединения трубопроводов

252 Глава VIII. Потери энергии при движении жидкости и газа
ветви одинаковы. В силу этого, а также в предположении
горизонтального расположения трубопровода, что позволяет пренебречь
Леом 9 можно записать для первой ветви:
(8.42)
Обозначая выражение в фигурных скобках через В19 получим
для первой ветви и других:
= B2Q22\
=BnQl (8.43)
Поскольку левые части всех этих соотношений одинаковы, то
все неизвестные расходы Qt можно выразить через расход первой
ветви, тогда
Q2=Qiy[BjT2; Qn=QxjBjTn. (8.44)
Учитывая, что сумма расходов каждой ветви равна общему
расходу, т. е. Q = (?, + Q2 + Q3 +... + Qn, получим
Q = Qx
или
(8.45)
Определив расход Qx, нетрудно найти и расходы по другим
ветвям, используя формулы (8.44). Потери энергии Арп при этом
рассчитываются по уравнению (8.42). Поскольку при
вычислениях Вг расходы Qi еще неизвестны, то неизбежен метод итераций
(последовательных приближений).
Коэффициенты 5. имеют определенный физический смысл.
Действительно, любой канал можно заменить отверстием
площадью Sb, которое при протекании того же количества газа оказывает
эквивалентное гидравлическое сопротивление. Площадь такого
отверстия Sl3 = (р Д/>я / 2H'5/ Q или с учетом связи (8.43) 51э = (рВ1 / 2H'5.

4. Расчет гидравлического сопротивления трубопроводов 253
Рис. 8.14. Схема кольцевого трубо-
провода
Qi-Q
Таким образом, коэффициент В9 определяет площадь отверстия,
которое названо эквивалентным. Используя представление об
эквивалентном отверстии, можно сформулировать правило,
согласно которому в системе параллельных каналов расходы
распределяются прямо пропорционально площадям эквивалентных отверстий.
Кольцевые трубопроводы наиболее типичны для
шахтных печей с фурменным вводом дутья (например, доменных).
Основной расчетной задачей является определение давления р в
условиях, когда заданы значения расхода в точках отбора (узловые расходы)
Q\, Q2, •••> Qn > длины отдельных участков и диаметры всех труб.
Наиболее ясными становятся особенности метода расчета
кольцевого трубопровода, если рассмотреть простейший случай наличия
двух узловых расходов: (?, (в точке 1)и Q2 (в точке 2) (рис. 8.14).
Определение давления в начальном сечении трубопровода
затруднено тем, что неизвестны потери энергии, т. е. неизвестен путь,
который проходит каждая часть общего потока, и в каком отношении
эти части находятся. В связи с этим первым шагом методики
расчета гидравлического сопротивления кольцевого трубопровода
является определение тонки схода, т. е. той точки, в которой сходятся
части общего потока Q, первоначально разветвляющиеся в точке А.
Предположим (см. рис. 8.14), что такой точкой является точка 2.
В этом случае на участке А —7 расход составит (?, + q, на участке
А — 2 — Q2 — q и на участке 1—2— q. Потери энергии от
магистральной узловой точки А до точки схода одинаковы по обоим
направлениям «кольца», т. е. Aft^ = &Ры\ + АРЬг или в развернутой форме
[8РB2 "
<8-46)

254
Глава VIII. Потери энергии при движении жидкости и газа
В этом уравнении действием геометрического давления
пренебрегли, так как трубопроводы такого рода обычно
располагаются горизонтально. Поскольку второе слагаемое правой части
положительно, то указанное соотношение эквивалентно неравенству
(8.47)
Как уже указывалось выше, расходы Q( и параметры
трубопроводов заданы, поэтому коэффициенты Xf и ?,. легко
определяются. Следовательно, оценка справедливости неравенства не
представляет труда. Если это неравенство верно, то точкой схода
является точка 2\ в противном случае точкой схода является точка 7.
После того как решен вопрос о точке схода, искомое
начальное давление определяется путем вычисления потерь энергии на
более коротком пути. В условиях нашего примера A/?z = Apz(M2 •
Следует иметь в виду, что для расчета этой величины необходимо
знать расход q на участке 1 —2 Величина q находится из
выражения (8.46) или аналогичного ему.
В условиях металлургического производства число фурм
шахтных печей (узловых расходов) колеблется от 4 до 24. Естественно,
расчет в этом случае существенно усложняется. Однако
принципиально методика не изменяется. И здесь первым этапом расчета
является установление точки схода.
При наличии 8 фурм для определения точки схода можно
использовать такой подход. Выбирают ориентировочно в качестве
точки схода фурму, расположенную диаметрально
противоположно магистральной узловой точке А (рис. 8.15). Предположив, что
Рис. 8.15. Схема подвода дутья к шахтной
печи

4. Расчет гидравлического сопротивления трубопроводов 255
такой является фурма 4, и учитывая, что расстояние между
фурмами и параметры участков Ц и dt одинаковые, кроме точек,
ближайших к точке А, можно записать
-qJ x
(8.48)
Отбрасывание q, как и ранее, приводит к неравенству (правая
часть должна быть больше левой). Обычно желательно, чтобы
распределение дутья по фурмам было равномерным, т. е. Q=Q2=Q3= Q.
Поэтому, пренебрегая местными сопротивлениями, получаем
[B5X9L,/d9) + A6k, + 9Х7 + 4Х6 + X5)L/ d]
В этом неравенстве Х9 вычисляется при расходе 5QL, Х% -4ft,
Х7и Х{ -3Q* и т. д.
Пусть данное неравенство выполняется. Означает ли это, что
фурма действительно является точкой схода? По-видимому, нет,
ибо равенство не обязано быть верным — оно предположительно
и доказывает лишь то, что фурма 3 не является точкой схода. А как
обстоит дело с фурмой 5? Для этого следует проверить, верно ли
неравенство
[A6 V,/ d9) + (9?i8 + 4X7 +X6)L/d]<
4)+(9*2 +4Х3 +k4)L/d].
Если это неравенство выполняется совместно с предыдущим,
то фурма 4 действительно является точкой схода; в противном
случае такой будет фурма 5. Когда и это является неочевидным, как
в данном примере, то следует проверить фурму 6 и т. д.
Расчет искомого давления /сведется по любому пути от
точки 0 до точки схода. При этом q находится по выражению типа
(8.48). На практике более важной и чаще встречающейся является
обратная задача: определить распределение дутья по фурмам Qt,
если общий расход Q, давление в магистральной точке 0 и пара-

256 Глава VIII. Потери энергии при движении жидкости и газа
L,D A
t
О)
о Г
Рис. 8.16. Схема простой
разветвленной сети
метры трубопровода Ц и dt заданы. Заметим, что в этом случае
требуется совместно решать задачи расчета трубопровода и движения
сыпучих материалов и газов в печи, так как требуется знать
сопротивление истечению дутья из фурмы в слой для каждой фурмы.
Простая разветвленная сеть весьма часто встречается
в металлургических цехах как элемент конструкционной схемы
нагревательных печей. Это могут быть, например, газо- и
воздухопроводы, служащие для подвода газа и воздуха к системе горелок
печи, или, напротив, система боровов и дымовых каналов,
обеспечивающая отвод продуктов сгорания от нескольких
нагревательных печей к одной дымовой трубе.
Основными задачами здесь можно считать определение
концевых расходов Qi при заданном давлении в начальном сечении или
определение давления при заданных концевых расходах Q,. Очень
часто приходится решать и третью задачу: определения диаметров
участков сети di, когда все прочие параметры заданы.
Рассмотрим в качестве примера первую задачу, примем для
простоты примем, что ответвлений всего два (рис. 8.16). Для
определенности будем считать, что речь идет о подводе газа к горелкам печи.
Поскольку газ подается в одну и ту же печь, то естественно,
что сопротивления на ветвях О- А-1 и 0-^4-2 будут
одинаковыми. Тогда можно записать два соотношения:
(8.49)
или, используя коэффициенты В,
2 2 (8.51)
(8.52)

4. Расчет гидравлического сопротивления трубопроводов 257
Вычитая из первого уравнения второе, найдем
ИЛИ
(8.53)
т. е. расходы и в этом случае распределяются прямо
пропорционально площадям эквивалентных отверстий. Подставив теперь
уравнение (8.53) в (8.51), получим
[-П0-5
Заметим, что здесь, как при определении расходов, требуется
итерация по X и ?.
Легко показать, что при п ответвлениях схема расчета остается
прежней. Необходимо только вместо уравнения (8.53)
воспользоваться соотношениями (8.44), а (8.54) заменить уравнением
п 0,5
(8.55)
Простой анализ вышеприведенных формул показывает, что
при одинаковых диаметрах ответвлений di расходы Q.
распределяются неравномерно: чем дальше узловая точка находится от
магистральной точки А, тем меньше расход Q,. Поэтому при
необходимости обеспечения равенства концевых расходов следует
добиваться одинаковых площадей эквивалентных отверстий путем
соответствующего подбора диаметров dn степени открытия
задвижек.
Из изложенного следует, что при определении давления в
случае, когда концевые расходы заданы, целесообразно рассчитывать
ветвь самой удаленной точки (от магистральной точки А),
Требование обеспечения равенства площадей эквивалентных отверстий
при одинаковых концевых расходах Qt остается в силе и здесь.
17-3546

Глава IX
ИСТЕЧЕНИЕ ГАЗОВ ИЗ ОТВЕРСТИЙ И СОПЕЛ
Истечение газов происходит при работе горелок, форсунок,
при выбивании газов через отверстия в стенках печей и во многих
других случаях.
Истечение газов существенно отличается от истечения
жидкости. При истечении жидкости протекает простой процесс
реализации запаса потенциальной энергии в кинетическую энергию
потока; температура и плотность жидкости не изменяются. При
истечении газов происходит одновременная реализация запаса
потенциальной энергии и части внутренней энергии в кинетическую
энергию, в результате чего температура и плотность газа могут
претерпевать существенные изменения.
Однако если истечение газов происходит под действием очень
малой разности давлений (р < 1,1рокр), то, как показывает опыт,
плотность газов изменяется весьма незначительно, так что этим
изменением плотности можно пренебречь, положив р = р0. Такой
газ условно называют несжимаемым.
1. ИСТЕЧЕНИЕ НЕСЖИМАЕМОГО ГАЗА
Схемы различных примеров истечения газа показаны на рис. 9.1.
Истечение газа из отверстия в тонкой стенке с острыми
кромками (рис. 9.1, а) для условий рн=димн = 0 подробно
рассмотрено в гл. IV.
В случае, когда ин ф О, рн ф р0 , зависимости для определения
скорости истечения и расхода получим, применив уравнение Бер-
нулли к сечениям /—//и положив потери давления равными нулю:
ои2 ри2
р + ^ = р + ^-. (9.1)
^н 2 окр 2
Имея в виду, что полное давление газа р = р + pw^/2, получим
О н
и =
с

7. Истечение несжимаемого газа
259
Из уравнения газового состояния р = р (RT ),поэтому
н / \ н /
к '.
(9.2)
Объемный расход истекающей среды К равен произведению
скорости истечения на площадь самого узкого поперечного
сечения струи:
(9.3)
Массовый расход истекающей среды М, кг/с, равен
произведению объемного расхода на плотность газа, т. е.
(9.4)
При истечении газа через сопло с острыми кромками на входе
(рис. 9.1, б) процесс сужения и расширения струи происходит
внутри сопла. В результате между стенками сопла и ядром потока
образуется вихревая зона. В этом случае скорость истечения газа и его
расход рассчитываются с учетом потерь давления в сопле на
образование вихревой зоны и потерь на трение. Напишем уравнение
Бернулли для сечений /—//:
Ро - Рокр + ~~2~ + So "~Т" ~ Ажр + A
где pQ — полное давление газа в сечении /;
Рн
\\
\\\
$
Рокр
а
//
Рис. 9.1. Схемы истечения несжимаемого газа: через отверстие с острыми
кромками (а); через сопло с острыми кромками на входе (б); через сопло
с переменным поперечным сечением входа (в); через сопло с
округленным входом (г); при переходе к соплу в виде конфузора (д)

260 Глава IX. Истечение газов из отверстий и сопел
(9-6)
где / — длина сопла, м; d — диаметр сопла, м; Fm — площадь
поперечного сечения канала, из которого происходит истечение, м2;
F— площадь поперечного сечения сопла, м2; ? — коэффициент
потерь на сужение потока; ^ — общий коэффициент
сопротивления сопла, ^ = 0,5A-/7^).
Для случая, изображенного на рис. 9.1, б, обычно при расчетах
потерями на трение в сопле пренебрегают, предполагая, что XI/d ~ 0.
В практике Fm » F, поэтому приближенно можно считать F/Fm « 0,
тогда § = 0,5 .
Решая уравнение (9.5) относительно скорости истечения и,
получаем
(9.7)
где коэффициент расхода а = l/yjl + \; при ? = 0,5 а = 0,817.
Массовый расход протекающей среды
M=pHuF = af>HFtiRTH \f-^f- , (9.8)
где рн и Гн — плотность и температура газа при полном
давлении/^.
Потери статического давления в сопле могут быть значительно
уменьшены, если вход в сопло выполнить под углом ф° (рис. 9.1, в).
В табл. 9.1 приведены значения коэффициента расхода а при
XI/d = 0 и F/Fm = 0. Как видно из данных таблицы,
коэффициент расхода а может изменяться от 0,817 до 0,952.
Таблица 9. L Значения коэффициента расхода а при организации
входа потока в сопло под углом <р°
d
0,025
0,05
0,075
0,10
0,15
0,60
0
0,817
0,817
0,817
0,817
0,817
0,817
10
0,825
0,83
0,84
0,847
0,855
0,89
а
20
0,833
0,843
0,860
0,87
0,89
0,92
при (р°
30
0,835
0,857
0,875
0,895
0,913
0,94
40
0,840
0,870
0,890
0,905
0,93
0,952
50
0,845
0,875
0,90
0,92
0,935
0,945

2. Истечение газа под высоким давлением 261
При округлении перехода из широкого канала в сопло (рис. 9.1, г)
потери давления в сопле могут быть существенно снижены. В этом
случае коэффициент расхода а зависит от отношения радиуса
округления г к диаметру сопла d. Если r/d > 0,2, то коэффициент
расхода близок к единице. Значения коэффициента расхода а в
зависимости от r/d при XI/d = 0 приведены ниже:
r/d 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05
а 0,82 0,835 0,86 0,875 0,89 0,91
r/d 0 0,06 0,08 0,12 0,16 0,20
а 0,82 0,915 0,935 0,96 0,97 0,99
Если переход к соплу оформить в виде плавного конфузора,
сужающегося по форме струи (рис. 9.1, д), то потерями давления
при истечении вообще можно пренебречь, предположив а = 1,
тогда формулы (9.7) и (9.8) существенно упрощаются.
2. ИСТЕЧЕНИЕ ГАЗА ПОД ВЫСОКИМ ДАВЛЕНИЕМ
Давление условно называют высоким, если при реализации
соответствующей ему потенциальной энергии в кинетическую
энергию плотность и температура газа, уменьшаясь, претерпевают
существенные изменения. В настоящее время расчет истечения
газа под высоким давлением базируется на изоэнтропической
модели процесса. Сущность этой модели заключается в
следующем. Предполагается, что газовый поток при движении внутри
сопла, из которого происходит истечение, не отдает и не
воспринимает тепло извне, т. е. является адиабатным. Далее
предполагается, что трение потока о стенки сопла отсутствует и скорость
потока равномерно распределена по поперечному сечению сопла.
Процессы, в ходе которых система не участвует в теплообмене с
окружающей средой и сама не вырабатывает тепло, называют изоэнт-
ропическими, т. е. протекающими при постоянном значении
энтропии, так что изменение ее AS = 0.
На самом деле трение существует, и скорости распределяются
неравномерно по поперечному сечению газового потока. Поэтому
процесс истечения носит адиабатно-неизоэнтропический
характер. Тем не менее изоэнтропическая модель при коротких соплах
оправдывает себя, давая ответы, не слишком резко расходящиеся
с действительностью.
Характер развивающихся в сопле явлений тесно связан с
величиной отношения скорости в данной точке потока к скорости
звука или, как ее часто называют, критической скорости потока.

262
Глава IX. Истечение газов из отверстий и сопел
а 1 б
Рис. 9.2. Схема конического (а) и фигурного (б) сопла
На рис. 9.2 показаны два сопла, с помощью которых
организуется истечение газов под высоким давлением; первое сопло
называют простым коническим, второе — фигурным. Реализация избытка
энергии сжатия в кинетическую энергию при помощи сопел
происходит на коротком участке пути и при наличии достаточно
больших скоростей движения газа совершается за очень короткое
время. В этих условиях теплообмен между газом и окружающей средой
через стенку канала незначительно сказывается на температуре газа
и процесс истечения получается очень близким к адиабатическому.
Если скорость движения газа меньше скорости звука, т. е.
М* = и/с < 1, то течение называют дозвуковым. Режим, при
котором скорость частиц газа равна скорости звука в той же точке
(М* = 1), называется критическим, а скорость при этом режиме —
критической и^. Отношение скорости газа в данной точке потока
к критической скорости называют критерием скорости движения
газа, т. е. Х = и/и^.
При наличии достаточно высокого начального давления газа
скорость его истечения при выполнении определенных условий
может быть больше скорости распространения звука, т. е. М* > 1
и X > 1. Этот режим движения называют сверхзвуковым.
Рассмотрим наиболее общий случай — истечение газа через
фигурное сопло, схема которого показана на рис. 9.2, б. Газовый
поток при переходе от начального сечения /—/ к минимальному
сечению //— // плавно сужается, после чего на пути от
минимального сечения //— // к сечению III—Ш он подвергается плавному
расширению. Таким образом, в этом сопле можно выделить две
части: сужение — конфузор и расширение — диффузор. Если
профиль такого сопла позволяет получить сверхзвуковые скорости
истечения газа, то оно называется соплом Лаваля.
Для выявления обстоятельств, меняющих режим движения газа
в сопле, воспользуемся одномерными уравнениями движения и
сплошности потока, движущегося без трения:

2. Истечение газа под высоким давлением 263
I dp du л
—Г + и-г= 0; (9.9)
р dx dx v }
pFu = const. (9.10)
Логарифмируя уравнение сплошности, дифференцируя
полученный результат по координате х и заменяя в уравнении Бернул-
ли (9.9) du/dx, получаем
1±.и4 I?4f Ц (9.П)
pax ^ рЛ F dx J
Первое слагаемое, стоящее в круглых скобках, можно записать
в виде
1 dp = 1 (dp/dx)
pdx p (dp/dp)'
Знаменатель правой части этого выражения представляет
собой квадрат скорости распространения звука в данном газе.
Подставив вместо dp I dp его значение по уравнению для скорости
распространения звука, получаем
р dx kp dx F dx
После подстановки этого выражения в (9.11) будем иметь
I dp 2( I dp I dF\ n
¦-и -—г1 + -т7-т- =0.
p dx ykp dx F dx
В результате простых алгебраических преобразований этого
уравнения находим
и2_ кр/р
H-(kp/F)lF'(x)/p'(x)]' ^ '
где F'(x) = dF/dx; p/(x) = dp/dx.
Согласно выражению для скорости распространения звука
числитель формулы (9.12) равен квадрату скорости звука в газе. Вводя
в расчет число Маха Мт= и/с, получаем
М} = - (9 13)
l + (kp/F)[F'(x)/p'(x)Y КУ- }
Анализ этой формулы позволяет заключить, что значения
чисел Маха зависят от отношения производных F'(x)lр'{х) и их
знаков. При дозвуковых скоростях производные F'(x) и р'{х)

264 Глава IX. Истечение газов из отверстый и сопел
должны иметь одинаковые знаки, так как по уравнению (9.13)
только при этом условии соблюдается неравенство М* < 1.Для
осуществления сверхзвукового течения (М* > 1) необходимо, чтобы
производные F'(x) и р'(х) имели разные знаки, т.е.
положительному приращению функции F(x) должно отвечать
отрицательное приращение функции р(х). При отрицательном знаке
отношения Р'(хI р'(х) знаменатель уравнения (9.13) получается меньше
единицы, что отвечает неравенству Л/* > 1. Случай, когда
знаменатель приобретает отрицательное значение, не имеет физического
смысла. При критическом режиме течения газа, когда скорость
звука в газе равна скорости массового переноса газа, производная
F'(x) должна быть равна нулю, а производная р'(х) должна быть
отличной от нуля. Рассмотрим течение в плавно сужающемся и
плавно расширяющемся каналах.
При сужении потока на пути от сечения /—/ к сечению //—//
(см. рис. 9.2, б) производная F'{x) имеет отрицательный знак, так
как положительному приращению координаты отвечает
отрицательное приращение площади поперечного сечения сопла. В этих
условиях режим течения в сужающемся сопле зависит только от
знака производной р'(х). Эта производная тоже имеет
отрицательный знак, потому что имеющему место положительному
приращению скорости отвечает отрицательное приращение давления.
Таким образом, в сужающемся канале обе производные имеют
отрицательные знаки, а отношение производных положительно
и Л/, < 1, т. е. скорость движения газа во всех сечениях
сужающегося канала, кроме сечения //—//, должна быть дозвуковой. В
сечении //—//производная F'{x) = 0 , так как имеет место минимум
площади поперечного сечения потока. Производная р'(х) в общем
случае может быть как равной нулю, так и отличной от нуля. При
//(х) = 0 отношение производных становится неопределенным,
т. е. F'(x)/p'(x) = 0/0. Раскрывая эту неопределенность по
правилу Лопиталя, получаем вместо уравнения (9.13)
MV№ = \ + (kp/F)[F'(x)/f(x)y (9Л4)
Вторая производная F"(x) ввиду явно выраженного
минимума имеет положительный знак. Скорость движения газа в сечении
//—//будет дозвуковой, если давление рк в этом месте будет иметь
минимальное значение, что отвечает положительному знаку
второй производной р"{х). При положительных или отрицательных
значениях р'(х) М. = 1 в сечении //—//, а скорость движения газа
в сечении будет равна скорости звука. Таким образом, в самом

2 Истечение газа под высоким давлением 265
узком месте сопла возможны два режима движения газа —
дозвуковое течение при F'(x) = О, р'(х) = О и критическое течение при
F'(x) = 0, />'(*) *0.
В плавно расширяющемся канале между сечениями II—II и
///—///производная F'(x) имеет положительный знак.
Приращение давления может быть и положительным, и отрицательным.
При положительном значении р'(х) скорость движения газа по
выражению (9.13) должна быть дозвуковой. Этот случай отвечает
работе дозвукового диффузора с минимумом давления рк в
сечении //—//: рк < рокр = р. При отрицательном значении
производной р'(х) скорость движения в расширяющемся канале, найденная
по уравнению (9.13), может быть больше скорости
распространения звука, т. е. Л/* > 1. Падение давления в сопле, необходимое
для разгона звукового потока в сверхзвуковой, возможно лишь
в том случае, когда в самом узком сечении //—// имеется
определенный избыток давления по сравнению с давлением рокр в среде,
куда истекает газ. В этом случае производная р'(х) в сечении //—//
не равна нулю, она должна иметь отрицательный знак. Но
поскольку в сечении //—// F\x) = 0, то Л/* = 1, т. е. в сечении //—//
скорость движения газа равна скорости распространения звука.
Этот режим движения, как уже отмечалось, называется
критическим. Критическому режиму отвечают критические значения
давления рк = ркр, температуры Т = Т^ и плотности р = ркр. Для
обеспечения сверхзвуковых скоростей в сопле Лаваля критическое
давление ркр в //—//должно быть больше давления рокр в среде,
куда истекает газ, т. е. р0 > ркр > рокр = р, где р — давление в
выходном сечении сопла Лаваля, для простоты принятое равным
давлению в окружающей среде. Позднее будет показано, что
равенство р = рокр является частным случаем работы сопла Лаваля.
Все отмеченное позволяет сделать следующие обобщения.
Скорость движения газа в сужающемся сопле между сечениями /—7
и II— // при любых значениях начального давления р0 остается
дозвуковой. В сечении //—// скорость движения газа в
зависимости от величины р0 может быть дозвуковой и равной скорости
звука. При достижении критического режима (и = с = икр) и
дальнейшем повышении р0 скорость движения в //— // не изменяется
и остается равной своему критическому значению, но давление ркр
в этом месте при возрастании р0 увеличивается, т. е. часть
начального давления, которая не смогла реализоваться в кинетическую
энергию потока, расходуется на увеличение потенциальной
энергии газа (энергии сжатого газа) в сечении //—//, и таким путем
создаются предпосылки для получения сверхзвуковых скоростей

266 Глава IX. Истечение газов из отверстий и сопел
в расширяющемся сопле между сечениями //—// и III—III. При
дозвуковых скоростях р в сечении //—// за счет действия
диффузора получается меньше рокр в среде, куда истекает газ. При
Ркр > Рокр в зависимости от значения давления рк и скорости и
в сечении //—// расширяющееся сопло может работать как в
дозвуковом, так и сверхзвуковом режиме. Для обеспечения
сверхзвукового режима необходимо, чтобы ркр было значительно больше рокр.
Мы рассмотрели наиболее общий пример истечения газа,
когда сопло состоит из сужающейся и расширяющейся частей. В
частном случае истечение сжимаемого газа может быть организовано
из простого сужающегося сопла без расширяющей поток
приставки (см. рис. 9.2, а). Здесь скорость истечения и другие параметры
газа изменяются по тем же закономерностям, которые присущи
сечению //—//фигурного сопла (см. рис. 9.2, б). Разница
заключается в том, что при дозвуковых скоростях давление газа на срезе
сопла, ввиду отсутствия диффузора и, следовательно, отсутствия
причин к его изменению, остается постоянным и равным
давлению окружающей среды. При наступлении критического
режима давление на срезе сужающегося сопла становится
критическим. Оно может превышать давление в среде, куда истекает газ
(Ркр - Рокр) > т- е- истечение газа может происходить с избытком
давления в истекающей струе.
Расчет параметров истекающего газа. Центральным элементом
расчета является определение скорости истечения газа, так как все
другие параметры газа могут быть выражены через нее.
Для получения наиболее общих закономерностей, одинаково
справедливых для истечения газа из простых сужающихся сопел
и профилированных сопел Лаваля, не будем ограничиваться
конкретным примером истечения.
Скорость истечения газа. Расчет скорости истечения
газа может быть проведен по уравнению энергии для
адиабатического процесса
kPl uj= kp uj_
{k-\)pl 2 (A;-l)p 2
где /;,, pp Mj - соответственно давление, плотность и скорость
движения газа в сосуде или канале, из которого происходит
истечение; р, р, и — те же самые параметры на срезе сопла.
Если принять и — О, то
*?о = кР\ » и\ (Q\6\
(fc-l)p0 (к

2 Истечение газа под высоким давлением
267
где р0 и р0 — соответственно полное давление и плотность.
Подставляя это уравнение в (9.15), найдем:
и». 2-
]_
DT 1 1Рр
Ч АР/
где Го — абсолютная температура газа.
Поскольку по уравнению изоэнтропы Ро.
выражение приобретает вид Р
ч1 / а:
и= 2
к-\
RTQ
к -1
? последнее
(9.17)
По этой формуле можно рассчитать скорость истечения, если
известны начальные параметры газа р0 и Го.
Критические параметры газа. Критическая скорость
истечения
Для расчета этой скорости необходимо знать температуру газа при
критическом режиме 7^, которую можно определить путем
совместного решения уравнения (9.17) и уравнения изоэнтропы
: - 1
При критическом режиме и = с = и^ир = р^. Подставив в
уравнение (9.17) вместо р/р0 = р/ркр его значение по уравнению
изоэнтропы и разделив полученный результат на критическую
скорость, найдем Ткр/Т0 = 2/(к + 1).
При таком значении критической температуры
-RT0.
(9.18)
Величина критического давления определится, если в
уравнение изоэнтропы подставить значение Т/Т^, тогда
А)
/(к - 1)
(9.19)

268
Глава IX. Истечение газов из отверстий и сопел
Так как i-S.
режиме °
-^- , то плотность газа при критическом
Ро J
РкР_Г 2
Ро U + 1
} /(к - 1)
(9.20)
Анализ вышеприведенных формул позволяет заключить, что
безразмерные параметры газа при критическом режиме зависят
только от свойств газа, определяемых величиной показателя
адиабаты к = cp/cv. T
2 й ^ ^ ^ при
В табл. 9.2 приведены значения отношений -^-; —^-;
различных значениях к.
то Ро Ро
Как видно из данных табл. 9.2, для практической области
значений показателя адиабаты к = 1,25+1,45 отношение ркр/р0
находится в пределах 0,555+0,520, &Р0/рокр = 1,8+1,9. В первом
приближении можно полагать, что для обеспечения критической скорости
истечения необходим двукратный запас начального давления по
сравнению с давлением в пространстве, куда истекает газ.
Критические параметры газа могут быть также определены из
уравнения для массового расхода среды в сечении сопла
площадью F w давлением р (см. рис. 9.2, б):
(9.21)
M-F\2
k-\
PoPo
Это уравнение было получено в 1839 г. и названо формулой
Сен-Венана и Вентцеля.
Газодинамические функции. Критическая скорость
движения газа при заданном Го является постоянной величиной по
ходу потока. Поэтому критическую скорость более удобно применять
как эталон сравнения скоростей, чем переменную по ходу потока

2. Истечение газе
\ под высоким давлением
Таблица 9.2. Безразмерные

Параметры
1,05
1,10
1,15
параметры
1,20
1,25
газа
ср/си
1,30
при
1,
критическом
35 | 1,40
1,45
269
режиме
1,50
TJT* °>975 °'951 °>93 0,91 0,889 0,87 0,85 0,833 0,815 0,80
екр=ркр/р0 0,610 0,614 0,617 0,621 0,624 0,628 0,631 0,634 0,637 0,64
пкгГркр/р0 0,595 0,585 0,574 0,564 0,555 0,546 0,537 0,528 0,520 0,512
^гаах"
-1) 6,4 4,58 3,79 3,32 3,00 2,77 2,59 2,45 2,33 2,24
скорость звука. При введении в расчет критерия скорости X = и/и^
все параметры газового потока можно выразить через этот
критерий. Получающиеся при этом функции называются
газодинамическими. Значения этих функций вычислены в зависимости от
величины X и показателя адиабаты к и сведены в таблицы. Расчет
параметров истечения при помощи таблиц газодинамических
функций в настоящее время широко распространен и является
общепринятым. Помимо сокращения вычислительной работы,
преимущество такого расчета состоит в упрощении преобразований при
совместном решении основных уравнений, что позволяет
получать в общем виде решения весьма сложных задач. При этом более
четко выявляются качественные закономерности течения и связи
между параметрами газового потока. Использование
газодинамических функций дает возможность вести расчет течений
сжимаемого газа практически так же просто, как и в случае течения
несжимаемой газовой среды.
Разделив выражение (9.17) для скорости истечения газа на «
из уравнения (9.18), найдем
кр
к-\
(9.22)
Из этого выражения видно, что критерий скорости данного газа
зависит только от р/р0. Необходимо помнить, что при дозвуковых
скоростях (Л/, < 1) р равно давлению в среде, куда истекает газ, т. е.
р = рокр. При критическом режиме (Л/, = 1) давление определяется
по уравнению (9.19). При сверхзвуковых скоростях (Л/, > 1) р
может быть меньше, больше или равно давлению в окружающей среде.
В тех случаях, когда р0 неограниченно велико по сравнению с /?,

270 Глава IX. Истечение газов из отверстий и сопел
критерий скорости согласно выражению (9.22) имеет
максимальное значение: А,тах = у](к+ 1)/(к-I).
Максимальные значения критерия X приведены в табл. 9.2.
Например, для воздуха (к = 1,4) Хат = 2,45. При температуре воздуха
Го = 273 К и^ - 304 м/с. Максимальная скорость истечения
воздуха при этой температуре равна итвх = 745 м/с. При повышении
температуры То критическая и максимальная скорости движения
увеличиваются. Например, при То = 1473 К икр = 692 м/с, ишгх = 1700 м/с.
Таким образом, при одном и том же начальном давлении газа
путем его подогрева можно значительно увеличить скорость
истечения.
Решая уравнение (9.22) относительно р/р0 и обозначая это
отношение через п(Х), получаем
f^f. (9.23,
По этому выражению, если известен X, можно рассчитать
требующийся запас давления р0. При изменении X в пределах 0 < X < Xmax
функция к(Х) меняется в диапазоне X > п(Х) > 0. В критическом
сечении Х= 1 и к(Х) может быть найдено по формуле (9.19). При
уменьшении k -cp/cv функция п(Х) увеличивается. Уравнение
адиабаты при к = 1 превращается в уравнение изотермы. По
уравнению (9.23), при условии ?-> 1, можно определить скорость
истечения газа при изотермическом процессе:
п (X) = lim (l -1^1 X
Решая это выражение относительно X, после простых
преобразований найдем, что и = ^2(/?0/p0)ln(/?0/p) при Т= То = const.
Заменяя отношение р/р0 его значением по уравнению
адиабаты р/р0 = (р/р0) , получаем газодинамическую функцию для
расчета плотности истекающего газа по заданному X:
При изменении А, от 0 до Xmax значения функции г(Х) находятся
в пределах 1 > г(Х) > 0. При X = 1 функция г(Х) = екр, уравнение
(9.24) обращается в (9.20). Исследование выражения (9.23)
показывает, что график этой функции имеет точку перегиба с
координатами, зависящими от к:

2 Истечение газа под высоким давлением 271
пер
-, _
Температура истекающего газа зависит от его скорости.
Поэтому и этот параметр газового состояния можно представить в виде
газодинамической функции. Заменяя р/р0 на Т/То, по уравнению
изоэнтропы найдем д(Х) = Т/ То = 1 - (к -1) /(к + l)?i2.
При изменении X от 0 до Xmax функция &(Х) убывает от 1 до 0.
В критическом сечении при А, = 1 эта зависимость обращается
в уравнение, характеризующее отношение температур при
критическом режиме. С уменьшением к функция д(Х) возрастает.
Функции п(Х), е(Х), Q(X) называются основными
газодинамическими функциями, так как они характеризуют изменение трех
основных параметров газового состояния. Из числа других
газодинамических функций наибольшее прикладное значение имеют
функция q(X), характеризующая поток массы, функция
скоростного напора j(X) и функция Z(X), характеризующая количество
движения потока.
Функция q(X) используется при расчетах сопла Лаваля. Ее
значение равно отношению FK /F. Из уравнения материального
баланса следует, что
Заменяя ркр и р их значениями по уравнениям (9.20) и (9.24),
получаем
H"ri№T- <9-ад
Исследование этого выражения показывает, что при X = 0 и
X = Xmax q(X) = 0. Максимальное значение функция имеет при
Х= I. При практических расчетах выражение (9.26) более удобно
использовать в виде
1Г 2/(* + 1) Г
На рис. 9.3 показан график зависимости критерия скорости
газа X от функции q(X) — F/F^. Из результатов видно, что одному
и тому же значению F/F отвечают два значения X, одно из
которых свойственно дозвуковому потоку, а другое — сверхзвуковому.
Найдем газодинамическую функцию скоростного напора и
функцию импульса потока. Удвоенное значение динамического
давления ри2 = р0г(Х)и2крХ2, где икр = 2к{р^)/(к + 1).

272
Глава IX. Истечение газов из отверстий и сопел
2,4
Рис. 9.3. Зависимость критерия скорости
X от значения функции q(X) - F/FKp для к:
1- 1,35; 2- 1,3; J— 1,4
После преобразований получаем
ри2=2к[РоХ2г(Х)]/(к+1)
или
pir_ = _[
2p0 к
Х2г2(Х).
(9.28)
Отсюда можно определить долю от давления р0 в процессе
истечения, которая преобразовалась в динамическое давление газа;
поэтому эта величина является функцией скоростного напора. При
X = 0 и X = Xmdx функция j(X) = 0. Максимальное значение эта
функция получает при Х = у](к + 1)/А;, т. е. утах = кх/{Х~к\
Значения j(X) для некоторых газов приведены ниже:
* * ^кр Лпах
1.1 1,38 1,15 0,386
1.2 1,35 1,14 0,405
1.3 1,33 1,13 0,417
к X
1.4 1,31
1.5 1,29
1.6 1,27
^ /пах
1,12 0,431
1,12 0,438
1,11 0,457
Отсюда видно, что при изменении к от 1,1 до 1,6 функция утах
изменяется от 0,386 до 0,457.
В ряде случаев, и в особенности при проектировании горелок
высокого давления, с целью повышения кинетической энергии
факела устанавливаются сопла Лаваля. В этом смысле данные о
максимальном значении скоростного напора имеют определенное
практическое значение.
Полный импульс газового потока складывается из секундного
количества движения Ми и силы давления pF в рассматриваемом
поперечном сечении, т. е. J = Ми + pF.

2. Истечение газа под высоким давлением 273
Отношение полного импульса потока в данном сечении F
к полному импульсу в критическом сечении называют функцией
импульса потока Z(X) = (Mu +pF)/(MuKp+pKpFKp). С помощью
газодинамических функций п(\), г(Х) и д(Х) это выражение
преобразуется к виду
Ми + pF 1(\+П (9.29)
^" + Л^ 2( X)
В заключение установим взаимосвязь между числом Маха М,
и критерием скорости истечения газа X. Скорость истечения,
будучи выражена через эти критерии, записывается как и2= kRTM] ;
м2= kRTKpX2. Приравняв эти два выражения, получим (Ткр/Т0)Х2 =
= (Т/То) М} . Заменив здесь TJTU и Т/То, найдем
TJ
М}= У/(* + 1) ; (9.30)
\-X2(k-\)/(k + \)
(9.31)
При неограниченно большом значении числа Маха из
формулы (9.31) получаем уже известное нам значение Х^ах = (к + \)/{к — 1).
Сопло Лаваля. В практике с целью упрощения изготовления
сопла Лаваля делают конусообразными; образующая сопла
является прямой линией. Чтобы избежать отрыва потока от стенок,
центральный угол раскрытия сопла выбирают в пределах ~6-s-8°.
Критерий скорости X для каждого данного сопла с
конкретными размерами Fn FKpзависит от FKp/Fn p/pQ. Таким образом,
значение критерия скорости X определяется не самими абсолютными
значениями давления р и площади сечения сопла F, а их
относительными значениями р/р0 и FKp/F. Поэтому если при некотором
значении р0 в сопле Лаваля существовало сверхзвуковое течение,
то при увеличении р0 скорость движения газа не изменится, так
как согласно уравнению для q(X) коэффициент скорости X зависит
только от отношения FKp/F. Из выражения (9.23) следует, что
в этом случае произойдет повышение давления р на срезе сопла
и газ может истекать с некоторым избытком давления.
Поэтому при сверхзвуковом истечении давление на срезе
сопла в общем случае не равно давлению окружающей среды р фрокр
и лишь в частном случае расчетного режима, сущность которого
была рассмотрена выше, эти давления одинаковы (р = рокр).

274 Глава IX. Истечение газов из отверстий и сопел
Рис. 9.4. Схема сверхзвукового
истечения с избытком давления
Fx
При/? > рокр наблюдается следующая картина движения (рис. 9.4).
На значительном удалении от сопла давления в струе и в
атмосфере должны уравняться. В связи с этим давление в струе по мере
удаления от сопла постепенно уменьшается, скорость газа
возрастает, а поперечное сечение сверхзвуковой струи в соответствии
с выражением (9.13) увеличивается. Опыт показывает, что при
этом происходит перерасширение струи, т. е. в некотором наиболее
широком сечении струи (F{) устанавливается давление ниже
давления окружающей среды (р < рокр). После этого струя начинает
сужаться, а скорость уменьшается.
Торможение сверхзвукового газового потока приводит к
увеличению давления, которое, как показывает опыт,
распространяется во все стороны в виде волн давления с большой скоростью.
Поскольку увеличение давления (сжатие газового потока)
происходит достаточно быстро, то возникают так называемые сильные
волны давления, скорость распространения которых значительно
превышает скорость звука. Характерной особенностью сильной
волны давления является то, что фронт волны очень узок
(соизмерим с длиной свободного пробега молекул), в связи с чем
состояние газа (давление, плотность, температура) изменяется скачком.
Таким образом, можно заключить, что волны сжатия (давления)
распространяются как скачки давления (разрывы); по этой
причине их называют ударными волнами. В том случае, если фронт
ударной волны перпендикулярен направлению движения газового
потока и поток, проходя через него, не изменяет своего направления,
имеет место так называемый прямой скачок уплотнения. Если фронт
скачка располагается наклонно к направлению потока и поток,
проходя через него, изменяет направление своего движения, то
имеет место косой скачок уплотнения.
В результате прохождения скачка сверхзвуковая скорость газа
переходит в дозвуковую. Таким образом, в некотором сечении F2
скорость становится дозвуковой, а давление выше давления
окружающей среды. Затем происходит вновь процесс уменьшения
давления и возрастания скорости, сопровождающийся сужением
струи. При достаточно большом избытке давления скорость вновь

2. Истечение газа под высоким давлением 215
Рис. 9.5. Схема истечения из
плоскопараллельного сопла Лаваля при
Р<Рохр
достигает критического, а затем и сверхзвукового значения, т. е.
появляется второй сверхзвуковой участок, на котором струя
расширяется. В результате второго перерасширения и последующего
увеличения давления возникает второй скачок уплотнения,
который вследствие потерь энергии в первом скачке, естественно,
получается слабее.
Таким образом, постепенно струя рассеивает свою энергию,
превращаясь в результате в обычную дозвуковую струю. При
небольшом избытке давления на срезе сопла также получаются
колебания скорости и давления вдоль оси струи, но без скачков
уплотнения.
Сверхзвуковое истечение из сопла Лаваля при р < рокр
осуществляется посредством сложной системы скачков (рис. 9.5). От краев
сопла отходят косые скачки уплотнения, которые встречаются на
оси струи в точке 0. Пересекая фронт косого скачка (а— 0),
элементарные струйки газа переходят в область давления окружающей
среды. Отклонение струек в результате скачка от первоначального
направления должно было бы привести к их столкновению на оси
струи. В действительности происходит второй поворот струек; они
возвращаются к первоначальному направлению, однако это
приводит к возникновению второй группы скачков (Ob). Правее
линий Ob давление становится выше давления окружающей среды,
поэтому за второй группой скачков устанавливается такой же
режим, как и при истечении с избытком давления (р> рокр). Чем
меньше давление на срезе сопла, тем больше должен быть угол
поворота потока при прохождении скачков и меньше скорость
потока, в частности, за первой группой скачков, поэтому в конце
концов наступает такой режим, при котором нужный угол
поворота потока не может быть осуществлен.
В центральной части струи при этом образуется ударная волна,
фронт которой с увеличением разности р — рокр увеличивается. При
большом противодавлении сверхзвуковое истечение становится
невозможным и скачки давления перемещаются внутрь сопла
Лаваля. Поскольку при прохождении скачка скорость потока всегда
становится дозвуковой, то выходная часть за фронтом скачка работает

276 Глава IX. Истечение газов из отверстий и сопел
как обыкновенный дозвуковой диффузор. С уменьшением
давления перед соплом скачок продвигается к критическому сечению,
становится более слабым. В критическом сечении он исчезает,
а сопло Лаваля при этом превращается в трубу Вентури.
Положение плоскости скачка в сопле определяется отношением давления
перед соплом к давлению среды, в которую происходит истечение.
Режимы, при которых скачки уплотнения имеют место внутри
сопла Лаваля, встречаются редко. Обычно газ успевает
расшириться до выходного сечения сопла и скорость его на срезе превышает
скорость звука.
Вышеприведенные формулы справедливы для идеально
гладких сопел Лаваля, где энергия движения вследствие отсутствия
трения не может перейти в тепловую. В реальных соплах Лаваля
в результате трения некоторая часть энергии движения переходит
в теплоту, поэтому скорость истечения газа из сопла получается
несколько меньше, чем это следует из формул изоэнтропического
истечения. Для компенсации потерь энергии сопла Лаваля
рекомендуется проектировать для работы с некоторым избытком
давления р. С целью уменьшения потерь энергии на преодоление сил
трения сопла Лаваля при изготовлении шлифуют.
При дозвуковом режиме сопло Лаваля работает как обычный
диффузор. Давление р на выходе из диффузора не зависит от
скорости истечения газа, оно остается постоянным и равным
давлению в среде, куда истекает газ, т. е. р = р . Здесь колебание
давления р0 сопровождается уменьшением или увеличением скорости
истечения газа, что наглядно видно из уравнения (9.17), если в нем
положить р = рокр.
Область применения формул для несжимаемого газа и примеры
расчетов истечения. Ранее отмечалось, что если газ истекает под
действием малой разности давлений, то расчет истечения может
быть проведен по уравнению Бернулли для несжимаемого газа, т. е.
где р0 — полное давление газа в сосуде, из которого происходит
истечение, Па.
Правомерность такой формы записи уравнения Бернулли,
предполагающей равенство между избытком давления (р~рок)
и динамическим давлением ри2/2, может быть оценена с помощью
формул изоэнтропического истечения. Обозначим отношение
избытка давления (Р"Рокр) к динамическому давлению через
число Эйлера Ей. Воспользовавшись газодинамической функцией

2 Истечение газа под высоким давлением
277
скоростного напора по формуле (9.28), значение Ей можно
представить в виде
где/Х) — газодинамическая функция скоростного напора [см. (9.28)].
Согласно уравнению Бернулли для несжимаемого газа, число
Эйлера Еи= 1. Отклонение числа Ей от единицы характеризует
степень неправомерности записи уравнения Бернулли в форме
выражения (9.32) для изоэнтропического процесса. Значения
числа Ей в зависимости от отношения Р0/рокр приведены в табл. 9.3.
Данные этой таблицы рассчитаны с помощью таблиц
газодинамических функций. При малых значениях отношенияр0/рокр (р^/р^ < 1,1)
число Ей практически не зависит от показателя адиабаты А;,
поэтому данные табл. 9.3 можно считать характерными для
большинства газов, у которых к = 1,1—1,4.
Из данных табл. 9.3 также видно, что при изменении
отношения давлений р0 /рокр от 1,01 до 1,11 число Ей изменяется от 1,11
до 1,05, т. е., строго говоря, равенства между избытком давления
(р0~~Рокр) и динамическим давлением ри2/2 не существует. Но этот
разбаланс между левой и правой частями уравнения (9.32)
относительно невелик, и в ряде случаев им вполне можно пренебречь.
Более корректная запись учитывает неравномерность
распределения скоростей в истекающем потоке, т. е.
~ Р
окр
(9.33)
где осэ — коэффициент, показывающий, во сколько раз
фактическая энергия движения потока больше энергии движения,
рассчитанной по средней расходной скорости и= V. Более подробно
коэффициент аэ рассматривался выше. Для цилиндрического
турбулентного потока при изменении числа Re от 1 • 104 до 3 • 106
Таблица 9,3. Значения критерия Ей при разных отношениях />окр/р0
/и /а>
0,99
0,98
0,97
0,96
0,95
1,01
1,02
1,03
1,04
1,05
Ей
1,00
1,01
1,013
1,015
1,02
0,94
0,93
0,92
0,91
0,90
А>//><жр
1,06
1,075
1,09
1,10
1,11
Ей
1,025
1,030
1,033
1,04
1,05

278 Глава IX. Истечение газов из отверстий и сопел
коэффициент осэ изменяется от 1,08 до 1,01. Для конфузоров, из
которых обычно организуется дозвуковое истечение, аэ = 1,04—1,01.
В среднем, при приближенных расчетах истечения из конфузоров,
можно полагать для цилиндрических сопел ссэ = 1,05. Если теперь
приведенные в табл. 9.3 значения критерия Ей уменьшить в ссэ раз,
то оказывается, что при pQ/p0Kp ^ 1,1 с точностью до 1% расчет
истечения можно проводить по уравнению Бернулли для
несжимаемого газа. Отношению р0 /рокр<1,10 отвечает скорость истечения
и < 0,4икр.
Таким образом, область применения формулы для
несжимаемого газа примерно определяется следующими отношениями:
/>о/АжР^и;икр^о,4.
С точки зрения конкретных расчетов режим истечения газов
можно подразделить на 4 группы:
1) истечение с малыми дозвуковыми скоростями при/?0 < 1Лрокр
и и <0,4икр. Это область, в которой газ для упрощения расчетов
приближенно можно считать несжимаемым;
2) истечение с дозвуковыми скоростями при Р0-Рокр/кКр и
0,4икр<и < мкр— это область докритических скоростей, в которой
газ нельзя рассматривать в качестве несжимаемого, хотя давление
на срезе конфузора равно давлению в окружающей среде;
3) истечение газа с критическими скоростями при Р0^Рокр/\р
и и = икр. В этой области давление в выходном сечении конфузора
больше давления в окружающей среде, т. е. р > рокр;
4) истечение со сверхзвуковыми скоростями через сопло Лава-
ля. Здесь/>0>/>окр/лкр и и > икр.
Ниже приводятся примеры расчетов истечения газа.
Пример 9.1. Природный газ истекает из сопла диаметром do = 50 мм.
Полное давление газа ро= 150- 103 Па. Давление в окружающей среде
рокр = 99,2 • 103 Па. Температура Го, показатель адиабаты к и газовая
постоянная R равны: Го = 293 К; к= 1,3; Л = 475 Н м/(кг- К). Истечение
происходит через плавный конфузор. Определить скорость истечения газа
и его расход.
Вычислим отношение давлений Рокр/р0н минимальное давление, при
котором возможно наступление критического режима.
Ржр/Ро= 99,2/150 = 0,662; ро= 1,51/>О1ф
Поскольку ро> 1,1 />окр, то расчет необходимо проводить с учетом
сжимаемости газа. Критическое отношение давлений лкр в соответствии с
данными табл. 9.2 при к= 1,3 равно 0,546. Минимальное давление /?Omin,
при котором возможно наступление критического режима, составляет
^=/^/0,546=1,83/^,

2. Истечение газа под высоким давлением 279
Поскольку заданное /?0= 1,51 />окр < /^Omin = 1,83 /?окр, то скорость
истечения газа докритическая и, следовательно, давление на срезе сопла р = рокр.
Критическая скорость истечения газа определяется согласно выражению
(9.18) как
= 396 м/с.
Критерий скорости истечения газа вычисляется из уравнения (9.22):
X2 =A,3+1) /A,3- 1)A-0,662A'3-1)/1'3) = 7,65A -0,91);
X2 =0,99-7,65 = 0,69; X2 =0,83.
Согласно определению скорость истечения газа и = Хикр, т. е. и =
= 0,83 • 396 = 330 м/с. Температуру истекающего газа вычислим в
соответствии с выражением для T/TQ:
Т/То = 1 - 0,3/2,3 • 0,69 = 1 - 0,09 = 0,91;
7=0,91 -293 = 267 К (/=-6вС).
Плотность истекающего газа при р = р = 99,2 • 103 Па и Т— 267 К:
99 7 • 103
= Ъ ™ =0,782 кг/м3.
Р 475-267
В результате получаем расход массы газа через сопло
М = 0,782 • 330 • 0,785 • 0,052 = 0,508 кг/с
и объемный расход газа при нормальных условиях, когда р = 102 • 103 Па
и Г=273К:
Л//рн = VH = 0,508/0,785 = 0,646 м3/с B330 м3/ч).
Пример 9.2. Через сопло Лаваля истекает природный газ, имеющий
следующие параметры: ро= 800 000 Па; Го= 293 К; R = 475 Н • м/(кг• К);
к = 1,3; М = 4000 кг/ч = 1,11 кг/с. Давление в окружающей среде р =
= 99 200 Па.
Требуется определить проходные сечения конического сопла Лаваля,
его длину и параметры истекающего газа Т и р, положив давление на
срезе сопла р = 1,1 рокр. Избыток давления в 0,1 рокр предназначается для
покрытия возможных потерь давления в сопле Лаваля.
Параметры газа и сопла в критическом сечении определим по
формулам (9.18)-(9.20) при к = 1,3:
АР = Лкр^о = 0» 546 • 800000 = 437 000 Па;
Гкр = 293-2/2,3 = 255 К;
икр = у/2-1,3/2,3-475-293 = 396 м/с;
Ркр = 437-107 475-255 = 3,60 кг/м3;

280 Глава IX. Истечение газов из отверстий и сопел
FKp = 1,11/396- 3,60 = 0,78• 10 м2= 780 мм2;
dKp = 7780/07785 =31,5 мм.
Параметры газа в конце сопла Лаваля найдем по (9.22), (9.25), (9.28)
при р = 1,1 - 99 000 = 109 • 103 Па:
0,31
X2 =7,65A-0,631) = 2,83;
X =1,68; и = Хик= 1,68 • 396 = 665 м/с;
Т = 293( 1 - 0,3/2,3 - 2,83) = 185 К ;
р = 109 • 103/ 475 • 185 = 1,24 кг/м3.
Площадь выходного сечения сопла Лаваля рассчитывается по
выражению (9.27):
3,60/1,24 = 1,72;
-1 7Г 7ЙП _ 11АП
кр
F = 1,72FKD = 1,72 • 780 = 1340 мм2;
85 = 41,5 мм.
Длина сопла Лаваля при центральном угле раскрытия а = 8°:
d~^ = /= 41,5-31,5/2,0-0,0697 = 71,5 мм.
2tg(cc/2)
Истечение водяного пара. Водяной пар, как правило,
истекает под высоким давлением. Расчет истечения осложняется
переменностью показателя адиабаты к, который зависит от
состояния пара. Различают три состояния водяного пара: перегретый,
сухой насыщенный и влажный насыщенный.
Состояние, при котором вода и пар находятся в равновесии,
называется насыщением. Пар, отвечающий этому состоянию,
является насыщенным и имеет с водой одинаковую температуру.
Подвод теплоты к системе вода—пар, находящейся в состоянии
насыщения, не изменяет температуру этой системы, так как
подведенная теплота прежде всего расходуется на испарение воды.
Поэтому состояние насыщения характеризуется при каждом
давлении вполне определенной и постоянной температурой.
Насыщенный пар может быть сухим и влажным. Сухой насыщенный
пар в противоположность влажному пару не содержит капелек
воды, и поэтому при подводе теплоты он нагревается. Сухому
насыщенному пару отвечают определенные и взаимосвязанные
температуры и давления. Если давление сухого насыщенного пара

2. Истечение газа под высоким давлением 281
не изменяется, а его температура вследствие подвода теплоты
увеличивается, то пар из сухого насыщенного становится перегретым.
Показатель адиабаты перегретого пара при умеренных
давлениях А; =1,3. При изоэнтропическом расширении температура
и давление пара снижаются, и пар из состояния перегретого
может превратиться в сухой и даже влажный насыщенный пар.
Поэтому при истечении, которое сопровождается понижением
температуры, свойства пара приближаются к свойствам идеального
газа, для которого показатель адиабаты к = 1. Таким образом, в
ходе истечения пара показатель адиабаты оказывается переменной
величиной. Это обстоятельство вызывает затруднения в
определении критических параметров истекающего пара. Показатель
адиабаты влажного насыщенного пара ориентировочно определяется
по формуле Цейнера:
к= 1,035+ 0,1х, (9.34)
где х — степень сухости насыщенного пара, определяемая по
диаграмме / — s. Для сухого насыщенного пара х= 1 и к = 1,135.
Если в основу расчета положить формулу Цейнера для
показателя адиабаты пара, переходящего из перегретого состояния во
влажное, то это будет заниженное значение, которое приведет к
завышенным значениям скорости истечения.
Ввиду описанных трудностей, расчет истечения пара
приходится проводить методом последовательных приближений.
Скорость истечения пара при использовании диаграммы i—s
рекомендуется определять по уравнению энергии, записываемому
в форме энтальпий, из которого следует, что
и =
где /0 и /к — соответственно энтальпии пара в начальном и
конечном состояниях при изоэнтропическом процессе, кДж/кг; а = 44,7.
Удельный объем влажного насыщенного пара вычисляется по
формуле
Vx = V"/x + V'(\ - jc) « F"x, (9.35)
где два штриха относятся к сухому насыщенному пару, а один
штрих — к воде.

Глава X
ТУРБУЛЕНТНЫЕ ГАЗОВЫЕ СТРУИ
Процесс распространения газа, истекающего из сопла или
отверстия, в пространство, заполненное газом (окружающую среду),
называется струйным процессом, а сам истекающий газ и часть
вовлеченной им в движение окружающей среды — струей.
В литературе принято классифицировать струи по скорости
движения окружающей среды, а также по соотношению
физических свойств истекающего газа и газа, заполняющего
пространство, в котором струя развивается. Если окружающая среда
неподвижна и ее физические свойства совпадают с физическими
свойствами струи, то такая струя называется затопленной (или
изотермической, если дополнительно равны их температуры).
Если физические свойства струи и среды неодинаковы, то такая
струя называется незатопленной. В случае, когда струя
распространяется в неограниченном пространстве, она называется
свободной.
В общем случае окружающая среда может перемещаться как
в направлении движения струи, так и навстречу ей, поэтому в
металлургической теплотехнике различают струи, развивающиеся
в спутном и встречном потоках.
Помимо отмеченного, турбулентные газовые струи
классифицируют по их взаимному расположению и по условиям развития.
Здесь выделяют параллельные и соударяющиеся струи; струи,
развивающиеся в ограниченном пространстве {ограниченные и
полуограниченные), и т. д.
Знание закономерностей развития струйных процессов в
металлургии имеет большое прикладное значение для организации
факельного процесса сжигания топлива, при смешении одного газа
с другими в смесительных установках и инжекторах, при продувке
расплавов газовыми средами, при разливке кристаллизующихся
металлов и сплавов, при струйном нагреве и охлаждении металла
и во многих других случаях.

1. Основные свойства турбулентных струй 283
1. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ТУРБУЛЕНТНЫХ СТРУЙ
Характерной особенностью турбулентных струй является
наличие тангенциальной поверхности разрыва таких параметров как
скорость, температура и концентрации примесей. Эта поверхность
неустойчива (см. гл. VI), вследствие чего на ней образуются
турбулентные вихри, переносимые как вдоль, так и поперек потока.
Последние при своем поперечном перемещении выходят за
пределы струи, переносят в соприкасающиеся слои окружающего газа
свои импульсы, передают им некоторое количество движения.
Одновременно в струю проникают частицы окружающей среды,
которые затормаживают или ускоряют ее граничные слои. В
результате обмена веществом между струей и окружающей средой
масса струи и ее ширина в направлении движения изменяются.
В случае распространения струи в неподвижной среде ее масса
в направлении движения возрастает, ширина увеличивается,
скорость у границ убывает.
Граничные слои струи вместе с вовлеченными в движение
частицами окружающего газа образуют так называемый свободный
(струйный) пограничный турбулентный слой, толщина которого
в направлении движения возрастает. Если в выходном сечении
сопла скорости распределяются равномерно, то в начале струи
толщина пограничного слоя равна нулю. В этом случае границы
пограничного слоя представляют собой расходящиеся поверхности,
которые пересекаются у кромки сопла (см. рис. 6.8). Рассмотрим
распространение одиночной турбулентной струи в неподвижной
среде (wH= 0).
С внешней стороны пограничный слой такой струи
соприкасается с неподвижной жидкостью, причем под внешней границей
понимают поверхность, во всех точках которой составляющая
скорости по оси х равна нулю. Нахождение границ струи в
соответствии с данным определением весьма сложно, поэтому по
аналогии с определением толщины пограничного слоя на практике за
границу струи чаще всего принимают поверхность, во всех точках
которой п = 0,5 итах = 0,5 пжъ.
Положение в пространстве границы струи определяет ее угол
раскрытия, лучами которого являются ось и граница струи.
Поскольку на различных участках струи ее развитие имеет свои
особенности, то угол раскрытия в общем случае является функцией
расстояния от начала струи (среза сопла). Расстояние от среза
сопла, на котором скорость на оси струи становится равной скорости
окружающей среды, называется дальнобойностью струи.

284
Глава X. Турбулентные газовые струи
Анализ экспериментальных данных показывает, что
закономерности изменения кинематических характеристик турбулентной
струи позволяют выделить в ней три участка. В первом из них,
называемом начальным и простирающемся на расстояние 4—6
диаметров сопла, течение на периферии струи ламинарно и только
при х > D-И))dQ оно становится турбулентным и в периферийной
области струи. В начальном участке струи в приосевой области
сохраняется потенциальное течение (потенциальное ядро),
соприкасающееся с внутренней границей свободного турбулентного
слоя. Как показывают многочисленные опыты, одним из
основных свойств струи является постоянство статического давления
практически во всей области течения, вследствие чего скорость
в потенциальном ядре струи остается постоянной. Поэтому на
внутренней границе пограничного слоя в пределах начального
участка скорость потока равна скорости истечения (и =и0).
Размывание струи за пределами начального участка
выражается не только в ее утолщении, но и в изменении скорости вдоль ее
оси. В конце начального участка струи свободный турбулентный
пограничный слой достигает оси струи. В переходном участке,
следующем за начальным и равном по длине « B -*- 4)d0, скорость
начинает уменьшаться и на оси струи. Изменение скорости на оси
продолжается также и в основном участке (при х> (8 +10) d0).
Опыты Трюпеля, Фертмана и других исследователей показали,
что на основном участке струи относительные профили скоростей
укладываются на одну и ту же универсальную кривую (рис. 10.1),
и, м/с
70
60
50
40
30
20
10
0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 у,м
a
0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 y/yQ
б
Рис. 10.1. Профили абсолютной (а) и безразмерной (б) скорости в
различных сечениях осесимметричной затопленной струи по опытным
данным Трюпеля при х, м: 1 — 0,6; 2 — 0,8; 3 — 1,0; 4 — 1,2; 5 — 1,6

2. Динамика затопленной струи 285
что указывает на подобие профилей скорости в различных
поперечных сечениях этого участка. К аналогичным выводам пришли
также Альбертсон и Г.Н. Абрамович при исследовании полей
скорости в пограничном слое начального участка. В переходном же
участке профили скорости постепенно изменяются и становятся
подобными лишь у его конца, на расстоянии порядка 8 диаметров
сопла от начала потока.
На основании подобия скоростей были высказаны некоторые
гипотезы об автомодельности свободного струйного течения,
которые совместно с использованием полуэмпирических теорий
легли в основу математического описания свободной турбулентности.
Анализ свободного турбулентного движения, в общем, более
прост, чем анализ пристенной турбулентности, т. е. движения,
ограниченного одной или несколькими твердыми поверхностями,
рассмотренного в гл. VII. При изучении свободной турбулентности
вязкими (молекулярными) касательными напряжениями обычно
можно пренебречь по сравнению с турбулентными касательными
напряжениями. Помимо этого, как уже указывалось выше, в
струях изменение давления в направлении течения обычно равно нулю.
Свободные турбулентные течения имеют, как и течение в
пограничном слое, одно важное свойство: во всех случаях ширина
зоны смешения Ъ мала по сравнению с ее протяженностью по
направлению оси х и изменение скорости в направлении оси у
велико по сравнению с изменением в направлении оси лг.
Следовательно, для установившегося течения однородного несжимаемого газа
в случае свободной турбулентности уравнения движения и
неразрывности будут такими же, как уравнения Прандтля для
пограничного слоя с нулевым градиентом давления.
Касательное напряжение является турбулентным и
определяется формулой
дп/д A0.1)
Граничные условия, необходимые для решения этих
уравнений в случае свободной турбулентности, отличаются от таковых
для обычной задачи пограничного слоя и зависят от конкретных
условий развития струи.
2. ДИНАМИКА ЗАТОПЛЕННОЙ СТРУИ
Основной задачей анализа струйного течения является
определение полей скоростей и расходов по длине и сечению струи, ее
границ и угла раскрытия, количества движения и кинетической
энергии, поскольку величиной указанных параметров определяется

286 Глава X, Турбулентные газовые струи
характер теплового и механического воздействия струи на
обрабатываемые материалы.
Рассмотрим развитие струи, истекающей из длинной щели
шириной 2Ь0 (см. рис. 6.8). Воспользуемся упрощенной схемой
струи, представив длину переходного участка равной нулю. В этом
случае сечение, в котором сопрягаются начальный и основной
участки, называют переходным сечением струи. Если в расчетах
переходный участок учитывают, то переходное сечение считают
совпадающим с началом основного участка. Основные соотношения для
переноса количества движения в области полностью развитой
струи можно вывести из упрощенного уравнения движения.
Проинтегрируем уравнение Прандтля по у и получим
Порядок дифференцирования и интегрирования в первом
слагаемом этого выражения можно изменить, учитывая, что и — -
= (и2). Кроме того, второе слагаемое может быть проинтег-
2 Эх
рировано по частям
f V-— dy= f —(vu)dy- \ U—dy^iuv)^- \u — dy. A0.3)
L °y L<*y L °y -1 ду
В результате получаем
Р Э 7 -2 J / \со 7 - Эи , «о / 1 Л * v
^--- u'dy + pfav)^-?] u—dy = x_O0. A0.4)
2 Эх j^ lo ду
Согласно уравнению неразрывности Э v /ду = — Эй/Эх, поэтому
третье слагаемое левой части выражения A0.4) можно переписать в виде
При j->(±oo) г/_>0и дп/ду-> 0. Следовательно, второе
слагаемое левой части уравнения A0.4) и касательное напряжение т
равны нулю. Таким образом, выражение A0.4) можно записать в виде
, во оо
р— J u2dy = 0 или J pu2dy= const. A0.5)
Физический смысл этого равенства становится очевидным,
если вспомнить, что произведение р и есть количество движения

2. Динамика затопленной струи 287
(импульс) единицы объема, a udy в случае плоской струи —
элементарный объемный расход потока. Следовательно, интеграл от
выражения (ри) • {udy) — полное количество движения,
проходящее в единицу времени через некоторое сечение струи.
Из соотношения A0.5) следует, что поток количества
движения в струе постоянен и не зависит от jc. Это является следствием
предположения о постоянстве давления, так как в этом случае
результирующая внешних сил, действующих на некоторый
контрольный объем, заключающий в себе струю газа, равна нулю и
поток количества движения вдоль струи остается постоянным.
Константу в выражении A0.5) можно вычислить, зная поток
количества движения при х = 0. Действительно, если количество
движения единицы объема равно риои объемный расход равен
wo-2Z>o, то
A0.6)
В области полностью развитой струи b и осевую скорость струи
нтах можно выразить как функцию от х в виде степенных законов
Ъ ~ хт\ итяк ~ х~п. Используя эти соотношения, а также уравнение
неразрывности, можно выразить порядок величин различных
слагаемых уравнения движения Прандтля:
1) иди/дх ~ (пJты /х ~ х~2п/х ~ х-2";
2) v=-j(dU/dx)dy; v~umaxb/x,
откуда
(v)(du/dy) ~ (йтах • Ь/х)(пт!а /Ь) ~ х-2";
3I-(SL и |_1~(Е|^~^-
2 ду р о
Поскольку левая часть уравнения Прандтля имеет порядок
х~2п~], а правая — х~2п~т, то, следовательно, 2п + 1 = 2я + т,
откуда т= 1. Левая часть равенства A0.5), которое выражает
постоянство потока количества движения, по такой же оценке имеет
порядок (w)max b ~ x/l+m. Поскольку m= 1, равенство A0.5) может
выполняться для любых х лишь при показателе степени, равном
нулю, и, следовательно, п = 1/2.
Таким образом, проведенный анализ позволяет заключить, что
плоская струя расширяется по линейному закону в функции
расстояния от сопла, а осевая скорость уменьшается как \/\[х.

288 Глава X. Турбулентные газовые струи
Число Рейнольдса струи может быть определено по ее местной
ширине и осевой скорости: Rec = umaxb/v . Поскольку эта
величина имеет порядок х~п+т, или у[х , число Рейнольдса возрастает
с расстоянием. Практически число Рейнольдса может возрастать
лишь до тех пор, пока размеры струи не достигнут границ объема
(пространства), в который она втекает.
Вышеприведенное рассуждение дает некоторое общее
представление об основных чертах процесса распространения струи,
однако оно не дает ответа на основной вопрос о профиле
скорости, интенсивности подсасывания окружающего газа и
действительных размерах струи. Для ответа на этот вопрос было развито
несколько полуэмпирических подходов, базирующихся на
предположении о геометрическом подобии профилей скорости в
области полностью развитой струи. Условия подобия выражаются в виде
ff/SW =/(*/*) = Де), (Ю.7)
где е = у/х.
Ниже излагается для случая плоской струи один из таких
методов, в котором предполагается, что подобные профили скорости
представляют собой гауссовские кривые вида
"/"шах = Де)
где С\ — константа, определяемая экспериментально. В
соответствии с выражениями A0.6) и A0.7) условие постоянства потока
количества движения принимает вид
(max]f(e)dy, A0.9)
ИЛИ
тахх/2, A0.10)
где I2 = ]f2(e)dy.
Следовательно, отношение осевой скорости к начальной
скорости струи й0 можно выразить следующим образом:
птах/и0=рЬ/(х12). A0.11)
Длину потенциального ядра Lo можно найти, зная, что для
начального участка wmax /uQ = 1 и, следовательно, 1,0=2й0//2. Полный
объемный расход на единицу ширины струи для х > Lo можно
получить интегрированием местной скорости по сечению струи:

2. Динамика затопленной струи 289
Q= judy = um
Зная, что начальный расход на единицу ширины Qo = 2b0 w0,
отношение полного расхода к начальному расходу может быть
выражено в функции от е, т. е.
оо
Используя выражение A0.11) и обозначая Ix = J f(e)de,
A0.12)
Экспериментальные результаты Альбертсона с сотрудниками
и ряда других исследователей показывают, что распределение
скорости вида A0.8) удовлетворяет измеренному распределению в
турбулентной струе, если Cj = 0,109, откуда ^ = 0,272, /2= 0,192,
a "max/Ч = 2,28^/2V* прих>10; Lo= 10,4й0; Q/Q^ 0,62 фГЩ
при х > Lo.
Опыты показывают, что плоская струя может рассматриваться
как турбулентная, если число Рейнольдса, вычисленное по
начальной скорости и ширине щели, больше, чем 30.
Аналогичным образом выполняется анализ закономерностей
развития осесимметричной (круглой) затопленной струи. Заметим,
однако, что изменение геометрии потока приводит к отличиям
результирующих характеристик такой струи по сравнению с
рассмотренной выше плоской. Прежде всего это относится к
уравнению сохранения количества движения A0.6), которое для круглой
струи имеет вид
() A0.13)
о
где г соответствует b (см. рис. 6.8). Изменяется в данном случае
и характер убывания осевой скорости итах. Если осевая скорость
плоской струи уменьшалась обратно пропорционально 4х , то у
круглой струи «max ~ jc. Поскольку закономерность нарастания
толщины (радиуса) струи остается прежней (г - х), то отсюда
вытекает свойство осесимметричной струи сохранять постоянство
турбулентного касательного напряжения на ее оси.
В самом деле, если вычислять число Рейнольдса по
локальному радиусу струи и скорости на ее оси, то получим
19-3546

290 Глава X. Турбулентные газовые струи
Rec = umaxr/v = const, что свидетельствует о постоянстве
турбулентных характеристик потока.
Соотношения для определения профиля скорости и
изменения осевой скорости в продольном направлении для основного
участка осесимметричной струи запишутся в виде
A0.14)
A0.15)
Поскольку расширение струи происходит с ростом х линейно,
то можно говорить об угле расширения. При этом следует
учитывать, что струя расширяется конически, как это показано на рис. 6.8.
Для линии, вдоль которой п/птах = 0,5, угол расширения равен
6,5° для плоской струи и 5° для круглой струи. Вершина конуса для
плоской струи лежит в центре сопла, а для осесимметричной
отстоит от сопла по оси струи на расстоянии 0,6d0.
В соответствии с формулой A0.15) струя является уже
полностью развитой начиная с сечения х = 6,4 d0, и, следовательно,
длина начального участка LQ = 6,4d0 + 0,6d0 = 7d0. При выводе формул
A0.14) и A0.15) была использована эмпирическая зависимость для
коэффициента вихревой вязкости е в виде е = 0,00196 «max jc.
Подставляя в это соотношение значение максимальной скорости
из уравнения A0.15), найдем, что е = 0,013uodo или e/v = 0,013 х
Полагая, что из сопла диаметром d0 = 3 см вытекает струя
воздуха с начальной скоростью щ = 30 м/с в воздух при
«нормальных» условиях, получаем Re0 = 62 000 и г / v = 850. Таким
образом, вихревая вязкость в этом случае почти в тысячу раз больше
молекулярной вязкости. Течение в круглой струе становится
ламинарным (е = v) при числе Re < 80.
Опыты показывают, что профиль скорости осесимметричной
струи довольно хорошо аппроксимируется также гауссовской
кривой, как это предполагалось в анализе для плоской струи. Однако
гауссовская кривая дает скорости, которые являются слишком
малыми вблизи границ круглой струи (рис. 10.2).
Примечателен экспериментальный факт о том, что в
осесимметричной турбулентной струе полностью развитое турбулентное
течение наблюдается лишь в области ядра вплоть до радиуса, на
котором п/итах =0,5. Вне этого ядра лежит довольно широкая
кольцевая переходная область, а за ней до границ струи течение
носит характер ламинарной оболочки.

2. Динамика затопленной струи
291
Рис. 10.2. Аппроксимация
профиля скорости осесимметричной
струи: 1 — эксперимент; 2 — га-
уссовская кривая; 3 — расчет
0,12 0,16 r/x
Рис. 10.3. Изменение
коэффициента перемежаемости по ширине
струи: 1 - x/d0 = 20; 2 - 27; 3 -
37; 4-46; 5-64,5; 6-76
0 0,12 0,16 0,20 r/x
В качестве количественной характеристики переходной
области можно использовать коэффициент перемежаемости Q (см. гл. IV).
В полностью турбулентной области Q = 1, а в нетурбулентной
области Q = 0. На рис. 10.3 представлен профиль величины
коэффициента перемежаемости по сечению круглой турбулентной
струи. Если скорость равна ОД от величины осевой скорости, то
поток является турбулентным в течение примерно половины
времени.
Количество жидкости, подсасываемой круглой струей, можно
определить путем интегрирования профилей скорости в основном
участке. Объемный расход в струе тогда выражается простой
формулой
Q = 0,0104 nxud0. A0.16)
Поскольку
Q/Qo= 0,32 (x/d0). A0.17)
Подобный же расчет, основанный на гауссовской кривой, дает
менее точный результат: Q/Qo = Q,2$(x/d0).
Важной характеристикой турбулентных струй является длина
струи, значение которой устанавливается по величине скорости
на оси струи. Эта скорость после начального участка непрерывно

292 Глава X. Турбулентные газовые струи
уменьшается вследствие подсоса окружающей среды. Обычно за
длину струи принимают такое расстояние от среза сопла, начиная
с которого скорость на ее оси становится меньше некоторой
заданной доли скорости истечения (как правило, 5^-10%).
Для описания универсальных (автомодельных) профилей
скорости в основном участке осесимметричной или плоской
затопленной струи могут быть подобраны приближенные аналитические
зависимости. Например, для воздушной струи можно пользоваться
функцией /(л), которую впервые теоретически получил Шлихтинг:
A0.18)
где у] - у I г — расстояние от точки до оси струи со скоростью и,
выраженное в долях от радиуса (или полутолщины) струи.
Например, для точки и I #max= 0,5 относительное расстояние Л легко
определяется из выражения A0.18): Ц = у/г = 0,441. Для
неизотермических струй можно пользоваться соотношением, полученным
СИ. Авериным на основе оригинального теоретического подхода
к описанию явлений свободной турбулентности:
A0.19)
Pmax "max
где р тах — концентрация смеси газовых сред струи и окружающего
пространства на оси; р — то же, в любой другой точке поперечного
сечения струи; a = (pj /p2 - 1)С , р} — начальная плотность га-
*тах
зовой среды, р2—плотность окружающей среды, CV| — концент-
'тах
рация истекающей газовой среды струи на оси. Для затопленной
струи р, = р2 и выражение A0.19) трансформируется в уравнение
Шлихтинга A0.18). Профили скорости, рассчитанные по этим
формулам, хорошо согласуются с экспериментальными
профилями скорости (см. рис. 10.1).
Представленный выше анализ закономерностей развития
затопленных струй характерен в двух отношениях. Во-первых, он
дает физическое описание струйного течения, вводит понятия
и терминологию, а также устанавливает структуру (схематическое
строение) турбулентной струи, которая в своих основных чертах
сохраняется практически при любом типе взаимодействия струи
с окружающей средой. Во-вторых, данный анализ наглядно
показывает, что в математическом плане турбулентная струя
определяется, по сути дела, двумя функциями: распределением скорости по
поперечному сечению струи (профилем скорости) и изменением

J. Развитие турбулентной струи в спутном или встречном потоке 293
осевой (максимальной) скорости вдоль потока. Именно эти две
функции служат основой для последующего расчета
коэффициентов тепло- и массообмена между газом и обрабатываемым
материалом, процесса факельного горения топлива и т. д. Отметим также
то обстоятельство, что закономерности нарастания толщины
затопленной струи не зависят от ее геометрии и для основного
участка подчиняются простой зависимости b — ex.
Пример 10.1. Определить длину плоской и осесимметричной струй
для одинаковых значений Ьо и d0.
В соответствии с выражением A0.11) для плоской струи wmax/w0 =
= 2,28B?0/jcI/2. Принимая итш 1щ - 0,05, получаем
ЬЖИ/Ь0 = 2 B,28/0,05J = 4158,72.
Прибавляя длину начального участка, окончательно находим
К = 4сн + А) = 4158,72*0 + Ю,4*0 = 4169,12V
Аналогичным образом, на основании выражения A0.15) имеем
А™ = М/0,05 tf0 =12Ц,
Lc = 1284, + Ч = 13540.
Столь резкое различие в длинах струй объясняется тем
обстоятельством, что плоская струя подсасывает окружающую среду лишь в
направлении оси у (сверху и снизу), в то время как в осесимметричной струе
подсос осуществляется по всему периметру поперечного сечения.
3. РАЗВИТИЕ ТУРБУЛЕНТНОЙ СТРУИ
В СПУТНОМ ИЛИ ВСТРЕЧНОМ ПОТОКЕ
Перемещение среды, в которую вытекает струя, параллельно
оси струи приводит к увеличению интенсивности турбулентного
обмена количеством движения между двумя потоками. В
результате изменяются закономерности подсоса окружающей среды
в струю, а также протяженность последней. В то же время нет
оснований полагать, что это обстоятельство существенно
сказывается на структуре струи и на распределении скорости в ее
поперечном сечении. Поэтому принято считать, что при любой скорости
внешнего потока ин профиль скорости в основном участке
описывается функцией Шлихтинга A0.18), которая в данном случае
имеет вид
?=%-./(!). т. (!-„«)', (Ю.20,
итах ин \ J

294 Глава X, Турбулентные газовые струи
а профиль скорости в начальном участке (итах= Щ) — кривой
универсальной скорости:
Здесь безразмерная ордината г|н отсчитывается от наружной
границы струи у2:
^% <|М2)
где у{ — координата внутренней границы пограничного слоя.
Таким образом, задача определения параметров турбулентной
струи, развивающейся в спутном или встречном потоках, сводится
к установлению закономерностей расширения границ струи и
изменения ее осевой скорости.
Указанная задача может быть решена на основе теории пути
смешения Прандтля (см. гл. VI). В соответствии с положениями
этой теории пульсационные составляющие продольного и
поперечного компонентов скорости пропорциональны изменению
средней скорости в направлении, перпендикулярном направлению
движения потока и' ~ v ~ 1дп/ду, где / — длина пути смешения.
Как уже указывалось выше, скорость расширения струи
(скорость нарастания толщины пограничного слоя) определяется
главным образом пульсационной составляющей поперечного
компонента скорости, т. е. db/dt ~v~l дП/ду. В случае осесимметричной
струи вместо Ъ следует подставлять ее радиус г.
Подобие профилей скорости в различных сечениях
пограничного слоя позволяет считать, что дп/ду ~ (Щ -п2)/b или i/ ~ (//b)x
х(Ц-П2), где щ и п2 — скорости на внутренней и внешней
границах пограничного слоя.
Подобие профилей скоростей позволяет также предположить,
что отношение характерных линейных размеров есть величина
постоянная, т. е. l/b = const. Следовательно, можно записать, что
v ~ щ - м2. Поскольку v' ~ db/ dt - db/ dxdx / dt, a dx / dt - w, то
закон нарастания толщины пограничного слоя по длине струи
имеет вид
. A0.23)
dx и и
Величина ? = |i/| / и называется степенью турбулентности
потока. Она всегда положительна, поэтому во всех случаях db / dx> 0.

3. Развитие турбулентной струи в спутном или встречном потоке 295
Характерное значение осредненной скорости п,
фигурирующее в соотношении A0.23), определяется по формуле
A0.24)
То обстоятельство, что осреднение скорости в этом уравнении
осуществляется по толщине струи, а не по площади ее
поперечного сечения, объясняется отмеченным ранее фактом практической
независимости закона расширения струи от ее геометрии. В
случае несжимаемого газа (Р = const предполагается во всех
дальнейших выкладках) для профиля скорости, описываемого уравнением
Шлихтинга, среднемассовая скорость близка к
среднеарифметической абсолютных значений скоростей
(\\ + \п2\). A0.25)
Используя это выражение, получаем следующий закон
увеличения толщины пограничного слоя
dx Щ + Щ
Таким образом, и при движущейся окружающей среде в
пределах начального участка струи (Щ = Щ = const, и2 = ин = const)
толщина пограничного слоя пропорциональна удалению от плоскости
сопла db/dx = const или b = const • х, где const = с (|«, - й^|) / [\п} | +1^|).
Значение коэффициента с находится экспериментально.
Учитывая, что для затопленной струи (йн = 0) Ъъ = сх, можно
записать
т ?^
Ь3
Нетрудно заметить, что отличие закономерностей расширения
струи, развивающейся в спутном и встречном потоках, от
закономерностей расширения затопленной струи определяется
соотношением скоростей м, и w2. При спутном движении двух струй
(или струи и окружающей среды) скорости на границах
пограничного слоя направлены одинаково, поэтому с увеличением п2
абсолютная величина разности (Щ — и2) убывает, тогда для струи в
спутном потоке имеем
ЬСП/Ь3=±(п]-п2)/(Щ+п2), A0.28)
причем знак минус берется при п2>пх.

296
Глава X. Турбулентные газовые струи
Из выражения A0.28) следует, что о турбулентной струе как
таковой можно говорить лишь при и2*щ. При п2 = Щ Ьсп = 0.
Физически это означает однородность потока уже в выходном
сечении струи.
При распространении струи во встречном потоке скорости на
границах пограничного слоя имеют противоположное
направление, т.е. геометрическая разность скоростей равна сумме их
абсолютных значений, поэтому bcn/b3 = l. Иными словами, при
встречном движении струй (или струи и окружающей среды)
расширение пограничного слоя не зависит от соотношения
скоростей на его границах и подчиняется тому же закону, что и
расширение затопленной струи. Этот несколько неожиданный результат
объясняется тем обстоятельством, что вблизи границы раздела двух
встречных потоков формируется область с нулевой скоростью
движения и вытекающая струя развивается в условиях, когда на ее
границах эффективная скорость окружающей среды равна нулю.
Начальный участок струи. В начальном участке струи,
вытекающей в окружающую среду со скоростью Щ, щ = и0 = const
и Щ = ин = const, поэтому здесь при спутном движении b = ± сх х
х A — т)/{\ + /я), где т = Пн/П0, а опытный коэффициент с = 0,27
(рис. 10.4).
Уравнение b = ± сх A - т)/A + т) определяет изменение вдоль
начального участка толщины пограничного слоя Ь,
расположенного между внешней границей у2 и внутренней yv причем Ь = ух — уТ
Для установления вида функций ух(х) и у2(х) воспользуемся
законами сохранения массы и количества движения газа. Согласно
первому из них, количество газа, протекающего через некоторое
сечение пограничного слоя плоской струи р Г и dy, должно быть равно
Ъ/Ъъ
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
\
\
\
Рис. 10.4. Зависимость
толщины пограничного слоя
струи несжимаемой
жидкости от скорости
внешнего потока
-1 -0,6 -0,2 0 0,2 0,6 1т=Мн/м0

3. Развитие турбулентной струи в спутном или встречном потоке 297
сумме расходов газа через границу ух рхщ (Ьо - ух) и через
границу^ р2Ин0ъ-*ь)> т-е-
() (y2-bo). A0.29)
Аналогичным образом количество движения газа в
выделенном сечении складывается из количества движения газов,
проходящих через границы д>! и у29т. е.
У\
Умножив уравнение A0.29) на ин и вычитая почленно полученное
выражение из соотношения A0.30), получим
pj и(и-ин
p
У\
или при р = р, у
\±^ A0.31)
Используя уравнения A0.21) и A0.22), выражению A0.31)
можно придать следующий вид:
о
откуда после вычисления интегралов
находим
у =bo-(OA16 + O,134m)b = bo±cx\—^@,416 + 0,134/w), A0.32)
1 + m
где знак «плюс» соответствует m > 1.
Следовательно,
y2=b + yl =/ц, +@,584+ 0,134/11N =
= Ь0±сх—^@,584 + 0,134т), A0.33)
где знак «минус» соответствует m > 1.

298 Глава X. Турбулентные газовые струи
Длину начального участка определим из условия ух = 0, что
эквивалентно достижению внутренней границей пограничного
слоя оси струи:
где знак «минус» отвечает режиму т > 1. Это выражение
приблизительно справедливо и для осесимметричной струи; необходимо
только Ьо заменить на г0.
Для затопленной струи (т = 0) из этого уравнения получаем
?э/й0=1/@,416-с) = 1/@,416-0,27)«8,9,что хорошо
соответствует экспериментальным данным.
Расход газа, протекающего через половину плоской струи в ее
начальном участке,
Q = ] Щ dy+ ] и dy = Uoy]+uob[l-0,45 A-т)].
0 ух
Учитывая, что Qo = ЩЬ09 а также используя выражения для
относительного расхода газа, имеем
? « bj» ,316m), A0.35)
? 1 ± (
So bQ l + m
что дает для конца начального участка
0_
Qo
l
05316m
0,416 +0,134m
Для затопленной струи т = 0, отсюда находим Q = QJL =
= 1 + 0,322 = 1,322, т. е. на начальном участке такая струя
подсасывает из окружающей среды почти треть своего начального расхода.
По мере увеличения т интенсивность подсоса возрастает,
достигая при т »1 значения (Q/Qo),= 3,36.
При использовании приведенных выше формул в
практических расчетах необходимо учитывать следующие обстоятельства.
Уравнения A0.32)—A0.35) отражают формальные математические
преобразования, которые не всегда соответствуют реальной
физической ситуации. В самом деле, при т = 1 струи как таковой
фактически не существует. В то же время формула A0.34) дает
бесконечное значение длины начального участка. Далее, при т > 1 струя
является обратной, т. е. подсос осуществляется спутным потоком
из вдуваемой струи. Обратная струя закрывается, когда скорость

3. Развитие турбулентной струи в спутном или встречном потоке 299
на оси «струи» с заданной точностью совпадает со скоростью
внешнего потока.
Основной участок струи. Более сложной задачей
является определение очертаний основного участка струи в спутном
потоке. В этом случае формула A0.28) приобретает вид
A0.36)
где йГтах — скорость на оси основного участка струи (знак минус
берется при ин > wmax). Константа с определяется опытным путем
и для основного участка равна 0,22. Поскольку S"max==/(x)
является функцией расстояния, граница струи в спутном потоке должна
быть криволинейной, т. е. db/dx = var и для ее определения
необходимо знать вид зависимости umax = f(x).
Для отыскания закономерностей изменения скорости по оси
струи, а также для определения границ струи воспользуемся
уравнением сохранения количества движения, которое для
изобарической струи имеет вид
ь
j uH). A0.37)
Это уравнение выводится способом, аналогичным
рассмотренному выше для начального участка.
Используя функцию Шлихтинга, вместо выражения A0.37)
получаем
1 \ ^
"о Jo { "о J о
или, заменив интегралы их значениями,
(АмиJ+ 1,424тАит - 3,1646-^-A - т) = 0, A0.38)
где Аит =птах/и0-т.
Решая квадратное уравнение A0.38), находим
Au=0Jl2m(Jl
Для затопленной струи (т — 0), учитывая, что Ь = с х = 0,22 яг,
из уравнения A0.38) имеем птлх/п0 =

300 Глава X. Турбулентные газовые струи
Запишем уравнение A0.36) в виде
±С = -S2S25 н. = 1 + 2 =1 + 2 .
Подставив в это выражение значение Аит и интегрируя его,
приходим к уравнению, связывающему толщину струи с
продольной координатой х:
, f, , (Ю.39)
где х0 = х0/ b0 — безразмерное расстояние от начального сечения
до полюса основного участка, в котором толщина струи равна
нулю; x = x/b0; b = b/bo;p2= 6,242A -т)/т2. Выполняя
интегрирование в правой части уравнения A0.39), для т < 1 получаем
окончательно
A0.40)
При практических расчетах для данного значения т
вычисляют р , а затем, изменяя безразмерную толщину струи 6, находят
по уравнению A0.40) соответствующую координату х. При этом
положение полюса х0 определяют по соотношению
хо = 1,53сн — Ф'6»>
где
По найденной зависимости 6 = /(х) вычисляют изменение итах/ и0
вдоль потока (рис. 10.5).
В случае, когда струя имеет меньшую скорость, чем
окружающая среда (т > 1), уравнение A0.40) непригодно, так как при этом
получаются мнимые значения величины х -х0. Для т > 1
целесообразно вести отсчет координаты от переходного сечения струи
Ъ - Ьи (х - хи), в котором избыточная скорость на оси приблизи-

3. Развитие турбулентной струи в спутном или встречном потоке 301
Рис. 10.5. Схема изменения осевой
скорости по длине струи на
начальном (/), переходном (//) и основном
(///) участках
тельно равна избыточной скорости истечения (Аит ~ 1); тогда
вместо выражения A0.39) получаем уравнение
! = Z>-Z>n + 2,8lJ-
db
p'/b-l
Поскольку изменяется нижний предел интегрирования, то
окончательное выражение усложняется. Однако оно имеет ту же
структуру, что и уравнение A0.40),_поэтому здесь не приводится.
Отметим только, что хп = 1,5хп, а Ьп = 1 / @,316 + 0,134т).
Наконец, приведем выражение, определяющее относительный
расход газа через поперечное сечение струи в основном участке
и справедливое при х > хп:
Q/Qo =b(m + 0,45Aum). A0.42)
Аналогично вышеописанному способу рассматриваются и
более сложны е случаи развития турбулентной струи в спутном потоке,
например, в осесимметричных струях, неизотермических струях и т. п.
С конкретными решениями задач для этих случаев можно
познакомиться по монографиям Г.Н. Абрамовича и другой литературе.
Пример 10.2. Оценить параметры струи несжимаемого газа,
развивающегося в спутном потоке при соотношении скоростей т — п~н / п~0 = 0,6.
Построить контуры струи, а также график изменения скорости на оси струи
по ее длине.
Для решения подобных задач весьма удобен пакет Mat head,
позволяющий легко выполнить многовариантные решения. Ниже
представлена схема использования пакета.
Методика расчет параметров турбулентной струи
1. Методика расчета параметров на начальном участке.
Запишем выражения A0.32) и A0.33) для внутренней и внешней границ
пограничного слоя. Для упрощения записи этих формул введем
вспомогательные функции fl и О. Тогда в рамках пакета Mathcad выражения A0.32)
и A0.33) с учетом величины m запишутся так, как показано ниже для yl и у2.

302
Глава X, Турбулентные газовые струи
yl(x,m) :=if(l-m<0,l + fl(x,m),l -fl(x,m))
у2(х,т) := if A - т < 0,1 - f2(x,m),l + f2(x,m))
Чтобы воспользоваться этими соотношениями, необходимо
предварительно установить интервал изменения аргумента х. Для этого
воспользуемся формулой A0.34):
Вычисляем длину начального участка для случая m = 0,6:
L@.6)=29.8.
Теперь можно построить контуры струи и ее потенциального ядра
(рис. 10.6):
Р х:= 0,0.1. .30
Изменение относительного расхода газа описывается формулой
A0.35), которую в рамках Mathcad можно записать в виде
Q (x,m):= 1.0 + 0.27-х-^2-@.134 +0.316-т),
1 + т
откуда для т=0,6 и х=29,8
QOTB9.8,0.6)=1,65,
т. е. из спутного потока подсасывается -65% первоначального объема
струи. Данный результат можно проверить по формуле определения
относительного расхода газа для конца начального участка.
Перейдем теперь к анализу закономерностей развития струи в
основном участке. Здесь необходимые величины вычисляются в такой
последовательности: ?п, ФДп), Зсн, хо,а затем выполняются расчеты по формуле
A0.40).
2
1,75
1,25
5
^0,75
0,5
0,25
0
1
5 10 15 20 25 30
х/ЬО
Рис. 10.6. Границы струи
в спутном потоке на
начальном участке: 1 —
внешняя; 2 — внутренняя

3. Развитие турбулентной струи в спутном или встречном потоке 303
На этом этапе особенно проявляются преимущества пакета Mat head,
поскольку в его рамках можно строить не только графики зависимостей
между отдельными функциями, но и обратные им.
2. Методика расчета параметров на основном участке.
A + т)
xH(m):=
1-m HV ' 0.27A-m) @.416 +0.134-m)
2
Для целей последующего анализа найдем координаты полюса струи
при различных значениях т:
х0@.2)=1.24 х0@.4) = 5.16 хО(О.б) = 13.12 х0@.8) = 37.56
Если расчеты выполнены без ошибок, то при этих значениях х
величина b должна быть равна нулю.
Для определения интервалов изменения координат основного
участка вычислим длины начальных участков:
хн@.2) = 12.5 хн@.4) = 18.4 хн@.6) = 29.8 хн@.8) = 63.7
Как указывалось ранее, основной участок струи начинается после
переходного участка, длина которого составляет половину начального
участка. Следовательно, в зависимости от величины m расчеты основного
участка следует начинать с х, равных:
1.5 • хн@.2) = 18.82 1.5 • хн@.4) = 27.60
1.5 • хн@.6) = 44.7 1.5- хн@.8) = 95.5
Оформим теперь расчет по формуле A0.40):
f(b,m) := —^- fI (b,m) := In (Jf(b,m)+1 + л/иЪдп))
p(m) v" v '
F(b,m):=b +0.702 p(m)x
x[B • f(b,m) +1) • Vf(b,m)-(f(b,m) + l - fl(b,m) + 2 • f(b,mJ]
Проверим теперь правильность алгоритма расчетов, построив график
поверхностей струи при различных значениях m (рис. 10.7).
Можно видеть, что значение b/b0 = 0 при значениях х/Ь0
соответствует координатам полюсов струи.
При развитии в спутном потоке длина струи определяется скоростью
внешней среды, т. е. значением т. Очевидно, можно считать, что струя
«закрылась», если относительная скорость на ее оси umax/u0 будет равна

304
Глава X. Турбулентные газовые струи
A,05-5-1,10) т. Используя это определение, из уравнения для Auw можно
найти значение b/b0, соответствующее концу струи,
откуда для т = 0^6 получаем ?кон = 47,7. Из графика b = f(x) для х =
= 44,7 находим ?нач = 2,5. Можно также воспользоваться специальной
командой Mathcad .
10
О 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
x/b0
//
/
,--—
—.—
Рис. 10.7. Изменение
полутолщины струи по ее длине
при различных
относительных скоростях спутного
потока т: 1 — 0,2; 2 — 0,4; 3 —
0,6; 4-0,8
50
^40
30
20
10
0
1
^0,9
3 0,8
0,7
0,6
1000 2000 3000 4000
Рис. 10.8. Изменение полу-
толщины струи по ее длине
для случая т = 0,6 (длина
струи составляет 4690/Ь0)
х/Ь0
ч
ч
ч
10
100
1-Ю3 1104
ln(x/b0)
Рис. 10.9. Изменение
скорости на оси струи по длине ее
основного участка при m = 0,6
40
20
/
1000 2000 3000 4000 5000
х/Ь0
Рис. 10.10. Изменение
объемного расхода в струе по ее
длине при m = 0,6

4. Соударение двух струй в неограниченном пространстве 305
root(x@.6,b) - 44.7, b, 2, 3) = 2.53
Найдем координату «закрытия» струи: х@.6,47.7) = 4690.
Теперь можно построить контур струи на основном участке:
b :=2.5, 2.6..47J (рис. 10.8).
Зная функцию х = f(b), можно построить график изменения осевой
скорости в основном участке. Используя формулу
u(m,b):=m +0.712-т. [ Jl-О+ —^2—-1 L
\\ f(b,m) J
получаем результат, представленный на рис. 10.9.
Относительный расход газа через поперечное сечение струи находим
по формуле A0.42):
QoTH(m,b) :=b • (m + 0.45 • u(m,b)) QOTH@.6,47.7) = 42.1,
т. е. к концу струи ее объемный расход увеличивается более чем в. 42 раза
(рис. 10.10).
Аналогичным образом могут быть решены другие задачи развития
струй в спутном потоке.
4. СОУДАРЕНИЕ ДВУХ СТРУЙ
В НЕОГРАНИЧЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Воздействием на угол встречи двух соударяющихся струй,
вытекающих в неограниченное пространство, удается изменить
форму, характер затухания скорости и направление движения
образовавшейся при соударении слившейся струи. В пламенных печах,
используя отопление посредством направленных под углом друг
к другу горелочных устройств, возможно изменять форму и длину
как аэродинамического факела, так и факела горения по
сравнению с отоплением одной горелкой.
При решении задачи о соударении струй круглого,
прямоугольного или сложного начального сечения аналитического
решения получить, как правило, не удается. Таким образом, в
настоящее время эксперимент является единственным способом,
позволяющим получить ответ на поставленные практикой
эксплуатации печей вопросы.
На рис. 10.11 показана струя, образовавшаяся в результате
соударения двух осесимметричных струй, вытекающих из сопел
одинакового диаметра (rf0l =rfO2 = 24,l мм; Re01 = Re02 = 60 • 103),
начальный профиль средних скоростей которых характеризовался
отношением кх = щ /щ =0,84, где и0 и п0 — средняя и
максимальная скорости в "начальном сечениитаструи. Начальный

306
Глава X. Турбулентные газовые струи
я ^
1Л
—
а
~\
—'
^
X
// 1 /// ^
- -
Рис. 10.11. Схема изменения формы
слившейся струи, полученной при
соударении двух круглых струй на
начальном (/), переходном (//) и
основном (///) участках: б — ширина
слившейся струи в плоскости,
перпендикулярной углу встречи; h — то
же, в плоскости хОу
участок этой струи простирается от среза сопел до места
соприкосновения внешних границ соударяющихся струй. Его длина
определяется геометрическим построением и зависит от расстояния
между соплами и угла встречи струй. Переходный участок
начинается от места соприкосновения внешних границ соударяющихся
струй и кончается на таком расстоянии, начиная с которого
перестают действовать силы, вызывающие деформацию (сплющивание
потока).
В конце переходного участка ширина слившейся струи
Ь = dT + k2and0,
A0.43)
где dr — диаметр одной из соударяющихся струй в одинаково
удаленном поперечном сечении. В случае отсутствия второй струи
dQ — начальный диаметр одной из соударяющихся струй; п и к2 —
эмпирические константы^ равные соответственно 2,0 и 0,0062; а —
угол встречи соударяющихся струй. Основной участок слившейся
струи представляет собой свободную одиночную струю.
Экспериментальные исследования позволили установить, что
угол расширения границы основного участка слившейся струи
составляет 19-^20° при угле расширения границы каждой из
соударяющихся струй 18,2°.
Обработка опытных данных показала, что изменение скорости
вдоль оси слившейся струи, образованной при различных углах
встречи (соударения) происходит по одному и тому же закону:
^max =los
(l-sina)
x/dQ '
A0.44)
Из этого уравнения следует важный вывод об уменьшении
дальнобойности такой струи с увеличением угла встречи соударя-

5. Полуограниченные турбулентные струйные течения
307
ющихся струй. Последнее является следствием изменения уровня
турбулентности вдоль оси слившейся струи, а также увеличения
отношения периметра струи к ее сечению, в результате чего из
окружающей неподвижной среды втягивается большая масса газа,
которая оказывает более значительное тормозящее действие.
5. ПОЛУОГРАНИЧЕННЫЕ ТУРБУЛЕНТНЫЕ
СТРУЙНЫЕ ТЕЧЕНИЯ
В качестве примера полуограниченной струи рассмотрим
основные закономерности изобарической струи, вытекающей
параллельно гладкой стенке (рис. 10.12) из плоской щели шириной Ьо.
С другой стороны струя соприкасается с безграничным потоком
окружающей среды, скорость которой пн меньше начальной
скорости струи и0. Изучая развитие такой струи, В.Е. Грум-Гржимай-
ло впервые отметил явление настильности, суть которого
заключается в увеличении ее дальнобойности вследствие уменьшения
объема подсасываемого в струю газа из окружающей среды.
Для простоты допустим, что внешняя среда и струя имеют одни
и те же физические свойства и являются несжимаемыми. Будем
считать также, что в начальном сечении на свободной границе
происходит изменение скорости от п0 до ин и толщина
пограничного слоя на стенке равна нулю, т.е. пограничный слой на обеих
границах струи начинает развиваться в начальном сечении 00'.
В сечении, где осуществляется смыкание струйного пограничного
слоя и пограничного слоя на стенке, заканчивается начальный
участок течения, длина которого обозначается, как и ранее, хн = Lq.
В сечении с координатой хп начинается основной участок
струи, в котором осевая скорость мтах изменяется от значения щ
до ин. Область течения между сечениями с координатами хи и хп
представляет собой переходный участок, толщина струи в котором
нарастает примерно по тому же закону, что и в начальном участке.
Рис. 10.12. Схема
полуограниченной турбулентной струи при и0 > ин:
7, 2 — внутренняя и внешняя
границы струйного пограничного слоя

308 Глава X. Турбулентные газовые струи
Таким образом, условия развития полуограниченной струи,
распространяющейся параллельно твердой поверхности,
отличаются от гидродинамической обстановки в верхней половине
свободной струи, развивающейся во встречном или в спутном
потоках, лишь одним фактором: наличием пристенного пограничного
слоя. Поэтому для начального участка полуограниченной струи
остаются справедливыми вышеприведенные уравнения. Длина
начального участка такой струи находится из условия смыкания
внутренней границы пограничного слоя и границы пристенного
пограничного слоя 5, т. е.
^ 1 A0.45)
1 + /77
где 5Н — толщина пристенного пограничного слоя в конце
начального участка. Если для описания профиля скорости в этом слое
выбрать степенной закон (см. гл. VII) п/птах = (у /8I/Л и учесть,
что на начальном участке птах = и0, то для определения
толщины пограничного слоя можно воспользоваться выражением
5H/xH =0,37/ReJH2, где КеХн=рЩхн/г[. Поскольку безразмерная
величина 5Н / jch зависит от хн , то длину начального участка
находят по уравнению A0.45) методом последовательных
приближений.
Заметим, что в общем случае начальный участок
полуограниченной струи короче, чем в свободных струях. Так, например, при
т = 0 щ= 50 м/с и 60= 0,02 м, хн = 7,2Z>0, в то время как для
затопленной свободной струи хн = 9Ь0. Напротив, длина
переходного участка полуограниченной струи существенно больше, чем
свободной. Она определяется по формуле
Зсп=
+ 5п - 1)/Го, 22 ~ @,584 - 0,134/иI, A0.46)
у L 1 + /w J
где 6П= bn I b0; xn = xn/b0; 5П = 5П / Ьо; причем
Для приведенных выше условий расчета хп=20,5, тогда как
для затопленной свободной струи хп=1,5; хн = 13,5.
Относительный расход газа, протекающего через поперечное
сечение полуограниченной струи в начальном участке,
описывается выражением A0.35), в правой части которого появляется
дополнительное слагаемое 8/GЬо) или 0,053л/(Ке^J Ьо). Влияние

5. Полуограниченные турбулентные струйные течения 309
этого слагаемого на Q / QQ весьма незначительно. Так, например,
в конце начального участка при т = 0, по= 50 м/с и bQ = 0,02 м
оно составляет всего 0,027.
В пределах основного участка полуограниченной струи
профиль скорости газа описывается двумя уравнениями: степенного
закона при 0 < у < 8 и Шлихтинга, в котором координата у от-
считывается от границы пристенного пограничного слоя 5, т. е.
Л = (У ~ 8)/6. Тогда уравнение сохранения количества движения
6 8+Ь
\u{u-uH)dy+ J u(u-uH)dy = uobo(uo-uH)
о о
после использования вышеуказанных профилей и вычисления
интегралов можно записать в виде
-0,l34m2b-b0(l-m)=0, A0.47)
где Vm = «max /и0. Решая это квадратное уравнение, находим связь
максимальной скорости в струе с локальной толщиной слоя
смешения Ь:
( 12у A0.48)
где Я = тG5/8 + 0,1826); Л = G5/9 + 0,3166); С = 0,
Учитывая, что согласно многочисленным экспериментальным
данным
[ /] A0.49)
в результате совместного решения системы уравнений A0.36),
A0.48) и A0.49) находим:
A0.50)
^ ^[2(,,J()] A0.51)
где
-0,8475m)],
Ft(m) = 0,8s[ ^ZUll ^o,O
I A + 0,4085m) A - 0,8475mJ

310
Глава X. Турбулентные газовые струи
+1925
10,02/и
1,47/и2
Vm + 0,4085m
0,374/w
Vm - 0,8475m (Km + 0,8475тJ ^ + 0,4085т'
F2(l,m) =
Для затопленной полуограниченной струи (т = 0) из
уравнения A0.47) с учетом соотношения A0.49) получаем Vm = umax/uQ =
= 1,594ylbQ I b, или, поскольку b = ex = 0,22x, Fw = 3,4у]1%/х.
Сопоставляя этот результат с уравнением для затопленной
струи, видим, что максимальная скорость полуограниченной струи
убывает с ростом х по тому же самому закону, что и свободной,
хотя при равных значениях х в первом случае i7max несколько ниже.
Это объясняется тем, что относительный расход газа через
поперечное сечение струи в основном участке
-80
/Г
160 120 80 40 0 40 80 120 мм
в
Рис. 10.13. Схема
изменения формы настильной
струи в горизонтальной
плоскости (а); на границе
(б) и в начале течения (в)

5. Полуограниченные турбулентные струйные течения
311
Рис. 10.14. Зависимость
относительной скорости в поперечных
сечениях полуограниченной струи:
линия — расчет, точки —
эксперимент при различных x/d0: 7 — 5;
2— 10; J— 15; 4-20
2у/ус
лишь немногим отличается от половинного расхода свободной
струи (величина 75/Sb «0,0875).
Аналитического расчета для полуограниченных струй,
распространяющихся из сопел сложного профиля, до сих пор не получено.
Экспериментальное изучение подобного рода течений показало,
что профиль скорости в пристенном пограничном слое
настильной струи «полнее», чем профиль скорости в пристенном
пограничном слое, образующемся при обтекании пластины
безграничным потенциальным потоком; распределение осредненной
скорости в пограничном слое определяется степенным законом
при показателе степени п = 10-И4, а не при п = 7.
Так же как и для неограниченной свободной турбулентной струи,
профили скорости основного участка струи практически подобны.
О форме осесимметричной струи, вытекающей параллельно
гладкой стенке, можно судить по опытным данным В.И. Митка-
линного, представленным на рис. 10.13. На уровне оси струи в
горизонтальной плоскости (рис. 10.13, о) внешняя граница остается
практически прямолинейной на участке, длина которого
составляет около I0d0 от начального сечения. При этом угол раскрытия
границы струи (рис. 10.13, б) на этом участке составил 7,5°, тогда
как для свободной струи он равен 10°. Угол раскрытия струи
непосредственно у плоскости составил «15°. После поперечного
сечения, отстоящего от начального сечения на расстоянии jc/rf0 = 11,0,
граница полуограниченной струи искривляется. Форма
поперечного сечения начальной струи показана на рис. 10.13, в.
На рис. 10.14 представлена зависимость относительной
скорости в поперечных сечениях полуограниченной струи.
Приведенные результаты указывают на отличие профиля
относительной скорости свободной затопленной струи от профиля

312
Глава X. Турбулентные газовые струи
цо= 27,5 м/с
Рис. 10.15. Изменение скорости
в поперечных сечениях @-IV)
струи, направленной на стенку
под углом а
25
настильной струи, поскольку при у /ус > 1,5 опытные точки
настильной струи располагаются выше, чем свободной. Во внешней
области (в вертикальной плоскости) профили скоростей
ограниченной и затопленной струи совпадают.
Если струя бьет в стенку под углом а (рис. 10.15), то при этом
наблюдается растекание струи, величина которого
пропорциональна углу атаки а. В результате происходящей при этом
непрерывной деформации струи максимум скоростей приближается к стенке.
Удельное давление ра, оказываемое струей на стенку, зависит
от угла атаки и определяется соотношением ра = mu/F sin2 a =
= ри2 sin2a, где F — поперечное сечение струи; /им- количество
движения до растекания на стенке.
Для случая распределения скорости в поперечном сечении
струи по закону треугольника в пределах угла атаки a = 10-5-40°
В.И. Миткалинным предложено следующее уравнение для
определения величины удельного давления:
Вследствие расплющивания струи, атакующей стенку под
углом а, относительная поверхность контакта струи с окружающей
средой увеличивается, а дальнобойность ее уменьшается с
возрастанием угла атаки.
Для угла атаки a = 90° ра = т u/F = р и2 = 2 ри2/2, т. е. равно
удвоенному динамическому давлению.
В заключение отметим, что, используя современные
инженерные теории турбулентности, численные методы анализа и ЭВМ,

5. Полуограниченные турбулентные струйные течения 313
можно решать весьма сложные задачи струйных течений,
сопровождающихся процессами горения и тепломассообмена в любом
случае. Однако математические модели металлургических печей
и установок должны учитывать те закономерности теории струй,
элементы которой рассмотрены выше.
Пример 10.3. Определить параметры полуограниченной струи,
развивающейся в спутном потоке вдоль плоской стенки при условиях:
р = 1,3 кг/м3; и0 = 50 м/с; Ьо = 0,02 м; ц = 15 • 10~6 Па • с.
Используем для решения задачи пакет Mathcad.
1. Начальный и переходный участки.
Перепишем уравнение A0.45) в виде
Определим число Рейнольдса и функцию, отображающую выражение
в квадратных скобках:
1.3-50-0.02 г/_. v 0.37 . л^ A-щ) ,
Re:=
6 f (,„,„)» ?02 +0.27.fl^S.
15-КГ6 V ; Re02 -х°я2 A + m)
Теперь, используя команду root, можно найти длину начального
участка, а по формуле b = сх и толщину слоя смешения в конце этого участка.
root (х/(хн, 0.2) - 1, хн,7, 12) = 9.62 Ьн := 0.22 9.62 Ьн= 2.12
Аналогичным образом по формуле A0.46) определяем параметры
переходного участка:
0.22 • И—Щ- • @.584 - 0.134 • т)
A + т)
root(xn -П(хп,0.2),хп51,20)= 19.92 хл := 19.92
Теперь построим график изменения относительного расхода среды на
начальном участке, используя для этого нижеприведенную формулу
QOTl(x,m):= 1.0 + 0.22-x4^@.134 + 0.316m) ^g
1 + ш)
для интервала х = 0,0.05,... 10 (рис. 10.16).
В конце начального и переходного участков относительный расход
газа соответственно составляет:
QOT1(9.62,0.2)=1.31 QOTJA9.92, 0.2)=1.64,
т.е. 31,17% и 63,60%.

314
Глава X. Турбулентные газовые струи
1,35
1.2
1Д5
1,1
1,05
У
У
У
6 8 10
х/Ь0
Рис. 10.16. Изменение
объемного расхода газа по длине
начального участка
полуограниченной струи
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
\
\
>
\
\
\
'*—
Рис. 10.17. Связь
относительной скорости на оси
струи в основном участке
с локальной полутолщиной
полуограниченной струи
(т = 0,2, длина струи
составляет 1418,2 Ьо)
1
10
100
НО3 Ы04Ь
2. Основной участок.
Вычислим сначала габаритные размеры струи. Для этого, как и ранее,
предположим, что струя «закрывается» там, где скорость на ее оси всего
на 5% превышает скорость спутного потока, т. е. в соответствии с
обозначениями уравнений A0.47)—A0.54) Vm=\,05m.
Сформулируем значения коэффициентов уравнения A0.48) с учетом
соотношения A0.49):
0.7 A + m)
*ь'т):=т-4^Ш?г+(ш2]
C(b,m):=b-1 0.134- m2 +
1-m
v
т
,._ B(b,m) + VB(b,mJ + 4 • A(b,m) • C(b,m)
' } * 2.A(b,m)
root (Vm(b, 0.2)-0.2 l,b, 1000,1500) = 1418.188264 bK0H := 1418.188264
VmA418.1883,0.2) = 0.21
Построим график функции Vm= f(b) на интервале: b := 2.2, 2.25.. 1418
(рис. 10.17).

5. Полуограниченные турбулентные струйные течения
315
1500
«о 1250
Рис. 10.18. Изменение полу- ^ 1000
толщины струи по длине
основного участка
полуограниченной струи (т = 0,2)
250
750
500
0
Рис. 10.19. Изменение
максимальной скорости в
сечении полуограниченной струи
по длине ее основного
участка (т = 0,2)
5000 Ы041,5-1042-1042,5-104 3-Ю4 3,5-104
(х-хп)/Ь0
\
¦ »
-
¦'
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
(х-хп)/Ь0
Располагая функцией Vm(b), приступим к решению уравнения A0.36),
используя для этого численный метод Рунге—Кутты,
bo:=2.193
:= rkfixed(b, 0,37018,8000, D)
Замечание. Верхний предел интегрирования, а следовательно, и длина
струи, устанавливается опытным путем. Для этого просматривается
таблица решения z (табл. 10.1) и выбирается координата, соответствующая
ранее найденному значению Ькон
Так как все определенные выше функции связаны между собой, то
график b = f (х) (рис. 10.18) легко перестроить в зависимость Vm = (u^/uq ) =
= f(b), представленную на рис. 10.19.
Таблица 10. L Изменение полутолщины полуограниченной струи
по ее длине
х 3.7028 104 3.7033-10* 3.7038 • 104 3.7042 • 104 3.7047 10* 3.7052 10*
b 1416.5085 1416.6216 1416.7348 1416.8479 1416.9611 1417.0742
3.7056 • 104 3.7061 • 104 3.7066 • 104 3.7070 • 104 3.7075 • 104 3.7079 • 104
1417.1874 1417.3005 1417.4136 1417.5268 1417.6399 1417.7530
3.7084 • 104 3.7089 • 104 3.7093 • 10* 3.7098 • 104
1417.8661 1417.9793 1418.0924 1418.2055

316
Глава X. Турбулентные газовые струи
320
280
240
200
160
120
80
40
/
{
Рис. 10.20. Изменение
объемного расхода по длине
основного участка полуогра-
0 5000 НО4 1,5-1042-1042,5-Ю43-1043,5-1044-104 ничейной струи (т = 0,6)
(х - хп)/Ь0
Наконец, рассчитаем относительный расход газа через поперечное
сечение струи в основном участке по формуле
QoTH_ocH(b,m) := Ь
^JLt^) + 0.45J-
Vm(b,m) + 0.55m .
Итоги расчета представлены на рис. 10.20. В конце струи
относительный расход составляет:
QolHOCHA368.0959,0.2)=317.6.
Подобным образом решаются задачи развития полуограниченных
струй в других системах.
6. ОГРАНИЧЕННЫЕ ТУРБУЛЕНТНЫЕ
СТРУЙНЫЕ ТЕЧЕНИЯ
Процесс распространения газового потока, истекающего из
сопла или щели, в пространстве, ограниченном твердыми
поверхностями, сопровождающийся образованием внутри этого
пространства области обратных токов (зоны циркуляции), а также
возникновением градиента статического давления, называется
ограниченным струйным течением, а сам поток — ограниченной струей.
Все многообразие ограниченных струйных течений можно
разделить на две группы: течение струи в ограниченном
пространстве, когда безразмерные профили скорости во всех сечениях струи
остаются одинаковыми, и течение ограниченной струи, в
поперечных сечениях которой кинематические характеристики не
подобны друг другу.
Простейший случай струйных течений первого типа показан
на рис. 10.21. Здесь плоская струя истекает параллельно стенкам
канала. С одной стороны струя газа ограничена твердой стенкой,
с другой — должна поддерживаться за счет образования
циркуляционного внешнего течения. Такое циркуляционное течение
формируется при внезапном расширении канала, при обтекании
равномерным потоком обратного уступа на стенке и т. д. Во всех этих

6. Ограниченные турбулентные струйные течения
317
случаях в нижней области движения вниз по течению развивается
пограничный слой, а не пристенная струя.
Возникновение циркуляционного движения связано с
образованием за обтекаемым телом зоны пониженного давления с
продольной и поперечной составляющими его градиента. Под действием
продольного изменения статического давления в циркуляционной
зоне возникает течение, направленное в сторону передней стенки;
под действием поперечного изменения статического давления
линии тока обратного потока отклоняются к оси ограниченной струи.
На границе между прямым и обратным потоками возникают
вихри, закручивающиеся в сторону циркуляционной зоны, пополняя
массу газа, эжектируемого из нее. В зоне циркуляции
устанавливается динамическое равновесие между прямым и обратным
потоками при непрерывном обмене газом. Невозмущенный поток
в сечении КК' имеет постоянную скорость иу Между этим
потоком и газом, заполняющим пространство ON К, на границе раздела
двух плоских встречно-параллельных струй возникает турбулентный
пограничный слой с внешней границей 01 и внутренней границей
02. Граница постоянной массы обозначена линией 03N и отделяет
газ, влившийся в пограничный слой из области невозмущенного
потока, от газов, подсасываемых из пространства 0NK. Точка N
характеризует пересечение линии постоянной массы 03N с осью
симметрии канала. Все линии тока, лежащие ниже границы
постоянной массы 03N, образуют циркуляционную зону, часть
которой 04N заполнена газом, вектор скорости которого
противоположен вектору щ.
Поле скорости в поперечном сечении струи, изображенное
на рис. 10.21, состоит из участков постоянной скорости (щ > 0,
К Z M Q
Рис. 10.21. Схема течения с циркуляционной зоной

318 Глава X. Турбулентные газовые струи
п2 < 0) и переходной области, т. е. турбулентного пограничного
слоя встречных плоскопараллельных струй.
Основной особенностью пограничного слоя в данном случае
является различие скоростей обратного течения на оси
циркуляционной зоны. Это связано с поперечным перетеканием газа из
области обратного тока в область прямого тока (через
поверхности 04) и наоборот (через поверхность 4N). Концом первой части
циркуляционной зоны будем считать сечение ММ', в котором как
секундный расход, так и скорость обратного тока достигают
максимальной величины.
Отмеченное отличие в закономерностях течения в двух
участках циркуляционной зоны обусловило и двухстадийный подход
к математическому описанию ограниченной струи во встречном
неограниченном потоке.
В первом участке циркуляционной зоны пограничный слой,
начиная от точки 0, постепенно утолщается. В этой точке его
толщина равна нулю, а в сечении ММ' она достигает максимальной
величины. Поскольку в данном участке циркуляционной зоны
линии тока сильно искривлены лишь вблизи линии 04N,
предположим, что статическое давление на данном участке постоянно;
профиль скорости в пограничном слое определяется по формуле,
аналогичной формуле Шлихтинга:
A0.53)
где Ч = {У1-
Закон нарастания толщины пограничного слоя тот же, что и для
распространения струи в неподвижной среде: Ь= снх, где сн—
константа турбулентности, которая для циркуляционной зоны
равна 0,3.
Составим систему уравнений, с помощью которой можно
определить скорость на оси канала и безразмерные ординаты границ
01, 02 я 03 в зависимости от параметра х/В , т. е.
Уравнение баланса импульсов для контура KK'ZZ':
ul (Я - В) = Щ2 (Я - В - У])+ $ u2dy + Щ (В + у2). A0.54)
Уравнение неразрывности для сечений КК' и ZZ'\

6. Ограниченные турбулентные струйные течения 319
щ(Н - В) = J иdy + и2{В + у2) + щ(Н- В - ух). A0.55)
Уравнение неразрывности в циркуляционной зоне:
judy = -judy-U2(B + y2). A0.56)
У2 У2
Приведя эту систему уравнений к безразмерному виду путем
деления выражения A0.54) на й,2 В, а соотношений A0.55), A0.56)
на щ В и решая ее относительно безразмерной толщины
пограничного слоя b = b/B, получим зависимость безразмерной
толщины пограничного слоя от безразмерной скорости т = Щ/ Щ:
Ъ = -/и/[0,134 A - /иJ], A0.57)
а также уравнения для определения ординат пограничного слоя:
^/6 = 0,416 + 0,134/11; A0.58)
У2/Ь = -0,584 + 0,134ая; A0.59)
у3/Ь=ц3+у2/Ь, A0.60)
где Т13 находится из соотношения
0,316 - % + 0,8лз2'5 - 0,25лз
Учитывая, что Ь = 0,3л;, можно по выражению A0.57) найти
изменение безразмерной скорости т(х), зная которую по выражениям
A0.58)—A0.60), легко определить координаты yJB\ y2/B\ yJB в
зависимости от параметра х/В; скорость п в любой точке
поперечного сечения ограниченной струи отыскивается по уравнению A0.53).
Для того чтобы определить длину первой части
циркуляционной зоны, можно прибегнуть к простейшему предположению о
равенстве средних значений скорости в прямом и обратном
направлениях циркуляционной зоны в сечении ММ', т. е. о равенстве
поперечных сечений прямого и обратного токов (Fnp = Fo6p). Это
предположение сводится к условию уы - yAbi = А, которое
совместно с уравнениями A0.57)—A0.60), A0.53) позволят установить
длину первого участка циркуляционной зоны /р равную /0 = 5,1 Д
при значении тм = -0,4. Аналогичные результаты дают и другие
гипотезы, например предположение о равенстве полных энергий
в прямом и обратном токах, равенстве количества движения и т. п.
Поэтому полученное значение длины первого участка
циркуляционной зоны не вызывает сомнения.

320 Глава X. Турбулентные газовые струи
Следует особо отметить, что рассмотренная теория первого
участка циркуляционной зоны справедлива до тех пор, пока во
внешнем потоке в пределах этого участка сохраняется потенциальное
ядро, иными словами, до тех пор, пока влияние пограничного слоя
на стенке пренебрежимо мало.
Математическое описание второго участка циркуляционной
зоны базируется на предложенном Н.Е.Жуковским методе,
согласно которому для идеального газа решение отыскивается в
параметрической форме путем конформного отображения, в
частности, с использованием интеграла Кристоффеля—Шварца.
В результате для безразмерной скорости V = и /ы2 Г.Н.
Абрамовичем получено следующее соотношение:
Граница циркуляционной зоны в случае H/h = 3 и х > 0 может
быть рассчитана по приближенной формуле
IT»; • <1Ов)
а линия нулевой поступательной скорости 4N — по выражению
A0.63)
Развитие струи на основном участке подчиняется
закономерностям течения полуограниченных турбулентных струй.
Аналогичным образом исследуются закономерности ограниченных
струйных течений первого типа с другой геометрией истекающей струи.
Заметим, что представленные выше результаты охватывают не все
детали таких течений; они иллюстрируют лишь методы,
используемые при анализе характеристик ограниченных потоков.
В общем случае ограниченных струйных течений второй
группы закон нарастания толщины ограниченной струи по ее длине
изменяется; профили осредненного продольного компонента
скорости п также изменяются от сечения к сечению.
Гипотеза об автомодельности в данном случае теряет смысл,
поскольку профили скорости в различных сечениях струи не
подобны между собой. Поэтому использование аналитического метода
при изучении закономерностей струй второй группы, как
правило, невозможно, и можно говорить лишь об экспериментальном

6. Ограниченные турбулентные струйные течения
321
установлении отдельных зависимостей, накоплении и
систематизации опытного материала.
Эксперименты показали, что нарушение автомодельное™
кинематических характеристик ограниченной струи во многом
определяется фактором стесненности струи, т. е. соотношением
объемов струи и пространства, в которое она истекает. Так, например,
при истечении турбулентных струй в камеру, имеющую глухую
торцевую стенку со стороны подачи газа и отверстие для выхода
газа в противоположной торцевой стенке (рис. 10.22), подобия
профилей скорости не наблюдается во всей области движения, если
относительные значения ширины камеры удовлетворяют
неравенствам: HK/d0 5 < 10 для осесимметричной струи и Вк/BЬ0M < 16 для
плоской струи.
При больших размерах камеры течение можно считать
автомодельным лишь на участке струи хстр < 30dQ и хстр < 8060 для круглой
и плоской струй и симметричном расположении струи в камере
(рис. 10.22).
На участке хстр (рис. 10.22) ограниченная струя соприкасается с
зоной циркуляции. Между ними происходит обмен газом, имеющим
различную степень турбулентности, аналогично описанному выше.
При *>*стр происходит диссипация энергии турбулентного
движения под действием сил вязкостного трения о стенки камеры
и уровень турбулентности в ограниченной струе уменьшается.
В связи с тем, что на участке х < хстр интенсификация
поперечного переноса количества движения проявляется как увеличение
турбулентного трения (касательного напряжения), то скорость
утолщения зоны смешения (толщины струи) возрастает (сн= 0,3),
а скорость движения потока быстрее затухает вниз по течению,
дальнобойность струи уменьшается.
Выражая через коэффициент расхода кр отношение потока массы,
проходящей через поперечное сечение струи, к начальному потоку
массы (кр = пг/тнах), можно показать, что поток массы ограниченной
Рис. 10.22. Схема распространения
ограниченной турбулентной струи в камере
21-3546

322 • Глава X. Турбулентные газовые струи
струи увеличивается до определенного сечения, в котором он
достигает максимального значения. Увеличение значения к
происходит в результате массообмена между ограниченной струей и зоной
циркуляции. После этого значение кр уменьшается, приближаясь
в выходном сечении камеры к единице. Сечение, в котором
кр = max, условно называют критическим.
Массообмен между зоной обратных токов и ограниченной струей
можно рассчитать, зная среднее время циркуляции /ц частиц
жидкости в зоне обратных токов и ее объем V3IlGo6si = (V3n/tJ • р,
где <7обм ир — переносимая масса и ее плотность.
Среднее время пребывания частиц жидкости в зоне обратных
токов можно определить из выражения /ц = кНо6р/птах, где #обр —
характерный размер (толщина) зоны обратных токов; итах —
скорость на оси ограниченной струи.
Коэффициент пропорциональности к определяется из опыта и
зависит от отношения HK/d0. Например, для осесимметричной
струи, распространяющейся в камере квадратного поперечного
сечения при Я /dQ = F,0+3,0) *= 13,5 H^2/d0.
Таким образом, время пребывания частиц газа в зоне обратных
токов для данного случая /ц = 13,5 (Н^ / wmax) Н]КА2/ d0.
Расчеты показывают, что время пребывания tu частиц
циркулирующей жидкости в зоне обратных токов в камере при HJd0 = F,0-5-3,0)
в 4,1-^2,4 раза больше времени, которое затрачивают частицы
прямого потока, движущегося со скоростью ПтпХ.
Изменение отношения площади отверстия для выхода газов
Fma к площади камеры FK не влияет на характер течения
ограниченной струи и расположение зон циркуляции, а также на
распределение статического давления по длине камеры. Уменьшение FBbK/FK
приводит к повышению уровня статического давления на стенке,
в зоне циркуляции и в струе, но распределение давления по длине
камеры остается постоянным.
Изменение статического давления др/дх на оси струи
несколько больше, чем в циркуляционной зоне. Статическое же давление
в одном и том же поперечном сечении камеры в циркуляционной
зоне больше, чем на оси струи.
Таким образом, при течении ограниченной струи имеет место
как продольное, так и поперечное изменение давлений, о чем уже
говорилось выше.
В настоящее время теория турбулентных струй, элементы
которой представлены в данной главе, составляет большой
самостоятельный раздел механики жидкости и газа. Она находит широкое
применение при расчетах процессов факельного сжигания топлива,
струйного нагрева (охлаждения) металла и в других процессах металлургии.

Глава XI
СТРУЙНЫЙ ИНЖЕКТОР
Струйным (или газовым) инжектором называется устройство,
в котором полное давление газового потока увеличивается под
действием струи другого, имеющего большую энергию газа.
Передача энергии от одного потока к другому происходит путем их
турбулентного смешения. Инжектор прост по конструкции,
может работать в широком диапазоне изменения параметров газов,
позволяет легко регулировать рабочий процесс и переходить от
одного режима работы к другому. Поэтому инжекторы имеют
широкое распространение в технике. Они используются в
качестве усилителей тяги дымовых труб, в качестве смесителей на
газосмесительных станциях, в виде инжекционных горелок
нагревательных и плавильных печей и во многих других случаях.
Независимо от конкретного назначения инжектора в нем всегда
имеются следующие конструктивные элементы (рис. 11.1): сопло
рабочего (инжектирующего) газа, сопло инжектируемого
(низконапорного) газа, смесительная камера и, обычно, диффузор.
Поскольку площадь сечения сопла инжектируемого газа является
управляемой величиной, сопло часто называют регулирующим устройством
(РУ). Назначение элементов инжектора будет рассмотрено ниже.
РУ
и
1
II
f///////,
III
Рис. 11.1. Схема простого инжектора: / — сопло рабочего газа; 2 —
смеситель инжектора; РУ — регулирующее устройство

324 Глава XI. Струйный инжектор
1. СУЩНОСТЬ ИНЖЕКЦИИ
Рассмотрим процесс движения газов в инжекторе.
Высоконапорный (инжектирующий) газ, имеющий полное давление р{9
вытекает из сопла со скоростью и{ в смесительную камеру. Область
течения этого газа естественным образом делится на два участка.
На первом из них (начальном) (см. рис. 11.1) течение с известным
приближением можно уподобить турбулентной струе,
развивающейся в спутном потоке. Характерной особенностью такой струи,
как это следует из материалов предыдущей главы, является то, что
на ее поверхности претерпевают тангенциальный разрыв скорость
течения, температура, концентрация примеси, тогда как
распределение статического давления оказывается непрерывным.
Поверхность тангенциального разрыва неустойчива, поэтому
на ней возникают вихри, беспорядочно движущиеся вдоль и
поперек потока, что приводит к появлению здесь области
пониженного (по отношению к окружающей среде) давления. Под действием
разности давлений низконапорный газ из пространства А
устремляется через сопло (регулирующее устройство) в смесительную
камеру. Отношение количества этого газа к расходу
инжектирующего (первичного) газа называют коэффициентом или кратностью
инжекции. Кратность инжекции подразделяют на нормальную
объемную \|/0 = Q02/Q0l (м3/м3) и массовую со = т2/т{ (кг/кг). Связь
между ними определяется по выражению
°> = 4>o(Po2/Poi)> A1-1)
где р01 и р02 — плотности соответственно инжектирующего и
инжектируемого газов при нормальных условиях.
В начальном участке камеры вследствие поперечных
пульсаций скорости, характерных для турбулентного движения, частицы
инжектируемого газа непрерывно захватываются высоконапорной
струей и увлекаются ею в зону смешения. Благодаря этому и
поддерживается разрежение на входе в смесительную камеру, которое
обеспечивает втекание низконапорного газа в инжектор.
На некотором расстоянии от сопла в сечении II —II,
называемом граничным сечением, пограничный слой струи,
образованный смесью инжектирующего и инжектируемого газов, достигает
оси смесительной камеры и заполняет все поперечное сечение
последней. Начиная с сечения // — II в основном участке камеры
смешения происходит выравнивание характеристик потоков
(скоростей, температур, концентраций) и при достаточной длине этого
участка в пространство Б поступает достаточно однородная смесь

/. Сущность инжекции 325
газов, давление которой ръ тем больше превышает давление
инжектируемого газа р29 чем меньше коэффициент инжекции со.
Таким образом, назначение сопел — с минимальными
потерями подвести газы к входу в смесительную камеру, а назначение
самой камеры заключается в том, чтобы за счет поперечного
переноса выровнять по сечению камеры все параметры потока.
Для лучшего уяснения сущности инжекции временно
предположим, что ръ = рокр и смесительная камера с помощью
регулирующего устройства отсечена от пространства А. В этом случае, как
видно на рис. 11.1, имеет место обыкновенный переход рабочего
газа из узкого канала G) в широкий канал B). При таком переходе
количество движения газа уменьшается, так как скорость его
убывает от начального значения их до значения w, 3 в конце смесителя,
а статическое давление возрастает от значения рх, в сечении II
(начало смесителя) до значения р3 = рокр в сечении III—III (конец
смесителя). Если теперь при помощи регулирующего устройства
несколько приоткрыть смесительную камеру, то в результате
разности давлений (рокр = р3 > Р1,) газ из пространства А будет
поступать в смеситель, откуда вместе с рабочим газом он будет
выбрасываться в пространство Б. При отсутствии подсоса, т. е. при
плотно закрытом смесителе, статическое давление в сечении /—/
равно рх,, при наличии инжекции давление в этом месте
увеличится до значения pv но по-прежнему рх будет меньше /?3 = рокр.
Разность давлений (рокр -/?,), называемая разрежением инжектора,
расходуется на преодоление аэродинамических сопротивлений
и увеличение энергии движения инжектируемого газа при его
переходе из пространства А в сечение /—/смесителя.
Уменьшение статического давления в сечении /-/смесителя
от рх до рх,, происходящее в результате подсоса вторичного газа,
объясняется двумя причинами. Во-первых, рабочий газ при
отсутствии инжекции выбрасывается из смесителя со скоростью ы} 3,
а при наличии инжекции выхлоп рабочего газа происходит со
скоростью исм3, большей скорости м, 3. Поэтому часть свободной
энергии р{—ри расходуется на увеличение динамического давления
самого рабочего газа. Во-вторых, инжектируемый газ при входе
в смеситель имеет скорость uv а при выходе из смесителя его
скорость равна иш 3 > иг Таким образом, в смесителе происходит
приращение количества движения инжектируемого газа, что приводит
к дополнительному снижению статического давления в сечении
/—/. Только в частном случае, когда и2 = #см3, переход
инжектируемого газа от сечения /—/к сечению III—IIIне может повлиять на
давление/?,.

326
Глава XI. Струйный инжектор
Ml
ш и $
"смЗ.
IV
Рис. 11.2. Схема инжектора с диффузором
При постепенном открытии смесителя от крайнего правого
положения РУ до крайнего левого положения РУ краткость ин-
жекции увеличивается, а разрежение инжектора (рокр-р,)
уменьшается. Рост кратности инжекции и уменьшение разрежения
инжектора будут происходить до тех пор, пока регулирующее
устройство не займет такого положения, при котором дальнейшее его
перемещение влево не сможет изменить аэродинамического
сопротивления на пути вторичного газа из пространства А в
смеситель. Таким образом, перемещая РУ из крайнего правого
положения до крайнего левого, можно изменять кратность инжекции от
нуля до максимального значения. При этом разрежение в
смесителе будет изменяться в обратном порядке от максимума до
минимума. Этих же результатов можно достичь путем изменения
статического давления в пространстве ?, куда происходит инжекция.
С точки зрения наиболее рационального использования
энергии рабочего газа желательно, чтобы статическое давление ръ
в конце смесителя было как можно меньше. Эта задача решается
путем постановки диффузора между смесителем и пространством,
где происходит инжекция. Устройство инжектора с диффузором
показано на рис. 11.2. В диффузоре происходит преобразование
энергии движения в энергию сжатия, вследствие чего статическое
давление ръ в конце смесителя получается меньше давления р4
в конце диффузора. Диффузор не имеет органической связи с
явлением инжекции. Он является лишь средством понижения
противодавления и увеличения кратности инжекции. Поэтому
инжекторы не всегда нуждаются в установке диффузоров.
2. УРАВНЕНИЕ ИНЖЕКЦИИ
Это уравнение связывает между собой необходимый запас
энергии движения рабочего газа, кратность инжекции,
противодавление, геометрические размеры инжектора и физические свойства

2. Уравнение инжекции 327
инжектирующего и инжектируемого газов. Уравнение инжекции
выводится на основе уравнения импульсов Эйлера и закона
сохранения энергии.
При выводе уравнения инжекции будем обозначать среднерас-
ходную скорость потока через и (вместо К). Кроме того, будем
полагать, что инжектирующий газ при истечении из рабочего
сопла расширяется до давления рх в начальном сечении смесителя,
т. е. в истекающей струе исключается как избыток, так и
недостаток давления; ввиду малой разности давлений между сечениями
смесителя /—/и ///—///смесь газов, а также ее компоненты можно
считать несжимаемыми; коэффициенты осо и осэ, с помощью
которых по среднерасходной скорости вычисляется количество
движения и энергии потока, входящих в смеситель газов, равны
единице, что для сужающихся потоков близко к действительности.
Энергия, высвобождаемая инжектирующим потоком в
смесителе, при отсутствии подсоса вторичного газа (см. рис. 11.1) по
теореме импульсов Эйлера равна
Рз-Ри =~у (<*oi.3"i.3 ~Щ) =
где F3 — площадь поперечного сечения смесительной камеры.
В рабочем состоянии при открытом смесителе в результате
подсоса вторичного газа разрежение в смесителе уменьшится от
(р3 — рх,) до (р3 —/>,), израсходовавшись на увеличение
динамического давления самого рабочего газа в результате перехода от
скорости их з к скорости исм3,
А/ = 0,5(аэ3р^с2мз -аэир,и23) (П.З)
и на увеличение количества движения инжектируемого газа
Вычитая из правой части уравнения A1.2) значения Ар' и Ар"
и имея в виду, что тх = рхих 3F3, получим
-0,5аэ3р^с2м3 -РЛ.зЦоозИсиз "^)- (И-5)
При турбулентном течении 20^, 3 -<хэ13 = 1, поэтому
р3 - рх =

328 Глава XI. Струйный инжектор
Если теперь между смесителем и пространством Б, где давле-
(П.7)
ние равно ррп, установить диффузор с к.п.д.
то для инжектора с диффузором получим
Лш~ Р\ =Pi"i"i.3 - °>5Piwj23 - О^сХззР^з
+ 0,5Лрсм«с2м3. (П.8)
Разность между давлением в пространстве Б, равное /?рп, и
давлением /?, в сечении / —/ смесителя можно написать как
Первое слагаемое правой части этого выражения представляет
собой противодавление, создаваемое пространством Б, а второе
является рабочим разрежением инжектора, расходующимся на
преодоление сопротивления подводящей сети инжектируемого газа,
на увеличение динамического давления его при входе в смеситель
и на преодоление сопротивления входа, которое в отличие от
других сопротивлений непосредственно связано со скоростью иТ Тогда
ЛжР -Рх =5>„агп -0>5р2и22н +0,5A +$)рЛ2. A1.10)
Это выражение можно написать в виде
ppn-Pl=APc+ 0,5A Н)р2и22, A1.11)
где Арс — общее противодавление, или общее сопротивление всей
сети инжектора, т. е.
Л/>с = (Ррп - />окр) +1ДЛютм ,5р2и22н. A1.12)
рп />окр)
Заменив в выражении A1.9) (Ррп —р{) его значением по A1.11),
получим
2
y-0,5Pl<3-0,:
Разделив левую и правую части этого выражения на р^2,
после преобразований получим:

2. Уравнение инжекции 329
Отношения скоростей в этом уравнении могут быть выражены
через геометрические параметры инжектора, кратность инжекции
и плотности инжектирующего и инжектируемого газов:
«2/^1.3 = (Pi /Р2)Ю(^з/^2)= (Pi /P2)<»/2; (П.16)
«смз/^^а+^ср./р^), сил?)
где F{ и F2 — площадь выходных сечений сопел инжектирующего
и инжектируемого газов.
Отношение (р,/рсм) найдем из очевидного равенства (?см =
00 см /Рем = т\ /Pi + Щ /Р2. откуда
Р, /Рем =
Левая часть уравнения A1.14) по смыслу является числом Эйлера
инжектора, работающего с противодавлением Eu = bpj{p$).
Объединяя полученные результаты, после несложных
преобразований вместо уравнения A1.14) получим
= /1-0,5у;2 ^^^ ^^
g2[(J]J A1.19)
Обозначим
(ю,/2) = 1 + fl + —о> I аэ3 Г1 + -?i-<o j+ 2a03to-ri(l + ш)
Тогда
2 A1.20)
Решая уравнение A1.19) относительно кратности инжекции,
находим дсо2 + бон- с = 0, где
„.. A1-21)
Р2

330 Глава XL Струйный инжектор
; (П.22)
A1.23)
Используя вышеприведенные выражения, можно установить
рациональные параметры инжектора, т. е. спроектировать его.
Проектирование инжектора сводится к выбору таких его
геометрических размеров, чтобы при заданных начальных параметрах
и соотношении расходов газов получить наивысшее значение
давления смеси или, наоборот, при заданных начальных и конечных
давлениях получить наибольшую кратность инжекции.
3- УСЛОВИЯ РАБОТОСПОСОБНОСТИ ИНЖЕКТОРА
И ЕГО ОПТИМАЛЬНЫЕ РАЗМЕРЫ
Анализ уравнения A1.20) показывает, что относительное
значение выходного сечения сопла инжектирующего газа fx является
вещественным числом
лишь при выполнении условия
2ЯЕи<1. A1.25)
При 2 В Ей > 1 уравнение A1.20) имеет
комплексно-сопряженные корни. Физически это означает, что при нарушении условия
2В Ей < 1 инжекция невозможна. По этой причине это
неравенство называют условием работоспособности инжектора.
Из выражения A1.24) следует, что при заданном значении
площади поперечного сечения камеры смешения F3 величина Fl
определяется общим противодавлением инжектора Ей и
характеристиками инжектора, входящими в В (ю,/2). При Ей = 0 первый корень
уравнения A1.20) равен нулю, а /12 = 2/5. Физически равенство
/[, = 0 означает, что во всей области движения струя
инжектирующего газа развивается как турбулентная струя в спутном потоке
и смешение газов происходит лишь в пограничном слое этой струи.
Очевидно, что в этом случае границы струи не достигают стенок
камеры смешения на всем ее протяжении, т. е. размеры сопла
рабочего газа слишком малы.
Физическое содержание равенства fx 2 = 2/В несколько иное.
Здесь, напротив, размеры сопла инжектирующего газа слишком
велики для эффективной работы инжектора. Струя рабочего газа

3. Условия работоспособности инжектора и его оптимальные размеры 331
очень быстро достигает стенок смесительной камеры, поэтому
развиваемое ею разрежение очень мало.
По мере увеличения числа Ей увеличивается /J,, а /[ 2
уменьшается. При Ей = \/{2В) /| j =/j 2 = 1/5. По-видимому, именно это
значение отвечает наиболее рациональному значению величины fx
Число В зависит от коэффициента восстановления статического
давления в диффузоре ц. Чем больше ц, тем меньше получается В.
Для инжектора без диффузора г\ = 0 и число В максимально.
Диффузор усложняет конструкцию инжектора и, по-видимому,
должен применяться лишь тогда, когда в этом действительно есть
необходимость. По выражению A1.21) надобность в диффузоре
появляется, если в инжекторе без диффузора 2В Ей > 1.
В общем случае безразмерное противодавление Ей сложным
образом зависит от соотношений размеров инжектораfxvifr
Поскольку слагаемые уравнения A1.19), содержащие эти величины,
имеют разные знаки, то возможно существование экстремумов
числа Ей по/и^.
Для установления оптимального значения^
продифференцируем выражение A1.19) по f2:
37" = ~f\ ® К1 + Qf2 - 1J = °' A1.26)
<У2 Р2
откуда
/2onT=[j-| =j^y- (П-27)
Поскольку Э2Еи / df22 < 0, то значение f2om, определяемое
выражением A1.27), соответствует максимуму функции Eu=f(fvf2).
Выполним аналогичные операции над уравнением A1.19)
относительно величины/J, подставив предварительно в него вместо
f2 оптимальное значение f2om:
Следовательно,
Л>лт=1/Ч„т> (П-28)
где
Здесь также d2Eu/3/J2 < 0, т. е. значение A1.28) обеспечивает
максимум. Таким образом, максимальное противодавление, которое

332 Глава XI. Струйный инжектор
преодолевается в инжекторе при заданных параметрах газовых сред
и кратности инжекции, определяется выражением
2ЕиЯопт=1. A1.30)
Тогда из формул A1.27) и A1.28) для заданного сечения сопла
рабочего газа следует:
BomFi; A1.31)
^2опт = 0 + О^Зопт = 0
Коэффициент сопротивления на входе инжектируемого
потока в смеситель зависит от того, как геометрически оформлен этот
вход. При правильном конструировании вход в смеситель
выполняют в виде плавного конфузора. В этом случае коэффициент
сопротивления на входе определяется по формуле
у _
4\j/sin(oc/2)
A1.33)
где \|/ — коэффициент формы, для круглого потока равный 2, а для
плоского — единице; а — центральный угол сужения конфузора,
обычно равный 30-5-40°; Fo — площадь поперечного сечения
конфузора в начальном сечении.
При практических расчетах, если выход потока в смеситель
оформлен в виде плавного конфузора, значением коэффициента
сопротивления ? можно пренебречь, положив его равным нулю,
так как его значение для круглого конфузора при а = 40° и Re > 10 000
не превышает 0,01. В общем случае коэффициент сопротивления §
рассчитывается по формулам для входа потока в трубы и каналы.
Следует помнить, что инжектор с оптимальными размерами
конфузора и смесителя работает более рентабельно и надежно, чем
инжектор с произвольно выбранными размерами.
4. КОНСТРУКТИВНЫЕ ПАРАМЕТРЫ ИНЖЕКТОРА
И СОСТАВЛЕНИЕ ЕГО ХАРАКТЕРИСТИКИ
Основным конструктивным элементом инжектора является
смеситель с рабочим соплом. Диаметр смесителя может быть
рассчитан по уравнению инжекции. Длина смесителя /3 (см. рис. 11.2)
выбирается по опытным данным. Она должна быть такой, чтобы
в конце смесителя распределение скоростей по поперечному сечению
потока было стабильным, т. е. не изменяющимся при дальнейшем

4. Конструктивные параметры инжектора 333
увеличении длины смесителя. Опыт показывает, что стабильный
профиль скоростей при перемешивании турбулентных потоков
в трубах устанавливается при /3 > F+$)dy Таким образом,
минимальная длина смесителя должна быть равна 6dy
Влияние на процесс инжекции характера распределения
скоростей в конце смесителя учитывается в уравнении инжекции
коэффициентами а03 и аэ3, в основном коэффициентом аэ3, так как
а03 для правильно спроектированного инжектора близок к
единице. Чем более неравномерен профиль скоростей в конце
смесителя, тем большее значение приобретает коэффициент ссэ3. При
одном и том же запасе энергии рабочего газа увеличение осэ3 приводит
к уменьшению кратности инжекции оо и наряду с другими
факторами зависит от дайны смесителя. Укорочение смесителя
приводит к увеличению осэ3 и к уменьшению кратности инжекции как за
счет ухудшения работы смесителя, так и за счет уменьшения к.п.д.
диффузора, потому что к.п.д. диффузора также зависит от
коэффициента аэ3. Зависимость аэ3 от дайны смесителя вырождается
в постоянную величину примерно при /3 > 6dy При длине
смесителя /3 > Ыъ коэффициент ссэ3, как и в трубах постоянного сечения со
стационарным профилем скоростей, зависит от числа Рейнольдса
и степени шероховатости трубы.
Важным размером инжектора является расстояние от устья
сопла до начала смесителя. На рис. 11.2 это расстояние отмечено
размером /2. В положении, зафиксированном на рис. 11.2, рабочее
сопло вдвинуто в смеситель, поэтому /2= 0; в общем случае /2 > 0.
У оптимально работающего инжектора площадь проходного
сечения для вторичного газа F2 и площадь сечения F3 смесителя
связаны друг с другом по формуле F2om ~ A + ?>)F3om- Если коэффициент
сопротивления на входе в смеситель равен нулю, то F2 = Fy В этом
случае размер /2 может быть принят равным нулю при условии, что
площадь сечения рабочего сопла очень мала по сравнению с
площадью сечения смесителя. Такое положение наблюдается в
инжекторах высокого давления, работающих с большой кратностью
инжекции.
Оборудование инжектора диффузором способствует
увеличению свободной энергии инжектирующего потока. При одном
и том же запасе энергии движения у рабочего газа кратность
инжекции при наличии диффузора получается больше, чем при его
отсутствии. Если же кратность инжекции остается постоянной, то
инжектор с диффузором оказывается способным преодолеть
большее общее противодавление Арс9 чем инжектор без диффузора.
В инжекторах используются диффузоры с углами расширения 8-^10°.

334
Глава XL Струйный инжектор
причем при осэ3 = 1 для ?д имеем:
Эффективность действия диффузора оценивается по значению его
коэффициента полезного действия г|, который определяется по
выражению:
A1.34)
(П.35)
У каждого отдельно взятого конкретного инжектора
геометрические характеристики fv fv а также отношения плотностей при
нормальных условиях ро,/рО2 имеют постоянное значение.
Переменными величинами являются кратность инжекции со,
безразмерное общее противодавление Ей и отношение абсолютных
температур Т2/Тг Графическая связь между этими тремя параметрами
называется безразмерной характеристикой инжектора, которая
может быть составлена на базе расчетов по уравнению инжекции.
Пример 11.1. Рассчитать характеристики инжектора без диффузора по
следующим данным. Диаметры рабочего сопла и смесителя
соответственно равны: dx- 7,4 мм; d3= 59,5 мм;^ = F3/F2 = l;/j = 0,01547.
Инжектирующий газ — компрессорный воздух с давлением pQ= 147,2 кПа и То= 293 К.
Инжектируемая среда — атмосферный воздух при температуре Т2- 300 К
и давлении рокр- 99,2 кПа. Противодавление в камере, куда происходит
инжекция, Арс = 900 Па. Газовая постоянная и показатель адиабаты для
воздуха: R = 2С88 Н • м/(кг • К); к = 1,4.
Параметры истечения струи рабочего газа рассчитываются на основе
материалов гл. IX.
Примем в первом варианте расчета ? = 0 и сс03 = аэ3 = 1.
1. Пренебрегая влиянием разрежения в смесителе на процесс
истечения рабочего газа, по таблице газодинамических функций гл. IX для
воздуха при к = 1,4 имеем:
РокР/Ро = 99,2/147,2 = 0,6739; X = щ/щ, = 0,80;
Г,/Го = 0,893; р,/р0 = 0,7543.
Критическая скорость истечения воздуха
Начальная плотность компрессорного воздуха составляет
147 200
Ро =
RT, 288 • 293
Л ПЛЛ . ,
= ^ 744 кг/м •

4. Конструктивные параметры инжектора 335
Плотность атмосферного воздуха при/>01ф= 99,2 кПа иГ= 300 К
п />окР 99200
Р2=ЛГ = 28ГЗОО = 1'148КГ/М-
Таким образом, имеем:
щ = Хикр = 0,80• 314 = 251,2 м/с;
Тх = 0,893 То = 0,893 • 293 = 262 К;
р, = 0,7543р0 =0,7543-1,744 = 1,316 кг/м3;
р,/р2= 1,316/1,148 = 1,146;
р,н,2 = 1,316 • 251,22 = 83 042 Па;
Ей = Дрс/(р1и|2) = 0,010838.
2. Проведем расчет коэффициентов а9 Ъ и с по выражениям A1.21)—A1.23):
а = 1,146 A,146 + 2 - 1) = 2,459;
4=1,146-2 + 2 = 4,292;
„ Ей -0,01547
С=1 + 1+2 0,01547* "
=2 + 8357 Ей - 129,28 = 8357 Ей - 127,28.
Разделив уравнение асо2 + Ьсо + с - 0 на а, получаем
со2+1,745ш+3398,5Еи-51,76=0.
Решая это квадратное уравнение, находим со = -0,8725 + -у/51-3398,5 Ей.
По этому уравнению, задаваясь значениями Ей, можно построить
безразмерную характеристику инжектора. Максимальная кратность инжек-
ции, получающаяся при Ей = 0, составляет о»тах = 6,27; при Ей = 0,01478
со= 0. Для нашего конкретного случая получаем: Ей = 0,010838, со = 2,89.
3. Расчет параметров смеси на выходе из смесителя. Массовые расходы
рабочего газа и смеси соответственно равны
/и, = (jcrf,2/4)p,i/l = 0,7854 - 0,00742 • 1,316 • 251,2 = 0,014218 кг/с;
шсм = /и, +щ = го, A + ю) = 0,014218A + 2,89) = 0,05531 кг/с.
Плотность смеси по выражению A1.18)
Температура смеси по уравнению газового состояния
т Рз ^Рокр + АРс = 99200 + 900 =2928 t
см pCMR pCMR 1,187-288

336 Глава XI. Струйный инжектор
Скорость выхода (выхлопа) смеси из смесителя
Исм3
Рем Из2 /4) 1,187 0,7854-0,05952
По справочным данным, коэффициент кинематической вязкости
воздуха (v) при Т= 292,8 К равен 15,3 • 10~6 м2/с, тогда
16,8-0,0595
Re=
15,3 10"
4. Зная число Re и полагая смеситель гладким, по формулам гл. IV
и VI находим: k{ = K/wocb = 0,83; ссоз = 1,025 и аэ3= 1,05. Повторяя расчет
пп. 2 и 3 с этими данными, вместо ю = 2,89 получаем со = 3,0, т. е. в
данном случае пренебрежение неравномерностью профиля скорости на
выходе из смесителя приводит к погрешности в определении кратности
инжекции, равной 5со = -3,7%. Данную погрешность можно считать
приемлемой, поскольку при вычислениях коэффициент сопротивления
входа инжектируемого газа полагался равным нулю.
Для оценки влияния диффузора на работу инжектора предположим,
что все исходные данные остались без изменения и что после камеры
смешения установлен диффузор с центральным углом раскрытия а = 10°,
диаметром выходного сечения d4= 166,2 мм и длиной /4 = 609,8 мм.
Поскольку при сохранении прежнего значения Арс параметры потока в
концевом сечении смесительной камеры становятся неопределенными,
снова примем к} = ос03 = ссэ3 = 1. Тогда по формулам A1.34) и A1.35) находим:
?д = 0,1469; п = 0,872 и далее:
а = 1,146 A,146 + 2 - 0,872 - 1) = 1,46;
Ъ = 1,146 B ~ 0,872) + 2 - 0,872 = 2,421;
с = 1 + 1 - 0,872 + (Ей - 0,01547)/0,015472 = 8357Еи - 128,152.
Следовательно,
со = -0,8291 + д/88,4627 -5724 Ей.
Можно видеть, что в данном случае максимальная кратность
инжекции, достигаемая при Eu = 0, равна comax = 8,58; при Ей = 0,01533 со = 0.
Для условий примера при Ей = 0,010838 со = 4,312.
Если сохранить кратность инжекции на том же уровне, что и в
инжекторе без диффузора (со = 2,89 -5-3,0), то в соответствии с выражениями
A1.29) и A1.19) имеем
2^=1+ A,146-2,89 +1)х
х[1 + 1,146.2,89 + 2-2,89-0,872A + 2,89)]-1,1462,892 =20,318;
Ей = 0,01547 - 0,015472 • 20,318/2 = 0,013039,
т. е. реализуемое противодавление инжектора увеличилось в 1,2 раза (с 900 Па
до 1083 Па).

4. Конструктивные параметры инжектора
337
На рис. 11.3 показана расчетная характеристика инжектора без
диффузора, параметры которого приведены выше. Кружками
обозначены опытные данные Г.Т. Цыганкова, выполненные на том
же инжекторе. По рисунку видно, что между теорией и опытом
имеется достаточно хорошее соответствие.
Следует отметить, что размер рабочего сопла, принятый в
рассмотренном примере, не является оптимальным для значения
со = 2,89. Для указанной кратности инжекции и инжектора без
диффузора 5опт= 34,944 и, следовательно, flonT = 0,02862 Ц =10,1 мм).
Увеличение диаметра сопла с 7,4 мм до 10,1 мм позволяет при
заданном противодавлении получить при прочих равных условиях
со = 3,323 или при сохранении со = 2,89 преодолеть
противодавление Ей = 0,01431 (Арс = 1188 Па).
В общем случае, если противодавление задано, то диаметр
рабочего сопла целесообразно выбирать из условия обеспечения
максимального значения кратности инжекции. Так, например, для
инжектора без диффузора имеем
со = -0,8725+ 10,81334
-0,052084,
откуда находим/1опт = 2Еи = 0,021676 Ц = 8,8 мм) и соопт = 3,453. Для
инжектора с диффузором
ю = -0,8291+ 4 1,36986
-0,085196,
т. е. при том же значении/1опт = 2Еи = 0,021676 имеем соопт = 4,785.
, кг/кг
Рис. 11.3. Характеристика инжектора с
/J = 0,01547 к/2= \: 1 — теоретические
данные; 2 — опытные данные
2 4 6 8 10 1214
Арс-10,н/м2

338 Глава XL Струйный инжектор
Таким образом, оптимальное с точки зрения обеспечения
максимально возможной при заданном противодавлении кратности
инжекции значение /, определяется равенством
./;„„, = 2 Ей. A1.36)
Наряду с указанными выше показателями работы инжектора
на практике используют также понятие к.п.д. инжектора, под
которым понимают отношение работы по перемещению Q2, м3/с,
инжектируемого газа через инжектор к начальной энергии
рабочего газа, т. е.
л= ^ A137)
Используя ранее приведенные соотношения, выражению A1.37)
можно придать вид
Л = 2(р1/р2)шЕи=:2(р1/р2)[2у;-у;25(са,/2)]со. A1.38)
Легко видеть, что значения fx nf2, обеспечивающие
максимальное значение числа Эйлера инжектора, оптимальны и с точки
зрения К.П.Д.

Глава XII
ОСОБЕННОСТИ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА
В ПЕЧАХ И УСТРОЙСТВА,
ПРИВОДЯЩИЕ ЕГО В ДВИЖЕНИЕ
Движение газа в рабочем пространстве металлургических
печей во многом определяет эффективность и показатели тепловой
работы печей независимо от температурного уровня
технологического процесса. Действительно, для средне- и
низкотемпературных печей параметры движения потока газов определяют
интенсивность конвективного теплообмена, который в этих условиях
является определяющим в установлении тех или иных скоростей
нагрева металла. Для высокотемпературных печей, где главным
видом теплопередачи выступает тепловое излучение, роль
движения газов остается высокой, так как только непрерывная смена
объемов газа за счет его движения может обеспечить сохранение
высоких температур в рабочем пространстве печи, а
следовательно, и высокую интенсивность теплообмена излучением.
Правильная организация движения газов в системе
обеспечивает стойкость элементов кладки металлургических печей и
поэтому увеличивает межремонтный период работы печи, влияя таким
образом на экономические показатели печного передела. К этому
следует добавить, что конструктивные особенности теплообмен-
ных аппаратов, их техническая эффективность зависят от
совершенства организованного движения газообразных теплоносителей
в них. Отмеченное относится и к охлаждаемым элементам
металлургических печей, для которых следует учитывать и особенности
движения охлаждающей воды.
Для оптимальной работы топливосжигающих устройств
организация движения газообразного топлива и воздуха в горелках,
мазута, воздуха и в некоторых случаях пара в форсунках
определяет важнейшую характеристику процесса горения топлива —
коэффициент расхода воздуха.
Перечень примеров можно было бы продолжить, но
целесообразно остановиться еще на одном, относящемся к нагревательным
печам. В ходе нагрева слитков перед обработкой их давлением
(прокаткой, ковкой и т. п.) или готовых изделий перед термообработкой

340
Глава XIL Особенности движения газа в печах
*г
Рис. 12.1. Примеры циркуляции газов в печах, достигаемой за счет работы
вентилятора (а) и за счет взаимного расположения струй (б)
решающее значение приобретает равномерность нагрева металла
по сечению, объему заготовок, изделий. Решение этой задачи
достигается главным образом за счет равномерного обтекания
нагреваемых изделий. Этого можно добиться, расположив
соответствующим образом устройства ввода горячих газов и вывода газов,
потерявших тепловую ценность, а также установкой сопел,
обеспечивающих требуемое направление и скорость струй, другими
словами, от организации движения газов в рабочем пространстве
печи, включая и циркуляцию. Не останавливаясь подробно на
многочисленных вариантах создания циркуляции, приведем два
из них, являющиеся наиболее характерными. В первом варианте
(рис. 12.1, а) циркуляция обеспечивается за счет работы
вентилятора, возвращающего часть покидающих печь газов к месту ввода
горячих газов. Благодаря такой организации движения газов
удается существенно повысить скорость газового потока и выровнять
температуры в движущемся потоке газов. Подобный результат
можно получить при активизации движения газов в рабочем
пространстве металлургической печи, если расположить ввод газов
так, как показано на рис. 12.1, б. Тангенциальный ввод газов
приводит к возникновению вращательного движения газов, благодаря
чему один и тот же объем газа, прежде чем покинуть сечение
ввода, многократно вовлекается в движение, способствуя тем самым
росту скорости, и, как следствие, интенсифицирует теплообмен.
Если наряду с теплообменом имеет место и горение топлива, то
циркуляция газов будет также способствовать лучшему
перемешиванию участвующих в горении компонентов, более быстрому
подогреву топливовоздушной смеси и в конечном итоге — более
полному горению топлива.
Из приведенных примеров следует, что для организации
движения газов по элементам печи, создания в необходимых случаях
циркуляции газов потоки воздуха, газов, продуктов сгорания должны

/. Распределение потоков газа
341
располагать значительным запасом энергии. В качестве устройств,
обеспечивающих приведение в движение газов в металлургических
печах, применяются вентиляторы, дымовые трубы, эжекторы и
инжекторы.
Прежде чем перейти к рассмотрению принципов работы этих
устройств, следует рассмотреть закономерности распределения
газовых потоков в системе печи, особенности которого определяют
не только величины аэродинамических сопротивлений, но и
эффективность тепловой работы, например, теплообменников
регенеративного типа.
1. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПОТОКОВ ГАЗА
В БОРОВАХ И КАНАЛАХ
В УСЛОВИЯХ НЕИЗОТЕРМИЧЕСКОГО ТЕЧЕНИЯ
Остановимся на закономерностях движения газа в системе
параллельных каналов, делая особый упор на учет неизотермичнос-
ти течения и на те особенности распределения газов по каналам,
которые этой неизотермичностью обусловливаются.
Горизонтальные каналы. Рассмотрим систему горизонтальных
параллельных каналов (рис. 12.2, а) одинакового гидравлического
диаметра Д которые все начинаются в сечении 1, давление газа
в котором равно pv и оканчиваются в сечении 2, где газ имеет
давление р2 При равномерном распределении газа по каналам
скорость его в любом канале одна и та же и равна VQ (везде далее
используется средняя по сечению канала или расходная скорость),
в противном случае распределение потоков по каналам будет
прямо пропорционально площадям эквивалентных отверстий.
а
г
D
Рис. 12.2. Схемы параллельных каналов: а — горизонтальные (план); б
вертикальные (разрез)

342 Глава XIL Особенности движения газа в пенах
Запишем для сечений 7 и 2 уравнение Бернулли:
откуда, учитывая, что Я, = #2, для канала постоянного
поперечного сечения Vx = V2 получаем рх-р2 — АрпоГ Поскольку перепад
давления один и тот же для всех каналов, то это равенство будет
выполняться для любого из них. Если каналы спроектированы так,
что площади их эквивалентных отверстий одинаковы, то
распределение потоков газа будет равномерным, т. е. через каждый из
каналов будет проходить одно и то же количество газа. Указанная
равномерность, по-видимому, сохраняется при любых возмущениях
в системе, или, как еще говорят, равномерность газораспределения
в системе горизонтальных параллельных каналов будет устойчивой.
Сделанный вывод справедлив для случая изотермического
течения газа. Изменится ли что-нибудь в закономерностях
распределения потоков в условиях работы металлургических печей,
когда температура газа по длине канала существенно различна?
Запишем уравнение энергии для случая неизотермического
течения газа в форме
dp + LpTdV2 +(pn-pT)gdH + dL = 0,
где dL — дифференциал потерь давления. Для горизонтальных
каналов dH= 0. Предположим, что плотность газа существенно
зависит лишь от температуры и не зависит от давления. Это
предположение не приводит к сколько-нибудь заметным
погрешностям, так как обычно в боровах и каналах металлургических печей
давление газа в сравнении с атмосферным изменяется весьма
слабо. С учетом соотношений pr/pOr= To/T; V/VQ= T/TQ можно
записать
dp = pOr*$-dT + dL = Q. A2.1)
Интегрируя это уравнение по длине канала, получим
io о
Потери давления dL включают сопротивление входа и выхода
(местные сопротивления), а также потери на трение. Первые две
составляющие потерь имеют локальный характер и
1 V2
АРьх = Свх ХРг1К12 = ^вхРог от!;
Z Zi0

1. Распределение потоков газа 343
V2
А^вых = СвыхРОг "^vr"^2#
Потери на трение изменяются по длине канала, поэтому
Сделаем допущение, что коэффициент трения X постоянен
вдоль канала, а температура газа линейно зависит от текущей
координаты х, т. е. Т = Тх -х(Тх — Г2)//, тогда
и, следовательно,
А "А+Ро
или
г1|[2(Г2 -
A22)
Теперь можно ответить на сформулированный выше вопрос
о влиянии поля температур газа на закономерности его
распределения по параллельным горизонтальным каналам.
Рассмотрим сначала случай, когда по системе каналов движется
горячий газ, который отдает тепло стенкам канала и охлаждается.
Предположим, что первоначально, как и в условиях
изотермического течения, расход газа через любой канал был одинаков, т. е.
одинакова скорость Vo во всех каналах. Пусть теперь в какой-то момент
времени через некоторый канал пошло больше газа. Тогда газ в этом
канале будет охлаждаться меньше, канал нагреется сильнее и
температура газа на выходе Т2 увеличится. Нетрудно заметить, что в
этом случае возрастает знаменатель выражения A2.2), что говорит
об уменьшении VQ. Следовательно, система горизонтальных каналов
обеспечивает устойчивость равномерности газораспределения
охлаждающегося горячего газа. Это означает, что если каким-то образом
добились равномерности распределения потоков по каналам
однажды, то она сохранится и далее, несмотря ни на какие возмущения.
Изменим ситуацию, пустив по равномерно прогретым каналам
холодный газ. В процессе движения этот газ отбирает теплоту

344 Глава XII. Особенности движения газа в пенах
у стенок и нагревается. Пусть опять в какой-то момент времени
через некоторый канал прошло больше газа. Тогда этот канал
охлаждается сильнее и Т2 уменьшается; уменьшается и знаменатель
выражения A2.2). Но тогда VQ возрастает, т. е. через данный канал
начинает проходить еще большее количество холодного газа.
Таким образом, равномерность газораспределения греющегося
(холодного) газа в системе горизонтальных каналов абсолютно
неустойчива. Малейшие колебания температуры или скорости газа в
каком-нибудь из каналов приводят к прогрессирующей
неравномерности распределения потоков газа.
Изложенное выше позволяет сделать ряд выводов. Прежде
всего следует указать на то, что к результатам анализа, выполненного
с использованием уравнений изотермического течения,
необходимо относиться очень осторожно. Они могут оказаться и верными,
как это имело место для потока охлаждающегося (горячего) газа,
но могут и не иметь никакого отношения к действительности, т. е.
быть совершенно ложными. Далее, можно сделать и практические
рекомендации, сводящиеся к тому, что нагревающиеся (холодные)
газы ни в коем случае нельзя пускать по системе горизонтальных
параллельных каналов. В то же время для охлаждающихся сред
горизонтальные каналы весьма удобны. Наконец, можно
математически сформулировать условия устойчивости распределения газа
по каналам: с ростом Т2 скорость Vo горячих потоков должна
уменьшаться, а холодных — возрастать, т.е. dVQ2/dT2<0 — для
охлаждающихся газов; dV02/dT2 > 0 — для нагревающихся газов.
В условиях рассматриваемого примера справедливость
вышеприведенных неравенств ясна сразу. Однако для наглядности
продифференцируем уравнение A2.2) и запишем производную
квадрата скорости по температуре
<*Т2 Рог
Т-2
Легко видеть, что первое неравенство выполняется, а второе — нет.
Отметим, что в керамических рекуператорах методических
нагревательных печей продукты горения из рабочего пространства
проходят именно по горизонтальным каналам. В свете
изложенного выше причина такой конструкции рекуператора становится
совершенно ясной.

1. Распределение потоков газа 345
Вертикальные каналы. Здесь геометрическое давление
переменно по высоте канала, поэтому закономерности распределения
потоков будут определяться не только перепадом давления, но и
геометрическим давлением.
Рассмотрим систему двух вертикальных каналов (рис. 12.2, б).
Пусть в направлении сверху вниз от сечения / к сечению 2
движется поток газа. Записав для этих сечений уравнение Бернулли
в форме D.71), получим
Р\ +2PrV* = Л + ^Рг^22 +(Ра -рг)«Я + Дрпот,
откуда при V{ = V2 р} -р2 = (ра- pr)gH+ Apnoj. Напомним, что в
уравнении (8.40) высота положения Н отсчитывается сверху вниз,
т.е. геометрически Я отрицательно. Поэтому вышезаписанное
равенство означает, что в данном случае необходимо располагать
перепадом давления, который обеспечит не только преодоление
сил трения и местных сопротивлений, но и геометрического
давления, так как оно препятствует движению сверху вниз.
Обратим течение газа, пустив его снизу вверх. Тогда путем
аналогичных выкладок находим р2 — р^ = -(ра - pr)gH + А/?пот, т. е. здесь
геометрическое давление способствует движению.
Таким образом, в отличие от горизонтального расположения
в системе вертикальных параллельных каналов существенную роль
играет геометрическое давление, причем его влияние различно при
нисходящем и восходящем движениях газа.
Проверим, как обстоит дело с устойчивостью равномерности
распределения газа по каналам в данном случае. Пусть сверху вниз
движется горячий газ, и пусть в некоторый момент времени через
какой-то канал его пошло больше. Тогда этот канал нагреется
сильнее, плотность газа уменьшится и геометрическое давление
возрастет. Но геометрическое давление препятствует движению,
поэтому расход газа в данном канале опять уменьшится до
прежнего уровня. При движении горячего газа снизу вверх такого
самовосстановления расхода не произошло бы, так как
геометрическое давление здесь наоборот способствует движению. В
последнем случае, по-видимому, неравномерность распределения,
однажды возникнув, будет прогрессивно развиваться.
Пустим теперь сверху вниз холодный (нагревающийся) газ.
Очевидно, что если через какой-то канал пройдет больше газа, то
этот канал сильнее охладится, плотность газа увеличится и
геометрическое давление упадет. Но тогда неравномерность
распределения еще более усилится, т. е. будет прогрессировать. Ясно, что

346 Глава XIL Особенности движения газа в пенах
такого не произойдет при движении холодного газа снизу вверх,
так как здесь геометрическое давление способствует течению и в
случае его уменьшения расход газа снижается.
Из этих примеров легко уяснить сущность правила деления
потоков СВ. Лукашевича—В.Е. Грум-Гржимайло, согласно
которому потоки остывающих (горячих) газов надо направлять сверху
вниз, а потоки нагревающихся (холодных) — снизу вверх.
Внимательный читатель легко заметит, что при всей
правдоподобности и логичности приведенных рассуждений они не вполне
удовлетворительны. В самом деле, заключения о свойствах
неизотермических потоков сделаны, исходя из уравнений
изотермического течения. Кроме того, в этих рассуждениях предполагалось,
что при изменении температуры и расхода газа сопротивление
канала АрпоТ не изменяется.
Попробуем установить пределы применимости правила
Лукашевича—Грум-Гржимайло. Запишем, как и в случае
горизонтальных каналов, уравнение Бернулли в дифференциалах, причем опять
будем полагать, что плотность газа зависит лишь от температуры:
dL = O. A2.3)
Пусть длина канала /0, на входе в канал параметры газа равны:
р = pv T= Tv а на выходе р = pv T= Тг Проинтегрируем
выражение A2.3) по длине канала. Интегралы ряда слагаемых уже
известны из выкладок, проделанных для горизонтальных каналов:
о
•М) ^0
Третье слагаемое выражения A2.3) проинтегрируем в
предположении линейного изменения температуры по длине канала:
'0 / HP \ 'О J ТТ
fl i() irr j rp f с*j7
I I r a rOr nr» lo rao 0 г Ого 0 I nn /rri rr< \ yt / i
ol T) iT\-\rx-T2)H /l0

1. Распределение потоков газа 347
В итоге получаем
= 0. A2.4)
Теперь мы располагаем всеми соотношениями, необходимыми
для выполнения анализа.
Охлаждающийся газ. Здесь р1 >р2 и Тх > Т2. Решим
уравнение A2.4) относительно Vo2:
Рог L {Т2~Т\
Мы видим, что, как и ранее, при движении сверху вниз помимо
сопротивления канала газ преодолевает геометрическое давление,
которое препятствует движению.
Условие устойчивости равномерности распределения потока
газа по каналам нам уже известно: dVQ2/dT2 < 0. Выполнив
дифференцирование, получим
хЫл_д_Г-Рй&
или после некоторых преобразований
1 rJ

348 Глава XII. Особенности движения газа в пенах
Следовательно, равномерность газораспределения будет
устойчивой, если выполняется неравенство
Т2 - Т{ - Т2 In Tjl
*
A2.5)
Величина правой части неравенства A2.5) во многом
определяется выражением в скобках, стоящим в числителе. Можно
показать, что Т2 — Г, - Т2 In (Т2/Тг) < 0. Действительно, это выражение
является производным по Т2 от слагаемого, пропорционального
среднеинтегральному значению плотности газа:
: Porg^O in Т2 = 21 Рог^О = д1 Р0тТ0 _ д1 о
7т гр rji О 0 (rri rrt \ / | /rwi I rpi \ 0*0 ПН О Or *
f2~Ji 7i Иг™-1!;/ Ш\Л2
Поскольку с увеличением температуры плотность газа
уменьшается, то числитель выражения A2.5) всегда отрицателен, т. е.
неравенство A2.5) выполняется всегда, так как оно сводится к
выражению VQ2 > -А. Иными словами, система вертикальных параллельных
каналов обеспечивает абсолютно устойчивую равномерность
распределения горячих (охлаждающихся) газов, если поток газа нисходящий.
Изменим направление движения газа на обратное. Для
восходящего потока горячих газов в итоге получим выражение, совпадающее
с неравенством A2.5) с точностью до знака правой части (знак
изменится на противоположный). Но числитель правой части
выражения A2.5) отрицательный, поэтому для восходящего потока в
правой части неравенства будет стоять положительная величина. Это
означает, что до тех пор, пока квадрат скорости движения газа в
канале не превысит значения, определяемого правой частью
неравенства, равномерность распределения будет неустойчивой; в противном
случае получим устойчиво равномерное распределение потока
восходящих горячих газов в системе вертикальных параллельных каналов.
Сказанное иллюстрируется рис. 12.3, на оси ординат которого
отложена скорость Vo, разделяющая области равномерного (/) и
неравномерного (II) прогрева каналов насадки доменного
воздухонагревателя, а на оси абсцисс — температура дыма на выходе из
насадки Т2. В расчетах принято /0 = 20 м, D= 60 мм, ?вых = 2,
температура дыма на входе Тх = 1000, 1200 и 1500 °С. Из рисунка
видно, что чем выше температура дыма на входе в насадку, тем ниже
лежит граница раздела, т. е. тем при более низких скоростях можно
обеспечить равномерное распределение греющих насадку газов при
подаче их снизу.

7. Распределение потоков газа
349
Рис. 12.3. Зависимость скоростей,
разделяющих области равномерного (/)
и неравномерного (//) нагрева
системы вертикальных параллельных
каналов при подаче охлаждающихся
(горячих) газов снизу, от
температуры, °С: 7 - 1000; 2 - 1200; 3 - 1500
Vo, м/с
^>^ 7 2 3
1 !
/
200
300 400 500 Г/С
Нетрудно установить причину отклонения поведения
охлаждающихся (горячих) газов от правила Лукашевича—Грум-Гржимай-
ло. При больших температурах и расходах горячего газа
сопротивление канала настолько велико по сравнению с геометрическим
давлением, что последнее уже не оказывает никакого влияния на
характер движения потока.
Нагревающийся газ. Прежде чем выяснить, как обстоит
дело с потоком холодного газа, припомним, какие допущения
были использованы ранее.
Основное из принятых допущений состояло в том, что
плотность газа и его скорость зависят лишь от температуры, но не от
давления. Справедливо ли это допущение? По-видимому, да. Дело
в том, что продукты сгорания движутся под действием тяги
дымовой трубы или дымососа. Абсолютное давление газа меньше
атмосферного и изменяется незначительно. Поэтому вполне
допустимо не учитывать зависимость рг и Кот давления.
Совсем другие условия имеют место при движении через каналы
нагревающейся (холодной) среды. Чтобы «протолкнуть» холодный
воздух через систему каналов, используют компрессоры,
турбовоздуходувки и другие устройства. Абсолютное давление дутья,
проходящего, например, через насадку доменного воздухонагревателя,
достигает 3,5 • 105 Па и более. Естественно, что в этом случае говорить
о незначительности влияния давления было бы более чем странно.
Воспользуемся поэтому уравнением газового состояния в формах:
тогда
2Рг Рог2Го

350 Глава XII. Особенности движения газа в пенах
Следовательно,
0 " *0 \У2 i
и рр /?2 значительно больше атмосферного давления, но друг от
друга отличаются сравнительно мало. Чтобы не усложнять анализ,
примем, что рх~ р2= р, где р — некоторое среднее давление в канале.
Выполняя преобразования, полностью аналогичные изложенным
выше, получим для случая движения холодного газа снизу вверх
V
0
0 ~
т
Условие равномерного охлаждения каналов требует, чтобы
через более горячий канал проходило больше нагревающегося газа,
а через более холодный канал — меньше. Это означает, что
dV02/dT2 > 0. Выполняя дифференцирование, после
преобразований получаем неравенство
Можно показать, что 1 - TJT2 + ]п(Т{/Т2) < 0. Это означает, что
в правой части неравенства для квадрата скорости стоит
положительная величина. Следовательно, равномерность распределения
нагревающегося газа даже при его движении снизу вверх будет
устойчива лишь до определенных скоростей. В частности, для той
же насадки, что и в случае рис. 12.3, но в режиме нагрева газовой
среды, т. е. при /0 = 20 м, D = 60 мм, ?вых = 2 и Г, = 1000 °С, можно
получить зависимость скорости газа от температуры на выходе из
канала Г2, разделяющую области равномерного устойчивого (/)
и неравномерного (//) охлаждения каналов. Она представлена на
рис. 12.4. Из рисунка видно, что с возрастанием температуры
нагрева дутья допустимые скорости (обеспечивающие равномерное
охлаждение насадки) уменьшаются. С ростом давления в
воздухонагревателе, наоборот, допустимые скорости возрастают.
Допустимые скорости уменьшаются для высоких насадок с малыми
каналами или каналами большого сопротивления.

2. Устройство и работа вентиляторов
351
Рис. 12.4. Скорости, разделяющие области
равномерного (/) и неравномерного (//)
охлаждения системы вертикальных
параллельных каналов при подаче холодного
воздуха снизу при давлении в канале, 105 Па:
1- 2,943; 2- 1,962; 3- 0,981
800 1200 Т, °С
Если теперь обратить движение воздуха, т. е. пустить его сверху
вниз, то изменится лишь знак у геометрического давления. Это
приведет к смене знака на плюс в неравенстве A2.7). Но тогда
получается соотношение Vo2 < -В, причем В > 0. Оно никогда не
выполняется, т. е. в системе вертикальных параллельных каналов
равномерность распределения нисходящих холодных (нагревающихся)
газов абсолютно неустойчива.
Таким образом, легко видеть, что и для вертикальных каналов
рекомендации, сделанные на основе анализа уравнений
изотермического течения, оказались не вполне удовлетворительными.
В случае с движением нагревающейся (холодной) среды это
особенно важно, так как согласно анализу очень трудно добиться
равномерного распределения холодного воздуха по каналам, даже если
поток этого воздуха восходящий.
Рассмотренные выше примеры носят иллюстративный
характер, так как при выполнении анализа мы постулировали линейное
изменение температур по длине (высоте) канала; в принципе оно
может быть произвольным. Однако полученные результаты весьма
важны; они со всей убедительностью показывают, что правильное
описание движения газов в металлургических печах может быть
получено лишь при учете имеющего в них место поля температур.
2. УСТРОЙСТВО И РАБОТА ВЕНТИЛЯТОРОВ
Вентиляторы являются самыми распространенными
устройствами, применяемыми для перемещения газообразных сред при
относительно низких давлениях. Можно гордиться тем, что
вентиляторы были изобретены в России A835 г.) и впервые были
применены для вентиляции серебряных рудников на Алтае, на
сахарных заводах страны. За свою почти 170-летнюю историю эти
устройства настолько внедрились в промышленность и быт, что

352
Глава XII. Особенности движения газа в пенах
сейчас вентиляторы являются одним из наиболее
распространенных аппаратов.
По рекомендации СЭВ 3649-72 воздуходувные машины,
обеспечивающие полное давление до 30 кПа, относятся к
вентиляторам. В настоящее время наиболее распространены радиальные
(центробежные) и осевые вентиляторы.
Радиальный вентилятор (рис. 12.5) состоит из спирального
корпуса (кожуха или улитки) с входным и выпускным отверстиями,
рабочего колеса турбинного типа с лопатками, расположенными
в корпусе. Колесо через вал соединено с электродвигателем 6,
установленным на станине 5. В некоторых случаях связь двигателя
с колесом осуществляется через клиноременную передачу.
Работа радиальных вентиляторов основана на превращении
центробежных (массовых) сил в силы поверхностные (статическое
давление). Это достигается вращением рабочего колеса, в
результате чего газовая среда, увлекаемая лопатками, приобретает
энергию и скорость, равную скорости движения лопаток, и затем
направляется к выхлопному патрубку. При этом у всасывающего
патрубка создается разрежение, за счет чего и обеспечивается
непрерывное движение среды через аппарат.
В зависимости от создаваемого давления радиальные
(центробежные) вентиляторы в соответствии с ГОСТ 5976-73
классифицируют на вентиляторы низкого давления A000 Па), среднего
давления (до 3000 Па) и высокого давления (до 15 000 Па).
Осевой вентилятор (рис. 12.6) состоит из кожуха, рабочего
колеса с лопастями. В отличие от центробежного у осевого вентилятора
лопасти располагаются радиально и имеют форму, близкую к
форме пропеллера. Рабочее колесо осевого вентилятора, как правило,
4 3
2 I
Рис. 12.5. Радиальный
(центробежный) вентилятор: 1 — кожух;
2 — рабочее колесо; 3 — лопатки
рабочего колеса; 4 — ось
вентилятора; 5 — станина; 6 —
электродвигатель; 7—выхлопной
патрубок; 8— фланец всасывающего
патрубка

2 Устройство и работа вентиляторов 353
Рис. 12.6. Осевой вентилятор: 1 — кожух; 2 —
рабочее колесо; 3 — лопасти; 4 —
электродвигатель
устанавливается на валу электродвигателя. При вращении
рабочего колеса объемам газа сообщается ускорение за счет удара быстро
вращающихся лопастей, в результате чего газовая среда
перемещается в осевом направлении. Средняя скорость ее при преодолении
небольших аэродинамических сопротивлений равна
приблизительно 0,25 окружной скорости лопасти.
Осевые вентиляторы имеют ряд преимуществ перед
радиальными. Они просты по конструктивному оформлению, обладают
меньшей металлоемкостью (массой на единицу мощности),
позволяют достигать более высоких к.п.д. за счет относительно
малых внутренних потерь, они реверсивны, т. е. обеспечивают
движение воздуха в прямом и обратном направлениях при изменении
направления вращения рабочего колеса.
В практике работы металлургических печей более
распространены радиальные вентиляторы. Они широко применяются для
нагнетания воздуха, используемого для горения различных топ-
лив, для обеспечения циркуляции газов, для отсоса продуктов
сгорания, запыленных газов и в других случаях.
Осевые вентиляторы, как развивающие большую
производительность при относительно низком запасе энергии,
используются только при ремонтах печей для организации ускоренного
охлаждения, а также для вентиляции рабочих мест с мощными
источниками тепловыделения во время выпуска металла из печей и пр.
Поэтому основное внимание следует уделить особенностям
работы радиальных вентиляторов. Наибольший интерес
представляет характеристика вентилятора, которая устанавливает связь
между упругостью дутья р и производительностью вентиляторов Q
при данной конструкции и определенном числе оборотов
рабочего колеса п (рис. 12.7). В характеристике вентилятора существуют
особые точки: а — холостого хода и b — холостого расхода. Первая
имеет координату Р = Ртах и 0 = 0, что означает: вся энергия,
max
23-3546

354
Глава XII. Особенности движения газа в печах
^ N jy
у/
Рис. 12.7. К анализу работы
вентилятора: 1 — характеристика
вентилятора; 2 — характеристика сети
6i Q2 Q
подведенная к рабочему колесу, расходуется на создание
статического давления при нулевом расходе через вентилятор. Такой
режим работы вентилятора наблюдается, если полностью закрыть
сечение выхлопного патрубка. Вторая точка Ъ с координатами р = О
и 0= Qmax характеризует такой режим, при котором вентилятор
работает самостоятельно (без подключения к какой-либо сети или
устройству). При этом энергия, подведенная на вал рабочего
колеса, расходуется на перемещение газовой среды и компенсацию
потерь при движении этой среды через сам вентилятор. Все
возможные рабочие варианты лежат между этими точками и
определяются положением линии р =/@).
Характеристика вентилятора зависит от конструктивных
особенностей вентиляторной установки, режима ее работы (числа
оборотов вращения колеса), условий работы (нагнетание, отсос,
плотность газа, схемы соединений).
Полное давление, создаваемое вентилятором, зависит от
конструкции вентилятора и его рабочего колеса, окружной скорости
колеса и и плотности транспортируемой газовой среды р:
Здесь |и — манометрический коэффициент, характеризующий
степень достижения предельно возможного, теоретического давления.
Обычно ц зависит от конструкции колеса и лопаток на нем.
Значения ц лежат в пределах 0,8 + 0,9.
Окружная скорость может быть выражена через число
оборотов л, об/мин, и диаметр колеса d9 м, тогда и = ndn/60 м/с, и
величина полного давления будет равна: /?полн = цтА/2л2р/602, или
Таким образом, полное давление, создаваемое вентилятором,
пропорционально плотности, квадратам диаметра колеса и числа
оборотов. После введения обозначения кх = kd2p можно записать

2. Устройство и работа вентиляторов 355
/>полн = М2. A2.9)
Если требуется получить иное давление, например р'полн, то
число оборотов следует изменить до р'пош = кхп2. Из последних двух
соотношений следует
п2/п?, A2.10)
т. е. отношение полных давлений, создаваемых вентилятором в
разных режимах, равно отношению квадратов числа оборотов. Это
значит, что для увеличения давления, например вдвое, число
оборотов следует увеличить в V2 = 1,41 раза, или при увеличении
числа оборотов вдвое полное давление будет увеличено в 4 раза.
Производительность вентилятора зависит, кроме параметров,
определяющих полное давление, также и от площади
эквивалентного отверстия 5э, имеющего аэродинамическое сопротивление,
равное сопротивлению сети, на которую работает вентилятор. Эта
связь выражается формулой Q = B)l/2iiS3ndn/60 или, если
объединить все постоянные, к2 = B)l/2\iS3nd/6Q, то
Q = k2n, A2.11)
т. е. количество воздуха, проходящего через вентилятор,
изменяется прямо пропорционально числу оборотов. При увеличении
производительности вентилятора вдвое число его оборотов
следует также увеличить в 2 раза, что следует из формулы
Q/Q^n/nr A2.12)
Потребляемая вентилятором мощность зависит от
производительности вентилятора и того полного давления, которое
создается при перемещении газовой среды. Работа по перемещению
газа будет равна А = Q рполн, а мощность
N = QpaoJW2. A2.13)
Используя соотношения A2.9) и A2.11), можно получить
N = k3n3. A2.14)
Здесь къ = кх- /;2/102. Согласно этой зависимости увеличение числа
оборотов в 2 раза приведет к росту мощности, потребляемой
вентилятором, в 8 раз.
Работа вентилятора, как и работа любой машины,
характеризуется коэффициентом полезного действия — г|. Изменения
мощности N9 к.п.д. г| показаны на том же рис. 12.7. Приведенные на этом
рисунке зависимости недостаточны для анализа системы, состоящей
из вентилятора и сети, которую он обслуживает. Поэтому указанные

356 Глава XII. Особенности движения газа в пенах
зависимости должны быть дополнены характеристикой сети,
устанавливающей связь между аэродинамическим сопротивлением
сети и расходом (производительностью) газа в ней, т. е. ApL =/(Q.
Характеристика сети учитывает все виды сопротивлений на пути
движения потока, например при нагнетании от выхлопного
патрубка вентилятора до конечного сечения сети, на которую
работает вентилятор, и рассчитывается при разных расходах потока
через сеть. Уравнение, описывающее характеристику сети, близко
к уравнению параболы. Располагая характеристикой сети, можно
легко определять потери давления в сети при данном расходе
потока или же решать обратную задачу — находить расход потока
при заданной потере давления. Характеристики вентилятора и сети
(см. рис. 12.7) при своем пересечении образуют еще одну особую
точку с, отражающую условия устойчивой совместной работы
системы. Действительно, если условия работы системы будут
характеризоваться точками с,' и с," при производительности Qv то
полное давление /?'полн (точка с") будет больше сопротивления сети
A/?,'z (точка с,'). Это значит, что избыток энергии в вентиляторе
будет расходоваться на перемещение большего количества газа,
что приведет к росту аэродинамического сопротивления. Такой
нестационарный режим в работе системы будет существовать до
тех пор, пока полное давление и сопротивление при новой
производительности не выравняются. На рис. 12.7 это проявится в
перемещении точек с,' и с" по своим характеристикам до их
совмещения, т. е. до точки с. Условия работы системы, характеризуемые
точками с2' и с2", вообще нереальны, так как в этом случае полное
давление, которое может обеспечить вентилятор р2полн> меньше
сопротивления сети Д/?2Г и переместить данное количество газа Q2
вентилятор попросту не сможет.
Таким образом, чтобы изменять условия работы системы,
менять производительность, давление газовой среды у потребителя,
необходимо найти такие меры, которые воздействовали бы либо
на характеристики сети, либо на характеристики вентилятора,
сохраняя каждый раз устойчивой работу всей системы.
В настоящее время для регулирования параметров газовой
среды используются четыре способа воздействия на характеристики
совместной работы вентилятора и сети.
Рассмотрим их на следующем примере. После устойчивой
работы в некотором режиме требуется перейти на новый режим с
более низкой производительностью. Этот случай довольно
распространен; он встречается на практике всякий раз, когда в процессе
работы металлургической печи уменьшается расход топлива, что

2 Устройство и работа вентиляторов
357
и вызывает необходимость уменьшить подачу воздуха на печь, т. е.
снизить производительность вентилятора.
1. Изменение характеристики сети за счет изменения ее
сопротивления с помощью дроссельной заслонки (рис. 12.8, а) или
шибера. При повороте заслонки в положение б увеличивается
аэродинамическое сопротивление этого участка воздухопровода,
а характеристика сети перемещается в сторону больших давлений
дутья и меньшей производительности. Новые условия будут
соответствовать точке сг Положение этой точки относительно
прежней характеристики позволяет заключить, что значительная часть
энергии воздушного потока расходуется на преодоление
сопротивления дроссельной заслонки, которое характеризуется
отрезком ординаты с2- с2'. Естественно при этом будет повышена в
соответствии с уравнением A2.13) и потребляемая вентилятором
мощность.
2. Изменение числа оборотов рабочего колеса вентилятора
(рис. 12.8, б). При этом в зависимости от числа оборотов рабочего
QiQi Q
Q3Q2Q1 Q
Рис. 12.8. Регулирование работы вентилятора изменением сопротивления
(дросселированием) сети (а), изменением числа оборотов (б), изменением
поворота жалюзи (в), комбинированным способом (г)

358 Глава X1L Особенности движения газа в пенах
колеса п подвергается изменению характеристика вентилятора,
а характеристика сети остается неизменной. Характеристики
вентиляторов, меняясь, остаются практически параллельными друг
к другу. Соответствия новым условиям работы вентилятора,
отмеченные на рисунке точками ср с2, с3, будут достигнуты при более
низких числах оборотов рабочего колеса. Этот способ
регулирования расхода воздуха является наиболее экономичным, так как для
требуемых условий сети всегда подбираются соответствующие
параметры работы вентилятора.
3. Изменение площади свободного сечения всасывающего
патрубка, достигаемого поворотом лопаток жалюзи. При этом, как
и в предыдущем случае, характеристика сети остается прежней,
а изменяется лишь характеристика вентилятора (рис. 12.8, в). Эти
изменения не касаются точки холостого хода я, которая при
любой степени закрытия жалюзи сохраняет свою ординату при
прочих равных условиях. Точка же холостого расхода б при
регулировании с помощью жалюзи будет «плавать» от Q = 0 до Q = Qmax.
Характеристики вентилятора в этом случае «веером» расходятся из
точки а. Таким образом, всегда можно подобрать такую степень
закрытия жалюзи, при которой достигаются устойчивые условия
работы вентилятора и сети, отображаемые точками с.(/ = 1, 2, 3) на
рис. 12.8, в.
4. Этот способ, по существу, является комбинированным, так
как использует идеи предыдущих двух (рис. 12.8, г). Воздействие
на характеристики вентилятора осуществляется «грубо»
изменением числа оборотов (например, при переключении обмотки с
«треугольника» на «звезду»), а в пределах данного числа оборотов —
изменением степени закрытия жалюзи. Следовательно, всегда
могут быть подобраны параметры работы вентилятора в новых
условиях: точки с.(/= 1, 2, 3) на рис. 12.8, г.
Наиболее широко в заводских условиях применяется первый
способ, несмотря на его неэкономичность. Решающую роль в его
распространении сыграли простота и высокая надежность
регулирования расхода.
В практике работы металлургических печей могут возникнуть
ситуации, когда один вентилятор не может обеспечить работу сети
по заданным параметрам упругости дутья и производительности.
В таких случаях прибегают к использованию нескольких
вентиляторов, соединяя их параллельно или последовательно.
При параллельном соединении (рис. 12.9, а) вентиляторы могут
иметь различные характеристики. Их суммарная характеристика
определяется сложением производительностей каждого вентилятора

2. Устройство и работа вентиляторов
359
Рис. 12.9. Совместная работа двух вентиляторов при их параллельном
соединении: а — схема соединения; б — характеристики вентиляторов
и сети
при одной и той же упругости дутья, так как давление,
развиваемое вентиляторами при их параллельной работе, всегда одинаково.
Если характеристика сети представлена линией /, то из анализа
рис. 12.9, б следует, что режимы работы вентиляторов при
совместной работе (точка А) существенно отличаются по
производительности от режимов работы вентиляторов, характерных для
одиночной работы каждого вентилятора (точки Ах и А2). Такого рода
различие наблюдается при всех характеристиках сети, лежащих
вправо от характеристики сети, представленной кривой //. При
дальнейшем увеличении крутизны характеристики (кривая ///)
параллельная работа вентиляторов на одну сеть нецелесообразна,
так как один вентилятор 2 может обеспечить большую
производительность, чем оба вентилятора при совместной работе. Если
сохранить условия совместной работы (кривая ///), то это приведет
к тому, что воздух будет двигаться через вентилятор 1 в обратном
направлении, чем и объясняется снижение суммарной
производительности. Следует отметить, что при включении в параллельную
работу двух вентиляторов с одинаковыми характеристиками
отмеченные выше особенности не наблюдаются, а ограничения отпадают.
При последовательном соединении (рис. 12.10, а) вентилятор 1
подключается к всасывающему патрубку вентилятора 2, последний
выдает воздух в сеть. Суммарная характеристика в этом случае
строится с учетом того, что производительность вентиляторов
одинакова, а общее давление равно сумме давлений, развиваемых
каждым вентилятором при совместной их работе. При характеристике
сети, представленной линией /, рабочее состояние системы будет
характеризоваться параметрами точки А: производительность
будет несколько больше, чем производительность любого из двух
вентиляторов при раздельной их работе на ту же сеть, при этом

360
Глава XII. Особенности движения газа в пенах
Рис. 12.10. Совместная работа двух вентиляторов при их
последовательном соединении: а — схема соединения; б — характеристики
вентиляторов и сети
существенно возрастает давление на выходе вентилятора 2 Такое
положение будет соблюдаться для всех характеристик сетей,
лежащих влево от характеристики сети //. Рабочая точка В
характеризует предельный случай, когда эта точка совпадает с рабочей
точкой этой же характеристики сети и вентилятора 2 Отсюда следует,
что в этом случае производительность вентиляторов при их
последовательной работе будет равна производительности только одного
вентилятора 2; другой вентилятор G) не развивает при этом
давления, т. е. работает с нулевой производительностью, хотя и
потребляет значительную мощность. Из этого анализа следует
важный вывод: для характеристик сети, расположенных вправо от
характеристики //, последовательная работа вентиляторов с
данными характеристиками неэффективна.
Более глубокий анализ рациональности использования
вентиляторов, работающих в системах с параллельным или
последовательным их соединением, должен выполняться с привлечением
данных об изменении к.п.д. вентиляторов в зависимости от
производительности и способа соединения. Так, при параллельной
работе вентиляторов
Ч=~ ,gl+? , , 02.15)
а при последовательной —
/чполн "*" /*2полн
Яполн /Ч+Лполн/Лг
A2.16)

2 Устройство и работа вентиляторов 361
Выбор вентиляторов осуществляется по величинам, полученным
в результате расчета или задания Q и Арг При расчете
сопротивлений сети учитываются все сопротивления от выхлопного патрубка
вентилятора до конечного сечения сети. Например, для
воздухопровода, предназначенного для подачи воздуха в печь, таким
сечением является «срез» горелки в случае отопления печи газом с
помощью горелок низкого давления. Естественно, выбор вентилятора
должен быть проведен с учетом условий, связанных с
эксплуатацией вентиляторной установки: уровня шума, расположения
спирального корпуса, способов соединения и пр.
Величина Q должна соответствовать фактическому объему
перемещаемых газов. Так, для горячих газов с температурой Т.
Qp=QJ/273. A2.17)
Давление вентилятора при отличии плотности газа от
стандартной, за которую принята плотность воздуха р0 = 1,2 кг/м3, должно
быть пересчитано по формуле
A2.18)
Расчетные значения Q и р и являются исходными данными
для выбора вентиляторов.
Для подбора вентиляторов используются каталоги, в которых
указаны параметры работы и типоразмеры различных
вентиляторов, универсальные характеристики конкретных вентиляторов при
различных частотах вращения, обезличенные характеристики с
номограммами, безразмерные характеристики, диаграммы на основе
критериев быстроходности и габаритности.
В качестве безразмерных характеристик используются (ГОСТ
10921-74): ,{%(f ч
коэффициент производительности — ф = Q \ —— \и; о
коэффициент давления — \|/ = р/(ри2/2); ' ^ '
коэффициент мощности — X = 1000 N/(pu3/2).
В последнее время в практику оценки условий работы
вентиляторов внедряются критерии быстроходности
и габаритности
иу - и //полн/ М ,
применение которых, наряду с коэффициентами
производительности и давления, обеспечивает выбор вентилятора для
обслуживания той или иной сети.

362 Глава XIL Особенности движения газа в пенах
3. ДЫМОВЫЕ ТРУБЫ, РАБОТА И РАСЧЕТ
Подавляющее большинство металлургических печей,
особенно нагревательных, оборудовано для эвакуации продуктов
сгорания из рабочего пространства дымовыми трубами. Кроме того,
дымовые трубы решают и экологическую задачу, рассеивая
вредные примеси на удалении от земной поверхности и уменьшая тем
самым приземные концентрации вредных веществ.
Работа дымовой трубы основана на действии геометрического
давления, создаваемого горячими газами, находящимися в трубе.
Это давление расходуется на преодоление сопротивлений от
рабочего пространства до основания дымовой трубы, включая поворот
газов в дымовую трубу, а также на преодоление сопротивления
самой трубы, включая выход в атмосферу.
Высота дымовой трубы, таким образом, будет определяться
величинами сопротивлений дымового тракта и самой трубы. Для
получения расчетной формулы запишем уравнение Бернулли
в форме D.70) для сечений 7 и 2, полагая при этом, что
температура в трубе постоянна и равна средней величине между
температурами газа внизу (у основания) и вверху (у устья) трубы (рис. 12.11):
Р] +0,5^ + (рат -pr)Hg = р2 +0,5РгК22 + Дрпот A2.19)
или
-Pr)= Рг ~ Л +0>5рг W -Vi2) + A/W A2.20)
Здесь Hg (рат - рг) — геометрическое давление, создаваемое
дымовой трубой высотой Н\ р2-р1=рр — характеризует разрежение у
основания дымовой трубы; 0,5рг( V22 — К,2) указывает величину
изменения кинетической энергии газа при его движении в
конической трубе, а Арпт определяет потери энергии газа на трение при
его движении в трубе и выходе в атмосферу:
А/;пот = ^(Я/^срH,5Кс2ррг+С0,5р2К22. A2.21)
В последнем выражении средний диаметр дымовой трубы dcp,
как и скорость газа Vc, вычисляется среднеарифметически,
например, dcp = (dx + d2)/2; ? — коэффициент местного
сопротивления при выходе газов в атмосферу.
Нормальная работа печи будет обеспечена, если величина
разрежения у основания дымовой трубы будет больше или равна
сумме всех сопротивлений на пути движения газов до их
попадания в трубу, т. е. р2-р1> Арг С учетом этого обстоятельства
после соответствующих подстановок и преобразований из A2.20)
может быть получена формула для расчета высоты дымовой трубы Н:

3. Дымовые трубы. Работа и расчет
363
. A2.22)
Получение результата по этой формуле затрудняется тем, что
величины Г2, Тср зависят от высоты дымовой трубы, так как газ по
мере подъема остывает.
Для определения размеров дымовой трубы (высоты и
диаметров) необходимо располагать: расходом дымовых газов с учетом
подсосов по тракту — (?, м3/с, плотностью газов — рОг, кг/м3,
температурой газов у основания дымовой трубы — Т} и суммарными
потерями энергии газового потока — pz9 Па.
Методика расчета дымовой трубы сводится к следующему:
1. Поскольку в процессе эксплуатации аэродинамическое
сопротивление дымового тракта увеличивается из-за заноса каналов
пылью, роста подсосов холодного воздуха через неплотности печи,
необходимости форсирования работы печи, то величину A/?z
принимают на 20-30 % больше расчетной, т. е. Apz = A,2+1,3)р0.
2. Диаметр основания дымовой трубы определяется из
условия, что в этом сечении скорость газов должна быть равной
VQl = 1-2 м/с. Таким образом, dx = [4Q/(nV0l)]1/2 м.
3. Диаметр устья трубы определяется по подобной формуле,
однако скорость газа в устье принимается в пределах V02 = 3-5 м/с.
Меньшие скорости нежелательны, так как может иметь место
заброс атмосферного воздуха в трубу при сильных порывах ветра, а
при более высоких скоростях значительно возрастают потери
энергии при выходе газа в атмосферу. Следовательно, d2 = [4Q/(nVQ2)y/2.
Отметим, что d2 не может быть меньше 0,8 м по конструктивным
соображениям кладки и ремонта.
4. Определение температуры газа у устья трубы зависит от
уровня тепловых потерь в трубе. Опытные
данные характеризуют следующие гради-
енты температур на 1 м высоты трубы —
AT, К/м:
кирпичные — 1+1,5;
металлические футерованные — 2+3; j
металлические без футеровки — 3+4.
Для расчета Т2 используется формула Т2—
= Тх— АТН. Величина Я в ней принимается
Рис. 12.11. Схема дымовой трубы
2
Par
тв


364
Глава XII. Особенности движения газа в печах
Рис. 12.12. Номограмма Для
предварительного определения
высоты дымовой трубы
ориентировочно по данным на рис. 12.12. Найденное значение Т2
вместе с Тх позволяет рассчитать Тср.
5. Температура окружающего воздуха у основания дымовой
трубы Г осн зависит от климатических условий: для умеренного
климата она принимается 278-5-293 К, для жаркого — 288-5-298 К,
и для холодного — 263-5-283 К. Для высоких труб эта температура
снижается по мере приближения к устью. Средняя температура
окружающего воздуха может быть найдена с помощью формулы
Г = !Гвосн + 0,5Я|/2, в которой величина Я предварительно
задается.
6. Коэффициент сопротивления трению можно принять для
кирпичных каналов X = 0,05; для металлических (без футеровки)
труб X = 0,03-5-0,04. Величина ? для дымовых труб обычно равна 0,06.
7. Плотность воздуха рОат и газа рОг принимается для
стандартных условий, причем последняя либо рассчитывается по
составу газа, либо принимается для продуктов сгорания равной
рОг = 1,34 кг/м3. Плотность рОат = 1,29 кг/м3.
Подготовленные в соответствии с этой методикой данные
используются для расчета высоты трубы Я. Если рассчитанная
величина Я оказывается меньше или больше задаваемой при
определении Т2 и других величин, то методами последовательного
приближения добиваются равенства указанных величин.
Расхождение между рассчитанными и задаваемыми значениями Я можно
допустить в пределах 5%.

3. Дымовые трубы. Работа и расчет 365
Окончательно высота дымовой трубы выбирается с учетом
санитарно-гигиенических требований по нормам проектирования
промышленных предприятий. В соответствии с ними трубы не
сооружаются высотой менее 16 м; при наличии зданий высотой
15 м и более в радиусе 200 м высота трубы выбирается не менее
45 м. Следует также учитывать агрессивность газов, удаляемых
через трубу, их температуру, возможность развития коррозионных
явлений и т. п. Эти и другие особенности определяют
конструкцию трубы как строительного сооружения, которое после
теплотехнического расчета (определения размеров) подвергается
расчету на прочность по законам строительной механики.
Если дымовая труба предназначена для обслуживания печи
с изменяющимся расходом топлива, а следовательно, и дымовых
газов, то расчет трубы проводится по максимальному расходу. Если
труба будет обслуживать несколько печей, то ее высота
рассчитывается по наибольшему сопротивлению (наиболее удаленная печь —
труба), а не по сумме сопротивлений всех печей, как это иногда
ошибочно принимают. При этом расход дыма через трубу должен
учитывать любые варианты работы всех печей. Другими словами,
при работе нескольких печей на одну трубу увеличивается
количество проходящих через трубу газов, а суммарное расчетное
сопротивление включает потери энергии от слияния потоков газов
в канале, подводящем дым к трубе. Работа дымовой трубы, как
устройства для перемещения газов в печах, может быть оценена
коэффициентом полезного действия, формула для подсчета
которого при рОа = 1,26 кг/м3 и рОг = 1,34 кг/м3 такова:
Л=#/A057;р). A2.23)
К.п.д. дымовых труб лежит в пределах 0,1-^0,2%, что, конечно,
существенно ниже к.п.д. вентилятора (ц — 60-^80%). Однако если
иметь в виду то, что трубы эксплуатируются десятки лет без
ремонта и не потребляют в процессе эксплуатации электроэнергию
в таком количестве, как вентиляторы, то следует считать дымовые
трубы весьма экономичными устройствами для эвакуации газов из
рабочего пространства металлургических печей. В тех случаях,
когда дымовая труба не может обеспечить работу металлургической
печи из-за неспособности преодолеть большие сопротивления,
прибегают к установке дымососа, принципы выбора параметров
которого рассмотрены выше. Возможны также комбинации
дымовой трубы и дымососа, дымовой трубы и эжектора.
Работа эжектора и инжектора как устройств, приводящих в
движение газы, проанализирована в гл. XI.

366 Глава XII. Особенности движения газа в пенах
Описанные устройства для перемещения газов к рабочему
пространству и от него в атмосферу позволяют создать в печи и ее
элементах любой гидравлический режим распределения давлений.
Чаще всего для того чтобы свести к минимуму подсосы холодного
воздуха в печь и предохранить таким образом металл от
дополнительного окисления, на поду печи поддерживают давление, равное
атмосферному. Это обеспечивается за счет нагнетания
вентилятором воздуха до его выхода в рабочее пространство печи. Затем
вступает в действие дымовая труба, обеспечивая отсос газов из
рабочего пространства печи. Такое обеспечение движения газов
через систему печи получило название уравновешенной тяги. Эта
тяга располагает широкими возможностями регулирования
давления в печи, способна компенсировать значительные затраты на
преодоление различных сопротивлений, включая и теплообмен-
ные аппараты. Являясь наиболее совершенной, уравновешенная
тяга широко применяется в работе металлургических печей.
4. ОСОБЕННОСТИ РАСЧЕТА ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ
И ГАЗА В СЛОЕВЫХ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКИХ
ПЕЧАХ И УСТАНОВКАХ
При анализе технологических процессов в некоторых типах
металлургических агрегатов с использованием уравнений,
приведенных в предыдущих главах, иногда сталкиваются с
определенными трудностями. Такие трудности возникают каждый раз, когда
металлургическая печь не имеет четко выраженного рабочего
пространства, в котором могли бы свободно развиваться процессы
движения газовых сред, горения топлива и теплообмена между
газом и обрабатываемым материалом. В такого рода устройствах
обычно кусковой материал, подвергаемый переработке, занимает
весь внутренний объем агрегата в пределах его геометрических
границ, формируя так называемую пористую среду (плотный слой),
чем и объясняется определение слоевая металлургическая пень
(агрегат или установка). С движением газов и расплавов сквозь
пористую среду мы встречаемся при анализе теплофизических
процессов в доменных печах, агломашинах, воздухонагревателях с
шариковой насадкой и др.
Закономерности формирования полей скоростей, давлений при
движении газов, жидкости в плотном слое кусковых материалов
в значительной степени определяются режимом течения этих сред.
Для уяснения особенностей газодинамики слоя, а также самого
понятия скорость движения газа в пористой среде, рассмотрим

4. Особенности расчета движения жидкости и газа 367
случай установившегося ламинарного течения с предельно
низкими скоростями (ползущее движение). Характерной особенностью
стационарного ползущего движения газового потока является
равенство ускорения этого потока нулю. Уравнение, описывающее
подобное движение, имеет вид (в проекции на ось jc):
d(p + yh)/dx = T](d2u/dx2+d2u/dy2+d2u/dz2)
или в векторной форме
V(/> + gA) = лV2v = n[V(V • v) - Vx(Vxv)]. A2.24)
Здесь использовано известное векторное соотношение
V2v = V(V • v) ~ Vx(Vxv).
Применим операцию дивергенции к обеим частям уравнения
A2.24). При этом учтем, что дивергенция от ротора непрерывной
векторной функции тождественно равна нулю, а по уравнению
неразрывности для несжимаемой жидкости V • v = 0. Тогда получим:
V2(/> + уА) = лV (V2v) = 0. A2.25)
Уравнение A2.25) есть уравнение Лапласа, и его решение при
заданных граничных условиях дает распределение р + уА в
пространстве. Выше мы получили уравнение Лапласа для безвихревого
движения несжимаемой жидкости, а функция, удовлетворяющая
уравнению Лапласа, была названа потенциалом скорости. Ниже
мы увидим, что для некоторых потоков вязкой жидкости в
качестве потенциала скорости служит величина р + уА.
Для удовлетворения уравнения V [V(p + уА)] = 0 в простейших
частных случаях достаточно только, чтобы для каждого
координатного направления либо р + уА, либо V (р + уА) были
постоянными. Мы встречали уже случаи, когда эти условия выполнялись
при ламинарном течении. Для этих случаев влияние инерции было
равно нулю, и решения уравнений движения показывают, что
скорость потока пропорциональна градиенту р + уА. Например, для
течения в канале в направлении z средняя скорость
const Э / .ч ,л~ _,ч
vz= __(^ + ул), A2.26)
где константа пропорциональности зависит от геометрии
поперечного сечения канала.
В отличие от ламинарного течения сквозь трубки постоянного
сечения движение в пористых средах представляет собой
ламинарное течение сквозь малые нерегулярные «проходы» в порах

368 Глава XII. Особенности движения газа в пенах
среды. С некоторым приближением рассматриваемое течение
можно уподобить течению в трубах, если только извилистость и
переменность сечения каналов учесть поправочными эмпирическими
коэффициентами. Тогда по аналогии с уравнением A2.26) для
жидкости (или газа при таких малых разностях давления, что его
плотность не меняется) можно записать
| A2.27)
В уравнении A2.27) vz представляет собой скорость фильтра-
ции, определяемую как местную скорость потока, осредненную по
конечному сечению пористой среды. Это такая скорость, какую
имел бы поток в данном месте объема слоя, если бы слоя
(пористой среды) не было вовсе. Таким образом, для данной площади
поперечного сечения AS пористого материала, через который
протекает расход AQ, скорость фильтрации будет
v = AQ/AS. A2.28)
Для площади AS, конечной (включающей несколько поровых
каналов), но достаточно малой, величина v приближается к «ло-
кально-осредненному» значению. Применяя в математической
теории процесса фильтрации понятие «локально-осредненная
скорость», мы представляем тем самым реальную физическую
систему, состоящую из сходящихся и расходящихся изогнутых струек
переменного поперечного сечения, как некоторый континуум.
Иногда оказывается полезным понятие средней скорости в порах,
определяемой как
у, = Д<2/(е-Д5), A2.29)
где пористость (порозность) г представляет собой отношение
объема пор (свободного от частиц объема) к общему объему пористой
среды.
Коэффициент kQ, называемый коэффициентом проницаемости,
имеет размерность квадрата длины. В условиях полного
насыщения пор он зависит от геометрии пористого пространства и,
следовательно, от типа пористой среды, т. е. от величины порозности,
формы и расположения пор. Этот коэффициент постоянен, если
среда (слой) несжимаема и изотропна. Для беспорядочно
уложенных однородных шаров диаметром d (м), продуваемых воздухом,
он равен к0 = 6,15 lO~4d2 (м2).
Коэффициент фильтрации к определяется соотношением
к = коу/ц - kog/v, A2.30)

4. Особенности расчета движения жидкости и газа 369
так что
Э* [ У
Коэффициент к имеет размерность скорости и, если
предположить, что выполняются условия полного насыщения, то он
зависит от геометрии пористого пространства (типа среды и
характеристик пор), а также от удельного веса и вязкости жидкости.
Коэффициент к постоянен для данной жидкости при
фиксированной температуре, если пористая среда несжимаема и
изотропна. Соотношение A2.31) известно как закон Дарси.
Если определить изотропную среду как среду, имеющую одну
и ту же проницаемость во всех направлениях, то можно написать
A2-32)
ИЛИ
v = -*°.v(/? + M), A2.32а)
Л
где v — вектор скорости фильтрации. Применив операцию
дивергенции к уравнению A2.32а) и использовав уравнение
V.v = ^-A-A = 0, (]2.33)
Эх Эу dz
получаем
-Ау2(/> + уА) = 0. A2.34)
Таким образом, проблема фильтрации сквозь пористые
изотропные среды может быть сведена к решению уравнения Лапласа
с соответствующими граничными условиями. Если распределение
p + yh известно, то скорости фильтрации могут быть получены из
закона Дарси в форме A2.32).
В качестве примера использования уравнения A2.34)
рассмотрим задачу о движении газов в шахтной печи с фурменным вводом
дутья. Здесь в печь прямоугольного поперечного сечения
высотой Ни полутолщиной R через фурмы диаметром с1ф с
противоположных сторон подается газ. Расход газа, поступающего в печь

370
Глава XII. Особенности движения газа в печах
через левую и правую фурмы, различен и соответствует скоростям
истечения v0l и v02. Плоскость осей фурм удалена от днища печи
на расстояние (//, + #2)/2, причем Н2 = //, + */ф. Требуется
определить распределение давления и скоростей в объеме слоя, а также
выявить зависимость этого распределения от параметров
фурменного устройства печи и значений входных скоростей у01 и v0T
Для упрощения предположим, что в объеме печи картина
течения сохраняется такой же, как и в плоскости, проходящей через
оси фурм. Тогда для двухмерной задачи можно записать
оХ
A2.34а)
Граничные условия задачи сводятся к заданию расхода дутья
на фурмах, давления на выходе из слоя (на уровне засыпи) и к
заданию условия газонепроницаемости стенок, т. е. равенства нулю
компонента скорости, нормального к стенке:
yh)/
при
при
при
dz--
0<
я,
Z >
= 0;
уЯ;
z<
<z
Я2
<Я2
A2.35а)
A2.356)
A2.35b)
0 при 0 < z < Н{
y\v021 k0 при Hx<z< #2
0 при z > #2,
A2.35г)
где vQ\ и v'Q2 — абсолютные значения скоростей истечения дутья
через фурмы, м/с.
Будем отсчитывать пьезометрическое давление р + уА от его
значения на уровне засыпи, т. е.
U(x,z) =
= p-pQ-y(H-z),
так как уровень Л совпадает с координатой z.
Кроме того, неизвестную функцию П(х, z) представим в виде
произведения двух функций, одна из которых зависит лишь от
координаты jc, а другая — от координаты с
Щх, z) = X{x)Z{z).
A2.36)

4. Особенности расчета движения жидкости и газа 371
Подставив A2.36) в A2.34), находим
1
X
zd2X
d2X
dx2
+ X-
1
z
d2Z
dz2
d2Z
d?2
= 0
„2
ИЛИ
1 ^2 v 1 ^27
A2.36a)
Легко узнать в используемом методе черты известного метода
разделения переменных. Уравнение A2.36а) разделяется на два:
^-4 + 52Z = 0 A2.366)
dv
и
^* = 0. A2.36b)
dx1
Решение уравнения A2.366) хорошо известно из курсов физики
и теоретической механики (уравнение свободных колебаний
системы):
Z(z) = A{ cos(sz) + A2 sinte), A2.37)
где Av А2 — постоянные интегрирования. Используя уравнение
A2.356), получим
(dZ/ dz)z=Q = s[-Д sin (sz) + A2 cos(sz)]z=Q= sA2 = 0,
откуда A2 = 0. Воспользовавшись соотношением A2.35в),
Zz = # = y1() ,
получим уравнение для отыскания неизвестной s
cos(sB) = 0 или s, = n B/- 1)/BН), A2.38)
где /= 1, 2, 3...
Решение уравнения A2.36в) также известно и имеет вид
X(х) = BY ch(sx)+ B2 sh (sx).
Здесь Bv B2 также постоянные интегрирования. Поскольку
уравнение A2.38) имеет бесчисленное количество корней sp то
общее решение уравнения A2.34а) запишется следующим образом:
, z) = X[Cl; ch (Six) + C2i sh (Six)]cos(Siz), A2.39)
/1
/=1
где Cu = AxBXp C2i = А2В2Г Для отыскания двух неизвестных
постоянных мы имеем два граничных условия A2.35в) и A2.35г).

372 Глава XIL Особенности движения газа в печах
Воспользовавшись первым из них, получим
1Г = 2>/ [-Си sh М)+ C2/ch М)]«* (slZ) = ВД, A2.40)
ox /=]
где /JCe) — правая часть выражения A2.35в). Уравнение A2.40)
есть не что иное, как разложение функции F{{z) в ряд Фурье по
собственным функциям задачи. Согласно теории рядов Фурье
н н
s, [-Cu sh (s,R) + С2/ ch (SiR)] j cos2 (Slz)dz = JF{ (z)cos (s,z)dz
о о
или
так как H— H= d.u
2 I ф
J F{ (z) COS (^Z) ?fe = J 0 • COS E/Z) flfe - J- VQl J COS E^) tfe +
J 0 • cosE;z№ = -^"[sin (л,Я2)-апE,Я,)] =
Аналогично, используя уравнение A2.35г), находим
| A2.42)
Отыскав из уравнений A2.41) и A2.42) постоянные Си и С2/
и подставив их в уравнение A2.39), находим окончательное
решение уравнения A2.34а) с граничными условиями A2.35) в виде
xsin -UL cos Si^~± \cos(siZ). A2.43)
Расчеты по уравнению A2.43) показывают (рис. 12.13, 12.14), что
вся область движения подразделяется на две зоны: зону двухмерного

4. Особенности расчета движения жидкости и газа
373
20
18
16
&? 14
I 12
5 io
2-
—-——
_2,26
"--
" —
1 ПО
i,\)J
1 1ft
1,10
1 16
1,JO
1 45
1,4 J
-1,54
1 fa
1,OJ
-1,72—
1 SI
1,51
1 9
-2,08—
-2,17—
-3-2-10123
Расстояние от оси печи х, м
Рис. 12.13. Линии равных давлений (изобары) в шахтной печи (цифры на
кривых —- давление в ат)
и зону одномерного течения. В первой из них существенны оба
компонента скорости: как горизонтальный, так и вертикальный.
Во второй — основное значение имеет вертикальный компонент
скорости; горизонтальный компонент пренебрежимо мал. Размеры
зоны двухмерного течения являются функцией диаметра фурмы,
расстояния фурмы от днища шахты и размеров слоя. В среднем
двухмерная зона простирается на @,5-5-0,7)/) от уровня фурм, где D = 2R.
Вид профилей давления и скоростей определяется
соотношением скоростей и01 и vor На рис. 12.13 показаны изобары в шахтной
печи высотой Н= 20 м при Н{ = 2,5 м, Н2 = 2,7 м, vQl = 50 м/с,

374 Глава XIL Особенности движения газа в печах
у02 = 35 м/с и с!ф = 200 мм. Можно видеть, что в подавляющей
части объема слоя давление постоянно по поперечному сечению печи.
При vQ] = v02 профили симметричны относительно оси ь При
у01 > vQ2 минимум давления и максимум вертикального
компонента скорости расположены в области положительных значений х.
В общем случае положение этих экстремумов определяется из
решения уравнения
х. = -arcth \v°]~v°2th (s:R)]. A2.44)
Si Kl+i;02 J
На рис. 12.14 показаны изотахи в прифурменной области,
полученные при тех же исходных данных, что и поле давления.
Данные этого рисунка подтверждают отмеченные выше параметры
области двухмерного течения.
Закон Дарси, представляющий собой линейное соотношение
между скоростью и градиентом величины р + уй и
использованный при выводе предыдущих уравнений фильтрационного
течения, имеет силу только до тех пор, пока течение остается
ламинарным и несущественны эффекты инерции. Для слоя мелких
частиц число Рейнольдса можно определить по выражению:
Re = vd50/v, где d50 — диаметр частицы, при котором масса всех
более мелких частиц составляет 50% общей массы образца.
Эксперименты с мелкими частицами показали, что Re ~ 10 в качестве
верхнего предела применимости закона Дарси. Это предельное
число Рейнольдса может быть и большим для крупных частиц.
Данные экспериментов с мелкими частицами свидетельствуют
о том, что при числах Re, больших 10, несмотря на то что течение
еще остается ламинарным, происходит отклонение от закона
Дарси, обусловленное ускорениями жидкости, вызывающими
инерционные эффекты. Переход от ламинарного течения к
турбулентному происходит постепенно в интервале между Re = 60 и Re = 600.
Сопротивление течению становится, по-видимому, независимым
от числа Рейнольдса при Re > 1000.
Если искривление потока газа незначительно и по-прежнему
можно пренебрегать конвективными ускорениями, то
практически при любом числе Re справедливо соотношение
v, A2.45)
где dY — средний диаметр частицы слоя; ф — коэффициент формы
частицы (для сферы ф=1, для куска дробленого агломерата
ф = 0,3),а^ = Мя=О

4. Особенности расчета движения жидкости и газа
375
4-5
9,26 6,91 5,34 4,56
-2,49 -3,27 -4,0 -8,75
-0,14^
-0,92
-1
0
б
Рис. 12.14. Линии равного значения вертикального (а) и
горизонтального (б) компонентов скорости, и/с
Уравнение A2.45) называется уравнением Эргана. Решая его
относительно скорости фильтрации, получим
v = -grad (р + уй) /А (г, dK, q),
где
A2.46)
A2.47)

376 Глава XII. Особенности движения газа в печах
Подстановка A2.46) в уравнение неразрывности V • v = 0 приводит
к нелинейному дифференциальному уравнению второго порядка
в частных производных:
^ ^O, A2.48)
которое уже не поддается аналитическому решению и может быть
решено только численно, например с использованием метода
конечных разностей.
В том случае, когда условие о малой искривленности потока не
выполняется (например, при фурменном вводе дутья в шахтную
печь), уравнение Эргана приводит к большим погрешностям в
определении параметров течения. В этих условиях необходимо
решать полные уравнения движения газа в слое. В векторной форме
их можно записать следующим образом:
A2.49)
Здесь v — средняя скорость газа в межкусковом пространстве слоя;
еп — просветность слоя (просвет), равная отношению площади
просветов, доступных для газа, к площади поперечного сечения
слоя.
Уравнение неразрывности в данном случае имеет вид:
A2.50)
Отметим, что течения, описывающиеся уравнениями A2.45)—
A2.50), уже не являются ползущими.
В общем случае решение задач движения газа в слое даже с
помощью ЭВМ чрезвычайно трудоемко. Существенное упрощение
процедуры решения достигается при использовании введенных
ранее понятий потенциала скорости, функции тока и
завихренности потока. Однако затраты времени и усилий на разработку
численных моделей слоевых металлургических печей и установок
(в частности, моделей газомеханики слоя) очень быстро
окупаются, так как эти модели позволяют не только анализировать
протекающие в печи процессы, но и дают возможность выйти на
решение проблемы оптимизации конструктивных и режимных
параметров агрегата еще на стадии проектирования.

Глава XIII
ДВУХФАЗНЫЕ ТЕЧЕНИЯ В ТРУБАХ И КАНАЛАХ
Рассмотренные в предыдущих главах закономерности
справедливы для однородной среды. Во многих процессах металлургии
и теплоэнергетики приходится иметь дело с двухфазными
системами. В таких системах различают сплошную, или несущую, фазу
и дисперсную фазу, распределенную в первой в виде отдельных
включений. В первом (грубом) приближении динамические
параметры таких потоков (потери давления и т. п.) можно оценить по
ранее полученным уравнениям, однако для надежного решения
инженерных задач целесообразно учитывать хотя бы основные
особенности двухфазных систем.
1. ХАРАКТЕРИСТИКИ ДВУХФАЗНЫХ ПОТОКОВ
Двухфазные системы классифицируются по агрегатному
состоянию фаз, размерам частиц дисперсной фазы и характеру
относительного движения фаз. Как сплошная, так и дисперсная фазы
могут находиться в трех агрегатных состояниях: твердом, жидком
и газообразном. Возможны различные сочетания агрегатных
состояний сплошной и дисперсной фаз. Системы с подвижной
(газообразной или жидкой) сплошной фазой можно подразделить на
два типа: 1) с твердой дисперсной фазой, 2) с подвижной
дисперсной фазой (жидкость или газ).
Системы первого типа встречаются в процессах, в которых
участвуют запыленные потоки (такие системы называются аэрозольными
системами или просто аэрозолями), при пневмо- и
гидротранспорте (в этом случае их называют газовзвесями), а также в процессах,
осуществляемых в кипящем слое. Характерной особенностью
таких потоков является то обстоятельство, что форма и масса
частиц дисперсной фазы остаются практически неизменными, если
не учитывать процессов коагуляции и дробления (измельчения)
частиц при их трении друг о друга и о стенки коммуникаций
и оборудования.

378 Глава XIII. Двухфазные течения в трубах и каналах
Системы второго типа образуются при барботаже газа через
слой жидкости, при кипении и т.д. Характерной особенностью
таких систем является то, что при движении элементы дисперсной
фазы изменяют форму, а часто и массу.
Структура двухфазных потоков весьма разнообразна. Она
определяется размерами и распределением элементов дисперсной
фазы в сплошной среде и охватывает все возможные состояния
между параллельным раздельным движением двух фаз, имеющих
одну общую границу раздела, и смесями с достаточно однородным
распределением дисперсной фазы (эмульсии, дымы, туманы, шла-
мы и т. д.).
Сплошная и дискретная фазы, как уже отмечалось, в общем
случае, могут быть твердыми, жидкими или газообразными.
Случай, когда сплошная фаза твердая, относят обычно к особому
течению — фильтрации жидкости или газа в твердом теле. Если
исключить случай твердое тело — твердое и учесть, что два газа
образуют однофазную систему, то все многообразие двухфазных
течений можно свести к семи вариантам комбинации фаз (табл. 13.1).
Описание закономерностей движения двухфазных систем
осложняется неоднородностью их состава и различием скоростей
движения фаз.
Для характеристики двухфазных потоков используются две
группы параметров. К первой из них относятся расходные
параметры, определяемые условиями материального баланса без учета
особенностей относительного движения фаз, ко второй — истин*
ные параметры двухфазной системы, определяемые с учетом
относительного движения фаз. Важнейшими расходными
характеристиками являются массовый расход М, равный сумме массовых
расходов фаз
и удельный массовый расход, или массовая скорость
т = M/F, A3.1)
где F— площадь поперечного сечения потока. Индексами «с» и «д»
обозначены величины, относящиеся к сплошной и дисперсной
фазам соответственно.
Величины
а = MJM\ 1 ~ а = MJM A3.2)
представляют собой массовые расходные содержания, или
массовые концентрации, дисперсной или сплошной фаз в двухфазном
потоке, соответственно.

1. Характеристики двухфазных потоков
379
Таблица
\ № ва-
\риан-
Дв^Ц3
фазноеЧ
течение \
13.1. Виды двухфазных течений
1
2
3
4
5
6
7
Газ
Жид- Жид- Жид- Твердое Твердое
кость кость кость тело тело
Сплош- Газ
ная фаза
Дискрет- Твердые Жид- Твердые Несме- Газовые Жид- Газ
ная фаза частицы кость частицы шиваю- пузыри кость
щаяся
жидкость
Объемный расход V зависит от плотностей фаз рс и рд:
^=^с+^д==—+ —' A3-3)
Рс Рд
Объемные расходы фаз определяют их приведенные скорости wnpc
и w , т. е. скорости, отнесенные ко всей площади поперечного
' пр.д:
сечения канала, в котором движется двухфазный поток:
Приведенная скорость смеси wnp равна сумме приведенных
скоростей фаз:
пр пр.с прл ^ J
Средняя скорость смеси wCM равна отношению ее объемного
расхода к площади поперечного сечения канала. Она равна приведенной
скорости смеси, поскольку с учетом соотношений A3.3)—A3.5) имеем
V Ус+У
й
Связь приведенной скорости смеси с ее удельным расходом
определяется выражением
Плотность смеси р, входящую в уравнение A3.6), можно
выразить через плотности и массовые концентрации фаз:
i = i-^ + — или ! = A-а)ус+ои;д, A3.7)
Р Рс Рд Р
где усиуд- удельные объемы сплошной и дисперсной фаз
соответственно.

380 Глава XIII. Двухфазные течения в трубах и каналах
Истинные скорости движения фаз и>си wu определяются как
такие скорости, которые имеет фаза с учетом занимаемого ею
объема в общем объеме смеси, т. е.
где ф — доля сечения канала, занятая дисперсной фазой, численно
равная объемной концентрации этой фазы в двухфазной
системе, т. е.
<р=Кд/К; 1-Ф=Ке/К A3.8а)
Относительная скорость движения фаз м>дс:
w =-w = и, - w = 25м. -!5в?.. A3.9)
ДС СД Д С ф 1-ф V '
Истинная плотность смеси рсм:
Рсм=РсО-Ф) + РдФ- <13-10)
При исследовании движения двухфазных потоков полезными
характеристиками являются разности истинных скоростей фаз
и средней (или приведенной) скорости смеси, называемые
скоростями дрейфа:
а также приведенные скорости дрейфа, т. е. скорости дрейфа фаз,
отнесенные ко всему поперечному сечению канала:
*д =ФК - "Пр); ^сп = *д - "V A3.12)
Заменяя в выражениях A3.12) н>спи wu с помощью
соотношений A3.8), a wnp с помощью уравнения A3.5), получаем
т. е. приведенные скорости дрейфа фаз равны по величине и
противоположны по знаку.
Подстановка значений и>приз A3.5) и wnpc, wnpa из A3.8) в
соотношение A3.12) дает
^дП = фA - фКс; ^сп = фA - фКд.
или, с учетом A3.9),
A3.14)

1. Характеристики двухфазных потоков 381
Анализ закономерностей движения двухфазных систем
основывается на использовании ранее приведенных уравнений
неразрывности потока (напомним, что в данной главе рассматриваются
только одномерные движения), баланса количества движения и
энергетического баланса, применяемых ко всему потоку в целом и к
каждой из фаз в отдельности. В общем случае характеристики
движущейся двухфазной системы изменяются по длине канала, а
также из-за фазовых превращений. Поэтому указанные уравнения
применяются в дифференциальной форме:
уравнение неразрывности потока
j 0; A3.15)
уравнение баланса количества движения (импульса)
-f^ = M^ + nro + /fcpsinp; A3.16)
ах ах
уравнение энергетического баланса
Здесь w — скорость; р — плотность; F — площадь поперечного
сечения канала; П — смоченный периметр канала; х0 —
касательное напряжение на стенке (напряжение трения на стенке); р —
угол наклона канала к горизонту; Q — количество подводимой
теплоты; А — механическая работа, производимая движущейся
средой; / — энтальпия; х — расстояние в направлении движения.
Если уравнения A3.15)—A3,17) применяются к двухфазной
системе в целом, то w и р — средние скорость и плотность
системы в рассматриваемом сечении канала. Если же уравнения
применяются к отдельной фазе, то все величины относятся к этой фазе.
Уравнение A3.16) показывает, что изменение давления по длине
канала формируется изменением скорости движения, трением о
стенку и подъемом жидкости или газа, требующим преодоления сил
земного тяготения. Изменение скорости движения в соответствии
с уравнением A3.15) обусловливается изменением плотности
потока и площади поперечного сечения канала. Плотность же
двухфазной системы является функцией давления и объемной
концентрации дисперсной фазы ср. Величина ср изменяется из-за фазовых
превращений, происходящих при подводе (или отводе) энергии
к системе. Это обстоятельство отражается уравнением A3.17).
В инженерных расчетах обычно требуется найти изменение
давления по длине канала.

382 Глава XIII. Двухфазные течения в трубах и каналах
Из A3.17) имеем
dp M dw П
A3Л8)
Для количественного описания закономерностей движения
неоднородных по структуре потоков используются различные
модели движения, имеющие примерно одинаковое
экспериментальное обоснование.
2. МОДЕЛЬ ГОМОГЕННОГО ТЕЧЕНИЯ
Модель гомогенного течения основана на том, что двухфазная
система рассматривается как псевдооднородная жидкость, к
которой применимы обычные законы гидродинамики. В общем
случае, вследствие различия скоростей, температур и других
параметров состояния системы, между фазами происходит взаимный
обмен количеством движения, энергией и массой. Если эти
процессы протекают достаточно быстро, как чаще всего и бывает при
небольших размерах дисперсных включений, то принимают, что
между фазами устанавливается термодинамическое равновесие.
В гомогенной модели принимается, что сплошная и
дисперсная фазы перемещаются с одинаковой скоростью, равной средней
скорости смеси, определяемой из выражения A3.6). Входящая
в это выражение плотность смеси при равенстве скоростей фаз
определяется исходя из того, что удельный объем смеси v является
аддитивной функцией удельных объемов фаз смеси, т. е.
используются соотношения A3.7). С учетом этого соотношения скорость
движения смеси будет описываться выражением
wcp =— = m[avu + A - a)vc] = m(vc + аисд),
где усд = ид — vc — изменение объема при фазовом превращении
сплошной фазы в дисперсную.
Поскольку wcp = G/(Fp), то изменение давления вследствие
ускорения потока равно
dx)y F dx F dx\Fp) dx[Fp)
В общем случае по длине канала изменяются давление, массовая
концентрация дисперсной фазы (при наличии фазовых
превращений), а также площадь поперечного сечения. Выражая плотность
через объемы с помощью A3.7) и проводя дифференцирование,

2. Модель гомогенного течения 383
получаем
Г da
Изменение удельных объемов фаз по высоте обусловлено
изменением давления в направлении движения. Поэтому последнее
уравнение можно преобразовать к виду
A3.19)
Первое слагаемое правой части уравнения A3.19)
характеризует влияние фазового превращения, второе — сжимаемость среды
при изменении давления, третье — изменение сечения канала на
падение давления, обусловленное ускорением потока.
Изменение давления за счет трения (dp/dx)w = (П /F)xQ можно
выразить через скорость движения потока с помощью
соотношения T0 = A,(pw2/8), где X — гидравлический коэффициент трения.
Для круглого канала диаметром D имеем П = яД F = nD2/4
и с учетом A3.6)
r2D 2Dp
Заменяя р с помощью A3.7), получаем
Xtn , ч
(*!¦
2D
A3.20)
Величину gpsinp, входящую в уравнение A3.18) и
определяющую градиент давления за счет силы тяжести (dp/dx\, можно
записать с учетом A3.7) следующим образом:
. A3.21)
№WpsinP
dxj, vc+avCU
Подстановка выражений A3.19)—A3.21) в A3.18) после
преобразований дает
ф W dx q F dx
dx~

384 Глава XIII. Двухфазные течения в трубах и каналах
Слагаемые в числителе уравнения A3.22) учитывают,
соответственно, вклад трения, изменения массовой концентрации
дисперсной фазы в направлении потока, изменения площади
поперечного сечения канала, а также вклад силы тяжести в градиент
давления. Выражение, стоящее в квадратных скобках
знаменателя, обратно пропорционально скорости распространения упругих
колебаний в двухфазной среде (скорости звука). Поэтому
уравнение A3.22) можно представить в виде
аи2
X da \ dF
+-
gsinft
dx 1-Ма2
A3.23)
где Ma = wcp/w3 —- число Маха, определяющее отношение
скорости потока к скорости распространения упругих колебаний (см.
материалы глав I и V).
Величина wz равна
1-1/2
При определении производной da/dx необходимо учитывать, что
массовая концентрация дисперсной фазы (например, пара в па-
рожидкостной смеси) изменяется по высоте как за счет изменения
энтальпии /, вызванного подводом теплоты извне, так и за счет
изменения температуры, обусловленного изменением давления.
Поэтому
dajda
Связь между величинами / и а определяется соотношением
д, A3.25)
где /с и /д — энтальпии сплошной и дисперсной фаз при заданном
давлении (температуре) соответственно; /сд — изменение
энтальпии при фазовом превращении сплошной фазы в дисперсную.
Отсюда
Э/ . . Эос 1 1
— = *д-/с, или — = - г = —.
Эа Э/ /д-/с /сд
Для системы жидкость—пар /сд — теплота парообразования.
Производная (dt/dp).находится из уравнения состояния/(/?,р, 7) =
= 0. Производная (Эа/Э/); выражает изменение массовой концент-

2. Модель гомогенного течения
385
рации дисперсной фазы, обусловленной изменением температуры
при адиабатических условиях. Для систем жидкость—пар эта
производная характеризует вклад процесса самоиспарения —
парообразования, происходящего при адиабатическом понижении
температуры кипения, вызванного понижением давления. С учетом
A3.24) уравнение A3.23) принимает вид
/я2
dx
w
da
~dx
dv
1 dF
F dx
gsinp
Ус + а-иед
-. A3.26)
Значения vc и vcu, а также производные удельных объемов фаз
по давлению, входящие в приведенные выше уравнения,
находятся по диаграммам или уравнениям состояния компонентов.
Коэффициент трения рассчитывается по обычным формулам для
однофазного потока. При этом для расчета числа Рейнольдса вводятся
средняя скорость двухфазного потока и эффективная вязкость
смеси, под которой понимается вязкость однородной жидкости с
такими же реологическими характеристиками, как у смеси.
Вследствие движения сплошной фазы относительно частиц
дисперсной фазы скорость деформации сплошной фазы вблизи
частицы оказывается больше, чем вдали от нее (см. главы IV
и VIII). Поэтому диссипация энергии в двухфазном потоке
превышает диссипацию энергии в однородной жидкости,
образующей сплошную фазу, даже если вязкость и плотность последней
выше, чем у дисперсной фазы. Теоретический расчет диссипации
энергии в сплошной фазе, окружающей твердую сферическую
частицу, приводит к выражению
где ev — диссипированная энергия, приходящаяся на единицу
объема потока; г — радиус частицы; R — радиус сферического объема
потока, приходящегося на одну частицу (радиус ячейки); К2 —
сумма квадратов компонентов тензора скоростей деформации
сплошной фазы (см. гл. VII); х\с — коэффициент динамической
молекулярной вязкости сплошной среды.
25-3546

386 Глава XIII. Двухфазные течения в трубах и каналах
Величина (r/RK представляет собой объемную концентрацию
дисперсной фазы <р. При малых значениях ср, т. е. для не очень
концентрированных суспензий или газовзвесей, в последней
формуле можно пренебречь слагаемыми, содержащими r/R в
степенях, превышающих 3. Тогда
•*'N}
Для дисперсной фазы, состоящей из сферических частиц,
независимо от агрегатного состояния фаз методами
статистической механики получено следующее выражение для определения
эффективной вязкости смеси:
где Т1д — коэффициент молекулярной динамической вязкости
дисперсной фазы.
Отсюда для случая твердых частиц дисперсной фазы (т|д » лс)
получается формула Эйнштейна
П=ЛсA + 2,5ср), A3.28)
а для газовых пузырьков Спс » цп)
Л=Т1СA + Ф). A3.29)
Приведенные формулы хорошо согласуются с
экспериментальными данными для двухфазных систем с однородными
сферическими частицами при их концентрации ф < 10%. В качестве
примера на рис. 13.1 приведено сопоставление формулы Эйнштейна
и экспериментальных значений вязкости суспензий, полученных
различными авторами для широкого диапазона жидкостей,
размеров и материалов твердых частиц (данные собраны Д. Томасом).
Здесь же приведена кривая, полученная теоретически Дж. Бэт-
челором:
A3.30)
Для области малых концентраций формула Эйнштейна
подтверждается и в случае полидисперсной твердой фазы. В
концентрированных системах, как можно видеть из данных рис. 13.1,
эффективная вязкость больше рассчитанной по формуле A3.27).
Такие системы нельзя рассматривать как ньютоновские жидкости.
Эффективная вязкость двухфазных потоков в случае частиц
неправильной формы зависит от их ориентации в потоке.

2. Модель гомогенного течения
387
Рис. 13.1. Зависимость
эффективной вязкости суспензий от
объемной концентрации частиц
дисперсной фазы: 7 — по
экспериментальным данным; 2 — по
формуле A3.30); 3 — по формуле
Эйнштейна
Л.
Лс
100
10
у
/
/
-2г
/
/
/
(
3
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 ф
Эта величина может быть рассчитана по формуле
где к — коэффициент, определяемый в зависимости от формы
частиц следующим образом. Для частиц, имеющих форму
эллипсоида вращения с отношением полуосей а/Ь — р (полуось а>Ьи
ориентирована в направлении потока):
при 1 < р <1,7
к = 2,5 1-0,28
при р »
D1
к =
Таким образом, для вытянутых частиц (р -> ©о) значение к
приближается к 2. Следовательно, увеличение вязкости двухфазных
систем по сравнению с вязкостью сплошной фазы колеблется от
2,5фТ1с для сферических частиц до 2фТ|с для вытянутых частиц.
Использование эффективной вязкости при определении
коэффициентов трения дает приемлемые результаты в случае
ламинарного режима течения. При турбулентном режиме из-за
больших скоростей деформаций лучшие результаты получаются, когда
применяется число Рейнольдса, рассчитываемое по предельной
вязкости при больших скоростях сдвига.
Пример 13.1. Смесь воздух—вода течет по гладкой горизонтальной
трубе (внутренний диаметр 20 мм). Массовая скорость смеси 1791 кг/(м2 • с),
а массовая концентрация воздуха (дисперсной фазы) = 0,001. Физические

388 Глава XII1. Двухфазные течения в трубах и каналах
свойства сред: vu = 0,84 м3/кг; vc = 1 • 10~3 м3/кг; т|д = 1,789 • 10~5 Па ¦ с;
Лс= 1,002- 10~3 Пас. Коэффициент гидравлического трения для
однофазного течения задается формулой X = 0,186/Re02. Требуется определить
параметры потока, а также градиент давления в трубе.
Используя формулу A3.1), находим массовый расход смеси, а затем
по соотношениям A3.2) — массовые расходы воздуха и воды:
М= mF= (nd2/4)m = 3,14 • 0,022 • 1791/4 = 0,5624 кг/с;
Мд = аЛ/= 0,001 • 0,5624 = 5,624 • 10 кг/с;
Мс = A - а)М= 0,999 • 0,5624 = 0,5618 кг/с.
Плотности компонентов находятся из соотношения р = 1/и, тогда
рд = 1/0,84 = 1,1905 кг/м3; рс = 1/1 • 10~3 = кг/м3. Следовательно, объемные
расходы компонентов составляют:
К = ^д/Рд = 5>624' Ю-4/1,1905 = 4,724 . 10 м3/с;
Приведенные скорости фаз равны:
^прл = VJF=Z 4'724 * 10^/0,000314 = 1,504 м/с;
wr,P.c = K/F=z 5'618 ' 1О-УО,ООО314 = 1,789 м/с.
Приведенная скорость смеси (она же средняя скорость) составит
% = "ср = V + ^„,с = 1.504 + 1,789 = 3,293 м/с.
Плотность смеси
р = 1/[A - a)vc + avj = 1/@,999 • 1 • 10 + 0,001 • 0,84) = 543,77 кг/м3.
Для определения значений истинных скоростей компонентов найдем
их объемные концентрации (доли):
ф = VJV= 4,724 • 10-4/D,724.10 + 5,618 .10~4) = 0,4568; 1 - <р = 0,5432.
Тогда истинные скорости компонентов будут равны
^л = ^прд/Ф = 1,504/0,4568 = 3,2925 м/с;
"с = ^прсА1 - Ф) = 1,789/0,5432 = 3,3934 м/с.
Поскольку эти скорости практически совпадают с приведенной
(средней) скоростью смеси, то скорости дрейфа фаз, как таковые, отсутствуют.
Эффективную вязкость смеси найдем по формуле A3.27):
= 1,4718 10Па-с.
Средняя скорость wcp = т/р = 1791/543,77 = 3,294 м/с.

3. Модель раздельного течения 389
Число Рейнольдса потока
Re = pwcpd/i\ = 543,77 • 3,294 • 0,02/1,4718 • 10~3 = 24 340.
Гидравлический коэффициент трения
X = 0,186/Re02 = 0,186/24 340°>2 = 0,0247.
В данном случае изменение давления обусловлено только потерями
энергии на преодоление сил трения, поэтому
Па,.
3. МОДЕЛЬ РАЗДЕЛЬНОГО ТЕЧЕНИЯ
В модели раздельного течения принимается, что фазы
движутся раздельно, а взаимодействие между ними происходит на
границе раздела. Эта модель имеет физический смысл для систем,
в которых обе фазы подвижны (системы жидкость—газ и
жидкость-жидкость). При подробном анализе движения двухфазной
системы на основе модели раздельного течения уравнения
неразрывности потока, а также балансов количества движения и
энергии записываются для каждого компонента, и эти шесть уравнений
решаются совместно с уравнениями, описывающими
закономерности взаимодействия фаз на границе между ними и со стенками
канала. В рассматриваемой ниже упрощенной модели уравнения
A3.15)—A3.17) применяются к системе в целом, как и в модели
гомогенного течения, но учитывается различие скоростей
движения фаз. Для использования этих уравнений нужно входящие
в них величины выразить через соответствующие величины для
образующих систему фаз. Скорость смеси находится по правилу
аддитивности
w = awu + A - a)wc,
а плотность смеси — по соотношению A3.10). Таким образом,
уравнение баланса количества движения A3.16) для канала
круглого сечения (П = яД F = kD2/4) приобретает вид
^ ^ ^ A3.31)
Уравнение баланса энергии A3.17) преобразуется с учетом того,
что изменение количества теплоты пропорционально изменению
энтальпии, а изменение работы зависит от изменения
кинетической энергии фаз, пропорциональной квадрату скоростей их

390 Глава XIII. Двухфазные течения в трубах и каналах
движения. Поэтому, учитывая A3.25), уравнение баланса энергии
A3.17) можно представить следующим образом:
Для решения системы уравнений A3.15), A3.31) и A3.32)
необходимо располагать зависимостями, описывающими связь
термодинамических свойств с параметрами состояния, а также
соотношениями, выражающими напряжение на стенке т0 и объемное
содержание дисперсной фазы ф в зависимости от расходов фаз, их
свойств и геометрических характеристик канала.
Для определения напряжения на стенке, которое
пропорционально градиенту давления, обусловленному трением (dp/dx)Tp,
в модели раздельного течения вводятся корреляционные
параметры Фс2 и Фд2 (так называемые параметры двухфазности)
Ф
Фс (dp/dx\> Фд (dp/dx)/
Здесь (dp/dx)Tp = biJD — градиент давления, обусловленный
трением двухфазного потока в трубе, a (dp/dx)c и (dp/dx)u — градиенты
давления при движении в той же трубе и с тем же массовым
расходом одной сплошной или одной дисперсной фазы
соответственно.
При отсутствии дисперсной фазы 1/Фд2 = 0 и Фс2 = 1, а при
движении одной лишь жидкости, образующей дисперсную фазу,
1/Ф2 = 0 и Ф2 = 1. Градиенты давления при движении в канале
однородной жидкости можно выразить при помощи соотношений
(dp\ =
\dx\r
2D ' \dxl ID
К P*Wr
Рд*Уд
где \ и Хй — гидравлические коэффициенты трения для
однофазных потоков сплошной и дисперсной фаз соответственно.
Параметры двухфазности Фс2 и Фд2 являются функциями
структуры потока и физических свойств фаз. Простейшая модель,
используемая для установления вида этих функций, основана на
представлении, что обе фазы движутся в двух раздельных
цилиндрах диаметрами Dc и Вп, причем суммарная площадь поперечного
сечения этих цилиндров равна площади поперечного сечения трубы
диаметром Д по которой движется двухфазная смесь. Принимается
также, что градиенты давления в каждом цилиндре обусловлены

3. Модель раздельного течения 391
только трением и численно равны градиенту давления в реальном
потоке. Значения градиентов давления рассчитываются по
уравнениям, используемым для однофазных потоков.
Согласно изложенным представлениям, объемная
концентрация компонентов в двухфазной системе определяется
выражениями
A3.34)
а градиент давления, обусловленный трением, находится по
уравнению
*U 2Д " 2/)д
Величины и>си wu можно с помощью A3.8) выразить через
приведенные скорости фаз, аВси/)дс помощью A3.34) — через
диаметр трубы D. Получаем
-(*!-
2D ф5/2 2D A-<рM/2
A3.34а)
и
!) и
2D (dxl 2D
градиенты давления, обусловленные трением при движении в
трубе только дисперсной или только сплошной фаз соответственно.
Следовательно, согласно A3.33),
Исключив из формул A3.35) объемную концентрацию
дисперсной фазы ф, имеем
A1'5 A f5
-4- + -т =1- A3.35а)
Этому уравнению придают более общую форму
A3.36)
Значение п можно найти по опытным данным. Сопоставление
с опытными данными показывает, что для системы жидкость—газ
удовлетворительные результаты для всех режимов движения
получаются при п = 3,5.

392 Глава XIII. Двухфазные течения в трубах и каналах
Чтобы исключить неизвестный градиент давления (dp/dx\p из
выражений A3.33), вводится новая переменная X2, равная
отношению корреляционных параметров Фс2 и Фд2:
2_Фд _(dp/dx)c
л -"Тл-ТЛТТТГ- A3.3/)
Используя правую часть выражения A3.34а), с учетом
определения A3.37) получаем
Ф = A + Х^УК A3.38)
Расчет с помощью приведенных уравнений гидравлического
сопротивления изотермических потоков без учета ускорения,
вызываемого изменением объема вследствие изменения давления,
состоит в том, что по заданным диаметру трубы, расходам и
свойствам фаз определяются значения wnpc и и>прд, а также (dp/dx)c
и (dp/dx)a. Затем из соотношения A3.37) находится X, а по
формуле A3.38) рассчитывается объемная концентрация дисперсной
фазы ф. Далее по формуле A3.35а) вычисляется Фд2 и из
соотношения A3.33) находится градиент (dp/dx)^. Разность давлений на
концах трубы определяется как произведение градиента давления
на длину трубы. Если труба вертикальная или наклонная, то
дополнительно рассчитывается падение давления под действием
силы тяжести по формуле
где L — длина трубы.
Описанная упрощенная модель раздельного течения не
учитывает влияния взаимодействия фаз на границе раздела и реальные
условия движения двухфазной системы. В действительности
граница раздела между фазами не является гладкой, а сами фазы не
всегда можно рассматривать как однородные из-за их
диспергирования. Для получения более точных результатов используют
эмпирические соотношения, приводимые в специальной
литературе.
Для расчета разности давлений при движении в трубе
неизотермических потоков необходимо проинтегрировать уравнение
A3.31) по высоте трубы с учетом изменения входящих в него
величин вследствие фазовых превращений и изменения объема смеси
с давлением. Если воспользоваться для этого приведенными выше
соотношениями, то после соответствующих постановок и преоб-

3. Модель раздельного течения
393
разований уравнение A3.31) приобретает вид
dp \Р Л
° 2 '
m dF
F dx
a
д
NT'-
1-Ф
Vc "д
«2
0-аJ Эц. (Эф"! f(l-aJ а2
+
dp l-ф dp
. A3.39)
Изменение массовой концентрации дисперсной фазы по
длине трубы da/dx определяется с помощью уравнения
энергетического баланса A3.32). Производная (дф/Эос)^ выражает изменение
объемной концентрации дисперсной фазы с изменением ее
массовой концентрации при постоянном давлении, а производная
(Э<р/Э/Оа — изменение объемной концентрации дисперсной фазы с
изменением давления. Значения этих производных определяются
по опытным данным, например с помощью эмпирической
формулы A3.38). Во многих частных случаях уравнения A3.32) и A3.39)
существенно упрощаются. Так, при постоянном тепловом потоке q
по длине трубы и отсутствии механической работы da/dx —
= 4q/(DmiJ.
Пример 13.2. Для условий примера 13.1 определить параметры двух-
фазности и градиент давления смеси.
Выпишем из условий примера 13.1 исходные данные: т|д = 1,789 • 10~5 Па • с;
т|с= 1,002- 10~3 Пас, а также необходимые результаты расчетов: рд =
= 1,1905 кг/м3; и>прд = 1,504 м/с; рс = 1000 кг/м3; wnpc = 1,789 м/с. По
приведенным скоростям фаз и по их свойствам рассчитываем числа Рейнольд-
са фаз:
Яед = 1,1905 • 1,504 • 0,02/1,789 • 10~5 = 2001,69;
Rec = 1000 • 1,789 • 0,02/1,002 • 1(Н = 35708,58,
а затем и гидравлические коэффициенты трения:
Хя = 0,186/Яед0'2 = 0,186/2001,690-2 = 0,04067;
Хс = 0,186/Rec0-2 = 0,186/35708,580'2 = 0,02285.
Градиенты давления в «чистых» фазах при их одиночном движении
составят
(dp/dx)a = \pynpJBD) = 0,04067. 1,1905 • 1,5042/B • 0,02) = 2,738 Па/м;
(dp/dx)c = A.cpcw2pc/BZ)) = 0,02285 • 1000 • 1,7892/B • 0,02) = 1828,62 Па/м.

394 Глава XIII. Двухфазные течения в трубах и каналах
Параметр X равен
^ 1^ = 667,923; * = 25,844.
^
2,738
По формуле A3.38) находим
Ф = A+ ЛГ0'8) = A + 25,8440-8)-1 = 0,069.
Тогда по соотношениям A3.35) получаем
фд2 = 1/ф2,5 = i/o,O692>5 = 798,74;
Фс2 = 1/A-фJ5 = 1/0,9312-5 = 1,196.
Наконец, по выражениям A3.33) вычисляем градиент давления смеси:
(dp/dx)w = (dp/dx)z • Фд2 = 2,738 • 798,74 = 2186,7 Па • с;
(dp/dx)^ = (dp/dx)c • Фс2 = 1,196 • 1828,62 = 2186,7 Па • с.
Можно видеть, что различные методики дают и различные
результаты. Прежде всего это касается объемных концентраций компонентов
@,069 против 0,4568 в предыдущем примере). Соответственно почти на
40% уменьшился и градиент давления смеси. Ответ на вопрос, какой же
из подходов точнее, может дать, очевидно, лишь эксперимент или точное
(численное) решение задачи с учетом деформации газовых пузырей.
4. МОДЕЛЬ ПОТОКА ДРЕЙФА
Разновидностью модели раздельного течения является модель
потока дрейфа. Она отличается от описанной выше модели
раздельного течения тем, что рассматривается только относительное
движение фаз. Модель потока дрейфа используется при
исследовании потоков газожидкостных смесей и взвесей твердых частиц
в жидкости или газе. Свойства таких систем часто определяются
не относительными расходами фаз, а размерами частиц
дисперсной фазы и их объемным содержанием.
Метод расчета параметров движения двухфазного потока
основывается на определении приведенной скорости дрейфа
iv4TT = -wcn (см. выражение A3.12)). Эта величина равна разности
скорости движения каждого компонента и средней скорости
смеси. Поскольку приведенные скорости движения фаз, согласно
A3.4), зависят лишь от их расхода и площади поперечного
сечения канала, то приведенная скорость дрейфа в соответствии с
A3.13) является функцией только объемной концентрации
дисперсной фазы ф и свойств системы. Если скорости движения
сплошной и дисперсной фаз одинаковы (это возможно при одинаковых

4. Модель потока дрейфа
395
Рис. 13.2. Зависимость
приведенной скорости дрейфа от
объемной концентрации дисперсной
фазы
дп
0,4
0,3
0,2
0,1
/
/
/
\
\
\
0 0,2/ 0,4 0^6 0^8 1ф
Фтах
плотностях фаз или при очень малых размерах частиц, как,
например, в аэрозолях), то приведенная скорость дрейфа равна нулю.
Это вытекает из определения A3.9) и выражения A3.14). Из A3.14)
следует, что wm = 0 при ср = 0 и ср = 1. Таким образом, если
плотности фаз различны, то^^Ои зависимость wm = /(ф)
изображается кривой, характерный вид которой показан на рис. 13.2 для
системы, в которой скорость движения дисперсной фазы больше
скорости сплошной фазы. При значении фтах частицы дисперсной
фазы приходят в соприкосновение, и дальнейшее увеличение ф
обусловливает уменьшение приведенной скорости дрейфа.
Значение фтах зависит от формы и размеров частиц, а также от характера
сил взаимодействия между ними. Точка фтах соответствует
обращению системы. При ф > фтах дисперсная фаза становится
сплошной, а сплошная — дисперсной. Очевидно, такое обращение фаз
возможно, если обе они подвижны. Для систем жидкость—твердые
частицы область ф > фтах не имеет физического смысла.
Зависимость w^ = /(ф) определяется по опытным данным.
Типичное корреляционное уравнение, описывающее эту
зависимость, имеет вид
где w0 — скорость движения одиночной частицы в бесконечном
объеме сплошной фазы; п — коэффициент, являющийся функцией
числа Рейнольдса.
Величина w0 определяется из условия равенства сил тяжести
и сопротивления сплошной фазы, действующих на частицу. Для
сферической частицы это условие выражается равенством
A3.41)

396
Глава XIII. Двухфазные течения в трубах и каналах
150
100
50
\
\
\
Рис. 13.3. Зависимость ?0 от Re
при обтекании сферы
0,1
10
100 1103 1104Re
где D — диаметр частицы; ?0 — коэффициент сопротивления,
зависящий от числа Рейнольдса Re0 = Рс%О/цс (рис. 13.3).
Уравнение A3.41) можно представить в безразмерной форме.
Выражая скорость через число Рейнольдса и преобразуя правую
часть, получаем
3 Vc2 Рс 3
где Аг — число Архимеда:
A3.42)
Таким образом, величина ?0Re0 не зависит от и>0, а является
функцией только физико-механических свойств системы. В
большинстве практически важных случаев для системы
жидкость—твердые частицы Re0 < 500. При этом зависимость ?0 от Re0 можно
представить формулой
A3.43)
Для сферической частицы А = 24. При Re0 > 500
So ~ О'44- A3.44)
С помощью приведенных зависимостей находится значение w0.
На основании опытных данных предложены следующие
зависимости для определения и в формуле A3.40):
и = 4,65 +19,5-^- при Re0<0,2;
и = | 4,35 + 17,5-^- W0-03 при 0,2<Re0<2;

4. Модель потока дрейфа 397
п = | 4,45 + 18—
Re;0-1
при
при
при
2<
200
Re0
Reo<
<Re0
>500
200;
<500;
>
^ 0 A3.45)
« = 2,39
где D — диаметр частицы; DK — диаметр канала, в котором
движутся частицы.
Для частиц, форма которых отличается от сферической, в
качестве определяющего размера принимается эквивалентный
диаметр, равный диаметру сферы того же объема К, что и
рассматриваемая частица:
VD*/6 или
Движущиеся в вязкой жидкости частицы несферической
формы уже при малых значениях числа Рейнольдса (> 0,05)
ориентируются наибольшей площадью проекции вдоль потока жидкости.
Для частиц, имеющих форму тетраэдра и куба, такое
ориентирование полностью устанавливается при Re = 10, а для частиц иной
формы — при Re = 20. При значениях Re = 70^-300 возникает
нестабильность движения частиц, проявляющаяся в колебаниях
и вращении.
Влияние формы частицы на коэффициент сопротивления ?0
учитывается с помощью так называемого фактора (или
коэффициента) формы \|/, определяемого как отношение поверхностей
сферической Fc и рассматриваемой F частиц одинакового объема:
Fc nDl AQQ К2'3
v = f = ir~4'88 —•
Для несферических частиц коэффициент сопротивления при
Re0<500 определяется по формуле A3.43), в которой, согласно
опытным данным,
При Re0 > 500 значение ?0 находится с помощью
эмпирического соотношения ?0 = 5,32 — 4,88\|/. Для сферических частиц \|/ = 1,
для несферических — \|/ < 1. Чем меньше \|/, тем больше ?0 и
меньше, согласно равенству A3.41), скорость движения частицы
(скорость осаждения) w0.
При одновременном движении большого числа частиц вместо
?0 в уравнении A3.42) нужно использовать коэффициент
сопротивления ?, который можно представить в виде произведения ?0

398 Глава XIII. Двухфазные течения в трубах и каналах
для одиночной частицы на функцию концентрации частиц /(<р),
учитывающую особенности их группового движения
С = Со/(Ф). A3.46)
Величина ?0 представляет собой коэффициент сопротивления
одиночной частицы, движущейся в неподвижной жидкости с той
же относительной скоростью и>дп, что и в рассматриваемом потоке.
Согласно A3.11) и A3.12), м>дп = й>дпф. Поэтому из A3.40) следует
Кп = %(! - ФУ- <13-47)
Коэффициент ?0 рассчитывается по приведенным выше
зависимостям, в которых число Рейнольдса определяется выражением
Функция /(ф) находится следующим образом.
В состоянии равновесия значения ?Re2 для частицы
определенного размера одинаковы независимо от того, является она
одиночной или нет. Поэтому
= D/3)Аг. A3.48)
Отсюда с учетом A3.43), A3.44) и A3.46) получаем при Re < 500
Re0 (I + 0,15Re°0'687) = /(Ф)Кед (l + 0,15Re0;687). A3.49)
При Re > 500
Reo2=/(cp)Re2. A3.50)
Умножая левую и правую части выражения A3.47) на pcZ>c/r|c,
получим
Refl = Reo(l-<p)\
При сопоставлении последнего равенства с выражением A3.50)
нетрудно установить, что при Re > 500 величина/(ф) = A — ф)~2я.
Сопоставляя то же равенство с уравнением A3.49), получаем при
меньших значениях числа Рейнольдса, т. е. когда величина 0,15Re0-687
мала по сравнению с единицей,/(ф) = A — ф)~".
Учитывая выражения A3.45), приходим к выводу, что величина
/(ф) изменяется в следующих пределах:/(ф) = A — ф)~4>78-г-A — ф)~4-65.
Поэтому можно принять
-Ф)-Ч A3.51)
Поскольку A — ф) < 1, то/(ф) > 1, и коэффициент
сопротивления С, при групповом движении частиц, согласно формуле A3.46),

5. Системы жидкость—газ
399
больше, чем для одиночной частицы. В соответствии с
уравнением A3.48) отсюда следует, что скорость движения частиц
относительно сплошной среды уменьшается с увеличением их
концентрации.
Выше рассмотрены лишь общие закономерности и модели,
используемые для описания движения двухфазных сред. При
описании закономерностей дросселирования потоков, их движения
в трубах и каналах с поворотами, в трубах Вентури и т. п.
приходится применять большое количество экспериментальных
зависимостей (корреляций) и дополнительных методик расчета. Со
многими из них можно ознакомиться по монографии Д. Чисхолм
«Двухфазные течения в трубопроводах и теплообменниках» (М:
Недра, 1986.204 с).
Ниже в качестве примера
конкретизации приведенных выше
зависимостей рассмотрены вопросы анализа
закономерностей развития двухфаз-
ных потоков в системах жидкость-
газ. Параметры движения газа в
плотном движущемся слое описаны в
главах VIII и XII, а расчет течений в
системах газ—твердое тело составляет
теоретические основы механики
аэрозолей (см., например, Швыдкий B.C.,
Ладыгичев М.Г., Швыдкий Д.В.
«Теоретические основы очистки газов»:
Учебник для вузов. М.:
Машиностроение, 2001. 502 с).
5. СИСТЕМЫ ЖИДКОСТЬ-ГАЗ
Типичные структуры
газожидкостных потоков иллюстрируются рис. 13.4
на примере кипения жидкости в
вертикальной трубе. Внизу имеется
однофазный жидкостный поток,
который переходит в двухфазную систему
из пузырьков пара, распределенных
в жидкости. По мере увеличения
расхода пара отдельные пузырьки
сливаются, образуя крупные «снаряды»,
и возникает пузырьково-снарядная,
Пар
Капли
Дисперсно-кольцевая
Кольцевая
Снарядно-кольцевая
Снарядная
Пузырьково-снарядная
Пузырьковая
Рис. 13.4. Структуры
двухфазных потоков при
кипении жидкости в
вертикальной трубе

400
Глава XIII. Двухфазные течения в трубах и каналах
Рис. 13.5. Образование пузырька
при истечении газа через отверстие
а затем снарядно-кольцевая, дисперсно-кольцевая и капельная
структуры двухфазного потока. Распределение дисперсной фазы
в сплошной фазе, характерное для каждой из этих структур,
показано на рис. 13.4. Условия образования двухфазного потока
определенной структуры и переход одной структуры в другую зависят
от совокупности физико-механических характеристик системы
(физических свойств фаз, геометрических характеристик системы).
Образование газовых пузырьков. Истечение газа
через отверстия в распределительном устройстве — один из
распространенных способов образования газовых пузырьков в
жидкости. В этом случае образующийся газовый пузырек соединен
с поверхностью распределительного устройства шейкой (рис. 13.5).
Максимальный размер пузырька определяется условием
равновесия подъемной силы и силы поверхностного натяжения. Считая
пузырек сферическим, получаем
где Я — радиус сферического пузырька; Д, — радиус отверстия
в распределительном устройстве; а — поверхностное натяжение.
Отсюда
A3.52)
\2gipx~
С.С. Кугателадзе и М.А. Стырикович показали, что с опытными
данными лучше согласуется выражение, отличающееся от A3.52)
лишь числовым коэффициентом:
A3.53)
Выражение A3.53) не учитывает инерционных сил,
обусловленных динамическим воздействием потока газа, вытекающего из

5. Системы жидкость—газ
отверстия, т. е. оно справедливо при малой скорости образования
пузырьков.
Когда скорость газа в отверстии велика, для определения
объема пузырька Vn рекомендуется использовать уравнение
У/3 -2?<Рж-Рг)К1/3 ^гРг т/1/3
5 ЛаЛ Л)ЛЖ
где Кг — объемный расход газа через отверстие, м3/с; FQ — площадь
сечения отверстия, м2.
Если скорость газа в отверстии w0 удовлетворяет неравенству
то из отверстия выходят не отдельные пузырьки, а струя газа,
которая в объеме жидкости дробится на пузырьки. Вследствие
слияния пузырьков при групповом движении размер и скорости их
движения являются функцией высоты слоя жидкости. Так как
процесс слияния пузырьков зависит от многих факторов, его влияние
следует учитывать на основании экспериментальных данных.
Для распределительных устройств с большим числом
отверстий приведенные уравнения дают приближенные результаты.
При использовании таких распределительных устройств в
случае относительно больших расходов газа под перфорированным
листом образуется газовая «подушка», высота которой hn
эквивалентна разности давлений Ар под и над листом. Величина Ар
складывается из разности давлений в пузырьке и на плоской
поверхности (Арп) и гидравлического сопротивления при истечении газа
из отверстия (Арт). Перепад Арп обусловлен действием сил
поверхностного натяжения на границе жидкости и газа. Эти силы
сжимают газ в пузырьке. Значение Арп для сферического пузырька
определяется формулой Лапласа (см. гл. I)
Арп = 2с/Я
Величина Арг равна
где ?'о — коэффициент сопротивления при истечении газа через
отверстие.
Следовательно, Ар = Арп + Арт =-~ + -г-?оРгн'о-
К 2
Отсюда с учетом A3.53) высота газовой «подушки» составит
Ар

402 Глава XIII. Двухфазные течения в трубах и каналах
Для диспергирования газа в жидкости часто используется
механическое перемешивание. В этом случае размер пузырьков
зависит от касательных напряжений, под действием которых крупные
пузырьки дробятся. Максимальный устойчивый размер пузырька
определяется равенством сил поверхностного натяжения и сил,
действующих на пузырек со стороны жидкости. Исходя из этого
баланса, приходим к следующей формуле для определения
максимального устойчивого диаметра пузырька D:
A3.55)
где ем — мощность, диссипированная в единице массы жидкости.
Движение одиночных пузырей. При установившемся
движении на пузырек действует подъемная сила,
пропорциональная его объему и разности плотностей жидкости и газа, и равная
ей сила сопротивления fc:
fc~ S"^~Px^= *п?(Рж~Рг)>
где ? — коэффициент сопротивления; w — скорость всплывания
пузырька; F — скорость поперечного сечения пузырька.
Отсюда
A3.56)
Чем меньше объем пузырька, тем ближе его форма к
сферической. Вследствие подвижности поверхности раздела фаз
газовый пузырек всплывает с большей скоростью, чем твердая частица
того же размера при прочих равных условиях. Это обусловлено
тем, что жидкость «прилипает» к поверхности твердого тела и,
таким образом, неподвижна относительно него. На поверхности же
раздела жидкости и газа происходит относительное движение фаз.
Поэтому при движении твердой частицы вблизи ее поверхности
достигаются большие градиенты скорости, чем при всплывании
газового пузырька при аналогичных условиях. Следовательно,
вязкое трение оказывает на твердую частицу большее воздействие,
чем на пузырек газа. Рыбчинский и Адамар теоретическим путем
получили формулу для определения скорости всплывания
сферической частицы диаметром D при Re < 0:
J- "г* \Чг/ Чж / / 1 'З С7\
2 + 3 (Лг/Пж>- ( }

5. Системы жидкость—газ 403
При г|г > т|ж (что характерно для твердых частиц) из A3.57)
получается формула Стокса
g(PP)D\ A3.58а)
18л ж
а при цГ < Т1Ж (что характерно для газовых пузырьков)
A3.58б)
Как следует из сопоставления этих выражений, при одинаковой
разности плотностей и вязкости жидкости газовые пузырьки
всплывают в 1,5 раза быстрее сферических твердых частиц того же размера.
Однако при наличии даже небольших количеств примесей
поверхностно-активных веществ пленка на границе раздела между
жидкостью и газом упрочняется и скорость движения газовых пузырьков
приближается к значению, рассчитанному по формуле A3.58а). Так,
было обнаружено, что скорость всплывания пузырьков воздуха в
обычной воде значительно меньше, чем в дважды дистиллированной.
С увеличением размера пузырьков, вследствие уменьшающегося
влияния сил поверхностного натяжения по сравнению с
динамическим действием жидкости, их форма отклоняется от сферической.
Они приобретают неустойчивую форму, приближающуюся к
сплюснутому сфероиду, а траектория их движения отклоняется от
вертикали. Скорость движения таких пузырьков можно рассчитать,
исходя из следующих соображений. Работа уменьшения толщины
сплюснутого сфероида на величину dh равна изменению энергии,
обусловленной поверхностным натяжением. Это изменение
энергии равно поверхностному натяжению а, умноженному на
приращение поверхности dF. Таким образом,
?Fdh dF A3.59)
где w — скорость всплывания пузырька; ? — коэффициент
сопротивления.
Знак минус в уравнении A3.59) обусловлен тем, что рост
поперечного сечения F сопровождается уменьшением высоты пузырька.
Объем пузырька при его деформации не изменяется, т. е. Vn =
= Fh = const. Поэтому
= Fdh + hdF=0.
Заменяя в A3.59) Fdh на -hdF, получаем

404
Глава ХШ. Двухфазные течения в трубах и каналах
w,m/c
0,35
0,30
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
0,00
\
\
\
/
— ¦ -
— -
Рис. 13.6. Зависимость скорости
всплывания w одиночного
газового пузыря от его размера D
10 15 20 25Дмм
Подставляя полученное значение VJF* A3.56), имеем
w = J 4gq(piK-pr)
Это формула ДА. Франк-Каменецкого. Зависимость
коэффициента сопротивления сферы ?, обтекаемой жидкостью, от Re
приведена на рис. 13.3. При Re > 100 величина С, изменяется
сравнительно мало. Поскольку значение числа Рейнольдса возрастает
с увеличением размера пузыря, то скорость всплывания больших
пузырей должна мало зависеть от их размера. Это подтверждается
приведенным на рис. 13.6 графиком, построенным по данным
о скорости всплывания воздушных пузырей в воде. По оси
абсцисс указывается значение эквивалентного диаметра пузыря,
определяемого как диаметр сферы, объем которой равен объему
пузыря.
Как следует из рис. 13.6, скорость всплывания мелких
пузырьков возрастает с увеличением их размера в соответствии с
формулой Стокса A3.58а). Скорость же всплывания пузырьков
диаметром 2—5 мм уменьшается вследствие вызванного деформацией
повышения коэффициента сопротивления. По достижении
относительно устойчивой сплюснутой формы скорость всплывания
пузырька медленно возрастает с увеличением его размера.
Для учета деформации пузырей и получения зависимостей, по
которым определяется коэффициент сопротивления ?, приходится
проводить специальные эксперименты. Обработку опытных
данных следует выполнять в числах подобия, которые выявляются из
системы уравнений, описывающих процесс движения пузырей.
Эта система состоит из уравнения Навье—Стокса

5. Системы жидкость—газ 405
уравнения неразрывности
div w = 0
и уравнения, выражающего условие равенства давлений на
поверхности раздела фаз со стороны жидкости и со стороны газа:
где (dw/dy)^ — производная скорости на границе раздела фаз (по
внешней нормали); /?t и R2 — главные радиусы кривизны газового
пузыря.
Последнее уравнение, входящее в систему, описывает
поверхность пузыря:
/(х, у, z9 х) = 0.
Используя анализ размерностей (см. гл. V), приходим к
следующим безразмерным комплексам (числам подобия):
РхУ . Ар , w/p. wx. Ар/. Apl nft)
?/(Рж~Рг) Рж^ r\ I a r\w
где / — определяющий размер.
Сочетания этих безразмерных комплексов также являются
числами подобия:
АР ° Рж^2 _ <* __ л.
P«"PrV J
ж -Рг) g(px -Рг)/
rж " Рг) = ^/Рж я A3.6i6)
U(P«"V J 2 2/^)
Число подобия A/?//(r|w) не является независимым, поскольку
Вместо безразмерного комплекса, определяемого выражением
A3.616), можно ввести число Архимеда (см. уравнение A3.42))
g/Ч, Р.! 3/2 [ Г
4 J

406 Глава XIII. Двухфазные течения в трубах и каналах
Следовательно, процесс всплывания пузыря газа описывается
обобщенной зависимостью
2"
^ p*J g(P)k-pr)/2J
ИЛИ /(Re, Eu, Ho, Ar, Л) = 0. A3.62a)
Скорость всплывания пузыря определяется его размером, а
также свойствами жидкости и газа, которые входят в условия
однозначности. В связи с этим два последних числа подобия в
выражении A3.62) являются определяющими. Поэтому установившееся
движение пузыря в жидкости можно представить зависимостью
где D3 = 2Яэ — эквивалентный диаметр пузыря, являющийся
определяющим размером.
Обработка имеющихся к настоящему времени
экспериментальных данных привела к следующим зависимостям:
при ламинарном режиме течения (Re < 2)
w - 2g(p* - рг)^ ; A3.63)
при движении пузырей, имеющих форму сфероидов, в
интервале 2 < Re < А °-42
w = l,8LK'-28v-°'52; A3.64)
в интервале ААоп < Re < Зу4050
; A3.65)
при движении газообразных пузырей при Re > ЗЛ0-50
A3.66)
Рж
При малых значениях Re в соответствии с формулами A3.63)
и A3.64) получается единая зависимость w =/(Re) для всех
жидкостей. При Re > А0А2 для каждой жидкости имеется своя
зависимость w =/(Re), поскольку w является также функцией
поверхностного натяжения а.
Изложенные выводы относятся к свободному движению
пузырей, не осложненному влиянием стенок. При движении пузыря

5. Системы жидкость—газ 407
в трубе он вытесняет жидкость, которая перемещается в
направлении, противоположном направлению движения пузыря. Поэтому
относительная скорость пузыря и>отн равна разности абсолютной
скорости пузыря и скорости жидкости w :
При перемещении пузыря за время А на расстояние dx он
вытесняет объем, равный nRfdx, заполняемый втекающей сверху со
скоростью и>ж жидкостью:
x,
где RT — радиус трубы.
Знак минус в правой части этого уравнения обусловлен тем,
что скорость жидкости и пузыря направлены в противоположные
стороны. Абсолютная скорость движения пузыря w = dx/dx.
Следовательно, w№ = -w(R?-Ri) или w = wjl - (Лт//?эJ].
Отсюда
^ О3-67)
При всплывании пузыря в неограниченном объеме жидкости
относительная скорость woth равна абсолютной и>0. Поэтому из
уравнения A3.67) следует
Таким образом, скорость всплывания пузыря в трубе меньше
скорости всплывания в неограниченном объеме жидкости. В
приведенном элементарном расчете не принимается во внимание
деформация пузырей. Роль этого фактора учитывается на основании
опытных данных.
Движение газожидкостных смесей. Скорость
движения газа в газожидкостной смеси зависит от объемной
концентрации (газозаполнения) газа в смеси ср. Для определения ср при
пузырьковом режиме движения газожидкостных смесей, который
(режим) имеет место для чистых жидкостей при ср < 0,1, а при
наличии примесей поверхностно-активных веществ возможен и при
бблыиих значениях <р, обычно используется модель потока
дрейфа, рассмотренная выше. При этом задача сводится к
определению приведенной скорости дрейфа и>дп (дисперсная фаза—газ). Для
этой цели можно воспользоваться зависимостью A3.40). Входящая
в нее скорость всплывания одиночного пузыря и его размер
определяются по приведенным выше формулам, а показатель степени п —
по опытным данным. В зависимости от значения чисел подобия Re

408 Глава XIII. Двухфазные течения в трубах и каналах
и А имеются три области, в которых значения п различны.
Показатель степени п = 2 при Re < 2, п = 1,75 при 2 < Re < А0А2 и п = 1,5
при Re> ЗЛ0'50.
Когда приведенная скорость дрейфа найдена, можно по
формулам A3.13) и A3.8) вычислить газонаполнение ф и истинные
скорости движения фаз, поскольку входящие в эти формулы
приведенные скорости фаз и>прд и и>прс определяются их объемными
расходами, которые обычно известны.
Гидравлическое сопротивление при движении газожидкостных
смесей в пузырьковом режиме рассчитывается на основании
модели гомогенного течения. Гидравлический коэффициент трения
вычисляется по формулам для однородных жидкостей. При
небольших объемных концентрациях газа вязкость определяется по
уравнению A3.28). При турбулентном режиме движения
удовлетворительные результаты получаются при использовании значения
X = 0,02. При больших значениях ср газожидкостные смеси ведут
себя как неньютоновские жидкости и их эффективная вязкость
уменьшается с возрастанием скорости движения.
С увеличением газонаполнения образуются крупные пузыри
газа, для которых характерно неустойчивое колебательное
движение. Мелкие пузырьки в следе крупного пузыря движутся с
большей, чем он, скоростью. В результате происходит слияние
пузырьков, причем мелкие пузырьки поглощаются крупными пузырями.
Это возможно, когда эквивалентный радиус кэ удовлетворяет
неравенству Дэ > 2^/o/(gpx). Нестационарное движение крупных
пузырей приводит к сильной турбулизации потока, и возникает
режим течения, называемый пенисто-турбулентным. Для такого
режима показатель степени п в уравнении A3.40), определяющий
приведенную скорость дрейфа, меньше* единицы. Скорость
движения газа относительно средней скорости газожидкостной смеси
(скорость дрейфа) при этом равна
и, -
Пенисто-турбулентный режим является переходным между
пузырьковым и снарядным режимами, причем для снарядного
режима характерно периодическое движение крупных одиночных
пузырей, которые разделены жидкими перемычками и занимают
почти все поперечное сечение канала. При движении в
вертикальном канале скорость пузыря и>д складывается из приведенной
(средней) скорости движения газожидкостной смеси wnp и скорости
всплывания wn:
^л = н'„р+^ 03.69)

5. Системы жидкость—газ 409
Скорость всплывания и>п определяется действием трех сил:
инерции жидкости, вязкости и поверхностного натяжения. При
различных условиях относительный вклад этих сил различен.
Поэтому wn находится по опытным данным, обработанным с
использованием чисел подобия, приведенных выше. Как показывают
экспериментальные данные, при снарядном режиме движения
скорость всплывания пузыря практически не зависит от его
формы и размера, а определяется гидродинамической обстановкой
перед носовой и за кормовой его частями. При ламинарном
режиме движения, который наблюдается при значениях Аг < 4,
носовая и кормовая части пузыря скруглены и течение за кормой
ламинарное. В случае турбулентного режима движения жидкостей
с малой вязкостью при Аг > 9 • 104 кормовая часть пузыря плоская,
а течение за ней турбулентное. Для вычисления значения wn
рекомендуется формула
Р)
Различают три области:
1) при Аг > 9 • 104 и А < 0,01 к{ = 0,345;
2) при Аг < 4 и А < 0,01 к{ = 0,01
3) при А > 0,30 Аг = 6,2-
Р
В качестве определяющего размера принимается диаметр
канала Dr В первой области преобладающее влияние оказывают
инерционные силы, во*торой — силы вязкого трения, в третьей —
силы поверхностного натяжения. В последнем случае пузырь
неподвижен относительно жидкости, так как силы
поверхностного натяжения уравновешивают подъемную силу.
Согласно соотношениям A3.69), A3.8) и A3.5), для средней
объемной концентрации имеем ф = и>прл/(и>прс + и>прд + и>п).
Вследствие влияния профиля скоростей в «пробках» жидкости,
разделяющих газовые «снаряды», а также влияния течений за
кормовой частью пузыря скорость его движения оказывается больше
рассчитанной по формуле A3.69). Для учета влияния указанных
факторов в эту формулу вводятся поправочные коэффициенты С, и С2:
При развитом турбулентном течении в жидкой «пробке»
(Rex > 8000) С, = 1,2 и С2 = 1. Для каналов, в которых происходит

410 Глава XIII. Двухфазные течения в трубах и каналах
кипение, С2 = 1,6. С учетом A3.71) получается следующее
выражение для ф:
Градиент давления, обусловленный трением, при снарядном
режиме движения газожидкостной смеси в вертикальной трубе
приближенно рассчитывают по величине гидравлического
коэффициента трения Хж для однородного потока жидкости,
движущегося со средней скоростью смеси wnp:
1 л /1 ч ^Пр
гдерсм-A~ф)рж.
С увеличением расхода газа длина жидкостных пробок между
пузырями уменьшается и при определенном значении м>прд
снарядный режим течения переходит в кольцевой. При восходящем
движении газожидкостных смесей в вертикальных трубах это
значение и>прд определяется из выражения
"пр.д Рг'/2 = °'9 \ЯЩРЖ ~ Рг)]1/2- A3.73)
При снарядном течении газожидкостной смеси по
горизонтальным трубам скорость дрейфа, обусловленная действием
подъемной силы, равна нулю. Однако скорость движения пузырей
больше приведенной скорости за счет наличия пленки жидкости
между пузырем и стенкой трубы. На основании опытных данных
при Re > 3000 получена следующая формула для определения
скорости движения пузыря:
В соответствии с A3.8) для ф находим
Ф = 0,84Кд/(Кс+ VJ. A3.74)
В связи с малой плотностью газовой фазы давление вдоль
вертикальной поверхности пузыря практически постоянно. Поэтому
гидравлическое сопротивление складывается из сопротивления
пузыря в носовой и кормовой частях и гидравлического
сопротивления при движении жидких пробок. Поскольку при заданном
объемном расходе газа число пузырей зависит от их размера, для
практических расчетов требуется независимая оценка последних.
Для определения падения давления на один пузырь Ар без учета
жидкостной пробки рекомендуются формулы:

5. Системы жидкость—газ 411
при Re,- («„D,f,,M,)<270
^ = ^; „3.75)
при 270 < Re < 830
Д/> = 0,163ржм4- A3.75а)
В наклонных трубах при снарядном течении пузырь скользит
вдоль верхней поверхности трубы и скорость движения
оказывается выше, чем в горизонтальной трубе, даже если наклон к
горизонту составляет всего несколько градусов. Это может
существенно влиять на движение газожидкостных смесей, особенно при
неточной установке горизонтальных труб.
Под кольцевым режимом течения понимается режим,
характеризующийся раздельным движением фаз. Газовая фаза движется
в ядре потока, а жидкость образует пленку на стенках трубы.
Жидкая и газовая фазы могут перемещаться в одном (прямоток) или
в противоположных (противоток) направлениях. Кольцевой режим
движения наблюдается в испарителях, пленочных абсорберах,
выпарных и других аппаратах. В химической технике чаще всего
приходится иметь дело с вертикальными потоками.
Условия взаимодействия фаз и характер их движения зависят
от приведенных расходов. При нисходящем движении жидкости и
малых скоростях восходящего потока газа поверхность раздела фаз
гладкая и коэффициент трения такой же, как и для гладких труб.
С увеличением скорости встречного движения газа на
поверхности жидкости возникают волны, с их гребней срываются капли,
и за счет этого средняя плотность ядра потока возрастает. При
дальнейшем увеличении скорости газа возникает
дисперсно-кольцевой режим и, наконец, происходит захлебывание и обращение
движения жидкой фазы — она увлекается газовым потоком вверх.
При ламинарном движении свободно стекающей жидкой
пленки ее толщина и профили скорости могут быть рассчитаны на
основе уравнений Навье—Стокса (задача Нуссельта). Для средней
скорости и толщины пленки выведены уравнения
-\Zu.\ Re2/3 8 - —
Rel/3
а для профиля скорости — и>х = ^ j; I 8 - — jsin p.
Переход от ламинарного режима течения к ламинарно-волно-
вому происходит при Re= 12, однако, как показывают опытные
данные, если можно пренебречь трением на границе жидкость—газ,

412 Глава X11L Двухфазные течения в трубах и каналах
т. е. при малых скоростях газа, то приведенное выше уравнение
для толщины пленки дает приемлемые результаты при Re^ < 1000.
При Re^ > 1000 рекомендуется использовать уравнение
5ср = 0,115 рЧ Ке°п'л6. A3.76)
Режим и направление движения пленки жидкости в
значительной степени определяются величиной касательных напряжений
на границе раздела между жидкостью и газом оп. Чаще всего
скорость газа и>г значительно больше скорости жидкости. Поэтому
в соответствии с уравнением для касательных напряжений
имеем
„ л 1 Ш2 *-„Рг<
где Хп — коэффициент трения на границе раздела фаз; и>прг —
приведенная скорость газа (wnpr = wrcp).
Исходя из модели раздельного течения, можно выразить
градиент давления по высоте трубы, обусловленный трением, с
помощью соотношения A3.34а):
(dp) _ <
где D — диаметр трубы.
Если бы тот же поток заполнял все сечение трубы, то градиент
давления был бы равен
> =
\ w
Сопоставляя эти два выражения и учитывая определение A3.33),
имеем
где Фг2 — параметр двухфазности для газа.
На основании обработки опытных данных гидравлический
коэффициент трения на границе газ—жидкость при волновом течении
пленки выражается в зависимости от отношения толщины
пленки 5 к диаметру трубы D:
f Mi\ A3.78)

5. Системы жидкость—газ 413
Соотношение A3.78) по форме аналогично уравнению,
которое используется для расчета гидравлического коэффициента
трения при движении однородного потока в шероховатой трубе.
Анализ опытных данных приводит к выводу, что пленка с волновой
поверхностью примерно эквивалентна шероховатой трубе с
размером шероховатости, превосходящим в 4 раза среднюю толщину
пленки.
При заданном расходе жидкости нижней границей скорости
газа, отвечающей кольцевому режиму течения, является скорость
газа, при которой происходит образование жидкостных
перемычек, предшествующих переходу к снарядному режиму течения.
Верхним пределом скорости газа является ее значение, при
котором кольцевой режим переходит в дисперсно-кольцевой.
Режим движения жидкости и газа определяется значениями их
приведенных скоростей и>прж и wnpr. Жидкостные перемычки
образуются, когда сила сопротивления, пропорциональная
кинетической энергии потока газа, уравновешивает силу тяжести. В качестве
обобщенных переменных при обработке опытных данных
принимают безразмерные величины
которые можно рассматривать как производные от безразмерного
комплекса Ржи>2/[#/2(рж — рг)] (см. A3.60)), являющегося
производным от числа Фруда Fr = w2/(gl). Для определения условий
захлебывания при противоточном движении жидкости и газа в
вертикальных трубах на основании обработки опытных данных получена
формула
7/2 O1/2 A3.79)
Величина постоянной С зависит от конструктивного
оформления верхних концов труб. Для труб с острыми кромками С = 0,725;
для труб со скругленными кромками, когда возмущениями потока
можно пренебречь, С = 0,88-5-1.
Определение границы между кольцевым и
дисперсно-кольцевым режимами течения представляет значительные трудности
в связи с тем, что на отрыв капель с поверхности жидкости
влияет значительное число факторов. При относительно небольших
приведенных скоростях и вязкости жидкости переход к
дисперсно-кольцевому режиму приближенно определяется условием
КР.гЛп/^)(Рг/РжI/2 > 2,46 • ЮЛ A3.80)

414 Глава XIII. Двухфазные течения в трубах и каналах
Для вычисления объемной концентрации ср в восходящем
кольцевом потоке рекомендуется следующее эмпирическое
соотношение, хорошо описывающее опытные данные при q> > 75-5-80%:
Подробные сведения о закономерностях кольцевого течения
двухфазных систем приводятся в специальной литературе.
Под дисперсным течением понимается движение потока газа со
взвешенными в нем частицами жидкости. Поведение капель в
объеме газа во многих отношениях подобно поведению газовых
пузырьков в объеме жидкости и описывается аналогичными
уравнениями. Принципиальное различие между поведением капель
и пузырьков обусловлено тем, что пузырьки имеют значительно
меньшую плотность. Вследствие этого силы сопротивления со
стороны жидкости значительно превышают силы инерции. Для
капель же картина обратная. Поэтому поведение капель в газовом
потоке во многом зависит от начального импульса, сообщаемого
капле в момент ее образования.
Устойчивость капли в газовом потоке определяется
соотношением инерционных сил и сил поверхностного натяжения. Оно
характеризуется значением числа Вебера We = prw2D/c, где w —
относительная скорость капли, a D — ее диаметр.
При We > 12 капля теряет устойчивость и дробится. Согласно
опытным данным, максимальный размер устойчивой капли при
значениях числа Рейнольдса Re > 1000 примерно равен
sr (l382)
Газожидкостные смеси с дисперсной жидкой фазой
нестабильны. Поведение таких смесей определяется одновременно
протекающими явлениями образования капель и их сепарации из газового
потока. В технике приходится иметь дело с различными задачами,
относящимися к дисперсному течению. Так, в ряде процессов
необходимо распылять жидкость (распылительная сушка, сжигание
жидкого топлива и т. п.), в других процессах (выпаривание, барбо-
таж и т. д.) требуется уменьшить или предотвратить унос
жидкости газом или паром. В связи со сложностью явлений образования
капель при взаимодействии газа с жидкостью в настоящее время
нет обобщений, которые можно было бы рекомендовать для
инженерных расчетов. Для отдельных случаев используются
опытные данные, приводимые в специальной литературе.

Глава XIV
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
В МЕХАНИКЕ ЖИДКОСТИ И ГАЗА
Отличительной особенностью практически всех
рассмотренных ранее уравнений, связанных с задачами механики газа,
является их нелинейность. Поэтому аналитические решения
возможны либо для условий течения, в котором конвективные ускорения
отсутствуют или пренебрежимо малы (см. гл. IV), либо при
использовании теории пограничного слоя, когда исходную систему
уравнений в частных производных удается свести к обыкновенным
(хотя и нелинейным) дифференциальным уравнениям (см.
главы VII, X). Заметим, однако, что в последнем случае систему
обыкновенных дифференциальных уравнений приходится решать
численно тем или иным методом, и здесь, как показано выше,
большую помощь могут оказать распространенные ныне
математические пакеты (Mathcad, Maple, Mathematica, MATLAB). Анализ
течений, развивающихся в сложных системах, как правило,
выполняется с использованием численных методов.
Основная трудность расчета поля скоростей связана с
неизвестным полем давления. Компоненты градиента давления входят
составными частями в уравнения Навье—Стокса, но явного
уравнения для определения поля давления не имеется. Если поле
давления задано, то численное решение уравнений движения не
вызывает особых трудностей; здесь пригодно множество
численных схем решения уравнений переноса, имеющихся в литературе
по вычислительной математики, некоторые из этих схем будут
рассмотрены ниже. Но откуда взять поле давления и каким оно
должно быть?
Для сжимаемых потоков поля скорости и давления
согласуются через уравнение неразрывности, точнее через связь плотности
газа (жидкости) с давлением. Предположение о несжимаемости
среды приводит к дополнительным вычислительным трудностям.
В уравнение неразрывности несжимаемой жидкости входят
лишь компоненты скорости, т. е. в данном случае вообще нет
прямой связи давления с полем скорости. Поэтому найти поле

416 Глава XIV. Численные методы в механике жидкости и газа
давления при расчете несжимаемых течений можно лишь
косвенно, и здесь возможны два общих подхода.
В первом из них давление исключается из определяющих
уравнений путем введения завихренности потока со и функции тока у
(см. гл. III). Данный подход имеет свои достоинства и недостатки,
о которых мы будем говорить ниже, однако одно обстоятельство
необходимо отметить сразу: первый подход (метод
«завихренность-функция тока») наиболее эффективен при анализе
двухмерных стационарных течений или нестационарных потоков, но
с пренебрежимо малым изменением давления. Иными словами,
для эффективности данного метода нужно, чтобы система
решаемых уравнений не содержала переменных, явно и существенно
зависящих от давления.
Во втором подходе используются первичные (или, как еще
говорят, примитивные) переменные (u,v,p в двухмерном случае),
а поле давления находят из решения уравнения неразрывности,
применяя специальные процедуры. Если «правильное», т. е.
соответствующее действительности, поле давления подставить в
уравнения Навье-Стокса, то получаемое из них поле скорости будет
удовлетворять уравнению неразрывности. Конечно, такой
косвенный метод отыскания давления не очень удобен, но другие методы
дают обычно неудовлетворительные результаты.
В дальнейшем анализе мы будем использовать главным
образом уравнения, описывающие двухмерные нестационарные
несжимаемые течения, которые в безразмерной записи имеют вид
Здесь
ъи ТТьи „ъи эр 1 (д2и д2и) 1 эн
1 эн „„„
-ъ-гх; (R2)
Н? (R3)
-х- v-y- II- и ¦ V- v ¦
~Т Y~T V~TJ V~TJ
V~
L и V, — масштабная длина области и базовая скорость системы
соответственно.

417
Большинство течений в металлургических печах и
теплоэнергетических агрегатах являются турбулентными. Тем не менее ниже
мы будем рассматривать численные схемы для ламинарных
течений. Для учета турбулентных эффектов при расчете несжимаемых
потоков обычно используется либо алгебраическая модель
турбулентной вязкости, либо (Ет- е)-модель (см. гл. VI). Для
вычисления алгебраической модели требуется лишь незначительное
изменение алгоритмов расчета ламинарных течений. Структура
дифференциальных уравнений для Ет и г аналогична структуре
уравнений баланса импульса, и дискретизация этих уравнений
обычно проводится одинаково. Таким образом, алгоритмы расчета
вязких ламинарных течений столь же пригодны (с небольшими
изменениями) и для расчета турбулентных течений. Поэтому в
настоящей главе явное внимание расчетам турбулентных течений
уделяться не будет.
Для нестационарных течений требуется определить начальные
условия: U= U0(x, у) и V = K0(jc, у), удовлетворяющие уравнению
A4.1). Граничные условия на твердой поверхности заключаются
в отсутствии относительного движения жидкости и твердого тела,
что определяет компоненты скорости. Граничные условия для
давления на твердой поверхности задавать не надо. Если компоненты
скорости определены на всей границе области расчета, то
необходимо обеспечить выполнение глобального условия
0, A4.4)
где S — граница области расчета. Уравнение A4.4) является
глобальным выражением уравнения A4.1).
Если область расчета содержит открытые границы, то
количество граничных условий увеличивается. На входной границе
необходимо поставить два граничных условия; обычно задаются одна
компонента скорости и давление. На выходной границе можно
положить равными нулю производные скорости по нормали к
границе, граничные условия для давления ставить не надо.
Поскольку в уравнения движения входят лишь производные давления, его
величина может быть задана в одной точке, относительно которой
будет проводиться отсчет давления.
Набор возможных численных схем решения задач динамики
жидкости весьма обширен, и их подробный и сколь-нибудь
полный обзор выходит за рамки данного учебника. По этой причине
ниже излагаются лишь некоторые наиболее распространенные
конечно-разностные методы.
27-3546

418 Глава XIV. Численные методы в механике жидкости и газа
1. ПЕРЕМЕННЫЕ ЗАВИХРЕННОСТЬ И ФУНКЦИЯ ТОКА
При двухмерном течении в векторе завихренности потока
? = rot v имеется лишь одна компонента, которая обычно (см.
гл. III) определяется как
_ ди dv
СО =
ду дх
или в безразмерной форме
ш=э7-э7' (R5)
где со=ю?/К00. Продифференцировав уравнение A4.2) по У,
а уравнение A4.3) по Хи вычтя из первого результата второй,
после несложных преобразований с учетом уравнения A4.5) получим
уравнение переноса завихренности
или после объединения с уравнением неразрывности A4.1) в
дивергентной форме
Эо) Э Э /т, ч 1 ГЭ2со Э2^ л ,ЛЛС ч
{У(й)Цэ^+^)=0- A4-6а)
Компоненты скорости в двухмерном течении выражаются через
функцию тока
где к = V/ Кте — коэффициент осреднения скорости, V — средняя
скорость потока. Введенная таким образом функция тока i|/(Z, У)
тождественно удовлетворяет уравнению неразрывности A4.1).
Подставляя A4.7) в A4.5), получим уравнение Пуассона для
функции тока
С другой стороны, подставляя A4J>^уравнение A4.6а)
получаем __ --

1. Переменные завихренность и функция тока 419
Для определения поля давления необходимо еще одно
уравнение, которое получают следующим образом. Дифференцируя A4.2)
по X, а A4.3) по У и складывая результаты, с учетом уравнения
неразрывности A4.1) находим
дХ2 dY2 {дХ dY dY дХ
или с учетом соотношений A4.7) и A4.8)
дХ2 д?2 \дХ2'д?2 [дХд?
A4.9а)
Это уравнение Пуассона для давления; при выводе его учтено,
чтод2Н/дХ2 = Э2Я/ЭУ2 = 0. В случае стационарной задачи
уравнение A4.9) решают только один раз после того, как вычислены
установившиеся значения со и у.
Обычная процедура решения системы уравнений A4.6), A4.8)
состоит из следующих шагов:
1. В момент времени т = 0 задают начальные значения со и \|/.
2. Решают уравнение переноса завихренности для со в каждой
внутренней точке расчетной области в момент времени т + Ах.
3. Решая итерационно (или прямым методом) уравнение
Пуассона A4.8), находят новые значения \|/ во всех точках сетки по
новым значениям со во внутренних точках.
4. Находят компоненты скорости по соотношениям A4.7).
5. Определяют значения со на границах по значениям \|/ и со во
внутренних точках.
6. Если решение не сходится, то возвращаются к шагу 2 (для
стационарных задач) или просто переходят на новый шаг по
времени (для нестационарных задач).
Перейдем теперь к процедуре построения дискретных аналогов
уравнений A4.6) и A4.8). Для инженерных приложений важно
иметь консервативную численную схему, гарантирующую
выполнение законов сохранения как для бесконечно малой части расчетной
области, так и для всей области в целом. В общем случае, как это
следует из материала предыдущих глав, основное изменение скорости
потока происходит либо вблизи границ течения, либо в окрестности
оси факела (струи газа). Поэтому будем ориентироваться на
неравномерную конечно-разностную сетку, девятиточечный шаблон
которой показан на рис. 14.1 (Nn S— северная и южная стороны; Wn E—
западная и восточная стороны; Р — центральная (расчетная) точка).

420
Глава XIV. Численные методы в механике жидкости и газа
NW
О—
ч>
w
sw
SW
N
-О
пе
se
NE
О
SE
Рис. 14.1. Шаблон
конечно-разностной сетки
Уравнение завихренности. Офаничимся в целях упрощения случаем
стационарного течения и проинтегрируем уравнение A4.66) по
площади контрольного объема (штриховой прямоугольник на рис. 14.1):
к(о^г \-^-\ к(й^- WdXdY-
Re}l\dX2 ЭГ2
A4.10)
По физическому смыслу слагаемые уравнения A4.10)
существенно различаются, поэтому и методика построения дискретных
аналогов этих слагаемых будет различной. Два слагаемых
подынтегрального выражения левой части этого уравнения
характеризуют перенос завихренности с движущимся потоком — это
конвективные слагаемые. Два слагаемых в подынтегральном выражении
первой части отражают изменение завихренности за счет
неоднородности ее поля в области движения — это диффузионные
слагаемые. Нетрудно видеть, что все эти слагаемые можно один раз
точно проинтегрировать. Выполняя это интегрирование, находим
-2Х- \dX-
= 0. A4.11)
Индексы e,w, nus означают, что изменение данной величины
должно оцениваться вдоль стороны контрольного объема с этим

/. Переменные завихренность и функция тока 421
индексом. Дальнейшие преобразования выполним отдельно для
конвективных и диффузионных слагаемых.
Конвективные слагаемые. Конвективные слагаемые
содержат четыре интеграла, которые надо вычислить. Для
дальнейшего анализа достаточно подробно рассмотреть один из них, так
как остальные вычисляются аналогичным образом. Поэтому
рассмотрим первый из интегралов, характеризующий конвективные
слагаемые, обозначив его индексом 1к:
Г. A4.12)
Если со и \|/ — достаточно гладкие функции (а по физическому
смыслу ламинарного течения они должны быть именно такими),
то существует среднее значение ю,, определяемое равенством
в котором индексами пе и se обозначены соответствующие
вершины контрольного объема. Следовательно, уравнение A4.12)
можно переписать в виде
IK = *effie(Vllt-Vje). A4.14)
Задача состоит в том, чтобы выразить п>е ум и yse через
значения переменных в узлах сетки. Эту операцию можно выполнить
различными способами, но всегда целесообразно учитывать при
этом физические особенности задачи. В данном случае такой
особенностью является то обстоятельство, что завихренность
переносится потоком со скоростью U= к- Э\|//ЭК Поэтому, учитывая
малые размеры контрольного объема, естественно предположить,
что, приходя к грани, например е, поток приносит с собой то
значение завихренности со, которое имело место в ближайшем узле,
расположенном выше по течению (против потока). В отношении
выражения A4.14) это означает, что если разность yne~yse
положительна и, следовательно, поток направлен слева направо, то
величина ше должна быть равна со,,. Напротив, если разность \\fne — \\fse
отрицательна, то течение направлено справа налево, от узла Е
к узлу Р, и должно быть Щ - ю?. Данная схема называется схемой
против потока.

422
Глава XIV. Численные методы в механике жидкости и газа
Математическим оформлением описанной выше логики
является выражение
(УУ)ЫУ\ (У-У)+\У-У,е\. A4Л5)
Таким образом, вместо A4.14) можно записать
к=
A4.16)
и аналогично для других конвективных слагаемых. Присутствие
в уравнении A4.16) сначала алгебраической разности значений
функции \|/ в вершинах контрольного объема, а затем ее модуля
гарантирует, что одно из слагаемых, стоящих в квадратных
скобках, обязательно будет равно нулю. Оставшееся слагаемое будет
определять расход среды через сторону контрольного объема е со
стороны узла, расположенного вверх по течению от этой стороны.
Примем допущение, что значение функции тока в вершине
контрольного объема равно среднему арифметическому из ее значений в
четырех соседних узлах, например
(
и аналогично для значений \ynw \yse и yw.
Объединив результаты аппроксимации интегралов всех
конвективных слагаемых, после несложных преобразований находим
их дискретный аналог
-17)
Здесь
= g К
= g К
g
*-V*)+1 Vw-V* I] =
- Vw 4V I]
0.
A4.18)

7. Переменные завихренность и функция тока 423
Следует отметить, что ни один из коэффициентов А не может
стать отрицательным, хотя они могут обратиться в нуль. Это одно
из обстоятельств, обеспечивающих сходимость итераций, о чем
подробнее будет сказано ниже.
В соотношениях типа A4.18) используется значение
коэффициента осреднения k на гранях контрольного объема. Если этот
коэффициент является функцией координат, то мы будем знать
значение к в узлах конечно-разностной сетки, т. е. кр9 кЕ и т. п.
В этом случае необходимо каким-то образом определить
коэффициент осреднения скорости на грани контрольного объема через
значения этой величины в узлах сетки.
Наиболее простым способом определения коэффициента
осреднения скорости на грани контрольного объема является
использование линейной зависимости для представления
изменения к между узлами, в частности между узлами Ей Р. Пусть
A4.19)
где fe — интерполяционный коэффициент, равный
f АЪХ\+ = ХЕ-Хе A4.20)
Л (дХ)е ХЕ-ХР
Если грань контрольного объема расположена посередине
между узлами, то/е = 1/2 и формула A4.20) дает в этом случае среднее
арифметическое значение. В отношении коэффициента
осреднения скорости это приближение вполне допустимо, так как при
любом изменении скорости потока маловероятно резкое или
скачкообразное изменение к.
Диффузионные слагаемые. Их также четыре, но, как и в
случае конвективных слагаемых, достаточно рассмотреть лишь
одно из них. Вычислим интеграл
В данном случае наши возможности при вычислении
интеграла A4.21) весьма ограниченны. Мы не имеем никакой
дополнительной информации о поведении производной дю/дХ по
координате Y. Поэтому приходится (по необходимости) принять
предположение, что хорошим средним этой величины для
контрольного объема является ее значение в середине стороны е, т. е.
при У = Yp. Тогда
I =JL|_

424 Глава XIV. Численные методы в механике жидкости и газа
Аппроксимация производной Эсо/ЭЛГ может быть осуществлена
с любым порядком, если воспользоваться методом
неопределенных коэффициентов. Для инженерных приложений вполне
допустимо следующее приближение:
Эсо ^ (дЕ - (оР
имеющее второй порядок аппроксимации. Тогда окончательное
выражение для анализируемого диффузионного слагаемого можно
записать в виде
' ??<«*-*>• A423)
Другие диффузионные слагаемые оцениваются аналогичным
образом. В итоге получим следующее выражение для суммы
четырех интегралов диффузионных слагаемых 1диф:
+BN((oN -Ю/>) + Bs((os -соР), A4.24)
где
В - l Y»-Ys. в -
Е 2Re ХХ9 w
в
ХЕ-ХР9 w l\te X?-Xw
в — ^ Е ~~ w • в — ^ Е ~ w
^Re YY' 5~
в
YN-YP' 52Re YP-Y
S
A4.25)
Анализ выполненных выше преобразований показывает, что
схема «против потока» содержит внутреннее противоречие,
заключающееся в том, что при аппроксимации конвективных и
диффузионных слагаемых уравнения A4.6) использовались разные
профили со между узлами: линейный для диффузионных слагаемых
и «против потока» (из соседнего узла) — для конвективных.
Хорошая численная схема, конечно, не должна быть противоречивой.
Мощным средством конструирования эффективных
разностных схем является анализ точных решений модельных
уравнений, в которых учитываются основные (наиболее существенные)
стороны процесса. Для рассматриваемого случая переноса
завихренности в качестве модельного уравнения выступает уравнение
одномерного переноса

/. Переменные завихренность и функция тока 425
Точное решение: уравнение A4.26) можно решить точно,
так как для одномерного течения в соответствии с уравнением
неразрывности U = const. Если рассматривать область 0 < X < L
с граничными условиями
со = со0 при X = 0;
со = (ul при X— 1,
то решение A4.26) можно представить в виде
со-со0 =ехр(Ре-ЛГ)-1 A4 27)
со^ - (uq ехр (Ре) -1
где Ре = puL/\i —- число Пекле.
Смысл точного решения A4.27) будет более понятен, если
рассмотреть частные случаи решения. При очень медленных
течениях, когда Ре -> 0, в правой части A4.27) имеем неопределенность
типа 0/0. Раскрывая ее по правилу Лопиталя, получим
rf[exp(Pe •
?.х. A4.27а)
и гс
т. е. в случае чистой «диффузии» завихренности зависимость со от
Xявляется линейной. В другом предельном случае очень быстрых
потоков (Ре -» оо) вторыми слагаемыми в числителе и знаменателе
правой части A4.27) можно пренебречь. Тогда
о-0* = limeXp(Pe XK lim схр[-РЬA-Л]. A4.27 6)
®1-<°о\ре->- Ре"°° ехр (Ре) Ре->~
Нетрудно заметить, что при больших Ре (Ре » 1) значение со
остается очень близким к со0 на большей части участка @, 1),
и только при X» 1 происходит скачкообразное увеличение до
уровня сог При Ре «: 0 наблюдается обратная картина (рис. 14.2).
Из рис. 14.2 легко понять, в чем состоит сущность
упомянутого выше противоречия. Изменение со по вносит далеко не
линейный характер, за исключением очень малых значений |Ре|.
Отметим характерные особенности точного решения, которые
должен учитывать разностный аналог.
1. Когда |Ре| велико, значение со при L = 1/2 (грань
контрольного объема) приблизительно равно значению со на границе вверх по
потоку. Это и есть допущение, сделанное в схеме «против потока»,
но для всех |Ре|, а не только для больших.

426
Глава XIV. Численные методы в механике жидкости и газа
2. Когда |Ре| принимает большие значения, производная dw/dX-* О
при X— 1/2 (рис. 14.3). Таким образом, диффузия почти
отсутствует. В схеме с аппроксимацией против потока диффузионное
слагаемое рассчитывается, исходя из линейного профиля со, т. е.
предполагается несколько больший вклад диффузии при больших
значениях |Ре|.
Резюмируя вышесказанное, приходим к следующему выводу.
Сущность отмеченного ранее противоречия разработанной
численной схемы состоит в том, что аппроксимации конвективных и
диффузионных слагаемых имеют различную тенденцию
увеличения точности при изменении |Ре|: когда точность аппроксимации
конвективных слагаемых повышается (например, при увеличении
|Ре|), точность аппроксимации диффузионных слагаемых падает,
и наоборот.
Если дискретный аналог получен непосредственно из точного
решения A4.27), то результирующая схема не будет иметь каких-
либо эффектов. Такая схема называется экспоненциальной.
Для реализации экспоненциальной схемы введем понятие
суммарного потока завихренности со, который складывается из
конвективного потока С/со и диффузионного потока —
С учетом этого определения уравнение A4.26) запишется в виде
dX
= 0,
A4.29)
и после интегрирования по контрольному объему, показанному на
рис. 14.4, получаем
/&-^=0. A4.30)
со-а>о
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
Ре=-10/
1
Д
Ту
Ж
Ш
/
/
1 .
1
/
/
-4
/
/
/
-2/
/
0
/
/
/
2
у
у
/
/
4
/
/
/
/
/
/
10/
/
/
I
/
' 1
/
А
/I
/
1
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 X
Рис. 14.2. Изменение
завихренности по длине области

1. Переменные завихренность и функция тока
427
Рис. 14.3. Изменение
производной завихренности по длине
области
dX
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 X
1
1
\
\
\
(
—
Ре=
у
\
) >
=-1(
*%•
Ре=
=10
i
г
1
/
/
/
/4
/
'2,-
Рис. 14.4. Одномерный
контрольный объем
W
Е
(ЬХ)е
Теперь точное решение A4.27) можно использовать в качестве
профиля между точками Р и Е, заменив ю0 и coL на со,, и со?, a L = 1
на (ЬХ)е. Подставив этот профиль в уравнение A4.30), получаем
выражение для Ju
= GA (ор +
exp(Pee)-lJ'
где
A4.31)
A4.32)
Следует отметить, что Jle не зависит от расположения грани
контрольного объема между узлами Р и Е. Конечно, точное
решение, которое удовлетворяет уравнению A4.29), должно учитывать
это обстоятельство.
Окончательная подстановка A4.31) и аналогичного выражения
для Jlw в A4.30) приводит к уравнению
exp(PeJ-l
= 0, A4.33)

428
Глава XIV. Численные методы в механике жидкости и газа
\
\
ч
3'
\
,2
*—
Рис. 14.5. Зависимость
коэффициента AE/Ct от числа Пекле: 1 —
АЕ _ Ре/ . 2_ АЕ Рее.
Се ехр(Рее)-1' Се 2 '
-5 -4-3-2-1012345 Рев
которое можно записать в стандартном (каноническом) виде
&w, A4.34)
Ge .
= АЕыЕ +
где
Ле ехр(Рее)-1'
__ (?wexp(PeJ .
A4.35)
Эти выражения для коэффициентов определяют
экспоненциальную схему. При ее использовании для решения стационарной
одномерной задачи такая схема гарантирует получение точного
решения для любого значения числа Пекле и для любого числа
узлов сетки. Несмотря на это, такая схема широко не
используется, потому что, во-первых, расчет экспонент требует больших
затрат машинного времени и, во-вторых, схема не является точной
при расчете двух- и трехмерных течений, наличии источников
завихренности и т. д.
Для практики нужна простая расчетная схема, которая
качественно сохраняла бы поведение экспоненциальной схемы. Такой
относительно простой будет схема со степенным законом.
Проанализируем зависимость коэффициента АЕ или, более точно, его
безразмерного аналога АЕ/Се от числа Пекле. Из выражения A4.35)
следует, что

L Переменные завихренность и функция тока
429
Зависимость A4.36) показана на рис. 14.5. Для положительных
значений Рее узловая точка Е оказывается расположенной вниз по
течению и ее влияние уменьшается по мере роста числа Рее. Когда
Рее принимает отрицательные значения, точка Е оказывается
расположенной вверх по течению и в этом случае оказывает большое
влияние. Отметим некоторые свойства зависимости ЛЕ/Се от Рее
(см. рис. 14.5; точная зависимость — сплошная линия):
при
Ае
при Ре, -» -©о —?- -> -Ре,
A4.37)
т» r\ -**-F 1 * ^
при Ре, «О 7^ = l—1
Прямые линии, представляющие эти предельные случаи (они
показаны на рис. 14.5 пунктиром), можно рассматривать как
ломаную огибающую точного решения с достаточно хорошей его
аппроксимацией (так называемая комбинированная схема).
Необходимо только уточнить эту аппроксимацию при значениях чисел
Рее в области |PeJ = 2. Хорошие результаты для определения АЕ
дает следующая схема, называемая степенной схемой:
при Ре, < -10
= -Рее
при -10 < Ре, < 0 ^ = A + 0,1 РееM- Рее
при 0<Ре,<10 -f = A-0,1 Ре,)
Ч?
при Рее > 10
= 0
A4.38)
Сопоставление результатов расчетов по выражениям A4.36)
и A4.38) показывает, что различие значений АЕ настолько мало,
что это не выявляется при графическом сравнении.
Условные соотношения A4.38) можно записать более
компактно, если ввести новый оператор [\А, В\], определяющий
наибольшую из двух величин Аи В. Тогда система A4.38) принимает вид
,-Ge|]. A4.39)
АЕ = Се [|0, A - 0,l|PeJM|]

430
Глава XIV. Численные методы в механике жидкости и газа
; е А /+1 Рис. 14.6. Суммарный поток /* меж-
I ду двумя узловыми точками
\
\
\
\
г
-—'
\
/
У
Ре
......
/
2
/
Рис. 14.7. Зависимость Я и Еот Ре:
1 - #(Ре) = РеДехр(Ре)-1]; 2 -
= Реехр(Ре)/[ехр(Ре)-1]
-5-4-3-2-10 1 2 3 4 5Ре
Чтобы получить дальнейшее представление об аппроксимации
конвективных и диффузионных слагаемых и построить общие
рамки, в которые можно было бы вписать различные схемы,
рассмотренные до сих пор, необходимо исследовать некоторые общие
свойства использованных коэффициентов и привести общую
формулировку дискретного аналога. Рассмотрим узловые точки / и / + 1,
разделенные расстоянием 5, как показано на рис. 14.6. Запишем
суммарный поток /z, проходящий через грань контрольного
объема, расположенную между этими узловыми точками. Используя
уравнение A4.28), получаем
A4.40)
d(X/5)'
где Ре = ри8/цэф — число Пекле. Значение ш на грани контрольного
объема представим как некоторое взвешенное среднее ш/ и оо.+1, хотя
градиент d(o/d(X/S) умножается на сож — ю.. Далее предположим, что
-со/), A4.41)
где а и р — безразмерные множители, зависящие от Ре.
Аналогичным образом /* можно представить в виде
7+1 9
A4.42)
где Ей Н— безразмерные коэффициенты, которые являются
функциями числа Ре (коэффициент Я содержит величины в узле / + 1,

1. Переменные завихренность и функция тока 431
расположенном перед гранью контрольного объема, Е — в узле /
за гранью контрольного объема, что соответствует выбранному
направлению координаты).
При изучении зависимости коэффициентов Я и Е от числа Ре
необходимо знать два их свойства. Если со, = со/ + р то
диффузионный поток равен нулю. В этом случае Jz будет определяться только
конвективным потоком ри5, а безразмерный поток
/* = Рею.= Ресо. + 1 A4.43)
Комбинируя уравнения A4.42) и A4.43), получаем
Е = Я + Ре. A4.44)
Другим свойством коэффициентов Я и Еявляется их взаимная
симметрия. Если изменить направление координатной оси на
обратное, то Ре будет равно — Ре, а коэффициенты Я и is
поменяются ролями. Таким образом, функции //(Ре) и ДРе) связаны
соотношениями
Я(-Ре) = ДРе); A4.45)
Д-Ре) = Я(Ре). A4.46)
Зависимости Я и Е от числа Ре, которые можно найти из
A4.31), показаны на рис 14.7. Расстояние по вертикали между
кривыми Я и /s равно Ре, кроме того, обе кривые расположены
симметрично относительно оси ординат (Ре = 0). Основным
следствием из указанных свойств является то, что совокупность функций
//(Ре) и ДРе) можно описать функцией #(Ре), известной только
для положительных значений Ре (штриховая линия в диапазоне
@ < Ре < 10)). Отсюда для Ре < 0, учитывая A4.44) и A4.45), имеем
Я(Ре) = ДРе) - Ре = //(-Ре) - Ре = Я(|Ре|) - Ре. A4.47)
Таким образом, для всех значений Ре, положительных и
отрицательных, можно записать
Я(Ре) = Я(|Ре|) + [|-Ре, 0|] , A4.48)
а затем, используя A4.44), получить
ДРе) = Я(|Ре|) + [|Ре, 0|]. A4.49)
Кроме того, запишем два следующих соотношения, полученных
с учетом A4.42) и A4.44):
/*-Реш,. = Я(со.-со/ + 1); A4.50)
/•- Ре со/ + 1 = ?(ш,-ш, + 1). A4.51)

432
Глава XIV. Численные методы в механике жидкости и газа
Рассмотрим теперь соотношение A4.42) для потоков на гранях
контрольного объема w и е и используем A4.48) и A4.49). Тогда
получим общую форму дискретного аналога одномерного
уравнения переноса завихренности:
Аро>р = АЕ(оЕ + Аи
где
A4.52)
A4.53)
Описанные выше и другие схемы теперь можно получить
просто различным выбором функции #(|Ре|). Выражения для #(|Ре|),
соответствующие различным схемам, приведены в табл. 14.1.
Прежде чем перейти от одномерной задачи к двухмерной,
рассмотрим значения со,, полученные при использовании различных
схем для заданных значений со? и со^. Без потери общности
положим со?= 1 и со^= 0. Далее примем, что отрезки EХ)е и
EX)wравны, при этом со, будет функцией Ре = риЪХ/\л.. Зависимость со,
от Ре, полученная по различным схемам (см. таол. 14.1), показана
на рис. 14.8 (результаты расчета по схемам со степенным законом
и экспоненциальной (точной) так близки, что изображены на
рисунке одной кривой). Все схемы, за исключением
центрально-разностной, дают результаты, которые можно назвать физически
реальными, а центрально-разностная схема дает значения, лежащие
вне области @, 1), определенной крайними значениями. Можно
видеть, что центрально-разностная схема обеспечивает
приемлемые результаты лишь в диапазоне |Ре| < 0.
(Ор
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
-0,2
У"
---
л
i
л
\
A
V
• 2
l\
—-
-Ю-8 -6-4-202468 ЮРе
Рис, 14.8. Зависимость со, от
числа Ре, полученная по различным
схемам: 1 —
центрально-разностной; 2 — комбинированной; 3 —
с разностями против потока; 4,5—
со степенным законом и
экспоненциальной (точной)

1. Переменные завихренность и функция тока
433
Таблица 14.1. Функция #(|Ре|) для различных схем
Схема
Зависимость
для Я(|Ре|)
Центрально-раз- 1 — 0,5 |Ре|
ностная
С разностями 1
против потока
Комбинированная [|0,1 - 0,5|Ре||]
Схема
Зависимость
для Я(|Ре|)
Со степенным Ц0,( 1-0,1 |Ре|M|]
законОхМ
Экспоненциальная |Ре|/[ехр(|Ре|) -1]
(точная)
Теперь у нас имеются все составляющие, необходимые для
получения дискретного аналога уравнения переноса
завихренности A4.6а). Здесь лишь нужно учитывать, что для двухмерного
варианта величины, входящие в соотношение A4.52),
видоизменяются и появляются новые коэффициенты. Вместо массовых
скоростей Ge и Gw используются пропорциональные им величины
Fe = UeAY; FW = UWAY; Fn = VnAX; FS = VSAX, A4.54)
а коэффициенты С, и Cw принимают вид
1 АГ
С =
2Re
1 AX
2 Re (bY)n
• с =
1 AY
2Re EX)W
1 AX
2 Re EУ)/
A4.55)
По-прежнему локальные числа Пекле определяются
соотношениями
Тогда окончательный вид дискретного аналога уравнения
A4.6а) можно записать следующим образом:
А*Е((йР -
где
= 0, A4.57)
4
28-3546

434 Глава XIV. Численные методы в механике жидкости и газа
Нетрудно заметить, что коэффициенты Ск, определяемые
соотношениями A4.55), с точностью до обозначений совпадают
с полученными ранее величинами Вк — выражения A4.25). С
другой стороны, например, выражение [\—Fe, 0|] можно записать еще
следующим образом:
По определению функции тока
Таким образом, вторые слагаемые в соотношениях A4.58)
совпадают с выражениями A4.18), и можно записать
АЕ = ВЕЩ\Т>ее|) + АЕ; А^ = BwH(\Pew|) + Aw;
\) + AN; 4= Д*#(|Ре5|)+ As.
Здесь в качестве функции #(|Ре|) можно взять любое выражение
из табл. 14.1. Рекомендуется схема со степенным законом, для
которой
Я(|Ре|) = [|0,A~0,1|Ре|M|]. A4.60)
Уравнение A4.60) достаточно полно отражает качественную и
количественную сторону конвективно-диффузионного переноса
завихренности со. В самом деле, при Ре -> 0 вторые слагаемые
соотношений A4.58) и A4.59) стремятся к нулю, функция #(|Ре|)-> 1,
и получаем чисто диффузионный перенос со при линейном профиле
со между узлами. По мере увеличения скорости потока (числа Пекле)
функция jfiT(|Pe|) уменьшается, влияние диффузионной
составляющей ослабевает и при |Ре| > 10 исчезает вовсе — остается одна
конвективная составляющая, определяемая по разности против потока.
Заметим, что значения чисел Пекле, необходимые для
вычисления функции #(|Ре|), определяются выражениями

1. Переменные завихренность и функция тока 435
Собирая воедино все полученные результаты, находим полное
конечно-разностное уравнение
АрЫр = АЕ(о? + А^Щг + A#<oN + 4?co5, A4.62)
где
Ар = АЕ + Aw + AN + As,
или, после несложных преобразований,
соР = С?(о? + CW(QW + С^ш^ + С5(о5, A4.63)
где
Уравнение A4.63) является главным результатом всех
преобразований уравнения переноса завихренности A4.6). Оно дает
алгебраическое соотношение между значением искомой функции со в
данном узле и ее значениями в соседних узлах. В каждом внутреннем узле
области можно записать одно такое уравнение. Подчеркнем
специально еще раз: уравнение A4.63) справедливо именно для внутренних
узлов. Уравнения для узлов, лежащих на границах области,
составляются отдельно.
Уравнение для функции тока. Проинтегрируем уравнение A4.8)
по площади контрольного объема:
-E-\k?V-\dXdY =
J adXdY. A4.65)
Можно видеть, что интегралы в левой части A4.65) можно один
раз точно проинтегрировать. Тогда будем иметь
У X
= J / codXdY. A4.66)
YSXW
Интегралы в левой части A4.66) по своей структуре совпадают
с интегралами от диффузионных слагаемых уравнения переноса

436 Глава XIV. Численные методы в механике жидкости и газа
завихренности, поэтому сразу можно записать, например, для
первого слагаемого
т — Г k y
¦*j — I i л
(W-67)
Проблема в данном случае состоит в наиболее точном
выражении коэффициента осреднения скорости на грани контрольного
объема е через значения этой величины в узлах сетки. Линейная
аппроксимация A4.19) для уравнения A4.67) не может считаться
удачной, так как при моделировании вихревого движения в
отдельных частях области определения могут наблюдаться разрывы
и скачки скорости. Необходимо найти такую схему определения ке,
которая обеспечивала бы правильное определение потока среды
при любом изменении скорости.
По определению поток массы равен (рис. 14.9)
Уравнение A4.68) совпадает с уравнением плотности
теплового потока в стенке при стационарном режиме. Используем эту
аналогию для вывода формулы, определяющей коэффициент
осреднения скорости на грани контрольного объема.
Предположим, что в контрольном объеме, центром которого
является узел Р, коэффициент осреднения постоянен и равен кр,
а в контрольном объеме, окружающем узел Е, эта величина равна кЕ.
Тогда, используя формулу для плотности теплового потока в
двухслойной стенке, запишем по аналогии
Рис. 14.9. Схема к выводу уравне-
1 (ЬХ)е. (ЬХ)е+ ' ния для определения ке

1. Переменные завихренность и функция тока 437
Объединяя уравнения A4.68) и A4.69), получаем
<147о)
Когда грань е расположена на равном расстоянии между
точками Р и ?, имеем /е = 1/2 и
»\ »h „4.71)
K.
кР+кЕ
Из уравнений A4.71) видно, что ке представляет собой среднее
гармоническое величин кр и кЕ вместо среднего арифметического,
который дает уравнение A4.19) при^.
Эффективность этой формулировки видна из следующих двух
предельных случаев.
1. Пусть кЕ -> 0, тогда из уравнения A4.71) ке -> 0. Это
означает, что поток среды на грани контрольного объема становится
равным нулю, чего и следовало ожидать, так как слой (ЬХ)^ непроду-
ваемый. Выражение A4.19) в этом случае будет давать отличное от
нуля значение потока.
2. Пусть кр^> кЕ, тогда ке -» k?/fe. Из этого следуют два вывода,
один из которых очевиден. Предельное выражение показывает,
что коэффициент осреднения ке совершенно не зависит от кр. Это
вполне понятно, так как высокопроводящая среда, окружающая
узел jP, должна иметь пренебрежимо малое сопротивление по
сравнению со средой вокруг точки ? (формула A4.19) дает
зависимость ке от к^. Второй вывод заключается в том, что ке не равен кЕ,
а больше этого значения в \/fe раз. Поясним это утверждение. Как
уже упоминалось, конечной целью проводимого анализа является
получение правильного значения потока Je с помощью уравнения
A4.68). Используя предельное соотношение, получаем
Когда кр » кЕ, изменение величины у на отрезке (ЬХ)е_ очень
мало и уровень \|/р как бы переносится на грань е. Поэтому
разность \|/? — ур действительно относится к отрезку (ЬХ)^.
Рассмотрение этих двух предельных случаев показывает, что
при использовании соотношения A4.70) можно
аппроксимировать резкие изменения коэффициента осреднения, не применяя
чрезмерно частой сетки.

438 Глава XIV. Численные методы в механике жидкости и газа
Возвращаясь к соотношению A4.67) и учитывая полученные
ранее результаты, окончательно имеем
TrtiMh <R72)
1\,р Т 1\,? Л. ? Л. р
Другие интегралы левой части A4.66) можно оценить
аналогичным образом. В итоге получаем следующее выражение для этой
части уравнения
kf
kP
к
kP
* E
+kE
+ kN
Y/i ~
Xx~
YN-
Ys .
X/
YP *
/) —
uw
kpkw
k? +kw
kpks
kp + ks
YN
Xp
xE
Yp
-Ys
- Xw
-Ys
A4.73)
где
A4.74)
Перейдем теперь к анализу правой части уравнения A4.66).
В простейшем случае можно считать, что в пределах контрольного
объема завихренность постоянна и равна <ог Тогда
Y X
\ / <odX dY = <оР(Хе - Xw)(Yn -Ys) =
У X
5 ' =±a>p(XE-Xw)(YN-Ys). A4.75)
Однако такое предположение противоречит принятому ранее
профилю завихренности при аппроксимации уравнения A4.6а).
Более точные результаты получаются при задании линейного
профиля изменения завихренности в пределах контрольного объема.
Если в целях упрощения принять, что АЛГ= ДУ= (8Х)е = ($X)W =
= (8У)я = (8УM = А, то вместо A4.75) получим
Yfxf
J J
й((%+6юР + ю?)(со5 + 6о)/> + ©АГ). A4.75а)
64
Таким образом, дискретный аналог уравнения для функции
тока можно записать в виде
Dw\fw + DN\fN + Ds\fs + 5V, A4.76)
где DP = DE + DW + DN + Ds\ 5V =

7. Переменные завихренность и функция тока
439
Уравнение A4.9) (или A4.9а)) аппроксимируется точно таким
же образом, поэтому вопросы построения дискретного аналога
этого уравнения мы здесь опустим.
Решение уравнений дискретного аналога. Из множества методов
решения системы линейных (или нелинейных) уравнений
дискретного аналога здесь упомянем лишь один, наиболее простой и
надежный — поточенный метод последовательных смещений Гауе-
са—Зейделя, в котором значения переменной рассчитываются
путем обращения в определенном порядке к каждой узловой точке.
Рассмотрим использование этого метода на примере системы
уравнений A4.76). Обозначим через А: номер итерации
(последовательного приближения). В памяти вычислительной машины хранится
только один массив \|/. По мере обращения к очередной узловой
точке для расчета переменной используются как значения на к-й
итерации, так и на (И 1)-й. В самом деле (рис. 14.10), если в
двухмерной области организовать обход (сканирование) узловых
точек слева направо и снизу вверх, то при вычислении значения
переменной в узле Р на (к + 1)-й итерации нам уже известны
новые значения \|/ в узлах Жи 5 либо из граничных условий, либо из
результатов расчетов на к-й итерации. Тогда уравнение A4.76)
можно (с учетом номера итерации) переписать в виде
D*+Yp+] = ^М + J>rl4w} + ?>nVn + Vt]Vs+l + Sk A4.77)
или
A4.77a)
Ранее мы уже комментировали физический смысл уравнений
типа A4.76): значение переменной в центральном узле равно
средневзвешенному из значений в четырех соседних узлах с учетом
поправки, обусловленной влиянием источников (стоков) параметра в
контрольном объеме. Для уравнения A4.77) это физическое содержание
Рис. 14.10. К схеме Гаусса—Зейделя
-6
о-
Е
-о-

440 Глава XIV. Численные методы в механике жидкости и газа
уравнения сохраняется, однако, учитывая, что в A4.77) входят
значения на разных итерациях, этой трактовке можно придать
альтернативную формулировку: значение переменной в центральном
узле на новой итерации складывается из старого значения и
поправки на изменение переменной в соседних узлах.
Вычислительная практика показывает, что сходимость численного решения
улучшается, если соответствующим образом усилить (или
ослабить) значимость поправки. При таком подходе метод Гаусса—Зей-
деля можно преобразовать в поточечный метод последовательной
релаксации:
a)\|/?+1. A4.78)
Здесь коэффициент a называют параметром (или
коэффициентом) релаксации. В зависимости от физических свойств задачи
а выбирается из интервала 0 < а < 2. При 0 < a < 1 получаем метод
последовательной нижней релаксации (ПНР); при a = 1 имеем
метод Гаусса—Зейделя; при 0 < о < 2 — метод последовательной
верхней релаксации (ПВР).
При удачном выборе параметра релаксации скорость
сходимости итераций может увеличиться на порядок. Для простых
областей определения переменной оптимальное значение а можно
установить теоретически; для сложных задач обычно о01ТГ находят
экспериментально или алгоритмически. Мы не будем здесь
вдаваться в эти специальные вопросы, отсылая читателя к уже
названному выше нашему учебнику, отметим только, что для многих
задач оопт лежит в интервале 1,5 *1,75. Нет необходимости в течение
всего расчета сохранять одно и то же значение а. Это значение
может изменяться от итерации к итерации. В действительности
возможен (хотя это и не очень удобно) выбор различных
значений а для каждой узловой точки.
В методическом плане к рассмотренному методу близок так
называемый метод релаксации с использованием инерции. Здесь
уравнение A4.76) заменяется соотношением
A4.79)
где / — так называемая инерция. Для положительных значений /
уравнение A4.79) представляет соотношение для нижней
релаксации, а отрицательные значения / соответствуют верхней релаксации.

1. Переменные завихренность и функция тока 441
В этом случае нет общих правил для определения
оптимального значения инерции /; оно должно определяться в зависимости от
особенностей задачи. Из уравнения A4.79) можно установить, что
i должно быть сравнимо с D*+l, и чем больше значение /, тем
сильнее оно будет влиять на релаксацию.
Из уравнений A4.78) и A4.79) видно, что при использовании
релаксационных методов влияние граничных условий на первом
цикле итераций проявляется в соответствии с направлением
сканирования, т. е. вплоть до узлов противоположных границ на
новые значения переменной влияют лишь левые граничные условия.
Чтобы сразу учесть оба граничных условия для одного
направления, используют блочные итерационные методы, при которых из
общего числа неизвестных выделяют некоторую подгруппу и
уравнения для неизвестных из этой подгруппы решают совместно
любым прямым методом. В большинстве блочных итерационных
методов подгруппы неизвестных выбирают так, чтобы в результате
получилась система уравнений с трехдиагональной матрицей,
которую можно эффективно решать методом прогонки.
Простейшим блочным итерационным методом является последовательная
верхняя релаксация по строкам (ПСВР).
Запишем уравнение A4.77а) в форме
+ d*9 A4.80)
Можно заметить, что в A4.80) входят лишь три неизвестных,
так как величина \L+| уже известна либо из условий на нижней
границе, если уравнение записано для первой строки, либо из
решения, уже полученного на (к + 1)-й итерации для
нижерасположенной строки. В это уравнение входит значение xyN на итерации
с номером к, а не (к + 1), так как нашей целью является
уравнение, содержащее три рядом расположенные неизвестные, чтобы
для его решения можно было использовать эффективный метод
прогонки.
Задача сводится теперь к решению системы N — 1 линейных
уравнений с N— 1 неизвестными значениями \|/v на (к + 1)-й
итерации. Вводя в A4.80) параметр релаксации а, получим систему
уравнений
которая для каждой строки решается методом прогонки. Так как
при использовании прогонки желательно обеспечить диагональное
преобладание, то надо позаботиться о том, чтобы о > 1 + (AX/AYJ.

442 Глава XIV. Численные методы в механике жидкости и газа
При последовательной верхней релаксации по строкам один
цикл итерации заканчивается после того, как системы уравнений
с трехдиагональной матрицей решены для всех строк. После этого
процесс повторяется до тех пор, пока не будет выполнено условие
сходимости итераций.
Постановка граничных условий. Частично этот вопрос уже
рассматривался ранее. Для конкретизации основных соотношений
определим граничные условия для ламинарного течения около
уступа (рис. 14.11). Основное внимание уделим построению граничных
условий на твердой поверхности. Однако важной задачей является
и правильная постановка граничных условий во входном и
выходном сечениях.
Начнем анализ с функции тока. Напомним, что физически
функция тока для несжимаемой жидкости имеет смысл объемного
расхода жидкости, приходящегося на единицу длины по
координате z, т.е. на площадь поперечного сечения канала dY- 1 (здесь
z — координата по нормали к плоскости XY). Если этот расход
(м3/с) обозначить Q, то в области движения v|/ будет изменяться от
О до Q или в безразмерной форме от 0 до 1.
На твердой поверхности вследствие условия прилипания U= V= 0.
Тогда, согласно A4.7),
откуда следует
\|/ст = const и (Э\|//ЭУ)ст = 0. A4.82)
Величина константы определяется направлением осредненно-
го движения. Если U > 0 (поток движется слева направо), то и
d\\f/dY> 0, т. е. у возрастает по мере удаления от стенки и в этом
случае \рст = 0. При U < 0 уст = 1.
Второе условие A4.82) показывает, что вблизи стенки скорость
потока f/изменяется, по крайней мере, по линейному закону. Это
следует как из анализа решений задач в главах IV и VII, так и из
самой структуры соотношения A4.82). В самом деле, условие
А В
F Е
Рис. 14.11. К постановке
граничных условий

/. Переменные завихренность и функция тока
(Э\|//ЭУ)ст = 0 показывает, что в разложении функции \у(Х, Y) в ряд
Тейлора по координате, характеризующей расстояние от стенки
(Удля нижней стенки и Я— У, где Н — высота канала, для
верхней), например, \|/(У) = а + 6У+ cY2 + ..., где а = у(Х, 0), а ? и с —
производные соответствующего порядка, линейное слагаемое
равно нулю согласно A4.82). Но тогда
т. е. минимально возможная степень зависимости U= U(X) равна
единице. Таким образом, широко практикуемое «условие
набегания» на входной границе [/( У) = 1 = const нельзя использовать как
противоречащее условию прилипания на стенке. Более
естественно для входной границы AF определять значения \|/ по уравнению
1 г
v@, У) = LJ Щ0, У) dY, A4.83)
к о
где для ламинарного течения можно принять
tf@, У) = УB - У), к =2/3. A4.84)
Первое условие A4.82) сохраняется для всей твердой
поверхности FEDC. Необходимо только учитывать, что на участке ED
должно выполняться соотношение
(д\у/дХ )ст = 0,
т. е. здесь функция тока вблизи стенки изменяется, по крайней
мере, по квадратичному закону (доказательство аналогично
вышеизложенному).
На границе АВ, которая называется удаленной, ставится
несколько условий. Во-первых, уАВ = 1 (или 0), как было показано
выше. Во-вторых, если граница АВ достаточно далеко удалена от
стенки FEDQ то, по-видимому, компонента скорости [/достигает
значения скорости внешнего течения, т. е. UAB= 1. И, наконец, для
границы АВ существенно, что она удалена от уступа, и локальное
направление течения на ней параллельно АВ. Последнее означает,
что UAB = 1 и (dU/dY)AB = 0. Но тогда из A4.5) следует, что
<oAB=(dU/dY)AB-(dU/dX)AB=0.
На выходной границе ВС функция тока задается
исключительно из соображений здравого смысла, так как никаких физических
закономерностей для этой границы указать нельзя. Здесь важно
так сформировать условия по \\fBC , чтобы они не вступили в
противоречие с уже принятыми для границ DC и АВ.

444 Глава XIV. Численные методы в механике жидкости и газа
Обычно полагают, что
Ы =0; ГЮ -fii] =0. A4.85)
Используя определение A4.5), нетрудно убедиться, что первое
условие A4.85) представляет собой тождество (см. A4.8))
Аи
и эх' эгг эх
Второе условие A4.85), принятое для согласования с условиями
на границах АВ и CD, дополнительно утверждает, что к(д 2ц/дХ2)вс=
= (овс, т. е. завихренность на границе ВС изменяется по
координате Y, по крайней мере, по линейному закону, уменьшаясь от
максимального значения сост на стенке до нуля на границе АВ.
Перейдем к постановке граничных условий по завихренности
потока. На входной границе для вязкого несжимаемого течения со
не задается, а определяется из принятого профиля скорости (/(О, Y)
и из решения для \|/ во внутренней области. В самом деле
(dY)AF (дХ)А
JAF
или, учитывая A4.84) и A4.7),
откуда для завихренности непосредственно на стенке (у — 1)
получаем
Здесь / — номер узла по координате X{i = 1, 2, 3,..., I);j — номер
узла по координате Y(j = 1, 2, 3, ..., J);
v v V V
У У 9 у
эбразом из решения
ничного условия по \|/ на y4jF находят
У-1
Аналогичным образом из решения во внутренней области и гра-

1. Переменные завихренность и функция тока 445
Завихренность на стенке можно определить разными
способами; важно только, чтобы это значение было согласовано с полем \\г
вблизи стенки. Например, если функцию тока в ближайшем
к стенке узле (j = 2) разложить в ряд Тейлора в окрестности точки
(/, 1), расположенный на стенке,
то, учитывая, что \|Л , = О, (Э\|//ЭУ). , = 0 и (д2\|//ЭУ2). , = со. ,,
получим
откуда находим
«/|=7^ + 0(ДП. A4.87)
Можно непосредственно использовать соотношение ш., =
= (Э2\|//ЭУ2). ,, вытекающее из выражений A4.5) и A4.7).
Тогда
У,,зA+/у)У,,2
'•' 05гA4г)(ДУJ
Однако при использовании A4.88) скорость потока в узлах (/, 2)
следует вычислять по соотношению
U =
Согласно Д.Б. Сполдингу, лучшие результаты получаются при
использовании выражения
2соу.2/2. A4.89)
В литературе можно найти и другие формулы для расчета
завихренности на стенке.
При использовании в качестве зависимых переменных \|/ и со
давление в уравнениях явным образом не фигурирует. Однако оно
бывает необходимым для последующих расчетов процессов массо-
обмена и горения, поэтому после того, как поле скоростей
найдено, давление можно легко рассчитать по уравнению A4.9). Правая
часть этого уравнения известна, и для его решения можно
использовать любой итерационный метод.

446
Глава XIV. Численные методы в механике жидкости и газа
Рис. 14.12. Течение потока в камере инерционного осаждения пыли
Пример 14.1. Рассчитать поле скорости в камере инерционного
осаждения пыли (рис. 14.12) при условии, что аэрозоль на входе в камеру
имеет среднерасходную скорость, равную 5 м/с.
В данном случае полностью применимы рассмотренные выше
методы и алгоритмы. Реализация дискретного аналога уравнений для
функции тока и переноса завихренности привела к результатам, показанным
на рис. 14.12 (размеры указаны в метрах). Вряд ли есть необходимость
указывать на то обстоятельство, что при данных размерах камеры она не
будет выполнять свое назначение, так как частицы пыли мощным вихрем
будут выноситься из камеры снова в основной поток.
2. ПЕРВИЧНЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ
ДЛЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ТЕЧЕНИЙ
Первая трудность, с которой мы сталкиваемся, пытаясь
численно решить систему уравнений A4.1)—A4.3), заключается в
построении конечно-разностной сетки (или в выборе
местоположения узлов в методе конечных элементов). В уравнения баланса
импульсов входят компоненты градиента давления,
интегрирование которых по контрольному объему (или аппроксимация
центральными разностями) приводит к выражениям
Иными словами, дискретный аналог локального уравнения
баланса импульсов будет содержать разность давлений между
двумя несоседними точками, т. е. давление берется с сетки более
грубой, чем основная, что должно привести к снижению точности
решения. Но дело даже не столько в этом; такая аппроксимация

2. Первичные переменные для нестационарных течений 44П
допускает зигзагообразное поле давления, что нельзя считать
соответствующим физике процесса. Например, для ряда узловых
значений
Р= 600, 300; 580, 280; 560, 260; ...
разность Р? — Р^ постоянна и равна 20 по всей данной координате.
Аналогичная ситуация имеет место при дискретизации
уравнения неразрывности A4.1). Поэтому при работе с первичными
переменными обычно используют разнесенную сетку, которую также
часто называют шахматной. Пример конфигурации разнесенной
сетки представлен на рис. 14.13, из которого видно, что давление
определяется в центре ячейки, а компоненты скорости — в
середине сторон ячейки. Такая процедура делает сетку особенно
удобной для проведения дискретизации по методу контрольного
объема (МКО). В результате дискретизации уравнения A4.1) на
разнесенной сетке, изображенной на рис. 14.13, получается
следующее выражение:
КМ^ = О, A4.90)
АХ AY
которое можно представить в виде
' + VJMV2 АХ -Uj_l/2}k AY- Vjk_l/2 AX = 0. A4.91)
Уравнение A4.91) является дискретным аналогом уравнения
A4.4), т.е. соотношения A4.90) и A4.91) сохраняют массу на
минимальном сеточном размере. Кроме того, из разложения A4.90)
в ряд Тейлора в окрестности центра ячейки следует, что порядок
аппроксимации A4.90) равен О[(АХJ, (AYJ] несмотря на
использование только четырех точек.
Уравнение A4.2) дискретизируют посредством
конечно-разностных выражений, центрированных относительно точки сетки
(у + 1/2, к) (точка е в МКО). Это позволяет представить ЭР/дХв
виде выражения (PJ+] k — Р} к)/АХ, которое в точке (у + 1/2, к) имеет
второй порядок точности. Аналогично A4.3) дискретизируется
центральными разностями относительно точки (у, к + 1/2) (точка п
в МКО) и ЪР/Ъ Y представляется в виде (Р к + , — Р} k)/dY
т/ tr
И/2
О •
J U
j,k ^2+1,-
и*
Рис. 14.13. Разнесенная сетка *y,*-i/2
lJ2,k
+3/2,к

448 Глава XIV. Численные методы в механике жидкости и газа
Использование разнесенной сетки позволяет избежать
появления осцилляции в решении, в частности для давления, о которых
говорилось выше. Однако применение разнесенных сеток имеет
и некоторые недостатки, основным из которых является сложность
постановки граничных условий, поскольку по крайней мере одна
из зависимых переменных [/или Кне будет определена на границе.
При дискретизации уравнений баланса импульсов A4.2) и A4.3)
используются следующие конечно-разностные выражения:
(bU\
Ах
A4>92а)
+ЩАХП A4.926)
A4.92в)
A4.92Г)
A4.92Д)
и т. д. В приведенных выражениях присутствуют не определенные
на рис. 14.13 слагаемые типа UJ+, k. Они полагаются равными
среднему арифметическому двух соседних значений
Аналогично {UV)j+[/2 k+l/2 аппроксимируется выражением
Одним из наиболее ранних и получивших широкое
распространение методов решения уравнений A4.1)—A4.3) является
предложенный Харлоу и Уэлшем метод маркеров и ячеек (Marker-And-
Cell) — MAC. В методе MAC используются дискретные формулы
A4.92), и для решения уравнения A4.2) применяют следующий
явный алгоритм:
A4.93)

2. Первичные переменные для нестационарных течений 449
где
2,k ,
Uj+\/2,k -1
Re (AYJ AX
A4.94)
1
J'
АГ
Аналогично в дискретном виде представляется уравнение A4.3)
; ^ l A4.95)
где
Re(A7J АГ
A4 96)
1
J"
АХ
В уравнениях A4.93) и A4.95) давление Р входит неявно;
однако Р"+1 определяется до решения A4.93) и A4.95) следующим
образом. Уравнение неразрывности A4.1) записывается в
разностном виде
ггл+1 ТТп+1 Т/я+1 1/л+1
jyi+l = ^уЧ1/2^ ~ ^y-lA* + W^+l/2 "" W^-l/2 = q? ^ 14.97)
где D. к — дилатация в ячейке (у, Л), т. е. скорость относительного
объемного расширения элементарного жидкого объема в данной
точке. Подстановка ?/"^+,/2 и т. д. из уравнений A4.93) и A4.95)
в A4.97) позволяет представить последнее в виде разностного
уравнения Пуассона для давления, т. е.
1
J
(АХJ (А7J J
_ 1 \Fj+yi,k~FJ-\j2,k ] GjM\/2 " GJ,k-i/2 1 = Rn A4 98)
Ax[ AX AY J M*

450 Глава XIV. Численные методы в механике жидкости и газа
Если в правой части A4.98) заменить Fn G их значениями из
формул A4.94) и A4.97), то после преобразований получим
туп
Ц* = —^- -[LJJ2JJk + 2Lxy(UV)Jtk
где
iL^ + L^DjjJ, A4.99)
2 _
*-
AXAY
V2
Y)
Величину D"k/At в A4.98) можно интерпретировать как
дискретизацию — (db/dx)j k при Dj? = 0. Таким образом, сходящееся
решение для давления, полученное из A4.98), приводит к
выполнению дискретного уравнения неразрывности A4.90) в (я+ 1)-й
момент времени.
Уравнение A4.98) решается на каждом временном шаге либо
итерационными, либо прямыми методами решения уравнения
Пуассона. После того как Рп+Х получено из решения A4.98),
подстановка этого значения в уравнения A4.93) и A4.95) позволяет
определить Uj*}/2k и У"?11/2. Нетрудно заметить, что метод MAC
естественным образом распространяется на трехмерные задачи.
Поскольку выражения A4.93) и A4.95) являются явными
формулами для определения Vn+i к Un+\ то имеется ограничение на
максимальный шаг по времени, связанное с устойчивостью решения,
0,25(|?/| + |K|JAtRe< 1 и Ах < 0,25 Re (AXJ. A4.100)
Здесь предполагается, что АХ= А У.
При постановке граничных условий сетка строится таким
образом, что граница проходит через точки, в которых определяется
скорость, а не давление. Например, на рис. 14.14 изображена часть
расчетной сетки, для которой ВС — твердая стенка, а АВ —
входная граница.

2. Первичные переменные для нестационарных течений
451
Очевидно, что K0J/2= Vx I/2 = V2 1/2 =... = 0, поскольку ВС —
твердая стенка. Для вычисления выражения A4.93) в узле C/2,1)
необходимо значение Um 0. Оно может быть получено через
значение на стенке
У3/2, 1/2
или
На границе АВ значения U и V задаются. Компонента U
используется непосредственно, а величина Vy2 к -— для определения
VQ к. Так, при вычислении A4.95) в узле A, 3/2) значение Vo
находится по формуле
3/2
V = 2 V — V
i/*, j/x - u, .у* i, j/^- - r 0,3/2 ^ r 1/2,3/2 r 1, 3/2*
Если АВ — выходная граница, на которой U> 0, то обычно
используются следующие граничные условия:
(dU/dX)AB = 0, (dV/dY)AB = 0. A4.101)
При вычислении A4.93) на АВ в узле A/2, 2) из A4.101)
следует, что Um 2 = U,/2 r Аналогично, при вычислении A4.95) в узле
@, 3/2) из A4.101) следует, что Vl3/2= V03/r
При решении уравнения Пуассона для давления A4.98)
требуются значения давления за пределами области расчета. При записи
A4.98) относительно узла B, 1) требуются значения Р2 0 и V2 _1/2.
Значение Р2 0 получается из уравнения A4.3), записанного на стенке,
т. е. ЭР/ЭУ== (I/Re) (Э2/уЭУ2), поскольку К на стенке не зависит от
времени. В дискретной форме это выражение имеет вид
_ ^2,3/2 ""
+ ^2
2,-1/2
Re (А Г Г
Рис. 14.14. Типичное положение
границы при использовании
разнесенной сетки
5/2,2
5А0

452 Глава XIV. Численные методы в механике жидкости и газа
Для выполнения уравнения A4.1) на стенке должно иметь
место равенство ЭР/dY = 0.
Тогда
V = V • Р - Р 2Vl>3/2
¦ Г2, -1/2 *2, 3/2' ^2,0 - Г2,1 " дду
3. ПЕРВИЧНЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ
ДЛЯ СТАЦИОНАРНЫХ ТЕЧЕНИЙ
Как уже отмечалось выше, при решении стационарных задач
поле давления приходится подбирать таким образом, чтобы
найденное из решения уравнений баланса импульсов поле скорости
удовлетворяло уравнению неразрывности. Из множества
разработанных к настоящему времени схем такого подбора рассмотрим
здесь только метод SIMPLE (Semi-Implicit Method for Pressure-
Linked Equation), предложенный С. Патанкаром и Д. Сполдингом
и подробно описанный С. Патанкаром. Дискретный аналог задачи
получают, используя метод контрольного объема. Сущность
метода состоит в следующем.
На разнесенной сетке для разных уравнений используются
разные контрольные объемы (рис. 14.15). Кроме того, сдвинуты сеточные
индексы, связанные с определенными зависимыми переменными.
В результате физическое положение P. + l/2 k совпадает с
положением UJk,aPJk+l/2-c Vjk.
Для контрольного объема, изображенного на рис. 14.15, а,
применение метода контрольного объема к уравнению неразрывности
A4.1) приводит к уравнению
(U$ -U]l{\k)AY + (КД+1 - Vfi^AX = 0. A4.102)
Применяя МКО к уравнению A4.2) с контрольным объемом,
показанным на рис. 14.14, б, получим дискретное уравнение
A4.103)
Дальнейшая аппроксимация конвективных и диффузионных
слагаемых A4.103) возможна различными способами. В частности,
полностью применима рассмотренная выше методика построения

3. Первичные переменные для стационарных течений
453
степенных схем. В простейшем случае использования
центральных разностей можно записать
j, к .
и т.д. Следовательно, A4.103) можно переписать в
каноническом виде
(AXAY/Ax + al
bu
A4.104)
где ^а"ьи"ь] означает все конвективные и диффузионные
вклады из соседних узлов. Коэффициенты а"к и аипЬ зависят от
размеров сетки и значений U и V на я-ом временном слое,
bu = Unjk AX AY/Ax. Можно заметить, что некоторые слагаемые в
/чо и (j(i) вычисляются на л-ом временном слое, в результате чего
QLk
а) уравнение неразрывности J-1*к+1
в) уравнение движения по оси у
б) уравнение движения по оси х
Рис. 14.15. Контрольные объемы, используемые в методе SIMPLE

454 Глава XIV. Численные методы в механике жидкости и газа
система A4.104) линейна относительно U"*'. Аналогично дискре-
тизируется уравнение A4.3):
(ДЛГДУ/Дт
m - Gf}.m) AZ + (Pjltlt - P$) AX = 0, A4.105)
Подстановка FB) и G B) в A4.105) позволяет записать его в виде
где разные коэффициенты имеют ту же интерпретацию, что и в
A4.104).
Уравнения A4.104) и A4.106) можно решить только в случае,
если поле давления задано или каким-то образом найдено. Если
при решении использовать «неверное» поле давления, то
найденное поле скорости не будет удовлетворять уравнению
неразрывности. Обозначим компоненты скорости, найденные с помощью
ориентировочно заданного поля давления Рп через U* и V\ Это поле
скорости рассчитывается по следующим уравнениям:
«*Kb = ~b" ~ AY (Р"+1>к ~ Пк )• A4Л07)
Кь=-ьг-АХ (р"-^ -*?*)¦ A4Л08>
С. Патанкар рекомендует записывать уравнения A4.107) и A4.108)
в виде скалярных трехдиагональных систем вдоль каждой Jf-линии
сетки (к= const) и использовать метод прогонки. Далее эти же
уравнения записываются как скалярные трехдиагональные
системы вдоль линий Y(j = const) и вновь решаются методом прогонки.
Теперь необходимо найти такую поправку IIе к скорости U*
(и аналогично для координаты Y), чтобы сумма Uc+ U*
удовлетворяла уравнению неразрывности. Уравнение для этой поправки
получим, вычитая A4.107) из A4.104):
A4.109)
и аналогично для поправки Vе. В отличие от уравнений A4.107),
A4.108) уравнение типа A4.109) решению не поддается, так как

3. Первичные переменные для стационарных течений 455
величины 5РЛ+1 = /)я+1-/>/7 пока не определены. Однако они
позволяют связать поправки к скорости Vе и Vе с необходимым
изменением давления ЬР. Если в A4.109) пренебречь слагаемым
У\а"ь UL , то можно записать
-8Pj+Uk); A4.110)
аналогичное выражение получим для Vjk. Здесь
Подстановка U# = Щл + Щл = U\k + </,,* [ЬР$ - ЬР^к) и т. п.
в A4.102) позволяет построить следующий явный алгоритм для
определения 5Р.к:
<кЩ1Х = Ъапь*Рпь + Ь1>, A4.112)
где bp = (U*_ltk-Uj)k)AY + (VJ[k_l-V}J()AX. Уравнение A4.112)
есть замаскированная форма уравнения Пуассона, которое в
символическом виде можно записать как
V2h8Pn+[ = — divAr. A4.113)
Ах
Отметим также, что A4.110) эквивалентно уравнению
Кс = - — V2h5Pn+i. A4.114)
Ат
Анализ физического содержания алгоритма показывает, что ЬР
является эффективным потенциалом скорости, а поправка Vе —
безвихревая.
Полностью алгоритм SIMPLE включает следующие этапы:
1) задание начального поля давления Рп и отыскание V* из
A4.107) и A4.108);
2) определение 5Pn+l из A4.112);
3) определение Uc из A4.110) и эквивалентной формы для Vе;
4) определение Рп+' = Рп + ар 5РЛ+!, где а^ — релаксационный
параметр. По С. Патанкару ар = 0,8 и Е = 1. В более поздних
работах других исследователей было установлено, что наиболее
эффективному алгоритму соответствуют значения Е » 4 и
а/>= 1/A + ?). Схема SIMPLE с этими значениями ар и Е
называется методом SIMPLEC (SIMPLE Consentient);
5) уравнение A4.112) решается для определения ЬР. В
результате определяется Vn + l = V* + Vе, где Vе вычисляют по
соотношению A4.110). Значение Рп+\ полученное на шаге 3, не уточняется.

456 Глава XIV. Численные методы в механике жидкости и газа
Применение алгоритма SIMPLE в изложенной формулировке
к широкому кругу задач позволило сделать вывод о том, что
введение ЪР эффективно подстраивает поле скорости, но не позволяет
получить быструю сходимость для давления. Для исправления
этого недостатка С. Патанкар предложил алгоритм SIMPLER
(SIMPLE Revised), который осуществляется по следующим шагам:
1) вводится предположение о поле скорости V;
2) определяется поле скорости V из решения уравнений
A4.107) и A4.108), в которых слагаемые, содержащие давление,
исключены;
3) уравнение A4.112) становится уравнением Пуассона для
определения давления Рп+ \ а не 8Р после замены Гна F в формуле
для Ър\
4) значение Рп + ] (найденное на шаге 3) подставляется вместо
Рп в A4.107) и A4.108). Полученные уравнения решаются методом
SIMPLE, в результате чего находят значение V*;
5) уравнение A4.112) решается для определения 8Р. В
результате определяется Vn+1 = V* + Vе, где F вычисляют по
соотношениям A4.110). Значение Рп+', полученное на шаге 3, не уточняется.
Хотя в методе SIMPLER приходится дважды решать уравнение
Пуассона и уравнения баланса импульсов на каждой итерации,
и число операций на каждой итерации увеличивается по
сравнению с методом SIMPLE, для сходимости достаточно нескольких
итераций. В результате алгоритм SIMPLER оказывается на ~ 50%
более эффективным.
Пример 14.2. Ниже на рис. 14.16 и 14.17 в качестве примера
реализации метода SIMPLER приведены результаты расчета полей скорости
и давления в канале переменного поперечного сечения. Средняя
расходная скорость на входе в канал составляла 2 м/с, давление в выходном
сечении было равно атмосферному.
Рис. 14.16. Поле скорости в канале переменного поперечного сечения

3. Первичные переменные для стационарных течений 457
Рис. 14.17. Поле давления в канале переменного поперечного сечения
В заключение отметим, что расчет поля течения — не самоцель
при математическом моделировании металлургических процессов;
основная задача такого расчета заключается в выявлении «узких»
мест в конструкции или в параметрах теплового режима. Решение
этой задачи достигается при комплексном анализе всей
совокупности процессов и явлений, имеющих место в объекте, и
совершенно очевидно, что в рамках учебного пособия по механике
жидкости й газа рассмотреть все аспекты указанной задачи
невозможно. Поэтому в данной главе мы ограничились обсуждением
численных методов, позволяющих достаточно точно описать
основные составляющие любого процесса переноса теплоты или
массы — закономерности движения сплошной среды
ньютоновской жидкости. Из всего множества известных к настоящему
времени алгоритмов были выбраны удовлетворяющие (как минимум)
трем требованиям: а) ясному физическому содержанию; б)
демонстрации различных аспектов конструирования дискретных аналогов
решаемых уравнений; в) большому опыту их применения.
Авторы умышленно не излагали вопросы численного
моделирования закономерностей развития динамических пограничных
слоев. Во-первых, по этим вопросам за последние 15—20 лет
опубликован ряд объемных монографий и нет необходимости
дублировать их содержание. Во-вторых, разработано так много
численных методов расчета пограничных слоев, что отдать предпочтение
каким-то весьма затруднительно, особенно учитывая общность
этих методов с рассматриваемыми в данной главе.

458
РЕКОМЕНДУЕМЫЙ
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
Основная литература
Выскребцов BS. Гидромеханика в новом изложении. М.: Компания
«Спутник*», 2001. 261 с.
Газовая динамика. Механика жидкости и газа: Учебник для вузов /
B.C. Бекнев, В.М. Епифанов, А.И. Леонтьев и др. / Под ред. А.И.
Леонтьева. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1997. 671 с.
Самойлович Г.С. Гидрогазодинамика: Учебник для вузов. 2-е изд.,
перераб. и доп. М: Машиностроение, 1990. 382 с.
Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа: Учебник для вузов.
6-е изд., перераб. и доп. М.: Наука, 1987. 840 с.
Белоусов В.П. Гидравлика: Учебное пособие. М.: РЗИТЛП, 1994. 63 с.
Дополнительная литература
Гукасов НА. Механика жидкости и газа: Учебное пособие. М.: Недра,
1996. 442 с.
Олейник О.А., Самохин В.Н. Математические методы в теории
пограничного слоя. М.: Наука; Физматлит, 1997. 512 с.
Прандтль Л. Гидроаэромеханика. Пер. со 2-го нем. изд. Г.А. Воль-
перта. 2-е изд. М.; Ижевск: НИЦУдГУ, 2000. 576 с.
Фриш Уриэл. Турбулентность. / Пер. с англ. М.: ФАЗИС, 1998. 344 с.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
459
Архимеда число 127
Аэрозоли 377
Бернулли уравнение 99-102,
104, 105
— теорема 99, 100
— функция 99
Блазиуса метод анализа 195
— течение 202
Борда—Карно формула 235
Буссинеска коэффициент
89,92
Бэкингема теорема 119
Вектор вихря скорости 100
— завихренности 100
Вентилятор осевой 352
— характеристики 353
Вес единицы объема 22
Вещества поверхностно-
активные 32
Вихреобразование 141
Вязкость 26
— турбулентная 151
Газ высоконапорный 261
— нагревающийся 344
— охлаждающийся 343
Газовзвеси 377
Галилея число 127
Гей-Люссака уравнение 41
Грасгофа число 127
Давление 21
— критическое 267
Движение изохорическое 54
— равномерное 50
— газожидкостных смесей 407
— пузырей 402
Дефицит
— импульса 194
— скорости 172
Дивергентная форма 418
Дилатация 449
Дискретный аналог 422
Дисперсное течение 414
Диссипация 160
Диффузоры 105, 235
Жидкость идеальная 25
— капельная 25
— неньютоновская 26
— несжимаемая 20
— несмачивающая 32
— ньютоновская 26
— реальная 25
— смачивающая 32
Завихренность 99
Закон дефицита скорости 173
Значение флуктуации
среднеквадратичное 147
Зона перемежаемости 167
Импульс 89, 92
Инвариант подобия 115
Инжектор струйный 323
Истечение водяного пара 280
— из отверстий 106
Каналы вертикальные 345
— горизонтальные 341
Кармана уравнение 219
Конфузоры 104, 239
Координаты частиц 49
Кориолиса коэффициент 88,92
Корректив количества
движения 89

460
Предметный указатель
Корреляция пульсаций 148, 152,
154
Коши—Римана условия 61
Коэффициент молекулярной
вязкости динамической 26
— кинематической 28
— местного сопротивления
235
— объемного сжатия 22
— поверхностного
натяжения 32
— температурного
расширения 24
— трения гидравлический
90,92
— локальный 90, 92
Краевой угол смачивания 32
Кристоффеля—Шварца
интеграл 320
Критерий быстроходности 125
— скорости 262
Лаваля сопло 273
Лапласа оператор 61
— уравнение 61
Линия тока 50
Лукашевича—Грум- Гржимайл о
правило 346
Массовые
— расход 378
— скорость 378
— содержание 378
— концентрация 378
Маха число 126
Менделеева—Клапейрона
уравнение 24
Метод
— Гаусса—Зейделя 439
— контрольного объема 420
— MAC 448
— последовательной
релаксации 440
— SIMPLE 452
— SIMPLER 456
Моделирование 130
— физическое 134
— численное 415
Модель двухфазная
— гомогенная 382
— потока дрейфа 394
— раздельного течения 389
Модель жидкости 24
Навье—Стокса уравнение 83
— решения 87, 91, 96
Напряжение растяжения
нормальное 34, 74
Напряжения составляющие
касательные 34, 74
Насыщение 280
Никурадзе диаграмма 228, 229
— формула 228
Ньютона закон 26
Описание
— лагранжево 48
— эйлерово 48
Пар насыщенный 280
Плоскость нейтральная 41
Плотность 22
Поверхность разрыва
скорости 60
— уровня 38
Повороты 240
Подобие геометрическое 113
— физическое ИЗ
Подслой ламинарный 167
Поле силовое 38
— течения 47
Потенциал векторный 57
— комплексный 62
— скорости 61
Поток вектора скорости 52
— невозмущенный 52
Прандтля путь смешения 165
— уравнение 190

Предметный указатель
461
Принцип сохранения
импульса 80
Процесс струйный 324
Пуазейля закон 91
— формула 88
Расширение внезапное 232
Регенеративные насадки 245
Рейнольдса уравнение 156
— число 125
Ротор данного вектора 57
Сатерленда формула 28
Свойство автомодельное 136
Сдвиг простой 26
Семикина формула 243
Сетка
— конечно-разностная 419,
447
— неравномерная 419
— разнесенная 447, 451, 453
Сеть разветвленная простая 256
Системы жидкость—газ 399
Скорость
— дрейфа фаз 380
— звука 33
— истинная 380
— комплексная 62
— критическая 261, 267
— потока средняя 88, 91
— приведенная 379
— угловой деформации 77
Смеситель с рабочим соплом
326
Соединение параллельное 251
Сопло коническое 262
— фигурное 262
Сопротивление слоя 247
Стокса функция тока 57
— экспериментальный
закон 77
Струхала число 126
Струя 278
Сужение внезапное 237
Схема
— дивергентная 418
— комбинированная 429
— Никурадзе—Мартинелли
167
— против потока 421
— степенная 429
— экспоненциальная 426
Температура критическая 267
Теорема подобия 115, 117, 132
Теория пограничного слоя 186
— потенциального
движения 60
Термоанемометр 148
Течение безвихревое 59
— двухмерное 55
— ламинарное 29
— нестационарное 31
— параллельноструйное 88
— ползущее 29
— потенциальное 61
— с пограничным слоем 29
— со сдвигом 144
— стационарное 31
— турбулентное 29
Токи вторичные 242
Толщина вытеснения 194
— потери импульса 194
Торричелли формула 107
Точки особые 51, 52
Траектории 51
Трубка скоростного напора 109
— Пито—Прандтля 109
— тока 50
Трубопроводы кольцевые 253
— простые 250
— сложные 251
Турбулентность 141
Уравнение инжекции 327
— неразрывности 53, 54, 55
— переноса завихренности 418
— Пуассона для давления 419

462
Предметный указатель
— реологическое 79
— статики жидкостей и газов 37
— равновесия несжимаемой
жидкости 39
Условие геометрического
подобия 113
Фаза
— дисперсная 377
— несущая 377
Формула барометрическая 39
Фруда число 125
Функция газодинамическая 269
— основная 271
— силовая 38
Фурье—Бесселя ряд 96
Число тепловое 126
Шаблон сетки 420
Шлихтинга функция 292
Эйлера уравнение 37
— движения 84
— импульсов 81
— число 125
Эйлерово поле скорости 49
Энергия кинетическая
средняя 88, 92
— поверхностная 32

Швыдкнй Владимир Серафимович
Ярошенко Юрий Гаврилович
Гордон Яков Маркович
Шаврин Владимир Сергеевич
Носков Александр Семенович
МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА
Учебное пособие для вузов
Зав. редакцией А.А. Фролова
Редактор Л.С Аюпова
Художник А.С Скороход
Дизайнер СВ. Машин
Технический редактор А.Л. Шелудченко
Корректор В. Т. Агеева
Подписано в печать . Формат 60x90 Vi6- Гарнитура NewtonC.
Печать офсетная. Печ. л. 29. Тираж 2000 экз. Тип. зак. 3546.
ИД № 04284 от 15.03.2001
Международная академическая издательская компания
«Наука/Интерпериодика»
Издательско-книготорговый центр «Академкнига»
117997, ГСП-7, Москва, ул. Профсоюзная, 90
e-mail: bookman@maik.ru
По вопросам поставок обращаться в отдел реализации
Тел./факс: @95) 334-73-18
e-mail: bookreal@maik.ru
Отпечатано с готовых диапозитивов в
ОАО «Ивановской областной типографии»
153008, г. Иваново, ул. Типографская, 6.
E-mail: 091018@adminet.ivanovo.ru

ISBN 5-94628-040-6
Г78594б80402