Author: Гардинер К.В.
Tags: физика естественные науки
Text
КВ.Гардинер
СТОХАСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУКАХ
Книга известного новозеландского физика сочетает в себе свойства учебника и
монографии и может служить справочником по вопросам теории стохастических
процессов. Дано последовательное рассмотрение марковских процессов,
выводится стохастические дифференциальные уравнения, рассматриваются
различные формы уравнения Фоккера — Планка, постановка граничных задач и
методы их решения, управляющие уравнения процессов со скачками и их
аппроксимации с помощью уравнения Фоккера — Планка, вопросы
бистабилькости и метастабильности, квантовомеханические марковские процессы
в применении к квантовой оптике и квантовой электронике, а также основные
понятия теории вероятностей и случайных процессов.
Для научных работников, асппрантов и студентов старших курсов.
Оглавление
Предисловие редактора перевода 5
Предисловие редактора серии «Синергетика» 8
Предисловие к 2-му изданию 9
Предисловие к 1-му изданию 10
Список обозначений 15
1. ВВЕДЕНИЕ 19
1.1. Предыстория вопроса 19
1.2. Пекоторые примеры 20
1.2.1. Броуновское движение 20
1.2.2. Уравнение Ланжевена 25
1.3. Процессы рождения — гибели 2 8
1.4. Шум в радиоэлектронных устройствах 31
1.4.1. Дробовой шум 32
1.4.2. Автокорреляционные функции и спектральные плотности 37
1.4.3. Фурье-анализ случайных функций: стационарные системы 39
1.4.4. Тепловой шум и теорема Пайквиста 40
2. ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 45
2.1. События и множества событий 45
2.2. Вероятности 46
2.2.1. Вероятностные аксиомы 47
2.2.2. Смысл Р(А) 47
2.2.3. Смысл аксиом 48
2.2.4. Случайные переменные 49
2.3. Совместные и условные вероятности. Независимость 50
2.3.1. Совместные вероятности 50
2.3.2. Условные вероятности 51
2.3.3. Соотношения между совместными вероятностями различных 52
порядков
2.3.4. Независимость 53
2.4. Средние значения и плотности вероятности 54
2.4.1. Определение плотности вероятности через средние значения 55
произвольных функций
2.4.2. Множества нулевой вероятности 55
2.5. Средние 56
2.5.1. Моменты и корреляции 57
2.5.2. Закон больших чисел 57
2.6. Характеристическая функция 59
2.7. Производящая функция кумулянтов: корреляционные функции и 60
кумулянты
2.7.1. Пример: кумулянт 4-го порядка «Х1Х2Х3Х4» 62
2.7.2. Значимость кумулянтов 63
2.8. Гауссовское и пуассоновское распределение вероятностей 64
2.8.1. Гауссовское распределение 64
2.8.2. Центральная предельная теорема 65
2.8.3. Пуассоновское распределение 66
2.9. Пределы последовательностей случайных переменных 67
2.9.1. Предел почти наверное 68
2.9.2. Предел в среднеквадратичном 68
2.9.3. Стохастический предел, или предел по вероятности 68
2.9.4. Предел по распределению 69
2.9.5. Взаимосвязь различных пределов 69
3. МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ 70
3.1. Стохастические процессы 70
3.2. Марковский процесс 71
3.2.1. Согласованность. Уравнение Чепмена — Колмогорова 72
3.2.2. Дискретное пространство состояний 73
3.2.3. Ьолее общие меры 73
3.3. Понятие непрерывности для стохастических процессов 73
3.3.1. Математическое определение непрерывного марковского процесса 75
3.4. Дифференциальное уравнение Чепмена — Колмогорова 76
3.4.1. Вывод дифференциального уравнения Чепмена — Колмогорова 78
3.4.2. Статус дифференциального уравнения Чепмена — Колмогорова 81
3.5. Интерпретация условий и результатов 82
3.5.1. Скачкообразные процессы. Управляющее уравнение 82
3.5.2. Диффузионные процессы. Уравнение Фоккера — Планка 83
3.5.3. Детерминированные процессы. Уравнения Лиувилля 84
3.5.4. Процессы общего вида 86
3.6. Уравнения, описывающие изменение вероятностей при изменении 87
начального времени. Обратные уравнения
3.7. Стационарные и однородные марковские процессы 88
3.7.1. Эргодические свойства стационарного процесса 89
3.7.2. Однородные процессы 92
3.7.3. Приближение к стационарному процессу 93
3.7.4. Автокорреляционная функция марковских процессов 98
3.8. Примеры марковских процессов 101
3.8.1. Винеровский процесс 101
3.8.2. Одномерные случайные блуждания 105
3.8.3. Пуассоновский процесс 109
3.8.4. Процесс Орнштейна — Уленбека 111
3.8.5. Случайный телеграфный процесс 115
4. РАСЧЕТЫ МЕТОДОМ НТО 117
И СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВПЕНИЯ
4.1. Обоснования 117
4.2. Стохастическое интегрпрование 120
4.2.1. Определение стохастического интеграла 120
4.2.2. Пример \w(t')dW(t') 122
4.2.3. Интеграл Стратоновича 124
4.2.4. Пеупреждающие функции 124
4.2.5. Доказательство того, что dW(tJ= dt и dW(tJ+N = 0 125
4.2.6. Свойства стохастического интеграла Ито 127
4.3. Стохастические дифференциальные уравнения (СДУ) 132
4.3.1. Стохастическое дифференциальное уравнение Ито. Определение 132
4.3.2. Марковское свойство решения стохастического 135
дифференциального уравнения Ито
4.3.3. Замена переменных. Формула Ито 135
4.3.4. Связь между уравнением Фоккера — Планка и стохастическим 136
дифференциальным уравнением
4.3.5. Системы с несколькими переменными 137
4.3.6. Стохастическое дифференциальное уравнение Стратоновича 139
4.3.7. Зависимость решений от начальных условий и параметров 142
4.4. Примеры и решения 144
4.4.1. Коэффициенты, не зависящие от л: 144
4.4.2. Мультипликативный линейный белый шум 145
4.4.3. Комплексный осциллятор с шумящей частотой 146
4.4.4. Процесс Орнштейна — Уленбека 148
4.4.5. Переход от декартовых координат к полярным 149
4.4.6. Процесс Орнштейна — Уленбека для случая многих переменных 151
4.4.7. Общее линейное уравнение для одной переменной 155
4.4.8. Линейные уравнения для многих переменных 157
4.4.9. Процесс Орнштейна — Уленбека, зависящий от времени 158
5. УРАВПЕНИЕ ФОККЕРА — ПЛАНКА 160
5.1. Общие замечания 160
5.2. Уравнение Фоккера — Планка в одномерном случае 161
5.2.1. Граничные условия 162
5.2.2. Стационарные решения однородных уравнений Фоккера — Планка 168
5.2.3. Примеры стационарных решений 170
5.2.4. Граничные условия для обратного уравнения Фоккера — Планка 173
5.2.5. Методы собственных функций (однородные процессы) 174
5.2.6. Примеры 177
5.2.7. Время достижения границы для случая однородных процессов 181
5.2.8. Вероятность достижения того или иного конца интервала 187
5.3. Уравнения Фоккера — Планка в многомерном случае 189
5.3.1. Замена переменных 190
5.3.2. Граничные условия 192
5.3.3. Стационарные решения: потенциальные условия 193
5.3.4. Детальный баланс 194
5.3.5. Следствия детального баланса 197
5.3.6. Примеры детального баланса в уравнениях Фоккера — Планка 203
5.3.7. Методы собственных функций для случая многих переменных. 214
Однородные процессы
5.4. Время первого достижения границы области (однородные процессы) 219
5.4.1. Решения задач, связанных с достижением границ 221
5.4.2. Распределение точек выхода 224
6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ ДИФФУЗИОННЫХ ПРОЦЕССОВ 227
6.1. Теории возмущений, основанные на малости шума 227
6.2. Разложения по малому шуму для стохастических дифференциальных 230
уравнений
6.2.1. Пределы применимости разложения 233
6.2.2. Стационарные решения (однородные процессы) 234
6.2.3. Среднее значение, дисперсия и временная корреляционная функция 235
6.2.4. Сложности теории возмущений для малого шума 236
6.3. Разложение по малому шуму для уравнения Фоккера — Планка 239
6.3.1. Уравнения для моментов и автокорреляционных функций 241
6.3.2. Пример 244
6.3.3. Асимптотический метод для стационарного распределения 246
6.4. Адиабатическое исключение быстрых переменных 247
6.4.1. Абстрактная формулировка на языке операторов и проекций 250
6.4.2. Решение с использованием преобразования Лапласа 253
6.4.3. Поведение на малых временных масштабах 256
6.4.4. Граничные условия 258
6.4.5. Систематический анализ в рамках теории возмущений 260
6.5. Белый шум как предельный случай коррелированного процесса 264
6.5.1. Общность результата 269
6.5.2. Более общие флуктуационные уравнения 270
6.5.3. Системы, неоднородные во времени 271
6.5.4. Учет зависимости Li от времени 272
6.6. Адиабатическое исключение быстрых переменных: общий случай 273
6.6.1. Пример: исключение короткоживущих промежуточных продуктов 273
химической реакции
6.6.2. Адиабатическое исключение в модели Хакена 278
6.6.3. Адиабатическое исключение быстрых переменных: нелинейный 283
случай
6.6.4. Пример с произвольной нелинейной связью 288
7. УПРАВЛЯЮЩИЕ УБАВЛЕНИЯ И СКАЧКООБРАЗНЫЕ ПРОЦЕССБ1 291
7.1. Управляющие уравнения рождения — гибели: одномерный случай 292
7.1.1. Стационарные решения 293
7.1.2. Пример: химическая реакция X <-» А 295
7.1.3. Химическая бистабильная система 298
7.2. Приближенное представление управляющих уравнений уравнениями 303
Фоккера — Планка
7.2.1. Приближение диффузионного процесса скачкообразным процессом 303
7.2.2. Разложение Крамерса — Мойала 307
7.2.3. Разложение ван Кампена по обратному размеру системы [7.2] 308
7.2.4. Теорема Курца 313
7.2.5. Критические флуктуации 314
7.3. Граничные условия для процессов рождения — гибели 316
7.4. Среднее время достижения границы 318
7.4.1. Вероятность поглощения 320
7.4.2. Сравнение с уравнением Фоккера — Планка 320
7.5. Многомерные системы рождения — гибели 321
7.5.1. Стационарные решения при наличии детального баланса 323
7.5.2. Стационарные решения в отсутствие детального баланса (решение 325
Кпрхгофа)
7.5.3. Разложение по обратному размеру системы и аналогичные 326
разложения
7.6. Пекоторые примеры 327
7.6Л. Х + А++2Х 327
у к 327
YA
7.6.2.
к у
7.6.3. Система хищник — жертва 328
7.6.4. Уравнения для производящих функций 333
7.7. Представление Пуассона [7.10] 338
7.7.1. Разновидности представлений Пуассона 343
7.7.2. Действительные представления Пуассона 343
7.7.3. Комплексные представления Пуассона 343
7.7.4. Положительное представление Пуассона 347
7.7.5. Временные корреляционные функции 351
7.7.6. Тримолекулярные реакции 358
7.7.7. Шум третьего порядка 363
8. ПРОСТРАНСТВЕННО-РАСПРЕДЕЛЕННЫЕ СИСТЕМЫ 368
8.1. Общие замечания 368
8.1.1. Функциональные уравнения Фоккера — Планка 371
8.2. Описание при помощи многомерного управляющего уравнения 373
8.2.1. Диффузия 373
8.2.2. Управляющее уравнение диффузии в континуальной форме 374
8.2.3. Совместное рассмотрение химических реакций и диффузии 380
8.2.4. Метод представления Пуассона 381
8.3. Пространственные и временные корреляционные структуры 382
*• 382
8.3.1. Реакция XY
*• 387
8.3.2. Реакция В + Х<н>С, А + Х^2Х
кг к2
8.3.3. Пелинейная модель с фазовым переходом второго рода 393
8.4. Связь между локальным и глобальным описаниями 398
8.4.1. Явное адиабатическое исключение неоднородных мод 398
8.5. Управляющее уравнение в фазовом пространстве 401
8.5.1. Пезависимое движение молекул и соответствующий ему поток 402
вероятности
8.5.2. Поток как процесс рождения — гибели 403
8.5.3. Введение столкновений. Управляющее уравнение Больцмана 406
8.5.4. Совместное рассмотрение потока и столкновений 410
9. БИСТАБИЛБПОСТБ, МЕТАСТАБИЛБПОСТБ 414
И ПРОБЛЕМБ1 ПЕРЕХОДА ИЗ ОДНОЙ ФАЗБ1В ДРУГУЮ
9.1. Диффузия в случае потенциала с двумя ямами (одна переменная) 415
9.1.1. Поведение системы в случае D=Q 415
9.1.2. Поведение системы при очень малых значениях D 416
9.1.3. Время достижения границы 417
9.1.4. Расщепленная вероятность 418
9.1.5. Распад неустойчивого состояния 420
9.2. Установление равновесия заселенностей каждой потенциальной ямы 421
9.2.1. Метод Крамерса 422
9.2.2. Пример: обратимая денатурация химотрипсиногена 426
9.2.3. Бистабильность, описываемая управляющим уравнением для 429
процессов рождения — гибели (случай одной переменной)
9.3. Бистабильность в системах со многими переменными 431
9.3.1. Распределение точек достижения границы 432
9.3.2. Асимптотический анализ среднего времени достижения границы 437
9.3.3. Метод Крамерса для случая нескольких измерений 439
9.3.4. Пример. Броуновское движение в потенциале с двумя ямами 441
10. KBАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССБ1 449
10.1. Квантовомеханическая теория гармонического осциллятора 450
10.1.1. Взаимодействие с внешним полем 451
10.1.2. Свойства когерентных состояний 452
10.2. Матрица плотности и распределения вероятностей 457
10.2.1. Уравнение Неймана 459
10.2.2. Р-представление Глаубера — Сударшана 460
10.2.3. Операторное соответствие 461
10.2.4. Нрименение к возмущенному гармоническому осциллятору 462
10.2.5. Квантовая характеристическая функция 464
10.3. Квантовые марковские процессы 465
10.3.1. Термостат 466
10.3.2. Корреляция гладких функций от операторов термостата 467
10.3.3. Квантовое управляющее уравнение для системы, 468
взаимодействующей с термостатом
10.4. Нримеры и приложения квантовых марковских процессов 473
10.4.1. Гармонический осциллятор 473
10.4.2. Действие возмущения на атом с двумя энергетическими уровнями 478
10.5. Временные корреляционные, функции квантовых марковских 482
процессов
10.5.1. Квантовая теорема регрессии 484
10.5.2. Нрименение к гармоническому осциллятору в Р-представлении 485
10.5.3. Временные корреляторы для двухуровневого атома 488
10.6. Обобщенные Р-представления 489
10.6.1. Определение обобщенного Р-представления 491
10.6.2. Теоремы существования 492
10.6.3. Связь с представлением Нуассона 495
10.6.4. Операторные тождества 495
10.7. Нрименение обобщенных Р-представлений к уравнениям эволюции во 497
времени
10.7.1. Комплексное Р-представление 498
10.7.2. Ноложительное Р-представление 498
10.7.3. Нример 500
Литература 503
Литература с комментариями 508
Предметный указатель 512
Предметный указатель
Автокорреляционная матрица при учете детального баланса
стационарная 99 196
Автокорреляционная функция 37, 91 Аддитивные инварианты 407
выраженная через собственные Адиабатическое исключение
функции 176 быстрых переменных 247
для марковского процесса в квантовом случае 468
98—100 неоднородных мод в системах с
реакциями и диффузией 398—
401
Аксиомы теории вероятностей 47
Аррениуса формула 187
Баргмана состояния, определение
454
Бепкера—Хаусдорфа формула 465
Бернулпи испытания 71
— распределение 107
Бистабильная система,
интерпретация с помощью трех
состояний 424
установление
квазправновесия 421
химическая 298—303
Бистабильность 414
— в системах со многими
переменными 431
Больцмана управляющее уравнение
368, 406-^10
получение уравнения
Больцмана 408
разложение по обратному
размеру системы 407, 411
Броуновская частица 25
Броуновское движение 20
в потенциале с двумя ямами
441^48
и адиабатическое исключение
247
непрерывность реализаций 76
поправки к уравнению
Смолуховского 260—264
уравнение Крамерса 203
Ван Кампена разложение по
обратному размеру системы 308
Вектор сносов, определение 83
Вероятность 46
— априорная 48
— выхода частицы за границу в
потенциале с двумя ямами 425
— перехода 30
— поток, определение 162
— расщепленная в потенциале с
двумя ямами 418
— совместная 50
— условная 51
Вигнера представление 490
Винера—Хинчина теорема 39
Винеровский процесс 101—105
автокорреляционная функция
105
как предел случайных
блужданий 108
недифференцируемость
реализаций 103
независимость прпращений 104
нерегулярность реализаций 103
собственные функции 177
Вольтерры—Лотки система см.
Система хищник—жертва 29
Время достижения границ, перехода
через границу 186
— корреляций 43, 91
— релаксации, зависимость от
заселенности пика 425—426
Вязкость 25
Гармонический осциллятор без
затухания при внешнем
воздействии 450
квантовая теория 450
определение 450
при внешнем воздействии в Р-
представлении 462
при воздействии
флуктуирующего поля 477
с затуханием при воздействии
поля 476, 477
Гаусса распределение 64—66
Гипотеза масштабной
инвариантности для
аппроксимации управляющего
уравнения 303
Граничные условия для процессов
рождения—гибели 316—318
для уравнения Крамерса 258,
259
Смолуховского 259, 260
для УФП в местах разрыва
непрерывности 165
в случае многих
переменных 192
на бесконечности 167
отражающие 164
поглощающие 164
для УФП обратного 173
отражающие 174
поглощающие 173, 174
Двухуровневый атом, временные
корреляции 489
при наличии внешнего
воздействия 478—482
Детальный баланс 194
для управляющего уравнения
рождения—гибели 293—295
определение 194
при диффузии 374
условия для 198, 199
Детерминпрованный процесс 84
Дисперсия 30
Диффузия в поле силы тяжести 170
— коэффициент 22
— определение потока 369
— при неоднородности и
анизотропии 375
— уравнение 23
— флуктуационное
дифференциальное уравнение в
частных производных 378
Достижение границ и переход через
границу 114
Зависящие от времени пуассоновские
решения некоторого класса
управляющих уравнений 298
Закон больших чисел 57
Инвариантность относительно
обращения времени 197
Ито стохастический интеграл,
определение 122
свойства 127—131
— формула, вывод 135
Когерентные состояния, определение
452
пуассоновское распределение
для числа квантов 456
Когерентные состояния, разложение
оператора 455
разложение произвольного
состояния 454
свойства 452—457
Комбинаторная кинетика,
определение 321
Коммутационные соотношения 449
Корреляции гладких функций от
операторов термостата 467
— поведение при неустойчивости
392
— пространственно-временные 386
— пространственные 382—397
Корреляционная длина 389
Корреляционная функция временная
см. Автокорреляционная функция
Корреляционные функции
временные
для двухуровневого атома 488, 489
для квантовых марковских
процессов 482—489
и квантовый гармонический
осциллятор 485—488
и Р-представление 485
определение 61
термостата 467
Корреляция 57
Крамерса метод для задач о
достижении границ 422—426
для многомерного случая 439—
441
— уравнение 203
Крамерса—Мойала разложение в
случае управляющего
уравнения Больцмана 407, 411
рождения—гибели
326—327
и разложение по обратному
размеру системы 309
определение 307
Критическое замедление 316
Кумулянт 60—64
— факториальный 67
Кумулянтная производящая функция
61
факториальная 67
Курца теорема 313
и разложение по обратному
размеру системы 313
Лагерра полиномы 181
Ланжевена уравнение 25, 34, 117—
120
Лапласа преобразование и
адиабатическое исключение 253
Линдеберга условие 65, 75
Лиувилля операторы, определение
469
— уравнение 84
квантовое 460
Маркова процесс 70—116
автокорреляции 98—100
квантовый 449
вывод 465—473
непрерывный, определение 75
однородный 92
определение 88, 89
определение 71
стационарный 449
— условие (постулат) 24, 30, 71
Матрица диффузионная, определение
83
— корреляционная 57
— плотности 457—459
свойства 458, 459
— спектральная при наличии
детального баланса 197
Метастабильность 414
Микроскопическая обратимость 207
Многовременные средние в
квантовом случае 472
Множества нулевой вероятности 55
Множество событий 45, 46
Момент 57
Найквиста формула 40—44
Независимость 27, 53
Неймана уравнение 459
Нелинейный поглотитель 497
Непрерывность стохастических
процессов 73—75
Неупреждающая функция,
определение 124
Неустойчивое состояние, распад 420
Обратное управляющее уравнение и
время достижения границ 318
Онсагера соотношения 208—214
Оператор проектирования,
соответствующий
адиабатическому исключению
250, 251
— рождения 450
— уничтожения 450
Орнштейна—Уленбека процесс,
временная корреляционная
матрица для стационарного
состояния 154
функция 111
время выхода из области R
220
в случае разложения по
малому шуму для СДУ 230
зависящий от времени 158
и квантовый
гармонический осциллятор 475
и соотношения Онсагера 210
СДУ 148, 149
со многими
переменными 151 — 155
собственные функции 179
спектральная матрица 154
стационарная дисперсия 153
в случае двух
переменных 154
стационарное
распределение 170
Осциллятор с флуктуирующей
частотой 146
Паули матрицы, определение 478
Плотность распределения
вероятностей 54
Подчинение тихое 280
— шумное 281
Потенциал с двумя ямами 185
диффузия 415—421
Потенциальный барьер, переход
184—187
Почти наверное 55
Предел в среднеквадратичном 68
при определении
стохастического интеграла 122
— по вероятности 68
— по распределению 69
— последовательности случайных
переменных 67
— почти наверное 68
Представление взаимодействия 472
и двухуровневый атом при
внешнем воздействии 479
Р-представление Гпаубера—
Сударшана 460-^62, 491
операторные соответствия 460
— комплексное, определение 491
операторные тождества 496
— обобщенное -489—502
и уравнения эволюции 497—
502
определение 491
— положительное, определение 492
операторные тождества 496
— теорема существования 492—496
^-представление 490
^-представление 490
Принцип подчинения 250
Проблемы расходимости для
нелинейных систем с
реакциями и диффузией 396
Производящая функция 33
для уравнения рождения—
гибели 333, 334
для распределения Пуассона 66
моментов 59
Пуассона представление 292, 338—
367
в системе с реакциями и
диффузией 381, 382
действительное, определение
343
и временные корреляционные
функции 351—358
Пуассона представление и
мономолекулярные реакции
340
и управляющее уравнение
Больцмана 409, 413
комплексное, определение 343
положительное, определение
347—351
связь с обобщенным Р-
представлением 495
— распределение 33, 66, 67
релаксация в системе с
реакциями и диффузией 384—
386
Размер системы 291
Рассеяние лазерного излучения 27
Реализация непрерывная 24, 73—75
Свойства эргодичности и
стационарные процессы 89
СДУ см. Стохастическое
дифференциальное уравнение
Сепаратриса 436, 448
— алгебра 46
Система хищник—жертва 28
химическое УФП 268—273
— с реакциями и диффузией 368
фазовый переход
второго рода 393
флуктуационные
дифференциальные уравнения
в частных производных 480
Системы рождения—гибели, случай
многих переменных 321
Случайная величина 49
гауссова 64
Случайные блуждания 105—109
приближенное описание
уравнением Фоккера—Планка
304
— величины, независимые 53
и характеристическая
функция 59
и центральная предельная
теорема 65
Случайный процесс диффузионный
83
аппроксимация
скачкообразным процессом
303—307
Коши1в
определение 70
Пуассона 33, 109—111
рэлеевский 190, 194
собственные функции 180
рождения—гибели 28
для потока 403—406
сепарабельный 70
скачкообразный 82
стационарный, приближение
93—98
телеграфный 115—116
и двухуровневый атом при
наличии внешнего воздействия
481,482
третьего порядка 236
Смолуховского уравнение 249, 250
для диффузии в потенциале с
двумя ямами 422
и задача о переходе через
потенциальный барьер 445
определение 249, 256
поправки 260—264
уточненное 263
и задача о достижении
границ 445
Собственные функции для УФП,
вариационный принцип 218
и автокорреляционная матрица
218
и время достижения границ 222
и матричная спектральная
плотность 218
и условная вероятность 176,
218
Событие 45
Спектральная плотность 37
равномерная 41
Среднее значение 54, 56
Среднеквадратичное отклонение 57
Статистическая механика 25
Стационарность 40
Стационарные системы 39
Столкновения и потоки 410—413
— управляющее уравнение
Больцмана 406—410
Стохастический интеграл,
определение 98
Стохастическое дифференциальное
уравнение 25, 26, 35, 36, 117
в частных производных 371
зависимость решений от
начальных условий 143
от параметров 143
и положительное
представление Пуассона 349—
351
линейное 155—157
для одной переменной
155
со многими переменными
157
определение и свойства
132—144
при стремлении цветного
шума к белому 264—273
разложение по малому шуму
230—239
связь с УФП 136
Стратоновича 139
как предел стремления
недельтакоррелпрованного
воздействия к
дельтакоррелированному 264—
273
определение и связь с
СДУ Ито 139—141
Стратоновича стохастический
интеграл 124
Теорема регрессии 99
квантовая 484, 485
Термостат, определение 466
Тримолекулярная реакция как предел
бимолекулярной реакции 358—
363
Управляющее уравнение 82, 291
аппроксимация уравнением
Фоккера—Планка 303
в случае многих переменных
321
для системы с
диффузией 373, 374
разложение
Крамерса—Мойала 326
в фазовом пространстве 401
диффузии, непрерывная форма
374—379
разложение по обратному
размеру системы 375
квантовое, вывод 468—473
определение 472
для гармонического
осциллятора 473—477
описывающее реакции и
диффузию 480
разложение по
обратному размеру системы 380
разложение по обратному
размеру системы 308—316
рождения—гибели 30, 34
для квантового
гармонического осциллятора
473
— для одной переменной
292
и бистабильность 429—
431
разложение по обратному
размеру системы 326
случай одной переменной,
стационарное решение 293—
295
среднее время достижения
границ 318—321
стационарные решения без
учета детального баланса 325
Усреднение по ансамблю 39
УФП см Фоккера—Планка
уравнение
Феноменологическая сила 210
Феноменологический поток 210
Флуктуации критические 314
и разложение по обратному
размеру системы 314
Флуктуации локальные и глобальные
389
Флуктуационно-диссипационная
теорема, применение 211
Фоккера—Планка уравнение 160
в комплексном Р-
представлении 498
условие
потенциальности 500—502
в положительном Р-
представлении 498—500
в Р-представлении 476, 496
вариационный принцип для
собственных функций 217
граница входная 166
естественная 166
разложение по малому
шуму 239
с одной переменной
потенциальное
решение 168,169
собственные
функции 174—181
среднее время
достижения границ 183
со многими переменными,
собственные функции 214
стационарные
решения 193, 194
условие
потенциальности 193
стационарное
распределение,
асимптотический метод 246
химическое 326
Хакена модель 278
Хаос 19
Характеристическая функция 59
гауссова распределения 64
и моменты 59
квантовая 464, 465
Химическая реакция
А^Х 365
соединения 359—363
управляющее уравнение
298, 299
— в представлении Пуассона 358,
359
решение управляющего
уравнения 334—336
комплексное представление
Пуассона 344—346
положительное представление
Пуассона 350
пространственно-
распределенная 393—397
решение в представлении
Пуассона 340—343
исключение промежуточного
пространственно-
распределенная 38 —393
В —> X, 2Х ->^и положительное
представление Пуассона 350,
351
комплексное представление
Пуассона 346, 347
В <-> X, А + X —»2Х, аналогия с
гармоническим осциллятором
474
Х + А^2Х, УФП 171
химическое 327—333
loin разложение по обратному
размеру системы 310
— управляющее уравнение 295
X <-» Y, как система с реакциями и
диффузией 382—386
X <-> Y <-> А 273
— химическое УФП 327—333
Xi <-» 2Х2, уравнение реакции с
диффузией 381
Xi <-» Х2, решение управляющего
уравнения 337, 338
в системе хищник—жертва, УФП
328—333
исключение короткоживущих
промежуточных продуктов 273
мономолекулярная 340
нелокальная 397
связь между локальным и
глобальным описанием 398—
402
Химические реакции, теория
переходного состояния 424
Химическое уравнение реакции с
диффузией 370
Химотрипсиноген, обратимая
денатурация 426
Центральная предельная теорема 65
Чепмена—Колмогорова уравнение
24, 72, 73 — третьего порядка 359
дифференциальное 76—82 определение 363, 364
обратное 87 Эйнштейна уравнение и
Шредингера уравнение 451 двухуровневый атом 481
Шум 31 Эргодичность 39
— белый 40—44, 117—120 Эрмита полиномы 179
как предел цветного шума 264 при адиабатическом
— дробовой 32 исключении 255
— тепловой 40—44
Предисловие редактора перевода
Предлагаемое руководство по статистическим методам имеет ряд
особенностей, которыми оно выгодно отличается от других руко-
руководств. Здесь в первую очередь следует назвать систематичность и
широту охваченного материала. В книгу вошло много важных и инте-
интересных вопросов — от стохастических интегральных и дифференци-
дифференциальных уравнений до бистабильности и квантовых марковских процес-
процессов. Она содержит целый спектр результатов, представляющих инте-
интерес для широкого круга читателей — физиков, химиков, биологов.
Большое место в этой книге занимает как теория диффузионных про-
процессов, описываемых уравнением Фоккера — Планка, так и теория
скачкообразных процессов, описываемых управляющим уравнением.
Много внимания уделено приближенным методам, в частности тем
методам, которые позволяют свести различные уравнения, описываю-
описывающие, например, скачкообразные процессы или квантовые марковские
процессы, к уравнению Фоккера — Планка.
В широте охваченного материала можно убедиться, уже читая гл. 1.
В ней на равных рассматриваются тепловые и дробовые шумы, тео-
теория которых важна для радиотехники, и процессы рождения — гибе-
гибели, играющие большую роль в биологии и химии.
Основным главам книги предпослано изложение математических
основ теории, а именно понятий теории вероятностей (гл. 2). Это
удачное изложение. Здесь подробнее, чем во многих прикладных руко-
руководствах излагаются многие представления и результаты теории веро-
вероятностей. Так, например, дается определение а-алгебры, вводится
пространство О элементарных событий, рассматриваются различные
определения сходимости случайных величин и соотношения между ни-
ними.
Особенностью предлагаемой книги является также то, что в ней
кроме уравнений Фоккера — Планка всесторонне освещаются стоха-
стохастические интегралы и уравнения и рассматривается много их приме-
применений. Методы расчета, основанные на использовании стохастических
уравнений, часто позволяют получить окончательные результаты
6 Предисловие редактора перевода
быстрее, чем при помощи уравнения Фоккера — Планка. Поэтому
включение данного материала весьма полезно.
Автор книги является горячим сторонником стохастических инте-
интегралов и уравнений Ито в противовес S-интегралам и уравнениям.
При сравнении различных интерпретаций стохастических интегралов и
уравнений для диффузионных процессов нужно иметь в виду следую-
следующее. По правилам Ито при замене переменных нужно учитывать не
только первые, но и вторые производные, в результате формулы пре-
преобразований становятся намного длиннее. В случае S-выражений мож-
можно пользоваться обычными правилами, которые пригодны для глад-
гладких функций, так что вторые производные не нужно принимать во
внимание. Зато усреднение стохастических S-выражений производится
несколько сложнее. Так, для получения вектора сносов, входящего в
уравнение Фоккера — Планка, нужно пользоваться формулой
D.3.43а). Если рассматривается процесс с производной, имеющей ко-
конечную дисперсию, который служит аппроксимацией точного диф-
диффузионного процесса, то уравнение для первого процесса совпадает с
S-формой стохастического уравнения для второго. Это удобно. В
остальном же каждая форма стохастического интеграла имеет свои
преимущества и выбор той или иной формы определяется личным
вкусом.
В предлагаемом руководстве прекрасно изложен ряд систематиче-
систематических приближенных методов расчета, среди них метод малого шума,
метод адиабатического исключения, метод разложения по обратному
размеру системы. При этом их применение проиллюстрировано мно-
многими примерами. Этот материал весьма полезен с точки зрения прак-
практических приложений.
Коснемся также весьма нетрадиционного материала, помещенного
в книге. Это в первую очередь пуассоновское представление, о кото-
котором идет речь в гл. 7, 8. Это представление является оригинальным,
так как оно предложено самим автором книги совместно с С. Чатур-
веди. Пуассоновское представление полезно потому, что оно позволя-
позволяет перевести управляющее уравнение для бимолекулярных реакций в
уравнение Фоккера — Планка, записанное для других переменных. По
этому поводу хочется только сказать, что в случае пуассоновского
представления нужно быть очень осторожным при вычислении мно-
многовременных моментов и распределений. Дело в том, что переменная
пуассоновского представления как функция от времени не является
марковским процессом при марковском исходном процессе.
Весьма нетрадиционно также помещение главы, посвященной кван-
квантовым марковским процессам (гл. 10) в подобную книгу, где осталь-
остальной материал неквантовый. Здесь очень кратко изложены понятия и
Предисловие редактора перевода 7
факты квантовой теории. Конечно, это изложение весьма неполно.
Так, не рассматриваются операторы координат и импульсов, не упо-
упоминается теория представлений. Можно думать, однако, что такое
краткое введение в квантовую теорию весьма полезно. Читатель
сможет более полно ознакомиться с теорией по другим руководст-
руководствам. Из всего многообразия методов квантовой теории автор выбира-
выбирает один — метод, основанный на когерентных состояниях и Р-
представлении, и этот метод позволяет ему многого достичь.
В гл. 10 применение метода адиабатического исключения приводит
к квантовому управляющему уравнению, которое, по определению,
описывает квантовый марковский процесс. Затем рассматриваются
частные случаи этого процесса, а также доказывается квантовая тео-
теорема регрессии. Следует отметить, что квантовые марковские процес-
процессы, рассмотренные в гл. 10, специфичны и их нельзя использовать для
описания равновесных процессов, которые являются прямым кванто-
квантовым обобщением неквантовых равновесных марковских процессов,
протекающих при определенной температуре.
Перевод выполнили Ал. А. Коломенский (предисловия, гл. 1—3),
А. С. Доброславский (гл. 4—7) и А. В. Толстопятенко (гл. 8—10). Не-
Некоторые замеченные опечатки и неточности при переводе исправлены.
В заключение хочется выразить надежду, что предлагаемая книга
будет полезна широкому кругу специалистов.
Р. Л. Стратонович
Предисловие редактора серии «Синергетика»
Прежде шпрингеровская серия по синергетике включала, как правило,
труды конференций по этой новой междисциплинарной области иссле-
исследований, что диктовалось ее быстрым развитием. Однако по мере то-
того как синергетика «взрослеет», все более желательно представить от-
относящиеся к ней экспериментальные и теоретические результаты с
единых позиций и дать студентам и научным работникам руководства
по практическим применениям.
Приступая к изданию серии, мы подчеркивали, что формирование
пространственных, временных или функциональных структур в слож-
сложных системах можно рассматривать адекватно только при должном
учете стохастических процессов. Имея это в виду, я изложил основы
теории стохастических процессов в моей книге «Синергетика. Введе-
Введение», с которой началась данная серия. Однако научным работникам
и студентам, желающим более глубоко ознакомиться с теорией таких
процессов, без сомнения, необходимо руководство, гораздо более ис-
исчерпывающее. Этот пробел восполнился книгой профессора Криспина
Гардинера. Она закладывает основы для последующих томов серии, в
немалой степени использующих методы и понятия теории стохастиче-
стохастических процессов. В число этих томов входят книги «Индуцированные
шумом переходы» В. Хорстхемке, Р. Лефевра, «Кинетическая теория
электромагнитных процессов» Ю. Л. Климонтовича и «Концепции и
модели количественной социологии» В. Вейдлиха и Г. Хаага.
Хотя синергетика дает нам весьма общие концепции, она ни в коей
мере не является «искусством для искусства». Напротив, явления, ко-
которые она изучает, имеют большое значение для ряда самоорганизую-
самоорганизующихся систем, таких, как биологические системы и системы, использу-
используемые при конструировании приборов, скажем, в электронике. Поэто-
Поэтому мне особенно приятно, что данная книга написана ученым, кото-
который сам использует и развивает методы теории случайных процессов,
например в квантовой оптике и при исследовании химических реакций.
Книга профессора К. Гардинера будет полезна не только студентам и
ученым, работающим в области синергетики, но также гораздо более
широкой аудитории, интересующейся теорией случайных процессов и
ее важными приложениями к разнообразным проблемам.
Г. Хаквн
Предисловие к 2-му изданию
В этом издании исправлены замеченные опечатки и внесены некото-
некоторые более существенные изменения. В частности, я переписал заново
разд. 4.2.3 и 4.3.6, используя более корректное определение стохасти-
стохастического интеграла Стратоновича, и прояснил прежде запутанное изло-
изложение материала о границах в разд. 5.2.1 д. Я также переписал разд.
6.3.3 и 6.4.5в с учетом последних достижений в этих областях, не-
несколько расширил библиографию и добавил ссылки на новую литера-
литературу.
Пасадена, Калифорния К. В. Гардинер
Март, 1985
Предисловие к 1-му изданию
В этой книге я стремился сравнительно простым языком и в причин-
причинно-следственно связанной форме изложить все те формулы и методы,
которые рассеяны в научной литературе по стохастическим методам и
используются в течение последних 80 лет. Могло бы показаться, что
это не нужно, поскольку есть ряд книг с названиями «Стохастические
процессы» или близкими этому. Однако внимательное их прочтение
скоро показывает, что цель написания этих книг не совпадает с моей.
Есть книги, чисто теоретические и сильно математизированные, есть
книги, относящиеся к электротехнике и теорий связи, есть книги для
биологов. Многие из них очень хороши, но ни одна из них не охваты-
охватывает те приложения, которые в последнее время так часто появляются
в статистической физике, физической химии, квантовой оптике, элек-
электронике и во многих других областях теоретических исследований, об-
образующих часть предмета исследования синергетики, которой посвя-
посвящена данная серия, включающая и эту книгу.
Основной новый момент в подходе этой книги состоит в том вни-
внимании, которое уделено методам аппроксимации проблем или их пе-
переформулировке для последующей аппроксимации. Я полностью со-
сознаю, что многие исследователи не найдут здесь используемых ими
методов. Мой критерий отбора состоял в том, систематична ли дан-
данная аппроксимация. Многие приближения основаны на необоснован-
необоснованных или неконтролируемых предположениях и оправдываются апо-
апостериори. Такие приближения не могут быть предметом систематизи-
систематизирующей книги, по крайней мере до тех пор пока они не будут точно
сформулированы и область их применимости не будет проконтроли-
проконтролирована. В некоторых случаях я смог изложить ряд аппроксимаций на
систематической основе (и они вошли в книгу), в других случаях мне
это не удалось. Часть вопросов была исключена по соображениям
места и времени. Возможно также, что некоторые вопросы я просто
упустил из виду.
Несколько слов о предполагаемой подготовке. Читатель должен
хорошо владеть практикой расчетов, включая контурное интегрирова-
интегрирование, матричную алгебру, дифференциальные уравнения, как обыкно-
обыкновенные, так и в частных производных, на уровне, предполагаемом по-
Предисловие к 1-му изданию
еле окончания института по специальностям прикладная математика,
физика, или теоретическая химия. Эта книга — не запись специально-
специального курса лекций, хотя она и включает раздел, который был использо-
использован в курсе по физике для аспирантов в университете Вайкато. Этот
раздел содержит материал, который, как я предполагаю, хорошо зна-
знаком любому аспиранту, специализирующемуся по квантовой оптике и
теории стохастических процессов. В книге есть, таким образом, опре-
определенный уклон в сторону моих личных интересов, что является при
вилегией автора.
Я ожидаю, что читать книгу будут в основном теоретики (физики
и химики), и исходя из этого, выбрал общий стандарт изложения. Эта
книга не является строгой в математическом смысле, но она содержит
такие результаты, которые, я уверен, доказываются строго, и эти до-
доказательства могут быть развиты из приводимых здесь примеров.
Построение книги показано на представленной схеме. Некоторых
читателей может удивить, что изложив общие свойства марковских
процессов, в дальнейшем рассмотрении я использую концепцию стоха-
стохастических дифференциальных уравнений, которая хотя и привлека-
привлекательна, но сложна. Я поступил так, поскольку из своего опыта знаю,
что методы стохастических дифференциальных уравнений просты для
того, кто уже освоил технику Ито. Последние я ввожу в гл. 4 весьма
доступным образом, не встречавшимся мне ни в одной предыдущей
книге. Это правда, что стохастические дифференциальные уравнения
не содержат ничего, что не содержалось бы в уравнении Фоккера —
Планка, но стохастические дифференциальные уравнения настолько
удобнее в обращении, что лишь ревностный пурист пытался бы избе-
избежать этого подхода. С другой стороны, только пуристы из противо
положного лагеря стали бы пытаться развивать теорию без уравнения
Фоккера — Планка. В гл. 5 оно вводится как дополнительный и иног-
иногда эквивалентный метод исследования тех же проблем. Гл. 6 заверша-
завершает то, что можно было бы считать «сердцевиной» книги, изложением
двух основных подходов при аппроксимации: разложения по малому
шуму и адиабатического исключения.
Остальная часть книги строится вокруг этой сердцевины, так как
очень многие методы рассмотрения скачкообразных процессов в гл. 7,
а также пространственно-распределительных систем (которые сами
лучше всего описывать как скачкообразные процессы) обусловлены
сведением системы к аппроксимирующему диффузионному процессу.
Таким образом, хотя логически понятие скачкообразного процесса го-
гораздо проще, чем понятие диффузионного процесса, с точки зрения
аналитики и методов расчета верно обратное.
12 Предисловие к 1-му изданию
/. Введение
2. Понятия теории
вероятностей
Г"
3. Марковские процессы
4. Расчеты методом Ито
и стохастические диф-
дифференциальные уравнения
5. Уравнение
Фоккера-Планка
6. Приближенные методы для
диффузионных процессов
7. Управляющие уравнения
и скачкообразные процессы
I
8. Пространственно-
распределенные системы
9. Бистабильность, мета-
стабильность и проблемы
перехода из одной фазы
в другую
10. Квантовомеханические
марковские
процессы
Гл. 9 включена вследствие практического значения бистабильности
и, как указано на схеме, она почти независима от всего, кроме первых
пяти глав. Опять-таки, я включил только систематические методы,
поскольку в этой области имеется множество частных методов.
Предисловие к 1-му изданию 13
Гл. 10 требует некоторых знаний по квантовой механике. Я наде-
надеюсь, что она интересна математикам, изучающим стохастические про-
процессы, поскольку в этой области еще много предстоит сделать. Это
направление имеет большое практическое значение. Оно естественным
образом вводит новые представления в теорию стохастических про-
процессов, в частности, весьма привлекательное понятие стохастических
процессов на комплексной плоскости; применение этого понятия ока-
оказывается единственным путем приведения квантовых процессов к
обычным стохастическим. На отмеченном выше направлении имеется
большое поле деятельности, но я с разочарованием заметил, что ма-
математики не проявляют интереса к квантовым марковским процессам.
Например, мне не известно ни одного рассмотрения проблем дости-
достижения и пересечения границы в квантовых марковских системах.
Следует также упомянуть о том, что не вошло в книгу. Я ограни-
ограничиваюсь только марковскими процессами или системами, которые мо-
могут быть включены в рамки марковских процессов. Это значит, что
совсем не вошли работы по нелинейным марковским стохастическим
дифференциальным уравнениям, о чем я сожалею. Однако, эта об-
область довольно хорошо освещена ван Кампеном и достаточно полно
отражена в его книге по стохастическим процессам.
Были исключены также и другие вопросы, поскольку я вижу, что
они еще не готовы для окончательной формулировки. Например, тео-
теория адиабатического исключения пространственно-распределенных си-
систем, теория гидродинамики с учетом флуктуации, методы ренорма-
лизационной группы для стохастических дифференциальных уравнений
и связанные с ними критические явления. По всем этим вопросам име-
имеется обширная литература и скоро потребуется их обоснованное, в
разумной степени математизированное изложение.
Кроме того, для простоты я, как правило, давал один вариант
формулировки рассмотренных методов. Так, существуют несколько
различных способов формулировки результатов метода адиабатиче-
адиабатического исключения, хотя в тексте использованы только некоторые из
них. Моя формулировка квантовых марковских процессов и Р-пред-
ставлений только одна из многих. Для того чтобы дать обзор всем
формулировкам, потребовалась бы огромная и трудно читаемая кни-
книга. Однако, где уместно, я дал специальные ссылки, и дополнитель-
дополнительный материал можно найти в общем списке литературы.
Гамильтон, Новая Зеландия К. В. Гардинер
Январь, 1983
Благодарности
Я горячо признателен проф. Герману Хакену за приглашение написать эту книгу для
шпрингеровской серии по синергетике и за помощь в устройстве моего годичного про-
профессорского отпуска в Штутгарте, где я выполнил большую часть первоначального ис-
исследования данной темы и начал писать книгу.
Практическая реализация книги была бы невозможна без участия Кристины Коутс,
чья способность уверенно печатать, несмотря на неразборчивость моего почерка и ис-
исправления, никогда не перестанет вызывать мое восхищение. Существенная помощь
Мойры Стейн-Росс в проверке формул и согласованности текста явилась услугой, зна-
значительность которой может быть оценена только автором.
С тех пор как я впервые заинтересовался стохастическими явлениями, я немало по-
получил от общения со многими людьми. Особенно я хочу поблагодарить Л. Арнольда,
Р. Грэхема, С. Гроссмана, Ф. Хааке, П. Хоэнберга, В. Хорстхемке, Н. Г. ван Кампена,
Р. Ландауэра, Р. Лефевра, М. Малек-Мансура, Г. Николиса, А. Нитцана, П. Ортолеву,
Дж. Росса, Ф. Шлёгля и У. Титулаэра.
Моим коллегам и студентам в университете Вайкато принадлежит значительная до-
доля заслуг в выполнении представленной в книге работы. Я хочу выразить признатель-
признательность Дану Уолсу (он первый ввел меня в круг обсуждаемых в книге проблем и с ним
мы сотрудничали в течение многих лет), Говарду Карм аи юлу, Петеру Друммонду, Ке-
Кену Макнейлу, Герарду Милбурну, Мойре Стейн-Росс и в особой степени Сабхашу Ча-
турведи, знания которого в данной области были особенно ценны для меня.
Я посвящаю эту книгу моей жене Хезер и моим детям Симону и Аманде, которые
проявляли необычайное терпение к тому, что я столько времени отдал осуществлению <
этого замысла.
Отрывок из статьи А. Эйнштейна, который приведен в разд. 1.2.1 перепечатан с
разрешения Еврейского университета (Иерусалим), который владеет авторскими пра-
правами.
Диаграмма, приведенная на рис. 1.3,6, воспроизведена с разрешения издательского
отдела Принстонского университета.
Список обозначений
Латинские буквы
а + ,а Операторы рождения и уничтожения
ac-lim Предел почти наверное
A(z,t) Вектор сноса
А [/(а)] Вектор сноса уравнения Фоккера —
Планка в представлении Пуассона
Аа{п) Вектор сноса в представлении Пуассона
B(z,t) Диффузионная матрица
Bab[J(a)] Диффузионная матрица уравнения Фок-
Фоккера — Планка в представлении Пу-
Пуассона
Bab(ri) Диффузионная матрица в представлении
Пуассона без множителя е2 = V~'
с/у Вероятность диффузионного скачка
dW{q,t) Преобразование Фурье локального вине-
ровского процесса
dW(r, t) Локальный винеровский процесс, завися-
зависящий от пространственных перемен-
переменных
D{r) Недиагональный тензор диффузии, зави-
зависящий от пространственных перемен-
переменных
D(A') Дисперсия величины X
Q Область интегрирования в представле-
представлениях Пуассона
Нелокальная диффузия
Функция ошибок
Квазивероятность представления Пуас-
Пуассона
Условная квазивероятность представле-
представления П ассона
16 Список обозначений
G(s,t) Производящая функция
G(t) Автокорреляционная функция
Н Оператор Гамильтона
Н„(х) Полином Эрмита
j(r,t) Диффузионный поток
J(x) Поток вероятности в скачкообразном
процессе
/(г, 0 Поток вероятности
JA(a) Поток вероятности в представлении Пу-
Пуассона
JA [rj] Поток вероятности в представлении Пу-
Пуассона
к% Скорость химической реакции в управля-
управляющем уравнении
Ь„(х) Полином Лагерра
ms-lim Предел в среднеквадратичном
МА Параметр конечного состояния в управ-
управляющем уравнении химической реак-
реакции
jV Нормировочная постоянная
NA Параметр начального состояния в
управляющем уравнении химической
реакции
p(x1,ti;x2,t2]x3,t3;...) Совместная плотность распределения
вероятностей
p(xi,ti\x2,t2) Условная плотность распределения ве-
вероятностей
Р(А \В) Условная вероятность
Р Проекционный оператор в методе адиа-
адиабатического исключения
P(x,t\x',t') Условная вероятность в скачкообразном
процессе
Р(а, а*) Р-функция Глаубера — Сударшана
Р(а,р) Обобщенная Р-функция
РА(х) Собственные функции прямого операто-
оператора Фоккера — Планка
Список обозначений 17
q Переменная в преобразовании Фурье
Qx{x) Собственные функции обратного опера-
оператора Фоккера — Планка
гА = МА - NA
R(a*,/3) R-функции Глаубера
st-lim Предел по вероятности
S(w) Спектральная плотность
S+,S~,SZ Матрицы Паули
t + (x),t~(x) Вероятность перехода в единицу време-
времени для скачков
^(дг) Вероятность перехода в единицу време-
времени в управляющих уравнениях для хи-
химических реакций
Т(х) Среднее время достижения границы
V, Q Объем системы
W(t) Винеровский процесс
W(t) Многомерный винеровский процесс
W(x\z,t) Вероятность скачка
*[^>f] = \d3rp(r,t) Число молекул в объеме V
v
Греческие буквы
ос, a, a(t),a(t) Переменная в представлении Пуассона
3 = (а, Р)
а„(х) Условный момент для величины скачка
в единицу времени
Оператор термостата
Дельта-функция Дирака
= 8тп Символ Кронекера
Функциональная производная
Концентрационная переменная в пред-
представлении Пуассона
Скорость химической реакции, выражен-
выраженная через концентрации
18 Список обозначений
Л(а,Р) = \а)<Р*\/<р*\а)
ц(а) Мера, используемая в представлениях
Пуассона
?@ Флуктуирующая сила
па{х) Вероятность выхода через точку а
Р Матрица плотности (или оператор плот-
плотности)
р{Т) Матрица плотности для канонического
ансамбля
р{г, 0 Концентрация
а[Х] Среднеквадратичное отклонение величи-
величины X
тс Время корреляции
Ф(у) Производящая функция кумулянтов
Производящая функция моментов
Квантовая характеристическая функция
Q, V Параметр размера системы
Математические символы
[А, В] = Л В - В Л Коммутатор операторов А, В
(Xj,Xj) = (XjXj} - <ЛГ,)<ЛГУ> Корреляционная матрица Х{ и Xj
</?> Среднее значение величины R
(ХГУ( Факториальный момент величины X
<а@ | [a',s]) Среднее значение переменной а@ при
начальном условии a(s) = a'
((X >>f Факториальный кумулянт величины X
((Х^Х™2--- Аг^л>> Кумулянты переменных Xlt Х2 Хп
I n > Состояние, нумеруемое целым числом
| а> Когерентное состояние
|| а> Состояние Баргмана
\G(t')dW(t') Стохастический интеграл Ито
'о
t
S\G(t')dW(t') Стохастический интеграл Стратоновича
'о
f{s)= $e~s'f{t) Преобразование Лапласа от функции/(f)
о
1
Введение
1.1. ПРЕДЫСТОРИЯ ВОПРОСА
Можно сказать, что вплоть до конца XIX в. теоретики изучали диф-
дифференциальные уравнения и моделирование явлений природы их де-
детерминированными решениями. В то время бытовало представление,
что, зная все начальные данные, можно с определенностью предска-
предсказывать будущее.
Теперь мы знаем, что это не так по крайней мере по двум причи-
причинам. Во-первых, рождение квантовой механики в первой четверти
XX в. дало начало новой физике, а значит, и новым теоретическим
основам всех наук, которые содержат чисто статистический элемент.
Во-вторых, уже позднее возникла концепция хаоса, которая показала,
что даже довольно простые системы дифференциальных уравнений
обладают поразительным свойством демонстрировать существенно
непредсказуемое поведение. Разумеется, можно предсказать будущее
такой системы, если известны точные начальные условия, однако лю-
любая неточность в их задании так быстро возрастает, что практически
никакой предсказуемости нет. Конечно, само существование хаоса не
столь удивительно, поскольку это лучше согласуется с нашим повсед-
повседневным опытом, чем полная предсказуемость. Удивительно другое —
3000
г 4 в 8 ю 12 14 16 18 го
Рис. 1.1. Зависимость выхода реакции изомеризации X ¦*¦ А от времени, полученная
стохастическим моделированием.
20 Глава 1
сколько времени потребовалось, чтобы сделать шаг к описанию и по-
пониманию этого явления.
В этой главе мы не будем специально останавливаться на хаосе и
квантовой механике. Я хочу дать краткое полуисторического характе-
характера описание того, как возникла теория флуктуационных явлений и ка-
каковы ее основные положения. Уже сама полезность моделей, способ-
способных давать предсказания, показывает, что жизнь не полностью слу-
случайна. Однако у предсказуемости существует предел, и основная часть
этой книги посвящена как раз моделям ограниченной предсказуемо-
предсказуемости. При тщательных научных измерениях обычно получают данные,
похожие на те, которые представлены на рис. 1.1 (здесь это рост чис-
числа молекул вещества X, образовавшихся при химической реакции вида
X ?* А). Налицо четко детерминированное поведение, и оно воспроиз-
воспроизводимо в отличие от сопутствующих невоспроизводимых 'флуктуации.
1.2. НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕРЫ
1.2.1. БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
Взвешенные в воде мельчайшие пыльцевые зерна находятся в очень
оживленном и беспорядочном движении. Это явление систематически
исследовал Роберт Броун в 1827 г., и в его честь оно получило назва-
название броуновского движения. Броун был ботаником, к тому же очень
известным, и конечно проверил, не есть ли это движение какое-то
проявление жизни. Показав, что оно присутствует в суспензии любых
мельчайших частиц (полученных из стекла, минералов и даже из
осколка сфинкса), он исключил какое-либо специфически органическое
его происхождение. Иллюстрацией броуновского движения служит
рис. 1.2.
Рис. 1.2. Движение броуновской части-
частицы.
Введение 21
Броуновское движение долго оставалось загадкой: удовлетвори-
удовлетворительное объяснение отсутствовало вплоть до 1905 г., когда Эйнштейн
[1.2] опубликовал свое объяснение под довольно скромным названием
"Uber die von der molekular-kinetischen Theorie der Warme geforderte Be-
wegung von in ruhenden Fliissigkeiten suspendierten Teilchen" (О движе-
движении взвешенных в покоящейся жидкости частиц, требуемом молеку-
лярно-кинетической теорией теплоты). Такое же объяснение независи-
независимо предложил Смолуховский [1.3], который внес значительный вклад
в дальнейшее развитие теории броуновского движения и ее экспери-
экспериментальную проверку.
В решении проблемы броуновского движения, предложенном Эйн-
Эйнштейном, основные моменты следующие:
1) движение броуновской частицы вызывается крайне частыми уда-
ударами со стороны непрестанно движущихся молекул окружающей жид-
жидкости;
2) движение этих молекул столь нерегулярно, что их воздействие
на взвешенные частицы можно описать только вероятностным обра-
образом в предположении очень частых, статистически независимых уда-
ударов.
Наличие таких флуктуации означает, что интересующее нас явле-
явление требует объяснения в рамках статистического подхода. В своих
знаменитых газовых теориях Максвелл и Больцман уже использовали
статистику, но для описания возможных состояний и вероятности их
достижения, а не временной эволюции системы. Статистическое опи-
описание в этом аспекте первым рассмотрел Рэлей [1.1], но так сложи-
сложилось, что его работа не имела продолжения. Практически именно объ-
объяснение броуновского движения, данное Эйнштейном, нужно считать
началом стохастического моделирования природных явлений.
Рассуждения Эйнштейна очень ясные и четкие. Они содержат все
основные положения, которые составляют предмет данной книги.
Вместо того чтобы пересказывать классическую работу, я просто при-
приведу обширную выдержку из статьи Эйнштейна:
«Следует с определенностью предположить, что каждая отдельная
частица совершает движение независимо от движений всех других ча-
частиц; движения одной и той же частицы в разные временные интерва-
интервалы также следует считать независимыми процессами до тех лор, пока
эти временные интервалы не с шшком малы.
Введем в рассмотрение временной интервал г, очень малый по
сравнению с временными интервалами наблюдения, но тем не менее
настолько большой, чтобы движения, совершаемые частицей в два
последующих временных интервала т, можно было считать независи-
независимыми.
22 Глава 1
Предположим теперь, что всего в жидкости взвешено п частиц. За
время т Л'-координата данной частицы возрастает на величину Д, при-
причем для каждой частицы Д имеет свое (положительное или отрица-
отрицательное) значение. Будет иметь место определенный закон частоты
повторяемости значения Д; число dn частиц, у которых величина сме-
смещения лежит в интервале от Д до Д + dA, можно выразить уравнени-
уравнением следующего вида:
йп = пф{А)йА, A.2.1)
где
]j(A)dA=l, A.2.2)
а ф отлично от нуля только для очень малых значений Д и удовлетво-
удовлетворяет условию
ф(А) = ф(-А). A.2.3)
Исследуем теперь, как коэффициент диффузии зависит от ф. Снова
ограничимся случаем, когда число частиц v в единице объема зависит
только от х и /.
Пусть v = fix, t) есть число частиц в единице объема. Найдем рас-
распределение частиц в момент t + т, исходя из распределения в момент
t. Пользуясь определением функции Ф(Д), легко найти число тех ча-
частиц, которые в момент t + т находятся между двумя плоскостями,
перпендикулярными оси* и проходящими через точких их + dx. По-
Получаем
f(x, t + x)dx = dx] f{x + A, tWA)dA . A.2.4)
Но поскольку т очень мало, мы можем положить
f(x,t + T)=f(x,t) + xft. A.2.5)
Далее, f(x + Д, t) разлагаем по степеням Д:
+.... A.2.6)
Введение 23
Эти разложения можно использовать под знаком интеграла, так как
только малые значения Л дают вклад в уравнение. Имеем
/ + |f т = / J ф{Л)йЛ + д?? AjWA + g f | ф{А)с1А . A.2.7)
Вследствие того что ф(х) — ф(—х), второй, четвертый и последующие
члены четных номеров в правой части равны нулю. В последователь-
последовательности из первого, третьего, пятого и других нечетных номеров каж-
каждый последующий член существенно меньше предыдущего. Из приве-
приведенного соотношения, принимая во внимание, что
]j(A)dA = l, A.2.8)
полагая
-]?jHA)dA = D A.2.9)
и удерживая в правой части только первый и третий члены, находим
Это не что иное, как известное1' дифференциальное уравнение диффу-
диффузии, и видно, что D — коэффициент диффузии...
Рассмотренная задача, соответствующая задаче о диффузии из од-
одной точки (в пренебрежении взаимодействием между диффундирую-
диффундирующими частицами), теперь математически полностью определена: ее
решение есть
(Ь2Л1)
Теперь с помощью полученной формулы рассчитаем перемещение Х^ в
направлении оси X, совершаемое частицей в среднем, — точнее, ква-
квадратный корень из среднего квадрата смещения в направлении оси X;
11 Уравнение A.2.10) для числа/(лг) частиц в единице объема было известно до ра-
работы Эйнштейна, так как оно следует из формулы G = -Ddf/dx, определяющей диф-
диффузионный поток, и из уравнения непрерывности df/dt + dG/дх = 0, т. е. уравнения,
выражающего закон сохранения числа частиц. Важный результат данной работы Эйн-
Эйнштейна в том, что он впервые выразил коэффициент диффузии (флуктуационную харак-
характеристику) через коэффициент трения (диссипационную характеристику). — Прим. ред.
24 Глава 1
получаем:
vim" A.2.12)
Приведенное рассмотрение Эйнштейна фактически основывается
на предположении, что время дискретно, т.е. соударения происходят
только в моменты 0, т, 2т, Ът ... , поэтому результирующее уравнение
A.2.10) для функции распределения /(v, /), а также его решение
A.2.11) следует рассматривать как приближения, в которых т предпо-
предполагается настолько малым, что время t можно считать почти непре-
непрерывным. Тем не менее описание Эйнштейна содержит очень многое
из тех подходов, которые впоследствии развивались в сторону общно-
общности и строгости и в данной книге занимают центральное место. На-
Например:
1) Уравнение Чепмена — Колмогорова до известной степени подобно
уравнению Эйнштейна A.2.4). Оно гласит, что вероятность нахожде-
нахождения частицы в точке х в момент t + т дается суммой вероятностей
всех возможных смещений Д из положениях + Д, умноженной на ве-
вероятность нахождения в точке х + А в момент /". Это предположе-
предположение основано на независимости скачка Д от какой-либо предыстории
движения: необходимо знать начальное положение частицы только в
момент /, а не в какие-либо предшествующие моменты. Это и есть
постулат Маркова, и уравнение Чепмена — Колмогорова, частную
форму которого представляет уравнение A.2.4), является основным
динамическим уравнением всех марковских процессов. Последние бу-
будут детально рассмотрены в гл. 3.
B) Уравнение Фоккера — Планка (УФП). Диффузионное уравнение
A.2.10) — это частный случай УФП, которое описывает широкий
класс очень интересных стохастических процессов, обладающих непре-
непрерывными реализациями. В рассматривавшейся ситуации это означает,
что положение пыльцевых зерен, если считать, что оно подчиняется
" В предыдущем рассуждении следовало бы поменять х + Д над; - Д,а уравнение
A.2.4), справедливое в том случае, когда/(х, /) = f(x(t)) — неслучайная функция от слу-
случайного процесса, не имеющая характера плотности, поменять на уравнение
f(x, t + r) = \f(x - Д, t)<t>(A)dA, A)
справедливое, когда f(x, I) — плотность вероятностей величины х. Из A) получаем,
вместо A.2.6, 7), знакопеременный ряд, как это и должно быть в разложении Крамер-
са — Мойала G.2.25). Уравнение же A.2.4) является сопряженным к A) соответствую-
соответствующим транспонированному оператору. Однако из-за предположения о нулевом сносе
т~ ]д$(Д)</Д знак перед Д не сказывается на окончательном результате A.2.10). —
Прим. ред.
Введение 25
вероятностному закону, определяемому решением диффузионного
уравнения A.2.10), можно записать в виде непрерывной случайной
функции х @ от времени (время t считается не дискретным, как у Эйн-
Эйнштейна, а непрерывным). Это побуждает рассмотреть возможность
описывать динамику системы каким-либо прямым вероятностным
способом; при этом мы имели бы случайное, или стохастическое,
дифференциальное уравнение для указанной функциях@- Начало это-
этому направлению положил Ланжевен, предложивший свое известное
уравнение, которое теперь носит его имя. Подробно эти вопросы бу-
будут рассматриваться в гл. 4.
C) Разложение Крамерса — Мойала и аналогичные ему по существу
совпадают с разложением, использованным Эйнштейном при перехо-
переходе от A.2.4) (уравнения Чепмена — Колмогорова) к диффузионному
уравнению A.2.10). Использование приближения такого типа, когда
процесс с не обязательно непрерывным изменением переменных заме-
заменяется на процесс с непрерывным изменением, служило предметом
дискуссии в последнее десятилетие. Удобство и условия применимости
такого приближения будут обсуждаться в гл. 7.
1.2.2. УРАВНЕНИЕ ЛАНЖЕВЕНА
Спустя некоторое время после оригинальной работы Эйнштейна Лан-
Ланжевен [1.4] предложил новый метод, совершенно отличный от эйн-
эйнштейновского и, как он утверждал, бесконечно более простой. Его
рассуждения были таковы.
Из статистической механики известно, что средняя кинетическая
энергия броуновской частицы в равновесии должна составлять величи-
величину
{\mv2y = \kT A.2,13)
(Т — абсолютная температура, к — постоянная Больцмана). Отме-
Отметим, что и Эйнштейн и Смолуховский использовали этот факт. На ча-
частицу массы m будут действовать две силы:
1) сила торможения за счет вязкого трения, которая при допуще-
допущении, что применим результат макроскопической гидродинамики, рав-
равна — birqadx/dt, где т\ — вязкость, а — диаметр частицы, предполага-
предполагаемой сферической;
2) флукшуационная сила X, обусловленная постоянными толчками
со стороны молекул жидкости. Она с равной вероятностью может
быть положительна и отрицательна — вот и все, что об этой силе из-
известно. Таким образом, уравнение движения для положения частицы
26 Глава 1
дается законом Ньютона
dx , ,,
+ X
1Г Jt A.2.14)
умножив обе части уравнения на х, можно представить его в виде
^+Xx, A-2.15)
где v = dx/dt. Теперь усредняем по большому числу различных ча-
частиц и используем A.2.13); в результате получаем уравнение для <х2>:
Ж^г, A.2Л 6,
где член (хХ) считается равным нулю из-за нерегулярности, как пи-
пишет Ланжевен, величины X. Тогда находим общее решение
d-^- = кТКЪща) + С ехр (-блг/at/m), A.2.17)
где С — произвольная постоянная. По оценке Ланжевена при t -~ оо
экспоненциальный член стремится к нулю с временной постоянной по-
порядка 10"8 с, что для любого реального наблюдения тех лет было
практически мгновенно. Следовательно, для практических целей этим
членом можно пренебречь и, проинтегрировав еще раз, получить
<х2> - <xji> = [кТЦЗща)]!. A.2.18)
Эта формула соответствует формуле A.2.12), выведенной Эйнштей-
Эйнштейном, если ввести обозначение
D = кТЦЬща). A.2.19)
Уравнение Ланжевена было первым примером стохастического
дифференциального уравнения — диффузионного уравнения со случай-
случайным членом X, поэтому его решение есть в некотором смысле случай-
случайная функция. Каждое решение уравнения Ланжевена представляет со-
собой отдельную случайную траекторию, и, используя только достаточ-
достаточно простые характеристики случайной силы X, можно получить изме-
измеримые результаты.
Возникает следующий вопрос. Эйнштейн четко потребовал, чтобы
(на достаточно больших временных масштабах) изменение величины
Д совершенно не зависело от предшествующих значений Д. Ланжевен
не упоминал это положение, но оно присутствует неявно, когда (хХ)
Введение 27
полагается равным нулю. Условие, что величина X крайне нерегуляр-
нерегулярна и что х и X независимы между собой (это не упоминается, но под-
подразумевается Ланжевеном), т. е. флуктуации величины х как функции
времени не связаны с флуктуациями величины X (так чтобы они про-
происходили в одну сторону и среднее произведение этих величин было
отлично от нуля), — эти условия действительно эквивалентны предпо-
предположению Эйнштейна о независимости. Метод уравнений Ланжевена,
очевидно, гораздо более прямой, по крайней мере на первый взгляд, и
дает весьма естественную возможность обобщить динамическое урав-
уравнение до вероятностного. Однако адекватной математической базы
для подхода Ланжевена не существовало, пока 40 лет спустя Ито не
сформулировал свою концепцию стохастических дифференциальных
уравнений. В его формулировке точное требование независимости х и
X привело к исчислению стохастических дифференциалов, которое те-
теперь носит имя Ито.
Как предмет изучения физики, броуновское движение было в цент-
центре внимания в первые два десятилетия нашего века, когда прежде все-
всего Смолуховский, а также многие другие ученые широким фронтом
вели теоретические и экспериментальные исследования, показавшие
полное согласие с первоначальной формулировкой вопроса, предло-
предложенной самим Смолуховским и Эйнштейном [1.5]. Позднее, с разви-
развитием лазерной спектроскопии, броуновское движение стало гораздо
более доступным для количественных измерений: пучком когерентно-
когерентного лазерного излучения освещают малый объем жидкости, содержа-
содержащий броуновские частицы, и изучают флуктуации интенсивности рас-
рассеянного света, которые прямо связаны с движением броуновских ча-
частиц. Так можно наблюдать броуновское движение гораздо более
мелких частиц, чем традиционная пыльца, и получать полезные дан-
данные о размерах вирусов и макромолекул. Изучение более концентри-
концентрированных суспензий, когда возникает взаимодействие между частица-
частицами, позволяет ставить интересные и довольно сложные задачи, отно-
относящиеся к суспензиям и коллоидным растворам макромолекул [1.6].
Общая теория флуктуации, описываемая приведенными выше
уравнениями, широко развивалась применительно к разнообразным
ситуациям. Преимущества непрерывного описания оказались значи-
значительны, поскольку для него требуется знать лишь немногие парамет-
параметры, главым образом коэффициенты при производных в A.2.7):
] Аф(А)с1А, and J А2ф{А)йА . A.2.20)
Трудно найти проблему, которую нельзя было бы (по крайней мере с
какой-то степенью приближения) представить в указанном виде. Для
28 Глава 1
простого качественного анализа вопросов обычно вполне достаточно
рассмотреть в пространстве с нужным числом измерений подходящее
уравнение Фоккера — Планка, допустив в нем возможность зависимо-
зависимости обоих коэффициентов A.2.20) от х.
1.3. ПРОЦЕССЫ РОЖДЕНИЯ — ГИБЕЛИ
Широкий круг явлений можно моделировать специальным классом
процессов, называемых процессами рождения — гибели. Название,
очевидно, происходит из рассмотрения популяций людей или живот-
животных, в которых отдельные индивидуумы рождаются и умирают. Наи-
Наиболее известна модель системы хищник — жертва, состоящей из жи-
животных двух видов, причем одни из них охотятся за другими, которые
обеспечены неистощимыми пищевыми ресурсами. Введя обозначения
X — жертва, У — хищник, А — пища жертв, запишем возможные
процессы:
Х+А — 2Х A.3.1а)
X+Y^2Y 0-3.16)
Y—B. A.з.1в)
Они имеют следующую наивную, но привлекательную интерпрета-
интерпретацию. Первое соотношение означает, что жертва, которая съедает еди-
единицу пищи, немедленно репродуцируется. Второе соотношение описы-
описывает поглощение хищником жертвы (единственная рассматриваемая
возможность гибели жертв) и мгновенное репродуцирование хищника.
Последнее соотношение символизирует естественную смерть хищника.
Легко найти модельные дифференциальные уравнения для х иу, пред-
представляющих численности особей X u Y. Так, например, на основе пер-
первой формулы можно принять, что скорость рождения особей X про-
пропорциональна произведению х и количества пищи; на основе второй,
что скорость увеличения численности особей Y и равная ей скорость
поглощения жертв X пропорциональны ху, а из последнего соотноше-
соотношения можно заключить, что скорость гибели особей Y просто пропор-
пропорциональна у. Таким образом, мы могли бы написать следующие урав-
уравнения:
dx , ,
-jt = kiax - кгху A.3.2а)
-?=к2ху-к3у. A.3.26)
Введение
29
Методы решения этих уравнений предложили Лотка [1.7] и Вольтерра
[1.8]. Решения имеют весьма интересные осциллирующие зависимо-
зависимости, показанные на рис. 1.3,я. Качественно эти осцилляции легко по-
понять. Когда хищников немного, популяция жертв быстро растет. Изо-
Изобилие жертв приводит к быстрому размножению хищников, а значит,
и к одновременному сокращению популяции жертв. При истреблении
1500
1000
500
- a
~(\\
¦ l'\
\
\ /
\ /
У.
i
\ >
i
/
'• /
\ * / /
\ \ /,
1 1
Г-
\ \
\ \
/ v\
11 \ \
/ l\
1
2 3 4 5 6
Время, отн. ед.
11г
^^ О
zooo
1500 -
WOO
6
' /
- г, \\>
Г К
J р*
\
Жертвы р
Л^Д/' ^Хищники
д _/ / \ 'у^ —
"II
50 100 150 ZOO
Дни
12 3 4 5 6
Время, отн. ед.
Рис. 1.3. Поведение во времени систем хищник — жертва: а — графики решений детер-
детерминистических уравнений A.3.2) (х — сплошная линия, у—штриховая); 6 — данные
для реальной системы хищник — жертва. Здесь хищником является клещ (Eotetranychus
sexmaculatus — пунктирная линия), а жертвой служит клещ другого вида (Typhlodromus
occidentalis), питающийся апельсинами. Данные из [1.16, 17]; в — модельные зависимо-
зависимости согласно стохастическим уравнениям A.3.3).
30 Глава 1
большого числа жертв, когда их становится недостаточно для поддер-
поддержания популяции хищников, хищники вымирают, и ситуация возвра-
возвращается к исходной. Циклы повторяются неограниченно долго, и они в
самом деле, по крайней мере качественно, отражают свойства многих
реальных систем хищник — жертва. Пример приведен на рис. 1.3,6.
Конечно, реальные системы не следуют точно решениям диффе-
дифференциальных уравнений, а флуктуируют около них. Следует учесть
эти флуктуации, и проще всего сделать это с помощью управляющего
уравнения для процессов рождения — гибели. Мы задаем распределе-
распределение вероятности Р(х, у, t) для числа особей в заданный момент и
ищем вероятностный закон для изменений A.3.2). При этом предпола-
предполагаем, что для бесконечно малого временного интервала At имеют ме-
место следующие формулы для вероятностей переходов:
Prob (х — х-г 1; у — у) = k^axAt A.3.3а)
РгоЬ(лг — .х-1; y — y+l) = k2xyAt A.3.36)
Prob (x — х: у — у-1) = k3yAt A.3.Зв)
Prob (л- -* х; у -»>•)= 1 —{кхах + кгху + k3y)At. A.3.Зг)
Следовательно, мы просто заменяем, скажем, обычные уравнения для
скоростей на вероятностные уравнения. Затем мы используем прием,
который приводит к такому же уравнению, какое использовали Эйн-
Эйнштейн и другие, т. е. к уравнению Чепмена — Колмогорова, а именно
записываем вероятность в момент t + At как сумму членов, каждый
из которых представляет вероятность предыдущего состояния, умно-
умноженную на вероятность перехода в состояние (л:, у). Таким образом,
мы находим
3*AL±MzJ^M> = кЛх - \)Р(х -l,y,t) + Ux + 1) {у - 1)
At
х Р(х -•- 1, j - 1, 0 -г к3(у + l)P(x, y+\,t)~ (кхах + кгху + к3у)
х Р(х, у, О A-3.4)
и, полагая At — 0, получаем дР(х, у, t)/dt. При написании вероятност-
вероятностных законов A.3.3) мы предполагаем, что вероятность каждого из
происходящих событий определяется просто заданием х и у. Это
опять постулат Маркова, который упоминался в разд. 1.2.1. Если для
броуновского движения имеются весьма убедительные аргументы в
пользу предположения о марковости, то в данном случае такое пред-
предположение вовсе не очевидно. Общее представление о наследственно-
наследственности, т. е. о том, что поведение потомства соотносится с поведением
родителей, явно противоречит этому предположению. Однако как
Введение 31
учесть наследственность — это другой вопрос, и здесь отнюдь не су-
существует единого рецепта.
Предположение о марковости в данных условиях выполняется до
тех пор, пока различные особи одного вида можно считать идентич-
идентичными. Но оно не выполняется, коль скоро существенны имеющиеся
на самом деле наследственно передаваемые различия.
Модель указанного типа имеет широкое применение. В самом де-
деле, она годится для любой системы, в которой рассматривается число
экземпляров данного вида, например в случае систем молекул различ-
различных химических соединений, электронов, фотонов и аналогичных фи-
физических частиц, а не только для биологических систем. Конкретный
выбор вероятностей переходов делается на различных основаниях и
зависит от степени знания деталей рассматриваемых процессов рож-
рождения — гибели. Простые мультипликативные законы, аналогичные
A.3.3), игнорируют почти все детали рассматриваемых процессов. В
отдельных физических процессах можно вывести вероятности перехо-
переходов детальнее и с большей точностью.
Уравнение A.3.4) не имеет простого решения, но от уравнения лан-
жевеновского типа, в которое флуктуационный член просто добавля-
добавляется, его и ему подобные уравнения отличает одно основное свойство.
Решения уравнения A.3.4) определяют как крупномасштабные детер-
детерминированные изменения, так и флуктуации, которые, как правило,
по порядку величины определяются квадратным корнем из числа рас-
рассматриваемых объектов. Нетрудно смоделировать временное разви-
развитие процесса подобно тому, что представлено на рис. 1.3,в. В самом
деле, рисунок показывает, что модель правильно воспроизводит об-
общие свойства процесса, но очевидно, что она настолько упрощена, что
и нельзя ожидать точного согласия с экспериментом. Следовательно,
в противоположность ситуации с броуновским движением здесь мы
имеем дело не столько с теорией явления, сколько с определенным
классом математических моделей, которые достаточно просты и
приближенно действуют в достаточно широком диапазоне. В гл. 7 мы
увидим, что может быть развита теория, оперирующая с большим
разнообразием моделей этого класса, и что, кроме того, в действи-
действительности есть тесная связь между такого рода теорией и теорией
стохастических дифференциальных уравнений.
1.4. ШУМ В РАДИОЭЛЕКТРОННЫХ УСТРОЙСТВАХ
На раннем этапе развития радио, когда передаваемые мощности были
низкими и использовались примитивные приемники, для каждого слу-
слушателя было очевидно присутствие большого числа нерегулярных
32 Глава 1
электрических сигналов. Эти сигналы возникали либо в атмосфере,
либо в приемнике, либо в радиопередатчике и получили общее назва-
название «шумы», поскольку именно так они воспринимались по радио.
Мы остановимся на так называемых дробовом и джонсоновском, или
тепловом, шумах.
1.4.1. ДРОБОВОЙ ШУМ
В радиолампах- (и в твердотельных устройствах) электрический ток
нестационарен: он создается отдельными электронами, которые на
каком-то участке пути ускоряются и, достигая анода в разное время,
передают ему свой заряд. Электрический ток, возникающий при та-
таком процессе, можно представить в виде
/(О = s F(t - tk),
A.4.1)
где/7(г — tk) есть вклад электрона, попадающего на анод в момент tk.
Таким образом, предполагается, что все электроны дают электриче-
электрические импульсы одинаковой формы, но с разной (каждый со своей) вре-
временной задержкой, как показано на рис. 1.4.
Статистический аспект возникает сразу же, стоит только задаться
вопросом, какого рода предположения нужно сделать относительно
времен tk. Простейший выбор заключается в том, что каждый элек-
электрон поступает на анод независимо от предыдущих. Это означает,
что времена tk случайно распределены в рассматриваемом временном
интервале, скажем от - оо до + оо, причем задано среднее число попа-
попаданий в единицу времени.
Теория такого шума развивалась в 1920 — 1930-х гг. и была обоб-
обобщена и в основном завершена Райсом [1.9]. Впервые попытку ее по-
построения предпринял в 1918 г. Шоттки [1.10].
Дальше будет показано, что есть тесная связь между дробовым
шумом и процессами рождения — гибели, описываемыми соответст-
соответствующими управляющими уравнениями. Действительно, если считать
Время
Рис. 1.4. Дробовой шум: иден-
идентичные электрические импульсы,
приходящие случайно по времени.
Введение 33
число электронов п, которые прибывают до момента t, статистичес-
статистической величиной, описываемой вероятностью Р(п, t), то предположение
о независимости прибытия электронов, очевидно, есть предположение
о марковости этого процесса. Предположим, что вероятность прибы-
прибытия электрона во временном интервале между t и t + At полностью
независима от t и п, а может зависеть только от At. Выбирая соот-
соответствующую константу X, можно записать вероятность скачка
Prob (п — п + 1, за время At) = АД/, A-4.2)
так что
Р(п, t + At) = Р(п, 0A - АДО + Р(п - 1, ОШ. A.4.3)
Взяв предел при At — 0, получаем уравнение
^ = /[/>(«-1, 0 - Р{п, 0], A.4.4)
описывающее в чистом виде процесс рождения. Полагая
G{s,t)=jyP(n,t) A.4.5)
(здесь G(s, t) — так называемая производящая функция для Р(п, t);
использующий ее специальный метод решения уравнения A.4.4) до-
довольно широко применяется), находим
так что
G(s, 0 = exp [A(j- l)t]G(s, 0). A.4.7)
Требование, что в момент / = 0 никакие электроны еще не успели по-
попасть на анод, означает, что вероятность Р@, 0) равна 1, а Р(п, 0) —
нулю для всех п ^ 1, так что G(s, 0) = 1. Разлагая решение A.4.7) в
ряд по степеням s, получаем распределение
Р(п, 0 = ехр(-Аг) ШУ/п], A-4.8)
известное как распределение Пуассона (разд. 2.8.3). Введем случайную
переменную N(t), которую следует рассматривать как число электро-
электронов, которые поступили к моменту /. В таком случае
Р(п, 0 = Prob {N(t) = п}; A.4.9)
34 Глава 1
N(t) можно назвать переменной пуассоновского процесса. Тогда ясно,
что величина tn.it), формально определяемая как
КО = dN(t)ldt, A.4.10)
равна нулю всюду, за исключением тех моментов, когда N@ увеличи-
увеличивается на 1, т. е. эта функция есть сумма дельта-функций Дирака
МО = S <Н'-'*) - UAH)
где tk — время прихода отдельных электронов. Для тока можем напи-
написать
1@ = ]jt'F(t - t'MO ¦ A.4.12)
Довольно естественные ограничения на функцию F(t — С) состоят в
том, что она равна нулю при t < t' и при t — оо. Первое условие оз-
означает просто, что ток от электрона отсутствует до момента его
прибытия, второе — что вызванный электроном импульс в конце кон-
концов затухает. Далее, воспользуемся для простоты весьма часто встре-
встречающейся формой
F@ = q е""' (t > 0)
A.4.13)
= 0 (t < 0).
Тогда A.4.12) перепишем в виде
A.4.14)
Можно вывести простое дифференциальное уравнение для 1@.
Продифференцировав /(/) по времени, получим
dI(O Г - о dN(t'y\ I ,,, _,, dN(t')
—j— = \q e " —;— -\- \ at (—aq)c "" '' —r~r~ i n i Hi
at \_ dt j,t=l J» dt u.^.ijj
откуда следует
A.4.16)
Это стохастическое дифференциальное уравнение того же вида, что и
уравнение Ланжевена, в котором, однако, флуктуационная сила дается
Введение 35
членом qnQ), где n(t) есть производная процесса Пуассона, определяе-
определяемая соотношением A.4.11). Однако среднее значение цA) не равно ну-
нулю. В самом деле, из A.4.10) имеем
(v(t)dt) = (dN(t)} = Xdt A.4.17)
<[<flV@ - АЛ]2> = Xdt, A.4.18)
поскольку для любой величины, распределенной по закону Пуассона,
в том числе и для dN, дисперсия равна среднему. Определяя затем
флуктуацию как разность между dN(t) и средним значением, записы-
записываем
dt]{t) = dN(t) - Xdt, A.4.19)
так что стохастическое дифференциальное уравнение A.4.16) прини-
принимает вид
dl(t) = [Xq - al(t)] dt + qdn(t) . A 4 щ
Возникает вопрос, как решать такое уравнение? В данном случае, ког-
когда решение известно, это вопрос чисто теоретический, но хотелось бы
располагать общим методом. Если мы попробуем следовать методу,
использованному Ланжевеном, то придем к бессмыслице. Например,
используя обычное исчисление и предполагая {I(t)d-q {t)) = 0, можно
вывести выражения
> A.4.21)
-а<р(ф
Беря их в пределе t — оо, при котором средние значения естественно
считать постоянными, находим
</(оо)> = Xq/a A.4.23)
2 ¦ A.4.24)
Первый из этих ответов понятен — он просто выражает средний ток
в системе, однако второй подразумевает, что среднеквадратичный ток
равен квадрату среднего тока, т. е. что ток при t — оо не флуктуиру-
флуктуирует! Это весьма странно, и решение этого вопроса, приводимое ниже,
36 Глава 1
покажет, что стохастические дифференциальные уравнения гораздо
«коварнее», чем мы их здесь до сих пор представляли.
Во-первых, использованная в A.4.17 — 20) запись через дифферен-
дифференциалы была выбрана умышленно. При выводе A.4.22) использовалось
обычное исчисление, т. е. записывалось
d(P) = G + dlJ - Р == 2Ы1 + (dlJ, A.4.25)
а затем вклад (dlJ опускался, как член второго порядка по dl. По-
Посмотрим теперь внимательно на A.4.18). Эта формула эквивалентна
соотношению
{dr,{tfy^Xdt, A.4.26)
так что величина второго порядка по dt] оказывается на самом деле
величиной первого порядка по dt. Причину этого нетрудно обнару-
обнаружить. Действительно,
dtl(t) = dN(t) - Xdt. A.4.27)
Однако зависимость N(t) есть ступенчатая функция, имеющая разры-
разрывы, а значит, недифференцируемая в моменты прибытия отдельных
электронов. В обычном понимании все произведенные в этих расчетах
манипуляции недопустимы. Им можно придать смысл следующим об-
образом. Вычислим (d(I2)), используя A.4.20, 25, 26):
al]dt + q d^t)}}
+ <{[/? ~ al\dt + qdrj(t)}2). . A.4.28)
Снова предполагаем, что {I(t)dq(t)) = 0, и после усреднения с учетом
соотношения <cfy(O2> = bdt оставляем члены первого порядка по dt.
Получаем
- а(Р) +~\dt A.4.29)
и это дает
</2(оо)> - </(оо)>2 = Ц-~ . A.4.30)
Таким образом, при данном подходе при t — оо флуктуации существу-
существуют. Член в A.4.29), дополнительный по сравнению с A.4.22), возник
именно благодаря статистическим свойствам, неявно присутствовав-
присутствовавшим в случайной разрывной функции N(t).
Введение 37
Итак, мы провели несколько более глубокое рассмотрение уравне-
уравнения ланжевеновского типа, трактовка которого с этой точки зрения вы-
выглядит достаточно простой. В ланжевеновском методе флуктуа-
ционная сила X точно не определена, но из дальнейшего изложения
станет ясно, что вопросы, подобные только что рассмотренным,
очень часто встречаются при изучении темы данной книги. Вывод со-
состоит в том, что случайные функции нельзя дифференцировать по
обычным правилам — следует развить специальные методы и важно
дать точное определение, что понимать в этом случае под дифферен-
дифференцированием. Возникающие здесь проблемы и их решения будут разоб-
разобраны в гл. 4, в которой рассмотрены случаи гауссовских флуктуации.
1.4.2. АВТОКОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПЛОТНОСТИ
Число различных измерений, которые можно провести во флуктуиру-
флуктуирующих системах, таких, скажем, как электрические цепи, в действи-
действительности ограниченно. До сих пор мы рассматривали функции рас-
распределения, которые для любого момента указывают распределение
вероятностей значений случайной величины. Если рассматривается из-
измеримая величина x(t), флуктуирующая со временем, то на практике
иногда удается найти распределение значений х, хотя более типична
одновременная доступность измерению среднего значения x(t) и дис-
дисперсии D (x(/)j.
Среднее и дисперсия очень мало говорят о внутреннем механизме
происходящего. Представляла бы интерес величина, являющаяся ме-
мерой влияния значения х в момент / на значение в момент t + т. Такой
величиной служит автокорреляционная функция, которая, по-
видимому, впервые была введена Тейлором [1.11] как
1 Т
С(т) = \\m ^ I dt x{t)x(t + т). A.4.31)
Это есть среднее по некоторому временному интервалу Т (который
затем устремляется к бесконечности) произведения значений х, взятых
в два различных момента.
В наше время имеются специально созданные приборы — автокор-
автокорреляторы, которые собирают данные и непосредственно конструиру-
конструируют автокорреляционную функцию различных требуемых процессов,
начиная от рассеяния лазерного излучения и кончая счетом числа бак-
бактерий. Можно также составлять программы нахождения автокорреля-
автокорреляционных функций для быстрой обработки в компьютерах, подключен-
подключенных к эксперименту в реальном масштабе времени. Более того, для
38 Глава 1
сильно быстродействующих систем есть специальные автокоррелято-
автокорреляторы, которые дают аппроксимацию к автокорреляционной функции,
рассчитывая автокорреляционную функцию переменной c(t) такой,
что
/ A432)
= 1 х@>/.
Более традиционный подход состоит в расчете спектральной плот-
плотности величины x(t), которая находится в два этапа. Сначала опреде-
определяется спектр
y(co) ^ ] dt е-шхA), A.4.33)
0
а затем спектральная плотность определяется соотношением
SM = lim~ I/M|2. A.4.34)
т-**, 2.111
Спектральная и автокорреляционная функции тесно связаны. После
несложного преобразования находим
S(co) = lim — fcos(ft)T)^T-=r/ *(?)*(' + т)Л A.4.35)
г— L п о ¦'о J
и, беря предел Т — оо (при соответствующих предположениях, обеспе-
обеспечивающих возможность перестановки порядка операций), получаем
S(co) = — J cos (ыт)С(тУт . A -4.36)
Я о
Этот фундаментальный результат устанавливает связь между преоб-
преобразованием Фурье автокорреляционной функции и спектральной плот-
плотностью. Его можно записать в несколько ином виде, если заметить,
что
G(~z) = lim 4? Г " dt x(t +t)x(t) = G{z). A.4.37)
г--» V ir
Тогда получаем
5(w) = ^ J е-'Ш1G(тУт A.4.38)
Введение 39
и для соответствующего обратного преобразования
A.4.39)
Это соотношение известно1' как теорема Винера —• Хитина [1.12, 13]
и широко используется.
Полученный результат означает, что можно либо прямо измерять
автокорреляционную функцию сигнала, а спектральную плотность на-
находить с помощью преобразования Фурье, либо поступать наоборот,
поскольку в обоих случаях при использовании быстрого преобразова-
преобразования Фурье и компьютера процедура достаточно проста.
1.4.3. ФУРЬЕ-АНАЛИЗ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ: СТАЦИОНАРНЫЕ СИСТЕМЫ
До сих пор автокорреляционная функция определялась как функция
сигнала, усредненная по времени, но можно рассмотреть также усред-
усреднение по ансамблю, при котором одно и то же измерение повторяется
много раз и результаты усредняются, что обозначается скобками < >.
Далее будет показано, что для очень многих систем среднее по време-
времени равно среднему по ансамблю. Такие системы называются эргоди-
ческими (разд. 3.7.1).
Так, если имеется флуктуирующая величина x(t), то соотношение
для среднего
<.x(t)x(t + т)> = С(т) A.4.40)
будет следствием предположения об эргодичности.
Весьма естественно написать преобразование Фурье для случайной
величины x(t):
x(t) = J dw c(oj) eim'. A.4.41)
а значит,
ф) = 1|Йл(()е-'-. A.4.42)
" Точнее эта теорема формулируется так: для того, чтобы функция С(т) представ-
представляла собой корреляционную функцию некоторого непрерывного стационарного процес-
процесса, необходимо и достаточно, чтобы ее можно было представить в виде A.4.39), где
S(m) — неотрицательная функция, имеющая, возможно, особенности типа дельта-функ-
дельта-функции. — Прим. ред.
40 Глава 1
Вследствие действительности величины x(t) имеем1'
c(fti) = с*(-со). A.4.43)
Если система эргодична, то величина (х(ф должна быть констан-
константой, поскольку, очевидно, временное среднее постоянно. В таком слу-
случае процесс стационарен. Под этим понимается, что все зависящие от
времени средние — функции только разностей времен, т. е., напри-
например, средние от функций x{fx), x(t2), ... , x(tn) равны средним от
x(tl + A),x(t2+ Д), ... ,xifn + A).
Для удобства дальше предполагается, что (х) = 0. Следователь-
Следовательно,
<с(ю)> = ^ J dt <х>е-1ш' = 0 A.4.44)
<с(ш)с*(ю')> = B^ Я dt dt'e-lm+ia"'(.x(t)x(n>
— 5((о — (o')S(co). A.4.45)
Мы получили, что стационарность сама по себе влечет нескоррелиро-
ванность с (о>) и с * (ш') при w Ф ш', поскольку д (и — и') возникает как
следствие зависимости (x(t)x(t' )> только от разности времен t — f .
1.4.4. ТЕПЛОВОЙ ШУМ И ТЕОРЕМА НАЙКВИСТА
В 1928 г. вышли две короткие и изящные статьи. В одной из них
Джонсон [1.14] экспериментально показал, что электрическое сопро-
сопротивление само генерирует флуктуации электрического напряжения, в
другой Найквист [1.15] дал теоретический вывод этого эффекта в пол-
полном соответствии с экспериментом Джонсона. Руководящий принцип
был высказан еще Шоттки [1.10] и совпадает с тем, который исполь-
11 Интеграл в правой части A.4.42), вообще говоря, не является сходящимся, равно
как и интеграл
дающий спектральное представление дельта-функции. Поэтому с(ш) и 5(/) следует пони-
понимать как обобщенные функции. Получаемое из A.4.45) равенство <1с(ш) > = <5@)S@) =
= оо свидетельствует о том, что указанный интеграл не равен всегда конечной величи-
величине. Обычные (конечные) величины и функции мы получим только после некоторой ин-
интегральной операции, произведенной над с{ш) и b(l). — Прим. ред.
Введение 41
зовали Эйнштейн и Ланжевен. Это принцип теплового равновесия. Ес-
Если сопротивление R создает флуктуации электрического напряжения,
то они в свою очередь вызывают ток, который обусловливает выде-
выделение тепла на сопротивлении. Это тепло должно точно соответство-
соответствовать энергии, взятой из флуктуации. Детальная разработка этого
принципа не является предметом данного раздела, но мы увидим, что
такого рода выводы общеприняты в физике и химии стохастических
процессов. При этом законы статистической механики, основа кото-
которых не связана по существу с стохастичностью, привлекаются, чтобы
дополнить законы стохастических процессов. Установленный экспери-
экспериментальный результат заключался в следующем. Пусть имеется
электрическое сопротивление R при абсолютной температуре Т. Пред-
Предположим, что с помощью подходящего фильтра мы измерили Е (из) —
напряжение на сопротивление, соответствующее интервалу угловых
частот (со, со + dw). Тогда, если обозначить через к постоянную
Больцмана, имеем
<Е2(со)> = ir-'RkTdw. A.4.46)
Теперь это соотношение называется теоремой Найквиста^. Джонсон
заметил: «Это явление служит одной из причин того, что называется
в ламповых усилителях «шумом электронных ламп». В самом деле,
часто оно существенно доминирует в шуме хорошего усилителя».
Тепловой шум просто описывается с помощью математического
аппарата, представленного в разд. 1.4.3. Если среднее шумовое напря-
напряжение на сопротивлении равно нулю и система находится в устойчи-
устойчивом состоянии, то это напряжение можно трактовать как стационар
ный процесс. Величина теплового шума фактически представляет со-
собой предел типа A.4.34) и количественно может быть полностью опи-
описана утверждением, что спектральная плотность 5 (to) дается форму-
формулой
5(со) = -K'lRkT. A.4.47)
Это означает, что спектральная плотность имеет вид плато, т. е. не
зависит от со. В случае света различные частоты соответствуют раз-
разным цветам. Если мы воспринимаем свет как белый, то, как установ-
" Более обше, теорема, или формула, Найквиста
S(m) = *~[kTReZ(iai)
определяет спектральную плотность флуктуационной э.д.с. <f'(t), возникающей в двух-
двухполюснике, который имеет импеданс Z(ia) и находится в тепловом равновесии при тем-
температуре Т. — Прим. ред.
42 Глава 1
лено, свет всех цветов представлен в нем практически в равных
пропорциях. Таким образом, оптический спектр белого света платооб-
разен, по крайней мере в видимом диапазоне. По аналогии с этим тер-
термин белый шум применяется по отношению к шумовому напряжению
(или к любой другой флуктуирующей величине), спектр которой имеет
вид плато.
В действительности белый шум не может существовать. Чтобы
убедиться в этом, достаточно заметить, что средняя мощность, дис-
диссипируемая на сопротивлении в частотном диапазоне (to,, со2), дается
формулой
fd<oS(a>)IR= ¦к~1кТ{ш1 - со2). A.4.48)
так что полная диссипируемая на всех частотах мощность бесконечна!
Найквист осознал это и отметил, что на самом деле возникли бы
квантовые поправки, с учетом которых при комнатной температуре
спектр оставался бы постоянным только до частот порядка 7- 1013 Гц,
которые на практике радиоприемником не регистрируются. Реально
диссипируемая на сопротивлении мощность составила бы ничтожную
величину порядка 100 Вт! Кроме того, в действительности сущест-
существуют другие лимитирующие факторы, такие, например, как индуктив-
индуктивность системы, которые ограничат спектр еще более низкими часто-
частотами.
Из определения спектра через автокорреляционную функцию, дан-
данного в разд. 1.4.2, имеем
A.4.49)
<?(т)
= ±]*>е-2**Г (L40)
2л _-L
= 2ЛкТ5(т), A-4.51)
Это означает, что как бы ни была мала разность времен т Ф 0,
E(t + т) и Е(т) не коррелируют. Такой результат, конечно, является
прямым следствием постоянства спектра. Типичная модель S(co), име-
имеющая почти платообразный вид, есть
5 (w) = 7r-'/?A:7Y(w27c2 + 1). A.4.52)
Если us < т~1, то это почти константа. Преобразование Фурье, кото-
которое в этом случае может быть вычислено явно, дает
r)E(t) > = (Я кТ1тс) ехр (-т/тс). A.4.53)
Введение
43
Видим, что автокорреляционная функция исчезает только при т > тс,
причем время тс называется временем корреляции флуктуации напря-
напряжения (см. рис. 1.5). Следовательно, представление корреляционной
функции как б-функции — это идеализация, справедливая только при
достаточно крупномасштабной временной шкале.
Отметим, что приведенные рассуждения очень напоминают пред-
предположение Эйнштейна, касающееся броуновского движения, а также
свойства флуктуационных сил, введенных Ланжевеном. Белый шум
как идеализация будет играть немалую роль в этой книге. Однако,
точно так же, как было показано, что флуктуационный член, возника-
возникающий в стохастическом дифференциальном уравнении, не является
обычным дифференциалом, дальше мы убедимся, что и с дифференци-
дифференциальными уравнениями, включающими в качестве возмущающего воз-
воздействия белый шум, нужно обращаться с большой осторожностью.
Подобные уравнения естественным образом возникают в произволь-
произвольной флуктуирующей системе, и с помощью правил Сгпратоновича
можно устроить так, чтобы были применимы обычные правила вы-
вычислений, которые пригодны для гладких функций. Имеется и другая
возможность: отказаться от обычных расчетов и использовать техни-
технику Ито, имеющую не слишком большие отличия (так, она весьма на-
напоминает расчеты, произведенные для дробового шума). Все эти во-
вопросы более полно будут обсуждаться в гл. 4.
Выше уже отмечалось, что белый шум не существует как реальный
физический процесс, и в реальных ситуациях свойственные ему сингу-
сингулярности не возникают. Однако он играет фундаментальную роль как
S(ciJ)
--L\
a
~ — — _
\
\
\
\ \
G^<^_
6
Рис. 1.5. Корреляционная функция (сплошная линия) и соответствующая спектральная
плотность (штриховая линия) для малого времени корреляции, соответствующего по-
почти постоянной спектральной плотности (а) и большого времени корреляции, отвечаю-
отвечающего быстро убывающей спектральной плотности (б).
44 Глава 1
в математическом, так и в физическом отношениях, поскольку пред-
представляет собой идеализацию очень многих происходящих на самом де-
деле процессов. Несколько необычные правила, которые мы сформули-
сформулируем для расчетов, оперирующих с белым шумом, не так уж трудны в
обращении и значительно легче, чем любой метод, оперирующий
только с реальными шумами. Более того, даже в тех ситуациях, когда
белый шум непосредственно не дает хорошей аппроксимации, часто
процессы могут быть сведены к белому шуму косвенно. В этом отно-
отношении белый шум представляет собой тот пункт, исходя из которого
можно построить разнообразные стохастические описания, и поэтому
он играет фундаментальную роль для предмета данной книги.
2
Понятия теории вероятностей
В предыдущей главе мы использовали вероятностные представления
без каких-либо определений. Для того чтобы более точно сформули-
сформулировать теоретические положения, необходимо прежде всего точно
определить основные понятия. Итак, цель этой главы — дать основ-
основные понятия теории вероятностей и представить ряд важных резуль-
результатов. Здесь не приводится полное изложение математической теории
вероятностей, поскольку читатель может найти это в обычных учеб-
учебниках математики, таких, например, как книги Феллера [2.1], Папули-
са [2.2] и Гнеденко [2.5].
2.1. СОБЫТИЯ И МНОЖЕСТВА СОБЫТИЙ
Нам нужны самые общие обозначения, для того чтобы иметь воз-
возможность описывать вероятностным образом различные случаи, с ко-
которыми приходится иметь дело. Например, может потребоваться рас-
рассмотреть случай, когда в некоторой области пространства находится
6,4- 1014 молекул, или случай, когда броуновская частица расположена
в некоторой точке пространства х, или, возможно, случай пребывания
10 мышей и 3 сов в заданном районе леса.
Все эти случаи представляют собой конкретные реализации собы-
событий. Абстрактно говоря, событие есть просто элемент определенного
пространства, который в наиболее распространенных на практике слу-
случаях может характеризоваться вектором с целочисленными компонен-
компонентами
Л = («1, «2, «3 •••) B.1.1)
или вектором, составленным из действительных чисел,
х = (xi, х2, х3 ...). B.1.2)
Размерность этбго вектора может быть произвольной.
Удобно принять язык теории множеств, ввести понятие множвст-
46 Глава 2
ва событий и использовать запись
we Л B.1.3)
для обозначения того, что событие со принадлежит множеству собы-
событий А . Например, можно рассмотреть множество событий А B5) в не-
некоторой экологической популяции, состоящей из не более чем 25 жи-
животных. Ясно, что событие со, заключающееся в том, что в наличии
есть 3 мыши и тигр, а других животных нет, удовлетворяет соотно-
соотношению
б) <= /1B5). B.1.4)
А вот более интересный пример. Допустим, что определен ан-
ансамбль событий А {г, AV), при которых молекула находится в элемен-
элементе объема ДК с центром в точке г. В этом случае практическое значе-
значение использования терминов теории множеств становится особенно
наглядным. Действительно, можно определить, расположена ли моле-
молекула в окрестности AV точки г, но определить, находится ли данная
частица точно в точке г, невозможно. Таким образом, если определе-
определено событие ы(у), состоящее в том, что молекула находится в точке у,
то имеет смысл спросить, выполняется ли соотношение
со(у) е A(r, AF), B.1.5)
и приписать множеству А (г, AV) определенную вероятность, которую
следует интерпретировать как вероятность выполнения условия
B.1.5).
2.2. ВЕРОЯТНОСТИ
Большинство людей обладает интуитивным представлением о вероят-
вероятности, основанным на их собственном опыте. Однако точная форму-
формулировка интуитивных представлений сопряжена с трудностями, поэ-
поэтому обычно используется абстрактный аксиоматический подход к
построению теории вероятностей, в котором мера вероятности Р(А)
приписывается каждому множеству А в пространстве событий, вклю-
включая
множество всех событий: fi, B.2.1)
пустое множество: ф. B.2.2)
Чтобы можно было определить вероятность, рассматриваемые мно-
множества событий должны образовывать систему (известную математи-
математикам как а-алгебра), замкнутую по отношению к двум операциям тео-
теории множеств — объединению (U) и пересечению (П).
Понятия теории вероятностей 47
2.2.1. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ АКСИОМЫ
Вероятность Р {А) множества событий А вводится как функция от А,
удовлетворяющая следующим вероятностным аксиомам:
1) Р (А) > 0 для всех А; B.2.3)
2)Р(п) = 1; B.2.4)
3) если Л- (/ — 1, 2, 3, ...) — конечная или счетная последователь-
последовательность непересекающихся множеств, т. е. таких множеств, что
А, П А] = 0 для всех i Ф j, B.2.5)
то
P(U^) = SW- B.2.6)
Это все необходимые аксиомы. Как следствия получаются следующие
соотношения:
4) если А — дополнение А, т.е. множество всех событий, которые
не входят в А, то
Р(А) = 1 - Р(А), B.2.7)
5) (v) Р@) = 0. B.2.8)
2.2.2. СМЫСЛ Р(А)
Без интуитивных соображений невозможно соотнести теорию вероят-
вероятностей с реальностью. Вероятность Р(А), определенная приведенными
выше аксиомами, совпадает с интуитивным понятием вероятности
того, что произвольное событие со, т. е. событие со, выбранное нау-
наугад, удовлетворяет условию сое А. Сформулируем это более подроб-
подробно. Если событие берется из полного множества п наугад N раз, то
относительная частота события, удовлетворяющего условию со е А,
стремится к Р{А) по мере того, как число проведенных испытаний N
стремится к бесконечности. Можно считать, что ./V выборок произве-
произведено последовательно одна за другой (независимые подбрасывания
одной игральной кости) или одновременно (TV игральных костей бро-
бросают «независимо» в один и тот же момент). Все определения такого
рода следует отнести к интуитивным, поскольку в них используются
неопределимые понятия, такие, как «случайно», «наугад», «независи-
«независимо». Отказавшись от того, что мы здесь называем интуитивными со-
соображениями, и аксиоматизировав вероятность, Колмогоров [2.3] тем
48 Глава 2
самым расчистил путь для развития строгой математической теории
вероятностей. Однако остались проблемы, обусловленные, с одной
стороны, желанием понимания на интуитивном уровне, а с другой —
возникающим при этом замкнутым кругом в определении понятий.
Аксиоматическую вероятность проще всего трактовать как некий фор-
формальный метод обращения с вероятностями в соответствии с аксио-
аксиомами. Но для того чтобы применить этот подход, нужно указать
пространство, на котором определяется вероятность, и приписать его
множествам вероятностную меру Р. Это так называемая априорная
вероятность, т. е. вероятность, которая просто приписывается. При-
Прикладные науки изобилуют примерами такого рода априорных вероят-
вероятностей. Так, в равновесной статистической механике одинаковым объ-
объемам фазового пространства приписываются равные вероятности. В
объяснении Эйнштейна броуновского движения вводится плотность
вероятности ф (Д), описывающая вероятности «скачка» Д из точки х в
момент t.
Задачи применения теории вероятностей состоят в следующем:
1) выбрать некоторое множество событий, приписать им правдопо-
правдоподобные вероятности и, учитывая структуру вероятностного про-
пространства, получить результаты; 2) с помощью устройства, построен-
построенного для измерения величин в соответствии с этими априорными ве-
вероятностями, получить экспериментальные результаты.
Отметим, что структура вероятностного пространства весьма су-
существенна, особенно в том случае, когда пространство событий ос-
осложнено включением понятия времени. Такое расширение делает эф-
эффективное вероятностное пространство бесконечномерным, поскольку
теперь события можно определять следующим образом: «частица бы-
была в точках хп в моменты времени tn, п - О, 1, 2, ... , оо».
2.2.3. СМЫСЛ АКСИОМ
Всякое интуитивное представление о вероятности предполагает веро-
вероятность положительной и вероятность множества, включающего лю-
любые события, равной 1 независимо от того, что подразумевается под
словом «любое». Таким образом, аксиомы 1 и 2 понятны. Труднее
понять аксиому 3. Предположим, что имеются всего два множества^
я В ш А П В = ф, т. е. нет событий, принадлежащих как А, так и В.
Поэтому вероятность того, что ш е A U В, равна вероятности того,
что oj e А или we5. По интуитивным представлениям эта вероят-
вероятность равна сумме вероятностей, т. е.
Р(А U В) ее Р{(ш е А) или (w е В)} = Р(А) + Р(В). B.2.9)
Понятия теории вероятностей 49
Заметим, что это отнюдь не доказательство, а просто пояснение.
Обобщение на случай любого конечного числа непересекающихся
множеств очевидно, однако возможность обобщения на случай только
счетного числа множеств требует некоторых разъяснений. Расшире-
Расширение на случай бесконечного числа множеств должно производиться
при определенных ограничениях. Дело в том, что имеются множест-
множества, помеченные непрерывным индексом, например когда д: — положе-
положение в пространстве. Вероятность того, что молекула находится в мно-
множестве, состоящем из единственного элемента дг, равна нулю. Вероят-
Вероятность же находиться ей в области R конечного объема не равна нулю.
Область R представляет собой объединение множеств типа [ х\, но не
счетного числа множеств. Поэтому аксиома 3 в этом случае неприме-
неприменима, и вероятность нахождения в области R не равна сумме
вероятностей1' попадания в одно из множеств | х).
2.2.4. СЛУЧАЙНЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ
Понятие случайной переменной весьма удобно и играет центральную
роль в этой книге. Допустим, что имеется абстрактное вероятностное
пространство событий, обозначаемых через х. Тогда можно ввести
случайную переменную F(x) — функцию д:, которая принимает опреде-
определенные значения для каждого х. В частности, представляет интерес
тождественная функция, обозначаемая через Х(х), которая задается
равенством
Х{х) = х. ¦ B.2.10)
Отметим, что в этой книге прописные буквы, как правило, обознача-
обозначают случайные переменные, а строчные — значения этих функций, ког-
когда их необходимо различать.
Часто бывает, что имеется некоторое совершенно другое, фоновое,
вероятностное пространство П со значениями ш и говорится о некото-
некоторой функции Х(ш), причем в дальнейшем явное упоминание « опуска-
опускается. Такая ситуация может возникнуть по двум причинам:
1) события задаются только значениями величины х, т. е. мы
отождествляем х п ш;
2) неявные события ш слишком сложно описать или иногда даже
узнать.
' Если формулу B.2.6) считать применимой в случае континуального числа собы-
событий, то в результате суммирования получим неопределенность типа 0-оо, поскольку ве-
вероятность точки равна нулю, а число их бесконечно. Условие счетности в аксиоме 3
нужно, чтобы избегнуть данной неопределенности. — Прим. ред.
50 Глава 2
Например, в случае молекулы, находящейся в жидкости, нам сле-
следовало бы интерпретировать со как величину, способную задать поло-
положения, импульсы и ориентацию всех молекул в данном объеме жидко-
жидкости; однако записать это слишком трудно, а часто в этом и нет необ-
необходимости.
Большое преимущество введения понятия случайной переменной
заключается в простоте обращения с функциями случайных перемен-
переменных, например X2, sin(a- X) и т. д., а также в простоте вычисления их
распределений и средних. Далее, вводя стохастические дифференциаль-
дифференциальные уравнения, можно также рассматривать изменения случайных пе-
переменных во времени аналогично тому, как это делается при классиче-
классическом описании детерминированных систем посредством дифференци-
дифференциальных уравнений.
2.3. СОВМЕСТНЫЕ И УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ.
НЕЗАВИСИМОСТЬ
2.3.1. СОВМЕСТНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ
Как мы объяснили в разд. 2.2.3, случай взаимоисключающих событий
связан с представлением о непересекающихся множествах. Рассмот-
Рассмотрим теперь вероятность Р(А Pi В), где пересечение А П В — непустое
множество. Событие ш, удовлетворяющее условию we А, будет при-
принадлежать пересечению we А Г) В только тогда, когда выполнено
также условие сое В. Таким образом,
Р(А ПВ) = Р{(со е А) и (ш е 5)}, B.3.1)
причем Р(А П В) называется совместной вероятностью того, что со-
событие со содержится в обоих классах событий, или, что эквивалентно,
того, что реализуются сразу два события: сое А и we В. Совместная
вероятность естественно возникает в контексте данной книги двумя
путями:
1) Когда событие описывается вектором: например имеется т мы-
мышей и п тигров. Вероятность этого события есть совместная вероят-
вероятность события ([т мышей и произвольное количество тигров] и [п ти-
тигров и произвольное количество мышей]). В этом смысле в векторном
случае всегда подразумеваются совместные вероятности.
B) Когда рассматриваются несколько моментов времени: например,
какова вероятность того, что([в момент tx есть тх тигров и пх мышей]
и [в момент t2 есть т2 тигров и п2 мышей])? При рассмотрении такой
вероятности мы составили одно совместное событие из событий, от-
Понятия теории вероятностей 51
носящихся как к моменту tv так и к моменту t2. По существу разли-
различий между двумя указанными случаями нет, за исключением той су-
существенной роли, которую время играет в динамике развертывания
событий.
2.3.2. УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ
Мы можем фиксировать условия осуществления событий, представля-
представляющих интерес, и рассматривать только те случаи, когда эти условия
выполняются, например рассматривать вероятность наличия 2J буй-
буйвола, если известно, что имеются 100 львов. Что это значит? Ясно,
что нас интересует только указанная часть событий из множества
В = { все случаи, когда имеется ровно 100 львов]. Это означает, что
нужно определить условную вероятность, соответствующую подмно-
подмножеству событий, которые содержатся в В. Определим условную веро-
вероятность соотношением
Р(А | В) = Р(А П В),'Р(В); B.3.2)
отвечающим интуитивному представлению, что условная вероятность
событий ш еА при условии со е В находится делением вероятности
совместного события на вероятность того, что to efi.
Можно написать аналогичное соотношение, поменяв местами А и
В, т. е. имеем
Р(А П В) = Р(А\В)Р(В) = Р(В\А)Р(А). B.3.3)
Таким образом, нет теоретического различия между, например, веро-
вероятностью Р[ B1 буйвол) при условии (имеется 100 львов)) и обратной
ситуацией. Однако, когда рассматриваются два момента времени,
различие имеется. Например, естественно рассмотреть вероятность
нахождения частицы в положении дг, в момент tl при условии, что в
предыдущий момент t2 она находилась в положении х2. Такая вероят-
вероятность, как будет видно дальше, играет в книге важную роль. Обрат-
Обратная формулировка звучит несколько странно, а именно: вероятность
того, что частица в момент /; занимает положение х1 при условии,
что в более поздний момент времени t2 она будет находиться в поло-
положении х2. Такая формулировка сродни ясновидению, и трудно предпо-
предположить, чтобы кто-то в реальной ситуации захотел рассматривать та-
такую величину, хотя в принципе она вполне аналогична «естественной»
условной вероятности, для которой выполнение условия предшествует
событиям".
' Обе указанные условные вероятности становятся равноправными и «естественны-
«естественными», если имеются многократные записи процесса, которые можно «прокручивать» в
любую сторону. — Прим. ред.
52 Глава 2
«Естественное» определение уже встречалось в этой книге: напри-
например, введенная Эйнштейном величина </>(Д)<^Д (разд. 1.2.1) есть вероят-
вероятность того, что частица, находящаяся в положении х в момент t, бу-
будет находиться в интервале {х + А, х + А + dA] в момент t + т; по-
подобным же образом это определение возникало и в других примерах.
Наша интуиция по аналогии с тем, что было высказано Эйнштейном
(см. приведенный выше отрывок из его статьи), говорит, что этот
вид условной вероятности прямо связан с временным развитием веро-
вероятностной системы.
2.3.3. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СОВМЕСТНЫМИ ВЕРОЯТНОСТЯМИ
РАЗЛИЧНЫХ ПОРЯДКОВ
Предположим, что имеется набор множеств Bt, таких, что
1,П^=0 B.3.4)
\jB, = Qt B.3.5)
i
т.е. эти множества разбивают пространство О на непересекающиеся
подмножества. Тогда
U (А П В,) = А П (U B,) = A C\ Q = A, B.3.6)
Используя теперь вероятностную аксиому 3, видим, что А П Bi удов-
удовлетворяет условиям, налагавшимся там на Af; поэтому
2 Р(А п В,) = P[U(A U В,)] B.3.7)
= Р(А) B.3.8)
и, следовательно,
B.3.9)
Таким образом, суммирование по всем взаимно исключающим воз-
возможностям В исключает эту переменную.
Итак, в общем случае
, П Bj n Ck...) = P(Bj ПС,П -..)• B.3.10)
i
Результат B.3.9) имеет важные следствия для развития теории стоха-
стохастических процессов, которая существенно основывается на понятии
совместной вероятности.
Понятия теории вероятностей
53
2.3.4. НЕЗАВИСИМОСТЬ
Необходимо дать определение независимых событий исходя из поня-
понятия вероятностей. Два множества событий А и В называются незави-
независимыми, если условие принадлежности данного события множеству В
не оказывает никакого влияния на вероятность принадлежности этого
события множеству Л. Таким образом, условная вероятность Р (А \В)
не должна зависеть от В, и, следовательно,
Р(А Г) В) = Р(А)Р{ВO B.3.11)
В случае нескольких событий требуется некоторое уточнение. Собы-
События ш еА: (/ = ], 2, ... , п) считаются независимыми, если для любого
подмножества (/,, /2, ... , ik) множества A, 2, ...', я)
1{ П А,2 ... А,к) = P(Ah)P(Aiz)... P(Alk).
B.3.12)
Важно потребовать факторизацию вероятности для всех возможных
комбинаций /,, /2, ... , ik, как указано в B.3.12). Например, в случае
трех множеств .4, вполне возможно выполнение требования
P(Ai П А}) --= PiA^PiA,) B.3.13)
для всех различных / и у, а также (рис. 2.1) требования
А, П Аг = А2 П А3 - А3 П А, .
При этом имеем
Р{АХ о Аг П /1,) = Р(/12 П Аъ О, /C) = ^(^2 Р. /13) = Р(Л2Ч)Р(^3>
,fc Р{А{)Р{Аг)Р{Аъ). B.3.14)
Видно, что принадлежность шеЛ2ии>еЛ3в данном случае с необхо-
необходимостью влечет за собой принадлежность соеАу В этом смысле со-
события, очевидно, не независимы.
Рис. 2.1. Статистическая независимость
в парах (но не в тройках) множеств. Все
три множества типа А/ П At находятся
посередине. С помощью подходящего
выбора вероятностей можно получить
Р(Л/ Л Aj) = P(At)P{Ar).
54 Глава 2
Случайные переменные Хх, Х2, Хъ, ... будут называться независи-
независимыми, если для всех множеств вида Л, = (множество х, удовлетворя-
удовлетворяющих условию с, ^ а-^ й,) события XleA[,X2eA2,XieAv ... неза-
независимы. Это означает, что все значения данной переменной Xi предпо-
предполагаются независимыми от значений, принимаемых другими перемен-
переменными X:.
2.4. СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ И ПЛОТНОСТЬ ВЕРОЯТНОСТИ
Среднее значение случайной переменной R (о>), для которой число воз-
возможных реализаций счетно, дается выражением
(R) = |] Р(со)Ща>), B.4.1)
где Р(ш) означает вероятность множества, содержащего единственное
событие о). В случае непрерывной случайной величины аксиомы веро-
вероятности позволяют определить функцию плотности вероятности р (и>),
такую, что если А (ш0, du0) представляет собой множество
(со„ < со < со0 -т dco0), B.4.2)
то
p(co0)doH = Р[А((о0, dm0)] B.4.3)
s р(ш0> dco0). B.4.4)
Последнее обозначение часто используется математиками. Прекрасное
пояснение приведенным формулам дано в книге Феллера [2.1J. В слу-
случае непрерывной случайной величины имеем
<«> = | dco R(co)p(co) . B.4.5)
Как отмечено в разд. 2.2.4, символ R сам можно использовать для
обозначения события, поэтому запишем так:
<Я> = J dR Rp(R), B.4.6)
что мы часто и будем делать. Очевидно, что p(R) как функция R и
р(ш) как функция ш — разные функции, точнее
p(R0)dR0 ¦--- P[R0 < R< Ro + dR0)]. B.4.7)
Понятия теории вероятностей 55
2.4.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОТНОСТИ ВЕРОЯТНОСТИ ЧЕРЕЗ СРЕДНИЕ
ЗНАЧЕНИЯ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
Допустим, что для любой функции f(R) известно среднее
B.4.8)
тогда известна p(R). Доказательство получим, выбрав
f(R) =1 при До < R< #о + dR0
— 0 в противном случае.
Поскольку иногда легче оперировать со средним произвольной функ-
функции, чем с плотностью вероятности, то указанный факт при случае
будет использоваться в книге.
2.4.2. МНОЖЕСТВА НУЛЕВОЙ ВЕРОЯТНОСТИ
Если существует плотность p(R), то вероятность того, что R лежит в
интервале (Ro, Ro + dR), стремится к нулю вместе с уменьшением dR,
Следовательно, вероятность того, что R в точности принимает зна-
значение Ro, равна нулю. Аналогично и для любого другого значения.
Таким образом, существуют множества S(Rt), каждое из которых
содержит только одну точку R: и имеет нулевую вероятность. Из
третьей аксиомы вероятности следует, что любое счетное объедине-
объединение таких множеств, т. е. любое множество, содержащее только счет-
счетное число точек (например, все рациональные числа), имеет нулевую
вероятность. В общей формулировке все равенства теории вероятно
стей, записанные для случайных событий или величин, в лучшем слу-
случае верны только «почти наверное», т. е. они могут не выполняться
на множестве нулевой вероятности. Наоборот, если говорят, напри-
например,
X — Y (с вероятностью 1), B.4.9)
то это отнюдь не то же самое, что сказать
X(R) = Y(R) для всех R. B.4.10)
Конечно, если теория имеет отношение к действительности, то собы-
события, обладающие нулевой вероятностью, не происходят.
В частности, отметим, что результат предыдущего раздела, если
его проанализировать внимательно, означает только, что мы знаем
p(R) с вероятностью 1 при условии, что </(Л)> известно для всех/(Л).
56 Глава 2
2.5. СРЕДНИЕ
Вопрос о том, что именно измерять в вероятностной системе, нетри-
нетривиален. Практически могут измеряться отдельные значения случайной
переменной (число животных определенного вида в заданном районе в
данный момент времени; электрический ток, проходящий через неко-
некоторый элемент цепи в каждом из большого числа повторений этой це-
цепи, образующих статистический ансамбль, и т. д.) или же, при другом
способе измерения, измерительная процедура может автоматически
конструировать какое-либо среднее. Например, чтобы измерить
электрический ток, измеряется перенесенный электрический заряд и
делится на прошедшее время. Это дает значение среднего числа элек-
электронов, перенесенных в единицу времени. Важно отметить, что су-
существенная особенность второго способа измерения состоит в том,
что обычно доступно измерению только ограниченное число средних
значений, так, например, более высокие моменты измерить нельзя.
В противоположность этому, когда измеряются отдельные собы-
события (как, например, при подсчете числа животных), можно составить
средние наблюдаемых величин очевидным способом:
У — -^- N У(п\ О ^ \\
N~~ N^i B-5-1)
Числа Х(п) представляют собой конкретные наблюдаемые значения
величины X. Следует ожидать, что, по мере того как число N стре-
стремится к бесконечности, величина XN приближается к среднему {Х)\
более того,
!jm ? /[№)] = JimXX)N = </(*)>, B.5.2)
и указанная процедура, если ее выполнить для всех функций/, опреде-
определяет плотность вероятности р (х) величины X. Справедливость такой
процедуры зависит от степени независимости последовательных изме-
измерений и обсуждается в разд. 2.5.2.
В том же случае, когда с помощью измерительной процедуры не-
непосредственно определяются сами средние, как правило, нельзя изме-
измерить Х(п), и поэтому в общем случае определить f(X)N нельзя. Мож-
Можно определить только f(XN) — совсем другую величину (за исключе-
исключением того случая, когда функция/ линейна). Часто встречаются ситу-
ситуации, при которых измеряемые величины связаны (с помощью неко-
некоторой теории) со средними значениями определенных функций. Одна-
Однако надеяться измерить, например, среднее значение произвольной
функции от числа прошедших в проводнике электронов — совершенно
Понятия теории вероятностей 57
безнадежное дело, поскольку не подсчитываются конкретные числа
электронов, прошедших за различное время. Среднее же значение из-
измерить можно, можно измерить даже среднеквадратичное число элек-
электронов, хотя доступные измерительные методы и не являются пря-
прямыми.
2.5.1. МОМЕНТЫ И КОРРЕЛЯЦИИ
Представляют интерес моменты {X"), поскольку часто именно их
легко рассчитать. Плотности вероятностей всегда должны стремиться
к нулю при х — ± оо, и легко понять, что высокие моменты говорят
только о свойствах плотностей при больших значениях X. На практи-
практике наиболее важными величинами являются первые и вторые момен-
моменты. Для переменной X дисперсия определяется выражением
D {X} = [а[Х]}2 = <[ДГ-<*>]*> , B.5.3)
и, как хорошо известно, дисперсия D(X) или квадратный корень из
этой величины, называемый среднеквадратичным отклонением а[Х],
служат мерами степени отклонения величины X от среднего значения
(X).
Для случая нескольких переменных определим корреляционную
матрицу
- <ДГ,» (Xj - <*)»> = (XtXj) - <*,><*,> . B.5.4)
Очевидно, что
(Xl,Xl}=.D[Xi). B.5.5)
Если переменные попарно независимы, то корреляционная матрица
диагональна.
2.5.2. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ
В качестве применения предыдущих понятий исследуем следующую
модель измерения. Предположим, что при jV-кратном измерении од-
одной и той же случайной величины получается набор значений X(п)
(п = 1,2,..., N). Поскольку все они — результаты последовательных
измерений одной и той же величины, можно считать, что для различ-
различных п величины Х(п) имеют одинаковые распределения вероятности;
при этом, однако, не предполагается, что Х(п) не зависят друг от дру-
друга. Тем не менее если корреляционная матрица {X(п), Х(т)) убывает
58 Глава 2
достаточно быстро при \п — т\ — оо, то, вводя среднее арифметиче-
арифметическое
- 1 N
*"= дгЕД«), B.5.6)
можно показать, что
lim XN = (X) . B.5.7)
Ясно, что
(XN) = (X) . B.5.8)
Рассчитаем теперь дисперсию величины XN и докажем, что при опре-
определенных условиях она стремится к нулю при N —¦ оо. Имеем
(XNXN) - (XN)> = ±.2jtt (Xn, Xm) . B.5.9)
Если (Хп, Хт) спадает достаточно быстро при \п - т\ — оо, то по-
получим
lim (D {XN}) = 0 B.5.10)
так что \imN_00XN представляет собой детерминированную величину,
равную (X). Эта величина является пределом в среднеквадратичном
(см. ниже).
Для (Хп, Хт) могут быть выбраны две алпроксимации:
а) (Х„, Хт) ~ АГл""- (л<1) B.5.11)
в этом случае имеем
-д,2( (Я-1J i ~ ЛГ ' B.5.12)
5) (Х„, Хт) ~ \п - ml'1 (пФт) B.5.13)
при этом приближенно находим
D{*w}~ilog;V-i-0. B-5.14)
В обоих случаях D [ XN) — 0. Скорость сходимости при этом сущест-
существенно различна. Интерпретируя пит как моменты времени, для ко-
Понятия теории вероятностей 59
торых были проведены измерения, можно видеть, что допустимо да-
даже весьма медленное убывание функции корреляции. Закон больших
чисел может быть сформулирован многими способами, которые удач-
удачно суммированы Папулисом [2.2]. Еще более точный результат дает
центральная предельная теорема, которая устанавливает вид предель-
предельной функции распределения величины XN — (X) (см. разд. 2.8.2).
2.6. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
Возможна ситуация, когда переменные независимы, но не попарно.
Для рассмотрения таких, а также других случаев вводится характери-
характеристическая функция.
Если s — вектор с компонентами (s1( s2, ¦¦¦ , sn), a. X— вектор слу-
случайных переменных (А",, Х2, ... , Хп), то характеристическая функция
(или, иначе, производящая функция моментов) определяется так:
ф(я) = <ехр (is ¦ X)} = J dx р{х) ехр (« • х) . B>6-!)
Характеристическая функция обладает следующими свойствами [2.1,
гл. XV]:
1) ф@) = 1 ;
2) Ф№\ < 1;
3) ф (s) — равномерно непрерывная функция своих аргументов для
всех конечных действительных значений s [2.5];
4) если моменты <П,^Т'> существуют, то
" B-6-2)
5) последовательность плотностей вероятности сходится к предель-
предельной плотности вероятности тогда и только тогда, когда соответству-
соответствующие характеристические функции сходятся к характеристической
функции предельной плотности вероятности;
6) формула обратного преобразования Фурье
р(х) = Bл)"" J ds ф{а) ехр (-i* ¦ s), B.6.3)
В соответствии с этой формулой ф (s) определяет р (х). Значит, харак-
характеристическая функция действительно характеризует плотность веро-
вероятности;
7) соотношения для независимых случайных переменных: из опре-
определения независимых случайных переменных в разд. 2.3.4 следует, что
60 Глава 2
переменные Хх, Х2... независимы тогда и только тогда, когда
р(хи х2, ..., лг„) = р^х^р^Хг) ...рп(х„Х B.6.4)
в этом случае
{*(>,, s2, ..., sn) = <j>i{si)(j>2(si) ...;jiB(jB); B.6.5)
8) сумма независимых случайных переменных: если Хх> Х2, ...—
независимые случайные переменные и если
У = 2 X,, B.6.6)
а характеристическая функция для Y есть
Фу(х) = <exp(isY)}, B.6.7)
тогда
ФЛ*) = ~Пф,(*) ¦ B.6.8)
Характеристическая функция играет в этой книге важную роль, свя-
связанную со свойством сходимости 5. Это свойство позволяет рассмат-
рассматривать сходимость характеристической функции; при этом доказа-
доказательство часто оказывается легче, чем при анализе сходимости самого
распределения вероятности. Более того, то, что характеристическая
функция в самом деле определяет распределение (формула B.6.3)), оз-
означает, что разные характеристические функции возникают благодаря
разным исходным распределениям. Кроме того, непосредственное по-
получение моментов, согласно B.6.2), прямо связывает определение ха-
характеристической функции с нахождением измеряемых величин.
2.7. ПРОИЗВОДЯЩАЯ ФУНКЦИЯ КУМУЛЯНТОВ:
КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ И КУМУЛЯНТЫ
Следующее важное свойство характеристической функции проявляется
при рассмотрении ее логарифма:
0(s) = log ф{$)у B.1 Л)
который называется производящей функцией кумулянтов. Предполо-
Предположим, что существуют все моменты, так что <j>(s), а значит, и Ф($) раз-
разлагаются в степенной ряд, который записывается в виде
*(*) = S 7Г S т !' , iXpXp ... ВД s^sp ... & 6A-, ?т,), B.7.2)
Понятия теории вероятностей 61
где величины ((Л, ix2i ... хп")) называются кумулянтами перемен-
переменных X. Из этого обозначения не следует, что кумулянты представля-
представляют собой функции от данного произведения различных степеней ком-
компонент X, оно просто указывает моменты наивысшей кратности, ко-
которые фигурируют в представлении кумулянтов через моменты.
Стратонович [2.4] использует также термин корреляционные функции,
однако этот термин мы зарезервировали для обозначения кумулянтов
в случае многих переменных А1,". Действительно, если все X независи-
независимы, то свойство факторизации B.6.8) означает, что производящая
функция кумулянтов Ф(^) есть сумма п членов, каждый из которых
представляет собой функцию только одной переменной s}, и, следова-
следовательно, все коэффициенты при смешанных произведениях переменных
(т. е., согласно нашей терминологии, корреляционные функции) равны
нулю. Верно и обратное утверждение. Таким образом, величина кор-
корреляционной функции служит мерой степени взаимосвязанности пере-
переменных.
Кумулянты и корреляционные функции можно выразить через мо-
моменты, если разложить характеристическую функцию в степенной
ряд:
далее разложить в степенной ряд также логарифм этой величины и
сравнить этот ряд с B.7.2). Для ФE) не существует какой-либо про-
простой общей формулы, выражающей кумулянты через моменты, но
для нескольких кумулянтов низших порядков можно привести явные
выражения
PQ) = <%¦> B.7.4)
B.7.5)
__ / у V V \ / V V \ / V \ / V \ / V V \
—~ \ **¦ i j k / ~~~~ \ i j / \ k / \ i / \ i k /
/V\/r\/V\l/V\/V\/V\ / T A \
— ^Л;Л k/ \Л j/ | \Л ,¦/ \Л. j/ \Л fa/ \^" ' •"/
причем все эти формулы действуют и тогда, когда какие-то из чисел /,
./, к, I совпадают. Явная общая формула может быть получена следу-
следующим образом. Предположим, что требуется найти кумулянт
" Термин «корреляционная функция» удобно применять в том случае, когда одна
или несколько случайных величин зависят от параметра, например, времени, т. е. когда
имеется случайный процесс (или процессы). Тогда этот термин подчеркивает зависи-
зависимость кумулянта от значений параметра. — Прим. ред.
62 Глава 2
({Х\Х2ХЪ ... Хп)). Процедура заключается в следующем:
1) нужно написать последовательность из п точек ... ;
2) разбить эту последовательность на р + 1 подмножеств, расста-
расставив угловые скобки:
<...><..>< >•¦<••>;
3) вставить вместо точек символы Xх ... Xп таким образом, чтобы
были выписаны все различные выражения, причем что понимается
под словом «различные», поясняет следующий пример:
4) взять сумму всех указанных выражений, соответствующих дан-
данному р, и обозначить эту сумму Ср(Хх, Х2, ... , Хп)\
5).рГ, Хг ... Х„} = 2 {-\Ур\Ср{Хи Хг, .... Хп). B.7.7)
а
Вывод этой формулы дал Меерон [2.6]. Специальную процедуру ее по-
получения предложил ван Кампен [2.7];
6) кумулянты с повторяющимися элементами: например, для
определения < < Х\ХъХг) > нетрудно найти выражение для
<<XХХ-jXЪХ^)) и положить в нем Х4 — Хх.
2.7.1. ПРИМЕР: КУМУЛЯНТ 4-ГО ПОРЯДКА <<АГ,ЛГ2А'3Л'4>>
а) р = О,
единственный член есть <Ar,A'2Ar3A'4> = C0(X1X2X3Xi).
б) /7 = 1
разбиение <.) <... > дает вклад
разбиение <..> <..> дает вклад
<Х>Х2у(Х3Х4у + (X,X3)(X2Xt) + (Х^У^Х,) = Dz.
Итак,
Z), + D2 = C.iX.XiX.X.) .
Понятия теории вероятностей 63
в) р = 2, разбиение < .> < .> < ..> дает вклад
4> + (^Х^ХА-.А-з) +
г) р = 3, разбиение <.) <.) < .> < .) дает вклад
Следовательно,
{Х,Х2Х3Х4} = Со - С, + 2С2 - 6С3. B.7.8)
2.7.2. ЗНАЧИМОСТЬ КУМУЛЯНТОВ
Из B.1 Л, 5) видно, что первые два кумулянта — это средние {Xt) и
корреляционная матрица (Хп Хр. Значимость кумулянтов более вы-
высокого порядка убывает с увеличением порядка, но не так, как у мо-
моментов. Например, нельзя все моменты порядка более высокого, чем
заданный, положить равными нулю, поскольку {X7") ^ (X"}2, и,
следовательно, все моменты несут информацию о моментах более
низкого порядка. Для кумулянтов же вполне допустимо положить
({X} = а
{(X2)) = °г
({А-")) = 0 (и > 2),
и, используя формулу обратного преобразования для характеристичес-
характеристической функции, нетрудно получить
р(х) = -~г^ ехр[~ (х - а)г12а2], B.7.9)
т. е. гауссово распределение вероятности. Затруднительно добавить,
однако, что-либо к высказанному суждению. Действительно, теорема
Марцинкевича [2.8, 9] устанавливает, что производящая функция ку-
кумулянтов не может быть полиномом степени, большей чем 2, т. е.
либо все кумулянты, кроме первых двух, равны нулю, либо имеется
бесконечное число отличных от нуля кумулянтов. Важность кумулян-
кумулянтов связана прежде всего с тем, что при их помощи определяются
корреляционные функции различных переменных, а это в дальнейшем
позволит применять важные аппроксимационные методы.
64 Глава 2
2.8. ГАУССОВСКОЕ И ПУАССОНОВСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ
2.8.1. ГАУССОВСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
Гаусеовское, или нормальное, распределение играет очень большую
роль. Ниже приведены основные касающиеся его факты.
Если X — вектор, составленный из п гауссовских случайных пере-
переменных, то соответствующее распределение плотности вероятности
может быть записано в виде
р{х) = [Bл)" с1е1И]-1/2ехр[-К* - хУа~\х - х)], B.8.1)
так что
(X) = \dxxp{x) = x, B.8.2)
(ХХту = I dx ххтр(х) = х? + а. B.8.3)
При этом характеристическая функция дается выражением
фE) = <exp(isT X)) = exp(isT x - ?sT as). B.8.4)
Особенно простой вид этой характеристической функции связан с тем,
что все кумулянты порядка, большего чем 2, равны нулю, а значит,
все моменты порядка, большего двух, выражаются через моменты
первого и второго порядков. Соотношение B.8.3) означает, что а —
корреляционная матрица в соответствии с разд. 2.5.1, т. е. матрица,
элементы которой равны корреляционным функциям второго поряд-
порядка. При этом, конечно, матрица а симметрична.
Точное соотношение между высшими моментами и ковариацион-
ковариационной матрицей а может быть непосредственно выписано, если исполь-
использовать связь между моментами и характеристической функцией
(разд. 2.6, свойство 4). Формула проста только при х = 0, когда не-
нечетные моменты равны нулю, а четные моменты удовлетворяют со-
соотношению
(XtXjXk ..-) =
где индекс "sym" означает симметризованную форму произведений,
составленных из a; 2N — порядок момента. Например,
4!
4.2!
1
4. B-8.5)
<*¦> = т [а-] = 3°2»- B.8.6)
Понятия теории вероятностей 65
2.8.2. ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА
Гауссовское распределение играет особую роль благодаря целому ряду
причин. На практике многие переменные действительно Хорошо ап-
аппроксимируются гауссовскими распределениями. Почему это так —
устанавливает центральная предельная теорема, которая, если ее
сформулировать коротко, утверждает, что случайная переменная,
представляющая собой сумму большого числа независимых составля-
составляющих с произвольными распределениями, является гауссовской. Точ-
Точнее, пусть Xv Х2, Хъ, ... , Хп — независимые случайные переменные,
такие, что
<ЯГ,> =0, D {X,} = bft 8
и пусть PiQCj) — функции распределения величин Xt.
Введем обозначения
s» = §*< B.8.8)
сг„ = D {?„} =
Потребуем далее выполнения условия Линдеберга
limf^i: | dxx2Pl(x)] = 0 B.8.10)
для каждого фиксированного t > 0. При удовлетворении перечислен-
перечисленных условий распределение нормированных сумм Sn/an с ростом п
стремится к гауссовскому распределению с нулевым средним и еди-
единичной вариацией.
Доказательство этой теоремы можно найти в [2.1]. Прокомменти-
Прокомментируем, однако, исходные предположения. Отметим, во-первых, что бы-
была потребована независимость составляющих Xj. В этом условии нет
абсолютной необходимости: например, можно выбрать
Xt = T,Yr, B.8.11)
r-i
где Yj уже независимы. Поскольку сумма величин X может быть за-
записана в виде суммы величин Y с некоторыми конечными коэффици-
коэффициентами, теорема также действует.
Грубо говоря, выполнение центральной предельной теоремы мож-
можно ожидать, если корреляция между Xj и Xj стремится к нулю при
\i — j\ — оо достаточно быстро. Условие Линдеберга B.8.10) не име-
имеет наглядной интерпретации, можно только отметить, что это наи-
66 Глава 2
более слабое ограничение, обеспечивающее соблюдение требования,
чтобы вероятности больших значений lA^I были достаточно малы.
Например, если все bi бесконечно велики или больше, чем некоторая
постоянная С, то, очевидно, последовательность о\ расходится при
п — оо. Сумма интегралов в B.8.10) — это сумма вкладов в дисперсии
значений lA^-l > tan; при этом ясно, что при п — оо каждый такой
вклад стремится к нулю. Условие Линдеберга требует, чтобы сумма
всех вкладов нарастала медленнее о\. В действительности это весьма
слабое ограничение, которое удовлетворяется, например, если 1Л",-! <
< С или если Pj (рс) стремится к нулю при х — ± <» достаточно быст-
быстро. Исключением служит распределение
р,{х) = а,[п(х2 + а?))-1 , B.8.12)
которое называется распределением Коши, или лоренцианом. Диспер-
Дисперсия этого распределения бесконечно велика, и в самом деле, сумма
всех Xj имеет распределение такого же вида, как B.8.12), где ai заме-
заменено на Y,"=\ai- Очевидно, в этом случае условие Линдеберга не вы-
выполняется. Условие, аналогичное рассмотренному и также называемое
условием Линдеберга, будет фигурировать в разд. 3.3.1, где обсужда-
обсуждается замена дискретного процесса на процесс с непрерывными прира-
приращениями.
2.8.3. ПУАССОНОВСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
Распределение Пуассона занимает центральное место в изучении слу-
случайных величин, принимающих целые положительные значения. Если
X — соответствующая переменная, то распределение Пуассона опре-
определяется формулой
Р{Х =х) = Р(х) = е-аа*/х1. B.8.13)
Ясно, что факториальные моменты, определяемые как
{Х'У, = (х{х - 1)... (х - г + 1)> , B.8.14)
даются формулой
(Xr)s = ar. B.8.15)
Для переменных, принимающих целые неотрицательные значения,
естественно ввести производящую функцию
G(s) = ? s*P(x) = <i*> B.8.16)
которая связана с характеристической функцией соотношением
G(s) = ф{-\ log s). B.8.17)
Понятия теории вероятностей 67
Производящая функция обладает следующим полезным свойством:
- B-8л8)
Для распределения Пуассона имеем
G(s) = ? e-^fl = ехРМ* " W ¦ B'8Л9)
х = 0 XI
Можно определить также факториальную производящую функцию
g(s) кумулянтов
g(s) = log G(s) B.8.20)
и факториальные кумулянты {{Xr})f соотношением
Нетрудно видеть, что для распределения Пуассона все факториальные
кумулянты, кроме первого, равны нулю.
Распределение Пуассона естественным образом возникает в самых
разнообразных ситуациях; так, оно уже встречалось в разд. 1.4.1 как
решение простого управляющего уравнения. Существенная роль, ко-
которую играет распределение Пуассона в изучении целочисленных слу-
случайных переменных, во многом аналогична той роли, которую играет
гауссовское распределение при изучении переменных с непрерывной
областью изменения. Однако единственным простым обобщением
распределения Пуассона на случай многих переменных служит обыч-
обычное произведение нескольких таких распределений вида
Р(хх, хг, Аз, ...) = П гт ¦ B.8.21)
Понятия коррелированного многомерного пуассоновского распределе-
распределения, являющегося аналогом понятия многомерного гауссовского рас-
распределения, не существует.
2.9. ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ СЛУЧАЙНЫХ
ПЕРЕМЕННЫХ
Значительная доля работы в расчетах связана с нахождением аппрок-
аппроксимаций случайных переменных, при этом естественным образом воз-
возникает понятие предела последовательности случайных переменных.
Однако нет единого способа определения такого предела.
В самом деле, допустим, что имеется вероятностное пространство
О и последовательность случайных переменных Хп, которые определе-
68 Глава 2
ны на U. Тогда под пределом последовательности
Х=ИтХ„ B.9 1)
понимается такая случайная переменная X, к которой Хп приближает-
приближается в определенном смысле. Если рассматривается вероятностное про-
пространство п с элементами со и плотностью вероятности р (со), то име-
имеются различные возможности. Так, можно выбрать следующие опре-
определения.
2.9.1. ПРЕДЕЛ ПОЧТИ НАВЕРНОЕ
Последовательность Хп сходится кХ почти наверное, если для всех со,
кроме множества нулевой вероятности, имеет место сходимость
lim Х„{со) = Х(со). B.9.2)
Таким образом, реализации Хп приближаются к X, и мы записываем
в этом случае
ас-lim Хп = X. B.9.3)
2.9.2. ПРЕДЕЛ В СРЕДНЕКВАДРАТИЧНОМ
Другая возможность состоит в рассмотрении Хп (со) как функции со и
нахождении среднеквадратичного отклонения Хп(ш) от X. При этом'
говорится, что Хп сходится к X среднеквадратично, если
lim J dcoр(со)[Х„(со) - Х(со)]2 = lim ((Х„ - XJ} = 0. B.9.4)
ft-4 00 Л—"»
Этот вид предела хорошо известен в теории гильбертовых про-
пространств и обозначается
ms-lim Х„ = X. B.9.5)
2.9.3. СТОХАСТИЧЕСКИЙ ПРЕДЕЛ, ИЛИ ПРЕДЕЛ ПО ВЕРОЯТНОСТИ
Мы можем рассматривать также приближение Хп (со) к X в том смыс-
смысле, что вероятность отклонения от X стремится к нулю. В точной
формулировке это значит, что если для любого ? > О
lim Р{ | Х„ - Х\ > е) = 0, B.9.6)
п—«со
то мы имеем предел по вероятности последовательности Хп.
Понятия теории вероятностей 69
Заметим, что рассматриваемая вероятность отклонения может
быть записана также в ином виде. Пусть xe\z) — следующая функция:
х B.9.7)
= 0 |г|<е.
Тогда
Р(\ХЯ-Х\ >г)=1сЬр(р>Ш\Хя-Х\). B-9.8)
В этом случае пишем
st-lim Хя = X. B.9.9)
2.9.4. ПРЕДЕЛ ПО РАСПРЕДЕЛЕНИЮ
Еще более слабая форма сходимости возникает, если для некоторой
непрерывной ограниченной функции /(х) выполняется равенство
lim </(*„)> = </(*)> • B 9.10)
В этом случае говорят, что имеет место сходимость к пределу по рас-
распределению. В частности, используя в качестве/(v) функцию exp(/xs),
видим, что выписанное соотношение означает сходимость последова-
последовательности характеристических функций и, следовательно, сходимость
плотности вероятности переменных Хп к плотности вероятности пере-
переменной X.
2.9.5. ВЗАИМОСВЯЗЬ РАЗЛИЧНЫХ ПРЕДЕЛОВ
Можно показать, что выполняются следующие соотношения:
сходимость почти наверное => сходимость в среднеквадратичном;
сходимость в среднеквадратичном => сходимость по вероятности;
сходимость по вероятности => сходимость по распределению.
Все рассмотренные виды пределов находят применение в различных
приложениях.
3
Марковские процессы
3.1. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ
Все примеры, приведенные в гл. 1, математически описываются как
стохастические процессы, под которыми понимаются в широком
смысле системы, ведущие себя во времени вероятностным образом,
или, точнее, системы, в которых имеется определенная зависящая от
времени случайная переменная X(t). Можно измерить значения хх, х2,
х3, ... и др. переменной X{t) в моменты времени tx, t2, ?3> •¦¦ и предпо-
предположить, что существует набор совместных плотностей вероятностей
/>(*,,/,;х2, h;x},t3; ...), C.1.1)
который полностью описывает систему.
Через совместные плотности вероятностей можно определить ус-
условные плотности вероятностей
р(хи tu;x2, t2; •••Ij'bT,; уг, т2; ...)
= р(хи и\х2, t2; ¦ ¦¦;уитх;у2,т2; ...Iр(уи т,;у2, т2; ...)¦ C.1.2)
Эти определения справедливы независимо от порядка следования мо-
моментов времени, хотя обычно требуется рассмотреть только последо-
последовательность времен, нарастающую справо налево, т. е.
/3
C.1.3)
Изучение эволюционного уравнения системы приводит к необходимо-
необходимости рассматривать условные вероятности как предсказания будущих
значений переменной X(t) (т.е. jc,, дг2, ... в моменты tx,t2, ...) при усло-
условии, что известны значения в прошедшем (значения ух, у2, ... в момен-
моменты г,, т2, ...).
Понятие обычного стохастического процесса в общем случае весь-
весьма широко. Для того чтобы определить процесс, по меньшей мере
нужно знать все совместные вероятности вида C.1.1). Причем если
такого знания оказывается достаточно для определения процесса, то
его называют сепарабельным стохастическим процессом. Все рас-
рассматриваемые в этой книге процессы предполагаются сепарабельны-
ми.
Марковские процессы 71
Наиболее простой вид стохастического процесса — это процесс с
полностью независимыми значениями, для которого
p(xi,t1;x2,t2;x3,t3;...)=U р(х„ t,); C.1.4)
здесь время предполагается дискретным. Это равенство означает, что
значение переменной X в момент t вовсе не зависит от ее значений в
предшествующие либо последующие моменты времени. Еще более
специальный случай имеет место, когда р (*,, /,-) не зависят от tn так
что для всех моментов времени закон распределения вероятности
один и тот же. Это случай испытаний Бернулли, когда вероятностный
процесс воспроизводится в последовательные моменты времени.
Следующим понятием в ряду наиболее простых служит понятие
марковского процесса. В нем для определения будущего достаточно
знать настоящее.
3.2. МАРКОВСКИЙ ПРОЦЕСС
Условия Маркова формулируются на языке условных вероятностей.
Для случая, когда моменты времени упорядочены, как указано в
C.1.3), потребуем, чтобы условная вероятность полностью определя-
определялась знанием состояния системы в самый последний момент времени,
т. е.
р(хи ?,; х2, t2; ... 1^,, т,; у2, т2; ...)
= р(ху, U;x2, t2; ... \уи tJ. C.2.1)
Это условие служит просто более точной формулировкой предполо-
предположений, высказанных Эйнштейном, Смолуховским и другими автора-
авторами. Уже само по себе оно очень сильное. Так, это условие означа-
означает, что все можно определить через простую условную вероятность
/>(*i> ^i'Jp T\)- Например, используя определение условной плотности
вероятностир(хх, ?,; х2, t2\yl, т,) = p(xv tx\x2, t2; ух, т[)р(х2, t2\yv т{)
и постулат Маркова C.2.1), находим
р(хи ?,; х2, t2\yx, т,) =p{xuu\x2,t2)p(x2,t2\yu т,). C.2.2)
Нетрудно видеть, что и произвольная совместная вероятность может
быть выражена в следующем простом виде:
р(хи /,;х2, t2; x3, t3; ...х„, Q
= р(хх, tt\x2, t2)p(x2, t2\x3, t3)p(x3, ?3|x4, и) ...
¦¦¦P(xJ,_1, /«_, |х„, /.)р(хя, О, C.2.3)
72 Глава 3
если только
U >h^t3 >...>/„_,>/„. C-2.4)
3.2.1. СОГЛАСОВАННОСТЬ. УРАВНЕНИЕ ЧЕПМЕНА — КОЛМОГОРОВА
В разд. 2.3.3 установлено, что суммирование в совместной вероятно-
вероятности по всем взаимоисключающим событиям, относящимся к одной
случайной переменной, исключает эту переменную, т. е.
S^nSnC...) = ^nC...). C.2.5)
в
Применяя это правило к стохастическим процессам, получаем два ка-
кажущиеся на первый взгляд похожими равенства. Первое из них
р(хи tx) = J" dx2 />(*,, /,; хг, t2)
= j dx2p{xt, ty\x2, t2)p(x2, t2). C.2.6)
Это равенство в равной мере справедливо для всех стохастических
процессов и стоит первым в иерархии аналогичных равенств для ус-
условных вероятностей. Следующим в этом ряду нужно записать вто-
второе из упомянутых выше равенств:
р(хи ti\x3,t3 ) = j dx2p(xutl;x2, t2\x3, t3)
= J" dx2 p(xu r, |*2, h\ *3, t3)p(x2, t2\x3, t3). C.2.7)
Данное равенство также всегда применимо. Используем теперь усло-
условия Маркова. Если tl ^ t2 ^ t3, то можно опустить зависимость от /3
в условной вероятности, содержащей два условия. Это дает уравнение
р{хи t{ | *3) t3) = | dx2 p{xy, /, | *2, t2)p(x2, t21 *з, t3), C.2.8)
которое называют уравнением Чепмена — Колмогорова^.
В чем состоит существенное различие между C.2.8) и C.2.6)? Оче-
Очевидный ответ состоит в том, что равенство C.2.6) написано для без-
безусловных вероятностей, тогда как C.2.7) — для условных вероятно-
вероятностей. Уравнение C.2.8) — это довольно сложное нелинейное функцио-
функциональное уравнение, связывающее все условные вероятности р (jc, , /, I Xj,
tj) друг с другом. Соотношение же C.2.6) просто выражает единовре-
единовременную вероятность для момента /,, последующего по отношению к
/2, через условную вероятность р (хх, tx\x2, t2).
'' Впервые уравнение такого типа было получено М. Смолуховским [3.7*, 8'] см.
русский перевод в [1.18*, с. 212, 320]). Поэтому данное уравнение было бы лучше назы-
называть уравнением Смолуховского — Чепмена — Колмогорова. — Прим. ред.
Марковские процессы 73
Уравнение Чепмена — Колмогорова имеет много решений. Легче
всего понять это, выводя дифференциальную форму уравнения, что и
делается в разд. 3.4.1 при определенных довольно слабых ограниче-
ограничениях.
3.2.2. ДИСКРЕТНОЕ ПРОСТРАНСТВО СОСТОЯНИЙ
В том случае, когда имеется дискретная переменная, будем использо-
использовать символ N — (TVj, N2, Ny..), где TV, — случайные величины, при-
принимающие целые значения. Очевидно, что можно произвести замену
\dx^Y>. C.2.9)
Тогда уравнение Чепмена — Колмогорова для процесса рассматривае-
рассматриваемого типа запишется в виде
Р(Щ, ti\n3, t3) = ? Р(пи г, \пг, t2) P(n2, t2\n3, t3)) C.2.10)
Л2
здесь стоит произведение матриц, которые могут быть и бесконечно-
бесконечномерными.
3.2.3. БОЛЕЕ ОБЩИЕ МЕРЫ
Для более общей формулировки в C.2.8) можно было бы использо-
использовать меру dfi(x) вместо dx; при этом имеется широкая возможность
выбора. Например, когда /*(дс) — ступенчатая функция со скачками
при целочисленных значениях х, охватывается случай пространства
дискретных состояний. Большинство математических исследований
выполняется в наиболее общем виде. Для приложений такая общ-
общность может привести к потере ясности, поэтому, где это возмож-
возможно, будем отдавать предпочтение более специальным обозначениям.
3.3. ПОНЯТИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ ДЛЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ
ПРОЦЕССОВ
Есть два совершенно разных вопроса: имеет ли случайная переменная
X{t) непрерывный диапазон возможных значений и непрерывна ли
траектория X{t) как функция t. Например, в случае газа, состоящего
из молекул со скоростями V(t), ясно, что все возможные значения V(t)
реализуемы, так что диапазон изменения V(t) непрерывен. Однако ча-
часто рассматривается модель твердых сфер, в которой считается, что
столкновения происходят мгновенно. В такой модели скорость до со-
соударения и, в момент соударения мгновенно изменяется до другой вели-
74 Глава 3
чины vf, так что кривая V(t) разрывна. Тем не менее следует ожидать,
что положение X(t) молекулы газа в такой модели будет непрерывной
функцией времени.
Теперь возникает главный вопрос. Существуют ли в действитель-
действительности марковские процессы с непрерывными траекториями! Выде-
Выделим здесь комбинацию понятий марковские и непрерывные. Почти на-
наверняка справедливо утверждение, что в классической ситуации (т. е.
не квантовомеханической) все переменные с непрерывным диапазоном
изменения обладают непрерывными траекториями. Даже упомянутый
газ из жестких сфер представляет собой идеализацию, а в действи-
действительности в соответствии с уравнениями механики следует допустить,
что действующий потенциал приводит к непрерывному отклонению
молекулы в процессе столкновения. Если наблюдение производится на
достаточно мелкомасштабной временной шкале, то, кроме того, воз-
возможно также, что процесс не будет марковским. В этом случае, для
того чтобы предсказать будущее системы даже вероятностным обра-
образом, почти наверняка потребуется знание непосредственно предшест-
предшествовавшей истории всей системы. Эта трудность действительно возни-
возникает при всех попытках вывести марковские вероятностные уравнения
исходя из механики. Получаемые при таком выводе уравнения в дей-
действительности довольно редко оказываются марковскими — чаще
имеется некоторое характерное время запоминания, в течение которо-
которого важна предыстория [3.1].
Все это означает, что в действительности такого объекта, как мар-
марковский процесс, не существует. Скорее следует говорить о существо-
существовании систем с такими малыми временами запоминания, что на вре-
временных масштабах, на которых производится наблюдение, поведение
этих систем хорошо аппроксимируется марковским процессом. Но в
таком случае вопрос о том, непрерывны ли траектории, в действи-
действительности не имеет значения. Траектории аппроксимирующего мар-
марковского процесса, конечно, не обязательно должны быть непрерыв-
непрерывны. Так, даже если столкновения молекул не описываются достаточно
точно моделью твердых сфер, то все равно в течение времени столк-
столкновения произойдет изменение скорости на конечную величину, и это
проявится в аппроксимирующем марковском процессе как дискретный
скачок. На крупномасштабной временной шкале даже положение
может меняться скачком, давая картину, аналогичную той, которая
получилась в модели Эйнштейна броуновского движения.
В качестве примера можно указать химические реакции. Время, не-
необходимое на совершение единичного акта реакции, которое прибли-
приблизительно того же порядка, что и время столкновения молекул, дает
еще одну минимальную постоянную времени. В течение этого проме-
Марковские процессы 75
жутка существуют состояния, которые не могут быть описаны толь-
только числами молекул различных типов. Поэтому само описание состоя-
состояния как набора молекул различных типов требует, чтобы наблюдение
велось на достаточно крупномасштабной временной шкале.
Однако марковские процессы с непрерывными траекториями су-
существуют в математическом смысле и полезны для описания реаль-
реальных процессов. Упомянутая выше модель газа служит полезным при-
примером. Положение молекулы в самом деле допустимо моделировать
функцией, меняющейся прерывистым образом, дискретными скачка-
скачками. По сравнению с проходимыми расстояниями эти скачки пренебре-
пренебрежимо малы, и хорошим приближением траектории служит непрерыв-
непрерывная кривая. Далее, скорость молекул может меняться на величину по-
порядка самой скорости. Средняя скорость молекулы газа порядка
1000 м/с, и в течение столкновения вполне вероятно изменение ее зна-
знака. Скорости просто не достигают (со сколько-нибудь существенной
вероятностью) значений, для которых их изменения могут считаться
малыми. Следовательно, нет особого смысла в непрерывном по тра-
траектории описании скоростей молекул в газе.
3.3.1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ НЕПРЕРЫВНОГО
МАРКОВСКОГО ПРОЦЕССА
Для марковского процесса можно показать [3.2], что с вероятностью
единица реализация x(t) есть непрерывная функция от /, если для лю-
любого е > 0 имеет место предел
lim -г-. Г dxp(x, t + At\z, t) = О C.3.1)
равномерно по z, t и At. Это означает, что вероятность того, что по-
положение дг отличается от z на конечную величину, стремится к нулю
быстрее чем At при At — 0. (Уравнение C.3.1) иногда называют усло-
условием Линдеберга.)
Примеры
1. Решение Эйнштейна A.2.11) для введенной им функции/(v, t) (или,
точнее, /(г, t)/n) в действительности есть условная вероятность
т, t\Q, 0). Следуя его методу, мы нашли бы
р(х, t + At\z, t) = D7iDA/)-1/2 exp [- (x - zfjADAt)]. C.3.2)
и легко проверить, что условие C.3.1) в этом случае удовлетворяется.
76
Глава 3
Таким образом, броуновское движение в трактовке Эйнштейна обла-
обладает непрерывными реализациями.
2. Процесс Коши. Пусть
р(х, t + At\z,t) = ^ll(x - zf
Мг
C.3.3)
Тогда эта функция не удовлетворяет условию C.3.1) и реализации раз-
разрывны.
Однако в обоих случаях, как это необходимо для непротиворечивости,
lim p(x, t
z, t) = Ъ{х — z),
C.3.4)
и нетрудно показать, что в обоих случаях удовлетворяется уравнение
Чепмена — Колмогорова.
Различие между двумя только что указанными процессами ил-
иллюстрирует рис. 3.1, на котором приведены типичные реализации
процессов. Это различие очевидно. Заметим, однако, что даже кривая,
изображающая броуновское движение, крайне нерегулярна, хотя и не-
непрерывна. На самом деле она не дифференцируема ни в одной точке.
Кривая процесса Коши, как и должно быть, беспорядочно разрывна.
3.4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ
ЧЕПМЕНА — КОЛМОГОРОВА
При соответствующих предположениях уравнение Чепмена — Колмо-
Колмогорова может быть сведено к дифференциальному уравнению. Допу-
Допускаемые при этом предположения тесно связаны со свойствами непре-
непрерывности рассматриваемого процесса. Сама форма условия непрерыв-
непрерывности C.3.1) приводит к необходимости разделить условия дифферен-
дифферен3.1. Типичные реализации процесса
Коши X(t) (штриховая линия) и броу-
броуновского движения W(t) (сплошная ли-
линия).
Марковские процессы 77
цируемости так, чтобы одни из них соответствовали непрерывному
движению изображающей точки, а другие — разрывному движению.
Требуем выполнения следующих условий:
для всех е > О должна иметь место сходимость
1) \\т p{x,t +At\z,t)jAt=W{x\z,t) C.4.1)
Дг—О
равномерно по дг, z и t для 1дг - z\ > ? и предел не должен зависеть
от е;
2) lim -f J dx О, - zi)p(x, t + At\z,t) = At(z, t) + O(e) ; C.4.2)
Дг-O m \x-z\<e
3) lim }-. J dx (x, - z() (Xj - Zj)p(x, t + At\z,t) = Btl{z, t) + O(e); -
Д'-° u-"<? C.4.3)
причем в двух последних условиях предполагается равномерная сходи-
сходимость по z, e и /.
Отметим, что все коэффициенты вида C.4.2, 3) более высокого по-
порядка должны равняться нулю. В качестве примера рассмотрим вели-
величину третьего порядка, определяемую формулой
lim ¦?- J" dx (x, - z){xj - zj)(xk - zk) p(x, t + At \ z, t)
= C1Jk(z, t) + O(e). C.4.4)
Поскольку Сик симметрична по i,j, к, можно ввести
S ata]akCiJk{z, t) ее С(а, z, 0, C.4.5)
i.J.k
так что
c<^>') = :Ui^(e'z'0- CA6)
Тогда
|C(ct, z, t)I < lim ± J \a-{x-z)\[a-(x-z)Y p{x,t +At\z, t) dx
+ O(e)
< I a I e lim j [a ¦ (x - z)]2p(x, t + At \ z, t)dx + O(e)
Дг-0
= ?|«|[ffl.a,5l7(z, 0 + O(e)] + O(e)
='O(e), C.4.7)
78 Глава 3
а значит, С равна нулю. Аналогично можно показать, что все соот-
соответствующие величины более высоких порядков также обращаются в
нуль.
Согласно условию непрерывности C.3.1), процесс имеет непрерыв-
непрерывные траектории, только если W(x\z, t) = 0 для всех х Ф z. Значит,
эта функция должна некоторым образом описывать разрывное движе-
движение, в то время как величины At и Btj должны быть связаны с непре-
непрерывным движением.
3.4.1. ВЫВОД ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
ЧЕПМЕНА — КОЛМОГОРОВА
Рассмотрим временную эволюцию математического ожидания (или,
иначе, среднего значения), функции/(г), которая предполагается дваж-
дважды непрерывно дифференцируемой. Имеем
d,\dxf(x)p(x,t\y,t')
= lim {]" dxf(x)[p(x, t + At\y, О - p(x, t\y, t')}}jAt C.4.8)
= lim {\dx\dzf{x)p{x,t± At\z, t)p(z, t\y, t')
Ar—0
- jdzf(z)p(z,t\y,t')}IAt, C.4.9)
где в C.4.8) в члене с положительным знаком использовано уравнение
Чепмена — Колмогорова для перехода к соответствующему члену в
C.4.9).
Теперь разобьем интегрирование по л: на две области: Ijc — z\ ^ e
и I* — zI < е. Когда \х — z\ < ? вследствие сделанного предположе-
предположения о том, что/(г) дважды непрерывно дифференцируема, можем за-
записать
f() R) + s ^p ( ) + 5
+ \х- z\2R(x,z), C.4.10)
где (опять же в силу существования двух непрерывных производных)
имеем
|Л(лс,*)|—0 при |ж-*|_о. C.4.11)
Подставляем теперь C.4.10) в C.4.9); находим
Марковские процессы 79
х p(x,t + At\z,t)p(z,t\y,t')
+ Н dxdz |x - z12R(x, z)P(x, t + At\z, t)p(z, t\y,t')
li-il<e
+ Я dxdzf(x)p(x, t + At\z, t)p(z, t\y,t')
+ l\ dxdzf(z)p(x,t + At\z,t)p(z,t\y,t')
li-zl«r
- JJ dxdzf(z)p(x, t + At\z, t)P(z, t\y, t')
C.4.12)
[Отметим, что поскольку p (x, f + ДЛ г, t) есть вероятность, то инте-
интегрирование по jcb последнем члене дает 1 и получается просто послед-
последний член соотношения C.4.9).]
Рассмотрим теперь приведенное выражение построчно.
Строки 1, 2: в силу предположения о равномерной сходимости пере-
переходим к пределу под знаком интеграла и (используя условия 2 и 3
разд. 3.4) получаем
J л|? At(z) j? + у g 5</г)^Ц/>(г, *I*. О + О(е) • C.4.13)
Строка 3: это остаточный член, исчезающий при е — 0; действитель-
действительно,
||- J Л |д:-г|2Л(д:,Ф(х, t + At\z,t)\
[-J- f dx\x-z\2p(x,t + At\z,t)] Max\R(x,z)\
- E *«<(*> 0 + O(c)] {Max | Л(х, г) |}. C.4.14)
Вследствие C.4.11) сомножитель в фигурных скобках обращается в
нуль при е — 0.
Строки 4 — 6: все эти члены можно объединить и получить
|| dxdzf(z)[W(z\x, t)p(x,t\y, t') - W(x\z, t)p(z, t\y, t1)]. C.4.15)
Все выражение в правой части в C.4.12) не зависит от е. Поэтому, пе-
переходя к пределу ? — 0, находим
д, J dzf(z)P(z,t\y, t') = jdz [s A,(z, t)d^ + у S^(z)g^JKz, t\y, f)
j dzf(z){jdx[W(x\z, t)p(x, t\y, О - W(x\z, t)p(z,t\y, t')]} . C.4.16)
80 Глава 3
Нужно отметить, что здесь использовано определение
lim J dx F(x, z) = jdx F(x, z) C.4.17)
главного значения интеграла от функции ^(д-, z). Для того чтобы фор-
формула C.4.16) имела смысл, этот интеграл должен существовать.
Уравнение C.4.1) определяет W(x\z, t) только для х Ф z, поэтому
остается возможность, что эта величина бесконечна при д: = z. Это в
самом деле имеет место для процесса Коши, обсуждавшегося в
разд. 3.3.1, для которого
W(x\z,t)=\IMx-zY]. C.4.18)
Однако, если функция р (х, t\y, С) непрерывна и дифференцируема, то
интеграл в смысле главного значения существует. В дальнейшем этот
интеграл не будет записываться явно как интеграл в смысле главного
значения, поскольку сингулярные случаи, где такая запись необходи-
необходима, встречаются довольно редко.
Наконец, совершаем последний этап преобразований, интегрируя
по частям, и находим
-~Il^rAt(z,t)p(z,t\y,t')
+ jdx[W(z\x, t)p(x, t\y, t') - W(x\z, t)p(z, t\y, С)]]
+ интегралы по поверхности. C.4.JУ)
В приведенных формулах не уточнялись пределы интегрирования.
Допустим теперь, что процесс происходит в области R с поверхнос-
поверхностью S. Тогда ясно, что
p(x,t\z,t') = O, C.4.20)
если х япн z не принадлежит R. Очевидно также, что по определению
W(x\z,t) = 0, C.4.21)
если х или z не принадлежит R. Отметим также, что определение
C.4.2, 3) функций Aj(z, О и B^iz, t) допускает их разрывность, по-
поскольку условная вероятность р(х, t + At I z, t') вполне может менять-
Марковские процессы 81
ся скачком при" пересечении переменной z границы области R. Это от-
отражает тот факт, что переходы внутрь R извне не разрешены.
При интегрировании по частям приходится дифференцировать как
А/, так и Bjj, и по изложенным выше причинам нельзя считать, что
это возможно на границе области. Чтобы обойти эту трудность, вы-
выберем произвольную функцию f(z), такую, чтобы она была отлична
от нуля только в некоторой произвольной области R', целиком содер-
содержащейся в R. Тогда можно заключить, что для всех z, лежащих внут-
внутри R, справедливо уравнение
Э,Х«, t\y, f) = -2^[Л,(г, t)p{z,t\y, /')]
+ S (*/
+ / dx [W(z\x, t)p(x, t\y,t')~ W(x\z, t)p(z, t\y, t')].
При этом интегралы по поверхности не возникают, поскольку они
при выбранных условиях обращаются в нуль.
У этого уравнения в литературе нет единого названия. Поскольку
это просто дифференциальная форма уравнения Чепмена — Колмого-
Колмогорова, предлагаем называть его дифференциальным уравнением Чепме-
Чепмена — Колмогорова^.
3.4.2. СТАТУС ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
ЧЕПМЕНА — КОЛМОГОРОВА
Из приведенного остается неясным, в какой мере решения дифферен-
дифференциального уравнения Чепмена — Колмогорова являются решения-
решениями самого уравнения Чепмена — Колмогорова и в каких случаях ре-
решения существуют. Справедливо, однако, утверждение, что набор ус-
условных вероятностей, удовлетворяющих уравнению Чепмена — Кол-
Колмогорова, порождает марковский процесс в том смысле, что найден-
найденные при его помощи совместные вероятности удовлетворяют всем ак-
аксиомам теории вероятностей.
'* Уравнение C.4.22), линейное относительно р (хотя и довольно общее) получено
при он:-стеленных предположениях и не охватывает ряда частных случаев, например
случай C.3.3). Его вряд ли стоит называть тем же именем (уравнение Чепмена — Кол-
Колмогорова), что и нелинейное функциональное уравнение C.2.8). Правильнее было бы
его называть объединенным уравнением Фоккера — Планка и Колмогорова —
Феллера. — Прим. ред.
82 Глава 3
Можно показать [3.3], что если заданы А(х, t), В(х, t) (причем по-
последняя матрица должна быть неотрицательно определенной), а так-
также W(x\y, t) (которая должна быть неотрицательна), то при опреде-
определенных условиях существует неотрицательное решение дифференци-
дифференциального уравнения Чепмена — Колмогорова, причем это решение
удовлетворяет также уравнению Чепмена — Колмогорова. Условия,
которые должны быть выполнены, — это начальные условия
p(z, t\y,t) = S(y-z),
вытекающие из определения плотности условной вероятности, а так-
также некоторые граничные условия. Эти последние весьма сложно ука-
указать для уравнения общего вида, однако в случае уравнения Фокке-
ра — Планка (разд. 3.5.2) они приведены в гл. 5.
3.5. ИНТЕРПРЕТАЦИЯ УСЛОВИЙ И РЕЗУЛЬТАТОВ
Теперь видно, что каждое из условий 1 — 3 разд. 3.4 порождает в вы-
выведенном уравнении определенные члены, интерпретация которых до-
достаточно проста. Здесь можно обнаружить наличие трех процессов:
скачков, сноса и диффузии.
3.5.1. СКАЧКООБРАЗНЫЕ ПРОЦЕССЫ. УПРАВЛЯЮЩЕЕ УРАВНЕНИЕ
Рассмотрим случай, когда
A,(z, t) = Btj{z, t) = 0, C.5.1)
чему соответствует управляющее уравнение^
d,p(z, t\y, t') = ldx{W{t\x, t)p(x, t\y, t') - W(x\z, t)p(z, t\y, t')]. C.5.2)
Решение с учетом членов первого порядка по At ищется следующим
образом. Замечаем, что
p{z,t\y,t) = b(y-z). C.5.3)
Тогда
p(z, t + At\y, /) = Ъ{у - z)[l - J dx W{x\y, t)At] + W(z\y, t)At. C.5.4)
" Это уравнение называется уравнением Колмогорова — Феллера (см. [2.5]). При
этом в однокомпонентном случае W(z\x, t) = p(t, x)dP(t, x, z)/dz, dP(t, x, z)/dz =
= W(z\x, t)/\dz'W(z''\x, t). Видим, что функции p(t, x), P(t, x, z), определенные в
[2.5], и функция W(z\x, 0 > 0 легко выражаются друг через друга. — Прим. ред.
Марковские процессы 83
Видим, что для любого At имеется конечная вероятность нахождения
частицы в начальном положении у, которая дается коэффициентом
при 8(у — г) в C.5.4). Распределение частиц, уходящих из точки у,
•определяется (при соответствующей нормировке) функцией W(z\y, t).
Таким образом, типичная траектория X(t) будет состоять из отрезков
прямых X(t) = const, чередующихся с разрывными скачками, распре-
распределение которых дается функцией W(z\y, t). По этой причине данный
процесс называется скачкообразным процессом. Траектории имеют
разрывы в дискретном множестве точек.
В том случае, когда пространство состояний состоит только из це-
целых чисел, управляющее уравнение принимает вид
д,Р{п, t\n',t') = '?[W(n\m, t)P(m, t\n',t')— W(m\n, t)P(n, 11ri, t')]. C.5.5)
m
Здесь не возникает вопроса о возможности скачкообразных измене-
изменений, поскольку разрешены только дискретные значения переменной
состояния N(t). Важно, однако, отдавать себе отчет, что чисто скач-
скачкообразный процесс может происходить, даже если переменная X(t)
принимает значения из непрерывного множества.
3.5.2. ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ. УРАВНЕНИЕ ФОККЕРА — ПЛАНКА
Если функцию W(z\x, t) положить равной нулю, то дифференциаль-
дифференциальное уравнение Чепмена — Колмогорова сводится к уравнению Фокке-
ра — Планка:
:=-Е*гК(*.'М*,'| ?,*')]
dt *
,*')], (З-5-6)
и соответствующий процесс известен в математике как диффузионный
процесс. Вектор А (г, 0 называется вектором сносов, а матрица
B(z, 0 = ИЯ(/(г, О" — диффузионной матрицей. Эта матрица является
неотрицательно определенной и симметричной, что следует из ее опре-
определения C.4.3). Из определения C.4.1) функции W(x\z, 0 легко ви-
видеть, что условие 3.3.1 непрерывности траекторий удовлетворено, ес-
если величина W(x\z, t) равна нулю. Следовательно, уравнение Фокке-
ра — Планка описывает процесс, для которого функции X(t) непре-
непрерывны. На самом деле можно дать гораздо более полное эвристиче-
эвристическое описание процесса. Рассмотрим вероятность р (z, t + At\ у, t) при
условии, что
p(z, t\y, t) = 8(г — у) ¦ C.5.7)
84 Глава 3
Для малых At решение Фоккера — Планка будет еще иметь резко вы-
выраженный пик, и, следовательно, производные от ЛДг, 0 и BjAz, 0 бу-
будут пренебрежимы по сравнению с производными от р. Таким обра-
образом, задача сводится к решению приближенного уравнения
dp(z,t\y,t') dp(z,^y,t') 1 .,d2p(z,t\y,t')
1Ш0 +1-^(^0 $щ
C.5.8) (
где для малых t — l' мы пренебрегли также зависимостью вЛ(и В-
от t. При начальных условиях C.5.7) нетрудно найти
x exp
1 [Z-У- A(y, t)At)T[B(y, t)]~4z -y- A(y, t)At])
2 At Г
Это не что иное, как гауссовское распределение с корреляционной
матрицей В(у, t)At и средним значением у + А(у, t)At. Мы получили,
что движение системы происходит с регулярным сносом со скоростью
А (у, 0, на который накладываются гауссовские флуктуации с корреля-
корреляционной матрицей В(у, t)At, т.е. можно написать
y(t + At) = y(t) + A(y(t), t)At + r](t)Atl>2, C.5.10)
где <т@> = 0, и C.5.11)
<*(/Ж0т> = *0>> 0 • C.5.12)-
Легко видеть, что описанная картина дает
1) траектории, которые всюду непрерывны, поскольку очевидно,
что при At — 0 y(t + АО — y(t)-t
2) траектории, не дифференцируемые ни в одной точке, вследствие
члена с (Д01/2> имеющегося в C.5.10).
Дальше, в гл. 4, мы увидим, что эвристическая картина, отвечаю-
отвечающая уравнению C.5.10), может быть сделана гораздо более точной и
приводит к концепции стохастического дифференциального уравне-
уравнения.
3.5.3. ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ ПРОЦЕССЫ. УРАВНЕНИЕ ЛИУВИЛЛЯ
Может оказаться, что в дифференциальном уравнении Чепмена —
Колмогорова C.4.22) только первый член ненулевой, тогда мы прихо-
приходим к частной форме — уравнению Лиувилля:
и,О]. C.5.13)
Марковские процессы 85
Уравнение такого типа рассматривается в классической механике0.
Уравнение C.5.13) описывает полностью детерминированное дви-
движение, т. е. если х(у, t) есть решение обыкновенного дифференциаль-
дифференциального уравнения
A[x(t), t) C.5.14)
при начальном условии
x{y,t') = y, C.5.15)
то решением уравнения C.5.13) с начальным условием
p(z,t'\y,t') = b(z-y) C 5 16)
будет
p(z,t\y /') = 5[г - х(у, 0] ¦ C.5.17)
Доказа i ельство высказанного утверждения проще всего получить пря-
прямой подстановкой. Поскольку
-x(y,t)]} C.5.18)
'y,t),W[z-x(y,t)]} C.5.19)
= -2 UMy, '), t]^zb[z - х(у, t)}\ C.5.20)
и, кроме того,
-^ 5[г — х(у, /)] = —? gj SU — x(j% /)] -^-j^- C.5.21)
в силу C.5.14) видим, что выражения C.5.20, 21) совпадают. Итак, ес-
если частица находится в заданном начальном положении у в момент
'', то и дальше она остается на траектории, проходящей через эту
точку и получаемой решением обыкновенного дифференциального
уравнения C.5.14).
11 В случае уравнения Лиувилля классической механики z представляет собой набор
координат и импульсов механической системы, а вектор сносов A(z, !) определяется
Уравнениями Гамильтона bqjbt = дН/дрн, bpjbt - -dH/dqa, где H(q, p) — функция
Гамильтона. При этом в отличие от общего случая C.5.13) указанный вектор обязан
Удовлетворять дополнительному условию ]j? bAJbzl = 0 (теорема Лиувилля), которое
означает, что фазовый объем при движении сохраняется. — Прим. ред.
86
Глава 3
Следовательно, детерминированное движение, определяемое диф-
дифференциальным уравнением первого порядка вида C.5.14), служит
тривиальным случаем марковского процесса. Решение C.5.17) есть,
конечно, только частный случай процессов, аппроксимируемых урав-
уравнением типа C.5.13), в которых член, приводящий к гауссовскому рас-
распределению, отсутствует.
3.5.4. ПРОЦЕССЫ ОБЩЕГО ВИДА
В общем случае ни одна из величин A(z, t), B(z, t) и W(x\ z, t) не обя-
обязана обращаться в нуль. При этом получается процесс с траектория-
траекториями, аналогичными показанным на рис. 3.2. Типичная траектория —
кусочно-непрерывная линия, состоящая из частей, соответствующих
диффузионному процессу с отличным от нуля сносом, на который на-
накладываются флуктуации.
Возможен также случай, когда коэффициент A (z, t) не равен нулю,
а матрица B(z, t) равна нулю. Тогда, как показано на рис. 3.3, траек-
траектории состоят из кусков гладких кривых решений уравнения C.5.14) с
наложенными на них разрывами. Это очень напоминает картину, ко-
которую можно ожидать в разреженном газе, где свободно движущиеся
частицы при столкновениях испытывают мгновенное изменение им-
импульса (но не позиции, как в рассмотренном случае).
Рис. 3.2. Типичная реализация
марковского процесса общего ви-
вида, в котором присутствуют
снос, диффузия и скачки.
Z(t)
Рис. 3.3. Типичная реализация
марковского процесса при нали-
наличии только сноса и скачков.
Марковские процессы 87
3.6. УРАВНЕНИЯ, ОПИСЫВАЮЩИЕ ИЗМЕНЕНИЕ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ ПРИ ИЗМЕНЕНИИ НАЧАЛЬНОГО
ВРЕМЕНИ. ОБРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Можно гораздо проще, чем в разд. 3.4, вывести уравнения, дающие
временную эволюцию функции р(х, t\y, С) по отношению к началь-
начальным переменным у, f.
Рассмотрим
lim -rr,[p(x, t\y, t'+ At')-p(x, t\y, t')] C.6.1)
= lim ~jdzp(z, f + At'\y, t')[p(x, t\y, f + At')
-p(x, t\z,t'+ A?')]> C.6.2)
где при записи второго члена в C.6.2) использовано уравнение Чепме-
на — Колмогорова, а при записи первого учтен тот факт, что инте-
интегрирование дает \-р(х, t\y,t' + At').
Теперь необходимые предположения состоят в постулировании су-
существования всех используемых производных, а также в требовании
непрерывности и ограниченности функции р{х, t\y, /') по х, t, t' для
некоторой области t - t' > 6 > 0. Тогда можно записать
C.6.1) = lim ^jdzpiz, t' + At'\y, t')[p(x, t\y, t')-p(x, t\z, t')]. C.6.3)
Дг'-o At
Применяя метод, аналогичный использованному в разд. 3.4.1, выво-
выводим окончательное уравнение
dp(x,t\y,t') dp(x,t\y,t') 1 .,,Рр(х, t\y, /')
dt' --±А'(у>п ^ yS\Bt](y..О—
+ \dz W{z\y,t')[p(x,t\y,t')~p(x,t\z,t')]t C.6.4)
которое будем называть обратным дифференциальным уравнением
Чепмена — Колмогорова. В математическом отношении оно проще,
чем соответствующее прямое уравнение C.4.22). Подходящим началь-
начальным условием для обоих уравнений служит равенство
р(х, t\y, t) = Ь(х — у) для всех /, C.6.5)
представляющее собой очевидный факт, что если в момент t частица
находится в положении у, то плотность вероятности найти ее в тот
же момент в точке х равна 5(х — у).
88 Глава 3
Прямое и обратное уравнения эквивалентны друг другу. Так, реше-
решения прямого уравнения, подчиненные начальному условию C.6.5) (или
C.5.3)) и любым подходящим граничным условиям, дают, как отме-
отмечено в разд. 3.4.2, решения Чепмена — Колмогорова. Но эти послед-
последние, как только что показано, удовлетворяют обратному уравнению.
(Различные граничные условия для уравнения Фоккера — Планка со-
сопоставляются в разд. 5.2.4, 1.) Основное различие между прямым и
обратным уравнениями заключается в том, какой набор переменных
считается фиксированным. В случае прямого уравнения фиксируются
(у, f) и решения существуют при t ^ /', так что C.6.5) — начальное
условие для прямого уравнения. Для обратного уравнения решение су-
существует при f < /, так что, поскольку обратное уравнение описыва-
описывает эволюцию системы по f, в этом случае C.6.5) правильнее назы-
называть конечным условием.
В силу их эквивалентности как прямое, так и обратное уравнения
могут быть полезны. Прямое уравнение позволяет более непосредст-
непосредственно получить значения измеряемых величин как функции прошедше-
прошедшего времени t и чаще используется в приложениях. Обратное уравнение
большей частью применяется для нахождения среднего времени до-
достижения границы или времени выхода за границу: ищется вероят-
вероятность того, что в заданное время частица покинет заданную область.
3.7. СТАЦИОНАРНЫЕ И ОДНОРОДНЫЕ МАРКОВСКИЕ
ПРОЦЕССЫ
В разд. 1.4.3 встречалось понятие стационарного процесса, который
описывает стохастическое движение системы, находящейся в устойчи-
устойчивом состоянии и имеющей вероятностные характеристики, не завися-
зависящие от того, когда они измеряются. Стационарность можно опреде-
определять, требуя выполнение разных по силе условий. Однако мы закре-
закрепим термин «стационарный процесс» за строгим определением, со-
согласно которому стохастический процесс X(t) называется стационар-
стационарным, если процессы X(t) и X(t + e) обладают одинаковой статисти-
статистикой для любого е. Это эквивалентно утверждению, что все совмест-
совместные вероятности инвариантны относительно сдвига во времени, т. е.
р(хи ?,; х2, t2; х3, t3;...; х„, tn)
= p(x1,ti+E;x2,t2 + e;x3,t3 + s;...;x,,tn + e), • C.7.1)
и, следовательно, все они — функции только разностей времен t, — tj.
В частности, единовременная плотность вероятности вообще не зави-
зависит от времени и может быть записана просто как
рЛх), C.7.2)
Марковские процессы 89
а двухвременная совместная вероятность может быть записана
/?s(*,,/i - h\x2, 0). C.7.3)
Наконец, условная вероятность может быть записана в виде
лСх,,/, -/21*2,0). C.7.4)
Для марковского процесса, поскольку все совместные вероятности мо-
могут быть представлены как произведения двухвременных условных ве-
вероятностей и одновременной вероятности, необходимым и достаточ-
достаточным условием стационарности служит возможность записать эти
одно- и двухвременные вероятности в форме C.7.1 — 3).
3.7.1. ЭРГОДИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА СТАЦИОНАРНОГО ПРОЦЕССА
Если задан стационарный процесс, разумно ожидать, что среднее зна-
значение некоторой измеряемой функции от * можно получить, взяв зна-
значения величины х в последовательные моменты времени и усреднив
по времени функцию от этих значений. По существу это основано на
предположении, что закон больших чисел (как пояснено в разд. 2.5.2)
применим к переменным, определяемым последовательными измере-
измерениями стохастического процесса.
Введем переменную Х(Т) следующим образом:
X(T) = ±]rdtx(t), C.7.5)
где x(t) — стационарный процесс, и рассмотрим предел Г— оо. Такая
процедура дает возможный вариант измерения среднего от х путем
усреднения по всем временам. Очевидно, что
<Х(Т)) = <x>s, C.7.6)
где индекс s отмечает, что среднее относится к стационарному процес-
процессу.
Рассчитаем теперь дисперсию переменной Х{Т). Имеем
<Х(Г)*> = тк И Л>Л* <*('iM'2)>. C.7.7)
41 -т-Т
Если процесс стационарный, то
> = Л(*. - t2) + <х>2, C.7.8а)
где R — двухвременная корреляционная функция. Следовательно,
(Х(ТУ) - (хУ = -L f dx R(t)BT - |т|); C.7.86)
47 _2Г
90 Глава 3
последнее выражение получено с помощью замены переменных
r = ti-t2
C.7.9)
и интегрирования по t.
Левая часть равенства C.7.8) представляет собой дисперсию вели-
величины Х(Т), и можно показать, что при определенных условиях она
стремится к нулю при Г— оо. Для этого нужно потребовать, чтобы
lim I f dx (l - Щ) R(r) = 0 . C.7.10)
г-" T J2T \ 2Г
Это требование не очень прозрачно. Однако ясно, что достаточным
для обращения этого предела в нуль служит условие
]dx |Л(т)| < оо, C.7.11)
о
т. е. просто требуется, чтобы корреляционная функция (x(tx)x(t^))
стремилась к нулю при \tl — t2\ — оо достаточно быстро1'. В случаях,
представляющих интерес, часто оказывается, что R(j) имеет такое
асимптотическое поведение
R(j) ~ Re {А ехр (-т/тс)} , C.7.12)
" Из C.7.10) легко вывести более слабое достаточное условие сходимости:
lim Г j \R(t)\(It = 0 (а).
Г- оо 0
Из него можно получить, что в случае ограниченности функции \R(t)\ достаточным яв-
является следующее простое условие lim R(t) = 0. В самом деле, из последнего ра-
венства следует, что при любом е > 0 существует такое То, что 1Л(тI < е при т > TQ.
Поэтому при Т > То имеем
Т Тр
\ \R(t)\At = } \R(r)\dr + К,
О О
где \К\ ^ е(Т - То), а также, при фиксированном То,
lim 7 \ \R(T)\dr ^ е.
Т- со 0
Поскольку величина е может быть взята сколь угодно малой, отсюда получаем, что
указанный предел равен нулю. Следовательно, достаточное условие сходимости (а) вы-
выполнено. Сходимость R (т) — 0 при г — оо является признаком перемешивающегося про-
процесса. Известно, что перемешивающиеся процессы являются эргодическими. — Прим.
ред.
Марковские процессы 91
где тс — параметр (возможно, комплексный), называемый временем
корреляции. При этом критерий C.7.11) выполнен и дисперсия пере-
переменной А'(?) стремится к нулю, так что, используя C.7.6) и B.9.4), мо-
можем записать
ms-lim X{T) = (x)s. C.7.13)
Это означает, что процедура усреднения C.7.5) правомерна. Нетрудно
распространить данный результат на случай усреднения по бесконеч-
бесконечному набору измерений в дискретные моменты времени tn — t0 + nAt.
Можно сформулировать и другие утверждения, связанные с эрго-
эргодичностью, при этом величинами, представляющими наибольший ин-
интерес, служат автокорреляционная функция и функция распределения.
Как уже отмечалось в разд. 1.4.2, наиболее естественный путь измере-
измерения автокорреляционной функции основан на определении
G(t, Г) = ^ J A x(t)x(t + г). C.7.14)
•» о
Проводя рассмотрение, аналогичное изложенному выше, нетрудно по-
показать, что
ms-lim G(r, Т) = (x(t)x(t + т)>,, C.7.15)
Т—»оо
если выполнено следующее условие. Определим р(т, X) равенством
(x(t + X + r)x(t + X)x(t + t)jc(O>. = /Кт, X) + (x(t + ф:@>52. C.7.16)
Потребуем, чтобы
г™2Т \ f1 ~ Щ
Это условие означает, что для достаточно больших X четырехвремен-
ное среднее C.7.16) факторизуется, т. е. превращается в произведение
двухвременных средних, и что остаточный член р(т, X) должен доста-
достаточно быстро убывать при X — оо. Вполне достаточно экспоненциаль-
экспоненциального спадания, подобного приведенному в C.7.12), которое обычно и
имеет место. Аналогичным образом находим, что спектр, определяе-
определяемый, согласно разд. 1.4, преобразованием Фурье
S(co) = -L J е-;ш*С(т)<йг, C.7.18)
42 Глава 3
дается также предельным переходом
1
S(oj) = lim
t"L2kT
J dte~ia"x(t)
C.7.19)
Наконец, рассмотрим вопрос об измерении функции распределе-
распределения. Практический метод состоит в многократном определении того,
попадает ли x(t) в некоторый интервал (xv x2) или нет. Это дает ИЗМе-
рение величины I dxps{x). По существу, такая процедура дает среднее
по времени функции х{х), определяемой равенствами
/(л) =-- 1 х, < х < х2
n ^ C.7.20)
-- 0 х ^ х, или х ^ х2.
Применяя к данной случайной величине процедуру, использован-
использованную для проверки эргодичности <х>, находим, что распределение эр-
годично, если
lim :,' J dr(\ -Щ) Г dx'pA*') { Гdx [р(х, т | х', 0) - р.{х)}} = 0 . C.7.21)
Очевидным достаточным условием для этого служит требование
lim р(х, х \ х', 0) = Pt(x)t C.7.22)
[тричем сходимость к этому пределу должна быть достаточно быст-
быстрой. Как уже отмечалось при рассмотрении среднего <х>, вполне до-
c"i xi очно экспоненциальной сходимости, часто встречающейся на
практике. Последнего условия в случае марковского процесса доста-
достаточно также для эргодичности среднего и автокорреляционной функ-
функции, поскольку все средние могут быть выражены через условные ве-
вероятности, и достаточно быстрая сходимость к пределу в C.7.22), как
нетрудно убедиться, гарантирует выполнение обоих условий C.7.17) и
C.7.10). Будем дальше называть марковский процесс просто «эргоди-
ческим», если указанное довольно сильное условие выполнено.
3.7.2. ОДНОРОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ
Если условие C.7.22) для стационарного марковского процесса выпол-
выполнено, то, очевидно, в нашем распоряжении имеется способ, как из ста-
стационарного марковского процесса сконструировать нестационарный
процесс, пределом которого при больших временах служит данный
Марковские процессы 43
стационарный процесс. Действительно, определим процесс для времен
U «' > fo C.7.23)
равенствами
p(x,t) = p,{x,t\xo,to) C.7.24)
р(х, f |x', t')=ps(x,t\x', П. C.7.25)
Все другие совместные вероятности для марковского процесса получа-
получаются из последних обычным способом. Очевидно, если C.7.22) выпол-
выполнено, то при t — оо или при г0 — — оо находим
Все другие вероятности при этом также становятся стационарными,
поскольку условная вероятность стационарна. Описанный процесс, об-
обладающий свойством указанного предельного перехода, называется
однородным процессом.
Его физическая интерпретация вполне очевидна. У нас имеется сто-
стохастическая система с переменной л:, причем внешним воздействием
устанавливается значение х0 в момент t0. Затем с течением времени
она эволюционирует обратно к стационарному состоянию. Именно
так и возникают в действительности многие стационарные системы.
Стационарное распределение ph (x) является решением стационарно-
стационарного дифференциального уравнения Чепмена — Колмогорова, которое
принимает вид
0 = -Т,^[А,Ш1,1\у, П) + - S^j [5,7(ф(г, t\y, t'))
^j
+ \ dx[W(z\x)p(x, t\y. t') - lV(x\z)p(z, t\y, t')} , C.7.26)
Факт однородности процесса проявляется в том, что величины А, В и
W, определяемые формулами C.4.1 — 3), не зависят от t. Это служит
альтернативным определением однородного процесса.
3.7.3. ПРИБЛИЖЕНИЕ К СТАЦИОНАРНОМУ ПРОЦЕССУ
Существует также проблема сходимости. Предположим, что А, В и
W не зависят от времени, a p%{z.) удовлетворяет уравнению C.7.26).
Спрашивается: при каких условиях решение дифференциального урав-
уравнения Чепмена — Колмогорова действительно будет приближаться к
стационарному решению
94 Глава 3
На этот вопрос, по всей видимости, нет полного ответа. Однако
достаточно хорошее представление о ситуации можно получить следу-
следующим образом. Определим функционал Ляпунова К, зависящий от ка-
каких-либо двух решений рх и р2 дифференциального уравнения Чепме-
на — Колмогорова:
К= I dxPi(x, f) log [/»,(*, О/р2(х,'О], C.7.27)
и предположим пока, что рх и р2 нигде не обращаются в нуль. Пока-
Покажем теперь, что функционал К всегда положителен, а производная
c/K/dt всегда отрицательна.
Сначала, замечая, что обе функции р2{х, t) и рх(х, t) нормированы
на единицу, записываем К в виде
К[риРъ t] = J dxPl(x, t) {log [p,(x, t)lp2(x, t)]
O-l}. C.7.28)
Затем, используя неравенство
-logz + z-l>0, C.7.29)
справедливое для всех z > 0, убеждаемся, что К ^ 0. Теперь пока-
покажем, что dK/dt < 0. Сокращенно можем записать
dK ,,.„.,, . . . ,-_,,, C.7.30)
Рассчитаем теперь последовательно вклады в dK/dt, которые связаны
с членами в уравнении Чепмена — Колмогорова, обусловленными со-
соответственно сносом, диффузией и скачками. Учет члена со сносом в
C.6.4) дает
(?) = ? J dx - [log (pjp2) +l}~ (AiPl)
\ Ш j снос i OXi
C.7.31)
что можно преобразовать к виду
(^) _ = S I dxi^}- Л,Р. log (PilPz)]. C.7.32)
Марковские процессы 95
Подобным же образом можно выписать члены, обусловленные диф-
диффузией:
ldK\
Ш
- (Pi/Pi)
d2
и после некоторых преобразований будем иметь
(f) - = -т
Наконец, аналогично рассчитываем и вклад скачков:
= \dxdx'
ldK\ г
\ QI } скачок J
x^p^x', t) — W(x'\x)p1(x, t)]
x {log [Pl(x, t)/p2(x, t)] + 1}
- [ W{x I *>(*', 0 - W(x' I x)p2(x, t)]Pl(x, t)/Pl(x, t)
Это выражение преобразуется к виду
\~г) = I dxdx' W{x | х') {р2(х', г)\ф' log [ф,'ф'] — ф + (i']},
\ w^ / скачок
где
Ф=р1(х,1)/р2(х,1),
C.7.37)
а функция ф' — та же функция ф, но с заменой * на дг'.
Рассмотрим теперь простейший случай. Предположим, что су-
существует стационарное решение ps(x), которое отлично от нуля всю-
всюду, за исключением бесконечности, где эта функция и ее первая произ-
производная обращаются в нуль. Тогда мы можем выбратьр2(х, t) = ps(x).
Выражение C.7.32) и второй член в C.7.34) могут быть представлены
в виде интегралов по поверхности, которые исчезают на бесконечно-
бесконечности. Поэтому
(Щ =0
\dt I снос
C.7.38а)
96 Глава 3
(~) < 0 C.7.386)
\ dt I д.'ФФ '
'Ш\ <О, C.7.38в)
\dt I скачок
причем последнее неравенство вытекает из C.7.36) и неравенства
{3.7.29), если в нем положить z = ф/ф'.
Теперь рассмотрим, в каких случаях в соотношениях C.7.38) дости-
достигаются равенства. Анализ выражения C.7.36) показывает, что оно об-
обращается в нуль тогда и только тогда, когда ф = ф' почти для всех х
и х', таких, что W(x\x') Ф 0. Таким образом, если ^(jtl*') вообще
не обращается в нуль, т. е. если переходы могут происходить в обоих
направлениях между любыми двумя состояниями, то обращение в
нуль выражения в квадратных скобках в C.7.36) приводит к равенству
Ф — ф', т. е. к независимости ф(х) от х:
рх(х, t)/p.(x) = const. C.7.39)
При этом константа здесь должна равняться единице, поскольку обе
плотности рх(х, t) и ps(x) нормированы.
Вклад, обусловленный диффузией, будет строго отрицателен, если
матрица Btj является положительно определенной почти всюду. Сле-
Следовательно, при довольно сильных условиях, а именно если
ps(x) Ф 0 с вероятностью 1,
Щх\х') Ф 0 с вероятностью 1, C.7.40)
Bij(x) положительно определенная с вероятностью 1,
нами установлено, что произвольное решение дифференциального
уравнения Чепмена — Колмогорова приближается к стационарному
решению ps(x) при t — оо.
Этот результат теряет силу для двух основных типов систем.
а) Несвязанное пространство состояний
Результат проще понять, когда Л. и В- равны нулю, т. е. в системе
возможны только скачки. Предположим, что пространство подразде-
подразделяется на такие две области /?, и R2, что переходы из Rx в R2 и обрат-
обратно запрещены; следовательно, W(x\x') = 0, если х ш х' не принадле-
Марковские процессы 97
жат оба либо /?р либо R2. Тогда равенство dK/dt = 0 возможно, если
рх(х, t) = Xxps(x) хёЛ,
= A2ps(x) x e R2)
а значит, нет единого стационарного распределения. Две рассматрива-
рассматриваемые области не связаны между собой, и в каждой происходит свой
стохастический процесс, которому соответствует свое стационарное
состояние. Эти процессы не изменяют относительную вероятность
пребывания в /?, или в R2.
Описанный результат сохраняет силу и в общем случае, если толь-
только Aj и В.. равны нулю на границе областей /?, и R2.
б) Ps (x) исчезает в некоторой области
Если
ps(x) = О хеЛ,
Р C.7.42)
Ф 0 х е Яг
t
и снова Aj и Ду равны нулю, то (поскольку ps (jc) удовлетворяет стаци-
стационарному уравнению C.7.26)) получаем
W(x\y) = 0 1бЛ„;еЛ,. C.7.43)
Другими словами, никакие переходы из области R2, где стационарное
распределение больше нуля, в область Rv где стационарное распреде-
распределение нулевое, невозможны. Более того, очевидно, обратное тоже
верно, т. е. из C.7.43) вытекает C.7.42).
Возьмем символы у, у' и т. д. для обозначения точек пространства
-R, и х, х' — для точек R2; вместо р(у) будем использовать обозначе-
обозначение г (у). Тогда уравнения эволюции можем записать так:
ЗеФ = J dx' [W(x\x')p(x') - Щх'\х)р(х)] + J dy' W(x}y')r(y') C.7.44a)
Цр = J dy' [W(y \y')r(y') - Щу'Шу)] ~ r(y) J dx' W(x'\y). C.7.446)
Если для удобства обозначить
= \dx'W(x'\y), C.7.45)
98 Глава 3
то решение уравнения C.7.44) можно записать, как
г(у, Г) = exp {-fi{y)t]q(y, t), C.7.46)
где д (у, 0 — решение управляющего уравнения только для области
/?,, а именно следующего уравнения:
Цр = J dy> [Щу \y')q(y') - W(y' \y)q(y)] J C.7.47)
здесь W(y\y') = exp[n(y)t]]V(y\j>')exp[-/t(y')f]. При этом происхо-
происходит приближение к равновесию. Прежде всего, поскольку /х(у) > 0, то
г (у, 0 — 0 при t -~ оо. Следовательно, неоднородный член в C.7.44а)
исчезает при больших временах, так что остается обычное управляю-
управляющее уравнение, к которому приложима аргументация пункта «а». Не
удивительно поэтому, что решение имеет вид C.7.42).
3.7.4. АВТОКОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ МАРКОВСКИХ ПРОЦЕССОВ
Для любого марковского процесса можно написать весьма изящную
формулу для автокорреляционной функции. Введем определение ус-
условного среднего:
(X(t)| [х„, Ф = I dx х р(х, 11хо, Го). C.7.48)
Тогда автокорреляционную матрицу можно записать так:
(X(t)X(toyy = J dx dx0 xxlp(x, t; x0, t0) C.7.49)
= J dx0 <X@1 [x0, to])xlp(xo, t0) ¦ C.7.50)
Мы видим, что C.7.48) определяет среднее от X(t) при условии, что X
принимает значение х0 в момент t0, a C.7.50) утверждает, что авто-
автокорреляционная матрица получается путем усреднения (для момента
t0) этого условного среднего (умноженного на xj). Такой результат
следует непосредственно из определений и справедлив для любого
стохастического процесса.
В случае марковского процесса имеется, однако, единственная ус-
условная вероятность, определяющая весь процесс. Таким образом, для
марковского процесса можно утверждать, что <,X(t)\[x0, t0]) — это
единственная нужная величина. Поскольку знание х0 в момент t0 пол-
полностью определяет дальнейшее развитие процесса, наиболее заметная
польза от данного свойства проявляется при расчете стационарной ав-
автокорреляционной функции. Для того чтобы это продемонстрировать,
Марковские процессы 99
рассмотрим немарковский стационарный процесс с совместными веро-
вероятностями
ps(Xi,ti;x2, h; ...*„,?„), C.7.51)
которые зависят, разумеется, только от разностей времен. Образуем
теперь соответствующий нестационарный процесс, отбирая только те
реализации, которые проходят через точку х — а в момент / = 0.
Итак, определяем
р.(х\, til х2, t2; ... х„, г„) = ps(xu tu х2, t2; ... х„, tn\a,0). C3 7 52)
Далее замечаем, что для этого процесса
<ЛГ(О|[Хо, Ф. = I dx xps(x, t\x0, r0; a, 0). C.7.53)
Здесь зависимость от а отмечена индексом а при скобке усреднения.
Если исходный стационарный процесс обладает соответствующим
свойством эргодичности, то
lim ps{x, t + т|*0, t0 + т; e,0) = ps(x, t - to\xo, 0)y C.7.54)
так что мы будем иметь стационарное условное среднее от д:
(X(t)| [х0, ф, = lim (X(t + т)|[х0, t0 + т]>. C.7.55)
и стационарную автокорреляционную матрицу, даваемую равенством
(X(t)X(toy)s = / dx0 xl(X(t) | [xo, ф.р.(х0) C.7.56)
= lim (X(t + T)X(t0 + t)t>.
= lim J dx0 xT0(x(t + т) | [x0, t0 + r]yapa(x0, t0 + т). C.7.57)
T-.oo
Однако, когда процесс марковский, необходимость в этой громоздкой
процедуре с предельными переходами отпадает, поскольку
Условия Маркова =$ (X(t)\[x0, го]>, = (X(t)\[x0, t0]),
*J>: C>7-58)
Уравнение C.7.50) представляет собой теорему регрессии в примене-
применении к марковскому процессу и служит базисом для более сильной тео-
теоремы регрессии, справедливой в случае линейных систем. Под послед-
последними подразумеваются системы, для которых средние подчиняются
100 Глава 3
линейным уравнениям движения, т. е.
d(X(t) | [х0, to])ldt = -A(X{t)| [хо, /„]>. C.7.59)
Эти уравнения часто справедливы для систем, представляющих прак-
практический интерес, либо как точные уравнения, либо как аппроксима-
ционные. Начальные условия для уравнений C.7.59), очевидно, тако-
таковы:
(X(to)\[xo, Л>]> = х0. C.7.60)
Тогда из C.7.50, 59) следует уравнение
^ (X(t)X(toy> = -A(X(t)X(t0Y) C.7.61)
с начальным значением <Л'(/0)Л'(/0)Т>. Временная корреляционная
функция
(X(t)X(t0Y) - (X(t))(X(toy> = <X(t), Х(@У) C.7.62)
подчиняется, как легко видеть, такому же уравнению с начальным
значением, равным корреляционной матрице, соответствующей мо-
моменту t0. В стационарной системе приходим к результату, что если
G(t) — стационарная корреляционная функция ист — единовременная
стационарная корреляционная матрица, то
dG{t)jdt = -A G{t) C.7.63)
<7> C.7.64)
откуда имеем
G(t) = exp [-At]a. C.7.65)
А это — теорема регрессии в ее простейшей форме. Подчеркнем
опять, что она справедлива для марковских процессов со средними,
которые подчиняются линейным эволюционным уравнениям, подоб-
подобным уравнениям C.7.59).
Для немарковских процессов такой простой расчет корреляционной
функции невозможен. В этом случае приходится выполнять громозд-
громоздкую процедуру вычислений, о которой дает представление формула
C.7.57).
Марковские процессы 101
3.8. ПРИМЕРЫ МАРКОВСКИХ ПРОЦЕССОВ
В этом разделе представлены для последующих ссылок некоторые ос-
основные решения для различных случаев дифференциального уравнения
Чепмена — Колмогорова. Эти решения найдут широкое применение в
последующем изложении.
3.8.1. ВИНЕРОВСКИЙ ПРОЦЕСС
Процесс назван так в честь Винера, который всесторонне его исследо-
исследовал. Этот процесс представляет собой решение уравнения Фоккера —
Планка, обсуждавшегося в разд. 3.5.2, в котором присутствует только
одна переменная W(t), коэффициент сноса равен нулю, а коэффициент
диффузии равен единице. Таким образом, уравнение Фоккера — План-
Планка имеет в этом случае вид
faP(w, t\w0, t0) = у g^2/>К t\w0, t0) . C.8.1)
Принимая во внимание начальное условие
/<w,ro|wo,/o) = 5(w-wo), C>8-2)
решаем C.8.1) с помощью характеристической функции
ф(я, 0 = 1 dw p(w, t\w0, t0) exp(isw), C.8.3)
которая удовлетворяет уравнению
ft = - \ $2ф , C.8.4)
откуда имеем
Ф(^ /) = ехр [- J s\t - /„)] ф{$, ta). C.8.5)
Из C.8.2) следует начальное условие
ф{я, ta) = exp(iiw0),
поэтому
Фи, t) = ехр |i5w0 — i s2(t — t0) . C.8.6)
Выполняя обратное преобразование Фурье, получаем решение уравне-
уравнения C.8.1):
Kw, t\w0, to) = [2n(t - f0)]- ехр [-(w - wafl2{t - t0)]. C.8.7)
102 Глава 3
Рис. 3.4. Винеровский процесс: расплы-
вание первоначально острого распреде-
распределения p(wy t\ wQ, i0) с течением времени
Это гауссовское распределение с параметрами
~ и'оР> = t - t0,
C.8.8)
C.8.9)
так что первоначальный острый пик распределения расплывается со
временем, как изображено на рис. 3.4.
Винеровский процесс многих переменных определяется так:
W{t) =
), W2(t), ... , Wn{t)}
и подчиняется многомерному уравнению Фоккера — Планка
^- p(w, 11 wa, @) = y
(w' 11 w°'
решением которого служит
p(w, t\wo,to) = [2n(t - to)}-"/2 exp [- (и- - wofj2(t - t0)],
т. е. многомерное гауссовское распределение с
C.8.10)
C.8.11)
C.8.12)
C.8.13)
{[Wit) - w0(] [Щ0 - и'0;]> = (t - ta)Su .
C.8.14)
Винеровский процесс с одной переменной часто называют просто
броуновским движением, поскольку соответствующее ему уравнение
C.8.1) в точности то же самое, что и дифференциальное уравнение
Марковские процессы 103
Wit)
А
¦
\п Г
V
Л
.г1'
'F w *
I v
i
V я /1
i .*
*
Л
л
W \.f-A Д., »r\j'V
V
Рис. 3.5. Три полученные моделированием типичные реализации траектории винеров-
ского процесса, демонстрирующие их разительную неповторяемость.
диффузии, которому, как показал Эйнштейн, подчиняется броуновское
движение (что отмечалось в разд. 1.2). Однако эта терминология не
является общепринятой.
В отношении винеровского процесса отметим следующее.
а) Нерегулярность траекторий
Хотя среднее значение переменной W(t) равно нулю, среднеквадратич-
среднеквадратичное значение неограниченно возрастает при / — оо. Это значит, что
реализации траекторий W(t) удивительно переменчивы. На рис. 3.5
приведено несколько типичных реализаций, имеющих общую началь-
начальную точку, чтобы наглядно проиллюстрировать чрезвычайную невос-
невоспроизводимость траекторий.
6) Недифференцируемость траекторий
Винеровский процесс — это диффузионный процесс, а значит, траек-
траектории W(t) непрерывны. Однако они недифференцируемы. Рассмот-
Рассмотрим вероятность события
- W{t)]lh\
C.8.15)
104 Глава 3
В соответствии с найденной условной вероятностью C.8.7) эта веро-
вероятность равна
2 /ЛК27с/г)-1/2ехр(-и'72Л) C.8.16)
кН
и в пределе h -~ 0 обращается в единицу. Это значит, что неважно, ка-
какое значение к выбрать, — все равно \[W(t + h) - W(t)\/h\ будет
почти наверное больше этого значения, т. е. производная в любой
точке почти наверняка бесконечна. Это находится в согласии с интуи-
интуитивными представлениями, изложенными в разд. 3.4.2, и наглядно ил-
иллюстрируется модельными траекториями на рис. 3.5. Отмеченное
свойство связано, конечно, с хорошо известным экспериментальным
фактом, что броуновские частицы движутся крайне нерегулярно. Од-
Однако очевидно и то, что это идеализация. В самом деле, поскольку
W(t) описывает положение броуновской частицы, ее скорость почти
наверное бесконечна (что невозможно физически). Более реалистичной
моделью броуновского движения служит процесс Орнштейна — Улен-
бека (разд. 3.8:4).
в) Независимость приращений
Винеровский процесс играет ведущую роль при изучении диффузион-
диффузионных процессов, и с помощью стохастических дифференциальных урав-
уравнений любой диффузионный процесс можно выразить через винеров-
винеровский процесс.
Особое значение имеет статистическая независимость приращений
переменной W(t). Точнее, поскольку винеровский процесс марковский,
совместная плотность вероятности может быть записана в виде
p(wn, tn; wn_u *„_,; wn_2, ?„_2; ¦•• ; w0, t0)
л-!
= IT P(w,+ l, tt+l | w,, t,)p(w0, t0), C.8.17)
и, используя явный вид C.8.7) условных вероятностей, получаем
_2; •••; и>0, /0)
exp [-(w,+I - w,.J/2(/,-+1 - tt)]}p(w0, t0). C.8.18)
p(wa, tn; н>„_,, *„_,; и>„_2, ?„_2; •••; и>0,
= "П {[2я(/,+, - О
Если ввести переменные
AW, = W(tt) - W(tt_,) C.8.19)
At, = и - Л_, , C.8.20)
Марковские процессы 105
то совместная плотность вероятности для них будет иметь вид
p(Awn; Awn_t; Awn_2; ... Aw r, w0)
= П {BяА?,.)- ехр {-Aw^\2AQ\p{wu, t0). C.8.21)
Отсюда из определения статистической независимости (разд. 2.3.4)
получаем, что переменные AWi не зависят друг от друга и от величи-
ны W{t0).
Свойство независимости приращений AWt очень существенно для
определения стохастического интегрирования, которое дается в
разд. 4.2.
г) Автокорреляционные функции
Большой интерес представляет автокорреляционная функция, уже об-
обсуждавшаяся в разд. 1.4.2 и 3.7.4. Ее формальное определение таково:
<W(t)W(s)\[w0, ?0]> = J" dwtdw2 w1w2p(w1, t; w2, s\w0, t0), C.8.22)
т. е. она представляет собой среднее от произведения W(t) и W(s) при
условии, что начальное значение W(t0) — w0. Предполагая t > s, име-
имеем
(W(t)W(s) | К, /„]> = <1Щ0 - W(s)W(s)) + ([W(s)]2) . C.8.23)
Используя свойство независимости приращений, видим, что первое
среднее равно нулю, второе дается формулой C.8.9), так что в общем
случае имеет место формула
(W(t)W(s)| [w0, *„]> = min(f -to,s- to) + w\, C.8.24)
которая справедлива как при t > s, так и при t < s.
3.8.2. ОДНОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ БЛУЖДАНИЯ
Эта широко известная задача стала уже классической. Предположим,
что человек шагает наугад по прямой влево и вправо с одинаковой ве-
вероятностью. Длина шага равна /, так что его положение определяется
величиной nl, где п — некоторое целое число. Требуется узнать, како-
какова вероятность того, что человек достигнет по прошествии определен-
определенного времени заданной точки, находящейся на расстоянии nl от исход-
исходной.
106 Глава 3
Задача может быть поставлена двумя способами. Первый, более
традиционный, состоит в том, что шаги допускается делать в момен-
моменты Nr (N — целое), причем в эти моменты пешеход обязан шагнуть
влево или вправо с равной вероятностью. Второй способ заключается
в том, что пешеходу разрешается делать шаги влево и вправо в раз-
разные моменты, причем вероятность шага в единицу времени равна а.
Это означает, что пешеход может находиться в каждой точке различ-
различные промежутки времени. Второй случай описывается управляющим
уравнением.
Чтобы рассмотреть задачу при помощи управляющего уравнения,
предположим, что вероятность перехода в единицу времени задается
равенствами
W(n+l\n,t)=W(n-l\n,t) = d C.8.25)
и W(n\m, t) — 0 при других значениях т. Тогда, согласно разд. 3.5.1,
вероятность пребывания человека в позиции nl при условии, что он
стартует в точке п'1, удовлетворяет управляющему уравнению
d,P(n,t\ri,t') = d[P(n+ l,t\n',t') + P(n- \,t\n\t')
-2P(n,t\n't% C.8.26)
В более классической постановке задачи о случайных блужданиях не
предполагается, что человек совершает перемещения влево и вправо
согласно управляющему уравнению, но считается, что он перескакива-
перескакивает влево или вправо с равной вероятностью в моменты Nt, так что
время является дискретной переменной. В этом случае имеем
Р{п, (N.+ 1)т| л', N't) = i [Р(и + 1, Nt\n\ N't)
+ Р(п - 1, Nt\n', N't)] . C.8.27)
Если т мало, то можно рассматривать C.8.26, 27) как аппроксимиру-
аппроксимирующие друг друга уравнения, записав
Р(п, (N + \)т\п', N't) ~ P(n, Nt\W, N't) + тд,Р(п, t\n', t')f C.8.28)
где t = Nt, t' = N't и d = A/2O-'. Следовательно, вероятность пе-
перехода в единицу времени в модели, использующей управляющее
уравнение, соответствует половине величины, обратной времени вы-
выжидания г в модели с дискретным временем.
В обеих схемах решение легко находится путем введения характе-
характеристической функции
(Us, t) = <е"»> = 2 Р(», 'К '>""• C.8.29)
Марковские процессы 107
Тогда из управляющего уравнения C.8.26) получаем
a,G(s, t) = d{e< + е-" - 2)G(s, t), C.8.30)
а уравнение с дискретным временем дает
G(s, (N+ 1)т) = i(e" + e-")G(j, Mr) . C.8.31)
Предполагая, что человек стартует в точке п' - 0 в момент
t' = 0, находим в обоих случаях
G(j,0)=1, C.8.32)
так что решение уравнения C.8.30) будет иметь вид
G,(j, г) = ехр [(е1' + е"" - 2)td], C.8.33)
а решение уравнения C.8.31) таково:
Gl(s, Nt) = й(е" +е-")Г. C-8.34)
Последнее выражение можно записать в виде
G2(s, /) = [l + ^(e" + е-' - 2)Г, C.8.35)
если положить 7V/2 = td.
Используя обычное представление экспоненты через предел
=е°' C-8-36)
видим, что если s достаточно мало: s ~ X/N, то имеем
lim G2(s, t) = Gx{s, t). C.8.37)
JV-»
Путем разложения функций Gt(s, Nt) и G2(s, t) в ряд по степеням
exp(i 5) можно получить соответствующие распределения вероятно-
вероятностей:
Л(«, 110, 0) = e-ZldInDtd) C.8.38)
Р2(п, Nr\0, 0) = Q)»N\[\?!-f^ ! (^±-?) l]. C.8.39)
Распределение с дискретным временем известно как распределение
Бернулли, оно дает вероятность «-кратного выпадания одной сторо-
108 Глава 3
ны монеты при N подбрасываниях, если выпадания для обеих сторон
равновероятны.
Переход к случаю непрерывного пространства блужданий тоже
представляет интерес. Если полное перемещение обозначить
¦< = nl, C.8.40)
то нетрудно найти его характеристическую функцию
ф,(з, t) = <е<»> = C,(fa, г). = ехр[(е"* + е" - 2)td]. C.8.41)
В пределе исчезающе малых шагов, / — 0, отсюда находим
Р,(.т,О — ехр(-ЛО), C.8.42)
где D = lim A4). C.8.43)
Эта функция есть характеристическая функция гауссовского распреде-
распределения (разд. 2.8.1), которое имеет вид
р(х, г|0, 0) = DnDt)" exp (~x2/4Dt). C.8.44)
Мы получили распределение винеровского процесса (разд. 3.8.1), или
броуновского движения, согласно сказанному в разд. 1.2. Таким об-
образом, винеровский процесс можно рассматривать как предельный
процесс для случайных блужданий с непрерывным временем и беско-
бесконечно малыми шагами.
Предел
/ —0, rf —0 при фиксированном D = lim (/2/т) C.8.45)
случайных блужданий с дискретным временем дает тот же результат.
Нетрудно видеть, что выражение, обозначаемое величиной D, пред-
представляет собой среднеквадратичное перемещение, совершаемое в еди-
единицу времени.
Можно также более прямым образом убедиться, что разложение
правой части уравнения C.8.26), записанной как функции х, до членов
второго порядка по / дает
dtP(x, Н 0, 0) = AЧ)д1р(х, П 0, 0) . C.8.46)
Итак, три указанных выше процесса тесно связаны между собой как
бы на двух уровнях, а именно: при рассмотренных предельных усло-
условиях стохастические уравнения приближаются друг к другу, и при тех
Марковские процессы 109
же самых условиях решения этих уравнений также приближаются.
Эти предельные переходы в точности те же, что использовал Эйн-
Эйнштейн. Действительно, сравнение с разд. 1.2 показывает, что хотя
Эйнштейн моделировал броуновское движение случайным блуждани-
блужданием с дискретным временем, но тем не менее, разлагая уравнение, опи-
описывающее временную эволюцию функции распределения, он вывел
модель винеровского процесса.
Результаты, полученные предельными переходами в этом разделе,
представляют собой лишь несколько более строгий вариант вывода
Эйнштейна. Имеются обобщения этих результатов на менее специаль-
специальные ситуации, и замечательное утверждение состоит в том, что почти
любой скачкообразный процесс имеет в качестве некоторого предела
определенный диффузионный процесс. Однако точные предельные пе-
переходы не всегда так просты; например, есть пределы, при которых
скачкообразный процесс становится детерминированным, и соот-
соответствующие случаи описываются скорее уравнениями Лиувилля
(разд. 3.5.3), нежели общим уравнением Фоккера — Планка. Эти ре-
результаты представлены в разд. 7.2.
3.8.3. ПУАССОНОВСКИЙ ПРОЦЕСС
Пуассоновский процесс рассматривался в разд. 1.4.1. Если электроны
прибывают на анод или покупатели приходят в магазин с вероятнос-
вероятностью в единицу времени d, то такой процесс подчиняется управляюще-
управляющему уравнению, в котором
W(n -Ь 1|н, г)= d , C.8.47)
а при других значениях
W(n\m,t) = 0. C.8.48)
Это управляющее уравнение имеет вид
д,Р(п, t\ri, /') =Ч/[Р(и -- 1, t\n', t') - Р(п,г\п', /')]. C.8.49)
Сравнение с C.8.26) показывает, что оно представляет собой «одно-
«односторонние» случайные блуждания, в которых пешеход шагает только
вправо с вероятностью в единицу времени, равной d.
Уравнение для характеристической функции аналогично уравнению
C.8.30):
d,G{s, t) = d[exp (is) - l]G(s, /) C.8.50)
ПО Глава 3
и имеет решение
G(s, t) = exp{td[txp(is) - 1] C.8.51)
при начальном условии, которое состоит в отсутствии посетителей
или электронов в начальный момент / = 0. Указанное решение приво-
приводит к распределению Пуассона
Pin, /|0, 0) = ехр (- td)(tdyin\ C.8.52)
со средним
td. C.8.53)
В отличие от случайных блужданий теперь имеется единственный
предел при / — 0, причем величина
Id = v C-8-54)
предполагается фиксированной. Предельный переход дает характери-
характеристическую функцию
lim {ехр [td(eih - 1)]} = ехр (itvs), C.8.55)
;-о
которая дает плотность вероятности
0) = 8(x-vt). C.8.56)
Нетрудно также видеть, что в этом пределе из управляющего уравне-
уравнения C.8.49) получается уравнение Лиувилля, решение которого и дол-
должно быть тем детерминированным движением, которое мы получили.
Можно провести и несколько более точный анализ. Раскладывая в
ряд функцию, стоящую в экспоненте в C.8.51), с учетом членов второ-
второго порядка по s, получаем
Ф(б, О = G(ls, t)~e\p [t(ws - s2Dj2)], C.8.57)
где так же, как и в предыдущем разделе,
D = 14.
Тем самым получена характеристическая функция гауссовского рас-
распределения с дисперсией Dt и средним vt. Следовательно,
p(x,t\0, 0) ~ Bя?/)-1/2 ехр [- (х - vtflWt]. C.8.58)
Марковские процессы 111
Очевидно также, что данное распределение есть также решение урав-
уравнения
d,p(x,t\0, 0) = —vdxP(x, /[0,0) + l>Ddlp(x,t\0, 0, C.8.59)
которое можно получить разложением управляющего уравнения
C.8.49) до членов порядка Р включительно, т. е.
Р(п- \,t\O,Q) = )
= dp(x, 110,0) - lddxp(x, 110,0) + \Pddlp(x, 110,0). C.8.60)
Эту процедуру можно назвать аппроксимацией или разложением: но
она не есть предельный переход. Предел при / — 0 дает уравнение Ли-
увилля с чисто детерминированным решением C.8.56). Фактически
предельный переход при / — 0с фиксированной величиной v соот-
соответствует значению D = 0. Такого же рода аппроксимацией, как
и только что упомянутая, служит специальный случай разложения
ван Кампена по параметру размера системы, который подробно рас-
рассматривается в разд. 7.2.3.
3.8.4. ПРОЦЕСС ОРНШТЕЙНА — УЛЕНБЕКА
Все' предшествовавшие примеры случайных процессов не обладают
стационарным распределением, т. е. плотность вероятности в любой
точке стремится к нулю при t -~ оо, и тем самым с вероятностью еди-
единица данный процесс уходит на бесконечность.
Если добавить в уравнение, описывающее винеровский процесс,
член, учитывающий линейный снос, то получится уравнение Фокке-
ра — Планка следующего вида:
д,р = djjcxp) + \D д2хр , C.8.61)
где под р мы понимаем р(х, t\x0, 0). Данное уравнение описывает
процесс Орнштейна — Уленбека [3.5]. Уравнение для характеристи-
характеристической функции
fts) = J e°*p{x, t \ x0, 0)dx C.8.62)
имеет вид
д,ф + ksdrf = - i Ds2j>. C.8.63)
112 Глава 3
Для решения последнего уравнения можно использовать метод харак-
характеристик. Именно, если
u(s, 1,ф) = а v(s, г,ф) = Ь C.8.64)
(а и b— произвольные постоянные) представляют собой два интегра-
интеграла вспомогательных уравнений
dt ds dj> пйлчч
T = =T^ A865)
то общее решение уравнения C.8.63) дается равенством
f(u, v) = 0.
Частные интегралы нетрудно найти, интегрируя уравнения, включаю-
включающие соответственно dt и ds или ds и d<l>. Они имеют вид
u(s, 1,ф) = s exp (- kt) и C.8.66)
v(s, 1,ф) = ф exp (Ds2/4k). C.8.67)
Очевидно, что общее решение можно записать в виде v = g(u), где
g(u) — произвольная функция и. Итак, общее решение таково:
#>, ?) = exp (-Ds2/4k)g[s exp (-kt)]. C.8.68)
Граничное условие
р(х, 01 ха, 0) = Цх - jc0) C.8.69)
приводит к требованию
fKj,O) = exp(ixos), C.8.70)
которое дает
g(s) = exp (Ds2j4k + ixos).
Следовательно,
Г— Пч 1
^(Л /) = exp I --— A - е-2*') + isxoc'1" I, C.8.71)
что, согласно разд. 2.8.1, соответствует гауссовскому распределе-
распределению с
- ^о exp (~kt) C.8.72)
Марковские процессы 113
-ехр(-2Аг/)]. C.8.73)
При t — оо среднее и дисперсия стремятся соответственно к пре-
предельным значениям 0 и D/2/c, определяющим предельное стационар-
стационарное решение. Это решение может быть также непосредственно полу-
получено, если положить Ъ(р = 0. При этом р удовлетворяет стационарно-
стационарному уравнению Фоккера — Планка
дх\кхр +• |Щ^ = 0. C.8.74)
Интегрируя его один раз, находим
кхр + \Ddxp\ = 0. C.8.75)
Из условия нормировки вытекает требование, чтобы вероятность р и
ее производная стремились к нулю при х —¦ -оо. Отсюда имеем
дхр=, C.8.76)
так что
р.{х) = (TiD/ky112 exp (~kx2/D). C.8.77)
Это гауссовское распределение с нулевым средним и дисперсией D/2/c,
что согласуется с приведенным выше решением, зависящим от време-
времени.
Ясно, что для системы с одной переменной стационарное решение
всегда может быть получено указанным методом интегрирования, ес-
если только это решение существует. Если стационарного решения не
существует, то данный метод дает решение, которое нельзя нормиро-
нормировать.
Временные корреляционные функции для процесса Орнштейна —
Уленбека. Временная корреляционная функция аналогична функции,
упомянутой в связи с винеровским процессом. Она может быть рас-
рассчитана и является легко измеримой величиной для большинства сто-
стохастических процессов. Однако отсутствует какой-либо другой про-
простой путь ее расчета, не связанный непосредственно с определением
<X(t)X(s)\[x0, ?о]> = // йххахг хххгр(Хи t; хг, s\x0, to)t C.8.78)
114 Глава 3
откуда, используя марковость процесса, находим
C.8.78) = \\ dxldx1xlx1p(xut\xz, s)p(x2, s\x0, t0) C.8.79)
в предположении, что
t 5= s > tQ . C.8.80)
Корреляционная функция с определенным начальным условием
обычно не представляет такого интереса, как стационарная корреля-
корреляционная функция, которая получается при приближении системы к
стационарному распределению. Как указано в разд. 3.7.2, переход к
ней можно осуществить, относя начальное условие к весьма удаленно-
удаленному прошлому. Полагая t0 — -оо, находим
lim р{хг, six,, /0) = р.(хг) = (nD/k)-['2 exp (- kx\jD) . C.8.81)
»0— оо
Подставляя в C.8.79) распределение C.8.81) и условное распределение,
соответствующее равенствам C.8.72, 73), и интегрируя при учете то-
того, что стационарное среднее равно нулю, получаем
(X(t)X(s))s = <X(t),X(s)\ = ^exp (-k\t - s\) . C.8.82)
Этот результат демонстрирует общее свойство стационарных про-
процессов: корреляционные функции зависят только от разностей времен.
Общим результатом [3.6] является также тот факт, что описанный в
данном разделе процесс — единственный гауссов марковский процесс*
для одной действительной переменной.
Отметим, что результаты этого подраздела очень просто выводят-
выводятся методом стохастических дифференциальных уравнений, который
будет развит в гл. 4.
Процесс Орнштейна — Уленбека — это простой и представимый
явно процесс, имеющий стационарное решение. Стационарный про-
процесс Орнштейна — Уленбека часто используется как модель реального
шумового сигнала, для которого значения ХA) и X(s) заметно корре-
лированы при
\t~s\ ~1/Jt s т. C.8.83)
Для произвольного процесса A'Cs) время корреляции т может быть
определено равенством
т - /dt\<X(t), X@)}s\lD{X}S, C.8.84)
о
которое справедливо при любом виде корреляционной функции.
Марковские процессы 115
3.8.5. СЛУЧАЙНЫЙ ТЕЛЕГРАФНЫЙ ПРОЦЕСС
Рассмотрим сигнал X{t), который принимает любое из двух значений
а или b и переключается с одного значения на другое с определенными
вероятностями в единицу времени. Таким образом, имеем управляю-
управляющее уравнение
C.8.85)
д,Р(а, t\x, t0) = —Ща, t\x, t0) + цРф, t\x, t0)
d,P{b, 11 x, t0) = Ща, 11 x, t0) - цРф, 11 x, t0)
Его решение легко найти, если заметить, что
Р(а, t\x, to) + P{b, t\x, to)= 1
и учесть тот факт, что для комбинации \Р(а, t\x, /0) - цРф, t\x, t0)
получается простое уравнение, решением которого при начальном ус-
ловии
служит
XP(a,t\x,t0)-
В итоге имеем
P(a,t\x,to) =
P(b,t\x, ?„) =
t\x, /0) = exp [-(Я + n)(t
exp [—(Я + (i)(t — t0)]
[-(X + M)(t-t0)}
°Ч
C.8.86)
.C.8.87)
C.8.88)
Нетрудно видеть, что данному процессу соответствует следующее
стационарное решение, получаемое переходом t0 -~ —<х>:
C.8.89)
которое, конечно, можно сразу получить из управляющего уравнения.
При помощи C.8.88) нетрудно вычислить среднее значение и дис-
дисперсию. Для среднего имеем
a/i + ЬХ
:TTT"
f exp [-(A +n){t - t0)] (x0 -
ац + ЬХ'
C.8.90)
116 Глава 3
так что
^^f. C.8.91)
Можно рассчитать и нестационарную дисперсию, но при этом получа-
получается слишком громоздкое выражение. Поэтому приведем только ста-
стационарную дисперсию
(а — Ь~)гцХ
Чтобы рассчитать стационарную корреляционную функцию (предпо-
(предполагая t ^ s), запишем
(X(t)X(s))s = ? хх'Р(х, 11 х', s)Ps(x') C.8.93)
ххг
-=Цх'(ХA))[х',фРХх'). C.8.94)
х'
Используя теперь C.8.90 — 92), получаем
ехр [-(Л + fi)(t - J)]«^2>S - <*>?) C-8.95)
b)\2 (a — bJiik ., 0 o.
t) + exp [-(A+»){t -s)] жтж • C-8-96)
Следовательно,
(X(t),X(s))s = <X(t)X(sy>. - (X}> = exp [-(A + fi)\t-s\] j^0¦ C-8-97)
Отметим, что полученная временная корреляционная функция имеет в
точности такой же вид, что и аналогичная функция для процесса Орн-
штейна — Уленбека. Корреляционные функции более высоких поряд-
порядков, конечно, будут другими, но вследствие простоты рассмотренного
телеграфного процесса с двумя состояниями и простоты его корреля-
корреляционной функции он широко применяется при построении различных
моделей.
Расчеты методом Ито и стохастические
дифференциальные уравнения
4.1. ОБОСНОВАНИЯ
В разд. 1.2.2 мы впервые встретились с прообразом того, что теперь
называется уравнением Ланжевена, которое можно в общих чертах
определить как обыкновенное дифференциальное уравнение, в которое
входит быстро и беспорядочно флуктуирующая функция времени
(член X(t) в первоначальном уравнении Ланжевена). Сама простота, с
которой Ланжевен пришел к результатам Эйнштейна, может служить
достаточным основанием для того, чтобы попытаться дать уравне-
уравнению Ланжевена более или менее строгое обоснование.
Наиболее часто встречающееся нестрогое уравнение Ланжевена
может быть записано в виде
^ = а{х, 0 + Ь(х, t)Q(t), D.1.1)
где л" — интересующая нас переменная; а(х, t) и b(x, t) — некоторые
известные функции, а ?(?) — быстро флуктуирующий случайный
член. С математической точки зрения понятие «быстро и беспорядоч-
беспорядочно изменяющейся функции» означает, что при t Ф ?' значения i-(t) и
?(/') статистически независимы. Будем считать, что <?(О> = 0, по-
поскольку любое ненулевое среднее значение может быть учтено при
определении функции а(х, t), и потребуем, таким образом, чтобы
<«*)«*')> = 6(/ - t'). D.1.2)
Тем самым удовлетворяется требование отсутствия корреляции в раз-
различные моменты времени, но, как довольно неприятное следствие,
дисперсия f(O оказывается бесконечно большой. На практике, конеч-
конечно, никакая величина не может обладать бесконечно большой диспер-
дисперсией, однако понятие белого шума как идеализация реального флукту-
флуктуирующего сигнала имеет определенный смысл, как уже упоминалось в
Разд. 1.4.2 в связи с тепловыми шумами в электрических цепях. Мы
Уже сталкивались с двумя объектами, которые могут рассматриваться
как генераторы с ненулевым временем корреляции: процессом
Орнштейна — Уленбека и случайным телеграфным сигналом. Для
] 18 Глава 4
обоих этих источников корреляционная функция второго порядка
может (с точностью до постоянного множителя) быть представлена в
виде
(
*(/), *@> = f е-""- . D.1.3)
Основная разница между этими двумя источниками состоит в том,
что реализации процесса Орнштейна — Уленбека непрерывны, а теле-
телеграфного сигнала нет. Если D.1.1) рассматривать как реальное диффе-
дифференциальное уравнение, в котором ?@ представляет собой не дельта-
коррелированный шум, а шум с конечным временем корреляции, то в
качестве |@ нужно выбрать непрерывную функцию, иначе dx/dt не
будет непрерывна. Пределом корреляционной функции D.1.3) при
у —• 0 является, очевидно, дельта-функция Дирака, поскольку
J^e—"Л'=1, DЛ.4)
и для t Ф f
lim 1- е-'1'- = 0 . D.1.5)
Это означает, что возможную модель ?@ можно было бы полу-
получить путем некоторого предельного перехода, например 7 — °° в про-
процессе Орнштейна — Уленбека. В обозначениях разд. 3.8.4 это соот-
соответствует переходу к пределу
fc—оо, D.1.6)
причем D = к1. Этот предел попросту не существует. Переход к лю-
любому подобному пределу возможен только после вычисления измери-
измеримых величин; в принципе такая процедура осуществима, но слишком
громоздка, чтобы использовать ее для практических расчетов.
Необходим иной подход. Коль скоро мы пишем дифференциальное
уравнение D.1.1), мы предполагаем его интегрируемость, и поэтому
должны ожидать, что интеграл
u(t)=\dt'Q(t') D.1.7)
о
существует.
Потребуем теперь, чтобы u{t) обладала естественной для интегра-
интеграла непрерывностью. Это означает, что u(t) является марковским про-
Расчеты методом Ито и СДУ 119
цессом, поскольку мы можем записать следующее:
и(П = / ds ?(s) + J ds ф) D.1.8)
О 1
= lim \Tds сE)j + J ds ф), D.1.9)
«-о Lo J i
и для всякого e > 0, ?(s) в первом интеграле не зависят от ?(s) во
втором интеграле. Отсюда в силу непрерывности u(t) и u(t' )-u(t)
статистически независимы и, более того, u(t') - м(/) не зависит от
u(t" ) для всех t" < t. Это означает, что и(С ) полностью определяет-
определяется (в вероятностном смысле) известным значением и (О. но не зависит
от каких-либо предыдущих значений. Следовательно, u{t) является
марковским процессом.
Поскольку реализации процесса u(t) непрерывны, функция u{t)
должна описываться уравнением Фоккера — Планка. Коэффициенты
сноса и диффузии для этого процесса могут быть вычислены по фор-
формулам разд. 3.5.2. Можно записать следующее:
(u(t + At) ~ щ | [и0, ф = <Т Ф)*> =0 D.1. Ю)
г+Дг r+At
([u(t + At) — «o]2|[wo. Ф = j ds j ds'(?(s)?(s')) D.1.11)
t t
f+Af г+Дг
= J ds j ds'b(s - s') = At, D.1.12)
так что коэффициенты сноса и диффузии суть
LAO-H.IK.f]) = 0 Dл 13)
А/
±^--u0?\[u0,t)y=l
Таким образом, уравнение Фоккера — Планка является уравнением
винеровского процесса, и мы можем записать
г
U(t')dt' = u(t) = W(t). D.1.15)
Мы приходим к парадоксальному результату: интеграл от ?(/) ра-
равен функции W{t), которая не может быть продифференцирована,
120 Глава 4
как показано в разд. 3.8.1. Это означает, что с математической точки
зрения уравнение Ланжевена D.1.1) не существует. Однако соответст-
соответствующее интегральное уравнение
x{t) - х@) = / a[x{s), s]ds + j ЬШ, s]Z(s)ds D.1.16)
0 0
допускает строгое истолкование.
Произведем замену, которая следует непосредственно из интерпре-
интерпретации интеграла от ?(f) как винеровского процесса W{t)\
dW(t) =w(t + dt)- Щ0 = at)dt, D.1.17)
и запишем второй интеграл в виде
о
b[x(s), s]dW(s). D.1.18)
Это своего рода стохастический интеграл Стилтьеса от реализации
fV(t). Такой интеграл может быть определен (см. разд. 4.2).
Прежде чем перейти к этому, отметим, что требование непрерыв-
непрерывности u{t), хотя и вполне естественное, может быть ослаблено, чтобы
дать возможность описывать скачкообразные процессы стохастиче-
стохастическими дифференциальными уравнениями. Об этом уже упоминалось в
разд. 1.4.1 в связи с обсуждением дробового шума. Однако мы не счи-
считаем целесообразным заниматься здесь этим вопросом и отсылаем
читателя к соответствующей литературе [4.1].
Обычно полагают, что ?(О гауссовская и удовлетворяет также ус-
условиям D.1.2). Для приведенных выше рассуждений это не требуется:
гауссовская природа функции ?(?) следует из предположения о непре-
непрерывности u(t). Строго говоря, выбор того или другого предположе-
предположения — дело вкуса. Однако предположение о непрерывности «(/) ка-
кажется нам более естественным, чем постулирование гауссовской при-
природы ?(/), поскольку последнее может быть в принципе-сопряжено с
необходимостью вычислять моменты произвольно высоких порядков.
4.2. СТОХАСТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
4.2.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТОХАСТИЧЕСКОГО ИНТЕГРАЛА
Пусть G(t) есть произвольная функция времени, a W(t) — винеров-
ский процесс. Будем определять стохастический интеграл
f G(t' )dW(t') как интеграл Римана — Стилтьеса. Разобьем ин-
Расчеты методом Ито и СДУ 121
Рис. 4.1. Разбиение временнбго интервала, использованное в определении стохастиче-
стохастического интегрирования.
тервал [t0, t) на п подынтервалов с помощью точек разбиения (рис.
4.1)
/„ <*i <'»<- <'.-!<' D'21>
и выберем промежуточные точки т( на каждом подынтервале
//_! < т, < /,. D.2.2)
Стохастический интеграл \G{t')dW{t') определяется как предел
'о
частичных сумм
S» = 2 G(t,)[ W(t.) ~ W(tt^)]. D.2.3)
Интуитивно ясно, что, вообще говоря, интеграл, определенный как
предел Sn, будет зависеть от конкретного выбора промежуточных
точек т/( поскольку, если выбрать G{j)~ W{r^, то
<Sn> = < ± №(¦*,)[№&) - Wit^)]} D.2.4)
= ? [min(r,, t<) - min(T,., /,_,)] D.2.5)
(=i
= ±(т,-/,_,). D.2.6)
Если, к примеру, мы выберем для всех i
т, = at, + A - а)г,_, @ < а < 1), D.2.7)
122 Глава 4
ТО
<5„> = 2 С» - ti-i) a = (t-to)a. D.2.8)
i = i
Таким образом, среднее значение интеграла, в зависимости от выбора
промежуточных точек может быть любым — от нуля до (/ — /0).
Будем поэтому выбирать промежуточные точки так, чтобы а = О,
иначе говоря,
г, = *,_,, D-2.9)
и определим стохастический интеграл Ито от функции G(t) как
/ G{t')dW{t') = ms -lim \? G{t^)[W{td - W{t,_,)]!. D.2.10)
Под ms-lim мы понимаем среднеквадратичный предел, как он опреде-
определен в разд. 2.9.2.
4.2.2. ПРИМЕР Г W(t')dW(t')
'о
Возможно точное вычисление. Запишем (вместо W{f) будем писать
Sn=± Wt_, (W, - W,_,) = 2 Wt-AWt D.2.12)
i=i (=i
D.2.13)
Можно вычислить среднеквадратичный предел последнего члена. За-
Заметим, что
<И (A W,/} = 2 <( W, - Ж,.,J> = 2 (/, - /,_,) = t - tD. D.2.14)
( i
Вследствие этого
- 2(/ - t0) 2 (W, - ^,_,J + (r - ?0J>. D.2.15)
Расчеты методом Ито и СДУ 123
Заметим, что W-t — Wt_x есть гауссова переменная и не зависит от
Wj — Wj_x, что позволяет нам произвести разложение на множители.
Таким образом,
а также (с учетом B.8.6))
(.(W, - W,-Xyy = 3 ((W, - W^yy = 3(/, - *,_,)*. D.2.17)
Из D.2.16, 17) имеем
<E (W, - Wt_,) -(t- to)f) = 2 2 (r, - /,_,)» D.2.18)
o)] [Oy - /,-i) - (/ - /a)]
Таким
ms-lim
образом.
— *• 2-1 \'i —
—<¦ 0 , когда
W, \У = t —
r,-.J
П —* oo.
D.2.19)
по определению среднеквадратичного предела, и
J W(t')dW(t') = \[W{ty - W(toy - (r - /0)].
'0
D.2.20)
Замечания
/ > -0- tQ)] = 0. D.2.21)
Это также следует по определению, поскольку в каждый член вхо-
входит произведение (Wi_xAWi), которое обращается в нуль, так как
AWj статистически не зависит от W-t_x, как показано в разд. 3.8.1.
2) Полученный интеграл отличается от обычного интеграла Рима-
на — Стилтьеса, в котором отсутствовал бы член (t - /0). Причина
здесь в том, что I W{t + ДО - W(t)\ почти всегда имеет порядок VT,
так что в отличие от обычного интегрирования члены второго поряд-
порядка по AW(t) не исчезают при переходе к пределу.
124 Глава 4
4.2.3. ИНТЕГРАЛ СТРАТОНОВИЧА
Другое определение стохастического интеграла, в котором отсутству-
отсутствует аномальный член (t — t0), принадлежит Стратоновичу [4.2]. По-
Полностью этот интеграл мы определим в разд. 4.3.6. Для рассмотрен-
рассмотренных ранее случаев определение данного интеграла сводится к интер-
интерпретации подынтегральной функции W{t) как полусуммы '
i). Имеем, как нетрудно проверить,
s\ W(t')dlV(t') =ms-limX W(t^+W(li-^ [W(,tt)- W{tt.{)] D.2.22)
= l[W(tJ-W(t0)i]. D-2.23)
Однако между интегралом Ито и интегралом Стратоновича (который
мы будем обозначать буквой S перед знаком интеграла, как в
D.2.23)), не существует единого соответствия. Другими словами, мы
не можем определить связь между этими двумя интегралами для про-
произвольных функций G(t). (Если же G(t) относится к диффузионному
процессу, определяемому стохастическим дифференциальным уравне-
уравнением, то можно указать формулу, связывающую эти интегралы; см.
разд. 4.3.6.)
4.2.4. НЕУПРЕЖДАЮЩИЕ ФУНКЦИИ
Сложности математической записи могут затруднить понимание
смысла неупреждающей функции; в действительности же ничего слож-
сложного здесь нет. Мы рассматриваем ситуацию, в которой все функции
могут быть представлены как функции или функционалы некоторого
винеровского процесса W(t) через посредство стохастического диффе-
дифференциального (или интегрального) уравнения вида
x(t) - x(t0) = j a[x(t'), t']dt' + / b[x(t'), t']dW(t'). D.2.24)
'о 'о
Функция G(t) называется неупреждающей функцией t, если для всех s
и /, таких, что t < s, G(t) статистически независима от W(s) - W(t).
Это означает, что G(t) не зависит от поведения винеровского процес-
процесса для всех будущих значений /. Очевидно, это довольно естественное
требование к имеющей физической смысл функции, которая может
быть решением уравнения, подобного D.2.24), для которого нам инту-
интуитивно ясно, что x(t) включает W{t') только при /' < t.
f
Расчеты методом Ито и СДУ 121
Конкретными неупреждающими функциями являются, например,
1) W{t)
2) jdt'F[W(t')]
•о
3) \ dW{t'}F{W(t')}
4) / dt'G(t')
'° ), когда G(t) сама есть неупреждающая функция.
5) \ dW(t')G{S)
Результаты 3 и 5 основаны на том факте, что стохастический ин-
интеграл Ито, определяемый D.2.10), является пределом последователь-
последовательности, в которую входят только G(l' ) для /' < /, и W(t' ) для С ^ t.
Конкретные причины, по которым мы вводим в рассмотрение не-
упреждающие функции, состоят в следующем:
1) могут быть получены многие результаты, справедливые только
для этих функций;
2) эти функции естественно встречаются в таких ситуациях, как
изучение дифференциальных уравнений, включающих время, когда
ожидается существование своего рода причинности в том смысле, что
неизвестное будущее не может повлиять на настоящее;
3) эти функции необходимы для определения стохастических диф-
дифференциальных уравнений.
4.2.5. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТОГО, ЧТО dW(l Г = dt И dW(tJ + N = 0
Приведенные в заголовке раздела формулы являются ключом к ис-
использованию исчисления Ито в качестве практического метода. В та-
таком виде, однако, они не вполне точны; в действительности, имеется
в виду следующее:
J [dW(t')Y+NG(t') = ms-lim ? С,-_1ДИ/ГЛ'
= J dt'G(l') при N =-- 0 D.2.25)
'о
= 0 при N > 0
для произвольной неупреждающей функции G(t).
126 Глава 4
Доказательство не представляет затруднений. Для N = О опреде-
определим
/ = lim <E G,._,(A W] - Дг,)]2>
,2 - А?,.J
D.2.26)
f- At,))}.
Горизонтальными фигурными скобками охвачены сомножители, ко-
которые статистически независимы друг от друга в силу свойств вине-
ровского процесса и в силу того, что G, суть значения неупреждающей
функции, не зависящие от всех AW) для у > /.
Пользуясь этой независимостью, мы можем разложить средние
значения на множители, а используя также
1) <аж?> = ал-
2) {(АИ72 — Л/,J> = 2Д?? (в силу гауссовской природы),
находим
/ = 2 lim Е A?,2<(G,._,J>] • D.2.28)
При достаточно слабых предположениях относительно G(t) (напри-
(например, полагая ее ограниченной) это означает, что
ms-lim (? G,_XAW} - Ц G,_,Д/,) = 0,
а поскольку
ms-lim 2 С,-, А?,. = J Л'в(г') ,
получаем
D.2.29)'
D.2.30)
ЗАМЕЧАНИЯ
I
1) Доказательство, что ( G(t)[dW(t)]2+N для N > 0 проводится
аналогично с использованием явных выражений для высших момен-
моментов гауссовского распределения (разд. 2.8.1).
Расчеты методом Ито и СДУ 127
2) d1V(t) встречается только в интегралах, так что, если ограничи-
ограничиваться лишь рассмотрением неупреждающих функций, можно просто
записать
dW{tf s dt D.2.31)
dW(tJ+N = 0(N>0). D.2.32)
3) Эти результаты справедливы только для интеграла Ито, поскольку
мы воспользовались независимостью AW} от G,_,. Для интеграла
Стратоновича
AWt = W^) - W{t,_x) D.2.33)
+ '*..i)], D.2.34)
и хотя G(t) — неупреждаюшая функция, это еще не гарантирует, что
AWj и Gj_{, определенные таким образом, независимы.
4) Аналогичным способом можно доказать, что
J G(t')dt'dW{t') = ms-lim ? Gi_lAWiAtl = 0, D.2.35)
'о "~°°
равно как и для более высоких порядков. Попросту охарактеризовать
эти результаты можно, сказав, что dW(t) имеет порядок малости
(Д/I/2 и что при вычислении дифференциалов бесконечно малые по-
порядка выше At отбрасываются.
4.2.6. СВОЙСТВА СТОХАСТИЧЕСКОГО ИНТЕГРАЛА ИТО
а) Существование
Можно показать, что стохастический интеграл Ито \ G(t')dW{t')
'о
существует всегда, когда функция G(/' ) является непрерывной и неу-
преждающей на замкнутом интервале [/0, /] [4.3].
б) Интегрирование многочленов
Мы можем формально воспользоваться результатом разд. 4.2.5:
d[W{t)f = [W{t) + d\V{t)]" - W(t)" = f] (n) W(t)"-rdW(t)',
128 Глава 4
и, учитывая то, что dW(t)r — О для всех г > 2
= nW{ty~4W{t) + n^=Jl W{t)"-4t, D.2.36)
получим
п l
\ W(t')"dW(t') = -±- [W(t)n+l - W(tof+l) - -у J
'О
D.2.37)
в) Два вида интегралов
Заметим, что для каждой G{t) существуют два вида интегралов:
/ G(t')dt' и / G(t')dW(t'),
'О 'О
каждый из которых входит в последнюю формулу. Вообще говоря,
между этими интегралами не существует связи.
г) Общие правила дифференцирования
Записывая дифференциалы (как в п. «б»), следует сохранять члены до
второго порядка по dW(t). Это значит, например, что
d{exp [W(t)\} -- exp [W{t) + dW(t)} - exp [W(t)\
= exp [W(t)][dW{t) + \dW{t)z]
= exp[lV(t)][dW(t)+{dt] D.2.38)
или, в более общем виде,
, t] = %dt + Щтг + §?dW(t) + \%
%
Пользуясь тем, что
(ЛJ - О
dtdW(t) — 0
[dW{t)f = dt
Расчеты методом Ито и СДУ 129
и все члены высших порядков обращаются в нуль, получаем
D.2.39)
д) Формула средних значений
Для неупреждающей функции G(t)
(JG(t')dW(t')y=O.
'о
D.2.40)
Поскольку G@ — неупреждающая функция, в определении стохасти-
стохастического интеграла
= О,
D.2.41)
а из разд. 2.9.5 мы знаем, что порядок операций ms-lim и < > может
быть изменен. Отсюда, переходя в D.2.41) к пределу, получаем иско-
искомый результат.
Полученный результат не справедлив для интеграла Стратоновича,
поскольку здесь значение G,_, выбирается в середине подынтервала и
может быть скоррелировано с Д W-r
е) Формула, определяющая корреляцию
произвольные непрерывные неупреждающие
Если G(t) и H(t)
функции, то
< J G(t')dW(t') \ H(t')dW(t')) = \dt <С(ОЩП> ¦
'о fo 'о
D.2.42)
Доказательство. Заметим, что
,) . D.2.43)
Во втором члене в правой части AWt не зависит от всех остальных
членов, поскольку j < i, a G и Н неупреждающие. Поэтому мы мо-
можем вынести множитель (AW) = 0, из чего следует, что весь второй
130 Глава 4
член обращается в нуль. Пользуясь тем, что
(AW}} = Atty D.2.44)
и меняя местами операции усреднения и перехода к пределу, получаем
искомый результат.
С формальной точки зрения это эквивалентно утверждению, что
ланжевеновские источники ?(/) дельта-коррелированы и некоррелиро-
ваны с F(t) и G{t). Действительно, сделав замену
dW{t)-~ i(t)dt, D.2.45)
мы видим, что если F(t) и G(t) — неупреждающие функции, ?(/) не
зависит от них и
/ df \ ds' (о(ощз'ш)Ф')} = j i dt'ds
'0 '0 '0 '0
|; D.2.46)
'0
отсюда следует, что
Здесь, однако, возникает важный вопрос, касающийся определения.
Когда в подынтегральное выражение входит дельта-функция, при ис-
исследовании стохастических дифференциальных уравнений нередко ока-.
зывается, что аргумент дельта-функции равен либо верхнему, либо
нижнему пределу интегрирования. Иначе говоря, нам встречаются ин-
интегралы вида
- h) D.2.47)
или
h = '] dtf{t)b(t - t2), D.2.48)
и относительно значения таких интегралов могут быть сделаны раз-
различные допущения. Мы покажем, что в данном контексте нам следует
всегда интерпретировать эти интегралы как
/, =/(*,) D.2.49)
/2 = 0, D.2.50)
Расчеты методом Ито и СДУ 131
т. е. считать, что весь вес дельта-функции приходится на нижний пре-
предел интеграла и полностью пренебрегается у верхнего предела. Для
того чтобы доказать это, заметим, что
< J G(i')dW(t') [ J H(s')dW(s')X) = 0. D.2.51)
'0 '0
Это следует из того, что функция, определяемая интегралом в ква-
квадратных скобках, в силу замечания 5 разд. 4.2.4 является неупреждаю-
щей, и поэтому все подынтегральное выражение (полученное умноже-
умножением указанного интеграла на также неупреждающую функцию G(t')
представляет собой неупреждающую функцию. Поэтому среднее зна-
значение, как указано в разд. 4.2.6д, обращается в нуль.
Теперь, используя понятие ланжевеновского источника, мы можем
переписать D.2.51) в виде
/ dt' J ds'(G(t')H(s'))8(t' - s') = 0, D.2.52)
'О '0
что соответствует неучету веса дельта-функции у верхнего предела ин-
интегрирования. Весь вес дельта-функции должен учитываться у нижне-
нижнего предела.
Это свойство является прямым следствием определения интеграла
Ито в виде D.2.10), где приращение «направлено в будущее», т. е.
dW(t) = W(t + dt) - W(t). D.2.53)
В случае интеграла Стратоновича мы получаем совершенно иную
формулу, доказать которую вовсе не так просто, как для интеграла
Ито, но для которой дело сводится к выбору
= Ши)
(Стратонович) D.2.54)
Это означает, что в обоих случаях учитывается половина веса дельта-
функции, аргумент которой совпадает с пределом интегрирования.
Хотя эта формула интуитивно более естественна, чем соответствую-
соответствующая формула для интеграла Ито, пользоваться ею сложнее, особенно
в теории возмущений стохастических дифференциальных уравнений,
где метод Ито позволяет избавляться от большого количества чле-
членов.
132 Глава 4
4.3. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
(СДУ)
В разд. 4.1 мы пришли к выводу, что наиболее удовлетворительной
интерпретацией уравнения Ланжевена
^ = а(х, 0 + Ь(х, 1Ш0 D.3.1)
at
является стохастическое интегральное уравнение
x(t) - хф) = / dt'a[x(t'), /'] + j dW(t')b[x(t'), П . D.3.2)
о о
К сожалению, рассуждения, проведенные в разд. 4.1, не дают возмож-
возможности сделать вывод о том, какой именно интеграл (Ито или Страто-
Стратоновича) следует выбрать. С математической точки зрения интеграл
Ито удовлетворительнее, однако он не всегда оказывается наиболее
естественным в физическом смысле. Интегралом Стратоновича удоб-
удобно описывать ситуации, когда под ?(/) понимают реальный шум (не
белый шум) с конечным временем корреляции, которое после вычис-
вычисления измеримых величин устремляют к нулю. Кроме того, метод
Стратоновича позволяет пользоваться обычными приемами матема-
математического анализа, что невозможно при использовании метода Ито.
С математической точки зрения выбор предрешается тем, что с ис-.
пользованием интеграла Стратоновича в недиффузионном случае по-
почти невозможно проводить какие-либо математические доказательст-
доказательства. Поэтому мы определим СДУ в смысле Ито, покажем их эквива-
эквивалентность СДУ Стратоновича и будем использовать те и другие в за-
зависимости от конкретной задачи. Связь между СДУ с белым шумом
и СДУ с реальным шумом будет разобрана в разд. 6.5.
4.3.1. СТОХАСТИЧЕСКОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ИТО.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Стохастическая величина x{t) подчиняется СДУ Ито, записанному в
виде
dx{t) = a[x(t), t]dt + b[x(t), t]dW(t), D.3.3)
если для всех / и t0
x(t) = x(t0) + j df a[x(t'), t'] + / dW{t') b[x(t'), t'). D.3.4)
'n 'o
Расчеты методом Ито и СДУ 133
1
X
i
о t
i iz t
Puc. 4.2. Иллюстрация метода Коши — Эйлера для построения приближенного реше-
решения стохастического дифференциального уравнения
dx(i) = a[x(i), l]dt
), t]dW(t).
Прежде чем рассматривать условия, которым должны удовлетворять
коэффициенты в D.3.4), следовало бы выяснить, что следует пони-
понимать под решением такого уравнения и что означает единственность
решения в данном контексте. С этой целью мы можем рассмотреть
«дискретный вариант СДУ», для чего выберем последовательность
точек tj (как показано на рис. 4.2)
t0 < t, < t2 < ••• < ?„_, < Л, = f
и запишем уравнение в виде
x,+i = х, + фг;, Л-)Л/, + b(xh t,)AW,.
Здесь
X, = X(ti)
At, = tM - ?,
( = W(tt+l) - W\ti).
D.3.5)
D.3.6)
D.3.7)
Из D.3.6) видно, что процесс приближенного решения уравнения со-
состоит в том, чтобы вычислять х1+,, знаях(, путем прибавления детер-
детерминированного члена
а{х„ t,)At,
и стохастического члена
b{xi,tl)AWi .
D.3.8)
D.3.9)
Стохастический член содержит элемент AWjt который является при-
приращением винеровского процесса, но статистически независим от xs,
если, во-первых, значение х0 само не зависит от всех W(t) — W(tQ)
134 Глава 4
/ > /0 (таким образом, если начальные условия полагаются случай-
случайными, они должны быть неупреждающими) и, во-вторых, функция
а(х, /) есть неупреждающая функция t для любого фиксированного х.
Осуществляя итерацию на основе D.3.6), мы видим, что х; всегда
не зависит от Д Wj для j > /.
Затем, устремляя шаг разбиения к нулю, строят формальное реше-
решение. Единственность решения означает, что для данной реализации
W{t) случайного винеровского процесса W(t) получаемое частное ре-
решение уравнения единственно. Мы говорим, что решение существует,
если с вероятностью, равной единице, существует решение для произ-
произвольно взятой реализации W(t) винеровского процесса W(t).
Описанный метод построения решения называется методом Ко-
ши — Эйлера; он может быть использован для моделирования.
Обычно, однако, существование и единственность доказываются
иным путем, хотя можно в принципе продемонстрировать эти свойст-
свойства и так. Здесь мы не будем доказывать теоремы существования и
единственности: читатель может найти доказательства в [4.3]. Усло-
Условия существования и единственности решения на интервале [?0, Т] суть
следующие:
Г) условие Липшица: существует К, такое, что
Кг, ?) - а{у, t)\ -г \Ь(х, О - Ыу, 01 < К\х - у\ D.3.10)
для всех х, у и t в интервале [/0, Г];
2) условие роста: существует К, такое, что для всех t на интервале
['о. Л
\а(х, /)|2+ \Ь(х, /)|2< К2(\ т И2). D.3.11)
При этих условиях существует единственное неупреждающее ре-
решение x(t) на интервале [tQ, T].
На практике почти всякое стохастическое дифференциальное урав-
уравнение удовлетворяет условию Липшица, поскольку оно, по сути, явля-
является условием гладкости. Условие роста, однако, нередко не выполня-
выполняется. Это не означает, что решения не существует, это означает ско-
скорее, что решение может уйти в бесконечность. Другими словами, зна-
значение л' может обратиться в бесконечность за конечное время (на
практике — за конечное случайное время). Это явление встречается и
в обыкновенных дифференциальных уравнениях. Например, уравнение
Tt=-iax D-3J2)
имеет общее решение с начальным условием х = х0 при t = 0:
x(t) = (- at + 1/4Г ¦ D.3.13)
Расчеты методом Ито и СДУ 135
Если а положительно, то решение обращается в бесконечность при
х0 — (at)~W2; если же а отрицательно, то решение не уходит в беско-
бесконечность. Если условие Липшица не удовлетворяется, то решение не
обязательно обратится в бесконечность. Для того чтобы с увереннос-
уверенностью утверждать это, необходимо пользоваться более тонкими крите-
критериями устойчивости [4.3].
4.3.2. МАРКОВСКОЕ СВОЙСТВО РЕШЕНИЯ СТОХАСТИЧЕСКОГО
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ИТО
Покажем теперь, что решение стохастического дифференциального
уравнения D.3.4) x(t) есть марковский процесс. Интуитивно это оче-
очевидно, поскольку при данном начальном условии x(tQ) дальнейшее
движение во времени однозначно (в стохастическом смысле) определе-
определено; иначе говоря, x(t) при t > t0 определяется только
1) конкретной реализацией процесса W(t) при / > /0;
2) значением x(t0).
Поскольку x(t) есть неупреждающая функция времени, W(t) при
/ > t0 не зависит от x(t) при t < t0. Таким образом, ход x(t) при
t > t0 не зависит отх(О при / < t0, еслих(/0) известно. Это означает,
чтох(О есть марковский процесс. Строгое доказательство приводится
в [4.3].
4.3.3. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ. ФОРМУЛА ИТО
Рассмотрим произвольную функцию x(t): f[x, (/)]. Какому стохасти-
стохастическому дифференциальному уравнению она подчиняется? Воспользу-
Воспользуемся результатами разд. 4.2.5 и разложим df\x(t)] в ряд с учетом вто-
второго порядка по dW(t):
df[x(t)} =f[x(t) + dx(t)] -/WO]
= f'[x(t)]dx(t) + \f"[x{t)]dx{tf + ...
= f'[x(t)]{a[x(t), t]dt + b[x(t), t]dW(t)}
M №@№@, tf[dW(t)f + ....
Все остальные члены здесь отброшены, поскольку они имеют порядок
выше второго. Воспользуемся теперь тем, что [dW(t)]2 = dt, и полу-
получим
df[x(t)] = {a[x(t), t]f'[x(t)] + \b[x(t), tff"[x(t)}}dt ^
D.3.14)
* + b[x(t), t}f'[x(t)]dW(t) .
136 Глава 4
Этот результат известен под названием формулы Ито. Как видно,
замена переменных производится не по обычным правилам анализа,
если только f\x(t)] не является просто линейной функцией x(t).
Функции многих переменных. На практике формула Ито в случае
многих переменных становится очень сложной. Простейший путь со-
состоит в том, чтобы применить распространенный на случай многих
переменных результат, согласно которому dW{t) есть бесконечно ма-
малая величина порядка (dt)l/2. Аналогично тому как это было сделано
в разд. 4.2.5, мы можем показать, что для /7-мерного винеровского
процесса W(t)
dWit)dWj{t) = 6tJdt D.3.15а)
[<W,(Or+2 = 0 (N>0) D.3.156)
dWt{t)dt = 0 D.3.15b)
dti+N =0 (#>(>), D.3.15r)
откуда следует, что dWt(t) есть бесконечно малая величина порядка
(dt)l/2. Заметим, однако, что D.3.15а) является следствием независи-
независимости dW((t) и dWj(t). Для того чтобы распространить формулу Ито
на функции «-мерного вектора x(t), удовлетворяющего стохастическо-
стохастическому дифференциальному уравнению
dx = А(х, t)dt + В(х, t)dW(t), D.3.16)
мы просто следуем этой процедуре и приходим к следующему резуль-
результату:
D.3.17)
4.3.4. СВЯЗЬ МЕЖДУ УРАВНЕНИЕМ ФОККЕРА — ПЛАНКА
И СТОХАСТИЧЕСКИМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЕМ
Рассмотрим теперь временной ход произвольной функции f[x(t)].
Пользуясь формулой Ито, получим
= (a[x(t), t]dj + \b[x{t), tfdlf} . D.3.18)
Расчеты методом Ию и СДУ 137
Однако x{t) имеет плотность условной вероятности р(х, t\x0, t0) и
jt </W0]> = J dxf(x)dtP{x, t\x0, t0)
= | dx[a(x, t)8J+ Щх, tfdlf]p{x,t\x0, t0). D.3.19)
Это выражение имеет вид, аналогичный C.4.16). При тех же услови-
условиях, что и в разд. 3.4.1, мы интегрируем по частям и отбрасываем «по-
«поверхностные» члены, получая в результате
j dxf{x)d,P = J dxf(x) {-дх[а{х, t)P] + \д\[Ь{х, tfp]}_
Отсюда, поскольку/(О — произвольная функция,
д,р(х, 11х0, t0) = -dl[a(x, t)p(x,t\x0, t0)] + \32x[b(x, tJp(x, t\x0, t0)] .
D.3.20)
Мы получили полную аналогию процессу диффузии, характеризуемо-
характеризуемому коэффициентом сноса а(х, t) и коэффициентом диффузии b(x, tJ.
Полученные результаты полностью сходны с результатами разд.
3.5.3, где было показано, что процесс диффузии может быть локально
аппроксимирован уравнением, напоминающим стохастическое диффе-
дифференциальное уравнение Ито.
4.3.5. СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ ПЕРЕМЕННЫМИ
Вообще говоря, системы стохастических дифференциальных уравне-
уравнений п переменных могут быть записаны в виде
dx = A(x, t)dt + B(x, t)dW(t), D.3.21)
где d\V(t) — винеровский процесс, описываемый п переменными, со-
согласно определению разд. 3.8.1. Распространяя рассуждения, прове-
проведенные в разд.. 4.3.4, на случай многих переменных, можно показать,
что уравнение Фоккера — Планка для плотности условной вероятно-
вероятности р (х, t\ jc0, t0) = р имеет вид
Э./> = -S 3,[Л,(х, t)p] + i S d<dj {[B(x, t)BT(x, t)]ljP}. D.3.22)
Заметим, что для всех матриц В, для которых ВВТ одинаково, полу-
получается одно и то же уравнение Фоккера — Планка. Это значит, что,
заменив В на BS, где S — ортогональная матрица (SSF = 1), мы
получим то же самое уравнение Фоккера — Планка. Отметим, что S
138 Глава 4
может зависеть от jc(O- Это можно показать более наглядно. Пусть
S есть ортогональная матрица с произвольной неупреждающей зави-
зависимостью от t. Определим
D.3.23)
Вектор d V(t) является линейной комбинацией гауссовских переменных
dW(t) с коэффициентами S(t), которые не зависят от dW(t), посколь-
поскольку S(t) неупреждающая. Таким образом, для всякого фиксированного
значения S(t), dV(t) являются гауссовскими, а их корреляционная
матрица есть
(dVtOdVjit)) = g Sll(t)SJm(t)<dWl(t)dW,,(ty>
= 2 Sit(t)SJt(t)dt = %dt, D.3.24)
поскольку S(t) ортогональна. Следовательно, все моменты не зависят
от S(t) и являются теми же самыми, что и моменты dW(t). Поэтому
dV(t) гауссовская и имеет ту же корреляционную матрицу, что и
dW(t). Наконец, средние значения в различные моменты времени мо-
могут быть представлены в виде произведения; например, при t > t' в
? <W(OW№W)S«('')]"> D.3.25)
I,к
мы можем вынести средние значения различных степеней dW^t), по-
поскольку dWj(t) не зависит от всех прочих членов. Оценивая их, мы на-
находим, что благодаря ортогональности S(O усреднение по dW^t) да-
дает просто
S ([diVjiDrxidw^nsunry, D.3.26)
откуда аналогично получаем {[dWit)]m[dWl(tl)]"}. Следовательно,
dV(t) также являются приращениями винеровского процесса. Ортого-
Ортогональное преобразование просто перемешивает различные реализации
процесса, не меняя его стохастический характер.
Отсюда следует, что вместо D.3.21) мы можем записать
dx = A(x, t)dt + B(x, t)ST(t)S(t)dW(t) D.3.27)
= А(х, t)dt + B(x, t)ST{t)dV(t), D.3.28)
а поскольку V(() представляет собой просто винеровский процесс, это
уравнение эквивалентно равенству
dx = A(x, t)dt + B{x, t)ST(t)dW(t)t D.3.29)
Расчеты методом Ито и СДУ 139
которому соответствует в точности то же самое уравнение Фоккера —
Планка D.3.22).
Некоторые примеры, в которых этот результат играет важную
роль, будут рассмотрены в разд. 4.4.6.
4.3.6. СТОХАСТИЧЕСКОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ
СТРАТОНОВИЧА
Стратонович [4.2] определил стохастический интеграл от выражения,
являющегося функцией x(t) и t, как
G t [Щи)
I I
D.3.30)
Отметим, что усредняется только зависимость от x(t). Если G{z, t)
дифференцируема по t, интеграл не зависит от конкретного выбора
значения t на интервале [/,-_,, ?,].
Стохастическое дифференциальное уравнение можно записать
с использованием интеграла Стратоновича:
x(t) = x(t0) + / dt'a[x(t'), t'] + SJ dW{t')p[x(t'\ П , D.3.31)
'0 '0
Мы покажем, что оно эквивалентно соответствующему СДУ Ито.
Пусть x(t) является решением уравнения
dx(t) = a[x(t), t]dt + b[x(t), t]dW(t) D.3.32)
Полагая, что в обоих случаях x(t) есть одна и та же функция, вычис-
вычислим коэффициенты а и /3. Вначале установим связь между
S j dW{t' )№(>'). С ] и j dW(V У>[х(С ), f ]. Имеем
'о 'о
\\\ti-l)]. D.з.зз)
В D.3.33) запишем
и воспользуемся СДУ Ито D.3.32), чтобы записать
а [х ((,_,), /,_,](/,- - /,_,) + Ь[х (/,_,), /,_i] [^(/,) - И^(/,_,)]. D.3.34)
140 Глава 4
Тогда, применяя формулу Ито, получим
= mtl_ i} + )_ dx{tji)<
D.3.35)
(для краткости везде, где это возможно, мы пишем CA:) вместо
/3[x(f,), tj] и т. п.). Подставляя все эти выражения в исходное уравне-
уравнение D.3.32), отбрасывая, как обычно, dt2 и dt dW и полагая dW1 = dt,
получаем
/,_,)(r,-/,_,
D.3.36)
Следовательно,
S J fi[x(t'), t']dW(O = J ^[Дг'), t']dW(t') + i j 6[x(f'), t']dj[x(t'), t']dt'-
D.3.37)
Эта формула устанавливает связь между интегралом Ито и интегра-
интегралом Стратоновича от функции /3[x(f), t'\, где х(Г ) есть решение
СДУ Ито D.3.31). Она не дает связи между интегралами Ито и Стра-
Стратоновича от произвольных случайных функций.
Если теперь выбрать
а(х, t) = a{x, t) - Щх, t)dxb{x, t) ¦
0(х, t) = b(x, t), D.3.38)
то мы увидим, что
СДУ Ито
соответствует
Стратоновича
СДУ
dx
dx
= а
= [а
dt
—
+ ь
dW(t)
*b]dt +
b
dW(t)
или, наоборот
Стратоновича
соответствует
, СДУ
СДУ Ито
dx =
dx =
a dt +
la + i
$dW{t)
pdj]dt +
P dW{t).
D.3.39a)
D.3.396)
D.3.40a)
D.3.406)
Расчеты методом Иго и СДУ 141
Замечания
1) Пользуясь формулой Ито D.3.14), мы можем показать, что прави-
правило замены переменных в СДУ Стратоновича в точности такое же, как
и в обычном анализе. Возьмем СДУ Стратоновича D.3.40а) и преоб-
преобразуем его в СДУ Ито D.3.406). Перейдем к новой переменной
у = f(x), которой соответствует обратная функция х = g(y).
По определению
Ф) = a[g{y)]
fry) = РШ] ¦
Пользуясь формулой Ито и замечая, что df/dx = (dg/dy)~\ получаем
СДУ Ито
« (IP
* -ИГ
Возвращаясь теперь к уравнению Стратоновича по формуле D.3.39),
получаем
dy = {adt + fidW)
или
dfW] = {a[x(t), t]dt + /?[*(*), t]dW(t)}f'[x(t)\ D.3.41)
в полном соответствии с правилом замены переменных в обычном
анализе.
2) Случай многих переменных. Если уравнение Ито для случая многих
переменных имеет вид
dx = А(х, t)dt +B(x, t)dW(t), D.3.42)
то соответствующее ему уравнение Стратоновича может быть полу-
получено путем замены
Л? = Л - i-2 BkJdkB,j D.3.43a)
Щ = fi,y • D.3.436)
3) Уравнение Фоккера — Планка, соответствующее СДУ Стратоно-
Стратоновича
(S) dx = A*(x, t)dt + B*(x, t)dW(t), D.3.44)
с использованием D.3.43) и известной связи между СДУ Ито и урав-
уравнением Фоккера — Планка (разд. 4.3.5) может быть представлено в
142 Глава 4
виде
U,k
D.3.45)
D.3.45) часто называют уравнением Фоккера — Планка в форме
Стратоновича. В отличие от двух вариантов СДУ два уравнения Фок-
Фоккера — Планка, хотя и имеют различный вид, подчиняются, естест-
естественно, правилам обычного анализа. Позднее мы увидим, что уравне-
уравнение Фоккера — Планка в форме Стратоновича в ряде ситуаций появ-
появляется весьма естественным образом (разд. 6.6).
4) Сравнение интегралов Ито и Стратоновича. Интеграл Стратоно-
Стратоновича, определенный согласно D.3.30), представляет собой весьма спе-
специальный объект, поскольку, в его определении используется функция
двух переменных G(z, /). Более «естественное» определение посредст-
посредством G(x\'2 (/, + f,-_|)l, \ (t, + /,_])) не было приведено Стратоновичем
в его оригинальной работе, хотя в литературе (включая и 1-е издание
этой книги) можно встретить опеределения интеграла Стратоновича с
помощью этого выражения. По-видимому, сходимость такого инте-
интеграла не может быть доказана (см. [4.6]). На практике строгое опре-
определение интеграла Стратоновича «из первых принципов» не представ-
представляет большого интереса, в то время как возможность осуществлять '
замену переменных по правилам обычного анализа имеет огромную
важность. Последнее обеспечивается не столько самим определением,
сколько соотношениями D.3.37, 43) между двумя типами интеграла.
Можно попросту определить интеграл Стратоновича формулой
D.3.37), потребовав, чтобы функция удовлетворяла СДУ D.3.31). С
точки зрения математики это вполне приемлемо и сильно упрощает
дело.
4.3.7. ЗАВИСИМОСТЬ РЕШЕНИЙ ОТ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ
И ПАРАМЕТРОВ
Точно так же, как и в случае детерминистических дифференциальных
уравнений, решение стохастического дифференциального уравнения, в
которое входят функции, непрерывным образом зависящие от некото-
некоторых параметров, также будет, как правило, непрерывным образом за-
Расчеты методом Ито и СДУ 143
висеть от этих параметров. Аналогично решение непрерывным обра-
образом зависит от начальных условий. Попробуем сформулировать это
более точно. Рассмотрим уравнение для одной переменной
dx = а{к, х, t)dt + Ь{к, x, t)dW(t)
с начальным условием
D.3.49)
x(t0) = ф.)
где X — параметр. Пусть х(Х, t) есть решение D.3.49). Пусть
1) st-lim с(Я) = с(Х0) ;
Д~До
2)lim{sup te[?0, Т][\а(к, x, t) - а{10, х, 01 + \b(X, x, t) - b{).0, x, t)\]} = 0;
3) существует К, не зависящее от X, такое, что
Тогда
st-lim { sup \x(/., t) - х(?.о, 01} = 0 . D.3.50)
X—До '<s Сг0.7
Доказательство можно найти в [4.1].
Замечания
1) Напомним, что по определению предела по вероятности предель-
предельный переход D.3.50) означает, что при X — Xq вероятность того, что
максимальное отклонение на любом конечном интервале [t0, T] между
х(\, О и ^(Xq, О больше некоторой положительной величины, стре-
стремится к нулю.
2) Зависимость от начальных условий достигается за счет того, что а
и Ъ полагаются не зависящими от X.
3) Полученный результат будет очень полезен для обоснования разло-
разложений в теории возмущений.
4) Условие 2 записано в наиболее естественном виде для случая, когда
функции а(х, () и b(x, t) сами не являются стохастическими. Часто,
144 Глава 4
однако, а(х, t) и b(x, t) представляют собой стохастические (неупреж-
дающие) функции. В этом случае условие 2 должно быть сформулиро-
сформулировано в вероятностном смысле. Для этого достаточно заменить lim^_x
на st-lim-. x .
4.4. ПРИМЕРЫ И РЕШЕНИЯ
4.4.1. КОЭФФИЦИЕНТЫ, НЕ ЗАВИСЯЩИЕ ОТ х
Простое уравнение
dx = a{t)dt + b{t)dW(t), D.4.1)
где a(t) и b(t) суть неслучайные функции времени, решается простым
интегрированием
x(t) - х0 + J a(t)dt + j b(t)dW(t) . D.4.2)
Здесь х0 может быть либо неслучайным начальным условием, либо
случайным, но не зависящим от W(t) - W(tQ) при / > /0; в против-
противном случае x(t) не будет неупреждающей.
В таком виде функция x(t) гауссовская при условии, чтох0 либо не-
неслучайное, либо само по себе гауссовское, поскольку
\b{t)dW{t)
есть просто линейная комбинация бесконечно малых гауссовских пере-
переменных. Далее,
(х(ф = <хо> +ja(t)dt
•о
(поскольку среднее значение интеграла Ито обращается в нуль) и
<[*(/) - <x(t))][x(s) - (хШ) = <x(t),x(s))
t s min (r, s)
= <J b(t')dW(t') J b(s')dW(s')y = j [b(t')fdt'.
'0 '0 '0
Расчеты метолом Ито и СДУ 145
Здесь мы воспользовались результатом D.2.42), в котором, однако,
G(t') = b(t')
= 0
Hit') = bit')
= 0
t'< t
t' ^ /
t' < s
t'>s.
Таким образом, процесс полностью определен.
4.4.2. МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫЙ ЛИНЕЙНЫЙ БЕЛЫЙ ШУМ
Уравнение
dx = ex dW{t) D-4.3)
называется мультипликативным белым шумом, поскольку оно линей-
линейно по х, но «шумовой член» d\V{t) входит в него в качестве сомножи-
сомножителя. Точное решение этого уравнения может быть получено с по-
помощью формулы Ито. Введем новую переменную
у = log х D.4.4)
и получим
dy = l-dx-±-Adxy
= с dWit) - \&dt. D-4.5)
Это уравнение можно непосредственно проинтегрировать:
ХО = y(to) + c[W{t) - Wita)} - \c\t - t0), D.4.6)
откуда
X(t) = jc(/o) exp {c[W(t) - W(t0)} - \c\t - t0)}. D.4.7)
Среднее значение можно рассчитать с помощью известной формулы
для любой гауссовской переменной z с нулевым средним значением:
<ехр z> = exp (<z2>/2) , так что D-4.8)
)> exp [\c\t - r0)
<х(г„)> . D.4.9)
146 Глава 4
Этот результат также с очевидностью следует из определения, по-
поскольку
{dx} — (ex dW(t)} = 0, так что
dt
Мы можем также вычислить автокорреляционную функцию
(x(t)x(s)) = (x(tof)(exp{c[W(t) + W{s) - 2W(t0)} - \c\t + s - 2?0)}>
= <x(roJ>exp{ic2[<[^(?) + W(s) - 2W(@)]2> -(t + s- 2t0)]}
= <x(foJ>exp(ic2[? + s~2to + 2mm(t, s) - (t + s - 2ta)]}
= <Jc(?0J>exp [cJmin(f - t0, s - f0)] • D-4.10)
Интерпретация Стратоновича. Можно получить решение этого
уравнения и в том случае, если интерпретировать его в смысле Стра-
Стратоновича; в этом случае можно использовать обычные методы анали-
анализа. Тогда вместо D.4.5) мы получим
dy = cdW(t),
откуда
x(t) = х(?0) ехр{с[^(г) - W(t0)]} . D.4.11)
В таком случае
\c\t - t0)} D.4.12)
(x(t)x(s)} = <х(?0J>ехр {\c%[t + s - 2f0 + 2min(f - /0, ^ - f0)]} • D.4.13)
Отчетливо видна разница между двумя полученными результатами.
4.4.3. КОМПЛЕКСНЫЙ ОСЦИЛЛЯТОР С ШУМЯЩЕЙ ЧАСТОТОЙ
Этот пример представляет собой упрощенный вариант модели, пред-
предложенной Кубо [4.4], и является некоторым обобщением предыдуще-
предыдущего примера на случай комплексной переменной. Рассмотрим уравнение
^ = i[« + V^«0k, D.4.14)
которое формально описывает простую модель осциллятора со сред-
средней частотой ш, возмущаемой шумовым членом ?(?)•
Расчеты методом Ито и СДУ 147
С физической точки зрения этот процесс удобнее всего моделиро-
моделировать уравнением Стратоновича
E) dz = \[codt + у/Щ dW(t)]z, D.4.15)
эквивалентным уравнению Ито (см. разд. 4.3.6)
dz = [(it» - Y)dt + i у/Ту dW(t)]z . D.4.16)
Беря среднее значение, мы сразу же получаем
^> = (j« - y)<z> DА17)
с затухающим осциллирующим решением
<z@> = ехр [(ко - y)t]<,z(O)} . D.4.18)
В разд. 6.6 мы подробно покажем, почему модель Стратоновича здесь
более удобна. Достаточно, по-видимому, обратить внимание на тот
факт, что на практике ?(/) будет более гладкой функцией, чем белый
шум, и поэтому, как и в случае модели Стратоновича, обычные мето-
методы анализа будут применимы.
В данном случае корреляционная функция, полученная из решения
исходного уравнения Стратоновича, имеет вид
(z(t)z(s)) = <z@J> ехр [(it» - y)(t + s)- 2ymin(t, s)]. D.4.19)
В пределе t, s ¦— oo, где t + t = s,
Um(z(t + t)z(O> = 0 . D.4.20)
Физический интерес, однако, представляет комплексная корреляцион-
корреляционная функция
<z(t)z*(s)} = <|z«))|2><
= <|z@)|2>exp{i«(; - s) - y[t + s - 2mm(f, s)}}
= <|z@)|2>exp [ico(t -s)-y\t-s\]. D.4.21)
Таким образом, в комплексную корреляционную функцию входит
член, описывающий затухание, полностью обусловленный шумом.
Этот эффект можно рассматривать как расфазировку, обусловленную
наличием шума, из-за которой при большой разнице во времени z(t) и
**(О становятся не зависящими друг от друга.
148 Глава 4
Эта модель комплексного осциллятора не позволяет, как показал
ван Кампен [4.5], описывать реальный осциллятор. Однако она впол-
вполне пригодна для того, чтобы качественно представить себе поведение
осцилляторов с шумящей частотой.
4.4.4. ПРОЦЕСС ОРНШТЕЙНА — УЛЕНБЕКА
На основании уравнения Фоккера — Планка для процесса Орнштей-
на — Уленбека (разд. 3.8.4) мы можем сразу же записать СДУ, вос-
воспользовавшись результатом разд. 4.3.4:
dx= - kxdt + VD dW(t), D.4.22)
и решить его непосредственно. Заменяя
у = х е*', D.4.23)
получаем
dy = (dx)d(ekl) + (dx)ekt + xd(ekt)
= [~kx dt + VDdW(t)]k ek'dt
+ [-kx dt + «Jb dW(t))ekl + kx ek'dt. D.4.24)
Первое произведение обращается в нуль, поскольку в него входят
только dt2 и dW(t)dt (можно показать, что так будет всегда, когда
мы умножаем х на детерминированную функцию времени). Тогда
D.4.25)
Интегрируя и возвращаясь к переменной х, получаем
x(t) = 40N-*' + л/D \ е-"и-"Ы1?A'). D.4.26)
о
Если начальное условие представляет собой нормально распределен-
распределенную или детерминированную функцию, тох(О является, очевидно, га-
уссовской, среднее значение и дисперсия которой даются выражения-
выражениями
*< D.4.27)
D {x(t)} = <{[.y@) - <я@)>]е-*' + VDJe-k('-">dW(t')}2> . D.4.28)
Расчеты методом Ито и СДУ 149
Считая начальное условие неупреждающим, т. е. не зависящим от
dW(t) для t > О, мы можем записать, используя результат разд.
4.2.6е,
D{x(t)} = D{*@)}e-2*' + Dje-2ku~'ndt'
о
= {[var{x@)} - D!2k}e-2k' + />/2>t. D.4.29)
Эти равенства совпадают с теми, что были получены в разд. 3.8.4 пу-
путем непосредственного решения уравнения Фоккера — Планка и, кро-
кроме того, они обобщены на случай неупреждающего случайного на-
начального условия. В дополнение к тому факту, что решение представ-
представляет собой гауссовскую переменную, мы также получили верную ус-
условную вероятность.
Временную корреляционную функцию также можно вычислить не-
непосредственно; она имеет вид
= D {x(O)}e-*"+I) -
= D {.х(О)}е~*"+л) + D J z-ku+s-i,ndti
0
= Г D {jr(O)} - ?1 e^"+s> + ?e-*"-' . D.4.30)
Заметим, что если к > 0, то при ?, 5 — оо при конечной разности
\t — s\ корреляционная функция становится стационарной и принима-
принимает вид, приведенный в разд. 3.8.4.
Действительно, если за начальный момент принять не 0, а —оо, то
решение D.4.26) принимает вид
x(t) r= Jf) J C~kU~')dW(t') , D.4.31)
где корреляционная функция и среднее значение, очевидно, принимают
свои стационарные значения. Поскольку процесс гауссовский, он ста-
стационарен.
4.4.5. ПЕРЕХОД ОТ ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТ К ПОЛЯРНЫМ
Для описания оптического поля нередко используется модель, пред-
представляющая собой пару процессов Орнштейна — Уленбека, один из
которых представляет действительную, а другой — мнимую компо-
150 Глава 4
ненту электрического поля:
dEx{t) = - yE^t) dt + e dWM
dE2(t) = - yE2(t) dt + e dWt(t). D.4.32)
Нас интересует переход к полярным координатам. Положим
?,@ = a(/)cos фA)
E2{t) = a@sin {5@ D.4.33)
и для простоты определим также
//(') = log a(f), D-4.34)
так что
fi{t) + \ф@ = log [?,(?) + i?2@] • D-4-35)
Пользуясь методом Ито, получаем
?,+i?2 а'+
JL
(?, + i?2J
D.4.36)
Поскольку dW^t)dW2(t) = 0, dW\(tJ = dW2(tf = dt, последний член
обращается в нуль, и
= -ydt + еехр [-/ДО - tyt)]{dWx{t) + i dW2(f)}. D.4.37)
Возьмем теперь действительную часть, подставим a(t) = exp[pi(?)] и,
пользуясь методом Ито, найдем
da(t) = {->'л(/) Ч- ^?2/а(г)}Л + z{dW,{t)co^{t) + ^^2(r)sin^(?)]} • D.4.38)
Мнимая часть дает нам
do(t) = [к я(/)] [-J^,(/)sin {5@ - Jl-^cos {5@] ¦ D.4.39)
Определим теперь
dWa(t) - t/H/,(Ocos d(/) -Ь (/^2(/)sin 6@
(/И'Д/) = - J^,(/)sin {5@ -I- t/H^Ocos {5@ ¦
D.4.40)
Расчеты методом Ито и СДУ 151
Заметим, что это — ортогональные преобразования того типа, о ко-
котором упоминалось в разд. 4.3.5, так что мы можем считать dWa(t) и
dW^(t) приращениями независимых винеровских процессов Wa(t) и
WJLt).
Таким образом, стохастические дифференциальные уравнения для
фазы и амлитуды имеют вид
= [Ela(t)]dWt(t), D.4.41а)
da(t) = [-ya(t) + №la(t)]dt + edW?t). D.4.41b)
Замечание. Пользуясь правилами, изложенными в разд. 4.3.6B), мож-
можно преобразовать как уравнение в декартовых координатах D.4.32),
так и уравнения в полярных координатах D.4.41) к форме Стратоно-
вича; при этом оказывается, что они имеют в точности тот же вид,
что и уравнения Ито. Тем не менее прямое преобразование с исполь-
использованием обычных методов анализа невозможно. Идя этим путем,
мы получали бы те же результаты вплоть до D.4.38), где недосчита-
недосчитались бы члена — E2/a(t) \dt. В связи с этим пришлось бы ввести до-
полнительный член1', который обусловлен тем, что в формулировке
Стратоновича приращения dW^t) коррелированы с Ф(Г), и поэтому
dWa(t) и dW^t) не могут быть просто определены выражениями
D.4.40). Здесь мы ясно видим преимущество метода Ито, в котором
сохраняется статистическая независимость dW(t) и переменных, опре-
определяемых в момент времени t.
К сожалению, уравнения в полярных координатах, в отличие от
уравнений в декартовых координатах, не позволяют получить явное
решение. Однако их удобно использовать при описании процессов в
лазерах: в уравнения лазера в D.4.416) входит только еще дополни-
дополнительный член, пропорциональный a(tJdt.
4.4.6. ПРОЦЕСС ОРНШТЕЙНА — УЛЕНБЕКА ДЛЯ СЛУЧАЯ МНОГИХ
ПЕРЕМЕННЫХ
Этот процесс определяется СДУ:
dx(t) = - Ax(t)dt + В dW(t), D.4.42)
'• В S-варианте этот член появляется при усреднении S-уравнений
da = -yadt + t[co$<p-dW] + sinyj-dWj],
«До = (e/a)l-sinip-dlVl + cos^-dWy (A\(a) = -ya)
с применением формулы D.3.43а). После выделения среднего в D.4.40) dW. и ip можно
уже считать некоррелированными. В итоге также придем к D.4.41). — Прим. ред.
152 Глава 4
(где А и В — постоянные матрицы), решение которого легко полу-
получить (ср. разд. 4.4.4):
x(t) = exp (-At)x(O) + / exp [-A(t - t')]B dW(t). D.4.43)
о
Среднее значение дается выражением
<х@> = ехр (-Л0<*@)> • D.4.44)
Корреляционная функция имеет вид
= exp (-At)(x@), xT@)>exp (-As)
+ /'""'"exp [-A(t - t')]BBrexp [-A^s - t')\dt'. D.4.45)
0
Для некоторых частных случаев интеграл может быть вычислен в яв-
явном виде1'; в задачах с не слишком высокой размерностью можно не-
непосредственно перемножить все матрицы под интегралом. Ниже мы
положим <*@), дст(О)> = ,0, что соответствует детерминированному
начальному условию, и рассмотрим несколько частных случаев.
а) Пусть АА1 = А1 А
Тогда найдется унитарная матрица S, такая, что
55+= 1
SAS+ = SATS+ = diag(A,, /2, ...Я„). D.4.46)
" Интеграл в D.4.45) может быть вычислен в общем случае следующим образом.
Для определенности положим 1>5и введем символ N упорядочения операторов, обо-
обозначающий, что А занимает крайнее левое положение, а АТ — крайнее правое. Тогда
этот интеграл можно записать
J = N | dt'expl-At - ATs + (A + Ar)t']BBT.
о
Производя обычное интегрирование под знаком N, получаем
J = N[[exp(-A(t - s)) - exp(-At - ATs)]{A + А7)~'ВВТ]
или
J = exp[-A(t - s)]p - exp(-/4/)pexp(-/4Ts),
где р = N[(A + AT)~'BBT], t. e. N[(A + А7)~]ВВТ - p] = 0 и
N[(A + Ary][BBT - (A + Ar)p]) = 0.
Складывая последнее равенство, умноженное слева на А, с этим же равенством, умно-
умноженным справа на Ат, отсюда имеем BBJ = N[(A + AJ)p] = Ар + рАт. Поэтому в
силу D.4.51) р совпадает с а. — Прим. ред.
Расчеты методом Ию и СДУ 153
Допустим для простоты, что t ^ s. Тогда
<х@, *Т<А» = S+G(t, s)S,
где
(/? /?^
[G(t, s)],j = т~'2 [exp (- /,-1 / - s |) - exp (- /., / - /, s)] . D.4.47)
/,¦ -h /;
6J Дисперсия в стационарном решении
Если/4 имеет только собственные значения с положительной действи-
действительной частью, то существует стационарное решение вида
*,(/) = / exp [-A(t - t')]BdW(t) . D.4.48)
Разумеется,
! D.4.49)
mirt(t,s) !
<х,(/), xj(s)} = J exp [-^(? - t')]BBTexp [-AT(s - t')]dt'. !
Определим стационарную корреляционную матрицу а как
ст= <xs@, ^К0> • D.4.50)
Тогда для
Аа + аАТ = \ А ехр [-Л(г - t')]BBle\p [-AT{t - /')]Л'
+ / ехр [-/!(/ - ?')]55тсхр[-/1т(? - t')]ATdt'
= J - {ехр[-Ж' - П]ВВ^хр [-А0 - t')]}dt'
эту величину можно оценить алгебраически. Вычисляя этот интеграл,
мы видим, что нижний предел исчезает в силу сделанного предполо-
предположения о собственных значениях А и остается только верхний предел.
Таким образом, для стационарной корреляционной матрицы мы полу-
получаем алгебраическое выражение
Аа + <тАт = ВВТ D.4.51)
154 Глава 4
в) Стационарная дисперсия в двумерном случае
Заметим, что если А — матрица размерности 2 х 2, то она удов-
удовлетворяет характеристическому уравнению
А2 - (Tr A) A + (Det A) = О, D.4.52)
а в силу D.4.49) и вытекающего из D.4.52) факта, что ехр(-ЛС) есть
многочлен первой степени относительно А, мы можем записать
a = aBBJ + P(ABBT + BBTAX) + yABBTAT .
Пользуясь D.4.52), мы находим, что D.4.51) удовлетворяется, если
« 4- (Тг А)Р - (Det А)у = О
2/?(Det Л) 4- 1 = О
откуда
^ot J~\RfiT _l rj __ ('Tr 4М1ЙЯТГ J _ /Tr ЛМ1Т
D.4.53)
_ (Det A)BBT + [A- (Tr A)\]BBT[A - (Tr /J)I]T
CT ~ 2 (Tr >4) (Det A)
г^ Временная корреляционная матрица в стационарном случае
Из решения D.4.49) мы видим, что при t > s
<х,@. *?(s)> = exp [-A(t - s)] I exp [~A(s - П]ВВгехр {-Ar(s - /')]*'
= exp [—A(t — s)]a t > s D.4.54a)
и аналогично
= a exp l-Ar(s - /)] / < s, D.4.54b)
что дает нам как раз такую зависимость от s — t, какой следует ожи-
ожидать от стационарного решения. Определив затем
Gs(t -s)= <x.@, xj(s)} , D.4.55)
мы видим (учитывая а = аТ), что
G,(t -s) = [G.(s - ОГ ¦ D.4.56)
д) Спектральная матрица в стационарном случае
Спектральная матрица оказывается довольно простой. Аналогично
разд. 1.4.2 определим
Расчеты методом Ито и СДУ 155
S(co) = ±- J e~iwrGs(T)^T D.4.57)
= г- J ехр [— (ко -j- А)т]а dx -\- \ а ехр [(— \ш + Ат)т]()т\
2.% @ _оо J
Отсюда (Л + iw)S(w)(/lT - ico) = — (oAT + Aa), и, пользуясь
D.4.51), получаем
= ^ (A + 1
D.4.58)
e) Теорема регрессии
Результат D.4.54а) известен также как теорема регрессии, поскольку
он устанавливает, что временной ход Gs(r) для т > 0 подчиняется то-
тому же закону, что и временной ход среднего значения (например,
D.4.44)). Это является следствием линейного марковского характера
рассматриваемой задачи. Поскольку
~ [G,(z)]dz = j% <х,(т), хТ@)> А
= <[-Лх,(т)А + В dW(x)], jct(O)> D.4.59a)
и поскольку т > 0, dW(r) некоррелировано с *J@) и
jt[Gs(t)]=-AGs(t).
D.4.596)
Таким образом, для вычисления Gs(t) необходимо знать Gs@) = а и
уравнение временного хода среднего значения. Полученный результат
аналогичен выводам разд. 3.7.4.
4.4.7. ОБЩЕЕ ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
о) Однородный случай
Рассмотрим сначала однородное уравнение
dx = [b(t)dt + g{t)dW(t)]x D.4.60)
156 Глава 4
и, пользуясь обычными правилами Ито, запишем
V = log;c, D.4.61)
так что
dy = dxlx ~ \(dxJlx2
-= [b{t)dt + g(t)dW{t)] - \g(tfdt. D.4.62)
Интегрируя и делая подстановку, обратную D.4.61), получаем равен-
exp
\[b(t')~hg{t'YW -\-'\g{t')dW{t')
ство
которое служит определением О
Заметим, что (с учетом D.4.8))
D.4.63)
D.4.64)
/ехр
'J}dt' + п \ g(t')dW(t')
= <[х@)]"> ехр я \ b(t')dt' + \п{п -
о
6У Неоднородный случай
Рассмотрим теперь
dx = [a(t) + b(t)x]dt + [/(г) + g{t)x\dW{t)
и запишем
z(r) =
D.4.65)
D.4,66)
, D.4.67)
где фA) соответствует определению D.4.64) и является решением од-
однородного уравнения D.4.60). Далее,
dz = dxty
dx
Учитывая, что с?[Ф(ОГ' = -d(t>(t)[4>(t)]~2 + [d<j>(t)]2[фA)]~3, и поль-
пользуясь правилами Ито, получаем уравнение
dz= {[a(O-f(t)g(t)]dt
D.4.68)
которое можно сразу проинтегрировать. Окончательное решение име-
имеет вид
x(t) = ф{1) х@) + / фЦГ1 ЫП - f(t')g(t')] dt' + f(t')dW(t')} . D.4.69)
Расчеты методом Ито и СДУ 157
в) Моменты и автокорреляция
Уравнения для моментов удобнее получить из D.4.66), нежели вычис-
вычислять моменты и автокорреляцию непосредственно из решения D.4.69).
Из
d[x(ty] = nx(ty-4x(t) +"(П'~ ])x(ty
2[f(t) + g{t)x(t)fdt
D.4.70)
следует
D.4.71)
Эти уравнения образуют иерархическую последовательность, в кото-
которой в каждое уравнение входят решения двух предыдущих и которую
можно последовательно проинтегрировать.
4.4.8. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
а) Однородный случай
Уравнение имеет вид
dx(t) - [B(t)dt -f- 2 G,{t)dWAt)]x{t), D.4.72)
где B(t), Gj(t) — матрицы. Вообще говоря, это уравнение не имеет
решения в конечном виде, если только все матрицы B(t), G,(/') не
коммутируют друг с другом во все моменты времени:
Gt{t)Gj{t') = Gj(nG,(t)
B(t)Gt{t') - G?t')B(t) D-4.73)
B{t)B{f) = B{t')B{t).
В этом случае решение полностью аналогично решению для случая
одной переменной
x(t) = ФA)х@)
где
j D.4.74)
f(t) = exp J [B(t) - i 2 G,(tf]dt
0
j E G,(t)dtV,(t)
0 '
158 Глава 4
б) Неоднородный случай
Неоднородное уравнение можно свести к однородному точно таким
же способом, как это было сделано для одной переменной. Рассмот-
Рассмотрим
dx{t) = [A(t) + B(t)x]dt + ? [F,.@ + Gt{t)x]dW{t) D.4.75)
и запишем
= y/(t)~lx(t), D.4.76)
где фA) — матричное решение однородного уравнения D.4.72). Внача-
Вначале нам необходимо найти с1[ф~1]. Для всякой невырожденной матри-
матрицы М имеем ММ"' = 1, и разложение с точностью до членов второго
порядка дает Md\M~x\ + dM M~] + dMd[M~x] = 0. Отсюда
d[M~x] = ~[М + dM\~xdM M~x, и, разлагая снова до членов второ-
второго порядка, получим
d[M~l] = -М-ЧМ М-1 + М~ЧМ М~ЧМ М-'. D.4.77)
Таким образом, поскольку ip(t) удовлетворяет однородному уравне-
уравнению, можно записать
dMtr1] = у«Г1 {[-B{t) + 2 Gt{tf]dt -
i
Возьмем дифференциал
dy{t) = ^(/Г1 {[A(i) - 2 GXOF.itydt
Отсюда
x@ = ^(/){x@) + jj(t')-1 {[А(П - Z GmUnW + H Ft(t')d(Vs(t')}}.
D.4.78)
Практической пользы от этого решения не так много, поскольку вы-
вычисление средних значений и корреляционных функций сопряжено с
большими трудностями, даже если известно решение однородного
уравнения.
4.4.9. ПРОЦЕСС ОРНШТЕЙНА — УЛЕНБЕКА, ЗАВИСЯЩИЙ ОТ ВРЕМЕНИ
Это уравнение представляет собой разрешимый частный случай
рассмотренного ранее общего линейного уравнения. Оно является
обобщением процесса Орнштейна — Уленбека для нескольких пере-
переменных (разд. 4.4.6), учитывающим зависимость параметров от вре-
времени:
dx(t) = -A(t)x(t)dt + B{t)dW(t). D.4.79)
Расчеты методом Ито и СДУ 159
Очевидно, что это уравнение имеет такой же вид, что и D.4.75), с уче-
учетом замены
5@ A(t)
2 F&f)dWit) - B(t)dW(t) D.4.80)
i
Gt(t) - 0.
Соответствующее однородное уравнение представляет собой просто
детерминистическое уравнение
dx(t) = - A(t)x(t) dt. D.4.81)
При условии, что A(t)A{t') = A(V \A(t), это уравнение разрешимо:
его решение имеет вид
x(t) = ^@*@),
где
щ@ = ехр[-J A(t')dt']. D.4.82)
о
Тогда с учетом D.4.78)
*@ = ехр [- J A(t')dt']x(Q) + / {ехр [- J Л(^]} B(t')dW(t') . D.4.83)
о or'
Это решение очень похоже на решение не зависящего от времени урав-
уравнения процесса Орнштейна — Уленбека, полученное в разд. 4.4.6. От-
Отсюда имеем
<дс(О> = ехр [- } А(<Уг']<х@)> D-4.84)
о
<х@, *т@> = exPb />*WK*@), x@)T> ехр l-JA^W]
о о
+ j Л'ехр[- / A(s)ds]B(t')BT(t')exp[~ j AT(s)ds]. D.4.85)
Or' (
Зависящий от времени процесс Орнштейна — Уленбека весьма
естественным образом возникает при разработке асимптотических ме-
методов описания малошумящих систем.
5
Уравнение Фоккера — Планка
В этой довольно длинной главе теория непрерывных марковских про-
процессов развивается с точки зрения соответствующего уравнения Фок-
Фоккера— Планка, которое определяет временной ход плотности вероят-
вероятности для данной системы. Глава распадается на две основные части,
посвященные соответственно процессам, описываемым одной и не-
несколькими переменными. Отдельное рассмотрение систем с одной пе-
переменной оправдывается тем фактом, что для них имеется большое
количество точных результатов. Поэтому в разд. 5.2 мы будем рас-
рассматривать всевозможные аспекты систем с одной переменной;
пазл. 5.3 посвящен системам со многими переменными. В обоих слу-
случаях задача об установлении соответствующих граничных условий
имеет решающее значение, и она рассматривается в общем виде в
разд. 5.2.1. Соответствующее рассмотрение граничных условий для
обратного уравнения Фоккера—Планка проводится в разд. 5.2.4. Кро-
Кроме того, в разд. 5.2 представлены точные результаты, полученные
для стационарных плотностей вероятности, свойства собственных
функций и задачи, связанные с достижением границ, — в большинстве
случаев для одной переменной удается получить решение в явном ви-
виде.
В разд. 5.3 рассматриваются точные результаты для систем с не-
несколькими переменными; как правило, в отличие от систем с одной
переменной эти результаты не удается представить в явном виде.
Кроме того, рассматривается понятие детального баланса, который
для систем с одной переменной почти тривиален, но в случае систем с
несколькими переменными приводит к интересным выводам.
В заключение рассматриваются точные результаты для задач со
многими переменными, связанных с достижением границ.
5.1. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
С уравнением Фоккера — Планка мы уже встречались прежде: внача-
вначале в форме, полученной Эйнштейном для уравнения диффузии (разд.
1.2), затем как с частным случаем дифференциального уравнения
Уравнение Фоккера — Планка 161
Чепмена—Колмогорова (разд. 3.5.2) и, наконец, в связи с рассмотре-
рассмотрением стохастических дифференциальных уравнений (разд. 4.3.4). Ис-
Используя уравнения Фоккера — Планка, часто удается быстрее прийти
к желаемым результатам, чем с помощью соответствующих стоха-
стохастических дифференциальных уравнений, но бывает и наоборот. Для
того чтобы получить полное представление о природе диффузионных
процессов, необходимо изучить оба подхода.
Возникновение названия уравнения Фоккера — Планка связано с
работами Фоккера A914) [5.1] и Планка A917) [5.2]: Фоккер исследо-
исследовал броуновское движение в поле излучения, а Планк на этой основе
попытался построить полную теорию флуктуации. Математики чаще
называют это уравнение уравнением Колмогорова, который дал ему
строгое теоретическое обоснование [5.3]. Иногда используется также
термин «уравнение Смолуховского». Не вдаваясь в проблему приори-
приоритетов, мы будем называть его уравнением Фоккера — Планка-, по-
поскольку такое название наиболее распространено в тех кругах специа-
специалистов, которым адресована эта книга.
5.2. УРАВНЕНИЕ ФОККЕРА — ПЛАНКА В ОДНОМЕРНОМ
СЛУЧАЕ
В одномерном случае уравнение Фоккера — Планка (УФП) принимает
простой вид:
д~^г = ~fx [А(х>0/(х'0] + т ё[В(Х't)fix'0] • E-2Л)
Как показано в разд. 3.4.5, УФП справедливо для условной плотности
вероятности, т. е. выбора
f(x,t)=p(x,t\xo,to) E.2.2)
при любом начальном значении х0, t0 и при начальном условии
p(x,to\x0,to) = 8(x — x0). E.2.3)
Однако, используя'определение единовременной плотности вероятно-
вероятности
р(х, t) = J dxa р{х, t; х0, t0) -= j dx0 p(x, t \ x0, to)p(xo, t0), E.2.4)
можно показать, что УФП справедливо также для р(х, t) с началь-
начальным условием
p(x,t)\t=l0=p(x,t0) , E.2.5)
которое обычно менее сингулярно, нежели E.2.3).
162 Глава 5
Из разд. 4.3.4 следует, что стохастический процесс, описываемый
условной вероятностью, удовлетворяющей УФП, эквивалентен СДУ
И то
dx{t) --= A[x(l), t\dt ~ ^rW^(t\t\dW{t)
и что эти два описания должны рассматриваться как взаимно допол-
дополняющие друг друга. Далее мы увидим, что теория возмущений, по-
построенная на основе УФП, отличается от теории на основе СДУ, и
что та и другая теории имеют свою сферу применения.
5.2.1. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
Уравнение Фоккера — Планка является параболическим дифференци-
дифференциальным уравнением в частных производных второго порядка, и для
его решения необходимо начальное условие типа E.2.5) и граничные
условия на концах интервала изменения х. Граничные условия могут
иметь различный вид.
Удобнее не ограничиваться случаем одной переменной, а сразу вы-
вывести граничные условия в общем виде. Рассмотрим прямое уравнение
3,р(г,') = - ? д7 А, (г, t)p(z, 0 + у S ^ вч Кг, 0P(z, t). E.2.6)
Заметим, что его можно переписать в виде
где мы ввели поток вероятности
J, (z, t) = А, (г, t)p(z, O-yS^ B,j (z, t)p(z, t). E.2.8)
Уравнение E.2.7) имеет вид локального уравнения сохранения и мо-
может быть преобразовано к интегральной форме. Рассмотрим некото-
некоторую область R с границей S и определим
P(R,t)= jdzpiz, t).
R
Тогда E.2.7) эквивалентно
)=' idSn.J^t), E.2.9)
Уравнение Фоккера — Планка 163
где п — внешняя нормаль к 5. Выражение E.2.9) показывает, что
уменьшение вероятности дается интегралом от J по поверхности,
ограничивающей область R. Можно, впрочем, доказать, что поток J
обладает и более общим свойством, а именно что его интеграл по лю-
любой поверхности S дает полный поток вероятности через эту поверх-
поверхность.
Действительно, рассмотрим две смежные области Rl и R2, разде-
разделенные поверхностью 512. Пусть Sl и S2 — поверхности, которые
вместе с 5,2 ограничивают соответственно области й, ий2 (см. рис.
5.1).
Тогда полный поток вероятности можно вычислить с учетом того,
что мы здесь имеем дело с процессом с непрерывными реализациями,
так что за достаточно короткое время At вероятность перехода из R2
в R, через поверхность 512 есть совместная вероятность нахождения в
/?2 в момент / и в Rl в момент t + At, равная
= \dx J dyp{x,t+ At;y,t).
Полный поток вероятности из R2 в Rr получим, вычитая отсюда ве-
вероятность перехода в противоположном направлении и деля на Аг.
lim -J-J dxj dy [p(x, t + At; y, t) - p(y, t + At; x, /)].
At—0 HI я, g2
Заметим, что
E.2.10)
поскольку это есть вероятность одновременного нахождения в R{ и
Я2- Тогда можно записать
E.2.10) = \dx\dy [д„р{х, t'\y, 0 - д„р{у, t';x, t)],,,t
Ri R2
E.2.11)
fuc. s.i. Области, использованные для де-
демонстрации того, что ток вероятности являет-
является потоком вероятности.
164 Глава 5
(здесь мы воспользовались уравнением Фоккера — Планка в. виде
E.2.7), где Jj(x, t; R2, t) получено из
,r р(х, t; R2, t)= f dy p{x, t; y, t)
Ri
таким же путем, как J{z, t) изp(z, О в E.2.8); Jt(y, t; /?,, t) определя-
определяется аналогичным образом. Перейдем теперь к интегралам по поверх-
поверхности. Интеграл по 52 обращается в нуль, поскольку в него входит
р{х, г. R2, г), в то время как д: не находится ни в области R2, ни на ее
границе (исключая случай множества нулевой размерности). Анало-
Аналогично интеграл по Sl обращается в нуль, и остаются лишь интегралы
по поверхности Sl2, поскольку здесь интегрирование проводится по
участку границы R} и R2.
Таким образом, полный поток вероятности из R2 в R{ есть
J" dS п- {/(*, t; Ru i) + J(x, t; R2, t))f
и, поскольку л: принадлежит объединению множеств Rx и R2, полный
поток вероятности за единицу времени из R2 в R1 равен
= lim ~- / dx j dy [р(х, t+At;y,t)- р(у, t + At;x, t)} = J dSn-J(x, t)
где единичная нормаль п направлена из R2 в Rv E.2.12)
Рассмотрим теперь различные типы граничных условий.
а) Отражающая граница
Мы рассматриваем ситуацию, в которой частица не может покинуть
область 7?, и, таким образом, поток вероятности через границу S об-
области R равен нулю. Это эквивалентно условию
n-J(z, 0 = 0 ПРИ z e S, п - нормаль к 5 E.2.13)
где J (z, t) дается выражением E.2.8), ал — нормаль к S.
Поскольку частица не может пересечь поверхность S, она должна
отражаться от нее, почему эта граница и называется отражающей.
б) Поглощающая граница
В этом случае мы предполагаем, что, как только частица попадает на
поверхность S, она удаляется из системы, т. е. граница поглощает ча-
частицу. Соответственно вероятность нахождения на границе равна ну-
Уравнение Фоккера — Планка 165
лю, т. е.
п ¦ J(z,t) = О при zeS. E.2.14)
в) Граничные условия на разрыве
Может случиться, что коэффициенты At и Btj имеют разрыв на по-
поверхности S, но через граничную поверхность S тем не менее происхо-
происходит свободное движение частиц. Следовательно, как вероятность, так
и нормальная компонента тока должны быть непрерывны на S,
E.2.15)
+ , E-2.16)
где индексы S+, S_ обозначают пределы величин слева и справа от
поверхности.
Согласно определению тока вероятности E.2.8), производныер (z)
не обязательно непрерывны на S.
г) Периодические граничные условия
Предположим, что процесс происходит на интервале [а, Ь], концы ко-
которого совпадают между собой (например, диффузия происходит на
окружности). Тогда мы накладываем граничные условия, полученные
из граничных условий для разрыва, т. е.
I: \\тр{х, О = \\mp{x,t) E.2.17)
И: lim J(x, t) = lim J(x, t). E.2.18)
Чаще всего периодические граничные условия накладываются в том
случае, когда функции А (х, t) и В (х, t) — периодические на одном и
том же отрезке, так что
А(Ь, 0 = А(а, t) E.2.19)
В{Ь, 0 = B(a.t).
Это означает, что условия I и II попросту сводятся к требованию ра-
равенства значений р(х, О и ее производных в точках а и Ъ.
д) Предписанные границы
Если коэффициент диффузии на границе обращается в нуль, то мы
имеем дело с ситуацией, когда вид границы может быть указан авто-
автоматически. Пусть движение происходит только в области х > а. Если
166 Глава 5
условие Липшица выполняется для А (х, /) и VB(v, /) при х = а,
(разд. 4.3.1), и В(х, О дифференцируема в х = а, то
) = 0. E.2.20)
Тогда СДУ имеет решения, и мы можем записать
dx(t) =A(x, 0 dt+fJixT?) dW{t) E.2.21)
В этом (довольно специальном) случае существенным оказывается
знак А (х, О, и мы, соответственно, рассматриваем три случая.
1) Выходная граница. Эта граница соответствует случаю
A(a,t)<0 E.2.22)
так что частица, достигающая точки а, с определенностью уходит в
область .v < а. Поэтому такая граница и называется выходной.
2) Входная граница. В этом случае
А(а,1)>0. E.2.23)
Теперь знак А (х, t) таков, что частица, достигающая точки а, должна
вернуться в область х > а. Таким образом, частица, помещенная
справа от а, никогда не может покинуть область. С другой стороны,
частица, помещенная вначале в точку х = а, непременно войдет в об-
область х > а, отсюда и название этой границы.
3) Естественная граница. Предположим, наконец, что
4 (а. 0=-0. E.2.24)
Частица, достигшая точки а, должна здесь и остаться. Можно пока-
показать, однако, что частице никогда не удастся попасть в эту точку. На
границе этого типа частицы не поглощаются, и через эту границу ча-
частицу нельзя ввести в область.
Феллер [5.4] показал, что, вообще говоря, границу всегда можно
отнести к одному из четырех типов: регулярные, входные, выходные
и естественные. В своей классификации он пользовался следующими
критериями. Определим
Да-) = ехр
- 2 J ds A (s)/B (s)
E.2.25)
g(x) =2/[S(.v)/(.v)] E.2.26)
Уравнение Фоккера — Планка 167
X
hx(.x)=f(x)\g{s)ds E.2.27)
h2(x)=g(x))f(s)ds, E.2.28)
где х0 фиксировано и принадлежит (а, Ь). Обозначим через
У(х\,х2) E.2.29)
пространство всех функций интегрируемых на интервале (х,, х2). Тог-
Тогда граница в точке а является
1. регулярной, если f{x)eS(a,x0), и g(x)es(a,xo)
2. выходной, если g(x) $ У (a, .v0), и Л, (.т) еУ{а, х0)
3. входной, если g(x) е У (а, х0), и й2 (х) е _/'(«, лг0)
4. естественной во всех остальных случаях.
Из результатов разд. 5.2.2 можно видеть, что для выходной границы
не существует нормализованного стационарного решения УФП, и что
среднее время достижения границы E.2.161) конечно. Аналогично, для
входной границы стационарное решение может существовать, но
среднее время достижения границы бесконечно велико. В случае регу-
регулярной границы среднее время достижения границы конечно, но ста-
стационарное решение с отражающей границей в точке а существует.
Естественные границы проанализировать труднее, и за подробностя-
подробностями мы отошлем читателя к [5.5].
е) Границы на бесконечности
Все вышеперечисленные типы границ могут иметь место на бесконеч-
бесконечности, если только нам удается одновременно обеспечить нормализа-
нормализацию вероятности, для чего (еслир(х) достаточно «удобная» функция)
требуется, чтобы
bmp(x,t) = 0. E.2.30)
Если дхр(х) удовлетворяет разумным требованиям (т. е. не начинает
бесконечно быстро осциллировать, когда х — оо), то
!^ дхР{х, () = 0, E.2.31)
168 Глава 5
так что для того, чтобы поток на бесконечности не обращался в нуль,
необходимо обычно, чтобы либо А(х, /), либо В(х, /) обращались в
бесконечность. В таких случаях удобнее всего переходить к новой пе-
переменной, которая конечна при х ~ оо.
Когда границы расположены на х = ±» и допускается существо-
существование ненулевых потоков вероятности, то сохранение вероятности
возможно в двух случаях:
Г) Д± со, t) = 0 E.2.32)
ii) /(+ co,f) = /(-co,f). E.2.33)
Здесь мы имеем дело с предельными случаями отражающих и перио-
периодических граничных условий соответственно.
5.2.2. СТАЦИОНАРНЫЕ РЕШЕНИЯ ОДНОРОДНЫХ УРАВНЕНИЙ
ФОККЕРА — ПЛАНКА
Вспомним (разд. 3.7.2), что для однородного процесса коэффициенты
сноса и диффузии не зависят от времени. В этом случае уравнение, ко-
которому удовлетворяет стационарное распределение, имеет вид
- [А(х)р,(х)] - у ~ [B(x)Ps(x)] = 0 E.2.34)
или, с использованием определения потока (разд. 5.2.1),
^/(x) E.2.35-)
ах
его решением, очевидно, является
j(x) = const. E.2.36)
Допустим, процесс происходит на интервале (а, Ь). Тогда
J(a) = J(x) = J(b) = / E.2.37)
и если одна граница является отражающей, то и другая должна быть
отражающей, и У = 0.
Если границы не являются отражающими, то они должны быть в
силу E.2.37) периодическими. В этом случае мы пользуемся граничны-
граничными условиями, определенными в E.2.17, 18).
а) Нулевой поток. Потенциальное решение
Полагая J = 0, перепишем E.2.37) в виде
А(х)р,(х) - у jx[B(x)p.(x)] = О; E.2.38)
Уравнение Фоккера — Планка 169
его решением является
р.(х) = ^f\ ехр[2 J dx-Ai
где .
ь
- константа, получаемая из условия нормировки
\dxps(x)= 1.
E.2.39)
E.2.40)
Подобное решение называется потенциальным — главным образом
потому, что стационарное решение получается путем единственного
интегрирования. Подробнее о. смысле этого названия мы поговорим в
разд. 5.3.3.
б) Периодическое граничное условие
В этом случае поток J не равен нулю, и E.2.36) можно записать в ви-
виде
А(х)рАх) - ¦j?
E.2.41)
Значение J не является произвольным, а определяется нормировкой и
периодическим граничным условием
рМ = ps(b)
J(a) = J{b).
Для удобства определим
у/(х) = ехр [2 J dx'A(\');B(x')].
а
Тогда E.2.41) легко проинтегрировать и получить
р,{х)В(хIу/(х) = р.(а)В(а)!ц/(а) + Jjdx'/y/(x') .
Наложив граничное условие E.2.42), находим
J = [B(bW(b) - B(u)ly/(a)]p.(a)l
т'ак что
ps(a)
¦? dx' B(b) . * dx' B(a)-\
I у{х') ?(Ь) "•" \ у(х') ?{
В(х)
E.2.42)
E.2.43)
E.2.44)
E.2.45)
E.2.46)
E.2.47)
170 Глава 5
в) Бесконечности и сингулярности
Если граница находится в бесконечности или в особой точке, то об-
обсужденные выше возможности могут не осуществиться, например из-
за расходимости. Полное перечисление всех возможных случаев пред-
представляло бы очень сложную задачу. Поэтому мы проиллюстрируем
их на ряде примеров в следующем разделе.
5.2.3. ПРИМЕРЫ СТАЦИОНАРНЫХ РЕШЕНИЙ
а) Диффузия в поле силы тяжести
Сильно демпфированное движение броуновской частицы в постоянном
гравитационном поле обычно описывают СДУ (разд. 6.4)
dx = -gdt-\- у/Ъ dW(t), E.2.48)
которому соответствует уравнение Фоккера — Планка
На отрезке (а, Ь) с отражающими границами стационарное решение
дается выражением E.2.39)
р,(х) = JT exp [-2gx/D] , E.2.50)
где все константы учтены в значении ./.
Очевидно, это решение нормализуемо на (а, Ь), только если а ко-
конечно, хотя Ъ может быть и бесконечно большим. Вся премудрость
этого результата сводится к тому, что, диффундируя внутри кувшина
с жидкостью, частицы будут опускаться вниз, и если кувшин беско-
бесконечно глубок, то это падение не прекратится никогда! Диффузия
вверх, против направления силы тяжести, также возможна на любое
расстояние с экспоненциально убывающей вероятностью.
Наложим теперь на (а, Ь) периодические граничные условия. Под-
Подстановка в E.2.47) дает постоянное распределение
A(-v) = ft(«). E.2.51)
Это означает, что частицы будут свободно проходить от и к & и об-
обратно.
6) Процесс Орнштейна — Уленбека
Воспользуемся обозначениями разд. 3.8.4, где уравнение Фоккера —
Планка имело вид
Уравнение Фоккера — Планка 171
Его стационарное решение на интервале (а, Ь) с отражающими грани-
границами дается выражением
ps(x) = Л" exp (-kx2jD). E.2.53)
Если/: > 0, решение нормализуемо на (— оо, +оо). Если/: < 0, то оно
имеет смысл только на конечном интервале.
Пусть
а = -Ъ < О . E.2.54)
Тогда для данного случая
E.2.55)
и, рассматривая периодическое граничное условие на этом интервале и
замечая, что
у{а) = у/{- а), E.2.56)
находим
ps(x) = pa(a)y/(x)/i//(a)
~~ (х2 - а2) ,
так что для симметричного случая мы получаем то же решение, что и
для отражающих границ.
Устремляя а — оо, мы снова получим такое же решение. Этот ре-
результат справедлив и в том случае, если а -~ оо независимо от
Ъ оо при к > 0.
в) Модель химической реакции
Хотя обычно химические реакции наилучшим образом моделируются
с помощью управляющего уравнения рождения — гибели (см. гл. 7),
приближенные подходы нередко используют уравнение Фоккера —
Планка. Представляет интерес реакция
х + А ^=± 2Х, E.2.57)
поскольку ей соответствует выходная граница при х = 0 (где х есть
число молекул вещества X). Очевидно, что когда вещества X нет, то
Молекулам Л не с чем соединяться, так что вещество X не произво-
производится.
172 Глава 5
Соответствующее уравнение Фоккера — Планка выводится в разд.
7.6.1 и имеет вид
д,р(х, t) = -дх[(ах - хг)р(х, t)] -f \ Щрх Л- хг)р(х, t)}.
E.2.58)
Установим отражающие границы в точкахх = а их = 0. В этом слу-
случае стационарное решение имеет вид
ps(x) = е~2х(а
E.2.59)
и не нормализуемо, если а = 0. Наличие полюса в точке х = 0 явля-
является следствием поглощения в этой точке. Сравнивая с E.2.28), мы
видим, что
.8@, t) =
= 0
Л@, t) = (ах - х\,а = 0
3,5@, t) = (а + 2х)х,а > 0,
E.2.60)
так что мы действительно имеем дело с выходной границей. Стацио-
Стационарное решение имеет смысл только для а > 0, так как в противном
случае оно не нормируется. Физический смысл отражающей границы
вполне прост: как только молекула вещества X исчезает, в систему не-
немедленно добавляется другая такая же. График ps(x) приводится на
рис. 5.2. На практике время, которое должно пройти, пока все моле-
молекулы X исчезнут, оказывается чрезвычайно большим, так что стацио-
стационарное решение E.2.59) дает хорошее приближение истинного рас-
распределения, за исключением области вблизи х — 0.
Рис. 5.2. Ненормализуемое стационарное реше-
решение р (х) для реакции X + А ^ 2Х.
Уравнение Фоккера — Планка 173
5.2.4. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ ОБРАТНОГО УРАВНЕНИЯ
ФОККЕРА — ПЛАНКА
Пусть р{х, t\x', t') удовлетворяет прямому уравнению Фоккера —
Планка для данных х, t и х', f и процесс ограничен областью R с гра-
границей S. Тогда, если 5 — время между tut', имеем
О = ^р(х, 11х', О = A j dyp(Xi t\y, s)p(y, s|x', t')
E.2.61)
(где мы воспользовались уравнением Чепмена — Колмогорова). Возь-
Возьмем под интегралом производную d/ds и используем прямое уравне-
уравнение Фоккера — Планка во втором сомножителе и обратное уравнение
в первом сомножителе. Для краткости обозначим
p(y,s) = p(y,s\x',t')
p(y,s) = p(x, t\y,s) .
Тогда
О = [ dy [- ? g| (A,p) + S ^ (BijP)]p
E.2.62)
E.2.63)
и после некоторых преобразований
E.2.64)
--12 <«, Ь \-а,р + 4- и #¦ (в„р)
si { I J. j oy,
E.2.65)
Рассмотрим по отдельности некоторые возможные случаи.
о) Поглощающие границы
Требуется, чтобы на границе р = 0. Легко видеть, что требование
Р(у, О = 0 на границе согласуется с E.2.65): подставляя р = 0 в это
Уравнение, получаем
E.2.66)
174 Глава 5
Однако если граница поглощающая, то, очевидно,
р(х, t\y, s) = 0, при у е границе, E.2.67)
а это равнозначно утверждению, что вероятность входа X в систему
со стороны границы равна нулю.
б) Отражающие границы
В этом случае условие, накладываемое на прямое уравнение, приводит
к обращению в E.2.65) первого интеграла в нуль. Последний сомно-
сомножитель обращается в нуль для произвольного р, только если
? п,В„(у) ~ [р(х, t \y, s)] = 0 . E.2.68)
В одномерном случае этому соответствует
~p(x,t\y,s) = 0, E.2.69)
если В не равно нулю.
в) Границы других типов
Эти границы мы не будем рассматривать здесь. Подробности можно
найти в [5.4].
5.2.5. МЕТОДЫ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ (ОДНОРОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ)
Покажем, как в случае однородных процессов решения наиболее
естественным образом выражаются с помощью собственных функ-
функций. Будем рассматривать отражающие и поглощающие границы.
а) Собственные функции для отражающих границ
Рассмотрим уравнение Фоккера — Планка для процесса на интервале
(а, Ь) с отражающими границами. Пусть УФП имеет решение Ps(x) и
имеет вид
о,р(х, t) = -дх[А{х)р{х, /)] + k dl [B(x)p(x, 0). E.2.70)
Определим функцию q(x, t)
р(х, Г) = p,{x)q(x, Г) E.2.71)
Уравнение Фоккера — Планка 175
я с помощью прямой подстановки убедимся, что q(x, t) удовлетворя-
удовлетворяет обратному уравнению
d,q{x, t) = A(x)dxq(x, t) + { B(xKlq{x, t). E.2.72)
Будем рассматривать решения вида
р(х, t) = Рх(х)е~Х1 E.2.73)
q{x,t)=Q,{.x)e-^t E.2.74)
которые удовлетворяют уравнениям для собственных функций:
-дх[А(х)Рх(х)] + \ дх[В{х)Р,{х)] = -кРх(х) E.2.75)
А{х)дхО,,{х) г | B{xKlQA*) = ~>'QAx) ¦ E.2.76)
Тогда можно показать путем непосредственного интегрирования, что
(Я' - }.)\dxH,{x)QA,(x)--=[Q,,{x){~-A(x)Px{x) + \дх[В{х)Рх(х)}}
а
- \ B(x)P>{x)dxQ,,(x)fa. E.2.77)
Применяя отражающее граничное условие к коэффициенту Qy(x), мы
видим, что он обращается в нуль. Далее, пользуясь определением
функции q(x, t) через стационарное решение E.2.71), нетрудно пока-
показать, что
i B{x)dxQx,{x) - -А(х)Р,,(х) 4- I дх[В(х)Рх,(х)], E.2.78)
так что этот член также обращается в нуль. Таким образом, коэффи-
коэффициенты Qx(x) и Рх(х) образуют биортогональную систему
J dx PA(x)Qx,(x) = 5;.я, E.2.79)
или же существуют две альтернативные ортогональные системы
ь
\dx p,(x)Qx(x)QAx) = Ьи, E.2.80)
а
Ь
idx[ps(x)]~>p.(x)P,,(x) = 8», ¦ E.2.81)
176 Глава 5
Заметим, что подстановка X = X' =0 дает нормировку стационарного
решения ps(x), поскольку
Р0(х) = Ps(x) E.2.82)
Q0(x) = 1 . E.2.83)
Пользуясь этой ортогональностью, мы можем записать любое реше-
решение в собственных функциях. Так, если
Р(х, /) = 2 АхР,(х^~"', E.2.84)
то
Ых Qx{x)p{x, 0) = Ах. E.2.85)
а
Например, условная вероятность р{х, t\x0, 0) дается начальным усло-
условием
р(х,О\хо,О) = 8(х~хо), E.2.86)
так что
Ах = J dx Qi(xM(x - jf0) = Qiix,,), E.2.87)
откуда
p(x, t \ Xo, 0) = S Рд(л-)еяи)е^' . E.2.88)
я
Автокорреляционную функцию можно записать в изящном виде
<х(<)х@)> = J Л f rf.vo *xop(.Y, Г | х0, 0)/7s(x) E.2.89)
= 2 [J Лг хРх(х)]гс-ь , E.2.90)
где мы воспользовались определением Qx{x) E.2.74).
б) Собственные функции для поглощающих границ
Этот случай очень сходен с предыдущим. Мы определяем РЛ и Qx так
же, как это сделано выше, причем ps(x) по-прежнему является стацио-
стационарным решением уравнения Фоккера — Планка с отражающими гра-
граничными условиями. При таком определении нам необходимо, чтобы
РМ = Qx{a) = РХ(Ь) = Qx(b) = 0, E.2.91)
Уравнение Фоккера — Планка 177
и доказательство ортогональности по-прежнему сохраняет силу. Да-
Далее, с использованием этого условия и уравнений E.2.75, 76) вычисля-
вычисляются собственные функции; мы приходим к аналогичным резуль-
результатам. Область значений X, однако, не включает X = 0, поэтому
р(х ,t\x0, 0) — 0, когда t — оо.
5.2.6. ПРИМЕРЫ
а) Винеровскии процесс с поглощающими границами
Рассмотрим уравнение Фоккера — Планка
д,Р = i dip E.2.92)
на интервале @, 1). Условие поглощения на границах требует, чтобы
р{0, t) = рA,0 = 0, E.2.93)
а значит, собственными функциями являются sin(/jxx); выполняем
разложение в ряд Фурье по синусам
pix, t) = J] bn{t) sminizx) E.2.94)
и убеждаемся, что это разложение удовлетворяет E.2.93). Начальное
условие выбирается так, чтобы
р(х, 0) = 5(х - х0),
и тогда коэффициенты Фурье суть
6„@) = 2 J dx 5(х — х0) sin {ппх) = 2 sin (ллх0) .
0
Подставляя разложение E.2.94) в E.2.92), получаем
Kit) = -ДА@,
где
я, = я v/2;
решение уравнения имеет вид
КО) = й„(О)ехр(- Kt) •
E.2.95)
E.2.96)
E.2.97
E.2.98)
E.2.99)
Итак, мы получили решение (которое в силу начального условия
E.2.95) определяет условную вероятность р(х, t\x0, 0)
р(х, 11 х0, 0) = 2 J] ехр(- Д„0 sin («лх0) sin («ях). E.2.100)
178 Глава 5
б) Винеровский процесс с отражающими границами
В этом случае граничное условие на интервале @, 1) сводится к
dxp(O,t) = dxp(l,t) = O, E.2.101)
и собственными функциями теперь являются cos(nTrx). Разлагая в ряд
Фурье по косинусам
р(х, 0 = 4" в0 + S в„(/) cos {nnx) E.2.102)
с прежним начальным условием
р(х, 0) = Ь(х - х0), E.2.103)
получаем
а„@) = 2\dx cos {ппхЩх - х0) = 2cos {nnx0). E.2.104)
о
Аналогично предыдущему случаю находим
в„@ = а„@) ехр (- Л„г), E.2.105)
где
Я„ = я2л2/2 E.2.106)
так что
р(х, 11 ха, 0) = 1 + 2 XI cos (ил-Yo) cos (илх) ехр (—Я„?). E.2.107)
При f — оо процесс становится стационарным, со стационарным рас-
распределением
г|*о,О)=1. E.2.108)
Можно рассчитать стационарную автокорреляционную функцию:
(x(t)x@))s =))dx dx0 ххор(х, t\x0,0)ps(x). E.2.109)
о о
Непосредственное интегрирование дает
<х@*@)>5 = -j + Д- f; ехр(- Я2п+1?) Bи + I)-4. E.2.110)
4 П /7-0
При t —¦ оо все экспоненты обращаются в нуль и
<х(/М0)>5 - \ = [<x>s]2. E.2.111)
Уравнение Фоккера — Планка 179
При t -~ О, используя тождество из теории дзета-функций Римана
(x(t)x@)}s -~± + A?Bn+ 1)- = \ = <*?>, E.2.112)
получаем
2B«+1Г = ^. E.2.113)
в) Процесс Орнштейна — Уленбека
Как и в разд. 3.8.4, уравнение Фоккера — Планка имеет вид
д,р(х, О = dx[kxp(x, t)] + i Dd2xp{x, t) . E.2.114)
Уравнение для собственных функций имеет вид
а+|а = 0, E.2.115)
и после замены
E.2.116)
d*Qx - 2ydyQx + Bi./k)Qx = 0 . E.2.117)
переходит в дифференциальное уравнение для эрмитовых полиномов
[5.6]. Можно записать
Q, = B"л!)-Н„0ч/Щ), E.2.118)
где
Х = пк; E.2.119)
эти решения нормируются так же, как в E.2.79—81).
Стационарное решение, как и раньше, имеет вид
РАх) = (к/nDy '2ехр (- kx2/D) E.2.120)
а общее решение может быть представлено в форме
Р(х, f) = ? ^уЩТШЩ exp (~-kx2ID)Hn(x^/klD)e-nk!An, E.2.121)
где
А. = ] dx p(x, 0)Нл(хЛ/Щ)B"п!)-. E.2.122)
Этот результат можно также получить непосредственно из решения в
явном виде для условной вероятности (разд. 3.8.4) с использованием
180 Глава 5
производящих функций для полиномов Эрмита. Временной масштаб
релаксации к стационарному состоянию определяется собственными
значениями
А. = лЛ. E.2.123)
Здесь к есть константа скорости детерминированной релаксации и
определяет таким образом самое медленное время релаксации. Ис-
Используя E.2.90), можно непосредственно вычислить автокорреляцион-
автокорреляционную функцию. Согласно результатам, полученным в [5.6],
H,(>-) = 2y, E.2.124)
так что из свойства ортогональности следует, что лишь при соб-
собственной функции, соответствующей п = 1, стоит отличный от нуля
коэффициент. Мы вычисляем
J" х Ph{x)dx = ] л/ЩЫУ) exp (~kx2/D)BxVklD)x E.2.125)
= §се~к'' E.2.126)
как мы уже нашли ранее (разд. 3.8.4, 4.4.4).
г) Рэлеевский процесс
Будем использовать модель амплитудных флуктуации, развитую в
разд. 4.4.5. Уравнение Фоккера — Планка имеет вид
д,р{х, г) = дх[(ух - м/х)р(х, 0] + Цдгхр(х, 0 , E.2.127)
где
^ = ?2/2. E.2.128)
Нормированное стационарное решение на интервале @, оо) имеет вид
Ps(x) = (ух/м) ехр (- ух1 пц). E.2.129)
Уравнение для собственных функций можно записать в форме
dlQx + A/х - yxJn)dxQx + {kln)Qx = 0 . E.2.130)
Вводя
z=-x2y/2fx E.2.131)
Уравнение Фоккера — Планка 181
получим уравнение
zdz2Qx + A - z)dzQx + (?.12y)Qx = 0 , E.2.132)
которое переходит в дифференциальное уравнение для полиномов Ла-
герра [5.6], если
Х = 2пу. E.2.133)
Можно записать (в нормированной форме)
Qx(x) = Ln(yx2/2/2). E.2.134)
Отсюда условная вероятность равна
п". E.2.135)
Функцию автокорреляции можно рассчитать так же, как в E.2.90):
(x(t)x(O)) = ? \J х dxУ— exp [z~^\ U (^--) 2 ехр(- 2nyt). E.2.136)
Используя
)dz zac-*Ln{z) = (- \уца -+- \)(а) , E.2.137)
о \п1
находим
О(Па-@)> = — S -г - ехр(- 2/r/t). E.2.138)
7 --о 4 w
5.2.7. ВРЕМЯ ДОСТИЖЕНИЯ ГРАНИЦЫ ДЛЯ СЛУЧАЯ ОДНОРОДНЫХ
ПРОЦЕССОВ
Нередко возникает следующая задача: как долго частица, положение
которой описывается уравнением Фоккера — Планка, будет оставать-
оставаться в заданном интервале значений х. Решение этой задачи можно по-
получить с помощью обратного уравнения Фоккера — Планка, как пока-
показано в разд. 3.6.
а) Две поглощающие границы
Пусть в начальный момент t = 0 частица имеет координату х. Нас
интересует, как долго она будет находиться на интервале (а, Ь), кото-
который содержит х:
а<х^Ь. E.2.139)
182 Глава 5
Представим себе, что в точках а и b имеют место поглощающие гра-
границы, так что частица, попавшая в эти точки, удаляется из системы.
Другими словами, если частица находится на интервале (а , Ь), то она
пока еще не выходила за его пределы.
При этих условиях вероятность того, что в момент t частица еще
находится в интервале (а, Ь), есть
J dx'p(x\ t\x,O) = G(x, t). E.2.140)
a
Обозначим через Т момент времени, в который частица покидает ин-
интервал (а, Ь). Тогда E.2.140) можно переписать в виде
РгоЬ(Г >t) = \ dx'p(x', t\x,0), E.2.141)
а
откуда следует, что G(x, t) есть то же самое, что и РгоЬ(Г ^ /). По-
Поскольку система однородна по времени, мы можем записать
p(x',t\x,0) =p(x',0\x, -0 E.2.142)
и представить обратное уравнение Фоккера — Планка в виде
д,р(х', t\x,0) = А(х)дхр(х', t\х, 0) + i B(x)dlp(x', t\x,O). E.2.143)
Таким образом, G(x, t) удовлетворяет уравнению
d,G(x, t) = A(x)dxG(x, t) + i B(x)d2xG(x, t). E.2.144)
Граничными условиями, очевидно, служат
р(х',0\х,0) = Цх-х'),
откуда
G(x, 0) = \, а ^ х ^ b
G(x,0) = 0,х < а,х > b.~ E.2.145)
Если же х = а или Ь, то частица немедленно поглощается, поэтому
когда х = а или Ь, т.е.
РгоЬ(Г > г) = 0
G(a, t) = G(b, t) = 0. E.2.146)
Поскольку G(x, t) есть вероятность того, что Т ^ i, среднее значение
любой функции Т есть
<f(T)> = - ]f(t)dG(x, t). E.2.147)
Уравнение Фоккера — Планка 183
Таким образом, среднее время достижения границы интервала
Т(х) = <Г> E.2.148)
дается выражением
Т(х) =-]t d,G{x, t)dt, E.2.149)
о
= ]G(x,t)dt E.2.150)
о
в результате интегрирования по частям.
Аналогично, определив
ОД = <Г»> , E.2.151)
находим
] E.2.152)
Можно получить несложное обыкновенное дифференциальное урав-
уравнение для Г(х), используя E.2.150) и интегрируя E.2.144) на интерва-
интервале @, оо). Замечая, что
J д, G(x, г) = G(x, оо) - G(x, 0) = -1 , E.2.153)
о
имеем
А(х)д,Т(х) + i В(х)д2хТ(х) = -1 E.2.154)
с граничным условием
Т(а)=Т(Ь) = 0. E.2.155)
Аналогично мы видим, что
- пТп^х) = А(х)дхТ„(х) + 1 В(х)д1Тп(х). E.2.156)
Это означает, что повторным интегрированием можно рассчитать все
моменты для времени выхода за пределы интервала.
Решения уравнений. Уравнение E.2.154) может быть непосредственно
проинтегрировано. Решение, после некоторых преобразований, пред-
представляется в виде
E.2.157)
184 Глава 5
Находим:
dy \ i dy' >'dzW(z) l\ dyy. dy' Kdzy(z)
JIf dy \ i dy >dzW(z) l\ dyy. dy K
T{x) = l\iv(yvlv(/)i B(z) \lv(y))lw(y')l B(z)
l Ну)
б) Одна поглощающая граница
Будем рассматривать движение по-прежнему на интервале {а, Ь), счи-
считая теперь границу а отражающей. Тогда граничные условия прини-
принимают вид
dxG(a,t) = 0 E.2.159а)
G(b,t) = O, E.2.1596)
как вытекает из условий для обратного уравнения Фоккера — Планка,
полученных в разд. 5.2.4. Решая E.2.154) с соответствующим гранич-
граничным условием, получаем
ь
dy
а отражающая
T(x) =- 21 -у-. } ^r— dz b поглощающая
E.2.160)
Аналогично можно найти
dy V(T) ° поглощающая
Т(х) = 2 J —r-r J т^ dz b отражающая
i v(y)l B(z) ^ 4
a < b.
E.2.161)
в) Практическое приложение: задача о переходе через потенциаль-
потенциальный барьер
Пусть движение точки описывается уравнением Фоккера — Планка
д,р(х, () = dx[U'(x)p(x, 1)} + Ddlp(x, t) . E.2.162)
Потенциал имеет максимумы и минимумы, как показано на фиг. 5.3.
Предположим, что движение происходит на бесконечном интервале,
так что стационарное решение имеет вид
ps(x) = jr exp [- U(x)/D]. E.2.163)
Это распределение бимодально (рис. 5.3), так что относительно вели-
велика вероятность того, что частица находится справа или слева от Ь, но
Уравнение Фоккера — Планка 185
не вблизи Ь. Чему равно среднее время выхода из левой потенциаль-
потенциальной ямы? Другими словами, каково среднее время перехода из а в
точку х, когда х находится в окрестности Ь1 Воспользуемся решением
E.2.160), заменяя
Ъ-~ х0
„--<*> E.2.164)
так что
Т(а - *„) = тг I dy ехР ШуIВ\ J ехр [- U(z)/D]dz .
E.2.165)
Если центральный максимум функции U(x) велик, a D мало, то
exp[U(y)/D] имеет острый пик в точке х = Ь, в то время как значение
ехр[— U(z)/D] очень мало вблизи z = Ь. Поэтому i exp[- U(z)/D]dz
оказывается очень медленно изменяющейся функцией у вблизи у = Ь.
Рис. 5.3. а — потенциал U(x) с двумя ямами;
б — стационарное распределение р (х); в —
среднее время первого перехода частицы из а в
х, Т(а - Х(]).
186 Глава 5
Значение этого интеграла будет приблизительно постоянным для та-
таких у, при которых exp[U(y)/D] существенно отличается от нуля. Это
позволяет нам принять во внутреннем интеграле у = b и вынести по-
полученный постоянный множитель из-под интеграла по у. Таким об-
образом, для E.2.165) мы получим приближенное выражение
1 ь
Т(а - Хо) ~
jr { dy exp [- U(z)/D]\Jdy exp [U(y)/D]. E.2.166)
Заметим, что в силу определения ps(x) в E.2.163) можно утверждать,
что
J dy exp [- U(z)ID] = nJJtr. E.2.167)
Это означает, что па есть вероятность нахождения частицы слева от Ъ
в стационарной системе.
График зависимости Т(а —¦ л:0) от х0 построен на рис. 5.3. Видно,
что среднее время прихода в х0 очень невелико, если х0 находится в ле-
левой яме, и очень велико, если х0 находится в правой яме. Это означа-
означает, что частица, переходя через барьер в правую потенциальную яму,
затрачивает основную часть времени на само преодоление барьера.
Есть все основания называть временем выхода то время, за которое
частица, изначально находящаяся в точке а, попадает в точку вблизи
с, поскольку это время мало зависит от истинного положения началь-
начальной и конечной точек. Это время мы можем оценить следующим об-
образом. Пусть вблизи точки Ь справедливо равенство
Щх) = U(b) - у (^J, E.2.168)
а вблизи точки а
Щх) ~ Ща) + у (^^J. E.2.169)
Постоянный множитель в E.2.166) можно оценить как
J dzcxp[-U(z)/D]~ \bw\_-™ ~^F\ E-2Л70)
exp [- U(a)ID], E.2.171)
а интеграл, считая, что х0 находится много правее центральной точки
Ь, можно привести к виду
Уравнение Фоккера — Планка 187
E.2.172)
= SVIkD exp [U(b)/D]. E.2.173)
Подставляя оба полученных выражения в E.2.166), получаем
Т(а — *0) = 2адк exp {[U(b) - U(a)]/D}. E 2.174)
Это — классическая формула Аррениуса в теории химических реакций.
Для моделирования химической реакции используется координата х,
причем х = а соответствует веществу А, а х — с соответствует веще-
веществу С. Моделью реакции служит вышеуказанный диффузионный про-
процесс, в котором два различных химических вещества разделены потен-
потенциальным барьером в точке Ь. Для химической реакции из статисти-
статистической механики следует, что
D = kT, E.2,175)
где к — постоянная Больцмана, а Г — абсолютная температура, Мы
видим, что зависимость от температуры определяется в основном экс-
экспоненциальным множителем, который часто записывают в виде
ехр(АЕ/кТ) E.2.176)
и который предсказывает весьма характерную зависимость от темпе
ратуры. Интуитивно смысл этого множителя вполне ясен: он описы-
описывает вероятность того, что значение энергии превысит высоту потен-
потенциального барьера в системе, находящейся в тепловом равновесии.
Молекулы, энергия которых достигнет этого значения, с некоторой
конечной вероятностью вступят в реакцию.
Подобные задачи мы рассмотрим во всех подробностях в гл. 9.
5.2.8. ВЕРОЯТНОСТЬ ДОСТИЖЕНИЯ ТОГО ИЛИ ИНОГО КОНЦА ИНТЕРВАЛА
Какова вероятность того, что частица, находящаяся вначале в точке х
на интервале (а, Ь), покинет его через точку а, и чему равно среднее
время выхода?
Полная вероятность того, что в момент / частица выйдет через
точку а, дается интегралом потока вероятности в точке а по времени.
Таким образом, мы определим эту вероятность как
gAx, О = - /*' J(a, t'\x, 0) E.2.177)
о
= jdt'{-A(a)p(a, t'\x, 0) + \да[В{а)р{а, t'\x, 0)]} E.2.178)
188 Глава 5
(знак минус выбран потому, что поток должен быть направлен
влево). Кроме того,
gb(x, 0 = | dt' {A(b)p(b, Г | х, 0) - \дь[В(Ь)рф, ? | х, 0)]}. E.2.179)
Эти выражения описывают вероятности того, что частица в момент /
покинет интервал соответственно в точке а или Ъ. Вероятность того,
что частица покинет интервал (скажем, в точке а) до момента / равна
РгоЬ(Га < 0 = ga(x, t)/ga(x, со). , E.2.180)
Найдем теперь уравнение для ga(x, t). Воспользуемся тем, что
р(а, t\x, 0) удовлетворяет обратному уравнению Фоккера — Планка.
Тогда
A(x)dxga(x, t) + \B{x)dlga{x, 0 = - jdt'd,J(a, t'\x, 0)-
о
= -J(a,t\x,0)
= d,ga(x,t). E.2.181)
Среднее время, через которое частица покинет интервал в точке а,
равно
Т(а, х) = J fSrProb (Т. <t)dt= - ]ga(x, t)dt\ga{x, со). E.2.182)
о о
Интегрируя E.2.181) по времени, получим
А(х)дх[па(х)Т(а, х)] + \В{х)д1[ла(х)Т{а, х)} - -тга
E.2.183)
где по определению
7га(х) = вероятность выхода в точке а = ga(x, oo). E.2.184)
Граничные условия для E.2.183) сразу следуют из граничных условий
для обратного уравнения Фоккера — Планка:
па(а)Т(а, а) = па(Ь)Т(а, Ъ) = 0 . E.2.185)
В первом из них, очевидно, Т(а, а) = 0 (время, за которое частица из
точки а попадет в точку а, равно нулю), а во втором тга(Ь) = 0 (веро-
(вероятность выхода через точку а для частицы, находящейся в точке Ь,
равна нулю).
Устремляя в E.2.181) t — oo, мы видим, что при этом частица уже
не находится на интервале (а, Ь). Следовательно, правая часть стре-
Уравнение Фоккера — Планка 189
мится к нулю, и мы получаем
А(х)дхпа(х) + \В{х)д1ка(х) = 0
E.2.186)
с граничными условиями
п.(а) = 1
па(Ь) = О.
При этих граничных условиях, а также при условии
жа(х) 4- пь{х) = 1
решение E.2.186) есть
nb(x) = [/ dy у{у)}1\ с/у ?{у) f
E.2.187)
E.2.188)
E.2.189)
E.2.190)
где ф(х) определена в E.2.157).
Эти формулы находят применение в задаче о релаксации распреде-
распределения, которое в начальный момент концентрируется около неустой-
неустойчивой стационарной точки (разд. 9.1.4).
5.3. УРАВНЕНИЯ ФОККЕРА — ПЛАНКА В
МНОГОМЕРНОМ СЛУЧАЕ
Уравнения Фоккера — Планка в случае многих переменных описыва-
описывают гораздо более многообразные и сложные зависимости. В качестве
границ выступают уже не просто конечные точки отрезка, а кривые и
поверхности; кроме того, характер границы может изменяться от
участка к участку. Стационарные решения даже для отражающих гра-
границ могут соответствовать ненулевым потокам вероятности, и мето-
методы собственных функций уже далеко не так просты.
Тем не менее между одномерным и многомерным случаями су-
существуют полезные аналогии, вот почему в данном разделе сохранен
порядок, которому мы следовали, рассматривая уравнения Фоккера —
Планка для одной переменной.
190 Глава 5
5.3.1 ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ
Пусть у нас имеется уравнение Фоккера — Планка в переменных х(:
д,р(х, о = - 2 д,[АКхЖх, t] + i g dfl,[B,jx)p(x, 0]. E.3.1)
Нам необходимо перейти к уравнению в переменных
У,=Мх), E.3.2)
где/, — некоторые дифференцируемые независимые функции. Обозна-
Обозначим через р{у, О плотность вероятности для новой переменной, кото-
которая дается выражением
p(y,t)=p(x,t)
д(хихг ...
E.3.3)
Простейший путь перехода к новым переменным состоит в использо-
использовании формулы Ито для соответствующего СДУ
dx(t) = A(x)dt + s/B{x) dW(t)y E.3.4)
с тем чтобы из полученного стохастического дифференциального
уравнения вывести уравнение Фоккера — Планка в новых переменных
(см. разд. 4.3.4).
Результат оказывается довольно сложным, В ряде случаев прямое
использование формулы E.3.3) оказывается более предпочтительнымi
Громоздких вычислений удается избежать лишь при всестороннем ис-
использовании свойств симметрии и различных упрощающих предполо-
предположениях.
Пример: Переход от декартовых координат к полярным. В качестве
примера рассмотрим переход к полярным координатам для рэлеевско-
го процесса, который ранее рассматривался с использованием СДУ в
разд. 4.4.5. Уравнение Фоккера — Планка в прямоугольных координа-
координатах имеет вид
Э.**,, Ег, г) = у± ElP + у^ЕгР + je'jg + Щ ¦ E.3.5)
мы же хотим записать его в координатах а и ф, которые связаны с
прежними координатами соотношениями
?, = а cof-ф E.3.6)
Ег = a sirci.
Уравнение Фоккера — Планка 191
Якобиан равен
г , Ег)
д(а, ф)
= а.
cos $5 — tfsinji
sin ф a cos ф
E.3.7)
Пользуясь представлением лапласиана в полярных координатах, запи-
запишем
ЪЕ\ + ЪЕ\ а2дф2 + адаГда) '
а также преобразуем E.3!б) к виду
ф = tan
Заметим, что
¦¦ = cos
E.3.8)
E.3.9)
E.3.10)
дф
дЕ2 ~ Е\
дШх = ~
Отсюда
Е
sin {
i/a.
COS j
i/a
Е № ^ + ^
E.3.11)
E.3.12)
192 Глава 5
Обозначим через р(а, ф) функцию плотности распределения в поляр-
полярных координатах. С использованием якобиана E.3.7) можно записать
С5-3-1
Теперь, объединяя E.3.5, 8, 12, 13), получим
др 3
<5-3-14>
Это и есть уравнение Фоккера — Планка, соответствующее двум сто-
стохастическим дифференциальным уравнениям в разд. 4.4.5, получен-
полученным путем замены переменных по формуле Ито.
5.3.2. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
В общих чертах мы уже коснулись граничных условий в разд. 5.2.1,
где они рассматривались с точки зрения потока вероятности. Судя по
всему, граничные условия для произвольного многомерного уравнения
Фоккера — Планка еще не исследованы во всей их полноте. Поэтому
в настоящей книге мы будем рассматривать по преимуществу отра-
отражающую граничную поверхность S, для которой
«¦/ = 0 S, E.3.15)
где п — нормаль к поверхности, а
Ux, О = А,(х, t)p(x, t) - ~ Ц ?- В„(х, t)p(x, t), E.3.16)
Z j OXj
а также поглощающую граничную поверхность, где
р(х, 0 = 0 при д:6 5. E.3.17)
На практике некоторые участки поверхности могут быть поглощаю-
поглощающими, а другие — отражающими. Если Л, или В- имеют разрыв на
поверхности S, то мы потребуем, чтобы
п/, = и/2 mS E.3.18)
Pi(x) = рг(х) при* €5.
Тангенциальная компонента тока может при этом не быть непрерыв-
непрерывной.
Уравнение Фоккера — Планка 193
Граничные условия для обратного уравнения уже были получены в
разд. 5.2.4. Приведем их здесь для полноты:
Поглощающая граница: р(х, t\y, t') = 0 у <= S E.3.19)
Отражающая граница: 2 M.-/jO ¦*-р(х, t\y,t')~O у <= S . E.3.20)
U ОУ]
5.3.3. СТАЦИОНАРНЫЕ РЕШЕНИЯ: ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ
Большой класс систем описывается уравнениями Фоккера — Планка,
допускающими стационарное распределение, при котором поток веро-
вероятности обращается в нуль для всех д: из Р. В этом случае, преобразуя
определение потока / E.3.16), мы получим полностью эквивалентное
уравнение
| s ад a-ff = P.w [лы - { s 4 ад] •
E.3.2D
Если матрица В^(х) имеет обратную для всех д:, мы можем перепи-
переписать E.3.21) в виде
~ log [р.(х)] = Е ЯЛ*) \2Ак(х) - ? А. В {х)] E.3.22)
ох, к 1_ j axj j
= Z,[A, В, х]. E.3.23)
Это уравнение не может удовлетворяться для произвольных BJx) и
А^х), поскольку его левая часть представляет собой градиент. Следо-
Следовательно, Z, также должно быть градиентом, для чего необходимым
и достаточным условием является равенство нулю его ротора, т. е.
ff = l|- E'3-24)
Если это условие выполнено, то стационарное решение можно полу-
получить простым интегрированием E.3.22):
Р.(х) = ехр {} dx' ¦ Z[A, В, х'}}. E.3.25)
Условие E.3.24) называется потенциальным условием, поскольку ве-
величины Z( определяются через производные от ln[ps(x)], так что этот
логарифм может рассматриваться как некоторый потенциал — Ф(х),
т. е.
Р,(х) = ехр {-ф(х)\ E.3.26)
194 Глава 5
= -]dx'-Z[A,B,x'].
E.3.27)
Пример: рэдеевский процесс в полярных координатах. Из E.3.14) на-
находим
E.3.28)
E.3.29)
E.3.30)
E.3.31)
E.3,32)
E.3.33)
E.3.34)
E.3.35)
5.3.4. ДЕТАЛЬНЫЙ БАЛАНС
а) Определение детального баланса
Ситуация, когда стационарное решение некоторого уравнения Фокке-
ра — Планка соответствует исчезновению потока вероятности, явля-
является частным случаем физического явления детального баланса. Мар-
Марковский процесс удовлетворяет детальному балансу, если, грубо гово-
A =
-уа
откуда
v д в
так что
Z = 2 Д1
+ ?'/;
0
0
гг/аг
j 0
-[
и, очевидно,
dZa dZ$
дф ~
да
= 0.
Тогда стационарное решение имеет вид
-V+ioga
Уравнение Фоккера — Планка 195
ря, в стационарном случае всякий возможный переход уравновешива-
уравновешивается соответствующим обратным переходом. Поскольку понятие де-
детального баланса пришло из физики, разберем его более подробно на
физическом примере. Рассмотрим газ частиц с координатами г и ско-
скоростями и. Под переходом будем понимать, что частица, имеющая в
момент / координату и скорость (г, v), приобретает к моменту t + т
координату и скорость (/•', v'). Плотность вероятности этого перехо-
перехода есть совместная плотность вероятности p(r', v', t + т; г, v, t).
Мы можем обозначить этот переход как
(г, v, t) — (I-', v\ t + z). E.5.36)
Обратный переход не сводится просто к перемене местами штрихо-
штрихованных и нештрихованных величин: его следует записать в виде
(г', - v', t) — (г, -v,t + z). E.3.37)
Обратный переход соответствует обратному течению времени, и по-
поэтому требует перемены знаков скоростей: движение от г' к г' проис-
происходит в направлении, обратном движению от г к г'.
Плотность вероятности для обратного перехода является, таким
образом, совместной плотностью вероятности
p(r, -v, t + z; r', ~v', t). E.3.38)
Принцип детального баланса требует, чтобы эти две плотности веро-
вероятности были равны между собой, когда система находится в стацио-
стационарном состоянии. Следовательно, можно записать
Л(г', V, т; г, v, 0) = p.(r, -v, т; г', -v', 0). E.3.39)
Принцип детального баланса может при определенных условиях быть
выведен из законов физики; см. [5.7] и разд. 5.3.6.
Для марковского процесса равенство E.3.39) можно переписать в
более подробном виде:
P(r', v', z\r,v, 0)p.(r, v) = p(r, -v,z\r',- v', 0)ps{r', - v'), E.3.40)
где условные вероятности теперь относятся к соответствующему од-
однородному марковскому процессу (если бы процесс был не марков-
марковским, они относились бы только к стационарной системе).
В общем виде понятие детального баланса формулируется для про-
произвольных величин Xj, которые при обращении времени изменяются
по закону
xt-~Etx, E.3.41)
е< = ± 1. E.3.42)
196 Глава 5
Если величина сохраняет знак, она называется четной, если меняет его
на противоположный,— нечетной. В вышеприведенном примере коор-
координата является четной величиной, а скорость — нечетной.
Итак, понятие детального баланса может быть определено ра-
равенством
/?,(*, t -Ь г; х', О = Ps(sx'. t 4- т; ex, t) , E.3.43)
где под ?х мы понимаем (е^х, sj<2, . . ).
Заметим, что при т = О E.3.43) переходит в
5(х - х'М*') = Нгх - вх>,(ех). E.3.44)
Две дельта-функции равны между собой, так как может изменяться
лишь знак аргумента, но не абсолютная величина. Таким образом, из
определения принципа детального баланса E.3.43) следует, что
р,(х) = р,{ех). E.3.45)
Переходя к условным вероятностям, получим
р(х, т | х', 0)ps(x') = р(ех', т | ex, 0)ps(x).
E.3.46)
б) Общие следствия из детального баланса
Важным следствием из E.3.45) является тот факт, что
<*>s = ?<х>5 E.3.47)
(и, следовательно, все нечетные переменные имеют нулевое среднее
значение), а также для автокорреляционной функции
мы имеем
откуда
G(r) = sGT(t)s.
E.3.48)
Полагая т = 0 и учитывая, что для корреляционной матрицы а — стт,
получаем
<хб = ест. E.3.49)
Уравнение Фоккера — Планка 197
Для матричной спектральной плотности
S(co) = ~ ] e-^G(z)
*-'Ь — со
из E.3.48) следует, что
S(m) = eSr(w)B . E.3.50)
в) Обстоятельства, требующие расширения понятия детального
баланса
Может случиться, что уравнение, описывающее марковский процесс,
имеет несколько стационарных решений. В таком случае вместо
E.3.43) может выполняться более слабая формулировка понятия де-
детального баланса, а именно
pl(x, t + V; х', t) = рХех', t + г; ех, /), E.3.51)
где индексы 1 и 2 соответствуют двум различным стационарным ре-
решениям. Подобная ситуация может возникнуть, если какая-либо вели-
величина является нечетной по отношению к обращению времени, но ее
абсолютное значение не изменяется со временем. Этим свойством, на-
например, обладает полный момент количества движения в центрифуге.
Так же ведет себя постоянное магнитное поле.
В таких случаях условия детального баланса по большей части за-
записывают в виде
рКх, (+т;х\()= pIx{ex\ f т; ех, /), E.3.52)
где X есть вектор, составленный из постоянных величин, который ме-
меняется на еХ при обращении времени. Согласно одной точке зрения,
такая ситуация не отвечает условию детального баланса, поскольку в
данном стационарном решении переходы не находятся в детальном
балансе между собой. Вероятно, свойство E.3.52) было бы правильнее
называть инвариантностью относительно обраи/ения времени.
Далее под детальным балансом мы будем понимать ситуацию,
описываемую равенством E.3.45), поскольку из E.3.52) не вытекает
сколько-нибудь важных следствий.
5.3.5. СЛЕДСТВИЯ ДЕТАЛЬНОГО БАЛАНСА
Условие детального баланса для уравнения Фоккера — Планка было
сформулировано ван Кампеном [5.7] и независимо Ульхорном [5.8] и
Грэхемом и Хакеном [5.9]. Мы сформулируем эти условия в несколько
A)
B)
C)
Щх х')л(х') =
Е,А,(ех)р3(х) =
еМе*) = В
= W{sx'\ex)Ps{x
— Ai(x)ps(x) -f
„(*) ¦
z?lBtJ(x)p
j OXj
Xx)}
198 Глава 5
более естественном и общем виде. Нам нужны необходимые и доста-
достаточные условия, накладываемые на коэффициенты сноса и диффузии и
на вероятности скачков, при которых уравнение для однородного мар-
марковского процесса имеет стационарные решения, удовлетворяющие ус-
условию детального баланса. Покажем, что необходимые и достаточ-
достаточные условия даются выражениями
E.3.53)
Для того чтобы конкретизировать эти условия для случая уравнений
Фоккера — Планка, необходимо просто приравнять нулю вероятности
скачков W{x\x').
Необходимые условия. Проще сформулировать условия для дифферен-
дифференциального уравнения Чепмена — Колмогорова, чем ограничиваться
уравнением Фоккера — Планка. В соответствии с определениями ве-
величин W{x\x'), ЛДдг) и В,у(*)> данными в разд. 3.4 (поскольку мы
имеем дело с однородным процессом, все эти величины, разумеется,
не зависят от времени), тривиальный результат получается из E.3.46)
и заключается в том, что для детального баланса необходимо выпол-
выполнение равенства
Щх! х>.(х') = Щех' | вх)ра(х) , E.3.54)
Рассмотрим теперь коэффициент сноса. Для простоты запишем
х' = х + 5 . E.3.55)
Тогда из E.3.46) следует
j + eS, At\ex, 0)ps(x)
\i\<K
= J dS S,p(x, At \x -r S. 0)ps(x + 5) E.3.56)
|<Я<ЛГ
(в пределах интегрирования мы пишем К вместо ?, чтобы не путать с
?,). Разделим это выражение на At и перейдем к пределу At — 0; левая
часть дает нам
r.iAi(ex)ps(x) + О(К). E.3.57)
Уравнение Фоккера — Планка 199
Преобразуем правую часть:
р(х + 6 - S, At | х + S, 0)Ps(x + S) = p(x -S,At\ x, 0)Ps(x) E.3.58)
+ S 6j~ [p(x -t,At\ x, 0)p.(x)] + 0C'),
и, переходя к пределу, получаем
lim -J-; J dS \siP(x -S,At\ x, 0)p,(x) + ? 6,5j ~ [p(x -S,At\ ж,0)Л(ж)]|
д,-0 Д' I j OXj )
+ O(K) = -A^x)p,(x) + S^-№/*W*)J + O(K). E.3.59)
Здесь мы воспользовались тем, что, как показано в разд. 3.4, члены, в
которые 5 входит в степени выше второй, имеют порядок К. Устрем-
Устремляя К -~ 0, находим
ElAi(ex)pXx) = -АЦхЫ*) + S з^№у(х)Л(ж)]. E.3.60)
Условие для В^(х) получается аналогичным образом, однако здесь
уже нет члена, подобного второму слагаемому в правой части E.3.60),
так как главным членом является О (б2). Находим
Eft}BtJ(tx) = B,j(x). E.3.61)
Третьим условием, разумеется, является требование, чтобы ps(x) бы-
была стационарным решением дифференциального уравнения Чепмена —
Колмогорова. Это условие не тривиально, и, вообще говоря, не зави-
зависит от остальных.
Достаточные условия. Покажем теперь, что условия E.3.53) являют-
являются достаточными. Пусть эти условия удовлетворены, ps(x) — стацио-
стационарное решение дифференциального уравнения Чепмена — Колмого-
Колмогорова, а р(х, t\x', 0) — решение этого уравнения. Рассмотрим вели-
величину
Р(х, 11 ж', 0) = р(гх\ 11 ex, 0)Л(*)/л(*') ¦ E-3-62)
Очевидно,
р(х, 01 ж', 0) = 5(ж - ж') = р(х, 01 х', 0). E.3.63)
Подставим р в дифференциальное уравнение Чепмена — Колмогорова
и покажем, что, коль скорор(х', t\x, 0) подчиняется обратному урав-
уравнению Чепмена — Колмогорова относительно переменной х, величина
р является решением прямого дифференциального уравнения Чемпена
— Колмогорова.
200 Глава 5
Проделаем вычисления в явном виде. Для краткости будем писать
р вместо р(х, t\x', 0)
ps вместо ps{x)
p's вместоps{x') E.3.64)
р(х) вместо р(х', t\x, 0).
Рассмотрим по очереди один член за другим.
1) Вклад сноса:
-2 ^ {Лф) = -S ~ (AiP(ex)ps/Ps') E.3.65)
OX,-
2) Вклад диффузии:
?k}- ¦ E-3-66)
3) Вклад скачка:
| z)p(z, 111', 0) - W(Z | x)^(x, r | x', 0]
= J dz{W{x I z)p.(*Ke*', /1 bz, 0) - H^(z I x)ps(x)p(ex', t \ ex)]/ps. E.3.67)
Пользуясь тем, чтоps(x) является решением стационарного дифферен-
дифференциального уравнения Чепмена — Колмогорова, запишем теперь
Мк(А'рд + У §аЖ
E.3.68)
а с учетом условия детального баланса E.3.53A)) —
= - J dz W(ez i ex)Ps(x) . E.3.69)
Сделаем теперь замену
у = ех E.3.70)
у' = ех'
Уравнение Фоккера — Планка 201
и сложим все три вклада, учитывая E.3.68, 69)
= -S ?lAi(ey)Ps(y) [щгХу)] + 2 W ^ [Ви
2
|/,0) - W(ey\z)ps(z)p(y\t\y,Q)}
Подставим сюда условия детального баланса E.3.53)
E-3-71)
lps(y').
+±-X Вп(у) =-
J dz[W(z \y)p(z, t\y', 0) - W(z \y)p(y', t \y,
, г \у, 0)
E.3.72)
В члене в фигурных скобках мы теперь узнаем обратный оператор
Чепмена — Колмогорова (см. разд. 3.6, C.6.4)). В силу однородности
процесса
p(y',t\y,O)=p(y,O\y,~t)
и, наконец,
E.3.72) = ~ [р(у'ь 11, О)рХу)!рХу'I = |г /К*, ? I *', 0).
E.3.73)
Это означает, чтор(д:, Нде',0), определенная в E.3.62), удовлетворяет
прямому дифференциальному уравнению Чепмена — Колмогорова.
Поскольку начальные условия ппяр(х, t\x' ,0) пр(х, t\x' ,0) при t — 0
одни и те же E.3.63), и решения единственны, достаточность условий
детального баланса E.3.53) доказана.
Замечания
1) Все переменные четные. При этом условия существенно упрощают-
упрощаются, если е( = +1 для всех /:
E.3.74)
E.3.75)
E.3.76)
Aix)ps{x
B,j{x) =
Bt,(x)
W{x'
\x)p
[Bu(
x)p,(x)l
202 Глава 5
(последнее из этих условий тривиально). Условие E.3.75) в точности
совпадает с потенциальным условием E.3.21), которое соответствует
обращению в нуль потока вероятности в стационарном состоянии.
Условия E.3.74, 75) вместе означают, чтор$(х) удовлетворяет ста-
стационарному дифференциальному уравнению Чепмена — Колмогорова,
что, вообще говоря, неверно для общих условий E.3.53).
2) Уравнения Фоккера — Планка. Ван Кампен [5.7] и Грэм и Хакен
[5.9] ввели понятие обратимого и необратимого сноса. Обратимый
снос определяется равенством
А(х) = i M,(Jt) + Mi(«*)], E.3.77)
а необратимый — равенством
/,(*) = \ [Aix) - е,А,(ех]. E.3.78)
Пользуясь определением потенциала
р.(х) = ехр 1-ф(х)], E.3.79)
убеждаемся, что для уравнений Фоккера — Планка условия детально-
детального баланса могут быть записаны в виде
?,.?,Д7(ех) = BtJ(x) E.3.80)
D,(x) - 4-Е ^г [Я,/*)] = -4- Е ««/*)^ E-3.81.)
E.182,
где последнее равенство представляет собой просто стационарное
уравнение Фоккера — Планка для ps(x), в которое подставлено выра-
выражение E.3.53A)). Как и в случае потенциальных условий, E.3.81) дает
уравнение для дф/dXj, которое может быть удовлетворено лишь в слу-
случае выполнения определенных требований, накладываемых на ОДдс) и
Bjj(x). Если матрица В^(х) имеет обратную, то эти условия принима-
принимают вид
-—' — -—- , E.J.83)
dxj d.Xj '
где
2, = Е B*l(x)\lDk{x) - 2 ~Вк](х)\ , E.3.84)
* L 1 clxj J
Уравнение Фоккера — Планка 203
и тогда
р.(х) = ехр 1-ф(х)] = exp(fdx'-t). E.3.85)
Таким образом, как и в случае нулевого потока вероятности, ps(x)
можно определить непосредственным интегрированием.
3) Связь между обратным и прямым операторами дифференциаль-
дифференциальных уравнений Чепмена — Колмогорова устанавливается принципом
детального баланса. Доказательство достаточности условий сводится
к установлению справедливости следующего утверждения: если/(дг, t)
есть решение прямого дифференциального уравнения Чепме-
Чепмена — Колмогорова, то
/(*» 0 = Л«> - О/Р.(х) E.3.86)
является решением обратного дифференциального уравнения Чепме-
Чепмена — Колмогорова. Это соотношение будет использовано в разд.
5.3.7 для построения собственных функций.
5.3.6. ПРИМЕРЫ ДЕТАЛЬНОГО БАЛАНСА В УРАВНЕНИЯХ
ФОККЕРА — ПЛАНКА
а) Уравнение Крамерса для броуновского движения [5.10].
Рассмотрим движение частицы в флуктуирующей среде. Пусть движе-
движение происходит в одном измерении и состояние частицы описывается
координатой х и скоростью и. Дифференциальные уравнения имеют
вид
Y=v E.3.87)
и
dv
т-т- = - V'(x) - Pv + ^/ipkT f@ . E.3.88)
Это, по сути, уравнения Ланжевена A.2.14), где для краткости мы пи-
пишем
Ьща = р
и где У(х) — потенциал, градиент которого V (х) создает силу, дей-
действующую на частицу. В предположении, что физическая флуктуирую-
флуктуирующая сила f(O должна интерпретироваться как
= dW{t) E.3.89)
204 Глава 5
(см. разд. 4.1), получаем стохастические дифференциальные уравнения
dx = vdt E.3.90)
т dv = ~[V'(x) + Pv\dt + «JTfkTdW(t), E.3.91)
которым соответствует уравнение Фоккера — Планка
др д 19 РкТдгр
Это уравнение можно несколько упростить, введя масштабные пере-
переменные
E.3.93)
E.3.94)
E.3.95)
E.3.96)
в которых УФП принимает вид
ЭР.
dt
E.3.97)
Это выражение называется уравнением Крамерса.
Здесь координата у является четной переменной, а скорость и —
нечетной (см. разд. 5.3.4). Коэффициенты сноса и диффузии могут
быть записаны в виде
А(у, и) =
и'(у) -
В(у, и) =
кроме того,
•И-Г
\и\ — и
E.3.98)
E.3.99)
E.3.100)
Проверим поочередно выполнение необходимых и достаточных усло-
условий детального баланса.
Уравнение Фоккера — Планка 205
Условие E.3.53C)) удовлетворяется тривиально. Условие E.3.53B))
несколько вырождено, поскольку В не обратима. Это условие можно
записать в виде
вА(у, — u)ps(y, и) = —А(у, и)р,(у, и) +
или, более развернуто,
U'(y) - У"
Ps =
U'(y)
Р.+
О
f ди
,Эр.
E.3.101)
E.3.102)
Первая строка является тождеством; вторая же утверждает, что
E.3.103)
«has, -j - ди .
т. е.
р.(у, и) = ехр(-^2)/(.у).
E.3.104)
Это означает, что еслиps(y, u) записывается в виде E.3.104), то усло-
условия детального баланса удовлетворены. Остается проверить подста-
подстановкой, является ли E.3.104) стационарным решением уравнения Кра-
мерса. Последняя скобка в правой части обращается в нуль, и мы
имеем
Это означает, что
Jb>) = jrexj>[-U(y)]
и
В исходных переменных (х, v)
Plx, v) = .Гехр г -^ - —
E.3.105)
E.3.106)
E.3.107)
E.3.108)
и мы получаем хорошо известное в статистической физике распределе-
распределение Больцмана. Заметим, что кТ в знаменателе появилось благодаря
тому, что в качестве коэффициента флуктуирующей силы в E.3.88)
206 Глава 5
был выбран множитель ^Г2&кТ. Таким образом, мы добавили к мак-
макроскопическим уравнениям флуктуационный член, амплитуда которо-
которого определяется таким образом, чтобы в качестве решения получалось
распределение Больцмана, соответствующее температуре Т.
Мы, однако же, пришли к совершенно правильному виду функции
распределения. Значит, наше предположение, что броуновское движе-
движение описывается марковским процессом вида E.3.87, 88), оказалось
вполне обоснованным.
б) Детерминированное движение
В этом случае как 5,-Ддг), так и W(x\ x') равны нулю, так что условие
детального баланса дается просто выражением
Е,-А,(ех)=-А,(х). E.3.109)
Поскольку мы имеем дело теперь с уравнением Лиувилля (разд. 3.5.3),
движение точки с координатой х описывается обыкновенным диффе-
дифференциальным уравнением
~x(t) =^ A[x(t)]. E.3.110)
Пусть решением E.3.110), проходящим через точку у в момент t = 0,
является
«[/,*], <5-3:ш>
которое должно тогда удовлетворять условию
q[O,y] = y. E.3.112)
В силу E.3.109), функция
eq{~t,sy) E.3.113)
также является решением E.3.110), а коль скоро
е?@, еу) = ееу = у E.3.114)
(т. е. начальные условия одинаковы), эти решения должны быть иден-
идентичны:
eq(-t,sy) = q(t,y). E.3.115)
Совместная вероятность в стационарном состоянии может быть запи-
записана в виде
р,(х, V, х', О = | dy p.(x,t; x', t'; у, 0)
= J dy &[x - q(t,y)]8[x' - q(t',y)]p.(y)t E.3.116)
Уравнение Фоккера — Планка 207
И
/>.(<*', - С; ех, - t) = \dy8[ex - q(-t,y)]S[ex' - q(-t',y)]p.(y). E.3.117)
Перейдем от переменной у к ку и заметим, что ps(y) = ps(?y),
dey = dy, так что
E.3.117) = / dy Ъ[х - вд(-(, еу)]8[х' - eg(-t', гу)]р,(у) E.3.118)
и, с учетом E.3.115),
= J dy Ь[х - q(t, у)Щх' - q(t', y)]ps(y) E.3.119)
= ps(x,t;x',t'). E.3.120)
В силу стационарности, ps зависит только от разности времен, поэто-
поэтому условие детального баланса удовлетворено.
Надо сказать, что в этом доказательстве нет особой необходимо-
необходимости, так как проведенное ранее общее доказательство сохраняет силу
и для детерминистической системы. Кроме того, всякую систему де-
детерминистических дифференциальных уравнений первого порядка
можно преобразовать в уравнение Лиувилля, так что это доказатель-
доказательство включено сюда только для полноты.
Важно, однако, обрисовать идею, стоящую за этим доказательст-
доказательством справедливости детального баланса. В физических системах, для
которых, собственно, и важен детальный баланс, мы нередко сталки-
сталкиваемся с немыслимо большим числом переменных, скажем 1020. Эти
переменные (например, импульсы и координаты частиц в газе) как раз
и входят в функцию распределения, которая подчиняется уравнению
Лиувилля, так как они описываются детерминистическими уравнения-
уравнениями движения — например, законами Ньютона.
Можно непосредственно показать, что законы Ньютона для соот-
соответствующих взаимодействий согласуются с "принципом микроскопи-
микроскопической обратимости. Другими словами, они могут быть представле-
представлены в виде E.3.110), где <4(дг) удовлетворяет условию обратимости
(S.3.1O9).
Наблюдаемые макроскопические величины в подобной системе (на-
(например, давление, температура, плотность частиц) являются функция-
Ми этих переменных и при соответствующем выборе переменных мо-
гУт быть представлены первыми несколькими компонентами векто-
вектора *.
Иначе говоря, мы считаем, что вектор х можно представить в виде
* = («,*), E.3.121)
208 Глава 5
где а включает наблюдаемые макроскопические величины, ах — все
остальные. Тогда практически нас интересует распределение
Ж«1 > U; аг, h; о3, г3; ...)
= Ц ... I dxu dx2...р(хи t,; x2, t2; x3> t3; ...)• E.3.122)
С точки зрения микроскопической обратимости из вышеприведенных
рассуждений следует, чтор, а стало быть, и/?, подчиняются условиям
детального баланса, но р, естественно, не подчиняется уравнению Ли-
увилля. Если же можно показать, что р в том или ином приближе-
приближении подчиняется марковскому уравнению движения, то мы должны
сохранить условие детального баланса, которое для р имеет тот же
вид, что и для р. В этом смысле можно сказать, что условия деталь-
детального баланса E.3.43) вытекают из микроскопической обратимости за-
законов движения.
в) Процесс Орнштейна — Уленбека: соотношения Онсагера для
линейных систем
Большинство систем, удовлетворяющих условию детального баланса,
можно приближенно описывать процессом Орнштейна — Уленбека.
При этом предполагается, что
/<,W=SM E.3.123)
Ду(дг) = Ду. E.3.124)
Условия детального баланса, однако, не тривиальны: они имеют вид
V (efijAtj + AtJ)xj = 2 В„ ~ log pt(x) E.3.125)
j j OXj
s(EjBtj = B(j. E.3.126)
Качественный вид равенства E.3.125) указывает на то, что функция
р%{х) является гауссовым распределением, поскольку производная от
ее логарифма линейна относительно х. К тому же, поскольку левая
часть не содержит аддитивной константы, среднее значение, соот-
соответствующее этому распределению, должно быть равно нулю, так
что
(- \ хТа~1х). E.3.127)
Уравнение Фоккера — Планка 209
Теперь можно подставить E.2.127) в стационарное уравнение Фокке-
Фоккера — Планка и после некоторых преобразований получить
-Е Ан - \ Е B,rfj* + S(E <AiS + \ 2 oJBuoJj^XtXj = 0 E.3.128)
t i,l k,j i i,l
(здесь мы использовали симметричность матрицы а). Квадратичный
член обращается в нуль, если симметричная часть матрицы его коэф-
коэффициентов равна нулю. Это условие можно записать в матричной
форме:
«т-М + Лт<т-' = -а~1 Во~1 E.3.129)
или
Аа Л- сАт = -В . E.3.130)
Если E.3.129) удовлетворяется, то постоянный член также обращает-
обращается в нуль. Равенство E.3.130), очевидно, совпадает с равенством, вы-
выведенным с помощью СДУ в разд. 4.4.6 (уравнение D.4.51)) с точнос-
точностью до замены
А А E.3.131)
ВВТ — В.
Теперь мы можем записать условия детального баланса в наиболее
элегантной форме. Определим матрицу е как
s = diag(?l,e2,?3, -О; E.3.132)
очевидно,
sz=l. E.3.133)
Тогда в матричном виде условия E.3.125, 126) записываются как
еАе + А = -Во~* E.3.134)
еВе = В. E.3.135)
Потенциальное условие E.3.83) равнозначно утверждению о симмет-
симметричности матрицы а.
Как указано в разд. 5.3.4 (см. E.3.49)), для детального баланса не-
необходимо, чтобы
ест = о-е. E.3.136)
С учетом всего этого возьмем E.3.130)
Аа + аАт = -В
210 Глава 5
И ИЗ E.3.134)
еАеа + Аа = -В E.3.137)
получим
гАеа = оАт. E.3.138)
Далее отсюда и из E.3.136) будем иметь
г{Ао) = (Aafe. E.3.139)
Это есть не что иное, как знаменитые соотношения Онсагера [5.11,
12]. В нашем выводе мы следовали в основном работе ван Кампена
[5.6].
Интерпретировать эти соотношения будет проще, если ввести фе-
феноменологические силы, определив их как градиент потенциала
ф = lnlps(x)]:
F(x) = ~Щх) = а~хх E.3.140)
(в физике ф/kT есть энтропия системы). Благодаря линейности А ,(дг)
(см. E.3.123)) точные уравнения движения для <дг) имеют вид
~ (х) = А(х) = AcrF«x}). E.3.141)
Таким образом, если потоки (d/dt)(x) линейно связаны с силами
F((x)) через матрицу L, определяемую как
L = Aa, E.3.142)
то из E.3.139) следует
818 = LT, E.3.143)
или
Ltl = Lji t et и ?j имеют одинаковые знаки
E,3.144)
LtJ = — Ln , ?, и Ej имеют разные знаки.
Заметим также, что из
= В
и
гае = а
E.3.145)
Уравнение Фоккера -- Планка 211
следует, что В- и а^ обращаются в нуль, если е, и е, имеют различные
знаки.
В частном случае, когда все е, имеют один и тот же знак, получаем
L = LT, E.3.146)
и, принимая во внимание, что а симметрична и положительно опреде-
определена, а значит, имеет действительный квадратный корень, находим,
что
А = <гигАоиг r<v?J47)
симметрична, так что А подобна си^- •¦¦¦'"' _.^,i матрице. Отсюда сле-
следует, что все собственные значения А являются действительными.
г) Частный случай соотношений Онсагера. Флуктуационно-
диссипационная теорема
Соотношения Онсагера записываются для наблюдаемых макроскопи-
макроскопических величин и поэтому легко поддаются проверке следствием де-
детального баланса, который в свою очередь является следствием обра-
обратимости микроскопических уравнений движения, как указано в п. «б»
настоящего раздела. Однако для проверки применимости соотноше-
соотношений Онсагера в конкретной ситуации необходимо знать единовремен-
единовременную корреляционную матрицу а.
К счастью, в подобных случаях статистическая механика дает нам
вид стационарного распределения, если только мы имеем дело с тер-
термодинамически равновесной ситуацией, когда принцип детального ба-
баланса неизменно выполняется. Основная идея здесь аналогична той,
которой воспользовался Ланжевен (разд. 1.2.2). Проиллюстрируем
это на примере вывода формулы Найквиста.
Рассмотрим электрическую цепь (рис. 5.4), в которой существуют
флуктуации напряжения (как следствие того, что система находится
не при нулевой температуре) и флуктуации заряда, которые возника-
возникают благодаря тому, что система подключена к нейтральному в целом
резервуару заряда (например, к банке с ионным раствором). Уравне-
Уравнение для тока следует из закона сохранения электрического заряда q и
L R
I ПтрГ^ VIM 1
Рис. 5.4. Электрическая цепь, использованная
Для вывода формулы Найквиста.
212 Глава 5
закона Кирхгофа. Уравнение для заряда записывается в виде
¦?=i-yq+ Д/(/). E.3.148)
Здесь мы приравниваем скорость изменения заряда на конденсаторе
току в цепи / минус утечка yq в резервуар плюс флуктуационныи член
Д/(/), который возникает вследствие наличия резервуара; величина
последнего будет сейчас рассчитана.
Применяя закон Кирхгофа, суммируем падения напряжения по все-
всему контуру, включая возможные флуктуации напряжения AV(t):
E.3.149)
Будем считать, что Ai(t) и AV(t) представляют собой белый шум. В
самом общем случае мы можем записать
Д/@ - *п
L
E.3.150)
E.3.151)
где ?,@ и ?2@ суть некоррелированные ланжевеновские силы, т. е.
) E.3.152)
) E.3.153)
^(f) и W2(t) — независимые винеровские процессы).
Таким образом, здесь
У -1
LC L
Полная энергия системы такова:
±
E.3.154)
E.3.155)
Из статистической механики мы знаем, что ps(q, i) определяется рас-
распределением Больцмана при температуре Т, т. е.
Уравнение Фоккера — Планка 213
где к — постоянная Больцмана; тогда корреляционной матрицей слу-
служит
\кТС О 1
а = \ . E.3.157)
О kT/L\
Теперь проверим симметрию Онсагера:
\ykTC -kTjL'
Аа = —
[kT/L RkT/L2
E.3.158)
= ~(Аа + оАт) =
E.3.161)
Для этой системы полный заряд q является четной переменной, а ток
/ — нечетной. Таким образом,
e = diag(l, - I), E.3.159)
и очевидно, что единственным следствием указанной симметрии явля-
является равенство
(АаIг = - (Аа)г1 E.3.160)
и в силу E.3.158) оно справедливо.
Имеем также
J,rc о
о щи
и поэтому
Ьп = Ь2Х =0 E.3.162)
Ьхх ¦= ^'2кТуС E.3.163)
Ьгг = V2kTW/L .
Мы видим, что, как и следует из интуитивных физических соображе-
соображений, Вр = В21 — 0; действительно, эти два источника флуктуации,
?i(/) и |т(/), обусловлены различными причинами и поэтому должны
быть независимы друг от друга.
Полученные результаты составляют марковскую флуктуационно-
диссипационную теорему. Величины btj, характеризующие интенсив-
интенсивность флуктуации, определяются диссипативными параметрами у и
#• Результат E.3.163) является не чем иным, как теоремой Найквис-
та, которую мы обсуждали в разд. 1.4.4. Флуктуационное напряжение
в цепи дается выражением
E.3.164)
214 Глава 5
так что
<ЛК(/ + r)AV(t)} = 2кТЯ5(т). E.3.165)
Это и есть теорема Найквиста в форме A.4.51).
Параметры у и R называются диссипативными, поскольку ими
обусловлены диссипации энергии. Для детерминистического случая
(т. е. полагая шум равным нулю), получаем равенство
*E=_.lR_v?y E.з.166)
где диссипация присутствует в явном виде.
5.3.7. МЕТОДЫ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ ДЛЯ СЛУЧАЯ МНОГИХ
ПЕРЕМЕННЫХ. ОДНОРОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ
Будем продвигаться так же, как в разд. 5.2.5. Мы заранее предполага-
предполагаем существование полного набора собственных функций Рх(х) для
прямого и Qx(x) для обратного уравнения Фоккера — Планка. Таким
образом,
-S dt[A,(x)P,(x)] + i ? д^[Ви(х)Рх(х)] = -ЪРх{х) E.3.167)
2 />,(*)Э,бл,(ж) + i 2 Ду(*)ЭДбА,(х) = -XQvix). E.3.168)
Независимо от того, удовлетворяют ли QK(x) и Рх(х) поглощающим
или отражающим граничным условиям, можно показать, вполне ана-
аналогично тому, как это было сделано в разд. 5.2.4, что
-(Я - Я') | dx Px(x)Q,,{x) = 0 , E.3.169)
я
так что Рх(х) и Qy(x) образуют взаимноортогональную систему.
Функциональная зависимость между Рх и Qx, существует, однако,
лишь в том случае, когда выполнено условие детального баланса,
причем е,- = 1. Для дискретного спектра собственных значений X мы
полагаем
J dx Px(x)Qx(*') = $лх> ¦ E.3.170)
Для непрерывного спектра, за исключением того случая, когда мы
имеем дело с отражающими граничными условиями, символ Кронеке-
ра 6ХХ. заменяем на 5(Х — X'); X = 0 стационарно. Тогда нормировка
Уравнение Фоккера — Планка 215
ps(x) дает
J dx Po(x)Qo(x) = j dx P0(x) = 1, E.3.171)
и в спектре появляется дискретная точка с нулевым собственным зна-
значением.
Если условие детального баланса выполнено, то, как мы уже отме-
отмечали в разд. 5.3.5C), р(ех, — t)/ps(x) есть решение обратного уравне-
уравнения Фоккера — Планка, так что на основании единственности реше-
решения можно утверждать, что
&(*) = г,хРх(вхIр.(х). E.3.172)
Здесь пх = ±1 с точностью до знака, поскольку, если X = X',
E.3.170) можно записать в виде
. . Рх(х)Рх(ех)
$dx Pjx) Пх- E-
Значение пх нельзя определить априорно, но при надлежащей норми-
нормировке оно будет равно плюс или минус единице. Если, к примеру, все
?, = — 1, а Рх(х) является нечетной функцией, то, очевидно, пх = — 1.
1) Все переменные четные: отрицательные собственные значения.
Если все е/. = 1, можно записать
Q,(.x) = Px{x)lps{x) E.3.174)
и значение пх можно всегда сделать равным единице.
Таким образом, разложения по собственным функциям будут во
многом такими же, как и для случая одной переменной.
Полноту системы собственных функций необходимо всякий раз
доказывать особо. Если все ?, = 1, то можно показать, что оператор
Фоккера — Планка является самосопряженным и отрицательно полу-
полуопределенным в некотором гильбертовом пространстве.
Для большей ясности запишем прямой оператор Фоккера — План-
Планка в виде
*(х) = -S дМх) + i S ЭДДц(х), E.3.175)
i I. i
а обратный — в виде
&*(х) = 2 Al(x)dt + 22 В0(х)д& . E.3.176)
Тогда тот факт, что, если все ?, = 1, решение прямого УФП может
быть преобразовано в решение обратного УФП путем деления на
216 Глава 5
/?«.(*), следует из того, что для всякой/(дг)
&{х№сЫ*I = А(*)^*(*М*)] - E.3.177)
Определим гильбертово пространство функций /(дг), g(x). . . через
скалярное произведение
(/,?) = /^^. E.3.178)
R РА*)
Тогда из E.3.177) получим
= J ^^^(*)[|®Л(*I E-3.179)
R PA*) LP\X) J
E-3.180)
и далее, интегрируя по частям и избавляясь от поверхностных членов
путем использования отражающих или поглощающих граничных ус-
условий,
E.3.179) =!(ЬЩзГ(хМх)]. E.3.181)
Таким образом, в данном гильбертовом пространстве
(/. &g) = (g, 2>f). E.3.185)
Это условие уже гарантирует действительность собственных значений
У(х). Чтобы доказать отрицательную полуопределенность, заметим,
что в случае всех четных переменных (см. E.3.75)),
А,(х) = ? dJ[Bl](x)p.(x)]l2p.(x), E.3.183)
так что для всякой р (дг)
*ьж*) = S ь, \- Ш?Ш;1№ + Шв,(х)Р(х)]}
Отсюда
(р, 2?р) = у J dxp(x)lps(x) 2 a,- {Btj(x)ps(x)dj[p(x)/ps(x)]}
Уравнение Фоккера — Планка 217
и, интегрируя по частям (отбрасывая поверхностные члены),
(р, &р)=-[ dx В^х)ра(х)дМх)Ых)ЩР(х)/рХх)] E.3.185)
поскольку Ву(х) положительно полуопределена.
Итак, мы заключаем, что для всякой собственной функции /\(*)
значение X действительно и
Х>0 E.3.186)
(напомним, что собственным значением является —X).
2) Вариационный принцип. С этим свойством связан вариационный
принцип. Возьмем любую действительную функцию f(x) и разложим
ее по собственным функциям:
/(*) = 1>аЛ(*) • E.3.187)
х
Далее, установим (/",/) = \.dxf(xJ/ps(x) = 1. Тогда
= 2 *«l
E.3.188)
(/,/) = S «i •
x
Очевидно, - (f, ,/f) будет иметь минимум в нуле, только если су-
существует значение X = 0, т. е.
ах = 0 дляХ Ф 0. E.3.189)
Выберем теперь f(x), ортогональную Р0(х), так что а0 = 0; мы ви-
видим, что минимум (/", ^ff) наблюдается, когда
E.3.190)
аа — 0 для всех остальных X,
где Xj есть следующее после наименьшего собственное значение. Это
означает, что Рх(х) можно получить, минимизируя -(р, -ф) (что
можно выразить в виде E.3.185)), при условии что
(P'P)=SI E.3.191)
(Р, Ро) = 0 .
218 Глава 5
Этот метод дает возможность численно определять значения соб-
собственных функций с использованием пробных решений и особенно по-
полезен в бистабильных ситуациях. Он требует, однако, выполнения
принципа детального равновесия.
3) Условная вероятность. Если требование полноты выполнено, ус-
условная вероятность может быть записана в виде
р(х, 11 х0, 0) = ? Рх{хШхо)е~ь . E.3.192)
4) Автокорреляционная матрица. Если условие детального баланса
выполняется, то для стационарной автокорреляционной матрицы [с
использованием E.3.172)] имеем
G(/) = <*@*т@)> = 2 Vxe~Xllj dx xPx(x)] [J dx хРх{х)]Ч, E.3.193)
что с очевидностью удовлетворяет условию
G(/) = eGT@e, E.3.194)
выведенному в разд. E.3.46).
5) Матрица спектральных плотностей. Матрица спектральных плот-
плотностей имеет вид
S(a>) = ~ J е—• G(t)dt
Г . E.3.195)
= ^ (J e~ia'G(t)dt + Jeia"
Если для удобства определить
Ux = ldxxPx(x), E.3.196)
R
ТО
Если какие-либо из значений X комплексны, то в силу действительно-
действительности -У(х) мы находим, что собственному значению X* отвечает соб-
собственная функция lPx(x)]*, а т/х = ij* и [f/x]* = t/x.. Спектр в таком
случае получается путем прибавления к E.3.197) членов, комплексно-
сопряженных тем, в которые входят комплексные собственные значе-
значения.
Уравнение Фоккера — Планка 219
В случае когда ? = 1 и, следовательно, т/х = 1, матрица спектраль-
спектральных плотностей принимает более простой вид:
i%4 E-3.198)
и, очевидно, является положительно определенной. Спектр для одной
переменной д, полученной из х с помощью линейной комбинации типа
q=mx, E.3.199)
дается выражением
S,(co) = тЩа,)т = 1 ? ^^ > E.3.200)
которое является строго убывающей функцией ш.
В случае когда е Ф 1, положительность спектра не очевидна, хотя
из общих соображений (например, результата C.7.19)), она должна
бы следовать. Важное различие возникает вследствие того, что не все
X теперь должны быть действительными, и поэтому в знаменателе
могут возникать выражения вида
(со- к,I], E.3.201)
благодаря которым в спектре возможны пики вдали от ш = 0.
5.4. ВРЕМЯ ПЕРВОГО ДОСТИЖЕНИЯ ГРАНИЦЫ ОБЛАСТИ
(ОДНОРОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ)
Здесь мы хотим рассмотреть многомерный аналог задачи о времени
выхода за пределы интервала (разд. 5.2.7). Как и прежде, мы ограни-
ограничиваемся однородными процессами.
Суть задачи состоит в том, чтобы рассчитать, в какой самый ран-
ранний момент времени частица, находящаяся внутри области R с грани-
границей S, покинет эту область.
Как и в одномерном случае, рассмотрим обратное уравнение Фок-
Фоккера — Планка с поглощающей границей 5:
p(x',t\x,0) = 0 (ieS). E.4.1)
Вероятность того, что частица, находившаяся в начальный момент в
точке х, находится к моменту t все еще внутри R, равна
/|x,0), E.4.2)
220 Глава 5
и если обозначить через Т момент, когда частица покидает R, то
РгоЬ(Г > 0 = G(x, t). E.4.3)
Поскольку процесс однородный, функция G(x, /) подчиняется обрат-
обратному уравнению Фоккера — Планка
d,G(x, 0 = 2 A,(x)dtG(x, 0 + 22 BtfaWfiix, t). E.4.4)
Начальные условия для E.4.4) следуют из
а)/>(*',0|*,0) = 8(*-*0 EА5)
так что
G(x, 0) = 1 xeR
= 0 вне Л; E.4.6)
б) в силу E.4.1)
G(x, t) = 0 igX. E.4.7)
Как и в разд. 5.2.7, эти начальные условия означают, что среднее вре-
время выхода из области R для частицы, находящейся в точке д:, которое
мы обозначим через Т(х), удовлетворяет уравнению
2 А,{х)д(Т(х) + 22 В0(х)д&Т(х) = -1 E.4.8)
i U
с граничным условием
Т{х) = 0 х е= S, E.4.9)
а его моменты
Тя(х) = <Г"> = J t-lG(x, t)dt E.4.10)
о
удовлетворяют рекуррентному равенству
- п Тп_,(х) = 2 ^,(*)а,.Г„(д:) + 2 ^«(*)ЗАГЯ(*) E.4.11)
с граничными условиями
Г„(*) = 0 ^е^. E.4.12)
Включение отражающих границ. Может случиться, что S, граница R,
распадается на участки Sr и Sa, так что при встрече с Sr частица отра-
отражается, а при встрече с Sa поглощается. Тогда граничные условия для
Уравнение Фоккера — Планка 221
G(x, t), вытекающие из результатов разд. 5.2.4, имеют вид
2 ntBtJ{x)djG(x, t) = О (же Sr) E.4.13)
G(x,t) = 0 (хе-У.) E.4.14)
и, следовательно,
2 л|Ду(х)ЗуГ,(ж) = 0 (же Sr) E.4.15)
hi
Тп(х) = 0 (xeS.). E.4.16)
5.4.1. РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ, СВЯЗАННЫХ С ДОСТИЖЕНИЕМ ГРАНИЦ
Основное дифференциальное уравнение в частных производных для
среднего времени достижения границы легко решается лишь в одно-
одномерном случае, а также тогда, когда удается воспользоваться симмет-
симметрией задачи. Мощным инструментом оказываются асимптотические
методы, о которых мы поговорим в гл. 9.
Здесь же мы лишь проиллюстрируем применение некоторых мето-
методов на примерах.
а) Процесс Орнштвйна — Уленбека в двух измерениях при наличии
вращательной симметрии
Пусть частица движется по закону
dx = -kx dt + ^DdWt(t) E.4.17)
dy = ~ky dt + yTDdW^t).
Нас интересует среднее время выхода из cj.-i^.
х2 + у2 <а2 v-" : !Ю
для частицы с начальными координатами (х0, у0).
Эта задача легко сводится к одномерному случаю для переменной
в которой уравнения движения принимают вид (ср. разд. 4.4.5)
dr = (-кг + \ D/r)dt + SDdfV(t), E.4.20)
а интересующая нас область превращается в интервал @, а). Такую
222 Глава 5
задачу легко решить, используя E.2.165) с заменами
Щх) -» \кгг ~ \D log r
= г0
E.4.21)
Таким образом,
= -^ | у~1 exp[ky2/D]dy | z exp(-kz2!D)dz . E.4.22)
r0 0
Поставленная нами задача оказалась по своей сути одномерной. Это,
впрочем, довольно редкий случай.
б) Использование собственных функций
Допустим, мы воспользовались собственными функциями Рх(х) и
Qx(x) и разложили среднее время выхода за пределы области в виде
Т(х) = 2 hQx(x). E.4.23)
Мы считаем, что Р^(х) и Qx(x) удовлетворяют граничным условиям
для конкретной рассматриваемой задачи, так что Т(х) в виде E.4.23)
также удовлетворяет соответствующим граничным условиям.
Далее, разложим
-1 = S /дСл(^), E.4.24)
л
где
h = - J dx Px(x). E.4.25)
R
Подставляя E.4.23) в E.4.8), получаем
Агд = - h у E.4.26)
откуда
Пх) = 2у бл(*') J ЛЛ(х') • E-4.27)
Успех применения этого метода зависит от знания собственных значе-
значений, удовлетворяющих соответствующим граничным условиям на S и
нормированных в R.
Уравнение Фоккера — Планка 223
в) Асимптотический метод
Если наименьшее собственное значение X, много меньше остальных,
то приближенное значение суммы ряда может описываться первым
членом разложения. Это означает, что собственная функция Q, ап-
аппроксимирует решение уравнения
2 A,(x)dJ(x) + \ 2 B,j(xydfi,Ax) = 0 . E.4.28)
Следовательно,
где К — константа. С учетом взаимйой биортогональности Рх и Qx
мы можем записать
1 = / dx Px(x)Qx(x) ~K\dx Px{x), E.4.30)
так что
П*)~1М, . E.4.31)
Приводимые здесь рассуждения не слишком строги. Более серьезное
обоснование будет дано в гл. 9.
г) Метод собственных функций
Двумерное броуновское движение: частица движется на плоскости
(х, у) внутри квадрата, углы которого имеют координаты @, 0),
@, 1), A, 0), A, 1). Стороны квадрата представляют собой поглощаю-
поглощающие границы; Т(х, у) описывается уравнением
?(!Г+!Г)==_1 E.4.32)
Собственными функциями, удовлетворяющими граничному условию
Г = 0 на границах квадрата, являются
Р»Ах, У) = sm(nnx) sin(nmx) E.4.33)
Qn.m(x, у) = 4 sin(«rtx) sin(mrcx), E.4.34)
где п, т — целые положительные числа. Собственные значения опре-
определяются как
A.m = ^(«2 + m2), E-4-35)
224 Глава 5
J dx dy Р„,т(х, у) = 0 , когда п или т четное
= , когда пит нечетные.
тпп
Отсюда
, _ x~l
32
D tH, n2 nm{m2 + n2)
odd
sin(nnx) s'm(mny).
E.4.36)
E.4.37)
5.4.2 РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТОЧЕК ВЫХОДА
Эта задача — многомерный аналог задачи, рассмотренной в разд.
5.2.8: какова вероятность выхода частицы через окрестность dS(a)
точки а границы S. Пусть вся граница является поглощающей (рис.
5.5).
Вероятность того, что частица выйдет на участке dS(a) до момен-
момента /, равна
g(a, x,t)\dS(a)\ = -f dt'J{a, f \x, 0)• dS(a) .
E.4.38)
Рассуждения, аналогичные проведенным в разд. 5.2.8, показывают,
что g(a, дг, t) подчиняется обратному уравнению Фоккера — Планка
e, х, 0 + i S в,7(*)Э,.Э,.?(«, х, 0 = d,g(a, х, t) .
E.4.39)
Рис. 5.5. Область и поверхность, рассматривае-
рассматриваемые в разд. 5.4.2.
Уравнение Фоккера — Планка 225
Граничные условия следуют по определению. В начальный момент
g(a, х, 0) = 0 при х Ф а, х е R E.4.40)
и во все моменты времени
g(a, х, 0 = 0 при х Ф а,х (Е S . E.4.41)
Если х = а, то частица обязательно покинет область на участке
dS(a), поэтому
g(a, а, О dS(a) = 1 для всех t, E.4.42)
или
g(a, х, t) = 6S(« — х) х G S, для всех t, E.4.43)
где 5s(a — x) есть поверхностная дельта-функция, такая, что
J|J5(e)|5s(e- *)= 1 . E.4.44)
Окончательная вероятность выхода через dS(a) равна
п(а, х) | dS(a) | = g(a, x, oo) | dS(a) |, E.4.45)
а среднее время выхода за пределы области, при условии что частица
выходит в точке а, равно
Т{а, *) = - J Л g(a, х, t)/n(a, x). E.4.46)
о
Аналогично тому как это сделано в разд. 5.2.8, мы можем показать,
что Т(а, х) удовлетворяет уравнению
, х)Т(а, *)] + i S Ду(*)ЭА[я(«, х)Т(а, х)} = -я(в, х)
1
E.4.47)
с граничными условиями
п(а, х)Т(а, х) = 0, д; <= S. E.4.48)
Затем, устремляя /-«в соответствующем уравнении Фоккера —
Планка для g(a, x, t), получаем уравнение для х(а, дг):
A,{x)dt[n(a, х)] + ? 2 Ви(хУд&[п(а, х)] = 0 .
E.4.49)
226 Глава 5
Граничным условием для E.4.49) служит
п(а, х) = 0 афх, х е S, E.4.50)
а также
j\dS(a)\n(a,x)=l. E.4.51)
Это же можно записать в виде
п(а, х) = Ыа -х) ig5, E.4.52)
где 6s(a - дг) есть поверхностная дельта-функция для границы S.
Приближенные методы
для диффузионных процессов
Методы, описанные в предыдущих двух главах, ориентировались на
получение точных результатов, и это, естественно, ограничивало их
практическую полезность. Основу большинства приложений составля-
составляют приближенные методы, в которых всегда изыскивается способ све-
сведения задачи к разрешимому виду. Можно даже сказать, что все при-
приложения так или иначе связаны с поиском подходящих приближений.
Особое значение имеют два приближенных метода. Первый из
них — это метод разложения по малому шуму, при котором рассмат-
рассматриваются решения, линеаризованные по отношению к детерминисти-
детерминистическому уравнению. Поскольку шум часто оказывается на практике
малым, этот метод находит широкое применение. Уравнения здесь
сводятся к последовательности процессов Орнштейна — Уленбека, за-
зависящих от времени, по большей части рассматривается первое при-
приближение.
Второй большой класс приближенных методов основан на адиаба-
адиабатическом приближении, в котором выделяются различные временные
масштабы, и быстрые переменные полностью исключаются. Эти ме-
методы будут рассматриваться во второй части настоящей главы.
6.1. ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ, ОСНОВАННЫЕ НА
МАЛОСТИ ШУМА
Во многих физических и химических задачах стохастичность в динами-
динамической системе возникает из-за тепловых флуктуации, которые всегда
весьма малы. Их существование удается заметить лишь с помощью
скрупулезных измерений. В этих случаях временная эволюция системы
является, по сути, детерминированной, а флуктуации представляют
собой лишь малые возмущения.
Рассмотрим для примера простой линейный случай, допускающий
точное решение: процесс Орнштейна — Уленбека для одной перемен-
переменной, описываемый стохастическим дифференциальным уравнением
dx = - кх dt + e dW(t), F.1.1)
228 Глава 6
которому соответствует уравнение Фоккера — Планка
д,р = дЛкхр) + \fdlp. F.1.2)
Решения этих уравнений уже рассматривались в разд. 3.8.4 и 4.4.4.
Здесь е является малым параметром, который в детерминистическом
пределе обращается в нуль. Для двух вышеприведенных уравнений,
однако, предел е — 0 оказывается существенно различным.
Когда е -~ О, стохастическое дифференциальное уравнение F.1.1)
перестает быть стохастическим, но сохраняет первый порядок относи-
относительно /, поэтому переход к пределу ? — 0 не порождает сингулярно-
сингулярности. Напротив, в пределе е — 0 уравнение F.1.2) превращается из диф-
дифференциального уравнения второго порядка в уравнение первого по-
порядка. Таким образом, при переходе к пределу возникает особенность,
и всякая теория возмущений должна это учитывать.
Для уравнения F.1.1) существует точное решение (см. D.4.26))
xe(t) = ce~kt + EJe-klt-ndW(t'), F.1.3)
о
которое можно записать в виде
*.(/) = *о(О
т. е. решение представимо в виде разложения по степеням малого па-
параметра е. Кроме того, член нулевого порядка хо(() есть решение
уравнения при е = 0, т. е. уравнения
dx=-kxdt. F.1.5)
В случае с уравнением Фоккера — Планка F.1.2) ситуация далеко
не так проста. В предположении, что с является нестохастической пе-
переменной, точное решение является гауссовским распределением, сред-
среднее значение и дисперсия которого даются выражениями
О@> = «(О = с е-*' F.1.6)
D МО} = ?2Ж0 = ?2A - е~2к'I2к, F.1.7)
так что
1 1 _лм*- «с:
Рг{х, 11 с, 0) =
г
F.1.8)
В пределе е — 0 решение для условной вероятности имеет вид
pe(x,t\c,0)^8[x-a(t)], F.1.9)
Приближенные методы для диффузионных процессов 229
что в точности соответствует решению первого порядка для СДУ, ко-
которое представляет собой детерминированную кривую вдоль траекто-
траектории x(t) = с exp(-kt). ОднакорЕ не удается разложить в простой сте-
степенной ряд относительно е: для того чтобы осуществить разложение
в степенной ряд, необходимо в каждый момент времени определить
масштабную переменную
F.1.10)
и тогда плотность вероятности для у принимает вид
pe(y,t\0,0)=pc(x,t\c,0)~ F.1.11)
cly
1 _ Г v\'
" v-ЩТ) ехр Г 2/1@.
F.1.12)
Для масштабной переменной у плотность вероятности не имеет сингу-
сингулярности, на самом деле мы избавляемся и от зависимости от е.
Преобразование F.1.10) можно переписать в виде
x = a(t) + sy F.1.13)
и истолковать следующим образом. Из F.1.12) видно, что распределе-
распределение у является нормальным с нулевым средним значением, а его дис-
дисперсия есть CA)- Смысл выражения F.1.13) сводится к тому, что от-
отклонение х от детерминированной траектории a(t) имеет порядок е
при е — 0, а коэффициентом служит гауссовская случайная переменная
у. Этот результат, по сути, эквивалентен выводу, к которому мы при-
пришли с использованием метода СДУ.
Полученные результаты можно представить в следующем общем
виде. Пусть система описывается СДУ
dx = a(x)dt -f- еЬ(х) dW(t). F.1.14)
Тогда решение может быть записано в форме
х,@ = хо(О + е.х,(О + е2х2(О + ... , F.1.15)
позволяющей искать последовательные приближения xn{t). В частно-
частности, xo(f) является решением детерминистического уравнения
dx = a(x)dr. F.1.16)
Наоборот, мы можем рассматривать уравнение Фоккера — Планка
д,р = - дАа(х)р) + \Егд1[Цх)гр] . F.1.17)
230 Глава 6
В таком случае, переходя к масштабной переменной и получая таким
образом
у = [Х - xo(t)][e F.1.18)
P.(y.t) = [p(x,t\c,O)]le, F.1.19)
мы можем записать разложение по возмущениям
РАУ, t) = po{y, t) -l ер^у, t) + Е2рг(у, t) + ... . F.1.20)
Здесь мы обнаружим, что ро(у, t) является истинной плотностью ве-
вероятности (положительной и нормированной), в то время как члены
высших порядков могут на каких-то участках принимать и отрица-
отрицательные значения. Можно утверждать, следовательно, что теория
возмущений для уравнения Фоккера — Планка не является вероят-
вероятностной. В противоположность этому для стохастического дифферен-
дифференциального уравнения решение разлагается в ряд по случайным пере-
переменным xn(t), каждая из которых имеет собственное распределение
вероятности, так что система является вероятностной на каждом
уровне.
И наконец, самое заметное различие состоит в том, что первым
членом разложения для СДУ оказывается xo(t), который является ре-
решением СДУ при е = 0 в F.1.1). Первый же член ро(у, t) в F.1.20) не
есть решение F.1.2) при е = 0. В общем случае он представляет со-
собой лишь предел УФП для рс(у, t), который получают, принимая
? = 0 в УФП для масштабной переменной^.
6.2. РАЗЛОЖЕНИЯ ПО МАЛОМУ ШУМУ ДЛЯ
СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Рассмотрим стохастическое дифференциальное уравнение вида
dx = a{x)dt + Eb{x)dW(t) , F.2.1)
где ? — малый параметр. На этом этапе для упрощения вычислений
мы не учитываем зависимость а(х) и Ь(х) от времени: как используе-
используемые приемы, так и результаты от этого не меняются. Предположим
также, что решение F.2.1) x(t) может быть записано в виде
X(t) = xo(t) + ?x,(r) + e2x2{t) + ... . F-2.2)
Кроме того, допустим, что мы можем записать
а(х) = а(х0 + е х, + ?2х2 + ...) F.2.3)
= ао(хо) + е а,(х0, *,) + ?2а2(х0, хи х2) + .... F.2.4)
Приближенные методы для диффузионных процессов 231
Конкретная функциональная зависимость в F.2.4) имеет существенное
значение, и ее нетрудно продемонстрировать, поскольку
оо
а(х) = а(х0 + 2 «"X)
Xm) •
Формальное суммирование этого выражения представляет сложную
задачу, однако можно без труда вычислить первые несколько степеней
? и получить
ао(хо) = а(х0)
( \ _ da(x0)
1 °' ' dx0
\ 0 * I' 2/ — *^2 ~j I a
V-*0> -*1> Х2, Лз^ — Хз ~~j ~Г Л]Л2 Zj~~Z ' Z" -*1 J~3 •
Общий вид для всех членов в явной форме записать трудно, но можно
заметить, что для п ^ 1
д„(лг0, *„ ... х„) — х„ -^~ + А„(х0, дг„ ... х„_,), F.2.7)
где Ап не зависит от х. На самом деле, непосредственно из F.2.5)
можно увидеть, что коэффициент при е" может включать хп лишь в
том случае, если хп попадает туда из члена р — 1; в остальном же е"
образуется из членов cm < n, в которые хп не входит.
Представление ап в виде F.2.7) имеет важное значение. Ясно, что
если мы также потребуем, чтобы
то все рассуждения, проведенные для ап, остаются в силе. Для разло-
разложения по возмущениям это, однако, не столь важно.
Подставим теперь разложения F.2.2, 7, 8) в стохастическое диф-
дифференциальное уравнение F.2.1) и приравняем коэффициенты при оди-
одинаковых степенях е. В результате мы получим бесконечную систему
стохастических дифференциальных уравнений. Для упрощения записи
воспользуемся обозначением
к(Хо) = - ^) . F.2.9)
ах
232 Глава 6
Получим
dx0 = a(xo)dt , F.2.10а)
dx.= [~к(хо)х„ + А.(х0, ... *„_,)]* + fcn_,Cvo, ••• x_i)dW{t). F.2.106)
Эти уравнения можно теперь решать последовательно. Уравнение
F.2.10а) является обыкновенным дифференциальным уравнением (воз-
(возможно, нелинейным), на которое наложено некоторое начальное усло-
условие и решение которого предполагается известным. Можно, конечно,
наложить независимые нетривиальные начальные условия на все хп,
но это неоправданно усложняет дело. Проще всего допустить, что
*°@)"*@) ,6.2.,,,
-х„@) = 0 п > 1 ,
принимая за начальный момент / = 0.
В предположении, что решением F.2.9) является
xo(t) = a(t). F.2.12)
уравнение F.2.10а) для п = 1 записывается в виде
= -k[a(t)]Xidt + b[a(t)]dW{t),
F.2.13)
(здесь, как следует из F.2.5), Ао обращается в нуль, а Ьо = Ь).
Это уравнение, первое в теории возмущений, описывает зависящий
от времени процесс Орнштейна — Уленбека. Его решение можно по-
получить непосредственно, используя методы разд. 4.4.9, сведенные к
случаю одной переменной. Решение получается путем умножения на
интегрирующий множитель
ехр {/</»'*[«(/')]}
о
и имеет вид
х,@ = J b[a(t')] ехр {- / k[a(s)ds] dfV(t') , F.2.14)
О I'
где уже учтено начальное условие хДО) = 0.
Во многих случаях это приближение вполне адекватно и сводится к
линеаризации исходного уравнения относительно детерминированного
решения. Члены высших порядков не так просты, поскольку F.2.106)
имеет более сложный вид, однако подход, в сущности, остается преж-
прежним. Для того чтобы решить уравнение для xN(t), мы предполагаем
известными все xn(t) для п < N, так что после подстановки этих ре-
Приближенные методы для диффузионных процессов 233
шенийЛп и Ь„_, становятся известными случайными функциями вре-
времени. Тогда F.2.106) принимает вид
dxN = {-k[a(t)]xN + AN{t)}dt + bN^{t)dW(t), F.2.15)
и его решение находится либо непосредственно, либо, согласно ска-
сказанному в разд. 4.4.9, как
xN«) = / [AN(t'W + **_,(/W(O] ехр {- / k[a(s)]ds). F.2.16)
0 t'
Формальная сторона дела на этом исчерпывается. Остается, однако,
установить границы применимости метода и возможность его практи-
практического применения. Как и во всякой теории возмущений, с повыше-
повышением порядка члены быстро выходят из-под контроля.
6.2.1 ПРЕДЕЛЫ ПРИМЕНИМОСТИ РАЗЛОЖЕНИЯ
В общем случае разложение не является сходящимся степенным ря-
рядом. Действительно, согласно F.2.14), x}(t), будучи просто интегра-
интегралом Ито с нестохастическими коэффициентами, есть гауссовская пере-
переменная и поэтому может с конечной вероятностью оказаться больше
любого фиксированного значения. Следовательно, описанный метод
даст сходящийся ряд лишь в том случае, когда все степенные ряды,
входящие в F.2.5), будут сходиться для всех значений аргументов, в
том числе и сколь угодно больших.
Мы можем показать, что разложение является асимптотическим,
используя результаты разд. 4.3.7 относительно зависимости от пара-
параметра.
Определим остаток через
у„(с, О = [40 - ? ?Ч@]/с"+| . F-2.17)
где xr(t) суть решения системы стохастических дифференциальных
уравнений F.2.10) с начальными условиями F.2.11).
Выведем теперь уравнение апяупA). Мы можем записать
«МО] - а[ ? e'xrU) + у„(с, t)e"+t] F.2.18)
и определить функцию
<V,[A-0, Хи ... X, Y, е] - е—' {а[?егХ, + е"+1У]
-?ега,(Х0,Х1,...Хг)}. F.2.19)
г-0
234 Глава 6
Потребуем, чтобы для всех фиксированных Хо, Хх, . . . , XN, Y су-
существовал предел
lim аа+1[Х0, Хи ... Х„, Y, е] . F.2.20)
Аналогичным образом определим 6п[Х0, Х{, . . . , Хп, Y, е] и нало-
наложим на эту функцию такое же условие.
Это условие не является вероятностным: оно лишь выражает опре-
определенные аналитические свойства функций а(х) и Ь{х); по сути, требу-
требуется, чтобы разложения F.2.4, 8) были просто асимптотическими раз-
разложениями.
Теперь мы можем записать дифференциальное уравнение ддяуп(е, t)
в виде
dyn = an+il>o @. *i@> ¦¦¦ xn(t), у„, е] dt
+ bn[x0(t), *,(/), ... *,_,@, Уп, е] dW(t). F.2.21)
Коэффициенты при dt и dW(t) теперь являются случайными функция-
функциями, поскольку функции xr(t) случайны. Выполнение требования
F.2.20), однако, обеспечено почти наверное, что гарантирует сущест-
существование пределов по вероятности
st-lim д„+,[а-0(/), дс,(О, ... x?t), у„, s] = dn+i(t, у„) F.2.22)
е-0
И
st-lim Sn+l[x0{t), xt(t), ... х„_ДО, Уп, е] = bn(t, у„). F.2.23).
?-0
Этого достаточно, чтобы удовлетворить требование разд. 4.3.7 о не-
непрерывности решений СДУ F.2.21) относительно параметра е, если
при этом удовлетворяются также соответствующие условия 2 и 3
разд. 4.3.7. Таким образом, .У„@, t) существует как решение СДУ:
dyn@, t) = a.+l[t, yn@, t)] + bn{t, yJP, t)]d\V(t). F.2.24)
Согласно определению F.2.17), это означает, что
*@-1>г*г@~?"+1 • F.2.25)
Отсюда следует, что разложение по степеням е является асимптотиче-
асимптотическим разложением.
6.2.2. СТАЦИОНАРНЫЕ РЕШЕНИЯ (ОДНОРОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ)
Стационарное решение получают, устремляя t — оо. Если процесс, как
указано, однородный и эргодический, характер начального условия не
играет роли. В таком случае выбирают хо(О) так, чтобы а [хо(О)] = 0,
Приближенные методы для диффузионных процессов 235
и решением F.2.10а) является
х„0) = *о(О) = а F.2.26)
(где мы пишем просто а вместо a(t)).
В силу выбранного начального условия при / = 0 решение F.2.14)
уравнения первого порядка не является стационарным процессом.
Следует либо устремлять t — оо, либо накладывать начальное условие
не при t = 0, а при t = — оо. Выбирая последнее, мы имеем
x\{t) = I b(a) exp [-(/ - t')k(a)]dW(t'). F.2.27)
— оо
Аналогично
X&t) = J [WW + b^(t')dW(t')] exp [-(t - t')k(a)] , F.2.28)
— CO
где под А*п и bsn_i мы понимаем значения Ап и bn_v получаемые при
подстановке стационарных значений всех аргументов. Из F.2.28) ясно,
что по построению решение xsn(t) стационарно. Очевидно, что инте-
интегралы в F.2.27, 28) сходятся лишь при к (а) > 0. Это означает, что
только устойчивое стационарное решение детерминированного про-
процесса порождает этим методом стационарное решение стохастическо-
стохастического уравнения. Это вполне естественно: при наложении флуктуации на
неустойчивое состояние система выйдет из этого состояния.
6.2.3. СРЕДНЕЕ ЗНАЧЕНИЕ, ДИСПЕРСИЯ И ВРЕМЕННАЯ КОРРЕЛЯЦИОННАЯ
ФУНКЦИЯ
Если разложение в ряд по ? в каком-то смысле справедливо, то полез-
полезно также знать разложения для среднего значения и дисперсии. Оче-
Очевидно,
S е"<*.@> F-2-29)
л-0
D {*(*)} = S ?" S <*™('К-т@> - <*-@><*.-@>] • F-2-30)
Поскольку, однако, мы принимаем детерминированное начальное ус-
условие, nxo(t) поэтому детерминировано, все члены cxo(t) обращают-
обращаются в нуль. В силу этого
D {*(/)} = ?2 D {*,(/)} + 2e\Xl(t), х2(/)>
+ ?4[2<х,(/), х3(/)> + D {*,(/)}] + ». F-2.31)
236 Глава 6
и аналогично
), x(s)) =
+ ... . F.2.32)
6.2.4. СЛОЖНОСТИ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ ДЛЯ МАЛОГО ШУМА
а) Пример: процесс третьего порядка
Рассмотрим стохастическое дифференциальное уравнение
dx = -x3dt + ? dW(t). F.2.33)
Нетрудно видеть, что условия разложения F.2.20) тривиально удов-
удовлетворяются для коэффициентов при dt и dW{t), и для всякого конеч-
конечного t асимптотическое разложение, члены которого x^{t) определя-
определяются выражением F.2.16), имеет смысл. При х ~ 0, однако,
= к@) = 0, F-2.34)
а поскольку х = 0 есть стационарное решение детерминистического
уравнения, разложения по возмущениям для стационарных решений
едва ли будут сходиться, так как все экспоненциальные временные>
множители являются константами. Например, член первого порядка в
стационарном разложении, согласно F.2.27), имеет вид
x\(t) = / dW{t') = W(t) - W(-oo) F.2.35)
и расходится с вероятностью, равной единице, будучи гауссовской пе-
переменной с бесконечной дисперсией.
Проблема довольно очевидна. Вблизи х = 0 движение, описывае-
описываемое уравнением F.2.33), не может аппроксимироваться процессом
Орнштейна — Уленбека. Например, стационарное распределение ве-
вероятности, которое является стационарным решением уравнения Фок-
кера — Планка
д,р - дх(х*р) + \&В1р, F.2.36)
имеет вид
F.2.37)
Приближенные методы для диффузионных процессов 237
а соответствующие моменты даются выражениями
<*"> = W< ГfL+i)irA) (п четное) F 2 38)
= 0 (п нечетное).
Член низшего порядка в разложении для дисперсии пропорционален е
в первой степени, а не в квадрате, как в F.2.31).
В таком случае мы должны рассматривать процесс третьего по-
порядка, описываемый F.2.33) как принципиально новый процесс. Если
мы введем новые масштабные переменные
х = *f~zy F.2.39)
t — т/в
и используем равенство
dW(r/e) = AЩтI*/7, F.2.40)
то процесс третьего порядка можно привести к непараметрическому
виду
dy = -уЧт + dW(f) . F.2.41)
Считая решение F.2.41) известным, можно записать
F.2.42)
так что предел е — 0 достигается со скоростью Ve, а также и с более
медленной временной зависимостью. Этот результат, полученный
благодаря переходу к новому масштабу («скейлингу»), лежит в основе
многих критических явлений.
Успешное применение теории возмущений в случае, когда а(х)
вблизи х = 0 пропорционально х3, должно, во-первых, включать пере-
переход к новым переменным типа F.2.39), а во-вторых, основываться на
теории возмущений, подобной описанной выше, но в которой в ка-
качестве нулевого приближения выступает процесс третьего порядка.
Допустим, таким образом, что мы можем записать
а(х) = -х3с(х), F.2.43)
гдес(х) есть гладкая функция ис@) Ф 0. Тогда, используя преобразо-
преобразования F.2.39, 40), мы переписываем СДУ в виде
dy = -v3c(JVD* + b{y^~e)dW(x). F.2.44)
238 Глава 6
Разлагая у (О. cfjrie), b(yJe) в ряд по Ve, получаем результат теории
возмущений. Если записать
KO = S«"'W), F-2-45)
л = 0
то для первых двух членов разложения получим
dy0 = -ylc@)di + b{Q>)d\V{r) F.2.46)
dyx = -ylbyim +yld? @)] Л + U(OK] ^(т). F.2.47)
Мы видим, что уравнение для у} представляет собой по существу
уравнение, описывающее зависящий от времени процесс Орнштейна —
Уленбека в случае стохастических коэффициентов. Таким образом, в
принципе если вид процесса третьего порядка известен, то все осталь-
остальное рассчитать нетрудно. На практике, однако, сведений о кубических
процессах не так много, поэтому изложенные результаты теории воз-
возмущений имеют ограниченную полезность.
б) Процессы нечетного порядка
Если стохастическое дифференциальное уравнение имеет вид
dx = -x'dt + e dW(t), F.2.48)
то устойчивое детерминированное решение существует только для не-
нечетных v. В таком случае мы переходим к новым масштабным пере-
переменным
х = уе2Пх^ F.2.49)
, = Tg2(i-v)/(i-v) F.2.50)
и далее действуем так же, как и в случае процесса третьего порядка.
в) Бистабильные системы
Пусть система описывается уравнением
dx = (.v - x3)dt ~г ? dW(t), F.2.5I)
которому соответствуют три детерминированных стационарных со-
состояния: х - 0, ± 1. Состояние при х = 0 неустойчиво и, как сразу
следует из теории возмущений, не порождает стационарного стоха-
стохастического процесса, поскольку экспоненты в интегралах разложения
по возмущениям F.2.27, 28) содержат возрастающие аргументы.
Приближенные методы для диффузионных процессов 239
Решения xQ(t) детерминистического дифференциального уравнения
dxldt = х - х1 F.2.52)
распадаются на три класса в зависимости от поведения при t — оо, а
именно
1) xo(t)< 0 => xo(t) -—\
2) Хо(О) = О => я-0@ = 0 для всех /
3) *0@ >О=>лго(О — 1 .
Таким образом, в зависимости от начального условия мы получаем
два различных асимптотических разложения, стационарные пределы
которых описывают флуктуации около одного из двух устойчивых де-
детерминированных состояний. Эти решения не содержат информации о
возможном скачке с ветви х = 1 на ветвь х = -1 или наобо-
наоборот — по крайней мере, в сколько-нибудь явном виде. В этом смысле
асимптотическое разложение подводит нас, так как не дает общей
картины поведения системы в стационарном состоянии. Как мы уви-
увидим в гл. 9, причина этого кроется в том, что асимптотическое пове-
поведение, характерное для скачков с одной ветви на другую, имеет обыч-
обычно порядок ехр(— 1/е2) и стремится к нулю при е — 0 быстрее любой
степени е, так что его невозможно аппроксимировать степенным ря-
рядом.
6.3. РАЗЛОЖЕНИЕ ПО МАЛОМУ ШУМУ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ
ФОККЕРА — ПЛАНКА
Как уже упоминалось в разд. 6.1, разложение по малому шуму для
уравнения Фоккера — Планка является сингулярным и требует введе-
введения масштабных переменных. Здесь мы обсудим эту задачу более под-
подробно.
Рассмотрим уравнение Фоккера — Планка
д,Р = -дх[л(х)Р] + №[вш. (б.з. О
Пусть решением детерминистического уравнения является a(t), так
что
d,a(t) = A[a(t)]. F.3.2)
Введем новые переменные (у, s)
У = [х- a(t)]/e F.3.3)
*=h F.3.4)
а также
t). F.3.5)
240 Глава 6
Заметим, что
diP(y, s) = fdi + f%=~^f + f F.3.6)
dydt ds dt e ду ds v '
fy F.3.7)
так что, подставляя в F.3.1) и учитывая уравнение движения для a(t)
F.3.2), получаем
83 _ В №(*) + еу] - АШ] | + 1 Р { + еу]р} F 3.8)
as ду I ? J ^ оу
Теперь мы можем осуществить разложение по степеням е. Допустим,
что разложение для А и В по степеням е имеют вид
A[a(s) + ?F] = I!
n = 0
F.3.10)
n-0
и разложим р по степеням е:
P = 2^n?" ¦ F.3.11)
Подставляя эти разложения в УФП F.3.8) и приравнивая коэффициен-
коэффициенты, получаем
ОРп Т / \ О / я\ 1 1 п f \ & Ро // 1 1 Л\
-^ = — Ai(S) — (Уро) Н—л" ^*ow) Тг ^O.J.IZJ
9^ 3_v 2 о.у
—г1 = — ^-MiE)vp, ^ ^CslF^o] + "VS-jt-SoW^i + -SiW^o] F.3.13)
ds oy ' *• oy
и вообще
Только уравнение для р0 есть уравнение Фоккера — Планка и, как го-
говорилось в разд. 6.1, только р0 есть вероятность. Первое уравнение в
иерархии, F.3.12), является зависящим от времени процессом Орн-
штейна — Уленбека, который в точности соответствует первому
уравнению в иерархии стохастических дифференциальных уравнений
F.2.13). Но на этом соответствие и исчерпывается.
Приближенные методы для диффузионных процессов 241
Установление граничных условий для рг представляет технические
трудности, поскольку переход от х к у зависит от времени, так что
граница, неподвижная для переменной х, оказывается для у движу-
движущейся границей. Кроме того, граница при х = а соответствует грани-
границе при
F3.15)
которая при ? — 0 стремится к ±оо. Судя по всему, методы, позволя-
позволяющие справиться с граничными условиями подобного рода, еще не
разработаны, за исключением случая а = ±оо, когда граница для у
тоже оказывается в бесконечности и поэтому неподвижна. Тогда гра-
граничные условия для у принимают такой же вид, как и для х.
В случае когда границы находятся в бесконечности, в результате
преобразования F.3.3) сингулярная задача о возмущениях F.3.1) (в ко-
которой при е — 0 понижается порядок уравнения) превращается в нор-
нормальную задачу теории возмущений F.3.8), где коэффициенты уравне-
уравнения являются гладкими функциями ? и при е — 0 мы имеем дело с
уравнением второго порядка. Применимость описанного разложения
будет зависеть от вида коэффициентов.
6.3.1. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ МОМЕНТОВ И АВТОКОРРЕЛЯЦИОННЫХ ФУНКЦИЙ
Хотя иерархия уравнений F.3.14) не слишком удобна, она определяет
довольно естественный способ вычисления моментов с помощью тео-
теории возмущений. Предположим, что границы находятся на ±оо, так
что мы можем интегрировать по частям, отбрасывая поверхностные
члены. Определим
<М0]"> = 2 s'M'rit) • F.3.16)
Тогда, очевидно,
M"r(t)= \dy ypr(v.t). F.3.17)
Далее, используя F.3.12—14) и интегрируя по частям, легко получаем
выражение
которое описывает замкнутую цепочку уравнений, поскольку уравне-
уравнение для M"r(t) может быть решено, если известны все M^t) для
т<гир<п + г.
242 Глава 6
Выпишем первые несколько средних значений Mj.(t) и средних ква-
квадратов М;(/):
7"=^,(f)W'(/) F.3.19)
(It
dMM = i,(,)A/j(,) + Az(t)Ml(t) F.3.20)
= Ai(t)M\(t) -f A2(t)M\(t)+ A3«)M&t) F.3.21)
_ 2l,(OA/5(O + Д0@ F.3.22)
l i/) + Bx(t)Ml(t) F.3.23)
0 . F.3.24)
При выведении двух последних равенств мы учитываем, что
M°(t)^ldypr(y,t), F.3.25)
и, используя
J dyp(y, t) = 1 --= v; с'Л/?(О, F.3.26)
находим, что
Л/»@ = 1 F.3.27)
M°(t) = 0 г ф 1 . F.3.28)
Уравнения представляют собой линейные обыкновенные дифференци-
дифференциальные уравнения, неоднородные члены в которых вычисляются из
предшествующих уравнений цепочки.
а) Стационарные моменты
Стационарные моменты получают, устремляя f- оо и принимая ле-
левую часть F.3.18) равной нулю. (Все коэффициенты i, Вит. п. счи-
считаются не зависящими от времени.)
Приближенные методы для диффузионных процессов 243
Из F.3.19—22) находим
Л/'(со) = О
МЦоо) = —\BalA~i
МЦоо) = О
М'(оо) = -12Л/§(оо)Д, = 1 AAIUiJ F.3.29)
М\{со) = —[A2Mi(co) + А]М1(со)]/А1 = 0 .
Таким образом, стационарное среднее значение и дисперсия имеют
вид
<*>„ = а + ?[Л/'(оо) + ?М|(оо) + ?2М2(оо)]
= а + ^?2i250/(i,J , F.3.30)
D {.v}s = <x2)s — <х^J
= — ~BQjAl с точностью до е2. F.3.31)
Ясно, что эту процедуру можно продолжить до произвольно высоких
порядков. Разумеется, для системы с одной переменной стационарное
распределение можно найти в явном виде и определить моменты не-
непосредственным интегрированием. Однако в случае многих перемен-
переменных это не всегда возможно, в то время как описанный метод, рас-
распространенный на случай многих переменных, всегда дает результаты
б) Стационарная автокорреляционная функция
В стационарном случае автокорреляционная функция для х связана с
таковой для у простым соотношением
(x(t)x@))s = а' + ?2<y@j@)>s F.3.32)
и цепочка уравнений для <.y(t)y(O)) выводится легко. Заметим, что
А[а + ?>'(?)] - Л(а)
Jt <J(O"J(O)>S =
-ny(t)"
- \)B[a + ey(t)]y(tУ
.Ко».. (б.з.зз)
Это легко доказать, используя УФП F.3.1) для р(у, t\y0, t0) и инте-
интегрируя по частям или же применяя формулу Ито к соответствующему
еду.
244 Глава 6
Пользуясь определением Аг, Вг F.3.9, 10) и разлагая А и В в сте-
степенной ряд, получаем
«-о L
F.3.34)
Эти уравнения сами по себе образуют цепочку, которая легко разре-
разрешается в виде степенного ряда относительно е. Наибольший интерес
обычно представляет величина (y(t)y(O)}s, которая может быть вы-
вычислена до порядка е9, если известны (у(t fy@)s) для/? ^ q + 1. На-
Начальным условием является
<№А0)\ = <У+1>,, F.3.35)
а стационарные моменты могут быть получены из стационарного
распределения или методом, изложенным выше.
6.3.2. ПРИМЕР
Рассмотрим уравнение Фоккера — Планка
для которого имеем (в стационарном состоянии а(?) = 0):
i, = -l
А2 = 0
А3 = -1
Л = 0 (д > 3) F.3.37)
В, = i«5..o
а =0.
Используя F.3.30, 31), получаем
<*>s = ° F.3.38)
D{x}s = ?2/6.
Для удобства воспользуемся обозначениями
F.3.39)
Приближенные методы для диффузионных процессов 245
в которых уравнения для с, и с3 принимают вид
-1 -е2
dt
dt
F.3.40)
(уравнения для с2п и с2п + 1 распадаются, так как В(х) константа, а
А (х) является нечетной функцией х).
Систему F.3.40) проще решать в явном виде, чем с помощью тео-
теории возмущений. Собственные значения матрицы суть
А, = -2 + «/1 - е2
кг = -2 -VT"^2 ,
а соответствующие собственные векторы —
Г1 + л/Г-/
Г1
Теперь решение для F.3.40) можно записать в виде
= а,е"Л1'я, + а2е х*'и2 (t > 0)
F.3.41)
F.3.42)
F.3.43)
с начальным условием
Cl(P) = </>s
F.3.44)
Величину <>>s можно рассчитать, продлив цепочку моментов F.3.10)
до М%; находим
1?_
2 1,
I
12
F.3.45)
и тогда <^v4> = 1/12.
Таким образом, получаем уравнение
1/6
.1/12
F.3.46)
246 Глава 6
решениями которого являются
F.3.47)
«г =
Корреляционная функция с точностью до второго порядка по е имеет
вид
с,@ --•- i-e-|Ai" F.3.48)
о
(многие члены уничтожаются). Заметим, что собственные значения X,
и Х2 зависят от е1. Всякая попытка разрешить систему F.3.40) с по-
помощью теории возмущений потребует разложения exp(Xjf) и ехр(Х2/)
по степеням е: и будет включать члены типа fvexp(-2/), что не даст
адекватного описания долговременного хода автокорреляционной
функции.
Корреляционная функция для Л' имеет вид
= ?2c,@, F-3.49)
а спектр дается выражением
S(oj) = е2 J dt e-ia'Cl(t)l2K F.3.50)
F.3.51)
12л Ц + oj2j'
6.3.3. АСИМПТОТИЧЕСКИЙ МЕТОД ДЛЯ СТАЦИОНАРНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Для произвольного уравнения Фоккера — Планка
Э.р = - 2 Ь,А,{х)р + \? 2 д&Ви(х)р , F.3.52)
можно построить асимптотическое разложение для стационарного ре-
решения, положив
ps(x) = exp[-9$(A:)/e2]. F.3.53)
Используя это выражение, получаем
[2 Л|(*)э,0 + i 2 дц(жK^й + е2[-2 д,л,{х) - 2 э,ву9^
i IJ i i,j
- \ Вддб + \ с2 2 Э(а,Д,у(х)] = 0 . F.3.54)
Приближенные методы для диффузионных процессов 247
Первый член цепочки, имеющий нулевой порядок по ?, представляет
собой уравнение Гамильтона — Якоби. Основной смысл результата
состоит в том, что в принципе можно получить асимптотическое раз-
разложение для ф(х):
ф(х) = 2 Е"ф„(х)} F.3.55)
где фо(х) удовлетворяет уравнению
2 A?x)dJ0 + i 2 Ви{хЩ^ф0 = 0. F.3.56)
Грэхем и Тель [6.8, 9] недавно продемонстрировали возможность ре-
решения уравнения F.3.56) в общем случае. Их основной результат со-
состоит в том, что решения, будучи хотя и непрерывными, имеют в об-
общем случае производные с бесконечным числом разрывов, за исключе-
исключением некоторых частных случаев, тесно связанных с ситуацией, когда
УФП удовлетворяет потенциальным условиям.
6.4. АДИАБАТИЧЕСКОЕ ИСКЛЮЧЕНИЕ БЫСТРЫХ
ПЕРЕМЕННЫХ
Часто оказывается, что динамическая система описывается стохасти-
стохастическими уравнениями, включающими сильно разнящиеся временные
масштабы; в то же время поведение системы на малых временных
масштабах не представляет интереса. Наиболее естественным приме-
примером этого является броуновское движение. Здесь обычно наблюдают
положение броуновской частицы, однако фундаментальные уравнения
включают также и ее импульс, который не относится к наблюдаемым
величинам. Таким образом, уравнение Ланжевена A.2.14) может быть
переписано для координаты и скорости в виде
ж = " FА1)
Если интерпретировать эти уравнения как стохастические дифференци-
дифференциальные уравнения Ито, то для их решения можно воспользоваться ме-
методом, уже изложенным в разд. 4.4.6. Проще, однако, проинтегриро-
проинтегрировать сначала уравнение F.4.2) и получить решение
v(t) = v@) exp {-Ptjm) + ^lkll f eXp [-$(t - t')jm}^{t')dt'. F.4.3)
m о
248 Глава 6
Рассмотрим теперь ситуацию, когда коэффициент трения /3 не слиш-
слишком мал, в то время как масса т мала. Тогда для t, таких, что
/ > mjp = т F.4.4)
экспонента в первом члене в правой части F.4.3) пренебрежимо мала,
и нижний предел интегрирования можно отодвинуть в — оо, не внося
существенной ошибки. Получим
„(/) _ V^Z? J exp [-(* - ЩгШПсИ'. F.4.5)
III —оо
Будем называть т временем релаксации, поскольку эта величина опре-
определяет для F.4.5) временной масштаб релаксации.
Определим
ф, г) = г- / ехр [-(/ - t')/T]dW(t') . F.4.6)
Согласно разд. 4.4.4, это стационарный процесс Орнштейна — Улен-
бека. Корреляционная функция имеет вид
<i/(r, х)ц(х', т)> = 1 ехр (- 11 - /' |/т) F.4.7)
—j. 5(/ - /') . F.4.8)
Мы видим, что предел т — 0 соответствует пределу белого шума, ког-
когда корреляционная функция превращается в дельта-функцию.
Таким образом, F.4.1) можно записать в виде
что в пределе 7 — 0 переходит в
F-4ЛО)
Иначе, и гораздо более наглядно, можно представить дело так: пре-
предел m — 0 в F.4.2) соответствует обращению левой части в нуль, так
что
F.4.1})
Приводимые рассуждения весьма остроумны, но отнюдь не строги и
не дают никаких указаний на конкретный метод аппроксимаций, кото-
Приближенные методы для диффузионных процессов 249
рый, по всей видимости, должен состоять в асимптотическом разло-
разложении по малому безразмерному параметру. Сверх того, судя по все-
всему, нет способа осуществить подобное разложение непосредственно
для стохастического дифференциального уравнения — насколько из-
известно автору, никому пока что не удалось предложить такой метод.
Уравнением Фоккера — Планка, эквивалентным F.4.1, 2) для
функции распределения, является
др д . . . д lvp\ , кТ дгр ., . ,„
/=-г D/) +г +T»J2- F.4.12)
dt дх dv\z I T2pdv2
Определим функцию распределения для координаты р(х, t) как
р(х, t) = ] dvp(x, v, t). F.4.13)
Тогда можно предположить, что УФП для;5(лг, /), соответствующее
«приведенному» уравнению Ланжевена F.4.10), имеет вид
др кТ82р
Будем искать способ получения F.4.14) из F.4.12) с помощью теории
возмущений, так, чтобы поправки высших порядков представлялись в
виде степеней какого-либо малого параметра.
В более общем виде можно рассматривать броуновское движение в
потенциальном поле, которое описывается уравнениями Ланжевена
(см. разд. 5.3.6):
dx
F.4.15)
mdi= ~~ pv~ r{x) + SffirtO) ¦
В пределе для больших /3 второе уравнение очень быстро релаксирует
к квазистационарному состоянию, в котором dv/dt -~ 0. Соответст-
Соответственно мы принимаем, что для достаточно больших /3
у = -jf[V'(x) - у/ЩТф)], F.4.16)
и, подставляя это в F.4.15), получаем
F.4.17)
чему соответствует УФП для/?(•*¦), известное под названием уравне-
250 Глава 6
ния Смолуховского:
Яй1
F.4.18)
В данном случае мы избавились от быстрой переменной v, предпо-
предположив, что она очень быстро релаксирует к значению, определяемому
выражением F.4.16).
Этот прием является прообразом всех методов адиабатического
исключения, легших в основу сформулированного Хакеном принципа
подчинения [6.1]. Главное физическое допущение состоит здесь в сле-
следующем: при больших C (или малых временах релаксации) перемен-
переменные, подчиняющиеся уравнениям, в которые входят большие /3 (на-
(например, v), релаксируют к значениям, получаемым в предположении,
что медленная переменная (в данном случае х) является константой.
Таким образом, быстрые переменные полностью подчиняются мед-
медленным переменным.
Как ни удивительно, задача о строгом выводе уравнения Смолу-
Смолуховского и получении поправок к нему была решена лишь недавно.
Первая попытка была сделана Бринкманом [6.2], который лишь оце-
оценил поправки к F.4.18) по порядку величины, но не привел все попра-
поправочные члены до низших порядков. Первое корректное решение при-
принадлежит Стратоновичу (гл. 4, § 11.1 в [6.3]). Независимо от него кор-
корректные решения предложили также Вилемский [6.4] и Титулаэр [6.5].
В последующих разделах будет систематически изложена достаточ-
достаточно общая теория вывода уравнения Смолуховского и поправок к нему;
затем мы перейдем к более общим задачам адиабатического исключе-
исключения. При этом мы воспользуемся переработанными проективными
операционными методами, которые давно и успешно применяются в
статистической физике, квантовой оптике и смежных областях. Эти
методы можно изложить непосредственно на языке временных мас-
масштабов, однако для нас удобнее воспользоваться аппаратом преобра-
преобразований Лапласа, который, кстати, первоначально применил Вилем-
Вилемский. В изложении мы будем следовать за Папаниколау [6.6], кото-
который дал строгое обоснование использования этого метода для ряда
задач. Приводимые нами примеры будут, однако, довольно формаль-
формальными.
6.4.1 АБСТРАКТНАЯ ФОРМУЛИРОВКА НА ЯЗЫКЕ ОПЕРАТОРОВ И ПРОЕКЦИЙ
Рассмотрим перенормированное уравнение Фоккера — Планка
F.4.12), полученное аналогично E.3.97) в разд. 5.3.6, которое мы мо-
можем записать в виде
Приближенные методы для диффузионных процессов 251
d^=(yLl+L2)p, F.4.19)
где L, и!2 — дифференциальные операторы вида
Нам необходимо получить уравнение для функции распределения ве-
величины у
р(у, 0 = J <Л/ р(и, у, t), F.4.22)
которое было бы справедливо в пределе для больших у.
Можно ожидать, что приближенное решение для F.4.19) удастся
получить, умножая р(у, t) на стационарное распределение для
%P F.4.23)
т. е. на
Bл)-ехр(-Ю. F.4.24)
Мы считаем, что при больших у распределение скоростей очень быст-
быстро переходит в тепловое; иначе говоря, мы можем в F.4.19) прене-
пренебречь L2 по сравнению с yLx, так что решением является функция от
у, умноженная на решение F.4.23), которое приближается к стацио-
ному решению за время порядка у~1, которое очень мало. Формали-
Формализуем наши рассуждения, введя оператор проектирования Р как
(Pf) (и, у) = Bя)- ехр (~4«2) / duf(u, у), F.4.25)
где/(м, у) — произвольная функция. Читатель может легко убедить-
убедиться, что
Р2 = Р . F.4.26)
Для векторного пространства всех функций и и у Р есть оператор, ко-
который проектирует любой вектор на подпространство всех векторов,
которые могут быть представлены в виде
g(u, у) = BяГ1/2 ехр (-Ю й(у), F-4.27)
252 Глава 6
где g(y) есть произвольная функция у. Однако все функции вида
F.4.27) есть решения уравнения
Llg = 0. F.4.28)
Другими словами, пространство, на которое Р проектирует векто-
векторы, есть нудь-пространство L,. Заметим также, что в данном случае
= \im[exp(L1t)] .
F.4.29)
Чтобы доказать это, разложим любую функцию и и у по собствен-
собственным функциям Ру,(и) из Lx, как это было сделано в разд. 5.2.5:
Л«. У) = 2 МУ) Рх(и), F-4.30)
где
Ах(у) = J du Qx(u)f{u, у). F.4.31)
Тогда
lim [exp (L, t)f(u, у)] = ? Ах(у) lim е~х'Рх(и) F.4.32)
= /»„(«) J ^ бо(и) Л". ^) • F-4.33)
Учитывая, что для этого процесса (процесса Орнштейна — Уленбека)
Р0(и) = Bn)~vl exp (- Ю F.4.34).
Qo(u) = 1 , F.4.35)
приходим к F.4.29).
Для данного случая, как и для всех прочих ситуаций, мы также
имеем основное равенство
PUP = 0.
F.4.36)
Действительно, рассматривая PL^Pfiu, у), мы видим, что по опреде-
определению L-pf(u, у) пропорционально
мехр(-1м2) ос />,(«), F.4.37)
и
/*/*,(«) = 0, F.4.38)
в чем можно убедиться прямой подстановкой или же заметив, что
Приближенные методы для диффузионных процессов 253
Р,(«) не принадлежит нуль-пространству Z-,. Определим
v = Рр
w = {\-P)p,
так что
р = v + w ,
и v принадлежит нуль-пространству Lu a w нет.
Теперь мы видим, что в силу F.4.29)
PL, = L1P = 0,
и из исходного уравнения получаем
^ L2)p
- Р)Р]
+ L2)[Pp
= PL2(\ - Р)р ,
(где мы воспользовались F.4.41) и F.4.36)) и, далее
dv
Ft = PL*W ¦
L2)p = A -
Аналогично
и, учитывая, что Р L2P = 0, имеем
L2)[Pp + A - Р)р]
A - P)L2Pp ,
+ A - P)L2w + L2v .
6.4.2. РЕШЕНИЕ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА
Для решения фундаментальных уравнений F.4.42, 44) могут использо-
использоваться различные итерационные методы. Однако, поскольку эти урав-
уравнения линейны, очень удобным может оказаться решение путем при-
применения преобразования Лапласа, которое легко поддается разложе-
разложению с помощью теории возмущений.
254 Глава 6
Преобразование Лапласа для любой функции времени/(Г) опреде-
определяется как
/E) = Je-"/('U//, F.4.45)
о
и его можно без труда распространить на операторы и абстрактные
векторы. С использованием
]% F.4.46)
наши фундаментальные уравнения принимают вид
s v(s) = PL2w(s) + г'@), F.4.47)
5 w(s) = [yZ.i + A - P)L2]w(s) + L2v(s) + н'@).
Эти уравнения представляют собой линейные операторные уравнения,
формальное решение которых не представляет сложности. Для про-
простоты допустим сначала, что
и>@) = 0, F.4.48)
Это означает, что начальное распределение предполагается в виде
р(и, у, 0) = Bл)- ехр (-№)р(у, 0); F.4.49)
иначе говоря, мы предполагаем начальное распределение скорости и
максвелловским. Тогда формально мы имеем
Ms) = [s — yLx - A - P)L2]~lL2v(s), F.4.50)
откуда
F.4.51)
v(s) = PL2[s - yL, - A - P)L,]-lL2v(s) + v@).
Таким образом, по крайней мере формально мы получили полное ре-
решение задачи. Для всякого конечного s мы можем перейти к пределу
больших 7 и найти
s v(s) ~ -y-^PL^L^is) + 40) ¦ F.4.52)
Заметим, что L~] существует не всегда. Из F.4.36) мы знаем, что
PL2v(s) = PL2P p(s) = 0. F.4.53)
Следовательно, в Lj)(s) не входят компоненты из нуль-пространства
i|, и поэтому L~{Lj)(s) существует.
Приближенные методы для дпффу шонных процессов 255
Посмотрим, как выглядит F.4.52) в данном случае уравнение Кра-
мерса. Оно эквивалентно дифференциальному уравнению
дЛ- .-ID/ f-l
at
F.4.54)
Заметим теперь, что
L2v = ] - ^ и - U'(y) — ! РО(И) J du' p(u', у, О F.4.55)
(гдеР0(и) определено F.4.34)).
Для этой задачи удобно ввести собственные функции оператора
процесса Орнштейна — Уленбека (разд. 5.2.6в), которые для данных
параметров
\D = к = 1 . F.4.56)
имеют вид
Р„(и) = Bя)~1/2 ехр (-КШи), F.4.57)
где
Qn(u) = B"л!)-1/2Нл(н/ч/Т) • F.4.58)
Используя
LtPK(u) ^ -пР„(и) F.4.59)
и рекуррентные формулы для полиномов Эрмита
yHXv) = JH,+,W -L яН^.Сг) F.4.60)
?[е-2Нв(.*)] = - е-2Н„+,(.г), F.4.6!)
мы видим, что
'(.v) -+- ^, РЛи)р(у), F.4.62)
так что с учетом F.4.59)
LT'L2v =¦¦= I U'{y) -!- ^J P,(u)fi(y). ¦ F.4.63)
256 Глава 6
Применим оператор L2 еще раз и снова используем соотношения
F.4.60, 61):
LlP,(u) = -L/T Рг(и) + Л>("I1- - VT Pi(u)U'{y) F-4-64)
PL2L^L2v = - |V( v) + ~Ъ( у)ВД . F.4.65)
Уравнение движения F.4.54) после избавления от множителя Р0(и)
принимает вид
F.4.66)
и представляет собой в точности уравнение Смолуховского, получен-
полученное примитивным методом исключения, описанным в разд. 6.4.
6.4.3. ПОВЕДЕНИЕ НА МАЛЫХ ВРЕМЕННЫХ МАСШТАБАХ
Следует иметь в виду, что при переходе к пределу у — оо в F.4.52)
подразумевается, что s конечно; иначе говоря,
у > s . F.4.67)
Таким образом, решение методом преобразования Лапласа будет
иметь силу лишь в случае, когда
s < у . F.4.68)
Для оригинала Лапласа это означает, что
г>}~1. F.4.69)
Определим
,у, --= г/. F.4.70)
Тогда F.4.51) принимает вид
ystv = PL2[sxy - Цу - A - P)L2]->L2v + «@). F.4.71)
В пределе у — о° получаем
ys,v = TlPL2(Sl - L.r'L^ + v@) . F.4.72)
Приближенные методы для диффузионных процессов 257
Учитывая, что Lp пропорционально Р,(м) (см. F.4.62)), получаем
ySlv = y-'Cv, + \ylPL\v + v@). F.4.73)
Возвращаясь к переменной s и преобразуя, находим
Sy = ?-i (.?. . Л 1рцу + у(п\ F.4.74)
\У I
что эквивалентно
ехР
F.4.75)
F.4.76)
что с учетом F.4.46) и результатов разд. 6.4.2 эквивалентно уравне-
уравнению для р
С другой стороны, можно переписать F.4.74) в виде
-1- [52ii - лг;(О)] + [sv - v@)] = y-'
д2р , др ,9 Ггг/, .. . 9j9l
F.4.77)
начальным условием для которого служит
поскольку
J е-"/"@ =
о
-/'@)
и в первой скобке в F.4.76) отсутствует постоянный член. Аналогично
мы можем преобразовать F.4.75) или проинтегрировать F.4.77) и по-
получить
F.4.78)
Уравнения F.4.77, 78) носят немарковский характер. Это отчетливо
видно в F.4.78), где предсказание значения/5(г + ДО требует знания
p(t') для 0 < /" ^ Л Однако ядро exp(y(t' — t)) существенно отлично
258 Глава 6
от нуля только для If' — t\ ~ 7"'. и поэтому на значительно боль-
больших временных масштабах уравнение F.4.78) аппроксимируется урав-
уравнением Смолуховского F.4.66). Формально мы приходим к этому,
проводя в F.4.78) интегрирование по частям:
J df exp MS - t)]p(S)=^--^—^ - Г1 J exp [y(f - 0] ^7 A' • F.4.79)
Отбрасывая последний член как имеющий порядок у~г, вместо урав-
уравнения Смолуховского мы получаем
F.4.80)
Это уравнение до низшего порядка по у эквивалентно F.4.78) для всех
времен, т. е. для малых (< 7) и больших (> у) времен. Оно ука-
указывает характерное «время памяти», у, которое должно пройти,
чтобы уравнение перешло в уравнение Смолуховского.
С точностью до этого порядка процесс, следовательно, можно счи-
считать марковским, но существуют и альтернативные выражения
F.4.77, 78), которые с точностью до этого же порядка не являются
марковскими процессами. Ясно, что при более высоких порядках мы
имеем дело с немарковскими процессами.
6.4.4. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
Рассмотрим границу в точке у = а, когда положение частицы огра-
ограничено областью у ^ а. Поведение частицы при и > 0 и и < 0 раз-
различно.
Из стохастических дифференциальных уравнений
dy = и dt
F.4.81)
du = ~[U'(y) + yu]dt + V2y dW(t)
мы видим, что
при и > 0 у = а является выходной границей,
при и < 0 у - а является входной границей,
поскольку частица с и > 0 в точке у — а должна перейти в область
у > а или поглотиться. Частицы, находящиеся слева от границы, при
и < 0 не могут попасть в точку у — а. Тип границы у = а можно
определить следующим образом:
Приближенные методы для диффузионных процессов 259
1) Поглощающая граница: при и > 0 частица поглощается, при и < О
частиц нет —
^p(u,a,t) = Q и>0 F.4.82)
= 0 и <0-
Первое из этих условий является обычным условием для поглощаю-
поглощающей границы, сформулированным в разд. 5.2.1. Второе же отражает
тот факт, что всякая частица, помещенная с и < 0 в точку у - а, не-
немедленно переходит в область у < а и другие частицы не появляются.
Очевидно, поглощающее граничное условие подразумевает, что
Же, 0 = 0, F.4.83)
т. е. обычное поглощающее граничное условие для уравнения Фокке-
ра — Планка для одной переменной.
2) Отражающая граница: с физической точки зрения отражение в точ-
точке у = а означает, что частица, достигшая точки у = а со скоростью
и, немедленно начинает двигаться с другой, противоположной по зна-
знаку скоростью. Если допустить, что
и и,
то мы имеем дело с «периодическим граничным условием» (см. разд.
5.2.1 и 5.3.2). Это означает, что
p(u,a,t)=p(-u,a,t), F.4.84)
и что нормальная компонента тока, выходящего из (и, а), равна нор-
нормальной составляющей тока, входящего в (- и, а). Однако, поскольку
для этого уравнения
/ = j-ир, [уи + U'(y)] Р + у
и нормальной компонентой является компонента, направленная по
оси >>, мы видим, что соотношения F.4.84) и F.4.85) эквивалентны.
Это граничное условие естественным образом ведет к граничному
условию для уравнения Смолуховского.
Действительно, из F.4.84) следует, что в разложение апяр(и, a, t)
могут входить собственные функции Р„(и) только четных порядков.
Следовательно,
A - Р)р{и, а, 0 - w(u, a, t) F.4.86)
содержит только четные собственные функции, и то же самое отно-
относится к преобразованию Лапласа w(u, a, s). Однако из F.4.50) мы ви-
260 Глава 6
дим, что с точностью до низшего порядка по 7
w(u, a, s) ~ (~у-'Ь-Ч2у)(и, a, s), F.4.87)
и с учетом F.4.63)
= - Л(И)Г' \и'(у)Р(у) + %Щ • F.4.88)
Поскольку в это выражение входит как сомножитель нечетная соб-
собственная функция Рх(и), оно обращается в нуль. Таким образом, мы
получаем
и'(у)Р(у) + %—] = 0, F.4.89)
и это выражение является корректной формулировкой отражающего
граничного условия для уравнения Смолуховского.
Аналогичным путем нетрудно показать, что такие же граничные
условия могут быть получены для уравнений, выведенных в разд.
6.4.3.
6.4.5. СИСТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ В РАМКАХ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ
Вернемся теперь к F.4.47), вновь приняв для простоты w@) = 0.
Тогда
w(s) = [s- yU - A - P)L2]~lL2v(s) F.4.90)'
и
5 v(s) = PL2[s - yU - A - P)L2]"'L2^) + v@) . F.4.91)
Выражение [. . .]"'в F.4.91) мы можем сразу разложить по степеням
7. Нужно, однако, определить порядок величины s в этом разложе-
разложении. Из предшествующих разделов мы знаем, что существует воз-
возможность определить
St = sy-1, v — у-Н , F.4.92)
что приводит к разложению, в котором явно будет представлено на-
начальное поведение, т. е. поведение на временах порядка 7-
Можно, наоборот, определить
s2 = Sy, v-*yv, F.4.93)
и тогда мы получим разложение, в котором проявляется только дол-
долговременная зависимость.
Приближенные методы для диффузионных процессов 261
После подстановки F.4.93) выражение F.4.91) принимает вид
s2v = -РЬг[Ц + A - Р)Ьгу~} - s2y~1]-1L2v + v(Q), F.4.94)
и мы можем теперь записать
s2v = - PL2L^L2v + v@) (у — оо), F.4.95)
в то время как без этой подстановки в пределе у — оо мы получим
просто
sv = v@). F.4.96)
Это согласуется с F.4.52), где мы на самом деле не переходили к
пределу 7 — 00.
Подстановка si = sy~l
Slv = y~2PL2[Sl — Z-, — A — P^y-^L^is) + v@) F.4.97)
не имеет правильного предела при у — оо. Однако она дает разложе-
разложение, аналогичное обычному для теории возмущений, и, как мы виде-
видели, показывает поведение при малых временах.
а) Теория возмущений для больших времен
Выражение F.4.94) можно представить с точностью до 7 в виде
s2v = [А + By-1 + (С + Ds2)y~2]v + г>@), F.4.98)
где
А = ~PL2Lt'L2
В ¦= PL2Li1(l — P)L2Lj'L2 F.4.99)
С = -PL2L^(\ - P)L2LT\\ - P)L2LTlL2
D = PL2L\2L2 .
Перегруппировав F.4.98), получим
s2(l - y~2D)v = [A + By'1 + Cy~2]v + v@), F.4.100)
или, с точностью до 7~2,
s2v = [A + By'1 + (С + DA)y~2]v + A + y-2D)v@) . F.4.101)
Это дает нам преобразование Лапласа для уравнения движения отно-
относительно v, в котором начальным условием будет не v@), a
262 Глава 6
A + y2D)v@). Заметим, что это уравнение будет иметь первый по-
порядок относительно времени, поскольку в него не входит s для п > 1.
Разумеется, это невозможно, если проводить разложение до высших
порядков по >.
б) Приложение к броуновскому движению
Для броуновского движения мы уже вычислили оператор А в F.4.99);
он дается выражением F.4.65):
F.4.102)
Остальные операторы можно вычислить аналогичным образом. На-
Например, из F.4.63, 64)
Умножение на A — Р) устраняет член с Ро, а последующее умножение
на L\~' умножает на - 1/7. Таким образом,
¦PMlcrw+l]1.
Теперь, умножая на L2, воспользуемся рекуррентными формулами для
многочленов Эрмита F.4.60, 61); получаем
F.4.103)
= - VT U'(y)P3(u) - ~ |у Т р,(и)
Наконец, умножение на Р уничтожает все члены, поскольку Р0(и) не
входит в выражение. Следовательно,
В --= PLzLtV - P)L2L^L2 = 0 .
F.4.104)
Так же вычисляются С и DA.
Приближенные методы лля диффузионных процессов 263
Находим, что
F.4.105)
v
3 v i 3 v
откуда
J-j
oy\
и F.4.101) эквивалентно дифференциальному уравнению
с начальным условием
Р(У, 0) .
F.4.106)
F.4.107)
F.4.108)
F.4.109)
Изменение начального условия отражает феномен «пограничного
слоя». Уравнение F.4.108) имеет силу для t > у и известно как
уточненное уравнение Смолуховского.
Точное решение будет описывать временной ход вплоть до / ~ у"]
и должно включать члены типа ехр(— 7')- Рассматриваемая ситуация
иллюстрируется рис. 6.1, и «пограничный слой» вблизи t ~ у~1 объ-
объясняется новым начальным условием.
Рис. 6.1. Образование пограничного слоя. Точное ре-
решение (сплошная линия) быстро изменяется вблизи
границы слева. Приближенное решение является удов-
удовлетворительным всюду, за исключением пригранич-
приграничной области. Поэтому в качестве граничного условия
для приближения выбирается меньшее значение, соот-
соответствующее точке, где прямая пересекается с грани-
границей.
264 Глава 6
в) Граничные условия
Получение обусловленных граничными условиями решений высших
порядков методами этого раздела невозможно, так как вблизи грани-
границы возникает слой быстрого изменения по переменной х, и предполо-
предположение об ограниченности оператора д/ду оказывается необоснован-
необоснованным. Значительный шаг вперед был сделан Титулаэром и его коллега-
коллегами [6.10—12]. Пусть граница находится в у - 0. Тогда мы можем
подставить в уравнение Крамерса F.4.19) z = уу, т - -ytvi получить
д I д \ д] 1 дР
+uw+~u'{z/y)^ FА110)
Тогда задача нулевого порядка оказывается решением той части урав-
уравнения, которая не зависит от 7: в этот порядок потенциал не входит.
До сих пор удалось получить лишь стационарное решение F.4.110).
Можно показать, что стационарное решение F.4.110) в пределе 7—0°
может быть записано в виде
со
Р (и, z) = уб (и. *) + 45 yf(u, 2) + X dsn у/„ {и, z) F.4.111)
где
?о(и,2)=BпГи2ыр(-и2) F.4.112)
^(и, z) =B яГ1/2B - и) ехр(- \ и2)> F.4.113)
а ф„(и, z) являются некоторыми сложными функциями, связанными с
эрмитовыми полиномами. Задача определения коэффициентов d^ не
так проста, и за подробностями читатель может обратиться к [6.12].
Установлено, что решение имеет бесконечную производную в точке
z = 0, а для малых z имеет вид а + bzwi.
6.5. БЕЛЫЙ ШУМ КАК ПРЕДЕЛЬНЫЙ СЛУЧАЙ
КОРРЕЛИРОВАННОГО ПРОЦЕССА
О связи между реальным и белым шумом уже упоминалось в разд.
1.4.4 и 4.1. Нас интересует предел дифференциального уравнения
^ = а(х) + b(x)ao(t), F.5.1)
at
где а0(О — стохастический источник с некоторым ненулевым време-
временем корреляции. Мы покажем, что если ao(t) представляет собой мар-
марковский процесс, то в пределе, когда он переходит в дельта-кор-
дельта-коррелированный процесс, дифференциальное уравнение превращается в
Приближенные методы для диффузионных процессов 265
стохастическое дифференциальное уравнение Стратоновича с теми
же коэффициентами, т. е. в уравнение
(S) dx = a{x)dt + b(x)dW(t), F.5.2)
которому эквивалентно уравнение Ито
dx = [а(х) + \b{x)b'{x)]dt + b(x)dW(t). @.5.3)
Для перехода к дельта-коррелированному марковскому процессу нам
необходимо найти предел при у -~ оо для
), F-5.4)
где а(г) есть стационарный случайный процесс с
<«(т)> = 0 F.5.5)
<а(т)«@)>5 = g(z). F.5.6)
Тогда
<«о(О> = о
<a,(W0)), = fgift) ¦ F-5.7)
В пределе у -~ оо корреляционная функция превращается в дельта-
функцию. Действительно, пусть
J g(r)dr = 1 , F.5.8)
J |т|?(т>/т = тс F.5.9)
определяет время корреляции для процесса a(t). (Если #(т) — экспо-
экспоненциальная функция, то в соответствии с определением F.5.9)
g(r) ос ехр(-т/тс),
что согласуется с практикой, принятой в разд. 1.4.4, 3.7.1.)
Тогда, очевидно, время корреляции для ао(т) есть тс/у2, и оно обра-
обращается в нуль при 7 ~ °°. Кроме того,
lira <«„('К@)>. = 0 0Ф0), F.5.10)
У—юз
266 Глава 6
и всегда
J <а„(/)«о(О)>,А = J g(r)dr = 1, F.5.11)
так что мы можем записать
lim <а0(Оа0@)>. = S(t) . F.5.12)
V—too
Таким образом, предел у — <х> для ao(t) на самом деле соответствует
пределу нормированного белого шума. Можно было бы предполо-
предположить, что корреляции более высоких порядков тоже существенны, од-
однако это не так.
Рассмотрим в качестве примера случай, когда а(т) является мар-
марковским диффузионным процессом, для которого уравнение Фокке-
ра — Планка имеет вид
Чу = - L{A{a)p{a)] + y?WaWaI • F-5ЛЗ)
Соответственно УФП для (х, а) имеет вид
M^_«J = {fLi + yLi + LjMjCj a) t F.5.14)
где
F.5.15)
Асимптотический анализ проводится аналогично тому, как это дела-
делалось в разд. 6.4.1, 6.4.3, с той разницей, что нам нужно принять во
внимание оператор Lv Аналогично разд. 6.4.1 мы определим проек-
проектор Р на пространстве функций х и а как
(PfXx, a) = ps(a) j da f(x, a), F.5.16)
где ps(a) есть решение
Llp,(a)=O. F.5.17)
Приближенные методы для диффузионных процессов 267
Мы предполагаем, что для стационарного распределения а среднее
значение <a>s равно нулю. Это означает, что проектор Р удовлетворя-
удовлетворяет основному условию
PLZP = O, F.5.18)
поскольку
(PL2Pf) {х, а) = р,(а) J da Г- ^КФР.(«)] J da'f(x, a')
= -ps(aKa>3fxb(x) J da'f(x, a') = 0 . F.5.19)
Очевидно также, что
РЬг = L3P F.5.20)
и, как прежде,
РЦ = LXP = 0 . F.5.21)
Определяя, как ранее,
v = Рр F.5.22)
F.5.23)
и используя обозначения v, w для соответствующих преобразований
Лапласа, находим
s ф)== P{fLx + yL2 + Ls)p(s) + v@) F.5.24)
= yPL2[Pp{s) + A
откуда
F.5.25)
s v(s) = y/'Ljiv^) + L3v(s) + v@)
и аналогично
F.5.26)
7A - .P)?2 + L,]ffE) + У^гФ) + и-@).
Эти выражения отличаются от F.4.47) лишь наличием L3v(s) в
F.5.25) и L3w в F.5.26). Мы вновь считаем, что w@) = 0 (т. е. а(?) —
стационарный марковский процесс), так что
sv(s) = L,v(s) - yPLJL-s + у2Ц + у{\ - P)LZ + L3]-lyL2v(s) + v@). F.5.27)
268 Глава 6
В пределе у -~ оо получаем
sv(s) =
г>@) -
Вычислим теперь PL jL, lLjj. Запишем
v(s) = p(x)ps(a)
PL.L^L.v = ps(a) J </«'
1 b{x)a^ Ps{a')p{x)
F.5.28)
F.5.29)
F.5.30)
[- A fc(x)
Теперь нам следует оценить
J da aLTlaps(a) = - Z», F.5.31)
а для этого требуется удобное выражение для L j"J. Рассмотрим
J exp (Lit')dt' = Lr1 exp (L,0 -
о
и с учетом F.4.29) получим
J exp (L,/) Л = -Lr'(l - /*) •
о
Поскольку по предположению
РарЛа) = Л(а) J
мы приходим к
D = J
= 0 ,
Заметим, что
exp(L,f )«/>,(*)
есть решение уравнения Фоккера — Планка
с начальным условием
Да, 0) = aPs(a) .
Следовательно,
ехр (ЦОарЛа) = J da'p(a, t \a', 0)a'ps(.a') ,
F.5.32)
F-5.33)
F.5.34)
F.5.35)
F.5.36)
F.5.37)
F.5.38)
F.5.39)
Приближенные методы для диффузионных процессов 269
Подставляя это в F.5.35), получаем
D = ]dt \da da аа'р{а, t \ a, Q)ps(a), F.5.40)
о
т. е.
D = j dt <a@«@)>s ,
F.5.41)
а в силу F.5.8) и симметрии корреляционной функции
D = 1/2 . F-5.42)
Используя это значение D, находим
- PL2LT>L2v = у р.(а) ~ [fa) ^**)/>(*)] . F-5-43)
так что дифференциальным уравнением для
р(х, 0 = jdap(x, a), F.5.44)
соответствующим F.5.28), является
t = -k «*»« + т э^ *<*> кЬ(х)^ ¦ F-5-45)
Это не что иное, как УФП в форме Стратоновича, которое соответст-
соответствует стохастическому дифференциальному уравнению
E) dx = a(x)dt + b(x)dW{t) , F.5.46)
или, в форме Ито,
dx = [а(х) + \b'{x)b(x)]dt + b{x)dW(t), F.5.47)
как указывалось вначале.
6.5.1 ОБЩНОСТЬ РЕЗУЛЬТАТА
Достаточно взглянуть на доказательство, чтобы увидеть, что от a(t)
требовалось лишь быть стационарным марковским процессом с нуле-
нулевым средним и уравнением движения вида
dpd{f=LlP(a), F.5.48)
270 Глава 6
где L, — линейный оператор. Этим требованиям может отвечать лю-
любой марковский процесс, в частности случайный телеграфный процесс,
в котором а(О принимает значения ±а. В пределе у -~ оо результат
по-прежнему будет представлять собой уравнение Фоккера — Планка.
Это является следствием центральной предельной теоремы. Действи-
Действительно, эффективный гауссовский белый.шум складывается из суммы
многих отдельных компонент, когда у — оо, и суммарный результат
будет все равно гауссовским. Более того, Папаниколау и Колер [6.7]
строго доказали, что полученный вывод справедлив, даже если а(() не
является марковским процессом при условии «сильного перемешива-
перемешивания», т. е. когда все корреляционные функции с увеличением разности
времен быстро убывают.
6.5.2. БОЛЕЕ ОБЩИЕ ФЛУКТУАЦИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ
Заметим, что в F.5.1) вместо ao(t) в виде ya(t/y2) мы можем взять
более общее выражение
ao(t, x) = уф, a(tly2)] , b = 1 F.5.49)
и принять b(x) — 1, поскольку теперь всю зависимость от х можно
учесть в определении ф. Будем предполагать, что
J da ц,{х, a)ps(a) = 0 F.5.50)
по аналогии с нашим прежним предположением <a>s = 0. Тогда D
становится зависящим от х и мы должны принять
D(x) -=]dt (ф, а(()]ф, а@)]>. F.5.51)
о
Е(х) = J dt (%? [X, a(t)Mx, a@)]) . F.5.52)
Уравнение Фоккера — Планка принимает вид
I?= ~ кс {а{х) + Е(х)]р] + ?[D(x)p] ¦ F-5-53)
и согласуется с уравнением в форме, полученной Стратоновичем (фор-
(формулы D.160, 161) в [6.3]).
Приближенные методы для диффузионных процессов 271
6.5.3. СИСТЕМЫ, НЕОДНОРОДНЫЕ ВО ВРЕМЕНИ
Если вместо F.5.1) принять
jt = a(x, t) + b(x, t)ao(t), F.5.54)
то преобразование Лапласа простым образом применить не удастся.
Трудность можно обойти с помощью следующего приема. Введем до-
дополнительную переменную т, с которой уравнения примут вид
dx = [а(х, т) + yb(x, x)a]dt F.5.55)
da = y1A(a)dt + у^Щп) dW(t) F.5.56)
dx^dt. F.5.57)
Последнее равенство устанавливает эквивалентность /ит, однако си-
система теперь является однородным марковским процессом в перемен-
переменных х, a, t. С помощью этого приема любой неоднородный марков-
марковский процесс может быть преобразован в однородный. Уравнение
Фоккера — Планка имеет вид
& = у»?, + yL2 + L3> ' F.5.58)
где
11=_аАЖа) + 1?ад F.5.59)
Ll=_|-6(x,T)«r F-5.60)
*> = -з4-?«*•'>• (б-5-61)
Действуя так же, как и раньше, получаем
57 " [- Я - ?*• Ч + Т5*- ЧЕ*-
откуда
dz = dt, F.5.63)
272 Глава 6
и, выражая г через t, мы приходим к
F.5.64)
в точном соответствии с F.5.45).
6.5.4. УЧЕТ ЗАВИСИМОСТИ L, ОТ ВРЕМЕНИ
Предположим вдобавок, что А и В также зависят от времени, так что
Lx = - ? А(а, т) + у ?г 5(«, т) . F.5.65)
В таком случае Р оказывается функцией т и поэтому не коммутирует с
PL, Ф L2P . F.5.66)
Выход из положения, однако, существует. Определив v(s) и w(s), как
прежде, получим
s v(s) = P(yL2 + L3)w(s) + PL3v(s) + «@) F.5.67)
vE) + yL2v(s) + A ,
F.5.68)
так что
s v(s) = PL3^) + P(yL2 + L3)[s - y2L, - y(l - P)L2 - A - P)L3]~l ¦
x[yL2 + (\ - P)L3]v(s) + v@). F.5.69)
Поскольку L2 умножается на 7, a L3 нет, в пределе для больших 7 мы
имеем
s v(s) ~ (PL3 - PL-lL^UWs) + v@). F.5.70)
В данном случае мы не будем предполагать, что существует возмож-
возможность нормировки автокорреляционной функции на константу. Член
— PL2Ll~iL2 дает
f b(x, т) f b(x, т) J dt(az(t)az@)> , F-5-71)
OX OX 0
где под aT(t) мы понимаем случайную переменную, уравнение Фокке-
ра — Планка для которой имеет вид
Приближенные методы для диффучионных процессов 273
Таким образом, в пределе у — °° случайное движение оказывается
бесконечно более быстрым, чем движение, обусловленное временной
зависимостью а, происходящей из-за зависимости Л и Я от времени.
Определив
/>(т) = J dt <«r(/ )ат@)> , F.5.73)
и исключая, как раньше, т, получаем
™= — — а(х, 0 + D(t)~b(x, t)^-b{x, t)\p . F.5.74)
3? их ox ox j
6.6. АДИАБАТИЧЕСКОЕ ИСКЛЮЧЕНИЕ БЫСТРЫХ
ПЕРЕМЕННЫХ: ОБЩИЙ СЛУЧАЙ
Рассмотрим теперь общий случай двух переменных х и а, которые
связаны между собой таким образом, что изменение одной из них
влечет изменение другой и наоборот. Эта задача аналогична выводу
уравнения Смолуховского в случае, когда V (х) не обращается в нуль,
в то время как предыдущий раздел был посвящен обобщению этого
уравнения на случай, когда V (х) = 0.
В наиболее общем виде эта задача настолько сложна, что сколько-
нибудь вразумительно изложить ее решение невозможно. Для того
чтобы познакомиться с подходами к этой проблеме, рассмотрим при-
пример линейной химической системы, а затем обобщим его.
6.6.1 ПРИМЕР: ИСКЛЮЧЕНИЕ КОРОТКОЖИВУЩИХ ПРОМЕЖУТОЧНЫХ
ПРОДУКТОВ ХИМИЧЕСКОЙ РЕАКЦИИ
Рассмотрим пример химической реакции
у к
X^=±Y^^A, F.6.1)
к у
в которой количества веществ X и Y изменяются, а количество ве-
вещества А каким-то образом поддерживается постоянным. Детермини-
Детерминистические уравнения скорости реакции для этой системы имеют вид
%=_х + уу F.6.2а)
at
^=-2уу + х + а. F.6.26)
274 Глава 6
Здесь через х, у, а обозначены концентрации веществ X, Y, А. Кон-
Константы скорости для простоты подобраны так, что к = 1.
В реальных процессах У нередко оказывается короткоживущим
промежуточным соединением, которое быстро (с постоянной времени
7~!) превращается в Л или вХ. Интерес поэтому представляет предел
больших у, когда время существования короткоживущего вещества У
все более сокращается, а его концентрация становится пренебрежимо
малой. Тогда в F.6.26) dy/dt - О, и
у = (х + а)!2у ¦ F.6.3)
Подставляя это выражение в F.6.2а), получаем
г-f-f <«¦">
В стохастическом случае ситуация осложняется тем, что источники
белого шума, которые следует ввести в F.6.2), коррелированы, и ста-
стационарное распределение у зависит от у. Говоря точнее, в качестве
стохастических аналогов F.6.2) обычно используются уравнения (см.
разд. 7.6.1)
dx = {-х + yy)dt + eB^dW^t) + eBl2dfV2(t) g
dy = (-2yy + x + d)dt + eBndfV^t) + sB22dW2(t),
где матрица В удовлетворяет условию
Г 2а -2а
ВВТ =
. . • F.6.6) ¦
2a Aa\
Здесь е — параметр, который определяется как величина, обратная
корню квадратному из объема реагирующей системы. Обычно этот
параметр мал, хотя в дальнейшем этот факт нам не понадобится.
Мы хотим исключить переменную у, среднее значение которой да-
дается выражением F.6.3) и становится в пределе исчезающе малым.
Развиваемые нами идеи можно применить лишь в том случае, когда
исключаемая переменная в стационарном состоянии имеет не завися-
зависящую от у функцию распределения. Таким образом, нам придется
определить новую переменную, обладающую этим свойством, как
функцию х и у.
Уравнение Фоккера — Планка, соответствующее F.6.5), имеет вид
др \д , Л . д2 г , Э2 2
F.6.7)
Приближенные методы для диффузионных процессов 275
Рационально, по-видимому, определить новую переменную z как
z = 2уу - х - а F.6.8)
(т. е. пропорционально разности между текущим и стационарным
значением у). Таким образом, мы формально определяем пару новых
переменных (х,, z) соотношениями
х, = х х = х, F.6.9)
z = 2уу — х — а у = (г + х, + а)/2у ,
так что мы можем преобразовать УФП с использованием
А- А_ _ А
9х Эх, 3z F.6.10)
9 „9
и получить
Гх, — а
dt 1_9х,'
Предел 7^о° еще не дает нам оператор Фоккера — Планка относи-
относительно z, который просто пропорционален фиксированному операто-
оператору: мы видим, что вклады от сноса и диффузии для z пропорциональ-
пропорциональны соответственно у и у2.
Однако подстановка
a = zy~111 F.6.12)
меняет дело. Теперь коэффициенты сноса и диффузии становятся про-
пропорциональны а, и мы видим, что (здесь мы пишем х вместо Xj)
^=[yL1 + y1'2L2(yL-L3]/7, F.6.13)
где
276 Глава 6
, д (х -
Li = T\-T
Заметим, что предел больших у для L2(y) определяется первым чле-
членом в первой строке F.6.15). Единственным важным свойством L2 яв-
является то, что PLjP = 0. Определяя, как обычно, Р через
Pf(x, a) = p.(a) J da'f(x, a'), F.6.17)
гае ps(a) есть стационарное решение для Lv мы видим, что для всяко-
всякого оператора, начинающегося с д/да (как, например, зависящая от у
часть L2(y)), справедливо
Р ~-J = Р.(«) J da' &Лх, «0 = 0, F 6.18)
при условии, что мы можем отбросить граничные члены. Следова-
Следовательно, зависящая от у часть L2(y) удовлетворяет условию PL-^jP = 0.
Далее, из F.6.14) следует, что <a>s = 0, так что не зависящая от у
часть также удовлетворяет этому условию. Таким образом,
PL2(y)P = 0. F.6.19)
Стоит заметить, однако, что зависящая от у часть L2 содержит чле-
члены, которые выглядели бы более естественно в Lx (мы имеем в виду
члены, не содержащие производных пох). Но переместив эти члены в
L2, мы обеспечиваем независимость L, от 7; тогда/3 не зависит от 7 и,
пределы становятся яснее.
Дальнейшие вычисления довольно просты. Определив, как обычно,
Pp(s) = v(s) F.6.20)
A - P)p(s) = w(s),
и, как обычно, считая w@) = 0, находим
.v v(s) = P[yLx -f 7U2L2(y) + L3] [v(s) + *»(*)] + v@). F.6.21)
Пользуясь тем, что
PL, = LXP = 0
PL2P = 0 F.6.22)
PL,=~- L3P,
получим
s v(s) = Pyil2L2(y)w(s) + L3v(s) + v@) F.6.23)
Приближенные методы для днффучионных процессов 277
и аналогично
sw(s) = [7L, + /;2(l - P)L2(y) -r L3]w(s) - "/ 2?2(у)ф), F.6.24)
откуда
sv(s) = {L3 + 7/>L2(y)[j - 1Д. - /;2d - ПШ - ^Г^2}Ф)
+ v@) . F.6.25)
Переходя теперь к пределу у -~ оо, получаем
+ v@),
F.6.26)
где
й(?Н F-6-27)
Уравнение F.6.26) в точности совпадает по виду с F.5.28); впрочем, и
его формальный вывод из F.6.7) почти идентичен. Однако оценка
PL-!L^XL1 осуществляется несколько по-иному из-за наличия членов,
включающих д/да. Заметим, во-первых, что, поскольку Р д/да = О,
мы можем записать
-PL2L^L2v = -р,(а) J da' (- W'g~x) Ljl J^(-4Az~ - i«') ps(a')p(x) ,
F.6.28)
а в силу определения ps(a) через L^os(a) = 0 и формулы F.6.14)
-/>,(«) = -aps(«)/4«2fl , F-6.29)
да
и тогда
= ~ps(a) ~2 J da'a'L-x'a'ps{a')p{x) F.6.30)
) 3^ j
0
где мы воспользовались рассуждениями, проведенными в разд. 6.5,
чтобы записать результат через корреляционную функцию. Здесь опе-
оператор L, соответствует процессу Орнштейна — Уленбека (см. разд.
3.8.4) с к = 2, D = 16е2а, так что с учетом C.8.2)
~PL2L^L2v = - -ip,(a) -|^-} 4A*'} dt e' F.6.32)
4 ох 0
278 Глава 6
Таким образом, из F.6.26) мы можем записать уравнение Фоккера
Планка в виде
5/ дх 2 Р()^ 2 дх2'
F.6.33)
Замечания
1) Именно такое уравнение должно соответствовать реакции
к/2
Х^=^А, F.6.34)
к/2
где к = \ (разд. 7.5.3), поскольку из общих соображений следует, что
стационарное значение дисперсии для флуктуации концентрации дает-
дается выражением
vav{x(t)}s = e\xK. F.6.35)
2) Заметим, что суммарный эффект адиабатического исключения сво-
сводится к уменьшению коэффициента при д2/дх2, что является результа-
результатом корреляции между шумовыми членами для переменных х и у в
исходных уравнениях.
3) Полученный результат отличается от обычного адиабатического
исключения тем, что шумовой источник, зависящий от исключаемой
переменной, существен. В некоторых случаях это не так; подобный
пример мы рассмотрим в дальнейшем.
6.6.2. АДИАБАТИЧЕСКОЕ ИСКЛЮЧЕНИЕ В МОДЕЛИ ХАКЕНА
Хакен предложил простую модель для демонстрации принципа адиа-
адиабатического исключения (разд. 7.2 в [6.1]). Детерминистический вари-
вариант этой модели представляет собой пару связанных уравнений, кото-
которые можно записать в виде
х = — ёх — аха , F.6.36)
а = -ка + Ьхг . F.6.37)
Предполагается, что если к достаточно велико, то, как и прежде, мы
можем заменить а стационарным решением F.6.37) относительно х и
получить
« = — х2, F.6.38)
Приближенные методы для диффузионных процессов 279
А==_?Х_^хз. F.6.39)
к
Основная цель модели состоит в получении кубической формы в пра-
правой части F.6.39).
Осуществляя переход к стохастической системе, мы обнаруживаем,
что для этого существует несколько возможностей. Обычным услови-
условием применимости адиабатического исключения является
е < к. F.6.40)
В стохастическом случае в игру вступают и все остальные параметры,
и условие F.6.40) может быть реализовано по меньшей мере тремя
различными способами, которые приведут к различным результатам.
Выпишем стохастический вариант уравнений F.6.36, 37):
dx = —(ex + axd)dt + С dWAt)
F.6.41)
da = (-«:« + bx2)dt + D dW2(t) .
Здесь для простоты мы считаем, что С и D константы, a Wx{t) и
W2{t) не зависят друг от друга.
Уравнение Фоккера — Планка имеет вид
I=[к <«
и мы хотим исключить а. Удобно ввести новую переменную
F.6.43)
которая при фиксированном х имеет нулевое среднее значение. Урав-
Уравнение Фоккера — Планка для этой переменной имеет вид
8/ = (Ц + Ц + Ц)р F.6.44)
at
где
IP = A Ka I ^ -^ F.6.45)
1 ад р^ 2 врг
280 Глава 6
«-[?(«+**¦)+?&]¦
В этих переменных предел е — 0 не представляет интереса, поскольку
мы получим ту же систему с е = 0. Исключение переменной оказыва-
оказывается невозможным, так как L1 не умножается на большой параметр.
Для того чтобы в детерминистическом смысле предел е — 0 озна-
означал, что F.6.39) имеет силу как предельная форма, должно существо-
существовать А, такое, что
ab
— = еА, когда е — 0.
к F.6.49)
Для того чтобы этот предел можно было распознать в детерминисти-
детерминистическом смысле, он не должен быть «забит» шумом, и это приводит
нас к условию
С2
— — еВ, когда е — 0 , А не зависит от е. F.6.48)
что означает
Ц-~еЦ-(х + Ах2) + В|V| . когда ? - 0. F.6.50)
I OX J
Для L\, однако, существует.две возможности. Чтобы L^ не зависел от
?, к не должно зависеть от ё, что вполне естественно. Таким образом,
предел F.6.48) должен достигаться за счет того, что произведение ab
пропорционально ?. Рассмотрим различные возможные ситуации.
а) Тихое подчинение: а пропорционально е
Допустим, что
а = ш. F.6.51)
Мы видим, что L\ не зависит от е, в то время как L\ и L\ пропорцио-
пропорциональны е. Если изменить масштаб времени
x = zt, F.6.52)
то
jj-fU.+l. + L,),, F-6.53)
дт
Приближенные методы для диффузионных процессов 281
где
1-\ — л-1
L2 = Ще F.6.54)
L3 = Ще .
Стандартная процедура исключения дает нам с точностью до низшего
порядка
F.6.55)
поскольку L2 не уходит в бесконечность при е — 0.
Полученный результат в точности соответствует адиабатическому
исключению а, когда мы игнорируем флуктуации величины а и про-
просто подставляем детерминированное значение в уравнение длях. Я на-
называю это «тихим подчинением», поскольку (в терминологии Хакена)
а подчиняется х и не дает вклада в шум в уравнении для х. Это, по
Хакену, обычная форма подчинения.
б) Шумное подчинение: а пропорционально е1/2
Допустим теперь, что как а, так и Ь пропорциональны е1/2:
а = ае112 F.6.56)
Ъ = бе112,
где
аБ = кА . F.6.57)
?° остается постоянным, L^ пропорционален е, а
Ц = eV2L2 + члены высших порядков по е, F.6.58)
где
L2 = a/l~x. F.6.59)
Таким образом, предельное уравнение имеет вид
^=(L3- PL2L^L2)p. F.6.60)
282 Глава 6
Член PL2Li \L2 можно найти так же, как это сделано выше; получим
F.6.62)
Я называю это «шумным подчинением», поскольку подчиняемая пере-
переменная обнаруживает свое присутствие в получаемом уравнении, уве-
увеличивая шум (и влияя на снос, хотя последнее заметно лишь в приво-
приводимой здесь форме Ито — в форме Стратоновича дополнительный
снос не проявляется).
в) Общий случай
Коль скоро мы предполагаем, что ab ~ е, второй и третий члены в
F.6.46) всегда пропорциональны ер, где/? > 1, и поэтому ими можно
пренебречь (если b ограничена). Таким образом, существенным в L°2
является лишь первый член. В таком случае если
а = е'а ,
то существуют следующие возможности:
г > 1/2: «тихое подчинение», предельное уравнение F.6.55);
г= 1/2: «шумное подчинение», предельное уравнение F.6.62);
г < 1/2: член PL^\XL2 пропорционален е2г~[ -ю и становится
основным.
При г < 1/2 уравнение принимает асимптотический вид
дх
F.6.63)
Все эти ситуации можно, впрочем, описать одной общей формулой
дт
дх
Ах ) + а~2 В
дх1
2r_, _2 d д д ,.
е а -П 57 х 3~ х \Р ¦
2к2дк дх '
F.6.64)
Применяя методы адиабатического исключения, следует обращать
особое внимание на то, чтобы были учтены верные зависимости всех
констант системы от малых параметров.
Приближенные методы для диффузионных процессов 283
6.6.3 АДИАБАТИЧЕСКОЕ ИСКЛЮЧЕНИЕ БЫСТРЫХ ПЕРЕМЕННЫХ:
НЕЛИНЕЙНЫЙ СЛУЧАЙ
Рассмотрим теперь общий случай двух переменных х и а, которые
взаимно влияют друг на друга, но временной масштаб для а гораздо
меньше, чем для х.
Пусть система описывается парой стохастических дифференциаль-
дифференциальных уравнений
dx = [а(х) + b{x)a}dt + с(х)^(О , F.6.65)
da = у\А(а) - f(x)]dt + yV2Bja) dW2{t) . F.6.66)
Если мы будем слепо следовать схеме, изложенной в разд. 6.4, то сра-
сразу же попадем в затруднительное положение. Действительно, в этом
пределе следовало бы принять
на том основании, что для больших у F.6.66) всегда таково, что
y~2da/dt = 0. Но тогда, разрешая F.6.67) для а через х, мы получим
некоторую сложную нелинейную функцию от х и d\V2(t)/dt, разоб-
разобраться с которой невозможно. Если, однако, В(а) равно нулю, то мы
можем определить ио(х) через
А[щ(х)} = Дх) F.6.68)
и, подставив это в F.6.65), получить
dx = [а(х) + b{x)uo{x)]dt + c(x)dWl(t) . F.6.69)
Но на базе наших прежних рассуждений мы разработаем несколько
более совершенную процедуру, которая позволит учесть влияние
флуктуации в F.6.66).
Уравнение Фоккера — Планка, эквивалентное F.6.65, 66), имеет
вид
d?=(yiLl+L2 + L3)p, F.6.70)
где
U = ?[/(*) - А(а)} + ?-2 В{а) , F.6.71)
a L2 и ?3 выбираются так, чтобы удовлетворялось условие PLyP = 0.
284 Глава 6
Во-первых, как обычно, Р определяется как проектор в нуль-про-
нуль-пространство /.,. Стационарное решение рх(а), т. е. решение уравнения
LlPx(a) = 0 F.6.72)
мы записываем так, чтобы оно явно зависело от х, поскольку явная
зависимость отх входит в /., через функцию/(х). Проектор Р опреде-
определяется как
(PF) (х, а) = рх(а) J da' F(x, а') F.6.73)
для всякой функции F(x, a).
Определим теперь функцию и (х) через
и(х) = \da арх{а) = (а}х , F.6.74)
а затем
д_
дх
Ь(х)[а - и(х)]
F.6.75)
Ьз = ~ icla(x) + *(х)м(х)] + т ?[с(х)]2' F-6-76)
так что член \д/дх] Ь(х)и{х) при сложении уничтожается. Таким об-
образом, уравнение F.6.70) является корректным УФП, соответствую-
соответствующим СДУ F.6.65, 66).
Имеем теперь
PL2PF = - рДа) I da' ^ {Ь(х)[а' - и(х)]}рх(а') j da" F(x, a") F.6.77)
= 0
J apx(a)da = u(x) ,
поскольку \apx{a)da — u(x).
Разумеется, справедливо
PL, = L,P = 0 , F.6.78)
HO
PL, Ф L3P . F.6.79)
Теперь мы можем перейти к обычной процедуре. Записывая, как
обычно,
*'> F.6.80)
A - P)p(s) = Ms)
Приближенные методы для диффузионных процессов 285
и считая и'@) = 0, находим
sv(s) = P(L2 Ь L3)w(s) + PL3v(s) + г;@)
s w(s) = [у2Ц + A - P)L2 + A - />)^3]>v(.v) + L2v(i) 4- A -
откуда
s v(s) = PL3v(s) + P(L2 + L3)[s - y2L, - A - P)L2 - A ¦
X [L2 + A - P)L3]v(i) + i;@). F.6.82)
С точностью до второго порядка включительно мы имеем просто
sv(s) ~
-P)L,]}v(s) \-v@).
F.6.83)
Наиболее важен член PL3v(s); он определяет результат адиабатиче-
адиабатического исключения в детерминистическом случае. Записывая
v(t) = рАа)р(х) ,
находим
[а{х)
а поскольку
J da рх(а) = 1 ,то
(«) - ^[«W +- Ь(х)и(х)} + у ^
F.6.85)
Таким образом, с точностью до низшего порядка дифференциальное
уравнение имеет вид
= ~ к[а{х)
F.6.86)
и эквивалентно стохастическому дифференциальному уравнению
F.6.87)
dx -
В этом порядке уравнение движения не содержит флуктуационного
члена, который происходил бы из уравнения для а. Тем не менее ре-
результат полного пренебрежения флуктуациями дается уравнением
F.6.69), которое очень похоже на F.6.87), но содержит г/0(л) вместо
и(х). Можно было бы предположить, что среднее значение а в стаци-
стационарном состоянии будет соответствовать мо(х), но это не так: в дей-
286 Глава 6
ствительности они имеют близкие значения лишь в случае, когда шу-
шумовой член В (а) мал.
Поправки второго порядка
Уравнение F.6.83) можно оценить до порядка у~2- На первый взгляд
наличие вторых производных в L3 указывает на то, что должны поя-
появиться производные четвертого порядка, поскольку L3 встречается
дважды. Мы продемонстрируем, однако, что члены четвертого по-
порядка исчезают.
Рассмотрим выражение
P(L2 + L3)L^[L2 + A - P)L3]v(s) . F.6.88)
Как известно,
1) Pv(s) = v(s) F.6.89)
2) A - P)L2Pv(s) = L2Pv{s)
(мы пользуемся тем, что PL-^P = 0).
С учетом этого F.6.88) принимает вид
P(L2 + Ь3)Ц\\ - P)(L2 + L3)Pv(s) = P{PL2 + [P, L3] + L3P)
x A - P)Lj\\ - P){L2P + [L3, P] + PL3}v(s) , F.6.90)
где коммутатор [А, В] по определению равен
[А, В] = АВ - ВА . F.6.91)
Мы учли, что L j~' коммутирует с A — Р), и воспользовались тем, что
A - рJ = A - Р), для того чтобы в F.6.90) поставить еще раз
A - Р) перед Lj. Мы также поставили Р перед всем выражением,
поскольку Р2 — Р. С использованием равенства
Р{\ - Р) = A - Р)Р = 0
выражение F.6.90) принимает вид
P{PL2 + [Р, Ц]}Ц!(\ - P){L2 + [L3,P]}v(s). F.6.92)
Вычислим теперь [Р, L3]:
3 г ,
(PL3fXx, a) = Рх{«)
Ь(х)и(х)]
Приближенные методы для диффузионных процессов 287
iL,P)fix,a)= -fJaW + адф)]
ojfic) J da'fix, a') .
Вычтя эти выражения и определив
'
F.6.94)
F.6.95)
F.6.96)
ox- i
находим
i\P, L3]f) ix, a) = rxia)[aix) + bix)uix)]Pfix, a)
- \sxia)cixYPfix, a) - rxia)P ^ [с(х)гДх, а)] . F.6.97)
Последний член здесь можно еще упростить, поскольку нас интересу-
интересует лишь случай, когда fix, а) это v, т. е.
F.6.98)
F.6.99)
с) F.6.100)
F.6.101)
F.6.102)
fix, a) =
Тогда
Эх
Далее,
Р[Р, L3]
= рА«)р(х) ¦
э
д
= pxia) ^- cixypix) .
можно показать, что
= 0.
Действительно, поскольку
имеем
J ^/a rx(a)px(a) = j da sx(a)px(a) = 0 ,
F.6.10?)
F.6.104)
288 Глава 6
что доказывает справедливость F.6.102). Таким образом, мы можем
записать F.6.92) в виде
PL2Lt> {L2 + [Lit P]}v{s), F.6.105)
где
[L3, P]v(s) = -Рх{а){гх{аЫх) + b(x)u(x)] - \sx(a)c(xf}p{x)
+- pMrM ~ [c(xJp(x)]. F.6.106)
6.6.4. ПРИМЕР С ПРОИЗВОЛЬНОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ СВЯЗЬЮ
Рассмотрим пару уравнений
dx=yb(x)adt F.6.107)
da = -y2A(x, a, y)dt + у^Щх^о^у) dtV(t)
и предположим существование следующих пределов и асимптотиче-
асимптотических разложений:
F.6.108)
Из существования указанных разложений следует, что существует
асимптотическое стационарное распределение а при фиксированном х,
которое дается выражением
р,(а, х) = lim pXa, х, у) F.6.109)
у
р,(а, х) ос В0(х, а)'1 ехр {J da[A0(x, а)/В0(х, а)]} . F.6.110)
Пусть А0(х, а) и В0(х, а) таковы, что
<a(x)>s = J da aps(a, x) = 0 , F.6.111)
так что из F.6.108) следует, что для фиксированного у
(а(х, y)}s --= \ da ар,(а, х, у) ~ ао(х)у~1, F.6.112)
где ао(х) может быть найдена из F.6.108).
Приближенные методы для диффузионных процессов 289
Введем новые переменные
р=а-±ао(х) F.6.113)
х, = х,
в которых оператор Фоккера — Планка (считая, как обычно, якобиан
постоянным) записывается, после перехода от дг, обратно к х, в виде
L = - — ао(х)Ь(х)
~УР§-Х Ь(х) + у ао'(х)ао(х)Ь(х) Ц + щ Рао'(х)Ь(х)
С использованием асимптотических разложений F.6.108) это можно
записать в виде
L = Ьъ + yL2(y) + y2Lt , F.6.115)
где
L3 = - fxa0(x)b(X) F.6-116)
Ll=?fiAM.x)+jjjpBM.x) F-6.117)
L2(y) = L2 + O(r') F.6.118)
Заметим, что L3 и L, не коммутируют, но как и в разд. 6.5.4, это не
влияет на предельный-_результат:
U = (L, - РЬ2Ь^Ь2)р . F.6.120)
Вычисление члена PL^\lL2 несложно, но громоздко. Заметим,
что после применения к ним оператора Р члены, содержащие 9/9/3, ис-
290 Глава 6
чезают. Используя явный вид/?Да, х), можно определить G(fi,x) как
№. о]** 4
и тогда мы получим
PL2LT'L2p = \J-xb(x)D(x)fxb(x) + ^Ь(х)Е(х)}р , F.6.122)
где
D(x) = jf dtW), >S@) | л:> F.6.123)
о
E(x) ^]dt(P(t), G(p, x)\x}
0
(здесь <. . Ax) обозначает среднее nops(@, x)). Полученные результа-
результаты являются довольно сильным результатом адиабатического исклю-
исключения, причем можно произвести произвольное нелинейное исключе-
исключение и получить конечный шум. Вычисления оказываются более про-
простыми, чем в предыдущем разделе, поскольку члены, включающие L3>
имеют более низкий порядок, чем члены, включающие L2.
Управляющие уравнения
и скачкообразные процессы
Часто случается, что поведение системы, содержащей частицы или
индивидуальные объекты (животные, бактерии и т. п.), весьма прав-
правдоподобно описывается с помощью скачкообразного процесса. В та-
таких случаях мы обнаруживаем, как уже упоминалось в разд. 1.1, что в
соответствующем пределе возникают макроскопические детермини-
детерминистические законы движения, а случайный характер процесса обуслов-
обусловливает флуктуирующую добавку. Однако и детерминированное движе-
движение, и флуктуации возникают как следствие из одного и того же опи-
описания посредством отдельных скачков или переходов. В этом отноше-
отношении описание с помощью скачкообразного процесса (и соответствую-
соответствующего управляющего уравнения) оказывается очень успешным.
С другой стороны, мы можем построить приближенную модель
подобной системы на базе стохастических дифференциальных уравне-
уравнений, в которых детерминированное движение и флуктуации имеют
полностью независимое происхождение. В такой модели независимое
описание флуктуации и детерминированного движения создает ослож-
осложнения, и для получения некоторой информации о флуктуациях необхо-
необходимо привлечение флуктуационно-диссипационной теоремы. С этой
точки зрения использование управляющего уравнения позволяет дать
гораздо более полное описание.
Тем не менее существование макроскопических детерминистических
законов является очень важным результатом, и в этой главе мы пока-
покажем, что часто существует предел, в котором решение управляющего
уравнения может асимптотически аппроксимироваться (в терминах
большого параметра Q, отвечающего размеру системы) детермини-
детерминированной частью (которая представляет собой решение детермини-
детерминистического дифференциального уравнения), на которую накладывается
флуктуационная часть, описываемая стохастическим дифференциаль-
дифференциальным уравнением, коэффициенты которого получаются из исходного
управляющего уравнения. О подобных асимптотических разложениях
уже упоминалось в разд. 3.8.3, где мы имели дело с простейшим скач-
скачкообразным процессом — процессом Пуассона, а в деталях разберем
этот вопрос в разд. 7.2.
292 Глава 7
В результате мы придем к довольно простым правилам, для напи-
написания уравнений Фоккера — Планка, эквивалентных (в асимптотиче-
асимптотическом приближении) управляющим уравнениям. Более того, на практи-
практике нередко бывает очень просто записать требуемое приближенное
уравнение Фоккера — Планка, даже не формулируя само управляющее
уравнение. Существует несколько равноправных способов формули-
формулировки уравнения Фоккера — Планка в первом приближении, однако
пока что найден лишь один надежный путь, ведущий к разложению
по степеням п~1 — разложение ван Кампена по обратному размеру
системы.
Глава завершается изложением представления Пуассона. Этот ме-
метод, разработанный автором с сотрудниками, позволяет построить
для некоторого класса управляющих уравнений уравнение Фоккера —
Планка, в точности эквивалентное управляющему уравнению. В этом
частном случае разложение по обратному размеру системы возникает
как разложение по малому шуму для уравнения Фоккера — Планка в
представлении Пуассона.
7.1. УПРАВЛЯЮЩИЕ УРАВНЕНИЯ РОЖДЕНИЯ — ГИБЕЛИ:
ОДНОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ
Одномерный прототип всех систем типа рождения — гибели пред-
представляет собой систему особей вида X, количество которых х может
принимать неотрицательные целочисленные значения. Нам приходит-
приходится рассматривать условную вероятность/3^, t\x, t') и соответствую-
соответствующее управляющее уравнение. Обычно принимается, что в ходе одного
события может возникать (рождаться) или исчезать (погибать)
лишь конечное число особей. В простейшем случае рождения и гибели
особей X являются единичными событиями с зависящей от времени
вероятностью, так что вероятность перехода может быть записана в
виде
W(x\x\ t) = t+(x')Sx.x,+l -f Г(х')Зх,х,^ . G.1.1)
Таким образом, имеют место два процесса:
х — х + 1: t + (х) = вероятность перехода в единицу времени, G.1.2)
х — х - 1: t~(x) = вероятность перехода в единицу времени. G.1.3)
Общее управляющее уравнение C.5.5) тогда принимает вид
д,Р(х, t\x', О = t+(x - l)P(x -\,t\x',t') + Г{х + \)Р(х + 1, t\x', О
- [t+{x) + t~(x)]P(x, t\x', О . G.1.4)
Управляющие уравнения и скачкообразные процессы 293
Единого способа решения этого уравнения не существует, за исключе-
исключением случая, когда отсутствует зависимость от времени.
7.1.1. СТАЦИОНАРНЫЕ РЕШЕНИЯ
Уравнения для стационарного решения Ps(x) можно записать в виде
0 = J(x+l)-J(x), G.1.5)
где
J(x) = Г(х)Р,(х) - t+(x - l)Ps{x - 1) . G.1.6)
Воспользуемся тем, что ^-неотрицательное целое число; у нас не мо-
может быть отрицательного числа особей и поэтому
1) /~ @) = 0 (если число особей равно нулю,
то вероятность гибели равна нулю) G.1.7)
2)Р(х, t\x', /') = 0 длях < 0 илих' < 0. G.1.8)
Это означает, что
7@) - /-@)Р.@) - ?+(- \)Р,{-1) = 0 . G.1.9)
Просуммируем G.1.5) и получим
0 = 2 [J (z + 1) - /(;)] = J(.x) - 7@) . G.1.10)
Следовательно,
Дх) ¦= 0 , G.1.11)
и тогда
ВД = ^Т^р Р.(х - 1), G.1.12)
откуда
вд = адп/+^п.
G.1.13)
а) Интерпретация в терминах детального баланса
Условие J(x) = 0 можно рассматривать как требование детального
баланса, причем х — четная переменная. Действительно, это условие
является вариантом E.3.74), которое здесь принимает вид
Р(х, т\х', 0)Л(*') = Р(х\т\х, 0)Р.(х). G.1.14)
294 Глава 7
Подставляя х' = х ± 1 и переходя к пределу г — 0, а также заметив,
что в силу определения C.4.1)
Щх\х', t) = lira Р(х, t + т\х', t)lx , G.1.15)
г-О
легко доказываем необходимость указанного условия J(x) = 0.
б) Уравнения для скорости изменения средних
Заметим, что среднее значение х удовлетворяет равенству
=д,±хР(х,1\х',П G.1.16)
= S x[t+(x-l)P(x -l,t\x',f)- t+(x)P{x,t\x', /')]
4- f] x[r(x + \)Р{х +\,t\x',t')- г(х)Р(х +l,t\x', t')] G.1.17)
x = 0
-xr(x)]P(.x,t\x',t'),
т. e.
at
Соответствующим детерминистическим уравнением будет уравнение,
полученное в пренебрежении флуктуациями:
~ = t+(x) ~ г(х). G.1.20)
Заметим, что в детерминистическом случае стационарное состояние
возникает, когда
t*(x) = t-(x). G.1.21)
В соответствии с этим обратим внимание, что максимальное значение
Ps(v) достигается, когда
Р,(х)/Р.{х - 1) = 1 , G.1.22)
что с учетом G.1.12) отвечает случаю
t+(x ~ \) = г{х). G.1.23)
Управляющие уравнения и скачкообразные процессы 295
Поскольку переменная х принимает только целочисленные значения,
для достаточно больших х выражения G.1.21) и G.1.23) практически
тождественны.
Таким образом, модальное значение х (при котором вероятность
максимальна), соответствующее равенству G.1.23), является стацио-
стационарным стохастическим аналогом детерминированного стационарного
состояния, которое соответствует G.1.21).
7.1.2. ПРИМЕР: ХИМИЧЕСКАЯ РЕАКЦИЯ X <* А
к
к
1
Рассмотрим реакцию X ^ А, предполагая концентрацию вещества А
кг
постоянной. Иначе говоря, мы считаем, что
t+(x) = k2a G.1.24)
Г(х) = кхх , G.1.25)
так что управляющее уравнение принимает простой вид
д,Р(х, t) = к2аР(х - 1, г) + кх(х + \)Р(х +1,0- (А:,х + к2а)Р(х, /), G.1.26)
где для краткости мы пишем Р(х, t) вместо Р(х, t\x', С).
а) Производящая функция
Для решения этого уравнения введем производящую функцию (ср
разд. 1.4.1, 3.8.2)
G(s,t) = f]sxP(x,t), G.1.27)
так что
' G.1.28)
d,G(s, 0 = k2a(s - l)G(s, t) - jfe,(j - \)d?(s, t).
Если подставить
#д, t) = G(s, t) exp {-k^asjk,), G.1.29)
выражение G.1.28) принимает вид
д,ф{з, t) = - k,(s - \)д,ф(х, t). GЛ.Щ
Дальнейшая подстановка s - 1 = ez,
ф(э, t) = y/(z, t)
296 Глава 7
дает уравнение
д,ф, О + kxdlW{z, 0 = 0,
G.1.31)
решением которого является произвольная функция от &,? — z. Запи-
Запишем это в виде
ц/{2, t) = -F[exp (—kit + г)] e-*2e/*i
= F[(s — l)e~*>'] e"*2a/*i
и тогда получим
GE, /) =
"] exp [(s -
G.1.32)
В силу нормировки G(l, t) = 1, и поэтому
/40)= I . G.1.33)
б> Условная вероятность
Начальное условие определяет F; принимая V = 0, имеем
P(x,0\N, 0) = 6х.„ . G.1.34)
Это означает, что
G(s, 0) - *" = F(j - 1) exp [(s - 1)A'2«/A,] , G.1.35)
так что
G(s, t) = exp |"^?E - 1)A - e-fc'')][l -f (j - 1)е-*1']" . G.1.36)
Разложив полученное выражение в ряд по степеням s, получим
G.1.37)
Этот очень сложный ответ дает полное решение задачи, но его прак-
практическая полезность невелика. За основу для вычислений удобнее
брать производящую функцию G.1.36) или уравнения для средних зна-
значений.
P(x,
\N,
0)
=
X
A
Г к2
Г к
-е-*'
Т+
— е
t
Л'!
(Л^—г')Уг!(лг-7)"!
U
-г
Управляющие уравнения и скачкообразные процессы 297
Используя производящую функцию, мы можем вычислить
<*@>
(x(t)[x(t) - 1]> = (
D {*(/)}
3sG(s =1,0
№=1,0
Ne *i + —
= <
a?(l _ e-*i') + Ne-"'1
х(фг — Ne'^1
- e-*>').
G.1
G.1
G.1
.38)
.39)
.40)
в) Уравнения для моментов
Из дифференциального уравнения G.1.28) получаем
д,[д"М*, 01 = {п[к2адГ' - Аг,ЭЯ + (s - \)[k2ad"s - ЗД+1]} G{s, t). G.1.41)
Подставляя s = 1 и используя равенство
3;GCM)U, = <*(')">,, G.1.42)
находим
dt
G.1.43)
Эти уравнения образуют замкнутую иерархию. Естественно, решения
для среднего значения и дисперсии соответствуют равенствам G.1.38,
40).
г) Автокорреляционная функция и стационарное распределение
Когда t — оо для любой функции F, мы находим из G.1.32, 33)
G(s, / — оо) = ехр [ (* - 1 )k2a/k1] , G.1.44)
что соответствует распределению Пуассона
Ps(x) =ехр (— k2ajki) (k2a/ki)"/x\. G.1.45)
Поскольку уравнение, описывающее эволюцию (х(ф во времени, ли-
линейно, мы можем применить методы раздела 3.7.4, а именно теорему
регрессии, которая устанавливает, что стационарная автокорреляци-
автокорреляционная функция зависит от времени так же, как среднее значение, а ее
значение при t = 0 равно стационарной дисперсии. Отсюда
G.1.46)
G.1.47)
G.1.48)
298 Глава 7
Стационарное решение в виде распределения Пуассона также следует
из G.1.13) путем прямой подстановки.
д) Решения в виде распределения Пуассона, зависящего от времени
Очень интересным свойством этого уравнения является существование
решений, представляющих собой распределения Пуассона, зависящие
от времени. Действительно, если взять
/>(-*, O)=e-fp, GЛ.49)
то
G(s, 0) = exp [(s - l)«0] , G-1-50)
я из G.1.32) находим
G(s, 0 - exp [(s - l)(aoe-*'' + кга1к,)}, G.1.51)
чему соответствует
G.1.52)
где
Мы видим, что а @ здесь является решением детерминистического
уравнения
~ = кга — кхх G.1.54)
at
с начальным условием х@) = а0 . G.1.55)
Этот результат может быть обобщен на случай многих перемен-
переменных и составляет основу представления Пуассона, которое будет раз-
развито в разд. 7.7. Существование решений в виде распространяющегося
распределения Пуассона является следствием линейности системы.
7.1.3. ХИМИЧЕСКАЯ БИСТАБИЛЬНАЯ СИСТЕМА
Рассмотрим систему
А+2хЛ^ЗХ G.1.56)
AJ^X, G.1.57)
Управляющие уравнения и скачкообразные процессы 299
которая изучалась многими авторами [7.1]. Концентрация вещества Л
поддерживается постоянной, так что
t+(x) = к,Ах(х — 1) + к3А
_, ' ; ' G.1.58)
Соответствующим детерминистическим уравнением является, разуме-
разумеется,
{
G.1.59)
М*2 - Аг„х + кгА ,
где мы считаем х достаточно большим, чтобы иметь право записать
х(х — 1)(х — 2) = л:3 и т. п. Решение этого уравнения с начальным ус-
условием х @) = х0 имеет вид
1х — хЛ *з-*21х — хг\ х'-хз 1Х — х
U j U U
. - х2/ \х0 - х3,
= exp [-k2(xi - хг)(х2 - х3)(х3 - x{)t] . G.1.60)
Здесь хх, х2, хъ являются корнями
к2хъ - кхАхг + Кх - х3А = 0 , G.1.61)
причем хъ ^ х2 > хх.
Очевидно, что эти корни являются стационарными значениями ре-
решений x(t) уравнения G.1.59). Из G.1.59) мы видим, что
. dx .
x2>x>Xl =>% <0
. dx
х3 > х > х2 =v -у- > 0
Таким образом, в области х < х2 решение x(t) будет притягиваться к
л:,, а в области х > х2 — к хъ. Решение х(t) — х2 будет неустойчиво к
малым возмущениям. Таким образом, мы имеем дело с системой с
двумя детерминированными устойчивыми стационарными состоя-
состояниями.
300 Глава 7
а) Стохастическое стационарное решение
В силу G.1.13)
Р (г\ Р «\\ гг № - 0 (z - 2) +Я] ,_ , ,,.
Л(*) = Л@)П|ф_1)(г_2) + Лг , G.1.63)
где
R = kjk2 G.1.64)
Заметим, что если Р = R, то решение G.1.63) является распределени-
распределением Пуассона со средним значением В. В этом случае мы имеем стаци-
стационарное состояние, в котором реакции G.1.56, 57) одновременно нахо-
находятся в равновесии. Далее мы покажем, что в подобной ситуации хи-
химического равновесия всегда существует решение в виде распределения
Пуассона (разд. 7.5.1 и 7.76). Согласно G.1.21), максимумы в G.1.63)
достигаются, когда
В = х[{х - 1) (* - 2) + Я]/[Р + х(х-\)]. G.1.65)
Функция х = х(В), получаемая путем обращения G.1.65), дает макси-
максимумы (минимумы), соответствующие значению В при заданных Р и
R.
Асимптотами для этой функции являются
х(В) ~ В при больших В, ,_ , ,,ч
(IЛ .00)
х(В) ~ PB/R при малых В.
Если R > 9Р, то можно показать, что наклон х(В) становится отри-
отрицательным в некотором диапазоне значений х > 0, и поэтому одному
значению В соответствуют три решения, как показано на рис. 7.1.
При переходе с одной прямой на другую наблюдается заметный из-
излом.
Заметим также, что при выбранных параметрах бимодальный ха-
характер распределения заметен в очень узком диапазоне значений В.
Этот диапазон намного уже того, на котором функция Ps{x) имеет
два максимума, поскольку отношение высот этих двух пиков может
быть очень велико.
Можно привести и более точный результат. Пусть объем системы
очень велик, а концентрация у вещества X, определяемая как
Управляющие уравнения и скачкообразные процессы 301
Рис. 7.1. График х(В) относитель-
относительно В, построенный по решению
G.1.65) для различных значений
R/P и Р = 10 000.
2000-
1000-
1000
В
Z000
постоянна. Ясно, что вероятности перехода должны иметь порядок V,
поскольку скорость производства вещества X пропорциональна вели-
величине х — yV. Следовательно,
кхА
к,А
V
G.1.67)
к, ~ I .
а это значит, что
В~ V
р ~~ V2.
Тогда мы можем записать
В - BV
R -= R V2
Р = PV2 .
и представить G.1.65) в виде
В = у(у2 + R)/(y2 + Р).
G.1.68)
302 Глава 7
Обозначив через у1 иу2 два значения у, запишем
log [Р.(УгI P.(yi)] = S 0°8 SV + 1оё (z* + PV^
- log [z(z2 + R V2)]} G-1.69)
и аппроксимируем сумму интегралом
, у{у2 + R)
Отсюда
, G.1.70)
и в зависимости от знака интеграла при V — оо это отношение обра-
обращается либо в нуль, либо в бесконечность. Таким образом, в пределе
больших объемов два пика, если только они не в точности одинаковы,
становятся все более различными, и в конце концов сохраняется толь-
только один из них.
Дисперсию распределения можно найти с помощью простого прие-
приема. Заметим, что в силу G.1.63) Ps(x) можно записать в виде
Р,(х) = B'G(x), G.1.71)
где G(k) есть функция, определяемая через G.1.63). Тогда
<д:*> = | 2 дс*Д*С(*) I I Y, B*G(x)\~X
Ь-о J Ь-о
И
G.1.72)
так что
D{x)=BfB(x>. G.1.73)
Отсюда видно, что при V — оо
уагЫ-^-О, G.1.74)
и мы приближаемся к детерминированному пределу. Далее, если <л:)
пропорционально В, то дисперсия равна среднему значению, и для
Управляющие уравнения и скачкообразные процессы 303
двух ветвей G.1.66) мы получаем
<л-(В)> = D{x(B)) =B при больших В
<лг(В)> = D{x(B)} = PB/R при малых В.
Это означает, что в этих пределах распределение примерно отвечает
распределению Пуассона.
Стохастическое среднее в действительности не определяется точно
пиковыми значениями, но хорошо аппроксимируется ими. Разумеется,
для всякого В существует одно отчетливо выраженное значение
(х(В)), а не три. Численные расчеты показывают, что среднее значе-
значение вначале движется вплотную к нижней ветви, а затем резко пере-
перескакивает в точке Вс на верхнюю ветвь. В точке Вс оба максимума
имеют равную высоту, и эту точку можно в принципе определить из
G.1.70).
б) Учет зависимости от времени
Точное решение, учитывающее зависимость от времени, получить не-
невозможно. Почти все приближенные методы основаны на приближе-
приближении большого объема, свойства которого в стационарном случае бы-
были перечислены выше, и будут подробно рассматриваться в следую-
следующем разделе.
7.2. ПРИБЛИЖЕННОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ УПРАВЛЯЮЩИХ
УРАВНЕНИЙ УРАВНЕНИЯМИ ФОККЕРА — ПЛАНКА
Существование систематизирующего масштабного параметра V при-
приводит к понятию разложения по обратному размеру системы, впер-
впервые последовательно изложенного ван Кампеном [7.2]. Запутанная ис-
история этого вопроса, впрочем, насчитывает немало попыток найти
предельную форму управляющего уравнения, приводящую к уравне-
уравнению Фоккера — Планка. Основной же результат состоит в том, что
диффузионный процесс может всегда быть аппроксимирован скачко-
скачкообразным процессом, но не наоборот.
7.2.1. ПРИБЛИЖЕНИЕ ДИФФУЗИОННОГО ПРОЦЕССА СКАЧКООБРАЗНЫМ
ПРОЦЕССОМ
Как мы уже обнаружили для случайного блуждания (разд. 3.8.2), в
пределе бесконечно малых скачков управляющее уравнение переходит
в уравнение Фоккера — Планка. Очевидно, что скачки должны стано-
становиться все более малыми и все более вероятными, и этот факт отра-
отражается в гипотезе масштабной инвариантности: существует пара-
304 Глава 7
метр <5, такой, что средняя длина шага и ее дисперсия пропорциональ-
пропорциональны 8, а вероятность скачка увеличивается с уменьшением 5.
Пусть вероятность скачка можно представить в виде
W5{x' \х) = ф {^ZJLjJW, х) J-3/2, G-2.1)
где
J dy Ф(у, х) = Q G.2.2)
и
J dy у Ф(у, х) = 0 . G.2.3)
Это означает, что
ао(х) = \dx'Wd(x'\x) = Q/S
«,(.*) = J dx'(x' - х) Ws(x' [ x) = ^(.vN G.2.4)
*,(.y) == J a'A-Yx' - jcJ^(x'|.y) = J dyy20(y, x) .
Далее, мы предполагаем, что Ф(у, х) достаточно быстро уходит в
нуль, когда у -~ оо, так что
lim Ws(x'\x) = lim|r(-r-V—-) Ф(у, х)} = 0 длях'Фх. G.2.5)
д—о у—са \_\Х Xj J
Условия G.2.4, 5) весьма сходны с условиями C.4.1, 4, 5) из разд. 3.4,
и, выбрав дважды дифференцируемую функцию/(z), мы можем, так
же как и в разд. 3.4, показать, что
Отсюда следует, что в пределе 5 — 0 управляющее уравнение
Щг = fdx>[Щх'х>)Р(х>) ~ Щх>'х)Р(х)] G-2-7)
превращается в уравнение Фоккера — Планка
^г = ~ й ai(x)pw + т ? ^wf w • G-2-8)
Таким образом, имея уравнение G.2.8), всегда можно построить
управляющее уравнение, которое в зависимости от параметра 5 будет
аппроксимировать его с любой желаемой точностью. В подобное
Управляющие уравнения и скачкообразные процессы 305
управляющее уравнение будут входить вероятности перехода, удов-
удовлетворяющие критериям G.2.4). Если же указанные критерии не удов-
удовлетворены, то подобное приближение оказывается невозможным.
Приведем несколько примеров.
а) Случайное блуждание (разд. 3.8.2)
Пусть х = nl; тогда
Щх | *') = d(dx,,x_, + Sx>,x+l). G.2.9)
Далее,
ао(х) = Id
«,(*) = 0 G.2.10)
аг(х) = 214.
Пусть
с5 = /2 G.2.11)
и
D = 14. G.2.12)
Теперь все условия удовлетворены, и предельное уравнение имеет вид
как и утверждалось в разд. 3.8.2.
б) Процесс Пуассона (разд. 3.8.3)
Здесь, полагая х = nl,
W(x\x>) = dSx,xl+l G.2.14)
и
ао(х) = d
at(x) = ld G.2.15)
Мы видим, что нельзя выразить / и d через параметр 5 так, чтобы
/ — 0, а а,С*) и а2(х) были конечны. В этом случае предельного урав-
уравнения Фоккера — Планка не существует.
306 Глава 7
в) Общее приближение диффузионного процесса управляющим
уравнением рождения — гибели
Пусть мы имеем управляющее уравнение, такое, что
м; G.2.16)
тогда для достаточно малых 6 вероятность Wd(x' \x) положительна, и
по предположению это возможно на всем интересующем нас диапазо-
диапазоне значений х. Тогда процесс принимает значения из множества чисел,
кратных <5, Приведенное выражение имеет иной вид, нежели G.2.1), но
тем не менее в пределе 5 — 0 даст нам УФП. Действительно,
ао(х) = В(х)/62 G.2.17а)
»,(*) = А(х) G.2.176)
аг(х) = В(х) G.2.17b)
и
lim fV»(x'\x) = 0 для*' = х. G.2.17г)
г-о
Здесь, однако, ао(х) расходится как 1/52, а не как 1/5 в G.2.4), и пред-
представление о скачках, происходящих в соответствии с гладким распре-
распределением, перестает быть верным. Доказательство, однако, сохраняет
силу, поскольку поведение ао?хг) несущественно, и предельное УФП
имеет вид
^г = ~ к А^р(х) + у I? выры ¦ <7-2-'8)
Эта форма дает нам способ моделирования диффузионного процесса с
помощью аппроксимирующего процесса рождения — гибели. Метод
оказывается неприменимым, если В(х) = 0 где-либо в диапазоне изме-
изменения х, поскольку это ведет к отрицательным значениям W&ix' \x).
Заметим, что стационарное решение управляющего уравнения в дан-
данном случае имеет вид
Управляющие уравнения и скачкообразные процессы 307
так что для достаточно малых 6
log Ps(x) — const - log B(x) + ? 2<5 A(z)/B(z), G.2.20)
т. e.
p-w - w\exp [2 ?& "(z)/jB(z)]' G-2-21)
что и требовалось получить. Ясно, что предел одинаков на любом
конечном интервале значений х, если А(х)/В(х) ограничено на этом
интервале.
7.2.2. РАЗЛОЖЕНИЕ КРАМЕРСА — МОЙАЛА
Простой, хотя и не строгий, вывод был предложен Крамерсом [7.3] и
значительно усовершенствован Мойалом [7.4]. В неявном виде это
разложение использовал Эйнштейн [7.5], о чем упоминалось в
разд. 1.2.1.
В управляющем уравнении G.2.7) заменим х', определяя
у = х — х' в первом члене и
у = х' — х во втором члене.
После замены
t(y, х)= Щх + у\х), G.2.22)
управляющее уравнение принимает вид
= J dy [t(y, x - у)Р[х -у)- t(y, x)P(x)]. G.2.23)
Э/
Разложим теперь правую часть в степенной ряд
G.2.23) = J dy ± (-^-" ~ [t(y, x)P(x)] G.2.24)
п=1 П. ОХ
= S Цг-" ? Ых)Р(х)], G.2.25)
где
«„(*) = J dx'(x' - x)"W(x'\x) = \dyy t{y, x). G.2.26)
Ограничившись двумя первыми членами в разложении G.2.25), полу-
получим уравнение Фоккера — Планка G.2.8).
Предлагая разложение по обратному размеру системы, ван Кам-
пен критиковал это доказательство на том основании, что оно не со-
содержит никаких указаний на то, чтб принимается за малый параметр.
308 Глава 7
Тем не менее этот способ получил большое распространение, главным
образом благодаря своему удобству и простоте получаемого результа-
результата. Однако, как показано в разд. 7.2.1, существуют границы его при-
применимости. Действительно, принимая W(x' \х) в виде G.2.1), получим
а„(х) = 8"п-l J dy у"Ф(у, х) , G.2.27)
так что при <5 — О члены порядка выше второго в разложении G.2.25)
(разложение Крамерса — Мойала) обращаются в нуль. И в своем до-
доказательстве Мойал [7.4] потребовал выполнения условий, эквива-
эквивалентных G.2.4, 5).
7.2.3. РАЗЛОЖЕНИЕ ВАН КАМПЕНА
ПО ОБРАТНОМУ РАЗМЕРУ СИСТЕМЫ [7.2]
Управляющие уравнения рождения — гибели дают хорошие примеры
ситуаций, когда разложение Крамерса — Мойала оказывается неосу-
неосуществимым, и простейшим из этих примеров служит процесс Пуассо-
Пуассона, о котором упоминалось в разд. 7.2.1.
Во всех подобных случаях длина скачка равна плюс-минус единице
или небольшому целому числу, в то время как типичный масштаб пе-
переменной велик, — это, скажем, число молекул или координата точ-
точки, совершающей случайное блуждание по длинной сетке.
В этих случаях мы можем ввести параметр П размера системы, с
помощью которого вероятности перехода можно выразить через ин-
интенсивные переменные х/п и т. п. Например, в реакции, рассмотрен-
рассмотренной в разд. 7.1.3, параметром Q служил объем V, а переменная дг/Й яв-
являлась концентрацией. В обозначениях ван Кампена
а = экстенсивная переменная (число молекул и т. п., пропорционально Й);
х = в/Й интенсивная переменная (концентрация молекул).
Нас интересует предел больших Й при фиксированном х. Это соот-
соответствует подходу к макроскопической системе. Мы можем перепи-
переписать вероятность перехода в виде
W(a\a')= W{a';Aa)
Аа = а- а'. G.2.28)
Существенным здесь является тот факт, что величина скачка выража-
выражается через экстенсивную величину Да, однако зависимость от а луч-
лучше выражается через интенсивную переменную х. Мы считаем, та-
таким образом, что можно записать
W(a!; Аа) = Qy/ [^; Да). G.2.29)
Управляющие уравнения и скачкообразные процессы 309
Если это так, то мы можем осуществить разложение. Введем новую
переменную г, в которой
а = пф[г) + Q''2z , G.2.30)
где фA) есть функция, которую нужно определить. Теперь окажется,
что ап(а) пропорциональны П; запишем
ап{а) = Qan(x) . G.2.31)
Возьмем разложение Крамерса — Мойала G.2.25) и, заменив перемен-
переменную, получим
дР&А _ QiiiM^dPizj) = ^ Q"-2
X l-fl а„[ф{1) + Q-i:1z]P(z, t). G.2.32)
Члены порядка Qi/2 с обеих сторон уничтожатся, если ф(?) подчиняет-
подчиняется уравнению
ф'О) = 3,^@], G.2.33)
которое является ожидаемым детерминистическим уравнением. Рас-
Раскладывая а„[0(О + U~w2z] по степеням П~1/2 и перегруппировывая
слагаемые, находим
При переходе к пределу больших fi остается только член с т = 2, и
мы получаем
-^ z P(z, t) + 4" 52[?S@] л—, ^(г, 0 ¦
О7 /. (§7.
G.2.35)
а) Сравнение с результатом Крамерса — Мойала
Уравнение Фоккера — Планка по Крамерсу — Мойалу, полученное в
результате сохранения лишь первых двух членов в G.2.25), имеет вид
dfdf = -§a b*MpW + У ? Ыа)Р(а)] ¦ G'2-36)
Переходя к новой переменной х — а/п, получаем
^ ?h й ww ¦ G-2-37)
310 Глава 7
Теперь мы можем воспользоваться теорией малого шума (разд. 6.3),
приняв
?2 = ^ ¦ G.2.38)
После подстановки
г = Qil2[x - фA)], G.2.39)
УФП низшего порядка для z в точности совпадает с членом низшего
порядка в разложении ван Кампена G.2.35). Это означает, что если
нас интересует лишь низший порядок, то мы можем воспользоваться
УФП в представлении Крамерса — Мойала, которое может оказаться
проще, чем метод ван Кампена. С точностью до низшего порядка ре-
результаты будут одинаковы, и каждое из этих представлений будет
справедливо лишь до этого порядка.
Итак, если УФП получено из управляющего уравнения, то его
справедливость будет зависеть от типа предельного перехода, исполь-
использованного при его выводе. Если использовался предельный переход
вида 5 — 0, как в разд. 7.2.1, то к полученному уравнению можно под-
подходить всерьез и, в частности, до конца исследовать нелинейные зави-
зависимости а,(а) и а2(а) от а.
Далее, если уравнение получено в результате разложения по п, как
в разд. 7.2.3, то справедливо лишь приближение теории малого шума.
Тогда не имеет смысла рассматривать что-либо кроме линеаризации
G.2.35) относительно детерминированного решения. Решение этого
уравнения дается на базе соответствующего стохастического диффе-
дифференциального уравнения
dz = а\[ф{ф dt + ValJitj] d\V{t) G.2.40)
с помощью результатов разд. 4.4.7 D.4.49) или 4.4.9 D.4.83).
б) Пример: химическая реакция X <=* А
Согласно разд. 7.1.2, имеем
Щх\х') = дх,х,+11с2а + д^^к.х'. G.2.41)
По предположению
° = ааУ G.2.42)
х = х0 V,
где V — объем системы. Тогда общие количества веществ А и X про-
пропорциональны объему системы (что вполне резонно), а скорости про-
Управляющие уравнения и скачкообразные процессы 311
изводетва и распада Л' пропорциональны соответственно а их. Таким
образом,
W(x'o; Ах) = У[кгаа8,хЛ + кхх'одЛх,_Л . G.2.43)
Это выражение совпадает с G.2.29), где п — V, а —• х и т. п. Итак,
«¦(*) = Ц {х' - х) W(x' | х) = к2а - klX = V(k2a0 - к,х0) 2
<*г(х) = S(** - лJИ^(У \х) = кгр + к1х= V(k2a0 + ktx9).
Детерминистическое уравнение имеет вид
ф'О) = [*:2в0 - кхф{()} , G.2.45)
а его решение
ф(() = фф)е-к1> + ?"° A - е-*-). G.2.46)
Уравнение Фоккера — Планка имеет вид
=kl ^ zP(z)+1 g [Mo + w G247)
Из D.4.84, 85) мы можем вычислить, что
<z@> = z@)e-*i'. G.2.48)
Обычно полагают z @) = 0, поскольку начальное условие можно пол-
полностью учесть, накладывая его на </>. Считая z@) = 0, находим
D {z@} = [^ + ^@)е-*"] A - е-*«0 G.2.49)
так что
(х(ф = Kj5@ = К^@)е-*>' + к-? A - e-*iO > G-2-50)
D {дс(г)} = V D МО} = [^ + K#0)e-*i'](l - е-*!'). G.2.51)
Отождествляя Уфф) = N, мы видим, что эти выражения полностью
совпадают с точными решениями G.1.38 — 40) разд. 7.1.2. Стацио-
Стационарным решением G.2.47) является
, G.2.52)
т. е. гауссово приближение точного распределения Пуассона.
312 Глава 7
Стационарное решение уравнения G.2.36) имеет вид
аг{х) v [_{ аг{х')
= ^(?:2а + A:,x)-1+4*2^ie-2A:. G.2.53)
Полученный предел можно проверить непосредственно, подставив
х = У(к2а0/к,) + д , G.2.54)
так что
G.2.53) = jrBVktaQ + jfcI<j)->+*"*2-c'*ie-2l'Wki-M . G.2.55)
Тогда
log P.(x) = const - 2^>(^ - *> • G-2-56)
Используя точное пуассоново решение, делая ту же подстановку и
применяя формулу Стирлинга
log х\ ~ (х + \) log х — х + const, G.2.57)
мы получим результат, совпадающий с G.2.56). Однако точные ре-
результаты различны, и даже отношение логарифмов неодинаково.
Линейный относительно 8 член является на самом деле членом
низшего порядка относительно V: действительно, используя G.2.39),
мы получим 6 = z^fV, и
log Ps(z) ~ const - ^— (-^= -
так что в пределе больших V мы приходим к простому гауссову рас-
распределению с нулевым средним.
в) Цепочка уравнений для моментов
Из разложения G.2.34) мы можем вывести уравнения для моментов
<z*> = / dz P(z, t)zk, G.2.59)
путем прямой подстановки и интегрирования по частям:
J ос Q-im-2)/2 m,k
Т <Z*> - Ж ^Г- 5 пК^Т^ТО! ^-№)]<z—> - G.2.60)
Иерархию уравнений можно получить, разлагая <z*> по степеням
П-1/2:
<z*> = f; M*f2-''2. G.2.61)
0
л-0
Управляющие уравнения и скачкообразные процессы 313
С помощью этой цепочки уравнений мы можем рассчитать стацио-
стационарные моменты и автокорреляционные функции, используя те же ме-
методы, которые применялись в разд. 6.3.1 при вычислении моментов в
рамках разложения уравнения Фоккера — Планка по малому шуму.
Это осуществил ван Кампен в работе [1.2].
7.2.4. ТЕОРЕМА КУРЦА
Курц [7.6] показал, что в некотором смысле разложение Крамерса —
Мойала может дать несколько более сильный результат, чем разложе-
разложение ван Кампена. Для ограничения класса процессов рождения — ги-
гибели с полиномиальными вероятностями перехода он продемонстри-
продемонстрировал следующее. Рассмотрим стохастический процесс, подчиняющий-
подчиняющийся управляющему уравнению рождения — гибели:
д,Р(а, t) = Y,W{a\a')P(a', t) - ? W{d\a)P{a, t) , G.2.62)
где удовлетворено масштабное условие G.2.29). Тогда существует
процесс b(t), удовлетворяющий стохастическому дифференциальному
уравнению
db(t) = ai(b)dt + ^aJb) dW(t) , G.2.63)
и для каждой реализации a(t) в G.2.62) существует реализация b(t) в
G.2.63), такая, что
\b{t)-a{t)\ -log V G.2.64)
для любого конечного t.
Этот результат соответствует низшему порядку в разложении ван
Кампена. Действительно, сделаем подстановку вида G.2.30), а именно
a(t) = V<j>{t) + Vinz(t) G.2.65)
b(t) = Уф{1) + Vll2y(t). G.2.66)
Тогда характеристической функцией г @ является
<ехр [isz(t)]) = <exp [\sV-ll2a{t) ~ isK^?)])
= exp [- ijF"V@]<exp [иУ~11гЬ(ф + 0{V~xn log V)
= <exp [M01> + 0{V~ltl log V). G.2.67)
Используя асимптотическое разложение для УФП, мы видим, что
функция распределения для y(t) приближается к таковой для УФП
G.2.35) с точностью до 0(F~1/2), откуда следует искомый результат,
314 Глава 7
имеющий, правда, несколько более слабую сходимость из-за наличия
члена с log V. Таким образом, с точки зрения величин, которые можно
рассчитать и измерить, средних значений, дисперсий и т. п., кажущий-
кажущийся более сильным результат Курца эквивалентен разложению ван
Кампена по обратному размеру системы.
7.2.5. КРИТИЧЕСКИЕ ФЛУКТУАЦИИ
Существование разложения по обратному размеру системы, как указа-
указано в разд. 7.2.3, основывается на том, что а[(а) не обращается в нуль.
Могут, однако, возникнуть ситуации, когда
= 0,
G.2.68)
где ф& — стационарное решение детерминистического уравнения. Та-
Такое случается, например, при рассмотрении реакции разд. 7.1.3, для
которой (в обозначениях этого раздела)
5lO) = (By2 +p-y3
где lc2 = V2k2.
Возможны два случая, которым соответствуют точки А и В на
рис. 7.2. Случай А соответствует неустойчивому стационарному со-
состоянию: всякое отклонение влево приведет в конце концов в точку С;
однако точка В устойчива. Ясно, что детерминистическое уравнение
принимает вид
j= -Цу-ф*У, G.2.69)
и управляющее уравнение у нас представляет собой аналог кубическо-
кубического процесса из разд. 6.2.4а.
Рис. 7.2. Различные виды кривых at (у),
имеющих точки а{(у) = 0.
Управляющие уравнения и скачкообразные процессы 315
Ван Кампен [7.13] показал, что в данном случае мы должны при-
принять
а = О jKO + О"" > G.2.70)
и тогда G.2.32) примет вид
Допустим теперь, что первые (q — \) производные 5,@^ обращаются
в нуль. Если мы теперь в качестве фA) возьмем ф5, уравнение G.2.21) с
точностью до низшего порядка имеет вид
+ 2а2(^Л^1~2/'л—2 + члены высших порядков. G.2.72)
Чтобы обеспечить сохранение г равным по порядку величины едини-
единице, положим
A-?) A-/0 = A-2/4 т.е. M=^ri ' G-2.73)
так что в результате
| g) , G.2.74)
где значения 5^ и 52 берутся при фг Теперь флуктуации изменяются
на более медленном временном масштабе, который дается выраже-
выражением
G.2.75)
уравнение же для среднего значения имеет вид
^> I G.2.76)
ах q\
и уже не связано с линеаризованным детерминистическим уравнением.
Разумеется, устойчивость зависит от знака а^ и четности q. Простей-
Простейший устойчивый случай соответствует q — i и отвечает критической
точке В на рис. 7.2. В этом случае мы имеем дело с кубическим про-
процессом, рассмотренным в разд. 6.3.4а, с долговременным масштабом
т = *Г/. G.2.77)
316 Глава 7
Мы видим, что для больших Q зависимость от времени дается функ-
функцией от т = Q~x/2t. Только для t ^ fi1/2 значения т становятся замет-
заметными, и поэтому эволюция системы наблюдается лишь для очень
больших t. Таким образом, при больших п движение системы стано-
становится очень медленным.
Условие G.2.68) обычно контролируется каким-либо внешним па-
параметром (например, температурой), и точка в пространстве парамет-
параметров, для которой удовлетворяется условие G.2.68), называется крити-
критической точкой. Очень медленную эволюцию системы в критической
точке называют критическим замедлением.
7.3. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ ПРОЦЕССОВ
РОЖДЕНИЯ - ГИБЕЛИ
Для процессов рождения — гибели существует довольно простой спо-
способ введения граничных условий. Если процесс ограничен интервалом
[а, Ь], то отражающие и поглощающие граничные условия, очевидно,
сводятся к запрету на выход из интервала или возвращение в интер-
интервал соответственно, т. е.
Отражающая Поглощающая
Граница в а (-(а) = О t + (a - 1) = 0 G.3.1)
Граница вй t + ф) = 0 t~(b + 1) = 0.
Иногда, однако, полезно в процесс ввести границы, и вместо того,
чтобы полагать некоторые вероятности перехода равными нулю, на-
накладывать граничные условия, подобные использованным в уравнени-
уравнениях Фоккера— Планка (разд. 5.2.1), чтобы результирующее решение
на интервале [а, Ь] было решением управляющего уравнения с обра-
обращающимися в нуль вероятностями перехода. Это может оказаться
желательным для сохранения определенного аналитического вида ве-
вероятностей перехода.
а) Прямое управляющее уравнение
Прямое управляющее уравнение может быть записано в виде
д,Р(х, t\x', О = t+(x - l)P(x -\,t\x',t') + г(х + l)P(x + l,t\x', t')
- [t+(x) + t-(x)]P(x, 11 x', t'). G.3.2)
Пусть мы хотим установить отражающую границу в х = а. Мы мо-
можем сделать это, потребовав
Г{а) = 0
Управляющие уравнения и скачкообразные процессы 317
P(a-l,t\x',t) = 0. G.3.3)
Единственным уравнением, на котором сказывается это требование,
является уравнение для dtP(a, t\x', С). То же самое уравнение, одна-
однако, может быть получено не путем наложения условия t(a) = 0, а
путем введения фиктивной вероятности Р{а — 1, t\x', t'), для кото-
которой
/+(а - \)Р(а - \,t\x', t') = t'(a)P(a,t[x', t'). G.3.4)
Это можно рассматривать как аналогию с требованием нулевого по-
потока вероятности для отражающей границы в уравнении Фоккера —
Планка.
Если нам необходим поглощающий барьер в точке х = а, мы мо-
можем потребовать
t*(a- l) = 0. G.3.5)
После достижения точки а — 1 процесс уже не возвращается на интер-
интервал, и дальнейшее его поведение нас не интересует. Единственным
уравнением, на котором это сказывается, является уравнение для
dtP(a, t\x', t'), и то же самое уравнение мы получим, введя фиктив-
фиктивную Р(а — 1, t\x', t'), для которой
Р(а- \,t\x',t') = O. G.3.6)
Подводя итог, мы можем дать альтернативную формулировку гра-
граничных условий, эквивалентных на [а, Ь] условиям G.3.1):
Прямое управляющее уравнение на интервале [а, Ь]
Отражающая Поглощающая
Граница в a t~(a)P(a) = t+(a - \)Р(а - 1) Р(а - 1) = О
Граница в b t + (b)P(b) = t~ ф + \)Рф + 1) Рф + 1) = О
G.3.7)
б) Обратное управляющее уравнение
Обратное управляющее уравнение имеет вид (см. разд. 3.6)
д„Р(х, t\x', t') = t+(x')[P(x, t\x' + 1, f) - P{x,t\x',t')]
+ l%x')[P(x,t\x' - 1, /') - P(x, t\x', t')] . G.3.8)
В случае отражающей границы в точке х = а ясно, что t~ (а) = 0 эк-
эквивалентно введению фиктивной Р(х, t\a — 1, t'), такой, что
P{x,t\a- l,t') = P(x,t\a,n G.3.9)
318 Глава 7
В .случае поглощающего барьера t + (a — 1) не войдет ни в одно из
уравнений для Р(х, t\x', t') при х, х' е [а, Ь]. Однако, поскольку
t+(a — 1) = О, уравнения, в которых х' < а — 1, очевидно, не нару-
нарушат условия
Р(х, 11 х', /') = 0, х<=[а,Ь], х' < а - 1 , G.3.10)
что для уравнения с х' = а будет эквивалентно введению
P(x,t\a-l,t') = 0; G.3.11)
что и является требуемым граничным условием. Суммируя сказанное,
получим следующую таблицу:
Обратное управляющее уравнение на интервале [а, Ь]
Отражающая Поглощающая
Границава Р(Ла - 1) = Р(- \а) Р(-\а - 1) = 0, G.3.12)
Граница в b Р(-\Ь + 1) - Р(-\Ь) Р(-\Ь + 1) = 0.
7.4. СРЕДНЕЕ ВРЕМЯ ДОСТИЖЕНИЯ ГРАНИЦЫ
Метод расчета указанных времен в простом «одношаговом» случае
близок к методу, разработанному для уравнения Фоккера — Планка
(разд. 5.2.7). Пусть система ограничена интервалом
а < *< b , G.4.1)
и на каждом конце его частица либо поглощается, либо отражается.
Для определенности рассмотрим систему с
отражающей границей в х = а и
поглощающей границей в х = Ъ + 1.
Используя, по существу, те же рассуждения, что и в разд. 5.2.7, мы
находим, что Т(х) — среднее время, необходимое для того, чтобы ча-
частица, находящаяся изначально в точке х, была поглощена, — удов-
удовлетворяет уравнению, связанному с обратным управляющим уравне-
уравнением G.3.8):
t+(x)[T(x + 1) - Цх)] + г(х)[Т(х - 1) - Т(х)] = - 1 G.4.2)
с граничным условием, соответствующим E.2.159) и вытекающим из
G.3.12):
Т(а - 1) = Т{а) G.4.3а)
Тф + 1) = 0 . G.4.36)
Управляющие уравнения и скачкообразные процессы 319
Если определить
Щх) = Т(х + 1) - Т(х) , G.4.4)
то G.4.2) принимает вид
t+(x)U(x) - Г(х)Щх - 1) = 1 . G.4.5)
При
Ю = П ^ G.4.6)
S(x) = и(хIф(х) G.4.7)
выражение G.4.5) эквивалентно уравнению
t+(xW(x)[S(x) - 5(х - 1)] = -1 G.4.8)
с решением
= - S l/['+(zWz)l. G.4.9)
При этом удовлетворено граничное условие G.4.3а), согласно кото-
которому
U(a- l) = S(a- \) = 0. G.4.10)
Следовательно,
Цх + 1) - Дх) = ~ф(х) ± lHt+(zWz)] , G.4.11)
и
а отражающая,
Ь поглощающая, G.4.12)
b > а,
причем граничное условие G.4.3) также удовлетворено; Тф + 1) = 0.
Аналогично если а является поглощающей, a b — отражающей
границей, то
а поглощающая,
b отражающая, G.4.13)
а < Ь.
Можно также вывести формулу, соответствующую E.2.128), для слу-
случая, когда обе границы поглощающие.
320 Глава 7
7.4.1. ВЕРОЯТНОСТЬ ПОГЛОЩЕНИЯ
Если а и b конечны, то среднее время до поглощения также конечно.
Если, однако, граница Ъ является отражающей и находится в беско-
бесконечности, то выражение для среднего времени поглощения может рас-
расходиться. Само по себе это еще не означает, что существует отличная
от нуля вероятность того, что частица не будет поглощена. Точный
результат (см. разд. 4.7 в [7.7]) состоит в следующем.
Если процесс происходит на интервале (а, оо) к а является погло-
поглощающей границей, то вероятность поглощения в состоянии (а — 1)
для частицы, находящейся в состоянии х, рассчитывается так. Опреде-
Определим функцию
Ш GА14)
G.4.15)
Тогда если М(х) < оо, то искомая вероятность есть
М{х)
1 + М(х) '
а если М{х) = оо, то эта вероятность равна единице, и тогда среднее
время до поглощения дается формулой G.4.13).
7.4.2. СРАВНЕНИЕ С УРАВНЕНИЕМ ФОККЕРА — ПЛАНКА
Формулы G.4.12, 13) в действительности очень сходны с соответству-
соответствующими формулами для диффузионного процесса G.4.1, 2). Используя .
модель, приведенную в разд. 7.2.1в, нетрудно показать, что в пределе
5 — 0 они совпадают.
Рассматривая задачу о переходе через потенциальный барьер
(разд. 5.2.7в), которая для данного типа управляющего уравнения
может возникнуть, например для реакции с бистабильностью в кон-
контексте разд. 7.1.3, мы можем использовать вполне аналогичное приб-
приближение. Определим для нашего примера среднее время перехода из
устойчивого стационарного состояния хх в другое устойчивое стацио-
стационарное состояние ху
В этом случае точка х = 0 является отражающей границей, и мы
рассматриваем интервал @, х3), а начальной точкой служит х,. Заме-
Заметим, что
' r(z) Ps(O)t+(O)
ф{х) = Д Fii) = pjxj tW) ' GА16)
так что
T(Xl - х3) = 2 [Р.(уI+(У)]~1 ? P.(z) ¦ G.4.17)
У = *1
= 0
Управляющие >равнения и екачкообрашые процессы 32!
Если допустить, что Л,О)!~' имеет резкий максимум в неустойчиво?!
точке х-,, то мы можем положить у — х2 во всех остальных сомножи-
сомножителях в G.4.17) и получить
T(Xl -> х3) ~ -?- 2 [ад- , G.4.18)
где
я,=2л(г) G.4.19)
есть полная вероятность нахождения на нижнем пике стационарного
распределения. Полученный результат является дискретным аналогом
результатов разд. 5.2.7в.
7.5. МНОГОМЕРНЫЕ СИСТЕМЫ РОЖДЕНИЯ — ГИБЕЛИ
Это очень широкий класс систем, эволюция которых во времени мо-
может рассматриваться как результат индивидуальных взаимодействий
между элементами некоторого множества. К таким системам можно
отнести, например,
— химические реакции, при которых молекулы, сталкиваясь друг с
другом, претерпевают превращения;
— экологические системы, в которых особи гибнут, дают потомство,
спариваются, уничтожают друг друга;
— эпидемии, в которых заболевание передается от одного индивидуу-
индивидуума к другому при контакте.
Все системы такого рода можно моделировать с помощью метода,
который я называю комбинаторной кинетикой; в рамках которого
вероятность перехода для некоторого превращения, являющегося
следствием определенного взаимодействия, пропорциональна числу
возможных взаимодействий данного типа.
Например, в химической реакции X ^ 2У прямая реакция X — 2Y
происходит в результате спонтанного распада вырожденного взаимо-
взаимодействия, в котором участвует только один индивидуум. Число воз-
возможных взаимодействий этого типа равно числу индивидуумов типа
X, следовательно, мы можем принять
t(x — х - 1, у — у f 2) = kxx . G.5.!)
Для обратной реакции существует у (у — 1)/2 различных способов вы-
выбора пары молекул У. Следовательно,
t(x -*х+\, у — у - 2) = кгу[у - 1). G.5.2)
322 Глава 7
В общем случае мы можем рассматривать многие типы взаимодейст-
взаимодействий между многими видами молекул, индивидуумов и т. п. На языке
химических реакций мы можем сформулировать общий принцип сле-
следующим образом.
Рассмотрим систему из п компонентов, в которой происходят s
различных реакций:
? N1X. — ? MiXa (A = !, 2, ... s). G.5.3)
К
r
А
Коэффициент NA при Ха есть число молекул типа Ха в левой части
уравнения, а МА — соответственно в правой. Воспользовавшись век-
векторным представлением, мы можем записать
х = (хих2, ...,х„)
NA = (Ni,Nl, ...,Ni) G.5.4)
МЛ = {М\,М\,..., Mi)
(где ха есть число молекул вида Ха). Определим также
гА = Мл — NA . G.5.5)
Ясно, что когда реакция А продвигается на один шаг в прямом на-
направлении, то
х — х + гл , G.5.6)
а в обратном
х — х - гл . G.5.7)
Константы скорости определяются выражениями
G.5.8)
и пропорциональны соответственно числу способов выбора комбина-
комбинации NA или МА из х молекул. Таким образом, управляющее уравнение
имеет вид
д,Р(х, t) = Ц{[^(* + r^Pix + г*, О - ti(x)P(x, t)]
А
¦ + У+Лх - г*)Р(х - rA, t) - гл(х)Р(х, t)]}. G.5.9)
Эта форма, разумеется, является самым общим способом записи од-
однородного по времени управляющего уравнения для целочисленной пе-
Управляющие уравнения и скачкообразные процессы 323
ременной л:, изменяющейся шагами длины г4. Общее комбинаторное
управляющее уравнение возникает именно благодаря специальному
выбору вида G.5.8) для вероятностей перехода за единицу времени.
Иначе его называют также химическим управляющим уравнением, по-
поскольку подобные уравнения особенно удобны для описания химиче-
химических реакций.
7.5.1. СТАЦИОНАРНЫЕ РЕШЕНИЯ ПРИ НАЛИЧИИ ДЕТАЛЬНОГО БАЛАНСА
Вообще говоря, не существует способа записать стационарное реше-
решение в явном виде, удобном для практических приложений. Если, одна-
однако, детальный баланс имеет место, то стационарное решение можно
получить без труда. Будучи просто числовым вектором, переменная д:
может быть только четной; следовательно, детальный баланс должен
записываться в виде
П(х + rA)Ps{x -р гЛ) = /2(х)Л(х) G.5.10)
для всех Л (см. разд. 5.3.5). Требование, чтобы данное условие выпо-
выполнялось для всех А, накладывает довольно жесткие ограничения на f%.
Это следует из того факта, что G.5.10) предоставляет возможность
вычисления Ps(jc0 + л г4) для любого п и для любых начальных х0.
Используя этот метод для всех доступных А, мы можем получить
Ps(x) на пространстве всех дг, которые могут быть представлены в
виде
* = *о + Z! плгл ; (пА целое), G.5.11)
однако получаемые решения могут быть неоднозначными, так как, к
примеру, из G.5.10) мы можем записать
ЛК* + г*) + г"] = -
Гл(х + гл) гв(х + гА + гв)
но
г-)
G.5.12)
Используя комбинаторные представления G.5.8) и подставляя их в
G.5.12), мы видим, что условие удовлетворяется автоматически.
Условие это становится, однако, нетривиальным, если одни и те
же две точки могут быть соединены друг с другом двумя существенно
различными путями, т.е. если, например,
ДМ ф NB
Мл Ф Мв, G.5.13)
но г4 = г3 s г.
324 Глава 7
В таком случае для единственности Ps(x 4- /"') в G.5.10) требуется,
чтобы
а это означает, что
,^ = р. G.5.15)
¦ • А "* В
Если существуют две цепи реакций А, В, С, ... , и А', В', С , ... , та-
такие, что
гл _j_ гв _|_ rc _i_ ^__ _ r^' _f_ ГВ' _)_ гс _|_ ^ G.5.16)
то прямой подстановкой можно убедиться, что
/>,(* + г* + гв + гг + ..-) = Р.(х + гл' + г3' + гс' + ...) G.5.17)
справедливо лишь в том случае, когда
k+ k+ k^
\-AL ZJL' c'
KAi KBi Kci
G.5.18)
Последнее равенство является, таким образом, условием детального
баланса в управляющем уравнении с комбинаторной кинетикой.
Решением для ЛДл:) в данном случае является многомерное рас-
распределение Пуассона
Р.(х) - П -- г - > G.5.19)
что можно проверить подстановкой в G.5.10):
аа('-+'Ре^- JTaOco+jW ^ п а^е^а __к_л xj_
V (xa + rf)\ {xt~+ri - Mt)\ V xj (xa-Nl)\- ^ }
Пользуясь тем, что
гла = Mi - Nf ,
находим
ki П «»i = k-A П «OM" ¦ G.5.21)
a a
Наиболее общее решение, однако, будет иметь такой вид только
при одновременном выполнении разного рода законов сохранения.
Управляющие уравнения и скачкообразные процессы 325
Например, в реакции
X^=±2Y, G.5.22)
сохраняется величина 2х + у. Таким образом, стационарное распреде-
распределение имеет вид
p~al rvx l*~~a2 /-v-v
е-^Ч^^-М0 G.5.23)
где ф — произвольная функция. Выбрав ФBх + у) = 1, мы получим
распределение Пуассона. Или же мы могли бы выбрать
фBх + у) = 5B.т + у, N) G.5.24)
что соответствует фиксированию суммы Ъс + у на уровне N.
В качестве вырожденного случая эту реакцию иногда рассматрива-
рассматривают в виде
A ^==±2Y , G.5.25)
где А считают фиксированным детерминированным числом. Возмож-
Возможными реакциями в таком случае являются
/1—2 У: 1+(у)=к{а G.5.26)
2Y-A Г(у)= к2у(у - !),
и закон сохранения сводится всегда просто к тому, что у сохраняет
свою четность (т. е. либо всегда четное, либо всегда нечетное). Стаци-
Стационарное решение имеет вид
Р,(у)-у,Ч>(У,а) , G.5.27)
где ф(у, а) является функцией у лишь в том смысле, что она зависит
от четности или нечетности у.
7,5.2. СТАЦИОНАРНЫЕ РЕШЕНИЯ В ОТСУТСТВИЕ ДЕТАЛЬНОГО
БАЛАНСА (РЕШЕНИЕ КИРХГОФА)
Существует метод, который в принципе позволяет в общем случае
найти стационарные решения, хотя большого практического примене-
применения он не нашел. За подробностями заинтересованный читатель мо-
может обратиться к работам Хакена (разд. 4.8 в [7.8]) и Шнакенберга
[7.4]. Приближенные методы, однако, открывают более широкие воз-
возможности.
326 Глава 7
7.5.3. РАЗЛОЖЕНИЕ ПО ОБРАТНОМУ РАЗМЕРУ СИСТЕМЫ
И АНАЛОГИЧНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
В общем случае мы находим, что для химических управляющих урав-
уравнений разложение по обратному размеру системы действительно су-
существует. Предполагается, что скорость производства или поглоще-
поглощения вещества пропорциональна п, т. е. размеру системы. Это значит,
что при U — оо следует ожидать
х~пр, G.5.28)
где р — набор значений химических концентраций. Следовательно,
при U — оо величины t^{x) должны быть пропорциональны О, для че-
чего требуется
G.5.29)
При этих обстоятельствах можно получить разложение ван Кампена
по обратному размеру системы в многомерном случае. Это разложе-
разложение получается настолько сложным, что здесь мы не будем выписы-
выписывать его в явном виде. Однако, как и в случае одной переменной, су-
существует разложение Крамерса — Мойала, первые два члена которо-
которого описывают диффузионный процесс, имеющий такой же асимптоти-
асимптотический вид, как и соответствующий процесс, полученный из разложе-
разложения по обратному размеру системы.
Разложение Крамерса — Мойала получается из G.5.9) в точности
так же, как это было сделано в разд. 7.2.2, и даже проще, поскольку
G.5.9) уже имеет требуемый вид. Таким образом, мы имеем
д,Р(х, t) =
Y^[t-A(x)P(x, t)] + {~~^у^-[ГА{х)Р{х, t)]
и, отбрасывая члены порядка выше второго,
д,Р(х, t) = -2 да[Аа(х)Р(х,
Ла(х) = 2 гаЬл(х) — t2(x)]
k 2 дадь[ВаЬ{х)Р(х, /)]
^(*) = 2 ФЦ
A
G.5.30)
G.5.31)
G.5.32)
Итак, мы получили химическое уравнение Фоккера — Планка, соот-
соответствующее исходному управляющему уравнению. Следует иметь в
Управляющие уравнения и скачкообразные процессы 327
виду, однако, что оно справедливо лишь как приближение, при кото-
котором разложение по обратному объему с точностью до порядка 1/П со-
совпадает с тем же разложением для соответствующего управляющего
уравнения.
Если подобная точность приближения достаточна, то часто быва-
бывает удобнее пользоваться уравнением Фоккера — Планка, нежели уп-
управляющим уравнением.
7.6. НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕРЫ
7.6.1. А" + А * 2Х
Здесь
/"(*) = кгх(х - 1) .
Следовательно,
А(х) = кхах — кгх(х — 1) ~ кхах — кгхг с точностью до 1/П,
В(х) = куах + кгх(х — 1) — к^ах + кгхг с точностью до 1/П.
7.6.2. X * Y *А
к 7
Здесь мы имеем
tt(x) = уу
tj(x) = кх
г1 = A,-1)
' 2 W = УУ J
Следовательно,
Г
г2 = @, 1).
А(х) =
-1
(уу - кх)
(ка - уу)
-[
уу - кх
кх + ка — 2уу
§(*) =
A,-1)
(уу + кх) +
01
(ка + уу)
уу + кх —уу — кх
-~УУ — кх 2уу + кх + ка
328 Глава 1
Если теперь воспользоваться формой, линеаризованной относительно
стационарного состояния, то
уу = кх = ка G.6.9)
рА:д —2ка'\
'.- 2А'й 4^й;'
7.6.3. СЯГТьМЛ ХИЩНИК — ЖЕРТВА
Рассмотренная в разд. 1.3 система хищник — жертва дает нам хоро-
хороший пример интересующих нас систем. На языке химических реакций
мы можем записать
А'4 А-~2Х г1 -A,0)
X 4- У — 2 Г г2 = (-1,1) G.6.11)
У— В г3 = @,-1).
Все реакции необратимы (хотя можно ввести и обратимость), так что
/1(х)=-0 (/1 = 1,2,3),
но
<., .. , х\ у!
xs у!
"I)] (Т )У = ^^ G'6-! 2)
Управляющее уравнение теперь можно выписать с использованием
G.5.9) в явном виде:
д;Р(х, у) = кха(х - 1)Р(х - \,у) 4- ^2(х + 1)(v - ОДх + 1, >' - 0
-гА:зО' 4- 1) /*(•*, ПО- (/CiO-r 4 Aw 4 /c3j') />(x, у). G.6.13)
Это уравнение не имеет точных решений, так что приходится исполь-
использовать приближенные методы.
Разложение Крамерса — Мойала. Из G.5.32) имеем
А(х) = ; I кхах 4 I ! кгху + '
I гЧчл г ^2-V I ,
[0J [ lj [—1
'\кхах — кгхуА
кгху — к3у J '
к3у G.6.14)
Управляющие уравнения и скачкообразные процессы 329
ГЦ Г-11 Г 01
В(х) = ; \A,0)к1ах + ! |(-1, \)к2ху + | !@, — I)Ar3v G.6.16)
lOj L 'J L-IJ
rk,ax + /c-,xv — A^-kv
Детерминистические уравнения имеют вид
А Глг! "к,ах — А2ху1
Стационарное состояние при
G.6.18)
G.6 19)
Чтобы определить устойчивость этого состояния, проверим устойчи-
устойчивость линеаризованного детерминистического уравнения
d \&x*\ dA{xs) , дА(х.)
-J- I i = -¦-¦ ОХ -I z OV
at [Зу, дх„ ду, '
[к,а ~ кгу. \ ! ~к2х, ]
= ! их 4- ; I ^ G.6.20)
ГО -А-3] rjjcl
= I . G.6.21)
Aifl о j L<5vj
Собственные значения матрицы суть
А = ± i^,^I'2, G.6.22)
что указывает на периодическое движение при всяком малом отклоне-
отклонении от стационарного состояния. Таким образом, мы имеем дело с
безразличным равновесием, когда возмущение не увеличивается и не
затухает.
Это связано с существованием сохраняющейся величины
V = к2(х 4- у) - к3 log х - к,а log у , G.6.23)
которая, как легко проверить, удовлетворяет условию dV/dt = 0. Та-
Таким образом, в системе сохраняется V, а это значит, что существуют
различные круговые траектории при постоянных значениях V.
Принимая вновь
х = х, + 6х G.6.24)
У = У г + <5У
.110 Глава 7
и разлагая до второго порядка, мы видим, что
к\ I6x> ду* \
2 Ui (kxaf) '
G.6.25)
гак что изначально орбиты эллиптичны (к этому же выводу можно
прийти и из рассмотрения линеаризованного случая).
По мере увеличения орбит их эллиптичность уменьшается, и в кон-
конце концов либо х, либо у могут обратиться в нуль.
Если х первым обращается в нуль (все жертвы истреблены), то,
как видим, у тоже неизбежно обращается в нуль. Если же .у становит-
становится равным нулю (все хищники погибли от голода), то численность
жертв экспоненциально растет, не ограниченная ничем.
Стохастическое поведение. В силу сохранения величины V орбиты
имеют безразличное равновесие. Это значит, что при учете флуктуа-
флуктуации размер орбиты будет изменяться со временем. Это можно прямо
} видеть из эквивалентных стохастических дифференциальных уравне-
уравнений
rdxl
k2xy
k2xy -
dt + C(x, у)
где
C(x, у)С{х,уУ = ?(*)•
Далее, воспользуемся формулой Ито
dV 8V 1 1д2У
dV(x, v) = -7Г- dx + -г- dy + -^- -r-j dx2
ox oy 2 \dx
G.6.26)
G.6.27)
dy + d^dy), G.6.28)
откуда
<dV(x,y)>= ( —
/,
k3
G.6.29)
Первое среднее обращается в нуль, поскольку V сохраняется как де-
детерминированная величина, и мы получаем
\
G.6.30)
Все эти члены имеют порядок Q ' и положительны, когда х и у поло-
игельны. Таким образом, V(pc, у) в среднем монотонно возрастает.
имеется, в конце концов будет задета одна из осей, и произойдет
Управляющие уравнения и скачкообразные процессы 331
то же самое, что и в детерминистическом случае. Мы видим, что ког-
когда х или у обращаются в нуль, V = «.
В этом случае прямое использование разложения по обратному
размеру системы оказывается очень громоздким, и более удобными
оказываются уравнения для моментов. Эти уравнения могут быть по-
получены непосредственно из управляющего уравнения, или же из урав-
уравнения Фоккера — Планка. Результаты несколько отличаются друг от
друга — на величину порядка обратного объема. Для простоты вос-
воспользуемся уравнением Фоккера — Планка, откуда
**<*>-—' G.6.31)
dt
d_
dt
[<У>\
<ху>
L<y>J
к2(ху) - к3(у) .
1
dt
к2
2к
-<2х
(хс
ЛЬ
<х2У
2<ХУ
dx
iy-
dy
2>
—
2>
+ dx
+ dy
-2к2
fx)
-2к3
2>
к + dx
2>
<хгу> -
+ (кха
<У*> +
dy)
\- кха{х
-к3-
к2(ху)
> + кг{ху)
кгКху)
+ к3{у)
G.6.32)
G.6.33)
Чтобы разложение по обратному размеру системы было справедливо,
мы должны убедиться в том, что все корреляции и дисперсии имеют
порядок 1/0 по сравнению со средними значениями.
Запишем поэтому
х = <*> + дх G.6.34)
У= <У) + Sy
и оставим в разложении лишь члены низшего порядка. Заметив, что
члены, возникающие из {dx2), {dxdy) и {dy2), имеют порядок по П
на единицу меньший, чем остальные, получим
d_
dt
dt
[ф\
*,в<*>-*,<*><j» 1 г-к2(дхду}1
\ [к2(дхду) J
G.6.35)
(SxSy)
¦2kxa - 2k2(y), -2k2(x)
, о
-<У», ~к2(х)
, 2к2(х) -
G.6.36)
1
(дхдуУ
332 Глава
Заметим, что средние, до низшего порядка, подчиняются детермини-
детерминистическим уравнениям, однако в следующем порядке появится вклад
от члена с {ЬхЬу). Рассмотрим упрощенный случай, когда
Аг,л = *з = 1, кг = а G.6.37)
(этого всегда можно добиться перенормировкой переменных). Вводя
обозначения
<*> — х, <>>> — у, (дх2) —/> (SxSy} — g, <5у2)
получаем
G.6.38)
d
dt
It
x - ал->-
}''¦ j axy — y_
V
g
A
Гл' -+- axy
— axy
axy + y_
L »g--
+
'1 - lay
ay
_0
—lax
a(x —
lay
У)
0
—ax
lax —
-
1
T
g
h
G.6.39)
Мы можем попытаться решить эти уравнения в стационарном состоя-
состоянии. Учитывая, что/, g и h на множитель U'1 меньше, чем* и у, для
этого требуется, чтобы а имело порядок п'1 (это также следует из
масштабных условий G.5.29)). Следовательно, а мало. С точностью
до низшего порядка,
х,=Уг-=1!а. G.6.40)
Но уравнения для/, g и h в стационарном состоянии тогда имеют вид
f
1/а
G.6.41)
и несовместны. Таким образом, использованный метод не приводит
нас к стационарному состоянию. Можно тогда попытаться решить
все уравнения G.6.39) для стационарного состояния.
После некоторых преобразований получим
— ах\
ах\) ,
х, = у,
g, = a~
так что
/, = jc,(- 2ах\ + дг, B - а)
h, = x,(-lax2 + xsB + a) +
1) / B - laxs)
)/B - laxs) .
G.6.42)
G.6.43)
Управляющие уравнения и скачкообразные процессы 333
и уравнение для gs дает нам
-ах} + ax,(f. - /;,) = 0 , G.6.44)
откуда получаются решения для стационарных значений
/"„ - \а!(а - 2) !
! G.6.45)
g, --- 1B — a)ia j
hf -, -1 / (« - 2). ;
Для малых а, при которых справедлив этот метод, мы приходим к
отрицательному значению/^ которое по определению должно быть
положительным. Таким образом, стационарного решения нет.
Если вновь принять приближение xs = >'s = 1/а, то дифференци-
дифференциальные уравнения для/, g и h легко решаются. Считая, что в началь-
начальный момент дисперсии и корреляции равны нулю, получим
fit) =^(cos 2t - I) ч- —
g(O=-^sin2r G.6.46)
^ )
Заметим, что/(/) и h(t) всегда положительны и монотонно возраста-
возрастают. Решение справедливо только для малых времен, так как из-за воз-
возрастания g(t) среднее значение в конце концов начнет зависеть от вре-
времени.
7.6.4. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ПРОИЗВОДЯЩИХ ФУНКЦИЙ
Для системы с комбинаторной кинетикой можно получить довольно
простое дифференциальное уравнение для производящей функции
С(*. О = 2 (П s&P(x, t). П.6.41)
Действительно, заметим, что
8,G(s, t) = Э,+С(*, t) -f d,G(s, t) , G.6.48)
где два члена соответствуют двум частям (с i+ и/") управляющего
уравнения. Таким образом,
GA49)
334 Глава 7
Заменяя переменную, по которой производится суммирование, на
х — г4 и присваивая ей обозначение х, получаем
ЭХК., О = g hi [П (Х^, *Г * - П (-^^т * ] /Чх. О • G.6.50)
Заметим, что
вдР(Я' G-6-52)
откуда
° - П ^') 3;"G(*, 0 . G.6.53)
а I
Аналогично получим формулу для d^G(s, t) и, объединив их, при-
придем к
d,G{s, о = 2 (п sMJ- п *Я (« П $- к-л П аЯ G(i, О •
А \ а ¦ a I \ a a I
G.6.54)
Это общая формула дифференциального уравнения для производящей
функции. Приведем теперь несколько примеров.
а) Модель, допускающая точное решение
Рассмотрим реакции {А, В, С фиксированы)
Л + X-h^ulX+D Nl = 1, М1 =2; г1 = 1
kt = кгА G.6.55)
д + лг j!L с yv2 = 1, М2 = 0; г2 = -1
Л2+ = А:, В G.6.56)
А;2- = к3С.
С учетом G.6.54) уравнение для производящей функции имеет вид
d,G = (s2 - s)(k2Ad,G) + A - s)(kxBdsG - A:3CG). G.6.57)
Управляющие уравнения и скачкообрашые процессы .?3>
Будем решать его методом характеристик. Положим
к,В = Р, к2А=а, к3С=у. G.6.58>
Характеристики
4L *dG G 6 Щ
= G 6 Щ
имеют решения
(|^Ме<в-'>' = и G.6.60)
\р — as)
(P-as)ylaG=v. G.6.6 i.)
Общее решение может быть записано как v = F(u), т. е.
G = (fi- as)-'laFje«-*>'(jEr^I • G.6.62)
Отсюда мы можем найти различные решения, зависящие от времени
Условная вероятность Р(х\ t\y, 0) получается из начального условия
G,(s,0) = s> G.6.63;
=» F(z) = (I - /fe)'(l - «)-"•-'(/? - a)"" G.6.6^)
где X = /3 — a. При / — oo стационарное состояние существует, толь-
только если /3 > а, и имеет вид
Gy(s, оо) = (Д - «*)-""(/? - a)y/a G.6.66)
Шу, _ вГ. . G.6.67)
Мы можем также получить из уравнения для производящей функции
уравнения для моментов, воспользовавшись тем, что
G668)
J]> .
Двигаясь таким образом, получим
J- <*(/)> = (М - к,ВКх(ф + к3С G.6.69)
336 Глава 7
И
~ <x(t)[x(t) - 1]> = 2(к2А - kxBXx{t)[x{t) - 1]>
+ 2k2A(x(t)) + 2к3С(х(ф . G.6.70)
Эти уравнения имеют устойчивое стационарное решение при условии,
что
кг.4 < кхВ,
т. е. а < ft .
В этом случае стационарные значения среднего и дисперсии суть
<*>, = k,C,(ktB - к2А) G.6:71)
D {х), = кхкъВС\(кгА - кхВ)г. G.6.72)
Эта модель является упрощенным представлением процессов, проте-
протекающих в ядерном реакторе: X — это нейтрон. Первая реакция спи-
списывает деление при поглощении нейтрона ядром А, в результате ко-
которого получается осколок (осколки) D плюс два нейтрона. Вторая ре-
реакция описывает поглощение и производство нейтронов в процессах,
не связанных с делением.
Когда к2А приближается к к,5, мы подходим к критической ситуа-
ситуации, где число поглощенных нейтронов почти равно числу выделяю-
выделяющихся. При к2А > кхВ начинается взрывная цепная реакция. Заметим,
что при подходе к критической точке как <xs>, так и DjxJ становятся
очень велики, и, более того,
D i-vj k,B ,.„.,
Таким образом, <xs> испытывает очень большие флуктуации вблизи
критической точки.
Заметим также, что уравнения для среднего значения в этой систе-
системе линейны и система является марковской. Методами разд. 3.7.4 (те-
(теорема регрессии) можно показать, что
<*(/), х@)>, = ехр [(к2А - k,B)t] D{x}s , G.6.74)
так что при приближении к критической точке флуктуации становятся
исчезающе медленными, т. е. временная корреляционная функция
очень медленно убывает со временем.
Управляющие уравнения и скачкообразные процессы 337
б) Химическая реакция X\ ^ Х2
Для реакции
ГП ГО]
jv = !, м = | , г --
LOj [lj
kf = kit k\ = k2 G.6.75)
d,G(s,, s2, t) = (y2 — sl)(k1dn — k2dS2)G(s1, s2, t)
можно получить решение методом характеристик. Производящая
функция является произвольной функцией решений уравнения
^ = - г-т-^-т = гт~^--. G.6.76)
1 Л1^2 Ли /V2V'52 Л1/
Два интеграла являются решениями уравнений
k2dsi + kids2 — 0 => /с2х, + fc]S2 = v G.6.77)
Sl G.6.78)
=>E2— ^)е-№1"*2"= и
.: G(su s2, t) = F[k2si + кл, (s2 - Sl)e-^+k^']. G.6.79)
Начальное условие
G(su s2, 0) = exp K.9, - 1) + p(s2 - 1)] , G.6.80)
соответствующее распределению Пуассона, порождает пуассоново ре-
решение
G(^, j2) 0 = exp k k
G.6.81)
В данном случае стационарное решение не единственно, поскольку
х + у является сохраняемой величиной. Из G.6.79) мы видим, что об-
общее стационарное решение имеет вид
G(s{, s2, oo) = F(klSl + k{s2, 0). G.6.82)
Таким образом,
kf -=— = kl r— ? G.6.83)
ds", os\
338 Глава 7
откуда следует, что при s{ = s2 = 1
*?<*">/ = *S<*S>/. G.6.84)
7.7. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПУАССОНА [7.10]
Этот изящный метод позволяет получать уравнения Фоккера — План-
Планка, эквивалентные химическим управляющим уравнениям вида G.5.9).
По предположению Р{х, t) пред ставима как суперпозиция много-
многомерных некоррелированных пуассоновых распределений
Р(х, t)=l da U е^г/(«, О ¦ G-7.1)
Это означает, что производящая функция G(s, t) может быть записа-
записана в виде
G(s, t) = [da ехр К E. - \)aa]f(<*, t). G.7.2)
a
Подставим это в уравнение для производящей функции G.6.54) и по-
получим
X (*} П <*"' - к~А П а?А ехр Е (я. - \)аа}\ f(a, t) . G.7.3)
Теперь проинтегрируем по частям, отбросим поверхностные члены и
приравняем коэффициенты экспоненты:
а) Уравнения Фоккера — Планка для бимолекулярных реагирующих
систем
Уравнение будет иметь вид Фоккера — Планка, если, как это часто
бывает в химических реакциях,
S ма < 2
G.7.5)
Управляющие уравнения и скачкообразные процессы 339
что означает, что в реакции участвуют не более чем по две молекулы.
Тогда УФП можно упростить следующим образом. Определим пото-
потоки
U«) = *} П <*1° -k-AJ[ aMa\
а а
сносы
А.Ща)\ = ? гЦл{а)
л
и элементы диффузионной матрицы
ВаьЩа)] = И JA{«){MAaMt - N2N{ - 8..S1) .
А
Тогда УФП в представлении Пуассона имеет вид
G.7.6)
G.7.7)
G.7.8)
G.7.9)
Заметим также, что если мы воспользуемся явной зависимостью пара-
параметров от объема (разд. 7.5.3, формула G.5.29)) и определим
r]a = a „IV
G.7.10)
?=
G.7.11)
&F(ji, t) есть квазивероятность по переменной rj, то УФП относитель-
относительно переменной -ц принимает вид
G.7.12)
81
где
А
1
dt
An)
(л)
А
= KJII
а
. 'Г*! г
А
^ д
а 9/7„
fA(rf)
(tf)(M
[А.
К'а
inWin,
Лги'
а
t)\
I Ё%
а2 Л
a,bdtJaOtJi, ' >
G.7.13a)
G.7.136)
G.7.13b)
В такой форме мы видим, что разложение по обратному размеру си-
системы (по V~x/2) в точности соответствует разложению по малому
шуму (по tj) для уравнения Фоккера — Планка G.7.12). Для подобных
340 Глава 7
управляющих уравнений рождения — гибели этот метод оказывается
технически намного более простым, чем прямое разложение по обрат-
обратному размеру системы.
б) Мономолекулярные реакции
Если для всех А
2 М$ < 1 и 2 Nf < 1,
а а
то, как нетрудно убедиться, коэффициент диффузии Bab(ti) в G.7.13)
обращается в нуль, и мы получаем уравнение Лиувилля. Начально-
Начальному распределению Пуассона Р(х, f0) соответствует дельта-функция
F(n, /0), и эволюция во времени, порождаемая этим уравнением Лиу-
Лиувилля, будет порождать решение в виде дельта-функции 8 (я — rj{t)),
где ч@ есть решение уравнения
dn/dt = А{П).
Это означает, что Р(х, t) будет сохранять пуассоновскую форму со
средним значением, равным rj{t). Таким образом, мы пришли к обще-
общему результату, согласно которому для всякой системы с мономолеку-
мономолекулярной реакцией существуют распространяющиеся многомерные пуас-
соновские решения. Существуют также и непуассоновские решения;
они соответствуют начальным F(ij, /0), которые не являются дельта-
функциями.
в) Пример
В качестве примера рассмотрим пару реакций
к2
А \ J _J_ \Г ь -у у
к* G.7.14)
2) В + xJ^C
Nx= 1, Мх =2, kt=kzA, ki=kt
N2= 1, M2= 0, &2 = kiB, k^ = кгС .
Тогда G.7.4) принимает вид уравнения Фоккера — Планка
dt LI да) \ да} Г G.7.15)
Управляющие уравнения и скачкообразные процессы 341
д1
д
=
id
J da [x(x -
a arf(a) =
- 1)
...(x - r 4
- 1)
x\ ^a'
при условии, что k2Aa - к4а2 > 0. Кроме того, существует простое
соотношение между моментами, которое для случая одной перемен-
переменной принимает вид
G.7.17)
Это следует из факториальных моментов распределения Пуассона
(разд. 2.8.3). Однако/(а) не является распределением вероятности; по
крайней мере то простое определение, которое мы дали этой величи-
величине, не гарантирует ее принадлежности к классу распределений вероят-
вероятности. Действительно, всякая положительная суперпозиция распреде-
распределения Пуассона должна иметь дисперсию по меньшей мере такую же
широкую, как и распределение Пуассона. Поэтому всякая Р{х), для
которой дисперсия уже, чем распределение Пуассона, не может быть
представлена положительной/(а).
Представление на языке распределений возможно всегда — по
крайней мере формально. Действительно, если мы определим
fy(a) = (-1)>5*(<*)е", то G.7.18)
J dafy(a)e-"a*lx! = J da a' (- -f) * 8(«)/лг! , G.7.19)
da,
и после интегрирования по частям получаем
G.7.19) =<5Х1, . G.7.20)
Это значит, что мы можем записать
Р(х) == J <fo(e-V/x!)[V (_ \yp(y)8r(a)e°] , G.7.21)
У
так что в формальном смысле для любой Р(х) можно всегда подоб-
подобрать /(а).
В нормальной ситуации приведенное здесь довольно замысловатое
выражение обычно не возникает, поскольку, к примеру, мы можем
найти стационарное решение УФП G.7.16) как потенциальное решение
(с точностью до нормировки)
/s(a) = еа(/с2А - kia)^B'k*'^clk^-x)akiclk^A-i , G.7.22)
342 Глава 7
что представляет собой более или менее гладкую функцию. Отождест-
Отождествление с вероятностью, однако, возможно лишь в том случае, если
/s(a) неотрицательна и нормируема.
Если определить
д = {KBjkA - кгС\к2А\ G.7.23)
то/5(а) нормируема на интервале @, к2А/к4) при условии, что
д > О G.7.24)
к3 >0.
Очевидно, /l3 по определению положительно.
Далее следует убедиться в том, что при интегрировании по частям
при получении УФП G.7.4) при указанных условиях поверхностные
члены пропадают. Для интервала (а, Ь) поверхностные члены, кото-
которые возникнут в случае реакции G.7.14), могут быть записаны в виде
\{(к2Аа - к,а2 - к,Ва + k3Cjf - да[(к2а - к<аг)Л) {е"-»"}]?
+ [(к2а - k<a2)f[(s - 1)е<-»«]]?. G.7.25)
Из-за наличия дополнительного множителя (s - 1) во второй строке
каждая строка независимо обращается в нуль. Легко проверить, что
на интервале @, к-^А/к^ каждый член обращается в нуль на каждом
конце интервала для/, определенной в G.7.22), при условии, что 6 и къ
больше нуля.
Если кг и 8 положительны, то мы получаем УФП, истинно эквива-
эквивалентное стохастическому дифференциальному уравнению
da = [к,С + (к2А - к,В)а - k,a2]dt + ^2(к2Аа - k<a2)dW(t) . G.7.26)
Движение происходит на интервале @, к2А/к4), и обе границы удов-
удовлетворяют критериям для входных границ. Это означает, что система
не может покинуть интервал @, к2А/кА) (см. разд. 5.2.1).
Если хотя бы одно из условий G.7.24) нарушено, то вектор сноса
уводит точку за пределы интервала @, к^А/к^). Например, вблизи
а = 0 мы имеем
da—kiCdt , G.7.27)
и если къС отрицательно, то а переходит в область отрицательных
значений. В этом случае коэффициент при dW(t) в G.7.26) становится
мнимым и интерпретация результата без дополнительных пояснений
оказывается невозможной.
Разумеется, если рассматривать СДУ как уравнение для комплекс-
комплексной переменной
а = ах + \а, , G.7.28)
Управляющие уравнения и скачкообразные процессы 343
то оно вовсе не лишается смысла, а просто представляет собой теперь
уже пару уравнений для переменных ах и ау. Однако соответствующее
УФП — это не уравнение G.7.16) для одной переменной, а уравнение
для двух переменных. Такое УФП можно вывести, используя различ-
различные варианты представления Пуассона, к которым мы сейчас и перей-
перейдем.
7.7.1. РАЗНОВИДНОСТИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ПУАССОНА
Рассмотрим одномерный случай и запишем
Р(х) = J dM(a)(e-°a*/x!)/(cr) . G.7.29)
Здесь ц(а) есть мера, которую можно выбрать одним из трех спосо-
способов, и каждый из этих путей приведет к полезному результату; 3
обозначает область интегрирования и может принимать различную
форму в зависимости от выбора меры.
7.7.2. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПУАССОНА
Здесь мы выбираем
dfi(a) = da G.7.30)
и в качестве 3 берем отрезок действительной оси. Как отмечалось в
рассмотренном примере, это представление существует не всегда, но
когда оно существует, возможна простая интерпретация на языке
уравнений Фоккера — Планка.
7.7.3. КОМПЛЕКСНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПУАССОНА
Здесь
d/x(a) = da G.7.31)
и 3 представляет собой некоторый контур С на комплексной плоско-
плоскости. Можно показать, что это предстарление существует при некото-
некоторых ограничительных условиях. Действительно, вместо G.7.18) мы
можем взять
/,(*)= ^«Г'-е- ; G.7.32)
и С охватывает начало координат. Это значит, что
aU^l = 3~>- G-733)
344 Глава 7
С помощью надлежащего суммирования мы можем выразить данную
Р(х) через/(а), определяемую как
/(«) = 2^j 2 PWe"a-'-^!. G.7.34)
Если Р(у) таковы, что для всех у величина у !Р(у) ограничена, то ряд
имеет конечный радиус сходимости, внутри которого/(а) аналитиче-
аналитическая. Выбрав контур С так, чтобы он был внутри круга сходимости,
мы можем осуществить интегрирование под знаком суммы и найти,
что Р(х) дается выражением
Р(х) = § da(e-aax/x\)f(a) . G.7.35)
а) Пример: реакции A) А + X ** IX; B) В + X ** С
Воспользуемся обозначениями разд. 7.7 и выделим три случая в зави-
зависимости от величины 8. Параметр 8 определяет направление реакций
G.7.14) при существовании стационарного состояния. Если 8 > О, то
при стационарном значении х в реакции A) производится вещество X,
а в реакции B) поглощается X. Когда 5 = 0, обе реакции порознь на-
находятся в равновесии: мы имеем дело с химическим равновесием. При
5 < 0 в реакции A) X расходуется, а в реакции B) производится.
1) 8 > 0. Согласно G.7.24), это является условием того, что /s(a)
действительно является квазивероятностью на действительном интер-
интервале @, k2A/k4). В этом диапазоне коэффициент диффузии (к2Аа —
— кАа2) положителен. Детерминированное среднее а, определяемое
равенством
к2А - кхВ + [(М - k,Bf + 4&з<чС]"» 7 36)
2/с4
лежит внутри интервала @, к2А /кл). Таким образом, мы имеем дело
с истинным УФП, a/s(a) обращается в нуль на обоих концах интерва-
интервала и имеет пик вблизи детерминированного устойчивого состояния.
2) 5 = 0. Поскольку обе реакции теперь порознь уравновешены, мы
можем ожидать существование пуассоновского стационарного состоя-
состояния. Заметим, что/8(а) в этом случае имеет полюс при а = к2А/к4, и
в качестве области изменения а выберем контур на комплексной пло-
плоскости, охватывающий этот полюс. Поскольку контур замкнут, при
интегрировании не возникает граничных членов, и Ps(x), полученная в
результате выбора этого вида представления Пуассона, с очевиднос-
очевидностью удовлетворяет управляющему уравнению для стационарного со-
Управляющие уравнения к скачкообразные процессы 345
стояния. С помощью теории вычетов можно показать, что
е~°°огп
Р <Y> —
где
х\
G.7.37)
а0 = к2А//с4 .
3) 5 < 0. Здесь мы сталкиваемся с очень интересными явлениями.
Стационарное решение G.7.22) уже не удовлетворяет условию 5 > 0.
Если, однако, в качестве области изменения а выбирается контур С на
комплексной плоскости (рис. 7.3), и мы пользуемся комплексным
представлением Пуассона, то Ps(x) в виде
Р,(х) = J dafa{a) ^^ G.7.38)
с xl
является решением управляющего уравнения. Детерминированное ста-
стационарное состояние теперь достигается в точке на действительной
оси справа от сингулярности а = к2А/к4, и асимптотические оценки
средних значений, моментов и т. п. могут быть получены путем тако-
такого выбора С, чтобы этот контур проходил через седловую точку. Сде-
Сделав это, мы найдем, что дисперсия а, определенная как
D {«} = (а2) -(а)\
отрицательна, так что
G.7.39)
D {х} = (х2) - (хУ = (а2) - (аJ + (а) < (х) . G.7.40)
Это означает, что стационарное состояние уже, чем распределение
Пуассона. Следует, наконец, заметить, что все три случая можно по-
получить из рассмотрения контура С. В случае, когда 5 = 0, разрез из
сингулярности а = кгА/кл в — » исчезает, и контур С можно превра-
превратить в простой контур вокруг полюса, в то время как при 6 > 0 син-
сингулярная точка а = к2А/к4 становится интегрируемой, так что кон-
контур можно стянуть на разрез и рассматривать интеграл как разрыв-
Рис. 7.3. Контур С на комплексной
плоскости для отыскания G.7.38).
346 Глава
ный интеграл на интервале [0, к2А/к4\. (Когда 6 является положитель-
положительным целым числом, эти рассуждения следует видоизменить.)
*i кг
б) Пример: реакции В -~ X, IX — А
Уравнение Фоккера — Планка имеет вид
^'fr =~L[{Kl V - 2k>V~WV(<*, 01 - ?-2 [{K2V-^)f(a, t)], G.7.41)
где kxV = k,5; k2V~1 = k2; V — объем системы. Заметим, что коэф-
коэффициент диффузии в вышеприведенном УФП отрицателен на всей ве-
вещественной оси.
Потенциальное решение G.7.41) есть (с точностью до нормировоч-
нормировочного множителя)
/(«) = а-2 ехр B„ + aV^ja) , G.7.42)
где а = 2к2/кг, а интегрирование по а должно осуществляться вдоль
замкнутого контура, охватывающего начало координат. Разумеется, в
принципе существует и другое решение, получаемое из полного рас-
рассмотрения стационарного УФП. Лишь потенциальное решение одно-
однозначно и позволяет нам выбрать подходящий контур, вдоль которого
возможно интегрирование.
Итак, принимая а = -ц V, получаем
f G-7-43)
Функция Btj + a/rj) не имеет максимума в детерминированном стаци-
стационарном состоянии. На самом деле, в детерминированном стационар-
стационарном состоянии она имеет минимум: г/ = +(а/2)и2. На комплексной
плоскости г] эта точка, однако, является седлом и дает преобладаю-
преобладающий вклад в интеграл.
Таким образом, отрицательность коэффициента диффузии в
G.7.41) проявляется в появлении точки типа седла в детерминирован-
детерминированном стационарном состоянии, из-за чего дисперсия X оказывается
меньше <х>.
Формула G.7.43) позволяет вычислить все точные моменты стаци-
стационарного состояния; результат имеет вид
у ?. i-iififerlLl /77441
Управляющие уравнения и скачкообразные процессы 347
где lrBBaI/2V) — модифицированные функции Бесселя. Используя
для них разложение по большому аргументу, получим
<*> = F(a/2) + | + 0A/V)
Эти асимптотические результаты могут быть также получены путем
непосредственного применения метода скорейшего спуска к интегра-
интегралам G.7.43). В общем случае этот вид разложения всегда можно осу-
осуществить после того, как найдена явная зависимость объема от пара-
параметров.
в) Достоинства метода
Комплексное представление Пуассона дает стационарные решения в
аналитической форме, удобной для использования как точных, так и
асимптотических методов. Для решений, зависящих от времени, этот
метод не столь полезен. Наибольшие достоинства, впрочем, открыва-
открываются в случае исследования квантовомеханических систем, где ком-
комплексные представления позволяют получить информацию, не дости-
достижимую никаким иным способом. Об этом мы будем говорить в
гл. 10.
7.7.4. ПОЛОЖИТЕЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПУАССОНА
Здесь мы рассматриваем а как комплексную переменную ах + \ау,
dju(a) = d2a = dajay , G.7.46)
а 3 — это вся комплексная плоскость. В разд. 10.6.3 мы покажем,
что для любой Р(х) существует положительная f (а), такая, что
Р(х) = I d2a (е-"аЧх[)Да) ; G.7.47)
таким образом, всегда существует положительное представление Р,
которое, однако, не однозначно. Выберем, к примеру,
/» - Bпа2)~1 ехр (- | а - а012/2а2) . G.7.48)
Заметим, что если g (a) — аналитическая функция а, то можно запи-
записать
g(«)=g(<xo) + f:gM(ao)(a-aoyin\ . G.7.49)
Подставляя это равенство под знак интеграла, легко убедиться, что
справедливо тождество
J B%агуЧга ехр (- | a - а0 \ 2/2a2)g(a) = g(a0) , G.7.50)
348 Глава 7
поскольку
g.(")(a0)!exp(- la - ао12/2ст2)(а - ao)V2a = 0 при п $s 1.
Распределение Пуассона e~aaV;c! является аналитической функцией от
а, поэтому его можно взять в качестве g (a) и вследствие G.7.50) полу-
получить
~рУ*-> — J" a./pt.Q7C « /Л- — С Од/Л. . (/./.31)
Из G.7.51) видим, что функции fp(a) и/(а) = 6(a — a0) дают одно и
то же распределение Р(х).
На практике эта неоднозначность является скорее достоинством,
чем недостатком.
а) Уравнения Фоккера — Планка
Воспользуемся аналитичностью распределения Пуассона и его произ-
производящей функции, чтобы вывести уравнения Фоккера — Планка с по-
положительными матрицами диффузии. УФП вида G.7.9) возникает из
уравнения для производящей функции
Э,С(*. О = Jd2af(a, t) fe A. /- + I] J В«ь^А exp [E(*.- l)aj. G.7.52)
Учтем теперь в явном виде тот факт, что а является комплексной пе-
переменной
а = ах + iay G.7.53)
и запишем также
А{а) = Ах(а) + iAy(a). G.7.54)
Далее,
В(а) == C(a)CT(e) G.7.55)
и
С(«) = Сх(а) + !С„(«) • G.7.56)
Для краткости введем обозначения
3
3* = д~- G.7.57)
Управляющие уравнения и скачкообразные процессы 349
Благодаря аналитичности ехр ( ? (sa - 1)а„), в уравнении для произ-
а
водящей функции G.7.52) мы всегда можем сделать замену
3, «-> Э; «-> — i3?. G.7.58)
Подставим теперь вместо ВаЬ формулу G.7.54) и заменим да на дх или
— \дуа сообразно с тем, какой индекс стоит при А или С. Получаем
', t) = J
+ к
+ 2C.,eiXCc,t.Jffi] ехр Е (sa - l)a.}}. G.7.59)
И
a,b,c
Интегрируя по частям и отбрасывая поверхностные члены, приходим
к УФП относительно переменных (av, ay):
d,f(a, t) = [-E (Аа.Л + Aa.jo + i s (c.,eiXcc,b:ja;d'b
а,Ь,с
+ са,с.,усс,ь.,Лд1 + 2с..е:хсс.»;,эгаг)]/(в, о. G.7.60)
В пространстве удвоенной размерности это уравнение является УФП с
положительно полуопределенной диффузией. Действительно, для пе-
переменных (av, a(,) вектор сноса есть
'(a) = [Ax(a), Ay(a)] , G.7.61)
а матрица диффузии —
CyCl СУС?
Г , G.7.62)
где
W(a) = ~* ' G.7.63)
LC, oj
и матрица •*'(«) с очевидностью является положительно полуопреде-
полуопределенной.
б) Стохастическое дифференциальное уравнение
Если снос и диффузия определяются выражениями G.7.61, 62), мы
имеем стохастическое дифференциальное уравнение
~dax \Ax(a) \CxdW(t)
= dt + . G.7.64)
day [Ay(a) [CydW(t)
350 Глава 7
где f?(t) есть винеровский процесс той же размерности, что и ах. За-
Заметим, что в обеих строках винеровский процесс один и тот же, так
как матрица G.7.63) содержит два нулевых элемента.
Объединив действительные и мнимые члены, получим СДУ для
комплексной переменной а:
da = A(a)dt + C{a)dW{t). G.7.65)
Разумеется, в точности это же СДУ получилось бы в результате при-
применения обычных правил для преобразования уравнения Фоккера —
Планка в стохастическое дифференциальное уравнение к УФП в пред-
представлении Пуассона G.7.9), несмотря на то что С(о) в используемом
виде могла бы содержать комплексные элементы, если бы В не была
положительно полуопределенной матрицей диффузии.
в) Примеры стохастических дифференциальных уравнений на
комплексной плоскости
Рассмотрим вновь реакции (см. разд. 7.76)
кг
А + X ^ 2Х
к* G.7.66)
в+ х^с.
к
Использование положительного представления Пуассона в примене-
применении к этой системе дает нам СДУ, вытекающее из УФП G.7.16):
da = [к,С + (кгА - к^а - kta*]dt +[2{к2Аа - к*аг)]11Ч)?A) . G.7.67)
В случае 6 > 0 мы замечаем, что шумовой член обращается в нуль в
точках а — 0 и а = кгА/кА, положителен между этими точками, а
снос таков, что точка а, достигая концов интервала, возвращается
внутрь него. Таким образом, при 5 > 0 выражение G.7.67) представ-
представляет собой действительное СДУ на действительном интервале [0,
В случае д < 0 стационарная точка лежит вне интервала [0,
к2А/к4], и точка, изначально находящаяся на этом интервале, будет
двигаться, подчиняясь уравнению G.7.67), пока не достигнет правого
конца интервала. Здесь шум обратится в нуль, а снос продолжает ве-
вести точку вправо. После выхода точки за пределы интервала шум ста-
становится мнимым, и точка будет двигаться по траектории, подобной
изображенной на рис. 7.4, пока не вернется обратно на интервал [0,
к2А/к4].
Управляющие уравнения и скачкообразные процессы 351
Рис. 7.4. Траектория точки, движение
которой подчиняется стохастическому
дифференциальному уравнению G.7.67).
Случай 5 = 0 не слишком отличается от предыдущего: по дости-
достижении правого конца интервала в нуль обращаются как шум, так и
снос, и точка остается здесь.
Для системы
В~Х G.7.68)
2Х-~А
СДУ, вытекающее из УФП G.7.41), имеет вид
drj/dt = /Ci — 2K2tj2 + ieBk2) [llq?(t), G.7.69)
гдеа = 1)Ки?= V~l/2.
СДУ G.7.69) может моделироваться на ЭВМ, что позволяет полу-
получить график движения на комплексной плоскости rt (см. рис. 7.5). Вид-
Видно, что точка остается вблизи Re (а) = (а/2I/2 и флуктуирует в ос-
основном в обе стороны параллельно мнимой оси, вследствие чего дис-
дисперсия а оказывается отрицательной.
7.7.5. ВРЕМЕННЫЕ КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ
Временная корреляционная функция для пуассоновской переменной а
отличается от таковой для переменной х. Это можно видеть на при-
примере реакции X * Y, для которой УФП в представлении Пуассона не
Рис. 7.5. Траектория точки, движение которой
описывается стохастическим дифференциаль-
дифференциальным уравнением G.7.69).
352 Глава 7
содержит диффузионного члена. Пуассоновская переменная, следова-
следовательно, не флуктуирует. Здесь мы покажем, какая связь существует
между указанными корреляционными функциями. Для ясности рас-
рассуждения будут проведены лишь для случая одной переменной.
Определим
(a(t)a(s)} = J dfi(a)d/u(a')aa'f(a, 11 a', s)f(a', s) . G.7.70)
Заметим, что
где ди(а) — дельта-функпия, соответствующая мере /х(а). Это значит,
что
f dfi{a) е-"(ах/х!)/(«, s | a', s) = е-"'а'х/х! ,
откуда
f dju(a) af(a, t\a',s) = '?, xP(x, t\x', s)e-"'(a' У /х'!. G.7.71)
x, x'
Следовательно,
(a(t)a(s)) = 5] xP{x,t\x', s) j dM(a')(a'"^e-a'lx'\)f(a', s) .
(«', s)
= T,x x'P(x, 11 x', s)P(x', s) G.7.72)
>
x,x>
- |^(«')/(«'^к?>ЕхДх,<]х',Х)((а'Ге-«х!). G.7.73)
По определению,
<a(t) | [a\ s]) ее | da af(a, 11«', s) G.7.74)
как среднее a(t) при начальном условии для а' в s. Тогда второй член
можно записать в виде
- J dM(a'W ^ <«@1[«', s])f(a\ s)=- (а' ^ <«(?) | [а', 5]>) , G.7.75)
откуда
(x(t)x(s)) = (a(t)a(s)} + /а'?-, {a{t)\W ,7\)) . G.7.76)
Переходя к случаю многих переменных и учитывая, что всегда
Управляющие уравнения и скачкообразные процессы 353
получаем
<*.(/), *»(*)> = <«.(/)> «»(*)> + X Д <*.(/) | [а', ф ;• . G.7.77)
Эта формула явно отражает тот факт, что представление Пуассона
определяет процесс, тесно связанный с уравнением рождения — гибе-
гибели, но не изоморфный последнему. Интересующие стохастические ве-
величины, такие, как временные корреляционные функции, все могут
быть рассчитаны, причем они не выражаются непосредственно через
соответствующие величины для пуассоновской переменной".
а) Интерпретация на языке статистической механики
Здесь у читателя предполагается знакомство со статистической меха-
механикой химических систем. Если мы рассматриваем систему, состоя-
состоящую из химически реагирующих компонентов А, В, С, ... , то функ-
'* Логично функцию/(a, t\a', s), входящую в предыдущие равенства, определить
обычным образом при помощи двувременной функции:
Да, t; a', s) = Да, 11 a', s)f(a', s), A)
причем двувременная функция определяется равенством
P(x,t\y,s)= W(a)tf/x(a')e~a~a Да, t; a', s), B)
х\ у\
аналогичным G.7.1). Тогда будем иметь
—/(-y, s). C)
aу
Да, t\y, s)f(y, s) = Р(х, t\y, s) x
x\y\
Умножая обе части последнего равенства на х и суммируя по х, у, находим
Г V f _ /
)dn(a)dn(y)af(a, t\y, s)f(y, s) = ]_, xP(x, t\y, s))dn(y)z y -~-f(y, s).
x, у
Если здесь положить/G, s) = 6 G - а'), то получим G.7.71). Однако нужно отме-
отметить, что равенства G.7.71 — 7з") несправедливы (в случае определения A), B)) при
функциях f(y, s), отличных от дельта-функции. Из B) легко получить равенство
(x(i)x(s)) = (a(t)a(sy), противоречащее G.7.77).
Из C) видно, что/(a, t\y, s) оказывается зависящей от/G, s), что свидетельствует
о немарковском характере процесса a (О- В самом деле, в предположении независимости
от функции/G, s) после подстановки/G, s) = <р(у)/ \<p(a)da и варьирования по <р(а) из
C) получаем Р(х, t\x', s) = \dn(a)e-a(ax/x!)f(a, t\y, s). Это равенство обсурдно, так
как его правая часть не зависит от л:', а левая от 7 - "'• — Прим. ред.
354 Глава 7
ция распределения для большого канонического ансамбля дается вы-
выражением
Р{1) = exp {P[Q + 2 №?1) - Е{1)}}, G.7.78)
i
где / — показатель, описывающий микроскопическое состояние систе-
системы, хД/) — число молекул вещества X в состоянии /, ?"(/) — энергия
состояния, ^, — химический потенциал компонента Х{,, Q — нормиро-
нормировочный множитель, и
ft=\\kT. G-7-79)
Тот факт, что компоненты могут реагировать между собой, означает,
что между химическими потенциалами существуют определенные со-
соотношения, поскольку состояние / может перейти в состояние /, лишь
если
= S vW), ^ = 1,2,3, ... , G.7.80)
где v^ суть некоторые целые числа. Соотношения G.7.80) отражают
стехиометрические ограничения.
Большой микроканонический ансамбль для реагирующей системы
определяется из требования
2А(/) = ^, G.7.81)
для некоторых г4, в то время как большой канонический ансамбль
определяется из требования
2 Pi!) S vfxll) = 2 vfix,} = zA . G.7.82)
i
Максимизация энтропии при условии G.7.82) (и обычных условиях
фиксированных полной вероятности и средней энергии) дает распреде-
распределение G.7.78) для большого канонического ансамбля, в котором хими-
химические потенциалы удовлетворяют соотношениям
Mi = II kAvf . G.7.83)
II
Если перейти к пределу идеального раствора или идеального газа,
где пренебрегается энергиями взаимодействий (но не кинетической или
внутренней энергией), то разницы между функциями распределения
для реагирующей и нереагирующей системы нет, если не считать тре-
требования, чтобы химические потенциалы были представимы в виде
G.7.83).
Управляющие уравнения и скачкообразные процессы 355
Микроканонический ансамбль не так прост, поскольку ограничения
должны быть явно учтены в множителе вида
П SEv^C/), г-] , G.7.84)
и функция распределения будет своей для каждого вида реагирующей
системы (включая и нереагирующую систему как частный случай).
Распределение по полным количествам х молекул реагирующих
компонентов в большом каноническом ансамбле для идеальной реаги-
реагирующей системы легко оценивается; оно имеет вид
Р(х) = ехр [/?(?> + 2 Mtx,)] 2 П 5[х,.G), х,} ехр [-/??(/)]. G.7.85)
Статистическая сумма имеет тот же вид, что и для канонического ан-
ансамбля для идеальной нереагирующей смеси, поэтому
Р(х) = ехр [p{Q + ? /,,*,)] Д Л {? ехр [-/??*(/)]} *<, G.7.86)
где /?? (/) суть собственные энергетические состояния одной молекулы
вещества А. В результате мы получаем многомерное распределение
Пуассона, средние значения которого даются выражением
log<x,> = рц, - log E е-*?*(()] , G.7.87)
которое, как известно, в сочетании с условием G.7.82) выражает закон
действующих масс.
Микроканонический ансамбль получают, максимизируя энтропию
при более сильном ограничении G.7.81), которое включает в себя и
более слабое ограничение G.7.82). Таким образом, распределение чи-
чисел молекул различных сортов, соответствующее микроканоническому
ансамблю, будет даваться выражением
%, г4]. G.7.88)
Говоря на языке представления Пуассона, мы только что показа-
показали, что в равновесной ситуации квазивероятность (по большому кано-
каноническому ансамблю) есть
/(«)„ = 8[а - aj, G.7.89)
поскольку распределение в х-пространстве пуассоново. Для временных
корреляционных функций отсюда вытекают два следствия.
1) Переменные a(f) и a(s) являются нефлуктуирующими величина-
величинами со значениями a(eq). Поэтому
(аг@, *,(*)>„ = 0 . G.7.90)
356 Глава 7
2) Равновесное среднее во втором члене в G.7.77) тривиально. Поэ-
Поэтому
<*.(*), *»(*)> = U А <«.(*I [«', ф] . G.7.91)
Полученный результат в точности соответствует теореме Бернара и
Каллена [7.11], которая связывает двухвременную корреляционную
функцию с производной от среднего значения величины по термодина-
термодинамически сопряженной переменной.
Рассмотрим систему, в которой Х[G), х2A) и т. п. суть количества
молекул веществ Хх, Хг и т. п. в состоянии системы /, и эти вещества
могут реагировать друг с другом. Тогда, как показано выше, в боль-
большом каноническом ансамбле равновесная функция распределения есть
Z-4/Oexp [&>,*,(/)-?(/)}/*Г| , G-7-92)
где
Z(fi) = exp (-QP), G.7.93)
— большая статистическая сумма. Как мы говорили, химические по-
потенциалы Hj для реагирующей системы не могут выбираться произ-
произвольно, но должны подчиняться стехиометрическим соотношениям
G.7.82) для разрешенных реакций.
Определим далее величины
<x,,t\[I,s\> G.7.94)
как средние значения величин X/ в момент / при условии, что в момент
5 система была в состоянии /. Тогда нас будет интересовать среднее
значение G.7.94) по распределению G.7.92), а именно
X ехр
кТ
G.7.95)
Когда химические потенциалы удовлетворяют равновесным ограниче-
ограничениям, эта величина не зависит от времени и равна равновесному сред-
среднему Xj; в других случаях она будет зависеть от времени. После неко-
некоторых преобразований найдем
т? (х„ 11 [ц, s]>] = <*,@, */*)>., • G.7.96)
Левая часть здесь есть функция отклика среднего значения на измене-
изменение химических потенциалов вблизи равновесных значений и служит
мерой диссипации, в то время как правая часть, равновесная двухвре-
менная корреляционная функция, служит мерой флуктуации.
Управляющие уравнения и скачкообразные процессы 357
Для того чтобы установить связь с результатом G.7.91), заметим,
что в теории идеальных растворов химические потенциалы определя-
определяются как
/;,«*» = кТ log <xt) + const. G.7.97)
С учетом этого G.7.96) принимает вид
,> я>1" s <х„ t1 [д«х», s\y] . G.7.98)
Поскольку в теории идеальных растворов распределение xt пуассоно-
во, в этом пределе
(xh t1 [/i«x», 5]> = <«„ 11 [a', j]> , G.7.99)
где а' = <х>. Таким образом, G.7.98) принимает вид
<х,.@, Л>М> = \a'j ~ (a,, 11 [«', *]>] , G.7.100)
и G.7.91) оказывается частным случаем G.7.98) в пределе идеального
раствора.
Общую формулу G.7.77) можно рассматривать как обобщение ре-
результата Бернара — Каллена на системы, не находящиеся в термоди-
термодинамическом равновесии. Эта формула заметно отличается от равно-
равновесного результата, и два члена можно интерпретировать следующим
образом. Второй член является равновесным вкладом (функцией от-
отклика), но, поскольку система не находится в четко выраженном рав-
равновесном состоянии, мы берем среднее по равновесным результатам
для различных состояний в а-пространстве. Первый член описывает
вклад от флуктуации в а-пространстве и не связан непосредственно с
функцией отклика. Он отражает флуктуации вне равновесия.
б) Линеаризованные результаты
Общее дифференциальное уравнение, возникающее на основе положи-
положительного представления Пуассона и соответствующее УФП G.7.12),
имеет вид
dr\ = A(t])dt + eC(rj)dW(t), G.7.101)
где
ССТ = В . G.7.102)
Мы можем осуществить разложение по малому шуму (с учетом пер-
первого порядка) вблизи стационарного состояния щ, пользуясь методом
358 Глава 7
разд. 6.3. Записывая
>/(/) = П + ечМ (?=F-) , G.7.103)
с точностью до низшего порядка имеем
А{Ц) = 0 G.7.104)
где
Fr.= -^AXn) G-7.105)
G = C(fj).
Далее ,
<ar,(O. «.@)>, = KS [ехр (-Л)]г,' <»7,м, »/..i>. G.7.106)
г1
И
А <«Д0|[«', 0]> = ~ (ПгЛОИп'и 0]> = [exp (-F01.. ¦ G.7.107)
Следовательно,
<*г@, х.ф)> = FS [exp (-F0],r'[<4r>.L П.л>. + b'.J.) G.7.108)
т1
= S ехр (-Л)г.„<х„ *,>. • G.7.109)
г'
Таким образом, линеаризованный результат согласуется с теоремой
регрессии (разд. 3.7.4). Корреляционные функции для ряда систем бы-
были рассчитаны в [7.10].
7.7.6. ТРИМОЛЕКУЛЯРНЫЕ РЕАКЦИИ
В разд. 7.1.3 мы рассматривали реакцию, которая включала
А + 2Х^=±ЪХ , G.7.110)
и построили соответствующее уравнение рождения — гибели. В хи-
химии, однако, хорошо известно, что подобные тримолекулярные собы-
события имеют исчезающе малую вероятность и осуществляются ступен-
ступенчато через короткоживущий промежуточный продукт. Реакция
G.7.110), скорее всего, происходит в два этапа
А + yJ=±X+ Y G.7.111a)
Y^2X, G.7.1116)
каждый из которых представляет собой бимолекулярную реакцию.
Управляющие уравнения и скачкообразные процессы 359
Константы скорости мы положили равными единице, за исключением
у (постоянной распада Y), которую считаем очень большой. Таким
образом, Y оказывается короткоживущим промежуточным соединени-
соединением. Детерминистические уравнения кинетики имеют вид
? = ау - ху + 2(уу - х2)
G.7.112)
dy 2
и, полагая у = х2/у в обычной процедуре адиабатического исключе-
исключения, получаем
^ = (ах' - х>Iу . G.7.113)
at
Хотя в детерминистическом смысле процедура вполне проста, нельзя
с уверенностью утверждать, что стохастическое управляющее уравне-
уравнение в виде, использованном в разд. 7.1.3, имеет силу в пределе адиа-
адиабатического исключения. Приспособить методы адиабатического ис-
исключения, использованные в гл. 6, к управляющему уравнению не так
легко, однако они могут быть прямо применены к УФП в представле-
представлении Пуассона.
а) Уравнение Фоккера — Планка для тримолекулярной реакции
Для того чтобы реакция G.7.110), в которой прямая и обратная кон-
константы скорости равны \/у, соответствовала G.7.113), УФП в пред-
представлении Пуассона должно быть преобразовано из G.7.4) к виду
и содержит производные третьего порядка. Какой бы вид представ-
представления Пуассона мы ни выбрали, не существует истинно вероятност-
вероятностной интерпретации на языке какого-либо действительного стохастиче-
стохастического процесса в а-пространстве. В следующем разделе мы введем по-
понятие шума третьего порядка и покажем, каким образом можно по-
прежнему использовать вероятностные методы и стохастические диф-
дифференциальные уравнения.
б) Адиабатическое исключение
С учетом правил, выработанных в G.7.9), уравнение Фоккера —
Планка для системы G.7.111) с заменой
к.
360 Глава 7
имеет вид
д
G.7.115)
Далее адиабатическое исключение осуществляется так же, как в
разд. 6.6.1. Определим новые переменные
у = ур - «2 ,
и тогда после замены
G.7.116)
G.7.117)
УФП принимает вид
fe) = [_ (Э _ 2 Э ) Г(^-^ + ^) + 2 J + Э
3? I wx dyll у '} дуу
G 7 118)
Поскольку нам необходимо исключить^, должен существовать хоро-
хорошо определенный предел оператора L,, который управляет движением
при фиксированном х. Этот оператор имеет вил
y — y + fi [4хгу - МУ + хг)(а - х)] , G.7.119)
ау оу
и в пределе больших у мы приходим к детерминированному движе-
движению. При
у = ру-иг G.7.120)
формула G.7.119) переходит в
yLi{y) = у — v + г—-г [2х (X — а) + Dxz -
G.7.121)
Управляющие уравнения и скачкообраэные процессы 361
Используя это выражение, мы определяем
y~lL3 = -у^ — [х*(а - х)] , G.7.122)
L2(y) =~-~ [(а - x)vy-3li + 2vrXll\ - ~ 2х |- v - 2х |-1- v
ох дх dv dvdx
~
G.7.123)
% = [Г1!, + L2(y) + yUy)]f. G.7.124)
at
Оператор Р осуществляет проекцию на нуль-пространство L{, а по-
поскольку L, зависит от х, мы имеем
Ь3РФРЬ}. G.7.125)
Это значит, что уравнение движения для Pf = g находится с по-
помощью тех же вычислений, какие использовались в разд. 6.5.4. Нахо-
Находим
si(s) = y-lPL,g(s) + P[L2(y) + y~lL3][s - yL,- A ~P)L2(y)-y-\l ~ P)L3]-'-
X [L2{y) + Г'A - P)LMs) + g@) ¦ G.7.126)
Заметим, однако, что, поскольку для всякой функции от v
Pftv) = px(v) J dv ф(у) , G.7.127)
где px(v) удовлетворяет
LlPx(v) = 0, G.7.128)
все члены в PL2(y), содержащие д/dv, обращаются в нуль. Таким об-
образом, до высшего порядка по у,
PL2{y) = гш (- 2v? + v~y G.7.129)
Множитель [ ]~' в G.7.126) имеет асимптотику -y~]L\'\ и единст-
единственный член в оставшейся квадратной скобке, который может сделать
все выражение равным по порядку величины у~\ как член с L3, это
член порядка у1/2 в L2(y), т. е.
уигЦ-Ка-х)*]!.- G.7.130)
362 Глава V
Таким образом, в пределе больших 7 G.7.126) принимает вид
sg(s) = Г.\pLig -P[~2fx + ?] vL? А [(в - xW
G.7.131)
где мы записали
g = РМР, % = РМР ¦ G.7.132)
Теперь мы подошли к центральной проблеме: определению интеграла
ldv'v'L-l^x(a-x)x^lPx{v') , G.7.133)
который возникает при вычислении второго члена в фигурных скобках
в G.7.131). Было бы желательно вынести д/дх из-под интеграла, но,
поскольку д/дх и L, не коммутируют, эта операция требует осторож-
осторожности. Итак,
?1' G-7-134)
и в силу G.7.121)
= Lr>g-2[8*'-6^]jLr'; G.7.135)
G.7.133) = f- f dv'v'L^{a - x)x2~px(v')
dx] ov
+ f dv'v' Ц» Д. L7«[(8л;3 - 6ax2)(a - x)x2] /-, p,(v'). G.7.136)
Второй член обращается в нуль, хотя доказать это непросто. Дейст-
Действительно, мы знаем, что L х описывает процесс Орнштейна — Уленбе-
ка по переменной v и чторДу) есть стационарное решение. Из свойств
собственных функций, рассмотренных в разд. 6.4.2, следует, что
L~i |1 L-i ~Px(v) G.7.137)
пропорциональна третьей собственной функции, которая ортогональ-
ортогональна v, первой собственной функции соответствующего обратного урав-
уравнения. Первый член теперь легко вычисляется с учетом того факта,
что L [ соответствует процессу Орнштейна — Уленбека. Используя те
же методы, что и в разд. 6.6.1, мы находим, что вся зависимость от
х, возникающая врх(р'), пропадает, и поэтому
G.7.133) =|- (а -х)х2. G.7.138)
Управляющие уравнения и скачкообразные процессы 363
Аналогично находим
PL3g = -pjv) j dv'~[x2(a - x)]px{v')p
= -Px(v) ^ [x2 (a -x)]p, G.7.139)
так что в конце концов
что есть то же самое, что и уравнение Фоккера — Планка G.7.114)
для тримолекулярной реакции. Это значит, что и тримолекулярное
управляющее уравнение справедливо в этом пределе.
в) Замечания
1) Отметим, что конечный результат получен не в форме Стратонови-
ча, а в форме Ито, где все производные слева.
2) Вывод G.7.140) предполагает умение интерпретировать подобные
невероятностные уравнения Фоккера — Планка. Мы обсудим это в
следующем разделе.
7.7.7. ШУМ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
Для того чтобы рассматривать уравнения Фоккера — Планка третье-
третьего порядка, возникающие при исследовании тримолекулярных реак-
реакций, мы введем стохастическую переменную V(t), плотность условной
вероятности которой подчиняется дифференциальному уравнению в
частных производных третьего порядка
dp(v, 0/9/ = - j d3p(v, t)/dv3 . G.7.141)
Поскольку, как мы уже показали в разд. 3.4, никакой марковский про-
процесс не может дать подобного члена третьего порядка, величина
р(у, t) должна нарушать какое-то фундаментальное условие. Оказыва-
Оказывается, р(р, t) не всегда положительна, что для квазивероятности допу-
допустимо. Покажем, что, несмотря на это, чисто формальная вероят-
вероятностная аналогия может быть очень полезна.
Мы знаем, что решение G.7.141) при начальном условии
p(v, /0) = 8(v - v0) G.7.142)
получается методом фурье-преобразования в виде
p(v, t\v0, t0) = A/2я) J dqexp{i[q(v - v0) + ^ q\t - /„)]}. G.7.143)
364 Глава 7
После интегрирования можно вычислить моменты V, которые равны
<[V(t) - Vo]") = 0, (п не кратно 3),
<[V(t) - Vof») = [(t - ro)/6]-C«)!/«! . G.7.144)
Далее, мы считаем, что G.7.141) есть некий обобщенный марковский
процесс, для которого совместное распределение вероятности есть
piVih-.Vit^^piVihlVitMvutt) , G.7.145)
а из G.7.142) мы видим, что первый сомножитель является функцией
лишь (р2 - v{) и (t2 - ?)), так что переменная V(t2) - K(fj) статисти-
статистически независима от К(/,), и поэтому данный процесс есть процесс с
независимыми приращениями. Таким образом, dV(t) будет независи-
независима от V(t).
Строгое определение стохастического интегрирования по V{t) —
это вопрос, который сейчас мы не будем рассматривать. Очевидно,
однако, что эта операция не слишком отличается от интегрирования в
смысле Ито, и, кстати говоря, Хохберг [7.12] дал строгое определение
шумов высших порядков для четных степеней и осуществил стохасти-
стохастическое интегрирование. Мы можем показать, что стохастическое диф-
дифференциальное уравнение вида
dy(t) = a(y)dt + b(y)dW(t) + c{y)dV(t) G.7.146)
(где W(t) и V{t) — независимые процессы) эквивалентно уравнению
Фоккера — Планка третьего порядка. Ясно, что коль скоро W{t) и
V(t) суть процессы с независимыми приращениями, у (t) является мар-
марковским процессом. Вычислим теперь
где y(t0) есть не стохастическая переменная, а численное начальное
значение. В силу G.7.146) y(t) зависит от W(t') и V(t') лишь при
t' < t, и, поскольку dW(t) и dV(t) не зависят от ^@. мы находим
(dy(to)> = <aLK'o)]>*o + (b[y(to))><dW(t0)) +
= ,<aWo)]>Ao = 4y(to)]dto G.7.148)
(напомним, что y(t0) — это численное начальное значение). Аналогич-
Аналогично до низшего порядка по dt0
<dy(to)z> =
= b[y{to)]4to G.7.149)
Управляющие уравнения и скачкообразные процессы 365
= c[y(to)]XdV(toy}
= c[y{ta)]4t0.
G.7Л50)
Таким образом,
lim
'-'o
lim [<M0
- Q] = a[y(t0)]
(t - t0)] = b[y(t0)]2
(t - t0)] =
G.7.151)
а все высшие порядки дают нулевой вклад. С использованием рассуж-
рассуждений, аналогичных проведенным в разд. 3.4, этого достаточно, что-
чтобы показать, что .у @ есть обобщенный диффузионный процесс, обоб-
обобщенное уравнение Фоккера — Планка для которого имеет вид
ешц)
Определим
dV(t) = C{t)
где
<С@> = <С(
iaoanat»:
ИСТОЧНИК
(Л,
о«о> =
)> = 5(/ -
шума как
0
f'M(?' — г")
-ibw>ov].
G.7.152)
G.7.153)
G.7.154)
G.7.155)
Моменты высших порядков без труда вычисляются из моментов для
dV(t). Независимость приращений означает, что, как и в случае с ин-
интегралом Ито, интегралы, имеющие в качестве верхнего предела осо-
особенность в виде дельта-функции, должны приниматься равными ну-
нулю.
Пример использования шума третьего порядка. Рассмотрим химиче-
химический процесс
ЪХ
G.7.156)
366 Глава 7
для которого УФП в представлении Пуассона имеет вид
dfia^t) = _ Ifop-V - K2V-*a3 + k3V - K4a)f(a, t))
+ ¦J^W.^V-1^ - K2V-2a3)f(a, 0]
~ ЗТ ? I6^"'"* - ^^-V)/(«, 0], G.7.157)
где к, K~' = ?,Л, k2V'2 = k2, k3V - k3, к4 = k4.
В стационарном состоянии G.7.157) сводится к линейному диффе-
дифференциальному уравнению второго порядка, которое может быть раз-
разрешено в гипергеометрических функциях, а асимптотические разложе-
разложения для моментов могут быть получены методом скорейшего спуска.
Эта процедура , хотя и возможная в принципе, не всегда удобна.
Именно в таких случаях метод, основанный на стохастических диффе-
дифференциальных уравнениях, оказывается очень полезным благодаря про-
простоте его применения.
СДУ, эквивалентное G.7.157), имеет вид
-t- «-з -
G.7.158)
где а = i\V, fi = V~w6, а шумовой источник ?(/)> Далее именуемый
«шумом третьего порядка», определен в G.7.153 — 155).
Уравнение G.7.158) может быть решено итерационным методом с
использованием разложения
... ,G.7.159)
которое после подстановки в G.7.158) дает в низшем порядке детер-
детерминистическое уравнение, а в более высоких — линейные стохастиче-
стохастические дифференциальные уравнения, которые решаются методами
разд. 6.2.
Для стационарного случая получаются следующие результаты:
In h
<х> = УПо + (rj6> + - = Vth + -/ + •••¦ G.7.160а)
G.7.1606)
Управляющие уравнения и скачкообразные процессы 367
<(дг - <х»3> = K[<>tf> - 3<7з2><7б> + 3<vl> + <//о> + ...
[--f+r}0}+..., G.7.160b)
где а - Kfll - к2гI, b - 2к, - Зк2?/О, с = к4 - 2к,т/0 + Зк2?^, а 77О есть
решение стационарного детерминистического уравнения
Kilo — Kill + к* — к*Щ = 0 • G.7.161)
Здесь следует сделать кое-какие замечания. Шум третьего порядка да-
дает вклад O(V~!) в среднее значение, и вклад 0A) в дисперсию, но
вклад O(V) в коэффициент асимметрии. Если нас интересуют среднее
значение и дисперсия с точностью до O(V), то можно пренебречь шу-
шумом третьего порядка в G.7.158) и проводить разложение по степеням
е = V~1/2. Заметим также, что при с — 0 дисперсия и поправки выс-
высших порядков расходятся. Разумеется, это связано с тем, что в этом
пределе поведение системы соответствует фазовому переходу первого
рода.
8
Пространственно-распределенные системы
Системы с химическими реакциями и диффузией, рассматриваемые в
этой главе, — прототип огромного множества пространственно-рас-
пространственно-распределенных систем, встречающихся в природе. Мы начнем изложе-
изложение с эвристического введения в предмет, исходя из уравнений Ланже-
вена для переменных, зависящих от пространственных координат. Од-
Однако такое рассмотрение является недостаточным, поэтому мы перей-
перейдем к более удовлетворительному описанию на основе многомерного
управляющего уравнения. При этом уравнения Ланжевена получаются
в результате приближения, которое основано на разложении по об-
обратному размеру системы. Будет показано также, как на основе пред-
представления Пуассона можно вывести подобные уравнения Ланжевена,
не используя какого-либо приближения.
Далее мы рассмотрим следствия таких уравнений, а именно прос-
пространственно-временные корреляционные структуры, которые могут
возникать (главным образом вблизи точек неустойчивостей). Затем
покажем, как связаны между собой локальное и глобальное описания
флуктуации. Глава заканчивается рассмотрением систем, описывае-
описываемых распределением в фазовом пространстве, т. е. в пространстве ко-
координат и скоростей. Исследование таких систем проводится на осно-
основе управляющего уравнения Больцмаш.
8.1. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Понятие пространства занимает центральное место в нашем понима-
понимании мира главным образом потому, что объекты, отделенные боль-
большим расстоянием, не так сильно влияют друг на друга. Это ведет к
детерминистическому макроскопическому описанию мира с помощью
таких локальных величин, как плотность, концентрация, температура,
потенциалы электромагнитного взаимодействия и т. д. При детерми-
детерминистическом описании обычно полагают, что эти величины подчиня-
подчиняются дифференциальным уравнениям в частных производных, таким,
как уравнения Навье — Стокса в гидродинамике, уравнения химиче-
химических реакций с учетом диффузии или уравнения Максвелла в класси-
классической электродинамике.
Пространственно-распределенные системы 369
Простейшими из таких уравнений являются уравнения, описываю-
описывающие химические реакции с учетом диффузии, исследование которых
составляет основное содержание настоящей главы. Для наглядности
рассмотрим вначале описание временной эволюции концентрации хи-
химического вещества р при помощи уравнения Ланжевена. При этом
классическое уравнение химической реакции с диффузией можно выве-
вывести следующим образом. Предположим в соответствии с законом Фи-
ка, что диффузионный поток j(r, t) имеет вид
j(r,t)= -DV p{r,t). (8.1.1)
В отсутствие химических реакций этот поток входит в уравнение не-
непрерывности, ибо полное количество химического вещества в произ-
произвольном объеме V может меняться только вследствие его переноса че-
через границу 5 объема V. Обозначая полное количество вещества в
объеме V через N, имеем
~ = jt\^r p{r,t)=-\dS-j{r,f) (8.1.2)
= - \dhV-j{r,t).
v
Поскольку объем V произволен, отсюда следует
d,p{r,t) + V-j{r,t) = O. (8.1.3)
Подставляя в это уравнение закон Фика (8.1.1), получаем уравнение
диффузии
d,p{r,t) = DV2p(r,t). (8.1.4)
Как же теперь добавить сюда флуктуации? Прежде всего заметим,
что уравнение непрерывности (8.1.3) является точным (это следует из
его вывода). Мы не можем добавить к этому уравнению флуктуацион-
ный член. Однако можно модифицировать закон Фика, добавляя в
выражение (8.1.1) источник флуктуации и переписывая его в виде
j(r, О = -DV р(г, О + fd(r, t), (8.1.5)
где fd(r, t) — векторный ланжевеновский источник. Проще всего пред-
предположить, что он обладает следующими статистическими свойст-
свойствами:
<f*(r, 0> = О
и
</d.i(r. OL.M', /')> = KJLr, 1)ЗиЬ(г - r'M(t - /'), (8.1.6)
370 Глава 8
Таким образом, различные компоненты вектора/d(r, t), взятые в один
момент времени в одной точке пространства, а также все значения
fd(r, t) в различные моменты времени, в разных точках пространства
предполагаются независимыми, что означает локальность флуктуа-
флуктуации. Флуктуационное уравнение диффузии принимает тогда вид
д,р(', 0 = DF2p(r, г) - V-flr, 0 . (8.1.7)
Заметим, что
- гО]5(/ - t') . (8.1.8)
Теперь включим в рассмотрение химическую реакцию. Закон Фика
применим и в этом случае, но уравнение непрерывности следует заме-
заменить на уравнение вида
d2L=±[d*r р(/, г) = - J dS-j(r, 0 + J d3r F[p{r, /)], (8.1.9)
at at у s v
raeF[p(r, ?)] — функция концентрации, представляющая производство
химического вещества в локальной химической реакции.
Из уравнения (8.1.9), не учитывая пока флуктуации, находим
д,р(г, О + F-j(r, t) = F[p(r, ?)] (8.1.10)
Производство химического вещества в химической реакции обязатель-
обязательно порождает флуктуации, поэтому мы можем добавить к уравнению
(8.1.10) член/с(г, t), который удовлетворяет соотношениям
Шл 0> = о
/')> = ^с(г, гM(г - г'M(? - О (8'!•J °
выражающим свойства локальности (некоррелированность флуктуа-
флуктуации в различных точках) и марковости реакции (дельта-коррелирован-
ность во времени). Полное уравнение химической реакции с диффузией
принимает теперь вид
д,р(г, О = DF2P(r, О + F[p(r, 0] + g(*% 0,
(8.1.12)
где
g(r, t) = -V-flr, t) +/c(r, 0 (8.1.13)
<g(r, t)g{r\ ?')>=
(8.1.14)
Пространственно-распределенные системы 371
Простейшая процедура получения уравнения Ланжевена для классиче-
классического уравнения реакции с диффузией приводит к довольно сложному
выражению (8.1.14). Кроме того, мы ничего не знаем о функциях Кс(г)
или Kd(r), и сама процедура основана на весьма эвристических моде-
моделях.
Тем не менее форма выведенного уравнения по существу правиль-
правильна, так как она согласуется с результатами, следующими из более
микроскопического подхода, основанного на использовании управляю-
управляющих уравнений. Однако последний подход позволяет определить все
введенные произвольные константы.
8.1.1. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФОККЕРА — ПЛАНКА
Записывая стохастическое дифференциальное уравнение типа (8.1.12),
мы тотчас же задаемся вопросом, как выглядит соответствующее
уравнение Фоккера — Планка. Это должно быть дифференциальное
уравнение в частных производных для функции, зависящей от конти-
континуального числа переменных р (г), где г — непрерывный индекс, поме-
помечающий различные переменные. Наиболее простой способ определе-
определения функциональных производных состоит в следующем. Прежде все-
всего разобьем все пространство на кубические ячейки с линейным разме-
размером /, помеченные индексом /, положение центра которых в про-
пространстве задается векторами гг Введем переменные
х, = Pftr,) (8.1.15)
и будем рассматривать функции, зависящие от всех этих переменных
*= (*,-)•
Обсудим способы обращения с функциями F(x) от этих ячеечных
переменных. Определяя частные производные обычным образом, мы
вводим формально функциональную производную с помощью соотно-
соотношения
f^lim/-^. (8.1.16)
6p(rt) ;-o ЭХ,
В каком смысле этот предел существует, в большей части прикладной
литературы остается совершенно неясным. Можно дать строгие опре-
определения; при этом, как всегда в вопросах, связанных с функционала-
функционалами, важным является точное определение сходимости. «Очевидное»
определение (8.1.16) в дальнейшем не используется.
Точная формулировка функционального исчисления не является
целью этой книги, однако уместно будет показать, как обычно запи-
записывают такие уравнения. Мы можем формально определить функцио-
372 Глава 8
нальную производную при помощи (8.1.16) и сформулировать дис-
дискретный аналог стохастического дифференциального уравнения вида
(8.1.12). Используя те же обозначения, получаем
dx, = E DijXj + /(*,)] dt + 2 g,jdWj(t). (8.1.17)
В этом уравнении D(J — коэффициенты, дающие дискретную аппрок-
аппроксимацию оператора DV2. Функции Fag выбираются так:
Р[р(гь /)] = lim F(xt)l-> (8.1.18)
g(rt, t) = lim / 2 i,jdWj(t). (8.1.19)
Предположим более общий, чем (8.1.14), вид корреляционной функ-
функции, а именно
(g(r, t)g(r', ф = G(r, r'M(r - О , (8.1.20)
и потребуем, чтобы
<7(г„ г,) = lim/-« ? *«**.,*. (8.1.21)
В этом случае уравнение Фоккера — Планка для набора переменных
jx;j примет вид
д,Р(х) = -S Л7 (Р'Л + ^/(*«)]^(*)} + 2 Т A ^"SlkP{x). (8.1.22)
Рассмотрим теперь предел /3 — 0. После некоторых преобразований
получим
д,Р(р) = ~ / d'r63^
Плотность вероятности Р(р) является теперь функционалом. Чтобы
записать условие нормировки для Р(р), требуется аккуратно опреде-
определить вероятностную меру на пространстве функций р(г). Это можно
сделать (см. [8.1]), однако обычно под уравнением (8.1.23) подразуме-
подразумевается в действительности дискретный вариант (8.1.22) и почти все
вычисления также неявно дискретизируются.
Разумеется, такая ситуация неудовлетворительна. Формально-ма-
Формально-математически существование стохастических дифференциальных уравне-
уравнений в частных производных и их решений установлено, однако в ка-
качестве повседневного расчетного инструмента они не используются.
Пространственно-распределенные системы 373
За дальнейшей информацией по математическим вопросам мы отсы-
отсылаем читателя к книге [8.1]. Однако в большинстве случаев мы будем
излагать материал непосредственно в дискретной форме, используя
континуальные обозначения просто для упрощения записи.
8.2. ОПИСАНИЕ ПРИ ПОМОЩИ МНОГОМЕРНОГО
УПРАВЛЯЮЩЕГО УРАВНЕНИЯ
8.2.1. ДИФФУЗИЯ
Мы предполагаем, что все пространство разбито на кубические ячейки
с линейным размером / и объемом AV. Эти ячейки помечаем индексом
/, а число молекул химического вещества X внутри ячейки с номером i
обозначаем через х,. Далее введем многомерное распределение вероят-
вероятностей
Р(х, t) = />(*„ х:. ... ,0 ее Р(х„ ?, /). (8.2.1)
Вектор х в последнем из этих выражений обозначает совокупность
всех х, кроме тех, которые выписаны явно.
Мы можем моделировать диффузию марковским процессом, в ко-
котором молекула перескакивает из ячейки с номером / в ячейку с номе-
номером у с вероятностью в единицу времени о^х,; это значит, что вероят-
вероятность перехода пропорциональна числу молекул в ячейке. При строго
локальном описании мы ожидаем, что величины d^ будут отличны от
нуля только для соседних ячеек / и j. Однако в общем случае это не
так, и в дальнейшем мы этого предполагать не будем.
Мы можем теперь записать управляющее уравнение для процессов
рождения — гибели в обозначениях разд. 7.5, полагая
лг«-» =(o...
Л/"-" = @...
»¦"•¦" ==@...
кп,п = ° ¦
0,
0,
0
/
1,0, .
0,0, .
-1,0, .
.. 0,
.. 0,
n
j
o,
1,
1
0, ...)
0, ...)
0, ...)
(8.2.2)
При этом получаем управляющее уравнение вида
д,Р(х, 0 = S d,j[(Xl + \)P(x, Xi +1,^-1,,)- XtP(x, t)]. (8.2.3)
Это простое линейное управляющее уравнение, которое можно ре-
решить различными методами.
374 Глава 8
Заметим, что, поскольку
(8.2.4)
мы можем ограничиться значениями индексов i > j и положить
k(i,j) = dp- Из формул G.5.15, 18) мы видим, что условие детального
баланса в этом случае выполнено, если
d,j<xty, = 4<Л>з • (8.2.5)
В системе, в которой происходит диффузия, стационарное решение
однородно, т. е. <х,)ь = Cx)>s. Таким образом, условие детального ба-
баланса принимает вид
d,i = dJt . (8.2.6)
При этом уравнение (8.2.3) имеет стационарное решение в виде много-
многомерного распределения Пуассона.
Для средних значений имеем уравнение
d,<x,{ty> = S r^Kt&x) - /д(х)>] = 2 (St, + Slk) dJk(xj) ,
;, * у. *
или
Е №/ - <5;.- S ^*)<*Д0> (8-2.7)
у *
S Оу,<дгДО> ¦ (8-2.8)
8.2.2. УПРАВЛЯЮЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ДИФФУЗИИ В КОНТИНУАЛЬНОЙ ФОРМЕ
Будем считать, что центр /-й ячейки находится в точке г;, и сделаем
замену
*i(O = /V(»-i.O. (8-2.9)
Предположим, что d/jr = d, если ячейки с номерами / и у соседние; в
противном случае d^ — 0. Тогда в пределе / — 0 уравнение (8.2.8) при-
принимает вид
д,<р(г, ф = DF\p(r, 0> (8.2.10)
при D = l2d. (8.2.11)
Таким образом, мы снова получили диффузионное уравнение. Вскоре
мы обобщим этот результат.
Пространственно-распределенные системы 375
а) Уравнение Крамерса — Мойала, или разложение по малому
параметру, обратному размеру системы
Нам нужен параметр, который бы подходящим образом определял
масштаб как числа молекул, так и вероятностей перехода. При воз-
возрастании числа молекул возможны два предела:
1) предел больших ячеек: / — оо при фиксированной концентрации;
2) предел высоких концентраций при фиксированном размере ячей-
ячейки.
В случае чистой диффузии оба предела приводят к одинаковым ре-
результатам. Для любого из них
и можно применить разложение по обратному размеру системы. В
низшем порядке это разложение будет эквивалентно разложению Кра-
Крамерса — Мойала. Из G.5.31, 32) мы находим
M*)=-HDjIXj (8.2.13)
i
В,т{х) = д1т 2 (D,jx, + Dj,xj) - Dlmx, - Dmlxm , (8.2.14)
j
где
Djl = dJI-Sjlj:dlk. (8.2.15)
Таким образом, в этом пределе Р(х, t) подчиняется уравнению Фокке-
ра — Планка
д,Р = -S д,А,(х)Р + i U дЯЛ^ЮР . (8.2.16)
/ 1,т
б) Континуальная форма разложения Крамерса — Мойала
Связывая точку г с /-й ячейкой и производя замены
/'2-|</'г (8.2.17)
Do - D(r',r) = 3(r',r -r') (8.2.18)
Г'бц - 6(г - г'), (8.2.19)
мы переходим к континуальной форме записи. На этом этапе мы не
делаем никаких конкретных предположений о симметрии матрицы
Dy, а также других предположений. Таким образом, мы включаем в
рассмотрение и случай анизотропной неоднородной диффузии. Однако
само содержание понятия «диффузия» приводит к ряду требований.
376 Глава 8
1) Диффузия наблюдается только при наличии градиента концентра-
концентрации. Это означает, что стационарное состояние соответствует посто-
постоянной концентрации, и из (8.2.13) вытекает равенство
2 Dj, = 0. (8.2.20)
Отсюда в силу (8.2.15) находим
2 dtl = 2 d,j. (8.2.21)
j j
Заметим, что эти формулы следуют также из условия детального ба-
баланса (8.2.6).
2) Диффузия не меняет полного количества вещества в системе, т. е.
Jr ? *, = 0 , (8.2.22)
причем это равенство должно выполняться при любых значениях xt. В
силу уравнения для средних значений это приводит к требованию
2АУ = О, (8.2.23)
что также следует из (8.2.15).
3) В континуальной форме записи равенство (8.2.20) означает, что для
любых г
fd}d??(r + S,-S) = O. (8.2.24)
Аналогично из (8.2.23) имеем
J d4 &(r, S) = 0 . (8.2.25)
4) Если выполняется условие детального баланса, то равенство
(8.2.24) заменяется соотношением
D,j = DJt , (8.2.26)
получаемым подстановкой равенства (8.2.6) в определение величины
D. В континуальной форме записи это дает нам соотношение
Щг + б, -5) = Щг, д). (8.2.27)
Вывод уравнения Ланжевена в континуальной форме можно провести
по аналогии с разложением Крамерса — Мойала.
Пространственно-распределенные системы 377
Определим условные моменты:
M(r) = J d38 8&{r, 8) (8.2.28)
D(r) = {\ d'8 88<7{г, 8) (8.2.29)
и будем считать, что высшие условные моменты исчезают в некото-
некотором подходящем пределе, подобном тем пределам, что использова-
использовались в разложении Крамерса — Мойала.
Условие детального баланса (8.2.27) дает
Щг) = ^38 8Щг + 8, ~д)
= J d38 д[Щг, ~8) + S-F&(r, -8) + ...] (8.2.30)
= -М(г) + 2p-D(r)+ ... .
Следовательно,
М(г) = F-D(r). (8.2.31)
В случае более слабого требования (8.2.24) необходимо выполнение
более слабого условия
V ¦ [М(г) - V ¦ Р(г)] = 0 . (8.2.32)
Теперь мы можем записать в континуальной форме вектор сноса
А,(х) — -\d4 Щг, 8)р(г + 8)
= - M{r)-Vp(r) - D(r): VVp(r). (8.2.33)
Если условие детального баланса выполнено, то, используя (8.2.31),
мы можем представить это равенство в виде
-Mr)].
(8.2.34)
Общий вид выражения в отсутствие детального баланса можно полу-
получить, полагая
J(r) = M(r) - V ¦ D(r) ¦ (8.2.35)
Из равенства (8.2.32) следует, что
р-/(г)=0. (8-2.36)
Таким образом, можно записать
r-E(r), (8.2.37)
378 I ,iaua 8
где E(r) — антисимметричный тензор. Подставляя (8.2.37) в (8.2.35),
находим
М(г) = V-#(/•), (8.2.38)
где #(r) = D(r) + Е(г) есть несимметричный тензор. Если (8.2.38)
подставить в (8.2.33) и учесть антисимметричность тензора Е = Н —
— D, благодаря чему Е- Wp = 0, то будем иметь
А,(х) F • [Н(г) ¦ Fp(r)]. (8.2.39)
Это означает, что при детерминистическом описании справедливо
уравнение
д,р(г, t) =
, 0J,
(8.2.40)
причем тензор Н(г) симметричен, если выполняется условие детально-
детального баланса.
Займемся теперь флуктуационным членом, определяемым выраже-
выражением (8.2.14). Для расчета В1т (х) рассмотрим сначала предел выраже-
выражения
(8.2.41)
в котором фт — произвольная функция. После довольно утомитель-
утомительных вычислений, подобных предыдущим, мы окончательно находим
В!тфт - -lv ¦ [D(r)p(r) ¦ 7ф{г)}
(8.2.42)
так что
B(r, r') = 2VV. Жг)р{Ф(г - г')] -
(8.2.43)
Феноменологическая теория разд. 8.1 имеет теперь рациональную ос-
основу, поскольку равенство (8.2.43) следует как раз из равенства
(8.2.44)
(8.2.45)
(8.2.46)
j(r, t) = -H(r)Vp{r, t)
где
<«r, iK(r', 0) = 25(/ -
и, следовательно,
d,p(r, t) = V-H{r)-Vp^r
-t(r,t),
- t')D(r)b(r -
r')P(r)
Пространственно-распределенные системы 379
Это отвечает теории неоднородной анизотропной диффузии в от-
отсутствие детального баланса. Обычно делается упрощающее предпо-
предположение
D(r) = D\ , (8.2.47)
которое дает более известное уравнение. Заметим, что, согласно
(8.2.45), флуктуации различных компонент потока в общем случае
коррелированы, если только тензор D не является диагональным.
Сравнение с флуктуационно-диссипационной аргументацией. Ре-
Результат, почти подобный (8.2.43), можно получить с помощью флук-
туационно-диссипационного соотношения, если рассматривать стацио-
стационарное состояние, в котором флуктуации, как известно, пуассонов-
ские. В этом случае справедливо равенство
<х„ xj) = {XiMtJ, (8.2.48)
соответствующее формуле
g(r, г') = (р{г), р{г'У) = Ъ{г - г'Кр(г)> ¦
Поскольку мы пользуемся линейной теорией, можно применить со-
соотношение D.4.51) разд. 4.4.6, в которое надо подставить матрицы А
и А7 вида
A*^-V'-H(r')-V' ¦ (8.2.49)
Поэтому
В(г, /•') — ВВ* (8.2.50)
= Аа + а А* - [- V • Я(г) ¦ V - V • Н{г') ¦ F']g(r, r').
Заметим, что в стационарном состоянии среднее <.р(ф = <р> не за-
зависит от г. Таким образом,
В(г, г') = [-F-H(r)-F(pM(r - г') - F'-H(r')-F\p)b(r - г')]
= VV: {[#(/•) + НтШрЖ' ~ г')} (8.2.51)
= 2FF:[Z>(r)</>>5(r-г')]-
Однако этот результат не является столь общим, как (8.2.43), по-
поскольку он справедлив только для стационарного состояния. При
этом даже для стационарного состояния в (8.2.51) входит <р>, а не
р(г), как в (8.2.43). Однако формализм уравнения Фоккера — Планка
справедлив только в пределе ячеек большого размера, в котором
флуктуации малы, и в этом пределе результаты (8.2.51) и (8.2.43) со-
согласуются между собой.
380 Глава 8
8.2.3. СОВМЕСТНОЕ РАССМОТРЕНИЕ ХИМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ
И ДИФФУЗИИ
Включим в рассмотрение химические реакции, полагая, что молекулы
вступают в реакцию внутри каждой ячейки в соответствии с управля-
управляющим уравнением, подобным уравнениям гл. 7. Имея в виду много-
многокомпонентные химические реакции, обозначим
Х=(хих2,...), (8.2.52)
где xt — вектор, компоненты которого xt a представляют собой число
молекул веществ Ха в г-й ячейке. Таким образом, мы можем записать
управляющее уравнение
д,Р(Х, О = д,Р{ дифф. ) + 2 (I] t+A(x, - rA)P(xt - rA, X)
i A
+ t~A{xt + rA)P{xt + r\ X) - [?;(*,) + tA(x,)\P(X)} (8.2.53)
диффузионная часть которого имеет форму (8.2.3) с добавлением сум-
суммирования по различным компонентам.
Разложение Крамерса — Мойала приводит к уравнению Фокке-
ра — Планка с обычными выражениями для коэффициентов сноса и
диффузии, определяемыми формулами G.5.32).
Мы можем записать эквивалентные стохастические дифференци-
дифференциальные уравнения в частных производных, используя пространствен-
пространственно-временной винеровский процесс W(r, t). Считая тензор диффузии
изотропным и постоянным
P(r) = D\ , (8.2.54)
имеем
dp. = [DaF2Pa + 2 гЦ.к+л П Р?" ~ к-А Д p?°)\dt + dWa(r, t), (8.2.55)
А а а
где
dlVa(r, t)dWb{r', t) = {2Sa,by'-F[DaPa(rM(r - г')]
+ 5(г - г') 2 ф1(кА П р?° + кАП pf")} dt. (8.2.56)
А а а
Применимость уравнения Ланжевена связана с разложением по обрат-
обратному размеру системы. Уравнения (8.2.55, 56) зависят от характерно-
характерного масштаба скоростей химических реакций fi, согласно формуле
G.5.29) разд. 7.5.3. Единственно возможная интерпретация параметра
п в данном случае: 0 = Р — объем ячейки. Заметим, однако, что в то
же время диффузионная часть имеет масштаб /, поскольку произведе-
произведение l2d должно оставаться равным коэффициенту диффузии, а члены,
связанные с химической реакцией, имеют масштаб /3. Это означает,
Пространственно-распределенные системы 381
что, по мере того как возрастает объем ячейки, вклад диффузионного
члена уменьшается, но остается больше вклада поправочных членов
за счет химических реакций. Последний вклад меньше диффузионного
в (/3)" раз, где п — целое число.
Точный метод сравнения вкладов диффузии и химических реакций
будет рассмотрен в дальнейшем.
ПРИМЕР: Х{ <=> 2Х2. Используя метод разд. 7.5 для этой химической
реакции, находим
П] ГО] г-1]
LOj L2] [ 2j (8.2.57)
k+ = /с, = KxQ~l+\ к- =кг = KlQ-2+l .
Подставляя эти выражения в (8.2.55), имеем
dPl(r) = (D^p, - KiPl + KlP\)dt + dWx(r, t) (8.2.58)
dp2(r) = (D2V2p2 + 2kxPv - 2K2p\)dt + dW2{r, t)
r', t) =
KlPll
К2рг\ _
(8.
dt.
2.59)
2F-F'[DlPl8(r~r')] + 5(r-r')[/c,/?i -г к2р22], -26(r-r
-2d(r-r')[KlPl + к2рЦ 2F-F'[D2p28(r-r')] + 45(r-
Это уравнение справедливо только в рамках разложения по обратно-
обратному размеру системы, т. е. по обратному размеру ячейки, причем кон-
континуальный предел следует рассматривать только как форму записи.
На самом деле мы имеем ячеечную модель, но работаем в масшта-
масштабах, намного превышающих размер ячейки, хотя сама по себе ячейка
является достаточно большой и вмещает много молекул.
На самом деле уравнение рассмотренного вида справедливо только
в виде уравнения, линеаризованного вблизи детерминированного со-
состояния. Уравнения такого типа были получены Кайзером [8.2]. Пуас-
соновское представление имеет в этом отношении то преимущество,
что дает уравнения, в точности эквивалентные управляющему уравне-
уравнению.
8.2.4. МЕТОД ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПУАССОНА
Для реакции с не более чем бимолекулярными стадиями мы получаем
из G.7.9) (используя обозначения (8.2.2)) довольно простое уравнение
Фоккера — Планка, поскольку в представлении Пуассона пространст-
пространственная диффузия не дает вклада в диффузионную матрицу. Обобще-
382 Глава 8
ние на пространственно-неоднородный случай получим, переходя к пе-
переменной плотности
flair) = аа{г)Ц\ (8.2.60)
для которой находим
<й/«(г) = [DaV2Ur) + S '.'to П гы' - к~А Д Л + <^(»% 0 (8.2.61)
</W.(r, 0^4(Л О = Л5(г-г') ?(*5 П ги" - к* П ^
X (Ma"M^ - NiNf - <5a4r0") . (8.2.62)
Эти уравнения подобны уравнениям (8.2.55, 56). Они упрощаются, ес-
если их записать в явном виде. Например, рассматривая снова реакцию
Xt *5 2Х2, получаем
<Й7,(г) = (Г>,Р^, - «r,vi + K2r;l)dt + rfW,(r, 0 (8.2.63)
<й/2(г) = (ZJF2^2 + 2кг,^, - 2K2iil)dt + rf^2(r, /) (8.2.64)
dW{r, t)dfVT(r', 0 = [ 1 (кг!171 - к2»/2)8(»- - О^ • (8.2.65)
Простота уравнений (8.2.63 — 65) при сравнении с (8.2.57, 58) порази-
поразительна. Особенно стоит отметить, что эти уравнения (в континуаль-
континуальной записи) в точности эквивалентны управляющему уравнению).
8.3. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ И ВРЕМЕННЫЕ
КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ СТРУКТУРЫ
В этом разделе мы рассмотрим различные аспекты пространствен-
пространственных, временных и пространственно-временных корреляций в линей-
линейных системах уравнений, являющихся, конечно, точно решаемыми.
Наиболее важными представляются факториальные корреляционные
функции, которые выражаются через факториальные моменты так
же, как обыкновенные корреляционные функции выражаются через
моменты. В приводимых ниже примерах мы увидим, что возникаю-
возникающие уравнения выглядят более естественно, будучи записаны через
факториальные моменты.
8.3.1. РЕАКЦИЯ А1 ^ Y
Предположим, что диффузия имеет однородный и изотропный харак-
характер, а коэффициенты диффузии компонент X и Y одинаковы. Тогда,
поскольку уравнения реакции с диффузией линейны, мы находим для
Пространственно-распределенные системы 383
концентрационных переменных rj и ц (соответствующих компонентам
X и Y) следующие ланжевеновские уравнения в пуассоновском пред-
представлении без случайного источника:
дф, О = DV2r) - krf + кгц
д,ц(г, t) = DV2n + кхП - кгц .
(8.3.1)
а) Пространственные корреляционные функции
Заметим теперь, что
Ш ф = <а,(г, 0>
(ц{г, /)> = (Ру(г, 0> (8.3.2)
<7(r, t)rj(r\ ф = </7x(r, t)px{r\ ф - S(r - r')(Px{r, ф = g(r, г', Г)
<rfr, t)n{r', ф = <л(г, t)Py(r', 0> =/(г, /, О
', 0> = О»,(г, t)Px{r', ф - 5(г - r'X/7,(r, /)> = A(r, i-', 0.
Все эти соотношения представляют собой континуальную форму за-
записи того факта, что моменты в представлении Пуассона совпадают с
факториальными моментами для обычных переменных.
Уравнения для средних концентраций, очевидно, в точности совпа-
совпадают с уравнениями (8.3.1). В однородном случае мы можем считать,
что
0> =
.(8.3.3)
ft(r, r', t) = A(r - г', г)
Для моментов вида <г?(л 0ч@, 0) и других находим следующие урав-
уравнения движения:
at
»-, 0 - 2kig(r, t) + 2k2f(r, t)
Ц^ = 2DV2f{r, t) - (к, + kz)f(r, t) + *,A(r, t) + k2g(r, t) (8.3.4)
%^= 2DV2h{r, t) - 2k2h(r, t) + 2kJ(r, t).
Стационарное решение этих уравнений имеет вид
g{r) = №, fir) = Zkfc, h(r) = ?k\,
(8.3.5)
где ? — произвольный параметр. Соответственно стационарные реше-
решения уравнений для средних значений таковы:
<*(/¦,)>.= 1кг, <Xr,)> = ?.ki , (8.3.6)
где X — другой произвольный параметр. Если положить ? = 0, мы
вернемся к пуассоновскому случаю, в котором
<Рх(г), рАг'У) = (рх(Ф 6(г - г')
</>,W. МО> = </>»> 8(г - г')
<А,(»0. />,0')> = 0 .
(8.3.7)
(Выбирая другие значения параметра ?, мы получим множество реше-
решений, отвечающих различным распределениям вероятностей полного
числа молекул в системе.)
Так же легко можно получить решения, зависящие от времени, для
произвольных начальных условий. В случае когда в начальный мо-
момент решения уравнений (8.3.4) однородны, некоррелированны и име-
имеют пуассоновский вид, уравнения (8.3.7) удовлетворяются и их можно
выбрать в качестве начальных условий. Тогда функции/, g и h в на-
начальный момент равны нулю и с течением времени меняться не бу-
будут. Таким образом, некоррелированная пуассоновская форма сохра-
сохраняется во времени, как это было уже ранее выведено в разд. 7.76.
При рассмотрении релаксации к пуассоновскому распределению
лучше всего задаться начальной корреляционной функцией специаль-
специального вида. Например, непуассоновская система, в которой корреляция
между переменными в начальный момент времени отсутствует, мо-
может быть представлена начальными условиями
g(r, 0) = « 5(г), /(г, 0) = р 5(r), hir, 0) = у 5(г).
(8.3.8)
При этом решения уравнения (8.3.4), зависящие от времени, будут
иметь вид
gv, t)
Ar,t)
h(r, t)
где
e, = (a + 2P + y)/(kl + k2J
?2 ~ [k2(P + y) — ?i(a +
?3 - [k\a + k\y ~
(k2 —
(8.3.9)
, + k2y
k2J.
(8.3.10)
Пространственно-распределенные системы 385
Замечания
1) Выражения ?,, s2 иг, соответствуют отклонениям от некоррелиро-
некоррелированного пуассоновского распределения величин < (xt + v,), (x, + ^)>,
<(х; + yt), (kxXj - k2yj)) и {(kxxt — k2yi), (kxXj — к2у^), являющихся
по существу корреляционными функциями флуктуации плотности,
флуктуации плотности и скорости реакции, а также флуктуации ско-
скорости реакции. Мы замечаем характерный диффузионный множитель
перед комбинацией вышеупомянутых членов с временной зависимос-
зависимостью, определяемой константами скоростей химических реакций.
2) Время, требуемое для того, чтобы отклонение от некоррелирован-
некоррелированной формы (8.3.8) стало пренебрежимо малым по сравнению с пуассо-
новским распределением, зависит, конечно, от величины начального
отклонения. Считая, однако, что все величины а, /3, 7><*/> и <>",> име-
имеют одинаковый порядок малости, можно сделать следующую грубую
оценку. Рассмотрим для этого малую сферическую область радиуса R,
объем которой намного больше объема наших основных ячеек. Мы
находим, что в этой малой области объема V
D {x[V, 0]} =$dir$d V<^(r, 0), Px(r', 0)> , т. е.
V V
D {x[V, 0]} = (x[V, 0]> + aV, (8.3.11)
и аналогично
D {y[V,0]} = (y[V, 0]> +yV
<x[V, 0], y[V, 0]> =/?K.
Через время t > R2/4D эти величины будут приближенно равны
D {x[V, t]} = (x[V, ф
D [y[V, t]) ~ (y[V, /]>
X [k^s, + (k2 -
Итак, диффузия уменьшает полное отклонение от пуассоновского не-
некоррелированного поведения на величину порядка /?V(DfK/2. Однако
386 Глава 8
заметим, что если в начальный момент времени мы имеем непуассо-
новское распределение вероятностей, в котором корреляция между ве-
величинами х,у отсутствует (/3 = 0), то затем эта корреляция появляет-
появляется и может стать довольно существенной при достаточно больших
скоростях химических реакций.
б) Пространственно-временные корреляционные функции
Поскольку уравнения движения, рассматриваемые нами, линейны, мы
можем использовать линейную теорию, развитую в разд. 3.7.4. Вве-
Введем стационарную двумерную корреляционную матрицу
G(r, О =
~<Р*(г, О, РЛО, 0», (ру(г, t), рх@, 0)У
.<рМ О, ру(о, о». (Ру(г, /), Ру(о, о».
Тогда уравнению C.7.63) будет соответствовать уравнение
DF2 - к, к2
d,G(r, t) =
DV2 - к2
G(r, О .
(8.3.13)
(8.3.14)
Решение этого уравнения можно найти с помощью преобразования
Фурье по пространственным переменным. При этом получается диф-
дифференциальное матричное уравнение первого порядка с граничными
условиями при t = 0 (8.3.7), которое решается стандартными метода-
методами. В результате имеем
(8.3.15)
_к,кг{\ - e-(*i+fc2)') k\ + к,кге
Вводя новые переменные
"(г, О = рЛг, О + р,(г, /)
с(г- О = \к\Рх(г, t) — к2ру(г, t)]/(kt + А:2) ,
можно представить решение в виде
<и(г, О, с@, 0)Х = (c(r, t), «@, 0)Х = 0
(8
(8
(8
(8
(8
.3.16)
.3.17)
.3.18)
.3.19)
.3.20)
Пространственно-распределенные системы 387
Переменные п и с соответствуют полной плотности и скорости хими-
химической реакции в единице объема «c>s = 0). Таким образом, мы ви-
видим, что корреляционная функция флуктуации плотности, определяе-
определяемая выражением (8.3.18), та же, что и в случае чистой диффузии. Но
выражение (8.3.20) дает корреляционную функцию флуктуации скоро-
скорости химической реакции в единице объема, а выражение (8.3.19) пока-
показывает, что они независимы. Во все эти корреляционные функции вхо-
входит характерный диффузионный множитель. Простота полученного
результата обусловлена равенством коэффициентов диффузии различ-
различных компонент.
8.3.2. РЕАКЦИЯ В + X * С, А + X - IX
к3 кг
Эта реакция уже рассматривалась в разд. 7.6.4а, но без учета про-
пространственной зависимости. Из формул (8.2.60 — 62), G.6.55, 56) мы
находим уравнение для концентрационной переменной rj (r, t) в пред-
представлении Пуассона
dt](r, ?) = [DV2fj(r, t) + (K2- AT,Mr, 0 + K3)dt + dW(r, t) (8.3.21)
dW{r, t)dW(r', t) = Idt 8(r - г')КгП{г, t) , (8.3.22)
где
^K3P
(8.3.23)
Лзс =
k2A =
at2.
Поскольку эта система уравнений линейна, она может быть решена
точно, но из-за того, что химический продукт X образуется в ходе
второй реакции со скоростью, пропорциональной числу молекул X,
мы все-таки получаем в пуассоновском представлении флуктуацион-
ный член.
[В методе Крамерса — Мойала мы обычно получаем для р (г, t)
уравнение того же вида, что и (8.3.21), но dW(r, t) удовлетворяет со-
соотношению
dW(r, t) dW(r\ t) = dt{2V-V[DP(r)b(r-r')]
+ 5(r-r')p:2 + KM', 0 + *s]}] ¦ (8-3-24)
388 Глава 8
а) Пространственные корреляционные функции
Положим теперь
g(r, Г', t) = </>(!-, О, Р(Г', Ф - 5(г - Г')</>(Г, /)>
= (п(г, О, Ф>, ф = <^(г, О»/(г'. О> - <»/(г, ОХ'/Сг', О>. (8.3.25)
Мы рассмотрим стационарный однородный случай, в котором, оче-
очевидно,
Ш ОХ = </>(*% /)>. = <р>. ¦ (8.3.26)
Тогда
dg(r, r', t) = d(n(r, tMr', /)>
= <rfr, t)dti{r', ф + (dr,(r, t)r,(r' ф + (dr,(r, t)dr,(r', /)>> (8.3.27)
а после применения правил Ито и формул (8.3.21, 22) получим
= [DF2 + DV'1 + 2(К2 - КЖп(г, tW, 0>
+ 2K3(p)sdt + 2K28(r - r')(p>,dt. (8.3.28)
Заметим, что
</>>s = К,ЦК, - Кг) (8.3.29)
и что в пространственно-однородном случае функция g (r, r', t) может
быть функцией только от г — г', которую мы обозначим через g(r, t).
Используя формулы (8.3.25, 26), получаем для нее уравнение
d,g(r, t) = 2[DF* + (К2 - КЩг, О + 2К2(р)Жг) ¦ (8.3.30)
Стационарное решение этого уравнения лучше всего искать в виде ин-
интеграла Фурье
g,(r) = !d3qe-*'g.(9). (8-3-31)
Используя также представление
5(г) = Bя)-3 J d3q е-'*" , (8.3.32)
получаем
^-^yV + k-iE;- (О-33)
Совершая обратное преобразование Фурье, находим
Пространственно-распределенные системы 389
Следовательно,
(p(r, t), p(r', /)>s - 5(r - r'
Kz<P>
4nD\r — -'i W"F I '' ' 'I n II' (8-3.35)
Замечания
1) Отметим наличие двух различных слагаемых в (8.3.35): дельтаоб-
разной части, отвечающей пуассоновским флуктуациям, независимым
в различных точках пространства, и добавочного члена с характерной
корреляционной длиной:
/с = VdJU<7^~k7) • (8.3.36)
2) Приближение к равновесию: в случае когда К2 — 0 наша система
сводится к простой обратимой реакции В + X ^ С, при этом корре-
корреляция (8.3.34) исчезает. Однако корреляционная длина в нуль не обра-
обращается.
3) Локальные и глобальные флуктуации: проблема, затронутая перво-
первоначально Николисом [8.3], состоит в следующем. Рассмотрим полное
число молекул в объеме V:
x[V,t] = \d'r p(r,t). (8.3.37)
V
Нам хотелось бы знать, чему равна дисперсия этой величины. Очевид-
Очевидно, имеем
D {x(V))s --\d'r\dV{p{r, t),p(r', r)>. , (8.3.38)
V V
или, учитывая (8.3.35),
= <х(У)\ + '^fld'r J d'r'\r - /•'[-> ехр(- |г - г'\/1с) (8.3.39)
Можно вычислить два предела этого выражения. Если V > /3, то, за-
замечая, что g(f) — 0 при г — оо, мы интегрируем стационарный вари-
вариант уравнения (8.3.30), опуская поверхностные члены, возникающие
вследствие интегрирования оператора Лапласа по частям, и получаем
О = 2(К2 - К,) j d3r j d3r'g(r - г') + 2K2(p)s j d3r'. (8.3.40)
V V V
Таким образом,
Я d>r dV g(r - r') ~ K^p , (8.3.41)
390 Глава 8
поэтому
Л, —
(8-3.42)
Для получения предельного выражения в случае малого объема нужно
действовать более тонко. Однако для сферического объема радиуса
R <4 /с мы можем пренебречь экспонентой в выражении (8.3.39) и по-
получить
\\ d3rd3r'\r - г',! = J dV ]акгЧг d(cose)(r2 + г'2 - 2гг'со%ву1п
R
l~dr{\r + r'\ - \r-r'\) (8.3.43)
а г
так что
D{x(V)}, ~ (x(V))s (l + 2~^ (v = j kR3 < /?). (8.3.44)
Таким образом, мы видим, что флуктуации в малом объеме пуассо-
новские. Однако в большом объеме флуктуации непуассоновские и их
дисперсия в точности равна выражению G.6.72), следующему из
управляющего уравнения для той же реакции.
Для произвольного сферического объема можно, используя мето-
методы преобразования Фурье, сделать непосредственную оценку диспер-
дисперсии и получить
(8.3.45)
что дает более точную асимптотическую формулу для большого объе-
объема
(К Ч К I \
к^кГ2ЩГ^1 (V>llh (8J-46)
К этому результату можно прийти более простым способом. Заме-
Заметим, что корреляционная функция (p(r, t), p(r', t)) в представлении
Фурье складывается из фурье-образов функций gs(r) и <5(r)<p>s, что да-
дает просто
Пространственно-распределенные системы 391
Это означает, что для малых значений q, т. е. для большой длины
волны, выражение (8.3.47) приближенно равно
</?MBтг.)-3 к J к~ (8.3.48)
и является фурье-образом от выражения
<Р>. v Kl v b(r - г'), (8.3.49)
которое в точности соответствует дисперсии, найденной из глобаль-
глобального управляющего уравнения.
Для больших значений д, т. е. для малых длин волн, находим
<p}sBn)-\ (8.3.50)
что соответствует выражению
(рУМг-г1), (8.3.51)
т. е. пуассоновским флуктуациям. С физической точки зрения это раз-
различие возникает из-за различного масштаба диффузионной и реакци-
реакционной частей управляющего уравнения, как это было отмечено в
разд. 8.2.3. Так, в малом объеме доминирует диффузия, поскольку
флуктуации, возникающие из-за диффузии, накапливаются вследствие
постоянных перескоков молекул туда и обратно через границы объема
V. Это поверхностный эффект; для малого объема он преобладает
над объемным эффектом, обусловленным флуктуациями от химиче-
химических реакций. Для больших объемов, напротив, поверхностный эф-
эффект пренебрежимо мал и значительным является только объемный
эффект.
б) Пространственно-временные корреляционные функции
Поскольку рассматриваемая система линейна, мы можем, как и в
разд. 8.3.1, использовать метод разд. 3.7.4. Введем функцию
G(r, 0 = (р(г, 0, р@, 0»s . (8.3.52)
Тогда уравнению C.7.63) соответствует линейное уравнение
d,G(r, t) = DF2G(r, t) - {К, - K2)G(r, t) (8.3.53)
с начальным условием
G(r, 0) = (p(r), p@)}s, (8.3.54)
392 Глава 8
определяемым формулой (8.3.35). Представляя функцию G(r, t) в виде
интеграла Фурье
G(r, t) = f d3q е-*" 6(q, t), (8.3.55)
вместо (8.3.53) получим
BtG(q, t) = -(Dq2 + K, - K2)G(q, t) . (8.3.56)
Используя представление Фурье (8.3.47) начального условия (8.3.54),
запишем решение этого уравнения в виде
G{q, t) = BтгГ ВдТ+~К^1кг exPb W + *, - K^t]. (8.3.57)
При желании можно при помощи стандартных методов получить
оригинал этого фурье-изображения, хотя фактически предпочтитель-
предпочтительнее иметь дело с преобразованием Фурье от корреляционной функции.
Это диктуется как практическими соображениями, так и удобством
вычислений.
Так, в пространственно-временном представлении имеем
си ,л = <р
[exp(-r//J] erfc
L 4 2(Dty
[exp(r//c)] erfc j ^~ + =—yy-J . (8.3.58)
Для малых t находим
<*•" - « -p Ш t
в то время как для больших t
(8.3.60)
v' ' I DnDtK12
e> Поведение в точке неустойчивости
При A'j — К2 реакция приближается к точке неустойчивости, причем,
когда Ki = K2, стационарных решений не существует. Мы видим, что
одновременно:
1) корреляционная длина /с — оо (8.3.36);
2) дисперсия флуктуации в объеме V > 1Ъ становится бесконечной
Пространственно-распределенные системы 393
[см. (8.3.42)]. Однако, когда /с — оо при конечных V, достигается точ-
точка, в которой ll ~ V, и равенство (8.3.42) перестает быть справедли-
справедливым. Когда, наконец, /' > V, объем делается относительно малым и
флуктуации внутри него становятся пуассоновскими;
3) в качестве времени корреляции лучше всего взять
гс = /?/Д, (8.3.61)
поскольку это выражение является коэффициентом при t в экспоненте,
определяющей поведение пространственно-временной корреляционной
функции (8.3.60) на больших временах (в пренебрежении диффузион-
диффузионной частью). Следовательно, вблизи точки неустойчивости также
гс — оо. Таким образом, мы имеем медленные коррелированные на
больших расстояниях флуктуации. Такое поведение характерно и для
многих других подобных ситуаций.
8.3.3. НЕЛИНЕЙНАЯ МОДЕЛЬ С ФАЗОВЫМ ПЕРЕХОДОМ ВТОРОГО РОДА
Рассмотрим реакции
кг
к}
(8.3.62)
обсуждавшиеся ранее в разд. 7.7в, 7.7.3а, 7.7.4в. Эта модель была
впервые введена Шлёглем [8.4] и после этого исследовалась во многих
работах.
Детерминистическое уравнение для этой модели имеет вид
д,р{г, О = DF2p + кг + (к2 - кх)р - клр\ (8.3.63)
а его стационарное решение дается выражением
р{г) = Р, = [к2 - к, + У(лг2 - /с,J + 4к4к3]/2к4 . (8.3.64)
(Все к; определены в G.5.29) при П = /3.) Для малых значений к3 ста-
стационарное решение обнаруживает поведение, характерное для фазово-
фазового перехода, как это показано на рис. 8.1.
Уравнению (8.3.63) соответствует стохастическое дифференциаль-
дифференциальное уравнение, записанное в представлении Пуассона:
drj(r, t) = [(&ri)(r, t) + к3 + (к2 - к,)г]{г, t) - к4г}2(г, t)]dt
(8.3.65)
+ УТМл ') - к<п2(г, t)Y'4W(r, о,
394 Глава 8
Кг = Кf /<2~*
Рис. 8.1. График зависимости <х> от к для модели фазового перехода второго рода.
где
dW(r, t)dW(r', t) = 5(г - r')dt. (8.3.66)
В этом уравнении мы не перешли к континуальному пределу, обсуж-
обсуждавшемуся в разд. 8.2.2, но сохранили возможность нелокальности
диффузии, т. е.
{Шг]){г, О = - J @( | г - г' | )rj(r', t)d3r\ (8.3.67)
хотя ранее рассматривался только случай однородной и изотропной
диффузии.
В рассматриваемой модели отсутствует малый параметр при флук-
туационном члене, и мы остаемся без обычного параметра разложе-
разложения. Поэтому вводим формально параметр X в уравнение (8.3.65):
drj(r, t) = [(&rj)(r, t) -\- к3 + (к2 — Kj)r](r, t) — к4гJ(г, t)]dt
+ AvT[K27(r, t) - клг)\г, t)YndW(r, t) (8.3.68)
Затем разлагаем rj(r, t) по степеням X:
Ф, 0 = Vo(r, t) + ;.77,(r, t) + A2tj2(r, t) + ... , Г8.3.69)
и полагаем в конце вычислений X равным единице. Однако, вследствие
того что все интегралы Фурье обрезаются на масштабе 1~1, это раз-
разложение будет все еще фактически разложением по параметру (/3)~'.
Подставляя (8.3.69) в (8.3.65), находим
drjo(r, t)
dt
г, t)
(к2 - Ki)rH(r, t) -
, t)
(8.3.70)
t) =
0 + [k2 - *
oir, 0 - Ktf
г, t)}dt
r, t)Y'4W(r, t)
(8.3.71)
Пространственно-распределенные системы 395
r, t) = {(Mtj2)(r, t) + [Кг - к, - 2/c4//0(r, t)]rj2(r, t) - KAri\{r, t)}dt
r, t) - wlir, O]
Уравнение (8.3.70) имеет однородное стационарное решение (8.3.64),
так что
кг - кх - 2к4по = к = [(/с, - к2J + 4/с4/с3]1/2 . (8.3.73)
Подставляя это равенство в (8.3.70 — 72) и выполняя преобразование
Фурье, получаем
tlfa t) = B/cI?7o) $[ехр{-[Щд2) + K](t - t')}]dW{q, t')
0
где
(8.3.
i.O
W(q}
(8.3,
74)
„0
.75)
,t) = \JA jexp(-iq-r)dW(r,t)d>r (8.3.76)
, 0 = (y-) Jexp(-iff-r)^,(f, /)rf3r (8.3.77)
и т.д. ^(<?2) является преобразованием Фурье от 3(\г - г'\). В
(8.3.74, 75) мы опустили тривиальные члены, соответствующие на-
начальным условиям.
Средняя концентрация и корреляционная функция в низшем поряд-
порядке определяются в стационарном случае выражениями
<р(г, 0> = Щ (8.3.78)
(p(r, t)p(r', ф - (р(г, ф(р(г', г)> = rjo8(r - г')
+ (fliir, 1)щ(г\ 0> • (8.3.79)
Из (8.3.74) следует, что
<Ш г)Ш, Ф = К{щ^Х^11 ~ ехРЬ2[^(?2) + к](}]. (8.3.80)
Таким образом, вклад низшего порядка в корреляционную функцию
имеет вид
<р(г)р(г') - (р(г))(р(г')) = /705(г + г')
396 Глава 8
Если положить
= DF2>j(r), (8.3.82)
то
ЩЧ2) = Dq1 . (8.3.83)
Равенство (8.3.81) имеет в точности тот же вид, что и полученное ра-
ранее равенство (8.3.35), а именно
г') + 4^)^-/1 ехр(~|г~Г'|Ю' (8'184)
где
/е = (DIk) . (8.3.85)
Из этого результата следуют все ранее сделанные выводы, касаю-
касающиеся локальных и глобальных флуктуации, пуассоновских и непуас-
соновских флуктуации, поскольку все эти выводы связаны с формой
выражения (8.3.84), а не выбором особых значений параметров.
Заметим, что если к, = к2, то также к — 0 и, следовательно,
/с -~ оо при к3 — 0. Таким образом, в этом примере имеют место те
же явления корреляции на больших расстояниях; что и в предыдущем
примере.
Поправки высшего порядка и проблемы расходимости. Только ре-
результаты низшего порядка можно одинаково легко получить с по-
помощью метода разложения по обратному размеру системы, метода
Крамерса — Мойала или путем предположений о факторизации в
уравнениях для корреляционных функций.
Поправкой следующего порядка к средней концентрации является
<т72(/\ ?))• Из (8.3.75) непосредственно следует
<ЫЧ, 0> = - J <*3fi idt'exp{-W(q2) + ф - t')}
о
X ЫЧ - «и 1'ЫЧи ?')> , (8.3.86)
откуда в стационарном случае имеем
<ЫЧ)> = -кмЛч) I -Щр)+-К ¦ (8.3.87)
Выбирая 3 в виде (8.3.83), приходим к выражению
^1? BкУ1г J Dq2 + к' (8.3.88)
Пространственно-распределенные системы 397
интеграл в котором расходится. Эта сложная ситуация обусловлена
выбором континуальной формы, ибо если сохранить на всех стадиях
дискретные ячейки, то следует:
1) заменить интеграл \dlq суммой по всем допустимым значениям
<7, которые меньше 1//;
2) считать &(q2) некоторой тригонометрической функцией от q и /.
При dy = d, когда ячейки с номерами / и j являются соседними, и
dy — О в противном случае, функция Жд2) имеет вид
т г (у1.
+ sm 2 + Sin \ 2
В этом представлении никаких расходимостей не возникает, по-
поскольку сумма по q является конечной, причем
при l\q\ < 1.
Нелокальные реакции. Расходимости, однако, можно избежать и при
сохранении континуальной формы, если в уравнениях видоизменить
член вида rj2(r). Этот член определяется картиной столкновений в хи-
химической реакции и является нелокальным по ряду причин:
1) молекулы обладают конечным размером, хотя строго локаль-
локальная форма игнорирует это обстоятельство;
2) постоянная времени, определяющая крупномасштабную времен-
временную шкалу, в которой система является марковской, такова, что мо-
молекулы за это время будут перемещаться на определенное расстояние.
Продукты реакции, являющиеся обычно результатом столкновений в
одних местах, образуются уже в других местах в более позднее время.
Делая замену
фJ — J d/WV m(r -r',r- r")/7(r')//(r"), (8.3.89)
вместо выражения (8.3.88) находим
kvc,>/o r d3g m(q, -д) ,„ , 9(у.
где т (q, q') — фурье-образ функции т (г, г'). Если функция т доста-
достаточно нелокальная, то при больших значениях q функция т (q, — q)
будет достаточно быстро спадать и выражение для <tj2) будет конеч-
конечным.
398 Глава 8
8.4. СВЯЗЬ МЕЖДУ ЛОКАЛЬНЫМ И ГЛОБАЛЬНЫМ
ОПИСАНИЯМИ
В разд. 8.3.2 мы видели, что дисперсия флуктуации в элементе объема
V является пуассоновской при малых V и приближается к дисперсии,
получаемой из управляющего уравнения без диффузии для соответст-
соответствующей реакции, при достаточно больших значениях V. Это происхо-
происходит из-за того, что флуктуации, возникающие в химических реакциях,
складываются друг с другом, в то время как диффузия, обусловлива-
обусловливающая простое перемещение молекул из одного места в другое, эффек-
эффективно влияет на флуктуации в объеме только через его поверхность.
Имеется точная теорема, которая гласит, что при достаточно
большой скорости диффузии молекулы в объеме V будут быстро пере-
перемещаться и очень часто сталкиваться между собой. Следовательно,
любая молекула с равной вероятностью столкнется с любой другой
молекулой. Эти результаты совершенно строго доказаны и подробно
изложены в работе Арнольда [8.5].
Метод доказательства основан, по существу, на технике адиабати-
адиабатического исключения, развитой в гл. 5, и может быть легко перенесен
на случай пуассоновского представления.
8.4.1. ЯВНОЕ АДИАБАТИЧЕСКОЕ ИСКЛЮЧЕНИЕ НЕОДНОРОДНЫХ МОД
Для химических веществ одного сорта, диффундирующих и реагирую-
реагирующих между собой, в рамках ячеечной модели мы можем записать в
представлении Пуассона следующее уравнение Фоккера — Планка:
дР
dt ~~
к
ё 41'¦ (8А1)
Введем собственные векторы Jt (q) матрицы D^, которые удовлетворя-
удовлетворяют соотношению
2 D.Jjiq) = -Dk{q)fA4) ¦ (8.4.2)
Точный вид собственных функций, зависящий от D^, не представляет-
представляется для нас важным. В простейшем случае, когда перенос происходит
только между соседними ячейками, а отражающие границы на стен-
стенках всей системы предполагаются одномерными, имеем
fj(q) ос cos (qlj) . (8.4.3)
Пространственно-распределенные системы 399
Наличие отражающих границ, расстояние между которыми L = М
(где / — линейный размер ячейки), накладывает следующие условия:
( °1ЛГ> <844)
. (8.4.5)
Случай многих переменных требует соответствующих обобщений, но
в основном структура собственных функций и собственных значений
остается той же самой, а именно
0, (8.4.6)
k{q) > 0 (9^0)
/,@)= const = N~w\ (8Л?)
Последнее равенство соответствует однородному стационарному со-
состоянию, причем NW2 — нормировочный множитель, который опре-
определяется из условий полноты и ортогональности
(8.4.8)
^ ¦
Введем переменные
*(<?) = S/Д?)*/ • (8-4-9)
j
Переменная, которая нас интересует, пропорциональна х @), посколь-
поскольку величина
хф) = И~шХ>х, (8.4.10)
j
пропорциональна полному количеству вещества в системе. Другие пе-
переменные должны быть адиабатически исключены. В предвосхищении
подходящего выбора операторов Lx, L2, Ьг введем определения
y(q) = x(q)V~D (q Ф 0) (8.4.11)
л: = x@)/Vlt = N-1 XI х,. (8.4.12)
j
400 Глава 8
Преобразуем теперь различные члены, входящие в уравнение Фок-
кера — Планка. Первый член можно записать так:
(8.4.13)
Введем также
v, = 2/,(?)Х?)' (8.4.14)
дФО '
тогда
(8A15)
тш)Ь ( + ) (8'4Л6)
Запишем теперь эти выражения в виде разложения по убывающим
степеням параметра Dl/2. Итак, определим оператор
ВЦ = В ]
являющийся коэффициентом при D в разложении приведенных выше
выражений (члены низшего порядка в операторе L2). Далее,
(8A18)
причем усреднение проводится по стационарному распределению, за-
задаваемому оператором L,. Когда D принимает большие значения,
имеем
ЬЬ]Ш (8А19)
Пространственно-распределенные системы 401
Мы определим L2 с точностью до порядка величины VZ>; как показы-
показывают расчеты, в выражение для оператора L2 входят только члены, в
которых производная d/dy(q) стоит слева. Таким образом, проводя
адиабатическое исключение переменных y{q) при D — оо, получаем,
что выражение вида PL2Z.jL2 не дает вклада в уравнение Фоккера —
Планка, и окончательно оно примет форму
i [tx jf^}- (8A20)
Поскольку переменная х в этом уравнении является, согласно (8.4.12),
концентрацией, оно соответствует глобальному управляющему урав-
уравнению.
Заметим, что условие применимости полученного результата есть
(8.4.21)
где К представляет собой характерную скорость химической реакции.
Замечая, что ХA) = (тг/М2), перепишем это условие в виде
D > ^V- (8.4.22)
или
l~>~ (8.4.23)
Согласно определению диффузии, левая часть этого неравенства пред-
представляет собой среднеквадратичное расстояние, проходимое за харак-
характерное время химической реакции. Неравенство (8.4.23) утверждает,
что это расстояние должно быть намного больше размера системы.
Таким образом, диффузия должна привести к однородному распреде-
распределению вещества в системе.
8.5. УПРАВЛЯЮЩЕЕ УРАВНЕНИЕ В ФАЗОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Оставшаяся часть этой главы посвящена стохастическому варианту
кинетической теории и основана на работах ван Кампена [8.6] и ван
ден Брука и др. [8.7].
Рассмотрим газ, молекулы которого описываются указанием их
положений г и скоростей v. Молекулы движутся и сталкиваются друг
с другом. Когда между двумя молекулами происходит столкновение,
скорости молекул изменяются, но их положение остается неизмен-
неизменным. Однако между столкновениями частицы движутся свободно с
постоянной скоростью.
402 Глава 8
Таким образом, мы имеем два процесса — столкновение и свобод-
свободное движение. Каждый из этих процессов довольно легко описать в
отсутствие другого процесса, но их совместное рассмотрение не явля-
является тривиальным.
8.5.1. НЕЗАВИСИМОЕ ДВИЖЕНИЕ МОЛЕКУЛ К СООТВЕТСТВУЮЩИЙ
ЕМУ ПОТОК ВЕРОЯТНОСТИ
Мы предполагаем, что имеется большое количество частиц с массой
т, координатами гп и скоростями vn, которые не сталкиваются между
собой, но движутся под влиянием силы тА (г), действующей со сторо-
стороны внешнего поля. Уравнения движения имеют при этом вид
Г" = V" (8.5.1)
vn = A(rn) .
Плотность в фазовом пространстве можно определить тогда как
Кг, v,t) = -? 5(г - г„@Ж» - р.@) , (8.5.2>
п
так что
3,/(r, v, 0 = S Л-FS(r-r,@M(»-»„(/)) + 8(r-r.(t)yve-Г Л»-",(*))].
Используя свойства дельта-функции и уравнения движения (8.5.1), по-
получаем
[д, + v-v + A{r)-Vv]f(r, v, 0 = 0.
(8.5.3)
Это — детерминистическое уравнение непрерывности для плотности в
одночастичном фазовом пространстве. Если частицы распределены по
координатам и скоростям в соответствии с некоторым начальным
распределением вероятностей, то уравнение (8.5.3) не изменяется, но
функцию/(г, v, t) надо тогда интерпретировать, как результат усред-
усреднения функции (8.5.2) по начальным координатам и скоростям.
Уравнение (8.5.3) является точным. Функцию/(г, v, t) можно рас-
рассматривать как случайную переменную, временная эволюция которой
определяется этим уравнением. При этом уравнение (8.5.3) >можно
считать стохастическим дифференциальным уравнением с нулевым
шумом. Число частиц в фазовой ячейке, т. е. элементе шестимерного
фазового пространства объема Д,- с центром в точке фазового про-
пространства (r(-, Vj), очевидно, равно
Х{г„ vt) = J c!3r d'vKr, v) (8.5.4)
4
Пространственно-распределенные системы 403
8.5.2. ПОТОК КАК ПРОЦЕСС РОЖДЕНИЯ — ГИБЕЛИ
Имея в виду совместное рассмотрение потока со столкновениями,
описываемыми посредством управляющего уравнения для процессов
рождения — гибели, было бы полезно, если это возможно, предста-
представить описанный поток как процесс рождения — гибели в ячейках Д,.
Такое представление невозможно в случае ячеек произвольного разме-
размера, но в пределе исчезающе малого размера ячеек оно имеет место
для любого потока.
Для иллюстрации сказанного рассмотрим плотность p(r, t) одно-
одномерной системы, которая подчиняется уравнению
д,р(г, t) = - кдгР(г, г), (8.5.5)
Это детерминистическое уравнение — предел дискретного уравнения
для величин
x,(t) = \dr p(r, t) ~ >.p(rt, t), (8.5.6)
Д,
где Д, — интервал длины X в окрестности точки гг Уравнение (8.5.5)
является тогда пределом при X — 0 уравнения
ЭЛ(,) = JL [x^it) - Xl(t)] (8.5.7)
т. е.
Хд,р(г„ О = у [Ып - А 0 - Ып, О] • (8.5.8)
Стохастический вариант этого уравнения получим, рассматривая пере-
перескоки частиц из ячейки с номером / в ячейку с номером / + 1 с такими
вероятностями перехода в единицу времени:
t+(x) = кхД ^ 5 9^
»"(*) = 0.
Подобные перескоки рассматривались в разд. 7.5; введенные там обо-
обозначения G.5.4, 5) теперь конкретизируются так:
A — i ]
(8.5.10)
Применим разложение Крамерса — Мойала и покажем, что в пределе
X — 0 все моменты исчезают, за исключением моментов первого по-
404 Глава 8
рядка. Коэффициент сноса определяется формулой G.5.32), т. е.
(8.5.11)
к ,
а диффузионная матрица
В* ь(х) = ~ [(Sa „ - Sa , »)*„_, -г (<5а,ь - <5..»_,К)]. (8.5.12)
/.
Положим теперь х, = р(/-,) в соответствии с (8.5.6) и перейдем к пре-
пределу малых X. Имеем
Л„{Х) - j- \)фа - К 0 - ЫГа, 0] (8.5.13)
?лд,р(г,1). (8.5.14)
Подобным образом находится предельное значение матрицы Ва ь(х).
Используя также
^.»-*Я5(га-г4), (8.5.15)
получаем
Д.,*(*) — кА3дгдгЩг - r'VW] • (8.5.16)
Таким образом, в этом пределе p(r, t) удовлетворяет стохастическому
дифференциальному уравнению
dp(r, Г) = - кд,р{г. t)dt + ?.dlV(r, t), (8.5.17)
где
dW(r, t)dW(r', t) ---= тс dtdrdr,[?>(r - r')p(r, ?)] • (8.5.18)
Мы видим, что в пределе X — 0 флуктуапионный член в уравнении
(8.5.17) исчезает, приводя, как и предсказывалось, к детерминистиче-
детерминистическому результату.
Интересно знать, почему существует этот детерминистический
предел? Это не разложение по параметру размера системы в обычном
его понимании, поскольку ни числа частицу, ни вероятности перехо-
перехода t+ (х) не становятся большими в пределе малых X, однако вероят-
вероятность перехода отдельной частицы, находящейся в точке /•,, в сосед-
соседнюю ячейку все же становится в этом пределе бесконечной, так что в
этом смысле движение становится детерминированным.
Читатель может также проверить, что описанный результат не за-
зависит от размерности пространства. Поэтому мы можем найти пред-
Пространственно-распределенные системы 405
ставление потока в фазовом пространстве, которое в пределе малого
размера ячейки становится эквивалентным уравнению (8.5.3).
Рассмотрим теперь полное описание потока в фазовом пространст-
пространстве, включающее оба члена уравнения непрерывности. Ячейки в фазо-
фазовом пространстве берутся в виде шестимерных ящиков с длиной сто-
стороны \ для пространственных координат и ? — для скоростей. Мы
определим плотность в фазовом пространстве через полное число мо-
молекул X в фазовой ячейке с помощью формулы
(8.5.19)
Рассмотрим переходы двух типов. Для простоты считаем, что они
происходят только в направлении оси х, и определим
Хх = (Я, 0, 0). (8.5.20)
Тип 1: Поток в конфигурационном пространстве
Он описывается переходами
Х(!>, V) — X(r<, v') - 1
и в то же время
Х(г' + Хх, V) — Х(г< + Хх, v!) +1 (vx > 0) (8.5.21)
или
Х(г' - Хх, и') - Х(г< - Хх, v1) +1 (vx<0).
При этом, полагая А — (/, х, 1), будем иметь
#«.*.» = 5{r',r°M{v<, V)
МЧ-хЛ) = <5(г' - А„ 1-")<5(и(, и")
= /,2\vx\X(r\
(8.5.22)
Мы записали равенства (8.5.23) для того, чтобы в явном виде пока-
показать, что вероятность перехода есть произведение площади торцевой
поверхности ячейки (\2), числа частиц в единице объема и х-
компоненты скорости, являющейся аппроксимацией скорости потока
через соответствующую грань ячейки.
Следовательно, считая t\. > 0, имеем
А{ахЛ> = vx[X{r- - Хх, V) - X(r°, v°)\l>. (8.5.24)
= eV.4f f{r" + К, V) - f(r", v-)\\). (8.5.25)
~^Z3Pvxj-xf(r,v). (8.5.26)
406 Глава 8
Тем же способом, что и в предыдущем примере, можно показать, что
диффузионная матрица Ва h пропорциональна X и, следовательно, ис-
исчезает при X — 0.
Тип 2: Поток в пространстве скоростей
Введем вектор
& = (? 0, 0). (8.5.27)
Тогда имеем
X{r\ v') - X{r\ v') - 1,
и в то же время или
Xif, v' - ?,) - X(r',. v! - fc) + 1 (Ах < 0), (8.5.28)
или
W, v! + (я) - X{r\ v' + U + 1 (А х > 0).
В данном случае
А — (/, х, 2) }
N«-*-» = S{v\ V)d(r', r°)
, f) j (8.5.29)
to,x,2)(X) = 0.
Таким образом, полагая Ax(r") > 0, находим коэффициент сноса
Аа = [X{r% v + L)Ax(r°) ~ X{r', V)AAi»)]/t (8.5.30)
, V + U - Яг", »°Ш (8.5.31)
^(r,v). (8.5.32)
Аналогичные рассуждения показывают, что коэффициент диффузии
снова исчезает при ? — 0.
Собирая выражения (8.5.26, 32) вместе, получаем соответствующее
уравнение непрерывности в пределе X, ? — 0.
8.5.3. ВВЕДЕНИЕ СТОЛКНОВЕНИЙ. УПРАВЛЯЮЩЕЕ
УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА
Будем сначала рассматривать частицы только в пространстве скоро-
скоростей и разделим пространство скоростей на ячейки, как это делалось
раньше. Пусть X(v) — число молекул, обладающих скоростью v (ко-
(которая, конечно, дискретизирована).
Ilpoci рансгвенпо-распрелслснные системы 407
Тогда столкновение представляется как «химическая реакция»
X(vt) + X(vj) — X(vk) + X(v,). (8.5.33)
Столкновение характеризуется индексами (/, j, к, !). Используя обо-
обозначения разд. 7.5, мы находим
N4M = К, + S..j
Щм = 8..к + SaJ (8.5.34)
r'IM = Sa,t - 6aJ + да.к + <*..,.
Вероятность перехода в единицу времени берем в виде
(Ь.э.ээ)
tgdX) = 0 .
При столкновениях имеются пять инвариантов движения, т. е. вели-
величин, сохраняющихся в процессе столкновения, что следует из динами-
динамики. К ним относятся:
1) число молекул — имеются две молекулы в каждой части
(8.5.33);
2) три компоненты импульса: поскольку все молекулы идентичны,
это означает, что в столкновении
v, + Vj = vk + v, ; (8.5.36)
3) полная энергия: это означает, что
v} + v} = vl + i7? . (8.5.37)
Величины v и v2 известны как аддитивные инварианты, и можно по-
показать, что любая аддитивная сохраняющаяся функция является их
линейной комбинацией (с возможным постоянным членом) [8.8].
При всех столкновениях молекул имеется симметрия относительно
обращения времени, вследствие которой
R(ij, kl) = R(kl, ij) . (8.5.38)
Наконец, из-за идентичности всех частиц мы имеем соотношения
R(if, kl) = R(ji, kl) = R(ij, Ik), и т. д. (8.5.39)
Мы располагаем теперь следующими возможными подходами.
1) Непосредственное применение управляющего уравнения.
2) Разложение по обратному размеру системы: мы считаем боль-
большим объем ?3 фазовой ячейки в фазовом пространстве ?3 и можем за-
записать уравнение Фоккера — Планка, используя разложение Крамер-
са — Мойала.
408 Глава 8
Из G.5.32) мы можем найти вектор сноса
Ла{Х) = 2 (-<*.., - S..j + <*..* f SaJXiViWivJllW, kl). (8.5.40)
Используя все имеющиеся симметрии, перепишем правую часть этого
выражения в виде
=¦• 2 ? R(aj, kl) [X{vk)X(v,) - X(va)X(Vj)}. (8.5.41)
Можно также вывести выражение для коэффициента диффузии
(ij, kl)X(v,)X(vj)
и, снова полностью используя все имеющиеся симметрии, получаем
ВаЬ(Х) = 2<5О,Ь Ц R(aj, kl)[X(va)X(v}) -
i. к, I
+ 2 2 Л(у, аЬ)[А-(и,.) Диу) 4-
- 4 2 R(aj, bl)[X(va)X{Vj) -i- X(vb)X(v,)] . (8.5.42)
Эти выражения входят в стохастическое дифференциальное уравнение
dX(va) ={2 2 R(aj, kl) [X(vk)X(v,) - X(va)X(Vj)}} dt + dW{va, t), (8.5.43)
где
dW{va, t)dW(vb, t) = dt Bab{X) . (8.5.44)
Пренебрегая стохастическим членом, мы возвращаемся к уравнению
Больцмана для X{va) в дискретной форме. Как обычно, это уравне-
уравнение, полученное в результате разложения Крамерса — Мойала, спра-
справедливо только в пределе малого шума, эквивалентного разложению
по обратному размеру системы; причем размер есть объем ячейки в
импульсном пространстве.
3) Представление Пуассона: управляющее уравнение Больцмана
идеально подходит для применения метода представления Пуассона.
Используя, как всегда, переменную a(va), мы можем, следуя результа-
результатам G.7.6—9), получить уравнение Фоккера — Планка в представле-
представлении Пуассона с вектором сноса
А?а) = 22 R(aj, kl) [afrMv,) - a(c>(i>,)] (8.5.45)
и диффузионной матрицей
ВаЬ(а) = 2dab^R(ij, kl)[a{v^a{Vj) - a(va)a(vi)] +
Пространственно-распределенные системы 409
+ 2 ? R(ij, ab)[a{vda{Vj) - a(va)a(Vb)]
- Sa,b 2 R(aj, bl)[a(va)a(Vj) - a(vb)a(v<)] , (8.5.46)
j, i
что соответствует стохастическому дифференциальному уравнению
da{va) = 2 ? R(ajx kl) [a(vk)a(Vi) - a(v.Mvj)] + dW{va, t) , (8.5.47)
где
dW(va. t)dW(vb, t) = dt Bab(a). (8.5.48)
Как подчеркивалось ранее, данное стохастическое дифференциальное
уравнение в представлении Пуассона в точности эквивалентно пред-
предполагаемому управляющему уравнению Болъцмана. В отличие от раз-
разложения Крамерса — Мойала, или разложения по обратному размеру
системы, оно справедливо для всех размеров ячеек ? в пространстве
скоростей.
4) Стационарное решение управляющего уравнения Больцмана: в
принятой нами форме записи управляющего уравнения Больцмана мы
положили вероятности t^ kl(X) равными нулю, однако, поступая ина-
иначе, можно положить
'«.«С*) = '«.«(-*) (8-5-49)
и соответственно поделить все функции R на два, поскольку теперь
все столкновения учитываются дважды.
Условие детального баланса G.5.18) выполняется тривиальным об-
образом. Хотя мы полагали t~(ij, kl) = 0, обратный переход на самом
деле определяется вероятностью t+(kl, //). Следовательно, при выпо-
выполнении условия симметрии относительно обращения времени (8.5.38)
имеем
k-U = кТш = R(ij, kl). (8.5.50)
При этих условиях для среднего значения (X) в стационарном со-
состоянии выполняется соотношение
a(v,)a(Vj) = a(vk)a(Vl) . (8.5.51)
Это означает, что log [а (и,)] является аддитивной сохраняющейся ве-
величиной и должен быть функцией инвариантов (8.5.36, 37). Следова-
Следовательно,
a(v) = ехр [-(у - Uy/mkT]. (8.5.52)
410 Глава 8
Здесь т — масса молекулы, a U и кТ — параметры, которые, конеч-
конечно, отождествляются со средней скоростью молекул и произведением
абсолютной температуры на постоянную Больцмана.
Стационарное распределение вероятностей является тогда много-
многомерным распределением Пуассона со средними значениями, определя-
определяемыми равенством (8.5.52). При этом флуктуации числа молекул с
различными скоростями некоррелированы.
8.5.4. СОВМЕСТНОЕ РАССМОТРЕНИЕ ПОТОКА И СТОЛКНОВЕНИЙ
Совместному рассмотрению потока и процесса столкновений мешает
существенное препятствие. Оно возникает из-за того, что стохастиче-
стохастическое рассмотрение потока требует бесконечно малых ячеек, в то время
как управляющее уравнение Больцмана более понятно, если ячейки
имеют конечный размер. Это означает, что почти невозможно запи-
записать в явном виде точное стохастическое уравнение, если только не
перейти к представлению Пуассона, как это вскоре будет сделано.
Формально записать многомерное управляющее уравнение в фазо-
фазовом пространстве не трудно после учета того, что ячейки фазового
пространства имеют конечный размер А3?3. Мы просто включим в
рассмотрение всевозможные переходы, т. е. переходы, приводящие к
потоку в конфигурационном пространстве, потоку в пространстве ско-
скоростей и столкновениям. Результирующее управляющее уравнение
включает в себя, таким образом, всевозможные переходы, указанные
в (8.5.22, 23, 29) и в модифицированной форме в (8.5.34, 35). Однако
имеются столкновения, происходящие внутри каждой ячейки; они
определяются вероятностью перехода в единицу времени
'?.иДО = S(rh tj) 5(rk, r,) S(rt, rk) R(ij, kl)X,Xj . (8.5.53)
В случае конечных \3?3 появится дополнительный стохастический эф-
эффект, возникающий из-за конечного размера ячеек, как указывалось в
разд. 8.5.2. Этот эффект исчезает в пределе малых X и ?, когда пере-
перенос вследствие потока становится чисто детерминированным.
Результирующее управляющее уравнение довольно громоздкое, и
мы не будем приводить его в явном виде. Работать с этим уравнени-
уравнением приходится в основном в рамках разложения по обратному разме-
размеру системы, или приближения Крамерса — Мойала. Точный предел, в
котором это справедливо, связан с зависимостью R(ij, kl) от размера
системы. Параметром размера системы в этом случае является объем
Х3?3 шестимерного фазового пространства. Для того чтобы сделать
детерминистическое уравнение для плотности
/(г,, vt) = Х(г„ vd/W (8-5.54)
Пространственно-распределенные системы 411
не зависящим от размера ячейки, функция /?((/, kl), определенная в
(8.5.53), должна иметь масштаб (X3?3L, т. е.
у, kl) = R(ij, kl) (Pcf L . (8.5.55)
Это означает, что величину R(ij, kl) можно интерпретировать как
среднюю частоту столкновений в элементе фазового объема по каж-
каждому из аргументов.
Принимая во внимание законы сохранения (8.5.36, 37), мы можем
тогда написать
R(ij, к!) = 8а[(и, - VjJ, {v, - Vj)-(vk - v,)]
х 8(»? + vj- vl - vf) д(и, + Vj - vk - v,) (8.5.56)
предположив, что а является функцией только от скаляров. (Тот
факт, что а является функцией только от величин (и, - VjJ и (и, -
— Vj)-(V/. — Vj), следует из теории рассеяния и основан на инвариант-
инвариантности уравнений по отношению к группе преобразований Галилея,
т. е. вращательной инвариантности и того факта, что законы физики
не зависят от выбора инерциальной системы отсчета. Мы предпочи-
предпочитаем оставить в функции а зависимость только от скалярных произве-
произведений для упрощения выражений во флуктуационных членах.)
а) Метод Крамврса — Мойала
Заменим суммирование интегрированием в соответствии с
(С3;.3) 2 - J d3rjd3uj (8.5.57)
и сделаем следующую замену переменных:
Vj = V,
vk = \(P + q) (8.5.58)
v, = \{р - q) ¦
После некоторых преобразований столкновительного члена из (8.5.3,
41) получаем детерминистическое уравнение вида
dftr, v) = [-»-РДг, v) - A-Fj(r, v)
+ jcFvt Jjy*8(|*| - Itf-tf.lMef.f-Ci'-i'i)]
X [/[г, h(v + vx - q)]f[r, \{v + v,+ q)] -f(r,v)f(r,Vl)]\dt.
J (8.5.59)
412 Глава 8
Стохастическое дифференциальное уравнение, следующее из разложе-
разложения Крамерса — Мойала, получается путем добавления стохастиче-
стохастического члена dW(r, v, t), удовлетворяющего равенству
dW(r, v, /) dW(r', v', t) = 8(r - r')dt x [8(i> - v') J d3vt p? S( | * | - 11> - p, |)
Xcr(?2, ?-(^ - uOl/f»1. № + i?i-?)]/[»•, i(u + vt + q)] +f{r,v)f(r,vi)]
— 2 J" c/3A b[(va — t>4)-A:] a[(va — y4J + i*2, — (va — i?4J + {k1}
(8.5.60)
X [ЛОЛ"* - A) +f(Vb)f(va ~ к)]
Используя в таком виде метод Крамерса — Мойала, ван ден Бруку и
др. [8.7] удалось применить разложение Чепмена — Энскога и полу-
получить при его помощи флуктуационную гидродинамику.
Вопрос о применимости этого метода, в котором требуется боль-
большая величина ячеек для применимости разложения Крамерса — Мойа-
Мойала и их малость для справедливости представления потока в виде про-
процесса рождения — гибели, остается открытым. Однако, поскольку ме-
метод Чепмена — Энскога, по всей видимости, эквивалентен адиабати-
адиабатическому исключению тех переменных, поведение которых описывается
больцмановским столкновительным членом, результат адиабатическо-
адиабатического исключения вряд ли чувствителен к точному виду оператора. Та-
Таким образом, приближение Крамерса — Мойала может на самом деле
быть достаточно точным даже для очень малых ячеек.
б) Представление Пуассона
Стохастическое дифференциальное уравнение в представлении Пуассо-
Пуассона можно получить подобным же образом из выражений (8.5.45, 46).
Используя обозначение
ф[г, v) = a(r, v)l{)??,3), (8.5.61)
находим
|?| -Mil - \V-V,\)
d<p{r, v) == Л
X a[q\ q.(v- p,)] [/[r, i(l> + », - «)]/[i-, i(« + ", + <?)]
-/(r, u)/(r, »,)] + rf^(r, i;, 0, (8.5.62)
Пространственно-распределенные системы 413
где
dW{r, v, t)dW(r',v', t) = 5(r - r')dt x (b(v - v') \d>Vl j^5(|?| - \v- v{ I)
X a[q\ q(v- »,)] [fir, \(v + p, - f)] yi[r, J(»+»i + в)] - &Г, v) ф{г, v,)}
+ $j^S(\q\-\v - Vl\)o[q\q-(v -Vl)]
X Mr, i(r + r1 - #)] ^[r, \(v+v'+q)] - ф(г, v) ф(г, v')}). (8.5.63)
Члены в (8.5.63) соответствуют первым двум членам в (8.5.46). По-
Последний же член в пределе ?3Х3 — 0 дает нулевой вклад.
Как всегда, подчеркнем, что это стохастическое дифференциальное
уравнение в пуассоновском представлении в точности эквивалентно
управляющему уравнению Больцмана с добавленными потоковыми
членами в пределе малого размера ячеек. Уравнения (8.5.62, 63) не за-
записывались ранее в явном виде и до сих пор не применялись. Исполь-
Используя метод Чепмена — Энскога или подобную технику, из них, вероят
но, можно вывести точные уравнения флуктуационной гидродина-
гидродинамики.
Бистабильность, метастабильность
и проблемы перехода из одной фазы в другую
Эта глава посвящена асимптотическому изучению систем, в которых
возможны по крайней мере два устойчивых состояния, а также реше-
решению некоторых связанных с этим задач. Такие системы имеют боль-
большое практическое применение, например вышеупомянутым свойством
обладают переключающие и накопительные устройства в компьюте-
компьютерах. К ним относятся также молекулы, которые могут изомеризо-
ваться, а совсем недавно был исследован целый ряд радиоэлектрон-
радиоэлектронных, химических и физических систем, демонстрирующих огромное
разнообразие подобных свойств.
Представляют интерес следующие вопросы.
а) Какова относительная устойчивость различных состояний?
б) Сколько времени требуется системе для спонтанного перехода
системы из одного состояния в другое?
в) Как осуществляется переход, т. е. по какому пути в соответству-
соответствующем пространстве состояний он происходит?
г) Как происходит релаксация системы из неустойчивого состоя-
состояния?
На все эти вопросы можно относительно легко ответить в случае
одномерных диффузионных процессов. Обобщение на случай несколь-
нескольких измерений было сделано только в последнее время. Обобщение на
случай бесконечно большого числа переменных приводит нас в об-
область исследования перехода жидкость — газ и тому подобных фазо-
фазовых переходов, в которых система может находиться в одной из двух
фаз и произвольно распределена в пространстве. Для этой области по-
пока отсутствует систематическое стохастическое описание, и здесь эта
задача рассматриваться не будет.
Глава разделена в основном на три части, в которых исследуют-
исследуются: бистабильные диффузионные процессы, описываемые одной пере-
переменной, бистабильные системы с одношаговыми процессами рожде-
рождения — гибели и диффузионные процессы со многими переменными.
Во всех трех случаях мы получаем качественно похожие результаты,
но требуется затратить огромные усилия для того, чтобы добиться
количественной точности.
Бистабилыюсть, мстастабильность и проблемы перехода 415
9.1. ДИФФУЗИЯ В СЛУЧАЕ ПОТЕНЦИАЛА С ДВУМЯ ЯМАМИ
(ОДНА ПЕРЕМЕННАЯ)
Мы снова рассмотрим модель из разд. 5.2.7, в которой плотность ве-
вероятностей положения частицы подчиняется уравнению Фоккера —
Планка
д,р(х, t) = dx[U'(x)p(x, ()] + Ddlp(x, t) . (9.1.1)
Вид потенциала U(x) показан на рис. 9.1. Потенциал имеет два мини-
минимума (один из них локальный) и между ними локальный максимум.
Стационарное распределение вероятностей имеет вид
/>.(•*) = ^Гсхр[- U(x)/D]. (9.1.2)
Оно-то и демонстрирует бистабильность. Точкам а, с и Ь на рис. 9.1
отвечают соответственно два максимума и центральный минимум.
Нахождение системы в точках а и с является, таким образом, наибо-
наиболее вероятным.
9.!.!. ПОВЕДЕНИЕ СИСТЕМЫ В СЛУЧАЕ D = О
В этом случае л1 @ удовлетворяет дифференциальному уравнению
dx _ n'(Y\ wrn — х (9 1 Т>
Поскольку
x(t) меняется таким образом, чтобы минимизировать потенциал
и перестает меняться, когда V (х) обращается в нуль. Таким образом,
Рис. 9.1. Графики p(x) и U(x) для потенциала с двумя
потенциальными ямами.
416 Глава 9
частица заканчивает свое движение в точках с или а в зависимости от
того, больше ли х0, чем Ь, или меньше. Это показано с помощью
стрелок на рисунке.
Как только частица попадает в точку а или с, она остается в этой
точке. Если в начальный момент частица находилась в точке Ь, она
также остается в ней, хотя малейшее возмущение переводит частицу в
точки а или с. Таким образом, точка b является неустойчивой стацио-
стационарной точкой, а точки а и с — устойчивыми стационарными точ-
точками.
9.1.2. ПОВЕДЕНИЕ СИСТЕМЫ ПРИ ОЧЕНЬ МАЛЫХ ЗНАЧЕНИЯХ D
С добавлением шума ситуация меняется. Стационарное состояние
можно аппроксимировать асимптотически следующим образом. Счи-
Считая потенциал U{x) всюду достаточно гладким, мы можем записать
Щх) ~ Ща) + \U"{a) (х - af при малых \х - а\
~ Щс) + W"(c)(x - сJ при малых 1л- — с I
Если величина D очень мала, мы аппроксимируем р (х) выражением
[—U(a)/D — \U"(a) (x — aJ/D] при малых \х - а\
[—U(c)/D — {U"(с) (х — сI JD] при малых \х - сI (9.1.5)
~ 0 в остальной области,
так что
a) + Q~u(c) ID V2nD/U"(c). (9.1.6)
Будем считать в соответствии с рисунком
U(a)> U(c). (9.1.7)
Тогда для достаточно малых значений D в выражении для <Л'~' мож-
можно оставить только второй член, так как он значительно больше пер-
первого. Подставляя это выражение в (9.1.5), находим
Р.(х) = чДР?ехр [-*[/»(<?)(* - сJID] \х - с\ ~VD
V 2kD (9.1.8)
= 0 в противном случае.
Это означает, что в пределе очень малых значений D детерминирован-
детерминированное состояние, в котором потенциал U(x) имеет абсолютный мини-
минимум, является наиболее устойчивым в том смысле, что плотность
стационарного распределения вероятностей р%(х) заметно отлична от
нуля только в непосредственной близости от этого состояния.
Бистабильность, мстастабильность и проблемы перехода 417
Конечно, этот результат не согласуется с предыдущим утвержде-
утверждением, что оба состояния одинаково устойчивы. Различие состояний
обусловлено временным поведением системы, и мы покажем, что де-
детерминированное поведение воспроизводится стохастически, если в
начальный момент времени частица находится в точке с координатой
х0, и рассматривается предел р(х, t) при D — 0 в случае конечных t.
Методы разд. 6.3 показывают, что это утверждение справедливо,
коль скоро применимо разложение вблизи детерминистического урав-
уравнения. Из равенства F.3.10) следует, что последнее условие выполня-
выполняется, если производная U' (х0) не равна нулю или, в случае любых ко-
конечных значений D, U' (х0) имеет порядок D0. (Здесь D заменяет е2 из
разд. 6.3.) Для этого требуется, чтобы точка х0 находилась вне
окрестности шириной порядка DU2 точек а, с или Ь. Это означает, что
в точках а и с флуктуации несущественны, и движение частицы приб-
приближенно описывается стохастическим дифференциальным уравнением,
линеаризованным вблизи точки а или с. Вблизи точки b решение лине-
линеаризованного стохастического дифференциального уравнения неустой-
неустойчиво. Движение частицы описывается процессом Орнштейна — Улен-
бека до тех пор, пока она не покинет непосредственной окрестности
точки х = Ь. На этой стадии асимптотическое разложение по пара-
параметру \[D перестает быть справедливым.
Однако при t — оо асимптотическое разложение более не примени-
применимо. Другими словами, предел при / — оо теории возмущений по пара-
параметру малости шума не воспроизводит предела D — О для стационар-
стационарного распределения.
При этом может происходить процесс перехода через центральный
барьер. Шум dW{t) может заставить частицу взобраться на барьер в
точке Ъ и упасть, затем с другой его стороны. На это требуется время
порядка ехр( —const//)), которое не дает вклада в разложение по сте-
степеням D, поскольку оно экспоненциально мало по сравнению с любы-
любыми степенями D при D — 0.
9.1.3. ВРЕМЯ ДОСТИЖЕНИЯ ГРАНИЦЫ
Оно рассматривалось в разд. 5.2.7в. Время, требуемое частице, перво-
первоначально находившейся вблизи точки а, для достижения центральной
точки b равно
Т(а — Ъ) = п[| U"(b)| U"(d))-112 exp {[U(b) - U(d))/D} (9.1.9)
(что составляет половину времени, требуемого частице для достиже-
достижения точки потенциальной ямы справа от Ь). При D -~ 0 это время ста-
становится экспоненциально большим. Время, необходимое для того,
418 Глава 9
чтобы система достигла стационарного состояния, также становится
экспоненциально большим. Поэтому вряд ли имеет смысл для таких
времен искать решения в виде ряда по степеням D12.
9.1.4. РАСЩЕПЛЕННАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ
Предположим, что мы помещаем частицу в точку х0. Какова будет ве-
вероятность того, что частица достигнет точки а скорее, чем точки с,
или точки с — скорее, чем точки а? Эту задачу можно связать с проб-
проблемой выхода через один определенный конец интервала (разд. 5.2.8).
Помещая поглощающие барьеры в точках х=ашх=си используя
результаты разд. 5.2.8, находим «расщепленные вероятности» жа и тгс
достижения одной из точек а или с первой. Они определяются выра-
выражениями
(9лл°)
(здесь коэффициент диффузии D не зависит от л"). Расщепленные веро-
вероятности 7га и 7гс можно трактовать более широко как вероятности то-
того, в какую потенциальную яму — левую или правую — свалится ча-
частица, первоначально находившаяся в точке х0, поскольку частица, до-
достигшая, например, точки а, будет оставаться по эту сторону барьера
в течение времени, равного по порядку величины среднему времени
достижения точки Ъ.
Рассмотрим теперь две возможные асимптотики выражений
(9.1.10) при?> - 0.
а) Точка х0 находится на конечном расстоянии от Ь
Оценим сначала интеграл
/ dx ps(x)~l = / dx JT~X exp [U(x)/D]. (9.1.11)
a a
Он определяется главным образом поведением потенциала при х ~ b.
Правильную асимптотическую оценку получим, если положим
Щх) ~ ЩЪ) - \ | U\V) \Hb-xf. (9.1.12)
dxPs(xrl]l\ldxps(xr"
Бистабилыюсть, метастабилыюсть и проблемы перехода 419
При D — О пределы интегрирования х = а, с можно распространить
до ± оо, после чего находим
\dxpXx)-1 ~ ЛГ-* /->^-ехр [U(b)/D) . (9.1.13)
Предположим теперь, что х0 < Ь. Тогда интеграл ( dxp~l(x) можно
и
оценить с помощью подстановки
У=Щх) (9.1.14)
Обратную функцию обозначим х = W(y). Интеграл асимптотически
равен
jT-i UYeylD W'(y)dy ~ ЛГ~Х D eu<xo>'DW'[U(xo)]
(9.1.15)
Следовательно,
?EMyi^m}
n.= \-7tc. (9-1.17)
Из этих выражений видно, что расщепленная вероятность зависит
только от х0 и Ь. Таким образом, вероятность достижения точки с в
этом пределе полностью определяется вероятностью перескока через
барьер в точке b. При этом точки а и с практически бесконечно далеки
друг от друга.
б) Точка х0 находится на весьма малом расстоянии от b
Положим
В этом случае мы можем сделать аппроксимацию (9.1.12) в обоих ин-
интегралах. Определяя, согласно [9.1],
erf(.v) = /A jc/tc, (9.1.19)
находим
пс = 1 - па ~ |{1 - erf[)W| U"(b)\]} (9.1.20)
(9-1-21)
420 Глава 9
Результат (9.1.21) мы получили бы, если бы заменили потенциал U(x)
его квадратичной аппроксимацией во всей области.
в) Сравнение результатов, полученных для двух областей
Два разобранных случая приводят к различным результатам, и мы
приходим к заключению, что простая линеаризация стохастического
дифференциального уравнения (равносильная квадратичной аппрокси-
аппроксимации потенциала U{x)) дает правильный результат, только в пределе
больших Вив области величиной порядка VD вокруг максимума Ь.
9.1.5. РАСПАД НЕУСТОЙЧИВОГО СОСТОЯНИЯ
Среднее время, необходимое частице, помещенной в какую-либо точку
х0 потенциала U(x) для того, чтобы достигнуть той или другой ямы,
можно измерить экспериментально. Если мы будем описывать такой
процесс с помощью уравнения (9.1.1), то сможем точно рассчитать
среднее время достижения точек а или с из точки Ь, используя форму-
формулы разд. 5.2.8. Среднее время достижения точки а из Ь является реше-
решением уравнения
-и'(х)дх[ла(х)Ца, х)] + D3l[na(x)T(a, x)] = -пв(х) (9.1.22)
с граничными условиями
ла(а)Т(а, а) = п.(с)Т(а, с) = 0, (9.1.23)
где тго(х) определяется формулой (9.1.10).
Решение уравнения (9.1.22) можно получить непосредственным ин-
интегрированием, однако оно довольно громоздко. При этом способ
расчета тот же самый, что и при получении E.2.158), похожи и ре-
результаты. Даже случай, охватываемый выражением E.2.158), в кото-
котором мы не различаем выходы вправо или влево, представляется очень
сложным.
Для полноты изложения приведем выражение для среднего време-
времени достижения точки а:
лс(х) I dx'plx'V ) na{z)p,{z)dz- ла(х) | dx'ps{x'Yl ) na(z)p,(z)dz
па, х) = - — ЪпТх ^ -- ;
(9.1.24)
здесь 7га(х) определяется формулой (9.1.10), a ps(z) — формулой
(9.1.2). Можно видеть, что даже в простейшей ситуации, а именно при
U(x)- -U-.Y2 , (9.1.25)
Бистабильность, метастабильность и проблемы перехода 421
это выражение почти невозможно осмыслить, скорее всего здесь тре-
требуется асимптотическое рассмотрение. К счастью, в случае когда ps(z)
имеет острый максимум в точках виси узкий минимум в точке Ъ, за-
задача сводится, по сути, к проблеме релаксации к точкам а и с с отра-
отражающим барьером в точке Ь.
Для того чтобы представить себе это, заметим следующее:
1) явное решение (9.1.10) для тга(х:) означает, что
па(х) ~ 1 (х < Ь)
~\ (х = Ъ) (9.1.26)
= 0 {x>b),
и переход из 1 в 0 происходит на расстоянии порядка VZ>, т. е. шири-
ширины пика функции ps(x)~u,
2) в интегралах с подынтегральным выражением ira(z)p%(z) мы раз-
различаем два случая. Когда х' > Ь, приходим к оценке
]na{z)ps{z)dz^nj2, (9.1.27)
а
Ь
где па = \ ps(z)dz есть вероятность нахождения частицы в левой по-
— оо
тенциальной яме.
Однако, когда х' < а, мы по-прежнему можем аппроксимировать
7га(г) единицей и имеем
] na(z)pAz)dz ~ ) Ps(z)dz = ^ - f plz)dz . (9.1.28)
Подставляя эти оценки в (9.1.24), получаем
Т(а, b)~D-l\ dx'p.ix)-1 J Pa(z)dz ; (9.1.29)
a x>
это не что иное, как точное среднее время достижения точки а из Ь
при наличии отражающего барьера в точке Ъ. Аналогично
Т(с, Ъ)~ D~l I dx'pAx)-1 ]' p?z)dz . (9.1.30)
ь
9.2. УСТАНОВЛЕНИЕ РАВНОВЕСИЯ ЗАСЕЛЕННОСТЕЙ
КАЖДОЙ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЯМЫ
Прежде всего предположим, что в начальный момент частица в систе-
системе находилась в левой потенциальной яме в некоторой точке с коор-
координатой Xj, так что
p(x,Q) = b(x-xi). (9.2.1)
422 Глава 9
Если коэффициент D очень мал, то время, требуемое для достижения
центра барьера (точки Ь), очень велико, и для времен, малых по срав-
сравнению со временем первого достижения точки Ь, наличие ямы в точке
с не будет оказывать никакого влияния. Таким образом, мы можем
считать, что в точке Ъ находится отражающий барьер.
Движение в пределах левой потенциальной ямы хорошо описыва-
описывается разложением по параметру малости шума, и типичное время ре-
релаксации, таким образом, будет то же, что и при детерминированном
движении. При аппроксимации
Щх) ~ Ща) + W'(a)x2 I
в системе будет происходить процесс Орнштейна — Уленбека с харак-
характерным масштабом времени порядка [U" (а)]~\
Таким образом, мы предполагаем в описании наличие двух времен-
временных масштабов. За короткое время частица релаксирует к квазистаци-
квазистационарному состоянию в той яме, с которой она начала свое движение.
Затем в крупномасштабной временной шкале она может перепрыги-
перепрыгивать через максимум в точке Ь. При этом на больших временах уста-
устанавливается бимодальное стационарное распределение.
9.2.1. МЕТОД КРАМЕРСА
В 1940 г. Крамере [9.2] рассмотрел проблему достижения границы,
изучая преобразование молекул. Он предложил уравнение, называемое
теперь уравнением Крамерса (разд. 5.3.6а), в котором рассматрива-
рассматривалось движение в потенциале U(x) с двумя потенциальными ямами. Он
показал, что в случае, когда затухание велико, можно использовать
уравнение Смолуховского в форме F.4.18) и свести, таким образом,
проблему достижения границы к задаче, которую мы теперь обсуж-
обсуждаем.
Метод Крамерса был переоткрыт и переформулирован много раз
[9.3]. Мы изложим его здесь в форме, дающей довольно ясное пони-
понимание области его применимости.
Используя обозначения рис. 9.1, определим
М(х, г) = f dx'p(x', t) (9.2.2)
Na(t) = 1 - Nc@ = M(b, 0
(9.2.3)
N0(t) = (c - a) p(x0, t) ¦
Бистабильность, метастабильность и проблемы перехода 423
Далее, введем соответствующие стационарные величины
с
па = 1 — пс = J ps(x')dx'
(9.2.4)
"о = {с— a) ps(x0).
Принимая во внимание уравнение Фоккера — Планка (9.1.1) и вид ста-
стационарной плотности вероятностей ps(x), определяемой выражением
(9.1.2), мы можем записать равенство
d,M(x, t) = D р?х)дЫх, t)lp.(x)], (9.2.5)
интегрирование которого дает
d,)° dx Щх, t)lp.(x) = D[p(x0, t)lp.(x0) ~ P(a, t)lPs(a)] . (9.2.6)
а
Это уравнение точное. Мы хотим ввести некоторое приближение, ко-
которое обычно справедливо на больших временах.
Чтобы представить суть метода, мы вынуждены следовать в неко-
некоторой степени менее точной аргументации, чем хотелось бы. По-
Поскольку мы считаем релаксацию в пределах каждой ямы довольно
быстрой, мы ожидаем, что распределение в каждой яме (через время,
которое конечно при D — 0) стремится к форме стационарного рас-
распределения, но с другими относительными весами двух пиков. Это
можно записать формально следующим образом:
Р(х, О = ps{x)Na{t)lna х<Ь
= ps(x)Nc{t)jnc х > Ъ ,
что обычно является точным в низшем порядке noD, за исключением
области величиной VD вокруг точки Ь.
Подставляя эти выражения в (9.2.6), получаем
K(xo)Na{t) = D[N0(()/n0 - N.(t)/n.] 2
ц(хо)К(О = D[N0{t)jn0 - Nc(t)lnc] ,
где
к(х0) = J />,(^)~'[' ~ v(x)]dx
(9.2.9)
Кхй) = J А(х)"'[1 — (/(л:)]Лс
*0
424 Глава 9
И
у/(х) = «Г1 ]pS.z)dz x<b
(9.2.10)
= «Г1 \ps(z)dz x > b .
b
Заметим, что если х отличается от а и с на конечную величину, то
ф(х) экспоненциально стремится к нулю при D — 0, как это непо-
непосредственно следует из явного выражения для ps(x). Поскольку вели-
величина х в обоих интегралах (9.2.9) удовлетворяет этому условию во
всей области интегрирования, мы можем положить ф(х) = 0 и поль-
пользоваться равенствами
лг(д:0) = J pXx) ' dx
а
ц(х0) = J рХхУ1 dx .
(9.2.11)
а) Интерпретация с помощью трех состояний
Уравнения (9.2.8) отвечают процессу, который можно записать в виде
химической реакции
IS^±IO —1С; (9.2.12)
отличие в том, что отсутствует уравнение для 7V0 — числа молекул
Хо. Замечая, что Na + Nc. = 1, мы находим
N0(t) = no[pi(xoWt) 4- K(xo)Nc(t)]/[K(xo) + Кхо)] ¦ (9-2.13)
Такое же равенство получается обычно при адиабатическом исключе-
исключении величины NQ(t) из (9.2.8). Для N0(t) имеем уравнение
Na(t) = D{Ma(t)/[naK(x0)] + Nc(t)l[ncfi{x0)\}
- Nu{t) {[иок^о)] + К/и(*о)Г'} • (9-2.14)
Поскольку
«о = рЛхо) {с -- а) = yrexp[-U(xo)/D] (с - а), (9.2.15)
мы видим, что предел D — 0 соответствует п0 — 0, и, следовательно,
константа [пок(хо)]~1 + [поц(хо)]~1 в (9.2.14) становится бесконечно
большой. Адиабатическое исключение, таким образом, справедливо.
Эта интерпретация с помощью трех состояний является по сущест-
существу теорией переходных состояний в химических реакциях, предложен-
предложенной Эйрингом [9.4].
Бистабильность, метастабильность и проблемы перехода 425
б) Исключение промежуточных состояний
Исключая из (9.2.8) N0(t) с помощью добавления двух уравнений, по-
получаем
ВД = -Ne(t) = r.Na(t) + reNe(t), (9.2.16)
где
га = D[n. Idx pXx)-1]-1 rc = D[nc \dxpM-1]-1 , (9.2.17)
a a
причем ra и rc не зависят от х0. Таким образом, точный выбор х0 не
влияет на межпиковую релаксацию.
Поскольку Nu + Nc = 1, время релаксации тг дается выражением
т;1 = г„ + гс = г- . (9.2.18)
njic]dxps{x)-1
a
в) Вероятность достижения в единицу времени точки х0
Для частицы, находящейся первоначально вблизи точки а, эта ве юят-
ность есть не что иное, как скорость затухания Na(t) при условии что
в точке х0 находится поглощающий барьер. Это означает, что в рав-
равнении (9.2.8) мы полагаем No@ = 0 (заметим, однако, что ръ(х) i пре-
деляется выражением (9.1.2)). Аналогичные рассуждения дают нам
уравнение
N.(t) = ~DNo(t)/naK(x0), (9.2.19)
так что время первого достижения равно
T. = naD-lXfdxp.(xrl. (9.2.20)
а
Этот результат по существу совпадает с тем, что был получен в
E.2.166) более строго.
г) Зависимость времени релаксации от заселенностей пиков
Равенство (9.2.18) выглядит как простая формула, связывающая вре-
время релаксации с величинами па и пс = 1 — па. Можно подумать, что
все остальные множители не зависят от па и тг ~ па{\ — па). Однако
более тщательная оценка показывает, что это не так. Используя
асимптотическую оценку (9.1.13), мы находим
(9-2-21)
426 Глава
Подобным образом можно оценить асимптотически величину ,,/, учи-
учитывая вклад от каждого пика. Мы получаем
Tu2exp[-U(a)/D] + [U"(c)ru2cxp[~U(c)ID]\ (9.2.22)
и аналогично, согласно определению па и пс (9.2.4),
а) ехр ^с)^Щ . (9.2.23)
После некоторых алгебраических преобразований мы можем предста-
представить (9.2.1) в виде
тт = 2л Н(Ъ; а, с)[папс]1>*, (9.2.24)
где Нф; а, с) — функция, зависящая от относительной высоты пика
U(b) по сравнению с высотой, средней между U(а) и U(с):
Н(Ь;а, с)=[\ U»{b)\-^U"(ayll*U"(c)-^} ехр ^ЩЪ) ~^ ~ Щс)^ . (9.2.25)
9.2.2. ПРИМЕР: ОБРАТИМАЯ ДЕНАТУРАЦИЯ ХИМОТРИПСИНОГЕНА
Химотрипсиноген — это белок, который можно превратить в денату-
денатурированную форму, применяя повышенное давление вплоть до не-
нескольких тысяч атмосфер, как это продемонстрировав Хоули [9.5].
Предположительно молекула внезапно коллапсирует, если приложено
достаточное давление.
Отчасти нереалистичная, но простая модель этого процесса дается
уравнением
JM (9.2.26)
гдел: — объем молекулы, U(*) — свободная энергия Гиббса, приходя-
приходящаяся на одну молекулу, а к Т/у занимает место коэффициента D.
Здесь 7 — коэффициент трения, возникающий обычно в результате
процедуры адиабатического исключения, подобной той, что использо-
использовалась при выводе уравнения Смолуховского в разд. 6.4. Стационар-
Стационарное распределение имеет вид
р.(х) = JT ехр [- U(x)/kT] , (9.2.27)
как этого требуют законы статистической механики.
Явное действие изменения давления можно учесть, записав
U(x) = U0(x) + хбр, (9.2.28)
Бистабильность, мстастабплыюсть и проблемы перехода 427
где 5р — изменение давления по сравнению с состоянием, в котором
величины па и пс равны. Член хбр меняет относительную устойчи-
устойчивость двух минимумов и эквивалентен работе, совершаемой против
давления 5р. Согласно (9.2.23), для этого требуется, чтобы потенциал
U0(x) удовлетворял соотношению
exp [U0(a)/kT] = y/U{c) exp [U0(c)/kT] .
(9.2.29)
Положение максимумов и минимумов потенциала U(x) слегка отлича-
отличается от положения их в потенциале U0(x). Если предположить, что
высшие производные от ?/0(v) пренебрежимо малы, то максимумы и
минимумы потенциала U(x) будут находиться в точках, в которых
W (х) = 0. Их координаты равны: а + Ьа, b + 5b, с + 5с, где
За = -Sp/U(a) =
(9.2.30)
Мы отождествляем, таким образом, величины /30 и /Зс со сжимаемо-
стями дх/др состояний а и с, которые являются отрицательными, как
этого требует теория устойчивости. Величина (Зь является в некото-
некотором роде несжимаемостью переходного состояния. Поскольку это со-
состояние является неустойчивым, величина j3b положительна.
Значения U(a), U(b), U(c) в этих минимумах равны
(9.2.31)
U(a-
U{b-
U(c-\
\-3a) =
=
\~3b) =
-3c) =
U0{a-\
U0(a) -
U0(b) -
U0(c) -
- 3a) +
- аЗр +
\-bSp-\-
r c3p +
(a-
hP
f 3aMp
aCpY
ьCрJ
ХЗрI .
Из формулы (9.2.23) мы получаем
(9.2.32)
Эта формула в точности совпадает с формулой, следующей из термо-
термодинамических рассуждений, и хорошо описывает экспериментальные
данные.
Время релаксации к стационарному распределению тг также было
428 Глава 9
измерено. Используя формулы (9.2.24, 25), мы находим
(9.2.33)
Заметим, что объемы двух состояний а и с и их сжимаемости /За и /Зс
можно в принципе измерить экспериментально. Данные, относящиеся
к переходному состоянию b: U(b) и @ь, остаются в качестве свобод-
свободных параметров, которые можно определить из измерений времени
жизни. Конечно, квадратичная аппроксимация справедлива только для
достаточно малых др, и для приложений может потребоваться более
сложный метод.
На рис. 9.2 показаны рассчитанные по формулам (9.2.32, 33) значе-
значения тгEр) и па/пс для возможных значений параметров.
Заметим, что время достижения равновесия имеет максимум вбли-
вблизи точки, в которой концентрация естественной и денатурированной
формы равны. Некоторую асимметрию, однако, можно получить, вы-
выбирая асимметричный потенциал. Хоули заметил, что измерения в
этой области ограничены фактически «стабильностью приборов и тер-
терпением исследователя».
Наконец, для сравнения приводятся кривые с нулевой сжимаемос-
сжимаемостью. Различие на краях так велико, что становится понятным непри-.
щ
0,05
i i i
-40-30 -го -ю о ю го зо
6р (кал/см3)
Рис. 9.2. Время релаксации тгFр) и отношение концентраций естественной и денатури-
денатурированной форм химотрипсиногена согласно формуле (9.2.33). Штриховая линия — без
учета поправок на сжимаемость.
Бистабильность, метастабильность и проблемы перехода 429
менимость метода квадратичной поправки для кривой ттEр). Однако
для кривой па/пс поправки почти исчезают. Реалистическое рассмот-
рассмотрение, включающее большее число переменных, сохраняет качествен-
качественные черты приведенного описания, но допускает возможность значе-
значения &ь < 0, что при нашем рассмотрении было исключено.
9.2.3. БИСТАБИЛЬНОСТЬ, ОПИСЫВАЕМАЯ УПРАВЛЯЮЩИМ УРАВНЕНИЕМ
ДЛЯ ПРОЦЕССОВ РОЖДЕНИЯ — ГИБЕЛИ
(СЛУЧАЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ)
Качественное поведение бистабильных систем, описываемых управля-
управляющими уравнениями для одноступенчатых процессов рождения — ги-
гибели, почти такое же, как и при описании с помощью уравнений Фок-
кера — Планка.
Рассмотрим одноступенчатый процесс с вероятностями перехода
t+ (х), t~ (х), при этом управляющее уравнение может быть записано в
виде
? = J(x + j f t) _ /(х> t) f (92 34)
где
J(x, t) = r(x)P(x, t) - t+(x-\)P(x~\,t). (9.2.35)
Предположим теперь, что стационарное распределение имеет макси-
максимумы в точках а, с и минимум в точке Ъ и, аналогично тому как это
сделано в разд. 9.2.1, определим
М{х, t) = g P(z, 0 (9-2.36)
2 = 0
\yt)=l-Ne(t) = M(b,t), (9.2.37)
а если точка хп находится вблизи Ь,
Na{t) = Р(х0, 0 . (9.2.38)
Соответствующими стационарными значениями являются
па = 1 - пс = Ь? Ps(z) (9.2.39)
2 = 0
п0 = P,(*o) • (9-2-40)
Выполняя теперь в (9.2.34) суммирование от 0 до х — 1, получаем
)> (9.2.41)
430 Глава 9
поскольку У @, t) = 0. Используем теперь тот факт, что стационарное
решение Р%(х) в одноступенчатом процессе находится из условия де-
детального баланса
t-(x)P,(x) = t+(x- l)P.(x-1), (9-2-42^
чтобы ввести «интегрирующий множитель» для уравнения (У.2.41). А
именно: вводя
p(x,t) = P{x,t)IPt(x), (9.2.43)
представим уравнение (9.2.41) в виде
dM^ll = РЛх)ПхЖх, О - /?(*-1, 01, (9-2-44)
так что
d ?в, Г М(г, 0 1
Л r-.+ l L^S(Z)^ B)J
Уравнение (9.2.45) почти в точности совпадает по форме с уравнением
(9.2.6) для соответствующего уравнения Фоккера — Планка. Оно ос-
основано на стационарном решении, полученном путем использования
условия детального баланса (9.2.42).
Сделаем те же предположения, что и Крамере, а именно предполо-
предположим, что существенна только релаксация между пиками, и запишем
Р(х, г) = Ps(x)Na(t)/na х<Ь (9.2.46)
= P?x)Nc(t)lnc x>b-
При этом мы получим релаксационные уравнения, почти в точности
совпадающие с уравнениями (9.2.8):
где
°
М(хо) =
¦@ =
- ±
р
,@/«0
|(О/«о
,г
'.(z)n
-лг.
.(О/я
"]
= «Г1 2 Л(Л г > Ъ .
(9.2.48)
z<b
(9.2.49)
Бистабильность, метастабильносгь и проблемы перехода 431
Единственным существенным различием является то, что в правой ча-
части уравнения (9.2.8) фигурирует коэффициент D, а здесь вместо него
появляется множитель t~(z)~l в определениях к(х0) и /х(х).
Можно использовать те же приближения, что и раньше. Единст-
Единственной трудностью при этом будет точная переформулировка предела
D — 0 (теперь должен соответствовать пределу больших чисел, при
котором все функции меняются плавно при х — х ± 1). Этот предел
будет как раз пределом разложения по обратному размеру системы, в
котором во всяком случае может быть использовано описание на ос-
основе уравнения Фоккера — Планка.
Мы не будем углубляться в детали, а просто отметим, что точные
значения средних времен достижения границы можно получить с по-
помощью метода из разд. 7.4. Приспосабливая методы из разд. 5.2.8 к
этой системе, можно найти расщепленные вероятности того, что ча-
частица, первоначально находящаяся в точке х0, достигнет точек а или
с. Они равны
".= { ± [P,(z)r(r)]-'}/{ ± [P.(z)r(z)]-*}
z-*0+i z-0+i (9.2.50)
Яс= ( 2 [PAz)t-(z)]-1} I { ±
Z_J L
Таким образом, для всех практических случаев можно с тем же успе-
успехом использовать модельное описание на основе уравнения Фок-
Фоккера — Планка. Редко известны точно все скрытые механизмы про-
процесса, поэтому написание любого уравнения можно считать не более
чем научной догадкой, а значит, чем проще уравнение, тем лучше.
9.3. БИСТАБИЛЬНОСТЬ В СИСТЕМАХ
СО МНОГИМИ ПЕРЕМЕННЫМИ
Системы со многими переменными открывают перед исследователем
широкий диапазон возможностей. Причем если система описывается
посредством управляющего уравнения, то возможное многообразие
типов переходов и пространства состояний оказывается настолько бо-
богатым, что это ставит исследователя в тупик: трудно себе предста-
представить, с чего начинать. Однако в разд. 9.2.4 мы видели, что описание
посредством полного управляющего уравнения не очень сильно отли-
отличается от описания при помощи уравнения Фоккера — Планка. Поэто-
Поэтому кажется разумным ограничиться последним описанием, которое
уже оказывается достаточно сложным.
Эвристические подходы к этим проблемам, развитые в основном
физиками Лангером, Ландауэром и Свансоном [9.6], в настоящее вре-
432 Глава 9
мя подтверждаются строгими математическими рассмотрениями
Шусса и Матковского [9.7] и др. Первое строгое рассмотрение было
проведено Вентцелем и Фрейдлином [9.8]. Однако оно, по-видимому,
не привлекло внимания прикладных исследователей, поскольку только
со всей строгостью подтвердило оценки, которые уже давно были
угаданы, но не содержало вывода точных асимптотических разложе-
разложений, как это делалось в более поздних исследованиях.
Мы будем рассматривать ниже системы в /-мерном пространстве,
описываемые уравнением Фоккера — Планка, которое удобно пред-
представить в следующей форме:
д,р = V-[—V(*)P + Ф(х)-?Р\у (9.3.1)
Стационарное решение этого уравнения в большинстве случаев будем
предполагать известным и обозначим его через ps(x). Его, разумеется,
можно оценить асимптотически в пределе малых е с помощью метода
разд. 6.3.3.
9.3.1. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТОЧЕК ДОСТИЖЕНИЯ ГРАНИЦЫ
Мы будем рассматривать здесь только упрощенный вариант уравне-
уравнения (9.3.1), в котором диффузионная матрица D(x) равна единичной
матрице
D{x) = 1 . (9.3.2)
Это исключает из рассмотрения особенности, которые могут возни-
возникать из-за сильно меняющейся величины D, но результаты в боль-
большинстве своем при этом не сильно меняются, если D не вырождено.
Предположим, что система ограничена областью R с границей 51 и
поле скоростей v (дс) направлено внутрь области к стационарной точке
а. Наша задача заключается в асимптотическом расчете распределе-
распределения точек Ъ на границе S, через которые осуществляется выход из об-
области R. Воспользуемся тем, что хF, х) — распределение точек Ь на
S, достигнутых из начальной точки л:, — определяется уравнением
E.4.49), которое в нашем случае имеет вид
v(x) ¦ Vn(b, x) + е7гл{Ь, х) = 0 (9.3.3)
при граничном условии
п(Ь, и) = 5,(* - и) (и е S). (9.3.4)
Асимптотическое решение, справедливое при е — 0, строим, следуя
методу Матковского и Шусса [9.7].
Бисгабильность, метастабильность и проблемы перехода -Ш
а) Решение вблизи точки х = и и во внутренней области R
Сначала конструируем решение, справедливое внутри области R. При
е = 0 имеем уравнение
v(x)-Fn(b,x) = 0, (9.3.5)
которое означает, что вероятность тг(й, л:) не меняется вдоль линий
тока и(х), поскольку это уравнение просто констатирует, что значение
производной от ж(Ь, х) вдоль этих линий, равно нулю. Так как мы до-
допускаем, что все линии тока проходят через точку а, для любых точек
х внутри области R
тг{Ь,х) = п(Ь,а). (9.3.6)
Однако эта аргументация недействительна, если учесть, что v (а) = О,
и, следовательно, уравнение (9.3.5) не является более подходящей ап-
аппроксимацией.
Рассмотрим поэтому решение уравнения (9.3.3) на расстоянии по-
порядка Vi" от начала координат. Для этого мы введем новые координа-
координаты (z, уг), которые выберем так, чтобы координата z отсчитывала
расстояние от точки а, в то время как уг представляли бы собой набор
/ - 1 тангенциальных координат, определяющих ориентацию вокруг
точки а.
Более точно, выберем z(x) и уг(х) так, чтобы
v(x)-Fz(x) = -z(x)
v(x)-Fyr(x) = 0 (9.3.7)
z(a) = 0 .
Отрицательный знак в первом из этих уравнений возникает из-за то-
того, что точка а предполагается устойчивой, так что скорость v(x) на-
направлена к точке а. Следовательно, z (x) возрастает по мере того, как
точка х удаляется от точки а.
Таким образом, для произвольной функции/ мы находим
Vf = Fz(x) fz+E 7уr(x) & , (9.3.8)
а следовательно,
v(x)-Vk= -zd^ (9.3.9)
Vzn = Vz{x) ¦ Vz(x) J^ + 2 S Vz(x) ¦ VyA J^
434 Глава 9
Найдем теперь функцию тг асимптотически, переходя к переменной ?
измененного масштаба, которая определяется равенством
z = ?vT- (9.3.11)
Подставляя (9.3.8 — 11) в уравнение (9.3.3), мы находим, что в низ-
низшем порядке по е
где
H=Vz(a)-Vz{a). (9.3.12)
Мы можем теперь решить это уравнение к получить
п(Ь, х) = С, "]'<? exp (<f/2tf) + Я(А, а). (9.3.13)
о
Так как величина Н положительна, это решение для ж согласуется с
постоянством тг (Ь, х) вдоль линий тока при х Ф а только при условии
С; = 0. Следовательно, для всех значений х внутри области R
ir(b, х) = ж(Ь, а). (9.3.14)
(Заметим, что, если скорость v (дг) направлена в другую сторону, а это
соответствует неустойчивости точки а, нужно изменить знак в уравне-
уравнении (9.3.9). При этом ir(b, х) определяется выражением (9.3.13) при
замене Н — — Н, и, следовательно, на расстоянии порядка \fe от точ-
точки а значение тгF, дг) существенно меняется.)
б) Решение вблизи границы S
Рассмотрим, имея в виду последующие применения, решение несколь-
несколько более общего уравнения
где
/(«) = ?(») (и^5) (9.3.15)
(g(u) — известная функция). Граничная задача (9.3.4) является част-
частным случаем последнего равенства. Имеются две возможности:
1) Нормальная составляющая вектора v (х) не равна нулю: p-v(x) Ф 0
на границе S или всюду в R, за исключением точки х = а, являющей-
являющейся устойчивой. Видно, что при применении любого асимптотического
метода граничное условие (9.3.15) несовместимо с постоянным реше-
Бнстабилыюсгь, метаегабильность и проблемы перехода 435
нием. Следовательно, функция/(д:) должна претерпевать быстрые из-
изменения вблизи границы.
Вблизи точки и на границе S мы можем записать
v(u) ¦ Vf{x) + cF2/(*) - 0 (9.3.16)
Вблизи границы S наиболее удобно ввести нормаль р(и) к границе
5 - р(и) (направленную наружу) и определить переменную р равенст-
равенством
х = и - ePv(u) . (9.3.17)
При этом остальные переменные уг направлены параллельно 5.
Тогда в низшем порядке по ? уравнение (9.3.16) (в окрестности точ-
точки и на границе 5) сводится к уравнению
[т,.ф)]У-+Н(ы)??=0. (9.3.18)
где
Щи) = v2 = 1. (9.3.19)
Его решение имеет вид
/(*) = g(u) + С,(н){1 - exp [-v-v(u)p]} . (9.3.20)
При р — оо мы заходим на конечное расстояние внутрь области R и
при этом
/(*) - *(«) + С,(«) = Со. (9.3.21)
Эта величина не зависит от х в силу (9.3.14). Итак,
С,(«) = Со - g(u). (9.3.22)
Теперь нужно определить значение Со, являющееся по существу глав-
главной величиной, которую мы ищем.
Это можно сделать с помощью теоремы Грина. Пусть р^(х) явля-
является обычным стационарным решением прямого уравнения Фокке-
ра — Планка. Мы знаем, что его можно записать в виде
р,(х) = ехр
(9.3.23)
как это было показано в разд. 6.3.3. Возьмем теперь уравнение
(9.3.16), умножим его на/?,(х) и проинтегрируем по всей области R.
Используя то, что р^(х) удовлетворяет прямому уравнению Фокке-
436 Глава '*
pa — Планка, исходное уравнение можно свести к поверхностному ин-
интегралу
О = | dx Ps(x)[v(x) ¦ Vf(x) + eF2f(x)] (9.3.24)
Я
= \dS {ps(x)v ¦ v(x)f(x) + e[p.(x)v ¦ Vf(x) - f(x)v¦ FPs(x)]} . (9.3.25)
Замечая, что в низшем порядке по г
v • Vf{x) = - ~ ^ = -v • v{x)[Ca - g(x)]} (9.3.26)
v-PpXx) = — У-Рф(х) ехр [—ф(хIе], (9.3.27)
получаем
(9.3.28)
Вспоминая, что для рассматриваемой задачи g(u) = 6Дм — b), в слу-
случае когда точка х находится внутри области R, имеем
(9.3.29)
Из этого выражения следует, что распределение точек достижения
границы по существу имеет вид ехр[ — ф(Ь)/е], т. е. приблизительно
совпадает со стационарным распределением. Если уравнение Фокке-
ра — Планка допускает потенциальное решение, то
v(b) = ~Уф(Ь) (9.3.30)
п(х, Ь) =
и мы имеем просто результат типа среднего потока.
2) г ¦ v (х) = 0 на границе S. Эта задача имеет более непосредственную
связь с бистабильностью, поскольку можно ожидать, что на полпути
между двумя устойчивыми точками а и с находится кривая р ¦ v (x) =
= 0, которая разделяет две области и называется сепаратрисой.
Мы применяем в основном тот же метод, за исключением того,
что вблизи точки и на границе S теперь ожидаем выполнения форму-
формулы
у-Ф0~у-(х-и)к(и), (9.3.31)
Бистабилыюсть, метастабильность и проблемы перехода 437
где к (и) — коэффициент, зависящий от v (х), который предполагается
отличным от нуля.
Мы имеем теперь вблизи 5 такую же ситуацию, как и при х = а. С
помощью соответствующей подстановки
x = u-^/Ypv(u) (9.3.32)
уравнение (9.3.16) в низшем порядке по е (в окрестности точки и на
границе S) сведется к уравнению
так что
f(x) = g(u) + С, f dp ехр [-\ф)рг]. (9.3.34)
о
Устремляя р -~ оо, мы получаем
®. (9.3.35)
Дальнейший расчет такой же, как и в предыдущем пункте. Оконча-
Окончательно получаем
п(х, Ь) =
-*—) v • v(b) + v ¦ Гф(Ь)
к }
(9.3.36)
9.3.2. АСИМПТОТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ СРЕДНЕГО ВРЕМЕНИ
ДОСТИЖЕНИЯ ГРАНИЦЫ
Из нашего опыта обращения с одномерными системами можно ожи-
ожидать, что среднее время достижения границы из точки внутри области
R будет иметь порядок exp(AVe) для некоторого К > 0 при е -~ 0. По-
Поэтому введем функцию
т(х) = ехр (-К/е)Т(х), (9.3.37)
где Т(х) среднее время достижения границы области R из точки х, а
величина т(х) удовлетворяет уравнениям (см. разд. 5.4)
v(x)-Fr(x) + eFh(x) = --*" 3
т(и) = 0 «ё!
438 Глава 9
Если множитель ехр(-ЛУе) выбран правильно, то любое разложение
т(х) по степеням ? не будет содержать экспонент, так что уравнение
для т (х) в низшем порядке по е по существу будет совпадать с уравне-
уравнением (9.3.16).
Как и в предыдущем случае, мы покажем, что величина т (х) по су-
существу постоянна внутри области R и (в случае и ¦ v (х) Ф 0 на границе
5) ее можно записать в виде
т(х) ~ Со {1 - exp [-v-v(m)p]} (9.3.39)
вблизи границы S.
Умножим уравнение (9.3.38) на ps(x) = ехр[ — ф(х)/е] и, используя
теорему Грина (в основном тем же образом, что и при выводе выра-
выражения (9.3.25), но при т(х) — 0 на границе S), получим
-е"*" [ dx e-?(*)/e = -J dS е-*<*>* [Cov-v(x)], (9.3.40)
к s
т. е.
Co = jdx e-[^«'*/J dS e-'09" v¦ v{x) . (9.3.41)
R S
Согласно нашей гипотезе, Со не меняется экспоненциально подобно
ехр(А/е). В числителе выражения (9.3.41) основной вклад в интеграл
дает минимум функции ф(х), находящийся в точке а, тогда как в зна-
знаменателе — минимум этой функции в точке границы S; эту точку мы
обозначим х0. Таким образом, отношение ведет себя как
и, следовательно, для того чтобы величина Со была асимптотически
постоянной, нужно положить
К = ф(а)-ф(х0), (9.3.42)
Для точки х, лежащей внутри области R на значительном расстоянии
от границы, имеем
= [ dx e^(*/s/J dS [е~(*
R S
(9.3.43)
В случае когда rv(x) = 0 во всех точках границы S, мы получаем
т(х) ~Cojdp ехр [- \к(и)рг], (9.3.44)
о
и, следовательно, во внутренней области справедлива оценка
Бистабильность, метастабпльность и проблемы перехода 439
Дальнейший анализ можно провести аналогично предыдущему, и для
точки х внутри области R на значительном расстоянии от границы
получим
(9.3.46)
9.3.3. МЕТОД КРАМЕРСА ДЛЯ СЛУЧАЯ НЕСКОЛЬКИХ ИЗМЕРЕНИЙ
Обобщение метода Крамерса делается относительно просто. Рассмот-
Рассмотрим довольно общее уравнение Фоккера — Планка для случая / изме-
измерений (используя обозначение Р(х) для плотности вероятности)
д,Р = F-[-v(x)P + bD(x)-FP] , (9.3.47)
Стационарное решение этого уравнения Р^(х) можно записать в явном
виде только в том случае, когда для уравнения (9.3.47) выполняются
условия потенциальности. Предположим, что функция Ps(jc) имеет два
хорошо очерченных максимума в точках а и с и ясно выраженную сед-
ловую точку в Ь (рис. 9.3). Будем считать, что значение этой функции
в седловой точке намного меньше, чем ее значения в точках а и с. Вве-
Введем семейство (/ — 1)-мерных плоскостей S(w), где w — параметр, ну-
нумерующий плоскости. Мы выберем плоскость S(a), так, чтобы она
проходила через точку a, S(b) — через b и 5(с) — через с. Предполага-
Предполагается, что плоскости S(w) ориентированы таким образом, что Ps(x)
имеет единственный максимум внутри каждой из этих плоскостей.
Аналогично тому, как это сделано в разд. 9.2.1, определим
M[S(w)] = J" dx P(x),
Uw)
(9.3.48)
Рис. 9.3. Контуры (линии равной вероятно-
вероятности) стационарной функции распределения
Ps(x). Плоскость S(u) ориентирована так,
что Ps(x) имеет на ней единственный макси-
максимум, а кривая х — u(w) (штриховая линия)
является геометрическим местом точек этих
максимумов.
440 [лава 9
где L (w) — область пространства слева от плоскости S(w). Тогда
M[S{w)] = J dS-[-v(x)P + cD(x)-FP] . (9.3.49)
Поток в стационарном состоянии определяется выражением
Js =- ~-v(x)Ps -I- i:D(x)-FPs . (9.3.50)
Предположение I. Мы не рассматриваем случаи, в которых при очень
малых вероятностях Ps(x) имеют место конечные потоки /s. Посколь-
Поскольку V ¦ /s = 0, мы можем записать
J.= -er-{AP,), (9.3.51)
где А — некоторая антисимметричная матрица Потребуем, чтобы
матрица Л имела такой же порядок величины, как D(x), или мень-
меньший.
Релаксационные уравнения выводятся в два этапа. Введем величи-
величину C(х):
Pix) = P(x, l)jPs{x) ~ Na{t)lntt {x близко к а) (9.3.52)
=: Nc(t)jnc (x близко к с).
Это предположение означает, что релаксация в пределах максимума
закончилась. Подставляя Р = 0PS в (9.3.49), интегрируя по частям и
пренебрегая выражениями на бесконечности, получаем
M[S(w)] = e J dS- [Щх) ¦ VP] Р,(х), (9.3.53)
SM
где
Щх) = р(х) + А(х). (9.3.54)
Предположение II. Ps(x) имеет резко очерченный изолированный мак-
максимум на поверхности S(w), так что имеет место приближенная
оценка
M[S(w)] = {e[n(w)-&(x)-rp}aM + S(w)} | { dS P.(x)\ , (9.3.55)
Slw)
в которой предполагается, что 6(w) много меньше, чем выражение в
квадратных скобках. Здесь u(w) точка, в которой Ps(x) имеет макси-
максимальное значение при ограничении плоскостью S(w), a n(w) — нор-
нормаль к плоскости S(w).
Предположение III. Не нарушив других предположений, направление
n(w) можно выбрать так, чтобы вектор 3T(x)-n{w) был параллелен
касательной к кривой д: = u(w) в точке w. Следовательно,
w)]-n{w) = d(w)dwti{w). (9.3.56)
Бисыбилышсть, меч астабилыикч ь и проблемы перехода 441
Определим теперь величину
p(w) = \ ! dS Р.(х)\ , (9.3.57)
являющуюся (с точностью до медленно меняющегося множителя)
плотностью вероятности нахождения частицы на плоскости 5(м). Мы
ожидаем, что эта величина имеет двугорбый вид с максимумами в
точках w = anw = cn минимумом в точке w = Ъ.
Предположение IV. Эти максимумы и минимум предполагаются ост-
острыми. Пренебрегая величиной 8(w), делая выбор (9.3.56) и замечая,
что
w)} = dj[u(w)\, (9.3.58)
мы находим
у J dw {M[S(w)]/[p(w)d(w)]} = 0(wo) - /3(а). (9.3.59)
Благодаря остроте пиков в p(w)~l, мы можем аппроксимировать вы-
выражение (9.3.59), взяв при этом значение подынтегрального выраже-
выражения в экстремальных точках, используя (9.3.52) и равенство
N(a, t) = M[S(b), t]. (9.3.60)
Определяя также
w (9.3.61)
КЩ) = J [p{w)]-4w , (9.3.62)
"О
получаем следующие релаксационные уравнения:
K(wo)N.(t) = ed{wo)[No{t)jno - Na(t)lna] (9.3.63)
цЦщШ1) = ed(wo)[No(t)/no - Nc(t)lne] . (9.3.64)
Эти уравнения имеют точно такой же вид, как и в случае одной пере-
переменной, и допускают ту же интерпретацию.
9.3.4. ПРИМЕР. БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ В ПОТЕНЦИАЛЕ
С ДВУМЯ ЯМАМИ
Мы рассмотрим броуновское движение в переменных координаты и
скорости, изучавшееся в общих чертах в разд. 5.3.6. Запишем уравне-
уравнение Фоккера — Планка
< [? ?}
442 Глава 9
В обозначениях предыдущего раздела имеем
х = (х, р)
v(x) = (/?, -U\x) - ур)
?= 1
•Г °1
[о А
(9.3.66)
ехр [-
Следовательно, мы можем записать
ГО -Г
и поток в стационарном состоянии имеет вид
ГО -П
/._-„д + р.РЛ--Р- ^ 0]Л ,
так что тензор А существует и имеет вид
Н° Л
Li о.
Таким образом, предположение I выполнено.
Плоскость 5(и>) можно определить с помощью уравнения
Хх + р = w.
(9.3.67)
(9.3.68)
(9.3.69)
(9.3.70)
Предположение II требует максимальности Ps(x) на этой плоскости,
т. е. максимальности выражения — Угр2 — ?/(*•). Используя стандарт-
стандартные методы, мы находим, что этот максимум должен лежать на кри-
кривой ы(м>), задаваемой следующим образом:
U")J ~U-a*(hoJ' (9-171)
где х (w) удовлетворяет уравнению
U'[x(w)] + A2x(w) - Aw = 0. (9.3.72)
Наличие же острых пиков у Ps(x) зависит от вида потенциала
Бистабильность, метастабильность и проблемы перехода 443
Обеспечим теперь выполнение предположения III.
Параметр X является функцией от w для специального множества
плоскостей, удовлетворяющих условию (9.3.56). Кривая, касательная
к u(w), параллельна вектору
[?,1-^-^1. (9.3.73)
law dw dw]
Дифференцируя уравнение (9.3.72), имеем
(9.3.74)
Нормаль к плоскости, определяемой уравнением (9.3.70), параллельна
вектору (X, 1). Следовательно,
9Т и = A -+- Я2)" 1 I I = A + А2)'2 [ 1 , (9.3.75)
L-i у\ LiJ Ь-а
и этот вектор параллелен вектору (9.3.73), если
y-X). (9.3.76)
Мы можем теперь решить совместно уравнения (9.3.74, 76) и полу-
получить
dx [ х г U" - уХ + Р | (9 зл?)
dw у у2 [x(U" + Я2) - BА* - w)
" + А2) - BАл: -
Седловая точка имеет координаты (х, р) = @, 0) и, таким образом,
w = 0 ** х — 0. Используя это в уравнении (9.3.77), мы видим, что
должно выполняться соотношение
х ~ w/y при w ~ 0 . (9.3.79)
Вблизи точки х = 0 мы можем приближенно записать
U[x] = -1?/2.г2. (9.3.80)
Подставляя выражения (9.3.79, 80) в уравнение (9.3.72), получаем
А2 - ук + и'Щ = 0, (9.3.81)
откуда находим
-+U2. (9.3.82)
444 Глава 9
Мы видим теперь, что из уравнения (9.3.82) следует, что d\/dw = О,
когда w = 0. Таким образом, \ не сильно отличается от выражения
(9.3.82) вблизи седловой точки, и поэтому в дальнейшем мы будем ап-
аппроксимировать X выражением (9.3.82).
Только один из корней (9.3.82), а именно корень с положительным
знаком, имеет смысл, поскольку с физической точки зрения для полу-
получения результата Крамерса нужно, чтобы X — оо в пределе большой
величины трения. Другой корень отвечает выбору плоскости, при ко-
котором Р^(х) имеет на ней минимум.
Проинтегрируем теперь выражение (9.3.57) и определим функцию
d(w). Заметим, что функция d(w) должна быть определена вместе с
единичным вектором n(w). Непосредственная подстановка в выраже-
выражение (9.3.75) и использование равенства (9.3.79) дает
A + Я2)'2 = d~(w = 0)</@) = — d@), (9.3.83)
так что
d@) = у{\ + Я2)-. (9.3.84)
Далее,
p(w) = J \dS P.{x)\ = J Vd^TW1 Л(*. P)
Siw> SM (9.3.85)
Точная оценка зависит от выбора U(x). Используя приближенное вы-
выражение
Щх) ~ Uo- {игхг (9.3.86)
и оценивая результат, имеющий гауссовский вид, получаем
и, следовательно,
к@) = ]j(Wrdw = i.^2- п-~\гуп J= = МО) ¦ (9.3.88)
Итак, из уравнения (9.2.19), приспособленного к многомерной теории,
мы находим следующее выражение для среднего времени первого пе-
перехода из одной потенциальной ямы в точку х = 0:
т0 =
Бистабильность, метастабильность и проблемы перехода 445
т. е.
*-t(WS+"<
2п (9.3.90)
Сравнение с другими результатами
а) Точное выражение для среднего времени первого достижения
границы в одномерном случае (уравнение Смолуховского)
Уравнение Крамерса в пределе большой величины трения сводится к
уравнению Смолуховского для плотности вероятности
Р(х, /) = J dv P(x, v, t), (9.3.91)
а именно к уравнению
(9.3.92)
Точный результат для среднего времени первого достижения точки
х = 0 из точки х = а для этого приближенного уравнения имеет вид
xl=y]dxexp [?/(*)] J dzexp[-U(z)]. (9.3.93)
Этот результат можно оценить численно.
б) Результат Крамерса
Этот результат получается путем применения нашего метода к одно-
одномерному уравнению Смолуховского (9.3.92) и гауссовской аппроксима-
аппроксимации всех интегралов. Результат имеет вид
r2 = iyeuo^rri /2я (9.3.94)
и отличается от выражения (9.3.90) для т0 заменой X — у, безусловно
справедливой в пределе больших значений у. В этом пределе
т0 = A + U2y-2)r2. (9.3.95)
в) Уточненное уравнение Смолуховского
Более точным уравнением, чем уравнение Смолуховского (9.3.1),
является обобщенное уравнение Смолуховского F.4.108)
(9-3-96)
446 Глава 9
Используя стандартную теорию, вычислим точное среднее время пер-
первого достижения границы для этого уравнения. Оно имеет вид
т, = у | dx [1 + Y~2U"(x)] exp [U(x)] j dz exp [- U(z)]. (9.3.97)
Заметим, однако, что основной вклад в интеграл по х дает окрест-
окрестность точки х = 0, так что малый поправочный член y~2U" (pc) можно
оценить достаточно точно, если в выражении (9.3.97) положить
U"(x) ~ U"@) = -Uг. (9.3.98)
Мы получаем тогда уточненный результат Смолуховского
т3 = A - у-2и2)-Ч{ = A + y-2?/2)Tt . (9.3.99)
Нужно заметить, что в этом приближении
li = 1° (9.3.100)
т, т2 "
Это означает, что в приближении, когда все интегралы можно оце-
оценить как гауссовы, имеющие острые максимумы, наш результат со-
согласуется с уточненным результатом Смолуховского.
г) Численные результаты
Моделируя на ЭВМ эквивалентные стохастические дифференциаль-
дифференциальные уравнения
dx = pdt (9.3.101)
dp = -[yp+ U'(x)]dt + ^/Yy dfV(t), (9.3.102
мы можем оценить среднее время первого достижения плоскости So,
т. е. линии
р=-Хх. (9.3.103)
Результаты приходится получать для заданного множества потенциа-
потенциалов. Для того чтобы оценить влияние остроты пиков, мы рассматри-
рассматриваем различные температуры Т в уравнениях
ax = pdt (9.3.104)
dp = ~[ур + U'(x)]dt + ^2уТ^Щ0 . (9.3.105)
Выполняя подстановку
(9.3.106)
Бистабильность, метастабильность и проблемы перехода 447
получаем
dx = р dt
dp = ~[yp + V'(x, T)] + y/Ty dW{t) t
где
V(x, T) = U(xTllz).
Численное моделирование выполнялось для потенциала
и{х) = к*2 - iJ;
(9.3.107)
(9.3.108)
(9.3.109)
результаты показаны на рис. 9.4. Они делятся естественным образом
на два множества: кривые и прямые линии. Наилучшим результа-
Рис. 9.4. Сравнение различных
оценок среднего времени дости-
достижения границы в случае потенци-
потенциала с двумя потенциальными
ямами (разд. 9.3.4): / — одномер-
одномерное приближение; 2 — теория
Крамерса; 3 — наша теория; 4 —
среднее значение из 300 машин-
машинных экспериментов; S — уточнен-
уточненный результат Смолуховского.
1000
500
100
(-— 2
3
I I *
— 5
~ 50
а ю
I '
^ 500
I
100
&
!
Т=1,0
Т=О,15
i iii
T=O,Z
Г = 0,1
5 Ю
Z0 1
У
5 ю го
448 Глава 9
том является уточненный результат Смолуховского, который совпа-
совпадает при всех температурах с численными результатами, а при низких
температурах совпадает с результатом, полученным нашим методом.
Таким образом, подтверждается справедливость этого метода в ожи-
ожидаемой области его применимости, поскольку низкие температуры со-
соответствуют распределениям с острыми пиками.
Заметим также, что выбор плоскости 50 в качестве сепаратрисы
имеет и другое обоснование. В самом деле, вблизи точки х = О,
р - О, мы можем записать
dx=pdt (9.3.110)
dp = (~yp + U2x)dt + ^/2уТ dW(t). (9.3.111)
Условием того, что детерминированная часть вектора {dx/dt, dp/dt),
а именно вектор (р, -ур + U2x), направлена из точки (х, р) в начало
координат, является
Р Х (9.3.112)
— УР + U2x p '
Полагая р = —\х, находим
Р - ).у ~ U2 = 0, (9.3.113)
что совпадает с уравнением (9.3.81) вблизи точки х = 0. Два решения
этого уравнения соответствуют детерминированному движению, на-
направленному к началу координат (корень со знаком «+») и от начала
координат (корень со знаком « — »).
Таким образом, когда частица находится на сепаратрисе, за после-
последующий временной интервал dt только случайный член dW{t) может
увести ее с сепаратрисы, причем частица может уйти вправо или вле-
влево от сепаратрисы с равной вероятностью. Это означает, что отноше-
отношение расщепленных вероятностей выхода влево или вправо на плоско-
плоскости будет 1:1.
Это определение сепаратрисы согласуется также с определениями,
данными в разд. 9.1 и 9.2, в которых считается, что вектор i»(jc) дол-
должен быть перпендикулярен нормали поверхности S.
10
Квантовомеханические марковские процессы
Квантовая механика со времени своего основания в 20-е годы была
признана как такое описание мира, в основе которого лежит сущест-
существенно статистический аспект. Следовательно, все, что описывает
квантовая механика, следует рассматривать как некоторого рода сто-
стохастический процесс. Однако только квантовой механике свойственно
описание посредством комплексных амплитуд вероятности, квадрат
модуля которых дает действительную вероятность осуществления
какого-либо события.
В настоящей главе мы не собираемся давать формулировку подхо-
подходящей квантовомеханической теории вероятностей или в терминах со-
соответствующим образом определенного стохастического процесса в
этой обобщенной теории вероятностей формулировать квантовую ме-
механику. Что для нас действительно представляет интерес, так это вве-
ввести читателя в завораживающий мир на границе квантовой и класси-
классической теорий вероятностей — царство квантовой оптики и квантовой
электроники. Статистические аспекты в нем возникают из-за внутрен-
внутренней квантовой природы системы, так же как флуктуации возникают
из-за тепловых эффектов. Мы покажем, как квантовомеханическую
теорию оптических систем можно тесно связать с марковскими скач-
скачкообразными процессами в соответствующей обобщенной форме. Эти
процессы сами часто могут быть связаны с диффузионными процесса-
процессами на комплексной плоскости посредством так называемых Р-
представлений, или методов фазового пространства. Эти диффузи-
диффузионные процессы можно охарактеризовать квазивероятностями, кото-
которые могут быть отрицательными или комплексными, или эти процес-
процессы могут определять подлинные положительные вероятности. Ситуа-
Ситуация здесь очень похожа на ситуацию в разд. 7.7, возникающую при
переходе в представление Пуассона, которое фактически есть частный
случай Р-представления.
Мы построим эту главу следующим образом. Сначала набросаем в
общих чертах квантовомеханическую теорию гармонического осцилля-
осциллятора и введем центральное для нас понятие когерентных состояний.
Затем определим квантовый марковский процесс и покажем, как с по-
450 Глава 10
мощью метода, подобного методам адиабатического исключения
гл. 6, можно вывести для этого процесса обобщенное управляющее
уравнение. Из таких управляющих уравнений мы можем вывести
иногда обычные управляющие уравнения для процессов рожде-
рождения — гибели, а иногда, используя Р-представления, уравнения Фокке-
ра — Планка. Оба метода позволяют нам применять к этим кванто-
вомеханическим системам весь аппарат классических стохастических
процессов.
10.1. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
ГАРМОНИЧЕСКОГО ОСЦИЛЛЯТОРА
Гармонический осциллятор мы будем описывать при помощи опера-
операторов рождения и уничтожения а + и а, удовлетворяющих коммутаци-
коммутационным соотношениям
[а, а+] = аа+ - а+а = 1. A0.1.1)
Используя эти соотношения, можно показать, что собственные состо-
состояния I п > оператора а + а обладают свойствами
a+a\ri) = n\ri) n = 0,1,2,3, ... A0.1.2)
а\п) = у/п \п —
а+\п) = Vif+1 |
и
П0.1.3)
Введем оператор N
N=a+a, (Ю.1.5)
известный как оператор числа частиц, поскольку, как это видно из
формулы A0.1.2), его собственные значения являются целыми чис-
числами.
Гармонический осциллятор задается гамильтонианом
Н = (а+а + i)ftu, где A0.1.6)
* = 2пА (Ю.1.7)
есть постоянная Планка, а ы — частота.
Собственными состояниями оператора Н являются, конечно, со-
состояния 1л>, а соответствующие собственные значения этого операто-
оператора таковы:
?„ = (я + ?)й«. A0.1.8)
Квантовомсханические марковские процессы 451
Динамика вводится с помощью уравнения Шредингера. которое
определяет эволюцию во времени любого физического состояния
\А, О. Оно имеет хорошо известный вид
H\A,O=--\hd,\A,f). A0.1.9)
Свойство ортонормированности A0.1.4) означает, что мы можем
представить любое состояние в виде разложения по энергетическим
собственным состояниям 1/г>
\А, t) = ? |л> (п\А, />, A0.1.10)
и, следовательно,
\hd,\A, /> - iAS \п)д,(п\А, t) 1
- 2"l«> <n\A, t) A0.1.11)
п
-=2(" + 12)Пш\п)(п\А, О,
так что
<«M,O = e-v.<«Ml0> (]ом2)
= е-'*--*-1'2^' (п\А, 0> .
Таким образом, эволюция во времени любого состояния теперь пол-
полностью определена.
10.1.1. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С ВНЕШНИМ ПОЛЕМ
Проблема взаимодействия гармонического осциллятора с некванто-
ванным внешним полем полуклассическая. Не забираясь слишком глу-
глубоко в физику, мы просто постулируем, что этой задаче соответству-
соответствует следующий модифицированный по сравнению с A0.1.6) гамильто-
гамильтониан:
Н(а) = [(а+а f ?) - (аа+ ~ a*a) f \a\2lhw ; A0.1.13)
здесь а — комплексное число. Три части этого выражения можно рас-
рассматривать соответственно как энергию гармонического осциллятора,
энергию взаимодействия между осциллятором и возмущающим полем
и, наконец, (постоянную) энергию возмущающего поля.
Более удобно представить И (а) в виде
Н(а) = Нш[(а - аУ(а - а) + 2L] . A0.1.14)
Очевидно, что операторы (а — а)+ и а — а обычно подчиняются тем
же коммутационным соотношениям, что и операторы а+ и а, так как
452 Глава 10
а — просто комплексная постоянная. Следовательно, собственные со-
состояния в энергетическом представлении будут иметь тот же самый
вид, поскольку существование состояний \п) следует только из ком-
коммутационных соотношений.
Уравнение A0.1.3) можно использовать для определения основно-
основного, или вакуумного, состояния Ю> оператора а + а при помощи уравне-
уравнения
а|0> = 0. A0.1.15)
Соответствующим уравнением для смещенных операторов (а — а)+ ,
(а — а) служит
а\а)=а\а). A0.1.16)
Мы можем убедиться, используя A0.1.3), что решение этого уравне-
уравнения для 1а> имеет вид
|о> =ехр(-*|а|*)?-?=|л>, A0.1.17)
л=о V л!
где точный вид множителя ехр ( —- I a 12) выбран так, чтобы вы-
О")
полнилось соотношение
<*к> = 1 • A0.1.18)
Состояния 1а> были введены Глаубером [10.1] и известны как коге-
когерентные состояния. Когда гармонический осциллятор рассматривают
в качестве модели поля излучения для одномодовой системы, коге-
когерентное состояние можно считать квантовомеханическим состоянием,
приближающимся к классическому состоянию.
Собственными состояниями гамильтониана Н(а) в энергетическом
представлении теперь являются состояния \п\ а), которые имеют те
же свойства, что и A0.1.2 — 4), но записываются через смещенные
операторы (а - а)+ и (а - а).
10.1.2. СВОЙСТВА КОГЕРЕНТНЫХ СОСТОЯНИЙ
Перечислим важнейшие свойства, доказательства которых приводить
не будем, если результат получается простой подстановкой определе-
определений.
а) Определение:
~>lal2)U~hf\n>- A0.1.19)
Квантовомеханические марковские процессы 453
б) Скалярное произведение:
A0.1.20)
12)- A0.1.21)
в) Формула полноты:
1 = ±\с1га\а) <а|. A0.1.22)
Здесь
а = ах + icrv
A0.1.23)
J2a = daxda, ,
а интеграл берется по всей комплексной плоскости. Докажем это ут-
утверждение. Для произвольного вектора \А) можно написать
ХМ„|л>, A0.1.24)
так что
j da\a) (а\А} = ±Т, $ А„\а} (a\n)d*a . A0.1.25)
Подставим сюда определение A0.1.19) и перейдем к полярным коор-
координатам
a = rew 00.1.26)
d2a = rdrd0. A0.1.27)
Тогда
A0.1.25) = j- ? J^ne-rV"+™ e1 "»-»>«(„! w!)-|m>r <//• ^
A0.1.28)
= 2SJ^e-V«+4«!)-11 л>й&-,
где мы использовали
2^.m=^J^ei"»-")e. A0.1.29)
Замечая теперь, что
J<fre-'V"+I=*!/2, A0.1.30)
о
находим
A0.1.25) = ? Л„|л> = М>. A0.1.31)
454 Глава 10
Формулы A0.1.20, 21) показывают, что когерентные состояния не
ортогональны для различных а и /3 и, поскольку перед интегралом в
A0.1.22) стоит множитель 1/тг, когерентные состояния образуют пе-
переполненную систему (фактически из формулы A0.1.19) следует, что
для любого г мы можем написать выражение
| л> = ехр (|г>-" ^/Ш I d9 е-'"" \а), A0 Л .32)
которое указывает на то, что состояния для любого фиксированного г
образуют полную систему). Указанная переполненность, однако, не
является недостатком благодаря очень простой связи между когерент-
когерентными состояниями и физикой классических полей, а также благодаря
тому, что состояния Баргмана, определяемые равенством
И2)|«> = 2 -%=г |я> , A0.1.33)
0 V«i
являются аналитическими функциями а. Это свойство очень важно
для последующего изложения.
г) Разложение произвольных состояний по когерентным состояниям
Рассмотрим произвольное состояние I/). Используя соотношение
полноты A0.1.22), получаем
^|?|«12), A0.1.34)
где
/(«*) = {a\f> exp(i!«!2) = <«!|/> A0.1.35)
является аналитической функцией от а*. При этом условии разложе-
разложение A0.1.34) единственно. Если допускаются функции, зависящие как
от а*, так и от а, то, как показал Глаубер, разложение более не будет
единственным.
Нетрудно показать, что скалярное произведение двух состояний
I/> и Ig) определяется формулой
(g\f)(g\\\J) = ±jd2a[g(a*)]*f(a*)e-"'1', A0.1.36)
вследствие которой мы имеем, очевидно, гильбертово пространство
аналитических функций. Наличие скалярного произведения служит
надежной математической основой для изучения гармонического ос-
осциллятора, операторов рождения и уничтожения и всего формализма
этой главы.
Книн гономечанпчсские марковские процессы
д) Разложение оператора по когерентным состояниям
Рассмотрим произвольный оператор Т, действующий в квантовом
гильбертовом пространстве. Используя дважды разложение единично-
единичного вектора, находим
Т=
где
7V,/?) = ехр
A0.1.37)
A0.1.38)
причем из аналитичности состояний IIа> и II/3> мы заключаем, что
Т(а*, /3) является аналитической функцией от а* и /3 и при этом ус-
условии единственной. Отметим, например, что если
Т = (а+)™(а"), A0.1.39)
то
Т(а*, /?) = (а | (a+)m(a°) | /?> ехр (?|аг|
A0.1.40)
е> Любой оператор Т определяется своим средним значением во всех
когерентных состояниях
Поскольку
<а|Г|а> = ^,(п\Т\т} е" (а*)"(а)т/л/пШ^. ,
п,т
то
<л|Г|/я> = VnbrP.^nrn^,(^'"'*<a\T\a}). A0.1.41)
да* да™
Производные здесь формальные, и, как в теории аналитических функ-
функций, их нужно интерпретировать следующим образом:
а = х + \у
i. _ _L /A _ j JL
да 2 \дх ду
д 1 /Э , .
да* 2 \д.х ^ ду
У-
A0.1.42)
4? 6 Глша 10
При этом (п\1\т) являются комбинацией коэффициентов разложения
по степеням действительных переменных х и у.
ж) Когерентные состояния — собственные состояния оператора а
Именно, имеют место равенства
а \ а> = а | а>
и _ A0.1.43)
(а\а+ = (а\а*
Они доказываются непосредственно, исходя из определения, и явля-
являются первоосновой для исследования операторов а и а+ . При оценке
матричных элементов удобно использовать нормальные произведения
операторов, в которых все операторы уничтожения стоят справа от
операторов рождения. Так,
(а \ а+аа+ \ /3) = (а | а^а+а + а*[а, а+]
= (а\а~а+а-\- а*)Р) A0.1.44)
= (««/? + e*)<a|j8>.
Символ: :, в который заключено выражение, означает, что оно счита-
считается нормальным произведением. Например,
:(а + а+) (а + а+): = а+2 + а2 + 2а+а . A0.1.45)
з) Пуассоновское распределение для числа квантов в случае когерент-
когерентных состояний
Состояние \п) известно как «состояние с п квантами», поскольку его
энергия на величину ппш больше энергии вакуума Ю>, т. е. состояния
с 0 квантами. Таким образом, вероятность, наблюдения п квантов в
когерентном состоянии I а> в квантовой механике равна
РМ = | <и | «> |2 = 'ехр (- W) -,= \ (Ю. 1.46)
1 V и! i
п\
A0.1.47)
и представляет собой распределение Пуассона со средним lal2.
Поскольку число п соответствует собственному значению операто-
оператора числа частиц N, мы имеем
= (a\N\ay = 2«Р(л)= j or j2, A0.1.48)
Кнан тиомсчаннчеекне марковские процессы 457
(N2) = (a\a+aa+a\a)
= (a\a+a+aa + a+[a, a+]a\a)
= k|4+ |«l2-
Следовательно,
(N(N-l)) = \a\* = (N}2, A0.1.49)
как этого требует распределение Пуассона. Именно пуассоновская при-
природа распределения вероятностей числа квантов обеспечивает связь с
пуассоновским представлением.
10.2. МАТРИЦА ПЛОТНОСТИ И РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Обычная квантовомеханическая формула, определяющая среднее зна-
значение величины М в квантовом состоянии I ф), имеет вид
<М> = (у/\М\у/). A0.2.1)
Она относится только к тем экспериментам, в которых идентичное
квантовое состояние измеряется неоднократно. Обычно, однако,
вследствие случайного характера приготовления состояния — из-за не-
неточности приготовительной аппаратуры — мы измеряем средние зна-
значения в каждом эксперименте в различных состояниях 1^а>. Поэтому
если каждое состояние в этом случае реализуется с вероятностью Р{а),
что обусловлено не квантовыми эффектами, а просто случайным ха-
характером приготовления состояния, то измеряемое среднее дается
формулой
. A0.2.2)
Введем теперь матрицу (или оператор) плотности р:
при ее помощи A0.2.2) можно записать как
(М)=Тт{рМ). A0.2.4)
Мы ввели здесь операцию взятия следа Тг, определяемую для любого
оператора В равенством
Тг{В} =Е<«|Я|«>, (Ю.2.5)
458 Глава 10
так что
Тт{рМ) =Т,
Важным свойством операции взятия следа является ее инвариантность
относительно циклической перестановки множителей:
Тт{рМ) =Тт{Мр), A0.2.6)
Tt{ABCD} = Tx{BCDA) и т.д. A0.2.7)
важнейшие свойства матрицы плотности:
1) Тт{р) = 1 A0.2.8)
при
Тг {/>} = Ц p.<v. I v.> = 2 Л = 1 ¦ A0-2-9)
а а
2) Матрица плотности р является неотрицательно определенной;
для любого состояния \А)
(А\р\АУ = ^Ра\(А)^у\^О. A0.2.10)
3) Если матрица р соответствует чистому состоянию, то р2 = р, и,
наоборот, для чистого состояния Ра = Ьа а при некотором а0; следо-
следовательно,
Р2 = k.oX^ol^oX^ol =Р- A0.2.11)
С другой стороны, в общем случае имеем
р2 = ЯР.Рь\Ч'.ХЧ'ь\<Ч'.\?*> ¦ A0.2.12)
Это выражение равно р, только если
PaPb<Va\Vb> =0 при аф Ъ
P2<W.\?.> = Р. .
Имеем
<?.№.'> = 1-
Кшшюиомсханичсскис марковские процессы 459
Следовательно,
Р\ = Р. => Ра = 1 или 0 ,
но, поскольку ? Ра — 1, только одна из величин Ра может быть равна
единице, а остальные равны нулю, что отвечает чистому состоянию.
4) Trjp2! < Trjpj, знак равенства возможен только для чистых со-
состояний. Принимая во внимание равенство
ЕЛКл1лI
a, ft
и вытекающее из формулы
\<?о\?ь>\г<\ A0.2.14)
неравенство
1]/\|<УЛ,|у/4>|2< 1 при любых а, A0.2.15)
Ь
получаем
A0.2.16)
Очевидно, что знак равенства в формуле A0.2.16) возможен только
тогда, когда
Pb = <>Ь,а0
при некотором а0, т. е. когда матрица р соответствует чистому состо-
состоянию.
10.2.1. УРАВНЕНИЕ НЕЙМАНА
Уравнение Шредингера для любого состояния имеет вид
H\W) = ift3,lv>. A0.2.17)
Можно вывести соответствующее уравнение для оператора плотно-
плотности. В самом деле, из A0.2.3) имеем
Отсюда получаем уравнение
[Н, р] =-- \hd,p ,
A0.2.18)
460 Глава 10
которое называется уравнением Неймана, или квантовым уравнением
Лиувиддя. Формальное решение данного уравнения имеет вид
p{t) = cxp(-iHt/h)p(O) exp(i#//A). A0.2.19)
10.2.2. ^-ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ГЛАУБЕРА — СУЦАРШАНА
Глаубер [10.1] и Сударшан [10.2] ввели представление матрицы плот-
плотности, известное теперь как Р-представление Глаубера — Сударшана.
Предполагаем, что матрицу р можно представить в виде
p = j^aP(a,a*)\a){a\, A0.2.20)
где Р(а, а*) играют роль квазивероятностей. Вопросы существования
этого Р-представления мы пока не рассматриваем.
Заметим, что из равенств
Тг{р}= \ = \^
тогда получаем
1 = \<Ра Р(а, а*) .
A0.2.21)
Более того, для любого нормального произведения (a+)ra s имеем
= J Pa P{a, a*) 2 <" I <*» <« I («+XI «> ,
n
и, следовательно,
(a+)V> = f d2a(a*YaP(a, a*) .
A0.2.22)
Таким образом, величина Р(а, а*) играет роль некоторой плотности
вероятности для переменных а и а* в том смысле, что средние значе-
значения от нормально упорядоченных произведений квантовых операто-
операторов являются просто моментами, соответствующими плотности
Р(а, а*).
Условия, при которых Р-представление Глаубера — Сударшана су-
существует, довольно проблематичны. Клаудер и Сударшан [10.3] пока-
показали, что оно всегда существует, если только допускать возможность
достаточно сингулярных обобщенных функций, через которые выра-
Квантовомеханические марковские процессы 461
жается Р(а, а*). Конечно, оно не всегда существует как положитель-
положительная или даже как гладкая функция.
Мы оставим на время эти вопросы. Заметим лишь, что ответы на
них очень похожи на ответы, касающиеся существования различных
представлений Пуассона.
10.2.3. ОПЕРАТОРНОЕ СООТВЕТСТВИЕ
Известно, что
а\а) = а\а}
и
(а\а+ = а*<а| .
A0.2.23)
Другой результат действия операторов а, а+ получим, если возьмем
состояния Баргмана. Будем иметь
A0.2.24)
и аналогично
<а||а = А<ац.
Следовательно, используя Р-представление матрицы р, записанное
в более удобном виде, а именно
р = $ d1a\\aX«\\er"*P(a,d*),
получаем простое равенство
а> = J d*a ~ (||а» <аЦе—* Р(а, а*),
Интегрируя его по частям, находим,
а + р = jd2a\\a) (а\\ с~аа* (а* - ?) Р{а, а*). A0.2.25)
Мы можем определить, таким образом, операторное соответствие
между а+ на* - д/да. Аналогичная формула справедлива и для опе-
оператора а. Учитывая предыдущие формулы, получаем такие оператор-
462 Глава 10
ные соответствия:
ар
а+р
pa
ра+
<->¦ аР(а, а*)
«-» [а* — х-|
\ да]
-[«-?*)
<-> а*Р(а, а*)
Р(а,
Р(а,
а*)
а*)
A0.2.26)
10.2.4. ПРИМЕНЕНИЕ К ВОЗМУЩЕННОМУ ГАРМОНИЧЕСКОМУ
ОСЦИЛЛЯТОРУ
Рассмотрим гамильтониан
Я = Ы(а+а + J) + (Ха+ + Я*а).
Для него квантовое уравнение Лиувилля имеет вид
|? а, />] + Я[д+, /.] + Х*[а, р].
A0.2.27)
A0.2.28)
Используя операторные соответствия A0.2.26), выведем отсюда урав-
уравнение для функции Р(а, а*). Так, будем иметь
A0.2.29)
A0.2.30)
[Заметим, что порядок операторов в A0.2.30) обратный, поскольку на
оператор р они действуют справа, в то время как на функцию Р они
действуют слева.]
31
**-?)~а*]р
A0.2.31)
Аналогично
fed-аи*''
так что получаем уравнение
эр .( д . з„ Ad,A*3
1 и + и * +
эр .( д
dt \ да
—
да*
да
A0.2.32)
A0.2.33)
Киашовомехапмческие марковские процессы 463
соответствующее уравнению Лиувилля. Но надо быть осторожным.
Было бы заманчиво рассматривать а и а* как независимые перемен-
переменные, но, строго говоря, это неверно. Используя все приведенные вы-
выше соответствия, следует в действительности положить
а = х + iy
За
д_
да*
;г- + 1
. д_
*ду,
. д
A0.2.34)
и
Я = д + ш.
В этих действительных переменных уравнение A0.2.30) примет вид
— = — (coy + vjti) — — (сох + fi/h) P. A0.2.35)
Это есть не что иное, как уравнение Лиувилля, эквивалентное следую-
следующим дифференциальным уравнениям:
dx
dt
dy
dt
= — COy — v/tt
= сох + nlh .
A0.2.36)
Последние эквивалентны уравнению
da
dt
= i(oja + Я/А) ,
которое имеет решение
a = -к/Пса + qcia" .
A0.2.37)
A0.2.38)
Предполагая детерминистические начальные условия, получаем реше-
решение для распределения Р:
Р(а, a*, t) = 5 \х - Re J- А + fe'-'J) 5 [у - \т I- A + <fe'-J) A0.2.39)
= 52(а + Я/А« - ?е"»'). A0.2.40)
Здесь комплексная дельта-функция понимается в смысле A0.2.39).
Заметим, что параметр \ может зависеть от времени. В этом слу-
464 Глава 10
чае A0.2.37) принимает вид
da .г
jt = i[coa -f
A0.2.41)
Решение этого уравнения таково:
a(t) = «@) е'ш< -r i f dt' eia>u~">4t')/h , A0.2.42)
0
а соответствующее распределение Р определяется выражением
P(a, a*, t) = 82[a - a{t)} . A0.2.43)
10.2.5. КВАНТОВАЯ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
Преобразование Фурье от распределения Р(а, а*) дает обычную ха-
характеристическую функцию, подобную функции, введенной в разд.
2.6. Определим ее с помощью формулы
Х(к, Я*) = J d2a exp {Ха* - к*а) Р(а, а*) .
A0.2.44)
Заметим, что если
а = X -\- \у
ТО
ка* — к*а = 2i(vx — уц).
A0.2.45)
Поэтому выражение A0.2.44) является преобразованием Фурье по
двум действительным переменным. Возможна также такая форма за-
записи характеристической функции:
Х(к, /*) = 7г{р е\р(/.а+) ехр(—к*а)} .
A0.2.46)
Она может служить общим определением квантовой характеристичес-
характеристической функции. Заметим, что для произвольного оператора А имеем
Тг{Л} = ^ (п\А\п} = -J-/rf2«2 <
т. е.
— \d2a{a\A\a) .
A0.2.47)
Кванговомеханнческие марковские процессы 465
Используем теперь формулу Бейкера — Хаусдорфа [10.4]. Для любых
двух операторов А и В, таких, что их коммутатор [А, В] коммутиру-
коммутирует с ними обоими, можно записать
A0.2.48)
= ехр(Л) ехри] ехр^и, ts\).
Замечая, что
[ла+, -;.*fl]= |Я|2,
мы видим, что
ехр(Яа+) ехр(—к*а) = ехр(—к*а) ехр(Яа+) ехр( j Д |2).
Следовательно,
Тг [р ехр(Яа+) ехр(-Я*а)} = ехр( | Я12)Тг {р ехр(-Я*а) ехр(Яа+)}
= ехр( [ Я12)Тг (ехр(Яа+) р ехр(--Я*а)}
¦ J d2a(a\exp(ka+) pexp(—k*a)\a}.
A0.2.49)
Поскольку
(а\р\а)>0 A0.2.50)
и
Tr{/?} =±-$d2a(a\p\a) = 1, A0.2.51)
выражение A0.2.49), умноженное на ехр (— IXI2), является преобразо-
преобразованием Фурье функции (а\р\а)/тг, удовлетворяющей условиям, накла-
накладываемым на функцию вероятности. Следовательно, изображение
Фурье х(^> Х*)ехр(— IM2) является характеристической функцией рас-
распределения <а1р1а>/7Г и, согласно разд. 2.6, полностью ее определяет.
Из разд. 10.1.2 мы видим, что функция <alpla> определяет опера-
оператор р. Следовательно, функция х(Х, X*) также определяет оператор р.
10.3. КВАНТОВЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
Изложим теперь упрощенную форму квантовой теории затухания.
Для этого требуется некоторое знание квантовой статистики.
Таким
/(Я,
образом,
(Ц|
л
- j d
га ехр(Яа*
А
*а)(а\р\ау.
466 Глава 10
10.3.1. ТЕРМОСТАТ
На практике затухание происходит из-за того, что система взаимо-
взаимодействует с другой очень большой системой, известной как термо-
термостат, в которую диссипирует энергия системы. Однако при этом воз-
возникает шум, поскольку термостат возвращает некоторую часть энер-
энергии обратно в систему.
В качестве модели термостата рассмотрим большое количество не-
независимых гармонических осцилляторов с операторами Г и гамильто-
гамильтонианом
Яв = 2 ЬюДГГГ, + i). A0.3.1)
Эта система обладает стационарной матрицей плотности, в качестве
которой может быть взята любая положительная функция от гамиль-
гамильтониана Нв. Статистическая механика позволяет выбрать канониче-
канонический ансамбль, для которого оператор плотности имеет вид
р{Т) = ехр(-Яв/А:Г)/Тг{ехр(-//в//:Г)}, A0.3.2)
где Т — температура термостата. Очевидно, что
[Нв, р(Т)] = ihd.p = 0 . A0.3.3)
Поскольку гамильтониан A0.3.1) представляет собой сумму коммути-
коммутирующих между собой членов, можно записать
где
р,(Т) = ехр Г- р? (Г?Г, + ?)] /Trjexp Г- ^ {ft Г, + i)l . A0.3.4)
Обозначим далее
т. е.
Полезной величиной является среднее число квантов <«Д7)>, опреде-
определяемое формулой
= S п «р[-
Квантовомеханические марковские процессы 467
т. е.
-1]-1 •
A0.3.6)
Другими величинами, которые будут полезны, являются корреляцион-
корреляционные функции термостата. Для их нахождения введем
r,(t) = ехр('-^) Г, ехр(- ^) = ехр (-щ{) Г,
Поэтому корреляционные функции термостата таковы:
A0.3.7)
</7"(r)/";> = e ia<' <r;
<г,@Л> = (ft ('Ю
<г.(ог;> = e -" <r,
> =0
A0.3.8)
10.3.2. КОРРЕЛЯЦИИ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ ОТ ОПЕРАТОРОВ
ТЕРМОСТАТА
Введем переменную
У(') = S SiW) е'ш°' (Ю.3.9)
(множитель ехр(/ы00 введен с целью последующего применения в
разд. 10.4.2). Имеем
<Х0> = 0
= о
ЫГ)> ехр[ i (со, - co0)f] A0.3.10)
П/(Г) + I> exp[- i(a>, - ©ь)/].
Предположим теперь, что моды, нумеруемые индексом /, расположе-
расположены так близко друг к другу, что со, является гладкой функцией от /.
Тогда можно установить следующее соответствие переменных:
s,~s(col)-*s(a)) A0.3.11)
<«,(Г)> - <«(©„ Г)> - <л(со, Г)> A0.3.12)
и
A0.3.13)
468 Глава 10
Для достаточно гладких функций (п(ш, Т )>, S(w) корреляционные
функции будут быстро (экспоненциально) спадающими функциями
времени /. Например, рассмотрим корреляционную функцию
< v+(/M0)> =]dco S{(o)(n(co, Г» exp[i(w - co0)t], A0.3.14)
о
о
Если, как обычно, функция S(co)</7(w, Т )) является гладкой функцией
от ш, то ее преобразование Фурье A0.3.14) будет быстро спадающей
функцией от времени t. Таким образом, корреляционная функция
A0.3.14) должна иметь вид быстро спадающей функции от t, умно-
умноженной на ехр( —iw0o-
Это напоминает соотношение между корреляционной функцией и
спектральной плотностью, представленной в разд. 1.4.2, но здесь вме-
вместо cos о)! мы имеем exp[i(w — aH)/j и корреляционная функция являет-
является комплексной.
10.3.3. КВАНТОВОЕ УПРАВЛЯЮЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ СИСТЕМЫ,
ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩЕЙ С ТЕРМОСТАТОМ
Покажем теперь, что к квантовой системе, взаимодействующей с тер-
термостатом, можно применять методы адиабатического исключения из
разд. 6.6 с целью получения квантового управляющего уравнения. Ис-
Используемый здесь метод преобразования Лапласа не является наибо-
наиболее общим, но наиболее быстро приводит к довольно точному ответу.
Предположим, что система описывается операторами А, А + , ко-
которые могут удовлетворять произвольным коммутационным соотно-
соотношениям, а термостат — операторами гармонического осциллятора Г ,
Предполагаем, что гамильтониан представим в форме
H=fHi + yHt + Я,, A0.3.15)
где //3 является функцией хилько от операторов А, А + , а Н2 можно
записать в виде
Нг = 2 (cglr,+ + c+g,*r(), (ю.3.16)
I
где С — функция от операторов А и А+ . Здесь gi могут зависеть от
времени. Гамильтониан термостата//, имеет вид A0.3.1), хотя это не
очень существенно. Операторы системы и термостата коммутируют
между собой и действуют в различных пространствах. Таким обра-
образом, если положить Нг равным нулю, то
P = pBxPs A0.3.17)
Квантовомеханические марковские процессы 469
A0.3.18)
\п djf = [н3, р.);
и, строго говоря, нам следует писать
А = 1 х А
A0.3.19)
Г, = Г, х 1,
чтобы указать, что каждый из этих операторов действует в своем
собственном пространстве. Параметр у введен для того, чтобы под-
подчеркнуть тот факт, что введенная процедура справедлива только тог-
тогда, когда переменные термостата меняются гораздо быстрее, чем пе-
переменные системы, и то, что для получения конечного предела нужно
считать, что функции g; также должны становиться большими. Точ-
Точное осуществление этого предела на практике зависит от знания под-
подходящих переменных, которые становятся большими.
Тогда можно записать следующее уравнение движения для матри-
матрицы плотности:
& = (у2/,, + уЬг + L3)p, A0.3.20)
где
Ър=--%Ш„р], A0.3.21)
Операторы Z,,- известны как операторы Лиувилля и являются линей-
линейными. Уравнение A0.3.20) имеет теперь в точности ту форму, какая
необходима для применения техники адиабатического исключения.
Остается только определить подходящий проектор. Выбираем проек-
проектор следующего вида:
Рр = р(Т) х Тгв{р) = р(Т)хр;
A0.3.22)
где оператор р(Т) определен формулой A0.3.2) и под символом Тгв
.мы подразумеваем след только по состояниям термостата. Полный
набор состояний для системы плюс термостат можно записать в виде
и поэтому
Тгв{А} = 2 <лв, п.\А\«в, «s> • A0.3.23)
в
470 Глава 10
Очевидно, что оператор Р является проектором и
цРр = _ JL [Я„ р(Т) х Тгв/>] = 0, A0.3.24)
поскольку оператор Я, действует только на операторы, зависящие от
состояния термостата. Кроме того, имеем
PLlP =-j P(T) X Тгв {[Ни р]} = 0, A0.3.25)
так что требование
РЦ = UP = 0 A0.3.26)
выполнено.
Проверим теперь, исчезает ли выражение PLгР, т. е. посмотрим,
чему равно выражение
- -j р{Т) х Тгв {[Нг, р(Т) х р]}. A0.3.27)
Если мы подставим типичный член из Н2, а именно СГ,^ , в это выра-
выражение, то получим
- j (AT) X Тгв{П/КГ) х Ср - ;>(Г)/Ч X рС}, A0.3.28)
и, очевидно,
Тгв {Пр(Т)} = Тгв {р{Т)П) = U . A0.3.29)
Подобным образом исчезают и все остальные члены. Поэтому
PL2P = 0.
Итак, мы можем провести ту же процедуру адиабатического ис-
исключения, что и в разд. 6.6, и получить уравнение
fr[/*T) х {>] = Ьгр{Т) х р - PL2LTlL2p(T) х р, A0.3.30)
которое сводится к уравнению
х
A0.3.31)
Это уравнение теперь можно привести к более простому виду. Однако
сначала нужно рассмотреть член ?f'. В рачд. 6.6 мы использовали
соотношение
Lf'O - Р) = ]eLi'dt(l - Р) , A0.3.32)
Кватономехаппческие марковские процессы 471
которое справедливо, когда
lim eLi'(l — Р) = О
t—oo
Последнее следует из предположения, что оператор L, имеет отрица-
отрицательные собственные значения.
Такое сильное условие здесь фактически не требуется. Необходимо
только, чтобы следы операторов Г(, Г;+ по состояниям термостата со
стационарным оператором плотности р(Т) исчезали при больших t.
Это условие будет выполнено, если определенные линейные комбина-
комбинации, а именно ??,T/L и др., имеют коэффициенты gjt которые удовлет-
удовлетворяют условиям гладкости, подобным условиям для функции S(w),
обсуждавшимся в разд. 10.3.2. Так или иначе, мы принимаем соотно-
соотношение A0.3.32), а детальную проверку этого соотношения оставляем
читателю.
Заметим, что для любого оператора А мы можем определить опе-
оператор
A(t) = е-^'А = exp(i//, ЩА ехр(- i H.tjh) , A0.3.33)
что находится в согласии с A0.3.7). Это равенство доказывается с по-
помощью явного дифференцирования и определения оператора Li:
<*Ш = _¦_ [Я„ A(t)] = -ЦАA). A0.3.34)
Мы можем теперь совершить следующие преобразования:
-TrB{L2Lr'L2/>G) х р)
= 1 /Тгв{[#2, е-'Ч"*[Я2, р(Т) х /5]е'*1"*]}Л
" о
= ~к 1 TrBi [с'' *Н2е-^«\ [Нг, р(Т) х р]]} dt A0.3.35)
" о
= i J TrB [tXCgfW + C+g?nt\ [Cgjr; + C+gfTj, p(T) x p]]} dt.
В этом выражении 16 членов. Однако только те из них не равны ну-
нулю, в которые входят операторы как Г, так и Г+. Рассмотрим один
из таких членов:
4jTrB{?Q,m0C+g*/>(r) X р] dt,
который мы можем записать через оператор
' (ю.3.36)
472 Глава 10
отождествляя g* — S,-, ш0 — 0 в выражении типа A0.3.9). Введем обо-
обозначения, подобные тем, которые обычно используются в квантовой
оптике, а именно
п ° A0.3.37)
i J dt <y(t)y+(O)> = ДО + 1) - iS'
" о
~ J dt (y@)y+(O> =
П о
П о
Оценивая двойные коммутаторы, находим, что управляющее уравне-
уравнение принимает вид
—- = —г Wi, p] — w[C+C, p] + 10 [CC+, pj
о/ п
N) BCpC+ - C+Cp - pC+C)
+pC — CC+p — pCC+) = Lp.
A0.3.38)
Замечания
а) Управляющее уравнение в приведенной выше форме обычно выво-
выводится без использования преобразования Лапласа, по существу ис-
используются только уравнения во временной области (см., например,
работу Люиселла [10.5]). В нашем выводе предполагается, что опера-
оператор L j много меньше, чем y2L,, а на практике в оптических ситуациях
это не так, поскольку оператор //3 описывает быстрые колебания, ко-
которые затухают довольно медленно в результате взаимодействия с
термостатом. Обычно это можно учесть, переходя к представлению
взаимодействия, что приводит в результате к управляющему уравне-
уравнению вида A0.3.38), в котором gt явно зависят от времени, а ш0 в выра-
выражении A0.3.9) является частотой свободного движения. Эту процеду-
процедуру мы продемонстрируем на примере двухуровневого атома в разд.
10.4.2. Нашей целью здесь не являются полные и детальные расчеты,
и за полным объяснением мы отсылаем читателя к работе Люиселла.
б) Управляющее уравнение типа A0.3.38) можно считать определени-
определением квантового марковского процесса. Данный частный случай являет-
является наиболее простым с математической точки зрения. Величины Нъ и
Квантовомеханические марковские процессы 473
С, характеризующие свободное движение и взаимодействие с термо-
термостатом, совершенно произвольны, так же как и соотношения между
ними. Заметим, однако, что такое определение не является полным,
если не указать, как определять многовременные средние, или, други-
другими словами, как ввести аналог многовременных совместных вероятно-
вероятностей, лежащих в основе обычных стохастических процессов.
в) При нулевой температуре термостата рв = Ю><01 и все средние от
произведения Г + Г исчезают. Это означает, что
7=0=>jV = 0, A0.3.39)
и третья строка в A0.3.38) вклада в уравнение не дает. Таким обра-
образом, выражение, стоящее в этой строке, соответствует тепловому
шуму.
10.4. ПРИМЕРЫ И ПРИЛОЖЕНИЯ КВАНТОВЫХ МАРКОВСКИХ
ПРОЦЕССОВ
10.4.1. ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР
В этом случае мы полагаем
С — а
С+-а+ A0.4.1)
[а, а+] = 1
Н3 = Нш(а+а + ?) .
С помощью коммутационных соотношений находим, что уравнение
A0.3.38) (в котором теперь пишем просто р вместо р) приводится к
виду
до ¦ ,г . ,
?= - ш [а+а, р]
+ %K(N + 1) Bара+ — а+ар — ра+а)
+ \KNBa+pa - аа+р - раа+), A0.4.2)
где
со' = со + 6 - 6'.
а) Диагональные матричные элементы
Диагональный матричный элемент
{п\р\п) = Р(п) (Ю.4.3)
474 Глава 10
представляет вероятность того, что в системе имеется п квантов.
Можно легко проверить, что (используя свойства операторов а+ и а
из разд. 10.1) из A0.4.2) получаем уравнение
д,Р(п) = K(N + 1)[(« + 1)Р(л + 1) - пР(п)}
+ KN[nP(n -1) - (я + 1)Р(п)]. A0.4.4)
Это обычное управляющее уравнение для процессов рождения — гибе
ли. Заметим, что вероятности перехода имеют вид
t+(n) --- KN(n + 1) A0.4.5)
Г(и) = K(N + 1)я,
так что вероятность рождения кванта имеет часть, пропорциональ-
пропорциональную п + 1. Химическая реакция вида
В^=±Х A0.4.6)
А + X — 2Х
имела бы подобное управляющее уравнение.
Стационарное решение указанного уравнения имеет вид
rh- A0А7)
Это обычное распределение Больцмана, в котором можно отождест-
отождествить
1 l ^ = ex?(-hco/kT). A0.4.8)
Это очначгет, что
N = 1/[ехр(Нсо/кТ) - 1]. A0.4.9)
Последнее равенство выражает 7V через Т или наоборот. Заметим,
что
<И>* = N A0.4.10)
D М, - iV2 .
б) Уравнение Фоккера — Планка, следующее
из Р-представления
Воспользуемся здесь Р-представлением Глаубера — Сударшана из
разд. 10.2.2 и операторным соответствием A0.2.26) из разд. 10.2.3.
Вспоминая, что при использовании операторного соответствия поря-
ток в произведении операторов, стоящих справа от р, меняется на об-
Kuan i ономеханические марковские процессы 475
ратный, получаем следующее уравнение для функции Р:
A0.4.11)
3
да'
я а2
Оно имеет вид уравнения для комплексного процесса Орнштей-
на — Уленбека. Мы можем положить в нем
а = х + \у
ь
да = 1C, - Му)
и получить уравнение для действительных переменных
=- = \К\ — х + =-
3/ | w^ 3>'
.Id
у — т-
:^ ду
KNid2 , 32\]О
3х2 3//J
A0.4.12)
Этот результат имеет очень простой вид по сравнению с уравнениями
Фоккера — Планка в представлении Пуассона, в которые всегда вхо-
входят непостоянные диффузионные члены. Стохастические дифференци-
дифференциальные уравнения, эквивалентные уравнению A0.4.12), таковы:
dx — — {\Кх - (oy)dt
dy = -{\Ky + cox)dt +
dW2(t)
A0.4.13)
Эти уравнения, подобно уравнениям из разд. 5.3.6, представляют со-
собой уравнения затухающего осциллятора.
Их часто записывают в виде одного комплексного уравнения Лан-
жевена
iu')a dt + JKN dr)(t), A0.4.14)
где <Л?@ — дифференциал комплексного винеровского процесса, удов-
удовлетворяющий равенствам
= {dn*{t)y = <<//,(*) dn{t')y = (dn*{t) dn*(n> = о
=dt.
A0.4.15)
Его можно записать в явном виде
+ idW2(t)]iV •
A0.4.16)
Обобщать теорию дифференциальных уравнений на случай комплекс-
комплексных процессов a(t), т?@ не очень просто, и поэтому в дальнейшем мы
их использовать не будем. Однако уравнение Фоккера — Планка для
476 Глава 10
комплексной переменной оказывается полезным, и мы будем опериро-
оперировать им в дальнейшем.
Решения уравнения для процесса Орнштейна — Уленбека даны в
разд. 4.4.6. В нашем случае имеем
<«(/)> = «@) ехр[-(А/2 + ш')г] 4
<а*@«@> = <а*@)а@)> е"*' + #A - е"*')
<а2><=<**2>* = ° A0.4.18)
(aa*)s = (a+a)s = N.
Видим, что выражение (a+a)s исчезает лишь при N = 0, т.е. при
нулевой температуре. Интерпретация временных корреляционных
функций для этого процесса Орнштейна — Уленбека будет дана в
разд. 10.5.
в) Включение возмущающего поля
Рассмотрим теперь возмущаемый гармонический осциллятор с зату-
затуханием, взяв его гамильтониан в виде
#3 = Йсо(а+а + ?) + П(еа+ + е*а). A0.4.19)
Этот гамильтониан описывает квантовый осциллятор, взаимодейст-
взаимодействующий с неквантовым полем (разд. 10.1.1).
В уравнении Фоккера — Планка появляется тогда дополнительный
член
с учетом которого оно принимает вид
at LV2 'dav ък-w
Это уравнение снова представляет процесс Орнштейна — Уленбека,
но со сдвинутым началом, так что
<«>s = -\еЦ\К - ico') = <a>s A0.4.22)
У><>2<*2><*>2 0
Квантовомеханические марковские процессы 477
а зависящее от времени решение для среднего значения имеет вид
- ехрг (т+ И ']| ¦ <10А24>
Стационарное распределение в Р-представлении является гауссовым с
дисперсией /V и (средним значением, определяемым формулой A0.4.22).
Если величина N мала, то это распределение отвечает матрице плот-
плотности р, которая мало отличается от матрицы плотности чистого ко-
когерентного состояния las><as I. Таким образом, хорошая аппроксима-
аппроксимация когерентного состояния дается классическим возмущающим по-
полем, взаимодействующим с гармоническим осциллятором, который в
свою очередь взаимодействует с низкотемпературным термостатом.
г) Воздействие флуктуационного поля
Пусть величина ? в A0.4.19) будет функцией (возможно, стохастичес-
стохастической) от времени -?@- Уравнение Ланжевена для а, а* при этом при-
принимает вид
da[t) = у-{\К + юУ)а@ - \e{t)]dt + ^{dW^t) + idW2(t)]. A0.4.25)
Поскольку величина ?@ входит в это уравнение линейно и умножается
на константу, мы можем сделать несколько простых предположений.
Простейшее из них состоит в том, что мы переходим к пределу
малых времен корреляции и делаем замену
e(t)dt = eadt -
которая задает независимые флуктуации по каждой компоненте (при
этом не возникает вопроса об интерпретации по Ито или по Страто-
новичу, поскольку коэффициент при е@ постоянен). В результате это
приводит к следующей замене в уравнении A0.4.21):
KN—KN+f, A0.4.26)
означающей, что дополнительный шум просто увеличивает интенсив-
интенсивность теплового шума, уже имеющегося в системе. Поступая иначе,
можно записать уравнения движения для s(t) и решать их совместно
со стохастическим дифференциальным уравнением A0.4.25).
478 Глава 10
10.4.2. ДЕЙСТВИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ НА АТОМ С ДВУМЯ
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИМИ УРОВНЯМИ
Двухуровневый атом, который может находиться в одном из двух со-
состояний, является удобной идеализацией и часто используется при
рассмотрении атомных систем. Будем описывать его с помощью мат-
матричного формализма
Г01
| —) = основное состояние
Ш A0.4.27)
| +> = возбужденное состояние.
Переходы, которые могут происходить в системе, описываются мат-
матрицами Паули
S+ =
0
0
1
0
"О
1
01
. s,=
0
0
0
-1
A0.4.28)
Так, матрица S+ переводит атом из основного состояния в возбужден-
возбужденное, а матрица S" — из возбужденного состояния в основное. Га-
Гамильтониан системы, взаимодействующей с полем излучения и возму-
возмущающим полем E(t), можно записать в виде
S~E*(t)]
Нг = S [gtS+at + gl*S-a+] A0.4.29)
Я, = 2 Псо^а+а, + J).
С физической точки зрения член — hw0Sz приписывает энергию — hcoo
возбужденному состоянию и — hio0 — нижнему состоянию, так что
энергия возбуждения составляет величину #w0. Второй член в Нъ пред-
представляет взаимодействие возмущающего поля с дипольным моментом
атома и имеет по существу тот же вид, что и Н2, в котором, однако,
все моды, описываемые индексом /, квантованы. Считается, что мо-
моды / соответствуют фотонам с энергией йш,, движущимся в различ-
различных направлениях, помечаемых индексом /, в то время как возмущаю-
возмущающее поле E{t), являясь строго классическим, распространяется в одном
определенном направлении.
Кванты поля излучения служат термостатом. Мы используем
здесь обозначение а, для операторов Г,. Хотя в принципе термостат
KisaiiioiiOMCxuiiii'iocKiic марковские iipoiiiwi i 4 /v>
может иметь любую температуру, в экспериментальных ситуациях он
обычно имеет практически нулевую температуру. Мы, однако, сохра-
сохраним возможность ненулевой температуры Т.
Предполагается, что возмущающее поле Е (?) имеет такую частоту
со0, которая требуется для возбуждения атома. Таким образом, мы за-
записываем
?(/) = ? e"i<u°'. A0.4.30)
В рассматриваемом случае лучше всего перейти к представлению вза-
взаимодействия, в котором отсутствуют быстрые осцилляции. Введем
p(t) = ехр f^S,*) р ехр (- ]^Szt). A0.4.31)
Тогда изменение p(t) можно описать с помощью гамильтонианов
i eiffl°' S+a, + g*e-"°o<S-a+) A0.4.32)
Я, = 2 htoiata, + i).
2
Читатель может проверить, что все этапы дальнейших выкладок та-
такие же, как и в разд. 10.3.3, с той лишь разницей, что нужно сделать
замену
g,-~ gfiimot, A0.4.33)
означающую, что величины y{t) определяются теперь точно так же,
как в A0.3.9). Таким образом, явная экспоненциальная зависимость от
времени появляется здесь именно в результате свободного движения
атома.
Используя алгебраические свойства матриц A0.4.28), получаем для
редуцированной матрицы плотности р в представлении взаимодейст-
взаимодействия такое управляющее уравнение:
N)[2S~pS+ - i(l + S.)fi - \р(\ + S.)]
\KN[2S+pS- - i(l - S,)fi - \p{\ - S,)\. A0.4.34)
Мы не можем использовать здесь когерентные состояния, поскольку
матрицы S+ , Sz действуют в двумерном пространстве и не являются
операторами гармонического осциллятора. Матрица плотности явля-
является 2 х 2-матрицей с единичным следом и полностью определяется
480 Глава 10
величинами TrfpS* j, TrjpS.J, являющимися средними от соответству-
соответствующих операторов. Для этих определяющих величин имеем следующие
уравнения:
l<S+> =
jt <5-> = -\K{2N + l)<5-> - ide*(S.-> A0.4.35)
J- <Sr> = -KBN + IKS,} -K+ Jirf(e*<S+> - ?<?-».
Данные уравнения детально исследовались Кармайклом и Уоллсом
[10.6]. Мы остановимся здесь лишь на некоторых вопросах.
а) Стационарное решение при е — 0
В этом случае
<S+> = <*"> - ° A0.4.36)
/CX___L_
4 г? 2N+V
Полагая N = (ehu)/kT — I), мы получаем правильное распределение
Больцмана.
б) Релаксация, зависящая от температуры
В отличие от гармонического осциллятора скорость релаксации про-
пропорциональна 2 N + 1 и поэтому зависит от температуры. К сущест-
существенному различию приводит также другая операторная алгебра.
в) Сравнение с температурой термостата
Используя соотношения A0.3.12) и другие связанные с этим формулы,
оценим явно величины К, N,6,6'. Имеем
±KN + i<5 = й2 ? dt e-ia)o< I da> S(co) <и(со, Г)> е1а" . ~ A0.4.37)
о о
Отметим справедливость тождества
J dQ J/(f2)e±ia' = п /@) ± i f dQ f(Q)jQ , A0.4.38)
о
где символ / означает главное значение Коши интеграла, содержащего
1/П. Следовательно,
\д = nh2S(aH) <и(ш0, Г)> + ih21 dw S(ti)(n(<o, T)>(<o-co0)-1. A0.4.39)
Квантовомеханические марковские процессы 481
Аналогично можем записать
1) + id' = nh2S{ca0)(n{coQ, T) + 1>
+ W | dco S(co)(n((o, T)
A0.4.40)
что является более привычной формой выражения постоянных затуха-
затухания.
Из этих уравнений находим
A0.4.41)
A0.4.42)
A0.4.43)
Отметим, что равенство A0.4.42) находится в согласии с A0.4.36),
т. е. атом приобретает ту же температуру, что и термостат.
г) Стационарное среднее значение при ненулевом поле
Решая уравнения A0.4.35), можно найти
/оч___ -K\2N+\)
N =
-3
2uHzS(co0)
<п(со0, Т)}
+ д' = Н2]
0
=
dco
[ехр (Лео
S(a>) (со
JkT)
— соа
—
Г1
1]-'
K2BN +
2d2\e\2
-2\dKe
v, / - v, z ~ Ki{2N+\J + 2d2\a\2-
д) Связь со случайным телеграфным процессом:
уравнения Эйнштейна
Когда E{t) = 0, можно ввести величины
A0.4.44)
A0.4.45)
Р(-) = <~\Р\-У
и получить для них управляющее уравнение
A0.4.46)
A0.4.47)
Эти уравнения идентичны уравнениям C.8.5) для случайного теле-
телеграфного процесса. Таким образом, двухуровневый атом можно рас-
482 Глава 10
сматривать как квантовый случайный телеграфный процесс. Однако
если ?40 Ф 0, то эти уравнения зацеплены с уравнениями, определяю-
определяющими недиагональные матричные элементы, что дает истинно кван-
квантовый процесс.
Уравнения A0.4.47) были впервые введены Эйнштейном [10.7] и
известны теперь как уравнения Эйнштейна. Они наглядно показыва-
показывают два эффекта:
1) вынужденное излучение и поглощение: члены, пропорциональ-
пропорциональные N, зависят от числа фотонов поля излучения и называются вы-
вынужденными членами. Таким образом, процессы возбуждения (— —
+ ) и снятия возбуждения (+ — —) с соответствующим поглощением
или излучением фотона могут происходить вследствие наличия опре-
определенного числа фотонов в поле излучения;
2) спонтанное излучение: т. е. снятие возбуждения (+ — —) про-
происходит под влиянием члена КР(+), входящего в оба уравнения. Сня-
Снятие возбуждения может происходить даже при отсутствии фотона. С
современной точки зрения это не удивительно, но в те времена, когда
это было впервые получено, это было важным новшеством.
10.5. ВРЕМЕННЫЕ КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ
КВАНТОВЫХ МАРКОВСКИХ ПРОЦЕССОВ
Можно легко найти точное выражение для двухвременной корреляци-
корреляционной функции (A(t')B(t)) квантовой системы; мы просто приведем
здесь конечный результат. Пусть pit) — матрица плотности в пред-
представлении Шредингера в момент времени t, H — гамильтониан, А и
В — операторы измеряемых переменных. Тогда
} A0.5.1)
z)B(t)} = Tr{e№/M e-iwltBp(t)} . A0.5.2)
[Справедливость выражения A0.5.2) следует из формы представления
Гейзенберга, для которого
<Л(/ + г)В(ф = Tr{An(t + тЬВяСЫ. (Ю.5.3)
причем гейзенберговская матрица плотности рн не зависит от време-
времени.]
Уравнение A0.5.2) точное, но не очень полезное. Мы хотим выра-
выразить все в квантовой марковской системе через оператор Лиувилля ре-
редуцированной системы, в которой взят след по переменным термоста-
термостата. После того как это будет сделано, мы можем эффективно опреде-
Квамтовомеханические марковские процессы 483
лить многовременные совместные вероятности, позволяющие нам по-
полностью охарактеризовать квантовый марковский процесс.
Этого можно достичь сравнительно просто. Предположим, что
операторы А и В действуют только в пространстве системы, а не в
пространстве термостата. Тогда равенство A0.5.3) можно предста-
представить в виде
т)В(ф = Trs{A Тгв{е-'Яг/*?/?(Ое1Яг/*}}, A0.5.4)
поскольку оператор А в пространстве термостата пропорционален
единичному оператору.
Уравнение движения для выражения
Х(т, t) = еЯг/* Вр@ен"л, A0.5.5)
рассматриваемого как функция т, имеет вид
ihdTX(r, О = [Н, Х(т, /)]. A0.5.6)
Аналогично тому как мы вывели уравнение A0.3.38), которое можно
записать в абстрактной форме
d,p(t) = Lp(t), A0.5.7)
где
p = TrB{pl, A0.5.8)
теперь можно получить уравнение
Зг[Тгв{Х(т, Г)}] = L[TrB{X(r, 0}], A0.5.9)
так что выражение A0.5.4) в этом адиабатическом пределе эквива-
эквивалентно выражению
+ т)В(ф=Тт,{А^Вр
A0.5.10)
Используя аналогичную процедуру, можно решить задачу нахождения
различных многовременных корреляторов, например найти
<A(ti)B(t1)C(tl)) = Tvs{AcLu^ Вс^г-п> Cp(tl)}
A0.5.11)
при !у ^ l2 ^ h (°ба оператора L в этом выражении действуют на
все, что стоит справа от них).
Поскольку не все операторы коммутируют между собой, времен-
временное упорядочение не обязательно совпадает с упорядочением операто-
операторов. Это порождает огромный диапазон возможностей, не все из ко-
которых описываются простыми формулами.
484 Глава 10
Частным случаем является следующий:
(A(t)B(t + z)C(t + r)D(t)} = Tr{A e№/* ВС е"'Яг/* Dp(t)}
= Тг5 {ВС TrB {e-ift/ft Dp{t)A e
При этом
(A(t)B(t + z)C(t + r)D(t)) =
A0.5.12)
Отметим, что выражение A0.5.10) является частным случаем этого
выражения, так как, полагая C{t) = D(t) = 1, мы находим
A0.5.13)
Полный набор корреляционных функций для всех возможных опера-
операторов определяет всевозможные совместные средние значения, и, та-
таким образом, его можно принять за определение марковского свойст-
свойства квантовой системы, в которой оператор L может быть произволь-
произвольным, но сохраняющим Trs[p] и положительность р. В частности, мож-
можно использовать оператор L, определяемый уравнением A0.3.38), ко-
который является единственным типом оператора, встречающимся на
практике.
10.5.1. КВАНТОВАЯ ТЕОРЕМА РЕГРЕССИИ
В том случае, когда уравнения для средних оказываются линейными,
можно доказать квантовую теорему регрессии, подобную аналогичной
теореме для обычного марковского процесса (разд. 3.7.4). Этот ре-
результат был впервые получен Лэксом [10.8].
Пусть для некоторого набора операторов У, и для любого началь-
начального р из управляющего уравнения можно получить линейное уравне-
уравнение вида
A0.5.14)
A0.5.15)
у
при г > 0. В самом деле,
A0.5.16)
Квантовомеханические марковские процессы 485
Правую часть этого равенства можно трактовать как среднее значе-
значение величины Yt(t + т) при начальной матрице плотности
Рнач = Y,p(t). A0.5.17)
Поскольку, согласно принятому предположению, допускается любой
начальный оператор р и среднее < У(-> линейно по р, мы действительно
можем взять совершенно любой начальный оператор. (Казалось бы,
что требование нормировки, эрмитовости и неотрицательной опреде-
определенности ограничивает набор возможных начальных операторов, но
это не так. Например, в случае двух состояний имеются четыре ли-
линейно независимые эрмитовы неотрицательно определенные матрицы
с единичным следом, а именно
п
о о
О 1
i Я Г \
\ \\ L-li i
A0.5.18)
которые образуют базис в пространстве матриц размерности 2x2.
Это свойство непосредственно обобщается на произвольную размер-
размерность пространства.) Следовательно, при выборе pinit в виде A0.5.17)
гипотеза A0.5.14) приводит к результату A0.5.15), являющемуся кван-
квантовой теоремой регрессии.
10.5.2. ПРИМЕНЕНИЕ К ГАРМОНИЧЕСКОМУ ОСЦИЛЛЯТОРУ В
Р-ПРЕДСТАВЛЕНИИ
Рассмотрим сначала нормально упорядоченную временную корреля-
корреляционную функцию
(a+(t + т)а(ф = Tr{a+e^a J d*a Р(а, t)\a> <а\) (Ю 5 J9)
= Тг {a+e?l J d2a aP(a, 01 «><«I} •
Множитель
е?т J d2aaP(a, 0|а><«1
является решением обоощенного управляющего уравнения: начальным
условием для него служит оператор, который в Р-представлении име-
имеет плотность аР(а, t). Если существует уравнение Фоккера — Планка
(например A0.4.11), A0.4.21)), соответствующее оператору ?, то этот
множитель является матрицей плотности с Р-функцией вида
J d2a'a'P(a, t + x\a',t)P{a', t). A0..5.20)
486 Глава 10
Поэтому, используя циклические свойства операции взятия следа и
свойство <ala+ = а*<а1, получаем
т)а(О> = Тг{а+ J d2ad2a'a'P(a, t + т|а', t)P(o/, ОI«><«!}
= f d2adWa*a'P(a, t + z; a't).
Это означает что,
A0.5.21)
где а(О — стохастическая переменная в Р-представлении^. Аналогич-
Аналогично для любой функции операторов а+ и а имеем
A0.5.22)
В случае произведений операторов, не являющихся нормально упоря-
упорядоченными, результат не будет таким простым.
Рассмотрим, например, выражение
<а+(/ 4- r)a(t 4- т)а+@й(/)> = Тт{а+а е1та+я J ЛР(а, /)|а><а|} ; A0.5.23)
Используя операторные соответствия A0.2.26) из разд. 10.2.3, имеем
A0.5.23) =
2
) ар(а
Действуя по аналогии с предыдущим ^ находим
7ШТ23) = Tr Ja+« J </2a J rf2«T(a, / 4- т j a', ?
A0.5.24)
A0.5.25)
'' Квантовые марковские процессы, рассматриваемые в книге, не могут быть при-
применены для описания равновесных квантовых процессов, соответствующих определен-
определенной температуре, даже если в неквантовом пределе эти процессы марковские. В самом
деле, используя A0.5.21, 34) и технику A0.5.24 — 29) или применяя к рассматриваемому
демпфированному осциллятору квантовую теорему регрессии, можно получить
<а+(/)а@)> = Nexp(-K\t\/2 + iu't).
<а@)а+@) = (N + l)exp(-A:l,'!/2 + iu'r),
где / любое. Эти равенства не согласуются с известной теоремой (см. например,
[10.10*, с. 18]), согласно которой в случае термодинамического равновесия, соответст-
соответствующего температуре Т = (@ку\ равновесные средние должны удовлетворять соотно-
соотношению
(B(t)D) = {DB(l + Щ)) =
Здесь операторы B(t), D любые, в том числе 5@ = а+ @, D = а@). — Прим. ред.
Квантовомеханмческие марковские процессы 487
Наконец, еще раз используя операторные соответствия, получаем
A0.5.23) = j d2ad2a Ma* - — \ aP(a, t + т \a', t)J (a* - —\ a'P(a, t)\.
A0.5.26)
Для упрощения этого выражения мы можем опустить член, содержа-
содержащий д/да, оператор д/да' слева, поскольку при интегрировании он
обращается в нуль, и проинтегрировать д/да по частям, что дает
A0.5.26) = / d2ad2a'(a*a)(a'*a')P(a, t + x;a',t) A0.5.27)
+ J d2a'P(a', t)a ~ [j d2a(a*a)P(a, t + t\a', t)}. A0.5.28)
Результирующая формула имеет вид
+ r)a(t + т)а+(г)а(?)> =
«@!2>
a(t + r)\21 W,t])}.
A0.5.29)
Этот результат аналогичен результату G.7.76) для представления Пу-
Пуассона. В самом деле, если Р-функция зависит только от lal2 и la' I2,
то эти результаты после замены ! a 12 (Р-представление) на а (пред-
(представление Пуассона) будут идентичны.
Большой интерес для измерений представляет корреляционная
функция
(a+(t)a+(t + ф(/ + х)а{ф = G2(r, t). A0.5.30)
Как показал Глаубер [10.1], именно она определяется в экспериментах
по измерению корреляции интенсивностей света, попадающего на де-
детектор в различные моменты времени.
Используя формулу A0.5.12), запишем
G2(r, 0 = Тг {а+а еСтара+}. A0.5.31)
что после рассмотрения, аналогичного предыдущему, принимает вид
A0.5.32)
Этот особенно простой результат означает, что измеряемая корреля-
корреляционная функция интенсивности G2(r, t) тождественна корреляцион-
корреляционной функции для переменных Р-представления, но не совпадает с вы-
выражением A0.5.29).
488 Глава 10
Пример: Возмущаемый осциллятор с затуханием. Из разд. 10.4.1в
легко получить стохастическое дифференциальное уравнение для пере-
переменной а — as:
d(a - as) = -QK + \co'){a - a,)dt + VKfidrl(t),
где dij2 = dr}*2 = 0, d-qd-q* = dt. Следовательно, переходя к новой пе-
переменной
/= \(a-asJ\7
получаем
<//= -АЙЙ + Vi^ [(« - <*.)*<&! + (« - «s)^*] + ^(а - «s)^(« - « )*
и
ш
Итак, величина </> - iV подчиняется линейному уравнению; следо-
следовательно, можно применить квантовую теорему регрессии и получить
стационарную корреляционную функцию
- NJ).
Вследствие гауссовской природы стационарного распределения пере-
переменных/ (t), a*(t) имеем
</@J>s = <(х2 + у2J) = <х4 + 2х2у2 + /> (здесь а - as = х + \у).
Поскольку переменные х и у в стационарном состоянии независимы
(это следует из A0.4.23)), то
= 2N2
и, следовательно,
A0.5.33)
Аналогично получаем формулу
<«*(/),a@)>s = G\t\ = Nexpi-ЦК- i(o)t].
A0.5.34)
10.5.3. ВРЕМЕННЫЕ КОРРЕЛЯТОРЫ ДЛЯ ДВУХУРОВНЕВОГО АТОМА
В этом случае вполне применима теорема регрессии и выражения для
корреляторов быстро получаются из разд. 10.4.2. Для простоты мы
будем рассматривать только стационарные корреляционные функции
Квантовомсханичсскис марковские процессы 4X9
G@ =
Тогда
dG{t)
dt
<S+(t)S+(O))s (S+(t)S-@)}s (S+(t)S2@))'
(S~(t)S+(O))s <S-@5-@)>, (S-(t)Sz(O))s
A0.5.35)
-ids*
-KBN +
<?(/) • A0.5.36)
Это матричное уравнение можно проинтегрировать и получить его
полное решение. Начальное условие упрощается при использовании
алгебраических свойств матриц A0.4.28) и приводится к виду
G@) =
о
1
A0.5.37)
а входящие сюда стационарные значения уже были приведены в разд.
10.4.2. Задача нахождения в явном виде корреляционных функций и
спектра была решена Кармайклом и Уоллсом [10.6].
10.6. ОБОБЩЕННЫЕ Р-ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
Идея представления матрицы плотности в виде линейной комбинации
матриц плотности когерентных состояний, как это делается в Р-
представлении Глаубера — Сударшана, является особенно полезной в
тех квантовых системах, которые описываются бозе-операторами а +
и а. Дело в том, что только таким способом квантовое управляющее
уравнение можно свести к уравнению для обычных стохастических
процессов. Ситуация здесь противоположна случаю представления
Пуассона, которое лишь преобразует стохастический процесс рожде-
рождения — гибели в диффузионный процесс.
Несмотря на формальное сходство с классическим распределением
вероятностей, распределение Р(а) не является истинным распределе-
распределением вероятностей, а относится к классу квазивероятностных распре-
распределений. В то время какР(а) существует и является неотрицательным
для тепловых световых полей (гауссовское распределение см. разд.
10.4.1) и когерентных лазерных полей (распределение в виде 5-
функции), для полей с неклассической статистикой фотонов Р (а) не
обязательно неотрицательная функция с хорошим поведением (Клау-
дер и Сударшан [10.3] показали, что она существует, но в виде чрез-
490 Глава И)
вычайно сингулярных распределений). Такие неклассические поля наб-
наблюдались в экспериментах по атомной флюоресценции. Существуют и
другие квазивероятностные распределения, для которых некоторые из
трудностей, возникающих в случае /"-представления, отсутствуют.
Распределение Вигнера, являющееся исторически первым квазивероят-
квазивероятностным распределением, может быть получено из Р-представления
при помощи интеграла
W(a) = -J- J P(fi) ехр(- 2\0 - a\2)d20 . A0.6.1)
Распределение Вигнера всегда существует в виде несингулярной функ-
функции, но может принимать отрицательные значения. Это распределе-
распределение упрощает усреднение симметрично упорядоченных произведений
операторов, но менее удобно при усреднении нормально упорядочен-
упорядоченных произведений операторов.
Другим распределением, которое уже всегда положительно, явля-
является распределение Q, связанное с диагональными матричными эле-
элементами оператора плотности в а-представлении:
Q(a, «*)= (а\р\а)/-к. A0.6.2)
Хотя это распределение неотрицательно, оно имеет тот недостаток,
что не всякая положительная Q-функция отвечает неотрицательно-
определенному эрмитову оператору плотности. Кроме того, выраже-
выражения для моментов в Q-представлении просты только в случае анти-
нормально упорядоченных произведений операторов.
Глаубер ввел также R-представление при помощи разложения
A0.1.37) произвольного оператора, применив его к оператору плотно-
плотности:
R(a*,fl)= <а|/|Д>р(^|) !j/|)
, A0.6.3)
р = ?/ |«> R(a*, /?)<?1 ехр [-К!«Г + \P\2)V2ad*p .
Это представление аналитично по переменным а*, /3 (и, следователь-
следовательно, несингулярно). Оно также по определению неотрицательно и нор-
нормировано на единицу при наличии гауссовского весового множителя.
По последней причине для него нельзя записать уравнение Фокке-
ра — Планка и его нельзя интерпретировать как квазивероятность.
Тем не менее существование такого распределения указывает на то,
что вычисления с нормально упорядоченными наблюдаемыми величи-
величинами для любого оператора р возможны и при несингулярном пред-
представлении.
Квангономеханичеекпе марковские процессы 491
10.6.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБОБЩЕННОГО Р-ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
Для решения задач нелинейной квантовой оптики, в которых возника-
возникает неклассическая статистика фотонов, Друммонд и Гардинер [10.9]
ввели класс обобщенных Р-представлений путем разложения операто-
оператора плотности по недиагональным проекционным операторам, описы-
описывающим когерентные состояния. Используемые при этом методы ана-
аналогичны методам, применявшимся для определения различных пуас-
соновских представлений в разд. 7.7. Обобщенные Р-представления
определяются следующим образом. Мы полагаем
р = J Л(а, 0)Р(а, p)dM(a, 0) , A0.6.4)
где
%й = ^, (Ю.6.5)
dц(а, в) — мера интегрирования, выбор которой определяет различ-
различные классы возможных представлений, а 5/ — область интегрирова-
интегрирования. Проекционный оператор Л (а, в) является аналитической функци-
функцией от переменных а, C.
Полезными оказываются следующие меры интегрирования:
а) Р-представление Глаубера — Сударшана
diAfx, Р) = 52(«* - р) d2ad2p. A0.6.6)
Эта мера соответствует Р-представлению Глаубера — Сударшана
б) Комплексное Р-представление
d/u(a, P) = da dp. A0.6.7)
Здесь а, /3 рассматриваются как комплексные переменные, интегриро-
интегрирование по которым ведется по отдельным контурам С, С . Существо-
Существование этого распределения при определенных условиях будет проде-
продемонстрировано в следующем разделе. Это представление, в частно-
частности, существует для оператора, который можно разложить по конеч-
конечному базису состояний, нумеруемых целыми числами. Эта ситуация
характерна для неклассической статистики фотонов (разгруппирование
фотонов). При этом Р-представление Глаубера — Сударшана обычно
сингулярно. Это представление носит название комплексного Р-
представления, поскольку значения функции Р(а, в) комплексны.
Можно показать, что эта функция Р(а, в) удовлетворяет уравнению
Фоккера — Планка, получаемому из обычного уравнения Фокке-
ра — Планка типа Глаубера — Сударшана с помощью замены (а, а*)
на (а, /3).
492 Глава 10
При определенных условиях можно найти точные решения этих
уравнений Фоккера — Планка, которые, однако, не могут быть нор-
нормированы в отличие от Р-функций Глаубера — Сударшана. Опериро-
Оперировать с ними можно в рассматриваемом представлении, если выбрать
контуры интегрирования С, С" в комплексном фазовом пространстве
а, /3.
в) Положительное Р-представление
dfi(a, Р) = dzad2p.
В этом представлении допускается независимое изменение переменных
во всей комплексной плоскости. Мы покажем в следующем разделе,
что для физического оператора плотности функция Р(а, /3) всегда су-
существует и может быть выбрана положительной. Мы называем такое
представление положительным Р-представлением. Это означает, что
функция Р(а, /3) обладает всеми свойствами истинного распределения
вероятностей. Мы также покажем, что если какое-либо уравнение
Фоккера — Планка существует в представлении Глаубера — Сударша-
Сударшана, то существует соответствующее уравнение Фоккера —
Планка с неотрицательно определенным коэффициентом диффузии и
для положительного Я-представления. Это позволяет вывести стоха-
стохастические дифференциальные уравнения и установить соответствие
между квантовым марковским процессом и обычным диффузионным
процессом.
Моменты операторов определяются, конечно, во всех представле-
представлениях выражением
<(а+)"в"> = J d/4.a, ЮРт<*"р(«> Р) • A0.6.8)
10.6.2. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ
В этом разделе мы покажем, что для обобщенных Я-представлений
можно получить довольно сильные результаты, касающиеся условий
существования. Мы сделаем это при помощи ряда теорем. Читателю
следует обратить внимание на то, что будет использоваться обозначе-
обозначение
« = («, Р) ¦
Теорема 1. Для оператора плотности, который можно разложить
в конечный ряд по операторам типа (а+)'" Ю><01 а", существует ком-
комплексное Я-представление.
Квантовомеханические марковские процессы 493
Доказательство. Пусть
Р = 2? С„>+)-"|0><0|а". A0.6.9)
Тогда по теореме Коши имеем
p=$j A(g)P(g)dfi(g) , A0.6.10)
с, с'
где
Р(«) = (-lWe^XS Сптп\т\а-т-1р-»-1 , A0.6.11)
п, т
а С, С — пути интегрирования, окружающие начало координат.
Теорема 2. Комплексное Р-представление существует для любого
оператора, который можно разложить по когерентным состояниям в
ограниченной области, т. е. представить в виде
р = J J Л{а, Р)С(а, 0)d*ad2p , A0.6.12)
D,D'
где D, D' — ограниченные области в каждой комплексной плоскости.
Доказательство. Применяя теорему Коши, можно показать, что
если
Pis) = - i I I C(a\ Л/[(« - «')(/? - Я]<* W/Г , A0.6.13)
471 Д В'
TO
p= $ $ A(g)P(g)da dfS, A0.6.14)
c,c
где контуры С, С ограничивают соответственно области D, D'. Сле-
Следовательно, комплексное Р-представление в этом случае существует
для любого ограниченного разложения по проекционным операторам
когерентных состояний.
Теорема 3. Для любого квантового оператора плотности существу-
существует положительное .Р-предс^авление. имеющее вид
Р{д) = A/4тг2) ехр(-|а - уЗ*|2/4)<К« + ?*) И Н« + П> ¦ (Ю.6.15)
Доказательство. Функция Р(а) положительна, поскольку она об-
.разована из диагонального матричного элемента оператора плотно-
плотности, умноженного на положительную функцию. Для того чтобы пока-
показать, что эта функция представляет в общем случае квантовый опера-
оператор плотности, используем характеристическую функцию
= Тх{р еАа+ е~х*"}. A0.6.16)
494 Глава 10
В разд. 10.2.5 было показано, что эта функция определяет оператор р
единственным образом. Характеристическую функцию можно выра-
выразить через R-представление оператора р:
Х(Х) = ~\ R(a*, Я + а) ехр {-к*а - \а\2)^а . A0.6.17)
Подставим теперь /?-представление для р в формулу A0.6.15), выра-
выражающую функцию Р (а) через диагональные матричные элементы опе-
оператора р. Затем введем оператор рР в форме положительного Р-
представления A0.6.4), функция Р(а) в котором определена на преды-
предыдущем этапе. Найдем теперь соответствующую характеристическую
функцию, используя определение A0.6.16), и покажем, что она совпа-
совпадает с первоначальной характеристической функцией оператора р.
Итак,
ХЛХ) = Я Р
+ \Р'*(а + 0*) + \а'*(а* fi/
Произведем теперь следующую замену переменных:
у = (а + П/2 д = (а- Щ2
a = (y + S) fi* = (y-g) A0.6.18)
d2ad2p = 4d2yd23.
Поскольку функция R аналитическая, имеет место полезное тождество
R(a*, у) = JL j R(a*t p) exp (у;?* _ \p\*)d2p. A0.6.19)
Следовательно, полученное выше выражение для характеристической
функции можно упростить и получить
^з Ш *(<*'*> У) ехр [My ~ $* - Я*(у + 5)
-\У\2~ l<5i2- l«'|2 + a'y*]d2yd2dd2a' A0.6.20)
^2///?(а'*,?)ехр(|Я|г + Яу*-Я*у- \у\2
-\а'\2 + a'y*)d2ydza A0.6.21)
~\R{cc*, Я + а)ехр(-Я*а- \a\z)d2a . A0.6.22)
Квант оиомеханнчсские майкопские процессы 4У5
Таким образом,
A0.6.23)
Из идентичности характеристических функций заключаем, что
РР = р-
10.6.3. СВЯЗЬ С ПРЕДСТАВЛЕНИЕМ ПУАССОНА
Задавая распределение вероятностей q(x) на множестве целых чисел,
мы всегда можем определить соответствующую положительную мат-
матрицу плотности по формуле
/> = И|и><ик(л), A0.6.24)
л
причем Р-представление для матрицы р дает соответствующее пред-
представление Пуассона для функции Р(п). Так, находим
q{x) = (х \ р | х) = (х | J ф(«, /?)Р(а,Д) ^^ I ^> A0.6.25)
\Р I"/
= j ф(а, j5) ^—^EL P(a, P). A0.6.26)
Следовательно, можно записать равенство
q(x) - j фЫЯа.) ei^ , A0.6.27)
где
Ла,Жв1) = I Ф(«. /О^Да^ - аОДа, /О A0.6.28)
а йДа, — а2) — дельта-функция Дирака, определенная на мере /*(«(),
т. е.
#(«») • A0.6.29)
Таким образом, из теоремы 3 мы можем заключить, что положитель-
положительное представление Пуассона всегда существует, как это утверждалось
в разд. 7.7.4. Применяя также первую теорему, можно показать, что
комплексное Р-представление всегда существует, если q(x) — 0 для
х > N и некоторого конечного N. Однако в разд. 7.7.3 уже был дока-
доказан более общий результат.
10.6.4. ОПЕРАТОРНЫЕ ТОЖДЕСТВА
Из определения A0.6.5) недиагональных проекционных операторов,
соответствующих когерентным состояниям, можно получить следую-
следующие тождества. Обозначая снова через а пару переменных (а, /3),
496 Глава 10
имеем
аЛ(а) — а Л (а)
а+Л(а) = (Р -+- di'da)A(g)
Л(а)а+ = PA(g)
Л(а)а ¦= C1 оР -f а)Л(а) .
A0.6.30)
Подставляя эти тождества в A0.6.4), определяя обобщенное Р-
представление и интегрируя по частям (при условии исчезновения со-
соответствующих членов на границе области), мы можем использовать
данные тождества для определения операций над .Р-функцией, кото-
которые зависят от выбранного представления.
а) Р-представление Глаубера — Сударшана
Мы имеем здесь те же результаты, что и в A0.2.26).
б) Комплексное Р-представление
аР(а)
ар
а+р -> (Р - д\Ъа)Р{а)
ра+ <-> рР(а)
ра*-*(а- д/дР)Р(а).
A0.6.31)
в) Положительное Р-представление
Используем здесь аналитичность функции Л (а, /3) и заметим, что если
\ау
то
= (д/дах)Л(а) = (-\д/дау)Л(а)
A0.6.32)
A0.6.33)
(д!ВР)Л(д) = (djdPM(a) = (-id/dfiy)A(q). ¦ A0.6.34)
Поэтому кроме соотношений A0.6.31), справедливых и в этом случае,
мы имеем дополнительные соотношения
а+р^(Р- д/дах)Р(а)«-» (/? + id/да,) Р(а) ,, Л * , «
AO.6.JD)
ра~(а- д/дРх)Р(а) <-> (а + ^1дРУ)Р(а) .
Все эти соответствия можно использовать по мере необходимости для
вывода уравнений Фоккера — Планка.
Квантовомеханмческпе марковские процессы 497
10.7. ПРИМЕНЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ^-ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
К УРАВНЕНИЯМ ЭВОЛЮЦИИ ВО ВРЕМЕНИ
Сначала мы покажем, что Р-представление Глаубера — Сударшана не
всегда дает приемлемое уравнение Фоккера — Планка, но в некото-
некоторых отдельных случаях это действительно так.
Рассмотрим одномодовый интерферометр с нелинейным поглоти-
поглотителем, возмущаемый когерентным образом. В этом случае (см. [10.9])
я, = х;/ку,(/?г, + \) (Ю.7.1)
Я2 = 2 [{a+yg,r, + a2g*rt] A0.7.2)
#3 = hco(a+a + ?) + Ui(Ee-iwa+ - ?* еша) . A0.7.3)
Этот пример во многом похож на пример, рассмотренный в разд.
10.4.1. Используя уравнение A0.3.38) и предполагая, что температура
термостата равна нулю, получаем управляющее уравнение в представ-
представлении взаимодействия
|2 = [еа+ - е*а, р]
A0.7.4)
Используя обычные операторные соответствия для представления
Глаубера — Сударшана, находим
I- Р(а,а*) = Г- |- (е - Ка2а*) - \ |\ (Ка2) + компл.сопр. ] Р(а,а*).
dt L да Эа J A0.7.5)
В действительных переменных
х = {а + а*)/л/Т
диффузионная матрица имеет вид
Г-АГ/2 -КГ
I -К К/2.
A0.7.6)
и не является неотрицательно определенной. А значит, уравнение вре-
временной эволюции вида A0.7.4) будет проявлять сингулярности. Нам
приходится, следовательно, обратиться к альтернативным уравнени-
уравнениям в различных Р-представлениях.
Наивное следование правилам, применимым при условии неотри-
неотрицательной определенности диффузионной матрицы, приводит к стоха-
498 Глава 10
стическим дифференциальным уравнениям
d_ Га "I _ Г? - Ка2а* 1 . \aW) '
dt [а*\ ~~[е- К(а*Jа\ + [а*ш1 '
A0.7.7)
в которых ?[(f) и ?2(г) — независимые белые шумы. Однако при этом
возникает следующий парадокс. Поскольку ?, и ?2 независимы, а и «*
не остаются комплексно-сопряженными. Мы приходим к ситуации,
подобной ситуации в случае представления Пуассона, в которой также
появлялись отрицательные матрицы диффузии.
10.7.1. КОМПЛЕКСНО!: /'-ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
В этом случае та же процедура приводит к уравнению, очень похоже-
похожему на уравнение для случая Глаубера — Сударшана. Мы предполага-
предполагаем, что с помощью соответствующего переупорядочения дифференци-
дифференциальных операторов можно свести квантовомеханическое управляющее
уравнение к виду
A0.7.8)
(«) ^
где (а, /3) = а = (ыA), а<2)); м = 1,2. Интегрируя это уравнение по ча-
частям и пренебрегая выражениями на границе, что, по-видимому, воз-
возможно при соответствующем выборе контуров интегрирования С и
С , мы получаем по крайней мере одно решение, если приравняем ко-
коэффициенты при функции / (а):
= Г АА,(д) + j a a ^ л
а
л _ а79)
j
Этого уравнения достаточно для выполнения уравнения A0.7.8), но
оно не единственно, поскольку функции Л(д) не являются линейно-
независимыми. Следует отметить, что величины А^(д) и D^'(a) для
данного представления всегда аналитичны по а. Следовательно, если
функция Р(а) аналитична в начальный момент, то в силу A0.7.9) она
сохраняет эту аналитичность во времени.
10.7.2. ПОЛОЖИТЕЛЬНОЕ Р-ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
Рассмотрим снова уравнение A0.7.8), но в предположении, что Р-
представление положительно. Симметричную матрицу всегда можно
факторизовать и записать в виде
Квашовомеханичеекне марковские процессы 499
D{a) = В(д)Вт(д) . A0.7.10)
Воспользуемся равенствами
А(д) = Ах(д) + \Ау(д) A0.7.11)
В(д) = Bx(g) + iBy(g), A0.7.12)
где величины Ах, Av, Bx, Bv действительные. Подстановка этих ра-
равенств в управляющее уравнение дает уравнение
= Я d2ad2pA{g) (dP(g)/dt)
= Я РШ^АаЩ + Лч(а)%
+ В?В?Щ + 2B>?Byd;dO]A (g)d2ad2p. A0.7.13)
Для простоты записи мы использовали здесь обозначения д/да^ = 3^
и т. д., а также воспользовались аналитичностью функции Л(а) для
выполнения замен
д/да"<-*д;~-\д;, (Ю.7.14)
чтобы получить уравнение A0.7.13)
При условии что допустимо интегрирование по частям, мы выво-
выводим теперь уравнение Фоккера — Планка
dP(a)/dt = {-д^А&а) - д;А$(а) + i[dflW(e)B?(g)
+ 2д&Вр(д)В?(д) + dp>BFte)B?(g)]) Р(д). A0.7.15)
Это уравнение для временной эволюции снова не единственно, но при
этом уравнение A0.7.13) является следствием уравнения A0.7.15).
Однако теперь уравнение Фоккера — Планка A0.7.15) обладает не-
неотрицательно определенной диффузионной матрицей в четырехмер-
четырехмерном пространстве, задаваемом векторами
(««», «<2\ а»>, а«>) = (ах, /?„ а„ /?,) . . A0.7.16)
Мы получим, что вектор сноса равен
S/(a) = (/4«>(г), A'f(g), A^{a), А<»(д)), A0.7.17)
а диффузионная матрица такова:
&(«) = Г " т ~ \(а) = ЩдK§г(а), A0.7.18)
VByBx, вуву j
где
вх о
Ща) = Г (а). A0.7.19)
[Ву, 0
500 Глава 10
Матрица D, таким образом, неотрицательно определенная (а не поло-
положительно определенная). Соответствующие стохастические дифферен-
дифференциальные уравнения Ито можно записать в виде
A0.7.20)
или, объединяя вновь действительную и мнимую части, в виде
daldt = A(q) + В{аШ) . A0.7.2Г
Уравнение A0.7.21) является как раз тем стохастическим дифференци-
дифференциальным уравнением, которое получается при использовании представ-
представления Глаубера — Сударшана, если не считать замены а* — /3 и наив-
наивного использования уравнения Фоккера — Планка с неположительно
определенной диффузионной матрицей в стохастическом дифференци-
дифференциальном уравнении Ито (в случае представления Глаубера — Сударша-
Сударшана).
В нашем выводе две формальные переменные (а, а*) были замене-
заменены на переменные (а, C) на комплексной плоскости, которые могут
флуктуировать независимо. Введенное здесь положительное Р-
представление выступает, т?ким образом, как математическое обо-
обоснование этой процедуры. Использованная здесь процедура близка к
методике разд. 7.7.4 для положительного представления Пуассона.
10.7.3. ПРИМЕР
Рассмотрим пример из разд. 10.7. Используя подходящее операторное
соответствие, напишем УФП для комплексного^Р-представления
д,Р{а, Р) = \ — -— (s — КагР) — -=- г-^ (Ка2) — _-~(е — Кар2)
- -1 ~ (КР2)^ Р{ау Р) . A0.7.22)
Довольно удивительно то, что это уравнение Фоккера — Планка
удовлетворяет потенциальным условиям разд. 5.3.3. В обозначениях
указанного раздела имеем
л [с - Ка2р [-Ка2 0 "!
А [ п I
е- Кр2а\' - ~ \ 0 -KL
Квантовомеханическме марковские процессы 501
Используя также формулы E.3.22, 23), находим
2 [е/«2 - Kfi + К/а
~~ К [?/у92 - Ка
3^ да
и поэтому
^(«, jff) = -
Следовательно,
Л(«, i9) = («/Г2 exp \lafS + | (~ + 1
A0.7.24)
A0.7.25)
A0.7,26)
Для этого стационарного распределения единственно приемлемыми
контурами являются контуры С, С , которые независимым образом
лежат в плоскостях а и /3 и охватывают существенные сингулярности
в точках а = 0 и /3 = 0.
Потенциальное решение такого типа чрезвычайно полезно, и его
нельзя получить из Р-представления Глаубера — Сударшана. Момен-
Моменты этого распределения легко получить при помощи формулы
JJ da dp Р™а\аРУ2 exp \lafi + ^ (—
К \ ос
^ (
К \ ос
A0.7.27)
Если мы разложим ехрBа/3) в степенной ряд и выполним почленное
контурное интегрирование, то получим выражение для моментов в
виде ряда
A0.7.28)
{(а+)та"У =
±
r-°rl(n-
A)
-г —
1)!
-2г-2
(т-
г —
1)! '
который легко вычисляется.
Используя положительное Р-представление, получаем стохастиче-
стохастическое дифференциальное уравнение
\da\
\dt
A0.7.29)
502 Глава 10
Следует отметить, что это уравнение не содержит какого-либо замет-
заметного малого параметра, связанного с шумом. Однако, полагая
К = К\г-
а = as A0.7.30)
можно рассмотреть случай сильного возмущающего поля. При этом
: \dt + \^JL\ . (ю.7.31)
В пределе сильного возмущающего поля и малой нелинейности, по-
полезном для практических ситуаций, мы можем линеаризовать указан-
указанные уравнения, считая шум малым.
Литература
ГЛАВА 1
1.1. Rayleiu1', Lord, 1891. [Phil. Mag., 32, Scientific Papers 111, 473 A902)]
1.2. Einstein A., Ann. Phys. (Leipzig), 14, 549 A905). [Имеется перевод: Эйнш-
Эйнштейн А. О движении взвешенных в покоящейся жидкости частиц, требуемом
молекулярно-кинетической теорией теплоты. — В кн.: Эйнштейн А., Смолу-
ховский М. Брауновское движение. — М. — Л.: ОНТИ, 1936, с. 13—27].
1.3. von Smoluchowski M., Ann Phys. (Leipzig), 21, 756 A906). [Имеется перевод:
Смодуховский М. К кинетической теории брауновского молекулярного движе-
движения и суспензий. — В кн.: Эйнштейн А. Смодуховский М. Брауновское движе-
движение. — М. — Л., ОНТИ, 1936, с. 133—165.]
1.4. Lungevin P., Comptes. Rendues, 146, 530 A908). [Имеется перевод: Ланже-
вен П. О теории броуновского движения. — В кн.: Ланжевен П. Избранные
труды. — М.: Изд-во АН СССР, 1960, с. 338—341.]
1.5. von Smoluchowski A/., Phys. Z., 16, 321 A915); 17, 557, 585 A916). [Имеется пе-
перевод: Смолуховский М. Три доклада о диффузии, брауновском молекулярном
движении и коагуляции коллоидных частиц. — В кн.: Эйнштейн А., Смолу-
Смолуховский М. Брауновское движение. — М. — Л.: ОНТИ, 1936, с. 332—416.]
1.6. Berne В. J., Pecora R., Dynamic Light Scattering (Wiley, New York 1976).
1.7. Lotka A. J., Elements of Physical Biology (Williams and Wilkins, Baltimore 1925).
[Переиздано под названием «Elements of Mathematical Biology», Dover 1956.]
1.8. Volterra V., Mem. Acad. Lincei, 2, 31 — 113 A926).
1.9. Rice S. O., Bell Syst. Tech. J., 23, 282 (i944); 24, 46 A945).
1.10. Schoilky W., Ann. Phys. (Leipzig), 57, 541 A918).
1.11. Taylor G. Г., Proc. London Math. Soc, 22, 196 A920).
1.12. Wiener N.. Acta Math., 55, 117 A930).
1.13. Khinchin A., Math. Annalen, 109, 604 A934). [Имеется перевод Хитин А. Я.,
Теория корреляции стационарных стохастических процессов. — УМН, 1938,
т 5, № 2, с. 42.]
1.14. Johnson J. В., Phys. Rev., 32, 97 A928).
1.15. Nyquist И., Phys. Rev., 32, 110 A928).
1.16. Huffaker С С, Hilgardia, 27, 343—383 A958).
1.17. Hassell M. P., The Dynamics of Arthropod Predator-Prey Systems, Monographs in
Population Biology, No. 13 (Princeton University Press, Princeton 1978).
1.18*. Эйнштейн А., Смолуховский М. Броуновское движение: Сб. переводов под
ред. Б. И. Давыдова. — М. — Л.: ОНТИ, 1936. (Здесь имеется перевод на рус-
русский язык статей [1.2—5] и др.]
'' Номерами со звездочками отмечена литература, добавленная при переводе. —
Прим. ред.
504 Литература
1.19*. Ornstein L. S., Zernike F., Proc. Amsterdam, 21, 109, 1014 AУ19). (Важная статья
по теории броуновского движения.)
1 20*. Рытое С. М. Введение в статистическую радиофизику. — М.: Наука, 1976,
ч. 1.
1.21 *. Ахманов С. А., Дьяков Ю. Е., Чиркин А. С. Введение в статистическую радио-
радиофизику и оптику. — М.: Наука, 1981. (В учебных пособиях [1.20*, 21*] доказана
формула Найквиста, рассмотрены дробовые шумы, а также много других воп-
вопросов.)
ГЛАВА 2
2.1. Feller И'., An Introduction to Probability Theory and Its Applications. 2nd ed., Vol.
11 (Wiley, New York 1974). [Имеется перевод 3-го издания: Феллер В. Введение в
теорию вероятностей и ее приложения. В 2-х томах. — М.: Мир, 1984.]
2.2. Papoulis A., Probability, Random Variables, and Stochastic Processes (McGraw-
Hill, New York 1965).
2.3. Kolmogorov A. N., Foundations of the Theory of Probability (Chelsea, New York
1950). [Оригинал на немецком языке издан в 1933. Имеется перевод: Колмого-
Колмогоров А. Н. Основные понятия теории вероятностей. — М. — Л.: ОНТИ, 1936.]
2.4. Стратонович Р. Л. Избранные вопросы теории флюктуации в радиотехни-
радиотехнике. — М.: Сов. радио, 1961.
2.5. Гнебенко Б.В. Курс теории вероятностей. — М.: Наука, 1969.
2.6. Меегоп ?., J. Chem. Phys., 27, 1238 A957).
2.7. van Kampen N. С, Physica, 74, 215 A973); 74, 239 A973).
2.8. Marcienkiewicz i.,*Math. Z., 44, 612 A939).
2.9. Rajagopal A. K., Sudarshan E. С. С, Phys. Rev., A10, 1852 A974).
ГЛАВА 3
3.1. Haake F., Springer Tracts in Modern Physics, Vol. 66 (Springer, Berlin, Heidelberg,"
New York 1973).
3.2. Гихман И. И., Скороход А. В., Теория случайных процессов. В 3-х томах. —
М.: Наука, 1971, 1973, 1975.
3.3. (Ссылка [3.2], т. 2.)
3.4. Feller W., Ann. Math., 55, 227—246 A952).
3.5. Uhlenbeek G. E., Ornstein L. S., Phys. Rev., 36, 823 A930).
3.6. Papoulis A., Probability, Random Variables, and Stochastic Rrocesses (McGraw-
Hill, New York 1965).
3.7*. von Smoluehowski M., Bull, intern, de PAc. de Sciences de Cracovie, A, 418—434
A913).
3.8*. von Smoluehowski M. Ann. Phys., 48, 1103—1112 A915). (В. статьях [3.7*, 8*]
впервые записано уравнение Чепмена — Колмогорова; их перевод имеется в сб.
[1.18*].)
ГЛАВА 4
4.1. Гихман И. И., Скороход А. В., Стохастические дифференциальные уравне-
уравнения. — Киев, Наукова думка, 1968.
4.2. Стратонович Р. Л., Избранные вопросы теории флюктуации в радиотехни-
радиотехнике. — М.: Советское радио, 1961.
4.3. Arnold L., Stochastic Differential Equations (Wiley-Interscience, New York 1974).
Литература 505
4.4. Kubo R., In: Stochastic Processes in Chemical Physics, ed. by К. Е. Shuler (Wilcy-
Interscience, New York 1969).
4.5. van Катрен N. С, Phys. Rept., 24C, 171—228 A976).
ГЛАВА 5
.5.1. Fokker A. D., Ann. Phys. (Leipzig), 43, 310 A915).
5.2. Planck M., Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Phys. Math. Kl., 325 A917).
5.3. Kolmogorov A. /V., Math. Ann., 104, 415—418 A931).
5.4. Feller W., Ann. Math., 55, 227—246 A952).
5.5. Bharucha-Reicl А. Т., Elements of the Theory of Markov Processes and Their Ap-
Application (McGraw-Hill, New York 1960). [Имеется перевод: Баруча-Рид А. Эле-
Элементы теории марковских процессов и их приложения. — М.: Наука, 1969.]
5.6. Erclelyi A., Bateman Manuscript Project, Vols. 1—3 (McGraw-Hill, New York
1953).
5.7. van Kampen N. G., Physica, 23, 707 A957); 23, 816 A957).
5.8. Uhlhorn U., Ark. Fys., 17, 361 A960).
5.9. Graham R., Haken #., Z. Phys., 243, 289—302 A971).
5.10. Kramers H. A., Physica, 7, 284 A940).
5.11. Onsager L., Phys. Rev., 37, 405 A931).
5.12. Casimir H. B. G., Rev. Mod. Phys., 17, 343 A945).
5.13*. Стратонович Р. Л. Нелинейная неравновесная термодинамика. — M.: Наука,
1985. [Здесь с обших позиций выводятся соотношения Онсагера — Казимира и
марковское флуктуационно-диссипационное соотношение, а также рассмотрены
формула Найквиста и другие флуктуационно-диссипационные соотношения.]
ГЛАВА 6
6.1. Haken H., Synergetics. An Introduction, 2nd ed. (Springer, Berlin, Heidelberg, New
York 1978). [Имеется перевод: Хакен Г. Синергетика. — М.: Мир, 1980.]
6.2. Brinkman H. С, Physica, 22, 29 A956).
6.3. Стратонович Р. Л., Избранные вопросы теории флюктуации в радиотехнике.
М.: — Советское радио, 1961.
6.4. Wilemski G., J. Stat. Phys., 14, 153—170 A976).
6.5. Titulaer U. M., Physica, 91A, 321—344 A978).
6.6. Papanicolauou G. C., In Modern Modelling of Continuum Phenomena, Lecture
Notes in Applied Maths., Vol. 16 (Am., Math. Soc, Providence RI 1977), p. 109.
6.7. Papanicolauou G. C, Kohler W., Comm. Pure Appl. Math., 27, 641—668 A974).
6.8. Graham R., Tel Т., J. Stat. Phys., 35, 729 A984).
6.9. Graham R., Tel Т., Phys. Rev., A31, 1109 A985).
6.10. Beals R., Protopescu V., J. Stat. Phys., 36, 293 A984).
6.11. Se/inger J. V., Titulaer U. M., J. Stat. Phys., 36, 293 A984).
6.12. Titulaer U. M., J. Stat. Phys., 37, 589 A985).
6ДЗ*. Хакен Г. Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся
системах и устройствах. — М.: Мир, 1985.
ГЛАВА 7
7.1. Matheson Г., Walls D. F., Gardiner C.W., J. Stat. Phys., 12, 21 A975);
Janssen H. K., Z. Phys., 260, 67 A974).
7.2. van Kampen N. G., Can. J. Phys., 39, 551—567 A961).
506 Литера n pa
7.3. Kramers H. A., Physica, 7, 284 A940).
7.4. Moral J. ?., J. R. Stat. Soc, 11, 151—210 A949).
7.5. Einstein A., Ann. Phys. (Leipzig), 549 A905). [Имеется перевод в кн.: Альберт
Эйнштейн. Собрание научных трудов. — М.: Наука, 1967, т. Ill, с. 108.]
7.6. Kurtz. Т. G.. J. Chem. Phys., 50, 460 A969).
7.7. Karlin S., Taylor H. M., A First Course in Stochastic Processes, 2nd ed. (Academic
Press, New York 1975).
7.8. Haken //., Synergetics. An Introduction, 2nd ed., (Springer, Berlin, Heidelberg, New
York 1978) [Имеется перевод: Хакен Г. Синергетика — М.: Мир, 1980.]
7.9. Schnakenberg У., Rev. Mod. Phys., 48, 571—586 A976); Thermodynamic Network
Analysis of Biological Systems, 2nd ed. (Springer, Berlin. Heidelberg, New York
1981).
7.10. Gardiner С W., Chaturvedi S., J. Stat. Phys., 17, 429—468 A977); 18, 501—522
A978).
7.11. Bernard W., С alien H. В., Rev. Mod. Phys., 31, 1017 A959); Phys. Rev., 118, 1466
A960).
7.12. Hochberg A'., Ann. Probab., 3, 433—458 A978).
7.13. van Kampen N. 6\, Adv. Chem. Phys., 34, 245—309 A976).
7.14*. Николае Г., Пригожих И. Самоорганизация в неравновесных системах. — М.:
Мир, 1979. [Здесь имеется много примеров скачкообразных процессов для слу-
случаев химических реакций и биологических систем; приведены решения соответ-
соответствующих уравнении.]
ГЛАВА 8
8.1. Curtain R. F., Stochastic Partial Differential Equations. — In: Stochastic Nonlinear
Systems, ed. by L. Arnold. R. Lefever (Springer, Berlin, Heidelberg, New York
1981).
8.2. Keizer J., J. Chem. Phys., 64, 1679—1687 A976).
8.3. Nicolis C, J. Stai. Phys., 6, 195 A972).
8.4. Schlogl F., Z. Phys., 253, 147 A972).
8.5. Arnold L., Consistency of Models of Chemical Reactions. — In: Dynamics nf
Synergetic Systems, ed. by H. Haken (Springer, Berlin, Heidelberg, New York 1980).
8.6. van Kampen N. G., Fluctuations in Continuous Systems. — In: Topics in Statistical
Mechanics and Biophysics, ed. by R. A. Piccirclli (Am. Inst. of Physics, 1976).
8.7. van den Broek C, Horsthemke W., Malek-Mansour M., Physica 89A, 339—352
A977);
Brenig /,., van den Broek C, Phys. Rev., 21A, 1039 A980).
8.8. Grad H., Principles of Kinetic Theory of Gases. — In: Handbueh der Physik, Vol.
12, ed. by S. Fltigge (Springer, Berlin, Gottingen, Heidelberg 1958).
8.9. Gardiner С W... Sreyn-Ross M. L., Phys. Rev., 29A, 2823 A984).
ГЛАВА 9
9.1. Abramowitz M., Slegim /., Handbook of Mathematical Functions (Dover, New York
1964, 1965). [Имеется перевод: Справочник по специальным функциям с форму-
формулами, графиками и математическими таблицами/Под ред. М. Абрамовица, И.
Стиган/Пер. с англ. (Issued June, 1964) и под ред. В. А. Диткина, Л. Н. Карма-
чиной. — М.: Наука, 1979.]
Литература 507
9.2. Kramers H. A., Physica, 7, 284 A940).
9.3. Обзор ситуации лан в приложении к статье: Bulliker M,, Landauer /?., Transport
and Fluctuations in Linear Arrays of Multistage Systems. — In: Nonlinear
Phenomena at Phase Transitions and Instabilities, ed. by T. Riste (Plenum Press,
New York, London 1982).
9.4. Eyring H., J. Chem. Phys., 3, 1935 A935).
9.5. Hawley S. A., Biochem., 10, 2436 A971);
Hawley S. A.. Mitchell R. M., Biochem., 14, 3257 A975).
9.6. Longer J. S., Ann. Phys., N. Y., 54, 258 A969);
Landauer R., Swanson J. A., Phys. Rev.. 121, 1668 A961).
9.7. Schuss Z., S.I.A.M. Rev., 22, 119 A980);
Matkowsky B. J., Schuss Z., S.I.A.M.J. Appl. Math., 33, 365 A977).
9.8. Ventsel A. D., Freidlin M. /., Russian. Math. Surveys, 25, 1 A970).
9.9*. Bez W., Talkner P., Phys. Lett, 82A, 313 A981).
ГЛАВА 10
10.1. Glauber R. J., Phys. Rev., 130, 2529 A963); 131, 2766 A963).
10.2. Sudarshan E. С. С, Phys. Rev. Lett., 10, 277 A963).
10.3. Klauder J. R., Sudarshan E. С. С, Fundamentals of Quantum Optics (Benjamin,
New York 1970). [Имеется перевод: Клаудер Дж., Сударшан Э. Основы кванто-
квантовой оптики. — М.: Мир, 1970.]
10.4. Glauber R. J., in: Quantum Optics, ed. by S. Kay, A. Maitland (Academic Press,
New York 1970).
10.5. Louise/I W., In: Quantum Optics, ed. by S. Kay, A. Maitland (Academis Press, New
York 1970); Quantum Statistical Properties of Radiation (Wiley, New York 1974).
[См. также: Люиселл У. Излучение и шумы в квантовой электронике. — М.:
Наука, 1972.]
10.6. Carmichuel Н. }., Walls D. F., J. Phys., B9, 1199 A976).
10.7. Einstein A., Phys. Z., 18, 121 A917).
10.8. Lax M., Phys. Rev., 172, 350 A968).
10.9. Dnmiimmd P. П., Gardiner С. ИЛ, J. Phys., A13, 2353—2368 A980).
10.10*. Каданав Л., Бейм Г. Квантовая статистическая механика. — М.: ИЛ, 1964.
10.11*. Гришанин Б. А. Квантовая электродинамика для ралиофизиков. — М.: изд-во
МГУ, 1981. (Здесь имеется другой вывод квантового управляющего уравнения.
Квантовые марковские процессы обсуждаются также в [5.13*].)
Литература с комментариями
Agarwa/ G. S., Quantum Statistical Theories of Spontaneous Emission and their Relation to
Other Approaches. Springer Tracts in Modern Physics, vol. 70 (Springer, Berlin, Heidel-
Heidelberg, New York 1974).
Приведены хорошие примеры практического использования квантовых марковских про-
процессов .
Arnold L., Stochastic Differential Equations: Theory and Applications (Wiley, New York
1974).
Авторитетная математическая монография по стохастическим дифференциальным урав-
уравнениям. Дает строгое и удобопонятное изложение теории стохастических дифференци-
дифференциальных уравнений.
Arnold L., Lefever R. (eds.), Stochastic Nonlinear Systems (Springer, Berlin, Heidelberg, New
York 1981).
Обзор современного состояния прикладных стохастических методов, рассматривающий
наиболее важные области их применения.
Bharucha-Reid А. Т., Elements ot the Theory ol Markov Processes and tneir Applications
(McGraw-Hill, New York 1960). [Имеется перевод: Баруча-Рид А. Элементы теории
марковских процессов и их приложения. — N1.: Наука, 1969.]
Полезная с точки зрения приложений монография, охватывающая популяционную био-
биологию, ядерные процессы, астрономию, химию, теорию очередей. Дается много точ-
точных решений для моделей, аппроксимирующих реальные системы.
Сох D. R., Miller H. D., The Theory of Stochastic Processes (Methuen, London 1965).
Книга написана в лучших английских традициях. Легко читается и ориентирована более
на приложения в статистике нежели в естественных науках.
feller W., An Introduction to Probability Theory and its Applications, vol. II, 2nd ed.
(Wiley, New York 1971).
Очень интересная и даже увлекательная книга, посвященная в основном фундаменталь-
фундаментальным вопросам стохастических процессов, написана одним из создаталей этого научного
направления. Приложениям уделяется не особенно много внимания, однако для специа-
специалист а по прикладным проблемам книга послужит напоминанием о красоте математиче-
математического аппарата.
Гихман И. И., Скороход А. В. Стохастические дифференциальные уравнения. — Киев:
Наукова думка, 1968.
Литература с комментариями 504
Фундаментальная монография советских ученых, которая читается не без труда, но
оправдывает затраченные на ее изучение силы. Почти все марковские, а также некото-
некоторые немарковские процессы рассматриваются здесь с точки зрения теории стохастиче-
стохастических дифференциальных уравнений.
Гихман И. И., Скороход А. В. Теория случайных процессов. — Киев: Наукова думка,
т. 1 A971), т. 2 A973), т. 3 A975).
Очень основательный, строгий и объемный труд. Упор здесь делается не на приложе-
приложения, но эта работа является наиболее современным строгим изложением теории. При
некотором напряжении доступна для нематематиков.
Goel N. S., Richter-Dyn N., Stochastic Models in Biology (Academic Press, New York 1974).
Прикладная монография, посвященная в основном процессам рождения и гибели в био-
биологии популяций. Используются некоторые приближенные методы.
Graham R., Statistical Theory of Instabilities in Stationary Nonequilibrium Systems with
Applications to Lasers and Non Linear Optics. Springer Tracts in Modern Physics, vol. 66
(Springer, Berlin, Heidelberg, New York 1973).
Приложения стохастических методов к квантово-оптическим и другим нелинейным си-
системам.
Haake F., Statistical Treatment of Open Systems by Generalised Master Equations. Springer
Tracts in Modern Physics, vol. 66 (Springer, Berlin, Heidelberg, New York 1973).
Дается удобное для физика изложение метода проекционных операторов.
Haken H., Laser Theory (Band XXV/2c of Handbuch der Physik, ed. by L. Genzel) (Sprin-
(Springer, Berlin, Heidelberg, New York 1970).
Глубокое исследование в области квантовой оптики, содержащее много интересных для
специалиста подробностей. Рассматриваются подходы к квантовым марковским про-
процессам, отличные от использованных в настоящей книге. Подробно рассматриваются
/"-представления и другие квантово-классические соответствия.
Haken H., Synergetics. An Introduction, 2nd ed., (Springer, Berlin, Heidelberg, New York
1978). [Имеется перевод: Хакен Г. Синергетика. — М.: Мир, 1980.]
Эта книга является признанным руководством по приложению теории случайных про-
процессов к широкому классу кооперативных явлений. Приводится много как элементар-
элементарных, так и более сложных примеров.
Ha'nggi P., Thomas H., Stochastic Processes: Time Evolution, Symmetries and Linear Res-
Response (Physics Reports, 88, 207—319, 1982).
Обзор приложений теории случайных процессов в физике. Рассматриваются немарков-
немарковские процессы.
Karlin S., Taylor H. M., A First Course in Stochastic Processes, 2nd ed. (Academic Press,
New York 1975).
Вполне доступная математическая монография с большим числом разработанных при-
примеров. Много внимания уделяется марковским цепям и скачкообразным процессам.
Lax M., Classical Noise. I: Rev. Mod. Phys., 32, 25 A960); II: Phys. Chem. Solids, 14,
248 A960) (соавтор P. Mengert); III: Rev. Mod. Phys., 38, 359 A966); IV: Rev. Mod
Phys., 38, 541 A966).
510 Литература с комментариями
Пионерская раоота, в которой рассматриваются приложения стохастических методов к
физическим системам прежде всего в физике твердого тела.
Kay S. M., Maitland A. ieds.), Quantum Optics. Proceedings of Scottish Universities Summer
School (Academic Press, New York 1970).
Классический сборник по применению квантовых марковских систем в том виде, в ка-
каком они использовались, когда квантовая оптика только оформилась как самостоятель-
самостоятельная дисциплина. Особенно полезны статьи Глаубера, Хакена и Люиселла.
Louisell W. Radiation and Noise in Quantum Electronics (McGraw-Hill, New York 1964).
Первое систематическое исследование в области квантовой электроники. Книга ориен-
ориентирована прежде всего на специалистов по электронной технике и не содержит сведений
по квантовым управляющим уравнениям.
Louisell W. Quantum Statistical Properties of Radiation (Wiley, New York 1974).
Содержатся все необходимые сведения по приложению марковских методов в кванто-
квантовой оптике. По сути, эта книга является вторым изданием более ранней работы.
Nicolis С, Prigogine I. Self Organization in Nonequilibrium Systems (Wiley, New York
1977). [Имеется перевод: Николис Г., Пригожим И. Самоорганизация в неравновес-
неравновесных системах. — М.: Мир, 1979.]
Посвященная в основном вопросам самоорганизации, эта книга содержит ясный и по-
полезный обзор стохастических методов, используемых Пригожиным и его учениками.
Книгу можно настоятельно рекомендовать как современный источник по прилржениям
стохастических методов к реакционно-диффузионным системам и неравновесным тер-
термодинамическим системам.
Oppenheim I., Shuler К. Е., Weiss G. H. Stochastic Methods in Chemical Physics — the
Master Equation (MIT Press, Cambridge 1977).
Книга содержит краткое введение в стохастические методы, за которым следует чрез-
чрезвычайно интересная и полезная подборка статей по данному вопросу, включающая и
работы Цванцига, в которых впервые используются проекционные методы.
Papoulis A. Probability, Random Variables, and Stochastic Processes (McGraw-Hill, New-
York 1965).
Прекрасное руководство для знакомства с практичными и достаточно строгими вероят-
вероятностными методами. Практические приложения относятся, главным образом, к элек-
электротехнике.
Riskeh Я.,'The Fokker Planck Equation (Springer, Berlin, Heidelberg, New York 1984).
Весьма полное исследование методов решения и применения уравнения Фокке-
ра — Планка. Содержит исследование движения в периодическом потенциале и много
материала, обычно не включаемого в менее специальные издания.
Стратонович Р. Л. Избранные вопросы теории флюктуации в радиотехнике. — М.:
Советское радио, 1961.
Монография, в которой дано концентрированное изложение стохастических методов
применительно к радиотехнике. Содержится много красивых результатов, изложенных
в характерном для автора ясном стиле. Стохастические дифференциальные уравнения
Литература с комментариями 511
рассматриваются как предельный случай реальных процессов. Одна id ф\ пламен ulii,-
иых книг по прикладным аспектам стохастических шфференниальныч уравнений.
van Катрен N. С, Stochastic Processes in Physics and Chemistry (North-Holland, Ams-
Amsterdam, New York, Oxford 1981).
Книга посвящена приложению стохастических методов к химическим и физическим про-
процессам. В точном и ясном изложении особое внимание уделяется условиям прпменимо-
сш приближений, обычно пеполыуемых в решении физических и химических задач.
Wax N. Selected Papers on Noise and Stochastic Processes (Dover, New York 1954).
Фундаментальный исторический обзор, содержащий оригинальную работу Уленбека и
Орнштейна по броуновскому движению, классическую работу Чандрасекара", а также
ряд других, ставших классическими, работ.
" См.: Чандрасекар С. Стохастические проблемы в физике и астрономии. — М.:
ИЛ, 1947. —Прим. перев.
Предметный указатель
Автокорреляционная матрица ста-
стационарная 99
Автокорреляционная функция 37, 91
выраженная через собственные
функции 176
для марковского процесса
98—100
при учете детального баланса
196
Аддитивные инварианты 407
Адиабатическое исключение быст-
быстрых переменных 247
в квантовом случае 468
неоднородных мод в системах
с реакциями и диффузией 398—401
Аксиомы теории вероятностей 47
Аррениуса формула 187
Баргмшш состояния, определение
454
Бейкера—Хаусдорфа формула 465
Бернулли испытания 71
— распределение 107
Бистабильная система, интерпрета-
интерпретация с помощью трех состояний
424
установление квазиравновесия
421
— химическая 298—303
Бистабильность 414
— в системах со многими перемен-
переменными 431
Больцмана управляющее уравнение
368, 406—410
получение уравнения Больц-
Больцмана 408
разложение по обратному
размеру системы 407, 411
Броуновская частица 25
Броуновское движение 20
в потенциале с двумя ямами
441—448
и адиабатическое исключение
247
непрерывность реализаций 76
поправки к уравнению Смолу-
ховского 260—264
уравнение Крамерса 203
Ван Кампена разложение по обрат-
обратному размеру системы 308
Вектор сносов, определение 83
Вероятность 46
— априорная 48
— выхода частицы за границу в по-
потенциале с двумя ямами 425
— перехода 30
— поток, определение 162
— расщепленная в потенциале с дву
мя ямами 418
— совместная 50
— условная 51
Вигнера представление 490
Винера—Хинчина теорема 39
Винеровский процесс 101—105
автокорреляционная функция
105
Предметный указатель 513
как предел случайных блужда-
блужданий 108
недифференцируемость реализа-
реализаций 103
независимость приращений 104
нерегулярность реализаций 103
собственные функции 177
Волыперры—Лотки система см. Си-
Система хищник—жертва 29
Время достижения границ, перехода
через границу 186
— корреляций 43, 91
— релаксации, зависимость от засе-
заселенности пика 425—426
Вязкость 25
Гармонический осциллятор без зату-
затухания при внешнем воздействии
450
квантовая теория 450
определение 450
при внешнем воздействии в
/"-представлении 462
при воздействии флуктуирую-
флуктуирующего поля 477
с затуханием при воздействии
поля 476, 477
Гаусса распределение 64—66
Гипотеза масштабной инвариантно-
инвариантности для аппроксимации управляю-
управляющего уравнения 303
Граничные условия для процессов
рождения—гибели 316—318
для уравнения Крамерса 258,
259
Смолуховского 259, 260
для УФП в местах разрыва не-
непрерывности 165
в случае многих перемен-
переменных 192
на бесконечности 167
отражающие 164
поглощающие 164
для УФП обратного 173
отражающие 174
поглощающие 173, 174
Двухуровневый атом, временные
корреляции 489
при наличии внешнего воздей-
воздействия 478—482
Детальный баланс 194
для управляющего уравнения
рождения—гибели 293—295
определение 194
при диффузии 374
условия для 198, 199
Детерминированный нроцесс 84
Дисперсия 30
Диффузия в поле силы тяжести 170
— коэффициент 22
— определение потока 369
— при неоднородности и анизотро-
анизотропии 375
— уравнение 23
— флуктуационное дифференциаль-
дифференциальное уравнение в частных производ-
производных 378
Достижение границ и переход через
границу 114
Зависящие от времени пуассоновские
решения некоторого класса управ-
управляющих уравнений 298
Закон больших чисел 57
Инвариантность относительно обра-
обращения времени 197
Ито стохастический интеграл, опре-
определение 122
свойства 127—131
— формула, вывод 135
Когерентные состояния, определение
452
пуассоновское распределение
для числа квантов 456
514 Предметный указатель
Когерентные состояния, разложение
оператора 455
разложение произвольного со-
состояния 454
свойства 452—457
Комбинаторная кинетика, определе-
определение 321
Коммутационные соотношения 449
Корреляции гладких функций от
операторов термостата 467
— поведение при неустойчивости 392
— пространственно-временные 386
— пространственные 382—397
Корреляционная длина 389
Корреляционная функция временная
см. Автокорреляционная функция
Корреляционные функции временные
для двухуровневого атома 488, 489
для квантовых марковских
процессов 482—489
и квантовый гармонический
осциллятор 485—488
и Я-представление 485
определение 61
— термостата 467
Корреляция 57
Крамерса метод для задач о дости-
достижении границ 422—426
для многомерного случая 439—
441
— уравнение 203
Крамерса—Мойала разложение в
случае управляющего уравнения
Больцмана 407, 411
рождения—гибели
326—327
-и разложение по обратному
размеру системы 309
определение 307
Критическое замедление 316
Кумулянт 60—64
— факториальный 67
Кумулянтная производящая функция
61
факториальная 67
Курца теорема 313
и разложение по обратному
размеру системы 313
Лагерра полиномы 181
Ланжевена уравнение 25, 34, 117—
120
Лапласа преобразование и адиабати-
адиабатическое исключение 253
Линдеберга условие 65, 75
Лиувилля операторы, определение
469
— уравнение 84
квантовое 460
Маркова процесс 70—116
автокорреляции 98—100
квантовый 449
вывод 465—473
непрерывный, определение 75
однородный 92
определение 88, 89
определение 71
стационарный 449
— условие (постулат) 24, 30, 71
Матрица диффузионная, определение
83
— корреляционная 57
— плотности 457—459
свойства 458, 459
— спектральная при наличии деталь-
детального баланса 197
Метастабильность 414
Микроскопическая обратимость 207
Многовременные средние в кванто-
квантовом случае 472
Множества нулевой вероятности 55
Множество событий 45, 46
Момент 57
Найквиста формула 40—44
Независимость 27, 53
Неймана уравнение 459
Нелинейный поглотитель 497
Предметный указатель 515
Непрерывно.ть стохастических про-
процессов 73—75
Неупреждаюшая функция, определе-
определение 124
Неустойчивое состояние, распад 420
Обратное управляющее уравнение и
время достижения границ 318
Онсагера соотношения 208—214
Оператор проектирования, соот-
соответствующий адиабатическому ис-
исключению 250, 251
— рождения 450
— уничтожения 450
Орнштейна—Уленбека процесс, вре-
временная корреляционная матрица
для стационарного состояния 154
функция 111
время выхода из области R
220
в случае разложения по ма-
малому шуму для СДУ 230
зависящий от времени 158
и квантовый гармонический
осциллятор 475
и соотношения Онсагера 210
СДУ 148, 149
со многими переменными
151 — 155
собственные функции 179
спектральная матрица 154
стационарная дисперсия 153
в случае двух перемен-
переменных 154
стационарное распределение
170
Осциллятор с флуктуирующей часто-
частотой 146
Паули матрицы, определение 478
Плотность распределения вероятно-
вероятностей 54
Подчинение тихое 280
— шумное 281
Потенциал с двумя ямами 185
диффузия 415—421
Потенциальный барьер, переход
184—187
Почти наверное 55
Предел в среднеквадратичном 68
при определении стохастиче-
стохастического интеграла 122
— по вероятности 68
— по распределению 69
— последовательности случайных пе-
переменных 67
— почти наверное 68
Представление взаимодействия 472
и двухуровневый атом при
внешнем воздействии 479
Я-представление Глаубвра—Сударша-
на 460—462, 491
операторные соответствия 460
— комплексное, определение 491
операторные тождества 496
— обобщенное -489—502
и уравнения эволюции 497—502
определение 491
— положительное, определение 492
операторные тождества 496
— теорема сушествования 492—496
Q-представление 490
R-представление 490
Принцип подчинения 250
Проблемы расходимости для нели-
нелинейных систем с реакциями и диф-
диффузией 396
Производящая функция 33
для уравнения рождения—ги-
рождения—гибели 333, 334
для распределения Пуассона 66
моментов 59
Пуассона представление 292, 338—367
в системе с реакциями и диф-
диффузией 381, 382
действительное, определение
343
и временные корреляционные
функции 351—358
516 Предметный указатель
Пуассона представление и мономо-
мономолекулярные реакции 340
и управляющее уравнение
Больцмана 409, 413
комплексное, определение 343
положительное, определение
347—351
связь с обобщенным Я-пред-
ставлением 495
— распределение 33, 66, 67
релаксация в системе с реак-
реакциями и диффузией 384—386
Размер системы 291
Рассеяние лазерного излучения 27
Реализация непрерывная 24, 73—75
Свойства эргодичности и стационар-
стационарные процессы 89
СДУ см. Стохастическое дифферен-
дифференциальное уравнение
Сепаратриса 436, 448
— алгебра 46
Система хищник—жертва 28
химическое УФП 268—273
— с реакциями и диффузией 368
фазовый переход вто-
второго рода 393
флуктуационные диф-
дифференциальные уравнения в част-
частных производных 480
Системы рождения—гибели, случай
многих переменных 321
Случайная величина 49
гауссова 64
Случайные блуждания 105—109
приближенное описание уравне-
уравнением Фоккера—Планка 304
— величины, независимые 53
и характеристическая функ-
функция 59
и центральная предельная
теорема 65
Случайный процесс диффузионный
83
аппроксимация скачкообраз-
скачкообразным процессом 303—307
Коши 76
определение 70
Пуассона 33, 109—111
рэлеевский 190, 194
собственные функции 180
рождения—гибели 28
для потока 403—406
сепарабельный 70
скачкообразный 82
стационарный, приближение
93—98
телеграфный 115—116
и двухуровневый атом при
наличии внешнего воздействия 481,
482
третьего порядка 236
Смолуховского уравнение 249, 250
для диффузии в потенциале с
двумя ямами 422
и задача о переходе через по-
потенциальный барьер 445
определение 249, 256
поправки 260—264
уточненное 263
и задача о достижении гра-
границ 445
Собственные функции для УФП, ва-
вариационный принцип 218
и автокорреляционная матрица
218
и время достижения границ
222
и матричная спектральная
плотность 218
и условная вероятность 176,
218
Событие 45
Спектральная плотность 37
равномерная 41
Среднее значение 54, 56
Среднеквадратичное отклонение 57
Статистическая механика 25
Стационарность 40
Стационарные системы 39
Предметный указатель 517
Столкновения и потоки 410—413
— управляющее уравнение Больима-
на 406—410
Стохастический интеграл, определе-
определение 98
Стохастическое дифференциальное
уравнение 25, 26, 35, 36, 117
в частных производных 371
— зависимость решений от на-
начальных условий 143
от параметров 143
и положительное представ-
представление Пуассона 349—351
линейное 155—157
дЛЯ одной переменной
155
со многими переменными
157
— определение и свойства
132—144
при стремлении цветного
шума к белому 264—273
разложение по малому шу-
шуму 230—239
связь с УФП 136
Стратоновича 139
как предел стремления
недельтакоррелированного воздей-
воздействия к дельтакоррслированному
264—273
определение и связь с
СДУ И то 139—141
Стратоновича стохастический инте-
интеграл 124
Теорема регрессии 99
квантовая 484, 485
Термостат, определение 466
Тримолекулярная реакция как предел
бимолекулярной реакции 358—363
Управляющее уравнение 82, 291
аппроксимация уравнением
Фоккера—Планка 303
в случае многих переменных
321
для системы с диф-
диффузией 373, 374
разложение Крамер-
са—Мойала 326
в фазовом пространстве 401
диффузии, непрерывная форма
374—379
разложение по обратному-
размеру системы 375
квантовое, вывод 468—473
определение 472
для гармонического осцил-
осциллятора 473—477
описывающее реакции и диф-
диффузию 480
разложение по об-
обратному размеру системы 380
разложение по обратному раз-
размеру системы 308—316
рождения—гибели 30, 34
для квантового гармони-
гармонического осциллятора 473
для одной переменной
292
и бистабильность 429—
431
разложение по обратному-
размеру системы 326
случай одной переменной, ста-
стационарное решение 293—295
среднее время достижения гра-
границ 318—321
стационарные решения без уче-
учета детального баланса 325
Усреднение по ансамблю 39
УФП см Фоккера—Планка уравне-
уравнение
Феноменологическая сила 210
Феноменологический поток 210
Флуктации критические 314
и разложение по обратному
размеру системы 314
518 Предметный указатель
Флуктации локальные и глобальные
389
Флуктуационно-диссипационная тео-
теорема, применение 211
Фоккера—Планка уравнение 160
в комплексном Р-представ-
лении 498
условие потенциаль-
потенциальности 500—502
в положительном Я-пред-
ставлении 498—500
в Р-представлении 476, 496
вариационный принцип для
собственных функций 217
граница входная 166
- естественная 166
разложение по малому шу-
шуму 239
с одной переменной
потенциальное ре-
решение 168, 169
собственные функ-
функции 174—181
среднее время до-
достижения границ 183
со многими переменными,
собственные функции 214
стационарные реше-
решения 193, 194
условие потенциаль-
потенциальности 193
стационарное распределение,
асимптотический метод 246
химическое 326
Хакена модель 278
Хаос 19
Характеристическая функция 59
гауссова распределения 64
и моменты 59
квантовая 464, 465
Химическая реакция
А + 2Х rf ЗХ, А ^ X 365
управляющее уравнение
298, 299
— в представлении Пуассона
358, 359
A + X-2X + D, В + Х^
¦* С, решение управляющего
уравнения 334—336
А + X <=> 2Х, В + X <=> С,
комплексное представление Пу-
Пуассона 344—346
положительное представле-
представление Пуассона 350
пространственно-распреде-
пространственно-распределенная 393—397
решение в представлении
Пуассона 340—343
А + Y -F* X + Y, Y ** 2Х, ис-
исключение промежуточного сое-
соединения 359—363
В + X f* С, А + X f* 2X,
пространственно-распределен-
пространственно-распределенная 38 —393
В — X, 2Х — А и положитель-
положительное представление Пуассона
350, 351
комплексное представление
Пуассона 346, 347
В «=* X, А + X — 2Х, аналогия.
с гармоническим осциллятором
474
X + А ^ 2Х, УФП 171
химическое 327—333
X «=* А и разложение по обрат-
обратному размеру системы 310
— управляющее уравнение 295
X <=^ Y, как система с реакциями
и диффузией 382—386
X <± Y ^ А 273
— химическое УФП 327—333
X,
2Х-,, уравнение реакции с
диффузией 381
X, <й Х2, решение управляюще-
управляющего уравнения 337, 338
в системе хищник—жертва, УФП
328—333
исключение короткоживущих
промежуточных продуктов 273
мономолекулярная 340
Предметный указатель 519
нелокальная 397
связь между локальным и гло-
глобальным описанием 398—402
Химические реакции, теория пере-
переходного состояния 424
Химическое уравнение реакции с
диффузией 370
Химотрипсиноген, обратимая дена-
денатурация 426
Центральная предельная теорема 65
Чепмена—Колмогорова уравнение
24, 72, 73
дифференциальное 76—82
обратное 87
Шредингера уравнение 451
Шум 31
— белый 40—44, 117—120
как предел цветного шума 264
— дробовой 32
— тепловой 40—44
— третьего порядка 359
определение 363, 364
Эйнштейна уравнение и двухуровне-
двухуровневый атом 481
Эргодичность 39
Эрмшпа полиномы 179
при адиабатическом исключе-
исключении 255
Оглавление
Предисловие редактора перевода 5
Предисловие редактора серии «Синергетика» 8
Предисловие к 2-му изданию 9
Предисловие к 1-му изданию iO
Список обозначений 15
1. ВВЕДЕНИЕ 19
1.1. Предыстория вопроса 19
1.2. Некоторые примеры 20
1.2.1. Броуновское движение 20
1.2.2. Уравнение Ланжевена 25
1.3. Процессы рождения — гибели 28
1.4. Шум в радиоэлектронных устройствах 31
1.4.1. Дробовой шум , 32
1.4.2. Автокорреляционные функции и спектральные плотности . 37
1.4.3. Фурье-анализ случайных функций: стационарные системы . 39
1.4.4. Тепловой шум и теорема Найквиста 40
2. ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 45
2.1. События и множества событий 45
2.2. Вероятности 46
2.2.1. Вероятностные аксиомы 47
2.2.2. Смысл РИ) 47
2.2.3. Смысл аксиом 48
2.2.4. Случайные переменные 49
2.3. Совместные и условные вероятности. Независимость 50"
2.3.1. Совместные вероятности 50
2.3.2. Условные вероятности 51
2.3.3. Соотношения между совместными вероятностями различ-
различных порядков 52
2.3.4. Независимость 53
2.4. Средние значения и плотности вероятности 54
2.4.1. Определение плотности вероятности через средние значе-
значения произвольных функций 55
2.4.2. Множества нулевой вероятности 55
2.5. Средние -. 56
2.5.1. Моменты и корреляции 57
2.5.2. Закон больших чисел 57
2.6. Характеристическая функция 59
2.7. Производящая функция кумулянтов: корреляционные функции и ку-
кумулянты 60
2.7.1. Пример: кумулянт 4-го порядка ((Х^Х^Х^Х^)) 62
2.7.2. Значимость кумулянтов 63
2.8. Гауссовское и пуассоновское распределение вероятностей 64
2.8.1. Гауссовское распределение 64
2.8.2. Центральная предельная теорема 65
2.8.3. Пуассоновское распределение 66
Оглавление 521
2.9. Пределы последовательностей случайных переменных 67
2.9.1. Предел почти наверное 68
2.9.2. Предел в среднеквадратичном 68
2.9.3. Стохастический предел, или предел по вероятности 68
2.9.4. Предел по распределению 69
2.9.5. Взаимосвязь различных пределов 69
3. МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ 70
3.1. Стохастические процессы 70
3.2. Марковский процесс 71
3.2.1. Согласованность. Уравнение Чепмена — Колмогорова 72
3.2.2. Дискретное пространство состояний 73
3.2.3. Более общие меры 73
3.3. Понятие непрерывности для стохастических процессов 73
3.3.1. Математическое определение непрерывного марковского
процесса 75
3.4. Дифференциальное уравнение Чепмена— Колмогорова 76
3.4.1. Вывод дифференциального уравнения Чепмена — Колмо-
Колмогорова 78
3.4.2. Статус дифференциального уравнения Чепмена — Колмо-
Колмогорова 81
3.5. Интерпретация условий и результатов 82
3.5.1. Скачкообразные процессы. Управляющее уравнение 82
3.5.2. Диффузионные процессы. Уравнение Фоккера—Планка... 83
3.5.3. Детерминированные процессы. Уравнения Лиувилля 84
3.5.4. Процессы общего вида 86
3.6. Уравнения, описывающие изменение вероятностей при изменении на-
начального времени. Обратные уравнения 87
3.7. Стационарные и однородные марковские процессы 88
3.7.1. Эргодические свойства стационарного процесса 89
3.7.2. Однородные процессы 92
3.7.3. Приближение к стационарному процессу 93
3.7.4. Автокорреляционная функция марковских процессов 98
3.8. Примеры марковских процессов 101
3.8.1. Винеровский процесс 101
3.8.2. Одномерные случайные блуждания 105
3.8.3. Пуассоновский процесс 109
3.8.4. Процесс Орнштейна — Уленбека 111
3.8.5. Случайный телеграфный процесс 115
4. РАСЧЕТЫ МЕТОДОМ ИТО И СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИ-
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 118
4.1. Обоснования 118
4.2. Стохастическое интегрирование 120
4.2.1. Определение стохастического интеграла 120
t
4.2.2. Пример j W(t')dW(f) 122
'о
4.2.3. Интеграл Стратоновича 124
4.2.4. Неупреждающие функции 124
4.2.5. Доказательство того, что dW(tf = dt и dW(tf+N = 0 125
522 Оглавление
4.2.6. Свойства стохастического интеграла Ито 127
4.3. Стохастические дифференциальные уравнения (СДУ) 132
4.3.1. Стохастическое дифференциальное уравнение Ито. Опреде-
Определение 132
4.3.2. Марковское свойство решения стохастического дифферен-
дифференциального уравнения Ито 135
4.3.3. Замена переменных. Формула Ито 135
4.3.4. Связь между уравнением Фоккера — Планка и стохастиче-
стохастическим дифференциальным уравнением 136
4.3.5. Системы с несколькими переменными 137
4.3.6. Стохастическое дифференциальное уравнение Стратоно-
вича 139
4.3.7. Зависимость решений от начальных условий и параметров 143
4.4. Примеры и решения 144
4.4.1. Коэффициенты, не зависящие от х 144
4.4.2. Мультипликативный линейный белый шум 145
4.4.3. Комплексный осциллятор с шумящей частотой 146
4.4.4. Процесс Орнштейна — Уленбека 148
4.4.5. Переход от декартовых координат к полярным 149
4.4.6. Процесс Орнштейна — Уленбека для случая многих пере-
переменных 151
4.4.7. Общее линейное уравнение для одной переменной 155
4.4.8. Линейные уравнения для многих переменных 157
4.4.9. Процесс Орнштейна — Уленбека, зависящий от времени .. 158
5. УРАВНЕНИЕ ФОККЕРА — ПЛАНКА 160
5.1. Общие замечания 160
5.2. Уравнение Фоккера — Планка в одномерном случае 161
5.2.1. Граничные условия 162
5.2.2. Стационарные решения однородных уравнений Фоккера —
Планка 168
5.2.3. Примеры стационарных решений - 170
5.2.4. Граничные условия для обратного уравнения Фоккера —
Планка 173
5.2.5. Методы собственных функций (однородные процессы) 174
5.2.6. Примеры 177
5.2.7. Время достижения границы для случая однородных про-
процессов 181
5.2.8. Вероятность достижения того или иного конца интервала . 187
5.3. Уравнения Фоккера — Планка в многомерном случае 189
5.3.1. Замена переменных 190
5.3.2. Граничные условия 192
5.3.3. Стационарные решения: потенциальные условия 193
5.3.4. Детальный баланс 194
5.3.5. Следствия детального баланса 197
5.3.6. Примеры детального баланса в уравнениях Фоккера —
Планка 203
5.3.7. Методы собственных функций для случая многих перемен-
переменных. Однородные процессы 214
5.4. Время первого достижения границы области (однородные процессы) 219
Оглавление 523
5.4.1. Решения задач, связанных с достижением границ 221
5.4.2. Распределение точек выхода 224
6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ ДИФФУЗИОННЫХ ПРОЦЕССОВ .... 227
6.1. Теории возмущений, основанные на малости шума 227
6.2. Разложения по малому шуму для стохастических дифференциальных
уравнений 230
6.2.1. Пределы применимости разложения 233
6.2.2. Стационарные решения (однородные процессы) 234
6.2.3. Среднее значение, дисперсия и временная корреляционная
функция 235
6.2.4. Сложности теории возмущений для малого шума 236
6.3. Разложение по малому шуму для уравнения Фоккера — Планка 239
6.3.1. Уравнения для моментов и автокорреляционных функций . 241
6.3.2. Пример 244
6.3.3. Асимптотический метод для стационарного распределения 246
6.4. Адиабатическое исключение быстрых переменных 247
6.4.1. Абстрактная формулировка на языке операторов и проек-
проекций 250
6.4.2. Решение с использованием преобразования Лапласа 253
6.4.3. Поведение на малых временных масштабах .•. 256
6.4.4. Граничные условия 258
6.4.5. Систематический анализ в рамках теории возмущений 260
6.5. Белый шум как предельный случай коррелированного процесса 264
6.5.1. Общность результата 269
6.5.2. Более общие флуктуационные уравнения 270
6.5.3. Системы, неоднородные во времени 271
6.5.4.- Учет зависимости L{ от времени 272
6.6. Адиабатическое исключение быстрых переменных: общий случай 273
6.6.1. Пример: исключение короткоживущих промежуточных
продуктов химической реакции 273
6.6.2. Адиабатическое исключение в модели Хакена 278
6.6.3. Адиабатическое исключение быстрых переменных: нели-
нелинейный случай 283
6.6.4. Пример с произвольной нелинейной связью 288
7. УПРАВЛЯЮЩИЕ УРАВНЕНИЯ И СКАЧКООБРАЗНЫЕ ПРОЦЕССЫ ... 291
7.1. Управляющие уравнения рождения — гибели: одномерный случай 292
7.1.1. Стационарные решения 293
7.1.2. Пример: химическая реакция X ^ А 295
7.1.3. Химическая бистабильная система 298
7.2. Приближенное представление управляющих уравнений уравнениями
Фоккера — Планка 303
7.2.1. Приближение диффузионного процесса скачкообразным
процессом 303
7.2.2. Разложение Крамерса — Мойала 307
7.2.3. Разложение ван Кампена по обратному размеру системы
[7.2] 308
7.2.4. Теорема Курца 313
524 Оглавление
7.2.5. Критические флуктуации 314
7.3. Граничные условия для процессов рождения — гибели 316
7.4. Среднее время достижения границы 318
7.4.1. Вероятность поглощения 320
7.4.2. Сравнение с уравнением Фоккера — Планка 320
7.5. Многомерные системы рождения — гибели 321
7.5.1. Стационарные решения при наличии детального баланса ... 323
7.5.2. Стационарные решения в отсутствие детального баланса
(решение Кирхгофа) 325
7.5.3. Разложение по обратному размеру системы и аналогичные
разложения 326
7.6. Некоторые примеры 327
7.6.1. X +А * 2Х 327
7.6.2. X I Y t A 327
7.6.3. Система хищник — жертва 328
7.6.4. Уравнения для производящих функций 333
7.7. Представление Пуассона [7.10] 338
7.7.1. Разновидности представлений Пуассона 343
7.7.2. Действительные представления Пуассона 343
7.7.3. Комплексные представления Пуассона 343
7.7.4. Положительное представление Пуассона 347
7.7.5. Временные корреляционные функции 351
7.7.6. Тримолекулярные реакции 358
7.7.7. Шум третьего порядка 363
ПРОСТРАНСТВЕННО-РАСПРЕДЕЛЕННЫЕ СИСТЕМЫ 368
8.1. Общие замечения 368
8.1.1. Функциональные уравнения Фоккера — Планка 371
8.2. Описание при помощи многомерного управляющего уравнения 373
8.2.1. Диффузия 373
8.2.2. Управляющее уравнение диффузии в континуальной форме 374
8.2.3. Совместное рассмотрение химических реакций и диффузии 380
8.2.4. Метод представления Пуассона 381
8.3. Пространственные и временные корреляционные структуры 382
к\
8.3.1. Реакция X ^ Y 382
*2
Д1
8.3.2. Реакция В + X - С, А + X - IX 387
къ кг
8.3.3. Нелинейная модель с фазовым переходом второго рода .... 393
8.4. Связь между локальным и глобальным описаниями 398
8.4.1. Явное адиабатическое исключение неоднородных мод 398
8.5. Управляющее уравнение в фазовом пространстве 401
8.5.1. Назависимое движение молекул и соответствующий ему
поток вероятности 402
8.5.2. Поток как процесс рождения — гибели 403
8.5.3. Введение столкновений. Управляющее уравнение Больц-
мана 406
8.5.4. Совместное рассмотрение потока и столкновений 410
Оглавление 525
9. БИСТАБИЛЬНОСТЬ, МЕТАСТАБИЛЬНОСТБ И ПРОБЛЕМЫ ПЕРЕХО-
ПЕРЕХОДА ИЗ ОДНОЙ ФАЗЫ В ДРУГУЮ 414
9.1. Диффузия в случае потенциала с двумя ямами (одна переменная) 415
9.1.1. Поведение системы в случае D = 0 415
9.1.2. Поведение системы при очень малых значениях/) 416
9.1.3. Время достижения границы 417
9.1.4. Расщепленная вероятность 418
9.1.5. Распад неустойчивого состояния 420
9.2. Установление равновесия заселенностей каждой потенциальной ямы . 421
9.2.1. Метод Крамерса 426
9.2.2. Пример: обратимая денатурация химотрипсиногена 426
9.2.3. Бистабильность, описываемая управляющим уравнением
для процессов рождения — гибели (случай одной перемен-
переменной) 429
9.3. Бистабильность в системах со многими переменными 431
9.3.1. Распределение точек достижения границы 432
9.3.2. Асимптотический анализ среднего времени достижения
границы 437
9.3.3. Метод Крамерса для случая нескольких измерений 439
9.3.4. Пример. Броуновское движение в потенциале с двумя яма-
ямами 441
10. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ 449
10.1. Квантовомеханическая теория гармонического осциллятора 450
10.1.1. Взаимодействие с внешним полем 451
10.1.2. Свойства когерентных состояний 452
10.2. Матрица плотности и распределения вероятностей 457
10.2.1. Уравнение Неймана 459
10.2.2. Р-представление Глаубера — Сударшана 460
10.2.3. Операторное соответствие 461
10.2.4. Применение к возмущенному гармоническому осциллятору 462
10.2.5. Квантовая характеристическая функция 464
10.3. Квантовые марковские процессы 465
10.3.1. Термостат 466
10.3.2. Корреляция гладких функций от операторов термостата ... 467
10.3.3. Квантовое управляющее уравнение для системы, взаимо-
взаимодействующей с термостатом 468
10.4. Примеры и приложения квантовых марковских процессов 473
10.4.1. Гармонический осциллятор 473
10.4.2. Действие возмущения на атом с двумя энергетическими
уровнями 478
10.5. Временные корреляционные, функции квантовых марковских процес-
процессов 482
10.5.1. Квантовая теорема регрессии 484
10.5.2. Применение к гармоническому осциллятору в Р-представ-
лении 485
10.5.3. Временные корреляторы для двухуровневого атома 488
10.6. Обобщенные Р-предетавления 489
Оглавление 526
10.6.1. Определение обобщенного Я-представления 491
10.6.2. Теоремы существования 492
10.6.3. Связь с представлением Пуассона 495
10.6.4. Операторные тождества 495
10.7. Применение обобщенных Р-представлений к уравнениям эволюции во
времени 497
10.7.1. Комплексное Р-представление 498
10.7.2. Положительное Р-представление 498
10.7.3. Пример 500
Литература 5^3
Литература с комментариями 508
Предметный указатель 512
Учебн ое и иамис
Криспмн В. Гарлинер
СТОХЛСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУКАХ